Podstawy statystyki dla psychologów

Zajęcia 9. Prawdopodobieństwo i losowy rozkład

średniej z próby Karol Wolski

Prawdopodobieństwo

• Zdarzenie – obserwowalny wynik

• Doświadczenie losowe – powtarzalny proces, który daje tylko jeden wynik

• Prawdopodobieństwo zdarzenia – względna częstość, z jaką to zdarzenie pojawi się przy nieskończonej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego wtedy, gdy każde z tych doświadczeń będzie przeprowadzane w ten sam sposób

Prawdopodobieństwo

• Wyobraźmy sobie, że rzucamy monetę, prawdopodobieństwo wylosowania orła wyniesie:

• 𝑃𝑟 =𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑤𝑦𝑟𝑧𝑢𝑐𝑜𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑜𝑟łó𝑤

𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑤𝑠𝑧𝑦𝑠𝑡𝑘𝑖𝑐ℎ 𝑝𝑟ó𝑏=

𝑓 (𝑜𝑟𝑧𝑒ł)

𝑁=

1

2

• Oczywiście dotyczy to nieskończenie długiej serii rzutów monetą

– Kiedy będziemy mieli do czynienia z krótszą serię rzutów (zawsze) ta proporcja może okazać się inna

Prawdopodobieństwo

• Prawdopodobieństwo wylosowania asa karo z talii 52 kart

• 𝑃𝑟 =1

52

Prawdopodobieństwo

• Prawdopodobieństwo empiryczne – oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia poprzez stwierdzenie częstości tego zdarzenia w wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu losowym

Dwa prawa probabilistyki

• Prawo dodawania prawdopodobieństw – Prawdopodobieństwo pojawienia któregokolwiek

spośród kilku określonych zdarzeń jest sumą prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń (przy założeniu, że zdarzenie te się wzajemnie wykluczają)

– Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa karo albo asa trefl?

–1

52+

1

52=

2

52

– Zdarzenia wykluczające się – występowanie jednego zdarzenia wyklucza wystąpienie każdego z pozostałych

Dwa prawa probabilistyki

• Prawo mnożenia prawdopodobieństw – Prawdopodobieństwo, że kilka określonych

zdarzeń nastąpi po sobie albo pojawią się one równocześnie, jest iloczynem prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń przy założeniu, że doświadczenia losowe są niezależne

– Zdarzenia niezależne – na wynik jednego z doświadczeń losowych nie może mieć wpływu wynik żadnego z pozostałych zdarzeń i nie mogą one być ze sobą w żaden sposób powiązane

Dwa prawa probabilistyki

• Prawo mnożenia prawdopodobieństw

– Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema monetami wypadną dwa orły (O,O)?

– Pr 𝑂, 𝑂 =1

2∗

1

2=

1

4

– A trzech? W trzech rzutach?

• Pr 𝑂, 𝑂, 𝑂 =1

2∗

1

2∗

1

2=

1

8

Rozkład dwumianowy

• Obserwacja dychotomiczna – obserwacja, którą można zaklasyfikować jedynie do dwóch kategorii

• Rozkład dwumianowy – rozkład prezentujący wszystkie wartości możliwe oraz prawdopodobieństwa każdej z nich, kiedy zbiór możliwych zdarzeń składa się tylko z dwóch elementów

Rozkład dwumianowy

• Rozkład dwumianowy można intepretować jako teoretyczny rozkład częstości względnych lub rozkład prawdopodobieństwa

– Przedstawia on częstości względne, z jakimi określone wyniki pojawiają się w długiej liczbie serii doświaczeń

Rozkład dwumianowy

A skąd wziąć taki rozkład?

• Można go wyprowadzić wychodząc od:

• (𝑃 + 𝑄)𝑁

– P – prawdopodobieństwo jednego zdarzenia

– Q – prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia (Q=1-P)

– N – liczba doświadczeń w serii

A skąd wziąć taki rozkład?

• Jakie będzie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła i reszki w dwóch rzutach monetą (OR lub RO)

• P – orzeł

• Q – reszka

• (𝑃 + 𝑄)2= 𝑃2 + 2𝑃𝑄 + 𝑄2 = 0,5 2 +2 0,5 0,5 + 0,5 2 = 0,25 + 0,50 + 0,25

A skąd wziąć taki rozkład?

• A co jeśli rzucamy monetą 3 razy?

• (𝑃 + 𝑄)2= 𝑃3 + 3𝑃2𝑄 + 3𝑃𝑄2 + 𝑄3 =0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125

• P^3 – trzy orły

• 3PQ^2 – trzy możliwe wyniki gdzie pojawiły się dwie reszki i jeden orzeł.

A skąd wziąć taki rozkład?

• Jest to dość uciążliwa metoda, dlatego mamy tablice…

Losowanie kolejnych prób z populacji

Losowanie kolejnych prób z populacji

• Kiedy losujemy kolejne próby ich średnie mogą się różnić od siebie

• Losowy rozkład średniej z próby – teoretyczny rozkład liczebności względnych wszystkich wartości 𝑋 , które mogłyby zostać uzyskane losowo w przypadku nieskończonej liczb prób o określonej liczebności wyprowadzonych z danej populacji

Losowy rozkład średniej z próby

• Podobnie jak rozkład dwumianowy jest prawdopodobieństwem

• Jest on prawdopodobieństwem wystąpienia każdej możliwej średniej z próby

WAŻNE

• Dobór losowy zapewnia nam równe prawdopodobieństwo wylosowania każdej z prób, NIE zapewnia nam jednak równego prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych średnich z próby

Wartość oczekiwana średniej

• Wartość oczekiwana średniej z próby to średnia z losowego rozkładu średnich z próby

• 𝜇𝑋 = 𝜇𝑋

• Czyli nasza oczekiwana wartość średniej będzie równa średniej z populacji (por. przykład z poprzednich slajdów)

Wartość oczekiwana średniej

• Błąd standardowy średniej - SD losowego rozkładu wartości średniej z próby

• 𝜎𝑋 =𝜎𝑋

𝑛

• Jeżeli populacja wyników charakteryzuje się rozkładem normalnym, to losowy rozkład wartości 𝑋 z próby bez względu na wielkość próby też będzie się charakteryzował rozkładem normalnym

Centralne twierdzenie graniczne

• Losowy rozkład średniej z próby dąży do rozkładu normalnego bez względu na kształt rozkładu obserwacji w populacji; wraz ze wzrostem liczebności próby rozkład ten coraz bardziej zbliża się do rozkładu normalnego.