Michał Lisowski

Pomiary rezystywności i przenikalności elektrycznej

dielektryków stałych

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Wrocław 2004

Publikacja dotowana przez Komitet Badań Naukowych i Dziekana Wydziału Elektrycznego Politechniki Wrocławskiej

Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr 8T10A0521 finansowanego przez Komitet Badań Naukowych w latach 2001–2003

Recenzenci Józef KĘDZIA

Brunon SZADKOWSKI

Opracowanie redakcyjne i korekta Ewa SOBESTO

Projekt okładki Zofia i Dariusz GODLEWSCY

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2004

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

ISBN 83-7085-800-7

Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wrocławskiej. Zam. nr 516/2004.

Spis treści

Przedmowa ......................................................................................................................................... 7 1. Wstęp ........................................................................................................................................... 9 2. Dielektryk w stałym polu elektrycznym ....................................................................................... 13 2.1. Polaryzacja dielektryczna .................................................................................................... 13 2.2. Energetyczny model przewodnictwa dielektryków ............................................................. 18 2.3. Prądy w dielektryku ............................................................................................................ 20 2.4. Elektryzacja dielektryków ................................................................................................... 25 Literatura ............................................................................................................................................ 28 3. Dielektryk w przemiennym polu elektrycznym ............................................................................ 31 Literatura ............................................................................................................................................ 36 4. Próbki badanych materiałów i elektrody ...................................................................................... 37 4.1. Przygotowanie próbek do badań ......................................................................................... 38 4.1.1. Pobieranie próbek ...................................................................................................... 38 4.1.2. Warunki kondycjonowania i badania ........................................................................ 39 4.2. Elektrody ............................................................................................................................. 40 4.2.1. Kontakt elektrody z dielektrykiem ............................................................................ 40 4.2.2. Materiały elektrod ..................................................................................................... 41 4.2.3. Geometria próbek i elektrod ...................................................................................... 44 4.2.4. Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej ....................................................... 48 Literatura ............................................................................................................................................ 52 5. Pomiary rezystywności skrośnej .................................................................................................. 53 5.1. Pomiar rezystancji skrośnej ................................................................................................. 55 5.1.1. Wpływ rezystancji izolacji ........................................................................................ 56 5.2. Wpływ czasu pomiaru ......................................................................................................... 57 5.3. Wpływ naelektryzowania próbki ......................................................................................... 59 5.4. Metoda Badiana .................................................................................................................. 63 5.5. Metoda zmiennej polaryzacji .............................................................................................. 64 5.6. Metoda zmiennej polaryzacji zaproponowana przez autora ................................................ 66 5.7. Wpływ temperatury i wilgotności ....................................................................................... 67 5.8. Wpływ elektrod ................................................................................................................... 69 5.9. Redukcja zakłóceń .............................................................................................................. 69 5.10. Rezystywność skrośna próbek cylindrycznych ................................................................... 71 5.11. Metoda wyznaczania rezystywności skrośnej ze stałej czasowej ........................................ 72 Literatura ............................................................................................................................................ 74 6. Pomiary rezystywności powierzchniowej .................................................................................... 74 6.1. Pomiary rezystancji powierzchniowej ................................................................................. 78 6.1.1. Wpływ rezystancji skrośnej ....................................................................................... 79

4

6.1.2. Wpływ rezystancji izolacji ........................................................................................ 79 6.2. Rezystywność powierzchniowa mierzona w układzie koncentrycznych elektrod pierście-

niowych ............................................................................................................................... 80 6.3. Wpływ czasu pomiaru ......................................................................................................... 83 6.4. Wpływ naelektryzowania powierzchni próbki .................................................................... 83 6.5. Metoda zmiennej polaryzacji .............................................................................................. 83 6.6. Wpływ elektrod ................................................................................................................... 84 6.7. Wpływ rezystancji izolacji dystansowej między elektrodami ............................................. 85 6.8. Wpływ stanu powierzchni próbki ........................................................................................ 87 6.9. Wpływ temperatury i wilgotności ....................................................................................... 88 6.10. Redukcja zakłóceń .............................................................................................................. 89 Literatura ............................................................................................................................................ 89 7. Metody i układy pomiarowe dużych rezystancji .......................................................................... 91 7.1. Metody bezpośrednie .......................................................................................................... 91 7.2. Metoda galwanometryczna ................................................................................................. 92 7.3. Metody elektrometryczne .................................................................................................... 96 7.4. Metody mostkowe ............................................................................................................... 101 7.5. Metody pomiaru rezystancji przez porównanie z pojemnością kondensatora ..................... 104 Literatura ............................................................................................................................................ 109 8. Pomiary przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych ............................... 111 8.1. Obliczanie pojemności geometrycznej Co i pojemności brzegowych ................................. 112 8.2. Minimalizacja wpływu pojemności rozproszenia ............................................................... 115 8.3. Pomiary przenikalności elektrycznej przy użyciu kondensatora mikrometrycznego .......... 117 8.3.1. Dostrojenie układu przez zmianę odległości elektrod ............................................... 118 8.3.2. Dostrojenie układu przez dodanie pojemności kondensatora inkrementowego ........ 119 8.3.3. Dostrojenie układu przez dodanie pojemności kondensatora zewnętrznego .............. 119 8.4. Pomiary przenikalności elektrycznej przy użyciu elektrod bezstykowych .......................... 120 8.4.1. Pomiary w powietrzu ................................................................................................ 120 8.4.2. Pomiary w cieczy ...................................................................................................... 121 8.5. Metoda dwóch cieczy .......................................................................................................... 122 Literatura ............................................................................................................................................ 122 9. Metody i układy pomiarowe przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycz-

nych ....................................................................................................................................... 125 9.1. Pomiary w zakresie bardzo małych częstotliwości ............................................................. 125 9.1.1. Metoda stałoprądowa czasowej odpowiedzi ............................................................. 125 9.1.2. Metoda zmiennoprądowa rejestracji wartości chwilowych ....................................... 128 9.1.3. Metody mostkowe ..................................................................................................... 129 9.2. Pomiary w zakresie częstotliwości akustycznych ............................................................... 131 9.2.1. Mostki czteroramienne bierne ................................................................................... 131 9.2.2. Mostki transformatorowe .......................................................................................... 140 9.2.3. Metody napięciowo-prądowe pomiaru impedancji ................................................... 146 9.3. Pomiary w zakresie częstotliwości radiowych .................................................................... 149 9.3.1. Metoda dostrojenia obwodu do rezonansu ................................................................ 150 9.3.2. Metoda rozstrojenia obwodu ..................................................................................... 151 9.3.3. Pomiar miernikiem dobroci ....................................................................................... 152 9.4. Pomiary w zakresie częstotliwości mikrofalowych ............................................................. 153 Literatura ............................................................................................................................................ 154 10. Niepewność wyników pomiarów ................................................................................................. 157

5

10.1. Rozważania ogólne ............................................................................................................. 157 10.1.1. Przyczyny niepewności pomiarów .......................................................................... 159 10.1.2. Niepewność standardowa typu A ............................................................................ 160 10.1.3. Niepewność standardowa typu B ............................................................................ 161 10.1.4. Określenia złożonej niepewności standardowej ...................................................... 162 10.1.5. Niepewność rozszerzona ......................................................................................... 162 10.1.6. Niepewność rozszerzona typu A ............................................................................. 166 10.1.7. Niepewność rozszerzona typu B ............................................................................. 167 10.1.8. Niepewność średniej ważonej ................................................................................. 167 10.1.9. Niepewność wartości średniej w badaniach materiałowych .................................... 168 10.1.10.Niepewność względna ............................................................................................ 169 10.1.11.Bilans niepewności ................................................................................................. 170 10.2. Niepewność wyników pomiarów rezystywności skrośnej dla próbek płaskich z koncen-

trycznymi elektrodami okrągłymi obliczana metodą klasyczną .......................................... 171 10.2.1. Niepewność pomiaru grubości próbki ..................................................................... 174 10.2.2. Niepewność pomiaru średnicy elektrody pomiarowej ............................................. 176 10.2.3. Niepewność pomiaru szerokości szczeliny ............................................................. 177 10.2.4. Niepewność pomiaru rezystancji skrośnej ............................................................... 178 10.2.5. Niepewność poprawki temperaturowej rezystywności skrośnej .............................. 180 10.2.6. Niepewność poprawki wilgotnościowej rezystywności skrośnej ............................ 181 10.2.7. Bilans niepewność standardowej złożonej rezystywności skrośnej ......................... 182 10.2.8. Przykład 1: pomiary rezystywności skrośnej PTFE ................................................ 184 10.2.9. Przykład 2: pomiary rezystywności skrośnej poliamidu ......................................... 192 10.3. Niepewność wyników pomiarów rezystywności skrośnej dla próbek płaskich z elektro-

dami okrągłymi obliczana metodą uproszczoną .................................................................. 197 10.3.1. Niepewność pomiaru grubości próbki ..................................................................... 198 10.3.2. Niepewność pomiaru średnicy elektrody pomiarowej ............................................. 198 10.3.3. Niepewność pomiaru szerokości szczeliny ............................................................. 199 10.3.4. Niepewność pomiaru rezystancji skrośnej ............................................................... 199 10.3.5. Niepewność poprawki temperaturowej rezystywności skrośnej .............................. 200 10.3.6. Niepewność poprawki wilgotnościowej rezystywności skrośnej ............................ 200 10.3.7. Bilans niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbek płaskich .................. 201 10.3.8. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej poliamidu ............................................ 203 10.4. Niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych obliczana metodą

klasyczną ............................................................................................................................. 204 10.4.1. Bilans niepewności standardowych ......................................................................... 207 10.4.2. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej polietylenowej koszulki termokurczliwej 209 10.5. Niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych obliczana metodą

uproszczoną ......................................................................................................................... 211 10.5.1. Bilans niepewności .................................................................................................. 211 10.5.2. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej polietylenowej koszulki termokurczliwej . 213 10.6. Niepewność pomiarów rezystywności powierzchniowej próbek płaskich z koncentrycz-

nymi elektrodami pierścieniowymi obliczana metodą klasyczną ........................................ 214 10.6.1. Bilans niepewności standardowych ......................................................................... 216 10.6.2. Przykład: rezystywność powierzchniowa PTFE ...................................................... 217 10.6.3. Przykład: rezystywność powierzchniowa poliamidu ............................................... 221 10.7. Niepewność pomiarów rezystywności powierzchniowej płaskich próbek z koncentrycz-

nymi elektrodami pierścieniowymi obliczana metodą uproszczoną .................................... 222

6

10.7.1. Bilans niepewności ................................................................................................ 223 10.7.2. Przykład: rezystywność powierzchniowa poliamidu ............................................. 224 10.8. Niepewność pomiarów względnej przenikalności elektrycznej próbek płaskich obliczana

metodą klasyczną .............................................................................................................. 224 10.8.1. Niepewność poprawki temperaturowej względnej przenikalności elektrycznej .... 228 10.8.2. Niepewność poprawki wilgotnościowej względnej przenikalności elektrycznej ... 229 10.8.3. Bilans niepewności standardowej złożonej względnej przenikalności elektrycz-

nej dla próbek płaskich ......................................................................................... 229 10.8.4. Przykład: pomiary względnej przenikalności elektrycznej poliamidu ................... 231 10.9. Niepewność pomiarów przenikalności elektrycznej obliczana metodą uproszczoną ........ 233 10.9.1. Przykład: pomiary względnej przenikalności elektrycznej poliamidu ................... 233 10.10. Niepewność pomiarów współczynnika strat dielektrycznych 235 10.11. Podsumowanie .................................................................................................................. 237 Literatura ............................................................................................................................................ 238

Przedmowa

Autor jest doktorem habilitowanym zatrudnionym w Instytucie Podstaw Elektro-techniki i Elektrotechnologii Politechniki Wrocławskiej na stanowisku profesora nad-zwyczajnego. W latach 2001–2003 kierował pracami zespołu badawczego realizującego projekt badawczy pod tytułem Badania czynników wpływających na wiarygodność i niepewność wyników pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej materiałów dielektrycznych w Oddziale Technologii i Materiałoznawstwa Elektrotechnicznego In-stytutu Elektrotechniki we Wrocławiu. Wyniki tych oraz innych badań prowadzonych przez autora nad pomiarami przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielek-trycznych były podstawą opracowania tej monografii. Wieloletnie doświadczenie nabyte przez autora podczas licznych prac badawczych wykonywanych na potrzeby przemysłu materiałów elektrotechnicznych w akredytowanym laboratorium badawczym Oddziału Technologii i Materiałoznawstwa Elektrotechnicznego Instytutu Elektrotechniki ułatwi-ło napisanie tej monografii. Bardzo pomocne okazało się też wykształcenie metrolo-giczne autora i jego wieloletnie doświadczenie w zakresie pomiarów elektrycznych.

Podczas opracowywania tej monografii autor korzystał również z wiedzy, do-świadczenia i pomocy kierowanego przez niego zespołu badawczego. Autor serdecz-nie dziękuje dr. inż. Ryszardowi Kacprzykowi za dyskusje i cenne uwagi, mgr. inż. Pawłowi Gałęzkiemu – za wykonanie rysunków i prace redakcyjne, a mgr. inż. Marii Adamowskiej – za trud włożony w korektę tekstu. Autor składa gorące podziękowania prof. dr. hab. inż. Józefowi Kędzi i prof. dr. hab. inż. Brunonowi Szadkowskiemu za wnikliwe i szczegółowe recenzje oraz cenne uwagi, które były bardzo pomocne w ostatecznym zredagowaniu tej książki.

Książka ta jest przeznaczona dla kadry inżynierskiej zatrudnionej w laboratoriach badawczych i zakładach przemysłowych materiałów elektrotechnicznych oraz dla studentów wyższych lat wydziałów elektrycznych i inżynierii materiałowej, specjali-zujących się w zakresie technologii i diagnostyki materiałów elektrotechnicznych, a także metrologii elektrycznej.

1. Wstęp

Dielektryki stałe są bardzo ważną grupą materiałów elektrotechnicznych. Sto-suje się je jako materiały izolacyjne w urządzeniach elektrycznych i elektronicz-nych, aby odizolować poszczególne części i przewody od siebie oraz od obudowy. Są one elementami montażowymi i nośnymi poddawanymi naprężeniom mecha-nicznym, zmianom temperatury i różnym oddziaływaniom środowiska. Powinny zatem spełniać określone wymagania elektryczne, mechaniczne, cieplne i mieć odpowiednią odporność na działanie środowiska. Najważniejszymi parametrami elektrycznymi dielektryków są: rezystywność skrośna i powierzchniowa, przeni-kalność elektryczna i współczynnik strat dielektrycznych, wytrzymałość elek-tryczna, odporność na działanie łuku elektrycznego i powierzchniowych prądów pełzających oraz odporność na wyładowania niezupełne, a także podatność na elektryzację.

Rezystywność skrośna i powierzchniowa oraz przenikalność elektryczna i współczynnik strat dielektrycznych stanowią podstawowe parametry materiałów dielektrycznych niezbędne w ocenie ich przydatności do zastosowań technicznych. Aby je zmierzyć, próbkę dielektryka umieszcza się między okładkami kondensato-ra i dokonuje pomiaru jej rezystancji lub pojemności elektrycznej. Wartości rezy-stywności i przenikalności elektrycznej oblicza się na podstawie wyników pomia-rów rezystancji i pojemności oraz wymiarów geometrycznych elektrod i badanej próbki. Określenie wymiarów geometrycznych na ogół nie stwarza większych problemów. Poważne problemy natomiast mogą pojawić się podczas pomiarów rezystancji i pojemności elektrycznej, gdyż rezystancja próbki dielektryka jest bardzo duża, a pojemność bardzo mała. Wartości prądów przepływających przez badaną próbkę są porównywalne z wartościami prądów pasożytniczych sprzężeń galwanicznych i pojemnościowych. Stąd też wyniki pomiarów mogą być obarczo-ne bardzo dużymi błędami.

Czynniki wpływające na dokładność pomiarów rezystywności i przenikalności elektrycznej dielektryków można podzielić na dwie grupy:

• czynniki związane z badanym obiektem, • czynniki metrologiczne związane ze stosowaną metodą i aparaturą pomiarową.

10

Wśród czynników związanych z badanym obiektem można wyróżnić: • czynniki wpływające na właściwości materiału w objętości próbki, tj.: struktura

materiału, ciśnienie (nacisk elektrod), temperatura, wilgotność, rodzaj i intensywność promieniowania oraz wpływ pola elektrycznego w postaci efektów nieliniowych,

• czynniki wpływające na właściwości obszarów przyelektrodowych, tj. rodzaj elek-trod i sposób ich nanoszenia, stan powierzchni dielektryka przed naniesieniem elektrod, szeroko pojęte zjawiska elektrodowe rozumiane jako mechanizmy determinujące trans-port nośników ładunku przez interfazę dielektryk–elektroda oraz tworzenie się specy-ficznego rozkładu ładunku przestrzennego w obszarze przyelektrodowym,

• czynniki związane z występowaniem procesów przejściowych określonych przez polaryzację wolnorelaksacyjną, ewolucję ładunku przestrzennego oraz przez inne procesy fizyczne (elektrooczyszczanie, starzenie), zwykle zależne od wartości pola elektrycznego i czasu jego przyłożenia.

Wśród czynników metrologicznych należałoby wymienić: rodzaj stosowanej me-tody pomiarowej oraz aparatury, szumy i zakłócenia, prądy pasożytnicze i upływu, pojemności pasożytnicze, a także warunki pomiaru (napięcie, czas polaryzacji, po którym odczytuje się wynik, częstotliwość, temperatura, wilgotność).

Zminimalizowanie wpływu tych czynników na wyniki pomiarów jest bardzo trud-ne. Wymaga dużej wiedzy zarówno o technice pomiarów wielkości ekstremalnych, jak i o badanym obiekcie.

Monografia, łącznie ze wstępem, składa się z 10. rozdziałów. W rozdziale 2. omówiono zachowanie się dielektryka w stałym polu elektrycznym: polaryzację die-lektryczną, przewodnictwo dielektryków (ze szczególnym uwzględnieniem prądów przewodnictwa, absorpcji i resorpcji), modele zastępcze kondensatora ze stratami w dielektryku oraz elektryzację dielektryków i jej wpływ na zmianę charakterystyki czasowej prądu absorpcji.

W rozdziale 3. opisano zachowanie się dielektryka w przemiennym polu elek-trycznym. Przedstawiono model równoległy i szeregowy kondensatora zawierającego miedzy elektrodami dielektryk rzeczywisty (stratny).

W rozdziale 4. scharakteryzowano strukturę materiałów dielektrycznych i jej wpływ na wyniki pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej oraz przeni-kalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych. Omówiono przygotowa-nie próbek do badań oraz warunki środowiskowe ich kondycjonowania i badania. Szczegółowo przeanalizowano wpływ rodzaju materiału i sposobu nanoszenia elek-trod na wyniki pomiarów. Omówiono zjawiska kontaktu elektrody z dielektrykiem, scharakteryzowano materiały stosowane na elektrody oraz ich wpływ na wyniki po-miarów rezystywności i przenikalności elektrycznej. Opisano geometrię stosowanych elektrod, zmianę efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej na skutek niejedno-rodności pola elektrycznego w szczelinie między elektrodą pomiarową a ochronną. Do wzorów określających efektywną powierzchnię elektrody pomiarowej wprowadzono współczynnik B, który jest funkcją stosunku szerokości szczeliny do grubości próbki.

11

W rozdziale 5. omówiono szczegółowo pomiary rezystywności skrośnej i dokona-no analizy czynników wpływających na wyniki pomiarów. Scharakteryzowano po-miary ustalonej rezystywności skrośnej metodą Badiana. Zanalizowano pomiary rezy-stywności metodą zmiennej polaryzacji zaproponowaną przez firmę Keithley. Stwierdzono, że metoda ta daje błędne wyniki. Zaproponowano więc nową metodę zmiennej polaryzacji z rozładowywaniem próbki przed każdym krokiem pomiaro-wym. Metoda ta – jak wykazano – umożliwia uzyskanie poprawnych wyników po-miarów. Przedstawiono wyniki badań wpływu elektrod na błąd pomiaru rezystywno-ści skrośnej. Podano sposoby redukcji zakłóceń.

W rozdziale 6. szczegółowo omówiono pomiary rezystywności powierzchniowej. Scharakteryzowano czynniki wpływające na niedokładność pomiarów. Przedstawiono rozwiązanie konstrukcyjne zestawu elektrod pokrytych gumą przewodzącą. Zwrócono uwagę na wpływ stanu powierzchni próbki na wyniki pomiarów rezystywności po-wierzchniowej.

W rozdziale 7. opisano metody i układy do pomiaru dużych rezystancji i ich wła-ściwości. Scharakteryzowano metody bezpośrednie i porównawcze.

W rozdziale 8. szczegółowo omówiono pomiary przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych. Podano wzory pozwalające obliczać pojemność geometryczną i brzegową. Opisano minimalizację pojemności rozproszenia. Podano sposoby pomiarów przenikalności elektrycznej z użyciem kondensatora mikrome-trycznego i elektrod bezstykowych.

W rozdziale 9. przedstawiono metody i układy do pomiaru przenikalności elek-trycznej i współczynnika strat dielektrycznych w szerokim zakresie częstotliwości – od bardzo małych, poniżej 0,01 Hz, do bardzo dużych, powyżej 100 MHz.

Rozdział 10. poświęcono niepewności pomiarów: rezystywności skrośnej i po-wierzchniowej, przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych. Przedstawiono ogólne zasady obliczania niepewności pomiarów i opisano dwie meto-dy szacowania niepewności: klasyczną i uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95.

2. Dielektryk w stałym polu elektrycznym

2.1. Polaryzacja dielektryczna

Umieszczenie dielektryka między elektrodami kondensatora próżniowego, pod-łączonego do źródła napięcia stałego U, powoduje jego polaryzację. Na powierzchni dielektryka pojawiają się ładunki elektryczne, które wytwarzają pole o kierunku przeciwnym do kierunku pola wywołującego polaryzację (rys. 2.1.1) [1, 4, 11, 13, 20, 23]. Dzięki temu przez obwód zaczyna przepływać prąd elektryczny, który jest sumą dwóch składowych, jednej zanikającej, osiągającej z czasem zero, i drugiej nie-zależnej od czasu. Pierwsza zanikająca składowa jest związana z polaryzowaniem się dielektryka, a druga – z jego przewodnictwem elektrycznym. Pojawienie się składo-wej zanikającej przepływu prądu oznacza, że początkowo zgromadzony na okładkach kondensatora próżniowego ładunek Qo zwiększył się po wypełnieniu go dielektrykiem do wartości Q. Wzrosła również pojemność kondensatora z wartości Co do wartości Cx, która wynosi:

++++++++

--------

+Q0 –Q0C0++++++++

--------

+Q –QCx

UU

++++++++

--------

a) b)

Rys. 2.1.1. Kondensator próżniowy (a) oraz wypełniony dielektrykiem (b) podłączony do źródła napięcia stałego

14

orx CC ε= , (2.1.1)

gdzie εr jest względną przenikalnością elektryczną. Ładunek między okładkami kondensatora próżniowego ma wartość

oo UCQ = , (2.1.2)

a po wypełnieniu tego kondensatora dielektrykiem zwiększa się do wartości Q

orx CUUCQ ε== . (2.1.3)

Z równań (2.1.2) i (2.1.3) wynika, że tylko ładunek Qo, który jest częścią ładunku Q i nosi nazwę ładunku swobodnego, wynosi:

r

oQQε

= . (2.1.4)

Pozostała część ładunku, nazywana ładunkiem związanym, zneutralizowana przez ładunki polaryzacyjne, jest równa:

( ) oro QQQ 1−=− ε . (2.1.5)

W całej objętości dielektryka indukują się długie łańcuchy uporządkowanych di-poli elektrycznych łączących jego powierzchnie przy elektrodach (rys. 2.1.2).

++++++

------

- + - + - +

- + - + - +

- + - + - +

- + - + - +

U

Q Q – Q0

Rys. 2.1.2. Polaryzacja dielektryka

Dipol jest to układ dwóch punktowych ładunków elektrycznych Q równych co do wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku, znajdujących się w odległości l (rys. 2.1.3).

15

µ–Q +Q

l

Rys. 2.1.3. Dipol elektryczny

Moment elektryczny dipola

lQ ⋅=µ (2.1.6)

jest wielkością wektorową o zwrocie od ładunku ujemnego do ładunku dodatniego (rys. 2.1.3).

Aby uniezależnić się od wymiarów kondensatora, w miejsce ładunków Q i Qo wprowadza się ich gęstości powierzchniowe oznaczone odpowiednio przez σ oraz σo:

SQ

=σ , S

Qoo =σ , (2.1.7)

S jest powierzchnią elektrod kondensatora. Gęstości σ ładunku całkowitego przyporządkowany jest wektor przesunięcia die-

lektrycznego D, czyli indukcji elektrycznej:

σ=nD , (2.1.8)

gdzie n oznacza wektor jednostkowy normalny do powierzchni elektrody skierowany w głąb dielektryka.

Gęstości σo ładunku swobodnego przyporządkowany jest wektor natężenia pola elektrycznego E:

ooE σε =n , (2.1.9)

a gęstości ładunku związanego – wektor polaryzacji P:

oP σσ −=n . (2.1.10)

Z powyższych równań otrzymuje się podstawowe związki między przesunięciem D, natężeniem pola elektrycznego E i polaryzacją dielektryka P:

EEEPD oro εεεε ==+= , (2.1.11)

( ) EEP oor χεεε =−= 1 , (2.1.12)

16

gdzie: εo – przenikalność elektryczna próżni, εo = 8,854×10–12 F/m, ε = εrεo – bezwzględna przenikalność elektryczna (F/m), χ – podatność elektryczna dielektryka.

Między podatnością elektryczną χ a względną przenikalnością elektryczną εr za-chodzi związek:

E

P

or εεχ =−= 1 . (2.1.13)

Wartość wektora polaryzacji P jest liczbowo równa wartości momentu dipolowego przypadającego na jednostkę objętości dielektryka i wyraża się ją w C/m3. Moment ten jest związany z ładunkami indukowanymi na powierzchni dielektryka.

Rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje polaryzacji wywołane działaniem ze-wnętrznego pola elektrycznego [4, 11, 13, 20, 23]:

a) polaryzację sprężystą (nazywaną też indukowaną), do której należą: • polaryzacja elektronowa, • polaryzacja jonowa indukowana; b) polaryzację relaksacyjną, do której należą: • polaryzacja dipolowa, • polaryzacja jonowa relaksacyjna, • polaryzacja spontaniczna, • polaryzacja makroskopowa. W polaryzacji sprężystej powstanie momentu dipolowego pod wpływem pola

elektrycznego jest spowodowane odsunięciem związanych sprężyście różnoimiennych ładunków od ich położenia równowagi. Po usunięciu zewnętrznego pola elektryczne-go polaryzacja ta natychmiast ustępuje wskutek działania sprężystej siły zachowaw-czej. Polaryzacja sprężysta jest więc związana z tworzeniem się typowych dipoli in-dukowanych. Zachodzi ona bez strat energii.

Polaryzacja relaksacyjna polega na tym, że pod wpływem pola elektrycznego następuje przesunięcie ładunków związanych wbrew siłom oporu ośrodka, w tym również wbrew chaotycznemu ruchowi cieplnemu. Wskutek tego przesunięcia wytwa-rza się quasi-statyczny stan pewnego uporządkowania, któremu towarzyszy wystąpie-nie momentów dipolowych w przestrzeni dielektryka. Momenty dipolowe zanikają w chwili usunięcia dielektryka z obszaru działania pola elektrycznego, ponieważ ruch cieplny przywraca chaotyczny rozkład ładunków. Zarówno wytworzenie się takiego stanu uporządkowania, jak i późniejszy jego zanik następują z pewnym opóźnieniem (relaksacją) w stosunku do zmian zewnętrznego pola elektrycznego. Zjawisko relak-sacji wyjaśnia powolne zanikanie prądu absorpcji w czasie po skokowym przyłożeniu stałego pola elektrycznego. Ponadto zjawisko to jest przyczyną powstawania tzw. potencjału powrotnego na okładkach kondensatora, które po naładowaniu na krótko

17

zwarto, a następnie rozwarto. Jeśli czas zwarcia był znacznie mniejszy niż stała cza-sowa relaksacji, to dielektryk nie zdążył się całkowicie zdepolaryzować i dlatego część ładunku związanego pozostaje na elektrodach kondensatora. Ładunek ten w miarę postępującej depolaryzacji uwalnia się i wytwarza potencjał. Napięcie między okładkami kondensatora początkowo narastające na skutek tego zjawiska po upływie pewnego czasu maleje w wyniku przepływu prądu przewodzenia. Polaryzacji relaksa-cyjnej towarzyszą straty energii.

Polaryzacja elektronowa występuje we wszystkich dielektrykach i trwa bardzo krótko, przez czas rzędu 10–15 s. Zewnętrzne pole elektryczne powoduje przesunięcia powłok elektronowych względem jądra atomu. Towarzyszące polaryzacji odkształce-nie jest całkowicie sprężyste, tzn. praca konieczna do jego powstania nie zamienia się w ciepło, lecz zostaje zmagazynowana w polu elektrycznym. Powstałe dipole mają charakter indukowany. Po usunięciu zewnętrznego pola polaryzacja elektronowa na-tychmiast zanika.

Polaryzacja jonowa indukowana występuje tylko w materiałach, których czą-steczki są zbudowane z jonów. Polega na przesunięciu sprężystym różnoimiennych jo-nów w cząsteczce pod wpływem pola elektrycznego. Obserwuje się ją w ciałach kry-stalicznych o budowie jonowej. Ze względu na dużą masę jonów w stosunku do masy elektronów czas, w którym zachodzi zjawisko polaryzacji, jest nieco dłuższy i wynosi 10–13 s.

Polaryzacja dipolowa występuje w dielektrykach, których cząsteczki mają cha-rakter trwałych dipoli. Zachodzi w gazach, cieczach i ciałach stałych. Zarówno jej intensywność, jak i czas relaksacji zależą od temperatury i stanu skupienia. Relaksacja najkrócej trwa w gazach, dłużej w cieczach, natomiast w ciałach stałych może być ona ekstremalnie długa. Stan polaryzacji wytworzony w elektretach może bez porządkują-cego działania zewnętrznego pola trwać dziesiątki lat. Przyjmuje się, że polaryzację dipolową cechuje czas relaksacji zawierający się w zakresie od 10–14 do 1010 s.

Polaryzacja jonowa relaksacyjna występuje w dielektrykach o budowie bezpo-staciowej, zawierających cząsteczki o wiązaniach jonowych. Jony pod wpływem ze-wnętrznego pola elektrycznego przesuwają się, tworząc makroskopowy moment dipo-lowy. Czas relaksacji zawiera się w bardzo szerokich granicach.

Polaryzacja spontaniczna zachodzi w pewnej grupie ciał, zwanych ferrodielek-trykami. Występują w nich grupy cząstek jednakowo spolaryzowanych (domeny). Chaotyczny rozkład domen powoduje, że bez oddziaływania zewnętrznego pola elek-trycznego dielektryk nie jest spolaryzowany. Obrót domen wywołany przez pole elek-tryczne powoduje gwałtowny wzrost polaryzacji. Zależność polaryzacji od zewnętrz-nego pola elektrycznego ma charakter nieliniowy. Występuje efekt nasycenia oraz histereza, podobnie jak w materiałach ferromagnetycznych.

Polaryzacja makroskopowa (ładunku przestrzennego) zachodzi w dielektrykach, w których istnieje pewna liczba ładunków swobodnych, mogących przemieszczać się pod wpływem pola elektrycznego. Zbierają się one na niedoskonałościach siatki kry-

18

stalicznej, zanieczyszczeniach, granicach ziaren i mikropęknięciach. Ten typ polary-zacji jest charakterystyczny dla ciał polikrystalicznych i dielektryków jonowych o strukturze bezpostaciowej. Polaryzacja makroskopowa zachodzi wolno, a czas jej relaksacji zależy od rodzaju materiału, warunków zewnętrznych i może trwać od mili-sekund do kilku godzin.

2.2. Energetyczny model przewodnictwa dielektryków

W idealnym dielektryku (bez defektów) nie tylko elektrony z głębszych powłok energetycznych, ale także wszystkie elektrony walencyjne są silnie związane z ato-mami. Takie elektrony nie mogą przenosić ładunku elektrycznego. Między pasmem przewodnictwa a pasmem walencyjnym istnieje obszar energii wzbronionej Eg (prze-rwa energetyczna), który dla dobrych dielektryków wynosi 4–6 eV (rys. 2.2.1a) [11]. Aby umożliwić przemieszczenie się elektronów z całkowicie zapełnionego pasma walencyjnego do pustego pasma przewodnictwa, należy – wykorzystując zewnętrzne czynniki – wykonać pracę przekraczającą szerokość przerwy energetycznej.

pasmo przewodnictwa

pasmo walencyjne

przerwa energetyczna

ener

gia

-

+

Eg = 4-6 eV

pasmo przewodnic twa

pasmo walencyjne

a) b)

Ee = 1-2 eV

Eg = 4-6 eV

E = 1-3 eV

Ee = 1–2 eV

D

Eg = 4–6 eV

ED = 1–3 eV

Eg = 4–6 eV

Rys. 2.2.1. Energetyczny model dielektryka: a) idealnego, b) rzeczywistego

W rzeczywistych materiałach dielektrycznych występują różne zaburzenia. Źró-dłem zaburzeń struktury krystalicznej są wszelkiego rodzaju domieszki, zakłócenia stechiometrii, powierzchnie graniczne i krawędzie, defekty punktowe i różnego rodza-ju dyslokacje wewnątrz kryształu [11, 26]. Ze wszystkimi nieregularnościami sieci krystalicznej związane są lokalne wartości energii elektronów, scharakteryzowane w modelu pasmowym przez lokalne poziomy energetyczne leżące w przerwie energe-tycznej (rys. 2.2.1b). Poziomy lokalne pełnią w dielektrykach rolę pułapek nośników prądu elektrycznego. Pułapki bardzo silnie ograniczają ruchliwość nośników prądu. Nośniki te, przesuwane przez pole elektryczne, docierają po drodze do wielu pułapek, w których zostają uwięzione na dłuższy okres. Przeniesienie elektronu z poziomu

19

pułapkowego do pasma przewodnictwa wymaga jego termicznej aktywacji energią, która określa głębokość pułapki. Podobnie jest w przypadku ruchu dziury w paśmie walencyjnym. Taka sytuacja powstaje w dielektrykach amorficznych lub tylko częściowo krystalicznych, jakimi są polimery. W takich strukturach główną rolę odgrywają procesy pułapkowania i rozpraszania nośników prądu. Rozszczepianie się pasm na poszczególne poziomy uniemożliwia ruch elektronów w paśmie. Wówczas można przyjąć, że przewodnictwo elektryczne ma naturę hoppingową, tzn. że elektro-ny przeskakują od molekuły do molekuły w sposób aktywacyjny. W obrębie molekuł transport nośników odbywa się przede wszystkim wskutek przeskoków między po-ziomami energetycznymi najsłabiej związanych elektronów.

Gdy pasma energetyczne rozszczepiają się na pojedyncze poziomy lokalne, wtedy stosując model pasmowy do opisu procesu transportu nośników termicznie uwalnia-nych z pułapek, otrzymuje się tylko pewne przybliżenie.

W temperaturze zera absolutnego każde ciało stałe z przerwą energetyczną Eg jest nieprzewodzące. W każdej temperaturze powyżej zera istnieje prawdopodobieństwo, że pewne elektrony będą termicznie pobudzone i przejdą przez pasmo zabronione do pasma przewodnictwa. Brak elektronu w paśmie walencyjnym jest równoważny po-jawieniu się dziury (dodatniego ładunku) w tym paśmie. Liczba elektronów, które mogą być pobudzone przez pasmo zabronione w temperaturze T, jest proporcjonalna wykładniczo do Eg /2kT, gdzie k jest stałą Boltzmanna.

Dielektryki stałe w słabych polach elektrycznych wykazują oprócz przewodnictwa elektronowego przewodnictwo jonowe, które dominuje w większości materiałów w normalnych i podwyższonych temperaturach. Natomiast w niskich temperaturach, a także w normalnych i podwyższonych, przy natężeniach pola o wartościach przed-przebiciowych może dominować przewodnictwo elektronowe. Przewodnictwo jonowe jest związane z przemieszczaniem się defektów siatki krystalicznej w kierunku przy-łożonego pola. Przemieszczanie to powodują przeskoki jonów lub węzłów opróżnio-nych nad barierą potencjalną, od jednego punktu defektu do drugiego. Przewodnictwo jonowe w dużym stopniu zależy od zanieczyszczeń, a zwłaszcza zanieczyszczeń związkami, które same łatwo ulegają dysocjacji (tzw. zanieczyszczenia jonowe) lub ją wywołują, np. woda.

Mechanizm transportu ładunków elektrycznych w dielektrykach jest bardzo złożo-ny i zależy od wielu czynników, między innymi od rodzaju materiału dielektryka i jego defektów, ładunku przestrzennego w próbce, wielkości przyłożonego pola elek-trycznego i jego zmian w czasie. Na temat mechanizmów przewodnictwa dielektry-ków ukazało się wiele publikacji, m.in. [6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 24, 25, 28, 30, 31]. Autorzy tych prac przedstawiają różne hipotezy odnośnie do przewodnic-twa dielektryków. W dielektrykach wyróżnia się:

• przewodnictwo w zakresie małych pól elektrycznych [7, 8, 17, 19, 24, 25, 26, 28], • przewodnictwo elektronowe [7, 8, 17, 19, 24, 25, 26, 28], • przewodnictwo jonowe [7, 8, 17, 19, 24, 25, 26, 28],

20

• przewodnictwo w zakresie dużych pól elektrycznych [6, 26], • przewodnictwo cienkich warstw [20, 21].

2.3. Prądy w dielektryku

Włączenie źródła napięcia stałego U, podłączonego do nienaładowanego konden-satora z dielektrykiem bez ładunku elektrycznego między okładkami, spowoduje krót-kotrwały gwałtowny wzrost prądu w obwodzie aż do wartości maksymalnej Ipo [2, 29] (rys. 2.3.1). Następnie prąd ten maleje do wartości ustalonej Iu. Prąd płynący przez kondensator I(t) jest superpozycją trzech prądów: ładowania Ic(t), przewodnictwa Iu i absorpcji Ia(t), co można wyrazić wzorem:

)()()( tIItItI auc ++= . (2.3.1)

I

t

I(t)

t1

Iu

0

Ia(t)

Ipo

Ir(t)t0

Ic(t)

Iao

t0 t1 t2t2

Rys. 2.3.1. Zależność prądu I(t) płynącego przez dielektryk od czasu przyłożenia napięcia stałego, a następnie po wyłączeniu napięcia i zwarciu próbki:

Ic(t) – prąd ładowania, Iu – prąd przewodnictwa, Ia – prąd absorpcji, I r (t) prąd resorpcji

Prąd ładowania Ic(t) wiąże się z polaryzacją sprężystą (jonową i elektronową), a jego energia jest wydatkowana na zmagazynowanie energii potencjalnej w polu elektrycznym kondensatora [13]. Polaryzacja sprężysta trwa bardzo krótko, bo od 10–15 do 10–12 s. Po tym czasie prąd ładowania Ic(t) zanika, osiągając wartość zero-wą. Prąd przewodzenia Iu, spowodowany ruchem ładunków swobodnych (jonów

21

i elektronów), ma stałą wartość niezależną od czasu t. Prąd absorpcji Ia(t), nazywany również prądem przejściowym [27], jest związany z polaryzacją relaksacyjną (orien-tacją dipoli). Czas polaryzacji relaksacyjnej wynosi od milisekund do kilku godzin, a nawet dłużej dla niektórych dielektryków.

Część energii prądu absorpcji Ia(t) zamienia się w energię potencjalną odkształceń sprężystych dipoli, a część jest zużywana na pokonanie oporów, jaki stawia ośrodek obracającym się cząsteczkom dipolowym. Ta część energii zamienia się w ciepło w dielektryku.

Prąd upływu Iu, wywołany niezerową konduktywnością dielektryka, wytwarza straty w dielektryku, które w całości zamieniają się w ciepło.

Kondensator z dielektrykiem o jednej stałej relaksacyjnej można przedstawić w formie modelu zastępczego, który pokazano na rysunku 2.3.2 [22].

+

–

Ic Ia Iu

RRa

Ca

CU

Rys. 2.3.2. Schemat zastępczy kondensatora ze stratami w dielektryku o jednej stałej relaksacyjnej

Na schemacie na rysunku 2.3.2 bezstratna pojemność C odpowiada pojemności kondensatora próżniowego powiększonej o pojemność odpowiadającą relaksacji sprę-żystej (indukowanej). Pojemność Ca odpowiada polaryzacji relaksacyjnej, a rezystan-cja Ra – stratom relaksacyjnym. Podczas polaryzacji sprężystej strat praktycznie nie ma. Rezystancja R odpowiada stratom przewodzenia dielektryka. Schemat kondensa-tora z dielektrykiem ma tylko jedną gałąź inercyjną Ca i Ra i odpowiada dielektrykowi z jednym tylko rodzajem polaryzacji relaksacyjnej. Prąd w tej gałęzi opisuje funkcja wykładnicza

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

raoa

tItIτ

exp)( , (2.3.2)

w której Iao jest wartością początkową prądu Ia, a τr – stałą relaksacji.

22

W rzeczywistym dielektryku zwykle jednocześnie funkcjonuje wiele mechani-zmów relaksacyjnych. Pełną charakterystykę rzeczywistego dielektryka można od-wzorować, jeżeli w układzie zastosuje się wiele gałęzi równoległych szeregowego połączenia Ca i Ra o różnych stałych czasowych (rys. 2.3.3) [12].

Iu

R....

+

-

C

Ic

URn

Cn

IanIa1

Ia2Ia3Ia1 Ia2 Ia3

C1

R1

C2

R2

C3C1 C2 C3

R3R1 R2 R3

–

Rys. 2.3.3. Schemat zastępczy kondensatora z rzeczywistym dielektrykiem o wielu stałych relaksacyjnych

Dla schematu z rysunku 2.3.3 sumaryczny prąd gałęzi inercyjnych

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∑

=

= j

nj

jjaoa

tItIτ

exp)(1

(2.3.3)

może być równy prądowi absorpcji rzeczywistego dielektryka, wyrażonego wzorem Curie [2, 6, 9].

Wyłączenie źródła pola elektrycznego i zwarcie próbki dielektryka spowoduje po-jawienie się w obwodzie prądu resorpcji Ir (rys. 2.3.1), który zazwyczaj jest lustrza-nym odbiciem prądu absorpcji. Jednak dla krótkich czasów charakterystyki prądów absorpcji i resorpcji odbiegają od odbić lustrzanych [6].

Spadek prądu absorpcji i późniejszy quasi-ustalony stan przewodzenia prądu są na ogół uważane za przejaw różnych mechanizmów [6] takich jak:

• szybka i wolna orientacja dipoli, • polaryzacja elektrod, • zjawisko pułapkowania ładunku, • wstrzykiwanie ładunku do objętości dielektryka, • tunelowanie ładunku z elektrody do pustych pułapek, • hoppingowanie nośników ładunków [11, 31]. Mechanizmy te i ich zastosowanie w polimerach, z wyjątkiem mechanizmu hop-

pingowego, zostały opisane przez Wintle’a [30].

23

Podobnie jak we wzorze (2.3.1), gęstość prądu płynącego przez dielektryk pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego po zaniku prądu ładowania Ic(t), czyli po czasie polaryzacji sprężystej to (rys. 2.3.1), można opisać zależnością:

tDEtJJtJ au ∂∂

+=+= γ)()( , (2.3.4)

w której: Ju – gęstość prądu ustalonego, wywołanego przez ruch ładunków swobodnych

w polu elektrycznym, Ja(t) – gęstość prądu absorpcji malejąca w czasie do zera, γ – konduktywność, E – natężenie pola elektrycznego, D – indukcja elektryczna. Gęstość prądu ustalonego jest określona zależnością [6, 13, 26]:

, (2.3.5) ∑=

=m

iuiiiu qnJ

1

ν

w której: m – liczba ładunków, ni – koncentracja ładunków swobodnych o wartości qi (zależna od struktury mate-

riału), vui – prędkość unoszenia określona zależnością:

Eiui µν = , (2.3.6)

µi – ruchliwość ładunku.

Po uwzględnieniu wyrażenia (2.3.6) zależność (2.3.5) przyjmie postać

. (2.3.7) ∑=

=m

iiiiu qnEJ

1

µ

Gęstość prądu ustalonego jest związana z natężeniem pola zależnością

EJ u γ= , (2.3.8)

w której γ jest konduktywnością dielektryka. Z porównana wyrażeń (2.3.7) i (2.3.8) wynika, że konduktywność materiału wyra-

ża się wzorem

. (2.3.9) ∑=

=m

iiii qn

1

µγ

24

W praktyce najczęściej podaje się rezystywność ρ, która jest odwrotnością kon-duktywności

γ

ρ 1= . (2.3.10)

Warstwa powierzchniowa dielektryka, będącego w kontakcie ze środowiskiem również o właściwościach dielektrycznych, może mieć inne właściwości przewodzące niż pozostałe głębsze warstwy. Jest to spowodowane oddziaływaniem środowiska (wilgoć i zanieczyszczenia) na powierzchnię dielektryka. Dielektrykowi oprócz rezy-stywności samego materiału, nazywanej rezystywnością skrośną lub objętościową i oznaczanej symbolem ρ v, mają też rezystywność powierzchniową oznaczaną symbo-lem ρ s.

Rezystywność skrośną, zgodnie z normami IEC 93 oraz PN-88/E-04405 [32, 33], definiuje się jako iloraz natężenia stałego pola elektrycznego E i gęstości prądu usta-lonego Ju płynącego wewnątrz materiału izolacyjnego ( ρ v = E/Ju). W praktyce jest ona określona jako rezystancja skrośna zredukowana do sześciennej jednostki objęto-ści. Jednostką rezystywności skrośnej w układzie SI jest Ωm. W praktyce używana jest również jednostka Ωcm.

Natomiast rezystywność powierzchniowa, zgodnie z normą IEC 93, jest zdefinio-wana jako iloraz natężenia stałego pola elektrycznego i gęstości liniowego prądu w powierzchniowej warstwie materiału. W praktyce nazywa się ją rezystancją po-wierzchniową zredukowaną do pola kwadratu. Rozmiar kwadratu jest nieistotny. Jed-nostką rezystywności powierzchniowej w układzie SI jest Ω. W praktyce używa się czasami jednostki Ω/ (om na kwadrat).

Umownie uważa się, że dielektrykami są materiały, których rezystywność skrośna ρ v przekracza 108 Ωm [2, 13].

Dla dielektryków stałych, charakteryzujących się pojedynczą stałą czasową relak-sacji, zależność gęstości prądu absorpcji od czasu t działania zewnętrznego pola elek-trycznego, analogicznie do zależności (2.3.2), wyraża się wzorem [2, 9]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

τtJtJ aoa exp)( . (2.3.11)

Gdy dielektryk charakteryzuje się wieloma stałymi czasowymi, wtedy gęstość prą-du absorpcji Ja(t) we wzorze (2.3.4) wyraża się wzorem Curie [2, 6, 9]

, (2.3.12) na AttJ −=)(

w którym A oznacza stałą zależną od rodzaju dielektryka, a n jest wykładnikiem potę-gi. Wartość n jest mniejsza od jedności dla czasów krótszych niż średni czas relaksacji danego mechanizmu polaryzacyjnego, natomiast dla czasów dłuższych przyjmuje

25

wartości większe od jedności. Różnica 1 – n =α we wzorze Curie charakteryzuje sze-rokość widma relaksacji.

2.4. Elektryzacja dielektryków

Materiały dielektryczne są zdolne do gromadzenia i przechowywania ładunku elek-trycznego nawet wtedy, gdy nie ma pola elektrycznego. Naelektryzowanie dielektryka może być niezamierzone i nastąpić podczas technologicznego procesu wytwarzania materiału, w czasie jego przechowywania, przygotowywania próbek do badań (nano-szenia elektrod) i podczas pomiarów w polu elektrycznym (np. rezystancji skrośnej lub powierzchniowej). Ładunek elektryczny zgromadzony w próbce badanego dielektryka może spowodować znaczne błędy pomiarów rezystancji dielektryków.

Przyczyną naelektryzowania dielektryka może być tryboelektryzacja, działania zewnętrznego pola elektrycznego lub przeniesienie ładunku elektrycznego z jednego ciała naelektryzowanego na drugie nienaelektryzowane [3, 10, 11].

Tryboelektryzacja powstaje podczas kontaktu dwóch różnych ciał w wyniku prze-chodzenia ładunków z jednego ciała na drugie. Złączone nienaelektryzowane ciała po rozdzieleniu są naładowane. Jest to efekt powstawania podwójnej warstwy ładunku na granicy kontaktu ciał o różnych pracach wyjścia elektronów (różnych poziomach Fermiego) [7]. Efekt tryboelektryzacji zostaje znacznie wzmocniony przez tarcie lub uderzenie. Jedną z przyczyn zwiększonej elektryzacji ciał podczas tarcia jest towarzy-szące mu zwiększenie liczby punktów styku, co intensyfikuje powstawanie ładunków na zasadzie elektryzacji stykowej. Tarcie ułatwia przechodzenie ładunków z jednej powierzchni na drugą. Inną przyczyną wpływu tarcia na elektryzację jest wzrost tem-peratury powierzchni podczas tarcia. Temperatura poszczególnych części powierzchni ciała może osiągnąć taką wartość, że jony z części bardziej nagrzanych będą mogły przejść na drugą powierzchnię o niższej temperaturze. Sprzyja temu niejednorodność trących powierzchni, nawet jeżeli są one wykonane z tego samego materiału.

Elektryzacja stykowa dielektryków zależy od ich przenikalności elektrycznej. Spośród dwóch stykających się dielektryków dodatnio elektryzuje się dielektryk o większej prze-nikalności elektrycznej. Gęstość powierzchniowa ładunków jest proporcjonalna do różni-cy przenikalności elektrycznych obu stykających się dielektryków. Podczas kontaktu die-lektryków stałych z metalami metal ładuje się dodatnio lub ujemnie. Metale nieszlachetne wskutek kontaktu z dielektrykiem elektryzują się zwykle ujemnie, a szlachetne – dodatnio.

Zjawisko elektryzacji podczas tarcia charakteryzuje się następującymi cechami: • Elektryzacja przez tarcie może powodować powstawanie ładunków o dużej wartości. • Do elektryzacji może dochodzić zarówno podczas tarcia tych samych, jak i różnych

materiałów. Elektryzacja występuje również podczas tarcia dielektryka o metal oraz pod-czas tarcia i uderzania o powierzchnię rozdrobnionych materiałów, np. pyłów i cieczy.

26

• Ładunki powstające podczas tarcia nie są rozłożone równomiernie na po-wierzchniach trących. W różnych częściach powierzchni mogą mieć różną gęstość, a nawet różny znak.

• Skutek elektryzacji podczas tarcia zależy od gładkości powierzchni. Ten sam materiał może zajmować różne miejsca w szeregu tryboelektrycznym w zależności od stanu powierzchni.

• Jeżeli oprócz tarcia występuje równocześnie inna przyczyna elektryzacji, to zjawiska te w pewnym sensie nakładają się. I tak np. tarcie w polu elektrycznym może powodować powstanie większych lub mniejszych ładunków w zależności od kierunku pola.

Elektryzacja może również być skutkiem tarcia dielektryka o powietrze zawierają-ce cząstki pyłów i skondensowanej pary wodnej.

Elektryzacja przez kontakt i tarcie jest elektryzacją naturalną, bez udziału ze-wnętrznego pola elektrycznego. Mogą jej ulec próbki dielektryka przygotowywane do pomiarów.

Naelektryzowanie dielektryka może nastąpić również w wyniku działania ze-wnętrznego pola elektrycznego, na przykład podczas pomiarów jego rezystancji. Die-lektryk poddany działaniu zewnętrznego pola elektrycznego elektryzuje się. Gromadzi się w nim zarówno ładunek powierzchniowy, jak i przestrzenny. Po wyłączeniu źródła zewnętrznego pola elektrycznego w dielektryku pozostaje ładunek elektryczny, który z czasem zanika. Szybkość zaniku zależy od rezystywności dielektryka. W dielektry-kach o bardzo dużych rezystywnościach ładunek może się utrzymywać przez wiele godzin, dni, a nawet tygodni. Wartość potencjału powierzchniowego pochodzącego od tego ładunku może przekraczać nawet 1000 V. W tym przypadku przyłożenie napięcia 1000 V do próbki dielektryka powoduje w obwodzie przepływ prądu w kierunku przeciwnym niż zwykle, kiedy dielektryk nie jest naładowany.

Przyczyną naelektryzowania próbki dielektryka może być również przeniesienie ładunku elektrycznego z ciała naelektryzowanego. Na przykład osoba naelektryzowa-na, która wykonuje badania, biorąc do ręki próbkę, może przenieść na nią swój ładu-nek i ją naelektryzować.

Ładunek zgromadzony w próbce jest źródłem prądu deelektryzacji Ide(t), nazywa-nym też prądem tła [5]. Zatem prąd płynący przez naelektryzowaną próbkę pod wpływem przyłożonego do elektrod napięcia stałego

)()()()( tItIItItI deauc +++= (2.4.1)

zawiera dodatkowo składową Ide(t). Przed przyłożeniem napięcia do próbki istnienie tego prądu można stwierdzić, zwierając próbkę przez miernik prądu. Prąd deelektry-zacji Ide(t) może w długim okresie czasu zmieniać kierunek przepływu (rys. 2.4.1a). Może on mieć istotny wpływ na wypadkowy prąd I(t) w próbce i nawet zmienić jego kierunek (rys. 2.4.1b).

27

I

t

Ide

Ia(t) + Iu

I(t)

a) b)I

tIde

Ia(t) + Iu

I(t)

a) b)

Rys. 2.4.1. Wpływ prądu deelektryzacji na wypadkowy prąd w obwodzie próbki dielektryka: a) prąd deelektryzacji Ide zmienia kierunek, b) prąd deelektryzacji Ide nie zmienia kierunku

Próbki przygotowane do badań rezystywności powinny być pozbawione ładunku elektrycznego, gdyż fałszuje on wyniki pomiarów. Deelektryzacji próbek dokonuje się przez zwarcie na dłuższy czas elektrod, między którymi umieszczono dielektryk, i ich uziemienie. Ta metoda nie zawsze jest skuteczna, zwłaszcza dla dielektryków o bardzo dużych rezystywnościach, np. PTFE. Dielektryki takie można rozładować, umieszczając zwartą próbkę dielektryka w podwyższonej temperaturze. Dla PTFE jest to ok. 250 °C. Tak wysoka temperatura może jednak spowodować zmiany strukturalne materiału.

ir

+

–

CURa

Ca

iaIu ic ide

R

id

Rys. 2.4.2. Uproszczony model zastępczy naelektryzowanej próbki dielektryka

28

Jeżeli wyłączy się źródło napięcia w obwodzie próbki i ponownie je włączy, np. zmieniając biegunowość napięcia, to do prądu deelektyzacji doda się prąd resorpcji Ir(t) i równanie (2.4.1) przyjmie postać:

)()()()()( tItItIItItI rdeauc ++++= . (2.4.2)

Temu stanowi dielektryka odpowiada schemat zastępczy przedstawiony na rysun-ku 2.4.2.

Literatura

[1] Baker-Jarvis J.A., Generalized Dielectric Polarization Evolution Equation, IEEE Trans. on Dielec-trics and Electrical Insulation, Vol. 7, No. 3 (2000), pp. 374–386.

[2] Celiński Z., Materiałoznawstwo elektrotechniczne, Ofic. Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warsza-wa, 1998.

[3] Chang J.S., Kelly A.J., Crowley J.M. et al., Handbook of Electrostatic Processes, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, Hong Kong, 1995.

[4] Chełkowski A., Fizyka dielektryków, WNT, Warszawa, 1993. [5] Darie A., Improving the repeatability of ultra-high resistance and resistivity measurement, Keithley

White Paper 6517A, www.keithley.com. [6] Das-Gupta D.K., Conduction Mechanisms and High-Field Effects in Synthetic Insulating Polymers,

IEEE Trans Electr. Insul., Vol. 4 (1997), pp. 149–156. [7] Das-Gupta D.K., Electrical properties of surfaces of polymeric insulators, IEEE Trans. Electr. Insul.,

Vol. 27 (1992), pp. 909–923. [8] Das-Gupta D.K., Doughty K., Dielectric and conduction process in polyetherether ketone (PEEK),

IEEE Trans. Electr. Insul., Vol. EI-22 (1987), pp. 1–7. [9] Das-Gupta D.K., Joyuner K., On the nature of absorption currents in polyethylene terephthalate

(PET), J. Phys. D. Appl., Vol. 9 (1976), pp. 829–840. [10] Gajewski A.S., Elektryczność statyczna – poznanie, pomiar, zapobieganie, eliminowanie, Inst. Wyd.

Związków Zawodowych, Warszawa, 1987. [11] Hilczer B., Małecki J., Elektrety i piezopolimery, PWN, Warszawa, 1992. [12] Iorga C., Compartmental analysis of dielectric absorption in capacitors, IEEE Trans. on Dielectrics

and Electrical Insulation, Vol. 7, No. 2 (2000), pp. 187–192. [13] Juchniewicz J., Lisiecki J. i in., Wysokonapięciowe układy izolacyjne, Wyd. Politechniki Wrocław-

skiej, Wrocław, 1980. [14] Kaneko K., Semi H., Mizutani T., Mori T., Ishioka M., Charge Transport and Space Charge Forma-

tion in Low-Density Polyethylene, Proceedings of the 6th International Conference on Propertis and Applications of Dielectric Materials, Xi’an, China, 2000, pp. 71–74.

[15] Kao K.C., Electrical Conduction and Breakdown in Insulating Polymers, Proceedings of the 6th International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials, Xi’an, China, 2000, pp. 1–17.

[16] Kędzia J., Skubis J., Włóczyk A., Wolny S., Laboratorium materiałoznawstwa elektrycznego, Ofic. Wyd. Politechniki Opolskiej, Opole, 1998.

[17] Kliem H., Dielectric small-signal response by protons in amorphous insulators, IEEE Trans. Electr. Insul., Vol. 24 (1989), pp. 185–197.

[18] Kolbiński K., Słowikowski J., Materiałoznawstwo elektrotechniczne, WNT, Warszawa, 1978.

29

[19] Krause L.J., Lugg P.S., Speckhard T.A., Electronic conduction in polyimides, J. Elektrochem. Soc., Vol. 136 (1989), pp. 1379–1385.

[20] Lamb D.R., Electrical conduction mechanisms in thin insulating films, Spottiswoode, Ballantyne & Co Ltd. London and Colchester, 1967.

[21] Lee H.K., Lee Y.H., Park Y.G., Jang D.U., Kang S.H., Park S.G., Lim K.J., Electrical conduction characteristics in XLPE film evaporated different metal electrode in cathode, Proc. of the 6th Intern. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, China, 2000, pp. 509–512.

[22] Maison A., Opór właściwy skrośny materiałów elektroizolacyjnych stałych w ujęciu normalizacji międzynarodowej, krajowej i zagranicznej, Polimery – tworzywa wielocząsteczkowe, 1971, nr 5, s. 214–218.

[23] Maison A., Opór właściwy skrośny polietylenu, Przegląd Elektrotechniczny, 1967, nr 6, s. 223–227. [24] Motyl E., O mechanizmie przewodnictwa elektrycznego w kaptonie HN, Prace Nauk. Instytutu Pod-

staw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Wrocławskiej nr 31, seria: Konferencje nr 8, 1996, s. 55–58.

[25] Motyl E., Kacprzyk R., On the electrical conduction in polyimide, the 9th International Symposium on Electrets (ISE 9), Proceedings, Shanghai, 1996, pp. 608–613.

[26] O’Dwyer J.J., The theory of electrical conduction and breakdown in solid dielectrics, Clarendon Press, Oxford, 1973.

[27] Rutkowski J. i in., Podstawy inżynierii materiałowej – laboratorium, Ofic. Wyd. Politechniki Wro-cławskiej, Wrocław, 2003.

[28] Sacher E., Dielectric properties in polyamide film II, dc properties, IEEE Trans. Electr. Insul., Vol. EI-14 (1979), pp. 85–93.

[29] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1968. [30] Wintle H.J., Absorption Currents and Steady Currents in Polar Dielectrics, J. Non-Cryst. Solids,

Vol. 15, (1974), pp. 471–486. [31] Wintle H.J., Charge Motion and Trapping in Insulators Surface and Bulk Effects, IEEE Trans Electr.

Insul., Vol. 6, No. 1 (1999), pp. 1–10. [32] IEC 93:1980 Methods of test for volume resistivity and surface resistivity of solid electrical insulat-

ing materials. [33] PN-88/E4405 Materiały elektroizolacyjne stałe. Pomiary rezystancji.

3. Dielektryk w przemiennym polu elektrycznym

Jeżeli kondensator o pojemności Co z próżnią między okładkami podłączy się do źródła przemiennego napięcia sinusoidalnego

tUu m ωsin= , (3.1)

to między okładkami tego kondensatora wytworzy się również sinusoidalne pole elek-tryczne, związane z obecnością ładunku swobodnego

tEe m ωsin= (3.2)

i w obwodzie popłynie prąd

)2πsin(dd

+== tUCtuCi mooo ωω , (3.3)

którego gęstość na okładkach kondensatora wyniesie

)2πsin(dd

+== tEtEj mooo ωεωε . (3.4)

We wzorach (3.1)–(3.4) zastosowano następujące oznaczenia: Um – amplituda napięcia, Em – amplituda natężenia pola, ω = 2π f – pulsacja, f – częstotliwość, εo – przenikalność elektryczna próżni, t – czas. We wzorze (3.3) wyrażenie

ommo IUC =ω (3.5)

określa amplitudę prądu, a we wzorze (3.4) wyrażenie

momo JE =ωε (3.6)

amplitudę gęstości prądu.

32

Jeżeli między okładkami tego kondensatora umieści się dielektryk, to jego pojem-ność elektryczna wzrośnie εr razy i osiągnie wartość C = εrCo [1, 2]. Gdyby dielektryk był idealny, tzn. bezstratny, wtedy wzrosłaby tylko amplituda prądu

mm CUI ω= (3.7)

oraz amplituda gęstości prądu

mm EJ εω= , (3.8)

a przesunięcie fazowe wynosiłoby nadal π /2 i w dielektryku nie byłoby strat energii. W rzeczywistych dielektrykach zawsze występują pewne straty energii związane

z przewodnictwem stałoprądowym (rozdział 2.3) i polaryzacją relaksacyjną w zmien-nym polu elektrycznym. Prąd i płynący przez ten kondensator będzie przesunięty nie o π /2, lecz o π /2 – δ (rys. 3.1a), tzn.

)2πsin( δω −+= tIi m . (3.9)

Kąt δ jest nazywany kątem strat dielektrycznych, a kąt ϕ między prądem I a napię-ciem U – kątem fazowym. Wykresowi wskazowemu prądów w stratnym kondensato-rze odpowiada schemat zastępczy pokazany na rysunku 3.1b. Na schemacie tym Cr jest idealną bezstratną pojemnością, a Rr – rezystancją odpowiadającą stratom w kon-densatorze.

Rys. 3.1. Wykres wskazowy prądów kondensatora z dielektrykiem rzeczywistym między okładkami (a) i odpowiadający mu równoległy układ zastępczy (b)

Prąd I jest wielkością zespoloną wyrażoną wzorem

)j(j rCR CGUIII ω−=+= , (3.10)

i analogicznie gęstość prądu jest też wielkością zespoloną wyrażoną zależnością

)j(j εωεγ ′−=+= oacCR EJJJ (3.11)

33

lub )j()j(jj εεωεεεωεεωε ′−′′=′′+′−=−= ooro EEEJ . (3.12)

We wzorach (3.10)–(3.12) przyjęto następujące oznaczenia: 1j −= – operator na płaszczyźnie liczb zespolonych,

G =1/Rr – przewodność materiału, γac – konduktywność dielektryka przy prądzie przemiennym (wskutek strat relak-

sacyjnych konduktywność dielektryka przy prądzie przemiennym jest zawsze większa od konduktywności przy prądzie stałym),

εo – przenikalność próżni, εo = 8,854⋅10–12 F/m, εr – względna przenikalność zespolona:

εεε ′′−′= jr , (3.13)

ε′ – składowa czynna względnej zespolonej przenikalności elektrycznej, ε′′ – składowa bierna względnej zespolonej przenikalności elektrycznej. Dla małych kątów strat δ składowa czynna względnej przenikalności

rεε =′ , (3.14)

εr jest względną przenikalnością elektryczną określoną w polu stałym (zobacz pod-rozdział 2.1).

Składowa czynna ε′ wyraża zdolność do gromadzenia energii przez kondensator w polu elektrycznym, a składowa bierna

o

ac

ωεγε =′′ (3.15)

wyraża zdolność dielektryka do rozpraszania energii zmagazynowanej w polu elek-trycznym, czyli do generowania strat.

Z przenikalnością elektryczną jest związana podatność elektryczna określona za-leżnością: 1−=′′−′= εχχχ j . (3.16)

Z wyrażeń (3.13) i (3.16 ) wynika, że składowa czynna podatności elektrycznej 1−′=′ εχ , (3.17)

a składowa bierna podatności elektrycznej εχ ′′=′′ . (3.18)

Stosunek ε′′ do ε′ wyraża współczynnik strat dielektrycznych:

εεδ

′′′

=tg . (3.19)

34

Wektory indukcji pola elektrycznego D i polaryzacji P w polu przemiennym są związane z polem elektrycznym przez składowe czynne przenikalności i podatności elektrycznej zależnościami:

,ED oεε′= (3.20)

.EP oεχ′= (3.21)

Dla materiałów izolacyjnych najczęściej podaje się nie kąt strat δ, ale tangens tego kąta. Nazywa się go współczynnikiem strat dielektrycznych i dla zastępczego układu równoległego (rys. 3.1) wyraża wzorem

rrC

R

CRII

ωδ 1tg == . (3.22)

W literaturze tgδ często oznacza się symbolem D (D = tgδ ). Aby opisać kondensator z dielektrykiem stratnym, stosuje się również szeregowy

schemat zastępczy przedstawiony na rysunku 3.2.

Rys. 3.2. Szeregowy układ zastępczy kondensatora z dielektrykiem stratnym (a) i jego wykres wskazowy (b)

Obydwa zastępcze układy kondensatora stratnego z rysunków 3.1 i 3.2 są równo-ważne dla danej częstotliwości. Znając parametry jednego układu, np. szeregowego, można łatwo przeliczyć je na parametry układu równoległego, korzystając z zależno-ści [3, 4, 5]:

δ2tg1+

= ss

CC , (3.23)

sr RR ⋅+

=δ

δ2

2

tgtg1

, (3.24)

35

gdzie tgδ jest współczynnikiem strat dielektrycznych obliczanym dla układu równo-ległego ze wzoru

rrCRω

δ 1tg = , (3.25)

a dla układu szeregowego ze wzoru

ssRCωδ =tg , (3.26)

gdzie ω = 2π f , a f oznacza częstotliwość. Dla szerokiego pasma częstotliwości proste schematy zastępcze kondensatora rze-

czywistego przedstawione na rysunkach 3.1 i 3.2 nie są jednak równoważne. Ich cha-rakterystyki przenikalności zespolonej w funkcji częstotliwości istotnie się różnią (rys. 3.3) [2] i nie wykazują zgodności z rzeczywistymi, doświadczalnie zdjętymi charakte-rystykami dielektryków.

`ε

ε

a) b)

Cr Rr

Cs

Rs

ε′

ε

Rys. 3.3. Obwody zastępcze: równoi ich chara

Schematy zastępcze z rysunstego zachowania się kondensatUkład szeregowy z rysunku 3.2głym z rysunku 3.1 brak jest czł

Zastępczy model kondensatone zachodzące w dielektryku, op

ω

`ε

`ε

`

ε ′

′ε′

legły (a) i szeregowy (b) pojemkterystyki w funkcji częstotliwo

ków 3.1 i 3.2 zupełnie niora, do którego przyłożon nie przewodzi prądu stał

onu inercyjnego odpowiedra powinien ujmować wsisane w rozdziale 2.1. Po

′

noścści [

e odo imegozialzystpraw

′

ω

i z dielektrykiem stratnym 2]

zwierciedlają rzeczywi-pulsowo napięcie stałe.

, a w układzie równole-nego za prąd absorpcji. kie procesy polaryzacyj-ny model kondensatora

36

z dielektrykiem stratnym przy prądzie przemiennym jest identyczny z opisanym w podrozdziale 2.3.

Literatura

[1] Chełkowski A., Fizyka dielektryków, WNT, Warszawa, 1993. [2] Hilczer B., Małecki J., Elektrety i piezopolimery, PWN, Warszawa, 1992. [3] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1968. [4] IEC 250:1969 Recommended methods for the determination of the permittivity and dielectric dissipa-

tion factor of electrical insulating materials at power, audio and radio frequencies including metre wavelengths.

[5] PN-86/E-04403 Materiały elektroizolacyjne stałe. Metody pomiaru przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych.

4. Próbki badanych materiałów i elektrody

Materiały elektroizolacyjne stałe mogą mieć strukturę jednorodną lub niejedno-rodną [1, 11]. Strukturą jednorodną odznaczają się polimery czyste, a niejedno-rodną – polimery z wypełniaczami i inne materiały kompozytowe. Polimery mogą być bezpostaciowe (czysto amorficzne) lub semikrystaliczne (mieszana polimerów amorficznych z krystalicznymi) [14]. Postać amorficzną mają polimery takie jak: polichlorek winylu (PCV), polistyren (PS), polimetakrylan metylu (PMMA), poli-węglan (PC), polisulfony (PSU) oraz polifluorek fenylenu (PPO), a postać semi-krystaliczną (częściowo krystaliczną) – polietylen (PE), polipropylen (PP) i po-liamidy (PA). Po przetworzeniu na wtryskarce termoplastycznych polimerów semikrystalicznych (dwupostaciowych) faza amorficzna częściowo przechodzi z czasem w fazę krystaliczną, której udział zwiększa się z czasem. Objawia się to zmianami jej właściwości elektrycznych, w tym rezystywności i przenikalności elektrycznej.

Materiały dielektryczne mogą być izotropowe lub anizotropowe. Strukturę anizo-tropową mają materiały zawierające wypełniacze włókniste lub warstwowe. Mate-riały takie charakteryzują się anizotropią rezystywności i przenikalności elektrycz-nej. Strukturę warstwową mają laminaty włókniste, tekstolit, sklejki drewniane itp. Poszczególne warstwy mogą mieć różną rezystywność skrośną i przenikalność elek-tryczną.

Wiele materiałów kompozytowych na skutek niedokładnego zhomogenizowania składników ma niejednorodną strukturę objętościową. Dlatego wartości rezystywności skrośnej i przenikalności elektrycznej poszczególnych fragmentów tych materiałów mogą się różnić i to czasami znacznie.

Rezystywność i przenikalność elektryczna oraz współczynnik strat dielektrycz-nych materiałów dielektrycznych zależą od temperatury, natężenia pola elektryczne-go i wilgotności. Przenikalność elektryczna oraz współczynnik strat dielektrycznych zależą również od częstotliwości. Właściwości te zmieniają się wraz ze starzeniem się materiału.

38

4.1. Przygotowanie próbek do badań

4.1.1. Pobieranie próbek

Zasadniczym warunkiem poprawnej oceny właściwości elektroizolacyjnych mate-riałów dielektrycznych jest powtarzalność wyników badań niezależnie od laborato-rium i osób wykonujących badania. Ażeby warunek ten spełnić, należy:

• pobrać z partii produkcyjnej odpowiednią liczbę reprezentatywnych próbek ma-teriału,

• ustalić odpowiedni proces technologiczny wytwarzania próbek identyczny z pro-cesem produkcyjnym wyrobów, jeżeli zachodzi konieczność wykonania próbek do badań,

• dokonać odpowiedniej klimatyzacji próbek przed ich badaniami, aby zapewnić odtwarzalny stan ich właściwości i zachować te same warunki klimatyczne podczas badań.

Liczba reprezentatywnych próbek pobranych do badań powinna być dostatecznie duża, ażeby można było zastosować analizę statystyczną do interpretacji uzyskanych wyników. Minimalną liczbę badanych próbek tego samego materiału określają normy wyrobów. Normy PN-88/E-04405 i PN-86/E-04403 zalecają minimalną liczbę bada-nych próbek materiału nie mniejszą niż 3, jeżeli w normach wyrobów nie ustalono inaczej.

Laboratoria często otrzymują materiały do badań w postaci granulatu. Konieczne jest wtedy wykonanie próbek metodą wtrysku lub wytłaczania [13]. Gdy wytwarza się próbki, należy zwrócić uwagę na takie parametry procesu jak temperatura i ciśnienie, które wpływają na stan materiału próbki. Po wtrysku materiał najczęściej jest w stanie nieustalonym (udział dwóch faz: krystalicznej i amorficznej). Powoduje to koniecz-ność kondycjonowania próbek (oddziaływanie na nie odpowiednią temperaturą, ci-śnieniem, wilgotnością przez określony czas). Celem kondycjonowania jest uspokoje-nie i ujednorodnienie struktury materiału, aby można było przeprowadzić pomiar w warunkach zbliżonych do normalnej pracy badanego materiału. Technologia wyko-nania próbek i sposób ich kondycjonowania powinny być zgodne z odpowiednimi normami wyrobów lub uzgodnione ze zleceniodawcą.

Próbki materiału izolacyjnego przygotowane do pomiarów powinny mieć odpo-wiedni kształt umożliwiający naniesienie elektrod i łatwe wykonanie obliczeń rezy-stywności lub przenikalności elektrycznej. Najczęściej pomiary wykonuje się na próbkach płaskich, o gładkich równoległych powierzchniach, na które nanosi się elek-trody. Jeżeli przedmiotem badań jest materiał, z którego wykonane są rury, to można z nich wyciąć próbki i na nie nanieść odpowiednie elektrody. Pomiary rezystywności powierzchniowej można również wykonać na próbkach prętowych.

39

4.1.2. Warunki kondycjonowania i badania

Bezpośrednio przed badaniami próbki powinny być kondycjonowane w znormali-zowanych warunkach otoczenia podanych w polskiej normie PN-72/E-04400 [19] oraz normach międzynarodowych IEC 212:1971 [16], PN-EN ISO 291:1999 [25] i w tych warunkach należy wykonywać pomiary. Normy PN-72/E-04400 i IEC 212:1971 podają różne znormalizowane wartości temperatury i wilgotności. Są to między innymi warunki:

• pokojowe – temperatura powietrza 15–35 °C i jego wilgotność 45–75 %, • normalne A – temperatura powietrza 20±2 °C i jego wilgotność 65±5 %, • normalne B – temperatura powietrza 23±2 °C i jego wilgotność 50±5 %, • normalne C – temperatura powietrza 27±2 °C i jego wilgotność 65±5 %,

przy czym są zalecane znormalizowane warunki normalne B. Norma PN-EN ISO 291 natomiast podaje dwa rodzaje znormalizowanych warun-

ków kondycjonowania i badania: • 23/50 – temperatura powietrza 23 °C i jego wilgotność 50 %, • 27/65 – temperatura powietrza 27 °C i jego wilgotność 65 %

oraz dwie klasy warunków znormalizowanych. Klasy te określają dopuszczalne od-chylenia od znormalizowanej temperatury i wilgotności:

• klasa 1 – tolerancja temperatury ±1 °C, tolerancja wilgotności: a) dla znormalizowanych warunków 23/50 – ±5 %, b) dla znormalizowanych warunków 27/65 – ±10 %; • klasa 2 – tolerancja temperatury ±2 °C, tolerancja wilgotności: a) dla znormalizowanych warunków 23/50 – ±10 %, b) dla znormalizowanych warunków 27/65 – ±10 %. W normie PN-EN ISO 291 podano, że jeżeli w normach wyrobów nie ustalono ina-

czej, to należy zapewnić warunki kondycjonowania i badania 23/50. Warunki 27/65 są dostosowane do klimatu tropikalnego. Jeżeli wilgotność i temperatura nie wpływają na badane właściwości, to nie muszą być zachowane tolerancje wilgotności i temperatury. Kondycjonowanie i badania wykonuje się wtedy w temperaturze pokojowej, tj. od 18 °C do 28 °C, zachowując naturalną wilgotność powietrza, która nie jest regulowana

Czas kondycjonowania powinien być określony w odpowiednich specyfikacjach dla danego materiału. Jeżeli go nie określono, to według normy PN-EN ISO 291 nale-ży przyjąć:

a) nie mniej niż 88 h dla warunków 23/50 i 27/65, b) nie mniej niż 4 h dla temperatury pokojowej od 18 °C do 28 °C. Jeżeli w odpowiednich specyfikacjach dla danego materiału nie podano inaczej, to

próbki należy badać w tych samych warunkach, w których były kondycjonowane. Próbki powinny być poddane badaniom natychmiast po wyjęciu ich z komory do kli-matyzowania.

40

4.2. Elektrody

Pomiary rezystywności i przenikalności elektrycznej wymagają umieszczenia die-lektryka między elektrodami przewodzącymi, najczęściej metalowymi. Elektrody te mogą mieć istotny wpływ na wyniki pomiarów.

4.2.1. Kontakt elektrody z dielektrykiem

Każdy materiał izolacyjny zawiera drobiny zanieczyszczeń. Tworzy on warstwę o właściwościach odpowiadających właściwościom półprzewodników, czyli poziomom akceptorowym i donorowym. Podczas kontaktu metalu i dielektryka następuje wyrów-nanie poziomów Fermiego [4, 7, 12]. Elektrony przechodzą z metalu do wolnych po-ziomów akceptorowych na powierzchni i w warstwie dielektryka. Ładunek przestrzen-ny, uformowany przez elektrony przechodzące z metalu do dielektryka, powoduje obniżenie pasm energetycznych izolatora. Powierzchnia dielektryka ma wiele stanów powierzchniowych rozłożonych w szerokim przedziale energii. Elektrony przechodzące z metalu zajmują te stany, a tylko nieznaczna ich liczba wnika w głąb dielektryka i zaj-muje jego stany akceptorowe. Na granicy faz metal–dielektryk powstaje podwójna war-stwa ładunku elektrycznego tworząca barierę potencjału [5]. Warstwa ta charakteryzuje się pojemnością elektryczną Ce i rezystancją kontaktu elektroda–dielektryk Re (rys. 4.2.1). Jej struktura zależy przede wszystkim od wymiany ładunku pomiędzy pierwszą, najbliższą elektrody, warstwą jonów a elektrodą. Jeśli rezystancja przejścia między pierwszą warstwą jonów i elektrodą jest większa od rezystancji pomiędzy dwiema są-siednimi warstwami dielektryka, to elektroda jest blokująca. Jeśli zaś jest jej równa lub od niej mniejsza, to mamy do czynienia z elektrodą odwracalną [2].

Ce

ReRd , Cd

Ce

Re

Rys. 4.2.1. Schemat obwodu zastępczego dla próbki dielektryka z elektrodami: Ce, Re – pojemność i rezystancja warstwy podwójnej elektroda–próbka,

Cd, Rd – pojemność i rezystancja próbki dielektryka

Oprócz zjawisk energetycznych na kontakt metal–dielektryk istotny wpływ ma sposób nanoszenia elektrod. Podczas naparowania próżniowego elektrod powstaje

41

warstwa pośrednia. Cząsteczki metalu dzięki swej energii kinetycznej i temperaturze wnikają na pewną głębokość do dielektryka, tworząc rodzaj mieszaniny dielektryk–metal o zupełnie odmiennych właściwościach. Warstwa pośrednia może się również tworzyć w następstwie chemicznej lub mechanicznej obróbki powierzchni dokonywa-nej przed właściwym nanoszeniem elektrod.

Elektrodymetalowe

Szczelina powietrzna lubwarstwa pośrednicząca

(olej parafinowy)

Badany dielektryk

Rys. 4.2.2. Przyleganie elektrod do badanego dielektryka

Może również wystąpić dyfuzja atomów z elektrody do materiału mimo występo-wania średnich pól elektrycznych wykluczających typowe efekty emisyjne [6, 9]. Pole lokalne przy elektrodzie może się znacznie różnić od pola wyliczonego na podstawie grubości próbki i przyłożonego napięcia [8]. Podczas dyfuzji pierwiastków z elektrody do dielektryka istotną rolę odgrywa rodzaj materiału, z jakiego wykonano elektrody (energia wyjścia). Warstwa pośrednia może się także tworzyć w wyniku złego przyle-gania elektrod do próbki (szczelina powietrzna) bądź może stanowić ją warstewka oleju parafinowego służąca do naklejania elektrod (rys. 4.2.2). Szczelina powietrzna lub warstwa pośrednia pomiędzy elektrodą a badanym materiałem powoduje szcze-gólnie dużą niedokładność w pomiarach właściwości dielektrycznych, gdy badany materiał izolacyjny ma małą grubość [10] (np. folie izolacyjne).

4.2.2. Materiały elektrod

Elektrody powinny być wykonane z materiału, który umożliwia dokładny kontakt z powierzchnią próbki oraz nie wprowadza znaczącego błędu wynikającego z rezy-stancji kontaktu elektrody z dielektrykiem. Materiał elektrody powinien być odporny na korozję w warunkach wykonywania badań. Rodzaje materiałów stosowanych na elektrody podają normy dotyczące pomiarów rezystywności (PN-88/E-04405 [21], IEC 93:1980 [15], ASTM D 257-99 [27]) i przenikalności elektrycznej (PN-86/E-04403 [20], IEC 250:1969 [17] ASTM D 150-99 [26]). Jako materiał na elektrody można zastosować:

42

• srebrne lakiery przewodzące, • metale nanoszone metodą natryskową, • metale naparowywane w próżni lub napylane katodowo, • metale nanoszone metodą wypalania, • folie metalowe, • grafit koloidalny, • gumę przewodzącą, • ciecze przewodzące, • obrobiony mechanicznie metal (masywne elektrody dociskowe). Srebrne lakiery przewodzące o wysokiej przewodności, schnące w temperaturze

pokojowej lub podwyższonej są wystarczająco porowate, aby umożliwić dyfuzję wil-goci przez ich warstwę. Dlatego mogą być naniesione na próbki przed kondycjonowa-niem. Jest to szczególnie przydatne podczas badania zarówno wpływu wilgotności na rezystancję, jak i zmian w funkcji temperatury. Przed zastosowaniem lakieru przewo-dzącego należy sprawdzić, czy rozpuszczalnik zawarty w nim nie zmieni właściwości elektrycznych materiału. Uzyskanie gładkich krawędzi elektrod może być trudne, gdy lakier jest nanoszony pędzlem. To ograniczenie można pokonać, natryskując lakier przy zastosowaniu matryc dociskowych. Przewodność elektrod ze srebrnych lakierów może być jednak niewystarczająca.

Elektrody naniesione metodą metalizacji natryskowej wykonuje się z alumi-nium, srebra, cynku lub miedzi. Rozpylany metal może być stosowany, jeśli odzna-cza się zadowalającą adhezją do badanej próbki. Elektrody porowate mogą być na-niesione na próbki przed kondycjonowaniem. Tego typu elektrody nie nadają się do pomiaru rezystywności powierzchniowej, ponieważ powierzchnia próbek wymaga wstępnej obróbki mechanicznej, która zmienia właściwości powierzchniowe dielek-tryka.

Naparowanie w próżni lub napylanie katodowe metalu (srebra, złota, platyny, aluminium, miedzi) umożliwia uzyskanie najlepszych elektrod, które cechują się naj-mniejszymi rezystancjami i pojemnościami kontaktowymi z dielektrykiem. Umożli-wiają one przenikanie wilgoci do dielektryka i są odporne na podwyższone temperatu-ry. Elektrody te stosuje się do badań materiałów nie zmieniających właściwości w warunkach nanoszenia tą metodą.

Elektrody nanoszone metodą wypalania metalu (srebra lub złota) służą do bada-nia szkła, ceramiki i miki. Zwykle nanosi się srebro, ale w wysokiej temperaturze i wilgotności pod wpływem różnicy potencjałów ulega ono migracji. Złoto w tym przypadku jest lepsze.

Elektrody z folii metalowej o grubości od 6 do 80 µm nanosi się na badaną próbkę, używając przy tym minimalnej ilości wazeliny (parafiny), smaru silnikowe-go, oleju lub innego odpowiedniego materiału jako spoiwa. Takie elektrody powin-ny być nanoszone pod odpowiednim naciskiem, który eliminuje wszystkie nierów-

43

ności i wyciska nadmiar spoiwa w kierunku krawędzi folii, skąd może ono być usu-nięte czystą tkaniną. Jedną z efektywniejszych metod jest toczenie twardego, wą-skiego wałka (10–15 mm szerokości) po powierzchni folii na zewnątrz aż do mo-mentu, gdy nierówności nie zostaną z niej usunięte. Technika ta może być z powodzeniem stosowana, gdy próbki mają bardzo płaskie powierzchnie. Jeśli za-chowa się szczególną ostrożność, to warstewka spoiwa może być zmniejszona do grubości 2,5 µm [27]. Ponieważ warstwa spoiwa jest połączona w szereg z próbką, więc zawsze będzie powodować zawyżanie wartości mierzonej rezystancji i zaniża-nie pomiaru przenikalności elektrycznej (w szereg z pojemnością dielektryka dodaje się pojemność tej warstewki i zmniejsza wypadkową pojemność). Warstewka ta może również zmieniać wartość mierzonego współczynnika strat dielektrycznych. Błąd ten może być znaczący w przypadku próbek o grubości mniejszej niż 250 µm oraz o małej rezystywności [27], przenikalności i stratności dielektrycznej. Również twardy wałek może spowodować wciśnięcie ostrych cząstek w cienką warstewkę (50 µm) lub nawet jej przebicie. Elektrody foliowe nie są porowate i gdy już zostaną naniesione, uniemożliwiają kondycjonowanie (klimatyzowanie) próbki. Spoiwo może utracić swoją przyczepność w podwyższonej temperaturze. Próbka z układem trójelektrodowym zwykle nie może być stosowana do pomiarów rezystancji po-wierzchniowej, gdyż smar pozostający na powierzchni szczeliny będzie fałszował wyniki pomiarów. Może być trudno usunąć go z powierzchni szczeliny, nie uszka-dzając jednocześnie przylegających krawędzi elektrod.

Grafit koloidalny rozcieńczony w wodzie lub innym odpowiednim nośniku może być naniesiony pędzelkiem lub rozpylaczem (sprayem) na nieporowate powierzchnie materiału izolacyjnego, a następnie suszony w normalnych warunkach atmosferycz-nych. Można używać taśm maskujących lub obejm dociskowych. Grafit koloidalny może być materiałem elektrodowym tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie następu-jące warunki:

• powłoka grafitowa dobrze przylega do materiału i nie łuszczy się, • badany materiał nie absorbuje wody, • kondycjonowanie (klimatyzowanie) oraz wykonywanie pomiarów odbywa się

w atmosferze suchej. Grafit koloidalny jednak nie jest zalecany, gdyż ma dużą rezystancję i może fał-

szować wyniki pomiarów niezbyt wysokich rezystywności oraz być przyczyną zna-czącego wzrostu mierzonego współczynnika strat dielektrycznych, zwłaszcza przy niskich częstotliwościach. Rezystancja grafitu może powodować znaczne zwiększenie kąta stratności i jeżeli podczas nanoszenia przechodzi on z zawiesiny w stan płynny, to może wnikać do próbki.

Elektrody pokryte gumą przewodzącą mogą być szybko i łatwo nakładane na próbkę i usuwane z niej. Ponieważ elektrody są nakładane na czas pomiaru, więc nie uniemożliwiają one kondycjonowania (klimatyzowania) próbki. Materiał z gumy

44

przewodzącej powinien być wystarczająco miękki, aby wejść w ścisły kontakt z prób-ką po zastosowaniu umiarkowanego ciśnienia. Jednak wyniki pomiarów rezystywno-ści otrzymywane przy użyciu tych elektrod są zawsze większe o kilkadziesiąt, a cza-sami nawet o kilkaset procent niż wartości otrzymane przy elektrodach naparowanych srebrem. Elektrody pokryte gumą przewodzącą zawierają celki pomiarowe firmy Keithley, model 8009, i Agilent (Hewllett-Packard), model 16008B, do pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej. Elektrody z gumy przewodzącej nie po-winny być stosowane do pomiarów przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych, gdyż całkowicie fałszują wyniki pomiarów.

Elektrody z ciekłego metalu zapewniają dobry kontakt z badanym dielektrykiem. Ten rodzaj elektrod wymaga specjalnych pierścieni osłonowych, ostrych od strony próbki. Najczęściej stosuje się rtęć, ale nie jest ona zalecana ze względu na efekty toksyczne. Zamiast rtęci można używać stopu Wooda (25% Pb, 12% Cd, 12,5% Sn, 50% Bi) charakteryzującego się bardzo niską temperaturą topnienia (ok. 60 °C) lub innego niskotopliwego stopu. Stopy te często zawierają kadm, który – podobnie jak rtęć – jest toksyczny. Można ewentualnie stosować roztwory przewodzące, ale pod warunkiem, że stwierdzi się brak ich oddziaływania na wyniki pomiarów. Ponadto pojawiają się trudności z uzyskaniem szczelności osłon tych elektrod. Z tych wzglę-dów elektrody te praktycznie nie są obecnie stosowane.

Elektrody dociskowe masywne wykonane z litego metalu (mosiądzu chromo-wanego lub stali nierdzewnej) o oszlifowanych powierzchniach kontaktowych z badaną próbką są wygodnym w użyciu zestawem pomiarowym. W normie doty-czącej ochrony przed elektrycznością statyczną PN-93/E-05203 [22] zaleca się je do pomiarów rezystancji skrośnej i powierzchniowej próbek stałych materiałów sztyw-nych oraz włóknistych i folii, a w normie PN-EN 1149-1/2 [23] – do pomiarów re-zystancji skrośnej i powierzchniowej odzieży ochronnej. Nie są one rekomendowane w normach dotyczących pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej mate-riałów elektroizolacyjnych, tj. w normie IEC 93 [15], PN-88/E-04405 [21], ASTM D 257 [27]. Elektrody metalowe dociskowe mogą być używane do pomiarów rezy-stywności i przenikalności elektrycznej próbek materiałów elastycznych (gumy, elastomerów, tkanin) dobrze przylegających do elektrod metalowych. Nie powinny one jednak być stosowane do badania materiałów sztywnych, które nie przylegają dokładnie do powierzchni elektrod. Na części powierzchni pod elektrodami wystą-pią pęcherze powietrzne, które fałszują znacząco wyniki pomiarów.

4.2.3. Geometria próbek i elektrod

Na próbkach płaskich mogą być stosowane elektrody okrągłe, prostokątne i kwadratowe w układzie dwuelektrodowym (rys. 4.2.3) lub trójelektrodowym (rys. 4.2.4).

45

d1h

a)

b

h

b)

a

a

h

c)

a

d1

Rys. 4.2.3. Układy dwuelektrodowe: a) elektrody okrągłe, b) elektrody prostokątne, c) elektrody kwadratowe

d1

h

a)

b

hb)

a

a

h

c)

a12

3

gd2

d3d3

d2

d4

12

3

g 12

3

gd1

d4

Rys. 4.2.4. Układy trójelektrodowe: a) okrągłe, b) prostokątne, c) kwadratowe; 1 – elektroda pomiarowa, 2 – elektroda wykorzystywana w pomiarach rezystywności skrośnej

i przenikalności elektrycznej jako elektroda ochronna, a w pomiarach rezystywności powierzchniowej – jako elektroda napięciowa, 3 – elektroda wykorzystywana jako napięciowa w pomiarach rezystywności

skrośnej i przenikalności elektrycznej, a w pomiarach rezystywności powierzchniowej – jako elektroda ochronna

Również na próbkach cylindrycznych mogą być używane układy dwu- i trójelek-trodowe. Układ trójelektrodowy na próbce cylindrycznej przedstawiono na rysunku 4.2.5.

46

3

12l1 gg

l2

l3

l4D1

D2

h

D2

D1

l4

l1

l2

l3

Rys. 4.2.5. Układ trójelektrodowy na próbce cylindrycznej

Elektrody bez dodatkowej elektrody pierścieniowej mogą służyć do pomiarów re-zystywności skrośnej ρ v w przypadku, gdy prąd powierzchniowy ma pomijanie małą wartość w stosunku do prądu skrośnego, oraz do pomiarów przenikalności elektrycz-nej ε i współczynnika strat dielektrycznych, kiedy pojemności brzegowe są pomijalnie małe w stosunku do dużej pojemności próbki, a więc dla próbek cienkich (folii). Jeżeli są trudności z ustawieniem elektrod dokładnie naprzeciw siebie po obu stronach prób-ki, to jedna z elektrod powinna być większa od drugiej. Wówczas w obliczeniach rezystywności lub przenikalności należy uwzględnić powierzchnię tej mniejszej elek-trody. Ponieważ korzystanie z układu dwuelektrodowego zawsze powoduje powsta-wanie pewnych błędów związanych z brakiem elektrody ochronnej, nie jest on zale-cany przez normy.

Normy zalecają stosowanie układu trójelektrodowego. Na próbki płaskie najczę-ściej nanosi się układ elektrod okrągłych (rys. 4.2.4a). Elektroda znajdująca się w środku elektrody pierścieniowej jest zawsze używana jako elektroda pomiarowa, łą-czona z miernikiem prądu lub z zaciskiem LO miernika rezystancji. W pomiarach rezystywności skrośnej i przenikalności elektrycznej elektroda pierścieniowa jest elek-trodą ochronną. W pomiarach rezystywności powierzchniowej elektroda pierścienio-wa jest elektrodą napięciową, a elektroda po drugiej stronie próbki – elektrodą ochronną. W pomiarach rezystywności skrośnej i przenikalności elektrycznej ochron-na elektroda pierścieniowa eliminuje zniekształcone pole brzegowe przy elektrodzie pomiarowej. Warunkiem skuteczności pierścienia ochronnego jest taki dobór jego potencjału, ażeby niewiele różnił się od potencjału elektrody pomiarowej. Szczelina na powierzchni próbki, pomiędzy elektrodą pomiarową a elektrodą pierścieniową, powinna mieć jednakową szerokość.

47

Podczas pomiarów rezystywności skrośnej oraz przenikalności elektrycznej szero-kość szczeliny g powinna być jak najmniejsza. Zaleca się, ażeby była ona nie większa niż podwójna grubość próbki. Jednak ze względów technicznych nie stosuje się szcze-lin mniejszych od 1 mm.

Według zaleceń norm IEC 93 [15] i ASTM D 257 [27] podczas pomiarów rezy-stywności skrośnej średnica d1 (rys. 4.2.4a) oraz długość l1 (rys. 4.2.5) elektrody po-miarowej powinny być nie mniejsze niż 10 grubości próbki, a w praktyce nie mniejsze niż 25 mm. Średnica d4 oraz długość l4 elektrody napięciowej (3), a także zewnętrzna średnica d3 elektrody ochronnej oraz jej długość l3 powinny mieć wymiary:

hddd 2234 +≥= ,

hlll 2234 +≥= .

Do pomiarów rezystywności powierzchniowej można stosować układ trójelektro-dowy przedstawiony na rysunkach 4.2.4 i 4.2.5. Wówczas mierzona jest rezystancja powierzchniowa szczeliny g, a elektroda 1 jest elektrodą pomiarową, 2 – napięciową, 3 – ochronną. Szerokość szczeliny g powinna być równa co najmniej dwukrotnej gru-bości próbki. Szczelina o szerokości 1 mm jest zwykle najmniejszą, jaką można wy-konać. Średnica d1 lub długość l1 elektrody pomiarowej powinna być nie mniejsza niż 10-krotna grubość próbki h, a w praktyce nie mniejsza niż 25 mm. Alternatywnie mo-gą być stosowane elektrody prostoliniowe pokazane na rysunku 4.2.6. Do ich wyko-nania używa się najczęściej wysoko przewodzących lakierów srebrnych.

Rys. 4.2.6. Elektrody prostoliniowe do pomiarów rezystywności powierzchniowej

Norma IEC 93 zaleca stosowanie do pomiarów rezystywności powierzchniowej, w celach porównawczych, elektrod okrągłych (rys. 4.2.4a) o wymiarach d1 = 50 mm, d2 = 60 mm oraz d3 = 80 mm.

48

Norma PN-88/E-04405 zaleca do pomiarów rezystywności skrośnej i powierzch-niowej wybór elektrody pomiarowej o średnicy d1 z szeregu: 25, 50, 75, 100 mm.

Normy międzynarodowa IEC 250 i amerykańska ASTM D 150-99 nie precyzują minimalnych wymiarów elektrod do pomiarów przenikalności elektrycznej i współ-czynnika strat dielektrycznych. Elektrody powinny mieć takie wymiary, aby mierzona pojemność była dostatecznie duża, możliwa do zmierzenia przez przyrządy pomiaro-we. Zwykle jest to co najmniej 10 pF. Natomiast polska norma PN-86/E-04403 zaleca elektrodę pomiarową o średnicy z szeregu: 10, 25, 50, 75, 100 mm.

W normach dotyczących ochrony przed elektrycznością statyczną również można znaleźć opis zestawów elektrod do pomiarów rezystancji skrośnej i powierzchniowej, przeważnie znacznie różniących się od opisanych w tym rozdziale. Norma PN-92/E-05203 do pomiarów rezystancji skrośnej i powierzchniowej próbek materiałów sztyw-nych o płaskiej powierzchni zaleca masywne elektrody metalowe [22]. Taki rodzaj elektrod nie powinien być stosowany w przypadku materiałów sztywnych, ponieważ ich próbki nigdy nie są idealnie płaskie i elektrody te nie przylegają do nich całą po-wierzchnią. Powoduje to bardzo duże błędy pomiarów. Norma PN-92/E-05203 podaje również rozwiązanie konstrukcyjne elektrod dociskowych do pomiarów rezystancji powierzchniowej i skrośnej materiałów włóknistych i folii. O ile zastosowanie tych elektrod do badania materiałów tekstylnych jest uzasadnione, o tyle użycie ich do badania folii powinno być zakazane. Ta sama norma PN-92/E-05203 i norma PN-EN 50014:1997 [24] zalecają do pomiarów rezystancji powierzchniowej elektrody prostoliniowe (nazywane w tych normach paskowymi) przedstawione na rysunku 4.2.6, ale bez elektrody ochronnej. Gdy brak jest elektrody ochronnej, wtedy w wyni-ku pomiaru znaczący udział ma rezystancja skrośna. Jeżeli jednak pomiary wykonuje się nie na próbkach materiału, ale na gotowych wyrobach, np. na podłodze, to nie da się zastosować elektrody ochronnej i jej brak jest uzasadniony. Norma IEC 1340-4-1:1995 [18] do pomiarów rezystancji powierzchniowej i skrośnej wykładzin podłogo-wych i gotowych podłóg zaleca stosowanie okrągłych elektrod z gumy przewodzącej połączonej z elektrodą metalową za pośrednictwem elastycznej pianki przewodzącej. Takie rozwiązanie zapewnia dobre przyleganie elektrod nawet do niezbyt gładkich powierzchni. Normy PN-EN 1149-1/2:1999 dotyczące pomiarów rezystywności skro-śnej i powierzchniowej odzieży ochronnej podają opis rozwiązań konstrukcyjnych zestawów masywnych elektrod metalowych dociskowych. Ponieważ badane próbki odzieży są elastyczne, więc stosowanie tego typu elektrod jest prawidłowe.

4.2.4. Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej

Aby obliczyć rezystywność skrośną i przenikalność elektryczną, trzeba znać war-tość rezystancji lub pojemności między elektrodami umieszczonymi na próbce, gru-bość próbki h i efektywną powierzchnię elektrody pomiarowej A. Efektywna po-

49

wierzchnia elektrody pomiarowej jest zawsze większa od geometrycznej powierzchni tej elektrody. Jest to spowodowane rozszerzaniem się linii pola elektrycznego poza obszar elektrody pomiarowej. Efekt ten występuje również w układach trójelektrodo-wych, jak pokazano na rysunku 4.2.7, ponieważ szczelina g nie jest nieskończenie mała. Przeważnie ma ona grubość 1–2 mm.

g

ε1

elektroda 1 elektroda 2

elekt

haε1

Rys. 4.2.7. Rozkład linii p

Zwykle przyjmuje się, że esię do połowy szczeliny g z kazałamania się linii pola elektrydy pomiarowej jest mniejsza iszczeliny g. Efektywna powier

• okrągłych

• prostokątnych

• kwadratowych

• rurowych

gdzie: d1 – średnica elektrody pg – szerokość szczeliny a i b – boki elektrody pomB – współczynnik ujm

pomiarowej. W normach dotyczących p

i IEC 93:1980 [15] we wzorach

ε2ε2

roda 3

ola na wskroś dielektryka w układzie trójelektrodowym

fektywna powierzchnia elektrody pomiarowej zwiększa żdej strony tej elektrody. W rzeczywistości – na skutek cznego w szczelinie – efektywna powierzchnia elektro- do jej obliczeń należy przyjmować mniej niż połowę zchnia dla elektrod:

4)(π 2

1 BgdA += , (4.2.1)

( )BgbBgaA ++= )( , (4.2.2)

, (4.2.3) 2)( BgaA +=

))((π 1 BglhdA o +−= , (4.2.4)

omiarowej (1), między elektrodą pomiarową (1) a elektrodą ochronną (2), iarowej prostokątnej lub kwadratowej (rys. 4.2.4), ujący powiększenie efektywnej powierzchni elektrody

omiarów rezystywności skrośnej PN-88/E-04405 [21] (4.2.1)–(4.2.4) przyjęto współczynnik B = 1. W normie

50

amerykańskiej ASTM D 257-99 [27], odnoszącej się do pomiarów rezystywności skro-śnej, w części głównej w tabeli 1, podającej wzory pozwalające obliczać rezystywność skrośną, również przyjęto współczynnik B = 1, natomiast w dodatku X2 tej normy stwierdzono, że efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej różni się od jej rzeczy-wistej powierzchni i współczynnik B wyrażono zależnością:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

hg

ghB

4πcoshln

π41 , (4.2.5)

w której g jest szerokością szczeliny, a h grubością próbki. W normie amerykańskiej ASTM 150 [26], która opisuje pomiary przenikalności

elektrycznej, we wzorach umożliwiających obliczanie efektywnej powierzchni elek-trody pomiarowej uwzględniono współczynnik B w postaci wyrażenia (4.2.5).

Normy PN-86/E-04403 [20] i ST SEW 3164-81 [28] dawnego RWPG, dotyczące pomiarów przenikalności elektrycznej, uwzględniają współczynnik B. Dla cienkich elektrod o grubości a << h podano tam wzór:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hg

ghB 7854,0coshlg932,21 , (4.2.6)

a dla grubych elektrod o a > h przyjęto B = 1. Jeżeli zamieni się logarytm dziesiętny na logarytm normalny i przyjmie, że liczba π = 3,141, to okazuje się, że wzór (4.2.6) jest identyczny ze wzorem (4.2.5).

Natomiast w normie międzynarodowej IEC 250:1969 [17], dotyczącej pomiarów przenikalności elektrycznej, przyjęto współczynnik B = 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

B

g/h

Rys. 4.2.8. Zależności współczynnika B od stosunku szerokości szczeliny g do grubości próbki h

51

Zależność (4.2.5) jako funkcję B = f (g/h) pokazano na rysunku 4.2.8. Dla bardzo grubych próbek, kiedy h >> g, wartość B → 1. Dla bardzo cienkich próbek, kiedy h << g, wartość B → 0. Na przykład, jeżeli h = 0,1 g, a więc przy szerokości szczeliny g = 1 mm dla folii o grubości h = 100 µm, B przyjmuje wartość poniżej 0,1. Zatem przyjęcie B = 1 może mieć istotny wpływ na wyniki obliczeń efektywnej powierzchni A, a więc i na wynik pomiarów rezystywności skrośnej i przenikalności elektrycznej, szczególnie cienkich materiałów takich jak folie.

Zakładając poprawność wzoru (4.2.5)1, na rysunku 4.2.9 przedstawiono wykresy względnych błędów obliczenia efektywnej powierzchni δA, spowodowanych przyjęciem współczynnika B = 1 w funkcji stosunku grubości próbki h do szerokości szczeliny g. Wykresy te sporządzono dla dwóch wartości średnicy elektrody pomiarowej d1 = 25 mm i 50 mm i dwóch szerokości szczeliny g = 1 mm i 2 mm. Należy zauważyć, że dla próbek o grubości mniejszej od szerokości szczeliny błędy przekraczają 1 %, a dla bardzo cien-kich próbek mogą dochodzić do 16 %. Zatem dla cienkich folii, na które naparowuje się elektrody metalowe (np. srebrne), można przyjąć do obliczeń powierzchni efektywnej A wartość współczynnika B = 0, ale absolutnie nie powinno się przyjmować wartości B = 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

g = 2 mm, d1 = 25 mm

g = 1 mm, d1 = 25 mm i g = 2 mm, d

1 = 50 mm

g = 1 mm, d1 = 50 mm

δA, %

h/g

Rys. 4.2.9. Względny błąd obliczenia efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej spowodowany przyjęciem współczynnika B = 1

1 W normie ASTM 257-99 [27] podano wzór (4.2.5) z odwołaniem się do artykułu Endicotta [3], któ-

ry dotyczy pomiarów przenikalności elektrycznej. W publikacji tej zależność (4.2.5) podano, nie wypro-wadzając jej, ale odwołując się do rozprawy doktorskiej W.G. Ammeya z 1947 r. obronionej na Jon Hopkins University. Niestety, autor niniejszej monografii nie mógł się z tą rozprawą zapoznać, gdyż była ona dla niego niedostępna.

52

Literatura

[1] Blicharski M., Wstęp do inżynierii materiałowej, WNT, Warszawa, 1998. [2] Bogusz W., Krok F., Elektrolity stałe – właściwości elektryczne i sposoby ich pomiaru, WNT, War-

szawa, 1995. [3] Endicott H.S., Guard-gap correction for guarded electrode measurements and exact equations for

the two-fluid method of measuring permittivity and loss, Journal of Testing and Evaluation, Vol. 4 (1976), No. 3, pp. 188–195.

[4] Gajewski A.S., Elektryczność statyczna – poznanie, pomiar, zapobieganie, eliminowanie, Inst. Wyd. Związków Zawodowych, Warszawa, 1987.

[5] Ieda M., Sawa G., Nakamura S., Nishio Y., A spontaneous current from the metal (1)-polymer–metal (2) system, J. Appl. Physics., Vol. 46 (1975), No. 6, pp. 2796–2798.

[6] Lathan R.V. (ed.) et al., High voltage vacuum Insulation: Basic concepts and technological practice, Academic Press, London, 1995.

[7] Mizutani T., Takai Y., Osawa T., Ieda M., Barrier heights and surface states of metal-polymer (PET) contacts, J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 9 (1976), pp. 2253–2259.

[8] Motyl E., Ładunek przestrzenny w izolacji uwarstwionej, Materiały V Sem. Tech. „Materiały i ukła-dy elektroizolacyjne w przemyśle”, Ustroń–Jaszowiec, 2000, s. 81–86.

[9] O’Dwyer J.J., The theory of electrical conduction and breakdown in solid dielectrics, Clarendon Press, Oxford, 1973.

[10] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1968. [11] Siciński Z i in., Materiały elektroizolacyjne, WNT, Warszawa, 1965. [12] Simorda J., Staroba J., Elektryczność statyczna w przemyśle, WNT, Warszawa, 1970. [13] Szelezyngir W., Tworzywa sztuczne. Chemia, technologia wytwarzania, właściwości, przetwórstwo,

zastosowanie, tom 1 i 2, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów, 1998. [14] Żuchowska D., Polimery konstrukcyjne, WNT, Warszawa, 1995. [15] IEC 93:1980 Methods of test for volume resistivity and surface resistivity of solid electrical insulat-

ing materials. [16] IEC 212: 1971 Standard conditions for use prior to and during the testing of solid electrical insulat-

ing materials. [17] IEC 250:1969 Recommended methods for the determination of the permittivity and dielectric dissi-

pation factor of electrical insulating materials at power, audio and radio frequencies including me-tre wavelengths.

[18] IEC 1340-4-1:1995 Standard test methods for specific applications. Electrostatic behavior of floor covering and installed floors.

[19] PN-72/E-04400 Materiały elektroizolacyjne stałe. Przygotowanie próbek do badań. Znormalizowane warunki otoczenia.

[20] PN-86/E-04403 Materiały elektroizolacyjne stałe. Metody pomiaru przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych.

[21] PN-88/E-04405 Materiały elektroizolacyjne stałe. Pomiary rezystancji. [22] PN-93/E-05203 Ochrona przed elektrycznością statyczną. Materiały i wyroby stosowane w obiek-

tach oraz strefach zagrożonych wybuchem. Metody badania oporu elektrycznego właściwego i oporu upływu.

[23] PN-EN 1149-1/2:1999 Odzież ochronna. Właściwości elektrostatyczne. Rezystywność powierzch-niowa (metody badania).

[24] PN-EN 50014+AC:1997 Urządzenia elektryczne w przestrzeniach zagrożonych wybuchem. Wyma-gania ogólne.

53

[25] PN-EN ISO 291+AC1:1999 Tworzywa sztuczne. Znormalizowane warunki kondycjonowania i bada-nia.

[26] ASTM D 150-99 Standard test methods for a-c loss characteristics and permittivity (dielectric con-stant) of solid electrical insulation.

[27] ASTM D 257-99 Standard test methods for dc resistance or conductance of insulating materials. [28] Norma byłego RWPG: ST SEW 3164-81 Materialy elektroizolacionnye twerdye. Metody opredeleni-

ja dielektričeskoj pronicaemosti i tangensa ugla dielektričeskich poter.

5. Pomiary rezystywności skrośnej

Rezystywność skrośną ρv definiuje się jako iloraz natężenia stałego pola elektrycz-nego E i gęstości prądu ustalonego Jvu płynącego wewnątrz materiału izolacyjnego, czyli

vu

v JE

=ρ . (5.1)

W praktyce rezystywność skrośna jest to rezystancja skrośna odniesiona do jed-nostki objętości próbki, czyli do powierzchni elektrody pomiarowej i grubości próbki [16, 17, 20]. Oblicza się ją ze wzoru

hARvv =ρ , (5.2)

w którym: A – efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej obliczana ze wzorów (4.2.1)–

(4.2.4) podanych w podrozdziale 4.2.4, h – grubość próbki, Rv – rezystancja skrośna. Rezystywność skrośną ρv mierzy się więc zawsze metodą pośrednią, tzn. przez pomiar

rezystancji skrośnej Rv, efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej A i grubości próbki h. Wymiary geometryczne elektrod i próbki na ogół określa się bez większych problemów. Poprawny pomiar rezystancji skrośnej może natomiast być kłopotliwy. Jest to spowodowane zarówno samą naturą dielektryka, jak i metodą pomiaru, a także niedoskonałością aparatury pomiarowej. Problemy uwidaczniają się szczególnie jaskrawo podczas pomiarów dielektry-ków o ekstremalnie dużych rezystywnościach, np. politetrafluoroetylenu (PTFE) [6, 14].

We wstępie do rozdziału 4 stwierdzono, że materiały izolacyjne mogą być mniej lub bardziej niejednorodne i różnić się rezystywnością poszczególnych fragmentów próbki. Zmierzona rezystywność skrośna, obliczona ze wzoru (5.2), jest zawsze wartością średnią z objętości, przez którą przepływa mierzony prąd. To uśrednienie jest tym mniejsze, im mniej-sza jest efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A i grubość próbki h. Poszczególne próbki mogą mieć więc różną rezystywność. Dlatego aby uzyskać informację o wartości średniej rezystywności i niejednorodności materiału, pomiary wykonuje się na wielu repre-zentatywnych próbkach. Im większa jest niejednorodność materiału, tym większa powinna być liczba badanych próbek.

56

5.1. Pomiar rezystancji skrośnej

Rezystancję skrośną Rv definiuje się jako iloraz wartości napięcia stałego U, przy-łożonego między dwiema elektrodami umieszczonymi na dwóch przeciwległych po-wierzchniach próbki, i prądu skrośnego ustalonego Iv płynącego między tymi elektro-dami. Pomija się w tym przypadku prąd płynący po powierzchni próbki Is [16, 17]. Można to wyrazić wzorem:

v

v IUR = . (5.1.1)

Rys. 5.1.1. Prądy skrośny Iv i powierzchniowy Is podczas pomiaru rezystancji skrośnej w układzie dwuelektrodowym

Rys. 5.1.2. Schemat układu do pomiaru rezystywności skrośnej w układzie trójelektrodowym. Elektrody: 1 – pomiarowa, 2 – ochronna, 3 – napięciowa

57

Gdy rezystancję skrośną mierzy się w układzie dwuelektrodowym, wtedy prąd powierzchniowy zafałszowuje wyniki pomiarów, gdyż zmierzony prąd jest sumą prą-dów skrośnego Iv i powierzchniowego Is (rys. 5.1.1).

Zastosowanie elektrody ochronnej (2) połączonej z masą źródła napięcia U powoduje, że prąd powierzchniowy Is teoretycznie nie płynie przez miernik prądu. Natomiast między elektrodami 1 (pomiarową) i 3 (napięciową) płynie tylko prąd skrośny Iv (rys. 5.1.2).

5.1.1. Wpływ rezystancji izolacji

W rzeczywistości miernik prądu ma nie zerową, lecz skończoną wartość rezystan-cji RA. Rezystancja ta jest ilorazem napięcia wejściowego miernika prądu UA i mierzo-nego prądu Iv (RA=UA/Iv). Jej wartość jest tym większa, im mniejszy jest zakres po-miarowy miernika prądu. Dla najlepszego na rynku elektrometru 6517A firmy Keithley napięcie wejściowe ≤20 µV dla zakresów: 20 pA, 2 nA, 20 nA, 2 µA i 20 µA [3], czyli dla zakresu 20 pA rezystancja wejściowa wynosi 1 MΩ. Dla innych mierni-ków małych prądów rezystancja ta jest znacznie wyższa i często osiąga wartość rzędu 1 GΩ. Rezystancja miernika prądu jest bocznikowana rezystancją upływu izolacji RiA (rys. 5.1.2), na którą składa się rezystancja upływu izolacji ekranowanego kabla kon-centrycznego, łączącego miernik z elektrodą pomiarową próbki, i innych elementów izolacji wejścia miernika oraz rezystancja powierzchniowa Rs badanej próbki między elektrodami 1 i 2 (rys. 5.1.2). Rezystancja powierzchniowa Rs może mieć szczególnie istotny wpływ na wyniki pomiarów rezystywności materiałów antystatycznych i uwarstwionych, których rezystancja powierzchniowa może być znacznie mniejsza od rezystancji skrośnej. Może to spowodować znaczne błędy w pomiarach rezystancji skrośnej. Rezystancja upływu RiA powinna być co najmniej 100 razy większa od rezy-stancji miernika prądu RA. Wówczas błąd pomiaru prądu spowodowany bocznikowa-niem miernika prądu tą rezystancją nie przekroczy 1 %.

Rezystancja upływu izolacji od strony źródła zasilającego Riz bocznikuje tylko źródło napięcia. Prąd płynący przez tę izolację obciąża jedynie to źródło, ale nie wpływa na wartość mierzonego prądu skrośnego Iv.

Gdyby jednak ktoś uziemił źródło napięcia nie od strony miernika prądu (rys. 5.1.2), ale od strony elektrody napięciowej próbki, wówczas rezystancja izolacji RiA będzie bocznikowała mierzoną rezystancję i przy dużych mierzonych rezystancjach – fałszowała wyniki pomiarów [5].

5.2. Wpływ czasu pomiaru

Jak wykazano w podrozdziale 2.3, prąd płynący przez próbkę Iv pod wpływem przyłożonego napięcia U początkowo w ciągu 10–15–10–12 s gwałtownie zwiększa

58

swoją wartość wskutek prądu ładowania, a następnie zmniejsza się w funkcji czasu asymptotycznie do wartości ustalonej Ivu (rys. 2.3.1 i 5.2.1). Dla dielektryków o du-żych rezystywnościach – np. PTFE – czas, po którym prąd skrośny Iv(t) osiąga war-tość ustaloną Ivu, może wynosić wiele minut, godzin, dni, miesięcy, a nawet lat. Aby zapewnić prawidłowe działanie przyrządu, należy na czas trwania prądu ładowania doprowadzić napięcie do próbki przy zwartych zaciskach miernika prądu.

Rys. 5.2.1. Zależność prądu skrośnego i rezystancji skrośnej od czasu pomiaru

Ponieważ nieustaloną rezystancję skrośną Rv definiuje się jako iloraz napięcia U przez prąd Iv, zwiększa się ona asymptotycznie w funkcji czasu, dążąc do wartości ustalonej Rvu (rys. 5.2.1). Analogiczny przebieg ma charakterystyka rezystywności. Jeżeli prąd skrośny nie ustali się w ciągu 60 s, to przyjmując zalecenia norm IEC 93 i PN-88/E-04405, dla materiałów o rezystywności skrośnej powyżej 1010 Ωm należy odczytać wartość rezystancji skrośnej po 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 min od włączenia napięcia. Dlatego podając wyniki pomiarów rezystywności nieustalonej, trzeba podać czas, do którego się one odnoszą. W przypadku, gdy wymagany jest pomiar wartości rezystancji ustalonej, należy przedłużyć czas pomiaru znacznie ponad podane w nor-mach 100 min.

Najlepiej jest rejestrować mierzoną rezystywność przez cały czas pomiarów i podawać ją w postaci charakterystyki czasowej. Często jednak normy wyrobów wymagają, żeby pomiar rezystywności wykonać tylko po 1 minucie od włączenia źródła napięcia. Nie jest to rezystywność skrośna sensu stricto, zgodna z definicją

59

normy IEC 93, którą określa się dla wartości ustalonej prądu skrośnego. Polska norma PN-88/E-04405 nazywa tę rezystywność nieustaloną rezystywnością skro-śną [17].

Wykonanie pomiaru w czasie to powoduje, że prąd skrośny Ivo różni się od prądu ustalonego Ivu o wartość ∆Iv, a zmierzona rezystancja skrośna Rvo różni się od praw-dziwej rezystancji skrośnej Rvu, odpowiadającej wartości prądu ustalonego (rys. 5.2.1).

5.3. Wpływ naelektryzowania próbki

W podrozdziale 2.4 wykazano, że przed pomiarem próbka dielektryka może być naelektryzowana i mieć wewnętrzny ładunek elektryczny, który bardzo wolno zani-ka. Ładunek ten jest źródłem prądu deelektryzacji Ide (rys. 5.3.1a), które można za-stąpić źródłem zastępczego napięcia Uz (rys. 5.3.1b) [7,8]. Obydwa układy są rów-noważne.

Rv

Rys. 5.3.1. Uproszczony układ do pomiaru rezystancji skrośnej z uwzględnieniem ładunku zgromadzonego w dielektryku: a) układ zastępczy dielektryka równoległy,

b) układ szeregowy po zastosowaniu twierdzenia Thevenina

Mierzona rezystancja skrośna w układzie przedstawionym na rysunku 5.3.1a wy-nosi

devv

v IIU

GR

−==

1 , (5.3.1)

60

a w układzie na rysunku 5.3.1b

v

zv I

UUR −= . (5.3.2)

Napięcie zastępcze Uz można zmierzyć w próbce dielektryka z tylko jedną elektro-dą. Jeśli elektrody znajdują się po obydwu stronach próbki, to można łatwo zmierzyć prąd Ide, zwierając (przed przyłożeniem napięcia) elektrody przez miernik prądu w sposób pokazany na rysunku 5.3.2.

Rys. 5.3.2. Pomiar prądu deelektryzacji

Jak wykazano w podrozdziale 2.4, prąd Ide nie jest stały w czasie t i w okresie między pomiarem jego wartości a pomiarem rezystancji skrośnej może ulec zmianie. Dlatego trudno go ująć w postaci poprawki. Charakterystyka czasowa tego prądu ma czasami zadziwiający przebieg. Przykład takiej charakterystyki zarejestrowanej komputerowo w czasie 5 h dla próbki PTFE przedstawiono na rysunku 5.3.3 [9, 10]. Prąd deelektryzacji początkowo narasta, osiągając maksimum, a następnie maleje i zmienia kierunek przepływu. Nawet po pięciu godzinach nie zmierza do wartości zerowej.

Ładunek zgromadzony w próbce może być tak duży, że wskazania miernika prą-du lub rezystancji mogą być ujemne. Oznacza to, że napięcie zastępcze Uz jest więk-sze od przyłożonego napięcia U, często wynoszącego 1000 V. W tym przypadku mierzący łatwo zorientuje się, że otrzymał nonsensowny wynik pomiaru. Gorzej, jeżeli napięcie zastępcze jest mniejsze od napięcia pomiarowego, gdyż wskazania miernika są dodatnie, a osoba niezorientowana wykonująca pomiary może ten wynik uznać za poprawny.

61

0 1 2 3 4 5-2,5⋅10-14

0

5⋅10-14

0⋅10-14

5⋅10-14

0⋅10-1

Ide , A

t , h

1, 31 , 0 ⋅ 10 – 1 3

7,7 , 5 ⋅ 10 – 1 4

5,5 , 0 ⋅ 10 – 1 4

2,2 , 5 ⋅ 10 – 1 4

– 2 , 5 ⋅ 1 0 – 1 4

Rys. 5.3.3. Charakterystyka prądu deelektryzacji próbki PTFE

Przykład, jak naelektryzowanie próbki PTFE wpływa na wyniki pomiarów rezy-stywności, pokazano na rysunku 5.3.4 [9, 10]. Na próbkę naparowano z jednej strony elektrodę srebrną, a elektrodą pomiarową i ochronną były elektrody dociskowe pokryte gumą przewodzącą. Najpierw próbkę, która nie była jeszcze poddawana pomiarom, dokładnie zdeelektryzowano, czyli praktycznie całkowicie pozbawiono ładunku elek-trycznego wskutek jej długotrwałego zwarcia przez elektrometr mierzący prąd. Następ-nie umieszczono ją w ekranowanej komorze i elektrometrem 6517A firmy Keithley, współpracującym z komputerem, zmierzono rezystywność skrośną ρ v w funkcji czasu, obliczając programowo jej wartość ze wzoru (5.2), a rezystancję skrośną – ze wzoru (5.1.1). Pomiary wykonywano przy napięciu U = 1000 V. Po zakończeniu pomiarów znowu rozładowywano próbkę, zdjęto elektrodę pomiarową z pierścieniem ochronnym i na jej miejscu umieszczono elektrodę ulotową. Celowo naelektryzowano próbkę meto-dą wyładowania koronowego. Usunięto elektrodę ulotową, a na jej miejscu nad próbką umieszczono detektor pola elektrycznego i metodą kompensacyjną zmierzono wartość napięcia zastępczego Uz. Następnie powtórzono pomiary rezystywności w funkcji czasu. Charakterystyka rezystywności próbki naelektryzowanej ujemnie (Uz < 0) przyjmuje wyższe wartości niż charakterystyka próbki nienaelektryzowanej, i to tym wyższe, im większa jest wartość ujemnego napięcia zastępczego (krzywe 2 i 3 na rys. 5.3.4). W przypadku naelektryzowania próbki dodatnio (Uz > 0) charakterystyka rezystywności przebiega poniżej charakterystyki próbki nieelektryzowanej.

62

0 120 240 360 480 6001017

1018

1019

1020

(4)

(2)

(3)

(1)

ρv , Ωcm

t , s

Rys. 5.3.4. Wpływ naelektryzowania próbki PTFE na wyniki pomiarów rezystywności: bez elektryzacji (1), po naelektryzowaniu, gdy Uz = –300 V (2),

– Uz = –790 V (3), – Uz = +400 V(4)

Norma IEC 93 [16] zaleca deelektryzcję próbki przed pomiarem przez zwarcie jej elektrod i pomiar prądu deelektryzacji tak długo, aż osiągnie on wartość całkowicie ustaloną, małą w porównaniu z oczekiwaną ustaloną wartością prądu skrośnego lub w porównaniu z prądem po 100 minutach, podczas przyłożenia napięcia. Może to trwać kilka godzin. Czasami zwarcie elektrod próbki na kilka dni nie daje zadowalających efektów. Zdarza się, że po długim zwarciu elektrod i umieszczeniu próbki w układzie pomiarowym prąd skrośny nadal płynie w kierunku przeciwnym, nawet jeśli przyłoży się do próbki napięcie 1000 V. Próbkę taką można jedynie rozładować w realnym czasie, umieszczając ją ze zwartymi elektrodami w podwyższonej temperaturze.

Polska norma PN-88/E -04405 [17] zaleca, aby próbkę rozładowywać tak długo, aż prąd rozładowania zmniejszy się do wartości 10-krotnie mniejszej od oczekiwanej war-tości prądu podczas pomiaru. Należy zauważyć, że przy takim rozładowaniu próbki błąd pomiaru prądu spowodowany przez ładunek zgromadzony w próbce wynosi 10 %.

Jeżeli rozładowanie próbki w realnym czasie staje się niemożliwe, a prąd deelek-tryzacji Ide ma już wartość ustaloną, to można zaprzestać dalszej deelektryzacji, roze-wrzeć elektrody próbki i włączyć źródło napięcia. Wówczas wynik pomiaru oblicza się ze wzoru (5.3.1). Należy jednak pamiętać, że prąd Ide może mieć wartość dodatnią, czyli zgodną z kierunkiem prądu Iv, lub ujemną, czyli przeciwną do kierunku prądu Iv.

63

5.4. Metoda Badiana

Aby skrócić czas pomiarów rezystywności i nie czekać, aż ustali się wartość prądu absorpcji, Badian zaproponował obliczenie rezystywności skrośnej z charakterystyk gęstości prądów absorpcji i resorpcji zdjętych w krótkim czasie [1]. W metodzie tej w czasie t1 rejestruje się wartość prądu skrośnego Iv(t1), a w czasie t2 – wartość prądu resorpcji Ir(t2). Czas pomiaru prądu resorpcji powinien być równy czasowi pomiaru prądu skrośnego, czyli t1 = t2. Metodę tę ilustruje rysunek 5.4.1

t1 t2t2t1

Jv(t1)Ju

t t

Jv(t1)

0t0

Jr(t2)Jr(t2)

Rys. 5.4.1. Graficzna ilustracja metody Badiana

Gęstość prądu skrośnego w czasie t1

1

11 )()(tDEtJJtJ auv ∂

∂+=+= γ (5.4.1)

jest sumą gęstości ustalonego prądu skrośnego Ju i gęstości prądu absorpcji Ja(t1). Badian założył, że gęstość prądu resorpcji jest zwierciadlanym odbiciem prądu ab-sorpcji, czyli

)()( 12 tJtJ ar −= . (5.4.2)

Zatem gęstość ustalonego prądu skrośnego

)()( 21 tJtJJ rvu += lub )()( 21 tJtJJ rvu −= , (5.4.3)

a rezystywność skrośna

64

)()()()( 2121 tJtJ

EtJtJ

E

rvrvv −

=+

=ρ . (5.4.4)

Analogicznie ustalona rezystancja skrośna wynosi

)()()()( 2121 tItI

UtItI

URrvrv

v −=

+= . (5.4.5)

Trzeba pamiętać, że przed pomiarami rezystywności metodą Badiana próbkę nale-ży dokładnie rozładować, gdyż wyniki pomiarów będą obarczone znacznymi, niezna-nymi błędami spowodowanymi przez ładunek zgromadzony w próbce.

Metoda Badiana umożliwia uzyskanie tylko ekwiwalentnych wartości ustalonych rezystywności skrośnej, które mogą znacznie się różnić od rzeczywistych wartości ustalonych. Różnice te są na ogół tym mniejsze, im dłuższy jest czas pomiaru t1 = t2. Dlatego metoda ta nie uzyskała powszechnej aprobaty i nie jest zalecana w nor-mach.

5.5. Metoda zmiennej polaryzacji

Jeśli ładunek elektryczny zgromadzony w próbce nie ulegałby zmianie w czasie pomiaru, to jego wpływ można by wyeliminować, wykonując pomiary rezystywności przy napięciu pomiarowym U o dodatniej i ujemnej polaryzacji. Wynikiem pomiaru powinna być wówczas wartość średnia [7].

Firma KEITHLEY oferuje program Keithley 6517 Hi-R Test do pomiaru rezystan-cji przy cyklicznej zmianie polaryzacji napięcia [2, 4]. W czasie pierwszego kroku, gdy polaryzacja napięcia jest dodatnia w zadanym czasie, rejestruje się charakterysty-kę czasową prądu skrośnego. W drugim kroku zmienia się polaryzację napięcia, za-chowując niezmienioną jego wartość, i rejestruje się charakterystykę prądu skrośnego w takim samym czasie jak w pierwszym kroku. W trzecim kroku znowu zmienia się polaryzację napięcia i rejestruje charakterystykę prądu skrośnego. Kroki te są dalej powtarzane, a ich liczbę zadaje obsługujący program. Na rysunku 5.5.1 przykładowo przedstawiono wyniki cyklicznych pomiarów prądów skrośnych dla folii PET o gru-bości 100 µm.

Jako wynik pomiaru prądu program Keithley 6517 Hi-R Test oblicza średnią wa-żoną końcowych wartości prądu każdego kroku z czterech ostatnich cykli pomiaro-wych ze wzoru:

8

)()(3)(3 4321śr

IIIII −++−+= . (5.5.1)

65

0 1800 3600 5400 7200 9000

0

-5⋅10-13

⋅10-12

⋅10-13

1⋅10-12

5

4

3

2

1

Iv , A

t , s

1⋅10–12

55⋅10–13

–5⋅10–13

-1–5⋅10–12

Rys. 5.5.1. Zależności prądów skrośnych próbek folii PET otrzymane przy użyciu programu Keithley 6517 Hi-R Test podczas kolejnych kroków (1, 2, 3, 4, 5) przy napięciu polaryzacji U = ± 100 V

Na rysunku 5.5.2 dla porównania pokazano charakterystyki prądów skrośnych w po-szczególnych krokach pomiarowych. Ponieważ przed badaniem próbka folii była dokła-danie zdeelektryzowana, w charakterystyce Iv(t) pierwszego kroku brak jest wpływu ła-dunku.

10-1210–12

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

10-13

10-14

1 2 3 4 5

Iv , A

t , s

10–13

10–14

Rys. 5.5.2. Nałożone charakterystyki czasowe prądów skrośnych pięciu kolejnych kroków pomiarowych dla folii PET przy napięciu pomiarowym U = ±100 V

66

Podczas polaryzacji do próbki zostaje wprowadzony ładunek elektryczny. Po zmianie polaryzacji napięcia U (stosownie do wspomnianej procedury) ładunek zgro-madzony w próbce w czasie drugiego kroku będzie powodował inny przebieg charak-terystyki prądu skrośnego niż podczas pierwszego kroku. Na rysunku 5.5.2 wyraźnie widać, że charakterystyka czasowa prądu skrośnego pierwszego kroku różni się znacznie od charakterystyk kolejnych cykli. Z tego powodu wartość prądu skrośnego określona wzorem (5.5.1), służąca do obliczania rezystywności skrośnej przez pro-gram Keithley 6517 Hi-R Test, jest nieprawdziwa.

Opisana metoda rzeczywiście umożliwia wyeliminowanie z wyników pomiarów prą-du deelektryzacji (prądu tła), ale nie eliminuje niekorzystnego wpływu prądu resorpcji na uzyskiwane wyniki. Błędy stąd wynikające mogą być znaczące i tym większe, im krócej cykl trwa. O tym firma Keithley, niestety, nie informuje użytkowników programu.

5.6. Metoda zmiennej polaryzacji zaproponowana przez autora

Aby poprawnie wykonywać pomiary rezystywności metodą zmiany polaryzacji napięcia przyłożonego do próbki, autor zaproponował istotną modyfikację metody zawartej w programie Keithley [9, 10]. Modyfikacja ta polega na tym, że przed każ-dym przyłożeniem napięcia polaryzującego do próbki zwiera się ją i mierzy wartość prądu resorpcji. Przykładowy przebieg pomiaru dla folii PET przedstawiono na ry-sunku 5.6.1, na rysunku 5.6.2 pokazano natomiast nałożone charakterystyki cza-

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 3500-1⋅10-12

-5⋅10-13

0

5⋅10-13

1⋅10-12

IrIr IaIaIaIrIaIr

4321

Iv , A

t , s

Rys. 5.6.1. Czasowe zależności prądów skrośnych próbek folii PET otrzymane metodą zmiennej polaryzacji z rozładowaniem próbki przed każdym krokiem

przy napięciu polaryzacji U = ± 100 V

67

sowe prądów skrośnych w poszczególnych krokach pomiarowych. Charakterystyki te praktycznie pokrywają się, można je więc uśrednić i określić nie tylko wartość po-prawną dla pożądanego czasu t, ale i wartości średnie prądu skrośnego. Wartości te można przyjąć do obliczania poprawnych wyników rezystywności skrośnych.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180010-14

10-13

10-12

Iv , A

t , s

1 2 3 4

Rys. 5.6.2. Nałożone czasowe charakterystyki prądów skrośnych czterech kolejnych kroków dla próbek folii PET otrzymane metodą zmiennej polaryzacji przy napięciu U = ± 100 V

Zaproponowana metoda pomiaru rezystywności eliminuje wpływ zarówno ładun-ku elektrycznego, który został zgromadzony w próbce przed pomiarami, podczas jej wytwarzania i przechowywania, i jest źródłem prądu deelektyzacji, jak i ładunku po-wstałego bezpośrednio przed pomiarem i będącego źródłem prądu resorpcji. Spełnia ona zalecenia normy IEC 93, ażeby pomiary rezystywności wykonywać przy oby-dwóch polaryzacjach napięcia. Pozwala ona również uzyskać wynik średni z wielo-krotnego powtórzenia pomiarów dla tej samej próbki, co znacząco zwiększa dokład-ność pomiarów rezystywności i czyni je bardziej wiarygodnymi. Metoda ta jest realizowana automatycznie przez specjalnie opracowany program umożliwiający współpracę elektrometru 6517A firmy Keithley z komputerem.

5.7. Wpływ temperatury i wilgotności

Na wyniki pomiarów rezystywności dielektryków znacząco wpływa temperatura próbki i jej wilgotność. Jeżeli kondycjonowanie próbki, a następnie pomiary są wyko-

68

nywane w innych warunkach środowiskowych od wymaganych (zobacz podrozdział 4.1.2), to zmiany te teoretycznie można ująć w postaci poprawek. Wówczas wzór (5.2) przyjmie postać

vWvTvv RhA ρρρ ∆∆ ++= , (5.7.1)

gdzie: ∆ρ vT – poprawka temperaturowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

temperatury próbki, ∆ρ vW – poprawka wilgotnościowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

wilgotności otoczenia próbki. Dla określenia tych poprawek niezbędna jest znajomość charakterystyk zmian re-

zystywności skrośnej w funkcji temperatury i wilgotności. Poprawkę temperaturową rezystywności skrośnej, która uwzględnia odchylenia ∆T temperatury próbki od tem-peratury normalnej, wyznacza się ze wzoru

,∆∆ TkTvvT =ρ (5.7.2)

a poprawkę wilgotnościową zmiany rezystancji skrośnej, która uwzględnia odchylenia ∆W wilgotności powietrza otaczającego próbkę od wilgotności normalnej, wyznacza się ze wzoru

,∆∆ WkWvvW =ρ (5.7.3)

gdzie: kTv – temperaturowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej, ∆T – różnica między temperaturą otoczenia w czasie pomiarów rezystywności

skrośnej a temperaturą, dla której określa się rezystywność skrośną, kWv – wilgotnościowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej, ∆W – różnica między wilgotnością względną otoczenia w czasie pomiarów rezy-

stywności skrośnej a wilgotnością względną, dla której określa się rezystywność skro-śną.

W praktyce rzadko kiedy współczynniki temperaturowy kTv i wilgotnościowy kWv są określone z taką dokładnością, że mogą służyć do obliczenia poprawek. Należy więc zadbać o to, ażeby pomiary były wykonywane w normalnych unormowanych warunkach podanych w podrozdziale 4.1.2.

Jeżeli pomiary wykonuje się w normalnych warunkach otoczenia, tzn. najczęściej 23/50 (temperatura 23 °C i wilgotność powietrza 50 %), to należy przyjąć, że warto-ści tych poprawek są równe zeru. Jeżeli w laboratorium temperatura waha się, na przykład w granicach (23±2)°C, a wilgotność powietrza zmienia się w granicach (50±10)%, to te zerowe poprawki są określone z niepewnościami, które należy osza-cować (zobacz podrozdziały 10.2.5 i 10.2.6).

69

5.8. Wpływ elektrod

Pomiary rezystywności skrośnej i powierzchniowej wymagają umieszczenia die-lektryka między elektrodami przewodzącymi, najczęściej metalowymi. W konse-kwencji mierzy się rezystancję obiektu utworzonego z dielektryka i nałożonych elek-trod, która może czasem znacznie się różnić od rezystancji próbki. Ta rezystancja kontaktu metal–elektroda jest spowodowana utworzeniem się:

• bariery potencjału na granicy dwóch materiałów o różnych poziomach energe-tycznych Fermiego,

• warstwy pośredniej w wyniku nanoszenia elektrod, • szczelin powietrznych w wyniku niedokładnego przylegania elektrod do dielek-

tryka. Zjawiska te bardziej szczegółowo omówiono w podrozdziale 4.2.1. Wpływ różnych elektrod na wyniki pomiarów rezystywności skrośnej badał

między innymi Maison [15]. Badania takie były również wykonywane pod kierun-kiem autora [11–13]. Najmniejszą rezystancję kontaktu metal–dielektryk uzyskuje się dla elektrod naparowanych srebrem lub złotem, przy czym w badaniach realizo-wanych pod kierunkiem autora ze względów ekonomicznych stosowano srebro. Rezystancja kontaktowa tych elektrod wynosi kilka kΩ. Zmierzono ją w następujący sposób. Na próbki płaskiego materiału półprzewodzącego naparowano próżniowo elektrody srebrne, każda o średnicy pomiarowej 50 mm, i zmierzono rezystancję skrośną trzech próbek. Z tego samego materiału wycięto próbki paskowe i zmierzo-no ich rezystywność metodą czteroelektrodową według normy PN-EN ISO 3915:2002 [19]. Następnie obliczono rezystancję, jaką powinna mieć badana prób-ka, przyjmując, że jej rezystywność jest równa wartości średniej z wyników uzyska-nych dla elektrod paskowych. Różnica między rezystancją zmierzoną a obliczoną jest rezystancją elektrod. Rezystancja elektrod rzędu kilku kΩ może znacząco zafał-szować wyniki pomiarów w przypadku materiałów półprzewodzących, w przypadku zaś materiałów dielektrycznych o rezystywnościach skrośnych przekraczających 108 Ωcm ma ona już pomijalnie mały wpływ.

Dla przykładu na rysunku 5.8.1 przedstawiono charakterystyki rezystywności skrośnej tej samej próbki tworzywa Polylac ABS o grubości 1,37 mm, ale z elektro-dami z różnych materiałów. W tabeli 5.8.1 zestawiono wartości średnie wyników po-miarów rezystywności tych trzech próbek po czasie polaryzacji 20 minut i względne różnice w tych wynikach, które porównano z wynikami uzyskanymi dla elektrod na-parowanych srebrem.

Wyniki pomiarów rezystywności skrośnej otrzymane dla próbek z naniesionymi elektrodami z lakieru srebrnego, grafitu koloidalnego i z folii aluminiowej różnią się od wyników dla próbek z elektrodami naparowanymi srebrem o około 20 %, nato-miast dla próbek z elektrodami z gumy przewodzącej różnica ta wynosi ponad 100 %.

70

Można zauważyć małą różnicę w wynikach (7 %) dla próbek z naklejanymi elektro-dami z folii aluminiowej, co uzasadnia się tym, że próbka jest stosunkowo gruba (1,37 mm) i cienka warstwa oleju parafinowego o rezystancji znacznie mniejszej niż próbki nie wpływa na końcowy wynik pomiarów.

0 200 400 600 800 1000 12001014

1015

1016

(1)

(2)(3)

(5)

ρ v , Ω

cm

t, s

(1) - guma przewodzca(2) - naparowane srebro(3) - folia aluminiowa(4) - grafit koloidalny(5) - lakier srebrny

(4)

Rys. 5.8.1. Przykładowe charakterystyki rezystywności skrośnej tworzywa Polylac ABS otrzymane przy elektrodach z różnych materiałów

Tabela 5.8.1. Wartości rezystywności skrośnej ρ v tworzywa Polylac ABS po czasie polaryzacji 1200 s przy elektrodach z różnych materiałów

i względne różnice wyników pomiarów δρv w odniesieniu do wyników uzyskanych przy elektrodach naparowanych srebrem

ρv δρvRodzaj materiału elektrod Ωcm %

Guma przewodząca (celka Keithley 8009) 3,2⋅1016 +110 Folia aluminiowa 1,6⋅1016 +7 Grafit koloidalny 1,3⋅1016 –13 Przewodzący lakier srebrny 1,2⋅1016 –20 Naparowane srebro 1,5⋅1016 –

guma przewodząca

71

5.9. Redukcja zakłóceń

Mierniki dużych rezystancji reagują na zmiany pojemności względem otoczenia. Zmiany pojemności spowodowane poruszeniem przewodu lub zbliżeniem ręki do przyrządu indukują ładunki elektryczne, które wpływają do wejścia prądowego mier-nika i zakłócają wskazania miernika. Zakłócenia ustępują po ustabilizowaniu się po-jemności sprzęgających.

pA

Celka pomiarowa

U

Opcjonalnedoprowadzeniekoncentryczne

Wymaganedoprowadzeniekoncentryczne

Rys. 5.9.1. Układ ekranowania podczas pomiaru rezystancji skrośnej

Zakłócenia spowodowane przez różne urządzenia pracujące w laboratorium lub w po-bliżu niego mogą być również przenoszone drogą elektromagnetyczną. Aby im zapobiec, badaną próbkę z elektrodami umieszcza się w ekranowanej celce (klatce Faradaya). Na rysunku 5.9.1 pokazano system ekranowania podczas pomiarów rezystywności skrośnej. Elektroda pomiarowa powinna być połączona z miernikiem prądu jedynie przewodem ekranowanym. Do połączenia elektrody napięciowej ze źródłem napięcia można opcjo-nalnie zastosować również przewód ekranowany, ale nie jest to konieczne.

Zakłócenia mogą się również przenosić przez sieć zasilającą lub wspólne uziemie-nie. Ażeby zakłócenia te zminimalizować, badane obiekty należy umieszczać w ekra-nowanych celkach, a połączenia wykonywać przewodami ekranowanymi, na wejściu zasilania stosować filtry przeciwzakłóceniowe lub zasilać mierniki z niezależnego źródła, np. UPS lub akumulatora, oraz masę miernika połączyć z uziemieniem indy-widualnym, do którego nie są przyłączone inne urządzenia zakłócające.

72

5.10. Rezystywność skrośna próbek cylindrycznych

Dla układu trójelektrodowego na próbce cylindrycznej (rys. 4.2.5) rezystywność skrośna jest definiowana zależnością:

v

v JE

=ρ , (5.10.1)

w której E jest natężeniem pola elektrycznego między elektrodami, a Jv – gęstością prądu skrośnego.

Gęstość prądu skrośnego między elektrodami 1 i 3 (rys. 4.2.5) na powierzchni walcowej o promieniu r, gdzie D1/2 ≥ r ≥ D2/2, jest określona wzorem:

( )BglrIJ v

v +=

1π2, (5.10.2)

w którym: Iv – prąd skrośny, l1 – długość elektrody pomiarowej (rys. 4.2.5), g – szerokość szczeliny między elektrodą pomiarową 1 a elektrodą ochronną

2 (rys. 4.2.5), B – współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej. Przekształcając wzór (5.10.1) z uwzględnieniem wyrażenia (5.10.2), otrzymuje się za-

leżność określającą natężenie pola elektrycznego E na powierzchni walca o promieniu r :

( )BglrIE v

v +=

1π2ρ . (5.10.3)

Napięcie U między elektrodami określa się, całkując natężenia pola E po promie-niu r :

( ) ( ) 1

2

1

2

21

2

2

lnπ2

d1π2

d2

1

2

1DD

BglIr

rBglIrEU vv

D

D

vvD

D+

=+

== ∫∫ρρ . (5.10.4)

Uwzględniając, że rezystancja skrośna jest określona wzorem:

v

v IUR = , (5.10.5)

otrzymuje się poprawny wzór definiujący rezystywność skrośną próbek walcowych:

( )

1

2

1

ln

π2

DD

BglRvv+

=ρ . (5.10.6)

73

a)

b)

Rys. 5.10.1. Błąd względny obliczenia rezystywności skrośnej ρ v próbek cylindrycznych ze wzoru (5.2) po podstawieniu do niego efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej ze wzoru (5.10.7)

w funkcji grubości próbki h (a) i powiększenie tego wykresu w zakresie h ≤ 1 mm (b)

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej 1 (rys. 4.2.5) jest większa od jej powierzchni geometrycznej. Normy IEC 93:1980 [16], PN-88/E-04405 [17] i ASTM D 257-99 [20] podają do jej obliczania wzór uproszczony:

( ) ( )glhDA ++= 11π , (5.10.7)

74

a do obliczania rezystywności skrośnej – wzór (5.2). Sposób obliczeń rezystywności skrośnej próbek walcowych zalecany w normach wprowadza błąd do wyniku pomiaru rezystywności powierzchniowej.

Przyjmując, że wartości obliczone ze wzoru (5.10.6) są prawdziwe, a wartości ob-liczone ze wzoru (5.2) – przybliżone, błąd przybliżenia można wyrazić wzorem:

12ln2

δ1

11 −++

=D

hDh

hDvρ . (5.10.8)

Względne wartości tego błędu δρ v jako funkcję grubości próbki h przedstawiono na rysunku 5.10.1.

5.11. Metoda wyznaczania rezystywności skrośnej ze stałej czasowej

W przypadku cienkich próbek głównym źródłem niepewności pomiaru rezystyw-ności skrośnej jest niepewność pomiaru grubości próbki. Pomiary grubości bardzo cienkich próbek folii klasycznymi metodami mikrometrycznymi mogą okazać się niemożliwe. Wówczas rezystywność skrośną folii można wyznaczyć pośrednio ze stałej czasowej τ = RC, a więc – ze wzoru [18]

ro

vv

CRεε

ρ = , (5.11.1)

w którym: Rv – zmierzona rezystancja skrośna próbki, C – zmierzona pojemność elektryczna próbki, εr – przenikalność elektryczna materiału próbki, εo – przenikalność próżni.

Literatura

[1] Badian L.A., An attempt for accurate determination and measurement of conductivity σ of dielectrics, Bulletin de L’Academie Polonaise des Science: Electrotechnics, Vol. 25, No. 1, 1977, pp. 7–12.

[2] Daire, Improving the Repeatability of Ultra-High Resistance and Resistivity Measurements, White paper, Keithley Instruments, Inc., www.keithley.com.

[3] Keithley: Model 6517 electrometer / high resistance meter. Getting started manual. [4] Keithley Instruments, Inc., Model 6524 high resistance measurement software. User’s manual, 1997. [5] Kędzia J., Skubis J., Włóczyk A., Wolny S., Laboratorium materiałoznawstwa elektrycznego, Ofic.

Wyd. Politechniki Opolskiej, Opole, 1998.

75

[6] Lisowski M., Adamowska M., Łuszczkiewicz W., Problemy pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej, Materiały Joint IMEKO TC-1 & XXXIV MKM Conference 2002, Vol. III. Ref-eraty grantowe, Wrocław, 2002, pp. 91–102.

[7] Lisowski M., Galik G., Lachowski A., Influence of the electric charge on the reliability of the PTFE of volume and surface resistivity measurements, International Conference on Advances in Process-ing, Testing and Applications of Dielectric Materials. APTADM '2001, Wrocław, Przegląd Elektro-techniczny, 2001, Z. spec., pp. 259–262.

[8] Lisowski M., Galik G., Lachowski A., Szacowanie niepewności wyników pomiarów rezystywności skrośnej materiałów dielektrycznych, Krajowy Kongresu Metrologii KKM’2001. Materiały Kon-gresu, t. 2. Warszawa, 2001, pp. 361–364.

[9] Lisowski M., Gałęzki P., Adamowska M., Eliminacja wpływu ładunku elektrycznego na wyniki po-miarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej, V Konferencja Naukowa: „Postępy w Elektro-technologii”, 2003, Prace Naukowe Instytutu Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Wrocławskiej nr 38, Konferencje nr 13, Oficyna Wydaw. Politech. Wroc., Wrocław, 2003, s. 129–132.

[10] Lisowski M., Kacprzyk R., Motyl E., Gałęzki P., Space charge influence on the results of volume resistivity measurements in solid dielectrics, Proceedings, XVII IMEKO World Congress Metrology in the 3rd Millennium, 2003, Dubrovnik, Croatia, pp. 837–840.

[11] Lisowski M., Mączka T., Czynniki wpływające na wyniki pomiarów podstawowych wielkości elek-trycznych tworzyw sztucznych i sposoby ich minimalizacji, Przegląd Elektrotechniczny, Vol. 74, (1998), nr 5, s. 136–140.

[12] Lisowski M., Mączka T., Talik S., Wpływ elektrod na niejednoznaczność wyników pomiarów rezystywności półprzewodzących tworzyw sztucznych, Materiały Krajowego Kongresu Metrologii KKM’98, Gdańsk, 1998, s. 381–384.

[13] Lisowski M., Murach G., Mączka T., Problemy określania niepewności wyników pomiarów w bada-niach podstawowych właściwości elektrycznych tworzyw sztucznych, Materiały V Sympozjum Klubu PF ISO 900 „Metrologia w systemach Jakości – 2”, Mikołajki, 1997, s. III.E/63–III.E/74.

[14] Lisowski M., Rzońca R., Właściwości elektryczne tarflenu, V Konferencja Naukowa: „Postępy w Elektrotechnologii”, 2003, Prace Naukowe Instytutu Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Wrocławskiej nr 38, Konferencje nr 13, Oficyna Wydaw. Politech. Wroc., Wrocław, 2003, s. 137–142.

[15] Maison A., Wpływ elektrod na badania relaksacji dielektrycznej, Przegląd Elektrotechniczny, Vol. 44 (1968), nr 2, s. 59–62.

[16] IEC 93:1980 Methods of test for volume resistivity and surface resistivity of solid electrical insulat-ing materials.

[17] PN-88/E-04405 Materiały elektroizolacyjne stałe. Pomiary rezystancji. [18] PN-EN 60674-1:2002 Folie z tworzyw sztucznych do celów elektrycznych. [19] PN-EN ISO 3915:2002 Tworzywa sztuczne. Pomiar rezystywności przewodzących tworzyw sztucz-

nych. [20] ASTM D 257-99 Standard test methods for dc resistance or conductance of insulating materials.

6. Pomiar rezystywności powierzchniowej

Rezystywność powierzchniowa ρs jest to iloraz natężenia stałego pola elektryczne-go E i gęstości liniowego prądu Js w wierzchniej warstwie materiału, czyli

s

s JE

=ρ . (6.1)

Określa się ją jako rezystancję powierzchniową zredukowaną do pola kwadratu. Roz-miar kwadratu nie ma znaczenia. W praktyce rezystywność powierzchniowa jest to rezystancja powierzchniowa odniesiona do wymiarów próbki [5, 7, 10]. Jej wartość oblicza się z zależności

glRss ⋅=ρ , (6.2)

w której l jest efektywną długością elektrody pomiarowej, a g – odległością między elektrodami.

Rezystywność powierzchniową, podobnie jak i rezystywność skrośną, określa się zawsze metodą pośrednią, mierząc rezystancję powierzchniową Rs, efektywną długość elektrody pomiarowej l i szerokość szczeliny g. Podobnie jak w pomiarach rezystyw-ności skrośnej, wyznaczenie wymiarów geometrycznych elektrod i próbki w tym przypadku także nie stwarza większych problemów. Uzyskanie natomiast wiarygod-nych powtarzalnych wyników rezystancji powierzchniowej jest znacznie trudniejsze niż rezystancji skrośnej. Dzieje się tak dlatego, że na stan powierzchni dielektryka i zmiany jego rezystancji powierzchniowej ma głównie wpływ otaczające środowisko. Problemy te uwidaczniają się szczególnie jaskrawo w pomiarach dielektryków o eks-tremalnie dużych rezystywnościach [1, 2].

Materiały dielektryczne mogą mieć niejednorodną powierzchnię o różnej rezy-stywności powierzchniowej. Ujawnia się to szczególnie wyraźnie w przypadku ma-teriałów kompozytowych. Zmierzona rezystywność powierzchniowa jest zawsze war-tością uśrednioną z całej powierzchni efektywnej próbki. Pomiary rezystywności powierzchniowej wykonuje się na kilku próbkach tego samego materiału; jeżeli w nor-mach wyrobów nie podano inaczej – na co najmniej trzech. Ze względu na niejednorod-

78

ność zarówno materiału, jak i stanu powierzchni próbki wyniki pomiarów rezystyw-ności poszczególnych próbek mogą się różnić.

6.1. Pomiary rezystancji powierzchniowej

Rezystancję powierzchniową Rs definiuje się jako iloraz wartości napięcia stałego U przyłożonego między dwiema elektrodami, umieszczonymi na powierzchni próbki, i prądu powierzchniowego Is między tymi elektrodami. W powierzchniowej warstwie próbki, przez którą przepływa prąd powierzchniowy, są zwykle jakieś zanieczyszcze-nia i wilgoć. Prąd płynie nie tylko po powierzchni próbki, ale także częściowo w jej objętości (rys. 6.1.1).

Rys. 6.1.1. Rozpływ prądów podczas pomiaru rezystancji powierzchniowej w układzie dwuelektrodowym

W przypadku, gdy rezystancję powierzchniową mierzy się w układzie dwuelektro-dowym, prąd skrośny Iv zafałszowuje wyniki pomiarów, gdyż prąd mierzony przez pikoamperomierz jest sumą prądu powierzchniowego Is i skrośnego Iv (rys. 6.1.1).

Zastosowanie układu trójelektrodowego, w którym elektroda ochronna (3) jest po-łączona z masą źródła napięcia U, powoduje, że prąd skrośny Iv teoretycznie nie pły-nie przez miernik prądu. Natomiast między elektrodami 1 (pomiarową) i 2 (napięcio-wą) płynie tylko prąd powierzchniowy Is (rys. 6.1.2).

Do pomiarów rezystancji powierzchniowej stosuje się zwykle ten sam układ elek-trod co i do pomiarów rezystywności skrośnej, przy czym elektroda 2 jest elektrodą napięciową, a elektroda 3 – ochronną. Często stosuje się elektrody prostoliniowe, na-zywane też paskowymi (rys. 4.2.6).

79

Rys. 6.1.2. Sc

Podczas pkimś stopniu wierzchni maniowa jest wipola elektryczmi. W konsekpowierzchniowwierzchniowerząc rezystancriału i odległysię rezystancjęelektrostatyczwierzchniowąsię elektrodę będzie spływa

Rezystancpowierzchniowod strony źród

hemat układu do pomiaru rezystancji powierzchniowej w układzie trójelektrodowym. Elektrody: 1 – pomiarowa, 2 – napięciowa, 3 – ochronna

6.1.1. Wpływ rezystancji skrośnej

omiaru rezystywności powierzchniowej pole elektryczne zawsze w ja-wnika w głąb materiału i powoduje przepływ prądu nie tylko po po-teriału, ale także w jego głębszych warstwach. Rezystancja powierzch-ęc zawsze bocznikowana przez jakąś rezystancję skrośną. To wnikanie nego będzie tym większe, im większa jest odległość między elektroda-wencji, gdy brak elektrody ochronnej, mierzy się już nie rezystancję ą, ale rezystancję izolacji, która jest wypadkową rezystancji po-

j i skrośnej. Według norm IEC 167:1964 [6] i PN-88/E-04405 [7], mie-ję między elektrodami paskowymi naniesionymi na powierzchnię mate-mi od siebie o 10 mm, ale bez elektrody ochronnej (rys. 4.2.6), mierzy izolacji, a nie – jak błędnie przyjęto w normach dotyczących ochrony

nej PN-93/E-05203 [8] i PN-EN 50014+A1:1997 [9] – rezystancję po-. Wpływ rezystancji skrośnej można zminimalizować, jeżeli zastosuje ochronną po drugiej stronie badanej próbki. Wówczas prąd skrośny Iv ł do tej elektrody (rys. 6.1.2).

6.1.2. Wpływ rezystancji izolacji

ja izolacji wpływa w taki sam sposób na wyniki pomiarów rezystancji ej jak i skrośnej (por. podrozdział 5.1.1). Rezystancja upływu izolacji ła zasilającego Riz bocznikuje tylko źródło napięcia. Prąd płynący przez

80

tę izolację obciąża jedynie to źródło, ale nie wpływa na wartość mierzonego prądu powierzchniowego Is (rys. 6.1.2). Rezystancja miernika prądu natomiast jest boczni-kowana przez rezystancję upływu izolacji RiA, na którą składa się rezystancja upływu izolacji ekranowanego kabla koncentrycznego, łączącego miernik z elektrodą pomia-rową próbki, i innych elementów izolacji wejścia miernika oraz rezystancja skrośna Rv badanej próbki. Rezystancja skrośna Rv najczęściej nie ma znaczącego wpływu, gdyż na ogół jest większa od rezystancji powierzchniowej. Rezystancja upływu RiA powinna być co najmniej 100 razy większa od rezystancji miernika prądu RA. Wówczas błąd pomiaru prądu spowodowany bocznikowaniem miernika prądu przez tę rezystancję wynosi nie więcej niż 1 %.

6.2. Rezystywność powierzchniowa mierzona w układzie koncentrycznych elektrod pierścieniowych

Układ koncentrycznych elektrod pierścieniowych jest najczęściej stosowany za-równo w pomiarach rezystywności powierzchniowej, jak i skrośnej. Wiele firm pro-dukuje takie zestawy elektrod do pomiarów rezystywności powierzchniowej tkanin i wykładzin podłogowych, np. zestaw opisany w publikacji [4]. Dla układu koncen-trycznych elektrod pierścieniowych (okrągłych) pokazanych na rysunku 4.2.4 rezy-stywność powierzchniowa jest definiowana zależnością

s

s JE

=ρ , (6.2.1)

w której E jest natężeniem powierzchniowym pola elektrycznego, a Js – gęstością prądu powierzchniowego.

Gęstość prądu powierzchniowego między elektrodami pierścieniowymi (rys. 6.2.1) o promieniach R1 i R2 wzdłuż obwodu o promieniu r jest określona wzorem

r

IJ ss π2= , (6.2.2)

w którym Is jest prądem powierzchniowym. Ze wzoru (6.2.1), po uwzględnieniu wyrażenia (6.2.2), otrzymuje się zależność

określającą natężenie pola elektrycznego E na obwodzie o promieniu r

rIE ss

π2ρ

= . (6.2.3)

Napięcie U między elektrodami o promieniach R1 i R2 wylicza się, całkując natę-żenie pola E po promieniu r

81

Rys. 6.2.1. Układ elektrod pierścieniowych do pomiarów rezystywności powierzchniowej

1

2lnπ2

d1π2

dπ2

d2

1

2

1

2

1RRIr

rIr

rIrEU ss

R

R

ssR

R

ssR

R

ρρρ∫∫∫ ==== . (6.2.4)

Przyjmując, że rezystancja powierzchniowa jest określona wzorem

s

s IUR = (6.2.5)

otrzymuje się poprawny wzór służący do obliczenia rezystywności powierzchniowej koncentrycznych elektrod kołowych

1

2ln

π2

RRRss =ρ (6.2.6)

lub

1

2ln

π2

ddRss =ρ , (6.2.7)

gdzie d1 i d2 są średnicami elektrod (d1 = 2R1, d2 = 2R2).

1

82

Dla elektrod okrągłych efektywna długość l jest większa od obwodu elektrody pomiarowej. Zgodnie z normami IEC 93:1980 [5], PN-88/E-04405 [7], ASTM D 257-99 [10] oblicza się ją ze wzoru przybliżonego

( )gdl += 1π , (6.2.8)

a rezystywność powierzchniową – ze wzoru (6.2). Ten sposób obliczeń – zalecany w normach – jest przyczyną błędu otrzymanej wartości rezystywności powierzchniowej.

Przyjmując, że wartości obliczone ze wzoru (6.2.7) są prawdziwe, a wartości obli-czone ze wzoru (6.2) przybliżone, błąd przybliżenia można wyrazić zależnością:

12ln2

δ1

11 −++

=d

gdg

gdsρ . (6.2.9)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

d 1 = 25 m

m

d 1 = 50 mm

δρs , %

g , mm

Rys. 6.2.2. Błąd względny δρs obliczenia rezystywności powierzchniowej ρs ze wzoru (6.1) przy podstawieniu do niego efektywnej długości l ze wzoru (6.2.2)

Względne wartości tego błędu δρs jako funkcja szerokości szczeliny dla g = d2 – d1 przedstawiono na rys. 6.2.2. Dla szerokości szczeliny g = 10 mm (zalecanej) i średni-cy elektrody pomiarowej d1 = 25 mm błąd ten wynosi 2,9 %, a dla średnicy d1 = 50 mm – 1 %. Jeżeli jednak szerokość szczeliny będzie niewielka tj. 1–2 mm (najczęściej szerokość szczeliny ma taką wartość), to przy średnicy elektrody pomia-rowej d1 = 50 mm błąd ten będzie mniejszy niż 0,1 %, a więc pomijalnie mały.

83

6.3. Wpływ czasu pomiaru

Przyłożenie napięcia stałego do elektrod umieszczonych na powierzchni próbki spowoduje przepływ prądu powierzchniowego Is(t), zmieniającego się w czasie ana-logicznie jak prąd skrośny Iv(t) (zobacz podrozdział 5.2). Czas ustalania się prądu powierzchniowego jest jednak znacznie krótszy niż czas ustalania się prądu skrośne-go. Chcąc mieć pełny obraz charakterystyki czasowej zmian prądu powierzchniowe-go, należy go rejestrować aż do ustalenia się jego wartości. Charakterystyki czasowe rezystancji powierzchniowej Rs(t) lub rezystywności powierzchniowej ρs(t) mają ana-logiczny przebieg jak Rv(t) i ρ v(t). Normy dotyczące pomiarów rezystywności [5, 7, 10] zalecają podawanie wyników pomiarów rezystywności powierzchniowej tylko po 1 min od przyłożenia napięcia do próbki, nawet gdyby to była wartość nieustalona.

6.4. Wpływ naelektryzowania powierzchni próbki

Naelektryzowanie powierzchni próbki może mieć znaczący wpływ na wynik po-miaru rezystancji powierzchniowej, podobnie jak naelektryzowanie próbki w pomia-rach rezystancji skrośnej. Przed pomiarem próbka powinna być poddana deelektryza-cji w analogiczny sposób jak przed pomiarem rezystywności skrośnej. Należy zewrzeć elektrodę pomiarową z napięciową przez miernik prądu i rejestrować wartość prądu deelektryzacji do czasu, aż osiągnie on wartość ustaloną pomijalnie małą w porówna-niu ze spodziewanym prądem powierzchniowym po 1 minucie od włączenia napięcia. Jeżeli rozładowanie próbki w realnym czasie jest już niemożliwe, a prąd deelektryza-cji Ide ma wartość praktycznie ustaloną, to można zaprzestać deelektryzacji, włączyć źródło napięcia i dokonać pomiaru prądu powierzchniowego. Wówczas wynik pomia-ru rezystywności powierzchniowej oblicza się ze wzoru

des

s IIUR−

= . (6.4.1)

Obliczając rezystywność powierzchniową ze wzoru (6.4.1), należy zwrócić uwagę na znak prądu Ide. Ma on wartość dodatnią, jeżeli płynie w kierunku przeciwnym do prą-du Is, a ujemną, gdy płynie w kierunku zgodnym z prądem Is.

6.5. Metoda zmiennej polaryzacji

Program Keithley 6517 Hi-R umożliwia także pomiary rezystywności powierzch-niowej metodą cyklicznej zmiany polaryzacji. Program ten nadaje się zarówno do

84

pomiaru rezystywności powierzchniowej, jak i skrośnej. Metoda ta nie eliminuje wpływu ładunku pozostałego na powierzchni próbki podczas polaryzacji w czasie kroku pomiarowego, który poprzedza zmianę biegunowości napięcia, co opisano w podrozdziale 5.5.

Z powodzeniem natomiast można stosować zaproponowaną przez autora metodę zmiennej polaryzacji z rozładowywaniem próbki po każdym kroku pomiarowym (por. podrozdział 5.6).

6.6. Wpływ elektrod

Elektrody mogą mieć istotny wpływ na wyniki pomiarów rezystywności po-wierzchniowej. Istotne jest zastosowanie elektrody ochronnej, aby zminimali- zować wpływ rezystywności skrośnej. Również powierzchnia kontaktu elektrody z próbką jest nie bez znaczenia. Teoretycznie prąd powierzchniowy ma przepły-wać tylko do krawędzi elektrod. Krawędzie te powinny być gładkie i dobrze przy-legać do próbki. W rzeczywistości prąd przepływa nie tylko po powierzchni prób-ki, ale także w jej przypowierzchniowych warstwach bardziej oddalonych od powierzchni (rys. 6.1.1). Gdy stosuje się elektrody paskowe (rys. 4.2.6), wówczas na ich końcach następują nieznaczne zniekształcenia (uwypuklenie na zewnątrz) linii pola elektrycznego.

Do pomiarów rezystancji powierzchniowej absolutnie nie powinno się używać elektrod metalowych naklejanych, na przykład za pomocą oleju parafinowego, gdyż olej lub inny środek klejący pozostają na powierzchni próbki i w efekcie mierzy się jego rezystancję, a nie rezystancję powierzchniową badanego materiału.

Dla przykładu w tabeli 6.6.1 zestawiono wyniki pomiarów rezystywności po-wierzchniowej jako wartości średnich z trzech próbek i względnych różnic wyników pomiarów w odniesieniu do elektrod naparowanych srebrem. Szerokość szczeliny pomiarowej g (odległość między elektrodami) dla wszystkich rodzajów elektrod wy-nosiła 2 mm. Otrzymane wyniki dość znacznie różnią się od siebie. Największa różni-ca, o rząd wartości, występuje dla elektrod z folii aluminiowej, gdyż na ich po-wierzchni pozostała trudna do usunięcia warstwa oleju parafinowego. Dowodzi to, że elektrody z folii metalowej naklejane, na przykład za pośrednictwem oleju parafino-wego, nie powinny być stosowane do pomiarów rezystywności powierzchniowej two-rzyw sztywnych.

Również duża jest wartość różnicy dla elektrod dociskowych w celce Keithley 8009 (65 %). W celce tej tylko elektroda pomiarowa została pokryta gumą przewo-dzącą, pierścień natomiast, który jest elektrodą napięciową, ma zakończenie trapezo-we. Ponieważ przylega on niedokładnie do nieidealnie płaskiej próbki, więc powstają znaczne błędy pomiarów.

85

Tabela 6.6.1. Zestawienie wyników pomiarów uśrednionych wartości rezystywności powierzchniowej ρs dla próbek tworzywa Polylac ABS przy elektrodach z różnych materiałów

i względne różnice δρs odniesione do wyników dla próbek z elektrodami naparowanymi srebrem

ρs δρsRodzaj materiału elektrod Ω %

Guma przewodząca (celka Keithley 8009) 3,2⋅1016 –65 Folia aluminiowa 7,7⋅1015 –92 Grafit koloidalny 5,6⋅1016 –40 Przewodzący lakier srebrny 3,6⋅1016 –60 Naparowane srebro 9,2⋅1016 –

Również elektrody z przewodzącego lakieru srebrnego powodowały 60 % różnice w wynikach pomiarów rezystywności powierzchniowej. Było to spowodowane trud-nością w uzyskaniu gładkich krawędzi elektrod, gdyż lakier podciekał pod powierzch-nię matrycy. Podobne zjawisko występowało podczas nanoszenia elektrod z grafitu koloidalnego. Niewątpliwie najbardziej wiarygodne są tu wyniki uzyskane dzięki za-stosowaniu elektrod naparowanych srebrem. Charakteryzują się one bardzo gładkimi krawędziami, a powierzchnia próbki podczas ich nanoszenia nie jest zanieczyszczana.

6.7. Wpływ rezystancji izolacji dystansowej między elektrodami

W zestawach elektrod dociskowych stała odległość między elektrodami jest utrzymywana przez izolacyjny pierścień dystansowy (rys. 6.7.1). Rezystancja izolacji Ri tego pierścienia bocznikuje mierzoną rezystancję powierzchniową Rs i jest źródłem

Ri

Rs

Rys. 6.7.1. Zestaw elektrod dociskowych z pierścieniem dystansowym (a) i schemat bocznikowania rezystancji powierzchniowej Rs rezystancją izolacji Ri tego pierścienia (b)

86

błędu pomiaru. Błąd ten jest pomijalnie mały, gdy Rs << Ri. Jeżeli mierzona rezystan-cja powierzchniowa ma dużą wartość, która zbliża się do wartości rezystancji izolacji pierścienia, to udział błędu spowodowanego tym bocznikowaniem może być znaczą-cy. Ażeby tego niekorzystnego zjawiska uniknąć, należy zastosować pierścień dystan-sowy z dodatkowym pierścieniem ochronnym [3] (rys. 6.7.2).

Rys. 6.7.2. Elektrody dociskowe z pierścieniem ochronnym w izolacji dystansowej (a) i schemat układu pomiarowego uwzględniający izolacje pierścienia dystansowego (b)

Metalowy pierścień ochronny (rys. 6.7.2a) rozdziela izolację pierścienia dystan-sowego na dwie części o rezystancjach Ri1 i Ri2 (rys. 6.7.2b). Rezystancja Ri1 boczni-kuje źródło napięcia U i nie wpływa na wynik pomiaru. Rezystancja Ri 2 bocznikuje miernik prądu o rezystancji RA. Ponieważ RA << Ri 2, więc rezystancja Ri 2 praktycznie również nie wpływa na wynik pomiaru.

Zestaw elektrod dociskowych z metalowym pierścieniem ochronnym w izolacyj-nym pierścieniu dystansowym i powierzchniami elektrod pokrytych silikonową gumą przewodzącą, zaprojektowany przez autora i skonstruowany w Oddziale Technologii i Materiałoznawstwa Elektrotechnicznego Instytutu Elektrotechniki we Wrocławiu, pokazano na rysunku 6.7.3.

87

Badana próbka

Elektroda pomiarowa

Elektroda napięciowa

Elektroda ochronna

Płyta izolacyjna pod obciążniki

Trzpień ustalający

Płyta ustalająca

Płyta izolacyjna

Podstawa

Trzpień do obciążników

Pierścień ekranujący

Silikonowe elektrody przewodzące

Pierścień izolacyjny zewnętrzny

Pierścień izolacyjny wewnętrzny

Rys. 6.7.3. Zestaw elektrod dociskowych zaprojektowany przez autora i skonstruowany w Oddziale Technologii i Materiałoznawstwa Elektrotechnicznego Instytutu Elektrotechniki we Wrocławiu

6.8. Wpływ stanu powierzchni próbki

Warstwa powierzchniowa materiału dielektrycznego może mieć zupełnie inne właściwości niż jego głębsze warstwy, nawet w przypadku materiałów jednorodnych. Może to wynikać z:

• celowego nałożenia na materiał warstwy o zwiększonej przewodności, aby po-lepszyć właściwości antystatycznych materiału,

• pozostania warstwy oleju używanego do pokrycia formy podczas wytwarzania próbek z tworzyw termoplastycznych,

• struktury warstwowej badanego materiału. Jeżeli próbkę materiału wykonano z tworzywa termoplastycznego, to należy usu-

nąć z niej warstewkę oleju, która przedostała się na nią z posmarowanej formy. Jeżeli badany materiał nie jest higroskopijny, to można próbkę umyć w wodzie mydłem lub innymi detergentami i przed nałożeniem elektrod dobrze wysuszyć. Jeżeli nie wpłynie to na zmianę struktury powierzchni, to można najpierw próbkę przemyć benzyną eks-trakcyjną, a następnie czystym nieskażonym spirytusem.

Jeżeli bada się materiał o właściwościach antystatycznych, to trzeba elektrody na-łożyć na badaną powierzchnię próbki, nie naruszając stanu jej powierzchni.

88

Powierzchnia próbki zawsze musi być czysta, nie należy dotykać jej gołymi ręka-mi. Osadzający się na powierzchni próbki kurz w połączeniu z wilgocią znacząco wpływa na wyniki pomiarów rezystancji powierzchniowej. Dlatego próbki przed ba-daniem powinny być przechowywane w szczelnych naczyniach (eksykatorach) o sta-łej określonej wilgotności.

6.9. Wpływ temperatury i wilgotności

Na wyniki pomiarów rezystywności powierzchniowej (podobnie jak skrośnej) die-lektryków wpływa temperatura próbki, a szczególnie znacząco – wilgotność jej po-wierzchni. Jeżeli kondycjonowanie próbki, a następnie pomiary są wykonywane w innych warunkach środowiskowych od wymaganych (zobacz podrozdział 4.1.2), to zmiany te teoretycznie można ująć w postaci poprawek. Wówczas wzór (6.2.7) można zapisać w postaci:

sWsTss

ddR ρρρ ∆∆

ln

π2

1

2++= , (6.9.1)

gdzie: ∆ρsT – poprawka temperaturowa rezystywności powierzchniowej uwzględniająca

zmianę temperatury próbki, ∆ρsW – poprawka wilgotnościowa rezystywności powierzchniowej uwzględniająca

zmianę wilgotności otoczenia próbki. Aby określić te poprawki, trzeba znać charakterystyki zmian rezystywności po-

wierzchniowej w funkcji temperatury i wilgotności. Poprawkę temperaturową rezy-stywności powierzchniowej uwzględniającą zmianę temperatury próbki o ∆T w po-równaniu z temperaturą normalną wyznacza się ze wzoru

TksTsT ∆∆ =ρ , (6.9.2)

a poprawkę wilgotnościową zmiany rezystancji skrośnej uwzględniającą zmianę wil-gotności powietrza otaczającego próbkę o ∆W w porównaniu z wilgotnością normalną wyznacza się ze wzoru

WksWsW ∆∆ =ρ , (6.9.3)

gdzie: ksT – temperaturowy współczynnik zmian rezystywności powierzchniowej, ∆T – różnica między temperaturą otoczenia w czasie pomiarów rezystywności

powierzchniowej a temperaturą, dla której określa się tę rezystywność,

89

ksW – wilgotnościowy współczynnik zmian rezystywności powierzchniowej, ∆W – różnica między wilgotnością względną otoczenia w czasie pomiarów rezy-

stywności powierzchniowej a wilgotnością względną, dla której określa się tę rezy-stywność,

W praktyce wartości współczynników temperaturowego ksT i wilgotnościowego ksW nie są znane z taką dokładnością, aby mogły służyć do obliczenia poprawek. Należy więc starać się wykonywać pomiary w normalnych unormowanych warunkach poda-nych w podrozdziale 4.1.2.

Jeżeli pomiary wykonuje się w wymaganych normalnych warunkach otoczenia, najczęściej 23/50, dla których temperatura wynosi 23 °C, a wilgotność powietrza – 50 %, to należy przyjąć, że wartości tych poprawek są równe zeru. Jeżeli w laborato-rium temperatura waha się, na przykład w granicach (23±2) °C, a wilgotność powie-trza zmienia się w granicach (50±10) %, to te zerowe poprawki są określone z nie-pewnościami, które należy oszacować (zobacz podrozdział 10.6).

6.10. Redukcja zakłóceń

Zakłócenia mają podobny wpływ na pomiar rezystancji powierzchniowej jak na pomiar rezystancji skrośnej. Na rysunku 5.8.1 pokazano system ekranowania podczas pomiarów rezystancji skrośnej. Podczas pomiaru rezystancji powierzchniowej stosuje się również analogiczny system ekranowania.

Literatura

[1] Lisowski M., Adamowska M., Łuszczkiewicz W., Problemy pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej, Materiały Joint IMEKO TC-1 & XXXIV MKM Conference 2002. Vol. III, Ref-eraty grantowe, Wrocław, 2002, s. 92–102.

[2] Lisowski M., Rzońca R., Właściwości elektryczne tarflenu, V Konferencja Naukowa: „Postępy w elektrotechnologii”, 2003. Prace Naukowe Instytutu Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Wrocławskiej nr 38, Konferencje nr 13, Oficyna Wydaw. Polit. Wroc., Wrocław, 2003, s. 137–142.

[3] Madej. P., Trójelektrodowy zestaw pomiarowy z dodatkowym pierścieniem do badania próbek mate-riałów izolacyjnych, PAK, 2001, nr 5, s. 9–12.

[4] Maryniak W.A., Uehara T., Noras M.A., Surface resistivity and surface resistance measure-ments using a concentric ring probe technique, Trek Application Note, 2003, No. 1005. www.trekinc.com.

[5] IEC 93:1980 Methods of test for volume resistivity and surface resistivity of solid electrical insulat-ing materials.

[6] IEC 167:1964 Methods of test for the determination of the insulation resistance of solid insulating materials.

[7] PN-88/E-04405 Materiały elektroizolacyjne stałe. Pomiary rezystancji.

90

[8] PN-93/E-05203 Ochrona przed elektrycznością statyczną. Materiały i wyroby stosowane w obiek-tach oraz strefach zagrożonych wybuchem. Metody badania oporu elektrycznego właściwego i oporu upływu.

[9] PN-EN 50014+AC:1997 Urządzenia elektryczne w przestrzeniach zagrożonych wybuchem. Wyma-gania ogólne.

[10] ASTM D 257-99 Standard test methods for dc resistance or conductance of insulating materials.

7. Metody i układy pomiarowe dużych rezystancji

Normy IEC 93:1980 [18], PN-88/E-04405 [19], ASTM D 257-99 [20], a także kla-syczna literatura [4, 14] dzielą metody pomiarów dużych rezystancji na:

• bezpośrednie, w których mierzoną rezystancję oblicza się z wyniku pomiaru na-pięcia i prądu, korzystając z prawa Ohma,

• porównawcze, w których mierzoną rezystancję porównuje się z rezystancją wzorcową lub pojemnością wzorcową, a wynik oblicza się na podstawie tego porów-nania.

Użyte tutaj określenie „metoda bezpośrednia” nie jest ścisłe, ponieważ w meto-dach tych rezystancji nie mierzy się bezpośrednio, lecz pośrednio. Bezpośrednio mie-rzy się napięcie i prąd, a wyniki oblicza się z prawa Ohma. Ponieważ takie określenie stosuje się w cytowanych normach, więc będzie ono również w tym znaczeniu tu używane.

Metody bezpośrednie można podzielić na: • galwanometryczne, w których do pomiaru prądu używa się galwanometru

z bocznikiem Ayrtone’a, • elektrometryczne, w których prąd mierzy się za pomocą elektrometrów. Metody porównawcze można podzielić na: • galwanometryczne, w których porównuje się rezystancję mierzoną z rezystancją

wzorcową (rys. 7.2.2), • mostkowe, w których mierzoną rezystancję porównuje się z rezystancją wzorco-

wą, • ładowania i rozładowywania kondensatora wzorcowego, w których mierzoną re-

zystancję porównuje się z pojemnością wzorcową.

7.1. Metody bezpośrednie

Metody bezpośrednie pomiaru rezystancji, nazywane też technicznymi, są najczę-ściej stosowane w badaniach dielektryków [6, 12, 14, 18–20]. Zastosowanie tych pro-stych metod do pomiaru rezystancji skrośnej opisano w podrozdziale 5.1, a do pomia-

92

ru rezystancji powierzchniowej – w podrozdziale 6.1. Schemat podstawowego układu do pomiaru rezystancji taką metodą przedstawiono na rysunku 7.1.1.

Ix

U

Rx

V

A RA

Ux

UA

Rys. 7.1.1. Podstawowy układ do pomiaru dużych rezystancji metodą bezpośrednią

W układzie tym woltomierz mierzy sumę spadków napięć na mierzonej rezystancji (Ux) i mierniku prądu (UA). Mierzona rezystancja

Axx

Ax

x

xx R

IU

IRIU

IUR −=

−== . (7.1.1)

Jeżeli mierzoną rezystancję obliczy się ze wzoru

x

xx I

UR = , (7.1.2)

to popełnia się błąd metody

Ax RR =∆ . (7.1.3)

Błąd ten jest pomijalnie mały, jeżeli RA << Rx.

7.2. Metoda galwanometryczna

Podczas pomiarów dużych rezystancji metodą bezpośrednią (techniczną) mierzone prądy są bardzo małe, rzędu pA–nA. Do niedawna, a czasami i obecnie, takie małe prądy mierzono galwanometrami. Schemat układu pomiarowego z galwanometrem przedstawiono na rysunku 7.2.1.

93

Ix

U RbV G

R

n

Ig

Rys. 7.2.1. Układ do pomiaru dużych rezystancji metodą bezpośrednią z galwanometrem: G – galwanometr, Rb – bocznik Ayrtone’a, n – nastawa bocznika Ayrtone’a

Galwanometr jest włączany do układu przez dzielnik Ayrtone’a, który zarówno umożliwia rozszerzenie zakresu pomiarowego prądu, jak i zabezpiecza galwanometr przed uszkodzeniem przez nadmierny prąd. Przed włączeniem źródła napięcia bocznik Ayrtone’a powinien być całkowicie znieczulony (n = 0). Po włączeniu układu pomia-rowego zwiększa się nastawę n dzielnika Ayrtone’a tak długo, aż uzyska się możliwie duże wskazanie na skali galwanometru. Prąd galwanometru

gg cI α= , (7.2.1)

gdzie: cg – stała galwanometru (A/dz), α – wychylenie galwanometru w działkach (dz). Mierzony prąd

gx nII = , (7.2.2)

gdzie n jest przekładnią dzielnika Ayrtone’a (n = Ix /Ig). Mierzona rezystancja

g

x ncUR

α= . (7.2.3)

Zakres pomiarowy tej metody jest ograniczony czułością galwanometru. Stosując najczulsze galwanometry o stałej 10–11A/dz i napięcie zasilania U = 1000 V, można uzyskać maksymalny zakres pomiarowy rzędu 1012 Ω.

Dokładność tej metody jest niewielka, głównie z powodu dużej niedokładnej stałej galwanometru. Na ogół niepewności pomiaru rezystancji są nie mniejsze niż 20 %.

94

Dokładność metody galwanometrycznej można zwiększyć, stosując układy po-równawcze z rezystorem wysokoomowym Rn [1, 19, 20] przedstawione na rysunku 7.2.2.

I

URb Gn

Ig

P

Rx

Rn

12

a)

URb Gn

Ig

P

RxRn

b)

Rys. 7.2.2. Układy porównawcze do pomiarów dużych rezystancji z galwanometrem: a) równoległy, b) szeregowy

Pomiar wykonuje się przy stałym napięciu U zawsze w dwóch etapach. W ukła-dzie przedstawionym na rysunku 7.2.2a, gdy przełącznik P znajduje się w położeniu 1, wtedy prąd płynący przez mierzony rezystor Rx

gxxx cnI α= . (7.2.4)

Jeżeli przełącznik P znajduje się w położeniu 2, to prąd płynący przez rezystor wzorcowy Rn

gnnn cnI α= . (7.2.5)

Napięcie na rezystorze Rx jest równe napięciu na rezystorze Rn i wynosi

ngnnnn RcnRIU α== . (7.2.6)

95

Zatem mierzona rezystancja

xx

nnn

xx n

nRIUR

αα

== . (7.2.7)

Gdy w układzie przedstawionym na rysunku 7.2.2b wyłącznik P został wyłączony, mierzony rezystor Rx jest połączony szeregowo z rezystorem wzorcowym Rn , a prąd płynący w obwodzie

gxxnx

x cnRR

UI α=+

= . (7.2.8)

Po zwarciu mierzonego rezystora Rx wyłącznikiem P prąd płynący w obwodzie

gnnn

n cnRUI α== . (7.2.9)

Porównując wyrażenia (7.2.8) i (7.2.9), otrzymuje się

( ) gnnngxxnx cnRcnRR αα =+ . (7.2.10)

Stąd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

xx

nnnx n

nRRαα . (7.2.11)

Gdy 100>xx

nn

nn

αα , wtedy można zastosować wzór przybliżony

xx

nnnx n

nRRαα

= . (7.2.12)

Z wyrażeń (7.2.7) i (7.2.11) wynika, że aby określić wartość rezystancji mierzonej, nie trzeba koniecznie znać stałej galwanometru cg.

Bardzo ważne jest, aby rezystancja izolacji wyłącznika P była dużo większa od mierzonej rezystancji Rx, dzięki czemu nie wpływałaby na wyniki pomiarów [18]. Bocznik Ayrtone’a powinien być tak dobrany, aby wychylenie galwanometru było możliwie największe.

Zakres pomiarowy ograniczony jest jednak przez czułość galwanometru i wynosi również ok. 1012 Ω, podobnie jak dla układu przedstawionego na rysunku 7.2.1. Na-tomiast dokładność tej metody porównawczej jest znacznie większa, ponieważ nie ogranicza jej niedokładność stałej galwanometru. Niepewność pomiaru rezystancji Rx zależy od niepewności rezystora wzorcowego Rn, niepewności przekładni dzielnika Ayrtone’a nx i nn oraz niepewności odczytu wskazań galwanometru α x i αn. Osiągalne niepewności pomiaru rezystancji są nie mniejsze niż 5 %.

96

Metody galwanometryczne wychodzą już z użycia i to nie tylko ze względu na ograniczony zakres pomiarowy (do 1012 Ω), ale przede wszystkim ze względu na niewygodny w użytkowaniu galwanometr. Stosowane najczulsze galwanometry są wrażliwe na wstrząsy, więc wymagają umieszczenia na specjalnych konsolach na ścianie w znacznej odległości od skali. Aby poprawić widoczność plamki na skali, pomieszczenie trzeba częściowo przyciemnić. Długie stałe czasowe galwanometru utrudniają pomiary. Największą wadą galwanometru jest jednak jego mała odpor-ność na przeciążenie. Nieostrożna lub nieumiejętna obsługa układu pomiarowego bardzo często jest przyczyną uszkodzenia galwanometru. Nadmierny prąd powo-duje przepalenie taśmy, na której wisi ramka galwanometru, i trwałe jego uszko-dzenie.

We współczesnych układach pomiarowych galwanometr z bocznikiem Ayrtone’a zastępuje się pikoamperomierzem.

7.3. Metody elektrometryczne

Elektrometry umożliwiają pomiary bardzo małych prądów, znacznie mniejszych niż galwanometry, i w układach pomiarowych dużych rezystancji włącza się je w miejsce galwanometru z bocznikiem Ayrtone’a.

Elektrometry są przyrządami, które na wejściu mają wzmacniacze napięcia stałego o bardzo dużej rezystancji wejściowej [3]. W zależności od rodzaju zastosowanych wzmacniaczy elektrometry można podzielić na:

• elektrometry ze wzmacniaczem o sprzężeniu galwanicznym (bez przetwarza-nia),

• elektrometry ze wzmacniaczem przetwarzającym napięcie stałe na zmienne. Wzmacniacze napięcia stałego bez przetwarzania charakteryzują się dużym dry-

fem zera [11]. Elektrometry z takimi wzmacniaczami należy przed pomiarem wyze-rować. Jeżeli czas pomiaru jest długi, to do wskazań może być dodany sygnał dryfu, co powoduje błąd pomiaru. Sygnał dryfu jest tym większy, im większe jest wzmoc-nienie wzmacniacza, a więc największy dla najmniejszych mierzonych prądów, czy-li największych mierzonych rezystancji. Tego typu wzmacniacze z wejściami zawie-rającymi tranzystory polowe typu FET lub MOSFET są stosowane w miernikach stosunkowo tanich, mało dokładnych, o nienajwyższych zakresach pomiarowych rezystancji.

We wzmacniaczach z przetwarzaniem napięcia stałego na zmienne napięcie stałe przed wzmocnieniem jest przetwarzane na napięcie zmienne. Następnie napięcie to jest wzmacniane we wzmacniaczu napięcia zmiennego, a następnie przetwarzane na napięcie stałe. Schemat takiego wzmacniacza przedstawiono na rysunku 7.3.1.

97

Przetwornik–/~

Uwe

prądu zmiennegoPrzetwornik

~/–

Uwy

Generator~

Rys. 7.3.1. Schemat wzmacniacza z przetwarzaniem napięcia stałego na zmienne

Przetworniki napięcia stałego na zmienne (–/~) i napięcia zmiennego na stałe (~/–) są sterowane z generatora napięcia zmiennego.

W starszych rozwiązaniach konstrukcyjnych wzmacniaczy z przetwarzaniem sto-sowano elektromechaniczne, najczęściej wibracyjne, przetworniki napięcia stałego na zmienne. Ciągła mechaniczna praca tych przetworników powoduje zużycie styków i zmęczenie materiału sprężynującego, co w konsekwencji prowadzi do nieprawidło-wej pracy przetwornika lub jego uszkodzenia.

We współczesnych wzmacniaczach z przetwarzaniem stosuje się elektroniczne układy przełączające, tzw. modulatory, często zawierające warikapy (pojemności ste-rowane napięciem). Wzmacniacze takie, obecnie dostępne w postaci zintegrowanych układów scalonych, są nazywane wzmacniaczami instrumentalnymi [8].

W elektrometrach wzmacniacze z przetwarzaniem współpracują z wejściowymi niskoszumowymi przedwzmacniaczami, najczęściej o wzmocnieniu 1 (wtórnikami napięciowymi), które zapewniają bardzo dużą impedancję wejściową (rys. 7.3.2).

W najprostszy sposób pomiaru prądu można dokonać, mierząc spadek napięcia na rezystorze wzorcowym [12], jak pokazano na rysunku 7.3.2.

WzmacniaczPrzedwzmacniaczUxRn

Ix

mV

Wzmacniacz elektromagnetycznyWzmacniacz elektrometryczny

Rys. 7.3.2. Pomiar prądu z użyciem wzmacniacza elektrometrycznego z wejściem napięciowym

Najniższa wartość napięcia wejściowego wzmacniacza zależy od poziomu szu-mów i na ogół nie jest mniejsza niż 1 mV. Chcąc zmierzyć prąd 10–15 A, należałoby włączyć w obwód prądowy rezystor wzorcowy Rn = 1012 Ω. Tak duża rezystancja wej-

98

ściowa miernika prądu spowodowałaby bardzo duży błąd metody pomiaru (zobacz podrozdział 7.1). Błąd ten można teoretycznie znacznie zredukować, stosując układ kompensacji napięcia w sposób opisany w normach ASTM D 257-99 [20], PN-88/E-04405 [19] i książce Sicińskiego [14]. Metoda ta jest bardzo niewygodna w realizacji i praktycznie się jej nie stosuje. Dlatego nie będzie ona tu opisywana. Zamiast tego układu kompensacyjnego powszechnie stosuje się wzmacniacze elektrometryczne z wejściem prądowym, które uzyskuje się przez sprzężenie zwrotne. Schemat takiego wzmacniacza pokazano na rysunku 7.3.3.

Ix

Rn

Rk

IxRn

( In-Ix )Rk

In

Uw

–

+Us 0

Is 0

Rys. 7.3.3. Schemat wzmacniacza z wejściem prądowym uzyskanym przez sprzężenie zwrotne na rezystorach Rn i Rk

Jeżeli prąd wejściowy wzmacniacza Is → 0 (czyli Is << Ix) oraz napięcie wejściowe wzmacniacza Us → 0 (wzmacniacz o bardzo dużym wzmocnieniu), to następuje kom-pensacja napięć na rezystorach Rn i Rk, czyli

( ) wkxnnx URIIRI =−= . (7.3.1)

Stąd mierzony prąd

n

wx R

UI = . (7.3.2)

Rezystancja wejściowa takiego miernika prądu

nu

nw

s

x

sA R

kR

UU

IUR 1

=== . (7.3.3)

Im większe jest wzmocnienie napięciowe wzmacniacza ku, tym mniejsza jest rezy-stancja wejściowa miernika. Jeśli zastosuje się wzmacniacz elektrometryczny o

99

wzmocnieniu ku = 106, to dla najmniejszych zakresów prądowych przy Rn = 1012 Ω uzyskuje się rezystancję wejściową RA = 106 Ω.

Ze wzoru (7.3.2) wynika, że mierzony prąd Ix nie zależy od wartości rezystora Rk. Rezystor Rk obciąża jedynie wyjście wzmacniacza. Ażeby to obciążenie było jak naj-mniejsze, rezystancja Rk powinna być bardzo duża, najlepiej Rk → ∞. Jeżeli Rk → ∞, czyli rezystora Rk nie ma, to układ z rysunku 7.3.3 przekształci się w układ przedsta-wiony na rysunku 7.3.4.

–

+Us 0

Uw

Ix

InRn

Is 0

Rys. 7.3.4. Schemat przetwornika prądu na napięcie (I/U) ze sprzężeniem zwrotnym zrealizowanym przez rezystor Rn

W układach do pomiarów dużych rezystancji wzmacniacze elektrometryczne pra-wie zawsze pracują w układzie sprzężenia przedstawionym na rysunku 7.3.4 [5, 6, 7]. Pełnią one rolę przetwornika prądu na napięcie (I /U ).

Mierniki dużych rezystancji oprócz elektrometrycznego miernika prądu są wypo-sażone w wewnętrzne źródło napięcia pomiarowego U. Na wyjściu przetwornika I /U napięcie Uw może być mierzone miernikiem analogowym [9] lub cyfrowym [10]. Schemat analogowego miernika do pomiaru dużych rezystancji przedstawiono na rysunku 7.3.5. Zakresy pomiarowe miernika zmienia się, zmieniając rezystancję sprzężenia zwrotnego Rn. Podziałka wyjściowego miernika analogowego jest zwykle wyskalowana w jednostkach rezystancji i ma charakter hiperboliczny [5].

+

–V

Ix

RX

Rn

U

Przetwornik I/U

Rys. 7.3.5. Schemat ideowy analogowego miernika dużych rezystancji

100

Mierniki cyfrowe dużych rezystancji na wyjściu przetwornika I /U mają podłączo-ny przetwornik analogowo-cyfrowy (a/c), a na jego wyjściu – blok cyfrowy [10]. Schemat ideowy cyfrowego miernika dużych rezystancji przedstawiono na rysunku 7.3.6, a bloku cyfrowego – na rysunku 7.3.7.

Źródłonapięcia

Blokcyfrowy

Przetwornika/c

PrzetwornikI/U

Hi Lo

IiRi

UZ UA

Miernik prądu

Rys. 7.3.6. Schemat ideowy miernika cyfrowego dużych rezystancji

Centralnymikroprocesor

PortGPIBlub/i

szeregowy

Kontrolersterowania

klawiaturą i polemodczytowym

Poleodczytowe

Interfejsprzetwornika

a/c

Kontrolersterowaniaźródłemnapięcia

PamięćRAM

PamięćROM

Generatorzegarowy Klawiatura

Przetwornika/c

Źródłonapięcia

InterfejsIEEE-488

lub/iRS 232

Rys. 7.3.7. Schemat bloku cyfrowego miernika dużych rezystancji

Zasadniczą częścią bloku cyfrowego jest specjalistyczny mikrokomputer. Składa się on z centralnego mikroprocesora, generatora zegarowego, pamięci RAM i ROM, interfejsu przetwornika a/c, kontrolera sterowania źródłem napięcia, kontrolera stero-wania klawiaturą i pola odczytowego, portu interfejsu równoległego lub/i szeregowe-

101

go. Mikrokomputerowa struktura przyrządu umożliwia jego wielofunkcyjną pracę, samoczynne obliczenia, kompensację offsetu, sterowanie z płyty czołowej lub ze-wnętrznego komputera podłączonego przez interfejs, zapamiętywanie i przesyłanie danych do zewnętrznego komputera.

Najdokładniejszym miernikiem elektrometrycznym o największym zakresie po-miarowym (do 1018 Ω) dużych rezystancji, dostępnym na rynku, jest elektrometr – miernik dużych rezystancji firmy Keithley, model 6517A.

Elektrometry, podobnie jak i inne mierniki, mają własną stałą czasową τ opóźnia-jącą wskazania, co pokazano na rysunku 7.3.8.

Ix

t

t

Uw

τ

Rys. 7.3.8. Odpowiedź elektrometrycznego miernika prądu na wymuszenie jednostkowe

Im większa jest rezystancja Rn, czyli im mniejszy jest mierzony prąd Ix, tym więk-sze są stałe czasowe τ. Stała czasowa miernika τ ma istotne znaczenie dla pomiarow prądu nieustalonego dielektryków podczas pomiarów nieustalonych wartości rezy-stancji. Może ona zafałszowywać charakterystyki rzeczywiste. Zjawisko to eliminuje się, tak ustalając stałą czasową miernika, aby była ona dużo mniejsza od stałej czaso-wej charakterystyki badanego dielektryka.

7.4. Metody mostkowe

W mostkach czteroramiennych Wheatstone’a (rys. 7.4.1) mierzoną rezystancję ob-licza się ze wzoru:

102

2

1

RRRR nx = . (7.4.1)

Rezystancja mierzona Rx nie powinna się zbytnio różnić od rezystancji wzorcowej Rn, aby nie obniżać czułości mostka. Nawet gdy Rx jest zbliżona do Rn, to i tak jego czułość jest ograniczona dużymi wartościami tych rezystancji. Ponadto rezystancja izolacji bocznikuje porównywane rezystory Rx i Rn. Jej wpływ można zmniejszyć przez zastosowanie dodatkowej gałęzi Wagnera.

WZ

U

R1R2

Rx

Rn

Rys. 7.4.1 Mostek Wheatstone’a mierzący rezystancję skrośną

Ponadto w mostkach tych nie można jednocześnie uziemić źródła i wskaźnika równowagi, co czyni ten układ podatnym na zakłócenia. Aby wyeliminować prąd powierzchniowy, podczas pomiaru rezystancji skrośnej elektrodę ochronną łączy się nie z masą źródła, ale z zaciskiem wskaźnika zera (galwanometru), jak pokazano na rysunku 7.4.1. Podczas pomiaru rezystancji powierzchniowej połączenia wykonuje się w analogiczny sposób.

Ze względu na zmniejszanie się czułości układu pomiarowego ze wzrostem mie-rzonej rezystancji i brak możliwości równoczesnego uziemienia wskaźnika zera i źródła napięcia, zakres pomiarowy mostków Wheatstone’a na ogół nie przekracza 1010 Ω.

Wskaźnik zera i źródło napięcia można równocześnie uziemić w mostku z dwoma źródłami napięć włączonymi w miejsce rezystorów R1 i R2 [13, 15, 16]. Schemat ta-kiego mostka przedstawiono na rysunku 7.4.2. Mierzona rezystancja

2

1

UURR nx = . (7.4.2)

103

WZU1 U2

Rx Rn

WZ

Rys. 7.4.2. Mostek z dwoma źródłami napięć

Aby zrównoważyć mostek, zmienia się jedno z napięć. Ponieważ najczęściej po-miary wykonuje się przy zadanym napięciu U1, więc układ równoważy się, zmieniając napięcie U2. Najwygodniej jest zastosować kalibrowane źródła napięć. Jeżeli nie są one kalibrowane, ale wystarczająco stabilne, to wartości napięć U1 i U2 można zmie-rzyć po zrównoważeniu układu. Charakterystyczną cechą tego układu jest wspólny punkt źródeł U1 i U2 oraz wskaźnika zera G, który można uziemić. Pomysł takiego układu pomiarowego jest dość stary, ale dawniej brak było wysoko stabilnych regu-lowanych źródeł napięcia. Obecnie powszechna dostępność bardzo stabilnych źródeł napięcia sterowanych cyfrowo, tak zwanych kalibratorów, umożliwia łatwą realizację tego układu. Zakres pomiarowy tego mostka może osiągać wartości do 1014 Ω, a nie-pewność pomiaru – nawet 1 %.

Duże rezystancje można mierzyć mostkiem sześcioramiennym [3, 13] przedsta-wionym na rysunku 7.4.3.

U

Rx

G

Rn

Ra Rc

RbR2

U

Rx

G

Rn

Rab

Rac

a) b)

R2'=RbcR2

Rbc+R2

WZ WZ

Rys. 7.4.3. Mostek sześcioramienny do pomiaru dużych rezystancji (a) i jego przekształcenie w mostek czteroramienny (b)

104

Rezystancje zastępcze

c

babaab R

RRRRR ⋅++= , (7.4.3)

a

cbcbbc R

RRRRR ⋅++= . (7.4.4)

Jeśli Rc << Ra i Rc << Rb, to rezystancja Rab może osiągać wartości dużo większe od sumy Ra + Rb.

W stanie równowagi

2R

RRR abnx ′

= . (7.4.5)

Osiągalny zakres mostka sześcioramiennego wynosi 1016 Ω przy niepewności po-miaru ok. 2–5 %.

Metody mostkowe umożliwiają pomiar rezystancji ustalonej z dość dużą dokład-nością. Nie nadają się jednak do pomiaru rezystancji nieustalonej. Z tego względu używa się ich przeważnie do wzorcowania rezystorów wysokoomowych, a rzadko kiedy do pomiarów rezystancji skrośnej. Mostki są nieprzydatne do pomiaru rezystan-cji powierzchniowej, ponieważ jest ona najczęściej mierzona jako nieustalona po 1 minucie.

7.5. Metody pomiaru rezystancji przez porównanie z pojemnością kondensatora

Metody pomiaru dużej rezystancji przez porównanie jej z pojemnością kondensa-tora polegają na pomiarze czasu ładowania lub rozładowania kondensatora wzorco-wego prądem płynącym przez mierzoną rezystancję [3, 14, 17]. Schemat układu po-miarowego z ładowaniem kondensatora przedstawiono na rysunku 7.5.1.

Jeżeli pojemność pasożytnicza Cx mierzonego rezystora jest pomijalnie mała w porównaniu z pojemnością kondensatora wzorcowego Cn (Cx << Cn), a kondensator wzorcowy jest bezstratny i rozładowany, to po włączeniu wyłącznika W1 (wyłącznik W2 rozwarty) prąd ładowania kondensatora Cn, płynący przez rezystor Rx, jest funkcją czasu t i wynosi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

τt

RUI

xexp , (7.5.1)

gdzie τ = CnRx jest stałą czasową ładowania kondensatora Cn.

105

a) b)

VU Cn

Rx

V

I

UC

W1 W2

0 t1 t

URx

I

Rys. 7.5.1. Schemat układu do pomiaru dużych rezystancji metodą ładowania kondensatora wzorcowego (a)

i charakterystyka prądu ładowania tego kondensatora (b)

Ładunek zgromadzony na kondensatorze w czasie t1

ttRUtIQ

t

x

t

dexpd11

00∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

τ. (7.5.2)

Jeżeli czas t1 jest krótki (t1 << τ ), to – nie popełniając większego błędu – można dla uproszczenia założyć, że w tym czasie prąd I = const. Wówczas równanie całkowe (7.5.2) przyjmie postać

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−= 1exp 1

ττ t

RUQ

x. (7.5.3)

Gdy t1 << τ , wtedy ττ11 1exp tt

−→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− . Zatem wyrażenie (7.5.3) uprości się do

postaci

1tRUQ

x−= . (7.5.4)

Po czasie t1 na krótko włącza się wyłącznik W2 i woltomierz o bardzo dużej rezy-stancji wejściowej (elektrostatyczny lub elektrometryczny) mierzy na kondensatorze Cn napięcie Uc. Napięcie to umożliwia wyznaczenie ładunku zgromadzonego na kon-densatorze Cn z zależności:

106

CnUCQ = . (7.5.5)

Z porównania zależności (7.5.4) i (7.5.5) otrzymuje się wzór określający mierzoną rezystancję

Cn

x UCUtR 1= . (7.5.6)

We współczesnych przyrządach pomiarowych metoda ta jest realizowana w układzie z kondensatorem włączonym w sprzężenie zwrotne wzmacniacza operacyjnego (integra-tora). Zastosowanie wzmacniacza operacyjnego umożliwia wyeliminowanie wyłącznika W2 (zobacz rysunek 7.5.1). Schemat takiego układu przedstawiono na rysunku 7.5.2. Po-miary przebiegają identycznie jak w układzie bez wzmacniacza operacyjnego, a mie-rzoną rezystancję oblicza się ze wzoru (7.5.6).

–

+

W Rx

V

Cn

Rys. 7.5.2. Schemat układu do pomiaru dużych rezystancji metodą ładowania kondensatora w sprzężeniu zwrotnym integratora

Źródłozasilania +

–

RXRx

L

CN

KomparatorPomiarczasu

ładowania

Blokcyfrowy

H

Cn

Rys. 7.5.3. Schemat miernika cyfrowego opartego na metodzie ładowania kondensatora wzorcowego

107

Metoda pomiaru dużych rezystancji przez ładowanie kondensatora w sprzężeniu zwrotnym integratora jest stosowana z użyciem bardzo dokładnych mierników cyfro-wych dużych rezystancji kanadyjskiej firmy Guildline, model 6500A [1, 2]. Schemat ideowy takiego miernika przedstawiono na rysunku 7.5.3.

Wszystkie operacje wykonuje sterownik mikroprocesorowy. Komparator eliminu-je potrzebę ręcznego testowania poziomu napięcia na kondensatorze wzorcowym. Zliczanie impulsów generatora taktującego zaczyna się od momentu przekroczenia dolnej wartości progu komparatora i trwa do osiągnięcia wartości górnej. Liczba im-pulsów jest miarą czasu ładowania kondensatora Cn, na podstawie którego mikropro-cesor w bloku cyfrowym oblicza wartość mierzonej rezystancji z zależności [2]

Cn UC

tUR∆∆

⋅⋅

= , (7.5.7)

w której: U – napięcie źródła zasilania, Cn – pojemność kondensatora wzorcowego, ∆t – czas zmierzony między impulsami wyzwalającymi komparatora, ∆Uc – wartość przyrostu napięcia na kondensatorze, powodującego zadziałanie

komparatora. Ponieważ w czasie pomiaru U, Cn i Uc są wartościami stałymi, więc czas ∆t jest

proporcjonalny do wartości mierzonej rezystancji Rx. Wadą tej metody pomiaru dużych rezystancji jest to, że nie uwzględnia ona po-

jemności Cx mierzonego rezystora, co dla długich stałych czasowych rezystorów o dużych wartościach może fałszować wyniki pomiarów.

a) b)

U Cn V

W

0 t1 t

lnU1

Cx

t1

lnU2

lnU

Rx

Rys. 7.5.4. Schemat układu do pomiaru rezystancji metodą rozładowania kondensatora (a) i wykres zaniku napięcia na kondensatorze Cn w skali logarytmicznej (b)

108

Inny sposób realizacji metody porównania wartości rezystancji z pojemnością kondensatora, polegający na pomiarze czasu rozładowania kondensatora o znanej pojemności Cn przez mierzoną rezystancję Rx [3, 12], przedstawiono na rysunku 7.5.4.

Napięcie rozładowania kondensatora maleje wykładniczo w funkcji czasu według zależności

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

τtUtU exp)( 0 , (7.5.8)

gdzie: U0 – napięcie początkowe, τ = RxCn – stała czasowa rozładowania kondensatora. W skali logarytmicznej charakterystyka ta jest liniowa (rys. 7.5.4. b). Między napięciem U2 w czasie t2 a napięciem U1 w czasie t1 zachodzi więc zwią-

zek:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

τ12

12 exp ttUU . (7.5.9)

Logarytmując stronami wyrażenie (7.5.9), otrzymuje się:

τ

1212 lnln ttUU −−= . (7.5.10)

Stąd

2

1

12

lnUU

ttCR nx−

==τ . (7.5.11)

Zatem zmierzona rezystancja

2

1

12

lnUUC

ttRn

x−

= . (7.5.12)

Kondensator Cn powinien być bezstratny, a pojemność mierzonej rezystancji Cx << Cn. Jeżeli pojemność mierzonego rezystora Cx nie jest pomijalnie mała w po-równaniu z pojemnością Cn, to jako pojemność Cn należy traktować sumaryczną war-tość obu pojemności.

W metodach ładowania i rozładowania kondensatora zakłada się, że rezystancja nie zależy od czasu. Błąd pomiaru spowodowany tym założeniem będzie pomijalnie mały, jeżeli stała czasowa mierzonego rezystora τx = RxCx będzie dużo mniejsza od stałej czasowej τ = RxCn ładowania lub rozładowania kondensatora wzorcowego. Gdy

109

wartości rezystancji są duże, warunek ten jest trudny do spełnienia i pomiary bardzo dużych rezystancji o bardzo długich stałych czasowych mogą być obarczone bardzo dużymi błędami.

Metody ładowania i rozładowania kondensatora umożliwiają pomiary tylko warto-ści ustalonych rezystancji i nie mogą być stosowane do pomiarów rezystancji nieusta-lonych skrośnych i powierzchniowych.

Literatura

[1] Guildline: Programmable digital teraohmmetr 6500A. www.guildline.com/C6500A.htm [2] Guildline: Technical manual for model 6500 digital teraohmmeter. [3] Iljukowicz A.M., Technika elektrometrii, Energia, Moskwa, 1976. [4] Iljukowicz A.M., Izmierenije bolszich soprotiwlenij, Energia, Moskwa, 1971. [5] Kłos Z., Madej P., Elektroniczny megaomomierz analogowy typ EMA-1, PAK, 1994, nr 1, s. 3–5. [6] Kłos Z., Madej P., Analogowe metody pomiaru wielkich rezystancji, Normalizacja, 1993, nr 3,

s. 23–27. [7] Kłos Z., Madej P., Zborucki A., Uniwersalny megaomomierz elektroniczny typu KMZ-2/86, PAK,

1988, nr 11, s. 237–238. [8] Kędzia J., Skubis J., Włóczyk A., Wolny S., Laboratorium materiałoznawstwa elektrycznego, Ofic.

Wyd. Politechniki Opolskiej, Opole, 1998. [9] Lisowski M., Metody wzorcowania analogowych mierników bardzo dużych rezystancji, PAK, 2003,

nr 6, s. 10–14. [10] Lisowski M., Problemy wzorcowania cyfrowych mierników bardzo dużych rezystancji, Materiały

konferencji naukowo-technicznej PPM’01 wydane przez PAN, Oddział w Katowicach, Gliwice, 2001, s. 365–372.

[11] Nadachowski M., Kulka Z., Analogowe układy scalone, WKŁ, Warszawa, 1986. [12] Roskosz R. i in., Miernictwo elektryczne. Laboratorium, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej,

Gdańsk, 2001. [13] Sauer H.A., The design, construction and performance of a wide range of DC conductance bridge,

IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, Vol. IM-14 (1965), No. 3, pp. 142–145. [14] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1968. [15] Tieplinskij A.M., Mosty dla izmierenija wysokoomnych soprotiwienij i małych postojannych tokow,

Energia, Leningrad, 1970. [16] Tieplinskij A.M., Pogresznosti izmierenija wysokoomnych soprotiwienij pri pomoszczi mostow

postojannogo toka, Izmieritelnaja Technika, 1966, nr 5, s. 43–45. [17] Tsao S.H., An accurate semiautomatic technique of measuring high resistance, IEEE Trans. on

Instrumentation and Measurement, Vol. IM-16 (1967), No. 3, pp. 320–325. [18] IEC 93:1980 Methods of test for volume resistivity and surface resistivity of solid electrical insulat-

ing materials. [19] PN-88/E-04405 Materiały elektroizolacyjne stałe. Pomiary rezystancji. [20] ASTM D 257-99 Standard test methods for dc resistance or conductance of insulating materials.

8. Pomiary przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych

W podrozdziale 2.1 wykazano, że umieszczenie dielektryka między elektrodami kondensatora próżniowego o pojemności Co powoduje wzrost jego pojemności do wartości Cx. Ze wzoru (2.1.1) wynika, że względna przenikalność elektryczna

o

xr C

C=ε . (8.1)

Według definicji podanej w normach IEC 250 [3] i PN–86/E-04403 [4] względna przeni-kalność elektryczna ε r materiału izolacyjnego wyraża się stosunkiem pojemności Cx kon-densatora, w którym przestrzeń między elektrodami i wokół elektrod jest całkowicie wy-pełniona materiałem izolacyjnym, do pojemności Co tych samych elektrod w próżni. Względna przenikalność elektryczna ε r suchego powietrza wolnego od dwutlenku węgla i przy normalnym ciśnieniu atmosferycznym wynosi 1,00053. Określając zatem względną przenikalność elektryczną ε r, zamiast pojemności między elektrodami w próżni można z dostateczną dokładnością przyjąć pojemność kondensatora powietrznego.

Przenikalność elektryczna materiału izolacyjnego

roεεε = , (8.2)

gdzie: εr – względna przenikalność materiału, εo = 8,854⋅10–12 F/m = 0,08854 pF/cm ≈ (1/36π)⋅10–9 F/m – przenikalność próżni [3]. W rozdziale 3 wykazano, że względna przenikalność elektryczna przy prądzie

przemiennym jest wielkością zespoloną

εεε ′′−′= jr , (8.3)

a dla małych kątów strat δ

rεε =′ . (8.4)

Stosunek εε ′′′ do jest współczynnikiem strat dielektrycznych

112

εεδ′′′

=tg . (8.5)

Współczynnik tgδ można również obliczyć ze wzorów: • dla zastępczego układu równoległego kondensatora stratnego (rys. 3.1)

xrx C

GRC ωω

δ ==1tg , (8.6)

gdzie G jest przewodnością materiału, • dla zastępczego układu szeregowego (rys. 3.2)

ss RCωδ =tg . (8.7)

8.1. Obliczanie pojemności geometrycznej Co i pojemności brzegowych

Na badany dielektryk stały nanosi się elektrody przewodzące opisane w podrozdzia-le 4.2. Z tego typu elektrod nie można usunąć dielektryka i zmierzyć pojemność kon-densatora próżniowego lub powietrznego. Dlatego pojemność równoważnego konden-satora próżniowego oblicza się na podstawie wymiarów geometrycznych elektrod. Badany dielektryk wypełnia tylko przestrzeń między elektrodami, a nie ma go w prze-strzeni wokół elektrod, jak podaje definicja w normach IEC 250 [3] i PN–86/E-04403 [4]. Pole elektryczne nie zamyka się tylko między elektrodami pomiarowymi, ale także w przestrzeni wokół próbki, a na krawędziach elektrod ulega zniekształceniu [2] (rys. 8.1.1). Kondensator pomiarowy utworzony przez nałożenie elektrod na próbkę dielek-tryka ma trzy pojemności Cgx, Cbx, Cr. Mierzona pojemność kondensatora dwuelektro-dowego z dielektrykiem (rys. 8.1.1) jest sumą trzech cząstkowych pojemności

rbxgxx CCCC ++= , (8.1.1)

gdzie: Cgx – pojemność geometryczna kondensatora z dielektrykiem, Cbx – pojemność brzegowa kondensatora z dielektrykiem, Cr – pojemność rozproszenia. Na pojemność rozproszenia Cr składają się szeregowo połączone pojemności roz-

proszenia Cr1 i Cr2 każdej z elektrod kondensatora pomiarowego, zatem

21

21

rr

rrr CC

CCC+

= . (8.1.2)

113

Cg Cb Cr1

a)

Cr2

MiernikC, tgδ

Cg Cb Cr1

elektroda pomiarowa

elektroda ochronna

elektroda napięciowa

b)

Cr2

MiernikC, tgδ

elektroda pomiarowa

elektroda ochronna

elektroda napięciowa

Rys. 8.1.1. Rozkład pola elektrycznego i pojemności kondensatora: a) dwuelektrodowego, b) trójelektrodowego

Gdyby usunąć dielektryk z mierzonego kondensatora, jego pojemność wynosiłaby

rbogoo CCCC ++= , (8.1.3)

gdzie: Cgo – pojemność geometryczna kondensatora powietrznego, Cbo – pojemność brzegowa kondensatora powietrznego. Kondensator powietrzny i kondensator z dielektrykiem mają tę samą pojemność

rozproszenia Cr. Zastosowanie wokół elektrody pomiarowej elektrody ochronnej (rys. 8.1.1b) i ta-

kie jej połączenie w układzie pomiarowym (najczęściej uziemienie), żeby wyelimi-nować z pomiaru pojemność brzegową Cb, umożliwia sprowadzenie mierzonej po-jemności do dwóch pojemności cząstkowych. Wówczas wyrażenia (8.1.1) i (8.1.3) przyjmują postać:

rgxx CCC += , (8.1.4) rgoo CCC += . (8.1.5)

114

Pojemność geometryczną kondensatora z badaną próbką dielektryka Cgx określa efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej kondensatora dwu- lub trójelektrodo-wego oraz grubość i przenikalność elektryczna badanej próbki dielektryka. Efektyw-ność pierścienia ochronnego jest tym większa, im mniejsza jest szczelina między elek-trodą pomiarową i ochronną, im mniejsza jest różnica potencjałów między nimi, a także im mniejsza jest grubość badanej próbki. Pojemność geometryczną równo-ważnego kondensatora powietrznego (próżniowego) Cgo określają te same wymiary geometryczne co i kondensatora z dielektrykiem. Oblicza się ją ze wzorów podanych w tabelach 8.1.1 i 8.1.2.

Pojemność brzegowa Cbx zależy od rodzaju układu stosowanych elektrod pomia-rowych. Określa ją obwód elektrody pomiarowej, grubość próbki, grubość elektrody pomiarowej (jeżeli nie jest ona pomijalnie mała w porównaniu z grubością próbki) oraz przenikalność elektryczna badanego, wystającego poza elektrody materiału, przez który przechodzą linie pola brzegowego. Wartość pojemności brzegowej Cbo zależy od tych samych parametrów co i Cbx, z tym że zamiast przenikalności badanego materiału mamy tu przenikalność próżni. Jeżeli próbka nie wystaje poza krawędzie elektrody, to Cbx = Cbo. Pojemność brzegową można wyeliminować, stosując układ trójelektrodowy. Dla układu dwuelektrodowego natomiast można w przybliżeniu obli-czyć ją ze wzorów podanych w tabeli 8.1.2.

Tabela 8.1.1. Pojemność geometryczna w próżni dla układu trójelektrodowego [4]

Układ elektrod Pojemność geometryczna Cgo

(jednostki: pF i cm) Elektrody okrągłe

d1 g

ha

hA

hAC ogo ⋅== 08854,0ε

( )214π BgdA +=

Elektrody cylindryczne

g

a

l1

h D1

D2

( )

( )

1

2

1

1

2

1

lg2416,0

ln

π2

DDBglDD

BglC ogo

+=

+= ε

Dla a << h współczynnik B wyrażony jest wzorem [1, 4, 5]:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

hg

ghB

4πcoshln

π41 .

115

Tabela 8.1.2. Pojemność geometryczna w próżni dla układu dwuelektrodowego [3]

Układ elektrod

Pojemność geometryczna Cgo

w próżni

Pojemność brzegowa Cb, gdy a << h

(jednostki: pF i cm) Elektrody okrągłe

a) średnica elektrod = średnicy próbki

ha

d1

( )hPCb lg058,0029,0 −= , gdzie 1π dP =

b) elektrody o jednakowych średnicach, ale mniejszych niż próbka

d1

ha

( )010,0lg058,0019,0 +−= hPCb ε , gdzie 1π dP =

c) elektrody o różnych średnicach, ale mniejszych niż próbka

d1

ha

hd

hd

hAC

o

ogo

21

21

06954,0

4π

=

=

=

ε

ε

( )045,0lg077,0041,0 +−= hPCb ε , gdzie 1π dP =

Elektrody cylindryczne l1

h D1

D2

a

1

2

1

ln

π2

DDlC ogo ε= Jeżeli

101

1<

+ Dhh , to

( )010,0lg058,0019,02 +−= hPCb ε , gdzie )(π 1 hDP +=

W tabeli 8.1.2 ε jest przybliżoną wartością przenikalności względnej próbki.

8.2. Minimalizacja wpływu pojemności rozproszenia

Pojemność rozproszenia Cr zależy od wymiarów kondensatora pomiarowego, od odległości elektrod od otoczenia, a także od wymiarów i przenikalności elektrycznej elementów podporowych próbki. Gdy badana próbka zostanie umieszczona w wolnej przestrzeni nieekranowanej, wtedy pojemność Cr zmienia się wraz ze zmieniającym

116

się otoczeniem, na przykład w wyniku poruszania się przewodu lub ręki człowieka. Przez pojemności rozproszenia przedostają się także zakłócenia. Aby temu zapobiec, należy badaną próbkę z elektrodami umieścić w ekranowanej celce. Rozkład pojem-ności rozproszonych w ekranowanej celce przedstawiono na rysunku 8.2.1.

Cr1

Cr2

Cb

Ck1

Ck2

1

2

I

II

Cr1

Cr2

Cb

Ck1

Ck2

1

2

I

II

0

a) b)

Celka pomiarowa

Ekranowany przewód

Celka pomiarowa

Ekranowany przewód

Rys. 8.2.1. Pojemności rozproszone w ekranowanej i uziemionej celce pomiarowej dla: a) układu dwuelektrodowego, b) układ trójelektrodowego

Pojemności rozproszenia Cr nie można całkowicie wyeliminować, ale można je zminimalizować tak, ażeby miały pomijalnie małe wartości. W tym celu zachowuje się odpowiednio duże odległości między badaną próbką z elektrodami a metalowymi ściankami celki.

Pojemność rozproszeniową celki można ewentualnie zmierzyć, umieszczając w niej kondensator o znanej pojemności geometrycznej Cgn i znanej pojemności brze-gowej Cbn oraz o takich samych rozmiarach jak mierzony kondensator. W wyniku pomiaru uzyskuje się wartość Cn. Pojemność rozproszenia oblicza się ze wzoru

bngnnr CCCC −−= . (8.2.1)

Jeśli pojemność geometryczną Cgo i brzegową Cbx kondensatora próżniowego można dokładnie obliczyć ze wzorów podanych w tabeli 8.1.2, a pojemność rozpro-szenia Cr jest znana dzięki dodatkowym pomiarom, to mierzoną przenikalność względną można obliczyć z zależności

go

rbxxr C

CCC −−=ε . (8.2.2)

117

Do pojemności rozproszenia Cr1 i Cr2 dodają się pojemności Ck1 i Ck2 przyłącze-niowych ekranowanych kabli koncentrycznych. Jeżeli w układzie dwuelektrodowym jedna elektroda, np. 1, będzie połączona z masą celki, to układ pojemności zostanie zredukowany o pojemności Cr1 i Ck1. W układzie trójelektrodowym pierścień ochron-ny 0 jest połączony z masą celki (rys. 8.2.1b). Dlatego elektroda pomiarowa 1 nie powinna być łączona z masą celki, gdyż wtedy pojemność geometryczna zwiększyła-by się o pojemność pierścienia ochronnego. Elektroda pomiarowa 1 powinna być tak włączona do układu pomiarowego, ażeby jej potencjał był bliski potencjału masy lub równy potencjałowi masy, na przykład przez wskaźnik zera w układzie mostkowym, ale nie należy jej łączyć galwanicznie z masą, do której podłączono pierścień ochron-ny. W wyniku takiego połączenia układu pomiarowego będzie wyeliminowana za-równo pojemność brzegowa Cb, jak i pojemność rozproszenia Cr1 oraz kabla Ck1. Dzięki odpowiedniej konfiguracji układu pomiarowego można również zminimalizo-wać wpływ pojemności Cr2 i Ck2.

Wpływ pojemności rozproszenia w celce pomiarowej i pojemności koncentrycz-nych kabli najłatwiej jest wyeliminować, stosując czteroelektrodową metodę pomiaru pojemności i jej stratności. Zagadnienia te dokładniej omówiono w rozdziale 9, w którym opisano poszczególne metody pomiarowe.

8.3. Pomiary przenikalności elektrycznej przy użyciu kondensatora mikrometrycznego

Do pomiarów przenikalności elektrycznej Hartshorn zaproponował użycie elektrod mikrometrycznych [3]. System takich elektrod pokazano na rysunku 8.3.1. Podstawo-wymi elementami tego systemu są dwa płaskie metalowe krążki. Jeden z nich jest ruchomy i może być przemieszczany za pomocą śruby mikrometrycznej. System elek-trod mikrometrycznych umożliwia wyeliminowanie wpływu pojemności pasożytni-czych (brzegowych i rozproszenia). Stosuje się go podczas pomiarów w zakresie czę-stotliwości 10 kHz–300 MHz [4]. Próbka, która ma taką samą średnicę jak elektroda lub nieco mniejszą, jest dociskana tymi elektrodami. Jeżeli powierzchnie próbki i elektrod nie są idealnie płaskie i niezbyt dokładnie przylegają do siebie, to próbkę należy pokryć cienkimi metalowymi elektrodami naparowanymi próżniowo lub nakle-janymi z folii.

Pomiaru przenikalności elektrycznej za pomocą elektrod mikrometrycznych moż-na dokonać trzema sposobami, dostrajając układ przez:

• zmianę odległości elektrod, • dodanie pojemności kondensatora inkrementowego, • dodanie pojemności kondensatora zewnętrznego.

118

Głowica mikrometrycznakondensatora pomiarowego

Metalowy korpus

Elektroda regulowana

Miejsce na próbkę

Głowica mikrometrycznakondensatora inkrementowego

Kondensator inkrementowyElektroda nieruchoma

Podstawa metalowa

Izolacja teflonowa

Złączekoncentryczne

Rys. 8.3.1. Kondensator mikrometryczny zaprojektowany przez autora

8.3.1. Dostrojenie układu przez zmianę odległości elektrod

Najpierw próbkę delikatnie dociska się elektrodami za pomocą śruby mikrome-trycznej i mierzy odstęp h1 między elektrodami. Jeżeli na próbkę naniesiono elektrody foliowe, to ich grubość należy odjąć od zmierzonej odległości. Potem włącza się układ pomiarowy i mierzy się pojemność układu elektrod z próbką. Następnie próbkę wyj-muje się z układu elektrod mikrometrycznych i przy włączonym układzie pomiaro-wym zmniejsza się, za pomocą śruby mikrometrycznej, odległość między elektrodami do wartości h2 tak długo, aż uzyska się tę samą pojemność jak i z próbką. Pojemność układu elektrod z próbką można obliczyć ze wzoru [4]

2

212

21095,6

hd

hAC ox

−⋅== ε , (8.3.1)

w którym d jest średnicą elektrod (w m), h2 odległością między elektrodami podczas pomiaru bez próbki (w m), a Co oznacza pojemność układu elektrod bez próbki przy odległości elektrod h1. Wartość Co oblicza się z wyrażenia:

119

1

212

11095,6

hd

hAC oo

−⋅== ε . (8.3.2)

Podstawiając wyrażenia (8.3.1) i (8.3.2) do definicyjnego wzoru (8.1), otrzymuje się zależność określającą względną przenikalność elektryczną próbki

2

1

hh

CC

o

xr ==ε . (8.3.3)

8.3.2. Dostrojenie układu przez dodanie pojemności kondensatora inkrementowego

Podobnie jak poprzednio, najpierw pomiar wykonuje się z próbką dielektryka między okładkami kondensatora mikrometrycznego, a następnie usuwa się ją z kon-densatora. Nie zmieniając odległości h1, dostraja się ponownie układ pomiarowy do równowagi lub poprzedniego wskazania za pomocą równoległego kondensatora in-krementowego w zestawie elektrod mikrometrycznych (rys. 8.3.1). Wynik pomiaru pojemności z próbką oblicza się ze wzoru [3, 4]

CCC gox ∆+= , (8.3.4)

w którym Cgo jest pojemnością geometryczną obliczoną z odpowiedniego wzoru w tabeli 8.1.2, a ∆C – przyrostem pojemności odczytanej z kondensatora inkremento-wego po usunięciu próbki.

Średnica próbki powinna być mniejsza od średnicy elektrod przynajmniej o dwie grubości próbki. Do obliczenia efektywnej powierzchni próbki należy przyjąć średni-cę próbki. Względną przenikalność elektryczną oblicza się ze wzoru

gogo

xr C

CCC ∆1+==ε . (8.3.5)

8.3.3. Dostrojenie układu przez dodanie pojemności kondensatora zewnętrznego

Jeżeli system elektrod nie jest wyposażony w kondensator inkrementowy lub jego pojemność jest niewystarczająca, to można do niego równolegle dołączyć precyzyjnie nastawialny kondensator zewnętrzny. Sposób postępowania i obliczeń jest taki sam jak opisany w podrozdziale 8.3.1.

120

8.4. Pomiary przenikalności elektrycznej przy użyciu elektrod bezstykowych

Badaną próbkę można umieścić między elektrodami kondensatora tak, ażeby szczelina między elektrodą a próbką znajdowała się po jednej stronie próbki lub po obydwu jej stronach. Pomiary mogą być wykonywane w powietrzu lub w cieczy.

8.4.1. Pomiary w powietrzu

Do pomiarów w powietrzu stosuje się kondensator mikrometryczny opisany w podrozdziale 8.3. Gdy próbkę umieści się między elektrodami, pojemność konden-satora zwiększy się o ∆C. Przenikalność elektryczną oblicza się ze wzoru [3, 4]

hh

CC o

r⋅−

= ∆1

1ε , (8.4.1)

w którym: ∆C – przyrost pojemności kondensatora spowodowany umieszczeniem w nim

próbki, C – pojemność kondensatora z próbką, ho – odstęp między elektrodami h – grubość próbki. Po umieszczeniu próbki w kondensatorze mikrometrycznym można zmienić odle-

głość między elektrodami ho do wartości ho′

)

tak, ażeby jego pojemność była taka sama jak przed umieszczeniem próbki. Wówczas [3, 4]

( oor hhh

h′−−

=ε . (8.4.2)

Współczynnik strat dielektrycznych [3, 4]

( )crc M δεδδ tg∆tgtg += , (8.4.3)

gdzie: tgδc – współczynnik strat dielektrycznych po umieszczeniu próbki między elektro-

dami,

hhhM o −= – stosunek grubości szczeliny do grubości próbki,

∆(tgδc) – przyrost wartości współczynnika strat dielektrycznych spowodowany umieszczeniem próbki dielektryka między elektrodami.

121

8.4.2. Pomiary w cieczy

Jeżeli próbkę wraz elektrodami płaskimi umieści się w cieczy i pomiaru dokona się w taki sam sposób, jak opisano w podrozdziale 8.4.1, to względną przenikalność elektryczną można obliczyć ze wzoru [3, 4]

)]tg1()∆([

)tg1)(∆(tg1 2

2

2cfff

cf

c

fr CCCMC

CCδ

δδ

εε

++−+

++⋅

+= , (8.4.4)

w którym: ε f – względna przenikalność elektryczna cieczy, Cf = ε f Co – pojemność kondensatora tylko z cieczą. Natomiast współczynnik strat dielektrycznych oblicza się ze wzoru [3, 4]

)]tg1()∆([

)tg1()∆()(tg∆tgtg 2

2

cfff

cfcc CCCMC

CCM

δδ

δδδ++−+

++⋅⋅+= , (8.4.5)

w którym ∆(tgδc) jest przyrostem wartości współczynnika strat dielektrycznych po umieszczeniu próbki między elektrodami kondensatora.

Jeżeli współczynnik strat dielektrycznych badanego materiału tgδ < 0,1, to zależ-ności (8.4.4) i (4.4.5) upraszczają się do postaci:

hh

CCC o

of

fr

⋅+

−=

∆∆1

ε

εε , (8.4.6)

cf

rc M δ

εεδδ ∆tgtgtg ⋅+= . (8.4.7)

Nanoszenie elektrod, zwłaszcza elektrody wewnętrznej, na próbki cylindryczne jest bardzo trudne. Zastosowanie metody pomiaru z elektrodami bezkontaktowymi rozwiązuje ten problem. Pomiary można wykonywać w cieczy lub powietrzu w taki sam sposób, jak opisano w podrozdziałach 8.4.1 i 8.4.2. Jeżeli tgδ < 0,1, to εr i tgδ można obliczyć ze wzorów [3, 4]:

1

2

0

3

lg

lg∆1

dddd

CC

fr

⋅−

=ε

ε , (8.4.8)

122

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+= 1lg

lgtg∆tgtg

1

2

3

dddd

o

f

rCC ε

εδδδ , (8.4.9)

w których: do – zewnętrzna średnica elektrody wewnętrznej, d1 – wewnętrzna średnica próbki, d2 – zewnętrzna średnica próbki, d3 – wewnętrzna średnica zewnętrznej elektrody.

8.5. Metoda dwóch cieczy

Aby obliczyć przenikalność elektryczną ze wzorów podanych w podrozdziałach 8.1–8.4, trzeba znać grubość badanej próbki h. Jeżeli płaszczyzny próbki nie są gład-kie, to grubość ta jest wyznaczana z dużą niepewnością, która w największym stopniu wpływa na niepewność pomiaru przenikalności elektrycznej. Stosując metodę dwóch cieczy, można wyeliminować grubość próbki [1, 3, 4]. Próbkę dielektryka umieszcza się w kondensatorze pomiarowym wypełnionym cieczą o znanej przenikalności εf1, co powoduje przyrost jego pojemności o ∆C1. Jeżeli tę ciecz i próbkę usunie się z kon-densatora, który napełni się inną cieczą o przenikalności ε f 2, zmierzy ponownie po-jemność kondensatora i ponownie umieści próbkę w kondensatorze oraz zmierzy przyrost pojemności kondensatora z dielektrykiem ∆C2, to w przypadku, gdy tgδ < 0,1, względną przenikalność elektryczną i współczynnik strat dielektrycznych oblicza się ze wzorów [3, 4]:

1221

12211 ∆∆

)(∆CCCC

CC fffr −

−+=

εεεε , (8.5.1)

22

10 ∆tg∆

∆tgtgtg δεδδδC

CCrCC

−++= , (8.5.2)

gdzie indeksy 1 i 2 oznaczają odpowiednio wartości dla pierwszej i drugiej cieczy.

Literatura

[1] Endicott H.S., Guard-gap correction for guarded electrode measurements and exact equations for the two-fluid method of measuring permittivity and loss, Journal of Testing and Evaluation, Vol. 4 (1976), No. 3, pp. 188–195.

123

[2] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1968. [3] IEC 250:1969 Recommended methods for the determination of the permittivity and dielectric dissi-

pation factor of electrical insulating materials at power, audio and radio frequencies including me-tre wavelengths.

[4] PN-86/E-04403 Materiały elektroizolacyjne stałe. Metody pomiaru przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych.

[5] ASTM D 150-99 Standard test methods for a-c loss characteristics and permittivity (dielectric con-stant) of solid electrical insulation.

9. Metody i układy pomiarowe przenikalności elektrycznej

i współczynnika strat dielektrycznych

Metody pomiaru przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych materiałów dielektrycznych dobiera się w zależności od częstotliwości pomiarowej określonej przez warunki eksploatacyjne badanego materiału. Zakres częstotliwości pracy dielektryków mieści się w granicach od prądu stałego aż do częstotliwości rada-rowych 1011 Hz. Częstotliwości, przy których wykonuje się pomiary właściwości elek-trycznych dielektryków, można podzielić na zakresy:

• bardzo małe (poniżej 20 Hz), • akustyczne (20 Hz–100 kHz), • radiowe (100 kHz–100 MHz), • mikrofalowe (powyżej 100 MHz). Najczęściej jednak pomiary przenikalności i współczynnika strat dielektryków sta-

łych wykonuje się przy częstotliwościach 50 Hz lub 60Hz i 1000 Hz oraz w paśmie od 20 Hz do 1 MHz.

9.1. Pomiary w zakresie bardzo małych częstotliwości

Pasmo bardzo małych częstotliwości można podzielić na trzy podzakresy. W każ-dym z nich stosuje się różne metody pomiarowe, a mianowicie w zakresie:

• 10–6 Hz–0,01 Hz – metodę stałoprądową czasowej odpowiedzi, • 10–4 Hz–0,1 Hz – metodę zmiennoprądową wartości chwilowych, • 0,1 Hz–10 Hz – metody mostkowe.

9.1.1. Metoda stałoprądowa czasowej odpowiedzi

Metoda Hamona time response (czasowej odpowiedzi) [2, 13, 22] polega na bada-niu w funkcji czasu przebiegu prądu ładowania dielektryka jako odpowiedzi na jed-

126

nostkowy skok napięcia stałego polaryzującego próbkę lub prądu rozładowania wsku-tek gwałtownego zaniku napięcia stałego i zwarcia próbki. Metodę tę stosuje się w układzie przedstawionym na rysunku 9.1.1, powszechnie służącym do pomiarów prą-dów absorpcji i resorpcji oraz rezystancji skrośnej.

pA

Rys. 9.1.1. Schemat układu pomiarowego do realizacji metody Hamona

Stosując przekształcenie Fouriera dla czasowej odpowiedzi prądowej dla dielek-tryków liniowych, można wyznaczyć dyspersyjne (częstotliwościowe) zależności składowej czynnej ε′(ω) i biernej ε″(ω) przenikalności elektrycznej. Podstawą są za-leżności dyspersyjne w postaci [2, 13, 22]:

( ) ( )∫∞

∞ ⋅⋅⋅+=′0

dcos1 ttts

ωαε

εωε , (9.1.1)

( ) ( )∫∞

⋅⋅⋅+⋅

=′′0

dsin1 tttss

S ωαεεω

σωε , (9.1.2)

gdzie: ε∞ – względna przenikalność elektryczna dla f → ∞, ε s – względna statyczna przenikalność elektryczna dla f → 0, α(t) – funkcja zaniku, σs – konduktywność statyczna mierzona przy prądzie stałym. Obliczanie powyższych całek jest uciążliwe i nie pozwala szybko uzyskać wyni-

ków. Hamon zaproponował aproksymację równania (9.1.2) zależnością [2]

UC

ti

gωωε )()( ≅′′ , (9.1.3)

127

która jest słuszna z niedokładnością 3 % pod warunkiem, że funkcja α(t), proporcjo-nalna do prądu przejściowego (zobacz równanie (2.3.12)), jest potęgową funkcją cza-su wyrażoną zależnością

, (9.1.4) ntAt −⋅=)(α

w której A i n są stałymi dla danego materiału i temperatury, n ∈ (0,3–1,2). Częstotliwość f i czas t są powiązane zależnością

t

f 1,0= . (9.1.5)

W powyższych wzorach f – częstotliwość, Cg – pojemność geometryczna próbki, U – napięcie skokowe, i(t) – prąd ładowania (rozładowania) w chwili ft 1,0= . Taką samą aproksymację równania (9.1.1) zaproponował Adamec [1]. Wykazał

on, że równanie (9.1.1) można z niedokładnością 2% zapisać w uproszczonej po-staci

n

st

nA −

−=′ 1

)1()(

εωε (9.1.6)

pod warunkiem, że: 1) funkcja zaniku prądu spełnia równanie (9.1.4), 2) wykładnik potęgowy n zawiera się w przedziale 0,5 < n < 1,0, 3) częstotliwość i czas są związane zależnością

t

nf 05,004,0 += . (9.1.7)

Niedogodnością aproksymacji Adameca jest uzależnienie ε′ od stałej A i wykład-nika potęgowego n (zależność (9.1.6)). Również częstotliwość f jest związana z cza-sem t przez wykładnik n (zależność (9.1.7)). Jeżeli n nie mieści się w przedziale 0,5 < n < 1,0, to parametry A i n należy wyznaczyć oddzielnie dla każdego punktu częstotliwości. Poważnym utrudnieniem w aproksymacji Adameca jest także zawęże-nie zakresu zmienności wykładnika potęgowego n, chociaż dla wielu polimerów w temperaturze pokojowej wykładnik n mieści się w pożądanym przedziale.

Współczesne skomputeryzowane stanowisko badawcze pozwalające realizować opi-saną metodę opisał Nisch [13]. Do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych zastosowano tam algorytm szybkiej transformaty Fouriera przedstawiony w pracy [5].

128

9.1.2. Metoda zmiennoprądowa rejestracji wartości chwilowych

Składowe impedancji, a zatem i składowe zespolonej przenikalności elektrycznej, mierzy się w układzie pomiarowym przedstawionym na rysunku 9.1.2, zasilanym z funkcyjnego generatora sinusoidalnego małej częstotliwości. Metoda jest oparta na rejestracji chwilowych wartości prądu, który przepływa przez kondensator z badanym dielektrykiem między okładkami, oraz napięcia przyłożonego do elektrod [3].

~ V

R1

R2

CX

RI

REJESTRATOR

R1

R2

X-YX–Y

Rys. 9.1.2. Schemat układu pomiarowego z rejestratorem X–Y

I I

Um

Iπ2/

Io

UU

Rys. 9.1.3. Krzywa Lissajous przebiegów sinusoidalnych U(t) oraz I(t): Um – maksymalna wartość napięcia, Io – wartość prądu w momencie przejścia napięcia przez zero,

Iπ/2 – wartość prądu w momencie przechodzenia napięcia przez maksimum

129

Doprowadzając do toru osi Y rejestratora sygnał proporcjonalny do prądu I płyną-cego przez badaną próbkę, a do toru osi X sygnał proporcjonalny do napięcia U na próbce, na rejestratorze otrzymuje się elipsę. Jest to jedna z krzywych Lissajous (rys. 9.1.3) dla dwóch przebiegów sinusoidalnych o tej samej częstotliwości, ale przesunię-tych względem siebie w fazie.

Na wejście X rejestratora X–Y jest podawany sygnał z dzielnika napięcia złożone-go z rezystorów R1 i R2. Aby zatem wyskalować oś X w wartościach napięcia, odchy-lenie ax należy pomnożyć przez stałą rejestratora cx i przekładnię dzielnika napięcia

))(( 221 RRRcaU xx += . Na oś Y natomiast jest podawany sygnał z rezystora R1 włą-czonego w obwód prądowy. Aby wyskalować oś Y w wartościach prądu, odchylenie ay należy pomnożyć przez stałą rejestratora cy i podzielić przez wartość rezystancji R1

)./( 1RcaI yy=

Z wartości odczytanych z rysunku 9.1.3 wyznacza się składowe przenikalności ε′ i ε″ ze wzorów:

om A

hUI

εωε ⋅=′ 0 , (9.1.8)

om A

hU

Iεω

ε ⋅=′′ π/2 , (9.1.9)

w których h jest grubością próbki, a A – efektywną powierzchnią próbki. Współczesne rejestratory X–Y zastępują przetworniki analogowo-cyfrowe współ-

pracujące przez interfejs z komputerem, co umożliwia pełną automatyzację pomiaru i cyfrową obróbkę wyników. Taki układ pomiarowy do analizy spektralnej w zakresie częstotliwości od 10–4 Hz do 10 kHz zbudowany z wykorzystaniem analizatora firmy Schlumberger, model 1172, opisała w swej monografii Pospieszna [14].

9.1.3. Metody mostkowe

Pomiary przenikalności elektrycznej ε i współczynnika strat dielektrycznych tgδ w zakresie częstotliwości 0,1–10 Hz wykonuje się, mierząc pojemność elek-tryczną mostkiem Vince’a [25], którego schemat przedstawiono na rysunku 9.1.4. Mierzoną próbkę reprezentują pojemność Cx i równolegle do niej przyłączona re-zystancja Rx.

130

~

~

Cn

R23

R3

R2

R12

R1 R13

Rx

Cx

R

2

1

3

R23

R2

U1

U2

R3

U1 R12

R1R13

4R4U2

Rys. 9.1.4. Schemat mostka Vince’a

Mostek jest zasilany z dwóch zsynchronizowanych generatorów niskoczęsto-tliwościowych o napięciach wyjściowych U1 i U2 o tej samej fazie. Gwiazdę rezy-stancji złożoną z rezystorów R1, R2 i R3 można zamienić na równoważny trójkąt rezystorów:

3

212112 R

RRRRR ++= , (9.1.10)

1

323223 R

RRRRR ++= , (9.1.11)

2

313113 R

RRRRR ++= . (9.1.12)

W stanie równowagi

232

1 RUURx = , (9.1.13)

131

nx CUUC

1

2= , (9.1.14)

23

1tgRCn

x ωδ = . (9.1.15)

Jeżeli R1 << R2 i R1 << R3, to

1

3223 R

RRR ≅ . (9.1.16)

Jeżeli moduły napięć U1 = U2, a przesunięcie fazowe między tymi napięciami wy-nosi zero, to w stanie równowagi mostka

23, RRCC xnx == . (9.1.17)

W zakresie częstotliwości 0,01–1 Hz jako wskaźniki zera stosuje się elektrometry, a w zakresie 1–300 Hz – nanowoltomierze selektywne. Osiągalna czułość mostka w zakresie częstotliwości poniżej 1 Hz wynosi ∆Cx ≈ ±0,8 pF; ∆tgδx ≈ ±5⋅10–5, a w zakresie powyżej 1 Hz: ∆Cx ≈ ±0,1 pF; ∆tgδx ≈ ±1⋅10–4.

9.2. Pomiary w zakresie częstotliwości akustycznych

W zakresie częstotliwości akustycznych pomiary przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych wykonuje się zawsze metodą pośrednią, umieszczając badany materiał między elektrodami, które razem z nim tworzą konden-sator. Bezpośrednio mierzy się pojemność kondensatora i współczynnik jego strat dielektrycznych, a wyniki pomiarów przenikalności elektrycznej oblicza się ze wzoru (8.1).

Pomiary pojemności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych wykonuje się metodami mostkowymi lub napięciowo-prądowymi. Stosuje się mostki czterora-mienne ze wszystkimi gałęziami biernymi i mostki transformatorowe.

9.2.1. Mostki czteroramienne bierne

Wszystkie układy mostków z gałęziami biernymi można sprowadzić do mostka czteroramiennego typu Wheatstone’a, przedstawionego na rysunku 9.2.1, zawierają-cego gałęzie o impedancjach zespolonych Z1, Z2, Z3 i Z4, źródło zasilające mostek napięciem przemiennym U oraz wskaźnik równowagi WZ [8, 11, 12, 17].

132

( Zx )Z1

WZ

~

3

CC

(Zx)Z1 ZZ3

I0

U0

Z0Z4Z2

D

A B

I1

I0

I1

A B U0

Z0Z4Z2

D

Rys. 9.2.1. Mostek czteroramienny prądu przemiennego

W stanie równowagi mostka, gdy prąd w gałęzi wskaźnika zera Io = 0, impedancje zespolone gałęzi mostka spełniają warunek:

3241 ZZZZ = . (9.2.1)

Przedstawiając poszczególne impedancje zespolone w postaci wykładniczej, rów-nanie (9.2.1) można zapisać w postaci:

, (9.2.2) 3241 j3

j2

j4

j1 eeee ϕϕϕϕ ZZZZ =

czyli

( ) ( )3241 j32

j41 ee ϕϕϕϕ −+ = ZZZZ . (9.2.3)

Z równania (9.2.3) wynika, że w stanie równowagi mostka musi być spełniony wa-runek równowagi modułów impedancji:

3241 ZZZZ = (9.2.4)

oraz warunek równowagi argumentów:

133

3241 ϕϕϕϕ +=+ . (9.2.5)

Jeżeli poszczególne impedancje zespolone gałęzi mostka przedstawi się w postaci składowych czynnej i biernej, to równanie (9.2.1) przyjmie postać:

)j()j()j()j( 33224411 XRXRXRXR ++=++ , (9.2.6)

a po przekształceniu

)j()j( 2332323214414141 XRXRXXRRXRXRXXRR ++−=++− . (9.2.7)

Równanie (9.2.7) będzie spełnione, jeżeli jednocześnie zrównoważone będą skła-dowe czynne

32324141 XXRRXXRR −=− (9.2.8)

i składowe bierne

23321441 XRXRXRXR +=+ . (9.2.9)

Impedancję mierzoną xxxx XRZZ x je j +== ϕ najczęściej umieszcza się w gałęzi Z1 i w stanie równowagi mostka

4

321 Z

ZZZZ x == . (9.2.10)

Gałęzie, w których znajduje się obiekt badany i wzorzec regulowany, nazywa się gałęziami podstawowymi, pozostałe dwie gałęzie nazywa się pomocniczymi [8]. Ga-łęziami podstawowymi mogą być gałęzie sąsiednie lub gałęzie przeciwległe. Jeżeli w gałęzi Z1 znajduje się obiekt mierzony, to odwzorowującą gałęzią podstawową mo-że być sąsiednia gałąź Z2 lub Z3. Jeżeli tą gałęzią jest Z2, to gałęzie Z3 i Z4 są gałęziami stosunkowymi, a wzór (9.2.10) można zapisać w postaci

kZZZZZ 2

4

321 == , (9.2.11)

gdzie const.j/ 43 =+== βαZZk powinno być stałe dla danego zakresu pomiarowe-go. Warunek ten będzie spełniony, jeżeli

const.43 =−ϕϕ (9.2.12)

Mostki spełniające warunek (9.2.12) nazywa się mostkami o stałej różnicy argu-mentów lub stosunkowymi (od stosunku impedancji gałęzi pomocniczych).

134

Jeżeli odwzorowującą gałęzią jest przeciwległa Z4, to

44

321 Z

kZ

ZZZ == , (9.2.13)

gdzie .const32 == ZZk powinno być stałe dla danego zakresu pomiarowego. Waru-nek ten będzie spełniony, jeżeli

.const43 =+ϕϕ (9.2.14)

Mostki spełniające warunek (9.2.14) nazywa się mostkami o stałej sumie argumen-tów lub iloczynowymi (od iloczynu impedancji gałęzi pomocniczych).

Dla mostków o stałej różnicy argumentów równanie (9.2.11) można zapisać w po-staci:

)j)((j 2211 βα ++=+ XRXR , (9.2.15)

a po przekształceniu

)j()(j 222211 RXXRXR βαβα ++−=+ , (9.2.16)

czyli

221221 , RXXXRR βαβα +=−= . (9.2.17)

Z wyrażeń (9.2.17) wynika, że ),( 221 XRfR = , a ),( 221 RXfX = , czyli odczyt każdej ze składowych mierzonej impedancji R1 i X1 zależy od dwóch zmiennych R2 i X2. Wykonywanie pomiarów takim mostkiem jest więc utrudnione. Można jednak tak skon-figurować mostek, ażeby i )( 21 RfR = )( 21 XfX = lub )( 21 XfR = i , czyli uzyskać zależność odczytu od tylko jednej zmiennej. Nastąpi to, gdy:

)( 21 RfX =

α = 0, wówczas )(),(,2π,j 212143 RfXXfRk ==±=−= ϕϕβ lub β = 0, wówczas ).(),(,0, 212143 XfXRfRk ===−= ϕϕα Analogicznie dla mostków o stałej sumie argumentów zależność odczytu od tylko

jednej zmiennej można uzyskać, gdy ϕ 2 + ϕ 3 = 0 lub ϕ 2 + ϕ 3 = ±π /2. Z przedstawionych rozważań wynika, że dla każdej składowej mierzonej impedan-

cji można uzyskać zależność odczytu od jednej tylko zmiennej, jeżeli regulowane składowe czynne i bierne impedancji będą się znajdowały w jednym tylko ramieniu mostka, a stosunek lub iloczyn stałych impedancji gałęzi pomocniczych będzie wiel-kością rzeczywistą lub urojoną, ale nie zespoloną.

Niepewność pomiarów metodami mostkowymi zależy głównie od niepewności poszczególnych składowych impedancji mostka i jego czułości. Czułość mostka okre-śla się oddzielnie dla każdej z mierzonych składowych. Dla składowej czynnej Rx = R1 bezwzględna czułość mostka wyraża się zależnością

135

x

o

ox

o

oxxRR RU

URI

IRRS

XX d

ddd

dd

dd

dd

∆∆lim

0∆

αααα====

→, (9.2.18)

a dla składowej biernej Xx = X1 bezwzględna czułość mostka wynosi

x

o

ox

o

oxxXX XU

UXI

IXXS

XX d

ddd

dd

dd

dd

∆∆lim

0∆

αααα====

→, (9.2.19)

gdzie: ∆α – przyrost odchylenia wskaźnika zera od stanu zerowego spowodowany od-

strojeniem mostka od stanu równowagi wskutek zmiany rezystancji Rx o ∆Rx, Io i Uo – prąd i napięcie w gałęzi wskaźnika zera,

Io

oS

I=

ddα – czułość prądowa wskaźnika zera,

I

Io c

S 1= , gdzie cI jest stałą prądową

wskaźnika zera, Uo

oS

U=

ddα – czułość napięciowa wskaźnika zera,

U

Uo c

S 1= , gdzie cU jest stałą na-

pięciową wskaźnika zera, IR

x

oX

SRI

=dd – czułość prądowa układu mostka,

UR

x

oX

SRU

=dd – czułość napięciowa układu mostka.

Zatem bezwzględna czułość mostka na składową czynną impedancji

i składową bierną lub i jest ilorazem czułości wskaźnika zera i czułości układu mostka.

IR

IoR XX

SSS =IX

IoX XXSSS = U

RUoR XX

SSS = UX

UoX XX

SSS =

Ponieważ w praktyce nie można odstroić składowych mierzonej impedancji od stanu równowagi, odstrojenie wykonuje się elementami gałęzi odwzorowujących i oblicza się odpowiadające im zmiany wielkości mierzonej.

Z czułością bezwzględną wiąże się czułość względna, która dla składowej czynnej jest zdefiniowana wzorem

xx

x

xRwR RR

RRS

XX d

d∆∆lim

0∆

αα==

→, (9.2.20)

a dla składowej biernej – wzorem

xx

x

xXwX XX

XXS

X dd

∆∆lim

0∆

αα==

→. (9.2.21)

136

Analogicznie do czułości bezwzględnej, czułość względna na zmianę danej skła-dowej jest ilorazem czułości wskaźnika zera i czułości względnej układu mostka zgodnie z zależnościami: , lub ,

.

IRw

IoRw XXSSS = I

wXIowX XXSSS = U

wRUowR XX

SSS =UwX

UowX XX

SSS =

Czułość układu mostka zależy od wartości napięcia zasilającego (wzrasta propor-cjonalnie do napięcia) i wartości impedancji poszczególnych gałęzi mostka. Szczegó-łowa analiza czułości układów mostkowych znajduje się w skrypcie Gotszalka [8] i tutaj nie będzie omawiana.

Jak już wcześniej wspomniano, czułość mostka jest jedną ze składowych niepew-ności pomiaru. Niepewność spowodowana ograniczoną czułością mostka powinna być zawsze wyznaczana doświadczalnie. W tym celu daną wielkość mierzoną należy od-stroić od stanu równowagi o rozróżnialną wartość i niepewność względną obliczyć ze wzorów

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )%100∆

,%100∆ roz.roz. ⋅=⋅=

x

xx

x

xx X

XXu

RR

Ru . (9.2.22)

Jednak tak wyznaczona niepewność jest mało precyzyjna. Bardziej wiarygodnie niepewność związaną z ograniczoną czułością można wyznaczyć na podstawie do-świadczalnie określonej czułości względnej. W tym celu należy odstroić równoważo-ną wielkość o taką wartość, ażeby uzyskać odstrojenie wskaźnika równowagi o kilka działek ∆α, i obliczyć czułość względną ze wzorów:

( ) ( %/dz100∆

∆,%/dz100∆

∆

⋅=

⋅=

x

xwX

x

xwR

XXS

RRS

XX

αα ). (9.2.23)

Niepewność względną związaną z nieczułością można obliczyć z zależności:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )%∆,%∆ roz.roz.

XX wXx

wRx S

XuS

Ru αα== . (9.2.24)

Impedancje pasożytnicze, na które składają się głównie pojemności rozproszone, zmieniają impedancje gałęzi mostka i mogą być przyczyną znacznych błędów pomia-rowych. Pojemności te można sprowadzić do czterech zastępczych pojemności CA, CB, CC, CD między punktami A, B, C i D a ziemią (rys. 9.2.2a). Jeżeli uziemi się punkt D mostka, to układ pojemności sprzęgających sprowadzi się do dwóch pojemności, co pokazano na rysunku 9.2.2b.

Pojemność CA bocznikuje impedancję Z2, a pojemność CB bocznikuje impedan-cję Z3. Można tak dobrać impedancje Z2 i Z3, aby były małe w porównaniu z bocz-nikującymi impedancjami pojemnościowymi i błędy spowodowane tym boczni-

137

kowaniem były pomijalnie małe. Należy uważać, ażeby nie uziemiać wskaźnika zera w punkcie C przy połączeniu z gałęzią Z1, w której znajduje się pojemno-ściowy obiekt badany (próbka dielektryka z elektrodami), gdyż spowodowałoby to zbocznikowanie gałęzi Z1 pojemnością CA, która może być nawet większa niż po-jemność mierzonego kondensatora wynosząca zwykle od kilkudziesięciu do kilku-set pF.

Z1

WZ

~

Z3

C

Z4Z2

D

A BCBCA

CD

CC

Z1

WZ

~

Z3

C

Z4Z2

D

A BCBCA

a) b)

Rys. 9.2.2. Pojemności sprzęgające w mostku czteroramiennym: a) nieuziemionym, b) z uziemionym wskaźnikiem zera

Pojemności sprzęgające da się całkowicie wyeliminować z mostka, jeżeli zastosuje się układ mostka z gałęzią Wagnera przedstawiony na rysunku 9.2.3.

Do punktów A i B jest dołączona dodatkowa gałąź złożona z impedancji Z5 i Z6, nazywana gałęzią Wagnera. Punkt E, łączący obydwie te impedancje, został uziemio-ny, a pojemności sprzęgające CA i CB bocznikują impedancje Z5 i Z6. Jeżeli przełącz-nik P znajduje się w położeniu II, to impedancje Z1, Z2, Z3 i Z4 tworzą dodatkowy mo-stek. Układ równoważy się dla położenia przełącznika P w pozycji I i II. Wymaga to wykonania kilka kroków równoważenia. W stanie równowagi mostka w obu położe-niach przełącznika P są spełnione równania:

3241 ZZZZ = , (9.2.25)

5361 ZZZZ = . (9.2.26)

138

Z1 Z3C

Z4Z2 DA B

WZ

Z6Z5

~

CBCA

PIII

E

Rys. 9.2.3. Schemat układu mostka z gałęzią Wagnera

Impedancję Z1 oblicza się ze wzoru (9.2.25), a wynik pomiaru nie zależy od po-jemności sprzęgających (rozproszonych).

W literaturze opisano bardzo wiele różnych mostków biernych do pomiarów po-jemności i współczynnika strat dielektrycznych [9, 11, 12, 17, 26]. Do najbardziej znanych należą mostki Scheringa, których można używać w zakresie częstotliwości od ok. 40 Hz do 100 kHz przy niskim i wysokim napięciu [17, 27]. Obecnie mostki te straciły na znaczeniu i zastępują je mostki transformatorowe lub układy napięciowo-prądowe. Na rynku są jeszcze dostępne precyzyjne wysokonapięciowe mostki Scher-inga produkowane przez znaną firmę Tettex, modele: 2801, 2821 i 2822 [23]. Dlatego w dalszej części tego podrozdziału opisano tylko ten rodzaj mostka.

Schemat wysokonapięciowego mostka Scheringa przedstawiono na rysunku 9.2.4. Mostek ten różni się od mostków niskonapięciowych tym, że uziemione jest źródło zasilania, a gałąź wskaźnika zera nie [17]. Wynika to stąd, że mostek pracuje przy wysokim napięciu i na elementach R3, C4 i R4, dostępnych dla obsługi, nie może poja-wić się wysokie napięcie.

139

C4

C

R3

R4

~WZ

B

D

A

Cn

Cxtgδx

Rys. 9.2.4. Wysokonapięciowy mostek Scheringa

Impedancje poszczególnych gałęzi mostka:

x

x CRZ

ω1j1 −= , (9.2.27)

nC

Zω

1j2 −= , (9.2.28)

33 RZ = , (9.2.29)

44

44 j1 RC

RZω+

= . (9.2.30)

W stanie równowagi mostka są spełnione równania:

nx CRCR 43 = , (9.2.31)

43CRCR nx = . (9.2.32)

140

Stąd

n

xnx CCRR

RRCC 4

33

4 , == . (9.2.33)

Współczynnik strat dielektrycznych, zdefiniowany wzorem (3.25), można obliczyć z zależności

44tg RCRC xxx ωωδ == . (9.2.34)

Kondensator mierzony Cx, utworzony z badanego dielektryka i elektrod, oraz kon-densator wzorcowy Cn powinny być kondensatorami trójelektrodowymi. Wszystkie elementy mostka powinny być ekranowane i łączone przewodami ekranowanymi z ekranami podłączonymi do masy w sposób pokazany na rysunku 9.2.4. Pojemności rozproszone względem ziemi można sprowadzić do układu czterech pojemności przy-łączonych do poszczególnych węzłów mostka w sposób pokazany na rysunku 9.2.2. W układzie mostka Scheringa (rys. 9.2.4) uziemienie węzła B wyeliminowało pojem-ność CB, a pojemność CA bocznikuje jedynie źródło napięcia i nie wpływa na wyniki pomiarów. Pojemność CC bocznikuje rezystancję R3, a pojemność CD jest włączona równolegle do C4 i R4. Pojemności te mają bezpośredni wpływ na dokładność pomia-ru. W pomiarach precyzyjnych należy je uwzględnić w postaci poprawki.

Oferowany przez firmę Tettex mostek Scheringa, model 2801, nie zawiera konden-satora wzorcowego Cn. Wzorzec pojemności Cn, wskaźnik zera i źródło zasilania, a także gałąź Wagnera są sprzedawane przez firmę Tettex jako oddzielne elementy przyłączane na zewnątrz. Zakres napięciowy mostka zależy od zakresu napięciowego zastosowanego wzorca pojemności. Firma Tettex oferuje całą gamę wzorców pojemno-ści aż do 1000 kV. Mostek jest przystosowany do pracy przy częstotliwości 50–60 Hz. Zapewnia on bardzo dużą dokładność. Niedokładność pomiaru pojemności wynosi ±0,04 %, a współczynnika strat dielektrycznych – ±0,04 % ±1...5⋅10–5. Modele mostków 2821 i 2822 mają budowę kompaktową i oprócz opisanego mostka Scheringa zawierają wszystkie elementy układu pomiarowego. Ich zakres pomiarowy dochodzi do 2 kV, a parametry metrologiczne są takie same jak parametry mostka 2801. Wewnętrzne źró-dło napięcia zasilającego nie jest uziemione. Potencjał gałęzi zerowej jest sprowadzany do potencjału uziemionej obudowy nie za pomocą gałęzi Wagnera, ale przez układ elek-troniczny sterowany pokrętłami umieszczonymi na płycie czołowej [16]. Mostki 2821 i 2822 różnią się jedynie tym, że mostek 2821 jest wyposażony we wskaźnik zera z od-czytem analogowym, a mostek 2822 – we wskaźnik z lampą oscyloskopową.

9.2.2. Mostki transformatorowe

Mostki transformatorowe mają zastosowanie w szerokim zakresie częstotliwości (15–250MHz) ze względu na:

141

• małą liczbę elementów mostka wskutek wprowadzenia zasilania układu bezpo-średnio do gałęzi mostka,

• dużą dokładność pomiaru i jej bardzo małą zależność od czasu, temperatury i na-pięcia,

• możliwość bezpośredniego uziemienia ekranów i pierścieni ochronnych, a więc pomiaru pojemności kondensatorów trójelektrodowych bez dodatkowych obwodów ochronnych [11, 12, 17, 27].

Podstawowy schemat mostka z transformatorem napięciowym do pomiarów po-jemności próbki dielektryka w układzie trójelektrodowym przedstawiono na rysunku 9.2.5.

~E1

E2

w1

w2

I1

I2

Zn

Zx

Rys. 9.2.5. Schemat ideowy mostka transformatorowego

Zakładając, że transformator jest idealny, czyli bez rozproszeń magnetycznych i pojemności własnych, warunki równowagi mostka zrównoważonego można wyrazić równaniami:

021 =− II , (9.2.35)

nx Z

EZE 21 = , (9.2.36)

kww

EE

==2

1

2

1 , (9.2.37)

gdzie k jest przekładnią transformatora.

142

Stosunek sił elektromotorycznych E1:E2 jest równy stosunkowi liczby zwojów uzwojeń wtórnych transformatora w1:w2. Liczbę zwojów transformatora w1 i w2 można dokładnie określić, ponieważ nie zależy ona od czynników zewnętrznych, takich jak temperatura, wilgotność, napięcie czy starzenie się transformatora [7,17]. Zależność przekładni od zmian sprzężeń poszczególnych uzwojeń można wyeliminować, kon-struując transformator tak, by sprzężenie między kolejnymi uzwojeniami było bliskie jedności. Aby to uzyskać, nawija się uzwojenie skrętką multifilarną. Wówczas każda zmiana napięcia w jednym uzwojeniu przeniesie się w pełni na drugie uzwojenie tak, że stosunek napięć pozostanie stały. Natomiast wartość stosunku napięć, czyli zakres pomiarowy, zmienia się, dobierając odpowiednie stosunki zwojów.

Po podstawieniu (9.2.37) do (9.2.36) otrzymuje się

nx ZkZ = . (9.2.38)

Impedancje mierzona i wzorcowa mają charakter pojemnościowy i wyrażają się wzorami:

n

xx CRZ

ω1j−= , (9.2.39)

n

nn CRZ

ω1j−= . (9.2.40)

Z warunków równowagi uzyskuje się zależności, które określają mierzone wielko-ści:

k

CC nx = , (9.2.41)

nx kRR = , (9.2.42)

nxx CR ωδ =tg . (9.2.43)

Każdy dwójnik ma rozproszone impedancje doziemne. W przypadku prądu zmiennego mają one głównie charakter pojemnościowy. Jeżeli dwójnik zostanie za-ekranowany, to można go uważać za element trójzaciskowy o impedancji Z12 między głównymi zaciskami 1–2 i impedancjach do ekranu, które można sprowadzić do im-pedancji Z10 i Z20 (rys. 9.2.6a).

Analogiczny schemat zastępczy zaekranowanego kondensatora przedstawiono na rysunku 9.2.6b. Na schemacie tym pominięto rezystancje reprezentujące upływności, które w rzeczywistości mają drugorzędne znaczenie. Jeżeli jeden zacisk pojemności zostanie połączony z masą, to układ zastępczy kondensatora sprowadzi się do jednej pojemności doziemnej C10 (rys. 9.2.6c).

143

Z12

Z20Z10

1 2

a)

0

C12

C20C10

1 2

b)

0

C12

C10

1 2

c)

0

Rys. 9.2.6. Schemat ogólny zaekranowanego: a) dwójnika, b) kondensatora, c) kondensatora, którego jeden zacisk połączono z masą

Mostek transformatorowy z rysunku 9.2.5 wraz z pojemnościami doziemnymi po-równywanych kondensatorów Cx i Cn, mających rezystancje strat Rx i Rn, przedstawio-no na rysunku 9.2.7.

CxC0

C

CxA0

Rx

Cx

A

U1

U2

0

Cn

RnCnB0

B

CnA0

Rys. 9.2.7. Rozkład pojemności doziemnych w mostku transformatorowym

Pojemności Cx C 0 i Cx C A są pojemnościami doziemnymi kondensatora mierzonego Cx, a pojemności Cn A 0 i Cn B 0 są pojemnościami doziemnymi kondensatora wzorcowe-go Cn. Pojemności Cx C 0 i Cn B 0 są zwarte przez małe rezystancje uzwojeń transforma-tora, a pojemności Cx A 0 i Cn A 0 są włączone równolegle do gałęzi wskaźnika równo-wagi i nie mają wpływu na wynik pomiaru [7, 17]. Fakt, że pojemności doziemne

144

kondensatorów Cn i Cx nie wpływają na wyniki pomiarów, jest bardzo ważną zaletą mostków transformatorowych.

Transformator napięciowy ma znaczące impedancje wyjściowe uzwojeń wtórnych, które sumują się z impedancją mierzoną i wzorcową. Rezystancja uzwojenia może zmieniać wynik pomiaru współczynnika strat dielektrycznych, a indukcyjność uzwo-jenia – wynik pomiaru pojemności elektrycznej. Te parametry wyjściowe transforma-tora należy uwzględnić w obliczeniach wyników pomiarów w postaci poprawki lub oszacowania wynikającej stąd niepewności pomiaru.

Wpływ parametrów wyjściowych transformatora można znacznie zmniejszyć, je-żeli zastosuje się w mostku transformator prądowy. Schemat takiego mostka transfor-matorowego do pomiarów pojemności i stratności dielektrycznej przy wysokim napię-ciu przedstawiono na rysunku 9.2.8.

Cn

R’

Cx tgδx

w1 w2

I2

C’

I1

220 V50 Hz

T2

Rys. 9.2.8. Mostek transformatorowy wysokiego napięcia do pomiarów przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych

Transformator prądowy znajdujący się w obwodzie wskaźnika zera ma dwa połą-czone uzwojenia pierwotne o regulowanej liczbie zwojów w1 i w2 nawinięte na rdzeń toroidalny przeciwsobnie. W efekcie strumienie magnetyczne wytworzone przez prą-dy I1 i I2 odejmują się od siebie. W stanie równowagi mostka wypadkowy strumień

145

magnetyczny w rdzeniu transformatora prądowego jest równy zeru i wskaźnik napię-cia przyłączony do uzwojenia wtórnego tego transformatora wskaże brak napięcia. Świadczy to o tym, że liczby amperozwojów są równe

2211 wIwI = . (9.2.44)

Do zmiany fazy prądu I2 służą rezystor R ′ i kondensator C ′. Zmiana liczby zwo-jów uzwojenia w1 odbywa się skokowo w wyniku zmiany odczepów uzwojenia trans-formatora. Aby uzyskać dużą rozdzielczość nastawy liczby zwojów w2, poza odcze-pami uzwojenia stosuje się precyzyjny wielodekadowy indukcyjny dzielnik prądu.

W stanie równowagi mostka

1

2

wwCC nx = , (9.2.45)

RC ′′= ωδtg . (9.2.46)

Rezystancja i indukcyjność uzwojeń transformatora prądowego mają wartości po-mijalnie małe w porównaniu z parametrami kondensatora wzorcowego i mierzonego, dlatego ich wpływu praktycznie się nie uwzględnia.

Według opisanej zasady działa mostek transformatorowy typu 2805 firmy Tettex. Zakres pojemności tego mostka wynosi Cx = 1 pF–1,1 µF dla Cn = 100 pF, zakres współczynnika strat dielektrycznych tgδx = 1⋅10–4–11, niedokładności δCx = ±0,1 %, δ (tgδx) = ±1 % ± 1⋅10–4.

Zastosowanie w mostku transformatorowym – w celu precyzyjnego równoważenia – elementów R′ i C′ oraz dzielnika prądowego przyłączonego do uzwojenia w2 (rys. 9.2.8) ogranicza jego dokładność. Korzystniejsze jest zastosowanie transformatora prądowego z dwoma dodatkowymi uzwojeniami w3 i w4, przez które wstrzykuje się dodatkowe strumienie magnetyczne w celu zrównoważenia mostka. Schemat takiego mostka przedstawiono na rysunku 9.2.9.

Transformator prądowy Td z przyłączonym na wyjściu wzmacniaczem służy do zasilania układów współpracujących z uzwojeniami w3 i w4. Ponieważ strumień wstrzykiwany przez uzwojenie w3, proporcjonalny do strat dielektrycznych w konden-satorze Cx, powinien być przesunięty o π /2 względem strumienia wytworzonego przez uzwojenie w2, w układzie równoważenia tgδ zastosowano przesuwnik fazowy π /2. Zmian zakresu pomiarowego pojemności dokonuje się, zmieniając odczepy (liczbę zwojów) uzwojenia w1. Pojemność zgrubnie się zrównoważy przez zmianę liczby zwo-jów uzwojenia w2. Dokładne równoważenie pojemności natomiast odbywa się w wyni-ku wstrzykiwania strumienia magnetycznego przez uzwojenie w4. W stanie równowa-gi mostka wypadkowy strumień magnetyczny w transformatorze jest równy zeru. Wówczas napięcie wskazywane przez wskaźnik zera, przyłączony do uzwojenia w5, będzie równe zeru.

146

CnCx tgδx

w2

~220 V50 Hz

T2

w1

w5 w4 w3 Równoważenie tgδ

Równoważenie dokładne Cx

π/2

Td

Rys. 9.2.9. Schemat mostka transformatorowego równoważonego przez wstrzykiwanie dodatkowego strumienia magnetycznego

Według opisanej zasady działania funkcjonuje mostek firmy Tettex, typ 2809 z odczytem cyfrowym, równoważony ręcznie. Ma on niedokładność pomiaru pojem-ności: ±0,01 % wartości odczytu i ±0,01 % wartości zakresu. Dla współczynnika strat dielektrycznych jego niedokładność wynosi: ±1 % odczytu i ±1⋅10–5.

Opisana zasada działania mostka równoważonego przez wstrzykiwanie dodatko-wego strumienia magnetycznego do magnetowodu transformatora umożliwia łatwą automatyzację równoważenia mostka. Taki mostek C, tgδ z pełnym automatycznym równoważeniem współpracujący z zewnętrznym komputerem oferuje firma Tettex (model 2877). Bliższe dane na ten temat można znaleźć na stronie internetowej firmy Haefely-Tettex [24].

9.2.3. Metody napięciowo-prądowe pomiaru impedancji

Metody napięciowo-prądowe pomiaru impedancji, nazywane też metodami wolto-amperomierzowymi, polegają na bezpośrednim pomiarze miernikami fazoczułymi prą-du przepływającego przez badany obiekt i spadku napięcia na tym obiekcie [10, 13, 15,

147

19, 20, 21, 26]. Rozwój technik mikroprocesorowych spowodował, że obecnie metody te należą do najnowocześniejszych i najczęściej stosowanych. W prawie wszystkich współczesnych niskonapięciowych przyrządach do pomiarów impedancji w zakresie częstotliwości od ok. 10 Hz do 1 MHz wykorzystuje się tę metodę. Zasadę pomiaru impedancji pojemnościowej tymi metodami przedstawiono na rysunku 9.2.10.

Rx

CxZx

URn

Ux

a)

Rx

CxZx

Rn

Ux

b)

Ug

Rn

Rys. 9.2.10. Układy przedstawiające zasadę pomiaru pojemności Cx i jej rezystancji Rx metodami napięciowo-prądowymi: a) przez pomiary napięć na rezystorze wzorcowym i mierzonej impedancji, b) przez pomiar napięć na generatorze i mierzonej impedancji

Napięcie na impedancji Zx mierzone miernikiem fazoczułym

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

xxxbxczx C

RIUUUω

1jj , (9.2.47)

gdzie Uxcz i Uxb są składowymi czynną i bierną napięcia Ux wskazywanymi przez fa-zoczuły woltomierz.

Aby określić prąd I, w układzie przedstawionym na rysunku 9.2.10, mierzy się na-pięcie na rezystorze wzorcowym Rn. Ponieważ prąd nR RUI

n/= , więc na impedancji

Zx składowa czynna napięcia wynosi

nR

n

xxcz U

RRU = , (9.2.48)

a składowa bierna

nR

nxxb U

RCU

ω1

= . (9.2.49)

148

Stąd mierzona pojemność

xb

R

nx U

UR

C n

ω1

= , (9.2.50)

a współczynnik strat dielektrycznych

xb

xcz

UU

=δtg . (9.2.51)

Układ z rysunku 9.2.10a ma tę wadę, że potencjał napięcia Ux jest podwyższony względem masy, co utrudnia jego pomiar woltomierzem fazoczułym z jednym zaci-skiem znajdującym się na masie. Wady tej nie ma układ przedstawiony na rysunku 9.2.10b, w którym impedancję określa się, mierząc spadek napięcia Ux na impedancji Zx i napięcie na generatorze Ug, a wynik pomiaru oblicza ze wzoru

nxg

xx R

UUUZ−

= . (9.2.52)

Obliczanie składowych impedancji Zx z zależności (9.2.52) jest o wiele bardziej skomplikowane niż w przypadku układu z rysunku 9.2.10a. Nie stanowi ono jednak problemu, gdy używa się miernika mikroprocesorowego. Z wyników pomiaru Ux i Ug programowo można otrzymać wyniki składowych impedancji, pojemności oraz współczynnika strat dielektrycznych. Duży wpływ na wyniki pomiaru tgδ ma pojem-ność przewodu łączącego impedancję Zx z rezystorem wzorcowym Rn.

W układach fazoczułych niezbędne jest napięcie referencyjne o zerowym przesu-nięciu fazowym względem prądu. Z tego powodu praktyczna realizacja układu przed-stawionego na rysunku 9.2.10b jest bardzo trudna. W praktyce stosuje się najczęściej układ pokazany na rysunku 9.2.11. W układzie tym mierzona impedancja

nR

Rgx R

UUU

Zn

n−

= . (9.2.53)

Wtórniki napięciowe W1 i W2 zapewniają bardzo dużą impedancję wejściową. Sygnały z wtórników są sygnałami wejściowymi mnożników M1 i M2. Sygnałem referencyjnym dla mnożnika M1 jest napięcie z rezystora Rn. Zatem sygnał wyjściowy z tego mnożnika jest proporcjonalny do składowej czynnej napięcia Ug. Dla mnożnika M2 sygnał referencyjny został przesunięty w przesuwniku fazowym o π /2. Dlatego sygnał wyjściowy z tego mnożnika jest proporcjonalny do składowej biernej napięcia Ug. Aby na polu odczytowym otrzymać właściwe wskazania, sygnały te są filtrowane, dopasowywane, przetwarzane na postać cyfrową i obrabiane przez system mikropro-cesorowy. Przyrządy tego typu mają przeważnie wiele funkcji pomiarowych i są wy-posażone w interfejsy umożliwiające współpracę z zewnętrznymi komputerami.

149

W1 M1 FD1 PS1

W2

PFπ/2 M2 FD2 PS2

POµP

A/C1

A/C2

Rn

URnsinωt

Cx

tgδx

Ugsin(ωt-ϕZ)

Cx

tgδx

Rys. 9.2.11. Schemat miernika do pomiaru pojemności i współczynnika strat dielektrycznych: W1, W2 – wtórniki napięciowe; M1, M2 – mnożniki sygnałów; FD1, FD2 – filtry dolnoprzepustowe;

PFπ /2 – przesuwnik fazowy napięcia o π /2; PS1, PS2 – przetworniki skali dopasowujące sygnał mierzony do zakresu pomiarowego przetwornika analogowo-cyfrowego; A/C1, A/C2 – przetworniki

analogowo-cyfrowe; µP – system mikroprocesorowy; PO – pole odczytowe

Opierając się na opisanych powyżej metodach, buduje się nowoczesne mierniki cyfrowe RLC, nazywane często niesłusznie mostkami, np. firmy Hewlett–Packard [10], Quad Tech [15].

9.3. Pomiary w zakresie częstotliwości radiowych

Metody pomiarów w zakresie częstotliwości radiowych 100 kHz–100 MHz opie-rają się głównie na drgającym obwodzie indukcyjno-pojemnościowym (układ rezo-nansowy) [4, 11]. Pomiary sprowadzają się w zasadzie do określenia pojemności czy też zmian pojemności. Szczególnie w zakresie dużych częstotliwości należy zwracać uwagę, aby indukcyjności doprowadzeń były niewielkie w porównaniu z indukcyjno-ścią obwodu. Wszelkie doprowadzenia, takie jak kable koncentryczne itp., mogą w znacznym stopniu zniekształcić pomiar. W czasie seryjnych pomiarów nie należy zmieniać połączeń w układzie pomiarowym. Jeśli taka zmiana jest konieczna, to prze-prowadza się cechowanie kondensatora, w którym znajduje się badany dielektryk, oraz sprawdza, czy zmiana połączeń nie spowodowała różnicy we wskazaniach. Sto-sowane kondensatory wzorcowe są najczęściej wycechowane tylko dla jednej często-tliwości. Aby uzyskać poprawny wynik badanej pojemności, należy przyjąć poprawkę ze względu na indukcję własną kondensatorów wzorcowych. Pomiary przenikalności sprowadzają się do wyznaczenia pojemności Co kondensatora bez próbki i zmiany pojemności ∆C wywołanej wprowadzeniem do kondensatora badanego dielektryka [6]. Mierzona przenikalność względna

150

o

or C

CC ∆+=ε . (9.3.1)

9.3.1. Metoda dostrojenia obwodu do rezonansu

Próbkę umieszcza się między elektrodami kondensatora Cx (rys. 9.3.1) i rezystor R ustawia się na maksymalną wartość. Na generatorze ustala się stałą częstotliwość i za pomocą elementów R, C dostraja układ do rezonansu. Korzystając z kondensatora sprzęgającego C1, ustawia się odpowiednie napięcie U na woltomierzu V. Następnie spomiędzy elektrod wyjmuje się badany dielektryk i zbliżając elektrody Cx, ponownie doprowadza się układ do rezonansu. Za pomocą zmiennego rezystora R ustala się na woltomierzu takie samo napięcie U, jakie wskazywał, gdy badana próbka znajdowała się między elektrodami kondensatora.

C CxVL

C1

R U

Rys. 9.3.1. Schemat układu rezonansowego do pomiaru przenikalności elektrycznej metodą dostrojenia obwodu do rezonansu

Przenikalność elektryczną określa się ze wzoru

'g

gr =ε , (9.3.2)

a współczynnik strat dielektrycznych z zależności

r

x RCωδ 1tg = , (9.3.3)

w której

g

dCr

2

0695,0 ⋅= , (9.3.4)

151

gdzie: g – odstęp między elektrodami kondensatora Cx o grubości badanej próbki, g′ – odstęp między elektrodami kondensatora Cx po wyjęciu z kondensatora próbki

i ponownym doprowadzeniu układu do rezonansu, d – średnica elektrody, R – wartość rezystancji regulowanego rezystora podczas pierwszego równoważe-

nia.

9.3.2. Metoda rozstrojenia obwodu

Metoda rozstrojenia obwodu polega na pomiarze szerokości krzywej rezonansu z próbką i bez próbki. Tłumienie spowodowane przez próbkę stratną poszerza krzywą rezonansu (rys. 9.3.2). Pomiary wykonuje się w układzie przedstawionym na rysunku 9.3.3. Próbkę dielektryka umieszcza się między okładkami kondensatora Cx i dostraja układ do rezonansu. Następnie odczytuje się wartość napięcia rezonansowego Ur. Kondensatorem o zmiennej pojemności CM rozstraja się obwód w jedną i drugą stronę od rezonansu do wybranej wartości napięcia U, np. 2rUU = (rys. 9.3.2), zmienia-jąc pojemność o ∆C1. Następnie próbkę usuwa się z kondensatora pomiarowego, stroi układ do rezonansu i ponownie rozstraja układ w jedną i drugą stronę, zmieniając pojemność o ∆C2 przy tym samym stosunku napięcia jak poprzednio.

UUr

1

21

∆C2

∆C1

ąz ą

Rys. 9.3.2. Krzywe rezona

z próbk próbk

C

ib i

nsu

bez próbkez próbk

152

C CxVL

C1

CM

Rys. 9.3.3. Schemat rezonansowego układu pomiarowego stosowanego w metodzie rozstrojenia

Mierzone wartości oblicza się ze wzorów:

'K

K=ε , (9.3.5)

1

12

∆∆tg 21

−⋅

−=

KCCC

xxδ , (9.3.6)

gdzie jest stosunkiem kwadratów napięć. 22max /UUK =

Jeżeli K = 2, czyli 2/1/ max =UU x , to wzór (9.3.6) przyjmuje postać

x

x CCC

2∆∆tg 21 −=δ . (9.3.7)

9.3.3. Pomiar miernikiem dobroci

Schemat układu do pomiaru pojemności i współczynnika strat dielektrycznych miernikiem dobroci przedstawiono na rysunku 9.3.4.

Rys. 9.3.4. Schemat układu do pomiaru pojemności i współczynnika strat dielektrycznych miernikiem dobroci

153

Generator o regulowanej częstotliwości zasila obwód rezonansowy przez rezystor sprzęgający Ro o małej rezystancji i pomijalnie małych parametrach resztkowych. Woltomierz elektroniczny o bardzo dużej impedancji wejściowej, mierzący przepięcie na kondensatorze o zmiennej pojemności, może być wyskalowany bezpośrednio w jednostkach dobroci zgodnie ze wzorem

UQUCr ⋅= . (9.3.8)

Typowym miernikiem dobroci można zmierzyć pojemność C, indukcyjność L, stratność tgδ i dobroć Q. Pomiar taki polega na zmierzeniu dobroci Q najpierw same-go obwodu rezonansowego, a następnie – obwodu rezonansowego z badaną próbką w kondensatorze Cx.

Współczynnik strat dielektrycznych badanej próbki oblicza się ze wzoru

21

1

21

21tgCC

CQQQQ

−⋅

⋅−

=δ , (9.3.9)

gdzie: C1, Q1 – pojemność i dobroć samego obwodu rezonansowego, C2, Q2 – pojemność i dobroć obwodu rezonansowego z próbką. Wartość przenikalności elektrycznej można określić ze wzoru

'g

gr =ε , (9.3.10)

gdzie: g – odstęp między elektrodami kondensatora Cx o grubości badanej próbki, g′ – odstęp między elektrodami kondensatora Cx bez próbki.

9.4. Pomiary w zakresie częstotliwości mikrofalowych

W zakresie częstotliwości 108–1012 Hz pomiary ε i tgδ dielektryków o małym współczynniku strat dielektrycznych wykonuje się wyłącznie w rezo-natorach wnękowych, wyznaczając rozstrojenie i zmianę dobroci rezonatora po wprowadzeniu badanej próbki [18]. Aby określić ε i tgδ dielektryków o mierzy się impedancję w szczelinowych liniach koncentrycznych i falowodach. Do pomiaru należy wybierać próbki, których grubość odpowiada grubości linii pomiaro-wej i stanowi nieparzystą wielokrotność ćwiartki długości fali.

)101(tg 2−×≤δ

,101tg 2−×≥δ

Metody pomiarów w zakresie częstotliwości mikrofalowych zasadniczo różnią się od metod pomiarów w niższych częstotliwościach i ich szczegółowe omawianie wy-kracza poza zakres tego opracowania.

154

Literatura

[1] Adamec V., Approximate method for deducing a.c. permittivity from d.c. measurement. Conference Paper: Proceedings of the Conference on Dielectric Materials, Measurement and Application. IEE Conf., Publ. No. 192, London, 1970, pp. 34–41.

[2] Badian L., Zubel Z., Zastosowanie pomiarów niskoczęstotliwościowych do wykrywania ładunku przestrzennego w dielektrykach, Elektronika, 1986, nr 6, s. 24–30.

[3] Baker A.J., Piercy A.R., A sample technique for measuring nonlinear ac properties of materials at frequencies below 1 Hz, J. Phys. E: Sci. Instr., Vol. 9 (1976), pp. 476–477.

[4] Bartnikas R., Engineering dielectrics, Vol II B, ASTM, Philadelphia, 1987. [5] Bringham Oran E., The fast Fourier transform and its application, Prentice Hall Signal Procesing

Series, 1988. [6] Chełkowski A., Fizyka dielektryków, PWN, Warszawa, 1993. [7] Chwaleba A., Poniński M, Siedlecki A., Metrologia elektryczna, WNT, Warszawa, 2000. [8] Gotszalk R., Technika pomiarów wielkości elektrycznych, Skrypt Politechniki Wrocławskiej, Wro-

cław, 1982. [9] Haque B., Alternating current bridge methods, Pitman, London, 1946.

[10] Hewlett Packard: HP 4284 A precision LCR Meter 20 Hz–1 MHz. Operation manual. [11] Jellonek A., Karkowski Z., Miernictwo radiotechniczne, WNT, Warszawa, 1972. [12] Karandiejew K.B., Pomiary elektryczne metodami mostkowymi i kompensacyjnymi, WNT, War-

szawa, 1969. [13] Nitsch K., Zastosowanie spektroskopii impedancyjnej w badaniach materiałów elektronicznych,

Oficyna Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 1999. [14] Pospieszna J., Wybrane zagadnienia interakcji polimer–syciwo w układach izolacyjnych kondensa-

torów energetycznych wysokiego napięcia, Prace Nauk. Inst. Podstaw Elektrotechniki i Elektrotech-nologii Politechniki Wrocławskiej nr 33, Seria: Monografie nr 12, Wrocław, 1998.

[15] Quad Tech: 1693 Precision RLC digibridge. Instruction manual, 1998. [16] Schwendinger W., Mostek firmy Tettex typu 2821 do pomiarów pojemności i współczynnika strat-

ności tgδ dielektryków stałych i ciekłych, Tettex Information 302, Febr. 1974. [17] Siciński Z., Badanie materiałów elektroizolacyjnych, WNT, Warszawa, 1969. [18] Sucher M., Fox J. et al., Handbook of microwave measurements, third edition, completely revised

and enlarged, Vol. I–III, Polytechnik Press of the Polytechnik Institute of Brooklyn, New York–London, 1963.

[19] Syed M.M., Nadira B.M., Vishnubhotla S.R., Hardware implementation of a new phase measure-ment algorithm, IZM IEEE Transaction, Vol. 39, 1990, No. 2 (April).

[20] Syed M.M., Rusek A., Ganesan S., A microprocessor-based dual phase slope meter, IZM IEEE Transaction, Vol. 37, 1988, No. 3 (September).

[21] Taha M.R.S., Digital measurement of the polar and rectangular forms of impedance, IZM IEEE Transaction, Vol. 38, 1989, No. 1 (February).

[22] Takeishi S., Mashimo S., Dielectric relaxation measurements in the ultra-low frequency region, Rev. Sci. Instrum., Vol. 53 (1982), No. 8, pp. 1155–1159.

[23] Tettex Instruments: C tan delta measuring instruments, www.heafely.com/measuring_diagnostics/ ctandelta.html.

[24] Tettex Instruments – Heffely Tranch, General Catalog Tettex Instruments Division, www.tettex.com [25] Vince M., An apparaturs for the measurement of the permittivity and loss tangent of glasses at audio

and sub-audio frequencies, Proc. IEE, 1969, No. 2.

155

[26] Zajt T., Metody woltoamperometryczne i elektryczne. Spektroskopia impedancyjna, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk, 2001.

[27] IEC 250: 1969 Recommended methods for the determination of the permittivity and dielectric dissi-pation factor of electrical insulating materials at power, audio and radio frequencies including me-tre wavelengths.

10. Niepewność wyników pomiarów

10.1. Rozważania ogólne

Wynik pomiaru zawsze różni się od wartości rzeczywistej. Różnicę między warto-ścią zmierzoną a rzeczywistą nazywa się błędem pomiaru. Z metrologicznego punktu widzenia wartość rzeczywista nigdy nie może być określona. Zwiększając dokładność pomiarów, można się tylko do niej zbliżyć. Dlatego w metrologii zamiast określenia „wartość rzeczywista” używa się pojęcia „wartość prawdziwa”. Wartością prawdziwą Xp nazywa się wartość zbliżoną do wartości rzeczywistej z tak małym błędem, że w porównaniu z błędem pomiaru można go pominąć. Błąd pomiaru ma zawsze kon-kretną wartość liczbową i znak. Błąd można wyznaczyć, porównując dany wynik po-miaru z wynikiem znacznie dokładniejszym (wartością prawdziwą) uzyskanym dzięki użyciu dokładniejszej aparatury pomiarowej. Ponieważ wartość prawdziwa różni się od wartości rzeczywistej, również zmierzony błąd może się różnić od błędu rzeczywi-stego. Jeśli znamy wartość błędu pomiaru, możemy go wyeliminować z wyniku po-miaru za pomocą poprawki. Wprowadzenie poprawki do wyniku pomiaru nie eliminu-je całkowicie błędu pomiaru. Zawsze pozostanie jakaś cząstka, której wartości, niestety, nie znamy. Można jedynie oszacować – na odpowiednim poziomie ufności – granice, w których ten błąd się mieści. Te granice błędów określa niepewność wyniku pomiaru. Słowo „niepewność” oznacza „wątpliwość” i stąd „niepewność pomiaru” jest wątpliwością odnoszącą się do wartości wyniku pomiaru. Formalna definicja nie-pewności pomiaru podana w międzynarodowym słowniku podstawowych i ogólnych terminów metrologii [14], a zacytowana w międzynarodowym przewodniku do wyra-żenia niepewności pomiaru [15], jest następująca: niepewność pomiaru – parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uza-sadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

Ta definicja niepewności jest mało precyzyjna. Wyjaśnia to w przypisach prof. J. Jaworski, tłumacz polskiego wydania wspomnianego przewodnika wyrażenia nie-pewności pomiaru [15]. Dla pomiaru obarczonego tylko błędem systematycznym (a takie pomiary są powszechne) nie otrzymuje się żadnego rozrzutu. W rozdziale 3.3 tego przewodnika czytamy: Niepewność pomiaru obrazuje brak dokładnej znajomości

158

wartości wielkości mierzonej. Wynik pomiaru po korekcji rozpoznanych dokładności systematycznych pozostaje wciąż tylko estymatą wartości wielkości mierzonej, a to z powodu niedoskonałości wynikającej z oddziaływań przypadkowych i niedoskonałej korekcji oddziaływań systematycznych.

Niepewność pomiaru u(X ) jest parametrem określającym z założonym prawdopo-dobieństwem granice przedziału, w którym znajduje się nieznana wartość rzeczywista mierzonej wielkości X, czyli wartość prawdziwa ( )XuXX p ±= , gdzie X jest suro-wym wynikiem pomiaru. Podawanie wyniku wraz z jego niepewnością jest jednym z najistotniejszych wymagań metrologicznych. Wynik pomiaru, dla którego podano niepewność, staje się wynikiem wiarygodnym, gdyż informuje on o przedziale warto-ści )()( XuXXXuX p +≤≤− , w którym z określonym prawdopodobieństwem znaj-duje się prawdziwa wartość mierzonej wielkości Xp.

Wynik pomiaru X, dla którego nie są znane granice przedziału wartości, w jakch mieści się wartość rzeczywista, czyli nieznana jest niepewność wyniku pomiaru, jest wynikiem surowym pozbawionym wartości metrologicznej. Na podstawie takiego wyniku nie można wyciągnąć wniosków o parametrach danego obiektu, właściwo-ściach materiałów czy zjawiskach fizycznych.

Niektórzy technolodzy nie doceniają znaczenia niepewności pomiarów. Dzieje się tak dlatego, że do badań technologicznych często wystarczają zmiany danego parame-tru materiału, a nie jego wartości. Aby porównać charakter zmian badanej wielkości, w wielu publikacjach zamieszcza się wykresy z jednostkami umownymi, zupełnie nie wspominając o niepewnościach przedstawionych wyników. W badaniach porównaw-czych błędy systematyczne mogą nie wpływać na przebieg badanej charakterystyki, ale pod warunkiem, że wartości tych błędów są stałe w zakresie mierzonych wartości. W rzeczywistości taki stały charakter ma tylko część błędów systematycznych, np. metody pomiaru. Natomiast błędy systematyczne przyrządów pomiarowych zmieniają się wraz ze zmianą wskazań i zmianą warunków środowiskowych, w których znajduje się aparatura pomiarowa. Pogląd, że w badaniach materiałowych niepewność pomiaru jest nieistotna, jest zapewne niesłuszny.

W badaniach materiałowych na wynik pomiarów istotnie wpływa niestabilność właściwości badanego materiału. Ujawnia się to szczególnie podczas badań właściwo-ści elektrycznych dielektryków. Niepewności pomiarów stąd wynikające mogą mieć decydujący wpływ na całkowitą niepewność pomiaru. Stosując dokładne przyrządy pomiarowe o dużej rozdzielczości, obserwuje się dużą niestabilność wskazań, która decyduje o dokładności odczytu. Niedokładność odczytu może być więc znacznie większa niż niedokładność podstawowa przyrządu.

Wspomniany już przewodnik wyrażania niepewności wydany przez ISO, a opra-cowany przez kilka międzynarodowych organizacji metrologicznych z Międzynaro-dowym Biurem Miar na czele [13], ma charakter ogólny, ale jest ukierunkowany na pomiary bardzo dokładne, wykonywane najczęściej w urzędach miar. W pomiarach

159

tych poszczególne składowe niepewności mają niewielkie porównywalne wartości. Obliczanie niepewności pomiarów w tych warunkach staje się bardzo pracochłonne. Nie stanowi to jednak problemu, gdyż pomiary te są z natury bardzo kosztowne. Sza-cowanie natomiast niepewności pomiarów przemysłowych metodami podawanymi we wspomnianym przewodniku znacząco podnosi koszt badań. Ze względu na stosunko-wo małą dokładność tych pomiarów można stosować mniej pracochłonne procedury uproszczone.

Na temat szacowania niepewności pomiarów w ostatnich kilku latach ukazało się wiele publikacji, również w języku polskim, m.in. [1, 2, 3, 4, 11, 12, 16]. Wszystkie one opierają się na wspomnianym przewodniku i mają charakter ogólny. Cennym uzupełnieniem tych prac jest książka prof. T. Skubisa [10], w której podano przykłady opracowywania wyników pomiarów wraz z ich niepewnością.

Norma PN-EN-ISO/IEC 17025:2000 [17] dotycząca kompetencji laboratoriów ba-dawczych i wzorcujących wymaga podawania w świadectwach wzorcowania niepew-ności pomiarów, a w sprawozdaniach z badań stwierdzeń, gdy jest to potrzebne, doty-czących oszacowanej niepewności pomiarów. Szacowanie niepewności pomiarów jest czynnością niełatwą, a nie ma przystępnych szczegółowych opracowań literaturowych na ten temat. Autor tej pracy we wcześniejszych swoich publikacjach starał się przy-bliżyć problem szacowania niepewności w laboratoriach badawczych, zwłaszcza w odniesieniu do materiałów elektrotechnicznych [5–9]. Ten rozdział poświęcono również tej tematyce z ukierunkowaniem na szacowanie niepewności pomiarów rezy-stywności skrośnej i powierzchniowej oraz przenikalności elektrycznej i współczyn-nika strat dielektrycznych.

10.1.1. Przyczyny niepewności pomiarów

Niepewność pomiaru ma zawsze charakter losowy. Jest to parametr charakteryzu-jący rozrzut wartości, które można przypisać wielkości mierzonej. Takim parametrem może być odchylenie standardowe lub jego wielokrotność albo połowa szerokości przedziału odpowiadająca określonemu poziomowi ufności. Niepewność pomiaru zawiera na ogół wiele składników. Niektóre z nich można wyznaczyć na podstawie rozkładu statystycznego wyników wielu pomiarów. Inne, które mogą być również scharakteryzowane przez odchylenia standardowe, szacuje się na podstawie zakłada-nych rozkładów prawdopodobieństwa, opartych na posiadanym doświadczeniu lub innych informacjach. Przyjmuje się, że wszystkie składniki niepewności – włącznie z tymi, które pochodzą od efektów systematycznych – mają swój udział w rozrzucie wyników.

Istnieje wiele przyczyn niepewności pomiarów. Najważniejsze z nich to: a) niepełna definicja wielkości mierzonej i jej niedoskonała realizacja w postaci

uproszczonego modelu,

160

b) niewyeliminowanie błędów systematycznych z powodu nieznajomości ich war-tości,

c) sposób pobierania próbek – mierzona próbka może nie reprezentować wartości wielkości mierzonej,

d) niepełna znajomość wpływu otoczenia na procedurę pomiarową lub niedosko-nały pomiar parametrów warunków otoczenia,

e) subiektywny błąd odczytywania wskazań przyrządów analogowych, f) błąd odczytu wskazań przyrządów cyfrowych spowodowany rozdzielczością lub

niestabilnością wskazań, a dla układów realizujących zerowe metody pomiarowe – próg pobudliwości,

g) wartości przypisane wzorcom lub materiałom odniesienia, h) wartości stałych i innych parametrów otrzymywanych ze źródeł zewnętrznych

i stosowanych w algorytmie przetwarzania danych, i) przybliżenia i założenia wynikające z metody pomiarowej i z procedury badawczej, j) zmiany w powtarzanych obserwacjach wielkości mierzonej w pozornie iden-

tycznych warunkach. Parametrem charakteryzującym wartość liczbową niepewności jest odchylenie

standardowe lub jego nieobciążony estymator. W przewodniku ISO dotyczącym wy-rażania niepewności pomiaru [14, 15] rozróżnia się niepewność:

a) standardową (ang. standard uncertainty) równą odchyleniu standardowemu, b) standardową złożoną (ang. combined standard uncertainty) będącą również pa-

rametrem charakterystycznym rozkładu prawdopodobieństwa, który jest splotem roz-kładów składowych,

c) rozszerzoną (ang. expanded uncertainty), która jest wielokrotnością niepewno-ści standardowej.

Standardowa niepewność złożona może zawierać wiele składowych. Jedne z nich okre-śla się na podstawie otrzymanego rozrzutu wyników serii pomiarów, obliczając estymatory odchyleń standardowych. Inne, których nie można ocenić w ten sposób, na przykład wy-nikające z niedokładności aparatury pomiarowej oraz stosowanych metod i modeli zastęp-czych, ocenia się również za pomocą przewidywanych rozkładów prawdopodobieństwa.

Przyjmując jako kryterium podziału niepewności sposób ich wyznaczania, dzieli się je na dwie kategorie:

• typu A – wyznaczane za pomocą metod statystycznych, • typu B – wyznaczane za pomocą innych metod.

10.1.2. Niepewność standardowa typu A

Niepewność typu A można oszacować, jeżeli ten sam pomiar wykonuje się wielo-krotnie w tych samych warunkach. Otrzymuje się wówczas n wyników Xi (i = 1, 2, ..., n). Najbardziej wiarygodna jest wówczas wartość średnia

161

∑=

=n

iij X

nX

1

1 . (10.1.1)

Niepewność standardową typu A wartości średniej ( )XuA wyraża się za pomocą estymaty średniego odchylenia kwadratowego wartości średniej )( jA Xs ze wzoru

)1(

)()()( 1

2

−

−==∑=

nn

XXXsXu

n

iji

jAjA . (10.1.2)

10.1.3. Niepewność standardowa typu B

Podczas szacowania niepewności typu B wykorzystuje się wszystkie dostępne in-formacje o czynnikach mogących wpływać na niepewność pomiaru, a więc dane z wcześniejszych pomiarów, właściwości przyrządów i materiałów, informacje poda-ne przez producenta, dane uzyskane w czasie kalibracji, a także niepewności przypi-sane danym odniesienia wzięte z literatury.

Jeżeli błędy systematyczne przyrządów pomiarowych nie zwiększają niepewności pomiaru ponad dopuszczalne granice, to nie muszą być eliminowane przez wprowa-dzanie poprawek. Wówczas należy przyjąć niepewność wskazań przyrządów na pod-stawie znanej niedokładności przyrządu, np. klasy lub błędu podstawowego. Można założyć, że rozkład prawdopodobnych błędów wskazań jest równomierny (prostokąt-ny) i jeżeli niedokładność graniczna przyrządu wynosi ∆gXj, to przyjmuje się, że jego odchylenie standardowe, nazwane „niepewnością standardową wskazań przyrządu”, wynosi

3

∆)()( jg

jBjBX

XsXu == . (10.1.3)

Składowe niepewności standardowej typu B traktuje się w obliczeniach tak jak składowe odchylenia średniego kwadratowego obliczanego ze wzoru (10.1.2).

Jeżeli wskazania przyrządu są niestabilne na skutek zakłóceń lub niestabilności badanego obiektu, to do niedokładności granicznej ∆g(Xj) należy dodać niepewność wynikającą z niestabilności wskazań, za którą można przyjąć połowę przedziału wa-hań przyrządu pomiarowego.

162

10.1.4. Określanie złożonej niepewności standardowej

Jeżeli wartości niepewności typu A i typu B są porównywalne i żadnej z nich nie można pominąć, to należy obliczyć standardową niepewność złożoną ze wzoru:

)()()( 22jBjAj XuXuXu += . (10.1.4)

W przypadku pomiarów pośrednich, gdy wynik pomiaru Y jest określony funkcją

)( jXfY = , (10.1.5)

w której przez Xj oznaczono wyniki pomiarów nieskorelowanych wielkości wejścio-wych, niepewność standardową złożoną wyniku pomiaru oblicza się ze wzoru

∑=

⋅=m

jjj XucYu

1

22 )()( , (10.1.6)

w którym

j

j XYc

∂∂

= (10.1.7)

jest współczynnikiem wrażliwości związanym z estymatą wielkości Xj. Można ewentualnie oddzielnie szacować niepewności standardowe złożone typu A

uA(Y ) i typu B uB(Y ). Wówczas niepewność złożoną standardową oblicza się ze wzoru

)()()( 22 YuYuYu BA += . (10.1.8)

Obliczanie złożonej niepewności standardowej ze wzoru (10.1.8) może być jednak bardziej pracochłonne niż ze wzoru (10.1.6).

10.1.5. Niepewność rozszerzona

Niepewność standardowa jest niepewnością określoną na poziomie ufności p = 0,68. Taki poziom ufności jest najczęściej niewystarczający. Dla określenia wia-rygodności wyników pomiarów najistotniejsze znaczenie ma niepewność rozszerzona (nazywana również całkowitą), którą można obliczyć ze wzoru

)()( YukYU p ⋅= , (10.1.9)

w którym kp jest współczynnikiem rozszerzenia zależnym od poziomu ufności p i rozkładu prawdopodobieństwa wielkości wejściowych.

163

Jeżeli wszystkie mierzone wielkości wejściowe Xj mają rozkłady normalne (Gaus-sa), to i wielkość wyjściowa Y ma rozkład normalny. Wówczas dla najczęściej stoso-wanego poziomu ufności p = 0,95 współczynnik rozszerzenia kp = 2, a dla p = 0,997 mamy kp = 3.

Jeżeli jednak rozkłady Xj nie są normalne, to na mocy centralnego twierdzenia granicznego (podstawowego twierdzenia statystyki matematycznej) rozkład wielkości wyjściowej Y można aproksymować rozkładem normalnym. Wówczas należy przyjąć współczynnik rozszerzenia [15, 16]

Ypp tk ν,= , (10.1.10)

gdzie jest kwantylem rozkładu t-Studenta dla wymaganego poziomu ufności p i efektywnej (wypadkowej) liczby stopni swobody ν

Ypt ν,

Y. Wartości podano w tabeli 10.1.1. Wartość efektywnej liczby stopni swobody oblicza się ze wzoru Welcha–Satterhwaite’a [15, 16]

Ypt ν,

∑=

⋅=

m

j X

jjY

j

XucYu

1

44

4

)()(

ν

ν , (10.1.11)

w którym jXν jest liczbą stopni swobody wielkości wejściowej Xj. Jeżeli obliczona

z równania (10.1.11) wartość nie jest liczbą całkowitą, to za jXν należy przyjąć naj-

bliższą mniejszą liczbę całkowitą. Efektywna liczba stopni swobody ν Y jest właściwą miarą wiarygodności niepewności standardowej związanej z estymatą wielkości wyj-ściowej Y.

Dla niepewności standardowej typu A uA(Xj) liczba stopni swobody wynosi

1−= nAX jν , (10.1.12)

gdzie n jest liczbą powtórzonych pomiarów. Określenie liczby stopni swobody νjB, odpowiadającej niepewności standardowej

typu B uB(Xj), jest problematyczne. Liczbę stopni swobody νjB można wyznaczyć z równania [15]

2

)()(∆

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

jB

jB

BX

XuXu

jν , (10.1.13)

gdzie ∆uB(Xj) jest niepewnością niepewności uB(Xj), a ∆uB(Xj)/uB(Xj) – względną nie-pewnością niepewności uB(Xj). Wartości tej niepewności określa się na podstawie całokształtu dostępnych informacji.

164

Tabela 10.1.1. Wartości kwantyla tp,ν rozkładu t-Studenta w zależności od liczby stopni swobody i poziomu ufności p [15]

Poziom ufności p Liczba stopni swobody

ν 0,68 0,90 0,95 0,99 0,9973

1 1,84 6,31 12,71 63,66 235,8 2 1,32 2,92 4,30 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 3,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 3,05 3,76 13 1,04 1,77 2,16 3,01 3,69 14 1,04 1,76 2,14 2,98 3,64 15 1,03 1,75 2,13 2,95 3,59 16 1,03 1,75 2,12 2,92 3,54 17 1,03 1,74 2,11 2,90 3,51 18 1,03 1,73 2,10 2,88 3,48 19 1,03 1,73 2,09 2,86 3,45 20 1,03 1,72 2,09 2,85 3,42 25 1,02 1,71 2,06 2,79 3,33 30 1,02 1,70 2,04 2,75 3,27

Przypuśćmy, że na podstawie dokonanej oceny dochodzimy do wniosku, iż uB(Xj) jest niepewna na około 25 %, czyli ∆uB(Xj)/uB(Xj) = 0,25. Stąd liczba stopni swobody obliczona z równania (10.1.13) wynosi 8=BX j

ν . Jeżeli ocenilibyśmy, że uB(Xj) jest

niepewna na około 50 %, to wtedy 2=BX jν .

Jeżeli uB(Xj) obliczono z prostokątnego rozkładu prawdopodobieństwa i prawdo-podobieństwo, że dana wielkość znajduje się poza tymi granicami, jest bardzo małe, to można przyjąć, że liczba stopni swobody ∞→BX j

ν .

Jeżeli niepewności typu A i typu B mają wartości porównywalne i żadnej z nich nie można pominąć, to standardową niepewność złożoną u(Xj) oblicza się ze wzoru (10.1.4), a efektywną liczbę stopni swobody tej niepewności – z zależności [15]

BX

jB

AX

jA

jX

jj

j XuXuXu

νν

ν)()(

)(44

4

+

= . (10.1.14)

165

Jeżeli ∞→BX jν (prostokątny rozkład prawdopodobieństwa), czyli 0/1 →BX j

ν , to

)()(

4

4

jA

jAXX Xu

Xujj

νν = . (10.1.15)

Ponieważ niepewność pomiaru można określić na różnym poziomie ufności, więc oprócz tej niepewności należy podawać jej poziom ufności p.

Jeżeli niepewności typu A i typu B mają wartości porównywalne i żadnej z nich nie można pominąć, to niepewność rozszerzoną poszczególnych wielkości wejścio-wych Xj na poziomie ufności p = 0,95 można także obliczać metodą uproszczoną ze wzoru:

jgjAj XXUXU 22 ∆)()( += , (10.1.16)

w którym

)()( ;95,0 jAnjA XutXU ⋅= (10.1.17)

jest niepewnością rozszerzoną typu A wartości średniej wielkości Xj na poziomie uf-ności p = 0,95, t0,95;n – kwantylem rozkładu t-Studenta dla prawdopodobieństwa 95 %, zależnym od liczby pomiarów n, a – błędem granicznym pomiaru wartości wielkości X

jg X∆

j . Jeżeli niepewności mają rozkład prostokątny, to rozszerzoną niepewność

bezwzględną wyniku pomiaru Y można obliczyć ze wzoru )( jXU

∑=

=

⋅=⋅=nj

jjj

pp XUc

kYukYU

1

22 )(3

)()( . (10.1.18)

Jeżeli względne niepewności )()(∆ jj XUXU wyznaczenia niepewności U(Xj) są małe, to można założyć, że liczba stopni swobody νY jest duża i zostały spełnione warunki rozkładu normalnego. Wówczas dla poziomu ufności 0,95 przyjmuje się kp = 2 i wzór (10.1.18) ma postać:

∑=

=

⋅=nj

jjj YUcYU

1

22 )(15,1)( . (10.1.19)

Jeżeli względne niepewności )()(∆ jj XUXU wyznaczenia niepewności U(Xj) są duże, to nie można przyjąć kp = 2. Wówczas, zgodnie ze wzorem (10.1.10), współ-czynnik kp jest równy kwantylowi rozkładu t-Studenta . Aby obliczyć , nale-

Ypt ν, Ypt ν,

166

ży oszacować niepewność wyrażenia ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∑

=

=

nj

jjj XUcU

1

22 )(∆ i z zależności (10.1.13)

określić liczbę stopni swobody νy. Następnie z tabeli 10.1.1 odczytać wartość kwanty-la , który należy podstawić do wzoru (10.1.18).

Ypt ν,

Niepewność rozszerzoną można obliczyć metodą uproszczoną, korzystając ze wzorów (10.1.16), (10.1.18) i (10.1.19), jeżeli składowe niepewności typu B mają przeważające wartości. Sposób ten jest łatwiejszy od zalecanego w przewodniku ISO [15] i mniej pracochłonny, a uzyskiwane wartości niepewności są zbliżone do obli-czonych metodą klasyczną.

10.1.6. Niepewność rozszerzona typu A

Badając właściwości materiałów, często uzyskuje się duży rozrzut wyników, spowo-dowany niestabilnością tych właściwości oraz znacznym udziałem sygnałów zakłócają-cych. Jeżeli jest to możliwe, pomiary należy powtarzać wielokrotnie na tej samej badanej próbce, a za wynik przyjąć ich wartość średnią. Jeżeli obliczona niepewność typu A z rozrzutu wyników ma wartość znacznie większą od niepewności typu B, to można przy-jąć, że niepewność rozszerzona typu A jest całkowitą niepewnością pomiaru.

W tym przypadku należy obliczyć odchylenie standardowe wartości średniej z za-leżności (10.1.2). Ponieważ najczęściej liczba pomiarów n < 30, niepewność rozsze-rzoną typu A wartości średniej oblicza się ze wzoru

)()( , jAnpjA XutXU ⋅= , (10.1.20)

w którym tp,n jest kwantylem rozkładu t-Studenta zależnym od poziomu ufności p i liczby pomiarów n. Parametr tp,n, a zarazem i niepewność rozszerzona typu A, wyraź-nie zwiększa się ze zmniejszeniem się liczby pomiarów, i tak dla n = 3 i p = 0,95, tp = 4,30, a dla p = 0,9973 i n = 3, tp = 19,21. W laboratorium badawczym niepewność pomiarów oblicza się najczęściej na poziomie ufności p = 0,95.

W pomiarach pośrednich mierzona wielkość wyjściowa Y jest funkcją mierzonych bezpośrednio wielkości wejściowych Xj. Dla każdej wielkości Xj wykonuje się serię pomiarów i oblicza jej wartość średnią jX oraz jej niepewność standardową ze wzoru (10.1.2). Natomiast niepewność standardową wielkości wyjściowej Y = f (Xj) otrzy-muje się ze wzoru

∑=

⋅=m

jjAjA XucYu

1

22 )()( , (10.1.21)

a niepewność rozszerzoną – ze wzoru

167

)()( , YutYU ApA Y⋅= ν , (10.1.22)

w którym kwantyl rozkładu t-Studenta przyjmuje wartość zależną od poziomu ufności p i efektywnej liczby stopni swobody ν

Ypt ν,

Y.

10.1.7. Niepewność rozszerzona typu B

Niepewności typu A pomiarów przemysłowych często mogą mieć pomijalnie małe wartości. Wówczas można zaniechać wielokrotnego powtarzania pomiarów i za nie-pewność rozszerzoną przyjąć tylko niepewność rozszerzoną typu B.

W pomiarach pośrednich mierzoną wielkość Y określa się jako funkcję wielu wiel-kości Xj mierzonych bezpośrednio, a jej niepewność standardową oblicza ze wzoru

∑=

⋅=m

jjBjB XucYu

1

22 )()( . (10.1.23)

Niepewności typu B mają najczęściej charakter systematyczny i są przeważnie znane w postaci błędów granicznych o prostokątnym rozkładzie prawdopodobieństwa. W takim przypadku niepewność standardową typu B oblicza się ze wzoru (10.1.3). Natomiast niepewność rozszerzoną typu B otrzymuje się ze wzoru

)()( YukYU BpB ⋅= . (10.1.24)

Można przyjąć, że współczynnik rozszerzenia kp jest równy 2 dla poziomu ufności p = 0,95 i kp = 3 dla p = 0,997.

Z wartości błędów granicznych ∆g(Xj) wielkości wejściowych oblicza się bezpo-średnio niepewność rozszerzoną na poziomie ufności p = 0,95

∑=

⋅=m

jjgjB XcYU

1

22 )(∆15,1)( . (10.1.25)

10.1.8. Niepewność średniej ważonej

Czasami wykonuje się kilka serii pomiarów tej samej wielkości dla tego samego obiektu. Każda z serii pomiarów ma swoje wartości średnie ...,,...,,, 21 iXXX

mm XX ,1− i swoje niepewności standardowe ),(...,),(...,),(),( 121 −mi XuXuXuXu )( mXu . Wartości średnich wyników i ich niepewności mogą się różnić od siebie. Po-

miary takie wykonuje się albo w tym samym laboratorium, albo w różnych laborato-riach. Jeżeli wyniki tych pomiarów nie są rozbieżne i wszystkie można uznać za wia-

168

rygodne, to należy obliczyć średnią ważoną Xw i niepewność standardową średniej ważonej u(Xw). W tym celu poszczególnym seriom pomiarów należy przyporządko-wać odpowiednie wagi. Wagi wartości średnich wyników pomiarów i wariancje po-szczególnych wyników, czyli kwadraty niepewności, spełniają zależność [2]:

)()(...)(...)()( 21

21

22

221

21 mmmmii XuwXuwXuwXuwXuw ====== −− . (10.1.26)

Najlepszym przybliżeniem wartości wielkości mierzonej jest średnia ważona wy-rażona wzorem

∑

∑

=

== m

ii

m

iii

w

w

XwX

1

1 , (10.1.27)

a niepewność średniej ważonej oblicza się z zależności [1]

∑=

=m

i i

w

Xu

Xu

12 )(

1

1)( . (10.1.28)

Teoretycznie można przyjąć dowolną wartość jednej z wag. Aby jednak ułatwić obliczenia, wygodnie jest przyjąć wagę wi = 1 dla serii pomiarów o największej wa-riancji )(2

max iXu . Wówczas wagi pozostałych serii są wyrażone liczbami całkowitymi większymi od jedności, a wzór (10.1.28) przyjmie postać

∑=

=m

ii

iw

w

XuXu

1

max )()( . (10.1.29)

10.1.9. Niepewność wartości średniej w badaniach materiałowych

Właściwości materiałów bada się najczęściej metodami pośrednimi na wielu prób-kach. Dla każdej próbki uzyskuje się wyniki pomiarów z określoną niepewnością. Wyniki te opracowuje się dla materiału, z którego wykonano próbki, zgodnie z odpo-wiednimi normami zalecającymi obliczenie mediany lub wartości średniej. Dla warto-ści średniej oblicza się najczęściej odchylenie standardowe

169

1

)()( 1

2

−

−=∑=

N

YYYs

n

ii

(10.1.30)

i współczynnik wariancji

( )%100)(YYs

=ν , (10.1.31)

gdzie: Yi – wynik pomiarów dla każdej próbki, −Y wartość średnia wyników,

N – liczba badanych próbek. W tym przypadku odchylenie standardowe i wariancja informują o rozrzucie mie-

rzonego parametru dla badanych próbek i mają istotne znaczenie dla oceny jednorod-ności materiału.

Jeżeli celem badania jest określenie średnich wartości badanego materiału, to nie-pewność wartości średniej mierzonego parametru można obliczyć ze wzoru

[ ]2;95,0

2 )(1)()( YstN

YUYU N ⋅+= , (10.1.32)

w którym t0,95;N jest kwantylem rozkładu t-Sudenta na poziomie ufności p = 0,95 za-leżnym od liczby badanych próbek N.

Na wartość tej niepewności składają się nie tylko niepewności typu A i B, ale tak-że niejednorodność materiału, z którego pobrano próbki.

10.1.10. Niepewność względna

Zamiast niepewności bezwzględnej często podaje się niepewność względną, którą definiuje się jako stosunek niepewności bezwzględnej do wartości mierzonej. Zatem niepewność standardową względną oblicza się, korzystając ze wzoru

( )%100)()( ×=YYuYuw , (10.1.33)

a niepewność względną rozszerzoną ze wzoru

( )%100)()( ×=YYUYUw . (10.1.34)

170

10.1.11. Bilans niepewności

Analiza niepewności wyników pomiarów powinna zawierać wykaz wszystkich źródeł niepewności występujących podczas pomiarów wraz z ich niepewnościami i sposobami obliczeń. Zaleca się przedstawienie istotnych dla tej analizy danych w formie tabel. Należy podać estymatę (wartość średnią) każdej mierzonej wielko-ści wejściowej, związaną z nią niepewność standardową (gdy obliczenia wykonuje się metodą standardową) lub rozszerzoną (gdy obliczenia wykonuje się metodą uproszczoną), współczynnik wrażliwości i liczbę stopni swobody. Dla ułatwienia obliczeń często podaje się udziały niepewności, które są iloczynami niepewności i współczynników wrażliwości. Wygodniej jest jednak podać kwadraty tych ilo-czynów, które sumuje się. Pierwiastek z tej sumy jest niepewnością pomiaru.

Tabela 10.1.2. Bilans niepewności standardowej

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni swobody

νj

X1 1X c1 u(X1) c12⋅u2(X1) ν1

X2 2X c2 u(X2) c22⋅u2(X2) ν2

.

. . .

.

. . .

.

. . .

Xj jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

.

. . .

.

. . .

.

. . .

Xn nX cn u(Xn) cn2⋅u2(Xn) νn

Y Y Σcj2⋅u2(Xi)

νY

Niepewność standardowa złożona mierzonej wielkości Y

( ) ( )∑=

⋅=n

jjj XucYu

1

22

Taki sposób obliczeń bywa często nazywany w literaturze – niezbyt poprawnie

– budżetem niepewności. Wydaje się, że lepszym określeniem jest bilans niepew-ności. Takie nazewnictwo zastosowano w niniejszym opracowaniu. Przykład ogólny takiego tabelarycznego bilansu niepewności standardowej przedstawiono w tabeli 10.1.2, a niepewności rozszerzonej obliczanej metodą uproszczoną – w tabeli 10.1.3.

171

Tabela 10.1.3. Bilans niepewności rozszerzonej obliczanej metodą uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

X1 1X c1 U(X1) c12⋅U 2(X1)

X2 2X c2 U(X2) c22⋅U 2(X2)

.

. . .

.

. . .

.

. Xj jX cj U(Xj) cj

2⋅U 2(Xj) . .

.

. . .

.

. . .

Xn nX cn U(Xn) cn2⋅U 2(Xn)

Y Y Σcj2⋅U 2(Xi)

Niepewność rozszerzona na poziomie ufności p = 0,95 mierzonej wielkości Y

( ) ( )∑=

⋅=n

jjj XUcYU

1

2215,1

10.2. Niepewność wyników pomiarów rezystywności skrośnej dla próbek płaskich z koncentrycznymi elektrodami okrągłymi

obliczana metodą klasyczną

Klasyczną metodą obliczania niepewności pomiaru jest tu nazywana metoda zgodna z zaleceniami podanymi w przewodniku ISO [13,15].

Rezystywność skrośną mierzy się zawsze metodą pośrednią, a jej wartość oblicza ze wzoru (5.2):

vv RhA

=ρ ,

w którym: A – efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej dla elektrod okrągłych wyra-

żoną zależnością (4.2.1): 4

)(π 12BgdA +

= ,

Rv – rezystancja skrośna, d1 – średnica elektrody, B – współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej okre-

ślony wzorem (4.2.5): ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hg

ghB

4πcoshln

π41 ,

172

g – szerokość szczeliny, h – grubość próbki. Aby obliczyć wartość rezystywności badanej próbki, należy znać dane wejściowe,

które wstawia się do wzoru (5.2). Podstawiając zależności (4.2.1) i (4.2.5) do wzoru (5.2), otrzymuje się wzór pozwalający obliczyć rezystywność próbki z elektrodami okrągłymi. W tym wzorze są już tylko zmierzone wielkości wejściowe. W efekcie tych operacji wzór (5.2) przyjmie postać:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

hg

ghd

hRv

v 4πcoshln

4π1

4π

1ρ . (10.2.1)

Może on służyć do obliczenia rezystywności skrośnej i stanowić podstawę otrzymania zależności określającej jej niepewność standardową. Jednakże wówczas wyrażenia definiujące współczynniki wrażliwości dla grubości próbki i szerokości szczeliny mają bardzo złożoną postać. Może to nie mieć znaczenia, gdy do obliczeń stosuje się specjalne matematyczne programy komputerowe, np. MATHCAD. Gdy jednak obli-cza się wyniki i niepewności za pomocą kalkulatora, a nawet programu EXCEL, wte-dy wygodniej jest ustalić najpierw wartości pośrednie A i B, a następnie podstawić je do wzoru (5.2) i obliczyć dla nich niepewności standardowe. Ten sposób pokazano w dalszej części tego podrozdziału.

Ze wzoru (5.2) wynika, że na niepewność pomiaru rezystywności skrośnej wpły-wają niepewności pomiaru rezystancji skrośnej, grubości próbki i efektywnej po-wierzchni elektrody pomiarowej. Wyniki pomiarów rezystywności dielektryków są również zależne od temperatury próbki i jej wilgotności. Jeżeli kondycjonowanie próbki, a następnie pomiary odbywają się w innych warunkach środowiskowych od wymaganych (zobacz podrozdział 4.1.2), to zmiany te można ująć w postaci popra-wek. Wówczas wzór (5.2) przyjmie postać

vWvTvv RhA ρρρ ∆∆ ++= , (10.2.2)

gdzie: ∆ρ vT – poprawka temperaturowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

temperatury próbki, ∆ρ vW – poprawka wilgotnościowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

wilgotności otoczenia próbki. Aby określić te poprawki, trzeba znać charakterystyki zmian rezystywności skro-

śnej w funkcji temperatury i wilgotności. Jeżeli pomiary wykonuje się w normalnych warunkach otoczenia, najczęściej

23/50 (zobacz podrozdział 4.1.2), tzn. w temperaturze 23 °C i wilgotności powietrza 50 %, to należy przyjąć, że wartości tych poprawek są równe zeru. Gdy w laborato-rium temperatura waha się, na przykład w granicach (23±2) °C, a wilgotność powie-

173

trza zmienia się w granicach (50±10) %, wtedy te zerowe poprawki są określone z niepewnościami, które należy oszacować.

Standardową niepewność złożoną pomiaru rezystywności skrośnej dla próbek pła-skich z elektrodami okrągłymi oblicza się na podstawie wzoru (10.1.6) – po uwzględ-nieniu zależności (10.2.2) – z wyrażenia

)∆()∆()()()()( 2222222222vWWvTTvRhAv ucucRuchucAucu

vρρρ ++⋅+⋅+⋅= , (10.2.3)

w którym poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

hR

Ac vv

A =∂∂

=ρ , (10.2.4)

vv

h RhA

hc 2−=

∂∂

=ρ , (10.2.5)

hA

Rc

v

vRv

=∂∂

=ρ , (10.2.6)

1=Tc i 1=Wc .

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A jest określona wzorem (4.2.1), zatem standardową niepewność złożoną powierzchni A oblicza się z zależności

)()()()( 22221

221

BucgucducAu Bgd ⋅+⋅+⋅= , (10.2.7)

w której poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

( BgddAcd +=

∂∂

= 11 2

π1

), (10.2.8)

( BgdBgAcg +=∂∂

= 12π ) , (10.2.9)

( BgdgBAcB +=∂∂

= 12π ) . (10.2.10)

Współczynnik B jest określony wzorem (4.2.5), zatem standardowa niepewność złożona współczynnika B wynosi:

)()()( 2222 guchucBu gh ⋅+⋅= . (10.2.11)

We wzorze (10.2.11) poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

174

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

=hg

hhg

ghBch 4

πtgh14πcoshln1

π4 , (10.2.12)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

=hg

ghg

gh

gBcg 4

πtgh14πcoshln

π4

2 . (10.2.13)

Niepewność rozszerzoną pomiaru rezystywności skrośnej oblicza się na podstawie wzoru (10.1.9) z zależności

( ) ( )vpv ukU ρρ ⋅= . (10.2.14)

Jeżeli poszczególne wielkości wejściowe d1, h, g i Rv – na skutek małej liczby po-wtórzonych pomiarów – nie są rozkładami normalnymi, to należy obliczyć efektywną liczbę stopni swobody zgodnie z zasadami podanymi w podrozdziale 10.1.5 i przyjąć współczynnik rozszerzenia

vpp tkρν,= z rozkładu t-Studenta (tabela 10.1.1).

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiaru rezystywności skrośnej ρ v oblicza się z zależności:

W

vWW

T

vTT

R

vR

h

h

A

A

v

ucucRuchucAuc

u

v

v

v

νρ

νρ

ννν

ρν ρ

)∆()∆()()()(

)(4444444444

4

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅= , (10.2.15)

w której vRhA ννν ,, są liczbami stopni swobody dla wielkości mierzonych: A, h, Rv..

Liczbę stopni swobody dla powierzchni A oblicza się ze wzoru:

B

B

g

g

d

dA

BucgucducAu

ννν

ν)()()(

)(4444

144

4

1

1 ⋅+

⋅+

⋅= , (10.2.16)

w którym liczba stopni swobody współczynnika B wynosi

h

h

g

gB

hucgucBu

νν

ν)()(

)(4444

4

⋅+

⋅= . (10.2.17)

10.2.1. Niepewność pomiaru grubości próbki

Grubość próbki h w różnych jej miejscach mierzy się 5–10-krotnie czujnikiem ze-garowym w obszarze elektrody pomiarowej przed nałożeniem elektrod. Wynikiem pomiaru h jest wartość średnia. Na niepewność pomiaru składają się niepewność czuj-

175

nika zegarowego i niepewność z rozrzutu wyników. Niepewność standardową typu A grubości próbki oblicza się – na podstawie wzoru (10.1.2) – z zależności

)1(

)()( 1

2

−

−=∑=

nn

hhhu

n

ii

A , (10.2.18)

w której: hi – kolejne wyniki pomiarów grubości próbki, h – wartość średnia wyników pomiarów grubości próbki

n

hh

n

ii∑

== 1 , (10.2.19)

n – liczba pomiarów. Niedokładność czujnika zegarowego jest przeważnie określona błędem granicz-

nym ∆gh. Zatem, gdy nie wprowadza się poprawek, niepewność standardową typu B pomiaru grubości próbki h, zgodnie z zależnością (10.1.3), można obliczyć ze wzoru

3

∆)(

hhu g

B = . (10.2.20)

Niepewność standardową złożoną pomiaru grubości próbki h oblicza się z zależ-ności:

)()()( 22 huhuhu BA += . (10.2.21)

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiarów grubości próbki, zgodnie z zależ-nością (10.1.14), wyraża się wzorem:

Bh

B

Ah

Ah huhu

hu

νν

ν)()(

)(44

4

+= . (10.2.22)

Jeżeli niepewność uB(h) określa się ze wzoru (10.2.20) na podstawie błędu gra-nicznego o prostokątnym rozkładzie prawdopodobieństwa, to można przyjąć, że νhB → ∞ i wzór (10.2.22) upraszcza się do postaci:

)()(

4

4

huhu

AAhh νν = . (10.2.23)

176

10.2.2. Niepewność pomiaru średnicy elektrody pomiarowej

Pomiary średnicy elektrody pomiarowej d1 wykonuje się kilkakrotnie w różnych jej miejscach najczęściej suwmiarką. Za wynik przyjmuje się wartość średnią. Nie-pewność pomiaru średnicy u(d1) jest niepewnością złożoną z niedokładności suw-miarki (niepewności typu B) i z niepewności typu A wynikającej z rozrzutu wyników pomiarów.

Niepewność standardową typu A wartości średniej średnicy d1 oblicza się – na podstawie wzoru (10.1.2) – z zależności

)1(

)()( 1

211

1 −

−=∑=

nn

dddu

n

ii

A , (10.2.24)

w której: d1i – kolejne wyniki pomiarów średnicy elektrody pomiarowej,

1d – wartość średnia wyników pomiarów średnicy elektrody pomiarowej

n

dd

n

ii∑

== 11

1 , (10.2.25)

n – liczba pomiarów.

Niedokładność suwmiarki jest przeważnie określona przez błąd graniczny ∆gd1. Zatem, gdy nie wprowadza się poprawek, niepewność standardową typu B pomiaru średnicy d1, zgodnie z zależnością (10.1.3), oblicza się z wyrażenia

( )3

∆ 11

ddu g

B = . (10.2.26)

Niepewność standardową złożoną pomiaru średnicy d1 określa się z zależności

)()()( 12

12

1 dududu BA += . (10.2.27)

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiarów średnicy elektrody pomiarowej, zgodnie z zależnością (10.1.14), wyraża się wzorem:

Bd

B

Ad

Ad dudu

du

11

1 )()()(

14

14

14

νν

ν+

= . (10.2.28)

177

Jeżeli niepewność uB(d1) określa się ze wzoru (10.2.26) na podstawie błędu gra-nicznego o prostokątnym rozkładzie prawdopodobieństwa, to można przyjąć, że νd1B → ∞ i wzór (10.2.28) upraszcza się do postaci:

)()(

14

14

11 dudu

AAdd νν = . (10.2.29)

10.2.3. Niepewność pomiaru szerokości szczeliny

Szerokość szczeliny g między elektrodą pomiarową a elektrodą ochronną mierzy się najczęściej, korzystając z mikroskopu pomiarowego, kilkakrotnie w różnych miej-scach. Za wynik pomiaru przyjmuje się wartość średnią. Na niepewność pomiaru składają się niepewność mikroskopu i niepewność z rozrzutu wyników.

Niepewność standardową typu A szerokości szczeliny g oblicza się – na podstawie wzoru (10.1.2) – z zależności

)1(

)()( 1

2

−

−=∑=

nn

gggu

n

ii

A , (10.2.30)

w której: gi – kolejne wyniki pomiarów szerokości szczeliny, g – wartość średnia wyników pomiaru szerokości szczeliny

n

gg

n

ii∑

== 1 , (10.2.31)

n – liczba pomiarów. Niedokładność mikroskopu jest przeważnie określona przez błąd graniczny ∆gg.

Zatem, gdy nie wprowadza się poprawek, niepewność standardową typu B pomiaru szerokości szczeliny g, zgodnie z zależnością (10.1.3), oblicza się ze wzoru:

( )3

∆ ggu g

B = . (10.2.32)

Niepewność standardową złożoną pomiaru szerokości szczeliny g wyraża się za-leżnością

)()()( 22 gugugu BA += . (10.2.33)

178

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiarów szerokości szczeliny, zgodnie z zależnością (10.1.14), oblicza się ze wzoru:

Bg

B

Ag

Ag gugu

gu

νν

ν)()(

)(44

4

+= . (10.2.34)

Jeżeli niepewność uB(g) określa się ze wzoru (10.2.32) na podstawie błędu gra-nicznego o prostokątnym rozkładzie prawdopodobieństwa, to można przyjąć, że νgB → ∞ i wzór (10.2.34) upraszcza się do postaci:

)()(

4

4

gugu

AgAg νν = . (10.2.35)

10.2.4. Niepewność pomiaru rezystancji skrośnej

Pomiary rezystancji skrośnej Rv, a także i powierzchniowej Rs wykonuje się analogo-wymi lub cyfrowymi miernikami wysokich rezystancji. Zasady działania tych przyrządów opisano w rozdziale 7. Najczęściej jest bezpośrednio mierzony prąd Iv przepływający przez badaną próbkę przy stałym znanym zadanym napięciu U przyłożonym do niej. Ska-la odczytowa tych przyrządów przeważnie jednak umożliwia bezpośredni odczyt mierzo-nej rezystancji. Niedokładność tych przyrządów producenci podają w postaci błędów granicznych pomiaru rezystancji dla danego zakresu pomiarowego i danego napięcia po-miarowego lub jako błędy graniczne prądu mierzonego i napięcia źródła.

Na niepewność odczytu z miernika rezystancji wpływa także niestabilność wska-zań, spowodowana fluktuacją zjawisk w próbce i zakłóceniami. Dla mierników cy-frowych, mimo dużej ich dokładności, w czasie pomiarów rezystancji dielektryków obserwuje się fluktuację nawet kilku ostatnich cyfr pola odczytowego. Przeważnie można odczytać tylko 3 lub 4 cyfry. Niepewność odczytu jest często zasadniczą nie-pewnością wskazań elektrometru, którą należy dodać do niepewności wynikającej z niedokładności elektrometru podanej przez producenta.

Na niepewności pomiaru rezystancji próbki mają wpływ także błędy związane z rezystancją przejścia między elektrodami a badaną próbką materiału i ładunkiem elektrycznym znajdującym się w próbce.

Błędy pomiaru spowodowane rezystancją przejścia między elektrodami a próbką oraz ładunkiem elektrycznym powierzchniowym i przestrzennym próbki trudno jest oszacować. Należy zadbać o to, aby były one pomijalnie małe. Można to osiągnąć, stosując odpowiednie elektrody, np. naparowane srebrem, oraz przechowując próbki w stanie zwartym, np. w folii aluminiowej. Przed pomiarem należy zawsze zewrzeć próbkę przez elektrometr, mierząc prąd deelektryzacji tak długo, aż jego wartość bę-

179

dzie pomijalnie mała w stosunku do prądu pomiarowego. Następnie rozwiera się próbkę na pewien czas, np. 10 minut, i ponownie zwiera przez elektrometr. Jeżeli prąd deelektryzacji będzie nadal pomijalnie mały, to próbkę można uznać za rozładowaną. Zagadnienia te szczegółowo omówiono w rozdziale 5.

Istotnym problemem jest również oszacowanie niepewności pomiaru prądu. Prąd płynący przez próbkę Iv po przyłożeniu do niej napięcia U oprócz bezinercyjnej skła-dowej przewodnościowej Iu charakteryzuje również składowa przejściowa Ia(t). Mie-rzony prąd Iv(t) jest zatem funkcją czasu (rys. 5.2.1). Jeżeli prąd ten nie osiągnie war-tości ustalonej w ciągu 1 minuty, to – jak podano w rozdziale 5 – dokonuje się pomiaru rezystywności dla wartości prądów przejściowych, a wynik pomiaru rezy-stancji podaje w postaci charakterystyki R(t). W tym przypadku na niepewność po-miaru tak określonej rezystancji ma wpływ niepewność pomiaru czasu. Znając nie-pewność pomiaru czasu, z nachylenia charakterystyki R(t) można określić wynikającą stąd niepewność pomiaru rezystancji.

Często przyjmuje się, że wartość prądu już się ustaliła w ciągu 1 minuty, ale gdy odczeka się dłuższy czas, może okazać się, że wartość prądu jeszcze zmalała. Należy więc oszacować udział składowej przejściowej w całkowitym prądzie mierzonym, ponieważ jej udział w konkretnym czasie odczytu jest miarą niepewności pomiaru rzeczywistej wartości prądu przewodnictwa (zobacz rys. 5.2.1).

Pomiary rezystancji skrośnej Rv dla badanej próbki powinno się wykonać w funk-cji czasu t, kilkakrotnie zdejmując charakterystykę Rv(t), ale przed każdym ponownym przyłożeniem napięcia próbkę należy dokładnie rozładować, zwierając ją, i sprawdzić, czy prąd zwarcia, będący sumą prądów deelektryzacji i resorpcji, ma pomijalnie małą wartość. Wynikami pomiarów Rv(t) są wartości średnie z powtórzonych charaktery-styk Rv(t). Niepewność standardową typu A rezystancji skrośnej dla konkretnego cza-su polaryzacji t oblicza się – na podstawie wzoru (10.1.2) – z zależności:

)1(

)()( 1

2

−

−=∑=

nn

RRRu

n

ivvi

vA , (10.2.36)

w której: Rvi – kolejne wyniki pomiarów rezystancji Rv,

vR – wartość średnia wyników pomiarów rezystancji

n

RR

n

ivi

v

∑== 1 , (10.2.37)

n – liczba pomiarów. Jeżeli niedokładność miernika rezystancji określona jest błędem granicznym ∆gRv

i niedokładnością graniczną odczytu ∆odczRv, a wszystkie pozostałe czynniki mają

180

pomijalnie małe wpływy, to niepewność standardową typu B pomiaru rezystancji Rv można obliczyć ze wzoru:

( ) ( )vvgvB RRRu odcz∆∆3

1+= . (10.2.38)

Jeżeli producent określił oddzielnie błędy graniczne napięcia ∆gU i prądu ∆gI, to błąd graniczny dla rezystancji należy obliczyć z zależności

IIUU

IR ggvg ∆∆1∆ 2+= . (10.2.39)

Niepewność standardową złożoną pomiaru rezystancji Rv oblicza się z zależności:

)()()( 22vBvAv RuRuRu += . (10.2.40)

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiarów rezystancji skrośnej, zgodnie z zależnością (10.1.14), oblicza się ze wzoru:

BR

vB

AR

vA

vR

vv

v RuRuRu

νν

ν)()(

)(44

4

+= . (10.2.41)

Jeżeli niepewność uB(Rv), określona ze wzoru (10.2.38), ma prostokątny rozkład prawdopodobieństwa, to można przyjąć, że νRvB → ∞ i wzór (10.2.41) upraszcza się do postaci:

)()(

4

4

vA

vARR Ru

Ruvv

νν = . (10.2.42)

10.2.5. Niepewność poprawki temperaturowej rezystywności skrośnej

Poprawkę temperaturową rezystywności skrośnej uwzględniającą zmianę tempera-tury próbki o ∆T w porównaniu z temperaturą normalną T = 23° wyznacza się ze wzo-ru

TkTvvT ∆∆ =ρ , (10.2.43)

a jej niepewność standardową z wyrażenia

( ) )∆()(∆ 22 Tukuu TvvT +=ρ , (10.2.44)

gdzie: kTv – temperaturowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej,

181

∆T – różnica między temperaturą otoczenia w czasie pomiarów rezystywności skrośnej a temperaturą, dla której określa się rezystywność skrośną,

u(kTv) – niepewność temperaturowego współczynnika zmian rezystywności skro-śnej,

u(∆T ) – niepewność określenia różnicy temperatur. Jeżeli temperatura w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada

wymaganej wartości znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆ρ vT = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności, gdyż praktycznie zawsze temperatura otoczenia w laboratorium ulega pewnym wahaniom. Znając wartość tem-peraturowego współczynnika kTv i wahania temperatury ∆T, można oszacować nie-pewność zerowej poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej ∆ρ vT.

Należy również oszacować niepewność niepewności temperaturowej poprawki zmiany rezystywności skrośnej i na tej podstawie ze wzoru (10.1.13) obliczyć dla niej liczbę stopni swobody νT.

10.2.6. Niepewność poprawki wilgotnościowej rezystywności skrośnej

Poprawkę wilgotnościową zmiany rezystancji skrośnej uwzględniającą zmianę wilgotności powietrza otaczającego próbkę o ∆W w porównaniu z wilgotnością nor-malną W = 50 % wyznacza się ze wzoru

WkWvvW ∆∆ =ρ , (10.2.45)

a jej niepewność standardową z wyrażenia

)∆()()∆( 22 Wukuu WvvW +=ρ , (10.2.46)

gdzie: kWv – wilgotnościowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej, ∆W – różnica między wilgotnością względną otoczenia w czasie pomiarów re-

zystywności skrośnej a wilgotnością względną, dla której określa się rezystywność skrośną,

u(kWv) – niepewność wilgotnościowego współczynnika zmian rezystywności skrośnej,

u(∆W) – niepewność określenia różnicy wilgotności. Jeżeli wilgotność w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada

wymaganej wilgotności znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆ρvW = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności, gdyż praktycz-nie zawsze wilgotność powietrza w laboratorium ulega wahaniom. Znając wartość wilgotnościowego współczynnika kWv i wahania wilgotności ∆W, można oszacować niepewność zerowej poprawki wilgotnościowej zmian rezystywności skrośnej ∆ρvW.

182

Należy również oszacować niepewność niepewności wilgotnościowej poprawki rezystywności skrośnej i na tej podstawie ze wzoru (10.1.13) obliczyć dla niej liczbę stopni swobody νW.

10.2.7. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności skrośnej

Wyniki pomiarów poszczególnych składowych wielkości, które służą do oblicze-nia wyniku pomiaru rezystywności skrośnej, zestawia się w tabelach. Na podstawie tych wyników oblicza się standardowe niepewności złożone pomiaru:

• średnicy elektrody pomiarowej u(d1), • szerokości szczeliny u(g), • grubości próbki u(h), • rezystancji skrośnej u(Rv), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej u(ρvT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej u(ρvW). Wygodnie jest zestawić te niepewności w zaproponowanych tabelach 10.2.1,

10.2.2 i 10.2.3, które ułatwiają obliczenie końcowej niepewności pomiaru rezystyw-ności skrośnej.

Tabela 10.2.1. Bilans niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni swobody

νj

Grubość próbki h h (10.2.19)

ch(10.2.12)

u(h) (10.2.21) ch

2⋅u2(h) ν h(10.2.22)

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg(10.2.13)

u(g) (10.2.33)

cg2⋅u2(g) νg

(10.2.34) Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

B (4.2.5) Σcj

2⋅u2(Xi) νB

(10.2.17)

Niepewność standardowa współczynnika B ( ) ( )∑

=

⋅=n

jjj XucBu

1

22

Uwaga: w powyższej tabeli i następnych pod symbolami wielkości podano numery wzorów, z któ-rych oblicza się te wielkości.

183

Tabela 10.2.2. Bilans niepewności standardowej złożonej efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A)

Mierzona wielkość

Xj

Wartośćśrednia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni swobody

νj

Średnica elektrody pomiarowej d1

1d (10.2.25)

1dc

(10.2.8)

u(d1) (10.2.27) cd1

2⋅u2(d1) 1dν

(10.2.28) Szerokość szczeliny g g

(10.2.31) cg

(10.2.9) u(g)

(10.2.33) cg2⋅u2(g) νg

(10.2.34) Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

B (4.2.7)

cB (10.2.10)

u(B) (10.2.11) cB

2⋅u2(B) νB(10.2.17)

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A

A (4.2.1) Σcj

2⋅u2(Xi) νA

(10.2.16) Niepewność efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej ( ) ( )∑

=

⋅=n

jjj XucAu

1

22

Tabela 10.2.3. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności skrośnej u(ρv)

Mierzona wielkość

Xj

Wartośćśrednia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni swobody

νj

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A

A (4.2.1)

cA(10.2.2)

u(A) (10.2.5) cA

2⋅u2(A) νA(10.2.16)

Grubość próbki h h (10.2.17)

ch(10.2.3)

u(h) (10.2.19) ch

2⋅u2(h) νh(10.2.22)

Rezystancja skrośna RvvR

(10.2.35) cRv

(10.2.4) u(Rv)

(10.2.40) 2Rvc ⋅u2(Rv) vRν

(10.2.41) Poprawka temperaturowa

vTρ∆ vTρ∆

(10.2.43) 1 u(ρ vT)

(10.2.44) ( )vTT uc

vρρ

22 ⋅ νT(10.1.13)

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆

vWρ∆ (10.2.45)

1 u(ρ vW) (10.2.46)

( )vWW ucv

ρρ22 ⋅ νW

(10.1.13) Rezystywność skrośna ρ v

vρ (10.4.1)

Σcj2⋅u2(Xi) vρ

ν

(10.2.15)

Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej

( ) ( )∑=

⋅=n

jjjv Xucu

1

22ρ

Niepewność rozszerzoną pomiaru rezystywności skrośnej oblicza się na podstawie

wzorów (10.1.9) i (10.1.10) z zależności (10.2.14):

( ) ( )vpv utuv

ρρρν,= .

184

10.2.8. Przykład 1: pomiary rezystywności skrośnej PTFE

W tym przykładzie przedstawiono wyniki pomiarów rezystywności skrośnej poli-tetrafluoroetylenu (PTFE) i obliczeń ich niepewności.

PTFE jest dielektrykiem o najwyższej rezystywności i pomiary rezystywności ta-kiego materiału należą do jednych z najtrudniejszych. Próbki przed pomiarami były kondycjonowane przez 4 doby w znormalizowanych warunkach zgodnie z normą PN-EN ISO 291 w temperaturze 23 °C i wilgotności powietrza 50 %. Warunki środowi-skowe spełniały wymagania klasy 2, tzn. wahania temperatury nie przekraczały ±2 °C, a wahania wilgotności – ±10 %. Pomiary wykonano dla trzech próbek tego samego materiału w tych samych warunkach otoczenia, w których były kondycjonowane. Obliczenia wartości rezystywności skrośnej i jej niepewności wykonano dla każdej badanej próbki. W tym przykładzie podano jedynie wyniki pomiarów i obliczeń dla próbki nr 1. Z pozostałymi próbkami postąpiono analogicznie.

Zanim próżniowo naparowano srebrne elektrody, w obszarze elektrody pomiaro-wej zmierzono za pomocą mikrometru zegarowego grubości h każdej z trzech bada-nych próbek. Wyniki pomiarów i obliczeń dla próbki nr 1 zestawiono w tabeli 10.2.4.

Tabela 10.2.4. Wyniki pomiarów grubości próbki h i obliczeń ich niepewności standardowej

i h

(m) h

(m) )(huA

(m) uB(h) (m)

u(h) (m) νh

1 192×10–6

2 197×10–6

3 201×10–6

4 195×10–6

5 190×10–6

6 182×10–6

192,8×10–6 2,7×10–6 0,6×10–6 2,8×10–6 5

W powyższej tabeli: • wartość średnią grubości próbki h obliczono ze wzoru (10.2.19), • niepewność standardową typu A średniej grubości próbki )(huA obliczono ze

wzoru (10.2.18), • niepewność standardową typu B uB(h) obliczono ze wzoru (10.2.20), gdzie:

∆gh = ±1 µm, • niepewność standardową złożoną u(h) pomiaru grubości próbki obliczono ze

wzoru (10.2.21), • liczbę stopni swobody νh obliczono ze wzoru (10.1.12). Najpierw zmierzono grubości próbek, następnie naniesiono na nie elektrody

srebrne metodą próżniową i zmierzono szerokość szczeliny g, korzystając z mikro-skopu pomiarowego, oraz średnice elektrody pomiarowej d1 suwmiarką cyfrową. Wy-niki pomiarów i obliczeń dla próbki nr 1 zestawiono w tabeli 10.2.5.

185

Tabela 10.2.5. Wyniki pomiarów szerokości szczeliny g i obliczeń ich niepewności standardowej

i g

(m) g

(m) )(guA

(m) uB (g) (m)

u(g) (m) νg

1 1,98×10–3

2 2,02×10–3

3 2,04×10–3

4 1,99×10–3

5 2,03×10–3

6 2,01×10–3

2,012×10–3 0,010×10–3 0,006×10–3 0,011×10–3 9

W powyższej tabeli: • wartość średnią szerokości szczeliny g obliczono ze wzoru (10.2.31), • niepewność standardową typu A wartości średniej szerokości szczeliny )(guA

obliczono ze wzoru (10.2.30), • niepewność standardową typu B uB(g) obliczono ze wzoru (10.2.32), gdzie

∆gg = ±0,01 mm, • niepewność standardową złożoną u(g) pomiaru szerokości szczeliny obliczono

ze wzoru (10.2.33), • liczbę stopni swobody νg obliczono ze wzoru (10.1.12).

Tabela 10.2.6. Wyniki pomiarów średnicy elektrody pomiarowej d1 i obliczeń ich niepewności standardowej

i d1

(m) 1d

(m) ( )1duA

(m) uB(d1) (m)

u(d1) (m) 1dν

1 49,71×10–3

2 49,77×10–3

3 49,72×10–3

4 49,75×10–3

5 49,70×10–3

6 49,68×10–3

49,722×10–3 0,014×10–3 0,018×10–3 0,022×10–3 34

W powyższej tabeli: • wartość średnią średnicy elektrody pomiarowej 1d obliczono ze wzoru (10.2.25), • niepewność standardową typu A wartości średniej średnicy elektrody pomiaro-

wej )( 1duA obliczono ze wzoru (10.2.24), • niepewność standardową typu B uB(d1) obliczono ze wzoru (10.2.26), gdzie

∆gd1 = 0,03 mm, • niepewność standardową złożoną u(d1) pomiaru średnicy elektrody pomiarowej

obliczono ze wzoru (10.2.27), • liczbę stopni swobody

1dν obliczono ze wzoru (10.1.12).

186

Rys. 10.2.1. Pierwsza charakterystyka prądu skrośnego dla próbki nr 1

Rys. 10.2.2. Druga charakterystyka prądu skrośnego dla próbki nr 1

187

Rys. 10.2.3. Trzecia charakterystyka prądu skrośnego dla próbki nr 1

Rys. 10.2.4. Uśrednione aproksymowane charakterystyki prądu skrośnego dla próbki nr 1

Rezystancję zmierzono, używając miernika firmy Keithley, model 6517A, współ-pracującego przez interfejs IEEE 488 z komputerem przy napięciu polaryzacji 1000 V.

188

Zanim wykonano pomiary rezystancji, elektrody każdej próbki były zwierane i mierzo-no prąd deelektryzacji w funkcji czasu tak długo, aż osiągnął on wartość pomijalnie małą, tj. poniżej 10–15 A. Potem przykładano napięcie i przez 1 godzinę rejestrowano wartości prądu skrośnego co 1 sekundę. Następnie ponownie zwierano elektrody przez elektrometr i mierzono prąd resorpcji tak długo, aż osiągnął analogiczną pomijalnie małą wartość. W ten sposób dla każdej próbki trzykrotnie zdjęto charakterystykę Iv(t). Charakterystyki te dla próbki nr 1 pokazano na rysunkach 10.1–10.3. Dla każdej serii pomiarów dokonano aproksymacji charakterystyk przedstawionych jako linie ciągłe. Aby porównać trzy aproksymowane charakterystyki, zestawiono je na rysunku 10.4, a na rysunku 10.5 – odpowiadającą im średnioważoną charakterystykę rezystywności.

Rys. 10.2.5. Charakterystyka rezystywności skrośnej w funkcji czasu dla próbki PTFE nr 1

Tabela 10.2.7. Wyniki pomiarów rezystancji skrośnej Rv dla trzech serii pomiarów przy napięciu 1000 V po czasie t = 1 h i obliczeń ich niepewności standardowej

vI )( vA Iu )( vB Iu )( vIu vR )( vRu w wvR )( wvRu Seria pom. 10–15 A 10–15 A 10–15 A 10–15 A 1016 Ω 1016 Ω – 1016 Ω 1016 Ω

1 94,09 5,85 2,28 6,27 1,063 0,071 2,3 2 74,54 5,52 2,17 5,93 1,341 0,107 1 3 94,71 7,67 2,28 8,00 1,056 0,089 1,4

1,12 0,05

W tabeli 10.2.7 zestawiono wyniki pomiarów wartości średnich prądów skrośnych Iv i obliczeń ich niepewności dla każdej z charakterystyk próbki nr 1. Obliczenia war-tości średnich wykonano dla serii 100 pomiarów w czasie 100 s. W obliczeniach nie uwzględniano wartości nadmiernych, które bardzo odbiegały od charakterystyki,

189

a były wynikiem przypadkowych zakłóceń. Następnie podano wynik obliczeń rezy-stancji skrośnej i jej niepewności dla czasu t =1 h.

W tabeli 10.2.7: • wartość średnią prądu skrośnego każdej serii pomiarów obliczono ze wzoru

n

II

n

ivi

v

∑== 1 ,

w którym Ivi są wynikami poszczególnych pomiarów w serii, a n jest liczbą pomiarów w serii,

• niepewność standardową typu A średniej wartości prądu skrośnego serii obliczo-no z wyrażenia

( ) ( )1

)(1

2

−

−=∑=

nn

IIIu

n

ivvi

vA ,

• niepewność standardową typu B średniej wartości prądu skrośnego serii obliczo-no z zależności

( )3

∆ vgvB

IIu = ,

gdzie vg I∆ jest błędem granicznym przyrządu pomiarowego prądu Iv, który dla po-szczególnych serii pomiarów wynosi:

seria 1: vg I∆ = 3,94×10–15 A,

seria 2: vg I∆ = 3,75×10–15 A,

seria 3: vg I∆ = 3,95×10–15 A, • niepewność standardową złożoną pomiaru prądu skrośnego próbki obliczono ze

wzoru

( ) )()( 22vBvAv IuIuIu += ,

• rezystancję skrośną średnią serii pomiarów obliczono ze wzoru v

v IUR = dla U =

1000 V, • niepewność standardową złożoną rezystancji skrośnej serii pomiarów wyrażono

wzorem

( ) ( ) ( )vIUv IucUucRu 2222 += ,

190

w którym:

IcU

1= , 2I

UcI −= , 3

∆)()(

UUuUu g

B == , a ∆gU(U ) = 1,6 V,

• wagi w poszczególnych serii pomiarów obliczono ze wzoru (10.1.26), zakłada-jąc, że dla drugiej serii w2 = 1,

• wartości średniej ważonej rezystancji wvR obliczono ze wzoru (10.1.27),

• niepewność średniej ważonej )( wvRu obliczono ze wzoru (10.1.29). W powyższych obliczeniach niepewności pomiaru rezystywności uwzględniono

tylko rozrzut wyników pomiarów i błąd graniczny przyrządu pomiarowego. Inne czynniki, opisane w rozdziale 5, takie jak:

• resztkowy, nie w pełni wyeliminowany ładunek elektryczny, • rezystancja interfaz elektroda–dielektryk i dielektryk–elektroda, • rezystancja izolacji bocznikująca wejście miernika prądu, • niekontrolowane upływnościowe prądy błądzące, • szumy i zakłócenia

starano się tak zminimalizować, aby otrzymać wartości pomijalnie małe. Niemniej jednak z doświadczenia wiadomo, że dla tak dużej mierzonej rezystancji, jaką ma PTFE, udział tych niewyeliminowanych czynników może być znaczący. Szacunkowo przyjęto, że niepewność niepewności wartości średniej ważonej rezystancji wvR – wyznaczonej w tabeli 10.2.7 – wynosi ok. 50 %. Zatem, zgodnie ze wzorem (10.1.13), liczba stopni swobody dla wyniku pomiaru rezystancji skrośnej

vRν wynosi 2. Do obliczenia wartości rezystywności badanej próbki niezbędne są dane wejścio-

we, które wstawia się do wzoru (10.2.2), a do obliczenia niepewności tej rezystywno-ści – dane wejściowe, które wstawia się do wzorów (10.2.3) i (10.2.14). Dlatego naj-pierw obliczono wartości pośrednie, tj. współczynnik B (tabela 10.2.8) i efektywną powierzchnię elektrody pomiarowej A (tabela 10.2.9), a następnie mierzoną rezystyw-ność skrośną (tabela 10.2.10).

Tabela 10.2.8. Zestawienie wyników dla obliczenia niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B)

Mierzona wielkość Xj

jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

h 192,8×10–6 m –439 m–1 2,8×10–6 m 1,51×10–6 5 g 2,012×10–3 m 42,1 m–1 0,011×10–3 m 0,22×10–6 9 B 84,60×10–3 ∑cj

2⋅u2(Xj) = 1,73×10–6 6 Niepewność standardowa złożona współczynnika B u(B) = 1,32×10–3

191

Tabela 10.2.9. Zestawienie wyników dla obliczenia niepewności standardowej złożonej wyznaczenia efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A)

Mierzona wielkość Xj

jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

d1 49,722×10–3 m 78,37×10–3 m 0,022×10–3 m 2,97×10–12 m4 34 g 2,012×10–3 m 6,63×10–3 m 0,011×10–3 m 0,01×10–12 m4 9 B 84,60×10–3 1,58×10–4 m2 1,32×10–3 0,05×10–12 m4 6 A 1,955×10–3 m2 ∑cj

2⋅u2(Xj) = 3,03×10–12 m4 35 Niepewność standardowa złożona efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A) = 0,002×10–3 m2

Tabela 10.2.10. Zestawienie wyników dla obliczenia niepewności standardowej złożonej wyznaczenia rezystywności skrośnej u(ρ v)

Mierzona wielkość Xj

jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

A 1,955×10–3 m2 5,81×1019 Ω/m 0,002×10–3 m2 0,02×1030 Ω2m2 35 h 192,8×10–6 m –5,89×1020 Ω 2,8×10–6 m 2,72×1030 Ω2m2 5 Rv 1,12×1016 Ω 10,14 m 0,05×1016 Ω 25,71×1030 Ω2m2 2

∆ρ vT 0 1 0,02×1017 Ωm 4×1030 Ω2m2 2 ρ v 1,14×1017 Ωm ∑cj

2⋅u2(Xj) = 32,45×1030 Ω2m2 2 Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej uc (ρ v) = 0,06×1017 Ωm

Uwaga: poprawki wilgotnościowej ∆ρ vW nie uwzględniono, ponieważ PTFE jest materiałem niehi-groskopijnym i jego rezystywność skrośna praktycznie nie zależy od wilgotności.

Dla liczby stopni swobody 2=vρν i poziomu prawdopodobieństwa 95 % kwantyl

tp,ν rozkładu t-Studenta wynosi 4,3. Dlatego bezwzględna niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności skrośnej na poziomie ufności p = 0,95 wynosi:

U(ρv) = 4,3×0,06×1017 Ωm = 0,26×1017 Ωm,

a niepewność względna

%231001014,11026,0100)()( 17

17

=×××

=×=v

vvw

UUρρρ .

Zatem wynik pomiaru rezystywności skrośnej dla próbki nr 1 politetrafluoroetyle-nu (PTFE) można zapisać w postaci

. Ωm10)3,01,1( 17×±=sρ

Niepewność rozszerzoną pomiaru rezystancji 23 % dla PTFE, materiału o najwyż-szej rezystywności, można uznać za wyjątkowo małą. Osiągnięto ją dzięki powtarza-niu pomiarów prądu skrośnego co 1 s i rejestrowaniu ich przez komputer. Średnią

192

wartość rezystancji skrośnej obliczono na podstawie wartości z trzech serii pomiarów w czasie 100 s, zakładając, że rzeczywiste zmiany rezystancji próbki w tym czasie są pomijalnie małe. Gdyby jednak dokonano tylko jednego pomiaru tej rezystancji, wówczas niepewność pomiaru rezystywności skrośnej PTFE osiągnęłaby znacznie większą wartość, nawet rzędu 100 %. W tym przypadku byłaby to mimo wszystko wartość realna. Jeżeli jednak obliczona dla pomiarów rezystywności PTFE niepew-ność byłaby mała, rzędu kilku procent, to zapewne wartość tej niepewności można by uznać za niewiarygodną.

10.2.9. Przykład 2: pomiary rezystywności skrośnej poliamidu

W tym przykładzie przedstawiono wyniki pomiarów rezystywności skrośnej mo-dyfikowanego poliamidu i obliczeń ich niepewności.

Poliamid jest materiałem termoplastycznym o podwójnej strukturze: amorficznej i krystalicznej. Bezpośrednio po wytworzeniu poliamidu na wtryskarce w jego strukturze ma duży udział postać amorficzna, która z czasem przechodzi w postać krystaliczną. Powoduje to m.in. zmiany rezystywności skrośnej. Dopiero po 3–4 tygodniach materiał „uspakaja się” i wyniki pomiarów stają się powtarzalne. Ponad-to poliamid jest materiałem higroskopijnym, którego wilgotność w stanie ustalonym w normalnych warunkach pokojowych waha się, w zależności od rodzaju i ilości wypełniacza, od 2 do 4 %. Dlatego w przypadku poliamidu podaje się jego właściwości elektryczne dla stanu suchego i ustabilizowanego wilgotnego w nor-malnych warunkach pokojowych, ale zawsze dla stanu, w którym procesy krystalo-graficzne już się zakończyły.

Z tych powodów wytworzone na wtryskarce próbki do badań w stanie suchym umieszczono w eksykatorach z pochłaniaczem wilgoci (silikażelem), a próbki do badań w stanie wilgotnym poddano przyspieszonemu nawilgoceniu, mocząc je w wodzie przez odpowiedni czas i kondycjonując w normalnych warunkach wilgot-nościowych. Pomiary rezystywności skrośnej powtarzano co kilka dni. Za wyniki poprawne uznano te, które w czasie nie ulegały już zmianie. Pomiary wykonywano w znormalizowanych warunkach 23/50 klasy 1, zgodnie z normą PN-EN ISO 291:1999, dla których temperatura otoczenia wynosiła 23 °C±1 °C, a wilgotność powietrza 50 % ± 5 %.

Pomiarom poddano po trzy próbki materiału w stanie suchym i wilgotnym. Poniżej przedstawiono wyniki pomiarów dla jednej tylko próbki nr 1 znajdującej się w stanie wilgotnym. Z pozostałymi próbkami postępowano analogicznie.

Zanim na próbkę naparowano próżniowo elektrody srebrne, zmieniono – za pomo-cą mikrometru zegarowego – w obszarze elektrody jej grubość h. Wyniki pomiarów i obliczeń zestawiono w tabeli 10.2.11.

193

Tabela 10.2.11. Wyniki pomiarów grubości próbki h i obliczeń ich niepewności standardowej

i h

(m) h

(m) )(huA

(m) uB(h) (m)

u(h) (m) νh

1 1,702×10–3

2 1,656×10–3

3 1,674×10–3

4 1,636×10–3

5 1,672×10–3

1,668×10–3 0,011×10–3 0,001×10–3 0,011×10–3 4

W tabeli 10.2.11: • średnią wartość grubości próbki h obliczono ze wzoru (10.2.19), • niepewność standardową typu A średniej wartości grubości próbki )(huA obli-

czono ze wzoru (10.2.18), • niepewność standardową typu B uB(h) obliczono ze wzoru (10.2.20), gdzie:

∆gh = ±1 µm, • niepewność standardową złożoną u(h) pomiaru grubości próbki obliczono ze

wzoru (10.2.21), • liczbę stopni swobody νh obliczono ze wzoru (10.1.12). Po pomiarach grubości próbek naniesiono na nie srebrne elektrody metodą próż-

niową i zmierzono szerokość szczeliny g, korzystając z mikroskopu pomiarowego, oraz średnicę elektrody pomiarowej d1 suwmiarką cyfrową. Wyniki pomiarów i obli-czeń dla próbki nr 1 zestawiono w tabeli 10.2.12.

Tabela 10.2.12. Wyniki pomiarów szerokości szczeliny g i obliczeń ich niepewności standardowej

i g

(m) g

(m) )(guA

(m) uB(g) (m)

u(g) (m) νg

1 1,88×10–3

2 1,89×10–3

3 1,89×10–3

4 1,87×10–3

5 1,89×10–3

6 1,87×10–3

7 1,88×10–3

8 1,89×10–3

9 1,90×10–3

10 1,91×10–3

1,887×10–3 0,004×10–3 0,006×10–3 0,007×10–3 88

W tabeli 10.2.12: • średnią wartość szerokości szczeliny g obliczono ze wzoru (10.2.31), • niepewność standardową typu A średniej wartości szerokości szczeliny )(gu A

obliczono ze wzoru (10.2.30),

194

• niepewność standardową typu B uB(g) obliczono ze wzoru (10.2.32), gdzie ∆gg = ±0,01 mm,

• niepewność standardową złożoną u(g) pomiaru szerokości szczeliny obliczono ze wzoru (10.2.33),

• liczbę stopni swobody νg obliczono ze wzoru (10.1.12).

Tabela 10.2.13. Wyniki pomiarów średnicy elektrody pomiarowej d1 i obliczeń ich niepewności standardowej

i d1

(m) 1d

(m) )( 1duA

(m) uB(d1) (m)

u(d1) (m) 1dν

1 50,00×10–3

2 49,96×10–3

3 49,94×10–3

4 49,98×10–3

5 49,99×10–3

49,974×10–3 0,011×10–3 0,018×10–3 0,021×10–3 51

W tabeli 10.2.13: • średnią wartość średnicy elektrody pomiarowej próbki 1d obliczono ze wzoru

(10.2.25), • niepewność standardową typu A średniej wartości średnicy elektrody pomiaro-

wej próbki )( 1duA obliczono ze wzoru (10.2.24), • niepewność standardową typu B uB(d1) obliczono ze wzoru (10.2.26), gdzie

∆gd1 = 0,03 mm, • niepewność standardową złożoną u(d1) pomiaru średnicy elektrody pomiarowej

próbki obliczono ze wzoru (10.2.27), • liczbę stopni swobody

1dν obliczono ze wzoru (10.1.12). Pomiary rezystancji wykonano miernikiem analogowym wysokich rezystancji ty-

pu EMA-1 firmy ZELAP o niedokładności względnej

%5,10,2min

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=

ααδ vg R ,

gdzie: α – wskazanie przyrządu (α = 2,80), αmin – pierwsza ocyfrowana działka odpowiadająca maksymalnemu wychyleniu

miernika (αmin = 1). Przed pomiarami próbkę zwarto przez pikoamperomierz (taką opcję ma miernik

EMA-1) na tak długo, aż prąd deelektryzacji osiągnął 0,01 wartości spodziewanego prądu skrośnego, tj. ok. 0,03 pA. Następnie miernik przełączono na opcję pomiaru rezystancji, ustawiono źródło napięcia na zakres 1000 V i wykonano pomiar, odczeku-

195

jąc, aż ustali się wartość wskazań. Wskazania ustaliły się po 3 minutach. Odczytano wynik pomiaru i zapisano go wraz jego niepewnością standardową w tabeli 10.2.14.

Tabela 10.2.14. Wynik pomiaru rezystancji skrośnej i jego niepewność standardowa

Rv(Ω)

u(Rv) (Ω) vRν

2,80×1013 0,10×1013 8

W tabeli 10.2.14 standardowa niepewność pomiaru rezystancji skrośnej jest nie-pewnością typu B obliczoną z zależności

31003

∆)( vgvvg

vRRR

Ruδ⋅

== ,

w której oznacza błąd graniczny przyrządu pomiarowego. vgR∆W powyższych obliczeniach niepewności pomiaru rezystywności uwzględniono tylko

błąd graniczny przyrządu pomiarowego. Inne czynniki, opisane w rozdziale 5, takie jak: • resztkowy, nie w pełni wyeliminowany ładunek elektryczny, • rezystancja interfaz elektroda–dielektryk i dielektryk–elektroda, • rezystancja izolacji bocznikująca wejście miernika prądu, • niekontrolowane upływnościowe prądy błądzące, • szumy i zakłócenia,

starano się zmniejszyć do wartości pomijalnie małych. Niemniej jednak z doświad-czenia wiadomo, że przy tak dużej mierzonej rezystancji udział tych niewyeliminowa-nych czynników może być znaczący. Niepewność niepewności pomiaru rezystywno-ści skrośnej oszacowano na ok. 25 %. Zatem liczba stopni swobody

vRν pomiaru rezystancji skrośnej obliczana ze wzoru (10.1.13) wynosi 8.

Tabela 10.2.15. Bilans niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B)

Mierzona wielkość Xj

jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

h 1,668×10–3 m –189 m–1 0,011×10–3 m 4,09×10–6 4 g 1,887×10–3 m 167 m–1 0,007×10–3 m 1,38×10–6 88 B 0,6042 ∑cj

2⋅u2(Xj) = 5,47×10–6 7 Niepewność standardowa złożona współczynnika B u(B) = 0,0024

Do obliczenia wartości rezystywności badanej próbki niezbędne są dane wejścio-we, które wstawia się do wzoru (10.2.2), a do obliczenia niepewności tej rezystywno-

196

ści – dane wejściowe, które wstawia się do wzorów (10.2.3) i (10.2.14). Dlatego naj-pierw obliczono wartości pośrednie, tj. współczynnik B (tabela 10.2.15) i efektywną powierzchnię elektrody pomiarowej A (tabela 10.2.16), a następnie mierzoną rezy-stywność skrośną (tabela 10.2.17).

Tabela 10.2.16. Bilans niepewności standardowej złożonej wyznaczenia efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A)

Mierzona wielkość Xj

jX cj u(Xj) cj2⋅u2(Xj) νj

d1 49,974×10–3 m 80,29×10–3 m 0,021×10–3 m 2,69×10–12 m4 51 g 1,887×10–3 m 48,52×10–3 m 0,007×10–3 m 0,12×10–12 m4 88 B 0,6042 1,52×10–4 m2 0,0024 0,14×10–12 m4 7 A 2,052×10–3 m2 ∑cj

2⋅u2(Xj) = 2,95×10–12 m4 111 Niepewność standardowa złożona efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A) = 0,002×10–3 m2

Tabela 10.2.17. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności skrośnej u(ρv)

Mierzona wielkość Xj jX cj U(Xj) cj

2⋅u2(Xj) νj

A 2,052×10–3 m2 1,68×1016 Ω/m 0,002×10–3 m2 0,2×1022 Ω2m2 111 h 1,668×10–6 m –2,07×1016 Ω 0,011×10–6 m 4,9×1022 Ω2m2 4 Rv 2,80×1013 Ω 1,23 m 0,1×1013 Ω 151,4×1022 Ω2m2 8 ∆ρvT 0 1 1,15×1012 Ωm 132,3×1022 Ω2m2 8 ∆ρvW 0 1 1,15×1012 Ωm 132,3×1022 Ω2m2 8 ρv 3,45×1013 Ωm ∑cj

2⋅u2(Xj) = 421,1×1022 Ω2m2 26 Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej uc (ρ v) = 0,21×1013 Ωm

Dla liczby stopni swobody 26=vρν i poziomu prawdopodobieństwa 95 % parametr

tp rozkładu t-Studenta wynosi 2,06. Dlatego bezwzględna niepewność rozszerzona po-miaru rezystywności skrośnej na poziomie ufności p = 0,95 ma wartość:

U(ρ v) = 2,06×0,21×1013 Ωm = 0,44×1013 Ωm,

a niepewność względna

%131001045,31044,0100)()( 13

13

=×××

=×=v

vvw

UUρρρ .

Zatem wynik pomiaru rezystywności skrośnej próbki nr 1 poliamidu można zapi-sać w postaci

. Ωm1310)5,05,3( ×±=sρ

197

10.3. Niepewność wyników pomiarów rezystywności skrośnej dla próbek płaskich z elektrodami okrągłymi

obliczana metodą uproszczoną

Jeżeli założymy, że w pomiarach rezystywności skrośnej większościowy udział mają niepewności typu B, to niepewność rozszerzoną na poziomie ufności p = 0,95 można obliczać na podstawie wzoru (10.1.19). Zatem wzór wyrażający niepewność rezystywności skrośnej przyjmuje postać:

)()()()()(15,1)( 22222222vWWvTTvRvhAv UcUcRUchUcAUcU ρρρ ∆∆ ++⋅+⋅+⋅= ,

(10.3.1)

gdzie poszczególne współczynniki wrażliwości są tymi samymi współczynnikami, które podano w podrozdziale 10.2.2, a więc:

hR

Ac vv

A =∂∂

=ρ ,

vv

h RhA

hc 2−=

∂∂

=ρ ,

hA

Rc

v

vRv =

∂∂

=ρ .

Niepewność efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej oblicza się ze wzoru

)()()()( 22221

221

BUcgUcdUcAU Bgd ⋅+⋅+⋅= , (10.3.2)

w którym poszczególne współczynniki wrażliwości są wyrażone zależnościami:

)(2π

11

1Bgd

dAcd +=

∂∂

= ,

)(2π

1 BgdBgAcg +=∂∂

= ,

)(2π

1 BgdgBAcB +=∂∂

= ,

1=Tc i 1=Wc .

Współczynnik B jest określony wzorem (4.2.5), zatem niepewność współczynnika B wynosi:

198

)()()( 2222 gUchUcBU gh ⋅+⋅= , (10.3.3)

gdzie poszczególne współczynniki wrażliwości określają zależności:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

=hg

hhg

ghBch 4

πtgh14πcoshln1

π4 ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

=hg

ghg

gh

gBcg 4

πtgh14πcoshln

π4

2 .

10.3.1. Niepewność pomiaru grubości próbki

Sposób pomiaru grubości próbki h opisano w podrozdziale 10.2.1 Niepewność rozsze-rzoną złożoną pomiaru h można obliczyć – na podstawie wzoru (10.1.16) – z wyrażenia:

hhUhU gA22 )()( ∆+= , (10.3.4)

gdzie:

)()( ;95,0 huthU AnA = (10.3.5)

jest niepewnością rozszerzoną typu A zależną od kwantylu t-Studenta t0,95;n, określo-nego na poziomie ufności p = 0,95 i uwarunkowanego liczbą pomiarów n oraz nie-pewnością standardowej wartości średniej grubości próbki )(huA obliczonej ze wzoru (10.2.18). ∆gh jest natomiast błędem granicznym przyrządu pomiarowego użytego do pomiaru grubości próbki.

10.3.2. Niepewność pomiaru średnicy elektrody pomiarowej

Sposób pomiaru średnicy elektrody pomiarowej d1 opisano w podrozdziale 10.2.2 Niepewność rozszerzoną złożoną pomiaru d1 można obliczyć – na podstawie wzoru (10.1.16) – z wyrażenia:

12

12

1 )()( ddUdU gA ∆+= , (10.3.6)

gdzie:

)()( 1;95,01 dutdU AnA = , (10.3.7)

jest niepewnością rozszerzoną typu A zależną od kwantylu t-Studenta t0,95; n, określo-nego na poziomie ufności p = 0,95 i uwarunkowanego liczbą pomiarów n oraz nie-

199

pewnością standardową wartości średniej średnicy elektrody pomiarowej )( 1duA obli-czoną ze wzoru (10.2.24). ∆gd1 jest natomiast błędem granicznym przyrządu pomia-rowego użytego do pomiaru średnicy.

10.3.3. Niepewność pomiaru szerokości szczeliny

Sposób pomiaru szerokości szczeliny g opisano w podrozdziale 10.2.3 Niepew-ność rozszerzoną złożoną pomiaru g można obliczyć – na podstawie wzoru (10.1.16) – z wyrażenia:

ggUgU gA22 )()( ∆+= , (10.3.8)

gdzie:

)()( ;95,0 gutgU AnA = (10.3.9)

jest niepewnością rozszerzoną typu A zależną od kwantylu t-Studenta t0,95;n, określo-nego na poziomie ufności p = 0,95 i uwarunkowanego liczbą pomiarów n oraz nie-pewnością standardową wartości średniej grubości próbki )(guA obliczoną ze wzoru (10.2.30). ∆gg jest natomiast błędem granicznym przyrządu pomiarowego zastosowa-nego do pomiaru szerokości szczeliny.

10.3.4. Niepewność pomiaru rezystancji skrośnej

Sposób pomiaru rezystancji skrośnej Rv opisano w podrozdziale 10.2.4 Niepew-ność rozszerzoną złożoną pomiaru Rv można obliczyć – na podstawie wzoru (10.1.16) – z wyrażenia:

vgvAv RRURU 22 )()( ∆+= , (10.3.10)

gdzie:

)()( ;95,0 RutRU AnA = (10.3.11)

jest niepewnością rozszerzoną typu A zależną od kwantylu t-Studenta t0,95;n, określo-nego na poziomie ufności p = 0,95 i uwarunkowanego liczbą pomiarów n oraz nie-pewnością standardową wartości średniej rezystancji skrośnej )( vA Ru obliczoną ze wzoru (10.2.36). ∆gRv jest natomiast błędem granicznym przyrządu pomiarowego zastosowanego do pomiaru rezystancji.

200

10.3.5. Niepewność poprawki temperaturowej rezystywności skrośnej

W rozdziale 10.2 wykazano, że do wzoru definiującego rezystywność skrośną należy wprowadzić poprawki uwzględniające zmiany rezystywności skrośnej spo-wodowane zmianami temperatury i wilgotności. Poprawkę temperaturową rezy-stywności skrośnej, która uwzględnia odchylenie ∆T temperatury próbki od tempe-ratury normalnej T = 23°, wyznacza się ze wzoru (10.2.43), a jej niepewność – z wyrażenia

)()()( 22 TUkUU TvvT ∆∆ +=ρ , (10.3.12)

gdzie: kTv – temperaturowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej, ∆T – różnica między temperaturą otoczenia w czasie pomiarów rezystywności

skrośnej a temperaturą, dla której określa się rezystywność skrośną, U(kTv) – niepewność temperaturowego współczynnika zmian rezystywności skro-

śnej, U(∆T ) – niepewność określenia różnicy temperatur. Jeżeli temperatura w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada

wymaganej wartości znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆ρvT = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności, gdyż prak-tycznie zawsze temperatura otoczenia w laboratorium ulega pewnym wahaniom. Znając wartość temperaturowego współczynnika kTv i wahania temperatury ∆T, można oszacować niepewność zerowej poprawki temperaturowej zmiany rezystyw-ności skrośnej ∆ρvT.

10.3.6. Niepewność poprawki wilgotnościowej rezystywności skrośnej

Poprawkę wilgotnościową zmiany rezystancji skrośnej, która uwzględnia odchyle-nie ∆W wilgotności powietrza otaczającego próbkę od wilgotności normalnej W = 50 %, wyznacza się ze wzoru (10.2.45), a jej niepewność – z wyrażenia

)()()( 22 WUkUU WvvW ∆∆ +=ρ , (10.3.13)

gdzie: kWv – wilgotnościowy współczynnik zmian rezystywności skrośnej, ∆W – różnica między wilgotnością względną otoczenia w czasie pomiarów re-

zystywności skrośnej a wilgotnością względną, dla której określa się rezystywność skrośną,

201

U(kWv) – niepewność wilgotnościowego współczynnika zmian rezystywności skrośnej,

U(∆W) – niepewność określenia różnicy wilgotności. Jeżeli wilgotność w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada

wymaganej wartości znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆ρvW = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności, gdyż praktycznie zawsze wilgotność powietrza w laboratorium ulega wahaniom. Znając wartość wilgotnościo-wego współczynnika kWv i wahania wilgotności ∆W, można oszacować niepewność zerowej poprawki wilgotnościowej zmian rezystywności skrośnej ∆ρvW.

10.3.7. Bilans niepewności pomiarów rezystywności skrośnej próbek płaskich

Jeżeli niepewność oblicza się metodą uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95, to z odpowiednich wzorów określa się niepewności rozszerzone pomiaru:

• średnicy elektrody pomiarowej U(d1), • szerokości szczeliny U(g), • grubości próbki U(h), • rezystancji skrośnej U(Rv), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej U(ρ vT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej U(ρ vW). Na ich podstawie można stworzyć bilans niepewności i wygodnie jest przedstawić

go tabelarycznie w sposób zaproponowany w tabelach 10.3.1, 10.3.2 i 10.3.3.

Tabela 10.3.1. Bilans niepewności rozszerzonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(B)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj) cj

2⋅U 2(Xj)

Grubość próbki h h (10.2.19)

ch(10.2.12)

U(h) (10.3.4) ch

2⋅U 2(h)

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg(10.2.13)

U(g) (10.3.8) cg

2⋅U 2(g)

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

B (4.2.5) Σcj

2⋅U 2(Xj)

Niepewność rozszerzona pomiaru współczynnika B ∑

=

⋅=n

jjj XUcBU

1

22 )()(

202

Tabela 10.3.2. Bilans niepewności rozszerzonej wyznaczenia efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(A)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

2jc ⋅U 2(Xj)

Średnica elektrody pomiarowej d1

1d (10.2.25)

cd1(10.2.8)

U(d1) (10.3.6)

21dc ⋅U 2(d1)

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg(10.2.9)

Uc(g) (10.3.8)

2gc ⋅U 2(g)

Współczynnik B B (4.2.5)

cB(10.2.10)

U(B) (10.3.3)

2Bc ⋅U 2(B)

Powierzchnia elektrody pomiarowej A

A (4.2.1) Σ ⋅U2

jc 2(Xj)

Niepewność rozszerzona pomiaru powierzchni elektrody pomiarowej A ∑

=

⋅=n

jjj XUcAU

1

22 )()(

Tabela 10.3.3. Bilans niepewności rozszerzonej wyznaczenia rezystywności skrośnej U(ρv)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćrozszerzona

U(Xj)

2jc ⋅U 2(Xj)

Powierzchnia elektrody pomiarowej A

A (4.2.1)

cA

(10.2.4) U(A)

(10.3.2) 2Ac ⋅U 2(A)

Grubość próbki g h

(4.2.7)

ch

(10.2.5) U(h)

(10.3.4) 2hc ⋅U 2(h)

Rezystancja skrośna RvvR

(10.2.37)

cRv

(10.2.6) U(Rv)

(10.3.10) 2Rvc ⋅U 2(Rv)

Poprawka temperaturowa vTρ∆ vTρ∆

(10.2.43) 1

U(ρvT) (10.3.12)

)(22vTT uc

vρρ ⋅

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆ vWρ∆

(10.2.45) 1

U(ρvW) (10.3.13)

( )vWW ucv

ρρ22 ⋅

Rezystywność skrośna ρvvρ

(10.2.2) Σcj

2⋅U2(Xj)

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności skrośnej na poziomie ufności p = 0,95 ∑

=

⋅=n

jjjv XUcU

1

22 )(15,1)(ρ

203

10.3.8. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej poliamidu

W tym przykładzie podano wyniki obliczeń niepewności pomiaru metodą uprosz-czoną dla tej samej próbki nr 1 poliamidu, dla której podano w podrozdziale 10.2.7 przedstawiono wyniki pomiarów geometrycznych i rezystancji skrośnej oraz obliczeń rezystywności skrośnej i niepewności pomiaru metodą klasyczną. Aby ułatwić obli-czenia niepewności, sporządzono ich bilans, który przedstawiono w tabelach 10.3.4, 10.3.5 i 10.3.6

Tabela 10.3.4. Bilans niepewności rozszerzonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(B)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj) cj

2⋅U 2(Xi)

Grubość próbki h 1,668×10–3 m –189 m–1 0,028×10–3 m 28,01×10–6

Szerokość szczeliny g 1,887×10–3 m 167 m–1 0,014×10–3 m 5,47×10–6

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

0,6042 Σcj2⋅U 2(Xj) = 33,48×10–6

Niepewność rozszerzona pomiaru współczynnika B )(BU = 0,0058

Tabela 10.3.5. Bilans niepewności rozszerzonej efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(A)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj) cj

2⋅U2(Xj)

Średnica elektrody pomiarowej d1

49,974×10–3 m 80,29×10–3 m 0,041×10–3 m 10,84×10–12 m4

Szerokość szczeliny g 1,887×10–3 m 48,52×10–3 m 0,014×10–3 m 0,47×10–12 m4

Współczynnik B 0,6042 1,515×10–4 m2 0,0058 0,78×10–12 m4

Powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,05×10–3 m2 Σcj

2⋅U 2(Xj) = 12,19×10–12 m4

Niepewność rozszerzona pomiaru powierzchni elektrody pomiarowej A )(AU = 0,004×10–3 m2

Obliczona metodą uproszczoną niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbki nr 1 poliamidu na poziomie ufności p = 0,95 ma taką samą wartość jak nie-pewność rozszerzona obliczona metodą klasyczną w podrozdziale 10.2.7, tj. U(ρ v) = 0,44×1013 Ωm. Zatem i w tym przypadku można zapisać wynik pomiaru re-zystywności skrośnej w postaci: ρ v = (3,5±0,5)×1013 Ωm.

204

Tabela 10.3.6. Bilans niepewności rozszerzonej rezystywności skrośnej U(ρ v)

Mierzona wielkość XjWartość

średnia jX

Współczynnikwrażliwości cj

Niepewność rozszerzona U(Xi)

cj2⋅U 2(Xi)

Powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,052×10–3 m2 1,68×1016 Ω/m 0,004×10–3 m2 0,5×1022 Ω2m2

Grubość próbki h 1,668×10–3 m –2,07×1021 Ω 0,028×10–3 m 33,6×1022 Ω2m2

Rezystancja skrośna R v 2,80×1013 Ω 1,23 m 0,2×1013 Ω 605,2×1022 Ω2m2

Poprawka temperaturowa vTρ∆ 0 1 2,0×1012 Ωm 400×1022 Ω2m2

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆ 0 1 2,0×1012 Ωm 400×1022 Ω2m2

Rezystywność skrośna ρ v 3,45×1013 Ωm Σcj2⋅U 2(Xj) = 1439,3×1032 Ω2m2

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności powierzchniowej na poziomie ufności p = 0,95

)( vU ρ = 0,44×1013 Ωm

10.4. Niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych obliczana metodą klasyczną

Rezystywność skrośną próbek cylindrycznych oblicza się ze wzoru (5.10.6), który po uzupełnieniu go o poprawki temperaturową ∆ρ vT i wilgotnościową ∆ρvW przyjmie postać:

vWvTvv

DD

BglR ρρρ ∆∆ln

)π(2

1

2

1 +++

= . (10.4.1)

Zatem niepewność standardową pomiaru rezystywności skrośnej próbek cylin-drycznych wyraża się wzorem:

)()()()()()()()()( 22222

21

222221

2222211 vWWvTTDDgBlvRv ucucDucDucgucBuclucRucu

vρρρ ∆∆ +++++++= ,

(10.4.2) w którym poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

1

2

1

ln

)π(2

DD

BglR

cv

vRv

+=

∂∂

=ρ , (10.4.3)

1

21 ln

π21

DDR

lc vv

l =∂∂

=ρ , (10.4.4)

205

1

2ln

2

DD

gRB

c vvB

π=

∂∂

=ρ , (10.4.5)

1

2ln

2

DDBR

gc vv

gπ

=∂∂

=ρ , (10.4.6)

2

1

21

1

1ln

)(21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

∂∂

=

DDD

BglRD

c vvD

πρ , (10.4.7)

2

1

22

1

2ln

)(22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

∂∂

=

DDD

BglRD

c vvD

πρ , (10.4.8)

1=Tc i 1=Wc .

Współczynnik B jest określony wzorem (4.2.5), a jego niepewność standardową złożoną oblicza się z zależności (10.2.11):

)()()( 2222 guchucBu gh ⋅+= .

Ponieważ grubość próbki

2

12 DDh −= , (10.4.9)

więc

4

)()()( 22

12

2 DuDuhu += . (10.4.10)

Poszczególne współczynniki wrażliwości w zależności (10.2.11) są określone wzorami (10.2.12) i (10.2.13):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

=hg

hhg

ghBch 4

πtgh14πcoshln1

π4 ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

=hg

ghg

gh

gBcg 4

πtgh14πcoshln

π4

2 .

Niepewność rozszerzoną pomiaru rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych oblicza się tak samo jak próbek płaskich ze wzoru (10.2.14):

206

)()( vpv ukU ρρ ⋅= .

Wartość współczynnika rozszerzenia kp należy przyjąć zgodnie z tymi samymi za-sadami, które podano dla pomiarów rezystywności skrośnej próbek płaskich w pod-rozdziale 10.2.

Jeżeli wyniki pomiarów rezystywności skrośnej oblicza się ze wzoru (5.2), w którym za efektywną powierzchnię A przyjęto wartość obliczoną z uproszczonego wzoru (5.10.7), to dodatkowo należy do nich dodać poprawkę uwzględniającą to uproszczenie. Wówczas wzór określający rezystywność próbki cylindrycznej przyjmie postać:

vuvWvTvv DDglDDR ρρρρ ∆∆∆π

+++−

++=

12

121 ))(( , (10.4.11)

gdzie: D1 – średnica wewnętrzna próbki, D2 – średnica zewnętrzna próbki, g – szerokość szczeliny, l1 – długość elektrody pomiarowej, ∆ρ vT – poprawka temperaturowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

temperatury próbki, ∆ρ vW – poprawka wilgotnościowa rezystywności skrośnej uwzględniająca zmianę

wilgotności otoczenia próbki, ∆ρ vu – poprawka rezystywności skrośnej próbki wynikająca z zastosowania do ob-

liczeń wzoru uproszczonego. Jej wartość określa się, odejmując od siebie wyniki obli-czeń rezystywności skrośnej otrzymane ze wzorów (5.10.6) i (5.2). Jeżeli tej poprawki się nie uwzględni, czyli przyjmie się ∆ρvu = 0, to nie można uznać jej niepewności za równą zeru. Wówczas cała wartość poprawki staje się jej niepewnością.

Niepewność standardową obliczenia rezystywności skrośnej ze wzoru (10.4.11) określa się następująco:

)()()()()()()()()()( 2222222222221

222

221

2221 vuuvWWvTTBvRgLDDv ucucucBucRucguclucDucDucu

vρρρρ ∆∆∆ ++++++++= .

(10.4.12)

Poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

12

121 )

DDDDgl

Rc

v

vRv −

++=

∂∂

= (πρ , (10.4.13)

212

21

1 )(2)(

1 DDDglR

DC v

vD −

+=∂∂

= πρ , (10.4.14)

207

212

11

2 )(2)(

DDDglR

D vv

−−

+=∂∂ πρ , (10.4.15)

12

12

DDDDR

gc v

vg −

+=

∂∂

= πρ , (10.4.16)

12

12

1

π1 DD

DDRl

c vv

l −+

=∂∂

=ρ

, (10.4.17)

1=Tc , 1=Wc i 1=uc .

10.4.1. Bilans niepewności standardowych

Podobnie jak w przypadku pomiarów rezystywności skrośnej próbek płaskich, wy-niki pomiarów poszczególnych składowych wielkości, które służą do obliczenia wyniku pomiaru rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych, zestawia się w tabelach. Na podstawie tych wyników oblicza się standardowe niepewności złożone pomiaru:

• długości elektrody pomiarowej u(l1), • szerokości szczeliny u(g), • wewnętrznej średnicy próbki u(D1), • zewnętrznej średnicy próbki u(D2), • rezystancji skrośnej u(Rv), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej u(∆ρvT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej u(∆ρvW).

Tabela 10.4.1. Bilans niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B)

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni swobody

νj

Grubość próbki h h (10.4. 9)

ch(10.2.12)

u(h) (10.4.10) ch

2⋅u2(h) νh(10.2.22)

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg(10.2.13)

u(g) (10.2.33) cg

2⋅u2(g) νg(10.2.34)

Współczynnik B B (4.2.5) Σcj

2⋅u2(Xi) νB

(10.2.17) Niepewność standardowa współczynnika B ∑

=

⋅=n

jjj XucBu

1

22 )()(

Uwaga: w tej tabeli i w następnych pod symbolami wielkości podano numery wzorów, z których ob-licza się te wielkości.

208

Gdy oblicza się rezystywność skrośną ze wzoru uproszczonego (10.4.11), należy wziąć pod uwagę jeszcze niepewność poprawki uwzględniającej uproszczenie u(ρvu).

Wygodnie jest zestawić te niepewności w zaproponowanych tabelach 10.4.1, 10.4.2, które ułatwiają obliczenia końcowej niepewności pomiaru rezystywności skrośnej.

Tabela 10.4.2. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności skrośnej u(ρv)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj) cj

2⋅u2(Xj) Liczba stopni

swobody νj

Długość elektrody pomiarowej l1

1l 1lc

(10.4.4) )()(

)(

112

1

lulu

lu

BA +=

= )( 122

1lucl ⋅ 1lν

(10.1.14)

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

B (4.2.5), tabela 10.4.1

cB

(10.4.5)

u(B) (10.2.11),

tabela 10.4.1 )(22 BucB ⋅

νB

(10.2.17), tabela 10.4.1

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg

(10.4.6) u(g)

(10.2.33) cg

2⋅u2(g) νg

(10.2.34) Średnica wewnętrzna próbki D1 1D 11Dc

(10.4.7) )()(

)(

12

12

1

DuDu

Du

BA +=

= )( 1

221

DucD ⋅ 1Dν

(10.1.14)

Średnica zewnętrzna próbki D2 2D 2Dc

(10.4.8) )()(

)(

22

22

2

DuDu

Du

BA +=

= )( 222

2DucD ⋅ 2Dν

(10.1.14)

Rezystancja skrośna Rv

vR

(10.4.1) cRv

(10.4.3) u(Rv)

(10.2.40) cRv

2⋅u2(Rv) vRν

(10.2.41) Poprawka temperaturowa vTρ∆

vTρ∆

(10.2.43) 1

u(∆ρvT) (10.2.44)

)(22vTT uc

vρρ ∆⋅

νT

(10.1.13)

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆

vWρ∆

(10.2.45) 1

u(∆ρvW) (10.2.46)

)(22vWW uc

vρρ ∆⋅

νW

(10.1.13)

Rezystywność skrośna ρv

vρ

(10.2.2) Σcj

2⋅u2(Xi) vρν

(10.1.11) Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej ∑

=

⋅=n

jjjv Xucu

1

22 )()(ρ

Niepewność rozszerzoną pomiaru rezystywności skrośnej oblicza się na podstawie

wzorów (10.1.9) i (10.1.10) z zależności (10.2.14):

)()( , vpv utUv

ρρρν= .

209

10.4.2. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej polietylenowej koszulki termokurczliwej

Trzy próbki polietylenowej koszulki termokurczliwej obkurczono na miedzianych drutach o średnicy ok. 2,65 mm. Miedziany drut ściśle przylegający do wnętrza ko-szulki wykorzystano jako elektrodę napięciową. Przed obkurczeniem w różnych miej-scach w obszarze elektrody pomiarowej zmierzono średnicę drutu, czyli wewnętrzną średnicę badanej próbki D1. Po obkurczeniu, również w obszarze elektrody pomiaro-wej, zmierzono średnicę zewnętrzną D2 próbki. Następnie na próbkę naniesiono elek-trodę pomiarową i pierścienie ochronne z przewodzącego srebrnego lakieru koloidal-nego. Gdy lakier wysechł, zmierzono długość elektrody pomiarowej l1 i szerokość szczeliny g. Następnie zwarto – przez elektrometr – elektrodę napięciową z pomiaro-wą, do której była przyłączona również elektroda ochronna, i rozładowano próbkę do pomijalnie małej wartości prądu deelektryzacji. Elektrometrem – miernikiem bardzo dużych rezystancji 6517A firmy Keithley przy napięciu 500 V – zmierzono rezystan-cję skrośną Rv, której wartość ustaliła się przed upływem 60 s od przyłożenia napięcia. Średnie wartości wyników pomiarów dla próbki nr 1 zestawiono w tabeli 10.4.3. Dla pozostałych dwóch próbek tok postępowania i pomiarów był identyczny.

Tabela 10.4.3. Zestawienie wyników pomiarów dla próbki nr 1

Mierzona wielkość

Xj

Liczba pomiarów

i

Wartość średnia

jX

Niepewnośćstandardowa

typu A uA(Xj)

Niepewnośćstandardowa

typu B uB(Xj)

Niepewność standardowa

złożona u(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

D1 8 2,655×10–3m 0,002×10–3m 0,018×10–3m 0,019×10–3m 57015

D2 10 3,653×10–3m 0,003×10–3m 0,018×10–3m 0,019×10–3m 14480 l1 6 50,000×10–3m 0,009×10–3m 0,018×10–3m 0,020×10–3m 121 g 6 1,000×10–3m 0,006×10–3m 0,018×10–3m 0,019×10–3m 502 Rv 1 2,690×1011Ω – 0,006×1011Ω 0,006×1011Ω ∞

Aby obliczyć niepewność pomiaru rezystywności skrośnej próbki nr 1, dokonano bilansu niepewności, który przedstawiono w tabelach 10.4.4 i 10.4.5.

Tabela 10.4.4. Bilans niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B) dla próbki nr 1

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopniswobody

νj

Grubość próbki h 0,499×10–3m –664,0 m–1 0,014×10–3m 86,41×10–6 54462 Szerokość szczeliny g 1,000×10–3m 331,4 m–1 0,019×10–3m 39,65×10–6 502 Współczynnik B 413,7×10–3 Σcj

2⋅u2(Xi) = 126,06×10–6 4988 Niepewność standardowa współczynnika B )(Bu = 11,3×10–3

210

Tabela 10.4.5. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności skrośnej u(ρv) dla próbki nr 1

Mierzona wielkość Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczbastopni

swobodyνj

Długość elektrody pomiarowej l1

50,000×10–3 m 5,297×1012 Ω 0,002×10–3 m 1,12×1016 Ω2m2 121

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

413,7×10–3 5,297×109 Ωm 11,3×10–3 m 0,36×1016 Ω2m2 4988

Szerokość szczeliny g 1,00×10–3 m 2,191×1012 Ω 0,019×10–3 m 0,18×1016 Ω2m2 502 Średnica wewnętrzna próbki D1

2,655×10–3 m 1,006×1014 Ω 0,019×10–3 m 365,16×1016 Ω2m2 57015

Średnica zewnętrzna próbki D2

3,653×10–3 m 7,310×1013 Ω 0,019×10–3 m 192,89×1016 Ω2m2 14480

Rezystancja skrośna Rv

2,690×1011 Ω 0,993 m 0,006×1011 Ω 35,48×1016 Ω2m2 ∞

Poprawka temperaturowa vTρ∆ 0 1 0,012×1011 Ωm 144,00×1016 Ω2m2 8*

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆ 0 1 0,008×1011 Ωm 64,00×1016 Ω2m2 8*

Rezystywność skrośna ρv

2,670×1011 Ωm Σcj2⋅u2(Xi) = 803,19×1016 Ω2m2 227

Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej =)( vu ρ 0,029×1011 Ωm

* Przyjęto, że niepewność niepewności poprawek temperaturowej i wilgotnościowej wynosi 25 %

Dla liczby stopni swobody 227=vρν i poziomu prawdopodobieństwa 95 % para-

metr rozkładu t-Studenta = 2. Zatem bezwzględna niepewność rozszerzona po-

miaru rezystywności skrośnej polietylenowej koszulki termokurczliwej wynosi: vpt

ρν,

U(ρv) = 2×0,029×1011 Ωm = 0,058×1011 Ωm,

a niepewność względna rozszerzona pomiaru rezystywności skrośnej

Uw(ρv) = 2,2 %.

Wynik pomiaru rezystywności skrośnej dla próbki nr 1 można zapisać w postaci:

ρv = (2,67 ± 0,06)×1011 Ωm.

211

10.5. Niepewność pomiarów rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych

obliczana metodą uproszczoną

Jeżeli w pomiarach rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych, podobnie jak w pomiarach rezystywności skrośnej próbek płaskich większościowy udział mają niepewności typu B, to niepewność rozszerzoną na poziomie ufności p = 0,95 można obliczyć na podstawie wzoru (10.1.19). Zatem wzór określający niepewność rezy-stywności skrośnej przyjmuje postać:

)()()()()()()()(15,1)( 22222

21

222221

2222211 vWWvTTDDgBlvRv UcUcDUcDUcgUcBUclUcRUcU

vρ∆ρ∆ρ +++++++= ,

(10.4.2)

gdzie poszczególne współczynniki wrażliwości są określone przez te same zależności, z jakimi mamy do czynienia obliczając niepewność standardową ze wzoru (10.4.2), a więc oblicza się je z zależności (10.4.3)–(10.4.10). Niepewności całkowite poszcze-gólnych pomiarów wielkości wejściowych oblicza się w analogiczny sposób, jak podano w podrozdziale 10.3 dla próbek płaskich.

10.5.1. Bilans niepewności

Jeżeli niepewność oblicza się metodą uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95, to korzystając z odpowiednich wzorów, określa się następujące niepewności rozsze-rzone pomiaru:

• długości elektrody pomiarowej U(l1), • szerokości szczeliny U(g), • średnicy wewnętrznej próbki U(D1), • średnicy zewnętrznej próbki U(D2), • rezystancji skrośnej U(Rv), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej U(∆ρvT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej U(∆ρvW). Obliczając rezystywność skrośną ze wzoru uproszczonego (10.4.11), należy jesz-

cze wziąć pod uwagę niepewność poprawki uwzględniającej uproszczenie tego wzoru U(∆ρvu). Na tej podstawie można stworzyć bilans niepewności i wygodnie jest przed-stawić go w sposób zaproponowany w tabelach 10.5.1 i 10.5.2.

212

Tabela 10.5.1. Bilans niepewności rozszerzonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektro-dy pomiarowej U(B)

Mierzona wielkość

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona U(Xj)

cj

2⋅U2(Xj)

Grubość próbki h h (10.4. 9)

ch(10.2.12)

)()(21)( 2

21

2 DUDUhU += ch2⋅U2(h)

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg (10.2.13)

U(g) (10.3.8) cg

2⋅U2(g)

Współczynnik B B (4.2.5) Σcj

2⋅U2(Xi)

Niepewność rozszerzona pomiaru współczynnika B ∑=

⋅=n

jjj XUcBU

1

22 )()(

Uwaga: w tej tabeli i w następnej pod symbolami wielkości podano numery wzorów, z których obli-cza się te wielkości.

Tabela 10.5.2. Bilans niepewności rozszerzonej rezystywności skrośnej U(ρv)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona U(Xj)

cj

2⋅U2(Xj)

Długość elektrody pomiarowej l1

1l

1lc

(10.4.4) )()()( 11

21 lUlUlU BA += )( 1

221

lUcl ⋅

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

B (4.2.5),

tabela 10.4.1

cB(10.4.5)

U(B) (10.3.3),

tabela 10.5.1 )(22 BUcB ⋅

Szerokość szczeliny g g (10.2.31)

cg(10.4.6)

U(g) (10.3.8) cg

2⋅U2(g)

Średnica wewnętrzna próbki D1 1D 11

(10.4.7) Dc

)()()( 12

12

1 DUDUDU BA += )( 122

1DUcD ⋅

Średnica zewnętrzna próbki D2 2D 2

(10.4.8) Dc

)()()( 22

22

2 DUDUDU BA += )( 222

2DUcD ⋅

Rezystancja skrośna RvvR

(10.4.1) cRv

(10.4.3) U(Rv)

(10.3.10) cRv2⋅U2(Rv)

Poprawka temperaturowa vTρ∆

vTρ∆ (10.2.43)

1 U(∆ρvT) (10.3.12)

)(22vTT Uc

vρρ ⋅

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆

vWρ∆ (10.2.45)

1 u(∆ρvW) (10.3.13)

)(22vWW Uc

vρρ ⋅

Rezystywność skrośna ρv

vρ (10.2.2)

Σcj2⋅U2(Xi)

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności skrośnej na poziomie ufności p = 0,95 ∑

=

⋅=n

jjjv XUcU

1

22 )(15,1)(ρ

213

10.5.2. Przykład: pomiary rezystywności skrośnej polietylenowej koszulki termokurczliwej

Aby obliczyć niepewność rozszerzoną pomiarów rezystywności skrośnej próbek cylindrycznych metodą uproszczoną na poziomie ufności 0,95, wykorzystano pomiary polietylenowych koszulek termokurczliwych podane w podrozdziale 10.4.2. W tabeli 10.5.3 powtórzono te wyniki, ale z ich niepewnościami rozszerzonymi.

Tabela 10.5.3. Zestawienie wyników pomiarów dla próbki nr 1

Mierzona wielkość

Xj

Liczba pomiarów

i

Wartość średnia

jX

Niepewność typu A UA(Xj)

Błąd graniczny ∆gXj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

D1 8 2,655×10–3m 0,005×10–3m 0,030×10–3m 0,030×10–3m D2 10 3,653×10–3m 0,007×10–3m 0,030×10–3m 0,031×10–3m l1 6 50,000×10–3m 0,024×10–3m 0,030×10–3m 0,039×10–3m g 6 1,000×10–3m 0,016×10–3m 0,030×10–3m 0,034×10–3m Rv 1 2,690×1011Ω – 0,011×1011Ω 0,011×1011Ω

Aby ułatwić obliczenia niepewności rozszerzonej rezystywności skrośnej termo-kurczliwych koszulek polietylenowych, w tabelach 10.5.4 i 10.5.5 sporządzono bilans niepewności.

Tabela 10.5.4. Bilans niepewności rozszerzonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(B)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅U2(Xj)

Grubość próbki h 0,499×10–3 m –664,0 m–1 0,022×10–3 m 213,38×10–6

Szerokość szczeliny g 1,000×10–3 m 331,4 m–1 0,034×10–3 m 126,96×10–6

Współczynnik B 413,7×10–3 Σcj2⋅U2(Xi) = 340,34×10–6

Niepewność rozszerzona pomiaru współczynnika B U(B) = 18,5×10–3

Obliczona metodą uproszczoną niepewność rozszerzona U(ρv) = 0,054×1011 Ωm, a względna niepewność rozszerzona Uw(ρv) = 2,1 %. Wartość tej niepewności jest mniejsza tylko o 0,1 % od wartości niepewności obliczonej metodą klasyczną. Zatem mieści się w granicach dopuszczalnych niedokładności obliczeń. Również zapis wy-niku pomiaru rezystywności skrośnej jest taki sam jak w metodzie klasycznej:

ρv = (2,67 ± 0,06)×1011 Ωm.

214

Tabela 10.5.5. Bilans niepewności rozszerzonej rezystywności skrośnej U(ρ v)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność standardowa

U(Xj)

cj

2⋅U 2(Xj)

Długość elektrody pomiarowej l1

50,000×10–3 m 5,297×1012 Ω 0,039×10–3 m 4,27×1016 Ω2m2

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

413,7×10–3 m 5,297×109 Ωm 18,5×10–3 m 0,96×1016 Ω2m2

Szerokość szczeliny g 1,000×10–3 m 2,191×1012 Ω 0,034×10–3 m 0,56×1016 Ω2m2

Średnica wewnętrzna próbki D1

2,655×10–3 m 1,006×1014 Ω 0,030×10–3 m 910,36×1016 Ω2m2

Średnica zewnętrzna próbki D2

3,653×10–3 m 0,731×1014 Ω 0,031×10–3 m 513,48×1016 Ω2m2

Rezystancja skrośna Rv 2,690×1011 Ω 0,993 m 0,011×1011 m 119,23×1016 Ω2m2

Poprawka temperaturowa vTρ∆ 0 1 0,021×1011 Ωm 441,00×1016 Ω2m2

Poprawka wilgotnościowa vWρ∆ 0 1 0,014×1011 Ωm 196,00×1016 Ω2m2

Rezystywność skrośna ρ v

2,670×1011 Ωm Σcj2⋅U 2(Xi) = 2185,86×1016 Ω2m2

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności skrośnej na poziomie ufności p = 0,95 =)( vU ρ 0,054×1011 Ωm

10.6. Niepewność pomiarów rezystywności powierzchniowej próbek płaskich z koncentrycznymi elektrodami

pierścieniowymi obliczana metodą klasyczną

Sposób pomiarów rezystywności powierzchniowej i czynniki wpływające na niepewność ich wyników opisano w rozdziale 6. Do pomiarów rezystywności po-wierzchniowej stosuje się różne rodzaje elektrod opisanych w rozdziale 4. W prak-tyce najczęściej pomiary rezystywności powierzchniowej wykonuje się, używając koncentrycznych elektrod pierścieniowych. Rezystywność powierzchniową zmie-nioną przy użyciu tych elektrod powinno się obliczać ze wzoru (6.2.7). Wzór ten należy jednak uzupełnić o poprawki temperaturową i wilgotnościową uwzględniają-ce wpływ temperatury próbki i wilgotności otoczenia na wyniki pomiarów rezy-stywności powierzchniowej. Szczególną uwagę trzeba zwrócić na wilgotność powie-rza, gdyż może mieć ona decydujący wpływ na wynik pomiaru. Zatem wzór (6.2.7) przyjmie postać:

215

sWsTss

ddR ρρρ ∆∆π

++=

1

2ln

2 , (10.6.1)

w którym: Rs – rezystancja powierzchniowa, d1 – średnica zewnętrzna elektrody pomiarowej, d2 – średnica wewnętrzna pierścieniowej elektrody napięciowej. ∆ρsT – poprawka temperaturowa rezystancji powierzchniowej uwzględniająca

zmianę temperatury próbki w porównaniu z temperaturą normalną, ∆ρsW – poprawka wilgotnościowa rezystancji powierzchniowej uwzględniająca

zmianę wilgotności otoczenia próbki w porównaniu z wilgotnością normalną. Niepewność standardową wyniku pomiaru rezystywności powierzchniowej oblicza

się na podstawie wzoru (10.1.6) z zależności:

)()()()()()( 22222

221

222221 sWWsTTddsRs UcUcducducRucu

sρρρ ∆∆ ++++= (10.6.2)

w której poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

=

1

2ln

2π

ddR

cs

sRs

ρ , (10.6.3)

2

1

21

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

=

ddd

Rd

c ssd

ln

2πρ , (10.6.4)

2

1

22

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

=

ddd

Rd

c ssd

ln

π2ρ , (10.6.5)

1=Tc i 1=Wc .

Rezystywność powierzchniową można również obliczyć ze wzoru (6.1), w którym efektywną długość l1 określa się z uproszczonego wzoru (6.2.8). Wówczas do popra-wek temperaturowej i wilgotnościowej należy również dodać poprawkę ∆ρsu uwzględniającą uproszczenie zależności, z której oblicza się rezystywność powierzch-niową. Wtedy wzór (6.1) przyjmie postać:

216

susWsTss Rg

gd ρρρρ ∆∆∆π+++

+=

)( 1 , (10.6.6)

gdzie g jest szerokością szczeliny ).(21 12 ddg −= Zatem na podstawie wzoru (10.6.6) niepewność standardową wyniku pomiaru re-

zystywności powierzchniowej można obliczyć z wyrażenia:

)()()()()()()( 22222222221

221 suusWWsTTsRgds ucucucRucgucducu

sρρρρ ∆∆∆ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ,

(10.6.7)

w którym poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

)(π1c

11

duRgd

c ss

d =∂∂

=ρ , (10.6.8)

ss

g Rgugd

gc )(2

1c

π=

∂∂

=ρ , (10.6.9)

)()(πc

1s

s

sR Ru

ggd

Rc

s

+=

∂∂

=ρ , (10.6.10)

1=Tc , 1=Wc i 1=uc .

10.6.1. Bilans niepewności standardowych

Podobnie jak w przypadku pomiarów rezystywności skrośnej, wyniki pomiarów poszczególnych składowych wielkości potrzebnych do obliczenia wyniku pomiaru rezystywności powierzchniowej wygodnie jest zestawić w tabelach. Na podstawie tych wyników oblicza się standardowe niepewności złożone. W przypadku zastoso-wania koncentrycznych elektrod okrągłych są to niepewności:

• średnicy elektrody pomiarowej u(d1), • średnicy wewnętrznej pierścieniowej elektrody napięciowej u(d2), • rezystancji powierzchniowej u(Rs), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej u(∆ρ sT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej u(∆ρ sW). Gdy oblicza się rezystywność powierzchniową ze wzoru uproszczonego (10.6.6),

należy wziąć jeszcze pod uwagę niepewność poprawki uwzględniającej uproszczenie u(∆ρ su).

Wygodnie jest przedstawić bilans tych niepewności w tabeli (tabela 10.6.1), która ułatwia obliczenia końcowej niepewności pomiaru rezystywności powierzchniowej.

217

Tabela 10.6.1. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności powierzchniowej u(ρs)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Średnica elektrody pomiarowej d1 1d 12

(10.6.4) dc ( )1du

(10.2.27) )( 1

221

ducd 1dν

(10.1.14) Średnica wewnętrzna elektrody napięciowej d2 gdd 212 += 1

(10.6.5) dc

)(4)(

)(2

12

2

gudu

du

+=

=)( 2

222

ducd 1dν

(10.1.14)

Rezystancja powierzchniowa Rs

sR scρ

(10.6.3) u(Rs) analogicznie

do (10.2.40) )(22

sR Rucs

sRν

(10.1.13) Poprawka temperaturowa sTρ∆ sTρ∆ 1 u(∆ρ sT) analogicznie

do (10.2.44) )(22

sTT ucs

ρρ ∆ νT(10.1.13)

Poprawka wilgotnościowa sWρ∆ sWρ∆ 1 u(∆ρ sW) analogicznie

do (10.2.46) )(22

sWW ucs

ρρ ∆

νW

(10.1.13)

Rezystywność po-wierzchniowa ρs

sρ Σcj2u2(Xi) vρν

(10.1.11)

Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności powierzchniowej ∑

=

=n

jjjv Xucu

1

22 )()( ρ

Uwaga: w tej tabeli pod symbolami wielkości podano numery wzorów, z których oblicza się te wiel-kości.

Niepewność rozszerzoną (całkowitą) pomiaru rezystywności powierzchniowej ob-licza się, na podstawie wzorów (10.1.9) i (10.1.10), z zależności (10.2.14):

)()( , vpv utuv

ρρρν= .

10.6.2. Przykład: rezystywność powierzchniowa PTFE

W podrozdziale 10.2.6 przedstawiono przykładowe wyniki pomiarów rezystywności skrośnej politetrafluoroetylenu (PTFE) dla próbki nr 1 i wyniki obliczeń niepewności tych pomiarów. Tutaj dla tej samej próbki PTFE zaprezentowano wyniki pomiarów rezystyw-ności powierzchniowej. Wyniki pomiarów geometrycznych znajdują się więc w podroz-dziale 10.2.6. Pomiary rezystywności powierzchniowej wykonywano zgodnie z tą samą procedurą, którą stosowano do rezystywności skrośnej, przy czym napięcie pomiarowe wynosiło 100 V. Rezystancję powierzchniową mierzono w funkcji czasu przez pomiary prądów powierzchniowych w czasie 1 godziny. Charakterystyki te wyznaczono trzykrot-nie dla każdej próbki. Obliczenia rezystancji powierzchniowej wykonano dla średniej charakterystyki, a wyniki zaprezentowano na na rysunku 10.6.1. Na tym samym rysunku pokazano charakterystykę czasową rezystywności powierzchniowej.

218

0 600 1200 1800 2400 3000 36001015

1016

1017

1017

1018

1019

Rs , Ω

t , s

Rs

ρs

ρs , Ω

a)

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 1303.0x1015

3.5x1015

4.0x1015

4.5x1015

5.0x1015

5.5x1015

6.0x1015

2.5x1017

3.0x1017

3.5x1017

4.0x1017

4.5x1017

5.0x1017

5.5x1017

ρs

Rs , Ω

t , s

Rs

ρs , Ω

b)

Rys. 10.6.1. Charakterystyki czasowe rezystancji i rezystywności powierzchniowej próbki PTFE. Na rysunku b) pokazano początkowy zakres tych charakterystyk w powiększeniu

Normy wymagają, aby podawać rezystywność powierzchniową po 60 s od przyło-żenia napięcia do próbki bez względu na czas ustalenia się wartości rezystywności. Dla-

219

tego w tabeli 10.6.1 obliczono powierzchniową rezystywność nieustaloną po czasie polaryzacji 60 s i dla tych warunków przedstawiono bilans niepewności. W bilansie tym, obliczając niepewność rezystancji powierzchniowej, uwzględniono niepewność związaną z niepewnością pomiaru czasu ∆Rt. Wprowadzono niepewności zerowych poprawek dla wahań temperatury próbki i wilgotności otoczenia, w których próbki były kondycjonowane, a następnie mierzone. Wilgotność powietrza ma duży wpływ na rezy-stywność powierzchniową, a zatem i na jej niepewność pomiaru. Na niepewność pomia-rów wpływa również resztkowy ładunek elektrostatyczny, który znajdował się na po-wierzchni próbki przed przyłożeniem napięcia. Jego wartość trudno oszacować. Przyjęto więc, że niepewność obliczeniowej niepewności rezystancji wynosi 50 %. Dla tak okre-ślonej niepewności, zgodnie ze wzorem (10.1.13), liczba stopni swobody wynosi 2. Podobne założenie zrobiono dla wpływu temperatury i wilgotności. Stąd liczba stopni swobody dla niepewności poprawek temperaturowej i wilgotnościowej wynosi 2.

W tabeli 10.6.2 zestawiono wyniki pomiarów wartości średnich prądów powierzch-niowych Is i obliczeń ich niepewności dla każdej z 3 charakterystyk próbki nr 1. Obli-czenia wartości średnich wykonano dla serii składających się z 5 pomiarów w czasie 5 s.

Tabela 10.6.2. Wyniki pomiarów rezystancji powierzchniowej Rs dla trzech serii pomiarów przy napięciu 100 V po czasie t = 60 sekund i obliczeń ich niepewności standardowej

Is )( sA Iu )( sB Iu )( vIu sR u(∆Rst) )( sRu w wsR )( wsRuSeria pomiarów 10–14 A 10–14 A 10–14 A 10–14 A 1015 Ω 1015 Ω 1015 Ω – 1015 Ω 1015 Ω

1 2,672 0,067 0,189 0,200 3,743 0,393 0,483 1,69 2 1,907 0,052 0,184 0,191 5,244 0,342 0,628 1 3 2,102 0,010 0,185 0,186 4,757 0,119 0,437 2,06

4,499 0,288

W tabeli 10.6.2: • Wartość średnią prądu powierzchniowego każdej serii pomiarów obliczono ze wzoru

n

II

n

isi

s

∑== 1 ,

w którym Isi są wynikami poszczególnych pomiarów w serii, a n liczbą pomiarów w serii. • Niepewność standardową typu A wartości średniej prądu powierzchniowego se-

rii obliczono z wyrażenia

)1(

)()( 1

2

−

−=

∑=

nn

IIIu

n

issi

sA .

• Niepewność standardową typu B wartości średniej prądu powierzchniowego serii obliczono z zależności

220

3)(

sgsB

IIu

∆= ,

gdzie sg I∆ jest błędem granicznym przyrządu pomiarowego prądu Is. Dla poszczegól-

nych serii pomiarów błąd ten wynosi: seria 1: sg I∆ = 0,327×10–14 A, seria 2: sg I∆ =

0,319×10–14 A, seria 3: sg I∆ = 0,321×10–14 A. • Złożoną niepewność standardową pomiaru prądu powierzchniowego próbki obli-

czono ze wzoru

)()()( 22SBsAs IuIuIu += .

• Średnią rezystancję powierzchniową serii pomiarów obliczono ze wzoru

sts

s RIUR ∆+=

dla U = 100 V; ∆Rst jest poprawką uwzględniającą opóźnienie czasu pomiaru, zwykle równą zeru.

• Złożoną niepewność standardową rezystancji powierzchniowej serii pomiarów obliczono ze wzoru

)()()()( 222222sttsIUs RucIucUucRu ∆++= ,

w którym:

IcU

1= , 2I

UcI −= , 3

)()(U

UuUu gB

∆== , błąd graniczny pomiaru napięcia ∆gU =

0,092 V, a ct = 1, u(∆Rst) – niepewność zerowej poprawki wartości rezystancji w chwili t = 60 s

spowodowana niepewnością zerowej poprawki czasu u(∆t): )(tg)( tuRu st ∆∆ ⋅= α , gdzie tgα jest tangensem nachylenia charakterystyki Rs = f(t) w chwili t = 60 s.

• Wagi w poszczególnych serii pomiarów obliczono ze wzoru (10.1.26), zakłada-jąc, że w drugiej serii w2 = 1.

• Wartości średniej ważonej rezystancji wsR obliczono ze wzoru (10.1.27).

• Niepewność średniej ważonej )( wsRu obliczono ze wzoru (10.1.29). Dla wypadkowej liczby stopni swobody 4 i poziomu ufności 0,95 kwantyl rozkła-

du t-Studenta = 2,78. Dlatego bezwzględna niepewność rozszerzona pomiaru

rezystywności powierzchniowej wynosi spt

ρν,

)()( , sps utUs

ρρρν= = 2,78 × 0,30×1017 Ω = 0,84 × 1017 Ω,

221

a względna niepewność rozszerzona – Uw(ρ s) = 23 %. Jak na pomiary rezystywności powierzchniowej, i to materiału o najwyższej jej wartości, jest to bardzo mała niepewność. Wynik pomiarów tej rezystywności można zapisać w postaci: ρs = (3,6 ± 0,9) × 1017 Ω.

Tabela 10.6.3. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności powierzchniowej u(ρ s)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczbastopni

swobodyνj

Średnica elektrody pomiarowej d1

49,72×10–3 m 9,390×1019 Ωm–1 0,022×10–3 m 3,80×1030 Ω2 34

Średnica wewnętrzna elektrody napięciowej d2

53,75×10–3 m 8,687×1019 Ωm–1 0,031×10–3 m 7,35×1030 Ω2 28

Rezystancja powierzchniowa Rs

4,499×1015 Ω 80,75 0,288×1015 Ω 540,85×1030 Ω2 2

Poprawka temperaturowa sTρ∆ 0 1 3,706×1015 Ω 13,73×1030 Ω2 2

Poprawka wilgotnościowa sWρ∆ 0 1 18,16×1015 Ω 329,97×1030 Ω2 2

Rezystywność powierzchniowa ρs

3,633×1017 Ω Σcj2u2(Xi) = 896,16×1030 Ω2 4

Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności powierzchniowej 0,300×1017 Ω

10.6.3. Przykład: rezystywność powierzchniowa poliamidu

W podrozdziale 10.2.7 przedstawiono wyniki pomiarów i obliczeń niepewności standardowej modyfikowanego poliamidu 6. Tam też opisano właściwości tego mate-riału. Tutaj w tabeli 10.6.4 przedstawiono dla tej samej próbki nr 1 wynik pomiaru rezystancji powierzchniowej i obliczeń niepewności standardowej, a następnie nie-pewności rozszerzonej na poziomie ufności 0,95. Rezystancję powierzchniową zmie-rzono po czasie 60 s od przyłożenia napięcia do próbki. Była to już wartość ustalona rezystancji i niepewność pomiaru czasu nie miała wpływu na wynik pomiaru. Ponie-waż pomiary wykonano w normalnych warunkach otoczenia 23/50 klasy 2 (tempera-tura 23 °C ± 2 °C, wilgotność powietrza 50 % ± 10 %), poprawki temperaturowa i wilgotnościowa wynoszą zero. Rezystywność powierzchniowa poliamidu zależy od temperatury, ale szczególnie duży wpływ ma na nią wilgotność powietrza. Dlatego oszacowano przewidywane graniczne wartości tych zmian i obliczono odpowiadające im niepewności standardowe zerowych poprawek temperaturowej i wilgotnościowej. Dla ułatwienia obliczeń w tabeli 10.6.4 przedstawiono bilans niepewności.

222

Dla wypadkowej liczby stopni swobody 30 i poziomu ufności p = 0,95 kwantyl rozkładu t-Studenta = 2,04. Dlatego bezwzględna niepewność rozszerzona po-

miaru rezystywności powierzchniowej wynosi spt

ρν,

( ) ( )sps utUs

ρρρν,= = 2,04×0,57×1015 Ω = 1,17×1015 Ω,

a względna niepewność rozszerzona – Uw(ρ s) = 25 %. Wynik pomiarów tej rezystyw-ności można zapisać w postaci: ρ s = (4,7 ± 1,2) ×1017 Ω.

Tabela 10.6.4. Bilans niepewności standardowej złożonej rezystywności powierzchniowej u(ρ s)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Średnica elektrody pomiarowej d1

49,97×10–3 m 1,30×1018 Ωm–1 0,03×10–3 m 16×1026 Ω2 224

Średnica wewnętrzna elektrody napięciowej d2

53,75×10–3 m 1,21×1018 Ωm–1 0,05×10–3 m 37×1026 Ω2 292

Rezystancja powierzchniowa Rs

5,50×1013 Ω 86,20 0,4×1013 Ω 1188×1026 Ω2 ∞

Poprawka temperaturowa sTρ∆ 0 1 0,173×1015 Ω 300×1026 Ω2 8

Poprawka wilgotnościowa sWρ∆ 0 1 0,405×1015 Ω 1641×1030 Ω2 8

Rezystywność powierzchniowa ρs

4,74×1015 Ω Σcj2u2(Xi) = 3182×1030 Ω2 30

Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności powierzchniowej 0,57×1015 Ω

10.7. Niepewność pomiarów rezystywności powierzchniowej płaskich próbek z koncentrycznymi elektrodami pierścieniowymi obliczana metodą uproszczoną

Jeżeli w pomiarach rezystywności powierzchniowej, podobnie jak podczas pomia-rów rezystywności skrośnej, większościowy udział mają niepewności typu B, to nie-pewność całkowitą (rozszerzoną na poziomie ufności p = 0,95) można obliczać na podstawie wzoru (10.1.19). Zatem wzór określający niepewność rozszerzoną rezy-stywności skrośnej przyjmuje postać:

)()()()()(15,1)( 22222

221

222221 sWWsTTddsRs UcUcdUcdUcRUcU

sρρρ ∆∆ ++++= ,

(10.7.1)

223

w której poszczególne współczynniki wrażliwości są tymi samymi współczynnikami co i w równaniu (10.6.2), a więc określają je zależności (10.6.3)–(10.6.5). Również cT = 1 i cW = 1.

Niepewności poszczególnych pomiarów wielkości wejściowych oblicza się w taki sam sposób, jak podano w podrozdziale 10.3 dla pomiarów rezystywności skrośnej próbek płaskich.

10.7.1. Bilans niepewności

Jeżeli niepewność oblicza się metodą uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95, to z odpowiednich wzorów można obliczyć niepewności rozszerzone pomiaru:

• średnicy elektrody pomiarowej U(d1), • średnicy wewnętrznej pierścieniowej elektrody napięciowej U(d2), • rezystancji powierzchniowej U(Rs), • poprawki temperaturowej zmiany rezystywności skrośnej U(∆ρsT), • poprawki wilgotnościowej zmiany rezystywności skrośnej U(∆ρsW).

Tabela 10.7.1. Bilans niepewności rezystywności powierzchniowej U(ρ s)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅U 2(Xj)

Średnica elektrody pomiarowej d1 1d 1dc

(10.6.4)

)( 1dU

(10.3.6) )( 1

221

dUcd

Średnica wewnętrzna elektrody napięciowej d2

gdd 212 += 2dc

(10.6.5) )(4)()( 2

12

2 gUdUdU += )( 222

2dUcd

Rezystancja powierzchniowa Rs

sR sRc

(10.6.3) u(Rs) analogicznie

do (10.2.40) )(22

sR RUcs

Poprawka temperaturowa sTρ∆ sTρ∆ 1 U(∆ρ sT) analogicznie

do (10.3.12) )∆(22

sTTUcs

ρρ

Poprawka wilgotnościowa sWρ∆ sWρ∆ 1 U(∆ρ sW) analogicznie

do (10.3.13) )∆(22

sWWUcs

ρρ

Rezystywność powierzchniowa ρs

sρ Σcj2U 2(Xj)

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności powierzchniowej na poziomie ufności p = 0,95 ∑

=

=n

jjjv XUcU

1

22 )(15,1)( ρ

224

A gdy oblicza się rezystywność powierzchniową ze wzoru uproszczonego (10.6.6), należy jeszcze wziąć pod uwagę niepewność poprawki uwzględniającej uproszczenie U(ρ su). Na ich podstawie można stworzyć bilans niepewności i wygodnie jest przed-stawić go w sposób pokazany w tabeli 10.7.1.

10.7.2. Przykład: rezystywność powierzchniowa poliamidu

Na podstawie tych samych danych, które podano w przykładzie obliczania nie-pewności pomiaru metodą klasyczną, obliczono niepewność pomiarów rezystywności powierzchniowej modyfikowanego poliamidu 6 metodą uproszczoną. Wyniki obli-czeń podano w tabeli 10.7.2.

Tabela 10.7.2. Bilans niepewności rozszerzonej rezystywności powierzchniowej U(ρs)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅U 2(Xj)

Średnica elektrody pomiarowej d1

49,97×10–3 m 1,30×1018 Ωm–1 0,07×10–3 m 0,9×1028 Ω2

Średnica wewnętrzna elektrody napięciowej d2

53,75×10–3 m 1,21×1018 Ωm–1 0,09×10–3 m 1,2×1028 Ω2

Rezystancja powierzchniowa Rs

5,50×1013 Ω 86,2 0,7×1013 Ω 36,4×1028 Ω2

Poprawka temperaturowa sTρ∆ 0 1 0,300×1015 Ω 9×1028 Ω2

Poprawka wilgotnościowa Wsρ∆ 0 1 0,700×1015 Ω 49×1028 Ω2

Rezystywność powierzchniowa ρs

4,74×1015 Ω Σcj2U 2(Xj) = 96,5×1028 Ω2

Niepewność rozszerzona pomiaru rezystywności powierzchniowej na poziomie ufności p = 0,95 U(ρs) = 1,12×1015 Ω

Zatem, korzystając z metody uproszczonej, uzyskano taką samą wartość niepew-ności rozszerzonej na poziomie ufności 0,95, jak stosując metodę klasyczną, U(ρs) = 1,2 Ω. Uzasadnia to więc użycie tej metody w praktyce.

10.8. Niepewność pomiarów względnej przenikalności elektrycznej

próbek płaskich obliczana metodą klasyczną

Na wynik pomiaru względnej przenikalności elektrycznej obliczanej ze wzoru (8.1) wpływa również temperatura próbki i jej wilgotność. Jeżeli kondycjonowanie

225

próbki, a następnie pomiary wykonuje się w innych warunkach środowiskowych niż wymagane (zobacz podrozdział 4.1.2), to zmiany te można ująć w postaci poprawek. Wówczas wzór (8.1) przyjmie postać

rWrTo

xr C

C εεε ∆∆ ++= , (10.8.1)

gdzie: Cx – zmierzona pojemność kondensatora z badanym materiałem, Co – pojemność równoważnego kondensatora o identycznych wymiarach, ale

zawierającego między okładkami próżnię; tę pojemność oblicza się ze wzoru

hA

hACo 08854,00 == ε , pF, (10.8.2)

w którym A jest efektywną powierzchnią elektrody pomiarowej dla elektrod okrągłych wyrażoną wzorem (4.2.1):

4)( 2

1 BgdA += ,

gdzie: d1 – średnica elektrody pomiarowej w cm, g – szerokość szczeliny w cm, B – współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej, h – grubość próbki w cm, ∆εrT – poprawka temperaturowa przenikalności elektrycznej uwzględniająca

zmianę temperatury próbki, ∆εrW – poprawka wilgotnościowa przenikalności elektrycznej uwzględniająca zmianę

wilgotności otoczenia próbki. Współczynnik B jest określony wzorem (4.2.5):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hg

ghB

4πcoshln

π41 .

Niepewność standardową złożoną pomiaru przenikalności elektrycznej oblicza się ze wzoru:

)()()( 2222oCxC CucCucu

ox⋅+⋅=ε , (10.8.3)

w którym poszczególne współczynniki wrażliwości wynoszą:

ox

rC CC

cx

1=

∂∂

=ε , (10.8.4)

226

2o

x

o

rC C

CC

co

=∂∂

=ε . (10.8.5)

Na niepewność pomiaru pojemności Cx oprócz niedokładności zastosowanego przyrządu pomiarowego i fluktuacji jego wskazań wpływają także pojemności kontak-towe elektrod z badanym materiałem i niewyeliminowane rozproszone pojemności sprzęgające. Kontakt elektrody z badanym dielektrykiem i jego wpływ na wyniki po-miarów omówiono w podrozdziale 4.2.1. Podczas rutynowych pomiarów praktycznie nie można określić wartości liczbowej niepewności pomiaru pojemności spowodowa-nej wpływem pojemności kontaktowych elektrod z dielektrykiem. Mając jednak od-powiednie doświadczenie, można zastosować takie elektrody, których wpływ na wy-niki pomiarów będzie pomijalnie mały.

Zawsze problemem jest minimalizacja rozproszonych pojemności sprzęgających. Ich wpływ na wyniki pomiarów omówiono w podrozdziale 8.1, a ich minimalizację – w rozdziale 9 (opis metod pomiarowych). Mimo doboru odpowiednich metod pomia-rowych, ekranowania i właściwego uziemiania oraz stosowania układów czterozaci-skowych te pojemności mają swój udział, rzędu 1 pF lub więcej, w pojemności mie-rzonej. Jeżeli te pojedyncze pikofarady odniesie się do pojemności mierzonych Cx, które są rzędu 10–100 pF, to wynikająca stąd niepewność jest na poziomie 1–10 %.

Mimo dużej rozdzielczości przyrządu pomiarowego często nie można odczytać wszystkich cyfr pola odczytowego, gdyż ostatnie cyfry tego pola bardzo szybko się zmie-niają. Może to być spowodowane szumami, zakłóceniami lub fluktuacją strukturalną ba-danej próbki. W tej sytuacji do niedokładności przyrządu pomiarowego określonej przez producenta lub wyznaczonej podczas wzorcowania należy dodać niepewność odczytu.

Niepewność standardową typu B można więc obliczyć ze wzoru

( ) ( pxxgxB CCCCu ∆∆∆ odcz ++=3

1 ) , (10.8.6)

w którym: ∆Cx – błąd graniczny przyrządu pomiarowego, którego wartość należy obliczyć

zgodnie z instrukcją obsługi (w przypadku dokładnych przyrządów cyfrowych formu-ły służące do obliczania tego błędu mogą być skomplikowane),

∆odczCx – błąd graniczny odczytu z przyrządu (należy przyjąć połowę zakresu mię-dzy najmniejszą i największą ostatnią wskazywaną cyfrą),

∆Cp – wartość pojemności sprzęgających, które mogą sumować się z wynikiem pomiaru pojemności Cx (ocena tego błędu jest subiektywna i zależy od doświadczenia i wiedzy mierzącego; jeżeli wszelkie zabiegi minimalizacyjne będą owocne, to można przyjąć wartość 1–2 pF).

W normalnych warunkach przeważnie brak jest rozrzutu wyników pomiarów i trudno jest określić niepewność typu A. Zaleca się, aby w takim przypadku dokonać odczytu z przyrządu, wyjąć próbkę z ekranowanej celki, ponownie ją tam włożyć, a następnie

227

dokonać odczytu. Czynności te należy powtórzyć kilkukrotnie i w efekcie zazwyczaj otrzymuje się nieco różne wyniki wskutek nieco innego rozkładu pojemności sprzęgają-cych. Wówczas niepewność typu A można obliczyć ze znanej zależności:

)1(

)()( 1

2

−

−=∑=

nn

CCCu

n

ixxi

xA , (10.8.7)

w której: Cxi – kolejne wyniki pomiarów pojemności,

xC – średnia wartość wyników pomiarów pojemności obliczona ze wzoru

n

CC

n

ixi

x

∑== 1 , (10.8.8)

n – liczba pomiarów. Niepewność standardową złożoną pomiaru pojemności Cx określa zależność:

)()()( 22xBxAx CuCuCu += . (10.8.9)

Efektywną liczbę stopni swobody dla pomiarów pojemności, zgodnie z zależno-ścią (10.1.14), wyraża się wzorem:

BC

xB

AC

xA

xC

xx

x CuCuCu

νν

ν)()(

)(44

4

+= . (10.8.10)

Można przyjąć, że niepewność uB(Cx), określona ze wzoru (10.8.6), ma prostokąt-ny rozkład prawdopodobieństwa, ale obarczona jest ona dużą niepewnością. Niepew-ność ∆uB(Cx)/uB(Cx) prawdopodobnie może być rzędu 50 % lub więcej. Dlatego dla tej niepewności liczbę stopni swobody należy obliczyć na podstawie wzoru (10.1.13), który dla pomiarów pojemności przyjmuje postać:

2

)()(2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xB

xB

BC

CuCu

x∆

ν . (10.8.11)

Jeżeli ∆uB(Cx)/uB(Cx) = 0,5, to efektywna liczba stopni swobody obliczona ze wzo-ru (10.8.11) wynosi 2.

Niepewność standardową złożoną pojemności równoważnej kondensatora próż-niowego oblicza się ze wzoru

228

)()()( 22220 hucAucCu hA ⋅+⋅= , (10.8.12)

w którym współczynniki wrażliwości:

208854,0

hA

hCc o

h⋅

−=∂∂

= , (10.8.13)

hA

Cc oA

08854,0=

∂∂

= . (10.8.14)

Niepewność standardową złożoną efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej oblicza się ze wzoru (10.2.7) w sposób opisany w podrozdziale 10.2.

10.8.1. Niepewność poprawki temperaturowej względnej przenikalności elektrycznej

Poprawkę temperaturową względnej przenikalności elektrycznej uwzględniającą zmianę temperatury próbki o ∆T w porównaniu z temperaturą normalną T = 23 °C wyznacza się ze wzoru

TkTrT ∆∆ εε = , (10.8.15)

a jej niepewność standardową z wyrażenia

)()()( 22 Tukuu TrT ∆∆ += εε , (10.8.16)

gdzie: kTε – temperaturowy współczynnik zmian przenikalności elektrycznej, ∆T – różnica między temperaturą otoczenia w czasie pomiarów przenikalności

elektrycznej a temperaturą, dla której się ją określa, u(kTε) – niepewność temperaturowego współczynnika zmian przenikalności elek-

trycznej, u(∆T ) – niepewność określenia różnicy temperatur. Jeżeli temperatura w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada

wymaganej wartości znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆εrT = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza jej zerowej niepewności, gdyż praktycznie zawsze temperatura otoczenia w laboratorium ulega pewnym wahaniom. Znając wartość tem-peraturowego współczynnika kTε i wahania temperatury ∆T, można oszacować nie-pewność zerowej poprawki temperaturowej zmiany przenikalności elektrycznej ∆εrT.

Należy również oszacować niepewność niepewności temperaturowej poprawki zmiany rezystywności skrośnej i na tej podstawie ze wzoru (10.1.13) obliczyć dla niej liczbę stopni swobody νT.

229

10.8.2. Niepewność poprawki wilgotnościowej względnej przenikalności elektrycznej

Poprawkę wilgotnościową zmiany względnej przenikalności elektrycznej uwzględniającą zmianę wilgotności powietrza otaczającego próbkę o ∆W w porówna-niu z wilgotnością normalną W = 50 % wyznacza się ze wzoru

WkWrW ∆∆ εε = , (10.8.17)

a jej niepewność standardową z wyrażenia

)()()( 22 Wukuu WrW ∆∆ += εε , (10.8.18)

gdzie: kWε – wilgotnościowy współczynnik zmian przenikalności elektrycznej, ∆W – różnica między wilgotnością względną otoczenia w czasie pomiarów re-

zystywności skrośnej a wilgotnością względną, dla której określa się rezystywność skrośną,

u(kWε) – niepewność wilgotnościowego współczynnika zmian przenikalności elektrycznej,

u(∆W) – niepewność określenia różnicy wilgotności. Jeżeli wilgotność w laboratorium w czasie wykonywania pomiarów odpowiada wy-

maganej wartości znormalizowanej, to wówczas przyjmuje się poprawkę ∆εrW = 0. Ale zerowa poprawka nie oznacza, że jej niepewność wynosi zero, gdyż praktycznie zawsze wilgotność powietrza w laboratorium ulega wahaniom. Znając wartość wilgotnościowego współczynnika kWε i wahania wilgotności ∆W, można oszacować niepewność zerowej poprawki wilgotnościowej zmian przenikalności elektrycznej ∆εrW. Należy również osza-cować niepewność niepewności wilgotnościowej poprawki przenikalności elektrycznej i na tej podstawie ze wzoru (10.1.13) obliczyć dla niej liczbę stopni swobody νW.

10.8.3. Bilans niepewności standardowej złożonej względnej przenikalności elektrycznej dla próbek płaskich

Dla wyników pomiarów poszczególnych składowych wielkości wejściowych obli-cza się standardowe niepewności złożone pomiaru:

• średnicy elektrody pomiarowej u(d1), • szerokości szczeliny u(g), • grubości próbki u(h), • pojemności elektrycznej u(Cx), • poprawki temperaturowej zmiany względnej przenikalności elektrycznej u(∆εrT), • poprawki wilgotnościowej zmiany względnej przenikalności elektrycznej u(∆εrW).

230

Bilansu niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B) i niepewności standardowej złożonej efek-tywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A) dokonuje się tak samo jak w przypad-ku rezystywności skrośnej (zobacz podrozdział 10.2.7), a wyniki tego bilansu zestawia według tabel 10.2.1 i 10.2.2. Natomiast bilans niepewności standardowej złożonej pojemności równoważnego kondensatora próżniowego u(Co) i względnej przenikalno-ści elektrycznej u(εr) można przedstawić według tabel 10.8.1 i 10.8.2.

Tabela 10.8.1. Bilans niepewności standardowej złożonej pojemności równoważnego kondensatora próżniowego u(Co)

Wielkość

Xj

Wartośćśrednia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A

A (4.2.1)

cA(10.8.14)

u(A) (10.2.7) cA

2⋅u2(A) νA(10.2.16)

Grubość próbki h h (10.2.19)

ch(10.8.13)

u(h) (10.2.21) ch

2⋅u2(h) νh(10.2.22)

Pojemność równoważnego kondensatora próżniowego Co

oC (10.8.2)

Σcj2⋅u2(Xi) oCν

(10.1.11) Niepewność standardowa złożona pojemności równoważnego kondensatora próżniowego Co ∑

=

⋅=n

jjjo XucCu

1

22 )()(

Tabela 10.8.2. Bilans niepewności standardowej złożonej względnej przenikalności elektrycznej u(εr)

Wielkość

Xj

Wartośćśrednia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Pojemność równoważnego kondensatora próżniowego Co

oC (10.8.2)

oCc

(10.8.5)

u(Co) (10.8.12)

Tabela 10.8.1( )oC Cuc

o

22 ⋅ oCν

(10.1.11) Tabela 10.8.1

Pojemność Cx xC x

(10.8.4) Cc u(Cx)

(10.8.9) ( )xC Cuc

x

22 ⋅ xCν

(10.1.14) Poprawka temperaturowa rTε∆

rTε∆ (10.8.15)

1 u(∆εrT) (10.8.16)

( )rTT ucr

εε ∆22 ⋅ ν T(10.1.13)

Poprawka wilgotnościowa rWε∆

rWε∆ (10.8.17)

1 u(∆εr W) (10.8.18)

( )rWW ucr

εε ∆22 ⋅

νW

(10.1.13)

Względna przenikalność elektryczna εr

rε (10.4.1)

Σcj2⋅u2(Xi) rε

ν

(10.1.11) Niepewność standardowa złożona pomiaru rezystywności skrośnej ∑

=

⋅=n

jjjr Xucu

1

22 )()(ε

231

Niepewność rozszerzoną (całkowitą) pomiaru względnej przenikalności elektrycz-nej oblicza się na podstawie wzorów (10.1.9) i (10.1.10) z zależności:

( ) ( )rpr utUr

εε ε,= . (10.8.19)

10.8.4. Przykład: pomiary względnej przenikalności elektrycznej poliamidu

W tym przykładzie przedstawiono wyniki pomiarów i obliczeń niepewności prób-ki nr 1 poliamidu 6 z włóknem szklanym. Wymiary geometryczne próbki zmierzono w taki sam sposób jak podczas pomiaru rezystywności skrośnej (podrozdział 10.2.7). Średnie wartości wyników wraz z ich niepewnościami zestawiono w tabeli 10.8.3. Na podstawie tych wyników dokonano bilansu niepewności standardowych, który przed-stawiono w tabelach 10.8.4–10.8.7.

Tabela 10.8.3. Zestawienie wyników pomiarów dla próbki nr 1

Mierzona wielkość

Xj

Liczba pomiarów

i

Wartość średnia

jX

Niepewnośćstandardowa

typu A uA(Xj)

Niepewnośćstandardowa

typu B uB(Xj)

Niepewność standardowa

złożona u(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

h 5 1,536×10–3 m 0,007×10–3 m 0,001×10–3 m 0,008×10–3 m 6

g 6 1,950×10–3 m 0,006×10–3 m 0,006×10–3 m 0,009×10–3 m 25

d1 5 49,95×10–3 m 0,008×10–3 m 0,018×10–3 m 0,020×10–3 m 156

Cx 1 55,69×10–3 m – 0,657×10–12 F 0,657×10–12 F ∞

Tabela 10.8.4. Bilans niepewności standardowej złożonej współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(B)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Grubość próbki 1,536×10–3 m –213,2×m–1 0,008×10–3 m 2,91×10–6 6

Szerokość szczeliny 1,950×10–3 m 168,0×m–1 0,009×10–3 m 2,29×10–6 25

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej

567,2×10–3 Σcj2u2(Xj) = 5,20×10–6 17

Niepewność standardowa współczynnika B u(B) = 2,3×10–3

232

Tabela 10.8.5. Bilans niepewności standardowej złożonej efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej u(A)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj) cj

2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobody νj

Średnica elektrody pomiarowej d1

49,950×10–3 m 80,20×10–3 m 0,020×10–3 m 257,3⋅10–14 m4 156

Szerokość szczeliny g 1,950×10–3 m 45,49×10–3 m 0,009×10–3 m 16,8⋅10–14 m4 25 Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej B

567,2×10–3 156,39×10–6 m2 2,3×10–3 12,9×10–14 m4 17

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,047×10–3 m2 Σcj

2u2(Xj) = 286,97×10–14 m4 359

Niepewność standardowa powierzchni A u(A) = 0,002×10–3 m2

Tabela 10.8.6. Bilans niepewności standardowej złożonej pojemności kondensatora próżniowego u(Co)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewnośćstandardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobodyνj

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,047×10–3 m2 5,764×10–9 F/m2 0,002⋅10–3 m2 13,29⋅10–29 F2 359

Grubość próbki g 1,536×10–3 m –7,682×10–9 F/m 0,008×10–3 m 377,69×10–29F2 6 Pojemność kondensatora próżniowego Co

11,80×10–12 F Σcj2u2(Xj) = 390,98×10–29 F2 6

Niepewność standardowa pojemności Co u(Co) = 0,063⋅10–12 F

Tabela 10.8.7. Bilans niepewności standardowej złożonej przenikalności elektrycznej u(εr)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność standardowa

u(Xj)

cj2⋅u2(Xj)

Liczba stopni

swobodyνj

Pojemność kondensatora z powietrzem Co

11,800×10–12 F –39,999×1010 F–1 0,063×10–12 F 6,35×10–4 6

Pojemność zmierzona Cx 55,690×10–12 F 8,475×1010 F–1 0,657×10–12 F 31,01×10–4 ∞ Poprawka temperaturowa rTε∆ 0 1 0,005 0,25×10–4 8

Poprawka wilgotnościowa rWε∆ 0 1 0,009 0,81×10–4 8

Przenikalność elektryczna εr

4,720 Σcj2u2(Xj) = 38,42⋅10–4 216

Niepewność standardowa przenikalności εr u(εr) = 0,062

233

Kwantyl rozkładu t-Studenta dla 216 stopni swobody i poziomu ufności p = 0,95 wynosi 2. Zatem niepewność rozszerzona pomiaru względnej przenikalności elek-trycznej ma wartość

U(εr) = 2×0,062 = 0,13,

a niepewność względna – 2,7 %. Wynik pomiaru można zapisać w postaci: εr = 4,72 ± 0,13.

10.9. Niepewność pomiarów przenikalności elektrycznej obliczana metodą uproszczoną

Niepewność wyniku pomiaru przenikalności elektrycznej na poziomie ufności p = 0,95 można obliczyć z uproszczonego wzoru:

)()(15,1)( 2222oCxC CUcCUcU

ox⋅+⋅=ε , (10.9.1)

w którym poszczególne współczynniki wrażliwości wyrażają zależności (10.8.4) i (10.8.5). Niepewność bezwzględną pojemności równoważnego kondensatora próżniowego

oblicza się ze wzoru

)()(15,1)( 2222 hUcAUcCU hAo ⋅+⋅= , (10.9.2)

w którym współczynniki wrażliwości określają zależności (10.8.13) i (10.8.14). Uwzględniając powyższe współczynniki wrażliwości, wzór (10.9.2) można zapisać jako

2

2

2

)(08854,0)(08854,015,1( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= hU

hAAU

hCU o . (10.9.3)

Przekształcając powyższe równanie, otrzymuje się ostateczny wzór określający niepewność wyznaczenia pojemności Co

[ ]2

2 )()(08854,015,1( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= hU

hAAU

hCU o . (10.9.4)

Niepewność powierzchni efektywnej elektrody pomiarowej U(A) oblicza się ze wzoru (10.3.2).

10.9.1. Przykład: pomiary względnej przenikalności elektrycznej poliamidu

Niepewności wyników pomiarów próbki nr 1 poliamidu 6 z włóknem szklanym, zamieszczonych w podrozdziale 10.8.4, obliczono metodą uproszczoną. W tabeli

234

10.9.1 podano niepewności rozszerzone tych wyników, a w tabelach 10.9.2–10.9.5 – obliczenia niepewności rozszerzonej pomiaru przenikalności elektrycznej dokonane metodą uproszczoną.

Tabela 10.9.1. Zestawienie wyników pomiarów dla próbki nr 1

Mierzona wielkość

Xj

Liczba pomiarów

i

Wartość średnia

jX

Niepewność rozszerzona

typu A UA(Xj)

Błąd granicznypomiaru ∆ gXj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

h 5 1,536×10–3 m 0,019×10–3 m 0,001×10–3 m 0,019×10–3 m

g 6 1,950×10–3 m 0,015×10–3 m 0,010×10–3 m 0,018×10–3 m

d1 5 49,950×10–3 m 0,020×10–3 m 0,030×10–3 m 0,036×10–3 m

Cx 1 55,690×10–12 F – 1,138×10–12 F 1,138×10–12 F

Tabela 10.9.2. Bilans niepewności współczynnika wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(B)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnikwrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅U 2(Xj)

Grubość próbki 1,536×10–3 m –213,2×m–1 0,019×10–3 m 16,41×10–6

Szerokość szczeliny 1,950×10–3 m 168,0×m–1 0,018×10–3 m 9,15×10–6

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej

567,2×10–3 Σcj2U 2(Xj) = 25,56×10–6

Niepewność współczynnika B U(B) = 5,9×10–3

Tabela 10.9.3. Bilans niepewności efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej U(A)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj)

cj

2⋅U 2(Xj)

Średnica elektrody pomiarowej 49,950×10–3 m 80,20×10–3 m 0,036×10–3 m 833,59×10–14 m4

Szerokość szczeliny 1,950×10–3 m 45,49×10–3 m 0,018×10–3 m 67,05×10–14 m4

Współczynnik wzrostu efektywnej powierzchni elektrody pomiarowej

567,2×10–3 1,564×10–4 m2 5,9×10–3 85,15×10–14 m4

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,047×10–3 m2 Σcj

2U 2(Xj) = 985,79×10–12 m4

Niepewność powierzchni A U(A) = 0,004×10–3 m2

235

Tabela 10.9.4. Bilans niepewności pojemności kondensatora próżniowego U(C0)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj) cj

2⋅U 2(Xj)

Efektywna powierzchnia elektrody pomiarowej A 2,047×10–3 m2 5,764×10–9 F/m2 0,004×10–6 m2 5,32×10–28 F2

Grubość próbki 1,536×10–3 m –7,682×10–9 F/m 0,019×10–3 m 213,04×10–28 F2

Pojemność kondensatora próżniowego Co

11,800×10–12 F Σcj2U 2(Xj) = 218,36×10–26 F2

Niepewność pojemności Co )( oCU = 0,170×10–12 F

Tabela 10.9.5. Bilans niepewności przenikalności elektrycznej U(εr)

Mierzona wielkość

Xj

Wartość średnia

jX

Współczynnik wrażliwości

cj

Niepewność rozszerzona

U(Xj) cj

2⋅U 2(Xj)

Pojemność kondensatora próżniowego Co

11,800×10–12 F –4,000×⋅1011 F–1 0,170×10–12 F 46,24×10–4

Pojemność zmierzona Cx 5,569×10–11 F 8,475×1010 F–1 1,138×10–12 F 93,02×10–4

Poprawka temperaturowa rTε∆ 0 1 0,009 0,81×10–4

Poprawka wilgotnościowa rWε∆ 0 1 0,016 2,56×10–4

Przenikalność elektryczna εr

4,72 Σcj2U 2(Xj) = 142,63×10–4

Niepewność przenikalności εr )( rU ε = 0,14

Niepewność rozszerzona pomiaru przenikalności elektrycznej U(εr) obliczona me-todą uproszczoną na poziomie ufności p = 0,95 wynosi 0,14, a więc jest o 0,1 większa od niepewności obliczonej metodą klasyczną. Zatem obliczenie niepewności rozsze-rzonej metodą uproszczoną należy uznać za poprawne.

10.10. Niepewność pomiarów współczynnika strat dielektrycznych

Współczynnik strat dielektrycznych tgδ jest stosunkiem składowej urojonej prze-nikalności elektrycznej do składowej czynnej tej przenikalności (zobacz rozdział 8). W praktyce wyznacza się go z równoległego lub szeregowego modelu zastępczego kondensatora stratnego (zobacz rozdział 3). Przyrządy stosowane do pomiaru przeni-kalności i współczynnika strat dielektrycznych przeważnie umożliwiają bezpośredni

236

odczyt wartości pojemności i współczynnika strat dielektrycznych tgδ. Nie ma więc potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń, aby określić jego wartości. Niedo-kładność pomiaru tgδ podaje się w instrukcjach obsługi przyrządów w postaci wielo-składnikowej zależności. Wartości poszczególnych składowych tych relacji zależą między innymi od:

• wartości mierzonej pojemności, • częstotliwości pomiaru, • wartości napięcia pomiarowego, • szybkości pomiaru, • długości przewodów. Podstawiając odpowiednie dane do podanej w instrukcji obsługi zależności, obli-

cza się błąd graniczny pomiaru tgδ. Ponieważ wartość zmierzonego tgδ może również zależeć od temperatury próbki i wilgotności powietrza otaczającego próbkę, w obli-czeniach niepewności pomiaru tgδ należy uwzględnić warunki środowiskowe, w ja-kich były kondycjonowane próbki i w jakich są wykonywane pomiary. Dla zmian tgδ pod wpływem temperatury i wilgotności można przyjąć poprawki. Wówczas popraw-ną wartość współczynnika strat dielektrycznych określa się ze wzoru:

xWxTxxp δδδδ ∆tg∆tgtgtg ++= , (10.10.1)

w którym: tgδx – zmierzona wartość współczynnika strat dielektrycznych, ∆tgδxT – poprawka uwzględniająca zmianę tgδ pod wpływem zwiększenia tempe-

ratury ponad normalną temperaturę 23 °C, ∆tgδxW – poprawka uwzględniająca zmianę tgδ pod wpływem zwiększenia wilgot-

ności otoczenia próbki ponad normalną wilgotność 50 %. Jeżeli zostaną zachowane normalne warunki otoczenia kondycjowanych próbek

i pomiarów, ale będą utrzymywane w granicach klasy 2 według normy PN-EN ISO 291, dla której temperatura wynosi 23 °C ± 2 °C, a wilgotność 50 % ± 10 %, to należy przyjąć zerowe wartości poprawek ∆tgδxT i ∆tgδxW. Zerowe poprawki, podobnie jak w przypadku pomiarów rezystywności, nie oznaczają zerowych ich niepewności. Na-leży oszacować wartość zmian tgδ w zakresie dopuszczalnych wahań temperatury i wilgotności. Niepewność standardową pomiaru tgδ można obliczyć ze wzoru:

)()()()( 222xWxTxxp uuuu δδδδ ∆tg∆tgtgtg ++= , (10.10.2)

w którym: u(tgδx) – niepewność standardowa przyrządu pomiarowego obliczona z zależności:

3

)( xgxu

δδ

tg∆tg = , (10.10.3)

237

∆g tgδx – błąd graniczny pomiaru tgδx obliczony zgodnie z instrukcją obsługi przyrządu,

u(∆ tgδxT) – niepewność standardowa poprawki temperaturowej, u(∆ tgδxW) – niepewność standardowa poprawki wilgotnościowej. Niepewność rozszerzoną pomiaru współczynnika strat dielektrycznych wyraża się

wzorem:

)()( pxppx ukU δδ tgtg ⋅= , (10.10.4)

gdzie kp jest współczynnikiem rozszerzenia. Niepewność rozszerzoną na poziomie ufności 0,95 łatwiej można obliczyć ze wzo-

ru uproszczonego:

)()(15,1)( 222xWxTgx UUU δδδδ ∆tg∆tgtg∆tg ++= . (10.10.5)

W przedstawionym sposobie obliczania niepewności pomiaru współczynnika strat dielektrycznych tgδ nie uwzględniono pojemności rozproszonych i pojemności przy-elektrodowych, bo ich wartości trudno jest ująć liczbowo. Stosując jednak odpowied-nie ekranowanie i odpowiednio nanosząc elektrody, należy je tak zminimalizować, aby były pomijalnie małe.

10.11. Podsumowanie

Wyniki pomiarów powinny być podawane wraz z ich niepewnościami. W szaco-waniu niepewności pomiarów trzeba uwzględnić wszystkie istotne składowe niepew-ności.

Pomiary należy tak wykonywać, ażeby składowe systematyczne błędów – zwłasz-cza tych, dla których granice wartości trudno jest określić – miały pomijalnie mały udział. Do tej grupy błędów należą:

• błędy spowodowane wpływem elektrostatycznego ładunku przestrzennego i po-wierzchniowego, który znajduje się w próbce przed pomiarem rezystywności skrośnej i powierzchniowej,

• błędy spowodowane kontaktem elektrod z dielektrykiem podczas pomiarów re-zystywności i przenikalności elektrycznej,

• błędy spowodowane pasożytniczymi sprzężeniami galwanicznymi i pojemno-ściowymi.

Niewyeliminowanie tych błędów i nieuwzględnienie ich w postaci niepewności pomiaru jest przyczyną nieprawdziwych wyników pomiarów.

Eliminowanie błędów systematycznych mierników wysokich rezystancji oraz mier-ników pojemności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycznych przez wprowa-

238

dzanie poprawek nie ma sensu. Zabieg taki byłby bardzo kosztowny, a tylko w nie-wielkim stopniu zmniejszałby niepewność pomiaru. Wpływ tych błędów na wynik pomiaru należy uwzględnić w postaci niepewności.

Należy zwrócić uwagę na wpływ środowiska otaczającego próbkę na wyniki po-miarów. Badając materiały dielektryczne, trzeba pamiętać, że ich temperatura i wil-gotność mają znaczący wpływ na otrzymane wyniki. Nawet wtedy, gdy kondycjono-wanie próbek i pomiary odbywają się w znormalizowanych warunkach, nie można pominąć wpływu środowiska na niepewność pomiarów, gdyż te znormalizowane wa-runki dopuszczają wahania temperatury otoczenia i jego wilgotności. Wówczas należy przyjąć zerowe wartości poprawek dla wpływu temperatury i wilgotności, ale także oszacować wynikające stąd granice prawdopodobnych zmian rezystywności skrośnej i powierzchniowej oraz przenikalności elektrycznej i współczynnika strat dielektrycz-nych. Granice te trzeba uznać za składowe niepewności.

Zgodnie z zaleceniami przewodnika wyrażenia niepewności pomiaru [15] najpierw powinno się obliczyć niepewność standardową (na poziomie ufności p = 0,68), a na-stępnie rozszerzoną. Najczęściej niepewność rozszerzoną podaje się na poziomie ufno-ści p = 0,95. Aby obliczyć niepewność rozszerzoną, trzeba znać wartość współczynnika rozszerzenia kp. Jeżeli niepewność pomiaru ma rozkład zbliżony do normalnego, dla którego liczba stopni swobody wynosi co najmniej 20, to dla p = 0,95 można przyjąć współczynnik rozszerzenia kp = 2. Jeżeli liczba stopni swobody jest mniejsza, to należy przyjąć, że współczynnik rozszerzenia jest równy kwantylowi rozkładu t-Studenta, który można odczytać z tabeli 10.1.1. Ten sposób obliczania niepewności pomiarów nazwano metodą klasyczną. Metoda ta wymaga bardzo pracochłonnych obliczeń.

W przypadku, gdy większościowy udział w niepewności mają składowe typu B, a liczba stopni swobody wynosi 8 lub więcej, można stosować uproszczoną metodę obliczania niepewności pomiaru na poziomie ufności p = 0,95, którą dokładnie opisa-no w tym rozdziale. Przedstawione przykłady szacowania niepewności na poziomie ufności 0,95 dowodzą, że metoda ta daje wyniki bardzo zbliżone do wyników metody klasycznej. Przemawia to za słusznością tej metody, która dodatkowo jest prostsza i mniej pracochłonna w praktycznym użyciu.

W przypadku wątpliwości, czy uproszczona metoda obliczania niepewności po-miaru zapewni poprawne wartości, gdy przeważają niepewności typu A, a liczba stop-ni swobody jest zbyt mała, należy stosować klasyczną metodę szacowania niepewno-ści wyników pomiarów.

Literatura

[1] Arendarski J., Tolerancja wymiaru a niepewność pomiaru, Materiały IV Sympozjum Klubu Polskich Laboratoriów Badawczych POLLAB „Wyposażenie pomiarowe i badawcze akredytowanych labora-toriów”, Cetniewo, 1998, s. 49–57.

239

[2] Arendarski J., Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2003.

[3] Jaworski J.M., Niedokładność, błąd, niepewność, Dodatek do wydania polskiego: Przewodnik wyra-żania niepewności pomiarów, Główny Urząd Miar, 1999.

[4] Klaus-Jęcek B., Kuśmierek Z., Wzorce wielkości elektrycznych i ocena niepewności pomiarów, Wy-dawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2000.

[5] Lisowski M., O pomiarach w akredytowanym laboratorium badawczym w świetle norm i przepisów, Normalizacja, 1997, nr 11, s. 17–21.

[6] Lisowski M., Pomiary w akredytowanym laboratorium badawczym, Materiały II Konferencji Na-ukowej „Postępy w elektrotechnologii”, Prace Naukowe Instytutu Elektrotechniki i Elektrotechnolo-gii Politechniki Wrocławskiej nr 31, seria: Konferencje nr 8, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 1996, s. 231–234.

[7] Lisowski M., Szacowanie niepewności pomiarów rezystywności skrośnej i powierzchniowej elektro-technicznych materiałów izolacyjnych, Materiały IX Sympozjum Klubu Polskich Laboratoriów Ba-dawczych POLLAB „Szacowanie niepewności pomiarów w laboratorium”, Zakopane, 2003, s. 91–100.

[8] Lisowski M., Kacprzyk R., Uncertainty evaluation problems in measurements of volume and surface resistivities, Proceedings of the IMEKO-TC7 Symposium “Measurement Science of the Information Era”, Cracow, 2002, pp. 82–87.

[9] Lisowski M., Murach G., Szacowanie niepewności wyników pomiarów w badaniach międzylabora-toryjnych, Materiały V Sympozjum POLLAB „Międzylaboratoryjne badania porównawcze”, Łeba, 1999, s. 141–153.

[10] Skubis T., Opracowanie wyników pomiarów. Przykłady, Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2003. [11] Turzeniecka D., Podstawowe zagadnienia oceny niepewności, PAK, 1998, nr 9, s. 327–332. [12] Turzeniecka D., Ocena niepewności wyników pomiarów, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań,

1997. [13] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardiza-

tion, 1995. [14] Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii, tłumaczenie polskie: Główny

Urząd Miar, 1996. [15] Wyrażenie niepewności pomiaru. Przewodnik, tłumaczenie polskie: Główny Urząd Miar, 1999. [16] Wyrażanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu. Dokument EA-4/02, Europejska Współpraca

w Dziedzinie Akredytacji. Tłumaczenie i wydanie: Główny Urząd Miar, Warszawa, 2001. [17] PN-EN-ISO/IEC 17025:2000 Ogólne wymagania dotyczące kompetencji laboratoriów badawczych

i wzorcujących.