1
Przykład 1.1 Kratownica płaska I.
W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyćprzemieszczenie pionowe v węzła C i przemieszczenie poziome u węzła D. Przyjęto stałąsztywność prętów EA.
Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy
Przemieszczenia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru
∑∑∫==
==15
1
115
1 0
1 1i
iiii
l
ii
iii lNNEAAE
dsNNwi
(1)
gdzie: w - szukane przemieszczenie, iN - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego, 1
iN - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w węźle, której kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego przemiesz- czenia, il - długość i-tego pręta kratownicy.
I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór
PRlRlPM BBA 8304
230 =→=⋅+⋅−→=∑
PVPRVP ABAiy 8500 =→=−+→=∑
00 =→=∑ Aix HP
Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagizapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił iN w kratownicy od obciążeniazewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 3).
2
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od pionowej siły 1=P , przyłożonej w węźle C.
Rys. 2. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
2104210 111 =→=⋅+⋅−→=∑ BBA RlRlM
21010 1111 =→=−+→=∑ ABAiy VRVP
00 11 =→=∑ Aix HP
Wyznaczone wartości sił 1iN w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
tablicy 1 (kolumna 4).
Tabela 1. Zestawienie wartości sił iN oraz 1iN i wyrażeń iii lNN 1 oraz ich sumy.
(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)
Pręt li [m] Ni [N] 1iN iii lNN 1 [Nm]
1 l P165
41 Pl
645
2 l P1615
43 Pl
6445
3 l P169
43 Pl
6427
4 l P163
41 Pl
643
5l
25 - P5
165
-45 Pl
128525
6l
25 P5
165
45
APl
128525
7l
25 - P5
165
-45 Pl
128525
3
8l
25 - P5
163
45 - Pl
128515
9l
25 P5
163
45 Pl
128515
10l
25 - P5
163
-45 Pl
128515
11l
25 P5
163
45 Pl
128515
12l
25 - P5
163
-45 Pl
128515
13 l- P
85 -
21 Pl
165
14 l- P
43 -1 Pl
43
15 l- P
83 -
21 pl
163
=∑=
ii
ii lNN15
1
1 Pl16
51540 +
3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
v = ∑=
15
1
11i
iii lNNEA
=EAPl
EAPl 60,4
1651540
≅⋅+
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jestzgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 2).
II. Wyznaczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od poziomej siły 1=P , przyłożonej w węźle D.
Rys. 3. Schemat statyczny
4
Wyznaczamy reakcje podpór
410410 111 =→=⋅+⋅−→=∑ BBA RlRlM
4100 1111 =→=+−→=∑ ABAiy VRVP
1010 111 =→=+−→=∑ AAix HHP
Wyznaczone wartości sił 1iN w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w
tablicy 2 (kolumna 4). Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego są takie same jak w tablicy1 (kolumna 3)
Tabela 2. Zestawienie wartości sił iN oraz 1iN i wyrażeń iii lNN 1 oraz ich sumy.
(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)
Pręt li [m] Ni [N] 1iN iii lNN 1 [Nm]
1 l P165
87 Pl
12835
2 l P1615
85 Pl
12875
3 l P169
83 Pl
12827
4 l P163
81 Pl
1283
5l
25 - P5
165
85 - Pl
256525
6l
25 P5
165
-85 - Pl
256525
7l
25 - P5
165
85 - Pl
256525
8l
25 - P5
163
-85 Pl
256515
9l
25 P5
163
85 Pl
256515
10l
25 - P5
163
-85 Pl
256515
11l
25 P5
163
85 Pl
256515
12l
25 - P5
163
-85 Pl
256515
13 l - P85
41 - Pl
325
5
14 l- P
43
21 - Pl
83
15 l- P
83
43 - Pl
329
=∑=
ii
ii lNN15
1
1 Pl329
2. Obliczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
u = ∑=
15
1
11i
iii lNNEA
=EAPl
EAPl 28,0
329
≅⋅
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jestzgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 3).
Top Related