Poszukiwanie wielowymiarowych solitonów optycznych przy użyciu ...

Michał Matuszewski

Poszukiwanie wielowymiarowychsolitonów optycznych przy uzyciu

metod wariacyjnych

Praca doktorska

napisana pod kierunkiemprof. dra hab. Marka Trippenbacha

Katedra Optyki Kwantowej i Fizyki AtomowejInstytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego

Warszawa 2007

Spis tre sci

1 Wstep 1

2 Spis prac naukowych 5

3 Krótkie wprowadzenie do teorii solitonów 73.1 Nieliniowe równania falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Ewolucja liniowa. Poszerzanie paczki falowej . . . . 73.1.2 Ewolucja nieliniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Nieliniowe równanie Schrödingera w optyce i kondensatach 103.2.1 Propagacja impulsów i wiazek swietlnych . . . . . . 103.2.2 Kondensat Bosego-Einsteina w przyblizeniu pola sred-

niego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Solitony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Efektywna redukcja liczby wymiarów w silnym potencjale . 233.6 Struktura pasmowa w osrodkach periodycznych . . . . . . . 243.7 Przyblizenie ciasnego wiazania . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Układy wielowymiarowe z modulacja dyspersji 294.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Model teoretyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Swiatłowody planarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 Przyblizenie wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Przypadek trójwymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.1 Równania wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.2 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Hybrydowa metoda wariacyjna 455.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Model hybrydowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

Spis tresci

5.3 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Samopułapkowanie w o srodkach o ujemnej nieliniowo sci 516.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Samopułapkowanie w siatkach fotonicznych . . . . . . . . . 526.3 Nieliniowa lokalizacja w periodycznych strukturach foto-

nicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Przejscie od nieliniowego poszerzania sie wiazki do samo-

pułapkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Obserwacja samopułapkowania w pojedynczym swiatło-

wodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Generacja solitonów w kondensacie Bosego-Einsteina 617.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Model teoretyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3 Wyniki symulacji i dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3.1 Metoda pierwsza – nagłe właczenie siatki o stałejgłebokosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.3.2 Metoda druga – adiabatyczne zmniejszanie głebo-kosci siatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.4 Dwumodowy model samopułapkowania . . . . . . . . . . . 73

8 Trójwymiarowe solitony w kondensacie Bosego-Einsteina 7 78.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Scenariusz eksperymentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.4 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.5 Analiza stabilnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.5.1 Przyblizenie kwazi-dwuwymiarowe . . . . . . . . . . 858.5.2 Podejscie trójwymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9 Podsumowanie 91

A Wyprowadzenie równa n wariacyjnych za pomoca programu Ma-ple 93

Bibliografia 97

iv

Podziekowania

Składam serdeczne podziekowania prof. Markowi Trippenbachowi zaposwiecony mi czas, cenne rady i dyskusje, bez których z pewnoscia niepowstałaby ta praca. Dziekuje równiez wszystkim innym osobom, z któ-rymi miałem okazje pracowac i które przekazały mi swoje doswiadcze-nie. Czesc wyników zawartych w tej pracy powstała w czasie mojegostazu w Australijskim Uniwersytecie Narodowym. Za zaproszenie tam,opieke i współprace dziekuje prof. Wiesławowi Królikowskiemu. Funda-cji na rzecz Nauki Polskiej dziekuje za udzielone mi stypendium. Mojejrodzinie dziekuje za okazane mi wsparcie, a przyjaciołom i kolegom z Wy-działu Fizyki za wspaniała atmosfere w jakiej mogłem bawic sie fizyka.

v

1 Wstep

Równania falowe to czastkowe równania rózniczkowe, które modelujarozmaite zjawiska fizyczne, takie jak na przykład rozchodzenie sie falelektromagnetycznych, fal na wodzie czy fal dzwiekowych. W wiekszo-sci przypadków paczki falowe biegnace swobodnie w danym kierunkuulegaja dyspersji, czyli poszerzeniu, na skutek róznicy w predkosci poru-szania sie fal o róznych czestosciach. Zjawisko to stanowi przeszkode wzastosowaniach praktycznych np. do przesyłania informacji.

W fizyce i matematyce soliton jest samotnie poruszajaca sie, pojedynczafala. Powstaje ona w wyniku ustalenia stanu równowagi miedzy efek-tami dyspersyjnymi i wpływem nieliniowosci, która skutecznie hamujezjawisko poszerzania sie paczki falowej. Solitony wystepuja w wielu dzie-dzinach fizyki, poniewaz sa rozwiazaniami szerokiej klasy nieliniowychrównan dyspersyjnych. Po raz pierwszy zjawisko to zostało opisane przezJohna S. Russella w 1834 roku. Zaobserwował on powstanie pojedynczejfali na tafli wody w kanale Union Canal w Szkocji, na skutek silnego zabu-rzenia spowodowanego przez nagle zatrzymujaca sie łódz. Fala ta poru-szała sie na odcinku o długosci 1-2 mili, nie zmieniajac przy tym kształtuani szerokosci, a jedynie z wolna tracac swoja wysokosc.

Musiało upłynac jednak wiele czasu, zanim solitony wzbudziły szerszezainteresowanie fizyków. Nastapiło to w latach 60-tych ubiegłego wieku,wraz z upowszechnieniem symulacji komputerowych jako narzedzia ba-dan naukowych. Obecnie solitony sa znane jako jedno z podstawowychzjawisk nielinowych, wystepujace w róznych dziedzinach fizyki, od teo-rii ciała stałego do fizyki czastek elementarnych. Jednym z najbardziejznanych przykładów tego zjawiska wystepujacym w naturze jest wielkaczerwona plama na Jowiszu. Niektóre typy fal pływowych powstajacychprzy ujsciach rzek maja takze charakter solitonów. Wystepuja one takzew formie fal podwodnych, propagujacych sie w poblizu dna morskiego, atakze fal tsunami i tzw. „fal monstrualnych”, powstajacych na otwartymmorzu i osiagajacych wysokosc do 30 m. Istnieja takze solitony atmos-feryczne, takie jak „chmura porannej chwały” w zatoce Karpentaria. Poraz pierwszy solitony znalazły komercyjne zastosowanie w europejskim

1

1 Wstep

systemie ultraszybkiej transmisji swiatłowodowej zbudowanym w 2001roku.

Nie jest łatwo precyzyjnie zdefiniowac czym jest soliton. Jedna z za-proponowanych definicji opisuje solitony jako rozwiazania nieliniowychrównan czastkowych, które:

1. reprezentuja fale o niezmiennym kształcie,

2. sa zlokalizowane, czyli w nieskonczonosci daza do zera lub pewnejstałej,

3. moga silnie oddziaływac z innymi solitonami, ale po zderzeniu wra-caja do swego pierwotnego kształtu, a jedyny efekt oddziaływaniato pewne przesuniecie fazowe.

Powyzsza definicja, lubiana zwłaszcza przez matematyków, jest małopraktyczna w zastosowaniach fizycznych. Fala zaobserwowana przezRussella nie byłaby według niej solitonem, gdyz wytracała swoja wyso-kosc. Podobnie, wymóg odtwarzania kształtu po kolizji nie jest spełnionyw wiekszosci przypadków, gdy mozna mówic o obiekcie majacym wła-snosci samotnie poruszajacej sie fali. Dlatego pojecie solitonu jest płynnei czesto uzywane w intuicyjnym, a nie formalnym znaczeniu.

Jak wspomniano, pierwsze przemysłowe zastosowanie solitonów doty-czyło układów optycznych. O ile najprostszy przypadek jednowymiaro-wego swiatłowodu przesyłajacego nieliniowe impulsy swiatła został grun-townie przebadany zarówno teoretycznie jak i doswiadczalnie, to układyo wiekszej wymiarowosci sa obecnie polem intensywnych badan. Jak sieokazuje, wystepuje w nich wiele nowych, interesujacych zjawisk fizycz-nych, które moga znalezc liczne zastosowania w praktyce. Szczególnie in-teresujace wydaja sie byc układy z periodyczna modulacja, która pozwalaefektywnie kontrolowac propagacje swiatła. Najczesciej do opisu propa-gacji uzywa sie nieliniowego równania Schrödingera, jednego z podsta-wowych nieliniowych równan falowych.

W ostatnich latach nastapił niezwykle szybki rozwój badan nad kon-densacja Bosego-Einsteina, zapoczatkowany przez pierwsze eksperymen-talne stworzenie tego stanu materii w 1995 roku. Kilka lat pózniej od-krycie to zostało uhonorowane nagroda Nobla. Mimo ze pełny opis tegozjawiska jest skomplikowanym problemem fizyki kwantowej i statystycz-nej, to kondensaty o małej gestosci, w przyblizeniu pola sredniego, mogabyc opisane równaniem Grossa–Pitaevskiego, które jest formalnie rów-nowazne nieliniowemu równaniu Schrödingera. Przejawia sie przy tym

2

wyraznie falowa natura materii, mówi sie wiec czesto o „optyce atomo-wej”. Równiez i w tym przypadku pojawiaja sie solitony, czyli nieliniowezlokalizowane stany poruszajace sie z predkoscia znacznie mniejsza odcharakterystycznej predkosci „dzwieku”. Wielkosc ta jest zdefiniowanajako predkosc rozchodzenia sie niewielkich, liniowych zaburzen gestoscikondensatu.

W niniejszej pracy przedstawione sa wyniki badan, których przedmio-tem były solitony wielowymiarowe w nieliniowych osrodkach optycz-nych oraz kondensatach Bosego-Einsteina w przyblizeniu pola sredniego.Układy te były poddane okresowej modulacji, która prowadziła do zaist-nienia zjawisk fizycznych takich jak pojawienie sie, stabilizacja, czy spon-taniczna generacja solitonów. Badania miały charakter teoretyczny, a wjednym przypadku (rozdział 6) zostały one równiez potwierdzone do-swiadczalne. W kazdym przypadku wyniki symulacji numerycznych zo-stały uzupełnione wnikliwa analiza teoretyczna i interpretacja, a takze po-równane z rezultatami podobnych badan przeprowadzonych wczesniejprzez innych autorów. Jednym z najbardziej uzytecznych sposobów ba-dania takich układów okazała sie metoda wariacyjna, która pozwala wprzyblizony, ale czesto zaskakujaco dokładny sposób opisac skompliko-wane układy nieliniowe. Niejednokrotnie dzieki zastosowaniu tej metodymozna zrozumiec zachodzace w układzie zjawiska fizyczne.

3

2 Spis prac naukowych

Oryginalne wyniki badan opisane w niniejszej pracy ukazały sie w dzie-wieciu artykułach opublikowanych w czasopismach naukowych z listyfiladelfijskiej:

• Michał Matuszewski, Marek Trippenbach, Boris A. Malomed, ErykInfeld, Andrzej A. Skorupski, Two-dimensional dispersion-managed li-ght bullets in Kerr media, Physical Review E 70, 016603 (2004).

• Marek Trippenbach, Michał Matuszewski, Boris A. Malomed, Sta-bilization of three-dimensional matter-waves solitons in an optical lattice,Europhysics Letters 70, 8-14 (2005).

• Michał Matuszewski, Eryk Infeld, Boris A. Malomed, Marek Trip-penbach, Fully three dimensional breather solitons can be created usingFeshbach resonance, Physical Review Letters 95, 050403 (2005).

• Michał Matuszewski, Eryk Infeld, George Rowlands, Marek Trip-penbach, Stability analysis of three dimensional breather solitons in a BoseEinstein Condensate, Proceedings of the Royal Society A 461, 3561-3574 (2005).

• Michał Matuszewski, Christian R. Rosberg, Dragomir N. Neshev,Andrey A. Sukhorukov, Arnan Mitchell, Marek Trippenbach, Mi-chael W. Austin, Wiesław Królikowski, Yuri S. Kivshar, Crossoverfrom self-defocusing to discrete trapping in nonlinear waveguide arrays,Optics Express 14, 254 - 259 (2006).

• Michał Matuszewski, Eryk Infeld, Boris A. Malomed, Marek Trip-penbach, Stabilization of three-dimensional light bullets by a transverselattice in a Kerr medium with dispersion management, Optics Commu-nications 259, 49-54 (2006).

• Eryk Infeld, Michał Matuszewski, Marek Trippenbach, A hybrid va-riational method of describing pulse splitting by dispersion management,Journal of Physics B 39, L113-L118 (2006).

5

2 Spis prac naukowych

• Michał Matuszewski, Wiesław Królikowski, Marek Trippenbach, YuriS. Kivshar, Simple and efficient generation of gap solitons in Bose-Einsteincondensates, Physical Review A 73, 063621 (2006).

• Eryk Infeld, Michał Matuszewski, Christoph Shino, Marek Trippen-bach, Can a variational approach describe pulse splitting in a dispersionmanaged system?, Optica Applicata, przyjety do druku (2007).

6

3 Krótkie wprowadzenie doteorii solitonów

Rozdział ten zawiera krótki wstep, w którym zostanie wprowadzone kilkapodstawowych pojec niezbednych do zrozumienia dalszej czesci pracy.Nie jest on w zadnym stopniu przegladem wiedzy na temat solitonów, ajedynie spojrzeniem na pewien niewielki jej wycinek, scisle zwiazany zzagadnieniami które były przedmiotem badan opisanych w nastepnychrozdziałach. Szczegółowe wprowadzenie mozna znalezc na przykład wksiazce [1].

3.1 Nieliniowe równania falowe

3.1.1 Ewolucja liniowa. Poszerzanie paczki falowej

Rozwazmy liniowe równanie falowe na funkcje u(x, t)

∂2u

∂t2= c2∂

2u

∂x2. (3.1)

Ma ono rozwiazania postaci u(x, t) = u+(x, t)+u−(x, t), gdzie u+(x, t) =

u0+(x−ct) jest fala poruszajaca sie do przodu, a u−(x, t) = u0−(x+ct) falaporuszajaca sie do tyłu z predkoscia c. Paczka falowa biegnaca w danymkierunku nie ulega deformacji. Jezeli do powyzszego równania podsta-wimy rozwiazanie w postaci fali płaskiej u(x, t) = eikx−iωt + c.c. (fale tetworza ortonormalna baze wszystkich rozwiazan) to otrzymamy liniowazaleznosc dyspersyjna ω = kc. A wiec predkosc grupowa vg = dω

dknie

zalezy od czestosci i wynosi c. Innymi słowy, dyspersja predkosci grupo-

wej Dvg= d2ω

dk2 wynosi zero. Zatem fale o róznych czestosciach poruszajasie z taka sama predkoscia. Nietrudno teraz zrozumiec, dlaczego paczkifalowe nie ulegaja deformacji.

W fizyce nie mamy jednak nigdy do czynienia z sytuacja idealna. Za-leznosc dyspersyjna zwykle nie jest liniowa, i predkosc grupowa zalezy

7

3 Krótkie wprowadzenie do teorii solitonów

od czestosci. Przykładem moze byc równanie

∂2u

∂t2= c2

(

∂2u

∂x2+ α

∂4u

∂x4

)

. (3.2)

W tym wypadku zaleznosc dyspersyjna ma postac ω = c√k2 + αk4, a

predkosc grupowa vg = dωdk

zalezy od czestosci. Wówczas paczki falowe,bedace złozeniem fal płaskich o róznych czestosciach, beda ulegac defor-macji, gdyz fale „wolniejsze” nie beda mogły nadazyc nad falami „szyb-szymi”. Paczka ulegnie wiec poszerzeniu. Zjawisko to nazywa sie dys-persja paczki falowej. Jest ono niewatpliwie zjawiskiem niepozadanym,jezeli zamierzamy np. przesłac za pomoca impulsów informacje, gdyz po-szerzenie paczek falowych prowadzi do nałozenia sie na siebie kolejnychimpulsów po odpowiednio długim czasie propagacji.

3.1.2 Ewolucja nieliniowa

Wiekszosc zjawisk nieliniowej fizyki fal moze zostac w pierwszym przy-blizeniu opisanych za pomoca zaledwie kilku standardowych równan.We wszystkich ponizszych równaniach przedstawiono problem fizycznyw odpowiednim układzie zmiennych zredukowanych, dzieki czemu wy-eliminowano wyrazy opisujace „dryf” rozwiazania ze stała predkoscia iwspółczynniki stałe przy poszczególnych wyrazach1. Jezeli opisujemypropagacje fal o niskiej czestosci, to rozwiniecie zaleznosci dyspersyjnej

1Załózmy, ze równanie ewolucji zawiera wyraz opisujacy dryf paczki falowej

∂u(t, x)

∂t= −v

∂u(t, x)

∂x+ . . .

Dokonujemy zamiany zmiennych tak, aby układ poruszał sie wraz z paczka z pred-koscia dryfu v

t ′ = t , x ′ = x− vt ,

∂u

∂t=∂u

∂t ′∂t ′

∂t+∂u

∂x ′∂x ′

∂t=∂u

∂t ′− v

∂u

∂x ′,

∂u

∂x=∂u

∂x ′, itd.

otrzymujac

∂u(t ′, x ′)

∂t ′= . . .

Pozostałe wyrazy po prawej stronie równania nie zmieniaja sie, jesli nie zawierajapochodnych po czasie.

8

3.1 Nieliniowe równania falowe

w szereg Taylora do najnizszego rzedu i dodanie najprostszej nieliniowo-sci prowadzi do równania Kortewega–de Vriesa (KdV)

∂u

∂t−∂3u

∂x3+ u

∂u

∂x= 0 , (3.4)

które moze byc zastosowane do opisu propagacji fal na płytkiej wodzie.Ostatni człon w tym równaniu jest nieliniowy, gdyz zawiera funkcje u wdrugiej potedze. Jezeli natomiast rozwijamy zaleznosc dyspersyjna wokółpewnego k0, które jest rózne od zera (tak jak to ma miejsce w optyce), to wpierwszym rzedzie otrzymamy nieliniowe równanie Schrödingera (NLS)

i∂u

∂t+∂2u

∂x2+ σ|u|2u = 0 , (3.5)

gdzie σ = ±1 jest znakiem nieliniowosci. Drugi wyraz jest tutaj czło-nem odpowiedzialnym za dyspersje fal. Innym czesto spotykanym rów-naniem nieliniowym jest równanie Sinusa-Gordona

∂2u

∂t2−∂2u

∂x2+ sinu = 0 , (3.6)

które stosuje sie miedzy innymi do opisu fizyki złacza Josephsona.Wszystkie te, jak i inne równania nieliniowe maja pewne wspólne wła-

snosci. Jedna z nich jest własnie wystepowanie solitonów, czyli nieli-niowych stanów własnych, które nie zmieniaja swojego kształtu w cza-sie ewolucji. Przykładem jest rozwiazanie stacjonarne równania NLS dlaσ = 1

u(x, t) =√2 sech(x− vt) ei[vx/2+(1−v2/4)t] . (3.7)

Rozwiazanie to jest „fala”, mimo ze nie porusza sie. W wiekszosci przy-padków równanie NLS opisuje bowiem dynamike w poruszajacym sieukładzie odniesienia. Wazna własnoscia solitonów jest fakt, ze nie majaone swojego odpowiednika w granicy liniowej. Wiecej na temat klasyfi-kacji nieliniowych równan falowych i solitonów mozna znalezc miedzyinnymi w ksiazce [1].

Jest pewna cecha, która odróznia powyzsze równania od wiekszoscinieliniowych równan, które spotkamy w fizyce. Otóz równania te moznarozwiazac scisle analitycznie (przy pewnych załozeniach) za pomoca trans-formacji odwrotnego rozpraszania (inverse scattering transform, IST) [2].

9


W uproszczeniu polega ona na przejsciu od równania nieliniowego doukładu równan liniowych, których baza sa rozwiazania własne (czyli so-litony). Zdecydowana wiekszosc równan nieliniowych, w tym powyz-sze równania z nawet niewielkimi dodatkowymi wyrazami nie jest całko-walna, czyli nie mozna ich rozwiazac za pomoca tej metody. Stanowi tobardzo powazne ograniczenie i ma daleko idace konsekwencje fizyczne.Równania niecałkowalne wykazuja bowiem zupełnie inne własnosci nizrównania całkowalne, i istnieje szereg zjawisk, które sa obecne tylko i wy-łacznie w układach niecałkowalnych, takich jak fuzja solitonów [3], kolaps(zapadanie sie) [4], czy turbulencja [5].

Niniejsza praca jest poswiecona zjawiskom nieliniowym w układachniecałkowalnych. Opisane badania dotycza w szczególnosci równan typuNLS, które zostały zastosowane do opisu propagacji swiatła w nielinio-wych osrodkach optycznych oraz do opisu ewolucji kondensatu Bosego-Einsteina w przyblizeniu pola sredniego. Cecha charakterystyczna byłopoddanie parametrów układu okresowej zmianie w czasie lub przestrzeniza pomoca potencjału periodycznego, modulacji dyspersji lub nieliniowo-sci.

3.2 Nieliniowe równanie Schrödingera woptyce i kondensatach Bosego-Einsteina

3.2.1 Propagacja impulsów i wiazek swietlnych

Rozwazmy propagacje koherentnego swiatła laserowego opisana równa-niami Maxwella. Ograniczmy sie na razie do najprostszego przypadku,kiedy swiatło ma efektywnie jednowymiarowa dynamike (np. biegnac wswiatłowodzie). Jako os propagacji wybieramy os z. Wektor natezenia

pola elektrycznego zapisujemy jako−→E (r, t) = E⊥(x, y)E(z, t) + c.c., gdzie

E⊥ jest poprzecznym przekrojem natezenia pola i zalezy od konkretnegomodu swiatłowodu. W osrodku liniowym zaleznosc dyspersyjna fal po-staci E(z, t) = eikz−iωt jest zadana funkcja k(ω), która mozna otrzymacrozwiazujac równania Maxwella. Zaleznosc ta wynika z własnosci mate-riałowych, ale ma na nia wpływ takze geometria osrodka (przekrój swia-tłowodu) [6]. Przechodzac do przypadku nieliniowego, uwzgledniamyfakt, ze polaryzacja zalezy nieliniowo od natezenia swiatła. Aby w pro-sty sposób uwzglednic ten efekt, mozna przyjac, ze długosc wektora fa-

10

3.2 Nieliniowe równanie Schrödingera w optyce i kondensatach

lowego jest równiez funkcja natezenia swiatła2 k = k(ω, |E|2). Załózmyprzy tym, ze poprawka pochodzaca od nieliniowosci jest mała. Traktu-jemy |E|2 jako stała, co jest dosc grubym przyblizeniem, poniewaz chcemyuzyskac równanie opisujace zmiennosc funkcji E(x, t). Metoda ta jest jed-nak najprostszym sposobem dotarcia do własciwego wyniku. Zapiszmyrównanie w przestrzeni Fouriera3

[

k − k(

ω, |E|2)]

E(k,ω) = 0 . (3.8)

Równanie to ma nastepujacy sens: dla dowolnej pary wartosci zmiennychk i ω albo spełniona jest zaleznosc dyspersyjna k = k(ω, |E|2), albo skła-dowa Fourierowska E(k,ω) jest równa zeru. Nie nalezy przy tym my-lic zmiennej k z funkcja dyspersyjna k(ω, |E|2). Wprowadzamy funkcjeA(k,ω) = E(k + k0, ω + ω0), która jest przesunieta funkcja E(k,ω), a wprzestrzeni połozen A(z, t) jest obwiednia4 pola E(z, t). Mamy równanie

[

(k + k0) − k(

ω+ω0, |A|2)]

A(k,ω) = 0 , (3.9)

przy czym zakładamy, ze k(ω0) = k0. Nastepnie rozwijamy zwiazek dys-persyjny w szereg wokół k0, co odpowiada załozeniu, ze fale maja warto-sci k bliskie wartosci centralnej k0,

k(ω+ω0, |A|2) = k0 + β1ω+1

2β2ω

2 +∂k

∂|A|2︸︷︷︸

b

|A|2 + . . . , (3.10)

otrzymujac[

k −

(

β1ω+1

2β2ω

2 + b|A|2 + . . .

)]

A(k,ω) = 0 , (3.11)

2Zakładamy, ze odpowiedz osrodka (polaryzowalnosc) nie zalezy od fazy pola elek-trycznego.

3Transformata Fouriera funkcji E(x, t) wyraza sie wzorem

E(k,ω) =

∫ ∫+∞

−∞

e−i(kx−ωt)E(x, t)dxdt ,

a transformata odwrotna

E(x, t) =1

2π

∫ ∫+∞

−∞

ei(kx−ωt)E(k,ω)dkdω .

4Zachodzi zwiazek E(z, t) = A(z, t) × eik0z−iω0t, czyli pole E jest równe obwiedni Aprzemnozonej przez czynnik fazowy odpowiadajacy fali centralnej.

11


a w przestrzeni rzeczywistej

∂A(z, t)

∂z= −β1

∂A(z, t)

∂t−i

2β2

∂2A(z, t)

∂t2+ ib|A(z, t)|2A(z, t)+ . . . (3.12)

Wykorzystano tutaj znany fakt, ze przy przejsciu od przestrzeni Fourierado przestrzeni rzeczywistej nastepuje zamiana zmiennych na operatory:ω → i(∂/∂t), k → −i(∂/∂z) itd5. Równanie powyzsze, po odjeciu wy-razu z pierwsza pochodna po t (co mozna uzyskac przez odpowiednia za-miane zmiennych), ma forme nieliniowego równania Schrödingera (3.5).Zawiera ono jeden nieliniowy wyraz trzeciego rzedu6. Nieliniowosc takanazywamy nieliniowoscia optyczna typu Kerra. Za pomoca tego rów-nania mozna, znajac przebieg czasowy impulsu na wejsciu A(z = 0, t),znalezc jego pełna ewolucje. Jezeli β2 < 0, to mamy do czynienia z dys-persja anomalna, a gdy β2 > 0 dyspersja jest normalna. W tym przypadkurównanie (3.12) ma forme równania NLS po obustronnym sprzezeniu, aznak nieliniowosci σ jest przeciwny do znaku stałej b.

W podobny sposób mozna znalezc trójwymiarowe równanie propagacjiliniowo spolaryzowanej np. w kierunku xwiazki laserowej o czestosciω0.

Pole elektryczne ma w takim przypadku postac−→E (r, t) = exE(r)e

−iω0t +

c.c., a odpowiednik równania (3.9) mozna zapisac w nastepujacej postaci

[

(k + k0ez)2

− k(

ω0, |A|2)2]

A(k) = 0 . (3.13)

Rozbijamy teraz długosc wektora falowego na poszczególne składowe irozwijamy zaleznosc dyspersyjna w nieliniowosci

[

k2x + k2

y + (kz + k0)2

− k20 − 2k0b|A|2

]

A(k) = 0 . (3.14)

5Na przykład, transformata Fouriera z pochodnej po czasie, A(t) = dB(t)/dt

A(ω) =

∫+∞

−∞

eiωt dB(t)

dtdt = eiωtB(t)

∣

∣

∣

+∞

−∞−

∫+∞

−∞

deiωt

dtB(t)dt = −iωB(ω) ,

gdzie zakładamy, ze funkcja B(t) dazy do zera w nieskonczonosci. Podobnie, róz-niczkowanie n razy po t odpowiada w przestrzeni Fouriera n-krotnemu mnozeniufunkcji przez −iω.

6Nieliniowosc rzedu drugiego moze wystepowac tylko w osrodkach, które nie wyka-zuja symetrii inwersyjnej, co łatwo pokazac analizujac zaleznosc polaryzacji nielinio-wej od zwrotu pola elektrycznego [7]. W takim przypadku polaryzowalnosc musia-łaby zalezec od fazy pola.

12

3.2 Nieliniowe równanie Schrödingera w optyce i kondensatach

Dokonujemy przyblizenia przyosiowego, pomijajac wyraz k2z [7]

[

k2x + k2

y + 2k0kz − 2k0b|A|2]

A(k) = 0 , (3.15)

a nastepnie przechodzimy do przestrzeni rzeczywistej, otrzymujac po razkolejny nieliniowe równanie Schrödingera – tym razem w wersji dwuwy-miarowej

∂A

∂z=

i

2k0

∇2⊥A+ ib|A|2A . (3.16)

gdzie ∇2⊥ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 . Równanie to jest niecałkowalne, podobnie jakrównania w wiekszej ilosci wymiarów. W przypadku swiatłowodów pla-narnych (ograniczonych w jednym kierunku, x lub y), otrzymalibysmyjednak zwykłe jednowymiarowe równanie NLS.

3.2.2 Kondensat Bosego-Einsteina w przyblizeniu polasredniego

Kondensat Bosego-Einsteina to stan materii, w którym układ fizyczny zło-zony z bozonów (np. atomów pierwiastków alkalicznych) przeszedł prze-miane fazowa, w wyniku której duza czesc z nich znalazła sie w najniz-szym stanie energetycznym. Dokładny opis tego zjawiska jest złozonymproblemem fizyki kwantowej i statystycznej. Tutaj załozymy, ze mamy doczynienia z kondensatem w zerowej temperaturze, w którym znajduje siebardzo duza liczba atomów (rzedu 103 − 106). Dzieki temu mozna pomi-nac fluktuacje kwantowe liczby atomów, i zastosowac przyblizenie polasredniego. Matematyczna teorie słabo oddziałujacego kondensatu moznaznalezc w wielu pracach przegladowych, na przykład [8].

Oddziaływanie miedzy atomomami o małych energiach kinetycznychmoze byc scharakteryzowane pojedynczym parametrem, nazywanym dłu-goscia rozpraszania as. Przyblizenie to prowadzi do wieloczastkowegohamiltonianu

H = − h2

2m

∫

d3r ψ†(r)∇2ψ(r)+2πas

h

m

∫

d3r ψ†(r)ψ†(r)ψ(r)ψ(r) , (3.17)

gdzie ψ(r) jest operatorem pola bozonowego, m jest masa atomów. Mozeon byc zastosowany do wyznaczenia kwantowych własnosci kondensatu.

13


Jednak w wiekszosci przypadków bezposrednie korzystanie z powyz-szego hamiltonianu jest skomplikowane i niepraktyczne. Najczesciej sto-suje sie przyblizenie pola sredniego, którego podstawy zostały sformu-łowane przez Bogolubova. Operator pola w reprezentacji Heisenbergamozna zapisac w postaci

ψ(r, t) = ψ(r, t) + δψ(r, t) , (3.18)

gdzie ψ(r, t) jest funkcja zespolona zdefiniowana jako wartosc oczeki-wana operatora pola ψ(r, t) = 〈ψ(r, t)〉. Kwadrat jej modułu jest gesto-scia kondensatu n(r, t) = |ψ(r, t)|2, a całkowita liczba atomów jest równaN =

∫d3r |ψ(r, t)|2. Funkcja ψ(r, t) jest czesto nazywana makroskopowa

funkcja falowa kondensatu. W przypadku, gdy δψ(r, t) jest zaniedbywal-nie małe, hamiltonian (3.17) prowadzi do równania na ewolucje pola sred-niego

i h∂ψ(r, t)

∂t=

(

− h2∇2

2m+ g|ψ(r, t)|2

)

ψ(r, t) , (3.19)

gdzie g = 4π h2as/m. Jak widac, równanie to ma forme nieliniowegorównania Schrödingera w trzech wymiarach.

3.3 Solitony

Nieliniowe równanie Schrödingera (3.5) dla nieliniowosci dodatniej (σ =

1) posiada solitonowe rozwiazania stacjonarne, które nie maja swojegoodpowiednika w granicy liniowej

u(x, t) =

√2

Wsech

x − vt

Wexp

[

ivx

2+ i

(

1

W2−v2

4

)

t

]

. (3.20)

Profile takich rozwiazan pokazano na rysunku 3.1. NormaN =∫dx|u(x)|2

jest tym wieksza, im mniejsza jest szerokosc W. Rozwiazanie to ma cha-rakter samotnie poruszajacej sie fali, stad nazwa – soliton. Przejawiaja siew nim dwa przeciwdziałajace sobie zjawiska: tendencja do poszerzaniasie solitonu spowodowana liniowa dyspersja, oraz działanie nieliniowo-sci, które powoduje zawezanie sie paczki falowej. Siły te wzajemnie sierównowaza. W przypadku swiatłowodów z dyspersja normalna (3.12)rozwiazania solitonowe wystepuja dla ujemnej nieliniowosci, b < 0.

14

3.3 Solitony

Rysunek 3.1: Profile solitonów zadane wzorem (3.20).

Wazna cecha z punktu widzenia zastosowan fizycznych jest fakt, ze roz-wiazanie to jest swoistym atraktorem. Zaburzenie o odpowiednio duzejsile spowoduje spontaniczne pojawienie sie jednej lub wielu solitonowychpaczek falowych na tle fal dyspersyjnych. Ponadto, kazde małe zaburze-nie kształtu solitonu zostanie po pewnym czasie ewolucji „wypromienio-wane” w postaci fal liniowych, a paczka falowa bedzie dopasowywac siesamoczynnie do kształtu (3.20). Jest to jednym z powodów, dla którychsolitony znajduja zastosowanie w telekomunikacji – wszelkie szumy spo-wodowane niedoskonałosciami osrodka sa samoczynnie korygowane.

Oprócz rozwiazan w postaci pojedynczego solitonu (3.20), równanieNLS posiada tak zwane rozwiazania wielosolitonowe. Jest to zwiazanez faktem, ze równanie to jest całkowalne za pomoca metody IST [1,2]. Jakwspomniano wczesniej, metoda ta sprowadza nieliniowe równanie róz-niczkowe do układu równan liniowych, których baza sa solitony. Pełnerozwiazanie moze byc wiec złozeniem wielu takich obiektów. Przykładtego typu rozwiazania, przedstawiajacy zderzenie dwóch solitonów o róz-nych szerokosciach, pokazano na rysunku 3.2. Jak widac, po zderzeniusolitony całkowicie odtwarzaja swój kształt, co jest własnoscia charakte-rystyczna dla równan całkowalnych.

15


Rysunek 3.2: Kolejne fazy zderzenia dwóch jednowymiarowych solitonów.

Dwuwymiarowe równanie Schrödingera na funkcje u(x, y, t) postaci

i∂u

∂t+ ∇2u+ σ|u|2u = 0 , (3.21)

nie jest równaniem całkowalnym. Posiada ono rozwiazanie o charakterzesolitonowym dla σ = 1, które (od nazwiska odkrywcy) nazywane jestsolitonem Townesa [9]. Profil tego rozwiazania jest radialnie symetrycznafunkcja uT (r) i nie wyraza sie formuła analityczna. Jest rozwiazaniemrównania własnego

βuT + ∇2uT + |uT |2uT = 0 , (3.22)

przy załozeniu, ze uT (r) → 0 dla r → ∞. Jak sie okazuje, w tym przy-padku norma solitonu N =

∫dr|u(r)|2 nie zalezy od jego szerokosci. Ta

własnosc ma wielki wpływ na nieliniowa dynamike. Soliton Townesajest niestabilny, gdyz dowolnie małe zaburzenie tego rozwiazania skutkujealbo „rozpłynieciem” sie fal, gdy norma jest mniejsza od normy solitonuNT , albo kolapsem (zmniejszeniem sie szerokosci az do punktu) po skon-czonym czasie ewolucji, gdy norma jest wieksza odNT . Zjawisko kolapsujest przykładem matematycznej osobliwosci w rozwiazaniu. Łatwo wy-wnioskowac, ze nie jest ono mozliwe w przypadku jednowymiarowym,gdyz tam zmniejszanie szerokosci solitonu wymagałoby zwiekszania jegonormy az do nieskonczonosci. Zjawisko to wystepuje w równaniach typuNLS o wymiarowosci wiekszej lub równej dwa.

W praktyce funkcja falowa nie moze ulec zupełnemu zapadnieciu sie,a wiec zachowanie to jest w pewien sposób niefizyczne. Równanie NLS

16

3.4 Metoda wariacyjna

jest jedynie pewnym przyblizonym modelem matematycznym. Dla odpo-wiednio duzej amplitudy zaczna miec znaczenie efekty wyzszego rzedu,nie uwzglednione w tym modelu, które doprowadza do zahamowaniakolapsu. Natura tych efektów zalezy od konkretnego osrodka fizycznego.W optyce prostym i czesto spotykanym przykładem jest nasycanie sie nie-liniowosci. Propagacja wiazki swiatła dla duzych natezen jest poprawnieopisana zmodyfikowanym równaniem

i∂u

∂z+ ∇2u−

1

1+ |u|2u = 0 , (3.23)

które dla małych natezen przechodzi w równanie NLS. W modelach znasyceniem nieliniowosci zjawisko kolapsu nie wystepuje, gdyz przy du-zych amplitudach jej siła maleje.

Równanie NLS (3.5) z nieliniowoscia ujemna (σ = −1) ma równiez roz-wiazania solitonowe, ale o zupełnie innym charakterze. Sa to tak zwaneciemne solitony. Funkcja falowa spoczywajacego solitonu dana jest wzo-rem

u(x, t) =

√2

Wtanh

x

We−it/W2

. (3.24)

Na rysunku 3.3 pokazano profil funkcji falowej i norme takiego solitonu.Jak widac, ciemny soliton jest „dołkiem” na tle wiekszej wartosci normy,która dla x → ±∞ dazy do stałej wartosci. Ciemny soliton rozdziela ob-szary o pewnej róznicy faz, która w tym przypadku jest równa π. Wie-cej na temat ciemnych solitonów mozna znalezc np. w pracy przeglado-wej [10].


Rozwazmy ogólne nieliniowe równanie Schrödingera w jednym wymia-rze

∂A

∂z= iD

∂2A

∂x2+ ib|A|2A , (3.25)

gdzieD, b to pewne liczby rzeczywiste. Dla wiazki w swiatłowodzie pla-narnym D = 1/(2k0), a dla impulsu w swiatłowodzie D = −β2/2 przyjednoczesnej zamianie x→ t. Równanie to mozna wyprowadzic z zasady

17


Rysunek 3.3: Profil ciemnego solitonu danego wzorem (3.24).

wariacyjnej dla gestosci Lagranzjanu L(u, ∂u/∂z, ∂u/∂x), gdzie funkcje uod których zalezy Lagranzjan to A(x, z) i A∗(x, z)

L =i

2

(

∂A

∂zA∗ −A

∂A∗

∂z

)

−D

∣

∣

∣

∣

∂A

∂x

∣

∣

∣

∣

2

+1

2b|A|4 . (3.26)

TraktujemyA iA∗ jako niezalezne zmienne. Równania Eulera-Lagrange’amaja postac

∂L

∂u−

∑

v

∂

∂v

∂L

∂uv

= 0 , (3.27)

gdzie wprowadzilismy oznaczenie uv = ∂u/∂v, a suma przebiega po ar-gumentach funkcji u: v = x, z. Mamy dwa równania, po jednym dlau = A i A∗. Nietrudno sprawdzic, ze sa to równania wzajemnie do siebiesprzezone. Wystarczy wiec przyjac u = A∗(x, z)

∂L

∂A∗−∂

∂z

∂L

∂(

∂A∗

∂z

) −∂

∂x

∂L

∂(

∂A∗

∂x

) = 0 . (3.28)

Podstawiamy (3.26)

b|A|2A+i

2

∂A

∂z−∂

∂z(−iA/2) −

∂

∂x

(

−D∂A

∂x

)

= 0 , (3.29)

18


otrzymujac

∂A

∂z= iD

∂2A

∂x2+ ib|A|2A , (3.30)

czyli dokładnie równanie (3.25).Równanie takie jest w ogólnym przypadku bardzo trudne do rozwia-

zania, gdyz jest to nieliniowe równanie rózniczkowe czastkowe. Dlategodokonamy przyblizenia wariacyjnego, przyjmujac ze rozwiazanie ma wzmiennej x postac bliska funkcji Gaussa o szerokosci W(z) z kwadratowafaza β(z) i stała faza φ(z)

A(x, z) = A0(z) exp

(

−x2

2W(z)2+i

2β(z)x2 + iφ(z)

)

, (3.31)

gdzie A0,W, β, φ to liczby rzeczywiste. Podstawiamy powyzszy Ansatzdo gestosci Lagranzjanu (3.26) i całkujemy po x

L =

∫+∞

−∞

L dx =i

2

(∫∂A

∂zA∗ −

∫

A∂A∗

∂z

)

−

∫

D

∣

∣

∣

∣

∂A

∂x

∣

∣

∣

∣

2

+

∫1

2b|A|4 =

=i

2(L1 − L∗1)

︸︷︷︸iImL1

−DL2 +1

2bL3 . (3.32)

Lagranzjan L zalezy teraz od zmiennych u = A0,W, β, φ i ich pochodnychpo z. Dla prostoty wprowadzamy oznaczenie u = du/dz. Po obliczeniucałek w wyrazeniu (3.32)7 otrzymujemy Lagranzjan zredukowany

L = A20W

√π

[

−βW2

4− φ−

D

2

(

1

W2+W2β2

)

+1

2√2bA2

0

]

. (3.33)

Zasada wariacyjna moze byc teraz zastosowana dla czterech zmiennychu = A0, φ,W, β, a równania Eulera-Lagrange’a maja postac

∂L

∂u−

d

dz

∂L

∂u= 0 . (3.34)

7

ImL1 = Im

∫∂A

∂zA∗ =

∫ (i

2βx2 + iφ

)

AA∗ dx =

=i

2βA2

0

∫

x2e− x2

W2 dx+ iφA20

∫

e− x2

W2 dx =

= iA20

(

1

4βW3

√π+ φW

√π

)

.

19


Na przykład dla u = φ

∂L

∂φ−

d

dz

∂L

∂φ= 0 , (3.35)

czyli

d

dz

(

A20(z)W(z)

)

= 0 . (3.36)

Równanie to wyraza, w zaleznosci od interpretacji równania, prawo za-chowania mocy wiazki lub energii impulsu

A20(z)W(z) = P = const . (3.37)

Stała P jest proporcjonalna do mocy wiazki w przekroju poprzecznym dlakazdego z, lub tez całkowitej energii impulsu przechodzacej przez takiprzekrój. Korzystajac z tej zaleznosci mozemy zapisac Lagranzjan w jesz-cze prostszej formie, nie zawierajacej A0

L = P√π

[

−βW2

4− φ−

D

2

(

1

W2+W2β2

)

+bP

2√2W

]

. (3.38)

Równanie wariacyjne dla u = β bedzie miało postac

∂L

∂β−

d

dz

∂L

∂β= 0 , (3.39)

czyli

−DW2β −d

dz

(

−W2

4

)

= 0 , (3.40)

L2 =

∫ ∣∣

∣

∣

∂A

∂x

∣

∣

∣

∣

2

dx =

∫ ∣∣

∣

∣

(

−2x

2W2+iβ2x

2

)

A

∣

∣

∣

∣

2

dx =

=

(

1

W4+ β2

) ∫

x2|A|2dx =

(

1

W4+ β2

)

A20

∫

x2e− x2

W2 dx =

=

(

1

W4+ β2

)

A20

W3

2

√π =

1

2A2

0

√π

(

1

W+W3β2

)

.

L3 =

∫

|A|4dx = A40

∫

e− 2x2

W2 dx = A40

√

π

2W .

20


skad mozna wyprowadzic równanie na β

β =1

2D

W

W, (3.41)

a wiec szybkosc zmiany szerokosci jest proporcjonalna do kwadratowejfazy (inna nazwa – chirp, swiergot). Przyjmijmy teraz u = W

∂L

∂W−

d

dz

∂L

∂W= 0 , (3.42)

−βW

2+D

W3−DWβ2 −

bP

2√2W2

= 0 . (3.43)

Podstawiamy (3.41)

−W

4D

d

dz

(

W

W

)

+D

W3−W

4D

(

W

W

)2

−bP

2√2W2

= 0 , (3.44)

otrzymujac

W =4D2

W3−

√2bPD

W2. (3.45)

Mamy wiec równanie na ewolucje szerokosci poprzecznej W. Równanieto moze byc zinterpretowane jako równanie ruchu dla czastki znajdujacejsie w potencjale, W = −dU/dW,

U =2D2

W2−

√2bPD

W, (3.46)

Kształt potencjału dla róznych wartosci nieliniowosci b przedstawiono narysunku 3.4. Potencjał ma minimum tylko dla bD > 0, przy czym W0 =

2√2D/(bP). Odpowiada ono stabilnemu solitonowi jednowymiarowego

równania Schrödingera dla nieliniowosci przyciagajacej, zob. §3.3.Cały powyzszy rachunek wariacyjny moze zostac wykonany automa-

tycznie, przy uzyciu dostepnych programów wykonujacych oblicznia sym-boliczne, takich jak Maple lub Mathematica. Przykład kodu który wyko-nuje takie obliczenia zamieszczono w dodatku A.

Powyzszy rachunek wariacyjny mozna uogólnic na przypadek wiek-szej ilosci wymiarów. Równanie (3.45) bedzie wówczas miało postac (d –wymiarowosc przestrzeni)

W =4D2

W3−

2bPD

2d/2Wd+1. (3.47)

21


Rysunek 3.4: Potencjał U dla róznych nieliniowosci w przypadku jednowymia-rowym.

Rysunek 3.5: Kształt potencjału U dla wymiarowosci d=3.

22

3.5 Efektywna redukcja liczby wymiarów w silnym potencjale

a efektywny potencjał

U =2D2

W2−

2bPD

2d/2dWd, (3.48)

Na rysunku 3.5 pokazano mozliwe kształty potencjału dla d = 3. Jakwidac, w zadnym przypadku nie ma minimum odpowiadajacego stabil-nemu rozwiazaniu. Dla innych wartosci d > 2 sytuacja jest podobna. Awiec rachunek wariacyjny poprawnie przewiduje fakt, ze równanie NLSbez potencjału ma stabilne rozwiazania solitonowe tylko w przypadkujednowymiarowym.

3.5 Efektywna redukcja liczby wymiarów wsilnym potencjale

Rozwazmy przypadek, kiedy układ znajduje sie w silnym potencjale, któryogranicza ewolucje w jednym lub kilku (ale nie we wszystkich) wymia-rach. Jako przykład wezmy dwuwymiarowe równanie NLS na funkcjeu(x, y, t), z potencjałem jednowymiarowym V(y)

i∂u

∂t+∂2u

∂x2+∂2u

∂y2− V(y)u + σ|u|2u = 0 . (3.49)

Jezeli potencjał jest silny, a układ ma relatywnie niska energie, to moznaprzyjac, ze funkcja falowa separuje sie na czesc podłuzna i poprzeczna

u(x, y, t) = φ(x, t)ψ(y) , (3.50)

gdzie ψ(y) jest stanem podstawowym potencjału poprzecznego

Egψ+d2ψ

dy2− V(y)ψ = 0 , (3.51)

o normie∫

|ψ|2dy = 1. Lagranzjan równania (3.49) ma postac

L =i

2

(

∂u

∂tu∗ − u

∂u∗

∂t

)

−

∣

∣

∣

∣

∂u

∂x

∣

∣

∣

∣

2

−

∣

∣

∣

∣

∂u

∂y

∣

∣

∣

∣

2

− V(y)|u|2 +σ

2|u|4 . (3.52)

23


Wstawiamy Ansatz (3.50) i całkujemy po y

L =

[

i

2

(

∂φ

∂tφ∗ −φ

∂φ∗

∂t

)

−

∣

∣

∣

∣

∂φ

∂x

∣

∣

∣

∣

2] ∫

|ψ|2dy (3.53)

− |φ|2

(∫ ∣∣

∣

∣

dψ

dy

∣

∣

∣

∣

2

dy+

∫

V(y)|ψ|2dy

)

+σ

2|φ|4

∫

|ψ|4dy

=i

2

(

∂φ

∂tφ∗ −φ

∂φ∗

∂t

)

−

∣

∣

∣

∣

∂φ

∂x

∣

∣

∣

∣

2

+ Eg|φ|2 +σ

2|φ|4

∫

|ψ|4dy .

Zastosowanie zasady wariacyjnej wzgledem φ∗ daje równanie ewolucjina u1D = φe−iEgt

i∂u1D

∂t+∂2u1D

∂x2+ σ1D|u1D|2u1D = 0 , (3.54)

gdzie σ1D = σ∫

|ψ|4dy. A wiec problem został zredukowany do jednowy-miarowego równania NLS z odpowiednio przeskalowana nieliniowoscia.

3.6 Struktura pasmowa w o srodkachperiodycznych

Rozwazmy zagadnienie ewolucji funkcji u(x, t) opisanej nielinowym rów-naniem Schrödingera z zewnetrznym potencjałem V(x)

i∂u

∂t+∂2u

∂x2− V(x)u + σ|u|2u = 0 . (3.55)

Równanie to ma interpretacje propagacji swiatła w osrodku o zmiennymwspółczynniku załamania (minima n(x) odpowiadaja wówczas maksy-malnym wartosciom potencjału V(x)). Moze równiez opisywac ewolu-cje kondensatu Bosego–Einsteina, umieszczonego w potencjale wytwo-rzonym np. przez wiazke swiatła laserowego odstrojonego od przejsciamiedzy poziomami atomowymi [11]. Załózmy dodatkowo, ze potencjałten jest periodyczny, V(x+d) = V(x). Interesowac nas bedzie dynamika wprzyblizeniu małej nieliniowosci. Zaczniemy wiec od rozwiazania ewo-lucji liniowej

i∂u

∂t+∂2u

∂x2− V(x)u = 0 . (3.56)

24

3.6 Struktura pasmowa w osrodkach periodycznych

Rysunek 3.6: Spektrum energetyczne funkcji Blocha dla potencjału o głebokosciV0 = 4d−2.

Według twierdzenia Blocha, rozwiazania własne (fale Blocha) u(x, t) =

un,q(x)e−iEn(q)t o energii En(q) maja postac un,q(x) = eiqxwn,q(x), gdzien to numer pasma energetycznego, a q jest kwazipedem, który przyjmujewartosci z przedziału [−π/d, π/d]. Funkcja wn,q(x) jest okresowa z okre-sem d. Rozwiazania te zaleza od kształtu potencjału, jego głebokosci iwartosci kwazipedu. Spektrum energii dla potencjału V(x) = V0 cos 2πx

d

o głebokosci V0 = 4d−2 widoczne jest na rysunku 3.6.Wprowadzenie małej nieliniowosci spowoduje niewielka zmiane w ewo-

lucji układu. Moze jednak doprowadzic do pojawienia sie nowych efek-tów fizycznych. Jezeli mamy do czynienia z paczka falowa złozona falBlocha nalezacych do jednego pasma i zlokalizowanych wokół pewnejwartosci kwazipedu, to jej ewolucja jest z dobra dokładnoscia opisanarównaniem na wolnozmienna w x obwiednie A(x, t) która jest przemno-zona przez funkcje Blocha dla centralnego kwazipedu q0

u(x, t) = A(x, t)un,q0(x)e−iEn(q0)t (3.57)

25


Załozenie to prowadzi do równania ewolucji na A(x, t) [11]

i∂A

∂t+ ivg

∂A

∂x+

1

meff

∂2A

∂x2+ αnlσ|A|2A = 0 , (3.58)

gdzie

vg =∂E(q)

∂q

∣

∣

∣

∣

q=q0

(predkosc grupowa),

m−1eff =

∂2E(q)

∂q2

∣

∣

∣

∣

q=q0

(masa efektywna),

αnl =1

d

∫d/2

−d/2

dx|uq0|4 . (3.59)

Współczynnik αnl przyjmuje wartosci z zakresu 1 6 αnl 6 2. Zauwazmy,ze dla meff < 0 (ujemna masa efektywna) nastepuje „odwrócenie” nie-liniowosci. Ewolucja obwiedni paczki falowej dla σ < 0 jest wtedy ja-kosciowo podobna do ewolucji bez potencjału dla σ > 0 i vice versa, cowidac po sprzezeniu równania (3.58). Obszar ujemnej masy efektywnejnazywa sie w optyce regionem anomalnej dyfrakcji [12].

Porównanie spektrum energetycznego takiego jak na rysunku 3.6 z ener-gia solitonów prowadzi do wniosku, ze moga one istniec tylko dla takichenergii, które nie odpowiadaja propagacji fal liniowych (czyli dla warto-sci E z obszaru przerwy energetycznej). W przeciwnym wypadku solitonbedzie „promieniował” fale liniowe, co bedzie nieuchronnie prowadzicdo jego osłabienia i zaniku. W granicy zerowego potencjału wszystkieskonczone przerwy energetyczne znikaja, a pozostaje jedynie nieskonczonaprzerwa energetyczna dla E < 0. Solitony maja wtedy postac (3.20) aich energia jest zawsze mniejsza od zera. Znaczenie ciekawszym przy-padkiem jest układ z niezerowym potencjałem, kiedy otwieraja sie skon-czone przerwy energetyczne. W przerwach tych moga istniec solitony oskomplikowanej strukturze fazowej (przykładowy soliton pokazano narysunku 7.6). Ich ewolucja bedzie opisana równaniem masy efektywnej(3.58), jesli energia bedzie bliska wartosci granicznej dla pewnego pasmaenergetycznego.

3.7 Przyblizenie ciasnego wiazania

Jezeli potencjał periodyczny jest na tyle silny, ze oddziaływanie miedzyjego oczkami sprowadza sie do tunelowania, to układ znajduje sie w re-

26

3.7 Przyblizenie ciasnego wiazania

zimie ciasnego wiazania. W takim przypadku funkcja falowa moze byczapisana w bazie funkcji Wanniera [11]

u(x, t) =∑

n

an(t)wn(x) , (3.60)

gdzie wn(x) = w(x − nd). Funkcje te sa silnie zlokalizowane w po-szczególnych oczkach siatki, a ponadto spełniaja warunek ortonormal-nosci

∫wn(x)wm(x)dx = δmn. Lagranzjan równania NLS z potencjałem

(3.55) ma postac

L =i

2

(

∂u

∂tu∗ − u

∂u∗

∂t

)

−

∣

∣

∣

∣

∂u

∂x

∣

∣

∣

∣

2

− V(x)|u|2 +σ

2|u|4 . (3.61)

Wstawiamy Ansatz (3.60) do powyzszego wyrazenia i całkujemy po x.Bierzemy pod uwage tylko te całki przekrywania, w których funkcje wn

odpowiadaja najblizszym sasiadom, a w wyrazie nieliniowym – tylko od-działywaniu lokalnemu (w ramach jednego minimum potencjału). Ko-rzystamy równiez z warunku ortonormalnosci, otrzymujac

L =∑

n

[

i

2

(

dan

dta∗

n − an

da∗n

dt

)

− ǫ|an|2 + C (a∗nan−1 + a∗

nan+1)

+σd

2|an|4

]

, (3.62)

gdzie ǫ =∫[(dwn/dx)

2+V(x)wn(x)2]dx,C = −∫[(dwn/dx)(dwn+1/dx)+

V(x)wnwn+1]dx, oraz σd = σ∫w4

ndx. Stosujac zasade wariacyjna otrzy-mujemy dyskretne nieliniowe równanie Schrödingera (DNLS) na funkcjeφn(t) = an(t)eiǫt

idφn

dt+ C(φn−1 +φn+1) + σd|φn|2φn = 0 , (3.63)

a wiec C jest współczynnikiem opisujacym siłe tunelowania, a σd jest od-powiednio przeskalowana nieliniowoscia.

Równanie to, podobnie jak zwykłe nieliniowe równanie Schrödingera,posiada rozwiazania solitonowe w przypadku nieliniowosci dodatniej,czyli σd > 0. Solitony te maja zgodne fazy w kazdym oczku siatki [13, 14]i sa silnie zlokalizowane tylko w kilku sasiadujacych komórkach. Mo-bilnosc solitonów w równaniu DNLS jest jednak znacznie ograniczona,

27


co zwiazane jest z istnieniem potencjału, który musi byc pokonany pod-czas przechodzenia solitonu do kolejnych oczek (tzw. potencjał Peierlsa-Nabarro). W przypadku nieliniowosci ujemnej równiez ma miejsce dys-kretne samopułapkowanie, ale w postaci solitonów o naprzemiennej fa-zie w kolejnych oczkach [15]. Mozna to zrozumiec zauwazajac, ze formarównania (3.63) pozostaje niezmieniona po zastosowaniu transformacji:φn → (−1)nφ∗

n, oraz σd → −σd. Wynika z tego, ze ewolucja funkcjiwedług (3.63) jest w pełni równowazna dla dodatniej (σd > 0) i ujemnej(σd < 0) nieliniowosci, z jedyna róznica w strukturze fazowej.

28

4 Układy wielowymiarowe zmodulacja dyspersji

4.1 Wstep

Jednym z ambitnych celów, jakie stoja przed współczesna optyka nieli-niowa jest stworzenie pocisków optycznych (light bullets), czyli stabilnychobiektów – solitonów czasoprzestrzennych, poruszajacych sie bez zmianykształtu, nie ulegajac przy tym dyspersji ani dyfrakcji [16–20]. Rozwiaza-nia takie mozna znalezc w przypadku równania Schrödingera z nielinio-woscia trzeciego rzedu [21], które poprawnie modeluje propagacje impul-sów ultrakrótkich w osrodku izotropowym [20]. Rozwiazania te sa jednakniestabilne i ulegaja kolapsowi lub dyfrakcji, zob §3.3. Jak dotad jedynymudanym eksperymentem w tej dziedzinie jest obserwacja stabilnych soli-tonów czasoprzestrzennych w osrodku z nieliniowoscia drugiego rzedu zsilna anizotropia [17].

Powazne problemy, jakie napotkano w doswiadczalnych poszukiwa-niach pocisków optycznych w osrodkach jednorodnych skłaniaja do ba-dania trójwymiarowych solitonów w innych układach fizycznych. W przy-padku nieliniowosci Kerrowskiej (trzeciego rzedu) mozliwe jest zastoso-wanie periodycznej struktury ze zmieniajacym sie okresowo współczyn-nikiem dyspersji predkosci grupowej. Odpowiada to znanemu schema-towi z optyki swiatłowodów, który nazwano modulacja dyspersji (disper-sion management) [22, 23]. Jego uogólnienie na przypadek swiatłowo-dów planarnych zaproponowalismy w [24]. W §4.3 zaprezentuje wynikibadan, w których zidentyfikowano rozległe regiony stabilnosci dwuwy-miarowych solitonów czasoprzestrzennych. Trójwymiarowa wersja tegosamego pomysłu nie prowadzi jednak do sukcesu.

Aby uzyskac stabilne rozwiazania w trzech wymiarach, konieczne jestzastosowanie dodatkowych srodków. Ciekawa metoda stabilizacji wielo-wymiarowych solitonów została zaproponowana w kontekscie konden-satu Bosego-Einsteina z oddziaływaniami przyciagajacymi. Polega ona

29

4 Układy wielowymiarowe z modulacja dyspersji

umieszczeniu kondensatu w periodycznym potencjale siatki optycznej (wy-tworzonym przez fale stojaca dwóch przeciwbieznych wiazek laserowych).Jak sie okazuje, dwu– jak i trójwymiarowe solitony moga zostac w tensposób ustabilizowane za pomoca siatki o wymiarowosci równej wymia-rowosci przestrzeni. Ponadto stabilne solitony wystepuja w układach zsiatkami o obnizonej wymiarowosci (np. siatka dwuwymiarowa w prze-strzeni trójwymiarowej). Jak pokazemy, solitony trójwymiarowe nie sajednak stabilne w potencjale jednowymiarowym [25]; lecz juz kombina-cja jednowymiarowego potencjału i modulacji nieliniowosci w czasie po-zwala uzyskac stabilne solitony w szerokim zakresie parametrów [26].

Powyzsze wyniki sugeruja mozliwosc istnienia stabilnych trójwymiaro-wych “pocisków” w osrodku Kerrowskim z modulacja dyspersji wzdłuzosi propagacji z oraz z efektywnym potencjałem siatki (periodyczna mo-dulacja współczynnika załamania) w jednym kierunku poprzecznym (y),podczas gdy w drugim kierunku (x) osrodek pozostaje jednorodny. Układten jest interesujacy, pozwala bowiem badac zderzenia solitonów oraz ste-rowac nimi [25, 27]. W §4.4 zaprezentuje wyniki poszukiwan takich soli-tonów przy uzyciu metody wariacyjnej [30].

4.2 Model teoretyczny

Model opiera sie na nieliniowym równaniu Schrödingera (NLS) opisuja-cym ewolucje amplitudy fali pola elektromagnetycznego A(r’,t’) wzdłuzosi z ′, por. (3.12) i (3.16)

∂A

∂z ′=

i

2k0

∇2⊥A−

i

2β2(z

′)∂2A

∂t ′2+ ib|A|2A . (4.1)

Wyraz zawierajacyβ1 został wyeliminowany przez dobór odpowiedniegoukładu współrzednych, zob. §3.1.2. Równanie to modeluje propagacjeswiatła w swiatłowodzie planarnym dla r ′ = (x ′, z ′), lub w pełnej trójwy-miarowej przestrzeni gdy r ′ = (x ′, y ′, z ′). Wprowadzamy zestaw zmien-nych i funkcji zredukowanych

(x, y) = x0 × (x ′, y ′) , τ = τ0t′ , z =

(

x20/k0

)

z ′ ,

D = −(

k0τ0/x20

)

β2 , u =(

√

bk0/x0

)

A , (4.2)

gdzie x0 oraz τ0 to dowolne stałe, które mozna przyjac np. równe charak-terystycznej szerokosci i czasowi trwania impulsu. W jednostkach tych

30


równanie (4.1) ma postac

iuz + (1/2)[

∇2⊥u+D(z)uττ

]

+ |u|2u = 0, (4.3)

gdzie operator dyfrakcji ∇2⊥ działa na poprzeczna współrzedna x (oraz y

w przypadku trójwymiarowym). Zakładamy, ze współczynnik dyspersjipredkosci grupowej D(z) zmienia sie w sposób podobny, jak w jednowy-miarowych modelach z modulacja dyspersji [23, 28]:

D(z) =

D+ = D+Dm > 0, 0 < z < L+,

D− = D−Dm < 0, L+ < z < L+ + L− ≡ L. (4.4)

Powyzszy schemat powtarza sie z okresem L, tworzac układ naprzemien-nych odcinków o dyspersji D+ i D−.

Zauwazmy, ze równanie (4.3) jest niezmiennicze wzgledem przekształ-cen Galileusza: jezeli u0(x, z, τ) jest rozwiazaniem, to mozna wskazacdwuparametrowa rodzine rozwiazan nastepujacej postaci:

u(x, z, τ) = exp

[

i

(

qx−ωτ −1

2q2z−

1

2ω2

∫

D(z)dz

)]

×

× u0

(

x− qz, z, τ+ω

∫

D(z)dz

)

, (4.5)

gdzie q iω sa liczbami rzeczywistymi.Aby zapisac modelowe równanie w postaci znormalizowanej, zakła-

damy zeD+ ≡ 1, L ≡ 2. Stosunek L+/L− pozostaje nieredukowalnym pa-rametrem. Jednak jak wiadomo z teorii modulacji dyspersji (dla swiatło-wodów jednowymiarowych), rozwiazania nie zaleza od tego współczyn-nika, ani od czasu trwania impulsu TFWHM, lecz od ich kombinacji zwanejsiła modulacji dyspersji [28], S ≡ (D+L+ +D−L−) /T2

FWHM. Bedziemy siewiec zajmowac jedynie przypadkiem L+ = L− = 1 (sprawdzilismy, ze roz-wiazania sa bardzo podobne dla innych wartosci współczynnika L+/L−).Zatem jedynym wolnym parametrem mapy modulacji dyspersji (4.4) jestdyspersja usredniona

D ≡ (D+L+ +D−L−) /L = (1+D−) /2, (4.6)

dlaD+ = 1, L± = 1. ParametrD− moze zostac przedstawiony, jak wynikaz równania (4.6), jako D− = 2D− 1.

31


4.3 Swiatłowody planarne

W przypadku dwuwymiarowego swiatłowodu planarnego, operator ∇2⊥

w równaniu (4.3) jest równy ∂2/∂x2. Ponizej wprowadzimy przyblizeniewariacyjne, którym posłuzymy sie do znalezienia zakresu parametrówdla których moga istniec solitony czasoprzestrzenne. Nastepnie przewi-dywania wariacyjne zostana sprawdzone za pomoca bezposrednich sy-mulacji numerycznych równania (4.3).

4.3.1 Przyblizenie wariacyjne

Wprowadzamy wariacyjny Ansatz w postaci impulsu gaussowskiego

u(x, τ) = A(z)eiφ(z)− 1

2

[

x2

W2(z)+ τ2

T2(z)

]

+ i2 [b(z) x2+β(z) τ2]

, (4.7)

gdzie A oraz φ to amplituda i faza solitonu, W i T to przestrzenna i cza-sowa szerokosc impulsu (powiazana z szerokoscia połówkowa TFWHM =

2√

ln 2T ), a b i β to przestrzenny i czasowy chirp. Lagranzjan, z któregowyprowadza sie dwuwymiarowa wersja równania (4.4) ma postac

L = (1/2)

∫+∞

−∞

[

i (uzu∗ − u∗

zu) − |ux|2

−D |uτ|2

+ |u|4]

dxdτ. (4.8)

Po podstawieniu Ansatzu (4.7) do Lagranzjanu otrzymujemy Lagranzjanzredukowany, por. §3.4

(4/π)Leff = A2WT[

4φ′ − b′W2 − β′T2 −W−2 −DT−2

+A2 − b2W2 −Dβ2T2]

, (4.9)

gdzie prim oznacza d/dz.Wariacyjne równanie δL/δφ = 0, zastosowane od wyrazenia (4.9), daje

zasade zachowania energii, dE/dz = 0, gdzie

E ≡ A2WT. (4.10)

Równanie (4.10) zostanie uzyte do eliminacjiA2 przy jednoczesnym wpro-wadzeniu stałej E (całki pierwszej)

4Leff

πE= 4φ′ − b′W2 −β′T2 −

1

W2−D

T2+

E

WT− b2W2 −Dβ2T2. (4.11)

32


Wariujac powyzsze wyrazenie wzgledem zmiennychW, T i b, β otrzymu-jemy nastepujacy układ równan

b = W′/W, β = D−1T ′/T, (4.12)

W′′ =1

W3−

E

2W2T, (4.13)

T ′′ −D′

DT ′ =

(

T ′

D

)′

=D2

T3−

DE

2WT2. (4.14)

Jak wiadomo [29], w przypadku D = const > 0, rozwiazania stacjonarnerównan wariacyjnych (4.12) – (4.14) sa zdegenerowane: punkty stałe ist-

nieja tylko dla jednej wartosci energii, ET = 2√D. Dla E = ET istnieje

rodzina punktów stałych spełniajacych warunek T =√DW (gdzie W jest

dowolne). Powyzszy fakt ma zwiazek z istnieniem rozwiazania stacjo-narnego w dwuwymiarowym równaniu NLS (nazywane solitonem Tow-nesa [4,9]), które istnieje tylko dla jednej wartosci energii, ale ma dowolnaszerokosc.

W przypadku modulacji stałej odcinkami, tak jak w równaniu (4.4),zmienne W, b, T i β w punktach sklejania segmentów rozwiazan mu-sza zachowac ciagłosc. Jak wynika z (4.12), ciagłosc β(z) wymaga skokuwartosci T ′ podczas przejscia z D− to D+ lub vice versa

(T ′)D=D+= (D+/D−) (T ′)D=D−

. (4.15)

4.3.2 Symulacje numeryczne

Przeprowadzilismy numeryczne symulacje przy uzyciu metody Rungego–Kutty zarówno równan wariacyjnych (4.12) -(4.14), jak i pełnego równaniapropagacji (4.3). W drugim przypadku stan poczatkowy był taki sam jakAnsatz (4.7), z zerowym chirpem przestrzennym b(0) = 0

u0 = A0 exp[

−(1/2)(

(x/W0)2

+ (τ/T0)2

− iβ0 τ2)]

. (4.16)

Rezultaty obliczen zaprezentowano na rysunkach 4.1 i 4.2.Rysunek 4.1 a) pokazuje ewolucje energii solitonu i maksimum nateze-

nia impulsu. Bardzo wolny spadek energii jest spowodowany emisja pro-mieniowania impulsu dopasowujacego sie do kształtu solitonu. Promie-niowanie jest absorbowane na brzegach obszaru symulacji. Wstawka narysunku 4.1 a) demonstruje jak dokładnie przyblizenie wariacyjne prze-widuje wyniki symulacji. Przebieg zmiennosci natezenia wyznaczony

33


Rysunek 4.1: a) Energia (górna linia) i maksimum natezenia na poczatku kazdegocyklu (dolna linia), wynikajace z obliczen numerycznych równa-nia (4.3). Linie ciagłe na dwóch wstawkach pokazuja ewolucje am-plitudy w ciagu kilku cykli we wczesniejszym i pózniejszym sta-dium ewolucji. Dla porównania, linie kropkowane pokazuja wy-niki przyblizenia wariacyjnego. Parametry układu toD+ = −D− =

1, L+ = L− = 1, a parametry impulsu poczatkowego to T0 = 1.35,W0 = 1.35, E = 1 i β0 = −1.85. b) Jeden cykl ewolucji solitonu wprzestrzeni (T ′, T) według przyblizenia wariacyjnego, dla parame-trów takich jak w a). Skok w T ′ ma miejsce podczas przechodzeniapomiedzy odcinkami L+ i L−, zgodnie z równaniem (4.15). Szero-koscW jest prawie stała w czasie trwania cyklu.

34


wariacyjnie (linia kropkowana) i numerycznie (linia ciagła) jest bardzopodobny. Ewolucja szerokosci czasowej T(z) wyznaczonej wariacyjnie jestpokazana na rysunku 4.1 b). Szerokosc przestrzennaW(z) pozostaje przytym prawie stała, co sugeruje ze soliton ma postac “iloczynu” solitonówjednowymiarowych. W kierunku czasowym τ odpowiada on typowemusolitonowi, jakie obserwuje sie w jednowymiarowych swiatłowodach zmodulacja dyspersji, a w kierunku poprzecznym ma postac zwykłegosolitonu jednowymiarowego równania NLS. Zauwazmy ze praktycznienie obserwujemy odpływu energii z ustalonego juz stanu solitonowego.Oznacza to ze mała porcja energii, która musi zostac wyemitowana w cza-sie przechodzenia przez odcinek normalnej dyspersji, jest ponownie ab-sorbowana w odcinku o dyspersji anomalnej.

Rysunek 4.2 a) pokazuje sekwencje rozkładu natezenia pola w solitoniew czasie trwania przykładowego, 40-tego cyklu ewolucji. Rysunek tenma uniwersalny charakter, pozostajac praktycznie identycznym np. dla80-tego cyklu. Kształt impulsu jest bardzo zblizony do funkcji Gaussa,co pozwala zrozumiec, dlaczego przewidywania wariacyjne sa tak do-kładne. W pewnych przypadkach, dla innych wartosci parametrów po-czatkowych, impuls rozpada sie wzdłuz osi τ na dwa oddzielne impulsy,które nie sa jednak w pełni niezalezne. Tworza one zwiazane stany oscy-lacyjne, których przykłady pokazano na rysunkach 4.2 b) i c). W przy-padku 4.2 b), przyblizenie wariacyjne przewiduje stabilnosc solitonu wpostaci gaussowskiej, a w przypadku 4.2 c) przewiduje ze soliton takiulega destrukcji. Prawdziwa ewolucja jest podobna w obu tych przy-padkach. Poczatkowy Gaussian z zerowym chirpem rozpada sie na dwaimpulsy z przeciwnymi znakami chirpu. Po ustaleniu sie stabilnych oscy-lacji, mozna zaobserwowac powtarzajacy sie schemat: Podczas przecho-dzenia przez warstwe D = D+, impulsy zblizaja sie do siebie i nakładaja;nastepnie, w odcinku oD = D−, rozdzielaja sie ponownie i powracaja doswoich pozycji z poczatku cyklu. Tego typu oscylujace stany nie zostałydo tej pory opisane w literaturze.

Powyzsze wyniki podsumowano w formie diagramów stabilnosci soli-tonów na rysunku 4.3. Diagramy sa wygenerowane na podstawie symu-lacji równan wariacyjnych (4.12)-(4.14), które zweryfikowano bezposred-nimi symulacjami równania (4.3) w wybranych punktach zaznaczonychliczbami.

W punktach 1, 2, 3, 6, 9 i 10 przewidywania wariacyjnie zostały po-twierdzone. W punktach 7 i 8 zaobserwowano ewolucje z okresowym pe-kaniem impulsu, podobna jak na rysunkach 4.2 b) i c). W punkcie 4, który

35


Rysunek 4.2: a) Ewolucja rozkładu natezenia w solitonie dwuwymiarowym w40-tym cyklu propagacji. Kolejne rysunki odpowiadaja poczatkowi,1/4, 1/2 i 3/4 cyklu. Parametry sa takie jak na rysunku 4.1. Rysu-nek b) przedstawia ewolucje podobnie jak w a), ale dla innych war-tosci parametrów impulsu wejsciowego: T0 = 1, W0 = 1, E = 2, iβ0 = 0. W tym przypadku, mimo ze przyblizenie wariacyjne prze-widuje stabilne rozwiazanie z jednym maksimum, impuls peka itworzy sie zwiazany stan oscylacyjny dwóch impulsów. c) Podob-nie jak w a), ale dla β0 = 0. W tym przypadku przyblizenie wa-riacyjne przewiduje rozpłyniecie sie pojedynczego impulsu, ale wrzeczywistosci ewoluuje on do stanu oscylacyjnego tak jak w przy-padku b).

36


Rysunek 4.3: a) Diagramy stabilnosci w przestrzeni (E,W0) energii i szerokosciimpulsu poczatkowego, dla W0 = T0 i β0 = 0. Przewidywaniametody wariacyjnej sa zaznaczone nastepujaco: obszar stabilno-sci jest niezacieniowany, a obszary gdzie impuls jest niestabilny, inastepuje jego rozpłyniecie sie lub kolaps sa zacieniowane odpo-wiednio kolorem szarym i ciemnoszarym. Punkty oznaczone licz-bami odpowiadaja przeprowadzonym dla tych parametrów symu-lacjom numerycznym równania (4.3), a ich opis znajduje sie w tek-scie. b) Diagram stabilnosci w przestrzeni (E,β0) energii i czaso-wego chirpu impulsu poczatkowego. Cieniowanie ma takie samoznaczenie jak w przypadku a).

37


znajduje sie blisko przewidzianej wariacyjnie granicy pomiedzy zanikiemi kolapsem, obliczenia numeryczne pokazuja silna emisje promieniowa-nia i poszerzanie sie impulsu, które przechodzi w chaotyczne oscylacje.W tej fazie nie ma wyraznych strat energii. W punkcie 5 ma miejsce po-dobne chaotyczne zachowanie, jest jednak poprzedzone zawezeniem sieimpulsu, a nie jego poszerzeniem. W punkcie 11 obserwowano silna emi-sje promieniowania jak w punkcie 4, przy czym zachowywał swój gaus-sowski kształt, a ewolucja konczy sie regularnymi okresowymi oscyla-cjami szerokosci solitonu.

4.4 Przypadek trójwymiarowy

Pozytywne wyniki badan w układzie dwuwymiarowym nasuwaja pyta-nie, czy jest mozliwe uogólnienie powyzszej koncepcji stabilizacji solito-nów na przypadek trzech wymiarów, który miałby o wiele wieksze zna-czenie praktyczne. Okazuje sie, ze bezposrednie rozszerzenie modelu,opisane równaniem (4.3), nie posiada stabilnych rozwiazan solitonowych.Fakt ten został potwierdzony za pomoca bezposrednich symulacji nume-rycznych, oraz przy uzyciu przyblizenia wariacyjnego [24]. Koniecznejest zatem dodanie dodatkowego czynnika stabilizujacego – w rozwaza-nym tutaj modelu bedzie to niejednorodnosc osrodka, a dokładniej po-przeczna modulacja jego współczynnika załamania.

Model teoretyczny w przypadku trójwymiarowym z poprzeczna mo-dulacja jest oparty na znormalizowanym nieliniowym równaniu Schrödin-gera (NLS) w trzech wymiarach, który jest rozszerzeniem modelu (4.3)

iuz + (1/2)[

∇2⊥u+D(z)uττ

]

+ ε cos(2y)u+ |u|2u = 0. (4.17)

W powyzszym równaniu ε jest siła poprzecznej modulacji (okres modu-lacji jest równy π). W jednostkach rzeczywistych, modulacja współczyn-nika załamania nie przekracza 10−3 sredniej wartosci tego współczyn-nika. Swiatło jest przy tym praktycznie spolaryzowane liniowo, i mozebyc równoległe zarówno do x, jak i do y. W obu przypadkach słaba mo-dulacja współczynnika załamania na skali długosci X >

∼50λ nie bedzie

prowadzic do depolaryzacji pola. Bardziej ogólny przypadek jest opisanydwuwymiarowa wersja równania (4.17), dla dwóch prostopadłych pola-ryzacji pola, sprzezonych ze soba wyrazami mieszanymi trzeciego rzedu(cross-phase-modulation).

38


Niestety, problem zadany równaniem (4.17) jest zbyt wymagajacy, abybyło mozliwe jego pełne rozwiazanie numeryczne przy uzyciu dostep-nych nam srodków. Jest on bowiem zdefiniowany w przestrzeni trójwy-miarowej, nie wykazuje zadnej symetrii, a obecnosc modulacji dyspersjipowoduje, ze konieczne jest zastosowanie bardzo małego kroku propa-gacji wzdłuz z. Przedstawie wiec wyniki rozwazan opartych na przy-blizeniu wariacyjnym [30]. Niemal wszystkie podstawowe przewidywa-nia metody wariacyjnej, dotyczace istnienia i stabilnosci jedno- i dwu-wymiarowych solitonów, zostały potwierdzone symulacjami numerycz-nymi [23]. Wyniki te sugeruja, ze solitony w rozwazanym przez nas mo-delu beda stabilne, jesli tak przewiduje przyblizenie wariacyjne.

4.4.1 Równania wariacyjne

Aby zastosowac przyblizenie wariacyjne w przypadku trójwymiarowym,przyjmujemy ponownie gaussowski Ansatz

u = A(z) exp

iφ(z) −1

2

[

x2

W2(z)+

y2

V2(z)+

τ2

T2(z)

]

+

+i

2

[

b(z) x2 + c(z)y2 + β(z) τ2]

, (4.18)

gdzie A i φ to amplituda i faza solitonu, T oraz W,V to czasowa i obiepoprzeczne przestrzenne szerokosci impulsu, a β oraz b, c sa odpowiada-jacymi im kwadratowymi fazami. Jest to naturalne rozszerzenie funkcji(4.7). Trójwymiarowe równanie propagacji (4.17) mozna wyprowadzic zLagranzjanu

L =1

2

∫+∞

−∞

dx

∫+∞

−∞

dy

∫+∞

−∞

dτ[

i (uzu∗ − u∗

zu) − |ux|2

− |uy|2−

−D |uτ|2

+2ε cos(2y)|u|2 + |u|4]

. (4.19)

Podstawienie Ansatzu (4.18) od powyzszego wyrazenia i scałkowanie goprowadzi do Lagranzjanu zredukowanego

4Leff

π3/2= A2WVT

[

4φ′ − b′W2 − c′V2 − β′T2 −W−2 − V−2 −DT−2

−b2W2 − c2V2 + εe−V2

−Dβ2T2 +A2/√2]

. (4.20)

39


Z pierwszego z wariacyjnych równan, δLeff/δφ = 0 otrzymujemy zasadezachowania energii dE/dz = 0, gdzie

E ≡ A2WVT. (4.21)

Dzieki tej zaleznosci mozna wyeliminowacA2 z układu pozostałych rów-nan, δLeff/δ (W,V, T, b, c, β) = 0. Ostatecznie przyjmuja one postac

b = W′/W, c = V ′/V, β = D−1T ′/T, (4.22)

W′′ =1

W3−

E

2√2W2VT

, (4.23)

V ′′ =1

V3−

E

2√2WV2T

− 4εV exp(

−V2)

, (4.24)

(

T ′

D

)′

=D

T3−

E

2√2WVT2

. (4.25)

Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym, w punktach złaczeniaodcinków z dyspersja D± ≡ D±Dm obowiazuje równanie (4.15).

Stabilizacja solitonu trójwymiarowego przy pomocy dostatecznie silnejsiatki moze byc zrozumiana jesli zauwazyc, ze dla duzego ε mozna po-minac przedostatni wyraz po prawej stronie równania (4.24). To przybli-zenie daje stacjonarna wartosc V(z) ≡ V0, która jest mniejszym rozwiaza-niem równania

4εV40 exp

(

−V20

)

= 1, (4.26)

(wieksze rozwiazanie odpowiada równowadze niestabilnej). Warunkiemistnienia tych rozwiazan jest

ε > εmin = e2/16 ≈ 0.46, (4.27)

a mniejsze rozwiazanie jest ograniczone przez V0 < 2. PodstawienieV = V0 w pozostałych równaniach wariacyjnych (4.23) i (4.25) prowadzido takiego samego układu równan jak w przypadku dwuwymiarowym(4.12) - (4.14). Sprawdzilismy, ze w przypadku ε = 0 trójwymiarowe rów-nania wariacyjne nie maja stabilnych rozwiazan.

Stabilizacja pocisków optycznych w omawianym modelu dla duzychwartosci ε moze byc równiez zrozumiana w inny sposób, bez odwoły-wania sie do przyblizenia wariacyjnego. W bardzo silnej siatce soliton

40


jest całkowicie spułapkowany w pojedynczym minimum potencjału pe-riodycznego, i problem zostaje zredukowany do dwóch wymiarów, gdziesolitony moga byc stabilne, jak pokazano w §4.3. Z tego punktu widzeniainteresujacym zagadnieniem jest znalezienie minimalnej wartosci εmin siłysiatki, która jest konieczna do ustabilizowania solitonów w trzech wymia-rach, jako ze w poblizu tej granicy solitony moga byc w pełni trójwymia-rowymi obiektami.

4.4.2 Symulacje numeryczne

Przeprowadzono szereg symulacji numerycznych, w celu zbadania za-chowania układu w zaleznosci od parametrów

(

E, ε,D)

układu waria-cyjnego (4.23) - (4.25). W wyniku tych badan zidentyfikowano obszaryw których wystepuja stabilne solitony wykazujace regularne oscylacje zokresem równym okresowi modulacji dyspersji (4.4). Przykład takiegorozwiazania pokazano na rysunku 4.4 a).

Obszary stabilnosci pokazano na diagramach z rysunku 4.4. Na dia-gramie 4.4 b) widzimy ze minimalna wartosc siły siatki εmin = 0.46, dlaktórej istnieja stabilne solitony, zgadza sie z przewidywaniem analitycz-nym (4.27) z dokładnoscia do błedu numerycznego.

Widac równiez, ze istnieje ograniczenie Emax dla wartosci energii stabil-nych solitonów. Jest to własnosc, która moze byc zrozumiana przy zało-zeniu ze periodyczny potencjał jest silny. Jak wspomniano wczesniej, wtym przypadku szerokosc V(z) jest w przyblizeniu stała i bliska rozwia-zaniu równania (4.26). W segmencie gdzie współczynnik dyspersji jestdodatni, D+ = D + Dm > 0, pozostałe równania (4.23) i (4.25) sa wtedyrównowazne równaniom samoogniskowania w osrodku jednorodnym, awiec energia rozwiazan jest ograniczona przez energie ET solitonu Tow-nesa, zob. §3.3; Powyzej tego progu samoogniskowanie przewaza nad dy-frakcja i moze nastapic kolaps [4].

Ograniczenie dolne Emin na energie stabilnych rozwiazan wystepuje za-wsze poza przypadkiem D = 0, kiedy Emin = 0 [rys. 4.4 c)]. Jest to wynikcharakterystyczny dla solitonów w swiatłowodach optycznych z modula-cja dyspersji. Wynika to z faktu, ze wyraz nieliniowy proporcjonalny do Ew równaniu ewolucji na T(z) (4.25) jest niezbedny aby zrównowazyc sred-nia dyspersje D. Warto równiez zauwazyc, ze tak jak w przypadku soli-tonów w swiatłowodach jednowymiarowych, obszar stabilnosci z rys. 4.4c) zawiera pewna czesc z normalnym srednim współczynnikiem dyspersji

41


Rysunek 4.4: a) Przykład stabilnej ewolucji według równan wariacyjnych (4.23)- (4.25). Szerokosci solitonu w kierunkach x, y i τ, tj. W,V i T , po-kazano jako funkcje z, dla parametrów E = 0.5, ε = 1 oraz D = 0.b) Obszar stabilnosci trójwymiarowych czasoprzestrzennych soli-tonów w płaszczyznie (E, ε), dla D = 0, zacieniowano kolorem ja-snoszarym. W obszarach szarym i ciemnoszarym trójwymiarowysoliton ulega odpowiednio rozpłynieciu sie i kolapsowi. Poziomalinia odpowiada analitycznie przewidzianej wartosci progu (4.27).c) Diagram stabilnosci w przekroju

(

E,D)

dla ε = 1.

42


D < 0, co wydaje sie byc nieintuicyjne (por. §3.3 i rozwazania wariacyjnew §3.4). Obszar ten na rysunku 4.4 c) rozciaga sie do

(

−D)

max≈ 0.005.

43

5 Hybrydowa metoda wariacyjna

5.1 Wstep

Metody wariacyjne sa szeroko uzywanym narzedziem poszukiwania so-litonów w układach nieliniowych. Jezeli w układzie wystepuja szybkieoscylacje w jednym ze stopni swobody, to funkcja falowa moze ulec sepa-racji na dwie lub wiecej czesci, i klasyczne metody wariacyjne moga stacsie nieadekwatne do opisu złozonej wielowymiarowej dynamiki. Jednymz przykładów bardziej realistycznego modelu jest hybrydowa metoda wa-riacyjna zaproponowana przez Edwardsa i wsp. [31]. Metoda ta jak do-tad nie została uzyta w opisie ewolucji niestacjonarnej. Ponizej przed-stawie zastosowanie metody hybrydowej [32] w układzie dwuwymiaro-wym z modulacja dyspersji, który był przedmiotem dyskusji w poprzed-nim rozdziale. Porównujac wyniki symulacji numerycznych mozna dojscdo wniosku, ze w niektórych przypadkach metoda hybrydowa moze po-prawic opis ewolucji, ale znajdziemy równiez przykład, kiedy metoda tazawodzi.

W poprzednim rozdziale pokazano, ze w swiatłowodzie dwuwymiaro-wym z modulacja dyspersji istnieja stabilne solitony. W wiekszosci przy-padków prosta analiza wariacyjna dała poprawne przewidywania obsza-rów stabilnosci w przestrzeni parametrów. Jednak w niektórych przypad-kach zaobserwowano pekanie impulsu w kierunku modulacji. Z pewno-scia tego typu dynamika nie moze byc opisana zwykłym przyblizeniemwariacyjnym, poniewaz to podejscie zakłada, ze impuls (funkcja falowa)pozostaje zawarta w jednym „kawałku” i jest mozliwie bliska kształtowiGaussowskiemu. W celu otrzymania własciwego opisu uwzgledniaja-cego zjawiska takie jak pekanie impulsów, nalezy potraktowac wymiar,w którym ono zachodzi w inny sposób.

45


5.2 Model hybrydowy

Kilka grup zaproponowało w ostatnim czasie metody pozwalajace opisacpekanie impulsów [33, 34]. Jednakze nasze podejscie bedzie bazowac nahybrydowej metodzie wariacyjnej [31]. Główna idea tej metody jest za-stosowanie do wszystkich wymiarów poza modulowanym wariacyjnegoAnsatzu, przy jednoczesnym wyprowadzeniu jednowymiarowego zre-dukowanego czastkowego równania rózniczkowego w wymiarze którypodlega modulacji. W naszym przypadku równanie ruchu ma postac

i∂u

∂z+1

2

∂2u

∂x2+D(z)

2

∂2u

∂t2+ |u|2u = 0, (5.1)

gdzie D(z) jest funkcja okresowa

D(z) =

1 dla 2k < z 6 2k+ 1

−1 dla 2k+ 1 < z 6 2k+ 2, (5.2)

gdzie k jest zerem lub liczba naturalna. Norma funkcji u(x, z, t) jest pro-porcjonalna do energii impulsu

∫|u(z, x, t)|2 dxdt = E. Wprowadzamy

hybrydowa funkcje próbna

u(z, x, t) = φ(z, t) exp

(

1

2

[

−1

W2(z)+ ib(z)

]

x2

)

. (5.3)

a wiec∫

|φ(z, t)|2 dt = E/(√πW). Warunki poczatkowe to

W(0) = W0, b(0) = b0, φ(0, t) = exp

(

1

2

[

−1

T20

+ iβ0

]

t2)

.(5.4)

Parametry wariacyjne to funkcja φ(z, t), szerokosc W(z) i chirp b(z). Po-niewaz parametr φ jest funkcja zarówno z jak i t, mozemy zredukowacprzestrzen gestosci Lagrange’a całkujac po x. Otrzymujemy

L =

(

D

i(φzφ

∗ −φ∗zφ) − |φt|

2+

[

1

2bzW

2 +

(

1

4W2+ b2W2

)]

|φ|2 +

+1√2|φ|4

)

π1/2W

2. (5.5)

46

5.3 Symulacje numeryczne

Równania Eulera-Lagrange’a prowadza do bardziej zwartej postaci jeslipodstawimy [31]

φ = E1/2

√

W(0)

W(z)exp

[

i

(

1

W2+

λ

2W

)]

φ,

λ = −

√πE

2√2W2(0)

∫∞

−∞

|φ|4. (5.6)

Otrzymujemy wówczas zamkniety układ równan, równanie na ewolucjefunkcji φ

i∂φ

∂z+D

2

∂2φ

∂t2+E√2

W(0)

W(z)|φ|2φ = 0 , (5.7)

oraz ewolucje szerokosci W(z)

∂2W

∂z2=

1

W3+2λ

W2. (5.8)

Równania te wraz z λ zdefiniowanym powyzej w równaniu (5.6), opisujaewolucje impulsu wzdłuz osi z. Zauwazmy, ze prawa strona równania(5.8) opisuje studnie potencjału, poniewaz λ < 0. W przeciwienstwie dopodejscia w pełni wariacyjnego, kiedy zmiennosc czasowa równiez by-łaby modelowana funkcja Gaussa, nasze nowe podejscie moze opisywacpekanie solitonów, ich fuzje itp.


Podstawowe pytanie na jakie chcielismy odpowiedziec uzywajac modeluhybrydowego dotyczyło mozliwosci opisania zjawiska pekania solitonów.Sformułowana tu metoda daje teoretycznie taka mozliwosc. Zbadalismyprzypadki dla których pełne symulacje wykazywały pekanie impulsów.Oczywiscie standardowe przyblizenie wariacyjne nie moze tego zjawiskaprzewidziec. Rysunek (5.1) pokazuje ewolucje maksimum amplitudy po-czatkowo Gaussowskiego impulsu, znaleziona przy pomocy pełnej dwu-wymiarowej symulacji (linia przerywana) w porównaniu z przewidywa-niami modelu hybrydowego (linia ciagła). Zgodnosc jest jak widac bar-dzo dobra, z wyjatkiem pewnego poczatkowego odcinka ewolucji. Ry-sunki (5.2) i (5.3) pokazuja porównanie pekania i łaczenia impulsu mo-delowanych na oba sposoby. Zjawisko to zachodzi okresowo (z okresem

47


0 20 40z

0

1

2

3

4

u max

Rysunek 5.1: Przykład stabilnego rozwiazania numerycznego. Linia ciagła – mo-del hybrydowy; linia przerywana – pełna symulacja dwuwymia-rowa. Wykreslono maksimum amplitudy impulsu w funkcji długo-sci propagacji z. Parametry to T0 = 1, W0 = 1, E = 2π i β0 = 0.

Rysunek 5.2: Ewolucja rozkładu natezenia w dwuwymiarowym solitonie we-dług pełnej symulacji numerycznej w czasie 20-go cyklu. Klatkiodpowiadaja poczatkowi, 1/4, 1/2 i 3/4 cyklu. Parametry jak narysunku 5.1.

48


Rysunek 5.3: Podobnie jak na rysunku 5.2, ale według modelu hybrydowego.

narzuconym przez modulacje dyspersji). Jak widac, ponownie zgodnoscjest bardzo dobra.

Nasze liczne symulacje numeryczne wykazały, ze istnieja takie przy-padki, kiedy model hybrydowy przewiduje niewłasciwe zachowanie. Wpoprzednim rozdziale znaleziono wartosci parametrów, dla których ana-liza wariacyjna przewidywała zanik impulsu, podczas gdy pełne symu-lacje numeryczne dawały stabilnosc. Przestudiowalismy jeden z nich.Niestety, w tym przypadku model hybrydowy nie dał lepszych rezulta-tów niz w pełni wariacyjne podejscie. Wyniki te sa przedstawione narysunku (5.4), gdzie przedstawiono maksimum amplitudy uzyskanej zpełnej dwuwymiarowej symulacji oraz z modelu hybrydowego. Tym ra-zem nie ma zgodnosci miedzy tymi podejsciami. Szerokosc przestrzennaW(z) rosnie do nieskonczonosci w modelu hybrydowym, podobnie jak towynikało ze zwykłej analizy wariacyjnej.

49


Rysunek 5.4: Przykład ewolucji, która nie jest odtworzona w modelu hybrydo-wym. Parametry to T0 = 1.35, W0 = 1.35, E = π oraz β0 = 0. Pełneobliczenia numeryczne wskazuja ze dla tego zestawu parametrówrozwiazanie jest stabilne (linia przerywana i wstawka w prawymgórnym rogu). Model hybrydowy przewiduje rozpłyniecie sie im-pulsu w kierunku x (linia ciagła i wstawka w lewym górnym rogu).W obu przypadkach zachodzi pekanie impulsu.

50

6 Samopułapkowanie wosrodkach o ujemnejnieliniowo sci

6.1 Wstep

Obecnosc periodycznie zmieniajacego sie współczynnika załamania po-woduje powstanie struktury pasmowej w spektrum transmisji swiatła,podobnie jak ma to miejsce dla fal materii w ciele stałym. Zjawisko towpływa na propagacje wiazek optycznych, która jest zdeterminowanaprzez krzywe dyspersyjne pasm i zabronione przerwy energetyczne, coopisano w §3.6. Za pomoca inzynierii struktur periodycznych mozemydzieki temu sterowac siła i typem dyfrakcji [35] oraz kontrolowac prze-bieg zjawisk nieliniowych [36]. W osrodkach samo-rozogniskowujacych(self-defocusing), czyli osrodkach o ujemnej nieliniowosci, współczynnikzałamania maleje wraz ze wzrostem intensywnosci swiatła, i w konse-kwencji wiazka swiatła zwykle ulega poszerzeniu, tak jak po przejsciuprzez soczewke rozpraszajaca. Jednak w odpowiednio skonstruowanychfotonicznych strukturach periodycznych ten sam typ nieliniowosci po-zwala zlokalizowac wiazke swiatła, tak aby jej szerokosc nie zmieniałasie w czasie propagacji. Jest to efekt analogiczny do nieliniowego samo-pułapkowania swiatła w układach zdyskretyzowanych [13].

W tym rozdziale przedstawimy wyniki badan nad dynamika nieliniowawiazek Gaussowskich o małej szerokosci poczatkowej, propagujacych siew osrodkach o ujemnej nieliniowosci z okresowo zmieniajacym sie współ-czynnikiem załamania [37]. Zademonstrujemy, ze ma miejsce wyrazneprzejscie od poszerzania sie wiazki do dyskretnego samopułapkowaniagdy zwiekszana jest głebokosc modulacji (∆n). Przedstawimy równiezwyniki badan eksperymentalnych w których zaobserwowano utworze-nie stanu spułapkowanego za pomoca wzbudzenia jednej komórki takiejstruktury.

51

6 Samopułapkowanie w osrodkach o ujemnej nieliniowosci

Rysunek 6.1: (a) Schemat dyskretnej siatki ze sprzezeniem sasiednich komórek.(b) Profil współczynnika załamania sprzezonych swiatłowodów wstrukturze LiNbO3 domieszkowanej tytanem.

6.2 Samopułapkowanie w siatkachfotonicznych

Nieliniowa propagacja swiatła w strukturach fotonicznych z periodycznamodulacja współczynnika załamania w jednym poprzecznym wymiarze,takich jak macierze swiatłowodów [13, 36, 38–41] lub optycznie induko-wane siatki fotoniczne [42–45], jest zwykle opisywana w przyblizeniu cia-snego wiazania [14, 46], zob. §3.7

idan

dz+ βan + C (an−1 + an+1) + γ|an|2an = 0, (6.1)

gdzie os z jest równoległa do kierunku propagacji, an(z) jest amplitudamodu w n-tym swiatłowodzie [rys. 6.1 (a)], aβ jest stała propagacji. Współ-czynnik C wyznacza sprzezenie miedzy sasiadujacymi swiatłowodami, aostatni wyraz w równaniu (6.1) odpowiada za nieliniowa zmiane współ-czynnika załamania.

Jak pokazano w §3.7, propagacja swiatła w przyblizeniu ciasnego wia-zania jest równowazna dla dodatniej i ujemnej nieliniowosci, przy zasto-sowaniu odpowiedniej transformacji zmiany fazy: an → (−1)na∗

n. Za-uwazmy, ze jesli tylko jedna komórka jest wzbudzona na wejsciu, czylian(z = 0) = 0 dla n 6= 0, to transformacja ta spowoduje zmiane funkcjian(0) tylko o pewien czynnik fazowy. W szczególnosci, jezeli wejsciowamoc wiazki jest dostatecznie duza, to niezaleznie od typu nieliniowoscipowinien powstac dyskretny soliton.

52

6.3 Nieliniowa lokalizacja w periodycznych strukturach fotonicznych

6.3 Nieliniowa lokalizacja w periodycznychstrukturach fotonicznych

Model ciasnego wiazania (6.1), przewidujacy uniwersalny scenariusz sa-mopułapkowania jest poprawny pod warunkiem, ze pole moze byc przed-stawione jako superpozycja słabo przekrywajacych sie modów poszcze-gólnych komórek siatki. Ten warunek jest spełniony, jesli kontrast współ-czynnika załamania (głebokosc modulacji) w okresowej strukturze jestwystarczajaco duzy [47]. W przypadku nieliniowosci ujemnej dynamikawiazki zmieni sie drastycznie w przypadku przejscia do małego kontra-stu. Jezeli modulacja siatki jest bardzo mała, to nie tylko nie dojdziedo utworzenia solitonu, ale dyfrakcyjne poszerzanie sie wiazki bedziewspomagane przez nieliniowosc. W celu zbadania przejscia od samo-rozogniskowania do dyskretnego spułapkowania, modelujemy propaga-cje swiatła przy uzyciu znormalizowanego ciagłego nieliniowego równa-nia Schrödingera [48] na wolnozmienna obwiednie E(x, z)

i∂E

∂z+D

∂2E

∂x2+ F(|E|2)E+ ρ∆n(x)E = 0, (6.2)

gdzie D = zsλ/(4πn0x2s) jest współczynnikiem dyfrakcji, ρ = 2πzs/λ, x

jest znormalizowane do xs, a z jest znormalizowane do zs. Dobieramyparametry do warunków eksperymentalnych opisanych w §6.5. Liniowamodulacja współczynnika załamania ∆n jest w przyblizeniu dana wzo-rem ∆n = ξ

∑n exp[−(x−nd)2/w2], gdzie ξ definiuje głebokosc modula-

cji. Ten profil współczynnika załamania [rys. 6.1 (b)] odpowiada realiza-cji eksperymentalnej, sprawdzilismy jednak, ze konkluzje prezentowaneponizej sa prawdziwe równiez dla innych profili. Wybieramy szerokoscswiatłowodu w = 12µm i odległosc miedzy swiatłowodami d = 19µm, akontrast współczynnika załamania wynosi ∆nmax = 0.442ξ. Pozostałeparametry to λ = 0.532µm, n0 = 2.234, xs = 1µm, zs = 1mm orazF(I) = 1.5(1+ I)−1 dla ujemnej nieliniowosci fotowoltaicznej.

Periodyczna modulacja współczynnika załamania prowadzi do powsta-nia struktury pasmowej w rozkładzie na fale płaskie, kiedy swiatło pro-paguje sie wzdłuz swiatłowodów. Na rysunkach 6.2 (a,b) pokazano obli-czone spektrum pasmowe (metoda wyznaczania spektrum jest opisanaw [49]) dla macierzy swiatłowodów pokazanej na rysunku 6.1 (b), dladwóch róznych wartosci kontrastu współczynnika załamania. W przy-padku nieliniowosci ujemnej solitony moga sie uformowac u podstawy

53


Rysunek 6.2: (a,b) Struktura pasmowa spektrum fal liniowych dla kontrastuwspółczynnika załamania równego odpowiednio 1.1 × 10−4 oraz2.8 × 10−4. (c,d) Profile solitonów w przerwie energetycznej z na-przemienna faza majacych minimalna szerokosc w przypadkach(a,b). Cieniowanie odpowiada zwiekszonemu współczynnikowizałamania. (e) Minimalna szerokosc solitonu w funkcji kontrastu.(f) Efektywnosc samopułapkowania wiazki, obliczona jako czescmocy wiazki jaka pozostaje na wyjsciu w 20 srodkowych swiatło-wodach dla zoptymalizowanej mocy wejsciowej (linia ciagła) w po-równaniu z przypadkiem liniowej dyfrakcji (linia przerywana).

54

6.4 Przejscie od nieliniowego poszerzania sie wiazki do samopułapkowania

pierwszego pasma, a ich stała propagacji β jest przesunieta wewnatrzprzerwy energetycznej w wyniku działania nieliniowosci. Ten obraz jestpoprawnie przewidywany w modelu ciasnego wiazania (6.1), jednak mo-del ten nie uwzglednia istnienia drugiego pasma. Solitony o mniejszejszerokosci poprzecznej beda przesuniete głebiej w kierunku drugiego pa-sma (gdyz bedzie rosła ich maksymalna amplituda, por. §3.3). A wiecszerokosc przerwy ogranicza minimalna szerokosc spułapkowanych wia-zek, zob. przykłady na rysunkach 6.2 (c,d). Widac, ze im mniejszy jestkontrast, tym mniejsza szerokosc przerwy energetycznej. Minimalna sze-rokosc solitonu W = 3

∫|x||ψ|2dx/

∫|x||ψ|2dx została wyznaczona nume-

rycznie w funkcji kontrastu współczynnika załamania, a wyniki pokazanona rysunku 6.2 (e). W przypadku małego kontrastu i waskiej przerwy,najwezszy soliton zajmuje kilka swiatłowodów. Sytuacja zmienia sie gdykontrast sie zwieksza, i najwezszy soliton staje sie praktycznie zlokalizo-wany w jednym swiatłowodzie.

6.4 Przej scie od nieliniowego poszerzania siewiazki do samopułapkowania

Zdadalismy przejscie do dyskretnego pułapkowania modelujac propa-gacje wiazki, której szerokosc jest poczatkowo równa wielkosci jednegoswiatłowodu. Na rysunku 6.2 (f) pokazano wzgledna moc która pozo-staje w 20 srodkowych swiatłowodach (przy zastosowaniu absorbujacychwarunków brzegowych) po propagacji na drodze równej wielu długo-sciom dyfrakcyjnym (zmax = 1000 mm) w funkcji kontrastu współczyn-nika załamania. Zbadalismy wpływ nieliniowosci (linia ciagła) na dyna-mike wiazki, porównujac ja z przypadkiem liniowej dyfrakcji (linia prze-rywana). Dokonalismy optymalizacji mocy wiazki wejsciowej w celu zmak-symalizowania czesci mocy która pozostaje w srodkowej sekcji swiatło-wodów. Nasze wyniki pokazuja, ze dla słabego kontrastu optymalizacjamocy wejsciowej odpowiada po prostu przypadkowi liniowemu, a obiekrzywe pokrywaja sie, zob. rys. 6.2(f). W tym rezimie, nieliniowosc pote-guje jedynie poszerzanie sie wiazki. Kiedy kontrast zwieksza sie, pojawiasie bifurkacja z przypadku liniowego. Odpowiada to tworzeniu sie, po-czatkowo szerokich, solitonów w przerwie energetycznej, co jest zgodnez ograniczeniem szerokosci solitonów z rysunku 6.2 (e). Kiedy minimalnaszerokosc solitonu zmniejsza sie i zbliza sie do szerokosci jednego swiatło-

55


Rysunek 6.3: Stosowane wczesniej metody uzyskania naprzemiennej strukturyfazowej. a) Interferencja dwóch wiazek swiatła padajacych pod ka-tem Bragga [50], b) oswietlanie próbki pojedyncza wiazka padajacapod katem Bragga [42], c) Modulacja fazy wiazki: na dwa sasiadu-jace swiatłowody pada fala o fazie rózniacej sie o π [40].

wodu dla wiekszego ∆nmax, staje sie mozliwe samopułapkowanie z pra-wie stuprocentowa efektywnoscia, zgodnie z przewidywaniami modeludyskretnego (6.1). Wyniki te swiadcza o przejsciu od nieliniowego po-szerzania sie wiazki do dyskretnego samopułapkowania kiedy kontrastwspółczynnika załamania przekracza pewien próg.

6.5 Obserwacja samopułapkowania wpojedynczym swiatłowodzie

Jak dotad w eksperymentach dotyczacych solitonów w periodycznychosrodkach o ujemnej nieliniowosci [39, 40, 42, 43, 50] wejsciowa wiazkabyła przygotowywana w specjalny sposób, tak aby jej struktura fazowaoddawała kształt solitonu z naprzemienna faza w sasiednich komórkach[rys. (6.2 (c,d)]. Osiagano to oswietlajac próbke pojedyncza wiazka pa-dajaca pod katem równym katowi Bragga [39, 42, 43, 50], albo za pomocamodulacji fazy wiazki [40], rys. 6.3. Do tej pory nie zaobserwowano jed-

56

6.5 Obserwacja samopułapkowania w pojedynczym swiatłowodzie

Rysunek 6.4: a) Próbka LiNbO3 zawierajaca strukture sprzezonych swiatłowo-dów. b) Obraz mikroskopowy powierzchni próbki.

nak samoczynnej lokalizacji solitonu w pojedynczym oczku siatki.W celu doswiadczalnego zbadania dyskretnego samopułapkowania w

pojedynczej komórce, zaprojektowano stukture sprzezonych swiatłowo-dów optycznych utworzona za pomoca dyfuzji tytanu na monokrysz-tał niobianu litu, patrz rys. 6.4. Macierz swiatłowodów miała okreso-wosc równa 19µm i kontrast współczynnika załamania ∆nmax = 2.8 ×10−4, który został wybrany powyzej progu przejscia do dyskretnego sa-mopułapkowania przewidzianego w numerycznych symulacjach [rys. 6.2(f)]. W procesie produkcji niobian litu LiNbO3 został pokryty warstwa100A tytanu. Warstwa tytanu została nastepnie fotolitograficznie ukształ-towana w roztworze kwasu wodorofosforowego. Utworzone swiatło-wody miały charakterystyke jednomodowa, co sprawdzono pomiaramioptycznymi. Struktura została nastepnie przycieta do długosci 5cm, a obakonce mechanicznie wypolerowano.

Próbka LiNbO3 wykazywała silny efekt fotowoltaiczny, który prowadzido powstania ujemnej odpowiedzi nieliniowej. W opisywanym ekspery-mencie zogniskowano wiazke swiatła o polaryzacji nadzwyczajnej z la-sera pracy ciagłej Nd:YVO4, na pojedynczy swiatłowód struktury, za po-moca obiektywu mikroskopowego (x20). Krawedz wejsciowa i wyjsciowabyły monitorowane przy pomocy dwóch kamer CCD. Próbka była oswie-tlona zewnetrznie białym swiatłem, w celu zredukowania czasu odpo-wiedzi nieliniowej ponizej jednej minuty. Dla niskiej mocy swiatła propa-gujaca sie wiazka doswiadczała typowej dyskretnej dyfrakcji [13]; wiek-szosc swiatła przeszła do sasiednich swiatłowodów, a w srodkowym nie

57


Rysunek 6.5: (a) Zdjecie rozkładu natezenia swiatła na krawedzi wyjsciowej wprzypadku liniowej propagacji przy niskiej mocy lasera (10 nW). (b)Profile intensywnosci: linia ciagła – pomiary doswiadczalne; wy-pełnienie – numeryczne rozwiazanie pełnego modelu [równ. (6.2)];krzyzyki – amplitudy obliczone na podstawie modelu dyskretnego[równ. (6.1)]. (c) Ewolucja natezenia wiazki w próbce na podstawierównania (6.2). (d-f) Podobnie jak (a-c) w przypadku propagacjinieliniowej przy wysokiej mocy lasera (1 mW).

58

6.5 Obserwacja samopułapkowania w pojedynczym swiatłowodzie

Rysunek 6.6: (a) Zdjecie z nasyconej kamery przedstawiajace stan zlokalizo-wany w jednym swiatłowodzie [powiekszenie prostokata z ry-sunku 6.5 (d)]. (b) Interferogram potwierdzajacy naprzemiennastrukture fazowa wiazki wyjsciowej.

pozostało prawie nic [rys. 6.5 (a)]. Koncowy profil natezenia pokazanyrysunku 6.5 (b) (linia ciagła) dobrze zgadza sie z wynikami symulacji nu-merycznych przeprowadzonych w modelu dyskretnym (6.1) (krzyzyki)i w pełnym modelu z periodycznym współczynnikiem załamania (6.2)(wypełnienie). Numeryczna propagacja wewnatrz próbki jest pokazanana rysunku 6.5 (c).

Po zwiekszeniu mocy wiazki (1 mW) ujemna nieliniowosc fotowolta-iczna prowadzi do silnej lokalizacji wiazki w pojedynczym swiatłowodzie[rys. 6.5 (d-f)], w podobny sposób jak w macierzach swiatłowodów o do-datniej nieliniowosci [13], w zwiazku z uniwersalna natura dyskretnegosamopułapkowania która opisano w §6.2.

W celu sprawdzenia, ze stan nieliniowy jest zlokalizowany wewnatrzprzerwy energetycznej Bragga, a nie w najnizszej, nieskonczonej prze-rwie energetycznej ponizej pierwszego pasma, istotne jest zbadanie jegostruktury fazowej. W tym celu ustawiono czułosc kamery tak, aby nasta-piło nasycenie w celu wykrycia małej, ale niezerowej porcji swiatła w sa-siednich swiatłowodach. Odpowiednie zdjecia pokazano na rysunku 6.6,gdzie dobrze widoczne sa dwie satelity. Sa one oddzielone od srodko-wego swiatłowodu liniami o zerowej intensywnosci, co swiadczy o zmia-nie fazy o 2πmiedzy swiatłowodami [por. rys. 6.2 (c,d)]. Aby potwierdzicnaprzemienna strukture stanu zlokalizowanego, zinterferowano wiazkewyjsciowa z szeroka wiazka referencyjna nachylona pod pewnym katem.Uzyskany w ten sposób interferogram pokazano na rysunku 6.6 (b), gdziewyraznie widac na prazkach interferencyjnych zmiane fazy o π w punk-tach o zerowej intensywnosci.

Opracowana przez nas metoda samopułapkowania swiatła i tworzeniasolitonów jest juz wykorzystywana przez inne grupy doswiadczalne [51].

59

7 Generacja solitonów wkondensacieBosego-Einsteina

7.1 Wstep

Eksperymentalna obserwacja kondensatu Bosego–Einsteina w parach me-tali alkalicznych dała niezwykłe mozliwosci badania efektów nieliniowych.Szczególnym wyzwaniem jest skonstruowanie metod pozwalajacych two-rzyc i kontrolowac solitony powstałe z fal materii [52]. W kondensa-tach Bosego-Einsteina, które mozna obserwowac w laboratoriach, oddzia-ływania miedzyatomowe zazwyczaj sa odpychajace as > 0, gdyz takiukład jest znacznie stabilniejszy niz w przypadku gdy mamy do czynie-nia z oddziaływaniami przyciagajacymi. W jezyku równania NLS mamywiec zwykle nieliniowosc ujemna (zob. §3.2.2). Dlatego pierwszymi soli-tonami, jakie zostały zaobserwowane, były solitony ciemne [53] (por. §3.3).

Utworzenie jasnego, jednowymiarowego solitonu wymagało uczynie-nia długosci rozpraszania ujemna, as < 0, co jest dodatkowym utrudnie-niem. Dokonano tego w licie (7Li) uzywajac rezonansu Feshbacha [54].Zbadano takze oddziaływanie miedzy kilkoma solitonami [55].

W poprzednim rozdziale pokazano, ze zwiekszenie głebokosci modu-lacji współczynnika załamania w układzie nieliniowych swiatłowodówprowadzi do zmiany własnosci całego układu w taki sposób, ze adekwatnystaje sie dyskretny opis jego własnosci. Przejawia sie to lokalizacja swiatłai mozliwoscia utworzenia solitonów w osrodku o ujemnej nieliniowosci.Analogiczne zjawisko, polegajace na utworzeniu solitonów w konden-sacie Bosego–Einsteina z odpychajacym oddziaływaniem miedzyatomo-wym (co odpowiada ujemnej nieliniowosci w osrodkach optycznych), zo-stało zaobserwowane po raz pierwszy w kondensacie 87Rb w słabej siatceoptycznej [56]. W eksperymencie tym wykorzystano obszar o ujemnejmasie efektywnej, który wystepuje w potencjale periodycznym na brzegu

61

7 Generacja solitonów w kondensacie Bosego-Einsteina

pierwszej strefy Brillouina. Jesli poczatkowa atomowa paczka falowa jestprzygotowana w odpowiednim stanie, to zostanie uformowany soliton owartosci energii wewnatrz przerwy energetycznej (zob. §3.6). Jednak wy-generowanie eksperymentalne stanu poczatkowego wymagało pewnegowysiłku. Zastosowano m. in. dynamiczna zmiane czestosci siatki w celujej przyspieszenia.

W rozdziale tym zostanie zaprezentowany inny, prostszy sposób gene-racji solitonów w obszarze ujemnej masy efektywnej [57], który pozwalauzyskac stabilne, długozyjace solitony w kondensacie z oddziaływaniamiodpychajacymi (solitony w kondensatach zawsze maja ograniczony czaszycia, ze wzgledu na straty atomów w wyniku zderzen nieelastycznych).Nasza metoda polega na uformowaniu solitonu ze stanu podstawowego pu-łapki harmonicznej po właczeniu siatki optycznej, w procesie samoczyn-nej relaksacji chmury atomowej, a nie jako wynik specjalnego przygoto-wania poczatkowej paczki falowej w odpowiednim punkcie strefy Bril-louina. Stan podstawowy ma kształt zblizony do funkcji Gaussa, a wieccały proces jest analogiczny do metody generacji solitonów optycznychopisanej w poprzednim rozdziale. Ponadto pokazemy, ze straty atomówmajace miejsce w tym procesie moga zostac zminimalizowane poprzezodpowiednie adiabatyczne właczanie siatki optycznej.


Do opisu kondensatu Bosego–Einsteina zastosowalismy przyblizenie polasredniego. Trójwymiarowe równanie ewolucji makroskopowej funkcji fa-lowej Ψ(r, t) to równanie Grossa–Pitaevskiego

i h∂Ψ

∂t=

(

− h2

2m∆+U(r, t) +

4πa h2

m|Ψ|2

)

Ψ, (7.1)

gdzie dla kondensatu z odpychajacymi oddziaływaniami miedzyatomo-wymi długosc rozpraszania jest dodatnia (a > 0). Zauwazmy, ze odpo-wiada to ujemnej nieliniowosci w osrodkach optycznych (γ < 0). Zakła-damy, ze potencjał zewnetrzny U(r, t) jest suma potencjałów z pułapkiharmonicznej i jednowymiarowej siatki optycznej

U(r, t) = ε(t) sin2(πz

d

)

+m

2

[

ω2⊥ρ

2 + f(t)ω2zz

2]

,

gdzie d = λ/2 jest okresowoscia siatki optycznej, ρ = (x2 + y2)1/2 orazz sa współrzednymi w układzie cylindrycznym, a osiowo-symetryczna

62

7.3 Wyniki symulacji i dyskusja

pułapka harmoniczna w kształcie cygara jest opisana czestoscia podłuznaωz i poprzeczna ω⊥. Wprowadzilismy równiez głebokosc siatki ε i okressiatki λ. Ewolucja czasowa potencjału jest opisana dwoma funkcjami, f(t)oraz ε(t), które odpowiadaja za adiabatyczne procesy wyłaczania podłuz-nej składowej pułapki harmonicznej i właczania siatki optycznej.

W symulacjach numerycznych uzywalismy zarówno pełnego trójwy-miarowego modelu (7.1), jak i (w wiekszosci przypadków) kwazi-jednowy-miarowego modelu zredukowanego, w którym załozono ze pułapkowa-nie poprzeczne jest na tyle silne, ze w tym kierunku praktycznie nie wy-stepuja wzbudzenia kondensatu [58, 59]. W wyniku tego przyblizeniatrójwymiarowa funkcja falowa w przekroju poprzecznym odpowiada sta-nowi podstawowemu pułapki harmonicznej, a ewolucja nieliniowa mozebyc opisana jednowymiarowym równaniem G–P po odpowiednim prze-skalowaniu współczynnika nieliniowosci, a1D = (mω⊥/2π h)a (zob. §3.5).


Na podstawie symulacji numerycznych zaproponowano dwie metody ge-neracji solitonów w kondensacie BEC w jednowymiarowej siatce optycz-nej.

7.3.1 Metoda pierwsza – nagłe właczenie siatki o stałejgłeboko sci

W przypadku pierwszej metody, zaczynamy od kondensatu 87Rb (o ma-sie atomowej 86.9 amu i długosci rozpraszania 5.3 × 10−9 m) w staniewłasnym pułapki harmonicznej o czestosciach ωz0 = 2π × 40Hz i ω⊥ =

2π× 50Hz. Nastepnie nagle wyłaczamy podłuzna czesc potencjału pozo-stawiajac poprzeczny potencjał harmoniczny i jednoczesnie właczamy wkierunku z jednowymiarowa siatke optyczna o okresie d = 15µm. Siatkataka moze zostac utworzona na skutek interferencji dwóch wiazek laseraprzecinajacych sie pod małym katem [49, 50]. Dla długosci fali 783 nm,uzytej w [56], kat ten wynosi 2.3 stopnia. Jednym z parametrów siatkioptycznej jest energia odrzutu Erecoil = h2(2π/λ)2/(2m), która uzywanajest jako jednostka głebokosci siatki [11]. Po opisanej powyzej nagłej zmia-nie potencjału nastepuje ewolucja kwazi-jednowymiarowa, w czasie któ-rej atomy powoli tuneluja do sasiednich oczek siatki, pozostajac jedno-czesnie w stanie podstawowym poprzecznej pułapki harmonicznej. Jak

63


Rysunek 7.1: Generacja solitonów w kwazi-jednowymiarowej siatce optycznej.Pokazano zdjecia gestosci atomowej dla (a) N = 200 atomów napoczatku ewolucji (stan podstawowy pułapki harmonicznej, t = 0),i (b) po czasie t = 0.4s, oraz (c) dlaN = 500 atomów, po czasie ewo-lucji równym t = 1.4s. Parametry siatki to: ε = 2.3Erecoil i odległoscmiedzy oczkami równa 15µm.

64


pokazano na rysunkach 7.1(a-c), zaleznie od poczatkowej liczby atomów,obserwujemy asymptotycznie ekspansje kondensatu do coraz dalszychoczek siatki [rys. 7.1(b)], lub stabilizacje kondensatu towarzyszaca ufor-mowaniu sie zlokalizowanego przestrzennie stanu zajmujacego jedyniekilka oczek [rys. 7.1(c)]. Sprawdzilismy, ze istnieje próg w poczatkowejliczbie atomów (przy niezmiennych pozostałych parametrach układu),powyzej którego nastepuje uformowanie sie stabilnego stanu zlokalizo-wanego.

Wyniki symulacji przedstawiono na rysunkach 7.2(a-c), gdzie pokazanozmiany profilu funkcji falowej i odpowiadajaca temu dynamike w prze-strzeni Fouriera. Widac wyraznie, ze zachodzi lokalizacja na brzegachpierwszej strefy Brillouina. Aby zrozumiec znaczenie i własnosci tegoprocesu lokalizacji, opisujemy ewolucje jednowymiarowego kondensatuw przyblizeniu masy efektywnej

i h∂ψ

∂t= −

h2

2meff

∂2ψ

∂z2+4πaeff h

2

m|ψ|2ψ, (7.2)

gdzie ψ(z, t) jest obwiednia funkcji falowej, zob. §3.6. Stan zlokalizo-wany moze istniec tylko gdy znak masy efektywnej meff jest przeciwnydo znaku długosci rozpraszania aeff. Poniewaz dla kondensatu z oddzia-ływaniami odpychajacymi aeff > 0, masa efektywna w tym przypadkumusi byc ujemna. Ten warunek jest spełniony dla fal materii w poblizubrzegu strefy Brillouina. W §7.4 prezentujemy prosty model który po-zwala opisac ten proces lokalizacji.

Na rysunku 7.3 przedstawiono profil funkcji falowej utworzonego so-litonu pokazanego na rysunku 7.1(c), w przypadku N = 500 atomów wchwili t = 1.4s . Naprzemienna struktura fazowa stanu koncowego odpo-wiada brzegowi pierwszej strefy Brillouina [60]. Porównano równiez wy-niki obliczen w jedno- i trójwymiarowym modelu Grossa–Pitaevskiego.Profil funkcji falowej jest praktycznie taki sam w obu przypadkach. Z do-bra dokładnoscia mozemy wiec przyjac, ze kondensat pozostaje w staniepodstawowym poprzecznego potencjału harmonicznego. Na rysunku 7.4pokazano ewolucje maksimum amplitudy funkcji falowej kondensatu któ-ra w pełni potwierdza te obserwacje. Jak wspomniano powyzej, dla N =

200 atomów zachodzi rozpłyniecie sie chmury atomowej i maksimum am-plitudy stopniowo maleje. Dla wiekszej liczby atomów, N = 500, symu-lacje numeryczne w jedno- i trójwymiarowym modelu przewiduja stabi-lizacje, dajac prawie taki sam koncowy rozkład atomów. W poprzednich

65


Rysunek 7.2: (a) Ewolucja (od lewej do prawej) osiowej gestosci kondensatu [zrys. 7.1(c)]. (b) Ewolucja w przestrzeni Fouriera. (c) Zmiennosc głe-bokosci siatki optycznej.

66


Rysunek 7.3: Funkcja falowa solitonu z rysunku 7.1(c) według zredukowanegomodelu jednowymiarowego (linia przerywana) i pełnego modelutrójwymiarowego (linia ciagła). Linia kropkowana przedstawiaprofil potencjału siatki.

Rysunek 7.4: Ewolucja amplitudy funkcji falowej dla N = 200 atomów (liniaciagła) oraz N = 500 atomów w modelu jednowymiarowym (li-nia przerywana) i trójwymiarowym (linia kropkowana, przeskalo-wana).

67


badaniach [56, 59], wygenerowany w przerwie energetycznej soliton wy-kazywał niestabilnosc na skutek wzbudzenia poprzecznych modów pu-łapki harmonicznej. Metoda zaproponowana tutaj zakłada ze okres siatkioptycznej jest porównywalny do poprzecznych wymiarów kondensatu.Taka konfiguracja (rzadsza siatka) ma znacznie bardziej korzystny sto-sunek energii modów poprzecznych i podłuznych, co powoduje ze tegotypu niestabilnosci nie wystepuja.

7.3.2 Metoda druga – adiabatyczne zmniejszaniegłeboko sci siatki

W opisanej powyzej metodzie główna idea polegała na nagłym zasta-pieniu podłuznej pułapki harmonicznej przez periodyczny potencjał jed-nowymiarowej siatki optycznej. W tym przypadku stan koncowy od-powiada solitonowi, który składa sie tylko z kilkuset atomów. Ponadtoutworzone w ten sposób solitony sa bardzo waskie, i obejmuja zaledwiekilka oczek siatki. Efektywnosc procesu jest przy tym wzglednie mała, iwiele atomów odpływa z obszaru tworzenia sie solitonu. Z tego powoduopracowano alternatywna metode generacji. Nowa metoda polega na na-głym zastapieniu podłuznego potencjału harmonicznego głeboka siatka,a nastepnie powolnym zmniejszaniu głebokosci siatki az do pewnej koncowejwartosci. W tym przypadku atomy w momencie nagłej zmiany potencjałusa utrzymywane w centralnym obszarze przez silna siatke, a stan kon-cowy tworzy sie w wyniku adiabatycznego procesu redukcji potencjału.Dzieki tej metodzie mozna utworzyc solitony nawet w bardzo płytkichsiatkach, znacznie ponizej głebokosci dostepnej w pierwszym schemacie.Na rysunku 7.5 przedstawiamy wyniki symulacji numerycznych w mo-delu jednowymiarowym w przypadku adiabatycznej redukcji potencjałuod ε = 8Erecoil do ε = Erecoil. Podłuzny rozmiar kondensatu rosnie wtym czasie znaczaco. W symulacjach z rysunku 7.5 udało sie obnizyc głe-bokosc siatki do wartosci 2.5 raza mniejszej niz w przypadku pierwszejmetody, otrzymujac przy tym stabilny stan złozony z około 500 atomów.Profil tego stanu przedstawiono na rysunku 7.6. Podstawowa zauwazalnaróznica miedzy tym solitonem, a solitonem z rysunku 7.3 jest jego szero-kosc. Oba stany zawieraja bardzo podobna liczbe atomów, ale stan otrzy-many przy uzyciu drugiej metody zajmuje znacznie wiekszy obszar i po-siada bardziej wyrazista strukture fazowa fali Blocha z brzegu pierwszejstrefy Brillouina.

68


Rysunek 7.5: a) Ewolucja (od lewej do prawej) osiowej gestosci kondensatu wprzypadku adiabatycznej redukcji potencjału siatki od ε = 8Erecoil

do ε = Erecoil podczas poczatkowych 500ms. b) Ewolucja przed-stawiona w przestrzeni Fouriera. c) Zmiennosc głebokosci siatkioptycznej.

69


Rysunek 7.6: Profil funkcji falowej kondensatu w chwili t = 1s w przypadku ge-neracji solitonu z rysunku 7.5. Linia kropkowana przedstawia po-tencjał siatki optycznej.

Aby porównac efektywnosc obu metod generacji solitonów, przepro-wadzono dodatkowe symulacje numeryczne i zbadano jak zmiana po-czatkowej liczby atomów i głebokosci siatki wpływa na koncowa liczbeatomów w solitonie. Na rysunku 7.7 zmierzono efektywnosc generacjisolitonu zliczajac atomy pozostajace po czasie t = 0.5s wewnatrz oknao szerokosci 200 mikronów w okolicy centralnego maksimum. Wybórrozmiaru tego okna (w rozsadnych granicach) nie wpływa znaczaco nawyniki. Jak widac, schemat adiabatyczny pozwala osiagnac prawie 100%efektywnosc generacji w szerokim zakresie liczby atomów. Widoczna jesttakze granica dla liczby atomów jaka moze zostac spułapkowana. Obiemetody wykazuja nasycenie powyzej 1000 atomów. Mozna oszacowac tamaksymalna liczbe przy uzyciu przyblizenia masy efektywnej, zakłada-jac ze rozmiar solitonu nie moze byc mniejszy niz rozmiar jednego oczkasiatki. Poniewaz szerokosc solitonu rosnie wraz z nieliniowoscia, to pro-ste rozumowanie pozwala stwierdzic, ze nie moze on zawierac wiecej nizokoło 1200 atomów, co jest wartoscia pieciokrotnie wieksza od zaobser-wowanej w pierwszym udanym eksperymencie [56].

Metoda adiabatyczna pozwala uzyskac wyzsza populacje koncowa, cowyraznie widac na rysunku 7.8. Pokazano tu koncowa liczbe atomów w

70


Rysunek 7.7: Liczba atomów w oknie [−100µm, 100µm] w chwili czasu t =

500ms, która jest w przyblizeniu równa ilosci atomów w wyge-nerowanym solitonie, w funkcji poczatkowej liczby atomów. Li-nia przerywana odpowiada metodzie ze stała głebokoscia siatkiε = 2.3Erecoil, a linia ciagła – przypadkowi adiabatycznej reduk-cji potencjału siatki po nagłym jej właczeniu od ε = 8Erecoil doε = 2.3Erecoil w ciagu pierwszych 200ms. Linia prosta wyznaczacałkowita dostepna liczbe atomów.

71


Rysunek 7.8: Liczba atomów w oknie [−100µm, 100µm] w chwili t = 5s którajest w przyblizeniu równa liczbie atomów w wygenerowanym soli-tonie, w funkcji koncowej głebokosci siatki optycznej. Poczatkowow kondensacie znajdowało sie 500 atomów. Linia przerywana od-powiada przypadkowi stałej głebokosci siatki, a linia ciagła przy-padkowi z adiabatyczna redukcja potencjału siatki od ε = 8Erecoil

do koncowej wartosci w ciagu poczatkowych 500ms.

solitonie (uzywamy kryterium podobnego jak poprzednio, kondensat za-wiera 500 atomów), w funkcji koncowej wartosci głebokosci siatki optycz-nej. Druga metoda prowadzi do znacznie mniejszych strat atomów w pro-cesie tworzenia solitonu, i moze byc uzyta do generacji stanów w znaczniepłytszych potencjałach. Takie solitony zajmuja wiele oczek siatki, i wyka-zuja znacznie wieksza mobilnosc, co moze byc uzyteczne w konteksciepotencjalnych zastosowan, zob. [61].

W naszych symulacjach zaniedbalismy obecnosc nieelastycznych strat,w zwiazku z czym soliton pozostaje stabilny w ciagu dowolnie długiegoczasu. Sprawdzilismy numerycznie, ze właczenie do równan ewolucjinieelastycznych strat, z realistycznymi wartosciami przekrojów czynnych,nie spowoduje znaczacej zmiany naszych wyników, poniewaz gestosciatomowe w utworzonych stanach sa dosc niskie. Jednakze bedzie to głów-nym czynnikiem ograniczajacym czas zycia solitonów w rzeczywistycheksperymentach.

72

7.4 Dwumodowy model samopułapkowania


Wprowadzimy teraz prosty model analityczny który pozwoli głebiej zro-zumiec fizyke generacji solitonów i samopułapkowania w układach nie-liniowych z odpychajacym oddziaływaniem miedzyatomowym. Modelten opisuje dynamike w przestrzeni pedów, ale ogranicza sie do fal z naj-nizszego pasma energetycznego, zob. §3.6.

Wyprowadzenie bedzie polegało na rozłozeniu funkcji falowej konden-satu w bazie funkcji Blocha. Pokazemy, ze model ten przewiduje sponta-niczna migracje fal do obszaru o ujemnej masie efektywnej.

Wprowadzamy bezwymiarowe jednostki z ′ = z/d, t ′ = tω, Ψ ′ =

Ψ√

d/N, gdzie ω = h/(md2) a N jest liczba atomów, i definiujemy g =

4πdNa1D oraz ε ′ = ε/( hω).W celu uproszczenia zapisu pomijamy primowanie i dokonujemy trans-

formaty Fouriera modelu jednowymiarowego

i∂Ψ(k, t)

∂t=k2

2Ψ(k, t) −

ε

4[Ψ(k− 2π, t) + Ψ(k + 2π, t)]+

+g

2π

∫ ∫+∞

−∞

Ψ(k1, t)Ψ∗(k2, t)Ψ(k− k1 + k2, t)dk1dk2.

Dla pierwszej strefy Brillouina, tzn. |k′| < π, definiujemy funkcje Blochau(k, k ′) o energii E(k ′) spełniajace równanie

E(k ′)u(k, k ′) =k2

2u(k, k ′) −

ε

4[u(k− 2π, k′) + u(k+ 2π, k ′)],

i warunek ortonormalnosci∫u(k, k ′

1)u∗(k, k ′

2)dk = δ(k ′1 − k ′

2). Zgodnie zpowzietym załozeniem mozemy rozłozyc funkcje falowa Ψ(k, t) w bazietych stanów

Ψ(k, t) =

∫π

−π

Φ(k ′, t)u(k, k ′)dk ′,

i uzyskac równanie na amplitudyΦ(k ′, t)

i∂Φ(k ′, t)

∂t= E(k ′)Φ(k ′, t) +

+g

2π

∫ ∫ ∫π

−π

Φ(k ′1, t)Φ

∗(k ′2, t)Φ(k ′

3, t)dk′1dk

′2dk

′3 ×

×∫ ∫ ∫+∞

−∞

u∗(k0, k′)u(k1, k

′1)u

∗(k2, k′2) ×

× u(k0 − k1 + k2, k′3)dk0dk1dk2.

73


W przypadku słabej siatki zakładamy ze u(k, k ′) ≈ δ(k− k ′); załozenie tojest dobrze spełnione wszedzie poza obszarami w poblizu brzegu pasma.Po zastosowaniu tego załozenia dostajemy

i∂Φ(k, t)

∂t= E(k)Φ(k, t) + (7.3)

+g

2π

∫ ∫π

−π

Φ(k1, t)Φ∗(k2, t)Φ(k− k1 + k2, t)dk1dk2.

Dalsze uproszczenie dynamiki polega na wprowadzeniu przyblizenia dwu-modowego. W pierwszym przyblizeniu funkcja falowa zawiera składowa

stała i modulowana Φ(k, t) = [a(t) +√2b(t) cos(k)]/

√2π, oraz E(k) =

E0 + E1 cos(k), gdzie E1 < 0 i |a|2 + |b|2 = 1. Równanie (7.3) daje

da

dt= −

i√2E1b− ig|a|2a,

db

dt= −

i√2E1a−

i

2g|b|2b. (7.4)

Po podstawieniu

a(t) =

√

1− z(t)

2exp[iφ0(t)],

b(t) =

√

1+ z(t)

2exp[i(φ0(t) −φ(t))],

otrzymujemy równania asymetrycznego złacza Josephsona

dφ

dt=

z√1− z2

cosφ+Λ

(

z−1

3

)

,

dz

dt= −

√

1− z2 sinφ,

gdzie wprowadzono Λ = 3g/(4√2|E1|) i uzyto przeskalowanego czasu

tnew =√2|E1|t. Aby opisac migracje fal z regionu normalnej do anomalnej

dyfrakcji, wprowadzamy wielkosc M(t), która jest róznica w populacjiatomów w normalnym (wewnetrznym) i anomalnym (zewnetrznym) ob-szarem strefy Brillouina

M(t) =

∫π/2

−π/2

|Φ|2dk− (

∫−π/2

−π

|Φ|2dk+

∫π

π/2

|Φ|2dk) =

=4√2

πRe(ab∗) =

2√2

π

√

1− z2 cosφ.

74


Rysunek 7.9: Ewolucja parametru M(t) powyzej progu na utworzenie solitonu(N = 500 atomów), odpowiadajaca rysunkowi 7.1(c). Linia ciagłapokazuje wyniki w jednowymiarowym modelu G-P, a linia przery-wana wyniki modelu dwumodowego, równ. (7.4).

Jezeli M > 0, to kondensat składa sie głównie z fal materii z obszaru onormalnej dyfrakcji, a dla M < 0 – z fal materii z obszaru o anomalnejdyfrakcji. Czasowa pochodna Mmozna wyrazic jako

dM

dt=

2√2

πΛ

(

z−1

3

)

dz

dt. (7.5)

Aby zastosowac to równanie do opisu dynamiki generacji solitonów,zakładamy ze w chwili t = 0 kondensat jest w stanie podstawowym poje-dynczego oczka siatki. W tym stanie pierwsze pasmo jest w przyblizeniuobsadzone jednorodnie ze stała faza, tak ze a = 1, b = 0, i w konsekwencjiz = −1 i M(0) = 0. Poniewaz z nie moze byc mniejsze niz −1, z bedzierosło w czasie i z równania (7.5) widac ze M(t) bedzie poczatkowo ma-lało dla kondensatu z oddziaływaniem odpychajacym (Λ > 0). A wiecfale materii beda zmieniac swój stan migrujac do obszaru ujemnej masyefektywnej, umozliwiajac utworzenie solitonu w przerwie energetycznej.

Ten ogólny obraz został potwierdzony bezposrednimi symulacjami nu-merycznymi pełnego równania G-P oraz uproszczonego modelu dwumo-dowego, jak pokazano na rysunkach 7.9 i 7.10. Na rysunku 7.9 przedsta-

75


Rysunek 7.10: Podobnie jak na rysunku 7.9, ale w przypadku N = 200 atomów,zob. rys. 7.1(b).

wiono porównanie ewolucji parametru M(t) obliczonego na podstawiejednowymiarowego równania G-P i na podstawie równan (7.4) w przy-padku utworzenia solitonu (500 atomów w kondensacie). Natomiast ry-sunek 7.10 odpowiada przypadkowi kiedy liczba atomów (N = 200) jestponizej progu na utworzenie solitonu. W obu przypadkach dynamika po-czatkowa jest podobna i dobrze opisana modelem dwumodowym. Jed-nakze w pełnym modelu G-P dynamika nieliniowa jest bardziej skom-plikowana, poniewaz wymianie energii miedzy dwoma głównymi mo-dami towarzyszy wzbudzenie wyzszych modów układu, których nie bie-rze pod uwage model uproszczony. W wynikach uzyskanych w pełnymmodelu ten efekt jest widoczny jako efektywne tłumienie oscylacji.

76

8 Trójwymiarowe solitony wkondensacieBosego-Einsteina

8.1 Wstep

We wszystkich eksperymentach, w których udało sie stworzyc solitonyw kondensatach Bosego–Einsteina [53–56], były one efektywnie jednowy-miarowe, spułapkowane w dwóch poprzecznych wymiarach za pomocasilnych potencjałów. Stworzenie autentycznych wielowymiarowych so-litonów jest jak dotad wyzwaniem nie podjetym przez grupy doswiad-czalne. Jedna z obiecujacych metod uzyskania solitonów wielowymia-rowych jest modulacja nieliniowego oddziaływania miedzyatomowego,przy pomocy zmiennego pola magnetycznego dostrojonego do rezonansuFeshbacha [62]. Metoda ta została nazwana “Feshbach resonance mana-gement” (FRM) [63].

Metode ta mozna zastosowac do stabilizacji oscylujacych (oddychaja-cych) solitonów z pułapka ograniczajaca kondensat tylko w jednym wy-miarze [64–66]. Pomysł zakłada szybkie zmiany wartosci pola magne-tycznego, które powoduja powstanie efektywnego stabilizujacego poten-cjału na dłuzszej skali czasowej. Według zacytowanych prac, solitonymoga byc stabilne jedynie w przypadku, gdy pułapka jest na tyle silna,ze praktycznie redukuje problem do zagadnienia dwuwymiarowego [58].Takie przyblizenie bedzie nazywane dalej kwazi-dwuwymiarowym (Q2D).

W tym rozdziale zademonstrujemy, ze w pełni trójwymiarowe solitonymoga zostac ustabilizowane przy pomocy kombinacji FRM oraz jednowy-miarowej siatki optycznej, zamiast silnej pułapki harmonicznej [26, 67].Taki układ jest łatwiejszy do skonstruowania doswiadczalnie, gdyz douzyskania siatki optycznej wystarcza dwie przeciwbiezne wiazki laserowetworzace fale stojaca [68]. W takim układzie jest równiez łatwiej o silneuwiezienie kondensatu niz w przypadku pułapki harmonicznej. Siatka

77

8 Trójwymiarowe solitony w kondensacie Bosego-Einsteina

moze byc silna lub słaba w zaleznosci od intensywnosci swiatła lasero-wego. Stabilizacja solitonów jest mozliwa nawet w przypadku słabej siatki,kiedy atomy uwiezione w sasiednich oczkach siatki oddziałuja ze soba[26].

Analizujac diagramy w przestrzeni parametrów znajdziemy dwa od-dzielne obszary wystepowania stabilnych solitonów. Pierwszy z nich maswój odpowiednik w podejsciu kwazi-dwuwymiarowym (Q2D). Drugiobszar pojawia sie gdy czestosc modulacji przekroczy najnizsza czestoscwzbudzen potencjału pułapkujacego. Nie ma on odpowiednika w przy-blizeniu Q2D; wobec tego moze zawierac tylko w pełni trójwymiarowesolitony. W granicy ciasnego spułapkowania, obszar ten przesuwa sie kuwyzszym czestosciom i odtworzony zostaje diagram stabilnosci taki jakw przyblizeniu Q2D.

8.2 Scenariusz eksperymentu

Opisujemy nasz układ równaniem Grossa–Pitaevskiego w jednostkachzredukowanych, z uwzglednieniem zmiennego w czasie współczynnikanieliniowosci g(t) oraz zewnetrznego potencjału U(r, t)

iψt =[

−(1/2)∇2 +U(r, t) + g(t)|ψ|2]

ψ. (8.1)

Poczatkowo kondensat jest w stanie podstawowym radialnej pułapki har-monicznej o czestosci ω⊥, a w kierunku podłuznym jest uwieziony przypomocy dwóch silnych wiazek swiatła, tzw. “end caps”. Taka konfigura-cja jest podobna do zastosowanej w eksperymencie, w którym stworzonojasne solitony w kondensacie 7Li [54, 55]. Intensywnosc jednowymiaro-wej siatki optycznej jest zwiekszana adiabatycznie od ε = 0 do ε = εf,zob. rys. 8.1. Zatem pełny potencjał ma postac

U(r, t) = ε(t) [1− cos(2z)] + f(t)[

(1/2)ω2⊥ρ

2 +U0(z)]

, (8.2)

gdzie ρ jest zmienna radialna w płaszczyznie prostopadłej do z, a poten-cjał “end-caps” U0(z) jest przyblizony przez głeboka prostokatna stud-nie potencjału. Szerokosc studni decyduje o ilosci oczek siatki zajetychprzez strukture sasiadujacych solitonów. Funkcja f(t) steruje wyłacza-niem potencjałów pułapkujacych, a funkcja ε(t) wyznacza zmiany głe-bokosci siatki, zob. rys. 8.1. Oddziaływanie nieliniowe jest opisane przezfunkcje

g(t) = g0(t) + g1(t) sin(Ωt). (8.3)

78

8.2 Scenariusz eksperymentu

Rysunek 8.1: Zmiana w czasie współczynnika nieliniowosci g(t), funkcji wyła-czajacej potencjały f(t) i siły siatki optycznej ε(t). Symulacje nume-ryczne według powyzszego scenariusza prowadza do utworzeniastabilnej struktury oscylujacych trójwymiarowych solitonów dziekipołaczeniu kwazi-jednowymiarowej siatki z modulacja nieliniowo-sci (FRM). Obszar zacieniowany odpowiada szybkim oscylacjomwspółczynnika g(t).

79


Poczatkowo g1(0) = 0 oraz g(0) = g0(0) > 0. W pewnej chwili t1,zaczynamy zmniejszac liniowo g0(t). Znika ono dla t = t2, i pozostajezerem az do t3, kiedy zaczynamy stopniowo wprowadzac modulacje nie-liniowosci. W przedziale [t3, t4], srednia g = g0(t) zmniejsza sie liniowood zera do ujemnej wartosci g0f, a amplituda modulacji g1(t) zwiekszasie od zera do g1f, rys. 8.1. Jednoczesnie radialna czesc pułapki i poten-cjał “end caps” sa powoli wyłaczane (zgodnie z funkcja f(t)). Dla cza-sów t > t4, g(t) oscyluje ze stała amplituda g1f wokół ujemnej sredniejwartosci g0f. Soliton utworzony według takiego schematu jest utrzymy-wany dzieki kombinacji jednowymiarowej siatki i FRM. Jak pokazemyw podrozdziale 8.5, dobór funkcji f(t), g0(t) i g1(t) nie ma decydujacegowpływu na to czy uda sie utworzyc stabilne stany oscylujace. Jedynywarunek, jaki musi byc spełniony, to adiabatycznosc procesów właczaniai wyłaczania. Powodem, dla którego zaczynamy od dodatniej wartoscinieliniowosci g0 jest fakt, ze wówczas atomy sa równomiernie rozmiesz-czone w oczkach siatki. Pozwala to utworzyc kilka podobnych solitonóww sasiadujacych oczkach.

Symulacje przeprowadzone według schematu z rysunku 8.1 wskazuja,ze jest mozliwe stworzenie stabilnych solitonów trójwymiarowych (patrzwstawka na rysunku 8.2). Zanim zaprezentujemy wyniki numeryczne,odwołamy sie ponownie do przyblizenia wariacyjnego w celu przewidze-nia wartosci parametrów układu (nieliniowosci, czestosci modulacji) dlaktórych mozna sie spodziewac stabilnych rozwiazan.


Przyblizenie wariacyjne zostało dotychczas pomyslnie zastosowane doopisu kondensatu w róznorodnych układach, np. [64, 66, 69]. Równa-nie (8.1) moze byc wyprowadzone z gestosci Lagranzjanu

L = i(ψ∗tψ−ψ∗

tψ) − |ψρ|2 − |ψz|2 − g(t)|ψ|4 − 2U|ψ|2 (8.4)

Tutaj uzyjemy metody wariacyjnej do opisu ewolucji dla t > t3, zakła-dajac, ze w chwili t = t3 kondensat jest w stanie stacjonarnym. Waria-cyjny Ansatz jest iloczynem secansa hiperbolicznego i Gaussianu i obej-muje funkcje falowa w jednym tylko oczku siatki (funkcja czysto gaus-sowska daje wyniki nieco gorzej zgadzajace sie z pełnymi symulacjamirównania G–P). Amplitude oznaczamy jakoA(t), całkowita fazeφ(t), sze-

80


rokosci radialna i podłuzna odpowiednio W(t) i V(t), a b(t) i β(t) sa od-powiadajacymi im chirpami

ψ(r, t) = Asech(ρ/W)e[−ibρ2−(1/2V2+iβ)z2+iφ]. (8.5)

Lagranzjan zredukowany otrzymujemy po podstawieniu (8.5) do (8.4) iscałkowaniu po zmiennych przestrzennych

L = A2W2V

[

A2gI3

2√2

+εI1

eV2 −f(t)ω2

⊥W2I2

2−I1

4V2+

−V2I1

4

(

β2 + β)

−I1 − I3

2W2−W2I2

2

(

b2 + b)

− I1φ

]

, (8.6)

gdzie I1 = 2π ln 2, I2 = (9/4)πζ(3) oraz I3 = (π/3)(4 ln 2− 1). Zasada wa-riacyjna zastosowana do zmiennej φ prowadzi do całki pierwszej w po-staci E = A2W2V = (2π3/2 ln 2)−1

∫

oczko|ψ|2dr = (2nπ3/2 ln 2)−1, gdzie

całkowanie przebiega po jednym oczku siatki, a n jest iloscia zajetychoczek. Zakładamy, ze liczba atomów jest zawarta w definicji współczyn-nika nieliniowego g(t), a funkcja falowa jest znormalizowana do jedno-sci. Równania Eulera-Lagrange’a dla pozostałych zmiennych prowadzado równan ewolucji szerokosci i chirpów

b = W/W, β = V/V, (8.7)

W =J1

W3+J2g(t)

W3V− f(t)ω2

⊥W, (8.8)

V =1

V3+J3g(t)

W2V2− 4εfV exp

(

−V2)

, (8.9)

gdzie J1 = (I1 − I3)/I2, J2 = EI3/(√2I2) oraz J3 = EI3/(

√2I1). Wszystkie

stałe Jk sa dodatnie. Powyzsze równania opisuja dynamike pojedynczegosolitonu w minimum potencjału, a wiec z małymi poprawkami moga zo-stac zastosowane do opisu kondensatu uwiezionego w jednowymiarowejpułapce harmonicznej [64, 66, 70]. Zauwazmy, ze dla f(t) = 0 moznawyprowadzic prosta zaleznosc: J2VV − J3WW = J2V

−2 − J1J3W−2 +

4εV2 exp(−V2).W przyblizeniu kwazi-dwuwymiarowym (Q2D) opuszczamy wymiar

z w równaniu (8.1). Zakładamy, ze w tym kierunku profil funkcji fa-lowej jest stały i odpowiada stanowi podstawowemu ψ0(z) w pojedyn-czym oczku siatki lub w pułapce harmonicznej tak jak w [64, 66]. Zredu-kowany potencjał w dwuwymiarowym równaniu G–P przyjmie postac

81


U(ρ, t) = f(t)(1/2)ω2⊥ρ

2. W przyblizeniu wariacyjnym zakładamy ze Vjest stałe i równe V(t) ≡ V0, które jest mniejszym rozwiazaniem równania4εfV

40 exp

(

−V20

)

= 1 (por. (4.26)), i rozwiazujemy tylko równanie (8.8). Wobliczeniach numerycznych przeskalowujemy współczynnik nieliniowo-sci g2D = g× (

∫|ψ0|

4dz)/(∫

|ψ0|2dz) (zob. §3.5).


Przeprowadzono symulacje numeryczne zarówno pełnego równania G–P(8.1), przy uzyciu kodu 3D z symetria osiowa, oraz kodu bez symetrii wprzypadku Q2D, jak i równan wariacyjnych. Parametry układu zmieniałysie zgodnie ze scenariuszem z rysunku 8.1.

Na podstawie wyników symulacji mozna okreslic trzy rezimy głeboko-sci siatki. W przypadku siatek bardzo głebokich, symulacje trójwymia-rowe i kwazi-dwuwymiarowe daja identyczne rezultaty, gdyz kazdy zsolitonów pozostaje przez cały czas w najnizszym stanie energetycznympojedynczego oczka siatki [66].

Przykład wyników numerycznych w przypadku sredniej siły siatki po-kazano na rysunku 8.2. Parametry jakich uzyto w symulacjach odpowia-daja dla atomów 87Rb okresowi siatki optycznej λ = 1.5 µm, poczatkowejpułapce radialnej o czestosciω⊥ = 2π×160Hz, czestosci FRM równejΩ =

2π×19 kHz, głebokosci siatki εf = 25Erecoil, gdzie Erecoil = h2(2π/λ)2/(2m)

jest energia odrzutu, i efektywnej nieliniowosciNa = ± 2·10−5 m, gdzieNjest iloscia atomów przypadajacych na jedno oczko siatki, przy całkowitejilosci atomów w zakresie 104−106. Odpowiadajace im wartosci znormali-zowanych parametrów sa podane w podpisie pod rysunkiem 8.2. Przed-stawia on ewolucje amplitudy funkcji falowej w maksimum centralnegosolitonu w funkcji czasu, w jednostkach bezwymiarowych zdefiniowa-nych równaniem (8.1). Po poczatkowej fazie ewolucji tworzy sie stabilnastruktura oscylujaca. Róznica w dynamice miedzy przypadkiem trójwy-miarowym (linia dolna) i kwazi-dwuwymiarowym (górna linia) jest ła-two widoczna. W obu przypadkach wystepuja oscylacje solitonów (od-dychanie), ale ich amplituda i czestosc sa zupełnie rózne. Jest to przy-kład rezimu sredniej siły siatki, kiedy tylko w pełni trójwymiarowe podej-scie opisuje poprawnie dynamike układu. Wstawka w rysunku pokazujestrukture solitonowa w pewnej chwili czasu.

Dynamike w rezimie słabej siły siatki pokazano na rysunku 8.3. Przed-stawia on wpływ sasiadujacych solitonów na amplitude centralnego mak-

82


Rysunek 8.2: Porównanie ewolucji amplitudy centralnego maksimum w opisietrójwymiarowym (dolna linia) i kwazi-dwuwymiarowym (górna li-nia). Jest to przykład sredniej siły siatki, kiedy tylko trójwymiarowepodejscie poprawnie opisuje dynamike układu. Znormalizowaneparametry to g0f = −22, g1f = 4g0f, εf = 50, Ω = 36, ω⊥ = 0.3,t1 = 30, t2 = 100, t3 = 120 oraz t4 = 130. We wstawce wi-doczna jest struktura w opisie trójwymiarowym (w opisie kwazi-dwuwymiarowym wymiar z jest opuszczony). Jednostka czasu jestmλ2/(π2 h). Stabilizacja w kierunku z jest spowodowana przycia-gajacym oddziaływaniem miedzyatomowym.

83


Rysunek 8.3: Szeroka i cienka linia pokazuja odpowiednio ewolucje amplitudycentralnego maksimum w przypadku solitonu z wieloma maksi-mami i w przypadku, gdy dla t = 7500 boczne solitony zostały na-gle usuniete, tak jak pokazano na wstawce. Jest to przykład słabejsiły siatki, kiedy sasiadujace solitony oddziaływaja ze soba. Znor-malizowane parametry to g0f = −18, g1f = 4g0f, ǫf = 20.5, Ω = 22,ω⊥ = 0.3, t1 = 30, t2 = 100, t3 = 120, oraz t4 = 130.

simum. Szeroka linia odpowiada ewolucji pełnej struktury z wieloma so-litonami, podobna do pokazanej na wstawce do rysunku 8.2. Oddziały-wanie miedzy sasiednimi solitonami przejawia sie w postaci dudnien. Tozjawisko mozna wytłumaczyc niewielka róznica w okresach oscylacji sa-siednich solitonów spowodowanej małymi róznicami w ilosci atomów wkazdym z oczek siatki. Cienka linie otrzymano powtarzajac powyzszasymulacje az do t = 7500, a nastepnie usuwajac wszystkie solitony pozacentralnym. Powstała struktura jest widoczna na wstawce do rysunku 8.3.Dudnienie nie jest w tym przypadku widoczne. Róznica w dynamice do-wodzi, ze opisane tutaj stabilne stany oscylujace sa zjawiskiem kolektyw-nym.

Na rysunku 8.4 zebrano wyniki systematycznych badan w przestrzeni

84

8.5 Analiza stabilnosci

parametrów na podstawie symulacji równania G–P i porównano je z prze-widywaniami przyblizenia wariacyjnego (podobna analiza moze byc prze-prowadzona w przypadku, gdy zastapimy potencjał siatki optycznej pu-łapka harmoniczna – wnioski nie zaleza od formy potencjału w kierunku z).Zgodnosc miedzy bezposrednimi symulacjami i metoda wariacyjna jestbardzo dobra. Granice obszarów stabilnosci zostały równiez wyznaczoneanalitycznie, przy uzyciu metody efektywnych potencjałów. Metoda tazostała przedstawiona w §8.5. Jak widac z rysunku 8.4 a), w pełnymtrójwymiarowym podejsciu otrzymujemy dwa oddzielne obszary stabilno-sci. Dolny obszar na rysunkach a) i c) wykazuje podobienstwo do dolnejczesci obszaru z rysunku 8.4 b), na którym pokazano wyniki w przybli-zeniu Q2D. Obszar ten odpowiada solitonom kwazi-dwuwymiarowym.Natomiast górna wyspa stabilnosci zawiera solitony w pełni trójwymia-rowe. Pojawiaja sie one, gdy czestosc modulacji przekracza najnizsza cze-stosc symetrycznych wzbudzen potencjału pułapkujacego. Jak widac zrysunku 8.4, kiedy siła siatki εf rosnie, obszar ten przesuwa sie w kie-runku wyzszych czestosci (i wychodzi poza zakres na rysunku c)), a ob-szar Q2D rozszerza sie do góry, i cały obraz staje sie coraz bardziej po-dobny do rysunku 8.4 b).

8.5 Analiza stabilno sci

Nasze obliczenia bazuja na równaniach wariacyjnych (8.8), (8.9) dla f(t) =

0. Wyprowadzimy z tych równan przyblizone wzory na granice obszarówstabilnosci w przestrzeni parametrów. Rozwazymy kilka typów niestabil-nosci. Niektóre z nich wystepuja tylko przy zastosowaniu w pełni trójwy-miarowego opisu. Wszystkie warunki wyprowadzone ponizej prowadzado linii z rysunku 8.4, które wyznaczaja granice obszarów stabilnosci zzaskakujaco dobra dokładnoscia. Sa one w dobrej zgodnosci z wynikamisymulacji numerycznych zarówno równan wariacyjnych (8.8), (8.9), jak irównania G–P (8.1).

8.5.1 Przyblizenie kwazi-dwuwymiarowe

W przyblizeniu Q2D zaniedbujemy wzbudzenia w potencjale pułapkuja-cym, zakładajac, ze V ≡ V0 i rozwazajac jedynie wariacyjne równanie na

85


Rysunek 8.4: Obszary stabilnosci dla solitonów w płaszczyznie (|g0f|,Ω), prze-widziane za pomoca metody wariacyjnej (obszar zacieniowany), iznalezione w bezposrednich symulacjach numerycznych równaniaGrossa-Pitaevskiego (kółka). Zarówno a) odpowiadajace parame-trom ǫf = 50 i Ω0 = 26.76 oraz c) odpowiadajace ǫf = 200 i Ω0 =

55.06 zostały wygenerowane na podstawie analizy trójwymiarowej,natomiast b) jest wynikiem przyblizenia kwazi-dwuwymiarowego.Pozostałe parametry sa takie same jak na rysunku 8.2. Dolnewyspy na rysunkach a) i c) odpowiadaja solitonom Q2D, a so-litony w górnych obszarach sa w pełni trójwymiarowe. Jak wi-dac, wraz ze wzrostem siły pułapki dolna wyspa stabilnosci stajesie coraz bardziej podobna do regionu uzyskanego w przyblizeniuQ2D. Linie ograniczajace obszary stabilnosci otrzymano analitycz-nie, zob. równania (8.14), (8.15), (8.20) i (8.25). Jasnoszary obszar wa) i c) jest odpowiednio przeskalowanym obszarem z rysunku b).

86


W, (8.8)

W =1

W3[−A+ B cos(Ωt)] . (8.10)

Wprowadzilismy tutaj stałe A = J1(g0/gc − 1) i B = −J1g1/gc. Krytycznanieliniowosc gc = −V0J1/J2 jest równa progowi kolapsu w przypadkubraku modulacji g1 = 0.

Stosujemy przyblizenie adiabatyczne, rozdzielajac W na czesc wolno iszybko oscylujaca, W = w + δ, i zakładajac ze ta druga jest relatywniemała, δ≪ w. Równanie (8.10) przyjmuje postac

w+ δ =

(

1

w3−3δ

w4

)

[−A+ B cos(Ωt)] . (8.11)

W adiabatycznej granicy małego ξ = |w|/(wΩ) otrzymujemy w przybli-zeniu

δ = −B

w3Ω2cos(Ωt),

w = −A

w3+

3B2

2w7Ω2. (8.12)

Pierwsze z tych równan zostało uzyskane przez przyrównanie szybko-oscylujacych wyrazów w (8.11), z uwzglednieniem warunku δ≪ w. Dru-gie równanie uzyskano wstawiajac pierwsze z nich do (8.11), i usredniajacpo czasie dłuzszym niz 1/Ω. Moze byc ono zinterpretowane jako równa-nie ruchu czastki w efektywnym potencjale

Uef = −C

w2+D

w6, (8.13)

gdzie C = J1 (g0/gc − 1) /2 oraz D = [J1g1/(2gcΩ)]2.

Oznaczamy poczatkowa szerokosc jako w0 i zakładamy w(0) = 0. Wi-dzimy ze czastka bedzie uwieziona w potencjale (8.13) pod warunkiem,ze Uef(w0) < 0, jako ze Uef(∞) = 0. Prowadzi to do warunku stabilnosci

w0 >

(

D

C

)1/4

, (8.14)

co odpowiada dolnej linii ograniczajacej na rysunku 8.4 b). Zauwazmy, zepowyzszy warunek implikuje warunek słabszy, tj. C > 0, czyli g0/gc > 1.Był to jedyny znany do tej pory warunek stabilnosci [64, 66].

87


Rozwazmy teraz czy załozenie o adiabatycznosci ewolucji przyjete przywyprowadzaniu równan (8.12) jest konsystentne z otrzymanym wyni-kiem, tzn. czy ξ zdefiniowane powyzej jest wielkoscia mała. Mozna łatwooszacowac jej maksymalna wartosc. Jezeli oscylacje w potencjale (8.13)sa niewielkie, to |w| jest małe i w konsekwencji równiez ξ. Jezeli jed-nak oscylacje sa duze, to jeden cykl moze zostac rozbity na dwie fazy,(a) ruch w potencjale Uef ≈ −C/w2 dla duzego w, i (b) ruch w potencjaleUef ≈ D/w6 dla małego w. Współczynnik ξ przyjmuje najwieksza war-tosc w fazie (b). Wszystkie mozliwe trajektorie w potencjale fazy (b) sa wprzyblizeniu opisane jedna funkcja, która skaluje sie wraz z D i warun-kami poczatkowymi nastepujaco

ξmax ∼√DΩ−1w−4

min(w0), (8.15)

gdzie wmin jest wartoscia w w mniejszym punkcie zwrotu i moze zostacwyznaczona zw0, przy uzyciu równania (8.13). Okazuje sie, ze gdy prawastrona równania (8.15) przekracza pewna krytyczna wartosc, dochodzido destabilizacji w obliczeniach numerycznych. Obserwujemy zwieksza-nie sie energii czastki (równanie (8.12) przestaje obowiazywac) w poblizumniejszego punktu zwrotu, i w konsekwencji ucieczke czastki z minimumpotencjału (8.13). Zaznaczamy, ze jesli ξmax jest mniejsze od wartosci kry-tycznej, to układ jest stabilny przez bardzo długi okres czasu. W ten spo-sób otrzymalismy górna granice na rysunku 8.4 b).

8.5.2 Podej scie trójwymiarowe

Rozszerzymy teraz nasze rozwazania na przypadek, gdy radialna szero-kosc solitonu V nie jest stała i wpływa to w znaczacy sposób na stabil-nosc. Podtrzymujemy załozenie, ze V jest bliskie szerokosci zlokalizowa-nej funkcji własnej potencjału periodycznego (funkcji Wanniera). Ozna-czamy wiec V = V0 + η, gdzie η≪ V0.

Wartosc V0 jest taka, aby pierwszy i trzeci wyraz w równaniu (8.9) zno-siły sie (sa dwie takie wartosci V0, wybieramy mniejsza z nich, te którajest stabilna, por. §4.4.1). Z drugiego, nieliniowego wyrazu bierzemy je-dynie czesc oscylujaca (zakładamy, ze dwa nieoscylujace wyrazy liniowedominuja). W pierwszym rzedzie wzgledem η/V0 otrzymujemy równa-nie oscylatora harmonicznego z mała siła wymuszajaca

V = η ≈ −Ω20η+ γ cos(Ωt), (8.16)

88


gdzie Ω20 = 3/V4

0 + 4ε(1 − 2V20 ) exp(−V2

0 ) = (2/V20 )2 − 2/V2

0 oraz γ =

J3g1/(V20W

2). Rozwiazaniem równania (8.16) jest

η =γ

Ω20 −Ω2

cos(Ωt). (8.17)

Przepisujemy teraz równanie (8.8), zaniedbujac wyrazy wyzszego rzeduwzgledem η/V0

W =J1

W3+J2 (g0 + g1 cos(Ωt))

W3V0

(

1−η

V0

)

, (8.18)

i podstawiamy η z (8.17). W granicy adiabatycznej powtarzamy rozu-mowanie które doprowadziło do równania (8.13), otrzymujac równanieruchu czastki w efektywnym potencjale, zawierajace dodatkowy wyraz

Uef = −C

w2+F

w4+D

w6, (8.19)

gdzie F = J2J3g21/[

8V40 (Ω2 −Ω2

0)]

. Jezeli ostatni wyraz w (8.19) jest za-niedbywalny w porównaniu ze srodkowym (jest to prawda gdy Ω jestbliskie Ω0), to mozna znalezc inny warunek stabilnosci

w0 >

(

F

C

)1/2

. (8.20)

Daje on dolna granice górnego obszaru na rysunku 8.4 a). Scisle mówiac,wszystkie wyrazy w (8.19) powinny byc uwzglednione w obliczeniachwarunków stabilnosci. Jednak przyblizone wzory (8.14) i (8.20) okazujasie byc zaskakujaco dokładne w badanym zakresie parametrów.

Inna granice stabilnosci mozna znalezc rozwazajac rezonans z podwo-jona czestoscia siły wymuszajacej. W tym przypadku musimy uwzgled-nic wyzsze, anharmoniczne wyrazy w równaniu (8.16). W ponizszymprostym wyprowadzeniu dodamy tylko pierwszy z nich, proporcjonalnydo η2

η ≈ −Ω20η+ αη2 + γ cos(Ωt), (8.21)

gdzie α = 8V−50 − 2V−3

0 . Definiujemy Ω = 2Ω0 − ǫ. Liniowe rozwiazanierównania (8.21) ma postac

η(0) = −γ

3Ω20

cos[(2Ω0 − ǫ)t], (8.22)

89


a poprawka rzedu η(1), otrzymana po właczeniu wyrazu kwadratowego,spełnia równanie

η(1) +Ω20η

(1) = 2αη(0)η(1). (8.23)

Dla rozwiazania w postaci η(1) = b cos[(Ω0 − ǫ/2)t] dostajemy

−(Ω0 − ǫ/2)2 +Ω20 = −

αγ

3Ω20

. (8.24)

A wiec próg silnego rezonansu gdy czestosc wymuszajacaΩ zbliza sie do2Ω0 wynosi

ǫ = −αγ

3Ω30

> 0, (8.25)

gdzie zakładamy ze γ = J3g1/(V20w

2min) a minimalna szerokosc podczas

ewolucji to wmin = 4√

D/C. W rzeczywistosci wmin nie moze byc mniej-sze, poniewaz prowadziłoby to do niestabilnosci (por. równ. 8.14). Prosteprzekształcenia pokazuja, ze ǫ dazy do zera wraz zC kiedy g0f → gc ≈ 20iΩ→ 2Ω0 na rysunku 8.4 a).

Pełniejsza analiza zawierałaby wyraz proporcjonalny do η3 w równa-niu (8.21), a wynik zalezałby od b, amplitudy η(1). Jest to powodem, dlaktórego nasza wartosc ǫ (8.25) jest tylko wartoscia progowa. Pełna analizemozna znalezc np. w [71]. Otrzymalismy w ten sposób górna granice narysunku 8.4 a). Wyraz η3 powoduje ze rezonans o którym mowa pojawiasie powyzej tej linii.

Co ciekawe, niestabilnosc rozwazana w przypadku Q2D, zwiazana zzałamaniem sie przyblizenia adiabatycznego (8.15), jest silnie stłumionaw zakresie Ω0 < Ω < 2Ω0. Jest to spowodowane spłyceniem efek-tywnego potencjału (8.19) w wyniku działania dodatkowego wyrazu, izmniejszeniem sie wartosci współczynnika ξ podczas ewolucji.

90

9 Podsumowanie

Niniejsza praca zawiera wyniki badan nad wielowymiarowymi solito-nami w osrodkach optycznych oraz w kondensatach Bosego-Einsteina.Układy te opisywane sa równaniami wywodzacymi sie od nieliniowegorównania Schrödingera (NLS) – jednego z podstawowych nieliniowychrównan falowych. Mamy nadzieje, ze przedstawione rezultaty stanowiakrok na drodze do stworzenia trójwymiarowych solitonów (w optyce na-zywanych light bullets), a takze pozwalaja lepiej zrozumiec nature zjawisknieliniowych.

Jednowymiarowe swiatłowody z modulacja dyspersji (dispersion mana-gement) sa dobrze znane specjalistom zajmujacym sie optyka nieliniowa.Zaproponowalismy rozszerzenie tej idei na przypadek dwuwymiarowy,pokazujac, ze solitony moga wówczas istniec dzieki efektywnej separa-cji ewolucji w wymiarze czasowym i przestrzennym. Przeprowadzili-smy systematyczne badania, otrzymujac szeroki zakres parametrów, wjakich moga istniec tego typu solitony. Nasze badania rozszerzylismyrówniez na trójwymiarowe układy z modulacja dyspersji, w tym przy-padku okazało sie jednak, ze konieczne jest zastosowanie dodatkowegopotencjału stabilizujacego w postaci periodycznej zmiany współczynnikazałamania. We wszystkich przypadkach niezwykle pomocna okazała siemetoda wariacyjna, która jest jednym z podstawowych narzedzi pozwa-lajacych otrzymac przyblizone wyniki analityczne, dobrze przyblizajacerzeczywista ewolucje układów nieliniowych.

W trakcie naszych badan odkrylismy takze nowy stan oscylacyjny, którypolega na okresowym pekaniu impulsu i ponownym łaczeniu sie. Zain-spirowało nas to do zbadania tego zjawiska za pomoca hybrydowej me-tody wariacyjnej, która pozwala opisac dowolna zmiennosc funkcji w jed-nym wymiarze, zakładajac jednoczesnie, ze w drugim wymiarze funkcjama w przyblizeniu pewien zadany, np. gaussowski profil. Prowadzi to doznacznego uproszczenia postawionego problemu, ale pozostawia miejscedla opisu zjawisk takich jak pekanie impulsów. Otrzymalismy czesciowepotwierdzenie poprawnosci tej metody. W niektórych przypadkach ko-nieczne było rozwiazanie pełnego układu równan, jednak w wiekszosci

91

9 Podsumowanie

przypadków metoda hybrydowa dała poprawny wynik, a wiec moze bycona z powodzeniem stosowana do opisu skomplikowanych nieliniowychprocesów.

Nastepnie przedstawilismy wyniki badan teoretycznych i eksperymen-talnych nad zagadnieniem samopułapkowania swiatła w osrodkach o ujem-nej nieliniowosci. Nieliniowosc taka zwykle prowadzi do poszerzeniawiazki swiatła, jednak w obecnosci potencjału periodycznego moze skut-kowac zatrzymaniem dyfrakcji, a w konsekwencji powstaniem solitonu.Jest to zwiazane ze zmiana masy efektywnej na ujemna, co w jezyku optykinazywane jest anomalna dyfrakcja swiatła. Zademonstrowalismy teore-tycznie, ze dzieki temu jest mozliwa efektywna generacja solitonów wprzerwie energetycznej, poprzez wzbudzanie pojedynczej komórki po-tencjału periodycznego. Wyniki te zostały potwierdzone eksperymental-nie w układzie sprzezonych swiatłowodów w próbce niobianu litu.

Wyniki powyzszych badan posłuzyły za podstawe do opracowania no-wej metody generacji solitonów w kondensatach Bosego–Einsteina w siat-kach optycznych. Polega ona na spontanicznej kreacji solitonu w konden-sacie z odpychajacymi oddziaływaniami miedzyatomowymi, w procesierelaksacji nastepujacym po uwolnieniu chmury atomowej z pułapki har-monicznej. W porównaniu z dotychczas stosowanymi metodami, naszschemat pozwala uzyskac o wiele lepsza efektywnosc generacji, czyli sto-sunek liczby atomów w utworzonym solitonie do poczatkowej liczby ato-mów. Ponadto nasz układ został tak zaprojektowany, ze została wyelimi-nowana poprzeczna niestabilnosc, która w znacznym stopniu ograniczałaczas zycia solitonów w eksperymencie.

Ostatni rozdział zawiera opis nowej rodziny w pełni trójwymiarowychsolitonów w kondensacie Bosego–Einsteina. Stworzenie i ustabilizowanietakich solitonów wymaga uzycia kombinacji potencjału periodycznegow jednym kierunku, oraz szybkich modulacji oddziaływania miedzyato-mowego w czasie. Wskazalismy trzy rezimy w zaleznosci od głeboko-sci siatki. Pokazalismy, ze w dwóch z nich zachowanie układu nie mozebyc poprawnie opisane w przyblizeniu kwazi–dwuwymiarowym. Poja-wiaja sie przy tym solitony, których dynamika i mechanizm stabilizacjijest scisle zwiazany z dodatkowym, trzecim wymiarem. Przeprowadzili-smy gruntowna analize wariacyjna tego typu obiektów, otrzymujac bar-dzo dobra zgodnosc obszarów stabilnosci wyznaczonych analitycznie inumerycznie.

92

A Wyprowadzenie równa nwariacyjnych za pomocaprogramu Maple

Ponizej przedstawiono przykład kodu dla programu obliczen symbolicz-nych Maple, który słuzy do wyprowadzenia równan metody wariacyjnej.W tym przypadku jest to jednowymiarowe równanie NLS bez potencjału,z Ansatzem w postaci funkcji Gaussa (tak jak w §3.4).

> restart;> assume(W(z)>0,A0(z)>0,b(z),real,phi(z),real,x,real);> interface( showassumed=0 );> Lagrangian:=I/2*(diff(A(x,z),z)*‘A*‘(x,z)> -diff(‘A*‘(x,z),z)*A(x,z))-d*diff(A(x,z),x)*diff(‘A*‘(x,z),x)> +b/2*(A(x,z)*‘A*‘(x,z))^2;

Lagrangian :=1

2I (( ∂

∂zA(x, z)) A∗(x, z) − ( ∂

∂zA∗(x, z)) A(x, z))

− d ( ∂∂x

A(x, z)) ( ∂∂x

A∗(x, z)) +1

2bA(x, z)2 A∗(x, z)2

> SubL:=diff(A(x,z),z)=‘v,z‘,diff(A(x,z),x)=‘v,x‘,A(x,z)=v,> diff(‘A*‘(x,z),z)=‘v*,z‘,diff(‘A*‘(x,z),x)=‘v*,x‘,> ‘A*‘(x,z)=‘v*‘;> SubInvL:=seq(rhs(SubL[i])=lhs(SubL[i]),i=1..nops(SubL)):> L2:=subs(SubL,Lagrangian);> Euler_Lagrange_Equation:=subs(SubInvL,diff(L2,‘v*‘))> -diff(subs(SubInvL,diff(L2,‘v*,x‘)),x)> -diff(subs(SubInvL,diff(L2,‘v*,z‘)),z)=0;> Evolution_Equation:=expand(solve(Euler_Lagrange_Equation> ,diff(A(x,z),z)));

SubL := ∂∂z

A(x, z) = v, z, ∂∂x

A(x, z) = v, x, A(x, z) = v, ∂∂z

A∗(x, z) = v∗, z,∂∂x

A∗(x, z) = v∗, x, A∗(x, z) = v∗

93

A Wyprowadzenie równan wariacyjnych za pomoca programu Maple

L2 :=1

2I (v, z v∗ − v∗, zv) − d v, x v∗, x +

b v2 v∗2

2

Euler_Lagrange_Equation := ( ∂∂z

A(x, z)) I+ bA(x, z)2 A∗(x, z) + d ( ∂2

∂x2 A(x, z)) = 0

Evolution_Equation := ∂∂z

A(x, z) = bA(x, z)2 A∗(x, z) I+ d ( ∂2

∂x2 A(x, z)) I

> A(x,z):=A0(z)*exp(I*phi(z)-1/2*((x)/W(z))^2+I/2*b(z)*(x)^2);> ‘A*‘(x,z):=conjugate(A(x,z)):> Lagrangian_Ansatz:=expand(simplify(Lagrangian));

A(x, z) := A0(z) e(φ(z) I−1/2 x2

W(z)2+1/2I b(z) x2)

Lagrangian_Ansatz := −A0(z)2 ( d

dzφ(z))

e( x2

W(z)2)

−1

2

A0(z)2 ( ddz

b(z)) x2

e( x2

W(z)2)

−A0(z)2 dx2

e( x2

W(z)2)

W(z)4

−A0(z)2 dx2 b(z)2

e( x2

W(z)2)

+1

2

A0(z)4 b

(e( x2

W(z)2))2

> Lagranigian_Integrated:=int(Lagrangian_Ansatz,> x=-infinity..infinity);

Lagranigian_Integrated := −A0(z)2 ( ddzφ(z)) W(z)

√π−

1

4A0(z)2 ( d

dzb(z)) W(z)3

√π

−1

2

A0(z)2 d√π

W(z)−1

2A0(z)2 d b(z)2 W(z)3

√π+

1

4A0(z)4 b

√2W(z)

√π

> L[phi]:=simplify(subs(diff(phi(z),z)=‘v’‘,phi(z)=v,> Lagranigian_Integrated)/sqrt(Pi));> simplify(diff(L[phi],v)+Diff(-diff(L[phi],‘v’‘),z))=0;> EqP:=P=-simplify(diff(L[phi],‘v’‘));

Lφ :=1

4

A0(z)2 (−4 v′ W(z)2 − ( ddz

b(z)) W(z)4 − 2 d− 2 d b(z)2 W(z)4 + A0(z)2 b√2W(z)2)

W(z)

ddz

(A0(z)2 W(z)) = 0

EqP := P = A0(z)2 W(z)> SubAP:=solve( EqP, A0(z)^2 );> Lagranigian_Integrated2:=expand(subs(SubAP,> simplify(Lagranigian_Integrated/P/sqrt(Pi))));

SubAP := A0(z)2 =P

W(z)

94

Lagranigian_Integrated2 :=

−( ddzφ(z)) −

1

4W(z)2 ( d

dzb(z)) −

1

2

d

W(z)2−1

2W(z)2 d b(z)2 +

1

4

P b√2

W(z)> L[b]:=subs(diff(b(z),z)=‘v’‘,b(z)=v,Lagranigian_Integrated2);> Eqb:=subs(v=b(z),diff(L[b],v)-diff(diff(L[b],‘v’‘),z)=0);> Subb:=solve(Eqb,b(z));

Lb := −( ddzφ(z)) −

1

4v′ W(z)2 −

1

2

d

W(z)2−1

2W(z)2 d v2 +

1

4

P b√2

W(z)

Eqb := −W(z)2 d b(z) +1

2W(z) ( d

dzW(z)) = 0

Subb :=

b(z) =1

2

ddz

W(z)

W(z)d

> L[W]:=subs(diff(W(z),z)=‘v’‘,W(z)=v,Lagranigian_Integrated2);> EqW:=simplify(subs(v=W(z),Subb,diff(L[W],v)> -diff(diff(L[W],‘v’‘),z)=0));> Evolution_W:=expand(solve(expand(EqW),diff(W(z),z,z)))[1];

LW := −( ddzφ(z)) −

1

4v2 ( d

dzb(z)) −

d

2 v2−1

2v2 d b(z)2 +

P b√2

4 v

EqW := −1

4

W(z)3 ( d2

dz2 W(z)) − 4 d2 + P b√2W(z)d

W(z)3 d= 0

Evolution_W := d2

dz2 W(z) =4 d2

W(z)3−dP b

√2

W(z)2

> U(W):=-int(subs(W(z)=W,rhs(Evolution_W)),W);

U(W) :=2 d2

W2−dP b

√2

W> b:=1: P:=1: d:=1:> plot(U(W),W=1..20);

95

A Wyprowadzenie równan wariacyjnych za pomoca programu Maple

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

W

96

Bibliografia

[1] E. Infeld, G. Rowlands, Nonlinear Waves, Solitons and Chaos, Cam-bridge University Press, Cambridge, wydanie drugie, 2000.

[2] C. S. Gardner, J. M. Green, M. D. Kruskal, R. M. Miura, Phys. Rev. Lett.19, 1095 (1967).

[3] J. Pfeiffer, M. Schuster, A. A. Abdumalikov, Jr., A. V. Ustinov, Phys.Rev. Lett. 96, 034103 (2006).

[4] L. Bergé, Phys. Rep. 303, 259 (1998).

[5] V.E. Zakharov, A.N. Pushkarev, V.F. Shvetz, V.V. Yan’kov, JETP Lett.48, 83 (1988).

[6] D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo NaukowePWN, Warszawa, 2006.

[7] R.W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, New York, 1992.

[8] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Ga-ses, Cambridge University Press, Cambridge, 2002; F. Dalfovo,S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463(1999); A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001).

[9] R. Y. Chiao, E. Garmire, C. H. Townes, Phys. Rev. Lett. 13, 479 (1964).

[10] Yu.S. Kivshar, B. Luther-Davies, Phys. Rep. 298, 81 (1998).

[11] O. Morsch, M. Oberthaler, Rev. Mod. Phys. 78, 179 (2006).

[12] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, J. S. Aitchi-son, Phys. Rev. Lett. 81, 3383 (1998).

[13] D. N. Christodoulides, F. Lederer, Y. Silberberg, Nature 424, 817(2003).

[14] D. N. Christodoulides, R. I. Joseph, Opt. Lett. 13, 794 (1988).

[15] Yu. S. Kivshar, Opt. Lett. 18, 1147 (1993).

[16] K. Hayata, M. Koshiba, Phys. Rev. Lett. 71, 3275 (1993).

97

Bibliografia

[17] X. Liu, L. J. Qian, F. W. Wise, Phys. Rev. Lett. 82, 4631 (1999).

[18] I. Towers, B.A. Malomed, J. Opt. Soc. Am. B 19, 537 (2002).

[19] D. E. Edmundson, R. H. Enns, Opt. Lett. 17, 586 (1992).

[20] B. A. Malomed, D. Mihalache, F. Wise, L. Torner, J. Opt. B: Quant.Semicl. Opt. 7, R53 (2005).

[21] Y. Silberberg, Opt. Lett. 15, 1282 (1990).

[22] J. H. B. Nijhof, N. J. Doran, W. Forysiak, F. M. Knox, Electron. Lett. 331726 (1997).

[23] B. A. Malomed, Progr. Optics 43, 71 (2002).

[24] M. Matuszewski, M. Trippenbach, B. A. Malomed, E. Infeld, A. A.Skorupski, Phys. Rev. E 70, 016603 (2004).

[25] B. B. Baizakov, B. A. Malomed, M. Salerno, Phys. Rev. A 70, 053613(2003).

[26] M. Trippenbach, M. Matuszewski, B. A. Malomed, Europhys. Lett. 70,8 (2005).

[27] B. B. Baizakov, M. Salerno, B. A. Malomed, w: Nonlinear Waves: Clas-sical and Quantum Aspects, red. F. Kh. Abdullaev i V. V. Konotop,Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, 2004.

[28] A. Berntson, N.J. Doran, W. Forysiak, J.H.B. Nijhof, Opt. Lett. 23, 900(1998).

[29] M. Desaix, D. Anderson, M. Lisak, J. Opt. Soc. Am. B 8, 2082 (1991).

[30] M. Matuszewski, E. Infeld, B. A. Malomed, M Trippenbach, Opt.Commun. 259, 49 (2006).

[31] M. Edwards, L. M. DeBeer, M. Demenikov, J. Galbreath, T. J. Maha-ney, B. Nelsen, C. W. Clark, J. Phys. B 38, 363 (2005).

[32] E. Infeld, M. Matuszewski, M. Trippenbach, J. Phys. B 39, L113 (2006);E. Infeld, M. Matuszewski, C. Shino, M. Trippenbach, Opt. Appl.,przyjety do druku (2007).

[33] L. Salasnich, A. Parola, L. Reatto, Phys. Rev. A 65, 043614 (2002); L.Salasnich, A. Parola, L. Reatto, Phys. Rev. A 66, 043603 (2002); L.Salasnich, A. Parola, L. Reatto, J. Phys. B 35, 3205 (2002); L. Sala-snich, Int. J. Mod. Phys. B 14, 1 (2000).

[34] M. Massignan, M. Modugno, Phys. Rev. A 67, 023614 (2003).

98

Bibliografia

[35] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, J. S. Aitchison, Phys.Rev. Lett. 85, 1863 (2000).

[36] R. Morandotti, H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, M. Sorel, J. S. Aitchison,Phys. Rev. Lett. 86, 3296 (2001).

[37] M. Matuszewski, C. R. Rosberg, D. N. Neshev, A. A. Sukhorukov,A. Mitchell, M. Trippenbach, M W. Austin, W. Królikowski, Y. S.Kivshar, Opt. Express 14, 254 (2006).

[38] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, J. S. Aitchi-son, Phys. Rev. Lett. 81, 3383 (1998).

[39] R. Iwanow, R. Schiek, G. I. Stegeman, T. Pertsch, F. Lederer, Y. Min,W. Sohler, Phys. Rev. Lett. 93, 113902 (2004).

[40] F. Chen, M. Stepic, C. E. Ruter, D. Runde, D. Kip, V. Shandarov, O.Manela, M. Segev, Opt. Express 13, 4314 (2005),

[41] A. Fratalocchi, G. Assanto, K. A. Brzdakiewicz, M. A. Karpierz, Opt.Lett. 29, 1530 (2004).

[42] J. W. Fleischer, T. Carmon, M. Segev, N. K. Efremidis, D. N. Christo-doulides, Phys. Rev. Lett. 90, 023902 (2003).

[43] J.W. Fleischer, M. Segev, N. K. Efremidis, D. N. Christodoulides, Na-ture 422, 147 (2003).

[44] D. Neshev, E. Ostrovskaya, Y. Kivshar, W. Krolikowski, Opt. Lett. 28,710 (2003).

[45] H. Martin, E. D. Eugenieva, Z. G. Chen, D. N. Christodoulides, Phys.Rev. Lett. 92, 123902 (2004).

[46] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart AndWinston, New York, 1976.

[47] G. L. Alfimov, P. G. Kevrekidis, V. V. Konotop, M. Salerno, Phys. Rev.E 66, 46608 (2002).

[48] Yu. S. Kivshar, G. P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to PhotonicCrystals, Academic Press, San Diego, 2003.

[49] A. A. Sukhorukov, D. Neshev, W. Krolikowski, Yu. S. Kivshar, Phys.Rev. Lett. 92, 093901 (2004).

[50] D. Neshev, A.A. Sukhorukov, B. Hanna, W. Krolikowski, Yu.S. Ki-vshar, Phys. Rev. Lett. 93, 083905 (2004).

99

Bibliografia

[51] E. Smirnov, C. E. Ruter, M. Stepic, V. Shandarov, D. Kip, Opt. Express14, 11248 (2006).

[52] M. Trippenbach, E. Infeld, Postepy Fizyki (w druku).

[53] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, Phys. Rev.Lett. 83, 5198 (1999); J. Denschlag, J. E. Simsarian, D. L. Feder, C.W. Clark, L. A. Collins, J. Cubizolles, L. Deng, E. W. Hagley, K.Helmerson, W. P. Reinhardt, S. L. Rolston, B. I. Schneider, W. D.Phillips, Science 287, 97 (2000).

[54] L. Khaykovich, F. Scherck, G. Ferrari, T. Bourdel, J.Cubizolles, L. D.Carr, Y. Castin, C. Salomon, Science 296, 1290 (2002);

[55] K. E. Strecker, G. B. Partridge, A. G. Truscott, R. G. Hulet, Nature 417,153 (2002).

[56] B. Eiermann, Th. Anker, M. Albiez, M. Taglieber, P. Treutlein, K.-P.Marzlin, M. K. Oberthaler, Phys. Rev. Lett. 92, 230401 (2004).

[57] M. Matuszewski, W. Królikowski, M. Trippenbach, Y. S. Kivshar,Phys. Rev. A 73, 063621 (2006).

[58] A. Görlitz, J.M.Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman, T. L. Gustavson, J.R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, S. Gupta, S. Inouye, T. Rosenband,W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001).

[59] K.M. Hilligsøe, M.K. Oberthaler, K.-P. Marzlin, Phys. Rev. A 66,063605 (2002).

[60] P.J.Y. Louis, E.A. Ostrovskaya, C.M. Savage, Yu.S. Kivshar, Phys. Rev.A 67, 013602 (2003); N.K. Efremidis D.N. Christodoulides, Phys.Rev. A 67, 063608 (2003).

[61] V. Ahufinger, A. Sanpera, P. Pedri, L. Santos, M. Lewenstein, Phys.Rev. A 69, 053604 (2004); B.J. Dabrowska, E.A. Ostrovskaya, Y.S.Kivshar, J. Opt. B 6, 423 (2004).

[62] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, W. Ketterle, Nature 392, 151 (1998); E. A. Donley, N. R.Claussen, S. L. Cornish, J. L. Roberts, E. A. Cornell, C. E. Wieman,Nature 412, 295 (2001); H. Saito M. Ueda, Phys. Rev. A 65, 033624(2002); P. O. Fedichev, Yu. Kagan, G. V. Shlyapnikov, J. T. M. Wal-raven, Phys. Rev. Lett. 77, 2913 (1996); M. Theis, G. Thalhammer,K. Winkler, M. Hellwig, G. Ruff, R. Grimm, J.H. Denschlag, Phys.Rev. Lett. 93, 123001 (2004).

100

Bibliografia

[63] P. G. Kevrekidis, G. Theocharis, D. J. Frantzeskakis, B. A. Malomed,Phys. Rev. Lett. 90, 230401 (2003).

[64] H. Saito, M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 90, 040403 (2003).

[65] F. Abdullaev, J. G. Caputo, R. A. Kraenkel, B. A. Malomed, Phys. Rev.A 67, 013605 (2003).

[66] G. D. Montesinos, V. M. Perez-Garcia, P. J. Torres, Physica D 191, 193(2004).

[67] M. Matuszewski, E. Infeld, B. A. Malomed, M. Trippenbach, Phys.Rev. Lett. 95, 050403 (2005); M. Matuszewski, E. Infeld, G. Row-lands, M. Trippenbach, Proc. R. Soc. A 461, 3561 (2005).

[68] H. Stecher, H. Ritsch, P. Zoller, F. Sander, T. Esslinger, T. W. Hansch,Phys. Rev. A 55, 545 (1997).

[69] F. Kh. Abdullaev, B. B. Baizakov, M. Salerno, Phys. Rev. E 68 066605(2003).

[70] F. Kh. Abdullaev, J. G. Caputo, R. A. Kraenkel, B.A. Malomed, Phys.Rev. A 67, 013605 (2003).

[71] L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Mechanika, rozdz. 5., Wydawnictwo na-ukowe PWN, wydanie czwarte, 2006.

101

Poszukiwanie wielowymiarowych solitonów optycznych przy użyciu ...

Documents

Transcript of Poszukiwanie wielowymiarowych solitonów optycznych przy użyciu ...