praca mgr (pdf)

Spis treści

1 Wprowadzenie 2

2 Podstawowe przestrzenie funkcyjne 142.1 Przestrzenie Lp(a, b) i L∞(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Przestrzenie Lp(a, b)× Lp(a, b) i L∞(a, b)× L∞(a, b) . . . . . . . . . . . . . 272.3 Funkcje absolutnie ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Przestrzenie Soboleva 343.1 Przestrzenie W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Słaba zbieżność w przestrzeniach W 1,p [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 (∗)-słaba zbieżność w przestrzeni W 1,∞ [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Lematy o zanurzaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Minimalizacja funkcjonałów całkowych w przestrzeniach Soboleva 494.1 Podstawowe twierdzenia o minimalizacji funkcjonałów całkowych . . . . . . 504.2 Dowody twierdzeń 4.1 i 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Dowód twierdzenia 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Dowód twierdzenia 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Dowód twierdzenia 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Dowód twierdzenia 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7 Dowód twierdzenia 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8 Dowód twierdzenia 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.9 Dowód twierdzenia 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.10 Dowód twierdzenia 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Rozdział 1

Wprowadzenie

Funkcje f: X → R z przestrzeni rzeczywistej Banacha (X, ‖·‖) do prostej rzeczywistejR nazywać będziemy funkcjonałami.Będziemy mówili, że funkcjonał f: X → R ma minimum (osiąga minimum), jeśli istniejetaki punkt u ∈ X, że

f(u) = inf f(v) : v ∈ X (1.1)

Liczbę f(u) = inf f(v) : v ∈ X nazywać będziemy minimum funkcjonału f (·), a punktu ∈ X spełniający warunek (1.1) nazywać będziemy punktem minimum funkcjonału f (·).W pracy tej będziemy przyjmować, że (X, ‖·‖) jest pewną przestrzenią funkcyjną.

Problem minimalizacji dowolnego funkcjonału f : X → R sprowadza się do trzechzasadniczych pytań:

(M)

1. Czy istnieje minimum funkcjonału f (·) ?2. Jakie są własności funkcji u ∈ X spełniającej warunek (1.1)?3. Czy funkcja u ∈ X spełniająca warunek (1.1) jest wyznaczona jednoznacznie?

Odnotujmy, że zastosowaniom problemu minimalizacji do równań różniczkowych poś-więconych jest wiele pozycji1.Dla zilustrowania pewnych zastosowań problemu minimalizacji funkcjonałów przytoczy-my poniżej dwa przykłady.

Jedną z własności spektralnych operatora Laplace’a w odpowiednim obszarze Ω ⊂ Rk

można sformułować następująco2.

Najmniejszą dodatnią wartością własną zagadnienia Dirichleta dla operatoraLaplace’a

(D)

∆u (x) + λu (x) = 0 , x ∈ Ωu (x) = 0 , x ∈ ∂Ωu ∈ C2 (Ω)

1Porównaj książki: J. Mawhin, Metody wariacyjne dla nieliniowych problemów Dirichleta orazJ. Mawhin, M. Willem, Critical Point Theory and Hamiltonian Systems.

2D. Gilbarg, N. Trudinger, Ellipticeskie differencialnye uravnenija s castnymi proizvodnymi vtorogoporiadka.

Rozdział 1. Wprowadzenie 3

jest liczba rzeczywista µ0 > 0, a przestrzeń własna odpowiadająca wartoś-ci własnej µ0 jest przestrzenią jednowymiarową, generowaną przez funkcjęu0 ∈ C2 (Ω) taką, że u0(x) > 0 dla x ∈ Ω.

Metoda dowodu powyższej własności polega na stowarzyszeniu z zagadnieniem (D)takiego funkcjonału f : X → R (w odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej X), że liczbaµ0 = inf f(v) : v ∈ X jest najmniejszą wartością własną zagadnienia (D) oraz istnie-je funkcja u0 ∈ X taka, że f(u0) = µ0 i u0(x) > 0 dla x ∈ Ω (porównaj pytania 1 i2 zagadnienia minimalizacji). Korzystając z odpowiedniego twierdzenia o regularnościrozwiązań zagadnienia Dirichleta zauważa się, że u0 ∈ C2 (Ω).Podamy przykład takiego funkcjonału w przypadku jednowymiarowego operatora Lapla-ce’a.Stwierdzenie A.Niech f: C2

0 ([a, b]) \ 0 → R będzie funkcjonałem danym wzorem

I(u) =

∫ b

a|u′ (x)| dx∫ b

a|u (x)| dx

gdzie C20 ([a, b]) = v: [a, b] → R : v jest funkcją klasy C2oraz v(a) = v(b) = 0.

Wówczas zagadnienie Dirichleta

(D1)

u′′ (x) + λu (x) = 0 , x ∈ (a, b)u (a) = u (b) = 0u ∈ C2 ([a, b])

posiada minimalną dodatnią wartość własną µ0 = π2

(b−a)2, która jest minimum funkcjonału

I oraz istnieje rozwiązanie u0 zagadnienia (D1) takie, że I(u0) = µ0 oraz u0(x) > 0 dlax ∈ (a, b).Dowód. Niech λ > 0. Liczba λ jest wartością własną rozważanego zagadnienia tylkowtedy, gdy posiada ono niezerowe rozwiązanie. Funkcje postaci

C1 cos(x√λ)

+ C2 sin(x√λ)

(1.2)

gdzie stałe C1, C2 spełniają warunki: C1 cos(a√λ)

+ C2 sin(a√λ)

= 0

C1 cos(b√λ)

+ C2 sin(b√λ)

= 0

są jedynymi rozwiązaniami zagadnienia Dirichleta (D1). Jeżeli funkcja postaci (1.2) jestniezerowa, to albo C1 6= 0 albo C2 6= 0. Oznacza to, że powyższy układ posiada niezerowerozwiązanie, czyli jego wyznacznik główny jest równy zero:∣∣∣∣∣∣ cos

(a√λ)

sin(a√λ)

cos(b√λ)

sin(b√λ) ∣∣∣∣∣∣ = 0


Stąd mamy

cos(a√λ)

sin(b√λ)− cos

(b√λ)

sin(a√λ)

= 0

sin((b− a)

√λ)

= 0

(b− a)√λ = kπ, k ∈ N ∪ 0

λ =k2π2

(b− a)2

Zatem dodatnie wartości własne zagadnienia Dirichleta są postaci λ = k2π2

(b−a)2, k ∈ N .

Wobec tego najmniejsza z nich jest równa µ0 = π2

(b−a)2.

Zauważymy, że infu∈C20 ([a,b])\0 I(u) = µ0.

Niech u ∈ C20([a, b]) \ 0 oraz v: [0, π] → R będzie funkcją daną wzorem:

v(x) = u(b− a

πx+ a)

Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych dostajemy:∫ π

0

|v(x)|2 dx =π

b− a

∫ b

a

|u(x)|2 dx

oraz ∫ π

0

|v′(x)|2 dx =b− a

π

∫ b

a

|u′(x)|2 dx .

Ponieważ∫ π

0|v(x)|2 dx ≤

∫ π

0|v′(x)|2 dx 3, to

π

b− a

∫ b

a

|u(x)|2 dx ≤ b− a

π

∫ b

a

|u′(x)|2 dx .

A więc µ0 ≤ I(u) dla u ∈ C20([a, b]) \ 0. Stąd infu∈C2

0 ([a,b])\0 I(u) ≥ µ0.Do zakończenia dowodu, wystarczy wykazać, że istnieje u0 ∈ C2

0([a, b]) \ 0 taka, żeu0 jest rozwiązaniem zagadnienia (D1), u0(x) > 0 dla x ∈ (a, b) i I (u0) = µ0. Przyjmijmy

u0(x) = sin

(π(x− a)

b− a

)dla x ∈ [a, b]

Wtedy u0 jest rozwiązaniem zagadnienia (D1) oraz u0 (x) > 0 dla x ∈ (a, b). Z twierdzeniao zamianie zmiennych otrzymujemy:

I(u0) =

π2

(b−a)2

∫ b

acos2

(π(x−a)

b−a

)dx∫ b

asin2

(π(x−a)

b−a

)dx

=µ0

∫ π

0cos2 (x) dx∫ π

0sin2 (x) dx

3G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1995, tom 3, s. 504.


Ponieważ∫ π

0cos2 (x) dx−

∫ π

0sin2 (x) dx =

∫ π

0cos (2x) dx = 0, więc I (u0) = µ0.

Innym przykładem są zastosowania twierdzeń o minimalizacji do rozwiązywania tychzagadnień brzegowych, z którymi można stowarzyszyć odpowiedni funkcjonał I: X → Rróżniczkowalny w sensie Gäteaux.Przypomnijmy, że funkcjonał I: X → R jest różniczkowalny w sensie Gäteaux w punkcieu ∈ X, jeżeli spełnione są dwa warunki:

1. przy dowolnym v ∈ X funkcja ϕv: R→ R dana wzorem

ϕv(t) := I(u+ tv)

jest różniczkowalna w punkcie t = 0;

2. funkcjonał I ′(u): X → R określony następująco:

[I ′(u)](v) := ϕ′v(0), v ∈ X

jest liniowy i ciągły.

Funkcjonał I ′(u): X → R nazywamy pochodną Gäteaux funkcjonału I w punkcie u. Jeżelifunkcjonał I ma pochodną Gäteaux w dowolnym punkcie u ∈ X, to jest on różniczkowal-ny w sensie Gäteaux w przestrzeni (X, ‖·‖). Zamiast pisać I jest różniczkowalny w sensieGäteaux, będziemy pisać I jest G-różniczkowalny.Punkt v ∈ X taki, że

I ′(v) = 0

nazywać będziemy punktem krytycznym funkcjonału G-różniczkowalnego I: X → R.Następne stwierdzenie podaje pewien związek problemu minimalizacji (porównaj punkt

1 problemu minimalizacji) z problemem istnienia rozwiązań zagadnienia Dirichleta

(D2)

u′′ (x) + q (x)u (x) = r (x) , x ∈ [a, b]u (a) = u (b) = 0u ∈ C2 ([a, b])

Z zagadnieniem (D2) stowarzyszamy funkcjonał F: C10([a, b]) → R dany wzorem

F (u) =

∫ b

a

(|u′(x)|2

2− q(x)

u2(x)

2+ r(x)u(x)

)dx (1.3)

gdzie C10([a, b]) to przestrzeń funkcji u: [a, b] → R klasy C1 na [a, b] spełniających warunek

brzegowy u(a) = u(b) = 0 z normą ‖u‖C1 = supx∈[a,b] |u′(x)|.Stwierdzenie B.Załóżmy, że q, r: [a, b] → R są funkcjami ciągłymi oraz q (x) < 0 dla x ∈ [a, b].Wówczas:


(i) funkcjonał F (·) dany wzorem (1.3) jest G-różniczkowalny;

(ii) funkcja u ∈ C10([a, b]) jest punktem krytycznym funkcjonału F (·), wtedy i tylko wtedy,

gdy u jest rozwiązaniem zagadnienia (D2) ;

(iii) funkcja u ∈ C10([a, b]) jest minimum funkcjonału F (·), wtedy i tylko wtedy, gdy u

jest rozwiązaniem zagadnienia (D2).

Dowód. (i) Ustalmy u ∈ C10([a, b]). Wówczas

ϕh(t) = F (u+ th)

=

∫ b

a

(|u′(x) + th′(x)|2

2− q(x)

|u(x) + th(x)|2

2+ r(x)(u(x) + th(x))

)dx

dla h ∈ C10([a, b]), t ∈ R. Stosując twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki4

otrzymujemy

ϕ′h(0) =

∫ b

a

(u′(x)h′(x)− q(x)u(x)h(x) + r(x)h(x)) dx

=

∫ b

a

u′(x)h′(x)dx+

∫ b

a

(r(x)− q(x)u(x))h(x)dx

Całkując przez części i uwzględniając warunki brzegowe nałożone na h otrzymujemy

ϕ′h(0) =

∫ b

a

(u′(x)−

∫ x

a

(r(s)− q(s)u(s))ds

)h′(x)dx

Z powyższej równości wynika, że ϕ′αh+βv(0) = αϕ′h(0) + βϕ′v(0) oraz

|ϕ′h(0)| ≤(∫ b

a

∣∣∣∣u′(x)− ∫ x

a


∣∣∣∣ dx) ‖h‖C1

dla h, v ∈ C10([a, b]) i α, β ∈ R. Zatem z uwagi na dowolność u ∈ C1

0([a, b]) funkcjonał Fjest G-różniczkowalny oraz

[F ′(u)](h) =

∫ b

a

(u′(x)−

∫ x

a


)h′(x)dx

(ii) Załóżmy, że u ∈ C10([a, b]) jest punktem krytycznym funkcjonału F . Wówczas dla

dowolnego h ∈ C10([a, b]) mamy [F ′(u)](h) = 0, czyli∫ b

a

(u′(x)−

∫ x

a


)h′(x)dx = 0 dla h ∈ C1

0([a, b])

4G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1995, tom 2, s. 568.


Niech C = 1b−a

∫ b

aw(x)dx, gdzie w(x) = u′(x) −

∫ x

a(r(s) − q(s)u(s))ds dla x ∈ [a, b].

Wówczas dla dowolnego h ∈ C10([a, b]) mamy:

0 =

∫ b

a

w(x)h′(x)dx

=

∫ b

a

w(x)h′(x)dx− C(h(b)− h(a))

=

∫ b

a

w(x)h′(x)dx− C

∫ b

a

h′(x)dx

=

∫ b

a

(w(x)− C)h′(x)dx

Niech h(x) =∫ x

a(w(s) − C)ds, x ∈ [a, b]. Ponieważ funkcja w jest ciągła, więc h jest

klasy C1 na [a, b] oraz h′(x) = w(x) − C dla x ∈ [a, b]. Ponadto h(a) = 0 i h(b) =∫ b

a(w(s) − C)ds =

∫ b

aw(s)ds − C(b − a) =

∫ b

aw(s)ds −

∫ b

aw(x)dx = 0. W rezultacie

h ∈ C10([a, b]) i ∫ b

a

(w(x)− C)2dx = 0

Stąd w(x) = C dla x ∈ [a, b]. Wracając do wzoru na w otrzymujemy:

u′(x)−∫ x

a

(r(s)− q(s)u(s))ds = C , x ∈ [a, b] (1.4)

Z równości (1.4) wnioskujemy, że u ∈ C2 ([a, b]), a różniczkując ją stronami dostajemy:

u′′(x)− (r(x)− q(x)u(x)) = 0

u′′(x) + q(x)u(x) = r(x) , x ∈ [a, b]

Zatem u jest rozwiązaniem zagadnienia (D2).Załóżmy teraz, że funkcja u ∈ C2([a, b]) jest rozwiązaniem zagadnienia (D2). Wówczas

u′′(x) + q(x)u(x) = r(x) , x ∈ [a, b]u(a) = u(b) = 0

Stąd wynika już, że istnieje taka stała rzeczywista C0, że dla x ∈ [a, b]∫ x

a

(u′′(s)− (r(s)− q(s)u(s)))ds = C0

u′(x)− u′(a)−∫ x

a

(r(s)− q(s)u(s))ds = C0

u′(x)−∫ x

a

(r(s)− q(s)u(s))ds = C, C = C0 + u′(a)


Stąd∫ b

a

(u′(x)−

∫ x

a(r(s)− q(s)u(s))ds

)h′(x)dx = 0 dla h ∈ C1

0([a, b]), czyli [F ′(u)](h) =0 dla h ∈ C1

0([a, b]). W konsekwencji u jest punktem krytycznym funkcjonału F .(iii) Niech t ∈ (0, 1) i w, v ∈ C1

0([a, b]), v 6= w.Korzystając z wypukłości funkcji kwadratowej i z założenia, że q (x) < 0 dla x ∈ [a, b]otrzymujemy:

F (tw + (1− t) v) =

∫ b

a

(∣∣(tw + (1− t) v)′ (x)∣∣2

2− q (x)

(tw + (1− t) v)2 (x)

2

)dx

+

∫ b

a

r (x) (tw + (1− t) v) (x) dx

≤∫ b

a

(t |w′ (x)|2 + (1− t) |v′ (x)|2

2− q (x)

tw2 (x) + (1− t) v2 (x)

2

)dx

+

∫ b

a

r (x) (tw (x) + (1− t) v (x)) dx

= tF (w) + (1− t)F (v)

Stąd F (·) jest funkcjonałem wypukłym.Na mocy twierdzenia 1.8, które dowodzimy w dalszej części rozdziału, funkcja u jest punk-tem minimum funkcjonału F (·), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest punktem krytycznymfunkcjonału F (·).Wobec tezy (ii) funkcja u jest punktem minimum funkcjonału F (·), wtedy i tylko wtedy,gdy u jest rozwiązaniem zagadnienia (D2).

Następnie udowodnimy kilka abstrakcyjnych twierdzeń o minimalizacji funkcjonałóww przestrzeni Banacha (X, ‖·‖).

Definicja 1.1 Ciąg (un)n∈N ⊂ X nazywamy ciągiem minimalizującym funkcjonałuI: X → R, gdy

limn→+∞

I(un) = infI(u) : u ∈ X

Wykażemy, że dla niektórych funkcjonałów pytania o istnienie minimum i o istnienieokreślonego ciągu minimalizującego są tożsame. Będziemy mówili, że ciąg (un)n∈N jestsłabo zbieżny (zbieżny) do elementu u ∈ X, jeśli dla dowolnego funkcjonału F ∈ X∗ ciąg(F (un))n∈N jest zbieżny do F (u) w R1 (‖un − u‖ → 0 w R1) i oznaczamy symbolemun u w X (un → u w X).

Definicja 1.2 Funkcjonał I : X → R jest słabo półciągły (półciągły) z dołu w punkcieu ∈ X, jeżeli dla każdego ciągu (un)n∈N ⊂ X spełniony jest warunek

un u w X =⇒ limn→+∞

inf I(un) ≥ I(u)(un → u w X =⇒ lim

n→+∞inf I(un) ≥ I(u)

)


Mówimy, że I : X → R jest słabo półciągły (półciągły) z dołu i zapisujemy I jest w-lsc(lsc), gdy I jest słabo półciągły (półciągły) z dołu w każdym punkcie przestrzeni X.

Ponieważ dowolny ciąg zbieżny w X jest słabo zbieżny do tego samego elementu, więckażdy funkcjonał w-lsc jest funkcjonałem lsc. Jednak nie wszystkie funkcjonały lsc sąfunkcjonałami w-lsc. O tym, które z nich mają tę własność, mówi następujące twierdze-nie.

Twierdzenie 1.1 Jeżeli funkcjonał I: X → R jest lsc, wypukły i ograniczony z dołu, tojest w-lsc.

Dowód. Niech un u w X. Pokażemy, że

limn→+∞

inf I(un) ≥ I(u)

Gdy lim infn→+∞ I(un) = +∞, to lim infn→+∞ I(un) ≥ I(u). Ponieważ I jest ograni-czony z dołu, więc lim infn→+∞ I(un) > −∞. Do rozpatrzenia pozostaje przypadek, gdylim infn→+∞ I(un) jest liczbą rzeczywistą. Weźmy c ∈ R takie, że c > lim infn→+∞ I(un).Niech (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N będzie takim podciągiem, że

limk→+∞

I(unk) = lim

n→+∞inf I(un)

oraz c > I(unk) dla każdego k ∈ N .

Ciąg unk u w X, zatem na mocy twierdzenia Mazura5 istnieje ciąg kombinacji

wypukłych vnk=∑k

j=1 αnkj unj

,∑k

j=1 αnkj = 1, αnk

j ≥ 0 dla j = 1, . . . , k i k ∈ N , taki, żevnk

→ u w X. Ponieważ I jest lsc i wypukły, więc

I(u) ≤ limk→+∞

inf I(vnk) = lim

k→+∞inf I

(k∑

j=1

αnkj unj

)

≤ limk→+∞

inf

(k∑

j=1

αnkj I(unj

)

)≤ lim

k→+∞inf

(c

k∑j=1

αnkj

)= c

W szczególności, dla każdego m ∈ N mamy I(u) ≤ lim infn→+∞ I(un) + 1m

. Stąd

I(u) ≤ limn→+∞

inf I(un)

Poniżej zamieszczamy twierdzenie o minimalizacji funkcjonału w-lsc (lsc).

Twierdzenie 1.2 Załóżmy, że funkcjonał I : X → R jest w-lsc (lsc). Wówczas I maminimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słabo zbieżny (zbieżny) ciąg minimalizującyfunkcjonału I.

5J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa 1989, s. 214.


Dowód. Przeprowadzimy dowód tylko dla funkcjonałów w-lsc, gdyż dowód dla funkcjo-nałów lsc przebiega analogicznie.

(⇒) Z założenia istnieje takie v ∈ X, że I(v) = infI(u) : u ∈ X. Niech vn = vdla n ∈ N . Wtedy vn v w X oraz limn→+∞ I(vn) = I(v). Wobec tego (vn)n∈N jestszukanym ciągiem minimalizującym słabo zbieżnym.

(⇐) Istnieje taki ciąg (un)n∈N ⊂ X oraz v ∈ X, że un v w X i limn→+∞ I(un) =infI(u) : u ∈ X. Zauważymy, że

I(v) = infI(u) : u ∈ X

Ponieważ I jest w-lsc i un v w X, więc lim infn→+∞ I(un) ≥ I(v). Ciąg I(un)n∈N

jest zbieżny, zatem lim infn→+∞ I(un) = limn→+∞ I(un). W konsekwencji

I(v) ≥ infI(u) : u ∈ X = limn→+∞

I(un) = limn→+∞

inf I(un) ≥ I(v) ,

czyli I(v) = infI(u) : u ∈ X.

Wniosek 1.3 Jeżeli funkcjonał I: X → R jest lsc, wypukły i ograniczony z dołu, to I maminimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słabo zbieżny ciąg minimalizujący funkcjonałuI.

Powróćmy jeszcze do twierdzenia 1.2. Istnienie ciągu minimalizującego słabo zbieżnegonie jest wcale czymś oczywistym i może stanowić bardzo trudny problem do rozwiązania.Zagadnienie trochę się upraszcza w przypadku refleksywnych przestrzeni Banacha. Wów-czas istnienie ograniczonego ciągu minimalizującego wystarcza na to, by funkcjonał w-lscosiągał swoje minimum. Warunek ten jest konsekwencją następującej charakteryzacjiprzestrzeni refleksywnych:

Twierdzenie 1.4 Przestrzeń Banacha (X, ‖·‖) jest refleksywna, wtedy i tylko wtedy, gdykażdy ciąg ograniczony w X zawiera pewien podciąg słabo zbieżny6.

Twierdzenie 1.5 Załóżmy, że (X, ‖·‖) jest refleksywną przestrzenią Banacha orazI : X → R jest funkcjonałem w-lsc. Wówczas I ma minimum, wtedy i tylko wtedy,gdy istnieje ograniczony ciąg minimalizujący funkcjonału I.

Dowód. (⇒) Z założenia istnieje takie v ∈ X, że I(v) = infI(u) : u ∈ X. Niechvn = v dla n ∈ N . Ciąg (vn)n∈N jest ograniczony i limn→+∞ I(vn) = I(v). Wobec tego(vn)n∈N jest szukanym ciągiem minimalizującym ograniczonym.

(⇐) Istnieje taki ciąg ograniczony (un)n∈N , że limn→+∞ I(un) = infI(u) : u ∈ X.Ponieważ (un)n∈N jest ciągiem ograniczonym w przestrzeni refleksywnej, więc istnieje ta-kie v ∈ X oraz podciąg (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N , że unk v w X. Podciąg (unk

)k∈N jest6Powyższy fakt jest konsekwencją twierdzenia Eberleina (patrz J. Musielak, Wstęp do analizy fun-

kcjonalnej, Warszawa 1989, s. 228).


ciągiem minimalizującym funkcjonał I, gdyż

limk→+∞

I(unk) = lim

n→+∞I(un) = infI(u) : u ∈ X

Stąd na mocy twierdzenia 1.2 I ma minimum.

W szczególności, funkcjonał I będzie miał minimum, gdy wszystkie jego ciągi mini-malizujące będą ograniczone w refleksywnej przestrzeni Banacha X. Zachodzi to, gdy Ijest koercytywny, tzn. spełniony jest warunek

I(u) → +∞, gdy ‖u‖ → +∞ (1.5)

Twierdzenie 1.6 Załóżmy, że I: X → R jest funkcjonałem koercytywnym w refleksywnejprzestrzeni Banacha X. Wówczas prawdziwe są następujące tezy:

(1.6.1) Każdy ciąg minimalizujący funkcjonału I jest ograniczony.

(1.6.2) Jeżeli I jest funkcjonałem w-lsc, to I osiąga minimum.

(1.6.3) Jeżeli I jest funkcjonałem lsc, wypukłym i ograniczonym z dołu, to I osiąga mi-nimum.

Dowód. (1.6.1) Przypuśćmy, że funkcjonał I ma nieograniczony ciąg minimalizujący(un)n∈N ⊂ X. Istnieje podciąg (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N taki, że ‖unk‖ → +∞. Ponieważ I

jest koercytywny, więc I(unk) → +∞. Z drugiej strony ciąg (unk

)k∈N jest minimalizujący,zatem

I(unk) → infI(u) : u ∈ X < +∞

Sprzeczność z jednoznacznością granicy.(1.6.2) Niech (un)n∈N ⊂ X będzie ciągiem minimalizującym funkcjonału I (z własno-

ści kresu wynika, że każdy funkcjonał ma przynajmniej jeden ciąg minimalizujący). Namocy tezy (1.6.1) ciąg (un)n∈N jest ograniczony, a na mocy twierdzenia 1.5 I posiadaminimum.

(1.6.3) Z twierdzenia 1.1 wynika, że funkcjonał I jest w-lsc. Zatem na mocy tezy(1.6.2) I ma minimum.

Na zakończenie tego rozdziału chcemy udowodnić twierdzenia o minimalizacji funkcjo-nałów G-różniczkowalnych.

Twierdzenie 1.7 Załóżmy, że funkcjonał I: X → R jest G-różniczkowalny. Jeżeli v ∈ Xjest punktem minimum funkcjonału I, to v jest punktem krytycznym I.

Dowód. Z założenia I(v) = infI(u) : u ∈ X. Ponieważ I jest G-różniczkowalny, więcdla dowolnego w ∈ X funkcja ϕw : R→ R dana wzorem

ϕw(t) = I(v + tw), t ∈ R


jest różniczkowalna w punkcie t = 0 oraz [I ′(v)](w) = ϕ′w(0). Zauważmy, że

ϕw(0) = inf ϕw(t) : t ∈ R

Mamy bowiem ϕw(0) = I(v) ≤ I(v + tw) = ϕw(t) dla t ∈ R. Wobec tego ϕ′w(0) = 0 dlaw ∈ X, więc

I ′(v) = 0

Otwarte pozostaje pytanie o klasę funkcjonałów G-różniczkowalnych, dla których zbio-ry punktów krytycznych i punktów minimum są identyczne. Odpowiedzią na to pytaniejest sformułowane poniżej twierdzenie.

Twierdzenie 1.8 Załóżmy, że funkcjonał I : X → R jest wypukły i G-różniczkowalny.Wówczas v ∈ X jest punktem minimum funkcjonału I, wtedy i tylko wtedy, gdy v jestpunktem krytycznym I.

Dowód. Implikacja (⇒) pozostaje prawdziwa na mocy twierdzenia 1.7.(⇐) Zauważmy, że

I(w) ≥ I(u) + [I ′(u)](w − u)

dla dowolnych u,w ∈ X. Niech u,w ∈ X. Gdy u = w, to [I ′(u)](w − u) = [I ′(u)](0) = 0.Stąd I(w) = I(u) + [I ′(u)](w − u). Rozpatrzmy przypadek u 6= w. Ponieważ I jestwypukły, więc

I(tw + (1− t)u) ≤ tI(w) + (1− t)I(u) dla t ∈ (0, 1)

Przekształcając tę nierówność otrzymujemy

I(tw + (1− t)u)− I(u) ≤ t(I(w)− I(u))

I(u+ t(w − u))− I(u)

t≤ I(w)− I(u) (1.6)

Ponieważ funkcjonał I jest G-różniczkowalny, to przechodząc do granicy przy t → 0+ wnierówności (1.6) otrzymujemy:

[I ′(u)](w − u) ≤ I(w)− I(u)

czyli I(w) ≥ I(u) + [I ′(u)](w − u). W szczególności I(w) ≥ I(v) + [I ′(v)](w − v) dlaw ∈ X. Ponieważ v jest punktem krytycznym funkcjonału I, więc [I ′(v)](w − v) = 0 dlaw ∈ X. Zatem I(w) ≥ I(v) dla w ∈ X, czyli v jest punktem minimum funkcjonału I.

Tematem niniejszej pracy jest problem minimalizacji funkcjonałów całkowychIf,p: W

1,p [a, b] → R postaci

If,p (u) =

∫ b

a

f (x, u (x) , u′ (x)) dx ,


gdzie f : [a, b] × R × R → R jest funkcją Caratheodory’ego i W 1,p [a, b] (p ∈ [1,+∞) lubp = +∞) jest przestrzenią Soboleva. Do badania istnienia minimum funkcjonału If,p bę-dziemy chcieli zastosować udowodnione powyżej twierdzenia o minimalizacji funkcjonałóww przestrzeniach Banacha. Dlatego w rozdziale czwartym podamy warunki konieczne idostateczne, jakie musi spełniać funkcja Caratheodory’ego f , żeby funkcjonał If,p spełniałzałożenia jednego z powyższych twierdzeń. Ponieważ w tych twierdzeniach zakłada się,że przestrzeń (X, ‖·‖) jest przestrzenią Banacha lub refleksywną przestrzenią Banacha,więc w rozdziale trzecim udowodnimy, że przestrzenie Soboleva W 1,p [a, b] są zupełne, adla parametru p ∈ (1,+∞) są też refleksywne. W rozdziale drugim podamy wybranewłasności przestrzeni klas abstrakcji funkcji całkowalnych Lp (a, b) i L∞ (a, b), z którychistotnie skorzystamy w dowodach własności przestrzeni Soboleva.

Rozdział 2

Podstawowe przestrzenie funkcyjne

Na początku rozdziału pokazujemy, że relacja równości prawie wszędzie w zbiorzewszystkich funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a w przedziale (a, b) jest równoważ-nością i podajemy podstawowe własności przestrzeni klas abstrakcji funkcji całkowalnychLp(a, b) i L∞(a, b). Formułujemy warunki konieczne i dostateczne zbieżności i słabejzbieżności ciągu w obu tych przestrzeniach oraz podajemy pewne własności ciągów (∗)-słabo zbieżnych w przestrzeni L∞(a, b). W paragrafie drugim zauważamy, że przestrzenieLp(a, b)×Lp(a, b) i L∞(a, b)×L∞(a, b) są zupełne. Formułujemy twierdzenie o reprezen-tacji funkcjonałów liniowych i ciągłych w Lp(a, b) × Lp(a, b). Na mocy tego twierdzeniaoraz twierdzenia Riesza o postaci funkcjonałów liniowych i ciągłych w Lp(a, b) pokazu-jemy, że słaba zbieżność w Lp(a, b) × Lp(a, b) jest równoważna ze słabą zbieżnością powspółrzędnych. Korzystając z powyższego opisu słabej zbieżności udowadniamy, że prze-strzeń Lp(a, b)× Lp(a, b) dla p > 1 jest refleksywna. W paragrafie trzecim zamieszczamywybrane własności funkcji absolutnie ciągłych.

2.1 Przestrzenie Lp(a, b) i L∞(a, b)

Niech X będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji u: (a, b) → R mierzalnych wsensie Lebesgue’a. W dalszej części pracy zamiast pisać mierzalny (mierzalna) w sensieLebesgue’a będziemy pisali mierzalny (mierzalna). Natomiast miarę Lebesgue’a zbiorumierzalnego A ⊂ R oznaczać będziemy symbolem µ(A).

Definicja 2.1 Funkcje u, v ∈ X są równe prawie wszędzie, co zapisujemy u = v p.w. na(a, b), jeżeli µ(x ∈ (a, b) : u(x) 6= v(x)) = 0.

Definicja 2.2 Jeśli u, v ∈ X, to u ∼ v ⇐⇒ u = v p.w. na (a, b).

Fakt 2.1 ∼ jest relacją równoważności.

Dowód.

1.

Rozdział 2. Podstawowe przestrzenie funkcyjne 15

2. Zwrotność. Niech u ∈ X. µ(x ∈ (a, b) : u(x) 6= u(x)) = µ(∅) = 0, więc u ∼ u.

3. Symetryczność. Załóżmy, że u, v ∈ X i u ∼ v. Wtedy u = v p.w. na (a, b), więcµ(x ∈ (a, b) : u(x) 6= v(x)) = 0. Stąd µ(x ∈ (a, b) : v(x) 6= u(x)) = 0, więcv = u p.w. na (a, b), czyli v ∼ u.

4. Przechodniość. Weźmy u, v, w ∈ X takie, że u ∼ v i v ∼ w. Niech A = x ∈ (a, b) :u(x) 6= v(x), a B = x ∈ (a, b) : v(x) 6= w(x). Z założenia µ(A) = µ(B) = 0,więc µ(A ∪ B) = 0. Gdy x ∈ (a, b) \ (A ∪B), to u(x) = v(x) = w(x). Wobec tegox ∈ (a, b) : u(x) 6= w(x) ⊂ A ∪ B. Stąd µ(x ∈ (a, b) : u(x) 6= w(x)) = 0,tzn. u = w p.w. na (a, b), czyli u ∼ w.

Klasę abstrakcji funkcji u ∈ X względem relacji ∼ oznaczać będziemy symbolem [u].Natomiast X = [u] : u ∈ X. W zbiorze X wprowadzamy dodawanie i mnożenie przezliczby rzeczywiste. Jeśli u, v ∈ X oraz α ∈ R, to

[u] + [v] := [u+ v]

orazα[u] := [αu]

Zauważmy, że zdefiniowane powyżej działania nie zależą od wyboru reprezentantów. Za-łóżmy, że u, u0, v, v0 ∈ X, u ∼ u0, v ∼ v0 i α ∈ R. Ponieważ u = u0 i v = v0 p.w. na(a, b), więc u+ v0 = u0 + v0 i u+ v = u+ v0 p.w. na (a, b). Stąd u+ v = u0 + v0 p.w. na(a, b), czyli [u] + [v] = [u + v] = [u0 + v0] = [u0] + [v0]. Ponieważ u = u0 p.w. na (a, b),więc αu = αu0 p.w. na (a, b). Wobec tego α[u] = [αu] = [αu0] = α[u0]. Sposób, w jakiokreślono powyższe działania prowadzi do następującego wniosku.

Wniosek 2.2 Zbiór X wraz z dodawaniem klas abstrakcji i mnożeniem klas abstrakcjiprzez liczby rzeczywiste jest przestrzenią R-liniową. [0] jest modułem dodawania.

Definicja 2.3 Funkcja u ∈ X jest ograniczona prawie wszędzie na (a, b), gdy istniejetaka stała nieujemna M , że µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0.

Fakt 2.3 Niech u, v ∈ X i u ∼ v. Jeżeli u jest ograniczona p.w. na (a, b), to v jestograniczona p.w. na (a, b). Ponadto zbiory

M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0

iM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |v(x)| > M) = 0

są równe.


Dowód. Z założenia istnieje takie M ≥ 0, że µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0 orazµ(x ∈ (a, b) : u(x) 6= v(x)) = 0. Oznaczmy A = x ∈ (a, b) :|u(x)| > M, a B = x ∈ (a, b) : u(x) 6= v(x). Mamy µ(A ∪ B) = 0. Gdyx ∈ (a, b) \ (A ∪B), to |v(x)| = |u(x)| ≤ M . Stąd x ∈ (a, b) : |v(x)| > M ⊂ A ∪ B.Wobec tego µ(x ∈ (a, b) : |v(x)| > M) = 0, czyli v jest ograniczona p.w. na (a, b). Cowięcej, z metody dowodu wynika, że zbiory M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0i M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |v(x)| > M) = 0 są równe.

Fakt 2.4 Jeżeli funkcje u, v ∈ X są ograniczone p.w. na (a, b), a α ∈ R, to funkcje u+v,u− v, u · v, αu też są ograniczone p.w. na (a, b).

Dowód. Z założenia istnieją takie M,K ≥ 0, że

µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = µ(x ∈ (a, b) : |v(x)| > K) = 0

Niech A = x ∈ (a, b) : |u(x)| > M, B = x ∈ (a, b) : |v(x)| > K. Oczywiścieµ(A ∪ B) = 0. Gdy x ∈ (a, b) \ (A ∪B), to |(u + v)(x)| ≤ |u(x)| + |v(x)| ≤ M + K,|(u− v)(x)| ≤ |u(x)|+ |v(x)| ≤ M +K, |(u · v)(x)| = |u(x)| · |v(x)| ≤ M ·K i |αu(x)| =|α| · |u(x)| ≤ |α|M . Wobec tego zbiory x ∈ (a, b) : |(u+ v)(x)| > M +K, x ∈ (a, b) :|(u− v)(x)| > M +K, x ∈ (a, b) : |(u · v)(x)| > MK i x ∈ (a, b) : |αu(x)| > |α| ·Msą miary zero jako podzbiory zbioru miary zero A ∪ B. Stąd funkcje u + v, u − v, u · v,αu są ograniczone p.w. na (a, b).

Lemat 2.5 Załóżmy, że u ∈ X i A = M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0.Jeżeli funkcja u jest ograniczona p.w. na (a, b), to inf A ∈ A.

Dowód. Zbiór A jest niepusty ponieważ funkcja u jest ograniczona p.w. na (a, b). Zdefinicji zbioru A wynika, że jego elementy są nieujemne. Zatem zero jest ograniczeniemdolnym zbioru A. Zauważymy, że inf A ∈ A.

Z definicji kresu mamy: dla każdego n ∈ N istnieje takie Mn ∈ A, że

inf A ≤Mn < inf A+1

n

Oznaczmy An = x ∈ (a, b) : |u(x)| > Mn, n ∈ N . Ponieważ Mn ∈ A, więc µ(An) = 0.Niech Z =

⋃+∞n=1An. Z własności miary µ(Z) = 0. Weźmy x ∈ (a, b) \ Z. Wów-

czas |u(x)| ≤ Mn < inf A + 1n

dla n ∈ N , czyli |u(x)| < inf A + 1n

dla n ∈ N . Stąd|u(x)| ≤ inf A. W konsekwencji x ∈ (a, b) : |u(x)| > inf A ⊂ Z, zatem µ(x ∈ (a, b) :|u(x)| > inf A) = 0. Z definicji zbioru A wynika, że inf A ∈ A.

Definicja 2.4 Symbolem L∞(a, b) oznaczać będziemy przestrzeń liniową klas abstrakcjifunkcji mierzalnych i ograniczonych p.w. na (a, b) względem relacji ∼, z normą

‖[u]‖∞ = infM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0


Na mocy faktu 2.4 L∞(a, b) jest przestrzenią R-liniową. Z faktu 2.3 wynika, że de-finicja funkcji ‖·‖∞ nie zależy od wyboru reprezentanta, a z lematu 2.5, że kres dolnyzbioru M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0 istnieje i jest liczbą nieujemną dla[u] ∈ L∞(a, b). Zauważymy teraz, że funkcja ‖·‖∞ spełnia aksjomaty definiujące normę:

1. Dla każdego [u] ∈ L∞(a, b), ‖[u]‖∞ ≥ 0 i (‖[u]‖∞ = 0 ⇐⇒ [u] = [0]).Zauważmy, że na mocy lematu 2.5 ‖[u]‖∞ = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ∈M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M) = 0, co jest równoważne ze stwierdzeniem,że µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > 0) = 0, skąd u = 0 p.w. na (a, b), czyli [u] = [0].

2. Nierówność trójkątaNiech [u], [v] ∈ L∞(a, b). Ponieważ |(u+ v)(x)| ≤ |u(x)|+ |v(x)| dla x ∈ (a, b), więc

x ∈ (a, b) : |(u+ v)(x)| > M ⊂ x ∈ (a, b) : |u(x)|+ |v(x)| > M

dla M ≥ 0. Stąd

M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)|+ |v(x)| > M) = 0 ⊂M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |(u+ v)(x)| > M) = 0

czyli infM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| + |v(x)| > M) = 0 ≥ infM ≥ 0 :µ(x ∈ (a, b) : |u(x) + v(x)| > M) = 0. Oczywiste jest, że ‖[u]‖∞ + ‖[v]‖∞ ∈M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| + |v(x)| > M) = 0. Stąd ‖[u] + [v]‖∞ =‖[u+ v]‖∞ ≤ infM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| + |v(x)| > M) = 0 ≤‖[u]‖∞ + ‖[v]‖∞.

3. JednorodnośćZałóżmy, że α ∈ R i [u] ∈ L∞(a, b). Gdy α = 0, to ‖α[u]‖∞ = ‖[αu]‖∞ = ‖[0]‖∞ =0 = 0·‖[u]‖∞ = |α|·‖[u]‖∞. Rozważmy przypadek α 6= 0. Weźmy M ≥ 0. Ponieważ|(αu)(x)| > M ⇐⇒ |u(x)| > M

|α| dla x ∈ (a, b), więc x ∈ (a, b) : |(αu)(x)| > M =

x ∈ (a, b) : |u(x)| > M|α|. Z uwagi na dowolność M ≥ 0 mamy M ≥ 0 : µ(x ∈

(a, b) : |(αu)(x)| > M) = 0 = M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M|α|) = 0. W

konsekwencji

‖[αu]‖∞ = infM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |(αu)(x)| > M) = 0= infM ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M

|α|) = 0= |α| · infM

|α| ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > M|α|) = 0

= |α| · infK ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > K) = 0 = |α| · ‖[u]‖∞

Wobec powyższego definicja 2.4 jest poprawna.

Definicja 2.5 Mówimy, że ciąg (un)n∈N ⊂ X jest wspólnie ograniczony p.w. na (a, b),gdy istnieje takie K > 0 oraz zbiór miary zero B ⊂ (a, b), że dla każdego n ∈ N oraz dlakażdego x ∈ (a, b) \B mamy |un(x)| ≤ K.


Fakt 2.6 Jeżeli ciąg ([un])n∈N ⊂ L∞(a, b) ma normy ograniczone stałą K, to ciąg (un)n∈N

jest wspólnie ograniczony p.w. na (a, b) stałą K.

Dowód. Z założenia dla każdego n ∈ N mamy ‖[un]‖∞ ≤ K. Niech

Bn = x ∈ (a, b) : |un(x)| > ‖[un]‖∞, n ∈ N

Na mocy lematu 2.5 µ(Bn) = 0, n ∈ N . Przyjmijmy B =⋃+∞

n=1Bn. Oczywiście µ(B) = 0 iB ⊂ (a, b). Co więcej, dla każdego n ∈ N oraz x ∈ (a, b)\B mamy |un(x)| ≤ ‖[un]‖∞ ≤ K.

Twierdzenie 2.7 L∞(a, b) jest przestrzenią Banacha.

Dowód. Niech ([un])n∈N ⊂ L∞(a, b) będzie ciągiem Cauchy’ego. Oznaczmy

Bn,m = x ∈ (a, b) : |un(x)− um(x)| > ‖[un − um]‖∞, m, n ∈ N

Na mocy lematu 2.5 µ(Bn,m) = 0, m,n ∈ N . Przyjmijmy B =⋃

n,m∈N Bn,m. Wtedyµ(B) = 0.

Weźmy ε > 0. Ponieważ ([un])n∈N jest ciągiem Cauchy’ego, więc istnieje takie N ∈ N ,że dla każdych m,n ≥ N mamy ‖[un]− [um]‖∞ < ε

2. Stąd dla każdego m,n ≥ N i każdego

x ∈ (a, b) \ B mamy |un(x) − um(x)| < ε2. Z uwagi na dowolność ε > 0 wykazaliśmy, że

dla każdego x ∈ (a, b) \B (un (x))n∈N jest ciągiem Cauchy’ego w R1. Wobec tego wzór

u(x) =

0 dla x ∈ Blim

n→+∞un(x) dla x ∈ (a, b) \B

poprawnie określa funkcję mierzalną u: (a, b) → R. Wykażemy, że jest to funkcja ograni-czona p.w. na (a, b).

Ponieważ ciąg ([un])n∈N , jako ciąg Cauchy’ego jest ograniczony, więc na mocy faktu2.6 istnieje takie K > 0 oraz zbiór miary zero C ⊂ (a, b), że dla każdego n ∈ N i ka-żdego x ∈ (a, b) \ C mamy |un(x)| ≤ K. Gdy x ∈ (a, b) \ (C ∪ B), to |un(x)| ≤ K dlan ∈ N i |u(x)| = | limn→+∞ un(x)| = limn→+∞ |un(x)| ≤ K. W konsekwencji µ(x ∈(a, b) : |u(x)| > K) = 0, gdyż x ∈ (a, b) : |u(x)| > K ⊂ C ∪ B i µ(C ∪ B) = 0. Stąd[u] ∈ L∞(a, b). Ponieważ dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, że dla każdychm,n ≥ Ni każdego x ∈ (a, b) \ B mamy |un (x)− um (x)| < ε

2oraz limn→+∞ un (x) = u (x), więc

dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, że dla każdego n ≥ N i każdego x ∈ (a, b) \ Bmamy |un (x)− u (x)| ≤ ε

2. Zatem dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, że dla każdego

n ≥ N

‖[un − u]‖∞ ≤ ε

2< ε

gdyż µ (B) = 0. Wobec tego [un] → [u] w L∞(a, b).


Definicja 2.6 Symbolem Lp(a, b), przy ustalonym p ≥ 1, oznaczać będziemy przestrzeńliniową klas abstrakcji funkcji całkowalnych z p-tą potęgą na (a, b) względem relacji ∼, znormą

‖[u]‖p =

(∫ b

a

|u(x)|pdx) 1

p

W tym paragrafie zbadamy tylko niektóre własności ciągów zbieżnych oraz słabo zbież-nych w przestrzeni Lp(a, b). Podstawowe własności przestrzeni Lp(a, b) są udowodnionew książce Juliana Musielaka ”Wstęp do analizy funkcjonalnej”.

Lemat 2.8 Jeżeli p ≥ 1, to L∞(a, b) ⊂ Lp(a, b) oraz ‖[u]‖p ≤ (b − a)1p ‖[u]‖∞ dla [u] ∈

L∞(a, b).

Dowód. Ustalmy p ≥ 1. Weźmy [u] ∈ L∞(a, b). Na mocy lematu 2.5

µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| > ‖[u]‖∞) = 0

więc ∫ b

a

|u(x)|pdx ≤∫ b

a

‖[u]‖p∞ dx = (b− a) ‖[u]‖p

∞

Stąd [u] ∈ Lp(a, b) oraz ‖[u]‖p ≤ (b− a)1p ‖[u]‖∞.

Bezpośrednią konsekwencją tego lematu jest następujący

Wniosek 2.9 Jeżeli [un] → [u] w L∞(a, b), to [un] → [u] w Lp(a, b).

Będziemy pisali un ⇒ u na A ⊂ (a, b), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ N takie,że dla każdego n ≥ N i każdego x ∈ A prawdziwa jest nierówność

|un (x)− u (x)| < ε

Twierdzenie 2.10 Ciąg [un] → [u] w L∞(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takizbiór miary zero B ⊂ (a, b), że un ⇒ u na (a, b) \B.

Dowód. (⇒) Niech Bn = x ∈ (a, b) : |un(x)− u(x)| > ‖[un − u]‖∞, n ∈ N . Z lematu2.5 µ(Bn) = 0 dla n ∈ N . Przyjmijmy, że B =

⋃n∈N Bn. Wówczas B ⊂ (a, b) oraz

µ(B) = 0. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje takie N ∈ N , że dla każdego n ≥ Nmamy ‖[un]− [u]‖∞ < ε. Niech x ∈ (a, b) \ B. Wtedy |un(x)− u(x)| ≤ ‖[un − u]‖∞ < εdla n ≥ N . Z uwagi na dowolność ε > 0 pokazaliśmy, że un ⇒ u na (a, b) \B.

(⇐) Ustalmy ε > 0. Z założenia istnieje takie N ∈ N , że dla każdego n ≥ N oraz każ-dego x ∈ (a, b) \B mamy |un(x)− u(x)| < ε

2. Stąd x ∈ (a, b) : |un(x)− u(x)| ≥ ε

2 ⊂ B

dla n ≥ N . Ponieważ x ∈ (a, b) : |un(x)−u(x)| > ε2 ⊂ x ∈ (a, b) : |un(x)−u(x)| ≥ ε

2,

więc x ∈ (a, b) : |un(x) − u(x)| > ε2 ⊂ B dla n ≥ N . Zatem µ(x ∈ (a, b) : |un(x) −

u(x)| > ε2) = 0 dla n ≥ N , a na mocy lematu 2.5 ‖[un]− [u]‖∞ ≤ ε

2< ε dla n ≥ N . Z

uwagi na dowolność ε > 0, [un] → [u] w L∞(a, b).


Definicja 2.7 Powiemy, że ciąg (un)n∈N ⊂ X jest zbieżny prawie wszędzie na (a, b) dofunkcji u ∈ X, gdy µ(x ∈ (a, b) : un(x) 9 u(x)) = 0.

Piszemy un → u p.w. na (a, b) lub un(x) → u(x) dla p.k. x ∈ (a, b). Z twierdzenia2.10 wynika następujący wniosek.

Wniosek 2.11 Jeśli [un] → [u] w L∞(a, b), to un → u p.w. na (a, b).

Podamy teraz kilka własności ciągów słabo zbieżnych w przestrzeniach L∞(a, b) iLp(a, b).

Fakt 2.12 Jeżeli p ∈ [1,+∞) lub p = +∞ i ciąg ([un])n∈N jest ograniczony w Lp(a, b),to dla każdego ε > 0 istnieje takie Mε > 0, że dla każdego n ∈ N mamy

µ(x ∈ (a, b) : |un(x)| ≥Mε) < ε

Dowód. Ponieważ dowody dla p ∈ [1,+∞) i p = +∞ są analogiczne, więc udowodnimytezę dla p = +∞.

Z założenia (‖[un]‖∞)n∈N jest ciągiem liczbowym ograniczonym. Stąd istnieje takieK > 0, że dla każdego n ∈ N mamy ‖[un]‖∞ ≤ K. Ponieważ

‖[un]‖1 =

∫ b

a

|un(x)|dx ≤∫ b

a

‖[un]‖∞ dx = (b− a) ‖[un]‖∞ ≤ (b− a)K

dla n ∈ N , więc ciąg ([un])n∈N jest ograniczony w L1(a, b) stałą nieujemną (b − a)K.Przypuśćmy, że istnieje takie ε0 > 0, że dla każdego M > 0 istnieje takie n0 ∈ N ,że µ(x ∈ (a, b) : |un0(x)| ≥ M) ≥ ε0. W szczególności, istnieje takie n0 ∈ N , żeµ(x ∈ (a, b) : |un0(x)| ≥

3(b−a)K2ε0

) ≥ ε0. Oznaczmy An0 = x ∈ (a, b) :

|un0(x)| ≥3(b−a)K

2ε0. Otrzymujemy

‖[un0 ]‖1 =

∫ b

a

|un0(x)|dx ≥∫

An0

|un0(x)|dx ≥∫

An0

3(b− a)K

2ε0

dx

= µ(An0)3(b− a)K

2ε0

≥ ε03(b− a)K

2ε0

=3(b− a)K

2> (b− a)K

Otrzymana sprzeczność dowodzi tezę.

Uwaga. Funkcja f: (a, b) → R jest całkowalna, gdy∫ b

a|f (x)| dx < +∞.

Definicja 2.8 Mówimy, że ciąg ([gn])n∈N ⊂ L∞(a, b) jest (∗)-słabo zbieżny w L∞(a, b)

do elementu [g] ∈ L∞(a, b) i zapisujemy [gn]∗ [g] w L∞(a, b), gdy dla dowolnej funkcji

całkowalnej f: (a, b) → R

limn→+∞

∫ b

a

gn(x)f(x)dx =

∫ b

a

g(x)f(x)dx


Fakt 2.13 Jeśli ciąg [gn]∗ [g] w L∞(a, b), to ([gn])n∈N jest ciągiem ograniczonym w

L∞(a, b) i‖[g]‖∞ ≤ lim

n→+∞inf ‖[gn]‖∞

Dowód. Niech Fn([f ]) =∫ b

af(x)gn(x)dx dla n ∈ N i niech F ([f ]) =

∫ b

af(x)g(x)dx dla

[f ] ∈ L1(a, b). Na mocy twierdzenia Riesza zdefiniowane powyżej funkcjonały są liniowei ciągłe oraz ‖F‖ = ‖[g]‖∞, a ‖Fn‖ = ‖[gn]‖∞ dla n ∈ N .

Ponieważ [gn]∗ [g] w L∞(a, b), więc zgodnie z definicją 2.8 Fn([f ]) → F ([f ]) dla

[f ] ∈ L1(a, b). Z twierdzenia Banacha-Steinhausa1 wynika, że istnieje takie K > 0, żedla każdego n ∈ N mamy ‖Fn‖ ≤ K. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją całkowal-ną, taką, że ‖[f ]‖1 ≤ 1. Wówczas |Fn([f ])| ≤ ‖Fn‖ ‖[f ]‖1 ≤ ‖Fn‖ dla n ∈ N . Stąd|F ([f ])| = limn→+∞ |Fn([f ])| ≤ lim infn→+∞ ‖Fn‖. Z uwagi na dowolność [f ] ∈ L1(a, b) onormie nie większej niż 1 mamy ‖F‖ = sup‖[f ]‖1≤1 |F ([f ])| ≤ lim infn→+∞ ‖Fn‖.

W konsekwencji ‖[gn]‖∞ = ‖Fn‖ ≤ K dla n ∈ N oraz

‖[g]‖∞ = ‖F‖ ≤ limn→+∞

inf ‖Fn‖ = limn→+∞

inf ‖[gn]‖∞

Lemat 2.14 Dla dowolnej funkcji całkowalnej g: (a, b) → R funkcjonał F: L∞(a, b) → Rdany wzorem

F ([f ]) =

∫ b

a

f(x)g(x)dx

jest liniowy i ciągły oraz ‖F‖ = ‖[g]‖1.

Dowód. Funkcjonał F jest dobrze określony, ponieważ∣∣∣∣∫ b

a

f(x)g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)g(x)|dx ≤ ‖[f ]‖∞ ‖[g]‖1

dla [f ] ∈ L∞(a, b). Liniowość F jest oczywista. Wobec tego F , jako funkcjonał linio-wy i ograniczony, jest liniowy i ciągły. Ponadto z powyższej nierówności wynika, że‖F‖ ≤ ‖[g]‖1. Pokażemy teraz, że ‖F‖ = ‖[g]‖1. Ponieważ ‖F‖ = sup‖[f ]‖∞≤1 |F ([f ])| i‖F‖ ≤ ‖[g]‖1, więc wystarczy udowodnić, że istnieje taka funkcja mierzalna f0: (a, b) → R,że ‖[f0]‖∞ ≤ 1 i F ([f0]) = ‖[g]‖1. Szukana przez nas funkcja dana jest wzorem:

f0(x) =

1 dla x ∈ g−1([0,+∞))−1 dla x ∈ g−1((−∞, 0))

Oczywiście f0 jako funkcja prosta, jest mierzalna i ograniczona. Zatem [f0] ∈ L∞(a, b).Ponieważ |f0(x)| = 1 dla x ∈ (a, b), więc ‖[f0]‖∞ = 1. Natomiast F ([f0]) =

∫ b

af0(x)g(x)dx =∫ b

a|g(x)|dx = ‖[g]‖1. W konsekwencji ‖F‖ = ‖[g]‖1.



Wniosek 2.15 Jeżeli [fn] [f ] w L∞(a, b), to [fn]∗ [f ] w L∞(a, b).

Dowód. Ponieważ [fn] [f ] w L∞(a, b), to na mocy lematu 2.14∫ b

a

fn(x)g(x)dx→∫ b

a

f(x)g(x)dx ,

gdzie g: (a, b) → R jest funkcją całkowalną. A więc [fn]∗ [f ] w L∞(a, b).

Udowodnimy teraz warunek konieczny i dostateczny (∗)-słabej zbieżności ciągu wL∞(a, b). W jego dowodzie powołujemy się na poniższy lemat.

Lemat 2.16 Zbiór klas abstrakcji funkcji prostych postaci∑s

i=1 aiχEi, gdzie

a1, a2, . . . , as ∈ R, a E1, E2, . . . , Es są takimi parami rozłącznymi przedziałami, że⋃si=1Ei = (a, b) jest gęsty w L1(a, b).

Dowód. Ponieważ zbiór klas abstrakcji wszystkich funkcji prostych jest gęsty w L1(a, b)2,więc wystarczy wykazać, że rozważany zbiór jest gęsty w zbiorze klas abstrakcji funkcjiprostych.

Niech f: (a, b) → R będzie funkcją prostą. Istnieją liczby b1, b2, . . . , bm ∈ R \ 0 orazzbiory mierzalne parami rozłączne A1, A2, . . . , Am ⊂ (a, b) takie, że

f =m∑

i=1

biχAi

Weźmy ε > 0. Ponieważ Ai jest zbiorem mierzalnym, więc istnieje taki jego otwartynadzbiór Gi ⊂ (a, b), że

µ(Gi \ Ai) <ε

2m |bi|Możliwe są dwie sytuacje:

1. Gi jest sumą skończonej ilości przedziałów rozłącznych Ei1, E

i2, . . . , E

iNi

. Wówczasprzyjmujemy Hi = Gi.

2. Gi jest sumą przeliczalnej ilości przedziałów rozłącznych Ein, n ∈ N . Ponieważ

µ(Gi) ≤ b − a, więc istnieje Ni ∈ N takie, że µ(⋃+∞

n=Ni+1Ein

)< ε

2m|bi| . Wówczasprzyjmujemy, że Hi =

⋃Ni

n=1Ein.

W każdym przypadku Hi ⊂ Gi i

µ (Gi \Hi) <ε

2m |bi|2J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa 1989, s. 55.


Niech g =∑m

i=1 biχHi. Oczywiście [g] jest elementem rozważanego zbioru, bo g jest taką

funkcją prostą, że dla każdego c ∈ R zbiór g−1(c) jest pusty lub jest sumą paramirozłącznych przedziałów i skończonej liczby punktów:

g−1 (c) =⋃

(ε1,ε2,...,εm):Pm

i=1 εibi=c,εi∈0,1 dla i=1,2,...,m

(Hε1

1∩Hε2

2 ∩ . . . ∩Hεmm

)gdzie H1

i = Hi i H0i = (a, b) \Hi. Zauważmy, że

‖[f ]− [g]‖1 =

∫ b

a

|f(t)− g(t)| dt

=

∫ b

a

∣∣∣∣∣m∑

i=1

bi (χAi(t)− χHi

(t))

∣∣∣∣∣ dt≤

m∑i=1

|bi|∫ b

a

|χAi(t)− χHi

(t)| dt

Ponieważ ∫ b

a

|χAi(t)− χHi

(t)| dt =

∫Ai\Hi

1dt+

∫Hi\Ai

1dt

= µ(Ai \Hi) + µ(Hi \ Ai)

≤ µ(Gi \Hi) + µ(Gi \ Ai) <ε

m |bi|więc

‖[f ]− [g]‖1 ≤m∑

i=1

|bi|∫ b

a

|χAi(t)− χHi

(t)| dt <m∑

i=1

|bi|ε

m |bi|= ε

W rezultacie pokazaliśmy, że dla dowolnej funkcji prostej f : (a, b) → R i dla każdegoε > 0 istnieje funkcja g z rozważanego zbioru taka, że ‖[f ]− [g]‖1 < ε. Zatem rozważanyzbiór jest gęsty w L1(a, b).

Twierdzenie 2.17 Ciąg [un]∗ [u] w L∞(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ciągiem

ograniczonym w L∞(a, b) oraz ∫E

un(x)dx→∫

E

u(x)dx

dla dowolnego przedziału E ⊂ (a, b).

Dowód. (⇒) Na mocy faktu 2.13 ciąg ([un])n∈N jest ograniczony. Weźmy przedziałE ⊂ (a, b). Niech [χE] ∈ L1(a, b), gdzie χE jest funkcją charakterystyczną przedziału E.Zgodnie z definicją 2.8 ∫ b

a

χE(x)un(x)dx→∫ b

a

χE(x)u(x)dx


A więc ∫E

un(x)dx→∫

E

u(x)dx

(⇐) Przestrzeń L∞(a, b) jest liniowa. Wobec tego wystarczy wykazać, że jeśli ciąg([un])n∈N ⊂ L∞(a, b) jest ograniczony oraz∫

E

un(x)dx→ 0

dla dowolnego przedziału E ⊂ (a, b), to [un]∗ [0] w L∞(a, b).

Weźmy [v] ∈ L1(a, b) i ε > 0. Ponieważ ([un])n∈N jest ograniczony w L∞(a, b), więcistnieje takie L > 0, że dla każdego n ∈ N mamy ‖[un]‖∞ ≤ L. Na mocy lematu2.16 istnieją przedziały parami rozłączne E1, E2, . . . , Es ⊂ (a, b) oraz liczby rzeczywistec1, c2, . . . , cs takie, że

⋃si=1Ei = (a, b) i∥∥∥∥∥[v]− [

s∑i=1

ciχEi]

∥∥∥∥∥1

<ε

3L

Oznaczmy h =∑s

i=1 ciχEi. Ponieważ z założenia wiadomo, że

∫Eiun(x)dx → 0 dla

i = 1, 2, . . . , s, więc ci∫

Eiun(x)dx → 0. Stąd istnieje takie N ∈ N , że dla każdego

1 ≤ i ≤ s i każdego n ≥ N mamy ∣∣∣∣ci ∫Ei

un(x)dx

∣∣∣∣ < ε

3s

Weźmy n ≥ N . Wtedy∣∣∣∣∫ b

a

v(x)un(x)dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

a

(v(x)− h(x))un(x)dx+

∫ b

a

h(x)un(x)dx

∣∣∣∣≤∫ b

a

|(v(x)− h(x))un(x)| dx+

∣∣∣∣∫ b

a

h(x)un(x)dx

∣∣∣∣≤ ‖[un]‖∞ ‖[v − h]‖1 +

∣∣∣∣∣s∑

i=1

∫Ei

ciun(x)dx

∣∣∣∣∣≤ L

ε

3L+

s∑i=1

∣∣∣∣∫Ei

ciun(x)dx

∣∣∣∣ < ε

3+ s

ε

3s=

2

3ε < ε.

Z uwagi na dowolność ε > 0 mamy∫ b

av(x)un(x)dx→ 0, a wobec dowolności [v] ∈ L1(a, b)

[un]∗ [0] w L∞(a, b).

Fakt 2.18 Załóżmy, że f: R→ R jest funkcją okresową o okresie podstawowym równymT , całkowalną na dowolnym przedziale długości T . Wtedy∫ a+T

a

f(t)dt =

∫ T

0

f(t)dt

dla dowolnej liczby a ∈ R.


Dowód. Weźmy a ∈ R. Istnieje takie n ∈ Z oraz 0 < a0 < T , że a = nT + a0. Ponieważfunkcja f jest okresowa, więc

f(t) = f(t+mT ) (2.1)

dla t ∈ R i m ∈ Z. Korzystając z równości (2.1) i dwukrotnie z twierdzenia o zamianiezmiennych otrzymujemy:∫ a+T

a

f(t)dt =

∫ a0+T

a0

f(nT + t)dt =

∫ a0+T

a0

f(t)dt =

∫ T

a0

f(t)dt+

∫ a0+T

T

f(t)dt

=

∫ T

a0

f(t)dt+

∫ a0

0

f(T + t)dt =

∫ T

a0

f(t)dt+

∫ a0

0

f(t)dt =

∫ T

0

f(t)dt

Fakt 2.19 Niech T = b − a będzie okresem zasadniczym funkcji f : R → R całkowalnejna przedziale (a, b). Wówczas 1

n

∫ nb

naf(t)dt =

∫ b

af(t)dt dla n ∈ N .

Dowód. Na mocy faktu 2.18∫ T

0

f(t)dt =

∫ na+kT

na+(k−1)T

f(t)dt

dla k, n ∈ N . W rezultacie otrzymujemy∫ nb

na

f(t)dt =n∑

k=1

∫ na+kT

na+(k−1)T

f(t)dt = n

∫ b

a

f(t)dt

zatem1

n

∫ nb

na

f(t)dt =

∫ b

a

f(t)dt

Twierdzenie 2.20 Załóżmy, że [f ] ∈ L∞(a, b), gdzie funkcja f: (a, b) → R jest obcięciemfunkcji okresowej f : R → R o okresie T = b − a do przedziału (a, b), a fn: (a, b) → R,n ∈ N , jest ciągiem określonym następująco

fn(x) = f(nx)

Wówczas [fn]∗ [ 1

b−a

∫ b

af(x)dx] w L∞(a, b).

Dowód. Zauważmy, że ciąg ([fn])n∈N jest ograniczony w L∞(a, b). Weźmy n ∈ N .Przyjmijmy, że dla każdego M ≥ 0

AMn = x ∈ (a, b) : |fn(x)| > M, BM

n = x ∈ (na, nb) : |f(x)| > M

oraz, żeAn =

M ≥ 0 : µ(AM

n ) = 0

, Bn =M ≥ 0 : µ(BM

n ) = 0


Pokażemy, że An = Bn. Niech M ∈ An. Wtedy µ(AMn ) = 0. Ponieważ odwzorowanie

ϕn: (na, nb) → (a, b) dane wzorem ϕn(x) = xn

jest dyffeomorfizmem, więc µ(ϕ−1n (AM

n )) = 0oraz ϕ−1

n ((a, b) \ AMn ) = (na, nb) \ ϕ−1

n (AMn ). Stąd x ∈ (na, nb) \ ϕ−1

n (AMn ) ⇐⇒ ϕn(x) ∈

(a, b) \ AMn ⇐⇒ |fn(ϕn(x))| ≤ M ⇐⇒ |f(x)| ≤ M ⇐⇒ x ∈ (na, nb) \ BM

n , zatemϕ−1

n (AMn ) = BM

n . W konsekwencji µ(BMn ) = µ(ϕ−1

n (AMn )) = 0, czyli M ∈ Bn. W po-

dobny sposób, wykorzystując własności dyffeomorfizmu ψn: (a, b) → (na, nb) określonegowzorem ϕn(x) = nx, pokazujemy, że Bn ⊂ An. Ponieważ An = Bn, więc inf An = inf Bn.

Z założenia, że liczba T = b − a jest okresem funkcji f oraz f |(a,b) = f wynika, żef((a, b)) = f((a, b)) = f((na, nb)). Stąd

Bn = M ≥ 0 : µ(x ∈ (a, b) : |f(x)| > M) = 0

W rezultacie otrzymujemy

‖[fn]‖∞ = inf An = inf Bn = ‖[f ]‖∞Z uwagi na dowolność n ∈ N ciąg ([fn])n∈N jest ograniczony w L∞(a, b).

Pokażemy teraz, że ∫E

fn(x)dx→∫

E

(1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

)dx

dla dowolnego przedziału E ⊂ (a, b). Weźmy przedział E ⊂ (a, b) o końcach c, d, gdziec < d. Istnieje dokładnie jedna para liczb rzeczywistych α, β taka, że c = α + βa,d = α+ βb. Weźmy n ∈ N . Niech φn = ϕn|(nα+nβa,nα+nβb) i

e =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

Wtedy∫E

fn(x)dx−∫

E

edx =

∫E

(fn(x)− e)dx =

∫ α+βb

α+βa

(f(nx)− e)dx =

=1

n

∫ nα+βnb

nα+βna

(f(nx

n)− e)dx =

1

n

∫ nα+βnb

nα+βna

(f(x)− e)dx

=1

n

∫ nα+βna+[nβ](b−a)

nα+βna

(f(x)− e)dx+1

n

∫ nα+βnb

nα+βna+[nβ](b−a)

(f(x)− e)dx

Wykorzystując fakt 2.18 i wzór na e otrzymujemy∫ nα+βna+[nβ](b−a)

nα+βna

(f(x)− e)dx =

[nβ]∑k=1

∫ nα+βna+k(b−a)

nα+βna+(k−1)(b−a)

(f(x)− e)dx

= [nβ]

∫ b

a

(f(x)− e)dx

= [nβ]

(∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

f(x)dx

)= 0,


Zatem ∫E

fn(x)dx−∫

E

edx =1

n

∫ nα+βnb


(f(x)− e)dx

Ponieważ

0 ≤∣∣∣∣∫

E

fn(x)dx−∫

E

edx

∣∣∣∣ ≤ 1

n

∫ nα+βnb


|f(x)− e|dx

≤ 1

n

∫ nα+βna+([nβ]+1)(b−a)


|f(x)− e|dx =1

n

∫ b

a

|f(x)− e|dx

dla n ∈ N i1

n

∫ b

a

|f(x)− e|dx→ 0

więc ∫E

fn(x)dx→∫

E

edx

Na mocy twierdzenia 2.17

[fn]∗ [

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx] w L∞(a, b)

2.2 Przestrzenie Lp(a, b)× Lp(a, b) i L∞(a, b)× L∞(a, b)

W iloczynie kartezjańskim X × X wprowadzamy dodawanie i mnożenie elementów zX × X przez liczby rzeczywiste: ([u], [v]) + ([u], [v]) = ([u] + [u], [v] + [v]), α([u], [v]) =

(α[u], α[v]). Zbiór X × X ze zdefiniowanymi powyżej działaniami jest przestrzenią R-liniową. Symbolem Lp(a, b) × Lp(a, b), przy ustalonym p ≥ 1, oznaczać będziemy ilo-czyn kartezjański przestrzeni klas abstrakcji względem relacji ∼ funkcji całkowalnych zp-tą potęgą na (a, b), z normą ‖([u], [v])‖p,p = p

√‖[u]‖p

p + ‖[v]‖pp. Natomiast symbolem

L∞(a, b) × L∞(a, b) oznaczać będziemy iloczyn kartezjański przestrzeni klas abstrakcjiwzględem relacji ∼ funkcji mierzalnych i ograniczonych p.w. na (a, b), z normą‖([u], [v])‖∞,∞ = max‖[u]‖∞ , ‖[v]‖∞. Bezpośrednio z definicji funkcji ‖·‖p,p i ‖·‖∞,∞otrzymujemy następujące wnioski.

Wniosek 2.21 ([un], [vn]) → ([u], [v]) w Lp(a, b) × Lp(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy[un] → [u] i [vn] → [v] w Lp(a, b).

Wniosek 2.22 ([un], [vn])n∈N jest ciągiem Cauchy’ego w Lp(a, b) × Lp(a, b), wtedy itylko wtedy, gdy ([un])n∈N i ([vn])n∈N są ciągami Cauchy’ego w Lp(a, b).


Wniosek 2.23 ([un], [vn]) → ([u], [v]) w L∞(a, b) × L∞(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy[un] → [u] i [vn] → [v] w L∞(a, b).

Wniosek 2.24 ([un], [vn])n∈N jest ciągiem Cauchy’ego w L∞(a, b) × L∞(a, b), wtedy itylko wtedy, gdy ([un])n∈N i ([vn])n∈N są ciągami Cauchy’ego w L∞(a, b).

Konsekwencją tych wniosków jest kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.25 Przestrzenie Lp(a, b)×Lp(a, b) i L∞(a, b)×L∞(a, b) są przestrzeniamiBanacha.

Będziemy teraz chcieli scharakteryzować słabą zbieżność w przestrzeni Lp(a, b) ×Lp(a, b). W tym celu udowodnimy najpierw twierdzenie o reprezentacji funkcjonałówliniowych i ciągłych w tej przestrzeni. Do dowodu tego twierdzenia potrzebny nam będzieponiższy

Lemat 2.26 Załóżmy, że Y = Lp (a, b) dla p ≥ 1 lub Y = L∞ (a, b). Wówczas funk-cjonał I : Y × Y → R jest liniowy i ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją jedno-znacznie wyznaczone funkcjonały liniowe i ciągłe I1 : Y → R, I2 : Y → R takie, żeI(y1, y2) = I1(y1) + I2(y2) dla y1, y2 ∈ Y .

Dowód. (⇒) Weźmy y1, y2 ∈ Y . Wówczas I(y1, y2) = I(y1, 0) + I(0, y2). Przyjmijmyza I1 = I(·, 0): Y → R, a za I2 = I(0, ·): Y → R. Są one liniowe i ciągłe jako 0-cię-cia funkcjonału liniowego i ciągłego. Pokażemy, że funkcjonały I1 i I2 są wyznaczonejednoznacznie.

Niech J1 : Y → R, J2 : Y → R takie funkcjonały liniowe i ciągłe, że I(y1, y2) =J1(y1) + J2(y2) dla y1, y2 ∈ Y .

Weźmy y1 ∈ Y . Wtedy I1(y1) + I2(0) = I(y1, 0) = J1(y1) + J2(0). Ponieważ I2(0) =J2(0) = 0, więc I1(y1) = J1(y1). Z uwagi na dowolność y1 ∈ Y mamy I1 = J1. Analogicz-nie dowodzi się, że I2 = J2.

(⇐) Oczywiste.

Twierdzenie 2.27 Załóżmy, że p, q > 1 i 1p

+ 1q

= 1. Wówczas

1. Dla dowolnych funkcji mierzalnych g1, g2: (a, b) → R, takich, że [g1], [g2] ∈ Lq(a, b)

funkcjonał F: Lp(a, b)×Lp(a, b) → R dany wzorem F ([f1], [f2]) =∫ b

af1(x)g1(x)dx+∫ b

af2(x)g2(x)dx jest liniowy i ciągły oraz ‖F‖ ≤ ‖[g1]‖q + ‖[g2]‖q.

2. Dla każdego funkcjonału F ∈ (Lp(a, b)× Lp(a, b))∗ istnieją dokładnie dwie w sensierówności p.w. funkcje mierzalne g1, g2: (a, b) → R, takie, że [g1], [g2] ∈ Lq(a, b) orazF ([f1], [f2]) =

∫ b

af1(x)g1(x)dx+

∫ b

af2(x)g2(x)dx.


Natomiast dla p = 1 prawdziwe są tezy:

1. Dla dowolnych funkcji mierzalnych g1, g2 : (a, b) → R ograniczonych p.w. na (a, b)

funkcjonał F: L1(a, b)×L1(a, b) → R dany wzorem F ([f1], [f2]) =∫ b

af1(x)g1(x)dx+∫ b

af2(x)g2(x)dx jest liniowy i ciągły oraz ‖F‖ ≤ ‖[g1]‖∞ + ‖[g2]‖∞.

2. Dla każdego funkcjonału F ∈ (L1(a, b)× L1(a, b))∗ istnieją dokładnie dwie w sensierówności p.w. funkcje mierzalne g1, g2 : (a, b) → R, takie, że [g1], [g2] ∈ L∞(a, b)

oraz F ([f1], [f2]) =∫ b

af1(x)g1(x)dx+

∫ b

af2(x)g2(x)dx.

Dowód. Obierzmy p > 1. Weźmy q > 1 takie, że 1p

+ 1q

= 1. Niech [g1], [g2] ∈ Lq(a, b).Funkcjonał F: Lp(a, b)× Lp(a, b) → R dany wzorem

F ([f1], [f2]) =

∫ b

a

f1(x)g1(x)dx+

∫ b

a

f2(x)g2(x)dx

jest dobrze określony, bowiem

|F ([f1], [f2])| ≤∫ b

a

|f1(x)||g1(x)|dx+

∫ b

a

|f2(x)||g2(x)|dx

≤ ‖[f1]‖p · ‖[g1]‖q + ‖[f2]‖p · ‖[g2]‖q

≤ p

√‖[f1]‖p

p + ‖[f2]‖pp(‖[g1]‖q + ‖[g2]‖q)

= ‖([f1], [f2])‖p,p (‖[g1]‖q + ‖[g2]‖q)

dla [f1] , [f2] ∈ Lp(a, b). Z twierdzenia Riesza3 funkcjonały F1, F2: Lp(a, b) → R zdefinio-

wane następująco

F1([f ]) =

∫ b

a

f(x)g1(x)dx, F2([f ]) =

∫ b

a

f(x)g2(x)dx

są liniowe i ciągłe. Co więcej, F ([f1], [f2]) = F1([f1]) + F2([f2]) dla [f1], [f2] ∈ Lp(a, b).Na mocy lematu 2.26 F jest liniowy i ciągły, a z powyższej nierówności wynika, że‖F‖ ≤ ‖[g1]‖q + ‖[g2]‖q.

Weźmy funkcjonał F ∈ (Lp(a, b)× Lp(a, b))∗. Z lematu 2.26 wynika, że F ([f1], [f2]) =F1([f1]) + F2([f2]) dla [f1], [f2] ∈ Lp(a, b), gdzie funkcjonały F1, F2 ∈ (Lp(a, b))∗ i są je-dnoznacznie wyznaczone. Na mocy twierdzenia Riesza istnieją dokładnie dwie w sensierówności p.w. funkcje mierzalne g1, g2: (a, b) → R, takie, że [g1], [g2] ∈ Lq(a, b) oraz

F1([f ]) =

∫ b

a

f(x)g1(x)dx, F2([f ]) =

∫ b

a

f(x)g2(x)dx

dla [f ] ∈ Lp(a, b). Stąd

F ([f1], [f2]) = F1([f1]) + F2([f2]) =

∫ b

a

f1(x)g1(x)dx+

∫ b

a

f2(x)g2(x)dx



dla [f1], [f2] ∈ Lp(a, b).W przypadku p = 1 dowód jest analogiczny.

Wniosek 2.28 Załóżmy, że p ∈ [1,+∞). Wówczas ([fn], [hn]) ([f ], [h]) wLp(a, b)× Lp(a, b), wtedy i tylko wtedy, gdy [fn] [f ] w Lp(a, b) i [hn] [h] w Lp(a, b).

Dowód. Podamy dowód wniosku w przypadku p = 1. Dowód dla p ∈ (1,+∞) przebiegaanalogicznie.

(⇒) Weźmy funkcję g: (a, b) → R mierzalną i ograniczoną p.w. na (a, b). Przyjmijmyg1 = g, g2 = 0. Ponieważ ([fn], [hn]) ([f ], [h]) w L1(a, b) × L1(a, b), więc na mocytwierdzenia 2.27∫ b

a

fn(x)g1(x)dx+

∫ b

a

hn(x)g2(x)dx→∫ b

a

f(x)g1(x)dx+

∫ b

a

h(x)g2(x)dx

czyli ∫ b

a

fn(x)g(x)dx→∫ b

a

f(x)g(x)dx

Przyjmując odwrotnie g1 = 0 i g2 = g otrzymamy∫ b

a

hn(x)g(x)dx→∫ b

a

h(x)g(x)dx

Z uwagi na dowolność [g] ∈ L∞(a, b) z twierdzenia Riesza wynika, że [fn] [f ] i [hn] [h]w L1(a, b).

(⇐) Niech g1, g2: (a, b) → R funkcje mierzalne, ograniczone p.w. na (a, b). Ponieważ[fn] [f ] i [hn] [h] w L1(a, b), więc∫ b

a

fn(x)g1(x)dx→∫ b

a

f(x)g1(x)dx

i ∫ b

a


a

h(x)g2(x)dx

Stąd ∫ b

a

fn(x)g1(x)dx+

∫ b

a


a

f(x)g1(x)dx+

∫ b

a

h(x)g2(x)dx

Z uwagi na dowolność [g1], [g2] ∈ L∞(a, b) z twierdzenia 2.27 wynika, że ([fn], [hn]) ([f ], [h]) w L1(a, b)× L1(a, b).

Wykorzystując powyższy wniosek udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.29 Dla każdego p ∈ (1,+∞) przestrzeń Lp(a, b)×Lp(a, b) jest refleksyw-na.


Dowód. Weźmy p > 1. Na mocy twierdzenia 1.4 wystarczy pokazać, że każdy ciągograniczony w Lp(a, b) × Lp(a, b) ma podciąg słabo zbieżny w tej przestrzeni. Niech([fn], [hn])n∈N będzie ciągiem ograniczonym w Lp(a, b)× Lp(a, b). Wtedy istnieje takieK > 0, że dla każdego n ∈ N mamy ‖([fn], [hn])‖p,p ≤ K. Ponieważ

‖([fn], [hn])‖p,p = p

√‖[fn]‖p

p + ‖[hn]‖pp ≥ max‖[fn]‖p , ‖[hn]‖p

więc ‖[fn]‖p ≤ K i ‖[hn]‖p ≤ K dla n ∈ N . W konsekwencji ciągi ([fn])n∈N i ([hn])n∈N

są ograniczone w przestrzeni refleksywnej Lp(a, b). Stąd istnieją podciągi ([fnk])k∈N ⊂

([fn])n∈N , ([hnk])k∈N ⊂ ([hn])n∈N oraz funkcje [f ], [h] ∈ Lp(a, b), takie, że [fnk

] [f ] i[hnk

] [h] w Lp(a, b). Zatem na mocy wniosku 2.28 ([fnk], [hnk

]) ([f ], [h]) w Lp(a, b)×Lp(a, b).

2.3 Funkcje absolutnie ciągłeDefinicja 2.9 Funkcja f : [a, b] → R jest absolutnie ciągła, jeżeli dla dowolnego ε > 0istnieje takie δ > 0, że dla każdego skończonego ciągu [ai, bi]n

i=1 parami rozłącznychpodprzedziałów przedziału [a, b] spełniony jest następujący warunek:

n∑i=1

(bi − ai) < δ =⇒n∑

i=1

|f(ai)− f(bi)| < ε

Zbiór wszystkich funkcji absolutnie ciągłych na przedziale [a, b] oznaczać będziemysymbolem AC[a, b].

Uwaga. Funkcja f : [a, b] → R jest absolutnie ciągła, wtedy i tylko wtedy, gdy dla do-wolnego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego ciągu [ai, bi]+∞

i=1 parami rozłącznychpodprzedziałów przedziału [a, b] spełniony jest następujący warunek:

+∞∑i=1

(bi − ai) < δ =⇒+∞∑i=1

|f(ai)− f(bi)| < ε

Dowód. Oczywiście powyższe stwierdzenie implikuje warunek w definicji 2.9. Zauważmy,że prawdziwa jest również implikacja odwrotna. Ustalmy ε > 0. Z definicji 2.9 wynika,że istnieje δ > 0 takie, że dla każdego skończonego ciągu [ai, bi]n

i=1 parami rozłącz-nych podprzedziałów przedziału [a, b] jeśli

∑ni=1(bi − ai) < δ, to

∑ni=1 |f(ai)− f(bi)| < ε

2.

Weźmy dowolny ciąg [ai, bi]+∞i=1 parami rozłącznych podprzedziałów przedziału [a, b]

taki, że∑+∞

i=1 (bi − ai) < δ. Ciąg ∑n

i=1 |f(bi)− f(ai)|n∈Njest niemalejący. Co wię-

cej, jest ograniczony z góry. Mamy bowiem∑n

i=1(bi − ai) ≤∑+∞

i=1 (bi − ai) < δ, więc∑ni=1 |f(bi)− f(ai)| < ε

2dla n ∈ N . Stąd istnieje

limn→+∞

n∑i=1

|f(bi)− f(ai)| =+∞∑i=1

|f(bi)− f(ai)|


i+∞∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ≤ε

2< ε

Stwierdzenie 2.30 Prawdziwe są następujące zdania:

1. Każda funkcja absolutnie ciągła f: [a, b] → R jest jednostajnie ciągła.

2. Jeśli f ∈ AC[a, b] jest ściśle monotoniczna oraz f([a, b]) ⊂ [α, β] i g ∈ AC[α, β], tog f ∈ AC[a, b].

3. Każda funkcja absolutnie ciągła jest funkcją o wahaniu skończonym.

Dowód. Łatwe dowody tez 1 i 2 pomijamy. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją abso-lutnie ciągłą. Wahanie funkcji f oznaczać będziemy symbolem

∨ba f . Na mocy definicji

2.9 istnieje takie δ > 0, że dla każdego skończonego ciągu [ai, bi]ni=1 parami rozłącznych

podprzedziałów przedziału [a, b] jeśli∑n

i=1(bi−ai) < δ, to∑n

i=1 |f(ai)− f(bi)| < 1. Niechxik

i=0 będzie podziałem odcinka [a, b], tzn. a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk = b, takim,że xi − xi−1 < δ dla i = 1, 2, . . . , k. Wówczas

b∨a

f =k∑

i=1

xi∨xi−1

f

gdzie∨xi

xi−1f jest wahaniem funkcji f |[xi−1,xi]. Ustalmy i ∈ 1, 2, . . . , k. Weźmy dowol-

ny podział xil

s

l=0 odcinka [xi−1, xi]. Ponieważ∑s

l=1(xil − xi

l−1) = xi − xi−1 < δ, więc∑sl=1

∣∣f(xil)− f(xi

l−1)∣∣ < 1. Stąd

∨xi

xi−1f ≤ 1, a z uwagi na dowolność 1 ≤ i ≤ k mamy∨b

a f ≤ k.

Uwaga. Ponieważ każda funkcja absolutnie ciągła f : [a, b] → R ma wahanie skończo-ne, więc na mocy twierdzenia Lebesgue’a4 f jest różniczkowalna p.w. na [a, b]. Wiadomotakże, że jej pochodna jest funkcją całkowalną oraz f(x) = f(a)+

∫ x

af ′(t)dt dla x ∈ [a, b]5.

Twierdzenie 2.31 Niech g : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną. Wtedy funkcjaf : [a, b] → R dana wzorem f(x) = f(a) +

∫ x

ag(t)dt jest absolutnie ciągła oraz f ′ = g

p.w. na [a, b].6

Wniosek 2.32 Funkcja f : [a, b] → R jest absolutnie ciągła, wtedy i tylko wtedy, gdy fjest różniczkowalna p.w., f ′ jest funkcją całkowalną oraz f(x) = f(a) +

∫ x

af ′(t)dt dla

x ∈ [a, b].

4S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Warszawa 1973, s. 158.5S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Warszawa 1973, s. 173.6Porównaj: R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, Warszawa 1958, tom 1, s. 404.


Twierdzenie 2.33 Jeżeli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, punkt c ∈ [a, b] oraz funkcjef |[a,c] i f |[c,b] są absolutnie ciągłe, to f jest absolutnie ciągła.

Dowód. Obierzmy ε > 0. Ponieważ funkcje f |[a,c] i f |[c,b] są absolutnie ciągłe, więc ist-nieje takie δ1 > 0, że dla każdego ciągu rozłącznych przedziałów [ai, bi]n

i=1 takiego, że⋃ni=1[ai, bi] ⊂ [a, c] mamy

n∑i=1

(bi − ai) < δ1 =⇒n∑

i=1

|f(bi)− f(ai)| <ε

4

i istnieje takie δ2 > 0, że dla każdego ciągu rozłącznych przedziałów [ai, bi]ni=1 takiego,

że⋃n

i=1[ai, bi] ⊂ [c, b] mamy

n∑i=1

(bi − ai) < δ2 =⇒n∑

i=1

|f(bi)− f(ai)| <ε

4

Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc istnieje takie δ3 > 0, że dla każdego x ∈ [a, b]

|x− c| < δ3 =⇒ |f(x)− f(c)| < ε

4

Przyjmijmy δ = minδ1, δ2, δ3. Niech [ai, bi]ni=1 będzie takim ciągiem parami roz-

łącznych przedziałów, że⋃n

i=1[ai, bi] ⊂ [a, b] oraz∑n

i=1(bi − ai) < δ. Może się zdarzyć, żec = ak lub c = bk lub c ∈ (ak, bk) lub c ∈ (bk−1, ak) dla pewnego 1 ≤ k ≤ n. Ponieważrozumowanie w każdym z tych przypadków jest podobne, więc rozważymy tylko jeden znich. Załóżmy, że c ∈ (ak, bk) dla pewnego 1 ≤ k ≤ n. Wówczas

⋃k−1i=1 [ai, bi] ⊂ [a, c],⋃n

i=k+1[ai, bi] ⊂ [c, b] oraz∑k−1

i=1 (bi − ai) < δ ≤ δ1 i∑n

i=k+1(bi − ai) < δ ≤ δ2. Zatemna mocy powyższych własności

∑k−1i=1 |f(bi)− f(ai)| < ε

4,∑n

i=k+1 |f(bi)− f(ai)| < ε4. Co

więcej, |bk − c| < δ ≤ δ3 i |ak − c| < δ ≤ δ3, więc |f(bk)− f(c)| < ε4

i |f(ak)− f(c)| < ε4.

W konsekwencji

n∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ≤k−1∑i=1

|f(bi)− f(ai)|+n∑

i=k+1

|f(bi)− f(ai)|+

+ |f(bk)− f(c)|+ |f(ak)− f(c)| < ε

Wobec dowolności ε > 0 funkcja f jest absolutnie ciągła.

Rozdział 3

Przestrzenie Soboleva

W niniejszym rozdziale z każdą funkcją absolutnie ciągłą u: [a, b] → R stowarzysza-my parę ([u] , [u′]) ∈ Lp(a, b) × Lp(a, b) lub ([u] , [u′]) ∈ L∞(a, b) × L∞(a, b), o ile u′ jestfunkcją całkowalną z p-tą potęgą lub u′ jest ograniczona p.w., odpowiednio. Normy wprzestrzeniach Lp(a, b) × Lp(a, b) i L∞(a, b) × L∞(a, b) indukują normy w odpowiednichpodprzestrzeniach przestrzeni R-liniowej AC[a, b]. Otrzymane w ten sposób przestrze-nie unormowane nazywamy przestrzeniami Soboleva i oznaczamy W 1,p [a, b], W 1,∞ [a, b].Na zakończenie podrozdziału pierwszego badamy podprzestrzenie domknięte przestrzeniSoboleva tych funkcji, które przyjmują w punktach a i b wartość zero. Oznaczamy jeodpowiednio W 1,p

0 [a, b] i W 1,∞0 [a, b]. W paragrafie drugim podamy postać funkcjonałów

liniowych i ciągłych w W 1,p [a, b]. Udowodnimy, że dla p > 1 przestrzeń W 1,p [a, b] i jejpodprzestrzeń W 1,p

0 [a, b] są refleksywne.Paragraf czwarty w całości jest poświęcony lematom o zanurzeniach przestrzeni Sobo-

leva W 1,∞ [a, b] i W 1,p [a, b] w przestrzeń L∞(a, b). Pokazujemy, że ciąg (∗)-słabo zbieżnyw W 1,∞ [a, b] lub słabo zbieżny w W 1,p [a, b], p > 1, jest zbieżny w L∞(a, b) oraz, że(∗)-słaba zbieżność w W 1,∞ [a, b] implikuje zbieżność jednostajną.

3.1 Przestrzenie W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b]

Załóżmy, że funkcja u: [a, b] → R jest absolutnie ciągła. Niech U = x ∈ (a, b) : u niejest różniczkowalna w x. Oczywiście µ(U) = 0. Funkcja u′: (a, b) → R dana wzorem

u′(x) =

u′(x) dla x ∈ (a, b) \ U0 dla x ∈ U

jest przedłużeniem funkcji u′: (a, b) \ U → R. Przyjmujemy wówczas, że [u′] := [u′] oraz[u] :=

[u|(a,b)

].

Definicja 3.1 Zbiór u: [a, b] → R : u ∈ AC[a, b], [u′] ∈ Lp(a, b), przy ustalonym p ≥ 1,z normą

‖u‖(1,p) = ‖([u], [u′])‖p,p

Rozdział 3. Przestrzenie Soboleva 35

oraz zbiór u: [a, b] → R : u ∈ AC[a, b], [u′] ∈ L∞(a, b) z normą

‖u‖(1,∞) = ‖([u], [u′])‖∞,∞

nazywamy przestrzeniami Soboleva i oznaczamy odpowiednio W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b].

Zauważymy, że tak przyjęta definicja jest poprawna. Ponieważ przestrzeń AC [a, b],przestrzeń funkcji różniczkowalnych p.w. na (a, b) oraz przestrzenie Lp(a, b) i L∞(a, b) sąR-liniowe, więc przestrzenie W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b] są R-liniowe. Pokażemy, że funkcje‖·‖(1,p) i ‖·‖(1,∞) są normami w tych przestrzeniach. Ponieważ dowolna funkcjau ∈ AC[a, b] jest mierzalna i ograniczona, więc [u] ∈ L∞(a, b) ⊂ Lp(a, b). Zatem de-finicje obu funkcji są poprawne. Funkcje ‖·‖(1,p) i ‖·‖(1,∞) są nieujemne oraz spełniajądrugi i trzeci aksjomat normy. Wynika to stąd, że funkcje ‖·‖p,p i ‖·‖∞,∞ są normami wprzestrzeniach Lp(a, b)×Lp(a, b) i L∞(a, b)×L∞(a, b) odpowiednio. Wobec tego wystar-czy wykazać, że funkcje ‖·‖(1,p) i ‖·‖(1,∞) przyjmują wartość zero tylko dla funkcji stałejrównej zero. Potrzebny nam będzie do tego następujący

Lemat 3.1 Jeżeli funkcje u, v: [a, b] → R są ciągłe i u = v p.w. na (a, b), to u = v.

Dowód. Przypuśćmy, że istnieje takie x0 ∈ [a, b], że u(x0) 6= v(x0). Możemy założyć, żeu(x0) < v(x0). Niech

ε =v(x0)− u(x0)

2

Wówczas istnieje takie δ > 0, że dla każdego x ∈ [a, b] takiego, że |x − x0| < δ mamy|u(x)− u(x0)| < ε i |v(x)− v(x0)| < ε. Weźmy x ∈ [a, b] takie, że |x− x0| < δ. Wtedy

−v(x0)− u(x0)

2< u(x)− u(x0) <

v(x0)− u(x0)

2

i−v(x0)− u(x0)

2< v(x)− v(x0) <

v(x0)− u(x0)

2

Stąd3u(x0)− v(x0)

2< u(x) <

v(x0) + u(x0)

2oraz

v(x0) + u(x0)

2< v(x) <

3v(x0)− u(x0)

2

czyli u(x) < v(x). W rezultacie u(x) < v(x) dla x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Ponieważx0 ∈ [a, b], więc przekrój [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ) jest przedziałem takim, że

µ([a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ)) > 0

Wobec tego u < v na zbiorze miary dodatniej — sprzeczność.


Na mocy lematu 3.1, jeśli u ∈ AC[a, b] i u = 0 p.w. na (a, b), to u = 0. Stąd‖u‖(1,p) = 0 ⇐⇒ ‖([u], [u′])‖p,p = 0 ⇐⇒ ([u], [u′]) = ([0], [0]) ⇐⇒ [u] = [0] i [u′] = [0] ⇐⇒u = 0 oraz ‖u‖(1,∞) = 0 ⇐⇒ ‖([u], [u′])‖∞,∞ = 0 ⇐⇒ ([u], [u′]) = ([0], [0]) ⇐⇒ [u] = [0] i[u′] = [0] ⇐⇒ u = 0. W konsekwencji funkcje ‖·‖(1,p) i ‖·‖(1,∞) są normami.Uwaga. Symbolem ‖·‖C oznaczać będziemy normę supremum w przestrzeni C ([a, b]).

Fakt 3.2 Następujące zdania są prawdziwe:

1. Jeśli u ∈ W 1,p [a, b], p > 1 oraz 1p

+ 1q

= 1, to

‖u− u(a)‖C ≤q√b− a ‖u‖(1,p) ;

2. Jeśli u ∈ W 1,1 [a, b], to‖u− u(a)‖C ≤ ‖u‖(1,1) ;

3. Jeśli u ∈ W 1,∞ [a, b], to

‖u− u(a)‖C ≤ (b− a) ‖u‖(1,∞) .

Dowód. Niech u ∈ W 1,p [a, b], p > 1 oraz 1p

+ 1q

= 1. Wówczas

‖u− u(a)‖C = supx∈[a,b]

|u(x)− u(a)| = supx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt+ u(a)− u(a)

∣∣∣∣≤∫ b

a

|u′(t)|dt ≤ q√b− a p

√‖[u′]‖p

p + ‖[u]‖pp =

q√b− a ‖u‖(1,p)

Niech u ∈ W 1,1 [a, b]. Wtedy


∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|u′(t)|dt = ‖[u′]‖1

≤ ‖[u′]‖1 + ‖[u]‖1 = ‖([u], [u′])‖1,1 = ‖u‖(1,1)

Niech u ∈ W 1,∞ [a, b]. Wówczas


∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|u′(t)|dt ≤ (b− a) ‖[u′]‖∞

≤ (b− a) max‖[u′]‖∞ , ‖[u]‖∞ = (b− a) ‖([u], [u′])‖∞,∞ = (b− a) ‖u‖(1,∞)

Twierdzenie 3.3 Przestrzenie Soboleva W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b] są przestrzeniami Bana-cha.


Dowód. Podamy dowód twierdzenia w przypadku p ∈ [1,+∞). Dowód dla p = +∞przebiega analogicznie. Niech (un)n∈N będzie ciągiem Cauchy’ego w W 1,p [a, b]. Z faktu3.2 wynika, że (un − un(a))n∈N jest ciągiem Cauchy’ego w C ([a, b]). Ponieważ C ([a, b])jest przestrzenią Banacha, więc istnieje takie u0 ∈ C ([a, b]), że un − un(a) ⇒ u0 na [a, b].

W szczególności 0 = un(a)−un(a) → u0(a), czyli u0(a) = 0. Ciąg (un)n∈N jest ciągiemCauchy’ego w W 1,p [a, b] i ‖un‖(1,p) = ‖([un], [u′n])‖p,p dla n ∈ N , zatem ([un], [u′n])n∈N

jest ciągiem Cauchy’ego w Lp(a, b) × Lp(a, b). Na mocy twierdzenia 2.25 przestrzeńLp(a, b) × Lp(a, b) jest zupełna, wobec tego istnieją takie funkcje w, v : (a, b) → R cał-kowalne z p-tą potęgą, że ([un], [u′n]) → ([w], [v]) w Lp(a, b)× Lp(a, b). Na mocy wniosku2.21 [un] → [w] i [u′n] → [v] w Lp(a, b).

Niech x ∈ [a, b]. Dla każdego n ∈ N mamy

0 ≤∣∣∣∣∫ x

a

u′n(t)dt−∫ x

a

v(t)dt

∣∣∣∣≤

∫ b

a

|u′n(t)− v(t)| dt

= ‖[u′n]− [v]‖1 dla p = 1

≤ q√b− a ‖[u′n]− [v]‖p dla p > 1, 1

p+ 1

q= 1

Stosując twierdzenie o trzech ciągach dostajemy∫ x

au′n(t)dt→

∫ x

av(t)dt. Z drugiej strony

limn→+∞

∫ x

a

u′n(t)dt = limn→+∞

(un(x)− un(a)) = u0(x) .

Wobec jednoznaczności granicy

u0(x) =

∫ x

a

v(t)dt

dla x ∈ [a, b]. Na mocy twierdzenia 2.31 u0 ∈ AC[a, b] i u′0(x) = v(x) dla p.k. x ∈ (a, b).Ponieważ [v] ∈ Lp(a, b), więc u0 ∈ W 1,p [a, b]. Zauważmy, że un−un(a) → u0 w W 1,p [a, b].Mamy bowiem

‖(un − un(a))− u0‖(1,p) = p

√‖[un − un(a)]− [u0]‖p

p + ‖[u′n]− [u′0]‖pp

dla n ∈ N oraz ‖[u′n]− [u′0]‖p = ‖[u′n]− [v]‖p → 0 i ‖[un − un(a)]− [u0]‖p → 0, gdyżun − un(a) ⇒ u0 na [a, b]. Ponieważ [un − un(a)] → [u0] i [un] → [w] w Lp(a, b), więc[un(a)] → [w]− [u0] w Lp(a, b). Zatem ciąg ([un (a)])n∈N jest ograniczony w Lp(a, b) i stąd(un (a))n∈N jest ograniczony w R1. Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa (un (a))n∈N

zawiera pewien podciąg (unk(a))k∈N zbieżny w R1. Przyjmijmy, że limk→+∞ unk

(a) = c.Wówczas [unk

(a)] → [c] w Lp(a, b) i z jednoznaczności granicy [w]− [u0] = [c]. W konsek-wencji [un (a)] → [c] w Lp (a, b) i stąd un (a) → c w W 1,p [a, b], bowiem ‖un (a)− c‖(1,p) =

‖[un (a)]− [c]‖p dla n ∈ N . Ponieważ un − un (a) → u0 i un(a) → c w W 1,p [a, b], więcun → u0 + c w W 1,p [a, b]. Zatem każdy ciąg Cauchy’ego w W 1,p [a, b] jest zbieżny w tejprzestrzeni, a więc W 1,p [a, b] jest przestrzenią Banacha.


Twierdzenie 3.4 Jeżeli p ≥ 1, to W 1,∞ [a, b] ⊂ W 1,p [a, b] oraz

‖u‖(1,p) ≤p√

2(b− a) ‖u‖(1,∞)

dla u ∈ W 1,∞ [a, b].

Dowód. Ponieważ L∞(a, b) ⊂ Lp(a, b), więc W 1,∞ [a, b] ⊂ W 1,p [a, b]. Weźmyu ∈ W 1,∞ [a, b]. Na mocy lematu 2.8 mamy

‖[u]‖p ≤p√b− a ‖[u]‖∞

i‖[u′]‖p ≤

p√b− a ‖[u′]‖∞

Stąd

‖u‖(1,p) = ‖([u], [u′])‖p,p = p

√‖[u]‖p

p + ‖[u′]‖pp

≤ p

√2(b− a) max‖[u]‖p

∞ , ‖[u′]‖p∞ = p

√2(b− a) ‖u‖(1,∞)

Fakt 3.5 Jeżeli un → u w W 1,p [a, b] dla p ∈ [1,+∞) lub p = +∞, to un ⇒ u na [a, b].

Dowód. (1) Niech p ∈ [1,+∞) i niech un → u w W 1,p [a, b]. Ponieważ

‖[un]− [u]‖p ≤ p

√‖[un]− [u]‖p

p + ‖[u′n]− [u′]‖pp

= ‖([un]− [u], [u′n]− [u′])‖p,p = ‖un − u‖(1,p)

dla n ∈ N , więc [un] → [u] w Lp(a, b). Na mocy faktu 3.2

‖un − un(a)− (u− u(a))‖C ≤

q√b− a ‖un − u‖(1,p) dla p > 1, 1

p+ 1

q= 1.

‖un − u‖(1,1) dla p = 1

dla n ∈ N , zatem un − un(a) ⇒ u − u(a) na [a, b]. Stąd [un − un(a)] → [u − u(a)] wLp(a, b). Ponieważ [un− un(a)] → [u− u(a)] i [un] → [u] w Lp(a, b), więc [un(a)] → [u(a)]w Lp(a, b). Wobec tego un(a) → u(a) w R1. Stąd un(a) ⇒ u(a) na [a, b]. W rezultacieun − un(a) ⇒ u− u(a) i un(a) ⇒ u(a) na [a, b], czyli un ⇒ u na [a, b].

(2) Niech un → u w W 1,∞ [a, b]. Z twierdzenia 3.4 wynika, że un → u w W 1,p [a, b] dlap ≥ 1. Na mocy pierwszej części dowodu un ⇒ u na [a, b].

Zajmiemy się teraz pewnymi podprzestrzeniami przestrzeni Soboleva. Zbiór tych u ∈W 1,p [a, b], przy ustalonym p ≥ 1, dla których u(a) = u(b) = 0 oznaczać będziemy symbo-lem W 1,p

0 [a, b]. Natomiast zbiór tych funkcji z przestrzeni W 1,∞ [a, b], które w punktacha i b przyjmują wartość 0, oznaczać będziemy symbolem W 1,∞

0 [a, b].


Fakt 3.6 Przestrzenie W 1,p0 [a, b] i W 1,∞

0 [a, b] są domkniętymi podprzestrzeniami przes-trzeni Soboleva W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b] odpowiednio.

Dowód. Niech f: W 1,p [a, b] → R2 będzie odwzorowaniem danym wzorem

f (u) = (u (a) , u (b))

Zauważymy, że f jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym. Weźmy α, β ∈ R i u, v ∈W 1,p [a, b]. Otrzymujemy

f(αu+ βv) = α (u (a) , u (b)) + β (v (a) , v (b)) = αf (u) + βf (v)

Stąd f jest liniowe. Wobec tego wystarczy pokazać, że f jest ciągłe w zerze. Niech un → 0w W 1,p [a, b]. Na mocy faktu 3.5 un ⇒ 0 na [a, b], zatem un (a) → 0 i un (b) → 0 w R1.Stąd f (un) = (un(a), un(b)) → (0, 0) w R2. Ponieważ f ∈ L (W 1,p [a, b] , R2), więc ker fjest domkniętą podprzestrzenią W 1,p [a, b]. Ale

ker f =u ∈ W 1,p [a, b] : u (a) = 0 i u (b) = 0

= W 1,p

0 [a, b]

Domkniętość przestrzeni W 1,∞0 [a, b] w przestrzeni W 1,∞ [a, b] dowodzi się analogicznie.

Ponieważ W 1,p0 [a, b] i W 1,∞

0 [a, b] są domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Bana-cha W 1,p [a, b] i W 1,∞ [a, b] odpowiednio, więc prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.7 Przestrzenie Soboleva W 1,p0 [a, b] i W 1,∞

0 [a, b] są przestrzeniami Bana-cha.

Lemat 3.8 (Nierówności Poincaré) Prawdziwe są następujące nierówności:

1. ‖[u]‖p ≤ (b− a) ‖[u′]‖p dla każdego u ∈ W 1,p0 [a, b].

2. ‖[u]‖∞ ≤ (b− a) ‖[u′]‖∞ dla każdego u ∈ W 1,∞0 [a, b].

Dowód.

1. Weźmy u ∈ W 1,p0 [a, b]. Ponieważ u(a) = 0, to u(x) =

∫ x

au′(t)dt dla x ∈ [a, b].

Mamy

‖[u]‖pp =

∫ b

a

|u(x)|pdx =

∫ b

a

∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt

∣∣∣∣p dx

≤∫ b

a

(∫ x

a

|u′(t)|dt)p

dx ≤∫ b

a

(∫ b

a

|u′(t)|dt)p

dx


Gdy p > 1, to stosując nierówność Höldera otrzymujemy:∫ b

a

(∫ b

a

|u′(t)|dt)p

dx ≤∫ b

a

(q√b− a

(∫ b

a

|u′(t)|pdt) 1

p

)p

dx

=

∫ b

a

(b− a)pq ‖[u′]‖p

p dx = (b− a)pq+1 ‖[u′]‖p

p

gdzie 1p

+ 1q

= 1. Stąd ‖[u]‖pp ≤ (b − a)p ‖[u′]‖p

p, czyli ‖[u]‖p ≤ (b − a) ‖[u′]‖p.Natomiast dla p = 1 mamy

‖[u]‖1 ≤∫ b

a

(∫ b

a

|u′(t)|dt)

dx =

∫ b

a

‖[u′]‖1 dx = (b− a) ‖[u′]‖1

2. Weźmy u ∈ W 1,∞0 [a, b]. Wtedy

‖[u]‖∞ = supx∈[a,b]

|u (x)| = supx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ x

a

u′(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|u′(t)| dt ≤ (b− a) ‖[u′]‖∞

3.2 Słaba zbieżność w przestrzeniach W 1,p [a, b]

Niech ip : W 1,p [a, b] → Lp(a, b) × Lp(a, b), przy dowolnie ustalonym p > 1, będzieodwzorowaniem danym wzorem ip(u) = ([u], [u′]) dla u ∈ W 1,p [a, b]. Wykorzystując pe-wne własności tego odwzorowania, udowodnimy twierdzenie o reprezentacji funkcjonałówliniowych i ciągłych w W 1,p [a, b] i zbadamy refleksywność przestrzeni W 1,p [a, b].

Fakt 3.9 Odwzorowanie ip : W 1,p [a, b] → Lp(a, b) × Lp(a, b) jest liniowe oraz‖ip(u)‖p,p = ‖u‖(1,p) dla u ∈ W 1,p [a, b].

Dowód. Odwzorowanie ip jest liniowe, bowiem ip(α [u] + β [v]) = ip([αu + βv]) =α([u], [u′]) + β([v], [v′]) = αip(u) + βip(v) dla u, v ∈ W 1,p [a, b] oraz α, β ∈ R. Zauważmy,że ip zachowuje normę. Niech u ∈ W 1,p [a, b]. Wtedy ‖ip(u)‖p,p = ‖([u], [u′])‖p,p = ‖u‖(1,p).

Wniosek 3.10 Przestrzenie unormowane W 1,p [a, b] oraz ip(W 1,p [a, b]) są izometryczne.Odwzorowanie ip: W 1,p [a, b] → ip (W 1,p [a, b]) jest izometrią1.

Wniosek 3.11 Przestrzeń ip(W1,p [a, b]) jest podprzestrzenią domkniętą przestrzeni

Lp(a, b)× Lp(a, b).

1W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa 1978, s. 138.


Lemat 3.12 Domknięta podprzestrzeń przestrzeni refleksywnej jest refleksywna.

Dowód. Niech E0 ⊂ E będzie domkniętą podprzestrzenią przestrzeni refleksywnej E.Oczywiście E0 jest przestrzenią Banacha. Niech (un)n∈N ⊂ E0 będzie ciągiem ograni-czonym. Ponieważ E jest refleksywna, więc istnieją (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N oraz u ∈ Etakie, że unk

u w E. Na mocy twierdzenia Mazura istnieje ciąg kombinacji wypukłychvnk

=∑k

i=1 αnki uni

,∑k

i=1 αnki = 1, αnk

i ≥ 0, i = 1, . . . , k, k ∈ N , taki, że vnk→ u w E.

Ponieważ E0 jest liniowa, więc (vnk)k∈N ⊂ E. Wobec domkniętości E0, u ∈ E0. Niech

F: E0 → R będzie funkcjonałem liniowym i ciągłym. Z twierdzenia o przedłużaniu funk-cjonałów liniowych i ciągłych wynika, że istnieje funkcjonał liniowy i ciągły F : E → R

taki, że F |E0 = F oraz∥∥∥F∥∥∥ = ‖F‖. Ponieważ unk

u w E, więc F (unk) → F (u) w

R1. Ale F (unk) = F (unk

) i F (u) = F (u), bo u ∈ E0 i unk∈ E0 dla k ∈ N . Stąd

F (unk) → F (u) w R1. Z uwagi na dowolność F ∈ (E0)

∗, unk u w E0. Pokazaliśmy, że

każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha E0 zawiera podciąg słabo zbieżny w E0.Na mocy twierdzenia 1.4 przestrzeń E0 jest refleksywna.

Twierdzenie 3.13 Przestrzeń Soboleva W 1,p [a, b] dla p > 1 jest refleksywna.

Dowód. Niech p > 1 i niech (un)n∈N ⊂ W 1,p [a, b] będzie ciągiem ograniczonym. Po-nieważ ‖ip(u)‖p,p = ‖u‖(1,p) dla n ∈ N , więc (ip(un))n∈N jest ciągiem ograniczonym wLp(a, b) × Lp(a, b). Przestrzeń Lp(a, b) × Lp(a, b) jest refleksywna. Na mocy wniosku3.11 i powyższego lematu ip(W

1,p [a, b]) jest przestrzenią refleksywną. Zatem istnieją(unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N oraz u ∈ W 1,p [a, b] takie, że ip (unk) ip (u) w ip (W 1,p [a, b]). Niech

F : W 1,p [a, b] → R będzie funkcjonałem liniowym i ciągłym. Ponieważ odwzorowaniei−1p : ip (W 1,p [a, b]) → W 1,p [a, b] jest izometrią, więc superpozycja F i−1

p : ip (W 1,p [a, b]) →R jest funkcjonałem liniowym i ciągłym. Stąd F i−1

p (ip (unk)) → F i−1

p (ip (u)) w R1, czy-li F (unk

) → F (u) w R1. Z uwagi na dowolność F ∈ (W 1,p [a, b])∗, unk

u w W 1,p [a, b].Ponieważ każdy ciąg ograniczony w przestrzeni W 1,p [a, b] zawiera podciąg słabo zbieżny,więc na mocy twierdzenia 1.4 W 1,p [a, b] jest refleksywna.

Z faktu 3.6, twierdzenia 3.13 i lematu 3.12 wynika następujący wniosek:

Wniosek 3.14 Przestrzeń Soboleva W 1,p0 [a, b] dla p > 1 jest refleksywna.

Zgodnie z tym, co już zapowiadaliśmy, opiszemy teraz funkcjonały liniowe i ciągłe wprzestrzeniach Soboleva W 1,p [a, b].

Twierdzenie 3.151. Załóżmy, że p, q > 1, 1

p+ 1

q= 1. Funkcjonał F: W 1,p [a, b] → R jest liniowy i ciągły,

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją funkcje g1, g2: (a, b) → R całkowalne z q-tą potęgątakie, że

F (u) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx


dla u ∈ W 1,p [a, b].

2. Funkcjonał F: W 1,1 [a, b] → R jest liniowy i ciągły, wtedy i tylko wtedy, gdy istniejąfunkcje g1, g2: (a, b) → R mierzalne i ograniczone p.w. na (a, b) takie, że

F (u) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

dla u ∈ W 1,1 [a, b].

Dowód. (⇒) Funkcjonał F i−1p : ip(W

1,p [a, b]) → R jest liniowy i ciągły jako złożenieodwzorowań liniowych i ciągłych. Zatem z twierdzenia o rozszerzaniu funkcjonałów li-niowych i ciągłych2 istnieje taki funkcjonał liniowy i ciągły F : Lp(a, b) × Lp(a, b) → R,że

F i−1p = F |ip(W 1,p[a,b])

Na mocy twierdzenia 2.27 istnieją funkcje g1, g2 : (a, b) → R całkowalne z q-tą potęgątakie, że

F ([f1], [f2]) =

∫ b

a

f1(x)g1(x)dx+

∫ b

a

f2(x)g2(x)dx

Ponieważ F i−1p = F |ip(W 1,p[a,b]), więc F = F ip. Wobec tego

F (u) = F ip(u) = F (ip(u)) = F ([u], [u′]) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

dla u ∈ W 1,p [a, b].(⇐) Z twierdzenia 2.27 funkcjonał F: Lp(a, b)× Lp(a, b) → R dany wzorem

F ([f1], [f2]) =

∫ b

a

f1(x)g1(x)dx+

∫ b

a

f2(x)g2(x)dx

jest liniowy i ciągły. Zauważmy, że F = F ip. Weźmy u ∈ W 1,p [a, b]. Wtedy

F ip(u) = F (ip(u)) = F ([u], [u′]) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx = F (u)

Ponieważ superpozycja odwzorowań liniowych i ciągłych jest odwzorowaniem liniowym iciągłym, więc F jest funkcjonałem liniowym i ciągłym w W 1,p [a, b].

Dowód drugiej części twierdzenia biegnie analogicznie, dlatego go pomijamy.

Fakt 3.16 Niech (un)n∈N ⊂ W 1,p [a, b] i u ∈ W 1,p [a, b]. Wówczas un u w W 1,p [a, b],wtedy i tylko wtedy, gdy [un] [u] i [u′n] [u′] w Lp(a, b).



Dowód. Załóżmy, że p > 1, 1p

+ 1q

= 1. Stosując twierdzenia o reprezentacji funk-cjonałów liniowych i ciągłych w W 1,p [a, b] i Lp(a, b) × Lp(a, b) otrzymujemy: un u

w W 1,p [a, b] ⇐⇒ ∀[g1],[g2]∈Lq(a,b)

∫ b

aun(x)g1(x)dx +

∫ b

au′n(x)g2(x)dx →

∫ b

au(x)g1(x)dx +∫ b

au′(x)g2(x)dx⇐⇒ ([un], [u′n]) ([u], [u′]) w Lp(a, b)× Lp(a, b) ⇐⇒ [un] [u] i [u′n]

[u′] w Lp(a, b). Dla p = 1 dowód jest podobny.

3.3 (∗)-słaba zbieżność w przestrzeni W 1,∞ [a, b]

Definicja 3.2 Powiemy, że ciąg (un)n∈N ⊂ W 1,∞ [a, b] jest (∗)-słabo zbieżny do funkcjiu ∈ W 1,∞ [a, b], gdy dla dowolnych funkcji całkowalnych g1, g2: (a, b) → R mamy∫ b

a

un(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′n(x)g2(x)dx→∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

Zapisujemy: un∗ u w W 1,∞ [a, b].

Udowodnimy teraz kilka własności ciągów (∗)-słabo zbieżnych w W 1,∞ [a, b].

Lemat 3.17 Dla dowolnych funkcji całkowalnych g1, g2 : (a, b) → R funkcjonałF: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem

F (u) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

jest liniowy i ciągły.

Dowód. Niech g1, g2: (a, b) → R będą funkcjami całkowalnymi. Niech

F (u) =

∫ b

a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

dla u ∈ W 1,∞ [a, b]. Liniowość funkcjonału F wynika z własności całki. Zauważymy, żejest to funkcjonał ograniczony. Weźmy u ∈ W 1,∞ [a, b]. Wtedy

|F (u)| ≤∫ b

a

‖[u]‖∞ |g1(x)| dx+

∫ b

a

‖[u′]‖∞ |g2(x)| dx

≤ max‖[u′]‖∞ , ‖[u]‖∞(‖[g1]‖1 + ‖[g2]‖1) = ‖([g1], [g2])‖1,1 ‖u‖(1,∞)

W rezultacie F jest liniowy i ciągły oraz ‖F‖ ≤ ‖([g1], [g2])‖1,1.

Wniosek 3.18 Jeżeli un u w W 1,∞ [a, b], to un∗ u w W 1,∞ [a, b].


Fakt 3.19 Niech (un)n∈N ⊂ W 1,∞ [a, b] oraz u ∈ W 1,∞ [a, b]. Wówczas un∗ u

w W 1,∞ [a, b], wtedy i tylko wtedy, gdy [un]∗ [u] i [u′n]

∗ [u′] w L∞(a, b).

Dowód. (⇒) Niech g: (a, b) → R będzie funkcją całkowalną. Przyjmijmy g1 = g i g2 = 0.Ponieważ un

∗ u w W 1,∞ [a, b], więc zgodnie z definicją 3.2∫ b

a

un(x)g(x)dx→∫ b

a

u(x)g(x)dx

Natomiast przyjmując g1 = 0 i g2 = g otrzymujemy∫ b

a

u′n(x)g(x)dx→∫ b

a

u′(x)g(x)dx

Z uwagi na dowolność [g] ∈ L1(a, b) mamy [un]∗ [u] i [u′n]

∗ [u′] w L∞(a, b).

(⇐) Niech g1, g2 : (a, b) → R będą funkcjami całkowalnymi. Ponieważ [un]∗ [u]

i [u′n]∗ [u′] w L∞(a, b), więc∫ b

a

un(x)g1(x)dx→∫ b

a

u(x)g1(x)dx

i ∫ b

a


a

u′(x)g2(x)dx

Stąd ∫ b

a

un(x)g1(x)dx+

∫ b

a


a

u(x)g1(x)dx+

∫ b

a

u′(x)g2(x)dx

Wobec dowolności [g1], [g2] ∈ L1(a, b) mamy un∗ u w W 1,∞ [a, b].

Wniosek 3.20 Jeśli ciąg un∗ u w W 1,∞ [a, b], to (un)n∈N jest ciągiem ograniczonym w

W 1,∞ [a, b] oraz‖u‖(1,∞) ≤ lim

n→+∞inf ‖un‖(1,∞)

Dowód. Na mocy faktu 3.19 [un]∗ [u] i [u′n]

∗ [u′] w L∞(a, b). Zatem z faktu 2.13

istnieje takie K > 0, że dla każdego n ∈ N mamy ‖[un]‖∞ ≤ K, ‖[u′n]‖∞ ≤ K oraz‖[u]‖∞ ≤ lim infn→+∞ ‖[un]‖∞ i ‖[u′]‖∞ ≤ lim infn→+∞ ‖[u′n]‖∞. Stąd

‖un‖(1,∞) = ‖([un], [u′n])‖∞,∞ = max‖[un]‖∞ , ‖[u′n]‖∞ ≤ K

dla n ∈ N oraz

‖[u]‖∞ ≤ limn→+∞

inf ‖[un]‖∞ ≤ limn→+∞

inf max‖[un]‖∞ , ‖[u′n]‖∞ = limn→+∞

inf ‖un‖(1,∞)


i

‖[u′]‖∞ ≤ limn→+∞

inf ‖[u′n]‖∞ ≤ limn→+∞

inf max‖[un]‖∞ , ‖[u′n]‖∞ = limn→+∞

inf ‖un‖(1,∞)

W rezultacie ciąg (un)n∈N jest ograniczony w W 1,∞ [a, b] i

‖u‖(1,∞) = max‖[u]‖∞ , ‖[u′]‖∞ ≤ limn→+∞

inf ‖un‖(1,∞)

3.4 Lematy o zanurzaniuNa zakończenie tego rozdziału podajemy dwa lematy o zanurzaniu przestrzeni Soboleva

w przestrzeń L∞(a, b). W dowodach tych lematów wykorzystujemy poniższe stwierdzenie.

Stwierdzenie 3.21 Ciąg funkcji ciągłych un: [a, b] → R, n ∈ N , wspólnie ograniczonychp.w. na [a, b] jest ciągiem wspólnie ograniczonym na [a, b].

Dowód. Z założenia wynika, że istnieją K > 0 oraz zbiór miary zero B ⊂ [a, b] takie, że|un(x)| ≤ K dla każdego n ∈ N i każdego x ∈ [a, b] \B.

Niech y ∈ B. Ponieważ µ(B) = 0, więc [a, b] \ B jest gęsty w [a, b]. Istnieje zatem(xk)k∈N ⊂ [a, b] \B taki, że xk → y w R1. Z ciągłości funkcji un, n ∈ N , mamy

limk→+∞

|un(xk)| = |un(y)|

Ponieważ (xk)k∈N ⊂ [a, b] \B, to |un(xk)| ≤ K dla każdego k, n ∈ N . Stąd

|un(y)| ≤ K

dla n ∈ N . Z uwagi na dowolność y ∈ B, |un(x)| ≤ K dla każdego n ∈ N i każdegox ∈ [a, b].

Lemat 3.22 Jeżeli un∗ u w W 1,∞ [a, b], to [un] → [u] w L∞(a, b).

Dowód. Na początku załóżmy, że un∗ 0 w W 1,∞ [a, b]. Wówczas z wniosku 3.20 istnie-

je takie L > 0, że dla każdego n ∈ N mamy ‖un‖(1,∞) ≤ L. Ponieważ ‖un‖(1,∞) =max‖[un]‖∞ , ‖[u′n]‖∞ dla n ∈ N , więc ‖[un]‖∞ ≤ L i ‖[u′n]‖∞ ≤ L dla n ∈ N . Zatemz faktu 2.6 istnieje taki zbiór miary zero B ⊂ (a, b), że dla każdego n ∈ N i każdegox ∈ (a, b)\B mamy |un(x)| ≤ L i |u′n(x)| ≤ L. Zauważmy, że (un)n∈N jest ciągiem funkcjijednakowo ciągłych. Weźmy n ∈ N i x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Wtedy

|un(x)− un(y)| =∣∣∣∣∫ x

a

u′n(t)dt+ un(a)−(∫ y

a

u′n(t)dt+ un(a)

)∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ x

a

u′n(t)dt−∫ y

a

u′n(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ y

x

u′n(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ y

x

|u′n(t)|dt ≤ L|x− y|


Stąd funkcje (un)n∈N spełniają warunek Lipschitza ze wspólną stałą L. Zatem są jed-nakowo ciągłe. Ponieważ (un)n∈N jest ciągiem funkcji wspólnie ograniczonych p.w. na(a, b), więc ze stwierdzenia 3.21 (un)n∈N jest ciągiem funkcji wspólnie ograniczonych ijednakowo ciągłych na [a, b]. Niech (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N . Z twierdzenia Arzeli-Ascoli’egoistnieją (unkj

)j∈N ⊂ (unk)k∈N oraz u0 ∈ C ([a, b]) takie, że unkj

⇒ u0 na [a, b]. Na mocytwierdzenia 2.10 [unkj

] → [u0] w L∞(a, b). Pokażemy, że u0 = 0.

Z założenia unkj

∗ 0 w W 1,∞ [a, b], więc z faktu 3.19 [unkj

]∗ [0] w L∞(a, b). Z drugiej

strony [unkj] → [u0] w L∞(a, b), zatem z wniosku 2.15 [unkj

]∗ [u0] w L∞(a, b). Stąd∫ b

a

unkj(x)u0(x)dx→ 0

i ∫ b

a

unkj(x)u0(x)dx→

∫ b

a

u20(x)dx

gdyż [u0] ∈ L1(a, b). Z jednoznaczności granicy∫ b

au2

0(x)dx = 0, czyli u0 = 0 p.w. na(a, b). Ponieważ u0 ∈ C ([a, b]) i u0 = 0 p.w. na (a, b), więc na mocy lematu 3.1 u0 = 0.Z uwagi na dowolność (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N , jakkolwiek wziąć (unk)k∈N ⊂ (un)n∈N , to

istnieje (unkj)j∈N ⊂ (unk

)k∈N taki, że [unkj] → [0] w L∞(a, b). Stąd [un] → [0] w L∞(a, b).

Gdy un∗ u w W 1,∞ [a, b] i u 6= 0, to (un−u)

∗ 0 w W 1,∞ [a, b]. Na mocy przypadku

rozpatrzonego powyżej [un − u] → [0] w L∞(a, b), czyli [un] → [u] w L∞(a, b).

Udowodnimy teraz twierdzenie, które wykorzystamy do uzasadnienia ważnego wnioskuo ciągach (∗)-słabo zbieżnych w W 1,∞ [a, b].

Twierdzenie 3.23 W przestrzeni C ([a, b]) dane są funkcja u i ciąg (un)n∈N . Wówczasun ⇒ u na [a, b], wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki zbiór miary zero C ⊂ [a, b], żeun ⇒ u na [a, b] \ C.

Dowód. (⇒) Oczywiste, wystarczy przyjąć C = ∅.(⇐) Ustalmy ε > 0. Z założenia istnieje takie N ∈ N , że |un(x) − u(x)| < ε

2dla

każdego n ≥ N oraz każdego x ∈ [a, b] \ C. Weźmy y ∈ C. Ponieważ µ(C) = 0, więc[a, b] \ C jest zbiorem gęstym w [a, b]. Wobec tego istnieje ciąg (xk)k∈N ⊂ [a, b] \ C taki,że xk → y w R1. Z ciągłości funkcji u i un, n ∈ N , mamy

|un(y)− u(y)| = limk→+∞

|un(xk)− u(xk)|

dla n ∈ N . Z jednego z powyższych warunków wynika, że |un(xk)−u(xk)| < ε2

dla n ≥ Ni k ∈ N . Stąd

limk→+∞

|un(xk)− u(xk)| ≤ε

2

dla n ≥ N , czyli |un(y) − u(y)| ≤ ε2< ε dla n ≥ N . Z uwagi na dowolność y ∈ C,

|un(y)− u(y)| < ε dla każdego y ∈ C i każdego n ≥ N . W konsekwencji, istnieje takie


N ∈ N , że |un(x)− u(x)| < ε dla każdego x ∈ [a, b] i każdego n ≥ N . Wobec dowolnościε > 0 otrzymujemy un ⇒ u na [a, b].

Wniosek 3.24 Jeśli un∗ u w W 1,∞ [a, b], to un ⇒ u na [a, b].

Dowód. Na mocy lematu 3.22 [un] → [u] w L∞(a, b). Z twierdzenia 2.10 istnieje takizbiór miary zero B ⊂ (a, b), że un ⇒ u na (a, b) \ B. Niech C = B ∪ a, b. Wtedyµ(C) = 0 i [a, b] \C = (a, b) \B. Stąd istnieje taki zbiór miary zero C ⊂ [a, b], że un ⇒ una [a, b] \ C, czyli z twierdzenia 3.23 un ⇒ u na [a, b].

Lemat 3.25 Jeśli p > 1 oraz un u w W 1,p [a, b], to [un] → [u] w L∞(a, b).

Dowód. Z założenia un u w W 1,p [a, b], zatem istnieje takie L > 0, że dla każdegon ∈ N mamy ‖un‖(1,p) ≤ L 3. Ponieważ

‖un‖(1,p) = p

√‖[un]‖p

p + ‖[u′n]‖pp ≥ max‖[un]‖p , ‖[u

′n]‖p

dla n ∈ N , więc ‖[un]‖p ≤ L i ‖[u′n]‖p ≤ L dla n ∈ N . Zauważmy, że (un)n∈N jest ciągiemfunkcji jednakowo ciągłych. Weźmy n ∈ N i x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Wtedy

|un(x)− un(y)| =∣∣∣∣∫ x

a

u′n(t)dt+ un(a)−(∫ y

a

u′n(t)dt+ un(a)

)∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ x

a

u′n(t)dt−∫ y

a

u′n(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ y

x

u′n(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ y

x

|u′n(t)|dt

Z nierówności Höldera∫ y

x

|u′n(t)|dt ≤ q√|x− y|

(∫ y

x

|u′n(t)|pdt) 1

p

≤ q√|x− y|

(∫ b

a

|u′n(t)|pdt) 1

p

= q√|x− y| ‖[u′n]‖p ≤ L q

√|x− y|

gdzie 1p

+ 1q

= 1. Stąd |un(x)− un(y)| ≤ L q√|x− y|. Wobec dowolności n ∈ N i

x, y ∈ [a, b], funkcje (un)n∈N spełniają warunek Höldera z q-tą potęgą ze wspólną sta-łą L. Zatem są jednakowo ciągłe.

W szczególności z warunku Höldera otrzymujemy, że

|un(x)− un(a)| ≤ L q√|x− a|

dla n ∈ N , x ∈ [a, b]. Stąd |un(a)| ≤ L q√|x− a|+ |un(x)|, czyli

|un(a)| ≤ Lq√b− a+ |un(x)|



Z własności całki ∫ b

a

|un(a)| dx ≤∫ b

a

Lq√b− adx+

∫ b

a

|un(x)| dx

dla n ∈ N , zatem (b− a) |un(a)| ≤ (b− a)1+ 1q L + q

√b− a ‖[un]‖p. Ponieważ ‖[un]‖p ≤ L

dla n ∈ N , więc|un(a)| ≤ (b− a)

1q L+ (b− a)

1q−1 L

Wobec czego ciąg (un(a))n∈N jest ograniczony w R1. Stąd i z warunku Höldera dla ciągu(un)n∈N dostajemy

|un(x)| ≤ Lq√b− a+ |un(a)| ≤ 2 (b− a)

1q L+ (b− a)

1q−1 L

dla n ∈ N , x ∈ [a, b]. Zatem un, n ∈ N są wspólnie ograniczone.Niech (unk

)k∈N ⊂ (un)n∈N . Z twierdzenia Arzeli-Ascoli’ego wynika, że istnieją(unkl

)l∈N ⊂ (unk)k∈N i funkcja v ∈ C ([a, b]), takie, że unkl

⇒ v na [a, b]. Zauważmy,że u = v. Ponieważ unkl

⇒ v na [a, b], więc [unkl] → [v] w Lp(a, b), czyli [unkl

] [v] wLp(a, b). Z drugiej strony unkl

u w W 1,p [a, b], więc z faktu 3.15 wynika, że [unkl] [u]

w Lp(a, b). Z jednoznaczności słabej granicy [u] = [v], czyli u = v p.w. na (a, b). Ponieważu, v ∈ C ([a, b]), więc z lematu 3.1 u = v. W konsekwencji unkl

⇒ u na [a, b], a na mocytwierdzenia 2.10 [unkl

] → [u] w L∞(a, b). Ponieważ każdy podciąg ciągu ([un])n∈N za-wiera pewien podciąg zbieżny do [u] w przestrzeni L∞(a, b), to [u] jest dokładnie jednympunktem skupienia ciągu ([un])n∈N . A więc [un] → [u] w L∞(a, b).

Rozdział 4

Minimalizacja funkcjonałów całkowychw przestrzeniach Soboleva

W tym rozdziale dla parametru p z przedziału [1,+∞) lub p = +∞ rozważać będziemyfunkcjonały If,p: W

1,p [a, b] → R postaci:

If,p (u) =

∫ b

a

f (x, u (x) , u′ (x)) dx (4.1)

gdzie funkcja f: [a, b]×R×R→ R spełnia następujące warunki Caratheodory’ego:

(C1) funkcja f (·, y, z): [a, b] → R jest mierzalna dla dowolnych y, z ∈ R

(C2) istnieje zbiór miary zero B ⊂ [a, b] taki, że funkcja f (x, ·, ·): R×R→ R jest ciągładla każdego x ∈ [a, b] \B

W dalszym ciągu funkcję mającą powyższe własności nazywać będziemy funkcją Carathe-odory’ego.

Będziemy sprawdzali, jakie dodatkowe warunki musi spełniać funkcja Caratheodo-ry’ego f (·), żeby funkcjonał If,p (·) dany wzorem (4.1) był ciągły lub półciągły z dołulub słabo półciągły z dołu lub (w przypadku p = +∞) (∗)-słabo półciągły z dołu lub(∗)-słabo ciągły.

Na wstępie dla funkcjonałów If,p (·) powyższej postaci, należących do jednej z wymie-nionych klas, podamy bez dowodów twierdzenia o minimalizacji. Dowody tych twierdzeń,składające się najczęściej z kilku części wyodrębnionych jako osobne lematy, będą treściąkolejnych paragrafów niniejszego rozdziału.

Rozdział 4. Minimalizacja funkcjonałów całkowych w przestrzeniach Soboleva 50

4.1 Podstawowe twierdzenia o minimalizacji funkcjona-łów całkowych

Twierdzenie 4.1 Jeżeli funkcja g: [a, b]×R→ R jest ciągła, to dla każdego p ∈ (1,+∞)funkcjonał Ig,p: W

1,p [a, b] → R dany wzorem

Ig,p (u) =

∫ b

a

g (x, u (x)) dx

ma minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony ciąg minimalizujący funkcjo-nału Ig,p.

Twierdzenie 4.2 Załóżmy, że f : [a, b] × R × R → R i ϕ : [a, b] × R → [0,+∞) sąfunkcjami ciągłymi takimi, że

|f (x, y, z)| ≤ ϕ (x, y)

dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R. Wtedy dla każdego p ∈ (1,+∞) lub p = +∞

(i) funkcjonał If,p: W1,p [a, b] → R dany wzorem (4.1) jest ciągły;

(ii) funkcjonał If,p ma minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbieżny ciąg minima-lizujący funkcjonału If,p.

Twierdzenie 4.3 Załóżmy, że p ∈ (1,+∞). Jeżeli f : [a, b] × R × R → R iϕ: [a, b]×R→ [0,+∞) są funkcjami ciągłymi takimi, że spełnione są warunki:

1. |f (x, y, z)| ≤ ϕ (x, y) dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R;

2. istnieje liczba α > 0 taka, że f (x, y, z) ≥ α (|y|p + |z|p) dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R;

3. dla każdego x ∈ [a, b] x-cięcie f (x, ·, ·): R×R→ R jest funkcją wypukłą,

to funkcjonał If,p: W1,p [a, b] → R dany wzorem (4.1) ma minimum.

W dalszym ciągu symbolem Rp dla każdego parametru p ∈ [1,+∞) oznaczać będzie-my rodzinę tych funkcji Caratheodory’ego f : [a, b] × R × R → R, które są wypukłe zewzględu na trzecią zmienną i spełniają warunek:∣∣∣∣∫ b

a

f (x,w (x) , v (x)) dx

∣∣∣∣ < +∞

dla dowolnych funkcji w, v: [a, b] → R całkowalnych z p-tą potęgą.

Twierdzenie 4.4 Jeżeli funkcja f ∈ Rp dla pewnego p ∈ (1,+∞) oraz istnieją stałaα > 0 i funkcja całkowalna l: [a, b] → R takie, że

f (x, y, z) ≥ l (x) + α |z|p

dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R, to funkcjonał If,p|W 1,p0 [a,b] dany wzorem (4.1) ma minimum.


Twierdzenie 4.5 Jeżeli funkcja f ∈ Rp dla pewnego p ∈ (1,+∞) oraz istnieją stałaα > 0 i funkcja całkowalna l: [a, b] → R takie, że

f (x, y, z) ≥ l (x) + α (|y|p + |z|p)

dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R, to funkcjonał If,p: W1,p [a, b] → R dany wzorem (4.1) ma mini-

mum.

Twierdzenie 4.6 Jeżeli funkcja f ∈ R1 oraz istnieją funkcja całkowalna l: [a, b] → R ifunkcja mierzalna h: [a, b] → R ograniczona p.w. na [a, b] takie, że

f (x, y, z) ≥ h (x) z + l (x)

dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R, to funkcjonał If,1: W1,1 [a, b] → R dany wzorem (4.1) ma mini-

mum, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbieżny ciąg minimalizujący funkcjonału If,1.

Twierdzenie 4.7 Niech g : [a, b] × R → R i ϕ : [a, b] × R → [0,+∞) będą funkcjamiciągłymi spełniającymi następujące dwa warunki:

1. funkcja g (x, ·): R→ R jest wypukła i różniczkowalna dla każdego x ∈ [a, b];

2.∣∣∣∂g∂y

(x, y)∣∣∣ ≤ ϕ (x, y) dla x ∈ [a, b], y ∈ R.

Wówczas:

(i) Funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem

Ig,∞ (u) =

∫ b

a

g (x, u′ (x)) dx

jest G-różniczkowalny.

(ii) Funkcja u ∈ W 1,∞ [a, b] jest punktem minimum funkcjonału Ig,∞, wtedy i tylko wte-dy, gdy u jest punktem krytycznym funkcjonału Ig,∞.

Kolejne twierdzenie jest o minimalizacji funkcjonałów (∗)-słabo półciągłych z dołu.

Definicja 4.1 Funkcjonał I : W 1,∞ [a, b] → R jest (∗)-słabo półciągły z dołu ((∗)-sła-bo ciągły) w punkcie u ∈ W 1,∞ [a, b], jeżeli dla dowolnego ciągu (un)n∈N ⊂ W 1,∞ [a, b]spełniony jest warunek:

un∗ u w W 1,∞ [a, b] =⇒ lim

n→+∞inf I (un) ≥ I (u)(

un∗ u w W 1,∞ [a, b] =⇒ lim

n→+∞I (un) = I (u)

)Mówimy, że funkcjonał I: W 1,∞ [a, b] → R jest (∗)-słabo półciągły z dołu ((∗)-słabo ciąg-ły) i zapisujemy I jest w

∗−lsc (w

∗−c), jeżeli jest on (∗)-słabo półciągły z dołu ((∗)-słabo

ciągły) w każdym punkcie u ∈ W 1,∞ [a, b].


Ponieważ każdy ciąg słabo zbieżny w W 1,∞ [a, b] jest (∗)-słabo zbieżny do tego samegoelementu, więc każdy funkcjonał w

∗−lsc jest funkcjonałem w-lsc.

Twierdzenie 4.8 Jeżeli funkcjonał I : W 1,∞ [a, b] → R jest w∗−lsc, to I ma minimum,

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (∗)-słabo zbieżny ciąg minimalizujący funkcjonału I.

Niech Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R będzie funkcjonałem danym wzorem

Ig,∞ (u) =

∫ b

a

g (x, u′ (x)) dx (4.2)

gdzie g : [a, b] × R → R jest funkcją ciągłą. Gdyby funkcjonał Ig,∞ (·) był w∗−lsc, to z

powyższego twierdzenia wynika, że miałby minimum, wtedy i tylko wtedy, gdy istniał-by (∗)-słabo zbieżny ciąg minimalizujący tego funkcjonału. Powstaje naturalne pytanie— kiedy funkcjonał dany wzorem (4.2) jest w

∗−lsc? Poniższe twierdzenia dają na nie

odpowiedź.

Twierdzenie 4.9 Funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest w∗−lsc, wtedy

i tylko wtedy, gdy funkcja g: [a, b]×R→ R jest wypukła ze względu na drugą zmienną.

Twierdzenie 4.10 Funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest w∗−c, wtedy

i tylko wtedy, gdy funkcja g : [a, b] × R → R jest afiniczna tzn. istnieją funkcje ciągłeτ, h: [a, b] → R takie, że

g (x, z) = τ (x) z + h (x)

dla x ∈ [a, b], z ∈ R.

4.2 Dowody twierdzeń 4.1 i 4.2Dowód twierdzenia 4.1. Na mocy twierdzenia 1.5 wystarczy pokazać, że funkcjonałIg,p jest w-lsc. Niech un u w W 1,p [a, b]. Na mocy lematu 3.25 [un] → [u] w L∞ (a, b),czyli un ⇒ u na [a, b]. Stąd istnieje stała K > 0 taka, że |un (x)| ≤ K dla x ∈ [a, b],n ∈ N . Funkcja g|[a,b]×[−K,K] jest jednostajnie ciągła, zatem istnieje stała L > 0 taka,że |g (x, y)| ≤ L dla x ∈ [a, b], y ∈ [−K,K]. W konsekwencji |g (x, un (x))| ≤ L dlax ∈ [a, b], n ∈ N oraz g (x, un (x)) → g (x, u (x)) dla x ∈ [a, b]. Z twierdzenia Lebesgue’ao zbieżności ograniczonej

limn→+∞

Ig,p (un) = limn→+∞

∫ b

a

g (x, un (x)) dx =

∫ b

a

g (x, u (x)) dx = Ig,p (u)

Z uwagi na dowolność un u w W 1,p [a, b] funkcjonał Ig,p jest w-lsc.

Dowód twierdzenia 4.2. Pokażemy, że funkcjonał If,p jest ciągły. Niech un → u wW 1,p [a, b]. Wówczas [u′n] → [u′] w Lp (a, b). Wobec tego z dowolnego podciągu (unk

)k∈N ⊂


(un)n∈N można wybrać podciąg (unkj)j∈N taki, że u′nkj

(x) → u′ (x) dla p.k. x ∈ (a, b). Zlematu 3.25 [un] → [u] w L∞ (a, b), zatem na mocy twierdzenia 2.10 i stwierdzenia 3.23un ⇒ u na [a, b], czyli istnieje stała K > 0 taka, że |un (x)| ≤ K dla x ∈ [a, b], n ∈ N .

Funkcja ϕ|[a,b]×[−K,K] jest jednostajnie ciągła, zatem istnieje stała L > 0 taka, żeϕ (x, y) ≤ L dla x ∈ [a, b], y ∈ [−K,K]. Stąd

|f (x, un (x) , u′n (x))| ≤ ϕ (x, un (x)) ≤ L

dla x ∈ [a, b], n ∈ N . Co więcej

f(x, unkj

(x) , u′nkj(x))→ f (x, u (x) , u′ (x))

dla p.k. x ∈ (a, b). Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

limj→+∞

If,p

(unkj

)= lim

j→+∞

∫ b

a

f(x, unkj

(x) , u′nkj(x))

dx

=

∫ b

a

f (x, u (x) , u′ (x)) dx = If,p (u)

Ponieważ z dowolnego podciągu (unk)k∈N ⊂ (un)n∈N można wybrać podciąg (unkj

)j∈N

taki, że limj→+∞ If,p(unkj) = If,p (u), więc limn→+∞ If,p (un) = If,p (u). Z uwagi na do-

wolność ciągu (un)n∈N takiego, że un → u w W 1,p [a, b] funkcjonał If,p jest ciągły. Teza(ii) jest prawdziwa na mocy twierdzenia 1.2.

4.3 Dowód twierdzenia 4.3Dowód. Na mocy tezy (i) twierdzenia 4.2 funkcjonał If,p jest ciągły. Zauważymy, żewarunek (2) implikuje, że funkcjonał If,p jest koercytywny i ograniczony z dołu. Mamybowiem

If,p (u) =

∫ b

a

f (x, u (x) , u′ (x)) dx ≥ α

∫ b

a

(|u (x)|p + |u′ (x)|p

)dx = α ‖u‖p

(1,p)

dla u ∈ W 1,p [a, b]. Zatem If,p (u) ≥ 0 dla u ∈ W 1,p [a, b] oraz If,p (u) → +∞, gdy‖u‖(1,p) → +∞. Na koniec wykorzystując warunek (3) wykażemy, że If,p jest wypukły.Niech u, v ∈ W 1,p [a, b], u 6= v i t ∈ (0, 1). Wtedy

If,p (tu+ (1− t) v) =

∫ b

a

f (x, tu (x) + (1− t) v (x) , tu′ (x) + (1− t) v′ (x)) dx

≤∫ b

a

(tf (x, u (x) , u′ (x)) + (1− t) f (x, v (x) , v′ (x))) dx

= tIf,p (u) + (1− t) If,p (v)

W konsekwencji na mocy tezy (1.6.3) twierdzenia 1.6 funkcjonał If,p ma minimum.


4.4 Dowód twierdzenia 4.4Twierdzenie to udowodnimy w oparciu o poniższe lematy.

Lemat 4.11 Niech g: ∆ → R będzie funkcją mierzalną, nieujemną, a ∆ ⊂ R przedziałemograniczonym. Jeżeli (An)n∈N jest takim ciągiem zbiorów mierzalnych, że An ⊂ ∆ dlan ∈ N ,

limn→+∞

µ(∆ \ An) = 0

oraz istnieje L > 0 takie, że ∫An

g(x)dx ≤ L

dla n ∈ N , to ∫∆

g(x)dx ≤ L

Dowód. Niech M ∈ N . Zbiór AM = x ∈ ∆ : g(x) ≤M jest mierzalny oraz∫An∩AM

g(x)dx ≤∫

An

g(x)dx ≤ L

dla n ∈ N . Zauważmy, że

limn→+∞

∫An∩AM

g(x)dx =

∫AM

g(x)dx

Mamy

0 ≤∣∣∣∣∫

An∩AM

g(x)dx−∫

AM

g(x)dx

∣∣∣∣ =

∫AM\An

g(x)dx

≤∫

AM\An

Mdx = Mµ(AM \ An) ≤Mµ(∆ \ An)

dla n ∈ N i z założenia µ(∆ \ An) → 0, więc z twierdzenia o trzech ciągach

limn→+∞

∫An∩AM

g(x)dx =

∫AM

g(x)dx

Stąd, przechodząc obustronnie do granicy w nierówności∫An∩AM

g(x)dx ≤ L

otrzymujemy ∫AM

g(x)dx ≤ L


Z uwagi na dowolność M ∈ N

limM→+∞

∫AM

g(x)dx ≤ L

Ponieważ(AM)

M∈Njest wstępującym ciągiem zbiorów mierzalnych, więc∫

S+∞M=1 AM

g(x)dx = limM→+∞

∫AM

g(x)dx ≤ L

Do zakończenia dowodu wystarczy wykazać, że⋃+∞

M=1AM = ∆. Oczywiście⋃+∞

M=1AM ⊂ ∆, bo AM ⊂ ∆ dla M ∈ N . Weźmy x ∈ ∆. Wtedy 0 ≤ g(x) < [g(x)] + 1,

zatem x ∈ A[g(x)]+1 ⊂⋃+∞

M=1AM . Stąd ∆ ⊂

⋃+∞M=1A

M . W konsekwencji⋃+∞

M=1AM = ∆ i∫

∆

g(x)dx ≤ L

W dowodzie kolejnego lematu powołujemy się na twierdzenie Scorza-Dragoni1:

Funkcja f : [a, b] × R × R → R jest funkcją Caratheodory’ego, wtedy i tylkowtedy, gdy dla każdego podzbioru zwartego K ⊂ [a, b] i dla każdego ε > 0istnieje zbiór zwarty Kε taki, że Kε ⊂ K, µ (K \Kε) < ε oraz f |Kε×R×R jestfunkcją ciągłą.

Lemat 4.12 Załóżmy, że p, q ∈ [1,+∞). Jeżeli [un] → [u] w Lp (a, b) oraz [vn] [v]w Lq (a, b), a f: [a, b]×R×R→ R jest funkcją Caratheodory’ego taką, że∣∣∣∣∫ b

a

f (x, ω (x) , ξ (x)) dx

∣∣∣∣ < +∞

dla dowolnych funkcji ω, ξ : [a, b] → R całkowalnych odpowiednio z p-tą i q-tą potę-gą, to dla każdego ε > 0 istnieją zbiór Ωε ⊂ [a, b] oraz podciągi (unj

)j∈N ⊂ (un)n∈N i(vnj

)j∈N ⊂ (vn)n∈N takie, że µ ((a, b) \ Ωε) < ε, f |Ωε×R×R jest ciągła oraz∫Ωε

∣∣f (x, unj(x) , vnj

(x))− f

(x, u (x) , vnj

(x))∣∣ dx < ε (b− a)

dla j ∈ N .

Dowód. Niech η > 0. Z faktu 2.12 wynika, że istnieje Mη > 0 takie, że

µ(x ∈ (a, b) : |u(x)| ≥Mη, |un(x)| ≥Mη) <η

6

iµ(x ∈ (a, b) : |vn(x)| ≥Mη) <

η

61B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Berlin–Heidelberg–New York 1989, s. 74.


dla n ∈ N . Oznaczmy Ω = (a, b), K1η,n = x ∈ Ω : |u(x)| ≥ Mη, |un(x)| ≥ Mη,

K2η,n = x ∈ Ω : |vn(x)| ≥Mη, Ω1

η,n = Ω \(K1

η,n ∪K2η,n

)dla n ∈ N . Wówczas

µ(Ω \ Ω1η,n) = µ(K1

η,n ∪K2η,n) ≤ µ(K1

η,n) + µ(K2η,n) < 2

η

6=η

3dla n ∈ N .

Ustalmy n ∈ N . Istnieją zbiór E1η,n miary zero i wstępujący ciąg zbiorów zwartych(

B1,mη,n

)+∞m=1

takie, że Ω1η,n =

⋃+∞m=1B

1,mη,n ∪ E1

η,n. Stąd

µ(Ω1η,n) = µ(

+∞⋃m=1

B1,mη,n ) = lim

m→+∞µ(B1,m

η,n )

Z definicji granicy istnieje takie m0 ∈ N , że µ(Ω1η,n) − µ(B1,m0

η,n ) < η6. Ponieważ

µ(Ω1η,n) ≤ (b− a) < +∞, więc

µ(Ω1η,n \B1,m0

η,n ) = µ(Ω1η,n)− µ(B1,m0

η,n ) <η

6

Na mocy twierdzenia Scorza-Dragoni istnieje zbiór zwarty Ω2η,n ⊂ B1,m0

η,n o własnościach:µ(B1,m0

η,n \ Ω2η,n) < η

6i f |Ω2

η,n×R×R jest funkcją ciągłą. Ponieważ Ω2η,n ⊂ B1,m0

η,n ⊂ Ω1η,n, więc

µ(Ω1η,n \ Ω2

η,n) = µ((

Ω1η,n \B1,m0

η,n

)∪(B1,m0

η,n \ Ω2η,n

))= µ

(Ω1

η,n \B1,m0η,n

)+ µ

(B1,m0

η,n \ Ω2η,n

)< 2

η

6=η

3.

Funkcja f |Ω2η,n×[−Mη ,Mη ]×[−Mη ,Mη ], jako obcięcie funkcji ciągłej do zbioru zwartego, jest jed-

nostajnie ciągła. Wobec tego istnieje takie δ(η) > 0, że dla każdego x, x ∈ Ω2η,n i każdego

y, y, z, z ∈ [−Mη,Mη] mamy√(x− x)2 + (y − y)2 + (z − z)2 < δ(η) =⇒ |f(x, y, z)− f(x, y, z)| < η

Niech Ω3η,n = x ∈ Ω : |un(x)− u(x)| < δ(η), a Ωη,n = Ω2

η,n ∩ Ω3η,n.

Zauważmy, że istnieje takie n(η) ∈ N , że dla każdego n ≥ n(η) mamy µ(Ω\Ω3η,n) < η

3.

Przypuśćmy przeciwnie, że dla każdego n ∈ N istnieje n0 ≥ n takie, że µ(Ω \ Ω3η,n0

) ≥ η3.

Wtedy

‖[un0 ]− [u]‖1 =

∫ b

a

|un0(x)− u(x)| dx ≥∫

Ω\Ω3η,n0

|un0(x)− u(x)| dx

≥∫

Ω\Ω3η,n0

δ(η)dx = δ(η)µ(Ω \ Ω3η,n0

) ≥ ηδ(η)

3

Stąd [un] 9 [u] w L1(a, b), czyli [un] 9 [u] w Lp(a, b) — sprzeczność. Weźmy n ≥ n(η).Wówczas

µ(Ω \ Ωη,n) = µ(Ω \(Ω2

η,n ∩ Ω3η,n

))

= µ((Ω \ Ω2η,n) ∪ (Ω \ Ω3

η,n)) ≤ µ(Ω \ Ω2η,n) + µ(Ω \ Ω3

η,n)

≤ µ((Ω \ Ω1η,n) ∪ (Ω1

η,n \ Ω2η,n)) + µ(Ω \ Ω3

η,n)

≤ µ(Ω \ Ω1η,n) + µ(Ω1

η,n \ Ω2η,n) + µ(Ω \ Ω3

η,n) < 3η

3= η


oraz∫Ωη,n

|f(x, un(x), vn(x))− f(x, u(x), vn(x))| dx <∫

Ωη,n

ηdx = ηµ(Ωη,n) ≤ η(b− a)

W rezultacie pokazaliśmy, że dla każdego η > 0 istnieje ciąg (Ωη,n)n∈N mierzalnych pod-zbiorów przedziału (a, b) taki, że dla każdego n ∈ N funkcja f |Ωη,n×R×R jest ciągła orazistnieje n(η) ∈ N takie, że dla każdego n ≥ n(η)

µ(Ω \ Ωη,n) < η

i ∫Ωη,n

|f(x, un(x), vn(x))− f(x, u(x), vn(x))| dx < η(b− a) (4.3)

Niech ε > 0, ηj = ε2j dla j ∈ N . Z (4.3) otrzymujemy, że dla każdego j ∈ N istnie-

je ciąg(Ωηj ,n

)n∈N

mierzalnych podzbiorów przedziału (a, b) taki, że dla każdego n ∈ Nfunkcja f |Ωηj,n×R×R jest ciągła oraz istnieje n(ηj) ∈ N takie, że dla każdego n ≥ n(ηj)

µ(Ω \ Ωηj ,n) < ηj

i ∫Ωηj,n

|f(x, un(x), vn(x))− f(x, u(x), vn(x))| dx < ηj(b− a)

Wybieramy ciąg (nj)j∈N w taki sposób, że nj ≥ n (ηj) i nj+1 > nj dla j ∈ N . NiechΩε =

⋂+∞j=1 Ωηj ,nj

. Wówczas f |Ωε×R×R jest ciągła,

µ(Ω \ Ωε) = µ

(Ω \

+∞⋂j=1

Ωηj ,nj

)= µ

(+∞⋃j=1

(Ω \ Ωηj ,nj

))

≤+∞∑j=1

µ(Ω \ Ωηj ,nj

)<

+∞∑j=1

ηj =+∞∑j=1

ε

2j= ε

oraz ∫Ωε

∣∣f(x, unj(x), vnj

(x))− f(x, u(x), vnj(x))

∣∣ dx ≤∫Ωηj,nj


(x))− f(x, u(x), vnj(x))

∣∣ dx < ηj(b− a) < ε(b− a)

dla j ∈ N .

Lemat 4.13 Niech p i q będą parametrami z przedziału [1,+∞). Jeżeli f: [a, b]×R×R→R jest funkcją Caratheodory’ego spełniającą następujące warunki:


1.∣∣∣∫ b

af (x, ω (x) , ξ (x)) dx

∣∣∣ < +∞ dla dowolnych funkcji ω, ξ: [a, b] → R całkowalnychodpowiednio z p-tą i q-tą potęgą;

2. istnieją funkcje h, l: [a, b] → R takie, że [l] ∈ L1 (a, b), [h] ∈ Lr (a, b), 1r+ 1

q= 1 oraz

f (x, y, z) ≥ h (x) z + l (x) dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R;

3. funkcja f (x, y, ·): R→ R jest wypukła dla każdego x ∈ [a, b], y ∈ R,

a J: Lp (a, b)× Lq (a, b) → R jest funkcjonałem danym wzorem

J ([ω] , [ξ]) =

∫ b

a

f (x, ω (x) , ξ (x)) dx (4.4)

tolim

n→+∞inf J ([un] , [vn]) ≥ J ([u] , [v])

gdy [un] → [u] w Lp (a, b) i [vn] [v] w Lq (a, b).

Dowód. Niech f: [a, b]×R×R→ R będzie funkcją daną wzorem f(x, y, z) = f(x, y, x)−h(x)z− l(x) dla x ∈ [a, b] i y, z ∈ R. Z założenia funkcja f jest nieujemna. Zauważmy, żefunkcjonał J: Lp(a, b)× Lq(a, b) → R określony następująco:

J([ω], [ξ]) =

∫ b

a

f(x, ω(x), ξ(x))dx

spełnia tezę dowodzonego twierdzenia, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ją funkcjonał J .Weźmy [un] → [u] w Lp(a, b) i [vn] [v] w Lq(a, b). Ponieważ [h] ∈ Lr(a, b), 1

r+ 1

q= 1,

więc ∫ b

a

vn(x)h(x)dx→∫ b

a

v(x)h(x)dx

Niech C(J ([un] , [vn])

n∈N

)będzie zbiorem punktów skupienia ciągu

J ([un] , [vn])

n∈N

i niech C(J ([un] , [vn])n∈N

)będzie zbiorem punktów skupienia ciągu J ([un] , [vn])n∈N .

Ponieważ ciąg(∫ b

a(h(x)vn(x) + l(x)) dx

)n∈N

jest zbieżny i jego granicą jest∫ b

a(h(x)v(x) + l(x)) dx, to

C(J ([un] , [vn])

n∈N

)=

a−

∫ b

a

(h(x)v(x) + l(x)) dx : a ∈ C(J ([un] , [vn])n∈N

)Stąd inf C

(J ([un] , [vn])

n∈N

)= inf C

(J ([un] , [vn])n∈N

)−∫ b

a(h(x)v(x) + l(x)) dx,

czyli limn→+∞ inf J([un], [vn]) = limn→+∞ inf J([un], [vn])−∫ b

a(h(x)v(x) + l(x)) dx. Zatem


poniższe nierówności są równoważne

limn→+∞

inf J([un], [vn]) ≥ J([u], [v])

limn→+∞

inf J ([un] , [vn])−∫ b

a

(h(x)v(x) + l(x)) dx ≥ J([u], [v])−∫ b

a

(h(x)v(x) + l(x)) dx

limn→+∞

inf J([un], [vn]) ≥ J([u], [v])

W rezultacie można założyć, że funkcja f jest nieujemna. Gdyby f nie była nieujem-na, to badalibyśmy funkcję f i funkcjonał J . Weźmy ciąg [un] → [u] w Lp(a, b) i [vn] [v]w Lq(a, b). Oznaczmy

L = limn→+∞

inf J([un], [vn])

i dla uproszczenia zapisu przyjmijmy, że L = limn→+∞ J([un], [vn]). Ponieważ f jest nie-ujemna, więc J([un], [vn]) ≥ 0 dla n ∈ N . Stąd L ≥ 0. Jeżeli L = +∞, to oczywiścieL ≥ J([u], [v]). Rozpatrzmy przypadek 0 ≤ L < +∞.

Niech 0 < ε < b − a. Na mocy lematu 4.12 istnieją zbiór Ωε ⊂ [a, b] i podciągi([unj

])j∈N ⊂ ([un])n∈N oraz (

[vnj

])j∈N ⊂ ([vn])n∈N takie, że funkcja f |Ωε×R×R jest ciągła,

µ ((a, b) \ Ωε) < ε i∫Ωε

∣∣f (x, unj(x) , vnj

(x))− f

(x, u (x) , vnj

(x))∣∣ dx < ε (b− a)

dla j ∈ N . Oznaczmy Ω = (a, b). Definiujemy funkcje gε: Ω×R→ R i χε: Ω → R następu-jąco: χε(x) = χΩε(x), gε(x, z) = χε(x)f(x, u(x), z) dla x ∈ Ω i z ∈ R. Zauważmy, że funk-cja gε jest mierzalna i wypukła ze względu na drugą zmienną. Niech τ: Ω×R→ Ω×R×Rbędzie funkcją daną wzorem: τ(x, z) = (x, u(x), z) dla x ∈ Ω i z ∈ R. Funkcja τ jestmierzalna, bo jej współrzędne są mierzalne. Stąd funkcja gε|Ωε×R = f |Ωε×R×R τ |Ωε×R

jest mierzalna jako superpozycja funkcji mierzalnej τ |Ωε×R z funkcją ciągłą f |Ωε×R×R .Niech ω: R × R → R będzie funkcją stałą równą zero. Funkcja gε|(Ω\Ωε)×R = ω|(Ω\Ωε)×R

jest mierzalna, bo jest obcięciem funkcji mierzalnej ω do zbioru mierzalnego (Ω \Ωε)×R.Ponieważ gε|Ωε×R i gε|(Ω\Ωε)×R są funkcjami mierzalnymi, więc funkcja gε jest mierzalna.

Weźmy x ∈ Ω. Wtedy x ∈ Ωε lub x ∈ Ω \ Ωε. Gdy x ∈ Ω \ Ωε, to funkcja gε(x, ·) =0, więc jest wypukła. Gdy x ∈ Ωε, to gε(x, ·) = f(x, u(x), ·), a z założenia funkcjaf(x, u(x), ·) jest wypukła. Zatem gε jest wypukła ze względu na drugą zmienną. Z fun-kcją gε stowarzyszamy funkcjonał całkowy Gε: L

q(a, b) → R określony wzorem

Gε([ξ]) =

∫ b

a

gε(x, ξ(x))dx

Pokażemy, że jest on w-lsc. Na mocy twierdzenia 1.1 wystarczy udowodnić, że funkcjo-nał Gε jest ograniczony z dołu, wypukły i lsc. Ponieważ funkcja gε jest nieujemna, więcGε([ξ]) ≥ 0 dla [ξ] ∈ Lq(a, b). Wypukłość funkcjonału Gε jest oczywistą konsekwencjąwypukłości funkcji gε ze względu na drugą zmienną. Pozostaje więc sprawdzić, że Gε jestlsc.


Niech [ξn] → [ξ] w Lq(a, b). Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy przyjąć

limn→+∞

inf Gε([ξn]) = limn→+∞

Gε([ξn])

Ponieważ [ξn] → [ξ] w Lq(a, b), więc istnieje ([ξnk])k∈N ⊂ ([ξn])n∈N taki, że ξnk

(x) → ξ(x)dla p.k. x ∈ (a, b). Zauważmy, że µ(Ωε) > 0. Gdyby µ(Ωε) = 0, to b − a = µ(Ω) =µ(Ω \ Ωε) < ε < b− a — sprzeczność. Stąd ξnk

(x) → ξ(x) dla p.k. x ∈ Ωε.Niech gk : Ωε → [0,+∞) dla k ∈ N będzie ciągiem funkcji nieujemnych określonym

następującogk(x) = f(x, u(x), ξnk

(x))

dla x ∈ Ωε. Funkcje τk: Ωε → Ωε ×R×R dla k ∈ N dane wzorami

τk(x) = (x, u(x), ξnk(x))

dla x ∈ Ωε, są mierzalne, bo ich współrzędne są funkcjami mierzalnymi. Wobec tegofunkcje gk = f |Ωε×R×R τk dla k ∈ N są mierzalne jako superpozycje funkcji mierzalnychτk z funkcją ciągłą f |Ωε×R×R.

Z lematu Fatou

limk→+∞

inf

∫Ωε

f(x, u(x), ξnk(x))dx ≥

∫Ωε

limk→+∞

inf f(x, u(x), ξnk(x))dx

Ponieważ funkcja f |Ωε×R×R jest ciągła i (x, u(x), ξnk(x)) → (x, u(x), ξ(x)) dla p.k. x ∈ Ωε,

więc f(x, u(x), ξnk(x)) → f(x, u(x), ξ(x)) dla p.k. x ∈ Ωε. Stąd∫

Ωε

limk→+∞

inf f(x, u(x), ξnk(x))dx =

∫Ωε

f(x, u(x), ξ(x))dx =

∫ b

a

gε(x, ξ(x))dx = Gε([ξ])

W rezultacie

limn→+∞

Gε ([ξn]) = limk→+∞

∫ b

a

gε(x, ξnk(x))dx = lim

k→+∞

∫Ωε

f(x, u(x), ξnk(x))dx ≥ Gε ([ξ])

Z uwagi na dowolność ciągu [ξn] → [ξ] w Lq(a, b) funkcjonał Gε jest lsc. Na mocy twier-dzenia 1.1 Gε jest w-lsc.

Ponieważ ([vnj])j∈N ⊂ ([vn])n∈N i [vn] [v] w Lq(a, b), więc [vnj

] [v] w Lq(a, b).Stąd lim infj→+∞Gε

([vnj

])≥ Gε([v]). Weźmy j ∈ N . Wtedy∣∣∣∣∫

Ωε

f(x, unj(x), vnj

(x))dx−∫

Ωε

f(x, u(x), vnj(x))dx

∣∣∣∣ ≤≤∫

Ωε


(x))− f(x, u(x), vnj(x))

∣∣ dx < ε(b− a)

Stąd ∫Ωε

f(x, unj(x), vnj

(x))dx−∫

Ωε

f(x, u(x), vnj(x))dx > −ε(b− a)


W konsekwencji mamy

Gε

([vnj

])

=

∫Ωε

f(x, u(x), vnj(x))dx <

∫Ωε

f(x, unj(x), vnj

(x))dx+ ε(b− a)

≤∫

Ω

f(x, unj(x), vnj

(x))dx+ ε (b− a)

Wobec tego∫Ωε

f(x, u(x), v(x))dx = Gε ([v]) ≤ limj→+∞

inf Gε

([vnj

])

≤ limj→+∞

∫Ω

f(x, unj(x), vnj

(x))dx+ ε(b− a) = L+ ε(b− a).

Z uwagi na dowolność 0 < ε < b− a mamy∫Ωε

f(x, u(x), v(x))dx ≤ L+ ε(b− a)

iµ(Ω \ Ωε) < ε

dla 0 < ε < b− a. Niech N ∈ N i 1N< b− a. Obierzmy ciąg (εm)m∈N taki, że εm → 0 i

0 < εm < 1N

dla m ∈ N . Wtedy∫Ωεm

f(x, u(x), v(x))dx ≤ L+ εm(b− a) < L+1

N(b− a)

oraz µ(Ω\Ωεm) → 0, ponieważ µ(Ω\Ωεm) < εm dla m ∈ N i εm → 0. Z założenia funkcjaf(·, u(·), v(·)): Ω → R jest całkowalna i nieujemna, zatem na mocy lematu 4.11∫

Ω

f(x, u(x), v(x))dx ≤ L+1

N(b− a)

dla N ∈ N i 1N< b− a. Stąd ∫

Ω

f(x, u(x), v(x))dx ≤ L

czylilim

n→+∞inf J([un], [vn]) ≥ J([u], [v])

Lemat 4.14 Jeżeli f ∈ Rp dla pewnego p > 1 oraz istnieją funkcje h, l: [a, b] → R takie,że [l] ∈ L1 (a, b), [h] ∈ Lr (a, b), 1

r+ 1

p= 1 i

f (x, y, z) ≥ h (x) z + l (x)

dla x ∈ [a, b], y, z ∈ R, to funkcjonał If,p: W1,p [a, b] → R dany wzorem (4.1) jest w-lsc.


Dowód. Niech un u wW 1,p [a, b]. Na mocy faktu 3.16 [un] [u] w Lp(a, b) i [u′n] [u′]w Lp(a, b). Co więcej, z lematu 3.25 [un] → [u] w L∞(a, b), czyli [un] → [u] w Lp(a, b).Określmy funkcjonał J: Lp (a, b)× Lp (a, b) → R następującym wzorem

J([w], [v]) =

∫ b

a

f(x,w(x), v(x))dx

Ponieważ [un] → [u] i [u′n] [u′] w Lp(a, b), więc z lematu 4.13

limn→+∞

inf J([un], [u′n]) ≥ J([u], [u′])

Stądlim

n→+∞inf If,p(un) ≥ If,p(u)

bowiem If,p(un) = J([un], [u′n]) dla n ∈ N i If,p(u) = J([u], [u′]). Zgodnie z definicją 1.2funkcjonał If,p jest w-lsc.

Dowód twierdzenia. Zauważmy, że funkcjonał If,p|W 1,p0 [a,b] jest koercytywny. Z lematu

3.8‖[u]‖p ≤ (b− a) ‖[u′]‖p

dla u ∈ W 1,p0 [a, b], więc

‖u‖p(1,p) = ‖[u]‖p

p + ‖[u′]‖pp ≤ ((b− a)p + 1) ‖[u′]‖p

p

dla u ∈ W 1,p0 [a, b]. Wobec tego

If,p(u) =

∫ b

a

f(x, u(x), u′(x))dx ≥∫ b

a

(l(x) + α |u′(x)|p

)dx

=

∫ b

a

l(x)dx+ α ‖[u′]‖pp ≥

∫ b

a

l(x)dx+α

1 + (b− a)p‖u‖p

(1,p)

dla u ∈ W 1,p0 [a, b]. Stąd If,p|W 1,p

0 [a,b](u) → +∞, gdy ‖u‖(1,p) → +∞. Zatem If,p|W 1,p0 [a,b]

jest koercytywny. Pokażemy, że funkcjonał If,p jest w-lsc. Niech h : [a, b] → R będziefunkcją stałą równą zero. Wtedy

f(x, y, z) ≥ l(x) + α |z|p ≥ l(x) + h(x)z

dla x ∈ [a, b] i y, z ∈ R. W rezultacie funkcja f spełnia założenia lematu 4.14, więc If,p

jest w-lsc i stąd If,p|W 1,p0 [a,b] jest w-lsc. Ponieważ If,p|W 1,p

0 [a,b] jest koercytywny i w-lsc wprzestrzeni refleksywnej W 1,p

0 [a, b], więc na mocy tezy (1.6.2) twierdzenia 1.6 If,p|W 1,p0 [a,b]

posiada minimum.


4.5 Dowód twierdzenia 4.5Dowód. Ponieważ przestrzeń W 1,p [a, b] jest refleksywna, gdy p > 1, więc na mocy tezy(1.6.2) twierdzenia 1.6 wystarczy wykazać, że funkcjonał If,p jest koercytywny i w-lsc.Koercytywność funkcjonału If,p wynika z nierówności, którą z założenia spełnia funkcjaf . Mamy bowiem

If,p(u) =

∫ b

a

f(x, u(x), u′(x))dx ≥∫ b

a

(l(x) + α

(|u(x)|p + |u′(x)|p

))dx

=

∫ b

a

l(x)dx+ α(‖[u]‖pp + ‖[u′]‖p

p) ≥∫ b

a

l(x)dx+ α ‖u‖p(1,p)

dla u ∈ W 1,p [a, b]. Zatem If,p(u) → +∞, gdy ‖u‖(1,p) → +∞. Pokażemy, że If,p jestw-lsc. Niech h: [a, b] → R będzie funkcją stałą równą zero. Wtedy

f(x, y, z) ≥ l(x) + α(|y|p + |z|p) ≥ l(x) + h(x)z

dla x ∈ [a, b] i y, z ∈ R. Wobec tego funkcja f spełnia założenia lematu 4.14, więc zgodniez tezą tego lematu funkcjonał If,p jest w-lsc.

4.6 Dowód twierdzenia 4.6Dowód. Na mocy twierdzenia 1.2 wystarczy wykazać, że funkcjonał If,1 jest lsc. Defi-niujemy funkcjonał J: L1(a, b)× L1(a, b) → R wzorem

J([w], [v]) =

∫ b

a

f(x,w(x), v(x))dx

Ponieważ funkcja f spełnia założenia lematu 4.13, więc

limn→+∞

inf J([wn], [vn]) ≥ J([w], [v])

o ile [wn] → [w] i [vn] [v] w L1(a, b). Niech un → u w W 1,1 [a, b]. Wówczas [un] → [u] i[u′n] → [u′] w L1(a, b), bo dla n ∈ N mamy

‖un − u‖(1,1) = ‖[un]− [u]‖1 + ‖[u′n]− [u′]‖1

Zatem [un] → [u] i [u′n] [u′] w L1(a, b), a więc

limn→+∞

inf J([un], [u′n]) ≥ J([u], [u′])

Stąd lim infn→+∞ If,1(un) ≥ If,1(u), ponieważ If,1(u) = J([u], [u′]) i If,1(un) = J([un], [u′n])dla n ∈ N . Z uwagi na dowolność ciągu (un)n∈N takiego, że un → u w W 1,1 [a, b] funkcjo-nał If,1 jest lsc.


4.7 Dowód twierdzenia 4.7Dowód. Na początku udowodnimy, że funkcjonał Ig,∞ jest G-różniczkowalny.

Niech u, v ∈ W 1,∞ [a, b]. Oznaczmy przez K = ‖[u′]‖∞, M = ‖[v′]‖∞. WtedyZ = x ∈ (a, b) : |u′ (x)| > K lub |v′ (x)| > M jest zbiorem miary zero. Weźmy ciągliczb rzeczywistych (tn)n∈N taki, że tn → 0 w R1 i tn 6= 0 dla n ∈ N . Wówczas istniejetakie L > 0, że |tn| ≤ L dla każdego n ∈ N . Obierzmy x ∈ (a, b) \ Z. Jeżeli v′ (x) = 0, to

limn→+∞

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tn= 0

orazg (x, u′ (x) + tnv

′ (x))− g (x, u′ (x))

tn=∂g

∂y(x, u′ (x) + cv′ (x)) v′ (x)

dla n ∈ N , c ∈ R. Rozpatrzmy teraz przypadek v′ (x) 6= 0. Ponieważ funkcjag (x, ·): R→ R jest różniczkowalna, więc

limn→+∞

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tn= lim

n→+∞

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tnv′ (x)v′ (x)

=∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x)

Na mocy twierdzenia Lagrange’a dla każdego n ∈ N istnieje cn ∈ R takie, że 0 < |cn| < |tn|oraz

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tn=∂g

∂y(x, u′ (x) + cnv

′ (x)) v′ (x)

Funkcja ϕ|[a,b]×[−K−LM,K+LM ] jest jednostajnie ciągła, więc istnieje C > 0 takie, że ϕ (x, y) ≤C dla x ∈ [a, b] i y ∈ [−K − LM,K + LM ]. Ponieważ |u′ (x) + cnv

′ (x)| ≤ |u′ (x)| +|cn| |v′ (x)| ≤ K + LM , więc∣∣∣∣g (x, u′ (x) + tnv

′ (x))− g (x, u′ (x))

tn

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∂g∂y (x, u′ (x) + cnv′ (x))

∣∣∣∣ |v′ (x)|≤ ϕ (x, u′ (x) + cnv

′ (x))M ≤ CM

dla n ∈ N .W rezultacie dla każdego x ∈ (a, b) \ Z mamy

limn→+∞

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tn=∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x)

oraz ∣∣∣∣g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tn

∣∣∣∣ ≤ CM

dla n ∈ N . Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

limn→+∞

Ig,∞ (u+ tnv)− Ig,∞ (u)

tn= lim

n→+∞

∫ b

a

g (x, u′ (x) + tnv′ (x))− g (x, u′ (x))

tndx

=

∫ b

a

∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x) dx


Z definicji granicy wg Heinego

limt→0

Ig,∞ (u+ tv)− Ig,∞ (u)

t=

∫ b

a

∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x) dx

Z uwagi na dowolność v ∈ W 1,∞ [a, b] funkcjonał G: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem

G (v) =

∫ b

a

∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x) dx

jest dobrze określony. Zauważmy, że G ∈ (W 1,∞ [a, b])∗, bowiem

|G (v)| ≤∫ b

a

∣∣∣∣∂g∂y (x, u′ (x))

∣∣∣∣ |v′ (x)| dx ≤ ∫ b

a

|ϕ (x, u′ (x))| |v′ (x)| dx

≤∫ b

a

C ‖[v′]‖∞ dx = C (b− a) ‖[v′]‖∞ ≤ C (b− a) ‖v‖(1,∞)

oraz

G (αw + βv) =

∫ b

a

∂g

∂y(x, u′ (x)) (αw′ (x) + βv′ (x)) dx = αG (w) + βG (v)

dla α, β ∈ R, w, v ∈ W 1,∞ [a, b]. Zgodnie z definicją (patrz strona 5) G jest pochodnąGäteaux funkcjonału Ig,∞ w punkcie u ∈ W 1,∞ [a, b], t.j.

[I ′g,∞ (u)

](v) =

∫ b

a

∂g

∂y(x, u′ (x)) v′ (x) dx

Wobec dowolności u ∈ W 1,∞ [a, b] funkcjonał Ig,∞ jest G-różniczkowalny. Ponieważ funk-cja g jest wypukła względem drugiej zmiennej, więc funkcjonał Ig,∞ jest wypukły. Namocy tezy twierdzenia 1.8 teza (ii) twierdzenia 4.7 jest prawdziwa.

4.8 Dowód twierdzenia 4.8Dowód. (⇒) Z założenia istnieje funkcja v ∈ W 1,∞ [a, b] taka, że

I(v) = infI(u) : u ∈ W 1,∞ [a, b]

Niech un = v dla n ∈ N . Wtedy un∗ v w W 1,∞ [a, b] oraz

limn→+∞

I(un) = I(v)

(⇐) Niech ciąg (un)n∈N ⊂ W 1,∞ [a, b], un∗ v w W 1,∞ [a, b] oraz

limn→+∞

I(un) = infI(u) : u ∈ W 1,∞ [a, b]


Ponieważ I jest w∗−lsc, więc

limn→+∞

inf I(un) ≥ I(v)

Mamy

I(v) ≥ infI(u) : u ∈ W 1,∞ [a, b] = limn→+∞

I(un) = limn→+∞

inf I(un) ≥ I(v)

zatem I(v) = infI(u) : u ∈ W 1,∞ [a, b].

4.9 Dowód twierdzenia 4.9Dowód tego twierdzenia składa się z pięciu części wyodrębnionych w postaci osobnychlematów.

Lemat 4.15 Niech h : ∆ → R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli (An)n∈N jest zstępującymciągiem ograniczonych podprzedziałów przedziału ∆ oraz istnieje punkt x0 ∈ ∆ taki, że⋂+∞

n=1An = x0, to

limn→+∞

∫Anh(x)dx

µ(An)= h(x0)

Dowód. Ustalmy ε > 0. Z ciągłości funkcji h wynika, że istnieje δ > 0 takie, że dlakażdego x ∈ ∆ jeśli |x− x0| < δ, to |h(x)− h(x0)| < ε. Ponieważ An+1 ⊂ An dla n ∈ Ni⋂+∞

n=1An = x0, więc istnieje N ∈ N takie, że µ(AN) < δ. Niech n ≥ N . Wtedyµ(An) ≤ µ(AN) < δ, zatem |x− x0| < δ dla x ∈ An. Stąd∣∣∣∣∣

∫Anh(x)dx

µ(An)− h(x0)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫

Anh(x)dx− h(x0)µ(An)

µ(An)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫

An(h(x)− h(x0)) dx

µ(An)

∣∣∣∣∣≤∫

An|h(x)− h(x0)| dx

µ(An)<εµ(An)

µ(An)= ε

Z uwagi na dowolność ε > 0 mamy

limn→+∞

∫Anh(x)dx

µ(An)= h(x0)

Lemat 4.16 Jeżeli funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest w∗−lsc, to dla

każdego [c, d] ⊂ [a, b], dla każdego x0 ∈ [a, b], dla każdego z0 ∈ R i każdego ϕ ∈ W 1,∞0 [c, d]

mamy1

d− c

∫ d

c

g(x0, z0 + ϕ′(y))dy ≥ g(x0, z0)


Dowód. Niech [c, d] ⊂ [a, b]. Weźmy x0 ∈ [a, b], z0 ∈ R i ϕ ∈ W 1,∞0 [c, d]. Niech

ϕ : R → R będzie funkcją okresową o okresie T = d − c i taką, że ϕ|[c,d] = ϕ. Niechm będzie najmniejszą liczbą naturalną taką, że [x0, x0 + T

m] ⊂ [a, b], gdy x0 ∈ [a, b) lub[

b− Tm, b]⊂ [a, b], gdy x0 = b. Ponieważ dowody w obu przypadkach są analogiczne, więc

ograniczymy się do przypadku, gdy x0 ∈ [a, b). Ustalmy k ≥ m. Przyjmijmy, że

ϕn,k(x) =

0 dla x ∈ [a, b] \ [x0, x0 + T

k]

1nk

(ϕ (nk(x− x0))− ϕ(0)) dla x ∈ [x0, x0 + Tk]

dla n ∈ N .Krok I. Wykażemy, że ϕn,k

∗ 0 w W 1,∞ [a, b].

Na początek zauważmy, że ciąg (ϕn,k)n∈N ⊂ W 1,∞ [a, b]. Weźmy n ∈ N . Z twierdzenia2.33 funkcja ϕ: [0, nT ] → R jest absolutnie ciągła. Ponieważ funkcja τn,k(x) = nk(x−x0)dla x ∈ [x0, x0 + T

k] jest liniowa, więc funkcja ϕ τn,k też jest absolutnie ciągła. Korzysta-

jąc ponownie z twierdzenia 2.33 otrzymujemy, że ϕn,k jest funkcją absolutnie ciągłą. Cowięcej, [ϕ′n,k] ∈ L∞(a, b), bowiem

(ϕ τn,k)′ (x) = ϕ′(τn,k(x))τ

′n,k(x) = ϕ′(nk(x− x0))nk

dla p.k. x ∈ [x0, x0 + Tk]. W rezultacie ϕn,k ∈ W 1,∞ [a, b].

Niech f1, f2: (a, b) → R będą funkcjami całkowalnymi. Ponieważ [ϕ′|(0,T )] ∈ L∞(0, T ),więc z twierdzenia 2.20

[ϕ′(nx)]∗ [

1

T

∫ T

0

ϕ′(x)dx] = [0]

Stąd∫ b

a

ϕ′n,k(x)f2(x)dx =

∫ x0+Tk

x0

ϕ′(nk(x− x0))f2(x)dx =1

k

∫ T

0

ϕ′(nx)f2(x0 +x

k)dx→ 0

Natomiast∫ b

a

ϕn,k(x)f1(x)dx =

∫ x0+Tk

x0

1

nk(ϕ (nk(x− x0))− ϕ(0))f1(x)dx→ 0

bowiem ∣∣∣∣∫ b

a

ϕn,k(x)f1(x)dx

∣∣∣∣ ≤ 2

nk‖[ϕ]‖∞ ‖[f1]‖1 → 0.

Z uwagi na dowolność [f1], [f2] ∈ L1(a, b) mamy ϕn,k∗ 0 w W 1,∞ [a, b].

Krok II.Niech v : [a, b] → R będzie funkcją daną wzorem v(x) = z0(x − x0). Ciąg vn,k :

[a, b] → R, n ∈ N określamy następująco vn,k(x) = v(x) + ϕn,k(x). Ponieważ ϕn,k∗ 0 w

W 1,∞ [a, b], więc vn,k∗ v w W 1,∞ [a, b]. Stąd, że Ig,∞ jest w

∗−lsc wynika, że

limn→+∞

inf Ig,∞ (vn,k) ≥ Ig,∞ (v)


Krok III.Niech xj = x0 + j T

nk, j = 0, 1, . . . , n, n ∈ N . Wtedy [x0, x0 + T

k] =

⋃n−1j=0 [xj, xj+1] oraz

Ig,∞(vn,k) =

∫[a,b]\[x0,x0+T

k]

g(x, v′(x))dx+n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

g(xj, v′n,k(x))dx

+n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

(g(x, v′n,k(x))− g(xj, v

′n,k(x))

)dx

Krok IV. Pokażemy, że

limn→+∞

n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

g(xj, v′n,k(x))dx =

1

T

∫ x0+Tk

x0

∫ d

c

g(x, z0 + ϕ′(y))dydx.

Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych i z własności funkcji okresowej ϕ otrzy-mujemy

n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

g(xj, v′n,k(x))dx =

n−1∑j=0

1

nk

∫ d

c

g(xj, z0 + ϕ′(y))dy

dla n ∈ N . Ponieważ g|[a,b]×[−|z0|−‖[ϕ′]‖∞,|z0|+‖[ϕ′]‖∞] jest jednostajnie ciągła, więc funkcjaτ : [a, b] × [c, d] → R dana wzorem τ(x, y) = g(x, z0 + ϕ′(y)) jest ograniczona p.w., czylijest całkowalna. Na mocy twierdzenia Fubiniego∫ x0+T

k

x0

∫ d

c

g(x, z0 + ϕ′(y))dydx =

∫ d

c

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0 + ϕ′(y))dxdy.

Wykorzystując powyższe uwagi i równość 1nk

= 1T

∫ xj+1

xjdx dla j = 0, . . . , n − 1 otrzymu-

jemy∣∣∣∣∣n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

g(xj, v′n,k (x))dx− 1

T

∫ x0+Tk

x0

∫ d

c

g(x, z0 + ϕ′(y))dydx

∣∣∣∣∣ ≤≤ 1

T

n−1∑j=0

∫ d

c

∫ xj+1

xj

|g(xj, z0 + ϕ′(y))− g(x, z0 + ϕ′(y))| dxdy

dla n ∈ N . Niech ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0 taka, że dla każdych x, x ∈ [a, b],z, z ∈ [− |z0| − ‖[ϕ′]‖∞ , |z0|+ ‖[ϕ′]‖∞] jeśli

√(x− x)2 + (z − z)2 < δ, to

|g(x, z)− g(x, z)| < kε

d− c

Co więcej, istnieje takie N ∈ N , że dla każdego n ≥ N mamy Tnk< δ. Stąd

1

T

n−1∑j=0

∫ d

c

∫ xj+1

xj

|g(xj, z0 + ϕ′(y))− g(x, z0 + ϕ′(y))| dxdy < ε


Krok V. Wykażemy, że

limn→+∞

n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

(g(x, v′n,k (x))− g(xj, v

′n,k (x))

)dx = 0

Ponieważ vn,k∗ v w W 1,∞ [a, b], więc z faktu 3.19

[v′n,k

] ∗ [v′] w L∞ (a, b). Wobec tego

istnieją M > 0 oraz zbiór miary zero B ⊂ (a, b) takie, że dla każdego x ∈ (a, b)\B i n ∈ Nmamy max

∣∣v′n,k (x)∣∣ , |v′ (x)| ≤ M (patrz fakt 2.13 i 2.6). Ustalmy ε > 0. Ponieważ

g|[a,b]×[−M,M ] jest jednostajnie ciągła, więc istnieje δ > 0 taka, że dla każdych x, x ∈ [a, b],

z, z ∈ [−M,M ] jeśli√

(x− x)2 + (z − z)2 < δ, to

|g (x, z)− g (x, z)| < εk

T

Weźmy N ∈ N takie, że Tnk< ε dla n ≥ N . Wtedy∣∣∣∣∣

n−1∑j=0

∫ xj+1

xj

(g(x, v′n,k (x))− g(xj, v

′n,k (x))

)dx

∣∣∣∣∣ < ε

Krok VI. W rezultacie otrzymujemy

limn→+∞

Ig,∞(vn,k) =

∫[a,b]\[x0,x0+T

k]

g(x, z0)dx+1

T

∫ x0+Tk

x0

∫ d

c

g(x, z0 + ϕ′(y))dydx

Stąd i z nierówności lim infn→+∞ Ig,∞ (vn,k) ≥ Ig,∞ (v) wynika, że

1

T

∫ d

c

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0 + ϕ′(y))dxdy ≥∫ x0+T

k

x0

g(x, z0)dx

Z uwagi na dowolność k ≥ m mamy

1

T

∫ d

c

k

T

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0 + ϕ′(y))dxdy ≥ k

T

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0)dx (4.5)

dla k ≥ m.Krok VII. Zauważymy, że ciągi

(kT

∫ x0+Tk

x0g(x, z0 + ϕ′(y))dx

)k∈N

dla p.k. y ∈ [c, d] i(kT

∫ x0+Tk

x0g(x, z0)dx

)k∈N

są zbieżne. Ciąg([x0, x0 + T

k])+∞

k=mjest zstępującym ciągiem

podprzedziałów przedziału [a, b], punkt x0 ∈ [a, b] i⋂+∞

k=m[x0, x0 + Tk] = x0. Ponieważ

funkcja g jest ciągła, więc funkcje h(x) = g(x, z0+ϕ′(y)) dla p.k. y ∈ [c, d] i w(x) = g(x, z0)

też są ciągłe. Na mocy lematu 4.15

limk→+∞

k

T

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0 + ϕ′(y))dx = g(x0, z0 + ϕ′(y))


dla p.k. y ∈ [c, d] oraz

limk→+∞

k

T

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0)dx = g(x0, z0)

Krok VIII. Istnieje L > 0 takie, że dla każdego x ∈ [a, b] i z ∈ [− |z0| − ‖[ϕ′]‖∞ , |z0|+ ‖[ϕ′]‖∞]mamy |g (x, z)| ≤ L. Stąd ∣∣∣∣∣ kT

∫ x0+Tk

x0

g(x, z0 + ϕ′(y))dx

∣∣∣∣∣ ≤ L

dla k ≥ m i p.k. y ∈ [c, d]. W rezultacie z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczoneji z nierówności (4.5) otrzymujemy

1

T

∫ d

c

g(x0, z0 + ϕ′(y))dy ≥ g(x0, z0)

czyli1

d− c

∫ d

c

g(x0, z0 + ϕ′(y))dy ≥ g(x0, z0)

Lemat 4.17 Jeżeli funkcjonał Ig,∞ : W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest w∗−lsc, to

funkcja g: [a, b]×R→ R jest wypukła ze względu na drugą zmienną.

Dowód. Niech u0 ∈ [a, b]. Weźmy t ∈ (0, 1) i α, β ∈ R, α 6= β. Niech [c, d] ⊂[a, b]. Przedział [c, d] dzielimy na 2N podprzedziałów w następujący sposób: [c, d] =⋃2N−1

j=0 [xj, xj+1], gdzie x0 = c, xj = x0 + j d−c2N , j = 0, 1, . . . , 2N . Następnie każdy z pod-

przedziałów (xj, xj+1) dzielimy na dwa podprzedziały, jeden o długości t(d−c)2N , a drugi o

długości (1−t)(d−c)2N , (xj, xj+1) = (xj, tj] ∪ (tj,xj+1), tj − xj = t(d−c)

2N , xj+1 − tj = (1−t)(d−c)2N .

Niech

IN =2N−1⋃j=0

(xj, tj)

a

JN =2N−1⋃j=0

(tj, xj+1)

Wtedy µ(IN) = t(d − c), a µ(JN) = (1 − t)(d − c). Definiujemy funkcję ϕ: [c, d] → Rwzorem

ϕ(x) =

(1− t)(α− β)(x− xj) dla x ∈ [xj, tj)−t(α− β)(x− xj+1) dla x ∈ [tj, xj+1]

, j = 0, 1, . . . , 2N − 1


Pokażemy, że ϕ ∈ W 1,∞0 [c, d]. Funkcja ϕ jest ciągła w punkcie tj, bowiem

limx→tj−

ϕ(x) = limx→tj−

(1− t)(α− β)(x− xj) = (1− t)(α− β)(tj − xj)

=(1− t)(α− β)t(d− c)

2N= t(α− β)(xj+1 − tj)

= −t(α− β)(tj − xj+1) = ϕ(tj).

Funkcje ϕ|[xj ,tj ] i ϕ|[tj ,xj+1], jako liniowe, są absolutnie ciągłe. Z twierdzenia 2.33 funkcjaϕ jest absolutnie ciągła. Co więcej, ϕ jest różniczkowalna p.w. na (c, d) oraz

ϕ′(x) =

(1− t)(α− β) dla x ∈ IN−t(α− β) dla x ∈ JN

Ponieważ t ∈ (0, 1), więc |ϕ′(x)| ≤ |α− β| dla x ∈ IN ∪ JN . Stąd [ϕ′] ∈ L∞(c, d). Nato-miast ϕ(c) = ϕ(x0) = (1−t)(α−β)(x0−x0) = 0 i ϕ(d) = ϕ(x2N ) = −t(α−β)(x2N−x2N ) =0. W rezultacie ϕ ∈ W 1,∞

0 [c, d]. Przyjmijmy z0 = tα+ (1− t)β. Na mocy lematu 4.16

1

d− c

∫ d

c

g(u0, z0 + ϕ′(y))dy ≥ g(u0, z0)

Stąd∫IN

g(u0, tα + (1− t)β + (1− t)(α− β))dy +

∫JN

g(u0, tα+ (1− t)β − t(α− β))dy

≥ (d− c)g(u0, z0)

Stąd

µ(IN)g(u0, α) + µ(JN)g(u0, β) ≥ (d− c)g(u0, z0)

t(d− c)g(u0, α) + (1− t)(d− c)g(u0, β) ≥ (d− c)g(u0, z0)

tg(u0, α) + (1− t)g(u0, β) ≥ g(u0, tα + (1− t)β)

Zatem funkcja g(u0, ·): R → R jest wypukła. Ze względu na dowolność u0 ∈ [a, b]funkcja g jest wypukła ze względu na drugą zmienną.

Lemat 4.18 Niech un∗ u w W 1,∞ [a, b]. Wówczas

1. dla każdego p > 1 istnieje ciąg liczb nieujemnych (λni )n∈N

i≤n taki, że∑n

i=1 λni = 1 dla

n ∈ N oraz [vn] =∑n

i=1 λni [ui] → [u0] i [v′n] → [u′0] w Lp(a, b);

2. istnieje ciąg liczb nieujemnych (γni )n∈N

i≤n taki, że∑n

i=1 γni = 1 dla n ∈ N oraz

wn =∑n

i=1 γni ui → u0 i w′

n → u′0 p.w. na (a, b).


Dowód. (1) Weźmy p > 1, 1p

+ 1q

= 1. Wówczas ([un] , [u′n])n∈N ⊂ Lp(a, b) × Lp(a, b).Niech F([g1],[g2]): L

p(a, b)× Lp(a, b) → R będzie funkcjonałem danym wzorem

F([g1],[g2]) ([u] , [v]) =

∫ b

a

g1(x)u(x)dx+

∫ b

a

g2(x)v(x)dx ,

gdzie ([g1] , [g2]) ∈ Lq(a, b)× Lq(a, b).Ponieważ un

∗ u0 w W 1,∞ [a, b], więc F([g1],[g2]) ([un] , [u′n]) → F([g1],[g2]) ([u0] , [u

′0])

w R1.Z uwagi na dowolność ([g1], [g2]) ∈ Lq(a, b) × Lq(a, b), ([un] , [u′n]) ([u0] , [u′0])

w Lp(a, b) × Lp(a, b). Z twierdzenia Mazura wynika, że istnieje ciąg liczb nieujem-nych (λn

i )n∈Ni≤n taki, że

∑ni=1 λ

ni = 1 dla n ∈ N oraz [vn] =

∑ni=1 λ

ni [ui] → [u0] i

[v′n] =∑n

i=1 λni [u′i] → [u′0] w Lp(a, b).

(2) Na mocy poprzedniego punktu istnieje ciąg liczb nieujemnych (λni )n∈N

i≤n taki, że∑ni=1 λ

ni = 1 dla n ∈ N oraz [vn] =

∑ni=1 λ

ni [ui] → [u0] i [v′n] → [u′0] w L2(a, b). Wobec

tego istnieją podciągi (vnk)k∈N ⊂ (vn)n∈N i (v′nkl

)l∈N ⊂ (v′nk)k∈N takie, że vnk

→ u0 iv′nkl

→ u′0 p.w. na (a, b). Niech

γni =

0 1 ≤ i < n1 i = n

dla n < nk1 oraz

γni =

0 i > nkl

λnkli 1 ≤ i ≤ nkl

dla nkl≤ n < nkl+1

. Wówczas∑n

i=1 γni = γn

n = 1 dla n < nk1 i∑n

i=1 γni =

∑nkli=1 λ

nkli = 1


. Co więcej, wn =∑n

i=1 γni ui → u0 i w′

n → u′0 p.w. na (a, b), bowiemwn =

∑ni=1 γ

ni ui =

∑nkli=1 λ

nkli ui = vnkl


.

Lemat 4.19 Jeżeli funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest wypukły, tofunkcjonał Ig,∞ jest w

∗−lsc.

Dowód. Załóżmy, że un∗ u w W 1,∞ [a, b]. Niech L = lim infn→+∞ Ig,∞(un). Dla upro-

szczenia zapisu przyjmijmy, że lim infn→+∞ Ig,∞(un) = limn→+∞ Ig,∞(un). Możliwe są trzysytuacje:

1. L = +∞. Wówczas L ≥ Ig,∞(u).

2. L = −∞. Ustalmy m ∈ N . Wówczas istnieje takie N ∈ N , że Ig,∞(un) ≤ −mdla n ≥ N . Ponieważ un+N

∗ u w W 1,∞ [a, b], więc na mocy lematu 4.18 istnie-

je ciąg liczb nieujemnych (γni )n∈N

i≤n taki, że∑n

i=1 γni = 1 dla n ∈ N oraz wn =∑n

i=1 γni ui+N → u, w′

n → u′ p.w. na (a, b). Wobec ciągłości funkcji g mamyg(x,w′

n(x)) → g(x, u′(x)) dla p.k. x ∈ (a, b). Z faktu 3.19 wynika, że [u′n]∗ [u′]

w L∞(a, b). Zatem istnieją zbiór miary zero B ⊂ (a, b) oraz stała M > 0 takie, że


|u′n(x)| ≤M dla x ∈ (a, b) \B i n ∈ N , co wynika z faktów 2.13 i 2.6. W rezultacieotrzymujemy

|w′n(x)| ≤

n∑i=1

γni

∣∣u′i+N(x)∣∣ ≤ n∑

i=1

γni M = M

dla x ∈ (a, b) \ B i n ∈ N . Funkcja g|[a,b]×[−M,M ] jest jednostajnie ciągła, zatemistnieje K > 0 takie, że |g (x, y)| ≤ K dla x ∈ [a, b], y ∈ [−M,M ]. Wobec czego|g(x,w′

n(x))| ≤ K dla x ∈ (a, b) \ B, n ∈ N . Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżnościograniczonej

limn→+∞

Ig,∞(wn) = limn→+∞

∫ b

a

g(x,w′n(x))dx =

∫ b

a

g(x, u′(x))dx = Ig,∞(u)

Ponieważ Ig,∞ jest funkcjonałem wypukłym, więc

Ig,∞(wn) = Ig,∞

(n∑

i=1

γni ui+N

)≤

n∑i=1

γni Ig,∞(ui+N) ≤

n∑i=1

γni (−m) = −m

dla n ∈ N . Stąd limn→+∞ Ig,∞(wn) ≤ −m, czyli Ig,∞(u) ≤ −m. Z uwagi nadowolność m ∈ N mamy Ig,∞(u) = −∞ — sprzeczność.

3. −∞ < L < +∞. Ustalmy ε > 0. Wówczas istnieje N ∈ N takie, że

L− ε < Ig,∞(un) < L+ ε

dla n ≥ N . Ponieważ un+N∗ u w W 1,∞ [a, b], więc na mocy lematu 4.18 istnieje

ciąg liczb nieujemnych (γni )n∈N

i≤n taki, że∑n

i=1 γni = 1 oraz wn =

∑ni=1 γ

ni ui+N → u,

w′n → u′ p.w. na (a, b). Stosując taką samą argumentację jak w punkcie poprzednim

otrzymujemylim

n→+∞Ig,∞(wn) = Ig,∞(u)

Z wypukłości funkcjonału Ig,∞ mamy

Ig,∞(wn) = Ig,∞

(n∑

i=1

γni ui+N

)≤

n∑i=1

γni Ig,∞(ui+N) <

n∑i=1

γni (L+ ε) = L+ ε

dla n ∈ N . Wobec tegolim

n→+∞Ig,∞(wn) ≤ L+ ε

czyli Ig,∞(u) ≤ L+ ε. Z uwagi na dowolność ε > 0 otrzymujemy

Ig,∞(u) ≤ L = limn→+∞

inf Ig,∞(un)


Wobec dowolności un∗ u w W 1,∞ [a, b], funkcjonał Ig,∞ jest w

∗−lsc.

Dowód twierdzenia. (⇒) Wynika z lematu 4.17.(⇐) Jeżeli funkcja g : [a, b] × R → R jest wypukła względem drugiej zmiennej, to

funkcjonał Ig,∞ dany wzorem (4.2) jest wypukły. Zatem na mocy lematu 4.19 funkcjonałIg,∞ jest w

∗−lsc.

Na koniec tego paragrafu odnotujmy wynikający z powyższych lematów wniosek.

Wniosek 4.20 Funkcjonał Ig,∞: W 1,∞ [a, b] → R dany wzorem (4.2) jest wypukły, wtedyi tylko wtedy, gdy funkcja g: [a, b]×R→ R jest wypukła ze względu na drugą zmienną.

4.10 Dowód twierdzenia 4.10Dowód. (⇐) Ponieważ funkcja g: [a, b]×R→ R jest afiniczna, więc istnieją takie funk-cje ciągłe τ, h: [a, b] → R, że g (x, z) = τ (x) z + h (x). Niech un

∗ u w W 1,∞ [a, b]. Na

mocy faktu 3.19 [u′n]∗ [u′] w L∞ (a, b), zatem

∫ b

aτ (x)u′n (x) dx →

∫ b

aτ (x)u′ (x) dx, bo

[τ ] ∈ L1 (a, b). Wobec tego

limn→+∞

Ig,∞ (un) = limn→+∞

∫ b

a

g (x, u′n (x)) dx = limn→+∞

∫ b

a

(τ (x)u′n (x) + h (x)) dx

=

∫ b

a

g (x, u′ (x)) dx = Ig,∞ (u)

Z uwagi na dowolność un∗ u w W 1,∞ [a, b] funkcjonał Ig,∞ jest w

∗−c.

(⇒) Zauważmy, że funkcjonał −Ig,∞ jest w∗−c, bo jeśli un

∗ u w W 1,∞ [a, b], to

limn→+∞ (−Ig,∞) (un) = − limn→+∞ Ig,∞ (un) = −Ig,∞ (u) = (−Ig,∞) (u). Ponieważ funk-cja g jest ciągła, więc funkcja −g jest ciągła. Zatem na mocy lematu 4.17 funkcje g,−gsą wypukłe ze względu na drugą zmienną. Stąd

g (x, tz + (1− t) z) = tg (x, z) + (1− t) g (x, z)

dla x ∈ [a, b], z, z ∈ R i t ∈ (0, 1). Weźmy x ∈ [a, b], z ∈ R. Niech (z1, z2) będzieprzedziałem, do którego należą 0, 1 i z. Mamy

z =z − z2

z1 − z2

z1 +z1 − z

z1 − z2

z2

z−z2

z1−z2> 0, z1−z

z1−z2> 0 i z−z2

z1−z2+ z1−z

z1−z2= 1, zatem podstawiając do powyższej równości

otrzymujemy

g

(x,z − z2

z1 − z2

z1 +z1 − z

z1 − z2

z2

)=

z − z2

z1 − z2

g (x, z1) +z1 − z

z1 − z2

g (x, z2)

=g (x, z1)− g (x, z2)

z1 − z2

z +g (x, z2) z1 − g (x, z1) z2

z1 − z2


Wyliczając z tej równości g (x, 0) i g (x, 1) dostajemy:

g (x, 0) =g (x, z2) z1 − g (x, z1) z2

z1 − z2

, g (x, 1) =g (x, z1)− g (x, z2)

z1 − z2

+ g (x, 0)

Stąd g (x, z) = (g (x, 1)− g (x, 0)) z + g (x, 0) dla x ∈ [a, b], z ∈ R. Ponieważ z-cięciafunkcji ciągłej są ciągłe, więc funkcje τ (x) = g (x, 1)− g (x, 0) i h (x) = g (x, 0), x ∈ [a, b],są ciągłe. Co więcej, g (x, z) = τ (x) z+h (x) dla x ∈ [a, b]. Zatem g jest funkcją afiniczną.

Bibliografia

[1] B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Applied MathematicalSciences 78, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1989.

[2] L. Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations,Regional Conference Series in Mathematics 74, Conference Board of the MathematicalSciences CBMS 1988.

[3] G. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1995.

[4] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa 1978.

[5] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, Warszawa 1973.

[6] J. Mawhin, M. Willem, Critical Point Theory and Hamiltonian Systems, AppliedMathematical Sciences 74, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York 1989.

[7] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa 1989.

praca mgr (pdf)

Documents

Transcript of praca mgr (pdf)