1

Analityka chemiczna

Podstawy statystyki

Marek Kręglewski

mkreg@amu.edu.pl, tel. 618291387

2

Program zajęć

Opis i wyjaśnienie sposobu porządkowania i przedstawiania

danych doświadczalnych. Rozkład dla zmiennej losowej

dyskretnej i ciągłej. Zagadnienia próbkowania populacji.

Estymatory wartości środkowej i wariancji. Rozkłady

Gaussa i Studenta. Testowanie hipotezy statystycznej.

Statystyczne opracowanie wyników pomiarów. Inne

rozkłady statystyczne. Metoda najmniejszych kwadratów.

Regresja liniowa. Problemy korelacji. Obliczanie wariancji

wielkości złożonych. Zaokrąglanie liczb.

3

Podstawowe definicje

• Statystyka – badanie zbiorów danych (statystyka

matematyczna i opisowa)

• Przedmiot analizy statystycznej – obserwacja,

zdarzenie w relacji wartość ↔ częstotliwość

(rozkład)

• Populacja – zbiór wszystkich danych

• Próbka n-elementowa – n obserwacji

• Cel analizy statystycznej – ustalenie relacji

między próbką a populacją

4

Typy danych

Ilościowe/numeryczne

Jakościowe/

nienumeryczne

Przykłady:

•Kolor

•Barwa głosu

Dyskretne (całkowite)

Przykłady:

•Liczba osób

•Orzeł lub reszka

•Kostka do gry

Ciągłe (rzeczywiste)

Przykłady:

•Temperatura

•Waga

•Długość

Cechy statystyczne Cechy stałe – przyporządkowanie do zbiorowości (rzeczowe, przestrzenne, czasowe)

Cechy zmienne – mierzalne lub niemierzalne

Skale pomiarowe

5

nominalne - relacja: równe ↔ różne; pomiar polega na zastosowaniu liczby jako nazwy,

czyli grupowaniu jednostek w klasy (kategorie), którym przypisuje się nazwy czy liczby,

np. studenci wg rodzaju studiów, szczególny przypadek - skala dychotomiczna

(dwupunktowa)

porządkowe - relacja: większe ↔ mniejsze; pomiar polega na grupowaniu jednostek w

klasy (kategorie), którym przypisuje się nazwy lub liczby i porządkuje się te klasy ze

względu na stopień natężenia, w jakim posiadają one badaną cechę

przedziałowe - relacja: większe o tyle; pomiar występuje wtedy, gdy uporządkowany

zbiór wartości cechy składa się z liczb rzeczywistych, ZERO w tej skali ustalone jest

dowolnie, np. skala Celsjusza i Fahrenheita, skala pozwala stwierdzić tylko o ile jest coś

wyższe

stosunkowe (ilorazowe) - relacja: tyle razy większe; spełnia wszystkie aksjomaty liczb,

pomiary w tej skali charakteryzują się stałymi ilorazami i zerem bezwzględnym, tylko w tej

skali możliwe jest porównywanie jednostek za pomocą względnych charakterystyk: np.

jeden obiekt jest dwa razy cięższy od drugiego

Statystyki opisowe w Excelu

6

•średnia arytmetyczna x

•odchylenie standardowe s

•wariancja s2

•kurtoza K

•skośność q

•mediana wartość środkowa

•wartość maksymalna xmax

•wartość minimalna xmin

•rozstęp R = xmax - xmin

•klasy liczba klas=(liczebność próbki)1/2

Statystyka opisowa zajmuje się wstępnym opracowaniem wyników

pomiarów (próbki) bez posługiwania się rachunkiem prawdopodobieństwa.

7

Prawdopodobieństwo = P(A)

A, B są podzbiorami należącymi do zbioru Ω

Własności prawdopodobieństwa

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P(Ω) = 1

• Jeżeli A i B wykluczają się wzajemnie, wtedy

P(A lub B) = P(A) + P(B)

• Jeżeli A i B nie wykluczają się wzajemnie, wtedy

P(A lub B) = P(A) + P(B) – P(A i B)

Obliczenie prawdopodobieństwa: P(A) = nA/n

gdzie nA – liczba zdarzeń realizujących A

n – ogólna liczba zdarzeń

8

Prosty rozkład

Średnia arytmetyczna:

Wariancja:

Odchylenie standardowe:

n

1kkk xPx

2n

1kkk

2 xxP

2

Rzut kostką do gry:

P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = 1/6

9

Doświadczenia z kostką

7078.1

1235

5.32

7x

2

2076.1

2435

5.32

7x

2

Rzuty 1 kostką

0

1/6

1 2 3 4 5 6

Średnia rzutów 2 kostkami

0

1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

7/36

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

10

Kostka do gry - obliczenia

n

1kkk xPx

2n

1kkk

2 xxP

27

61

61

61

61

61

61 654321x

12352

252

232

212

212

232

25

61

2

27

612

27

612

27

612

27

612

27

612

27

612 654321

11

Rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej ciągłej

a b

p(x)

x

1

dxxpxP

dxxpbxaP

b

a

p(x) – gęstość prawdopodobieństwa

12

Rzut monetą – orzeł czy reszka? Definicja: P(r)= prawdopodobieństwo r razy reszka (H)

1. Rzut jedną monetą: P(0)=P(1)=½

2. Rzut czterema monetami: P(0)=P(4)=(½)4= TTTT or HHHH

TTTH, TTHT, THTT, HTTT P(1)=P(3)=

TTHH,THHT,HHTT,THTH,HTHT,HTTH P(2)=

161

41

164

83

166

1432101616

161

164

166

164

161 PPPPPrP

r

r= 0 1 2 3 4

16 rzutów

teoria 1 4 6 4 1

doświadczenie 1 4 2 7 2

160 rzutów

teoria 10 40 60 40 10

doświadczenie 13 36 61 40 10

1600 rzutów

teoria 100 400 600 400 100

doświadczenie 96 409 577 403 115

13

Wartości oczekiwane

243210

)(

161

164

166

164

161

rmonetycztery

rrPrliczbaoczekiwanaśredniar

r

rPrff

Prawo wielkich liczb

Gdy liczebność próbki N rośnie, średnia zmierza do wartości

oczekiwanej:

ffN

Oczekiwana wartość funkcji f

14

Rozkład Gaussa

Funkcja rozkładu Gaussa

2

2

2

x

e2

1,;xp

0

0.1

0.2

0.3

0.4

μ-4σ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ

15

Podstawowe własności rozkładu Gaussa

21xPdxxp

1xPdxxp

9973.03x3P

9545.02x2P

6827.0xP

μ-4σ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ

0.68

Jeżeli potrzebne są okrągłe liczby:

%9.99999.0290.3x290.3P

%9999.0576.2x576.2P

%9595.096.1x96.1P

%9090.0645.1x645.1P

16

Rozkład Gaussa

a μ b

Jak obliczyć?

b

a

?dxxpbxaP

Znormalizowany rozkład Gaussa

z1 0 z2

gdzie:

xz

dzzpzzzP2

1

z

z21

z jest zmienną zredukowaną

17

z 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07 -0.08 -0.09

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

-0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

-0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

-0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611

-1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

Dystrybuanta dla zmiennej znormalizowanej z

z 0

28100580

580

580

..zP

.zP

to,.ugdy

18

Przykład

Miesięczne płace w fabryce mają postać rozkładu Gaussa ze średnią

μ=3280 zł i odchyleniem standardowym σ=360 zł. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik zarabia:

a) Mniej niż 2800 zł

b) Więcej niż 3800 zł

c) pomiędzy 2800 zł a 3800 zł

μ= 3280

σ= 360

z1=(2800-3280)/360= -1.33333 P(z<-1.3333)= 0.0912

z2=(3800-3280)/360= 1.444444 P(z>1.4444)=P(z<-1.4444)= 0.0743

P(2800<x<3800)=P(-1.3333<z<1.4444)=1-P(z<-1.3333)-P(z<-1.4444)=

=1-0.0912-0.0743=0.8345

19

Centralne Twierdzenie Graniczne

Jeżeli jest średnią N niezależnych zmiennych, xi, gdzie i=1,2,3,...,N,

pochodzących z rozkładu o wartości środkowej μ i wariancji σ2, to

rozkład dla

(a) ma wartość oczekiwaną < > = μ,

(b) ma wariancję V( ) = σ2/N

(c) przyjmuje postać rozkładu Gaussa, gdy N →

x

x

x

x

NN

x

x2

2x

N

1ii

Wniosek: Odchylenie standardowe dla średniej jest

mniejsze niż dla rozkładu pojedynczych pomiarów

20

Przedział dla wartości środkowej

W serii n=144 pomiarów średnia wynosi a estymata odchylenia

standardowego . Wyznacz przedział, w którym wartość środkowa

rozkładu znajduje się z prawdopodobieństwem 0.95.

Rozwiązanie:

60x 9sx

75.0144

9

n

ss x

x

Dla P=0.95 zkrytyczna = 1.96

95.05.615.58P

5.1605.160P75.0*96.16075.0*96.160P

95.0s96.1xs96.1xP xx

21

Poziomy ufności i istotności

1-α

α/2 α/2

-Zα/2 Zα/2

Centralny przedział ufności = μ ± Zα/2 * σ

α – współczynnik istotności

(1-α) – współczynnik ufności

Zα/2 – wartość krytyczna

22

Liczebność próbki

Cel: określ centralny przedział ufności dla wartości

środkowej (x ± d), gdzie d jest dane, na poziomie

ufności (1-α):

2

2x

22x

2

x2

x2

d

Zn

nZd

Zd

Zxdx

23

Liczebność próbki - przykład

Załóżmy, że płatki owsiane paczkowane są zgodnie z

rozkładem Gaussa z wartością środkową 350 g i odchyleniem

standardowym 3 g. Ile paczek należy losowo wybrać, aby

określić ich średnią wagę z dokładnością ±2 g na poziomie

ufności (1-α) = 0.99 ?

152

358.2n

58.2Zthen,005.0)ZZ(PIf

005.02/99.012

2

22

22

24

Test statystyczny dla μ – testowanie hipotezy

„Czy wartość środkowa dla populacji wynosi μ0 ?”

Test statystyczny jest oparty o koncepcję dowodu

przez zaprzeczenie i składa się z 5 części:

1.Hipoteza zerowa oznaczona H0.

2.Hipoteza alternatywna oznaczona Ha.

3.Test statystyczny oznaczony T.S.

4.Obszar odrzucenia oznaczony O.O.

5.Wniosek

25

Przykład 1

Test zużycia paliwa dla 100 samochodów:

km100/l80.0skm100/l28.6x x

Czy na poziomie istotności α=0.05 możemy zaakceptować

zużycie paliwa μ0=6,10 l/100km podane przez producenta ?

0a

00

:H

:H

T.S. Rozkład Gaussa

65.1Z 65.1Z

25.210080.0

10.628.6Z

ns

x

s

xZ

x

0

x

0

O.O.

Wniosek: odrzucamy hipotezę zerową

26

Przykład 2 W 49 pokojach zamku średnia temperatura wynosi:

CsprzyCt t

35.080.20 Na czujnikach kontrolnych temperaturę ustawiono na 21ºC.

Czy na poziomie istotności α=0.05 możemy stwierdzić, że

czujniki pracują poprawnie?

0a

00

:H

:H

T.S. Rozkład Gaussa

96.1Z 2 96.1Z

0.44935.0

00.2180.20Z

ns

tZ

t

0

R.R.

Wniosek: odrzucamy hipotezę zerową

27

Podsumowanie

ns

xZ

dwustronnytest)

nyjednostrontest)

):H

)dane(:H

x

a

0

0

0

0

000

3

2

1

O.O. na poziomie istotności α. H0 odrzucona, jeżeli:

2ZZ)3

ZZ)2

ZZ)1

28

Błędy I i II rodzaju

Zasady podejmowania decyzji przy testach statystycznych

Stan rzeczywisty

Decyzja H0 prawdziwa H0 fałszywa

H0 odrzucona Błąd I rodzaju α Poprawnie: P=1-β

H0 nie odrzucona Poprawnie: 1-α Błąd II rodzaju β

α – poziom istotności 1-β – moc testu

β – prawdopodobieństwo nieodrzucenia fałszywej hipotezy H0

Hipoteza zerowa H0 Hipoteza alternatywna Ha

α

PRZYJĘTA ODRZUCONA PRZYJĘTA ODRZUCONA

β

29

5.7 6.7

Błędy I i II rodzaju H0: μ=6.1 Ha: μ=6.3

Odchylenie standardowe średniej = 0.1

Jak można rozróżnić obie hipotezy?

6.1 6.3

α

β

x

30

Jak zwiększyć moc testu?

5.7 6.7

5.7 6.7

6.1 6.3

β

05.0400n

1.0100n

1

x

x

P=1-β

31

Test dla różnicy dwóch środkowych μ1- μ2

1) Obie populacje mają jednakowe wariancje σ2

2) Porównuje się dwie próbki, po jednej z każdej populacji

3) Czy wartości środkowe obu populacji są równe?

2222

2111

snx

snx

H0: μ1- μ2 = 0

Ha: μ1- μ2 0 poziom istotności = α

Zα/2 dla df = n1+n2-2

2121

2

22

2

1121 11

2

11021

21nnnn

snsns

s

xxZ xx

xx

32

Test dla μ1- μ2: przykład

Wyniki badań z dwóch niezależnych laboratoriów:

H0: μ1- μ2 = 0

Ha: μ1- μ2 0 poziom istotności α=0.05

Zα/2=1.96 dla df = n1+n2-2=92+112-2=202

3.7s112n7.87x

8.9s92n3.90x

222

111

16.2198.1

7.873.90Z

198.1112

1

92

1

211292

3.711128.9192s

22

xx 21

Z > Zα/2 H0 odrzucona (wyniki z obu laboratoriów różnią się)

33

Estymata wariancji z próbki

1

1

10

11

21

1

2

2

2

1

22

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

1

2

2

n

xx

xxn

nxx

n

xxn

xn

xxn

xxxxxxnn

xxx

n

x

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

in

i

i

Jak wyznaczyć wariancję z małej próbki?

Estymata odchylenia standardowego:

11

2

n

xx

s

n

i

i

34

Rozkład t Studenta

xs

xtor

s

xxt 0

1) Stosowany dla małych próbek – estymata wariancji oszacowana z grubsza

2) Dla duzych próbek rozkład t zbliża się do rozkładu Gaussa

3) Kształ rozkładu zależy od liczby stopni swobody df

4) Zaproponowany przez Williama Gosseta w 1900 roku

Test hipotezy:

H0

Ha

Poziom istotności α

Próbka: x1, x2, …,xn

Estymata odchylenia standardowego s

Zmienna zredukowana:

Wartość krytyczna tα or tα/2

Jeżeli t> tα (test jednostronny)

lub t> tα/2 (test dwustronny), to H0 odrzucona

35

Rozkład t Studenta jednostronny 0.8 0.4 0.2 0.1 0.02 0.002

dwustronny 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.05 0.01 0.001 α

df df

1 0.325 0.727 1.376 3.078 6.314 12.706 63.657 636.619 1

2 0.289 0.617 1.061 1.886 2.920 4.303 9.925 31.599 2

3 0.277 0.584 0.978 1.638 2.353 3.182 5.841 12.924 3

4 0.271 0.569 0.941 1.533 2.132 2.776 4.604 8.610 4

5 0.267 0.559 0.920 1.476 2.015 2.571 4.032 6.869 5

6 0.265 0.553 0.906 1.440 1.943 2.447 3.707 5.959 6

7 0.263 0.549 0.896 1.415 1.895 2.365 3.499 5.408 7

8 0.262 0.546 0.889 1.397 1.860 2.306 3.355 5.041 8

9 0.261 0.543 0.883 1.383 1.833 2.262 3.250 4.781 9

10 0.260 0.542 0.879 1.372 1.812 2.228 3.169 4.587 10

200 0.254 0.525 0.843 1.286 1.653 1.972 2.601 3.340 200

0.253 0.524 0.842 1.282 1.645 1.960 2.576 3.291

36

Rozkład t Studenta - przykład

Test 9 profesorów daje średnią wartość IQ 128, z odchyleniem

standardowym s 15. Jaki jest 95% przedział ufności dla rzeczywistej

średniego IQ wszystkich profesorów?

59

15s

819df9n

x

Dla rozkładu Gaussa granice wyniosłyby 128 ± 1,96 sx ,

Tzn. <118,2 ; 137,8>

Dla rozkładu Studenta krytyczna wartość tα/2 dla df = 8 wynosi 2,306

Granice są szersze <116,5 ; 139,5>

37

Test χ2 dobroci dopasowania

Danymi jest zbiór niezależnych pomiarów N par liczb x i y, przy czym

wartości x są dokładne, a każda wartość yi zmierzona jest z błędem

σi. Funkcja f(x) daje idealną (modelową) wartość y dla danego x.

Wtedy χ2 wynosi:

N

1i2i

2ii2 xfy

N

P(χ2)

χ2

α

df = N-1

38

Test χ2 dobroci dopasowania

Testujemy liczbę zdarzeń należących do i-tej kategorii. Zdarzenia

podlegają rozkładowi Poissona.

N

1i i

2ii2

E

En

ni – rzeczywista liczba zdarzeń w i-tej kategorii

Ei – teoretyczna liczba zdarzeń w i-tej kategorii

Przykład: test dobroci kostki do gry w 300 próbach na poziomie α=0,1

Wyniki 1 2 3 4 5 6

ni 52 46 59 44 48 51

Ei 50 50 50 50 50 50

χ2=(52-50)2/50 + (46-50)2/50 + … + (51-50)2/50 = 2.84

df=6-1=5 χα2=9.24 χ2 < χα

2 Kostka OK

H0: χ2=0

Ha: χ2 0

df = N - 1

39

Test dla wariancji populacji

Zmienność populacji jest czasem bardziej istotna niż jej wartość środkowa.

Estymata wariancji próbki:

1n

xx

s

n

1i

2i

2

może być użyta do badania wariancji populacji σ2.

Wielkość (n-1)s2/σ2 zachowuje się zgodnie z rozkładem chi2 dla df=n-1.

Przedział ufności dla σ2 określa nierówność:

2L

22

2U

2 s1ns1n

gdzie …

40

Dolna i górna wartości krytyczne dla χ2

χ2

p(χ2)

χL2 χU

2

α/2 α/2

df=n-1

41

Przykład: czas reakcji kierowców

Zmienność czasu reakcji była testowana na grupie 7 kierowców a

wyniki w ms są następujące:

120, 102, 135, 115, 118, 112 124

Określ przedział dla wariancji populacji σ2 dla czasu reakcji na

poziomie ufności 1-α = 0.90

6.191.7

23.385033.50

6354.1

105*6

5916.12

105*6

5916,126354.1105s

05.02

617df118x

2

2

2U

2L

2

42

Test dla wariancji dwóch populacji

Czy wariancje σ12 i σ2

2 dla dwóch populacji są równe?

Wiedza o wariancjach pochodzi z dwóch niezależnych próbek,

z których oblicza się estymatory wariancji s12 and s2

2 .

22

21

22

22

21

21

s

sF

s

s

F

Właściwości rozkładu F :

1. F przyjmuje tylko wartości dodatnie

2. F jest niesymetryczny

3. Jest wiele rozkładów F związanych

z liczbą stopni swobody, df1 i df2,

odpowiednio dla s12 i s2

2.

4. Dla hipotezy zerowej σ12=σ2

2, rozkład F

przyjmuje postać:

5. Tabele rozkładu zbudowane są przy

założeniu, że s12>s2

2

43

Rozkład F

44

df2/df1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161.4476 199.5 215.7073 224.5832 230.1619 233.986 236.7684 238.8827 240.5433 241.8817

2 18.51282 19 19.16429 19.24679 19.29641 19.32953 19.35322 19.37099 19.38483 19.3959

3 10.12796 9.552094 9.276628 9.117182 9.013455 8.940645 8.886743 8.845238 8.8123 8.785525

4 7.708647 6.944272 6.591382 6.388233 6.256057 6.163132 6.094211 6.041044 5.998779 5.964371

5 6.607891 5.786135 5.409451 5.192168 5.050329 4.950288 4.875872 4.81832 4.772466 4.735063

6 5.987378 5.143253 4.757063 4.533677 4.387374 4.283866 4.206658 4.146804 4.099016 4.059963

7 5.591448 4.737414 4.346831 4.120312 3.971523 3.865969 3.787044 3.725725 3.676675 3.636523

8 5.317655 4.45897 4.066181 3.837853 3.687499 3.58058 3.500464 3.438101 3.38813 3.347163

9 5.117355 4.256495 3.862548 3.633089 3.481659 3.373754 3.292746 3.229583 3.178893 3.13728

10 4.964603 4.102821 3.708265 3.47805 3.325835 3.217175 3.135465 3.071658 3.020383 2.978237

11 4.844336 3.982298 3.587434 3.35669 3.203874 3.094613 3.01233 2.94799 2.896223 2.853625

12 4.747225 3.885294 3.490295 3.259167 3.105875 2.99612 2.913358 2.848565 2.796375 2.753387

13 4.667193 3.805565 3.410534 3.179117 3.025438 2.915269 2.832098 2.766913 2.714356 2.671024

14 4.60011 3.738892 3.343889 3.11225 2.958249 2.847726 2.764199 2.698672 2.645791 2.602155

15 4.543077 3.68232 3.287382 3.055568 2.901295 2.790465 2.706627 2.640797 2.587626 2.543719

Tabele rozkładu F dla α=0.05

(test jednostronny)

45

Przykład: test trwałości lekarstwa

Badano skuteczność lekarstwa po roku. Porównano próbkę wziętą z

linii produkcyjnej z inną po rocznym przechowywaniu (α=0.01).

105.083.910

058.037.1010

2

222

2

111

sxn

sxnPróbka 1:

Próbka 2:

35.5F01.0for.R.R

81.1058.0

105.0F:.S.T

:H

:H

9,9,01.0

22

21a

22

210

Hipotezy zerowej H0 nie można odrzucić (F<Fcritical)

Test na normalność rozkładu

46

Test Q-Dixona

Test Grubbsa

Test Kołmogorowa - Smirnowa z poprawką Lilleforsa, która jest

obliczana, gdy nie znamy średniej lub odchylenia standardowego

całej populacji.

Test Shapiro - Wilka - najbardziej polecany, ale może dawać błędne

wyniki dla próbek większych niż 2 tys.

Błąd gruby – test Deana Dixona

47

Liczba wyników Poziom ufności 1-α

0.90 0.95 0.98 0.99

3 0.886 0.941 0.972 0.988

4 0.679 0.765 0.846 0.889

5 0.557 0.642 0.729 0.760

6 0.482 0.560 0.644 0.698

7 0.434 0.507 0.586 0.637

8 0.399 0.468 0.543 0.590

9 0.370 0.437 0.510 0.555

10 0.349 0.412 0.483 0.527

Obliczamy parametr Q według wzoru: R

yyQ

12

gdzie y1 - wynik wątpliwy, y2 - wynik mu najbliższy, R - rozrzut wyników.

Wartości krytyczne parametru Q testu Deana Dixona

Wynik wątpliwy należy odrzucić, jeżeli obliczony parametr Q jest większy od odczytanej z tablicy krytycznej wartości dla wybranego poziomu istotności.