Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel

Podstawy fizyki II

Warszawa 2012

Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Kierunek studiów "Edukacja techniczno informatyczna"

02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel. (22) 849 43 07, (22) 234 83 48

ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: sto@simr.pw.edu.pl

Opiniodawca: prof. dr hab. Władysław BOGUSZ

Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK

Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ

Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI

Publikacja bezpłatna, przeznaczona dla studentów kierunku studiów ”Edukacja

techniczno informatyczna”.

Copyright © 2012 Politechnika Warszawska

Utwór w całości ani we fragmentach nie moŜe być powielany

ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych,

kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw

autorskich.

ISBN 83-89703-56-4

Druk i oprawa: STUDIO MULTIGRAF SP. Z O.O.,

ul. Ołowiana 10, 85-461 Bydgoszcz

Spis treści

Wstęp...................................................................... 7

12. Magnetyzm ....................................................... 9

12.1 Pole magnetyczne...................................................................... 10

12.2 Ruch ładunku w polu magnetycznym ....................................... 11

12.3 Pole magnetyczne prądu............................................................ 17

12.4 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej .................................... 27

12.5 Magnetyczne własności materii................................................. 37

12.6 Energia pola magnetycznego..................................................... 43

13. Obwody prądu zmiennego ............................. 47

13.1. Impedancja ............................................................................... 48

13.2. Drgania elektryczne.................................................................. 51

13.3. Drgania tłumione w obwodzie RLC......................................... 56

13.4. Moc w obwodach prądu zmiennego ......................................... 59

14. Fale ................................................................. 61

14.1. Co to jest fala............................................................................ 62

14.2. Równanie róŜniczkowe fali ...................................................... 63

14.3. Superpozycja fal ....................................................................... 66

14.4. Fale stojące ............................................................................... 67

14.5. Fala akustyczna ........................................................................ 69

14.6. Energia fali ............................................................................... 70

14.7. Efekt Dopplera.......................................................................... 72

15. Fale elektromagnetyczne ............................... 75

15.1. Widmo fal elektromagnetycznych............................................ 76

15.2. Równania Maxwella ................................................................. 76

15.3. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej.............................. 79

15.4. Wektor Poyntinga..................................................................... 81

16. Optyka ............................................................ 85

16.1. Prawa załamania i odbicia światła............................................ 86

16.2. Optyka geometryczna ............................................................... 93

16.3. Polaryzacja ............................................................................. 101

16.4. Interferencja............................................................................ 103

16.5. Dyfrakcja ................................................................................ 106

17. Szczególna teoria względności .................... 111

17.1. Szczególna teoria względności ............................................... 112

17.2. Transformacja Lorentza.......................................................... 114

17.3. Konsekwencje przekształceń Lorentza................................... 116

17.4. Dynamika relatywistyczna ..................................................... 121

18. Fizyka kwantowa.......................................... 125

18.1. Prawa promieniowania ........................................................... 126

18.2. Kwantowa natura promieniowania......................................... 131

18.3. Dualizm korpuskularno-falowy.............................................. 140

19. Fizyka atomu i fizyka jądra atomowego ...... 143

19.1. Budowa atomu........................................................................ 144

19.2. Jądro atomowe........................................................................ 153

19.3. Promieniotwórczość ............................................................... 157

19.4. Rozpady promieniotwórcze.................................................... 160

19.5. Reakcje jądrowe ..................................................................... 165

20. Elementy mechaniki kwantowej .................. 173

20.1. Właściwości falowe materii.................................................... 174

20.2. Funkcja falowa i równanie Schrödingera ............................... 178

20.3. Rozwiązania równania Schrödingera

dla wybranych potencjałów.................................................... 181

20.4. Kwantowy model atomu......................................................... 186

21. Fizyka ciała stałego ...................................... 193

21.1. Wiązania chemiczne ............................................................... 194

21.2. Struktury krystaliczne............................................................. 200

Strona 5555

21.3. Model pasmowy ciał stałych .................................................. 205

21.4. Urządzenia półprzewodnikowe .............................................. 214

21.5. Lasery ..................................................................................... 223

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu

Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego przez

Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego –

PROGRAM OPERACYJNY KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla

studentów kierunku „Edukacja techniczno-informatyczna” na Wydziale

Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej.

Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. „Podstawy

Fizyki”. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi

opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu.

Skrypt stanowi drugą część opracowanych materiałów dydaktycznych,

stanowi kontynuację pierwszej części i dotyczy zagadnień omawianych

podczas drugiego semestru wykładów z ww przedmiotu. Opracowane

zagadnienia podzielone zostały na 10 rozdziałów.

W rozdziale 12 omówione zostały właściwości fizyczne pola magne-

tycznego, ruch ładunku i przewodnika z prądem w polu magnetycznym,

a takŜe magnetyczne właściwości materii.

Rozdział 13 dotyczy podstawowych właściwości obwodów prądu

zmiennego.

W rozdziale 14 wprowadzone pojęcia fali, fali stojącej, energii i natęŜe-

nia fali a takŜe opisano mechanizmy rozchodzenia i nakładania się fal.

W rozdziale 15 opisano podstawowe właściwości fal elektromagnetycz-

nych oraz równania Maxwella.

Rozdział 16 dotyczy optyki geometrycznej oraz podstawowych zjawisk

optyki falowej takich jak interferencja, dyfrakcja czy polaryzacja.

W rozdziale 17 przedstawiono załoŜenia szczególnej teorii względności,

elementy mechaniki relatywistycznej oraz konsekwencje przekształceń Lorentza.

Rozdział 18 stanowi wprowadzenie do zagadnień fizyki kwantowej,

omówione zostały zjawiska ukazujące korpuskularną naturę światła.

W rozdziale 19 opisana jest budowa atomu, w tym model Bohra atomu

wodoru, a takŜe zagadnienia z fizyki jądrowej dotyczące rozpadów pro-

mieniotwórczych i reakcji jądrowych.

Rozdział 20 poświęcony jest mechanice kwantowej. Przedstawiono

w nim między innymi zasadę nieoznaczoności Heisenberga, równanie

Schrödingera wraz z rozwiązaniami dla prostych układów kwantowych

oraz kwantowy model atomu.

W rozdziale 21 przedstawiono elementy fizyki ciała stałego w tym pod-

stawowe informacje o wiązaniach chemicznych, strukturze krystalicznej

a takŜe o strukturze pasmowej ciał stałych.

12 Magnetyzm

W tym rozdziale:

o Ruch ładunku w polu magnetycznym, siła Lorentza o Przewodnik z prądem w polu magnetycznym, silnik

elektryczny o Pole magnetyczne prądu, prawo Biota-Savarta,

prawo Ampera o Magnetyczne własności materii, moment

magnetyczny elektronu, rodzaje magnetyków o Indukcja elektromagnetyczna, prawo indukcji

Faradaya o Prądnica, alternator o Indukcyjność, transformator o Energia pola magnetycznego

ROZDZIAŁ 12

Strona 10101010

12.1. Pole magnetyczne

Pierwsze wzmianki o wykorzystaniu zjawiska magnetyzmu pochodzą ze

staroŜytności. Kompasy wykorzystywane w nawigacji pojawiły się w Chinach około I wieku n.e. Dokładniejszy opis zjawisk magnetyzmu

zawdzięczamy jednak badaniom nad prądem elektrycznym, które

ujawniły bliski związek pola magnetycznego z elektrycznym i moŜ-liwość wzajemnej indukcji obu pól.

W przypadku pola elektrycznego, jego źródłem były ładunki elek-

tryczne. Układ ładunków dodatniego i ujemnego, umieszczonych

w stałej odległości od siebie określiliśmy jako dipol elektryczny. Odpo-

wiednikiem dipolu elektrycznego jest dipol magnetyczny, czyli magnes,

składający się z dwóch nierozdzielnych biegunów magnetycznych – pół-

nocnego N i południowego S. Biegun północny nie moŜe istnieć bez

południowego i jeśli rozdzielimy magnes sztabkowy w poprzek na dwie

połówki otrzymamy dwa magnesy zawierające równieŜ bieguny N i S.

Dalszy podział magnesu będzie prowadził do wytworzenia coraz mniej-

szych dipoli magnetycznych, aŜ otrzymamy najmniejszy niepodzielny

dipol zawierający równieŜ dwa bieguny.

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Pole magnetyczne nazywamy polem bezźródłowym. Linie takiego pola

są zawsze liniami zamkniętymi, nie mają początku ani końca jak w

przypadku pola elektrycznego. W prosty sposób moŜemy sformułować prawo Gaussa dla pola magnetycznego:

∫ =⋅ 0dSBrr

(12.1)

PoniewaŜ linie pola magnetycznego są zamknięte to całkowita wartość strumienia wektora indukcji pola magnetycznego prze-chodząca przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa zeru.

MAGNETYZM

Strona 11111111

12.2. Ruch ładunku w polu magnetycznym

Siła Lorentza

Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa

tzw. siła Lorentza. Działanie tej siły obserwujemy w przypadku, kiedy

ładunek porusza się, a wektor prędkości posiada składową prostopadłą do kierunku pola magnetycznego. W tym przypadku siła powoduje za-

krzywienie toru ruchu ładunku.

Rysunek 12.1. Siła Lorentza działająca na ładunek poruszający się w polu magnetycznym

MAGNETYCZNYM

Wartość siły Lorentza zaleŜy od wartości ładunku elektrycznego,

prędkości poruszania się tego ładunku i równieŜ od „siły” pola

magnetycznego. Aby scharakteryzować tę „siłę” pola magnetycznego

wprowadzamy wektor indukcji magnetycznej Br

. Wektor ten na

zewnątrz magnesu jest skierowany od bieguna północnego „N” do

bieguna południowego „S” magnesu. Jednostką indukcji jest tesla

====

222 m

s V

m

s

C

J

m C

s mN

sm C

N1T 1111 .

ROZDZIAŁ 12

Strona 12121212

Siłę Lorentza FL moŜemy wyrazić jako iloczyn ładunku q przez iloczyn wektorowy prędkości v

r

oraz wektora indukcji pola ma-

gnetycznego Br

:

BqFL

r

r

r

×= v (12.2)

Wektor siły Lorentza FL jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej

przez wektory v oraz B a jego zwrot moŜemy określić z reguły śruby

prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni (rozdział 1.3). Kierunek i zwrot

wektora siły Lorentza działającej na dodatni ładunek poruszający się z prędkością v prostopadłą do kierunku pola magnetycznego B pokazany

jest na rysunku 12.1.

W ogólnym przypadku ładunek moŜe znajdować się zarówno w polu

magnetycznym, jak i polu elektrycznym. Wypadkowa siła działająca

w takim przypadku na ten ładunek będzie złoŜeniem siły elektrostatycz-

nej oraz Lorentza:

BqEqFr

r

rr

×+= v (12.3)

Siła Lorentza powoduje zakrzywienie toru ruchu ładunku tak, Ŝe ładunek

poruszający się prostopadle do linii sił pola magnetycznego porusza się po okręgu. Siła Lorentza jest więc siłą dośrodkową działającą na ładunek

q o masie m poruszający się po okręgu o promieniu r :

r

mBq

FF dL

2v

v =

=

(12.4)

W powyŜszym przypadku wektory prędkości i indukcji są do siebie pro-

stopadłe, więc iloczyn wektorowy (jego wartość) moŜemy zastąpić zwy-

kłym mnoŜeniem. Z równania 12.4 otrzymujemy promień r okręgu, po

jakim porusza się ładunek q o masie m w polu magnetycznym o indukcji

B:

qB

mr

v= (12.5)

Po przekształceniach wzoru moŜemy przekonać się, Ŝe prędkość kątowa

w takim ruchu nie zaleŜy od prędkości postępowej ładunku:

MAGNETYZM

Strona 13131313

m

qBω

r=≡

v (12.6)

Przykłady

Przykładem wykorzystania działania siły Lorentza do zakrzywienia toru

ładunku jest cyklotron. W cyklotronie naładowane cząstki są przyspie-

szane polem elektrycznym pomiędzy tzw. duantami. Pole magnetyczne

zakrzywia tor lotu cząstki tak, Ŝe cząstka wraca ponownie w obszar po-

między duantami.

Rysunek 12.2 Schemat działania cyklotronu z zaznaczonym torem ładunku dodatniego

PoniewaŜ częstość obiegu cząstki nie zaleŜy od jej prędkości v (jak wy-

kazaliśmy we wzorze 12.6), moŜemy tak dobrać częstość przełączania

pola elektrycznego przyłoŜonego do duantów, by przyspieszało cząstkę zawsze, kiedy jest ona między duantami. Cząstka (np. elektron) wyemi-

towana w środku przyrządu, między duantami w miarę kolejnych przejść przez obszar pomiędzy duantami zwiększać będzie swoją prędkość, a więc i promień toru lotu cząstki tak, Ŝe w końcu opuści ona cyklotron.

W przypadku lampy katodowej telewizora kineskopowego strumień elektronów emitowany z rozgrzanej katody trafia w obszar skrzyŜowa-

nych pól magnetycznych. W ten sposób wiązka moŜe być odchylana w

pionie i w poziomie i kierowana w odpowiednie miejsce na kineskopie,

gdzie uderzając w warstwę luminoforu rozświetla dany punkt. Punkty

układają się w linie a linie składają się na kolejne „klatki” obrazu, które

ROZDZIAŁ 12

Strona 14141414

są wyświetlane jedna po drugiej na tyle szybko, Ŝe nasze oko nie za-

uwaŜa procesu odświeŜania obrazu.

W spektrometrze masowym najpierw za pomocą odpowiednich para-

metrów pola elektrycznego i magnetycznego selekcjonujemy cząstki

o identycznym ładunku i prędkości, które to cząstki następnie wlatują w obszar pola magnetycznego tak, Ŝe ich wektor prędkości jest prosto-

padły do wektora indukcji magnetycznej. PoniewaŜ ich ładunek

i prędkość są identyczne, jedynym parametrem wpływającym na pro-

mień toru cząstek w polu magnetycznym jest ich masa. Izotopy tego sa-

mego pierwiastka, posiadające ten sam ładunek, ale róŜniące się masą, będą poruszać się po róŜnych torach, co moŜemy wykryć za pomocą de-

tektora. Za pomocą spektrometru masowego moŜemy zatem badać skład

izotopowy pierwiastków wchodzących w skład związków chemicznych.

Jeśli prędkość cząstki posiada nie tylko składową prostopadłą do kie-

runku pola magnetycznego ale i składową równoległą do tego kierunku,

wówczas tor ruchu cząstki będzie linią śrubową. Z takim torem śrubo-

wym mamy do czynienia na przykład w zjawisku zorzy polarnej. Gdy

naładowane cząstki, powstałe w większości na Słońcu, wpadają w obszar

pola magnetycznego Ziemi, działająca na nie siła Lorentza powoduje za-

krzywienie toru ich lotu tak, Ŝe poruszają się one po torach śrubowych

wzdłuŜ linii Ziemskiego pola magnetycznego, w kierunku ziemskich

biegunów magnetycznych. PoniewaŜ linie sił pola magnetycznego za-

gęszczają się w pobliŜu biegunów magnetycznych Ziemi, koncentracja

naładowanych cząstek w tym rejonie jest stosunkowo duŜa. Podczas od-

działywania tych cząstek z atmosferą Ziemi powstaje promieniowanie,

które obserwujemy jako zorzę polarną.

Przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Jeśli przewodnik, przez który płynie prąd elektryczny znajduje się w polu magnetycznym, to na nośniki ładunku poruszające się wewnątrz

tego przewodnika działa siła Lorentza. JeŜeli we wzorze na siłę Lorentza

wartość ładunku q wyrazimy za pomocą natęŜenia I przepływającego

prądu oraz powiąŜemy prędkość nośników ładunku v z czasem t, w ja-

kim pokonują one odcinek przewodnika o długości l, to otrzymujemy

wzór na siłę Lorentza F działającą na nośniki ładunku poruszające się w przewodniku znajdującym się w polu magnetycznym o indukcji B :

MAGNETYZM

Strona 15151515

BIF

BIBt

tIBqFrrr

rrr

r

r

r

r

×=

×=×=×=

l

ll

v (12.7)

Siła ta nazywana elektrodynamiczną działając na przewodnik z prądem

jest wprost proporcjonalna do natęŜenia prądu I, długości przewodnika l

oraz indukcji pola magnetycznego B.

Silnik elektryczny

Siłę elektrodynamiczną wykorzystuje się w silnikach elektrycznych.

Rozpatrzmy uproszczony model silnika elektrycznego składającego się z pojedynczej ramki, w której płynie prąd, umieszczonej w polu magne-

tycznym o indukcji B, pomiędzy dwoma biegunami magnesu (w rze-

czywistym silniku jest to kilka ramek o wspólnej osi obrotu). Ramka ta

moŜe obracać się wokół własnej osi prostopadłej do kierunku wektora

indukcji magnesu stałego. JeŜeli przez ramkę płynie prąd o natęŜeniu I,

to na kaŜdy z boków ramki działa siła elektrodynamiczna ( BIFrrr

×= l )

skierowana prostopadle zarówno do kierunku przepływu prądu jak i do

kierunku pola magnetycznego (rysunek 12.3). Siły działające na boki

o długości a mają tę samą wartość, BaIF = , ale przeciwny zwrot

i w efekcie kompensują się. Wartość siły działającej na kaŜdy z boków

o długości b wynosi bBIF = . Siły te działają na ramieniu o długości

2a (odległość boku b od osi obrotu ramki wynosi 2a ) tak, Ŝe

efektywnie na ramkę działać będzie moment sił M :

( ) αBIAαbBIaM sinsin22 == (12.8),

gdzie B oznacza indukcję pola magnetycznego, I natęŜenie prądu płyną-cego w prostokątnej ramce o wymiarach a x b i polu powierzchni A, zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny (prostopadły) do płaszczyzny

ramki z wektorem Br

. Zwrot wektora normalnego wyznaczamy z reguły

śruby prawoskrętnej obracanej w kierunku opływania ramki przez prąd

elektryczny.

ROZDZIAŁ 12

Strona 16161616

Rysunek 12.3. Schemat zasady działania silnika elektrycznego prądu stałego

Moment siły działający na ramkę z prądem jest maksymalny, kiedy

płaszczyzna ramki jest równoległa do linii sił pola magnetycznego

(α=π/2). Jeśli ramka jest ustawiona prostopadle do kierunku pola

magnetycznego (α=0) to wypadkowy moment sił jest równy zeru. JeŜeli

ramka posiada jakąś prędkość obrotową to przechodzi przez „martwe”

połoŜenie, jeŜeli natomiast ramka silnika będzie nieruchoma w takim

połoŜeniu, to silnik nie moŜe ruszyć z miejsca. W praktyce w silnikach

elektrycznych stosuje się układ ramek (uzwojenia) znajdujące się pod

pewnym kątem względem siebie. Wówczas nawet, jeŜeli jedno

z uzwojeń znajdować się będzie w „martwym” połoŜeniu na inne będzie

działał niezerowy moment siły i silnik zacznie się obracać.

Ze wzoru 12.8 wynika, Ŝe moment siły działający na ramkę silnika bę-dzie dąŜył do jej ustawienia prostopadle do pola magnetycznego. Przy

ustalonym kierunku przepływu prądu w ramce, po przejściu ramki przez

„martwe” połoŜenie zmianie ulegnie zwrot momentu sił działających na

ramkę – ramka będzie chciała wrócić do „martwego” połoŜenia. W efek-

cie zamiast ruchu obrotowego, obserwowalibyśmy oscylacje ramki wo-

kół tego „martwego” połoŜenia. Aby uzyskać ruch obrotowy naleŜy

w momencie, gdy ramka silnika jest prostopadła do pola magnetycznego

zmienić kierunek przepływu prądu. Zmianę kierunku przepływu prądu

MAGNETYZM

Strona 17171717

w ramce zsynchronizowaną z obrotem ramki realizuje się za pomocą tzw. komutatora. Komutator zbudowany jest z dwóch elektrod

w kształcie półpierścienia osadzonych na osi obrotu ramki, do których

podłączone jest uzwojenie ramki. Po tych ruchomych elektrodach śli-zgają się grafitowe szczotki, do których przyłoŜone jest napięcie źródła.

Przeskok szczotek między półpierścieniami powoduje zmianę kierunku

przepływu prądu w ramce.

12.3. Pole magnetyczne prądu

Prawo Biota-Savarta

Kierunek linii pola magnetycznego moŜemy określić eksperymentalnie

za pomocą igły kompasu, która zawsze ustawia się wzdłuŜ linii pola ma-

gnetycznego. Jeśli taką igłę kompasu umieścimy w pobliŜu przewodnika

to moŜemy zaobserwować, Ŝe igła obróci się w momencie włączenia

prądu w przewodniku. Oznacza to, Ŝe przepływ prądu w przewodniku

jest źródłem pola magnetycznego. Przemieszczając igłę magnetyczną wokół przewodnika moŜemy określić kierunek i zwrot wektora indukcji

pola magnetycznego Br

w kaŜdym punkcie. W przypadku przewodnika

prostoliniowego linie pola magnetycznego tworzą okręgi w płaszczyźnie

prostopadłej do kierunku przepływu prądu elektrycznego. Kierunek

i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wo-

kół przewodnika moŜemy wyznaczyć z reguły śruby prawoskrętnej lub

reguły prawej dłoni. Jeśli przewodnik z prądem obejmiemy prawą dłonią tak, Ŝe kciuk wskazywać będzie kierunek przepływu prądu elektrycz-

nego, to zagięte palce dłoni wyznaczać nam będą zwrot wektora B in-

dukcji pola magnetycznego.

Wartość oraz zwrot wektora indukcji pola magnetycznego Br

d , po-

chodzącego od elementu dl przewodnika, przez który przepływa prąd

elektryczny o natęŜeniu I, wyznaczone w odległości r od tego elementu

dl, opisuje prawo Biota-Savarta:

3

0

4

dd

r

rIB

π

µr

r

r ×=

l (12.9),

ROZDZIAŁ 12

Strona 18181818

gdzie 0µ jest przenikalnością magnetyczną próŜni m

H 10 4 7

0−⋅= πµ ,

[ ]m

H

mA

sV

A

m

m

sV

20 111 ===µ . W powyŜszym wzorze wektor lr

d ma

zwrot zgodny z umownym zwrotem przepływu prądu w przewodniku,

a wektor rr

prowadzimy od elementu lr

d do punktu P, w którym

chcemy obliczyć wektor indukcji magnetycznej Br

(rysunek 12.4).

Rysunek 12.4. Wyznaczanie indukcji pola magnetycznego za pomocą prawa Biota Savarta

Pole magnetyczne pętli z prądem

Prostym przykładem zastosowania prawa Biota-Savarta moŜe być wy-

znaczenie indukcji B pola magnetycznego wytworzonego przez za-

mkniętą pętlę kołową o promieniu R, w której płynie prąd elektryczny o

natęŜeniu I. JeŜeli będziemy szukać indukcji B w punkcie znajdującym

się w środku tej pętli to odległość pomiędzy kaŜdym z fragmentów

przewodnika a punktem, w którym obliczamy pole jest stała i wynosi R.

RównieŜ wektory lr

d oraz rr

są do siebie prostopadłe w kaŜdym punk-

cie pętli, a więc szukając wartości dB indukcji pola magnetycznego po-

chodzącego od odcinka dl przewodnika otrzymamy:

MAGNETYZM

Strona 19191919

( )

2

0

3

0

4

d

4

sindd

R

I

R

RIB

π

µ

π

µ π ll==

2 (12.10)

PoniewaŜ kaŜdy z wektorów dB pochodzących od dowolnego fragmentu

dl przewodnika będzie miał ten sam kierunek i zwrot prostopadły do

płaszczyzny pętli, więc wypadkowy wektor indukcji pochodzący od ca-

łej pętli obliczymy, dokonując całkowania po całej długości okręgu:

∫=R

R

IB

π

π

µ2 d

0

2

0

4

l (12.11)

R

IB

20µ

= (12.12)

W podobny sposób moŜemy obliczyć indukcję pola magnetycznego

w punkcie połoŜonym na osi przechodzącej przez środek pętli (rysunek

12.5).

Rysunek 12.5. Obliczanie wektora indukcji pochodzącego od pętli z prądem

W tym przypadku naleŜy jednak pamiętać, Ŝe wektory dB pochodzące od

fragmentów dl pętli nie są równoległe, a więc w obliczeniach wypadko-

wego natęŜenia naleŜy uwzględnić tylko składowe wzdłuŜ osi pętli dBw.

Składowe prostopadłe do osi, czyli równoległe do płaszczyzny pętli, po-

chodzące od dwóch fragmentów dl ułoŜonych symetrycznie na okręgu

ROZDZIAŁ 12

Strona 20202020

będą się znosiły jak na rysunku 12.5. W takim przypadku wektor induk-

cji B w odległości Z od środka pętli wynosi:

( )( )3/222

20

2 ZR

IRZB

+=

µ (12.13)

MoŜna wykazać, Ŝe dla ramki z prądem o dowolnym kształcie, kierunek

i zwrot wektora B indukcji pola magnetycznego, wytworzonego przez

płynący w ramce prąd, jest prostopadły do płaszczyzny tej ramki. Ramka

taka moŜe być scharakteryzowana za pomocą momentu magnetycznego

µr

:

nIArr

=µ (12.14),

gdzie nr

jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni

ramki określonym prawoskrętnie w stosunku do kierunku przepływu

prądu o I płynącego w ramce, A – jest powierzchnią ramki. Kierunek

i zwrot wektora momentu magnetycznego ramki z prądem jest taki sam

jak kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego B wytwo-

rzony przez taką ramkę z prądem i taki sam jak wektora normalnego

ramki.

Przykładem urządzenia, w którym mamy do czynienia z oddziaływaniem

pola magnetycznego na pętlę z prądem jest głośnik. W większości gło-

śników w polu magnetycznym nieruchomego magnesu stałego umiesz-

czana jest cewka z prądem, która moŜe poruszać się tylko w jednym kie-

runku. Do cewki zamocowana jest membrana głośnika. W zaleŜności od

kierunku przepływu prądu w cewce, cewka i cała membrana są przycią-gane lub odpychane przez magnes, a drgania membrany wytwarzają falę dźwiękową.

Prawo Ampera

Prawo Ampera pozwala łatwo obliczyć indukcję pola magnetycznego

szczególnie w przypadkach, kiedy układ charakteryzuje się wysoką sy-

metrią.

KrąŜenie wektora indukcji po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe wypadkowemu natęŜeniu prądu przenikającemu przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnoŜonemu przez wartość przenikalności magnetycznej próŜni.

MAGNETYZM

Strona 21212121

∫ ∫ ==⋅ IθBB 0dcosd µllrr

(12.15),

gdzie B jest indukcją pola magnetycznego na konturze zamkniętym, dl –

wycinkiem tego konturu, θ – kątem między wektorem B oraz dl, zaś I wartością wypadkowego prądu objętego przez zamknięty kontur. Krą-Ŝenie wektora indukcji magnetycznej wzdłuŜ krzywej zamkniętej (ina-

czej całkę po zamkniętym konturze) wyraziliśmy tutaj jako sumę (całkę)

iloczynów skalarnych wektora Br

w danym punkcie krzywej i wektora

lr

d stycznego do tej krzywej.

Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z prądem

Jako przykład zastosujemy prawo Ampera do obliczenia indukcji ma-

gnetycznej pochodzącej od nieskończenie długiego, prostoliniowego

przewodnika. Jako krzywą zamkniętą wybieramy okrąg o promieniu r

ułoŜony w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak, Ŝe przez jego

środek przechodzi przewodnik. W tym przypadku wektor indukcji pola

magnetycznego B w kaŜdym punkcie tego okręgu jest do niego styczny,

podobnie jak wektor dl. PoniewaŜ wektory B oraz dl są do siebie rów-

noległe i zgodne, czyli kąt θ jest równy zeru, to cosθ = 1 w kaŜdym

punkcie konturu. W efekcie iloczyn skalarny moŜemy zastąpić iloczy-

nem wartości. Ponadto wartość wektora indukcji B jest identyczna

w kaŜdym punkcie okręgu, poniewaŜ kaŜdy jego punkt znajduje się w identycznej odległości od przewodnika i jako wartość stała moŜe być wyciągnięta przed znak całkowania. Pozostała całka po konturze za-

mkniętym jest równa długości tego konturu a więc w naszym przypadku

długości obwodu okręgu o promieniu r:

rBBBBB πθ 2ddcosdd ====⋅ ∫∫∫∫ llllrr

(12.16)

Na podstawie prawa Ampera przyrównujemy wyznaczone krąŜenie

wektora indukcji magnetycznej do prądu objętego przez wybrany kontur

zamknięty i moŜemy wyznaczyć indukcję pola magnetycznego B wy-

tworzoną przez prąd elektryczny o natęŜeniu I płynący przez prostoli-

niowy przewodnik, w odległości r od tego przewodnika:

r

IB

IrB

π

µ

µπ

2

2

0

0

=

=

(12.17)

ROZDZIAŁ 12

Strona 22222222

Zalety stosowania prawa Ampera do obliczenia indukcji pola magne-

tycznego pokazuje przykład kabla koncentrycznego. Kabel taki składa

się z Ŝyły, oddzielonej warstwą izolatora od współśrodkowego metalo-

wego ekranu (oplotu). Podobnie jak poprzednio, jako krzywą zamkniętą wybierzemy okrąg w płaszczyźnie prostopadłej do przewodu, współ-

środkowy z Ŝyłą i oplotem. W kablu koncentrycznym prąd w ekranie

płynie w przeciwną stronę niŜ w Ŝyle i dlatego suma natęŜeń prądów

przecinających kulistą powierzchnię rozpiętą na okręgu obejmującym

kabel jest równa zeru. Na mocy prawa Ampera oznacza to, Ŝe równieŜ indukcja pola magnetycznego na zewnątrz takiego kabla koncentrycz-

nego jest równa zeru.

Wzorzec ampera

PoniewaŜ przewodnik z prądem jest źródłem pola magnetycznego, więc

jeśli ustawimy dwa przewodniki z prądem równolegle do siebie (rysunek

12.6) to jeden znajdować się będzie w polu magnetycznym wytworzo-

nym przez drugi. Wektor indukcji pola magnetycznego wytworzony

przez przewodnik pierwszy jest zwrócony prostopadle do przewodnika

drugiego i zgodnie ze wzorem 12.17 wynosi D

IB

π

µ

210

1 = , gdzie D ozna-

cza odległość między przewodnikami, zaś I1 jest natęŜeniem prądu elek-

trycznego płynącego w pierwszym przewodniku. Na przewodnik drugi

działa więc siła Lorentza, której wartość wyznaczamy za pomocą wzoru

12.7:

D

IIBIF

π212

12

ll == (12.18),

gdzie l oznacza długość odcinka, na którym przewody są ułoŜone rów-

nolegle do siebie. Siła o identycznej wartości, lecz przeciwnym zwrocie

będzie działać na przewodnik pierwszy. Kierunek działania siły wyzna-

cza odcinek łączący przewodniki, a zwrot zaleŜy od kierunku przepływu

prądów. Jeśli prądy mają zgodne kierunki, między przewodnikami wy-

stępuje siła przyciągająca; jeśli kierunek prądu jest przeciwny – odpy-

chająca, jak na rysunku 12.6.

MAGNETYZM

Strona 23232323

Rysunek 12.6. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch równoległych przewodników z prądem: kierunek prądu zgodny (z lewej)

i przeciwny (z prawej)

Za pomocą elektrodynamicznej siły oddziaływania dwóch przewodni-

ków z prądem zdefiniowany jest wzorzec jednostki natęŜenia prądu

elektrycznego układu SI – ampera:

Stały prąd elektryczny o natęŜeniu 1 ampera płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewo-dach, umieszczonych w odległości 1m od siebie powoduje wza-jemne oddziaływanie tych przewodów ze sobą z siłą równą

7102 −⋅ N na kaŜdy metr długości przewodu.

Pole magnetyczne solenoidu

Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczyliśmy indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez pętlę z prądem. Wiemy juŜ, Ŝe

indukcja ta skierowana jest prostopadle do płaszczyzny pętli. Wartość indukcji pola magnetycznego moŜemy zwiększyć układając koło siebie

kolejne pętle. Taki układ wielu pętli, tzw. zwojów, nazywać będziemy

cewką a w sytuacji, gdy zwoje te mają kształt okręgu, czyli gdy powstały

w wyniku nawinięcia wielu zwojów na powierzchni cylindra nazywamy

solenoidem.

Pole magnetyczne wytwarzane wewnątrz cewki moŜemy obliczyć sto-

sując prawo Ampera. RozwaŜmy prostokątny kontur zamknięty

o długości a przecinający ściankę boczną cewki jak na rysunku 12.7

i obliczmy krąŜenie wektora indukcji po tym konturze. Jeśli solenoid jest

nieskończenie długi (odpowiednio długi) to pole magnetyczne na ze-

wnątrz solenoidu nie istnieje (indukcja magnetyczna pochodząca od gór-

nej części uzwojeń solenoidu jest kompensowana indukcją od dolnej

części).

ROZDZIAŁ 12

Strona 24242424

Rysunek 12.7. Zastosowanie prawa Ampera do obliczenia pola magnetycznego wewnątrz cewki solenoidalnej i toroidalnej

W efekcie krąŜenie wektora indukcji magnetycznej dla odcinka konturu

znajdującego się na zewnątrz solenoidu jest równe zeru. Odcinki prosto-

padłe do cewki są równieŜ prostopadłe do wektora indukcji magnetycz-

nej i ze względu na zerową wartość iloczynu skalarnego krąŜenie na tych

odcinkach równieŜ wynosi zero. Jedyny wkład do krąŜenia wektora Br

po wybranej krzywej prostokątnej pochodzi zatem od odcinka równole-

głego do osi solenoidu znajdującego się wewnątrz tego solenoidu. Po-

niewaŜ pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne (indukcja

magnetyczna B ma tę samą wartość i zwrot w kaŜdym punkcie), więc

krąŜenie wektora indukcji magnetycznej na odcinku o długości a, będzie

równe iloczynowi B oraz a. JeŜeli na tym odcinku o długości a znajduje

się N uzwojeń solenoidu, w którym płynie prąd o natęŜeniu I, to suma

natęŜeń prądów przecinających powierzchnię rozpiętą na wybranym

konturze zamkniętym wyniesie N I. Prawo Ampera przyjmuje więc po-

stać:

INaB 0µ= (12.19)

Stąd wartość wektora indukcji magnetycznej wyniesie:

Ina

INB 0

0 µµ

== (12.20),

gdzie n oznacza gęstość nawinięcia zwojów – ilość zwojów na jednostkę długości cewki.

MAGNETYZM

Strona 25252525

Pole magnetyczne toroidu

W podobny sposób jak dla solenoidu, korzystając z prawa Ampera mo-

Ŝemy obliczyć pole magnetyczne wytworzone przez toroid. W cewce to-

roidalnej uzwojenie jest nawinięte na torusie o przekroju prostokątnym

lub kołowym. Jako krzywą zamkniętą wybierzemy w tym przypadku

okrąg współśrodkowy do torusa, którego promień zawiera się w prze-

dziale od wartości promienia wewnętrznego do promienia zewnętrznego

cewki toroidalnej (Rysunek 12.7). PoniewaŜ rozwaŜany układ jest sy-

metryczny, wektor indukcji w kaŜdym miejscu tego okręgu będzie taki

sam tak, Ŝe ponownie całkę okręŜną moŜna będzie zastąpić wymnoŜe-

niem wektora indukcji przez długość tego konturu (obwód okręgu).

Płaszczyznę rozpiętą na wybranym okręgu przecina N przewodników

z prądem, w których płynie prąd o natęŜeniu I. Prawo Ampera przyjmuje

zatem postać:

INrB 0µπ =2 (12.21)

Po przekształceniu otrzymujemy wzór na indukcję magnetyczną we-

wnątrz cewki toroidalnej:

r

INB

π

µ

20= (12.22)

Jak widać, wartość wektora indukcji jest w tym przypadku odwrotnie

proporcjonalna do promienia wybranego okręgu – wartość indukcji we-

wnątrz toroidu jest największa w pobliŜu jego wewnętrznej,

a najmniejsza przy jego zewnętrznej krawędzi.

Moment magnetyczny

W rozdziale 12.2 pokazaliśmy, Ŝe na przewodnik z prądem znajdujący

się w polu magnetycznym działać będzie siła elektrodynamiczna

BIFrrr

×= l (wzór 12.7). Obliczyliśmy, Ŝe moment M siły, działający

na prostokątną ramkę z prądem, którą umieścimy w polu magnetycznym

o indukcji B, będzie wynosić αsinBAIM = (wzór 12.8), gdzie A

oznacza powierzchnię ramki z prądem, I – natęŜenie prądu płynącego w

ramce zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny do płaszczyzny

ramki z wektorem indukcji magnetycznej B. Moment sił działający na

ramkę obraca ją tak, aby ustawiła się prostopadle do linii zewnętrznego

pola magnetycznego.

ROZDZIAŁ 12

Strona 26262626

Przypomnijmy równieŜ, Ŝe ramka z prądem wytwarza pole magnetyczne

prostopadłe do płaszczyzny tej ramki (rysunek 12.5) o kierunku

i zwrocie zgodnym z wektorem momentu magnetycznego nIArr

=µ

(wzór 12.14). Za pomocą tak zdefiniowanego momentu magnetycznego

µr

ramki z prądem moŜna równieŜ wyrazić wektorowo moment sił Mr

działających na ramkę umieszczoną w zewnętrznym polu magnetycznym

o indukcji B:

BMr

r

r

×= µ (12.23)

Z powyŜszego równania wynika, Ŝe moment M sił obraca ramkę

z prądem tak, aby jej moment magnetyczny µr

ustawił się zgodnie

z zewnętrznym polem magnetycznym o indukcji B.

Momentowi magnetycznemu ramki z prądem moŜemy przypisać rów-

nieŜ pewną energię potencjalną, zaleŜną od jego ustawienia względem

pola magnetycznego. Praca obrócenia ramki z prądem o pewien kąt α w zewnętrznym polu magnetycznym B związana jest z momentem sił

działających na tę ramkę:

BW

αBααBαMWr

r

⋅−=

−=== ∫∫µ

µµ

µ

cosdsind 00 (12.24),

gdzie α oznacza kąt między wektorem indukcji B zewnętrznego pola

magnetycznego, a wektorem µr

momentu magnetycznego ramki

z prądem. Energia ramki z prądem umieszczonej w polu magnetycznym

o indukcji B jest równa powyŜszej pracy, jaką naleŜy wykonać, aby

ustawić ją w ustalonej pozycji w zewnętrznym polu magnetycznym.

W przypadku, gdy moment magnetyczny ramki µr

ma taki sam zwrot

jak wektor indukcji pola magnetycznego B, czyli dla pozycji α = 0

energia ta wynosi ( ) BBE µµ == 00 cos zaś w pozycji α = π

( ) BBE µπµπ −== cos , a więc praca obrócenia ramki z prądem o kąt

π wynosi BW µ2obrotu = .

MAGNETYZM

Strona 27272727

12.4. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Przekonaliśmy się, Ŝe przepływ prądu stałego wytwarza pole magne-

tyczne. Doświadczenia, przeprowadzone przez angielskiego fizyka Mi-

chaela Faradaya i amerykańskiego Josepha Henry’ego w 1831 roku po-

kazały, Ŝe moŜliwe jest równieŜ wywołanie przepływu prądu za pomocą pola magnetycznego a odkryte zjawisko zostało nazwane indukcją elek-

tromagnetyczną.

Prawo indukcji Faradaya

Jeśli umieścimy nieruchomy magnes w pobliŜu pętli z przewodnika, nie

zaobserwujemy przepływu prądu – średnia prędkość nośników ładunku

w przewodniku jest równa zeru, a zatem wartość siły Lorentza działają-cej na te nośniki jest równieŜ równa zeru. Siła Lorentza pojawi się jed-

nak, jeśli przewodnik będzie poruszał się w polu magnetycznym, przeci-

nając linie sił tego pola. Działanie siły Lorentza spowoduje spychanie

nośników jednego znaku w określonym kierunku – między końcami

przewodnika wytworzy się zatem napięcie. Taki sam efekt zaobserwu-

jemy, kiedy magnes porusza się względem przewodnika.

Jeśli końce przewodnika połączymy z galwanometrem, zauwaŜymy, Ŝe

przez obwód popłynie prąd indukowany. W obwodzie takim pojawią się dwa spadki napięcia – jeden na galwanometrze, drugi na pętli. Suma

tych spadków napięć jest równa sile elektromotorycznej. Podobnie jak

w przypadku ogniwa, siłę elektromotoryczną, oznaczaną równieŜ jako

SEM, definiujemy jako stosunek pracy W wykonanej na przeniesienie

ładunku q w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku q. Siłę elektromotoryczną SEM, podobnie jak napięcie, wyraŜamy w woltach

[V].

PrzybliŜając i oddalając magnes do pętli z przewodnika moŜemy zauwa-

Ŝyć, Ŝe napięcie mierzone na jego końcach jest tym większe, im szybciej

będzie poruszał się magnes. Do wytworzenia napięcia na zaciskach pętli przewodnika moŜemy uŜyć równieŜ drugiej pętli. Zmiany pola magne-

tycznego moŜna w tym przypadku uzyskać zarówno przybliŜając i od-

dalając pętlę zasilaną prądem stałym jak i przepuszczając przez nieru-

chomą pętlę prąd zmienny.

ROZDZIAŁ 12

Strona 28282828

Wartość siły elektromotorycznej SEM powstałej w zjawisku indukcji

magnetycznej określa prawo indukcji Faradaya:

Wartość siły elektromagnetycznej indukowanej w obwodzie za-mkniętym jest równa szybkości zmian strumienia magnetycz-nego przechodzącego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie.

t

ΦSEM

d

d B−= (12.25)

Wielkość ΦB oznacza strumień magnetyczny (strumień wektora indukcji

magnetycznej), który definiujemy podobnie jak strumień natęŜenia pola

elektrycznego (wzór 10.25 oraz 10.26) jako iloczyn skalarny wektora

indukcji magnetycznej i wektora normalnego do danej powierzchni.

∫ ⋅= SBΦrr

dB (12.26)

Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [1 Wb=1 V s]. Jeśli wektor indukcji pola magnetycznego B jest stały w kaŜdym punkcie

i przecina powierzchnię S pod pewnym stałym kątem, wówczas strumień wektora indukcji magnetycznej przechodzącej przez tę powierzchnię wyrazimy jako:

αcosB SBSBΦ =⋅=rr

(12.27),

gdzie α oznacza kąt między wektorem S normalnym do powierzchni a

wektorem indukcji magnetycznej B.

Reguła Lenza

Kierunek przepływu prądu indukowanego w obwodzie zamkniętym

określa reguła przekory Lenza:

Prąd indukowany w obwodzie płynie w takim kierunku, Ŝe jego pole magnetyczne przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd wywołuje.

Jeśli magnes stały zbliŜamy do obwodu zamkniętego, zwiększa się liczba linii pola magnetycznego przecinająca powierzchnię określoną przez ten obwód, czyli wzrasta strumień magnetyczny. śeby przeciw-

działać temu wzrostowi strumienia magnetycznego, zgodnie z regułą Lenza, w obwodzie zostanie wyindukowany prąd o takim kierunku prze-

pływu, Ŝeby wektor indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez

MAGNETYZM

Strona 29292929

ten prąd miał przeciwny zwrot do linii pola magnesu sztabkowego.

W efekcie obwód ten będzie odpychać zbliŜający się magnes. Jest to

zgodne z zasadą zachowania energii – zbliŜając magnes do pętli musimy

wykonać pracę, aby przeciwstawić się siłom wzajemnego odpychania

magnesu i pętli. Praca mechaniczna jest zamieniana w pracę wykonaną nad nośnikami ładunku – dochodzi zatem do zamiany energii mecha-

nicznej w energię elektryczną. Gdyby kierunek przepływu prądu w pętli był odwrotny, magnes byłby przyciągany w kierunku pętli – poruszałby

się zatem coraz szybciej, indukując coraz większy prąd. Otrzymalibyśmy

urządzenie wytwarzające energię bez konieczności wykonywania pracy

– perpetuum mobile pierwszego rodzaju. Urządzenie takie nie spełnia

zasady zachowania energii.

Przykład

Prostokątna ramka o szerokości l, wykonana z przewodnika o całkowi-

tym oporze R jest wyciągana z obszaru pola magnetycznego o indukcji

B, prostopadłego do płaszczyzny ramki. Oblicz, jaka moc jest niezbędna,

by zapewnić stałą prędkość v wysuwania tej ramki. Wyznacz ciepło, ja-

kie wydzieli się na oporze ramki.

W zadaniu tym strumień pola magnetycznego jest określony przez po-

wierzchnię tej części ramki, która znajduje się w polu magnetycznym.

Szerokość ramki wynosi l a długość tej części ramki, która znajduje się w polu magnetycznym oznaczmy przez x. Jeśli ramka jest wyciągana z

obszaru pola magnetycznego ze stałą prędkością to długość x będzie się zmniejszała stale w czasie ( txx v+= 0 ). Oznacza to, Ŝe równieŜ po-

wierzchnia obszaru znajdującego się w polu magnetycznym będzie się zmniejszała proporcjonalnie do czasu zmieniając tym samym strumień wektora indukcji magnetycznej. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya

siła elektromotoryczna SEM przeciwdziałająca takiej zmianie strumienia

wynosi:

( )

vll

Bt

xB

t

ΦSEM B ==−=

d

d

d

d (12.28)

PoniewaŜ opór ramki wynosi R, korzystając z prawa Ohma obliczamy

wartość natęŜenia prądu przepływającego przez ramkę:

R

BI

vl= (12.29)

ROZDZIAŁ 12

Strona 30303030

Zgodnie z załoŜeniami, ramka porusza się ruchem jednostajnym, czyli

siła, którą musimy działać na ramkę, aby utrzymać stałą prędkość jej

przesuwu, równowaŜy siłę działającą na przewodnik z prądem w polu

magnetycznym:

R

BBIF

v22

B

ll =×=

rrr

(12.30)

Stąd moŜemy obliczyć moc mechaniczną niezbędną do poruszania

ramki:

RIR

BFP 2

222

===v

vl

(12.31)

Wyznaczona przez nas moc mechaniczna jest równa mocy wydzielanej

w postaci ciepła na całkowitym oporze elektrycznym ramki.

Prądy wirowe – prawo Faradaya

Zmienny prąd elektryczny płynący przez pętlę z przewodnika wytwarzać będzie zmieniające się w czasie pole magnetyczne. Umieśćmy teraz

w pobliŜu (w polu magnetycznym pierwszej pętli) drugą pętlę z przewodnika. Przez pętlę tę przechodzić będzie strumień indukcji pola

magnetycznego proporcjonalny do pola powierzchni drugiej pętli oraz

wartości indukcji magnetycznej wytworzonej przez pierwszą pętlę –

zmieniającej się w czasie. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya zmiana

strumień pola magnetycznego powoduje powstanie siły elektromoto-

rycznej, co w konsekwencji wywoła przepływ ładunku elektrycznego

w drugiej pętli. Jeśli zamiast drugiej pętli postawimy litą płytę z przewodnika zmienne pole magnetyczne wywoła wirowe pole elek-

tryczne w tej płycie – ruch nośników ładunku w przewodzącej płycie

dobywać się będzie wzdłuŜ krzywych zamkniętych (w szczególnych

przypadkach okręgów).

Aby obliczyć wartość siły SEM takiego wirowego pola elektrycznego

musimy najpierw obliczyć pracę przemieszczenia ładunku elektrycznego

q wzdłuŜ linii pola (okrąg o promieniu r ):

∫ =⋅= rEqFW π2dlrr

(12.32)

Wówczas siła elektromotoryczną SEM zgodnie z definicją będzie równa

stosunkowi wykonanej nad ładunkiem pracy W do wartości q tego

ładunku będzie miał postać:

MAGNETYZM

Strona 31313131

∫ ⋅== lrr

dEW/qε (12.33),

gdzie qFErr

= . Porównując otrzymaną zaleŜność z prawem indukcji

Faradaya otrzymujemy prawo Faradaya:

∫ −=⋅t

ΦE

d

dd Blrr

(12.34)

Jeśli w jakimś obszarze obserwujemy pole magnetyczne zmienne w cza-

sie, to wokół tego obszaru powstaje wirowe pole elektryczne. Znak

minus w powyŜszym wzorze wyraŜa regułę przekory Lenza, czyli mówi

nam, Ŝe powstałe wirowe pole elektryczne przeciwdziałać będzie

zmianom strumienia pola magnetycznego.

Warto porównać zaleŜność 12.34 z zaleŜnością 10.21 dla elektrostatyki,

wiąŜącą natęŜenie pola i róŜnicę potencjałów w polu elektrostatycznym.

W przypadku prawa Faradaya, a więc w przypadku pola magnetycznego,

obliczając pracę przemieszczenia ładunku całkowanie wykonujemy

wzdłuŜ pewnej krzywej zamkniętej, podczas gdy w elektrostatyce praca

przesunięcia po krzywej zamkniętym była równa zeru, bo wracaliśmy do

punktu o tym samym potencjale elektrycznym. W elektrostatyce praca

przeniesienia ładunku między dwoma punktami nie zaleŜała od wyboru

drogi przemieszczenia, ale jedynie od róŜnicy potencjałów między tymi

punktami. W przypadku pola wywołanego indukcją elektromagnetyczną nie moŜemy jednak określić potencjału pola w danym punkcie prze-

strzeni.

Wykrywacze metali wykorzystują właśnie wirowe pola elektryczne oraz

prawo Faradaya do detekcji obiektów metalowych. W pętli z przewodnika, znajdującej się w dolnej części urządzenia wytwarzany

jest impulsowy prąd elektryczny, co powoduje powstanie zmiennego

pola magnetycznego. Jeśli poniŜej pętli znajduje się metalowy przed-

miot, to takie zmienne pole magnetyczne wywoła w metalu przepływ

prądu wirowego. PoniewaŜ ten wirowy prąd będzie zmieniał się w czasie

wytworzy zatem zmienne pole magnetyczne. Pole to z kolei wyindukuje

w obwodzie wykrywacza metali prąd płynący w kierunku przeciwnym

do kierunku pierwotnego impulsu. Monitorując zatem natęŜenie prądu w

pętli wykrywacza moŜemy wykryć obecność metalowego przedmiotu.

Na podobnej zasadzie działają stosowane na lotniskach bramki zabezpie-

czające przed wnoszeniem metalowej broni.

ROZDZIAŁ 12

Strona 32323232

Prądnica i alternator

Opierając się na zjawisku indukcji elektromagnetycznej, moŜemy zbu-

dować urządzenie nazywane prądnicą, która zamienia pracę mecha-

niczną na energię elektryczną. Budowa prądnicy jest identyczna jak bu-

dowa omawianego juŜ wcześniej silnika elektrycznego. Pomiędzy

dwoma biegunami magnesu umieszczamy ramkę, mogącą obracać się wokół osi prostopadłej do kierunku wektora indukcji magnetycznej

wytworzonej przez ten magnes.

Obroty ramki będą powodowały zmiany wartości strumienia wektora in-

dukcji pola magnetycznego przechodzącego przez ramkę a więc zgodnie

z prawem indukcji Faradaya w ramce będzie powstawała siła elektro-

motoryczna i prąd elektryczny. Kiedy płaszczyzna ramki znajduje się w połoŜeniu równoległym do kierunku wektora indukcji magnetycznej,

strumień tego wektora jest równy zeru, a jego zmiany są wówczas mak-

symalne. Strumień osiąga wartość maksymalną, kiedy płaszczyzna ramki

jest ustawiona prostopadle do kierunku wektora indukcji. Zmiany warto-

ści strumienia wektora indukcji magnetycznej ΦB, indukowana siła elek-

tromotoryczna E oraz schematyczne połoŜenie ramki między magnesami

w funkcji czasu przedstawiono na Rysunku 12.8.

Rysunek 12.8. ZaleŜność czasowa strumienia indukcji magnetycznej i siły elektromotorycznej dla prądnicy

Zgodnie z definicją, siła elektromotoryczna indukowana na końcach

ramki zaleŜy od zmian strumienia wektora indukcji magnetycznej. Siła

elektromotoryczna odpowiada zatem współczynnikowi nachylenia wy-

kreślonej wartości strumienia wektora indukcji magnetycznej od czasu.

W przypadku prądnicy najszybsze zmiany strumienia następują, gdy

MAGNETYZM

Strona 33333333

ramka przechodzi przez połoŜenie, w którym jej płaszczyzna jest rów-

noległa do kierunku wektora indukcji. W prądnicy, podczas przejścia

przez połoŜenie, w którym płaszczyzna ramki jest prostopadła do kie-

runku wektora indukcji, następuje zamiana kierunku podłączeń kontak-

tów elektrycznych ramki – jest to realizowane podobnie jak w przypadku

silnika elektrycznego za pomocą komutatora. Z tego względu na wykre-

sie siły elektromotorycznej SEM nie obserwujemy przejścia przez zero.

Prądnica generuje prąd zmienny, ale wartości siły elektromotorycznej

zawsze mają jednakowy kierunek. W przypadku alternatora końce ramki

są podłączone zawsze do tych samych kontaktów elektrycznych.

W momencie przejścia ramki przez połoŜenie prostopadłe następuje

zmiana znaku siły elektromotorycznej (zmiana kierunku przepływu

prądu) – krzywa przecina oś odciętych. Alternator generuje prąd

sinusoidalnie zmienny.

Indukcyjność

JeŜeli w uzwojeniu cewki elektrycznej będzie płynął zmienny prąd to

pole magnetyczne wytworzone wewnątrz cewki będzie się zmieniać w czasie. A więc uzwojenie cewki obejmować będzie zmienny strumień pola magnetycznego. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya na uzwojeniu

cewki indukować się zatem będzie prąd elektryczny, który zgodnie

z regułą Lenza przeciwdziałać będzie zmianom strumienia wektora in-

dukcji pola magnetycznego, które wywołały powstanie pola magnetycz-

nego w cewce.

W momencie podłączenia cewki do źródła w jej uzwojeniu zaczyna pły-

nąć prąd wytwarzający pole magnetyczne. Wówczas w cewce induko-

wany jest prąd, wytwarza pole magnetyczne przeciwstawiające się po-

wstałemu polu magnetycznemu, a więc prąd o kierunku przeciwnym niŜ prąd źródła. Jeśli natomiast odłączamy cewkę od źródła, to poniewaŜ natęŜenie prądu w uzwojeniu maleje, powstały prąd indukowany płynie

w kierunku zgodnym z prądem źródła przeciwstawiając się zanikowi

prądu.

Zgodnie z prawem indukcji Faradaya siła elektromotoryczna, powstająca

na jednym zwoju cewki wynosi:

t

Φ

zwój

SEM

d

d B−= (12.35),

ROZDZIAŁ 12

Strona 34343434

gdzie SBΦ =B jest strumieniem magnetycznym przechodzącym

przez przekrój S pojedynczego uzwojenia.

Całkowity strumień magnetyczny dla cewki, równy N ΦB, jest propor-

cjonalny do natęŜenia przepływającego prądu I :

ILΦN =B (12.36)

I

ΦNL B= (12.37)

Współczynnik proporcjonalności L nazywany indukcyjnością jest cechą charakterystyczną danego elementu indukcyjnego. Jednostką

indukcyjności jest jeden henr [A

Wb1

A

Vs11H == ].

Podstawiając powyŜszą zaleŜność 12.36 do wzoru 12.35 znajdujemy

całkowitą siłę elektromotoryczną powstałą w cewce, która jest

proporcjonalna do pochodnej natęŜenia prądu po czasie:

t

ILε

d

d−= (12.38)

Obliczmy indukcyjność dla solenoidu. Korzystając ze wzoru 12.20 na

indukcję pola magnetycznego wewnątrz solenoidu moŜemy wyznaczyć strumień wektora indukcji pola magnetycznego przecinający powierzch-

nię S przekroju solenoidu:

( ) ( )( )SnInaSnINSBNΦ 00B µµ === (12.39),

gdzie a oznacza długość solenoidu, N ilość zwojów, n = N/a – gęstość nawinięcia uzwojenia. Podstawiając tak wyznaczony strumień ΦB do

wzoru 12.37 na indukcyjność L otrzymujemy:

( )( )( )

VnaSnI

SInna

I

NΦL 2

02

00B µµ

µ==== (12.40),

gdzie aS = V jest objętością solenoidu. Warto pamiętać, Ŝe indukcyjność wykazują nie tylko cewki, ale takŜe pozostałe elementy obwodów elek-

trycznych. Nawet prosty fragment przewodnika posiada pewną nie-

wielką indukcyjność. Z tego względu przy projektowaniu obwodów,

szczególnie tych, w których występują szybkie zmiany natęŜenia prądu

elektrycznego – np. podzespołów komputera, pracujących z sygnałami

MAGNETYZM

Strona 35353535

elektrycznymi zmiennymi z częstotliwością rzędu gigahertzów – naleŜy

zawsze uwzględniać efekty związane z indukcyjnością.

Zjawisko samoindukcji jest równieŜ przyczyną powstawania tzw. prze-

pięć indukcyjnych w obwodach elektrycznych. Jeśli w obwodzie znaj-

dują się urządzenia wyposaŜone w elementy o duŜej indukcyjności – np.

silniki elektryczne lub zasilacze komputerowe – w trakcie wyłączania

urządzeń w obwodzie moŜe wytwarzać się siła elektromotoryczna

o znacznej wartości. Powoduje ona krótkotrwały impuls wysokiego na-

pięcia, który moŜe znacznie przekraczać nominalne napięcie przewi-

dziane dla elementów obwodu. MoŜe być to przyczyną występowania

przebić w izolacji elektrycznej lub przeciąŜenia bezpieczników obwodu.

Sposobem na uporanie się z drugim problemem jest stosowanie tzw.

bezpieczników zwłocznych. Bezpieczniki tego typu nie rozłączają ob-

wodu pod wpływem przepływu prądu o charakterze impulsowym. Inną metodą redukcji niepoŜądanych skutków zjawiska samoindukcji jest

włączenie w obwód kondensatora, który pozwala na zmagazynowanie

energii elektrycznej związanej z impulsem powstałym na skutek samo-

indukcji. Energia ta jest następnie rozpraszana na elementach oporo-

wych.

Indukcja wzajemna

Jeśli dwie cewki umieścimy blisko siebie, tak Ŝe strumień pola magne-

tycznego wytworzonego przez jedną cewkę przepływa częściowo przez

uzwojenia drugiej cewki, zmiany pola magnetycznego wytworzonego

przez pierwszą cewkę doprowadzą do wytworzenia siły elektromoto-

rycznej na uzwojeniu drugiej cewki. Zjawisko to nosi nazwę indukcji

wzajemnej. Efekt ten jest tym wyraźniejszy, tym większy jest współ-

czynnik sprzęŜenia, im większa część strumienia pola magnetycznego

wytworzonego przez jedną cewkę obejmuje drugą cewkę. Warunek ten

moŜemy zapewnić np. umieszczając jedno uzwojenie osiowo wewnątrz

drugiego.

Transformator

Omawiając właściwości ferromagnetyków oraz wpływ przenikalności

magnetycznej materiału na wartość indukcji pola magnetycznego (Roz-

dział 12.3.) wykazaliśmy, Ŝe indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia

ferromagnetycznego jest wielokrotnie silniejsza niŜ w powietrzu.

W transformatorach na rdzeń ferromagnetyczny o kształcie prostokątnej

ramki nawinięte są dwa uzwojenia (Rysunek 12.9). Napięcie zmienne U1

ROZDZIAŁ 12

Strona 36363636

przyłoŜone do jednego z uzwojeń (uzwojenie pierwotne) powodować będzie przepływ prądu zmiennego w tym uzwojeniu i wywoływać zmienne pole magnetyczne, którego indukcja jest proporcjonalna do

liczby zwojów N1 w uzwojeniu pierwotnym. Dla idealnego transforma-

tora strumień magnetyczny nie ulega rozproszeniu na zewnątrz rdzenia

transformatora, więc do drugiego uzwojenia, uzwojenia wtórnego, do-

trze zmienny strumień magnetyczny wytworzony w uzwojeniu pierwot-

nym. W efekcie, zgodnie z zasadą indukcji Faradaya, w drugim uzwoje-

niu powstanie siła elektromotoryczna U2, której wartość zaleŜeć będzie

takŜe od liczby uzwojeń N2 w uzwojeniu wtórnym. W efekcie otrzymu-

jemy, Ŝe stosunek napięć na uzwojeniach pierwotnym i wtórnym jest

równy stosunkowi ilości zwojów w obu uzwojeniach:

2

1

2

1

N

N

U

U= (12.41)

Stosunek ten nazywany jest przekładnią transformatora.

Otrzymujemy w ten sposób transformator – urządzenie do zamiany

wartości napięcia prądu zmiennego, przy zachowaniu pierwotnej często-

tliwości zmian tego napięcia i (prawie) tej samej mocy. Sprawność trans-

formatorów jest zwykle duŜa, a straty energii związane są z oporem

uzwojeń oraz energią niezbędną na przemagnesowanie rdzenia. Strat

związanych z prądami wirowymi powstającymi w rdzeniu moŜemy czę-ściowo uniknąć, dzieląc rdzeń na cienkie blaszki polakierowane jedno-

stronnie warstwą nieprzewodzącą.

Rysunek 12.9. Schemat konstrukcji transformatora (z lewej) i autotransformatora (z prawej)

Warto podkreślić, Ŝe napięcie w obwodzie wtórnym jest przesunięte

w fazie względem prądu w obwodzie pierwotnym o π – ma, zgodnie

z regułą Lenza, przeciwną fazę do napięcia pierwotnego.

MAGNETYZM

Strona 37373737

Autotransformator

Szczególnym typem transformatora jest autotransformator. W urzą-dzeniu tego typu występuje tylko jedno uzwojenie. Spełnia ono rolę jednocześnie uzwojenia pierwotnego i wtórnego – stosunek wartości

napięcia na uzwojeniu wtórnym do napięcia na uzwojeniu pierwotnym

zaleŜy od miejsca podłączenia styków obu obwodów do uzwojenia (Ry-

sunek 12.9). W autotransformatorze regulowanym kontakt elektryczny

obwodu wtórnego z uzwojeniem następuje za pomocą ruchomej szczotki

grafitowej, co umoŜliwia płynną regulację napięcia na uzwojeniu wtór-

nym.

Transformatory wykorzystywane są powszechnie w energetycznych sie-

ciach przesyłowych najpierw do podwyŜszenie wartości napięcia na linii

przesyłowej a następnie do obniŜenia napięcia w stacji odbiorczej. Wy-

sokie napięcia linii przesyłowych pozawalają znacznie zmniejszyć war-

tość natęŜenia przesyłanego prądu jednocześnie zachowując tę samą moc

prądu (P = U I ), a mniejsze natęŜenie prądu oznacza mniejsze straty

cieplne związane z oporem elektrycznym (prawo Joula). Ciekawym

przykładem transformatora jest cewka zapłonowa samochodu. Prąd stały

o niskim napięciu z akumulatora jest zamieniany w prąd skokowo

zmienny przez tzw. przerywacz. Jest on połączony z zaciskami cewki

o niewielkiej ilości zwojów, nawiniętej na wspólnym rdzeniu z cewką o duŜej ilości zwojów. Taki zmienny (przerywany) sygnał prądowy

generuje na uzwojeniu wtórnym wysokie napięcie, które jest następnie

przekazywane na świece zapłonowe, a one w odpowiedniej chwili

inicjują zapłon mieszanki paliwowej.

12.5. Magnetyczne własności materii

W poprzednim rozdziale ramce z prądem przypisywaliśmy moment ma-

gnetyczny µr

. RównieŜ elektronom krąŜącym na orbicie wokół jądra ato-

mowego moŜna przypisać moment magnetyczny – ruch elektronu odpo-

wiada przepływowi prądu w ramce. PoniewaŜ elektron charakteryzuje

się ujemnym ładunkiem elektrycznym to zwrot wektora momentu ma-

gnetycznego µr

tego elektronu jest przeciwny do zwrotu wektora Lr

jego orbitalnego momentu pędu.

ROZDZIAŁ 12

Strona 38383838

Rysunek 12.10. Orbitalny dipolowy moment magnetyczny elektronu

Oprócz orbitalnego momentu magnetycznego, elektron posiada takŜe

wewnętrzny moment magnetyczny, niezaleŜny od jego ruchu orbital-

nego, nazywany spinem. (spinowy moment magnetyczny). Spinowy

moment magnetyczny moŜe przybierać dwie wartości o przeciwnych

zwrotach, skierowane prostopadle względem płaszczyzny orbity. Cał-

kowity moment magnetyczny atomu moŜemy obliczyć sumując orbitalne

i spinowe momenty magnetyczne wszystkich elektronów.

Własności magnetyczne materii są wynikiem oddziaływania wewnętrz-

nych momentów magnetycznych, charakteryzujących poszczególne

atomy, z zewnętrznym polem magnetycznym, jak równieŜ wzajemnego

oddziaływania sąsiadujących momentów magnetycznych.

Jak pokazaliśmy na przykładzie prostokątnej ramki z prądem na moment

magnetyczny umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym działa

moment sił powodujący ustawienie wektora momentu magnetycznego

zgodnie z kierunkiem i zwrotem zewnętrznego pola magnetycznego.

Warto podkreślić, Ŝe zachowanie takie ma podobny charakter jak od-

działywania dipolu elektrycznego z zewnętrznym polem elektrycznym.

Tak samo jak dipol elektryczny umieszczony między okładkami konden-

satora ustawia się w kierunku pola elektrycznego (odwraca się ładun-

kiem dodatnim w kierunku ujemnie naładowanej okładki kondensatora)

tak magnes umieszczony w polu magnetycznym ustawi się w kierunku

zewnętrznego pola magnetycznego.

Zewnętrzne pole magnetyczne moŜemy scharakteryzować za pomocą

wektora natęŜenia pola magnetycznego Hr

. Wektor natęŜenia i wektor

indukcji pola magnetycznego mają ten sam kierunek i zwrot a współ-

czynnikiem proporcjonalności jest stała charakteryzująca właściwości

magnetyczne ośrodka – dla próŜni jest to przenikalność magnetyczna

próŜni μ0 :

MAGNETYZM

Strona 39393939

HBrr

0µ= (12.42)

Umieszczenie materiału w zewnętrznym polu magnetycznym o natęŜe-

niu H spowoduje uporządkowanie atomowych momentów magnetycz-

nych w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego wpływając jedno-

cześnie na wartość efektywnego pola magnetycznego wewnątrz mate-

riału. Podobnie jak dla dielektryków wprowadziliśmy wektor polaryzacji

i podatność elektryczną, tak teraz dla magnetyków wprowadzamy wek-

tor namagnesowania Mr

i podatność magnetyczną χ. Wektor na-

magnesowania Mr

charakteryzuje moment magnetyczny jednostki ob-

jętości materiału wywołany zewnętrznym polem magnetycznym o natę-

Ŝeniu Hr

:

( )HHMrrr

1r −== µχ (12.43)

Podatność magnetyczna χ („chi”) jest współczynnikiem proporcjonalno-

ści magnetyzacji M od natęŜenia pola magnetycznego H. Współczynnik

μr nazywa się względną przenikalnością magnetyczną ośrodka i poka-

zuje ilekroć większa będzie indukcja pola magnetycznego w cewce wy-

pełnionej materiałem w stosunku do cewki próŜniowej:

HBrr

r0 µµ= (12.44)

Wykonując np. rdzeń cewki z materiału o duŜej wartości podatności ma-

gnetycznej (np. z Ŝelaza), moŜemy uzyskać wielokrotnie większą war-

tość indukcji magnetycznej niŜ dla cewki bez rdzenia (próŜniowej).

Z Ŝelaza wykonuje się np. rdzenie elektromagnesów.

Efektywne pole magnetyczne (efektywna indukcja magnetyczna)

w rdzeniu (w materiale) jest sumą zewnętrznego pola magnetycznego

( Hr

) oraz pola magnetycznego związanego z wektorem namagnesowa-

nia rdzenia ( Mr

):

MHBrrr

00 µµ += (12.45)

ROZDZIAŁ 12

Strona 40404040

Rodzaje magnetyków

Ze względu na własności magnetyczne, materiały moŜemy podzielić na:

• diamagnetyki

• paramagnetyki

• ferromagnetyki

Własności dia- i paramagnetyzmu są własnościami atomowymi i wystę-pują we wszystkich stanach skupienia, zaś ferromagnetyzm występuje

tylko w ciałach stałych.

Diamagnetyki

W przypadku diamagnetyków pole zewnętrzne wywołuje magnetyzację materiału o zwrocie przeciwnym do tego pola. Podatność magnetyczna

diamagnetyków przyjmuje wartości ujemne rzędu 510−

. Przykładami

diamagnetyków są ołów, miedź, rtęć i srebro. Diamagnetyki są wypy-

chane z obszaru niejednorodnego pola magnetycznego.

Paramagnetyki

W atomach paramagnetyków wypadkowy moment magnetyczny jest

róŜny od zera. Wartość podatności jest w temperaturze pokojowej jednak

niewielka, rzędu510−

do 410−

. Umieszczone w polu magnetycznym

momenty magnetyczne atomów dąŜą do ustawienia się zgodnie z kie-

runkiem pola magnetycznego. PoniewaŜ drgania cieplne przeciwdziałają uporządkowaniu momentów magnetycznych, podatność maleje wraz ze

wzrostem temperatury. ZaleŜność temperaturową podatności χ parama-

gnetyków określa prawo Curie:

T

C=χ (12.46),

gdzie C jest wielkością charakterystyczną dla materiału paramagnetyka

nazywaną stałą Curie. Umieszczone w polu magnetycznym niejednorod-

nym paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego pola. Parama-

gnetykami są np. lit, glin i platyna.

MAGNETYZM

Strona 41414141

Ferromagnetyki

W ferromagnetykach istnieją silne oddziaływania pomiędzy momen-

tami magnetycznymi sąsiadujących atomów. Powoduje to tworzenie się obszarów, tzw. domen magnetycznych, o uporządkowanym ustawieniu

momentów magnetycznych. Przypomnijmy, Ŝe wpływ „sąsiadów” na

zjawiska porządkowania dipoli elektrycznych opisywaliśmy juŜ w przy-

padku ferroelektryków. Opis procesów porządkowania momentów ma-

gnetycznych w ferromagnetykach jest podobny do porządkowania dipoli

elektrycznych w ferroelektrykach, choć oczywiście przyczyny ich wy-

stępowania są róŜne w przypadku pola magnetycznego i elektrycznego.

PoniewaŜ ustawienie wszystkich momentów magnetycznych w materiale

w jednym kierunku powodowałoby wytwarzanie na zewnątrz silnego

pola magnetycznego, co jest niekorzystne z punktu widzenia wysokiej

energii układu, w materiale na ogół występuje wiele domen o róŜnym

kierunku uporządkowania, tak by pola na zewnątrz próbki nie było.

Kiedy nienamagnesowany ferromagnetyk umieścimy w zewnętrznym

polu magnetycznym, wraz ze wzrostem natęŜenia tego pola momenty

magnetyczne domen będą ustawiać się zgodnie z kierunkiem pola, co

spowoduje wzrost namagnesowania. W przypadku ferromagnetyków

podatność magnetyczna moŜe przyjmować duŜe wartości – rzędu setek

lub tysięcy. Kiedy wartość pola zewnętrznego jest na tyle duŜa, Ŝe

wszystkie momenty magnetyczne ustawią się w jednym kierunku (po-

wstanie jedna duŜa domena), uporządkowanie momentów magnetycz-

nych próbki osiągnie stan nasycenia (Rysunek 12.11).

Rysunek 12.11. Pętla histerezy ferromagnetyka

ROZDZIAŁ 12

Strona 42424242

Przy zmniejszeniu wartości zewnętrznego pola magnetycznego do zera,

namagnesowanie ferromagnetyka nie spadnie do zera, ale utrzyma się na

pewnym poziomie. Poziom ten nazywamy pozostałością magnetyczną (remanencją). Aby rozmagnesować materiał, naleŜy przyłoŜyć ze-

wnętrzne pole skierowane przeciwnie do tego, jakie zostało uŜyte do

jego namagnesowania. Wartość pola niezbędna do rozmagnesowania

materiału nazywamy polem koercji.

W zmiennym polu zewnętrznym wykres namagnesowania zakreśli pętlę histerezy. Pole zawarte wewnątrz pętli histerezy jest proporcjonalne do

pracy, wykonanej na przemagnesowanie materiału w jednym cyklu.

Materiały miękkie magnetycznie mają wąską pętlę histerezy, a twarde

magnetycznie – szeroką. Z tego względu materiały twarde magnetycznie

dobrze nadają się do wyrobu magnesów trwałych lub pamięci magne-

tycznych w zastosowaniach, w których wymagana jest trwałość zapisa-

nej informacji. Materiały miękkie magnetycznie równieŜ mogłyby być wykorzystane jako pamięci magnetyczne – ich przemagnesowane (zapis

informacji cyfrowej) wymaga niewielkiej energii, jednak pod wpływem

zakłóceń i zewnętrznych pól magnetycznych informacja w nich zgroma-

dzona moŜe ulec uszkodzeniu.

Właściwości ferromagnetyczne materii obserwujemy tylko poniŜej pew-

nej temperatury zwanej temperaturą Curie TC. PowyŜej tej temperatury

energia drgań cieplnych przewyŜsza energię uporządkowania dipoli i fer-

romagnetyczne uporządkowanie domenowe zanika. ZaleŜność tempera-

turową podatności χ od temperatury T, powyŜej temperatury Curie,

wyraŜa prawo Curie-Weissa:

C

CC

TT −=χ (12.47),

gdzie CC jest stałą Curie, zaś TC temperaturą Curie.

Oprócz ferromagnetyków istnieją takŜe antyferromagnetyki oraz ferri-

magnetyki. W antyferromagnetykach równieŜ występują silne oddziały-

wania pomiędzy momentami magnetycznymi, ale w tym przypadku

momenty magnetyczne ustawiają się naprzemiennie. W ferrimagnety-

kach ustawienie momentów magnetycznych równieŜ jest naprzemienne,

ale momenty magnetyczne o jednym zwrocie są słabsze niŜ momenty

magnetyczne o zwrocie przeciwnym.

MAGNETYZM

Strona 43434343

12.6. Energia pola magnetycznego

RozwaŜmy obwód, złoŜony ze źródła zasilania o sile elektromotorycznej

ε, cewki o indukcyjności L i opornika R, połączonych szeregowo jak na

Rysunku 12.12.

Rysunek 12.12. Szeregowe połączenie cewki, opornika i źródła

Po zamknięciu klucza włączającego obwód, prąd w obwodzie będzie na-

rastał. Zmiana natęŜenia prądu wywoła powstanie na cewce siły elek-

tromotorycznej, która będzie skierowana tak, aby przeciwstawić się zmianom pola magnetycznego wewnątrz cewki – a zatem przeciwnie do

siły elektromotorycznej zasilającej obwód. Początkowo ta siła elektro-

motoryczna samoindukcji jest równa sile elektromotorycznej ogniwa

i natęŜenie prądu płynącego przez opornik wynosi zero. W miarę jednak

jak zmniejsza się siła elektromotoryczna samoindukcji na cewce, natęŜe-

nie prądu płynące przez obwód stopniowo rośnie aŜ po pewnym czasie

osiągnie wartość równowagową, identyczną jak dla przypadku, kiedy

w obwodzie znajdują się wyłącznie siła elektromotoryczna i opornik.

Zapiszmy drugie prawo Kirchhoffa dla omawianego obwodu:

0d

=−− RIdt

ILε (12.48)

ROZDZIAŁ 12

Strona 44444444

Jest to równanie róŜniczkowe względem prądu I a jego rozwiązanie,

określające zaleŜność czasową natęŜenia prądu I(t) moŜemy opisać równaniem

−=

−L

Rt

R

εI e1 (12.49)

Jest to równanie, opisujące dąŜenie układu do stanu równowagi ze stałą czasową τ = L/R. JeŜeli równanie 12.48 pomnoŜymy przez chwilową wartość natęŜenia prądu I, to otrzymujemy równanie mające postać bilansu energii:

0d

d2 =−−t

IILIRIε (12.50)

Pierwszy człon ( Iε ) określa szybkość dostarczania energii do obwodu

(moc źródła). Drugi (2IR ) wyraŜa moc rozpraszaną w postaci ciepła na

oporniku. Trzeci człon, t

IIL

d

d, wyraŜa szybkość gromadzenia energii

w polu magnetycznym, wytwarzanym w cewce. Opisując szybkość gro-

madzenia energii jako t

W

d

d M , otrzymujemy równanie pozwalające obli-

czyć energię zgromadzoną w cewce:

∫ ==

=

I ILIILW

t

ILI

t

W

0

2

M

M

2d

d

d

d

d

(12.51),

gdzie I oznacza natęŜenie prądu płynącego przez cewkę, zaś L jest in-

dukcyjnością tej cewki.

Jeśli podzielimy energię zgromadzoną w solenoidzie przez objętość tego

solenoidu otrzymamy gęstość energii pola magnetycznego. Dla odcinka

solenoidu o długości D i przekroju S otrzymamy więc:

22222

20

0

2220

220

2

B

HBHBIn

2SD

SDIn

SD

LI µ

µ

µµρ ======

MAGNETYZM

Strona 45454545

22

20

0

2

B

HB µ

µρ == (12.52)

PowyŜszy wzór na gęstość energii pola magnetycznego wyprowadzi-

liśmy dla solenoidu, ale jest on prawdziwy dla dowolnego punktu prze-

strzeni, w którym wartość indukcji magnetycznej wynosi B.

ROZDZIAŁ 12

Strona 46464646

13 Obwody prądu zmiennego

W tym rozdziale:

o Obwody prądu zmiennego, impedancja o Drgania w obwodzie LC o Drgania tłumione w obwodzie RLC o Moc w obwodach prądu zmiennego

ROZDZIAŁ 13

Strona 48484848

13.1. Impedancja

Dla napięć zmiennych w miejsce oporu elektrycznego (rezystancji)

wprowadzamy impedancję.

Impedancję obwodu elektrycznego definiuje się jako stosu-nek napięcia wymuszającego do natęŜenia prądu płynącego przez obwód. Wymiar impedancji jest identyczny jak wymiar oporu elektrycznego.

( )

( )tI

tUZ =ˆ

(13.1)

PoniewaŜ natęŜenie prądu płynącego w obwodzie elektrycznym moŜe

nie być zgodne w fazie z napięciem wymuszającym, tak zdefiniowana

impedancja jest funkcją zespoloną i posiada zarówno część rzeczywistą Z ′ jak i urojoną Z ′′ :

ϕieZZiZZ =′′+′=

ˆ (13.2),

gdzie ZZ ˆ= oznacza moduł impedancji, zaś φ jest przesunięciem fa-

zowym między natęŜeniem prądu I (t ) a napięciem wymuszającym

U (t ). JeŜeli źródło napięcia zostanie połączone z opornikiem R, to natę-Ŝenie prądu na oporniku jest zgodne w fazie z napięciem wymuszają-cym. Wówczas impedancja Z takiego obwodu posiadać będzie jedynie

składową rzeczywistą równą wartości oporu danego opornika:

RZZ =′=ˆ

.

W poprzednich rozdziałach charakteryzowaliśmy kondensatory i cewki

i wiemy, Ŝe dla tych elementów obwodów elektrycznych natęŜenie prądu

nie jest zgodne w fazie z napięciem wymuszającym.

Impedancja kondensatora

W celu wyznaczenia impedancji kondensatora rozwaŜmy obwód elek-

tryczny zawierający źródło napięcia zmiennego ( ) ( )ωtUtU sin 0=

i kondensator o pojemności C połączone szeregowo. Dla źródła prądu

stałego kondensator stanowi rozwarcie – prąd płynie jedynie podczas ła-

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 49494949

dowania kondensatora, a po jego całkowitym naładowaniu wartość natę-Ŝenia prądu spada do zera. W przypadku źródła prądu zmiennego pola-

ryzacja źródła (znak napięcia) zmienia się okresowo powodując naprze-

mienne ładowanie i rozładowywanie kondensatora. NatęŜenie prądu

płynącego w obwodzie będzie tym większe, im większa będzie pojem-

ność kondensatora (przy identycznym napięciu na jego okładkach gro-

madzi się wtedy więcej ładunku) i im większa będzie częstotliwość na-

pięcia wymuszającego. Zapiszmy II prawo Kirchhoffa dla takiego

obwodu zawierającego źródło i kondensator:

( ) 0sin0C =− tUU ω (13.3)

PoniewaŜ ładunek ( )tq zgromadzony na kondensatorze jest proporcjo-

nalny do napięcia ładującego UC,

( ) ( )tUCUCtq ωsin0C == (13.4),

więc natęŜenie prądu płynącego w takim obwodzie będzie wynosić:

( )( )

( )tUCt

tqtI ωω cos

d

d0== (13.5)

NatęŜenie prądu I (t ) jest proporcjonalne do pojemności kondensatora

oraz częstotliwości kołowej zmian napięcia zmiennego źródła. Przypo-

mnijmy, Ŝe funkcję sinus moŜna wyrazić jako kombinację funkcji wy-

kładniczych i

ii

2

ϕϕ

ϕ−−

=ee

sin . Wówczas napięcie źródła oraz wzór

13.5 moŜemy zapisać w postaci:

( )

( )( ) ( ) ( )2π+====

=

tωitωi

tωi

UωCωiCUt

tUC

t

tqtI

UtU

eed

d

d

d

e

00

0

(13.6)

Warto zwrócić uwagę, Ŝe faza natęŜenia prądu (wykładnik funkcji wy-

kładniczej) róŜni się od fazy napięcia o π/2 – natęŜenie prądu płynącego

przez kondensator wyprzedza w fazie napięcie o π/2.

ROZDZIAŁ 13

Strona 50505050

Rysunek 13.1. Wykres na płaszczyźnie zespolonej impedancji obwodu zawierającego źródło prądu zmiennego oraz a) opornik, b) kondensator,

c) cewkę

Na podstawie definicji (wzór 13.1) w łatwy sposób moŜemy wyliczyć

zespoloną impedancję CZˆ kondensatora:

( )( ) ωC

i

ωCi

1

tI

tUZ

−===C

ˆ (13.7)

Otrzymana impedancja pojemnościowa kondensatora posiada wyłącznie

składową urojoną. Na płaszczyźnie zespolonej wektor impedancji kon-

densatora skierowany jest pionowo w dół jak na rysunku 13.1 a.

Impedancja cewki indukcyjnej

Rozpatrzmy następnie obwód elektryczny składający się ze źródła prądu

zmiennego U (t ) oraz cewki o indukcyjności L. Dla prądu stałego ide-

alna cewka stanowi zwarcie – cewkę naleŜy traktować wyłącznie jako

przewód o pewnym oporze elektrycznym. Wraz ze wzrostem częstotli-

wości zmian napięcia źródła wartość indukcji pola magnetycznego

wytworzonego przez prąd płynący w cewce będzie się coraz szybciej

zmieniać. Towarzyszyć temu będą coraz szybsze zmiany strumienia pola

magnetycznego przechodzącego przez cewkę a więc zgodnie z prawem

indukcji Faradaya indukowana będzie siła elektromotoryczna o coraz

większej wartości. W rozwaŜanym obwodzie elektrycznym napięcie na

cewce UL(t ) równać się będzie napięciu źródła U (t ) ( ( ) ( )tUtU =L ).

Jednocześnie napięcie na cewce moŜemy powiązać z jej indukcyjnością L (wzór 12.44) i otrzymamy wówczas:

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 51515151

tωiU

t

IL e

d

d0= (13.8)

Aby wyznaczyć natęŜenie prądu płynącego przez cewkę scałkujemy

powyŜszą zaleŜność:

( )( )

( ) ( )2ωtiωti

ωtiωti

Lω

Ue

Lω

UitI

Liω

Ut

L

Ut

L

tUtI

π−=−=

=== ∫∫

e

ede

d

00

00L

(13.9)

W przypadku cewki indukcyjnej natęŜenie prądu jest opóźnione w fazie

w stosunku do napięcia o π/2.

Impedancja cewki o indukcyjności L, przez którą przepływa zmienny

prąd elektryczny o częstotliwości ω wynosi:

LωiZ =L (13.10)

Impedancja cewki jest więc liczbą urojoną, dodatnią i na płaszczyźnie

zespolonej odpowiada wektorowi skierowanemu pionowo w górę (rysu-

nek 13.1).

13.2. Drgania elektryczne

Obwód LC

RozwaŜmy obwód elektryczny składający się z kondensatora o pojem-

ności C oraz cewki o indukcyjności L połączonych szeregowo (obwód

LC) jak na rysunku 13.2.

ROZDZIAŁ 13

Strona 52525252

Rysunek 13.2. Obwód LC kondensatora C oraz cewki indukcyjnej L połączonych szeregowo

Początkowo klucz zamykający obwód jest otwarty tak, Ŝe w obwodzie

nie płynie prąd. Kondensator naładowano z zewnętrznego źródła ładun-

kiem q0. Zamknięcie klucza umoŜliwia przepływ prądu w obwodzie

i rozpoczyna się rozładowywanie kondensatora. Gdy kondensator będzie

bliski całkowitego rozładowania, prąd płynący przez cewkę osiągnie

wartość maksymalną. Po rozładowaniu kondensatora znika róŜnica po-

tencjałów między jego okładkami, wymuszająca przepływ ładunku

w obwodzie – jej rolę przejmuje natomiast siła elektromotoryczna, wy-

tworzona na cewce. Na skutek występowania tej siły elektromotorycznej

po całkowitym rozładowaniu kondensatora nastąpi jego ponowne

ładowanie. Zmieni się jednak polaryzacja okładek – znak ładunku zgro-

madzonego na okładkach będzie przeciwny niŜ na początku. Po nałado-

waniu kondensatora ponownie nastąpi jego rozładowanie przez cewkę. Siła elektromotoryczna powstająca w cewce na skutek zmiany natęŜenia

prądu płynącego przez obwód będzie przeciwnego znaku niŜ w pierw-

szej części cyklu. Spowoduje to ponowne ładowanie kondensatora –

układ wróci do stanu początkowego.

Równorzędny opis zmian zachodzących w obwodzie LC moŜe zostać sformułowany w odniesieniu do energii, zmagazynowanej w kondensa-

torze i w cewce. Początkowo cała energia układu występuje w postaci

pola elektrycznego, wytworzonego pomiędzy okładkami kondensatora.

Po rozładowaniu kondensatora natęŜenie prądu płynącego przez cewkę osiąga wartość maksymalną, co oznacza, Ŝe równieŜ energia zgroma-

dzona w postaci pola magnetycznego jest wówczas maksymalna. Na-

stępnie energia ta jest zuŜywana na ponowne ładowanie kondensatora.

Widzimy zatem, Ŝe w obwodzie LC zachodzą wzajemne okresowe za-

miany energii elektrycznej na magnetyczną i odwrotnie. PokaŜemy, Ŝe

w idealnym obwodzie (bez strat) całkowita energia jest zachowana.

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 53535353

Wartości napięć na cewce UL i na kondensatorze UC moŜemy zapisać:

2

2

L d

d

d

d

t

qL

t

ILU −=−= (13.11)

C

qU =C (13.12)

Z II prawa Kirchhoffa wynika, Ŝe w opisywanym obwodzie LC napięcia

te muszą być równe: 0LC =−UU . Stąd otrzymujemy równanie opisu-

jące przepływ ładunku w obwodzie LC:

0d

d2

2

=+LC

q

t

q (13.13)

Jest to równanie identycznej postaci jak równanie 6.5 opisujące mecha-

niczne drgania harmoniczne – oscylator harmoniczny. Tym razem jed-

nak opisujemy przepływ ładunku w obwodzie LC i układ taki nazywać będziemy oscylatorem elektromagnetycznym. ZaleŜność wartości ła-

dunku elektrycznego zgromadzonego na kondensatorze C od czasu mo-

Ŝemy opisać funkcją:

( )tqq 00 cos ω= (13.14),

gdzie q0 jest wartością ładunku, jaką początkowo naładowany został

kondensator, zaś ω0 jest częstotliwością własną drgań w obwodzie LC.

Wartość ω0 moŜna wyznaczyć porównując równanie 13.13 z równaniem

6.5:

LC

10 =ω (13.15)

Spróbujmy wyrazić energię zgromadzoną w obwodzie LC w postaci pola

elektrycznego i magnetycznego za pomocą ładunku elektrycznego q :

( )

C

tωq

C

qW

2

cos

20

220

2

E == (13.16)

ROZDZIAŁ 13

Strona 54545454

( ) ( )

( )C

tωqW

tωLC

qL

tωqLLI

W

2

sin

sin1

2sin

22

022

0B

022

0022

020

2

B

=

=== ω

(13.17)

W powyŜszym wzorze energię pola magnetycznego wyznaczyliśmy na

podstawie zaleŜności 12.51, podstawiając za natęŜenie prądu elektrycz-

nego pochodną ładunku elektrycznego q po czasie

( )( ) ( )tωωqtωqtt

qI 00000 sin cos

d

d

d

d−=== (13.18)

oraz wyraŜając częstotliwość kołową drgań własnych ω0 za pomocą

indukcyjności cewki L oraz pojemności C kondensatora (zaleŜność 13.15).

Korzystając z toŜsamości trygonometrycznej 1cossin 22 =+ αα łatwo

wykazać, Ŝe:

Suma energii zgromadzonych w postaci pola magnetycznego i elektrycznego w obwodzie LC zawsze jest wartością stałą, równą energii zgromadzonej początkowo na kondensatorze.

const.2

20

BE ==+=C

qWWE (13.19)

Obwód RLC

PoniewaŜ kaŜdy rzeczywisty obwód posiada pewien skończony opór

elektryczny, zgromadzona w obwodzie energia ulega stopniowemu roz-

praszaniu w postaci ciepła. Rozpatrzmy więc układ składający się z kondensatora o pojemności C, cewki indukcyjnej o indukcyjności L

oraz opornika o oporze R połączonych szeregowo jak na rysunku 13.3.

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 55555555

Rysunek 13.3. Obwód RLC

II prawo Kirchhoffa dla takiego obwodu RLC moŜna zapisać w postaci:

0LC =+− RIUU (13.20),

gdzie UC oznacza napięcie na kondensatorze, UL napięcie na cewce in-

dukcyjnej zaś iloczyn RI jest równy spadkowi napięcia na oporze R,

przez który płynie prąd elektryczny o natęŜeniu I. Dokonując podstawie-

nia podobnego jak dla obwodu LC (równania 13.11, 13.12 oraz 13.18),

otrzymujemy róŜniczkowe równanie drgań ładunku elektrycznego q

w obwodzie RLC:

0d

d

d

d2

2

=++C

q

t

qR

t

qL (13.21)

Równanie to ma podobną postać, jak równanie 6.19 dla tłumionego

oscylatora mechanicznego. RównieŜ rozwiązanie tego równania, czyli

zaleŜność q(t ) wartości ładunku od czasu będzie miało postać analo-

giczną jak w przypadku drgań mechanicznych:

( ) ( )ϕωγ += − tqtq t cose0 (13.22),

gdzie q0 jest wartością początkową ładunku zgromadzonego na konden-

satorze C. Funkcja q(t ) jest iloczynem dwóch funkcji. Czynnik okre-

sowy ( )ϕω +tcos opisuje oscylacje wartości ładunku z częstotliwością kołową ω:

2

2

1

−=

L

R

LCω (13.23)

ROZDZIAŁ 13

Strona 56565656

Drugi człon ( ) tqtA γ−= e0 opisuje spadek amplitudy drgań wartości ła-

dunku, który jest wykładniczą funkcją czasu ze współczynnikiem tłu-

mienia L

R

2=γ .

13.3. Drgania tłumione w obwodzie RLC

JeŜeli w opisywany w poprzednim rozdziale obwód RLC włączymy sze-

regowo źródło (Rysunek 13.4), którego siła elektromotoryczna jest

zmienna okresowo (źródło prądu zmiennego), otrzymujemy układ,

w którym zachodzą wymuszone drgania z tłumieniem. Dla obwodu

takiego II prawo Kirchhoffa będzie miało postać:

( )tC

qRI

t

IL ε ωsin

d

dM=++ (13.24)

Symbol Mε oznacza amplitudę wymuszenia, zaś ω częstotliwość ko-

łową tego wymuszenia. RóŜniczkując powyŜsze równanie po czasie,

moŜemy otrzymać równanie opisujące zmiany natęŜenia prądu płyną-cego w tym obwodzie:

( )tC

I

t

IR

t

IL ε ωωcos

d

d

d

dM2

2

=++ (13.25)

Rozwiązaniem tego równania są funkcje sinusoidalne i moŜemy je zapi-

sać w postaci:

( ) ( )ϕω += tItI sin 0 (13.26),

gdzie I0 oznacza amplitudę drgań wartości natęŜenia prądu elektrycznego

płynącego w obwodzie, zaś ϕ oznacza przesunięcie fazowe występujące

pomiędzy napięciem wymuszającym Mε a natęŜeniem I (t ) prądu

w obwodzie.

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 57575757

Rysunek 13.4. Obwód RLC z wymuszeniem o częstotliwości ω

Całkowita impedancja omawianego układu RLC będzie sumą impedancji

poszczególnych elementów, co moŜemy zapisać:

−+=++=

CLiRZZZZ

ωω

1CLR

ˆˆˆˆ (13.27)

Widzimy, Ŝe składowa rzeczywista impedancji jest związana z oporem,

a składowa urojona z róŜnicą impedancji cewki i kondensatora. Na

wykresie w płaszczyźnie zespolonej wektory opisujące impedancję cewki i kondensatora są skierowane w przeciwnych kierunkach, a zatem

odejmują się jak na rysunku 13.5.

Rysunek 13.5. Wykres na płaszczyźnie zespolonej składowych i wypadkowej impedancji ZRLC dla szeregowego obwodu RLC

ROZDZIAŁ 13

Strona 58585858

Obliczmy moduł i przesunięcie fazowe wektora impedancji obwodu

RLC:

RωC

ωL

Z

Z

ωCωLRZZZZZ

1

tg

12

222

−=

′

′′=

−+=′′+′== ∗

ϕ

(13.28)

Analizując przesunięcie fazowe moŜemy określić, czy w obwodzie prąd

wyprzedza napięcie (φ < 0), czy jest odwrotnie. Na podstawie modułu

impedancji moŜemy natomiast określić maksymalną wartość (amplitudę) natęŜenia prądu, płynącego w obwodzie:

Z

Iε 0

0 = (13.29)

MoŜna zauwaŜyć, Ŝe jeśli suma impedancji cewki i kondensatora wynosi

zero (ωC

ωL1

= ), wówczas przesunięcie fazowe jest równieŜ równe

zeru – a więc napięcie i natęŜenie są w fazie. Impedancja obwodu ma

w takim przypadku jedynie składową rzeczywistą, równą wartości oporu

elektrycznego. W tym przypadku impedancja obwodu osiąga równieŜ minimum. Wartość natęŜenia prądu, a więc i moc wydzielana na opor-

niku osiągają natomiast maksimum.

Opisując zmiany ładunku w obwodzie RLC pokazaliśmy, Ŝe opornik R

wpływa na zmniejszenie częstotliwości tych zmian oraz tłumi amplitudę zmian ładunku (wzór 13.23). W układzie RLC, gdy częstotliwość kołowa

wymuszenia ω będzie równa częstotliwości własnej obwodu, obserwo-

wać będziemy zjawisko rezonansu, będące odpowiednikiem rezonansu

znanego juŜ z układów mechanicznych. Częstotliwość rezonansowa ωr

w tym przypadku wynosi:

LCω

L

Rωω

1

2

0

2

220r

=

−=

(13.30)

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

Strona 59595959

Dostrajanie układów elektronicznych do warunków rezonansu jest sto-

sowane w odbiornikach radiowych i telewizyjnych. Sygnały radiowe

i telewizyjne przesyłane są na odpowiedniej częstotliwości. Częstotli-

wość tą nazywamy częstotliwością nośną. Sygnały przesyłane są nato-

miast na zasadzie modulacji amplitudy (AM), lub modulacji częstotliwo-

ści(FM).

13.4. Moc w obwodach prądu zmiennego

Obliczmy moc, jaka wydziela się na oporniku R w omawianym

obwodzie RLC. Chwilowa energia rozpraszana na elemencie oporowym

równa się pracy dW przesunięcia ładunku dq pod wpływem róŜnicy

potencjałów U (t ), występującej na tym oporniku, co w analogii do

wzoru 11.22 moŜemy zapisać:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) tωtIφωtUW

ttItUqtUW

dsin sin d

ddd

00 +=

== (13.31)

gdzie ϕ oznacza przesunięcie fazowe między natęŜeniem prądu I (t )

a napięciem U (t ). Energia rozpraszana na tym oporniku R w ciągu

jednego okresu wynosi:

( ) ( )

( )[ ] ϕϕϕ

ϕ

sTIUtωtIU

W

tωtωtIUW

T

T

co2

1d2coscos

2

dsinsin

00

0

00

0

00

=+−=

+=

∫

∫ (13.32)

PoniewaŜ zwykle interesuje nas średnia moc wydzielana na danym

urządzeniu, obliczmy średnią wartość tej funkcji dla jednego okresu

drgań:

ϕϕ coscos22 SKSK00 IU

IUP == (13.33)

ROZDZIAŁ 13

Strona 60606060

Symbol ISK

oznacza natęŜenie skuteczne prądu równe20I

. NatęŜenie

skuteczne ma identyczną wartość jak natęŜenie prądu stałego, które

powodowałoby rozpraszanie takiej samej ilości ciepła w jednostce czasu.

Poprzez analogię definiujemy równieŜ napięcie skuteczne 20

SK

UU = .

14 Fale

W tym rozdziale:

o Rodzaje fal o Równanie róŜniczkowe fali o Superpozycja fal o Fale stojące o Fale akustyczne o Energia i natęŜenie fali o Efekt Dopplera

ROZDZIAŁ 14

Strona 62626262

14.1. Co to jest fala

Wyjaśnienie licznych zjawisk w przyrodzie wymaga wprowadzenia

pojęcia fali.

Fala jest to zaburzenie poruszające się w wolnej przestrzeni lub w ośrodku.

W przyrodzie obserwujemy fale róŜnego typu – mechaniczne (dźwię-kowe, fale na wodzie), elektromagnetyczne, grawitacyjne, cieplne czy

fale materii. Fale mechaniczne związane są z poruszaniem się cząsteczek

ośrodka wokół połoŜenia równowagowego. W przypadku fal elektroma-

gnetycznych mówimy o periodycznych zmianach pola magnetycznego

i elektrycznego, które to zmiany rozchodzą się w przestrzeni – fala elek-

tromagnetyczna nie wymaga ośrodka materialnego i rozchodzi się takŜe

w próŜni. Fale materii wiąŜą się z koncepcją de Brogliea, mówiącą, Ŝe

poruszającym się cząstkom materii moŜna przypisać równieŜ właściwo-

ści falowe.

Rodzaje fal

Ze względu na sposób rozchodzenia się zaburzenia wyróŜniamy fale po-

przeczne oraz podłuŜne. W przypadku fal poprzecznych mechanicznych

cząsteczki ośrodka drgają wokół połoŜenia równowagowego w kierunku

prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala, jaką obserwujemy

na powierzchni wody rozchodzi się w kierunku poziomym, zaś czą-steczki wody wykonują drgania w kierunku pionowym. Falą poprzeczną jest równieŜ fala elektromagnetyczna (np. światło widzialne), gdzie

w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia fali obserwujemy

okresowe zmiany wartości natęŜenia pola elektrycznego oraz indukcji

pola magnetycznego. Fale takie moŜemy polaryzować i wtedy drgania

zachodzą tylko w jednej płaszczyźnie.

W przypadku fal podłuŜnych drgania cząsteczek ośrodka odbywają się w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Przykładem

moŜe tutaj być fala akustyczna (dźwiękowa) w powietrzu, gdzie czą-steczki drgają wokół połoŜenia równowagi w kierunku zgodnym z roz-

chodzeniem się fali. W efekcie obserwujemy okresowe lokalne zwięk-

FALE

Strona 63636363

szanie i zmniejszanie się gęstości powietrza a więc zarazem okresowe

zmiany ciśnienia w ośrodku.

14.2. Równanie róŜniczkowe fali

Rozpatrzmy sznur, którego jeden z końców wykonuje ruch drgający har-

moniczny w kierunku osi y. Drgania harmoniczne omawialiśmy juŜ w

rozdziale 6 i wiemy, Ŝe połoŜenie w funkcji czasu, y(t ), końca takiego

sznura drgającego harmonicznie moŜna opisać funkcją sinusoidalną ( ) ( )ϕ+= ωtAty sin . We wzorze tym A jest amplitudą drgań, czyli

maksymalnym wychyleniem z połoŜenia równowagowego. Wychylenie

jednego z punktów sznura spowoduje równieŜ wychylenie sąsiednich

punktów. W ten sposób zaburzenie przyłoŜone do końca sznura będzie

się rozchodzić wzdłuŜ sznura. W efekcie wszystkie punkty sznura

(ośrodka) będą wykonywały drgania harmoniczne wokół połoŜeń równo-

wagowych. Jednocześnie sąsiednie punkty sznura róŜnią się fazą. W da-

nej chwili czasu punkty ośrodka ułoŜone wzdłuŜ osi x będą wychylone

w kierunku osi y tworząc krzywą typu sinusoidalnego jak pokazano na

rysunku 14.1. Wprawiając koniec sznura w ruch drgający wytwarzamy

więc poprzeczną (drgania odbywają się w kierunku y poprzecznym do

kierunku x rozchodzenia się fali) falę harmoniczną. Wielkości cha-

rakterystyczne, opisujące taką falę harmoniczną to: długość fali λ – odle-

głość między dwoma punktami zgodnymi w fazie; amplituda drgania A –

maksymalne wychylenie z połoŜenia równowagi, okres T – czas po ja-

kim dany punkt x będzie ponownie w tej samej fazie (rysunek14.1). Opi-

sując fale często podawać będziemy równieŜ częstotliwość fali f, będącą odwrotnością okresu T fali ( )Tf 1= , lub teŜ częstotliwość kołową ω :

Tf ππ 22 ==ω (14.1)

Definiuje się równieŜ wektor falowy k:

λπ2=k (14.2)

PowyŜszą wielkość k nazywamy w przypadku jednowymiarowym takŜe

liczbą falową, która definiuje ile razy długość fali λ mieści się na od-

cinku 2π metrów. Jednostką liczby falowej jest 1m−.

ROZDZIAŁ 14

Strona 64646464

Rysunek 14.1. Schematyczny rysunek fali poprzecznej rozchodzącej się w kierunku x

Korzystając z powyŜszych wielkości stan dowolnego punktu przestrzeni

(wychylenie y z połoŜenia równowagi) znajdującego się w odległości x

od początku układu współrzędnych, w dowolnej chwili czasu t opisany

będzie funkcją sinusoidalną postaci:

( ) ( )ωtkxAx,ty ±= sin (14.3)

Argument funkcji sinus nazwiemy fazą ϕ, która zaleŜy zarówno od czasu

t jak i połoŜenia x:

ωtkx ±=ϕ (14.4)

W powyŜszym zapisie znak „–” w fazie oznacza falę rozchodzącą się w kierunku osi x, zaś znak „+” oznacza falę rozchodzącą się w kierunku

przeciwnym do osi x. Warto przy tym zaznaczyć, Ŝe kierunek rozchodze-

nia się fali definiuje się poprzez kierunek przemieszczania się w prze-

strzeni punktu o stałej fazie ( const.=φ ). JeŜeli np. grzbiet fali prze-

mieszcza się w kierunku osi x to znaczy, Ŝe fala taka rozchodzi się w kie-

runku osi x. W takim przypadku w kolejnych chwilach czasu we wzorze

14.4 wzrasta zarówno człon kx, jak i ωt, fazy drgania ϕ, a więc Ŝeby

otrzymać stałą fazę znak między tymi członami musi być ujemny.

Równanie 14.3, nazywane równaniem fali, jest w istocie rozwiązaniem

róŜniczkowego równania fali:

2

22

2

2

x

y

t

y

∂

∂=

∂

∂v (14.5),

FALE

Strona 66665555

gdzie 2

2

t

y

∂

∂ oznacza drugą pochodną po czasie wychylenia y z połoŜe-

nia równowagowego punktu ośrodka, 2

2

x

y

∂

∂ jest drugą pochodną tego

wychylenia y po współrzędnej x punktu ośrodka, zaś v oznacza prędkość rozchodzenia się stałej fazy (prędkość fazowa) w przestrzeni.

Do tej pory zakładaliśmy, Ŝe mamy do czynienia z falą poprzeczną i wychylenie z połoŜenia równowagowego odbywa się wyłącznie

w kierunku osi y. W ogólności falę opisywać będzie kaŜda funkcja Ψ po-

łoŜenia x i czasu t : ( )

±=v

xtfx,tψ , która spełniać będzie róŜnicz-

kowe równanie fali:

2

22

2

2

xt ∂

∂=

∂

∂ ϕϕv (14.6),

gdzie v jest prędkością rozchodzenia się stałej fazy fali.

Definiuje się dwie prędkości fali: prędkość fazową oraz prędkość gru-

pową.

Prędkość fazowa

Prędkość fazowa jest to prędkość, z jaką rozchodzi się stała faza fali

(np. grzbiet fali na wodzie). JeŜeli do róŜniczkowego równania ruchu

(równanie 14.5) wstawimy równanie fali 14.3, to otrzymamy, Ŝe pręd-

kość fazowa fali równa jest stosunkowi częstotliwości kołowej do liczby

falowej. Korzystając z wcześniejszych definicji częstotliwości kołowej

oraz liczby falowej moŜemy równieŜ wyrazić prędkość fazową fali jako

stosunek długości fali do jej okresu. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe fala roz-

chodząca się z prędkością fazową pokonuje drogę równą długości fali

w czasie równym okresowi tej fali:

T

fk

ω λλ ===fv (14.7)

ROZDZIAŁ 14

Strona 66666666

14.3. Superpozycja fal

Zgodnie z zasadą superpozycji nakładające się fale dodają się algebraicz-

nie nie wpływając przy tym na siebie tzn. wychylenie całkowite punktu x

w danej chwili t jest sumą wychyleń pochodzących od wszystkich skła-

dowych fal. Rozpatrzmy sumę dwóch fal o zbliŜonych częstotliwościach

ω1 i ω

2 oraz liczbach falowych k

1 i k

2 oraz identycznych amplitudach A:

( ) ( )xktωAxktωAy 2211 coscos −+−= (14.8)

Przy załoŜeniu bliskości częstotliwości i wektorów falowych prawdziwe

są następujące przybliŜenia:

121 2ωωω ≅+ (14.9)

121 2kkk ≅+ (14.10)

Wówczas przyjmując oznaczenia ωωω ∆=− 21 i kkk ∆=− 21 oraz

stosując wzór na sumę kosinusów otrzymujemy:

( )xktxk

tAy 11cos22

∆cos2 −

∆−≅ ω

ω (14.11)

Jest to równanie fali o częstotliwości ω1 oraz liczbie falowej k1, której

amplituda zmienia się zgodnie z funkcją

∆−

∆x

kt

22cos

ω. W wyniku

superpozycji fal otrzymujemy więc falę o tzw. amplitudzie modulowa-nej od wartości zero do 2A. Pomiędzy minimami amplitudy znajduje się grupa fal o niezerowych amplitudach tworząca tzw. paczki falowe.

Prędkość grupowa, dyspersja fal

Prędkość grupowa jest prędkością rozchodzenia się maksimów ampli-

tudy paczek falowych w tzw. zjawisku dudnień. Definiuje się ją jako po-

chodną częstotliwości kołowej po wektorze falowym:

kd

dg

ωv = (14.12)

FALE

Strona 67676767

Prędkość rozchodzenia się paczki falowej w ośrodku dyspersyjnym jest

inna niŜ prędkość fazowa.

Dyspersja oznacza zaleŜność prędkości fazowej fali od często-tliwości fali i jest cechą charakterystyczną ośrodka, w którym fala się rozchodzi.

JeŜeli ośrodek jest bezdyspersyjny, wówczas prędkość fazowa jest stała

i niezaleŜna od częstotliwości fali:

const.f ==k

ωv (14.13)

W ośrodku bezdyspersyjnym prędkość grupowa jest równa prędkości

fazowej:

( )

ff

gd

d

d

dv

vωv ===

k

k

k (14.14)

W przypadku ośrodka dyspersyjnego, czyli takiego, w którym prędkość fazowa zaleŜy od częstotliwości, grupa fal o zbliŜonych częstotliwo-

ściach będzie miała zbliŜone, ale jednak róŜne prędkości fazowe. W kon-

sekwencji zwiększać się będzie w czasie szerokość paczki falowej utwo-

rzonej z takich fal, gdyŜ kaŜda z fal składowych w tym samym czasie

pokona inną odległość.

14.4. Fale stojące

RozwaŜmy dwie fale o tej samej amplitudzie i częstotliwości, ale roz-

chodzące się w przeciwnych kierunkach. Fale takie moŜemy łatwo wy-

tworzyć np. w sznurze zamocowanym z jednej strony do ściany, którego

drugi, wolny, koniec wprawimy w harmoniczny ruch drgający. Powstała

w ten sposób fala rozchodzi się w kierunku ściany, odbija się od niej

i wraca nie zmieniając przy tym ani częstotliwości ani amplitudy drgań. Zgodnie z zasadą superpozycji obie fale się dodają. Wynik tego dodawa-

nia zaleŜeć jednak będzie od długości sznura i od częstotliwości drgań, które wytwarzamy na końcu sznura. Przy ustalonej długości sznura dla

pewnych częstotliwości drgań zaobserwujemy, Ŝe w niektórych punktach

sznur jest nieruchomy a w innych amplituda tych drgań jest duŜa oraz, Ŝe

ROZDZIAŁ 14

Strona 68686868

połoŜenie tych punktów nieruchomych i drgających nie zmienia się w czasie. Mówimy wówczas, Ŝe powstała fala stojąca.

Przedstawione zjawisko powstawania fali stojącej opiszemy teraz ilo-

ściowo. ZałóŜmy, Ŝe fala w sznurze rozchodzi się w kierunku przeciw-

nym do osi x. Falę taką nazywać będziemy falą padająca a jej równanie

moŜna zapisać w postaci:

+=λ

πx

T

tAy 2sinpadajaca (14.15)

Podczas odbicia takiej fali od ściany zmienia się zwrot rozchodzenia się fali (w kierunku osi x ) oraz jej faza o π a więc równanie fali odbitej

moŜna przedstawić w postaci:

−−=

+−=λ

x

T

tA

x

T

tAy ππ

λ

ππ2sin

22sinodbita

(14.16)

Obliczając sumę fali padającej oraz odbitej korzystamy ze wzoru try-

gonometrycznego na róŜnice sinusów i otrzymujemy równanie fali stoją-cej:

T

txAyyy

ππ 2cos

2 sin2odbitapadajacaλ

=+= (14.17)

Fala stojąca składa się z węzłów oraz strzałek. W strzałkach amplituda

drgań jest stale maksymalna a w węzłach wychylenia są zawsze zerowe

(w kaŜdej chwili czasu). PołoŜenia węzłów oraz strzałek nie zaleŜą od

czasu i określa je człon λπ x2 sin powyŜszego równania. Przykładowo

w punktach, dla których ππ n=λx2 , czyli dla całkowitych wie-

lokrotności połówki długości fali ( 2λnx = ) otrzymujemy węzły.

Fale stojące powstają np. na strunie gitarowej oraz w piszczałkach orga-

nowych. PoniewaŜ końce struny są zamocowane, czyli są tam węzły fali

stojącej, na strunie mogą powstać tylko takie fale stojące, dla których

całkowita wielokrotność połowy długości fali jest równa długości struny

d ( 2λnd = ). W przypadku piszczałek organowych zamkniętych (rysu-

nek 14.2 a) na obu końcach piszczałki, podobnie jak w przypadku struny,

są węzły a więc równieŜ w piszczałce zamkniętej mogą powstać tylko ta-

kie fale stojące, dla których długość piszczałki d jest równa całkowitej

wielokrotności długości fali stojącej 2λnd = . W przypadku piszczałek

otwartych (rysunek 14.2 b) na jednym końcu tuby będzie węzeł a na dru-

FALE

Strona 69696969

gim strzałka i wówczas długość fali stojącej powstałej w takiej otwartej

tubie o długości d spełniać będzie warunek ( ) 42 λ1−= nd .

Rysunek. 14.2 Schematyczny rysunek obrazujący falę stojącą powstającą w tubie zamkniętej (z lewej) i z jednym końcem otwartym (z prawej).Narysowano dwie fale o największych

długościach moŜliwych do uzyskania w tubie o danej długości

14.5. Fala akustyczna

Fala akustyczna (fala dźwiękowa w powietrzu) jest falą podłuŜną, co

oznacza, Ŝe drgania cząsteczek ośrodka następują w tym samym kie-

runku, w którym rozchodzi się fala. Fala dźwiękowa wytwarzana jest na

przykład w powietrzu przez membranę głośnika. Sygnał elektryczny do-

chodzący do głośnika porusza membraną, co wywołuje lokalne zmiany

gęstości i ciśnienia powietrza. Takie lokalne zaburzenie ciśnienia z kolei

powodują przemieszczanie się sąsiednich cząsteczek powietrza i w efek-

cie fala akustyczna rozchodzi się w tym samym kierunku, w którym

drgają cząsteczki ośrodka (jest falą podłuŜną). Wychylenie cząsteczek

z połoŜenia równowagowego dla fali akustycznej moŜna opisać równa-

niem:

( ) ( )tkxAx,ts ω−= cos (14.18),

gdzie s (x,t ) oznacza wychylenie z połoŜenia równowagowego czą-steczki ośrodka znajdującej się w chwili t w punkcie o współrzędnej x.

ROZDZIAŁ 14

Strona 70707070

Szczegółowa analiza zjawiska rozchodzenia się dźwięku w gazach poka-

zuje, Ŝe prędkość rozchodzenia się dźwięku jest zdeterminowana przez

proces adiabatyczny zachodzący w gazie. W efekcie prędkość dźwięku

w gazie zaleŜy od temperatury gazu T, wykładnika adiabaty γ oraz masy

molowej M cząsteczek ośrodka:

M

TRγ=v (14.19)

Dla ośrodka jednorodnego prędkość rozchodzenia się dźwięku moŜna

wyrazić równieŜ za pomocą gęstości ośrodka ρ oraz modułu ściśliwości

B (współczynnika spręŜystości objętościowej):

ρ

B=v (14.20)

W przypadku fali dźwiękowej rozchodzącej się w ciele stałym moduł

ściśliwości zastępujemy modułem Younga. W ogólności moŜna powie-

dzieć, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali akustycznej zaleŜy od pier-

wiastka kwadratowego ze stosunku wielkości charakteryzującej miarę spręŜystości do wielkości będącej miarą bezwładności materiału

ośrodka. Prędkość rozchodzenia się fali akustycznej jest najmniejsza

w gazach a największa w ciałach stałych.

14.6. Energia fali

Przypomnijmy, Ŝe definiowaliśmy falę jako rozchodzące się w prze-

strzeni zaburzenie. Podczas rozchodzenia się fali materia efektywnie się nie przemieszcza, nie występuje transport masy, ale rozchodząca się fala

przenosi energię i jest w stanie wykonać pracę. Rozpatrzmy jeszcze raz

sznur przymocowany z jednej strony do ściany. JeŜeli drugi koniec bę-dziemy podnosili i opuszczali, powstanie fala, która rozchodzić się bę-dzie w sznurze. Sam sznur się nie przesuwa, czyli nie obserwujemy

transportu masy, ale jeŜeli w pewnym miejscu sznura umieścimy odwaŜ-nik to sznur (fala w sznurze) podniesie odwaŜnik, czyli wykona pracę. MoŜna wykazać, Ŝe wartość energii przenoszonej przez falę w jednostce

czasu (moc fali) jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali, kwa-

dratu częstotliwości fali oraz parametrów charakteryzujących ośrodek,

w którym fala się rozchodzi:

FALE

Strona 71717171

22sr

srd

dA

t

EP ω∝= (14.21)

W przypadku fali dźwiękowej tymi parametrami charakteryzującymi

ośrodek są jego gęstość oraz prędkość rozchodzenia się w nim dźwięku.

NatęŜenie fali

Energia, jaką moŜe przekazać fala obiektowi zaleŜy nie tyko od mocy

fali, ale takŜe powierzchni obiektu, z jaką ta fala oddziałuje. Dlatego de-

finiuje się natęŜenie fali jako stosunek mocy źródła P do powierzchni S

na jaką ta fala oddziałuje:

tS

E

S

PI

∆

∆== (14.22)

JeŜeli rozpatrzymy punktowe źródło emitujące falę rozchodzącą się rów-

nomiernie we wszystkich kierunkach (izotropowo), to natęŜenie fali bę-dzie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła:

24 r

PI

π= (14.23),

gdzie r jest odległością od źródła, zaś 24 rπ jest powierzchnią sfery

o promieniu r. W efekcie w dwa razy większej odległości natęŜenie fali

będzie 4 razy mniejsze.

Poziom natęŜenia fali dźwiękowej, tzw. głośność β, przyjęto określać w decybelach dB porównując zmierzone natęŜenie fali I z referencyjnym

I0 zgodnie z formułą:

0

a10

0

10 log 20log 10p

p

I

I==β (14.24)

NatęŜenie odniesienia I0 jest najmniejszym natęŜeniem, jakie jest

w stanie usłyszeć ludzkie ucho (próg słyszalności) i wynosi 212

0 mW10−=I . Poziom natęŜenia fali dźwiękowej moŜna równieŜ

określić za pomocą ciśnienia akustycznego pa.

ROZDZIAŁ 14

Strona 72727272

14.7. Efekt Dopplera

Efekt Dopplera polega na zmianie rejestrowanej częstotliwości fali

w przypadku, gdy występuje ruch obserwatora lub źródła fali względem

ośrodka. Rozpatrzmy przypadek, gdy źródło fali oddala się od obserwa-

tora. Wówczas odległość między kolejnymi czołami fali jest powięk-

szona o drogę, jaką źródło przebędzie podczas jednego okresu fali. W ten

sposób efektywnie zwiększa się okres fali, czyli zmniejsza się częstotli-

wość fali mierzonej przez obserwatora. W przeciwnym przypadku, gdy

źródło zbliŜa się do obserwatora, kolejne czoło fali „goni” poprzednie

czoła fali zmniejszając odległość między nimi a więc długość i okres

fali, zwiększając zaś jej częstotliwość (rysunek 14.3). Podobne rozwaŜa-

nia moŜna przeprowadzić równieŜ dla przypadku obserwatora poruszają-cego się względem źródła. W ogólności zmierzoną częstotliwość moŜna

opisać wzorem:

z

o

vv

vv0

m

±=′ ff (14.24),

gdzie f0 to częstotliwość źródła, v – prędkość rozchodzenia się fali

w ośrodku, zv – prędkość źródła fali, ov – prędkość obserwatora. W po-

wyŜszym zapisie górny znak stosujemy, jeŜeli obserwator i źródło zbli-

Ŝają się do siebie zaś dolny, jeŜeli oddalają. Przykładowo, częstotliwość sygnału karetki, jaką zmierzy nieruchomy obserwator w przypadku, gdy

karetka zbliŜa się do niego z prędkością kv wyniesie

k

0vv

v

−=′ ff

oraz

k

0vv

v

+=′ ff , gdy karetka będzie się oddalała. W efekcie

w chwili mijania obserwator będzie słyszał zmianę tonu sygnału z wyso-

kiego na niski – gdy karetka się zbliŜa dźwięk ma wyŜszą częstotliwość (wyŜsze dźwięki), a gdy się oddala mniejszą częstotliwości (niŜsze

dźwięki).

FALE

Strona 73737373

Rysunek 14.3. Powstawanie efektu Dopplera w przypadku, kiedy porusza się źródło. Dla nieruchomego źródła (z lewej) obserwatorzy O1 i O2 odbierają falę o identycznej częstotliwości. Kiedy źródło się porusza

(z prawej) obserwator O1 odbiera falę o większej długości (niŜszej częstotliwości), a obserwator O2 falę o mniejszej długości (wyŜszej

częstotliwości).

Zjawisko Dopplera wykorzystywane jest np. w radarach drogowych.

Wiązka promieniowania o określonej częstotliwości wysyłana przez na-

dajnik odbija się od karoserii poruszającego się samochodu i wraca do

odbiornika. Na podstawie róŜnicy częstotliwości pomiędzy falą wysłaną a odebraną moŜemy określić prędkość poruszania się pojazdu. Dzięki

efektowi Dopplera moŜemy równieŜ wyznaczyć prędkości przemiesz-

czania się chmur związanych z frontami atmosferycznymi. Zmiana cha-

rakterystycznych częstotliwości promieniowania elektromagnetycznego

pozwala takŜe określić prędkość gwiazd względem Ziemi.

ROZDZIAŁ 14

Strona 74747474

`

15 Fale elektromagnetyczne

W tym rozdziale:

o Druga zasada dynamiki o Zagadnienie proste i odwrotne o Pęd, kręt, zasady zmienności i zachowania o Praca i moc o Energia kinetyczna, zasada zmienności energii o Pole potencjalne sił i energia potencjalna o Zasada zachowania energii mechanicznej

ROZDZIAŁ 15

Strona 76767676

15.1. Widmo fal elektromagnetycznych

Otaczająca nas przestrzeń jest wypełniona promieniowaniem elektroma-

gnetycznym. Widmo promieniowania elektro-magnetycznego obejmuje

fale o częstotliwościach z zakresu ponad 20 rzędów wielkości. W zaleŜ-ności od częstotliwości (lub długości) fali wyróŜniamy fale długie (czę-stotliwości do ok. 10

4 Hz), fale radiowe (10

4 – 10

11 Hz), podczerwień

(1011

– 1014

Hz), zakres światła widzialnego (od koloru czerwonego o

długości fali ok. 700 nm poprzez pomarańczowy, Ŝółty i zielony do nie-

bieskiego i fioletowego o długości fali ok. 400 nm), nadfiolet (1015

–

1017

Hz), promieniowanie rentgenowskie (1017

– 1020

Hz) oraz promie-

niowanie gamma (powyŜej 1020

Hz).

15.2. Równania Maxwella

Istnienie fal elektromagnetycznych wynika z równań Maxwella. Są to

podstawowe, omawiane juŜ w poprzednich rozdziałach równania pola

elektrycznego i magnetycznego, które teraz jeszcze raz przypomnimy.

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego wyraŜa źródłowy charakter pola

elektrycznego – źródłem statycznego pola elektrycznego są ładunki

elektryczne. Istnieją pojedyncze ładunki elektryczne, na których zaczy-

nają lub kończą się linie statycznego pola elektrycznego. Wartość stru-

mienia wektora Er

natęŜenia pola elektrycznego przechodzącego przez

dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa ładunkowi objętemu przez

tę powierzchnię podzielonemu przez stałą 0ε :

0

dε

QSE =⋅∫rr

(15.1)

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego mówi, Ŝe nie istnieją pojedyn-

cze bieguny magnetyczne, monopole magnetyczne a więc, Ŝe pole ma-

gnetyczne ma charakter bezźródłowy. Linie pola magnetycznego nie

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Strona 77777777

mają początku ani końca i są liniami zamkniętymi. Wówczas strumień

wektora indukcji pola magnetycznego Br

przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zeru - tyle samo linii pola magne-

tycznego wchodzi i wychodzi z obszaru określonego przez tę dowolną powierzchnię zamkniętą:

0d =⋅∫ SBrr

(15.2)

Prawo indukcji Faradaya: zmienne pole magnetyczne jest źródłem wi-

rowego pola elektrycznego. KrąŜenie wektora natęŜenia indukowanego

pola elektrycznego po krzywej zamkniętej równa się szybkości zmian

strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez

powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

( )

t

SB

t

ΦE

d

dd

d

dd B ∫

∫⋅

−=−=⋅

rr

rr

l (15.3)

Następnym równaniem jest uogólnienie prawa Ampera dla magnety-

zmu. Źródłem wirowego pola magnetycznego jest prąd elektryczny

(prawo Ampera) lub zmienne pole elektryczne. KrąŜenie wektora induk-

cji pola magnetycznego po krzywej zamkniętej jest równe sumie warto-

ści prądów stałych oraz prądów przesunięcia przenikających przez po-

wierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnoŜonych przez przenikalność magnetyczną próŜni µ

0.

It

ΦB 0

E00

d

dd µεµ +=⋅∫ lrr

(15.4)

IIB 0p0d µµ +=⋅∫ lrr

(15.5)

t

Φ

t

ΦI

d

d

d

d DE0P == ε (15.6),

gdzie Ip oznacza prąd przesunięcia – czyli prąd, którego przepływ wy-

wołałby wytworzenie pola magnetycznego o identycznej wartości, jak ta

wytworzona przez zmienny strumień natęŜenia pola elektrycznego

∫ ⋅= SEΦrr

d0D ε (równanie 15.6). Aby wyjaśnić istotę prądu prze-

sunięcia rozwaŜmy proces ładowania kondensatora. Przerwa między

okładkami kondensatora stanowi nieciągłość w obwodzie i wydawać by

się mogło, Ŝe w takim obwodzie nie moŜe być spełnione I prawo Kir-

ROZDZIAŁ 15

Strona 78787878

chhoffa – do okładki dopływa bowiem prąd elektryczny ale nie ma gdzie

dalej odpływać. Ale dopływający do okładki kondensatora prąd o natę-Ŝeniu I powoduje gromadzenie się na niej ładunku. Między okładkami

kondensatora powstaje jednocześnie pole elektryczne, którego natęŜenie

jest proporcjonalne do gęstości ładunku zgromadzonego na okładce kon-

densatora, a więc proporcjonalne do natęŜenia prądu dopływającego I,

czasu ładowania dt ( )tIq dd = oraz odwrotnie proporcjonalne do po-

wierzchni okładek kondensatora A i wynosi:

000

dddd

εεε

σ

A

tIAqE === (15.7)

Strumień natęŜenia pola elektrycznego przechodzący przez pewną po-

wierzchnię A znajdującą się między okładkami kondensatora i równole-

głą do tych okładek wynosić będzie:

0

E

ddd

ε

tIEAΦ == (15.8)

Wyznaczając następnie z równania 15.6 prąd przesunięcia otrzymujemy:

I===t

tI

t

ΦI

d

d

d

d 00

E0P

εεε (15.9)

Na tym prostym przykładzie procesu ładowania kondensatora wykazali-

śmy, Ŝe natęŜenie prądu przesunięcia między okładkami kondensatora

równa się wartości natęŜenia prądu ładującego kondensator. MoŜemy

zatem stwierdzić, Ŝe prąd przesunięcia kontynuuje w tym przypadku

prąd ładowania i pierwsze prawo Kirchhoffa jest spełnione.

Indukowane pole magnetyczne będzie miało największą wartość na po-

czątku procesu ładowania kondensatora, kiedy zachodzą największe

zmiany strumienia natęŜenia pola elektrycznego. Po zakończeniu łado-

wania kondensatora znika prąd ładowania i indukowane pole magne-

tyczne zanika.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Strona 79797979

15.3. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej

Konsekwencją zapisanych powyŜej równań Maxwella są fale elektroma-

gnetyczne. Jak wynika z równań Maxwella dla fali elektromagnetycznej

wektory natęŜenia pola elektrycznego Er

oraz indukcji Br

pola magne-

tycznego są do siebie zawsze prostopadłe oraz są prostopadłe do kie-

runku rozchodzenia się tej fali elektromagnetycznej. Oznacza to, Ŝe fala

elektromagnetyczna jest falą poprzeczną.

Zmiany wartości obu wektorów, E i B, następują z tą samą częstotliwo-

ścią i opisane są funkcjami sinusoidalnymi zgodnymi w fazie (rysunek

15.1):

( ) ( )( ) ( )ωtkxBx,tB

ωtkxEx,tE

−=

−=

cos

cos

max

max (15.10)

Rozpatrzmy falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku osi x,

gdzie wektor natęŜenia pola elektrycznego zmienia się wzdłuŜ osi y zaś wektor indukcji pola magnetycznego drga odpowiednio w kierunku osi

z, jak na rysunku 15.1.

Rysunek 15.1. Schematyczny rysunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

ROZDZIAŁ 15

Strona 80808080

JeŜeli w pewnym obszarze przestrzeni wokół dowolnego punktu P in-

dukcja B pola magnetycznego będzie malała w czasie, to równieŜ stru-

mień pola magnetycznego przechodzący przez ten obszar przestrzeni bę-dzie malał w czasie. Wówczas zgodnie z prawem indukcji Faradaya wo-

kół punktu P powinno powstać wirowe pole elektryczne, które kompen-

sować będzie tę zmianę strumienia pola magnetycznego. W efekcie

wartość natęŜenia pola elektrycznego E w sąsiednim punkcie odległym o

dx zmieni się o wartość dE. Taka zmiana wartości natęŜenia pola elek-

trycznego (równieŜ zmiana strumienia wektora natęŜenia pola elektrycz-

nego) zgodnie z prawem Ampera będzie kompensowana przez wirowe

pole magnetyczne powstałe wokół tego punktu. Oznacza to, Ŝe analo-

gicznie do pola elektrycznego równieŜ wartość indukcji pola magne-

tycznego w punkcie odległym o dx zmieni się o wartość dB. W ten spo-

sób wykazaliśmy jakościowo na podstawie równań Maxwella, Ŝe pola

elektryczne i magnetyczne są ze sobą powiązane, konsekwencją czego

jest istnienie fal elektromagnetycznych. Równania Maxwella pozwalają równieŜ wyznaczyć wartość prędkości rozchodzenia się fali elektroma-

gnetycznej.

Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

Równania Maxwella moŜna przekształcić tak, Ŝe otrzymamy róŜnicz-

kowe równanie fali zarówno dla wektora natęŜenia pola elektrycznego E

jak i magnetycznego H :

( ) ( )

( ) ( )2

2

002

2

2

2

002

2

t

x,tH

x

x,tHt

x,tE

x

x,tE

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

µε

µε

(15.11),

gdzie 0ε jest przenikalnością elektryczną próŜni, zaś 0µ oznacza przeni-

kalność magnetyczną próŜni. Równania te mają podobną postać jak róŜ-niczkowe równanie fali (równanie 14.5). Z porównania równania 15.11

oraz 14.5 wynika, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej

w próŜni, nazywana prędkością światła c, wynosi:

sm103 8

00

⋅≈=µε

1c (15.12)

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Strona 81818181

Warto podkreślić w tym miejscu, Ŝe rozwiązaniem róŜniczkowych rów-

nań fali elektromagnetycznej 15.11 muszą być funkcje sinusoidalne

przedstawione w równaniach 15.10.

Źródłem fali elektromagnetycznej jest niejednostajny (przyspieszony)

ruch ładunków elektrycznych. Ruch taki moŜemy wywołać na przykład

przykładając napięcie do przewodnika (anteny). Ładunki dodatnie

i ujemne ulegną wówczas rozsunięciu (powstanie dipol elektryczny).

Pod wpływem zmiennego napięcia ładunki będą drgały wytwarzając

zmienne pole elektryczne, które zgodnie z równaniami Maxwella stanie

się źródłem fali elektromagnetycznej.

15.4. Wektor Poyntinga

Fala elektromagnetyczna, podobnie jak rozwaŜana wcześniej mecha-

niczna fala wytworzona w sznurze, niesie energię i jest zdolna wykonać pracę. W poprzednim rozdziale mówiliśmy, Ŝe opisując zdolność fali do

wykonania pracy naleŜy określić, jaka porcja energii w jednostce czasu

dociera do jednostkowej powierzchni. W przypadku fal elektromagne-

tycznych chwilową szybkość przepływu energii, czyli moc przypadającą

na jednostkę powierzchni opisuje wektor Poyntinga Sr

. Wektor ten defi-

niuje się poprzez iloczyn wektorowy wektora natęŜenia pola elektrycz-

nego E oraz natęŜenia pola magnetycznego H:

HESrrr

×= (15.13)

Jako wynik iloczynu wektorowego wektor Poyntinga jest prostopadły

zarówno do wektora natęŜenia pola elektrycznego jak i wektora indukcji

magnetycznej. Wektor S wyznacza kierunek i zwrot rozchodzenia się fali

elektromagnetycznej.

NatęŜenie fali elektromagnetycznej jest równe średniej wartości wektora

Poyntinga:

[ ]0

2max

0

2

maxsr

2

0 2

1

2

1

µµµ c

E

c

EE

cSI sr =

=== (15.14)

ROZDZIAŁ 15

Strona 82828282

Ciśnienie promieniowania

Fale elektromagnetyczne transportują nie tylko energię, ale równieŜ pęd.

JeŜeli obiekt, który oświetlany falą elektromagnetyczną pochłonie pewną energię ∆U, to równocześnie przekazany mu zostanie pęd ∆p:

c

∆U∆p = (15.15),

gdzie c jest prędkością światła. W przypadku, gdy promieniowanie elek-

tromagnetyczne ulegnie całkowitemu wstecznemu odbiciu zmiana pędu

obiektu będzie dwukrotnie większa.

Energia ∆U pochłonięta przez obiekt zaleŜy od natęŜenia promieniowa-

nia I, powierzchni obiektu A oraz czasu naświetlania ∆t (równanie

14.22):

∆tAI∆U = (15.16)

Wartość siły oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego po-

chłoniętego całkowicie przez obiekt moŜna obliczyć na podstawie dru-

giej zasady dynamiki Newtona:

c

AI

∆tc

∆tAI

∆tc

∆U

∆t

∆pF ==== (15.17)

PoniewaŜ powyŜsza siła działa na powierzchnię A obiektu, więc mo-

Ŝemy wyznaczyć ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego:

c

I

A

Fp ==p (15.18)

W przypadku całkowitego wstecznego odbicia ciśnienie promieniowania

elektromagnetycznego będzie dwukrotnie większe i wyniesie:

c

Ip

2p = (15.19),

gdzie I oznacza natęŜenie promieniowania elektro- magnetycznego zaś c

jest prędkością światła. Wartość ciśnienia promieniowania jest na tyle

niewielka, Ŝe nie odczuwamy go w Ŝyciu codziennym. Ciśnienie pro-

mieniowania pozwala jednak na przykład wyjaśnić specyficzne ułoŜenie

i zakrzywienie warkoczy komet okrąŜających Słońce a takŜe ma decy-

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Strona 83838383

dujące znaczenie w utrzymaniu równowagi gwiazd – ciśnienie promie-

niowania równowaŜy siły grawitacji.

ROZDZIAŁ 15

Strona 84848484

`

16 Optyka

W tym rozdziale:

o Prawo odbicia i załamania o Dyspersja o Zwierciadła, soczewki i urządzenia optyczne o Polaryzacja o Interferencja o Dyfrakcja

ROZDZIAŁ 16

Strona 86868686

Optyka

Optyka zajmuje się zjawiskami fizycznymi związanymi z falami elek-

tromagnetycznymi z zakresu światła widzialnego. Często wprowadza się podział na optykę geometryczną (zajmującą się geometrycznym opisem

toru tzw. promienia świetlnego) i optykę fizyczną (zajmującą się opisem

falowych własności światła, takich jak polaryzacja, interferencja i dy-

frakcja). Podział taki ma znaczenie głównie historyczne, bowiem geo-

metryczny przebieg promienia świetlnego w materiale moŜemy równieŜ opisać za pomocą równań fali elektromagnetycznej.

16.1. Prawa załamania i odbicia światła

Zasada Huygensa oraz zasada Fermata

Jednymi z podstawowych praw optyki są zasada Huygensa oraz zasada

Fermata.

Zasada Huygensa mówi, Ŝe kaŜdy punkt czoła fali moŜna uwaŜać za źródło nowej (wtórnej) fali kulistej.

Czoło fali tworzy zbiór punktów fali zgodnych w fazie. JeŜeli czoło fali

jest płaszczyzną (linią prostą w przypadku dwuwymiarowym) (rysunek

16.1a), to falę taką nazywamy falą płaską, zaś jeŜeli czoło ma kształt

sfery (okręgu) (rysunek 16.1b) to fala nazywana jest falą kulistą.

Rozpatrzmy najpierw falę płaską jak na rysunku 16.1a. Zgodnie z zasadą Huygensa kaŜdy punkt czoła fali staje się źródłem nowej fali kulistej.

PoniewaŜ fale rozchodzą się w tym samym ośrodku, więc kaŜda z tych

wtórnych fal w czasie ∆t przebędzie tę samą drogę s = c ∆t. W efekcie,

po czasie ∆t, nowe czoło fali będzie równieŜ falą płaską oddaloną od

pierwotnego czoła fali o odległość s. Analogicznie w przypadku fali ku-

listej nowe czoło fali równieŜ będzie sferą (okręgiem), ale o promieniu

większym od pierwotnego o długość s (rysunek 16.1b).

OPTYKA

Strona 87878787

Rysunek 16.1. Zasada Huygensa

W optyce geometrycznej do opisu przebiegu fal świetlnych często ko-

rzystać będziemy z pojęcia promieni światła, czyli nieskończenie cien-

kiej wiązki światła.

Według zasady Fermata promień światła biegnący z jednego punktu do drugiego wybiera drogę, na której przebycie zuŜyje extremum czasu (najczęściej minimum).

Zastosujemy zasady Huygensa oraz Fermata do wyznaczenia przebiegu

promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków o róŜnych właściwo-

ściach optycznych.

Współczynnik załamania

W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, Ŝe prędkość rozchodzenia się fali

elektromagnetycznej w próŜni (prędkość fazowa) jest równa prędkości

światła 00 µε1=c . JeŜeli światło rozchodzi się w ośrodku innym niŜ

próŜnia jego prędkość fazowa v zaleŜy od właściwości ośrodka i wynosi:

n

cc===

εµµµεε 00

1v (16.1),

gdzie c oznacza prędkość światła w próŜni, µ oraz ε oznaczają odpo-

wiednio względne przenikalności magnetyczną oraz elektryczną ośrodka

zaś n współczynnik załamania ośrodka, w którym rozchodzi się fala

elektromagnetyczna.

ROZDZIAŁ 16

Strona 88888888

Z powyŜszej zaleŜności wynika, Ŝe światło będzie się rozchodziło z róŜ-nymi prędkościami w ośrodkach o róŜnym współczynniku załamania

(róŜnych właściwościach optycznych).

Prawo odbicia

Prawo odbicia mówi, Ŝe kąt padania fali świetlnej jest równy kątowi odbicia.

Prawo to wynika z zastosowania zasady Fermata dla wyznaczenia prze-

biegu fali świetlnej między dwoma punktami. JeŜeli podczas tego prze-

biegu fala świetlna ulega odbiciu od granic ośrodków, to minimalny czas

na pokonanie takiej drogi optycznej otrzymamy wtedy, gdy kąt padania

jest równy kątowi odbicia. Warto przy tym zaznaczyć, Ŝe w optyce kąt padania oraz odbicia wyznaczamy względem normalnej do granicy

ośrodków.

JeŜeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy którego odbija się fala, jest większy niŜ współczynnik załamania ośrodka, w którym fala

propaguje, podczas odbicia następuje zmiana fazy fali o π (zmiana fazy

na przeciwną).

Prawo załamania

Rozpatrzmy teraz przebieg fali świetlnej między dwoma punktami znaj-

dującymi się w ośrodkach o róŜnych współczynnikach załamania n1 oraz

n2. JeŜeli współczynnik załamania w ośrodku drugim jest większy niŜ

w pierwszym (n1 < n

2), to fala świetlna w tym ośrodku rozchodzić się bę-

dzie z prędkością mniejszą niŜ w pierwszym (wzór 16.1). Czyli jeŜeli

w czasie T, odpowiadającym okresowi fali, fala w ośrodku 1 przebędzie

drogę λ1, to w ośrodku 2 przebędzie krótszą drogę λ

2.

Zgodnie z zasadą Huygensa, kaŜdy z punktów czoła fali rozchodzącej się w ośrodku 1 docierając do granicy ośrodków staje się źródłem nowej fali

kulistej rozchodzącej się dalej w ośrodku 2. W przypadku, gdy fala pada

na granicę ośrodków pod pewnym kątem α1 (czoło fali tworzy z granicą

ośrodków kąt α1 oraz promień świetlny tworzy kąt α

1 z normalną do gra-

nicy ośrodków) kaŜdy z punktów granicy rozdziału ośrodków staje się źródłem nowej fali kulistej w innej chwili czasu (rysunek 16.2).

OPTYKA

Strona 89898989

Rysunek 16.2. Załamanie fali na granicy ośrodków o róŜnych właściwościach optycznych

PoniewaŜ w drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej, to czoło fali

w ośrodku 2 tworzyć będzie kąt α2 z granicą ośrodków. Relację między

długościami fali λ1 oraz λ

2 a kątami α

1 oraz α

2 moŜna wyznaczyć porów-

nując odcinki AC w trójkątach ABC oraz ACD na rysunku 16.2b:

21 sinsin αα 21 λλ == h (16.2)

WyraŜając długości fali λ1 oraz λ

2 za pomocą prędkości fali świetlnej

w ośrodkach 1 i 2 ( T11 v=λ oraz T22 v=λ ) po przekształceniach

otrzymujemy prawo Snelliusa załamania wiązki światła na granicy

dwóch ośrodków optycznych:

21

1

2

2

1

2

1

sin

sinn

n

n===

v

v

α

α (16.3)

Na granicy dwóch ośrodków optycznych stosunek sinusów kąta padania i załamania fali świetlnej jest równy stosunkowi pręd-kości rozchodzenia się światła w tych ośrodkach lub odwrotno-ści stosunku współczynników załamania tych ośrodków.

Stosunek współczynnika n2 załamania ośrodka 2 do współczynnika n

1

załamania ośrodka 1 nazywany jest równieŜ względnym współczynni-

kiem załamania ośrodka 2 względem ośrodka 1 ( 1221 nnn = ).

ROZDZIAŁ 16

Strona 90909090

Płytka płasko-równoległa

Rozpatrzmy płasko-równoległą płytkę wykonaną ze szkła o współczyn-

niku załamania n większym niŜ współczynnik załamania otaczającego ją powietrza ( 1powietrza =n ). Niech promień świetlny pada na tę płytkę pod

kątem α jak na rysunku 16.3.

Na granicy powietrze-szkło promień światła dzieli się - częściowo odbije

się pod takim samym kątem α oraz częściowo przechodzi do szkła. Pro-

mień światła w szklanej płytce rozchodzić się będzie pod kątem β, któ-

rego wartość wyznaczamy na podstawie wzoru Snelliusa (wzór 16.3).

Następnie ten załamany promień świetlny trafia ponownie na granicę ośrodków szkło-powietrze pod kątem β. RównieŜ w tym przypadku

promień częściowo odbija się (pod tym samym kątem β) oraz częściowo

załamuje i przechodzi do powietrza. Stosując wzór Snelliusa dla załama-

nia na granicy szkło-powietrze (kąt padania β) otrzymujemy kąt załama-

nia równy α. W efekcie w wyniku przejścia wiązki światła przez płytkę płasko-równoległą otrzymujemy promień równoległy, ale przesunięty

względem pierwotnego (rysunek 16.3).

Rysunek 16.3. Przebieg promieni świetlnych przez płytkę płasko-równoległą

OPTYKA

Strona 91919191

Całkowite wewnętrzne odbicie

Na granicy dwóch ośrodków optycznych fala częściowo odbija się a czę-ściowo załamuje. Względne natęŜenie wiązki odbitej do padającej zaleŜy

od właściwości optycznych ośrodków oraz kąta padania. Przy przejściu

fali z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka optycznie rzadszego

(n1 > n

2), czyli na przykład ze szkła do powietrza, obserwuje się tzw.

całkowite wewnętrzne odbicie. Dla pewnego granicznego kąta padania

otrzymujemy kąt załamania równy π/2 a więc promienie ślizgają się po

granicy ośrodków nie przechodząc do ośrodka o współczynniku n2.

1

2

2

1gr

2sin

sin

n

n==

v

v

π

α (16.4)

Dla kątów padania większych od kąta granicznego promień padający

ulega całkowitemu odbiciu – natęŜenia wiązki padającej i odbitej są równe.

Działanie światłowodu polega na całkowitym wewnętrznym odbijaniu

promieni świetlnych rozchodzących się wewnątrz światłowodu, co po-

zwala przekazywać sygnał optyczny na duŜe odległości z niewielkimi

stratami.

Dyspersja

Omawiając właściwości fal w poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy

pojęcie dyspersji do opisania zaleŜności prędkości fazowej fali od czę-stotliwości. Wspominaliśmy wówczas równieŜ, Ŝe dyspersja nie jest ce-

chą fali a ośrodka, w którym ta fala się rozchodzi. Zjawisko dyspersji

światła w szkle wykorzystuje się do rozszczepiania wiązki światła bia-

łego na promienie o róŜnych barwach składowych. Wiązka światła bia-

łego padając na powierzchnię pryzmatu pod kątem α1 ulega załamaniu

na granicy ośrodków powietrze-szkło.

PoniewaŜ w szkle wewnątrz pryzmatu światło czerwone ma większą prędkość niŜ światło fioletowe, to zgodnie ze wzorem Snelliusa, ulegać będzie załamaniu pod większym kątem niŜ światło fioletowe

(βfiolet

< βczerwone

), jak zaznaczono na rysunku 16.4. Tak rozszczepione

ROZDZIAŁ 16

Strona 92929292

promienie ulegają ponownemu załamaniu podczas opuszczania pry-

zmatu (2

1

czerwone 2

czerwone 2

sin

sin

n

n=

α

β).

Rysunek 16.4. Przebieg wąskiej wiązki promieni świetlnych w pryzmacie

W efekcie, po przejściu przez pryzmat o kącie łamiącym φ (rysunek

16.4), promień światła czerwonego rozchodzić się będzie względem

wiązki padającej pod kątem mniejszym niŜ dla barwy fioletowej – kąt odchylenia wiązki światła w pryzmacie dla barwy czerwonej jest mniej-

szy niŜ dla barwy fioletowej ( fioletczerwone εε < ). MoŜna wykazać, Ŝe kąt

odchylenia ε zaleŜy od współczynnika załamania pryzmatu n2 oraz kąta

łamiącego φ pryzmatu: ( )ϕε 1−≅ n .

OPTYKA

Strona 93939393

16.2. Optyka geometryczna

Zwierciadło

JeŜeli na drodze promieni świetlnych wychodzących ze źródła X

(przedmiot) ustawimy płaską idealnie odbijającą przeszkodę (zwiercia-

dło płaskie), to kaŜdy z promieni wychodzących ze źródła X ulegnie od-

biciu od tej przeszkody, zgodnie z prawem odbicia, czyli pod kątem

równym kątowi padania (rysunek 16.5a). Promienie odbite rozchodzą się w róŜnych kierunkach i nie przecinają się. JeŜeli jednak przedłuŜymy

bieg odbitych promieni świetlnych poza zwierciadło, to otrzymamy

punkt przecięcia Y (rysunek 16.5a) znajdujący w takiej samej odległości

od zwierciadła jak punkt X (y = –x). Punkt Y nazywamy obrazem punktu

X. Warto podkreślić, Ŝe ustawiając źródło w punkcie Y uzyskalibyśmy

taki sam przebieg promieni jak promieni odbitych od zwierciadła. Po-

niewaŜ w punkcie Y w rzeczywistości nie przecinają się promienie

świetlne tylko ich przedłuŜenie obraz powstały w wyniku odbicia pro-

mieni świetlnych od płaskiego zwierciadła jest obrazem pozornym.

JeŜeli zamiast punktowego źródła światła płaskie zwierciadło oświetlimy

wiązką promieni równoległych padających pod kątem prostym do zwier-

ciadła (kąt padania θ = 0), to promienie odbite nadal będą równolegle

i poruszać się będą po tych samych liniach (prostopadłych do zwiercia-

dła). JeŜeli jednak zakrzywimy powierzchnię zwierciadła, nadając mu

kształt sfery (lub okręgu w przypadku dwuwymiarowym przedstawio-

nym na rysunku 16.5.b) o promieniu R, to takie promienie równoległe

przetną się w punkcie F zwanym ogniskiem zwierciadła, znajdującym

się w odległości f = R/2 od zwierciadła. Odległość f nazywana jest ogni-

skową zwierciadła (ang. focus).

ROZDZIAŁ 16

Strona 94949494

Rysunek 16.5. Odbicie światła w zwierciadle płaskim a) oraz odbicie wiązki równoległych promieni świetlnych w zwierciadle wklęsłym b)

Zjawisko ogniskowania promieni świetlnych jest konsekwencją prawa

odbicia – dla kaŜdego z promieni świetlnych kąt padania jest równy ką-towi odbicia, przy czym naleŜy pamiętać, Ŝe kąt padania i odbicia wy-

znaczamy względem normalnej do powierzchni zwierciadła. W przy-

padku zwierciadła sferycznego normalną do powierzchni zwierciadła

wyznacza promień R zwierciadła jak zaznaczono na rysunku 16.5b. Je-

Ŝeli źródło światła umieścimy w ognisku F soczewki sferycznej, to po

odbiciu otrzymamy wiązkę promieni równoległych. Efekt ten wykorzy-

stuje się na przykład w róŜnego rodzaju latarkach czy np. reflektorach

samochodowych.

Równanie zwierciadła

RozwaŜmy teraz powstawanie obrazu przedmiotu X ustawionego

w pewnej odległości x przed zwierciadłem sferycznym. Obraz Y przed-

miotu X powstaje w punkcie przecięcia promieni świetlnych wychodzą-cych z przedmiotu X.

OPTYKA

Strona 95959595

Rysunek.16.6. Konstrukcja obrazu dla wklęsłego zwierciadła kulistego

Na rysunku 16.6 zaznaczono przebieg charakterystycznych promieni

świetlnych, które umoŜliwiają łatwą konstrukcję obrazu:

• promień równoległy do osi zwierciadła po odbiciu przecho-

dzi przez ognisko F zwierciadła

• promień przechodzący przez ognisko zwierciadła po odbiciu

będzie równoległy do osi zwierciadła

• promień przechodzący przez środek O krzywizny zwiercia-

dła po odbiciu od zwierciadła poruszać się będzie po tej sa-

mej linii

Oznaczając odległość od obrazu do zwierciadła jako y, na podstawie re-

lacji geometrycznych między odcinkami x, y i f moŜna napisać równanie

zwierciadła:

ROZDZIAŁ 16

Strona 96969696

x

ym

fyx

=

=+111

(16.5),

gdzie f jest ogniskową zwierciadła, zaś m powiększeniem zwierciadła.

Powiększenie m zwierciadła definiuje się jako stosunek wielko-ści obrazu Y do wielkości przedmiotu X (m=Y/X) i jest równe odległości obrazu y do odległości x przedmiotu od zwierciadła.

JeŜeli przedmiot umieścimy w odległości mniejszej niŜ ogniskowa

zwierciadła to odbite promienie będą się rozbiegały nie przecinając się. JeŜeli jednak przedłuŜymy linie przebiegu promieni odbitych, to otrzy-

mamy punkt przecięcia po drugiej stronie zwierciadła. W takim przy-

padku odległość y obrazu od zwierciadła będzie miała znak ujemny,

powiększenie równieŜ będzie ujemne a obraz taki nazywać będziemy

obrazem pozornym. Jeśli przedmiot znajduje się w ognisku zwierciadła,

obraz nie powstanie – miejsce przecięcia promieni odbitych znajduje się w nieskończoności. MoŜna powiedzieć, Ŝe obraz pozorny nie moŜe być rzutowany na ekran. Obrazy rzeczywiste (promienie świetlne rzeczywi-

ście się przecinają po odbiciu) otrzymamy, gdy odległość przedmiotu od

zwierciadła jest większa niŜ długość ogniskowej. Taki rzeczywisty obraz

moŜemy rzutować na ekran (obserwować na ekranie). Powiększony, ale

odwrócony obraz uzyskamy, jeŜeli przedmiot będzie się znajdował

w odległości większej niŜ ogniskowa, ale mniejszej niŜ promień krzy-

wizny zwierciadła. W przypadku, w którym przedmiot znajduje się w odległości równej promieniowi krzywizny zwierciadła, jego obraz jest

odwrócony i ma taką samą wielkość. Dla duŜych odległości (większych

niŜ promień krzywizny zwierciadła) zwierciadło sferyczne zmniejsza

i odwraca obraz.

W przypadku zwierciadła sferycznego wypukłego ognisko jest pozorne

i w równaniu soczewki (równanie 16.5) ogniskową f bierzemy ze zna-

kiem minus. Obraz powstały w wyniku odbicia od takiego zwierciadła

równieŜ jest pozorny, pomniejszony, ale prosty (nie jest odwrócony).

Soczewka

Jak pokazaliśmy na początku tego rozdziału bieg promieni świetlnych

moŜe ulegać zmianie nie tylko w wyniku odbicia, ale takŜe w wyniku

załamania na granicy ośrodków o róŜnych współczynnikach załamania.

OPTYKA

Strona 97979797

Przykładem zastosowania zjawiska załamania do zmiany kierunku prze-

biegu promieni świetlnych są soczewki, gdzie nie tylko mamy do czy-

nienia z innym optycznie materiałem, ale dodatkowo biegiem promieni

kierujemy poprzez nadanie soczewce odpowiedniego kształtu. Osta-

teczny bieg promieni świetlnych zaleŜeć będzie od współczynnika zała-

mania materiału, z którego wykonana jest soczewka oraz promieni

krzywizn powierzchni soczewki. Ogniskową soczewki o promieniach

krzywizny r1 (promień krzywizny od strony padania promieni) oraz r

2

(promień krzywizny od strony wyjścia promieni) i współczynniku zała-

mania n materiału, z którego jest wykonana, moŜna wyznaczyć na po-

stawie tzw. równania szlifierzy:

+

−=

21o

111

1

rrn

n

f (16.6),

gdzie n0 jest współczynnikiem załamania ośrodka, w którym rozchodzi

się światło (dla powietrza przyjmujemy n0 = 1). W równaniu tym przyj-

muje się konwencję, Ŝe dla powierzchni wypukłych promień krzywizny

bierzemy ze znakiem dodatnim, zaś dla powierzchni wklęsłych jest

ujemny.

Znając ogniskową soczewki, połoŜenie i wielkość obrazu po przejściu

promieni przez soczewkę wyznaczymy z równania soczewki, które ma

taką samą postać jak dla zwierciadła sferycznego:

x

ym

fyx

=

=+111

(16.7),

gdzie x jest odległością przedmiotu do osi soczewki; y – odległością ob-

razu od soczewki (y > 0 jeŜeli obraz znajduje się po przeciwnej stronie

soczewki w stosunku do przedmiotu); f – ogniskową soczewki, zaś m –

powiększeniem soczewki. Zasady konstrukcji obrazu dla soczewki są podobne jak w przypadku zwierciadła. Obraz powstaje w punkcie prze-

cięcia się promieni. Promienie przechodzące przez ognisko soczewki

stają się wiązką promieni równoległych, zaś wiązka promieni równole-

głych po przejściu przez soczewkę ogniskuje się w jej ognisku.

ROZDZIAŁ 16

Strona 98989898

Rysunek 16.7. Przebieg promieni świetlnych przez soczewkę skupiającą

Przykładową konstrukcję obrazu Y przedmiotu X znajdującego się w odległości x od soczewki skupiającej dwuwypukłej o ogniskowej f

przedstawiono na rysunku 16.7. Na rysunku zaznaczono równieŜ pro-

mienie krzywizny soczewki r1 oraz r

2, na podstawie których moŜna wy-

znaczyć ogniskową soczewki (równanie 16.6). Dla soczewki skupiającej

ogniskowa f jest dodatnia, dla rozpraszającej zaś ujemna. JeŜeli otrzy-

mamy dodatnią odległość y obrazu od soczewki oznacza to, Ŝe powstały

obraz jest rzeczywisty i powstaje po przeciwnej stronie soczewki w sto-

sunku do przedmiotu. Ujemna wartość y oznacza, Ŝe obraz powstanie po

tej samej stronie soczewki co przedmiot i jest pozorny.

Dla soczewki skupiającej, jeśli przedmiot znajduje się w odległości

większej niŜ dwukrotna długość ogniskowej, obraz będzie rzeczywisty

i pomniejszony. Jeśli odległość przedmiotu od soczewki zawiera się po-

między jedną a dwiema długościami ogniskowej, obraz będzie rzeczywi-

sty i powiększony. Dla odległości przedmiotu od soczewki mniejszej niŜ długość ogniskowej uzyskujemy obraz pozorny.

Aberracje

W przypadku rzeczywistych soczewek spotykamy róŜne niedoskonałości

nazywane aberracjami. Na przykład aberracja chromatyczna jest zwią-zana z dyspersją. PoniewaŜ światło o róŜnych długościach posiada róŜne

prędkości w ośrodku optycznym takim jak szkło czy woda, kaŜda dłu-

gość fali ulega załamaniu pod nieco innym kątem i efektywnie ogniska

dla promieni świetlnych o róŜnych długościach fali nie będą się znajdo-

OPTYKA

Strona 99999999

wały w tym samym punkcie. Wpływ aberracji na powstały obraz mini-

malizuje się robiąc zestawy soczewek wykonanych z materiałów o róŜ-nych współczynnikach załamania i dobierając odpowiednie promienie

krzywizny soczewki lub jej grubość.

Urządzenia optyczne

W urządzeniach optycznych często stosuje się układy soczewek, które

jak wspomniano we wcześniejszym rozdziale często pozwalają minima-

lizować wpływ aberracji, ale przede wszystkim wpływają na właściwo-

ści optyczne układu. JeŜeli rozpatrzymy układ dwóch cienkich soczewek

znajdujących się blisko siebie, to ogniskową takiego układu moŜna obli-

czyć z zaleŜności:

21

111

fff+= (16.8),

gdzie f1 oraz f

2 są ogniskowymi kaŜdej z soczewek, zaś f ogniskową

układu.

Pojedyncze soczewki lub teŜ układy soczewek charakteryzuje się za po-

mocą zdolności zbierającej definiowanej jako odwrotność ogniskowej

(D = 1/f ). Zdolność zbierającą wyraŜa się w dioptriach [1D=1m–1] i dla

soczewki skupiającej zdolność zbierająca jest dodatnia, zaś dla rozpra-

szającej ujemna.

Połączenie kilku soczewek lub teŜ soczewek oraz zwierciadeł pozwala

stworzyć urządzenia optyczne takie jak np. mikroskopy, lunety, obiek-

tywy aparatów fotograficznych czy zwykłe okulary lub soczewki korek-

cyjne. Przebieg promieni świetlnych oraz powiększenie całkowite tego

typu urządzeń zaleŜy od ogniskowych poszczególnych elementów skła-

dowych oraz od względnej odległości tych elementów. Na rysunku 16.8

przedstawiony jest schemat konstrukcji obrazu w mikroskopie optycz-

nym. Mikroskop optyczny składa się z obiektywu oraz okularu o ogni-

skowych odpowiednio fob

oraz fok

.

ROZDZIAŁ 16

Strona 100100100100

Rysunek 16.8. Schemat budowy i przebiegu promieni świetlnych w mikroskopie optycznym

Powiększenie całkowite mikroskopu jest iloczynem powiększenia

obiektywu

ob

obob x

ym = oraz okularu

ok

okok x

ym = . PoniewaŜ przedmiot

umieszczamy blisko ogniska obiektywu, więc odległość xob

przedmiotu

od obiektywu moŜemy zastąpić ogniskową obiektywu fob

. Długość tubusa L (odległość od obiektywu do okularu) dobieramy następnie tak,

Ŝeby obraz obiektywu znajdował się w pobliŜu ogniska okularu (między

ogniskiem a okularem). PoniewaŜ długość tubusa L jest duŜa w stosunku

do ogniskowych okularu i obiektywu, więc odległość powstałego obrazu

yob

moŜemy przybliŜyć długością tubusa. Przy takich załoŜeniach

równieŜ odległość przedmiotu od okularu xok

moŜe być przybliŜona

ogniskową okularu fok

. Do prawidłowej obserwacji obiektu powstały

obraz Y2 (y

ok) powinien znajdować się w odległości dobrego widzenia

yok = d = 25cm. Uwzględniając powyŜsze załoŜenia powiększenie

mikroskopu wynosić będzie:

okob

okob f

d

f

LmmM == (16.9)

OPTYKA

Strona 101101101101

Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe powiększenie całkowite mikroskopu

moŜna więc modyfikować w pewnym zakresie poprzez zmianę długości

tubusa L.

16.3. Polaryzacja

W poprzednich rozdziałach mówiliśmy o świetle jako fali elektroma-

gnetycznej. Wykazaliśmy równieŜ, Ŝe jest to fala poprzeczna, w przy-

padku której zmiany pola elektrycznego i magnetycznego odbywają się kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Co więcej

wektory natęŜenia pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego

są do siebie zawsze prostopadłe. PoniewaŜ pole elektryczne i magne-

tyczne są ze sobą ściśle powiązane skoncentrujemy się chwilowo tylko

na wektorze natęŜenia pola elektrycznego Er

. Wiązka światła niespo-

laryzowane składa się z wielu fal elektromagnetycznych rozchodzących

się w tym samym kierunku, dla których wektor natęŜenia pola magne-

tycznego ma róŜny kierunek.

Rysunek 16.9. Schematyczny rysunek fali elektromagnetycznej a) niespolaryzowanej i b) spolaryzowanej z zaznaczonym kierunkiem rozchodzenia się fali oraz kierunkami drgań wektora natęŜenia pola

elektrycznego

W przypadku spolaryzowanej fali elektromagnetycznej drgania wektora

natęŜenia pola elektrycznego odbywają się tylko w jednym kierunku

(polaryzacja liniowa, rysunek 16.9) lub teŜ kierunek tych drgań zmienia

się systematycznie w czasie (polaryzacja kołowa lub eliptyczna). Polary-

zacja moŜe odbywać się poprzez absorpcję (filtry polaryzacyjne), przez

rozproszenie (np. na cząsteczkach powietrza w górnych warstwach at-

mosfery) lub teŜ przez odbicie niespolaryzowanej fali elektromagnetycz-

ROZDZIAŁ 16

Strona 102102102102

nej od powierzchni dielektryka (np. odbicie od powierzchni wody).

NatęŜenie fali spolaryzowanej liniowo po przejściu przez idealny polary-

zator zaleŜeć będzie od natęŜenia fali padającej oraz kąta φ między kie-

runkami polaryzacji fali oraz polaryzatora:

ϕ20 cos II = (16.10),

gdzie I0 jest natęŜeniem spolaryzowanej fali padającej. JeŜeli np. dwa

polaryzatory (polaryzator oraz analizator) ustawimy prostopadle do sie-

bie (φ = π/2), to uzyskamy całkowite wygaszenie światła przechodzą-cego przez taki układ.

JeŜeli na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to natęŜe-

nie światła po przejściu przez polaryzator (natęŜenie światła spolaryzo-

wanego) równe jest połowie natęŜenia światła padającego ( 20II = ).

Wartość ta wynika z uśrednienia ϕ2cos dla wielu kierunków polaryza-

cji wiązki światła padającego.

JeŜeli na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to natęŜe-

nie światła po przejściu przez polaryzator (natęŜenie światła spolaryzo-

wanego) równe jest połowie natęŜenia światła padającego ( 20II = ).

Wartość ta wynika z uśrednienia ϕ2cos dla wielu kierunków polaryza-

cji wiązki światła padającego.

Zjawisko zmiany natęŜenia światła przy przejściu przez polaryzator wy-

korzystuje się na przykład w wyświetlaczach ciekłokrystalicznych LCD.

Między dwoma polaryzatorami z płaszczyznami polaryzacji ustawio-

nymi prostopadle do siebie umieszczone są ciekłe kryształy. Materiały te

posiadają zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji. Układ taki oświe-

tlamy światłem niespolaryzowanym, które po przejściu przez pierwszy

z polaryzatorów staje się spolaryzowane liniowo. Następnie ciekły

kryształ skręca płaszczyznę polaryzacji światła o π/2 tak, Ŝe w efekcie

światło jest spolaryzowane zgodnie z osią drugiego polaryzatora i prze-

chodzi przez niego bez straty w natęŜeniu (jasny piksel). Ciekłe krysz-

tały umieszczone w polu elektrycznym przestają skręcać płaszczyznę polaryzacji. Oznacza to, Ŝe gdy między polaryzatory przyłoŜymy napię-cie światło dochodzące do drugiego polaryzatora będzie polaryzowane

prostopadle do jego osi. Wówczas zgodnie ze wzorem 16.10 otrzymamy

zerowe natęŜenie światła przechodzącego przez taki układ (ciemny

piksel).

OPTYKA

Strona 103103103103

16.4. Interferencja

Interferencja to zjawisko nakładania się wielu fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy wypadkowej fali.

Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkową amplitudę fali będącej złoŜe-

niem wielu fal moŜemy w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej

chwili czasu określić jako sumę amplitud pochodzących od poszczegól-

nych fal. W szczególnym przypadku, kiedy źródła fali są ze sobą skore-

lowane, charakteryzują się tą samą częstotliwością drgań oraz stałym

w czasie przesunięciem fazowym (źródła są spójne, czyli koherentne),

układ wzmocnień (np. jasnych prąŜków lub pierścieni) i wygaszeń nie

zmienia się w czasie.

Rysunek 16.10. Interferencja fal pochodzących od dwóch wąskich szczelin (doświadczenie Younga)

JeŜeli przed ekranem z dwiema bardzo wąskimi szczelinami (szerokość rzędu długości fali) umieścimy źródło światła, to zgodnie z zasadą Huy-

gensa kaŜda z tych szczelin stanie się źródłem nowej wiązki światła. Co

więcej źródła te będą spójne. Rozpatrzmy obraz powstały w wyniku na-

łoŜenia się fal pochodzących od tych źródeł na ekranie znajdującym się w odległości L od szczelin w punkcie P widocznym pod kątem θ wzglę-dem osi szczelin, jak na rysunku 16.10. JeŜeli fale te w punkcie P będą zgodne w fazie, to nastąpi wzmocnienie i zwiększenie amplitudy fali, je-

Ŝeli zaś przeciwne w fazie to będziemy mieli do czynienia z wygasze-

ROZDZIAŁ 16

Strona 104104104104

niem. Faza fali zaleŜy od długości drogi optycznej między szczeliną a punktem P (r

1 oraz r

2) oraz długości fali λ. JeŜeli róŜnica dróg optycz-

nych jest wielokrotnością długości fali, to w punkcie P nastąpi wzmoc-

nienie sygnału (jasne pole), a jeŜeli będzie to wielokrotność długości fali

powiększona o pół długości fali, to fale dochodzące z dwóch źródeł będą przeciwne w fazie i wygaszą się. Ta róŜnica dróg optycznych

12 rr −=δ zaleŜy od odległości między szczelinami d oraz kąta θ, pod

jakim widać punkt P. Uwzględniając relacje trygonometryczne między

tymi wielkościami warunek na wzmocnienie i wygaszenie sygnału

moŜna zapisać w postaci:

ie)(wzmocnien sin λθδ md == (16.11)

( ) e)(wygaszeni sin 21 λθδ +== md (16.12)

NatęŜenie światła w wyniku interferencji dwóch spójnych wiązek świa-

tła opisane będzie wzorem:

=

λ

θπ sincos 2

max

dII (16.13),

gdzie Imax

w przypadku dwóch źródeł wynosić będzie 4I0, czyli będzie

czterokrotnie większe niŜ maksymalne natęŜenie promieniowania po-

chodzącego od pojedynczego źródła. Na ekranie będą jednak równieŜ miejsca o zerowym natęŜeniu i efektywnie średnie natęŜenie światła pa-

dającego na ekran będzie wynosiło 2I0, czyli tyle samo gdyby oświetlić

ekran dwoma niespójnymi źródłami światła o natęŜeniu I0 kaŜde.

Zjawisko interferencji wykorzystuje się np. w bardzo precyzyjnych po-

miarach długości za pomocą interferometru Michelsona. W urządzeniu

tym pomiar odbywa się poprzez przesuwanie ruchomego zwierciadła, co

wpływa na róŜnicę dróg optycznych pokonywanych przez dwie wiązki

światła. JeŜeli róŜnica ta jest równa wielokrotności długości fali to ob-

serwujemy wzmocnienie, jeŜeli nie – to wygaszenie. Mierząc liczbę wzmocnień i wygaszeń moŜemy określić o ile długości fali zostało prze-

sunięte zwierciadło. Interferometr Michelsona pozwala więc mierzyć odległości z dokładnością rzędu setnych części długości fali.

Interferencja na cienkich warstwach

Zjawisko interferencji pozwala wyjaśnić równieŜ występowanie koloro-

wych obszarów na powierzchni cienkich warstw takich jak plamy ben-

OPTYKA

Strona 105105105105

zyny na wodzie, czy bańki mydlane. Taką cienką warstwę płynu moŜna

traktować jak płytkę płasko-równoległą. Rozpatrzmy więc jeszcze raz

rysunek 16.3 przedstawiający bieg promieni świetlnych w płytce płasko-

równoległej. Jak zaznaczono na rysunku promień świetlny, który dotrze

do dolnej powierzchni płytki moŜe ją opuścić lub teŜ odbić się od gra-

nicy ośrodków i następnie opuścić płytkę przy górnej jej powierzchni

(promień zaznaczony linią przerywaną). Promień taki opuszczając płytkę ulegnie załamaniu na granicy ośrodków i rozchodzić się będzie pod ką-tem α, a więc będzie równoległy do promienia odbitego bezpośrednio od

górnej powierzchni. PoniewaŜ oba promienie są koherentne mogą więc

interferować ze sobą. Wzmocnienie lub wygaszenie fal zaleŜeć będzie od

róŜnicy długości dróg optycznych pokonanych przez oba promienie a

więc grubości płytki, jej współczynnika załamania oraz kąta padania

promieni na płytkę.

Przypomnijmy, Ŝe jeŜeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy

którego odbija się fala, jest większy niŜ współczynnik załamania

ośrodka, w którym fala propaguje, podczas odbicia następuje zmiana

fazy o π (zmiana fazy na przeciwną). W przypadku płasko-równoległej

płytki szklanej znajdującej się w powietrzu, zmiana fazy następuje więc

tylko przy odbiciu fali świetlnej od jej górnej powierzchni, nie następuje

natomiast przy odbiciu od dolnej powierzchni płytki. Wzmocnienie in-

terferencyjne otrzymamy więc, gdy róŜnica dróg optycznych promieni,

z uwzględnieniem zmiany fazy, będzie całkowitą wielokrotnością dłu-

gości fali:

2

cos2λ

λ += θndm (16.14)

W powyŜszym wzorze mλ oznacza całkowitą wielokrotność długości

fali, składnik 2λ został wprowadzony by uwzględnić zmianę fazy przy

odbiciu, n oznacza współczynnik załamania płytki, d jej grubość, a θ

określa kierunek rozchodzenia się promieni świetlnych w płytce (kąt za-

łamania światła w ośrodku). WyraŜenie θcos2nd opisuje róŜnicę dróg

optycznych promieni, która jest równa drodze optycznej, jaką promień odbijający się od dolnej powierzchni płytki pokonuje w materiale płytki

(iloczyn drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka).

Przy zadanym kącie padania i przy zadanej grubości cienkiej warstwy

(grubość ścianki bańki) warunek wzmocnienia spełniony jest tylko dla

jednej długości fali (składowa światła o jednej barwie). RóŜne kolory na

bańce mydlanej wynikają z faktu, Ŝe ścianka bańki jest cieńsza u góry

i grubsza na dole a więc w kaŜdym miejscu fala o innej długości (bar-

ROZDZIAŁ 16

Strona 106106106106

wie) ulega wzmocnieniu. Analizując róŜnokolorowe wzory na bańce

mydlanej naleŜy jednak uwzględnić nie tylko zmienną grubość ścian, ale

takŜe róŜny kąt padania światła wynikający ze sferycznego (w przy-

bliŜeniu) kształtu bańki.

Zjawisko interferencji na cienkich warstwach jest wykorzystywane np.

przy produkcji warstw antyrefleksyjnych do przyrządów optycznych,

okularów, szyb i lusterek samochodowych. Element optyczny pokry-

wany jest cienką warstwą materiału o współczynniku załamania oraz

grubości tak dobranych, aby promienie odbite od warstwy oraz od szkła

(po przejściu przez warstwę) wygaszały się dla średniej długości fali

światła widzialnego (dla barwy Ŝółtej o długości około 500nm).

16.5. Dyfrakcja

Dyfrakcja opisuje zjawisko ugięcia, czyli zmiany kierunku roz-chodzenia się fali, następujące na krawędziach przeszkód.

NaleŜy przy tym odróŜnić zmianę kierunku rozchodzenia się fali na gra-

nicy ośrodków o róŜnych właściwościach optycznych (prawo załamania)

od zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód (dy-

frakcja). Dyfrakcja najczęściej kojarzy się z dyfrakcją fali świetlnej, ale

w ogólności dotyczy wszystkich fal i zachodzi na kaŜdej przeszkodzie

jednakŜe efekt ten jest silniejszy, gdy długość fali jest porównywalna

z wielkością przeszkody.

Zjawisko dyfrakcji omówimy na przykładzie szczeliny o szerokości a,

na którą pada płaska fala świetlna o długości λ. Rozpatrzmy obraz, jaki

powstanie na ekranie znajdującym się w odległości L od tej szczeliny jak

JeŜeli rozpatrzymy teraz promienie r2 oraz r

3 wychodzące z drugiej pary

punktów A2 oraz A

3, to przy zachowaniu powyŜszego warunku L >> a

otrzymamy identyczną, jak w przypadku punktów A1 oraz A

2, zaleŜność

na róŜnicę dróg optycznych θsin223

arr =−=δ . JeŜeli ta róŜnica dróg

optycznych δ będzie wynosiła λ/2, to w punkcie P widocznym pod kątem

θ otrzymamy wygaszenie.

2

sin2

λθ =

a (16.15)

OPTYKA

Strona 107107107107

Rysunek 16.11. Rysunek schematyczny przebiegu promieni świetlnych w zjawisku dyfrakcji fali na szczelinie

Podobne rozwaŜania moŜna przeprowadzić dzieląc szerokość szczeliny a

na dowolną całkowitą liczbę odcinków. W ogólności warunek na wyga-

szenie dyfrakcyjne ma postać:

... 3, 2, 1, ,sin ±±±== ma

mλ

θ (16.16)

Pomiędzy minimami na ekranie obserwować będziemy maksima dyfrak-

cyjne. NatęŜenie światła w punktach wzmocnienia dane jest zaleŜnością:

2

max

sin

sinsin

=

λ

θπ

λ

θπ

a

aII (16.17),

gdzie Imax

jest natęŜeniem światła w punkcie P0 znajdującym się na ekra-

nie na osi szczeliny. Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe jeŜeli szerokość szczeliny jest równa długości fali, to nie będziemy obserwować wyga-

szenia i ekran będzie oświetlony prawie jednorodnie – moŜliwe jest

ugięcie światła o kąt π/2, bo a

λθ =sin dla λ≅a równy będzie jedno-

ROZDZIAŁ 16

Strona 108108108108

ści. Wraz ze zwiększaniem się szerokości szczeliny zerowe maksimum

(oświetlony obszar na wprost szczeliny) staje się coraz węŜsze a natęŜe-

nie światła w tym obszarze rośnie, zaś maksima wyŜszych rzędów zbli-

Ŝają się do maksimum zerowego (widoczne są pod mniejszym kątem θ )

oraz ich natęŜenie maleje.

Przypomnijmy sobie teraz, Ŝe opisując zjawisko interferencji rozpatry-

waliśmy wąskie szczeliny o szerokości rzędu długości fali. Okazuje się, Ŝe przy odpowiednim doborze odległości między szczelinami oraz sze-

rokości samych szczelin na ekranie moŜna zaobserwować zarówno

efekty interferencyjne jak i dyfrakcyjne - widoczne będą prąŜki interfe-

rencyjne, których intensywność modulowana jest zgodnie z zasadami

dyfrakcji.

Zdolność rozdzielcza

Zjawisko dyfrakcji obserwuje się nie tylko dla pojedynczej szczeliny, ale

takŜe dla układu wielu szczelin umieszczonych w regularnych odstępach

oraz dla otworu kołowego. Takim otworem kołowym moŜe być równieŜ okrągła soczewka, przez którą przechodzi światło. Zdolność rozdzielcza

takiej soczewki określa minimalną odległość między obiektami (źró-

dłami światła), przy której moŜliwe jest rozdzielenie (rozróŜnienie) tych

obiektów.

Dyfrakcyjne ograniczenia rozdzielczości zaleŜą od dwóch czynników –

rozmiaru szczeliny (otworu) i długości fali. Rozmiar otworu elementu

optycznego w przyrządach optycznych nazywamy aperturą. Im mniej-

sza apertura, tym silniejsze efekty dyfrakcyjne. Z wcześniejszych rozwa-

Ŝań wiemy równieŜ, Ŝe kąt ugięcia fali w zjawisku dyfrakcji jest propor-

cjonalny do długości fali. Do ilościowego określenia zdolności rozdziel-

czej wprowadza się tak zwane kryterium Rayleigha. Definiuje ono

minimalną odległość kątową θ, przy której jesteśmy w stanie rozróŜnić dwa połoŜone blisko siebie obiekty:

a

λ1.22sin =θ (16.18)

W powyŜszym wzorze a oznacza aperturę elementu optycznego. Osią-gnięcie większej rozdzielczości optycznej (zmniejszenie kąta θ ) zatem

moŜna osiągnąć albo poprzez stosowanie przyrządów o duŜej aperturze –

stąd w teleskopach astronomicznych stosuje się wielkie zwierciadła –

albo uŜycie fali o mniejszej długości. To drugie rozwiązanie stosowane

jest w czytnikach płyt o wysokiej gęstości zapisu, tak zwanych BLU-

RAY. Zamiast tradycyjnego lasera emitującego światło o długości po-

OPTYKA

Strona 109109109109

wyŜej 600nm zastosowano w nich laser o barwie niebieskiej i długości

fali około 400nm.

Warto wspomnieć, Ŝe zjawisko dyfrakcyjnego ugięcia fali wykorzystuje

się równieŜ w tak zwanych soczewkach Fresnela. Rolę szczelin pełnią w tym przypadku na ogół odpowiednio wyprofilowane w materiale

rowki. Soczewki tego typu, stosowane m.in. w rzutnikach, latarniach

morskich i reflektorach są tańsze i lŜejsze od tradycyjnych szklanych

soczewek.

ROZDZIAŁ 16

Strona 110110110110

`

17 Szczególna teoria względności

W tym rozdziale:

o Postulaty szczególnej teorii względności o Transformacja Lorentza o Konsekwencje przekształceń Lorentza o Dynamika relatywistyczna

ROZDZIAŁ 17

Strona 112112112112

17.1. Szczególna teoria względności

Teoria względności, stworzona przez Alberta Einsteina, przedstawia za-

sady transformowania, czyli przekształcania, wyników pomiarów pomię-dzy poruszającymi się względem siebie układami. W naszym wykładzie

omówimy załoŜenia i wnioski płynące z tzw. szczególnej teorii względ-

ności, która ogranicza się do inercjalnych układów odniesienia. Przypo-

mnijmy, Ŝe inercjalne układy odniesienia to takie, w których wszystkie

ciała poruszają się bez przyspieszenia, jeŜeli nie doznają działania sił ze-

wnętrznych.

Transformacja Galileusza

Rozpatrzmy na początek dwa układy odniesienia – nieruchomy zwią-zany z obserwatorem stojącym na peronie (układ O) oraz układ związany

z obserwatorem znajdującym się w pociągu poruszającym się z prędko-

ścią v względem peronu, w kierunku x (układ O′). ZałóŜmy, Ŝe w chwili

początkowej oba układy pokrywają się, czyli obaj obserwatorzy znajdują się tuŜ obok siebie oraz osie układów współrzędnych w obu układach

mają ten sam kierunek i zwrot. W pewnej chwili t obserwator stojący na

peronie (układ O) zauwaŜa, Ŝe w semaforze stojącym przy torach zapala

się czerwone światło. Stwierdza równieŜ, Ŝe semafor znajduje się w punkcie o współrzędnych (x, y, z) względem niego. Obserwator znaj-

dujący się w pociągu (układ O′) fakt zapalenia się czerwonego światła

semafora zarejestruje w tym samym momencie t ′ = t. Jego zdaniem

współrzędne y ′ oraz z ′ tego semafora są takie same jakie podał obser-

wator stojący na peronie (y ′ = y oraz z ′ = z ), ale współrzędna x ′ jest

mniejsza, bowiem w czasie t ′ zdąŜył się juŜ zbliŜyć do tego semafora o

odcinek vt, czyli t x x' v−= .

PowyŜsze relacje pomiędzy układami O i O′ stanowią tzw. transforma-cję Galileusza, czyli zestaw przekształceń współrzędnych przestrzen-

nych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się w kierunku osi x ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v

względem pierwszego układu:

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 113113113113

zz'

yy'

t x x'

tt'

=

=

−=

=

v (17.1)

RozwaŜmy obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewną prędkością

t

xu

d

d=

wyznaczoną w nieruchomym układzie odniesienia O. Prędkość

tego samego obiektu w układzie O′, poruszającym się z prędkością v w

kierunku osi x, definiuje się jako t

xu

d

d ′=′ , ale poniewaŜ t x x' v−=

więc otrzymujemy:

( )

v

vvv

−=′

−=−=−=′

uu

ut

xtx

tu

d

d

d

d (17.2),

Otrzymaliśmy w ten sposób prawo składania prędkości. Jako przykład

rozpatrzmy samochód, którego prędkość względem fotoradaru stojącego

na poboczu (nieruchomy układu odniesienia O) wynosi u = 60km/h. Ro-

wer poruszający się z prędkością v = 20km/h w tym samym kierunku

moŜemy traktować jako ruchomy układ odniesienia c poruszający się z prędkością v względem układu O. Wówczas prędkość u ′ samochodu

w układzie związanym z rowerem (prędkość samochodu względem ro-

weru) wynosić będzie 40km/h=−=′ vuu .

Rozpatrzmy teraz obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewnym

przyspieszeniem i opiszmy jego ruch w okładzie O oraz O′. Zgodnie

z transformacją Galileusza przyspieszenie obiektu w obu układach do-

niesienia O i O′ będzie miało taką samą wartość:

( ) ( )( ) ( )

at

tu

t

tu

t

tua ==

−=

′=′

d

d

d

d

d

d v (17.3)

Transformacja Galileusza jest słuszna dla wszystkich zjawisk, w których

mamy do czynienia z prędkościami (prędkościami obiektów albo pręd-

kościami względnymi układów odniesienia) znacznie mniejszymi od

prędkości światła. Tak więc wszystkie zagadnienia klasycznej mechaniki

Newtonowskiej mogą być opisywane za pomocą transformacji Galile-

usza. W przypadku prędkości zbliŜonych do prędkości światła naleŜy za-

ROZDZIAŁ 17

Strona 114114114114

stosować szczególną teorię względności oraz transformację Lorentza

do opisu tego samego zdarzenia w dwóch róŜnych układach odniesienia.

Postulaty szczególnej teorii względności

U podstaw szczególnej teorii względności leŜą dwa postulaty:

• Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach

odniesienia prawa fizyki są takie same i Ŝaden z układów nie

jest wyróŜniony.

• We wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we

wszystkich kierunkach światło w próŜni rozchodzi się z taką samą prędkością c.

Zasada względności Einsteina

Warto zaznaczyć w tym miejscu, Ŝe pierwszy postulat szczególnej teorii

względności wyraŜa tzw. zasadę względności Einsteina. Według kla-

sycznej zasady względności Galileusza w inercjalnych układach odnie-

sienia poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami rów-

nania Newtona muszą być niezmiennicze a więc niemoŜliwe jest

wyróŜnienie któregokolwiek z tych układów odniesienia za pomocą eks-

perymentów mechanicznych. Einstein rozszerzył tę zasadę względności

na wszystkie prawa fizyki (nie tylko mechaniki, ale takŜe elektro-

magnetyzmu i optyki). MoŜemy więc powiedzieć, Ŝe według zasady

względności Einsteina nie istnieje eksperyment fizyczny, który pozwo-

liłby wyróŜnić którykolwiek z inercjalnych układów odniesienia.

W dalszej części tego rozdziału omówimy wnioski wynikające z postula-

tów szczególnej teorii względności.

17.2. Transformacja Lorentza

Uwzględniając postulaty szczególnej teorii względności transformacja

współrzędnych przestrzennych oraz czasu między dwoma inercjalnymi

układami odniesienia odbywa się w inny sposób niŜ według Galileusza.

RozwaŜmy, podobnie jak w poprzednim przykładzie transformacji Gali-

leusza, nieruchomy układ odniesienia O (współrzędne x, y, z, t ), na przy-

kład peron, oraz drugi układ odniesienia O′ (współrzędne primowane x ′,

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 115115115115

y ′, z ′, t ′ ), na przykład pociąg, poruszającym się względem układu O z

prędkością v skierowaną zgodnie z osią x. Transformację Lorentza

przekształcającą współrzędne x, y, z, t na współrzędne x ′, y ′, z ′, t ′ po-

damy bez wyprowadzenia:

( )

2

2

2

1

1

c

xc

tt'

zz'

yy'

txx'

vv

v

−

=

−=

=

=

−=

γ

γ

γ

(17.4),

gdzie c – jest prędkością światła.

W transformacji Lorentza występuje czynnik γ (tzw. czynnik

lorentzowski), który dla nieduŜych prędkości, znacznie mniejszych niŜ prędkość światła jest z dobrym przybliŜeniem równy jedności

( 1 →⇒<< γcv ). Wówczas, dla małych prędkości, transformacja

Lorentza zamienia się w klasyczną transformację Galileusza. Oznacza to,

Ŝe transformacja Galileusza jest przybliŜeniem transformacji Lorentza

dla małych prędkości.

Niezmienniki transformacji Lorentza

ZauwaŜmy, Ŝe w transformacji Lorentza przekształceniu ulega nie tylko

współrzędna x ′ (kierunek, w którym poruszają się układy względem sie-

bie), ale takŜe czas t ′. W przypadku transformacji Galileusza czas był

absolutny, czyli biegł tak samo, niezaleŜnie od układu odniesienia – czas

był niezmiennikiem transformacji Galileusza. Z transformacji Lorentza

wynika natomiast, Ŝe czas przekształca się podobnie jak współrzędne

przestrzenne i w rzeczywistości jest czwartą współrzędną w cztero-

wymiarowej przestrzeni zwanej czasoprzestrzenią. Opisując więc jakieś zdarzenie naleŜy podać zarówno współrzędne przestrzenne (x, y, z ) jak

i współrzędną czasową tego zdarzenia (ct ). W konsekwencji odstęp mię-dzy zdarzeniami zaleŜeć będzie od tego, w jakiej odległości od siebie

nastąpiły te zdarzenia, przy czym odległość tę musimy określić zarówno

w czasie jak i przestrzeni.

Długość czterowektora określającego odległość (w przestrzeni i czasie)

między dwoma zdarzeniami nazywamy interwałem czasoprzestrzen-

ROZDZIAŁ 17

Strona 116116116116

nym (222222 tczyxs ∆−∆+∆+∆=∆ ). MoŜna wykazać, Ŝe przy

przejściu z układu O do O′ kwadrat interwału czasoprzestrzennego jest

wielkością stałą, a więc interwał czasoprzestrzenny ∆s jest niezmienni-kiem transformacji Lorentza:

const.22222

22222

=′∆−′∆+′∆+′∆=

=∆−∆+∆+∆

tczyx

tczyx (17.5)

Przypomnijmy, Ŝe zgodnie z postulatami Einsteina w kaŜdym układzie

odniesienia i w kaŜdym kierunku prędkość rozchodzenia się światła jest

stała i wynosi c. Oznacza to, Ŝe równieŜ prędkość światła c jest nie-

zmiennikiem transformacji Lorentza. Oprócz interwału czasoprzestrzen-

nego i prędkości światła niezmiennikami są równieŜ masa spoczynkowa

m0, energia spoczynkowa E

0=m

0c

2 oraz ładunek elektryczny q.

Opisując róŜnice pomiędzy transformacją Galileusza i Lorentza pod-

kreślaliśmy, Ŝe w teorii względności czas i połoŜenie (odległość) mają charakter względny. Transformacja Lorentza przedstawia inne, niŜ kla-

syczne, pojmowanie czasu, równoczesności zdarzeń, inne dodawanie

prędkości czy pomiar odległości. Konsekwencje przekształceń Lorentza

przedstawimy bardziej szczegółowo w dalszej części tego rozdziału.

17.3. Konsekwencje przekształceń Lorentza

Względność czasu, dylatacja czasu

JeŜeli odległość od obserwatora do zwierciadła wynosi D, to zmierzony

czas ∆t0 jest czasem, jaki potrzebuje światło, Ŝeby pokonać drogę 2D

(w górę i w dół) z prędkością światła c (c

Dt

2∆ 0 = ). Dla obserwatora B

stojącego na peronie eksperyment ten będzie wyglądał trochę inaczej,

gdyŜ cały pociąg porusza się z prędkością v względem niego. Jego zda-

niem promień świetlny przebędzie drogę 2L, a nie 2D, zanim dotrze do

detektora. DłuŜsza droga 2L wynika z faktu, Ŝe zarówno zwierciadło jak

i detektor „uciekają” od źródła światła z prędkością v, jak na rysun-

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 117117117117

ku 17.1. W efekcie, uwzględniając postulat niezmienniczości prędkości

światła, obserwator B zmierzy dłuŜszy czas ∆t.

Rysunek 17.1. Schemat pomiaru czasu w układzie nieruchomym i w układzie poruszającym się z prędkością v

PowyŜszy eksperyment pokazuje nam, Ŝe czas w układzie nieruchomym

płynie szybciej niŜ w tym poruszającym się z prędkością v a odstępy

czasu między zdarzeniami stają się dłuŜsze, co nazywa się dylatacją

czasu:

2

20

1

1 ∆∆

c

ttv

−

≡= γγ (17.6),

gdzie ∆t jest czasem, jaki upłynął miedzy zdarzeniami 1 i 2 w układzie

nieruchomym związanym z obserwatorem B stojącym na peronie, zaś ∆t

0 oznacza czas między zdarzeniami 1 i 2 w poruszającym się

z prędkością v układzie obserwatora A.

PowyŜszy eksperyment myślowy pokazuje jak waŜne jest w fizyce re-

latywistycznej określenie nie tylko odległości czasowej między zdarze-

niami, ale równieŜ odległości w przestrzeni między tymi zdarzeniami.

Dla obserwatora A oba zdarzenia (błysk oraz detekcja) występują w tym

samym punkcie przestrzeni i wówczas o odstępie między nimi decyduje

wyłącznie odległość na osi czasu. W drugim przypadku, dla obserwatora

B zdarzenia błysku światła i jego detekcji są odległe takŜe w przestrzeni

ROZDZIAŁ 17

Strona 118118118118

o odległość v ∆t, co wpływa na zarejestrowaną odległość w czasie mię-dzy tymi zdarzeniami.

Rozpatrzymy dwóch bliźniakó•w, z których jeden wyrusza w podróŜ z prędkością zbliŜoną do prędkości światła a drugi pozostaje na

nieruchomej planecie. Bliźniak lecący w rakiecie porusza się względem

tego na planecie, więc zgodnie z transformacją Lorentza jego czas płynie

wolniej. Ale równieŜ bliźniak na planecie porusza się względem tego

znajdującego się w rakiecie a więc zdaniem bliźniaka w rakiecie to

zegary na planecie chodzą wolniej. Zagadnienie to jest nazywane

paradoksem bliźniąt. Po to, Ŝeby sprawdzić, który z bliźniaków ma rację bliźniak w rakiecie musiałby zawrócić, ale wtedy układy przestają być inercjalne i wnioski szczególnej teorii względności nie obowiązują –

szczególna teoria względności i transformacja Lorentza dotyczą tylko

układów inercjalnych poruszających się bez przyspieszenia, ze stałymi

prędkościami względem siebie. Układ odniesienia bliźniaka znajdu-

jącego się na planecie pozostaje inercjalny a więc to bliźniak z planety

ma rację i w efekcie powracającego kosmonautę będzie witał „starszy”

bliźniak.

Istnieje szereg eksperymentów potwierdzających istnienie zjawiska dy-

latacji. W górnych warstwach atmosfery, na wysokości rzędu kilku kilo-

metrów powstają nietrwałe cząstki zwane mionami. Średni czas Ŝycia

tych cząstek, czyli odstęp czasowy między ich powstaniem i rozpadem,

mierzony w układzie związanym z tymi cząstkami, czyli w tzw. układzie

własnym, wynosi ok. 2.2 µs. W tym czasie miony, nawet poruszając się z prędkością światła, pokonałyby odległość rzędu 600 m – jak więc jest

moŜliwe, Ŝe miony powstałe na wysokości rzędu 20 km są rejestrowane

takŜe w laboratoriach na powierzchni Ziemi? W układzie związanym

z Ziemią, względem którego miony poruszają się z prędkością zbliŜoną do prędkości światła, średni czas Ŝycia mionów ulega dylatacji i wynosi

ok. 64 µs. W takim czasie obiekt poruszający się z prędkością zbliŜoną do prędkości światła jest w stanie pokonać odległość ponad 20 km,

a więc miony zdąŜają dolecieć do Ziemi zanim się rozpadną. Te samo

zjawisko moŜna równieŜ opisać w układzie związanym z poruszającym

się mionem. Jak juŜ powiedzieliśmy w układzie tym, czyli układzie

własnym, czas Ŝycia mionów wynosi średnio 2.2 µs. Jak więc jest

moŜliwe, Ŝe miony są w stanie dotrzeć do detektorów znajdujących się na powierzchni Ziemi? Okazuje się, Ŝe względem takiego poruszającego

się z duŜą prędkością układu odniesienia związanego z mionem grubość atmosfery ziemskiej musi być znacznie mniejsza, rzędu kilkuset metrów.

Zagadnienie skrócenia (kontrakcji) długości omówimy w kolejnych roz-

działach.

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 119119119119

Względność równoczesności

Kolejną konsekwencją transformacji Lorentza jest równieŜ inne rozu-

mienie jednoczesności zdarzeń.

Przeprowadźmy eksperyment myślowy. Obserwator A znajduje się w środku nieruchomego pociągu stojącego na peronie. Pociąg ten mija

drugi identyczny pociąg poruszający się z prędkością v, w środku któ-

rego stoi obserwator B. Gdy oba pociągi zrównają się zapala się jed-

nocześnie czerwone światło na początku i niebieskie na końcu pociągu.

Do obserwatora B, nieruchomo stojącego na peronie, oba błyski - czer-

wony i niebieski - dotrą równocześnie, gdyŜ kaŜda z fal świetlnych ma

do pokonania tę samą odległość. Tak więc zdaniem obserwatora B oba

błyski nastąpiły jednocześnie. Tymczasem według obserwatora A pierw-

szy nastąpił błysk czerwony a później błysk niebieski. Wynika to z faktu,

Ŝe obserwator A zbliŜa się do czerwonej oraz oddala od niebieskiej Ŝa-

rówki z prędkością v.

Skrócenie długości

Rozpatrzmy tego samego obserwatora A znajdującego się w pociągu po-

ruszającym się z prędkością v względem peronu. Obserwator ten chcąc

zmierzyć długość peronu musi zmierzyć odległość między zdarzeniami -

minięcie początku oraz minięcie końca peronu. Według obserwatora A

oba te zdarzenia następują w tym samym punkcie jego układu odniesie-

nia. JeŜeli obserwator A zmierzy odległość w czasie ∆t0, to jego zdaniem

długość peronu wynosić będzie 0∆tL v= (prędkość obserwatora A

względem peronu wynosi v). Obserwator B stojący na końcu peronu

zmierzył długość peronu L0 oraz stwierdził, Ŝe czas przejazdu pociągu

wraz z obserwatorem A wyniósł v

0∆L

t = a więc tL ∆v=0 . Stosunek

długości zmierzonych przez obu obserwatorów z uwzględnieniem relacji

17.6 zapisujemy:

ROZDZIAŁ 17

Strona 120120120120

1

1

∆

∆

∆

∆

0

0

00

0

LL

c

t

t

t

t

L

L

γ

γγγ

1

12

2

=

−

≡===vv

v

(17.7)

Z powyŜszej relacji wynika tzw. skrócenie długości obiektów w ruchu.

Obiekty poruszające się z duŜymi prędkościami dla obserwatora nie-

ruchomego wydają się krótsze niŜ zmierzone w ich układzie własnym.

Pomiar długości peronu wykonany przez obserwatora A poruszającego

się względem peronu daje wartość mniejszą niŜ ta zmierzona przez

obserwatora B znajdującego się na peronie. Podobnie długość pociągu

zmierzona przez obserwatora B stojącego na peronie będzie mniejsza niŜ ta zmierzona przez obserwatora A znajdującego się wewnątrz pociągu.

Dochodzimy w ten sposób do paradoksu – z punktu widzenia obserwa-

tora B pociąg z pewnością zmieści się na długości peronu, zaś według

obserwatora A peron jest za krótki. Paradoks ten jest konsekwencją in-

nego postrzegania równoczesności przez obserwatorów poruszających

się względem siebie.

Dodawanie prędkości

Z transformacji Lorentza wynika inny niŜ klasyczny, Galileuszowy, spo-

sób dodawania (transformowania) prędkości. Rozpatrzmy układ O′ poru-

szający się względem układu O z prędkością v w kierunku osi x. JeŜeli

prędkość pewnego obiektu wzdłuŜ osi x w układzie O′ wnosi ux′, to

w układzie O jego prędkość ux moŜna wyznaczyć z zaleŜności:

2x

xx

1c

uu

uv

v

′+

+′= (17.8)

Jako przykład rozpatrzmy rakietę lecącą z prędkością 0.7c, która wy-

strzeliła pocisk z prędkością ux′ = 0.8c względem rakiety. Prędkość poci-

sku względem nieruchomego układu odniesienia O moŜemy wyznaczyć ze wzoru 17.8:

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 121121121121

ccc

c

cccc

u <≈=⋅

+

+=′ 0,962

1

.5

)0,70,81

0,70,8

2

x56

1

. (17.9)

ZauwaŜmy, Ŝe, mimo iŜ obie prędkości (rakiety i pocisku) są zbliŜone do

prędkości światła, prędkość pocisku względem Ziemi nie przekracza tej

krytycznej wartości. Co więcej, zgodnie ze wzorem 17.8, jeŜeli prędkość jednego z obiektów jest równa c to suma prędkości (prędkość względna)

teŜ jest równa c. Efekt ten został eksperymentalnie potwierdzony

w 1881r. w eksperymencie Michelsona – Morleya, uznawanym za jeden

z najwaŜniejszych eksperymentów fizyki. W eksperymencie tym wyka-

zano, Ŝe prędkość światła jest taka sama w kaŜdym kierunku, niezaleŜnie

od pory dnia i roku, a więc niezaleŜnie od względnego ruchu detektora

znajdującego się na powierzchni Ziemi względem Słońca.

17.4. Dynamika relatywistyczna

Pęd i masa

Jednym z postulatów szczególnej teorii względności jest obowiązywanie

tych samych praw fizycznych we wszystkich inercjalnych układach od-

niesienia, tzn., Ŝe wszystkie inercjalne układy odniesienia są równo-

waŜne. Okazuje się, Ŝe aby spełniona była zasada zachowania pędu

w przypadku relatywistycznych prędkości (prędkości zbliŜonych do

prędkości światła) niezbędne jest inne zdefiniowanie pędu ciała o masie

m0 oraz prędkości v :

2

2

0

0

1c

mp

mp

mp

v

v

v

v

−

=

=

=

r

r

rr

rr

γ (17.10)

Masa m0 nazywana jest masą spoczynkową ciała, zaś masa m nazywana

jest masą relatywistyczną:

ROZDZIAŁ 17

Strona 122122122122

2

2

0

1c

mm

v−

= (17.11)

Masa relatywistyczna przy małych prędkościach ruchu jest bliska, co do

wartości, masie spoczynkowej ciała, gdyŜ wówczas czynnik lorentzow-

ski jest bliski jedności. Jak pokazano na rysunku 17.2.a czynnik Lorentza

dąŜy do nieskończoności przy prędkościach dąŜących do prędkości świa-

tła c. Oznacza to, Ŝe równieŜ relatywistyczna masa ciała o masie spo-

czynkowej róŜnej od zera będzie dąŜyła do nieskończoności a więc ciała

takiego nie da się rozpędzić do prędkości światła. Prędkość światła jest

więc prędkością graniczną, którą osiągają tylko obiekty o zerowej masie

spoczynkowej – fotony.

Na rysunku 17.2.b przedstawiono zaleŜność pędu ciała o masie spoczyn-

kowej m od prędkości v. Według klasycznej newtonowskiej definicji

pędu, przedstawionej w rozdziale 3, pęd ciała rośnie jednostajnie

w funkcji prędkości ciała niezaleŜnie od wartości tej prędkości. Ta kla-

syczna definicja jest przybliŜeniem relatywistycznej definicji pędu dla

niskich prędkości. Przy prędkościach zbliŜonych do prędkości światła

klasyczne podejście staje się błędne a pęd dąŜy do nieskończoności.

Rysunek 17.2. ZaleŜność czynnika Lorentza γ a) oraz pędu relatywistycznego b) od prędkości

SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Strona 123123123123

Energia całkowita, energia kinetyczna

Ze szczególnej teorii względności wynika słynna zaleŜność Einsteina:

2mcE = (17.12)

2

2

202

0

1c

cmcmE

v−

== γ (17.13)

Równanie to ukazuje proporcjonalność pomiędzy energią całkowitą obiektu a jego masą relatywistyczną. MoŜliwe jest przekształcanie masy

na energię i odwrotnie - masa i energia są równowaŜne. PowyŜsza zaleŜ-ność pomiędzy masą a energią została potwierdzona eksperymentalnie

na przykład w bilansach energetycznych reakcji jądrowych czy zjawisku

tworzenia par elektron-pozyton.

Z równania 17.13 wynika, Ŝe takŜe ciało pozostające w spoczynku posia-

dać będzie energię 20cmE =0 nazywaną energią spoczynkową. Po-

niewaŜ energia całkowita ciała jest sumą energii spoczynkowej oraz

energii kinetycznej, więc:

Relatywistyczną energię kinetyczną ciała wyznaczamy jako róŜnicę całkowitej energii relatywistycznej tego ciała oraz jego energii spoczynkowej:

( ) 20

20

2

2

20

k

k

1

1

cmcm

c

cmE

EEE

−=−

−

=

−=

γv

0

(17.14)

Dla małych wartości prędkości v ciała powyŜszą zaleŜność moŜna

wyrazić przybliŜonym wzorem

22

11

2

2 202

02

0k

vv mcm

ccmE =−

+≅ , co oznacza, Ŝe klasyczna

definicja energii kinetycznej jest przybliŜeniem dla małych prędkości

relatywistycznej energii kinetycznej.

ROZDZIAŁ 17

Strona 124124124124

JeŜeli zaleŜność 17.13 podniesiemy do kwadratu i uwzględnimy relację 17.10, to po przekształceniach otrzymujemy związek między relatywi-

styczną energią całkowitą ciała E oraz jego relatywistycznym pędem p:

( ) ( )2220

2 cpcmE =− (17.15)

JeŜeli rozpatrzymy ciało o zerowej masie spoczynkowej m0 = 0, takie jak

cząstka promieniowania elektromagnetycznego – foton – to powyŜsza

zaleŜność upraszcza się do postaci:

c

Ep

cpE

=

=

(17.16)

Jak pokaŜemy w dalszych rozdziałach, energia fotonów zaleŜy od czę-

stotliwości ν promieniowania elektromagnetycznego: λ

νc

E hh == ,

gdzie h jest stałą Plancka i wynosi s

mkgh

234106266 −×= . . Stąd

otrzymujemy, Ŝe pęd fotonu jest odwrotnie proporcjonalny do długości

fali promieniowania i wynosi:

λ

h=p (17.17)

`

18 Fizyka kwantowa

W tym rozdziale:

o Prawa promieniowania cieplnego, ciało doskonale czarne

o Kwantowa natura promieniowania, efekt fotoelektryczny i efekt Comptona

o Dualizm korpuskularno – falowy, hipoteza de Brogliea

ROZDZIAŁ 18

Strona 126126126126

18.1. Prawa promieniowania

Promieniowanie cieplne, to promieniowanie, które emitowane jest

w wyniku ruchu cieplnego cząstek materii. Promieniowanie takie wysy-

łane jest przez kaŜde ciało w temperaturze powyŜej zera bezwzględnego

(0K) i odbywa się kosztem energii kinetycznej cząstek tego ciała. Nazwa

promieniowanie cieplne odnosi się do sposobu wytwarzania promienio-

wania elektromagnetycznego a nie do długości emitowanych fal. Zgod-

nie z klasyczną fizyką falową niejednostajny ruch ładunku elektrycznego

jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego. Drgania termiczne

równieŜ wywołują przyspieszenie elektronów w materii a więc stają się źródłem fal elektromagnetycznych, które nazywamy promieniowaniem

cieplnym. Odwrotne do zjawiska emisji, zjawisko pochłaniania fal pro-

mieniowania cieplnego, polega na wzbudzaniu drgań elektronów przez

fale elektromagnetyczne padające na powierzchnię ciała. Warto podkre-

ślić, Ŝe w zaleŜności od temperatury obiektu emitowane promieniowanie

cieplne charakteryzować się będzie róŜnymi długościami. Widmo pro-

mieniowania ciała rozgrzanego do bardzo wysokiej temperatury, które

świeci na czerwono czy nawet na biało, obejmuje zakresie fal widzial-

nych a ciała o niŜszej temperaturze, których promieniowanie odczu-

wamy tylko za pomocą receptorów cieplnych emitują głównie fale z za-

kresu podczerwieni.

Zdolność emisyjna i absorpcyjna

Ilość energii emitowanej przez ciało w postaci promieniowania ciepl-

nego zaleŜy od temperatury T tego ciała oraz częstotliwości tego pro-

mieniowania - zdolność emisyjna ciała E jest więc funkcją częstotliwości

oraz temperatury, E (ν,T ). Zdolność emisyjna ciała jest równa energii

emitowanej przez jednostkową powierzchnię ciała w jednostce czasu

w postaci promieniowania elektromagnetycznego z zakresu częstotliwo-

ści (ν, ν+dν). Zdolność absorpcyjna ciała (zdolność pochłaniania) rów-

nieŜ zaleŜy od jego temperatury oraz częstotliwości padającego promie-

niowania ― A (ν,T ). Na ogół jednak tylko część energii promieniowania

padającego na ciało jest pochłaniana a część jest odbijana. Część energii

odbitej od ciała określamy za pomocą współczynnika odbicia R (ν,T )

(od angielskiego – reflected), który podobnie jak współczynnik absorpcji

FIZYKA KWANTOWA

Strona 127127127127

(zdolność absorpcyjna) zaleŜy od temperatury oraz częstotliwości pro-

mieniowania.

Energia promieniowania padającego na powierzchnię ciała jest czę-ściowo pochłaniana a pozostała część jest odbijana, tak Ŝe:

Suma współczynników absorpcji A(ν,T) i odbicia R(ν,T) jest dla dowolnej powierzchni równa jedności, dla kaŜdej częstotliwości padającego promieniowania oraz dla kaŜdej temperatury:

( ) ( ) 1=+ ,TR,TA νν (18.1)

Ciało doskonale czarne

Ciało doskonale czarne w kaŜdej temperaturze w całości po-chłania docierające do niego promieniowanie niezaleŜnie od jego częstotliwości, jednocześnie nic nie odbijając: ( ) 1, =TA ν

Zgodnie z powyŜszą definicją dla ciała doskonale czarnego A = 1 zaś R = 0, niezaleŜnie od temperatury i częstotliwości. Wzorcem ciała do-

skonale czarnego jest wnęka z małym otworem. JeŜeli jakiś promień wpadnie do otworu, to po kilku odbiciach od ścian wewnętrznych wnęki

zostanie całkowicie przez nią pochłonięty. Tak więc moŜemy powie-

dzieć, Ŝe powierzchnia otworu jest całkowicie pochłaniająca promienio-

wanie niezaleŜnie od jego częstotliwości. Warto zaznaczyć, Ŝe kształt

czy wielkość wnęki nie ma przy tym istotnego znaczenia. Pewnym przy-

bliŜeniem ciała doskonale czarnego mogą być równieŜ okna w budynku.

Patrząc z zewnątrz widzimy, Ŝe okna budynku są ciemne niezaleŜnie od

koloru ścian pomieszczeń znajdujących się za nimi

Prawo Kirchhoffa

W otaczającym nas świecie obserwujemy pewną równowagę między

zdolnością absorpcyjną oraz emisyjną, tzn. ciała z jednej strony pochła-

niają część docierającego do nich promieniowania elektromagnetycz-

nego, ale równocześnie emitują część energii wewnętrznej równieŜ w formie promieniowania elektromagnetycznego. Gdyby tak nie było

temperatura ciała pochłaniającego promieniowanie powinna ciągle wzra-

stać. PoniewaŜ obiekty rzeczywiste osiągają równowagę, więc wniosku-

jemy, Ŝe jeŜeli jakieś ciało charakteryzuje się duŜą zdolnością emisyjną, to równieŜ będzie bardzo dobrze absorbowało padające promieniowanie

ROZDZIAŁ 18

Strona 128128128128

elektromagnetyczne. PowyŜszą obserwację zapisujemy w postaci tzw.

prawa Kirchhoffa promieniowania cieplnego:

Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla wszystkich powierzchni, wszystkich ciał, jednakową uniwersalną funkcją częstotliwości oraz temperatury.

( )( )

( ),Tε,TA

,TEν

ν

ν= (18.2)

Aby znaleźć funkcję ε (ν,T ) zapiszmy prawo Kirchhoffa dla ciała do-

skonale czarnego. PoniewaŜ, jak juŜ wspominaliśmy, ciało doskonale

czarne pochłania całkowicie padające promieniowanie, niezaleŜnie od

częstotliwości oraz temperatury, czyli jego zdolność absorpcyjna jest

równa jedności (A (ν,T ) = 1), to na podstawie równania 18.2 otrzy-

mamy, Ŝe ta uniwersalna funkcja ε (ν,T ) w istocie jest zdolnością emi-

syjną E (ν,T ) ciała doskonale czarnego. Tak więc stosunek zdolności

emisyjnej do absorpcyjnej dla dowolnego ciała jest równy zdolności

emisyjnej ciała doskonale czarnego.

Prawo Stefana-Boltzmanna

Jak juŜ wspominaliśmy, w temperaturze wyŜszej od zera bezwzględnego

kaŜde ciało emituje promieniowanie cieplne w postaci fal elektroma-

gnetycznych z pewnego zakresu długości fal. Metalowy pręt umiesz-

czony w ognisku jest źródłem ciepła, które odczuwamy na naszej skórze

za sprawą promieniowania z zakresu podczerwieni, które emituje ten

pręt. Taki metalowy pręt moŜna równieŜ tak rozgrzać, podnieść jego

temperaturę do takiej wartości, Ŝe zacznie on świecić. Nie oznacza to

jednak, Ŝe na naszej skórze nie będziemy juŜ czuli ciepła. Taki „roz-

grzany do białości” pręt będzie źródłem promieniowania zarówno z za-

kresu fal widzialnych jak równieŜ podczerwieni.

Na rysunku 18.1 przedstawione są widma promieniowania ciała dosko-

nale czarnego w róŜnych temperaturach. Widzimy, Ŝe moc promienio-

wania, a więc energia emitowana w jednostce czasu, dla ciała doskonale

czarnego ma róŜną wartość dla róŜnych długości fali λ. Gdybyśmy

chcieli obliczyć całkowitą ilość energii jaką ciało o temperaturze T emi-

tuje w postaci promieniowania przez jednostkową powierzchnię w jed-

nostce czasu, a więc całkowitą zdolność emisyjną ciała ET (T ), musie-

FIZYKA KWANTOWA

Strona 129129129129

libyśmy scałkować zdolność emisyjną ciała E (ν,T ) po wszystkich czę-

stotliwościach ( ) ( ) νν dT ∫= TETE , .

Rysunek 18.1. Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego w róŜnych temperaturach (schematycznie)

Dla ciała doskonale czarnego całkowita zdolność emisyjna E(T) w temperaturze T jest proporcjonalna do czwartej potęgi tem-peratury, co stanowi treść prawa Stefana-Boltzmanna:

( ) 4T TσTE = (18.3),

gdzie stała proporcjonalności σ = 5.67·10-8

W/(m2·K4).

ROZDZIAŁ 18

Strona 130130130130

Prawo przesunięć Wiena

Opisywaliśmy juŜ w tym rozdziale, Ŝe wraz z temperaturą zmienia się skład widma promieniowania ciała. Oznacza to, Ŝe wraz ze wzrostem

temperatury zmienia się widmo promieniowania. Jak pokazano schema-

tycznie na rysunku 18.1 maksimum zdolności emisyjnej ciała (najwięk-

sza wartość mocy promieniowania) wraz ze wzrostem temperatury prze-

suwa się w kierunku fal krótszych.

Relację między długością fali λmax odpowiadającej maksimum zdolności emisyjnej promieniowania a temperaturą T tego ciała opisuje prawo przesunięć Wiena:

const.bmax ==Tλ (18.4),

gdzie stała b = 0.2898·10-2

m·K.

Zgodnie z powyŜszym wzorem rozgrzewane ciało początkowo świeci na

czerwono a wraz ze wzrostem temperatury pojawiają się składowe

widma o większej częstotliwości, najpierw barwy czerwonej potem Ŝół-

tej, zielonej, niebieskiej i fioletowej aŜ wreszcie widmo promieniowania

obejmuje wszystkie długości fali i ciało emituje światło białe. NaleŜy

przy tym zaznaczyć, Ŝe dla ciała (np. metalu) rozgrzanego „do białości”

maksimum promieniowania wciąŜ znajdować się moŜe w zakresie pod-

czerwieni. Przykładem moŜe być tutaj typowa Ŝarówka, w której meta-

liczny Ŝarnik (najczęściej stop wolframu) rozgrzewany jest „do białości”.

Maksimum promieniowania Ŝarówki przypada jednak na zakres pod-

czerwieni i dlatego Ŝarówka produkuje głównie ciepło (około 97% ener-

gii) i tylko około 3% energii emitowane jest w postaci światła. W przy-

padku nowoczesnych źródeł światła opartych na diodach LED prawie

cała energia dostarczona do diody zostaje zamieniona na promieniowa-

nie z zakresu widzialnego, a więc takie samo natęŜenie światła moŜemy

uzyskać znacznie mniejszym kosztem energetycznym. Szczegóły bu-

dowy i działania diody LED omówimy w dalszej części skryptu.

FIZYKA KWANTOWA

Strona 131131131131

18.2. Kwantowa natura promieniowania

Przedstawione powyŜej prawa Kirchhoffa, Stefana-Boltzmanna oraz

Wiena opisują podstawowe właściwości promieniowania cieplnego.

Okazało się, Ŝe stan wiedzy fizyków pod koniec XIX wieku nie pozwalał

wyjaśnić wszystkich tych zjawisk fizycznych za pomocą klasycznej fa-

lowej teorii promieniowania. Na przykład model Rayleigha-Jeansa opi-

suje promieniowanie cieplne ciała doskonale czarnego za pomocą wnęki,

w której istnieje układ fal stojących o róŜnych kierunkach i róŜnych czę-stotliwościach. Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii na kaŜdą z fal sto-

jących przypada średnia energia równa kBT, a energia wypromieniowana

przez wnękę (ciało doskonale czarne) zaleŜeć będzie od liczby takich fal

stojących. MoŜna udowodnić, Ŝe liczba fal stojących jest proporcjonalna

do kwadratu częstotliwości, więc dla fal krótkich energia emitowanej fali

powinna dąŜyć do nieskończoności. Tymczasem jak wynika z danych

eksperymentalnych (Rysunek 18.1) energia emitowanego promieniowa-

nia w granicy krótkofalowej dąŜy do zera. Ta drastyczna rozbieŜność klasycznych modeli falowych z wynikami eksperymentalnymi w zakre-

sie fal krótkich (ultrafioletowych) nazywana jest katastrofą ultrafiole-tową. Teoria Rayleigha-Jeansa przewiduje równieŜ nieskończoną zdol-

ność emisyjną ciała doskonale czarnego w kaŜdej temperaturze, podczas

gdy zgodnie z omawianym wcześniej prawem Stefana-Boltzmanna jest

ona proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury.

Kwanty

Nową teorię promieniowania ciała doskonale czarnego zaproponował

Max Planck. Stworzył on najpierw wzór, który prawidłowo modeluje

widmo promieniowania ciała doskonale czarnego a dopiero potem starał

się znaleźć model fizyczny, który mógłby uzasadnić taki wzór. ZałoŜył,

Ŝe źródłem promieniowania są drgające ładunki, które zachowują się jak

oscylatory liniowe. Okazało się jednak, Ŝe aby wyjaśnić wyniki ekspe-

rymentalne trzeba przyjąć załoŜenie sprzeczne z klasyczną fizyką –

energia tych oscylatorów moŜe przyjmować tylko wartości będące wie-

lokrotnością porcji energii ∆E (kwantu energii):

ν h∆ =E (18.5),

ROZDZIAŁ 18

Strona 132132132132

gdzie ν jest częstotliwością drgań oscylatorów harmonicznych (często-

tliwość promieniowania elektromagnetycznego), zaś h jest stałą Plancka:

s eV 104.136s J 106.626 h 1534 −− ⋅=⋅= (18.6).

Kwantowy oscylator posiadać więc będzie energię równą:

ν hnE = (18.7),

gdzie n jest liczbą naturalną nazywaną liczbą kwantową. Jego energia

jest skwantowana.

Zmiana energii takiego oscylatora następować będzie w wyniku

pochłonięcia lub oddania porcji energii (kwantu energii). Prędkość fazową fali definiowaliśmy jako iloczyn długości fali oraz częstotliwości

tej fali (wzór 14.7), więc w przypadku fali elektromagnetycznej λ

νc

= .

Wówczas energię kwantu promieniowania elektromagnetycznego

zapisujemy:

λ

νc

E hh∆ == (18.8).

Zasada korespondencji

Warto zaznaczyć tutaj, Ŝe skoro energie atomów w cząsteczkach są kwantowane, to równieŜ energie wszystkich otaczających nas obiektów

(równieŜ nas samych) są kwantowane. JednakŜe ze względu na wartość stałej Plancka nie zauwaŜamy tego kwantowania naszymi zmysłami.

MoŜna by to porównać do wciągania po schodach ciała na pewną wyso-

kość. JeŜeli liczba schodów jest mała wysokość kaŜdego schodka musi

być duŜa i wówczas skokowa zmiana energii potencjalnej ciała będzie

wyraźnie widoczna. JeŜeli natomiast rozpatrzymy bardzo duŜą liczbę schodków to ich wysokość moŜe być na tyle mała, Ŝe nie będziemy za-

uwaŜać skokowej zmiany energii a jedynie ciągły jednostajny wzrost

energii. Mechanika kwantowa w odniesieniu do obiektów makroskopo-

wych nie stoi zatem w sprzeczności z mechaniką klasyczną. Stanowi to

treść jednej z podstawowych zasad fizyki kwantowej ― zasady kore-spondencji, czyli odpowiedniości wprowadzonej przez Nielsa Bohra:

Kwantowy opis zjawiska staje się zbieŜny z opisem klasycznym dla duŜych wartości liczb kwantowych.

FIZYKA KWANTOWA

Strona 133133133133

Koncepcja kwantowania energii, mimo Ŝe pozwalała prawidłowo opisy-

wać zjawiska promieniowania cieplnego, była początkowo trudna do za-

akceptowania przez fizyków. Wkrótce okazało się jednak, Ŝe pozwala

wyjaśnić zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny zewnętrzny, efekt

Comptona, powstawanie promieniowania rentgenowskiego, których kla-

syczna fizyka falowa nie była w stanie wyjaśnić.

Efekt fotoelektryczny zewnętrzny

Rozpatrzmy lampę składającą się z dwóch metalowych elektrod umiesz-

czonych w próŜni w szklanej bańce. Przeprowadzone eksperymenty po-

kazują, Ŝe oświetlenie jednej z nich (fotokatody) światłem o odpowied-

nio duŜej częstotliwości powoduje emisję elektronów (fotoelektronów)

z tej elektrody na zewnątrz metalu. Zjawisko to nosi nazwę efektu foto-elektrycznego zewnętrznego. JeŜeli zwiększamy częstotliwość padają-cego promieniowania, to wrasta równieŜ energia kinetyczna fotoelektro-

nów. JeŜeli polaryzacja napięcia między elektrodami jest taka, Ŝe foto-

elektrony są odpychane od anody, to przy pewnej wartości napięcia,

Uh = -V

0, nazywanego napięciem hamowania, Ŝaden fotoelektron nie jest

w stanie dotrzeć do anody i natęŜenie prądu w obwodzie zewnętrznym

spada do zera (Rysunek 18.2).

Rysunek 18.2. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny. Schematyczne wykresy a) natęŜenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch

róŜnych natęŜeń światła I2>I1; b) natęŜenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch róŜnych częstotliwości światła

ν2 > ν1; c) wartości napięcia hamowania od częstotliwości

padającej fali świetlnej

JeŜeli przy danym oświetleniu powstają fotoelektrony, to gdy zwięk-

szamy natęŜenie światła (I2 > I

1), obserwujemy równieŜ zwiększenie na-

ROZDZIAŁ 18

Strona 134134134134

tęŜenia prądu fotoelektronów docierających do anody (prądu anodo-

wego). Jednocześnie dla ustalonej częstotliwości padającego światła,

niezaleŜnie od jego natęŜenia, otrzymujemy to samo napięcie hamujące:

―V0 (Rysunek 18.2a).

Jak juŜ wspominaliśmy, dla większej częstotliwość światła padającego

na fotokatodę, czyli dla mniejszej długość fali, zwiększa się równieŜ wartość napięcia hamowania: 1212 VV >⇒>νν (Rysunek 18.2.b).

ZaleŜność wartości napięcia hamowania 00 VU = jest przy tym liniową

funkcją częstotliwości ν padającego promieniowania, jak pokazano na

wykresie 18.2.c. Z wykresu tego wynika, Ŝe dla wyŜszej częstotliwości

padającego światła powstałe fotoelektrony mają większą energię kine-

tyczną, a więc równieŜ energia niesiona przez kwanty światła zaleŜy li-

niowo od częstotliwości tego światła. Okazuje się przy tym, Ŝe istnieje

graniczna wartość częstotliwości ν0, poniŜej której nie obserwuje się juŜ

prądu anodowego, czyli elektrony nie są wybijane z powierzchni katody.

NaleŜy równieŜ podkreślić, Ŝe emisja fotoelektronów w zjawisku foto-

elektrycznym zewnętrznym odbywa się bez opóźnienia – jeŜeli tylko

energia kwantów światła jest wystarczająca, Ŝeby wyemitować fotoelek-

trony, to emisja ta następuje natychmiast, bez opóźnienia.

Klasyczna fizyka falowa nie była w stanie prawidłowo wyjaśnić powyŜ-szych wyników eksperymentalnych. Na przykład według klasycznej fi-

zyki falowej nie powinno być granicznej częstotliwości ν0 a więc światło

o dowolnej częstotliwości powinno wybijać elektrony z fotokatody. Na-

wet jeŜeli fala o niskiej częstotliwości niesie niewielką porcję energii, to

po odpowiednio długim czasie, a nie natychmiast, naświetlania do ka-

tody powinna zostać dostarczona energia wystarczająca do emisji elek-

tronów. Klasyczna fizyka falowa nie była równieŜ w stanie wyjaśnić efektu przedstawionego na wykresie 18.2.a – to samo napięcie hamowa-

nia przy róŜnych natęŜeniach padającego światła. Wedle klasycznej fi-

zyki falowej bowiem, jeŜeli zwiększymy natęŜenie padającego światła,

to zwiększyć się równieŜ powinna ilość energii docierającej do katody

w jednostce czasu, a więc w efekcie energia wybitych z katody elektro-

nów powinna być większa.

Wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego zewnętrznego zostało przedsta-

wione przez Einsteina, za co zresztą został uhonorowany nagrodą Komi-

sji Noblowskiej. Einstein w swoim rozumowaniu rozwinął zapropono-

waną przez Plancka teorię kwantów energii. Przypomnijmy, Ŝe według

modelu Plancka fale elektromagnetyczne powstają w wyniku drgań ła-

dunków (oscylatorów), przy czym energia oscylatorów jest wielokrotno-

FIZYKA KWANTOWA

Strona 135135135135

ścią jednostkowej porcji energii hν. Einstein załoŜył, Ŝe skoro energia

takich oscylatorów jest skwantowana i zmienia się skokowo, więc rów-

nieŜ wymiana energii odbywa się kwantowo i powstałe w ten sposób

promieniowanie elektromagnetyczne ma skwantowaną energię. Okazuje

się więc, Ŝe światło moŜna rozpatrywać nie tylko klasycznie jako falę o częstotliwości ν ale takŜe jako strumień kwantów promieniowania

o energii hν. Taki kwant promieniowania elektromagnetycznego, mający

charakter korpuskuły (cząstki) został nazwany fotonem.

Według fizyki kwantowej, jeŜeli foton niosący porcję energii zderzy się z elektronem katody to przekazuje mu całą swoją energię. Tak więc

kaŜdy pojedynczy foton moŜe wybić z materiału tylko jeden elektron.

Dlatego teŜ natęŜenie prądu na anodzie powinno być proporcjonalne do

natęŜenia oświetlenia, czyli liczby fotonów padających na jednostkę oświetlonej powierzchni katody w jednostce czasu (Rysunek 18.2.a).

Wartość energii, jaką niesie pojedynczy foton (hν) zaleŜy od częstotli-

wości drgań oscylatora, który był jego źródłem. Energia pojedynczego

fotonu zostaje przekazana pojedynczemu elektronowi z katody. JeŜeli

dostarczona energia wystarcza, Ŝeby pokonać siły wiąŜące elektron

w materiale, elektron opuszcza powierzchnię katody. Taka minimalna

porcja energii potrzebna do uwolnienia elektronu z materiału nazywana

jest pracą wyjścia φ i jest właściwością badanego materiału. Nadmiar

energii fotonu zamieniany jest w energię kinetyczną wybitego elektronu.

Zasadę zachowania energii dla efektu fotoelektrycznego zewnętrznego

moŜemy zapisać:

kin h E+=ϕν (18.9),

Maksymalną energię kinetyczną jaką moŜe uzyskać wybity elektron

(przy danej częstotliwości ν padającego światła) moŜemy wyznaczyć na

podstawie napięcia hamowania U0 – jeŜeli przyłoŜymy napięcie hamu-

jące o wartości U0, to prąd na anodzie wynosi zero a więc Ŝaden z elek-

tronów nie ma wystarczającej energii aby pokonać barierę potencjału U0:

0kinmax eUE = (18.10)

JeŜeli energia padającego fotonu jest mniejsza niŜ praca wyjścia elektro-

nów z powierzchni materiału, to elektron nie opuści materiału. Oznacza

to równieŜ, Ŝe według kwantowego opisu zjawiska fotoelektrycznego

istnieje graniczna wartość częstotliwości ν0 promieniowania elektroma-

gnetycznego, poniŜej której zjawisko nie zachodzi:

ROZDZIAŁ 18

Strona 136136136136

ϕν =0h (18.11)

Efekt Comptona

Efekt Comptona jest zjawiskiem, którego równieŜ nie daje się wyjaśnić na gruncie klasycznej fizyki falowej. W efekcie tym w wyniku rozpro-

szenia promieniowania rentgenowskiego (promieniowanie elektroma-

gnetyczne o długościach fali rzędu nanometrów) na elektronach atomo-

wych materiału obserwuje się falę rozproszoną o długości większej niŜ fali padającej. Wedle klasycznej fizyki falowej długość fali promienio-

wania rozproszonego powinna być taka sama, gdyŜ elektrony pochła-

niając falę padającą odbierają od niej energię, ale tę samą energię na-

stępnie emitują. Nawet gdyby w klasycznym falowym wyjaśnieniu tego

zjawiska uwzględnić efekty dopplerowskie, to powinniśmy obserwować zmianę długości fali, ale zarówno ją zwiększające jak i zmniejszające.

Dokładniejsze pomiary tego zjawiska przeprowadzone przez Comptona

pokazały, Ŝe dla danego materiału zmiana długości fali zaleŜy od kie-

runku rozpraszania fali. Wyjaśnienie tego efektu moŜliwe było tylko na

gruncie fizyki kwantowej. Compton załoŜył, Ŝe pojedyncze kwanty

światła (fotony) zderzają się spręŜyście z elektronami materiału przeka-

zując im swoją energię i pęd zgodnie z zasadą zachowania energii oraz

zasadą zachowania pędu (Rysunek 18.3).

Zasadę zachowania energii w tym przypadku moŜemy zapisać:

2

12

00 hh cmcm +=+ νν (18.12),

gdzie ν0 oraz ν1 oznaczają odpowiednio częstotliwość promieniowania

padającego oraz rozproszonego; m0 jest masą spoczynkową elektronu, na

którym rozpraszane jest promieniowanie rentgenowskie zaś m oznacza

masę relatywistyczną tego elektronu po rozproszeniu (elektron odbity).

Zasadę zachowania pędu dla kierunków x oraz y (zgodnie z oznacze-

niami przyjętymi na Rysunku 18.3) moŜna zapisać:

x) (kierunek cos coshh 10 ϕθ

ννvm

cc+= (18.13)

y) (kierunek sin sinh

0 1 ϕθν

vmc

−= (18.14)

FIZYKA KWANTOWA

Strona 137137137137

Rysunek 18.3. Schematyczne przedstawienie efektu Comptona

Równania 18.12-18.14 stanowią układ równań, z którego wyznaczamy

długość fali rozproszonego promieniowania λ1 w zaleŜności od kąta

rozproszenia θ:

( )θλλ cos1h

0

01 −=−cm

(18.15)

Zakładając więc spręŜyste zderzenie kwantu światła z elektronem

Compton otrzymał zaleŜność zgodną z wynikami eksperymentów –

większą długość fali rozproszonej oraz zaleŜność tej długości od kąta

rozpraszania wiązki światła.

PoniŜej przedstawimy w skrócie procedurę wyznaczania równania 18.15.

Przepiszmy najpierw równania 18.13 i 18.14 do postaci:

ϕθνν

cos coshh 0

vmcc

=− 1 (18.16)

ϕθν

sin sinh

vmc

=1 (18.17)

ROZDZIAŁ 18

Strona 138138138138

JeŜeli powyŜsze równania podniesiemy do kwadratu, dodamy stronami i

uporządkujemy uwzględniając jedynkę trygonometryczną ( 1cossin 22 =+ αα ) otrzymamy:

2210

2

1

2

2 vmccc

=−

+

θ

ννννcos

hhh2

20 (18.18)

PomnóŜmy te równanie przez c2:

θνννν coshhh 20

20

2210

2222 2−+=cm v (18.19)

i porównajmy z równaniem 18.12 uporządkowanym i podniesionym

obustronnie do kwadratu:

( ) ( ) 4210

2010

242 h2h cmcmcm 0

2 +−+−= νννν (18.20)

Odejmijmy następnie stronami od równania 18.20 równanie 18.19:

( ) ( )102

01024242 h2cos2h νννν −+−−=

− cmcm

ccm θ

v11 02

2

(18.21)

Z definicji masy relatywistycznej (równanie 17.11) wynika:

2202

2

1 mc

m =

−

v (18.22)

A więc równość 18.21 moŜna zapisać w postaci:

( ) ( )θνννν cosh 10102

0 −=− 1cm (18.23)

a po podzieleniu obu stron przez 100 ννcm otrzymamy:

( )θνν

cosh

01

−=− 10 cm

cc (18.24),

co jest równowaŜne równaniu 18.15.

Promieniowanie rentgenowskie

Promieniowanie rentgenowskie powstaje w wyniku oddziaływania

z materią (metalową tarczą) elektronów rozpędzonych duŜą róŜnicą po-

tencjałów. Oddziaływanie to odbywa się na dwa sposoby. Po pierwsze

rozpędzony elektron moŜe, uderzając w atom, spowodować zmianę jego

FIZYKA KWANTOWA

Strona 139139139139

konfiguracji elektronowej, wywołać przeskok elektronu na wyŜszy po-

ziom energetyczny. Zagadnienie to szczegółowo omawiać będziemy

w dalszej części skryptu opisując budowę atomu. W tej chwili zazna-

czymy tylko, Ŝe taka konfiguracja elektronowa jest niekorzystna ener-

getycznie, taki wzbudzony stan jest stanem metastabilnym. Atom wra-

cając do stanu podstawowego emituje fotony o ściśle określonej energii

odpowiadającej róŜnicy poziomów energetycznych w atomie – widmo

charaktery-styczne na Rysunku 18.4.

Oprócz zderzeń rozpędzonych elektronów z elektronami w atomach,

równieŜ dodatnio naładowane jądra atomów przyciągać je będą siłą ku-

lombowską. W efekcie takiego oddziaływania z pojedynczym jądrem

atomowym zakrzywieniu ulega tor, po jakim porusza się elektron a sam

elektron doznaje przyspieszenia dośrodkowego. Elektron poruszający się ruchem przyspieszonym pod wpływem przyspieszenia dośrodkowego

emituje falę elektromagnetyczną (kwant energii – foton) tracąc w ten

sposób energię i zmniejszając swoją prędkość. W ten sposób pojedynczy

elektron moŜe oddziaływać wielokrotnie z jądrami atomowymi tracąc za

kaŜdym razem róŜne porcje energii i emitując fale o róŜnych długo-

ściach. Powstałe w ten sposób promieniowanie nazywa się promienio-

waniem hamowania i charakteryzuje się ciągłym widmem (Rysu-

nek 18.4).

Rysunek 18.4. Schematyczne widmo promieniowania rentgenowskiego

ROZDZIAŁ 18

Strona 140140140140

Przeprowadzane eksperymenty pokazują, Ŝe ciągłe widmo istnieje tylko

powyŜej pewnej długości fali λmin. Istnienia tej tzw. krótkofalowej gra-

nicy promieniowania rentgenowskiego nie potrafiła wyjaśnić klasyczna

fizyka falowa. W szczególności nie dawało się wyjaśnić dlaczego λmin

nie zaleŜy od materiału bombardowanego elektronami.

Wyjaśnienie istnienia krótkofalowej granicy promieniowania rentgenow-

skiego moŜliwe jest tylko na gruncie fizyki kwantowej. W opisie kwan-

towym ta graniczna długość fali λmin odpowiada przypadkowi, gdy roz-

pędzony elektron zostanie całkowicie wyhamowany przez jedno jądro,

a więc gdy powstały w ten sposób foton będzie miał energię równą energii kinetycznej rozpędzonego elektronu:

eU

c

ceU

h

hh

min

min

max

=

==

λ

λν

(18.25).

18.3. Dualizm korpuskularno-falowy

Przedstawione powyŜej zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny ze-

wnętrzny, efekt Comptona czy teŜ widmo promieniowania rentgenow-

skiego z krótkofalową granicą promieniowania, wskazują, Ŝe promie-

niowanie elektromagnetyczne naleŜy traktować jak strumień fotonów.

Z drugiej strony omawialiśmy juŜ wcześniej zjawiska i efekty typowo

falowe takie jak dyfrakcja czy interferencja. Oznacza to, Ŝe:

Światło (promieniowanie elektromagnetyczne) posiada naturę dualną: korpuskularną i falową (korpuskularno–falową).

Procesy rozchodzenia się promieniowania, zjawiska takie jak dyfrakcja

czy interferencja, ujawniają właściwości falowe promieniowania i mogą być wyjaśnione na gruncie klasycznej fizyki falowej. W zjawiskach od-

działywania promieniowania elektromagnetycznego z materią tzn. emisji

(ciało doskonale czarne), absorpcji (efekt fotoelektryczny zewnętrzny)

i rozpraszaniu (efekt Comptona), ujawniają się z kolei właściwości kor-

puskularne promieniowania elektro-magnetycznego i zjawiska te mogą być wyjaśnione tylko na gruncie fizyki kwantowej.

FIZYKA KWANTOWA

Strona 141141141141

MoŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe właściwości falowe promieniowania

elektromagnetycznego dominują przy długich falach (np. fale radiowe).

Dla fal radiowych bowiem energia pojedynczego fotonu jest znacznie

mniejsza niŜ próg detekcji nawet najczulszych urządzeń pomiarowych.

Dla częstotliwości fali np. 2.5MHz energia fotonu wynosić będzie około

10―8

eV, co jest wielkością 1010

razy mniejszą niŜ czułość najlepszych

urządzeń pomiarowych. W przypadku promieniowania z zakresu światła

widzialnego moŜemy obserwować zarówno właściwości korpuskularne

(np. efekt fotoelektryczny zewnętrzny) jak i falowe (np. interferencja).

Natomiast w przypadku promieniowania krótkofalowego dominujące są zjawiska ujawniające korpuskularną naturę promieniowania. Na przy-

kład krótkofalowe promieniowanie rentgenowskie ulega efektowi

Comptona. Ale równieŜ dla tego promieniowania moŜliwe jest zaobser-

wowanie właściwości falowych – jeŜeli jako siatkę dyfrakcyjną wyko-

rzystamy atomy w sieci krystalicznej (odległości rzędu 10―10 m) to za-

obserwujemy charakterystyczne dla fal zjawisko dyfrakcji.

Hipoteza de Brogliea

Hipoteza de Brogliea mówi, Ŝe nie tylko promieniowanie elek-tromagnetyczne ma dualną naturę korpuskularno-falową, ale równieŜ obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularno-falową — oprócz właściwości korpuskularnych posiadają takŜe właściwości falowe. Długość fali, którą moŜemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zaleŜy od pędu tak samo jak w przypadku pro-mieniowania elektromagnetycznego:

p

h=λ (18.26),

gdzie h jest stałą Plancka, zaś p oznacza pęd cząstki.

Częstotliwość ν fal de Brogliea powiązana jest z energią cząstek kwan-

towych w taki sam sposób jak dla fotonów czyli:

λ

νc

hh ==E (18.27),

Z hipotezy de Brogliea wynika, Ŝe wszystkim cząstkom mikroskopowym

moŜna przypisać fale o długości określonej przez wzór 18.26. Okazuje

się jednak, Ŝe ze względu na wartość stałej Plancka właściwości falowe

ROZDZIAŁ 18

Strona 142142142142

obiektów makroskopowych są niemierzalne. Na przykład długość fali de

Borglie’a piłki o masie m = 0.2 kg lecącej z prędkością v = 120 km/h ≈ 33 m/s będzie wynosić około 10

-34 m. A więc, Ŝeby np.

zaobserwować falowe zjawisko dyfrakcji dla takiej piłki tenisowej mu-

sielibyśmy dysponować siatką dyfrakcyjną o stałej około 10-34

m (tego

samego rzędu, co długość padającej fali), podczas gdy odległości mię-dzyatomowe wynoszą około10

-10 m a więc są 24 rzędy wielkości za

duŜe! Właściwości falowe materii obserwuje się natomiast dla obiektów

mikroskopowych takich jak elektrony, neutrony czy teŜ atomy helu lub

ich jądra, czyli cząstki α.

Właściwości falowe rozpędzonych elektronów wykorzystuje się np.

w mikroskopach elektronowych. Zmieniając pęd elektronów moŜna

wpływać na długość fal de Brogliea elektronów. Fale o mniejszych

długościach niŜ te z zakresu światła widzialnego pozwalają obserwować obiekty mikroświata z dokładnością większą niŜ dostępna w przypadku

mikroskopów optycznych.

`

19 Fizyka atomu i fizyka jądra atomowego

W tym rozdziale:

o Budowa atomu o Model Bohra atomu wodoru o Budowa jądra atomowego o Rozpady promieniotwórcze o Rozszczepienie jądra i reaktor jądrowy o Synteza jądrowa

ROZDZIAŁ 19

Strona 144144144144

19.1. Budowa atomu

Pojęcie atomu, jako podstawowego, niepodzielnego elementu budują-cego materię wywodzi się z czasów staroŜytnych i do filozofii zachod-

niej zostało wprowadzone w 4 wieku p.n.e. przez Demokryta. Koncepcja

atomu powróciła w XVII i XVIII wieku wraz z intensywnym rozwojem

chemii. Zdefiniowanie pojęcia pierwiastka chemicznego i wykazanie, Ŝe

związki chemiczne składają się z atomów róŜnych pierwiastków za-

wdzięczamy pracom Lavoisiera i Daltona. Dopiero na przełomie XIX

i XX wieku eksperymenty Thomsona i Rutherforda pokazały, Ŝe uwa-

Ŝane wcześniej za niepodzielne atomy w istocie składają się z jądra ato-

mowego, obdarzonego ładunkiem dodatnim, oraz elektronów posiadają-cych ładunek ujemny. Późniejsze doświadczenia pokazały, Ŝe takŜe jądro

atomowe moŜna podzielić na mniejsze elementy – na protony o dodat-

nim ładunku i obojętne neutrony. Współcześnie wiemy, Ŝe równieŜ te

cząstki moŜna podzielić na jeszcze mniejsze fragmenty, zwane kwar-

kami. Istnienie kwarków i występujących pomiędzy nimi oddziaływań wydaje się w pełni wyjaśniać budowę materii. Zagadnienia te wykra-

czają jednak poza ramy niniejszego skryptu. W poniŜszym rozdziale

ograniczymy się więc do przedstawienia uproszczonego modelu budowy

atomu, jądra atomowego oraz przemian jądrowych, określanych równieŜ jako zjawiska promieniotwórczości.

Elektron

W rozdziale poświęconym elektrostatyce wspominaliśmy juŜ o istnieniu

elementarnego ładunku elektrycznego – ładunku elektronu. Naładowanie

ciała ładunkiem ujemnym oznacza występowanie w nim nadmiaru elek-

tronów, naładowanie ładunkiem dodatnim – występowanie niedoboru

elektronów. Masę i ładunek elektronu pozwoliły wyznaczyć dwa ekspe-

rymenty; Thomsona z 1897 roku i Milikana z 1909 roku. W pierwszym

eksperymencie równoległą wiązkę elektronów skierowano w obszar

skrzyŜowanych pól elektrycznego i magnetycznego. Ładunek porusza-

jący się w polu magnetycznym doznaje odchylenia na skutek działania

siły Lorentza. JeŜeli przeprowadzimy pomiar tego odchylenia przy wyłą-czonym i włączonym dodatkowo polu elektrycznym o znanej wartości

natęŜenia, to moŜliwe będzie wyznaczenie stosunku ładunku elektronu q

(e) do jego masy m: kgC101.7 11⋅=mq . W drugim eksperymencie

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 145145145145

drobne kropelki oleju, naładowane poprzez jonizację promieniowaniem

rentgenowskim, były rozpylane wewnątrz komory wyposaŜonej w parę elektrod wytwarzających pole elektryczne. Okazało się wówczas, Ŝe ła-

dunek elektryczny znajdujący się na kropelkach przybiera wartości bę-dące wielokrotnością pewnej wielkości, którą nazywano ładunkiem ele-

mentarnym, ładunkiem elektronu e:

C101.602 19−⋅=e (19.1)

Znając ładunek elektronu i stosunek ładunku elektronu do jego masy

moŜemy wyznaczyć jego masę:

kg109.109 31e

−⋅=m (19.2)

W doświadczeniu Thomsona poza wiązką elektronów, badana była rów-

nieŜ wiązka zjonizowanych atomów wodoru H+. Takie zjonizowane

atomy wodoru niosą ładunek elektryczny równy ładunkowi elektronu,

ale o przeciwnym znaku i nazywane są protonami. Stosunek q/m wyzna-

czony na podstawie pomiaru odchylenia toru lotu w polu magnetycznym

wykazał, Ŝe masa protonu jest około 2000 razy (1840 razy) większa niŜ masa elektronu.

Modele budowy atomu Thomsona i Rutherforda

Opierając się na wynikach doświadczeń polegających na odchylaniu na-

ładowanych cząstek w polu magnetycznym, Thomson zaproponował

model budowy atomu oparty na następujących załoŜeniach:

Masa i ładunek dodatni są rozłoŜone równomiernie w całej ob-jętości atomu, tworząc „chmurę” ładunku dodatniego. Elektrony znajdują się wewnątrz tej „chmury” ładunku dodat-niego i równieŜ są rozmieszczone równomiernie.

Model ten, nazywany równieŜ Ŝartobliwie modelem „rodzynek w cie-ście” dobrze wyjaśniał obojętność elektryczną atomu. Taki model mate-

rii zbudowanej z „kulek” o róŜnej gęstości i promieniu, odpowiadają-cych róŜnym pierwiastkom był stosunkowo prosty i obrazowy i z tych

względów zyskał początkowo duŜą popularność.

ROZDZIAŁ 19

Strona 146146146146

Rysunek 19.1. Schematyczne przedstawienie modeli budowy atomu: Thomsona (z lewej) i Rutherforda (z prawej)

Nowych wskazówek dotyczących budowy atomu dostarczył ekspery-

ment przeprowadzony przez współpracowników Rutherforda – Geigera

i Marsdena. W eksperymencie tym w kierunku cienkiej złotej folii kiero-

wano wiązkę cięŜkich cząstek, naładowanych dodatnio. Były to zjoni-

zowane (pozbawione elektronów) jądra helu He2+

, określane równieŜ mianem cząstek α. Cząstki takie mają w przybliŜeniu 4 razy większą masę, niŜ zjonizowany atom wodoru H

+ i dwa razy większy ładunek.

Okazało się, Ŝe w eksperymencie tym zarejestrowano nie tylko cząstki

α, które przeszły przez złotą folię, lub nieznacznie zmieniły tor lotu, ale

równieŜ cząstki rozproszone na folii w róŜnych kierunkach, w tym

cząstki „powracające” w kierunku źródła. Okazało się równieŜ, Ŝe część cząstek α przelatuje przez złotą folię nie doznając Ŝadnego oddziaływa-

nia z atomami złota Wynik taki stał w wyraźnej sprzeczności z modelem

Thomsona „rodzynek w cieście”. Wedle tego modelu bowiem tak rów-

nomiernie rozłoŜona w przestrzeni chmura ładunku dodatniego, zobojęt-niona przez znajdujące się wewnątrz elektrony, nie mogłaby wywrzeć na

cięŜkie cząstki dodatnie dostatecznego oddziaływania, Ŝeby zmienić kie-

runek ich lotu na przeciwny – naleŜałoby się raczej spodziewać stopnio-

wego wytracania energii przez cząstki α poruszające się w materii. Od-

bicie wsteczne wskazywało tymczasem na zderzenie cząstek α z nie-

wielkim, ale masywnym obiektem o ładunku dodatnim. Na podstawie

wykonanych pomiarów Rutherford oszacował rozmiar tego masywnego

obiektu, który został nazwany jądrem atomowym. Okazało się, Ŝe roz-

miar ten jest około 105 razy mniejszy niŜ rozmiar całego atomu. A wiec

atomy są w istocie bardzo „puste” – odległość pomiędzy elektronami,

tworzącymi „powłokę” atomu a jego jądrem jest wielokrotnie większa

niŜ rozmiar samego jądra.

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 147147147147

Model atomu wynikający z doświadczeń Rutherforda, nazywany rów-

nieŜ modelem planetarnym, moŜemy opisać następująco:

Większość masy atomu i jego ładunek dodatni skupione są w jądrze atomowym. Elektrony krąŜą dookoła jądra na orbitach kołowych, przycią-gane siłami elektrostatycznymi. Promień atomu jest związany z promieniem orbit elektrono-wych. Rozmiar jądra jest pięć rzędów wielkości mniejszy niŜ rozmiar atomu.

PowyŜszy model Rutherforda budowy atomu w poprawny sposób

wyjaśniał obojętność elektryczną atomów oraz poprawnie określał

rozmiar jądra atomowego (rzędu 10–15

m) oraz powłok elektronowych

(rzędu 10–10 m).

Podstawowym problemem modelu Rutherforda była kwestia stabilności

atomów. JeŜeli bowiem elektrony poruszają się po kołowych orbitach

wokół jądra atomowego, pod wpływem oddziaływania elektrostatycz-

nego, doznają wówczas przyspieszenia dośrodkowego. Ale, jak juŜ wie-

lokrotnie wspominaliśmy zgodnie klasyczną fizyką falową, ładunek

(elektron) poruszający się z przyspieszeniem staje się źródłem fal elek-

tromagnetycznych. W ten sposób elektron na orbicie elektronowej powi-

nien tracić energię, poruszać się coraz wolniej po orbicie o coraz mniej-

szym promieniu (po spirali) aŜ wreszcie spaść na jądro atomowe. Czyli

otaczająca nas materia powinna być niestabilna. Ponadto podczas ta-

kiego ruchu po spirali płynnie zmieniać się powinna prędkość elektronu

oraz przyspieszenie dośrodkowe, jakiego doznaje elektron. W konse-

kwencji w sposób ciągły zmieniać się powinna długość emitowanego

promieniowania - atomy powinny mieć ciągłe widmo promieniowania.

Tymczasem w eksperymentach przeprowadzonych dla rozgrzanych ga-

zów (moŜna przyjąć, Ŝe mamy do czynienia z emisją przez pojedyncze

atomy lub cząsteczki) rejestrowane były tylko dyskretne wartości długo-

ści emitowanego promieniowania. Otrzymane widma składają się z tak

zwanych linii charakterystycznych – kaŜda linia odpowiada promienio-

waniu o określonej długości. Na podstawie tych wyników moŜna wnio-

skować, Ŝe elektrony w atomie nie mogą przyjmować dowolnych energii

a takŜe, Ŝe promień orbity, na której się on porusza, moŜe przyjmować jedynie pewne wyróŜnione wartości.

ROZDZIAŁ 19

Strona 148148148148

Widma atomowe

Okazuje się, Ŝe układ linii w widmie promieniowania jest inny dla róŜ-nych gazów i w ogólności jest charakterystyczny dla danego pierwiastka.

Najprostsze widmo promieniowania obserwuje się dla atomu wodoru.

Badania układu linii emisyjnych wodoru, przeprowadzone przez Bal-

mera, a zanalizowane przez Rydberga wykazały, Ŝe połoŜenie linii wid-

mowych widocznych w zakresie światła widzialnego emitowanych przez

wzbudzony atom wodoru, moŜna opisać wzorem:

... 5, 4, 3, 1

2

1R

122H =

−= nnλ

(19.3),

gdzie n jest liczbą całkowitą większą od 2, zaś 1-m101.0972R 7H ⋅=

jest stałą Rydberga. Późniejsze badania widma promieniowania wodoru

w zakresie ultrafioletu oraz podczerwieni ujawniły istnienie kolejnych

serii linii emisyjnych. Wszystkie serie wodoru mogą być opisane za po-

mocą ogólnego wzoru:

... 3 2, 1, R H =>

−= mmn

nm,

22

111

λ (19.4)

Serie widmowe badane przez Balmera z zakresu światła widzialnego od-

powiadają zatem wartości m = 2.

Model Bohra atomu wodoru

Postulaty modelu Bohra

Rozwiązanie problemów modelu Rutherforda, związanych ze stabilno-

ścią oraz widmem promieniowania, zostało zaproponowane przez Bohra,

który przedstawił trzy postulaty:

• Elektron porusza się po orbicie kołowej dookoła jądra, przy-

trzymywany siłą oddziaływania elektrostatycznego. Energia

elektronu znajdującego się na orbicie jest stała – atom nie

emituje promieniowania

• W atomie dozwolone są tylko takie orbity, dla których orbi-

talny moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielo-

krotności stałej Plancka podzielonej przez 2π:

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 149149149149

Kh 3,2,12

h=== ndlannL

π (19.5)

• Emisja lub absorpcja promieniowania następuje wtedy,

kiedy elektron przeskakuje z jednej dozwolonej orbity na

drugą. Częstotliwość wyemitowanego (pochłoniętego) pro-

mieniowania zaleŜy od róŜnicy energii elektronu między

obiema orbitami:

νh∆ =−= pk EEE (19.6)

Warto zaznaczyć, Ŝe model Bohra nie wyjaśniał przyczyn fizycznych,

dla których podane postulaty są słuszne. Zostały one tak dobrane, aby

uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Model Bohra zakłada

natomiast skwantowanie energii i w ten sposób nawiązuje do teorii

Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego.

Uwzględniając postulaty Bohra obliczmy energię elektronu poruszają-cego się z prędkością v po stabilnej orbicie o promieniu rn. Siłą dośrod-

kową w tym ruchu jest siła oddziaływania elektrostatycznego elektronu

z jądrem atomowym (protonem o ładunku +e):

2

0

22

4 nn

e

Coulombadosrodkowa

r

e

r

m

FF

πε=

=

v (19.7),

gdzie e jest ładunkiem elementarnym, zaś me masą elektronu. MoŜemy

równieŜ wyznaczyć orbitalny moment pędu elektronu i wówczas drugi

postulat Bohra moŜna zapisać w postaci:

π2

hnrmL nnen == v (19.8)

Równania 19.7 i 19.8 stanowią układ równań, z którego moŜna wyzna-

czyć prędkość vn oraz promień orbity elektronu r

n:

2

22

emnr

en

h04πε= (19.9)

n

en

h04πε

2

=v (19.10)

ROZDZIAŁ 19

Strona 150150150150

W powyŜszych wzorach zastosowaliśmy często uŜywany w fizyce

kwantowej symbol h („h kreślone”), który oznacza stałą Plancka dzie-

loną przez 2π ( π2h=h ). Promień pierwszej orbity atomu wodoru na-

zywamy promieniem Bohra:

o

0 A4

52902

2

0 .==em

ae

hπε (19.11)

Całkowita energia elektronu na n-tej orbicie jest sumą jego energii ki-

netycznej oraz potencjalnej oddziaływania elektrostatycznego:

( ) ( ) ( )n

epk r

emnEnEnE

0πε42

2n

2v

−=+= (19.11)

Po podstawieniu do 19.11 zaleŜności 19.9 oraz 19.10 otrzymujemy wy-

raŜenie na energię całkowitą:

( )( ) 2222

4 eV 13.61

24 nn

emnE e −=−=

h0πε (19.12)

Rysunek 19.2. Schemat poziomów energetycznych i serii widmowych atomu wodoru

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 151151151151

Energia elektronu znajdującego się w stanie podstawowym w atomie

wodoru wynosi E0 = -13.6 eV. Energia elektronów znajdujących się na

wyŜszych poziomach rośnie (jest mniej ujemna) i dla ∞=n energia ta

wynosi E(∞) = 0 – elektron jest swobodny. Oderwanie elektronu z atomu

wodoru (jonizacja) oznacza więc dostarczenie energii niezbędnej do

przeniesienia elektronu z orbity podstawowej, n = 0, na ∞=n a więc

energii 13.6 eV. Wartość taka jest zgodna z eksperymentalnie wyzna-

czoną energią jonizacji atomu wodoru.

Zgodnie z trzecim postulatem Bohra podczas przejścia elektronu z orbity

n na orbitę m emitowane jest promieniowanie elektromagnetyczne o czę-stotliwości:

hm n

mn EE −=ν

(19.13),

gdzie En i E

m oznaczają energie elektronu na orbicie odpowiednio n i m.

Podstawiając za energie En i E

m wzór 19.12 oraz dzieląc wyraŜenie 19.13

przez prędkość światła c, po przekształceniach otrzymujemy:

−

=

223

4211

44

11

mnc

eme

hππελ 0

(19.14)

PowyŜsza zaleŜność wyprowadzona z modelu Bohra ma postać analo-

giczną do wzoru 19.4 uzyskanego na podstawie danych eksperymental-

nych. Co więcej stałe proporcjonalności występujące w tym wzorze dają wartość zbliŜoną do eksperymentalnie wyznaczonej stałej Rydberga R

H.

Na podstawie modelu Bohra moŜemy więc teraz wyjaśnić, Ŝe serie wid-

mowe atomu wodoru są wynikiem przeskoków elektronów między róŜ-nymi poziomami energetycznymi (Rysunek 19.2). NaleŜy przy tym za-

znaczyć, Ŝe model Bohra pozwala uzyskiwać wyniki w pełni zgodne

z wynikami doświadczalnymi tylko dla atomu wodoru. Wyniki zbliŜone

do eksperymentalnych otrzymujemy jeszcze dla litu, sodu i potasu, które

z tego względu nazywane są wodoropodobnymi, a dla pozostałych pier-

wiastków wyniki znacząco się róŜnią. O przyczynach takich rozbieŜno-

ści opowiemy szerzej w dalszej części skryptu.

Doświadczenie Franka-Hertza

Zgodnie z modelem Bohra mechanizm emisji i absorpcji promieniowa-

nia elektromagnetycznego przez atomy jest taki sam. Proces absorpcji

ROZDZIAŁ 19

Strona 152152152152

moŜe zachodzić efektywnie tylko wtedy, kiedy energia padającego fo-

tonu jest taka sama jak róŜnica energii odpowiadających orbitom elek-

tronowym. W eksperymencie Franka-Hertza elektrony lampy próŜniowej

zawierającej opary rtęci przyspieszane są między katodą a anodą zada-

nym napięciem. Przy zwiększaniu wartości napięcia przyspieszającego

obserwuje się szybki wzrost natęŜenia prądu płynącego przez lampę, ale

po przekroczeniu pewnej wartości napięcia obserwuje się gwałtowny

spadek natęŜenia prądu na anodzie. Przy dalszym zwiększaniu napięcia

obserwujemy kolejne maksima i minima natęŜenia prądu, jak pokazano

na Rysunku 19.3.

Rysunek 19.3. Schemat układu pomiarowego i wyników doświadczenia Franka-Hertza

Wzrost napięcia między elektrodami lampy próŜniowej powoduje wzrost

energii elektronów i statystycznie coraz ich więcej dociera do anody

w jednostce czasu – wzrost natęŜenia prądu. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe ponie-

waŜ w lampie znajdują się równieŜ pary rtęci, to elektrony lampy zde-

rzają się spręŜyście z elektronami atomów rtęci. Jak wynika z ekspery-

mentu dla pewnych wartości energii elektronów z lampy (napięcia lam-

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 153153153153

py) zderzenia te przestają być spręŜyste i elektrony lampy przekazują swoja energię elektronom atomów rtęci, w wyniku czego elektrony te

przeskakują na wyŜszy poziom energetyczny. W efekcie dla takiego na-

pięcia na lampie natęŜenie prądu na anodzie gwałtownie maleje, jak po-

kazano na Rysunku 19.2.

Widmo charakterystyczne promieniowania rentgenowskiego

W rozdziale 18.2 rozwaŜaliśmy przyczyny istnienia krótkofalowej gra-

nicy widma promieniowania rentge-nowskiego. Mówiliśmy wówczas, Ŝe

widmo to, oprócz widma ciągłego powstałego w wyniku hamowania

wiązki elektronów w tarczy lampy, posiada równieŜ tak zwaną składową charakterystyczną. Są to wąskie i silne maksima natęŜenia promieniowa-

nia. Okazuje się, Ŝe połoŜenie i natęŜenia tych maksimów zaleŜy od ma-

teriału, z którego wykonana jest tarcza. W wyniku oddziaływania elek-

tronów lampy rentgenowskiej, rozpędzonych duŜą róŜnicą potencjałów

(o duŜej energii), z metaliczną tarczą atomy tarczy ulegają wzbudzeniu.

Powrót tych atomów do stanu podstawowego (przeskok elektronów na

niŜsze orbity) wiąŜe się z emisją kwantów promieniowania o określonej

długości. W przypadku widma emisyjnego wodoru mieliśmy do czynie-

nia z promieniowaniem z zakresu światła widzialnego a takŜe podczer-

wieni i ultrafioletu. W omawianym przypadku promieniowanie emito-

wane przez lampę rentgenowską charakteryzuje się mniejszą długością, ale mechanizm jego powstawania jest identyczny. Długość emitowanego

promieniowania zaleŜy od struktury poziomów elektronowych w mate-

riale, jest więc cechą charakterystyczną kaŜdego materiału i dlatego

promieniowanie to nazywane jest promieniowaniem charakterystycz-

nym.

W dalszej części tego rozdziału skupimy się na budowie i właściwo-

ściach jądra atomowego.

19.2. Jądro atomowe

Proton i neutron

Wiemy juŜ, Ŝe zjonizowany atom wodoru H+ (jądro wodoru) ma ładunek

dodatni identyczny, co do wartości, z ładunkiem elektronu. ZałóŜmy, Ŝe

jądro wodoru odpowiada pewnej cząstce – nazwiemy ją protonem.

ROZDZIAŁ 19

Strona 154154154154

Masa spoczynkowa protonu wynosi kg101.6726 27p

−⋅=m . Masa

atomu kolejnego pierwiastka, helu, jest około czterokrotnie większa niŜ masa atomu wodoru. Jonizując atom helu odrywamy od niego dwa elek-

trony, otrzymując jon o ładunku +2e (He2+

). Zatem, jeśli nośnikiem ła-

dunku dodatniego jest proton, to jądro helu zawiera dwa protony. Czte-

rokrotnie większa masa wskazuje jednak na obecność w jądrze równieŜ innych masywnych cząstek, pozbawionych ładunku elektrycznego.

Obecność takich cząstek jest równieŜ niezbędna z innego powodu – po-

między dwoma ładunkami dodatnimi (protonami), skupionymi na nie-

wielkim obszarze jądra istnieją silne elektrostatyczne oddziaływania od-

pychające. Obecność neutralnych cząstek zwiększa efektywną odległość między protonami a więc mniejsza siłę oddziaływania kulombowskiego.

Cząstki neutralne występujące w jądrze atomowym nazywamy neutro-nami. Masa neutronu jest nieco większa niŜ protonu i wynosi

kg101.6749 27n

−⋅=m . Pomiędzy neutronami a protonami występuje

tzw. oddziaływanie silne – o duŜej sile, ale krótkim zasięgu.

Izotopy

Nazwa i właściwości chemiczne danego pierwiastka związane są z ilo-

ścią protonów występujących w jądrze atomowym. Ilość protonów na-

zywamy liczbą atomową Z. Porządkując pierwiastki według liczby

atomowej otrzymujemy szereg pierwiastków – szereg taki był podstawą do stworzenia układu okresowego. Masa danego atomu zaleŜy zarówno

od ilości protonów, jak i neutronów – łączną ilość cząstek budujących

jądro (nukleonów) nazywamy liczbą masową A. Jak przekonamy się w

dalszej części rozdziału, rzeczywista masa jądra danego pierwiastka nie

jest prostą sumą mas nukleonów, ale zaleŜy równieŜ od sił wiąŜących ją-dro. Znając liczbę atomową i masową, moŜna obliczyć liczbę neutronów

N w jądrze:

ZAN −= (19.15)

Jądra danego pierwiastka mogą posiadać róŜną liczbę neutronów – mogą zatem róŜnić się liczbą masową.

Jądra o jednakowej liczbie protonów, zawierające róŜną liczbę neutronów nazywamy izotopami.

Jądra atomowe oznacza się symbolem pierwiastka chemicznego z liczbą masową w indeksie górnym po lewej stronie tego symbolu. Na przykład

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 155155155155

zapis 12

C oznacza izotop węgla zawierający 12 nukleonów, a więc 6

protonów i 6 neutronów. Zapis 14

C oznacza izotop węgla zawierający 6

protonów i 8 neutronów.

Stabilność izotopów

Liczba neutronów w jądrze nie przybiera dowolnych wartości. Jeśli neu-

tronów jest za mało, jądro moŜe być nietrwałe ze względu na silne odpy-

chanie elektrostatyczne pomiędzy protonami. O takim jądrze mówimy,

Ŝe jest niestabilne. Podobnie, jeśli neutronów w jądrze jest zbyt duŜo, ją-dro znajduje się w stanie o wysokiej energii i dąŜy do osiągnięcia stanu

o niŜszej energii. RównieŜ w tym przypadku moŜe nastąpić rozpad jądra.

Jak przekonamy się w dalszej części rozdziału, rozpad ma charakter sta-

tystyczny – nie moŜemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane ją-dro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu moŜemy okre-

ślić średni czas Ŝycia takiego jądra.

Niestabilne izotopy róŜnią się od siebie czasem Ŝycia. Izotopy krótkoŜy-

ciowe, dla których rozpad następuje po czasie rzędu sekundy lub krót-

szym, nie są obserwowane w przyrodzie i reprezentują mało stabilne

konfiguracje nukleonów. Izotopy te mogą być jednak otrzymywane

w warunkach laboratoryjnych. Dla innych izotopów o bardziej stabilnej

konfiguracji nukleonów rozpad następuje średnio po czasie rzędu mie-

sięcy, lat lub nawet setek tysięcy lat. Izotopy tego typu moŜemy obser-

wować w przyrodzie.

Na podstawie pomiarów czasu Ŝycia izotopów moŜemy stworzyć tak

zwaną mapę nuklidów, gdzie, zwyczajowo, na osi x odznacza się liczbę neutronów N, a na osi y liczbę atomową Z. Stabilne izotopy (nie ulegają rozpadowi) obserwujemy dla wszystkich atomów lŜejszych od ołowiu.

Dla stabilnych izotopów pierwiastków lekkich liczba neutronów jest

zbliŜona do liczby protonów a dla stabilnych izotopów pierwiastków

cięŜszych liczba neutronów budujących jądro jest większa niŜ liczba

protonów. W przypadku cięŜkich pierwiastków, dla których nie istnieją w przyrodzie stabilne izotopy i znamy jedynie krótkoŜyciowe jądra

wytworzone laboratoryjnie, moŜemy jedynie wyróŜnić obszary o więk-

szej stabilności, tzw. wyspy stabilności.

Energia wiązania

Masa jądra danego atomu jest nieco mniejsza od sumy mas nukleonów

wchodzących w skład jądra. Aby zrozumieć przyczynę takiego zjawiska,

ROZDZIAŁ 19

Strona 156156156156

warto wrócić do rozwaŜań przedstawionych w rozdziale poświęconym

teorii względności. Wiemy, Ŝe masa moŜe być przekształcona w energię zgodnie ze znanym wzorem Einsteina:

2cmE = (19.16)

Energia wiązania nukleonów, wynikająca z oddziaływania silnego występującego między nimi, powoduje wytworzenie defektu masy jądra. Całkowitą energię wiązania jądra moŜemy obliczyć, odejmując energię odpowiadającą sumie mas nukle-onów m od energii odpowiadającej masie całego atomu M:

22

iW cMcmEi

−=∑ (19.17)

W praktyce wygodniej jest posługiwać się energią wiązania jądra przy-

padającą na jeden nukleon:

A

EE W

WN = (19.18)

Rysunek 19.4. Schematyczny wykres energii wiązania w funkcji liczby masowej

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 157157157157

Energia wiązania nukleonu dla róŜnych pierwiastków przybiera róŜne

wartości. Na wykresie energii wiązania w funkcji liczby masowej A (Ry-

sunek 19.4) widzimy, Ŝe najmniejszą wartość przyjmuje ona dla izotopu

wodoru 2H, i generalnie wzrasta wraz ze wzrostem liczby masowej dla

pierwiastków lekkich. Energia wiązania nukleonu osiąga maksimum dla

Ŝelaza Fe i niklu Ni. Dla jąder cięŜszych obserwuje się spadek energii

wiązania w przeliczeniu na nukleon. Oznacza to, Ŝe jeśli cięŜkie jądro

ulegnie rozszczepieniu na mniejsze fragmenty, w procesie tym będzie

wydzielać się energia. Zjawisko to wykorzystuje się w elektrowniach ją-drowych, których zasadę działania omówimy szczegółowo w dalszej

części rozdziału. Energia wydzieli się równieŜ w procesie syntezy (łą-czenia) lekkich pierwiastków, prowadzącym do powstania cięŜszego ją-dra.

Jednostka energii - elektronowolt

Jednostką wygodną do opisu energii wiązania nukleonów i energii prze-

mian jądrowych, które będziemy omawiać w kolejnym rozdziale jest

elektronowolt. Jeden elektronowolt – 1eV – jest równy energii, jaką ła-

dunek elementarny uzyskałby w polu elektrycznym pokonując róŜnicę potencjałów 1V.

J101.61eV 19−⋅≅ (19.19)

Dla większości jąder energia wiązania nukleonu zawiera się pomiędzy 5

a 10 MeV.

19.3. Promieniotwórczość

Rozpad cięŜkich jąder odbywa się samorzutnie i ma charakter staty-styczny – nie moŜemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane ją-dro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu moŜemy okre-

ślić średni czas Ŝycia takiego jądra. Prawdopodobieństwo rozpadu jest

cechą charakterystyczną danego izotopu. Aktywność promieniotwór-

cza R próbki określa liczbę rozpadów następujących w ciągu sekundy

tN dd i zaleŜy od liczby jąder N jakie mogą ulec rozpadowi oraz sta-

łej rozpadu promieniotwórczego λλλλ. Aktywność R wyraŜa się w beke-

relach [Bq] (1Bq = 1 rozpad na sekundę).

ROZDZIAŁ 19

Strona 158158158158

t

NNR

d

d−== λ (19.20)

Rozwiązując powyŜsze równanie róŜniczkowe otrzymujemy funkcję wykładniczą opisującą średnią liczbę jąder N, jakie po czasie t nie uległy

jeszcze rozpadowi (jąder promieniotwórczych):

( ) tNtN λ−= e 0 (19.21),

gdzie N0 oznacza początkową liczbę jąder promieniotwórczych. Zakła-

damy przy tym, Ŝe jądra, które uległy juŜ rozpadowi są stabilne (nie ma

wtórnych procesów rozpadu). Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe ilość re-

jestrowanych początkowo rozpadów jest stosunkowo duŜa i stopniowo

maleje, gdyŜ w próbce pozostawać będzie coraz mniej jąder, które wciąŜ mogą ulec rozpadowi (Rysunek 19.5).

NaleŜy podkreślić jeszcze raz, Ŝe zjawisko rozpadu promieniotwórczego

ma charakter statystyczny. PowyŜsza zaleŜność nie podaje więc dokład-

nej liczby a jedynie określa średnią liczbę jąder, które nie uległy jeszcze

rozpadowi.

Rysunek 19.5. Wykres zaleŜności liczby jąder promieniotwórczych od czasu

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 159159159159

W fizyce jądrowej tempo rozpadu promieniotwórczego wyraŜa się często

za pomocą tzw. czasu połowicznego zaniku. Czas połowicznego zaniku

t1/2

jest to czas, po którym liczba jąder N (a takŜe aktywność próbki R )

maleje do połowy wartości początkowej, jak zaznaczono na Rysunku

19.5. Na podstawie zaleŜności 19.21 czas połowicznego rozpadu t1/2

wy-

nosi:

ln2ln2

21 τλ

==t (19.22),

gdzie λτ 1= oznacza średni czas Ŝycia jądra ττττ. Liczbę jąder promie-

niotwórczych moŜemy równieŜ wyrazić za pomocą średniego czasu Ŝy-

cia τ :

( ) τ

t

eNtN−

= 0 (19.23).

Przykład

Czas połowicznego rozpadu jądra pewnego pierwiastka wynosi 1 dzień. Ile razy zmieni się aktywność preparatu zawierającego ten pierwiastek

po czterech dniach?

Po pierwszym dniu połowa jąder ulegnie rozpadowi – zatem aktywność próbki spadnie do połowy pierwotnej wartości. W drugim dniu ulegnie

rozpadowi połowa z pozostałych jąder, czyli 1/4 początkowej liczby ją-der. Po trzech dniach rozpadnie się 1/8 jąder, a po czterech – 1/16. Zatem

aktywność próbki spadnie w tym czasie 16 razy.

Taki sam wynik otrzymamy korzystając ze wzoru 19.23:

( )16

10

1

ln24

00 NeNeNtNt

===−−

τ (19.24)

Zastosowania

Datowanie metodą izotopową

W wielu przypadkach obecność izotopów promieniotwórczych w próbce

moŜemy wykorzystać do wyznaczenia jej wieku. Przykładem jest dato-

wanie metodą węgla radioaktywnego 14C. Izotop ten powstaje w górnych

warstwach atmosfery, a jego zawartość w atmosferze utrzymuje się na

ROZDZIAŁ 19

Strona 160160160160

stałym poziomie. śywe organizmy, rośliny i zwierzęta, wymieniają wę-giel z otoczeniem w ten sposób równieŜ utrzymując stałą zawartość wę-gla

14C w ich tkankach. Po śmierci organizmu wymiana węgla ustaje

a zawartość izotopu 14C zmniejsza się wykładniczo zgodnie z prawem

rozpadu. Analizując udział procentowy węgla 14C w stosunku do pozo-

stałych izotopów węgla w badanej próbce oraz wiedząc, Ŝe czas poło-

wicznego rozpadu wynosi 5730 lat, moŜna wyznaczyć przybliŜony wiek

obiektu. Metodę tę moŜna wykorzystywać m.in. do datowania materia-

łów organicznych takich jak drewno, kości czy tkaniny.

Znaczniki radioaktywne

Izotopy radioaktywne o niewielkiej, ale moŜliwej do zmierzenia aktyw-

ności mogą być równieŜ wykorzystywane jako znaczniki radioak-tywne. Właściwości fizyczne i chemiczne izotopów radioaktywnych nie

róŜnią się zwykle w zdecydowany sposób od właściwości atomów sta-

bilnych – np. wchodzą w identyczne reakcje chemiczne. Z tego względu

moŜemy wykorzystywać je do badania obiegu danego pierwiastka

w złoŜonych układach, a takŜe organizmach Ŝywych. Metoda taka, przy

odpowiednim doborze rodzaju i zawartości izotopów promieniotwór-

czych nie niesie zagroŜenia dla badanego obiektu i moŜe być takŜe sto-

sowana w badaniach ludzi (np. izotopu 11

C w badaniach aktywności

ludzkiego mózgu).

19.4. Rozpady promieniotwórcze

W poprzednim rozdziale opisaliśmy statystyczny charakter rozpadów

promieniotwórczych. O samych rozpadach powiedzieliśmy jak dotąd je-

dynie, Ŝe zachodzą samorzutnie, czyli, Ŝe nic nie moŜemy zrobić Ŝeby

taki proces wywołać ani Ŝeby go kontrolować. W tym rozdziale wymie-

nimy róŜne rozpady promieniotwórcze i omówimy ich cechy.

Rozpad αααα

W wyniku rozpadu αααα z jądra emitowana jest cząstka α, zawierająca 4

nukleony – dwa protony i dwa neutrony. PoniewaŜ w wyniku emisji

cząstki α liczba atomowa Z zmniejsza się o 2, więc produktem rozpadu

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 161161161161

jest inny pierwiastek niŜ pierwiastek ulegający rozpadowi. Rozpad α

przebiega według następującego schematu:

α24

4A2Z

AZ YX +→ −

− (19.25)

Jako przykład rozpadu α rozwaŜmy rozpad izotopu uranu 238

U:

α24234

90238

92 ThU +→ (19.26)

W powstałym jądrze toru 234

Th, stosunek liczby neutronów do protonów

wynosi 1.6, co odpowiada bardziej stabilnej konfiguracji nuklidów, niŜ w ulegającym rozpadowi jądrze uranu

238U (stosunek wynosi 1.587).

Warto wspomnieć równieŜ, Ŝe powyŜsza reakcja jest głównym źródłem

gazowego helu na Ziemi. Cząstki α powstałe w wyniku takiego rozpadu

wyłapują następnie elektrony i tworzą atomy helu. Czas połowicznego

rozpadu 238

U jest bardzo długi i wynosi około 4.5⋅109 lat.

Rozpad ββββ

Istnieją dwa rodzaje rozpadów β: β– i β

+.

W wyniku rozpadu ββββ– jeden z neutronów obecnych w jądrze zmienia się

w proton. Liczba atomowa zwiększa się zatem o 1, a więc jądro będące

produktem rozpadu reprezentuje inny pierwiastek niŜ jądro ulegające

rozpadowi. Liczba masowa pozostaje zachowana. Aby ładunek elek-

tryczny był zachowany, z atomu emitowany jest elektron. Powstaje rów-

nieŜ antyneutrino elektronowe ν , które jest cząstką słabo oddziałującą z materią. Ogólne równanie reakcji rozpadu β

– zapisujemy w następu-

jący sposób:

ν++→ −+ eYX 01

A1Z

AZ (19.27)

Przykładem rozpadu β– jest rozpad izotopu cezu 137Cs, w wyniku którego

powstaje izotop baru 137Ba.

ν++→ − eBaCs 01

13756

13755 (19.28)

Rozpady tego typu najczęściej obserwujemy dla izotopów posiadających

nadmiar neutronów w stosunku do najbardziej stabilnej konfiguracji.

ROZDZIAŁ 19

Strona 162162162162

W wyniku rozpadu ββββ+ jeden z protonów zmienia się w neutron. Z atomu

emitowany jest pozyton – cząstka o właściwościach podobnych do elek-

tronu, ale obdarzona ładunkiem dodatnim. Dodatkowo dochodzi do emi-

sji neutrina elektronowego. PoniewaŜ liczba protonów ulega zmniejsze-

niu, równieŜ i w tym rozpadzie jądro będące produktem rozpadu odpo-

wiada innemu pierwiastkowi niŜ jądro przed rozpadem. Liczba masowa

zostaje zachowana:

ν++→ +− eYX 01

A1Z

AZ (19.29)

Przykładem rozpadu β+ jest rozpad izotopu sodu

22Na, w wyniku którego

powstaje jądro neonu 22Ne:

ν++→ + eNeNa 01

2210

2211 (19.30)

Równania 19.25, 19.27 i 19.29 pokazują jak zmienią się, liczby atomowa

i masowa jądra atomowego w zaleŜności od typu rozpadu promienio-

twórczego. ZaleŜności te nazywane są regułami przesunięć Soddyego

i Fayansa. Warto podkreślić, Ŝe Kazimierz Fajans był fizykiem jądro-

wym polskiego pochodzenia.

Przemiana γγγγ

Jądro atomowe moŜe równieŜ przejść do stanu o niŜszej energii w wy-

niku emisji fotonu, czyli kwantu γ promieniowania elektromagnetycz-

nego. Równanie takiej przemiany γγγγ moŜemy zapisać w następujący spo-

sób:

γ+→ XX AZ

*AZ (19.31),

gdzie znaczek ∗ oznacza jądro w stanie o wyŜszej energii (w stanie

wzbudzonym). Wyemitowany foton γ charakteryzuje się zwykle wysoką energią. Po wyemitowaniu takiego kwantu promieniowania jądro moŜe

przejść na stan podstawowy lub znaleźć się na niŜszym stanie wzbudzo-

nym. W tym drugim przypadku, przemiana γ moŜe zachodzić kaskadowo

aŜ do momentu przejścia jądra do stanu podstawowego.

Podczas rozpadu β– izotopu kobaltu 60Co powstaje wzbudzone jądro ni-

klu 60

Ni, które przechodzi do stanu podstawowego w wyniku emisji

dwóch fotonów γ, o energiach równych 1.17 MeV oraz 1.33 MeV.

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 163163163163

Inne procesy rozpadu

Poza trzema wymienionymi powyŜej i najczęściej obserwowanymi

w przyrodzie procesami rozpadu promieniotwórczego, moŜe występo-

wać równieŜ emisja neutronu, wychwyt elektronu oraz emisja protonu.

W procesie emisji neutronu zachowywana jest liczba atomowa jądra

a z jądra emitowany jest tylko neutron. Rozpad tego typu następuje np.

dla izotopu 13

Be i 5He, choć w przypadku

5He mamy do czynienia rów-

nieŜ z rozpadem α. Neutrony emitowane są równieŜ w procesie rozsz-

czepienia jąder cięŜkich, które to zjawisko omówimy dokładniej w dal-

szej części tego rozdziału.

Wychwyt elektronu polega na przechwyceniu przez proton z jądra ato-

mowego jednego z elektronów znajdujących się na najniŜszej powłoce

elektronowej. Przemiana ta jest w istocie odwrotna do omówionej wcze-

śniej przemiany β–. W jej wyniku maleje liczba protonów w jądrze

(liczba atomowa), rośnie natomiast liczba neutronów – liczba masowa

pozostaje więc stała. Dochodzi równieŜ do emisji neutrina elektrono-

wego.

Podczas emisji protonu zmniejsza się o 1 liczba atomowa i liczba ma-

sowa jądra. Rozpady tego typu rzadko występują w przyrodzie i obser-

wowane są głównie w przypadku krótkoŜyciowych cięŜkich jąder wy-

twarzanych laboratoryjnie.

Promieniowanie jonizujące

PoniewaŜ cząstki wyemitowane w wyniku omawianych powyŜej rozpa-

dów promieniotwórczych charakteryzują się zwykle wysoką energią od-

działując z materią mogą wybijać elektrony z zewnętrznych powłok

atomowych (jonizować atomy) lub zrywać chemiczne wiązania między-

atomowe. Ze względu na tę zdolność jonizacji materii produkty rozpa-

dów promieniotwórczych nazywać będziemy promieniowaniem jonizu-jącym. Uszkodzenia spowodowane promieniowaniem jonizującym

w przypadku tkanek organizmów Ŝywych mogą być nieodwracalne.

Zwłaszcza zerwanie nici kodu genetycznego DNA, moŜe prowadzić do

powstawania chorych lub zdegenerowanych komórek. Z drugiej jednak

strony promieniowanie jonizujące moŜe być wykorzystane w technice

czy medycynie. Przykładowo proces naświetlania wiązką przenikliwego

promieniowania γ jest wykorzystywany w przemyśle do modyfikacji

ROZDZIAŁ 19

Strona 164164164164

właściwości niektórych polimerów a radioterapia stosowana w leczeniu

nowotworów polega na naświetlaniu zmian nowotworowych za pomocą promieniowania γ, rentgenowskiego albo wiązką elektronów, protonów

czy cząstek α.

Oddziaływanie promieniowania jonizującego z materią

RóŜne rodzaje promieniowania wykazują róŜną przenikliwość i róŜny

stopień oddziaływania z materią.

Promieniowanie αααα jest słabo przenikliwe – droga cząstek tego promie-

niowania w powietrzu jest rzędu centymetrów. Wiązkę cząstek α moŜna

powstrzymać cienką folią lub kartką papieru. Zabezpieczenie się przed

tym promieniowaniem wydaje się być pozornie łatwe, jednakŜe emitery

promieniowania α mogą się łatwo dostać do wnętrza ludzkiego organi-

zmu wraz z wdychanym powietrzem lub pokarmem stanowiąc wówczas

powaŜne zagroŜenie dla zdrowia.

Zasięg promieniowania ββββ w powietrzu jest znacznie większy niŜ pro-

mieniowania α i moŜe dochodzić do kilku metrów. Skuteczną ochroną przed promieniowaniem tego typu moŜe być np. gruba warstwa metalo-

wej blachy. ZagroŜeniem dla organizmów Ŝywych jest nie tylko ze-

wnętrzne oddziaływanie promieniowania β na skórę, które moŜe prowa-

dzić do oparzeń. Szczególnie niebezpieczne w skutkach moŜe być od-

działywanie promieniowania β na układ pokarmowy w wyniku spoŜycia

skaŜonej wody lub pokarmu.

Najbardziej przenikliwym typem promieniowania jest promieniowanie

γγγγ, do osłabienia którego trzeba stosować materiały o duŜej gęstości (np.

ołów). Jednak nawet grube osłony z ołowiu nie gwarantują całkowitego

zatrzymania promieniowania γ. Ze względu na duŜą przenikliwość pro-

mieniowanie tego typu moŜe docierać bezpośrednio do wnętrza tkanek.

Aby ilościowo opisać wpływ promieniowania jonizującego na Ŝywy or-

ganizm, wprowadza się pojęcie dawki pochłoniętej DT. Określa ona sto-

sunek całkowitej energii promieniowania (wyraŜonej w dŜulach) po-

chłoniętego przez tkankę do masy tej tkanki. Jednostką dawki pochło-

niętej jest grej [ kgJ11Gy = ].

Na stopień uszkodzenia tkanek organizmów Ŝywych ma wpływ nie tylko

energia, ale i rodzaj cząstek promieniowania jonizującego. Masywne

cząstki α powodują ogromne zniszczenia tkanek. Skutki oddziaływania

promieniowania β i γ na Ŝywe tkanki są mniejsze niŜ w przypadku pro-

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 165165165165

mieniowania α. Skutek biologiczny danego rodzaju promieniowania

moŜemy uwzględnić, wymnaŜając dawkę pochłoniętą przez odpowiedni

współczynnik QR przypisany do danego rodzaju promieniowania.

Współczynnik taki dla promieniowania β i γ przyjmuje się za 1, a dla

promieniowania α wynosi on około 20. Sumując skutek biologiczny

wszystkich rodzajów promieniowania oddziaływających na daną tkankę

otrzymujemy równowaŜnik dawki ∑= RTT QDH . Jednostką efek-

tywnego równowaŜnika dawki jest sivert [Sv].

PoniewaŜ róŜne tkanki są w róŜnym stopniu wraŜliwe na promieniowa-

nie, często wprowadza się równieŜ efektywny równowaŜnik dawki. Jego wartość definiuje się na ogół w odniesieniu do całego ciała. Szko-

dliwość promieniowania na ludzki organizm otrzymujemy, mnoŜąc dla

kaŜdej tkanki równowaŜnik dawki przez współczynnik definiujący po-

datność tkanki na uszkodzenia wywołane promieniowaniem, a następnie

sumując wpływ związany z oddziaływaniem na wszystkie tkanki. Naj-

bardziej wraŜliwymi na promieniowanie organami są przewód pokar-

mowy i wewnętrzne narządy rozrodcze. Według obowiązujących w Pol-

sce norm, dla osób naraŜonych zawodowo na oddziaływanie promienio-

wania liczony rocznie efektywny równowaŜnik dawki nie powinien

przekroczyć 50 mSv.

Warto wspomnieć, Ŝe środowisko naturalne nie jest wolne od źródeł

promieniowania – liczony w skali roku efektywny równowaŜnik dawki

od źródeł naturalnych wynosi od 1 do 4 mSv.

19.5. Reakcje jądrowe

Omawiane powyŜej rozpady promieniotwórcze są procesami samorzut-

nymi. Pod wpływem czynników zewnętrznych takich jak krótkozasię-gowe oddziaływanie z innym jądrem lub teŜ z cząstkami elementarnymi

lub fotonami, jądra atomowe mogą podlegać przemianom, które nazy-

wać będziemy reakcjami jądrowymi. W ich wyniku powstają jądra

atomowe innych pierwiastków, innych izotopów tego samego pier-

wiastka lub jądra tego samego izotopu danego pierwiastka w innym sta-

nie energetycznym.

ROZDZIAŁ 19

Strona 161616166666

Rozszczepienie jądra

Reakcje rozpadu, to takie reakcje jądrowe, w wyniku których zmniejsza

się liczba atomowa jądra atomowego. Omawiając zaleŜność energii wią-zania pojedynczego nukleonu od liczby masowej atomów (Rysunek

19.3) wspominaliśmy, Ŝe rozszczepienie masywnego jądra na mniejsze

fragmenty moŜe uwalniać energię. Właśnie ze względu na uwalnianą energię, reakcje rozszczepienia jądra wykorzystywane są w reaktorach

jądrowych i bombach atomowych.

Proces rozszczepienia przedstawimy na przykładzie izotopu uranu 235U.

Proces rozszczepienia jest w tym przypadku inicjowany przez wychwyt

neutronu przez jądro 235U. Aby proces wychwytu mógł zajść, neutron

musi mieć odpowiednio niską energię – tak zwane neutrony szybkie,

o duŜej energii, nie są wychwytywane. W wyniku wychwytu neutronu

powstaje wzbudzone jądro uranu 236U a kulisty (w przybliŜeniu) kształt

jądra ulega deformacjom. Jeśli deformacja jest znaczna, siły odpychania

elektrostatycznego pomiędzy dwoma fragmentami jądra powodują roze-

rwanie go − nazywane równieŜ rozszczepieniem − na dwie zbliŜone

rozmiarami części. Dwa fragmenty jądra uwalniają dodatkowo neutrony

„nadmiarowe” w stosunku do liczby protonów. Średnio w jednym proce-

sie rozszczepienia jądra uranu 236

U uwalniane jest 2.5 neutronów.

Reakcję rozszczepienia uranu 235

U zapisujemy w następujący sposób:

2nSrXeUnU 94140236235 ++→→+ (19.32)

Widzimy, Ŝe powstające fragmenty nie mają równych mas. Reprezentują one nietrwałe izotopy, które podlegają kolejnym procesom rozpadu.

Energia wyzwalana w procesie rozszczepienia kaŜdego jądra uranu 235U

wynosi około 200 MeV.

Reaktor jądrowy

W elektrowniach jądrowych energia uwolniona w reakcji rozszczepienia

jąder uranu 235U zamieniana jest na energię elektryczną. Reakcje rozsz-

czepienia powodują wzrost temperatury wnętrza reaktora (głównie pa-

liwa). Energia cieplna odbierana jest przez chłodzącą reaktor wodę, która

zamienia się w parę wodną i napędza turbiny. Uzyskana w ten sposób

energia mechaniczna turbiny zamieniana jest na energię elektryczną. NaleŜy jednak zauwaŜyć, Ŝe reaktor jądrowy jest jedynie jednym z ele-

mentów niezbędnych do wydajnego i bezpiecznego wykorzystania ener-

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 167167167167

gii jądrowej. W przypadku złoŜonej gałęzi przemysłu, jaką jest energe-

tyka jądrowa, produkcja energii stanowi jedynie niewielki wycinek ca-

łego cyklu obejmującego wydobycie rud pierwiastków promieniotwór-

czych, przetwarzanie ich na paliwo i wzbogacanie go, a następnie prze-

twarzanie i składowanie odpadów.

RozwaŜmy reaktor wykorzystujący omówioną powyŜej reakcję rozsz-

czepienia uranu 235U. Neutrony generowane w wyniku rozszczepienia

uranu 235

U są wychwytywane przez kolejne jądra i proces moŜe zostać powtórzony. PoniewaŜ w wyniku pojedynczego rozszczepienia powstają 2 lub 3 neutrony, proces ten moŜe zachodzić lawinowo (inne określenie

to reakcja łańcuchowa) – pierwsza reakcja rozszczepienia generuje ko-

lejne. W skali całego reaktora utrzymanie stałego tempa reakcji wymaga

równości liczby neutronów otrzymanej w danym „pokoleniu” do otrzy-

manych w „pokoleniu” poprzednim. Stosunek tych dwóch liczb nazy-

wamy współczynnikiem K mnoŜenia reaktora. Stałe tempo reakcji ozna-

cza zatem, Ŝe współczynnik mnoŜenia jest równy 1 – mówimy wówczas,

Ŝe reaktor jest w stanie krytycznym. Utrzymanie stałego tempa reakcji

jądrowej wymaga rozwiązania kilku istotnych problemów, które przed-

stawiono poniŜej.

Wypływ neutronów

Neutrony, które wydostaną się na zewnątrz reaktora nie biorą udziału

w reakcji rozszczepienia paliwa jądrowego. Nadmierny wypływ neutro-

nów moŜe zatem prowadzić do wygaszenia reakcji rozszczepienia.

Liczba neutronów opuszczających reaktor zaleŜy głównie od po-

wierzchni zewnętrznej bloku zawierającego paliwo, a liczba jąder mogą-cych brać udział w reakcji rozszczepienia zaleŜy od objętości tego bloku.

Zatem im większy jest element zawierający paliwo jądrowe, tym ko-

rzystniejszy stosunek objętości do powierzchni i tym łatwiej jest pod-

trzymać reakcję rozszczepienia.

Parametrem pozwalającym na ilościowe określenie progu niezbędnego

do powstania samo-podtrzymującej reakcji jądrowej jest masa kry-tyczna.

Masa krytyczna jest to masa kuli wykonanej z danego izotopu, przy której tyle samo neutronów opuszcza blok, ile jest produ-kowane w wyniku reakcji.

Warto zwrócić uwagę, Ŝe masa krytyczna jest zdefiniowana jedynie dla

kształtu kulistego – dla innych kształtów wartość masy niezbędnej po

potrzymania reakcji będzie większa. Zastosowanie osłon odbijających

neutrony do wnętrza reaktora (reflektora neutronów) moŜe natomiast

ROZDZIAŁ 19

Strona 168168168168

wydatnie zmniejszyć masę paliwa jądrowego niezbędnego do funkcjo-

nowania reaktora. Dla izotopu uranu 235U masa krytyczna wynosi 52 kg.

Dla porównania, dla izotopu plutonu 239

Pu wynosi ona jedynie 10 kg.

Spowalnianie i pochłanianie neutronów

Aby szybkie neutrony powstające w wyniku reakcji rozszczepienia mo-

gły wywołać kolejne reakcje, muszą zostać spowolnione do tzw. neutro-

nów termicznych. Szybkie neutrony moŜna spowolnić poprzez zderzenia

z jądrami lekkich pierwiastków – materiał uŜywany w tym celu w reak-

torze nazywamy moderatorem. Analizując zderzenie neutronu z jądrem

na podstawie klasycznych zasad mechaniki łatwo zauwaŜyć, Ŝe im lŜej-

sze będzie jądro, z którym zderzy się neutron, tym większa będzie strata

energii tego neutronu. Istotne jest przy tym, Ŝeby materiał moderatora

charakteryzował się nie tylko duŜą efektywnością w spowalnianiu neu-

tronów (tzw. duŜy przekrój czynny na rozpraszanie neutronów), ale jed-

nocześnie nie pochłaniał neutronów (tzw. mały przekrój czynny na po-

chłanianie neutronów). Często stosowanymi moderatorami są cięŜka

woda (D2O), grafit i beryl.

W miarę jak kolejne jądra paliwa jądrowego ulegają rozszczepieniu, ich

ilość w pręcie paliwowym systematycznie spada, co zmniejsza tempo re-

akcji jądrowej. Dodatkowo wnętrze pręta paliwowego stopniowo wypeł-

nia się produktami rozpadu uranu 235

U. Często określa się ten proces

jako „zatruwanie” paliwa. NaleŜy ponadto zauwaŜyć, Ŝe izotop 235U sta-

nowi zwykle niewielką część całkowitej zawartości uranu w pręcie pali-

wowym. Inne izotopy, jak 238

U równieŜ mogą wychwytywać i genero-

wać neutrony. Widać zatem, Ŝe tempo przebiegu reakcji jądrowej zaleŜy

od wielu czynników i moŜe znacznie zmieniać się w czasie. Z tego

względu niezbędna jest moŜliwość łatwego i szybkiego kontrolowania

przebiegu reakcji jądrowej poprzez pochłanianie nadmiaru neutronów.

Funkcję taką w reaktorach jądrowych pełnią pręty kontrolne wykonane

z materiałów takich jak kadm, bor, ind oraz srebro. Wsunięcie prętów do

wnętrza reaktora powoduje zmniejszenie liczby neutronów biorących

udział w kolejnym „pokoleniu” procesów rozpadu.

Chłodzenie reaktora

Energia uwalniana podczas procesów rozszczepienia powoduje wzrost

energii wewnętrznej paliwa jądrowego oraz innych elementów reaktora.

Odebranie ciepła z wnętrza reaktora i zamiana go na energię mecha-

niczną jest moŜliwa dzięki odpowiedniemu układowi chłodzenia, na ogół

wodnego. PoniewaŜ woda przechodząc przez komorę reaktora ulega

skaŜeniu promieniotwórczemu (pojawiają się w niej nietrwałe izotopy),

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 169169169169

na ogół stosuje się dwa lub więcej obiegów wodnych, tak aby skaŜona

woda nie miała kontaktu ze środowiskiem zewnętrznym. W popularnych

rozwiązaniach elektrowni typu PWR (ang. Pressure Water Reactor)

woda krąŜąca w zamkniętym obiegu pierwotnym pobiera ciepło z reak-

tora a następnie oddaje je do obiegu wtórnego. W obiegu wtórnym wy-

twarzana jest para wodna pod wysokim ciśnieniem. Para ta rozpręŜając

się obraca turbinę elektrowni generując prąd elektryczny.

Bomba atomowa

Jeśli stosunek liczby neutronów otrzymanej w danym pokoleniu do

liczby otrzymanej w pokoleniu poprzednim jest większy od jedności to

tempo reakcji wzrasta w sposób wykładniczy. Taki stan reaktora określa

się jako nadkrytyczny, a jego konsekwencją moŜe być niekontrolowana

reakcja jądrowa. Wzrost temperatury paliwa jądrowego moŜe doprowa-

dzić do stopienia prętów paliwowych i eksplozji reaktora.

W przypadku bomby atomowej celowo doprowadza się do sytuacji,

w której paliwo jądrowe przechodzi w stan nadkrytyczny. Wewnątrz

bomby znajdują się fragmenty materiału rozszczepialnego, z których

kaŜdy ma masę mniejszą niŜ masa krytyczna obliczona dla danej geo-

metrii. Inicjatorem reakcji jest wybuch konwencjonalnego materiału wy-

buchowego, który łączy fragmenty w całość o masie przekraczającej

masę krytyczną. Tempo reakcji jądrowej narasta na tyle szybko, Ŝe do-

chodzi do rozszczepienia większości dostępnych jąder materiału rozsz-

czepialnego. Energia, która wydziela się w wyniku wybuchu bomby

atomowej moŜe wynosić od 1010 do 1013J.

Reakcje syntezy jądrowej

Dla jąder izotopów pierwiastków lekkich, takich jak wodór, hel lub lit

energia wiązania nukleonu jest znacząco mniejsza, niŜ dla jąder pier-

wiastków ze środkowej części szeregu np. dla Ŝelaza. NaleŜy zatem spo-

dziewać się, Ŝe równieŜ w procesie połączenia, syntezy albo fuzji jąder

pierwiastków lekkich dochodzi do wydzielania się energii.

W istocie, procesy syntezy jądrowej stanowią podstawowe źródło ener-

gii dla gwiazd, w tym Słońca. W gwiazdach o rozmiarach Słońca lub

mniejszych dominuje tak zwany cykl protonowy łączenia wodoru w hel,

który dostarcza około 86% energii Słońca. W cyklu tym z czterech jąder

wodoru powstaje stabilne jądro helu a energia wydzielana w całym cyklu

ROZDZIAŁ 19

Strona 170170170170

reakcji wynosi 26.73 MeV. Cykl ten rozpoczyna się od połączenia

dwóch protonów w jądro deuteru:

ν++→+ + eDHH 01

21

11

11 (19.33)

Energia uzyskiwana w kaŜdej takiej reakcji wynosi 0.42 MeV. Powstałe

w wyniku takiej reakcji pozytony e+ ( e01+ ) mogą ulegać anihilacji z elek-

tronami, w wyniku czego powstają dwa fotony o łącznej energii 1.02

MeV. W następnym etapie cyklu jądro deuteru D21 (reakcja 19.33) łączy

się z kolejnym protonem, w wyniku czego powstaje jądro helu 3He:

γ+→+ HeHD 32

11

21 (19.34)

Energia wydzielana w tym etapie cyklu wodorowego wynosi 5.49 MeV.

Następnie dwa jądra helu 3He łączą się ze sobą, tworząc jądro helu

He42 . W procesie tym powstają równieŜ dwa protony oraz wydzielana

jest energia 12.86 MeV:

HHHeHeHe 1

1

1

1

4

2

3

2

3

2 ++→+ (19.35)

PoniewaŜ pomiędzy jądrami występują znaczące siły odpychania elek-

trostatycznego, do zajścia reakcji syntezy niezbędna jest wysoka tempe-

ratura i ciśnienie. Warunki takie spełnione są we wnętrzu gwiazd, nato-

miast odtworzenie ich na Ziemi jest niezwykle trudne. Warunki

niezbędne do przeprowadzenia kontrolowanej reakcji syntezy jądrowej

uzyskuje się w skali laboratoryjnej w tzw. tokamakach – specjalnych

komorach, w których materia w stanie plazmy o temperaturze rzędu

108 K jest zamknięta w polu magnetycznym. Utrzymanie tak gorącej

plazmy w pułapce magnetycznej z daleka od ścian komory jest jednak

niezwykle kosztowne energetycznie, tak Ŝe tokamaki zuŜywają wielokrotnie więcej energii niŜ produkują.

Energię syntezy jądrowej wykorzystywano natomiast w przeszłości do

celów wojskowych. W tak zwanej bombie termojądrowej do wytworze-

nia warunków niezbędnych do zajścia reakcji syntezy wykorzystywana

jest reakcja rozszczepienia. KaŜda bomba termojądrowa zawiera zatem,

obok izotopów lekkich takich jak deuter, tryt i lit, równieŜ pierwiastki

cięŜkie takie jak uran i pluton. Wybuch bomby jądrowej pełni w tym

przypadku rolę zapalnika dla reakcji syntezy, z której moŜna uzyskać znacznie większą energię (na jeden nukleon) niŜ z reakcji rozszczepienia

FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO

Strona 171171171171

paliwa jądrowego o identycznej masie. Energia uzyskana podczas wybu-

chu bomby termojądrowej moŜe przekraczać 1016

J.

ROZDZIAŁ 19

Strona 172172172172

`

20 Elementy mechaniki kwantowej

W tym rozdziale:

o Właściwości falowe materii o Zasada nieoznaczoności Heisenberga o Funkcja falowa i równanie Schrödingera o Rozwiązania równania Schrödingera o Kwantowy model atomu

ROZDZIAŁ 20

Strona 174174174174

20.1. Właściwości falowe materii

W rozdziale 18 pokazaliśmy, Ŝe na początku XX wieku ówczesna fizyka,

dziś nazywana fizyką klasyczną, nie potrafiła wyjaśnić zjawisk oddzia-

ływania promieniowania elektromagnetycznego z materią – emisji (pro-

mieniowanie ciała doskonale czarnego), absorpcji (zjawisko fotoelek-

tryczne) oraz rozpraszania (efekt Comptona). Wyjaśnienie tych zjawisk

okazało się moŜliwe tylko wtedy, gdy będziemy rozwaŜać promieniowa-

nie elektromagnetyczne jako strumień fotonów. Oznaczało to, Ŝe światło posiada dualną naturę i w procesach rozchodzenia się ujawnia swoją falową, a w procesach oddziaływania korpuskularną naturę.

Fale de Brogliea

W rozdziale 18.3 przedstawiliśmy równieŜ tzw. hipotezę de Brogliea:

Nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne ma dualną na-turę korpuskularno-falową, ale równieŜ obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularno-falową — oprócz właściwości kor-puskularnych posiadają takŜe właściwości falowe. Długość fali, którą moŜemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zaleŜy od pędu tak samo jak w przypadku pro-

mieniowania elektromagnetycznego:p

h=λ .

Właściwości falowe elektronów zostały po raz pierwszy potwierdzone

eksperymentalnie w 1927 roku przez Davissona i Germera. W przepro-

wadzonym przez nich eksperymencie wiązka elektronów padała na

kryształ niklu i ulegała na nim selektywnemu odbiciu. Okazało się, Ŝe

rejestrowane w detektorze natęŜenie elektronów rozproszonych na niklu

zaleŜy od kąta obserwacji. ZaleŜność ta jest analogiczna do niezaleŜnych

wyników dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na tym krysztale.

Wynik eksperymentu moŜe być wyjaśniony wyłącznie jako dyfrakcja fal

związanych z elektronami (dyfrakcja elektronów) na sieci krystalicznej

niklu. Co więcej wyznaczona przez Davissona i Germera długość tych

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 175175175175

fal, na podstawie wzoru Braggów, jest zgodna z długością fali elektronu

przewidzianej przez de Brogliea.

Właściwości falowe cząstek wykorzystuje się np. w mikroskopach elek-

tronowych. Zmieniając pęd elektronów moŜna wpływać na długość fal

de Brogliea elektronów, tak Ŝeby uzyskać długości fali mniejsze niŜ te

z zakresu światła widzialnego. Dzięki temu mikroskopy elektronowe po-

siadają większą rozdzielczość niŜ klasyczne mikroskopy optyczne.

Fale de Brogliea i model Bohra budowy atomu wodoru

Przypomnijmy drugi postulat Bohra, który mówił, Ŝe elektrony mogą się poruszać tylko po takich orbitach, dla których ich orbitalny moment

pędu jest róowny całkowitej wielokrotności π2h :

π2

he nrm =v (20.1)

Zgodnie z hipotezą de Brogilea elektronowi poruszającemu się po takiej

orbicie elektronowej moŜna przypisać długość fali ve

e

h

m=λ . Wów-

czas zaleŜność 20.1 moŜna zapisać w postaci:

e2 λπ nr = (20.2),

gdzie r oznacza promień dozwolonej orbity elektronowej, n jest liczbą całkowitą, zaś λe jest długością fali de Brogliea elektronu.

W atomie wodoru dozwolone są tylko takie orbity, na obwodzie których moŜe się zmieścić całkowita wielokrotność długości fal de Bogliea elektronów.

MoŜemy równieŜ powiedzieć, Ŝe z elektronem znajdującym się na orbi-

cie elektronowej (elektron związany) związana jest fala stojąca. W przy-

padku elektronów swobodnych natomiast, będziemy mieli do czynienia

z falami biegnącymi.

Prawdopodobieństwo i niepewność - zasada nieoznaczoności Heisenberga

W klasycznej mechanice Newtonowskiej cząsteczki traktowaliśmy jako

obiekty punktowe a ich ruch opisywaliśmy podając trzy współrzędne

ROZDZIAŁ 20

Strona 176176176176

przestrzenne połoŜenia oraz trzy składowe wektora prędkości. śeby wy-

znaczyć połoŜenie obiektu w kolejnej chwili czasu niezbędne jest przy

tym wyznaczenie wszystkich tych wielkości dowolnie dokładnie.

W przypadku jednak, gdy zaczynamy rozwaŜać odpowiednio małą skalę pojawiają się podstawowe ograniczenia w precyzji wyznaczenia połoŜe-

nia i prędkości.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej brak moŜliwości przeprowa-

dzenia pomiarów z dowolną dokładnością nie jest wyłącznie wynikiem

nieodpowiedniej dokładności urządzeń pomiarowych a w istocie jest

nieodłączna cechą otaczającego nas świata.

Po pierwsze istnieje interakcja pomiędzy badanym obiektem a bada-

jącym go urządzeniem. Czyli nie jest moŜliwe przeprowadzenie po-

miaru jakiegoś obiektu bez zaburzenia jego ruchu przynajmniej w ma-

łym stopniu. Jako przykład rozwaŜmy piłkę pingpongową poruszającą się w całkowicie ciemnym pomieszczeniu. śeby określić jej połoŜenie

moŜemy spróbować dotknąć jej ręką, ale wówczas niewątpliwie wpły-

niemy na jej ruch – zatrzymamy ją albo odbije się od naszej ręki. Ten

sam efekt wpływania na ruch piłki, choć w znacznie mniejszym stopniu,

wystąpi równieŜ, gdy uŜyjemy światła do oświetlenia piłki i w ten spo-

sób wyznaczymy jej połoŜenie. śeby zauwaŜyć piłkę przynajmniej jeden

foton musi się od niej odbić. Pęd pojedynczego fotonu jest znacznie

mniejszy niŜ pęd piłeczki pingpongowej i podczas tego zderzenia ruch

piłeczki nie ulegnie zmianie. Ale kiedy będziemy badać znacznie mniej-

szy obiekt np. elektron, to wówczas zderzenie z fotonem moŜe wywierać znaczący wpływ na jego ruch.

Drugim czynnikiem wpływającym na dokładność przeprowadzanych

pomiarów jest dualna korpuskularno-falowa natura materii. Rozpa-

trzmy teraz elektron, którego ruch będziemy chcieli zbadać za pomocą fotonów. Zgodnie z rozwaŜaniami przeprowadzonymi w rozdziale 16

(optyka falowa) wiemy, Ŝe nie da się rozróŜnić szczegółów obiektu

mniejszych niŜ długość fali stosowanego promieniowania. W związku

z tym, Ŝeby określić połoŜenie badanego przez nas obiektu (elektronu)

z jak największą dokładnością naleŜy uŜyć promieniowania o jak naj-

mniejszej długości fali. Ale fali o małej długości odpowiadać będzie

duŜa wartość pędu (p = h/λ), która moŜe być przekazana elektronowi

podczas pomiaru. JeŜeli jednak pomiaru dokonamy za pomocą fotonów

o małym pędzie, czyli duŜej długości fali de Brogliea, to wprawdzie ich

oddziaływanie na badany obiekt będzie małe, ale niestety równieŜ poło-

Ŝenie elektronu określone będzie mało precyzyjnie.

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 177177177177

Przedstawione powyŜej rozumowanie pokazuje, Ŝe niepewność określe-

nia połoŜenia (∆x) i pędu (∆px ) obiektu są ze sobą powiązane, co jest

treścią zasady nieoznaczoności Heisenberga:

PołoŜenie i pęd cząstki nie mogą być jednocześnie określone z dowolną dokładnością. Im mniejsza jest niepewność (nieoznaczoność) połoŜenia cząstki tym większa jest nieokreśloność (nieoznaczoność) jej pędu.

2h≥∆∆ xpx (20.3)

Przypomnijmy, Ŝe stosowany w mechanice kwantowej symbol ħ (h kre-

ślone) oznacza stała równą: π2h=h .

W trójwymiarowym przypadku powyŜszą nierówność naleŜy napisać dla

kaŜdej współrzędnej:

2

2

2

h

h

h

≥∆∆

≥∆∆

≥∆∆

z

y

x

pz

py

px

(20.4)

NaleŜy zaznaczyć przy tym, Ŝe zasada nieoznaczoności Heisenberga nie

odnosi się do iloczynów mieszanych np. ypx ∆∆ . Współrzędną x po-

łoŜenia obiektu oraz jego pęd wzdłuŜ osi y moŜemy wyznaczyć jedno-

cześnie z dowolną dokładnością.

Przykład

Rozpatrzmy piłkę o masie m = 150 g poruszającą się z prędkością v = 30 m/s (około 100 km/h). JeŜeli załoŜymy, Ŝe prędkość tę moŜemy

zmierzyć z dokładnością ∆v = 1 m/s, to nieoznaczoność pędu tej piłki

wynosi ∆p = 0.15 kg m/s. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisen-

berga połoŜenia tej piłki nie moŜemy określić z dokładnością większą niŜ:

mJs

smkg

3434

10531502

100612 −

⋅

−

⋅≅⋅

⋅=

∆=∆ .

.

.

px

h

(20.5)

Wyznaczona przez nas wartość jest prawie 20 rzędów wielkości mniej-

sza niŜ rozmiar jądra atomowego. Zasada nieoznaczoności jest spełniona

dla wszystkich ciał, ale jej rozwaŜanie dla obiektów makroskopowych

nie ma sensu.

ROZDZIAŁ 20

Strona 178178178178

Zasada nieoznaczoności Heisenberga odnosi się równieŜ do czasu

i energii:

2h≥∆∆ tE (20.6),

gdzie ∆E oznacza nieoznaczoność wyznaczenia energii cząstki (np.

elektronu na orbicie w atomie), zaś ∆t ma sens czasu Ŝycia cząstki na

danym poziomie energetycznym. JeŜeli zatem rozpatrzymy stan podsta-

wowy elektronu, na którym elektron przebywać będzie nieskończenie

długo,

∞→∆t , to jego energia moŜe być wyznaczona dokładnie

∆E = 0 (ostry poziom energetyczny). Wzbudzone poziomy energetyczne,

które są metastabilne, zgodnie z powyŜszą zaleŜnością ulegają rozmyciu

– energia moŜe być określona z pewną niejednoznacznością.

Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, jeŜeli potraktujemy

elektron (w ogólności materię) jako cząstkę materii, to wtedy nie bę-dziemy mogli jednocześnie jednoznacznie określić jego połoŜenia oraz

pędu. Warto teŜ zaznaczyć, Ŝe w klasycznej mechanice Newtonowskiej

mówimy o determinizmie – jeŜeli znamy warunki początkowe (połoŜe-

nie oraz prędkości) oraz wypadkową siłę działającą na elektron to mo-

Ŝemy jednoznacznie wyznaczyć jakie będą kolejne jego połoŜenia. We-

dle mechaniki kwantowej natomiast istnieją róŜne prawdopodobieństwa,

Ŝe elektron ten dotrze do róŜnych punktów przestrzeni a więc zachowa-

nie elektronu jest nieprzewidywalne. JeŜeli zasady mechaniki kwantowej

zastosujemy do obiektów makroświata, np. dla piłki rzuconej poziomo

w polu grawitacyjnym Ziemi, otrzymamy bardzo duŜe prawdopodobień-stwo, Ŝe będzie się ona poruszała dobrze znanym torem parabolicznym.

Ale według mechaniki kwantowej nie mamy jednak pewności takiego

zachowania – istnieje niezwykle małe, bliskie zera prawdopodobieństwo

odchyleń jej ruchu od toru parabolicznego.

20.2. Funkcja falowa i równanie Schrödingera

Funkcja falowa

Jak pokazaliśmy w poprzednim rozdziale w skali mikroświata wszelkie

pomiary wprowadzają niekontrolowane zakłócenia tak wielkie, Ŝe nie

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 179179179179

jest moŜliwe dokładne określenie stanu układu, tj. wartości połoŜenia

i pędu. Okazuje się, Ŝe wiele właściwości takich małych obiektów moŜe

być wówczas opisane jedynie za pomocą prawdopodobieństwa.

W poprzednich rozdziałach fale mechaniczne np. falę na wodzie opisy-

waliśmy podając wychylenie y (x,t) z połoŜenia równowagi punku

o współrzędnej x w chwili czasu t. Z kolei w przypadku fali elektroma-

gnetycznej wyznaczamy wartość wektora natęŜenia pola elektrycznego

( )txE ,r

w puncie x i w chwili t. W ogólności moglibyśmy powiedzieć, Ŝe do opisu fali niezbędne jest określenie wartości pewnej funkcji falo-

wej Ψ (y dla fali mechanicznej, E dla fali elektromagnetycznej) zaleŜnej

od połoŜenia i czasu: ( )tr ,r

ΨΨ = . W mechanice kwantowej mówimy o

falach – falach materii i do ich opisu stosować będziemy funkcję fa-

lową Ψ. śeby wyjaśnić sens fizyczny takiej zespolonej funkcja falowa Ψ

odnoszącej się do fal materii przypomnijmy sobie kilka informacji na

temat korpuskularnych i falowych właściwości światła. W przypadku

fali elektromagnetycznej jej funkcja falowa, ( )txE ,r

, opisuje rozkład

pola elektrycznego w przestrzeni i w czasie. W rozdziale 15 pokazali-

śmy, Ŝe natęŜenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy

natęŜenia pola elektrycznego 2EI ∝ . Mówiliśmy równieŜ, Ŝe natęŜe-

nie światła jest proporcjonalne do liczby fotonów docierających w jed-

nostce czasu do jednostkowej powierzchni. MoŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe natęŜenie światła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa znale-

zienia fotonu w pobliŜu punktu (detektora).

W przypadku fal materii sama w sobie funkcja falowa Ψ nie ma sensu fi-

zycznego. Sens fizyczny ma natomiast, w analogii do fali elektroma-

gnetycznej, kwadrat jej modułu 2

Ψ .

Kwadrat modułu funkcji falowej oznacza gęstość prawdopodo-bieństwa znalezienia cząstki w określonym miejscu i czasie.

Jest to tak zwana probabilistyczna interpretacja funkcji falowej zapropo-

nowana w 1927 roku przez Maxa Borna. śeby wyznaczyć prawdopodo-

bieństwo P znalezienia w chwili t w objętości V cząstki opisywanej

funkcją falową Ψ, naleŜy gęstość prawdopodobieństwa scałkować po

interesującym nas obszarze V:

( ) ( ) rtrtVPV

32

d∫= ,,r

Ψ (20.7),

ROZDZIAŁ 20

Strona 180180180180

gdzie d3r oznacza całkowanie po trzech wymiarach przestrzeni dx, dy

oraz dz. NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe prawdopodobieństwo znalezienia

cząstki gdziekolwiek jest równe 1 ( ( ) 1d =∫+∞

∞−

rtr 32

,r

Ψ ) co oznacza, Ŝe

funkcja falowa jest unormowana.

Funkcja falowa stanowi pełną informację o stanie układu kwantowego.

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki

kwantowej i pełni podobnie kluczową rolę jak zasady dynamiki Newtona

w mechanice czy równania Maxwella w elektrodynamice. Rozwiąza-

niem tego równania jest funkcja falowa. Jak pokaŜemy później rozwią-zanie równania Schrödingera, a więc wyznaczenie funkcji falowej, po-

zwala nam opisać i zrozumieć właściwości kaŜdego układu kwantowo-

mechanicznego np. atomów, cząstek, elektronów w ciałach stałych.

NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie Schrödingera nie moŜe być wyprowa-

dzone a zostało zapostulowane w 1926 roku przez Erwina Schrödingera

i pełni rolę zasady fizycznej.

Najprostszą formę równania Schrödingera otrzymujemy dla cząstki

o masie m poruszającej się tylko w jednym wymiarze x w polu sił stacjo-

narnych (niezmiennych w czasie) wytwarzających potencjał U (x) – nie-

zaleŜne od czasu równanie Schrödingera:

( )

( ) ( ) ( )xExxUx

x

mΨΨ

Ψ=+−

2

22

d

d

2

h

(20.8),

W ogólnej postaci potencjał sił, w jakim znajduje się cząstka moŜe

zmieniać się w czasie a ruch cząstki moŜe odbywać się w trzech kierun-

kach. Otrzymujemy wówczas tzw. zaleŜne od czasu równanie

Schrödingera:

( ) ( ) ( ) ( )trxUtr

mt

tr,,

, rrh

r

h ΨΨΨ

i +∇−=∂

∂ 22

2 (20.9),

gdzie 2∇ jest laplasjanem, czyli operatorem sumowania drugich po-

chodnych po współrzędnych: 2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇2

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 181181181181

Gdy energia potencjalna nie zaleŜy od czasu to rozwiązanie równania

Schrödingera moŜna przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, z których

jedna zaleŜy tylko od połoŜenia a druga tylko od czasu:

( ) ( ) trtr ωψ iΨ

−= err

, (20.10),

W dalszej części skryptu poszukiwać będziemy tej składowej zaleŜnej od

współrzędnych ( )rr

ψ , pamiętając, Ŝe uzyskany wynik naleŜy pomnoŜyć

jeszcze przez część czasową tωi−e .

20.3. Rozwiązania równania Schrödingera dla wybranych potencjałów

NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie Schrödingera pozwala opisać układy

kwantowo-mechaniczne, ale analityczne jego rozwiązanie moŜliwe jest

tylko w bardzo uproszczonych przypadkach. Szczegóły matematyczne

rozwiązania moŜna znaleźć w większości akademickich podręczników

do fizyki np. „Podstawy fizyki”, W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok,

Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, „Podstawy Fizyki”

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, PWN.

Sposób rozwiązania równania Schrödingera, takŜe dla uproszczonych

układów wykracza poza ramy niniejszego skryptu. Skoncentrujemy się natomiast na ciekawych i waŜnych wnioskoach, które wynikają z tych

rozwiązań.

Potencjał stały

Cząstka znajdująca się w polu o stałym potencjale U (stałej energii po-

tencjalnej) nie doznaje działania sił, jest więc cząstką swobodną. Wobec

nieobecności sił cząstka nie będzie doznawała zmiany stanu ruchu. Jej

prędkość i energia będą stałe. Energię potencjalną i potencjał U moŜemy

wyznaczać względem takiego poziomu odniesienia, Ŝeby moŜna było

przyjąć, Ŝe ten potencjał jest równy zeru. W efekcie równanie

Schrödingera niezaleŜne od czasu dla jednego wymiaru zapisać moŜna

w postaci:

ROZDZIAŁ 20

Strona 182182182182

( )

( )xEx

x

mψ

ψ=−

2

22

d

d

2

h

(20.11)

Rozwiązaniem tego równania jest fala biegnąca:

( )

−±= t

EkxAtx

h

iΨ exp, (20.12),

gdzie liczba falowa k (lub moduł wektora falowego) w tym przypadku

wynosi: h

mEk

2=

.

Próg potencjału

RozwaŜmy teraz cząstkę o energii E, która napotyka na swej drodze próg

potencjału o wysokości V0, przy czym energia cząstki jest większa niŜ

wysokość progu E > V0. ZauwaŜmy, Ŝe klasyczna cząstka mająca taką

energię kinetyczną pokonałaby z pewnością skok potencjału i dla niej

współczynnik przejścia byłby równy jedności. Tymczasem rozwiązanie

równania Schrödingera dla obszaru poniŜej progu zawiera falę zarówno

poruszająca się w kierunku progu jak i w przeciwnym (fala padająca

i odbita). Oznacza to, Ŝe według mechaniki kwantowej istnieje pewne

prawdopodobieństwo, Ŝe cząstki odbiją się od tego progu. Co jeszcze

ciekawsze, cząstka kwantowa moŜe ulec odbiciu od progu potencjału,

nawet jeŜeli będzie z niego spadała.

Z kolei dla E < V0 klasyczna cząstka z pewnością odbiłaby się od progu.

Dla cząstki kwantowej prawdopodobieństwo odbicia cząstki równieŜ równe jest jedności (jest pewne, Ŝe cząstka się odbije), ale to odbicie nie

zachodzi dokładnie w punkcie gdzie znajduje się próg, jak dla cząstki

klasycznej. Istnieje skończone prawdopodobieństwo znalezienia cząstki

wewnątrz progu, które to prawdopodobieństwo maleje szybko z odległo-

ścią. Jeśli zatem zamiast nieograniczonego przestrzennie progu poten-

cjału mielibyśmy barierę potencjału o skończonej szerokości, to dla

cząstki kwantowej o energii mniejszej od wysokości bariery będzie ist-

niała szansa przejścia przez tę barierę.

Bariera potencjału

Rozpatrzmy barierę potencjału o wysokości V0 i szerokości a, do której

zbliŜa się cząstka kwantowa o energii mniejszej niŜ wysokość bariery,

E < V0. Podobnie jak w poprzednim przypadku rozwiązujemy równania

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 183183183183

Schrödingera dla kaŜdego obszaru, a po uwzględnieniu warunków brze-

gowych (ciągłości funkcji falowej w całym obszarze) moŜemy wyzna-

czyć współczynnik przejścia przez taką prostokątną barierę potencjału:

( )[ ]

−−≅ 21

22

exp EVma

T 0h

(20.13),

gdzie a oznacza szerokość bariery, V0 jej wysokość zaś E jest energią

cząstki, E < V0. Przejście cząstki przez barierę potencjału przewyŜsza-

jącą energię cząstki nazywane jest efektem tunelowym. Efekt ten po-

zwala wyjaśnić naturę procesu promieniotwórczego rozpadu α, w tym

takŜe uzasadnić róŜną stabilność jąder atomowych, wyjaśnić działanie

półprzewodnikowej diody tunelowej, nadprzewodnikowego złącza

Josephsona, i in.

Studnia potencjału

Rozpatrzmy teraz jednowymiarową studnię potencjału o nieskończonej

głębokości i szerokości a. ZałoŜymy, Ŝe energia potencjalna wewnątrz

studni, tj. dla 0 < x < a jest równa zeru, a poza tym obszarem jest

nieskończenie wielka. Klasyczna cząstka umieszczona w tej studni

mogłaby spoczywać w dowolnym miejscu wewnątrz studni lub poruszać się z dowolną prędkością odbijając się spręŜyście od ścianek studni.

Zachowanie cząstki kwantowej opisane będzie funkcją faloową postaci:

( ) ( )xkAx sin=ψ (20.14),

gdzie A jest stałą, zaś liczba falowa k musi przyjmować takie wartości,

Ŝeby funkcja falowa wynosiła zero przy ściankach studni (warunki

brzegowe). Z warunków brzegowych wynika więc, Ŝe dla prawej ścianki

studni (dla x = a) argument funkcji sinus musi być równy całkowitej

wielokrotności liczby π:

2na

n

a

k

a

nk

nka

λπλ

π

π

=⇒==

=

=

22

(20.15),

Otrzymaliśmy w ten sposób, Ŝe wektor falowy a więc równieŜ funkcja

falowa mogą przyjmować tylko dyskretne wartości – zaleŜą od liczby

naturalnej n. Skwantowanie funkcji falowej wynika więc w naturalny

sposób z rozwiązania równania Schrödingera z uwzględnieniem warun-

ROZDZIAŁ 20

Strona 184184184184

ków brzegowych. Liczbę naturalną n będziemy nazywać liczbą kwan-tową. Funkcja falowa będąca rozwiązaniem jest w istocie falą stojącą –

dozwolone są tylko takie długości fali λ, Ŝe wewnątrz studni o szerokości

a zmieści się całkowita wielokrotność połowy długości fali. Funkcje fa-

lowe oraz kwadraty modułu funkcji falowej (prawdopodobieństwo zna-

lezienia cząstki) przedstawiono na Rysunku 20.1. Jak widać dla stanu

n = 1 największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki kwantowej

jest na środku studni, podczas gdy dla cząstki klasycznej kaŜde połoŜe-

nie ma takie samo prawdopodobieństwo obsadzenia.

Rysunek 20.1. Funkcje falowe oraz kwadraty modułów funkcji falowych dla nieskończonej studni potencjału

Wartości energii, jakie moŜe przyjmować cząstka znajdująca się w nie-

skończonej studni potencjału wynoszą:

... 3, 2, 1, 28 2

222

2

22

=== nma

n

ma

hnE n

hπ (20.16),

W powyŜszym wzorze równieŜ występuje liczba kwantowa n, która

moŜe przyjmować tylko wartości całkowite 1, 2, 3… . Zerowa wartość n = 0 nie jest dozwolona, gdyŜ wówczas funkcja falowa była by równa

zeru w całej przestrzeni, co oznaczałoby brak cząstki. Tak więc, na pod-

stawie rozwiązania równania Schrödingera dla cząstki znajdującej się w nieskończonej studni potencjału, otrzymaliśmy skwantowanie dozwo-

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 185185185185

lonych poziomów energetycznych (Rysunek 20.2). NaleŜy przy tym

zwrócić uwagę, Ŝe według uzyskanego rozwiązania najmniejsza energia

cząstki wcale nie jest równa zeru – energia ta nazywana jest czasem

energią drgań zerowych.

Rysunek 20.2. Funkcje falowe oraz poziomy energetyczne dla nieskończonej studni potencjału

Oscylator harmoniczny

Zagadnienie kwantowego oscylatora harmonicznego jest waŜne w teorii

widm optycznych, drgań sieci krystalicznej i w teorii ciepła molowego

ciał stałych. Oscylator harmoniczny (kwantowy) jest kolejnym przykła-

dem cząstki kwantowej, która jest związana. Tym razem jednak cząstka

nie znajduje się w nieskończonej studni potencjału o skończonej szero-

kości tylko w polu sił spręŜystych. Na cząstkę wychyloną z połoŜenia

równowagi działać będzie siła xkF ′−= skierowana do połoŜenia

równowagi i proporcjonalna do tego wychylenia. Współczynnik k’ jest

współczynnikiem spręŜystości. Pole potencjalne spręŜystości opisane

jest funkcją ( ) 2

21 xkxU ′= . Rozwiązanie równania Schrödingera dla

oscylatora jest znacznie trudniejsze matematycznie niŜ w przypadku nie-

skończonej studni potencjału. Rozwiązanie to istnieje dla wartości ener-

gii En spełniających warunek:

ROZDZIAŁ 20

Strona 186186186186

... 2, 1, 0, 2

1

2

1=

+=′

+= nnm

knE n ωhh

(20.17)

Zaznaczmy, Ŝe w powyŜszym rozwiązaniu liczba kwantowa n moŜe

przyjmować wartości 0, 1, 2, … . Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe

zerowy poziom energii tzn. poziom dla n = 0 ma wartość energii

νω h21

21

0 == hE . Między poziomami energetycznymi natomiast

występuje stała róŜnica energii νω h==∆ hE , dokładnie taka, jaką zapostulował Planck, Ŝeby wyjaśnić zjawisko promieniowania ciała

doskonale czarnego (Rozdział 18).

Warto podkreślić, Ŝe typowe oddziaływania międzyatomowe dla nie-

wielkich wychyleń z połoŜeń równowagi mogą być opisane funkcją pa-

raboliczną, a więc wówczas zaleŜność 20.14 opisywać będzie skwanto-

wanie energii atomów.

20.4. Kwantowy model atomu

Model atomu wprowadzony przez Bohra (Rozdział 19.1) stanowił

istotny postęp w stosunku do modelu Rutherforda. NiemoŜliwe było jed-

nak dokładne obliczenie połoŜenia linii widmowych w atomach wielo-

elektronowych, nie wyjaśniał równieŜ róŜnych natęŜeń promieniowania

obserwowanych dla poszczególnych linii widmowych. Pełny opis konfi-

guracji elektronowej atomu stał się moŜliwy dopiero dzięki tak zwanej

nowej teorii kwantowej, za twórców której uwaŜa się Heisenberga

i Schrödingera.

Liczby kwantowe

Przedstawione w poprzednim rozdziale rozwiązania równania Schrö-

dingera dotyczyły uproszczonego jednowymiarowego modelu poten-

cjału. W celu uzyskania rzeczywistego modelu atomu potencjał wytwa-

rzany przez jądro atomowe naleŜy opisać w przestrzeni trójwymiarowej

we współrzędnych sferycznych. Rozwiązując równanie Schrödingera,

zapisane w tym samym sferycznym układzie odniesienia, moŜemy wy-

znaczyć funkcje falowe elektronów okrąŜających jądro atomowe. Nie

będziemy w tym miejscu przedstawiać szczegółowego zapisu rozwiąza-

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 187187187187

nia takiego równania, koncentrować się natomiast będziemy na wnio-

skach wynikających z tego rozwiązania.

Funkcja falowa, w sferycznym układzie współrzędnych, moŜe być przedstawiona, jako iloczyn trzech funkcji zaleŜnych tylko od

poszczególnych współrzędnych tego sferycznego układu współrzędnych

( ) ( ) ( ) ( )ϕϕψ ΦθΘrRr,θ, = . Podobnie jak to było w rozwaŜanych

wcześniej przypadkach jednowymiarowych poszukując rozwiązania

równania Schrödingera dla kaŜdej z tych funkcji (R, Θ, Φ) naleŜy

uwzględnić warunki brzegowe. W efekcie funkcja falowa zaleŜeć będzie

od pewnych liczb całkowitych, które będziemy nazywali liczbami kwantowymi.

• Główna liczba kwantowa n (n = 1, 2, 3 ...) związana jest ze

składową radialną R(r) funkcji falowej elektronu. Określa

ona numer orbity (powłoki) elektronowej i kwantuje energię elektronu (zgodnie z zaleŜnością 19.12).

• Poboczna (lub orbitalna) liczba kwantowa (l = 0, 1, ...,

n − 1) jest związana z wartością bezwzględną orbitalnego

momentu pędu:

( ) h1+= llL

• Poboczna liczba kwantowa określa numer podpowłoki, na

której znajduje się elektron.

• Magnetyczna liczba kwantowa (ml = -l, ..., -1, 0, 1, ..., l)

jest związana z przestrzenną orientacją wektora orbitalnego

momentu pędu. Opisuje ona rzut orbitalnego momentu pędu

na wybraną oś: Lz = m ħ

• Oprócz trzech powyŜszych liczb kwantowych związanych

z funkcjami R, Θ, Φ, do opisu elektronów w atomie,

niezbędna jest jeszcze jedna liczba kwantowa. Magnetyczna spinowa liczba kwantowa (ms = ½ , − ½) pokazuje,

w którą stronę skierowany jest spin. Spin jest pewną stałą cechą danej cząstki elementarnej − w przypadku elektronu

wynosi on 1/2. Spin jest związany z „wewnętrznym”

momentem pędu i momentem magnetycznym elektronu.

Zasady obsadzania poziomów elektronowych

Wypełnienie powłok elektronami (zwane równieŜ obsadzeniem) dla

atomu danego pierwiastka następuje według następujących zasad:

ROZDZIAŁ 20

Strona 188188188188

• Jako pierwsze obsadzane są poziomy o mniejszej energii.

Obsadzenie dla całego atomu reprezentuje stan o najniŜszej

moŜliwej energii potencjalnej.

• W atomie Ŝadne dwa elektrony nie mogą mieć tej samej

czwórki liczb kwantowych: n, l, ml, ms. Zasada ta nazywana

jest zakazem Pauliego.

NaleŜy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, Ŝe energia danego elek-

tronu zaleŜy nie tylko od głównej liczby kwantowej n, ale częściowo

równieŜ od pobocznej liczby kwantowej l.

Rysunek 20.3. Diagram obrazujący kolejność obsadzania poszczególnych podpowłok elektronowych

Dla małej wartości l orbity mogą przybierać kształt eliptyczny. W takim

przypadku elektron moŜe w trakcie swojego obiegu dookoła jądra znaj-

dować się (średnio) bliŜej, niŜ elektrony z niŜszej powłoki, ale o duŜej

wartości liczby pobocznej l. Elektron taki doznaje mniejszego ekrano-

wania ze strony elektronów znajdujących się na niŜszych powłokach,

zatem stan o wysokiej liczbie n i małej l moŜe mieć niŜszą energię od

stanu o mniejszej n i duŜej l (Rysunek 20.3). Zjawisko to nazywane jest

efektem przesłaniania.

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 189189189189

Tabela 20.1 Liczby kwantowe określające moŜliwe stany elektronów na drugiej powłoce

N L ml ms

2 0 0 ½

2 0 0 − ½

2 1 -1 ½

2 1 -1 − ½

2 1 0 ½

2 1 0 − ½

2 1 1 ½

2 1 1 − ½

Policzmy teraz, ile elektronów moŜe znaleźć się na poszczególnych po-

włokach. Dla powłoki o n = 1 mamy l = 0, ml = 0 i dwie wartości spinu

(ms = ½ , − ½) – zatem na powłoce tej mogą znajdować się maksymal-

nie dwa elektrony. Na kolejnej powłoce o n = 2 moŜemy mieć dwie

wartości liczby pobocznej l (l = 0 lub l = 1). Dla l = 0 mamy jedną war-

tość liczby ml = 0. Zatem w stanie o n = 2, l = 0 mogą znajdować się dwa

elektrony, róŜniące się od siebie wartością magnetycznej spinowej liczby

kwantowej. Dla l = 1 moŜemy mieć trzy wartości liczby magnetycznej

ml = −1, 0 lub 1. Biorąc pod uwagę magnetyczną spinową liczbę kwan-

tową, w stanie o n = 2 i l = 1 moŜe znajdować się sześć elektronów.

Suma moŜliwych obsadzeń na drugiej powłoce wynosi zatem 8. Warto-

ści liczb kwantowych dla poszczególnych stanów przedstawia Tabela

20.1. Podobne rozwaŜania moglibyśmy przeprowadzić dla powłok

o wyŜszych wartościach głównej liczby kwantowej. Dla kaŜdej powłoki

n liczba kwantowa l moŜe przyjmować n wartości, a dla kaŜdej wartości

l mamy 2l+1 wartości m. Dla n = 3 otrzymalibyśmy 18 moŜliwych

stanów a dla n = 4 liczba stanów wynosi 36. MoŜna zatem podać ogólny

wzór na liczbę elektronów xn na powłoce n:

22nx n = (20.18)

Przyjęto stosować oznaczenia literowe K, L, M, N, O, P, Q dla liczb

kwantowych n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 odpowiednio. Z kolei liczbom l = 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6 odpowiadają oznaczenia literowe s, p, d, f, g, h, i. Do zapisu

konfiguracji elektronowej atomu danego pierwiastka za pomocą tych

oznaczeń stosuje się następującą konwencję:

• podajemy (liczbowo) główną liczbę kwantową

• za nią zapisujemy (literowo) poboczną liczbę kwantową

ROZDZIAŁ 20

Strona 190190190190

• w indeksie górnym zapisujemy liczbę elektronów, które

znajdują się w stanie określonym przez dwie podane

uprzednio liczby kwantowe.

Jako przykład podajmy konfigurację elektronową argonu Ar. Liczba

atomowa Z wynosi w tym przypadku 18, zatem pierwiastek ten posiada

18 elektronów. Zapis ma postać:

62622 3p3s2p2s1s (20.19),

co oznacza, Ŝe dwa elektrony znajdują się w stanie o n = 1 i l = 0 (1s2),

dwa w stanie o n = 2 i l = 0 (2s2), sześć w stanie o n = 2 i l = 1 (2p6), dwa

w stanie o n = 3 i l = 0 (3s2) oraz sześć w stanie o n = 3 i l = 1 (2p6).

Dla porównania zapis konfiguracji elektronowej srebra (Z = 47) ma

postać: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d105s1

Orbitale

Jak juŜ wielokrotnie wspominaliśmy kwadrat modułu funkcji falowej

elektronu określa prawdopodobieństwo znalezienia tego elektronu w da-

nym punkcie przestrzeni. Rozwiązując równanie Schrödingera dla elek-

tronów w atomie wyznaczamy więc przestrzenny rozkład prawdopodo-

bieństwa znalezienia elektronu w pobliŜu jądra atomowego. Obszary

o duŜej gęstości prawdopodobieństwa tworzą tzw. orbitale atomowe.

Kształt orbitali zaleŜy od wartości liczb kwantowych n, l, ml. Kształt ten

ma duŜe znaczenie dla tworzenia się wiązań chemicznych, a w konse-

kwencji kształtu cząsteczek chemicznych. Dla przykładu rozpatrzmy

elektron w stanie podstawowym atomu wodoru (n = 1, l = 0, ml = 0).

Funkcja falowa w takim stanie kwantowym ma tylko składową radialną. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa (Rysunek 20.4) posiada

maksimum dla odległości a0 równej promieniowi Bohra (Wzór 19.11).

Tak więc, według mechaniki kwantowej, nie moŜemy jednoznacznie

określić połoŜenia elektronu – istnieje pewne prawdopodobieństwo za-

równo znalezienia elektronu bardzo blisko jak i bardzo daleko od jądra

atomowego, ale największe prawdopodobieństwo otrzymujemy dla od-

ległości równej kołowej orbicie modelu Bohra.

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Strona 191191191191

Rysunek 20.4. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego atomu wodoru

Rozszczepienie linii widmowych

Istnieje szereg bezpośrednich dowodów doświadczalnych potwierdzają-cych słuszność modelu kwantowego. ZaleŜność energii elektronu nie

tylko od liczby głównej n, ale równieŜ od pobocznej liczby kwantowej l

jest wyraźnie widoczna w układzie linii emisyjnych poszczególnych

pierwiastków.

Istnienie magnetycznej spinowej liczby kwantowej jest z kolei manife-

stowane w tak zwanej strukturze subtelnej widma promieniowania.

Obserwuje się rozszczepienie linii widmowych, czyli zamiast pojedyn-

czej linii obserwujemy dwie linie połoŜone bardzo blisko siebie, które

jest związane z tak zwanym oddziaływaniem spin–orbita. Względne

ustawienie spinowego i orbitalnego momentu magnetycznego elektronu

wpływa na niewielką zmianę całkowitej energii elektronu znajdującego

się w stanie kwantowym n i l. Takie rozszczepienie linii obserwowane

np. w liniach emisyjnych sodu (przejście ze stanu 4s do 3p) w zakresie

światła widzialnego.

W zewnętrznym polu magnetycznym energia elektronu zaleŜy równieŜ od orbitalnej liczby magnetycznej ml. Zatem po umieszczeniu atomów w

polu magnetycznym obserwuje się rozszczepienie poziomów energe-

tycznych elektronów i dodatkowe linie widmowych (zjawisko

Zeemana).

ROZDZIAŁ 20

Strona 192192192192

21 Fizyka ciała stałego

W tym rozdziale:

o Wiązania chemiczne w ciele stałym o Struktura krystaliczna ciał stałych o Model pasmowy ciał stałych, energia Fermiego o Urządzenia półprzewodnikowe o Lasery

ROZDZIAŁ 7

Strona 194194194194

Fizyka ciała stałego

W poprzednich rozdziałach podręcznika opisywaliśmy juŜ, Ŝe atom

składa się z jądra atomowego i poruszających się wokół niego elektro-

nów. W tym rozdziale zajmiemy się właściwościami ciał stałych jako

układów wielu atomów. Poznamy ich strukturę oraz dowiemy się, jakie

są ich właściwości elektryczne. Temu ostatniemu zagadnieniu poświę-cimy szczególną uwagę, poniewaŜ właściwości te wykorzystywane są w róŜnorodnych urządzeniach elektrycznych i elektronicznych np.

tranzystorach, diodach, termoparach, laserach, ogniwach elektroche-

micznych. Warto zaznaczyć, Ŝe chociaŜ trudno wyobrazić sobie funkcjo-

nowanie nowoczesnego społeczeństwa bez tych urządzeń to historia

większości z nich sięga zaledwie kilkudziesięciu lat.

Przypomnijmy, Ŝe cechy charakterystyczne ciała stałego definiowaliśmy

w Rozdziale 7. Mówiliśmy wówczas, Ŝe ciało stałe charakteryzuje się ustalonym kształtem i objętością a oddziaływania między atomami po-

wodują, Ŝe ciała stałe odkształcają się spręŜyście pod wpływem napręŜe-

nia. Atomy w ciele stałym ułoŜone są regularnie tworząc strukturę kry-

staliczną, z uporządkowaniem dalekiego zasięgu.

21.1. Wiązania chemiczne

Wszystkie atomy dąŜą do uzyskania stanu o minimalnej energii.

W przypadku gazów szlachetnych powłoki elektronowe są całkowicie

zapełnione a taka struktura elektronowa charakteryzuje się najniŜszą energią. W przypadku pozostałych atomów to liczba elektronów na

ostatniej powłoce elektronowej – elektronów walencyjnych – jest

czynnikiem decydującym o właściwościach fizycznych i chemicznych

pierwiastków. Jeśli ostatnia powłoka jest zapełniona w niewielkim

stopniu, dąŜąc do minimalizacji energii, atom będzie „chętnie” oddawał

elektrony. Jeśli natomiast do zapełnienia powłoki brakuje jednego lub

dwóch elektronów, atom będzie „chętnie” przyjmował elektrony by

zapełnić tę powłokę elektronową i w ten sposób obniŜyć swoją całkowitą energię. Miarą zdolności atomu do przyciągania elektronu jest jego

elektroujemność lub powinowactwo elektronowe. Zgodnie z tymi

stwierdzeniami pierwiastki posiadające niedobór elektronów będą miały

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 195195195195

duŜą elektroujemność, a pierwiastki posiadające nadmiar elektronów –

małą elektroujemność.

Przekazanie elektronu z jednego atomu do drugiego np. elektronu atomu

sodu (Na) do atomu chloru (Cl), moŜe być korzystne energetycznie dla

obu atomów. Mechanizm taki jest podstawą tworzenia wiązań chemicz-

nych typu jonowego i metalicznego. Wiązania te są stosunkowo silne

a związki chemiczne, w których występują takie wiązania charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, co oznacza, Ŝe rozdzielenie atomów

wymaga dostarczenia duŜej energii termicznej. Między atomami mogą występować równieŜ siły oddziaływania elektrostatycznego niezwiązane

bezpośrednio ze zmianą obsadzenia poziomów elektronowych atomu –

w ten sposób powstają wiązania van der Waalsa. Wiązania te są słabsze,

a struktury oparte na nich z reguły ulegają stopieniu w stosunkowo ni-

skich temperaturach.

W krystalicznych ciałach stałych na ogół występuje kilka rodzajów

wiązań chemicznych. W takim przypadku mówimy, Ŝe wiązania maja

charakter mieszany.

Potencjał wiązania

Energia jonu w sieci zaleŜeć będzie od oddziaływań wszystkich jonów

na ten wybrany jon. Kształt krzywej potencjału zaleŜy od typu wiązania

i struktury krystalicznej kryształów, jednak zawsze moŜemy wyróŜnić w nim część związaną z oddziaływaniami przyciągającymi (odpowiada-

jącymi za tworzenie wiązania) i odpychającymi (Rysunek 21.1.).

Te ostatnie powstają, kiedy atomy zbliŜają się do siebie na tyle blisko, Ŝe

funkcje falowe elektronów zaczynają się nakładać. PoniewaŜ zgodnie

z zakazem Pauliego elektrony o takich samych liczbach kwantowych nie

mogą znajdować się obok siebie powstają silne oddziaływania odpycha-

jące. Długość wiązania wyznacza odległość między atomami w krysz-

tale, dla której siły przyciągające są równowaŜone przez odpychające (r0

na Rysunku 21.1.). W odległości równowagowej atomy znajdują się w minimum potencjału. Zerwanie wiązania chemicznego i swobodny

ruch jonu następuje, gdy do układu dostarczona zostaje energia, np. ter-

miczna, większa od minimum potencjału oddziaływania. Dlatego teŜ na

podstawie wartości temperatury topnienia moŜna oszacować energię wiązania materiału.

ROZDZIAŁ 7

Strona 196196196196

Rysunek 21.1. Schematyczny wykres potencjału oddziaływania jonów. Zaznaczono potencjał związany z siłami przyciągającymi, odpychającymi

i odległość równowagową r0 odpowiadającą długości wiązania

Wiązanie jonowe

Wiązanie jonowe występuje pomiędzy pierwiastkiem o właściwościach

metalicznych (o małej elektroujemności) i pierwiastkiem niemetalicz-

nym (o duŜej elektroujemności).

Przekazanie elektronu walencyjnego z atomu metalu atomowi niemetalu

jest korzystne energetycznie dla obu atomów. Atom metalu, pozbawiony

elektronu uzyskuje ładunek dodatni – staje się jonem dodatnim, czyli

kationem. Atom niemetalu, który charakteryzować się będzie ładunkiem

ujemnym, nazywać będziemy anionem. Wiązanie jonowe związane jest z

siłami przyciągania elektrostatycznego pomiędzy powstałymi kationami

i anionami. Jako przykłady związków, w których występuje wiązanie jo-

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 197197197197

nowe (kryształów jonowych), wymienić moŜna chlorek sodu NaCl (sól

kuchenną) lub fluorek potasu KF. Przykładowa struktura kryształu

jonowego NaCl przedstawiona jest na Rysunku 21.2a.

Rysunek 21.2. Schemat struktury przestrzennej a) i powstawania pęknięć pod wpływem napręŜeń b) dla kryształu jonowego typu NaCl

Jony ułoŜone są naprzemiennie tak, Ŝe najbliŜsi sąsiedzi danego jonu

mają przeciwny znak ładunku niŜ jon. Kryształy jonowe charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, np. około 800 OC dla chlorku sodu

NaCl i 910 OC dla KF, co wskazuje na duŜą siłę wiązania jonowego.

Jednocześnie są one kruche i łatwo pękają. JeŜeli bowiem, pod wpływem

duŜego napręŜenia, dwie sąsiadujące warstwy kryształu ulegną przesunięciu, naprzeciw siebie mogą znaleźć się jony nie przeciwnego,

ale tego samego znaku (Rysunek 21.2b). Wówczas warstwy będą się odpychać a w miejscu przesunięcia warstw nastąpi pęknięcie. Pomimo,

Ŝe kryształy jonowe składają się z atomów obdarzonych ładunkiem, jony

te nie mogą jednak przemieszczać się w strukturze. Brak swobodnych

nośników ładunku powoduje, Ŝe kryształy jonowe są zatem izolatorami.

Wiązanie kowalencyjne

W przeciwieństwie do wiązania jonowego, w którym elektron ulegał

całkowitemu przeniesieniu na sąsiadujący atom, w przypadku wiązania

kowalencyjnego mamy do czynienia zawsze z parą elektronów uloko-

wanych pomiędzy atomami tworzącymi wiązanie – ich funkcje falowe

mają krótki zasięg. Elektrony te muszą mieć przeciwny spin, Ŝeby,

ROZDZIAŁ 7

Strona 198198198198

zgodnie z zakazem Pauliego, nie miały tego samego zestawu liczb

kwantowych. W kaŜdym wiązaniu mogą brać udział tylko dwa atomy,

ale pomiędzy atomami mogą wielokrotnie występować wiązania tego

typu – na przykład w cząsteczce tlenu O2 występuje wiązanie podwójne

a w cząsteczce azotu N2 wiązanie potrójne.

Kolejną waŜną cechą wiązań kowalencyjnych jest ich kierunkowość. UłoŜenie przestrzenne atomoów jest takie, Ŝeby funkcje falowe elektro-

nów tworzących wiązania przekrywały się w jak najmniejszym stopniu.

Jeśli więc w cząsteczce występują dwa wiązania, atomy sąsiadujące

ustawią się po przeciwnych stronach atomu centralnego i mówimy wów-

czas, Ŝe cząsteczki mają geometrię liniową. Jeśli centralny atom wiąŜe

się z sąsiadami przez trzy wiązania kowalencyjne, najkorzystniejsze jest

ich ustawienie w jednej płaszczyźnie względem siebie w ten sposób, Ŝe

kąt między nimi będzie równy 120O. Z taką konfiguracją mamy do czy-

nienia w graficie. Atomy węgla tworzą warstwy o strukturze heksago-

nalnej typu „plastra miodu”. Warstwy te są bardzo wytrzymałe na roz-

ciąganie, a na ich strukturze oparte są zaawansowane materiały techno-

logiczne – grafen oraz nanorurki węglowe. Natomiast pomiędzy

sąsiednimi warstwami występują słabsze wiązania, ulegające łatwemu

zerwaniu i dlatego grafit jest łatwo ścieralny. Z kolei, jeśli centralny

atom wytwarza cztery wiązania kowalencyjne, utworzą one tetraedr.

Taką strukturę ma m.in. diament, którego niezwykła twardość wynika

zarówno z siły wiązań pomiędzy atomami węgla jak i geometrii struk-

tury.

Wiązania kowalencyjne są zwykle silne, a kryształy kowalencyjne mają wysoką temperaturę topnienia, która w przypadku diamentu przekracza

3500 OC. Warto zaznaczyć, Ŝe ten kierunkowy charakter wiązania ogra-

nicza moŜliwość przemieszczanie się nośników ładunku i w efekcie ma-

teriały o wiązaniu kowalencyjnym są izolatorami lub półprzewodnikami.

Wiązanie metaliczne

Omawiając wiązanie jonowe wspominaliśmy juŜ, Ŝe w przypadku ato-

mów metali korzystne energetycznie jest oddanie elektronów znajdują-cych się na powłoce walencyjnej. Z kolei w przypadku wiązania kowa-

lencyjnego, ze względu na krótki zasięg funkcji falowych elektronów,

elektrony były zlokalizowane między atomami. Istotą wiązania meta-

licznego jest uwspólnianie elektronów walencyjnych między wszystkimi

atomami w krysztale metalu. W przypadku wiązania metalicznego funk-

cje falowe elektronów walencyjnych mają szeroki zasięg. W efekcie

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 199199199199

elektrony te nie są zlokalizowane i mogą przemieszczać się swobodnie

w strukturze materiału, tworząc tak zwany gaz elektronów swobodnych.

Metale są zarówno dobrymi przewodnikami elektrycznymi, jak i prze-

wodnikami ciepła, poniewaŜ elektrony nie tylko przenoszą ładunek

elektryczny, ale takŜe na skutek zderzeń przekazywana jest energia.

Siła wiązania metalicznego zaleŜy m.in. od liczby elektronów walencyj-

nych atomów oraz stopnia upakowania struktury. Typowym przykładem

są tutaj metale z jednym elektronem walencyjnym (metale alkaliczne),

które mają stosunkowo niskie temperatury topnienia nieprzekraczające

200 OC. W wielu metalach wiązania mają charakter mieszany, kowalen-

cyjno-jonowy.

Metale odkształcają się spręŜyście, ale przy odpowiednio duŜym naprę-Ŝeniu mogą odkształcać się równieŜ plastycznie – metale są kowalne.

Pozbawione elektronów walencyjnych atomy (rdzenie atomowe) tworzą warstwy, które pod wpływem napręŜenia mogą się przemieszczać bez

powstania makroskopowych pęknięć, w czym wydatnie pomaga znaj-

dujący się pomiędzy atomami gaz elektronów walencyjnych.

Wiązanie wodorowe

W przypadku, w którym atom wodoru jest związany z silnie elektro-

ujemnym atomem wiązaniem kowalencyjnym, elektron naleŜący do

atomu wodoru zostaje prawie całkowicie przeniesiony na drugi atom.

W efekcie atom wodoru staje się protonem i moŜe przyciągać znajdujące

się w pobliŜu atomy naładowane ujemnie. Ze względu na niewielkie roz-

miary protonu, oddziaływanie moŜe zachodzić maksymalnie z dwoma

takimi atomami. Wiązanie wodorowe jest znacznie słabsze niŜ wiązanie

kowalencyjne i jest podstawowym typem oddziaływania występującego

pomiędzy cząsteczkami wody, a takŜe pojawia się w wielu związkach

organicznych i strukturach biologicznych (oddziaływanie łańcuchów

DNA). Powoduje takŜe skłonność materiałów do tworzenia makroczą-steczek – polimeryzacji. Szczególne właściwości wody, takie jak więk-

sza gęstość fazy ciekłej niŜ fazy stałej czy ujemny współczynnik rozsze-

rzalności cieplnej fazy ciekłej w pobliŜu temperatury topnienia, wynikają właśnie z właściwości wiązania wodorowego.

ROZDZIAŁ 7

Strona 200200200200

Wiązanie van der Waalsa

Fluktuacje ładunku w atomach i cząsteczkach mogą prowadzić do

chwilowego powstania momentów dipolowych. Taki moment dipolowy,

mimo Ŝe jest nietrwały, moŜe oddziaływać na sąsiednie atomy lub czą-steczki indukując w nich moment dipolowy. W ten sposób atomy, które

nie są trwałymi dipolami, oddziałują ze swoimi sąsiadami siłami od-

działywania elektrostatycznego.

Oddziaływania takie, nazywane wiązaniem van der Waalsa występują dla wszystkich ciał stałych. Są jednak słabe i nie zawsze efekt z nimi

związany jest dostrzegalny, poniewaŜ moŜe łatwo zostać zdominowany

przez wielokrotnie silniejsze oddziaływania innego typu. Z tego względu

odgrywają waŜną rolę przede wszystkim w przypadkach, kiedy niemoŜ-liwe jest utworzenie wiązań innego typu, czyli dla atomów o zamknię-tych powłokach (gazów szlachetnych – np. helu, argonu) oraz obojęt-nych cząsteczek. W tym drugim przypadku im większą będzie liczba

elektronów tym większy będzie całkowity momentem dipolowy czą-steczki i w efekcie tym silniejsze staje się wiązanie van der Waalsa.

21.2. Struktury krystaliczne

WaŜną cechą ciał stałych jest występowanie w nich uporządkowania

dalekiego zasięgu. W kryształach atomy są rozmieszczone w regular-

nych odstępach tak, Ŝe znając połoŜenie jednego z nich oraz strukturę sieci krystalicznej moŜemy dokładnie określić połoŜenie wszystkich po-

zostałych. Rozpatrzmy prosty przykład podłogi, która została wyłoŜona

prostokątnymi płytkami o identycznych wymiarach. Jeśli wyobrazimy

sobie, Ŝe w naroŜach prostokątów znajdują się atomy, mamy przykład

dwuwymiarowej sieci krystalicznej. Znając połoŜenie jednego z naroŜy,

wymiary płytki oraz kąt, pod jakim ułoŜony jest bok płytki do wyzna-

czonego kierunku moŜemy wyliczyć połoŜenia wszystkich pozostałych

naroŜy (atomów). Gdybyśmy ułoŜyli podłogę uŜywając płytek o kształ-

cie rombu, równieŜ moglibyśmy zastosować podobny opis. Jednak

w tym przypadku oprócz wymiarów płytki musimy podać dodatkowo kąt tworzący rombu.

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 201201201201

Najmniejszy fragment sieci krystalicznej, za pomocą którego moŜemy odtworzyć całą strukturę będziemy nazywać komórką elementarną.

Dla sieci krystalicznej dwuwymiarowej komórkę elementarną moŜna

opisać za pomocą dwóch wektorów skierowanych wzdłuŜ jej krawędzi,

ar

i br

(Rysunek 21.3). W podanym przykładzie komórką elementarną jest pojedyncza płytka. NaroŜa płytek będą odpowiadały węzłom sieci krystalicznej. Współrzędne węzłów sieci dwuwymiarowej, której ko-

mórka elementarna jest określona przez wektory ar

i br

, moŜemy zapi-

sać w następujący sposób:

bnanrn

r

rr

21 += (21.1),

gdzie n1 i n

2 są liczbami całkowitymi, a długości wektorów a

r

i br

(a

i b) są stałymi sieci. Rozpatrzmy teraz układ współrzędnych związany

z komórką elementarną taki, Ŝe jednostki długości są równe stałym sieci

a i b. Wówczas połoŜenia węzłowe będą miały współrzędne (0,0), (0,1),

(1,0), (1,1) itd. Jeśli na środku rozpatrywanej płytki znajdować się bę-dzie dekoracja, to jej współrzędne w tym układzie współrzędnych będą miały wartości (½,½) (Rysunek 21.3). W ten sposób moŜemy dokonać opisu struktury złoŜonej z wielu rodzajów atomów. Warto zaznaczyć, Ŝe

przy takim zapisie atomy znajdujące się w połoŜeniu węzłowym

o współrzędnej „1” np. (1,0) czy (0,1) mogą być równieŜ opisane jako

atomy o współrzędnej (0,0) w sąsiedniej komórce elementarnej.

Rysunek 21.3. Sieć dwuwymiarowa prostokątna (z lewej), skośna (pośrodku) i prostokątna z atomami dwóch róŜnych typów w połoŜeniach

(0,0) i (½,½) (z prawej). Dla sieci prostokątnej zaznaczono komórkę elementarną.

ROZDZIAŁ 7

Strona 202202202202

NaleŜy pamiętać, Ŝe sieć krystaliczna stanowi jedynie geometryczny za-

pis struktury. W zapisie tym atomy nie muszą znajdować się w węzłach

sieci, jednakŜe staramy się tak dobierać komórkę elementarną, aby opis

struktury krystalicznej był jak najbardziej wygodny i jak najłatwiejszy

w zapisie matematycznym.

Dla struktury dwuwymiarowej złoŜonej z jednego rodzaju atomów opisu

sieci krystalicznej moŜemy dokonać przy uŜyciu 5 typów sieci: kwadra-

towej, prostokątnej, ukośnokątnej (kąt między krawędziami komórki jest

róŜny od 90º), prostokątnej centrowanej (jeden z atomów znajduje się na

przecięciu przekątnych prostokąta) oraz heksagonalnej.

W strukturach trójwymiarowych opis sieci krystalicznej jest nieco bar-

dziej złoŜony. Komórkami elementarnymi są równoległościany. Do

opisu komórki elementarnej potrzebne są długości trzech wektorów od-

powiadających krawędziom równoległościanu (oznaczane umownie jako

a, b, c ) oraz 3 kąty występujące pomiędzy nimi (oznaczane jako α, β,

γ ). Podobnie jak w przypadku sieci dwuwymiarowych, aby ułatwić opis

matematyczny sieci stosuje się komórki centrowane. Mogą to być ko-

mórki centrowane powierzchniowo (połoŜenia na przekątnych ścianek)

albo centrowane objętościowo (połoŜenia na przecięciu głównych prze-

kątnych bryły). Wszystkie moŜliwe trójwymiarowe struktury krysta-

liczne moŜna opisać za pomocą 14 typów sieci – tak zwanych sieci

Bravais. W niniejszym opracowaniu nie będziemy przedstawiać po-

szczególnych typów sieci a podamy jedynie kilka przykładów waŜnych

lub ciekawych z fizycznego punktu widzenia.

Współczynnik upakowania

Jednym z waŜnych parametrów opisujących strukturę krystaliczną jest

współczynnik upakowania oznaczany często jako APF od angielskiego

Atomic Packing Factor. Jeśli atomy potraktujemy jako sztywne kule, to

współczynnik upakowania moŜemy wyrazić jako stosunek objętości tych

kul do objętości całego kryształu:

K

AAA

V

NVAPF

∑ ⋅

= (21.2)

W powyŜszym wzorze VA oznacza objętość pojedynczego atomu, NA

ilość atomów danego typu zawartą wewnątrz kryształu, a VK objętość całego kryształu. Współczynnik upakowania moŜna wyliczyć równieŜ znając komórkę elementarną danej struktury. W tym celu naleŜy okre-

ślić, jaki wycinek kul reprezentujących atomy znajduje się wewnątrz

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 203203203203

komórki. Przyjmujemy przy tym załoŜenie, Ŝe komórka elementarna

zbudowana jest tak, by kule odpowiadające atomom mogły się stykać ze

sobą, ale nie nakładać na siebie. Jako promień kul modelujących atomy

przyjmuje się promień jonowy. Jest to odległość od środka atomu do

zewnętrznych elektronów, wyznaczana na podstawie pomiarów struktur

krystalicznych o wiązaniu typu jonowego, jakie tworzy atom danego

pierwiastka. Promień jonowy uzyskujemy w tym przypadku poprzez

uśrednienie danych uzyskanych na podstawie pomiarów wielu róŜnych

struktur. W wielu przypadkach posługujemy się równieŜ promieniem

van der Waalsa (odległością pomiędzy środkiem atomu a skrajem

chmury elektronowej elektronów ostatniej powłoki).

Maksymalny współczynnik upakowania jednakowych kul wynosi 0.74

i jest moŜliwy do osiągnięcia w dwóch strukturach: regularnej centrowa-

nej powierzchniowo oraz w tak zwanej strukturze heksagonalnej gęstego

upakowania (HCP).

Rysunek. 21.4. Komórka elementarna struktury regularnej centrowanej powierzchniowo wypełniona ciasno upakowanymi kulami

reprezentującymi atomy

Komórką elementarną struktury regularnej centrowanej powierzchniowo

jest sześcian, a atomy umieszczone są w naroŜach i na przecięciu prze-

kątnych ścian bocznych. Kule modelujące atomy stykają się ze sobą tak,

Ŝe na przekątnej ściany o długości 2a znajdują się cztery promienie r

kuli jak zaznaczono na Rysunku 21.4. Stąd moŜemy znaleźć zaleŜność między promieniem kul atomowych i długością a boku sześcianu. Wów-

czas objętość komórki elementarnej wynosi:

ROZDZIAŁ 7

Strona 204204204204

3

K 2

4

⋅=

rV (21.3)

Sprawdźmy teraz, ile pełnych kul mieści się w komórce elementarnej.

Z kul znajdujących się na wierzchołkach tylko 1/8 kaŜdej kuli znajduje

się wewnątrz danej komórki – reszta naleŜy do sąsiednich komórek.

Mamy 8 wierzchołków, czyli w komórce elementarnej mieści się 1 pełna

kula „naroŜna”. Policzmy teraz atomy znajdujące się na ściankach: jest

ich 6, a kaŜda ścianka „przecina” kulę na pół – zatem wewnątrz komórki

mieści się 6/2 kuli. Stąd moŜemy wyznaczyć współczynnik upakowania:

( )

0.7428

313

4

3

3

=+⋅

=r

rAPF

π (21.4)

Struktury gęstego upakowania

NajwyŜszy współczynnik upakowania otrzymamy równieŜ dla heksago-

nalnej struktury gęstego upakowania. Jako model takiej struktury mo-

Ŝemy rozpatrzeć układ jednakowych piłek. Pierwszą warstwę układamy

tak, Ŝeby w sąsiadujących rzędach środki piłek były ustawione naprze-

miennie (warstwa A na Rysunku 21.5).

Rysunek 21.5. Schemat ułoŜenia warstw w strukturze heksagonalnej gęstego upakowania (na górze) i regularnej centrowanej powierzchniowo

(na dole)

Kolejną warstwę nakładamy tak, by środki piłek znalazły się nad „pu-

stymi” miejscami warstwy dolnej (warstwa B na Rysunku 21.5). Trzecią warstwę C układamy dokładnie nad warstwą A i otrzymujemy w ten

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 205205205205

sposób strukturę heksagonalną gęstego upakowania. Trzecią warstwę C

kulek moŜemy umieścić równieŜ w taki sposób, Ŝe atomy C będą znaj-

dowały się nad „pustymi” miejscami warstwy B, ale nie nad atomami

warstwy A. Otrzymujemy w ten sposób strukturę regularną powierzch-

niowo centrowaną (Rysunek 21.5). Strukturę taką obserwuje się dla sze-

regu metali, np. złota, miedzi czy srebra. W metalach tych warstwy ato-

mów stosunkowo łatwo przemieszczają się względem siebie się pod

wpływem przyłoŜonego napręŜenia. Istotne jest przy tym, Ŝe powstała

w wyniku takiego przemieszczenia struktura nadal charakteryzuje się gę-stym upakowaniem i niską energią. Dlatego teŜ wspomniane metale sto-

sunkowo łatwo ulegają odkształceniom plastycznym. W podobnej

strukturze moŜe krystalizować takŜe Ŝelazo w dobrze kowalnej fazie

zwanej austenitem. Jeśli natomiast w wyniku przemian fazowych (ob-

róbki termicznej) struktura będzie miała formę tzw. martenzytu, dla któ-

rego stopień upakowania jest mniejszy, otrzymamy materiał znacznie

twardszy.

21.3. Model pasmowy ciał stałych

Powstawanie pasm

Zgodnie z zakazem Pauliego w atomie nie mogą znajdować się dwa

elektrony w tym samym stanie kwantowym (o tym samym zestawie

liczb kwantowych). Ze stanem kwantowym elektronu powiązana jest

równieŜ energia tego elektronu w atomie. Kiedy zbliŜamy do siebie

atomy, funkcje falowe elektronów tych atomów zaczynają nachodzić na

siebie. Aby nie doszło do złamania zakazu Pauliego, stany kwantowe

elektronów muszą się zmienić a w konsekwencji energie elektronów mu-

szą ulec zróŜnicowaniu. W ten sposób dochodzi do rozszczepienia po-ziomów energetycznych. Zgodnie z powyŜszym rozumowaniem w czą-steczce dwuatomowej poziomów energetycznych, na których znajdują się elektrony będzie dwa razy więcej niŜ w pojedynczym atomie.

W krysztale dochodzi do nakładania się funkcji falowych wielu elektro-

nów. Zgodnie z powyŜszym rozumowaniem kaŜdy z elektronóow zaj-

muje poziom energetyczny o energii zbliŜonej, ale róŜniącej się nie-

znacznie od pozostałych elektronów w krysztale. W ten sposób poziom

ROZDZIAŁ 7

Strona 206206206206

energetyczny określany dla pojedynczego atomu w przypadku kryształu

ulega rozszczepieniu na zestaw energii, które mogą przyjmować elek-

trony – powstają pasma energetyczne. Jeśli mamy do czynienia z liczbą N sąsiadujących ze sobą atomów to nałoŜenie się funkcji falowych elek-

tronów spowoduje, Ŝe 2 poziomy energetyczne podpowłoki s ulegną roz-

szczepieniu na pasmo zawierające 2N poziomów. W analogiczny sposób

z rozszczepienia podpowłoki p powstanie pasmo zawierające 6N pozio-

mów a z podpowłoki d pasmo o 10N poziomów. Dla duŜej liczby N

rzędu liczby Avogadro pasmo energetyczne składa się będzie z tak wielu

dyskretnych poziomów, Ŝe moŜna przyjąć, Ŝe jest ono ciągłe. Na osi

energii pasmo energetyczne charakteryzowane jest przez połoŜenie

(związane z połoŜeniem pierwotnego poziomu energetycznego) oraz sze-

rokość (określającą przedział wartości energii, jaką mogą mieć elektrony

z danego pasma). Pasmo moŜe być całkowicie zapełnione (wszystkie

moŜliwe poziomy energii wchodzące w skład danego pasma są obsa-

dzone), częściowo zapełnione (elektrony zajmują wtedy w ramach pa-

sma poziomy o najniŜszej moŜliwej energii, przy czym dwa elektrony

nie mogą zająć tego samego poziomu) lub nieobsadzone (Ŝaden elektron

nie posiada wystarczającej energii by znaleźć się na najniŜszym pozio-

mie pasma). Pomiędzy pasmami, na osi energii, znajduje się zakres

energii wzbronionych. Oznacza to, Ŝe elektrony nie mogą przyjmować energii z obszaru przerwy energetycznej.

Energia Fermiego

Wspominaliśmy juŜ, Ŝe elektrony obsadzają poziomy energetyczne

o najniŜszej moŜliwej energii, przy czym spełniona musi być zasada

Pauliego i Ŝadne dwa elektrony nie mogą być w tym samym stanie

kwantowym.

W temperaturze zera bezwzględnego, energię ostatniego obsa-dzonego poziomu energetycznego określamy mianem energii Fermiego - EF.

W temperaturze wyŜszej od zera bezwzględnego elektrony posiadają do-

datkową energię termiczną, dzięki której elektrony mogą obsadzać po-

ziomy o energii wyŜszej niŜ energia Fermiego. Poziomy energetyczne

mogą zmieniać przede wszystkim elektrony o energii bliskiej energii

Fermiego, jeśli dostępne są niezapełnione poziomy energetyczne o od-

powiedniej energii. Elektrony o energii znacznie mniejszej niŜ energia

Fermiego, znajdujące się na dnie pasma przewodnictwa, do przeskoku na

najbliŜszy nieobsadzony poziom energetyczny potrzebują energii znacz-

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 207207207207

nie większej niŜ energia drgań termicznych, dlatego przejścia takie nie są obserwowane. Poziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo

nieobsadzone.

Opisywane zmiany poziomów energetycznych elektronów w kryształach

pod wpływem temperatury mają charakter statystyczny i dlatego w opi-

sie tych zjawisk stosuje się pojęcia statystyczne jak na przykład prawdo-

podobieństwo obsadzenia. Dla poziomów energetycznych z dna pasma

przewodnictwa prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi 1 (są one zaw-

sze obsadzone), ale dla poziomów bliskich energii Fermiego będzie za-

leŜeć od temperatury. Im wyŜsza temperatura, tym większa jest energia

termiczna elektronów i tym większe jest prawdopodobieństwo obsadze-

nia poziomów powyŜej energii Fermiego. Pamiętamy jednak, Ŝe po-

ziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo nieobsadzone,

a więc wraz ze wzrostem temperatury zwiększać się będzie takŜe praw-

dopodobieństwo wystąpienia poziomów nieobsadzonych poniŜej energii

Fermiego. Prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu

o energii E w temperaturze T określa funkcja Fermiego-Diraca:

( )

1k

exp

1

B

+

−=

T

EEEf

F

(21.5),

gdzie EF jest energią Fermiego. Kształt funkcji Fermiego-Diraca dla

kilku temperatur przedstawiony jest na Rysunku 21.6.

Rysunek 21.6. Wykres prawdopodobieństwa obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony dla róŜnych temperatur. EF oznacza

energię Fermiego

ROZDZIAŁ 7

Strona 208208208208

Funkcja ta przyjmuje wartość ½ dla energii Fermiego. W związku z tym

dla temperatur wyŜszych od zera bezwzględnego energię Fermiego mo-

Ŝemy zdefiniować, jako energię odpowiadającą poziomowi, prawdopo-

dobieństwo obsadzenia którego wynosi ½. Ta definicja moŜe być takŜe

stosowana w przypadku, kiedy pasmo jest całkowicie zapełnione, a pa-

smo o energii wyŜszej, oddzielone obszarem wzbronionym, całkowicie

nieobsadzone.

Metale, półprzewodniki i izolatory

W strukturze pasm energetycznych szczególną rolę odgrywa ostatnie

(połoŜone najwyŜej na osi energii) obsadzone przez elektrony walen-

cyjne pasmo walencyjne. Jeśli wszystkie poziomy tego pasma są obsa-

dzone, w materiale brak jest swobodnych nośników ładunku. Aby

elektron mógł stać się nośnikiem ładunku jego energia musiałaby ulec

zmianie – jednak poniewaŜ wszystkie poziomy energetyczne są juŜ obsa-

dzone, nie jest to moŜliwe.

Kolejne, znajdujące się wyŜej w skali energii, pasmo nazywane jest pa-

smem przewodnictwa. Elektrony, które znajdą się na jednym z pozio-

mów energetycznych tego pasma są swobodnymi nośnikami ładunku.

Jeśli elektron walencyjny znajdzie się w paśmie przewodnictwa, w pa-

śmie walencyjnym wytwarza się „pusty” poziom, który równieŜ umoŜ-liwia transport ładunku elektrycznego pod wpływem zewnętrznego pola.

Taki poziom nazywamy dziurą. Ładunek dziury jest identyczny, co do

wartości, jak ładunek elektronu, ale ma przeciwny znak.

Metale

Pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa mogą być rozdzielone prze-

rwą energetyczną, bądź mogą nakładać się na siebie. Jeśli pasma nie są rozdzielone obszarem wzbronionym, wszystkie elektrony walencyjne

mogą uczestniczyć w transporcie ładunku. Taką strukturę pasm spoty-

kamy w metalach. W materiałach tych liczba nośników ładunku jest

stała, a poniewaŜ swobodne nośniki ładunku w wyŜszych temperaturach

są silniej rozpraszane na drganiach sieci krystalicznej, to w efekcie ich

przewodność elektryczna maleje ze wzrostem temperatury.

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 209209209209

Rysunek 21.7. Schemat układu pasm energetycznych dla metali, półprzewodników samoistnych oraz izolatorów

Izolatory

W izolatorach i półprzewodnikach pomiędzy pasmem przewodnictwa

i pasmem walencyjnym istnieje przerwa energetyczna. Prawdopodobień-stwo przeskoku elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewod-

nictwa zaleŜy od jego energii, a więc w efekcie od temperatury. W tem-

peraturze zera bezwzględnego przeskok taki nie jest moŜliwy. W tempe-

raturach wyŜszych prawdopodobieństwo zaleŜy od energii elektronu

i szerokości przerwy wzbronionej. Im wyŜsza temperatura, tym większe

prawdopodobieństwo przeskoku, zatem tym więcej nośników ładunku

pojawia się w paśmie przewodnictwa.

Umownie przyjmuje się, Ŝe materiały, w których szerokość przerwy

wzbronionej na skali energii wynosi powyŜej 3 eV, nazywamy izolato-

rami. W temperaturze pokojowej prawdopodobieństwo przeskoku elek-

tronu jest na tyle małe, Ŝe w materiałach tych istnieje niewiele swobod-

nych nośników ładunku i słabo przewodzą one prąd elektryczny.

Półprzewodniki samoistne

W półprzewodnikach szerokość przerwy wzbronionej jest mniejsza od

umownej wartości 3 eV. W materiałach tych juŜ w temperaturze poko-

jowej istnieje zauwaŜalna ilość nośników ładunku w paśmie przewod-

nictwa. Przypomnijmy, Ŝe przeskok elektronu do pasma przewodnictwa

oznacza równieŜ, Ŝe w pasmie walencyjnym pojawia się dziura elektro-

nowa, która równieŜ moŜe się przemieszczać – jest więc drugim nośni-

ROZDZIAŁ 7

Strona 210210210210

kiem ładunku. Całkowitą przewodność półprzewodnika moŜna zatem

zapisać jako:

hhee enenσ µµ += (21.6),

gdzie ne oraz n

h oznaczają koncentrację (liczbę nośników w jednostce

objętości) odpowiednio elektronów oraz dziur, natomiast µe oraz µ

h – ru-

chliwość elektronów i dziur odpowiednio. Nośniki ładunku powstające

na skutek przeskoków termicznych elektronów noszą nazwę nośników samoistnych. Koncentracja swobodnych elektronów i dziur wzrasta wy-

kładniczo z temperaturą:

−

T

En

g

e

B2kexp~ (21.7)

We wzorze tym Eg oznacza szerokość przerwy wzbronionej, a k

B jest

stałą Boltzmanna. MoŜna w tym miejscu zauwaŜyć, Ŝe skoro przeskok

elektronu zawsze wytwarza dziurę wprowadzanie dwóch róŜnych kon-

centracji nośników wydaje się z pozoru zbędne. W dalszej części roz-

działu przekonamy się jednak, Ŝe jest moŜliwe wytworzenie w materiale

dodatkowych nośników tylko jednego rodzaju i wówczas powyŜszy za-

pis staje się uzasadniony.

Wraz ze wzrostem temperatury przewodność półprzewodników wzrasta.

Wykładniczy wzrost liczby nośników ładunku jest w tym przypadku

znacznie silniejszy niŜ spadek ruchliwości wywołany drganiami sieci

krystalicznej. W efekcie zaleŜność temperaturowa przewodności ma cha-

rakter zbliŜony do wykładniczego.

Dla półprzewodników samoistnych energia Fermiego znajduje się w ob-

szarze przerwy energetycznej w połowie odległości pomiędzy najwyŜ-szym poziomem pasma walencyjnego a najniŜszym poziomem pasma

przewodnictwa.

Półprzewodniki domieszkowane typu n

Oprócz nośników samoistnych w półprzewodnikach mogą równieŜ ist-

nieć intencjonalnie wytworzone nośniki ładunku. Powstają one w wy-

niku wbudowania w strukturę półprzewodnika atomów, które stają się źródłem swobodnych elektronów bądź dziur elektronowych. Proces taki

nazywamy domieszkowaniem. Istotne jest przy tym, aby proces do-

mieszkowania wpływał na koncentrację nośników nie zmieniając jedno-

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 211211211211

cześnie w zasadniczy sposób struktury krystalicznej półprzewodnika.

W związku z tym ilość atomów domieszki powinna być nieduŜa.

Wpływ domieszkowania na właściwości fizyczne, w tym takŜe na

strukturę pasmową półprzewodników omówimy na przykładzie krzemu.

Krzem jest podstawowym półprzewodnikiem stosowanym we współcze-

snej elektronice. Znajduje się w IV grupie układu okresowego, zatem

posiada 4 elektrony walencyjne. W czystym krzemie kaŜdy atom jest

związany z czterema sąsiadami wiązaniem kowalencyjnym. Jeśli w trak-

cie wzrostu kryształów krzemu dodamy niewielką ilość pierwiastka na-

leŜącego do V grupy, na przykład fosfor, antymon, arsen lub bizmut, to

atom tego pierwiastka ulegnie wbudowaniu w strukturę krystaliczną krzemu zamiast atomu krzemu. Cztery elektrony naleŜące do atomu do-

mieszki utworzą wiązania kowalencyjne z atomami krzemu. Piąty elek-

tron walencyjny będzie natomiast słabo związany z atomem domieszki

i moŜe stać się swobodnym nośnikiem ładunku.

Rysunek 21.8. Schemat układu pasm w półprzewodniku domieszkowanym typu n (z lewej) i typu p (z prawej)

Energia jonizacji tego elektronu jest stosunkowo niewielka – dla do-

mieszkowania krzemu fosforem wynosi ona około 0.045 eV. Dla porów-

nania, szerokość przerwy energetycznej dla krzemu wynosi 1.1 eV.

Na wykresie obrazującym układ pasm półprzewodnika domieszkowa-

nego (Rysunek 21.8) występuje dodatkowy poziom energetyczny odpo-

wiadający elektronom domieszki. PoniewaŜ atomy domieszki są roz-

mieszczone daleko od siebie, efekt nakładania się funkcji falowych po-

ROZDZIAŁ 7

Strona 212212212212

chodzących od ich elektronów moŜna w tym przypadku zaniedbać – nie

obserwuje się rozszczepienia poziomu energetycznego związanego z do-

mieszką. Poziom ten jest połoŜony w obszarze przerwy energetycznej

blisko dna pasma przewodnictwa – odległość od dna pasma przewod-

nictwa odpowiada energii jonizacji.

Domieszki, które stają się źródłem swobodnych elektronów w półprzewodniku nazywamy donorami. W półprzewodniku do-mieszkowanym donorami nośnikami większościowymi ładunku są elektrony a półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem typu n (ang. negative).

Półprzewodniki domieszkowane typu p

Atomy pierwiastków z III grupy np. bor, glin lub gal na powłoce walen-

cyjnej posiadają trzy elektrony i w związku z tym mogą wytworzyć tylko

trzy wiązania kowalencyjne. Energetycznie korzystnie jest jednak dla

tych atomów przyjęcie dodatkowego elektronu i zapełnienie powłoki

walencyjnej. W efekcie atomy domieszki trójwartościowej podstawione

w miejsce krzemu będą się starały wychwycić elektron z sąsiadujących

wiązań i uzupełnić swoje czwarte wiązanie. W ten sposób wytworzy

jednak dziurę elektronową w innym miejscu sieci krystalicznej. Mecha-

nizm ten moŜe się powtarzać, a dziura elektronowa o ładunku dodatnim

stanie się swobodnym nośnikiem ładunku i będzie przemieszczała się pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W rozwaŜanym przy-

padku domieszka o niŜszej wartościowości wprowadza dodatkowy po-

ziom energetyczny, połoŜony w obszarze przerwy energetycznej krzemu

w pobliŜu wierzchołka pasma walencyjnego. W przypadku galu (Ga)

poziom ten ma energię o 0.06 eV większą niŜ wierzchołek pasma walen-

cyjnego krzemu.

Domieszki, które stają się źródłem dziur elektronowych w pół-przewodniku nazywamy akceptorami. W półprzewodniku do-mieszkowanym akceptorami nośnikami większościowymi ła-dunku są dziury i półprzewodnik taki nazywamy typu p (ang. positive).

Przewodność elektryczna półprzewodników

PoniewaŜ domieszkowanie zmienia koncentrację nośników ładunku,

więc zgodnie ze wzorem 21.6 wpływa na wartość przewodności elek-

trycznej. Przypomnijmy, Ŝe zgodnie ze wzorem 21.6 koncentracja nośni-

ków w pasmie przewodnictwa zmienia się wykładniczo z temperaturą. Ruchliwość nośników ładunku słabo zaleŜy od temperatury, więc

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 213213213213

w efekcie zaleŜność przewodności od temperatury moŜna opisać zaleŜnością:

−=

T

E a

Bkexp0σσ (21.8),

gdzie Ea oznacza energię aktywacji przewodnictwa i w przypadku pół-

przewodników samoistnych wynosi ona Ea=E

g/2. Jeśli powyŜszą zaleŜ-

ność zlogarytmujemy to otrzymujemy równanie postaci

( ) ( )T

E a 10

Bklnln −= σσ . Z zaleŜności tej wynika, Ŝe na wykresie loga-

rytmu przewodności w funkcji odwrotności temperatury (1/T) powinni-

śmy obserwować linie proste o kącie nachylenia zaleŜnym od energii Ea

niezbędnej do wytworzenia swobodnych nośników. Jak pokazano na Ry-

sunku 21.9 w przypadku półprzewodników domieszkowych obserwować będziemy dwa obszary liniowej zaleŜności logarytmu przewodności od

odwrotności temperatury. W niskich temperaturach (duŜe 1/T) źródłem nośników ładunku są atomy domieszki, a nachylenie prostej odpowiada

energii potrzebnej do jonizacji lub przyłączenia elektronu atomu do-

mieszki. Jeśli koncentracja atomów domieszki jest niewielka, w pewnej temperaturze moŜe dojść do aktywacji wszystkich nośników domiesz-

kowych i dalszy wzrost temperatury nie powoduje znaczącego wzrostu

przewodności, a w niektórych przypadkach obserwuje się nawet jej nie-

znaczny spadek związany ze spadkiem ruchliwości nośników ładunku.

W obszarze wysokich temperatur (małe wartości 1/T – lewa strona wy-

kresu) istotny staje się udział nośników samoistnych. Do ich aktywacji

(wytworzenia) niezbędna jest wysoka temperatura (zaleŜna od szeroko-ści przerwy wzbronionej) i dlatego ich udział w przewodnictwie całko-

witym zaczyna dominować dopiero w wysokich temperaturach. NaleŜy

jednocześnie pamiętać, Ŝe koncentracja nośników samoistnych moŜe o wiele rzędów wielkości przekroczyć koncentrację nośników domiesz-

kowych. Z tego względu w wysokich temperaturach na Rysunku 21.9

ponownie obserwujemy zaleŜność liniową, a nachylenie prostej powią-zane jest z wartością połowy szerokości przerwy energetycznej półprze-

wodnika.

ROZDZIAŁ 7

Strona 214214214214

Rysunek 21.9. ZaleŜność temperaturowa przewodności dla półprzewodnika domieszkowanego

Półprzewodniki domieszkowane są szeroko stosowane w elektronice.

Kontrola procesu domieszkowania pozwala otrzymywać materiały

o róŜnorodnych właściwościach, które powszechnie stosowane są w urządzeniach elektronicznych.

21.4. Urządzenia półprzewodnikowe

Złącze p-n

W półprzewodnikowych urządzeniach elektronicznych wykorzystuje się półprzewodniki domieszkowane typu n i typu p oraz układy powstałe

w wyniku ich połączenia. Podstawowym elementem jest tutaj złącze p-n,

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 215215215215

które powstaje, jeśli w jednym krysztale półprzewodnika wytworzymy

sąsiadujące ze sobą obszary typu n i typu p. Schemat układu pasm ener-

getycznych w obszarze takiego złącza p-n przedstawiony jest na Ry-sunku 21.10. Przypomnijmy, Ŝe dla półprzewodnika typu p poziom Fer-

miego leŜy pomiędzy pasmem walencyjnym a poziomem domieszki,

a dla półprzewodnika typu n pomiędzy dnem pasma przewodnictwa

a pasmem domieszki. W obszarze złącza, w stanie równowagowym,

energie Fermiego obu materiałów wyrównują się. W efekcie pasma

walencyjne i przewodnictwa w obszarze złącza p-n ulegają zagięciu jak pokazano na Rysunku 21.10.

Rysunek 21.10. Schemat układu pasm energetycznych na złączu p-n. Obszary oznaczone jako dn i dp odpowiadają strefom zuboŜonym

RozwaŜmy teraz jakościowo zjawiska fizyczne zachodzące w obszarze

złącza p-n. W momencie wytworzenia złącza, część elektronów swobod-

nych znajdujących się w pobliŜu złącza, po stronie n przejdą na stronę p. Po stronie p ulegać będą tak zwanej rekombinacji z dziurami – zapełnią wolne poziomy, w których dotychczas znajdowały się dziury elektro-

nowe. Przypomnijmy, Ŝe kaŜdy z półprzewodników przed zetknięciem

był obojętny elektrycznie. W wyniku przejścia elektronów z materiału

typu n do p na pewnym obszarze półprzewodnika typu n występować będzie niedobór elektronów. W efekcie po stronie n złącza p-n obser-

wuje się dodatni potencjał elektryczny. Obszar uboŜszy w elektrony na-

zywamy strefą zuboŜoną (dn). Podobnie, w wyniku przejścia elektronów

przez złącze p-n po stronie półprzewodnika typu p obserwować bę-dziemy nadmiar elektronów albo innymi słowy niedobór nośników dziu-rowych. Powstanie tam więc równieŜ obszar zuboŜony (dp) charaktery-

zujący się potencjałem ujemnym. Występowanie stref zuboŜonych po

obu stronach złącza i związana z nimi róŜnica potencjałów w znacznym

stopniu ogranicza dalsze przechodzenie elektronów na stronę p oraz dal-

ROZDZIAŁ 7

Strona 216216216216

szą ich rekombinację prowadząc do wytworzenia się stanu równowagi.

Zgodnie z powyŜszym rozumowaniem przedstawione na Rysunku 21.10

zagięcie pasm obrazuje zatem powstanie pewnej bariery potencjału, która utrudnia transport nośników ładunku przez złącze. NaleŜy przy

tym zaznaczyć, Ŝe pomimo istnienia takiej bariery potencjału część elektronów potrafi ją pokonać i ulega rekombinacji po stronie p. Prąd

elektryczny związany z elektronami, które przechodzą z obszaru n do p

nazywamy prądem rekombinacji. Jednocześnie obszarze typu p wystę-pują aktywowane termicznie przeskoki elektronów z pasma walencyj-nego do przewodnictwa, w wyniku których generowane są nowe swo-

bodne elektrony w pasmie przewodnictwa. Elektrony, znajdujące się w pobliŜu złącza p-n są przyciągane przez dodatni potencjał strefy zubo-

Ŝonej po stronie n i przechodzą na tą stronę złącza a prąd elektryczny

z tym związany nazywamy prądem generacji. W sytuacji równowago-

wej prąd rekombinacji płynący ze strony n na stronę p jest równy prą-dowi generacji płynącemu w przeciwną stronę. Podobne jak opisane po-

wyŜej mechanizmy rekombinacji i generacji elektronów obserwowane są równieŜ dla nośników dziurowych.

Polaryzacja złącza p-n

Przepływ elektronów ze strony n na stronę p złącza p-n będzie przebie-

gał łatwiej, jeŜeli do złącza przyłoŜymy napięcie, które częściowo skom-

pensuje barierę potencjału wytwarzaną przez strefę zuboŜoną. Aby tak

się stało, biegun dodatni źródła musi być przyłoŜony do strony p,

a ujemny do strony n złącza (Rysunek 21.11). Wówczas złącze p-n za-

czyna przewodzić, gdyŜ wartość prądu rekombinacji wzrasta wykładni-

czo w funkcji przyłoŜonego napięcia U a wartość prądu generacji w ustalonej temperaturze nie ulega zmianie. Mówimy wówczas o pola-ryzacji złącza p-n w kierunku przewodzenia.

Rysunek 21.11. Schemat układu pasm dla złącza p-n spolaryzowanego w kierunku przewodzenia (z lewej) i w kierunku zaporowym (z prawej)

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 217217217217

Jeśli przyłoŜymy napięcie w przeciwną stronę, nośniki znajdujące się po

stronie n, aby przejść na stronę p muszą pokonać jeszcze wyŜszą barierę potencjału, niŜ miało to miejsce w sytuacji równowagowej (Rysunek 21.11). Prąd rekombinacji jest wówczas mniejszy od prądu generacji

i mówimy, Ŝe złącze p-n jest spolaryzowane w kierunku zaporowym.

Złącze p-n ma zatem niesymetryczną charakterystykę napięciową i w związku z tym nazywane jest równieŜ diodą. Dla dodatniego napię-cia przyłoŜonego do półprzewodnika typu p dobrze przewodzi prąd (kie-

runek przewodzenia), natomiast dla polaryzacji przeciwnej prąd płynący

przez złącze jest bardzo mały (kierunek zaporowy).

Rysunek 21.12. Charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego złącza typu p-n

Świecąca dioda półprzewodnikowa LED

Spolaryzowanie diody w kierunku przewodzenia powoduje, Ŝe przez ob-

szar złącza przepływają zarówno elektrony jak i dziury elektronowe.

W obszarze złącza elektrony mogą ulegać rekombinacji. Zjawisko

rekombinacji związane jest z przeskokiem elektronu z wyŜszego po-ziomu energetycznego na niŜszy nieobsadzony poziom, odpowiadający

dziurze elektronowej. W wyniku przeskoku elektronu emitowany jest

kwant światła o energii równej w przybliŜeniu szerokości przerwy

wzbronionej półprzewodnika. PoniewaŜ rekombinacji mogą ulegać elektrony znajdujące się na róŜnych poziomach energetycznych pasma

przewodnictwa z dziurami elektronowymi znajdującymi się równieŜ na

róŜnych poziomach energetycznych pasma walencyjnego, wiec w efek-

cie emitowane przez złącze promieniowanie nie jest ściśle monochro-

matyczne, ale ma zwykle pewien wąski zakres długości fali. Wykonując

złącza p-n z róŜnych materiałów półprzewodnikowych o róŜnych prze-rwach wzbronionych moŜemy wytwarzać promieniowanie o róŜnych

ROZDZIAŁ 7

Strona 218218218218

długościach fali a taką diodę świecącą nazywamy LED od angielskiego

Light Emitting Diode.

Po spolaryzowaniu diody w kierunku przewodzenia prąd narasta wy-

kładniczo w funkcji przyłoŜonego napięcia U. Wykładniczo narastać równieŜ będzie prawdopodobieństwo rekombinacji a więc liczba foto-nów emitowanych w jednostce czasu. NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe przy

przepływie zbyt duŜego prądu ciepło wytworzone na bardzo cienkim ob-

szarze złącza moŜe doprowadzić do uszkodzenia diody. Dlatego nie na-

leŜy przekraczać napięcia polaryzacji diody podanego przez producenta.

NatęŜenie prądu zaleŜy od szerokości bariery potencjału i dlatego diody

wykonane z półprzewodników o szerszej przerwie energetycznej wyma-

gają zwykle wyŜszego napięcia pracy.

We współczesnych urządzeniach elektronicznych stosowanych jest wiele

rodzajów diod świecących. Diody wykonane z półprzewodników o nie-

wielkiej szerokości przerwy wzbronionej świecą w zakresie podczer-

wieni i są z powodzeniem wykorzystywane w pilotach sterujących urzą-dzeniami elektronicznymi oraz kamerach termowizyjnych. Diody z za-

kresu światła widzialnego są wykorzystywane zarówno w panelach kon-

trolnych, jak i w ekranach świetlnych. Tak zwane diody białe często wy-korzystują do emisji światła warstwę luminoforu. W diodach tych w złą-czu wytwarzane jest monochromatyczne promieniowanie o duŜej energii

fotonów, które w wyniku oddziaływania z warstwą luminoforu zamie-niane na światło o szerokim zakresie widmowym (zakresie długości

fali), które odbierane jest przez nasze oko jako światło białe. W celu

uzyskania światła białego moŜliwe jest równieŜ złoŜenie trzech barw podstawowych światła widzialnego – czerwonej, zielonej i niebieskiej.

Warto podkreślić, Ŝe w przeciwieństwie do zwykłych Ŝarówek diody

świecące charakteryzują się wysoką sprawnością zamiany energii elek-

trycznej na energię emitowanego promieniowania. Ponadto diody cha-rakteryzuje takŜe długowieczność i odporność na niekorzystne warunki

zewnętrzne i dlatego są chętnie wykorzystywane w oświetleniu po-

mieszczeń czy w przemyśle motoryzacyjnym.

Fotodiody

Złącze p-n moŜe równieŜ działać jako element czuły na światło czyli

tzw. fotodioda. W tym celu złącze p-n jest polaryzowane w kierunku za-

porowym. Wówczas w obwodzie elektrycznym nie płynie prąd. Jed-

nakŜe, w wyniku oświetlania diody foton moŜe przekazać swoją energię elektronowi w paśmie walencyjnym, pozwalając mu na przeskok do pa-

sma przewodnictwa. W obszarze typu p w pobliŜu złącza powstaje wów-

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 219219219219

czas para nośników – elektron i dziura. Swobodny elektron jest przycią-gany przez potencjał wytworzony w obszarze złącza i przechodzi ze

strony p na stronę n. Zmierzony prąd, nazywany fotoprądem, zaleŜeć bę-dzie od natęŜenia padającego światła. Fotodiody są czułe na promienio-

wanie o energii większej niŜ szerokość przerwy energetycznej półprze-

wodnika.

Ogniwa fotowoltaiczne

Oddziaływanie fotonów z elektronami moŜemy wykorzystać nie tylko

do detekcji promieniowania, ale równieŜ jako źródło energii elektrycz-nej. Foton zaabsorbowany w obszarze niespolaryzowanego złącza p-n

powoduje wytworzenie prądu generacji związanego z przepływem elek-

tronów ze strony p na stronę n. Powstaje w ten sposób róŜnica potencjałó

ow, a więc foton ten przyczynia się do wytworzenia siły elektro-

motorycznej między stroną n (biegun ujemny), a stroną p (biegun do-datni) - tak zwanego fotoogniwa.

Rysunek 21.13. Schemat przekroju i działania fotoogniwa

W najczęściej stosowanych fotoogniwach opartych na polikrystalicznym krzemie na powierzchni ogniwa znajduje się warstwa antyodblaskowa,

której zadaniem jest skierowanie jak największej ilości fotonów do

warstw znajdujących się poniŜej (Rysunek 21.13). Następnie fotony przechodzą przez cienką warstwę typu n i trafiają do znacznie grubszego

obszaru typu p, w którym są absorbowane. Elektrony powstałe w wyniku

absorpcji fotonów wędrują w kierunku złącza, z którego są zbierane

przez rozmieszczone w równych odstępach metalowe elektrody. Nośniki

ROZDZIAŁ 7

Strona 220220220220

dziurowe natomiast wędrują w kierunku znajdującej się pod obszarem

typu p płaskiej elektrody metalowej.

Sprawność konwersji energii słonecznej na elektryczną typowych fotoo-

gniw krzemowych jest rzędu 25% a najwyŜsza uzyskana przekracza

40%. Masowość produkcji ogniw opartych na krzemie sprawia, Ŝe za-czynają one stanowić powaŜną alternatywę dla innych źródeł energii.

Ogniwa słoneczne sprawdzają się w urządzeniach przenośnych o nie-

wielkiej mocy, takich jak kalkulatory, lub w regionach, w których dostęp

do innych źródeł energii jest utrudniony. Elektrownie oparte na fotoo-

gniwach, tak zwane farmy słoneczne, buduje się w regionach o znacz-

nym nasłonecznieniu. Ogniwa słoneczne stanowią takŜe podstawowe

źródło zasilania dla satelitów i stacji kosmicznych. Podstawową barierą w większym upowszechnieniu fotoogniw jest ich wciąŜ wysoka cena.

Tranzystor

Tranzystor jest elementem elektronicznym, składającym się z elementów

półprzewodnikowych typu p i n (Rysunek 21.14) tak połączonych, Ŝe za

pomocą przyłoŜenia potencjału do jednej z trzech elektrod moŜemy ste-

rować przepływem nośników pomiędzy dwoma pozostałymi elektro-

dami. W zaleŜności od znaku i wartości przyłoŜonego potencjału tranzy-

stor moŜe realizować róŜne funkcje np. działać jako wzmacniacz napię-cia (o charakterystyce liniowej lub wykładniczej), lub jako sterowany

przełącznik typu włącz-wyłącz. Warto zaznaczyć, Ŝe w tranzystorach

typu MOSFET, którego schemat przedstawiony jest na Rysunku 21.14 obserwuje się zjawisko tunelowania elektronów przez cienką warstwę izolatora.

Rysunek 21.14. Schemat budowy tranzystora typu MOSFET

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 221221221221

Złącze metal-metal

Napięcie kontaktowe

Omawiając charakterystykę złącza p-n w półprzewodnikach pokazali-

śmy, Ŝe w momencie zetknięcia ze sobą materiałów o róŜnej strukturze

pasmowej następuje taki przepływ nośników, Ŝeby poziomy Fermiego

obu półprzewodników się wyrównały.

RównieŜ w przypadku metali po zetknięciu ze sobą dwóch róŜnych me-

tali, o róŜnej strukturze elektronowej, obserwować będziemy taki prze-

pływ elektronów, Ŝeby poziomy Fermiego w obu metalach się wyrów-

nały (Rysunek 21.15). Przepływ elektronów z metalu, w którym energia

Fermiego ma wyŜszą wartość (EF1

) na stronę metalu, w którym energia

Fermiego jest niŜsza (EF2

) jest korzystne energetycznie. Elektrony z me-

talu 1 przeskakując na wcześniej nieobsadzone poziomy energetyczne

metalu 2 uzyskują niŜszą energioę. W wyniku tego procesu energia Fer-

miego w pierwszym metalu ulega obniŜeniu, zaś energia Fermiego

w drugim metalu podnosi się, aŜ poziomy Fermiego w obu metalach wy-

równają się. Jednak na skutek tego przepływu wytwarza się róŜnica po-

tencjałów między materiałami – metal, z którego elektrony wychodzą uzyskuje ładunek dodatni, a metal, na stronę którego przechodzą –

ujemny. Na diagramie obrazującym strukturę pasmową odpowiada to

przesunięciu całego układu pasm w stronę wyŜszych energii po stronie metalu 2, dla którego wartość energii Fermiego była niŜsza (Rysunek

21.15).

Rysunek 21.15. Schemat układu pasm na złączu dwóch róŜnych metali: z lewej przez zetknięciem, z prawej w sytuacji równowagowej

po zetknięciu

W stanie równowagi między metalami istnieje zarówno róŜnica poten-

cjałów wynikająca z przejścia elektronów z jednego metalu do drugiego

(nazywamy ją napięciem kontaktowym Galvaniego) jak i róŜnica poten-cjałów wynikająca z róŜnych wartości pracy wyjścia (nazywamy ją na-

pięciem Volty) (Rysunek 21.15).

ROZDZIAŁ 7

Strona 222222222222

Przypomnijmy, Ŝe praca wyjścia określa energię, jaka jest niezbędna,

aby elektron mógł opuścić metal. Pracę wyjścia oznaczamy symbolem φ

i wspominaliśmy juŜ o niej, gdy omawialiśmy efekt fotoelektryczny ze-wnętrzny (Rozdział 18). Pracę wyjścia moŜna równieŜ zdefiniować jako

róŜnicę energii między poziomem Fermiego, a energią odpowiadającą krawędzi studni potencjału wytworzonej przez dodanie rdzenie ato-

mowe. Przykładowe wartości pracy wyjścia wynoszą: dla litu 2.9 eV,

cezu 1.8 eV a dla platyny 5.3 eV.

Termopara

W termoparach wykorzystywane jest zjawisko Seebecka, polegające na

powstawaniu róŜnicy potencjałów pomiędzy dwoma punktami metalu

znajdującymi się w róŜnych temperaturach. Nośniki z „gorącego” końca

elementu metalowego, posiadające większą energię, migrują w kierunku

„zimnego” końca. W efekcie pomiędzy tymi końcami metalu obserwuje

się róŜnicę koncentracji nośników. Związana z nią róŜnica potencjałów,

siła termoelektryczna, jest proporcjonalna do róŜnicy temperatur między badanymi punktami. Wartość róŜnicy potencjałów pomiędzy końcami

drutu zaleŜy takŜe od metalu (stopu metalicznego), z którego wykonany

jest ten drut. Układ pomiarowy termopary składa się z drutów wykona-

nych z dwóch róŜnych metali, tworzących obwód zamknięty. Jedno złą-cze drutów metalowych znajduje się w badanej temperaturze a drugie

w temperaturze odniesienia. W efekcie kaŜdy z drutów doznaje tej samej

róŜnicy temperatur, ale poniewaŜ zbudowane są z róŜnych materiałów

w obwodzie obserwuje się siłę termoelektryczną, na podstawie której

moŜna wyznaczyć róŜnicę temperatur pomiędzy dwoma złączami:

( )2

121

B lne

k

n

nTTε −= (21.9)

W laboratorium złącze referencyjne moŜe być umieszczone np. w wo-

dzie z lodem o temperaturze 0 0C. W przenośnych miernikach elektro-

nicznych pomiaru referencyjnego dokonuje się inną metodą. Przeliczenia

siły elektromotorycznej na temperaturę dokonują obecnie układy elek-

troniczne, w których zaprogramowane zostały parametry charakteryzu-jące dany typ termopary. W zaleŜności od zakresu interesujących nas

temperatur stosowane mogą być róŜne stopy metali – w najczęściej sto-

sowanych termoparach typu K są to stopy chromelu i alumelu) a w ter-

moparach typu J Ŝelazo i stop miedzi i niklu o nazwie konstantan.

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 223223223223

Zjawisko Peltiera

Skoro w układzie termopary róŜnica temperatur na dwóch złączach ob-

wodu powoduje powstawanie siły termoelektrycznej w obwodzie, to na-

leŜy spodziewać się takŜe wystąpienia zjawiska odwrotnego – wymu-

szając przepływ prądu w obwodzie termopary, wytwarzamy róŜnicę temperatur pomiędzy złączami. Zjawisko to nazywamy efektem Peltiera.

W konstrukcji tzw. elementów Peltiera często wykorzystuje się ułoŜone

naprzemiennie półprzewodniki typu n i typu p. W tym przypadku wyko-

rzystywana jest znaczna róŜnica koncentracji nośników w obszarach o róŜnym domieszkowaniu. W zaleŜności od kierunku przepływu prądu

w obwodzie element taki moŜe grzać lub chłodzić. Ze względu na nie-

wielką sprawność (rzędu kilku %) elementy Peltiera sprawdzają się przede wszystkim tam, gdzie tradycyjne urządzenia spręŜarkowe nie

mogą być zastosowane ze względu na rozmiary lub niekorzystne dla ich

działania środowisko pracy. Ze względu na bezawaryjne działanie ele-

menty tego typu stosowano równieŜ wielokrotnie w sondach kosmicz-

nych. Elementy Peltiera stosuje się w przenośnych lodówkach, przy

chłodzeniu elementów elektronicznych, a w motoryzacji takŜe w ukła-

dach klimatyzacji.

21.5. Lasery

W Rozdziale 16 poświęconym optyce omawialiśmy zjawiska wynikające

z falowej natury światła takie jak interferencja czy dyfrakcja. Wspomi-

naliśmy równieŜ o zastosowaniach zjawisk optycznych w urządzeniach

technicznych, takich jak interferometry i dalmierze. Zaznaczaliśmy

wówczas, Ŝe aby w pełni wykorzystać moŜliwości, jakie daje optyka fa-

lowa, niezbędne jest jednak odpowiednie źródło światła. Światło po-

winno być monochromatyczne oraz spójne w czasie i przestrzeni

a wiązka światła powinna równieŜ charakteryzować się moŜliwie małą rozbieŜnością. W przypadku źródeł światła takich jak Słońce czy Ŝa-

rówka warunki te są trudne do spełnienia. Źródła te charakteryzują się szerokim zakres długości fali i falowe emitowane w wielu róŜnych punktach źródła nie są ze sobą skorelowane.

Przypomnijmy, Ŝe przy przejściu elektronu ze stanu wzbudzonego do

stanu podstawowego emitowany jest kwant promieniowania o długości

fali dobrze określonej przez róŜnicę energii poziomów, między którymi

nastąpił przeskok. Powstałe w ten sposób promieniowanie jest więc mo-

ROZDZIAŁ 7

Strona 224224224224

nochromatyczne. Niestety jednak przeskoki elektronów w poszczegól-

nych atomach nie są ze sobą powiązane, zatem wyemitowane fotony

mają róŜne fazy. Taką sytuację obserwujemy, gdy emisja fotonów przez poszczególne atomy ma charakter spontaniczny. W swojej pracy z 1917

roku Einstein wskazał na moŜliwość występowania drugiego typu emisji

– wymuszonej przez kwant światła o odpowiedniej energii.

Budowa i działanie lasera

Urządzeniem pozwalającym uzyskać monochromatyczne i spójne świa-

tło o niewielkiej średnicy wiązki jest laser. Na proces wytworzenia wiązki laserowej składa się kilka etapów, które opiszemy szczegółowo

poniŜej.

śeby nastąpiła emisja fotonów niezbędne jest najpierw przeniesienie

atomu ze stanu podstawowego do stanu wzbudzonego, co wiąŜe się z przeskokiem elektronu na wyŜszy poziom energetyczny. Często wyko-

rzystywane jest do tego celu promieniowanie świetlne pochodzące z ze-

wnętrznego źródła, a efekt nazywany jest pompowaniem optycznym.

Warto zaznaczyć tutaj, Ŝe takie pompowanie optyczne często odbywa się dwuetapowo. Elektron trafia najpierw na poziom o wysokiej energii,

z którego następnie szybko spada na niŜszy poziom o większej stabilno-

ści (Rysunek 21.16). Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga nie

tylko pęd i połoŜenie obiektu mogą być wyznaczone tylko z ograniczoną dokładnością. RównieŜ energia i czas są ze sobą powiązane w podobny

sposób. Poziom energetyczny, na którym elektron znajduje się przez bardzo krótki czas obejmuje pewien zakres energii (W3). Oznacza to, Ŝe

pompowanie optyczne występować będzie nie tylko dla jednej długości

fali, ale dla pewnego zakresu wartości. Przeskoki elektronów z poziomu krótkoŜyciowego (W3) na poziom metastabilny (E2) o niŜszej energii na-

stępują szybko w sposób nieskorelowany, spontaniczny, co nazywamy

emisją spontaniczną. W efekcie pompowanie optyczne prowadzi do powstania tzw. inwersji obsadzeń. W stanie wzbudzonym (E2) znajduje

się więcej elektronów niŜ w stanie podstawowym (E1).

Elektron znajdujący się na poziomie metastabilnym (E2) o długim czasie

Ŝycia moŜe wykonać spontaniczny przeskok do poziomu niŜszego. Jeśli dojdzie do oddziaływania wyemitowanego na skutek tej spontanicznej emisji fotonu z innym elektronem znajdującym się na poziomie metasta-

bilnym, moŜe on zainicjować (wymusić) przejście równieŜ tego elek-

tronu na niŜszy poziom energetyczny. Zjawisko to nazywane jest emisją wymuszoną. NaleŜy przy tym podkreślić, Ŝe w wyniku emisji wymu-

FIZYKA CIAŁA STAŁEGO

Strona 225225225225

szonej nie tylko energia fotonu wyemitowanego jest identyczna jak

energia fotonu wymuszającego. RównieŜ paczki falowe odpowiadające

obu fotonom mają identyczną fazę, polaryzację i kierunek rozchodzenia się. W wyniku oddziaływań z kolejnymi elektronami znajdującymi się na poziomie metastabilnym, właściwości „pierwotnego” fotonu ulegają powieleniu. Otrzymujemy zatem spójne, monochromatyczne źródło

światła.

Rysunek 21.16. Schemat działania lasera trójpoziomowego

Do efektywnego działania lasera konieczne jest, aby jedynie część stru-mienia fotonów wydostawała się na zewnątrz urządzenia w postaci

wiązki laserowej, pozostałe zaś podtrzymywały zjawisko emisji wymu-

szonej. Z tego względu w większości rozwiązań konstrukcji laserów

ośrodek, w którym zachodzi emisja wymuszona znajduje się pomiędzy

dwoma zwierciadłami, z których jedno jest półprzepuszczalne. Zazwy-

czaj odległość między zwierciadłami dobrana jest tak, by wewnątrz mie-

ściła się wielokrotność połowy długości fali emitowanej wiązki. Bę-dziemy wówczas mieli do czynienia z tzw. rezonatorem optycznym,

w którym między zwierciadłami powstaje fala stojąca.

Zastosowania laserów

Szerokie zastosowanie laserów w róŜnych dziedzinach techniki wynika

z unikalnych właściwości światła laserowego. Lasery znajdziemy w urządzeniach do zapisu i odczytu danych z nośników optycznych, ta-

kich jak płyty CD, DVD lub Blu-ray. Spójność promieniowania jest wy-

korzystywana do precyzyjnych pomiarów odległości w technikach inter-

ROZDZIAŁ 7

Strona 226226226226

ferometrycznych. Za pomocą nałoŜenia dwóch wytworzonych przez to

samo źródło wiązek moŜna szybko określić zmiany wzajemnego połoŜe-

nia obiektów. Umieszczając jedno ze zwierciadeł interferometru na przę-śle mostu lub ścianie budynku jesteśmy w stanie wyznaczyć jego ruchy

z dokładnością do połówki długości fali, co jest trudne do osiągnięcia in-

nymi technikami. Niewielka rozbieŜność wiązki laserowej w połączeniu

ze spójnością pozwoliła wykorzystać laser do pomiaru zmian odległości

Ziemia-KsięŜyc. Wykorzystanie szybkich przetworników i procesorów

taktowanych wysoką częstotliwością umoŜliwia obecnie równieŜ bezpo-średni pomiar odległości na podstawie czasu przelotu światła laserowego

między miernikiem a zwierciadłem. Z tego względu lasery są uŜywane

równieŜ w zastosowaniach wojskowych w układach naprowadzania po-

cisków na cel.

Innym zastosowaniem wykorzystującym spójność światła laserowego jest holografia. Rejestracja obrazu holograficznego polega na zapisie in-

terferencji fali rozproszonej przez przedmiot z falą niezaburzoną -

wiązką odniesienia. Uzyskujemy rodzaj „modulowanej” siatki dyfrak-cyjnej. W celu odtworzenia hologramu naświetlamy obraz holograficzny

światłem laserowym. W polu za obrazem zostaje odtworzony prze-

strzenny obraz światła odbitego od obiektu.

DuŜa moc światła laserowego i moŜliwość jego skupienia na niewielkim

obszarze jest wykorzystywana do obróbki materiałów. Sterowane mi-kroprocesorowo urządzenia wyposaŜone w laser duŜej mocy mogą wy-

konywać precyzyjne cięcia elementów wykonanych zarówno z twardych

metali, jak i tworzyw sztucznych lub ceramiki. Dzięki zastosowaniu la-serowych technik obróbki stało się moŜliwe wykonywanie detali trud-

nych do uzyskania innymi sposobami. Lasery mogą słuŜyć takŜe do

hartowania, spawania lub znakowania powierzchni metali. Lasery są równieŜ szeroko stosowane w medycynie, gdzie znajdują zastosowanie

m.in. w selektywnym niszczeniu komórek nowotworowych i korekcji

wad wzroku. W technice wojskowej lasery duŜej mocy mogą być uŜy-

wane do niszczenia rakiet i samolotów, a takŜe „oślepiania” układów

optycznych nieprzyjaciela.

Światło laserowe o wysokiej energii moŜe być uŜyte do „skompresowa-

nia” materii w stopniu wystarczającym do zajścia zjawiska fuzji jądro-

wej. Ale równieŜ wiązki laserowe o odpowiedniej częstotliwości mogą być uŜywane do stopniowego odbierania energii od atomów, umoŜli-wiając osiągnięcie temperatur bliskich zera bezwzględnego.