1

Pracownia Fizyczna i Elektroniczna 2017

http://pe.fuw.edu.pl/

Wojciech DOMINIK

Urządzenie

pomiarowe

interfejs

komputer interfejs regulator

Urządzenie

wykonawcze

detektor Zjawisko

przyrodnicze

Struktura układu doświadczalnego Struktura układu doświadczalnego

EKSPERYMENT ELEKTRONICZNY

2

I

dt

dQI

Prąd elektryczny w obwodach; przypomnienie podstawowych pojęć i praw

Natężenie prądu (prąd - I): ilość ładunku dQ przepływająca przez przewodnik w jednostce czasu dt

Napięcie elektryczne (U):

spadek potencjału na części obwodu elektrycznego nie zawierającej źródeł prądu

Prąd: uporządkowany ruch ładunków elektrycznych

3

E I

U1=IR1

U2=IR2

U3=IR3

R1

R2

R3

Prawo Ohma: U = I * R

EIRi

i

0i

iI

I1

I2

I3

I4

I5

I I I I I1 2 3 4 5

Pierwsze prawo Kirchhoffa:

dla dowolnego węzła sieci elektrycznej

Współczynnik proporcjonalności R między napięciem i natężeniem:

Siła elektromotoryczna E : napięcie na odcinku obwodu zawierającego źródło prądu,

a nie zawierającego rezystancji

Drugie prawo Kichhoffa:

dla obwodu zamkniętego

opór lub rezystancja

E=Uwe

Uwy

R1

R2 U UR

R Rwy we

2

1 2

dzielnik napięcia - podstawowy obwód elektryczny

Działanie większości obwodów elektrycznych można opisać jako układ jednego

lub kilku dzielników napięcia +

Wzmacniacz tranzystorowy o wspólnym emiterze

4

I I2R2

R1

I1

IGG

GI

21

1

1

I

GG

GI

21

2

2

1

1

1

RG

2

2

1

RG

gdzie:

Analogicznym układem elektrycznym jest dzielnik prądowy

Prądy w poszczególnych gałęziach wynoszą:

oznaczają przewodności gałęzi obwodu

Teoria obwodów rozważa dwa rodzaje idealnych źródeł energii elektrycznej:

E I

Źródło prądowe: Prąd wyjściowy I nie zależy od napięcia na zaciskach

Źródło napięciowe: Napięcie E na zaciskach (siła elektromotoryczna) nie zależy od natężenia prądu wyjściowego

E I

Rwy

Rwy Uwy

Imax=E/Rwy Uwy=IRwy

Każde rzeczywiste źródło energii elektrycznej może być przedstawione jako:

- źródło napięciowe i szeregowa rezystancja wewnętrzna

lub

- źródło prądowe i bocznikująca je rezystancja wewnętrzna

5

Zasada Thevenina:

Każdą sieć elektryczną można przedstawić w postaci obwodu zastępczego

składającego się ze źródła napięciowego i szeregowej rezystancji wewnętrznej

Zasada Nortona:

Każdą sieć elektryczną można przedstawić w postaci obwodu zastępczego

składającego się ze źródła prądowego zbocznikowanego rezystancją wewnętrzną

Znajomość rezystancji (impedancji) wewnętrznych układów elektrycznych

oraz parametrów ich źródeł jest podstawą świadomego posługiwania się

urządzeniami elektrycznymi

E=Uwe

Uwy

R1

R2

U UR

R Rwy we

2

1 2

wyUE

21

21

RR

RRRwy

6

Natężenie prądu (prąd): dt

dQI

W każdym punkcie obwodu elektrycznego natężenie prądu ma jednakową wartość

E I

U 1 =IR 1

U 2 =IR 2

U 3 =IR 3

R 1

R 2

R 3

u(t)

R

L

C

~

)(ti

)(ti

)(ti

Prawa Kirchhoffa podstawą analizy obwodu !!!

Charakterystyki prądowo napięciowe elementów i ich konfiguracja decydują o charakterystyce obwodu

opór R: )()( tiRtuR

dt

tdiLtuL

)()(

dttiCC

tqtuC )(

1)()(

opór (R)

Bierne elementy elektroniczne to:

)(: tfi

indukcyjność (L)

pojemność (C)

Układy złożone z elementów biernych

Uogólnienie prawa Ohma dla prądów zmiennych: napięcie u(t) jest funkcją prądu i(t)

indukcyjność L:

pojemność C:

Prawa Kirchhoffa obowiązują !!!

Rezystancja R Impedancja Z

7

u(t)

R

L

C

~

)(ti

)(ti

)(ti

C

dtti

dt

tdiLtRitu

)()()()(

)()()()( tutututu CLR

Obwód szeregowy RLC

u(t): źródło napięciowe

o zmiennej sile

elektromotorycznej

Drugie prawo Kichhoffa:

równanie ruchu ładunku elektrycznego

i

iUE

U0 – zespolona amplituda napięcia

C

dtti

dt

tdiLtRitu

)()()()(

CjLjRZ

I

U

o

10

CjZC

1

opór: RZR

LjZL

tjeUtu 0)(

tjeIti 0)(

2 1j

E(t) =Re [u(t)]

I0 – zespolona amplituda natężenia

u(t)

R

L

C

~

)(ti

)(ti

)(ti

Obwód szeregowy RLC – napięcie zmienne harmonicznie:

- częstość kołowa

natężenie prądu:

Podstawiając wyrażenia na i(t) i u(t) otrzymujemy:

Impedancja jest wielkością zespoloną

Z jest impedancją obwodu indukcyjność:

pojemność:

Składowe impedancji Z :

Postać algebraiczna impedancji zastępczej obwodu złożonego zależy od kształtu obwodu !!!

8

nZ ZZZZ

1...

111

21

nZ ZZZZ ....21

Z

Im(Z)

Re(Z)

)(tgRe(Z)

Im(Z)

Szeregowe połączenie impedancji:

Równoległe połączenie impedancji:

Rezystancja: część rzeczywista impedancji Re(Z)

Reaktancja: część urojona impedancji Im(Z)

Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej:

tangens kąta przesunięcia fazowego między napięciem i natężeniem prądu

Z praw Ohma i Kirchhoffa wynikają prawa szeregowego i równoległego łączenia oporów, które pozwalają obliczać rezystancje zastępcze Rz

R 1 R 2 R 3 R n

R 1 R n R 2

nZ RRRR ......21 1 1 1 1

1 2R R R Rz n

......

Źródło napięciowe u(t) o zmiennej sile elektromotorycznej:

u(t)=uR(t)+uC(t)

C

dttitRitu

)()()(

R

tuti R )()(

RC

dttututu R

R

)(

)()(

dt

tutudRCtu R

R

)]()([)(

dt

tudRCtutu C

C

)]([)()( dttutu

RCtu CC )]()([

1)(

dttuRC

tuC )(1

)(dla uC(t) << u(t)

dt

tudRCtuR

)]([)( dla uR(t) << u(t)

uC(t)= u(t)- uR(t)

Szeregowy obwód RC

Równanie ruchu ładunku elektrycznego:

Prąd w obwodzie:

Po podstawieniu do równania ruchu:

Napięcie na oporze R:

Napięcie na oporze jest zróżniczkowanym napięciem na kondensatorze !

Napięcie na pojemności C:

Napięcie na pojemności C jest scałkowanym napięciem na oporniku !

9

)()( tutu Cwy

dttiC

tuwy )(1

)(

R

tututi

wywe )()()(

dttutuRC

tu wywewy )()(1

)(

po podstawieniu:

gdy uwy<<uwe :

prąd płynący w obwodzie

dttuRC

tu wewy )(1

)(

Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)

Napięcie wyjściowe:

tjwewe eUtu )(

Z

Ztutu Cwe

wy

)()(

CjR

Cj

tu

tu

we

wy

1

1

)(

)(

obszar

„dobrego

całkowania”

10 100 1000 10000 100000 0,01

0,1

1

Uwy/Uwe

Częstość [Hz]

...7.02

1

g

pasmo transmisji

10 100 1000 10000 100000

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

[rad]

Częstość [Hz] g

--/4

1

1222

CRU

U

we

wy

Transmitancja:

)arctan( RC

RCgg

112

2

1

we

wy

U

U

4

Dla częstości granicznej:

Z

ZZ

Z

tgC

C

Re

Im

RC

1

Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)

Dla sygnału harmonicznego:

Stosunek napięć :

Przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym a wejściowym:

Pasmo transmisji filtra dolnoprzepustowego w

skali częstości: od 0 dog

dzielnik napięcia !!!

10

Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy)

)()( tutu Rwy

)()()( tutudt

dC

dt

dqti wywe

po podstawieniu:

)()()( tutudt

dRCtu wywewy

gdy uwy<< uwe )()( tudt

dRCtu wewy

Napięcie wyjściowe:

prąd płynący w obwodzie

)()( tiRtuwy

tjwewe eUtu )(

Z

Rtutu we

wy

)()(

10 100 1000 10000 100000 0,01

0,1

1

Uwy/Uwe

Częstość [Hz] g

1

2

pasmo transmisji

obszar

„dobrego

różniczkowania”

Uwy<<Uwe

10 100 1000 10000 100000

0,0

0,5

1,0

1,5

[rad]

4

Częstość [Hz] g

CjR

R

tu

tu

we

wy

1)(

)(

12

RC

RC

U

U

we

wy

1arctan

RC

Transmitancja:

RCgg

112

2

1

we

wy

U

U

4

Z

RZ

R

tg

Re

Im

RC

1

Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy) c.d.

Dla sygnału harmonicznego:

Stosunek napięć:

przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym i wejściowym:

Pasmo transmisji filtra górnoprzepustowego

w skali częstości od g do ∞

Dla częstości granicznej:

dzielnik napięcia !!!

11

Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy)

Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych

Układ całkujący jest wykorzystywany do:

filtracji sygnałów

kształtowania sygnałów

uśredniania sygnałów – np. w celu eliminacji zakłóceń

Obwód różniczkujący (filtr górno-przepustowy)

Układ różniczkujący wykorzystywany jest do:

filtracji sygnałów

kształtowania sygnałów,

eliminacji składowej stałej,

wykrywania zboczy itd.

Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych

12

Z drugiego prawa Kirchhoffa:

C

dtti

dt

tdiLtRitu

)()()()(

u(t)=uR(t)+uL(t)+uC(t)

Równanie ruchu ładunku elektrycznego:

Źródło napięciowe u(t) o zmiennej sile

elektromotorycznej E(t)=Re [u(t)]

CjLjRZ

I

U

o

10 impedancja

Szeregowy obwód RLC

tjeUtu 0)(jeśli

tjeIti 0)(

CjLjR

tuCj

tuwe

C

1

)(1

)(

CjLjR

tuLjtu we

L

1

)()(

CjLjR

tuRtutu we

Rwy

1

)()()(

znika łączna impedancja elementów reaktancyjnych impedancja obwodu = R

napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne

W rezonansie amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą

przekroczyć amplitudę napięcia wejściowego !!!

tUtuwe sin)( 0

Szeregowy układ RLC:

napięciowe źródło sygnału harmonicznego

częstość

amplituda Uo

Z zasady dzielnika napięcia:

C

L

R

UU

C

0C

L

R

UUL

00UUR

Im(Z) = 0 LC

10 Dla częstości rezonansowej

amplituda napięcia wyjściowego osiąga wartość największą amplitudy napięć na elementach obwodu mają wartości:

Obwód rezonansowy szeregowy - częstość rezonansowa

13

C

L

RU

U

U

UQ CL 1

00

P

E

TRI

LI

TR

Lj

U

UQ LL 2

)(

)(22

021

202

10

0

Wielkość: dobroć obwodu

Ogólna definicja:

Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie rezonansowym (EL)

do mocy traconej (P ) w ciągu jednego okresu drgań (T ) przy częstości rezonansowej

Inna postać wyrażenia na dobroć:

Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o wysokiej

dobroci i wywołane przez nie „podbijanie” napięcia jest wykorzystywane do filtracji i

transformowania sygnałów o określonej częstości

DOBROĆ OBWODU

amplitudy dla częstości rezonansowej !!!

tjwewe eUtu )(

CjLjR

tRututu we

Rwy

1

)()()(

L = 2 mH, C = 1 nF

R=300

10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,

0

częstość [Hz]

UWY/UWE

g1 g2

2

1

Przesunięcie fazowe między napięciem wyjściowym i wejściowym:

2

2 1)(

)(

CLR

R

Z

R

U

U

tu

tu

we

wy

we

wy

Z

RZ

R

tg

Re

Im

RC

LC

21arctan

LC

10

103 10

4 10

5 10

6 10

7

częstość [Hz]

faza [rad]

g1 g2

-/4

/4

R=300

-π/2

π/2

0.0

L=2 mH, C=1 nF

Filtr rezonansowy szeregowy

napięcie wyjściowe := napięcie na oporniku

LC

10

Transmitancja obwodu: Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego:

Sygnał wejściowy harmoniczny, częstość

Dzielnik napięcia !!!

14

2

1

we

wy

U

U

4

10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,

0

częstość [Hz]

UWY/UWE L = 2 mH, C = 1 nF

R=50

R=300

g1 g2

2

1

103 10

4 10

5 10

6 10

7

częstość [Hz]

faza [rad]

g1 g2

-/4

/4

R=300

-π/2

π/2

0

R=50

LC

10

01

C

L

RQDobroć:

Filtr rezonansowy szeregowy c.d.

Dla częstości granicznych:

LC

10

Pasmo przenoszenia zlokalizowane jest w okolicach częstości rezonansu:

Pasmo przenoszenia filtru rozciąga się od g1 do g2 - częstości graniczne

Opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne

Rzeczywiste konstrukcje - opornik, cewka czy kondensator

zawierają wielkości pasożytnicze (z indeksem p)

Przy pewnych częstościach sygnału wielkości pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności elementu

Każdy rzeczywisty bierny element elektroniczny jest złożonym układem impedancji

15

ck

kabel

źródło miernik (oscyloskop)

Rwy

cm

źródło miernik (oscyloskop)

Cs

Rwe

W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej pasożytnicze obwody RLC mogą zniekształcać sygnały

Przykład 1 Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym

obwód całkujący: ograniczenie od góry pasma przenoszenia obwodu pomiarowego do częstości 1/(2RwyC).

obwód różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe

Przykład 2 Sprzężenie typu AC.

Przykład 3 Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu

równoważny pojemności, która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy powodujący różniczkowanie sygnałów wejściowych.

16

1

1

1

1

)()(

LjCjR

LjCj

tutuwy

LC

10

u-wy

u-we

1kHz

L

R

C

1kHz

L

R

C

11

)()(

LjCjR

Rtutuwy

LC

10

filtr pasmowy zaporowy

Filtr rezonansowy równoległy

Dla częstości rezonansowej napięcie wyjściowe osiąga wartość największą

Dla częstości rezonansowej napięcie wyjściowe osiąga wartość najmniejszą