PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW -...

2017-10-20

1

Człowiek- najlepsza inwestycja

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓWSEMESTR V

Dostosowanie narzędzi matematycznych

do potrzeb praktycznej analizy sygnałów

2017-10-20

2

Podstawowe operacje na sygnale,poprzedzające przetwarzanie cyfrowe

Filtracja dolnoprzepustowa

- wymóg tw. o próbkowaniu

Próbkowanie Konwersja A/C

Rozważania analityczne – przekształcenie Fouriera - w przedzialenieskończonym. Sygnały są ciągłe (na ogół) i mogą istnieć dla wszystkich t(także dla ujemnych).

W praktyce – rejestrowane sygnały są przyczynowe (istnieją dla t>0), zebranepróbki reprezentują skończony (ograniczony w czasie) fragment sygnału, (który w

ogólności może istnieć dłużej – zarówno przed rozpoczęciem jak i po zakończeniu procesu próbkowania).

Oznacza to że symetryczne okno prostokątne z rozważań analitycznych zostaje

przesunięte do początku układu f(t-t0) exp(-jt0)F()

Ograniczony sygnał - wprowadzenie ograniczeń czasowych pod całkę Fouriera– widmo chwilowe :

t)dt(-jf(t) = )t,F(+t

t

exp0

0

0

Narzędzia analityczne a uwarunkowania praktycznej analizy sygnałów I

2017-10-20

3

Widmo chwilowe

Wprowadzenie ograniczeń czasowych pod całkę Fouriera jest równoznaczne zprzemnożeniem poddawanej analizie funkcji f(t) przez funkcję g(t), różną odzera w przedziale <t0,t0+τ> i równą zeru poza tym przedziałem, np. oknoprostokątne:

t)dt(-jf(t)g(t) = )t,F(-

exp0

oznacza to, że wyznaczamy TF nie funkcji f(t), ale iloczynu f(t)g(t) F(ω)*G(ω).Wyznaczone w ten sposób widmo będzie mieć właściwości określone przezoperacje splotu i właściwości obu widm, a więc także przez właściwości funkcjig(t), zwanej często oknem lub funkcją granic.

Narzędzia analityczne a uwarunkowania praktycznej analizy sygnałów II

Narzędzia analityczne a uwarunkowania praktycznejanalizy sygnałów III

Przetwarzanie cyfrowe – reprezentacja dyskretna zarówno wdziedzinie czasu, jak i częstotliwości

Sygnały przetwarzane są po operacji próbkowania – ich widma sąokresowe!

Widma sygnałów są wyznaczane dla ograniczonego zbioru punktówna osi częstotliwości, a sygnały mają ograniczony czas trwania – SFczy TF?? Modyfikacje obu metod.

(inne problemy – np. wpływ kwantyzacji i skończona długość słowa)

2017-10-20

4

Przekształcenie Fouriera

sygnału spróbkowanego

i

szereg Fouriera

dla sygnałów dyskretnych

Przekształcenie Fouriera sygnału spróbkowanego

Sygnał spróbkowany (∆t – okres próbkowania):

)exp()()exp()()}({ tnjtnftdttjtftfFn

ss

nn

s tntftnttftf )()()()(

Przekształcenie (met. prostokątów):

)exp()()}({ tnjtnfttfFn

s

Jak wynika z twierdzenia o próbkowaniu, TF sygnału spróbkowanego jest okresowa

2017-10-20

5

Przekształcenie Fouriera sygnału spróbkowanego

Stosowany jest także zapis

gdzie: Ω=ω∆t=ω/fs=2πf/fs fs =1/∆t – częstotliwość próbkowania,f(n) – kolejne próbki sygnału

Zapis ten uwypukla okresowość transformaty ze względu na Ω zokresem 2π!!!

)exp()()exp()()(

jnnftjntnfteFnn

j

Przekształcenie:

Konwencje zapisu: F(ω) – TF sygnału ciągłego, F(ejΩ), F(ejω) – TF sygnału spróbkowanego

)exp()()}({ tnjtnfttfFn

s

Przekształcenie odwrotne:

Odwrotne przekształcenie Fouriera sygnału spróbkowanego

djmeFtmf j )exp()(2

1)(

gdzie: Ω=ω∆t=ω/fs=2πf/fs fs =1/∆t – częstotliwość próbkowania,∆t – okres próbkowania.

2017-10-20

6

Szereg Fouriera dla sygnałów dyskretnych(czyli Dyskretna Transformacja Fouriera DTF)

Dysponujemy N próbkami sygnału f(n), n=0, 1, ...N-1, okres próbkowania Δt,czas trwania sygnału wynosi T=NΔt. granice sumowania w równaniu TF stająsię skończone:

)exp()()(

jnnfteFn

j )exp()()(1

0

jnnfteFN

n

j

Ω=ω∆t=ω/fs=2πf/fs

Zazwyczaj wyznacza się skończoną liczbę wartości Fk, dla Ωk=2πk/N, k=0, 1,...N-1

Często współczynniki zapisuje się normalizując je do Δt:

)/2exp()()(1

0

/2 NknjnfteFFN

n

Nkjk

)/2exp()(/1

0

NknjnftFN

nk


Dysponujemy N próbkami sygnału f(n), n=0, 1, ...N-1, okres próbkowania Δt,czas trwania sygnału wynosi T=NΔt. Zazwyczaj wyznacza się skończonąliczbę wartości Fk, dla Ωk=2πk/N:

Często współczynniki zapisuje się normalizując je do Δt:

)/2exp()(1

0

NknjnftFN

nk

)/2exp()(/1

0

NknjnftFN

nk

Przekształcenie odwrotne

1

0

)2

exp()(N

kk

N

knjFnf

2017-10-20

7

Najczęściej stosowana jest notacja:

gdzie xn- ciąg próbek sygnału, Xk – ciąg wartości DTF (współczynników SF),

k,n=0, 1, 2...., N-1,

wprowadza się także oznaczenie czynnika exp(j2π/N) przez WN – nosi on nazwęczynnika rotującego

1

0

)2

exp(N

nnk

N

nkjxX

1

0

)2

exp(1 N

kkn

N

knjX

Nx

1

0

1

0

)2

exp(N

n

knNn

N

nnk Wx

N

nkjxX

)2

exp(N

jWN


Szereg Fouriera dla sygnałów dyskretnych

N

nkjtn

tNjktn

Tjktjk

2220

gdzie: N liczba próbek x(n), okres sygnału T, okres próbkowania Δt=1/fs,N=T/Δt, ω0=2π/T=2π/(NΔt), f0=1/T, momenty położeń próbek t=nΔt. Wpowyższej formule „znika” zarówno wartość częstotliwości próbkowania,jak i czasu, pozostają tylko indeksy próbek sygnału i wartości DTF.

Wynik analizy widmowej sygnałów dyskretnych określa relacjęczęstotliwości danej składowej sygnału do częstotliwości próbkowania. Wcelu określenia fizycznej wartości tej częstoltiwości niezbędna jestznajomość wartości częstotliwości próbkowania.

argument funkcji wykładniczej z TF czasu ciągłego

przyjmuje w wyrażeniu opisującym współczynniki rozwinięcia następującą postać:

2/

2/

0 )exp()(1

T

T

k dttjktfT

F

2017-10-20

8

1.Liniowość

2.Okresowość z okresem N

3. Symetria dla rzeczywistych wartości xn Xk=X*N-k

4.DTF iloczynu dwóch ciągów próbek – splot DFT tych ciągów

Splot dwóch ciągów zn=xn*yn

5.DTF splotu ciągów – iloczyn DTF tych ciągów

1

0

*N

kknknnn yxyxz

1

0

)2

exp(N

nnk

N

nkjxX

Właściwości DTF I

6.Przesunięcie ciągu o n0 próbek: x(n-n0) Xkexp(-j2πkn0/N)

7.Rozdzielczość częstotliwościowa (odległość między wartościami DTF):

wartości DTF wyznaczane są w punktach fk

odpowiadającym rzeczywistym wartościom f

odstęp między kolejnymi wartościami wynosi 1/N

odpowiada pewnej różnicy częstotliwości

Odstęp czasowy między kolejnymi próbkami wynosi 1/fs (fs - częstotliwość

próbkowania), ciąg N próbek poddawany DTF odpowiada czasowi T=N/fs, a więc

rozdzielczość częstotliwościowa jest odwrotnie proporcjonalna do T: Δf=fs/N=1/T;

iloczyn rozdzielczości częstotliwościowej i czasu trwania sygnału jest stały TΔf=1!

Nf

Nff skk

111

1

0

)2

exp(N

nnk

N

nkjxX

N

kf

N

kf sk

Właściwości DTF II

2017-10-20

9

Sygnał ciągły skończony

TF - ciągła, nieokresowa

Sygnał ciągły okresowy

SF - dyskretny, nieokresowy

Sygnał dyskretny (próbkowany) nieskończony

transformata - ciągła, okresowa

Sygnał dyskretny (próbkowany) skończony (okresowy)

dyskretny szereg Fouriera DFT -dyskretny, okresowy

Szeregi i przekształcenia Fouriera - podsumowanie

T

|)(F| = )(

2T

T

lim

Φ(ω) = |F(ω)|2/T

s

kkk

fN

X

T

XG

/

|||| 22

N

kf

N

kf sk

gdzie Xk to wartości transformaty Fouriera dla częstotliwości fk

Sygnały czasu ciągłego

Uwarunkowania praktyczne:(ograniczony rekord danych)

Sygnały spróbkowane/dyskretne xn, n=0, 1, ...N-1

wartości Gk określone dlak=0, 1, ... N-1

Widmowa gęstość mocy sygnałów dyskretnych

Najczęściej wykorzystywana w analizie widmowej wielkość -widmowa gęstość mocy WGM

2017-10-20

10

N

kf

N

kf sk

Sygnały spróbkowane/dyskretne

wartości Gk określone dla


)/2exp()(1

0

NknjnxtXN

nk

gdzie Xk jest określone następująco

Zastosowanie powyższej formuły wyznaczania Xk jest istotne z punktu widzeniapomiarów fizycznych, prawidłowego skalowania i poprawności jednostek WGM

s

kkk

fN

X

T

XG

/

|||| 22

s

N

n

N

n

s

kk

Nf

Nknjnx

tN

Nknjnxt

fN

XG

21

0

21

02 |)/2exp()(||)/2exp()(|

/

||

Jednostki mocy i WGM wywodzą się z elektrotechniki, sygnał x(t) jesttraktowany jako napięcie (natężenie prądu), analizujemy moc wydzielaną wjednostkowym oporze, czyli wielkość proporcjonalną do x2(t). Jednostkąmocy jest 1 Wat (1W), jednostką widmowej gęstości mocy 1W/Hz, czyli mocprzypadająca na jednostkowe pasmo częstotliwościowe.

Wyznaczenie mocy sygnału w pewnym pasmie sprowadza się dowyznaczenia całki z przebiegu WGM w tym pasmie.


21

0

2

|)/2exp()(|1

/

||Nknjnx

NffN

XG

N

nss

kk

2017-10-20

11


WGM jest wielkością rzeczywistą. Ze względu na symetrię wartości Xk dlarzeczywistych wartości xn mamy symetrię Gk względem N/2: Gk=GN-k

Z tego względu wystarcza przedstawienie Gk w zakresie k=0,1,...N/2-1, któryodpowiada zakresowi 0-0.5fs. Oprogramowanie/analizatory widma prezentująwidmową gęstość mocy w takim przedziale, pomnożoną 2x (zapewnia tozachowanie właściwości energetycznych). Jest to tzw. jednostronna widmowagęstość mocy:

21

0

2

|)/2exp()(|1

/

||Nknjnx

NffN

XG

N

nss

kk

s

kk

fN

XG

/

||2 2

Widmowa gęstość mocy jest wielkością parzystą i wystarczy przedstawić ją wprzedziale w zakresie k=0,1,...N/2-1, który odpowiada przedziałowi 0-0.5fs (0-ωo/2).

Systemy (programy) naukowe/komercyjne do analizy sygnałów przedstawiają w taki właśnie sposób WGM, często podając przedział jako 0-1/2 lub 0-. Wynika to ze wspomnianej parzystości i okresowości przekształceń fourierowskich dla sygnałów czasu dyskretnego (spróbkowanych).Rysunek poniżej przedstawia kwadrat modułu TF spróbkowanego z pulsacją ωo

sygnału cosinusoidalnego o pulsacji Ω. ωo odpowiada 2. WGM przedstawiona jest wyłącznie w zakresie zaznaczonym czerwonym prostokątem (0-ωo/2, 0-).

s

kk

fN

XG

/

||2 2

21

0

2

|)/2exp()(|1

/

||Nknjnx

NffN

XG

N

nss

kk


2017-10-20

12

1. Zebrać ciąg próbek sygnału xn, n=0, 1,...N-1

2. Ew. zastosować funkcję granic wn: xnwn, n=0, 1,...N-1

(ew. uzupełnić ciąg zerami – NFFT próbek)

3. Wyznaczyć DTF Xk ciągu xnwn, n=0, 1,...N-1, k=0, 1, ... N-1

(ew. ciągu uzupełnionego zerami – NFFT próbek)

4. Wyznaczyć kwadraty modułów DTF dla k=0,1, .. N/2-1

5. Wyznaczyć WGM

21

0

|)2

exp(|2

N

nnn

s

kN

nkjxw

NfG

Widmowa gęstość mocy – procedura obliczania

Dyskretna analiza widmowa

przeciek widma

funkcje granic

zero padding

2017-10-20

13

1000*cos(2*pi*1.05*(t-1)/64)+10*cos(2*pi*(t-1)/4);

Analiza widmowa – przeciek widma

t=1:1280;

DTF dla N=64 (na rysunku - pierwiastek kwadratowy modułu DTF)

Niewielka zmiana relacji f/fs w sposób drastyczny zmieniła wynik analizywidmowej – widmo sygnału sinusoidalnego o słabszej amplitudzie przestało byćwidoczne, pojawiło się wiele prążków nie posiadających interpretacji fizycznej.

1000*cos(2*pi*1*(t-1)/64)+10* cos(2*pi*(t-1)/4);

f(t)=1000*cos(2*pi*1.05*(t-1)/64)+10*cos(2*pi*(t-1)/64);

t=1:1280;

DTF dla N=64 (na rysunku przedstawiony jest pierwiastekkwadratowy modułu DTF)

Mimo że w sygnale występują tylko dwie składowe –widmo sygnału sinusoidalnego o słabszej amplitudzienie jest widoczne, występuje natomiast wiele prążkównie posiadających interpretacji fizycznej.


Ze względu na inherentną obecność okna prostokątnego wynik przekształceniajest splotem transformaty nieograniczonego w czasie sygnału x oraz transformatytego okna. Efekt – tzw. przeciek widma i jego konsekwencje w postaci maskowaniaskładowych o niskich amplitudach.

2017-10-20

14

Moduł TF okna prostokątnego posiada listki boczne!

Stosunek modułów listka pierwszego i głównego – 2/3π=0.21

Listki boczne - przyczyna przecieku widma!

)2

(sin)(T

cATF


Sygnał prostokątny o czasie trwania T rect(T):

Zakładamy, że DTF poddany została pewna liczba próbeksygnału cosinusoidalnego.

A.

Częstotliwość sygnału wynosi f=kfs/N i maksimum DTF(która ma obwiednię sinc(ωT/2) wypada w tym punkcie.Dla pozostałych fk (określonych powyżej), wartości DTFsą równe zeru, ponieważ kolejne miejsca zerowe funkcjisinc są odległe od maksimum właśnie o fs/N, czyli trafiajądokładnie w punkty na osi częstotliwości, dla którychwyznaczamy wartości DTF.

N

kf

N

kf sk

B.

Częstotliwość sygnału jest różna od f=kfs/N i maksimumDTF (która ma obwiednię sinc(ωT/2) wypada w międzypunktami, dla których obliczane są wartości DTF. Wkonsekwencji dla pozostałych fk wartości DTF przybierająsię różne od zera.

)2

(sin)(T

cATF

T=N/fs, 1/T=fs/N


2017-10-20

15

)2

cos(2

1

2

1)(cos)( 2

T

t

T

ttw

)(cos)( 2

T

ttw

Analiza widmowa – funkcje granic

Okno Hanna:

t (-T/2, T/2)

Konstrukcja okna Hanna:

TF okna Hanna jest sumą transformat okna prostokątnego o amplitudzie ½ oraztakiego samego okna pomnożonego przez funkcję cos(0t), 0=2π/T –

wykorzystujemy tw. o modulacji lub tw. o transformacie iloczynu funkcji:

Transformata Fouriera okna Hanna )2

cos(2

1

2

1)(cos)( 2

T

t

T

ttw

0=2/ T

kolor granatowy– TF oknaprostokątnego oamplitudzie 1

)2/)((sin4

)2/)((sin4

)2/(sin2

)}2

cos(2

1

2

1{)}({ 00 Tc

TTc

TTc

T

T

tFtwF


2017-10-20

16

t=1:1280;

f(t)=1000*cos(2*pi*1.05*(t-1)/64)+10*sin(2*pi*(t-1)/64);

N=64, (na rysunku przedstawiony jest

pierwiastek kwadratowy modułu DTF)

okno prostokątne okno Hanna


Liczba próbek sygnału n = 32długość ciągu poddawanego DTF 32 próbki

Analiza widmowa – uzupełnianie ciągu próbek sygnału zerami („zero padding”)

2 4 6 8 10 12 14 16

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 40 60 80 100 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Przykład

t=[1:1:1000];

x=cos(2*pi*150*(t-1)/1280)+ cos(2*pi*105*(t-1)/1280);

częstotliwości 105 i 155, próbkowanie 1280Hz

Liczba próbek sygnału n = 32

długość ciągu poddawanego DTF 256 <=> 32 próbki +224 zera

2017-10-20

17

Odtwarzanie sygnału z próbek

Sygnał wyjściowy przetwornika C/A jest sumą (sekwencją) „schodków”wynikających z podtrzymania przez okres próbkowania wyników konwersji C/A.

Odtwarzanie sygnału z próbek

)2/(*)()( sss TtrectnTxtx

Sygnał schodkowy na wyjściu konwertera C/A- splot próbek sygnału dyskretnego (delty wpunktach nTs !!) z impulsem prostokątnym oczasie trwania Ts, przesuniętym o Ts/2:

widmo sygnału schodkowego – iloczynodp. widm

)2/exp()2/(sin)()( ssss TjTcTXX

n

sa

s

s nXT

X )(1

)(

n

sass nXTjTcX )()2/exp()2/(sin)(

widmo sygnału spróbkowanego (dyskretnego)

widmo sygnału schodkowego:

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW -...

Documents

Transcript of PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW -...