Podstawy Fizyki

Wykład 6

Elektrostatyka

2

Oddziaływanie elektromagnetyczne

to jedno z podstawowych oddziaływań.

Pozwala wyjaśnić nie tylko zjawiska elektryczne na poziomie makroskopowym, ale także na poziomie

atomów i cząsteczek.

3

Fakt doświadczalny:

Pocierając o siebie dwa ciała (np. pałeczkę ebonitową kawałkiem sukna) powodujemy, że

ciała te ulegają naelektryzowaniu a w otaczającej je przestrzeni pojawia się

pole elektryczne.

Stan naelektryzowania nie jest trwale związany z ciałem. Można go przenieść na inne ciało.

Pole elektryczne w próżni

4

Kwantowanie ładunku elektrycznego

Ładunek elementarny

e = 1.602·10-19 C

Każdy ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego (kwantowanie ładunku)

neq Nn

Cała materia zbudowana jest z cząstek elementarnych o ładunku ujemnym, ładunku dodatnim i cząstek elektrycznie obojętnych.

5

Zasada zachowania ładunku elektrycznego

Algebraiczna suma ładunków w układzie izolowanym jest stała i nie zmienia się w czasie.

(wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały)

i

i constq

6

7

Prawo niezmienności ładunku elektrycznego

Wartość ładunku elektrycznego nie zależy od jego prędkości i jest taka sama we wszystkich układach inercjalnych.

8

Prawo Coulomba

Siła oddziaływania dwóch ładunków q1 i q2 jest wprost proporcjonalna do iloczynu wartości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu

odległości pomiędzy nimi:

r

r

r

qqkF

2

21

2

212108542,8Nm

Co

2

92

19 10

4 o

Nmk

C

dla próżni

Przenikalność elektryczna próżni

9

10

Dla ośrodka materialnego:

r

r

r

qqkF r

2

21

rork 4

1

0 r

Przenikalność względna ośrodka – wskazuje ile razy przenikalność bezwzględna ośrodka jest większa od przenikalności próżni.

11

Rodzaj dielektrykaPrzenikalność elektryczna względna r

olej transformatorowy 2 2,5

Amoniak (-34ºC – ciecz) 22

Chlorek sodu 6

porcelana 6 8

szkło 3,1 4,4

Powietrze, para wodna 1

Woda (ciecz) 80

Przenikalność względna ośrodka

12

Pole elektryczne

Natężenie pola elektrycznego definiujemy jako siłę działającą na ładunek próbny q (umieszczony w danym

punkcie przestrzeni) podzieloną przez wartość tego ładunku.

1q

FE

22

0

1

4

q rE

r r

dla ładunku punktowego:

Aby zmierzyć wartość natężenia pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, należy w tym punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na ten ładunek.

Ładunek próbny jest dodatni (umowa). Zwrot E jest taki sam jak zwrot F (działającej na ładunek dodatni)

13

Linie sił pola elektrycznego - tory do których styczne pokrywają się w każdym punkcie z wektorem natężenia pola elektrycznego. Kierunek i zwrot linii pola jest określony przez kierunek i zwrot wektora natężenia pola elektrycznego (sił działających na ładunek próbny).

Linie te mają początek i koniec - nie są to linie zamknięte.

14

15

Linie pola dla położonych blisko siebie dwóch ładunków

jednoimiennych różnoimiennych

16

Pole jednorodne - pole, w którego wszystkich punktach wektor natężenie pola

jest jednakowy (ma taką samą wartość, kierunek i zwrot; linie sił pola są

równoległe).

- - - - - -

+ + + + +

17

Natężenie pola elektrostatycznego w dowolnym punkcie przestrzeni jest sumą wektorową natężeń pól w tym punkcie, pochodzących od każdego z ładunków.

i

iEE

Dla ładunków punktowych mamy

210

1

4

ni i

i i i

Q r

r r

E

18

Dla ciągłego rozkładu ładunku mamy wzór

V

Vd4

13

0 rr

rrrrE

jest tzw. gęstością objętościową ładunku r

19

PrzykładCałkowity ładunek naładowanego pierścienia

o promieniu R wynosi Q. Jakie jest pole elektryczne na osi pierścienia w odległości z od środka?

32 20 2

1

4( )

z

zQE

z R

20

Strumień natężenia pola elektrycznego, ΦE

Strumień natężenia pola elektrostatycznego jest proporcjonalny do liczby linii pola elektrostatycznego przechodzących przez daną powierzchnię

cosEAAEEAE

21

Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę przyczynków od elementów tej powierzchni

powierzchnia

E E S

Suma ta przedstawia całkę powierzchniową

dS

E E S

22

Obliczmy strumień natężenia pola elektrycznego dla ładunku punktowego w odległości r od niego.W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę linii przez powierzchnię).

2 22

0 0 0

1 1(4 ) (4 ) 4

4 4

Q QE r r Q

r

E

+qOtrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r. Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa Q/0 i linie te „biegną” do nieskończoności.

23

Prawo Gaussa.

Strumień natężenia pola elektrycznego jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie od r więc jest to prawdą także dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która otacza ładunek Q).Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią Gaussa.

Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q1 i Q2. Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q1 i Q2 jest równa

1 2 1 1d ( )d d dc E E S E E S E S E S 1 2 1 2

0 0 0c

Q Q Q Q

E

Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez 0.

24

Podobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.

Otrzymujemy prawo Gaussa

..

0 0

1d 4

4wewn

wewn

QQ

E S

Strumień natężenia pola elektrycznego pochodzący od naładowanego ciała jest równy wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez 0.

25

Właściwości powierzchni Gaussa:

• jest to powierzchnia hipotetyczna – matematyczna konstrukcja myślowa,• jest dowolną powierzchnią zamkniętą – w praktyce powinna mieć kształt związany

z symetrią pola,• powierzchnia Gaussa przechodzi przez punkt, w którym obliczamy natężenie

pola.

Prawo Gaussa stosujemy do:-obliczenia natężenia pola elektrycznego gdy znamy rozkład ładunku, - znajdowania ładunku gdy znamy pole.

26

ProblemWyznaczyć natężenie pola elektrycznego dla objętościowo naładowanej kuli w funkcji odległości od jej środka korzystając z prawa Gaussa. Promień kuli jest równy R, gęstość ładunku .

Powierzchnia Gaussa r > R

R

r

Ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa

3

3

4RdVdVQ

RR VV

3

0

2

3

414 RrEdSE

rA

20

3

3 r

RE

r

27

Powierzchnia Gaussa r < R

R

r

Ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa

3

3

4rdVdVQ

rr VV

3

0 3

41rdSE

rA

3

0

2

3

414 rrEdSE

rA

r

rE

03

28

r

rE

03

20

3

3 r

RE

r

29

Przykłady innych powierzchni Gaussa

Dla nieskończenie długiej nitki, naładowanej ładunkiem o gęstości liniowej +

aE

o

2

+

dSdS dSE

E

Dla nieskończonej płyty (płaszczyzny) naładowanej ładunkiem o gęstości powierzchniowej +

02

E Niezależne od odległości!!!

30

Kondensator płaski

Układu dwóch, płaskich równoległych płyt

000 22

E 0E

0E

31

Potencjał elektryczny

Różnica energii potencjalnych między punkami A i B jest dana przez

B

A

pApB EE rF d

Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy:

co dla pola elektrycznego daje

B

A

B

A

pApB qEE rErF dd

r

p qrE rE d)(

32

Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ładunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej, czyli

0

1( )

4p

qQE r

r

jest energią potencjalną ładunków q i Q.

33

Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna przypadająca na ładunek jednostkowy

Potencjał elektryczny

q

W

q

rErV rp

)()(

Dla ładunku punktowego

0

1

4

QV

r

34

Powierzchnia ekwipotencjalnaPowierzchnia ekwipotencjalna - powierzchnia jednakowego potencjału czyli zbiór wszystkich punktów, w których potencjał pola elektrostatycznego ma taką samą wartość.

35

Potencjał elektryczny to praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do r od ładunku punktowego Q.

Różnica potencjałów elektrycznych, czyli napięcie elektryczne U pomiędzy dwoma punktami to praca potrzebna do przeniesienia ładunku

jednostkowego między tymi punktami

B

A

ABAB q

WUVV rEd

Napięcie elektryczne