Tablice do statystyki matematycznej

Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011

Zawartość

© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 2 [email protected]

Zawartość 1. Rozkład normalny ....................................................................................................................... 3 2. Rozkład normalny standardowy ................................................................................................. 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ ........ 6 4. Przedział ufności dla średniej ..................................................................................................... 7 5. Przedział ufności dla odchylenia standardowego ...................................................................... 8 6. Przedział ufności dla wskaźnika struktury ................................................................................. 9 7. Test dla średniej w populacji generalnej .................................................................................. 10 8. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach ....................................................................... 11 9. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji ......................................................................... 12 9. Test dla wariancji w populacji generalnej ................................................................................ 13 10. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. ...................................................................... 14 11. Test zgodności χ2 .................................................................................................................... 15 12. Test niezależności χ2 .............................................................................................................. 16 14. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) .......................................................................... 17 15. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne ................................................................................ 18 16. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne ........................................................................ 19 13. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne ................................................................................ 20

1. Rozkład normalny



Funkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem:

�� = 1��2 �� ((((1111))))

Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego prezentuje rys. 1.

Rys. 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego — krzywa Gaussa (krzywa dzwonowa)

WłaściwośćWłaściwośćWłaściwośćWłaściwość funkcji gęstościfunkcji gęstościfunkcji gęstościfunkcji gęstości Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjmie mie mie mie wartości z przedziwartości z przedziwartości z przedziwartości z przedziału [A ; B], ału [A ; B], ału [A ; B], ału [A ; B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcjiwykresem funkcjiwykresem funkcjiwykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i B (rys. 2)(rys. 2)(rys. 2)(rys. 2)....

�� ∈ ��;�� = � ��

((((2222))))

Rys. 2. Sposób wykorzystania funkcji gęstości do określania prawdopodobieństwa

σ

f(x)f(x)f(x)f(x)

m A B

Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu

pod wykresem funkcji gęstości w tym

przedziale

σ

f(x)f(x)f(x)f(x)

m

Oznaczenia Parametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładu N(m, σ)

m średnia (jednocześnie maksimum funkcji)

σ odchylenie standardowe zmiennej



Dystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnego

Dystrybuanta rozkładu normalnego dana jest wzorem:

�� = �� = ��

� 1��2 �� ((((3333))))

Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości (całce oznaczonej) w przedziale od -∞ do x (porównaj tablica na str. 17). Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego prezentuje rys. 3.

Rys. 3. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego

Właściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuanty Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [Awartości z przedziału [Awartości z przedziału [Awartości z przedziału [A ;;;; B]B]B]B],,,, jest równe jest równe jest równe jest równe różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.

�� ∈ ��;�� = �� − �� ((((4444))))

Rys. 4. Sposób wykorzystania dystrybuanty do określania prawdopodobieństwa

FFFF(x)(x)(x)(x) 1

B A

F(F(F(F(AAAA))))

F(F(F(F(BBBB))))

PPPP

FFFF(x)(x)(x)(x)

m

1

0,5

Oznaczenia Parametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładu N(m, σ)

m średnia

σ odchylenie standardowe zmiennej

2. Rozkład normalny standardowy


2. Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standardowego dana jest wzorem:

�� = 1�2 ��!�� ((((5555))))

Rys. 5. Funkcja gęstości rozkład normalnego standardowego N(0;1)

Zwyczajowo zmienną mającą rozkład normalny z tymi parametrami oznacza się symbolem Z.

Standaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennej Jeżeli Jeżeli Jeżeli Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to σ, to σ, to σ, to prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B]; B]; B]; B],,,, jest równe jest równe jest równe jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [[[[zzzzAAAA ; ; ; ; zzzzBBBB]]]]::::

" � = � −#� $;$ � = � −#� % ((((6666))))

Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennej.

σ =1

f(zf(zf(zf(z))))

m = 0

zzzz

3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ


3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych

o rozkładzie norm. z parametrami m i σ

Tab. 1 Dane wejściowe mmmm Średnia analizowanej zmiennej o rozkładzie normalnym σσσσ Odchylenie standardowe tej zmiennej AAAA Lewy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo BBBB Prawy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo

ProceduraProceduraProceduraProcedura

4. Interpolacja wartości kryt. dla df spoza tablic

Tab. 2 Dane wejściowe FFFF2222, df, df, df, df2222 Znana wartość krytyczna (F2) dla większej liczby stopni swobody df2 FFFF1111, df, df, df, df1111 Znana wartość krytyczna (F1) dla mniejszej liczby stopni swobody df1 F, dfF, dfF, dfF, df Poszukiwana wartość krytyczna dla zadanych df stopni swobody

� = �� − �&�� − ��& �� − ��&� ((((7777))))

1. Obliczyć standaryzowane krańce przedziałów zA i zB

� = �−#� $ � = �−#� $2. Znaleźć wartość dystrybuanty

rozkładu normalnego standardowego w punktach A’ i B’

odczytując F(zA) i F(zB) z tablic

lub korzystając z funkcji arkusza kalkulacyjnego

F(zA) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zA) F(zB) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zB)

' = �� − �� $3. Obliczyć szukane prawdopodobieństwo p

5. Przedział ufności dla średniej


5. Przedział ufności dla średniej

Tab. 3 Dane wejściowe xxxxśrśrśrśr Średnia obliczona z próby

σσσσ ssss ŝŝŝŝ

Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N–1)

nnnn Liczebność próby 1111––––αααα Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95)

αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — w oparciu o poziom ufności p = 1p = 1p = 1p = 1----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności


Ocena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowania

� B < 5% — duża precyzja oszacowania, można wynik uogólniać wynik na populację generalną,

� B od 5% do 10 % — należy ostrożnie uogólniać wynik na populację generalną, � B > 10 % — nie należy uogólniać wyniku na populację generalną lub robić to

z zastrzeżenie o wysokim błędzie względnym.

3. Znaleźć wart. krytyczną

z1-α/2 dla p = 1–α/2

z rozkładu normalnego standardowego


z1-α/2 dla p = 1–α/2


( = &�)/� ∙ ��,$4. Obliczyć szerokość

przedziału ufności c

( = &�)/� ∙ -�,$( = &�)/� ∙ -.�,$

4. Obliczyć szerokość


lub

� = (�ś0 �∙ 100%�$5. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej i błąd względny B

przedział ufności to: �ś0 ± (, a zatem ��ś0 − ($; $�ś0 + (�


t1-α/2; n-1 dla p=1–α/2

i df = n–1 stopni swobody z rozkładu t-Studenta

( = 5&�)/�;$6�& ∙ -�, − 1$( = 5&�)/�;6�& ∙ -.�,$



lub

2. Czy n ≥ 30

NIENIENIENIE

1. Czy znane jest σ — odchylenie standardowe zmiennej w populacji generalnej?

TAKTAKTAKTAK TAKTAKTAKTAK

n ≥ 30NIENIENIENIE n<30

6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego


6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego

Tab. 4 Dane wejściowe ssss ŝŝŝŝ

Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, metodą N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, metodą N–1)

nnnn Liczebność próby 1111----αααα Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — z przeliczenia powyższego

pppp1111 = 1= 1= 1= 1----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności pppp2222 = α/2= α/2= α/2= α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności


Ocena możliwości wnioskowania — podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej.

2. Jak obliczono

odchylenie z próby?


z1-α/2 dla p = 1–α /2


3. Znaleźć wartości krytyczne

χ2

1-α/2; n–1 dla p1 =1–α/2

χ2

α/2; n–1 dla p2 = α/2

z rozkładu χ2 dla df = n–1 stopni swobody

( = &�)/� ∙ -�2,$


przedziału ufności dla

odchylenia standardowego c (& = ,-�7&�)/�;$6�&� $(� = ,-�7)/�;$6�&� $

4. Obliczyć przedział ufności

dla wariancji (c1 ; c2)

� = (- �∙ 100%�$

5. Wyznaczyć przedział

ufności i błąd względny B przedział ufności to: - ± (,

a zatem �- − ($; $- + (�

1. Czy próba była duża (n ≥ 30)?

(& = �, − 1�-.�7&�)/�;$;$6�&� $(� = �, − 1�-.�7)/�;$;$6�&� $

4. Obliczyć przedział ufności

dla wariancji (c1 ; c2)

TAKTAKTAKTAK n ≥ 30 s = ŝ

NIENIENIENIE n < 30 jakojakojakojako

skorygowaneskorygowaneskorygowaneskorygowane (n-1)

jakojakojakojakozwykłezwykłezwykłezwykłe

(n)

� = �(� − �(&2- �∙ 100%�$

5. Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia

standardowego i błąd względny B

przedział ufności dla odchylenia st. to: ��(&$;$�(��

7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury


7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury

Tab. 5 Dane wejściowe wwww Wskaźnik struktury (frakcja, częstość względna) obliczony z próby nnnn Liczebność próby (powinna być wielka >120 jednostek)

1111----αααα Zakładany poziom ufności (zazwyczaj 0,95) αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — z przeliczenia powyższego

p = p = p = p = 1111----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności


Ocena możliwości wnioskowania — podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej. .

2. Zwykły sposób szacowania

( = &�)/� ∙ 89�1 − 9�, $3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c

� = (9 �∙ 100%�$4. Wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury i błąd względny B

przedział ufności to: 9 ± (, a zatem �9 − ($; $9 + (�


z1-α/2 dla p = 1–α /2


2. Ostrożny sposób szacowania

( = &�)/� ∙ 12�,$3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c

8. Test dla średniej w populacji generalnej


8. Test dla średniej w populacji generalnej

Tab. 6 Dane wejściowe xxxxśrśrśrśr Średnia obliczona z próby

σσσσ ssss ŝŝŝŝ

Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N–1)

nnnn Liczebność próby mmmm0000 Testowana wartość średnia w populacji generalnej αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu

Wybór testu statystycznegoWybór testu statystycznegoWybór testu statystycznegoWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testowej

Weryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotez testowychtestowychtestowychtestowych

1. Test dla hipotez

H0: m ≥ m0

H1: m < m0

1. Test dla hipotez

H0: m = m0

H1: m ≠ m0

:0;< = ) = −� &�)�$5:0;< = 5);6�& = −=5&�);6�&>$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny

dla p = α lub

dla p = α i df = n–1 st. swobody

:0;< =$ &�)/�$5:0;< = 5&�)/�;6�&$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny

dla p = 1–α/2 lub

dla p = 1–α/2 i df = n–1 st. swobody

1. Test dla hipotez

H0: m ≤ m0

H1: m > m0

:0;< =$ &�)$5:0;< = 5&�);6�&$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny

dla p = 1–α lub

dla p = 1–α i df = n–1 st. swobody

5<?@< ≤$ 5:0;< $

3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy <?@< ≤$ :0;<$$

lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$

3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$

lub 5<?@< ≥$ 5:0;< $

3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy <?@< ≥$ :0;<$$

lub

2. Czy n ≥30

NIENIENIENIE

3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny


-DE = ��,$4. Obliczyć sX

-DE = -�, $FGHI$-DE = -.�,$4. Obliczyć sX

1. Czy znane jest σ — odchylenie standardowe cechy w populacji generalnej?

3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-Studenta

-DE = -�, − 1 $FGHI$-DE = -.�,$4. Obliczyć sX

TAKTAKTAKTAK TAKTAKTAKTAK

n ≥ 30NIENIENIENIE n < 30

<?@< = �ś0 −#J-DE $5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) ztest

5<?@< = �ś0 −#J-DE $5. Obliczyć wartość ttest

9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach


9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach

Tab. 7 Dane wejściowe xxxx1111śrśrśrśr, x, x, x, x2222śrśrśrśr Średnie obliczone z dwóch prób, pochodzących z dwóch populacji

σσσσ1111,,,, σσσσ1111 ŝŝŝŝ1111, , , , ŝŝŝŝ2222

Jedne z odchyleń: odchylenia standardowe w obu populacjach (o ile jest znane) odchylenia standardowe obliczone z obu prób (skorygowane, N-1)

nnnn1111, n, n, n, n2222 Liczebność obu prób αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu

Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej

Weryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowych

1. Test dla hipotez

H0: m1 ≥ m2

H1: m1 < m2

1. Test dla hipotez

H0: m1 = m2

H1: m1 ≠ m2

:0;< = ) = −� &�)�$5:0;< = 5);KL = −=5);KL>$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny

dla p = α lub

dla p = α i df = n1+n2–1 st. swobody

:0;< =$ &�)/�$5:0;< = 5&�)/�;KL$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny

dla p = 1–α/2 lub

dla p = 1–α/2 i df = n1+n2–1 st. swobody

1. Test dla hipotez

H0: m1 ≤ m2

H1: m1 > m2

:0;< =$ &�)$5:0;< = 5&�);KL$

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny

dla p = 1–α lub

dla p = 1–α i df = n1+n2–1 st. swobody

5<?@< ≤$ 5:0;< $

3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy

<?@< ≤$ :0;<$$lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$


lub

5<?@< ≥$ 5:0;< $


<?@< ≥$ :0;<$$lub

2. Czy n1 i n2 ≥ 30

NIENIENIENIE



-DE = 8�&�,& + ��,� $4. Obliczyć sX

-DE = 8-.&�,& + -.��,�$4. Obliczyć sX

1. Czy znane są σ1 i σ2 — odchylenia standardowe cech w obu populacjach generalnych?


-DE = 8,&-.&� + ,�-.��,& + ,� − 2 ∙ M 1,& + 1,�N$

4. Obliczyć sX

TAKTAKTAKTAK

TAKTAKTAKTAKn1 i n2 ≥ 30

NIENIENIENIE n1 lub n2 < 30 zał.: σ1 = σ2

<?@< = �&ś0 − ��ś0-DE $5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) ztest

5<?@< = �&ś0 − ��ś0-DE $5. Obliczyć wartość ttest

10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji


10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji

Tab. 8 Dane wejściowe xxxxiiii, , , , yyyyiiii Zestaw par danych dla tych samych jednostek z tej samej populacji

zzzziiii Zestaw przyrostów zi = yi – xi zzzzśrśrśrśr Przyrost średni sssszzzz Odchylenie standardowe przyrostów (zwykłe, N) nnnn Liczebność próby αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu

Wybór testu Wybór testu Wybór testu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowej


1. Test dla hipotez

H0: mz ≥ 0

H1: mz < 0

1. Test dla hipotez

H0: mz = 0

H1: mz ≠ 0

5:0;< = 5);6�& = −=5&�);6�&>$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. lewostronny

dla p = α i df = n–1 st. swobody

5:0;< = 5&�)/�;6�&$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny

dla p = 1–α/2 i df = n–1 st. swobody

1. Test dla hipotez

H0: mz ≤ 0

H1: mz > 0

5:0;< = 5&�);6�&$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny


5<?@< ≤$ 5:0;< $


<?@< ≤$ :0;<$$lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$


lub

5<?@< ≥$ 5:0;< $


<?@< ≥$ :0;<$$lub


5<?@< = ś0-! �, − 1$2. Obliczyć wartość testową ttest

11. Test dla wariancji w populacji generalnej


11. Test dla wariancji w populacji generalnej

Tab. 9 Dane wejściowe

ssss2222 ŝŝŝŝ2222

Jedna z wariancji wariancja obliczona z dużej próby (zwykła, N) wariancja obliczona z dużej próby (skorygowane, N–1)

nnnn Liczebność próby σσσσ22220000 Testowana wartość wariancji w populacji generalnej αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu


Weryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezyyyy testowtestowtestowtestowejejejej

1. Test dla hipotezy

H0: σ2 = σ

20

H1: σ2 > σ

20

:0;< =$ &�)$7:0;<� = 7&�);6�&� $

2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronnyprawostronnyprawostronnyprawostronny

dla p = 1–α lub


7<?@<� >$7:0;<� $


<?@< >$ :0;<$$lub

2. Test χ Wartość testowa ma rozkład χ2

1. Czy badana próba była duża (n ≥ 30)?

2. Test Z Wartość testowa ma rozkład normalny

TAK, n ≥ 30NIE, n < 30

7<?@<� = ,-��J� $

7<?@<� = �, − 1�-.��J� $

3. Obliczyć wartość testową χ2

test

lub

<?@< = 82,-��J� −�2, − 3$

<?@< = 82�, − 1�-.��J� −�2, − 3$

3. Obliczyć wartość testową ztest

lub

12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen.


12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen.

Tab. 10 Dane wejściowe wwwwpppp Wskaźnik struktury obliczony z próby wwww0000 Testowana wartość wskaźnika struktury w populacji generalnej nnnn Liczebność próby (powinna być wielka > 120) αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu



1. Test dla hipotez

H0: w ≥ w0

H1: w < w0

1. Test dla hipotez

H0: w = w0

H1: w ≠ w0

:0;< = ) = −� &�)�$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny

dla p = α

:0;< =$ &�)/�$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny

dla p = 1–α/2

1. Test dla hipotez

H0: w ≤ w0

H1: w > w0

:0;< =$ &�)$2. Znaleźć wartość krytyczną

Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny

dla p = 1–α


<?@< ≤$ :0;<$$3. Zweryfikować hipotezy

H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$3. Zweryfikować hipotezy

H0 można odrzucić, gdy

<?@< ≥$ :0;<$$


-Q = 89J�1 − 9J�, $2. Obliczyć sw

<?@< = 9R −9J-Q $3. Obliczyć wartość testową ztest

13. Test zgodności χ2


13. Test zgodności χ2


[n][n][n][n] Badany rozkład cechy z częstościami bezwzględnymi ni (np. rozkład empiryczny z próby)

[np][np][np][np] Rozkład odniesienia z częstościami bezwzględnymi npi

(np. teoretyczny rozkład cechy) iiii Ilość wartości (wariantów) cechy, na przykład ilość klas αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu


1. Hipotezy testowe

H0: oba rozkłady są zgodne

H1: oba rozkłady są niezgodne (są różne)

7<?@<� = S�,T − ,'T��,'TT$

2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ2

test

Do obliczenia wartości testowej można posłużyć sie tabelą:

Wartość

cechy

Częstości

rozkładu

badanego

n

Częstości

rozkładu

odniesienia

np

χ2

xxxx1111 n1 np1 χ21

xxxx2222 n2 np2 χ21 ............ ... ... ... xxxxiiii ni npi χ2i χχχχ2222testtesttesttest ==== ΣΣΣΣ χχχχ2222iiii

3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny $7:0;<� = 7&�);T�&� $

dla p = 1–α i df = i–1 st. swobody

7<?@<� >$7:0;<� $4. Zweryfikować hipotezy


14. Test niezależności χ2


14. Test niezależności χ2


[n][n][n][n] Tablica korelacyjna rozkładu empirycznego dwóch cech X i Y z częstościami bezwzględnymi ni

[np][np][np][np] Tablica rozkładu cech teoretycznie niezależnych X i Y iiii Ilość wartości cechy X jjjj Ilość wartości cechy Y αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu

Zasada kZasada kZasada kZasada konstrukcjonstrukcjonstrukcjonstrukcjiiii tablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnych

n: X \ Y y1 y2 ... yj Sumy

xxxx1111 n11 n12 ... n1j Σn1j

xxxx2222 n21 n22 ... n2j Σn2j ............ ... ... ... ... ... xxxxiiii ni1 ni2 nij Σnij

SumSumSumSumyyyy Σni1 Σni1 ... Σnij N

np: X \ Y y1 y2 ... yj

xxxx1111 U,TV ∙ U,&VW $ itd.

xxxx2222 ............ xxxxiiii

Podobnie, dla każdego pola tabeli np należy wykorzystać sumy z odpowiadających mu wierszy i kolumn w tabeli n.


1. Hipotezy testowe

H0: obie cechy są niezależne

H1: obie cechy są zależne

7<?@<� = S=,TV − ,'TV>�,'TVTV$

2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ2

test

Jest to suma pól tablicy χ2

3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronnyprawostronnyprawostronnyprawostronny $7:0;<� = 7&�);KL� $

dla p = 1–α i df = (i-1)(j-1) st. swobody

7<?@<� >$7:0;<� $4. Zweryfikować hipotezy


7� = =,TV − ,'TV>�,'TV $2. Zbudować tablicę χ

2

Dla każdej odpowiadającej sobie pary pól z tablicy n i np obliczyć

15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1)


15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) Tablica zawiera wartości F(z) — dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od -∞ do z.

zzzz 0000 0,010,010,010,01 0,020,020,020,02 0,030,030,030,03 0,040,040,040,04 0,050,050,050,05 0,060,060,060,06 0,070,070,070,07 0,080,080,080,08 0,090,090,090,09

0000,0,0,0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,10,10,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,20,20,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,30,30,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,40,40,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,50,50,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,60,60,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,70,70,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,80,80,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,90,90,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1111,0,0,0,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,11,11,11,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,21,21,21,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,31,31,31,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,41,41,41,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,51,51,51,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,61,61,61,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,71,71,71,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,81,81,81,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,91,91,91,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2222,0,0,0,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,12,12,12,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,22,22,22,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,32,32,32,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,42,42,42,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,52,52,52,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,62,62,62,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,72,72,72,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,82,82,82,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,92,92,92,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3333,,,,0000 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,13,13,13,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,23,23,23,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,33,33,33,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,43,43,43,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,53,53,53,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

F(z) — pole pod krzywą N(0;1) od -∞ do z

��X ∈ ��;�� = �� − ��$��− � = 1 − �� $

Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]:

Wartości F dla ujemnych z:

z

16. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne


16. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu t-Studenta. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej t.

PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo

pppp 0,90,90,90,9 0,950,950,950,95 0,9750,9750,9750,975 0,980,980,980,98 0,990,990,990,99 0,9950,9950,9950,995 0,9990,9990,9990,999 0,99950,99950,99950,9995

Istotność Istotność Istotność Istotność αααα = 2(1= 2(1= 2(1= 2(1----p)p)p)p) dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.

0,20,20,20,2 0,10,10,10,1 0,050,050,050,05 0,040,040,040,04 0,020,020,020,02 0,010,010,010,01 0,0020,0020,0020,002 0,0010,0010,0010,001

Istotność Istotność Istotność Istotność α = (1α = (1α = (1α = (1----p)p)p)p) jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.

0,0,0,0,1111 0,0,0,0,05050505 0,00,00,00,025252525 0,00,00,00,02222 0,00,00,00,01111 0,00,00,00,005050505 0,000,000,000,001111 0,000,000,000,0005050505

df = df = df = df = 1111 3,0777 6,3138 12,7062 15,8945 31,8205 63,6567 318,3088 636,6192

2222 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9646 9,9248 22,3271 31,5991

3333 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8409 10,2145 12,9240

4444 1,5332 2,1318 2,7764 2,9985 3,7469 4,6041 7,1732 8,6103

5555 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8934 6,8688

6666 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2076 5,9588

7777 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9980 3,4995 4,7853 5,4079

8888 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5,0413

9999 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2968 4,7809

10101010 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4,5869

11111111 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0247 4,4370

12121212 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178

13131313 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4,2208

14141414 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4,1405

15151515 1,3406 1,7531 2,1314 2,2485 2,6025 2,9467 3,7328 4,0728

16161616 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6862 4,0150

17171717 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651

18181818 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3,9216

19191919 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5794 3,8834

20202020 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3,8495

21212121 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5272 3,8193

22222222 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3,7921

23232323 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676

24242424 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7969 3,4668 3,7454

25252525 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251

26262626 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3,7066

27272727 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3,6896

28282828 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739

29292929 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3962 3,6594

30303030 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460

40404040 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510

50505050 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960

60606060 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602

80808080 1,2922 1,6641 1,9901 2,0878 2,3739 2,6387 3,1953 3,4163

100100100100 1,2901 1,6602 1,9840 2,0809 2,3642 2,6259 3,1737 3,3905

120120120120 1,2886 1,6577 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3,3735

150150150150 1,2872 1,6551 1,9759 2,0718 2,3515 2,6090 3,1455 3,3566

200200200200 1,2858 1,6525 1,9719 2,0672 2,3451 2,6006 3,1315 3,3398

300300300300 1,2844 1,6499 1,9679 2,0627 2,3388 2,5923 3,1176 3,3233

400400400400 1,2837 1,6487 1,9659 2,0605 2,3357 2,5882 3,1107 3,3150

500500500500 1,2832 1,6479 1,9647 2,0591 2,3338 2,5857 3,1066 3,3101

600600600600 1,2830 1,6474 1,9639 2,0582 2,3326 2,5840 3,1039 3,3068

700700700700 1,2828 1,6470 1,9634 2,0576 2,3317 2,5829 3,1019 3,3045

800800800800 1,2826 1,6468 1,9629 2,0571 2,3310 2,5820 3,1005 3,3027

900900900900 1,2825 1,6465 1,9626 2,0567 2,3305 2,5813 3,0993 3,3014

1000100010001000 1,2824 1,6464 1,9623 2,0564 2,3301 2,5808 3,0984 3,3003

∞∞∞∞ 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3263 2,5758 3,0902 3,2905

17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne

19

17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu chi-kwadrat. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej χ2.

Prawd.Prawd.Prawd.Prawd. pppp = 1= 1= 1= 1---- αααα

0,0050,0050,0050,005 0,010,010,010,01 0,0250,0250,0250,025 0,050,050,050,05 0,10,10,10,1 0,20,20,20,2 0,80,80,80,8 0,90,90,90,9 0,950,950,950,95 0,9750,9750,9750,975 0,990,990,990,99 0,9950,9950,9950,995

αααα = = = = 1111----pppp prawostr.prawostr.prawostr.prawostr. ob. kryt.ob. kryt.ob. kryt.ob. kryt.

0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

df = df = df = df = 1111 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879

2222 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597

3333 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838

4444 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860

5555 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750

6666 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548

7777 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278

8888 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955

9999 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589

10101010 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188

11111111 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757

12121212 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300

13131313 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819

14141414 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319

15151515 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801

16161616 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267

17171717 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718

18181818 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156

19191919 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582

20202020 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997

21212121 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401

22222222 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796

23232323 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181

24242424 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559

25252525 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928

26262626 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290

27272727 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645

28282828 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993

29292929 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336

30303030 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672

40404040 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766

50505050 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490

60606060 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952

70707070 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 79,715 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215

80808080 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 90,405 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321

90909090 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 101,054 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299

100100100100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87,945 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169

110110110110 75,550 78,458 82,867 86,792 91,471 97,362 122,250 129,385 135,480 140,917 147,414 151,948

120120120120 83,852 86,923 91,573 95,705 100,624 106,806 132,806 140,233 146,567 152,211 158,950 163,648

150150150150 109,142 112,668 117,985 122,692 128,275 135,263 164,349 172,581 179,581 185,800 193,208 198,360

200200200200 152,241 156,432 162,728 168,279 174,835 183,003 216,609 226,021 233,994 241,058 249,445 255,264

300300300300 240,663 245,972 253,912 260,878 269,068 279,214 320,397 331,789 341,395 349,874 359,906 366,844

400400400400 330,903 337,155 346,482 354,641 364,207 376,022 423,590 436,649 447,632 457,305 468,724 476,606

500500500500 422,303 429,388 439,936 449,147 459,926 473,210 526,401 540,930 553,127 563,852 576,493 585,207

18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne


18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne

Rozkład normalnyRozkład normalnyRozkład normalnyRozkład normalny

Dystrybuanta rozkładu normalnego

TabliceTabliceTabliceTablice W tablicy znaleźć wartość poszukiwanego prawdopodobieństwa p, odczytać z pierwszej kolumny i nagłówka tablicy wartość zp

Arkusz Arkusz Arkusz Arkusz kalk.kalk.kalk.kalk.

=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p)

Rozkład tRozkład tRozkład tRozkład t----StudentaStudentaStudentaStudenta

Wartości kryt. rozkładu t-Studenta

TabliceTabliceTabliceTablice

Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p (lub odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody


Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.T.ODW(2*(1-p); df) Wartość krytyczna obustronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(α; df) Wartość krytyczna jednostronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(2*α; df) dla danej ilości stopni swobody df

RRRRozkład ozkład ozkład ozkład χχχχ2222

Wartości kryt. rozkładu χ2

TabliceTabliceTabliceTablice

Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p (lub odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody


Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.CHI.ODW((1-p); df) Wartość krytyczna prawostr. dla istotności α =ROZKŁAD. CHI.ODW(α; df) dla danej ilości stopni swobody df

p = 1 – α

Przykładowa wartość krytyczna lewostronna

p = α

z1–α zα

= – (z1–α)

z

f(z)

p = 1 – α

Przykładowa wartość krytyczna obustronna

p = α/2

t1–α/2

tα/2

= – (t1–α/2)

t

p = α/2

f(t)

p = 1 – α

Przykładowa wartość krytyczna prawostronna

χ21–α

χ2

p = α

f(χ2)

Tablice do statystyki matematycznej

Documents

Transcript of Tablice do statystyki matematycznej