Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
-
Upload
daylen-telvanni -
Category
Documents
-
view
517 -
download
10
Transcript of Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 1/329
W Y D A W N I C T W O N A U K O W E P W
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 2/329
Wybrane właściwości fizyczne (wartości zaokrąglone)
Po wie t rze ( suche , w temp. 20°C i pod c iśn. 1 a tm)
gęstość
c iepło właśc iwe pod s ta łym c iśnieniem
stosunek c iepe ł właśc iwych
c
p
/c
v
pr ę dkość dź w ię ku
na tężenie pola e lekt rycznego przebic ia
e f e k tyw na ma sa molow a
Wo da
gęstość
pr ę dkość dź w ię ku
c iepło właśc iwe pod s ta łym c iśnieniem
ciepło topnienia (w temp. 0°C)
c iepło parowania (w temp. 100°C)
w spó łc z ynn ik z a ł a ma nia (X = 589 nm)
ma sa molow a
1,21 kg/m
3
1010 J / (kg • K )
1,40
343 m/s
3 • 1 0
6
V/m
0,0289
kg /mol
1000 kg /m
3
1460 m/s
4 1 9 0
J/(kg-K)
333 kJ /kg
2260 kJ /kg
1,33
0,0180 kg /moi
Ziemia
ma sa
średni promień
przyspieszenie grawi tacyjne na powierzchni Z iemi
s tandardowe c iśnienie a tmosferyczne
okres ruchu sa te l i ty na orbic ie odległe j od Ziemi o 100 km
promień orbi ty geostac jonarne j
prędkość uc ieczki
d ipo low y mome nt ma gne tyc z ny
średnie pole e lekt ryczne na powierzchni Z iemi
Odległośc i od Ziemi
do Księżyca
do S łońc a
do na jbl iższe j gwiazdy
do środka nasze j Galaktyki
do ga l a k tyk i A ndr ome dy
do g r a n i c y obse r w ow a lne go Wsz e c hśw ia t a
5,98 • 1 0
2 4
k g
6,37 • 1 0
6
m
9 ,8 m/ s
2
1,01
•
1 0
5
P a
86,3 min
4 2 2 0 0 k m
11,2 km/s
8,0
•
1 0
2 2
A
•
m
2
150 V/m, skie rowane w dół
3,82
•
1 0
8
m
1,50
•
1 0
1 1
m
4,04
•
1 0
1 6
m
2 ,2 • 1 0
2 0
m
2,1 • 10
2 2
m
~ 1 0
2 6
m
Nazwy przedrostków jednostek SI
Cz ynnik
Przedrostek
Symbol
Czynnik
Przedrostek Symbol
1 0
2 4
jo t ta Y
i o -
1
decy d
1 0
2 1
zetta
Z 1 0 ^
2
centy c
1 0
1 8
eksa
E
i o -
3
mili m
1 0
1 5
peta P i o -
6
mikro
|X
1 0
1 2
tera T
I O "
9
nano n
i o
9
giga
G
1 0 ~
1 2
piko
P
1 0
6
me ga
M i o -
1 5
femto
f
1 0
3
kilo k
J 0 - 1 8
atto
a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 3/329
Dav id R ob ert Jearl
Halliday Resnick Walker
IZYKI
Z j ę z y k a a n g i e l s k i e g o t ł u m a c z y l i
Mirosław Łukaszewski, Włodzimierz Komar i Rafał Bożek
W A R S Z A W A 2 0 0 6
W Y D A W N I C T W O N A U K O W E P W N
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 4/329
Dane oryginału:
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker
FU N D A M E N T A L S OF PH Y SICS , PA RT 2
John Wiley & Sons, Inc.
Authorized translation from English langua ge edition published by John Wiley & S ons, Inc.
Copyright © 2001by John Wiley & Sons, Inc.
Ali Rights Reserved
Projekt okładki i stron tytułowych Joanna Sobieraj
Przekład z języka angielskiego Mirosław Łukaszewski (rozdziały 13-15)
| Włodzimierz Kom ar | (rozdziały 16-18)
Rafał Bożek (rozdziały 19-21)
Redaktor naukowy Jan Mostowski
Mirosław Łukaszewski
Redaktor
Anna Bogdanienko
Korekta Małgorzata Kopczyńska
Copyright © for the Polish edition
by Wydawnictwo Naukowe PWN SA
Warszawa 2003
Wydawnic two Naukowe PWN SA
00-251 W arszawa, ul . Miodowa 10
tel. 022 69 54 321
faks 022 69 54 031
e-mail: [email protected] l
www.pwn.pl
ISBN-13: 978-83-01-14107-3 t . 2 ISBN -13: 978-83-01-13997-1 t . 1-5
ISBN-10: 83-01-14107-7 ISBN -10: 83-01-13997-8
Wydawnic two Naukowe PWN SA
Wydanie pierwsze, 2 dodruk
Arkuszy drukarskich 41,5
Skład i łamanie: ArtGraph, Warszawa
Druk ukończono w październiku 2006 r.
Druk i oprawa: GRAFM AR Sp. z o .o .
36-100 Kolbuszowa Dolna, ul. Wiejska 43
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 5/329
SPIS ZAWARTOŚCI
WSZYSTKICH TOMÓW
Rozdzia ł 1 . Pom iar
Rozdz ia ł 2 . Ruch prostol in iow y
Rozdzia ł 3 . We ktor y
Rozdz ia ł 4 . Ruch w dw óch i t rzech wym iara ch
Roz dział 5. Si ła i ruch I
Roz dział 6. Si ła i ruch II
Rozdz ia ł 7 . Energ ia k inetyczna i praca
R oz dz i a ł 8 . Ene rg i a po t e nc j a l na i z a c h ow a ni e e ne rg i i
Rozdz ia ł 9 . Uk ład y cząstek
R oz dz i a ł 1 0 . Zde rz e n i a
R oz dz i a ł 1 1 . O bro t y
Rozdz ia ł 12 . Toczenie s ię c ia ł , moment s i ły i moment pędu
Rozdzia ł 13 . Równowaga i sprężystość
R oz dz i a ł 1 4 . G ra w i t a c j a
Rozdz ia ł 15 . P łyny
R oz dz i a ł 1 6 . D rga n i a
Rozdz ia ł 1 7. Fale I
Rozdział 18. Fale I I
R oz dz ia ł 1 9 . Te m pe ra t ura , c i e p ł o
i p i e rw s z a z a s a da t e rmody na mi k i
Rozdz ia ł 20 . K inetyczna teor ia gazów
R oz dz ia ł 2 1 . Ent rop i a i d ruga z a s a d a t e rmo dy n a mi k i
Rozdz ia ł 22 . Ładunek e lekt ryczny
Rozdzia ł 23 . Pole e lek t ryczne
R oz dz i a ł 2 4 . P ra w o G a us s a
Rozdzia ł 25 . Potenc ja ł e lek t ryczny
Rozdzia ł 26 . Pojemność e lekt ryczna
Rozdzia ł 27 . Prąd e lek t ryczny i op ór e lek t ryczny
R oz dz i a ł 2 8 . O bw ody e l e k t ry c z ne
R oz dz i a ł 2 9 . Po l e ma gne t y c z ne
R oz dz i a ł 3 0 . Po l e ma gne t y c z ne w y w oł a ne prz e p ł y w e m
prą du
Rozdzia ł 3 1 . Z jawis ko indukc j i i indukcy jność
R o z d z i a ł 3 2 . M a g n e t y z m m a t e r i i ; r ó w n a n i e M a x w e l l a
R oz dz ia ł 3 3 . D rg a n i a e l e k t rom a gne t y c z ne i p rą d z m i e nn y
R oz dz i a ł 3 4 . Fa l e e l e k t roma gne t y c z ne
R oz dz i a ł 3 5 . O bra z y
Rozdz ia ł 36 . Interferenc ja
Rozdz ia ł 37 . Dyf rakc ja
Rozdz ia ł 38 . Teor ia względnośc i
Rozdz ia ł 39 . Fotony i fa le mate r i i
Rozdz ia ł 40 . Jeszcze o fa lach mater i i
R oz dz ia ł 4 1 . W s z y s tk o o a t om a c h
Rozdzia ł 42 . Przewodnic two e lekt ryczne c ia ł s ta łych
Rozdzia ł 43 . F izyka jądrowa
R oz dz i a ł 4 4 . Ene rg i a j ą drow a
R oz dz ia ł 4 5 . K w a r k i , le p t ony i W i e l k i W y b uc h
D oda t k i
O d p o w i e d z i d o s p r a w d z i a n ó w o r a z p y t a ń i z a d a ń
o nume ra c h n i e pa rz y s t y c h
Sk orow i dz
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 6/329
1 3 . 1 .
N iek tó re cechy sprężyste wybran ych mate r ia łó w p rzydatnych w techn ice 16
1 4 . 1 . Z m i a n a a
g
z wysokością 3 3
14.2. Prędkość ucieczki z ki lku ciał niebie skich 4 1
1 4 . 3 .
T rzec ie p raw o Kep lera d la p lanet Uk ładu S łoneczne go 4 4
15 .1 . W ybr ane gęstośc i 62
1 5 . 2 . W yb ran e war tośc i c iśn ien ia 64
1 7 . 1 . Różnice faz i cha rakte r in ter ferencj i 13 9
1 8 . 1 . Prędkość dźw ięku 15 6
1 8 . 2 . G łośnośc i wybran ych dźw iękó w 16 6
19 .1 .
W yb ran e tem pera tu ry w ska l i Ce ls jusza i Fahre nhei ta 19 2
19 .2 .
Wartości wsp ółczynn ika rozszerzalności l in iow ej wyb rany ch substancj i 19 5
19 .3 .
War tośc i c iep ła w łaśc iweg o wyb ranych substancj i w tem pera tu rze pok o jowe j 1
1 9 . 4 . War tośc i c iep ła p rzem iany wybran ych substanc j i 2 0 0
19 .5 .
P ierwsza zasad a term od yna mik i : cz tery p rzypadk i szczegó lne 2 0 6
19 .6 .
War tośc i p rzewodnośc i c iep lne j w łaśc iwej wybrany ch substanc j i 2 0 9
2 0 . 1 .
Przyk ładowe p rędkośc i cząsteczek w tem per atu rz e poko jow ej (T = 3 0 0 K) 23 2
2 0 . 2 . M o lo we c iep ła w łaśc iwe p rzy s ta łe j ob ję tośc i 24 1
2 0 . 3 .
L iczba stopni swo bod y d la różnych cząsteczek 2 4 6
2 0 . 4 .
Cz tery szczegó lne p rzem iany 25 1
2 1 . 1 . Sześć cząsteczek w zbiorn iku 2 7 7
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 7/329
w n o w a g a i s p r ęż y st o ść
1
kominie skalnym?
R ó w n o w a g a 2
W a r u n k i r ó w n o w a g i 3
Środ ek c iężkości 5
.4 . K i lka p rzyk ład ów rów now ag i s ta tyczne j 7
U k ł a d y n i e o z n a c z o n e 1 2
Sprężystość 14
Płyny 60
Dlaczego początkujący nurkowie czasem tracą życie?
1 5 . 1 . P łyny w otac zają cym nas świecie 61
1 5 . 2 . C o to jest płyn? 61
1 5 . 3 .
Gęstość i c iśnienie 61
15 .4 . P łyny w spoczynku 64
1 5 . 5 .
Jak s ię mie rzy c iśnienie? 6 7
1 5 . 6 . Praw o Pascala 69
1 5 . 7 .
P raw o A rch im edesa 71
1 5 . 8 . R uch p łynów doskona łych 75
1 5 . 9 .
R ów n an ie c iąg łośc i 76
1 5 . 1 0 . R ów n an ie B ernou l l iego 79
P o d s u m o w a n i e 8 3
Pytania 84
Z a d a n i a 8 5
ROZDZIAŁ 14
?
S i ła g raw i tacy jna w e Wszechśw iec ie 2 8
P raw o pow s zechne go c iążen ia 28
G raw i tac ja a zasa da superpozyc ji 30
.4 . G raw i tac ja w pob l iżu pow ierzchn i Z iem i 32
G r a w i t a c j a w e w n ą t r z Z i e m i 3 6
G r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a 3 7
Planety i sate l i ty: pr aw a Kep lera 42
Satel i ty: orbity i en erg ia 4 6
G raw i tac ja w ed ług E ins te ina 4 8
I B
D r g a n i a 9 3
Dlaczego budynki Mexico City zawaliły się pod wpływe
bardzo odległego trzęsienia ziemi?
1 6 . 1 .
D r g a n i a 9 4
1 6 . 2 .
R uch harm on iczn y 94
1 6 . 3 . S i ła w ruchu harm on iczn ym 98
1 6 . 4 . E n e r g ia w r u c h u h a r m o n i c z n y m 1 0 0
1 6 . 5 . W a h a d ł o t o rs y jn e 1 0 2
1 6 . 6 .
W a h a d ł a 1 0 3
1 6 . 7 . Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu 10
1 6 . 8 .
R uc h h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y 1 1 0
1 6 . 9 .
D r g a n i a w y m u s z o n e i r e z o n a n s 1 1 2
P o d s u m o w a n i e 1 1 3
P ytan ia 114
Z a d a n i a 1 1 6
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 8/329
F a l e 1 2 2
Jak skorpion wykrywa obecność chrząszcza,
nie widząc go ani nie słysząc?
1 7 . 1 . Fale i cząstki 12 3
1 7 . 2 .
Rodza je f a l 12 3
1 7 . 3 . F a l e p o p r z e c z n e i p o d ł u ż n e 1 2 4
17 .4 . D ługość f a l i i częst ość 12 5
1 7 . 5 . Pr ędkość f a l i b i egn ące j 12 8
1 7 . 6 . Prędkość fal i w na pię tej l inie 13 1
1 7 . 7 . Ener g ia i moc f a l i b i egn ącej w l in ie 13 4
1 7 . 8 . Zas ad a super pozyc j i f a l 13 6
1 7 . 9 . I n t er f er encja f a l 13 7
1 7 . 1 0 .
W s k a z y 1 4 0
1 7 . 1 1 . Fa le s t o jące 14 2
1 7 . 1 2 .
Fa le s t o jące i r ezon ans 14 4
P o d s u m o w a n i e 1 4 7
Pyt an ia 148
Z a d a n i a 1 4 9
ROZDZIAŁ
F a l e II 1 5 4
Jak nietoperz odnajduje ćm ę w całkowitej ciemności?
1 8 . 1 .
F a l e d ź w i ę k o w e 1 5 5
1 8 . 2 . Pr ędkość dźw ięku 15 5
1 8 . 3 . B i e g n ą c e f a l e d ź w i ę k o w e 1 5 9
1 8 . 4 . I n t e rf e r e n c j a 1 6 2
1 8 . 5 .
N a t ę ż e n i e i g ł oś n o ś ć d ź w i ę k u
1
6 4
1 8 . 6 . Ź r ó d ł a d ź w i ę k ó w w m u z y c e 1 6 8
1 8 . 7 .
D u d n i e n i a 1 7 1
1 8 . 8 . Z j a w i s k o D o p p l e r a 1 7 3
1 8 . 9 .
P r ęd k o śc i n a d d ź w i ę k o w e ; f a l e u d e r z e n i o w e 1 7 8
P o d s u m o w a n i e 1 7 9
P y t a n i a 1 8 0
Z a d a n i a 1 8 2
T e m p e r a t u r a
uda
t e r m o d y n a m i k i 1 8 7
Jak pszczoły wykorzystują ciepło do obrony przed
szerszeniami?
1 9 . 1 .
T e r m o d y n a m i k a 1 8 8
1 9 . 2 . Z e r o w a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 1 8 8
1 9 . 3 . P o m i a r y t e m p e r a t u r y 1 8 9
19 .4 . Ska le Cels jusza i Fah r enh ei t a 19 2
1 9 . 5 .
Rozszer za lność c iep lna 19 4
1 9 . 6 . T e m p e r a t u r a i c i e p ło 1 9 7
1 9 . 7 .
Poch łan ian ie c iep ła pr zez c ia ła s t a łe i c i ecze
1 9 . 8 . Bl iższe spo jrzenie na ciepło i prac ę 2 0 2
1 9 . 9 .
P i e rw s z a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 0 5
1 9 . 1 0 .
N iekt ór e szczególne pr zypadki p ier wsze j zas
t e r m o d y n a m i k i 2 0 6
1 9 . 1 1 . M e c h a n i z m y p r z e k a z y w a n i a c i e p ła 2 0 9
P o d s u m o w a n i e 2 1 4
Pyt an ia 216
Z a d a n i a 2 1 7
ROZDZIA
S
K i n e t y cz n a t e o r i a g a z ó w 2 2 4
Dlaczego przy otwarciu butelki z zimnym napojem
gazowanym tworzy się mgiełka?
2 0 . 1 .
N o w e s p o j r z e n ie n a g a z y 2 2 5
2 0 . 2 . L ic zb a A v o g a d r a 2 2 5
2 0 . 3 . G a z y d o s k o n a ł e 2 2 6
2 0 . 4 . C i ś n i e n i e , t e m p e r a t u r a i p r ę d k o ś ć ś r e d n i a
t o w a 2 3 0
2 0 . 5 . E n e r g ia k i n et y c zn a r u c h u p o s t ę p o w e g o 2 3
2 0 . 6 .
Ś r e d n i a d r o g a s w o b o d n a 2 3 3
2 0 . 7 . Rozk ład pr ędkości cząst eczek 2 3 6
2 0 . 8 . M o l o w e c i e pł a w ł a ś c iw e g a z u d o s k o n a ł e g o
2 0 . 9 . S t o p n ie s w o b o d y a m o l o w e c i e p ł a w ł a ś c i w e
2 0 . 1 0 .
N i e c o f iz y k i k w a n t o w e j 2 4 6
2 0 . 1 1 . R o z p r ę ż a n i e a d i a b a t y c z n e g a z u d o s k o n a ł e g o
P o d s u m o w a n i e 2 5 1
Pyt an ia 253
Z a d a n i a 2 5 4
VIII Spis treści
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 9/329
i d r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 5 9
wyznacza kierunek czasu?
K i lk a p r z e m i a n n i e o d w r a c a l n y c h 2 6 0
Z m i a n a e n t r o p ii 2 6 1
D r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 6 6
.4 . En t rop ia w świec ie rzeczywis tym: s i ln ik i 2 6 7
Entropia w świecie rzeczyw istym: chłod ziarki
Spraw ność si ln ików rzeczywistych 2 7 5
S ta tys tyczne spo j rzen ie na en t ro p ię 2 7 6
DODATK
A. M ię dzy na rod ow y Uk ład Jednostek (SI ) A l
B. N iek t óre pod staw owe s ta łe f i zyczne A3
C . N i e k t ó r e d a n e a s t r o n o m i c z n e A 5
D. Wspó łczynn ik i zam ian y jednostek A7
E . W z o r y m a t e m a t y c z n e A l 1
F. Właśc iwośc i p ie rw ias tków A l 4
G .
U k ł a d o k r e s o w y p i e r w i a s t k ó w A l 7
BI
Odpowiedzi do sprc
oraz pytań i zadań
o numerach niepar;
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 10/329
Podstaw fizyki jest znaczn i e zmie
nopisu w ydania szóstego , a także z wyników
lub do Jearla Walkera
ty , Cleveland , O H 4411 5, US A; faks: (USA) (216)
phys i c s@w i l ey . com). Nie
się pewn ie odpowiedz ieć na każdy l i s t, a le wszyst
m a t e r i a ł u
Bardziej przejrzysty układ tekstu. Poprzednie wy
Potoczyste przedstawienie materiału. W szys tk im
nikom zarzuca s ię zwykle , że zawiera ją zbyt w ie le
1 . Ma teria ł do tyczący szczególnej teori i wzg lędności
2 .
W książce pozostawion o ty lko na jważnie jsze przy
Zbioru za
dań uzupełniających,
który jest opisany w dalszej czę
p rzedmow y .
Zapis wektorów. Wektory są obecnie zapisywane j
symbol ze strzałką nad l i terą (np. F), a n ie za pom
czcionki pó łgrubej ( jak F) .
^ Użycie jednostek metrycznych. W pod ręczn iku s to
wane są n iemal wyłącznie jednostk i met ryczne . Jedyn
wyją tk iem jes t rozdzia ł 1 , w k tórym przedstawione
różne układy jednostek .
Układ i kolejność zadań. Zeb rane w pod ręczn
zadania , p rzeznaczone do rozwiązania w ramach pr
domow ej ,
są podzie lone na grupy odnoszące s ię do ko
nych paragrafów tekstu g łównego, a w ramach tych g
są ułożone w kolejności wzrastającej t rudności . Wiele
dań z wydania p ią tego przesunię to jednak do Zbioru
dań uzupełniających, przy czy m nie porządkow ano
ani pod względem t rudności , an i tematyki w ramach r
dz ia łu ( łączna l iczba zadań w podręczniku i w
Zbio
zadań uzupełniających jes t więks za od l iczby zadań
wydaniu p ią tym).
^ Rozwiązania zadań. Rozwiązania częśc i zadań o
me rach n ieparzystych są dostępne w postac i e lek t roniczn
W ty m przypad ku na końcu treśc i zadania umies zczona j
ikonka informująca s tudenta i wykładowcę, gdzie m
w raz ie pot rzeby znaleźć rozwiązanie . Informacja o z
czeniu poszczególnych ikonek jes t zawarta na począ
każdego zestawu zadań domowych. Ma ona postać :
w w w
Rozw iązanie jest dostęp ne na stronie internetowej po
ręcznika: http://www.wiley.com/college/hrw
ii w
Rozw iązanie jest dostępn e w postaci interaktyw ne
wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learnin
Ware (na tej samej stronic)
Materia ły te są opisane w dalsze j częśc i przedmowy.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 11/329
Z m i a n y n a t u r y d y d a k t y c z n e j
Rozumowan ie a proste ćwiczenia.
G ł ó w n y m c e
lem podręcznika jes t nauczenie s tudenta rozumowania —
od podstawowych zasad do rozwiązania zagadnienia —
przez s tawianie go wobec kole jnych wyzwań. W związku
z tym w większośc i zadań nac isk położony jes t właśnie
na umie ję tność rozumowania . Niemnie j jednak niektóre
zadania są pros tymi ćwiczeniami, wymagającymi jedynie
podstawienia danych do wzoru.
Stwierdzenia kluczowe.
Rozwiązania wszystkich 360
przykładów w podręczniku i
Zbiorze zadań uzupełnia
jących zos ta ły z redago wane od nowa, tak by zaczyn ały
s ię od jednego lub więce j s twierdzeń kluczowych dla
rozwiązania zadania (oznaczonych w tekśc ie rozwiąza
nia za pomocą ikonki klucza —
O—
•*), wykorzystujących
pods tawowe prawa wprowadzone w g łównym toku wy
kładu.
^ Obszern iejsze rozwiązania przykładów . Rozwiązania
większośc i przykładów (czyl i zadań rozwiązanych w pod
ręczniku) są te raz bardz ie j szczegółowe niż w poprzed
nim wydaniu, gdyż postępują krok po kroku od poda
nych na począ tku rozwiązania s twierdzeń kluczowych aż
do końcowej odpowiedzi , przy czym częs to przytoczone
są obszerne f ragmenty rozumowania przedstawionego w
tekśc ie głównym.
Zadan ia z zastosowań fizyki.
W wie lu mie jscach —
w treśc i przykładów lub zadań domowych — przedsta
wione są zagadnienia z zakresu zastosowań fizyki, oparte
na opubl ikowanych wynikach badań; porównaj np. przy
kład 11.6, zadanie 64 z rozdzia łu 4 i zadanie 56 z roz
dz ia łu 10. Przyk ładem zadań dom owych tworzących ser ię
zadań na ten sam temat są zadania 4, 32 i 48 z roz
działu 6.
Z m ia n y w t r e ś c i p o d rę c z n i k a
Rozdział 5 o sile i ruchu zawiera teraz bardziej szcze
gółowe om ówien ie s i ły c iężkośc i , c iężaru i s i ły no rmaln e j .
^ Rozdział 7 o energii kinetycznej i pracy
zaczyna s ię
od bardzo ogólnych uwag na temat energi i . Następnie de
finiuje się energię kinetyczną i pracę oraz omawia się
związek między nimi w taki sposób, by bardz ie j niż w
wydaniu pią tym nawiązać do drugie j zasady dy
Newtona, nie tracąc jednak spójności tych definicj
j ę c iami t e rmodynamicznymi .
^ Rozdział 8 o zachowaniu energii
nie zawier
krytykowanej definicji pracy wykonanej przez siłę
chowawczą — zas tąpiono ją omówieniem zmian
pod wpływem s i ły niezachowawczej (użyte s form
nia nie uniemożl iwia ją jednak wykładowcy wpro
nia pojęc ia pracy wykonanej przez s i łę niezachow
Rozdział 10 o zderzeniach
zawiera teraz n
omówienie ogólnego przypadku zderzeń niesprę
w jednym wymiarze , a dopiero późnie j przypadku
gólnego zderzeń sprężystych w jednym wymiarze
Rozdziały 16, 17 i 18 o ruchu harmonicznym
lach zos ta ły napisane na nowo, tak by uła twić s tu
przyswojenie sobie tych t rudnych zagadnień.
Rozdział 21 o entropii
zawiera obecnie om
si lnika Carnota jako idea lnego s i lnika c ieplnego
większe j sprawnośc i .
E le m e n ty t o w a rz y s z ą c e t e k s to w i
g ł ó w n e m u p o d r ę c z n i k a
Ciekawostki. Każd y rozdzia ł zaczyna s ię od
ciekawego z jawiska lub doświadczenia , które zos ta
nie j szczegółowo wyjaśnione w którymś mie jsc
rozdzia łu. Ma to za zadanie zachęcenie czyte ln
uważnego przeczytania ca łego rozdzia łu.
^ Sprawdziany pojawiają się w miejsca ch, w
czyte lnik powinien przerwać na chwilę lekturę i
wać odpowiedzieć na pytanie : „czy potraf isz — w
stując informacje zawarte w przeczytanym właśni
graf ie lub przykładzie — dać sobie radę z tym k
zadaniem, nie wymagającym obl iczeń, lecz tylko
namysłu?" Jeś l i nie , to na leży jeszcze raz przes tu
ten materiał przed dalszą
lekturą;
porównaj np.
dz ian 3 w rozdzia le 5 oraz sprawdzian 1 w rozdz
Odpowiedzi do wszys tk ich sprawdzianów pod
na końcu ks iążk i .
Przykłady,
czyl i zadania rozwiązan e w podrę
mają pomóc czyte lnikowi w utrwaleniu pojęć w
dzonych w głównym tekśc ie oraz w s topniowym
XI I Przedmowa
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 12/329
(O—w), a następnie prowadzą krok
Fragmenty za ty tu łowane Sztuka rozwiązywania za
ń
zawierają porady praktyczne, u ła twiające początku
Na końcu tekstu głównego każdego rozdziału
znaj
Podsumowanie, w którym zebrane są podsta
zastą
są podo bne do sprawdzianów — uzy skanie
Odpowiedz i na py
Zadania
są zeb rane w grupy dotycząc e kolejnych pa
Odpowiedz i do za
Rozwiązania części zadań o numerach nieparzy
W niektórych rozdziałach na samym końcu zestawu
zadania dodatkowe. Nie są one przypi
i ó r z a d a ń u z u p e ł n i a j ą c y c h
Zbiór zadań uzupeł
ten będzie zawierał inny zestaw pytań i
owyc h oraz więcej przykładów. Oto jeg o cechy:
Przykłady uzupełniające
są częściowo przeniesio
podręczn ika g łównego , częśc iowo ca łk iem nowe. Wsz
kie zaczynają s ię od stwierdzeń kluczowyc h dla rozw i
nia zadania (oznaczonych ikonką O — r) i prowadzą
po kroku aż do końcowej odpowiedzi .
Pytania są trzech rodzajów:
1.
pytania typu sprawdzianów , jak w głównej cz
podręcznika;
2.
pytania porządkujące, wym agające zebrania
nań potrzebnych w określonej sytuacji , mające chara
rozgrzewki przed jednym z dalszych zadań;
3. pytania do dyskusji, p rzywrócone z wydań cz
tego i wcześniejszych na żądanie czytelników.
Zadania uzupełniają zestawy zadań przytoczon
głównej części książki ; n iektóre zostały przesunięte
zbioru z podręcznika głównego. Ich kolejność nie
związana ani z ich trudnością, ani z kolejnością para
fów czy pojęć w danym rozdziale . Niektóre nowe zad
dotyczą zagadn ień z zakresu zastosowań f izyki . W nie
rych rozdziałach końcowe zadania tworzą
zestawy z
dotyczących podobnych zagadnień. W innych rozdzia
na końcu podano zadania z rozwiązaniam i.
W e r s | e p o d r ę c z n i k a
Szós te wydan ie Podstaw fizyki w angielskiej wersji j
kowej jest dostępne w kilku wersjach, tak by zaspo
różne potrzeby wykładowców i s tudentów. Wydanie p
stawowe zawiera rozdziały 1-38 ( ISBN 0-471-32000
Wydanie rozszerzone zawiera ponadto siedem doda
wych rozdziałów o fizyce kwantowej i kosmologii , c
łącznie 45 rozdziałów ( ISBN 0-471-33236-4) . Każd
tych wydań jest dostępne w postaci jednego tomu w tw
dej oprawie lub w następujących częściach:
^ t om 1 — rozdz ia ły 1 - 21 ( mechan ika i t ermody
mika ) , oprawa t warda , 0 - 471 - 33235 - 6 ;
tom 2 — rozdziały 22—45 (e lektryczność i
gnet yzm oraz f i zyka wspó łczesna ) , oprawa t war
0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 7 - 6 ;
) •
część 1 — rozdz ia ły 1 - 1 2 , oprawa mięk
0 - 4 7 1 - 3 3 2 3 4 - 8 ;
Przedmowa
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 13/329
część 2 — rozdzia ły 1 3 - 2 1 , o p r a w a m i ę k k a ,
0 - 4 7 1 - 3 6 0 4 1 - 4 ;
^ c z ę ść 3 — r o z d z ia ł y 2 2 - 3 3 , o p r a w a m i ę k k a ,
0 - 4 7 1 - 3 6 0 4 0 - 6 ;
) • c z ę ść 4 — r o z d z i a ł y 3 4 - 3 8 , o p r a w a m i ę k k a ,
0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 9 - 2 ;
część 5 — rozdzia ły 39-45 , oprawa miękka ,
0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 8 - 4 .
Wydanie polskie powstało na podstawie tych pięciu części
podręczn ika .
M a t e r i a ł y d o d a t k o w e
Szós temu wydan iu Podstaw fizyki towarzyszy w orygi
nale obszerny zestaw starannie przygotowanych mater ia
łów uzupełniających, mających za zadanie ułatwić wy
kładowcom i s tudentom korzystanie z podręcznika.
Materiały dla wykładowców
^ Instructor's Manuał
{Poradnik wykładowcy,
autor: J.
Richard Chr i s tman , U .S . Coas t Guard Academy) . Porad
nik ten zawiera wyjaśnienia najważniejszych zagadnień
z każdego rozdz ia łu , pokazy doświadczeń , p ro jek ty do
świad czalne i kom puterow e, opis fi lmów i kaset wideo, od
powiedzi do wszystkich pytań, zadań i sprawdzianów oraz
przewodnik do zadań z poprzedn ich wydań podręczn ika .
Instructor's Solutions Manuał {Zbiór rozwiązań dla
wykładowcy,
autor : Jam es W hitenton , Southe rn Polytech-
nic Universi ty) . W zbiorze tym podano szczegółowe roz
wiązania wszystkich zadań zebranych na końcu poszcze
gólnych rozdziałów oraz w
Zbiorze zadań uzupełniają
cych. Ten zbiór mogą ot rzymać tylko wykładowcy.
^ Test Bank
{Bank testów,
autor : J . Richard Chr istman,
U .S.
Coas t Guard Academy) zawie ra j ący ponad 2200 py
tań testowych wielokrotnego wyboru. Są one także do
stępne w komputerowym banku testów (pat rz niżej ) .
lnstructor's Resource CD (CD z mater ia łami dla
wykładowcy) . Jes t t o CD-ROM zawiera j ący :
• pełny tekst
Zbioru rozwiązań dla wykładowcy
w p o
staci p l ików JiTgX-owych oraz w formacie PDF,
• kom puterow y bank testów, w wersjach dla kom
IBM oraz Macintosh, z możl iwością edycj i tek
by wykładowca miał pełną swobodę tworzeni
wów pytań testowych,
• wszystkie rysunki z pod ręcznik a (poza fotog
przygotowane do przedstawienia na wykładz
wydrukowania .
Przezrocza (transparencje). Ponad 200 ko l
i lust racj i z podręcznika w postaci fol i i do rzutni
zroczy.
On-line Course Management
( In t e r ak tywn
dzanie zajęciami) .
• P rogramy in t e rak tywne WebA ss ign , CAPA or
Tes t , umożl iwia j ące wykładowcom wyznaczan
ocenianie zadań i testów za pośrednictwem In
• Wy kładowcy mogą również uzyskać dos tęp do
łów edukacyjnych w systemie WebCT. Jest to o
oprogramow anie in t e rne towe , umożl iwia j ące o
wanie zajęć in ternetowych zawierających sesje
syjne, tabl ice ogłoszeń, testy , ocenę postępów
tów i tp . Dalsze informacje można uzyskać u p
wicieli f irmy Wiley.
Materiały dla studentów
• A Student Com panion
{Poradnik studenta,
a
Richard Chr i s tman , U .S . Coas t Guard Academy) .
nik dla s tudentów składający się z t radycyjnych
łów drukowanych oraz studenckiej s t rony intern
stanowiących łącznie bogate środowisko interakty
nauki i zdobywania dodatkowych informacj i . Na s
kiej s t ronie in ternetowej dostępne są quizy, sym
wskazówki do zadań domowych , oprogramowan
r a k t y w n e
Interactive LearningW are
(patrz niżej) o
nośnik i do innych st ron internetowych, zawierający
teriały edukacyjne z f izyki.
• Student Solutions Manuał
{Zbiór rozwiązań
denta,
autorzy: J . Richard Chr istman, U.S. Coas
Acad emy i Edward D er r ingh , Wentwor th Ins t i t u te
szczegółowych rozwiązań 30% zadań zebranych
cowych częściach rozdziałów podręcznika.
Interactive LearningWare.
Jest to oprog ram
umożl iwiające studentowi rozwiązanie 200 zadań
ręcznika. Odbywa się to in teraktywnie, tzn . w ko
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 14/329
em, są oznac zone ikonką n\v .
CD-ROM stanowiący e lektroniczną
Podstaw fizyki. Zawiera pe łny
Poradnik stu
oprogramowanie In-
Take Notę (Zapisz to ) . Nota tnik w twardej oprawie
na dużych , c za rno-b ia łych wydrukach rysunków z
ręcznika . Zawiera wszystkie i lus trac je z zes tawu prz
czy. Użycie tego nota tnika oszczędza s tudentowi
cza su zużywanego norma ln ie na prze rysowywanie r
ków na wykładzie .
Physics Web Site,
s t rona inte rne towa podręcznik
s tępna pod adresem ht tp: / /www.wi ley . com/co l lege
s ta rannie zaprojektowana z myślą o użytkownikach
stego wydania Podstaw fizyki, zapewnia jąca s tud
pomoc w s tudiowaniu f izyki oraz udostępnia jąc
wie le mater ia łów dodatkowych. Zawiera także ro
zania wie lu zadań z podręcznika , oznaczonych i
w w w .
W wydawnic twie John Wi ley mie l i śmy wie lk ie
Ellen Ford koordynowała wstępne prace redakcyjne
próby druku wie loba rwnego. Sue Lyons z dz ia łu m
tingu była niezmordowana w pracy nad sukcesem
wydania . Joan Kalkut s tworzyła znakomity zes taw
r ia łów pomocniczych . Thomas Hemps tead doskona ł
rządza ł procesem recenzj i maszynopisu podręcznika
l icznymi pracami adminis t racyjnymi.
Luci l le Buonocore , kie rownik produkcj i ks iąż
Moniąue Cale l lo, redaktor ds . produkcj i , znakomici
radz i ły sobie z dopasowaniem do s iebie różnych e le
tów podręcznika i pomogły doprowadz ić z sukcese
końca z łożony proces produkcj i ks iążki , za co im ser
nie dz iękujemy. Dziękujemy również Maddy Lesu
projekt graficzny książki, Helen Walden za redakcję
s tu, Edwardowi Starrowi i Annie Melhorn za kiero
przygotowaniem rysunków, Georg i i Kanwosoul i s M
rer , Katr inie Avery i Li l ian Brady za korektę składu, a
wszys tk im pozos ta łym cz łonkom zespołu produkcyj
Hilary New man oraz je j zespół za jmujący s i
borem fotograf i i do podręcznika z zapałem wyszuk
ciekawe i niezwykłe zdjęc ia , znakomicie uwidaczn
prawa f izyki . Mamy również wie lki dług wdzięcz
wobec nieżyjącego już Johna Balba l isa , którego
graf iczny i z rozumienie f izyki można odnaleźć w
dym z rysunków.
Szczególne podz iękowania j e s te śmy winni E
dowi Mi l lmanowi za pomoc w nadaniu t eks towi
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 15/329
ręcznika jego os ta tecznej pos tac i . Przeczyta ł on z nami
ca ły podręcznik, każde jego s łowo, zadając nam wie le
pytań kierowanych z punktu widzenia korzysta jącego z
ks iążki s tudenta . Wie le z tych pytań i zasugerowanych
przez niego zmian przyczyni ło s ię wydatnie do zwięk
szenia j a snośc i wyk ładu .
Szczególn ie w ie lk i d ług wdz ięcznośc i mamy wo
bec wie lu s tudentów korzysta jących z poprzednich wydań
Podstaw fizyki,
którzy zadal i sobie t rud podzie lenia s ię
z nami swoimi uwagami. Studenci są dla nas niezwykle
ważni , gdyż to oni są os ta tecznymi „konsumentami" pod
ręcznika . Dzie ląc s ię z nami swoimi uwagami, po
nam s ta le doskonal ić oferowaną przez nas ks iążkę
czemu p ien iądze w ydane na j e j z akup mo żna uw
coraz lepszą inwestyc ję . Nadal zachęcamy użytko
te j ks iążki do informowania nas o swoich uwaga
f leks jach przy je j lekturze , co powinno nam po
dalszym ulepszaniu podręcznika w nas tępnych la
Na zakończenie chcemy podkre ś l i ć , ż e dysp
l i śmy znakomi tym zespołem opin iodawców, i p ra
wyraz ić wdz ięczność i podz iękowanie każdemu
Oto oni :
Edward Ade lson
Hec tor J imenez
Timothy M. Rit te r
Ohio State University
University of Puerto Rico
University of North Carolina
Mark Arne t t
Sudhaka r B . Josh i
at Pembroke
Kirkwood Community College
York University
Gera rdo A . Rodr iguez
Arun Bans i l
Leona rd M. Kahn
Skidmore College
Northeastern University
University of Rhode Island
John Rosendahl
J . Richard Chris tman
Yiuchi Kubota
University of California at Irvin
U.S<
Coast Guard Academy
Cornell University
Michael Schatz
Rober t N. Davie , J r .
Pr isc i l la Laws
Georgia Institute of Technology
St. Petersburg Junior College
Dickinson College
Michael G. Strauss
Cheryl K. Del la i
Glendale Community College
Edbe to Lea l
University of Oklahoma
Cheryl K. Del la i
Glendale Community College
Polytechnic University of Puerto
Rico
Dale Long
Dan Styer
Erie R. Die tz
Polytechnic University of Puerto
Rico
Dale Long
Oberlin College
California State University at Chico
Virginia Tech
Marsha l l Thomsen
N .
John DiNardo
Andreas Mande l i s
Eastern Michigan University
University of Toronto
Paul Marąua rd
Fred F. Tomblin
a ro ld B . Ha r t
University of Toronto
Paul Marąua rd
New Jersey Institute of Technolo
Western Illinois University
Caspar College
B.R. Weinberger
James Napol i t ano
Trinity College
Rensselear Polytechnic Institute
Wil l i am M. Whe lan
Des Penny
Ryerson Polytechnic University
Southern Utah University
Wil l i am Zimmerman, J r .
haw n Jackson Joe Redish
Unhersity of Minnesota.
University of Tulsa
University of Maryland
Wesleyan University
Alber t Bar t le t t
University of Colorado
Michae l E . Browne
University of Idaho
Timothy J . Burns
Leeward Community College
Joseph Bushi
Manhattan College
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 16/329
Newp ort C ollege
Coast Guard Academy
South Florida
ty of Hawaii at Manoa
College of M ineral
of Cincinnati
Paul Espos i to
of Cincinnati
Jose State University
State University
Missouri State University
Jose State University
State University
John Hubisz
North Carolina State University
Joey Huston
Michigan State University
Dar re l l Huwe
Ohio University
Claude Kacser
University of Maryland
Leonard Kle inman
University of Texas at Austin
Earl Rol ler
Stevens Institute of Technology
Arthur Z. Kovacs
Rochester Institute of Technology
Kenneth Krane
Oregon State University
Sol Krasner
University of Illinois at Chicago
Peter Loly
University of Manitoba
Rober t R. Marchini
Memphis State University
David Markovi tz
University of Conne cticut
Howard C. McAll is ter
University of Hawaii at Manoa
W Scot t M c Cul lough
Oklahoma State University
James H. McGui re
Tulane University
David M. McKins t ry
Eastern Wash ington University
Joe P. Meyer
Georgia Institute of Technology
Roy Middleton
University of Pennsylvania
I rvin A. Mil ler
Drexel University
Eugene Mosca
United States Naval Academy
M i c h a e l O Shea
Kansas State University
Patr ick Papin
San Diego State University
George Parker
North Carolina State University
Rober t Pelcovi ts
Brown University
Oren P. Quist
South Dako ta State University
Jonathan Reichar t
SUNY-Buffalo
Manuel Schwar tz
University of Louisville
Darrel l Seeley
Milwaukee School of Engineering
Bruce Arne Sherwood
Carneg ie Mellon University
John Spangler
St. Norbert College
Ross L. Spencer
Brigham Young University
Harold Stokes
Brigham Young University
Jay D. Str ieb
Villanova University
David Toot
Alfred University
J .S .
Turner
University of Texas at Austin
T.S. Venkataraman
Drexel University
Gianfranco Vidal i
Syracuse University
Fred Wang
Prairie View A M
Rober t C . Webb
Texas A M University
George Wi l l i ams
University of Utah
David Wolfe
University of New Mexico.
Przedmowa
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 17/329
1 3 R ó w n o w a g a
i sprężystość
Wspinaczka skalna może się okazać najtrudniejszym egzaminem z f izyki. Niepowodzenie m
oznaczać śmierć, a nawet „częściowy sukces" może się wiązać z poważnymi obrażeniami cia
Jeśli na przykład wspinasz się w długim
kominie skalnym, mając plecy
dociśnięte do jednej ściany szerokiego,
pionowego pęknięcia skalnego, a stopy
— do przeciwległej ściany, to od czasu
do czasu musisz trochę odpocząć,
by nie spaść z wyczerpania. Egzamin
składa się tu z jednego pytania:
o ile możesz zmniejszyć nacisk na
ściany, by odpocząć, lecz nie odpaść
od nich? Planując odpoczynek bez
znajomości praw fizyki, możesz nie
utrzymać się w kominie.
J a k a je st p r a w i d ł o w a o d p o w i e d ź
n a j e d y n e p y t a n i e n a t y m e g z a m i n i e ,
k t ó r e g o w y n i k o z n a c z a ż y c ie l u b
Odpowiedź znajdziesz w tym rozdzia le .
I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 18/329
Rys. 1 3 . 1 . Blo k skalny spoczywający na
innym, mniejszym, w pozycj i , która wy
daje się bardzo niepewna, lecz w rzeczy
wis tości jes t s tanem równowagi s ta tycz
nej .
Zdjęcie wykonano w pobliżu parku
narodowego w Ar izonie noszącego na
zwę Petrif ied Forest National Park (Park
Narodowy „Skamienia ły Las")
Rys. 13.2.
a) Kostka domina us tawiona
na jednej z krawędzi tak, że jej środek
ciężkości znajduje się dokładnie nad tą
krawędzią. D ziałająca na kostkę siła cięż
kości F
g
skierowana jes t wzdłu ż pro
s te j przechodzącej przez punkt s tyczno
ści kostki z podłożem, b) Jeśli kostka
obróci s ię choćby nieznacznie od po
łożenia z rysunku a , to moment s i ły F
g
spowoduje dalszy obrót kostki, c) Kostka
us tawiona pros to na jednej z węższych
ścian jes t w równowadze bardzie j t rwa
łej niż kostka z rysunku a. d) Jeszcze
bardzie j t rwała jes t równowaga sześcien
nego klocka
1 3 . 1 . R ó w n o w a g a
Roz waż my cz tery ciała: 1) książkę leżącą na stole, 2) krążek ho kejowy śl
się bez tarcia po lodzie ze stałą prędkością, 3) wirujące łopatki wentylat
4) koło roweru jadącego ze s tałą prędkością po pros tym torze. Dla każdeg o
1 .
Pęd ś rodka masy P jest stały.
2. M o m e n t p ę d u L względem środka masy ( lub dowolnego innego pun
jest stały.
Mówimy, że ciała te są w rów n ow ad ze . Warunki równowagi ciała s
następujące:
P — cons t oraz L = const.
W tym rozdziale będziemy s ię in teresować sytuacjami, w których
równaniu (13.1) są równe zeru, tzn. przypadkami ciał n ie poruszających
ani ruchem pos tępowym, ani obrotowym — w układzie odnies ienia , w
je obserwujemy. Ciała takie znajdują się w
rów n ow ad ze s ta tyczn ej .
Z
ciał , k tóre wym ieni l iśmy na początku paragrafu, ty lko jedn o — ks iążka
na s tole — pozos taje w równowadze s tatycznej .
Blok skalny z rysunku 13.1 jes t innym przyk ładem ciała znajdującego
choć pewnie nie na zawsze — w równowadze s tatycznej . Właściwość tę
nieprzebrana mnogość innych ciał , takich jak katedry, domy, biurka czy
z gazetami, k tóre nie zmieniają swego położenia z upływem czasu.
Jak wiemy z paragrafu 8 .5 , jeś l i c iało wytrącone ze s tanu równow
tycznej w wyniku działania na nie s i ły powraca potem do tego s tanu rów
to mówimy, że ciało jes t w s tanie trwałej równowagi s tatycznej . W takim
znajduje s ię na przykład ku lka kam ienna n a dnie półkul is tej misy. Jeś l i na
nawet niewielka s i ła może na s tałe wyprowadzić ciało ze s tanu równow
mówimy, że jest to stan nietrwałej równow agi s tatycznej .
Wyobraź sobie na przykład, że udało ci s ię us tawić kos tkę domina
jej środek ciężkości znajduje się dokładnie nad krawędzią, którą kostka s
z podłożem, jak na rysunku 13.2a. Moment s i ły względem punktu s ty
z podłożem, pochodzący od s i ły ciężkości F
g
, działającej na kostkę, jes
zeru, ponieważ s i ła działa wzdłuż pros tej przechodzącej przez ten punkt .
znajduje s ię zatem w równowadze. Oczywiście najmniejsza nawet s i ła ,
pocho dzić od jakieg okolw iek przypadk owego za burzen ia , wytrąci kos tkę
-krawędź styczności
kos tki z podłożem
a) b) c)
d )
2 13 . Rów now aga i sprężystość
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 19/329
g
przesunie s ię względem
spowoduje obró t kostk i. Stan równowagi z rysunku 13 .2a jes t za tem stanem
Ustawienie kostk i domina z rysunku 13 .2c jes t znacznie mnie j n ie t rwałe .
położenia z rysunku 13 .2a , w k tóry m środek ma sy znajduje
dalej.
Sześcienny k locek z rysunku 12 .3d (np . k locek z dz iec innej uk ładanki ) jes t
Badanie warunków równowagi s ta tycznej ma wie lk ie znaczenie w technice .
, j ak ie m ogą d zia łać na pro jek towaną konst rukcję , a następnie przez w łaśc iwy
y budować m osty , k tóre n ie zarwą s ię an i pod wpływ em ruchu
pod w pływ em wiejących w ia t rów, lub o to , aby podwozie samolotu
Rys. 13.3.
Robotnik budowlany stoj
na belce stalowej wysoko nad centr
Nowego Jorku jest w równowadze s
tycznej , która jest bardziej trwała w k
runku wzdłuż belki niż w kierunku
nie j prostopadłym
W a r u n k i r ó w n o w a g i
dP
F w y p _
dt
(13.2)
P jest
to dP/dt = 0, a zatem
^ w yp —
0
(równowaga sił). (13.3)
Do opisu ruchu obro towego c ia ła wykorzystamy z kole i d rugą zasadę dyna
wielkościach kątowych, czyli równanie (12.39) mające postać
dL
wyp
dt
(13.4)
13 .2 . Warunk i rów now ag i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 20/329
Jeś l i c ia ło jes t w równowadze ze względu na ruch obro towy, tzn . je ś l i
stałe,
to AL/At = 0, a zatem
M
w y p
= 0 (równowaga momentów sił). (
Tak więc dwa warunki równowagi c ia ła są następujące:
1 . Sum a wektorowa wszystkich działających na ciało sił zewnętrznych m usi być
zeru.
2 .
Suma wektorowa wszystkich działających na ciało zewnętrznych momentó
mierzonych względem dowolnego punktu odniesienia, musi być równa zeru.
Warunki te są oczywiście spełnione, gdy cia ło znajduje s ię w równ
statycznej. Obow iązują one jed nak równ ież w bardziej ogólnej sytuacji, g
tory
P
i L są s ta łe , choć niekoniecznie równe zeru.
Równania (13.3) i (13.5) dotyczą wielkości wektorowych, a zatem są
ważne t r zem n ieza leżnym równaniom d la sk ładowych wzdłuż każde j z os i
współrzędnych:
równowaga sił równowaga mom entów sił
Pwyp,x
= 0, = 0,
= 0,
M
W
yp ,
y
= 0,
= 0,
= 0.
Uprościmy sobie sytuację i przyjmiemy, że wszystkie s i ły działa ją n
w p łaszczyźnie xy . Oz nacza to , że mo me nty w szys tk ich dz ia ła jących n
s i ł mogą powodować obró t c ia ła jedynie wokół os i równoleg łe j do os i z.
tego z zes tawu równań (13 .6) wypada nam jedno równanie d la sk ładowy
i dwa równania dla składowych momentu s iły; zostają tylko równania:
Fwyp,x = 0 (równowaga sił), (
Fwyp,y = 0 (równowaga sił), (
^ w y p . z = 0 (równowaga momentów sił), (
p rzy czym M
w y P i Z
j e s t wy p a d k o wy m z e wn ę t r z n y m mo me n te m s i ły , p o wo d
obrót c ia ła wokół osi z lub wokół dowolnej osi do niej rów nole głej .
Dla krążka hokejowego ś lizgającego s ię po lodzie ze s ta łą prędkością
nia (13.7) , (13.8) i (13.9) są spełnione, a zatem znajduje s ię on w równo
lecz nie jest to równowaga statyczna. Ab y krążek znajdował s ię w s tan
nowagi s ta tyczne j , jego pęd
P
musi być nie tylko s ta ły, lecz także równ
— krążek mus i pozos tawać na lodz ie w spoczynku. Mamy za tem jeszcze
warunek, który jes t spełniony wtedy, gdy cia ło znajduje s ię w s tanie rów
statycznej.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 21/329
1
Na rysunku przedstawiono — w sześc iu przyp adkach — widziany
z góry jednorodny prę t , na który działa kilka sił — dwie lub więcej — w kierunkach do
niego prostopadłych. W których przypadkach można tak dobrać wartośc i sił (przy czym
każda
z
nich musi być różna
od
zera),
by
pręt znajdował
się w
równ owad ze statycznej?
L
I li i I
a) b) c)
U t tt
d)
e) f)
1 3 . 3 .
Ś rodek c iężkośc i
Siła ciężkości działająca
na
c ia ło rozciągłe jest sumą wektorową
sił
działają
cych
na
poszcz ególne elem enty (a tomy) cia ła . Zam iast rozważać
te
p o jedyncze
sk ładowe, możemy powiedz ieć ,
że:
Siła ciężkości F
g
działająca na ciało jest efektywnie przyłożo na w punkcie, który
nazywamy środkiem c iężkości (ŚC) tego ciała.
Słowo „efektywnie" oznacza, że s i ła wypadkowa o raz wyp adkowy mom ent
i ły (względem dowolnego punktu) działa jące na to c ia ło nie uległyby zmian ie ,
w
jakiś sposób potraf il i „w yłączy ć" s i ły działa jące
na
poszczegó lne
a
„włączyć" s i łę c iężkości
F
g
w
środku ciężkości c ia ła .
Dotychczas zawsze przyjmowal iśmy,
że
s i ła c iężkości jest przyłożona
do
w
j ego ś rodku masy (SM) . Jes t
to
równoważne za łożen iu ,
że
środek cięż
i
j ego ś rodek masy
są tym
samym punk tem . P rzypomni j sob ie ,
że
F
g
działająca na c ia ło o m a s i e M j e s t r ówna Mg, gdz ie g jest
z j ak im c ia ło spada swobodn ie pod wp ływ em si ły c iężkości .
za chwi lę , że:
Jeśli
dla
wszystkich eleme ntów c iała przyspieszenie g jest jednakow e,
to
środek cięż
kości ciała
i
jeg o środek masy znajdują
się w
tym samym punkcie .
Stwierdzenie to jest w przybl iżeniu prawdziwe dla c ia ł , z j ak im i spo tykamy
ię na co dzień, gdyż przyspiesze nie g zmienia s ię bardzo niewiele wzdłuż po
ze wzros t em wysokośc i nad Z ie
że
si ła
do
n ich p rzy łożona
w ich
środku masy.
W
da l szym rozważan iach
to
zak ładać ,
a
teraz przedstawimy dowód słuszności tego założenia .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 22/329
o
I .. kierune k
f dzia łania siły
—
:
-- d
x
m
tamie
m
K
a)
ramię siły
[
kierunek
J/iałania siły
b)
Rys.
1 3 . 4 .
a) Element m asy m, ciała
rozciągłego. Działająca na ten element
siła ciężkości F
gi
ma ramię x
t
wzglę
dem początku układu współrzędnych O.
b) Si ła c iężkości F
g
działająca na całe
ciało jes t przyłożona w środku ciężkości
ciała (SC). Ma ona ramię
x§
c
względem
początku układu współrzędnych O
Dowód
Rozważmy na jpierw poszczególne e lementy c ia ła . Na rysunku 13.4a p
wiono c ia ło rozc iągłe o masie M oraz jed en z jeg o e lementów o masie
c iężkośc i F
gi
dz ia ła jąca na każdy z takich e lementów jes t równ a
nik przy gt oznacza , że jes t to przyspieszenie grawitacyjne w miejscu, w
znajduje się ten element (w przypa dku ogó lnym moż e ono być różne dla
e lementów c ia ła ) .
W sytuacji z rysunku 13.4a z siłą F
g
- dz ia ła jącą na odpowiedni e leme
związany jes t moment s i ły M, względem punktu O, przy czym ramię
wyn osi Korzysta jąc z równ ania (11.33) (M = r±F), moment M,-
zapisać jako
Mi = *
Wypadkowy moment s i ł dz ia ła jących na wszystkie e lementy c ia ła jes t wię
wyp
A teraz rozpatrzmy c ia ło jako ca łość . Na rysunku 13.4b przedstawio
ciężkośc i przyłożoną do środka c iężkośc i c ia ła . Ma ona ramię x^
c
wz
punktu
O,
a za tem je j moment
M
możemy zapisać , korzysta jąc znów z r
(11.33) , jako
M = x
ś c
F
g
.
Siła ciężkości F
g
działająca na całe ciało jest równa sumie sił ciężkości F
ła jących na poszczególne jego e lementy, za tem w równaniu (13.12) podst
F
g
t zamias t F
g
i ot rzymujemy
M
X
Ś C X ^ 8 '
•
Przypomnijmy sobie te raz , że moment s i ły związany z s i łą F
g
przyłoż
c ia ła w jeg o środku c iężkośc i jes t równy wyp adko wem u mom entow i s i ły
dzącemu od s i ł F
g
i dz ia ła jących na wszystkie e lementy c ia ła ( tak właśn
f iniowaliśmy środek c iężkośc i) . Wobec tego moment s i ły M z równania
jes t równy M
w y p
z równania (13.11) . Przyrównując do s iebie prawe s t ro
równań, dos ta jemy
x
ś c X ^g '
=
lii
x
'
F g i
'
Podstawiając
migi
zamias t F
g
, - , ot rzymujemy
x
ś c J 2
m i 8 i =
Y l
X i T n i 8 i
-
A teraz rzecz na jważnie jsza : jeś l i przyspieszenie g, jes t jednakowe w mi
za jmowanych przez poszczególne e lementy c ia ła , to g, w tym równaniu
się i mamy
HcYl
mi =
^2
x
>
m
>-
S u m a ] T m- mas wszystkich e lementów jes t ca łkowitą masą c ia ła M . Ró
(13.14) możemy więc zapisać w postac i
X;OT;.
M
/
—
1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 23/329
x§
M
środka masy ciała (patrz
* Ś C = * Ś M - (13.16)
: Wyob raź sob ie ,
że
chcesz nadziać jabłko
na
cienki pręt, lecz
nie
ci się trafić prętem w środek ciężkości jabłka . Jakie położenie końcow e zajmie środek
tak by
j ab łko mogło się swobodnie
K i l k a p r z y k ł a d ó w r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j
tym paragrafie rozważymy kilka przykładów dotyczących równowagi statycz
W każdym z nich wybierzemy układ zawierający jedno lub więcej
dla którego wykorzystamy warunki równowagi (tzn. wzory (13.7), (13.8)
We wszystkich przypadkach siły będą działać w płaszczyźnie xy, a za
z nimi momenty sił będą równoległe do osi z. Wobec tego, ko
z równania (13.9), czyli warunku równowagi momentów sił, będziemy
sił
względem
os i
równoległej
do osi z.
Choć równanie (13.9)
dla dowolnej takiej osi, to — jak się przekonasz — właściwy wybór
13.1
na rysunk u 13.5a, jedno rodn a belka o długości L
m = 1,8 kg
znajduje
się w
spoczynku,
a oba jej
końce
na
wagach.
Na
be lce l eży n ie ruchomo jednorodny
o masie M = 2,7 kg , tak że jego środek jes t o dległy
o L/4. Jakie są wskazania obu wag?
do rozwiązania każdego zada
się
rozważać ,
i
sporządzenie
dla
tego u kładu dia
sił zawierającego wszy stkie siły działające na ten układ.
ten
będz ie się składał z be lk i i klocka.
sił
działających
na ten
układ przeds tawiono
na
rysunku
wy
— patrz sztuka rozwiązywan ia zadań : porada 1 na końcu
Na belkę działają z e s t rony wag s i ły norm alne:
Ą na
lewy ko
i F
p
na je j prawy k oniec. Szukan e przez nas wskazania
ag są równe warto ściom bez względ nym tych s ił .
Na
belkę działa
g
,
b
, która jes t do niej przyło żona
w
środku masy
i jes t równa mg. Podobnie na klocek działa s i ła c iężkości
g
,k przyłożona w środku masy klocka i r ów na Mg.
Dla
uprosz
na n im jako kropkę znaj
dującą się w obrębie belki , a koniec wektora F
g i k
prze
do tej kropki . Moż na tak zrobić , ponieważ pionowe przes
wektora F
g > k
wzdłuż kierunku działania tej siły nie zmieni
zanego
z nią
mo men tu s i ły względem dowolnej
os i
pros t
do płaszczyzny rysunku.
Rozwiązanie zadania opiera się na s twierdzeniu, ż
skoro układ znajduje
się w
s tanie równowagi s tatycznej ,
nione są dla n iego warunki równowagi sił, tzn. równani
i (13.8), oraz równowagi momentów sił, tzn. równan ie (13
nieważ działające
na
układ s i ły
nie
mają składow ych wzd
x, więc równanie (13.7)
(F
vr?x
= 0) nie zawiera w sob
nych informacji. Z równania dla składowych y (równanie
F
w y p o
, = 0)
o t rzymujemy
w
naszym przypadku:
F
]
+ F
p
-Mg-mg = 0.
Równanie
to
zawie ra dwie n iewiadom e:
F\
i
F
p
,
będz
nam również pot rzebny warunek równowagi momentów s
równan ie (13.9). Mo żem y je zapisać
dladowolnej
os i obrotu
padłej do p łaszczyzny rysunku 13.5 . Wybie rzmy oś przech
przez lewy koniec belki . Musimy oczywiście pamiętać o r
wyznaczania znaków momentów
sił:
jeś l i mom ent s i ły po
obrót ciała, znajdującego się początkowo w spoczynku,
runku zgodnym z ruchem wskazówek zegara , to mom ent
ujemny,
a
jeś l i powoduje obrót
w
k ie runku przec iwnym
d
wskazówek zegara, to jes t dodatni . Wartości bezwzględne m
tów zapiszemy
w
postaci r^F.
W
naszym przypadku ram
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 24/329
układ ciał -
= i ( 2 , 7 kg ) ( 9 , 8 m / s
2
) + i ( l , 8 k g ) ( 9 , 8 m / s
= 15,4 4 N ss 15 N .
(od
Iklocck
BELKA
y
i i ?
a)
A F,,
klocek -
belka
: M g
B )
Rozwiązując następnie równanie (13.17) względem
F\
wiając do niego powyższy wynik, dostajemy
Fi = (M + m)g - F
p
= (2,7 kg + 1,8 kg) (9,8 m /s
2
) - 15,44 N
= 28,66 N
R S
29 N.
(od
P rzykład 13.1. a) Belk a o masie m podtrzymuje klocek
M. b) Diagram sił działa jących na układ belka + klocek
mg oraz L
Warunek równowagi momentów s i l (M
w y p z
= 0 ) jest
( 0 ) (F , ) - ( L / 4 ) ( M g) - ( L /2 ) ( m g ) + ( L ) ( F
P
) = 0,
F? = \Mg + \mg
Uwaga na temat metody rozwiązania: Zapisując
równowagi si ł , otrzymaliśmy równanie z dwiema niewi
Warunek równowagi momentów s ił względem dowolnej
nam również równanie z dwiema niewiadomymi. Aby uł
bie pracę, wybraliśmy jednak oś obrotu tak, by przechodz
punkt przyłożenia jednej z nieznanych sił , w tym przy
dzięki czemu siła ta nie wystąpiła w równaniu dla ró
momentów sił . Taki wybór osi obrotu umożliwił nam o
równan ia z jedną niewiadomą, z którego ła two było w
wartość nieznanej siły F
p
. Podstawiając otrzymany wyn
runku równowagi si ł , obliczyliśmy następnie wartość dr
znanej siły.
^ S P R A W D Z I A N 3 : Na rysu nku przedstawiono w
z góry jednorodny pręt znajdujący się w równowadze s
nej, a) Czy możesz wyznaczyć wartości nieznanych si
Fi z warunku równow agi si ł? b) Gdzie powiniene ś umie
obrotu, aby otrzymać równanie , w którym jedyną niewi
jest wartość siły F
2
? c) Okazuje się, ż(
równa 65 N. I le wynosi wartość si ły F\
20 N
13.6a, drabina o długości L = 12 m
m = 45 kg opiera się o gładką ścianę (między ścianą
h = 9,3 m nad podłożem, o które opiera
= 72 kg znajduje się w pewnej chwili na takiej wysokości, że
środek masy jest odległy od dolnego końca drabiny o L /2 . I le
R O Z W I Ą Z A N I E :
Przede wszystkim decydujemy, że rozważany układ cia ł
składał ze strażaka oraz drabiny, i sporządzamy diagram
łających na ten układ, przedstawiony na rysunku. 13.6b
diagramie strażaka przedstawiliśmy za pomocą kropki
nie,
zakładając, że jeg o środek m asy znajduje się blisko
a działającą na niego siłę ciężkości zapisaliśmy jako M
Jedyną siłą działającą na drabinę ze strony ściany
zioma siła Fi (gdyż między drabiną a ścianą nie dzia
Siła działająca na drabinę ze strony podłoża F
p
ma skła
ziomą F
p j
, którą jest siła tarcia statycznego, oraz skła
nową F
P i
), , którą jest siła normalna.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 25/329
brak tarcia
1 3 . 6 .
Przykład 13.2. a) Strażak wspinający się po drabi
O w y
p
(na rysunku pokazano składowe tej s i ły F
px
i F
py
)
Korzystamy ze spostrzeżenia, że O T skoro układ znajduje
my najpierw z równania (13.9) ( M
w y p z
= 0) . Aby wybrać oś ob
F§ i F
p
, działające na dwa końce
p
, to musimy umieścić oś obrotu (prostopadłą
O. Punkt ten wybieramy również jako początek układu
x,y. Mom enty s i ł wzg lędem punktu O m o żem y
(M = r±F).
Aby wyznaczyć ramię s i ły F& , rysujemy prostą, na której
r±
jest to odległość punktu
O
od tej prostej . Jak widać z rysunku 13.6b, odmierzamy ją
osi y i otrzymujemy h. Podobnie postępujemy z s i łami M
rysujemy proste, wzdłuż których one działają, i spostrzeg
ich ramiona musimy mierzyć wzdłuż osi
x.
Korzystając
wadzonej na rysunku 13.6a odległości a, s twierdzamy, że
tych si ł wynoszą odpowiednio a/2 (s trażak jest w połow i
kości drabiny) i a/3 (środek masy drabiny znajduje s ię w
trzeciej jej długości , l icząc od dolnego końca) . Ramiona
i F
P i J
są równe zeru.
Warunek równowagi momentów si ł M
w y P i i :
= 0, zap
pomocą wyrażeń typu r±F, przybiera zatem postać
+ (a/2)(Mg) + ( a / 3 ) ( m g ) + ( 0 ) ( F
p
, J + ( 0 ) ( F
(przy czym skorzystal iśmy ze znanej już nam reguły, mów
mom enty s i ł są dodatnie, jeśl i powodują obroty w kierunk
ciwnym do ruchu wskazówek zegara, a ujemne — jeśl i po
obroty w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że
a = JL
2
- h
2
= 7,58 m.
Wobec tego z równania (13.18) dostajemy
ga(M/2 + m/3)
Fi =
h
( 9 ,8 m / s
2
) ( 7 ,5 8 m ) ( 7 2 / 2 k g + 4 5 / 3 k g )
~~ 9,3 m
= 407 N 410 N. (odp
\
Następnie skorzystamy z warunku równowagi s i ł . Ró
^wyp,* = 0 daje
Fi-F
p
,
x
=0,
skąd wynika, że
F
p t X
= Fi = 410 N. (odp
Równanie
F
w y p i y
= 0 ma w naszym przypadku postać
F
P
,
y
-Mg-mg = 0,
skąd dostajemy ostatecznie
F
p
, , = (M + m)g = (72 kg + 45 kg) (9 ,8 m /s
2
)
= 1146,6 N « 1100 N . (odp
M = 430 kg
a = 1,9 mi b =
ścianą.
Jednorodna be lka ma m asę
m
równą
Ile wynosi napręż enie l iny 7j? Innymi s łowy, ile wynosi war tość
jaką l ina działa na belkę?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Rozw ażanym układe m ciał jest tu sama belka; diagram si ł
jących na belkę przedstawiono na rysunku 13.7b. Ze s tro
działa na belkę siła 7J. Siła ciężkości działa na belkę w jej
masy (czyli w jej środku geometrycznym ) i jest równa
mg
dową pionową si ły , jaką działa na belkę zawias, oznaczon
F
p i o n
, a składową poziom ą tej s i ły — przez F
p o z
. Ze strony p
mującego szafę pancerną sznura działa na belkę s i ła T
sz
. Po
belka, sznur i szafa pozostają w spoczynku, war tość s i ły
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 26/329
lina
Przykład 13.3.
na
wysięgniku złożo
m z poziomej liny stalowej i
s i ł
na belkę
T
sz
= Mg. Początek O układu współrzęd
x, y umieszczono w punkcie, w którym znajduje się zawias.
Zauważmy, że
O — r
skoro układ znajduje się
w
równowadze
to spełnione są warunki równow agi s ił i momentów si ł.
z
równania (13.9) (M wy
Pj Z
=
0). Zwróćmy
sił
F
p o z
i
F
p
i
0
n działających
na
belkę
ze
strony
w punkcie O. Wobec t ego © ~ " r oś
sił,
warto
równaniu nie występowały s i ły F
p o z
p i o n
,
czyl i wybrać oś prostopadłą do płaszczyzny rysunku w punk
e O. Ra miona s i ł Fpo
Z
i F
p
i
0 n
względem punktu O są równ e ze ru.
Tj, r
sz
i mg,
zaznaczono
na
za pomocą l inii przerywanych. Ram iona tych sił
O
wynoszą odpowiednio
a, b i b/2.
Zapisując momenty
sil w
postaci
r±F i
korzystając
ze
zna
sił
M
w y P i Z
= 0 w
postaci
(a) (7 i ) -
(b)(T
sz
)
- (\b)(mg) = 0.
Mg zamiast T
sz
i
rozwiązując otrzymane równanie
gb(M
+ \m)
Fpoz -
r, = 0,
Ti
=
( 9 , 8 m/ s
2
) ( 2 , 5 m) ( 4 3 0 k g + 85 /2 kg)
i
6100 N.
1,9
m
skąd otrzymujemy
Fpoz = Ti= 6093 N.
Równanie dla składowych pionowych F
w y p )
, = 0 ma po
Fpion - mg- T
s z
= 0.
Podstawiając
Mg
zamiast
T
s z
i
rozwiązując otrzymane
względem
F
p i o n
,
dostajemy
F
p i o n
= (m + M)g = (85 kg + 4 3 0 k g ) ( 9 , 8 m / s
2
) =
Wartość s i ły wypadkowej obl iczamy
z
twierdzenia Pi ta
V
poz
1
pion
= 6093
N
(odpowiedź)
F siły wypadkowej działającej na belkę ze
F
p o z
i F
p i o n
, by na tej podsta
F.
Zauważmy, że O *" * ponieważ znamy już wartość
, więc możem y teraz skorzystać z warunku równowagi sił działa
F
w y p x
= 0
w naszym przypadku postać
= 7(6093 N)
2
+ (5047 N)
2
f» 7
(od
Zauważ,
że
otrzymana wartość
F
jes t wyraźnie większa
od sumy ciężarów szafy pancernej
i
belki , wynoszące
ja k
i od
naprę żenia poziom ej liny, równego 610 0
N.
•SPRAWDZIAN
4
Na rysunk u przeds tawion o pozo
w spoczynku pręt
AC o
masie
5 kg,
utrzymyw any
w
zanym położeniu za pom ocą sznura oraz dzięk i tarciu
pującemu między prętem
a ścianą.
Pręt jes t jednorod
długość równą 1 m, a kąt 9 = 30° . a) W którym z p
zaznaczonych
na
rysunku powinieneś um ieścić
oś
obro
otrzymać równanie umożl iwiające wyznaczenie
z
nieg
tości siły
T,
jaką sznur działa
na
pręt? Załóż,
że
mo
si ł wyznaczamy względem osi wybranej
w
punkcie (a),
stając
z
reguły mówiącej ,
że
moment siły jest dodatn
powoduje obrót
w
kierunku przeciwnym
do
ruchu wsk
zegara. Jaki jest znak h) momentu
siły
M
g
związanego
z
siłą ciężko
ści działającą na pręt oraz c) m o
mentu s i ły
M
s z
związanego
z
silą
działającą na pręt ze strony sznura?
d)
Czy
wartość
M
s z
jest większa,
mniejsza, czy taka sama jak war
tość M„?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 27/329
m = 55 kg chce na chwilę
1 E
Jej środek masy znajduje się w odległości
0,2 m od ściany, o którą opiera się ona ramionami. Współ
j = 1,1, a międ zy ścianą a jej ramio nam i — \ii = 0,7. Aby
siłą, co odpowiada sytuacji , w której jej stopy
iona są na granicy ze ślizgnięcia się wz dłuż ściany.
d r a ń
N
h
F
g
= mgi'
1 3 . 8 . Przykład 13.4. Siły działające na alpinistkę odpoczy
N oraz sił tarcia statycznego _/j i f
2
jest przedstawio ny na rysun ku 13.8.
N, przy
i f
2
są skierowa ne piono wo w górę. Siła ciężkości F
g
= mg
Skorzystamy z faktu, że
O R R
skoro układ jest w stanie rów
F
w y p t X
= 0 wynika , że dwie
N tych sił , będącą jednocześnie wartością siły,
Z warunku równowagi F
w y p >
, = 0 otrzymujemy
Chcemy, aby zarówno stopy, jak i ramiona alpinistki były na skr
ześlizgnięcia się wzdłuż ściany, co oznacza, że działające w t
miejscach siły tarcia statycznego powinny mieć swe wartości m
symalne . Jak wyn ika z równania (6.1) ( /
s
,
ma
x = faN), te warto
maksymalne wynoszą
/ i = M i W oraz f
2
= n
2
N. (13.
Podstawiając te wartości do równania (13.21) i rozwiązując
względem N, ot rzymujemy
N =
mg
(55 kg) (9 ,8 m / s
2
)
fil+/i2 1,1+0,7
= 299 N R S 300 N . (odpowie
Alpinistka musi zatem odpychać się od ścian siłą o wartości r
nej co najmniej około 300 N.
b) I le powinna wynosić odległość w pionie między stopami i
mionami a lpinistki h, aby jej położenie było stabilne? Przyjm
że działa ona na ściany siłą obliczoną w punkcie (a).
R O Z W I Ą Z A N I E :
Przyjmijmy, że O T poło żenie alpinistki jest stabilne, jeśli sp
niony jest dla nie j także warunek równowagi momentów
( M
w y p z
= 0). Oz nacz a to, że w wy niku działających na nią
nie powsta je wypadkowy moment si ł względem
dowolnej
osi
rotu. Warto też wykorzystać fakt, że O T mamy swobodę wyb
osi obrotu, co może nam umożl iwić uproszczenie obl iczeń. M
menty si ły wyrazimy w postac i r j_F, w które j r± jest ramien
si ły F. Wybierzmy oś obrotu prostopadłą do płaszczyzny rysun
w punkcie zetknięcia się ramion alpinistki ze ścianą (patrz ry
nek 13.8). Ramiona sił działających w tym punkcie (N i /
2
)
za tem równe zeru. Ramiona si ły tarc ia f
u
si ły normalnej N dz
łającej na stopy alpinistki oraz działającej na nią siły ciężko
JF
g
= mg wynoszą odpowiednio w, h oraz d.
Wykorzystując regułę dotyczącą znaku momentu siły, w
żącą go z kierunkiem obrotu ciała, jaki powoduje ten mom
si ły, możemy w naszym przypadku zapisać warunek M
w y P i Z
=
jako
- ( « » ) ( / i ) + (h)(N) + (d)(mg) + ( 0 ) ( /
2
) + (0)(AT) = 0 (13 .
(zauważ, że przez właśc iwy wybór osi obrotu wyel iminowal iś
z obliczeń f
2
) . Rozwiązując równanie (13.23) względem h, a
stępnie podstawiając do ot rzymanego wyrażenia f\ = fi
t
N w
tość N = 299 N oraz wartości l iczbowe pozostałych wielko
danych, otrzymujemy
fiw — mgd niNw — mgd
N
= ( U ) ( 1 m )
N
mgd
(55 kg) (9 ,8 m/ s
2
) ( 0 , 2 m )
299 N
f\ + fi-mg = 0. (13.21) = 0,739 m 0,74 m. (odpowie
13.4. Ki lka przykładów równowagi statycznej
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 28/329
Taką samą wartość
h
otrzymalibyśmy, zapisując warunek równo
wagi momentów s i ł względem każdej innej os i obrotu prostopa
dłej do płaszczyzny rysunku, na przykład względem osi przecho
dzącej przez punkt s tyczności s tóp alpinis tki ze
ścianą.
Jeś l i wartość
h
będzie większa
lub
mniejsza niż 0,74 m, to
alpinis tka będzie musiała działać na ściany s i łami większymi niż
299 N , aby jej położen ie było s tabi lne. Wid ać z tego, że znajomość
fizyki może s ię przydać także podczas wspinaczki skalnej wzdłuż
komina. Gdy w trakcie takiej wspinaczki musisz odpocząć
znajomości f izyki możesz uniknąć błędu początkujących
czy, którzy umieszczają swe s topy zbyt wysoko lub zb
w s tosunku do ramion, co w końcowym rachunku może
wet fatalne w skutkach. W iesz już teraz, że is tnieje pew na
sza" odległość w pionie między s topami a ramionami, prz
możesz działać na ściany s tosunkowo najmniejszą siłą
możliwie dobrze wypocząć przed dalszą wspinaczką.
S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
Porada
1 : Zadania dotyczące równow agi statycznej
Oto spis czynności , które powinieneś kolejno wykonać,
rozwią
zując zada nia związ ane z równ owa gą statyczną.
1.
Sporządź
szkic
sytuacj i , której dotyczy zadanie.
2.
Wybie rz
układ
ciał, którego równowagę będziesz anal izo
wał . Na swoim rysunku otocz ten układ l inią zamkniętą , abyś
nie zapomnia ł, co j e s t badanym układem . Czasem m oże n im
być jedno ciało — to, które ma s ię znajdować w równowa
dze (na przykład alpinis tka z przykładu 13.4). W pewnych
przypadkach m ożesz włączać do badanego układu t akże inne
ciała . Warto tak postępować, gdy prowadzi to do uproszcze
nia obl iczeń. Wyobraź sobie na przykład, że w przykładzie
13.2 zdecydowałeś s ię uważać za badany układ samą dra
binę. Musiałbyś wtedy uwzględnić na rysunku 13.6b s i ły,
jakimi działają na drabinę stopy i ręce strażaka, a sił tych
nie znasz, co komplikuje anal izę zagadnienia . W wybranym
przez nas układzie , zawierającym oprócz drabiny także s t ra
żaka (rys. 13.6), siły, jakimi strażak działa na drabinę, są
s i lami wewnętrznymi, których znajomość nie jes t potrzebna
do zbadania równowagi układu i rozwiązania przykładu 13.2.
3. Narysuj
diagram sił
działających na badany układ. Umieść na
nim wszystkie s i ły działające na układ, oznacz je i upewnij
się,
czy dobrze zaznaczyłeś punkty przyłożenia i kierunki
działania tych sił .
. Narysuj osie układu współrzędnych x iy. Wy bierz je tak, aby
przynajmniej jedna z os i była równoległa do jednej lub ki lku
nieznanych s i ł . Rozłóż na składowe s i ły, które nie
noległe do os i układu współrzędnych. We wszystkic
trzonych w tym paragrafie przykładach rozsądny by
osi x jako os i poziomej , a os i y jako os i pionowej .
5.
Wy pisz dwa równa nia s tanowiące
warunek równow
Używaj symboli , a nie podstawiaj wartości l iczbowy
6. Wy bierz jedną lub więcej os i obrotu, pros topadłych d
czyzny rysunku, i zapisz
warunek równow agi momen
względem tych os i . Jeś l i wybierzesz oś obrotu zgodn
runkiem działania jednej z nieznanych s i ł , to otrzym
nania pros tsze niż w przypadku ogólnym, gdyż nie b
zawierać tej wyróżnionej siły.
7. Rozwiąż otrzymane równania algebraicznie. Niektó
denc i czują się pewn iej, jeśli już w tej fazie rozw
zadania podstawiają do równań l iczby i jedno stki , zw
gdy przekształcenia algebraiczne są dość złożone. Os
dziej doświadczone w rozwiązywaniu zadań wolą jed
dejście algebraiczne, gdyż lepiej uwidacznia ono za
otrzymywanego rozwiązania od różnych zmiennych.
8. Na koniec
podstaw wartości liczbowe danych
— wra
jednostkami — do otrzymanych wyrażeń algebra
i wyznacz wartości l iczbowe wielkości szukanych.
9. Przyjrzyj s ię otrzymanej odpowiedzi . Czy jes t ona ro
Czy nie jes t przypadkiem wyraźnie zbyt duża lub zby
Czy ma prawidłowy znak? Czy jednostki są popraw
1 3 . 5 . U k ł a d y n i e o z n a c z o n e
Rozwiązując zadania w tym rozdzia le , korzystamy z t rzech nieza leżnych r
k tórymi są zwykle dw a warunki równowagi s i ł i j eden warunek równowa
mentów s i ł względem wybranej os i obrotu. Gdyby zadanie zawiera ło wię
trzy niewiadome, nie moglibyśmy go rozwiązać .
A o takie zagadnienia wcale nie jes t t rudno. Wyobraźmy sobie , że w p
dzie 13.2, w którym zakładal iśmy brak ta rc ia między drabiną a
ścianą,
za
tego nie będziemy mogli z robić . Pojawi s ię za tem jeszcze jedna s i ła — s i ła
dz ia ła jąca pionowo w punkcie oparc ia drabiny o śc ianę — i w sumie będ
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 29/329
Jako inny przykład rozważmy samochód, k tóry j e s t n ie równomie rn ie obcią
Niemnie j jednak takie zagadnienia nieoznaczone mają rozwiązania w świec ie
is tym. Jeś l i us tawisz samochó d tak, że każd e z jeg o kół będzie w spar te na
Rzecz w tym, że ca ły czas zakłada l iśmy — choć może nie podkreś la l iśmy
Każdy z nas ze tknął s ię z kiwającym s ię s tol ikiem w res taurac j i — zwykle
ten prob lem, podkładając pod jedną z jeg o nóg z łożoną kar tk ę
Aby móc ana l i zować tak ie uk łady n ieoznaczone , mus imy — oprócz wa run
teorii sprężystości,
i .SM
Rys.
1 3 . 9 .
Stół o czterech no
jes t przykładem układu nieoznaczo
Siły działające na poszczególne
mają różne wartości , których nie m
wyznaczyć, korzystając wyłącznie z
runków równowagi s tatycznej
5 :
Jedno
o pod sufi tem
F\ i F
2
- Na rysunkach
1
a)
10
N
1
c)
10
N
1
b)
3 L
1
d )
10
N
L i
10
N
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 30/329
1 3 . 6 . Sprężystość
Rys. 13 .10 .
Atomy metalicznego ciała
stałego
są
regularnie ułożone
w trójwy
miarowej
sieci.
Sprężynki symbolizują
siły działające między atomami
Rys.
1 3 . 1 1
. a)
Walec poddany napręże
niu
rozciągającemu wydłuża
się o AL.
b)
Walec poddany naprężeniu ścinają
cemu odkształca
s ię o Ax,
podobnie
d o
zginanej talii kart
lu b książki, c)
Ciało
stale
w
kształcie kuli jest poddane
na
prężeniu objętościowemu
ze
strony
c ie
czy,
przy czym zmniejsza
sw ą
objętość
o AV .
Wielkość wszystkich tych
od
kształceń jest
na
rysunku znacznie
prze
sadzona
Gdy duża liczba atomów znajduje się bardzo blisko siebie, tworząc me
cia ło s ta łe , na przykład że lazny gwóźdź , a tomy za jmują położenia rów
w trójwymiarowej sieci, tzn. regularnym układzie powtarza jących s ię
w których każdy a tom ma dobrze okreś loną odległość od swych na jbl iższ
siadów. Atomy znajdują się blisko siebie dzięki występującym między nim
międ zyatom owy m. Dzia łają one tak, jak gdyby a tomy połączone były
sprężynkami, jak na rysunku 13.10. Sieć jes t niezwykle sz tywna, co o
że te „międzyatomowe sprężynki" są bardzo mocne . Właśnie dla tego od
wrażenie , że różne spotykane na co dz ień przedmioty, jak meta lowe d
s toły czy łyżki są doskonale sz tywne. Oczywiśc ie znamy też przedmiot
jak węże ogrodowe czy gumowe rękawiczki , które bynajmnie j nie wydają
sz tywne. Atomy, z których z łożone są te przedmioty,
nie tworzą
bowiem
nej sieci, jak na rysunku 13.10, lecz układają się w długie, elastyczne ł
cząsteczek, a każdy z tych łańcuchów jest dość luźno związany z sąsied
Wszystkie rzeczywis te c ia ła „sz tywne" są w jakimś s topniu spręż
oznacza, że można nieznacznie zmienić ich rozmiary, rozciągając je , ś
lub skręca jąc . Pewne pojęc ie o wie lkośc i tych z jawisk możesz uzyskać , r
jąc taki przykład. Wyobraź sobie , że masz s ta lowy prę t o długośc i 1 m i ś
1 cm. Jeś l i zawies isz na końcu tego prę ta niewie lki samochód, to prę t
c iągnie , a le tylko o około 0,5 mm, czyl i 0,05% swej długośc i . Co więc
powróci do swej pierwotne j długośc i , gdy samochód usuniesz .
Gdy jednak zawies isz na tym pręc ie dwa samochody, zos tanie on o
cony t rwale , to znaczy nie przyjmie swej pierwotne j długośc i po usunięc iu
żenia. Jeśli zaś zawiesisz na nim trzy samochody, to pręt się przerwie. Tu
zerwaniem prę t będzie rozc iągnię ty, lecz tylko o nieca łe 0,2%. Odksz ta łc
możesz uznać za niezbyt wie lkie , lecz jes t ono bardzo ważne w zas toso
technicznych (zgodzisz s ię , że jes t ważne , by skrzydło samolotu nie oderw
od kadłuba pod obciążeniem).
Na rysunk u 13.11 przedstawiono t rzy sposoby, w j akie c ia ło s tałe moż
niać swoje rozm iary pod w pły we m dzia ła jących na nie s i ł . Na rysunku 13
lec jes t rozc iągany. Na rysun ku 13.1 lb walec jes t odksz ta łcany s i łą pros top
jego os i , podobnie jak możemy zginać ta l ię kar t lub ks iążkę . Na rysunku
a)
L + AL L
F
b )
/ 1 \
c)
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 31/329
i je s t śc i skane równo
W spólną cechą tych przypadkó w jest to , że w zględn e
ie c ia ła zależy od war tości s i ły odkształcającej c ia ło , jak a przypad a
n a p r ę ż e n i e m
( termin
jes t odnos ić tę si łę do pola powie rzchn i, na jaką on a działa) . Rysune k 13.11
naprężenie rozciągające, b ) naprężenie ścinające i
naprężenie objętościowe (hydrostatyczne) .
W t rzech przypadkach przedstawionych na rysunku 13.11 naprężenia i od
tać , lecz w każd ym z nich naprężenie i odkształcen ie są
proporcjonalne — przynajmniej w zakresie ich przydatności w technice.
modu łem sprężyst ośc i ,
naprężenie = (moduł sprężystości ) • (odkształcen ie) . (13.24)
W trakcie rutynowych badań wytrzymałości mater ia łów na rozciąganie do
jak na rysun ku 13.12) przyk łada się naprężenie rozciągające,
13.13.
W znacznym zakres i e p r zy łożonego naprę
granicy sprężystości
mater ia łu , próbka ulega odkształceniu t rwa
naprężen ia
przypad ku, gdy cia ło jest rozciągane lub ściskane, naprężen ie
F/S, gdzie F jest wartością si ły przyłożonej do ciała w
m ie j
AL/L, czyli
Moduł sprężystości związany z odkształceniem przy rozciąganiu lub ściska
m o d u ł e m Y o u n g a i oznacza zwykle symbolem E. Równan ie
Rys. 13.12. Walec testowy, używan
wyznaczania za leżności odkszta łc
od naprężenia , które j przykład pr
stawiono na rysunku 13.13. Mierzy
zmianę długości AL pewnego odc
o długości początkowej L
naprężenie
niszczące
granica
sprężystości
pęknięci
próbki
zakres odkształceń
trwałych
zakres sprężystości
(proporcjonalności)
F
~S
AL
(13.25)
0 odkształcen ie (AL/L)
Rys. 13.13. Zależność odkszta łcenia
naprężenia dla próbki ze stali o ksz
cie jak na rysunku 13.12. Próbka u
odkszta łceniu t rwałemu po przekro
niu przez naprężenie granicy spręży
śc i mater ia łu. Próbka pęka po osiąg
ciu przez naprężenie wartośc i odpow
dającej naprężeniu niszczącemu dla
danego mater ia łu
13.6 .
Sprężystość
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 32/329
Rys.
1 3 . 1 4 .
Tensometr o wymiarach
zewnętrznych 9,8 x 4,6 mm. Czujnik
przykleja s ię do przedmiotu, którego
odkształcenie ma być badane, dzięki
czemu odkształca s ię on tak samo jak
badany przedmiot . W wyniku odkształ
cenia zmienia s ię opór elektryczny
czuj
nika, co umożl iwia pomiar odkształceń
nawet do 3%
Odksz ta ł cen ie p róbk i AL/L mierzy s i ę częs to ba rdzo wygodn ie
tens
(rys. 13.14). Jest to prosty i użyteczny czujnik, który przykleja się wp
badanego p rzedmio tu ; dz i a ł a on w t en sposób , że pod wpływem odksz t
zmien ia s ię j edna z j ego właśc iwośc i e l e k t r yc zn yc h
Moduł Younga ma zwykle dla danego mater ia łu prawie taką samą
przy rozciąganiu i śc iskaniu, naprężenie niszczące może natomiast być z
różne dla tych dwóch rodzajów naprężenia . Na przykład beton jest bar
porny na ściskanie , a bardzo kruchy przy rozciąganiu, w związku z czym
nigdy nie używa się go w warunkach, gdy może być narażony na rozc
Wartości modułu Younga i innych cech sprężystych ki lku mater ia łów przy
w technice podano w tabel i 13.1 .
Niektóre cechy sprężyste wybranych materiałów przydatnych w techn
Gęstość p
[kg/cm
3
]
Moduł Naprężenie
Gran
Materiał
Gęstość p
[kg/cm
3
]
Younga
E [ 1 0
9
N / m
2
]
niszczące
[1 0
6
N / m
2
]
spręży
[1 0
6
N
Sta l
a
7860 200
400 25
Aluminium 2710 70 110 9
Szkło 2190
65
5 0
b
—
B e t on
0
2320
30 4 0
b
—
D r e w n o
d
525
13
50" —
Kość
1900
9" 1 7 0
b
—
Polistyren 1050
3 48
—
a
Stal konstrukcyjna (ASTM -A36).
b
Przy ściskaniu.
c
O dużej wytrzymałości .
d
Da
Naprężenie ścinające
W przypadku odksz ta ł cen ia poprzecznego (mówi s i ę wtedy o śc inan iu ) n
nie mierzy się także za pomocą si ły na jednostkę pola powierzchni , a le s i ł
teraz nie prostopadle do te j powierzchni , lecz równolegle do
niej .
Odksz
wyraża bezwymiarowy paramet r Ax/L , p r zy czym występu jące w n im
ści zdef iniowane są na rysunku 13.1 lb . Odpow iedni mo duł sprężystośc
w technice oznacza się zwykle l i terą G, nazywa się modułem śc inania .
nie (13.24) dla ścinania zapisuje się w postaci
Naprężenia ścinające są odpowiedzialne za skrzywienia wałów obrac
się w warunkach dużego obciążenia oraz za z łamania kości przy ich wyg
Naprężenie objętościowe
Na rysunku 13. l ic naprężeniem jest c iśnienie c ieczy na c ia ło , k tóre —
dowiesz w rozdziale 15 — jest równe si le działa jącej na jednostkowe p
wierzchni . Miarą odkształcenia jest w tym przypadku stosunek AV/V,
jest p ierwotną objętością próbki , a AV — war tością bezwzględną zmian
tości . Odpowiedni moduł sprężystości , oznaczany l i terą K, nazywa s i ę m
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 33/329
czyli modułem ściśliwości materiału. Mówi się, że
ściskaniu w całej objętości, a zat em ciśnienie
naprężeniem objętościowym. Równanie (13.24) przybiera w tej
P = K ~ - (13.27)
Moduł ściśliwości wynosi 2,2 • 10
9
N/ m
2
dla wody, a 16 • 1 0
1 0
N/ m
2
dla
m, panuje ciśnienie 4,0 • 10
7
N/ m
2
. Związana z tym ciśnieniem względna
AV/V wynosi 1,8%. Objętość ciała ze stali zmienia się
ciśnieniem jedynie o około 0 ,025%. Ciała stałe — o sztywnej sieci
13.5
ze stali konstrukcyjnej ma promień R równy 9,5 mm oraz
L równą 81 cm. Pręt jest rozciągany wzdłuż swej osi
F o wartości 62 kN. Ile wynosi naprę
i
odkształcenie?
że —ja k wynika z drugiego zdania
— O —mo że my przyjąć, iż jeden koniec pręta
za pomocą imadła. Siła jest zatem przy
do drugiego końca pręta, równolegle do jego osi, a więc
do jego podstawy. Mamy wobec tego sytuację jak na
13.1
la.
Ponadto O T możemy założyć, że siła działa równomiernie
ma pole powierzchni
S
=
nR
2
.
F F
naprężenie -
6,2- 10
4
N
S tiR
2
( J T ) (9 ,5
• 10 -
3
m)
2
: 2 , 2 - 1 0
8
N/ m
2
. (odpowiedź)
Ponieważ granica sprężystości wynosi dla stali konstrukcy
2,5 • 10
8
N/ m
2
, naprężenie naszego pręta jest ju ż niebezpi
nie bliskie tej granicy.
Zauważmy następnie, że
O T
wydłużenie pręta zależy
naprężenia, długości początkowej oraz rodzaju materiału. Ro
materiału jest charakteryzowany przez wartość modułu Young
(którą możemy znaleźć w tabeli 13.1). Biorąc z tej tabeli war
E
dla
stali, otrzymujemy
na
podstawie równania (13.25)
AZ,
=
(F/S)L (2,2
•
10
8
N/ m
2
)(0 ,81
m)
E 2,0
•
1 0
u
N/ m
2
= 8,9-IO"
4
m = 0,89 mm.
(odpowie
I wreszcie przypomnijmy sobie, że O T odkształcenie
zdefiniowane jako stosunek zmiany długości
do
długości pierw
nej. Wobec tego jes t ono równe
AL
j , 9
•
10" m
0,81 m
1,1 • 10 "
J
= 0 , 1 1 % . (odpowie
13.6
1 m, a czwarta jest od nich dłuższa
= 0,5 mm, tak że stół się nieznacznie kiwa. Gdy na tym stole
o masie M = 290 kg (znacznie
od masy stołu), wszystkie nogi uległy ściśnięciu i stół
5 = 1 cm
2
. Moduł Younga E dla
1,3 • 1 0
1 0
N/ m
2
. Przyjmij, że blat stołu pozostał
nie
wygięły się,
i
wyznacz wartości sił, jakie
ze strony podłogi na poszczególne nogi.
się ze stołu i walca stalowego.
do przedstawionej na rysunku 13.9,
z tą różnicą, że na stole znajduje się tym razem stalowy wa
Zauważmy, że O - " * skoro blat stołu pozostał poziomy, to n
musiały zostać odkształcone tak, że każda z krótszych nóg ule
jednakowemu skróceniu (które oznaczymy przez AL3), a za
działają na nie siły o jednakowej wartości F$, natomiast n
dłuższa musiała ulec większemu skróceniu
AL
4
, a
więc działa
nią siła o większej wartości Fą. Inaczej mówiąc, jeśl i stół pozo
poziomy, to zachodzi związek
ALą
= AL3 + d. (13
Zauważmy następnie, że
O T
z równania (13.25) wyn
związek między zmianą długości a powodującą ją siłą AL
FL/SE,
przy czym L jest pierwotną długością nogi. Zwią
ten możemy wykorzystać w równaniu (13.28) dla ALą i
13.6. Sprężystość
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 34/329
+ d.
(13.29)
tym, że wszystkie nogi miały początkowo jed
akową
w
przybliżeniu długość L . Otrzymujemy zatem
Fą L
=
F
3
L
SE SE
ównanie
to nie
wystarcza jeszcze
do
rozwiązania zadania, gdyż
ystępują
w nim
dwie n iewiadome:
F
4
i F 3 .
Drugie równanie zawierające Fą i
F 3
o t r zymamy z warunku
ównowagi
sił
działających wzdłuż pionowej
osi y ( F
w y p > )
, = 0).
a
ono
postać
3 F
3
+ F
4
- Mg = 0,
(13.30)
rzy czym
Mg
jes t
to
warto ść siły cięż kości działającej
na
nasz
układ ciał (w równaniu tym uwzględnil iśmy też fakt, że na trzy
ogi działa jednakowa si ła
F
3
) . Aby
rozwiązać układ równań
(13.29)
i
(13.30) względem
—
powiedzmy
— F
3
,
zapiszemy
ajpierw równanie (13.30) jako
Fą = Mg
— 3F
3
. Podstawiając
o wyrażenie
do
równania (13.29) , otrzymujemy
po
niew ielkich
rzekształceniach:
Mg
dSE
_ ( 2 9 0 k g ) ( 9 , 8
m/ s
2
)
(5 •
10 ~
4
m ) ( 1 0 -
4
m
2
) ( l , 3 •
10
1 0
N/ m
2
)
(4)(1
m)
= 548 N 550 N.
(odpowiedź)
Z równania (13.30) mamy następnie
F V = Mg - 3F
3
= (290 kg) (9 ,8
m/ s
2
) -
3(548
N) ^
1200
N.
(odp
Możesz łatwo obliczyć,
że
teraz trzy krótsze nogi
są
o
0,42 mm, a
noga dłuższa
— o 0,92 mm.
•SPRAWDZIAN 6 : Na
rysunku przedstawiono poz
klocek zawieszony
na
dwóch l inkach
A i B.
Linki
te
ma
raz jednakową długość, lecz przed zawieszeniem
na
nich k
miały długość
różną.
Środek masy klocka znajduje się
linki
B niż A. a)
Rozważ m omenty
sił
względem środka
klocka
i
odpowiedz,
czy
war tość mo mentu s i ły , jaka dzia
klocek ze strony linki
A,
jest
większa, mniejsza,
czy
taka
sama ja k war tość mom entu
siły, jak a dz iała
na
klocek
ze -
strony linki B. b) Która z l i
nek działa
na
klocek więk
szą siłą?
c)
Która
z
linek
była krótsza przed zaw iesze
niem
na
nich klocka ?
i .
• S M -
"ST-
Si
Gdy
ciało sztyw ne pozo staje
w
spo
czynku, mówimy,
że
jest
ono w
stanie
równowagi statycznej.
Gdy ciało znajduje się w tym s tanie, suma wektorowa wszystkich
działających
na
nie
sił
zewnętrznych jest równa zeru, tzn.
F
W
yp = 0 (równowaga sił) . (13.3)
eśli wszystkie
te
siły działają
w
płaszczyźnie
xy, to
powyższe
ównanie wektorowe jest równoważne dwóm równaniom
dla
skła
dowych:
F
w y p x
= 0
oraz
F
w y p o
, = 0
( równowaga
sił).
(13 .7 , 13.8)
W równowadze statycznej równa zeru jest także suma wektorowa
działających na ciało zewnętrznych momentów sił wzg lędem do
wolnego punktu, tzn.
M
w y p
= 0 ( równowaga mom entów si ł) . (13.5)
Jeśli siły działają w płaszczyźnie xy, to wektory w szystkich mo
mentów
sił są
równoległe
do osi z, tak że
równanie (13.5) jest
równoważne jednemu równaniu
dla
składowych:
M
w y p z
= 0
( równowaga mom entów si ł) . (13.9)
Środek ciężkości
Siła ciężkości działa
z
osobna
na
ka
ment ciała. Na ciało jako całość dz iała s i ła ciężkości F
g
wypadkową
sił
działających
na
poszczególne elementy.
przyłożona
do
ciała
w
punkcie, który nazywa
się środki
kości ciała. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne
£
j es t tak
dl a wszystkich elementów ciała,
to
środek ciężkości pok
ze środkiem masy ciała.
Moduły sprężystości
W łaściw ości sprężyste ciał, czyl
i wielkość ich odkształcenia pod wpływ em działających
sił, opisuje
się za
pomocą trzech
modułów sprężystości
współczynnikami proporcjonalności między przyłożonym
naprężeniem (określonym jako si ła działająca na jednostko
powierzchni)
a
odkształceniem ciała (określonym jako w
zmiana jego rozmiarów), zgodnie
z
ogólnym równaniem
naprężenie
=
(moduł sprężystości)
•
(odkształcenie) .
Rozciąganie i ściskanie
Gdy ciało jest rozciągane
lub
ś
równanie (13.24) zapisuje się w postaci
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 35/329
AL/L jest odk ształcen iem ciała przy rozciąganiu lub ści
F — wartością siły F powodującej to odkształcenie, S
F (prosto
, jak na rysunku 13.1 la) , a E nazywa się
m o d u ł e m
m ater ia łu, z którego w ykonane jest c ia ło. Naprężenie jest
F/S.
Gdy c ia ło jest podda ne naprężeniu śc ina
(13.26)
Ax/L jest odk ształcen iem ciała przy ścinaniu, Ax — prze
F
(jak na rysunku
13.1
l b ) , a G nazywa się modułem śc inania
ter ia łu, z którego w ykonane jest c ia ło. Naprężenie jest równe
Naprężenie objętościowe Gdy c ia ło podlega ściskaniu w c
objętości
pod wpływem naprężenia działającego na nie ze st
otaczającej je cieczy, równanie (13.24) zapisuje się w postaci
AV
P = K ~ , (13
gdz ie p jest ciśnieniem (naprężeniem objętościowym)
dzia
cym na ciało ze strony cieczy, AV/V (odkszta łcenie) — wa
ścią bezwzględną względnej zmiany obję tośc i c ia ła pod wpływ
tego ciśnienia, a K nazywa się
m odułem śc iś l iwośc i
materiał
którego wykonane jest c ia ło.
Pytania
Na rysunku 13.15 pokazano widziany z góry jednorodn y ki j , na
O, obl iczyl iśmy momenty si ł względem
osi i stwierdziliśmy, że wypa dkow y mo me nt sił jest rów ny
A, b) punkt B, c) punkt C też jest równy zeru?
jest różny od zera. Czy »C
- t
O
$ B
Rys. 13.15.
Pytanie 1
Na rysunku 13.16 przedstawiono sz tywną belkę przymocow aną
małą,
lecz ciężką szafkę pancerną, kolejno
A, od siły powodującej największe ściśnięcie słupka do
ze stron y szafki na "™*
B. Rys. 1 3 . 1 6 . Pytanie 2
a rysunku 13.17 pokazano cz tery w idziane z góry jednorod ne
F,
lu b 3F , które są przyłożone na obrzeżu krążka , w jego środku
1 2
N -
3 4 5 6
» T T
J L _
2F 2F
F F
I >
c)
«J)
Rys. 13.17. Pytanie 3
4 .
Na rysunku 13.18 przed
stawiono dwa widziane z gó
ry e lementy konst rukcyjne .
Na każdy z nich działają trzy
si ły o kierunkach wskaza
nych na rysunku. Dla którego
z tych elementów można tak
dobrać wartości sił (różne od
zera),
aby znajdował się on
w równowadze sta tycznej?
T
™ 0 Ą
I
a) b)
Rys. 13.18.
Pytanie 4
5 .
Na rysunku 13.19 przedstawiono zawieszoną u suf i tu rucho
rzeźbę (tzw. mobil), złożoną z czterech metalowych pingwin
połączonych listewkami i l inkami. Wszystkie l istewki są poziom
mają znikomo małą m asę , a l inki są do nich przymocowan e w j
nej czwartej ich długości, l icząc od lewego końca. Pingwin 1
masę m\ = 48 kg. I le wynoszą masy pozosta łych pingwinów?
Rys. 13.19. Pytanie 5
Pytania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 36/329
6. Drabina opiera się o ścianę, po której jej koniec mógłby się
śl izgać bez tarcia. Drabina nie porusza s ię jednak, gdyż na jej
drugi koniec działa siła tarcia ze strony podłogi. Wyobraź sobie, że
przysunąłeś ten dolny koniec drabiny bliżej ściany. Czy wartości:
a) siły normalnej działającej na drabinę ze strony podłogi, b) siły
działającej na drabinę ze strony ściany, c) siły tarcia statycznego
działającej na drabinę ze strony podłogi, d) maksymalnej siły
tarcia statycznego /
s m a x
, wzrosły przy tym, zmalały, czy pozostały
bez zmiany?
7 .
Trzy drewniane koniki zawieszone są w bezruchu na ki lku
krążkach i l inkach, jak pokazano na rysunku 13.20. Jedna długa
linka biegnie od sufitu po prawej strome rysunku do dolnego
krążka po lewej stronie, a kilka krótszych linek łączy krążki z sufi
tem oraz koniki z krążkami.
Na rysunku podano ciężary
dwóch koników (w niuto-
nach) .
a) I le wynosi cię
żar t rzeciego konika? Wska
zówka: Gdy linka styka się
z krążkiem wzdłuż połowy
jego obwodu, działająca na
krążek si ła wypadkowa jest
dwa razy większa od naprę
żenia linki, b) Ile wynosi na
prężenie krótkiej linki ozna
czonej literą Tl
Rys.
1 3 . 2 0 .
Pytanie 7
8 .
a) Przypomnij sobie sprawdzian 4. a) Czy w wyrażeniu
wiążą
cym ze sobą M
s z
i T występuje sin 6 , czy cos#? Wyobraź sobie,
że zmniejszamy kąt 6 ( tzn. skracamy sznur , utrzymuj
pręt w położeniu poziomym), b) Czy moment s i ły M
s z >
n
do zachowania równowagi układu, rośnie przy tym, ma
pozostaje bez zmiany? c) A czy wartość siły T rośnie
maleje, czy pozostaje bez zmiany?
9 .
W tabeli podano pola
trzech powierzchni oraz war
tość siły działającej równo
miernie na te powierzchnie
prostopadle do nich. Usze
reguj te powierzchnie zgod
nie z ich naprężeniem, od
największego do najmniej
szego.
Pole
powierzchnia A
powierzchnia B
powierzchnia C
0,5 S
2 S
3 S
1 0 . Cztery walcowe pręty są rozciągane jak na rysunk
W tabeli podano war tości działających na nie s i ł , pola po
podstaw, wydłużenia oraz początkowe długości prętów. U
te pręty w zależności od ich modułów Younga, od najw
do najmniejszego.
Pręt
1
2
3
4
Siła
F
2F
F
2F
Pole
powierzchni
S
2S
2S
S
Wydłużen ie
A L
2 A L
2 A L
A L
Dł
pocz
a d a n i a
Rozwiązanie jest dostępne na s tronic intcrneto\u- | pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/college/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning
Ware (na tej samej stronic)
1 3 . 4 K il k a p r z y k ł a d ó w
r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j
1. Jak pokazano na rysunku 13.21, rodzina pewnego f izyka s ie
dzi na huśtawce, przy czym huśtaw ka znajduje s ię w równowadze.
Ciężary poszczególnych członków rodziny (w niutonach) zazna
czono na rysunku. Od której z osób (podaj jej numer) pochodzi
największy mom ent s i ły względ em osi obrotu przechodzącej przez
ostrze O, na którym wsparta jest ta huśtawka, skierowany a) przed
kar tkę, b) za kar tkę?
220 330 440 560
i i l i
560 440 330 220
l l l l
4 3 2 1
Rys.
1 3 . 2 1 .
Zadanie 1
4
2 .
Krzywa Wieża w Pizie ma wysokość 55 m i średn
Szczyt wieży jest odchylony od pionu o 4,5 m. Załóż,
można traktować jako jednorodny walec, a) O i le należał
cze odchylić od pionu wierzchołek wieży, by doprowadz
upadku? b) Jaki kąt tworzyłaby oś wieży z pionem w p
w którym wieża zaczęłaby się przewracać?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 37/329
. Na cząstkę działają dwie siły równe w niutonach
F\ =
lOi —4j
F
2
= 17i + 2j. a) Wyznacz siłę
F%,
która je równoważy,
F 3 względem osi .v?
Cięciwa łuku jest naciągnięta w połowie swej długości tak, że
. Linę o znikomo małej masie rozpięto poziomo między dwoma
Pozioma platforma o masie 60 kg i długości 5 m jest zawieszona
mie w odległości 1,5 m od jednego z jej końców. Ile wynosi
Jak pokazano na rysun
m i promieniu r jest
L. Załóż,
że między
napręże
M
Rys. 13.22. Zadanie 7
Samochód o masie 1360 kg ma osie kół przednich i tylnych
łe od siebie o 3,05 m. Środek ciężkości pojazdu znajduje
odległości 1,78 m od osi przedniej. Samochód stoi na po
4,5 m -
Skoczek do wody, które
13.23). Trampolina jest
erunek siły działającej na
. Na rysunku 13.24 pokazano, jak pewien kierowca stara się
mochód z błota, w którym ugrzązł na poboczu
a, a drugi przymocował do słupa telegraficznego odległego
|*1,5 m«|
Rys. 13 .23 . Zadanie 9
od samochodu o 18 m. Gdy następnie ciągnie on linę w środ
jej długości, działając na nią siłą 550 N, przy czym środek l
odchyla się od swego położenia początkowego o 0,30 m, sam
chód ledwie rusza z miejsca. Ile wynosi wartość siły, którą l
działa na samochód? Zwróć uwagę, że lina nieco się rozciąga
Rys. 1
3
. 2 4 . Zadanie 10
1 1 . Metrowy pręt mierniczy jest poziomy i znajduje się w r
nowadze, gdy jest podparty na ostrzu znajdującym się przy kre
oznaczającej 50 cm. Gdy w punkcie oznaczającym 12 cm po
żono na pręcie dwie monety o masie 5 g każda, do zachowa
równowagi pręta trzeba było przesunąć ostrze do kreski oznac
jącej 45,5 cm. Ile wynosi masa tego pręta?
1 2 .
Jednorodna skrzynia o ciężarze 500 N oraz kształcie s
ścianu o krawędzi 0,75 m spoczywa na podłodze tak, że jedna
krawędź jest oparta o niewielką sztywną fałdę podłoża. Na jak
co najmniej wysokości nad podłogą trzeba działać poziomo na
skrzynię siłą o wartości 350 N, aby ją przewrócić?
13. Przy myciu okien robotnik o masie 75 kg korzysta z drab
0 masie 10 kg i długości 5 m. Ustawia on dolny koniec drab
w odległości 2,5 m od ściany, opiera górny koniec o popęka
szybę okienną i zaczyna się wspinać po drabinie. Po przeby
przez niego 3 m wzdłuż drabiny, szyba okienna rozpada się
kawałki. Pomiń tarcie między drabiną a szybą oraz załóż, że d
bina nie ślizga się po podłożu, i oblicz: a) wartość siły, jaką dzi
drabina na szybę tuż przez rozpadnięciem się szyby, b) wart
1 kierunek siły, jaką działa podłoże na drabinę tuż przez rozp
nięciem się szyby.
14. Na rysunku 13.25
przedstawiono budowę ana
tomiczną podudzia i stopy.
Gdy stajesz „na palusz
kach", tak że pięta unie
siona jest nad podłogę, stopa
efektywnie styka się z pod
łogą w jednym punkcie
oznaczonym na rysunku li
terą P. Oblicz siły działa
jące wówczas na stopę ze
strony a) mięśnia brzucha
tego łydki (przyłożoną do
stopy w punkcie
A),
b) ko
ści podudzia (przyłożoną do
stopy w punkcie B), wyra
żając je w jednostkach cię
żaru człowieka. Przyjmij, że
o = 5 cm, a b = 15 cm.
mięsień brzuch
łydki
kości podudz
U-
Rys. 13 .25 . Zadanie 14
Z a d a n i a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 38/329
L
Rys. 13.26.
Zadanie 15
5 . Jak pokazano na ry
O
łączy się
B
B i c) liny C. (Wska
Aby uniknąć roz
i , wybierz układ współ
6 . Układ z rysunku 13.27
T\ , b) T2
/3 oraz d) kąt 0.
7 . Jak pokazano na ry
F utrzy
T gór
(Wskazówka: Gdy
Hw
8 . Do podniesienia klocka
13.29. Ra
ę ze strony a) mięś nia
trój-
i b) kości ramieniowej? Przedram ię i dłoń mają m asę 2 kg,
jaką m ięsień trójgłowy d ziała w górę na przedramię, jest przy
Rys. 13.27.
Zadanie 16
Rys. 13.28. Zadanie 17
m i ę s i e ń -v
trójgłmw-**
ramieniow a
Rys. 13.29.
Zadanie 18
1 9 . Na element konstrukcyjny pokazany w rzucie z gó
sunku 13.30 działają trzy siły: F\, FI i
F 3 .
Chcemy
ten element w równowadze, przykładając do niego w p
czwartą si łę o składowych F
X
\F
Y
. W i em y , ż e a = 2 m , i
c = 1 m, F
X
= 20 N, F
2
= 10 N, a F
3
= 5 N. Wyznac
b) /•',. oraz c) d. j>v
o
a
I
Rys. 13.30.
Zadanie 19
2 0 . Na rysunku 13.31
przedstawiono jednorod ną ta
blicę o masie 50 kg umo
cowaną na poziomym pręcie ,
który ma długość 3 m i zni
komo małą masę. Tablica ma
kształt kwadratu o boku 2 m.
Koniec pręta jest połączony
liną z hakiem w ścianie od
ległym o 4 m od zawiasu,
który łączy ze ścianą drugi
kon iec pręta, a) Ile wynos i na
prężenie liny? Jakie są war
tości i kierunki składowych:
b) poziom ej i c) pion owe j, siły
działającej na pręt ze strony
ściany?
Rys.
1 3 . 3 1 . Zadanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 39/329
.
Na rysunku 13.32przed-
F.
co najmniej musi wy
hl
Rys. 13.32.
Zadanie 21
T
Pionowa szczelina skalna jes t tak wąska, że wspinacz nie mieści
n ie j .
Aby się wspiąć, przyjmuje on zatem pozycję pokazaną
13.33, odpychając się stopami od jednej ściany szcze
w =
0,2 m,
pinacza wynosi 55 kg, a jego środek masy znajduje się
d
= 0,4 m od brzegu szczeliny. Współczynnik tarcia
\i\
= 0,4,
fi
2
= 1 »2. a) Jaką co najmniej siłą
łać wspinacz na każdą ze ścian szczeliny („przyciąga
jedną i „odpychając" drugą), aby nie ześlizgnąć się wzdłuż
między jego dłoniami
ania się wspinacza
iejsca, w k tórym
i /j.2 są mniejsze od po
Na rysunku 13.34 po
ano jednorodną belkę
• SM
Jillllllll**ł
SsIPllls
^lillll
Si
Rys. 13.33.
Zadanie 22
Rys. 13.34.
Zadanie 23
mmmmmm.
Zadanie 24
2 4 .
Cztery jednakowe, jednorodne cegły o długości
L
ustawio
jedną na drugiej na skraju stołu tak, że część każdej z nich w
staje poza cegłę, na której jest położona (rys. 13.35). Wyzna
w jednostkach
L
maksymalne długości odcinków: a)
a\,
b)
c) a
3
, d) a
4
i e) /i, dla których stos cegieł się nie przewraca.
2 5 .
Układ przedstawiony
na rysunku 13.36 znajduje
się w równowadze. Blok
betonowy o masie 225 kg
jest podtrzymywany za po
mocą jednorodnej podpory
o masie 45 kg. Wyznacz:
a) naprężenie liny
T
oraz
b) poziomą i c) pionową
składową siły, jaką zawias
działa na podporę, ilw
-
zawias
Rys. 13.36.
Zadanie 25
2 6 .
Drzwi o masie 27 kg mają wysokość 2,1 m i szerokość 0
m. Są one zawieszone na dwóch zawiasach umieszczonych w od
głości 0,30 m od górnej i dolnej ich krawędzi. Przyjmij, że każd
zawias podtrzymuje połowę masy drzwi oraz że środek ciężk
ści drzwi znajduje się w ich środku geometrycznym, i wyznac
a) poziomą i b) pionową składową siły, jaką działa na drzwi każ
2 7 . Niejednorodny pręt jest zawieszony na dwóch linach o z
komo małej masie jak na rysunku 13.37. Pręt znajduje
w równowadze, gdy jest po
ziomy. Kąty tworzone wów
czas z poziomem przez liny
wynoszą 9 = 36,9° i <p =
53,1°. Długość pręta
L
jest
równa 6,1 m. Wyznacz od
ległość
x
środka masy pręta
od jego lewego końca.
Rys. 13.37.
Zadanie 27
2 8 .
Jak pokazano na ry
sunku 13.38, cienka belka
pozioma AB o długości L
i znikomo małej masie jest
przymocowana do ściany za
pomocą zawiasu na końcu
A, a jej koniec B jest pod
trzymywany na cienkiej li
nie
BC
tworzącej z po
ziomem kąt
6.
Przedmiot
o ciężarze W można umie
ścić w dowolnym miejscu
na belce i określić jego po- ^
1 3 3 8
"
Z a d a n i a
2 8 1 3 0
łożenie, podając odległość
x
środka masy przedmiotu od ścian
Potraktuj
x
jako zmienną niezależną i wyznacz jako funkcję
a) naprężenie liny oraz b) poziomą i c) pionową składową sił
jaką działa zawias na belkę w punkcie
A.
Z a d a n i a
2
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 40/329
2 9 .
Na rysunku 13.39 przedstawiono jednorodną deskę o długości
L równej 6,10 m i ciężarze 445 N wspartą na podłodze oraz na
olce umieszczonej w gór
nym skraju ścianki o wyso
ości h = 3,05 m. Między
eską a rolką nie wystę
9
9 < 70°. Wy
Rys. 13.39.
Zadanie 29
13.41. Wyznacz składowe x i y sił działających: a) na b
strony jej zawiasu, b) na belkę A ze strony nitu, c) na b
strony jej zawiasu, d) na belkę B ze strony nitu.
3 3 . Sześcienne pudło wypełnione piaskiem ma cięża
Chcemy przewrócić to pudło, tak by jego podstawą stała
ze ścian początkowo pionowych, przykładając do niego
siłę na jednej z górnych krawędzi, a) Ile co najmniej musi
wartość tej siły? b) Ile co najmniej musi wynosić wsp
tarcia statycznego między pudłem a podłogą? c) Czy mo
przewrócenie tego pudła mniejszą siłą? Jeśli tak , to jaka
mniejsza wartość siły — przykładanej wprost do pudła —
liwiająca jego przewrócenie? (Wskazówka: Zastanów
jest przyłożona siła normalna, gdy pudło zaczyna się u
0 .
Załóż, że jednorodna belka z rysunku 13.38 ma długość L
3 m, a jej ciężar wynosi 200 N. Przyjmij też, że stojący na
dmiot ma ciężar W = 300 N, a kąt 9 = 30°. Maksymalne
x od ściany możesz ustawić przedmiot , jeśli
A, gdy
CE o długości 2,44 m każda, po-
1 . Drabina malarska przedstawiona na rysunku 13.40 składa
AC
C i linką
D o długości 0,762 m,
jących na drabinę ze
A i c) E. (Wskazówka:
Rys. 13.40. Zadanie 31
2 . Dwie jednorodne belki
i B przymocowane są
r
1,8 m
-2,4 m-
. A ' '
54 kg
-nit
"68 kg
*—L—
-h
3 4 . Cztery jednakowe, jednorodne cegły o długości
wiono na skraju stołu na dwa sposoby, przedstawion
sunku 13.42 (por. z zadaniem 24). Chcemy, by stos cegi
wał jak najdalej poza kra
wędź stołu, tzn. aby h było
w każdej z tych konfiguracji
jak największe. Wyznacz .. . ,
długości odcinków a\, aą,
b\ i ź>2 odpowiadające naj
większej wartości h oraz te
a
)
największe wartości h dla , ^
obu układów cegieł (w ru
bryce „The Amateur Scien-
tist" w Scientific American,
czerwiec 1985, s. 133-134, ^ _
omówione są jeszcze lepsze
konfiguracje układu cegieł
z rysunku 13.42b).
Rys.
1 3 . 4 2 .
Zadanie 3
b)
Rys.
1 3 . 4 1
. Zadanie 32
3 5 . Skrzynia w kształcie sześcianu o krawędzi 1,2 m
pewne urządzenie mechaniczne. Środek masy skrzy ni
wartości jest położony o 0,30 m nad środkiem geome
sześcianu. Skrzynia stoi na pochylni tworzącej z pozio
9. Wyobraź sobie, że kąt ten jest początkowo równy ze
tem stopniowo go zwiększamy. Wcześniej czy później os
przy tym taką jego wartość, że skrzynia albo zacznie s
giwać wzdłuż pochylni, albo przewróci się na sąsiedni
a) Które z tych zdarzeń nastąpi, jeśli współczynnik tarcia
nego między skrzynią a pochylnią wynosi 0,6? b) A
równy 0,7? W każdym z przypadków wyznacz wartość
której skrzynia zaczyna się poruszać. (Wskazówka: Zasta
gdzie jest przyłożona siła normalna, gdy skrzynia zac
unosić) . • «-
13.6 Sprężystość
3 6 .
Na rysunku 13.43 przedstawiono zależność odkształ
naprężenia dla kwarcytu. Wyznacz a) moduł Younga i b)
żoną wartość granicy sprężystości dla tego materiału.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 41/329
300
250
200
150
100
50
0,
1
j . /
i
*
i
0 0,001 0,002 0,003 0,004
odkształcenie
Rys. 13.43. Zadanie 36
Poziomy pręt aluminiowy o średnicy 4,8 cm wystaje ze ściany
1200 kg. Moduł śc inania wynosi dla a luminium 3,0 •
0
N /m
2
. Pomiń masę pręta i wyznacz: a) naprężenie ścinające
ące na pręt oraz b) odkształcen ie pionow e końca pręta, i Iw
Na rysunku 13.44 przedstawiono cegłę ołowianą leżącą po
A i B. Pola powierzchni podstaw walców
S
A
= 2S
B
, a mod uły Younga
E
A
= 2E g . Przed położeniem na
i d
A
i d
B
i
i i i
d
A
(dla
A) i d
B
(dla walca
c) Ile wyn osi stosunek
B
l
S M
cegły
A B
Rys. 13.44. Zadanie 38
Na rysunku 13.45 przedstawiono jednorodny pień o masie
A i B, z któ-
każda ma promień 1,2 mm. Przed zawieszeniem na nich
A miała długość
i by ł a o 2 mm kró t
B. Pień wisi po
A i b) liny
c) Ile wynosi stosunek
B
l w *
lina A l i n a S
Rys. 13.45.
Zadanie 39
Na głębokości 60 m pod powierzchnią z iemi ma być zbudo
płaskim sklepieniu oraz długości 150 m, w ysoko
2
. Gęstość
3
, a) Ile wynosi całkowita masa gruntu,
który muszą podtrzymać kolumny? b) I lu kolumn t rzeba uż
jeśli wymaga się, aby naprężenie ściskające każdą kolumnę
przekroczyło połowy je j naprężenia mszczącego?
U 150 m J
60 m
Z a d a n i a d o d a t k o w e
4 1 . Wyobraź sobie , że musisz przesunąć c iężki pień drze
w puszczy zwrotnikowej , a nie masz żadnych narzędzi . Oto co p
winieneś zrobić. Znajdź młode drzewo znajdujące się mniej wię
w kierunku, w którym masz przesunąć pień. Wyszukaj l ianę zw
sającą ze szczytu drzewa aż do powierzchni ziemi. Przyciągnij
l ianę do pnia i owiń ją wokół jakiejś odnogi na pniu. Następ
naciągnij mocno lianę, tak by drzewo się zgięło i wzmocnij w
zeł na odnodze. Powtórz tę operację dla kilku dalszych drze
a w końcu si ła wypadkowa wywierana na pień przez ki lka l
ruszy go z miejsca . Jest to metoda dość żmudna, lecz umoż
wiała ona pracownikom leśnym przemieszczanie c iężkich pni
długo przed powstaniem nowoczesnych urządzeń mechaniczny
Na rysunku 13.47 przedstawiono schemat działania tej meto
Pokazano jedną l ianę przywiązaną do gałęz i na jednym z ko
ców jednorodnego pnia o masie M. Współczynnik tarc ia s
tycznego między pniem a gruntem wynosi 0 ,8. Wyznacz: a) k
9 oraz b) wartość T siły,
jaką działa l iana na pień,
gdy pień zaczyna się śli
zgać, tzn. gdy jego lewy ko
niec jest nieznacznie unie
siony przez lianę.
liana
9,
Y
^ p i e n
- . - ,—
Rys. 13.47.
Zadanie 41
4 2 . Wyobraź sobie , że powierzono c i zadanie usypania duże
kopca z piasku na placu zabaw znajdującym się wewnątrz b
dynku. Musisz za tem zadbać o to , aby naprężenie podłogi p
górą piasku nie przekroczyło dopuszczalnej wartości. Studiu
literaturę przedmiotu, stwierdziłeś ze zdziwieniem, że napręże
podłoża jest na jwiększe nie pod szczytem kopca , lecz w pun
tach odległych o r
m
od tego punk tu środkowego (rys. 13.48
Podejrzewa się , że to przesunięc ie obszaru maksymalnego
cisku na podłoże od środka kopca na zewnątrz jest związa
z tworzeniem łuków przez z iarna piasku w kopcu. Na rysun
Zadania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 42/329
13.48b przedstawiono zależność naprężenia
a
od odległości
r
od
punktu położonego wprost pod szczytem kopca dla kopca o wy
s o ko ś ci H = 3 m i k ąc ie 0 = 33° , usypanego z piasku o gęstości
p = 1800 kg / m
3
; na tym rysunku <x
0
= 40 000 N /m
2
, a
m
= 40 024
N / m
2
, a r
m
= 1,82 m.
a) Oblicz objętość piasku zawartego w części kopca o r ^
r
m
/ 2 . {Wskazówka: Objętość tej bryły jest równa sum ie objętości
pionowego walca i s tożka nad tym walcem; objętość s tożka wy
nosi
7 t
J?
2
/ i / 3 ,
gdzie R jest promieniem podstawy stożka, a h jego
wysokością) , b) I le wynosi ciężar piasku zawartego w tej objęto
ści? c) Na podstawie wykresu z rysunku 13.48b napisz wyrażenie
na działające na podłogę naprężenie a jako funkcję r dla r ^ r
m
.
d) I le wynosi pole powierzchni dS cienkiego pierścienia podłogi
o promieniu
r
i środku pod szczytem kopca oraz szerokości ra
dialnej dr? e) I le wynosi war tość dF siły działającej na ten pier
ścień ze strony piasku? f) Ile wynosi wartość F s i ły wypadkowej
działającej na podłogę ze
strony całego piasku zawar
tego w bryle o r ^ r
m
/ 2 .
(Wskazówka: Scałkuj wyra
żenie otrzymane w punkcie
(e) od r = 0 do r = r
m
/ 2 ) .
Zauważ, że wynik jest za
skakujący: war tość F siły
działającej na podłogę jest
mniejsza od ciężaru W pia
sku znajdującego się nad tą
częścią podłogi , który obli
czyłeś w punkcie (b) . g) I le
wynosi war tość względna
różnicy F i W, tzn. wiel
kość (F — W)/W?
Rys. 13.48. Zadanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 43/329
Grawi tac ja
w tym nasze Słońce z Układem Słonecznym. Wszystkie te obiekty związane są ze so
t a k j e s t ,
w j a k i s p o s ó b
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 44/329
1 4 . 1
. S i ł a g r a w i t a c y j n a w e W s z e c h ś w i e c i e
Rozdzia ł ten o twiera zd jęc ie naszej Galaktyki — Drogi Mlecznej . My
jem y s ię w pobl iżu skra ju dysku, k tórego kszta ł t m a Galak tyka, ok oło 26
świetlnych (2,5 • 10
2 0
m) od je j ś rodka, k tóry leży w gwiazdozbiorze S
Nasza Galaktyka należy do Lokalnej Grupy Galaktyk , k tóra zawiera także
M gław icę w A ndrom edzie ( rys . 14 .1) , od ległą od nas o 2 ,3 • 10
6
lat św
oraz k i lka b l iższych nas galak tyk , jak widoczny na p ierwszym zdjęciu
Ob łok Mage l l ana .
Lokalna Grupa Galaktyk jes t częścią większego zbiorowiska gala
Supergromady Lokalnej . Pomiary wykonane w czas ie os ta tn ich dwudzies
la t wskazują na to , że Supergromada Lokalna , a także supergromada
z gromad w Hydrze i w Centaurze , poruszają s ię w k ierunku n iezwykle
obszaru Wszechświata , zwanego Wielk im Atraktorem. Wydaje s ię , że ten
znajduje s ię w odległości około 300 milionów lat świetlnych od nas, po
s t ronie Galaktyki , za gromadami w Hydrze i w Centaurze .
S i ła , k tóra wiąże ze sobą te coraz większe s t ruktury mater i i — od
przez galak tyki po ich supergromady — i k tóra być może przyciąga je w
do W ielk iego Atraktora , to s i ła grawitac j i (c iężkości) . Jak widzisz , ta s i ła n
przyciąga c ię do Ziemi , lecz także s ięga daleko w przes t rzeń międzygalak
Rys. 1 4 . 1 .
Wie lka Mgławica w Andr o
medzie . Jes t to galaktyka odległa od
nas o 2,3 • 10
6
lat świetlnych, bardzo
podobna do naszej Galaktyki — Drogi
Mlecznej .
Jes t ona ledwie widoczna go
łym ok iem
1 4 . 2 . P r a w o p o w s z e c h n e g o c i ą ż e n i a
Fizykom sprawia wielką przyjemność , gdy dos ta tecznie szczegółowe bada
wisk na pozór ca łkowicie ze sobą n ie związanych
wykażą,
że is tn ie je jedn
dzy n imi pewien związek . Tego rodzaju poszukiwania unif ikacj i różnych
mają t radycję wręcz wielowiekową. W roku 1665 23- le tn i Izaac Newton
wielk iego odkrycia w f izyce , wykazując , że s i ła u t rzymująca Ks iężyc na
to ta sama s i ła , k tóra sprawia , że jab łko spada z drzewa na z iemię . D
to d la nas tak oczywis te , że t rudno nam pojąć , iż w s tarożytności uważ
ruch ciał na Ziemi i ruch ciał na niebie są zupełnie różnego rodzaju i rz
innymi p r awami .
New ton s tw ierdzi ł , że n ie ty lko Ziemia przyciąga jab łko i Ks iężyc, lec
cia ło we Wszechświecie przyciąga każde inne . Tę sk łonność c ia ł do zb l iż
do s ieb ie nazwał c iążen iem (graw i tac ją ) . W nios ek New tona n ie j e s t t ak
oczywis ty na p ierwszy rzu t oka , gdyż dobrze wszys tk im znane przyciągan
Ziemię c ia ł z naszego o toczenia jes t tak s i lne , że u t rudnia nam dos trzeż
te inne c ia ła też s ię wzajemnie przyciągają . Na przykład Ziemia przyciąg
siłą o wartości około 0,8 N; ty też przyciągasz jabłko (a ono przyciąga
lecz ta s i ła przyciągania ma war tość mniejszą od c iężaru z iarnka kurzu .
Przyciąganie c ia ł op isu je i lośc iowo prawo wprowadzone przez New
z y w a n e p raw em p ow s zech n ego c iążen ia , k tóre mów i, że każd a cząs tka p
każdą inną cząstkę s i łą c iężkości (s i łą grawitacyjną) o war tości
,m,\mi
(prawo powszechnego c iążenia) .
(
28 14 . Grawitac ja
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 45/329
m\ i mi to masy cząstek, r — ich odległość, a G
— s t a ła
której przyjęta dziś war tość wynosi
G = 6 , 6 7 • K T
1 1
N • m
2
/ k g
2
= 6 , 6 7 - 1 C T
11
m
3
/ ( k g - s
2
) .
(14.2)
o na rysunku 14.2 , cząstka ni2 przyciąga cząstkę m \ si łą grawitacyjną
rm , a cząstka ni \ przyciąga cząstkę mi si łą grawitacyjną
skierowaną do cząstki m\. Siły F i — F s tanowią parę akcja-reakcja ,
zwią
ja k i w głęb i kosm osu. C o więc ej, si ły te nie zmieniają się, gdy w pob liżu
To,
ja k du ża jest si ła ciężko ści, tzn. ja k silnie przyciągają się cząstki o d anej
dyby ta war tość s ta ła s ię nagle — w jakiś cudow ny spo sób — dziesięcio
Prawo powszechnego ciążenia Newtona obowiązuje ściśle dla cząstek, lecz
e być także stosowane do cia ł rzeczywistych, o i le ty lko ich rozm iary są m ałe
Newton rozwiązał to zagadnienie jabłka i Z iemi , wprowadzając ważne twier
Rys.
1 4 . 2 .
Dw ie cząstki o m asach
i m
2
, odległe od siebie o r, przyciąg
się wzajemnie zgodnie z prawem
wszechnego c iążenia (równanie (14.1
Si ły F i — F, jakimi każda z nich dz
na
drugą,
mają taką samą wartość b
względną i przeciwny kierunek
Ciało w kształcie jedn orod nej pow łoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na
łoki tak, jak gdyb y cała masa powłoki była sku pion a w jej środk u.
Ziem ię możn a sobie wyobrazić jak o wiele takich powłok znajdujących się
istotnie
jak cząstka, k tóra znajduje s ię w środku Ziem i i ma m asę Z iemi .
Przyjmijmy, że Ziemia przyciąga jabłko siłą 0,8 N skierowaną w dół na ry
14.3 . Jabłko m usi zatem także przyciągać Zie mię si łą o war tości 0 ,8 N,
działają, są bardzo od siebie różne. Gdy pozwo
2
, czyl i z dobrze nam już znanym przy
ziemsk im, z jak im sp ada na Ziemię cia ło znajdujące się w pob l iżu
Rys. 14.3. Jabłko przyciąga Ziemię s
o te j samej wartośc i i przeciwnym k
runku co siła, jaką Ziemia przycią
jabłko
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 46/329
je j powierzchni . Przyspieszenie Ziemi, mierzone w układzie odnies ien
zanym ze ś rodk iem masy u k ładu j ab łko -Z iem ia , wyn ies ie na tomias t z
oko ło 1 • 1 0 "
2 5
m / s
2
.
^SPRAWDZIAN
1
: Wyobraź sobie , że pewną cząstkę umieszczam y ko lejno
wnątrz czterech ciał, z których każde ma m a sę m: 1) dużej jednorod nej kuli , 2
jednorodnej powłoki kuliste j ,
3)
małej jednorodne j k uli oraz
4)
ma łe j jednorodn
włoki kuliste j . W każdym z tych przypadków odległość cząstki od środka cia ła je
sama i w ynos i d. Uszereguj te c ia ła w zależności od warto ści siły grawitac yjne
wywierają one
na
cząstkę,
od
największej
do
najmniejszej.
1 4 . 3 .
G r a w i t a c j a
a
z as a da s up e rpo z y c j i
G d y m a m y
do
czynienia
z
grupą cząstek, możemy wyznaczyć wypadk
grawitacyjną, jak ą działają na jed ną z cząstek w szystkie inne , korzystając z
superpozycj i . Jest to zasada ogólna, znajdująca zastosowanie w wielu sy
mówiąca , że dzia łanie łączne (wypa dkow e) pewneg o czynnika jes t sum
czynków
od
poszczególnych jego źródeł .
W
naszym przypadku wynik
że musimy najpierw wyznaczyć s i ły grawitacyjne , jakimi dzia ła ją na
cząstkę wszystkie pozosta łe , a po tem — j ak zwykle — dodać wek to row
do s iebie , co da w wy niku s i łę w ypadkową.
D la n oddzia łujących
ze
sobą cząstek zasada sup erpozycj i
dla sił
cyjnych ma za tem postać:
A , w y
P
= F
n
+ F
13
+ F
4
+ F
15
+ --- + F
n
.
We wz o r z e tym
/ \
W
y
P
to s i ła wypadkowa dzia ła jąca na cząstkę 1, a
k ład F 1 3
to
siła, jak ą
na
cząstkę
1
dzia ła cząstka 3 . Rów nanie
to
mo żna
w bardzie j zwarte j postac i jako sumę wektorową
n
£,wyp = X ^ « -
i=2
A
co
zrobić, jeś li chcem y obliczyć siłę grawitacyjną, jaką działa na
rzeczywiste c ia ło rozciągłe? Si łę wypadkową możemy wtedy obl iczyć, dz
cia ło na części , k tóre są tak m a łe , że m o ż e m y je u wa ż a ć za cząstki, a n
s tosując równanie (14.4) ,
aby
wyznaczyć sumę wek to rową
sił
pochodz
wszystkich części c ia ła . W przypadku granicznym dzie l imy c ia ło rozc
n ieskończen ie ma łe e lemen ty masy dm, z których każdy dzia ła na czą
dF . S u m a
w
równaniu (14.4) przechodzi wtedy
w
ca łkę
i
otrzymujemy
przy czym całkowanie należy przeprowadzić po całej objętości cia ła ro z
(dla prostoty zapisu opuści l iśmy wskaźnik „wyp") . Jeś l i c ia ło jes t jed
kulą lub jednorodną powłoką kulistą,
to nie
mu simy obl iczać ca łki
w
r
(14.5), gdyż możemy za łożyć , że ca ła masa c ia ła jes t skupiona w jeg o
masy , i skorzystać z równania (14.1) .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 47/329
14.1
na rysun ku 14.4a. Cząstka 1
m\ = 6 k g , a cząstki « 2 i ni
3
mają masy m
2
= nt3 = 4
Odleg łość a = 2 cm. W yznacz w ypadkową si łę grawitacyjną
jaka dzia ła na cząstkę 1 ze strony innych cząstek.
y
l m
2
a
m
3
Za
*13
1
a)
b)
1 4 . 4 . Przykład 14.1. a) Układ trzech cząstek, b) Siły dzia
na cząstkę o mas i e m\ ze strony pozos tałych cząstek
że 0 - ~ T m a m y do czynienia z cząstkami , a za tem
na cząstkę 1 każda z p o
(F = Gm\tn
2
i'r
2
).
F
2
, jaką działa cząstka 2 na cząstkę 1, jest wob ec
Gm
x
m
2
a
2
-
(6 ,67 • 1 0 " " m
3
/ ( k g • s
2
))(6 kg)(4 kg)
( 0 , 0 2 m )
2
= 4 • 10"" N.
F i 3
v.
stronę cząstki, która jest źródłem
tej
siły. Siła F\
2
ma
za
dodatni kierunek osi y (patrz rysunek 14.4b) i ma tylko skład
y,
równą F\
2
. Podobnie si ła F
1 3
ma kierunek ujemny osi x i
tylko składową x, równą — F13 .
W celu wyznaczenia działającej na cząstkę 1 si ły w yp
kowej F i
w y
p zauważmy, że O T siły nie są skierowane wzd
jednej proste j , a za tem si ła wypadkowa nie jest po prostu rów
sumie lub różnicy ich wartości (czy składo wych ) — siły te
simy dodać wektorowo.
Zauważmy j ednak , że —F 13 i F
I 2
są niczym innym,
sk ł adowymi x i y siły
F\
>wyp
.
Wartość i kierunek si ły F i
możemy za t em wyznaczyć
z
równania (3.6) ,
co
daje
Fi.wyp =
JiFn)
2
+ ( - F 3 )
1
= 7 (4 - 1 0 "
6
N )
2
+ ( - l • 1 0 "
6
N )
2
= 4 , 1 1 0 "
6
N (odpowie
F 1 2 4
6 = a rc tg — — = arctg
1 0 "
6
N
- 1 • 1 0 -
6
N
= - 7 6 ° .
alogicznie , wartość siły F13, jaką działa cząstka
3 na
cząstkę
Gm\m
3
Czy ten kierunek jest zgodny z warunkami zadania? Nie — k
runek siły F i ,
w y p
musi być pośredni między kierunkami sił
i — F13. Przypomnij sobie z rozdzia łu 3 (porada 3) , że kalk
tor podaje tylko jedną
z
moż liwych w artości funkcji arctg. Dr
z tych wartości otrzymujemy, dodając 180°
do
pierwszej ,
c
naszym przypadku daje
- 7 6 ° + 180° = 104°. (odpowie
Ta wartość wyznacza kierunek zgodny z warunkami zadania .
I/SPRAWDZIAN
2
.Na rysunku przedstawiono cz tery usta
wienia trzech cząstek
o
jednakowej masie ,
a)
Uszereguj
je z
względu na warto ść siły wyp adkow ej działającej na cząstkę
oznaczoną jako m, od największej do najmniejszej, b) Cz
w ustawieniu 2 kierunek si ły wypadkowej jest bl iższy kierunk u
odcinka d, czy odcinka Dl
( 2 a )
2
(6 ,67 • 1 0 - " m
3
/ ( k g •
s
2
))(6
kg)(4 kg)
( 0 , 0 4 m )
2
F1 2 i F
J 3
, skorzystamy ze spost rzeże
O T
każda
z
sił działających na cząstkę 1 jest skierowana
-D
D
D
m u
(1)
(2) (3) (4)
14.2
14.5 przedstawiono układ pięc iu cząstek, których
m\ = 8 kg , m
2
= m
3
= niĄ = ms = 2 kg,
na rysunku wielko
a = 2
cm
i 0 =
30°. Wyznacz wypadkową si łę grawitacyjną
P
,
jaką działają
na
cząstkę
1
wszystkie pozostałe cząstki.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Skorzystamy C H z tego sam ego spost rzeżenia , którego użyl iś
w przykładzie 14.1. Rozwiązanie zadania znacznie się upro
gdy zwrócimy uwagę na symetr ię układu.
Aby wyznaczyć wartośc i sił działających na cząstkę 1,
uważmy najpierw, że cząstki 2 i 4 mają jednakowe masy o
znajdują się w takiej samej o dległo ści r = 2a od cząstki 1
14.3 . Gr awi t ac ja a zasada superpozycj i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 48/329
równania (14.1) otrzymujemy zatem
Gm\mi
(2fl)2
(14.6)
Podobnie, cząstki 3 i 5 mają jednakowe masy oraz znajdują się w
takiej samej odległości r = a od cząstki 1, wobec czego
Gm\tn-s
Fn =
Fi 5 =
(14.7)
Zrobimy jednak inaczej, korzystając jeszcze raz z w
ści symetrii układu. Po pierwsze, zauważymy, że siły
mają taką samą wartość, lecz przeciwny kierunek, wob
ich wypadkowa jest równa zeru (siły te równoważą się
nie).
Z rysunku 14.5b i wzoru (14.7) wynika ponadto, że
x sił
F 1 3
i F15 także się równoważą, a ich składowe y
nakową wartość i taki sam kierunek — obie działają w
kierunku osi y. Wobec tego siła Fi ,
w y p
ma właśnie ten
a jej wartość jest równa podwojonej wartości składow
F 1 3 , tzn.
Gmim
z— cos
0
(6,67 • 10 -
1 1
m
3
/ (kg • s
2
))(8 kg)(2 kg)
= 2 —— z c
(0,02 m)
2
= 4,6 • 10~
6
N.
b)
Rys. 14.5.
Przykład 14.2. a) Układ pięciu cząstek, b) Siły dzia
łające na cząstkę o masie m.\ ze strony pozostałych cząstek
Moglibyśmy teraz podstawić do tych dwóch wzorów dane
liczbowe i wyznaczyć wartości sił. Następnie zaznaczylibyśmy
kierunki sił na diagramie, takim jak na rysunku 14.5b, i wyzna
czyli siłę wypadkową. W tym celu rozłożylibyśmy wektory sił na
składowe x i v , znaleźli wypadkowe składowe x i y, a wreszcie
na tej podstawie wyznaczyli wektor siły wypadkowej.
(od
Zauważ, że obecność cząstki 5 między cząstką 1 i 4 nie
nego wpływu na wartość siły grawitacyjnej działającej n
1 ze strony cząstki 4.
•SPRAWDZIAN 3:
Na rysunku przedstawiono ukła
ciu cząstek. Cztery z nich mają
jednakową masę m i znajdują y
się na osi x w położeniach sy
metrycznych względem osi y.
Jaki jest kierunek wypadkowej
siły grawitacyjnej, jaka działa
na cząstkę o masie n\\ ze strony
pozostałych cząstek?
m m
Sztuka rozwiązywania zadań
Porada 1:
Jak rysować wektor siły grawitacyjnej?
Gdy masz do czynienia z układem cząstek, jak na rysunku 14.4a,
i masz obliczyć siłę grawitacyjną działającą na jedną z nich, bę
dziesz musiał zwykle narysować diagram sił. Powinieneś wtedy
narysować na nim tylko tę jedną cząstkę i siły działające na nią,
tak jak to zrobiono na rysunku 14.4b. Jeśli wolisz umieścić wek
tory sił na rysunku, na którym są wszystkie cząstki, to pamiętaj,
aby umieścić początki lub końce (lepiej początki) tych wekto
rów w punkcie, w którym znajduje się cząstka, na którą działa
odpowiednia siła. Rysując wektory gdzie indziej, łatwo możesz
pomylić ze sobą różne siły, a już na pewno je pomylisz, rysując
wektory sił w punktach, w których znajdują się cząstki, k
siłami działają.
Porada 2:
Wykorzystuj właściwości symetrii układu
W przykładzie 14.2 wykorzystaliśmy właściwości symet
ciał. Zauważyliśmy, że cząstki 2 i 4 są położone sym
względem cząstki 1, a więc siły F
] 2
i Fu się równoważ
czego nie musimy obliczać ich wartości. Stwierdziliśmy n
że składowe x sił Fn i F 1 5 także się równoważą, a ich
y są takie same co do wartości i kierunku, co zaoszczęd
jeszcze trochę pracy.
14 .4 .
Grawi tacja w
p o b l i ż u
powie rzchn i Ziemi
Załóżmy, że Ziemia jest jednorodną kulą o masie M. Z równania (14.1)
że wartość siły grawitacyjne j , jaką Ziemia działa na cząstkę o masie m, zn
si ę poza Ziemią w odległości r od jej środka, wynosi
Mm
F — G—r-.
32
14. Grawitacja
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 49/329
przysp ieszen iem grawi t acy j nym
(lub
z i e m s k i m ) a
g
.
F
i
a
%
jes t dany przez drugą zasadę dynamiki
F = ma
g
.
(14 .9)
a jąc do tego równan ia wartość
F
ze wzoru (14 .8) i rozwiązując je wzglę
m
a
g
,
o t rzymujemy
a
g
= ^ . (14 .10)
a
g
obl iczone d la różnej wysokości nad powierzch
Zmiana a
g
z wysokością
Wysokość [km]
a
g
[ m / s
2
]
0 (powierzc hnia Ziem i)
9,83
8,8 (szczyt Mt. Everestu)
9,80
36,6 (największa wysokość za łogowego lotu balonem) 9,71
400 (waha dłowiec kosmiczn y na orbicie) 8,70
35 700 (sateli ta telekomu nikacyjny) 0,225
Począwszy od paragrafu 5 .6 , p rzy jmowal iśmy, że układ związany z Ziemią
g,
z jak im c ia ło spada swobod nie na
) . Zakładal i śmy ponadto , że wszędzie na powierzchni Ziemi
g
ma taką samą
2
. Gdybyśmy jednak dokładnie zmierzyl i wartość
g,
to
g
jes t różne od
a
g
,
to mierzony przez nas
mg
nie jest równy wa rtości działającej na ciało si ły g rawitac yjnej ,
Ziemia nie jest jednorodna.
Gęstość Ziem i ( tzn . mas a je j jednostkowej obję
tośc i ) zmienia s ię wzdłuż je j p romienia , jak pokazano na rysunku 14 .6 , a do
tego gęstość skorupy ziemskiej (czyli jej najbardziej zewnętrznej części) jest
różna w różnych mie jscach na powierzchni Ziemi . Wobec tego w różnych
miejscach na powierzchni Ziemi wartość
g
jest nieco inna.
Ziemia nie jest kulista. Ziem ia m a w przybl iżeniu ksz ta ł t e l ipso idy obro to
wej ,
sp łaszczonej przy b iegunach , a grubszej w okol icy równika . Promień
Ziemi na równiku jes t o 21 km większy od je j p romienia na b iegunie . Gdy
ciało znajduje się na biegunie, jest ono zatem bliżej gęstego jądra Ziemi niż
wtedy, gdy znajduje się na równiku. Jest to jeden z powodów, dla którego
przyspieszenie swobodnego spadku c ia ła rośn ie w miarę przemieszczania go
— na poziomie morza — z równika na b iegun.
ł
fi
O
j ą d r o |
" T I
1 i
wewn.p*-
... ta
iio"'
%l <
f T ]
M
zęwn
ętrzr
n r
1
" ~
ej ;
;
1
1 i
^
l
1
: i
i
„.... LL....
1 płasz
cz *•
i ;
LL 1 .
i * rZtefiii
0 1 2 3 4 5 6
odległość od środka Ziemi [10
6
Rys. 1 4 . 6 . Gęsto ść Ziem i jako fun
odległości od jej środka. Na rysu
zaznaczono granice jądra wewn ętrzn
(sta łego) , jądra zew nętrznego (głów
ciekłego) i s ta łego płaszcza Ziem i . G
bość skorupy ziemskiej jest zbyt m
aby można ją przedstawić na tym
sunku
14 .4. Graw i tacja w pobl iżu powierzchni Ziem i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 50/329
biegun
północny
a)
AT
r
skrzynia-
1 «
b)
Rys. 14.7. a) Skrzynia na wadze znajdu
jącej s ię na równiku widziana z punktu
na os i obrotu Ziemi nad biegunem pół
nocnym, b) Diagram s i ł działających na
skrzynię . Oś r jes t skierowana wzdłuż
promienia Ziemi od jej ś rodka na ze
wnątrz . Si łę grawitacyjną przedstawiono
za pomocą równego j e j wektora ma
g
.
Siłę normalną działającą na skrzynię ze
s trony wagi oznaczono przez N. Z p o
wodu ruchu obrotowego Ziemi skrzynia
porusza s ię z przyspieszeniem dośrod-
kow ym a skierowanym do środka Ziemi
3 .
Ziemia obraca się. Oś obrotu Ziemi przechodzi przez je j bieguny:
i południowy. Cia ło umieszczone na powierzchni Ziemi gdziekolw
biegunami wykonuje za tem ruch po okręgu wokół te j os i , przy czym
przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okręgu. Źródł
przyspieszenia musi być s i ła dośrodkowa, skierowana także do teg
okręgu.
Aby s ię przekonać , d laczego w wyniku ruchu obro towego Ziemi
się od fl
g
, rozważmy pros te doświadczenie polega jące na umieszczeniu s
mas ie m na wadze zna jdujące j s ię na równiku. Na rysunku 14.7a przed
tę sytuac ję , tak ja k ją w idać z punk tu w przes trzeni wok ółz iemskie j zna j
s ię wpros t nad b iegunem północnym.
Na rysunku 14.7b przedstawiono diagram s i ł dz ia ła jących na skrz
którym pokazano dwie s i ły dz ia ła jące wzdłuż os i r przechodzące j prze
Ziemi i skierowanej na zewnątrz . Si ła normalna N, działająca na skr
s t rony wagi , jes t skierowan a na zewnątrz , a więc w dod atnim kieru nk
Siła grawitacyjna , przedstawiona na rysunku za pomocą równego je j
ma
s
, jes t skierowana do środka Ziem i. Gd y Ziem ia s ię obraca , skrzynia
s ię wraz z nią , a za tem ma przyspieszenie dośrodkowe
a
skierowane do
Ziemi. Wiemy z równania (11.23) , że przyspieszenie to jes t równe u>
c z y m co jes t prędkośc ią ką tową Ziem i, a R — promieniem okręgu , po
porusza s ię skrzynia ( równym w przybl iżeniu promieniowi Ziemi) . Druga
dynamiki Newtona , zapisana dla składowych wzdłuż os i r (/^yyp.r = m
postać
N ma
g
— m(—coR).
Wartość s i ły normalne j N jes t równa wskazanemu przez wagę c iężarowi
mg. Podstawia jąc w równ aniu (14.11) mg zamias t N, otrzymujemy
mg = ma
g
— m(a> R),
co oznacza , ze
/zm ierz on y \ / wartość s i ły \
\ c i ęża r / \gra wi ta cyjn e j /
/masa razy przyspieszenieN
V dośrodkowe /
Jak widać , c iężar wskazany przez wagę jes t rzeczywiśc ie mnie jszy od
dz ia ła jącej na skrzyn ię s i ły grawitacyjne j , a przyczyną tego jes t ruch o
Ziemi .
Skracając m w równaniu (14.20) , otrzymujemy związek g z a
g
:
co
2
R,
który oznacza , że
/ przyspieszenie \ / przyspieszenie \ / przyspieszenie \
\ spad ku ciała / \ grawitacy jne / \ dośro dko we /
Jak widać , mierzone przyspieszenie jes t rzeczywiśc ie mnie jsze od przysp
grawitacyjnego, a przyczyną tego jes t ruch obrotowy Ziemi.
Różnica przyspieszeń g i a
g
j e s t równa co
2
R i jes t na jwiększa na
(ponieważ promień toru skrzyni jes t w tym mie jscu na jwiększy) . Aby o
34 14. Grawitacja
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 51/329
(co — A6/At) i warto ści
R = 6 ,37 • 10
6
m. Dla jednego obrotu Ziemi wokół je j osi 9
2TT rad, a okres obrotu At wynosi około 24 h. Korzystając z tych
g j e s t mnie j
a
s
za l edwie o oko ło 0 ,034 m /s
2
(w stosunku do 9 ,8 m/s
2
) . Z tego
g i a
g
jest często
Astronautka o wzroście 1,70 m lewituje „stopami w dół" na
6,77 • 10
6
m od środka Ziemi . Wyznacz różnicę przyspiesze
grawitacy jnego w miejscu, w k tórym znajdują się jej stopy,
znajduje się jej g łowa.
T Ziemię możemy potrak
w przybl iżeniu jako jednorodną kulę o masie M
z
. Zgodnie
r
od środka Ziemi jest równe
G M
Z
«,= -pr . (14.14)
6,77 • 10
6
m oraz r = 6,77 • 1 0
6
m + 1,70 m, aby obliczyć
ieszenie grawitacyjne w miejscu, w któ rym znajdują się
w miejscu, w k tórym znajduje się jej g łowa.
j
a zatem zerową wartość szukanej różnicy, gdyż h jest nie
r. Musimy więc postąpić inaczej.
T skoro mam y do czynie
r, to możemy w przybl iżeniu
ją za różniczkę dr . Różniczkując równan ie (14.14) st ronami
r, ot rzymujemy
GM
Z
-dr , (14.15)
g
jest różniczkową zmianą przyspieszenia grawita
r. Dla
h oraz r = 6,77 • 10
6
m. Podsta
(6 ,67
•
I O "
1 1
m
3
/ ( k g
•
s
2
) ) ( 5 , 9 8
•
1 0
2 4
kg)
- 2 . — — ( 1 , 7 0 m )a„
(6,77 • 1 0
6
m )
3
- 4 , 3 7 • 1 0 '
6
m / s
2
. (odpowiedź)
nie grawitacyjne w miejscu, w któr ym znajdują się
stopy astronautki, jest nieznacznie większe niż w miejscu, w
rym znajduje się jej głowa. Sku tkiem różnicy sił grawitacyj
jest rozciąganie ciała astronautki, lecz ta różnica jest tak niewi
że jest ono ca łkowicie nieodczuwalne .
b) Wyobraźmy sobie teraz, że astronautka znajduje się z
„stopami w dół" na orbic ie o takim samym promieniu r,
nym 6,77 • 10
6
m, lecz tym razem nad czarną dziurą o m
Mcz.dz. = 1.99 • 1 0
3 1
kg (czyli 10 razy większej od masy
szego Słońca) . I le wynosi w tym przypadku różnica przys
szenia grawitacyjnego w miejscu, w którym znajdują się s
astrona utki, i w miejscu, w któ rym znajduje się jej głow a
granicę czarnej dz iury przyjmuje się powierzchnię kul i o
mieniu R
cz
.dz. = 2,9 5 • 10
4
m, nazywaną też horyzontem
rzeń. Z powierzchni tej , a także z wnętrza kuli , nie może
uciec, nawet światło. Zauważ, że astronautka znajduje się (ba
rozsądnie) dostatecznie daleko od tej powierzchni (w odleg
r = 2 2 9 / ?
c z d z
. od środka czarnej dz iury) .
ROZWIĄZANIE:
Podobnie jak w części (a) zadania , h jest bardzo małe w po
naniu z r, wobec czego możemy przybl iżyć przyrost r różni
tej wielkości, tzn. skorzystać z równania (14.15). Tym razem
stawimy jednak do niego nie M
z
, lecz M
c z
.
d z
. = 1,99 • 1 0
3 1
Otrzymamy zatem
da , = - 2
(6 ,67 • I O "
1 1
m
3
/ ( k g • s
2
) ) ( l , 9 9 • 1 0
3 1
kg)
(6 ,77 • 1 0
6
m )
3
(1 ,70
= - 1 4 , 5 m / s
2
.
(odpowi
Okazuje się, że wynikające z przyciągania przez czarną dz
przyspieszenie grawitacyjne w miejscu, w którym znajdują
stopy astronautki, jest znacznie większe niż w miejscu, w któ
znajduje się jej głowa . Skutkiem r óżnicy sił grawitacyjnych
rozciąganie c ia ła ast ronautki , które jest dość bolesne , lecz m
l iwe do wytrzymania . Gdyby jednak ast ronautka przybl iżyła
bardziej do czarnej dziury, rozciąganie jej ciała wzrosłoby dr
tycznie.
14 .4. Graw i tacja w pobl iżu powierzchni Ziem i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 52/329
1 4 . 5 .
Grawitacja wewnątrz Ziemi
Twierdzenie Newtona o powłoce obowiązuje również w przypadku, gdy
znajduje się wewnątrz jednorodnej powłoki. W tej sytuacji mówi ono, ż
Wypadkowa
siła grawitacyjna, jaką ciało
w
kształcie jednorodnej powłoki k
działa
na
cząstkę znajdującą
się
wewnątrz powłoki, jest równa zeru.
Uwaga: twierdzenie to nie mówi, że siły grawitacyjne działające na cz
strony różnych elementów powłoki w jakiś magiczny sposób znikają. Mó
tylko tyle, że suma wektorowa sił działających na cząstkę ze strony wsz
elementów powłoki jest równa zeru.
Gdyby gęstość Ziemi była wszędzie taka sama, działająca na cząs
grawitacyjna byłaby największa na powierzchni Ziemi i malałaby przy od
się
cząstki od tej powierzchni na zewnątrz. Gdyby natomiast cząstka przy
się do środka Ziemi, na przykład była opuszczana w głąb szybu kopalni,
jąca na nią siła grawitacyjna zmieniałaby się z dwóch powodów. Z jednej
cząstka znajdowałaby się coraz bliżej środka Ziemi, co prowadziłoby do
tej siły. Z drugiej strony, rosłaby grubość warstwy Ziemi odległej od jej
bardziej niż cząstka, co prowadziłoby do zmniejszania się tej siły, gdyż z
tej warstwy nie działa na cząstkę siła grawitacyjna.
Gdyby Ziemia była jednorodna, przeważałby ten drugi czynnik i si
łająca na cząstkę malałaby przez cały czas zbliżania się jej do środka
Ziemia nie jest jednak jednorodna i — jak się okazuje — siła działa
cząstkę przy je j przemieszczaniu od powierzchni do środka Ziemi pocz
rośn ie .
Na pewnej głębokości jest największa, a dopiero potem maleje.
14.4
z pierwszych książek, które można zaliczyć do gatunku
Pole
to
Pole, czyli Z bieguna
George Griflith opisuje podjętą przez trzech badaczy
— specjalnym pojazdem — z bieguna południo
na północny naturalnym (oczywiście fikcyjnym) tunelem
ającym wprost przez środek Ziemi (rys. 14.8). Według
tej
opowieści, gdy pojazd zbliża
się do
środka Ziemi, dzia
na podróżników siła grawitacyjna niepokojąco rośnie, a po
— dokładnie w środku Ziemi - staje się nagle całkiem równa
na chwilę. Potem pojazd przebywa drugą połowę
i dociera do bieguna północnego.
Sprawdź, czy opis Griffitha jest zgodny z prawami fizyki,
na pojazd o masie m
od
jego odległości
r od
środka Ziemi. Załóż,
że
o gęstości (tzn. masie jednostkowej
p.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Wykorzystamy trzy wnioski z twierdzenia Newtona o po
O—•» 1 .
Gdy pojazd znajduje się w odległości
r
od środk
wypadkowa siła grawitacyjna działająca na niego ze s
części Ziemi, która jest zawarta
na
zewnątrz kuli
o
prom
jest równa zeru.
O—•» 2.
Wypadkowa siła grawitacyjna działająca
na
po
strony tej części Ziemi, która jest zawarta wewnątrz kul
mieniu r, nie jest równa zeru.
O—* 3. Siłę tę możemy obliczyć, przyjmując, że masa M
części Ziemi, która jest zawarta wewnątrz kuli o promien
skupiona w środku Ziemi.
Z wniosków tych wynika, że wartość działającej na poj
grawitacyjnej jest — zgodnie ze wzorem (14.1) — równ
Aby wyznaczyć masę M
w e W
n w zależności od r, zau
że objętość V
w e w n
zajmowana przez tę masę jest równa | j
że gęstość tej (podobnie jak każdej innej) części Ziemi w
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 53/329
A/\vewn — P
^wewn
— P
4 j i r
3
(14.17)
A TT fZ M n
(odpowiedź) (14 .18)
itGmp
F — r.
byłby środek Ziemi. Po s tarcie z b ieguna południowego poja
spadałby do środka Ziemi, następnie docierał do b ieguna p
nocnego (tak, jak to opisał Griffith), potem przebywał tę dr
w przeciwnym kierunku i tak dalej.
F jes t proporcjonalna
r.
Oznacza to , że gdy
F
również maleje — przeciwnie n iż to opisał
środku Ziemi. Tak więc przynajmniej w tym punkcie Griffith
Równanie (14 .18) możemy także zapisać w postaci wekto
przyjmując oś
r
sk ierowaną wzdłuż średnicy Ziemi. Jeśl i
K,
to równanie
F = -KT, (14.19)
F
i wektor
przyjętych przez nas warunkach idealnych pojazd poruszałby
A C
— i j - -
m
Rys. 14.8. Przykład 14.4 . Pojazd o masie
m
spada z prędkoś
początkową równą zeru w tunelu łączącym bieguny Ziemi, po
dniowy i północny. W pewnej chwili pojazd znajduje się w od
głości
r
od środka Ziemi. M asę tej części Ziemi, k tóra jes t zawa
wewnątrz kuli o promieniu
r,
oznaczono przez M
w e w n
G r a w i t a c y j n a e n e r g i a
potencja lna
paragrafie 8.3 rozważaliśmy grawitacyjną energię potencjalną układu cząst-
i , aby można b yło uważać , że s i ła grawi tacyjna jes t s ta ła .
Przyj
której cząstka znajduje się na powierzchni Ziemi. Przy tym założeniu, gdy
Obecnie rozważymy to zagadnienie n ieco bardzie j ogóln ie . Będziemy s ię
E
p
dwóch cząstek o masach m i M,
r. Jak poprzednio, przyjmiemy, że pewnej konfiguracji
E
p
równa zeru . Aby o t rzymać proste równania , przyj
r jest tak duża,
nieskończoną. W tych warunka ch grawi tacyjna
E
p
— 0 dla r = oo, energ ia potenc jalna jest ujemn a dla każdej skończon ej
i cząstek i jest „tym b ardziej ujem na", im bliżej sieb ie znajdują się te
Jak wykażemy w następnym punkcie , g rawi tacyjną energ ię potencja lną
1 4 . 6 . Grawitacyjna energia potencja lna
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 54/329
Rys.
14.9. Układ trzech cząstek (od
ległość każdej pary cząstek oznaczono
przez
r
z dwucyfrowym wskaźnikiem
dolnym, zawierającym numery czą
stek).
Grawitacyjna energia potencjalna
układu jest równa sumie grawitacyjnych
energii potencjalnych wszystkich trzech
pa r
cząstek
GMm
(grawitacyjna energia
potencjalna).
(
Zauważ, że funkcja
E
p
(r)
dąży do zera, gdy r dąży do nieskończonośc
dowolnej skończonej wartości r wartość E
p
(r) jest ujemna.
Energia potencjalna dana wzorem (14.20) odnosi się do układu dw
stek, a nie do którejkolwiek z nich z osobna. Nie można jej podzielić i po
że jakąś jej część ma jedna cząstka, a jakąś inną — druga. Jeśli jednak
na przykład gdy układ składa się z Ziemi (o masie M) i piłki tenisowej
m),
to często mówi się o „energii potencjalnej piłki". Jest to usprawie
tym, że gdy ruch piłki odbywa się w pobliżu powierzchni Ziemi, zmian
potencjalnej układu piłka-Ziemia są równe niemal w całości zmianom
kinetycznej piłki, gdyż zmiany energii kinetycznej Ziemi są tak małe, ż
się ich zmierzyć. Podobnie, w paragrafie 14.8 będziemy mówić o „en
tencjalnej sztucznego satelity" na orbicie wokół Ziemi, ponieważ mas
jest bardzo mała w porównaniu z masą Ziemi. Gdy jednak mamy do
nia z energią potencjalną układu ciał o zbliżonej masie, musimy pami
zawsze traktować je jako układ ciał.
Gdy badany układ składa się z więcej niż dwóch cząstek, rozważam
parę cząstek po kolei, obliczając grawitacyjną energię potencjalną tej pa
nania (14.20), jak gdyby innych cząstek nie było, po czym dodajemy d
otrzymane wyniki. Na przykład dla układu trzech cząstek z rysunku 1
znaczając energię potencjalną każdej ich pary z równania (14.20), otrz
energię potencjalną układu równą
dr
/ Gmim.2 Gmim.3
Gni2mi\
7-13 f"23
/
•o
M
Rys. 14.10.
Piłka wystrzelona
pio
nowo w górę z powierzchni Ziemi po
torze przechodzącym przez punkt
P.
Na
rysunku przestawiono także działa
jącą na piłkę siłę grawitacyjną F oraz
wektor różniczkowego przemieszczenia
piłki dr. Oba te wektory są skierowane
wzdłuż osi
r
mającej kierunek promie
nia
Ziemi
Wyprowadzenie
wzoru (14.20)
Wystrzelmy piłkę z powierzchni Ziemi pionowo w górę, po torze pokaz
rysunku 14.10. Chcemy znaleźć wyrażenie na grawitacyjną energię po
piłki E
p
w punkcie P, leżącym na jej torze w odległości R od środk
W tym celu wyznaczymy najpierw pracę
W
wykonaną nad piłką przez
witacyjną przy przemieszczeniu piłki z punktu P na bardzo dużą (niesk
odległość od Ziemi. Siła grawitacyjna F(r) jest siłą zmienną (jej warto
od r) , a zatem do obliczenia pracy musimy wykorzystać metody z parag
W zapisie wektorowym mamy
W
-I
F(r)
•
dr.
Powyższa całka zawiera iloczyn skalarny siły F(r) i wektora różnic
przemieszczenia piłki dr wzdłuż jej toru. Iloczyn skalarny możemy wyr
F(r) • dr — F(r)drcos<p,
przy czym
<p
jest kątem tworzonym przez kierunki wektorów F(r) i dr.
tego podstawiamy
4>
= 180° oraz prawą stronę równania (14.1) zamias
3 8 14. Grawitacja
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 55/329
F(r)
•
dr =
GMm
-dr ,
M
jes t masą Ziemi, a
m
— masą pi łki .
Podstawia jąc to wyrażenie do równania (14.22) i obl icza jąc ca łkę , otrzymu
W =
-GMm
I
— d r =
GMm
= 0 -
GMm
GMm
(14.24)
W jes t pracą potrzebną do przenies ienia pi łki z punktu
R od środka Ziemi) do nieskończonośc i . Z
(A E
V
=
—
W) wynika , że pracę tę możemy też zapisać jako
J
p , o o
-w.
E
Pt0O
jes t równ a zeru, a
E
v
jest energią
P. Podstawia jąc do powyższego wzoru W z równania
otrzymujemy za tem
GMm
E
V
= W =
R
R na r , ot rzymujemy s tąd równanie (14.20) , które zamierza l iśmy
A do punktu G po dro
14.11.
Chcemy obl iczyć ca łkowitą
W
wykonaną nad piłką przez działającą na nią ze strony Ziemi siłę grawita
F przy przenies ieniu pi łki z A do G. Praca wyko nana przy przemieszczaniu
F jes t pros topadła do
F wykonuje za tem pracę tylko przy prze
W jes t równa
Wyobraźmy sobie nas tępnie , że w myśl i skracamy wszystkie łuki do zera ,
A do G po pros tym torze radia lnym. Czy
Wl
Nie — praca wy kon ana przy przesunięc iu pi łki wzdłuż
A d o B, jes t te raz wyraźnie inny niż
F jes t taka sama.
Rozważal iśmy już to zagadnienie w sposób ogólny w paragraf ie 8.2. Is tota
nana przez tę s iłę nad cząs tką przy je j przenies ieniu z pewn ego punk tu
zmiana grawitacyjne j energi i potenc ja lne j
AE
V
przy przenies ieniu cząs tki
Ziemia
Rys. 1 4 . 1 1 . Przemieszczamy
w pobl iżu powierzchni Ziemi z pu
A do punktu G po drodze złożonej
c inków radialnych oraz łuków okrę
1 4 . 6 .
Grawitacyjna energia potencja lna
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 56/329
z punktu począ tkowego do punktu końcowego wynosi
= - W.
Z tego, że praca W wykonana przez si lę zachowawczą nie zależy od d
której porusza się cząstka, wynika, że towarzysząca temu zmiana grawi
energi i potencjalnej AE
V
również nie zależy od tej drogi.
Energia potencjalna a siła
Gdy wyprowadza l i śmy równanie (14 .20) , wyznaczyl i śmy energ ię po te
E
v
(r ) jako funkcję r na podstawie zależności s i ły F(r) od r. Powinni śm
też postąpić na odwrót , tzn. obl iczyć si łę na podstawie znajomości energi
cjalnej.
Korzystając z równania (8.20), możemy napisać
Równanie to j es t n i czym innym, j ak prawem powszechnego c i ążenia N
(14.1).
Znak minus wskazuje na to, że si ła działająca na ciało o masie
skierowana w st ronę ciała o masie M.
Prędkość ucieczki
Gdy wyst rzel imy pocisk pionowo w górę, będzie się on zwykle porusza
wolniej ,
aż do osiągnięcia prędkości równej zeru, po czym powróci na
Jeśl i jednak nadamy mu dostatecznie dużą prędkość początkową, to będ
poruszał w górę bez końca, zat rzymując się teoretycznie dopiero w niesko
odleg łośc i od Ziemi . Minimalną prędkość , j aka j es t do t ego pot rzebna ,
się prędkością ucieczki (w tym przypadku z Z iemi ) .
Rozważmy poc i sk o masie m opuszczający powierzchnię planety ( lu
goś innego ciała lub układu niebieskiego) z prędkością ucieczki v. Ma on
kine tyczną równą |m i )
2
oraz energię potencjalną E
p
daną wzorem (1
przy czym M jest masą planety, a R — je j p romieniem.
Poci sk ma s i ę za t rzymać w n ieskończonośc i , a za t em ma t am mieć
kinetyczną równą zeru. Jego energia potencjalna będzie wówczas także
zeru, gdyż tak właśnie wybral iśmy konfigurację ciał odpowiadającą zerow
gi i potencjalnej . Całkowita energia pocisku jest zatem w nieskończonośc
zeru. Z zasady zachowania energi i wynika, że jej całkowita energia m
równa zeru t akże na powierzchni p l ane ty , wobec czego
GMm
R
Otrzymujemy stąd
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 57/329
Prędkość ucieczki v nie zależy od kierunku, w jakim pocisk opuszcza pla
km/h w kierunku wschodnim.
Z równania (14.27) można wyznaczyć prędkość ucieczki pocisku z dowol
M i promień R tego ciała.
tabeli 14.2 zebrano wartości prędkości ucieczki z kilku ciał niebieskich.
o * - Prędkość ucieczki
z
ki lku ciał niebieskich
Masa Promień
Prędkość ucieczki
[kg] [m] [km/s]
1,17 • 10
2 1
3, 8
•
10
5
0,64
7,36 • 10
2 2
1,74 • 10
6
2,38
5,98
• 10
2 4
6,37
• 10
6
11,2
1,90
•
10
2 7
7,15
•
10
7
59,5
1,99 • 10
3 0
6,96 • 10
8
618
B
b
2 • 10
3 0
1 • 10
7
5200
0
2
• 10
3 0
1
• 10
4
2 - 10
5
(gwiazda w j e dnym z końcowych etapów ewolucj i ) tworzący układ z bardzo
—
Syr iuszem.
w
wyniku zapadania grawitacyj
4
:
Odsuwasz p i łkę
o
masie
m od
kul i
o
mas ie
M. a) Czy
grawi
tym, czy maleje? b) Czy siła
i
kulą wykonuje pracę dodatnią,
czy
ujemną?
14.5
się wzdłuż prostej przechodzącej prze z środek
Jej
prędkość względem Ziemi wynos i
12 km/s, gdy jej
od
środka Ziemi jes t równa
10
promieniom Ziemi .
Po
i obl icz prędkość planetoidy
je j
dotarcia
do
powierzchni Ziemi.
O T skoro mamy pominąć wpływ atmosfery ziem
na
ruch planetoidy,
to
możemy przyjąć ,
że
energia
me
w chwil i końcowej (tzn. gdy p lane
do
powierzchni Ziemi) jes t równa jego energi i
me
w
chwili początkowej (której dotyczą dane zadania).
to zapisać jako
^k.końc "f" Fpfcońc — F k,pocz "ł Ep
t
p
OCZ
(1
przy czym
E±
jest energią kinetyczną,
a £
p
—
grawitacyjną
gią potencjalną.
Drugie ważne spostrzeżenie mówi, że O — f jeś l i m
uważać układ
za
izolowany,
to w
czas ie ruchu planetoidy z
wany jes t także
pęd
układu. W obec tego zmiana pędu pl
id y
i
zmiana pędu Ziemi mają taką samą wartość,
a
prze
kierunek. Masa Ziemi jes t jednak znacznie większa od mas
netoidy, co oznacza , że zmian ę prędkości Ziemi moż na po
w porównaniu ze zmianą prędkości planetoidy. A s tąd wyni
pominąć można również zmianę energi i kinetycznej Ziemi
i
jąć , że
energia kinetyczna
w
równaniu (14.28)
to
tylko e
kinetyczna planetoidy.
Oznaczmy masę p lane to idy przez m, a masę Ziemi (
1 0
2 4
kg) przez M. Odległość planetoidy od środka Ziemi w
w chwil i początkowej 10/?
z
,
a w
chwil i końcowej
— R
z
,
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 58/329
Rz oznaczyliśmy promień Ziemi (6,37-10
6
m). Podstawiając
E
r
oraz
\m v
2
zamias t Ą , o t rzymujemy
1
2
GMm _ 1
2
GMm
2
m V k o ń c
~ ~RT
=
2
m
>
c z
" lORj-
2 G M (
J_\
"końc "pocz ^ ft
z
y
JO
J
= (12 • 1 0
3
m / s )
2
2 ( 6 ,6 7 • 1 0 - '
1
m
3
/ ( k g
•
s
2
) ) ( 5 ,9 8 • 1 0
2 4
kg)
+
6 ,37
•
1 0
6
m '
= 2 ,567
•
1 0
8
m
2
/ s
2
,
a stąd
u
k o ń c
= 1,60
•
1 0
4
m /s = 16 km /s . (od
Mając taką prędkość, nawet niezbyt wielka planetoida
spowodować znaczne zniszczenia na powierzchni Ziemi.
kład przy uderzeniu w Ziemię planetoidy o średnicy 5 m
li łaby się energia równa energii wybuchu jądrowego n
szimą. Niepokojące jest , że w pobliżu orbity Ziemi krą
500 mil ionów plane toid o tej wielkości . W roku 1994 jedn
najprawdopodobniej weszła w atmosferę ziemską i wyb
wysokości 20 km nad odległą wysepką na południu Oce
kojnego (wyzwalając w sześciu satelitach wojskowych
ostrzegawcze o eksplozji jądrowej) . Uderzenie w Ziemi
toidy o średnicy 500 m (których jest może i mil ion w
orbity Ziemi) mogłoby położyć kres całej współczesnej c
cj i i n iemal zniszczyć cały gatunek ludzki na Ziemi.
Tor ruchu Marsa na
1 4 . 7 . P l ane t y i s a t e l i ty : p r a w a K e p l e r a
Ruch planet obserwowany na t le gwiaździs tego nieba był d la ludzi zaga
niepamiętnych czasów. Szczególnie zadziwiająca wydawała s ię pęt la toru
pokazana na rysunku 14.12. Prawa empiryczne opisujące ruch planet po
hannes Kepler (1571-1630) po badaniach, k tóre zaję ły mu całe życie . Na
wie obszernych danych obserwacyjnych, k tóre zebrał Tycho Brahe (1546
osta tni z wielkich astronomów dokonujących obserwacji n ieba bez uży
leskopu, Kep ler sformułował t rzy prawa ruchu planet noszące dz iś jeg
Newton (1642 -172 7) w ykaza ł późn ie j , że p rawa Kep le ra wyn ika ją z jego
powszechnego c iążenia .
W tym paragrafie omówimy po kolei wszystkie prawa Keplera . Ch
dziemy ich używać do badania ruchu planet wokół Słońca, s tosują s ię o
samo do ruchu sate l i tów — naturalnych i sz tucznych — Ziemi lub każdego
ciała o dużej masie .
1 .
P ierwsze p rawo Keplera:
Wszystkie planety poruszają się po orbitach w ksz
elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce.
Planetę o masie m poruszającą s ię po takie j orbic ie wokół Słońca o
M p rzeds tawiono na rysunku
14 .13 .
Zakłada my, że M OT, tak że środe
układu planeta-Słońce znajduje s ię w przybliżeniu w środku Słońca.
W ielkość orbi ty przedstawionej na rysunku 14.13 jes t wyzna czon a
wartość je j pó łos i wie lk ie j a i m i m o ś r o d u e, zdefiniowanego tak, że
odległością każdego z ognisk e l ipsy F i F' od je j środka. Mimośród równ
odpowiada okręgowi, będącemu p rzypadk iem szczegó lnym e l ipsy , w k tó r
ogniska są jednym punktem. Mimośrody orbi t p lanet n ie są zbyt wielkie ,
orbi ty te — narysowane na kartce — wyglądają jak okręgi . Mimośród
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 59/329
jest
2. Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakow ych
odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbi ty; inaczej
mówiąc , wie lkość dS/dt, przy czym S jest polem pow ierzchni zakreślonej przez tę
linię, jest stała.
Jakościowo rzecz biorąc, z prawa tego wynika, że planeta porusza się po
Pole powierzchni zacieniowanego kl ina na rysunku 14.14a jest dobrym przy
At przez l inię łączącą planetę
r. Pole powierzchni tego kl ina AS jest
rA O i wysokości r. Pole trójkąta
AS & ~r
2
A9. To
AS jest tym bardziej dokładne, im bardziej At (a zatem i
A9)
jest
dS 1 odO 1 ,
(14.29)
dt
-r — = -r co,
2 dt 2
O J jest prędkośc ią kątową obrotu l inii łączącej pla netę ze Sło ńce m.
Na rysunku 14.14b pokazano pęd planety p oraz jego składowe: radialną
r. Z równania (12.20) (L = rp±) wynika , że war tość mom entu
Z
jest równa i loczynowi r i p± , czyli składowej
r.
Dla planety o masie
m
mamy za tem
L — rp± = (r)(mv±) = (r)(mcor)
mr
2
oj,
(14.30)
v± wstawil iśmy — na podstawie równania (11.18) — wielkość
El iminując r
2
co z równań (14.29) i (14.30) , o t rzymujemy
dS L
-r = 7T- (14.31)
dt 2m
dS/dt ma być sta łe , jak mó wi drugie prawo Kep lera , to z równ ania (14.31)
L, a to znaczy, że moment pędu musi być za-
Rys. 1 4 . 1 3 . Planeta o masie m p
sza się wokół Słońca po orbicie
tycznej . Słońce o masie M znajduj
w jednym z ognisk e l ipsy F. D
ognisko tej elipsy F' jest tylko p
tem w przest rzeni kosmicznej . K
z ognisk jest odległe od środka e
o ea, przy czym e j e s t mimośro
el ipsy. Na rysunku zaznaczono rów
półoś wielką elipsy a oraz odległoś
Słońca peryhel ium (punktu orbi ty
bl iższego Słońca)
R
v
i aphel ium (pu
orbi ty najdalszego od Słońca) R„
M
a)
M
b )
Rys. 1 4 . 1 4 . a) W przedzia le czasu
linia łącząca planetę ze Słońcem o
si e M (mająca w danej chwili długoś
zatacza kąt Ad , zakreślając przy tym
szar (zacieniowany) o polu powierzc
A S. b) Pęd planety p i jego składo
14.7.
Planety i satel i ty: pra wa Keplera
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 60/329
chowany. Wykazal iśmy zatem,
że
drugie praw o Keplera jes t rzeczywiś
noważne zasadz ie zachowania momentu pędu .
3. Trzecie prawo Keplera:
Kwadrat okresu ruchu każdej planety
na
orbicie
Słońca jest proporcjonalny
do
sześcianu pó łosi w ielkiej
tej
orbity.
1 4 . 1 5 .
Planeta o masie
m
poru
r
A by
się o tym
przekon ać, rozw ażm y o rbi tę kołową
z
rysunku 14
rej promień jes t równy
r
(promień okręgu jes t odpowiednikiem półosi
el ipsy).
Zapisując drugą zasadę dynamiki (F = ma) dla p lanety na orbic
w ej
z
rysunku 14.15, dosta jemy
GMm
= (m)(co
r).
Skorzysta l iśmy z t ego , że wartość s i ły F j e s t dana równan iem (14 .1 ) ,
sp ie szen ie doś rodkowe wyn os i
—
zgodn ie
z
równan iem (11 .23)
—
co
2
r.
ze wzorem (11 .20) możemy
do
powy ższego rów nan ia ws tawić lit/T za
przy czym
T
j e s t ok resem ruchu
po
o rb ic ie . Ot rzymamy
w ten
sposó
prawo Keplera :
( trzecie prawo Keplera) . (
Wi e l k o ś ć
w
nawiasie jes t
stałą,
które j wartość za leży ty lko
od
ma s y
wokół k tórego krąży planeta .
Równanie (14.33) obowiązuje także
dla
orbi t e l ip tycznych, przy c
mi a s t
r
należy podstawić
a —
półoś wielką elipsy.
Z
p rawa tego wy
stosunek
T
2
/a
3
powin ien być stały dla wszystkich orbi t p lane t krążąc
kół tego samego c ia ła
o
dużej masie .
W
tabel i 14.3 przedstawiono,
ja
spełniona jes t
ta
reguła d la orbi t p lanet
w
Układz ie S łonecznym .
Trzecie prawo Keplera dla planet Układu Słonecznego
Planeta
Półoś
wielka a
O kr e s
T
Planeta
[ 1 0
1 0
m ]
[a]
[ 1 0 "
3 4
a
Merkury
5,79
0 ,241 2 ,99
Wenus
10,8
0 ,615 3 ,00
Ziemia 15,0
1 ,00
2,96
Mars
22,8
1 ,88 2,98
Jowisz 77,8
11 ,9 3 ,01
Saturn 143
29,5 2,98
Uran
287 84 ,0
2,98
Neptun 450
165 2,99
Pluton 590 24 8
2,99
•SPRAWDZIAN 5 :
Satelita 1 krąży w okół planety po pew nej orbicie kołowej, a
2
po
innej
—
większej
—
orbicie kołowej, Który
z
tych satelitów ma:
a)
większy
obiegu planety, b) większą prędkość?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 61/329
peryhelium,
tzn. punk t najwięk
R
v
• 1 0
1 0
m . Jak wy nika z tabeli 14.3, punk t ten znajduje
R
a
,
odpo
aphelium
orbity?
-e Z równania (14 .13) wynika, że R
a
+ R
p
= 2a , gdzie a jes t
R
R
, jeś l i przedtem znajdziemy war tość a. Zauważmy
tym celu, że O—•» a jes t związane z okresem obiegu za po
r podstawimy półoś wielką a. Postępując tak i rozwiązu
a, dostajemy
_ (GMT
T
2
\
\
1/3
Podstawiając do tego wzoru ma sę Słońc a M , równą 1,99 •
kg , oraz okres obiegu komety
T,
równ y 76 lat, czyli 2,4 • 10
otrzymujemy
a =
2 ,7 • 1 0
1 2
m. Wobec tego
= 2a
-
R„
= (2)(2 ,7 • 1 0
1 2
m) - 8,9 • 1 0
1 0
m
: 5 , 3 • 1 0
1 2
m .
(odpowie
(14.34)
Jak widać z tabeli 14.3, jest to nieco mniej niż półoś w ielka o r
Plutona. Kometa Halleya n ie znajduje s ię zatem nigdy tak dal
od Słońca jak Plu ton.
b) I le wynosi mimośród
e
orbity komety Halleya?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy, że O — » związek m iędzy wielkościami
e, a i R
p
n ika z rysunku 14.13. Widzimy na n im, że
ea = a — R
v
,
czy
e
_
a
~
_
[
a a
8 , 9 - 1 0
0
m
=
1
- o -,
1 A
i 2
= ° '
9 7
' (odpowie
2 ,7 • 1 0
1 2
m
Orbita tej komety m a mim ośród b lisk i jedności , a więc jes t el
bardzo długą i spłaszczoną.
Obserwacje światła wysyłanego
iazdę wskazują na to , że jes t ona sk ładnikiem
porusza s ię po orbicie z prędkością
v =
270 km/s , ma okres
T
= 1,7 doby i ma sę równą w przybliże niu
m\
= 6Ms ,
Ms
jest masą Słońca, równą 1,99
•
1 0
3 0
kg . Załóż, że
m
2
tego składnika „ciemnego" .
" ~ s
1 . Dw ie rozważa ne gw iazdy poruszają s ię po orbitach ko
jedn a wokół drugie j , a obie wokół środka m asy
R R
2. Podob nie jak dla układu dw óch cząstek z paragrafu 9 .2,
ek masy tego układu leży na odcinku łączącym środki gwiazd,
O
na rysunku 14.16. Gwiazda, k tórą widać, poru
ę po orbicie o promieniu n , a gwiazda ciemn a — po orbicie
r
2
.
w
3 .
Ruch gwiazd wokół ich środka masy n ie może być nawet
okół Słońca) . Trzecie
prawo Keplera ( równanie (14 .33))
nie stosuje się
zatem w
sytuacji , a więc n ie możemy go wykorzystać do wyznacze
masy
m
2
.
O
t
4 .
Ruch gwiazd po okręgach odbywa s ię pod wpływ
siły dośrodkowej, którą jest siła ich wzajemnego przyciąga
grawitacyjnego. Wartość tej siły wynosi Gniimi/r
2
, gdzie r
odległością środków gwiazd.
O T
5 . Z równania (4 .32) wynika, że przyspieszenie dośrodk
gwiazdy widocznej
a
jes t równe
v
2
/r\.
Wszystko to razem prowadzi nas do zapisania drugiej zas
dynamik i (F = ma) d la gwiazdy widocznej w postaci
Gm\m
2
r
z
r\
Równanie to zawiera szukaną przez nas masę
m
2
,
lecz ab
wyznaczyć, musimy najp ierw znaleźć wyrażenia na
r
i
r\
(zau
natomiast , że
m\
skraca s ię w tym równaniu) .
Rys.
1 4 . 1 6 . Przykład 14.7.
Gwiazda widoczna o mas ie i
m\
i n iewidoczna („ciem- T
r
i
O
r
2
na") gwiazda o masie
m
2
\
krążą po orbitach wokół
środka masy układu po
dwójnego, czyli punktu
O
1 4
. 7 .
Planety i satelity: praw a Keple ra
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 62/329
Zacznijmy od wyznaczenia położenia środka masy wzglę
do czego wykorzystamy równanie (9.1) .
się w odległości równej zeru od sie
w
odległości
ri od
środka masy
i w
odległości
r od
środka
Z
równania (9.2) otrzymujemy zatem
m i ( 0 ) + m
2
r
n =
nii +
ni2
r = n -
m\ + ni2
m
2
(14.36)
(14.37)
W celu znalezienia wyrażenia
na ri
zauważmy,
że
gwiazda
się po okręgu o promieniu r\ z prędkością
i ma okres obiegu T. Z równania (4.33) wynika zatem, że
= 2nri/T,
czyli
r\
=
vT
2K'
(14.38)
to
wyrażen ie
na r\ do
wzoru (14.37) , otrzymujemy
vT
m\ +
m.2
2n
m
2
(14.39)
Wróćmy teraz do wzoru (14.35) i pods tawmy do niego wy
na r z
równania (14.39)
i na r\ z
równania (14.38) oraz
m\,
tzn. 6Ms. Przekształcając następnie
to
równanie
(2,7 • 10
5
m / s )
3
( l , 7 d ) ( 8 6 4 0 0 s/d)
( 6 M
S
+ m
2
)
2
2nG (2ix)(6,67 •
IO"
1 1
m
3
/ ( k g •
s
2
))
= 6,90 •
1 0
3 0
kg,
czyli
( 6 M
S
+
m
2
y
= 3 ,4 7 M
S
.
Jest
to
równanie trzeciego stopnia,
do
rozwiązania któr
żemy wykorzystać proste programy komputerowe. Intere
jednak tylko rozwiązanie dość przybliżone, możemy zat
stawiać po prostu do tego równania kolejno war tości m
całkowitym wielokrotnościom M i sprawdzać, dla któryc
równanie (14.40) jest możliwie dobrze spełnione. Stwi
w
ten
sposób,
że
najlepiej spełnia
to
równanie war tość
m
2
9 M
S
.
(odp
Dane tego zadania odpowiadają
w
przybliżeniu układ
dwójnemu LMC X-3 w Wielkim Obłoku Magellana (któr
na zdjęciu otwierającym ten rozdział) . Z innych pomiar
d o m o ,
że
składnik ciemny jest bardzo zwarty, skąd wyn ik
to zapewne gwiazda, która
w
wyniku kurczenia
się pod
w
własnej siły ciążenia
(tzw.
zapadania grawitacyjnego)
gwiazdą neutronową lub czarną
dziurą.
Gwiazda neutron
może jednak mieć masy większe j niż około 2M$, a zat
wynik — m.2 9Ms — wskazuje na to, że ciemny
rozważanego układu podwójnego jest czarną
dziurą.
Widzimy więc ,
że
obecność czarnej dziury
da się
jeśl i jest
ona
składnikiem uk ładu podw ójnego,
a
druga
tego układu jest widoczna, można zatem zmierzyć jej mas
kość orbitalną
i
okres obiegu.
1 4 . 8 .
Sa te l i t y : o rb i t y
i
e n e r g i a
Gdy satelita obiega Ziemię po orbicie eliptycznej, okresowo zmienia się z
jego prędkość, od której zależy jego energia kinetyczna E\_, jak i jeg o odleg
środka Ziemi, od której zależy jego energia potencjalna E
v
. Energia mech
satelity E pozostaje jednak stała (przy założeniu, żzE
v
iE układu sate lita -
możemy przypisać samemu satelicie, co jest uzasadnione, gdyż masa satel
bardzo mała w porównaniu z masą Ziemi).
Energia potencjalna układu jest dana równaniem (14.20) i wynosi
GMm
E
v
=
r
(przyjmujemy, że E
v
= 0 dla nieskończenie odleg łych ciał) . W równaniu
jest promieniem orbity, którą będziemy chwilowo uważać za kołową, a M
masami Ziemi i satelity.
W celu wyznaczenia energii kinetycznej satelity na orbicie kołowej za
drugą zasadę dynamiki ( F = ma) w postaci
V
—— = m —,
r
2
r
6 14.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 63/329
v
2
/r
jest przyspieszen iem dośrodkow ym sateli ty.
Z
tego równania wynika,
1
,
GMm
E
k
= -mv
1
= — — ,
(14.42)
2 2r
że dla
sateli ty
na
orbicie kołowej
E
k
= —
(orbi ta kołowa). (14.43)
na
orbicie jest zatem równa
GMm
GMm
E
= Ek + E
p
=
GMm
2r
2r
(orbi ta kołowa).
(14.44)
to, że
całkowita energia E satelity
na
orbicie kołowej jest równa jego
kinetycz nej wziętej
z
p rzec iwnym znak iem,
tzn.
E = - £
k
orbita kołowa . 14.45
na
orbicie eliptycznej
o
półosi wielkiej a otrzy
do
równania (14.44) a zamias t r. Daje
to
E =
GMm
2a
(orbita eliptyczna).
(14.46)
Z równania (14.46) wynika,
że
całkowita energia sateli ty
na
orbicie
zależy
od
półosi wielkiej orbity,
a nie od jej
m i m o ś r od u e.
Na
przykład określony
E
na
każdej
na
rysunku 14.17, gdyż mają
one
wszystkie taką
wielką.
Na
rysunku 14.18 przedstaw iono zależn ość
Ą ,
E
v
i
E
od
r
po
orbicie kołowe j wo kół ciała
o
bardzo dużej masie .
energia
e = 0
E(r)
Cztery orbity wokół ciała o
M.
Wszystkie
te
orbity mają taką
a, a
za tem od powiada
E. Przy każdej orbicie
je j mimośród
E = Ei + E„
Rys. 14.18.
Zależność energii kinetycznej
£ie> energii potencjalnej E
p
i energi i całko-
witej
E od
promienia
r dla
satelity
na
orbi-
ci e kołowej .
Dla każdej wartośc i r wartośc i
E
p
i E są u j emne , a wartość £
k
jest dodat
nia, przy czym
E = —E^. Gdy r co,
każda z tych energii dąży do zera
7 lutego 1984 roku B ruce McC and
wyszedł
w
przest rzeń kosmiczną
z
jazdu poruszającego
się z
prędko
29 000 km/h, znajdującego
się
wów
na wysokości 102 km nad Hawaj
N ie był p rzymocowany do wahadło
liną, a zatem stał się p i e rwszym c
wiekiem sateli tą Ziemi
14.8 .
Satel i ty: orbity
i
ener g ia
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 64/329
l
/SPRAWDZIAN 6
: W ahadłow iec kosmiczny
okrąża początkowo Ziem ię po orbicie kołowej o pro
mieniu r , jak pokazano na rysunku. W chwili , gdy
pojazd znajduje się w punkcie P, pilot włącza na
chwilę silnik hamujący, aby zmniejszyć energię ki
netyczną Ą i energię mechan iczną E wahadłowca,
a) Po której z orbit eliptycznych, oznaczonych na
rysunku linią przerywaną, będzie się następnie po
ruszał pojazd? b) Czy okres obiegu orbity T (czyli
czas powrotu do punktu
P)
tego wahadłowca bę
dzie większy, mniejszy, czy taki sam, jak wtedy,
gdy krążył on po orbicie kołowej?
h równej 350 km
Ziemią,
gdy astronauta żar towniś wyrzuca z niego na orbitę
m
= 7,2 kg.
E tej kuli na jej orbicie.
O —
» energię E będziemy mogli obliczyć ze wzoru
(E = —GMm/2r), jeśli znajdziemy najpierw promień
r. Jego wartość wynosi
r = R + h = 6370 km + 350 km = 6 ,72 • 10
6
m ,
R
jest promieniem Ziemi. Z równania (14.44) otrzymujemy
GMm
E =
-^r
(6,67 •
I O "
1 1
m
3
/ ( k g • s
2
) ) ( 5 , 9 8 • 1 0
2 4
kg) (7 ,2 kg)
(2) (6,72 • 1 0
6
m )
= - 2 , 1 4 • 1 0
8
J = - 2 1 4 MJ. (odpowiedź)
A £ energii mechan icznej
podróży z wyrzutni na orbitę .
R O Z W I Ą Z A N I E :
Musimy pamię tać , że
O T
na wyrzutni kula nie znajduj
orbicie , a więc nie stosuje się do niej wzór (14.44) . Za
zatem po prostu, że E
0
= Eko + E
P
o> przy czym E
k
o jest
kinetyczną kuli, a Epo — grawitacyjną energią potencjalną
kula-Ziemia. W celu wyznaczenia Epo skorzystamy ze
(14.20), co daje
GMm
£
P
o = —
F
-
_ 6,67 I O
1 1
m
3
/ k g s
2
) ) 5 , 9 8 1 0
2 4
kg) 7 ,2
6,37 1 0
6
m
= - 4 , 5 1
1 0
8
J = - 4 5 1 M J .
Energia kinetyczna kuli Eko jest związana z ruchem kuli
ruchu obrotowego Ziemi. Możesz wykazać, że jest ona m
niż 1 MJ, a więc jest znikomo mała w porównaniu z w
bezwzględną E
p 0
. Wobec tego energia mechaniczna kuli
rzutni wynosi
E
0
=
£
M
+ £
p
o ~ 0 — 4 5 1 M J = - 4 5 1 M J .
(od
Wzrost energii mechanicznej kuli podczas je j podróż
rzutni na orbitę wynosi
A £ = £ - E
0
= - 2 14 M J) - - 4 5 1 M J) = 237 M
(odp
Tyle energii możesz kupić od zakładu energetycznego za
ście z łotych. Jest zatem oczywiste , że wysoki koszt umies
ciała na orbicie okołoziemskiej nie jest związany z ener
chaniczną, której trzeba mu w tym celu dostarczyć.
1 4 . 9 .
G r a w i t a c j a w e d ł u g E i n s t e i n a
Zasada równoważności
Alber t E ins t e in powiedz ia ł k i edyś : „Siedz ia ł em ( . . . ) w urzędz ie pa t en
w Be rn ie , gdy nagle przysz ł a mi do g łowy t aka myśl : gdy cz łowiek spada sw
nie ,
nie może czuć swego ciężaru. Byłem wstrząśnięty. Ta prosta myśl w
na mnie wielkie wrażenie. To ona skierowała mnie w st ronę teori i grawi t
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 65/329
Tak Einstein wspomina początek swej pracy nad stworzeniem
ogólnej teori i
Podstawowym postulatem tej teori i grawi tacj i (czyl i wzajemnego
zasada równoważności ,
która mówi , że skutki gra
i i ruch u przyspiesz oneg o są sobie rów now ażne. Gdyb y fizyka zam knąć
pojemniku , j ak na rysunku 14 .19 , n i e mógłby on s twierdz ić , czy po
nik spo czyw a na Zie mi (znajdując się jedy nie pod działaniem z iemskiej s i ły
jak n a rysunku 14.19a, czy też por usza się w przest rzeni ko smic z
2
(znajdując się jedy nie pod wp ływ em
czasoprze
czterowymiarowej przest rzeni , w której znajduje się nasz wszechświat ) .
W yt łumaczen ie , j ak przes t rzeń (na przykład próżnia) moż e być zakrzyw iona ,
jest ła twe. Spróbujmy p osłużyć się następującą analogią. Wyo braź sob ie, że
i l i s tartu łodzie są od siebie odległe o 20 km i obie kierują się
połu dnie , jak na rysun ku 14.20a. Z punktu w idzenia żeglarzy ich łod zie
jed na k do siebie, aż w pobl iżu biegu na połud niow ego w padają n a siebie.
jest po prostu konsekw encją k rzyw izny pow ierzchni Zie mi . W idzim y to,
Na rysunku 14 .20b przeds t awiono podobny „wyśc ig" . Dwa j ab łk a pu szczamy
że jab łka spadają po torach równ oległych , lecz
rzeczywistości zbl iżają się do siebie, gdyż oba kierują się ku środkowi Ziemi .
żemy j ednak zobrazować t ę krzywiznę , t ak j ak na rysunku 14 .20c. Jab łka będą
Gdy świat ło przebiega w pobl iżu Ziemi , jego tor nieco się zakrzywia ze
Rys. 14.19.
a) Fizyk zamknię
jemniku spoczywającym na Z
serwuje melon spadający z prz
niem a = 9 ,8 m/s
2
, b) Jeśl
nik porusza się daleko w przest
smicznej z przyspieszeniem rów
m / s
2
, to przyspieszenie melon
dem fizyka jest takie sam o jak n
Fizyk nie może stwierdzić na
wie żadnych doświadczeń wy
w pojemniku, w której z tych d
tuacji się znajduje. Na przykład
której f izyk stoi , ma w obu prz
takie same wskazania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 66/329
Ś c) ^ Z i e m i a
Rys.
1 4 . 2 0 .
a) Dwa
c ia ła poruszające
się
wzdłuż południków
ku
b iegunowi połudn
zbliżają
się do
siebie
ze
względu
na
krzywiznę powie rzchni Ziemi ,
b) Dwa
ciała s
swobodnie w pobliżu Ziem i poruszają się po torach, które zbiegają się ku środkowi Z
względu
na
zakrzywienie przestrzeni
w
pobliżu Ziemi,
c)
Da leko
od
Ziemi
(i
inny
przestrzeń jest płaska
i
tory równolegle pozostają takimi
w
czasie ruchu cia ł .
W
Ziemi tory te zaczynają się zbiegać, gdyż przestrzeń jest tu zakrzywiona na skutek ob
masy Ziemi
ogniskowaniem (soczewkowaniem) grawitacyjnym. Przy przejściu w pobliż
o jeszcze większej masie, na przykład galaktyki lub czarnej dziury o dużej
tor wiązki zagina się odpowiednio silniej. Wyobraźmy sobie, że takie ciało
żej masie znajduje się między nami a kwazarem, czyli niezwykle silnym i
odległym źródłem światła. Światło biegnące do nas z kwazara ulegnie z
wieniu w pobliżu teg o ciała o dużej masie, ja k pokaza no na rysunku
tory św iatła
z kwazara
Cs
pozorne kierunki
położenia kwazara
galaktyka lub duża
czarna dziura
tory światła
docierającego
do Ziemi
na Ziemi
Rys. 14.21 a) Św ia t ło z odległego kwazara biegnie po torach, które zakrzywiają się
laktyce lub dużej czarnej dziurze, ponieważ masa tej galaktyki lub czarnej dziury za
przestrzeń
w jej
otoczeniu. Światło obserwowane
z
Ziemi zdaje
się
przychodzić
z
kie
wyznaczonych przez przedłużenia promieni docierających
do
Ziemi (oznaczone l iniam
rywanymi) , b) Pierścień Einste ina, znany jako obiekt MG1131+0456, na ekranie ko
połączonego
z
te leskopem. Źródło światła
(w
istocie
fal
radiowych, będących
— ja
t ło
—
promieniowaniem elektromagnetycznym) znajduje
się
daleko
za dużą,
niew
galaktyką, której obecność jest przyczyną powstania pierścienia; część źródła jest w
w postaci dwóch jasnych punktów na pierścieniu
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 67/329
pierścieniem Einsteina (rys. 14.21b ).
Czy powinniśmy wiązać ciążenie z krzywizną przest rzeni w otoczeniu mas,
grawitonem, której istnienie postuluje
powszechnego ciążenia Każd e c ia ło we wszechśw iecie
s i łą c iężkości (s i łą grawitacyjną) o
m i
» i 2
F = G
—-— (prawo powszech nego c iążenia) . (14.1)
r
l
równaniu tym
m\
i
m
2
to mas y ciał ,
r
— ich odległość , a
G
•
1 0 ~
u
N
•
m
2
/ k g
2
) —
s tała grawitacyjna.
jednorodnego c ia ła kul istego o masie M, wartość dzia ła jąc
cząstkę siły ciążenia jest dana wzorem (14.1). Z drugiej z
dynamiki wynika za tem, że
F = ma
g
,
(
a stąd
Rów
kowania . Jeśl i jedna k k tóreś z c ia ł ma kszta ł t jedn orodne j
zewnętrzne
względem niego, może
Si ła c iężkości podlega
zasadzie superpo
co oznacza, że jeśli oddziałuje ze sobą
n
cząstek, to siła
F\
>wyp
działająca na cząstkę oznacz oną jak o 1 jest
czą
n
n
Y
F
~
u
<
(14
-
4)
i = 2
Fu ,
działające na cząstkę 1 ze strony cząstek 2,
3 , . . . , n.
F\
działającą na cząstkę ze
AF ,
i na drodze całkowania znaleźć ich
(14.5)
Przyspieszenie spadku swobodnego i ciężar
Przyspieszen
z jakim c ia ło spada swobodnie w pobl iżu powierzchni Z
różni się nieco od przyspieszenia grawitacyjnego
a
g
,
a ciężar
( równy
mg)
jest nieco różny od wartości działającej na to
siły ciążenia, danej wzorem (14.1), ponieważ Ziemia nie jes
jednorodna, ani kulista, a do tego obraca się wokół swej osi
Ciążenie wewnątrz powłoki kulistej Wypadk owa si ła c ią
działająca ze strony ciała w kształcie jednorodnej powłoki ku
na cząstkę znajdującą się wewnątrz pow łoki jest równa zeru.
nika stąd, że jeśli cząstkę umieścimy wewnątrz ciała w kszt
jednorodnej kuli w odległości r od jej środka, to działając
cząstkę siła ciążenia pochodzi jedynie od tej części masy
Mwewn. która jest zawarta wewnątrz kul i o promieniu
r.
Ma
jest równa
4 w
3
M
w e w
„ = p - ^ — , ( 1
gdzie
p
jest gęstością ciała.
G rawitacyjna energia potencjalna Grawitacyjna energia
tencjalna
£
p
r uk ł adu dwóch
cząstek o masach
M
i
m
zna
cych się w odległości r od siebie jest równa wziętej z przeciw
znakiem pracy wykonanej przez siłę ciążenia, działającą ze s
dowolnej z tych cząstek na drugą z nich, przy zmianie odleg
cząstek od nieskończonej (bardzo dużej ) do
r.
Wynosi ona
GMm
E
p
= (grawitacyjna energia poten cjalna). (1
Przyspieszenie grawitacyjne a
g
r
od środka
Energia potencjalna układu cząstek
Jeśli układ składa
więcej niż dwóch cząstek, to całkowita grawitacyjna energia
tencjalna tego układu
E
v
jest równa sumie energii potencja
Podsumowanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 68/329
wszystkich par cząs tek. Na przykład dla t rzech cząs tek o masach
m i ,
ni2 i mi
Gm\mi Gniim
3
Gmitn-ł\
+ + .
r\i r
n
r
2 3
/
(14.21)
Prędkość ucieczki Cząstka mo że s ię uwolnić od działania przy
ciągania grawitacyjnego ciała niebieskiego o masie M i promieniu
R ( tzn. może s ię od niego nieskończenie oddal ić) , jeś l i nada s ię
jej w pobl iżu powierzchni tego ciała prędkość równą co najmniej
prędkości ucieczki , wynoszącej
2GM
R
(14.27)
Prawa Keplera Ciała Układ u Słonecznego, a także sateli ty
Ziemi, naturalne i sztuczne, wiążą ze sobą siły przyciągania gra
witacyjnego. Wzajemny ruch tych ciał jes t rządzony przez t rzy
prawa Keplera wynikające z prawa powszechnego ciążenia i za
sad dynamiki Newtona:
1 .
Pierwsze prawo Keplera.
Wszystkie planety poruszają się
po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się
Słońce.
2 . Drugie prawo Keplera .
Linia łącząca planetę ze Słońcem
zakreś la w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola po
wierzchni w płaszczyźnie orbi ty (s twierdzenie to jes t równo
ważne zasadzie zachowania momentu pędu).
3 . Trzecie prawo Keplera.
Kwadrat okresu T ruchu każdej
planety na orbicie wokół Słońca jes t proporcjonalny do sze
ścianu półos i wielkiej a tej orbity. Dla orbit kołowych o
promieniu
r
półoś wielka
a
jes t równa promieniowi
i prawo to przybiera postać
•> ( 4 n
2
'
X
GM )
( t rzecie prawo Keplera) ,
przy czym M jes t masą ciała , wokół którego krąży
czyl i Słońca w przypadku Układu Słonecznego. Rów
stosuje się również do orbit eliptycznych, przy czym
promienia r należy podstawić półoś wielką a.
Energia w ruchu po orbicie Energia potencjalna E
p
tyczna E^ planety lub satelity o masie m w ruchu po
kołowej o promieniu r wynosi
GMm
oraz E
k
GMm
r 2r
Energia mechaniczna E = E^ + E
p
jes t zatem równa
GMm
E =
•
(14.20
2 r
Dla orbity eliptycznej o półosi wielkiej równej a
GMm
E =
2a
G rawitacja według Einsteina Einste in stwierdził, że sk
żenia (grawitacj i ) i ruchu przyspieszonego są sobie równ
Sformułowana w ten sposób
zasada równoważnośc i
d
dziła go do stworzenia teorii grawitacji
(ogólnej teori i
ności ) ,
która t łumaczy zjawiska grawitacyjne za pomocą
wienia przes trzeni .
1 . Jak pokazano na rysunku 1 4 .22, dwie cząs tki o masach m
i 2m znajdują się w pewnych punktach na osi. a) Gdzie na tej osi
(w skończonej odległości od danych cząs tek) należy umieścić t rze
cią cząstkę o masie 3m, tak by wypadkowa siła ciążenia działająca
na nią ze s trony cząs tek danych była równa zeru — na lewo od o bu
cząstek, na prawo od nich, między cząstkami i bliżej lżejszej z nich
czy między cząs tkami i bliżej c ięższej z nich? b) Czy odp owiedź na
to pytanie zmieni s ię , jeś l i t rzecia cząs tka będzie m iała masę 16m?
c) Czy istnieje taki punkt
poz a
osią,
w który m s i ła wy- •
padkowa działająca na trze
cią cząstkę jest równa zeru?
Rys. 1 4 . 2 2 .
Pytanie
1
2m
2.
Na rysunku 14.23 przedstawiono pewną cząs tkę, otoczoną
dwoma kołowymi pierścieniami cząs tek. Promienie tych pierścieni
wynoszą r i R, przy czym R > r, a wszystkie cząstki mają masę
m. Wyznacz wartość i kierunek wypadkowej s i ły grawitacyjnej
działającej na środkową cząstkę ze strony cząstek tworzących pier-
\ i y
/ • \
/ i \
i
Rys.
1 4 . 2 3 .
Pytanie 2
Rys. 1 4 . 2 4 .
Pytanie 3
3 . Jak pokazano na rysunku 14.24, pewna cząs tka o m
znajduje s ię w środku kwadratu, wzdłuż boków którego
czone są inne cząs tki , odległe od s iebie wzdłuż obwodu k
o d lu b d/2. Wy znacz wartość i kierune k wypadk owej
witacyjnej działającej na środkową cząstkę ze strony poz
cząstek.
5 2 1 4 . Grawitacja
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 69/329
rysunku 14.25 przedstawiono cztery układy ciał złożone
m oraz jednego lub więcej jednorodnych prętów
M i długości L, odległych od cząstki o d. Uszereguj te
łady w zależności od wartości wypadkowej siły grawitacyjnej
ej na cząstkę ze strony prętów, od największej do naj
a)
b)
Rys.
1 4 . 2 5 .
Pytanie 4
I
d)
rysunku 14.26 przedstawiono dla czterech planet zależność
a
g
na tej planecie od odległości
oczynając od powierzchni planety (czyli
Ri, R
2
, R
3
i RĄ). Krzywe 1 i 2 nakładają się na
r R
2
, a krzywe 3 i 4 nakładają się na siebie dla r > RĄ.
zych do najmniejszych wartości tych wielkości.
Pytanie 5
rysunku 14.27 przedstawiono trzy jednorodne planety
g w tych punktach, od największej
Rys.
1 4 . 2 7 .
Pytanie 6
7 .
Znajdujesz się w przestrzeni kosmicznej w inercjalnym
dzie odniesienia i obserwujesz dwie jednakowe, jednorodne
poruszające się ku sobie pod wpływem siły wzajemnego pr
gania grawitacyjnego. Przyjmij, że w chwili początkowej obi
miały prędkość równą zeru, a energia potencjalna układu ku
nosiła
Sp.pocz-
Wyznacz energię kinetyczną każdej kuli w c
gdy ich odległość wynosi połowę ich odległości początkow
8 .
Uszereguj cztery układy cząstek o jednakowej masie ze s
dzianu 2 w zależności od wartości bezwzględnej grawitac
energii potencjalnej układu, od największej do najmniejszej
9 . Na rysunku 14.28 przedstawiono sześć torów, po któryc
kieta znajdująca się na orbicie wokół księżyca może prz
ścić się z punktu
a
do punktu
b.
Uszereguj te tory w zależ
od odpowiadającej ruchowi
po nich: a) zmiany grawi
tacyjnej energii potencjal
nej układu rakieta-księżyc,
b) pracy wykonanej nad ra
kietą przez siłę grawitacyjną
działającą na nią ze strony
księżyca, od największych
do najmniejszych.
Rys. 14.28.
Pytanie 9
1 0 .
Jak pokazano na rysunku 14.29, dwie cząstki o masa
i
2m
są unieruchomione w pewnych punktach na osi. T
cząstka (nie pokazana na rysunku), o masie m, ma być pr
siona z nieskończonej odległości w jedno z położeń: a, b
Uszereguj te położenia w zależności od pracy, jaką musi wyk
nad trzecią cząstką wypadkowa siła grawitacyjna działająca n
ze strony cząstek nieruchomych, od największej do najmnie
a 2m b m
Rys. 14.29.
Pytanie
10
1 1
. Jak pokazano na rysunku 14 .30, cząstka o masie m
duje się początkowo w punkcie A, odległym o d od środka
nej jednorodnej kuli oraz o Ad od środka innej jednorodnej
z których obie mają masę M
3>
m. Cząstka zostaje nast
przeniesiona z punktu A do punktu D. Odpowiedz, czy p
sze wielkości są przy tym dodatnie, ujemne, czy równe
a) zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej cząstki, b) praca
konana przez działającą na cząstkę wypadkową siłę grawitac
Pytania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 70/329
praca wykonan a przez s i łę powodującą przemiesz czenie cząstki .
B do punktu C?
D
M
Pytanie 11
M
2 .
Na rysunku 14.31 przedstawiono trzy pary gwiazd
tworzą
oraz podano ich masy i odległości , a) Gdzie
pary gwiazd w zależności od war tości przyspieszenia d
wego gwiazd, od największej do najmniejszej .
(1)
2 L -
(2)
2L-
(3)
Rys.
1 4 . 3 1 .
Pytanie 12
I m
- @ 2 M
•
Rozwiązanie jest dostępne na s tronie internetowej pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/college/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning-
Ware (na tej samej stronie)
2 P r a w o p o w s z e c h n e g o c i ą ż e n i a
. W jakiej odległości od s iebie muszą znajdować się dwie cząstki
masach 5,2 kg oraz 2,4 kg, aby siła ich przyciągania grawita
• 1 0 ~
1 2
N ?
.
Niektórzy wierzą w to, że położe nie planet w chwili urodzin ma
ążenia, jaką działa na dziecko lekarz przyjmujący poród,
t większ a od siły, jak ą działają na nie planety. Aby spraw dzić,
k jes t w istocie, oblicz i porówn aj ze sobą wartoś ci siły
jaką działa na noworodka o masie 3 kg: a) lekarz o
sie 70 kg znajdujący się w odległo ści 1 m od dziec ka (przyjmij,
m = 2
•
1 0
2 7
kg, gdy
• 1 0
1 1
m od
oraz c) Jowisz, gdy znajduje się on najdalej od Ziemi, tzn.
• 1 0
1 1
m od niej . d) Czy wspomniani prześmiewcy
. Jeden z satelitów z serii Echo ma postać kulis tego balonu alu
. Na Księżyc działa s i ła ciążenia ze s trony zarówno Słońca, jak
F/F (średnia odległość
5.
Pewne ciało o masie M dziel i s ię na dwie części o ma
M — m, które następnie oddalają s ię od s iebie. Dla jakiej
s tosunku m/M wa rtość siły grawitacy jnej działającej mię
częściami jest największa?
1 4 . 3
G r a w i t a c j a
a
z a s a d a s u p e r p o z y c j i
6. Statek kosmiczny leci wzdłuż linii prostej łączącej
Księżyc. W jakiej odległości od Ziemi wypadkowa si ła
działająca na statek jest równa zeru?
7 .
W jakiej odległości od Ziemi musi znajdować się so
smiczna na prostej łączącej Ziem ię i Słońce, aby siły przy
grawitacyjnego działające na nią ze s trony Ziemi i Słońc
ważyły s ię?
8 . Trzy kule o masie 5 kg
znajdują się na płaszczyź
n ie x y w miejscach pokaza
nych na rysunku 14.32. I le
wynosi war tość wypadko
wej siły grawitacyjnej dzia
łającej na kulę umieszczoną
w początku układu współ
rzędnych ze strony pozosta
łych kul?
y
W
0,3 m
0,4 m
-
Rys. 14.32.
Zadanie 8
9 .
Jak pokazano na rysunku 14.33a, cztery kule znajdu
wierzchołkach kwadratu o boku 2 cm. Wyznacz war tość
nek wypadkowej s i ły grawitacyjnej , jaką działają te kule
o mas ie
ms
= 250 kg umieszczoną w środku kwadratu.
10. Jak pokazano na rysunku 14.33b, t rzy kule, dwie
m i jedną o masie M , umieszczono w wierzchołkach
równobocznego, a czwartą kulę, o masie ma, — w śro
trójkąta. Wypadkowa siła grawitacyjna działająca na ku
kową ze strony trzech pozostałych jest równa zeru. a) Il
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 71/329
w jednos tkach ml b) I le wynies ie wartość wypadkowej s i ły
działającej na środkową kulę , jeśli jej ma sa będ zie
2mąl
d-
0
kg 500 kg
1 4 . 3 3 .
Zadania 9 i 10
. Masy i współrzędne t rzech kul wynoszą: 20 kg, x = 0,5 m,
1 m; 40 kg, x = — 1 m, y = — 1 m; 60 kg, x = 0 m,
kule na ku lę o ma sie 20 kg znajdującą się w początku ukła du
iSw
.
Cztery jednorodne kule o masach m\ = 400 kg , m
B
= 350
. m
c
= 200 0 kg i m
D
= 500 kg znajdują się w punktach
(x, y) równych odpowiednio (0 ,50 cm) , (0 ,0) ,
0 cm, 0) i (40 cm , 0). I le wynosi w ypadkowa s i ła grawitacyjna
B
ze strony pozostałych kul?
.
Na rysunku 14.34 przedstawiono kulę ołowianą o promieniu
ym wydrążeniem rozciągającym s ię od środka kul i do je j
M.
ta wydrążona kula oło- ^
m, leżącą na prostej
przez środek " ,„
wydrą- *
w odległości d od
Rys.
1 4 . 3 4 . Zadanie 13
i
G r a w i t a c j a w p o b l i ż u p o w i e r z c h n i Z i e m i
. Wyobraź sobie , że s toisz na wadze na chodniku przed wie
. N a jakiej w ysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie
2
?
.
a) I le będzie ważyło na powierzchni Księżyca ciało, które na
100 N? b) W jakiej odległości od środk a
jednostkach promien ia Ziemi, należałoby
umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy jego ciężarow
Księżycu?
1 7.
Największa możl iwa prędkość kątowa ruchu obrotowego
nety odpowiada sytuacji, w której siła ciążenia działająca na
na równiku ledwie wystarcza, by zapewnić s i łę dośrodkową
trzebną do obrotu z taką prędkością (dlaczego?), a) Wyka
odpowiadający tej sytuacji najkrótszy okres obrotu planety wy
gdzie p jest gęstością jednorodnej planety kulistej, b) Oblic
okres obrotu, zakładając, że gęstość planety wynosi 3 g/cm
3
, co
wielkością typową dla wielu planet, satelitów i planetoid. N
nie obserwowano, aby jakiekolwiek ciało niebieskie obracał
z okresem krótszym niż wyznaczony w tym zadaniu.
18 . Model pewnej planety zakłada, że składa s ię ona z jąd
promieniu R i masie M oraz wars twy zewnętrznej o prom
wewnęt rznym równym R i zewnętrznym równym 2R oraz m
AM .
Przyjmij, że
M
= 4,1 • 10
2 4
kg, a
R =
6 • 10
6
m i o
przyspieszenie grawitacyjne cząstki znajdującej się w odleg
a) R oraz b) 3R od środka planety.
19.
Ciało jes t zawieszone na wadze sprężynowej na s tatku
nącym wzdłuż równika z prędkością v. a) Wykaż, że wskaz
wagi jes t niemal równe W
0
(l ± 2cov/g), gdzie co jest prędko
kątową Ziemi, aW o — wskazaniem wagi na nieruchomym st
b) Wyjaśnij, skąd bierze się znak ± .
2 0 . Promień Ri
z
i masa M
Az
czarnej dziury są ze sobą
z
zane zależnością R
iz
= 2GM
iz
/c
2
, przy czym c jes t prędko
światła. Przyjmij, że przyspieszenie grawitacyjne a
g
ciała zn
jącego s ię w odległości
r
c
=
l,001if
dz
od środka czarnej d
jes t dane wz orem (14.10) (co jes t prawdą dla dużych czar
dziur) ,
a) Wyznacz zależność a
t
(w punkcie odległym od śr
czarnej dziury o r
c
) od M&
z
. b) Czy a
g
(w tym punkcie) ro
czy maleje ze wzrostem M& 1 c) Ile wynosi a
g
(w tym pun
dla bardzo du żej czarnej dz iury o masie rów nej 1,55 • 1 0
1 2
Słońca (masa Słońca wy nosi 1,99 • 1 0
3 0
kg )? d) Wyobraź sobi
as tronautka z przykładu 14.3 znajduje s ię w punkcie odległy
r
c
od środka tej czarnej dziury, mając stopy zwrócone w stron
środka. Oblicz różnicę przyspieszenia grawitacyjnego w mie
w któr ym znajduje się jej głowa , i w miejscu, w który m zna
się jej stopy, e) Czy rozciągan ie ciała astronau tki będzie gr
dla je j zdrowia?
2 1
.
Podejrzewa s ię , że niektóre gwiazdy neutronowe (gwi
o olbrzym iej gęstości) wirują z prędko ścią 1 obrotu na sek u
Przyjmij,
że taka gwiazda ma promień 20 km, i obl icz, jak
najmniej musi być jej masa, by materia na jej powierzchni
odrywała s ię od gwiazdy przy tak szybkim jej obrocie .
i '\ /
1 4 . 5 G r a w i t a c j a w e w n ą t r z Z i e m i
2 2 .
Na rysunku 14.35 przedstawiono dwie wspó łśrodk
powłoki kuliste o stałej gęstości i masach M\ i M
2
.
Z a d a n i a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 72/329
umieszczoną: a) w punk
A
odległym od środka o
=
a,
b) w punkcie
B
od
r = b,
C
odległym
r = c (r
jest
Rys.
1 4 . 3 5 . Zadanie 22
3 .
Kula o stałej gęstości ma masę 1 • 10
4
kg i promień 1 m.
m
umieszczoną w odległości a) 1,5 m oraz b) 0,5 m od
r
1 m, od
r.
4 .
Przyspieszenie grawitacyjne ciał znajdujących się na po
R
jest równe
a
g
.
Wyznacz
g
/ 3.
Wskazówka:
Rozważ odległości
5 .
Na rysunku 14.36 przedstawiono schematyczny (nie w skali)
skorupy, płaszcza
oraz
jądra.
Wymiary tych warstw i ich masy podano na
2 4
kg i promień
kulą,
i pomiń jej ruch obro
a
g
na powierzchni Ziemi, b) Wy
a
g
25 km
jądro,
1,93
•
10
2 4
kg
płaszcz, 4,01 • 10
2 4
kg
skorupa, 3,94
•
10
2 2
kg
na dnie takiego szybu, c) Przyjmij z kolei, że Ziemia jes
rodną kulą o takiej samej, jak podano powyżej, całkowit
i takim samym promieniu. Ile wynosi teraz
a
g
na głębokoś
(dokładne pomiary
a
t
są źródłem informacji o wewnętr
dowie Ziemi, choć ich wyniki są nieraz zaburzone przez
zmiany gęstości gruntu)?
14. 6 Grawi tacyj na ene rg ia pote ncj alna
2 6 .
a) Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna układ
cząstek z zadania 1? Wyobraź sobie, że odległość tych
zwiększono trzykrotnie. Jaka praca została przy tym w
przez: b) działającą między cząstkami siłę grawitacyjną,
powodującą zwiększenie odległości cząstek?
2 7 .
Rozważ jeszcze raz sytuację z zadania 12. a) Us
A
i oblicz grawitacyjną energię potencjalną układu poz
trzech kul. b) Wyobraź sobie, że ponownie umieszczasz
w jej poprzednim miejscu. Czy energia potencjalna po
w ten sposób układu czterech kul będzie większa, czy m
od energii z punktu (a)? c) Czy praca, jaką musiałeś w
w punkcie (a), aby usunąć kulę
A,
jest dodatnia czy
d) Czy praca, jaką musiałeś wykonać w punkcie (b), aby p
dołączyć do układu kulę
A,
jest dodatnia, czy ujemna?
2 8 .
Rozważ jeszcze raz sytuację z zadania 5. Dla jakie
ści stosunku
m/M
grawitacyjna energia potencjalna ukł
najmniejsza?
2 9 .
Średnica Marsa wynosi w przybliżeniu 6,9 • 10
3
km
nica Ziemi — 1,3 • 10
4
km. Masa Marsa stanowi 0,1
Ziemi, a) Ile wynosi stosunek średnich gęstości Marsa i
b) Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na Marsie? c)
nosi prędkość ucieczki z Marsa?
3 0 .
Oblicz energię potrzebną do ucieczki ciała a) z Księż
b) z Jowisza, wyrażając ją w jednostkach energii potrze
ucieczki z Ziemi.
3 1 .
Trzy kule przedstawione na rysunku 14.37 mają mas
800 g,
m
B
= 100 g i
m
c
=
200 g, a ich środki ustawio
jednej prostej, przy czym
L
= 12 cm, a
d
= 4 cm. Prze
kulę
B
wzdłuż linii łączącej środki kul do położenia, w
odległość środków kul
B
i
C
wynosi
d
= 4 cm. Jak
zostaje przy tym wykonana nad kulą
B
przez: a) siłę u
przesunięcia kuli
B,
b) wypadkową siłę grawitacyjną d
na kulę
B
ze strony kul
A
i
Cl
- -3l
l
JHkm
Rys. 1 4 . 3 6 .
Zadanie 25
Rys.
1 4 . 3 7 . Zadanie 31
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 73/329
.
Hipotetyczna planeta Zero ma masę równą 5
•
1 0
2 3
kg , pro
• 10
6
m i jes t pozbaw iona atmosfery. Z je j po
1 0
6
m od środka planety, jeśli jej energia początkowa w chwili
• 1 0
7
J. b) Jaką początkową energię ki
• 1 0
6
m ?
.
Rakiecie nadano w pobl iżu powierzchni Ziemi prędkość
= 2^/gR
z
(R z — promień Ziemi), po czym pozwolono jej
v = ^J2gRz-
. Planeta Roton o masie 7 • 1 0
2 4
kg i promieniu 1600 km przy
siłą grawitacyjną m eteoro id znajdujący się początkow o w
tak daleko od planety, że jego odległość od planety
. a) Oblicz prędkość ucieczki z kul is tej planetoidy o promieniu
2
, b) Jak daleko odbiegnie od powierzchni te j planetoidy
w w
.
Rakieta o masie 150 kg oddala s ię radialnie od Ziemi. W
gdy znajduje s ię ona w odległości 20 0 km od powierzchni
/s, jej silnik zostaje wyłączony,
.
Każda z dwóch gwiazd neutronowych odległych od s iebie
1 0
1 0
m ma masę 10
3 0
kg i promień 10
5
m. W chwil i po
»•">•.•-•
.
Daleko w przestrzeni kosmicznej znajdują się dwie kule. Kula
0 kg i jes t umieszczona w początku os i x, a kula
a masę 10 kg i jes t umieszczona w punkcie o współrzędnej
A j e s t unie ruchomiona , a kul i Bpozwalamy
B po przebyciu przez
.
Pocisk zostaje wystrzelony pionowo z powierzchni Ziemi
i wyznacz maksymalną wysokość, na jaką wznies ie s ię ten po
nad powierzchnię Ziemi, t iw
1 4 . 7 P l a n e t y i s a t e l it y : p r a w a K e p l e r a
4 0 .
Średnia odległość Marsa od Słoń ca jes t 1,52 razy większa
średnia odległość Ziemi od Słońca. Korzystając z trzeciego p
Keplera, oblicz, ile lat zajmuje Marsowi jedno okrążenie Sło
Porównaj otrzymany wynik z wartością podaną w dodatku C
4 1 . Satel ita Marsa Phobos obiega planetę po orbicie niemal k
wej.
Znając promień tej orbity, równy 9,4
•
10
6
m, i okres obi
wynoszący 7 godzin i 39 minut , wyznacz masę Marsa.
4 2 .
Wyznacz masę Ziemi, wiedząc, że promień orbi ty Księ
r jes t równy 3,82 • 1 0
5
km, a okres obiegu T wynosi 27,3 d
Przyjmij,
że środkiem orbity Księżyca jest środek Ziemi, a
ś rodek masy układu Ziemia -Ks iężyc .
4 3 .
S łońce , k tórego masa wynos i 2-10
3 0
kg, obiega środek D
Mleczne j ,
odległy od nas o 2,2 • 1 0
2 0
m, przy czym okres
ruchu wynosi 2,5
•
10
8
lat. Przyjmij, że wszystkie gwiazdy w
laktyce mają masę równą masie Słońca, że są one rozłożone
nomiernie w kul i o ś rodku w centrum Galaktyki oraz że Sł
znajduje się na skraju tej kuli, i oszacuj liczbę gwiazd w na
Galaktyce.
4 4 . Satel i ta został umieszczony na okołoziemskiej orbicie k
wej o promieniu równym połowie promienia orbi ty Księżyca.
licz okres ruchu tego satelity w miesiącach księżycowych (mie
księżycowy jes t to okres obiegu Księżyca wokół Ziemi).
4 5 . a) Ile wynosi prędkość liniowa satelity Ziemi na orbicie
łowej odległej od powierzchni Ziemi o 160 km? b) I le wy
okres obiegu Ziemi przez tego satel i tę?
4 6 .
Środek Słońca znajduje s ię w jednym z ognisk orbi ty Zi
I le wynosi odległość drugiego ogniska te j orbi ty od Słońca, w
żona: a) w metrach, b) w jednostkach promienia Słońca, równ
6,96 • 1 0
8
m ? Mimo śród orbi ty Ziemi wynosi 0,0167 , a je j p
wielka jest równa 1,5
•
1 0
1 1
m .
4 7 .
Satelita poruszający się wokół Ziemi po orbicie eliptyc
znajduje się na wysokości 360 km nad powierzchnią Ziemi,
jest najdalej od Ziemi, a na wysokości 180 km, gdy jest najb
Ziemi. Oblicz: a) półoś wielką i b) mimośród jego orbi ty (W
zówka: Patrz przykład 14.6).
4 8 .
Pewien satelita znajduje się przez cały czas nad określo
miejscem na równiku Ziemi (która obraca się wokół swej osi)
jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi znajduje się ten sat
( jego orbi tę nazywamy geostacjonarną)
4 9 .
Pewna kometa, zaobserwowana przez as tronomów chińs
w kwietniu 574 roku, została ponownie zauważona na ni
w maju 1994 roku. Przyjmij czas, który upłynął między
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 74/329
ąc te wielkości w jednostk ach średniego prom ie
Rp.
0 . W roku 1993 sonda kosmiczna Gali leo przesłała na Ziemię
(rys. 14.38) . Na tym obrazie księżyc o średnicy 1,5 km
m. Ksz tał t orbi ty księżyca nie jest zbyt dobrze znany;
z sondy Gali leo, wynosi 14 100 km
3
. Ile
Zadanie 50. Obraz z sondy kosmicznej Gali leo, na
1
.
W 1610 roku Gali leusz odkrył za pomocą swego teleskopu
oraz okresy ich obiegu
T
podano w poniższej tabelce.
Nazwa
Io
Europa
Ganimedes
Callisto
a [ 1 0
8
m ] T [doby]
4,22
6,71
10,7
18,8
1,77
3,55
7,16
16,7
wykres log a (oś y) jako funkcji log T (o ś x) i wy
prostą, b) Wyznacz nachylenie tej pro
y.
2 . Satelita o ma sie 20 kg znajduje się na orbicie kołowej o
iu 8 • 10
6
m wokół planety o nieznanej masie. Okres
2
. Ile wynosi promień tej
5 3. Gwiazdy będące składnikami układu podwójnego m
równe masie Słońca i krążą wokół swego środka masy. I
głość jest równa odległości Ziemi od Słońca. Wyznacz o
ruchu w latach.
54. Pewien potrójny układ
gwiazd składa s ię z dwóch
gwiazd o masie m ob ie
gających gwiazdę środkową
o mas ie M po tej samej
orbicie kołowej o promie
n iu r (rys. 14.39), znaj
dując się w każdej chwili
na końcach średnicy orbity.
Wyprowadź wzór na okres
obiegu tych gwiazd.
M
Rys. 14.39.
Zadanie
5 5 * . Trzy jednakowe gwiazdy o mas ie M położone są
chołkach trójkąta równobocznego o boku L. Pod wpływ
łających między nimi sił grawitacyjnych poruszają się po
kołowej stanowiącej okrąg opisany na tym trójkącie, pr
ich względne położenia nie ulegają zmianie ( tzn. przez c
tworzą trójkąt równoboczny) . I le wynosi prędkość l iniow
poruszają się te gwiazdy po orbicie?
14 .8 Sa te l i t y : orb i ty i energ ia
5 6 . Dwa satel i ty A i B, mające jednakową masę m, p
się po tej samej orbicie kołowej o promieniu
r
wokó
której masa wynosi M
z
. Ich ruch zachodzi w przeciwnych
kach (patrz rysunek 14.40) , tak że dochodzi do ich zderz
Wyznacz: całkowitą energię mechaniczną E
A
+ E
B
układ
nego z tych satel itów i Ziemi przed zderze niem, wyrażając
G , Mz, m i r. b )
Przyj
mij, że zderzenie satel i tów
jest całkowicie niespręży-
ste, tzn. że po zderzeniu
tworzą one jedną bryłę (o
masie równej 2m), i oblicz
jej całkowitą energię me
chaniczną tuż po zderzeniu,
c) Opisz ruch tej bryły po
zderzeniu.
Ziemia
Rys. 14.40. Zadan i
5 7 . Planetoida o mas ie s tanowiącej 2 • 1 0 "
4
masy Ziem
Słońce po orbicie kołowej o promieniu dwa razy więks
odległości Ziemi od Słońca, a) Wyznacz okres ruchu pl
w latach, b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej tej pl
do energii kinetycznej Ziemi?
5 8 . Dwa satel i ty Ziemi A i B o jednakowej masie m m
umieszczone na orbitach kołowych o środku w środku
Orbita satelity A ma się znajdować na wysokości 6370
Ziemią, a orbita satelity B — na wysokości 19 110 km .
Z iemi Rz jest równy 6370 km. a) I le wynosi s tosunek
potencjalnej satelity
B
do energii potencjalnej satelity
A
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 75/329
B
do
A
na ich orbi tach? c) Który z nich ma
. Ciało znajduje s ię na orbicie el iptycznej wokół planety o ma
M.
Półoś wielka te j orbi ty wynosi
a.
Wykaż, że odległość
r i jego prędkość
v
są ze sobą związane
"
2=c
"(H)-
Skorzystaj z zasady zachowania energi i mec hanicz
.
Skorzystaj z wyniku zadania 59 oraz danych z przykładu
v
p
komety Hal leya w peryhel ium jej
a
w aphelium tej orbity, c) Wykorzystaj
R
p
i aphel ium
R
a
orbi ty
p
i i>
a
.
. a) Czy wynies ienie satel i ty na wysokość 1500 km nad po
6 2 .
Jednym ze sposobów zaatakowania satel i ty na orbicie
łoziemskiej jest umieszczenie na tej orbicie roju ziarenek
poruszających s ię po te j orbicie w kierunku przeciwnym n
telita. Załóżmy, że satelita znajduje się na orbicie kołowej n
sokości 500 km nad powierzchnią Ziemi i zderza s ię z z iar
śrutu o masie 4 g. a) I le wynosi tuż przed zderzeniem en
kinetyczna ziarnka śrutu w układzie odnies ienia związanym
tel i tą? b) I le wynosi s tosunek tej energi i kinetycznej do e
kinetycznej pocisku o masie 4 g mającego u wylotu z lufy
czesnego karabinu wojskowego prędkość 950 m/s?
6 3 .
Wyznacz a) prędkość, b) okres obiegu satel i ty o masie 2
na niemal kołowej orbicie na wysokości 640 km nad powierz
Ziemi. Przyjmij , że satel i ta t raci energię mechaniczną ze śr
szybkością 1,4-10
5
J na jeden obieg orbi ty. Załóż, co jes t ca
rozsądnym przybl iżeniem, że orbi ta satel i ty jes t przy tym „
giem o powoli zmniejszającym s ię promieniu" i obl icz: c)
kość, d) prędkość i e) okres ruchu satel i ty na końcu jego
obiegu orbity, f) Ile wynosi wartość średniej siły działając
satel i tę , która powoduje spowolnienie jego ruchu? Czy zasad
chowania momentu pędu względem ś rodka Ziemi j e s t spe ł
dla g) satel i ty, h) układu satel i ta-Ziemia?
1 4 . 9 G r a w i t a c j a
w e d ł u g
E i n s t e i n a
6 4 .
Waga, na której stoi na rysunku 14.19b fizyk o masie 6
wskazuje 220 N. Fizyk wypuszcza z ręki melon. Po jakim c
melon spadnie na podłogę odległą od ręki f izyka o 2,1 m?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 76/329
1 5 Płyny
S i ł a , j a k ą d z i a ł a w o d a n a c i a ł o o p u s z c z a j ą c e g o s ię w g ł ą b n u r k a , m o ż e b y ć d l a n i e g o
g r o ź n a n a w e t p r z y t a k n i e w i e l k i m z a n u r z e n i u , j a k n a d n o b a s e n u p ł y w a c k i e g o . A j e d n a k
w 1 9 7 5 r o k u W i l l i a m R h o d e s , w y p o s a ż o n y w s p e c j a l n y s p r z ę t d o n u r k o w a n i a , w t y m
o d p o w i e d n i ą m i e s z a n k ę g a z ó w
d o o d d y c h a n i a , w y s z e d ł z k o m o r y
o p u s z c z o n e j w Z a t o c e M e k s y k a ń s k i e j
n a g ł ę b o k o ś ć 3 0 0 m , p o c z y m
z a n u r z y ł s ię n a r e k o r d o w ą g ł ę b o k o ś ć
3 5 0 m . M o ż e c i s ię t o w y d a ć
d z i w n e , l ec z p o c z ą t k u j ą c y n u r e k ,
w y k o n u j ą c y ć w i c z e n i a w b a s e n i e
p ł y w a c k i m , m o ż e b y ć b a r d z i e j
n a r a ż o n y n a n i e b e z p i e c z e ń s t w o
z e s t r o n y s i ły , j a k ą d z i a ł a n a n i e g o
w o d a , n i ż R h o d e s w c z a s i e s w e g o
w y c z y n u . P o c z ą t k u j ą c y m n u r k o m
z d a r z a j ą s ię n a w e t w y p a d k i ś m i e r t e l n e ,
g d y z a p o m n ą , j a k n a l e ż y z a c h o w y w a ć
s i ę p o d
wo d ą .
i
Od p o wie d ź z n a jd z ie s z w t y m ro z d z ia l e .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 77/329
P ły ny w o t ac z a j ą c y m nas ś w i ec i e
— pod tą nazwą rozumiemy ciecze i gazy — grają kluczową rolę w naszym
W samochodzie mamy płyny w oponach, w zbiorniku z pal iwem, w chłod
(hydrauliczny oznacza właśn ie dzia ła jący przy
Dzięki energii k inetycznej poruszającego s ię p łynu działa ją wiatraki , a dzięki
płyny wyrzeźbiły nasz krajobraz . Nieraz jeździmy bardzo daleko, by móc
Co to jes t p łyn?
— w odróżnieniu od c ia ła s ta łego — to substancja zdolna do przepływu.
płyn n ie może s ię przeciwstaw ić s i le s tycznej do jeg o powierzch ni
, k tóra płynie , gdyż nie jes t w s tanie przeciwstawić s ię naprężeniu śc inającemu;
że jedn ak dzia łać s i łą prostopadłą do swej powierzch ni) . Niek tóre m ateria ły ,
Możesz s ię t rochę dziwić , d laczego łączymy ze sobą c iecze oraz gazy i na
Gęs tość i c i śn ien ie
masa
i
siła.
Mówil i śmy na
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 78/329
W przypadku p łynów mamy w znaczn ie większym s topn iu do c
z rozciągłością substancji , a zatem będziemy stosować do ich opisu w
które mogą mieć różną wartość w różnych punktach c ia ła . Zamiast mówić
i sile, będziemy częściej korzystać z
gęstośc i
i
c iśnienia .
Aby wyznaczyć gęstość płynu p w pewnym jego punkc ie , wydz ie lam
element obję tości AV w otoczeniu tego punk tu i mierz ym y ma sę Am
zawartego w te j obję tości .
Gęs tość
płynu jes t równa
Ściś le rzecz biorąc , gęstość płynu w danym punkcie jes t równa granicy
razu, gdy objętość A
V
staje się coraz mniejsza i niniejsza. W praktyce za
zwy kle , że badan a próbka c ieczy jes t większa niż rozmia ry a tom ów i j
tura jes t „gładka" ( tzn . o s ta łe j gęstości) , a n ie z łożona z „ziaren" a tom
Założenie to umożliwia nam zapisanie równania (15.1) w postaci
Gęstość
Am
m
(stała gęstość),
przy czym m i V — to masa i obję tość próbki .
Wybrane gęstości
Substancja lub ciało
Gęs tość [kg /m
3
]
Przestrzeń międzygwiazdowa
Najlepsza próżnia w laborator ium
Powietrze (20°C, 1 atm)
Powietrze (20°C, 50 atm)
Styropian
Lód
Woda (20°C, 1 atm)
Woda (20°C, 50 atm)
Woda morska (20°C, 1 atm)
Krew
Żelazo
Rtęć
Ziemia (średnio)
Ziemia (jądro)
Ziemia (skorupa ziemska)
Słońce (średnio)
Słońce (jądro)
Gwiazda w fazie białego karła (jądro)
Jądro uranu
Gwiazda neutronowa ( jądro)
Czarna dziura (o masie równej masie Słońca)
i o -
2 0
1 0 ~
1 7
1,21
60,5
1 • 1 0
2
0,917
•
1 0
3
0,998 • 1 0
3
1,000
•
1 0
3
1,024 • 1 0
3
1,060 • 1 0
3
7,9 • 1 0
3
13,6 • 1 0
3
5,5
•
1 0
3
9.5 • 1 0
3
2, 8 • 1 0
3
1,4-10
3
1.6 • 1 0
5
1 0
1 0
3
•
1 0
1 7
1 0
1 8
1 0
1 9
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 79/329
Gęstość jest wielkością skalarną; je j jednostką w układzie SI jest k i logram
powiet rza w te j tabeli ) bardzo si ln ie zależy od ciśnienia , a gęstość c ieczy (np.
ściśliwe,
że w naczyn iu w ype łn ionym p łyn em um ieszczono n iewie lk i p r zy
skazań um ożl iwia wy znaczen ie d ługośc i , o j aką sp rężyna j e s t śc i skana
na t łok. Długość ta jest miarą w ar tości s i ły AF , jaką
C iśn ien ie , jakie go doznaje t łok ze s t rony płynu, def iniujemy
A F
A S '
(15.3)
P =
l
(równomierny nacisk, płaska powierzchnia) ,
(15.4)
F
jest war tością s i ły normalnej działa jącej na powierzchnię S (mó
Można p rzekonać s i ę doświadcza ln ie , że w każdym punkc ie p łynu pozos ta
o w spoczyn ku ciśnienie zdef iniowane równa niem (15.3) jest takie samo
wartość
tej si ły, która jes t ska larem .
Jednostką c iśnienia w układ zie SI jest n iuton na metr kwadratowy , czyl i
1 atm = 1,01 • 10
5
Pa = 760 T r = 14 ,7 fun t / in
2
.
(a tm) jest to — jak wskazuje sam a nazw a — przyb l iżona w ar tość
To r
(Tr) , nazwany tak na
milimetrem słupa rtęci (mm Hg) . W odniesieniu do funta
pound per sąuare inch).
b)
Rys. 1 5 . 1 .
a) W naczyniu z pły
umieszczono niewielki czujnik ciś
nia , pokazany w powiększeniu w c
ci (b) . Miarą ciśnienia jes t względ ne
łożenie ruchomego t łoka
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 80/329
Tabe ia 1o.2. Wybrane war tości ciśnienia
Ciśnienie
[Pa]
Środek Słońca
2 • 1 0
1 6
Środek Ziemi
4 -
1 0
1 1
Największe ciśnienie uzyskane trwale w laborator ium 1,5 • 1 0
1 0
Dno największej głębi oceanicznej
1,1 • 10
8
Obcas buta
na
szpilce
1 •
10
6
Opona samochodowa
3
2 -
10
5
Ciśnienie atmosferyczne
na
poziomie morza
1,0-
10
5
Normalne c i śn ien ie k rwi
a , b
1,6 • 10
4
Najlepsza próżnia
w
laborator ium
I O "
1 2
a
N a d w y ż k a
w
s tosunku
do
c i śnienia atm osferyczneg o .
b
Ciśnienie skurczowe, odpowiadające wskazaniu aparatu
do
pomiaru ci ś
nienia równemu 120 mm Hg.
15.1
ma
wymiary
3,5 m x 4,2 m, a
wysokość
2,4 m.
Ile
wynosi ciężar powietrza zawartego
w tym
pokoju, jeśli
1
a tm?
z
dwóch spostrzeżeń:
T
1
. Cięż ar pow ietrza jest równy
m g,
przy czym
m
jest masą
T
2.
M as a
m
jest związana
z
gęstością powietrza
p
i
jego
V
równaniem (15.2)
p = m/V).
Korzystając
z
tych
i
przyjmując wartość gęstości powietrza
pod
ciśnie
1 atm z
tabeli 15.1, otrzymujemy
mg = pV)g
= (1 ,21 kg /m
3
) ( 3 , 5
m
•
4,2 m
•
2 ,4
m ) ( 9 , 8
m/ s
2
)
= 418 N s; 420 N. (odpowiedź)
to
ciężar około
110
puszek coca-coli .
b) Wyznacz war tość s i ły , jaką działa atmosfera ziem ska
łogę tego pokoju.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważ,
że O —
* atmosfera ziemska działa
na
podłogę
siłą
o
war tości
F,
wywierając równomierny nacisk
na
powierzchnię. Wobec tego ciśnienie powietrza na podł
związane z
F
i po lem
S
płaskiej powierzchnią podłogi rów
(15.4)
p = F/S),
skąd otrzymujemy
F = pS
/ 1 , 0 1 • 10
5
N/ m
2
\
=
(1 atm) • — ) (3,5
m ) ( 4 , 2
m)
\
1 atm /
= 1,5 10
6
N. (odp
Ta olbrzymia s i ła jest równa ciężarowi s łupa powietrza o w
ści równej całej wysokości atmosfery ziemskiej i polu p
równemu polu powierzchni podłogi .
15.4 . P łyny w spoczynku
Na rysunku 15.2a przedstaw iono zbiornik z wodą — lub inną cieczą - kt
góry ma bezpośredni kontakt z atmosferą. Jak wie każdy nurek , ciśnienie
ze wzrostem głębokości pod powierzchnią wody. Wskaźniki głębokości, uż
przez nurków, to w istocie rzeczy czujniki ciśnienia, działające bardzo po
do tego z rysunku 15.Ib. Jak wie z kolei każdy miłośnik wędrówek po g
ciśnienie maleje ze wzros tem wysokości, na jaką wznosimy się w atmosfer
śnienie, którego zmiany odczuwa nurek i taternik, nazywa się zwykle ciś
hydrostatycznym, gdyż pochodzi ono od płynu sta tycznego, tzn. pozosta
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 81/329
Rozważm y na jp ierw wzros t c i śn ien ia ze wzros t em g łębokośc i pod pow ierzch
y
tak, by je j początek znajdował s ię na gran icy
a je j k ierunek dodatni był k ierunkie m d o góry. W ybierzm y
S.
O z n a c z m y p r z e z
y\
i
Y2
głębokości , na
ujemne).
Na rysunku 15.2b przedstawiono diagram si ł działa jących na wodę w rozwa
alcu. Woda ta znajduje s ię w
równow adze statycznej,
to znacz y pozostaje
Fi-
Na wodę działa też s i ła c iężkości
p rzy czym
m
jest masą wody zawar tej w objętości wybranego walca. Si ły
F
2
= F
1
+mg.
(15.5)
Przekształc imy równanie (15.5) tak , aby zawierało c iśnienia . Z równania
Fi = piS
oraz
F
2
=
P 2 S .
(15.6)
przy czym objętość walca
V
możemy wyraz ić j ako i loczyn po la j ego
S
i wysokości walca
y\
—
y
2
.
Wobec t ego
m
j e s t r ówne
pS(yi
—
y
2
).
p
2
S = piS + pSg(yi -y
2
),
y=0
wybrana- '
objętość
ipoziom l
,P
I
-poziom
2
a)
A
wybrana
objętość
'mg
"FI
b)
Rys. 15.2. a) Naczynie wypełnione
wodą.
Rozważamy pewną jej obję
ograniczoną powierzchnią walca o
poziomej podstawy równym S. Na g
podstawę tego w alca działa s i ła F\,
jego dolną podstawę — si ła F
2
-
ciężkości działająca na wodę zaw
w tym walcu wynosi mg. b) Diagra
działających na wybraną objętość w
PL
= PI + PGIYI -YI).
(15.7)
Równan ie to możemy wykorzys tać za równo do wyznaczen ia c i śn ien ia w
ci) , ja k i w atmosferze (w zależności od w yso
p
h
pod powierzchnią c ieczy. Wybieramy wtedy naszą próbkę tak,
poz iom 1 był poziom em po wierzch ni c ieczy, a poz iom 2 znajdował s ię na
h pod tą powierzchnią . Oznaczając przez po c iśnienie a tmosferyczne
y\ = 0 ,
pi= po
oraz
y
2
= -h, p
2
= p,
P — PO + P8
N
(ciśnienie na głębokości H). (15.8)
1 5 . 4 .
Płyny w spoczynku
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 82/329
powietrze
Po
p
'
poziom 1
y =
0
poziom
2
Rys. 15.3.
Ciśnienie
p
rośnie
ze
w z r o
s tem głębokości h pod powierzchnią cie
czy zgodnie
ze
wzo rem (15.8)
• Ciśnienie
w
pewnym punkc ie
w
płynie znajdującym
się w
równow adze s tat
zależy od głębokości tego punktu p od powierzchnią p łynu, a nie zależy od pozio
rozmiarów płynu ani zbiornika,
w
którym płyn jes t zawarty.
Równanie (15.8) jes t za tem spe łnione nieza leżnie
od
ksz ta ł tu zb iornik
dno zbiornika zna jduje się
na
g łębokośc i
h
pod powie rzchnią p łynu ,
to
c
p ł y n u na dno zb iorn ika p j e s t dane wzorem (15 .8) .
Ciśnienie
p
we wzorze (15 .8) nazywa się pe łnym ( lub bezwzględn
śnien iem
na
p o z i o m i e 2 . M ó w i m y : p eł n y m , g d y ż — j a k w i d a ć
z
rysunku
na c iśnienie p na p o z i o m i e 2 składają się
dwa
przyczynki : 1) c iśnieni
feryczne
po,
związane
z
nac i sk iem powie t rza
na
c iecz , o raz
2)
c iśnienie
położone j powyże j poz iomu 2, r ó w n e pgh, związane z nac i sk iem tej c i
c iecz
na
p o z i o m i e 2. Różnicę między c i śn ien iem bezwzg lędnym
a
c i śn ien
mosferycznym nazywa s ię nieraz nadciśnieniem lub c i śn ien iem względn ym
rządy
do
pom iaru c iśnienia wskazują częs to właśn ie nadciśnienie) .
W
przeds tawione j na rysun ku 15.3 nadciśnienie jes t równ e pgh.
Rów nanie (15.7) s tosuje s ię także
w
obsz arze nad powierzchnią c ieczy
mujemy wtedy c iśnienie a tmosferyczne na pewne j wysokośc i nad p o z i o
w za leżnośc i
od
c iśnienia
p\ na
p o z i o m i e
1
(przy za łożeniu,
że
gęs tość
fery jest stała w rozważanym zakre s ie wysokośc i ) . Na przykład ,
aby
wyz
ciśnienie a tmosferyczne na wysokośc i
d
n a d p o z i o m e m 1 na rysunku 15
stawiamy
yi = 0 , pi = po oraz y
2
=d, p
2
= p.
Oznaczając gęs tość powie trza przez p
po w
, otrzymujem y s tąd
P = Po - Ppowgd.
•SPRAWDZIAN
1 : Na
rysunku przedstawiono cztery naczynia zawierające olej
wek. Uszereguj
te
naczynia
ze
względu
na
wartość ciśnienia
na
głębokości
h,
od
na
szej
do
najmniejszej.
- 1
l - — \ \
i \
h
\
V) \
\
- t f - - -
a) b)
Przykład 15.2
W czasie ćwiczeń
w
basenie pływackim początkujący płetwonu
re k na głębokości L nabiera w płuca pełno powietrza, po czym
porzuca aparat t lenowy
i
w yp ł yw a
na
powierzchn ię. Zapominając
o wskazówkach ins truktora,
nie
wypuszcza przy
tym
powietrza
z płuc. Gdy nurek dociera
do
powierzchni wody, różnica między
ciśnieniem działającym na n iego z zewnątrz a ciśnieniem powie
trza w jeg o płucach jes t równa 9,3 kPa. Na jakiej głębokości nurek
porzuci ł aparat t lenowy?
Na
jakie śmiertelne niebezpie
się naraził,
nie
pamiętając o wskazów kach ins truktora?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy,
że
O
—f w
chwil i ,
gdy
nurek nabrał p
w płuca, działające
na
niego ciśnienie zew nętrzne (ró
śnieniu powietrza w płucach) było większe od ciśnieni
wierzchni
i
wynos i ło , jak wynika
z
równania (15.8)
6 6
15.
Płyny
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 83/329
p = Po + pgL, skąd otrzymujemy
po
jes t ciśnieniem atmosferycznym, a
p
— gęstością wody
3
— patrz tabela 15.1). Gdy nurek wznosi się ku
na niego ciśnienie zewnętrzne ma
aż do wartości równej ciśnieniu atmosferycznemu po, którą
na powierzchni . Tak samo, tzn. aż do ciśnienia atmosfe
W związku z tym, że nie
on powietrza z płuc, ciśnienie w płucach ma nadal
jak na głębokości L. Na powierzchni różnica
w
płucach nurka (które jes t większe)
i
ciśnienia
działają
na jeg o klatkę piersiową (które jest mn iejsze) wynosi
Ap = p - p
0
= pgL,
Ap
_
9300
Pa
pg ~ (998
k g / m
3
) ( 9 , 8
m/ s
2
)
= 0,95 m. (od
To całkiem niewielka głębokość Jednak nadciśnienie r
kPa
(co
stanowi około
9%
ciśnienia atm osferycznego ) je
tecznie duże
na
to ,
by
rozerwać płuca nurka,
w
wyniku c
wietrze
z
płuc wdziera
się do
krwiobiegu nurka, dociera
i powoduje jego śmierć. Gdyby nurek s tosował
się do
w
instruktora
i
s topniowo wypuszczał powietrze
z
płuc
wznoszenia
się ku
powierzchni , umożl iwiłby wyrównyw
ciśnienia
w
płucach
i
ciśnienia zewnętrznego,
a
zatem
tragicznych skutków nadciśnienia.
15.3
w
kształcie li tery
U,
przedstawiona
na
rysunku
15.4, za
w
równowadze s tatycznej .
W
prawym ramieniu
się
woda
o
gęstości
p
w
(= 998 kg/m
3
), a w
l ewym
o
nieznanej gęstości
p
x
.
Pomiar wykaza ł ,
że / = 135 mm,
d =
12,3
mm. Ile
wynosi gęstość oleju?
że O r r
ciśnienie
p
i
,
działające
na
powierzchnię
w
lewym ramieniu rurki , zależy
od
gęsto
p
x
i
wysokości słupa oleju
nad tą
powierzchnią. Zauważmy
że
O—"t woda
w
prawym ramieniu rurki musi mieć
na
takie sam o ciśnienie
p
m
.
Jest
tak
dlatego,
się w
równowadze s tatycznej ,
to
ciśnienie
się na
takim samym poziomie musi
być
gdy
punkty
te
znajdują
się w
różnych
ze
sobą) ramionach rurki .
W prawym ramieniu powierzchnia wody znajduje się na wy
/ nad poziom em powierzchni granicznej cieczy. Z równa
p
P g
= po +
Pwgl
(prawe ramię).
oleju znajduje
się na
wysoko
/ + d nad
powierzchnią graniczną cieczy.
Z
równania (15.8)
Ppg
=
Po
+ Pxg(l + d)
( lewe ramię ).
o l e j ^
d
Rys.
15.4.
Przykład 15.3. Olej
w
lewym ramieniu rurk
si ę
na
większą wysokość
niż
woda
w
prawym ramieniu,
gęstość oleju jest mniejsza
niż
gęstość wody. Słupy
ob
wywierają takie samo ciśnienie
p
pg
na poziomie powierz
nicznej cieczy
Przyrównując do siebie prawe strony tych wyrażeń i roz
otrzymane równanie względem nieznanej gęstości , o t rzy
•l +
d
= (998 k g / m
3
)
13 5 mm
= 9 1 5 k g / m
3
.
135 mm + 12,3 m
(odp
Zauważ,
że
odpowiedź
nie
zależy
od
ciśnienia atmosfe
Po
ani od
przyspieszenia ziemskiego
g.
J ak s i ę m i e r z y c i ś n i en i e?
rysunku 15.5a przedstawiono najprostszy barometr rtęciowy, czyli przyrząd
o d w ró c o n a
do
góry zam knię tym końce m, a j e j koniec o twar ty um ieszczon o
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 84/329
w płask im naczyniu z
rtęcią,
j ak pokazano na rysunku. W górne j częśc i r
nad słupem rtęci — zawarta jest tylko para r tęci , której ciśnienie jest ta
że w temperaturze niewiele różnej od pokojowej można je pominąć.
Korzystając z równania (15.7), możemy ot rzymać związek ciśnienia
ferycznego po z wysokością słupa rtęci h. W ybierzmy j ako poz iom 1 z
15 .2 poz iom powierzchni gran iczne j r t ęć -pow ie t rze , a j ako poz iom 2 —
poziom s łupa r t ęc i w rurce , j ak pokazano na rysunku 15 .5a . Możemy
podstawić do równania (15.7) wartości :
przy czym p jest gęstością rtęci .
Dla danego c i śn i en ia wysokość s łupa r t ęc i h nie zależy od pola pr
poprzecznego p ionowej rurk i . Baromet r r t ęc iowy z rysunku 15 .5b , o n i e
wymyślnym kształcie , wskazuje takie samo ciśnienie jak prosty baromet
sunku 15.5a — w obu przypadkach ot rzymuje się taką samą pionową od
poziomów rtęci w rurze i w zbiorniku otwartym.
Z równania (15.9) wynika, że dla ustalonego ciśnienia wysokość słup
zależy od wartości g w miejscu, w którym znajduje się barometr , oraz od
rtęci , która zmienia się wraz ze zmianą temperatury. Wysokość słupa r
mi l imetrach) jest zatem równa l iczbowo ciśnieniu (w torach)
tylko wted
barometr znajduje się w miejscu, w którym g ma wartość standardową,
9 , 8 0 6 6 5 m / s
2
, a temperatura r tęci wynosi 0°C. Gdy warunki te nie są sp
(a najczęściej nie są) , wyznaczenie ciśnienia na podstawie pomiaru wy
słupa r t ęc i wymaga zas tosowania n i ewie lk i ch poprawek.
Manometr otwar ły
Manometr otwarty (rys. 15.6) służy do pom iaru ciśnienia gazu p
g a z
, a do
różnicy ciśnienia gazu i c iśnienia atmosferycznego. Stanowi go rura w
y i = 0 , pi= po oraz y
2
= h, p
2
= 0 ,
co daje:
Po = Pgh,
Po
a)
Rys.
1 5 . 6 . Manometr otwarty, przeznaczony do pomiaru
gazu w zbiorniku , z którym po łączone jest jeg o lewe ram
ramię rury w kształc ie l i tery U jest otwarte do atmosfer
1 5 . 5 .
a) Barometr r tęciowy, b) Inny b arome tr r tęciowy. O d
h jest taka sama w obu przypadkach
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 85/329
cieczą.
Jeden koniec rury jes t połączony z naczyniem,
h, możemy wyznaczyć z równania (15 .7) .
ybierzmy po ziom y 1 i 2 jak na rysunku 15.6. Podstawia jąc do równania (1 5.7) :
yi = 0 , pi = p
0
oraz y
2
= -h , p
2
= p,
Pgaz =
P - Po = Pgh,
(15.10)
p
jes t gęs tośc ią c ieczy w rurze manometru. Jak widać , nadciśnienie gazu
az jest wp rost pro porc jon alne do
h.
Nadciśnienie to może być dodatnie lub ujemne, za leżnie od tego, czy p > po,
y te ż p < />o- W na pom pow anej op onie lub krwio biegu cz łowieka pe łne c iśnie
jes t większe od c iśnienia a tmosferycznego , a za tem nadciśn ienie jes t d odat
Gdy na tomias t pi jesz napój ze szklanki przez s łomkę, wytwarzasz w płucach
Prawo Pascala
prawo Pasca la .
W
zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona
bez
zmiany wartości
do
każdego miejsca
w
płynie
i do
ścian zbiornika.
15.7. Cyl ind er jes t od góry zamknię ty t łokiem , na którym um ieszczo no
siłą,
jaką dz ia ła na t łok śrut i zbiornik, w k tórym s ię
Z
ewn- C iśni enie p w dowolnym
P
wynosi wobec tego
P ~
Pzewn
+ Pgh.
(15.11)
p
zem
wzras ta o Ap
zewn
. Wie lkośc i p, g i h w równaniu
śrut
Rys.
1 5 . 7 .
Na
zawartą
w
cylindrze
ściśliwą ciecz wywieramy ciśnieni
wnętrzne p
z e m
, ustawiając
na
zam
jącym ciecz tłoku naczynie
ze
śr
(czyli małymi ołowianymi kulk
G dy
zwiększamy
p
z e W
n , dosypują
naczynia nieco śrutu, ciśnienie
w
d y m
punkcie cieczy wzrasta
o
taką
wartość
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 86/329
wyjście
w e j ś c i e I P •
1
1
wej
^ e j
olei
Rys. 15.8. Prasa hydraul iczna , czyl i
urządzenie służące do działania na
przedmiot silą większą od przyłożonej
do układu. Praca , jaką wykonuje każda
z tych sił — wejściowa i wyjściowa —
jest taka sama
(15.11) nie u legają przy tym zmianie , a zatem zmiana c iśnienia w punkci
równa
Ap-Ap
z&Nn
.
Ten przyrost c iśnienia nie zależy od h, a więc musi być taki sam w
punkcie c ieczy, co właśnie s twierdza prawo Pascala .
Prawo Pascala i prasa hydrauliczna
Na rysunku 15.8 pokazano, jak prawo Pascala można wykorzystać do
podnośnika hydraulicznego. Wyobraź sobie , że na t łok zamykający lew
der (możemy go nazwać wejściowym) dzia łamy pionowo w dół s i łą zew
o war tośc i
F
w e
j ,
a pole powierzchni t łoka wynosi
S
w e
j .
Dzięki temu, że c
nieściś l iwa, na t łok zamykający prawy cylinder (wyjściowy), o polu pow
r ó w n y m
S
W
yj,
dzia ła wted y pionowo w górę s i ła o wartoś ci
F
w y
j .
Aby u
zostawał w równowadze, na ten t łok musi również dzia łać skierowana
w dół siła o takiej samej wartości
F
w y
j .
Siła ta pochodzi od c iężaru podno
przedmiotu (którego nie pokazano na rysunku). Si łę zewnętrzną
F
w e
j ,
d
w dół na lewy tłok, i siłę
F
w y
j ,
dzia ła jącą w górę na podnoszony pr
możemy powiązać ze
sobą,
zapisując zmianę c iśnienia c ieczy Ap równą
Ap =
wej
J
wej
wyj
->wyj
skąd otrzymujemy
•Fwyj — fwej
--wyj
J
wej
Z równania (15.13) wynika, że dzia ła jąca na podnoszony przedmiot s
śc iowa
F
w y
j
jes t większa od s i ły wejściowej
F
w e
j ,
gdy S
^j > S
w e
j ,
tak ja
tuacj i przedstawionej na rysunku 15.8 .
Jeśl i przesuniemy t łok wejściowy w dół o odcinek
d
w e
j ,
to t łok wy
przesunie s ię w górę o odcinek
d
w y
j ,
który możemy wyznaczyć, wied
ciecz jes t n ieściś l iwa, a zatem przy obu t łokach przemieszczą s ię takie
obję tości
V.
Wobec tego
V = S
We
jĆ?
We
j
=
5
\v
y
j<i
W
yj,
co możemy też zapisać w postaci
ć^wyi —
d\
wej
J
wej
J
wyj
Wynika s tąd, że gdy
S
wy
j
>
S
we
j
( jak na rysunku 15.8) , przemieszczen
wyjściowego jest mniejsze niż przemieszczenie t łoka wejściowego.
Na podstawie równań (15.13) i (15.14) możemy zapisać pracę w
przez s i łę wyjściową jako:
W — Fw
y
jć^wyj —
->wyj
wej
J
w ej
*wej
— F
wej
wej •
J
wej / \
J
wyj
y
Stwierdzi l iśmy w ten sposób, że praca
W
w y k o n a n a
na d
t łok iem wej
przez s i łę zewnętrzną jes t równa pracy W wykonane j przez t łok wyjścio
podnoszen iu p rzedmio tu .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 87/329
Przydatność prasy hydraul icznej polega na tym, że :
Prasa hydrau liczna umożliwia działanie mniejszą siłą na dłuższe j drodz e zamiast
działania większą siłą na krótszej drodze.
I loczyn s i ły i przemieszczenia jes t przy tym s ta ły, tak że wykonywana jes t
d
m
j nie za
Rys. 1 5 . 9 .
Woda w cienkości
worku plast ikowym, zanurzonym
senie, znajduje się w równowadz
tycznej.
Działająca na nią siła cię
musi być zatem równoważona prze
działającą na nią od dołu ze strony
otaczającej worek
Prawo Arch imedesa
F
s
,
dz ia łająca w dół na wod ę
Ta skierowana w górę s i ła nos i nazwę s i ły wyporu F
w
. Jes t ona skutkiem
jes t więks ze niż w mie jscu, gd z ie zna jduje s ię jeg o część górna . W
F
w
,
skierowaną piono wo
w
pokazano z prawej s t rony basenu) .
Worek z wodą zna jduje s ię w równowadze s ta tycznej , a za tem wartość s i ły
jes t równ a wartośc i si ły c iężkośc i F
g
działającej na wodę w worku, tzn.
= m
p
g (wskaźnik p oznacza płyn, k tórym w naszym przypadku je s t woda ) .
1 5 . 1 0 . a) Woda otaczająca pewien obszar w jej wnętrzu działa na ciało, które w tym
a)
b)
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 88/329
Na rysunku 15.10b przedstawiono sytuację, w której worek z wodą
pi l i śmy kamieniem dokładnie wypełn ia j ącym pus ty obszar z rysunku 1
Mówimy, że kamień
wypiera
wodę, to znaczy zajmuje obszar, w który
jego n i eobecność zna jdowała s i ę woda . Ksz ta ł t rozważanego obszaru n i e
ni ł s ię , a zatem si ły działające na jego powierzchnię muszą być takie sa
wtedy, gdy znajdował się tam worek z
wodą.
Inaczej mówiąc, na kamień
taka sama s i ł a wyporu , jaka dz i a ł a ł a poprzednio na w orek z
wodą,
to znac
tość s i ł y wyporu wynosi
m
v
g,
czyl i jest rów na ciężarow i wod y wy parte
kamień .
W odróżnien iu od worka z
wodą,
kamień nie znajduje się w równ
statycznej . Działająca na niego w dół si ła ciężkości
F
g
ma war tość więk
wartości działającej na niego od dołu si ły wyporu, co pokazano na dia
si ł z prawej st rony basenu na rysunku 15.10b. Kamień porusza się więc
przyspieszonym w dół i opada na dno basenu .
Wyobraźmy sobie następnie, że pusty obszar z rysunku 15.10a do
wypełn i l i śmy k lockiem z l ekkiego drewna , j ak na rysunku 15 .10c . Jak po
nio, obszar zajmowany przez ciało w wodzie nie zmieni ł s ię , a więc si ła
ma nada l war tość
F
w
równą m
p
g, czy l i c i ężarowi wypar t e j wody Podob
kamień, klocek nie znajduje się w równowadze statycznej . Si ła ciężkości
j ednak t e raz war tość mnie j szą od war tośc i s i ł y wyporu , j ak pokazano
sunku z prawej s t rony basenu , a za t em drewniany k locek porusza s i ę r
przysp ieszonym do góry i wypływa na powierzchnię wody w basenie .
Wnioski , do których doszl iśmy, anal izując worek z
wodą,
kamień i d re
k locek , s tosu ją s i ę do wszys tk i ch p łynów. Możemy j e podsumować, mów
Późnym popołudniem 21 s ierpnia 1986 roku wstrząs nieznanego pochodzenia (by
wulkaniczny) wzburzył wodę w jeziorze Nyos w Kamerunie, które zawiera bardzo d
puszczonego w wodzie dwutlenku węgla. Wstrząs ten spowodował tworzenie s ię w
pęcherzyków dwutlenku węgla, które — jako lżejsze od otaczającego je płynu (w
unosi ły s ię na powierzchnię jeziora, gdzie dwutlenek węgla przechodzi ł do powietrz
tlenek węgla jest gazem cięższym od powietrza, a zatem — znajdując się teraz w l
płynie — pozostawał przy powierzchni ziem i i spływał ze zbocz a góry jak rzeka, po
śmierć przez uduszenie 1700 osób oraz bardzo wielu zwierząt, co widać na zdjęciu z
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 89/329
Na ciato całkowicie lub częściowo zanurzone w płynie działa ze strony płynu siła
wyporu F
w
. Jest ona skierowana pionowo do góry, a jej wartość jest równa ciężarowi
m
v
g płynu wy partego przez, to ciało.
Stwierdzenie to s tanowi t reść prawa Archimedesa . Si ła wyporu, jaka dz ia ła
F
w
=m
p
g (siła wyporu), (15 .16 )
m
p
jes t masą płynu wypar tego przez c ia ło.
F
w
działającej na nieg o w gór ę siły wy
w
s tanie s ię równa wartośc i
g
i klocek przes tanie s ię poruszać .
Zna j
pływał w wod zie . M ówiąc
Gdy ciało pływa w płynie, wartość działającej na nie siły wyporu A'
w
jest równa
wartości działającej na nie siły ciężkości F
g
.
F
w
= F
g
(pływanie ciał). (1 5. 17 )
w
= m
p
g. Mo żemy więc powiedz ieć , ż e :
Gdy ciało pływa w płynie, wartość działającej na nie siły ciężkości F
8
jest równa
ciężarowi płynu wypartego przez to ciało tn
v
g.
F
g
= m
p
g (pływanie ciał). (1 5. 18 )
c ia ło pływające w płyn ie wypiera płyn o c iężarze równym swojemu
umieśc isz kam ień na wadze wy skalowanej w jedno stkach c iężaru, to na
s i ła wyporu dz ia ła jąca na kamień spowodowałaby zmnie jszenie odczyty
1 5 . 7 .
Prawo Archimedesa
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 90/329
cięża r \ / ciężar \ / w arto ść \
p o z o r n y / \ r z e c z y w i s t y / \ s i ł y w y p o r u / '
co można zapisać w postaci równania :
c i ę ż a r
p o z
= c iężar
— F
w
(ciężar pozorny). (1
Gdybyś w ramach j ak iegoś osob l iwego t e s tu sp rawnośc iowego mus i
nieść c iężki kamień , to w wodzie byłoby c i ła twiej tego dokonać niż w p ow
Musia łbyś bowiem wówczas dzia łać na niego s i łą o wartości n ieco więk
pozornego c ięża ru kamien ia , a n ie od j ego c ięża ru rzeczywis tego , wię
niż pozorny. Można powiedzieć , że dzia ła jąca na kamień w górę s i ła
„pomogłaby" c i un ieść kamień .
Wartość s i ły wyporu dzia ła jącej na c ia ło , k tóre p ływa w płynie , jes
c iężarowi c ia ła . Z równania (15.19) wynika za tem, że c iężar pozorny
c ia ła jes t równy zeru — gdybyśmy umieści l i je na wadze, to je j wsk
pokazałaby zero (w t rakcie przygotowań do t rudnych zadań, jakie mają w
w przestrzeni kosm iczne j , as t ronauci odbywają t reningi , p ływając w w odzi
ich c iężar pozorny jes t wtedy równy zeru — jak w przestrzeni kosmiczn
I/SPRAWDZIAN 2 Pingwin pływa najpierw w płynie o gęstości po , potem w
o gęstości 0,95po, a jeszcze później w płynie o gęstości 1,1 po- a) Uszereguj te g
w zależności od wartości siły wyporu działającej na pingwina, od największej d
mniejszej,
b) Uszereguj je w zależności od ilości płynu wypartego przez pingwin
największej do najmniejszej.
V
c
.
wodą, a więc jej objętość
V
p
płynu (wody morskiej ) wypartego przez
Szukamy wobec tego ułamka (oznaczonego przez u):
= 1
(15.20)
skoro góra lodowa pływa, to spełnione jest równanie (15.18)
= m
p
g) . Równanie to możem y zapisać w postaci :
m
c
g = m
p
g,
skąd widzimy, że m
c
= m
p
. Tak więc masa góry jes t rów
wypartego przez nią płynu (wody morskiej ) . Wprawdzie
też nie znamy, lecz możemy wyrazić je przez gęstości lod
morskie j ,
pod ane w tabeli 15 .1, korzystając z równ an
(p — m/V). Wiemy, że m
c
= m
p
, mamy więc:
czyli
PcV
c
=
P
P
V
V
,
Yi
=
Ei
Vc Pp'
Wstawiając ten stosunek oraz wartości l iczbowe gęstości
nania (15.20), ot rzymujemy
u = 1
PP
9 1 7 k g / m
3
1024 kg /m
3
= 0,10, czyl i 10%. (odp
R równym
m. Powłoka, l iny i gondo la balon u mają łączną ma sę m = 196
Wyznacz maksymalną masę M ładunku, jaki może unieść ten
balon, gdy znajduje się na wysokości, na której gęstość
jes t równa 0,16 kg/m
3
, a gęstość powietrza p
p o w
wyn
k g / m
3
. Przyjmij, że objętość powietrza wypartego przez
l iny i gondolę można pominąć.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 91/329
O —
» powło ka, l iny, gondola, ładune k oraz hel,
ełniona jest pow łoka, są łącznie ciałem pływającym
Ma sa tego ciała wynosi m + M + m
He
, przy czym
jest masą helu w powłoce. Skoro ciało to pływa, to wartość
jącej na nie siły ciężkości jest równa ciężarowi wyp artego
nie płynu (czyli powietrza). O znaczm y m asę powietrza wy
p o w
. Z równan ia (15.18) ( F
g
= m
v
g)
(m + M +
m
H e
) g
= Wpowg,
M = m
p o w
- m
H e
- m. (15.21)
Nie znamy wprawdzie me
e
ani m
p o w
, lecz znamy gęstości tyc
gazów, możemy więc zastosować równanie (15.2) (p = m/V
aby wyrazić masy gazów w równaniu (15.21) przez ich gęstośc
Zauw ażmy przy tym, że poniew aż ładunek , l iny i gondo la wy
pierają powietrze o znikom o małej objętości, objętość powietrz
wypartego przez nasze ciało możemy przyjąć za równą objęto
ści kulistej powłoki z helem V ( = | n / ?
3
) . Z równania (15.2
otrzymujemy za tem
M
= p
p o w
V - p^y -m =
( f
T i i?
3
) ( p p o
W
- pHe) -
m
= ( f n ) ( 1 2 m )
3
( l , 2 5 k g / m
3
- 0 , 1 6 0 k g / m
3
) - 196 kg
= 7694 kg « 769 0 kg. (odpow ied
R u c h p ł y n ó w d o s k o n a ł y c h
płynów rzeczywistych jes t bardzo z łożony i c iąg le jeszcz e n ie um iemy go
płynu doskonałego, k tórego opis ma
przepływem p łynu , k tóre muszą być spełn ione , abyśmy
nazwać doskona łym.
Przepływ ustalony.
Przep ływ j e s t ustalony (nazywany też laminarnym), gdy
prędkość poruszającego s ię p łynu w każdym wybranym punkcie n ie zmienia
s ię w upływem czasu , zarówno co do wartośc i , j ak i co do k ierunku. Ła
godny przepływ wody w środkowej częśc i p łynącego powol i s t rumienia jes t
usta lony; gdy s t rumień napotyka szereg progów, jego przepływ nie jes t już
usta lony . Na rysunku 15 .11 pokazano przepływ dymu unoszącego s ię z pa
p ierosa , p rzy czym zachodzi prze jśc ie od przepływu usta lonego do nieustalo
nego ( inaczej : turbulentnego). Gdy cząstk i dym u wznoszą s ię , i ch prędkość
rośnie i począwszy od pewnej prędkości kry tycznej przepływ zmienia s ię
z usta lonego w nieustalony ( tzn . z lamina rnego w nielaminarny).
Przepływ nieściśliwy. Będz iemy zakładać , podo bnie jak to już robi li śmy d la
płynów w spoczynku, że nasz doskonały płyn jest nieściśl iwy, to znaczy, że
jego gęstość jest stała.
Z grubsza rzecz b iorąc , lepkość p łynu jes t miarą oporu ,
jak i s tawia p łyn jego przepływowi . Na przykład gęsty miód s tawia prze
p ływowi większy opór n iż woda, a za tem mówimy, że miód jes t bardzie j
lepki n iż woda. Lepkość jes t z jawisk iem analogicznym do tarc ia między c ia
łami s ta łymi — w obu przypad kach e nerg ia k ine tyczna poruszających s ię c ia ł
u lega zamianie w energ ię te rmiczną . Pod n ieobecność ta rc ia k locek ś l izgałby
się po poziomej p łaszczyźnie ze s ta łą prędkością . Podobnie , c ia ło porusza
jące s ię w p łynie n ie lepkim nie doznawałoby dzia łan ia siły oporu lepkiego,
tzn. si ły oporu pochodzącej od lepkości płynu, i poruszałoby się w płynie ze
stałą prędkością. Jak swego czasu zauważył uczony angielski lord Rayleigh,
w płynie doskonałym śruba statku nie mogłaby spełniać swej funkcji , lecz
Rys. 1 5 . 1 1 . Przepływ wznoszącego si
dym u z papierosa i rozgrza nego gaz
zmienia się w pewnym miejscu z usta
lonego w turbulentny
1 5 . 8 . Ruch płynów doskonałych 75
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 92/329
Rys. 15.12. Przepływ ustalony płynu wokół walcowej prze- Rys. 1 5 . 1 3 . Linie prądu w strumieniu powietrza opływające
szkody, uwidoczniony za pomocą wskaźnika — b arwnika chód w tunelu aerodynam icznym, uwidoczn ione dzięki wpro
wprowadz onego do strumienia płynu przed przeszkodą dymu do strumienia powietrza
linia prądu
-e lement
płynu
Rys. 15.14.
Element płynu porusza
się wzdłuż linii prądu. Wektor prędko
ści tego elementu jest w każdej chwili
styczny do linii prądu
— z drugie j s t rony — nie byłaby ona wcale potrzebna , bo wprawiony
s ta tek n ie wymaga łby już żadnego napędu
4 . Przepływ bezwirowy. Cho ć nie będz ie nam to tuta j spec ja lnie potrze b
żymy rów nież , ż e przepływ je s t
bezwirowy.
Aby przeko nać s ię , czy p
je s t bezwi rowy, możemy umieśc ić w p łynie m a łe z ia rnko pyłu . Przep
bezwirowy, gdy takie z ia rnko nie obraca s ię wokół os i przechodząc
swój ś rodek masy, nieza leżnie od tego, czy porusza s ię po torze k
czy nie . Stosując dość da leką ana logię , moglibyśmy powiedzieć ,
diabe lskiego młyna jes t wirowy, a le ruch jego pasażerów jes t bezw
W celu uwidocznienia charakteru przepływu płynu dodaje s ię nie raz
j ak i ś wskaźnik. M oże n im być ba rwn ik wprowadzany do c ieczy w wie
tach w poprzek s t rumienia ( jak na rysunku 15.12) lub cząs tki dymu umie
w przepływającym gazie ( jak na rysunkach 15.11 i 15.13) . Cząs tki w
porusza ją s ię wzdłuż
linii prądu,
które są torami cząs tek płynu przy je
pływie . Przypomnij sobie z rozdzia łu 2, że prędkość cząs tki jes t zawsze
do je j toru. Tak więc prędkość e lementów (cząs tek) płynu v jest styczna
prądu ( rysunek 15.14) . Z tego względu l inie prądu nigd y s ię nie przec ina ją
bowiem tak było, cząs tka dociera jąca do punktu przec ięc ia l ini i prądu
j ednocześnie dwie różne prędkośc i , co j e s t n iemoż l iwe .
15 .9 .
Ró w nan ie ciągłości
Być może zauważyłe ś już k iedyś , ż e można zwiększyć prędkość wody w
jące j z węża ogrodowego, zas łania jąc pa lcem część otworu wylotowego.
raźnie j prędkość wody v zależy od pola przekro ju poprzecznego S, prz
ona przepływa .
Chcemy te raz wyprowadz ić za leżność między
v
i
S
przy us ta lony
pływie p łynu doskona łego przez rurę o zmiennym przekro ju poprzeczn
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 93/329
b) w chwili
t+ At
Rys. 15.15.
Płyn przepływa jedn
nie z lewa na prawo przez odcinek
o długości L. Prędkość płynu jest
vi na lewym, a v
2
na prawym
rury. Pole przekroju poprzecznego
wynosi S\ na jej lewym końcu, a
jej końcu prawym. Od chwili t (r
do chwil i t + At (rys. b) z lewej s
wpływa do rury płyn zaznaczony n
letowo, a na prawym końcu wyp
z niej taka sam a i lość płynu, zaznac
na zielono
Prędkość p łynu na lewym końcu rury oznaczamy przez v\ , a na prawym końcu
v
2
. Podobnie , po le przekro ju poprzecznego rury wynos i S\ na j e j l ewym
52 na je j końcu prawym. Załóżmy, że w przedzia le czasu At d o
wpływ a z lewej s t rony płyn o obję tośc i A V (obję tość tę na rysu nku 15.15a
iono na f iole towo). Płyn jes t nieśc iś l iwy, a za tem na praw ym ko ńcu rury
V (zabarwionej
To, że obie obję tośc i A V są takie same, umożl iwi nam wyznaczenie związku
z po lem przekroju popr zeczn ego . W tym ce lu przeanal izujemy na jpierw
sta
przekroju (o polu S) . Na rysunku 15.16a e lement płynu e dociera do linii
At e lement ten przebywa wzdłuż rury odcinek
Ax ~ vAt. W obec tego w przedz ia le czasu At przez l inię przerywaną
V równej
AV =SAx = SvAt.
(15.22)
Zapisując równanie (15.22) dla lewego i prawego końca odcinka rury z ry
AV = SiViAt — S
2
v
2
At,
SiVy =
S
2
V
2
(równan ie ciągłoś ci).
(15.23)
równaniem
d la przepływu p łynu doskona łego . Wynika z n iego , ż e prędkość prze
a ( tak właśn ie jes t , gdy zas łaniasz pa lce m część otworu wy jśc iowego węża
a) w chwili t
Ax-
b) w chwili t + At
Rys. 15.16.
Płyn przepływa przez
ze stałą prędkością v. a) W chwili t
ment płynu e dociera do linii przer
nej,
b) W chwili t + At e lement e
duje się w odległości
Ax = vAt
o
linii
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 94/329
1 5 . 1 7 .
Struga prądu jest wyzna
jej
być
taka sama
we
wszyst
(o różnych polach
Równanie (15.23) s tosuje się nie ty lko do przepły wu płynu przez pra
rurę , lecz także
do
tak zwanej strugi prądu, czyli um owne j rury ograniczon
linie prądu. Taka rura dzia ła
tak
s a m o
jak
prawd ziwa, gdyż żaden e lemen
nie może przepłynąć przez l in ię prądu, wobec czego cały płyn zawarty
w
prądu pozosta je
w
nie j przez cały czas .
Na
rysunku
15.17
przedstaw iono
prądu, k tórej pole przekroju poprzecznego rośnie od war tośc i S\ do w ar
wzd łuż k ie runku p rzep ływu.
Z
równania (15.23) wiemy,
że gdy
pole p
poprzecznego wzras ta , p rędkość p rzep ływu mus i się zm nie jszać. Jak w id
sunku 15.17, przejawem tego jes t zwiększenie
się
wzajemnych odległo
prądu (w prawej części tego rysunku). Wiedząc to , moż emy odczy tać z
15.12, że
prędko ść przepły wu pły nu jes t największa
tuż nad i tuż pod
w
Równan ie (15 .23) możemy również zap isać
w
postaci
R
v
= Sv = const (s trumień objętościowy, równan ie ciągłości) , (1
przy czym
R
v
je s t
szybkośc ią przepływu obję tośc i
p łynu
( s trumieniem
ś c i o w y m ) ,
czyli obję tością płynu przepływającego przez pewien przewód
nostkowym czasie . Jednostką
tej
wielkości
w
uk ładz ie
SI
jes t m etr sześci
sekundę (m
3
/ s ) .
Gdy
gęstość pły nu
p
jes t s ta ła , możemy pomnożyć s trona
nanie (15.24) przez gęstość
i
wyznaczyć
s z y bko ś ć pr z e p ł y w u m a s y ( s t
m a s y ) R
m
, czyli ma sę płyn u przepływającego przez przewó d w jednos
czasie . Otrzymujemy
R
m
= pRy = pSv
— co ns t (strumień masy). (1
Jednostką s trumienia masy
w
układzie SI jes t k i logram
na
sekundę (kg/s)
nania (15.25) wynika,
że
masa p łynu , k tó ry wp ływa
w
jednos tce czasu
do
ru ry
z
rysunku (15.15) , jes t równa masie płynu wypływającego
z
tego
w jednostce czasu.
|/SPRAWDZIAN 3 :
Na rysunku przedstawiono odcinek rury
o
wielu wlotach
i
tach. Podano również wartość strumienia objętościowego
(w
cm
3
/ s )
i
kierunek prze
płynu dla wszystkich otworów z wyjątkiem jednego. I le wynosi dla tego otworu str
objętościowy
i
jaki
jest
kierunek przepływu?
15.6
So aor ty (wychodzącej z serca tęt
u normalnego cz łowieka
3 cm
2
. Krew przepływ a
przez aor tę z prędkością równą 30 cm/s. Typowe naczy
sowate (kapilarne) , o średnicy około 6 |xm, ma pole
poprzecznego S równe 3 • 1 0
- 7
cm
2
, a krew przepływa
z prędkością v wynoszącą 0,05 cm/s. Ile takich naczyń
tych ma człowiek?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 95/329
że
O — * cała krew przepływająca przez naczy
się z serca przez aor tę.
w
aorcie musi zatem
być
równy sumie
że wszystkie te naczynia są jednakowe, o polu przekroju
S i
prędkości przepływu
v
podanych
w
treści zada
Z równania (15.25) otrzymujemy wobec te go
SQVQ = nSv,
gdzie n jest l iczbą nacz yń w łosowatych. Rozwiązując
to
ró
względem n, dostajemy:
_ S
0
v
0
_ (3 c m
2
) ( 3 0 cm/s)
"
~
~~Sv~
~ (3
•
10 ~
7
c m
2
) ( 0 , 0 5
cm/s)
=
6
•
10
9
,
czyli
6
mil iardów. (odpo
Możesz ła two wykazać ,
że
łączne pole przekroju poprze
tych wszystkich naczyń włosowatych jest około
600
razy w
od pola przekroju poprzecznego aor ty.
15.7
na rysunku 15.18, struga wody wypływającej
się ku
do łowi . Zaznaczone
na
rysunku przekroje
od
siebie
w
pionie
o
h
= 45
mm, mają
SQ = 1,2 cm
2
i S = 0,35 cm
2
. Ile wynosi s trumień
z
k ranu?
h
. 15 .1 8 . Przyk ład 15 .7.
W
s trudze wody wypływającej
z
kranu
w
miarę spadania wody. Wartość s trumienia
o b
nie m o że się zmieniać, wobec czego struga musi się
ku
dołowi
R O Z W I Ą Z A N I E :
Niet rudno zauważyć , że
O T
s trumień objętościowy wod
być taki sam we wszystkich m iejscach strugi , a więc ta
dwóch miejscach zaznaczonych
na
rysunku.
Z
równania (
otrzymujemy zatem
S
0
v
0
= Sv, (
gdzie vo
i
v
są
p rędkośc iami wody
na
poziom ach odpowiada
przekrojom
o
polach So
i S.
Woda spada swobodnie
z
przys
n iem z iemsk im g, a za tem zgodnie z równaniem (2.16) prę
te związane
są ze
sobą wzorem
v
2
= v
2
+2gh. (
Eliminując
v z
równań (15.26)
i
(15.27) ,
a
następnie rozw
ot rzymane równanie wzg lędem v
0
, dostajemy
/ 2ghS
z
/ ( 2 ) ( 9 , 8 m / s
2
) ( 0 , 0 4 5 m ) ( 0 , 3 5 c m
V
° ~ Y S
2
-S
2
~ V
(1,2
c m
2
)
2
- ( 0 , 3 5 c m
2
)
2
= 0 ,286
m/s = 28,6 cm/s.
Strumień objętościowy
R
v
w y zn aczam y
z
równania (15.24
R
v
= S
o
v
0
= (1, 2 c m
2
) ( 2 8 , 6 cm/s ) = 34 c m
3
/ s . ( odpow
R ó w n a n i e B e r n o u ł l i e g o
AV (oznaczonej na rysunku 15.19a na
a z prawej (na wyjściu) wypływa z niej płyn o takiej samej objętości
naczonej na rysunku 15.19b na zielono). Objętość płynu wypływającego z rury
taka sama jak objętość płynu wpływającego do
niej,
gdyż płyn jest
p.
Oznaczmy przez
y\, vi
i
p\
poziom, prędkość i ciśnienie płynu wchodzącego
y
2
, i>2 i Pi — odpowiednie wielkości odnoszące się
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 96/329
b )
P łyn przepływa jednosta j
L,
od wej
t + At (rysunek b) do
zachowania energi i dla tego płynu wynika następujący związek międz
wielk ościam i: , , .
2
Pi + \pv{ + pgy\ = P2 + \pv
2
+ Pgyi-
Równanie to możemy t eż zap i sać w pos t ac i
p + \pv
2
+ pg y = co ns t ( równanie Bernoul l iego) .
(1
Równania (15 .28) i (15 .29) są równoważnymi sobie pos t ac i ami ró
Bernoul l i ego , nazwanego t ak d l a upamię tn i en ia Danie l a Bernoul l i ego , k t
d a ł p rz e p ł y w y p ł y n ó w w X V I I I w i e k u
1
. Podobnie jak równanie ciągłości
równan ie Bernoul l i ego n i e j es t nowy m prawem f i zycznym, l ecz s formuło
znanych już zasad , zap i sanym w pos t ac i wygodnej z punktu widzenia
niki płynów. Aby się o tym przekonać, zastosujmy równanie Bernoul l
płynu w spoczynku, podstawiając do równania (15.28) v\ = v
2
= 0. W
ot rzymujemy
P2
=
Pi + Pgiyi - yi),
czyl i równanie (15.7), choć występujące w nim symbole mają nieco inne
nie.
Najważnie j szy wniosek , j ak i wynika z równania Bernoul l i ego , o t rz
zakładając, że
y
jest s tałe (możemy dla wygody przyjąć, że
y =
0), tak
n i e zmienia w t rakc ie przepływu swego położenia w p ionie . Z równania
o t rzymujemy wtedy
i + \pv\ = P2 + \pv\,
co oznacza, ze:
• Jeśli przy przepływ ie wzdłu ż poziom ej linii prądu prędkość e lementu płynu w
to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.
Innymi słowy, w miejscach, w których l inie prądu są ułożone stos
bl isko siebie ( tzn. w miejscach, w których prędkość przepływu jest s tos
duża), c iśnienie płynu jest s tosunkowo małe i na odwrót .
Związek zmiany prędkośc i ze zmianą c i śn i en ia możesz z rozumieć ,
t rując zachowanie się elementu płynu. Gdy element ten zbl iża się do w
miejsca w rurze, panujące za nim duże ciśnienie powoduje przyspieszen
ruchu , w związku z czym w wąskim mie j scu rury prędkość przepływu j e
Gdy natomiast element zbl iża się do szerokiego odcinka rury, panujące pr
duże ciśnienie powoduje zwolnienie jego ruchu, a zatem w szerokim miejs
prędkość przepływu j es t mała .
Rów nanie Bern oul l i ego s tosu je s ię śc i śl e j edyn ie d l a p łynu doskon ałe
występują si ły lepkości , nie wolno nam pominąć zmian energi i termiczne
'Dla przepływu, który jest bezwirowy (co przez cały czas zakładamy), sta ła w
(15.29) ma taką samą wartość dla wszystkich punktów w strudze prądu; punkty te n
leżeć na jednej l inii prądu. Podobnie , punkty 1 i 2 w równaniu (15.28) są dwo ma do
punktami w strudze prądu.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 97/329
L, nie zmienia w t rakcie przepływu swych
ości , wobe c czeg o moż emy zajmować się jedy nie wielkościami odnoszą
Zapiszemy zasadę zachowania energi i w postaci związku pracy ze zmianą
W = AE
k
, (15.31)
AE
k
= \Amv\ - \ Amv\ = jpAV(vj - v\), (15.32)
Am (= pAV) j es t masą p łynu , k tóry wpływa do rury na końcu
At.
Praca wykonana nad układem ma dwa źródła . Po p i e rwsze , s i ł a c i ężkośc i
wyko nuje pracę W
g
nad p łynem o masie
Am,
wznosząc go z poz iomu
W
g
=
-Amg(y
2
- yi) = -pgAV(y
2
- yi).
(15.33)
go w górę) i si ły ciężk ości (skiero wan ej w dół).
Po drugie , p raca j es t t eż wykonywana nad układem (na wej śc iowym końcu
gdy płyn jest wt łaczany do rury, oraz przez układ (na wyjściow ym końcu
F, działającą na próbkę płynu o polu
S, przy przemieszczeniu p łynu na odleg łość Ax, jest
FAx = (pS)(Ax) = p(SAx) = pAV.
piAV, a praca wyko nana przez
p
2
AV. Ich sum a W
p
jest równa:
W
p
= -p
2
AV + piAV =
-(
P2
-
Pl
)AV.
(15.34)
W = W
g
+ W
p
= AE
k
.
-pgAV(y
2
-
y i
) - AV(p
2
-
P l
) = \pAV(v\ - vj).
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 98/329
Po
niewielkich przekształceniach otrzymujemy stąd równanie (15 .28) , k
mierzaliśmy
wyprowadzić.
|/SPRAWDZIAN
4
Woda prze
pływa jednostajnie przez rurę przedsta
wioną na rysunku, przy czym zmienia
swój poziom. Uszereguj cztery odcinki
rury, oznaczone na rysunku cyframi,
w zależności
od
odpowiadających
i m
wartości: a) strumieni objętościowych
Ry,
b) prędkości przepływu D oraz
c) ciśnienia wody p, od największych
do najmniejszych.
i
1
i
i 2
i
kierunek pr/epl\wu
15 .8
o gęstości p = 791 kg/m
3
przepływa jednostajnie przez
się
na
rysunku 15.15)
od
wartości
Si = 1,2
•
10 "
3
m
2
do S
2
=
12 . Różnica ciśnień na wąskim i szerokim końcu rury wynosi
Pa. Wyznacz strumień objętościowy etanolu Ry.
że O T cały płyn przepływający przez
jej
odcinek
a
zatem strumień objętościowy R
v
musi być taki sam
na
Z równania (15.24) mamy więc
Ry = V\S\ = v
2
S
2
(15.35)
nie możemy jednak wyznaczyć Ry, gdyż nie
z
występujących
w
nim prędkości.
Weźmy zatem pod uwagę, że O—ir skoro przepływ płynu
to możemy zastosować do niego równanie Ber
Z równania (15.28) otrzymujemy:
Pi + -
2
pv\ + pgy = pi + \pv\ + pgy,
(15.36)
i
2 odnoszą się odpowiednio do szerokiego
a y jest ich jednakowym poziomem.
oka
równanie
to nie
wydaje
się
szczególnie
do naszego celu, gdyż nie zawiera szukanego strumienia
Ry, lecz zawiera nieznane prędkości v\ i v
2
.
Niemniej jednak właśnie to równanie umożliwi nam roz
je wykorzystamy. Najpierw, na
podstawie równania (15.35) stwierdzimy, że
Ry
vi =
Ry
2Ry
S\
S
2
Si
przy czym skorzystaliśmy dodatkowo
z
tego,
że S
2
= S
stępnie podstawimy te wyrażenia do równania (15.36
czemu wyeliminujemy z niego nieznane prędkości, a j
śnie wprowadzimy szukany strumień objętościowy. Roz
otrzymane równanie względem R
v
, otrzymamy
Ry = Si
2(Pi - Pi)
3p
Pozostaje jeszcze jedna kwestia do rozstrzygnięcia
że różnica ciśnień na końcach rury wynosi 4120 Pa, lecz
podstawić za p\ — p
2
: 4120 Pa czy —4120 Pa? Można
że powinniśmy skorzystać
z tej
pierwszej wartości, gd
stawiając drugą, otrzymalibyśmy pod pierwiastkiem w
(15.38) liczbę ujemną. Zamiast zgadywać, spróbujmy je
myśleć. Z równania (15.35) wynika, że prędkość v
2
w
odcinku rury (małe S2) jest większa niż prędkość v\
w
j
kim odcinku (małe S
2
). Przypomnij sobie, że gdy prędko
wzrasta
w
trakcie przepływu
w
poziomym przewodzie (j
szym zadaniu), ciśnienie płynu maleje. Tak więc p\ jest
niż
p
2
,
wobec czego
p
l
—
p
2
=
4120 Pa. Podstawiając
tę
i inne wartości dane do równania (15.38), otrzymujemy
R
v
=
1,2- IO
- 3
m
2
(2)(4120
Pa)
(3)(791 kg/m
3
)
= 2,24
•
10~
3
m
3
/s . (odp
15.9
na Dzikim Zachodzie kula trafia w ściankę
od góry zbiornika
z
wodą (rys. 15.20), tworząc
w
niej
w odległości h od powierzchni wody. Wyznacz prędkość,
ten
otwór.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważ przede wszystkim, że O—ł w istocie mamy d
nia z przepływem wody w dół z prędkością VQ przez sze
(zbiornik) o polu przekroju poprzecznego S oraz z jej prz
w poziomie
z
prędkością
v
przez wąską rurę (otwór)
o
p
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 99/329
s. Ponadto O—"* woda przepływająca przez
R
v
musi być taki sam w obu „rurach" . Wo bec tego
R
v
= sv = Sv
0
,
s
<K
S, a zatem vo < ».
Ważne jes t t eż to , że O" -* v jest związane z v0 (oraz z
a związek ten wyraża równanie Bernoull iego, czyli równa
u z otworu po kuli jest równe ciśnieniu atmosferycznemu
po + \pv\ + pgh = po + \pv
2
+ pg(0). (15.39)
v. Zanim jednak je rozwiążemy, za
D o <SC v.
D
Q
jest bardzo małe, to
\pv\ jest znikomo mały w porównaniu
z innymi wyrazami w równaniu (15.39) , a więc możemy g
ścić .
Rozwiązując otrzymane w ten sposób równanie wz
v, otrzymujemy
Zwróć uwagę, że taką samą prędkość ma przedmiot spa
swobodnie z wysokości h z prędkością początkową równą
Rys. 15.20.
Przykład 15.9. Woda wypływa ze zbiornika
otwór znajdujący się w odległości h od powierzchni wod
śnienie na powierzchni wody oraz u wylotu z otworu jest
ciśnieniu atmosferycznemu po
Gęs tość
p
dowolnej substancji definiujemy jako masę
Am
P =
AV'
(15.1)
P =
(15.2)
Pły n jest to substancja zdolna do przepływ u;
a on kształ t naczynia, gdyż nie jest w stanie przeciwstawić
p:
AF
P
= -
s
, (15.3)
czym A F jest s i łą działającą na element powierzchni o polu
.
Jeśl i ta s i ła powoduje jednakowy nacisk w każdym punkcie
płaskiej powierzchni , to równanie (15.3) możemy zapisać
staci
P = f •
Siła pochodząca od ciśnienia płynu ma w każdym punkcie
taką samą war tość we wszystkich kierunkach. Różnicę m
bezwzględnym (pełnym) ciśnieniem w danym punkcie a
niem atmosferycznym nazywa się nieraz nadciśnieniem.
Zmiana ciśnienia ze zmianą wysokości i głębokości w
ni e
Ciśnienie w płynie, znajdującym się w spoczynku,
od współrzędnej pionowej y punktu pomiaru. Gdy oś y jes
rowana w górę,
P2
= pi + pg(y\ - n)-
Ciśnienie w płynie jest takie samo we wszystkich punkta
żących na jednym poziomie. Jeśl i przez h oznaczymy głę
próbki płynu mierzoną w dół od pewnego poziomu odnies
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 100/329
p
0
,
to z równa nia (15.7) wyn ika, że:
p = p
0
+ pgh, (15.8)
p jest ciśnieniem w wybranej próbce płynu.
Prawo Pascala,
które można wyprowadzić ze
Na ciało całkowicie lub częściowo zanu
w
. Siła ta jest skierowana w górę, a jej war tość jest dana w zorem
Fv = m
p
g, (15.16)
m
p
jest masą płynu wypar tego przez ciało.
Gdy ciało pływa w płynie, war tość F
w
działającej na nie
g
działającej na nie
ru, jest związany z jego rzeczy wistym c iężarem zależnością
ciężar = cięża r - F
w
. (15.19)
Przepływ płynów doskonałych Płyn doskonały jest ni
i nielepki , a jeg o przep ływ jest ustalony i bezwirowy.
Lin
nazywamy tor pojedynczej cząstki płynu. Wiązkę l ini i p
zywamy strugą prądu. Przepływ każdej s trugi prądu speł
nanie ciągłości:
R
v
= Sv = cons t,
przy czym Ry jest
szybkośc ią przepływu objętośc i
p ły
mieniem objętośc iowym) ,
S — polem przekroju popr
strugi w danym jej punkcie, a u — prędkością płynu w ty
cie (zakładamy, że prędkość jest s tała w obszarze prze
Szybkość przepływu masy ( s trumień masy ) R
m
wyno
R
m
=
P
R
V
z=
pSv = cons t.
Równanie Bernoułliego
Z zasady zachowania energi
nicznej ,
zastosowanej do przepływu płynu doskonałego
równanie Bernouł l i ego
p + \pv
2
+ pgy = const
w każdym miejscu s trugi prądu.
b-
1 .
Na rysunku 15.21 przed
tawiono zbiornik z wodą
skomplikowanym kształ
zawierającym między
L,
lu b 3L . Uszereguj te
cianki w zależności od war
naj
. Efekt czajniczka. Gdy po
czaj
iczka przez jego dziobek,
e s trumień wody zawraca
ób całkiem długą drogę, za
podnią powierzchnią dziobka, jest ciśnienie atmosferyczne) . Sy
Rys.
1 5 . 2 1 .
Pytanie 1
-dziobek
sk
c
kierunek
przepływu wody
Rys. 15.22.
Py tan ie
2
cztery punkty w strumieniu wody: a i b — na górze i
s trumienia w dziobku, oraz c id — na górze i na dole s
pod dziobkiem. Uszereguj te punkty w zależności od pa
w nich nadciśnienia wody, od największego (dodatniego
mniejszego (ujemnego) .
3 .
Na rysunku 15.23 przedstawiono cztery sposoby umi
w rurce w kształcie l i tery U dwóch cieczy: czerwonej
W jednym z tych przypadków ciecze nie mogą znajdo
w równowadze statycznej , a) Który to przypadek? b) W
łych przypadkach załóż, że ciecze są w równowadze st
W każdym z tych przypadków określ , czy gęstość cieczy
nej jest większa, mniejsza, czy równa gęstości cieczy sz
I I I
(1) (2)
Rys. 15.23. Pytanie 3
(3)
4 .
Trzy podnośniki hydrauliczne, takie jak przedstawion
sunku 15.8, s tosujemy do podn iesienia takich samych ładu
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 101/329
.
Zanurzamy całkowicie blok z pewnego mater iału, o nieregu
miejscu? b) Jak zachowa się ten blok, gdy następnie
.
Na rysunku 15.24 przedstawiono cztery ciała s tałe pływające
a) b)
Rys. 15.25. Pytanie 7
c )
8 .
Klocek pływa w wiadrze s tojącym na podłodze nieru
windy. Czy klocek ten zanurzy się w wodzie głębiej , p łyc
pozostanie zanurzony tak samo, gdy kabina windy będzi
szać się: a) w górę ze stałą prędkością, b) w dół ze stałą
ścią, c) z przyspieszeniem skierowanym w górę, d) z przy
niem skierowanym w dół , o war tości mniejszej od g?
9 . Lódź pływ a w basenie, którego szerokość jest tylko niec
sza od szerokości łodzi , a jej kotwica leży na pokładzi
poziom wody w basenie podniesie s ię, opuści , czy poz
nie zmieniony, gdy kotwicę: a) wrzucimy do wody, b)
cimy na brzeg basenu? c) Czy poziom wody w basenie po
się, opuści , czy pozostanie nie zmieniony, gdy zamiast
wyrzucimy z łodzi do wody korek, który będzie pływał
dzie?
(1 ) ( 2 ) (3) (4)
1 5 . 2 4 .
Pytanie 6
Na rysunku 15.25 przedstawiono trzy jednakowe, otwar te od
wodą.
W dwóch z nich
iornika wraz z jeg o zawar
od największego do najmniejszego.
1 0 .
Na rysunku 15.26 przedstawiono trzy proste rury, prze
płynie woda. Na rysunku podano prędkość przepływu wod
każdą rurę oraz pole przekroju poprzecznego każdej z nich
reguj te rury w zależności od objętości wody, która prz
przez przekrój poprzeczny każdej z nich w ciągu jednej
od największej do najmniejszej.
35
2v.
a)
Rys. 15.26.
Pytanie 10
b )
1 2 5
c)
Rozwiązanie jest dostępne na s trome internetowej pod
ręcznika, ht tp //ww w wiley com/college/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystujące] oprogramowanie Interact ivc Learning
Ware (na tej samej stronie)
Oblicz zmianę ciśnienia płynu w strzykawce, gdy pielęgniarka
2 . Do cylindrycznego zbiornika wlano trzy nie mieszające
sobą ciec ze. Ich objętości i gęstości wynoszą : 0,5 1 i 2,6
0 ,25 1 i 1 g/cm
3
oraz 0,4 1 i 0,8 g/c m
3
. Wyznacz siłę dzi
ze strony tych cieczy na dn o zbiorn ika. Pam iętaj, że 1 1
c m
3
: pomiń wpływ atmosfery.
3 . Okno w biurze ma wymiary 3,4 m x 2,1 E Po pr
burzy ciśnienie powietrza za oknem spada do war tości 0 ,9
lecz wewnątrz budynku nadal panuje ciśnienie 1 atm. I le
całkowita s i ła działająca wówczas na okno?
4 . Napompowałeś przednie koła samochodu do ciśnienia
(patrz s . 63) . Następnie zmierzyłeś sobie ciśnienie krwi,
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 102/329
mując wynik 120/80, przy czym wskazania są wyrażone w mm
Hg . W krajach, w których obowiązuje układ jednostek SI, czyli
niemal na całym świecie, ciśnienie podaje się zwykle w kilopa-
skalach (kPa). Wyraź w kilopaskalach: a) ciśnienie w oponach
twojego samochodu, b) zmierzone przez ciebie ciśnienie krwi.
5. Ryby sterują głębokością swego zanurzenia w wodzie, zmie
niając zawartość powietrza w porowatych kościach lub pęcherzach
pławnych, tak aby ich średnia gęstość była równa gęstości wody
na danej głębokości. Przyjmij, że gdy całe powietrze jest usu
nięte z pęcherzy pławnych, ryba ma średnią gęstość równą 1,08
g/cm
3
. Jaką część całkowitej objętości ryby musi stanowić powie
trze w pęcherzach pławnych, aby jej gęstość zmniejszyła się do
wartości odpowiadającej zwykłej gęstości wody?
6 . Hermetyczny pojemnik, którego wieczko ma znikomo małą
masę oraz pole powierzchni równe 77 cm
2
, jest częściowo opróż
niony z powietrza. Gdy ciśnienie atmosferyczne wynosi 1 • 10
5
Pa,
do zdjęcia wieczka potrzebna jest siła o wartości 480 N. Ile wynosi
ciśnienie powietrza w pojemniku (przed zdjęciem wieczka)?
7 .
W roku 1654 Otto von Guericke, wynalazca pompy próżnio
wej, wykonał na oczach dostojników Świętego Cesarstwa Rzym
skiego doświadczenie, w którym dwa ośmiokonne zaprzęgi nie
były w stanie rozerwać dwóch złączonych półkul mosiężnych (na
zwanych później półkulami magdeburskimi), spomiędzy których
odpompowano powietrze, a) Załóż, że półkule miały ścianki do
statecznie cienkie na to, aby R na rysunku 15.27 mogło oznaczać
zarówno ich promień zewnętrzny, jak i wewnętrzny, i wykaż, że
siła
F
potrzebna do rozerwania półkul ma wartość
F = Tt R
2
Ap,
przy czym Ap jest różnicą ciśnień na zewnątrz i wewnątrz kuli.
b) Przyjmij, że R było równe 30 cm, ciśnienie wewnątrz kuli
wynosiło 0,1 atm, a ciśnienie zewnętrzne było równe 1 atm,
i oblicz wartość siły, jaką
musiałyby działać dwa ze
społy koni, aby rozdzielić // ' jl f * *'
półkule, c) Uzasadnij, że do
świadczenie dałoby taki sam
wynik, gdyby zastosować
1
tylko jeden zaprzęg koni, „. -
v
a półkule przymocować do
sztywnej ściany. Rys. 1 5 . 2 7 . Zadanie 7
15.4
Płyny
w
spoczynku
8. Oblicz różnicę ciśnienia hydrostatycznego krwi w krwiobiegu
człowieka w jego mózgu i w jego stopie. Przyjmij, że wzrost czło
wieka wynosi 1,83 m, a gęstość krwi jest równa 1,06 • 10
3
kg/m
3
.
9 .
Odpływ ścieków z domu zbudowanego na zboczu znajduje się
o 8,2 m niżej niż poziom ulicy. Kanał ściekowy znajduje się na
tomiast o 2,1 m niżej niż poziom ulicy. Oblicz minimalną różnicę
ciśnień, jaką musi wytworzyć pompa do ścieków, aby umożliwić
odprowadzenie z odpływu do kanału ściekowego ścieków o śred
niej gęstości wynoszącej 900 kg/m
3
.
o
'3
1 0 . Na rysunku 15.28 przedstawiono
wykres fazowy
d
pokazujący, w jakich zakre
sach temperatury i ciśnie
nia w wyniku krystalizacji diament
węgla otrzymuje się bądź ; .»•
diament, bądź grafit. Na ja
kiej minimalnej głębokości
może tworzyć się diament,
jeśli temperatura na tej głę
bokości jest równa 1000°C,
a masa skalna ma gęstość 3,1
g/cm
3
? Przyjmij, że — po
dobnie jak w płynie — ci
śnienie na danej głębokości
pochodzi od siły ciężkości
działającej na materia le
żący powyżej tego poziomu.
g
1000 2000
temperatura [
Rys. 15.28.
Zadanie
1 1 . Basen kąpielowy ma wymiary 24 m x 9,0 m x
jest całkowicie wypełniony wodą. Oblicz siłę (pochodz
od wody), działającą na: a) dno basenu, b) jego krótsz
oraz c) jego dłuższą ścianę, d) Czy gdyby istniała możl
betonowe ściany lub dno basenu mogą być bliskie załam
powinieneś uwzględnić także ciśnienie atmosferyczne?
tak uważasz?
1 2 .
a) Oblicz całkowity ciężar wody znajdującej się n
tem podwodnym o napędzie jądrowym, którego zanurz
nosi 200 m, a pole poziomego przekroju jego kadłuba je
3000 m
2
. Gęstość wody morskiej wynosi 1,03 g/cm
3
, b)
ciśnienie wody działające na znajdującego się na takiej
ści nurka i wyraź je w atmosferach. Czy sądzisz, że cz
załogi okrętu podwodnego, który uległby uszkodzeniu
głębokości, mogliby się z niego wydostać bez specjalny
binezonów?
1 3 . Członkowie załogi ok
rętu podwodnego, który
uległ uszkodzeniu na głębo
kości 100 m pod powierzch
nią wody, starają się z niego
wydostać. Ile wynosi war
tość siły, która trzeba dzia
łać na pokrywę luku awa
ryjnego o wymiarach 1,2 m
x 0,6 m, aby ją otworzyć
na tej głębokości? Przyjmij,
że gęstość wody w oceanie
wynosi 1025 kg/m
3
.
14 .
Cylindryczna beczka
zakończona jest u góry
cienką rurą, jak pokazano
na rysunku 15.29, na któ
rym są też podane wymiary
4,6 cm
2
1,8 m
Rys. 15.29. Zadanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 103/329
.
Dwa jednakowe naczynia cyl indryczne, o podstawach znaj
p. Podstawy obu naczyń mają pole równe S, lecz wy
s łupa cieczy w jedny m z nich jes t równa ft] ,aw drugim
Oblicz pracę, jaką wyk ona s i ła grawitacyjna, gdy po połą
naczyń doprowadzi do zrównania poziomu
. W badaniach niektórych s t ruktur geologicznych zakłada s ię
poziomu kompensacyjnego , g łęboko we
3
, a gęstość
3
.
D. (Wskazówka: Sko-
a i b jes t
y
. Na rysunku 15.31 przed
h,
korzy
v,-w-.-.-
skał kontynentalnych wrośnię-
gora
<> kin
kontynent •> •
; 2,9gem-' '•>"
• • - . • i >
płiim"/
/.iemi
3 ,3
e/cm-
K O R W I T I
i . ,
a
p i i / i o m k o m p e n s a c y j n y
Rys. 15.30. Zadanie 16
ocean kontynent
. Otwarty od góry zbior
wodą.
jaką woda
A,
B, wiedząc, że
5m.
1
l ig
L in
J G J B J L J J
12 km
i h h |
o t V
Ł U S
1
, li
skorupa
/ienv=k<t
2 , S g u n
,
płasziz
Z iemi
3 ,3 g /c in
3
liii
20 km
m i
2d
3d
W
d łi
I
D
Id
Rys. 15.32. Zadanie 18
Rys. 15.33. Zadanie 19
Rys.
1 5 . 3 1 . Zadanie 17
1 9 .
Głębokość zbiornika wodnego u tworzonego za tamą,
ściana s tykająca s ię z wodą jes t pionowa, jak na rysunku 1
wynos i
D.
Szerokość tamy jes t równa
W.
Wyznacz: a) całk
s i łę , jaką działa pozio mo woda na tamę dzięki swemu nadci
niu, b) wypadkowy moment te j s i ły względem osi przechod
przez punkt O i równoległej do szerokości tamy, c) ramię
z punktu (a) względem osi z punktu (b).
1 5 . 5 J a k s i ę m i e r z y c i ś n i e n i e ?
2 0 . I le wynosi minimalne podciśnienie (wyrażone w atm
rach), jakie musisz wytworzyć w płucach, aby napić s ię
s łomkę lemoniady o gęs tości równej 1000 kg/m
3
, jeś l i mu sisz
tym podnieść poz iom lemoniady w s łomce na wysokość ró
maksymalnie 4 cm?
2
1 .
I le wynosi łaby wysokość atmosfery, gdyby gęstość pow
w
n iej :
a) była s tała , b) malała l iniowo aż do zera ze wzro
wysokości? Przyjmij , że ciśnienie powietrza na poziomie m
wynosi 1 atm, a gęs tość powietrza jes t równa 1,3 kg/m
3
.
1 5 . 6
Prawo
P a s c a l a
2 2 . Prasa hydraul iczna zawiera t łok o małym polu powierz
równym s, za pom ocą którego działamy na ciecz niewielką s
Ciecz łączy ten t łok z większym t łokiem o polu powierzchni
nym S (rys . 15.34). a) I le musi wynosić wartość F siły dział
na większy t łok, aby pozo
s tał on w spoczynku? b) I le
wynosi wartość s i ły działa
jącej na mniejszy tłok, która
równoważy s i łę o wartości
20 kN, działającą na więk
szy t łok? Średnica małego
t łoka wynosi 3,8 cm, a ś red
nica dużego — 53 cm.
2 3 . Rozważ prasę hydraul iczną z zadania 22. O jaki od
trzeba przesunąć duży t łok, aby mały t łok podniósł s ię o 0,8
1 5 . 7 P r a w o A r c h i m e d e s a
2 4 . Łódź pływająca w s łodkiej wodzie wypiera wodę o cięż
równym 35,6 kN. a) I le wynosi łby ciężar wody wypartej p
Rys. 15.34. Zadania 22 i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 104/329
tę łódź, gdyby pływała ona w s łonej wodzie o gęs tości równej
1,1 • 10
3
k g / m
3
? b) Czy objętość wypieranej przez łódź wody
zmieniłaby się przy tym? Jeśli tak, to o ile?
25 . Kotwica wyko nana z żelaza o gęs tości 7870 kg /m
3
wydaje się
w w odzie lżejsza o 20 0 N niż w powietrzu, a) I le wyn osi objętość
tej kotwicy? b) I le wynosi je j c iężar w powietrzu?
26 . Na rysunku 15.35 przedstawiono ciało o masie 450 kg, ma
jące kształ t sześcianu o krawędzi L = 0,6 m, zawieszone na l i
nie i całkowicie zanurzone w otwartym zbiorniku z cieczą o gę
s tości 1030 kg/m
3
, a) Oblicz wartość wypadkowej s i ły działają
cej w dół na górną ścianę sześcianu ze strony cieczy i powie
trza, zakładając, że ciśnienie atmosferyczne jest równe 1 atm.
b) Oblicz wartość wypadko
wej siły działającej od dołu
na dolną ścianę sześcianu.
c) Oblicz naprężenie liny.
d) Wyznacz z prawa Archi-
medesa wartość działającej
na ciało s i ły wyporu. Jaki
jes t związek między wszyst
k imi wyznaczonymi w tym
zadaniu wielkościami?
Rys. 15.35. Zadanie 26
27. Gdy drewniany klocek pływa w s łodkiej wodzie, nad wodą
znajduje s ię jed na t rzecia jeg o objętości . Klocek ten m oże rów
nież pływać w oleju, lecz wtedy nad cieczą znajduje się 0,1 jego
objętości . Wyznacz gęs tość: a) drewna, b) oleju.
28 . Ma ły s terowiec płynie powoli w powietrzu na niewielkiej wy
sokośc i , wype łn iony — jak zwykle — he lem. Jego maksymalna
ładowność, odnosząca s ię do załogi i przewożonego towaru, wy
nosi 1280 kg. Objętość komory z helem wynosi 5000 m
3
. Gęstość
helu jes t równa 0,16 kg/m
3
, a gęs tość wodoru wynosi 0,081 kg/m
3
.
O i le więcej towaru mógłby unieść ten s terowiec, gdyby zamiast
helu wypełniony był wodorem? Dlaczego lepiej tego nie robić?
29 . Pusta w środku kula o promieniu wewnętrznym 8 cm i pro
mieniu zewnętrznym 9 cm pływa w cieczy o gęs tości 800 kg/m
3
,
przy czym jes t zanurzona do połowy, a) I le wynosi masa kul i?
b) I le wynosi gęs tość materiału, z którego jes t ona wykonana?
30 .
Mniej więcej jedna t rzecia ciała osoby pływającej w Mo
rzu Martwym znajduje s ię nad
wodą.
Przyjmij, że gęstość ciała
ludzkiego jes t równa 0,98 g/cm
3
, i obl icz gęs tość wody w Morzu
Martwym. Jak myśl isz , dlaczego jes t ona tak znacznie większa od
wartości 1,0 g/cm
3
?
3 1 . Kulis ta powłoka z żelaza pływa w wodzie, będąc w niej nie
mal całkowicie zanurzona. Jej ś rednica zewnętrzna wynosi 60 cm,
a gęs tość żelaza jes t równa 7,87 g/cm
3
. Wyznacz średnicę we
wnętrzną powłoki , i Iw
32 . Drewniany klocek ma masę 3,67 kg i gęs tość równą 600
k g / m
3
. Chcemy, aby 0,9 objętości klocka znajdowało się pod
wodą, gdy będzie on w niej pływał , wobec czego zam
obciążyć go ołowiem. I le musi wynosić masa potrzeb
tego celu obciążnika ołowianego, jeś l i umocujemy go: a
nej ścianki klocka, b) do dolnej ścianki klocka? Gęstoś
wy nosi 1,13 • 10
4
k g / m
3
.
3 3 .
Odlew z żelaza, zawierający pewną l iczbę zamknię
mór, ma w powietrzu ciężar równy 6000 N, a jego ci
zorny w wodzie wynosi 4000 N. I le wynosi całkowita
zamkniętych komór w tym odlewie? Gęstość żelaza ( tzn
nie zawierającej komór wewnętrznych) wynosi 7,87 g/c
34. Jaki błąd względny (wyrażony w procentach) po
przy ważen iu ciała o masie m i gęs tości p n a wadze szalk
na rysunku 5.6, pomijając s i łę wyporu , jaka działa na cia
wietrzu? Gęstość mosiądzu, z którego wykonane są od
wynosi 8,0 g/cm
3
, a gęs tość powietrza jes t równa 0,001
35. a) Ile co najmniej m usi wyn osić pole powierzc hni
o grubości 0,3 m, pływającej w słodkiej wodzie, aby nie
po postawieniu na niej samochodu o masie 1100 kg? b)
znaczenie, w którym miejscu postawimy na tafl i samoch
36.
Troje dzieci , każde o ciężarze równy m 356 N, buduj
wiążąc ze sobą pnie drewniane o średnicy 0,3 m i długoś
I le takich pni muszą ze sobą połączyć, aby t ratwa utrzym
trójkę na s łodkiej wodzie? Przyjmij , że gęs tość drewna
800 kg / m
3
.
3 7 . Pręt metalowy o długości 80 cm i masie 1,6 kg
przekrój o polu równym 6 cm
2
. Gęstość pręta nie jest
związku z czym jego środek masy znajduje s ię w odleg
cm od jednego z jego końców. Pręt jes t zawieszony
w wodzie na l inach zamocowanych na jego końcach (pa
nek 15.36). a) Ile wynosi na
prężenie l iny bl iższej ś rodka
ciężkości pręta? b) I le wy
nosi naprężenie liny dalszej
od środka ciężkości pręta?
(Wskazówka: Si ła wyp oru
działa na pręt w taki sposób,
j akby była do n iego przyło
żona w jego ś rodku geome
trycznym).
Rys. 15.36.
Zadanie 3
3 8 . Całkowita masa samochodu wynosi 1800 kg. Obję
wietrza zawartego w kabinie dla pasażerów jes t równa
Objętość s i lnika i przednich kół wynosi 0,75 m
3
, a obję
nych kół , baku i bagażnika jes t równa 0,80 m
3
. Samo
stał zaparkowany na zboczu wznies ienia i gdy w pewn
pęka l inka hamulca ręcznego, samochód s tacza s ię ze
i wpada do s tawu (patrz rysunek 15.37). a) Początkowo w
dla pasażerów nie ma wody i samochód pływa. I le wyno
objętość (w metrach sześciennych) te j części samochod
znajduje s ię w wodzie? b) Z upływem czasu woda powo
do kabiny i samochód zanurza s ię coraz bardziej . I le met
ściennych wody znajduje s ię w kabinie , gdy samochód z
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 105/329
0 " ni
Rys. 1 5 . 3 7 . Zadanie 38
. 9 R ó w n a n i e c i ą g ł o ś c i
. Wąż ogrodowy o średnicy wewnętrznej równej 1,9 cm jes t
dkością 0,91 m /s . Ile wyn osi prędko ść, z jaką woda wyp ływa
. N a rysunku 15.38 poka zano, jak dw a s t rumienie łączą s ię ze
tworząc rzekę. Jeden ze s t rumieni ma szerokość równą 8,2
szerokość równą 10,5 m, a woda płynie w niej z prędkością
74
1 5 . 3 8 . Zadanie 40
Z zalanej piwnicy wypompowujemy wodę przez wąż o pro
1 cm, a woda płynie w nim z prędkością równą
4 2 .
Woda, płynąca początkowo w rurze o średnicy wew
nej równej 1,9 cm, wypływa następnie przez t rzy rury o śre
równej 1,3 cm. a) Wiedząc, że s t rumienie objętościowe w t
węższych rurach wynoszą 26, 19 i 11 l /min, obl icz s t rumie
jętościowy w szerszej rurze, b) Oblicz s tosunek prędkości
w szerszej rurze i w tej rurze węższej , przez którą przepływ
li t rów wody na minutę.
1 5 . 1 0 R ó w n a n i e B e r n o u l l i e g o
4 3 .
Woda płynie początkowo z prędkością równą 5 m/s w
rze,
której przekrój ma pole równe 4 cm
2
. Następnie poziom
którym znajduje się rura, obniża się stopniowo o 10 m, a pol
przekroju poprzecznego zwiększa s ię przy tym do wartości 8
a) I le wynosi prędkość wody na szerszym końcu rury? b) I le
nosi c iśnienie wody na szerszym końcu rury, jeś l i na je j węż
końcu jes t ono równ e 1,5 • 10
5
Pa?
4 4 . Modele torped tes tuje s ię czasem w poziomej rurze z
nącą wodą, podobnie jak modele samolotów bada s ię w t
aerodynamicznym. Wyobraź sobie , że w kołowej rurze o śre
wewnętrznej równej 25 cm umieszczamy wzdłuż os i rury m
torpedy o średnicy równej 5 cm. Model ten ma być badany w
runkach, gdy woda przepływa wokół niego z prędkością 2,5
a) I le musi wobec tego wynosić prędkość wody w tej części
w której nie ma torpedy? b) I le wynosi różnica ciśnień w tej
ści rury, w której znajduje się model torpedy, i w tej jej cz
w której go nie ma?
4 5 . Woda jes t doprowad zana do piwnicy budyn ku rurą o śre
wewnętrznej równej 2,5 cm i płynie w niej z prędkością 0,9
Ciśnienie w rurze wynosi 170 kPa. Następnie woda dociera
o mniejszej średnicy, równej 1,2 cm, na drugie piętro, czy
poziom wyższy o 7,6 m od poziomu piwnicy. Oblicz: a) pręd
oraz b) c iśnienie wody na d rugim piętrze, i iw
4 6 . Wlot rury, doprowadzającej wodę ze zbiornika elektr
wodnej pompowej (rys . 15.39) do budynku generatora, ma
przekroju poprzecznego równe 0,74 m
2
, a woda wpływ
niego z prędkością 0,4 m/s . Wylot rury w budynku gener
jes t położony o 180 m ni
żej od wlotu. Rura ma tu
mniejszy przekrój i woda
wypływa z niej z prędko
ścią równą 9,5 m/s. Ile wy
nosi różnica ciśnień wody u
wlotu do rury i u wylotu
z niej , wyrażona w megapa-
skalach? Rys.
1 5 . 3 9 .
Zadanie 46
4 7 .
Zbiornik o dużej powierzchni dna jes t napełniony
wodą
że g łębokość wody wynos i
D =
0,3 m. Woda wypływa ze z
nika przez otwór w dnie o polu powierzchni równym S =
c m
2
, a) Oblicz s t rumień objętościowy wody wypływającej p
ten otwór i wyraź go w metrach sześciennych na sekundę, b
zbiornik
bud
gene
_."
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 106/329
8 .
Powietrze opływa górną powierzchnię skrzydła samolotu,
S, z prędkością v
g
, a jego dolną powierzchnię, o takim
Vi. Wykaż, że w tej uproszczonej
ji z równania Bernoulliego wynika, że wartość L skierowa
do góry siły nośnej, działającej na skrzydło samolotu, wynosi
L = \
P
S(v
2
g
p jest gęstością powietrza.
9 . Prędkość przepływu powietrza wzdłuż dolnej powierzchni
rzydła samolotu wynosi 110 m/s, a różnica ciśnień działających
jmij, że gęstość powietrza wynosi 1,3 • 10~
3
g/cm
3
, oraz za
. Dwa zbiorniki, 1 i 2, o dużych otworach w górnych ścianach,
h względem poziomu cie
Strumień masy cieczy wypływającej z każdego zbiornika jest
pi/' p
2
l b) Ile
tosunek strumieni objętościowych cieczy wypływających
ienie objętościowe cieczy wypływającej z obu zbiorników były
. Jak pokazano na rysunku 15.40, woda przepływa w prawo
ówną 15 m/s. Średnice rury na lewym i prawym jej końcu
v
2
i c) nadciśnienie wody?
t> = 15 m/s
Rys. 15 .40 .
Zadanie 51
. Beczułka zawiera napój o gęstości 1 g/ cm
3
. W odległości 50
od poziomu cieczy, w ściance beczułki znajduje się kurek, któ
2
. Ile wynosi pręd
z jaką wypływa z beczułki napój po otwarciu kurka, jeśli
. Tama zamyka zbiornik słodkiej wody o głębokości równej
15 .41, w tamie wydrążony jest
iomy kanał o średnicy 4 cm, znajdujący się na głębokości
6 m pod powierzchnią wody.
Z drugiej strony tamy kanał
jest zaczopowany. a) Wy
znacz wartość siły tarcia
działającej między czopem
a ściankami kanału. Wy
obraź sobie, że w pewnej
chwili usuwamy czop zamy
kający kanał, b) Ile wynosi
objętość wody, która wypły
nie przez kanał z ciągu 3 go
dzin od jego otwarcia?
6 m
15
m
ms
Rys.
1 5 . 4 1 .
Zadanie 5
54. Zbiornik napełniono wodą do wysokości H, a
z jego ścianek wywiercono otwór na głębokości h pod po
nią wody (patrz rysunek 15.42). a) Wykaż, że odległo
podstawy zbiornika do punktu, w którym spada na ziem
mień wody wypływającej przez otwór, jest dana wy
x = 2y/h(H — h). b) Czy jest możliwe, aby strumień w
pływającej z otworu wywierconego na innej głębokości
wierzchnią wody miał taki
sam poziomy zasięg lotu?
Jeśli tak, to ile wynosi ta
głębokość? c) Na jakiej głę
bokości należałoby wywier
cić otwór w ścianie zbior
nika, aby strumień wypły
wającej przezeń wody spa
dał na ziemię w najwięk
szej odległości od podstawy
zbiornika?
H
Rys. 15.42.
Zadanie 5
55. Zwężka Venturiego służy do pomiaru prędkości p
płynu w przewodzie. Jak pokazano na rysunku
15 .43,
zw
czy się z przewodem tak, aby stanowiła jego odcinek.
wejściowy i wyjściowy urządzenia mają taki sam prze
przewód, o polu równym S. Na obu końcach urządzenia
przepływu płynu jest równa V, a w jego zwężonej czę
kowej, o polu przekroju poprzecznego równym s, wyno
Urządzenie zawiera manometr, którego jedno ramię jest d
do przewodu na jego szerokim odcinku, a drugie — w
zwężenia. Zmianie prędkości przepływu towarzyszy zm
śnienia w płynie
Ap,
której miarą jest różnica
h
poziom
czy w obu ramionach manometru (Ap jest tu różnicą
w miejscu zwężenia i w szerokiej części przewodu), a)
równanie Bernoulliego i równanie ciągłości w punktach
rysunku
15 .43,
aby wykazać, że
V =
2s
2
Ap
p(s
2
-S
2
)'
gdzie p jest gęstością płynu, b) Przyjmij, że płynem je
woda, pole przekroju poprzecznego przewodu wynosi
w jego szerokiej części oraz 32 cm
2
w miejscu zwężen
śnienie jest równe 55 kPa w szerokim odcinku przewo
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 107/329
. Wyobraź sobie, że zwężka Ventur iego z zadania 55 i rysunku
S jest równe 5s , a ci
pi w szerokiej części przewodu wynosi 2 atm. Wyznacz
V — w szerokim odcinku przewodu oraz b) v —
p
2
w miejscu zwężenia jest
pi jest bliskie zera, nazywa się kawitacją. W wodzie
zwężka Ventur iego
wejście r ? wyjście
- > 5 r ^
Rys.
1 5 . 4 3 . Zadania 55 i 56
Rurka Pitota (przedstawiona na rysunku 15.44) może słu
otworów B (na rysunku widać cztery z nich) , przez które
z ramion rurki w kształcie l i tery U. Przedłużenie drugiego
A znajdujący się z przodu
d u i zwrócony w k ierunku lo tu samolo tu . W punkcie A powie
VA
= 0. Prędkość prze pływu
B można natomiast przyjąć za równą prędkości sa
v. a) Wykaż na podstawie równania
v
fi powietrze
gdzie p p o w jest gęstością powietrza, p — gęstością cieczy w
w kształcie litery U, a h — różnicą poziomów cieczy w tej
b) Załóż, że rurka zawiera alkohol , a różnica jego poziom
wynosi 26 cm. I le wynosi prędkość samolotu względem p
trza? Gęstość powietrza jest równa 1,03 kg /m
3
, a gęstość alk
wynos i 810 kg /m
3
.
5 8 .
Rurka Pitota (patrz zadanie 57) , w którą wyposażon
samolot, wskazuje na dużej wysokości lotu różnicę ciśnień o
tości 180 Pa. I le wynosi prędkość samolotu względem powi
jeśl i gęstość powietrza jest równa 0,031 kg/m
3
?
Z a d a n i a d o d a t k o w e
5 9 . Dinozaur o nazwie diplodok był olbrzymim zwierz
0 długiej szyi i d ługim ogonie, a jego m asa była tak wiel
jego tylne kończyny były bardzo obciążone. Według pewnej
tezy diplodok miał brodzić w wodzie, zanurzony w niej być
aż po łeb, tak że s i ła wyporu równoważyła częściowo si łę
kości i zmniejszała obciążenie kończyn. W celu sprawdzenia
tak mogło być, przyjmij , że gęstość ciała diplodoka wynosi
gęstości wody, a jego masa była równa 1,85-10
4
kg (zgodnie
opublikowanym oszacowaniem), a) Oblicz ciężar diplodoka
licz jeg o ciężar pozorny przy założeniu, że pod wodą znajd
się:
b) 0,5, c) 0,8, d) 0,9 jego objętości. Gdyby dinozaur był n
całkowicie zanurzony, tzn. gdyby nad wodę wystawał tylko
łeb, płuca zwierzęcia znajdowałyby się na głębokości około
pod powierzchnią wody. e) Oblicz, i le wynosiłaby wówczas
nica ciśnienia wody, działającego z zewnątrz na jego płuca,
ciśnienia powietrza w płucach zwierzęcia. Aby diplodok móg
brać powietrza w płuca, jego mięśnie oddechowe musiałyby
zwiększaniu objętości płuc pokonać tę różnicę ciśnień. Zap
nie udałoby mu się to , gdyby ta różnica ciśnień była większ
8 kPa. f ) Czy hipoteza, że diplodok brodził w wodzie, wyd
się uzasadniona?
6 0 .
Gdy kaszlesz, wypuszczasz powietrze z dużą prędk
przez tchawicę i dochodzące do niej oskrzela, przy czym
wany jest nadmiar ś luzu zalegającego w drogach oddechow
Robisz to tak: bierzesz głęboki wdech, zatrzymujesz pow
w płucach, zamykając głośnię (mały otwór w kr tani) , po
zwiększasz ciśnienie powietrza, ściskając płuca, przy czym
ściowo zatykasz tchawicę i oskrzela, aby zwęzić drogi odd ech
1 wreszcie wypu szczasz pow ietrze, otwierając gwałtownie gł
Przyjmij, że s trumień objętościowy powietrza w czasie wy
wynosi 7 • 10~
3
m
3
/s . Wyznacz prędkość przepływu pow
przez tchawicę, gdy jej średnica wynosi a) 14 mm, jak przy
malnym oddychaniu, oraz b) 5 ,2 mm, jak przy kasłaniu. W
wynik w jednostkach prędkości dźwięku u
d ź w
= 343 m/s.
6 1 . Załóż, że gęstość twego ciała jest stała i wynosi 0,95 gę
wody. a) Jaka część objętości twego ciała znajduje się nad w
gdy pływasz w basenie kąpielowym?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 108/329
Tak zwany ciekły piasek to płyn tworzący s ię , gdy woda
przechodzi pod ciśnieniem przez piasek, przy czym odpycha ona
ziarnka piasku od siebie, tak że przestają być ze sobą związane za
pośrednictwem występującego między nimi tarcia . Ciekłe piaski
tworzą s ię na przykład wtedy, gdy woda przepływa pod ziemią
ze wzgórza w dol inę przez złoża piasku, b) Jaka część objętości
twego ciała znalazłaby s ię nad powierzchnią płynu, gdybyś wpadł
do dużego zbiornika z ciekłym piaskiem, którego gęs tość jes t 1,6
razy większa od gęs tości wody? c) Czy byłbyś przy tym zanurzony
tak głęboko, że nie mógłbyś oddychać? Lepkość ciekłego piasku
znacznie s ię zwiększa, gdy płyn znajduje s ię w ruchu (płyn o te j
właściwości nosi nazwę płynu tiksotropowego). Tak więc, im bar
dziej gwałtownie s tarasz s ię z niego wydostać, tym większy opór
s tawia płyn twoim ruchom, d) Jak mógłbyś s ię z niego wydostać
bez pomocy innych osób?
62. Odkręć kran z wodą nad zlewem z płaskim dnem, tak by na
dno pada ł jednostajny ( laminarny) s t rumień cieczy. Przekonasz
się,
że woda rozpływa s ię od punktu spadku na dno w postaci
cienkiej wars twy, po czym w pewnej odległości r
s
od teg
grubość wars twy wody nagle s ię zwiększa. Ta zmiana
wars twy, zwana skokiem hydraulicznym, daje doskon ale w
okrąg o środku w punkcie spadku s t rumienia wody na dno
Wewnątrz tego okręgu prędkość przepływu wody v\ je
równa prędkości s t rugi tuż przed spadkiem na dno.
W pewnym doświadczeniu s twierdzono, że promie
wody tuż przed spadkiem na dno wynosi 1,3 mm, objęt
s t rumień wody Ry jes t równy 7,9 cm
3
/ s , promień r
s
wyno
a grubość wars twy wody tuż za skokiem hydraul icznym je
2 mm. a) Oblicz prędkość wody vi . b) Wyznacz grubość
w ody d w zależności od odległości radialnej r od punktu
strugi na dno dla r < r
s
. c) Czy grubość wars twy wody
czy maleje ze wzrostem r? d) I le wynosi ta grubość tu
skokiem hydraul icznym? e) I le wynosi prędkość wody
v
skokiem? I le wynosi gęs tość energi i kinetycznej wody f) t
i g) tuż za skokiem hydrau l icznym? h) I le wyn osi zm iana c
wody na dno zlewu związana ze skokiem? i ) Czy dla l in
w obszarze skoku obowiązuje równanie Bernoul l iego?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 109/329
1 6 Drgan ia
B y ł 1 9 w r z e ś n i a 1 9 8 5 r o k u . F a l e s e j s m i c z n e w y w o ł a n e p r z e z t r z ę s i e n i e z i e m i n a z a c h o d n i m
w y b r z e ż u M e k s y k u s p o w o d o w a ł y o g r o m n e z n i s z c z e n i a w s t o l i c y k r a j u — m i e ś c i e M e k s y k —
w o d l e g ł o ś c i o k o ł o 4 0 0 k m o d m i e j s c a ,
g d z i e p o w s t a ł y .
Dlaczego fale sejsmiczne spowodowały
tak rozleg łe zniszczen ia w stolicy,
natomiast stosunkowo niewielkie
po drodze?
Od p o wie d ź z n a jd z ie s z w t y m ro z d z ia l e .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 110/329
1 6 . V. Drg a n i a
Na każdym kroku spotykamy się z drganiami , czyl i powtarzającymi się r
Zetknąłeś się z pewnością z wahającym się żyrandolem, z kołyszącymi si
twiczonymi łodziami , z poruszającymi się tam i z powrotem t łokami w si
samochodowych, z drga jącymi s t runami g i t a r , bębnami , dzwonami , memb
w słuchawkach telefonicznych i głośnikach, drgającymi kryształami kwarc
garkach. Nieco mniej oczywiste są drgania cząsteczek powiet rza, które są
dźwięków, oscylacje atomów w ciele stałym, które są związane z temp
a także przenoszące informacje drgania elekt ronów w antenach nadajni
diowych i telewizyjnych.
Drgania, jakie występują w realnym świecie, zwykle są tłumione —
stopniowo zanika, a na skutek działania si ł tarcia energia mechaniczna z
się w energię termiczną. Mimo iż nie możemy całkowicie wyel imino
kich st rat energi i mechanicznej , możemy ją uzupełniać kosztem jakiegoś
Na przykład , j ak wiadomo, dz i ęk i odpowiednim ruchom nóg i t u łowia
rozbujać huśtawkę, podtrzymując lub wzmacniając jej wahania. W ten
przekształcasz energię swych mięśni w mechaniczną energię układu drga
1 6 . 2 . R u c h h a r m o n i c z n y
N a ry su n k u 16. la przed stawiono serię „migaw kow ych zdjęć " prostego
drgającego, a mianowicie cząstki poruszającej s ię tam i z powrotem wz
początku osi x. W tym paragrafie ograniczymy się do opisu tego ruchu.
zastanowimy się , w jaki sposób można taki ruch uzyskać.
Jedną z ważnych własności opisujących ruch drgający jest jego c
(częstot l iwość), czyl i l iczba pełnych drgań (cykl i ) wykonywanych w cią
dej sekundy. Częstość oznaczamy symbolem v; jej jednostką w układzie
= -T/4
= 0
= m
3T/4
= T
- # H > -
I
- @ — > h
0
a )
/ \
I
-\-
X
y
y
b)
c
Rys. 16.1. a) Szereg „zdjęć migawkowych" (wykonanych w
wych odstępach czasu) przedstawiających położenia ciała p
cego się tam i z powrotem ruchem drgającym wzdłuż osi x w
początku, w przedziale od + x
m
do — x
m
. Dług ości strzałek
ciedlają prędkość ciała. Ciało ma największą prędkość w poc
x, a w punktach
±x
m
prędkość równą zeru. Jeżeli początek
czasu
(t
= 0) przyjmiemy w chwili, gdy ciało znajduje się w
+x
m
, to powróci ono do tego punktu w chwili
t
= T, gdz
okresem ruchu. Ruch jest zatem powtarzalny, b) Wykres za
położenia x od czasu dla ruchu przedstawionego na rysunku
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 111/329
(w skrócie Hz) :
1 herc = 1 Hz = 1 pełne drganie na sekundę = 1
s"*"
1
.
(16.1)
Z częs tością związany jes t
okres ruchu
T,
czy l i czas , w jak im wykonyw ane
T =
1
(16.2)
Każdy ruch powtarzający s ię w regularnych ods tępach czasu nazywamy
ru
Tutaj in teresować nas będzie ruch powtarzający s ię w pewien
a mian owicie tak, ja k na rysun ku 16.1 . W takim ruchu
x ciała względem początku układu współrzędnych od
przemieszczenie
w chwili t
faza -
X{t) = X
m
COS((Ot +
0)
amplituda / czas
częstość faza
kołowa początkowa
Rys.
16 .2 . Zestawienie wielkości wys
pujących we wzorze (16.3) opisując
ruch harmoniczny
x(t) = x
m
cos(ojt + <p)
(przemieszczenie) ,
(16.3)
j c
m
, O J
, < j
— stałe . Taki ruch nazywamy
ruchem harmoni cznym
— j e s t t o
16 .
Ib . (Moż esz otrzym ać ten wykres , obracając rysun ek 16 . la o 90° prze
Poszczególne wielkości okreś lające kształ t wykresu oraz ich nazwy przed
Wie lkość x
m
n a z y w a m y
ampl i tudą
drgań. Jest to dodatnia stała, której war
gdyż am pl i tuda j es t war tośc ią bezwzględną m aksym alnego p rze
ę w g ran icach ± 1 , za tem przem ieszczen ie x(t) zm ien ia s ię w p rzedz ia le ± x
m
.
a )
16.3 . W każdym z przypadków niebieską krzywą otrzymano
<p = 0. a) Czerwona krzywa różni się od nie
jedynie tym, że jej ampli tuda x'
m
jes t większa (maksima dla
jedynie tym, że
T' = T/2 (minima i maksim a krzywej czerwonej są
jedynie tym, że jej faza początkowa wyno si
= —
K/ 4 , a nie zero (ujemna wartość
<j>
powoduje przesuniecie czer
b )
c )
1 6 . 2 .
Ruch harmoniczny
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 112/329
Zależna,
od czasu wielkość (o)t 4> we wzorze (16.3) nosi nazwę f
przy czym stała
(p
nazywana jest
fazą początkową.
Wartość
(p
zależy o
żenia i prędkości ciała w chwili t = 0. Dla przemieszczenia x(t) wykre
na rysunku 16.3a faza początkowa
(p
równa jest zeru.
Aby poznać znaczenie stałej
(o,
nazywanej częstością kołową (kątow
chu, zauważmy, że przemieszczenie
x(t)
musi osiągnąć swą początkową w
po czasie równym jednemu okresowi drgań
T;
tak więc
x(t)
musi być
x(t + T)
dla każdego
t.
Dla uproszczenia rozważań podstawmy
(p
= 0 do
(16.3). Możemy wówczas zapisać
x
m
cos&>f = x
m
c o s & > ( r +
T).
Wartości funkcji cosinus będą ponownie takie same, gdy jej argument
wzrośnie o
In
radianów, zatem z równania (16.4) otrzymujemy
oj(t + T) = cot + 2%,
czyli
coT =
2TT.
Tak więc, korzystając z wyrażenia (16.2), otrzymaliśmy wzór na częstość
2TX
w =
— = 2ry>, (
Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian na sekundę. (
musi być oczywiście też mierzona w radianach). Na rysunku 16.3 poró
dwa ruchy harmoniczne różniące się kolejno amplitudą, okresem (czyli r
częstością i częstością kołową) oraz fazą początkową.
l/SPRAWDZIAN
1
:
Ciało wykonujące drgania harmoniczne o okresie T (taki
drgania na rysunku 16.1) w chwili t = 0 znajduje się w punkcie — x
m
. Gdzie znajd
to ciało kolejno w chwilach: a) t = 2T, b) t = 3,5T i c) t = 5,25T — w punkcie
w punkcie +x
m
, w punkcie x — 0, w przedziale od — x
m
do 0 czy też w przedzial
do
+x
m
1
Prędkość
w ruchu harmonicznym
Różniczkując wzór (16.3), otrzymujemy wyrażenie na prędkość ciała wy
cego ruch harmoniczny:
czyli
djc(f) d
v(t)
= —— = —[x
m
C 0 S ( 0) f
+
</>)],
d r
dr
v(t) =
—
cox
m
sm((ot + (p)
(prędkość). (1
a) Przemieszczenie x(t) ciała
drgania harmoniczne z
początkową <p równą zeru. Jeden
cykl drgań wykonywany jest w
okresu
T.
b) Prędkość ciała
v(t).
Przyspieszenie ciała a(r)
Na rysunku 16.4a przedstawiono zależność (16.3) dla
(p —
0, a na r
16.4b — zależność (16.6) również dla <p
—
0. Analogicznie do ampli
w wyrażeniu (16.3) dodatnia wielkość
(ox
m
w wyrażeniu (16.6) ma zn
amplitudy zmian prędkości
v
m
.
Jak widać z rysunku 16.4b, prędkość drg
ciała zmienia się w zakresie
±v
m
= ±cox
m
.
Zauważmy również, że krzyw
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 113/329
x(t)
o ćwierć okresu; w chwil i
x(t) = x
m
), war toś ć prędkości jest
v(t) — 0) , gdy zaś war tość prze mies zczen ia jest najmniejsza
(v
m
= ±cox
m
).
v(t) w ruchu harmonicznym i wykonu jąc powtórn ie różn icz
dv(t) d
a(t) = —— = — [-tox
m
sm(cot +
<b)],
at at
a(t) — — co
2
x
m
cos(<wr + 0 ) (przyspieszenie). (1 6. 7)
cb = 0 . D odatn ia
co
2
x
m
w wyrażen iu (16.7) m a znacz enie amp l i tudy zmia n przyspieszen ia
; jak widać na rysunku 16.4c, przyspieszenie drgającego cia ła zmienia s ię
±a
m
= ±co
2
x
m
. Zauw ażmy również , że k rzywa a(t) jest przesunięta
v(t).
Łącząc wyrażenia (16.3) i (16.7) , o t rzymujemy równanie ruchu harmonicz
a{t) = ~co
2
x{t). (16.8)
Wynika z niego, że
W ruchu harmonicznym przyspieszenie jes t proporcjonalne do przemieszczenia, ale
ma przeciw ny znak, przy czym łączący obie wielkości współczy nnik proporcjon alności
równy jest kwadratowi częstości kołowej.
Tak więc, jak w idać z rysun ku 16.4 , w chwil i gdy przem ieszcze nie ma
zpro.
S z t uk a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
1 :
Faza początkowa
y wpły w fazy początkowej </> na postać w ykresu x(t).
0
= 0 , wykres zależności x(t), podobnie jak na rysunku
(j> powoduje przesuwanie
t. Zmniejszenie fazy
<f>
spowoduje
>= — n / 4 .
O dwóch przedstawionych na wykresach ruchach harmonicz
mających różne fazy początkowe, m ówimy , że jede n jest
w fazie względe m dru giego lub nie jest zgodny w fa-
zie z drugim. Na przykład dla krzywych przedstawionych n
sunku 16.3c przesunięcie fazowe wynosi 7 t/4 radianów.
Ponieważ ruch harmoniczny powtarza s ię po każdym
si e T, a funkcja cosinus — po każdych 2n radianów, k
okres T odpowiada przesunięciu fazowemu o 2n radianów
rysunku 16.4 wielkość
x(t)
jes t przesunięta w fazie w zgl
v(t) o ćwie rć okresu w prawo , tj. o
—
7t
/2
radianów, a wzgl
a(t) o pół okresu w prawo, czyli o — n radianów. Przesunięc
zowe o 2
JT
radianów powoduje, że krzywa ruchu harmon icz
pokrywa s ię ze sobą, czyli wygląda n a nie zmienioną.
16.2 . Ruch har moniczny
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 114/329
1 6 . 3 . S i ła w r u c h u h a r m o n i c z n y m
Skoro już znam y zależność przysp ieszenia c ia ła od czasu, może my — korz
z drugiej zasady dynamiki Newtona — zbadać, jaka s i ła musi dzia łać na to
aby nadać mu takie przyspieszenie . Podstawiając wyrażenie (16.8) do
zasady dynamik i , o t rzymujemy
F = ma = -(mco
2
)x .
Z taką zależnością — gd zie s i ła jes t proporcjon alna do przem ieszcze nia ,
przeciwny znak — już s ię spotkal iśmy. Taką postać ma prawo Hooke 'a
F = -kx,
p rzy czym k jes t s ta łą sprężystości , wobec tego
k = mco
2
.
W is tocie możemy przyjąć równanie (16.10) jako inną definic ję ruchu
n icznego . Mówi ona , że :
Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje c ia ło o masie m, na które dział
proporcjonalna do przemieszczenia , a le o przeciwnym znaku.
Przedstawiony na rysunku 16.5 układ klocek-sprężyna tworzy l in iowy
lator harmoniczny (w skrócie oscyla tor l in iowy), przy czym słowo „l i
wskazuje , iż s i ła F jes t proporcjonalna do x, a n ie do jakie jś innej po
Z równania (16.11) , wiążącego częstość kołową
co
ruchu ha rmonicznego
z jego masą m i stałą sprężystości k, o t rzymujemy
co =
(częstość kołowa).
(16
Podstawiając wzór (16.12) do (16.5) , o trzymujemy wyrażenie na okres
oscylatora l in iowego przedstawionego na rysunku 16.5
T
x = 0
+x„
1 6 . 5 .
Liniowy oscylator harm o
odcią
2n (okres) .
(16
Z równań (16.12) i (16.13) widzimy, że duża częstość kołowa (czyli mały
występuje w przypadku sztywnej sprężyny (duże
k)
i lekkiego klocka (m
Każdy układ drgający, czy to oscyla tor l in iowy z rysunku 16.5 , t ram
czy też s truna skrzypiec , ma pewną „sprężystość" oraz pewną „bezwład
czyli masę, dzięki czemu przypomina oscyla tor l in iowy. W oscylatorze
wym, który przedstawiono na rysunku 16.5 , za te dwie cechy odpowiedzia
inne części układu. Sprężystość jes t cechą sprężyny, o której zakładamy,
pozbawiona masy , a bezwładność — k locka , o k tó rym z ko le i zak ładamy,
sz tywny. Natomiast w przypadku s truny skrzypiec te dwie cechy, jak zoba
w rozdzia le 17, występują w samej s trunie .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 115/329
SPRAWDZIAN Ł'. Która z poniższych zależności między działającą na ciało siłą
F
a
położeniem x ciała opisuje ruch harmoniczny: a) F = —5x, b) F = —400x
2
, c) F = 10x,
d) F = 3x
2
7
Przykład 16.1
Klocek o masie m = 680 g umocowany jest na sprężynie o sta
łej sprężystości k — 65 N/m i znajduje się na powierzchni, po
której może się poruszać bez tarcia. Klocek odciągnięto na od
ległość x = 11 cm od jego położenia równowagi, znajdującego
się w punkcie x = 0, a następnie puszczono swobodnie w chwili
r = 0.
a) Wyznacz częstość kołową, częstość i okres drgań klocka.
ROZWIĄZANIE:
•
Układ klocek-sprężyna tworzy oscylator liniowy, w którym
klocek wykonuje drgania harmoniczne. Zatem częstość kołowa
dana jest wzorem (16.12)
65 N/m
V
m y
° >
6 8
k
S
Częstość dana jest równaniem (16.5), zatem
co 9,78 rad/s
= 9,78 rad/s 9,8 rad/s. (odpowiedź)
= 1,56 Hz =s 1,6 Hz. (odpowiedź)
2jr
2TC
rad
Z kolei okres drgań spełnia zależność (16.2), zatem
1
v 1,56 Hz
= 0,64 s = 640 ms. (odpowiedź)
b) Ile wynosi amplituda drgań?
ROZWIĄZANIE:
W przypadku braku tarcia energia mechaniczna układu
klocek-sprężyna pozostaje zachowana. Klocek został puszczony
swobodnie w odległości 11 cm od swojego położenia równowagi
przy zerowej energii kinetycznej oraz maksymalnej energii po
tencjalnej sprężystości układu. Zatem klocek będzie miał energię
kinetyczną równą zeru ilekroć znajdzie się w odległości 11 cm
od położenia równowagi, co oznacza, iż nigdy nie znajdzie się
w większej odległości niż 11 cm od tego położenia. Maksymalne
przemieszczenie klocka równe jest 11 cm,
x
m
= 11 cm.
(odpowiedź)
c) Wyznacz maksymalną prędkość drgającego klocka i określ,
w którym punkcie zostaje osiągnięta.
ROZWIĄZANIE:
O T Maksymalna prędkość v
m
jest równa cox
m
w wyrażeniu
(16.6), czyli
v
m
= cox
m
= (9,78 ra d/s )( 0, ll m) = 1,1 m/s. (odpowiedź)
Maksymalna prędkość zostaje osiągnięta, gdy klocek przech
przez położenie równowagi. Porównując rysunki 16.4a i 1
zobaczymy, że prędkość osiąga maksimum ilekroć x = 0.
d) Ile wynosi maksymalna wartość przyspieszenia klocka a
m
ROZWIĄZANIE:
O T Maksymalna wartość a
m
równa jest co
2
x
m
w wyraż
(16.7), czyli
a
m
= co
2
x
m
= (9,78 ra d/s )
2
(0 , ll m) 11 m/s
2
, (odpowi
Przyspieszenie osiąga maksimum, gdy klocek znajduje się na
cach swojego toru. W tych punktach siła działająca na kl
ma największą wartość. Porównując rysunki 16.4a i 16.4c,
baczymy, że wartości przemieszczenia i przyspieszenia osią
maksima jednocześnie.
e) Wyznacz fazę początkową 0 dla rozważanych drgań.
ROZWIĄZANIE:
O — r Wyrażenie (16.3) opisuje zależność położenia klock
czasu. Jak wiemy, w chwili t = 0 klocek znajduje się w pun
x = x
m
. Podstawiając te warunki początkowe do równania (1
i dzieląc przez x
m
, otrzymujemy
l =co s 0 . (16
Biorąc funkcję arccos od jedności, otrzymujemy
0 = 0 rad. (odpowi
(Każdy kąt będący całkowitą wielokrotnością 2TT rad rów
spełnia równanie (16.14); tutaj wybraliśmy najmniejszą warto
f) Wyznacz zależność przemieszczenia
x(t)
od czasu w ukła
klocek-sprężyna.
ROZWIĄZANIE:
O
—nr
W ogólnej postaci x(t) dane jest wzorem (16.3). Po
wiając znane wielkości do tego równania, otrzymujemy
x(t) = x
m
cos(cot + 4>)
= (0,11 m) cos[(9,8 rad/s)/ + 0
= 0,11 cos(9 ,8 0, (odpowi
gdzie x wyrażone jest w metrach, at — w sekundach.
1 6 . 3 .
Siła w ruchu harmonicznym
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 116/329
Przykład 16 .2
b) Wyznacz fazę początkową <> i ampl i tudę x
m
W chwil i
t
= 0 położenie x(0) klocka w oscyla torze l inio
wym z rysunku 16.5 wynosi —8,5 cm. (Symbol x(0) czytamy
„x w chwil i zero") . Prędkość klocka u(0) w tym momencie wy
nosi —0,92 m/s, a jego przyspieszenie a(0 ) jest równe + 47 m /s
2
.
a ) Wyznacz częstość kołową co drgań tego oscylatora.
R O Z W I Ą Z A N I E :
O—
w Położenie , prędkość i przyspieszenie klocka poruszającego
się ruchem harmonicznym opisane są odpowiednio wyrażeniami
(16.3), (16,6) i (16.7), przy czym każde z nich zawiera co . Pod
stawmy do wszystkich równań t = 0, aby sprawdzić, czy któreś
z nich będzie można rozwiązać ze względu na
co.
Otrzymujemy
x(0) = x
m
c o s < ^ ,
u(0) = — co x
m
s i n 0
a(0) = —
co
2
x
m
co s
<j>.
(16.15)
(16.16)
(16.17)
W równaniu (16.15) częstość kołowa co nie występuje . W równa
niach (16.16) i (16.17) znamy wartości lewych stron, ale wartości
x
m
i 0 są nieznane. Jednakże dzie ląc st ronami równania (16.15)
i (16.17), eliminujemy obie wielkości i otrzymujemy rozwiązanie
a ( 0 )
~x(0)
4 7 m / s
2
- 0 , 0 8 5 m
= 23,5 rad/s. (odpowiedź)
R O Z W I Ą Z A N I E :
Analogicznie jak w punkcie (a) skorzystamy z równań
(16.17) . Znamy już wartość co , a poszukujemy 4> i x
podzie l imy st ronami równanie (16.16) przez (16.15) , ot r
u(0) — n>x
m
sin<
m
=
= -(o tg <
Zatem
tg P =
v(0)
X
M
C O S
(/>
- 0 , 9 2 m / s
=
- 0 ,
cox(0) ( 2 3 ,5 r a d / s ) ( - 0 , 0 8 5 m )
To równanie ma dwa rozwiązania :
0 = - 2 5 ° o r az
c f > =
180° + (- 25 °) = 15
(Kalkula tor podaje jedynie pierwsze rozwiązanie) .
O—ff Wyboru prawidłow ego rozwiązania dokonujemy, o
dla obu wartości 4> amplitudę x
m
. Dla cj> = —25°
(16.15) ot rzymujemy
x ( 0 ) _ - 0 , 0 8 5 m
c o s 0 cos(—25°)
= - 0 , 0 9 4 .
D la
<p =
155° natom iast otrzymu jemy x
m
= 0 ,094 m
waż amplituda w ruchu harmonicznym musi być stałą d
poprawne wartości fazy początkowej i amplitudy to
p = 155°
= 0,094 m = 9,4 cm . (odp
S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
Porada 2 : Jak wykryć ruch harmoniczny
W liniowym ruchu harmonicznym przyspieszenie a i przemiesz
czenie x układu wiąże ze sobą zależność typu
a = —(dodatnia stała)
•
x ,
która mówi, że przyspieszenie jest proporc jonalne do odchylenia
od położenia równowagi , a le ma przeciwny znak. Gdy tylko znaj
dziesz taką zależność dla układu drgającego, możesz natychmiast
na podstawie w yrażenia (16.8) utożsamić dodatnią sta łą z wie lko
ścią co
2
i w ten sposób szybko uzyskać wzór na częstość kołową
ruchu. Korzystając ze wzoru (16.5), możesz następnie określić
okres T i częstość v.
W niektórych zadaniach otrzymasz wyrażenie opisu
leżność siły F od przesunięc ia x. Gdy mamy do czynienia
wym ruchem harmonicznym, si łę i przemieszczenie układ
ze sobą zależność typu
F = —(dodatnia stała) • x,
która mówi, że siła jest proporcjonalna do przemieszczenia
przeciwny znak. Gdy tylko znajdziesz taką zależność dla
drgającego, możesz natychmiast porównać ją ze wzorem
i utożsamić dodatnią stałą z wielkością k. Jeżeli znasz ma
nym układzie , możesz — posługując się wzoram i (16.12)
i (16.5) — wyznaczyć częstość kołową
co,
okres T i czę
16 .4 . Energ ia w ruchu harmonicznym
Jak wiemy z rozdziału 8 , energia oscylatora l in iowego zmienia s ię wciąż
gi i k inetycznej w potencjalną i z powrotem, podczas gdy ich suma —
mechan iczna E oscylatora — pozostaje stała. Zanalizujemy to i lościowo.
1 0 0
16 . Dr gania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 117/329
Energia potencja lna oscyla tora przedstawionego
na
rysunku
16.5 w
ca ło
ze
sprężyną.
Jej
wartość za leży
od
s topnia rozciągnięcia
lub
—
czyl i
od
x ( t ) . Korzystając
z
za leżności (8 .11)
i
(16.3) ,
E
p
(t) = \kx
2
— \kx^ co s
2
(cot + cb). (16.18)
że
funkcja zapisana
(jak w
p o wy ż s z y m wz o r z e )
w
pos tac i cos
2
A
(cos A )
2
i
nie j e s t tym samym
co
zapis cos A
2
, k tó ry oznacza cos (A
2
) .
Energia k inetyczna układu
z
rysunk u 16.5
w
ca łości związana jes t
z
k loc
od
tego, jak szybko po rusza s ię k locek
—
czyli
od
v ( t ) .
z
za leżności (16.6) , o t rzymujemy
£
k
( f )
=
\mv
=
\mco
2
x
2
n
ńn
2
(cot + cb).
(16.19)
z za leżności (16.12) i pods tawimy k/m zamias t
co
2
,
równanie
E
k
(t) = \mv
2
= \kx
2
ri
s i n
2
\ c o t + cb).
(16.20)
Sumując wyrażenia (16.18)
i
(16.20) , o t rzymujemy energię mechaniczną
E — Ep
+ £
k
\kx^
co s
2
c o ł
cb
\kx\
s in
2
w ?
+
cb
2
I
\kx^
L
cos c> cb
ńn
2
(cot + cb)].
a
c o s
2
a s i n
2
a = 1.
w nawiasach kwadra towych równe j e s t j ednośc i
E — Ep -f £ — 2 ^ * ^ m
16.21)
E
p
(t)+E
k
(t)
a)
r
E
9
(x) +
/
1
I
a
°
\E
k
(x
b)
Rys.
1 6 . 6 .
a) Energia potencjaln
energia kinetyczna
E
k
t)
oraz
mechaniczna E l iniowego os
harmonicznego jako funkcja czas
uważmy, że wszystkie rodzaje en
dodatnie , przy czym energia pote
i energia kinetyczna mają dw
sima w c iągu każdego okresu, b
gia potencjalna
E
v
(x),
energi
tyczna E
k
(x)
oraz
energia mech
E l iniowego oscylatora harmon
o amplitudzie x
m
jako funkcja p
x.
D la x
= 0
m a m y
do
czynien
z energią kinetyczną, a d la x =
tylko
z
energią potencjalną
Energia mechaniczna oscyla tora l in iowego rzeczywiście jes t s ta ła
i nie za
od
czasu.
Na
rysunk u 16.6a przedstaw iono zależności energi i potencja lnej
od
czasu t,
a na
rysunku 16.6b
— od
x .
Rozumiemy teraz , jaka jes t ro la sprężystości
i
bezwładnośc i uk ładu drgają
Ze
sprężystością zw iązana jes t energia potencja lna układu,
a z
b e z wł a d n o
3
Gdy k locek
w
układzie przedstawionym
na
rysun ku 16.5 znajduje
w punkc ie x = 2 cm, jego energia kinetyczna wynosi 3 J, a energia potencjalna
2
J. a) Wyznacz energię kinetyczną klocka
w
punkc ie x =
znacz energię potencjalną sprężystości układ u, gdy klocek znajduje się b) w punkcie
—2
cm
oraz
c) w
punkc ie
x =
—
x
m
.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 118/329
Przyk ład 16 .3
a) Wyznacz energię mechaniczną E oscylatora l iniowego z przy
kładu 16.1 (warunki początkowe: położenie klocka x = 11 cm,
prędkość v = 0; stała sprężystości k równa jest 65 N/m).
R O Z W I Ą Z A N I E :
O —
»
Energia mechaniczna E (suma energii kinetycznej E
k
=
mv
2
/2 klocka i energii potencjalnej E
p
= kx
2
/2 sprężyny) jest
stała podczas ruchu oscylatora. Zatem energię E możemy wyzna
czyć w dowolnym punkcie . Ponieważ mamy dane warunki począt
kowe dla oscylatora: x = 11 cm i v = 0, wyznaczmy dla nich
energię
E.
Otrzymujemy
E = E
k
+ E
p
= \mv
2
+ \kx
2
= 0 + ^ ( 6 5 N / m )( 0 ,1 1 m )
2
= 0,39 3 J ss 0,39 J. (odpow iedź)
b) Wyznacz energię potencjalną E
p
i energię kinetyczną E
k
oscy
latora, gdy klocek znajduje się w punkcie x = x
m
/2 oraz gdy
znajduje się w punkcie x = —x
m
/2.
nieruchomy koniec
drut
linia o dniesienia
Rys.
1 6 . 7 .
Wah adło torsyjne to ką
towy odpowiednik l iniowego oscyla tora
harmonicznego z rysunku 16.5. Krążek
oscyluje w płaszczyźnie poziomej, l inia
odniesienia wykonuje drgania z ampl i
tudą zmian kąta 9
m
. Skręcen ie drutu jest
źródłem energii potencjalnej — analo
gicznie do rozciągania sprężyny — i po
woduje powstanie momentu si ły dążą
cego do przywrócenia stanu początko
wego
R O Z W I Ą Z A N I E :
O T Znając położenie klocka , możem y ła two wyznaczy
potencjalną sprężyny E
p
= kx
2
/2 . D la x = x
m
/2 mamy
F p —
2
kx~ — ^ ( ^ m ) —
-2
^Ą^kx
m
-
Możemy podstawić do tego wzoru wartośc i k i x
m
lu b
O
rzystać z tego, że całkowita energia mechaniczna, którą
liśmy w części (a), wynosi
fac
2
/2 . Otrzymujemy w ten
= \E =
±(0,393 J) = 0,098 J. (od
Podobnie jak w części (a) skorzystamy ze wzoru E =
i ot rzymamy
E
k
= E - E
p
= 0,39 3 J - 0,098 J « 0,3 J. (od
Powtarzając te obliczenia dla x = —x
m
/2 , otrzym amy
wynik — zgodnie z symetr ią rysunku 16.6b względem
x
= 0.
17
T = 2%+— (wahadło torsyjne) . (1
V K
1 6 . 5 . Wahadło torsyjne
Na rysunku 16 .7 przedstawiono wahad ło t orsy j ne (skrętne). Jest to też
tor harmoniczny, w k tórym jednak sprężystość n ie jes t związana ze śc is
i rozc iąganiem sprężyny, lecz ze skręcaniem zamocow anego na j ednym
cienkiego prę ta .
Jeżeli obrócimy zawieszony na drucie krążek z rysunku 16.7 o pew
9 w s tosunku do położenia spoczynkowego (w k tórym l in ia odnies ien ia
ł ożen i e 9 — 0) i puśc im y sw obodn ie , zacznie on drgać wokół położ en
czynkowego, wykonując ruch harmoniczny . Obrót krążka o ką t 9 w do
kierunku powoduje powstanie momentu s i ły przywracającego s tan rów
danego w zo rem
M = -K
9.
S y m b o l e m K (grecka l i te ra kappa) oznaczono
stałą,
nazyw aną m o m
kieruj ącym, k tóra za leży od d ługo ści , ś rednicy i mater ia łu , z jak ie go
nano dru t .
Porównanie wzorów (16 .22) i (16 .10) prowadzi do wniosku , że wy
(16 .22) jes t analogiczne do prawa Hooke 'a . W konsekwencj i możemy prz
c ić wzór (16 .13) na okres drgań w l in iowym ruchu harmonicznym na w
okres drgań wahadła torsy jnego. W tym celu s ta łą sprężystośc i k we
(16 .13) na leży zastąp ić je j odpowiednik iem — sta łą K ze wzoru (16 .22
dobn ie masę m we wzorze (16 .13) — je j odpowiednik iem, czyl i mo
bezwładności / d rgającego krążka . Ot rzymujemy w ten sposób poprawn
na okres drgań wahadła torsy jnego
102 16 . Dr gania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 119/329
3 :
Po czym poznać harmoniczne drgania torsyjne
a i przemieszczenie kątowe 9 układu wiąże ze
a = —(dodatnia stała)
•
9 .
(a = — co
2
x). P o
a jest propor
6 od położenia równowagi, ale
, a następnie wyznaczyć
co ,
v i T.
Harmoniczne drgania torsyjne możesz również zidentyfi
wać po wyrażeniu wiążącym moment si ły M z przemieszc
niem kątowym, o i le ma ono postać analogiczną do wzoru (16.
(M = —
K9),
czyli
M = - (doda tn i a s t a ł a )
•
9 .
Jest to kątowy odpowiednik równania (16.10) (F = —
kx).
rażenie to mówi, że moment siły M jest proporcjonalny do p
mieszczenia kątowego 9, ale powoduje obrót układu w przec
nym kierunku. Mając zależność o takiej postaci, możesz ut
samić dodatnią stałą z momentem kierującym K układu. Je
znasz moment bezwładności
I
układu, możesz — posługując
równaniem (16.23) — wyznaczyć okres T.
L równej
m równej 135 g zawieszony w środku na długim
T
a
drgań torsyjnych pręta wynosi 2,53 s.
X (rys. 16.8b), i zmierzono
Tt , — w ynosi on 4,76 s . Wyznacz mom ent bezwładności
X względem osi, wokół której zachodzą drgania.
drut
d_3 dt3
P
r
C t
a)
ciało
X
b )
1 6 . 8 . Przy kład 16.4. Dw a wahad ła torsyjne złożo ne:
z drutu i pręta oraz b) z takiego samego drutu i ciała o niere
R O Z W I Ą Z A N I E :
O — t
Związek momentów bezwładności prę ta i c ia ła X ze zm
rzonymi okresami opisuje zależność (16.23). Zgodnie z tab
11.2e moment bezwładności c ienkiego prę ta względem osi pr
chodzącej przez jego środek jest równy mL
2
/12. Zatem dla pr
przedstawionego na rysunku 16.8a mamy
±m L
2
: ( ^ ) ( 0 , 1 3 5 k g ) ( 0 , 1 2 4 m )
2
= 1,73
•
1 0 ~
4
kg
•
Zapiszmy teraz wyrażenie (16.23) osobno dla pręta i dla ciała
otrzymujemy dwa równania
T
a
=
2
H . /
—
V
K
oraz
l i
K
h
= 2:t ,
Stała K, będąca właściwością drutu, jest w obu wzorach taka sa
różnią się one jedynie okresami i momentami bezwładności.
Podnosimy obydwa równania do kwadratu, dz ie l imy dru
przez pierwsze, a następnie rozwiązujemy uzyskane w ten spo
równanie ze względu na
Ib -
Otrzymujemy
h
T
2
1
b
a
^ =
( 1 , 7 3 -
1 0
- 4
k g - m
2
)
kg
•
m
2
.
' T2
a
: 6 , 1 2 - 1 0 ~
4
(4 ,76 s )
2
(2 ,53 s )
2
(odpowie
W a h a d ł a
1 6 . 6 . W a h a d ł a
1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 120/329
Wahadło matematyczne
1 6 . 9 . a) W ahad ło matematyczne ,
g
T. Składowa styczna
g
si n 6 powoduje powrót
Jeżel i zawiesisz jabłko na końcu długiej n ic i umocowanej na górnym koń
czniesz nim kołysać tam i z powrotem z niewielką ampli tudą, to z ła two
obserw ujesz , że jabłk o wykonuje ru ch okresowy. Czy jes t to ruch ha rmo
A jeżel i tak , to i le wynosi jego okres Tl Aby odpowied zieć na te pytan
ważmy wahad ło ma tematyczne ; ma ono pos tać c ia ła (c ięża rka ) o mas i
wieszonego na jednym końcu nierozciągliwej l inki , o znikomo małej ma
d ługośc i L, której drugi koniec jes t umocowany (rys . 16.9a) . Ciężarek
s ię swobodnie tam i z powrotem w płaszczyźnie rysunku, w lewo i w pr
pionowej l in i i przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła .
Jak pokazano na rysunku 16.9b, na którym l inka odchylona jes t o k
pionu, na c iężarek dzia ła ją naprężenie l inki T i siła ciężko ści F
g
. Rozk
siłę F
g
na składową rad ialną Fg cos 9 i składową styczną do toru zakre
przez c iężarek F
g
s in# . Sk ładowa s tyczna powoduje powstan ie p rzywrac
s tan równowagi momentu s i ły wzg lędem punk tu zawieszen ia wahad ła , g
wsze dzia ła przeciwnie do wychylenia c iężarka i wymusza jego powrót do
nego po łożen ia . Nazywamy je położeniem równowagi (9 = 0), gdyż n ie r
wahad ło pozos tawa łoby w n im w spoczynku .
Korzysta jąc ze wzoru (11.33) (M = r±F), może my zap isać mom
w postaci
M = — F ( F
g
s in #) ,
gdzie znak minus oznacza, że moment s i ły powoduje zmniejszenie kąta
9,
ram ieniem składowej s tycznej s iły F„ s in
9
wzg lędem punk tu zawieszen i
dła . Podstawiając wyrażenie (16.24) do wzoru (11.36) (M = la ) oraz za
wartość s i ły c iężkości wyrażeniem mg, o t rzymujemy
-L(mgsh \9) = la,
gdz ie / j e s t momentem bezwładnośc i wahad ła wzg lędem punk tu zawie
aa — przysp ieszen iem ką towym względem tego punk tu .
Możemy uprościć wzór (16.25) , zakładając , że kąt
9
jes t mały; w
funkcję sin
9
można przybliżyć przez
9
(kąt
9
musi być wyrażony w radi
(Na przykład, jeżel i
9=5° =
0,0873 rad, to sin6> = 0,0872, różnica jes
0,1%). Korzysta jąc z tego przybliżenia i wykonując przekszta łcenia , o trzym
mgL
a = | —
9 .
Ot rzymal i śmy wzór , k tó ry je s t ką towym odpowiedn ik iem równan ia d la
ha rmonicznego (16 .8 ) . Mówi on , że p rzysp ieszen ie ką towe a wahad ła je
porc jona lne do jego p rzemieszczen ia ką towego 9, a le ma przeciwny zna
więc ,
gdy c iężarek w ahadła porus za s ię , powiedzm y, w prawo , jak na rys
jego przyspieszenie skierowane w lewo wzrasta , dopóki c iężarek nie za
się i nie zacznie poruszać się w lewo. Gdy następnie znajduje się on
s trony, jego przyspieszenie skierowane jes t w prawo i powoduje powrót na
stronę, i tak da le j , jak w ruchu ha rmonicznym. Mówiąc śc i ś le , ruch w
matematycznego poruszającego się w zakresie odpowiednio małych kątów
przybliżeniu harmoniczny. To ograniczenie do małych kątów możemy w
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 121/329
9
m
(maksymalny ką t odchy
Porównując wyrażenia (16.26) i (16.8), widzimy, że częstość kołowa wahadła
mgL
I
co do wzoru (16 .5) co = 2 j t / T ) ,
2T T
mgL
(16.27)
a tycznego skupiona j es t w c i ężarku o masie m znajdu
L od punktu zawieszenia. Korzystając ze wzoru (11.26)
2
), możem y zapi sać mom ent bezwładno śc i wahadła w pos t ac i I = mL
2
.
r =
2 7 r . / -
(wahadło matematyczne, mała amplituda) .
(16.28)
wahad ło , nazyw ane zwykle w ah ad łem f izycznym, moż e mieć skom
Na rysunku 16.10 przedstawiono pewne wahadło f izyczne odchylone w jedną
6. Si ła ciężkości F
g
dz i a ł a na j ego ś rodek masy C znajdujący się
h
od punktu zawieszenia
O.
Pomimo różnicy ksz t a ł tów porównanie
16.10 i 16.9b ujawnia tylko jedną i stotną różnicę międ zy dow olnym
F
g
sin 0 ma ramię o d ługośc i h
L. Tak więc
9
m
)
doszl ibyśmy do wnio sku, że ruch jest w przyb l iżeniu
Jeżel i we wzorze (16.27) zastąpimy
L
przez
h,
o t rzymamy nas t ępujące wy
nie na okre s ruch u wa had ła fizycznego
: 2 71.
mgh
(wahadło f izyczne, mała amplituda) . (16.29)
O,
I
„
s ine -
-F .
Rys.
1 6 . 1 0 . Wahadło fizyczne.
wracający równowagę moment si
nosi hF
g
ńnd. G dy 9 = 0, środe
C znajduje się bezpośrednio pod
tem zawieszenia wahadła O
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 122/329
Podobnie j ak w wahadle ma tema tycznym, / j e s t momen tem bezwładn oś
hadła względem punktu O. Jednakże w tym przypadku moment / n ie
s ię pros tym wzorem
mL
2
(mom ent bezw ładno śc i za leży od ksz ta ł tu w
fizycznego), ale nadal jes t propo rcjonaln y d o mas y
m.
Wahadło f izyczne nie będzie drgać , gdy jego punkt zawieszenia będ
znajdował w środku masy. Formalnie taka sytuac ja odpowiada podstawien
0 do wyrażenia (16.29) . Mamy wtedy
T
oo , co oznacza , że takie w
nigdy n ie wykona j ednego pe łnego cyklu drgań .
Każdemu wahadłu f izycznemu, drga jącemu wokół danego punktu za
nia O z okresem T odpowiada wahadło ma tema tyczne o d ługośc i LQ d
z tym samym okre sem T. Wie lkość LQ, nazywaną długością zredukowan
hadła fizycznego, mo żemy w yznaczy ć ze wzoru (16 .28) . Pun kt zna jduj
w odległośc i LQ od punk tu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań w
fizycznego dla daneg o punk tu zawieszenia .
Pomiar przyspieszenia ziemskiego g
Wahadło f izyczne możemy wykorzystać do pomiaru przyspieszenia z iem
g
w poszczególnych punktach na powierzchni Ziemi. (W ramach badań
zycznych takich pomiarów wykonano niez l iczenie wie le) .
Rozważmy pros ty przypadek. Weźmy wahadło w postac i jednorodneg
o długo śc i L, unieru chom ioneg o na jedn ym koń cu. Dla takiego wahadła od
od punktu zawieszenia do środka masy — czyl i wie lkość h we wzorze (16
wynos i L /2 . Zgodnie z t abe lą 11 .2e moment bezwładnośc i t ego wahadła
dem pros topadłe j os i przechodzące j przez ś rodek masy jes t równy mL
2
/12.
rzys ta jąc z danego równaniem (11.29) twierdzenia Ste inera (I = /§
M
+
otrzymujemy moment bezwładnośc i prę ta względem osi przechodzące j pr
den z jeg o końcó w i pros topadłe j do prę ta
/ = 7
Ś M
+
mh
2
= ±mL
2
+ m (\L)
2
= \mL
2
.
Jeże l i do równania (16.29) podstawimy h = L/2 i I — mL
2
/3 , a na
rozwiążemy je względem g, to o t rzymamy
Sn
2
L
(
3 T
2 '
Za tem zmie rzywszy d ługość L i okres
T,
możemy wyznaczyć war tość
spieszenia z iemskiego g w mie jscu, gdz ie zna jduje s ię wahadło. (W prz
gdy potrzebne są precyzyjne pomiary, niezbędne s ta je s ię wprowadzenie s
udoskonaleń, jak na przykład umieszczenie wahadła w komorze próżniow
Przyk ład 16 .5
Przymiar metrowy wykonuje drgania wokół punktu zawieszenia,
znajdującego s ię na jedny m z jeg o końców, w odległości h od
środka m asy (rys . 16.1 la) .
a) Wyznacz okres T drgań przymiaru.
ROZWIĄZANIE:
O — P r z y m i a r n ie j e s t w a ha d łe m m a t em a t ycz nym , gd
masa nie jes t skupiona na końcu przeciwnym do punktu za
nia — tak więc przymiar jes t wahadłem fizycznym. Zatem
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 123/329
w którym występuje moment
/ przymiaru względem jego punktu zawieszenia.
że przymiar jest jednorodnym prętem o długo
i L i masie m. Wówczas ze wzoru (16.30) mamy I = mL
2
/3,
h w e
wzorze (16.29) równa jest
L/2.
Podstawiając
te
do równania (16.29), otrzymujemy
T = 2u
= 27t
/
= 2TT
\m L
2
, =2nl— (16.32)
mgh y mg(\L) y
3
#
(2)(1
m)
(3)(9,8 m/s
2
)
1,64 s.
(odpowiedź)
że wynik nie zależy od masy m wahadła.
L
0
od punktu zawieszenia O przymiaru do
—
w
Chcemy wyznaczyć długość LQ wahadła matematycznego
na rysunku 16.1 lb) , mającego taki sa m okres
ja k wahadło fizyczne (przymiar) z rysunku
16.1
la . Z po
i (16.32) otrzymujemy
L
0
=
\L
= (|)(100 cm) = 66,7 cm.
(odpowiedź)
Rys.
1 6 . 1 1
.
Przykład 16.5. a) Przymiar metrowy zawieszo
jeden koniec jako wahadło fizyczne, b) Wahadło matematyc
długości L
0
dobranej w taki sposób, by okresy drgań obu wa
były jednakowe. Punkt P na wahadle przedstawionym w
(a) rysunku wskazuje jego środek wahań
Punkt
P na
rysunku 16.1
la
znajduje
się
właśnie
w
takiej
głości od punktu zawieszenia O. Zatem punkt P stanowi ś
wahań przymiaru
dla
danego punktu zawieszenia.
•/SPRAWDZIAN 4 : Dane są trzy wahadła fizyczne o m
sach mo, 2mo i 3mo, mające takie same kształty i wymi
zawieszone w takich samych punktach. Uszereguj wahadła
dług okresów
ich
drgań, zaczynając
od
największego.
16.6
a rysunku 16.12 przedstawiono pingwina (oczywiście wprawio
w
sportach wodnych) skaczącego do wody
z
trampoliny ma
na zawiasie, a prawy jest oparty na sprężynie. Deska ma
L = 2 m i masę m = 12 kg ; stała sprężystości k wy
do wody, deska i sprężyna
o małej amplitudzie. Zakładamy,
eska jest wystarczająco sztywna, by się nie uginać. Wyznacz
T drgań.
1 6 . 1 2 . Przykład 16.6. Pingwin skaczący do wody wzbudza
i sprężyny; z lewej strony deska zamocowana jest
R O Z W I Ą Z A N I E :
Wobec tego, że w układzie znajduje się sprężyna, możemy
puszczać, że drgania układu są harmoniczne, ale nie m
tego założyć. Posłużymy
się
więc następującym rozumowa
O — f
Gdy deska wykonuje drgania harmoniczne, przyspie
i przemieszczenie drgającego końca deski powinna wiąza
leżność mająca taką postać ja k wyrażenie (16.8) {a = —
Jeżeli tak jest, to na podstawie tej zależności będziemy mog
znaczyć częstość kołową co ,
a
następnie poszukiwaną warto
Znajdźmy zatem zależność między przyspieszeniem a przem
czeniem prawego końca deski.
Gdy koniec deski wykonuje drgania, deska jako całoś
raca się na zawiasie, skupimy się zatem na działającym na
momencie siły
M
względem osi zawiasu. Ten moment siły
zany jest
z
siłą
F,
jaką sprężyna działa
na
deskę. Poniewa
F zmienia się w czasie, zatem i moment siły
M
musi ró
ulegać zmianom. Dla dowolnej chwili możemy jednak, po
jąc się wzorem (11.31) (M = rFsin</>), powiązać wartoś
i F. W naszym przypadku mamy
M = LF sin 90° , (1
gdzie L jest ramieniem siły F, a 90° to kąt między rami
siły a kierunkiem je j działania. Z zależności (16.33) i (
16.6. W a h a d ł a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 124/329
= la),
otrzymujemy
LF
= la,
(16.34)
I jest momentem bezwładności deski względem zawiasu,
a — jej przyspieszeniem kątowym względem tego samego
ja k c ienki, podwieszony na jednym
—zgodnie ze wzorem (16.30) — jej mo
I wynosi mL
2
fi.
Wyobraźmy sobie pionową oś x przechodzącą przez drgający
i skierowaną w górę . Wówczas si ła wywierana przez
na
prawy koniec deski jest równa
F =
— kx, gdzie
x
Podstawiając wyrażenia na / i F do wzoru (16.34) , otrzy
mL
2
a
-Lkx
= ~^—.
(16.35)
x
przyspieszeniem kątowym a względem zawiasu. Korzystając
(a
s
, =
cor)
na przyspieszenie styczne, możemy
a we
wzorze (16.35) przez przy
a
wzdłuż
osi x. W
naszym przypadku przy
a, natomiast odległość pingwina od
osi obrotu
r
jest równa
L, tak
więc
a = a/L. Po
podstaw
do równania (16.35) przybiera
ono
postać
mL
2
a
-Lkx
=
3L
skąd otrzymujemy
3k
a
= x.
m
Wyrażenie (16.36)
ma w
istocie taką samą postać
jak
w
(16.8)
(a =
— co
2
x). Zatem deska rzeczywiście porusza
chem harmonicznym, przy czym
z
porównania zależności
i (16.8) mamy
, 3k
o)
— —,
m
co daje
Korzystając
ze
wzoru (16.5) (a>
= 2n/T),
wyznaczam y
I
m
I
12
kg
T
= 2jt,/ — =
2 i t ,
/ = 0,35 s.
(odp
V
3k
Y 3(1300 N/m)
v v
M oż e to cię zaskoczy, ale okres drgań nie zależy od dłu
deski.
1 6 . 7 . R u c h h a r m o n i c z n y
a r u c h j e d n o s t a j n y po o k r ę g u
W roku 1610 Galileusz, posługując się skonstruowanym przez siebie teles
odkrył cztery główne księżyce Jowisza. Po tygodniach obserwacji stwierd
wydaje się, że każdy księżyc porusza się tam i z powrotem względem p
w sposób, który obecnie nazwalibyśmy ruchem harmonicznym; dysk plan
centralnym punktem ruchu. Wykonane własnoręcznie przez Galileusza
z obserwacji wciąż są dostępne. A.P. French z MIT na podstawie danyc
lileusza wyznaczył położenia księżyca Callisto względem Jowisza. Na r
16.13 kółkami oznaczono obserwacje Galileusza, a linią ciągłą — krzywą
piej dopasowaną do danych. Kształt krzywej zdecydowanie pasuje do zale
1 6 . 1 3 . Widz iana
z
Ziemi odle
a
jego
z 1610 roku. Li
do
na
ruch ha rmo
Dla
średniej odległości
od
Ziemi
łuk o rozpiętości 10 minut
2 • 10
6
km.
A.P.
French, Newtonian
W.W.
Nor ton
& Co., New
s. 288)
3
e
15 .
10
j
5 \
0
- 5 [
- 10
- 1 5
1—
[zachód
10 20 30-
d o b y
40 ~
Iwschód
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 125/329
W rzeczywistośc i Cal l i s to porusza s ię z n iemal s ta łą prędkością po prawie
Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu poruszającego si ę ruchem jednostajnym
o okręgu na średnicę okręgu, po którym ten ruch si ę odbywa.
Zi lust rowano to na rysunku 16 .14a . Przedstawiono na n im cząstkę P' p o r u
O J . Promień
cot
+ cp, gdzie
cp
— położen ie ką towe w chwi l i
Rzutem położenia cząstk i P ' na oś x j e s t punk t P, k tórego ruch będziemy
P' na oś x da je współ rzędną x{t)
P. Ot rzymujemy za t em
x(t)
= x
m
cos(<yf + cp),
P porusza
Na rysunku 16 .14b przedstawiono prędkość
v
cząstki
P'.
Zgodn ie ze w zo rem
(v = cor) d ługość wektora prędkości wynosi
cox
m
,
a jeg o rzut na oś x
v(t)
= —
cox
m
sin(&>? +
<p),
P
x.
Na rysunku 16 .14c przedstawiono przyspieszenie dośrodkowe a cząstki P'.
(a
r
=
co
2
r) d ługość wektora przyspieszenia dośrod
co
2
x
m
, a jeg o rzu t na oś x opisu je wyrażenie
a(t) = —co
2
x
m
cos(&>f + cp),
a) Cząstka P' poruszająca si ę ruchem jednostajnym p o okręgu o promieniu x
m
.
je j położenia P na oś x wykonuje ruch
harmoniczny,
b) Rzut prędkości v cząstki
harmonicznego,
c) Rzut przyspieszenia dośrodkowego a cząstki jest
a )
^~ l
^\-COt
+</>
t
1
\ p -
/ COt+lj)
i / i \
y
i \
1 O
v(t
)Pj
c )
16 .7 .
Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu 10
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 126/329
1 6 . 8 . R uc h h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y
x sztywne
zawieszenie
< — łopatka
i stała tłumienia b
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Rys.
1 6 . 1 5 .
Prosty oscylator tłumiony.
Zanurzona w cieczy łopatka działa ha
mująco na klocek drgający wzdłuż osi x
Wahadło zanurzone w wodzie będzie drgać krótko, gdyż woda stawia mu
powoduje szybkie zanikanie ruchu. W powiet rzu wahadło porusza się ła tw
i tak w końcu jego ruch zamiera , gdyż powiet rze także stawia opór (znacz
również tarcie w punkcie zawieszenia wahadła) , zmniejszając energię w
Jeżel i ruch oscylatora s łabnie na skutek działania s i ł zewnętrznych,
oscy la to r nazywamy
oscy latorem t łumionym,
a j ego d rgan ia nazywam
m i o n y m i . Na rysunku 16.15 przedstawiono prosty oscylator t łumiony, w
klocek o mas ie m drga w pionie zawieszony na sprężynie o s ta łe j sprężys
Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką (zakładamy, że oba
menty mają znikomą masę) zanurzoną w cieczy. Gdy łopatka porusza się
i w dół, ciecz wywiera na nią ( i w konsekwencji na cały układ drgają
oporu . Z up ływem czasu energ ia mechan iczna uk ładu k locek- sp rężyna
— przekształca s ię w energię termiczną cieczy i łopatki .
Za łóżmy nas t ępn ie , że s i ła oporu F
0
, jaką. działa c iecz, jest propor
do war tości prędkości v łopatki i k locka ( takie założenie jest popraw
łopatka porusza się powol i ) . Dla składowej wzdłuż kierunku x na rysunk
mamy za tem
F
0
= -bv,
gdz ie b j e s t s ta łą t łumien ia , która zależy od właściwości łopatki i c ie
układzie SI s ta łą t łumienia mierzymy w ki logramach na sekundę) . Znak
wskazuje , że s i ła
F
0
p rzec iwdz ia ł a ruchowi .
Sprężyna działa na klocek si łą F
s
= —kx. Zakładamy, że s i ła c
działa jąca na klocek jest znikomo mała w porównaniu z s i łami F
0
i F
s
. W
drugą zasadę Newtona dla składowej wzdłuż osi x (F
x
= ma
x
) zap
w postaci
— bv — kx = ma.
Po podstawieniu dx/dt = v i d
2
x/dt
2
= a ot rzymujemy równanie różni
d
2
x dx
m—r+b—+ kx = 0.
dt
z
dt
Rozwiązanie tego równania ma postać
x(t) =
x
m
e-
bt/2m
cos(co't + 4> , (1
gdzie x
m
jest amplitudą, a co ' — częstością kołową o scylatora t łumion eg
w z o r e m
(1
G dy b = 0 (brak t łumienia) , wyrażenie (16.41) sprowadza się do wzoru
na częstość kołową oscylatora niet łumionego (co = *Jk/m), a wy rażenie
— do wzoru (16.3) na przemieszczenie oscylatora niet łumionego. Jeże
t łumienia jest mała , a le nie równa zeru (czyl i b <g, \fk~m), to co ' «s co.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 127/329
Jak widać z rysunku 16.16, wyrażenie (16.40) przedstawia drgania sinuso
x
m
t
~
bt
l
lm
)
stopniowo maleje z upływem czasu.
E = \kx^
a
. W przypadku oscylatora tłumionego energia me
E(t), zastępując w wyrażeniu (16.21) wielkość x
m
przez am
x
m
e~
ht
^
2m
. Otrzymujemy w ten sposób zależność
E{t) \kxlp-
b
m
, (16.42)
której wynika, że energ ia — podobnie jak a mplituda — maleje wykładniczo
5 Mamy trzy zestawy wartości parametrów (stała sprężystości, stała
na rysunku 16.15. Uszereguj je
by energia mechaniczna zmalała do jednej czwartej
od najdłuższego do najkrótszego.
zastaw 1
2k
0
bo
m
0
zastaw 2
ko
6b
0
zestaw
3
3k
0
3b
0
mo
16.7
na rysunku 16.15 ma następu
m
= 250 g,
k
= 85 N/m oraz
b
= 70 g/s.
Ponieważ b <C ~Jkm = 4,6 kg/s, okres drgań jest w przybli
jak w przypadku oscylatora nietłumionego. Zatem
m
0,25 kg
:
2 j c , /— = 2jt ./ = 0,34 s.
V k
V
85 N
/m
(odpowiedź)
-bttlm
---m
Jl.
1 L__
r
. 2
3 • 4
t[s]
-btOm
16.16. Zależność x(t) dla oscylatora tłumionego z rysunku
którego parametry określono w przykładzie 16.7. Ampli
x
m
e~
bt/2m
,
maleje wykładniczo z czasem
b) Wyznacz czas, po jakim amplituda drgań tłumionych zm
do połowy swojej wartości początkowej.
R O Z W I Ą Z A N I E :
O—nr Jak wynika ze wzoru (16.40), amplituda w chwili
równa
x
m
e~
h,/2m
.
Dla t = 0 jest ona równa x
m
. Tak więc mu
znaleźć taką wartość czasu t, dla której zachodzi
-btjlm _ 1
Po podzieleniu obu stron równania przez x
m
i zlogarytmow
ich prawa strona równania jest równa ln(l/2), a lewa
ln(e~
f a / 2 m
) = -bt/2m.
Zatem
t =
-2m\n(\)
b
-(2)(0,25 kg) ln(i )
:
5 s. (odpow
0,07 kg/s
v
Ponieważ
T
=0 ,34
s,
wyznaczony czas jest równy
w
przybliż
15 okresom drgań.
c) Wyznacz czas,
po
jakim energia mechaniczna układu zm
do połowy swojej wartości początkowej.
R O Z W I Ą Z A N I E :
O—"t Jak wynika ze wzoru (16.42), energia mechaniczna w c
/ równa jest
)jkx r
b
'
lm
.
Dla t = 0 jest ona równa \kx . Mu
1 6 . 8 .
Ruch harmoniczny tłumiony
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 128/329
zatem znaleźć taką war tość czasu t, dla której zachodzi
-k x
2
e
2
m
-btjm
Dzieląc obie strony równania przez \kx^, a nastę pnie rozw iązując
— tak jak poprzednio — względem t, o trzymujemy
- m l n ( i )
- ( 0 , 2 5 k g ) l n ( | )
0,07 kg/s
: 2,5 s. (odp
Jest to dokładnie połowa czasu , jak i o trzymaliśmy w pun
równa w przybliżeniu 7,5 okresom drgań. Rysunek 16.16
ilustrację do tego przykładu.
1
6 .9 . Drgan ia wymuszone i rezonans
Cz łowie k bujający się na huśtawce, k tórej n ikt n ie popycha, to przyk ład
swobodnych.
Jeże l i j ednak k toś okresowo popycha huś tawkę , wykonu je on
nia wymuszone.
Z uk łade m wykonu jącym drgan ia wym uszone związane
częstości kołowe: 1) własna częstość kołowa co układ u, czyl i czę stość
z jaką układ w ykony wałby drga nia swobo dne, gdyby został w nie wpr
w wyniku nagłego zaburzenia , oraz 2) częstość kołowa w
W
ym
zewnętrzn
powodujące j d rgan ia wymuszone .
Do p rzeds tawien ia d rgań wymuszonych oscy la to ra ha rmonicznego m
posłużyć się ponownie rysunkiem 16.15, o i le zawieszenie nie będzie s
lecz będzie s ię poruszać w górę i w dół z częstością kołową <w
w y m
. Taki o
wymuszony drga z częstością kołową w
w y m
s i ły wym uszającej , a jeg o prz
czen ie
x(t)
dane j e s t wzorem
x(t) = x
m
c o s ( a >
w y m
r + </>),
gdz ie
x
m
jest amp l i tudą drgań.
Wartość ampl i tudy drgań
x
m
w skomplikow any sposób zależy od
ści
& >
w y m
i
co .
Łatwiej opisać am pl i tudę zm ian prędkośc i drgań
v
m
— j
na jwiększa , gdy spe łn iony j es t warunek r ezonansu
<Wwym
=
<w
(rezonans). (1
Wyrażenie (16.44) jest również
przybliżonym
wa runk iem na to , aby am
drgań
x
m
była największa. Tak więc, jeżel i będziem y popychać huśtawk
własną częstością kołową, ampl i tuda drgań i ampl i tuda zmian prędkośc
bardzo duże — jest to fakt , k tórego dzieci bardzo szybko się uczą metod
i b łędów. Jeżel i będziemy popychać huśtawkę z inną częstością kołową, m
lub większą, ampl i tudy drgań i zmian prędkości będą mniejsze.
Na rysunku 16.17 przedstawiono zależność ampl i tudy oscylatora od cz
ft>
wyra
s i ły wym uszającej d la t rzech war tośc i s ta łe j t łumien ia
b.
Zauważ
wszystkie t rzy ampl i tudy są największe, gdy
co
wym
/o j
= 1, tzn. gdy sp
jest warunek rezonansu dany wzorem (16.44) . Z krzywych przedstawion
rysunku 16.17 widać, że im mniejsze t łumienie , tym wyższe i węższe ma
rezonansowe.
Wszystkie konst rukcje mechaniczne mają jedną lub więcej własnych
ści kołowych; jeżel i na tę konst rukcję działa duża si ła zewnętrzna zmie
się z częstością pasującą do jednej z tych częstości, powstające drgania
112 16. Drgania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 129/329
Rys. 1 6 . 1 7 . Ampl i tuda x
m
os
wymuszonego zmien ia s ię wraz
stością & )
w y m
s i ły wymuszające
pli tuda jest w przybliżeniu najw
gdy spełniony jest warunek rez
W w y m
/ i w = 1. Przedstawione krzy
powiadają trzem wartościom sta
<
y
w y m
/ t y
mien ia b
ni, że żadna z własnych częstości kołow ych, z jakim i mogą drgać skrzy
Trzęsienie z iemi w Meksyku we wrześniu 1985 roku było s i lne (8 ,1 s topni
0,2g, a drgania o często
Częstość v ruchu okresowego lub drgającego — to
1 herc = 1 Hz = 1 pełne drganie na sekundę = 1 s
- 1
. (16.1)
Okres T to czas , w jak im wykonywane jes t j edno pe łne
1
T = - . ( 16 .2 )
v
Ruch harmoniczny W ruchu harmonicznym p rzemies
x( t) c ia ła wzg lędem jego po łożen ia równowagi op isane jes
r em
x = x
m
cos(cot + (j>) (przemiesz czenie) ,
gdzie x
m
jes t ampl i tudą drgań, wielkość (cot + cf>) — fa
a
<f>
— fazą początkową. Częstość kołową co wiąże z
i częstością zależność
2 3 1
co = — = 2n v (częstość kołowa) .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 130/329
Różniczkując wzór (16.3), otrzymujemy wyrażenia na prędkość
i przyspieszenie w zależności od czasu dla ciała wykonującego
ruch harmoniczny:
v = —cox
m
sin(o>f + cj>) (prędkość) (16.6)
oraz
a = —co
2
x
m
cos(ft)? +
(f>)
(przyspieszenie). (16.7)
Dodatnia wielkość cox
m
w wyrażeniu (16.6) to amplituda zmian
prędkości v
m
ruchu. Dodatnia wielkość &>
2
x
m
w wyrażeniu (16.7)
to
amplituda zmian przyspieszenia
a
m
ruchu.
Oscylator liniowy
Pod wpływem siły zwrotnej opisanej prawem
Hooke'a F = —kx ciało o masie m porusza się ruchem harmo
nicznym. Częstość kołowa i okres dane są wzorami:
: 2 j t .
(częstość kołowa)
(okres).
(16.12)
Taki układ nazywamy liniowym oscylatorem harmonicznym.
Energia Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma w każdej
chwili energię kinetyczną E
k
= mv
2
/2 oraz energię potencjalną
E
p
= kx
2
/2. Jeżeli nie występuje tarcie, to całkowita energia me
chaniczna E = E
k
+ E
p
pozostaje stała, mimo że energie E
k
i E
p
się zmieniają.
Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu Rzu
poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na
okręgu, po którym ten ruch się odbywa, porusza się ruch
monicznym. Na rysunku 16.14 pokazano, że położenie,
i przyspieszenie tego rzutu spełniają równania ruchu ha
nego.
Ruch harmoniczny tłumiony Energia mechaniczna E
czywistym układzie drgającym maleje podczas drgań, g
zewnętrzne, jak na przykład siły oporu, hamują drgan
wodują przekształcanie się energii mechanicznej w ene
miczną. W związku z tym o rzeczywistym oscylatorz
ruchu mówimy, że są tłumione. Jeżeli siła oporu opi
wzorem F
0
= —bv, gdzie v jest prędkością oscylatora
stałą tłumienia,
to przemieszczenie oscylatora dane jest
-btllm
cos (<w';
-
(12 13) gdzie co' — częstość kołowa oscylatora tłumionego dana
b
2
Am
2
'
Jeżeli stała tłumienia jest mała (b <SC y/km), to co' «s
co
jest częstością kołową oscylatora nietłumionego. Dla m
energia mechaniczna
E
oscylatora dana jest wzorem
E(t) \kx
2
m
e-
h
m
-
Wahadła Przykładami urządzeń wykonujących ruch harmo
niczny są wahadło torsyjne (rys. 16.7), wahadło matematyczne
(rys.
16.9) oraz wahadło fizyczne (rys. 16.10). Okresy małych
drgań tych wahadeł wynoszą odpowiednio
(16.23)
(16.28)
(16.29)
Drgania wymuszone i rezonans Jeżeli zewnętrzna sił
szająca o częstości kołowej <w
wym
działa na układ drgając
snej częstości kołowej co, układ drga z częstością kołow
Amplituda zmian prędkości v
m
układu jest największa, g
niony jest warunek
rezonansu
ft>wvm
=
CO.
Również amplituda drgań x
nl
układu jest wtedy (w przy
największa.
1 . Która z poniższych zależności między przyspiesze
niem a i przemieszczeniem x cząstki związana jest z ruchem
harmonicznym: a) a — 0,5x, b) a = 400x
2
, c) a =
—
20x, d)
a - - 3 x
2
?
2 . Mamy ruch harmoniczny opisany wzorem
x =
(2 m)cos(50-
Jeżeli chcemy wyznaczyć prędkość w chwili t — 2 s, to powin
niśmy podstawić wartość t, a następnie zróżniczkować względem
czasu, czy też odwrotnie?
3 . Na rysunku 16.18 wykreślono przyspieszenie a(i) ciała wyko
nującego ruch harmoniczny, a) Który z zaznaczonych punktów od
powiada ciału znajdujące
mu się punkcie —x
m
? b) Ja
ka prędkość ciała odpowia
da punktowi 4: dodatnia,
ujemna, czy równa zeru?
c) Jakie położenie ciała od
powiada punktowi 5: w pun
kcie —
x
m
,
w punkcie
+x
m
,
w punkcie zero, w przedzia
le od —x
m
do zera, w prze
dziale od zera do +x
m
?
. 3
5» *7
6
Rys.
1 6 . 1 8 . Pytanie 3
1 1 4
16. Drgania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 131/329
<p odpowiada ruchowi har
TT < <p
<
b) jt < <f> < 3J I / 2 , c) - 3 T I / 2 <4>< - j t ?
a)
Pytania 4 i 5
b)
Na rysunku 16.19b wykreślono prędkość v(t) ciała wykonują
A i b) punkt B na wykre
— x
m
, czy też porusza się w kierunku
x
m
? Gdzie znajduje się ciało, gdy jego prędkość ma wartość
A i d) z punktu B na wykresie: w punkcie —
x
m
,
+x
m
,
w punkcie 0, w przedziale od
— x
m
do zera, czy
m
? W jaki sposób zmienia się pręd
A ii) z punktu B na wykresie
rośnie czy maleje?
Na rysunku 16.20 przedstawiono — dla trzech przypadków —
x(t)
dla dwóch identycznych
(A i B), różniących się jedynie fazą
o jaki należy przesunąć krzywą A, aby nałożyła się na
B. Z wielu możliwych odpowiedzi wybierz przesunięcie
ajmniejszej wartości bezwzględnej.
Pytanie 6
Na rysunku 16.21a i b przedstawiono chwilowe położenia (w
rów przedstawionych a) na rysunku 16.21a oraz b) na
x x
m
x +x
n
a)
Rys.
1 6 . 2 1 .
Pytanie 7
x = 0
b )
8 . a) Która z krzywych na rysunku 16.22a przedstawia zale
przyspieszenia a(t) od przemieszczenia x(t) dla ruchu h
nicznego? b) Która z krzywych na rysunku 16.22b przed
zależność prędkości v(t) od przemieszczenia x(t) dla ruch
monicznego?
a(0
v(t)
t
1
-x(t)
'
l
2, . - - '
,
l
.*»•*
a)
Rys . 16 .22 . Pytanie 8
b)
9 . Na rysunku 16.23 przedstawiono mały klocek A umiesz
na dużym klocku B, przy czym między klockami występuje
statyczne. Klocek B, leżący na powierzchni, po której moż
ruszać się bez tarcia, znajduje się początkowo w punkcie
x
odpowiadającym długości nieodkształconej sprężyny. Odcią
klocek na odległość d w prawo i puszczamy swobodnie.
układ klocek-sprężyna wykonuje drgania harmoniczne o am
dzie x
m
, klocek A jest na granicy poślizgu względem B. a
przyspieszenie klocka A jest stałe, czy zmienne? b) Czy
tość siły tarcia przyspieszającej klocek A jest stała, czy zmi
c) Czy poślizg klocka A jest bardziej prawdopodobny w pu
x = 0, czy też w punktach x = ± x
m
? d) Gdyby ruch harmon
rozpoczął się przy początkowym przemieszczeniu większym
d, to czy poślizg byłby bardziej, czy też mniej prawdopod
(Rozgrzewka przed zadaniem 16).
brak tarcia
Rys. 16.23. Pytanie 9
Pytania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 132/329
1 0 .
Przedstawiony na rysunku 16.24 układ klocek-sprężyna dwu
krotnie wprawiono w ruch harmoniczny. Za pierwszym razem klo
cek odciągnięto z położenia równowagi na odległość d\ i pusz
czono swobodnie. Za drugim razem klocek odciągnięto z poło
żenia równowagi na większą odległość d
2
i również puszczon o
swobodnie. Czy w drugim
przypadku: a) ampli tuda, b)
okres, c) częstość, d) mak
symalna energia kinetyczna
oraz e) maksymalna energia
potencjalna były większe,
czy mniejsze niż w pierw
szym?
•mmi
—d
2
-
Rys. 16.24.
Pytanie 10
1 1
.
Na rysunku 16.25 przedstawiono trzy wahadła f izyczne
zbudowane z jednakowych jednorodnych kul o takich sa
ych masach połączonych
sztywno identycznymi prę- O •
tami o znikomo małej ma
sie. Każde wahadło wisi
ionowo i może drgać
względem punktu zawieszę- ^ , .
% s
ia
O.
Uszeregu j wahad ła \ #
*Jt
kolejności okresów ich
a
) b) c)
rgań, poczynając od naj
i ększego . Rys. 1 6 . 2 5 . Pytanie 11
fi O
1 2
. Uzupełnienie do zadania 36. Gdyby prędkość poc
większa, to czy: a) ampli tuda, b) okres i c) maksyma
gia potencjalna, charakteryzujące otrzymany ruch harm
byłyby większe, mniejsze, czy też takie same?
1 3 . Masz zbudować przedstawione na rysunku 16.26
nie do przekazywania drgań. Składa s ię ono z dwóch
sprężyna-klocek zawieszonych na giętkim pręcie. Po ro
ciu i puszczeniu swobodnie sprężyny w układz ie 1 powsta
harmoniczne tego układu o częstości v\ wywołują drga
Z kolei pręt jest źród łem siły wym uszającej działające
samą częstością v\ na układ 2. Mamy do wyboru cztery
0 stałych sprężystości k równych 1600 N/m, 1500 N/m, 1
1 1200 N/m oraz cztery klocki o masach 800 kg, 500
kg i 200 kg. Zastanów się, które sprężyny i które kloc
wykorzystać w obu układach, aby uzyskać maksymalną a
drgań układu 2. Podaj odpowiedź bez wykonywania obl
pręt
układ 1
Rys. 16.26.
Pytanie
13
układ 2
v / v
Rozwiązanie jest dostępne na s tronie internetowej pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/college/hrw
U Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie lntcract ive Learning-
Ware (na tej samej stronie)
1 6 . 3 S i ł a w
r u c h u
h a r m o n i c z n y m
1 . Ciało drgające ruchem harmonicznym potrzebuje 0 ,25 s na
.
Drgający układ klocek-sprężyna po upływie 0,75 s rozpoczyna
ruchu. Wyz nacz: a) okres, b) częstość w her
.
Oscylator ma postać klocka o masie 0 ,5 kg umocowanego na
kołową, d) stałą sprężystości, e) maksymalną pręd
) war tość maksym alnej s i ły , jaką spręży na wy wiera na
4 .
Wyznacz maksymalne przyspieszenie platformy
z amplitudą 2,2 cm i częstością 6,6 Hz.
5 . Głośnik wytwarza dźwięk za pomocą drgającej m
Amplituda drgań jest nie większa niż 1 • 1 0 ~
3
mm. Dla ja
stości war tość przyspieszenia membrany przekracza war
6 . Skala wagi sprężynowej o zakresie pomiarowym od 0
ma 12 cm długości . Stwierdzono, że paczka zawieszona
drga z częstością 2 Hz. a) Wyznacz stałą sprężystości, b
i le waży paczka.
7 .
C ząstka o m asie 1 • 10 ~
2 0
kg drga ruchem harmon
okresem 1 • 10~
5
s i maksym alną prędkością 1 • 10
3
m/
a) częstość kołową oraz b) maksymalne przemieszczenie
8 .
Małe ciało o masie 0 ,12 kg drga ruchem harmoniczny
pli tudzie 8 ,5 cm i okresie 0 ,2 s . a) Wyznacz war tość mak
siły działającej na ciało, b) Zakładając, że drgania wyw
przez sprężynę, oblicz jej stałą sprężystości.
9. Ostrze golarki elektrycznej porusza s ię tam i z p
ruchem harmonicznym z częstością 120 Hz, pokonując
2 mm. Znajdź: a) ampli tudę, b) maksymalną prędkość os
c) war tość maksymalnego przyspieszenia ostrza.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 133/329
0. Membrana głośnika wykonuje drgania harmoniczne o często
kołową,
b) maksymalną prędkość oraz c) wartość mak
1 . Gdy rozważamy drgania pionowe samochodu, możemy przy
że samochód stoi na czterech identycznych sprężynach.
jest równ o rozłożo na na wszystkie sprężyny, b) Ob licz, jak a
ie j masie 73 kg. (Ponownie zakładamy rów nomierny rozkład
2 . Cia ło drga ruchem harmonicznym opisanym wzorem
x = (6 m)cos[ (3 i t r ad / s ) r + n /3 rad] .
t = 2 s wy znacz : a) przem ieszczen ie, b) prędko ść,
3 .
Skok tłoka (równy dwóm amplitudom) w cylindrach silnika
4 . Na rysunku 16.27 przedstawiono astronautę na stanowisku do
body-mass measuring device,
w skrócie
BMMD to po prostu fotel zawieszony na sprężynach
M jest masą astronauty, a m
Zadanie 14
drgania, wykaż, iż
M
(k/4it
2
)T
2
-m,
gdzie T — okres drgań, k — stała sprężystości, b) W urzą
niu BMMD zainstalowanym na stacji kosmicznej Skylab (Sk
Mission Two) stała sprężystości wynosiła k = 605,6 N/m; o
drgań samego fotela był równy 0,90149 s. Oblicz efektywną
fotela, c) Po zajęciu fotela przez astronautę okres drgań sta
równy 2,08832 s. Wyznacz masę astronauty.
1
5 .
W pewnym porc ie powierzchnia oceanu na skutek pły
podnosi się i opada ruchem harmonicznym o okresie 12,
odległość między najwyższym a najniższym poziomem wy
d. Ile czasu potrzeba, by woda opadła do poziomu leżącego
poniżej maksimum?
1 6 . U kład złożony z dwóc h klocków (m = 1 kg i M = 10
i sprężyny (k — 200 N/m) ustawiono na poziomej powierz
po której może poruszać się bez tarcia (rys. 16.28). Współczy
tarcia statycznego między klockami wynosi 0.4. Wyznacz am
tudę ruchu harmonicznego układu, przy które j mnie jszy kl
znajdzie się na granicy poślizgu po powierzchni dużego kloc
m
k JML
Y
0 0 O O O O O O O
X
^ ^ | / brak tarcia
Rys. 16.28. Zadanie 16
1
7 .
Klocek znajduje się na poziomej powierzchni, która po
się poziomo tam i z powrotem ruchem harmonicznym o czę
ści 2 Hz. Współczynnik tarcia statycznego między klockie
podłożem wynosi 0 ,5. Wyznacz największą ampl i tudę ruchu
monicznego, przy której klocek nie będzie się ślizgał po pod
1 8 . Na t łoku poruszającym się pionowo ruchem harmonicz
umieszczono klocek, a) Zakładając, że okres drgań harmonicz
wynosi 1 s, oblicz, przy jakiej ich amplitudzie klocek i t łok
dzielą się. b) Zakładając, że amplituda drgań tłoka wynosi 5
wyznacz maksymalną częstość, przy której klocek i t łok będą
czas się stykać.
1 9 . Oscyla tor ma postać klocka umocowanego na spręż
(k = 400 N/m). W pewnej chwil i t położenie klocka (mier
względem położenia równowagi układu) , jego prędkość i p
spieszenie wynoszą odpowiednio x = 0 ,1 m, v = —13,6
a = —123 m/s
2
. Oblicz: a) częstość drgań, b) masę klocka
c) amplitudę drgań.
20. Oscyla tor harmoniczny ma postać klocka o masie 2 kg u
cowanego na sprężynie o stałej sprężystości 100 N/m. W ch
t = 1 s położenie i prędkość klocka wynoszą odpow ie
x = 0,129 m. v = 3,415 m/s. a ) Wyznacz ampl i tudę dr
Oblicz: b) położenie i c) prędkość klocka w chwili 1 = 0 s.
Zadan ia
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 134/329
2 1 .
Z sufitu zwisa sprężyna o znikomo małej masie, na której za
wieszono małe ciało. Początkowo ciało utrzymywane jest w spo
czynku w takim położeniu
y
poC
z,
aby długość sprężyny była równa
długości sprężyny nieodkształconej . Następnie ciało zostaje uwol
nione z położenia y
p o c z
i zaczyna drgać w górę i w dół , przy czym
y
p o c z
. a) Wy
nacz częstość drgań, b) Wyznacz prędkość ciała, gdy znajduje
ię ono 8 cm poniżej położenia początkowego, c) Do pierwszego
y
p o C
z )
w sytuacji , gdy do sprężyny doczepione
ą obydwa ciała.
2 . Dwie cząstki wykonują ruch harmoniczny o takich samych
A. Okres drgań każdej
A)
k u m o co
m oraz do sztywnych podpór (rys. 16.29).
1 [2k
Rys. 1 6 . 2 9 .
Zadania 24 i 25
k\ i k
2
. Udowodnij , że częstość
V i v
2
— częstości , z jakim i by drgał klocek, gdyby był
epiony tylko do sprężyn y 1 lub tylko do sprężyny 2.
. Koniec jedn ego z ramion kam ertonu wykonuje drgania har
m znajdującego się na gładkiej powierzchni, po której
jednakowe stałe sprężysto
śc i
k.
Wykaż, że częstość
drgań klocka dana jest wzo
rem
i
nr
V
~
2TT
V 2 m '
Rys. 1 6 . 3 0 . Zadanie 2
2 8 . Kloc ek o cięża rze 14 N ślizgający się bez t
równi pochyłej nachylonej pod kątem 40° umocowano
nego końca równi za po
mocą sprężyny o znikomo
małej masie i stałej spręży
stości 120 N/m , która w sta-
nie nieodkształcon ym ma
długość 0,45 m (rys. 16.31). k
a) W jakiej odległości od
>:.;'
:
0- '
górnego końca równi klo
cek pozostaje w spoczynk u?
b) Klocek został lekko po
ciągnięty w dół wzdłuż rów
ni , a następnie puszczony
swobodnie. Wyznacz okres
powstałych drgań.
Ml-
Rys.
1 6 . 3 1 .
Zadanie 28
29. Jednorodną sprężynę o s tałej sprężystości k, która
nieodkształconym ma długość L, przecięto na dwie częś
gościach
L\
i
L
2
,
przy czym
L\ = nL
2
.
Wyz nacz s tałe s
ści a) k\ oraz b) k
2
obu otrzymanych w ten sposób sprę
funkcje n i k. Klocek przyczepiony do pierwotnej spręż
jak na rysunku 16.5, drga z częstością v. Jeżel i spręży
pimy jednym z jej kawałków o długości L\ lub L
2
, to
drgań będzie odpowiednio równa V\ i v
2
. Wyznacz z
częstości
c )
r- i d) r> od r.
30. Na rysunku 16.32 przedstawiono trzy wózki kopa
masach 10 000 kg utrzymywane w spoczynku w na
pod kątem 30° do poziomu
sztolni za pomocą liny (rów
noległej do sztolni). Lina
jest rozciągnięta o 15 cm.
W pewnej chwil i połączenie
dwóch ostatnich wózków
pęka i uwalnia ostatni wó
zek. Zakładając, że l ina pod
lega prawu Hooke'a, wy
znacz a) częstość i b) am
plitudę pojawiających się
w tej sytuacji drgań dwóch
pozostałych wózków.
odczepiony
wózek
Rys. 1 6 . 3 2 . Zadanie 30
1 6 . 4 E n e r g ia w r u c h u h a r m o n i c z n y m ,
31 . Wyznacz energ ię mechan iczną uk ładu k locek-spręży
dząc, że stała sprężystości wynosi 1,3 N/cm, a amplitud
2,4 cm.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 135/329
. W drgającym układzie klocek-sprężyna energia mechaniczna
i 1 J, amp lituda 10 cm , a ma ksym alna prędk ość 1,2 m/s.
.
Znajdujące się na poziomej idealnie gładkiej powierzchni
odleg łość 50 cm i nada no mu prędko ść początkową 10 m/s
i r v
. Wyobraź sobie, że zbudowano gigantyczną katapultę w celu
.
Pionowa sprężyna rozciągnęła s ię o 9 ,6 cm po zawieszeniu
Następnie klocek został przemieszczony o dalsze 5 cm w dół
.
Klocek o masie M spoczywający na poziomym idealnie
k. W klocek uderza
m i pręd
v, jak przedstawiono
M
Rys.
16 .33 . Zadanie 36
.
Określ, jaka część całkowitej energii ma postać a) energii
a jaka b) energii potencjalnej , gdy przemieszcze
x
m
.
c)
.
Cząstka o masie 10 g wykonuje drgania harmoniczne o am
3
m i maksymalnej war tości przyspieszenia 8
•
1 0
3
s
2
.
Faza początkowa w ynosi — n / 3 rad. a) Podaj wzór p rzed
Klocek o masie 4 kg zawieszono na sprężynie o s tałej sprę
m/s uderza pocisk o masie 50 g i grzęźnie w nim. a) W
ampli tudę powstałych drgań harmonicznych, b) Oblicz, jaka
początkowej energii kinetycznej pocisku zamienia się w e
mechaniczną oscylatora harmonicznego. «wv
1 6 . 5
Wahadło
to rsy jne
4 0 .
Płaski jednorodny krążek o masie 3 kg i promieniu
zawieszono w płaszczyźnie poziomej na umocowanym w
środku pionowym drucie. Krążek obrócono o kąt 2 ,5 rad
pionowej osi; do utrzymania tej orientacji krążka potrzebn
moment s i ły 0 ,06 N • m. Oblicz: a) moment bezwładności
względem drutu, b) moment kierujący oraz c) częstość k
drgań, jakie można wzbudzić w tym wahadle torsyjnym.
4 1 .
Balans w zegarku drga z amplitudą zmian kąta równą
i okresem 0,5 s . Wyznacz: a) maksymalną prędkość kąto
lansu, b) prędkość kątową balansu w chwili , gdy jego prze
czenie równe jest j t /2 rad, oraz c) war tość przyspieszenia
wego balansu w chwili , gdy przemieszczenie równe jest
7
1 6 . 6 W a h a d ł a
4 2 .
Kula burząca o masie 2500 kg zwisa z końca ramienia
(rys .
16.34). Długość wahającego się odcinka liny wynosi
a) Wyznacz okres wahań, zakładając, iż cały układ można
za wahadło matematyczne, b) Czy okres wahań zależy od
kuli?
• H M
Rys.
16 .34 . Zadanie 42
4 3 .
Jaka jest długość wahadła sekundow ego, które wyk
pełne wahnięcie z lewa na prawo i z powrotem w ciągu 2 s
4 4 . Akrobata s iedzący na trapezie wykonuje wahania tam i
wrotem z okresem 8,85 s. Jeżeli wstanie, to środek masy u
trapez-akrobata podniesie s ię o 35 cm. Jaki będzie wówczas
drgań układu? Potraktuj układ trapez-akrobata jako wahadł
tematyczne.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 136/329
4 5 . Wahadło fizyczne ma postać metrowej linijki zawieszonej na
osi umieszczonej w małym otworku wywierconym w odległości
d od kreski oznaczającej 50 cm. Okres drgań wynosi 2,5 s. Wy
znacz d.
4 6 . Wahadło fizyczne ma
postać jednorodnego krążka
(o masie M i promieniu R)
zawieszonego w płaszczyź
nie pionowej w taki sposób,
że oś obrotu znajduje się
w odległości d od środka
krążka (rys. 16.35).
Krą
żek odchylono o niewielki
kąt i puszczono swobod
nie.
Znajdź wyrażenie na
okres powstałych drgań har
monicznych.
obiolu
R
Rys. 16.35. Zadanie 46
4 7 .
Wahadło ma postać długiego, cienkiego pręta o długości L
i masie m, zawieszonego w punkcie znajdującym się w odległości
d
powyżej środka pręta, a) Zakładając wahania o małej ampli tu
dzie,
wyraź okres drgań wahadła za pomocą wielkości
d, L im.
Jak zmieni s ię okres, gdy: b) zmniejszymy
d,
c) zwiększymy
L
lub d) zwiększymy m?
4 8 .
Jednorodny krążek o promieniu
R
równym 12,5 cm zawie
szono za punkt na jego brzegu, tworząc w ten sposób wahadło
fizyczne, a) Wyznacz okres drgań, b) W jakiej odległości r < R
od środka krążka znajduje się punkt zawieszenia dający taki sam
okres?
4 9 .
Wahadło składa s ię
z jednorodnego krążka, o
promieniu 10 cm i masie
500 g, i jednorod nego pręta
o długości 500 mm i masie
270 g (rys. 16.36). a) Oblicz
moment bezwładności wa
hadła względem punktu za
wieszenia, b) Wyznacz od
ległość miedzy punktem za
wieszenia a środkiem masy
wahadła, c) Oblicz okres
drgań wahadła.
500
mm
'1 0
cm
Rys. 16.36.
Zadanie 49
5 0 .
a) Jaki będzie okres drgań wahadła z przykładu 16.5, jeżel i
PI b) Czy ten okres drgań
ędzie większy, mniejszy, czy też równy poprzedniemu?
5 1 . W przykładzie 16.5 pokazaliśmy, że środek wahań rozważa
ego tam wahadła fizycznego znajduje się w odległości 2L/3 od
unktu zawieszenia. Udowodnij , że dla wahadła f izycznego o do
wolnym kształcie odległość punktu zawieszenia od środka wahań
I/mh, gdzie symbole I i h mają to samo znaczenie co
w wyrażeniu (16.29) , a m jest masą wahadła.
5 2
. Wahadło fizyczne w po
staci linijki o długośc i
L
ob
raca s ię względem punktu
zawieszenia O (rys. 16.37).
a) Wyprowadź w yrażenie na
okres drgań wahadła jako
funkcji długości
L
oraz od
ległości x punktu podwie
szenia od środka masy wa
hadła, b) Dla jakiej war
tości stosunku x/L okres
drgań osiąga minimum? c)
Wykaż, że dla
L
= 1 m
i g = 9 ,8 m/s
2
minimalny
okres wynosi 1,53 s.
Rys. 16.37. Zadanie 52
53. Długi jednorodny pręt o długości L i mas ie m moż
racać w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przec
przez jeg o środek ( rysunek 16.38 przedstawia widok z gó r
żynę o stałej sprężystości k umieszczono poziomo między
pręta a nieruchomą
ścianą.
W stanie równowagi pręt jest
gły do ściany. Wyznacz okres małych drgań, jakie powst
pręt nieco obrócimy, a następnie puścimy swobodnie.
oś obrotu
Rys. 16.38.
Zadanie 53
5 4 . Wahadło matematyczne o długości L i masie m za
w samo chodzie poruszającym się ze s tałą prędkością v p
o promieniu R. Zakładając, że wahadło wykonuje małe
w kierunku radialnym względem położenia równowagi,
częstość tych drgań.
5 5 . Wyznacz częstość wahadła matematycznego o długo
a) w pokoju, b) w windzie jadącej do góry z przyspi
2 m / s
2
, c) podczas swobodnego spadania.
5 6 .
Dla wahadła matematycznego wyznacz ampli tudę zm
9
m
, dla której rzecz ywisty m om ent siły różni się o 1%
mentu s i ły , dla którego ruch wahadła można uznać za
niczny. (Patrz rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe
datku E).
5 7 .
Ciężarek wahadła matematycznego o długości R
się po łuku okręgu, a) Przyjmując, że przyspieszenie doś
ciężarka w chwili , gdy przechodzi on przez położenie rów
jest takie jak w ruchu jednostajnym po okręgu, tzn. v
2
/R ,
że naprężenie nici w tym położeniu jest równe
mg(l +
i le ampli tuda zmian kąta 6
m
jest mała. (Patrz rozwinięci
w szeregi potęgowe w dodatku E) . b) Jakie jest napręże
gdy ciężarek znajduje s ię w innym położeniu — w iększe,
czy takie samo?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 137/329
.
Koło może s ię obracać wokół swojej sztywno umocowanej
m i pro
R, wyznacz czę
m, R,
r = R i c)
= 0?
Rys. 1 6 . 3 9 .
Zadanie 58
6 . 8 R u ch h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y
. Dla układu opisanego w przykładzie 16.7 wyznacz s tosunek
.
Ampli tuda s łabo t łumionego oscylatora maleje w każdym
. W układzie przedstawionym na rysunku 16.15 masa klocka
nosi 1,5 kg, a stała sprężysto ści 8 N/m . Siłę tłumiącą opisuje
b(dx/dt), gdzie b = 230 g/s . Załóż, że początkowo
jedn ej trzeciej wartości początkow ej, b) Ile okresó w d rgań
6 2 .
Wyobraź sobie , że badamy właściwości oscylacyjne u
zawieszenia w samochodzie o masie 2000 kg. Zawieszeni
ciążone całym samochodem „siada" o 10 cm, a ampli tuda
zmniejsza s ię o 50% w ciągu jednego cyklu. Wyznacz: a)
sprężystości resorów k i b) stałą tłumienia amortyzatorów
jednego koła , zakładając że na każde koło przypada 500 kg
samochodu.
1 6 . 9 D r g a n i a w y m u s z o n e i r e z o n a n s
63. Załóż, że ampli tuda drgań x
m
w wyrażeniu (16.43) dan
wzorem
gdzie
F
m
jest (stałą) amplitudą zewnętrznej siły działając
sprężynę poprzez je j sztywne zawieszenie (rys . 16.15). Wyz
a) ampli tudę drgań i b) ampli tudę zmian prędkości drgaj
ciała w rezonansie .
64. Po nierównej wybois tej drodze typu „tarka", której p
dowania odległe są od s iebie o 4 m, jedzie — podskakuj
resorach — samochód o masie 1000 kg wiozący cztery o
o masach 82 kg każda. Samochód podskakuje z największą
pl i tudą przy prędkości 16 km/h . Następnie samoch ód zatrzy
się i cztery osoby wysiadają. O ile samochód podniesie s
swym zawieszeniu na skutek zmniejszenia masy?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 138/329
1 7 Fale I
G d y c h r z ą s z c z i d ą c y p o p i a s k u z n a j d z i e s i ę w o d l e g ł o ś c i k i l k u d z i e s i ę c i u c e n t y m e t r ó w
o d s k o r p i o n a , t e n n a t y c h m i a s t o d w r a c a s i ę w k i e r u n k u c h rz ą s z c z a i r z u c a s i ę n a n i e g o
( a b y g o z j eś ć ) . S k o r p i o n m o ż e t o z r o b i ć ,
a n i n i e w i d z ą c ( j es t z w i e r z ę c i e m n o c n y m ) ,
a n i n i e s ł y s z ą c c h r z ą s z c z a .
W jaki sposób skorpion jest w stanie
tak precyzyjnie zlokalizować swoją ofiarę?
O dpow i edź z na j dz i es z w t y m r oz dz i a l e .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 139/329
.
Fale i cząstk i
Pierwszy sposób ( l is t) polega na wykorzystaniu jakichś
cząstek
— obiektów
ą s ię z jedn ego pu nktu d o drugiego , n iosąc ze sobą
Drug i sposób ( te le fon) po lega na wykorzys tan iu^ / , k tó re będą tematem tego
z jedn ego pu nktu do drugieg o, mim o iż żaden obiekt ma teria lny takie j po dróży
Cząstka i fala to dwa ważne pojęcia w f izyce klasycznej — wydaje s ię , że
cząstką,
a lbo
falą.
cząstka oznacza malutkie
Słowo fala oznacza coś wręcz
7 . 2 . Rodza je f a l
Fale mechaniczne. Jest to najbardziej znany rodzaj fal, pon iew aż nap otyk am y
je prawie zawsze — typowe przykłady to fa le na wodzie , fa le dźwiękowe lub
fale se jsmiczne. Wszystkie te fa le mają pewne wspólne cechy, a mianowicie
podlegają zasadom Newtona i mogą is tn ieć wyłącznie w jakimś ośrodku
materia lnym: w wodzie , w powietrzu, w skale .
Fale elektromagnetyczne.
Te fale są mn iej znane, mi m o iż stale się nim i
posługujemy. Zaliczamy do nich świat ło widzia lne i nadfiole towe, fa le ra
diowe i te lewizyjne, mikrofale , promieniowanie rentgenowskie oraz fa le ra
darowe. Fale te n ie potrzebują żadnego ośrodka materia lnego. Na przykład
fale świet lne emitowane przez gwiazdy dociera ją do nas przez próżnię ko
smiczną. Wsz ystkie fa le e lektrom agnetyczn e poruszają s ię w próżni z tą sam ą
prędkością c równą
c = 29 9 792 45 8 m / s (prędkość światła). (17 .1)
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 140/329
impuls
a)
fala
sinusoidalna
b )
Rys.
1 7 . 1 .
a) Wzdłuż naciągniętej liny
zostaje wysłany pojedynczy impuls. Ty
powy element liny (oznaczony kropką)
w chwili, gdy mija go impuls, wyko
nuje jeden ruch w górę, a następnie w
dół. Ruch elementu liny jest prostopadły
do kierunku ruchu fali, tak więc impuls
jest falą poprzeczną, b) Wzd łuż l iny zo
staje wysłana fala sinusoidalna. Podczas
przechodzenia fali typowy element liny
porusza się w sposób ciągły w górę i w
dół. Ta fala również jest falą poprzeczną
powietrze
Rys. 1 7 . 2 .
W rurze wypełnionej po
wietrzem wzbudzono falę dźwiękową
za pomocą tłoka poruszającego się
tam i z powrotem. Ponieważ drgania
cząsteczki powietrza (reprezentowanej
przez czarną kropkę) są równoległe do
kierunku, w jakim porusza s ię fala , falę
nazywamy podłużną
3 .
Fale materii.
Pom imo że te fale są powsz echnie wykorzy s tywane we w
czesnej technice, są one ci prawdopodobnie nieznane. Są to fale zwią
z elektronami, protonami i innymi cząs tkami elementarnymi, a nawet z
mami i cząs teczkami. Ponieważ te obiekty uważamy na ogół za skład
mater i i , fa le te nazywamy falami mater i i .
Większość mater iału omawianego w tym rozdziale dotyczy wszys tkich
dzajów fal . Jednakże w przykładach będziemy odnosić s ię do fal mechaniczn
1 7 . 3 . F a l e p o p r z e c z n e i p o d ł u ż n e
Fala wysłana w zdłuż rozpiętej naprężon ej l iny jes t najpros tszą falą mecha ni
Jeżel i jeden koniec napiętej l iny jednokrotnie szarpniesz pionowo w górę
dół , pojawi s ię biegnąca wzdłuż l iny fala w pos taci pojedynczego
impulsu,
na rysunku 17. la . Taki impuls i jeg o ruch mogą p ojawić s ię dzięki temu, że
jes t napięta . Gdy szarpniesz swój koniec l iny w górę, pociągnie on za sob
górę sąs iedni f ragment l iny, a to dzięki s i łom działającym między poszcze
nymi f ragmentami l iny. Z kolei ten f ragment , poruszając s ię w górę, pocią
za sobą następny i tak dalej. Tymczasem zaczynasz ciągnąć swój koniec l i
dół. W efekcie kolejne poruszające się do góry fragmenty liny zaczynają być
gnięte w dół przez sąs iednie f ragmenty, k tóre już s ię poruszają w tym kieru
Ostatecznie zaburzenie kształ tu l iny ( impuls) porusza s ię wzdłuż niej z pe
prędkością v.
Jeżel i poruszasz ręką w górę i w dół w sposób ciągły ruchem harmonicz
to wzdłuż l iny z prędkością
v
biegnie fala ciągła . Ponieważ ruch ręki opisany
s inusoidalną funkcją czasu, w dowolnej chwil i fa la — jak widać z rysunku 1
— będzie miała kształ t s inusoidalny; oznacza to , iż fala ma kształ t s inusoidy
cos inusoidy.
Rozważamy tu wyłącznie „idealną" l inę, w której n ie działają żadne
tarcia powodujące zanikanie fal i podczas je j ruchu wzdłuż l iny. Dodatkowo
kładamy, że l ina jes t odpowiednio długa i n ie musimy zajmować s ię falą od
od jej drugiego końca.
Jednym ze sposobów b adania fal przeds tawionyc h na rysunku 17.1 jes t o
wac ja i ch ksz ta ł tu podczas ruchu w prawo. Możem y również za jąć s ię wyb ra
elementem l iny i obserwować jego drgania w górę i w dół , podczas ruchu
Zauważmy, że — jak przeds tawiono na rysunku 17.1 — przemieszczenie
dego drgającego w taki sposób elementu l iny jes t prostopadłe do kierun ku r
fali , czyl i poprz eczn e. W tym przyp adku falę nazyw amy falą po prz ec zn ą.
Na rysunku 17.2 przeds tawiono sposób, w jaki za pomocą t łoka można
tworzyć falę dźwiękową w długiej wypełnionej powietrzem rurze. Jeżel i gwał
nie przesuniesz t łok w prawo, a nas tępnie w lewo, wzdłuż rury zos tanie wys
impuls dźwiękowy. Ruch t łoka w prawo powoduje ruch w tym samym kieru
sąs iadujących z nim cząs teczek powietrza i w konsekwencj i zmianę ciśnien
jeg o pobliżu. Wzros t c iśnienia popycha z kolei cząs teczki powietrza znajd
s ię nieco dalej wzdłuż rury. Ruch t łoka w lewo zmniejsza ciśnienie w jego
bliżu. Najpierw najbl iższe przesunięte w prawo cząs teczki powietrza, a p
124 17 . Fale I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 141/329
Jeże l i będz ie sz porusza ł t łok iem tam i z powrotem ruchem ha rmonicznym,
równoległy do k ie runku ruchu
Fa le za równo poprzeczne , j ak i podłużne nazywamy fa lami b iegnącymi ,
ja k na rysunk u 17.2) . Zauw ażmy, że to fa la poru sza s ię od jed neg o końca
Skorpion przedstawiony na fotografii otwierającej ten rozdział do lokalizacji
jeg o powierzchni ( rys . 17.3) w postac i impulsó w podłuż nych, biegnących z
D
p o
d ł
= 150 m/s , o raz impulsów poprzecznych , b iegnących z prędko
Dpoprz = 5 0 m / s .
Skorp ion ze swoimi ośmioma odnóżami roz s tawionymi w przybl iżen iu na
jak im znajduje s ię chrząszcz — jes t to kierun ek wskaz y
At między p ie rwszym
d od chrząszcza . Od ległość ta dana jes t w zorem
d d
At =
"po prz fpo d ł
d
= (75 m/s)Af.
Na przykład d la At = 4 ms mamy d = 30 cm, co da je skorpionowi możl i
Rys. 17.3. Ruch chrząszcza po
powstanie szybkich impulsów p
nych i wolniejszych impulsów po
nych biegnących po pow ierzchni
Skorpion najpierw odbiera impul
dłużne; na rysunku impulsy wycz
są najpierw przez położone najb
z tyłu prawe odnóże
D ługość fa l i i częs tość
y = h(x,t), opi su jąca poprzeczne przemieszczenie y e lementu l iny jako
h zależną od czasu t i po łożenia x tego e lementu l iny. W ogólnośc i
a li z rysunk u 17.I b może być opisany za pom ocą funkcji
o s inus , jak i cos inu s; obie funkcje dają taki sam ogólny ksz ta ł t . W tym
Wyobraźmy sobie fa lę s inusoida lną , taką jak na rysunku 17.Ib, biegnącą w
x. W m iarę jak fala dociera do kole jnych e lemen tów ( t j .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 142/329
y(x, t) = v
m
s i n f f c r
- a t )
at)
i
c z a s
l
c z ę s t o ś ć
kołowa
l i c z b a fa iowa-
po lożen ie -
Rys.
1
7. 4. Nazw y wielkośc i występują
cych w wyrażeniu (17.2) dla poprzecz
nej fali sinusoidalnej
y i
f
\x
f \
t \
1 / \
V /
/
\
a )
i \
A A
/ \
bardzo krótkich odcinków) l iny, elementy te drgają równolegle do osi y. W
t p rzemieszczen ie y e lem entu znajdującego się w punkcie x dan e jest w
y(x, t) = y
m
sin(kx — cot).
(
b )
Ponieważ wyrażenie to zawiera zależność od po łożen ia x, może być w
stane do wyznaczenia położeń wszystkich elementów l iny w zależności od
Tak więc wynika z niego informacja zarówno o kształcie fali w danej chw
i o zm ianac h kształtu podc zas ruch u fali wz dłuż l iny. Poniżej zdefiniujemy
kości występujące w wyrażeniu (17.2) ; nazwy tych wielkości przedstawi
rysunku 17.4.
Zanim jednak zaczniemy je anal izować, przyjrzyjmy się rysunkowi 17
którym przedstawiono pięć „zdjęć migawkowych" fa l i s inusoidalnej b iegn
dodatnim kierunku osi x . Ruch fal i reprezentowany jest przez przesuwanie
prawo małej s t rzałki wskazującej najwyższy punkt fa l i . Przechodząc od j
„zdjęcia" do drugiego, widzimy, że mała strzałka przesuwa się wraz z
prawo, natomiast l ina porusza się
wyłącznie
równ olegle do osi
y.
Aby to
czyć ,
prześledźm y ruch zabarw ioneg o na czerw ono f ragmentu l iny znajd
się w punkcie x = 0 . Na pierwszym zdjęciu ( rys. 17.5a) przemieszczenie
Na następnym mamy maksymalne przemieszczenie w dół , gdyż właśnie
nasz e lement przechodzi dolina fali (czyli jej najniższy pu nkt) , po czym
element powraca w górę do y = 0 . Na czwar tym zdjęciu mamy maksy
przemieszczenie w górę, gdyż właśnie przez ten element przechodzi grzb
(czyl i je j najwyższy punkt) . Na piątym zdjęciu ponownie przemieszczenie
a zatem nasz e lement wykonał pełny cykl drgań.
/ \ /
V /
c)
y #
-i-x
d)
e )
Rys. 17.5. Pięć „zdjęć migawkowych"
fali biegnącej w linie w dodatnim kie
runku osi
x.
Zaznaczono ampl i tudę
y
m
oraz długość fali mierzoną względem
wybranego punk tu x\
Amplituda i faza
A m p l i t u d ą f a l i y
m
, jak poka zano na rysunku 1 7.5 , nazywa my bezwzględn
tość maksymalnego p rzemieszczen ia e l ementu — przy p rzechodzen iu p
fal i — względem jego położenia równowagi . ( Indeks m oznacza maksi
Wie lkość y
m
jako war tość bezwzg lędna jest zawsze dodatnia , nawet wtedy
byśmy na rysunku 17.5a mierzyl i ją w dół względem położenia równowagi
w górę, jak zostało narysowane.
Fazą fa l i nazywamy argument kx — cot funkcji sin us w wyraże niu
Gdy fala przechodzi przez pewien element l iny znajdujący się w punk
faza zmienia s ię l in iowo wraz z czasem t. Oznacza to, że wartość funkcj
również się zmienia , oscylując między +1 a
— 1 .
Maksymalna war tość
nia (+1) odpowiada grzbietowi fa l i przechodzącej przez dany element ; wó
przemieszczen ie y e lementu znajdującego się w punkcie x przyjmuje war to
Maksymalna war tość ujemna (—1) odpowiada dol inie fa l i przechodzącej
dany element , co oznacza, że przemieszczenie 3? w punkcie x przyjmuje w
—y
m
.
Tak więc funkcja sinus oraz zależn a od czasu faza fali odpowiadają
niom elem entu l iny, przy czym ampl i tuda fa li określa największe przem iesz
elementu.
126 17 . Fale I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 143/329
fali i liczba falowa
X nazywamy odległość (mierzoną równolegle do kierunku roz
znaczono na rysunku 17.5a, przedstawiającym migawkowe zdjęcie fali w chwili
= 0. Z wyrażenia (17.2) otrzymujemy opis kształtu fali w tej chwili
y(x,0) = y
m
śmkx. (17.3)
Przemieszczenie y z definicji musi być takie samo na obu końcach odcinka
owiadającego długości fali, czyli w punktach
x = x\ oraz x = X\ + X.
Zatem
y
m
sinłxi = y
m
sink(x\ + X) = y
m
sin(łxi +
kX).
(17.4)
artości funkcji sinus zaczynają się powtarzać, gdy jej argument wzrośnie o
tc
rad, tak więc z wyrażenia (17.4) mamy kX = 2jt, czyli
k = — (liczba falowa). (17.5)
k nazywamy liczbą falową; jednostką liczby falowej w układzie SI jest
k nie oznacza — w odróżnieniu od
Zauważmy, iż kolejne zdjęcia migawkowe na rysunku 17.5 przedstawiają
X/4. Tak więc piąte zdjęcie przedstawia falę
IX.
częsłość kołowa i częstość
a rysunku 17.6 przedstawiono wykres zależności przemieszczenia y od czasu
wg wzoru (17.2)) w pewnym punkcie wzdłuż liny, dla którego przyjmujemy
= 0. Obserwując linę, możesz zauważyć, że jej pojedynczy, znajdujący się
punkcie, element porusza się w górę i w dół ruchem harmonicznym,
x = 0:
y ( 0 ,
t) = y
m
sin(-cot) = — y
m
sincot (x = 0). (17.6)
a spełniona jest zależność
a) = —si na. Na rysunku 17.6 przedstawiono wykres wyrażenia (17.6)
ten wykres nie przedstawia kształtu fali.
Okres
T fali definiujemy jako czas, w ciągu którego dowolny element liny
na jedno pełne drganie. Okres zaznaczono na rysunku 17.6. Stosując wy
7.6) do obu końców tego przedziału czasu i przyrównując wartości,
—y
m
sincoti = —y
m
smco(t\ + T) = —
y
m
sin(<wfi + coT). (17.7)
coT = 2ix,
czyli gdy
2
jt
I O = — (częstość kołowa). (^7.8)
1
yJ\/\\
/
\
. T »
Rys. 17.6. Wykres zależności
mieszczenia elementu liny, znajduj
się w x = 0, od czasu t podczas
chodzenia fali sinusoidalnej z rys
17.5 przez ten element. Zaznaczono
plitudę y
m
oraz okres T mierzon
wybranej chwili t\
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 144/329
Wielkość
co
nazywam y częs tośc i ą kołową, jej jedno stką w układ zie SI jes
na sekundę.
P o w ró ć m y
do
pięciu zdjęć fali biegn ącej p rzeds tawion ych
na
rysunk
Odstęp czasu między kolejnymi zdjęciami wynosi
T/4.
Tak więc na
zdjęciu każdy element l iny wykonał jedno pełne drganie.
Czę s tość fa li v definiujemy jako 1/ T i jest ona z wiązana z częstością
co zależnością
1
co
V = — = —
(częstość).
(
T 2
jt
Podobnie jak częs tość ruchu harm onicznego w rozdz ia l e 16, częs tość v
l i czba drgań wykonyw anych w ciągu jednostki czasu — chodzi tu o l iczb
elemen tu l iny, przez który prz echod zi fala. Tak jak w rozdziale 16, częstoś
m i e rz y m y
w
hercach lub
w
jednos tkach wie lokro tnych ,
na
przyk ład ki loh
•/SPRAWDZIAN 1 : Na rysunku nałożono trzy
zdjęcia migawkowe, przedstawiające fale biegnące
wzdłuż pewnej l iny. Fazy fal opisane są za leżno
ściami:
a) 2x —
4 r,
b)
4x
-
8r,
c)
8x
—
16t . Dopasuj
wykresy
do
tych wyrażeń.
1 7 . 5 .
P rędkość f a l i b i eg ną ce j
Na rysunku 17.7 przes t awiono dwa zdjęcia migaw kowe fal i opisanej w
(17.2) , w y k o n a n e
w
niewielkim odstępie czasu
At.
Fala porusza się
w
do
kierunku
osi
x (na rysunku 17.7
w
p ra w o ) ;
w
czasie At cały wykres fal
suwa się w tym k ierunku na od leg łość A x. I l oraz różnicowy Ax/At (w
pochodna dx/dr) j es t p rędkośc ią fa l i
v.
W j ak i sposób mo żemy wyznac
war tość?
Badając ruch fal i przedstawionej na rysunku 17 .7 , możem y in t e resow
punktami l iny lub punktami , w których jest taka sama faza drgań. Wychy
ciągle się zmien ia, natomiast punktow i
o
ustalonej fazie od pow iada co ch wi
punkt l iny. Z równania (17.2) ot rzymujemy jako warunek stałości fazy wy
kx
—
cot
=
const .
Z a u w a ż m y ,
że
chociaż faza jako całość pozostaje stała ,
to
zarówno prze
czenie x, jak i czas
t
się zmieniają. W i s tocie, gdy wzras t a
t,
musi rów
aby faza pozostała stała — wzras t ać x, stąd więc wynika, iż cały „kszta
p rz e su w a
się w
dodatn im k ie runku os i
x.
Aby wyznaczyć prędkość fal i v, weźmy pochodną wyrażenia (17.10)
dx
k co = 0,
dt
y
AX
X
17.7. Dwa zdjęcia migawkowe fal i
17.5 wykonane w chwilach
= 0 i t = At. Ponieważ fala porusza
ę w prawo z prędkością v, cała krzywa
się na
odległość
Ax w
cza
e
Af.
Punkt odpowiadający maksimum
z falą, ale
element
się
tylko
w
górę
i w dół
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 145/329
dx co
- = , = - . ( H . l l )
Korzystając ze wzorów (17.5) (k = 2TZ/X) oraz (17.8) (co = 2n/T), m o ż e m y
co X
V
= - = - = Xv (prędkość fali). (1 7. 12 )
k
T
v = X / T wy nika , że pręd koś ć fali jes t rów na ilorazowi długości fali
Wzór (17.2) opisuje fa lę biegnącą w dodatnim kierunku os i x. Falę biegnącą
t w (17.2) przez —t. Odpowiada to wa runkowi
kx + cot = const , (17.13)
zmniejszanie się x wraz ze wzrostem czasu (porównaj z
x opisana jes t równa
y(x,t) = y
m
sin(kx + cot). (17.14)
Jeże l i zana l izujemy fa lę opisaną wzorem (17.14) , podobnie jak zrobi l iśmy
z falą (17.2 ), znajdziemy wy rażen ie na jej pręd kość
dx co
-*7 = -T-
( 1 7
-
1 5 )
dr k
x,
co uzasadnia dokonaną przez nas zmianę
t.
Rozważmy te raz fa lę o pewnym dowolnym ksz ta łc ie opisanym wzorem
y(x,t)=h(kx±cot),
(17.16)
h reprezentuje dowolną funkcję (jedną z możliwości jest funkcja sinus).
i t występują w postac i kombinac j i kx ± cot, są fa lami biegnącymi. Co wię
wszystkie fa le biegnące muszą mieć postać zgodną ze wzorem (17.16) . Tak
y(x, t) = ~Jax + bt opisuje możliwą (chociaż być może z fizycz
2
— bt ) nie opisuje fali biegnącej.
17 .5. Prędkość fali biegn ącej
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 146/329
Przykład 17.1
Fala biegnąca wzdłuż l iny opisana jes t wzorem
y(x, t) = 0 , 00327 s i n ( 72 , l x - 2 , 7 20 ,
(17.17)
w którym wszystkie s tałe numeryczne wyrażone są w jednostkach
układu SI (0,00327 m, 72,1 rad/m oraz 2,72 rad/s) .
a) Znajdź amplitudę fali .
R O Z W I Ą Z A N I E :
O T Wy rażenie (17.17) ma taką samą postać jak (17.2)
y = y
m
s in £x — cot), 17.18)
ta k więc mamy do czynienia z falą s inusoidalną. Z porównania
tych wyrażeń otrzymujemy ampli tudę
y
m
= 0 ,00327 m = 3 ,27 mm . (odpowiedź)
b) Wyznacz długość fal i , je j okres i częs tość.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Porównując wyraże nia (17.17) i (17.18), widzimy, że l iczba falowa
i częs tość kołowa wynoszą odpowiednio
k = 72 ,1 rad /m oraz co = 2 ,72 rad / s .
Korzystając ze wzoru (17.5), wyrażamy długość fal i X przez k
2TI 2it rad
—
k
—
72 ,1 rad/m
= 0,087 1 m = 8,71 cm . (odpowiedź)
wyrażamy okres T
2 ii rad
Następnie, korzystając ze wzoru (17
przez co
2IR
2
TT rad
= 2 , 3 1 s
po czym ze wzoru (17.9) otrzymujemy
v = - = — — - 0 ,433 Hz .
T 2,31 s
c) Wyznacz prędkość fal i .
R O Z W I Ą Z A N I E :
Prędkość fal i dana jes t wzorem (17.12)
(odp
2,72 rad/s
= 0,0377 m/s
T
_
2
_
~~ co ~ 2,72 rad/s
(odpowiedź)
k 72 ,1 rad/m
= 3,77 cm/s . (odp
Ponieważ faza w wyrażeniu (17.17) zawiera zmienną x o
położenie, fa la porusza s ię wzdłuż os i x. Ponieważ wyraż
taką samą postać jak (17.2), znak minus przez wyrazem
zuje,
iż fala biegnie w dodatnim kierunku os i x. (Zauwa
wielkości obl iczone w punktach (b) i (c) nie zależą od am
fali).
d) Wyznacz przemieszczenie dla punktu x = 22,5 cm w
t = 18,9 s.
R O Z W I Ą Z A N I E :
O T Wyraż enie (17.17) opisuje przem ieszczenie w za
od położenia x i czasu t. Podstawiając podane wartości
wyrażenia, otrzymujemy
y = 0 ,00327 s in(72, l
•
0,225 - 2,72
•
18,9)
= ( 0 , 00327 m ) s i n ( - 3 5 , 1 855 r a d )
= (0 ,00327 m)(0 ,588)
= 0,001 92 m = 1,92 mm . (odp
Tak więc przemieszczenie jes t dodatnie . (Przed obl iczeni
tości funkcji sinus należy się upewnić, że aktualną miar
w kalkulatorze są radiany).
Przyk ład 17 .2
W przykładzie 17.Id pokazal iśmy, że w chwil i
t
= 18,9 s fala,
dana wzorem (17.17), wywołuje poprzeczne przemieszczenie y
elementu liny znajdującego się w punkcie x = 0 ,255 m, równe
1,92 mm.
a) Wyznacz poprzeczną prędkość u tego elementu l iny w podanej
chwil i . (Chodzi o prędkość związaną z poprzecznymi drganiami
elementu l iny w kierunku os i y; nie należy jej mylić z prędkością
v — stałą prędkością, z jaką kształt fali przemieszcza s ię wzdłuż
osi x).
ROZWIĄZANIE:
O T Poprzeczna prędko ść u jes t szybkością zmian przemiesz
czenia y elementu l iny. Przemieszczenie dane jes t wzorem
y(x, t) = y
m
sm(kx — cot). (17.19)
Szybkość zmian przemieszczenia
y
dla elementu znajdują
w pewnym punkc ie x znajdujemy, biorąc pochodną wy
(17.19) względem t przy założeniu, że x jes t s ta łe . Pocho
znaczaną przy założeniu, że jedną ( lub więcej) ze zmienny
tujemy jako stałą, nazywamy pochodną cząstkową i ozn
symbolem 3/3 1 , a n ie d /df . W naszym przypadku mamy
dy
u = — = — ary
m
cos(fcx
—
cot).
dt
Podstawiając nas tępnie dane l iczbowe z przykładu 17.1, o
jemy
u = ( - 2 , 72 r a d /s ) (3 , 27 m m ) c os ( - 35 , 18 55 r a d )
= 7,2 mm /s . (odp
Tak więc w chwil i t = 18,9 s elem ent liny znajdujący
punkc ie x = 22,5 cm porusza s ię w dodatnim kierun
prędkością 7,2 mm/s .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 147/329
a
y
tego elementu
w
poda
T Poprzeczne przyspieszenie
a
y
jest szybkością zmian po
Ze
wzoru (17.20),
iż x
jest stałe,
a t
moż e s ię zmieniać, otrzy
d u
a
y
= —- = —coy
m
sin(kx — cot).
ot
porównania z wyrażeniem (17.19) widać, że w yrażenie to m o
w
postaci
a
y
= — c o
2
y.
Widzimy,
że
przyspieszenie poprzeczn e drgającego element
jes t proporcjonalne do j ego poprzecznego przemieszczeni
z przeciwnym znakiem. Jes t
to w
pełni zgodne
z
zachow
się tego elementu
—
porusza
się on w tym
kierunku ru
harmonicznym. Podstawienie danych l iczbowych daje
y =
- ( 2 , 7 2 r a d / s )
2
( l , 92 m m )
= —14,2 m m /s
2
. (odpow
Tak więc w chwili
t =
18,9
s
elem ent liny, znajdujący się w
cie
x =
22,5 cm, jes t odchylony
od
swojego położenia równ
o 1,92 mm w dodatnim kierunku os i y i ma przyspieszenie
tości 14,2 mm/s
2
skierowane
w
ujemnym kierunku
osi y.
2.'.
Dane
są
rów nania o pisujące trzy fale:
y(x, t) = 2 s i n ( 4 x - 2 / ) , 2) y(x,t) = s i n ( 3 x - 4 / ) , 3) y(x,t) = 2 s i n ( 3 x - 3 0 -
je
według:
a)
prędkości rozchodzenia
się
fali oraz
b)
maksym alnej prędkości
zaczynając
od
największych.
S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d c
1:
Wyznaczanie dużych
faz
jak w przykładach 17.Id
i
17.2, pojawia się kąt znacznie
2jt rad (lub jej odjęcie) nie zmien ia wartośc i żadne j z
W
przykładz ie 17.Id wystąpi ł
do niego (6)(2i t rad), otrzymujemy
- 3 5 , 1 8 5 5 r a d
+
(6) (2n rad)
=
2 ,51361
rad,
kąt mniejszy niż
2n
rad, dla którego wartości funkcji trygo
są
takie same
jak dla
kąta —35,1855
rad (rys.
Na
przy kład wartość funkcji sinus
dla
obydwu kątów
rad i
—35,1855
rad
wyno si 0,588. Kalkulatory automa
Uwaga:
Nie
należy zaokrąglać dużych kątów, jeżel i mam y
i
cosinusów. Przy obliczaniu
i obliczamy wartość funkcji dla pozostałej części.
na
przykład zaokrągl il i
kąt
-3 5 , 18 55 rad do war tości
—35 rad (a przecież zmiana o 0,5% wydaje się uzasadni
krokiem), spowodowałoby
to
zm ianę wartośc i funkcji sinus
kąta
o
27%. Również przy zamianie s topni
na
radiany mu
się upewnić, że posługujemy się wzorem dokładnym (np. 1
TT
rad) ,
a
nie przybl iżonym (np. 57,3°
ss
1 rad).
y
y
-35,1855 rad +2,51361 rad
Rys.
1 7 . 8 .
Te dwa
kąty
są
różne ,
ale
wartości wszystkic
funkcj i t rygonometrycznych
są
identyczne
7 .6 .
P rędkość fa l i
w
n a p i ę t e j l i n i e
z
długością fali
i
częs tośc ią wiąże za leżność (17.12) ,
okre
jest przez właściw ości ośrodka. Fa la porusza jąca
się w
tak im oś rodku, j ak
Aby było to mo żl iwe, ośrodek m usi mieć zarów no mas ę (aby gdzieś
1
7.6. Prędkość fal i
w
napiętej l inie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 148/329
Rys. 1 7 . 9 . Symetryczny impuls wi
dziany w układzie odniesienia, w któ
rym impuls jest stacjonarny, a lina po
rusza się z prawa na lewo z prędko
ścią
v.
Wyznaczamy p rędkość
v
poprzez
zastosowanie drugiej zasady dynamiki
do znajdującego się na szczycie impu lsu
elementu l iny o d ługości
Al
mogła gromadzić s ię energia kine tyczna) , jak i sprężystość (aby gdzieś
gromadzić s ię energia potenc ja lna) . Tak więc to masa i właśc iwośc i sp
ośrodka okreś la ją , jak szybko fa la może s ię w nim poruszać . Inacze j m
powinna is tnieć możl iwość obl iczania prędkośc i fa l i w ośrodku w za leżn
tych jeg o właśc iw ośc i . Za jmiemy s ię te raz — na dwa sposoby — ty m za
niem dla napiętej l iny.
Anal iza wymiarowa
Ana l iza wymia rowa polega na szczegółowym badaniu wymia rów wsz
wielkości fizycznych, mających znaczenie w danej sytuacji , w celu def
n ia w ie lkośc i , j ak ie możemy na i ch pods tawie uzyskać . W naszym prz
zbadamy masę i sprężystość , aby wyznaczyć prędkość v, które j wymiar
gość podzie lon a przez czas , czyl i L T
- 1
.
Jako masę do naszych rozważań wykorzystamy masę e lementu l iny
masę l iny m podzie loną przez je j długość / . Taki i loraz nazywamy g
liniową n, l iny. Tak więc wymiar wie lkośc i /i = m/l to masa pod zie lon
długość , c zy li M L
- 1
.
Nie m ożn a wysłać fa li wzd łuż l iny, jeże l i nie zos ta ła ona naprężo
oznacza, iż musi być rozciągnięta i napięta przez siły działające na oba jej
Naprężenie T liny jest równe wspólnej wartości obu tych sił . Gdy fala
wzd łuż l iny, je j e lementy przemieszcza ją s ię , powod ując d odatkow e rozc
c ie — w wyniku naprężenia sąs iednie e lementy l iny rozc iąga ją s ię wza
M ożem y za tem powiązać n aprężenie l iny z je j sprężystośc ią. N aprężen ie
dobnie j ak s i ły przy łożone do obu końców — m a wymia r ML T ~
2
(zgo
w z o r e m F = ma).
Naszym ce lem jes t uzyskanie takie j kombinac j i wie lkośc i pu (o wy
ML"
1
) oraz T ( o w y m i a r z e M L T
- 2
) , która dawałaby wie lkość v o wy
L T
- 1
. Metodą prób i błędów możemy dość szybko otrzymać
gdz ie C j e s t bezwymia rową stałą, które j nie można wyznaczyć na drodze
wymiarowej . Poniże j wyznaczymy prędkość fa l i w inny sposób — pokaże
wzór (17.21) rzeczywiśc ie jes t poprawny oraz że s ta ła C wynosi 1.
Wyprowadzenie wzoru na prędkość
z drugiej zasady dynamiki Newtona
Zam ias t fal i s inusoida lne j z rysun ku 17.I b rozwa żmy pojedyn czy syme
impuls , taki jak na rysunku 17.9, biegnący wzdłuż l iny z lewa na prawo
kością
v.
Dla wygody wybieramy układ odnies ienia , w którym impuls je
c jonarny, czyl i poruszamy s ię razem z impulsem w taki sposób, by jego
był niezmienny. W takim układzie odnies ienia l ina przesuwa s ię względ
z prawa na lewo (rys .
ll
.Sf)
z
prędkośc ią
v.
Rozważmy znajdujący s ię wewnątrz impulsu mały odcinek l iny o d
Al, tworzący łuk okręgu o prom ieniu R, obejmujący ką t 20 wokół ś rodk
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 149/329
okręgu. Rozważany odcinek l iny rozciągany jest s tycznie na obu jego końcach
przez siły równe co do wartości naprężeniu l iny T. Poziome składowe tych si ł
znoszą się wzajemnie, natomiast suma składowych pionowych daje radialną silę
F o wartości
Al
F = 2(T
sin
( 9) « T(29) = T— (siła). (17 .22 )
R
W tym wyrażeniu przybl iżyl iśmy sin# przez 0, co jest słus zne dla małych ką
tó w
0.
Skorzystal iśmy również ze związku
20 — Al/R.
Masa elementu l iny dana jest wzorem
Am = [lAl
(masa), (17 .23)
gdzie fi jest liniową gęstością liny.
W chwil i przedstawionej na rysunku 17.9 e lement
Al
l iny porusza się po
łuku okręgu. Zatem ma on przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego
okręgu, dane wzorem
v
2
a = — (przyspieszenie). (1 7. 24 )
R
Wyrażenia (17.22), (17.23) i (17.24) opisują wielkości występujące w drugiej
zasadzie dynamiki Newtona. Łącząc je zgodnie z tym prawem w postaci
si ła = masa • przyspieszenie ,
mamy
TAI , v
2
-T = *
•
Rozwiązując to równanie ze względu na prędkość v, ot rzymujemy
V = J- (prędkość), (17 .25 )
co jest w pełni zg odne z w yrażen iem (17.21) , o ile przyjmiemy, że s ta ła C równa
jedno ści . Wyrażen ie (17.25) opisuje prędkość impulsu przedstaw ionego na
ysunku 17.9, a także prędkość dowolnej innej fali w takiej samej l inie przy takim
samym jej naprężeniu.
Z wyrażenia (17.25) wynika, że
Prędkość fali w idealnej napiętej linie zależy jedyn ie od naprężenia i gęstości liniowej
liny, nie zależy natomiast od częstości fali.
Częstość fali usta lona jest całkowicie przez to , co ją w ytwarza (na przykład
rzez człowieka na rys.
17 .
I b ) . Długość fali jest określona zależnością (17.12)
(k = v/v).
3 Wytwarzamy falę biegnącą wzdłuż pewnej liny, wprawiając jeden
17 .6 . Prędkość fa l i w napięte j l in ie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 150/329
Przykład 17.3
Na rysunku 17.10 przedstawiono dwie liny połączone razem za
pomocą węzła i naciągnięte między dwoma sztywnymi wspor
nikami. Liniowe gęstości lin wynoszą odpowiednio
fi\
= 1,4 •
1 0
- 4
kg/m oraz fi
2
— 2,8 • 10~
4
kg/m, a ich długości L
x
= 3 m
oraz
L
2
= 2 m.
Naprężenie liny
1
wynosi
400 N. W obu li
nach równocześnie wytworzono impulsy biegnące od sztywnych
wsporników
w
kierunku węzła. Który impuls najpierw dotrze
do
węzła?
Rys. 17.10. Przykład
17.3.
Dwie liny
o
długościach
L\ i L
2
połączone razem za pomocą węzła i naciągnięte między dwoma
sztywnymi wspornikami
R O Z W I Ą Z A N I E :
Skorzystamy
z
kilku wskazówek:
O T 1. Czas t, w jakim impuls pokona odległość L, jest równy
t = L/u, gdzie
v
jest stałą prędkością impulsu.
O — f 2. Prędkość impulsu w naciągniętej linie zależy o
prężenia
T i
gęstości liniowej
fi;
jest
ona
dana wzorem
(v = JTfc)-
O T
3. Ponieważ obie liny były rozciągnięte razem, mus
takie same naprężenia
T (= 400 N).
Łącząc
to
razem
i
podstawiając odpowiednie dane, otrzy
czas, po jakim impuls w pierwszej linie dotrze do węzła
i , fiZT
,
/ 1 ,4 - I O -
4
kg/m
h
= — =
ŁI,
— = (3 m),/
vi V
T
V 400 N
=
1,77
• 10 ~
3
s.
Podobnie, biorąc dane dla impulsu w linie 2, mamy
h = L
— = 1,67 • 10 ~
3
s.
V r
Tak więc
do
węzła dotrze najpierw impuls
w
linie
2.
Powróćmy teraz
do
punktu
2.
Gęstość liniowa lin
większa niż liny 1, tak więc impuls w linie 2 musi być w
niż
w
linie
1. Czy
moglibyśmy odgadnąć odpowiedź, ko
tylko z tego faktu? Nie, gdyż z punktu 1 widać, że ist
również odległość pokonywana przez impulsy.
1 7 . 7 . Energia
i
moc fali biegnącej
w
linie
Rys. 1 7 . 1 1 . Migawkowe zdjęcie fali
biegnącej w linie w chwili t = 0.
Przemieszczenie elementu
a
liny
wy
nosi y = y
m
, a elementu b wynosi
y
= 0.
Energia kinetyczna każdego ele
mentu liny zależy od jego prędkości po
przecznej.
Energia potencjalna elementu
zależy od stopnia naprężenia elementu
liny w danej chwili
Gdy wytwarzamy falę w naciągniętej linie, musimy dostarczyć energii n
nej do ruchu liny. Fala biegnąca przenosi tę energię w postaci energii z
kinetycznej, jak i potencjalnej. Przeanalizujmy kolejno obie postacie ene
Energia kinetyczna
Fragment liny o masie dra, wykonujący poprzeczne drgania harmoniczne
tek przechodzenia przezeń fali, ma energię kinetyczną związaną z jego p
ścią poprzeczną w. Gdy ten fragment w swoim ruchu przechodzi przez po
y = 0 (fragment b na rysunku 17.11), jego prędkość poprzeczna — i rów
śnie energ ia kinetyczna —je s t największa. Gdy zaś rozważany fragment z
się w skrajnym położeniu y = y
m
(tak ja k element a na rysunku), jego pr
poprzeczna (i energia kinetyczna) jest równa zeru.
Energia potencjalna sprężystości
I
Fala sinusoidalna, wysyłana wzdłuż początkowo prostej liny, musi ją roz
Skoro fragment liny o długości dx wykonuje drgania poprzeczne, jego d
musi okresowo rosnąć i maleć, w miarę jak dopasowuje się on do sinusoid
kształtu fali. Energia potencjalna związana jest z tymi właśnie zmianami dł
analogicznie jak w przypadku sprężyny.
134
1 7 .
Fale I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 151/329
Gd y fragment l iny jes t wychylony do położe nia y = y
m
(fragment a na
17 .11), j ego d ługość m a normalną n iezaburzoną w ar tość dx , a więc jego
stości równa jest zeru . Nato miast gdy ten fragment
y = 0 , zosta je maksymalnie rozciągnięty , a jego
y = 0 drgający e lement l iny uzyskuje zatem maksymalną energię
Załóżmy, że w l in ie naciągnięte j wzdłuż poziomej osi x wytworzyliśmy fa lę ,
x, ma ener
przenosi energię wz dłuż l iny.
dE
k
, jaką ma element l iny o ma sie dm , dana je s t w zorem
dE
k
= \dmu
2
, (17.26)
u
jes t prędkością poprzeczną drgającego e lementu l iny. Aby znaleźć
u,
x:
dy
u = — = — coy
m
cos(kx
—
cot). (17.27)
dt
dm = pidx, p rzeksz ta łcamy wzór
d £
k
= j(/xdx)(-coy
m
)
2
co s
2
(kx - cot). 17.28)
Dzieląc wyrażenie (17.28) przez dt , otrzymujemy szybkość zmian energii
tu l iny, czyli szybko ść, z jaką energia kinetyczna przen oszo na
dx/dt, jak i pojawia s ię po prawej s tronie nowej postaci
ru (17 .28) , jes t prędkością fa li
v,
tak więc mamy
dE 1
~ = -p,vw
2
y^ cos
2
(kx - cot). (17.29)
z jaką p rzenoszo na je s t ene rg ia k ine tyczna , w ynos i
= -fjbvco
2
y
2
a
[cos
2
(kx -
cot)]śr
= ~-p.vco
2
y
2
m
. (17.30)
śr ^
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 152/329
Wzię l i śmy tu średnią po całkow itej l iczbie dług ości fali , wyk orzystując
średnia war tość kwadratu funkcj i cosinus wzięta
po
całkowitej l iczbie o
równa j es t 1 / 2 .
Energia potencjalna sprężystości również jest przenoszona przez fa lę
samą średnią szybkością , daną wzorem (17.30) .
Co
p rawda
nie
poda m
ścisłego dowodu,
ale
pewnie pamię tasz ,
że w
układz ie drgającym, tak
w a h a d ł o lub układ sprężyna-klocek, średnia energia kinetyczna i średnia
potencjalna is to tnie są sobie równe.
Średn ia moc , czy l i ś r edn ia szybkość ,
z
jaką
oba
rodzaje energi i
są
szone przez fa lę , wynosi
czyl i , uwzględniając zależność (17.30) , ot rzymujemy
Ą
r
= j/j.yco^y ( m o c średnia). (1
Czynnik i \x oraz v
w
tych wyrażeniach zależą,
od
m ate r i a łu
i
naprężen
Z kolei czynniki co oraz
y
m
— od
sposobu powstaw ania fa li . Zależn ość
mocy fali
od
kwadra tu
jej
ampl i tudy oraz
od
kwa dratu częstości koło
charakter ogólny, jest
ona
s łuszna
dla
wszystkich rodzajów
fal.
Przykład 17.4
Z wyrażenia (17.25) otrzymujemy
Rozciągnięta lina o gęstości liniowej /x = 525 g/m została n aprę
żona siłą T = 45 N. Wy twarzam y falę sinusoidalną o częstości
v = 120 Hz i ampli tudzie y
m
= 8,5 mm, biegnącą wzdłuż liny
od j ednego
z
je j końców. Wyznacz średnią szybkość przenoszenia
energii przez falę.
ROZWIĄZANIE:
O — f Średn ia szybko ść przen oszen ia energii równ a jest średniej
mocy P
r
danej wzorem (17 .32). Aby jednak skorzystać z tego wy
rażenia, najpierw musimy obliczyć częstość kołową co i prędkość
v fali.
Ze
wzoru (17.9) mam y
45
N
0,525 kg/m
: 9,26 m/s .
: 2JTV = (2n)(120 Hz) = 754 rad/s.
Zatem wzór (17.32) daje
P
S r
=
\ixvco
2
yl
i
= ( f ) (0 ,525 kg /m)(9 ,26 m/s ) (754 rad/ s )
2
( 0 , 0085
« 100 W. (odp
^ S P R A W D Z I A N 4 :
W
powyższym przykładz ie mo
modyfikować trzy parametry: naprężenie liny, częstość fal
ampli tudę. Czy średnia szybkość, z jaką energia jes t p r
szona wzdłuż liny przez falę, wzrośnie, zmniejszy się, c
pozostanie stała, gdy zwiększymy: a) naprężenie, b) cz
lu b c) ampli tudę?
1 7 . 8 .
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i
fal
Częs to się zdarza , że dwie lub więce j fal przechodzi rów nocze śnie pr
sam obszar . Gdy na p rzyk ład s łuchamy koncer tu , do naszych uszu wpada
nocześnie fa le dźwiękowe
z
wielu inst rumentów. Elektrony
w
antenach n
odbiorników radiowych i te lewizyjnych wprawiane są w ruch przez wspól
padkowy efekt działania wielu fal e lekt romagn etycznych pochodzących
1 3 6 1 7 .
Fale
I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 153/329
w
porcie może być wzburzona przez
od
wielu lodzi .
Za łóżmy, że dw ie fa le biegną rów nocze śnie wz dłuż tej samej napiętej l iny.
yi(x, t) i y
2
(x, t) będą p rzemieszczen iami tej l iny spowodow anymi przez
z fal
osobno. Przemieszczenie l iny
w
sytuacji ,
gdy
fale nakładają
się,
ich
sumą algebraiczną
y'(x,t) = y
x
(x,t) + y
2
(x,t). (17.33)
że
Nakładające
się
fale dodają
się
a lgebra icznie , tworząc
falę wypadkową.
to
j e szcze j eden p rzyk ład
zasady superpozycj i ,
k tó ra mówi ,
że gdy
rów
się
kilka efektów,
ich
wyp adkow y skutek jest sumą skutków
Na rysunku 17.12 przedstawiono sekwencję zdjęć migawkowych dwóch im
się w p rzec iwnych k ie runkach wzd łuż tej samej napiętej
Gdy
impulsy nakładają
się,
wypadkow y impul s s t anowi
ich
s u m ę .
Co
wię
każdy impuls przechodzi przez drugi w taki sposób, ja k gdyby tego drugiego
Nakładające
się
fale
w
żaden sposób
nie
wpływają
na
siebie wzajemnie .
Rys. 17 .12 . Se r i a zd j ęć migawko
przestawiających dwa impulsy
szające
się w
przeciwnych kierun
wzdłuż napiętej l iny.
Gdy
impulsy
kładają
się na
siebie, stosujemy z
superpozycji
I n t e r f e r e n c j a
fal
że wysyłam y dw ie fale s inusoidalne o takiej samej długości fali i am
w tym
samy m kieru nku wzd łuż napięte j l iny. Zastosujmy
do
w l inie?
Wypadkowa fala zależy
od
t ego , j aka j e s t wzg lędna faza
obu fal,
czyl i
od
o ile
jedn a fa la jest przesun ięta wz ględem drugiej .
Gdy
fale
są
dok ładn ie
w
fazie
(to
znaczy,
gdy
grzbiety
i
dol iny jednej fa l i dokładnie pokrywają
z
g rzb ie t ami
i
dol inami drugiej ) , przemieszczenie wypadkowe jest dwukrotnie
niż
dla każdej
z fal
osob no. Jeżel i mają one fazy mak sym alnie n iezgo dne
y jednej fal i dokładn ie pokrywają się z dol inami drugiej ) , pochodzące od
się w każdym punkc ie i l ina pozostaje wyprosto
To z jawisko nazyw amy interferencją , a o samych falach mówimy, że
ze
sobą.
(Pojęcie
to
do tyczy j edyn ie dodawania
się
p rzemieszczeń ,
a
ie ma w p ł y w u na ruch fal).
Zakładamy, że j edna z fal biegnących wz dłuż napięte j l iny opisana jest w zo
yi(x, t) = y
m
s i n ( ł x — cot), (17.34)
w f az i e wzg lędem p ie rwsze j , wzorem
y
2
(x, t) = y
m
sin(kx — cot Ą- cp). (17.35)
1 7 . 9 .
Interferencja
fal
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 154/329
Obie fale mają takie same częstości kołowe co ( i w konsekw encj i taki
częs tośc i v) , takie same l iczby falowe k (czyli również takie same długo
A.) oraz takie same amplitudy y
m
. Ob ie b i egną w dodatn im k ie runku os i x
samą prędkością, daną w zore m (17 .25). Różnią się jedy nie w fazie o st
cp, k t ó ry n a z y w a m y p rz e su n i ę c i e m fa z o w y m . M ó w i m y , że różnica faz t
w y n o s i cp lub że jed na fala jest przesunięta w fazie o kąt cp względem d
Zgodnie z zasadą superpozycj i , wyrażoną wzorem (17.33), fala wy
wa stanowi sumę algebraiczną dwóc h interferujących fal, a jej przem ies
wynosi
y'(x, t) = y\(x, t) + y2 (x, t) = y
m
s i n ( ł x — cot) + y
m
sin(kx —cot + cp).
W dodatku E znajdujemy zależność, zgodnie z którą sumę sinusów dwóch
a i P można przedstawić w postaci
s ina + s in
8
= 2 s i n
\ {a + f i )
c o s
\ ( a
-
6) .
Korzystając z tego związku, przekształcamy wyrażenie (17.36) do postac
y'(x, t) = [2 y
m
cos \(p] ńn(kx - cot + \cp). (1
Jak w idać z tego wzoru (pat rz także rys. 17.13), fala wy padk owa ró wnież j
. s inusoidalną biegnącą w doda tnim kierunk u osi x. Jest to w istocie jedy
= [2v
m
cos\<p] sm(kx-a>ł +j$) jaką moż esz zaobse rwow ać w l inie (nie mo żesz zobacz yć dw u interferując
opisanych wzorami (17.34) i (17.35).
17 .13 .
Wypadkow a fala, opisana Gdy dwie fale sinusoida lne o takich samych amplitudach i długościach fali bie
tym samym
kierunku wzdłuż naprężonej liny, interferują ze sobą, dając wypadkow
erencji dwu sinusoidalnych fal po- sinusoidalną biegnącą w tym samym kierunku,
falą
Fala wypadkowa różni się od fal interferujących pod dwoma względami:
przesunięcie fazowe równe jest (p/2, a 2) jej amp l i tuda opisana jest c
zawar tym w nawiasach kwadra towych w wyrażeniu (17 .38)
y'
m
=
2y
m
cos \cj> (amplituda).
D la
cp
= 0 rad (czyli 0°) obie interferujące fale są dokładnie w zgodn
jak na rysunku 17.14a. Wyrażenie (17.38) sprowadza się wówczas do po
y'(x,t)
= 2y
m
ńn(kx-cot)
(0
= 0) .
Taką falę wypadkową przedstawiono na rysunku 17.14d. Zauważmy — z
na tym rysunku, jak i we wzorze (17.40) — że ampl i tuda fal i wypadkow
dwukrotnie większa od ampl i tudy każdej z interferujących fal . Jest to
malna ampl i tuda fal i wypadkowej , jaką możemy uzyskać, gdyż człon zawi
cosinus we wzorach (17.38) i (17.39) osiąga największą wartość (równą
ści) dla
0
= 0. Interferencję, która daje największą możliwą wartość am
n a z y w a m y interferencją całkowicie konstruktyw ną.
D la cp
= Tt
rad (czyli 180°) obie interferujące fale mają fazy ma ksy
niezgodne , j ak na rysunku 17 .14b . Wówczas czynnik
cos(0/2)
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 155/329
y
1
(x,t) y
2
(x,t)
-y'(x,t)
- y'(x, t)
Rys.
1 7 . 1 4 .
Dwie
tyczne fale sinusoi
yi(x,t) i y
2
(x,t)
gną wzdłuż l iny w
datnim kierunku os
W wyniku ich in
rencji powstaje fala
padkowa y'(x, t). Je
ta fa la wypadkowa
być zaobserwowana.
nice faz
4>
między i
rującymi falami są n
pujące: a) 0 rad, czy
b)
7 t
rad, czyli 180°,
c) 2Tt/3 rad, czyli
Odpowiednie fa le w
kowe przedstawiono n
sunkach (d), (e) i (f)
d )
e )
f )
x
i
t
mamy w ów czas
y'(x,
? ) = 0 {cb = n rad) . (17 .41)
całkowicie destruktywną.
Ponieważ fa la s inusoidalna powtarza swój ksz ta ł t co 2
H
rad, róż nica faz
=
2 T T rad (czyl i 360°) odpowiada przesunięc iu jednej fa l i względem drugie j
W tabel i 17 .1 podano k i lka innych przykładów różnicy faz oraz odpowia
.
Różnice faz i charakter interferencji"
Różnica faz
wyrażona
Amplituda fali
Charakter interferencji
stopniach w radianach za pom ocą wypad kowej
Charakter interferencji
długości fali
0 0 0
2 y
m
całkowicie konst ruktywna
120
2 j t / 3
0,33
y
m
pośrednia
180 Tt 0,5
0 ca łkowicie dest ruktywna
240
4 TT /3
0,67
pośrednia
360 2it 1
2y
m
całkowicie konst ruktywna
865 15,1 2,4
0 , 6y
m
pośrednia
Różnica faz dotycz y dwóch identyczny ch fal o amplitudach y
m
poruszających s ię w tym samym kierunku.
1 7 . 9 .
Interferencja fal
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 156/329
całkowicie destruktywna, ani całkowicie konstruktywna, nazywamy ją in
cją pośrednią. W takim przypadku amplituda fali wypadkowej przyjmuje
wartość z przedziału od 0 do 2 y
m
. Na przykład, ja k widać z tabeli 1
różnica faz między interferującymi falami równa jest 120°
(cb
= 2 j t /3
odpowiada 0,33 długości fali), amplituda fali wypadkowej równa jest amp
fal interferujących (patrz rys.17.14c i f).
Dwie fale o takich samych długościach są w zgodnej fazie, jeżeli róż
między nimi równa jest zeru lu b odpowiada dowolnej całkowitej liczbie
fali.
Tak
więc
z
różnicy
faz
wyrażonej przez długość fali zawsze możemy
część całkowitą. Na przykład różnica faz odpowiadająca 0,4 długości
równoważna różnicy faz odpowiadającej 2,4 długości fali — a do obliczeń
użyć prostszej z obydwu tych liczb.
Przykład 17.5
R O Z W I Ą Z A N I E :
Dwie identyczne fale sinusoidalne, poruszające
się w tym
samym
kierunku wzdłuż napiętej liny, interferują ze sobą. Ampl i tuda y
m
każdej
z fal
równa jes t
9,8 mm, a
różnica
faz <p
między nimi
wynos i 100°.
a) Wyznacz ampli tudę
y'
m
fali wypadkowej, powstającej w wyniku
interferencji
obu fal, i
określ charakter interferencji.
R O Z W I Ą Z A N I E :
O — r M a m y do czynienia z dwiem a identycznymi falami s inu
soidalnymi biegnącymi wzdłuż l iny
w tym
samym kierunku,
za
te m w wyniku ich interferencji rów nież powstaje sinuso idalna fala
biegnąca. Ponieważ obie fale
są
identyczne, mają takie same
am
plitudy. Zatem ampli tuda
y'
m
fal i wypadkowej dana jes t wzorem
(17.39)
y'
m
=
2 y
m
c o s
\<j>
=
(2) (9 ,8 mm) cos (100° /2)
=
13 mm.
(odpowiedź)
M a m y
tu do
czynienia
z
interferencją
pośrednią, co
możemy
stwierdzić
na dwa
sposoby. Różnica
faz
mieści
się w
przedziale
od 0 do 180°, a ampli tuda y'
m
— w przedziale od 0 do 2y
m
( =
19,6 mm).
b) Wyznacz różnicę
faz (w
radianach
i za
pom ocą długości fali ) ,
przy której amplituda fali wypadkowej jest równa 4,9 mm.
O — F Zaczynamy
od
tego samego wzoru
co w
punkcie
czym tym razem znamy ampli tudę
y'
m
,
a poszukujem
wzoru (17.39)
y'
m
= 2y
m
cos \4>
m a m y
4 ,9
mm =
(2) (9 ,8 mm ) cos \<j>,
co daje
nam
(musimy przełączyć kalkulator
w
t ryb w
kątów w radianach)
4 ,9 mm
4>
=
2a r c c os
„
n n
=
± 2 , 6 3 6
rad ±2 ,6
(2)(9,8
mm)
(od
M a m y
dwa
rozwiązania, gdyż
ten sam
wynik m ożemy
przyjmując, że pierws za fala wy przed za (bieg nie prze
albo
też
pozostaje
za nią z
tyłu
o 2,6 rad. W
przel ic
długość fali
X
różnica
faz
wynosi
± 2 , 6 3 6
rad
(od
2
J C
rad/A
2
TT rad/A
= ±0 , 42A .
•SPRAWDZIAN
i) :
Mam y cztery inne moż l iwe w
różnicy
faz
między dwiem a falami
w
powyższym przykł
wyrażone przez długość fal i ,
a
m ianowic ie :
0,2X, 0,A5X
oraz
0,8X.
Uszereguj
je w
kolejności amplitud
fal
wyp
wych, zaczynając od największej.
1 7 . 1 0 . W s k a z y
Falę w linie (lub dowolny inny rodzaj fali) możemy przedstawić wektor
pomocą wskazów. Wskaż jest wektorem o długości równej amplitudzie fa
obraca się wokół początku układu współrzędnych; prędkość kątowa wsk
równa częstości kołowej co fali. Na przykład falę
y
x
(x ,
t) = y
m l
sin(£x - cot)
1 4 0
17.
Fale
I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 157/329
a) Falę s inusoidalną reprezentuje wskaż o długości y
mi
obracający się wok ół
co . Rzut y\ wskazu na oś pionową
co , ale długość y
m
2, i obracający się, tworząc z pierwszym stały
t
cp ,
reprezen tuje drugą falę przesunię tą w fazie o
cf>.
c) Fala wypadkowa reprezentowana
y'
m
tych dwóch wskazów. Rzut y' na oś pionową reprezentuje
y
m
\. Ponieważ wskaż obraca s ię wokół począ tku układu
co ,
j ego rzu t y\ na pionową oś zmienia się
y
m
i poprzez ze ro do minim um — y
m
\ i z
y
m
\. Te zmiany odpowiadają sinusoida lny m zm iano m przemiesz
y\ dowolnego punktu l iny, gdy przechodzi przezeń fa la .
Gdy dwie fa le biegną wzdłuż te j samej l iny w tym samym kierunku, możemy
diagramie wskazów. Wskazy na
y
2
(x,
t) = y
m2
sin(kx -cot + cp).
(17.43)
a fa la przesunię ta jes t w faz ie wzglę dem pierwszej o ką t
cp .
Ponieważ wskazy
co , ką t między nimi zaw sze równy
<p.
Jeże l i
cp
jes t w ie lkośc ią
dodatnią,
to pod czas obro tu wsk aż fali 2 pozostaje
za wskazem fa l i 1, tak jak na rysunku 17.15b. Gdy na tomias t cp jest
ujemną, wówczas wskaż fali 2 wyprzedza ws każ fali 1.
Fa le y\ i y
2
mają takie same liczby falowe k i częs tośc i kołowe
co ,
za tem —
y'(x,
t) = y'
m
s in £x - cot + fi), 17.44)
y'
m
j es t ampli tudą fa l i wypadkowej , a fi — jej fazą początkową. Aby wy
y'
m
i fi, musim y zsumować obie interferujące fa le , pod obn ie jak
Aby zrobić to samo graf icznie , dodajemy wektorowo dwa wskazy w dowol
2 zos ta ł przesunię ty na koniec wskazu y
m
\. Długość o t rzymanego wektora
y'
m
w wyrażeniu (17.44) . Kąt między tym wektorem a
y\ jes t równy s ta łe j fi w tym wyrażeniu.
Zauważmy, że w przec iwieństwie do metody opisanej w paragraf ie 17.9:
a)
-
y
m
2
> m l
b)
y\
yna
V
/ m l
C )
Mo żemy posług iwać s ię wskaz ami do dodawa nia fal nawet wtedy, gdy mają one różne
ampli tudy.
^
1
7 .6
yi(x, t) i y
2
(x,t) mają takie same dłu
y
m l
=
4 mm i y
m2
= 3 mm , a ich fazy
początkowe są równe odpowiednio 0 i T t / 3 rad. Wyznacz
pl i tudę y'
m
i fazy początkowe fi fali wypadkowej. Przedstaw
wypadkową w postaci wzoru (17.44).
1 7 . 1 0 .
Wskazy
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 158/329
T 1
. Obie fale mają szereg właściwości wspólnych. Poniew aż
tej
samej l iny, muszą mieć taką samą prędkość,
i liniową gęstość liny, zgodnie ze w zo
k = 2jc/k.
Skoro
zaś
mają takie sam e
k i
prędkości
v,
muszą mieć takie same częstości
co —
kv.
T
2.
Obie fale (nazwijmy
je
falą
1 i
falą
2)
mogą
być re
się z tą samą prędkością
co wokół początku układu współrzędnych. Ponieważ faza
2
jest
większa od
fazy fali
1 o
TC
/3,
wskaż
2 —
obracając
się
z
kierunkiem ruchu wskazówek zegara
—
musi pozosta
ać
w
tyle
o kąt TC/3 rad za
wskazem 1,
jak to
przedstawiono
na
w
wyniku inter
fal 1 i 2,
m o że
być
zatem reprezentow ana przez wskaż
1 i 2.
fc
y
\
ym i / m l
a)
b)
Przyk ład
17.6. a) Dwa
wskazy
o
długościach
y
m
i
m
2
i
różnicy
faz TC
/3.
b)
Sumowanie wektorowe tych wskazów
ich obrotów daje długość y'
m
wskazu
Dla uproszczenia sumowania wektorowego wskazy
rysunku 17.16a zostały narysowane w chwil i , gdy wsk
równoległy do osi poziomej . Opóźn iony wskaż 2 nachy
wówczas do osi poziomej pod dodatnim kątem n/ 3 rad
sunku 17.16b wskaż 2 został przesunięty w taki sposób
początek znalazł się na końcu wskazu 1. Moż emy teraz n
wskaż
y'
m
fal i wypadkowej, łącząc początek wskazu
1 z
wskazu
2.
Faza początkowa
fi
jest równa kątowi, jaki tw
ze wskazem
1.
Aby wyznaczyć war tości
y'
m
i fi,
możemy zsumować
metodą dodawania składowych.
Dla
składowych poziomyc
) 4 p o z =
ymi cos 0 + y
m
2 COS(TC/3)
=
4 mm + (3
m m ) c o s ( n / 3 )
= 5,5 mm.
Dla składowych pionowych mamy
>mpion = ym i s i n
0+y
m 2
s i n( j t /3) = 0 +( 3 mm) s i n ( T t / 3 ) =
Tak więc fala wypadkowa ma ampli tudę
y'
m
= V
( 5 . 5
mm)
2
+ ( 2,6
m m )
2
= 6,1 mm
(od
oraz przesunięcie fazowe
fi = arctg ^
1 1 1 1 1 1
_ ĄĄ
a (
j (odp
5,5 mm
Z rysunku 17.16b widać, że faza początkowa
fi
odpowiad
niemu kątowi względem wskazu 1. Zatem fala wypadkow
staje w tyle za falą 1; jes t opóź nion a o fi = +0,44 rad. Ko
ze wzoru (17.44), zapisujemy falę wypadkową w postaci
y'(x,
t) = (6,1
m m ) sin(kx — cot
+
0,44 rad) . (od
1 7 . 1 1 .
Fa le s to jące
W poprzednich dwóch paragrafach rozważaliśmy dwie fale sinusoidalne o
samych długościach fali i amplitudach, biegnące w tym samym kierunku
napiętej liny. A co będzie w sytuacji, gdy fale biegną w przeciwnych kieru
W takim przypadku również możemy znaleźć falę wypadkową, korzys
zasady superpozycji.
Na rysunku 17.17 zilustrowano taką sytuację w sposób graficzny.
stawiono na nim dwie interferujące fale, z których jedna biegnie w lew
17.17a), a druga — w prawo (rys. 17.17b). Z kolei na rysunku 17.17c
stawiono ich sumę, otrzymaną dzięki graficznemu zastosowaniu zasady s
zycji. Wyróżniającą cechą fali wypadkowej jest fakt, iż na linie są mie
nazywane węzłami — w których nie wykonuje ona żadnego ruchu. Na r
17.17c widoczne są cztery takie węzły, oznaczone kropkami. W połowie
sąsiednimi węzłami znajdują się strzałk i — miejsca, w których ampli tu
wypadkowej jest największa. Fale tego rodzaju jak na rysunku 17.17c naz
falami stojącymi, gdyż „kształt" fali nie przemieszcza się tu ani w lewo
prawo — położenia maksimów i minimów nie ulegają zmianie .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 159/329
)
)
>
KJ
i " \
\J
\ i
V
t = 0
\ ł? \
t = -T
1
4
1
t = -T
1
2
1
t
= -T
t
=
T
• Gdy dwie fale sinusoid alne o takich samych amp litudach i długo ściach fali biegną w
przeciwn ych kierunk ach wzd łuż napiętej liny, w wyn iku ich interferencji powstaje fala
stojąca.
W celu analizy fali stojącej weźmy dwie interferujące fale opisane wzorami
y i ( x , t) = y
m
s in £x
—
cot)
( 1 7 . 4 5 )
( 1 7 . 4 6 )
2
(x,t) =y
m
sin(kx + cot).
y'(x, t) = yi(x, t) + y
2
(x, t) = y
m
śm(kx
—
cot) + y
m
sin(łx + cot).
( 1 7 . 3 7 ) , o t rzymujemy za l eżność
y'(x, t) = [2 y
m
sin £:x j cosft>r,
( 1 7 . 4 7 )
1 7 . 1 8 .
Wyrażenie to nie opisuje fal i biegną
gdyż ma inną postać niż ( 1 7 . 1 6 ) . Opisuje ono falę stojącą.
Wie lkość 2y
m
sin kx w nawiasach kwadra towych we wzorze
( 1 7 . 4 7 )
m o ż e m y
ać za ampl i tudę drgań elementu l iny znajdującego się w punkcie x. Jednakże
s i n £ x może mieć
2y
m
sin kx.
W przypadku biegnącej fal i s inusoidalnej ampl i tuda fal i jest taka sama dla
entów l iny. Stwierdzenie to nie jest praw dziw e dla fali s tojącej,
amplituda zmienia się, wraz z położeniem.
Na prz yk ład dla fali stojącej
( 1 7 . 4 7 )
mamy zerową ampl i tudę dla takich wartości kx , dla
kx =
0 .
Są to wartości spełniające warunek
kx=mt, gdz ie n = 0 , 1 , 2 , . . . ( 1 7 . 4 8 )
k =
2 j t / A
. i przekształcając je , ot rzymujemy
a mianowic ie
X
x=n-, gdz ie n=0, 1 , 2 , . . . (węzły) . ( 1 7 . 4 9 )
k/2,
t j . o po łow ę dłu go ści fal i.
Rys.
17 .1
7 . a) Pięć zdjęć miga
fali biegnącej w lewo, wykon
chwilach t opisanych pod częśc
sunku (T jes t okresem drgań)
zdjęć migawkowych fali identy
w części (a) , a le biegnącej w
wykonanych w tych samych ch
c) Odp owiedn ie zdjęcia migaw
superpozycji obu fal w tej samej
chwilach t = 0, t = T/2, t =
interferencję całkowicie konstr
gdyż grzbiety pokrywają s ię
tami, a dol iny z dol inami. W
t = T/4 i t = 3 7 /4 mam y in t
całkowicie destruktywną, gdyż
pokrywają s ię z dol inami. W
punktach (są to węzły — zazna
rysunku kropkami) drgania ni
dzą, a w innych punktach (są to
drgania są najsilniejsze
y'(x
,t )
= [2 y
m
s in** ] cos
Rys. 17.18. Fa la wypadkowa d
rem (17.47) jest falą stojącą,
w wyniku interferencji dwu fa
idalnych o takich samych ampl
długościach, biegnących w prze
kierunkach
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 160/329
/ " V .
a) b)
Rys. 17.19. a) Impuls padający z pra
wej
strony odbija się od lewego końca
liny
umocowanej do ściany. Zauważmy,
że
impuls odbity jest odwrócony wzglę
dem
impulsu padającego,
b)
Na tym ry
sunku
lewy koniec liny jest umocowany
do
pierścienia, który może się ślizgać
bez
tarcia
w
górę
i w
dół wzdłuż pręta.
W
tym przypadku impuls nie ulega od
wróceniu
przy odbiciu
Amplituda fali stojącej (17.47) osiąga maksimum — równe 2y
m
—
kich wartości kx, dla których zachodzi |sin
A:jc |
= 1. Są to wartości sp
warunek
kx
= i t /2 , 3 t t / 2 , 5
j i
/ 2 , . . . = (« +
1/2)
tt
, gdzie
n = 0, 1,
2 , . . .
Podstawiając
do
tego wyrażenia
k = 2n/X i
przekształcając
je ,
otrzy
położenia punktów
o
maksymalnej amplitudzie
—
strzałek
— dla
fali
wzorem (17.47), a mianowicie
1 \
A
2 / 2 '
Strzałki oddalone są o A/2 i znajdują się w połowie odległości między
węzłów.
H )
gdzie
n = 0,
1,2, . . .
(strzałki).
Odbicie od granicy
Możemy wytworzyć falę stojącą
w
napiętej linie, pozwalając,
by
fala b
odbiła
się od
oddalonego końca liny
i
poruszała
się z
powrotem.
W
interferencji fali padającej (początkowej) i fali odbitej, opisanych odpo
wzorami (17.45) i (17.46), powstaje fala stojąca.
Na rysunku 17.19 posłużyliśmy się pojedynczym impulsem
do
zilustr
w jaki sposób zachodzi takie odbicie.
Na
rysunku 17.19a lina jest umo
na lewym końcu.
Gdy
impuls dociera
do
tego końca liny, wywiera skie
w górę siłę na jej zamocowanie (na ścianę). Zgodnie z trzecią zasadą dy
ściana wywiera
na
linę przeciwnie skierowaną siłę
o
takiej samej wartoś
ta generuje impuls, który biegnie
z
powrotem wzdłuż liny
— w
przeciwn
runku
niż
impuls padający.
W
przypadku „twardego" odbicia, przy ścian
znajdować się węzeł, gdyż lina jest tu sztywno umocowana. Impulsy pad
odbity muszą mieć przeciwne znaki,
tak by się
wzajemnie kompensowały
punkcie.
Na rysunku 17.19b lewy koniec liny umocowany jest do lekkiego pier
który ślizga się swobodnie bez tarcia wzdłuż pręta. Gdy pojawia się impul
jący, pierścień przesuwa
się w
górę pręta. Przesuwający
się
pierścień ciąg
rozciągając
ją i
wytwarzając odbity impuls
o
takim samym znaku
i
amplitu
impuls padający. Zatem przy takim „miękkim" odbiciu impulsy padający
wzmacniają się wzajemnie, tworząc strzałkę na końcu liny. Maksymalne
nięcie pierścienia jest dwukrotnie większe
od
amplitudy każdego
z
tych im
•SPRAWDZIAN 6 :
Dwie fale o takich samych amplitudach i długościach inter
w
trzech różnych sytuacjach, tworząc fale wypadkowe opisane wzorami:
1)
y'(x, t) = 4sin(5x - 4r);
2)
y'(x, t) =
4si n(5x)
cos(4r);
3)
y'(x, t) = 4sin(5x + 4f).
Określ ,
w którym przypadku fale interferujące poruszają się: a) w dodatnim kie
os i
x, b) w ujemnym kierunku osi x, c) w przeciwnych kierunkach.
1 7.12. Fale stojące i rezonans
Rozważmy strunę, taką jak w gitarze, rozpiętą między dwoma zaciskam
łóżmy, że wytwarzamy ciągłą falę sinusoidalną o pewnej częstości b
14 4 17. Fale I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 161/329
le nakład ających się na siebie fal, któ re ze sobą interferują.
Przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o
rezónuje przy pew
Załóżmy, że s t runa rozpię ta jes t między dwo ma zac iskam i zna jdującymi s ię
L od s iebie . Aby znaleźć wzór na częs tośc i rezonansowe
ylenia struny (zazn aczo ne linią ciągłą i l inią przeryw aną) tworzące p oje
„pę tlę". Mam y tu tylko jedn ą strzałkę , znajdującą się w środku struny.
L. Tak więc w
X/2 = L. Warunek ten oznacza, iż aby fale biegnące w lewo i w
stojącą, muszą mieć długość
2L.
Drugą prostą falę stojącą spełniającą żądanie, by na końcach struny znajdo
X = L. Trzeci z kolei sche
X =
2 L / 3 . M o ż e m y k o n t y n u o w a ć
ny elemen t ciągu pow inien m ieć o jed en w ęzeł i jedn ą strzałkę w ięcej niż
L
s t runy powinna mieśc ić s ię kole jna połowa
Tak więc fala stojąca w strunie o długości L może być utworzona przez fa le
RYS. 1 7 . 2 0 . STROBOSKOPOWE FOTO
PRZESTAWIAJĄCE (NIEDOSKONAŁĄ) FAL
JĄCĄ W STRUNIE WPRAWIANEJ W DRGA
POMOCĄ WIBRATORA ZNAJDUJĄCEGO
JEJ LEWYM KOŃCU. TAKA FALA POJAW
TYLKO PRZY PEWNYCH CZĘSTOŚCIACH D
B)
1
X =
2L
gdzie
n =
1, 2, 3, (17.5 2)
1X1X1
C)
RYS. 1 7 . 2 1 . STRUNA NAPIĘTA M
DWOMA UCHWYTAMI I WPRAWIONA W
NIA W POSTACI FALI STOJĄCEJ A) NAJ
SZY MOŻLIWY KSZTAŁT ZAWIERA JEDNĄ
TLĘ" UTWORZONĄ PRZEZ POŁĄCZENIE K
TÓW LINY PRZY JEJ MAKSYMALNYCH W
LENIACH (LINIA CIĄGŁA I LINIA PRZERY
B)
DRUGI W KOLEJNOŚCI NAJPROSTSZY
MAT ZAWIERA DWIE PĘTLE, C) KOLEJNY
MAT ZAWIERA TRZY PĘTLE
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 162/329
*3j Częstości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali, zgodnie ze
(17.12), wynoszą
Rys. 17.22. J e dna z wie lu moż l i
wych
fal
stojących
w
m e m br a n ie
ko
t ła , uwidoczniona dzięki posypaniu
membrany c iemnym proszkiem. Gdy
w membranie wzbudzane są drgania
o jednej częs tości za pom oc ą me
chanicznego wibra tora widocznego
w
lewym górnym rogu fotografi i , pro
szek zbiera się w węzłach, które
w
tym
dwuw ymiarowym przykładz ie
mają postać okręgów i linii prostych
v
21
gdzie n = 1, 2 , 3 , . . .
(17
gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie.
Z wyrażenia (17.53) wynika, że częstości rezonansowe są całkowity
lokrotnościami najniższej częstości rezonansowej,
v = v/2L,
odpowi
n = 1. Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy d
(modem) podstawowym lu b pierwszą harmoniczną. Druga harmoniczna
drgań przy
n =2.
Trzecia harmoniczna — przy
n.
= 3 itd. Częstości zwi
tymi modami oznaczane są często symbolami v\, v
2
, v i tak dalej. Zbiór
kich możliwych drgań własnych nazywamy
szeregiem harmonicznym, a
n nazywamy
liczbą harmoniczną
dla n-tej harmonicznej.
Zjawisko rezonansu występuje we wszystkich układach drgających
występować również w dwóch lub trzech wymiarach. Na przykład na r
17.22 przedstawiono dwuwymiarową falę stojącą w drgającej membranie
•SPRAWDZIAN / W poniższ ym szeregu częs tości rezonansow ych brakuje jedne
stości (mniejszej
niż 400 Hz): 150 Hz, 255 Hz, 300 Hz, 375 Hz. a)
Podaj brak
częstość, b) Wy znacz częs tość siódmej h arm onicz nej .
Przykład
17.7
St runę umocowaną do s inusoidalnego wibratora P i przerzuconą
przez wspornik Q obciążono klockiem o mas ie m (rys. 17.23).
Odległość L między punktami P i Q w ynos i 1,2 m, liniowa
gęstość s t runy równa jes t
1,6 g/m, a
częs tość wibratora
v
jes t
stała i wynos i 120 Hz . Am pl i tuda ruchu w punkc ie P j e s t na tyle
mała , że możemy ten punkt potraktować jak węzeł . Węzeł również
znajduje
się w
punkc ie
Q.
a) Przy jakiej masie m k locka wibra tor może wzbudz ić w linie
czwar tą ha rmoniczną?
R O Z W I Ą Z A N I E :
O — * 1 . Struna będzie rezonow ać jedy nie przy pew nych czę s to
ściach okreś lonych przez prędkość v fali w strunie i d ługość L
s truny. Zgodnie
ze
wzore m (17 .53) częs tości rezonansowe
wy
noszą
V = n
2~L' gdz ie n = 1 , 2 , 3 , . . . ( 17 .5 4 )
Do wzbudzenia czwar te j ha rmoniczne j (n = 4) m us i m y tak do
rać prawą s t ronę tego równania
po
podstawieniu n
= 4, aby
lewa
strona była równa częs tości wibratora (120 Hz).
Wielkość
L we
wzorze (17.54) jes t us talona
i nie
m oż e m y
-NR 2. Jednakże m ożemy zmienić prędkość
v,
gdyż zależy
ona
jak dużą masę m zawies imy na końcu s t runy. Zgod nie ze
wzorem (17.25) prędkość fal i jes t równa
v =
y/T//i.
W naszym przypadku naprężenie T s t runy jes t równe c
klocka mg, zatem
v
_ T_ _ [mg
y
u-
V
m
Podstawiając v
ze
wzoru (17.55)
do
(17.54), przyjmując dl
te j harmonicznej n = 4 oraz rozwiązując otrzymane rów
względu na m, otrzymujemy
4L
2
v
2
fi
( 4 ) ( 1 , 2 m )
2
( 1 2 0 H z )
2
( 0 , 0016 kg / m )
( 4 )
2
( 9 , 8 m/s
2
)
= 0 ,846
kg w 0,85 kg.
(odp
b) Przyjmij masę klocka
m = 1 kg .
Jaka fala stojąca
w z budz ona w s t runie?
wibrator
—
Rys. 17.23. Przykład 17.7. Naprężona s t runa przyłączona
wibratora. Przy ustalonej częstości wibratora fale stojące po
się jedynie dla pewnych wartości naprężenia s t runy
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 163/329
n, otrzymamy wartość n = 3,7.
O T
Liczba n musi być całkowita, tak więc nie jest m
wartość n = 3,7. Zatem przy obciążeniu struny klockiem
sie 1 kg wibrator nie może w niej wzbudzić żadnej fali st
wszelkie drgania będą małe, być może nawet niezauważaln
Sztuka rozwiązywania zadań
2: Harmoniczne w strunie
L, zacznij od narysowania
armonicznej (jak na rysunku 17.21). Jeżeli badasz na przy
reprezentującymi sztywne wsporniki. Oznacza to, że
k/2,
powinno wypełniać długość
L
struny. Tak więc 5(A/2) = L, skąd k = 2L/5. Korzysta
wzoru (17.12) (y = v/k), możemy wyznaczyć częstość
nicznej.
Pamiętaj, że dla harmonicznej długość fali zależy j
od długości struny L, podczas gdy jej częstość zależy ró
od prędkości v fali, która z kolei jest określona przez napr
struny i jej gęstość liniową zgodnie ze wzorem (17.25).
Podsumowań
« L L IL L L »« AI IA
poprzeczne i podłużne
Fale mechaniczne mogą występo
jedynie w ośrodku materialnym i podlegają zasadom dyna
Poprzeczne fale
mechaniczne, takie jak fale w
rgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali, to
Fala sinusoidalna biegnąca w dodatnim kie
x ma matematyczną postać
y(x, t) = y
m
sin
(FAC
—
cot), (17.2)
y
m
jest amplitudą fali, k — liczbą falową, co — częstością
a wyrażenie kx — cot jest jej
fazą. Długość fali
k i liczbę
k wiąże zależność
T i gęstości liniowej /z wynosi
k =
2n
k '
(17.5)
T i
częstość
v fali są związane z jej częstością kołową co
co 1
x - = v = - . (17.9)
2ir T
prędkość fali v jest związana z pozostałymi parame
co k
v = -
= -=kv. (17.12)
Każda funkcja postaci
y(x, t) =h(kx±cot) (17.16)
prezentować
falę biegnącą,
której prędkość dana jest wzo
h.
x, a
inus — falę biegnącą w dodatnim kierunku osi x.
i w napiętej linie Prędkość fali w napiętej linie
(
Moc Średnia moc, czyli średnia szybkość, z jaką fala s
idalna w napiętej linie przenosi energię, dana jest wzorem
P
ir
= lnvco
2
y
2
m
.
(
Superpozycja fal
Gdy dwie lub więcej fal porusza się
samym ośrodku, przemieszczenie każdej cząstki ośrodka st
sumę przemieszczeń, jakie byłyby wywoływane przez każd
z osobna.
Interferencja fal Dwie fale sinusoidalne w tej samej lin
kazują interferencję, wzmacniając się lub osłabiając zgod
zasadą superpozycji. Jeżeli obie biegną w tym samym kie
i mają takie same amplitudy y
m
i częstości (a w konsekwe
długości fali), różnią się zaś jedynie w fazie o kąt
</>,
to w r
cie otrzymujemy falę wypadkową o takiej samej częstości op
wzorem, , ,
y(x, t) = [2y
m
cos j<f>] sm(kx - cot + \cj>).
Jeżeli 4> = 0, to fale są dokładnie w zgodnej fazie i ich
rencja jest całkowicie konstruktywna; gdy zaś cf> = jt , fa
dokładnie przeciwne fazy i ich interferencja jest całkowic
struktywna.
Wskazy
Fala y(x, t) może być przedstawiona za po
wskazu. Jest to wektor o długości równej amplitudzie y
m
obracający się wokół początku układu współrzędnych z pr
ścią kątową równą częstości kołowej
co
fali. Rzut obracaj
się wskazu na oś pionową daje przemieszczenie y punktu,
który przechodzi fala.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 164/329
W wyn iku interferencji dwóc h identycz nych fal
fala stojąca.
Dla l iny z umocowa nym i końcam i fala s tojąca
y\x, t) = [2y
m
s infct]cos(y f . (17.47)
węz łami ,
s trza łkami .
Fale s tojące w l inie moż na wzbu dzić poprzez odbi
umocowany, to musi w nim być węzeł . Narzuca to wa
częstości , przy których w danej l inie może być wzbudz
stojąca. Każdą możliwą częstość nazywamy częstością
sową, a odpowiadającą jej falę stojącą — drgan iem wła
przypadku napiętej l iny o długości L, mającej umocowan
częstości rezonansowe dane są wzorem
v = - = n ~ , gdzie n = 1 , 2 , 3 , . . .
X 2L
Drganie własne odpowiadające n = 1 nazywamy drgan
dem) podstawowym lu b pierwszą harmoniczną; mod od
jący n = 2 to druga harmoniczna i tak dalej.
Pytania
.
I le wynosi długość (dziwnej) fal i przedstawionej na rysunku
dl
h -
\ d
Rys.
1 7 . 2 4 . Pytanie 1
.
Na rysunku 17.25a przedstawiono migawkowe zdjęcie fal i bie
x.
(Wskazówka: Wyob raź sobie, w jaki spo
Na rysunku 17.25b przedstawiono zależność przemieszcze
x = 0. Czy w poszczególnych chwilach, oznaczonych
y
a) b)
1 7 . 2 5 . Pytanie 2
. Na rysunku 17.26 przedstawiono migawkowe zdjęcie fal i s inu
x = 0 mamy zerowe prze
— w punkcie x = 0 znajdzie się e) grzbiet fali oraz f) następny
y
Rys. 1 7 . 2 6 . Pytanie 3
punkt o zerowym przemieszczeniu? Załóż, że fala przes
w prawo.
4. Poniższe cztery fale biegną wzdłuż czterech l in o
wych gęstościach l iniowych (x jest wyrażone w metrach
w sekundach) . Uszereguj fale według ich: a) prędkości
naprężeń l in , po których biegną, zaczynając od najwięks
1) yi = (3 mm ) sin(x — 3t), 3) y
3
= (1 mm ) sin(4x
2) yi = (6 mm) sin(2x — t) , 4) y
4
= (2 mm) sin(x
5 . Na rysunku 17.27 fala 1 skład a się z prosto kątne go
o wysokości 4 jednostek i szerokości d oraz prostokątne
o głębokości 2 jednostek i szerokości d. Fala 1 biegnie
wzd łuż os i x. Fale 2 , 3 i 4 o podobnym kształcie, o takich
wysokościach, głębokościach i szerokościach biegną wzdł
w lewo naprzeciw fali 1. Która z tych fal, interferując z
utworzy w pewnym momencie: a) najgłębszą dolinę, b
l inię oraz c) jednopoziomowy grzbiet o szerokości 2dl
(1) (2)
(3) (4)
Rys.
1 7 . 2 7 . Pytanie 5
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 165/329
Początkowo mamy dwie fale sinusoidalne o takich samych
Amplitudy i przesunięcia fazowe czterech par fal o jednako
długościach wynoszą: a) 2 mm, 6 mm i jr rad; b) 3 mm,
Jt rad; c) 7 mm, 9 mm i Jt rad; d) 2 mm, 2 mm i
al wypadkowych, zaczynając od największej. (Wskazówka:
W linie wzbudzono siódmą harmoniczną. Określ: a) ile jest
z b) co znajduje się w środku liny — węzeł, strzałka
jakiś stan pośredni. Następnie wzbudzono szóstą harmoniczną.
Liny A i B mają jednakowe długości i gęstości liniowe, ale lina
A.
Na rysunku 17.28 przedsta
drgały z tą samą częstością rezonansową?
.
a) Dana jest fala stojąca w linie opisana wzorem
y'(t) = (3 mm) sin(5x) cos(4/ ).
x = 0 znajduje się węzeł, czy strzałka
y'(t) = (3 mm) sin(5x
+ j t
/ 2 ) cos(4f).
Określ, czy w punkcie
x
= 0 znajduje się węzeł, czy str
drgań liny.
1 1 . Przeanalizujmy przedstawiony na rysunku 17.23 układ z
kładu 17.7. a) Jeżeli będziemy stopniowo zwiększać masę k
(nie zmieniając częstości wibratora), pojawią się nowe dr
własne. Określ, czy liczby harmoniczne nowych drgań włas
stają się coraz większe, czy coraz mniejsze, b) Określ, czy
ście od jednego drgania własnego do następnego zachodzi
nie,
czy też jedno drganie własne zanika znacznie wcześnie
pojawia się następne.
l i n a ^ lina B
Rys.
1 7 . 2 8 .
Pytanie 9
mim
Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod
ręcznika: http://www.wiley.com/collcge/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learning-
Ware (na tej samej stronie)
foli b ie gn ąc ej
częstość kołową 110 rad/s i długość fali 1,8 m. Oblicz
alową i b) prędkość fali.
al elektromagnetycznych (obejmujących światło wi
8
m/s. a) Światło widzialne obejmuje zakres fal
ultrakrótkich fal radiowych (obejmujących m.in. zakres FM
300 MHz. Określ odpowiadający im przedział długości fali.
c) Długości fali promieniowania rentgenowskiego leżą w
dziale od 5 nm do 1 • 10~
2
nm. Podaj zakres częstości dla
promieniowania.
3 . Sinusoidalna fala biegnie wzdłuż liny. Czas, w jak im pos
gólne punkty przechodzą od swojego maksymalnego wychy
do zera, wynosi 0,17 s. Wyznacz a) okres i b) częstość. Dłu
fali jest równa 1,4 m; c) wyznacz prędkość fali.
4. Napisz wzór przestawiający falę sinusoidalną biegnącą w u
nym kierunku wzdłuż osi x, mającą amplitudę 0,01 m, czę
550 Hz i prędkość 330 m/s.
5 . Udowodnij, że wyrażenia
y
=
y
m
sink(x - vt), y = y
m
s i n 2 j t ^ -
vt^j,
y = y
m
ńnco(^--t^, y = y
m
sin27t (j-
-
Cj ,
są równoważne wyrażeniu
y = y
m
sin(kx — cot).
Z a d a n i a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 166/329
6 .
Równanie fal i poprzecznej biegnącej wzdłuż bardzo długiej
liny ma postać y = 6 s i n ( 0 ,0 2 j t x + 4 j t r ) , g d z i e x i t wyrażone są
odpowiednio w centym etrach i sekundach. Wyz nacz: a) ampli tudę,
b) długość fali, c) częstość, d) prędkość, e) kierunek rozchodze
nia się oraz f) maksymalną poprzeczną prędkość cząsteczek liny.
g) Podaj poprzeczne przemieszczenie w punkcie
x
= 3,5 cm
w chwili t = 0,26 s.
7 .
a) Zapisz równanie opisujące sinusoidalną falę poprzeczną o
długości fali 10 cm, częstości 400 Hz i amplitudzie 2 cm biegnącą
wzdłuż sznura w kierunku
+x .
b) Podaj maksymalną prędkość
punktów sznura, c) Wyznacz prędkość fal i .
8 . Poprzeczna fala sinusoidalna o długości fali 20 cm poru
sza s ię wzdłuż l iny w dodatnim kierunku osi x. Na rysunku
17.29 przedstawiono zależność poprzecznego przemieszczenia
elementu liny, znajdującego się w punkcie x = 0, od czasu,
a) Naszkicuj w przybliżeniu obszar obejmujący jedną długość
fali (od x = 0 do x =
20 cm) w chwili t = 0. b)
Określ prędkość fali. c) Za
pisz równanie fali zawiera
stałe,
d) Podaj poprzeczną
prędkość elementu l iny w
punkcie x = 0 i w chwili
t = 5 s.
y [cm]
\
1
/
\
\ ,
.
Jt
j
f [ s ]
Rys. ł 7 . 2 9 .
Zadanie 8
9 .
Fala s inusoidalna o częstości 500 Hz ma prędkość 350 m/s.
a) Podaj odległość między punktami, dla których różnica faz wy
nosi
T t / 3
rad. b) Podaj różnicę faz dla dwóch przemieszczeń pew
nego punktu w chwilach różniących się o 1 ms. ii v
1
7 . 6
P r ę d k o ś ć
fa l i w na p ię te j l in ie
1 0 . Najgrubsza i najcieńsza struna w pewnych skrzypcach mają
gęstości liniowe równe odpowiednio 3 g/m i 0,29 g/m. Podaj
stosunek średnic obu strun (grubszej do cieńszej) przy założeniu,
że obie wykonane są z tego samego mater iału.
1 1
.
Podaj prędkość fal poprzecznych w sznurze o długości 2 m i
asie 60 g poddanym naprężeniu 500 N.
1 2
. Naprężenie w drucie zamocowanym na obu końcach podwo
nie zmieniając znacząco długości drutu pomiędzy zaciskam i.
odaj stosunek prędkości fal poprzecznych w tym drucie przed i
o tej zmianie.
1 3 .
Liniowa gęstość liny wynosi 1,6
•
10 ~
4
kg/m. Fala poprzeczna
l inie opisana jest wzorem
y = (0,021 m) s in[(2 m
_ 1
)x + (30 s
- 1
) f ] .
odaj: a) prędkość fali i b) naprężenie liny.
1 4 .
Dane jest równanie fal i poprzecznej w l inie
y = (2
mm) sin[(20
m~
l
)x
- (600 s"
1
) ?] .
Naprężenie liny jest równe 15 N. a) Podaj prędkość fali. b
liniową gęstość liny (w gramach na metr).
1 5 .
M asa przypadająca na jednostkę długości napiętej lin
5 g/cm, a jej nap rężen ie 10 N. W linie wzb udz ono falę
idalną o amplitudzie 0,12 mm i częstości 100 Hz, bie
kierunku ujemnych war tości x. Zapisz równanie tej fali.
1 6 .
Jaką najszybszą falę poprzeczną można wye
wzdłuż s talowego drutu? Dla zachowania bezpieczeństw
symalne naprężenie, jakiemu można poddać s talowy drut
7 • 1 0
8
N / m
2
. Gęstość s tal i jest równa 7800 kg/m
3
. Pokaż
powiedź nie zależy od średnicy drutu.
1 7 .
Sinusoidalna fala poprzeczna o ampli tudzie y
m
i dłu g
X biegn ie wzdłuż napiętej liny. a) Znajdź stos unek mak
prędkoś ci cząstek liny (prędkości, z jaką poje dync za cz ą
porusza się poprzecznie względem fali) do prędkości fali
powyższy stosunek prędkości zależy od mater iału, z jaki
konana jest lina, na przykład z drutu lub nylonu?
1 8 .
Fala sinusoidalna biegnie wzdłuż liny z prędkością
Stwierdzono, że przemieszczenie cząstek l iny w punkc
10 cm zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
y = (5 cm) sin[ l - (4 s" ' ) f ] .
Liniowa gęstość liny jest równa 4 g/cm. Podaj: a) częstość
gość fali. c) Podaj ogólny wzór opisujący zależność poprz
przemieszczenia cząstek l iny od położenia i czasu, d) Ob
prężenie liny.
1 9 .
Sinusoidalna fala poprzeczna biegnie wzdłuż l iny w u
kierunku osi x. Na rysunku 17.30 przedstawiono wykre
ności przemieszczenia od położenia w chwili
t
= 0; w
x = 0 przemieszcz enie jest równe 4 cm. Naprężenie l
nosi 3,6 N, a jej gęstość liniowa 25 g/m. W yzna cz: a) am
b) długość fali, c) jej prędkość i d) okres, e) Znajdź mak
poprzeczną prędkość cząstek liny. f) Zapisz równanie o
falę biegnącą.
V - - > -
6
4
a
2
o
- 2
- 4
- 6
10 20 30 40 50 60 70 80
x [cm]
Rys.
1
7 . 3 0 .
Zadan ie
19
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 167/329
. Na rysunku 17.31a
= 500 g. Obl icz pręd
(Wskazówka:
krą
M
2
(Mi + M
2
=
) , a ca łe urządzenie prze
17.3
l b . Wyznacz
Mi
) M
2
, przy których pręd
lina 1
lina 1
lina
2 -
b )
Rys.
1 7 . 3 1 .
Zadanie 20
. Drut o długości 10 m i masie 100 g naciągnięto siłą 250 N.
iiw
. Gumowa taśma, jaka używana jest do wypełniania niektórych
m. Po przyłożeniu si ły F taśma rozciąga
Al . a) Wyznacz zależność prędkości fal
Al i stałej
k. b) Korzystając z odpowiedzi do części (a), wykaż,
1 /
V A T
, gdy Al <SC / , oraz
Al 5> l.
Jednorodna l ina o masie m i długości L zwisa z sufitu.
W ykaż , że prędk ość fal poprze cznych w linie jest funkcją od
y od dolnego końca l iny i dana jest wzorem v = *fgy.
jakieg o fa la poprzeczn a potrzebuje n a przeby
t = 2^/L/g.
. 7 E n e r g i a i m o c f a l i b i e g n ą c e j w l i n i e
.
Lina , po które j może biec fa la , ma długość 2,7 m i masę
ej o am pl i tudzie 7,7 mm, aby je j średnia moc b yła równa
. Poprzeczna fa la sinusoidalna wytworzona jest na jednym
górę i w dół na odcinku 1 cm. Ruch pręta jest ciągły i powtarz
regularnie 120 razy na sekundę. Lina ma gęstość l iniową 120
i jest napię ta si łą 90 N. Wyznacz maksymalne wartośc i : a ) p
kości poprzecznej u oraz b) poprzecznej składowej naprężeni
(Wskazówka: Składowa poprzeczna równa jest Tsm9, gdz
jest ką tem, jaki l ina tworzy z poziomem. Należy powiązać k
z wie lkością dy/dx) . c ) Udowodni j , że obie wyznaczone w
maksymalne wartości występują dla tych samych wartości
fa l i . Wyznacz poprzeczne przemieszczenie y liny dla tych
d) Wyznacz maksymalną szybkość przenoszenia energi i wz
liny. e) Podaj poprzeczne przemieszczenie y w chwil i , gdy to p
noszenie jest na jwiększe , f) Wyzn acz minimalną szybkość prz
szenia energii wzdłuż liny. g) Podaj poprzeczne przemieszcz
y w chwil i , gdy to przenoszenie osiąga minimum.
1 7 .9 In te r fe renc ja fa l
2 6 . Jaka jest różnica faz między dwiema identycznymi fa
biegnącymi w tym samym kierunku wzdłuż napię te j l iny, je
ich wypadkowa ma amplitudę 1,5 razy większą niż ampli
każdej fali składowej? Odpowiedź wyraź: a) w stopniach, b
radianach oraz c) za pomocą długości fali .
2 7 . Dwie identyczne fa le biegnące w tym samym kierunku
przesunięte w fazie o Tt/2 rad. Znajdź am plitudę fali wyp adko
i wyraź ją za pomocą ampl i tudy
y
m
fal składow ych.
2 8 .
Dwie identyczne — z wyją tkiem fazy — fa le sinusoid
biegną w tym samym kierunku wzdłuż liny i interferują. W
zultacie powstaje fala opisana wzorem
y'(x, t)
= (3 mm) sin(20x -
4 t +
0,82 rad) ,
gdzie x i t wyrażone są odpowiednio w metrach i sekund
Wyznacz: a) długość fa l i X obu fal składowych, b) różnicę
między nimi oraz c) ich ampl i tudę y
m
.
1 7 . 1 0 W s k a z y
2 9 . Określ ampl i tudę fa l i wypadkowej , powsta łe j w wyniku
żenia dwóch fal sinusoidalnych o takich samych częstościach,
gnących w tym samym kierunku w zdłuż te j samej l iny, jeże l i
amplitudy są równe 3 cm i 4 cm, a ich fazy początkowe wyno
odpowiednio 0 i T t/2 rad.
3 0 . Dwie fale sinusoidalne o takich samych okresach, ma
ampl i tudy 5 mm i 7 mm, biegną w tym samym kierunku wzd
napiętej l iny; w wyniku ich złożenia powstaje fala o amplitud
9 mm. Faza początkowa fa l i o ampl i tudzie 5 mm wynosi 0 .
znacz fazę początkową fali o amplitudzie 7 mm.
3 1
. Trzy fale sinusoidalne o takich samych częstościach bie
wzdłuż l iny w dodatnim kierunku osi x. Ich ampl i tudy wyno
j i , yi/2 i y i / 3 , a fazy początkowe równe są odpow iednio
Tt /2 oraz j t . Wyznacz: a) amplitudę i b) fazę początkową
wypadkowej, c) Narysuj kształt fali wypadkowej w chwili t
i zanal izuj jego zmiany w miarę upływu czasu t. w *
Zadania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 168/329
17
.12
Fale stojące
i
rezonans
3 2 . Lina naprężona siłą
T
pocz
drga z trzecią harmoniczną o czę
stości V 3 przy czym fala wzbudzona wlinie ma długość fali
A.3.
Jeżeli naprężenie liny zwiększymy do wartości
T
końc:
= 4r
p0C
z
i ponownie wzbudzimy trzecią harmoniczną, to jaka będzie: a
częstość drgań wyrażona przez częstość 1
)3
oraz b długość fali
wyrażona przez
A.3?
3 3 .
Nylonowa struna
w
gitarze
ma
gęstość liniową
7,2
g/m
i
jest naciągnięta siłą 150 N. Stałe punkty podparcia oddalone są
od siebie o 90 cm. Wstrunie wzbudzono falę stojącą przed
stawioną na rysunku 17.32.
Oblicz: a) prędkość, b) dłu
gość fali oraz c) częstość fal
biegnących, tworzących w
wyniku złożenia daną falę
stojącą,
i
Iw
-
90
cm
Rys. 17 .32 .
Zadanie 33
3 4 .
Dwie fale sinusoidalne o identycznych długościach i amplitu
dach biegną w przeciwnych kierunkach wzdłuż liny z prędkością
10 cm/s. Wyznacz ich długości fali, jeżeli odstęp czasu między
chwilami, gdy lina jest płaska, wynosi 0,5 s.
3 5 .
Zamocowana na obu końcach lina ma długość 8,4 m i masę
0,12 kg. Lina została naciągnięta siłą 96 N i wprawiona w drgania,
a) Określ prędkość fal wlinie, b Wyznacz największą możliwą
długość fali stojącej, c) Podaj częstość tej fali.
3 6 . Lina o długości 125 cm i masie 2 g została naciągnięta siłą
7 Nmiędzy dwoma sztywnymi wspornikami, a) Określ prędkość
fali w linie, b) Podaj najmniejszą częstość rezonansową dla tej liny.
3 7 .
Podaj trzy najmniejsze częstości
fal
stojących
w
drucie
o
długości 10 m i masie 100 g, którego naprężenie wynosi 250 N.
3 8 .
Lina
A
jest rozciągnięta między dwoma zaciskami znajdu
jącymi się wodległości
L.
Lina
B
— o takiej samej gęstości
liniowej i poddana takiemu samemu naprężeniu, co lina
A —
rozciągnięta jest między dwoma zaciskami znajdującymi się w
odległości AL. Rozważ osiem pierwszych harmonicznych liny
B.
Które z nich, o ile takie są, mają częstości rezonansowe pokrywa
jące się z częstościami rezonansowymi liny A?
3 9 .
Lina rozpięta między dwoma sztywnymi wspornikami,
znaj
dującymi się w odległości 75 cm od siebie, ma częstości rezonan
sowe 420 Hz i 315 Hz, przy czym żadna pośrednia częstość nie
jest rezonansowa. Określ: a najmniejszą częstość rezonansową
oraz b) prędkość fali.
A
w
4 0 . Na rysunku 17.33
przedstawiono dwa impulsy
biegnące wzdłuż liny
w przeciwnych kierunkach.
Prędkość fali
v
wynosi
2 m/s. W chwili / = 0 odle
głość między impulsami jest
—
6cm
Rys. 17.33.
Zadanie 33
równa 6 cm. a) Naszkicuj kształt liny dla
t
równego 5 m
15 ms, 20 ms i 25 ms. b Jaką postać ma energia imp
chwili
t
= 15 ms?
4 1 .
Lina drga zgodnie z wyrażeniem
y'
= (0,5 cm) sin j cm" ' j xj cos [(40it s~')
t
Podaj: a) amplitudę i b) prędkość dwóch fal (identycznych
kiem kierunku rozchodzenia się), których superpozycja d
drgania,
c
Określ odległość między węzłami, d) Wyzna
kość cząstek liny wpunkcie
x =
1,5 cm wchwili
t
= 9
4 2 .
Fala stojąca powstaje w wyniku złożenia dwóch poprz
fal biegnących, opisanych wzorami
yi = 0,05
c o s ( t u : —
Ant) oraz
y
2
=
0,05
cos(ttjc
+
gdzie wielkości
x, y\
i
y%
wyrażone są wmetrach, a l
kundach, a) Podaj najmniejszą dodatnią wartość
x
odpow
węzłowi, b Określ chwilę wprzedziale czasu 0
t
^
której cząstka znajdująca się w punkcie j = 0ma prędko
zeru.
4 3 . Wlinie o długości 3 mwzbudzono falę stojącą „
pętlach", mającą amplitudę równą 1 cm. Prędkość fali
100 m/s. a Podaj częstość fali. b Zapisz równania dw
które wwyniku interferencji dają tę falę stojącą.
4 4 .
W doświadczeniu z falami stojącymi strunę o długoś
przymocowano do jednego z ramion wzbudzanego elek
kamertonu, drgającego prostopadle do osi struny z c
60 Hz. Masa struny wynosi 0,044 kg. Jaką siłą należy n
strunę (za pomocą ciężarka przyczepionego do drugiego
aby powstały drgania „o czterech pętlach"?
4 5 .
Drgania kamertonu o częstości 600 Hz wzbudzają fal
w strunie umocowanej na obu końcach. Prędkość fali w
wynosi 400 m/s. Fala stojąca ma „cztery pętle" oraz am
równą 2 mm. a Wyznacz długość struny, b Zapisz w
opisujące zależność przemieszczenia struny od położenia
4 6 .
Sznur naciągnięty siłą 200 N i zamocowany na o
cach wykonuje drgania odpowiadające drugiej harmonic
stojącej.
Przemieszczenie sznura opisane jest wzorem
y = (0,1
m
) ( s i n T t j
: / 2 ) s i n
12nf,
gdzie
x
= 0 odpowiada jednemu końcowi sznura, a wie
i
t
wyrażone
są
odpowiednio
w
metrach
i
sekundach. W
a) długość sznura, b) prędkość fali w sznurze oraz c) masę
d) Określ częstość drgań sznura odpowiadających trzeciej
nicznej fali stojącej.
4 7 .
Generator znajdujący się na jednym końcu bardzo dłu
wytwarza falę opisaną wzorem
y = (6 cm)cos ^[(2 m"
1
) * + (8 s
_ 1
)f],
a generator na drugim końcu — falę
y = (6 cm)cos ^[(2
m~)x
- (8 s"')r].
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 169/329
. Fala stojąca w linie opisana jes t wzorem
y(x,t)
= 0,04 sin
5TW
COS
40TT£
wielkości x i t wyrażone są odpowiednio w metrach i
^ x < 0 ,4 m. b) Podaj okres ruchu drgającego dowolnego
dwóch fal biegnących, dających w wyniku interferencji taką
stojącą, e) Określ, w jakich chwilach z przedziału czasu
«; t < 0,05 s wszystkie punkty liny będą miały prędkość po
. Wykaż, że maksimum energii kinetycznej w każdej z pętli
2
/
u,y
2
1
vu.
.
Dla pewnej fali stojącej w długiej linie mamy strzałkę w punk
x = 0 i węzeł w punkcie x = 0,1 m. Na rysunku 17.34 przed
y(t)
elementu liny znajdującego się w
x = 0. Określ dla chwili ( =0 , 5 s przemieszczenie ele
ących
x =
x = 0,3 m.
x =
0.2 m wy
t = 0,5 s i d) t = 1 s.
t — 0,5 s w obszarze
x = 0 do x = 0.4 m.
0,04
& 0
0,5 1,0 1,5 2j0
/ f s ]
-0,04 -
Rys.
17 . 3 4 . Zadanie 50
.
Drut aluminiowy o długości L\ = 60 cm, polu przekroju po
I • 10~
2
cm
2
i gęstości 2,6 g/cm
3
połączono z drutem
3
i takim samym przekroju poprzecz
10 kg, umocowano w taki sposób, by odległość L
2
od punktu
ne; przy krążku znajduje się węzeł fali. a) Wyznacz
Podaj,
3 —
L,
L
2— -
-|
aluminium stal
Rys. 1 7 . 3 5 .
Zadanie 51
.
Kamizelka kuloodporna. Gdy pocisk o dużej prędkości (kula
zelkę kuloodporną, tkanina, z jakiej jest wykonana kamiz
zatrzymuje pocisk i uniemożliwia penetrację poprzez szybki
proszenie jego energii na dużym obszarze. To rozproszenie z
dzi dzięki podłużnym i poprzecznym impulsom falowym
szającym się promieniście od punktu uderzenia, w którym p
wypycha tkaninę, tworząc stożkowe wgniecenie. Impuls podł
biegnący wzdłuż włókien tkaniny z prędkością v
va
a, wypr
wgniecenie, powodując, iż tkanina staje się cieńsza i naprę
przez materiał poruszający się promieniście w kierunku w
cenia. Jedno z takich radialnych włókien przedstawiono n
sunku 17.36a. Część energii pocisku zużyta zostaje na taki
i związane z nim naprężenie. Impuls poprzeczny, poruszając
z mniejszą prędkością t>
p o p r z
, wywołany jest przez wgniec
W miarę jak pocisk powoduje zwiększenie głębokości wgn
nia, zwiększa się również jego promień, w wyniku czego m
riał włókien porusza się w tym samym kierunku co pocis
prostopadle do kierunku ruchu impulsów poprzecznych). P
stała część energii pocisku zużywana jest na ten właśnie
Cała energia — oprócz części powodującej trwałą deform
włókien — w ostatecznym rachunku przekształca się w en
termiczną.
Na rysunku 17.36b przedstawiono zależność prędkoś
od czasu / dla pocisku o masie 10,2 g wystrzelonego z
wolweru
.38 Special
wprost w kamizelkę kuloodporną. Prz
U p n d t = 2000 m/s oraz załóż, że połowa kąta rozwarcia stożko
wgniecenia (kąt 0) wynosi 60 \ Wyznacz a) promień obsza
mniejszej grubości oraz b) promień wgniecenia pod koniec
rzenia (zakładamy, że osoba chroniona przez kamizelkę pozo
w spoczynku).
promień osiągnięty , . v
i . /
przez impuls podłużny J I / /
T^N^LJ
j
p r z e z
i m p u l s
P ° P
*>podi I ^ P O P K I I ^poprz I
-'poprz
a)
300
200
100
10
20
t[ps\
b)
30 40
Rys.
1 7 . 3 6 . Zadanie 52
Zadania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 170/329
8 Fale II
T e n n i e t o p e r z p o d k o w i e c n i e t y l k o m o ż e z l o k a l i z o w a ć ć m ę l a t a j ą c ą w z u p e ł n e j c i e m n o
a l e m o ż e r ó w n i e ż o k r e ś l i ć w z g l ę d n ą p r ę d k o ś ć ć m y , b y s k i e r o w a ć si ę d o o w a d a .
W jaki sposób działa
system detekcji
u nietoperza?
W jaki sposób ćma
może „zagłuszyć" ten
system lub zmniejszyć
jego efektywność?
O d p o w ie d ź z n a jd z i e s z w t y m
rozdz ia le .
ilu
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 171/329
. F a l e d ź w i ę k o w e
fale poprzeczn e, w których drgania zachodzą prostopadle do kierun ku
fale podłużne, w których drgania są równ olegle do
W tej książce fa lą dźwiękową będziemy nazywać dowolną fa lę podłużną. Ze
urzą
Na rysunku 18.2 z i lust rowano ki lka pojęć, k tórymi będziemy się posługiwać
S r ep rezen tu je małe ź ród ło dźwięku — nazy
źródłem punktowym — wysyłające fa le dźwięk owe we wszystkich kierun
czoła fali i promienie.
W pobl iżu źródła punktowego ( rys. 18.2) czoła fa l i są sferyczne i rozprze
sferyczną.
W miarę
rosną, a zakrzywien ie ma
W dużej odległości od źródła czoła fa l i przybl iżamy przez płaszczyzny (na
falą płaską.
Prędkość dźwięku
jeg o właściwości sprężystych (gromadzą cych energię potencjalną) . Mo żem y
IT
miara sprężystości
mia ra bezwładnośc i '
(18.1)
T
jest naprężeniem l iny, a /J , — jej gę
liniową. Jeżel i ośrodkiem jest powiet rze , a fa la jest podłużna, to można
Rys. 1 8 .1 . Obraz p łodu poszukuj
kciuka do ssania; obraz otrzyman
pomocą ul t radźwięków mających
stości większe od dźwięków słysza
przez ludzkie ucho
czoła
promień
Rys.
18.2. Fala dźwiękowa rozch
się z punktow ego źródła S w trójwy
rowym ośrodku. Czoła fali są sfera
środkach w punkcie S; promienie
chodzą radialnie z punktu
S.
Krótki
dwójne strzałki wskazują, że elem
ośrodka drgają równolegle do prom
1 8 . 2 .
Prędkość dźwięku
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 172/329
s ię domyśl ić , iż miarą bezwładnośc i (odpowiednik gęs tośc i l iniowej L I j e
s tość (obję tośc iowa) powie trza p. A jaką wie lkość pow inniśm y przyjąć za
sprężystośc i?
W napię te j l inie energia potenc ja lna związana jes t z okre sowym roz
niem e lementów l iny w wyniku przechodzenia przez nie fali. Gdy w pow
rozchodz i się fala dźwiękow a, energia potenc ja lna związana jes t z o k r e
sprężaniem i rozprę żaniem m ałych obję tośc i pow ie trza . Właśc iw ośc ią o
jącą, w jak im s topniu e lem ent ośrodk a zmienia swoją obję tość na skutek
w y w i e r a n e g o
nań
c iśnienia (s i ły
na
j ednos tkę pow ie rzchni ), j e s t mo du ł ś c
śc i B zdefiniowany — z g o d n i e ze w z o r e m ( 1 3 .2 7 ) — j a k o
Ap
B =
(moduł ściś l iwości) ,
AV/V
gdzie wie lkość AV / V jes t wzg lędną zmianą obję tośc i wywo ływan ą przez
c iśnienia Ap. Jak w i e m y z paragrafu 15.3, jednostk ą c iśnienia w układz ie
niu ton na me t r kwadra towy; j ednos tce tej n a d a n o n a z w ę paskal i s y m b o l
wzoru (18.2) widz imy, że j ednos tką mod ułu B również jes t paska l . Prz
Ap i AV zawsze mają przec iwne znaki : gdy wz ra s ta c i śn ien ie wy wie ra
pewien e lement
(Ap
doda tn ie ) , j ego obję tość
się
zmnie jsza
(AV
jes t u
i na odwrót . We wzorze (18 .2) wprowadz i l iśmy znak m inus , tak w i ę c m o
zawsze jes t wie lkośc ią dodatnią . Zas tępując we wzo rze (18.1) wie lko ść T
B, a wie lkość
LI
przez p, otrzymujemy wyrażenie opisujące prędkość d
w oś rodku o module śc iś l iwośc i B i gęs tośc i p
(prędkość dźwięku) . (1
Prędkość dźwięku"
(0°C)
(0°C)
b
Prędkość [m/s]
331
343
965
1284
1402
1482
1522
6420
5941
6000
W temperaturze 0°C i pod c i ś n i en i em 1 atm, o
e
nie
podano inaczej .
W
temperaturze 20°C
i
przy zasoleniu 3 ,5%.
Niże j wykażemy, że j e s t to r zeczywiśc ie poprawne wyrażenie . W tabe l
podano prędkośc i dźwięku
w
różnych ośrodkach.
Gęstość wody jes t prawie 1000 r azy większa od gęs tośc i powie trza .
to była jedyna wie lkość mająca znaczenie dla rozważaneg o zagadnien ia,
podstawie wzoru (18.3) oczekiwal ibyśmy, że prędkość dźwięku w wodz
w i n n a być znacznie mnie jsza od prędkośc i dźwięku w powie t rzu . J edn
tabel i 18.1 widz imy, że jes t odw rotnie . Wn ioskujem y s tąd (znowu korzysta
wzoru (18 .3) ) , iż moduł śc iś l iwośc i wody musi być ponad 1000 razy więks
ana logiczna wie lkość dla powie t rza . Rzeczywiśc ie tak jes t . W oda jes t zn
mnie j śc iś l iwa niż pow ie trze , czyl i innym i s łowy (porównaj ze wzorem
je j moduł śc iś l iwośc i jes t znacznie większy.
Wyprowadzenie wzoru (18.3)
Wyprowadzimy te raz wzór (18.3) , korzysta jąc bezpośrednio z zasad dy
Newtona . Weźmy pojedynczy impuls , w którym nas tępuje zagęszczenie
pres ja ) ośrodka , biegnący (z prawa na l ewo) z prędkośc ią v w powie t rzu
nia jącym długą rurę , tak jak na rysun ku 17.2. Za łóżm y, że p o r u s z a m y się
z tym i m p u l s e m z taką samą prędkością, tak by w na szym układz ie odnie
impuls pozos tawa ł w s p o c z y n k u . Na rysunku 18.3a przeds tawiono tę s
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 173/329
przepływające powietrze
(element płynu)
j— p +Ap, v + A v
J -AAx\^
impuls
a )
P,v
b )
Rys. 1 8 . 3 . Impuls zagęszczenia zosta ł wysłany wzdłuż długie j
wypełnionej powiet rzem. Układ odniesienia na rysunku wybra
taki sposób, by impuls pozostawał w spoczynku, a powiet rze
pływ ało z lewa na prawo, a) Warstwa pow iet rza o grubo ści
Ax
sza się w kierunku impulsu z prędkością
v.
b) Powierzchnia czo
warstwy dociera do impulsu. Przedstawiono si ły (związane z c i
niem powietrza) działające na powierzchnię czołową i powierz
tylną warstwy
v z lewa na prawo.
Niech ciśnienie niezaburzonego powiet rza będzie równe p, a ciśnienie w
p + Ap, gdz ie Ap jest wielkością dodatnią za względu
Ax
S, poruszającą się w kierunku impulsu z prędkością v. Gdy
gdz ie Av jest wielkością
ujemną.
To spowolnienie jest pełne, gdy tylna
Ax
At = — . ( 1 8 .4 )
v
Zastosujmy teraz do rozważanej warstwy powiet rza drugą zasadę dynamiki
pS i jest skierow ana w praw o, a średnia si ła działająca n a czołow ą po
wy wynos i (p + Ap)S i jest skierowana w lewo ( rys. 18.3b) . Za
F ~ pS — (p + Ap)S = —ApS (siła wypadkowa). (18.5)
SAx, za t em — ko
Am = pSAx = pSvAt
(masa).
(18.6)
At wynos i
A d
a — (przyspieszenie). (18.7)
A r
Z drugiej zasady dynamiki Newtona (F = ma) oraz ze wzorów (18.5) ,
At;
-ApS = (pSv
A O — ,
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 174/329
co możemy zapisać w postac i
pv
1
= —p?-.
Av/v
Powie trze , które na zewnątrz impulsu za jmowało obję tość
V(= SvAt),
w
impulsu zos ta je śc iśnię te o
AV(= SAvAt).
Za tem
AV _ S Av At _ Av
~V~ ~ Sv At ~ v'
Podstawia jąc kole jno (18.9) i (18.2) do (18.8) , dochodzimy do równania
A d / d
AV/V
Rozwiązując to równanie względem
v,
otrzymujemy wzór (18.3) na pr
powie trza przepływającego w prawo na rysunku 18.3, czyl i na prędkość i
b iegnącego w lewo.
At
między dotarciem dźwięku do ucha bl iższego źródła
D.
At od odległości D i kąta 9
O — r
Opóźn ien ie At związane jest z dodat
d, jaką każde czoło fali musi przebyć, aby dotrzeć do
(L), po tym, jak m inie prawe (P). Z rysunk u 18.4
d Z) s in
6
At = - =
v v
(odpowiedź) , (18.10)
1 8 . 4 .
Przykład 18.1 . Czo ło fali docierające do lewego (L)
d
=
D
sin
9 )
niż czoło fali
(P ) ucha
gdzie v jest prędkością dźwięku w powietrzu. Opierając
doświadczeniu, nasz mózg wiąże obserwowaną war tość
zera do war tości maksymalnej) z war tością kąta 9 (od
90°) określającego kierunek źródła dźwięku.
b) Załóż, że jesteś zanurzony w wodzie o temperaturze
a czoło fali dociera do twojego prawego ucha wprost z
strony. Rozważając opóźnienie czoła fali, znajdź kąt
9
(w
kierunku do przodu) , pod jakim pozornie znajduje s ię źró
R O Z W I Ą Z A N I E :
O — ł
Tym razem za prędkość dźwięku przyjmujemy p
dźwięku w wodzie v
w
, zatem zastępując we wzorze (1
przez y
w
i podstawiając
9
= 90° , otrzymujemy
Os i n 9 0 ° D
At„
Ponieważ v
w
jest około czterokrotnie większe od v, opó
A f
w
s tanowi około jednej czwartej maksym alnego opóźn
powietrzu. Opierając s ię na doświadczen iu, móz g przetwor
tość opóźnienia w w odzie, jak gdyby powstało ono w
trzu. Zatem będzie ci s ię wydawało, że źródło dźwięk
duje się pod kątem
9,
mniejszym niż 90° . Aby znaleźć
do wzoru (18.10) zamiast At podstawiamy opóźnienie D
wzoru (18.11) i otrzymujemy
D D si n 9
— = .
fw
v
Aby rozwiązać to równanie względem 8, podstawiam
343 m/s oraz v
w
= 1482 m/s (z tabeli 18.1) i dostajemy
. „ v 343 m/s
1482 m/s
=
0 ,231 ,
skąd 9 =
(odpo
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 175/329
B i e g n ą c e f a l e d ź w i ę k o w e
inam y z rozdziału 17, taką fa lę może my w ytworzy ć, poruszając s inusoidalnie
się na lewym końcu rury ( jak na rysunk u 17.2) . Przesun ięcie
prawo i w lewo oraz zmiany jeg o ciśnienia przemieszczają s ię wzd łuż ru ry
Rozważmy cienką warstwę powiet rza o grubości Ax, której położenie wy
x, mierząc wzdłuż rury. Przy ruchu fal i ta warstwa powiet rza porusza się
18.5b) . Tak więc drgania każdej warstwy powiet rza , spowodowane przez
podłużne, a
poprzeczne. Poniew aż elemen t l iny drga równ olegle do osi y, m o ż e m y j e g o
y(x, t). Podobnie , warstwa powiet rza drga
x,
zatem jej przem ieszcze nie mogl ibyśm y zapisać w postaci
Jednakże będziemy unikać te j n iezręcznej notacj i i posłużymy się zapi
m six, t).
Aby przedstawić sinusoidalną zależność przemieszczenia s(x,t) od x i t,
emy p osłużyć się funkcją zarów no sinus, jak i cosinus . W tym rozdziale
to ampl i tuda przemieszczen ia , czy l i maksymalne p rzemieszczen ie war s twy
zagęszczenie
—>
_ , I
six, t) = s
m
cos(fcc — cot). (18.13)
-X
Rys. 1 8 . 5 . a) Fala dźwiękowa biegnąca w długiej wyp ełnionej po
trzem rurze z prędkością v ma postać przemieszczającego s ię
sowego układu obszarów zagęszczenia i rozrzedzenia powietrza
rysunku przedstawiono falę w pewnym dowolnie wybranym mo
cie, b) Rozciągnięty poziomo widok krótkiego odcinka rury. Pod
ruchu fali warstwa płynu o grubości
Ax
drga harm onicznie w l
w prawo wokół swojego położenia równowagi . Na rysunku prze
wiono moment , gdy rozważana wars twa przemieszczona jes t w p
na odległość s od położenia równowagi . Maksymalne przemies
nie wars twy, zarówno w lewo, jak i w prawo, wynosi s
m
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 176/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 177/329
me — różnią się o pewną wielkość As. Zatem zmianę objętości możemy
AV = SAs.
(18.18)
Podstawiając wyrażenia (18.17) i (18.18) do (18.16), a następnie przechodząc
granicy, otrzymujemy
A J
ds
Ap = - B -
r
= - B -
r
.
(18.19)
Ax óx
jest pochodną cząstkową,
s wraz z x w ustalonej chwili t. Jeżeli zatem
t jako stałą, ze wzoru (18.13) dostaniemy
ds d
— = —[s
m
cos(kx — cot)] = —ks
m
sin(A:x — cot).
dx dx
Ap = Bks
m
sin(£x
—
cot).
Ap
m
= Bks
m
otrzymujemy
wyrażenie (18.14),
Korzystając ze wzoru (18 .3) , możemy zapisać
Ap
m
= (Bk)s
m
= (v
2
pk)s
m
.
co/v zamiast k natychmiast
18.2
Ap
m
, jaką ludzkie ucho
w
postaci głośnego dźwięku , jest równa oko ło
28
ona
znacznie mniejsza
od
normalneg o ciśnienia powietrza
10
5
Pa).
Znajdź am plitudę przemieszczenia
s
m
dla
w
powietrzu
o
gęstości
p = 1,21
k g / m
3
, przy
1000 Hz i
prędkości
343 m/s.
t Amp litudę przemieszczenia
s
m
fali dźwiękow ej oraz ampli
Ap
m
wiąże równ anie (18.15 ). Rozwiązując
ze
względu
na s
m
,
otrzymujemy
m
vpco vp(2itv)
Podstawienie wartości liczbowych daje
28
Pa
S m
~~ (343
m / s ) ( l , 21 kg /m
3
) ( 2 j r ) ( 1000
Hz)
= 1,1 • IO
- 5
m = 11 p.m. (odpo
Otrzymana wartość jest równa mniej więcej jednej siódme
bości
tej
kartki .
Jak
widać, amplituda przemieszczenia
dla
najgłośniejszego dźwięku, jaki m oże znieść ludzkie ucho, je
dzo mała .
Amplituda zmian ciśnienia Ap
m
dla
najsłabszego s
nego dźwięku o częstości 1000 Hz wynosi 2,8 • 10~
5
P
wtarzając powyższe obliczenia, dla tej wartości otrzym
j
m
= 1,1 • 10^"
m
= 11 pm.
Ucho rzeczywiście jest c
detektorem fali dźwiękowej.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 178/329
. 1 8 . 8 . Dwa źródła punktowe S I i 5 2
P
1 8 . 4 .
I n t e r f e r enc j a
Podobnie jak fa le poprzeczne, również fa le dźwiękowe ulegają in terferenc
ważmy w szczególności in terferencję dwóch identycznych fa l dźwiękowy
gnących w tym samym kierunku. Na rysunku 18.8 przedstawiono takie f
chodzące z dwóch źródeł punktowych
S i
i S
2
emitujących będące w
fazie fa le dźwiękowe o jednakow ej dłu gości fa l i X. Źródła emitują fale w
nej fazie , a zatem związane z tymi fa lami przemieszczenia na wyjściu ze
są zawsze takie same. Zajmiemy się fa lami przechodzącymi przez zaznacz
rysunku 18.8 punkt
P.
Załóżmy, że odległość do punktu
P
jes t znacznie
od odległości między źródłami, tak więc możemy w przybliżeniu przyjąć ,
w punkc ie P poruszają s ię w tym samym kierunku.
Gdyby fa le , aby dotrzeć do punktu P, przebywały drogi o identyczny
gościach, byłyby w tym punkcie w zgodnej fazie . Podobnie jak w prz
fal poprzecznych, oznacza to , że powinna tu nastąpić całkowicie konstru
interferencja . Jednakże na rysunku 18.8 droga L
2
, jaką przebywa fa la ze
5 2
jes t d łuższa od drogi L\ przebytej przez falę ze źródła
5 i .
W ys tęp
te j różnicy dróg oznacza, że fa le w punkcie P nie mogą być w zgod
z ie .
Innymi słowy, różnica faz obu fal
cb
w punkc ie P za leży od różn i
A L = | L
2
- L , | .
Aby powiązać różnicę faz cb z różnicą dróg AL, przypomnijmy (pat
graf 17.4), że różnica faz równa 2n rad odpowiada jednej d ługości fa l i . M
zatem zapisać proporcję .
A
,
0 A L
2it X
skąd
cb
AL
- 2 TT.
(18
Całkowicie konstruktywna interferencja następuje wówczas, gdy różnica
równa jest 0 , 2
T T
lub całkowite j wielokrotności 2
T T
. Możemy ten warunek
w postaci
cb
= m(2n), gdz ie m — 0, 1, 2, . . . (interferencja całkowicie konstruk
Zgodnie ze wzorem (18.21) jes t tak wtedy, gdy s tosunek AL/A spełnia w
A L
= 0 ,
1,2,. . .
X
(interferencja całkowicie konstruktywna). (1
Na przykład, jeżel i różnica dróg L = |L
2
— L\ \ na rysunku 18.8 równa
to AL/A = 2 i fa le u legają całkowicie konstruktywnej in terferencji w punk
W tej sytuacj i in terferencja jes t ca łkowicie konstruktywna, gdyż fa la ze źr
jes t przesunięta względem fal i ze źródła S\ o 2X , tak więc obie fale są d
Zgodne w fazie
w punkc ie
P.
Z kolei ca łkowicie destruktywna interferencja występuje wówczas, g
nica faz
cb
jes t równa nieparzyste j wielokrotności n — ten warunek
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 179/329
= (2m +
1
)71, gdzie m = 0,1,2, . . . (interferencja całkowicie destruktywna).
(18.24)
AL/k spełnia warunek
AL
=0
, 5 ,
1
,5,
2
,5,
. . . (interferencja całkowicie destruktywna). (1 8.25)
k
AL = | L
2
— L\\ na rysunku 18.8 równa jest 2,5A.,
AL/k = 2
,5
i fale ulegają całkowicie destruktywnej interferencji w punkcie P.
jest przesunięta względem fali ze źródła S\ o 2
,5
długości fali, tak więc obie
P są mają fazy maksymalnie niezgodne.
Oczywiście fale mogą ulegać również pośrednim formom interferencji, gdy —
AL/k =
1,2. Ta sytuacja powinna być bliższa interferencji całko
(AL/k = 1,0) niż całkowicie destruk tywnej (AL/k = 1,5).
18.3
18.9a
przedstawiono
dwa
źródła punktowe
S
t
i S
2
,
się w
odległości
D = l,5k od
siebie. Źródła
te
emitują
o
długości
k.
ze źródeł
Si
i
S
2
P
leżącym w płaszczyźnie symetrii odcinka
S}S
2
,
niż
D
od źródeł. Jaki rodzaj interferencji
Aby dotrzeć do punktu
P
u
obie fale pokonują takie same
ich różnica dróg wynosi
AL
= 0.
(odpowiedź)
iż
fale
w
punkcie
P\
ulegają całkowicie
dla punktu P
2
na
—t Fala ze źródła S\, aby dotrzeć do punktu P
2
, przebywa
(w stosunku do fali ze źródła S
2
) drogę D = 1,5A.
AL
= 1,5A.
(odpowiedź)
iż
fale
w
punkcie
P
2
mają fazy maksy
i ulegają całkowicie destruktywnej interferencji.
Na
rysunku 18.9b przedstawiono okrąg
o
promieniu znacznie
niż odległość D, umieszczony w taki sposób, by jego
D/2
D/2
Pi
* 2
i , o v "
OLFC
1,0AX,
a)
1,5A
1,0/1
T
AM
Rys. 18.9.
Przykład 18.3.
a) Dwa
źródła punktowe
S
t
i S
dujące
się w
odległości
D,
emitują
w
zgodnej fazie kuli
dźwiękowe. Aby dotrzeć do punktu Pi, fale pokonują jed
odległości. Punkt P
2
znajduje się na przedłużeniu odcinka
cego źródła Si i S
2
. b) Różnica dróg (wyrażona w dług
fali) między falami pochodzącymi ze źródeł
Si
i
S
2
dla
punktów
na
dużym okręgu wokół źródeł
środek znajdował
się
pośrodku miedzy źródłami
5] i S
2
.
W
liczbę N punktów na okręgu, w których zachodzi całkowic
struktywna interferencja.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 180/329
że wychodzimy z punktu a i zgodnie z kierun
do
d.
T
1
. Gdy przesuwamy się do punktu d, różnica dróg AL
i w konsekwencji zmienia się typ interferencji. Z części
że w punkc ie a różnica dróg wynosi AL = Ok. Z
z
części
(b)
wiemy,
że w
punkc ie
d
m a m y
AL = 1,5A.
na okręgu pomiędzy punktami a i d musi znajdować się
w k tórym AL = X — patrz rysunek 18.9b. Ze wzoru —
że w tym pu nkcie następuje interferencja całko
że pomiędzy punktami a
i d
nie ma
żadnego innego punktu ,
w
którym mogłaby
terferencja konstruktywna, gdyż
w
przedziale
od 0 do 1,
innej liczby całkowitej
niż 1.
0^™» 2 . Do znalezienia punktów całkowicie konstruktywn
ferencji
w
pozostałe j części okręgu korzystamy
z
symetr i
Symetr ia względem linii
cd
daje punkt
b, w
k tórym
A
W podobny sposób otrzymujemy ponadto trzy inne punk
A L = X. W sumie mamy
N
= 6.
(odp
•SPRAWDZIAN
2
: Powróćmy do powy ższego przy
-Gdyby odległość D między ź ródłami Si i 52 była rów na
jaka byłaby różnica dróg i jak i rodzaj interferencji zachod
a) w punkc ie Pi i b) w punkc ie
P2?
1 8 . 5 .
N a t ę ż e n i e i głośność d ź w i ę k u
Każdy,
kto
próbow ał zasnąć , po dczas
gdy
sąs i ad pu szcza ł g łośną muz y
świadomość, że dźwięk ma nie tylko częstość, długość fal i i prędkość . M a r
n a t ę ż e n i e . N a t ę ż e n i e
/
fal i dźwiękowej
na
pewnej powierzchni j es t
to
szybkość
w
prze li czeniu na j ednos tkę powierzchn i ,
z
jaką fala do starcza
d o tej powierzchni ( lub przenos i p rzez nią energ ię ) . Możem y tę definicję
w postaci
/
= | ,
gdz ie
P
jest szybkością przenoszenia energi i (czyl i mocą) fal i dźwiękow
— polem pow ierzchni odbiera jące j dźw ięk . Jak pokażem y
niżej,
na t ężenie
ampl i tudę przemieszczenia
s
m
fal i dźwiękowej wiąże zależność
/ = \pvco
2
s
2
m
.
(1
Zależność natężenia od odległości
Punktowe źródło 5 emi
we
o promieniu r i środku w
5
S p o só b ,
w jak i na t ężen ie za l eży
od
od leg łośc i od rzeczyw is t ego ź ródła d
często jest skompl ikowany. Niektóre rzeczywiste źródła (np. głośniki ) mo
tować dźwięk j edyn ie w pewnych k i e runkach , z ko le i o toczenie zwykle w
echa (odbi te fale dźwiękowe), które nakładają się
na
fale dź więko we doc
b e z p o ś re d n i o
do
odbiorn ika . Jed nakże
w
pewnych sy tuac jach mo żem y p
e c h a
i
za łożyć ,
że
ź ródło fal i j es t ź ródłem punk towym , emi tu jącym dźw
tropowo, t zn . z j e d n a k o w y m n a t ę ż e n ie m we wszys tk i ch k i e run kach . Na r
18 .10 przeds t awiono czoła fa l i rozchodzące
się z
t ak iego i zo t ropowego
p u n k t o w e g o
S.
Załóżmy,
że
gdy fale dźw iękow e rozchod zą się
ze
ź ródła , i ch energ ia
niczna zostaje zachowana. Wyobraźmy sobie sferę
o
promieniu
r,
której
znajduje
się w
ź ródle
—
pa t rz rysunek 18 .10 . Cała energ ia emi towan
źródło musi p rze j ść przez powierzchnię tej sfery. Zatem szybkość, z ja
dźwiękowa przenos i energ ię przez
tę
powierzchnię , musi
być
równa sz
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 181/329
P±
r
ź ród ła ) . Ze wzo ru (18.26) w idać, że
/ na rozwa żanej sferze m usi być rów ne
/ =
Au r
2
(18.28)
2
jes t polem powierzchni sfery . Równanie (18.28) mówi, że natężenie
z izo t ropowego ź ród ła punk towego je s t odwro tn ie p roporc jona lne do
od
źródła .
Rysunek przedstawia t rzy małe ob
2 i 3 leżące na dwóch pow ierzchniach sferycznych,
S. Szybkośc i , z jakim i fale dźw iękowe prz e
te obszary, są jednak owe . Uszereguj te
a)
według natężen ia dźwięku oraz
b)
według
ich
od największych.
w p rzyk ładz ie 18 .2 , ampl i tuda p rzem ieszczen ia w ludzk im uchu
5
m
dla najgłośnie jszego to lerowalnego dźwięku
o k o ło 1 0
- 1 1
m dla najs łabszego s łyszalnego dźw ięku; s tosunek tych amp li tud
6
. Zgodnie ze wzorem (18.27) natężenie dźwięku jes t proporcjonalne do
ampl i tudy p rzemieszczen ia , tak więc w przypa dku ludzk iego narząd u
1 2
. Ludzie mogą s łyszeć
Z tak ogrom nym zakresem w ar tośc i uporamy się za pomocą logary tmów .
y
=
l o g x ,
x i y
— zmienne . Równan ie to ma następującą właśc iwo ść: jeżel i pomno
x przez 10, to y wzrośn ie o 1. Zap isu jemy to w postaci
y = l o g ( l O ^ ) = log 10 + l o g x = 1 +
y.
g d y p o m n o ż y m y x p rzez 10
1 2
, wówczas y wzrośn ie o 12.
Tak więc zamiast mówić o na tężen iu / fa l i dźwiękowej, znacznie wygodniej
o g ło ś n o ś c i d ź w ię k u
B,
zdefiniowanej jak o
( l O d B ) l o g - . (18.29)
dB
oznacza jednos tkę g łośnośc i
—
d e c y b e l ( = 0 , 1 b e l a)
—
której
na
w uznan iu p rac Alexandra G rahama B e l la . Wie lkość I
0
we wzorze
to
s tandardowe natężenie odniesienia (IQ
=
1 0 ~
1 2
W / m
2
) , w y b r a n e
w
by było bl iskie dolnej granicy s łyszalności ludzkiego uc ha. Dla
= IQ ze
wzoru (18 .29) o t rzymujemy
fi =
l O l o g l
= 0, a
więc nasz s tandar
Za k a ż d y m r a z e m , gdy
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 182/329
Głośności wybranych
dźwięków [dB]
próg słyszalności
szum liści
rozmowa
koncer t rockowy
granica bólu
silnik odrzutowy
0
10
60
110
120
130
natężenie dźwięku wzras ta o rząd wie lkośc i (o czynnik 10) , głośność fi zw
się o 10 dB. Zatem f3 = 40 dB odpowiada 10
4
r azy większemu na tęże
s tanda rdowego poz iomu odnie s ien ia . W tabe l i 18 .2 podano g łośnośc i wyb
dźwięków.
Wyprowadzenie wzoru (18 .27)
Rozw ażmy (rys . 18.5 a ) c ienką w ars twę pow ie trza o grubo śc i
dx ,
powie rz
i masie dm, drga jącą w przód i w tył w wyniku przechodzenia fa l i dźwi
opisane j wzorem (18 .13) . Ene rg ia k ine tyczna d /Ą wars twy powie t rza wy
1
dm
v..
(
W tym wzorze wie lkość v
s
nie jes t prędkośc ią fa l i, a le prędkośc ią drgań e l
powie trza , którą otrzymujemy ze wzoru (18.13)
3 5
• TIR
— = —
co s
m
s t n ( K x
dt
cot).
Korzystając z tej zależności i podstawiając dm = pSdx, przeksz ta łcamy ró
(18.30) do postac i
dE
k
= UpSdx)(-cos
m
) sin (kx - cot).
(
Dzie ląc wyraż enie (18.31 ) przez dr , otrzymujemy szybko ść , z jaką fala pr
energię kine tyczną . Jak widz ie l iśmy w rozdzia le 17, dla fa l poprzecznych
jes t prędkośc ią
v
fali , mamy zatem
dE k 1 ? ? z
= -pSvco
s
m
s i n
(kx
—
cot).
dt 2
Średnia
szybkość przenoszenia ene rg i i wynos i
'dL\
dt
1
O O O
1
0 0
= -pSvco
s
m
[sin
(kx
—
cot)]j
t
= -pSvco s
m
.
(
(
Wykorzysta l iśmy tu fakt , że ś rednia wartość kwadra tu funkcj i s inus ( lub co
wzię ta po jednym pełnym okres ie drgań, równa jes t 1/2.
Zakładamy, że energia
potencjalna
przen oszo na jes t przez falę z tak
średnią prędkośc ią . Za tem ze wzoru (18.33) wynika , że na tężenie
I
fali ,
ś rednie j szybkośc i w prze l iczeniu n a jedn ostkę p owierzch ni , z jaką fa la pr
obydwa rodzaje energi i , jes t równe
I =
2 d £
k
/ d 0
ś
1
S 2
W ten sposób wyprowadz i l i śmy wzór (18 .27) .
pvco
2
s
2
m
.
L =
liniowym źródłem
P±
= 1,6
•
1 0
4
W .
a) Wyznacz natężenie / dźwięku w odległości r = 12 m o
R O Z W I Ą Z A N I E :
Wyobraźm y sobie walec o promieniu r = 12 m i d
L = 10 m otaczający współosiowo iskrę, tak jak pokaz
rysunku
18.11.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 183/329
- iskra
1 8 . 1 1 . Przykład 18.4. Iskra
r i długo
L,
usytuowany współosiowo
1 . Natężenie / na powierzchni walca jest równe stosunkowi
P energii dźwiękowej przez powierzchnię
S tej powierzchni.
2.
Zakładamy, że zasada zachowania energii stosuje się
P,
P±
T
, z jaką źródło emituje energię. Łącząc
S = 2izrL,
(18.34)
P __ P
r
S 2nrL
kwadratu odległości r, jak w przypadku źródła punktowego
podstawieniu podanych w zadaniu wartości otrzymujemy
1,6 • 10
4
W
2JT (1 2
m)(10 m)
= 21,2 W/m
2
m 21 W/m
2
, (odpow
b) Wyznacz szybkość odbioru energii Ą przez detektor
styczny o polu powierzchni S
d
= 2 cm
2
, umieszczony w
głości r = 12 m od iskry.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Powracamy do rozwiązania części (a). O—r Natężenie dź
docierającego do detektora równe jest ilorazowi mocy Ą p
cej na detektor do jego powierzchni Ą:
I =
Pi
Si'
(1
Wyobraźmy sobie, że detektor leży na analogicznej powier
walcowej jak w części (a). Wówczas natężenie dźwięku doc
jącego do detektora jest równe natężeniu dźwięku na powierz
walca, tj. / = 21,2 W/m
2
. Rozwiązując równanie (18.35) w
dem Pi, otrzymujemy
Pi =
(21,2 W/m
2
)(2
•
1( T
4
m
2
) = 4,2 mW. (odpow
18.5
głośność w odległości 46 m od głośników wynosiła
fi
2
=
I
2
, generowanego
1\ młota
Pi = 92 dB.
» W przypadku zarówno zespołu The Who, jak i młota pneu
f3 i natężenie / dźwięku wiąże ze sobą de
H
p\ = (10 dB)l og
/O
zapisujemy wyrażenie (18.36) w postaci
Pi-p\ = (1 0dB) lo gf .
' i
(1
Po przekształceniu i podstawieniu wartości danych w zad
otrzymujemy
,
H H-Pi
1 2 0 d B - 9 2 d B
log — =
< f >
M
=
TTTT^
=
2,8.
h 10 dB
10 dB
Biorąc antylogarytm skrajnej lewej i skrajnej prawej części
wyrażenia (na klawiaturze kalkulatora antylogarytm oznac
jest prawdopodobnie symbolem 10*), otrzymujemy
~ = log-'(2,8)
h
630.
(odpow
ft = (10dB)>g-i .
/O
0 2 - / 8 , =(10dB) ( log Y- log
I
-
\ 'o h
a
log - - log -
ad
(18.36)
Tak więc zespół The Who grał naprawdę bardzo głośno.
Chwilowe narażenie się na dźwięk o takim natężeniu
hałas młota pneumatycznego lub koncert zespołu The W
1976 roku, może wywołać czasowe osłabienie słuchu. Powt
jące się lub przedłużone narażenie na taki dźwięk może
wodować trwałą utratę słuchu. Utrata słuchu stanowi ocz
ste ryzyko dla każdego, kto stale słucha, powiedzmy, zesp
heavy-metalowych „na cały regulator", szczególnie przez
chawki.
1 8 . 5 .
Natężenie
i
głośność dźwięku
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 184/329
18 .6 . Ź ród ła dźwięków w muzyce
h
L
H
X = 2L
b )
a) Najprostsza fala sto
(S)
W)
w środku. (Podłużne przemiesz cze
Dźwięki muzyczne mogą być wytwarzane przez drga jące s t runy (gi ta ra ,
pian, skrzypce) , membrany (kocioł , werbe l) , s łupy powie trza ( f le t , obój , o
drewniane klocki lub s ta lowe płytki (marimba, ksylofon) oraz wie le innyc
jących c ia ł . W iększo ść ins trumentó w zaw iera więce j niż jede n e lemen t dr
Na przykład w skrzypcach w generowaniu dźwięku biorą udzia ł zarówno
jak i pud ło ins trum entu. \
J ak pamię tamy z rozdz ia łu I 7 \ w naprężone j i umocow ane j na obu k
strunie mogą powstawać fale stojące, gdy fale biegnące wzdłuż struny odbij
od je j końców. Jeże l i długość tych fa l jeą t odpowiednio dopasowana do dł
s t runy, to nakłada jące s ię na s iebie fa le biegnące w przec iwnych kierunka
twarza ją fa lę s tojącą (mod drgań) . Wymagana do tego długość fa l i odpowia
stości rezonansowej struny. Korzyść z wy twarzan ia fal s tojących polega na
s t runa drga wówczas z dużą i niezanikającą ampli tudą , popychając tam i z
tem otacza jące ją powie trze i wytwarza jąc w ten sposób fa lę dźwiękową o
nym natężeniu i o te j samej częs tośc i co drgania s t runy. Taki sposób wytw
dźwięku ma z oczywis tych powodów duże znaczenie na przykład dla gi ta
W podobny sposób możemy wytworzyć fa lę s tojącą w wypełnionej
t rzem rurze . Fa le dźwiękowe biegnące w powie trzu wypełnia jącym rurę o
s ię na każdym je j końcu i biegną z powrotem. (Odbic ie nas tępuje nawet
gdy koniec rury jes t otwarty, przy czym wówczas odbic ie nie jes t ca łk
jak w przypadku końca zamknię tego) . Jeże l i długość fa l i dźwiękowej jes t
wiednio dopasowana do długośc i rury, to nakłada jące s ię na s iebie fa le bi
przez rurę w przec iwnych kierunkach wytwarza ją fa lę stojącą. W y m a g a
tego długość fa l i dźwiękowej odpowiada częs tośc i rezonansowej rury. Kor
wytwarzania takich fa l s tojących polega na tym, że powie trze w rurze drga
i niezanika jącą ampli tudą , emitując na każdym otwartym końcu fa lę dźw
o takie j samej częs tośc i co drgania w rurze . Taki sposób wytwarzania d
ma z oczywis tych powodów duże znaczenie na przykład dla organis ty.
Stojące fa le dźwiękowe w rurze pod wie loma względami są podobne
s tojących w s trunie . Zamknię ty koniec rury, podobnie jak umocowany
s t runy, to mie jsce , w którym musi być węzeł (zerowe przemieszczenie) ;
gie j s t rony, otwarty koniec rury, ana logicznie do końca s t runy połączon
swobodnie porusza jącym s ię pierśc ieniem, jak na rysunku 17.19b, to m
w którym musi być s t rza łka . (W is toc ie s t rza łka przy otwartym końcu ru
kal izowana jes t nieco poza je j końcem, a le tuta j nie będziemy rozważać
szczegółów).
Najprostszą falę
stojącą,
j aką można wytworzyć w rurze z dwoma o tw
końcami , p rzeds tawiono na rysunku 18 .12a . Zgodnie z oczekiwaniem, n
dym otwar tym końcu rury mamy s t r za łkę . Mamy również węze ł w ś rodku
Prostszy sposób przedstawienia s tojące j podłużnej fa l i dźwiękowej pokaz
rysunku 18.12b — można ją zaznaczyć jako ana logiczną do nie j poprzeczn
stojącą w strunie.
Fa lę s tojącą przedstawioną na rysunku 18.12a nazywamy
modem po
wym
lub
pierwszą harmoniczną.
Aby wytw orzyć taką fa lę
stojącą,
fa le dźw
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 185/329
L muszą mieć d ługość określoną równaniem L = k/2, czyli
Kilka innych stojących fal dźwiękowych w rurze o obu końcach otwar
odpow iada fa lom o d ługości k = L, trzecia harmo niczna —
X = 2L/3 itd.
Mówiąc ogóln ie , częstośc i rezonansowe d la rury o d ługości L, mającej oby
2L
k = —,
n
gdzie n = 1,2,3, (18 .38)
n — liczba harmoniczna. Zate m częstośc i rezonansow e d la rury o dwóc h
v nv
v = — = — , g d zi e n = 1 ,2 ,3 , . . . ( ru ra o dw óch końcach o tw ar tych ) ,
k 2L
(18 .39)
v jes t p rędkością dźwięku.
Na rysunku 18.13b przedstawiono — posługując się analogią do fal w strunie
ących fal dźwiękowych , jak ie m ożna w zbudzić w rur ze mającej ty lko
L = k/4, za tem k = AL. D ługość
L = 3A./4, zatem w yno si
= AL/3.
Mówiąc ogólnie, częstości rezonansowe dla rury o długości L, mającej tylko
AL
— , g d zi e n = 1,3,5,
n
n
= 2
n
= 3
n = 4
n = 1
n = 3
n = 5[:
n = 7 1
a )
X
= 2L/2
X
= 2L/3
X
= 2L/4
X = 4L
X = 4L/3
X = 4L/5
A = 4L/7
b )
Rys. 18.13.
Fale stojące w strunie
rysowane na tle rur przedstawiają
jące fale dźwiękowe w rurach, a)
ob a końce rury są otwarte, możliwe
wzbudzenie każdej harmonicznej (p
także rysunek 18.12) . b) Gdy otw
jest jedynie jeden koniec rury, wzbu
możn a jedynie nieparzyste harmo nic
(18 .40)
1 •;
Tl p
i *
dksolon h<tr\lonow\
* saksolon
I
I
WY
•tkspfon sopranowy
i
FGB C E
FO^ PGB
C E F B f ^ B C ę F / B t E F^^^
Rys. 18.14.
Rodziny saksofonów i inst rumentów smyczkowych
kazują związek między rozmiarami inst rumentu a zakresem
stośc i . Zakres częstośc i każdego inst rumentu przedstawiony je
postac i poziomego paska wzdłuż skal i częstośc i na klawiaturze
rysowanej u dołu rysunku; częstość rośnie od lewej do prawej
18.6 .
Źródła dźwięk ów w muzyce
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 186/329
w którym l i c zba ha rmoniczna n musi być nieparzysta. Zatem częs tośc i re
sowe dane
są
wzorem
v
nv
v = — = —, gdz ie n
=
1 , 3, 5 , . . . (r u ra
o
j edny m końcu o twar tym
Podkreś lmy jeszcze raz ,
że w
rurze
o
j edny m końcu o tw ar tym mogą wys t
jedyn ie n iepa rzys te ha rmoniczne . Na przykład
w
takie j rurze nie możn a wz
drugie j harmonicznej , dla które j n = 2. Zauważm y również ,
że w
przypad
tego rodza ju l iczebnik
w
wyrażen iu typu „ trzec ia harm on iczna " odno si s ię
do l iczby harmonicznej n (nie chodzi
tu o
trzecią
z
kole i możl iwą do w zbu
ha rmoniczną ) .
Rozmiary ins trumentu muzycznego odzwierc iedla ją zakres częs tośc i ,
kiego dany ins trument zos ta ł zaprojektowany; mnie jsze rozmiary oznacza ją
sze częs tośc i . Na rysunku 18.14 przes tawiono jako przykład rodziny sakso
i ins trumentów smyczkowych oraz ich zakresy częs tośc i odnies ione do klaw
for tepianu. Zauważmy,
że
zakresy częs tośc i wszystkich ins trum entów na
się
na
siebie.
W każdym układzie drga jącym, wytwarza jącym dźwięki muzyczne ,
w strunie skrzypiec ,
czy też w
pow ie trzu wypełnia jącym piszcza łkę org
zwyk le j ednocześnie gene rowane
są
mo d podstawow y oraz jed na lub więce
szych ha rmonicznych .
W
konsekw encj i s łyszym y
je
razem jako fa lę wypa
powstającą
w
wyniku
ich
nakładania
się na
s iebie . Gdy
na
różnych ins t
tach muzycznych gramy
tę
samą nutę , wytwarzamy
tę
samą częs tość podst
oraz różniące s ię na tężeniami wyższe harmoniczne . Na przykład czwarta
n iczna ś rodkowego
C w
j edny m ins t rumenc ie może być s tosunkowo g łośn
innym
—
s tosunkowo c icha lub nawet może nie występować. Ponieważ ró
s trumenty wytwarza ją różne fa le wypadkowe, brzmią one
w
różny sposób
wówczas ,
gdy
gramy
na
nich
tę
samą nu tę . Taką sytuac ję m amy
dla
pr
wionych
na
rysun ku 18.15 t rzech
fal
wyp adkow ych wytw arzanych przez
ins trumenty gra jące
tę
samą nutę .
'SPRAWDZIAN
4: Mamy dwie rury, każda
o obu
końcach otwartych
—
rurę
długości
L
oraz rurę
B o
długości
2L.
Która harmoniczna rury
B ma
taką samą czę
jak mod podstawowy rury
A?
Rys. 1 8 . 1 5 . Fale generowane przez
a)
flet,
b)
obój
i c)
saksofon, gdy gram y
na
nich
nutę; tzn. pierwsze harmoniczne mają taką samą częstość
X AL
(18
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 187/329
18.6
w
pokoju wzbudza drganie podstawowe
w
kartonowej
o długości L = 67 cm, mającej obydwa końce otwarte.
że
prędkość dźwięku
w
powietrzu wewnątrz rury wynosi
o
jakiej częstości wydobywa
się z
rury?
N I E :
T
W przypadku rury otwartej z obu stron mamy symetryczną
w której fala stojąca ma strzałki na obu końcach rury.
w strunie jest taki jak na ry
18.12b. Częstość modu podstawowego określona jest rów
dla n = 1, a mianowicie
nv (1)(343 m/s)
= 256 Hz. (odpowiedź)
2L 2(0,67 m)
na przykład
256 Hz.
b) Dźwięk
o
jakiej częstości podstawowej usłyszymy
z
rury
do jednego z jej końców przyciśniemy ucho?
R O Z W I Ą Z A N I E :
O T Gdy ucho skutecznie zamknie jeden koniec rury, sy
staje
się
asymetryczna
—
przy otwartym końcu rury wys
strzałka,
a
przy drugim (zamkniętym) końcu węzeł. Powsta
stojąca, taka
jak w
najwyższej części rysunku 18.13b. Cz
modu podstawowego określona jest przez równanie (18.4
n = 1, a
mianowicie
nv
AL
(1)(343 m/s)
4(0,67 m)
= 128 Hz.
(odpow
Jeżeli szum wzbudza jakieś wyższe harmoniczne, będą one
rzystymi wielokrotnościami 128 Hz. Tak więc na przykład d
o częstości 256 Hz (będącej parzystą wielokrotnością) nie
zostać wzbudzony.
Dudnienia
średniej arytmetycznej częstości obu
dudnienia
— powtarza jące się z częstością 12 Hz, równą różnicy częstości
oddziałujących fal. Zjawisko dudnień przedstawiono na rysunku 18.16.
Przyjmijmy, że zależność od czasu przemieszczeń związanych z dwiema
s\ = s
m
cos to\t oraz s
2
= s
m
cos tojt,
(18.42)
co\ > toi.
Dla uproszczenia założyliśmy, że fale mają takie same
.v — .S| + S
= s
m
(cos&>ir +
c o s a
> 2 ? ) .
cosa + cos f3 — 2cos \(a — 6) cos ~(a + fi),
a)
czas
b)
Rys.
18.16.
a, b) Zmiany ciś
Ap wywołane przez dwie fale d
kowe słyszane osobno. Częstośc
fal są prawie jednakowe, c) Wypa
zmiany ciśnienia w przypadku, gd
fale słyszane są równocześnie
A
1
c)
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 188/329
możemy zap isać wypadkowe p rzemieszczen ie jako
s = 2s
m
cos \ (a>\ — co
2
)t cos \{co\ + co
2
)t.
Wprowadza jąc oznaczen ia
co'
= \(co\ —
coz) o raz co
=
\(a>\
+
coi),
możemy zap isać wyrażen ie (18 .43)
w
postaci
s(t)
=
[2*
m
cosft) ' f ]cosft)f . (18
Za łóżmy te raz , że częstości kołowe co \ i c o
2
obu oddzia łujących fal są
j enakowe ,
co
oznacza ,
iż w
wyrażen iu (18 .44) mam y co ^> co'. Możemy w
uważać wzór (18 .45) za funkcję cosinus o częstości kołowej co i o amp
(która nie jest stała i z m ie n i a się z częstością kołową co') op isanej wyra
w nawiasach kwadra towych .
Maksymalna ampl i tuda wys tępu je za k a ż d y m r a z e m , gdy cz łon cos
wzorze (18.45) przyjmuje wartość
+1 lub
— 1 ,
co
zachodz i dw ukro tn ie
dym cyklu funkcji cosinus. Ponieważ człon cos co't zawiera częstość koło
częs tość ko łowa
tt>dudn
dudn ień wynos i
&>dudn
=
^ •
Zatem, korzysta jąc
z
(
możemy zap isać
W dudn =
2co' = ( 2 ) ( i ) ( a > i - coi) =co
x
- co
2
.
Ponieważ co
= 2J T V ,
możemy powyższe równan ie p rzeksz ta łc ić
do
postac
Vdudn = V\ — v
2
(częstość
dudn ień) .
(18
Muzycy wykorzystują z jawisko dudnień do s trojenia swoich instrum ent
że li in s t rument b rzm i n iezgodn ie
z
częstością wzorcową (na przykład
z
w
w y m to n e m
A
pierwszego oboju) , należy s troić
go aż do
zaniknięcia d
a wówczas będzie dostrojony do wzorca . W tak muzycznym mieśc ie ja
deń wzorcowy
ton A
(440
Hz)
dostępny jest
dla
wielu mieszkających
mieśc ie muzyków — zarówno profesjonalis tów, jak i amato rów — jako
telefoniczna.
rzykład 18.7
A3
for tepianu do jego poprawn ej częstości
1 .
Obie częstości
są
zbyt od ległe
od
siebie, aby generow ać
2 .
Jednakże struna fortepianu może drgać nie tylko
w
m o
Hz po
dostrojeniu),
ale
również
z
drugą
harmoniczną
(440 Hz po
dostrojeniu).
Tak
więc
w
pr
nieco rozstrojonej struny jej druga harmoniczna będzi
dudnienia
z
drganiem widełek strojowych
o
częstości
Aby nastroić strunę, należy słuchać tych dudnień, naciąga
nocześnie lub luzując strunę tak, aby częstość dudnień m
do
ich
całkowitego zaniku.
•SPRAWDZIAN 5 . W
powyższym przykładzie
w
w
naciągnięcia struny częstość dudnień zwiększyła się w stos
do początkowej wartości
6
H z.
Czy w
celu na strojenia s
należy bardziej
ją
naciągnąć, czy
też
należy
ją
poluzowa
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 189/329
8 . 8 . Z jawisko Dopplera
w kierunku radiowozu z prędkośc ią 120 km /h, s łyszysz dźw ięk o częs tośc i
równej 1096 Hz ( t j . o 96 Hz większej). Gdy z kole i oddalasz się od
mniejszej).
Te zmiany czę s tośc i związane z ruchem są przykładami z jawiska Dopple ra .
Zjawisko Dopplera dotyczy nie tylko fa l dźwiękowych, a le również fa l e lek
S fa l dźwiękowych oraz ich de tektora D względem
(Będziem y na jczęśc ie j przyjmowa ć, że pow ie trze jes t nie ruc hom e
S i de tektor D zbliżają się do siebie lub oddalają od siebie
Jeże l i de tektor lub źródło ( lub de tektor i ź ródło jednocześnie) porusza ją s ię ,
v' wiąże za leżność
v ± x>r>
V
=v (zjawisko Dopplera), (1 8. 47 )v^v
s
v jes t prędkośc ią dźwięku w powie trzu, u
D
— prędkośc ią de tektora wzglę
vs — prędkośc ią ź ródła względem powie trza . Znaki plus lub
regułą:
Jeżeli detektor lub źródło zbliżają się do siebie, znaki ich prędkości należy wybrać
w taki sposób, by uzyskać wzrost częstości. Jeżeli zaś detektor lub źródło oddalają się
od siebie, znaki ich prędkości należy wybrać w taki sposób, by uzyskać zmniejszenie
częstości.
do siebie oznacza wzrost częstości, a od siebie oznacza zmniej
częs tośc i .
Podamy te raz ki lka przykładów zas tosowania te j reguły. Jeże l i de tektor po
D
. Jeże l i ź ródło porusza
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 190/329
wyrażenia (18.47) postawić znak minus. Jeżel i źródło oddala s ię od de
to aby uzyskać zmniejszenie częstości , s tawiamy w mianowniku znak pl
zaś jest ono nieruchome, podstawiamy war tość zero za v
s
.
Wyprowadzimy teraz wzory opisujące z jawisko Dopplera dla dwóc
padków szczególnych, a następnie wyprowadzimy ogólny wzór (18.47) .
przypadki :
1 . Gdy detektor porusza się wzg lędem powiet rza , a źródło jest n ierucho m
powoduje zmianę częstości , z jaką detektor napotyka czoła fa l i , i w
kwencji zmianę rejestrowanej częstości fali dźwiękowej.
2. Gdy źródło porus za się wzg lędem pow iet rza , a detektor pozostaje
czynku, ruch powoduje zmianę długości fa l i dźwiękowej i w konse
zmianę re jest rowanej częstości ( jak pamiętamy, częstość związana jes
gością fali).
Ruchomy detektor, nieruchome źródło
Na rysunku 18.17 detektor D — symbol izowany przez ucho — porusza
prędkością
Vr>
w k ie runku n ie ruchomego ź ród ła
S,
wysyłającego falę k
długości fali X i częstości v, rozchodzącą się w powietrzu z prędkością dźwi
Na rysunku p rzedstaw iono kolejne czoła fal i odległe od siebie o jedną d
fali.
R ejest rowana częstość jest to szybkość, z jaką detektor D napo ty
lejne czoła fali (odle głe od siebie o jedn ą dłu gośc i fali) . Gd yby de tekt
nieruchomy, szybkość byłaby równa częstości v, a le ponieważ porusza
naprzeciw czołom fal i , szybkość ich napotykania jest większe i , co za tym
rejest rowana częstość v' jest większa niż v.
Rys. 18.18.
Czoła fali z rysunku 18.17
(zakładamy, że są płaskie) a) docierają
do nieruchomego detektora D i b) mi
jają go; w przedziale czasu t czoła fali
pokonują odległość vt
t \ = 0
D
Rys. 18.17. Nieruchome
dźwięku S emituje fale o
nych czołach (przedstawion
rysunku co jedną długość fa
chodząc e się z prędkością v.
l izowany przez ucho detektor
ku D porusza się z prędko
w kierunku źródła . Ze wzg
swój ruch detektor rejestru
o większej częstości
Rozpatrzmy na początek sytuację , gdy detektor jest n ieruchomy ( rys. 1
W czas i e t czoła fali przesuną się w prawo na odległość vt . Liczba długoś
mieszczących się w odcinku vt równa jest l iczbie czół fali napotykanych
detektor w przedziale czasu t i wynos i vt/X. Szybkoś ć, z jaką detektor na
kolejne czoła fali , czyli rejestrowana częstość v dana jest wzorem
vt/X v
v
~ T~ ~ x
(
W takim przypadku, t j . gdy detektor jest n ieruchomy, z jawisko Dopple
zachodzi — częstość fa l i re jest rowana przez detektor D jest równa często
wysyłanej przez źródło S.
174
18.
Fale II
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 191/329
Powróćmy teraz do sytuacji, gdy detektor
D
porusza się w kierunku czół
W
czasie
t
czoła fali przesuną się — jak
vt,
natomiast detektor przesunie się w
a odległość i^r . Tak więc w czasie / czoła fali przesuną się względem
vt
+ ypt.
Liczba długości fali mieszczących się w
vt + Vr
>t
równa jest liczbie czół fali napotykanych
D w czasie t i wynosi {vt-\-vot)/k. Szybkość, z jaką w tej sytuacji
v'
danej wzorem
(vt + v
D
t)/k v + v
D
(18.49)
t k
k = v/v. Zatem wyrażenie (18.49) możemy zapisać w
V
+ Vn V +
V n
D
(18.50)
V
+ V
D
v/v
v'
musi być większa niż
v,
chyba
vr> =
0 (co odpowiada nieruchomemu detektorowi).
Podobnie możemy wyznaczyć częstość obserwowaną przez detektor D od
ę od źródła.
W
tej sytuacji w czasie t czoła fali pokonują względem
vi — vot,
a częstość
v'
dana jest wzorem
v - v
D
v
(18.51)
v'
musi być mniejsza niż v, chyba
v
D
=
0.
Możemy połączyć wzory (18.50) i (18.51) i otrzymać
,
v ± v
D
Rys. 18.19. Czo ła
fali:
a) docier
detektora D, poruszającego się i
przeciw, i b) mijają go; w czasie t
fali pokonują odległość vt w pra
detektor
D —
odległość
vot w
le
( ruchomy detektor , nieruchome źródło) .
(18.52)
źródło, nieruchomy detektor
D
będzie nieruchomy względem ośrodka i niech źródło
S
porusza
D z prędkością vs (rys. 18.20). Ruch źródła S powo
D.
Skąd bierze się ta zmiana? Niech
T = 1 jv
będzie czasem pomiędzy emisją
Wj
i
W2. W
czasie
T
czoło fali
W\
pokonuje
vT,
a
źródło
przebywa drogę
vsT.
Pod koniec przedziału czasu
T
W
2
. W
tym kierunku, w którym porusza się
S,
odstęp między
Wj
i
W
2
— równy długości fali A/ fal biegnących w
vT — vsT.
Detektor
D
odbierający te fale zarejestruje
v' daną wzorem
.
V V V V
v'= — = = = v . (18.53)
A.'
vT
—
v$T v/v
—
vs/v v
—
vs
1/
musi być większa niż
v,
chyba
vs =
0.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 192/329
Rys.
1 8 . 2 0 .
Detektor D jest nieruchomy, a źródło 5 porusza się
v
s
. Czoło fali Wi odpowiada chwili,
dy źródło znajdowało się w punkcie Si, a czoło fali W
1
— chwili,
dy źródło było w p unkcie Sj. W chwili przedstawionej na rysunku
S. Detektor odbiera większą częstość,
dyż poruszające się źródło, goniąc czoła wysyłanych przez siebie
al, wysyła w kierunku swojego ruchu fale o mniejszej długości (k')
\
L
i
v
W kie runku przec iwnym do ruchu ź ródła S długość fa l k' w y n o s i vT
Detektor D odbierający te fale zarejestruje częstość v' daną wzorem
v' = v — ^ — .
v + v
s
W tym przypadku czę s tość v' musi być mnie jsza niż v, chyba że v$ = 0
Możemy połączyć wzory (18.53) i (18.54) :
V
= v
(ruchome źródło, nieruchomy detektor).
Ogólny wzór dla zjawiska Dopplera
Wyprowadzimy te raz ogólny wzór dla z jawiska Dopplera , zas tępując c
źródła v we wzorze (18.55) związaną z ruchem detektora częs tośc ią v' ze
(18.52) . W rezul tac ie otrzymujemy ogólny wzór dla z jawiska Dopplera (
Ogólny wzór s tosuje s ię nie tylko wtedy, gdy zarówno de tektor , jak i
są w ruchu, a le także w obu omówionych wyżej przypadkach szczególn
przypadku gdy de tektor jes t w ruchu, a ź ródło w spoczynku, podstawienie
sprowadza wzór (18.47) do wyprowadzonego wyżej wzoru (18.52) . Z kol
źródło jes t w ruchu, a de tektor w spoczynku, podstawienie
VD
= 0 spr
wzór (18.47) do wyprowadzonego wyżej wzoru (18.55) . Tak więc wzór
wart jes t zapamię tania .
Nawigacja nietoperza
Nietoperze or ientują s ię w przes trzeni i polują, wysyła jąc , a nas tępnie o
jąc odbi te fa le ul t radźwiękowe. Są to fa le o częs tośc iach wyższych niż d
s łysza lne przez cz łowieka . Na przykład nie toperz podkowiec emituje fa le
s tośc i 83 kHz, czyl i znacznie wyższe j od granicy s łysza lnośc i ludzkiego
wynoszące j około 20 kHz .
Fala wyemitowana przez nozdrza nie toperza może odbić s ię od ćmy,
s tępnie powrócić do ucha nie toperza . Ruch nie toperza i ćmy względem
trza powoduje , że częs tość s łyszana przez nie toperza różni s ię o ki lka ki lo
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 193/329
on
emituje. Nietoperz automatycznie przetwarza
te
różnicę
na
ćmy
względem niego samego
i
dzięki temu może nakierować
się na ćmę.
Niektóre
ćmy
unikają złapania, odlatując
w bok od
kierunku,
z
którego słyszą
a
słyszaną przez nietoperza,
w
wyniku czego nietoperz może
nie
Z
kolei niektóre inne
ćmy
unikają złapania, generując własne
i
zakłócając
w ten
sposób system detekcyjny nietoperza.
( O
ćmy i nietoperze robią to, nie ukończywszy wcześniej studiów na fizyce).
Na rysunku przedstawiono kierunki ruchu źródła dźwięku i detek
w nieruchomym powiet rzu w sześciu różnych przypadkach.
Dla
każdego przypadku
czy zarejestrowana częstość jest więks za, czy mnie jsza od częstości emitowanej,
y też m o ż e do odpowiedzi na to pytanie po trzeba w ięcej informacji o prędkościach?
źródło detektor źródło detektor
a)
•
prędkość
d)
zerowa
b)
•
prędkość
e)
zerowa
c )
• f)
18.8
z
prędkością
242 m/s w
kierunku nieruchomeg o
(w nieruch om ym pow ietrzu), emitując fale dźwiękow e o
v =
1250 Hz.
Wyznacz częstość v' zarejestrowaną przez detektor u moco wany
v' posłużymy się ogólnym wzorem dla
O T Skoro źród ło dźwięku (rakieta)
się w pow iet rzu w kierunku nieruchomego detektora na
v
s
Wtaki sposób,
by
częstość dźwięku. Zatem w mianown iku wyrażenia
v
D
= 0 dla prędko ści detektora, v
s
= 242 m/s dla
v = 343 m/s dla
prędkości dźwięku
(z
tabeli
v = 125A H z dla emitowanej cz ęstości. Otrzym ujemy
'
v +
" °
n u n i ^ 343 m/s
+ 0
v
=
y—•
* =
a 2 5 0 Hz) ;
v
- v
s
343 m/s
-
242
m/s
= 4245
Hz
Rs 425,0
Hz ,
(odpowiedź)
od
częstości emitow anej.
do masztu odbija się
i
powraca do
v tego echa zarejestruje detektor
w
rakiecie?
R O Z W I Ą Z A N I E :
©*"-* 1
. W
tym
przypadku źródłem dźwięku jest maszt (gdyż
on źródłem echa) , a detektorem — detektor w rakiecie (gdy
on odbiera echo).
O — w 2. Częstość dźw ięku emitow anego przez źródło (m
równa jest częstośc i v' dźwięku docierającego do masztu
i
prz
odbijanego.
Dla częstości źródła v' i częstości rejestrowanej v wzór (18
przybiera postać
„ ,v±v
D
v =F vs
(18
O — f
3.
Skoro detektor
(w
rakiec ie) porusz a
się w
pow iet rz
kierunku nieruchomego źródła , musimy wybrać znak prędk
vp
w taki sposób, aby otrzym ać większą częs tość dźwięk u. Za
w l iczniku wyrażenia (18.56) stawiamy znak plus. Podstawi
następnie v
D
= 242 m/s , v
s
= 0, v = 343
m/s
oraz v' = 4245
Otrzymujemy
343 m/s
+
242 m/s
.
v"
=
(4245 Hz)
=
7 2 4 0 Hz, (odpowi
343 m/s
— 0
czyli wartość częstości większą
od
częstośc i dźwięku odbi teg
masztu.
•SPRAWDZIAN 7
Jeżel i powiet rze
w
powyższym prz
kładzie porusza się w kierunku masztu z prędkością 20
m
to
a)
jakiej w artości prędkośc i źródła v
s
należy użyć,
aby
ro
wiązać część
(a)
przykładu, oraz
b)
jakiej w artości prędko ś
detektora v
D
należy użyć,
aby
rozwiązać część (b) przykładu
1 8 . 8 .
Zjawisko Dopplera
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 194/329
1 8 . 9 . P r ę d k o ś c i n a d d ź w i ę k o w e ; f a l e u d e r z e n i o w
Rys. 1 8 . 2 1 .
a) Źródło dźwięku S poru
sza się z prędkością v
s
równą prędkości
dźwięku, czyli z taką samą
prędkością,
j ak generowana przezeń fala. b) Źró
d ło dźwięku S porusza się z prędkością
v
s
większą
od
prędkości dźwięku, czyli
szybciej niż czoła fali. Gdy źródło znaj
dowało się w punkcie Si , wygenerowało
falę o czole W\, a w położeniu Sc —
falę o czole We- Wszystkie fale rozcho
dzą się z prędkością u, a ich sferyczne
czoła skupiają się na powierzchni stoż
kowej zwanej stożkiem Macha, tworząc
falę
uderzeniową.
Powierzchnia stożka
jest styczna do wszystkich czół fali, a
ką t rozwarcia tego stożka wynosi 26
Gdy źródło porusza się w kierunku nieruchomego detektora z prędkością
prędkości dźwięku — tzn. gdy vs = v — z równań (18.47) i (18.55) w
że obse rwowana częs tość v' będzie nieskończenie wielka. Oznacza to , iż
porusza się tak szybko, że dotrzymuje kroku sferycznym czołom fal i wysy
przez siebie — rysunek 18.21a. Co się s tanie , gdy prędkość źródła prz
prędkość dźwięku?
Przy takich prędkościach naddźwiękowych równ ania (18.47) i (18.5
nie s tosują . Na rysunku 18.21b przedstawiono sferyczne czoła fa l wysyłan
źródła znajdującego się w różnych punktach. Promień każdego czoła fa l i n
rysunku wynos i vt , gdz ie v jest prędkością dźwięku, a t — czajsem, jaki u
od chw il i , gdy źródło wys łało fa lę reprezentow aną przez d ane <pzoło. Zauw
iż w rzucie na płaszczyznę pokazanym na rysunku 18.21b czoła wszystki
skupiają s ię wzdłuż obwiedni w kształc ie l i tery V. W rzeczywistości czo
rozciągają s ię na t rzy wymiary, a ich rzeczywiste skupienie tworzy stożek
stożkiem Macha. Mówimy, że na powierzchni tego stożka występuje fala
rzeniowa,
gdyż sk upienie czół fa li powod uje nagły skok lub spadek ci
powiet rza , gdy powierzchnia s tożka przechodzi przez jakiś punkt . Z ry
18.2lb widzimy, że kąt 6 ( równy połowie kąta wierzchołkowego stożka) ,
kątem Macha,
dany jest wzore m
vt v
sinf? = — = — (kąt Macha). (
v
s
t v
s
I loraz vs/v n a z y w a m y liczbą Macha. Jeżel i usłyszymy, że jakiś s
leciał z prędkością 2 ,3 M (czyl i l iczba Macha wynosi ła 2 ,3) , oznacza
podczas lo tu jego prędkość była 2 ,3-razy większa od prędkości dźwięku
wiet rzu. Fala uderzeniowa generowana przez samolot naddźwiękowy lub
(rys.
18.22) wytwarza si lny impuls dźwiękowy, zwany gromem dźwiękowy
którym ciśnienie powiet rza gwał townie rośnie , a następnie gwał townie spa
n iże j normalne j war tośc i , po czym powraca do normalnego poz iomu. D
słyszany podczas wystrzału z broni palnej częściowo pochodzi z gromu
kowego generowanego p rzez poc i sk . Grom dźwiękowy można również us
powierzchnia
stożka Macha
a)
17 8 18 . Fale I I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 195/329
Rys. 1 8.2 2. Fala uderzeniowa wytwarza
na przez skrzydła odrzutowca Navy FA
18.
Jest
ona
widoczna, gdyż gwałtowny
spadek ciśnienia powietrza w fali uderze
niowej powoduje kondensację cząsteczek
wody w powietrzu i powstanie mgły
z bata ; w końcowej fazie tej sztuczki koniec bata porusza się
niż
dźwięk
i
wytwarza niewielki grom dźwiękowy
—
strzał
z bata.
Podsumowanie
Fale dźwiękowe to podłużne fale mechaniczne
w
ciałach stałych, cieczach
lub
gazach. Prędkość
v
w ośrodku mającym moduł ściśliwości B oraz gęstość
ana jest wzorem
v = — (prędkość dźwięku).
V P
(18.3)
20"'C
prędkość dźwięku
w
powietrzu wynosi
m/s.
Fala dźwiękowa wywołuje podłużne przemieszczenie
s
ele
s =
s
m
co$(kx
—
c o t . (18.13)
s
m
jest amplitudą przemieszczenia (czyli maksymalnym
k = 2tt/k
o) = 2tiv, przy czym > i u są odpowiednio długością fali
i jej
częstością. Fala dźwiękowa wywołuje również
Ap ośrodka względem ciśnienia równowago
Ap = Ap
m
sinU\v
-
cot). (18.14)
Apm = (vpC0)S
m
.
(18.15)
Interferencja dwóch
fal
dźwiękowych
o
jednako
ten sam punkt zależy od
faz cp w tym
punkcie. Jeżeli fale dźwiękowe zostały
w zgodnej fazie i biegną w przybliżeniu w tym
cp dana jest wzorem
=
2
K.
A
(18.21)
gdzie AL jest różnicą dróg (tzn. różnicą odległości pokon
przez fale.
aby
dotrzeć
do
wspólnego punktu). Całkowici
struktywna interferencja zachodzi wówczas, gdy różnica
równa jest całkowitej wielokrotności 2
TI
,
tj. gdy
= m(27i). sdzie/n =0 . 1 . 2 , . .. (
lub, co jest równoważne, różnicę AL i długość fali > wiąż
runek
AZ.
= 0 . 1 . 2 . . . . (
Całkowicie destruktywna interferencja zachodzi wówczas
różnica
faz
cp równa jesi nieparzystej wielokrotności
rc
tp
= (2m
+\)Tt.
gdzie
m =
0.1 .2. . (
lub, co jest równoważne, różnicę AL i długość fali /. wiąż
runek
AL
= 0.5.
1.5. 2 . 5 . . . .
(
Należenie dŹ M-ięku Natężenie / fali dźwiękowej na p
powierzchni jest to średnia szybkość w przeliczeniu na jed
pola powierzchni,
z
jaką fala dostarcza energię
do tej
powie
(lub przenosi przez
nią).
Możemy
tę
definicję zapisać
w
p
S
(
gdzie P jest to szybkość przenoszenia energii (czyli mo
dźwiękowej, a S jest polem powierzchni odbierającej d
Natężenie / oraz amplitudę przemieszczenia s
m
fali dźwię
wiąże zależność
/ = \pvorsl (1
Natężenie w odległości r od źródła punktowego, emitująceg
dźwiękową
o
mocy P^. wynosi
Pu
I =
4*r
2
(1
Podsumowanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 196/329
Głośność dźwięku B wyrażona w decybelach
B
= ( 1 0 d B ) l o g — , ( 18 .29 )
0
= 1 0 ~
1 2
W / m
2
to natężenie odniesienia, z którym
w rurach
W rurach moż na wzbud zić fale s tojące.
v nv
v=- = —, n = 1 , 2 , 3 , . . . , ( 1 8.3 9)
A. 2L
v jest prędkością dźwięku w pow ietrzu wypełniającym rurę.
jedn ym końcu za mknię tym, a drugim otwar tym , czę
v nv
v = - = — , « = 1,3,5, . . . (18.41)
A 4L
Dudnienia powstają wtedy, gdy dwie fale o nieco
v
2
rejestrowane są razem. Częstość dud
nień wynosi
Vdudn = vi - v
2
.
Zjawisko Dopplera Zjawisko Dopplera polega na zm
jestrowanej częstości fali, gdy źródło lub detektor poru
względem ośrodka, w którym rozchodzą s ię fale (np. po
W przypadku dźwięku rejestrowaną częstość v ' i częstoś
v wiąże zależność
v ' = v-—— (zjawisko Dopple ra) ,
v T v
s
gdzie v
D
jest prędkością detektora względem ośrodka, v
s
kością źródła, a u — prędkością dźwięku w ośrodku. Z
bieramy w taki sposób, by częstó*ść u' była większa w p
zbliżenia się do siebie detektora i źródła, oraz mniejsza
padku oddalania s ię ich od siebie.
Fale uderzeniowe
Jeżel i prędkość źródła względ em
przewyższa prędkość dźwięku w tym ośrodku, równanie
przestaje być s łuszne. W takim przypadku powstaje fala
niowa. Kąt 9 ( równy połowie kąta wierzchołkowego sto
cha),
zwany kątem Macha, dany jest wzorem
sin<9 = — (kąt M ach a).
vs
i n
1
U H
. Na rysunku 18.23 przedstawiono tory dwóch impulsów
że tor
t o r l
tor 2
'-t
V
L
gorące powietrze
Rys.
1 8 . 2 3 .
Pytanie 1
. Fala dźwiękowa o długości X i ampli tudzie s
m
zaczyna roz
my ją „an tydźw iękiem ") , wygaszającą pierwszą falę, w wy
ść fali oraz c) jaką m usi mieć am pli tudę, aby mogło na
pić takie wygaszenie, d) Jaka mu si być różnica faz między tymi
. Przedstawione na rysunku 18.24 dwa źródła punktowe Si i S
2
zgodnej fazie. I lu długościom fal i odpowiada różnica faz
tymi falami w punkcie P dla: a) L] = 38 m i L
2
oraz b) Lj = 39 m i L
2
= 36 m? c) Zakładając,
g ł o ś ć m i ęd z^ ź r ó d ł am i j e s t
znacznie mniejsza niż Li i
L
2
, określ, jak i rodzaj inter
ferencji zachodzi w punkcie
P w przypadku (a) oraz w
przypadku (b) .
Rys.
1 8 . 2 4 .
Pytanie 3
4. Na rysunku 18.25 przedstawiono fale dźwiękowe o
fali X, emitowane przez punktowe źródło 5 i biegnące
tektora
D
be zpośredn io wzdłuż toru 1 oraz z odbiciem
wzdłuż toru 2. Początkowo płyta znajduje się prawie na
i fale docierające do detektora D wzdłuż obu torów s
zgodne w fazie. Następnie, jak pokazano na rysunku, p
staje odsunięta się od toru 1
aż do położenia, w którym j
fale docierające do dętek- płyta -\ i
tora D będą maksymaln ie
1
niezgodne w fazie. Jaka bę
dzie wówczas różnica dróg
AL wzdłuż obu torów?
-tor
M o r i
Rys. 18.25.
Pytanie 4
5. Przedstawione na rysunku 18.26 dwa źródła punktow
emitują w zgodnej fazie identyczne fale dźwiękowe o dłu
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 197/329
P zaś jest jednakowo oddalony od obu źródeł. Następnie źró
52
przesunięto, zwiększając jego odległość od punktu
P o A / 4 .
P będą zgodne w fazie, maksymalnie
5i zostanie
rzesunięte o A
/4
w
P
oraz b)
5i zostanie od
P o 3A/4.
12 . Na rysunku 18.27 przedstawiono naprężoną strunę o dł
L oraz piszczałki a, b, c i d o długościach odpowiednio
L/2
oraz L/2. Naprężenie struny zostało dobrane w taki s
by prędkość fal w strunie była równa prędkości dźwięku
wietrzu. Następnie w strunie wzbudzono podstawowy mod
W której piszczałce dźwięk emitowany przez strunę wyw
zonans i który mod drgań zostanie wzbudzony?
Rys. 18 .26 .
Pytanie 5
Pi
5j i 5
2
fali są
5] i 52
P\ w
Pj, na przecięciu syme
łączącej
źródła
5]
i
5 2 .
a) Czy fale docierające do
ktu Ą są dokładnie zgodne w fazie, maksymalnie niezgodne
odległość między źródłami zwiększymy do 1,7A?
n
tej fali stojącej.
rurze wzbudzono szóstą harmoniczną, a) Ile otwartych koń
a ta piszczałka (ma co najmniej jeden)? b) Co znajduje
. W pewnej rurze można wzbudzić sześć częstości harmonicz
, 750 Hz i 900 Hz. Jakich dwu częstości brakuje
. Piszczałka A ma długość L i jeden koniec otwarty. Piszczałka
2L oraz obydwa końce otwarte. Które harmoniczne
B mają częstości równe częstości rezonansowej pisz
Rys. 18 .27 .
Pytanie 12
1
3.
Fale dźwiękowe o częstości y są odbijane przez płyn p
wający przez cienką rurę umieszczoną wzdłuż osi
x
(rys. 1
Wewnętrzna średnica rury zmienia się wraz ze współrzęd
Przesunięcie częstości Ay, związane ze zjawiskiem Dop
również się zmienia wraz ze współrzędną
x,
tak jak przedsta
na rysunku 18.28b. Uszereguj pięć zaznaczonych obszarów
leżności od wewnętrznej średnicy rury, zaczynając od najwię
(Wskazówka:
Patrz paragraf 15.10).
Av
a)
Rys. 18 .28 .
Pytanie 13
x
b)
1 4 .
Twój kolega jeździ kolejno na trzech różnych karuz
mając ze sobą źródło emitujące izotropowo dźwięk o pewne
stości. Stojąc z dala od karuzeli, podczas jej obrotów sły
zmiany częstości emitowanego dźwięku. Trzy krzywe na ry
18.29 przestawiają zmiany
częstości dla trzech karu
zeli. Uszereguj te krzywe
według: a) prędkości li
niowej
v źródła
dźwięku,
b) prędkości kątowej
O
ka
ruzeli oraz c) promienia r
karuzeli, zaczynając od
naj
większych.
Rys. 18 .29 .
Pytanie 14
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 198/329
Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/col lege/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postac i interaktywnej ,
wykorzystującej oprogramowanie Interac t ive Learning
Ware (na tej samej stronie)
O ile nie zaznaczono inaczej, w poniższych zadaniach wykorzy
stujemy następujące wartości:
prędkość dźwięku w powiet rzu = 343 m/s
gęs tość powie t rza =1 ,21 kg /m
3
.
1 2 3 4
czas [min]
Rys. 18.30.
Zadanie 5
1 8 . 2 P r ę d k o ś ć d ź w i ę k u
1 . Podaj regułę na wyznaczanie odległośc i (w ki lometrach) od
błyskawicy metodą odl iczania sekund upływających od zobacze
nia błysku do usłyszenia grzmotu. Zakładamy, że dźwięk biegnie
do nas po linii prostej .
2 . Znajdujesz się na wie lkim koncerc ie na świeżym powiet rzu
i siedzisz w odległości 300 m od głośników. Koncert t ransmi
towany jest również na żywo przez sateli tę (z prędkością świa
tła 3 • 10
8
m/s) . Pewien słuchacz słucha t ransmisj i w odległości
5000 km. Kto i o i le wcześniej usłyszy muzykę, ty czy ten słu
chacz?
3 .
Dwóch kibiców piłki nożnej na stadionie Montjuic widzi, a
chwilę później słyszy, kopnięcie piłki na płycie boiska. Dla jed
nego kibica opóźnienie wynosi 0,23 s, a dla drugiego 0,12 s. Linie
poprowadzone od kibiców do pi łkarza przecinają się pod kątem
90° . a) Podaj odległość od każdego kibica do piłkarza, b) Podaj
odległość między kibicami .
4 . Kolumna żołnierzy maszeruje z prędkością 120 kroków na mi
nutę zgodnie z tempem p odawa nym przez dobosza znajdującego
się na czele kolumny. Obserwujemy, że żołnierze maszerujący na
końcu kolumny wyrzucają naprzód lewą nogę, w chwili gdy do
bosz —
prawą.
Określ przybl iżoną długość kolumny.
5. Trzęsienia ziemi wywołują fale dźwiękowe we wnętrzu Ziemi.
Inaczej niż w gazie w skorupie ziemskiej mogą występować za
równo po przeczne (S) , jak i podłużn e (P) fa le dźwiękow e. W
typowym przypadku prędkość fa l S wynosi około 4,5 km/s, a
prędkość fal P — 8,0 km/s. Sejsmograf rejestruje fale P i S z
pewnego trzęsienia ziemi. Początek fali P został zarejestrowany
o 3 min wcześniej niż początek fali S (rys. 18.30). Zakładając, że
fale biegną po liniach prostych, określ, w jakiej odległości
nastą
piło trzęsienie ziemi,
i iv
6 . Prędkość dźwięku w pewnym meta lu wynosi V. Ude
jeden koniec wykonanej z tego meta lu rury o długości L.
znajdujący się na jej drugim końcu słys zy dwa dźw ięk
pochodzący od fali biegnącej wzdłuż rury, a drugi —
biegnącej przez powiet rze , a ) Zakładając , że prędkość dź
powiet rzu równ a jest v, określ odstęp czasu t, jaki upływa
obydwoma dźwiękami , b) Przyjmując
t
= 1 s i zakła d
naszym meta lem jest s ta l , wyznacz długość
L. ,
7. Wrzucono kamień do studni . Po upływie 3 s usłyszan
Podaj głębokość studni.
1
8 . 3 B i e g n ą c e f a l e
d ź w i ę k o w e
8 .
W przypadku normalnego słuchu zakres częstośc i s ły
rozciąga się od około 20 Hz do 20 kHz. Jakie długości fa
kowych odpowiadają tym częstośc iom?
9 .
Diagnostyka ul t radźwiękowa (USG) przy częstośc i 4
wykorzystywana jest do badania nowotworów w miękki
kach, a) Jaka jest długość takiej fali dźwiękowej w po
b) Jaka jest długość fali w tkance, jeżeli jej prędkość w
wynosi 1500 m/s?
1 0 . a) Wzdłuż bardzo długiej spiralnej sprężyny jes
łana ciągła sinusoidalna fala podłużna wytwarzana prze
mocowane do niej drgające źródło. Częstość drgań źró
nosi 25 Hz, przy czym w każdej chwil i odległość mię
le jnymi punktami maksymalnego rozciągnięc ia sprężyn
jest 24 cm. Wyznacz prędkość fali . b) Zapisz równanie
przypadku, gdy maksymalne podłużne przemieszczenie s
sprężyny równe jest 0 ,3 cm, a fa la biegnie w ujemnym k
osi x. Przyjmij, że oś x zaczyna się w źródle (x = 0) or
chwil i t = 0 przemieszczenie jest tam równe zeru.
1 1
. Ciśnienie w biegnącej fali dźwiękowej dane jest wz
A p = ( 1 , 5 P a ) s i n n [ ( 0 , 9 m
- 1
) * - (315 s~ ' ) f ] .
182 18 . Fale I I
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 199/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 200/329
2 8 . Punktowe źródło wysyła izotropowo falę dźwiękową o mocy
30 W. Mały mikrofon o powierzchni 0,75 cm
2
zbiera dźwięk w
odległości 200 m od źródła . Oblicz: a) natężenie fal i dźwiękowej
w tym miejscu oraz b) moc odbieraną przez mikrofon.
2 9 * . Na rysunku 18.33 j —
przedstawiono wypełniony
powietrzem interferometr
akustyczny, wykorzystywa-
1
|
ny do pokazu interferencj i
fal dźwiękowych. Źródłem
dźwięku
S
jes t drgająca '
}
m e m br a na ;
D
jest detek
torem dźwięku , takim jak fy
s
- 1 8 . 3 3 . Zadanie 29
ucho lub mikrofon. Drogę
SB D
mo żna zmieniać, natom iast droga
SA D
jest ustalona.
W punkc ie D fala dźwiękow a przychodząca drogą SB D interferuje
z falą przychodzącą drogą
SAD.
W pewnym pokaz ie na tężenie
dźwięku w punkc ie
D
ma minimalną wartość równą 100 jednostek
przy pewnym położeniu ruchomego ramienia i w sposób ciągły
wzras ta do maksymalnej wartości równej 900 jednostek, gdy ru
chome ramię zostaje przesunięte na odległość 1,65 cm. Znajdź:
a) częs tość dźwięku wysyłanego przez źródło oraz b) s tosunek
ampli tud fal i
SA D
i fali
SB D
w punkc ie
D.
c) Jak to się dzieje,
że te fale mają różne ampli tudy, mimo iż pochodzą z tego samego
źródła?
1 8 . 6 Ź r ó d ł a d ź w i ę k ó w w m u z y c e
30. Umocowana na obu końcach s t runa skrzypcowa o d ługośc i
15 cm drga w swoim modzie o
n
= 1. Prędkość dźwięku w s trunie
równa jes t 250 m/s , a prędkość dźwięku w powietrzu 348 m/s .
Wyznacz: a) częs tość i b) długość wysyłanej fal i dźwiękowej .
3 1 . Otwar ta na obydwu końcach p i szcza łka organowa
A
ma czę
s tość podstawową 300 Hz. Trzecia harmoniczna piszczałki orga
nowej B, mającej jeden koniec otwarty, ma taką samą częs tość jak
druga harmoniczna p i szcza łk i
A.
Wyznacz: a) długość piszczałki
A
oraz b) długość piszczałki
B.
3 2 . Poziom wody w pionowej szklanej rurze o długości 1 m
można umieścić na dowolnej wysokości . Tuż przy otwartym gór
nym końcu rury umieszczono drgające z częs tością 686 Hz wi
dełki s t rojowe, aby w jej górnej — wypełnionej powietrzem —
części wzbudzić s tojącą falą dźwiękową. (Ta wypełniona powie
t rzem część działa jak rura z jedn ym ko ńcem z amk niętym, a dru
gim otwar tym) . Dla j ak iego położenia poz iomu s łupa wody wy
s tąpi rezonans?
3 3 . a) Wyznacz prędkość fal w s t runie skrzypcowej o masie
800 mg i długości 22 cm, wiedząc, że częs tość podstawowa wy
nosi 920 Hz. b) Podaj naprężenie s t runy. Dla częs tości podsta
wowej wyznacz: c) długość fali w strunie oraz d) długość fali
dźwiękowej emitowanej przez s t runę, ii w
3 4 . Pewna s t runa skrzypcowa ma długość 30 cm pomięd
tami zamocowania oraz masę 2 g. Nie przytrzymywan
struna wydaje dźwięk A (440 Hz), (a) W którym miejsc
należy umieścić palec, aby zagrać dźwięk C (523 Hz)?
jes t s tosunek długości fal i fa l w s t runie potrzebnych do
dźwięku A i dźwięku C? c) Jaki jes t s tosunek długośc
dźwiękowych odpowiadających dźwiękowi A i dźwiękow
3 5 .
Na rysunku 18.34 symbolem
S
oznaczono mały g łośn
czony do generatora akustycznego i wzm acniacza, s t rojon
kres ie częs tości od 1000 Hz do 2000 Hz. Cyl indryczna ru
konana jes t z blachy, ma długość 45,7 cm i obydwa końce
a) Zakładając, że w pewnej temperaturze prędkość
w powietrzu wynosi 344 m/s , wy
znacz częs tości , przy których w ' I
rurze pojawia s ię rezonans , gdy '^Ą
częstość emitowaną przez głośnik
zmieniam y w zakres ie od 1000 Hz i j
do 20 00 Hz . b) Dla każd ej czę - ',
stości rezon ansow ej naszkicu j falę •
s tojącą (w podobny sposób jak na
rysunku 18.12b) . www
Rys.
1 8 . 3 4 .
Za
3 6 . Struna wiolonczel i ma długość
L,
której odpowiada
podstawow a v. a) O jaką d ługość / należy skrócić s t run
skając ją palcem, aby zmienić częs tość podstawową do
rv? b) Oblicz wartość / dla
L
= 0,8 m i
r
= 1,2. c) Dla
obl icz s tosunek zmienionej długości fal i dźwiękowej em
przez s t runę do długości fal i emitowanej przed skróceni
3 7 . Studnia o pionowych ścianach z wodą na dnie
przy częs tości 7 Hz i nie rezonuje przy niższych częs
(Wypełniona powietrzem część s tudni działa jak rura o
końcu zamkniętym, a drugim otwartym). Powietrze w s
gęstość 1,1 kg/m
3
i mod uł ściśliwo ści 1,33 • 10
5
Pa.
głębokości znajduje s ię lus tro wody?
3 8 . Rura o długości 1,20 m jes t zamknięta na jedny
W pobl iżu je j otwartego końca umieszczono naciągni
Dług ość drutu w ynosi 0,33 m, a masa 9,6 g. Drut jes t zam
na obu końcach i drga w swoim modzie podstawowym.
pow ietrza w rurze wzbudzają s ię w rezonan sie drgania o
równej częs tości podstawowej dla tego s łupa. Wyznac
częstość oraz b) naprężenie drutu.
3 9 . Okres pulsacj i (drgań) gwiazdy zmiennej można os
zakładając, że gwiazd a wykonuje
radialne
drgania podłużn
stawowym modzie fal i s tojącej ; to znaczy że promień
zmienia s ię okresowo z czasem, przy czym s trzałka pr
czenia znajduje s ię na powierzchni gwiazdy, a) Czeg
oczekiwać w środku gwiazdy — węzła czy s t rzałki przem
nia? b) Przez analogię do piszczałki o jednym końcu
udowodnij ,
że okres drgań
T
dany jes t wzorem
4R
T = —,
v
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 201/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 202/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 203/329
1 9 Temperatura, ciepło
i pierwsza zasada
termodynamiki
z
g a t u n k u
Vespa mandarinia japonica
ż y w i ą
s ię
j a p o ń s k i m i p s z c z o ł a m i .
j e d n a k j e d e n
z
s z e r s z e n i p r ó b u j e d o s t a ć
s ię d o
w n ę t r z a
u l a ,
n a t y c h m i a s t z w a r t ą w a r s t
g o
k i l k a s e t p s z c z ó ł .
Po
m n i e j w i ę c e j
2 0
m i n u t a c h s z e r s z e ń je s t
j u ż
m a r t w y , m i m o
ż e
n i e
ż ą d l ą
go , n i e
g r y z ą ,
n i e
z g n i a t a j ą
an i n ie
d u s z ą .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 204/329
1 9 . 1 .
T e r m o d y n a m ik a
i o
3 9
1 0
8
1 0
6
1 0
4
1 0
2
10° -
IO "
2
-
10- '
-wszechświat tuż
po p owstaniu
najwyższa temperatura
uzyskana w lab oratorium
-jądro Słońca
- powierzchnia Słońca
- topnienie wolframu
- krzepnięcie wody
-wszechświat dziś
-wrzenie helu-3
-najniższa uzyskana
tempera tura
Rys.
1 9 . 1 . Wybrane war tośc i t empe
ratury w skal i Kelvina. Temperatura
T = 0 odpowiada punktowi 10~°° i dla
tego nie może być przedstawiona na
skal i logarytmicznej
Ten i dwa nas tępne rozdzia ły poświęc imy t e r m o d y n a m i c e — działowi
który zajmuje się energią termiczną (częs to nazywan ą też energią wewn
układu. Podstawowym pojęc iem termodynamiki jes t tempera tura . Słowo t
tykamy tak częs to, że większość z nas , kie rując s ię własnym wrażeniem
i z imna, nie zawsze używa go poprawnie . Nasz zmysł „odczuwania tempe
nie zawsze jes t wiarygodny. W mroźny, z imowy dz ień s ta lowa sz taba wyd
chłodnie jsza niż sz tachety drewnianego ogrodzenia , mimo że w rzeczyw
obydwa te przedmioty mają taką samą tempera turę . Myli nas to, że s ta l zn
szybcie j niż drewno pobiera energię z naszych pa lców. Dla tego postara
te raz od podstaw rozwinąć pojęc ie tempera tury, nie odwołując s ię przy t
naszych zmysłów.
Tempera tura jes t jedną z s iedmiu podstawowych wie lkośc i układu SI .
mierzą temperaturę, korzystając ze
ska l i Kehdna ,
w jednostkach nazyw
kelwinami. (W języ ku polskim najczęśc iej mo żna spotkać nazw ę
b e z w z
skala t emperatury . Tempera tura wyrażona w te j ska l i to t e m p e r a t u r
w z g l ę d n a ) . Chociaż wydaje s ię oczywis te , że tempera tura c ia ła nie ma ż
ograniczeń od góry, to jedn ak jes t ona ograniczon a od do łu. Przyjmujemy, ż
na ska l i KeMna odpowiada dolnemu ograniczeniu t empera tury . Tempera tu
kojowa to około 290 ke lwinów, czyl i — jak piszemy — 290 K powyże
bezwzględnego. Na rysun ku 19.1 przedstawio no szeroki zakres różnych w
tempera tury, które możemy mierzyć lub wyznaczać pośrednio.
Kiedy Wszechświa t powstawał jakieś 10 czy 20 mil ia rdów la t temu
tempera tura wynos i ł a około 10
3 9
K. Wszechświat rozszerzając się, staw
coraz chłodnie jszy, aż wreszc ie os iągnął obecną średnią tempera turę zbl iż
3 K. Na Ziemi jes t nieco c ieple j tylko dla tego, że mamy szczęśc ie żyć w p
gwiazdy. Gdyby nie nasze Słońce , też mie l ibyśmy na Ziemi tempera turę 3
oznacza, że my nie istnielibyśmy.
1 9 . 2 .
Z e r o w a
zasadat e r m o d y n a m i k i
i
n i
~i
~i nu
element termoczuły
Rys.
1 9 . 2 . Termo skop. Liczba na w y
wiet laczu rośnie , kiedy przyrząd jes t
Właściwości wie lu c ia ł zmienia ją s ię wraz ich tempera turą . Ła two to z
żyć,
kiedy wyjmujemy jakiś produkt z zamraża lnika i wkładamy go do n
nego piekarnika . Oto ki lka innych przykładów: wraz ze wzros tem tempe
zwiększa s ię obję tość c ieczy i długość meta lowego prę ta , rośnie opór e lekt
przewodów oraz c iśnienie gazu zamknię tego w zbiorniku. Każde z tych z
możemy wykorzystać do budowy przyrządu, który pozwoli nam uśc iś l ić p
tempera tury.
Taki przyrząd przedstawiono na rysunku 19.2. Mógłby go zaprojek
i wykonać każdy pomysłowy inżynier , wykorzystując właśc iwośc i c ia ł ,
wym ieni l iśmy. Nasz przyrząd w ypo sażon o w odczyt cyfrowy, a jeg o zacho
można opisać tak: w wyniku ogrzewania go (na przykład za pomocą p
Bunsena) l iczba na wyświe t laczu zwiększa s ię ; po umieszczeniu przyrządu
dówce jeg o wskazan ie male je . Przyrząd nie zos ta ł w żaden sposób wykal ibr
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 205/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 206/329
zbiornik
te rmomet ru
gazowego
Rys. 1 9 . 4 . Kom ora punktu potrójnego,
w której stały lód, ciekła woda i para
wodna współistnieją ze sobą w stanie
równowagi t e rmodynamiczne j . Zgodnie
z międzynarodową umową p unktowi po
trójnemu wody odpowiada temperatura
273,16 K. Na rysunku przedstawiono
także umieszczony we wnętrzu komory
termometr gazowy o s tałej objętości
Punkt potrójny wody
Aby zdef iniować skalę temperatury, t rzeba wybrać jakieś powtarzalne, zale
temperatury zjawisko i przypisać mu — całkowicie dowolnie — pewną
t empera tu ry bezwzględne j . W ten sposób wybie ramy
stały punkt stand
k tó remu przyp i su jemy
temperaturę
s ta łego punktu standardow ego. Mo g
na przykład wykorzystać z jawisko zamarzania lub wrzenia wody, a le z r
p rzyczyn t echn icznych wybie ramy punkt potrójny wody .
Trzy postacie wody — ciecz, c ia ło s ta łe ( lód) i gaz (para) — mogą w
nieć ze sobą w równ owa dze termo dyna mic znej ty lko dla jedne j war tości c i
i temperatury. Na rysunku 19.4 przedstawiono naczynie , w którym możn
bora to r ium wytworzyć warunk i punk tu po t ró jnego . Zawiera j ąc międzyna
porozumien ia , us t a lono , że punk towi po t ró jnemu wody odpowiada t emp
stałego punktu standardowego równa 273,16 K. Tę war tość wykorzystuje
kal ibracj i termometrów. Mamy więc
7/3 = 273,16 K (punkt potrójny wody ).
Indeks „3" wskazuje , że chodzi nam właśnie o punkt potrójny. Przyjęte
mien ie us t a la t akże war tość ke lwina j ako
1/273,16
różnicy pomiędzy temp
punk tu po t ró jnego wody a ze rem bezwzględnym.
Zwróćcie uwagę, że podając temperaturę w kelwinach, n ie korzystamy
bolu s topn ia . P i szemy więc 300 K (n ie 300°K) , co czy tamy „300 ke l
(nie „300 stopni kelwina") . W razie potrzeby stosujemy standardowe przed
jak w p rzypadku innych j ednos tek uk ładu S I . Możemy więc wyraz ić 0 ,0
jako 3 ,5 mK. Nie wprowadzamy też żadnych rozróżnień, podając war tości
ra tur i ich różnice. Mówimy więc: „ temperatura wrzenia s iarki wynosi 71
oraz „ temperaturę łaźni zwiększono o 8 ,5 K".
zbiornik
z gazem
Rys.
1 9 . 5 .
Termo metr gazowy o s tałej
objętości . Zbiornik zanurzono w cieczy,
której temperatura T jes t mierzona
Termometr gazowy o stałej objętości
Wzorcowy t e rmomet r , wzg lędem k tó rego ka l ib ru je s i ę wszys tk ie inne
metry , wykorzystuje zmiany ciśnienia gazu zamkniętego w zbiorniku o
objętości . Na rysunku 19.5 przedstawiono budowę takiego t e r m o m e t r u
wego o s tałej objętości . Pods tawowym jego e l ementem j es t wype łn iony
zbiornik połączony rurką z manometrem r tęciowym. Podnosząc lub opus
zbiorniczek z r tęcią
R,
można us t awić poz iom r t ęc i w l ewym ramien iu
metru tak, aby pokrywał s ię z zerem pionowej skal i . W ten sposób zapew
stałą objętość gazu (zmiany objętości mają wpływ na pomiary temperatu
Temperaturę dowolnego cia ła znajdującego się w kontakcie term
z wypełnionym gazem zbiornikiem (na przykład cieczy na rysunku 19
finiuje się jako
T = Cp,
gdz ie
p
oznacza ciśnienie gazu, a
C
j e s t pewną
stałą.
Z równania (15.10)
że c iśnienie
p
jest równe
p = po - pgh,
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 207/329
po oznacza ciśnienie a tmosferyczne, p — gęstość r tęci w manometrze,
h — różn icę poz iomów r t ęc i w obydwu r amionach manomet ru .
1
Jeżel i umieścimy teraz zbiornik z gazem w naczyniu, w który m współ is tnie ją
T
3
= Cp
3
, (19.4)
p3
oznacza tym razem ciśnienie gazu odpowiadające punktowi po
C z równań (19.2) i (19.4) , o t rzymamy war tość tem
T =
T
^yj =
(273 ,16
K
)(^yj
( tymczasowo).
(19.5)
Musimy rozwiązać jeszcze jeden problem, który napotkamy, posługując s ię
jednej war tości , n iezależnej od rodzaju użyteg o gazu. Wykres z rysunku 19.6
Rys.
1 9 . 6 .
Wyniki pomiaru temperatury uzyskane za pomocą
mom etru gazowego o stałe j obję tośc i , którego zbiornik zanurz
w naczyniu z wrzącą
wodą.
Ciśnienie
pi
potrzebne do obl icz
temperatury z równania (19.5) zmierzono dla punktu potrójn
wody. Trzy różne gazy, których użyto do wy pełnienia termom e
dają na ogół różne temperatury dla tej samej wartości ciśnie
Jeżeli jednak zmniejsza się i lość gazu w termometrze (przy cz
male je wartość
pi),
wszy stkie trzy krzyw e zbiegają do wart
373,125 K
Przepis pozwalający mierzyć temperaturę termometrem gazowym można
T = (273,1 6 K )( lim — ) . (19.6)
y
i lość gazu—>0
pi J
ięc , jak m amy postępow ać, mierząc nieznaną temp eraturę T: W y
jakiegokolwiek gazu (na przykład azotu)
p3
dla punktu potrójnego wody oraz
p
d l a t empe
p
/p3-
Następnie wielokrotnie pow tarzamy te czynno ści , uży
p/p 3 do l iczby, którą uzy
ibyśmy, gdyby zbiornik termo metru p raktycznie nie zawierał gazu. O bl iczamy
'Ciśnienie będziemy podaw ać w jednostkach w prowadzonych w paragrafie 15.3. W u kła
jedno stką ciśnienia jest niuton na metr kwadratowy, nazy wan y paskalem (Pa). Paskal
nnymi częs to używan ymi jednostk am i zależnoś ciami 1 atm = 1,01 • 10
5
Pa
373,20
373,125 K
_ i
;
1
:-H
2
i
~ ; ; J
H e ;
0 20 40 60 8 0 100 120
P3 [kPa]
1 9 . 3 . Pomiary temperatury
1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 208/329
t empera turę T, podstawiając ekst rapolowaną wartość stosunku
p/p^Ao
ró
(19.6).
(Uzyskaną t empera turę nazywamy
temperaturą gazu doskonałego
1 9 . 1 . Wybrane tempera tury
°C °F
3
100 212
temperatura c ia ła
ludzkiego 37,0 98,6
temperatura
otoczenia 20 68
a
0 32
Fahren heita ^ —18 0
o b yd w u s ka l - 4 0 - 4 0
emperatura wrzenia wod y w skal i
1 9 . 4 .
Skale Celsjusza
i
Fahrenheita
Do t e j pory mówi l i śmy j edynie o ska l i KeMna, używanej w badaniach
wych. W większości krajów świata w zastosowaniach codziennych, a czę
i w naukowych do pom iaru t empera tury w ykorzys tu je s i ę ska l ę Cel s jusza .
raturę w skal i Celsjusza podaje się w stopn iach, które swą wielkością odpow
kelwinom. Jednakże zero na ska l i Ce l s jusza j es t p rzesunię t e do war tośc i
niejszej niż zero bezwzględne. Jeżel i symbol
T
c
oznacza t empera turę w
Celsjusza, a T t empera turę w ska l i KeMna, za l eżność między n imi możn
sać w postaci
F
rc = ( r
- 2 7 3 , 1 5 ) ° C .
Podając temperaturę w skal i Celsjusza, korzystamy z symbolu „stopnia" . W
padku ska l i Ce l s jusza p i szemy więc 20°C, a l e w ska l i KeMna 293 ,15 K.
W przypa dku ska li Fahrenhei t a , używanej w Stanach Zjednoczonych ,
są mniejsze, a zero skal i jest przesunięte względem zera skal i Celsjusza.
na t e rmomet r , na k tórym zaznaczono obydwie t e ska l e , z ł a twośc ią dos t rz
różnice między nimi . Skalę Celsjusza i Fahrenhei ta łączy relacja
r
F
= ( § r
c
+ 32) °F ,
gdz ie
Tp
oznacz a t empera turę w ska li Fahrenhei t a . M ożn a z ł a twośc ią prz
temperaturę z jednej skal i na drugą, j eże l i zapamię tamy war tośc i t emp
odpowiada jące k i lku charak terys tycznym punktom, t ak im j ak t empera tura
nięcia i wrzenia wody (tabela 19.1). Na rysunku 19.7 porównano ze sob
KeMna, Cel s jusza i Fahrenhei t a .
Aby rozróżnić stopnie Celsjusza i Fahrenhei ta , posługujemy się oznacz
C i F. Piszemy więc
*
v
0°C odpow iada 32°F ,
co oznacza, że 0° w skal i Celsjusza to 32° w skal i Fahrenhei ta . Natomiast
t empera tury 5 s topni Cel s jusza j es t równoważna różnicy t empera tury 9
Fahrenhei ta (pat rz wzór (19.8)) .
punkt i
potrójin t
wodv i
i
I 2 7 3 . 1 6 K -00rC
/ C I O
l x v -
u / i d c t l i i '
i
b e z - ' - -u K
2 7 3 . 1 5 C
L
- 4 5 9 . d 7 i
32,
Rys. 19.7.
Porównanie skali KeMna, Celsjusza i Fahrenheita
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 209/329
Przykład
19.1
Wyobraź sobie, że w twoje ręce wpadły jakieś stare zapiski na
ukowe odwołujące się do pomiarów w pewnej skali tempera
tury Z. W skali tej woda wrze w temperaturze 65°Z, a krzepnie
w —
14°Z.
Jakiej wartości w skali Fahrenheita odpowiada tempe
ratura Tz = —98°Z? Załóż, że skala Z jes t liniowa, to znaczy
wielkość stopnia w skali Z jest taka sama w każdym jej punkcie.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy, że O T temperaturę
Tz
można powiązać z
dowolną
z dwóch charakterystycznych temperatur na skali Z. Ponieważ
wartość Tz = —98°Z jest bliższa temperatury krzepnięcia wody
Tzkrzep = —
14°Z,
nasze obliczenia będziemy wykonywać wzglę
dem tego punktu. Łatwo się przekonać, że temperatura T
z
jest
niższa od temperatury krzepnięcia wody o A7z = r
zk rZ
ep — Tz =
-14° Z - (- 98 °Z) = 84°Z (rys. 19.8).
65,0-Z-r- -
79,0°Z
-14,0°Z -4- -
84,0°Z
T = -98,0°Z -
•krzepnięcie
212°F
180°F
32°F
T= ?
z obydwu charakterystycznych punktów na skali Z i odpo
nich punktów na skali Fahrenheita. Według skali Z różnica
dzy temperaturą wrzenia.
Tzwrz 3
temperaturą krzepnięcia.
T
wody jest równa
ATŻwrz-krzep
= 65°Z - (-14°Z) = 79°Z. O
wiednia wartość w skali Fahrenheita jest równa A7F
W
r
Z
_krze
212°F - 32°F = 180°F. Widzimy więc, że różnica tem
tur A7
*
Zw
rz-krzep
= 79°Z w skali Z jest równoważna ró
ATFwrz-krzep
= 180°F w skali Fahrenheita (rys. 19.8) i dlatego
raz A
7p
wr z
_
krzep/A
Tzwrz—
krzep
=
(180°F)/(79°Z) jest współc
nikiem przeliczania obydwu skal.
Ponieważ temperatura T
z
jest o A7z = 84 Z° niższa od
peratury krzepnięcia wody, w skali Fahrenheita różnica ta wy
A7p =
A r z
A r
F * r z ~ k r z e p
= ( 8 4
< =
z ) =
1 9 1
°
F
.
A7z
wr z
-krzep 79°Z
Ponieważ temperatura krzepnięcia wody w skali Fahrenheita
równa 32°F, więc
?F — ^Fkrzep
•SPRAWDZIAN 1:
AT
P
= 32°F - 191°F
=
-159°F.
(odpow
Rys. 19.8.
Przykład 19.1. Nieznana skala temperatury w zesta
wieniu ze skalą Fahrenheita
Zauważmy też, że O T możemy wyznaczyć współczyn
nik umożliwiający przeliczenie obliczonej różnicy temperatur
w skali Z na skalę Fahrenheita. W tym celu musimy skorzystać
Na zamieszczonym niżej rysun
przedstawiono trzy skale temperatury z zaznaczonymi na nic
punktami krzepnięcia i wrzenia wody. a) Uszereguj stopnie n
skali według ich wielkości, zaczynając od największej, b) Usz
reguj od najwyższej do najniższej następujące wartości temp
ratury: 50°X, 50°W i 50°Y.
70°X-
-20°X-
-120°W-
30° W
90° Y
0°Y
temperatura
wrzenia
temperatura
krzepnięcia
Sztuka rozwiązywania zadań
Porada
1: Zmiany temperatury
Różnica między temperaturą wrzenia i krzepnięcia wody jes t
równa 100 kelwinów i 100 stopni Celsjusza. Zmiana tempera
tury o 1 kelwin odpowiada zmianie o 1 stopień Celsjusza. Z tego
faktu lub z równania (19.7) wynika, że zmiana temperatury wy
raża się taką samą liczbą niezależnie, czy obliczenia wykonujemy
w kelwinach, czy w stopniach Celsjusza. Na przykład zmiana
temperatury o 10 K jest dokładnie równoważna zmianie tempera
tury o 10°C.
W skali Fahrenheita różnica między temperaturą wrzenia
krzepnięcia wody wynosi 180 stopni. Widzimy więc, że 180°F
odpowiada 100 K, a więc zmiana temperatury o stopień Fahrenhe
ita odpowiada zmianie temperatury o 100/180, czyli 5/9 kelwina.
tego faktu, tzn. z równania (19.8) wynika, że dowolna zmiana
temperatury wyrażona w stopniach Fahrenheita musi być |
większa niż ta sama zmiana temperatury w kelwinach lub s
niach Celsjusza. Tak więc w skali Fahrenheita zmiana temper
o 10 K jest równa (9/5)(10 K), czyli 18°F.
Trzeba uważać, aby nie pomylić temperatury z jej zm
lub różnicą. Temperatura 10 K z pewnością nie jest tym sa
co 10°C lub 18°F, ale zmiana temperatury równa 10 K oznac
samo co zmiana temperatury równa 10°C lub 18°F. Rozróżn
to jest kluczowe w równaniach, w których występuje tem
tura r, a nie różnica lub przyrost temperatury, jak na przy
T
2
— T\. Temperatura T powinna być na ogół wyrażana w k
nach, a nie w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita. Mówiąc kr
zachowajcie szczególną ostrożność, jeżeli widzicie symbol T
żadnego wskaźnika.
Sztuka rozwiązywania zadań
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 210/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 211/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 212/329
i współczynnik rozszerzalności l in iowej łączy zależność
6 = 3a.
(19
Najczęściej sp otykan a ciecz — wo da — nie zachowuje się tak jak inne c
Powyże j 4°C woda zgodn ie z oczek iwan iami rozsze rza s i ę wraz ze wzr
temperatury. Jednakże w przedziale od 0 do 4°C woda
się kurczy,
choc iaż
ra tura rośnie . Mniej więcej w temperaturze 4°C woda osiąga największą gę
Dla każdej innej temperatury gęstość wody jest mniejsza.
To właśnie dzięki temu zbiorniki wodne zamarzają od powierzchni w
a nie od dna w górę. Gdy woda na powierzchni ochładza się na przykład od
jej gęstość początkowo wzrasta i d la tego opada ona w kierunku dna. Jed
kiedy temperatura spadnie poniżej 4°C, dalsze ochładzanie spowoduje
szanie się
gęstości wody i je j wypły wa nie na pow ierzchn ię , gdzie pozo
aż do zamarznięcia . Dlatego właśnie powierzchnia zamarza, a w głębi z
ciecz. Jeżel i zbiorniki wodne zamarzałyby od dna, powstały tam lód nie t
s ię la tem, gdyż izolowałaby go powierzchniowa warstwa wody. Po ki lku
znaczna część zbiorników wodnych w umiarkowanych st refach kl imatyczny
marzłab y całkow icie , a lód w nich nie topi łby się przez cały rok. W zam arzn
zbiornikach nie mogłoby is tnieć życie w znanej nam postaci .
l
/SPRAWDZIAN 2
Na zamieszczonym
obok rysunku przedstawiono cztery prosto
kątne płytki metalowe, których boki mają
1
długości : L, 2L lub 3Z,. Wszystkie wyko
nano z tego samego materiału, a ich tempera
turę zwiększono o taką samą wartość. Usze
reguj płytki według przewidywanej zmiany
a) rozmiaru pionowego i b) pola powierzchni .
W obydwu przypadkach zaczni j od wartości
największej. (1) (2) (3) (4)
Przykład 19.2
Las Vegas pewneg o up alnego dn ia wlano do cysterny 37 000 1
leju napędowego. Kiedy cysterna dotarła do Peyson w s tanie
Las Vegas . I le l i t rów pal iwa przywiozła cysterna? Współ
zynnik rozszerzalności objętościowej oleju napędowego wynosi
, 5 - 1 0
_ 4
/°C, a współczynnik rozszerzalności l iniowej s tal i , z któ
ano zb iornik, jes t równy 11 • 10 ~
6
/ ° C .
R O Z W I Ą Z A N I E :
portowanego pal iwa zmalała . Równanie (19.10) pozwala
czyć zmianę objętości
AV = VflAT
= (37 000 1)(9,5 • 1 0 ~
4
/ ° C ) ( - 2 3 K ) = - 8 0 8 1
Objętość dostarczonego oleju napędowego wynosi więc
V
d o s t
= V + A V = 37 000 1 - 808 1
= 36 190 1. (odpo
Zwróć uwagę, że rozszerzalność cieplna zbiornika nie ma
czenia. Pozostaje pytanie: Kto zapłacił za „brakujący" ole
dowy?
196 19. Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termod ynam iki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 213/329
kawą,
Uogólnia jąc tę sytuac ję , możemy powiedzieć , że cola lub kawa to pewien
(o tempera turze 7u) , a kuchnia to
otoczenie
(o tempera tu rze
To).
Nasze
ią nam , że jeże l i tempera tura układ u Tu jes t różna od temp era tury
To , to tempera tura układu T
v
będzie się zmieniać (T o też może ulec
Obserwowana zmiana tempera tury jes t wynikiem przepływu energi i te rmicz
pom iędzy uk ładem a jeg o otoczeniem. (Energia termiczna to energia we
Q. C iepło uważamy za dodatnie,
Taki przepływ energi i z i lus trowano na rysunku 19.12. W sytuac j i z rysunku
> To, energia jes t przekazywana z układu do otoczenia , a więc
Q ma wartość ujemną. W przypadku rysunku 19.12b, kiedy T\j = To,
Q jes t równe zeru, a więc nie obserwujemy ani
Tu < To
jes t przekazyw ana z otoczenia do układu i dla tego Q ma wartość dodatnią .
W ten sposób dochodzimy do następującej definicji ciepła:
Ciepło jes t energią przekazyw aną między układem a jego o toczeniem na skutek is t
niejącej między nimi różnicy temperatury.
Pamięta jc ie , że energia może być także przekazywana pomiędzy układem
pracy W, za pośrednictwem siły działającej na
Zanim uczeni z rozumie l i , że c iepło to przekazywana energia , jego wie l
do 15 ,5°C W brytyjskim układ zie miar jednostką c iepła była tzw. brytyj
jedno stka c ieplna (Bri t ish thermal uni t — B tu) , zdef iniowana jako i lość c iepła
a do podnies ienia temp era tury 1 lb (1 funta) wo dy od 63°F do 64°F.
o t o c z e n i e l'
n
u k ł a d
* Ic
•/;>•/„ o<i>
a)
( H u c z e n i e ' n
u k ł a d
/,•=•/;, o
= o
b)
o t o c / e n i c I
n
u k ł a d
* t
<•/,, o >
u
c)
Rys. 19.12.
Jeżel i temperatura u
jes t większa niż temperatura jego
czenia (a) , układ oddaje do otoc
ciepło Q aż do chwil i , kiedy
gnięta zostanie równowaga termod
miczna (b). c) Jeżel i temperatura uk
jes t niższa niż temperatura otocz
układ pochłania ciepło do chwil i
gnięcia równowagi termodynamicz
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 214/329
W roku 1948 społeczność naukowa zdecydowała , że ponieważ c iep
jak praca) jes t formą prz ekazy wan ia energi i , jeg o jednostką w układzie
winn a być jedn ostka e nergi i , a więc dżu l . Ob ecnie def iniuje s ię wartość
jako równą dokładnie 4,1860 J , nie odwołując s ię przy tym do ogrzewani
(„Kalor ie" używane do okreś lania wartośc i energe tycznej żywności pisa
sami z duże j l i te ry — Kalor ie (Cal) — odpowiadają w rzeczywis tośc i k
r iom) .
Różn e jedno stki c iepła wiąże ze sobą za leżn ość
1 ca l = 3,969 • 1 0 "
3
Btu = 4,1 86 0 J .
1 9 . 7 . Poch łan ian ie c iep ła p rzez c ia ła s ta łe i c iec
Pojemność cieplna
P o j e m n o ś ć c i e p l n a C pew neg o c ia ła jes t s tałą propo rc jonalnośc i pom ięd
płem <2 pobie ranym lub oddawany m przez to c ia ło , a spowodowaną tym p
zmianą tempera tury AT. Ma my więc
Q = CAT = C(T
końc
-T
pocz
), (1
gdz ie
r
p o c z
i 7końc oznaczają odpowiednio temperaturę początkową i k
c ia ła . Jednostką pojemności c ieplne j C jes t jednostka energi i na s topień
kelwin. I tak pojemność c ieplna płyty ceramicznej używanej w opiekacza
nosi 179 ca l /°C, co można też zapisać jako 179 ca l /K lub 749 J /K.
Używane w tym kontekśc ie s łowo „pojemność" może wprowadzać
ponieważ sugeruje ana logię do pojemności wiadra , które można wypełnia
Ta analog ia jest ca łkowicie fałszywa i nie pow inniśc ie nigdy wyo brażać
że c ia ło „zawiera" c iepło a lbo coś ogranicza jego zdolność do pobierania
Przepływ energi i w postac i c iepła może s ię odbywać bez żadnych ogr
tak długo, jak długo występuje różnica tempera tury. Oczywiśc ie jes t możl
w wyniku tego procesu c ia ło s topi s ię lub wyparuje .
Ciepło właściwe
Pojemności c ieplne dwóch c ia ł wykonanych z tego samego mater ia łu
wiedzmy z marmuru — są proporc jonalne do ich mas . Wygodnie jes t wi
f iniować „pojem ność c ieplną na jedno stkę masy ", czyl i c iep ło właśc iw e
nie jes t związane z kon kre tnym c ia łem, lecz z jednostk ą masy substanc j i ,
jes t ono zbudowane. Równanie (19.13) można więc zapisać w postac i
Q = cmAT = cm(T
końc
- T
pocz
). (1
Wykonując odpowiednie pomiary, przekonamy s ię , że chociaż pojemność
pewnej płytki marmurowej wynosi 179 ca l /C° (czyl i 749 J /K) , to c iepło w
marm uru (z k tórego wy konano tę p ły tkę lub j ak ikolwiek inny przedmiot )
0,21 ca l / (g
•
°C) (czyli 880 J/(kg
•
K) ) .
19 8 19. Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termod ynam iki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 215/329
Z pierwotnej definic j i kalori i i brytyjskie j jednostki c ieplnej wynika, że c ie
c =
1 c a l / ( g
•
°C) = 1 B t u / ( lb
•
°F) = 4190 J / (kg
•
K ) . (19 .15)
Dostarczając pewną i lość ciepła Q, ogrzewa my 1 g substancji A
3 ° C , a l g s u bs tan cj i B o 4°C. Która z substancji ma większe ciepło właściwe?
1 mol = 6 ,02 • 1 0
2 3
jednos tek e lemen ta rnych
substancji . W idzim y więc , że 1 mo l gl inu to 6 ,02 • 1 0
2 3
a tomów g l inu
I O
2 3
cząsteczek t lenku gl inu (ponieważ e lementarną jednostką związku jes t
Jeżel i i lość substancji podajemy w molach, c iepło właściwe musi odnosić
ę do jedn ego m ola (a n ie jednos tkowej m asy) . W tak im przypa dku mów imy
c iep le właśc iw ym. W tabe li 19 .3 podano w yznaczone w tempera tu rze
ałych i c ieczy zw ykle zakładam y, że znajdują s ię one pod s ta łym ciśnie
mówią,
fazę
Materia może występować w trzech powszechnie spotykanych s tanach
stanie stałym cząs teczk i dz ięk i wza jemnym oddz ia ływan iom tworzą
Wartości ciepła
wego wybranych substancji w t
turze niewiele różnej od pokojo
M
Ciep ło
Substancja właściwe
w
ł
cal T
g~ l £ k g - K m
Pierwiastki w stanie stałym
Ołów 0,0305 12 8
Wolfram 0 ,0321
134
Srebro 0,0564
2 36
Mied ź 0,0923 386
Glin 0,215 900
Inne ciała stałe
Mosiądz 0,092
380
Granit 0 ,19 790
Szkło 0,20 840
Lód ( -1 0° C) 0 ,530 2220
Ciecze
Rtęć
0,033
140
Alkohol
etylowy 0,58
2430
Wod a morska 0,93 3900
Woda 1,00
4190
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 216/329
dość sz tywną s t rukturę . W stanie ciekłym cząsteczki mają nieco więcej
i pewną swobodę ruchu. Mogą one też tworzyć niewie lkie zespoły cząs
( tzw. klas te ry) , a le próbka jako ca łość nie ma sz tywnej s t ruktury i może
lub dopasowywać s ię do ksz ta ł tu zbiornika , w którym s ię zna jduje . W
gazowym
cząs teczki mają jeszcz e większą energię i swob odę ruchu. Dla teg o
wypełnić ca łą obję tość zbiornika .
Stopienie
c ia ła s ta łego oznacza zm ianę jeg o s tanu ze s ta łego na c iekł
ces ten wymaga dostarczenia energi i , ponieważ cząs teczki c ia ła s ta łego
wyzwolić z ich sz tywnej s t ruktury. Dobrze znanym c i przykładem takie
miany jes t topnienie kos tki lodu. Krzepnięcie (zestalanie) c ieczy jes t pro
odwrotnym do topnienia i wymaga odebrania od c ieczy energi i , tak aby czą
mogły utworzyć sz tywną s t rukturę .
Parowanie c ieczy oznacza zmianę s tanu z c iekłego na gazowy. R
ten proces , podobnie j ak topnien ie , wymaga dos ta rczenia ene rg i i , poniewa
steczki muszą oderwać s ię od klas te rów, które tworzyły. Przykładem je
prowadzenie do wrzenia wody w ce lu zamiany je j w parę . Skraplanie (k
sacja) gazu do stanu c iekłego jes t proce sem od wrotn ym do parowania ; e
t rzeba odebrać od gazu tak, aby jego cząs teczki mogły zgromadzić s ię w kl
a nie porusza ły s ię nieza leżnie od s iebie .
I lość energi i , którą w postac i c iepła t rzeba przekazać jednostkowej
substanc j i , aby uległa ona przemianie fazowej , jes t nazywana c iepłem
m i a ny
C p r z e m -
Jeże l i więc próbka o masie
m
ulega w ca łośc i przemianie fa
na leży dostarczyć do nie j c iepło równe
Q =
C p r z e m ? " .
(19
Jeże l i przemiana fazowa zachodzi między c ieczą a gazem (w takim przy
próbka mus i pochłan iać c iep ło) , c i ep ło przemiany je s t nazywane
c iepłem
w a ni a Cpar- W przypadku wody wrzące j pod c i śn ien iem norma lnym
c
p a r
= 539 ca l /g = 40 ,7 kJ /m ol = 2256 kJ /kg . (
W przypadku przemiany zachodzące j między c ia łem s ta łym a c ieczą (
pochłania c iepło) lub między c ieczą a c ia łem s ta łym (próbka oddaje c iepło)
przemiany fazowej nazywamy c iepłem topnienia c
t o p
. Dla wody krzepnąc
Ta bel a 19.4. Wartości c iepła przemiany wybrany ch substancj i
Topnienie Wrzenie
Substancja
Tem peratura Ciepło topnienia Temperatura Ciepło par
topnienia [K] c
t o p
[kJ/kg]
wrzenia [K]
c
p a r
[kJ
Wodór
14,0 58,0
20,3
455
Tlen
54,8
13,9
90,2
213
Rtęć 234 11,4
630 296
Woda
273
333
373 2256
Ołów 601
23,2
2017 858
Srebro 1235 105 2323 2336
Miedź 1356
207
2868 4730
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 217/329
c
t o p
= 79 ,5 ca l /g = 6 ,01 kJ /mol = 333 kJ /kg . (19
m = 720 g i temperatu
e
—
10°C, aby zamieni ł s ię w wodę o tem peraturze 15°C?
O T
proces ogrzewania zachodzi
1 . O T
Lód nie może ulec s topieniu w temperaturze niższej
od temperatury topnienia , a więc początkowo cała energia
dostarczana w postaci c iepła będzie zużywana na zwiększe
nie temperatury lodu. Ciepło
2 i
potrzebne do ogrzania lodu
od temperatury początkowej
7p o
CZ
= — 10°C do temperatury
końcowej
r
końc
= 0°C (w której topnieje lód) dane jest rów
naniem (19.14) (Q =
cmAT).
Podstawiając warto ść ciepła
właściwego lodu
cm
podaną w tabel i 19.3, otrzymamy
2 i = c
m
m T
kc
POCZ)
= (2220 J / (k g • K ) ) ( 0 , 72 kg )[ 0° C - ( - 1 0° C ) ]
= 15 984 J « 15,98 kj .
2 .
Zauważmy z kolei , że
O T
temperatura nie może wzro
snąć powyżej 0°C, aż cały lód nie zostanie stopiony —
a więc całe ciepło dostarczane do lodu jes t zużywane na
jego s topienie . I lość ciepła Q
2
niezbędną do s topienia ca
łego lodu wyraża równanie (19.16)
(Q = c
vrlem
m).
Symbol
CPRZEM oznacza tu ciepło topnienia
c
t o p
,
którego wartość po
dano w równaniu (19.18) i w tabel i 19.4. Możemy obl iczyć,
że ciepło Q
2
jes t równe
Q
2
= c
top
m
= (333 kJ /k g) (0 ,72 kg) 239,8 kJ .
3
. Mam y już ciekłą wodę o temperaturze 0°C .
O T
Dlatego
ciepło dostarczane teraz do wody w całości będzie s łużyć
zwiększeniu temperatury cieczy. Ciepło 23 niezbędne do
ogrzania wody od temperatury początkowej
ocz
= 0°C do
temperatury końcowej
r
kolic
= 15°C jes t dane równan iem
(19.14) (zamiast c iepła właściwego podstawiamy wa
dla wody w s tanie ciekłym c
c
j
eC
z):
2 3
=
CCIECZ^
7końc
Tpocz)
= (4190 J / (kg • K)) (0 ,72 kg) (15°C - 0°C)
= 4 5 2 5 2 J ^ B 45 ,25 kJ .
Całkowite ciepło jes t sumą wartości obl iczonych dla
k
nych trzech etapów:
2catk = 2 i + Qi + Gs
= 15,98 kJ + 23 9,8 kj + 45,2 5 kJ
300 kJ . (odpow
Zauw ażcie , że i lość ciepła potrzebna do s topienia lodu jes t o w
większa niż i lości c iepła niezbędne do ogrzania lodu i wody
b) Jak wyglądałby s tan końcowy i jaka byłaby temperatura w
gdyby do lodu dostarczyć (w postaci c iepła) 210 kJ energi i?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Z obl iczeń dla etapu 1 w ynika, że do ogrzania lodu do tem per
topnienia wystarczy 15,98 kJ ciepła. Pozostała część ciepła
jest więc rów na 210 kJ - 15,98 kJ, czyli około 194 k j. Z
czeń dla etapu 2 widzimy, że ciepło to nie wystarcza do stop
całego lodu. Możemy więc zauważyć, że
O T
lód nie ul
całkowitemu s topieniu i w s tanie końcowym otrzymamy mie
ninę wody i lodu, o temperaturze równej temperaturze krzepni
czyli 0°C.
Znając ilość dostępnego ciepła
2poz,
możemy za pom
równania (19.16) obl iczyć masę lodu m, który ulegnie s topie
2
P
194 kJ
c
t o p
333 k J / kg
= 0,583 kg ss 580 g.
Pozostały lód ma więc masę 720 g
—
580 g, czyli 140 g. Dla
w s tanie końcowym będziemy mieć
580 g wody i 140 g lodu o temperaturze 0°C. (odpowi
M C I
= 75 g ogrzano w piecyku do
T —
312°C . Następnie wrzucono g o do szklanej
z
że krążek, z lewka i woda tworzą układ izolowany oraz że m
zaniedbać parowanie wody.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy najpierw, że ©
T W
układzie izolowanym energia
wnętrzna przepływa tylko pomiędzy różnymi częściami ukł
Możemy wskazać t rzy procesy, w których energia jes t przek
19 .7 .
P ochłanianie ciepła przez ciała stałe i ciecze
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 218/329
wana jako ciepło. Krążek oddaje ciepło, woda i zlewka je pobie
rają.
Zauważmy też, że
O T
wspomnianym przepływom ener
gii wpostaci c iepła nie towarzyszą przemiany fazowe, a j edy
nie zmiany temperatury. Aby powiązać ze sobą i lość przekazywa
nego ciepła i zmianę temperatury, skorzystamy z równań
(1913)
i (1914)
dla wody: Gw = c„ m
w
( r
k o ń c
- r
pocz
); (1919)
dla zlewki:
Gz
= C
z
( 7 /
k o ń c
- r
pocz
); (1920)
dla miedzi : G CU =C
CU
MC U ( 7końc
~~
T
-
(1921)
Musimy też zauważyć, że O — ł u kład jes t izolowany, a więc
jego całkowita energia s ię nie zmienia. Oznacza to, że dodając
zmiany energi i różnych jego części , musimy otrzymać zero:
Gw
+
Gz
+ Gcu
=
0.
(1922)
Podstawiając równ ania od (1919)do (1921)do równania (1922)
ot rzymamy
CWW*W(7końc
7 p
o c z
) -}-
C^Tkońc
7 p
o c z
)
+CCUW*CU(^końc ^ ) — ^ .
(1923)
W równaniu
(1923)
temperatury występują jedynie w postaci róż
nic. W takim przypadku nie ma znaczenia, czy będziemy posługi
wać się skalą Celsjusza, czy Kelvina
i
możem y dowolnie w ybrać
jedną z nich. Rozwiązując równanie względem r
końc
, o t r
~ CC U^ CU ^ ~Ł~ C
z
Tp
o c z
-\- c
v/
in
VJ
Tp
OCZ
c
w
m
w
+ C
z
+
c c u » J c u
Wybierając skalę Celsjusza i korzystając z wartości ciepła
wego miedz i c
C u
i wody c
w
, możem y obl iczyć wartość l
licznika
(0 ,0923 ca l / (g • K)) (75 g) (312°C) + (45 ca l /K) (12°C )
+ ( 1 c a l / ( g • K ) ) ( 220 g ) ( 12°C ) = 53
oraz mianownika
(1 ca l / (g
•
K ) ) ( 220 g )
+
45 ca l /K
+ ( 0 , 0 9 2 3 c a l / ( g
•
K)) (75 g)
=
271,9
Dzieląc przez siebie obydwie liczby, otrzymujemy
Tkońc =
5 3 3 9
'
8
°
a l
= 19 ,6°C K» 20°C . (odp
c
271,9 ca l / °C
Możemy też obl iczyć i lości c iepła przekazywanego w p
gólnych procesach
G „ ~ 1670 cal, Gz 342 cal , Gcu - 2020
Z dokładnością do błędów wynikających z zaokrą gleń l
zgodnie
z
równaniem (19.22) dają w wy niku zero.
1 9 . 8 . B l iższe sp o j r z en ie na c ie p ło
p r a c ę
- izolacja
Rys. 19.13.
Gaz zamknięty w cyl indrze
z ruchomym t łokiem. C iepło można do
s tarczać do gazu lub odbierać od niego,
zmieniając temperaturę T regulowanego
zbiornika cieplnego. Praca W j e s t wyko
nywana dzięki podnoszeniu lub opusz
czeniu tłoka
Przyjrzymy się teraz nieco dokładniej , jak energia w postaci pracy
i
c i ep ł
być wy mie niana mię dzy ukła dem a jeg o otoczeniem . Przyjmijmy, że nasz
to gaz zamknię ty w cy l indrze wyposażon ym w ruchom y t łok , tak j ak na r
19.13 . S kierowana d o góry si ła działa jąca na t łok, k tóra jest sku tkiem
nia gazu, równoważy ciężar ołowianego śrutu w pojemniku nad t łokiem.
cyl indra wykonano z mater ia łu izolującego, k tóry całkowicie uniemożl iwi
pływ ciepła . Od spodu cyl inder znajduje s ię w kontakcie ze
zbiornikiem c
(może nim być na przykład gorąca płyta) o regulowanej temperaturze.
Układ (gaz) znajduje s ię w
stanie początkowym
o param etrach: c i
P p o c z .
objętość
V
p o c z
i
t empera tu ra r
p o c z
. Ce lem j es t p r zeprowadzen ie uk ł
stanu końcowego
wyzn aczonego p rzez c i śn ien ie P k o ń o objętość V k
0
ń
c
i
ra turę
7koi ic-
Działania , k tóre umożl iwią nam przeprowadzenie układu od
począ tkowego do końcowego , nazywamy
przemianą termodynam iczną (p
termodynamicznym). W jej t rakcie energia mo że być przek azyw ana do
ze zbiornika c ieplnego (ciepło dodatnie) lub odwrotnie (c iepło ujemne) .
może także wykonywać pracę, podnosząc t łok (praca dodatnia) lub opus
go (praca ujemna) . Założymy, że wszystkie te procesy zachodzą bardzo
dzięki czemu układ jest zawsze (w przybl iżeniu)
w
stanie równowagi
dynamicznej ( to znaczy każda część układu jest zawsze wstanie rów
te rmodynamiczne j
z
innymi j ego częśc iami ) .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 219/329
Wyobraźmy sobie , że zabieramy ki lka z ia renek śrutu z pojemnika obciąża
F, przesunął t łok
ds . Ponieważ przemieszczenie
F jest w jego trakcie stała. Siła F m a
pS , gdzie p oznacza c iśnienie gazu w cyl indrze , a S — powie rzchnię
dW
wyk onana przez gaz w wyniku tego przem ieszczenia jes t równa
dW = F • ds = p(Sds)
= pdV, (19.24)
dV
oznacza zmianę obję tości gazu związaną z przem ieszczeniem t łoka .
0 C Z
d o Vkońc>
a
ca łkowita praca wykonana przez gaz będzie równa
W
:
Vkoń
f
dw
'f
pdV.
(19.25)
zmien ia s ię obję tość gazu, może rów nież zm ienić s ię jeg o c iśnienie i tem
P
pi/emiana
l ł " > u i
objętość
a)
objętość
d )
W > l i
•K
objętość
b )
H
< (I
objętość
e)
P
t
It > U
objętość
c)
r
^ w y p > 0
kK
objętość
f)
a) Zacieniowany obszar oznacza pracę W, którą wykonuje układ, przechodząc
P do s tanu końcowego K. Praca W jes t dodatnia .ponieważ objętość
W jes t dodatnia , a le tym razem ma większą wartość, c) Praca W
W może mieć mniejszą
lub większą (PGHK) wartość, e) Układ przechodz i od s tanu K do P. Gaz jest
W wykonana przez układ jes t
w y p
wykonaną przez układ w trakcie
1 9 . 8 . Bliższe spojrzenie na ciepło i pracę
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 220/329
ciśnienie zależy od objętości w procesie przeprowadzającym układ ze s tan
czątkowego do s tanu końcowego.
W praktyce jes t wiele różnych sposobów przeprowadzenia gazu od
począ tkowego P do s tanu końcowego K. Jedną z możliwości z i lustrowa
wykresie z rysunku 19.14a, przedstawiającym zależność c iśnienia gazu od
objętości ( tak zwany wykres p-V). Krzy wa z wyk resu 19.14a pokazu je ,
śnienie maleje wraz ze wzrostem objętości . Wartość całki (19.25) (a więc
wyko nana p rzez gaz ) je s t równa po lu zac ien iowanego obsza ru pod k rzywą
dzy punk tami P i K. Niezależnie od tego, co robimy, aby zreal izować prze
opisaną tą
krzywą,
widzimy, że wykon ana praca jes t w iększa od zera , pon
gaz zwiększył swą objętość , przesuwając t łok w górę .
Inną możliwość przejścia od s tanu P do s tanu K p rzeds tawiono na wy
z rysunku 19.14b. Proces zachodzi w dwóch etapach — najpierw od s tanu
stanu A, a potem od s tanu A d o K. P r z e m ia n a PA zachodzi przy s ta łym
niu , co znaczy, że nie zmieniamy l iczby z iarenek śrutu obciążającego t łok
19.13) . Zmianę objętości gazu (od V
pocz
d o Vkońc) osiągamy, kręcąc wolno
latorem temperatury, dzięki czemu gaz ogrzewa s ię do temperatury
T
A
.
(Z
szenie temperatury powoduje wzrost s i ły wywieranej przez gaz na t łok,
dzięki temu przesuwa s ię w górę) . W procesie tym rozszerzający s ię gaz
nuje dodatnią pracę (podnosi obciążony t łok) , a układ pobiera c iepło ze zbi
c ieplnego (reaguje na dowolnie małe różnice temperatury, wywoływane z
szaniem temperatury zbiornika) . Ciepło ma wartość dodatnią , ponieważ zw
energię układu.
P r z e m ia n a
AK
z rysun ku 19.14b zachod zi przy s ta łe j obję tości , co oz
że trzeba zablokować t łok, aby nie mógł s ię dale j poruszać. Następnie , kor
jąc z regulatora temperatury, można zmniejszyć c iśnienie gazu od wartoś
d o pkońc- W procesie tym układ oddaje c iepło do zbiornika.
W ca łej p rzemian ie PAK uk ład wykonu je p racę W ty lko w procesie PA
ona wartość dodatnią , k tóra odpowiada polu zacieniowanego obszaru pod
wą . Ciep ło je s t wym ien iane w oby dwu p rocesach PA i AK, a jego wypa
ilość jes t równa Q.
Krzy wa z wykresu 19.14c opisuje proces składający s ię z tych samych e
co poprzednio, lecz przeprowadzonych w odwrotnej kole jności . Praca
w tym przypadku mniejszą wartość niż w przemianie z rysunku 19.14b. Mn
jest również i lość c iepła pochłoniętego przez układ. Z rysunku 19.14d w
że wartość wykonywanej pracy można dowolnie zmniejszyć (poruszając s
k rzywej PCDK) a lbo też zwięk szyć (wybierając śc ieżkę PGHK).
Podsumowując: układ można przeprowadzić od s tanu początkowego do
końcowego, wybierając jeden z nieskończenie wielu możliwych procesów. C
może być dostarczane do układu lub nie , a każdemu z możliwych procesó
powiadają różne wartości wykonywanej pracy W i poch łon ię tego c iep ła Q.
i c iepło są wielk ościam i zależącymi od sposobu, w jaki dokonuje s ię przem
Na rysunku 19.14e przedstawiono przykład procesu, w którym praca
konywana przez układ jes t u jemna, ponieważ pewna zewnętrzna s i ła śc iska
zmniejszając jego objętość . Wartość bezwzględna wykonywanej pracy jes
da l równa po lu powie rzchn i pod
krzywą,
lecz jes t u jemna, ponieważ ga
sprężany.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 221/329
Na rysunku 19 .14f przeds tawiono
cykl termodynamiczny,
k tóry polega na
od s tanu począ tkowego P do st anu końcow ego A\ a na
z powrotem do s tanu P. Wypadkowa praca wykonana przez układ w trak
dodatniej
pracy w t rakc ie rozprężania i
ujemnej
pracy pod
W cyklu przeds tawionym na rysunku 19 .14f wypadkow a praca
pod krzywą opisującą rozprę żanie (od
do
K)
ma
większą wartość
niż pod
krzywą opisującą sprężan ie
(od
K
do
P).
:
Zamieszczony obok wy
p-V przedstawia sześć krzywych (po
gaz.
Którą
9 . 9 .
P ie rw s za z a s a d a t e r m o d y n a m i k i
się
wła śn ie ,
że w
przypadk u u kładu , k tóry j e s t poddawany p rze
od s tanu począ tkowego do st anu końcowego, i lośc i wykonyw ane j pracy W
Q
zależą
od rodza ju przemian y. Wy konując dośw iadczen ia ,
się, że
różnica
Q
—
W
jest
Jej wa r tość za leży j edynie od s tanu począ t
i s t anu końcowego, ale nie za leży od sposobu przeprowadzenia uk ładu
ze zmiennych Q i W,
tym
także same w ie lkośc i Q
i
W oraz
na
przykład Q + W
i
Q
—
2W, zależą
Q
—
W j e s t od tego nieza leżna .
W idz imy więc , ż e różnica
Q —
W mus i odpowiadać zm ianie pewne j w ie lkośc i
tę
n a z y w a m y
energią wewnętrzną
E
w
i
zapisujemy
A / ±
w
=
^w.końc ^w.pocz — Q W (pierwsza zasada termodynamiki).
(19.26)
w p o s t a c i
2
d / ł
w
= d<2 — dW (pierwsza zasada termodynamiki). (1 9. 27 )
Energia wewnętrzna układu
£
w
wzrasta,
jeżeli układ pobiera energię w postaci cie
pła Q, i maleje, kiedy wykonuje on pracę W.
2
W i e l k o ś c i dQ i dW, w przeciwieństwie do dE
w
, nie oznaczają prawdziwych różniczek,
nie istnieją funkcje Q(p, V) i W(p, V), których war tość zależy tylko od stanu
że dQ i dW nie są różniczkami zupełnymi podkreśla się zwykle, używając do
dQ
oraz
dW.
W naszym przypadku będziemy przyjmować, że
dQ
i
dW
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 222/329
W rozdzia l e 8 omawia l i śmy zasadę zachowania energ i i d l a uk ładó
lowanych, czyli takich, które nie pobierają ani nie oddają energii na ze
Pierwsza zasada t e rmodynamiki j es t rozszerzeniem t e j zasady na układy
nie
są i zo lowane . W tak ich przypadkach energ ia może być przekazywan
dowi lub zabierana z układu w postaci ciepła Q i pracy W. W n a sz y m , p o
właśnie sformułowaniu pierwszej zasady termodynamiki przyjęl i śmy, że
jako całość nie zmienia swojej energi i kinetycznej ani potencjalnej , to
A £
k
= A £
p
= 0.
Aż do t ego rozdz ia łu te rminu praca i symbolu W używal iśmy na ogół
gdy praca by ła wykonywana
nad
uk ładem. Począwszy od równania
przez dwa nas t ępne rozdz ia ły poświęcone t e rmodynamice będz iemy za j
s ię przede wszys tk im pracą wy konywaną przez uk ład , j ak w przyp adku z
wanym na rysunku 19.13.
P ra c a w y k o n y w a n a na d uk ładem ma zawsze war tość przec iwną n i ż
w y k o n y w a n a przez ukła d i dlatego wstawiając do równa nia (19.26) pra
układem, musimy napi sać
A £
w
= Q +
W„ad
W y n i k a
stąd, że energia wew
układu rośn ie , j eże l i pobiera on c i ep ło lub j es t wykonywana
nad
n im d
praca. Odwrotnie, energia wewnętrzna maleje, jeżel i układ oddaje ciep
p ra c a w y k o n a n a na d nim jest u jemna.
•SPRAWDZIAN
5 Zamieszczony obok
wykres we współrzędnych p- V przedstawia
cztery krzywe opisujące możliwe przemiany
gazu od stanu P do stanu K. Uszereguj
krzyw e według odpowiadającej im: a) zmiany
energii wewnętrznej AE
W
, b) warto ści pracy
W wykonanej przez gaz i c) wartości c ie
p ła
Q
przekazanego do układu. W każdym
przypadku zacznij od wartości największej.
1 9 . 1 0 . N i e k t ó r e s z c z e g ó l n e p r z y p a d k i
p i e r w s z e j z a s a d y t e r m o d y n a m i k i
Przyj rzymy s i ę t e raz cz t e rem różnym procesom t e rmodynamicznym, w k
na układ na łożono pew ne ograniczenia . Nas t ępnie przekonam y s i ę , j ak i e w
wynika ją z zas tosowania do opi su tych procesów p ierwsze j zasady t e rm
miki . Uzyskane wyniki s t reszcza tabela 19.5.
Pierwsza zasada termodynamiki: cztery przypadki
szczególne
I zasada termodynamiki:
A £
w
= Q — W równanie 19 .26
Przemiana
Adiabatyczna
Stała objętość
Cykl zamknięty
Rozprężanie swobodne
Warunek
2 = 0
W = 0
A £
w
= 0
2 = W = 0
Wynik
A £
w
= —W
A £
w
= 2
2 = w
AE „ 0
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 223/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 224/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 225/329
Ile
wynosi zmiana energii wewnętrznej układu
w
rozważanym
że
O—
•»
zmiana energii wewnętrznej układu jest
zwią
z pobranym ciepłem (w tym przypadku energia jest przeka
do
układu)
i
wykonaną pracą
(w tym
przypadku energia
od układu) za pomocą pierwszej zasady termody
A £
w
= Q - W - 2256 kj - 169 kJ
« 2090 kJ = 2,09 MJ. (odpow
Obliczona wartość jest dodatnia , co oznacza, że energi
wnętrzna wody wzrasta
w
wyniku
jej
parowania . Energia
zwala oddzielić od siebie cząsteczki H 2 O , które w stanie ci
m oc no
ze
sobą oddziałują. Widzimy,
że
kiedy woda zamien
w parę, mniej więcej
7,5% (= 169
kJ /2260
kJ)
dostarczanej
gii jest zużywane na „odepchnięcie" atmosfery. Pozostała
ciepła zostaje zużyta
na
zwiększenie energii wewnętrznej u
.
Mechanizmy przekazywania ciep ła
czeniem, ale nie zastanawialiśmy się jeszcze, jak się ona dokonuje. Można
cieplne
jego rączka stanie się gorąca. Energia będzie przekazywana od znajdującego
pogrzebaczu. Amplituda drgań atomów i elektronów w metalu włożonym
ogień jest znaczna ze względu na wysoką temperaturę. Zwiększona amplituda
ń i związana z tym energia jest następnie przekazywana wzdłuż pogrzebacza
zeniom sąsiednich atomów. W ten sposób obszar zwiększonej tempe
Zastanówmy się teraz, jak opisać przewodnictwo płytki o grubości L, której
S są utrzymywane w temperaturze od
TG i Tz przez dwa zbiorniki cieplne — gorący i zimny (rys. 19.18).
Q oznacza energię przenoszoną w postaci ciepła przez płytkę od po
t. Doświadczenie pokazuje, że strumień
Pprzew (ilość energii przepływającej w jednostce czasu) wynosi
Q T
c
-T
z
P — — k ?
*
przew — —
r
'
I i-i
(19.32)
k nosi nazwę przewodności cieplnej właściwej materiału,
Dobrymi przewodnikami ciepła nazywamy materiały,
e łatwo na drodze przewodnictwa przedostaje się energia; ich wartość k
tórych często spotykanych metali, gazów i materiałów budowlanych.
cieplny
zbiornik
gorący o
temperaturze
zbiornifc
zimny o
temperatur
T
G
>Tz
Rys.
1 9 . 1 8 .
Przewodnictwo ci
Energia przepływa w postaci c iep
zbiornika
o
temperaturze Ta
do
niejszego zbiornika o temperatur
przez przewodzącą ciepło płytkę
bości
L i
przewodności cieplnej w
wej
k
Wartości przewodn
cieplnej właściwej wybranych
stancji
Substancja
k [W/(m
Metale
Stal nierdzewna
Ołów
Aluminium
Miedź
Srebro
Gazy
Powietrze (suche)
Hel
Wodór
Materiały budowlane
Pianka poliuretanowa
Wełna mineralna
Wata szklana
Drewno sosnowe
Szkło okienne
14
35
235
401
428
0
0
0
0
0
0
0
1
1 9 . 1 1 . Mechanizmy przekazywania ciepła
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 226/329
a nie dobrymi przewodnikami c iepła . Właśnie dla tego użyteczne jes t
oporu cieplnego R. Wartość oporu c ieplnego
R
dla płytki
o
g rubośc i
L
powie rzchn i
S
definiujemy jako
_
L
~~
kS'
Im ninie jsza jes t wartość przewodności c ieplnej właściwej materia łu ,
z
wykonano płytkę , tym większy jes t opór c ieplny płytki . Mówiąc inaczej ,
ma duży opór cieplny, jest złym przewodnikiem ciepła, a więc dobrym izo
cieplnym.
Zwróćcie uwagę, że wartość
R
jes t związana — przez je j grubość
wierzchnię — z konkretną płytką, a n ie ty lko materia łem , z k tórego ją wyk
Jednostką oporu c ieplnego jes t kelwin/wat .
<hu>inik
gorący o
łt -mtH .i.ifui/e
zbiornik
zimny o
temperaturze
R ys . 19 .19 . Stacjonarny strumień cie
p ła przez wielowarstwową płytkę
wyko
naną z dwóch różnych materiałów o róż
nych grubościach i różnych wartościach
przewodności cieplnej. W stanie
stacjo
narnym temperatura na granicy obydwu
materiałów m a wartość T
x
Przewodzenie ciepła przez płytkę wielowarstwową
Na rysunku 19.19 przedstawiono płytkę z łożoną
z
dwóch warstw mat
o grubościach L\ i L
2
oraz różnych wartościach przewodn ości c ieplnej wł
k\
i k
2
.
Temperatury zewnętrznych powierzchni p łytk i są odpowied nio
T
i
Tz . Pole powierzchni p łytki jes t równe S. Wyprowadzimy teraz ró
pozwalające obliczyć s trumień c iepła przez taką płytkę w procesie stacjo
czyli takim, w którym rozkład temperatury i wartość s trumienia nie zm ie
w czasie .
W warunkach s tacjonarnych s trumienie c iepła przez obydwie warstwy
być sobie równe. Mówiąc inaczej , energia , k tóra przepływa w pewnym c
przez jedną warstwę materia łu , musi w takim samym czasie przepłynąć
drugą warstwę. Gdyby tak nie było , temperatura we wnętrzu płytki u le
zm ianom i s tan nie byłby s tacjonarny. Załóżmy, że temperatura na g ranicy
obydwu materia łów jest równa Tx - Korzystając z równan ia (19.32) , m
napisać
. M kz« _ MOpia.
( 1
Rozwiązanie równania (19.34) względem Tx jes t s tosunkowo prostym za
z a lgebry; o trzymujemy
T
X
=
fr rz
+ M-IFT
k\L
2
+ k
2
L\
Podstawiając uzyskaną wartość Tx do jedn ego z członów równa nia (19.34)
m a m y
KiTn
T^
(
S(T
G
- T
z
)
L,/k
x
+L
2
/k
2
Równanie (19.36) możemy uogólnić na płytkę zawierającą dowolną l i
warstw:
S(T
G
-
Tz)
przew
(
(Li/ki)
Znak sumowania występujący w mianowniku oznacza, że musimy dodać do
war tośc i L/k dla wszystkich warstw płytki .
21 0 19 . Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termody namiki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 227/329
7 :
Płytka jes t z łożona
z
czterech warstw
o
jednakowej grubości ,
ale
z
różnych materiałów. Na rysunku podan o wartości temperatury zm ierzone dla
i na
d jej największej
25° C -
lllllllj
5.0 r
-10' V -
lllllllll
w
płom ień św iecy lub zapałki , mo żemy zauważy ć , że ener
w górę dz ięki konwekcji . Taki transport energii
w kontak
ie
z
c ia łem
o
wyższe j tempera turze . Ta część płynu, która bezpośrednio przylega
się i — w
większośc i p rzypadków
—
zwiększa swą
co
powod uje spadek gęs tośc i . Ponieważ jes t ona te raz lże jsza
niż
ota
ją
chłodnie jsze wars twy, zaczyna s ię poruszać
w
górę dz ięki s i le w ypo ru.
z
otoczenia zajmuje teraz miejsce
w
pobl iżu
i
proces t rwa
dalej .
Konwekcję częs to obserwujemy w przyro dzie . Konwekcja zach odząca w at
dla k l ima tu na Z i e m i i codziennych zmian pogody.
i
ptaki szukają w znoszących prądów termicznych (konw ekcyj
im
kontyn uow ać lot . Taki
za
procesy w ymian y olbrzym ie j energi i
w
oceanie .
z
pieca jądrowego, jakim jes t jądro Słońca , jes t przenoszona
w
obręb ie olbrzymich g ranul ,
w
których gorący
w
cent rum
i po
oddan iu c iepła op ada po śc ianach.
w
postac i c iepła między c ia łem a jeg o o tocze
fal
e lektromagnety cznych (przykład em takich fa l jes t św ia
Ten sposób przekazywania sygnałów energi i jes t częs to nazywany promie
aby
odróżnić
go od
przekazywania sygnałów
za
pomocą
w
radio
i
telewizji)
i od
p romieniowania
i cząs tek emitowanych przez jądra) . („Promieniować" znaczy
co wys yłać) . Kiedy s toimy obok du żego ogn iska , czujemy c iepło, pon ieważ
od
ognia . Ozn acza to ,
że na
a
male je energia te rmiczna ognia .
Nie
trzeba
za
poś rednic twem promieniowania
—
się
on o
w
próżni ,
na
przykład pom iędzy S łońcem
a
Ziemią.
Moc promieniowania P
p r
om
emitowanego przez c ia ło w postac i fa l e lektroma
S c ia ła
i
t empera tury j ego pow ie rzchni T
w ke lwinach. Wie lkośc i te łączy za leżność
P
p r o m
= asST
4
. (19.38)
1 9 . 1 1 . Mechanizmy przekazywania ciepła
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 228/329
Rys. 19.20. Termogram uwidacznia za pomocą umownie przyjętych kolorów moc w
mieniowywaną przez domy stojące wzdłuż ulicy. Kolory: biały czerwony, różowy, nieb
i
czarny odpowiadają kolejno mocy promieniowania od wartości największej do najm
szej. Na tej podstawie można stwierdzić, gdzie w ścianach domów umieszczono izo
w których oknach wiszą grube zasłony oraz w których domach na piętrze pod sufitem
cieplejsze powietrze
W podanym równaniu o — 5.6703 • 10~
8
W/(m
2
-K
4
) oznacza stałą
Stefana
tzmanna
nazwaną tak dla uczczenia Josefa Stefana (który w 1879 r. odkry
drodze doświadczalnej prawo zapisane w równaniu) oraz Ludwiga Boltzm
(który wkrótce potem wyprowadził je teoretycznie). Symbol F wyraża zdo
emisyjną powierzchni ciała, która może przyjmować wartości z przedziału
0 do 1. zależnie od rodzaju powierzchni. Ciało, na którego powierzchni
ność emisyjna przyjmuje maksymalną wartość 1. nazywamy ciałem dosk
czarnym. Jest to jednak przypadek graniczny, który nie występuje w prz
dzie. Zwróćcie uwagę, że temperatura występująca w równaniu (19.38) musi
wyrażona w kelwinach, tak aby zero bezwzględne oznaczało całkowity brak
mieniowania. Zauważcie też. że każde ciało, którego temperatura jest wy
niż 0 K — takie i ty — emituje promieniowanie cieplne (patrz rysunek 19
Moc absorbowana
P
a
b
S
przez ciało z otoczenia w wyniku promieniow
cieplnego zależy od (jak zakładamy — stałej) temperatury otoczenia R
ot
oc z
rażonej w kelwinach
Zdolność emisyjna
s
występująca w równaniu (19.39) jest tą samą wielkośc
w równaniu (19.38). Ciało doskonale czarne o zdolności emisyjnej E równej
chłania całą energię padającego nań promieniowania (nie odbija ani nie rozpr
padającego promieniowania).
Ponieważ ciało pochłaniające promieniowanie docierające z otoczenia
zarazem jego źródłem, wypadkowa moc P^
v
charakteryzująca wymianę z
czeniem energii w postaci promieniowania cieplnego jest równa
Moc / \ y
P
jest dodatnia, jeżeli ciało pochłania energię na drodze promieniow
a ujemna, jeżeli ciało traci energię.
P
as
=
°eST*
(19.3
(19.4
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 229/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 230/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 231/329
Ciep ło
Q
to energia wymieniana pom iędzy u kładem
na skutek różnicy temperatury między nimi.
w dżulach (J), kaloriach (cal), kilokaloriach
1
cal = 3 , 9 6 9
• 1 0
- 3
Btu =
4 , 1 8 6 0
J.
( 1 9 . 1 2 )
i
ciepło właściwe Jeżel i pewne ciało po
Q,
zmiana jego temperatury —
R
P O C Z
będzie
z
wartością
Q
równan iem
Q
= C(T
koAc
-
R
P O C Z
) , ( 1 9 . 1 3 )
C oznacza pojemność c ieplną ciała. Jeżeli ciało ma
m, to
zależność
tę
możemy zapisać
w
postaci
Q = cm
( R
K O Ń C
-
R
P O C Z
) , ( 1 9 . 1 4 )
c
oznacza
ciepło właściwe
substancji,
z
której zbudowane
Molowe c iepło właśc iwe
substancji definiujemy jako
tej
substancji, czyli
6 0 2 • 1 0
2 3
Gdy
substancja pochłonie ciepło, m oże
nić się jej stan skupie nia, na przykład ciało s tałe mo że stać
cieczą,
a ciecz — gazem. I lość ciepła niezbędna do zmiany
jednostkow ej m asy substancji (bez zmiany przy tym jej tem
c iepłem przemiany c
p r z e m
. Mamy więc
G =
c
p r z e m
m .
( 1 9 . 1 6 )
c
p a r
to
ilość energii na jednostkę masy, która
Ciepłem topnienia c
l o p
substancji nazywamy ilość
tej
substancji
jej
masy
w
postaci cieczy,
aby
spowodować
jej
ze
zmianą objętości Gaz może wym ieniać
ze swoim otoczeniem , wykonując prac ę. Pracę w ykonaną
lub zmniejsza swą objętość od V
p o c z
można obliczyć za pomocą równania
v
b>ńc
W
=
J dW = j pdV. ( 1 9 . 2 5 )
^pocz
w
procesie
się
wraz
ze
zmianą objętośc i.
Zasada zachowania energii
p ierwszej za
którą można zależnie od potrzeb zapisać
za pomocą jednego z równań
A £
w
— w.końc ^w.pocz
=
Q W
(pierwsza zasada termodynamiki)
(
lub
d £
w
=
d<2 —
dW
pierwsza zasada termodyna mik
( 1
gdzie
£
w
oznacza
energię wewnętrzną substancji zależną j
od stanu substancji ( temperatury, ciśnienia
i
objętości).
Q
cza energię wymienianą między układem
a
otoczeniem
staci ciepła;
Q ma
wartość dod atnią, jeżeli ukła d pobiera c
i
ujemną,
jeżel i układ oddaje ciepło. W oznacza pracę wy
waną przez układ; W ma wartość dodatnią, jeżeli układ zw
swą objętość, działając przeciw pewnej sile zewnętrznej, a w
ujemną,
jeżel i układ zmniejsza swą objętość z powodu dz
si ły z ewnętrznej . Wartości ciepła Q i pracy W zależą od sp
przeprowadzenia przemiany,
a
wartość A £
w
nie.
Zastosowania pierwszej zasady termodynam iki Pierws
sada termodynamiki przybiera w niektórych procesach
szcz
postać:
przemiana adiabatyczna:
2
=
0 , A £
w
=
W
przemiana przy stałej objętości:
W = 0 , AE
W
= Q
proces cykliczny :
AE
V
=
0 , Q = W
rozprężanie swobodne
: Q = W = AE
V
=
Przewodnictwo, konwekcja
i
promieniowanie Strumie
p ła
/-przew
przenikającego przez płytkę, której powierzchn
u t r zymywane
w
temperaturze
7Q i
Tz , jest równy
Q T
G
— T
z
przew
=
~ — kS —
,
( 1
gdzie
S i L
oznaczają odpowiednio pole powierzchni
i
gr
płytki ,
a k
jest przewodnością cieplną właściwą mater iału.
Konwekcją
nazywamy przepływ energii związany
z
ru
spowodowanym różnicą temperatury
w
p łyn ie .
Promienio
to przepływ energii
w
wyniku promieniow ania elektrom
tycznego. Moc promieniowania cieplnego ciała jest dana r
n iem
Pprom
=
TSST\
( 1
gdzie
a
( =
5 , 6 7 0 3
• 1 0
8
W / ( m
2
• K
4
) ) jest s tałą Stefana-
manna,
e —
zdolnością em isyjną powie rzchni ciała,
polem powierzchni ciała,
a T —
jeg o temperaturą
względną.
Moc
absorbowana
P^
s
z
otoczenia
o
stałej tem
turze
r
otocz
(w kelwinach) dzięki promieniowaniu cieplnem
równa
Ąb =
A S S 7 L
C Z
. ( 1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 232/329
1 .
Na rysunku 19.23 przedstawiono trzy l iniowe skale tempera
tury. Na każdej z nich zaznaczono temperaturę krzepnięcia i wrze
nia wody. Uszereguj od największej do najmniejszej wartości
zmiany temperatury: 25°R, 25°S i 25°U.
20°R
-80°R
120°S
50°S
300°U
-225°U
tempera tu ra
wrzenia
tempera tu ra
krzepnięcia
Rys.
1 9 . 2 3 .
Pytanie 1
2 . W tabeli podano początkową długość L, zmianę tempera
tury AT i zmianę długości AL czterech prętów. Uszereguj pręty
według ich współczynn ika rozszerzalności cieplnej , zaczynając od
jego największej wartości.
Pręt
L
[m]
A T [°C] AL [m]
a 2 10
4 • I O "
4
b
1
20
4 • 1 0 ~
4
c
2 10 8
•
1 0 ~
4
d 4 5 4 • I O "
4
3 .
W izolowanym cieplnie zbiorniku umieszczono obok siebie
próbkę substancji A o mas ie m oraz próbkę substancji B o tej
samej masie m, lecz wyższej temperaturze. Gdy ustalił się stan
równowagi termodynamicznej , s twierdzono, że temperatura sub
stancji A i B zmieniła s ię odpowiednio o AT
A
i A T
S
. Następnie
powtórzono to samo doświadczenie, zestawiając próbkę substan
cj i A z próbkami innych mater iałów o tej samej masie m. Wyniki
umieszczono w tabeli . Uszereguj cztery substancje użyte w do
świadczeniu według ich ciepła właściwego, zaczynając od jego
największej wartości.
Doświadczenie
Zmiana temperatury
1
A Ti = +5 0°C
A T g = - 5 0 ° C
2 A T
A
= + 1 0 ° C
A T
C
=
- 2 0 ° C
3
A T
A
= + 2 ° C AT o = - 4 0 ° C
4 .
Każda z substancji A, B i C znajduje się w swojej temperaturze
topnienia. Stopienie 4 kg substancji
A
wymaga dostarczenia 200 J ,
5 kg substancji B 300 J, a 6 kg substancji C również 300 J.
Uszereguj te substancje według ich ciepła topnienia, zaczynając
od wartości największej.
5 .
Na rysunku 19.24 przedstawiono wykonane we współrzędnych
p-V wykresy dwóch procesów cyklicznych gazu. Trzy odcinki
krzyw ych składających się na Cykl 1 mają d okład nie te sam e
kształ ty i długości , jak dla cyklu 2. W jakim kierunku
czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) należy przepr
te cykle, aby: a) całkowita praca W wykonana przez g
wartość dodatnią i b) całkowite ciepło
Q
oddane do o
przez gaz było dodatnie?
6 .
Który z cykli przedstawionych na rysunku 19.24 pr
dzony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zega
się z: a) wykonaniem większej pracy W i b) oddaniem w
ciepła
g ?
-V
(1) (2)
Rys. 19.24.
Pytania 5 i 6
7 . Na rysunku 19.25 przedstawiono płytkę złożoną
warstw o jednakowej grubości , ale wykonanych z różn
ter iałów
a, b
i
c
o przewodności cieplnej właściwe
k
a
> k
c
. Załóżmy, że przez
płytkę przenika różny od
zera, stacjonarny strumień
ciepła. Uszereguj poszcze
gólne warstwy według róż
nicy temperatury AT na
ich ściankach, zaczynając
od wartości największej.
• M M I I
I j l j j ^
B
W
Rys. 19.25.
Pytanie 7
8 .
Podczas wzrostu sopla lodu jego zewnętrzna powierzc
pokryta cienką warstwą wody, która stopniowo spływa
i zbiera się w postaci pojedynczych kropelek na czubk
(rys. 19.26). Każ da kropla znajduje się na końc u cienk ie
l ika z wodą biegnącego w górę w kierunku nasady sopla
nie do samego końca) . Pod
czas s topniowego krzepnię
cia wody w górnym od-
cinku kanalika wydzielana
jest energia. Czy energia ta
jest przewodzona przez lód
w kierunku radialnym na
zewnątrz sopla, w dół przez
wodę w kierunku kropli ,
czy w górę w kierunku na
sady sopla? (Załóż, że tem
peratura powietrza jest niż
sza niż 0°C). Rys.
1 9 . 2 6 .
Pytanie 8
9 .
Sześcian o krawędzi r , kula o promieniu
r
i półkula o
ni u
r
wykonane z tego samego mater iału są utrzymywane
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 233/329
.
Trzy próbki różnych substancji o jednakowej masie są
T od czasu t dla wspomnianych trzech sub
, a) Czy w przypad ku substancji 1 ciepło właśc iwe
Rys. 19.27.
Pytanie 10
.
Próbkę A wody i próbkę B lodu o jednakowej masie umiesz
ąc im osiągnąć
T próbek od czasu t. a) Czy w stanie
i
a)
b)
c)
d )
Rys. 19.28.
Pytania
1 1
i 12
e)
0
1 2 . C iąg dalszy pytania 11 . Na rysunku 19.28 znajduje się
kresów zależności temperatury T od czasu t. Przynajmniej
nie może odpowiadać sytuacji rzeczywistej , a) Który to w
i dlaczego? b) Określ , czy na wykresach opisujących sytua
alne temperatura równowagi jest wyższa, niższa, czy równa t
raturze krzepnięcia wody. c) Czy w przyp adkach realnych w
równowagi próbka wody jest częściowo zamarznięta, całk
zamarznięta, czy całkowicie ciekła? Czy w przypadkach re
w stanie równowagi próbka lodu stopiła s ię częściowo, całko
czy w ogóle się nie stopiła?
Z a d a
Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/college/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning
Ware (na tej samej stronie)
P o m i a r y t e m p e r a t u r y
Zbudowano dwa termometry gazowe o s tałej objętości . Jeden
3
wynosi 80 kPa. Jaka będzie różnica ciśnień w oby
(Wskazówka:
Załóżmy, że temperatura gazu w punkcie wrzenia wody jest
trójnego wody? (Przyjmij założenie, że w obydwu tempera
gaz zajmuje identyczną objętość).
3 .
Pewien termo metr gazowy jest zbudowany z dwóch zbior
zanurzonych w łaźniach wodnych, jak na rysunku 19.29. R
ciśnień w obydwu zbiornikach jest mierzona manometrem
ciowym w sposób pokazany na rysunku. Dodatkowe, nie
sowane zbiorniczki zapewniają zachowanie stałej objętośc
w obydwu zbiornikach głównych. Kiedy obydwa zbiornik
dują się temperaturze punktu potrójnego wody, nie wys
w nich różnica ciśnień. Jeżel i jeden zbiornik ma tempe
punktu potrójnego wody, a drugi temperaturę wrzenia wody
nica ciśnień wynosi 120 to
rów. Kiedy jeden zbiornik
jest w temperaturze punktu
potrójnego, a drugi w nie
znanej , mierzonej tempera
turze, różnica ciśnień jest
równa 90 torów. I le wynosi
ta temperatura?
A
%j
ys. 19.29.
Zadanie 3
Z a d a n i a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 234/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 235/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 236/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 237/329
40
30
10
0
C
~,0—
(J
W \L„
A-
li-
C-
•li
-C
1 2 3 4
objętość [m
3
]
a)
Zadanie 50
b)
40
E
30
•a 20
3
20
10
0
c
A
B
•
1
2 3 4
objętość [m
3
]
Rys. 19.36. Zadanie 51
B
1 .
Gaz w zamknię te j ko
p-V
2 . Gaz zamknię ty w ko
Oblicz, i le ciepła od
CA,
AB
e BC energia nie była wy
3 . W przypadku gdy pe
P do stanu koń
K
wzdłuż krzy
ej PA K widocznej na
p- V
z rysunku
ciepło Q ma wartość
W 20 cal.
PBK, to Q = 36 cal.
W wykona układ w przemianie PBKlb) Jaka była
0 objętość
Rys. 19.37. Zadanie 52
0
objętość
Rys. 19.38. Zadanie 53
wartość c iepła Q, jeże l i w procesie odwrotnym KP układ w
nał pracę W = —13 cal? c) Załóż, że energia wewnętrzna uk
w stanie początkowym £
W
P 0
C Z
jest równa 10 cal . Ile wynosi
gia wewnętrzna układu IIW.KOŃC w stanie końcowym? d) Załó
energia wewnętrzna układu
£
w
s w punkcie B wynosi 22 cal
k ie są wartośc i c iepła dostarczonego do układu w procesach
i BK7
1 9 . 1 1 M e c h a n i z m y p r z e k a z y w a n i a c i e p ł a
5 4 .
Na obszarze Ameryki Północnej średnia szybkość prz
szenia energii z wnętrza na powierzchnię Ziemi na drodze p
wodnic twa c ieplnego jest równa 54 mW/m
2
. Średnia przewod
cieplna właśc iwa przypowierzchniowej warstwy skorupy z
skiej wynosi 2,5 W/(m
•
K). O bl icz , jaka temperatura panuj
głębokości 35 km (czyli w pobliżu dna skorupy ziemskiej), j
temperatura na powierzchni wynosi 10°C. Zaniedbaj c iepło
twarzane na skutek rozpadu pierwiastków promieniotwórczy
5 5 .
Opór c ieplny
R
metra kwadratowego pokrycia dachu do
jednorodzinnego w chłodnej strefie klimatycznej powinien
zbliżony do 30 K/W. Jak gruba musi być odpowiednia war
izolacyjna wykonana z: a) pianki poliuretanowej i b) srebra?
5 6 .
a) Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narc
przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane:
powierzchni ciała 1,8 m
2
; grubość ubrania 1 cm, tempera
skóry 33°C; temperatura powiet rza 1°C i przewodność c ie
właśc iwa u brania 0,04 W /(m • K). b) Jak zm ieni łby się w
uzyskany w punkcie (a) , jeże l i w wy niku upadku kombin
narciarza nasiąkłby
wodą,
której przewodność cieplna właś
wynosi 0 ,6 W/(m • K)?
5 7 .
Rozważmy płytkę przedstawioną na rysunku 19.18. Załóż
że wykonano ją z miedzi oraz że je j grubość L = 25 cm, a
powierzchni S = 90 cm
2
. Przyjmijmy ponadto, że Tq = 12
Tz = 10°C i osiągnięty zos tał stan stacjonarny. Ob licz, i le wy
strumień ciepła przenikającego przez płytkę.
5 8 . Wyobraź sobie, że miałbyś odbyć krótki spacer w przestr
kosmicznej ,
w dużej odległośc i od Słońca , bez odpowiedn
kombinezonu. Odczułbyś wtedy chłód kosmiczny — twoje c
wypromieniowywałoby energię, nie pochłaniając prawie ża
z otoczenia, a) Z jaką szybkością traciłbyś energię? b) Ile ene
straciłbyś w ciągu 30 s? Przyjmij, że zdolność emisyjna ciała
równa 0,9 i oszacuj wartości pozostałych wielkości niezbędn
do obliczeń.
5 9 . Walcowy pręt miedziany o długości 1,2 m i polu p
kroju poprzecznego 4,8 cm
2
jest starannie izolowany, aby ci
nie uciekało przez boczne śc ianki . Końce prę ta umieszczono
powiednio w mieszaninie wody z lodem i w parze nad wrz
wodą, dzięki czemu ut rzymywana jest między nimi sta ła
nica temperatury 100°C. a) Oblicz strumień ciepła wzdłuż pr
b) Oblicz, w jakim tempie będzie topić się lód w pobliżu zimn
końca pręta, i iw
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 238/329
• mm
a)
b)
6 0 . W celu wykonania
pokrywy do prostokątnego
otworu o polu powierzchni
2S masz do dyspozycji
cztery kwadratowe kawałki
izolacji o tej samej grubo
ści i polu powierzchni S
z dwóch różnych materia
łów. Pokrywę można wyko
nać na dwa różne sposoby
przedstawione na rysunku 19.39. Który z układów (a) czy (b) da
mniejszy przepływ energii przy założeniu, że k
2
fci?
6 1 .
Dwa identyczne pręty o przekroju prostokątnym, połączone
ze sobą jak na rysunku 19.40a, przewodzą w stanie stacjonarnym
w czasie 2 min 10 J ciepła. W jakim czasie przepłynie 10 J ciepła,
jeżeli pręty zostaną połączone tak, jak na rysunku 19.40b?
Rys. 19.39. Zadanie 60
0°C
100°C 0°C -
100°C
a)
b)
65. Woda w zbiorniku po
kryła się w czasie mroź
nej pogody warstwą lodu
o grubości 5 cm (rys. 19.42).
Powietrze nad lodem ma
temperaturę
— 10°C.
Oblicz
szybkość przyrastania gru
bości lodu (w centymetrach
na godzinę). Przyjmij, że
przewodność cieplna i gę
stość lodu są odpowiednio
równe 0,004 cal/(s
•
cm
•
°C)
oraz 0,92 g/cm
3
. Przyjmij
założenie, że nie ma prze
pływu ciepła przez ścianki
boczne ani podstawę zbior
nika.
x>wietrze
Rys. 19.42.
Zadanie 6
Rys. 1
9 . 4 0 . Zadanie 61
6 6 .
Powierzchnię płytkiego stawu pokryła warstwa lo
mień ciepła przez tę warstwę ma wartość stacjonarną. P
nad lodem ma temperaturę —5°C, a woda na dnie sta
Jak gruba jest warstwa lodu, jeżeli całkowita grubość uk
+ woda wynosi 1,4 m? (Przyjmij, że lód i woda mają prze
cieplną odpowiednio 0,4 i 0,12 cal/(s
•
cm
•
°C)).
6 2 . Kulę o promieniu 0,5 m, temperaturze 27°C i zdolności
emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77°C.
Z jaką szybkością kula: a) emituje i b) pochłania promieniowanie
cieplne? c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez
kulę?
6 3 .
Z jaką szybkością (w watach na metr kwadratowy) ucieka
energia przez szklaną szybę o grubości 3 mm, jeżeli temperatura
na zewnątrz wynosi —20°F, a wewnątrz +72°F? b) Jaka będzie
szybkość strat energii, jeżeli równolegle do pierwszej szyby, w od
ległości 7,5 cm od niej zostanie umieszczona druga taka sama
szyba? Przyjmij, że przewodnictwo jest jedynym istotnym mecha
nizmem odpowiadającym za straty energii.
> W
6 4 .
Na rysunku 19.41 przedstawiono przekrój ściany składają
cej się z czterech warstw. Znane są wartości przewodności ciepl
nej właściwej: k\ = 0,06 W/(m • K) , k
3
= 0,04 W/(m • K)
i fct = 0,12 W/(m
•
K) (wartość k
2
nie jes t znana). Warstwy
mają grubości: L\ = 1,5 cm,
L3
= 2 ,8 cm i L
4
= 3,5 cm
(grubość L
2
nie jest znana). Strumień ciepła przez ścianę
osią
gnął wartość stacjonarną. Ile wynosi temperatura T na oznaczonej
granicy warstw?
r* Lj *\* L>2 Z.4
Rys. 1 9 . 4 1 .
Zadanie 64
Zadania do datk ow e
6 7 . Do na wpół tajnego klubu „300 F" działającego
Amundsena i Scotta na biegunie południowym można p
tylko wtedy, kiedy temperatura na zewnątrz spada poniżej
Aby to uczynić, trzeba najpierw przebywać w gorącej
a następnie odbyć bieg na zewnątrz budynku, mając
jedynie buty. (Jest to wprawdzie bardzo niebezpieczne,
jest szczytny — chodzi o protest przeciwko mrozom na
południowym).
Przyjmij założenie, że bezpośrednio po opuszczeni
temperatura twojej skóry wynosi 102°F, a ściany, sufit
łoga sauny mają temperaturę 30°C. Oszacuj powierzchn
jego ciała i przyjmij, że ma ono zdolność emisyjną 0,8.
jest przybliżona szybkość strat energii z twojego ciała we
pomieszczenia? Załóżmy teraz, że kiedy wybiegasz na z
połowa twojego ciała wymienia energię z niebem o tem
rze —25°C, a druga połowa ze śniegiem i lodem o tem
rze —80°C. Ile wynosi przybliżona moc strat twojej en
rzecz b) nieba i c) śniegu i lodu?
6 8 . Pingwiny cesarskie, których wygląd kojarzy się z ang
kamerdynerami, wychowują potomstwo nawet podczas
antarktycznej zimy. Po złożeniu przez samicę jaja samie
muje je na stopach, aby zapobiec jego wychłodzeniu.
robić bez przerwy przez okres aż do wylęgu, co trwa
do 115 dni, nie mogąc w tym czasie jeść, gdyż jego poka
duje się w wodzie. Tak długi okres bez pożywienia pingw
przetrwać tylko wtedy, gdy zdoła znacznie ograniczyć sw
potrzebowanie na energię. Jeżeli przebywa sam, utrzyman
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 239/329
Załóżmy, że pingwin jes t walcem o polu podstawy
a,
w y
h,
t empera turze powierzchni
T
i zdolności emisyjnej
s.
P
u
z którą pojedyn czy sa
boczną.
Jeżel i
N
samców znajdowałoby s ię w dużych odległościach
NPi.
Wy obraźm y sobie teraz, że skupiają się one ści
śle,
tworząc walec
o polu pods tawy
Na
i wysoko ści
h.
b)
równanie pozwalające obl iczyć moc
P
g
s t rat energi i grup
gwinów w wyniku promieniowania .
c) Przyjmując wartości
a
= 0 ,34 m
2
i
h
= 1,1 m
korzystając z wyprowadzonych równań na
P\
i
P
g
,
wykonaj w
przedstawiający zależność
P
g
/NP{
od
N.
Oczywiśc ie p in
nie wiedzą nic na temat algebry i wykresów, ale ins tynkt nak
im zb ierać s ię w grupy, aby z jak n ajwiększej l iczby jaj m
wykluć s ię pisklęta . Na podstawie wykresów (prawdopod
musisz wykonać ki lka wers j i ) odpowiedz, i le pingwinów
zebrać s ię w grupę, aby s tosunek
P
g
/NPi
zma lał do: d) 0,5,
f) 0,3, g) 0,2 i h) 0,15. i) I le wynosi dla przyjętych wartości
granica s tosunku
Pg/NP^
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 240/329
• • • 2 0 K inetyczna
teo r i a gazów
W o k ó ł w y l o t u o t w i e r a n e j b u te l k i z e s c h ł o d z o n y m s z a m p a n e m , w o d ą s o d o w ą lu b i n n y m
n a p o j e m g a z o w a n y m t w o r z y s ię d e l i k a t n a m g i e ł k a , a c zę ść c ie c zy w y p ł y w a n a z e w n ą t r z
( N a z d j ę c i u m g i e ł k a je st w i d o c z n a
w p o s t ac i b i a ł e j c h m u r k i o t a c z a j ą c e j
k o r e k , p o p r z e c i n a n e j s t r u g a m i c i e cz y ) .
Co powoduje powstawanie mgiełki?
Odpowiedź zna jdz iesz w tym rozdz ia le .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 241/329
Nowe spo j rzen ie na gazy
L i c z b a A v o g a d r a
Mol to jed na z siedmiu
Jeden mol to l iczba atomów w próbce węgla-12 o masie 12 g.
Nasuwa się oczywiście pytanie: „I le atomów lub cząsteczek stanowi jeden
Odpowiedź można uzyskać na drodze doświadcza lne j . Jak wiesz z roz
N
A
= 6 ,02 • 1 0
2 3
m o l "
1
( l iczba Avogadra) , (20.1)
1
oznacza odwrotność mola , co wypowiadamy „na mol" . L iczba
A
^ A
6-1 85 6), który pierw szy zasugerow ał , że wszystkie gazy zajmujące
Liczba mol i n w próbce dowolnej substancj i jest równa i lorazowi l iczby
N w tej próbce i liczby cząsteczek w 1 molu A ^ :
N
n = — . ( 2 0. 2)
Trzy symbole występujące w tym równaniu łatwo ze sobą pomyl ić i dla
N).
L iczbę mol i
n
w próbce możem y wyzn aczyć , zna jąc masę
p r
i jej masę molową M (masę 1 mola) lub masę cząsteczkową m (masę
M
or
M
m
n = — ^ = (20 .3)
M mN
A
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 242/329
Zapisując równanie (20.3) , skorzysta l iśmy z faktu , że masa jednego mola
i loczynem masy jedne j cząs teczk i m i l iczby cząsteczek N
A
w 1 molu:
M = mN
A
.
S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
1 : Liczba Awga dra — czego to jest liczba?
1
, będących odwrotnością mola, czyli l /mol. Równie dobrze
nej sytuacji . Na przykład, jeżel i rozważanymi elementam
atomy, moglibyśmy napisać A/
A
= 6,02
•
IO
2 3
atomów/mo
elementami byłyby cząsteczki , napisal ibyśmy NA = 6 ,
cząsteczek/mol.
2 0 . 3 .
G azy doskona ł e
Celem, który postawil iśmy sobie w tym rozdzia le , jes t opisanie makrosko
właściwości gazu — takich jak c iśnienie i temperatura — na podstawie
wania s ię tworzących go cząsteczek. N asuw a się jed nak py tanie : jaki wł
gaz mamy opisywać? Czy ma to być wodór, t len , metan, a może sześcio
uranu? Z pewnością są to różne gazy. Na drodze doświadczalnej można s ię
przekonać, że jeżel i weźmiemy próbki o wielkości 1 mola każdego z tych
zamkniemy je w zbiornikach o jednakowej obję tości , k tóre umieścimy w
samej temperaturze , to zmierzone c iśnienia będą niemal — chociaż nie do
— identyczne. Jeżel i będziemy powtarzać te same pomiary dla gazów o
mniejszej gęstości , n iewielkie różnice c iśnienia jeszcze bardzie j zmale
świadczenie pokazuje , że wszystkie gazy rzeczywiste przy dosta tecznie
gęs tośc i można op isać jednym równan iem
pV = nRT ( równanie s tanu gazu doskon ałego) ,
(
gdz ie p oznacza bezwzg lędną war tość c i śn ien ia , n — liczbę moli gazu w
aT — tempera tu rę bezwzg lędną gazu . Symbol R oznacza pewną s ta łą na
stałą gazową, która ma tę samą wartość dla wszystkich gazów
R = S,3l J / ( m o l - K ) .
Równan ie (20 .5 ) nazywamy równaniem s tanu gazu doskonałego . Jeżeli
jes t dosta tecznie mała , obowiązuje ono zarówno dla gazu jednoskładnik
jak i d la mieszaniny gazów. (W przypadku mieszaniny n oznacza całkowitą
mol i w mieszan in ie ) .
Równanie (20.5) przepiszemy teraz w innej postaci , wprowadzając do
B o l t z ma n n a k, zdefiniowaną jako
R_
=
8 ,3 1 J / ( m o l • K) _ ,
q q i n
_
2 3
N
A
6 ,02 • 1 0
2 3
m o l "
Dz ięk i temu możemy nap isać
R = kN
A
-
Z równ ania (20.2)
(n = N / N A
nika, że
nR = Nk.
k =
— = ^ - = 1 ,38
•
10 J / K .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 243/329
pV = NkT
(równanie gazu doskonałego). (2 0. 9)
Zwróćc ie uwagę na różnicę między obydwiema pos tac iami równania
n,
a w rów
A0-
Z pewnością korc i was , aby zapytać : „Co to takiego jes t
gaz doskonały
i co
wszystkie gazy
o i le ich gęs tość jes t dos ta tecznie mała — to znaczy cząs teczki znaj
V
p o c z
do obję tośc i końcowej
V k o ń
0
T.
Taki proces
stałej temperaturze
n a z y w a m y
rozprężaniem izo termicz -
m (przemiana odwrotna to sprężanie i zo termiczne ) .
Na wykre s ie we współ rzędnych
p-V izoterma
jes t krzywą łączącą punkty
T.
n
mol i gazu doskona łego i zo te rma je s t op i sana równaniem
p = nRT^ =
(pewna s ta ła ) • ^ . ( 2 0 . 10 )
T.
(Zwróćc ie uwagę , ż e t empera tura
T
dla izoterm wzras ta ,
V p
0 C Z
do y^ońc w t e m p e
Aby obl iczyć pracę wykonywaną przez gaz doskonały w proces ie rozprężania
W= j pdV.
(20.11)
^pocz
V
X . " " T =
\ ^ K
7
=
/' =
Rys.
2 0 . 1 .
Trzy izotermy we
rzędnych p-V. Od cinek na śro
izotermie opisuje izotermiczne r
żanie gazu od stanu początkowego
stanu końcowego K. Odcinek izo
od stanu K do P opisywałby proc
wrotny, tj . izoterm iczne sprężanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 244/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 245/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 246/329
2 0 .4 . C iś n ie n ie , t e m p e r a t u r a
i prędkość średnia kwadratowa
Zajmiemy s ię te raz naszym pierwszym zagadnieniem w ramach teor i i kin
nej .
Wyobraźmy sobie , ż e
n
moli gazu doskonałego zamknię to w sześc i
zbiorniku o obję tośc i
V
(rys. 20.3). Ściany zbiornika mają stałą temperat
W jaki sposób c iśnienie p wywierane przez gaz na śc ianki zbiornika za l
prędkośc i jego cząs teczek?
Cząsteczki gazu zamknię te w zbiorniku porusza ją s ię we wszystkich k
kach z różnymi prędkościami, zderzając się ze sobą nawzajem i odbijając
śc ianek, niczym pi łeczka podczas gry w squasha . Zapomnijmy (na raz ie)
rzeniach zachodzących między cząs teczkami i za jmijmy s ię tylko ich spręży
zderzeniami ze śc iankami,
I
Na rysunku 20.3 pokazano cząs teczkę o masie m i prędkośc i v, kt
chwilę zderzy s ię z zac ieniowaną śc ianką zbiornika . Ponieważ zakładam
wszystkie zderzenia cząs teczek ze śc iankami są sprężyste , w wyniku zde
z tą śc ianką zmienia s ię tylko składowa prędkośc i w kierunku os i x, która
muje wartość przec iwną. W idzimy, że tym sam ym zm ienia s ię jedy nie skł
pędu cząs teczki w kierunku os i x. Zm iana ta jes t równ a
Ap
x
= (~mv
x
) - (-mv
x
) = -2mv
x
.
Widzimy więc , że pęd, który otrzymuje śc iana w wyniku zderzenia , jes t
+2mv
x
.
(Ponieważ w naszym podręczniku używam y symbolu
p
za rów
oznaczenia pędu, jak i c iśnienia , musimy pamię tać , że w tym przypadku p
cza pęd i jes t w ie lkośc ią wektorową) .
Cząsteczka z rysunku 20.3 regularnie zderza s ię z zac ieniowaną ścian
między kole jnymi zderzeniami upływa czas Af potrzebny cząs teczce porusz
się z prędkością v
x
na przebycie drogi do przec iwnej śc iany i z pow rotem
Czas Ar jes t więc równy 2L/v
x
. (Zwró ć uwag ę , że wy nik ten jes t pop
nawet wtedy, kiedy cząsteczka odbija się po drodze od innej ścianki. Pon
śc ianka taka jes t równoległa do os i x, zderzenie z nią nie zmienia skła
v
x
prędkośc i cząs teczki) . Średnia szybko ść , z jaką rozw ażana cząs tka prze
pęd zac ieniowanej śc iance , jes t więc równa
Ap
x
2mv
x
mvt\
At ~ 2L/v
x
~ L
Z drugie j zasady dynamiki Newtona (F = dp/dt) wiemy, że szybkość
kazywania pędu ścianie to po prostu siła działająca na ścianę. Aby ob
wypadkową s i łę dz ia ła jącą na śc ianę , musimy zsumować wkłady pochodzą
wszystkich uderza jących w nią cząs teczek, dopuszcza jąc możl iwość , że
z nich ma inną prędkość . Dzie ląc wartość s i ły wypadkowej F
x
przez po
wierzchni ściany (= Lr), otrzymujemy c iśnienie p wywierane na tę śc ianę
te j chwil i , aż do końca prowadzonych rozważań symbol p będzie oznacz
śnienie) . Korzysta jąc z uzyskanego wcześnie j wyrażenia na Ap
x
/At, m
wyraz ić c iśnienie za pomocą nas tępującego równania :
m
Q
y/L
-
normalna
do zacie
niowanej
ściany
-x
20 .3 . Zbiornik w ksz ta łc ie s ze
L zawiera n moli
e
m
i prędkości
v
za chwilę zderzy się
eniowaną ścianą o powierzchni
L
2
.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 247/329
F
x
_ mv
2
xl
/L + mv
2
2
/L + ... + mv
2
xN
/L
_ _ _
«i+vt[
2
+ ... + v
2
xN
), (20.18)
N
oznacza l iczbę cząsteczek w zbiorniku.
Pon ieważ N = nN
A
, drugi z nawiasów w równan iu (20.18) zawiera nN
A
nN
A
(v
2
)$
t
, gdz ie (v
2
)-
sr
jes t średnim
x dla wszystkich cząsteczek. W ten
nmN
A
2
mN
A
to masa molow a M gazu (masa jed neg o mola gazu) . Ponadto
to nic innego, jak obję tość zbiornika, za tem
nM(v
2
)s
r
p =
y
-*^. (20.19)
Dla dowolnej cząsteczki mamy v
2
= u
2
+ u
2
+ v\. Ponieważ l iczba
czą
(V
2
)ŚT = f ( u
2
) śr -
W ten sposób równanie (20.19) przybiera postać
P =
H
-^ -
(20-20)
Pierwiastek kwadratowy z wyrażenia
( u
2
) ś r
jest pewną średnią prędkością,
p rędk ośc ią ś red n ią kw ad ra to w ą cząs teczek i oznaczoną symbolem
Nazwa doskonale t łumaczy, jak obliczyć je j wartość . Podnosimy wszystkie
do kwadratu, obliczamy ich średnią, a na koniec bierzem y pierwiastek
obliczonej wartości . Korzysta jąc z oznacze nia
y/(v
2
)^
=
t
>śr.kw.> m o
nM v
2
r t
„ ,
P =
3
^
k w
- . (20 .21)
Odwróćmy sytuację i za pomocą równania (20.21) obliczmy wartość Uśr.kw.-
(pV = nRT), otrzy
3RT
"śr.kw. = - i / - ^ - - (20 .22)
czą
Na powierzchni Słońca, gdzie temperatura jes t b l iska 2
•
1 0
6
K, prędkość
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 248/329
Tabelo 2 0 , 1 . Przykładowe prędkości cząs teczek w temperaturze poko
jowej <T = 300 K )
a
Gaz
Masa molowa
Vśrkw. [m/s]
[10
3
kg/mol]
W odór ( H
2
)
Hel (He)
Para wodna (H
2
0 )
Akot (N
2
)
Tlipn (0
2
)
Dwut lenek węgla (C0
2
)
Dwut lenek s i a rk i (S0
2
)
2,02
4,0
18,0
28,0
32,0
44,0
64,1
1920
1370
645
517
483
412
342
a
Dla wygod y częs to przyjmujemy, że temperatura pokojowa = 3 00 K, chociaż 27° C
w pokoju odczuwal ibyśmy jako gorąco .
średnia kwadra towa cząs teczek wodoru byłaby 82 razy większa niż w te
turze pokojowej , gdyby nie to, że cząs teczki wcześnie j rozpadają s ię w
zderzeń między nimi. Music ie pamię tać , że prędkość ś rednia kwadra towa t
pewna prędkość ś rednia ; niektóre z cząs teczek porusza ją s ię wyraźnie sz
a inne znacznie wolnie j .
Z prędkośc ią ś rednią kwadra tową cząs teczek jes t śc iś le związana pr
dźwięku w gaz ie . W fa l i dźwiękowej zaburzenie jes t przekazywane od czą
do cząs teczki dz ięki ich zderzeniom. Fa la nie może więc rozchodzić s ię
c ie j niż „przec ię tna" prędkość cząs teczek. Wydaje s ię oczywis te , że prędko
musi być nieco mnie jsza niż prędkość ś rednia cząs teczek, ponieważ nie ws
cząs teczki porusza ją s ię w tym samym kierunku co fa la . Na przykład w
ra turze pokojowej prędkośc i ś rednie kwadra towe cząs teczek wodoru i az
odpowiednio równe 1920 m/s i 517 m/s . W podanej tempera turze prę
dźwięku w obydwu tych gazach wynoszą odpowiednio 1350 m/s i 350 m
Nasuwa s ię pytanie : „Skoro cząs teczki gazów porusza ją s ię tak szyb
dlaczego musi upłynąć minuta , nim poczujemy zapach, gdy ktoś w drugim
pokoju otworzy f lakonik perfum?" Jes t tak, ponieważ na skutek nieus t
zderzeń z innymi cząs teczkami cząs teczki perfum nie porusza ją s ię bezpo
w poprzek pokoju. Wyjaśnimy to dokładnie j w paragraf ie 20.6.
Przyk ład 20 .3 R O Z W I Ą Z A N I E :
to pięć l iczb: 5, 11, 32, 67 i 89.
Wynik obl iczamy na podstawie wzoru
) Ile wy nosi średnia tych liczb?
(odp
O Z W I Ą Z A N I E :
Średnia kwadratowa jes t większa niż ś rednia arytme
ponieważ — dzięki podnies ieniu do kwadratu — więce
w niej duże liczby. Aby się o tym przekonać, zastąpmy li
l iczbą 300. Średnia nowej piątki l iczb jes t 2 razy większa
przednio. Jednakże wartość średnia kwadratowa wzras ta 2
5 + 11 + 3 2 + 6 7 + 8 9
= 40 , 8 .
(odpowiedź)
«śr kw. tych samych l iczb?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 249/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 250/329
m m
a)
b )
Rys. 2 0.5 . a) Zderzenie zachodzi, gdy
środki dwóch cząsteczek znajdują się
w odległości
d
mniejszej lub równej
średnicy cząsteczki, b) Równoważne,
chociaż wygodnie jsze rozumowanie po
lega na wyo brażeniu sobie, że jed na czą
steczka ma
promień d,
a pozosta łe czą
steczki są punktami. Nie zmienia to kry
terium zderzenia
Rys. 2 0.6 . W czasie At poruszająca się
cząsteczka „przemiata" walec o wysoko
śc i
vA t
i prom ieniu
d
swoimi kole jnymi zderzeniami. Spodziewamy się , że wartość
X
powinna
ze wzrostem l iczby cząsteczek w jednostce obję tości N/ V (koncentracji
czek) .
Im większy i loraz N/V, tym częstsz e są zderz enia i tym krótszą
przebywa cząsteczka w dzie lącym je czasie . Spodziewamy się też , że
droga swobodna X powinna maleć ze wzrostem rozmiarów cząsteczek, n
kład ich średnicy d. (Jeżeliby cząsteczki były punktowe, nigdy nie zderzał
ze
sobą,
a ich średnia droga swobodna byłaby nieskończona) . Im większe
s teczki , tym krótsza ich droga swobodna. Możemy się spodziewać, że X p
być odwrotnie proporcjonalne do kwadratu średnicy cząsteczki d, ponie
pole przekroju cząsteczki , a n ie je j średnica , wyznacza je j wymiar jako ta
Jak s ię okazuje , średnia droga swobodna cząsteczki jes t opisana wzo
1
X
= —— (średnia droga swo bodn a).
(20
V2nd
2
N/V
Aby zrozumieć, skąd s ię b ierze równanie (20.25) , skupmy uwagę na
dynczej cząsteczce i za łóżmy — zgodnie z tym, co sugeruje rysunek 20.4
nasza cząsteczka porusza się ze stałą prędkością v oraz że wszystkie po
cząsteczki spoczywają. Później zrezygnujemy z tego założenia.
Przyjmiemy ponad to, że cząsteczki są kulam i o średnicy d. Zderzenie
więc ,
jeżel i odległość pomiędzy środkami dwóch cząsteczek będzie ró
( rys . 20.5a) . Wygodniej jednak założyć, że jedna poruszająca s ię cząstec
promień d,
a wszystkie pozosta łe cząsteczki są punktami (rys . 20.5b) . Nie z
to przyję tego przez nas kryter ium zderzenia .
Nasza cząsteczka, poruszając s ię zygzakiem przez gaz, „zamiata" m
kolejnymi zderzeniami walec o polu przekroju ud
2
. Jeżel i będziemy obser
cząsteczkę przez czas Af, okaże się, że przebędzie drogę vAt, gdz ie v ozna
prędkość. Jeżel i poskładamy wszystkie krótkie walce wycięte przez cząs
w czasie Ar, uzyskamy jeden walec o wysokości vA t i objętości (n
(rys.
20.6). Liczba zderzeń cząsteczki, które nastąpiły w czasie
At,
jes t
liczbie punktowych cząsteczek, które znalazły się wewnątrz walca.
Ponieważ N / V oznacza l iczbę cząsteczek w jednostce obję tości , l iczb
steczek we wnętrzu walca jes t równa i loczynowi
N/V
i objętości walca
(N/V)(nd
2
)(vAt). Jest to także liczba zderze ń w czasie Af. Średn ia
swobodna cząsteczki jes t i lorazem przebytej przez nią drogi (wysokości
i liczby cząsteczek mieszczących się w walcu:
droga cząsteczki w czasie At vAt
X
l iczba zderzeń w czasie Ar
nd
2
vAtN/V
1
nd
2
N/V'
(
Rów nanie to jes t ty lko przybliżeniem, ponieważ założyliśmy, że w szystk
steczki — po za jedną — spoczywają . W rzeczyw istości wszystkie cząstecz
ruszają się. Jeżeli uwzględnilibyśmy ten fakt, otrzymalibyśmy równanie (
Zauważmy, że różni s ię ono od wyprowadzonego przez nas przybliżoneg
nan ia (20.26) tylko obecno ścią czyn nika 1 /
V2.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 251/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 252/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 253/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 254/329
musimy skorzys tać z warunku
dP/dv =
0 (pochodna funkcji w je j m ak
ma war tość 0 ) i rozwiązać o t rzymane w ten sposób równan ie wzg lędem
wynik o t rzymujemy
Jest najbardzie j prawdopodobne, że cząsteczka będzie miała właśnie prędko
Jednakże wiele cząsteczek będzie poruszać s ię z prędkościami wielokrotnie
kraczającymi vp . Tworzą one na wykresie , takim jak ten z rysunku 20.7a,
cząsteczek o dużej prędkości . Powinniśmy się c ieszyć, że takie cząstec
obec ne, poniew aż to dzięki n im mam y zarówn o deszcz, ja k i świat ło s ło
(bez których nie moglibyśmy is tn ieć) . Wytłumaczymy teraz , d laczego t
dzieje.
Deszcz: Rozkład prędkości cząsteczek wody w stawie w gorący le tni dzień
opisać za pomocą rozkładu przypominającego ten z rysunku 20.7a. Wię
cząsteczek ma zbyt małą energię kinetyczną, by móc uciec ze zbiornika
dosta jąc s ię przez powierzchnię . Mamy jednak niewielką l iczbą cząsteczek
szających s ię z prędkościami z ogona rozkładu, k tóre są zdolne do uciecz
właśnie te cząsteczki parują i dzięki n im tworzą s ię chmury i pada deszcz
Kiedy bardzo prędkie cząsteczki wody uciekają z powierzchni , unos
sobą energię , temperatura pozosta łe j część wody może pozostać s ta ła dzię
mianie c iepła z o toczeniem. W ten sposób — w wyniku zderzeń •— k
cząsteczki uzyskują szybko duże prędkości , zastępując te , k tóre uciekły . R
prędkości s ię n ie zmienia .
Świa t ło s łoneczne : Rozk ład z rysunku 20 .7a op isu je też p rędkośc i p ro
w jądrze Słońca. Energia powstaje tam dzięki reakcji syntezy jądrowej,
p ie rwszym e tapem jes t po łączen ie s ię dwóch p ro tonów. Jak wiadomo, p
są cząstkami naładowanymi e lektrycznie i d la tego s ię odpychają . Protony
szające s ię ze średnimi prędkościami nie mogą zbliżyć s ię do s iebie na ty
się połączy ć. Jest to jedn ak m ożliw e w przy padk u bardzo prędkich pro
z ogona rozkładu. Dlatego Słońce świeci .
(prędkość najbardziej prawdopodobna) .
(20
© " " » 2 . Ułam ek w szystkich cząsteczek poruszających się
kościami mieszczącymi s ię w przedziale o szerokości
równy P(v)dv.
O * - * 3 . W przypadku przedziału o większej szerokośc
wiedni ułamek obliczamy, wykonując całkowanie w tym
dziale.
- f
1
. Prędkości cząsteczek mieszczą s ię w szerokim zakresie
P(v) jest opisany równaniem (20.27) .
O T 4 . Zwróćmy jednak uwagę, że szerokość interesując
przedziału A
D =
2 m/s jest mała w porównan iu z prę
wyznaczającą jego środek v = 600 m/s.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 255/329
M \
3 / 2
) v
2
e-
Mv2/2RT
Av.
2nRT )
P(v) przedstawiono na wykres ie z rysunku 20.7a. Cał
Aby obl iczyć szukaną wartość, zapiszemy nasz ułamek w po
u ł a m e k = 4 j t ( A ) ( i ;
2
) ( e
B
) (Ai ; ) . (20 .36)
a m e tr y A i B w t ym r ów nan i u są r ów ne
_ / M \
3 / 2
_ / 0 ,032 kg /mo l \
3 / 2
~ \2nRT) ~ V ( 2 j t ) ( 8 , 31 J / ( m o l • K)) (300 K) /
= 2 ,92 • 1 0 "
9
s
3
/ m
3
oraz
B
_ Mv
2
_
( 0 ,0 3 2 k g / m o l ) ( 6 0 0 m / s )
2
_
~~ ~2RT ~ ~ ( 2 ) ( 8 , 3 1 J/ ( m o l • K)) (3 00 K) ~ ~ '
Podstawiając wartości A i B do równania (20.36), otrzymuj
ułamek =
(4 K
) ( A ) ( u
2
) ( e
B
) ( A i ; )
= (4 j t ) (2 ,92
•
1 0 "
9
s
3
/ m
3
) ( 6 0 0 m / s )
2
( e "
2
'
3 1
) ( 2 m
= 2 ,62
•
1 0 "
3
. (odpow
Widzimy, że w temperaturze pokojowej 0,262% wszystkich
steczek porusza s ię z prędkościami zawierającymi s ię w wą
przedziale od 599 m/s do 601 m/s . Jeżel i z łoty pasek na rys
20.7a miel ibyśmy przedstawić w rzeczywis tej skal i , byłby o
prawdę bardzo wąziutki .
M t lenu wynosi 0,032 kg/mol .
= 300 K?
O—
» chcąc obl iczyć prędkość
średnią,
mus imy
v pomnożyć przez funkcję rozkładu P(v) daną równa
SRT
8( 8 , 31 J / ( m o l • K)) (300 K)
H
(0 , 032 kg / m o l )
= 445 m / s .
(odpowiedź)
U ś r . k w .
w tem
0 ~ - »
w celu o bl iczenia prędkości ś redniej kwa
( u
2
)śr»
v
2
przez funkcję rozkładu i całkując otrzymane wyraże
do wzoru (20.34)
^ ś r . k w . —
3RT
M
3( 8 , 31 J / ( m o l
•
K)) (300 K)
0 , 032 kg / m o l
= 483 m/s . (odpow
Wynik przedstawiono na rysunku 20.7a. Uzyskana wartość
większa niż prędkość średnia u
ś r
, ponieważ duże prędkości
większy wkład do całki z i loczynu v
2
i funkcji rozkła du n
całki z i loczynu
v
i funkcji rozkładu.
c) I le wynosi prędkość najbardziej prawdopodobna w tempe
rze T = 300 K?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy, że
0—•?
prędkość najbardziej prawdopodobna
wiada maksimum funkcj i rozkładu P(v), k tóre możemy w
czyć,
przyrównując do zera pochodną dP/dv i rozwiązując o
mane równanie względem v. Doprowadzi nas to do wzoru (2
Dp :
2RT
M
2( 8 , 31 J / ( m o l - K ) ) ( 300 K )
0 , 032 kg / m o l
Wynik ten także zaznaczono na rysunku 20.7a.
= 395 m /s . (odpow
M o l o w e c i e p ła w ł a ś c i w e g a z u d o s k o n a ł e g o
E
w
gazu doskona łego . Innymi
jak p rzypadkow y ruch a tom ów lub cząs t eczek two-
2 0 . 8 .
Mo low e c iep ła w łaśc iwe gazu doskonałego
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 256/329
rżących gaz przekłada się na energię gazu. Uzyskane wyrażenie posłuż
w dalszej kolejności do wyznaczenia wartości molowego ciepła właściwe
doskonałego.
Energia wewnętrzna E
w
3
i
a)
1
20 .8 .
a) Gaz doskonały w zbior
o stałej objętości jest ogrzew any od
T do T + AT. Ciepło jes t
do układu, który nie
w yko
pracy,
b) Wykres
p-V
dla tej prze
Załóżmy na początek, że rozważamy jednoatomowy gaz doskonały (tw
pojedyncze atomy, a nie cząsteczki). Przykładem takiego gazu jest he
lub argon. Załóżmy ponadto, że energia wewnętrzna gazu doskonałego
prostu sumą energii kinetycznych związanych z ruchem postępowym two
go atomów. (Zgodnie z fizyką kwantową pojedyncze atomy nie mają
kinetycznej związanej z ruchem obrotowym).
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego pojedynczego atomu
tylko od temperatury gazu i zgodnie z równaniem (20.24) wynosi
£k
śr
Próbka n moli gazu zawiera nN
A
atomów. Energ ia wewnętrzna E
w
pró
więc równa
£
w
= (nN
A
)E
k
śr =
(nN
A
)±kT.
Korzystając z równania (20.7) (k —
R/N
A
),
możemy przepisać ten wzór w
E
w
= \nRT
( jednoatomowy gaz doskonały) . (2
Widzimy więc, że
T + AT
Energia wewnętrzna £
w
gazu doskona łego zależy tylko od temperatury
gazu;
leży ona od żadnej innej wielkości opisującej jego
stan.
Uzbrojeni w oręż, jakim jest równanie (20.38), możemy już wypro
wyrażenie na molowe ciepło właściwe gazu doskonałego. W rzeczywisto
prowadzimy dwa wyrażenia. Jedno będzie odpowiadać przypadkowi, w
objętość gazu się nie zmienia, kiedy gaz otrzymuje lub oddaje energię w
ciepła. Drugie będzie opisywać sytuację, w której stałe jest ciśnienie ga
mieniającego z otoczeniem energię w postaci ciepła. Obydwa te ciepła
oznaczane są odpowiednio symbolami C
v
i C
p
. (Przyjęto, że obydwa te c
oznaczane wielką literą C, chociaż
C
v
i
C
p
to ciepła właściwe, a nie poj
cieplne).
Molowe ciepło właściwe przy stałej objętości
Na rysunku 20.8a przedstawiono cylinder o stałej objętości
V
zawierający
gazu doskonałego pod ciśnieniem p i w temperaturze T. Stan początkowy
zaznaczono na wykresie p-V przedstawionym na rysunku 20.8b. Wyo
sobie teraz, że do gazu dostarczamy niewielką porcję energii w post
pła Q. W tym celu zwiększamy powoli temperaturę zbiornika cieplneg
jest w kontakcie z gazem. Temperatura i ciśnienie gazu rosną nieco, o
odpowiednio wartości T + AT oraz p + Ap. Wartości te opisują stan końc
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 257/329
Wykonując takie doświadczenia , przekonalibyśmy się , że dostarczone c iepło
Q - nC
v
AT (stała objętość), (20.39)
C
v
oznacza molowe c iep ło właśc iwe gazu przy s ta łe j obję tośc i . Pods ta
Q do równania (19.26) (A E
W
= Q — W)
A £
w
= nC
v
AT - W. 20.40)
W = 0 i przekszta łcając równanie (20.40) ,
Cv = - r ^ . (20.41)
nAT
( równan ie (20 .38) ) , ene rg ia wewnę t rzna
£
w
gazu jednoa tom oweg o
InRT, a
więc zmiana energii musi być równa
A £
w
=
\nRAT.
20.42)
C
v
= \R = 1 2 ,5 J / ( m o l • K ) (gaz jednoatom owy). (20.43)
dwuato-
i wieloatomowych gazów doskonałych (których cząsteczki są zbudowane
Możemy teraz uogólnić równanie (20.38) tak , aby wyrażało ono energię
E
w
= nCyT (dowolny gaz doskonały). (20.44)
Molowe ciepła właściwe przy s tałej objętości
Cząs teczka Gaz
C
v
[J /(mol
•
K)]
Jednoatomowa doskonały | R = 12,5
rzeczyw iste: He 12,5
Ar 12,6
Dwu atomo wa doskonały | /? = 20,8
rzeczywiste: N
2
20,7
0
2
20,8
Wieloa tomowa doskonały 3R = 24 ,9
rzeczywis te : NH
4
29,0
C 0
2
29,7
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 258/329
Rów nanie to jest praw dziw e nie ty lko dla jedn oatom ow ego gazu dosko n
lecz także dla dwuatomowych i wieloatomowych gazów doskonałych, o i le
podstawimy właściwą war tość Cv- Tak jak w przypadku równania (20.38
dzimy, że energia wew nętrzna gazu dosk onałeg o zależy od jeg o temperatu
nie zależy od ciśnienia ani gęstości.
Zmiana energi i wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w zbio
związana ze zmianą jego temperatury o AT, jest konsekwencją rów nania (
lub (20.44) i wynosi
objętość
Rys. 20 . 9 . Trzy wykresy dla trzech
różnych procesów, które przeprowadzają
gaz doskonały ze stanu początkowego
P
o temperaturze T do stanu końco
wego K o temperaturze T + AT. We
wszystkich tych przemianach zmiana
energii wewnętrznej AE
V
gazu ma tę
samą wartość, podobnie jak w każdym
innym procesie, który powoduje taką
samą zmianę temperatury
A £
w
= nC
v
AT
Z równania tego wynika, że
(gaz doskonały, dowolny proces).
(20
• Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w zbiorniku zależy
od zmiany temperatury gazu, nie
zależy
natomiast od typu procesu, w wyniku któ
nastąpiła zmiana temperatury.
Jako przykład przeanal izujmy t rzy ścieżki łączące dwie izotermy na wy
p-V
z rysunk u 20.9 . Ścieżka 1 opisuje przemian ę przy sta łe j objętości . Ści
opisuje przemianę przy sta łym ciśnieniu (wkrótce zajmiemy się nią dokład
Ścieżka 3 opisuje proces, w którym układ nie wymienia c iepła z otocz
(omówimy go w paragraf ie 20.11) . Chociaż war tości c iepła Q i pracy W w
z tych przemian są różne, podobnie jak c iśnienie />k
0
ńc i objętość V
k o ń c
w
końcowym, zmiany energ i i wewnęt r zne j AE
W
we wszystkich t rzech przypa
są t ak ie same , pon ieważ za każdym razem zmiana t empera tu ry wynos i
Zmianę energi i wewnętrznej określa równanie (20.45) . Nie ma więc znac
jak zreal izujemy przemianę powodującą zmianę temperatury od war tości
T + AT. Mo żem y zawsze przyjąć, że jest to przem iana 1 , co pozw ol i nam
obl iczyć zmianę energi i wewnętrznej AE
W
.
Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
W yobraźm y sobie teraz , że tak jak poprz ednio zw iększam y temp eraturę
doskonałego o niewielką war tość AT, a le tym razem dostarczamy energię
p ło
Q),
ut rzymując sta łe c iśnienie gazu. Odpowiedni układ doświadczalny
zano na rysunku 20.10a; wykres p-V dla takiego procesu przedstaw ia ry
20.1
Ob.
Z doświadczenia wynika, że dostarczane ciepło wiąże ze zmianą
ratury relacja
Q=nC
p
AT (stałe ciśnienie), (
gdz ie C
p
oznacza molowe c iep ło właśc iwe przy s ta łym c i śn ien iu . War to
jes t większa niż war tość molowego ciepła właściwego przy sta łe j objętośc
ponieważ w tym przypadku dostarczana energia nie ty lko powoduje wzros
peratury gazu, a le jest także wyko rzystywa na w celu wyko nania pracy prze
— podniesienia obciążonego t łoka ( rysunek 20.10a) .
2 4 2
2 0 .
Kinetyczna teor ia gazów
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 259/329
SlllilillllB
B i l l
M M
WMWslt
'"o. -
"jlojfC"' *.
l i i
/ b j o i n i k c i e p l n y
a)
1111111111
•Billi
• ł
mmim
iii
H T
r+AT
Rys. 2 0 . 1 0 . a) Gaz
doskon
ogrzewany
pod
sta łym ciśnien
temperatury 7/
do T +
AT. C ie
dostarczane do
układu, który w
pracę ,
podno sząc obciążony t łok
kres
p-V tej
przemiany. Praca
p
równa
polu zacieniowanego pr
na
wykresie
A by znaleźć związek molow ego c iepła właśc iw ego przy s ta łym c iśnieniu
C
p
molowym ciepłem właśc iwym przy s ta łe j obję tośc i CV, skorzystamy
z
pierwszej
AE
W
= Q
—
W, (20.47)
z
występujących
w
równ aniu wie lkośc i zas tąpimy odp owied
AE
W
j e s t okre ś lona równaniem
Q pods tawiamy wyrażenie (20 .46) . Aby zastąpić od
W,
t rzeba na jpierw zauważyć ,
że
c iśnienie gazu
Z
równania (20 .16) wynika więc ,
że
pracę mo żna wyraz ić
w po
W = pAV. Korzysta jąc nas tępn ie z równ ania s tanu gazu d osko nałego
V
= nRT), możemy napisać
W —
pAV
—
nRAT.
(20.48)
te
wyrażenia pods tawimy
do
równania (20 .48) ,
a
na s tępnie
po
nAT, przekonamy s ię , że
Cv
=
C„ — R,
C
p
—
Cy
+
R-
z
teor i i kine tycznej dobrze
się
zgadza
z
wynikami
nie tylko dla gazów jednoa tomowych, ale dla
o ile ich
gęs tośc i
są
dosta tecznie małe ,
by
m o ż n a
za gazy doskona łe .
4 .*
Zam ieszczony obok wykres przeds tawia
we
współ
p-V
pięć możliwych przemian gazu. Uszereguj
je
według zmiany
im
gazu, zaczynając
od
w ar tości naj
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 260/329
AT = 20°C , przy czym ciśnienie jest cały czas
W rezultacie pęcherzyk zwiększa swą objętość. Hel jest
O — ł
ciepło Q dostarczane do gazu za
C
p
oraz z równania (20.46) :
Q = nC
p
AT. (20.50)
C
p
, s ięgamy do równan ia (20.49) , z któ
C
p
= C
v
+ R •
gazu jednoatomo-
(jakim jest hel) C
v
= \R- Równanie (20.50) prowadzi nas
Q = n(C
v
+ R)AT = n(^R + R^AT = n ( § RJAT
= (5 mol ) (2 ,5 ) (8 ,31 J / (mol • K) ) (20 K)
= 2077 ,5 J « 2080 J . (odpowiedź)
A £
w
wewnętrzna ogrzewanego helu?
O—•*
AE
W
gazu jest taki sam, jaki byłby
AT . Zmianę
A £
w
w procesie zachodzącym przy
stałej objętości możemy z łatwością obliczyć za
równania (20.45) :
A £
w
= nC
v
AT = n[\R^AT
= 5 mol ) 1 ,5 ) 8 ,31 J / mo l K)) 20 K)
= 1246,5 J ~ 1250 J. (od
c) Jaką pracę wykonuje rozszerzający się gaz przeciwk
otaczającej go wody?
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy, że O—* praca wykony wana przez jakikolwiek
rzający się gaz przeciwko parciu otoczenia jest dana ró
(20.11) , które każe nam obliczyć całkę z wyrażenia
pdV
ciśnienie jest s tałe, sytuacja s ię upraszcza i mamy
W =
Jeżeli gaz jest gazem doskonałym ( jak w naszym prz
możemy posłużyć s ię równaniem stanu gazu doskonałeg
nanie (20.5)), aby napisać pAV =
nRAT.
Prowadzi n
wyniku
W=nRAT
= (5 mol ) (8 ,31 J / (mol • K) ) (20 K)
= 831 J. (odp
Ponieważ tak s ię składa, że znamy zarówno ciepło
starczone do gazu, jak i zmianę jego ene rgii wewnętrzn
możemy dojść do odpowiedzi w inny sposób. Zauważmy,
wym iana energii gazu z otoczeniem jest opisana za pomoc
szej zasady termodynamiki:
W = Q - AE
W
=
2077,5 J - 1246,5 J
= 831 J. (odp
Zauw aż, że w omówion ym procesie tylko część (1250 J) c
starczonego do helu (2080 J) zwiększa jego energię wew
a tym samym temperaturę. Pozostałą część (831 J) hel o
zewnątrz w postaci pracy wykonanej podczas rozszerzania
żeli woda byłaby zamarznięta, rozszerzanie gazu nie było
liwe. W takim przypadku identyczna zmiana temperatury
wymagałaby dostarczenia jedynie 1250 J ciepła, poniewa
wany hel nie wykonywałby pracy.
2 0 . 9 . S t o p n i e s w o b o d y a m o l o w e c ie p ł a w ł a ś c i w
Z tabeli 20.2 wynika, że przewidywana przez teorię k inetyczną wartość
właściwego przy s ta łe j obję tości Cv = \ R zgadza s ię z wynikami pomia
gazów jednoa tomow ych , a le n ie je s t p rawdz iwa w p rzypadku gazów dwu
wych lub wie loa tomowych .
Na rysunku 20.11 przedstawiono modele helu (cząsteczka jednoatomo
pojedynczy a tom), t lenu (cząsteczka dwuatomowa — zbudowa na z dwó
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 261/329
wieloatomowa). Pa trząc na te mo dele , widz imy, że
z lewej strony w prawą lub z góry w dół) i w ruchu o bro tow ym (wirując
ł os i jak bąk) . Dod atkowo w przypad ku cząs teczek dwuatom owy ch lub wie-
omó w tak, jakby łączyły je sprężyn ki . Aby opisać , jak energia jes t prze cho
Każdy rodzaj cząs teczek charakteryzuje pewna l iczba stopni swobody / , które dają
cząs teczce niezależne sposoby przechowywania energi i . Na każdy s topień swobody
przypada — średnio — energia równa ^kT na cząsteczk ę (lub jR T w przel iczeniu
na mol ) .
Zastosujmy te raz zasadę ekwipar tyc j i energi i do ruchu postępowego i obroto
20 .11 . (Ruchem drga jącym za jmiemy s ię w nas tępnym
x, y, z- Na ogół cząs teczki mają składowe prędkośc i wzdłuż wszystkich
3(^kT).
Przechodząc do ruchu obrotowego, za łożymy, że począ tek układu odnies ie
a x, y, z znajduje się w środku każdej cząsteczki z rysunku 20 .11 . Wydawać
3(^kT). Jednakże
pom iary wykazują, że jes t to prawdą tylko
ym (pojedynczy a tom nie mo że wirować jak bąk) . Cząs teczka dw uatom owa
że obracać s ię jedy nie wo kół os i pros topad łych d o l ini i łączącej a tomy, które
aczono je na rysunk u 2 0.1 lb ) , a le nie wokół w spom nianej l i
Dla tego cząs teczka dwuatomowa ma tylko dwa s topnie swobody związane
2{^kT) na cząs teczkę .
Aby uogólnić nasze rozważania dotyczące wartośc i molowego c iepła właśc i
(C
p
i Cv — p a ragraf 20 .8) na przypadek dwu- i w ie loa tomowych gazów d o
zas tąpimy równanie (20.38)
£
w
= ^nRT) r ó w n a n i e m E
w
=
f/2)nRT,
/ oznacza
l iczbę s topni swobody podaną w tabe l i 20.3. Prowadzi nas to
C
v
= = 4 , 1 6 / J / (m o l • K ) , (20 .51)
oa to mo weg o ( / = 3) . Z tabe l i 20.2 wynika , że przewid ywan ie to jes t także
o
H e
a) He
l
i
c ) C H
4
Rys.
2 0 . 1 1 . Modele cząs teczek
pujących w teorii kinetycznej: a
— przykład cząs teczki jednoatom
b) t len — przykład cząs teczki dw
mowej i c) metan — przykład cząs
wieloatomowej . Kule oznaczają a
a l inie między nimi — wiązania
cząsteczki t lenu zaznaczono dwie
obrotu
2 0 . 9 .
Stopnie swobody
a
molowe ciepła właściwe
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 262/329
Liczba s topni swobody
dla
różnych cząs teczek
Cząsteczka
Jednoa tomowa
D w ua t om ow a
Wie loa tomowa
Przykład
H e
o
2
C H
4
Liczba s topni swobody
Ruch
postępowy
3
3
3
Ruch
obrotowy
0
2
3
Łącznie ( / )
3
5
6
Przewidywane molow
ciepła właściwe
Cy (równ.
(20.51))
R
2
i*
3R
IR
4R
Przykład 20 .8
Powietrze zawarte
w
pokoju
o
objętości V
ma
temperaturę
po
czątkową Ti (przyjmijmy,
że
powie t rze j e s t dwua tomow ym gazem
doskona łym) .
Po
włączeniu kominka pom ieszczenie og rzewa
się
do temperatury T
2
.
Jak
zmieni
się
energia wewnętrzna A £
w
po
wietrza
w
pokoju?
R O Z W I Ą Z A N I E :
W wyniku ogrzewania pokoju ciśnienie wypełniającego
go po
wietrza
nie
wzras ta , lecz pozostaje ró wne ciśnieniu
na
zewnątrz.
Dzieje
się tak,
ponieważ pokój nie jes t idealnie szczelny
i
powie
t rze może wypływać
na
zewnątrz (nie jes t zam knięte
w
zbiorniku).
Podczas ogrzewania cząs teczki powietrza mogą wydostawać
się na
zewnątrz różnymi szparami i dlatego l iczba moli powietrza w po
koju się zmniejsza. Widzim y w ięc, że O T nie m oż na w tym
przypadku obl iczyć zmiany energi i wewnętrznej
A£
w
gazu
w po-
koju, posługując się równaniem (20.45)
( A £
w
=
nCy T), które
można s tosować
pod
warunkiem,
że
l iczba moli
n
gazu jest stała.
Zauważmy jednak,
że O T
dzięki równaniu (20.44) ( £
w
=
nCyT)
potrafimy
powiązać zmianę energi i wewnętrznej A £
w
gazu
ze zmianą jego l iczby moli n
i
t empera tury T. M oż e m y
napisać
A £
w
= A(nC
v
T) = C
v
A(nT).
Następnie, korzystając
z
równania s tanu gazu doskonałeg
nanie (20.5) pV = nRT), zas tępujemy i loczyn nT przez
co prowadzi
nas do
równania
Ponieważ wielkości p, V
i
R
są
stałe,
z
równania (20.
n ika ,
że
AE„ = 0,
(odp
chociaż temperatura w pomieszczeniu rośnie .
Dlaczego więc wol imy przebywać
w
pokoju,
w
któ
ciepło? Można podać przynajmniej dwie przyczyny: 1) N
wymiana promieniowania elektromagnetycznego (promien
cieplnego) między twoim ciałem a ścianami pokoju i 2) z
wymiana energi i między tobą a cząs teczkami powietrza
niku zderzeń. Dzięki ogrzaniu pomieszczenia rośnie
1)
n
promieniowania emitowanego przez ściany i pochłanianeg
ciebie oraz
2)
energia przekazywana tobie przez cząs tec
wietrza podczas zderzeń.
2 0 . 1 0 . N i e c o f iz y k i k w a n t o w e j
Zgodność kinetycznej teorii gazów z wynikami doświadczalnymi możemy
poprawić, uwzględniając drgania atomów w cząsteczkach dwu- lub wielo
wych. Na przykład dwa atomy tworzące cząsteczkę tlenu
O2
przedstawi
rysu nku 20.1 l b mogą zbliżać się i oddalać od siebie, a wiązanie między n
chowuje się jak sprężyna. Jednakże doświadczenia wykazują, że tak ie os
zachodzą jedynie w stosunkowo wysokich temperaturach gazu — ruch tak
wia się dopiero wtedy, kiedy energie cząsteczek są dostatecznie duże. Po
efekt obserwujemy także w przypadku ruchu obrotowego, chociaż zacho
w niższych temperaturach.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 263/329
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 264/329
a) Objętość
(Q =
0) .
p-V
P do stanu K
linia naz yw ana adiabatą a)
adiabatą (Q = 0)
objętość
b)
iz
w którym nie zachodz i wymiana c iep ła
(Q
= 0) , nazywam y
przemianą
tyczną.
Warunek braku przepływu c iep ła można spe łn ić , p rzeprowadza jąc
bardzo szybko ( jak w przypadku fa l dźwiękowych) lub w dobrze izolo
zbiorniku (szybkość nie ma wtedy znaczenia) . Zobaczmy, co o przemiani
ba tycznej ma do powiedzenia teor ia kine tyczna .
Na rysunku 20 .13a przeds tawiono nasz odizo lowany i wype łn iony
doskonałym cyl inder , który tym razem umieszczono na izolujące j pod
Zdejmując z t łoka obciążenie , pozwalamy, aby gaz rozpręża ł s ię adiaba t
Ze wzros tem obję tośc i zmn ie jsza s ię jedn ocze śnie c iśnienie i temp era tura
Wykażemy, że c iśnienie i obję tość gazu poddawanego przemianie adiaba
wiąże za leżność
pV
Y
= co ns t (przemiana adiabatyczna), (2
gdz ie wykładnik y = C
p
/Cy wyraża s tosunek war tośc i molow ych c iepe ł
wych gazu przy s ta łym c iśnieniu i przy s ta łe j obję tośc i . Na wykres ie
p-V
20.13b) przemianę adiaba tyczną reprezentuje l inia (zwana
adiabatą)
opisan
naniem
p =
c o n s t /
V
Y
.
Poniew aż gaz ulega przem ianie od s tanu począ tkow
do s tanu końcowego K, zgodnie z równan iem (20 .53) możem y napisać
/
,
p o c z V ^
c z
= P k o ń c ^ t o ń c (przemiana adiabatyczna).
Rówjianie przemiany adiaba tycznej możemy także zapisać , przyjmują
zmienne t empera turę
T
i obję tość
V.
W tym ce lu mus imy odwołać s ię d
nania s tanu gazu doskonałego
(pV
=
nRT)
i korzysta jąc z niego , wy el im
z równania (20.53) c iśnienie p. O t r z y m a m y
= const .
Ponieważ za równo
n
jak i
R
są s ta łymi, możemy uzyskane równanie pr
w innej pos tac i
T.
V
7 - 1
= co ns t (przemiana adiabatyczna), (2
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 265/329
czym stała ma inną wartość niż w równaniu (20.53). Dla gazu ulegającego
P do stanu końcowego K możemy napisać
Tpocz^pocz
1
= T k o ń c ^ J (przemiana adiabatyczna) . (20.56)
Jesteśmy teraz gotowi, aby odpowiedzieć na pytanie postawione na początku
znaj
oznacza, że wykonuje on pracę przeciwko ciśnieniu atmosferycznemu. Po
ż dzieje się to bardzo szybko, przemianę można uznać za adiabatyczną,
V
k o ń c
V p
0C
z>
więc temperatura końcowa 7k
0
ń
C
musi
r
p 0
c z ) .
równania (20.53)
yobraźmy sobie, że zabieramy część śrutu obciążającego tłok zamykający cy
swą objętość o
dV.
Ponieważ zmiana objętości jest bardzo
p gazu w cylindrze jest stałe. Założenie to
dW wykonana przez rozprężający się gaz jest
pdV. Korzystając z równania (19.27), możemy zapisać pierwszą zasadę
d £
w
= Q - pdV. (20.57)
jest izolowany cieplnie (rozprężanie jest adiabatyczne), przyjmu
Q
jest równe 0. Następnie, odwołując się do równania (20.45),
w
wyrażeniem nCydT. Po dokonaniu podstawień i drobnych prze
ndT = -(j^-^JdV. (20.58)
(pV = nRT), dostajemy
pdV + Vdp =
nRdT.
(20.59)
R różnicą C
p
— Cy, mamy
pdV+ Vdp
ndT = — — . (20.60)
Cp —
Cy
ując ze sobą prawe strony równań (20.58) i (20.60) oraz dokonując nie
dp
t
(C
p
\dV
7
+
^ j 7 = ' '
y
i scałku-
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 266/329
j emy równanie ( ca łka 5 z doda tku E) , to o t rzymamy
ln p + y ln V = const .
Lewą s t ronę tego równania możemy zapisać w postac i \n(pV
y
), a więc
antylogarytm tego równania , dos ta jemy
pV
y
= const ,
co mie l iśmy wykazać .
Rozprężanie swobodne
Jak widz ie l iśmy w paragraf ie 19.10, rozprężan ie swob odne jes t przemianą
tyczną, w które j gaz nie wykonu je żadnej pracy, ani żadna praca nie jes t w
wana nad gazem. Dla tego nie zmienia się energia wew nętrzna gazu . Roz p
swobodne j e s t w ięc całkowic ie odmiennym procesem niż przemiana ad iab
opisana równaniami od (20 .53) do (20 .61) , w które j gaz wykonuje pracę ,
zmienia
swą
ene rg ię wewnę t rzną. Wsp om niane równania nie mają więc z
wania w odnies ieniu do rozpręża nia swo bodn ego, chociaż jes t ono ro zprę
adiaba tycznym.
Przypomni jmy, że w t rakc ie rozpręża nia sw obod nego g az znajduje s ię
nowadze t e rmodynamiczne j ty lko w s tanie począ tkowy m i końcowym. Na
sie p-V możemy więc przedstawić tylko te dwa pun kty , ale nie m o ż e m y
ślić łączącej ich linii . Co więce j , ponieważ nie zmienia się energia wew
A £
w
= 0 , tempera tu ra w stanie końcowym mus i być równa tempera turze
nie począ tkowym. Dla tego na wykre s ie p-V s tan począ tkowy i końcowy
znajdować
się na tej
samej izotermie . Zamias t równan ia (20.56) mamy w
Tpocz
=
2
"końc
( rozprężanie swob odne) .
Jeże l i z a łożymy ponadto , że gaz jes t doskonały (a więc pV = nRT)
względu
na
s tałą temp era turę m amy
też
s tałą wartość i loczynu
pV.
W i d z
w przypadku rozprężania swobodnego równanie (20.53) na leży zas tąpić p
/?
P
oczVpocz = Pkoń c Vkońc ( rozprężanie swobo dne) .
Przykład
20 .9
W przykładzie 20.2 rozpatrywaliśmy zachodzące w temperaturze
310
K
rozprężenie izotermiczne 1 mola t lenu
od
objętości począt
kowej
12
1
do
obję tości końcowej
19 1.
(Założyl iśmy,
że
tlen jest
gazem doskonałym) .
a) Ile wynosi łaby temperatura ko ńcowa gazu, gdyby rozprężał się
on
do tej
samej objętości
w
proces ie adiabatycznym ? Tlen
( O 2 )
i
jego cząs teczki uczes tniczą
w
r uchu
-
obrotowym, lecz nie u czes tniczą w ruchu drgającym.
R O Z W I Ą Z A N I E :
auważm y, że:
—w 1. Rozprężający się gaz wykonuje pracę przeciwko s i le
na
niego otoczenie .
© T
2. W
proces ie adiabatycznym
(nie ma
wym iany
z otoczeniem)
gaz
wykonuje pracę kosztem swojej ene
w n ę t r z n e j
O—*» 3 .
Ponieważ zmniejsza
się
energia wew nętrzna gazu
też jego temperatura
T.
Początkowe
i
końcowe war tości temp eratury
i
objętoś
m ożna powiązać
ze
sobą
za
pomo cą rów nania (20.56) :
T p o c z ^ "
1
=
T
końc
V
y
-
c
\
Ponieważ cząs teczki
są
dwua tom owe
i
uczestniczą
w
ruch
towym , ale nie
drgają,
możem y wziąć war tości molow ych
właśc iwych podane
w
tabel i 20.3. Otrzymamy
w ten
spos
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 267/329
y
y = — = 4—
= 1,4.
c
v
I
R
7 ] ^ i
podstawiając
y - 1
.pocz^pocz
_ (310 K)( 12
l )
1
-
4
-
1
końc
-1
(19 1
)1 ,4 -1
0 , 4
\ _
( 3 1 0 K ) ( | | )
258
K.
(odpowiedź)
b) Jaka byłaby końcowa war tość temperatury
i
ciśnienia
gaz rozprężał
się
swobodnie
do
podan ej objętości? Przy
że początkowe ciśnienie jest równe
2 Pa.
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy,
że
O — r
w
procesie rozprężania swobodnego
ratura gazu
nie
ulega zmianie:
Tpocz = Ticońc
= 310 K. (odp
Końcową war tość ciśnienia obliczamy
ze
wzoru (20.63)
_ łopocz
_ ,
0 d
^
12 1
Pkońc — P p o c z ~ — (
z
——
''końc
ty
=
1,3 Pa.
(odpo
S z t u ka r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
2 :
Przedstawienie graficzne czterech rodzajów
tym omówiliśmy cztery szczególne przemiany, któ
być
poddawany
gaz
doskonały. Przykładową l inię opi
z
procesów przedstawiono
na
wykresie p-V
z ry
W tabeli
20.4
podaną krótką cha rakterystykę każdej
z
prze
z ich
nazwami ( izobaryczna, izochoryczna) , których
tej
książce
nie
używamy, c hociaż często moż na je spotkać
w in
700 K
500 K
300 K
objętość
20 .14 . Cztery różne p rzemiany gazu doskonałego
na wy
p-V. Szczegóły procesów podano
w
tabeli
20.4
Cztery szczególne przemiany
A £
w
= Q - W =
nC
v
AT)
Przemiana Wielkość
na rys.
20.14
stała
1
P
Nazwa
przemiany
izobaryczna
izotermiczna
Równani
Q = nCp
W = pA
Q = W
= nRT]n
A £
w
= 0
pV
y
TV
y
~
l
adiabatyczna Q = 0; W =
izochoryczna Q = AE
nC
v
A
W = 0
• SPRAWDZ IAN :
Uszereguj zaznaczone na wykr
rys. 20 .14 przemiany 1, 2 i 3 według
i lości ciepła prz
zywanego
do
gazu. Zacznij
od
największej warto ści.
Kinetyczna teoria gazów wiąże wła
makroskopowe
gazu (na przykład ciśnienie
i
temperaturę)
łaśc iwościami mikroskopowymi cząsteczek gazu
(na
przykład
i
energią kinetyczną).
Jeden
mol
substancji zawiera
N
A
(liczba Avo-
jej
elementarnych jednostek (zwykle atomów
lub
cząste
czek) . Na
drodze doświadczalnej można stwierdzić,
że
N
A
•
6,02
•
10
2 3
mol
(liczba Avogadra).
Masę molową M substancji definiujemy jako m asę jedn ego
tej substancji. Jest
ona
związana
z
masą m cząsteczek
tej
s
cj i
za
pomocą równania
M = mN
A
.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 268/329
Próbka substancji o masie M
p r
, złożona z
N
cząsteczek zawiera
n
moli
tej
substancji
N
iv7
M,
—EL
M
mA
^A
(20.2,
20.3)
Gaz
doskonały
Gaz
doskonały
to gaz,
którego ciśnienie
p,
objętość V i temperaturę T
wiąże
zależność
pV
= nRT (równanie stanu gazu doskonałego). (20.5)
równaniu tym n oznacza liczbę moli gazu, a R stałą gazową
(8,31 J/(mol
•
K)). Równanie stanu gazu doskonałego można także
apisać w postaci
pV
= NkT, (20.9)
dzie k oznacza
stałą Boltzmanna
R
k
= — = 1,38 • 1 0 " " J/K.
NA
'
(20.7)
w przemianie izotermiczne] Praca wykonywana przez
w
wyniku
izotermicznego
(przy stałej temperatu
od objętości V
p o c z
do Vkońc jest określona równa
W
=
nRTin
^
k o n c
(gaz doskonały, przemiana izotermiczna).
*pocz
(20.14)
i prędkość cząsteczek Ciśnienie
wy
n moli gazu doskonałego jest związane z prędkością
P
=
3V
'
(20.21)
i>śr.kw.
=
V t f
2
) ś r oznacza prędkość średnią kwadratową
można podać jej wartość w postaci
U śr .k w . =
3RT
M
(20.22)
i energia kinetyczna
Średnia energia kine
Ekśr ruchu postępowego przypadająca na jedną cząsteczkę
(20.24)
Średnia droga swobodna k cząsteczki
to przeciętna odległość pokonywana przez cząsteczkę pomię
ona
1
k
= —= (średnia droga swobodna), (20.25)
V2nd
2
N/V
B
N/V oznacza liczbę cząsteczek przypadających na jed
ad
— średnicę cząsteczki.
Rozkład prędkości Maxwełla Iloczyn P( i i ) d i ; funkcji
cej
rozkład prędkości Maxwella
P(v)
i szerokości wąskie
działu prędkości
dv
pozwala obliczyć, jaki
ułamek
cząste
rusza się z prędkościami z przedziału dv o środku w pu
P(v)
= 4TT
M
\
3 / 2
(
m
|
V
2
p
-M v
i
/2RT
\2%RT)
2nRT
/
Trzy używane miary prędkości cząsteczek gazu to
SRT
(prędkość średnia),
I2RT
vp
=
A
/ (prędkość najbardziej prawdopodobna)
oraz prędkość średnia kwadratowa zdefiniowana za pom
nania (20.22).
Molowe ciepła właściwe Molowe ciepło właściwe g
stałej objętości Cv jest zdefiniowane jako
1 Q 1
A£
w
C
v
=
20.39
n
AT n AT
gdzie Q oznacza ciepło potrzebne
do
ogrzania próbki z
cej
n
moli gazu doskonałego,
AT
— zmianę temperatu
a A £
w
— zmianę energii wewnętrznej gazu. Dla jednoato
gazu doskonałego
C
V
= \R =
12,5 J/( mol • K) .
Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu C
p
jest z
wane jako
1 n
P
= ^ ,
n AT
gdzie
Q, n i AT
mają takie samo znaczenie
jak w
defin
Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
C
p
jest tak
równaniem
C
p
= C
v
+ R.
Dla
n
moli gazu doskonałego
E
w
=nC
v
T
(gaz doskonały).
Jeżeli temperatura n moli zamkniętego w naczyniu gaz
nałego wzrasta w wyniku
dowolnego
procesu o AT, to
energii wewnętrznej gazu jest dana równaniem
AE
W
=
nC
v
AT
(gaz doskonały, dowolny proces).
W równaniu
tym
trzeba podstawić wartość
Cv
właściwą
nego rodzaju gazu doskonałego.
Stopnie swobody i wartość
C
v
Wartość ciepła wła
przy stałej objętości C
v
można określić na podstawie
ekwipartycji energii, która mówi, że każdemu stopnio
body cząsteczki (niezależnemu rodzajowi ruchu) można
sać średnią energię \kT w przeliczeniu na cząsteczkę (
mol gazu). Jeżeli przez
/
oznaczymy liczbę stopni swo
energia wewnętrzna oraz ciepło właściwe przy stałej obję
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 269/329
£
w
= (f/2)nRT
/f = 4 , 1 6 / J / m o l - K ) . 2 0 .5 1 )
gazu jednoa tomo weg o / = 3 t rzy s topnie swobody w ru
u postępowym ). Dla gazu dwuatomow ego / = 5 ( trzy s topnie
Przemiana adiabatyczna
Jeżel i gaz doskonały jes t pod
powolnemu, adiabatycznemu
(Q
= 0) sprężaniu lub rozpręż
jego ciśnienie i objętość są związane zależnością
pV
y
= const (przemiana adiabatyczna), (2
gdz ie Y ( = C
p
/C
v
) jes t s tosunkiem molowych ciepeł właści
dla danego gazu. Dla rozprężania swobodnego mamy p V = c
p o c z
do
14oiic ,
zreal izowane w różnych
f 2
^pocz ^końc
a)
Pytanie 2
AK AV AV
b)
Na wykres ie
p- V
z rysunku 20.15b przedstawiono t rzy prze
objętość o A V . Uszereguj te przemiany wed ług: d) pracy wy
Za każd ym raz em zacznij
bjętość i liczba cząs teczek gazu w czterech różnych uk ładach
No , b) 3V
0
i 3iVo, c) 8Vb i 4No
9No. Uszereguj te układy według długości drogi swo
nej cząsteczek gazu, zaczynając od jej największej w artośc i.
Rys. 20.16.
Pytanie 5
5 . Na wykres ie z rysunku
20.16 zaznaczono s tan po
czątkowy gazu wraz z izo
termą, na której on leży.
Które z procesów zazna
czonych na wykres ie powo
dują ochłodzenie gazu?
6. W tabelce podano warto
ści c iepła przekazanego do
układu i pracy wykonanej
przez gaz lub nad gazem
w czterech różnych prze
mianach. Uszereguj te prze
miany według zmiany tem
peratury gazu, zaczynając
od największej w artości do
datniej,
a kończąc na najmniejszej wartości ujemnej.
7 .
Ogrzanie pewnej i lości gazu doskonałego o A7i w s tałej
tości wymaga dostarczenia 30 J c iepła . Taka sama zmiana te
ratury gazu przy s tałym ciśnieniu wymaga dostarczenia 50 J
pła . I le wynosi praca wykonana przez gaz w drugim przypa
8 . Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząs teczki uczestn
w ruchu obrotowym, ale nie uczestniczą w ruchu drgającym
daje ciepło Q. Czy energia wewnętrzna gazu zmniejszy s ię
dziej, kiedy przemiana będzie zachodzić przy s tałej objętości
przy s tałym ciśnieniu?
W,
Q
W
nad gazem
- 5 0
- 5 0
+ 3 5
+ 3 5
- 5 0
- 4 0
9.
1 mol j ednoa tomowego
gazu doskonałego otrzy
muje pewną energię a) przy
stałym ciśnieniu i b) przy
stałej objętości. Taką samą
energię otrzymuje 1 mol
dwuatomowego gazu do
skonałego c) przy s tałym
ciśnieniu i d) przy stałej ob
jętości . Na wykres ie p- V z rysunku 20.17 zaznaczo no w
mniane cztery procesy, które zaczynają s ię w tym samym st
Rys. 20.17. Pytanie 9
Pytania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 270/329
początkowym i kończą w czterech różnych s tanach końcowych.
Przyporządkuj l inie poszczególnym procesom, e) Czy cząs teczki
gazu dwuatomowego uczes tn iczą w ruchu obrotowym?
1 0 . Czy w następujących procesach temperatura gazu doskonałego
wzrośnie , zmniejszy s ię , czy nie ulegnie zmianie: a) rozprężanie
izotermiczne, b) rozprężanie przy s tałym ciśnieniu, c) rozprężanie
adiabatyczne i d) zwiększanie ciśnienia przy s tałej objętości?
1 1 . a) Uszereguj cztery procesy z rysunku 20.14 według pracy
wykon anej przez gaz, zaczynając od jej największej wartości ,
) Uszereguj przemiany 1, 2 i 3 według zmiany energi i wewnętrz
nej gazu, zaczynając od największej wartości dodatniej.
1 2 . W przemianie i zo-
termicznej ab przedstawio
nej na wykres ie p- V (rys.
20.18) gaz wykonuje pracę
5 J , a w przemianie adia
batycznej bc pracę 4 J.
I le wynosi zmiana ener
gi i wewnętrznej gazu, jeżel i
jes t on poddany przemia
nie , którą reprezentuje pro
s ty odcinek łączący punkty
• b
Rys. 20.18.
Pytanie 12
Z a d a n i a
v Rozwiązanie jes t dostępne na s t ronie internetowej pod
ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/col lege/hrw
Rozwiązanie jes t dostępne w postaci interaktywnej ,
wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning
Ware (na tej samej stronie)
1
.
Oblicz masę (w ki logramach) 7,5
•
1 0
2 4
atomów arsenu. Masa
. Masa mo lowa złota wynosi 197 g/mol . a) Ile moli złota zawiera
.
W yobraź sobie , że cząs teczki znajdujące s ię w 1 g wody z o
2
?
. Pewien wybitny naukowiec napisał : „Atrament zużyty do na
czą
i żyje 5 • 10
9
ludzi , a l iczba gwiazd w Galaktyce jes t
1 1
.
G a z y d o s k o n a ł e
. W yznacz : a) l iczbę moli i b) liczbę cząs teczek w 1 cm
3
gazu
. Najwyższa próżnia uzyskana w laboratorium odpowiada ciśnie
•
1 0 ~
1 8
atm, czyli 1,01
•
1 0 ~
1 3
Pa. I le cząs teczek gazu mieści
s ię w centymetrze sześciennym przy takim ciśnieniu w t
turze 293 K?
7. Gazowy t len, który w temperaturze 40°C pod ciś
1,01
•
1 0
5
Pa zajmuje objętość 1000 cm
3
, rozpręża s ię do 1
Jednocz eśnie ciśnienie os iąga wartość 1,06 • 10
5
Pa.
a) l iczbę moli t lenu i b) temperaturę końcową próbki .
8 . Opona samochodu o objętości
1,64-10"
2
m
3
zawiera po
pod ciśnieniem 165 kPa mierzonym względem ciśnienia
ferycznego w temperaturze 0°C. I le wynosi c iśnienie w
mierzone względem ciśnienia atmosferycznego, jeżel i je j
ratura wzrośnie do 27°C, a objętość do 1,67
•
10 ~
2
m
3
? P
że ciśnienie atmosferyczne jes t rów ne 1,01 • 10
5
Pa.
9 . Pewna i lość gazu doskonałego o temperaturze 10°C
śnieniem 100 kPa zajmuje objętość 2,5 m
3
. a) Ile moli za
i lość gazu? b) Wyobraź sobie , że ciśnienie wzras ta do 3
a temperatura do 30°C. Jaką objętość zajmuje teraz gaz?
że nie ma żadnych nieszczelności .
1 0 . Oblicz pracę wykonaną przez s i łę zewnętrzną podcz
termiczn ego sprężania 1 mo la t lenu do objętości końcowej
jeżel i w s tanie początkowym w temperaturze 0°C i pod ciś
1 atm zajmuje on objętość 22,4 1.
1 1 . Ciśnienie p, objętość V i temperaturę T dla pewnej su
wiąże zależność
AT
—
BT
2
P
= V '
gdz ie A i B są s tałymi. Znajdź równanie, które opisuj
wykonaną przez tę substancję , gdy jej temperatura przy
ciśnieniu zmienia s ię od T\ do 7 i .
1 2 . W zbiorniku znajduje s ię mieszanina dwóch gazów
nałych, która zawiera 2 mole gazu o masie molowej M
0,5 mola gazu o masie molowej M
2
= 3Mi . J aki u łam
kowitego ciśnienia wywieranego przez gaz na ścianki zb
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 271/329
sobą: Całkowite
gazów w zbiorniku jest równe sumie ciśnień,
niezależnie od siebie wywierałyby poszczególne jej składniki,
z nich zajmował całą objętość zbiornika).
. Powietrze, które w stanie początkowym pod ciśnieniem
zaj
3
, u lega rozprężeniu izotermicznemu. Koń
W V A V
. Próbkę gazu dosko
abca
przedsta
na rysunku 20.19.
a
temperatura
= 200 K. a) Ile
b,
c) tem
c
J 7,5
2,5
1,0 3,0
objętość [m
3
]
Rys. 20.19. Zadanie 14
. Pęcherzyk powietrza o objętości 20 cm
3
znajduje się na dnie
mijmy, że temperatura pow ietrza w pęche
. O twartą z jedn ej strony
h znajdzie się wtedy
L/2
L/2
powietrze
Rys. 20.20.
Zadanie 16
połączony za pomocą cienkiej rurki przez zamknięty zaw
zbiornikiem B o objętości cztery razy większej niż zbior
W zbiorniku B znajduje się taki sam gaz doskonały p
śnieniem 1 • 10
5
Pa i o temperaturze 400 K. W pewnej
otwieramy zawór , umożliwiając wyrównanie s ię ciśnień w
dwu zbiornikach, które jednak cały czas są utrzymywane w
peraturach początkowych. I le wyniesie ciśnienie w połąc
zbiornikach?
.
Zbiornik A z rysunku 20.21 wypełnia gaz doskonały pod
5
Pa i o temperaturze 300 K. Zbiornik ten jest
Rys.
2 0 . 2 1 .
Zadanie 17
2 0 . 4 C i ś n i e n i e , t e m p e r a t u r a
i p r ę d k o ś ć ś r e d n i a k w a d r a t o w a
1
8 .
Oblicz prędkość średnią kwadratową atomów w helu
peraturze 1000 K. Potrzebną masę molową helu znajdziesz
datku F.
1
9 .
Najmniejsza możliwa temperatura w przestrzeni kosm
wynosi 2 ,7 K. I le wynosi prędkość średnia kwadratowa a
wodoru w tej temperaturze? (Masę molową cząsteczek w
( H
2
) podano w tabeli 20.1).
2 0 . Wyznacz prędkość średnią kwadratową atomów
w temperaturze 313 K. Masę molową argonu znajdziesz
datku F.
2
1 .
Temperatura i ciśnienie w atmosferze Słońca są odpow
równe 2
•
1 0
6
K i 0,03 Pa. Oblicz prędkość średnią kwad
elektronów swobodnych (masa elektronu 9,11 • 1 0 "
3 1
kg) ,
dając,
że tworzą one gaz doskonały.
2 2 . a) Oblicz prędkość średnią kwadratową cząsteczek
w temperaturze 20°C. Masę molową cząsteczek azotu (N
dano w tabeli 20. 1. W jakiej temperaturze prędkość średnia
dratowa będzie b) dwa razy mniejsza i c) dwa razy większ
2 3 .
Wiązka cząsteczek wodoru ( H 2 ) uderza w ścianę p
tem 55° względem normalnej . Każda cząsteczka w wiąz
masę 3 ,3
•
1 0 ~
2 4
g i porusza s ię z prędkością 1 km/s. Cząs
uderzają w ścianę o powierzchni 2 cm
2
z częstością 1 0
Jakie ciśnienie wywiera wiązka na ścianę?
2 4 . Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K, pod ciśn
1 • 10~~
2
atm, wynosi 1,24-10~
5
g / cm
3
, a) Oblicz prędkość
kwadratową
i
>ś
r
.kw. cząsteczek tego gazu. b) Oblicz masę m
gazu i zidentyfikuj go. (W skazówka: Gaz ten wym ieniono w
20.1).
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 272/329
2 0 . 5
E n e r g i a
k i n e t y c z n a
r u c h u p o s t ę p o w e g o
2 5 .
Ile wyn osi ś rednia energia kinetyczna ruchu p ostępowego
cząsteczek azotu w temperatu rze 1600 K?
2 6 . Wyznacz średnią energię kinetyczną ruchu postępowego
czą
s teczek gazu doskonałego w temperaturze a) 0°C i b) 100°C . Ile
wynosi energia kinetyczna ruchu postępowego mola cząs teczek
gazu doskona łego w t empera turze c) 0 °C i d) 1 00
Ł
C ?
2 7 .
W oda o temperaturze 32°C paruje , ponieważ ucieka część
cząsteczek znajdujących się na powierzchn i . Ciepło parow ania
(539 cal /g) jes t w przybl iżeniu równe en, gdz ie e oznacza średnią
energię uciekających cząsteczek, a n jest liczbą cząsteczek na gram.
a) Oblicz wartość e. b) Ile wyno si s tosunek wartości e do średniej
energi i kinetycznej cząs teczek H
2
0 , przy za łożeniu , że zależy ona
od temperatury tak s a m o , jak w przypadku gazów? • •>
2 8 .
Wykaż , że równan ie s tanu gazu doskonałeg o (20.5) m ożna
zapisać w al ternatywnej postaci p = pRT/M, gdzie p jest gęsto
ścią (masą jednostkowej objętości) gazu, a M jego m asą molową.
2 9 . Prawo Avogadra m ów i , że w tych samych warunkach tempe
ratury
i
ciśnienia jednakowe objętości gazu zawierają taką samą
liczbę cząs teczek.
Czy
prawo
to
jes t równow ażne równ aniu s tanu
gazu doskonałego? Uzasadni j swoją odpowiedź.
2 0 . 6 Ś r e d n i a d r o g a s w o b o d n a
3 0 . Średnia droga swobodna cząs teczek wodoru
w
temperatu
rze 0°C pod ciśnieniem 1 atm wynosi 0,8
•
1 0 ~
5
cm. Koncentracja
cząsteczek
w
tych warunkach jes t równa 2,7
•
1 0
1 9
c m
- 3
. Jaka jest
średnica cząsteczki?
3
1 .
Na wysokości 2500 km nad powierzchnią Ziemi koncentra
cja cząsteczek w atmosferze wy nosi w przybl iżeniu 1 c m
- 3
, a) Ile
ynosi ś rednia droga swobodna obl iczona na podstaw ie równ a
i b) jaki sens ma ta wielkość w podanych warun
W
obl iczeniach przyjmij ,
że
średnica cząs teczki wyno si
•
1 0 ~
8
cm.
2 . Przy jakiej częstości długość fali dźwiękowej
w
powietrzu
w pod
1 atm i w
temperaturze 0°C? Przyjmij ,
że
średnica
3 •
1 0 ~
8
cm.
3 .
Ile
wyn osi ś rednia droga swobo dna
15
kul is tych cukierków
1 1,
1 cm.
(Uwzględni j tylko zderzenia m iędzy
a nie
między cukierkami
i
torbą).
4 .
W
temperaturze 20°C
i pod
ciśnieniem
750
torów wartości
w
argonie
(Ar) i
azocie
(N
2
) są
odpo
A
= 9,9 • 10 ~
6
cm i X
Nl
= 27,5 • 10~
6
cm.
i
azotu.
wyn osi ś rednia droga swobodn a w argonie b) dla 20°C
i
150 to
c)
—40°C
i 750
torów?
3 5 . W pewnym akceleratorze cząs tek protony biegną po t
łowym o średnicy 23 m wewnątrz odpomp owanej kom ory
rej wnętrzu panuje ciśnienie 1 • 1 0
- 6
tora i temperatura
a) Oblicz, ile cząsteczek znajduje się w centymetrze sześ
gazu pod tym ciśnieniem, b) Ile wynosi ś rednia droga sw
cząsteczek gazu, jeżel i ich średnićagest równa 2
•
10 ~
8
c
2 0 . 7 R o z k ł a d p r ę d k o ś c i c z ą s te c z e k
3 6 . Tabela zawiera l iczbę N cząstek o prędkości u, dl
22 cząstek.
Ni
2 4 6 8 2
i>i [cm/s] 1 2 3 4 5
a) Oblicz prędkość średnią
v
cząstek,
b)
Oblicz prędkość
kwadratową v§
r
.k
W
. cząstek,
c)
Która
z
pięciu podanych pr
jest prędkością najbardziej prawdopodobną tip?
3 7 .
P rędkości 10 cząs tek są r ów ne 2 , 3 , 4 , . . . , 1 1 k m /s . a)
nosi prędkość średnia cząs tek?
b) Ile
wynosi ich prędkość
kwadratowa?
3 8 .
a) Dzies ięć cząs tek porusza się z nas tępującymi
ściami: cztery z prędkością 200 m/s, dwie z 500 m/s
z 600 m /s . Obl icz ich prędkość średnią i prędkość średnią
tową.
Czy u
ś rk w
> u
ś r
? b) Wym yśl swój własny rozkład pr
dla
10
cząstek i udowodnij, że także dla tego rozkładu Vf
ir
k
c) Pod jakim warun kiem (jeżel i to możl iwe) zacho dzi r
^śr.kw.
=
^śr?
3 9 . Oblicz temperaturę,
w
której prędkość średnia kwa
a) wodoru cząs teczkowego
i b)
t lenu cząs teczkowego jes
prędkości ucieczki
z
powierzchni Ziemi,
c)
Powtórz
te
sa
l iczenia dla prędkości ucieczki z powierzchni Księżyca, z
j ą c ,
że przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jes t równ e
d) Temperatura w wysokich wars twach atmosfery jes t
1000 K. Czy m oż na się tam spodziewać d użych i lości w
Dużych i lości t lenu? Uzasadni j swoją odpowiedź.
4 0 .
M oż na się przekonać , że prędkość najbardziej pra
dobna w gazie , który ma ( jednorodną) temperaturę T
2
je
sama, jak prędkość średnia kwadratowa w tym samym
0 ( jednorodnej) temperaturze T\. Oblicz s tosunek T
2
/T\.
4 1 . Cząsteczka wodoru (średnica 1 • 10~
8
cm) poruszaj
z prędkością ś rednią kwadratową opuszcza piecyk
( r =
4
1 dostaje się do wnętrza ko mo ry zawierającej a tomy zimn
gonu (średnica 3 • 1 0
- 8
cm) o koncentracj i 4 • 10
1 9
c m ~
3
wynosi prędkość cząs teczki wodoru? b) Jaka jest najmniej
ległość między środkiem cząsteczki wodoru i atomu argon
czas ich zderzenia przy założeniu, że oby dw ie cząsteczk
kształ t kul is ty? c) Jaka jes t początkowa częs tość zderzeń
kundę ) , w którycji uczes tniczy cząs teczka wo doru? (Wsk
Załóż , że a tomy z imnego a rgonu są n ie ruchome. W takim
padku średnia droga swobodna cząs teczki wodoru będzie
ś lona równaniem (20.26), a nie (20.25)) .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 273/329
prędkość
Rys.
2 0 . 2 2 . Zadanie 43
p\ ,
masie cząsteczkowej
mi
i prędko
U ś r . k w . i - Drugi zbiornik zawiera gaz o c i
2pi, mas ie cząsteczkowej m
2
i prędkości średniej U ś
r
.
2
=
.i- Wyznacz s tosunek mas cząs teczkowych m] /m
2
.
P(v)
= 0 dla
> 2w
0
). a) Wyraź wartość
a w zależności od
VQ . d) Oblicz U ś r . k w . .
. 8 M o l o w e c ie p ła w ł a ś c i w e
g a z u d o s k o n a ł e g o
. I le wyn osi energia wewnętrzna 1 mola jednoato mow ego g azu
T
= 273 K?
le c iepła dostarczono do gazu?
(Wskazówka:
Skorzystaj
3
do 100 cm
3
. Ciśnienie
•
1 0
- 3
mola gazu.
n\ moli gazu o molowym cieple właściwym przy
C\ i td. Wyznacz molowe ciepło właściwe przy
a
20 .23 . a) Ile wynosi
a
c wzdłuż l inii abcl
6
5
i
n
i
2
'o
2 4
objętość [m
3
]
Rys.
2 0 . 2 3 .
Zadanie 48
49. Masę cząsteczki gazu można obliczyć na podstaw
ciepła właściwego przy stałej objętości
c
v
•
Przyjmij, że dl
cy = 0,075 cal/(g
•
°C) i oblicz a) masę ato mu argonu i
molową argonu. Ilw
2 0 . 9
S t o p n i e s w o b o d y
a m o l o w e c i e p ł a w ł a ś
50. Do gazu dwuatomowego rozprężającego się przy sta
śnieniu dostarczono 70 J energii w postaci ciepła. Cz
uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują ruch
jącego. O ile wzrośnie energia wewnętrzna gazu?
51. Jeden mol t lenu (0
2
) o temperaturze początkowej 0°C
wamy przy stałym ciśnieniu. Ile ciepła trzeba dostarczyć d
aby podwoiła się jego objętość? (Cząsteczki uczestniczą w
obro tow ym , ale nie wykonują ruch u drgającego), ilw
52. Załóżmy, że próbkę 12 g t lenu (0
2
) ogrzewamy od
ratury 25°C do 125°C pod sta łym ciśnieniem atmosfery
a) I le moli gazu zawiera próbka? (Masę molową znajdzies
beli 20.1). b) Ile ciepła trzeba dostarczyć do tlenu? (Cz
uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują ruchu
cego) , c) Jaka część dostarczonego ciepła zwiększa ener
wnętrzną t lenu?
53. Załóżmy, że 4 mole dwuatomowego gazu doskonałeg
rego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie
niczą w ruchu drgającym, ogrzano o 60 K przy stałym ci
a) I le c iepła dostarczono do gazu? b) O ile wzrosła ener
wnętrzna gazu? c) Jaką pracę wykonał gaz? d) O ile
energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu?
2 0 . 1 1 R o z p r ę ż a n ie a d i a b a t y c z n e
g a z u d o s k o n a ł e g o
54. a) Jeden l i tr gazu, dla którego parametr y jest rów
ma w stanie początkowym temperaturę 273 K i c iśnienie
Gaz sprężono do połowy początkowej objętości . Oblicz:
nie i temperaturę gazu na końcu tej przemiany, b) Następ
przy sta łym ciśnieniu ochłodzono do jego początkowej te
tury 273 K. Jaką objętość zajmuje gaz w stanie końcowym
55. Pewien gaz pod ciśnieniem 1,2 a tm i w temperaturze
zajmował o bjętość 4,3 1. Nas tępn ie sprężono go adiab atyc
objętości 0 , 761 . O blicz a) c iśnienie końcowe i b) temperatu
cową,
przyjmując, że jest to gaz doskonały, dla którego p
y = 1-4.
56. Wiadomo, że dla przemiany adiabatycznej pV
y
=
Oblicz wartość sta łe j dla przemiany adiabatycznej, podcza
2 mole gazu mają w pew nej chwili c iśnienie p = 1 a tm i te
turę T = 300 K. Przyjmijmy, że jest to gaz dwuatomow y,
cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie ucze
w ruchu drgającym.
5 7 . Wyobraźmy sobie , że n moli gazu doskonałego p
przemianie adiabatycznej, w której temperatura początko
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 274/329
równa T\, a końcowa T
2
. Wyka ż, że praca wyko nana przez gaz jes t
równa nC
v
(7 i
—
T
2
), gdzie Cy jes t molowym ciepłem właściwym
przy stałej objętości.
(Wskazówka:
Skorzystaj z pierwsze j zasady
te rmodynamiki ) .
5 8 . Wykaż, że dla przemiany adiabatycznej gazu doskonałego
a) moduł ściś l iwości jes t dany wzorem
B = -
V
^ = yp,
dV
y
i b) prędkość dźwięku w gazie jes t równa
p
Skorzystaj z równań (18.2) i (18.3).
5 9 .
Powietrze w temperaturze 0°C i pod ciśnieniem 1 atm ma
gęstość 1,29 • 1 0 ~
3
g / c m
3
. Prędkość dźwięku w powietrzu w tej
temperaturze wynosi 331 m/s. Korzystając z tych danych, oblicz
s tosunek
y
wartości molowego ciepła właściwego przy s tałym
ciśnieniu i przy stałej objętości dla powietrza. (Wskazówka: Patrz
zadanie 58).
60. a) Gaz doskonały o początkowym ciśnieniu po rozpręża się
swobodnie do objętości 3 razy większej od objętości początkowej.
I le wynosi c iśnienie końcowe gazu? b) Następnie gaz jes t
sprężany adiabatycznie do objętości początkowej. Ciśnien
po zakończeniu te j przemiany jes t równe
3
1/3
po -
Czy roz
gaz jes t jedno- , dwu- , czy wieloatomowy? c) Jak zmie
średnia energia kinetyczna przypadająca na cząs teczkę w
końcowym w porównaniu ze s tanem początkowym?
6 1 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego jes t
cykl icznej przemianie przedstawionej na rysunku 20.24
miana 1—»-2 zachodzi przy stałej objętości, przemiana 2
adiabatyczna, a przemiana
3—> 1 zachodzi przy s tałym
ciśnieniu, a) Oblicz cie
p ło Q, zmianę energi i we
wnętrznej AE
W
i pracę W
dla każdej z tych prz e- o
mian osobno oraz dla ca- S
łego cyklu, b) Ciśnienie po- °
czątkowe w punkcie 1 wy
nosi 1 atm. Oblicz ciśnie
nie i objętość w punktach 2
i 3. Przyjmij, że 1 atm =
1,013 • 10
5
Pa oraz R =
8,314 J / (mol • K).
T
2
= 600 K
2
1
adiabat
1 1 _ .
T
t
= 300 K
=
objętość
Rys.
2 0 . 2 4 .
Zadanie
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 275/329
Entropia
i druga zasada
te rmodynamik i
o n i m o w e g r a f f i t i n a ś c i a n i e P e c a n S t r e e t C a f e w A u s t i n w T e k s a s ie g ł o s i : „ C z a s t o n a r z ę d
, k t ó r e u n i e m o ż l i w i a , b y w s z y s t k o d z i a ł o s ię j e d n o c z e ś n i e " . C z a s m a t a k ż e k i e r u n e k
i e k t ó r e z d a r z e n i a z a c h o d z ą w o k r e ś l o n e j k o l e j n o ś c i i n i g d y n i e m o g ą n a s t ę p o w a ć
w r o t n y m p o r z ą d k u . N a p r z y k ł a d j a j k o , k t ó r e p r z y p a d k o w o w y ś l i z g n ę ł o s i ę r ę k i i w p a d ł
k i e l i s z k a — r o z b i j a s i ę . P r o c e s
w r o t n y , w k t ó r y m r o z b i t e j a j k o
ł o b y s ię c a ł e i z p o w r o t e m z a j ę ł o
j s c e w d ł o n i , n i g d y n i e n a s t ą p i
m z s i e b i e . D l a c z e g o t a k j es t ?
a c z e g o p r o c e s t e n n i e m o ż e z a j ś ć
n y m k i e r u n k u , j a k t a ś m a
d e o o d t w a r z a n a w s t e c z ?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 276/329
2 1 . 1 . K i lk a p r z e m i a n n i e o d w r a c a l n y c h
Wyobraź sobie , że wracasz do domu w mroźny dz ień i chcąc rozgrzać zmar
ręce, trzymasz w nich kubek z gorącym kakao. Twoje ręce stają się ciepl
a kubek chłodnie jszy. Nigdy jednak nie obserwujesz przec iwnego z jawiska :
ręce nie marzną jeszcze bardz ie j , a kubek s ię nie rozgrzewa.
Układ, który tworzą twoje dłonie i kubek, jes t
układem zamkniętym,
odizo lowanym od o toczenia . Oto k i lka innych przykładów procesów jedn
runkowych w układach zamknię tych: 1. Skrzynia , która ś l izga s ię po pod
w końcu za trzyma s ię , a le nikt nie widz ia ł , by spoczywająca skrzynia samo
nie zaczę ła s ię poruszać . 2. Jeś l i upuszczasz kulkę ulepioną z ki tu, ta upa
podłogę . N ie ruchoma kulka k i tu n ie podskoczy j ednak spontan icznie w
3 . Jeże l i w pokoju przedziurawisz ba lon wypełniony he lem, gaz rozpłynie s
pom ieszczen iu. Atomy he lu nie zbiorą s ię jed na k same z pow rotem w po
ba lonu . Te i inne przemiany jednokie runkowe nazywamy n ieodwraca lnym
znaczy, że nie można odwrócić ich kierunku za pomocą niewie lkich zmian w
czeniu.
Nieodwraca lność wymienionych przemian j e s t t ak wyraźna , ż e uważa
za coś oczywis tego. Gdyby procesy zachodzi ły spontanicznie (bez udzia ł
wnę t rznych czynników) w „z łym " k ie runku, by libyśmy zdu mieni .
Jednakże
z takich przebiegających w złym kierunku procesów nie łamałby zasady zac
nia energii. Nie s twierdz i l ibyśmy żadnej sprzecznośc i , gdyby energia w p
c iepła przepływała z dłoni do kubka . Energia byłaby zachowana, gdyby s
nia lub kulka ki tu nagle zamieni ły część swoje j energi i te rmicznej na en
kine tyczną i zaczę ły s ię poruszać . Tak samo byłoby, gdyby a tomy he lu,
wydosta ły s ię z dz iurawego ba lonu, z powrotem zebra ły s ię razem.
Widz imy więc , ż e to n ie ene rg ia wyznacza k ie runek procesów nieodw
nych przebiega jących w układzie zamknię tym. Decyduje o nim zmiana inne j
kości, którą zajmiemy się w tym rozdziale — zmiana entropii AS układu . Z
entropi i układu zdef iniujemy w nas tępnym paragraf ie , a te raz ograniczymy s
sformułowania je j głównej właśc iwośc i , która czasami jes t nazywana postu
entropii:
Przemiana nieodwracalna w układzie zamkniętym powoduje zawsze wzrost entr
S
układu — nigdy jej spadek.
Entropia różni s ię od energi i tym, że nie ma zasady je j zachowania . E
układu zamknię tego jes t zachowana — zawsze pozosta je s ta ła . W przemi
nieodwraca lnych entropia układu zam knię teg o zawsze rośnie . Ze względu
właśc iwość zmianę entropi i czasami nazywamy „s trza łką czasu". Na prz
rozbija jące s ię ja jko, które widz imy na zdjęc iu otw iera jącym rozdzia ł , wią
z czasem płynącym do przodu i wzros tem entropi i . Czas biegnący wstecz
na taśmie wideo puszczonej w odwrotnym kierunku) oznacza łby, że rozbi t
ko z powrotem s tanie s ię ca łym ja jkiem i unies ie s ię w górę . Taki odw
proces byłby związany ze zmnie jszeniem s ię entropi i i dla tego nigdy g
obserwujemy.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 277/329
Mamy dwa równoważne sposoby defin iowania zmiany en t ropi i uk ładu:
Z m i a n a e n t r o p i i
zmianę entropii, odwołując się do przemiany, którą opi
20 .11 ,
czyl i do rozprężania swobodnego
łego . Na rysunku 21 .1 a przedstawiono gaz w p oczątkowym stan ie
P, zamknię ty za pomocą zaworu w lewej częśc i izo lowanego c iep l
K jak na rysunku 2 1 . Ib .
W ykres p-V dla tego procesu (rys. 21.2) przed stawia ciśnienie i objętość
P
i końcow ym
K.
Ciśnienie i objętość
S Ą parame
— zależą tylko od stanu gazu i nie zależą od tego, w jak i spo sób
— 5
p o c z
dla przemiany, która przeprowadza układ od stanu
P
do s tanu końcowego
K,
zdefiniujemy za pom ocą rów nania
końc
AS ••
Jkońc
J
pocz
(definicja zmiany entropii) .
(21.1)
pocz
oznacza energię pobieraną lub oddawaną w postaci ciepła przez układ w trakcie
T — tempera turę układu w kelwinach . Widzimy więc , że zmiana
przem iana zachodzi . Ponieważ tem pera tura T jes t zawsze
Q.
Z równania (21 .1)
Zastosowanie równania (21 .1) do rozprężania swobodnego napotyka pewną
P
a stanem
u k U l
W
p
i zawór zamkn ię
p i o / n i a
izolacja ciep lna
a) stan początkowy P
ł
przemiana
nieodwracal
> zawór otwar
S ł S f
l l l s s w j i ł a s
iMmma
b) stan końcowy K
Rys. 2 1 . 1 .
Rozprężanie swobodne g
doskonałego, a) Gaz jes t zamkn
w lewej części izo lowanego ci
nie zbiornika, b) Po otwarciu zaw
gaz gwałtownie wypełnia całą obję
zbiornika. Przemiana ta jes t n ieodw
calna. Oznacz a to , że gaz n ie zbierze
samorzutnie w lewej części zbiornik
o
'a
CD
2 1 . 2 .
Wykres p-V, na k tórym zaznaczono s tan g
P i końcowy K d la procesu rozprężania '3
2 1 . 1 .
Stany pośrednie przyjmo
być przedstawione na wykresie objętość
2 1 . 2 .
Zm iana en t ropi i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 278/329
' ',;
sri
" •'r i
i i lo\ \ i ;mv •
A
U :\
z b i o r n i k c i e p l n \ /
r e g t t l j c j a t e m p e r a t u r y
a) stan początkowy
P
przemiana
^ ^ • ^ o dw r ac al na
śrut
o ł o w i a n y '
b) stan końcowy
k o ń c o w y m K nie ma ciągu pośrednich stanów równo wagi , opisanych przez
określone parametry . Nie możemy więc w przypadku rozprężania swobo
podążać wzdłuż pewnej l in i i wykresie p-V (rys. 21.2) opisującej zależn o
śnienia od objętości . Co gorsza, n ie da s ię wyznaczyć zależności Q o d T,
pozwalałaby obl iczyć całkę w równaniu (21.1) .
Jeżel i jedn ak entropia jest prawdziw ą właściwością s tanu, to je j różni
między s t anami P i K zależy tylko od tych stanów, a nie od przemiany,
przeprowadzi ła układ od jednego stanu do drugiego. Załóżmy więc, że za
jemy przemianę nieodwracalną, jaką jest rozprężanie swobodne przedstawi
rysunku 21 .1 , przemian ą odwracalną m iędzy stanami P i K. W przypadku
miany odwracalnej możemy śledzić zależność ciśnienia od objętości na wy
p-V i wyz naczyć związek łączący ciepło z temperaturą , co pozwo l i sko
z równania (21.1) do obl iczenia zmiany entropi i .
W paragraf ie 20.11 przekonal iśmy się , że temperatura gazu doskonałe
zmien ia s i ę w wyniku rozprężan ia swobodnego :
r
pocz
= 7k
0
ńc = T. Wi
w ięc ,
że s tan początkowy P i końcowy K na wykresie p-V ( rys. 21.2
szą leżeć na te j samej izotermie. Wygodnie będzie więc zastąpić rozpr
swobodne odwraca lnym rozprężan iem i zo te rmicznym między s t anem P
n e m K, które na wykresie reprezentuje izoterma. Ponieważ w t rakcie rozpr
izotermicznego temperatura jest s ta ła , obl iczenie całki (21.1) nie sprawia
ności .
Na rysunku 21 .3 pokazano , j ak m ożna p rzeprowadz ić odwraca lne roz
nie izotermiczne. Wyobraźmy sobie , że gaz znajduje s ię w cyl indrze, o
wanych ściankach, k tórego podstawa jest w kontakcie ze zbiornikiem cie
utrzymywanym w sta łe j temperaturze T. Na początek obciążamy t łok zamy
cylinder taką i lością śrutu ołowianego, aby ciśnienie i objętość gazu były
jak w stanie początkowym P z rysunku 21. la . Następnie powol i zabieram
(ziarnko po ziarnku) , aż do chwil i , k iedy objętość i c iśnienie gazu będą
same, j ak w s t an ie końcowym K z rysunku
2 1 .
I b .
Temperatura gazu nie
nia s ię , ponieważ podczas całego procesu gaz jest w kontakcie ze zbiorn
cieplnym.
Odwracalne rozprężanie izotermiczne przedstawione na rysunku 21.
względem f izycznym jest całkowicie różne od rozprężania swobodnego z ry
21 .1 .
Jednakże obydwie przemiany mają taki sam stan początkowy i ko
i d la tego muszą p owod ować taką samą zm ianę entropi i . Ponieważ śrut obcią
t łok zabieral iśmy powol i , pośrednie s tany gazu są s tanami równowagi i d
możemy przeds tawić j e na wykres i e
p- V
(rys. 21.4 ).
ys. 21
.3 .
Przeprowadzane w sposób
odwracalny rozprężanie izotermiczne
gazu doskonałego. Gaz ma taki sam stan
początkowy P i taki sam stan końcowy
A", jak w przyp adku rozprężania swo
bodnego z rysunków 21.1 i 21.2
izoterma
K
objętość
Rys. 21
.4 .
Wykres p- V dla procesu odwracalne
kim jest izotermiczne rozprężanie gazu z rysunk
Zaznaczono stany pośrednie , które tym razem
nami równowagi
2 6 2
2 1 .
Entropia i druga zasad a term odyn amik i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 279/329
Stosując równanie (21.1) do rozprężania izotermicznego, możemy wyciągnąć
T
przed znak ca łki
końc
_
1 f
AS
— >Skońc "Spocz — ~ I d<2.
pocz
f dQ = Q,
gdz ie
Q
oznac za ca łkowitą energię przekazaną pod czas
w postac i c iepła , m amy
A S
= Skońc
—
Spocz
=
'P
(zmiana entropii w przemianie izotermicznej). (2 1. 2)
z rysunku 21.3 zachować s ta łą tempe
ze
zb iorn ika c iep lnego
do
gazu dostarczyć energię
w
postac i
Q. W idz imy więc , ż e
Q
ma wartość do datnią , a więc w wyniku rozprężania
i rozprężania swobodnego z rysunku 21.1 entropia gazu rośnie.
M o ż e m y p o d s u m o w a ć
to
tak:
Aby wyznaczyć zmianę entropii w przemianie nieodwracalnej zachodzącej w układzie
zamkniętym, należy zastąpić tę przemianę dowolną przemianą odwracalną, która ma
taki sam stan początkowy i końcowy. Zmianę entropii dla tej przemiany odwracalnej
obliczamy, korzystając z równania (21.1).
Jeże l i zmiana tempera tury układu jes t mała w porównaniu z jego tempera turą
na
począ tku
i
końcu przemiany,
to
przybl iżoną zmianę entropi i
z równ ania
Q
AS — >Skońc Ą>ocz — rw, > (21-3)
Ti
T
ozna cza średnią temp era turę bezwzględ ną uk ładu
w
rozważanym pro
1 :
Woda jes t ogrzewana
za
pomocą kuchenki. U szereguj
od
najwięk
do najmniejszej zmia ny entropii wody w następujących przed ziałach temp eratury:
)
od
20°C
do
30°C ,
b) od
30°C
do
35°C
i c) od
80°C
do
85°C.
lewej części zbiornik a na rysunk u 21.1 a znajduje się jede n mol
Po otwarciu zawo ru objętość zajmowa na przez
w
opisanej przemianie
że
azot jes t gazem doskonałym.
T 1
.
Zm ianę entropii
w
przemianie n ieodwracalnej możem y
tę
T
2.
Temperatura gazu nie zmienia się w wyniku rozpręża
swob odneg o. Przem ianą odwracalną, którą moż em y zastąpić
rozprężanie swobodne, jes t więc rozprężanie izotermiczne
rys. 21.3 i 21.4).
Z tabeli 20.4 wynika, że energia Q dostarczona do
w postaci ciepła podczas izotermicznego rozprężania od obj
początkowej do objętości końcowej t
^ońc
w temperatu
jest równa
„
e
n rr , 'końc
= nRTla ,
V
'pocz
gdzie n oznacza l iczbę moli gazu, k tóry u lega przemianie. Z
entropii w odwracalnej przemianie izotermicznej jes t dana
naniem (21.2)
^pocz)
~T ~ T
S™
: nR ln -
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 280/329
Podstawiając wartości liczbowe n — 1 mol ORAZ V oric / ^pocz — 2,
STWIERDZAMY, ŻE
A5odwr
= nR
ln
końc
= (1 mol)( 8,31 J/ (mol
•
K)) (ln2)
'pocz
= +5,76 J/K.
Widzimy więc, że zmiana entropii w wyniku rozprężania swo
bodnego (i każdej innej przemiany zachodzącej między
początkowym i końcowym zaznaczonym na rysunku 2
równa
ASnieodwr = A S
o d w r
= +5,76 J/ K. (odp
Wartość
A
5 jest dodatnia, a więc entropia wzrasta zgodn
stulatem sformułowanym w paragrafie 21.1.
2:
Gaz doskonały w stanie początkowym
P
zaznaczonym na
zamieszczonym obok wykresie p-V ma temperaturę 7\. W stanach końcowych
A i B, które gaz może osiągnąć w wyniku przemian zaznaczonych na wykresie,
jego temperatura T
2
jest większa niż w stanie początkowym. Czy zmiana entropii
w przemianie prowadzącej do stanu A jest większa, taka sama, czy mniejsza niż
w przemianie prowadzącej do stanu B7
B
2
objętość
Przykład
21.2
Na rysunku 21.5a przedstawiono dwa identyczne bloki miedzi
o masie m = 1,5 kg. Blok L ma temperaturę początkową 7p
0 c z i
=
60°C. Blok P ma temperaturę początkową r
p o c z
p
= 20°C. Oby
dwa bloki umieszczono w izolowanym cieplnie pojemniku i roz
dzielono izolującą przegrodą. Po usunięciu przegrody obydwa
bloki osiągają po pewnym czasie wspólną temperaturę końcową
Tjiońc = 40°C (rys. 21.5b). Ile wynosi zmiana entropii układu
dwóch bloków w opisanej przemianie nieodwracalnej? Ciepło
właściwe miedzi jest równe 386 J/(kg • K).
przemiana
nieodwracalna
A) b)
Rys.
21.5.
Przykład 21.2. a) W stanie początkowym dwa mie
dziane bloki L i
P,
które różnią się tylko temperaturą, umiesz
czono w dwóch, rozdzielonych izolującą przegrodą, częściach od
izolowanego pojemnika, b) Po usunięciu przegrody bloki wymie
niają energię w postaci ciepła i po pewnym czasie osiągają stan
równowagi termodynamicznej o jednakowej temperaturze T
^ońc
ROZWIĄZANIE:
Zauważmy, że O T W celu obliczenia zmiany entropii układu
musimy znaleźć przemianę odwracalną, którą przeprowadzi układ
od stanu początkowego (rys. 21.5a) do stanu końcowego (rys.
21.5b).
Dzięki temu będziemy mogli wyznaczyć za pomocą rów
nania (21.1) zmianę entropii A5
0
a
W
r
w
przemianie odwracalnej
i zmianę entropii w przemianie nieodwracalnej, która jest równa
A S
0 ( i w r
. Aby przeprowadzić przemianę odwracalną, musim
zbiornik cieplny, którego temperaturę można powoli zmien
przykład kręcąc jakąś gałką). Następnie poddamy blok
sowi, który będzie składać się z dwóch etapów przedstaw
na rysunku 21.6.
izolacja cieplna
y .» 9«sał»>«a
P
t
r
zbiornik cieplny
a) etap 1 b) etap 2
Rys. 2 1 . 6 . Bloki z rysunku 21.5 można przeprowadzić w
calny sposób od stanu początkowego do stanu końcowego
rzystując zbiornik o regulowanej temperaturze, aby a) odw
odebrać ciepło od bloku L i b) odwracalnie dostarczyć ci
bloku P
Etap 1
. Ustawiamy temperaturę zbiornika tak, aby była
60°C i stykamy z nim blok L. (Ponieważ zbiornik i bl
taką samą temperaturę, znajdują się w stanie równow
modynamicznej). Następnie powoli zmniejszamy temp
zbiornika i bloku do 40°C. Podczas każdej zmiany te
tury o dr z bloku do zbiornika przepływa w postac
energia dQ. Korzystając z równania (19.14), możemy
ilość przekazywanej energii dQ = mcdT, gdzie c
ciepło właściwe miedzi. Zgodnie z równaniem (21.1)
entropii A Si bloku L w całej przemianie od temperat
czątkowej
Tpoczz.
(= 60°C = 333 K) do temperatury k
Ikońc
(40°C = 313 K) jes t równa
końc TTOŃC
T
KO
,
f
dQ _
r
mcdT _
J
T ~ J T ~
pocz T
P O C Z I
T
voczL
Tkońc
AS,
'końc
/
dr
~T
•• mc ln
Ł
poczL
2 6 4
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 281/329
Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy
AS
L
= (1,5
k g ) ( 3 8 6 J / ( k g • K ))
ln
|Ił|
=
- 3 5 , 8 6
J/K.
2. Ustawiamy teraz temperaturę zbiornika c ieplnego
tak,
aby była
ona
równa 20° C
i
stykamy
z nim
blok
P.
Następnie
powol i zwiększamy temperaturę zbiornika i b loku , aż osią
gnie
ona
40 °C. Pow tarzając
to
samo rozumowanie ,
co w
przy
padku obl iczania A S ^ , można wykazać ,
że
zmiana ent ropi i
AS p
b loku
P w
przedstawionej przemianie jest równa
AS
P
=
(1 ,5 kg) (386 J / (kg
•
K)) ln
j £ = + 3 8 , 2 3 J/K.
Łącznu
zmiana ent ropi i A S
o d w r
obydwu bloków
w
dwue t
wej odwracalnej przemianie wyrównywania
ich
tempera
jest równa
A S
o d w r
=
AS
L
+ AS
P
= - 3 5 , 8 6
J / K +
3 8 , 2 3
J/K
=
2,4 J/K.
Łączna zmiana ent ropi i układu dwóch bloków
w
rzeczyw
przemianie nieodwracalnej wynosi więc
ASrjeodwr
=
A S
o d W
r
= 2,4 J/ K . (odpowi
Wynik jest dodatni zgodnie
z
postula tem sformułowa
w paragraf ie 21.1.
że
ent ropia , podobnie
ja k
c iśnienie , energia
czy
t e m p e
nie
zależy
od
sposobu osiągnięcia
To, że
ent ropia jest
w
r zeczywis tości funkcją stanu
(tzn.
zależy
od
na
d rodze doświadcza lne j . Jednak
dla
ale ba rdzo w ażnego p rzypadku , j ak im j es t gaz doskona ły podda
możem y udowodnić , że entrop ia jes t funkcją stanu.
Aby zapewnić odwracalność przemiany, przeprowadza się ją ba rdzo wolno
tak że gaz na końcu k ażdej z nich znajduje się w stanie
W k a ż d y m z tych małych kroków energia dostar
do gazu lub odebrana od n i ego w postaci c iepła jest równa dQ, praca
gaz jest równa dW, a zmian a energi i wewnętrznej gaz u dE
w
.
te wiąże ze sobą p ie rwsza zasada t e rmodynamik i w postaci różnicz
dE
w
= dQ- dW.
są
odwraca lne ,
a gaz
znajduje
się w
sta
z
równania (19.24)
i za
dW
p rzez
pdV, a
także posłużyć
się
równan iem (20 .45)
i
zastąpić
w
przez nCydT.
Rozwiązu jąc o t rzymane równan ie wzg lędem
dQ,
dostajemy
dQ = pdV + nC
v
dT.
z
równania s tanu gazu doskonałego, możemy
w
tym równan iu zastą
p
p rzez
nRT/V.
Dzieląc następnie całe równ anie przez
T,
o t r zymamy
—
= nR \-nLy —.
T
V T
P
K
końc końc końc
f dQ
f
dV
f
dT
I
= / nR h /
nCy——.
J
T J V
J
T
pocz pocz pocz
z lewej strony równania to zmiana entropi i AS (= S^ońc
—
5
p o c z
) zde-
2 1 . 2 .
Zmiana ent r op i i 2
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 282/329
finiowana za pomocą równania (21.1). Korzystając z tej definicji i wyk
całkowanie po prawej s t ronie równania , otrzymujemy
A S — Sfernc - s
t
pocz
= nRln
+ nCy ln
pocz
(2
Zwróć uwagę , że ca łkując , nie musie l iśmy odwoływać s ię do żadnej szcze
przemiany odwraca lne j . Dla tego otrzymany wynik ma zas tosowanie do
przemiany odwraca lne j , która przeprowadza gaz od s tanu P do s tanu K.
tego zmiana entropi i AS pomiędzy s tanem począ tkowym a s tanem koń
gazu doskonałego za leży tylko od właśc iwośc i s tanu począ tkowego
( V p
0 C
z
oraz właśc iwośc i s tanu końcowego (Vkońc i Tkońc)- Zmiana en t ropi i A S nie
od tego, jak zach odzi ła przem iana międ zy tymi s tanam i.
2 1 . 3 . D r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i
A oto zagadka . W przy kładz ie 21.1 s twierdz i liśmy, że jeże l i przeprow a
przemianę odwraca lną od s tanu (a) do s tanu (b) ( rys . 21.3) , to zmiana e
gazu, który s tanowi nasz układ, jes t dodatnia . Ale nasza przemiana jes t o
ca lna , więc można przeprowadzić ją w odwrotnym kierunku, od s tanu (b) d
dorzucając stopniowo ziarenka śrutu obciążające tłok (rys. 21.3b) aż do
kiedy obję tość gazu zmnie jszy s ię do wartośc i począ tkowej . W takie j odw
przemianie energia w postac i c iepła musi być odbierana
od gazu,
aby za
wzrostowi jego tempera tury. Ciepło Q ma war tość ujemną, a więc entrop
rażona równaniem (21 .2) mus i ma leć .
Czy takie zmnie jszanie s ię entropi i gazu nie narusza postula tu s form
neg o w paragrafie 2 1.1 , który s twierdza , że entropia zawsze rośnie? Nie , po
postula t ten dotyczy tylko przemian nieodwracalnych w układ ach zamkn
Opisany proces nie spe łnia tych za łożeń.
Nie jest
bowiem przemianą n ie
ca lną i układ, który obejmuje tylko gaz , nie jest zamknię ty (ponieważ e
przepływa w postac i c iepła od gazu do zbiornika c ieplnego) .
Jeże l i jednak uznamy, że zbiornik c ieplny i gaz są częśc iami jednego u
będz iemy mieć do czynien ia z uk ładem zamknię tym . Sprawdźmy te raz , j ak
nia s ię entropia układu gaz + zbiornik w wyn iku przemiany, która przepro
gaz od s tanu (b) do (a ) ( rys . 21.3) . W trakc ie te j odwraca lne j przemiany e
w postac i c iepła przep ływ a z gazu do zbiornika — czyl i z jednej częśc i ukł
innej .
Niech \Q \ oznacza wartość bezwzględną przepływającego c iepła .
równaniu (21.2) możemy osobno obl iczyć zmianę entropi i gazu (który
c iep ło | ) 2 | ) oraz zbiorn ika (który c iepło \Q \ pobie ra ) . Mamy więc
Zmiana entropi i układu zamknię tego jes t sumą obydwu wie lkośc i , a wi
równa zeru.
oraz
A S
z
b i o r = + ~ZT-
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 283/329
Wiedząc o tym, możemy rozszerzyć postula t z paragrafu 21 .1 , aby obejmował
Entropia układu
zamkniętego
wzrasta w przemianach nieodwracalnych i nie zmienia
się w przemianach odwracalnych. Entropia nigdy nic maleje.
ie zmn ie jsza s ię . Stwierd zenie to jes t jed ny m ze s formułow ań
którą można zapisać w postac i
AS
> 0 (druga zasada termodynamiki), (2 1. 5)
W rzeczywis tym świec ie wszystkie przemiany są w zasadzie nieodwraca lne
En t rop ia w św iec ie r zeczyw is t ym: s i l n i k i
lub w skróc ie
silnik
to urządzenie , które ze swego otoczenia po
substancja robocza.
W s i ln iku pa rowym sub
nc ją ro boczą jes t wod a , zarówn o w postac i pary, jak i c ieczy. W s i lniku s am o
cyklu,
w k tórym subs tanc ja robocza j e s t podd ana zamknię temu
suwami.
Zobaczmy te raz , co
nal iśmy s ię już , że wie le informacj i o gazach rzeczywis tych m ożem y uzy
pV = nRT.
s i lnika idealnego .
W
silniku idealnym wszystkie przebiegające procesy są odwracalne i nie ma strat
związanych z niepożądanymi przemianami energii spowodowanymi tarciem lub turbu
lencjami.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 284/329
CA
Ifiz
r
j
1
Rys. 21.7. Schemat s i lnika. Dwie
czarne strzałki
na
pętli
w
środkowej czę
ści rysunku wskazują, że substancja ro
ocza jest poddana przemianie cyklicz
nej,
podobnie
jak na
wykresie
p-V. Ze
zbiornika o wysokiej temperaturze
TQ
do substancji roboczej przepływa ener
gi a
w
postaci ciepła
\QG\.
Substancja
obocza oddaje
do
zbiornika
o
niskiej
temperaturze
Tz
energię
w
postaci cie
p ła \Qz\- Silnik (a ściśle mówiąc sub
stancja robocza) wykonuje nad pewnym
elementem otoczenia pracę
W
0
objętość
Rys. 21.8. Cykl przemian substancji ro
boczej silnika Carnota
z
rysunku
21.7
rzedstawiony
we
współrzędnych
p-V.
Cykl składa się z dwóch izoterm
(ab
i
cd)
oraz dwóch adiabat
(bc i da).
Pole
zacieniowanego obszaru ograniczonego
wykresem jest równe pracy
W
wyko
nywanej przez silnik Carnota
w
trakcie
Skoncentrujemy uwagę na szczególnym silniku idealnym nazwanym
kiem Carnota dla uczczenia francuskiego naukowca i inżyniera N.L. Sa
Carnota, który pierwszy w 1824 roku wysunął ideę takiego silnika. Silnik
nota to taki silnik idealny, który osiąga największą sprawność w zamianie
na użyteczną pracę. Co ciekawe, Carnot zdołał przeanalizować działanie t
silnika, zanim jeszcze sformułowano pierwszą zasadę termodynamiki i wp
dzono pojęcie entropii.
Na rysunku 21.7 zilustrowano zasadę działania silnika Carnota. W
każdego cyklu substancja robocza pobiera ze zbiornika cieplnego o stałej t
raturze TQ — grzejnika — energię (w postaci ciepła) |
<2
G
I
i oddaje do zb
cieplnego o
s tałej ,
niższej temperaturze
Tz
— chłodnicy — energię (w
ciepła) \Q
Z
\.
Wykres
p-V
z rysunku 21.8 przedstawia procesy składające się na
cyk
nota — cykl, któremu poddawana jest substancja robocza. Jak pokazują st
cykl jest realizowany w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
obraźmy sobie, że substancją roboczą jest gaz umieszczony w cylindrze o
wanych ściankach bocznych, zamkniętym izolowanym, obciążonym i ruch
tłokiem. Cylinder można umieszczać na jednym z dwóch zbiorników ciep
(jak na rysunku 21.3) lub na izolującej podstawie. Z rysunku 21.8 wyni
kiedy cylinder jest w kontakcie ze zbiornikiem o temperaturze TQ, substan
bocza pobiera z tego zbiornika ciepło |
Q Q
| i ulega rozprężaniu izotermic
od objętości V
a
do objętości VJ,. Podobnie, kiedy substancja robocza jest w
takcie ze zbiornikiem cieplnym o temperaturze Tz, oddaje ona ciepło |<
zbiornika o niskiej temperaturze i jednocześnie ulega izotermicznemu sp
od objętości
V
c
do objętości
V
d
.
Zakładamy, że w silniku przedstawionym na rysunku 21.7 wymiana
między jednym ze zbiorników a substancją roboczą zachodzi
tylko
podcza
termicznych przemian ab i cd (rys. 21.8). Dlatego przemiany bc i da, któ
wspomnianym wykresie łączą dwie izotermy dla temperatur TQ i Tz, mus
(odwracalnymi) przemianami adiabatycznymi, czyli takimi, w których ciep
jest wymieniane z otoczeniem. W tym celu w trakcie tych procesów cy
stawiamy na izolującej podstawie.
W następujących po sobie przemianach ab i bc (rys. 21.8) substancja ro
zwiększa swą objętość, a więc wykonuje dodatnią pracę, podnosząc obc
tłok. Wykonana praca odpowiada na wykresie z rysunku 21.8 polu powie
pod krzywą abc. W następujących po sobie dwóch przemianach cd i d
stancja robocza jest sprężana, co oznacza, że wykonuje ona pracę ujemn
otoczeniem lub — co jest temu równoważne — otoczenie wykonuje na
pracę, gdy obciążony tłok się obniża. Wielkość tej pracy odpowiada pol
krzywą cda. Łączna praca wykonana podczas jednego cyklu, oznaczona
sunkach 21.7 i 21.8 symbolem W, odpowiada różnicy obydwu pól, ma w
dodatnią i jes t równa polu powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi s
jącymi się na cykl
abcda
na rysunku 21.8. Praca ta jes t wykonywana nad pe
zewnętrznym ciałem, na przykład ciężarkiem, który ma być podniesiony.
Z równania (21.1) (AS = f dQ/T) wynika, że każdy przekaz
w postaci ciepła wiąże się ze zmianą entropii. Aby przedstawić zmian
2 6 8 21 . Entropia i druga zasada termodynamiki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 285/329
(T-S) — rysunek 21.9. Punkty a, b, c i d na tym rysunku
ają punktom oznaczonym tymi samymi literami na rysunku 21.8. Dwie
ab jest rozprężaniem izotermicznym.
TQ,
S G U jej entropia wzrasta. Podobnie w wyniku
cd, substancja robocza w stałej temperaturze Tz oddaje
\Qz\, a jej entropia maleje .
Dwie pionowe linie na rysunku 21.9 reprezentują dwie przemiany adiaba
ywu energii w postaci ciepła, nie zmienia się też entropia substancji
Praca: Aby obliczyć wypadkową pracę wykonaną przez silnik Carnota w cza
całego cyklu, zastosujmy do substancji roboczej równanie (19.26) wyrażające
(AE
W
= Q — W). Substancja ta w kolejnych cy
X
być spełniony warunek A Z = 0 . W szczególności dla pełnego cyklu prze
AE
W
= 0. Pamiętając, że w równaniu (19.26) Q
wypadkowe ciepło dostarczone do układu w trakcie całego cyklu, a W
pracę wykonaną przez układ w tym samym czasie , możemy napisać
GG
a | b
1
entropia
S
Rys.
21.9. Cykl Carnota z ry
21.8
przedstawiony we współrzę
temperatura-entropia. W przemi
ab i cd temperatura jest
stała.
W
mianach bc i da entropia jest stał
W = \Q
G
\-\Qz\
(21.6)
Zmiana entropii: W silniku Carnota mamy dwie (i tylko dwie) przemiany
TQ i drugim w temperaturze T
Z
I G G I
\QZ\
AS = AS
G
+ ASz = ~ ^ ~
]
- ~ . (21.7)
ASQ jest dodatnia, ponieważ energia | QQ\ jest dostarczana do substancji
ASz jes t ujemna, ponieważ energia \Q
Z
\
odbierana w postaci ciepła od substancji roboczej (entropia maleje). Ponieważ
nkcją stanu, dla pełnego cyklu musi być spełniony warunek AS =
I C G I Ifizl
2 L 8 )
T
G
T
Z
TG > Tz, więc musi zachodzić nierówność \QG\ > IGzI
c o
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 286/329
Skorzystamy teraz z równań (21.6) i (21.8), aby wyprowadzić wzór na
ność silnika Carnota.
Sprawność silnika Carnota
Celem dowolnego silnika jest zamiana na pracę jak największej części p
energii \QG\- Miarą tego, na ile nam się to udało, jest tak zwana sp
cieplna silnika n, zdefiniowana jako stosunek pracy wykonanej przez siln
czas cyklu („energii, którą otrzymujemy ) do energii dostarczonej do
w postaci ciepła w tym samym cyklu („energii, za którą płacimy ):
energia uzyskana
energia dostarczona | QQ \
(sprawność dowolnego silnika). (
W przypadku silnika Carnota pracę W występującą w definicji (21.9)
zastąpić wartością wyznaczoną z równania (21.6). W ten sposób otrzym
IGol-IGz]
= 1
_
IGzI
IGo I G G I
Korzystając z równania (21.8), możemy uzyskany wynik zapisać w post
Vc
T
G
(sprawność silnika Carnota), (2
U.
I
CA,
Qa)
. 2 1 . 1 0 . Schemat silnika doskona
który ze sprawnością 1 0 0 zamie
<2G pobrane z grzejnika na
W
gdzie temperatury Tz i 7o są wyrażone w kelwinach. Ponieważ Tz <
silnik Carnota ma sprawność cieplną mniejszą od jedności, czyli od 100
struje to rysunek 21.7, na którym zaznaczono, że tylko część energii pob
zbiornika cieplnego o wyższej temperaturze jest zużywana na wykonanie
Pozostała część jes t oddawana do zbiornika o niższej temperaturze. W pa
21.6 wykażemy, że żaden silnik rzeczywisty nie może mieć większej spr
c ieplne j , niż obliczona na podstawie równania (21.11).
Konstruktorzy nieustannie usiłują zwiększyć sprawność silników, zm
jąc energię \Qz\, która jest „tracona podczas każdego cyklu. Marzeni
nalazców jest zbudowanie
silnika doskonałego,
przedstawionego schem
na rysunku 21.10, w którym energię \ Qz\ zmniejszono by do zera, a w
energia | Q
G
| uległaby przemianie w użyteczną pracę. Taki silnik zains
na przykład w statku transoceanicznym czerpałby ciepło z wody i wykorz
je do poruszania śrub napędowych, bez potrzeby ponoszenia kosztów zwi
z zakupem paliwa. Samochód wyposażony w taki silnik czerpałby energi
czającego go powietrza, a więc jeździłby bez potrzeby płacenia za paliw
stety, silnik doskonały jes t tylko marzeniem. Przyglądając się równaniu
zauważymy, że sprawność byłaby równa 100% (n = 1) tylko wtedy, kiedy
lub TQ —> co, czego nie można osiągnąć. Gromadzone latami doświadcz
żynierów doprowadziło do innego sformułowania drugiej zasady termody
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 287/329
Rys.
2 1 . 1 1 .
Elektrownia jądrow
Anna w pobliżu Charlottesville
Wirginia (USA), która dostarc
gię elektryczną o mocy 900 M
cując, odprowadza ona do prze
cej w pobliżu rzeki energię z
ścią 2100 MW. Ta i wszystkie
dobne elektrownie oddają do o
więcej energii niż jest przetwa
użyteczną pracę. Tak wygląda w
wistości silnik idealny z rysunk
• Nie jes t możliwy żaden ciąg przemian, k tórego jedynym skutkiem byłoby pobranie
ciepła i całkowita zamiana go na pracę.
Mówiąc kró tko , nie istnieją silniki dosko nałe.
Podsumujmy to następująco: Sprawność cieplna dana równaniem (21.11)
stosuje się jedynie do si lnika Carnota. Silniki rzeczywiste, w których na cykl
pracy składają się procesy nieodwracalne, mają mniejsze sprawności . Jeżeli twój
samochód byłby napędzany si lnikiem Carnota, jego sprawność obliczona na pod
stawie równania (21.11) byłaby równa około 55%: w rzeczywistości jej wartość
jest bl iska 25%. Elektrownia jądrowa (rys. 21.11), wzięta jako całość, również
jest si lnikiem. Pobiera ona energią w postaci ciepła z rdzenia reaktora, wykonuje
prace, napędzając turbiny, i odprowadza pozostałą energię w postaci ciepła do
rzeki . Jeżeli elektrownia działałaby jak si lnik Carnota, jej sprawność sięgałaby
około 40%; rzeczywista sprawność jest zbliżona do 30%. Projektując jakikol
wiek typ silników, nie da się w żaden sposób pokon ać ogranicz enia wynikająceg o
z równania (21.11).
S i l n i k S t i r l i n g a
Równanie (21.11) nie stosuje się do wszystkich si lników idealnych (odwracal
nych),
lecz tylko do takich silników-, których działanie opisuje wykres z rysunku
21.8 — czyli si lników Carnota. Na przykład wykres z rysunku 21.12 przedstawia
cykl Stirl inga dla si lnika idealnego. Porównując jego działanie z cyklem Carnota
przedstawionym na rysunku 21.8. widzimy, że w obydwu si lnikach wymiana
ciepła z otoczeniem zachodzi w przemianach izotermicznych w temperaturze
7
G
i Tz - Jednakże w przeciwieństwie do si lnika Carnota, w którym izotermy
były połączone adiabatami. w si lniku Stirl inga łączą je izochory — linie opisu
jące przemianę przy stałej objętości (rys. 21.12). Aby w odwracalnym procesie
w stałej objętości zwiększyć temperaturę od Tz do TQ (odcinek da na rysunku
21.12) , trzeba pobrać energię w postaci ciepła ze zbiornika cieplnego, którego
temperaturę można zmieniać w sposób ciągły między skrajnymi temperaturami
cyklu. Przepływ ciepła w drugą stronę następuje w procesie bc . Widzimy więc,
\
[ \F
G
dl
V w \
b
objętość
Rys. 21 .12 . Wykonany we ws
nych p- V wykres cyklu substa
boczej idealnego silnika Stirlin
uproszczenia przyjęto, że substa
boczą jest gaz doskonały
21 .4. Entropia w świecie rzeczywistym: silniki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 288/329
że odwracalne przepływy ciepła (i związane z tym zmiany entropii) zac
we wszystkich czterech przemianach składających się na cykl Stirlinga,
w dwóch jak w przypadku silnika Carnota. Dlatego wyprowadzenia, które
wadziło nas do równania (21.11), nie można powtórzyć w przypadku ide
silnika Stirlinga. Wydajność idealnego silnika Stirlinga jest mniejsza niż w
padku silnika Carnota pracującego ze zbiornikami o tych samych tempera
Rzeczywiste silniki Sti rlinga mają jeszcze niniejsze wydajności.
Silnik Stirlinga został opracowany
w 1816
roku przez Roberta Stirling
nik ten, przez długi czas niedoceniany, jest obecnie adaptowany do napędu
chodów i statków kosmicznych. Udało się już zbudować silnik Stirlinga o
5000 KM (czyli 3,7 MW).
•SPRAWDZIAN 3 : Trzy silniki Carnota współpracują ze zbiornikami cieplnymi o
peraturach: a) 400 i 500 K, b) 600 i 800 K oraz c) 400 i 600 K. Uszereguj te silniki w
ich sprawności, zaczynając od jej największej wartości.
21.3
ze zbiornikami cieplnymi
T
G
=
850
K
oraz
T
Z
=
300 K.
W
każdym cyklu,
0,25 s,
silnik wykonuje pracę równą 1200
J.
Ile
wynosi sprawność tego silnika?
że O T
sprawność
n
silnika Carnota zależy tylko
od
T
Z
/Tq ( W
kelwinach) zbiorników cieplnych
Z równania (21.11) mamy więc
T
Z
300 K
n = 1 - — = 1 = 0,647 :
T
G
850
K
i 65%. (odpowiedź)
Ile
wynosi średnia moc tego silnika?
że
O T
średnia moc P silnika jest równa stosunkowi
w trakcie cyklu do czasu trwania
Dla rozważanego silnika Carnota mamy
W 1200 J
P = — = = 4800 W = 4,8 kW. (odpowiedź)
t
0,25 s
Ile ciepła
| Q
G I jest pobierane w każdym cyklu ze zbiornika
że
O T
dla każdego silnika — w tym także dla
— sprawność n jest zdefiniowana jako stosu
w trakcie cyklu do energii
\Q
0
\
po
w
postaci ciepła
ze
zbiornika
o
wyższej temperaturze
n = W/\Q
q\). Mamy więc
W 1200 J
n 0,647
(odpowiedź)
d) Jaka energia | Qz\ jest odprowadzana w każdym cyklu d
nika
o
niższej temperaturze?
ROZWIĄZANIE:
Zauważmy, że O T dla silnika Carnota praca W wykon
w trakcie cyklu jest równa różnicy energii pobieranej i odd
w postaci ciepła: \Qq\ — \ Qz\ (równanie (21.6)). Dlatego
IGz
\Qo\-W =
1855 J -1 2 00 J
=
655
J.
(odpo
e) Ile wynosi zmiana entropii substancji roboczej związan
braniem przez nią energii w postaci ciepła ze zbiornika o w
temperaturze? Ile wynosi zmiana entropii wynikająca z o
w postaci ciepła energii
do
zbiornika
o
niższej temperatur
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy, że
O T
zmiana entropii A S podczas przepływ
gii Q w postaci ciepła w stałej temperaturze T wyraża się
niem (21.2) (AS
= Q/T).
Dlatego
w
przypadku dopływu
Qq ze
zbiornika
o
temperaturze
Tq
entropia substancji ro
zmienia się o
Go 1855 J
ASo =
T
G
850
K
:
+2,18
J/K .
(odpo
Podobnie
w
przypadku odpływu energii
<2z do
zbiornika
nego
o
temperaturze
T
z
mamy
A S
Z
=
Oz
Tz
-655 J
300
K
= -2,18 J/K. (odpo
Zwróć uwagę, że wypadkowa zmiana entropii substancji ro
w trakcie jednego cyklu jest równa zeru,
o
czym wspomin
już ,
wyprowadzając równanie (21.8).
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 289/329
21.4
że zbudował silnik, który, współpra
ze zbiornikami cieplnymi o temperaturze wrzenia i krzep
Czy
jest
to
możl iwe?
że ©-nr
sprawność s i lnika rzeczywis tego
(w
k tórym
i następują straty energii) musi
być mniejsza niż sprawność silnika Carnota korzystające
zbiorników cieplnych
o
takich samych temperaturach.
Z
ró
(21.11) wynika,
że
sprawność silnika Carnota działające
zbiornikami o temperaturze wrzenia i krzepnięcia wody w
T
G
=
1
(0
+
273)
K
(100
+
273)
K
= 0 ,268
«
27%
Dlatego silnik współpracujący
ze
zbiornikami
o
podane j
raturze nie mo że os iągnąć sprawności 75% .
S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń
1: Język termodynamiki
i technicznych poświęconych termody
się
bogatego , chociaż czasem wprowadzającego
na przykład znaleźć s twierdzenia, że cie
od
a t akże , że przepływa ono od j e dne go do
wy
że
ciała
mają
ciepło ( jakby ciepło można było mieć
lub że ciepło rośnie , wzras ta , maleje lub spada.
co
m a m y
na
myśl i , kiedy
ko
z terminu ciepło:
Ciepło
to
energia przekazywana przez jedno ciało dru
giemu
w
wyniku różnicy temperatur między tymi ciałam i.
że
jak ieś ciało jest częścią nasz ego układ u,
Q
do układu uznajemy za ciepło
a
taki wypływ energi i
Q z
układu
za
ciepło ujemne.
Używanie terminu praca także wymaga zachowania
ności . Możecie bowiem przeczytać,
że
praca jes t wykon
generowana
lub
ciepło ulega przemianie
w
pracę. Oto
jak
rozumieć termin praca:
Praca to energia przekazywana przez jedno ciało dr
giemu
za
pośre dnictw em siły działającej międz y tymi ci
łami.
Kiedy s twierdzamy, że jakieś ciało jes t częścią rozważ
układu, dowolny tego rodzaju przepływ energi i poza układ
cza dodatnią pracę W wykonaną przez układ lub ujemną pr
wykonaną
nad
układem. Jakikolwiek tego typu przepływ
gii
do
układu ozn acza ujemną p racę
W
wykonaną przez
lub dodatnią pracę W wykonaną nad układem. (Musisz u
czy użyto przyimka przez
czy nad). Bez
wątpienia m oże
mylące
—
zawsze, kiedy spotkasz s łowo praca, musisz uw
przeczytać,
w
jakim kontekście zostało
ono
użyte .
Entropia w świecie rzeczywistym: chłodziarki
w energii od zbiornika o niższej tempera turze do zbiornika o wyższej tempera
rze , powtarzając w tym celu cykl procesów termodynamicznych. W domowych
Urządzenia kl imatyzacyjne i pompy cieplne to także chłodziarki . Różnica
trz budynku. Pompa cieplna służy natomiast do ogrzewania zamkniętego
ieszczenia; w tym przypadku pokój jest zbiornikiem o wyższej temperaturze,
którego ciepło przepływa z chłodniejszego otoczenia. Można więc ją nazwać
21.5. Entropia
w
świecie rzeczywistym: chłodziarki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 290/329
t
CV
j
Schemat
chłodziarki .
Dwie
strzałki na pętli w środkowej czę
rysunku pokazują, że substancja ro
jest poddana przemianie cyklicz
podobnie jak na wykresie p-V.
robocza pobiera ze zbiornika
niższej tempera tu rze energię w postaci
Qz i oddaje energię w postaci cie
a
<2
G
do zbiornika o wyższej tempe
Pewne urządzenie znajdujące się
otoczeniu wykonuje nad chłodziarką
substancją roboczą) pracę
W
Zajmijmy się teraz chłodziarką idealną:
W
idealnej chłodziarce wszystkie procesy są odwracalne i
nie "ma
rozpraszania en
wynikającego na przykład z tarcia lub turbulencji.
Na rysunku 21.13 przedstawiono idealną chłodziarkę, która działa odwrotn
silnik Carnota z rysunku 21.7. Innymi słowy wszystkie przepływy ener
zarówno w postaci ciepła, jak i pracy — zachodzą w kierunkach przeciwny
w silniku Carnota. Taką idealną chłodziarkę nazywamy chłodzia rk ą Car
Zadaniem konstruktora chłodziarki jest pobranie jak największej energi
ze zbiornika cieplnego o niskiej temperaturze (energia odebrana), wyk
przy tym ja k najmniejszą pracę
\W\
(„energia, za którą płacimy"). Wyd
chłodziarki możemy zdefiniować następująco:
K
energia odebrana |Gz
energia dostarczona \W\
(współczynnik wydajności
dowolnej
chłodziarki),
(21
gdzie
K
oznacza
współczynnik wydajności.
Dla chłodziarki Carnota, odw
się do pierwszej zasady termodynamiki, możemy napisać \W\ = \QG\ —
gdzie |<2G I oznacza energię przekazaną w postaci ciepła do zbiornika o w
temperaturze. Równanie (21.12) przybiera wtedy postać
IGzI
K
c
=
(
\QG\-\QZ\
Ponieważ chłodziarka Carnota to silnik Carnota działający w odwrotnym
runku, możemy połączyć ze sobą równania (21.8) i (21.13). Po dokonaniu
nych przekształceń otrzymamy
Kr =
T
G
-Tz
(współczynnik
wydajności chłodziarki Carnota). (21
r
r
t
s. 21 .1 4. Schemat chłodziarki dosko
która pobiera energię w postaci
ze zbiornika chłodnego i oddaje
do zbiornika gorącego bez potrzeby
jakiejkolwiek pracy
Współczynnik wydajności
K
dla typowych klimatyzatorów pokojowy
wartość bliską 2,5. Dla lodówek domowych K « 5. Zauważ, że wart
jest tym większa, im mniej różni się temperatura obydwu zbiorników ciep
Właśnie dlatego pompy cieplne są bardziej efektywne w klimacie umiarkow
niż w takim, w którym zachodzą znaczne wahania temperatury.
Byłoby miło mieć chłodziarkę, która nie wymaga wykonywania żadnej
— nie trzeba by podłączać jej do kontaktu. Na rysunku 21.14 przedstawio
kie „marzenie konstruktorów", którym jest chłodziarka doskonała; pobie
ciepło Q ze zbiornika o niskiej temperaturze, oddaje do zbiornika o w
temperaturze i nie wymaga wykonywania pracy. Ponieważ urządzenia tego
pracują cyklicznie, entropia substancji roboczej nie ulega zmianie w trakc
nego cyklu. Jednakże entropia obydwu zbiorników cieplnych się zmienia. Z
entropii jest równa —\Q\/Tz dla zbiornika zimnego oraz +\Q\/TQ dla zb
gorącego. Łączna zmiana entropii całego układu jest więc równa
IGI IGI
T
Z
T
G
•
AS = --
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 291/329
T Q > T
Z
, prawa s t rona tego równania ma wartość ujemną i dochodz imy
że
wypadkow a zmiana en t ropi i uk ładu zam knię tego chłodziarka
w pe łn ym cyklu pracy jes t ujemna. Po nieważ zm nie jszanie
z drugą zasadą te rmodynamiki ( równanie (21.5)) , nie
ją do kontaktu) .
Ot rzymany wynik prowadz i nas do jeszcze jedn ego (równo ważneg o) s for
Nic można przeprowadzić ciągu procesów, których jedynym rezul tatem jes t oddanie
energi i
w
postaci ciepła przez ciało chłodniejsze ciału cieplejszem u.
chłodziarka doskonała
nie
istnieje.
4
Wyob raź sobie ,
że
chcesz zwiększyć współczyn nik wydajności
Czy
możesz
to
os iągnąć:
a)
podnosząc nieco temperaturę kom ory
b) obniżając nieco temperaturę kom ory chłodn iczej , c) przenosząc chłodziarkę
czy d)
przenosząc
ją do
chłodniejszego pom ieszczenia?
z
tych operacji wiąże się
z
taką samą bezwzględną zmianą temperatury.
te
operacje według w spółczynnika wydajności , zaczynając od jeg o największej
S p r a wn o ś ć s i l n i k ó w r z e c z y w i s t y c h
r]c
oznacza sp rawno ść s i lnika Carn ota wspó łpracującego
z
dwoma zbior
o us ta lonych tempera turach. W tym paragraf ie udow odnim y,
z tych samych zbiorników c ieplnych nie
niż n
c
.
Jeże l i s i lnik mia łby większą sprawność ,
to sprzeczne z drugą zasadą te rmodynamiki .
Za łóżmy, że pewien wyn alazca , pracując w swoim garażu, skonstruował s i l
ik
X,
k tóry
—
jak twierdz i
— ma
sprawność
r\x
większą niż
r/c:
Vx >
nc
( twierdzenie wyn alazcy). (21.15)
C o
G'z
r
T
r
,
silnik
'-'<•
I,
a)
t
chłodziarka
Carnota
t
t
chłodziarka
doskonalą
Q
r S
b)
Rys.
2 1 . 1 5 .
a)
Silnik
X
napędza
dziarkę Carnota,
b)
Jeżeli silnik
naprawdę większą sprawność
niż
Carnota,
ja k
twierdzi jego wyna
to układ
z
rysunku (a) jes t równo
przedstawionej tu chłodziarce dos
łej.
Narusza
to
drugą zasadę term
namiki , co pozwala wywnioskow
sprawność s i lnika
X nie
może być
sz a
od
sprawności s i lnika Carnota
2 1 . 6 .
Sprawność silników rzeczywistych
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 292/329
Połączmy teraz s i ln ik X z chłodziarką C arnota , tak jak poka zano na
21.15a. Dopasujemy suwy chłodziarki Carnota w taki sposób, aby pr
trzebna w ciągu jednego cyklu była dokładnie równa pracy dostarczan
silnik
X.
W ten sposób nasz układ
silnik + chłodziarka
(rys . 21.15a) n ie
żadnej pracy dostarczanej z zewnątrz .
Jeżel i n ierówność (21.15) jes t prawdziwa, to z definic j i sprawności (r
(21.9)) mamy
\W\ ^ \W\
I G
G
I
>
Ifiol'
gdzie symbol pr im odnosi s ię do s i ln ika X, a wyrażenie po prawej s tronie
ności jes t sprawnością chłodziarki Carnota wykorzystanej w rol i s i ln ika .
ta wymaga, aby była spełniona nierówność
I G G I > IGÓ
Ponieważ praca wykonywana przez s i ln ik X jes t równa pracy nad chło
Carno ta , z p ie rwsze j zasady te rmodynamik i ( równan ie (21 .6 ) ) wyn ika , ż
\Qa\-\Qz\ = \Q'Q\
-\Q'
Z
U
co możemy przep isać w pos tac i
\Qo\ -\Q'a\ = \Qz\ -\Q'
Z
\ = Q-
Ze względu na re lację (21.16) wartość Q w równaniu (21.17) musi być d
Porównując zależności (21.15) i (21.17) , widzimy, że efektem pracy
złożonego z s i ln ika X i chłodziarki Carnota jes t przepływ energii w postac
G od zb io rn ika z imnego do zb io rn ika gorącego , k tó ry n ie wymaga wyko
pracy. Oznacza to , że rozważany układ pracowałby jako doskonała chło
z rysunku 21.14, k tórej is tn ienie jes t jednak sprzeczne z drugą zasadą t
namik i .
Widzimy więc, że coś jes t n ie tak przynajmniej z jednym z naszych z
Prob lem może do tyczyć jedyn ie re lac j i (21 .15) . Możemy więc wywnio
że żaden silnik rzeczywisty nie może mieć sprawności większej niż siln
nota współpracujący ze zbiornikami cieplnymi o tych samych temperatura
na jwyżej sp rawność obydwu s i ln ików może być jednakow a . W tak im prz
silnik X jes t s i ln ikiem Carnota .
2 1 . 7 .
Statystyczne spojrzenie na entropię
W rozdz ia le 20 p rzekona l i śmy s ię , że makroskopowe właśc iwośc i gazów
opisać , odwołując s ię do z jawisk mikroskopowych, w których uczestnic
steczki . Przypomnij sobie , że c iśnienie wywierane przez gaz na śc ianki z
można było wyrazić przez pęd, k tóry przekazują śc iankom odbija jące s ię
cząsteczki gazu. Dziedziną f izyki , w której w ten sposób opisuje s ię właś
uk ładów cząs tek , nazywa s ię m ech an i ką s ta tys tyczn ą .
Skoncentrujemy teraz naszą uwagę na zagadnieniu rozkładu l iczby
gazu w dwóch połówkach izolowanego zbiornika. Problem ten, k tóry s tos
ła two przeanalizować, pozwala wykorzystać mechanikę s ta tystyczną do ob
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 293/329
ej samej war tości zmiany en tropi i , jak uzyskana z rozważań termod yna
Na rysunku 21.16 widzimy zbiornik zawierający sześć identycznych (a więc
lewej ,
a lbo w prawej połowie zbiornika. Ponieważ obję
połówe k zbiornika są takie same , jednak owe są także prawd opodo bieństw a
Sześć cząsteczek w zbiorniku
Konfiguracja
Oznaczenie n\ n
2
Wielokrotność
W
Obl iczenie
W
E n t ro p ia [ 1 0
- 2 3
J/K]
(liczba mikro stanów ) (równ anie (21.18)) (równ anie (21.19))
I
I I
III
IV
6 0
5 1
4 2
3 3
1
6
15
20
6 / (6 -0 ) = 1
6 / ( 5 - l ) = 6
6 / (4 -2 ) = 15
6 / ( 3 - 3 ) = 2 0
0
2,47
3,74
4,13
Łączna l iczba mikrostanów = 64
W tabel i 21.1 wymieniono cztery z s iedmiu możl iwych konfiguracji, które
(n
2
— 0). Trzy konfiguracje
ienion e w tabel i to : V — podzia ł (2 , 4) , VI — pod ział (1 , 5) oraz VII
mikrosta-
Przyjrzyjmy się teraz , jak mo żem y obl iczyć l iczbę mikrostanów odpow ia
Za łóżmy, że mamy N cząsteczek rozłożonych tak, że n\ cząsteczek znajduje
w lewej poło wie zb iornika , a n
2
w prawej (przy czym n\+n
2
— N). Wyobraźmy
eraz, że każdorazowo „ręcz nie" umieszcza my cząsteczki w jednej lub drugiej
N = 6 , to pierwszą cząsteczkę możemy wybrać na sześć
a p ie , c zy li 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - l = 7 2 0 . W m a t em a ty c e t ak i i lo c zy n k ole jn yc h l ic z b
= 720 i czytamy „sześć s i ln ia" . Być może twój kalkulator pozw ala
= 1. (Sprawdź ten wynik za pom ocą sw ojego kalkulatora) .
Ponieważ jednak cząsteczki są nierozróżnialne, n ie wszystkie spośród 72 0 ich
n\ — 4 i n
2
= 2 (konfiguracja III z tabeli
kolejność wkładania czterech cząsteczek do lewej połowy zbiornika nie
enia , ponieważ po d okonaniu wyb oru nie da się już określ ić , w jakiej
o cząsteczki . L iczba sposobów , w jaki mo żna ot rzym ać dany
terech cząsteczek, jest równa 4 , czyl i 24. Podobn ie l iczba sposobów
Q
- T
• r ; '
a ) ,
izola
ciep
b )
1
Rys. 21.16. Izolowany c ieplnie zbi
zawiera sześć cząsteczek gazu. K
cząs teczka z j ednakowym prawdop
bieństwem może się znaleźć w lewe
prawej połowie zbiornika . Układ z
sunku (a) odpowiada konfiguracj
z tabel i 21.1, a układ z rysunku (b
konfiguracji IV
2 1 . 7 . Statystyczne spojrzenie na entropię
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 294/329
umieszczenia dwóch cząs teczek w prawej połówce zbiornika jes t równa
po pros tu 2. Aby otrzymać l iczbę
różnych
układów cząs tek prowadzą
pod zia łu (4, 2) , jak w konfigurac ji I I I , musim y pod zie l ić 720 przez 2 4, a n
przez 2. Otrzy maną wartość , która okreś la l iczbę mikros tanó w odpowia
danej konf igurac j i , nazywamy wielokrotnością konfiguracji . Dl a konfigu
mamy więc
Wi
6
720
III
= 15.
4
•
2 2 4 - 2
Z tabe l i 21.1 wyn ika , że is tnie je 15 niezależnych mikros tan ów odpowia
konfiguracji III. Z tabeli 21.1 wynika też, że łączna liczba mikrostanó
cząs teczek w s iedmiu możl iwych konfigurac jach jes t równa 64.
Uogólnia jąc rozważania dla 6 cząs teczek na przypadek
N
cząs tecze
W =
« i • n
2
\
(wielokrotność konfiguracj i ) .
(2
Powinieneś sprawdzić , że równanie (21.18) da je poprawne
wszystkich konfigurac j i wymienionych w tabe l i 21.1.
Podstawowe za łożenie mechaniki s ta tys tycznej brzmi:
wie lok
Wszystkie mikrostany są tak samo prawdopodobne.
r
entralne
maks imum
konfiguracji
0 25 50 75 100%
procentowa zawartość cząsteczek
w lewej połowie zbiornika
Rys.
21 .17 . Wykres l i czby mikros tanów
w zależności od procentowej zawartości
cząs teczek w lewej połowie zbiornika
w przypadku wielkiej liczby cząsteczek
w zbiorniku. Niemal wszystkie mikro
s tany odpowiadają w przybl iżeniu rów
nemu rozkładowi l iczby cząs tek w oby
dwu połówkach zbiornika . Wspomniane
mikrostany dają na wykres ie maksimum
centralne. D la N ^ 1 0
2 2
cząs teczek sze
rokość maksimum jes t zbyt mała, by
możliwe było przedstawienie je j na tym
wykresie
Oz nacza to, że jeże l i wy konal ibyśm y bard zo dużo fotograf ii sześc iu
czek porusza jących s ię po zbiorn iku z rysunku 21.16 i pol iczyl i , ile razy
wowaliśmy dowolny z mikros tanów, okaza łoby s ię , że każdy z 64 mikr
występował równie częs to. Mówiąc jeszcze inacze j , s twierdz i l ibyśmy, ż
tyle samo czasu przebywał w każdym z 64 mikros tanów.
Poniew aż mikros tany są jedna kow o prawdo pod obn e , a le różny m ko
cjom odpowiadają różne l iczby mikros tanów, konfigurac je nie są równ
dopodobne . Z tabe l i 21.1 wynika , że konf igurac ję IV tworzy 20 mikr
i dla tego jes t to najbardziej prawdopodobna konfiguracja, o prawdop
stwie wystąpienia 20/64 = 0,313. Otrzymany wynik oznacza , że układ
3 1 , 3 % czasu w konfiguracji IV. Konfiguracje I i VII, w których wszyst
s teczki przebywają w jednej z połówek zbiornika , są na jmnie j prawdop
Prawdopodobieństwo wystąpienia każdej z nich to 1/64 = 0,016, czyl i 1,
powinno nas dz iwić , że na jbardz ie j prawdopodobna jes t ta konf igurac ja ,
cząs teczki rozkłada ją s ię po równo między dwiema połówkami zbiorn
nieważ właśnie tego spodziewamy s ię w s tanie równowagi te rmodyna
Dziwi jedn ak, że jes t niezerowe, choc iaż ma łe prawdopod obieńs two zgr
nia s ię wszystkich cząs tek w jednej z połówek zbiornika , podczas gd
połow a pozostaje pus ta . W przykład zie 21.5 wykażem y, że jes t tak, p
sześć cząs teczek to bardzo mało.
Dla wie lkich wartośc i
N
l iczby mikros tanó w są olbrzymie , a le prawie
kie mikros tany odpowiadają konf igurac jom, w których cząs teczki są rów
nie roz łożone między obydwie połówki zbiornika ( rys . 21.17) . Chociaż m
wartośc i c iśnienia i tempera tury są s ta łe , gaz w zbiorniku nieus tannie
27 8 2 1 . E n tr opi a i d r uga z a s a d a t e r m odyna m i k i
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 295/329
a jeg o cząs teczki z rów nym prawd opo dob ieństw em „odwiedzają" wszystkie
braźmy sobie, że w zbiorniku z rysunku 21 .16 znajduje 100
m
= 5 0 i n
2
= 5 0? A ile konfiguracji m = 100 i
n
2
= 0?
O T
wielokrotność
W
konfiguracj i nierozróżnial
(ni, n
2
)
= (50 , 50) mamy
_ N\ _
100 _ 9,33
•
1 0
1 5 7
~ n
x
\-n
2
\ ~
5 0
•
50 "~ (3,04
•
1 0
6 4
) ( 3 , 0 4
•
1 0
6 4
)
= 1,01 • 1 0
2 9
. (odpowiedź)
Podobnie dla konfiguracj i (100,0) mamy
n i • n
2
\
100
1 1
100 0 0 1
= 1.
(odpow
Widzimy, że prawdopodobieństwo wystąpienia konfig
(50,
50) jes t około 1
•
1 0
2 9
( l iczba, którą t rudno sobie wyo
razy w iększ e niż konfiguracji (1 00, 0) . Jeżeli potrafilibyś
czyć mikrostany z szybkością 1 na nanosek undę , obl iczenie
wszystkich mikrostanów odpowiadających konfiguracj i (5
zajęłoby około 3 • 1 0
1 2
lat, czyli z grubsza 750 razy dłuż
is tnieje Wszechświat . Jes t tak, chociaż 100 cząs teczek to
bardzo m ało. Postaraj s ię wyob razić sobie , jakie wyniki u zy
byśmy, rozważając mniej więcej mol cząs teczek (np.
N =
Nie musimy s ię więc obawiać, że wszystkie cząs teczki pow
w pokoju znajdą s ię nagle w jednym jego kącie
S i wie lo
W dla danej konf igurac j i . Za leżność ta ma postać
S = k
ln
W
(wzór Bol tzmanna na ent ropię ) . (21.19)
Jes t z rozumia łe , że entropia S powinna być związana z wie lokrotnośc ią
funkcją logarytmiczną . Całko wita entropia dwóch układów jes t sumą
iloczynowi nieza leżnych praw
Inab =
a +
ln
b ,
loga ry tm wyda je s i ę log icznym powiązaniem obydwu wymienionych
W tabel i 21.1 podano entropie różnych konfigurac j i układu sześc iu cząs te
Obl iczenie w ie lokro tnośc i W na pods tawie równania (21 .18) wymaga wy
21 .7 . S ta tys tyczne spoj rzenie na ent rop ię
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 296/329
dopodobniej zasygnalizuje błąd wynikający z przepełnienia. Na szczęści
bardzo dobre przybliżenie, zwane wzorem Stirlinga, które pozwala wy
war tość wprawdzie nie AM ale ln N\, czyli wie lkości, która występuje w r
(21.19). Wzór Stirlinga ma postać
ln N\ « A/(ln A/) - N (wzór Stirlinga).
Stirling — autor tego wzoru nie jest tą samą
osobą,
co pomysłodawc
Stirlinga.
•SPRAWDZIAN
5 :
Zbiornik zawiera jeden mol gazu. Rozważ dwie konfig
a) każda połowa zbiornika zawiera połowę cząsteczek i b) każda jedna trzecia zb
zawiera jedną trzecią cząsteczek. W której z konfiguracji jest więcej mikrostanów?
Przykład 21.6
W przyk ładzie 21.1 wykazaliśmy, że kiedy n moli gazu dosko
nałego
na
drodze rozprężania swobodnego dw ukrotnie zw iększa
zajmowaną objętość, wzrost entropii od s tanu początkowe go P do
stanu końcowego K jest równy Sg — Sp = nRln2. Wyprowadź
to równanie, korzystając
z
mechaniki s tatystycznej .
R O Z W I Ą Z A N I E :
Zauważmy,
że:
—w 1
. Dzięki równaniu (21.19) (S =
k ln W)
możemy powiązać
ntropię S dowolnej konfiguracji cząsteczek gazu z wielokrotno
ścią
W tej
konfiguracji. Interesują nas dwie konfiguracje: końcowa
K (cząsteczki gazu zajmują pełną objętość zbiornika
—
rysunek
1 . I b )
i
początkowa
P
(cząsteczki zajmują lewą połowę zbior
ika) .
" ™ t
2 .
Ponieważ cząsteczki znajdują
się w
zamkniętym zbior
iku, możemy obliczyć wielokrotności mikrostanów, korzystając
równania (21.18) .
W n
molach gazu mamy
N
cząsteczek.
Po
się w lewej połowie zbior
a
więc
ich
konfigurację « i ) można zap isać jako (N,
0).
że wielokrotność jest równa
w
postaci
(N/2, N/2).
Równanie (21.18)
_
AM
W k o 6 c
~ ( W / 2 ) •
(N/2)\'
że entropia dla s tanu początkowego
ma odpowiednio war tości
S„ocz
=
k ln Wpc-cz
=
k ln 1 = 0
oraz
S
k o ń c
= *ln WW =
k\n(N\)
-
2fcln[( iV/2) ] .
Zapisując równanie (21.21) , skorzystal iśmy
z
tożsamośc
a
ln — = ln a
— 2
ln b.
b
Teraz, korzystając z przybliżenia (21.20) , przystępujemy
kształcenia równania (21.21)
S
M c
= * m
( A n ) - 2
* m
[ ( A 7 2 ) ]
= *[iV(ln N)~N\- 2k[(N/2) ln(N/2) - (N
= k[NQn
N) - N - N
\n(N/2)
+ N]
= k[N(lnN) - N(\nN-ln2)] = Mfcln2.
Z paragrafu 20.3 wiemy, że i loczyn Nk można zastąpić
gdzie
R
jest stałą gazową. Dzięki temu równanie (21.22)
postać
Skońc = nR\n2.
Zmiana entropii między stanem początkowym a końco
więc równa
•Skońc — Spocz
=
nRh\2
—
0 = nR\n2, (od
czyli dokładnie taka,
jak
chciel iśmy
to
wykazać .
W
dzie 21.1 wyznac zaliśmy przyrost entropii dla rozpręż
bodnego, szukając równoważnego procesu odwracalneg
czając zmianę entropii w tym procesie w zależności o
t empera tu ry i i lości przekazywanego ciepła. W obecn
k ładzie ,
w
ramach mechaniki s tatystycznej uzyskaliśmy
przyrost entropii, odwołując się do faktu, że układ s
z cząsteczek.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 297/329
Przemiany
tej nie
możn a przepro
w odwrotnym kierunku, dokonując niewielkich zmian
AS
układu,
w
k tórym
ta
przemiana zachodzi.
a to, że entropia zależy tylko od stanu układu, a nie zależy
w
jaki sposób u kład osiągnął
ten
stan. Postulat entro
że: W wyniku przemiany nieodwra
w układzie zamkniętym entropia tego układu
Zm iana entropii AS będąca wy
od
P
do stanu końcowego
K,
jest dokładnie
AS w dowolnej przemianie odwracalnej,
stanu do drugiego. Zmianę
w przem ianie odw racalnej mo żna obliczyć, korzystając
AS — Ąońc
—
^pt
Kom
" I
d g
T '
(21.1)
Q oznacza energię przekazywaną w postaci c iepła do lub
a T
jest temperaturą układu
w
trakcie przemiany,
wy
w kelwinach.
Dla odwracalnej przemiany izotermicznej równanie (21.1)
się do postaci
AS 5|a,ńc Sr QC7.
fi
(21.2)
w
wyniku prze
w porównaniu z temperaturą układu, przybliżoną
za pomocą równania
Q_
AS — Ąx>iic •Spc
(21.3)
T
ST
jest średnią temperaturą układu podczas przemiany.
Zmiana entropii AS gazu doskonałego poddanego odwra
od
stanu początkowego
P
( temperatura
r
pocz
p o c z
) do stanu końcow ego K (temperatura r
ko
ń
c
i ob
Vkod
c
) jest równa
AS — Sl
0
,;
c
—
S
n o c z
= nRln
Vko,
+ nC
v
ln - (21.4)
Zasada ta jest rozwinięciem po
Jeżeli przemiana zachodzi w układzie
to
entropia układu wzrasta
w
przypadku przemiany
i nie zmienia się w przypadku przemiany odwra
nie maleje. Drugą zasadę termodynamiki
w postaci nierówności
A S >0 .
(21.5)
Silniki
Silnik jest urządzeniem pracującym cyklicznie , k
biera energię w postaci ciepła
|
Q
G
|
ze zbiornika o wyżs
peraturze
i
wykonuje pewną pracę
\W\.
Sprawność
n
dow
silnika definiujemy jako
n •
energia uzyskana
I f i o l "
energia dostarczona
W si lniku idealnym wszystkie przemiany są odwracaln
występuje rozpraszanie energii w wyniku na przykład ta
turbulencji. Silnik Carnota jest silnikiem idealnym, któr
w cyklu przedstawionym na rysunku 21.8. Sprawność silni
nota jest równa
1c
1
I f iz l
I f io l
= 1
T
G
'
(21 .10
gdzie TQ
i Tz
oznaczają odpowiednio temperaturę gorąceg
nego zbiornika. Sprawność silników rzeczywistych jest
mniejsza niż obliczona na podstawie rów nania (21.11) .
ność silników idealnych, które
nie są
silnikami Carnota,
jest niniejsza niż określona równaniem (21.11).
Silnik doskonały jest pewnym abstrakcyjnym urząd
które całą energię pobraną w postaci ciepła zamienia n
Takie działanie naruszałoby jedna k drugą zasadę termody
której a lternatywne sformułowanie brzmi: Nie jest możliwy
ciąg procesów, którego jedynym wynikiem byłoby pobr
zbiornika energii w postaci ciepła i całkowita zamiana
pracę.
Chłodziarki Chłod ziarka jest urządzen iem, które pracu
klicznie, wykorzystuje wykonaną nad nim pracę W, a by z
nika chłodnego pobrać energię w postaci ciepła | f izl- Wsp
nik wydajności
K
chłodziarki definiujemy jako
energia odebrana | Q
z
I
W
K =
energia dostarczona
Chłodz iarka Carnota to silnik Carno ta pracujący w
nym cyklu. Dla chłodziarki Carno ta równ anie (21.12) pr
postać
I f i z l T
z
I f i o l - I f i z l
TG-TZ
(21 .13
Chłodziarka doskonała to
abstrakcyjne urządzenie, k
zbiornika chłodnego pobiera energię w postaci ciepła i w
oddaje ją także w postaci ciepła do zbiornika o wyższej t
turze, nie wymagając przy tym wykonywania jakiejkolwiek
Takie działanie naruszałoby drugą zasadę termodynamiki,
alternatywne sformułowanie brzmi: Nie ma takich przemia
rych jedynym rezulta tem jest przekazanie energii w postac
od ciała chłodniejszego do ciała cieplejszego.
Entropia
w
ujęciu statystycznym
Entropię układu moż n
niować, odwołując się do liczby możliwych rozkładów two
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 298/329
mikrostanem układu. Wszystkie
konfiguracją
wielo
W konfiguracji.
W przypadku układu zawierającego N cząs teczek, które
NI
W=—
- , (21.1 8)
n i • n
2
\
n\ oznacza l iczbę cząs teczek w jednej połow ie zbiornika,
2 — l iczbę cząs teczek w drugiej połowie zbiornika. Podsta
mechaniki statystycznej jes t jednako we praw
dopodobieństwo występowania wszystkich mikrostanów. D
konfiguracje układu o dużej wielokrotności występują cz
Kiedy N jes t bardzo dużą l iczbą (na przykład N = 1 0
więcej), cząsteczki prawie cały czas przebywają w konfig
w której n\ = n
2
.
Wielokrotność konfiguracj i W i entropia S układu dla
konfiguracj i są powiązane wzorem Boltzmanna
S = klnW, (
gdz ie k = 1,38
•
1 0 ~
2 3
J /K jes t s ta łą Bol tzmanna.
Jeżeli
W
jes t bardz o dużą l iczbą (co zw ykle jes t prawd
wartość ln /V mo żna obl iczyć za pom ocą
wzoru Stirlinga:
\nN\^N(lnN)~N. (
Pytania
•
połow y jeg o objętości . Czy w wyn iku tego procesu entropia
W czterech doświadczeniach dwa bloki A \ B o różnych tempe
Po pewny m czasie os iągają one jednakow ą tem peraturę koń
W załączonej tabel i podano zmiany entropi i we wspomnia
A i bloku B.
Blok
A
B
Punkt P na rysunku 21.18
T. Uwzględniając
owadzają gaz od
P
do stanu
A, B, C
i
D.
Wartości
5
T + AT
T-AT
objętość
Rys. 2 1 . 1 8 . Pytanie 3
Gaz doskonały znajdujący s ię w kontakcie cieplnym ze zbiorni
K za pomocą czterech odwracalnych przemian zazna
Rys.
2 1 . 1 9 . Pytanie 4
cieplny. Za każdym razem
zacznij od największej war
tości.
5 . Gaz ulega rozprężeniu
swobodnemu od objętości V
do 2V . Następnie gaz roz
pręża s ię swobod nie od obję
tości 2V do 3V. Czy łączna
zmiana entropi i w dwóch
kolejnych przemianach jes t
większa, mniejsza, czy taka
sama, jak w przypadku, gdyby gaz od razu uległ swobod
rozprężeniu od objętości V do 3V?
6 . Trzy s i lniki Carnota współpracują ze zbiornikami ciep
o temperaturach: a) 400 K i 500 K, b) 500 K i 600 K
c) 400 K i 600 K. Każdy s i lnik w ciągu jedn ego cyklu p
ze zbiornika gorącego taką samą ilość energii. Uszereguj
według pracy, jaką wykonują w trakcie jedn ego cyklu. Zacz
wartości największej .
7 .
Czy w trakcie jedn ego c yklu: a) s ilnika Carnota, b)
rzeczywis tego i c) s i lnika doskonałego (którego oczywiśc
można zbudować) entropia wzras ta , maleje , czy też poz
stała?
8 .
Wyobraź sobie , że pozostawiasz na ki lka godzin otwarte
lodówki . Czy temperatura w kuchni wzrośnie , zmaleje , cz
ulegnie zmianie? Przyjmij założenie, że kuchnia jes t pomie
niem zamknię tym i dobrze i zo lowanym.
9. Czy w trakcie jednego cyklu: a) chłodziarki Carnota, b)
dziarki rzeczywis tej i c) chłodziarki doskonałej (której o czyw
nie można zbudować) entropia wzras ta , maleje , czy też poz
stała?
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 299/329
0.
Zbiornik zawiera 100 atomów, które są rozłożone tak, że
iguracją z szybkością 100 miliardów na sekundę. Nie
ć takie liczenie — dzień, rok czy dłużej niż rok?
1
. Na rysunku 21.20 przedstawiono^wykonane w chwili t = 0
a i b umieszczonych w zbiorniku, takim jak
i v, a ich zderzenia ze sobą nawzajem i ze ściankami zbiornika
ste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdjęcia wykonane
t = 0,1 L/v i b) t = 10 L/v wykażą, że cząsteczka a
znajduje się w lewej części zbiornika, a cząsteczka b w częś
wej? c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej późn
chwili cząsteczki znajdujące się w prawej części zbiornika
energią kinetyczną równą połowie całkowitej energii kinety
cząsteczek?
a |
Qb
i
R ys . 2 1 . 2 0 .
Pytanie 11 |—L-~|«-
L
H*
2 L
Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod
ręcznika: http://www.wiley.com/college/hrw
Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,
wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learning-
Ware (na tej samej stronic)
Zmiana entropii
Próbka gazu doskonałego o wielkości 2,5 mola jest poddana od
pia gazu? | v,-
Jaka ilość ciepła została dostarczona próbce gazu doskona
jeżeli jej entropia w wyniku odwracalnego rozprężenia izo
Cztery mole gazu doskonałego zostały poddane w temperatu
T = 400 K odwracalnemu rozprężaniu izotermicznemu od
Vi do objętości V
2
= 2V\. Oblicz: a) pracę wykonaną
z gaz i b) zmianę entropii gazu. c) He wyniesie zmiana en
Gaz doskonały ulega w temperaturze 77°C odwracalnemu roz
1,3 1 do 3,4 1. Zmiana entropii gazu wynosi 22 J/K. Ile moli
Oblicz: a) energię pobraną w postaci ciepła i b) zmianę entro
•
K). ilw
Jednoatomowy gaz doskonały o temperaturze początkowej
(
w
kelwinach) ulega rozprężeniu od objętości V
0
do objęto
i 2VQ w pięciu procesach przedstawionych na wykresie T-V
(rys.
21.21). Która z przemian jest rozprężaniem: a) izoter
nym, b) izobarycznym (stałe ciśnienie) i c) adiabatycznym?
sadnij swoje odpowiedzi, d) W której z przemian entropia
się zmniejsza?
2,5T
n
2,07/n
1,5T
7 o h —
0,637/0
i
i
Ąli
l
i
i
i
i
i
i
V
0
2V
0
objętość
Rys. 2 1 . 2 1 .
Zadanie 6
7.
a) Ile wynosi zmiana entropii kostki lodu o masie 12 g,
ulega całkowitemu stopieniu w wiadrze wody o temperaturz
nimalnie większej od temperatury topnienia lodu? b) Ile w
zmiana entropii łyżki wody o masie 5 g, która w całości wy
wuje po wylaniu jej na płytę o temperaturze minimalnie wi
od temperatury wrzenia wody?
8.
Próbka jednoatomowego
gazu doskonałego o wiel
kości 2 moli ulega odwra
calnej przemianie przedsta
wionej na wykresie z ry
sunku 21.22. a) Ile ener
gii w postaci ciepła pobiera
gaz? b) Ile wynosi zmiana
energii wewnętrznej gazu?
c) Jaką pracę wykonuje gaz
podczas tej przemiany?
S 400
a 200
e
5 10 15
entropia [J/K]
Rys. 21 .22 .
Zadanie 8
Z a d a n i a
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 300/329
. W pewnym doświadczeniu zmieszano w s tarannie izolowanym
•
K)) o tem
0 .
Przyjmij , że początkowe temperatury bloków L i P w nie
b) jego zbiornika cieplnego, c) bloku P, d) jego zbiornika
1 . Wykorzystaj układ z rysunku 21.6, aby wykazać, że w przy
2 . Dwuatomowy gaz do
21 .23 . Przyjmując
war tośc i p\, Vi,
i R, oblicz: a) p
2
, pi i T
3
W, ciepło Q,
E
W
i zmian ę entropi i A S
. izoterma
adiabata
Vi
3 K
Ł
objętość
Rys. 2 1 . 2 3 . Zadanie 12
3 . Blok miedzi o masie 50 g i temperaturze 400 K umiesz
4 .
Jeden mol j ednoa tomow ego gazu doskona łego przeprowa
p i objętość V) do stanu
2p i objętość 2V), poddając go dwóm róż
p-V.
p i V: b) ener
miany, c) pracę wykonaną przez gaz podczas każdego etapu
miany, d) zmianę energi i wewnętrznej gazu £
w
,końc — £w,p
e) zmianę entropi i gazu S
końc
- S
p 0 C
z -
1 5 . Kostkę lodu o masie 10 g i temperaturze — 10°C wr
do jeziora, którego temperatura jes t równa 15°C. Oblicz z
entropi i układu kostka lodu- jezioro do chwil i , kiedy lód os
równow agę termod ynam iczną z jeziorem . Ciepło właściwe
wyno si 2220 J / (kg K).
(Wskazówka:
Czy lód wpłyn ie na t
raturę jeziora?)
1 6 .
Kostkę lodu o masie 8 g i temperaturze — 10°C um ies
w termosie zawierającym 100 cm
3
wody o temperaturze
0 i le zmieni s ię entropia układu lód-woda do chwil i , kiedy
gnie on s tan równowagi termodynamicznej? Ciepło właściw
wynos i 2220 J / (kg-K) .
1 7 . Mieszanina 1773 g wody i 227 g lodu znajduje s ię p
kowo w s tanie równowagi termodynamicznej w temperaturz
Następnie w przemianie odwracalnej mieszanina jes t przep
dzana do innego s tanu równowagi , w którym w temperaturz
s tosunek wagowy wody i lodu wynosi 1:1. a) Oblicz zmian
tropi i układu w opisanym procesie . (Ciepło topnienia lod
nosi 333 kJ /kg.) b) Następnie w przemianie nieodwracaln
przykład za pomocą palnika Bunsena) zostaje przywrócony
początkowy układu. Oblicz zmianę entropi i układu w tym
cesie , c) Czy udzielone odpowiedzi są zgodne z drugą z
te rmodynamiki?
1 8 . Cylinder zawiera n m ol i j ednoa tomowego gazu doskon
Zmiana entropi i gazu w wyniku odwracalnego rozprężania i
micznego od objętości początkowej V
ocz
do objętości koń
Vkoiic opisanego krzywą I na wykres ie p- V z rysunku 21.2
nosi
A S =
ra-Klntyfejńc/^pocz)- (Patrz przykład 21.1). Rozw
teraz przemianę opisaną krzywą I I z rysunku 21.24, która p
na przeprowadzeniu gazu od s tanu początkowego P do s t
na drodze odwracalnego rozprężania adiabatycznego, a n
nie w odwracalnej przemianie izochorycznej (w s tałej obję
od stanu
x
do tego samego co poprzednio s tanu końcowe
a) Opisz, jak m ożna przeprowad zić obydwie przemiany op
krzywą I I . b) Wykaż, że w s tanie x temperatura gazu jes t r
7*
—
7 p
o c z
( V p
0cz
/
V
ko
ńc)
^ •
c) Ile ciepła Q\ jes t do
starczane w procesie I? Ile
ciepła <2n jest dostarc zane
w procesie I I? Czy oby
dwie uzyskane wartości są
sobie równe? d) I le wynosi
zmiana entropi i w proce
s ie I I? Czy zmiana entro
pii w procesie I jest taka
sama? e) Oblicz wartości /
T
x
, Q\, Qn i
A S ,
przyjmu
j ą c
n =
1 r
pocz
=
5 0 0 K
oraz Vkońc/Vpc.cz
=
2 .
izoterm
adiabata
objętość
Rys. 21 . 24 . Z a da n i e 18
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 301/329
9 .
Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany
a
c wzdłuż krzy
abcl Ile wynosi zmiana
b do c i c) w peł
objętości Vo i tempera
T
0
dla stanu a.
.2
2
Po
a
o
'o „
:S3
Po
objętość
Rys. 21 .2 5 . Zadanie 19
4K
n
0 .
Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego o ciśnieniu po
czątkowej V
p o c 2
= 1 m
3
do wartości koń
V
k0 I
j
c
= 2 m
3
. W trakcie tego procesu ciśnienie p i objętość
V są związane zależnością p = 5exp[(V
p 0 C Z
— V)/a], gdzie
jest wyrażone w kilopaskalach, V
p o c z
i V w metrach sześcien
a ma wartość 1 m
3
. Ile wynosi a) ciśnienie końcowe
b) temperatura końcowa gazu? c) Jaką pracę wykonuje gaz,
(Wskazówka: Wyznacz zmianę entropii, odwołując się
Entropia w świecie rzeczywistym: silniki
1 .
Silnik Carnota w każdym cyklu pobiera z grzejnika 52 kJ
2 .
Silnik Carnota, którego chłodnica ma temperaturę 17°C, wy
grzej
3 .
Silnik Carnota, współpracujący ze zbiornikami cieplnymi
• 10
4
J energii w postaci ciepła, a) Ile wynosi
4 .
W hipotetycznym reaktorze termojądrowym paliwem jest ga
o temperaturze około 7 • 10
8
K. Załóżmy, że taki
Tz = 100°C. Ile wynosiłaby sprawność takiego sil
Pb
oraz 60°C. Z jaką szybkością (w kilodżulach na sekundę)
a) pobiera i b) oddaje ciepło?
2 7 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego jest po
odwracalnej przemianie cyklicznej przedstawionej na rys
21 .26 .
Proces bc jest roz
prężaniem adiabatycznym.
W punkcie
b
mamy ciśnie
nie p
b
= 10 atm i ob
jętość V
b
= 1 • 10
3
m
3
.
Oblicz: a) energię pobraną
przez gaz w postaci cie
pła z grzejnika, b) ener
gię oddaną przez gaz w po
staci ciepła do chłodnicy,
c) wypadkową pracę wy
konywaną przez gaz i d)
sprawność cyklu, i w
W
i \
A
X. adiabatą
objętość
Rys. 21.26. Zadanie 27
2 8 . Wykaż, że pole powierzchni ograniczone wykresem
Carnota we współrzędnych temperatura-entropia (rys. 21.9)
wiada wypadkowej energii przekazanej w postaci ciepła subs
roboczej w trakcie jednego cyklu.
2 9 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został po
przemianie cyklicznej przedstawionej na rysunku 21.27.
mijmy, że p = 2po, V —
2V
0
, gdzie p
0
= 1,01 • 10
5
Pa oraz V
0
= 0,0225 m
3
.
Oblicz: a) pracę wykony
waną podczas cyklu, b) cie
pło dostarczane w procesie
abc i c) sprawność cyklu,
d) Ile wynosiłaby spraw
ność silnika Carnota pracu
jącego pomiędzy najwyższą
i najniższą temperaturą tego
cyklu? Jak ma się ta spraw
ność do wartości obliczonej
w punkcie (c)?
-
V
0
,p
0
h-
objętość
Rys. 21.27. Zadanie 29
3 0 .
Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota po
z grzejnika o temperaturze T\ energię w postaci ciepła Q
konuje pracę W\ i oddaje do chłodnicy o temperaturze T
2
e
w postaci ciepła Q
2
. Drugi stopień pobiera energię Q
2
, wyk
pracę W
2
i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temper
Ti energię Q3 Udowodnij, że sprawność dwustopniowego s
jest równa (T\
— TT,)/T.
5 . Silnik Carnota ma sprawność 22%. Różnica temperatury po
6 .
Silnik Carnota ma moc 500 W. Współpracuje on z dwoma
3 1 . Wyobraź sobie, że w skorupie ziemskiej w pobliżu je
z biegunów, gdzie temperatura na powierzchni wynosi —
wywiercono szyb sięgający głębokości, na której panuje tem
tura 800°C. a) Jaka jest największa teoretyczna sprawność s
pracującego między tymi temperaturami? b) Z jaką szybk
byłaby wytwarzana woda w postaci cieczy o temperaturze
Zadania
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 302/329
•
K); c iepło topnienia lodu wynosi 333 kJ /kg. (Zwróć uwagę,
. Jed en mol gazu doskonałego uży to jako substancji rob oczej
BC
DA reprezentują odw racalne przemiany adiabatyczne, a) Czy gaz
Po
Po/32
A
\
\
- Ą
_ l _
D
2V
n
8K
0
objętość
16K„
adiabata
Rys. 21.28. Zadanie 32
3 .
Działanie benzynowego s i lnika spal inowego przedstawia cykl
4
= 4Vi ) .
p
2
=
a) Ob licz ciśnienie
w zależności od ci
pi , t empera tury T\
y war tośc i mo
3
Pl
a Pi
'a
adiabata
objętość
Rys. 21.29. Zadanie 33
4K,
1 . 5 E n t r o p i a w ś w i e c i e r z e c z y w i s t y m : c h ł o d z i a r k i
4 .
Chłodziarka Carnota wymaga 200 J pracy, aby pobrać 600 J
jes t odprow adzane
5 . Klimatyzator pracujący w odwrotnym cyklu Carnota pobiera
zewnątrz , gdzie panuje temperatura 96°F. I le dżul i energi i
nej z pokoju przypada na jeden dżul energi i e lektrycznej d
czanej do kl imatyzatora?
3 6 . Si lnik elektryczny napędza pompę cieplną, która prze
ciepło z zewnątrz budynku, gdzie panuje temperatura —5
pomieszczenia, w którym jes t 17°C. Załóż, że pompa ciepln
pompą cieplną Carnota (pracuje w odwrotnym cyklu Carnot
dżul i c iepła doprowadzonego do pokoju przypada na każd
zużytej energii elektrycznej?
3 7 .
Pompa cieplna s łuży do ogrzewania budynku. Na ze
jes t —5°C, a wewnątrz należy utrzymywać temperaturę
Pompa w ciągu każdej godziny dostarcza do budynku 7,5
energi i w postaci c iepła , a je j w spółczynnik wydajnośc
równy 3,8. Przyjmijmy, że pompa pracuje w odwrotny
klu Carnota. Z jaką szybkością t rzeba wykonywać prac
pompą?
3 8 .
Jakiej pracy wymaga chłodziarka Carnota, aby przek
dżul energi i w postaci c iepła pomiędzy zbiornikami o temp
rach: a ) 7°C i 27°C , b) -73°C i 27°C , c ) -173°C i 27°C o
- 223° C i 27° C ?
3 9 .
Klimatyzator chłodzący pomieszczenie o temperaturze
oddaje ciepło w temperaturze 70°F i ma zdolność chłodzącą
Btu/h. Jego współczynnik wydajności jes t równy 27% wa
którą miałaby chłodziarka Carnota pracująca pomiędzy ty
mymi temperaturami. Jaka jes t moc s i lnika napędzającego
tyzator (w koniach mechanicznych)?
4 0 . Si lnik lodówki ma moc 200 W. He wynosi maksymalna
gia, którą lodówka może w ciągu 10 minut odprowadzić z k
chłodniczej , jeżel i panuje w niej temperatura 270 K, tempe
powietrza na zewnątrz wynosi 300 K, a współczynnik wyda
jes t taki sam jak w przypadku chłodziarki Carnota?
4
1 . Grzejnik i chłodnica s i lnika Carnota mają odpowiedni
peraturę T\ i T
2
. Si lnik napędza chłodziarkę Carnota, która
dzi komorę o temperaturze T$ i oddaje ciepło w temperatu
(rys.
21.30). Wyz nacz s tosunek
Qi/Q\
w zależności od w
temperatury T\, T
2
, T
3
i TĄ.
i
{ h
W
c h ł o d z i a r k a
silnik
Rys. 21.30. Zadanie 41
2 1 .
En tropia i druga zasad a term ody nam iki
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 303/329
1 , 7 S t a t y s ty c z n e s p o j r z e n i e n a e n t r o p i ę
2 1 . 1 opisującą konfiguracje
N cząs teczek, jes t równa 2
N
. Sprawdź tę zależność dla
2 1 . 1 .
N cząs teczek gazu rozłożonych po równo
N = 5 0 . a) Ile wy
(Wskazówka: Patrz zadanie
3 .
c) Ile czasu (procentowo) spędza układ w konfiguracji cen
N =
100 .
e) Powtórz obl iczenia z punktów (a)- (c) dla przy
N = 2 0 0 .
f) Możesz s twierdzić , że wraz ze wzrostem
N
przebywa krócej (a nie dłużej) w konfiguracji środkowej.
śnij, dlaczego tak jes t .
45. Zbiornik zawiera TV cząs teczek gazu. Wyobraź sobie ,
on podzielony na t rzy równe części , a) Uogólnij rów nanie
(
aby wyrażało ono w ielokrotność dowolnej konfiguracji , b) R
dwie konfiguracje: konfigurację A — identyczna l iczba cząs
we wszystkich t rzech jednakowych częściach zbiornika i ko
rację
B
— identyczna l iczba cząs teczek w połowach zbio
I le wynosi s tosunek wielokrotności obydw u konfiguracj i W
A
/
c) Oblicz stosunek W
A
/W
B
d la N =
1 0 0 .
(Ponieważ l iczb
nie jes t podzielna przez 3 , w przy padku konfiguracji A u
w jednej z t rzech części zbiornika 3 4 cząs teczki , a w dwó
zostałych p o 3 3 cząs teczki) ,
www
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 304/329
» DODATEK A
M i ę d z y n a r o d o w y
Układ Jednostek (S I ) *
Wielkość
długość
natężenie prądu elektrycznego
temperatura termodynamiczna
ilość substancji
światłość
Nazwa
metr
kilogram
sekunda
amper
kelwin
mol
kandela
Symbol
kg
Definicja
K
mol
cd
„długość drogi przebytej przez światło w próżni w c
1/299792458 sekundy" (1983)
„ten prototyp [pewien walec z platyny i irydu] będzie o
uważany za jednostkę m asy" (1889)
„czas trwania 9192631770 okresów fali promieniow
odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami
subtelnymi s tanu podstawowego atomu cezu-133" (1967
„natężenie s tałego prądu elektrycznego, k tóry — pł
w dwóch równoległych, n ieskończenie d ługich , prosto l
wych przewodach o znikomo małym, kołowym przekr
umieszczonych w p różni w odległości 1 metra od s iebi
wywołuje między tymi przewodami s i łę równą 2 • 1 0~
7
tona na każdy metr d ługości przewodu" (1946)
„1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu
tró jnego wody" (1967)
„ilość substancji układu zawierającego liczbę cząstek ró
liczbie atomów zawartych w 0 ,012 k ilograma węgla
(1971)
„światłość, jaką m a w danym kierunku źródło emitu jące
mieniowanie elektromagnetyczne o częstości 540 • 1 0
1 2
ców i k tórego natężenie promieniowania w tym kierunku
równe 1/683 wata na steradian" (1979)
* Na podstaw ie pracy „The Internation al System of Units (SI)", National B ureau of S tandards
Special Publication 330, 1972 edition. Przytoczone definicje zostały przyjęte przez Konfe
rencję Ogólną ds . Miar i Wag (ciało międzynarodowe) w podanych w tabeli la tach . Kandela
nie jest używana w niniejszej książce.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 305/329
Wielkość
Symbol
pole powierzchni
metr kwadratowy m
2
objętość metr sześcienny m
3
częstość herc
Hz
s -
1
gęstość
ki logram na metr sześcienny
kg / m
3
prędkość metr na sekundę
m/s
prędkość kątowa radian na sekund ę rad/s
przyspieszenie
metr na sekundę kwadrat
m /s
2
przyspieszenie kątowe
radian na sekundę kwadrat
r a d / s
2
siła niuton
N
kg • m /s
2
ciśnienie
paskal Pa
N / m
2
praca, energia, ciepło dżul
J N - m
moc
wat W
J/s
ładunek elektryczny kulomb
c
A - s
napięcie elektryczne, różnica potencjałów,
s i ła e lektromotoryczna
wolt
V
W / A
natężenie pola elektrycznego wolt na metr ( lub niuton na kulomb ) V/m N/C
opór elektryczny
om n
V/A
pojem ność elektryczn a farad
F
A • s/V
strumień magnetyczny weber W b
V
•
s
indukcyjność
henr H
V- s/A
indukcja magnetyczna tes la
T
W b / m
2
natężenie pola magn etycznego amper na metr
A/m
entropia
dżul na kelwin
J/K
ciepło właściwe dżul na ki logram i kelwin
J/(kg • K)
przewodność cieplna
wat na metr i kelwin
W/(m • K )
natężenie promieniowania wat na steradian W/sr
Wielkość Nazwa jednostki Symbol
kąt płaski radian rad
kąt bryło wy steradian sr
A 2
Dodatek A. Międzynarodowy Układ Jednostek (SI )
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 306/329
Niek tó re pods tawowe
stałe f izyczne*
Stała
prędkość światła w próżni
ładunek elementarny
stała grawitacyjna
uniwersalna stała gazowa
stalą Avogadra
stała Boltzmanna
stała Stefana-Boltzmanna
obję tość molowa gazu doskonałego
0
stała elektryczna
stała magnetyczna
stała Plancka
masa elektronu"
1
m
e
9,11
•
1 0 ~
3 1
kg 9,1093 81 88
0,079
5,49 • 1 0 "
4
u
5,485 799 110
0,0021
masa p ro tonu
d
m
p
1,67
•
l f T
2 7
kg
1,67262158 0,079
1,0073 u
1,007 27 646 6 88 1,3- 1 0 -
4
stosunek masy protonu do masy elektronu
m
p
/m
e
1840
1836,152 667 5
0,0021
stosunek ładunku elektronu do masy elektronu
e/ m
e
1,76- 10
1 1
C/kg
1,758 820174 0,040
masa neutronu
d
m„
1,68 • 1 0 ~
2 7
kg
1,674927
16
0,079
1,0087 u
1,008 664915 78
5,4
•
1 0 ~
4
masa a tomu wodoru
d
Wl
1,0078 u 1,007 825 03 16
0,0005
masa a tomu deuteru
d
2,0141 u
2 , 0 1 4 1 0 1 7 7 7 9 0,0005
masa a tomu helu-4
d
4.0026 u
4 ,002603 2 0,067
Symbo l Wartość zaokrąglona
c 3,00
•
1 0
8
m/s
e 1,60- 10"
1 9
C
G
6,67
•
1 0 - " m
3
/ ( s
2
•
kg)
R 8 ,31 J / (mol -K)
NA
6.02
•
1 0
2 3
m o l "
1
k
1.38
•
1 0 "
2 3
J/K
a 5,67
•
1 0~
8
W / ( m
2
•
K
4
)
v
m
2,27 • 1 0 "
2
m
3
/mol
Bo
8,85 • 1 0 ~
1 2
F/m
Mo
1,26
•
1 0 -
6
H/m
h
6.63
•
1 0 ~
3 4
J
•
s
Wartość najbardziej
Niepewność
dokładna
2
(1998)
względna
6
2,997 924 58
(dokładnie)
1,602176462 0,039
6,673
1500
8,314472
1,7
6 , 0 2 2 1 4 1 9 9
0,079
1,380650
3 1,7
5.670400 7,0
2 ,271098 1
1,7
8,854187 817 62
(dokładnie)
1,256 637 06143
(dokładnie)
6,626068 76
0,078
* Wartości zebrane w tej tabeli wyb rano z wartości zalecanych przez CO DATA w 1998 r.
(patrz: www.physics.nist .gov) .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 307/329
Niepewn
względn
masa mionu
m\i
1,88 • 1 ( T
2 8
kg
1,883 531 0 9
0,084
moment magnetyczny e lekt ronu
Me
9,28
•
1
( T
2 4
J/T
9,28 476 3 62 0,040
moment magnetyczny protonu
M
P
1,41 •
I O "
2 6
J/T
1,410 606 663 0,041
magneton Bohra
Mb
9,27 • 1 ( T
2 4
J/T 9,27 400 8 99 0,040
magneton jądrowy
MN
5,05 •
I O "
2 7
J/T
5,050 783 17 0,040
promień Bohra
a
B
5 , 2 9 - 1 0 "
1 1
m
5,291 772 083 0,0037
stała Rydberga
R 1,10- 10
7
n r
1
1,097 373 156 854 8 7,6 • 1
comptonowska długość fali elektronu
Ac
2,43 • 1 0 ~
1 2
m 2,426 310 215 0,0073
a
W ar tośc i w te j ko lum nie na l eży pomn ożyć p rze z t ę s amą po tęg ę l i czby 10 i j edn os tkę co odpowie dn ie wa r tośc i zao krąg lone ,
k W j e d n o s t k a c h 1 0
-
^ (mi l ionowych częśc i ach ca łośc i ) .
C
W warunkach no rmalnych t empera tu ry (0°C) i c i śn i en i a (1 ,0 a tm, czy l i 0 ,1 MPa) .
d
A t o m o w a j e d n o s t k a m a s y 1 u = 1,660538 7 3 • 1 0 ~
2 7
kg.
A 4 Do datek B. Niektóre pod staw ow e sta łe f izyczne
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 308/329
UDODAT E K C
Niek tó re dane
as t ronomiczne
W y b r a n e
odege
o d
10
8
m
1 0
1 1
m
do Księżyca
3
3,82 •
do Słońca
3
1,50 •
do najbliższej gwiazd y (Proxima Centau ri) 4,04 • 1 0
1 6
m
a
O d l e g ł o ś ć ś r e d n i a .
do środka naszej Galaktyki
do galaktyki Andromedy
do granicy obserwowalnego Wszechświata
2, 2 • 1 0
2 0
m
2,1 • 1 0
2 2
m
~ 1 0
2 6
m
Właściwość
Jednostka S łońce
Ziemia
Księżyc
masa
kg
1,99- 10
3 0
5,98 • 1 0
2 4
7,36 • 1 0
2 2
średni promień
m
6,96 • 1 0
8
6,37 • 1 0
6
1,74 • 1 0
6
średnia gęstość
k g / m
3
1410 5520 3340
przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni m / s
2
274
9,81
1,67
prędkość ucieczki
km/s 618 11,2
2,38
okres obrotu"
37 d na biegunach
b
,
23 h 56 min
27,3 d
26 d na równiku
b
27,3 d
całkowita moc promieniowania
0
W 3,90 • 1 0
2 6
a
M i e r z o n y w z g l ę d e m o d l e g ł y c h g w i a z d .
b
S ł ońce — będ ące ku lą gazu — n ie ob r aca s ię j ak c ia ło sz tywn e.
c
Tuż nad a tmosf er ą Z iem i ener g ia s łoneczna docier a do pow ier zch n i p r os topad łe j do k ier un ku padan ia z szybkośc ią 1340 W /m
2
.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 309/329
Merkury Wenus Ziemia M ars Jowisz
Saturn Uran
Neptun
Plu
średnia odległość od Słońca, 10
6
km 57,9
108
150
228
778
143ii
2870 4500 590
okres obiegu, lat
0,241
0,6 15 1.00 1,88
11.9 29,5 84,0 165 248
okres obrotu \ d
58,7
- 2 4 3
b
0,997
1.03
0,409.
0,426 - 0 , 4 5 l
b
. 0,658 6,3
prędkość na orbicie , km/s
47,9
35,0
29,8 24,1 13,1
9,64
6,81 5,43
4,7
. nachylenie os i względ em
płaszczyzny orbi ty < 28° % 3 °
23,4° 25,0° 3,08° 26,7°
97,9°
2 9 , 6
:
57,
nachylenie orbi ty względem
orbity Ziemi 7,00° 3,39°
1,85° 1,30° 2,49° 0,77° 1,77° 17
mimośród orbi ty
0,206 0,0068
0,0167 0,0934
0,0485
0,0556
0,0472
0,0086
0,2
średnica równika, km
4880
12100
12
800 6790
143
000 120000
5 1 8 0 0
49 500
230
masa (masa Ziemi = 1) 0.0558 0,815
1,000
0,107"
318 95,1 14,5
17,2
0,0
gęstość (gęstość wody = 1) 5,60 5,20
5,52 3,95
1,31
0,704
1,21 1,67 2,0
przyspieszenie grawitacyjne
na powierzchni
0
, m / s
2
3,78 8,60 9,78 3,72 22,9 9,05 7,77 11,0 0,5
prędkość ucieczki
0
, km /s 4,3 10.3 11,2 5,0 59.5 35.6
21,2
23,6
1.1
liczba znanych satelitów
0 0
1
2 16"
I 8
e
17
e
8
e
1
a
M i e rzo n y w zg l ęd em o d l eg ł y ch g w i azd .
b
Wenus i Uran obracają s i ę w k ierunku przeciwnym do ruchu po orb icie .
c
P rzyspieszenie grawi tacyjne j es t mierzone na równiku p lanety .
d
+ p ierścień .
e
+ p ierścien ie .
A 6 Doda tek C . Niektóre da ne as t ronomiczn e
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 310/329
DODATEK D
•
10 ~
3
obrotów,
•
2 ,778
•
1 0~
3
obrotów. Jednostki SI zapisano czcionką półgrubą. Tabele zostały przygotowane
Elements of Physics,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
° rad ianó w obrotów
1 stopień = 1 60 3600 1,745 • 10 ~
2
2,778
•
1 0 ^
3
1 minuta = 1,667
•
1 0 "
2
1 60 2,909
•
1 0 ~
4
4 ,630
•
1 0 "
5
•
10~
4
1,667
•
I O "
2
1 4,848
•
1 0 ~
6
7,716
•
1 0 ~
7
1 rad ian = 57 ,30 3438 2 ,063 • IO
5
1 0,1592
1 obrót = 360 2,16
•
1 0
4
1,296
•
1 0
6
6,283 1
1 pełny kąt bryłowy = 4tc steradtanów = 12,57 steradianów
1 centymetr = 1
1 met r = 100
1 ki lometr = 10
5
1 cal (in) = 2,540
1 stopa (ft) = 30,48
miła (lądowa) = 1,609 • 1 0
5
-io
™
m e t r ów
I O "
2
1
1000
2,540
•
I O "
2
0,3048
1609
km
io-
5
I O "
3
1
2,540
•
1 0 ~
5
3,048
•
1 0 ~
4
1,609
fermi = 10
-15
1 rok świet lny = 9 ,460 • 10
1 :
1 parsek = 3 ,084 • 1 0
1 3
k m
cali
0,3937
39,37
3,937
•
1 0
4
1
12
6,336 • 1 0
4
stóp
3,281
3,281
3281
8,333
•
I O "
2
1
5280
mil
1 sążeń
6 stóp
1 p ro m i eń B o h ra = 5,292
•
1 0
- 1 1
m
6 , 214 - I O "
6,214
•
1 0 ~
0,6214
1,578
•
1 0 "
1,894
•
1 0 ~
1
1 jard = 3
1 n m = 1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 311/329
crrr
ft
2
1 metr kwadratowy = 1
1 centymetr kwadratowy = 10~
4
1 stopa kwadratowa = 9,290
• ]
0 "
2
1 cal kwadratowy = 6,452 • 10 ~
4
1
mila kwadratowa = 2,788 • 10
7
ft
2
=
640 a krów
1 barn
=
1 CT
2 8
m
2
10,76
1,076 • 10-'
10
4
1
929,0 1
6,452 6,944 • 10~
3
1
akr =
43 560 ft
2
1
hektar = 10
4
m
2
=
2,471 akrów
1550
0,1550
144
1
1 metr sześcienny = 1
1 centymetr sześcienny = 10~
6
1 litr = 1,000
•
I0 "
3
1 stopa sześcienna = 2,832 • 10~
2
1 cal sześcienny = 1,639
•
10~
3
cm
10
6
1
1000
2,832 - 10
4
16,39
1 galon amerykański
- 4
kwarty
=
231 i n
3
1 galon angielski
=
277,4 irr
=
1,201 galo nów amerykański ch
1 (litrów)
1000
1,000-
ITR
3
1
28,32
1,639 • 1 0-
2
ft'
35,31
3,531 • 10-
5
3,531 • 10~
2
1
5,787 • 10~
4
6,102- 10
4
6,102
•
10~
2
61,02
1728
1
1 gram = 1
1 kilogram
=
1000
1 atomowa jednostka masy = 1,661 •
1 uncja handlowa (oz) = 28,35
1 funt handlowy (Ib) = 453,6
10-
kg
0,001
1
1,661 • 10
2,835 • 10'
0,4536
u
6,022
6,022
1
1,718
2,732
] 0
2 3
10
2 6
10
2 5
10
2 6
3,527
35,27
5,857
1
16
uncj
IO-
2
funtów
10
-26
2,205 • 10~
3
2,205
3,662 • 10~
2 7
6,250
•
10 ~
2
1
kg/m
3
1 kg/m
3
= 1
I g/cm
3
=
1000
l Ib/ft
3
= 16,02
1 lb/in
3
= 2,768 •
g/cm
3
10
4
0,001
1
J ,602 •
27,68
6,243
62,43
1
17,28
l b / f t
3
1Q-
2
lb/in
3
3.613
•
10~
3.613 • 10"
5,787 • 10-
1
1 rok = 1
1 doba = 2,738 •
I godzina = 1,141 •
1 minuta = 1,901 •
IO"
3
10 -
4
t o -
6
1 sekunda = 3,169 • 1 0 '
8
d
365,25
1
4,167- 10'
2
6.944 • 10~
4
1,157 - 1 0-
5
8,766- 10
3
24
1
1.667- IO"
2
2.778 • 10-
4
mn
5,259 • 10
5
1440
60
1
1,667 • 10-
2
3,156- 10
7
8,640
•
10
4
3600
60
1
Dodatek D. Współczynniki zamiany jednostek
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 312/329
km/h m/s
1 km/h = 1 0,2778
1 m/s = 3,6 1
1 cm/s = 3,6 • 10~
2
0,01
1 mila/h = 1,609 0,4470
1 stopa/s = 1,097 0,3048
mil a morska /h = 1,688 fl /ś
cm/s mil/h ft/s
27,78 0,6214 0,9113
100 2,237 3,281
1 2,237-IO
2
3 ,281-10-
44,70 1 1,467
30,48 0,6818 1
dyn N G kG funtów
dyna = 1 10~
5
1,020 • 10 ~
3
1,020 • 10 ~
6
2,248 • 10~
6
1 N = 10
5
1 102,0 0,1020 0,2248
1 G = 980,7 9,807 • 10~
3
1
0,00.1.
2.205 • 10~
3
1 kG = 9,807 • 10
5
9,807 1000 1 2,205
1 funt = 4,448 • IO
5
4,448 453,6 0,4536 1
gram-sila (G), kilogram-sila (kG) i funt (jednostka siły) są obecnie rzadko stosowane. Są one zdefiniowane na
1 gram-s iła jest to siła ciężkości działająca n a ciało o masie 1 g w standardowych warun kach ciążenia (tzn. gdy
9,80665 m /s
2
); analogicznie dla kilograma-siły i funta.
atm dyn/cm
2
cali wody cm Hg Pa funtów/in
2
funtów/f
1 atmosfera = 1
1,013-IO
6
406,8 76 1,013 - 10
5
14,70 2116
1 dyna/cm
2
= 9,869 • 10~
7
1 4,015 • 10~
4
7,501 • 10~
5
0,1 1,405 • 10
5
2,089 • 10
a
w temp. 4°C = 2,458 • 10~
3
2491 1 0,1868 249,1 3,613 - IO
2
5,202
a
w temp. 0°C =
1,316-
IO
2
1,333 • 10
4
5,353
1 133 3 0,193 4 27,85
1 paskal = 9,869 • IO
6
10 4,015 - IO
3
7,501 • 10~
4
1
1 ,450-10
- 4
2,089-IO
1 funt/in
2
= 6,805 • IO
2
6,895 • 10
4
27,68 5,17 1 6,895 • 10
3
1 144
1 funt/ft
2
= 4,725 • IO
4
478,8 0,1922 3,591 • 10~
2
47,88 6,944 • 10~
3
1
g = 9,80665 m/s
2
) .
6
dyn/cm
2
= 0,1 MPa 1 milibar = 10
3
dyn/cm
2
= 10
2
Pa 1 tor = 1 mm Hg
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 313/329
Dwie ostatnie jednostki nie są — ściśle rzecz biorąc — jednostkami energii , lecz zostały włączone do tabeli dla wygody. Odpowia
im wartości współczynników przeliczeniowych wynikają z relatywistycznej równoważności masy i energii ,
E — mc
2
,
i wyrażają e
wyzwalaną przy całkowitej zamianie na energię masy jednego kilograma lub atomowej jednostki masy u (dwa ostatnie wiersze)
masę, która po całkowitej zamianie na energię daje odpowiednią energię jednostkową (dwie ostatnie kolumny tabeli).
erg
J
cal kWh eV MeV kg
U
1 erg = 1
i o -
7
2,389 •
10~
8
2,778
10"
1 4
6,242
•
IO
11
6,242
10
5
1,113
I O -
- 2 4
670,2
1 d ż u l =
10
7
1 0.2389 2,778
10"
7
6,242 •
1 0
1 8
6.242
IO
1 2
1,113
I O -
- 1 7
6,702 •
1 kaloria = 4,186 10
7
4,186 1 1,163
10"
6
2,613
•
1 0
1 9
2,613 1 0
1 3
4.660
I O -
- 1 7
2,806
kilowatogodzina = 3,600 1 0
1 3
3,600 10
6
8,600
•
10
5
1 2,247 •
1 0
2 5
2,247 1 0
1 9
4,007
I O -
- 1 1
2,413
1 elektronowolt =
1,602
I O "
1 2
1,602
K T
1 9
3,827 •
I O "
2 0
4,450
10"
2 6
1
IO "
6
1.783
10-
- 3 6
1,074-
megaelektronowolt =
=
1.602
i o -
6
1,602
I O -
1 3
3.827 • I O -
1 4
4,450
10"
2 0
I O "
6
1
1,783
I O -
- 3 0
1,074-
1 kilogram = 8,987
1 0
2 3
8,987
1 0
1 6
2,146- 1 0 " 2,497
10'°
5,610
-
1 0
3 5
5,610
1 0
2 9
1
6,022
•
atomowa jednostka masy a
=
1,492 I O -
3
1,492
I O -
[ 0
3,564 • I O - "
4,146
10"
1 7
9,320-
10*
932,0 1,661
•
I O -
-27
1
K M
1 koń mechaniczny = 1
1 kaloria na sekundę = 5,615
•
1 0 "
3
1 ki lowat =1.341
1 wat = 1,341 • 10~
3
cal/s kW W
178,1 0,7457 745,7
1 4 , 1 8 6 - 1 0 "
3
4,186
238,9 1 1000
0,2389 0,001 1
Gs T mGs
1 gaus (Gs) = 1 iO -
4
1000
1 tesla (T) = 10
4
1 1 0
7
1 mil igaus (mGs) = 0,001 IO "
7
1
1 t es l a = 1 weber /m
2
makswel i weberów
1 makswel = 1 10 "
8
1 webe r = 10
8
1
A
1
0
Doda tek D. Współczynniki zam iany jednostek
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 314/329
^ DODATEK
E
r: obwód = 2 T i r ; pole powierzchni = m - .
r: pole powierzchni = 4 7 T r
2
; objętość = | i t r
3
.
r i wysokości h: pole
i t r
2
2nrh; objętość = Tt r
2
/?.
a i wysokości h: pole powierzchni = ^ah.
sin A sin B sin
C
a b c
c
2
= o
1
4
b
2
- 2abco$C.
Kąt zewnętrzny
D = A + C.
D
KWADRATOWE JEGO ROZWIĄZANIE
ax
2
+ bx + c = 0, to x
-b ± Vb
2
- Aac
2a
KĄTA o
f9
cos 6
osy
<9
= - ctg 0 = -
x y
9 =
—
cosec 9 = —
DZENIE PITAGORASA
2
+ b
2
= c
2
.
A, B, C.
a, b, c.
180\
SYMBOLE MATEMATYCZNE
= równa się
równa się w przybliżeniu
~ jest tego samego rzędu wielkości
7 ^ nie jest równe
= jest równe tożsamościowe jest zdefiniowane jako
> jest większe niż (;>> jest dużo większe niż)
< jest mniejsze niż (<g jest dużo mniejsze niż)
jest większe lub równe (czyli nie mniejsze niż)
jest mniejsze lub równe (czyli nie większe niż)
± plus albo minus
OC jest proporcjonalne do
suma
xi,
r
wartość średnia
x
TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE
s i n ( 9 0
° - c 9 ) = cos6?
cos(90° - 9) = sint?
sin
9 /
cos
9
= tg
9
sin"
9 + cos" 9
= 1
sec
2
9 - tg
2
8 = 1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 315/329
osec
2
9 — ctg
2
1
I L O C Z Y N Y W E K T O R Ó W
sin 29 = 2 sin 9 cos 9
cos 29 = cos
2
9 - sin
2
9 = 2 cos
2
0 - 1 = 1 - 2 sin
2
9
sin
(a i ± /J) = sin a cos
/S
± cos a sin
/S
os(a ± B) = cos a cos B q= sin a sin /J
g(a ± /?)
tg a it gj S
1 =f tg a tg 8
sin a ± sin B = 2 sin \ a ± B) cos ~ a B)
os a + cos
B
= 2 cos
|
(a + B) cos
|
(a — B)
cos a
—
cos B = — 2 sin ^ (a + j8) sin £ (a
—
B)
R O Z W I N I Ę C I A F U N K C J I W S Z ER E G I P O T Ę G O W E
nx n(n — l)x~
( x
2
< 1)
* =
1
•
x x
h
2
+
3i
(wzór dwumianowy)
n(l + x) = x -
9
3
in
9 = 9 •
3
9
2
os 9 = 1
2
2
x +
3
x
9
Ą
9
1
29
5
g
9=9
+ J +
~ -
(1*1
< D
(9 w radianach)
(9 w radianach)
(9 w radianach)
kład równań z dwiema niewiadomymi x i y
fljx +
b\y
= Ci oraz a
2
x + ź^ y = C2
y
=
C l
* 1
c
2
^ 2
C ] & 2
- c
2
b
x
O l
i i
a
x
b
2
-
a
2
b\
b
2
« 1
C l
a
2
C 2
a
y
c
2
—
a
2
C\
ai
* 1
a
x
b
2
- a
2
b
x
« 2
Ć>2
Niech i, j i k będą wektorami jednostkowymi kierunków x, y
Zachodzą związki:
i - i = j j = k- k = 1, i - j =j - k = k- i = 0,
i x i = j x j = k x k = 0.
i x j = k, j x k = i, k x i =
j .
Dowolny wektor
ci
o składowych wzdłuż osi x, y i z równych
a
y
i a
z
można przedstawić w postaci
a = a
x
i + a
v
j + «,k.
Niech a, b i c będą dowolnymi wektorami o długościach (mo
łach) a, b i c. Zachodzą związki:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c ) ,
(sa) x b = a x (sb) = s(a x b) (s — skałar).
Niech 9 będzie mniejszym z kątów między wektorami ci
Zachodzą związki:
a • b = b • a = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b, = ab cos 9,
a x b =
—
b x a =
i j k
O. -
Oj> Oj
/', b
y
h
a
x
a
z
b
x
b
z
+ k
a
x
a
y
b
x
b
x
= (a
y
b
z
- ftyflzji + (a
z
b
x
- b
z
a
x
)] + (a
x
b
y
-
b
x
a
y
)k
\a xb\ = ab sin 6,
a • (b xc) = b • (c x a) = c • (3 x b),
ci x (b
xc) = (3 •
c)b — (c i • b)Ć.
12 Dodatek E. Wzory matematyczne
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 316/329
POCHODNE CAŁKI
W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami zmiennej
x, a a i m są stałymi. Do każdej z całek nieoznaczonych należy
dodać dowolną stałą całkowania. Obszerniejsze tablice zawiera
Handbook of Chemistry and Physics (CRC Press Inc.).
1 .
4.
3 .
dx
d
~(au)
ax
du
dx
d
T
x
{u +
du
dx
dx
: mx"'-
1
d
— lnx
dx
1
X
d
~—(u\>)
dx dx
i/-
d
— sin x
dx
= cosx
d
du
dx
9. — cosx :
dx
10 . — tgx = sec
2
x
dx
11 . — ctg x = — cosec x
dx
12.
— sec x = tg x sec x
dx
- ctg x cosec x
3. — cosec x = -
dx
1 4 . A*
=e
»
dx dx
d du
15 .
— sin u = cos u —
dx dx
d du
16 .
— cos u —
—
sin u
—
dx dx
udx
. j audx = a j
3.
j(u + v)dx =
j
udx +
J
f
d i J
f
6.
I
» — di = » r -
I
i)
X
m
d x :
m + l
vdx
(m # - 1 )
ln |x|
d»
— c
dx
sinxdx =
—
cosx
7.
y e
x
dx = e
c
9. J cosxdx = sinx
10 .
j
tg xdx = ln | se cx|
11 .
J
sin
2
;
12 . / e-" dx = —e "
13 .
/ xe-
M
dx =
14 .
/ r c d\
/
/
OC
0
•
;(ax + l)e"
Aa
2
x
2
+ 2ax + 2)e
e-
x
dx
16 .
/ x
2n
e~
ax
djc =
• 3 - 5 - . . . - ( 2 « -
1)
jn
2
+]
a V a
18.
19.
xdx
( x
2
+ a
2)3/2
( A
- 2
+ a
2 ) l / 2
dx x
17 . / ,
d X
= ln(x + sjx
2
+a
2
)
J
Jx
2
+ a
2
I
I
/
( x
2
+ a
2
)
3 / 2
a
1
(x
2
+a
2
yi
2
20.
21
' e -
a
^dx
2o"
(a
> 0)
xdx
x + <i
••
x
—
d
ln(x + <i)
Dodatek E. Wzory matematyczne
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 317/329
' D O D A T E K F
Właściwości pierwiastków
O ile nie podano inaczej , wszystkie dane odnoszą się do ciśnienia 1 atm.
Pierwiastek Symbol
Liczba
atomowa
Z
Masa molowa
[g/mol]
Gęstość [g/cm
3
]
w t e m p . 2 0 C
Temperatura
topnienia [°C]
Temperatura
wrzenia [°C]
Ciepło
wła
[J /(g
• °
aktyn Ac 89 (227) 10,06 1323
(3473)
0,092
ameryk
Am 95 (243) 13,67 1541
—
—
antymon Sb 51 121,75 6,691
630,5 1380 0,205
argon
Ar
18
39,948 1,6626- 1 0 -
3
-189,4 -185,8
0,523
arsen
As 33
74,9216
5,78
817 (28 atm) 613
0,331
astat
At 85 (210)
—
(302)
— —
azot
N 7 14,0067 1,1649- 1 0 ~
3
- 2 1 0 -195,8 1,03
bar
Ba 56 137,34
3,594
729 1640
0,205
berkel
Bk 97 (247) 14,79 — — —
beryl
B e
4 9,0122
1,848
1287
2770
1,83
bizmut
Bi 83 208.980 9,747 271.37
1560 0,122
bohr
Bh 107 262,12
— — — —
bor
B 5
10,811
2,34
2030
—
1,11
brom Br 35 79,909
3,12
(ciecz)
- 7 , 2 5 8
0,293
cer Ce 58
140,12
6,768
804
3470
0.188
cez
Cs 55 132,905 1,873 28,40
690
0,243
chlor
Cl
17
35,453 3,214-
1 0 -
3
( 0° C) - 1 0 1 - 3 4 , 7
0,486
chrom
Cr 24 51,996 7,19 1857 2665 0,448
cyna
Sn
50 118,69
7,2984 231.868 2270
0,226
cynk Zn 30 65,37 7,133 419,58
906
0,389
cyrkon
Zr 40 91,22
6,506
1852
3580 0,276
dubn
Db 105 262,114
— —
— —
dysproz Dy 66 162,50 8,55 1409
2330 0,172
einstein
Es 99
(254)
— — — —
erb Er 68
167,26
9,15 1522
2630
0,167
europ
Eu
63 151,96 5,243
817 1490 0,163
ferm
Fm
100
(237)
— — — —
fluor
F 9
18,9984
1,696- 1 0 ~
3
(0°C)
-219,6
-188,2 0.753
fosfor
P 15
30,9738
1,83
44,25
280 0,741
frans Fr 87 (223)
—
(27)
— —
gadolin Gd 64 157,25 7,90 1312
2730
0,234
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 318/329
Pierwiastek Symbol
Liczba
atomowa Z
Masa molowa
[g/mol]
Gęstość [g/cm
3
]
w temp. 20°C
gal Ga 31 69,72 5,907
german
Ge
32
72,59
5,323
glin Al 13
26,9815
2,699
hafn Hf 72 178,49 ' 13,31
has
Hs 108 (265)
—
hel He 2
4 ,0026 0 ,1664- 10^
3
holm Ho 67 164,930 8,79
ind In 49
114,82
7,31
iryd Ir 77 192,2 22,5
iterb Yb
70
173,04 6,965
itr Y
39
88,905 4,469
53 126,9044
4,93
kadm
Cd 48 112,40
8,65
kaliforn Cf 98
(251)
—
kiur Cm
96 (247)
13,3
kobalt Co 27
58,9332
8,85
krypton Kr 36 83,80
3,488
•
1 0 -
3
krzem Si 14 28,086 2,33
kseno n Xe 54 131,30 5,495 • 10~
3
lantan
La 57 138,91 6,189
lit Li 3 6,939
0,534
lorens Lr 103 (257)
—
lutet Lu
71
174,97 9,849
mag nez Mg 12 24,312 1,738
mangan Mn
25 54,9380
7,44
meitner Mt
109 (266)
~ -
mendelew
Md 101 (256) —
miedź Cu 29 63,54 8,96
mol ibden Mo 42 95,94
10,22
neodym
N d
60 144,24 7,007
neon Ne 10 20,183 0,8387 • 1 0 -
3
neptun Np 93 (237) 20,25
nikiel
Ni
28
58,71
8,902
niob
Nb 41 92,906 8,57
nob el No 102 (255) —
ołów Pb 82 207,19 11,35
osm Os 76
190,2 22,59
pallad Pd 46 106,4 12,02
platyna Pt 78 195,09
21,45
pluton Pu 94 (244) 19,8
polon Po
84
(210)
9,32
potas
K
19
39,102
0,862
prazeo dym Pr 59 140,907 6,773
promet
P m
61
. (145)
7,22
protaktyn Pa
91 (231)
15,37 (oszacował
Temperatura Temperatura Ciepło właśc
topnien ia [°C] wrzen ia [°C] [J/(g
•
°C)
29,75 2237 0,377
937,25 2830 0,322
660 2450 0,900
2227 5400 0,144
- 2 6 9 , 7 - 2 6 8 , 9 5 ,2 3
1470 2330 0,165
156,634 2000
0,233
2447 (5300) 0,130
824 1530 0,155
1526 3030 0,297
113,7 183 0,218
321,03 765 0,226
1495 2900
0,423
- 1 5 7 , 3 7 - 1 5 2
0,247
1412 2680 0,712
- 1 1 1 , 7 9 - 1 0 8 0 , 1 5 9
920 3470 0,195
180,55 1300 3,58
1663 1930 0,155
650 1107 1,03
1244 215 0 0,481
1083,40 2595
0,385
2617 5560 0,251
1016 3180 0,188
- 2 4 8 , 5 9 7 - 2 4 6 , 0 1 , 0 3
637 , — 1,26
1453 2730 0,444
2468 4927 0,264
327,45 1725 0,129
3027 5500 0,130
1552 3980
0,243
1769 453 0 0,134
640 3235 0,130
254 — —
63,20 760 0,758
931 3020 0,197
(1027) — —
(1230) — —
Dod atek F. Właściwości pierwias tków A
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 319/329
Pierwias tek Symbol
Liczba
atomowa Z
Masa m olowa
[g/mol]
Gęstość [g/cm
3
]
w temp. 20°C
Temperatura Temperatura Ciepło właściw
topnie nia [°C] wrze nia [°C] [J/(g • °C)]
rad
Ra 88 (226)
5,0
700
—
—
radon
Rn 86 (222) 9,96 • 1 0 "
3
(0°C)
( - 7 1 ) - 6 1 , 8
0,092
ren
Re 75 186,2 21,02
3180
5900
0,134
rod
Rh 45 102,905 12,41
1963 4500 0,243
r tęć
H g
80 200 ,59 13,55
- 3 8 , 8 7
357 0,138
rubid Rb 37 85,47 1,532 39,49 688
0,364
ruten
Ru 44 10 1,107 12,37
2250 4900
0,239
rutherford
Rf
104
261,11
— —
—
—
samar
Sm 62
150,35
7,52
1072 1630 0,197
seaborg
Sg
106
263,118
— — — —
selen Se
34
78,96 4,79
221 685 0,318
siarka
S 16 32,06 4 2,07 119,0
444,6 0,707
skand
Sc 21 44,956
2,99
1539 2730 0,569
sód
Na 11 22,9898
0,9712
97,85
892 1,23
srebro
Ag
47 107,870 10,49 960 ,8
2210
0,234
stront
Sr 38 87,62 2,54
768 1380
0,737
tal
Tl 81 204 ,37 11,85
304
1457 0,130
tantal
Ta 73 180,948 16,6
3014
5425 0,138
technet
Tc 43 (99) 11,46
2200
—
0,209
tellur Te
52
127,60 6,24
449,5 990 0,201
terb
Tb 65 158,924
8,229
1357
2530
0,180
tlen O 8 15,9994 1,3318 • 1 0 ~
3
- 2 1 8 , 8 0
- 1 8 3 , 0 0 , 9 1 3
tor
Th 90 (232) 11,72
1755
(3850) 0,117
tul
T m
69
168,934 9,32
1545
1720 0,159
tytan Ti
22
47,9
4,54
1670 3260
0,523
uran
U 92 (238)
18,95
1132 3818 0,117
wanad V 23 50,942 6,11 1902 3400
0,490
wapń Ca 20 40,08 1,55 838
1440
0,624
węgiel C
6
12,01115 2,26 3727
4830 0,691
wodór H
1
1,00797 0,08375
• 10~
3
- 2 5 9 , 1 9
-252 , 7 14 , 4
wolfram W
74
183,85 19,3
3380
5930 0,134
złoto
Au 79 196,967 19,32 1064,43
2970 0,131
żelazo Fe 2 6 55,847
7,874
1536,5
3000
0,447
ununnil
Uu n 110 (269)
— — — —
ununun
Uuu 111 (272)
— —
—
ununbi
Unb 112 (264)
— — —
ununtr i
Unt 113
— — — — —
ununkwad Unq 114 (285)
—
—
—
—
ununpent
Unp
115
— —
—
— —
ununheks Unh 116 (292) — — — —
Dla p ie rwias tków promienio twórczych w rubryce „masa molowa" podano w nawiasach war tośc i l ic zby masowe j izo topu o na jd łuższym czas ie życ ia .
Podane w nawiasach war tośc i tempera tury topnienia i wrzenia są n iepewne .
Dane d la gazów odnoszą s ię do ich norma lne j pos tac i cząs teczkowe j , jak H 2 H e , O 2 Ne i td . War tośc i c iep ła właśc iwego gazów odpowiada ją przemianie pod s ta
c iśn ien iem.
Ź r ó d ł o : J . E m s l e y , The Elements, wyd . I I I , C la ren don P ress , Oxford 1998. Is tn ie je t łum . polsk ie : Chemia. Przewodnik po pierwiastkach, W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W
Warszaw a 1997. Informac je o na jnowszych danych i now oodkr ytych p ie rw ias tkach m ożn a zna leźć na s t ronie : w w w . w e b e l e m e n t s . c o m .
A 16
Do date k F. Właściwości pierwiastkó w
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 320/329
iATEK
G
Układ okresowy p ie rw ias tków
metale
alkaliczne
LA
I
I I
I metale
I
1pólmetale
gazy
szlachetne
0
i 2
1
H
IIA ULA
IVAVA
V I A
V
LA
H e
3 5
6 8
9 10
2
L i
B e
metale przejściowe
i
B
c
N O
F
N e
?
i i
N a
12
M g
IIIBIYB
VBVB
VIB
YIIB
A
IB
IIB
A l
14
S i P
16
s
17
C l
u
A r
IIIBIYB
VBVB
VIB IB
IIB
19 20
21 22 23
24
25 26
27
28
29
3 0 3 1 3 2 33 3 4 3 5 3 6
4
K Ca
Sc
T i
V
C r M n F e C o N i C u
Z n
G a G e
A s Se
B r K r
38 39 4 0
41
42 4 3 M
=
46
47
4 S
49
50
51 52
$3
54
5
R b S r Y Z r N b M o T c R u R h P d
A g
C d I n S n S b T e I Xe
55 56 57-71
72 73
"4
75
76
77 78 79
80 81 82
83 84
85 86
6
C s B a
*
H f
T a
W
R e O s I r P t A u
H g
T l P b B i P o A t R n
57
88 89-103 104 105 106
107
108
109 1 1 0 n i
112 113
1 1 4
1 1 5 116
117
11S
7
F r R a
t
R f D b
S g
B h H s
M t
57
58 59 60 61
62
63
64
65
66
67
68
69 70
lantanowcc *
L a
C e P r N d P m S m E u G d
T b D y H o
E r
T m Y b
89 90 91
92
93
94
95
96
97 98 99
100
101 102
A c T h P a U
N p
P u A m C m B k
C f
E s F m M d
N o
N azw y p ierwias tk ów o l i czb ie a tomo wej od 104 do 109 (rutherford . dubn . seaborg , bohr . has i mei tner ) zos ta ły us ta lone pr ze / M
n a r o d o w ą L n i e C h e m i i C z y s t e j i S t o s o w a n e j
1UPAC
w 1997 roku . Pie rw iast ki o li c/ bi e at om ow ej 110 111.
112
114 i 116 zo st
odkryte , l ecz n ie nadano im jeszcze nazw. Informacje o najnowszych danych i nowo odkrytych p ierwias tkach można znaleźć na s t
w w w . w e b e l c m c n t s . c o m .
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 321/329
O D P O W I E D Z I
o s p r a w d z i a n ó w o r a z p y t a ń i z a d a ń
n u m e r a c h n i e p a r z y s t y c h
3
2 .
wprost pod prętem (w tym położeniu moment s i ły
F
g
,
3 .
a) nie; b) w punkcie przyłożenia s i ły
F\,
4 . a) w punkcie
5.
d
B; c) B
3 . a i c (równoważą się siły i
5 . m
2
= 12 kg, m
3
= 3 kg , niĄ = 1 kg 7. a) 15 N
9 .
A, potem B i C
3 .
a) (-27i + 2j) N; b) 176° w kierunku przeciwnym
+x 5 .
7920 N
) ( m g / I ) V i
2
+ r
2
; b)
mgr/L 9 .
a) 1160 N, w dół; b) 1740 N,
1 1 . 74 g 1 3 . a) 280 N; b) 880 N,
1 5 . a) 8010 N; b) 3,65 kN; c) 5,66 kN
. 71,7 N 1 9 . a) 5 N; b) 30 N; c) 1,3 m 2 1 . mg^/lrh - h
2
/(r -
2 3 .
a) 192 N; b) 96,1 N; c) 55,5 N
2 5 .
a) 6630 N; b) 5740 N;
2 7 .
2,2 m
2 9 .
0,34
3 1 .
a) 211 N; b) 534 N; c) 320 N
. a) 445 N; b) 0,5; c) 315 N
3 5 .
a) ześlizguje się dla kąta 31°;
3 7 .
a) 6,5 • 10
6
N / m
2
; b) 1,1 • 10 ~
5
3 9 .
a) 867 N; b) 143 N; c) 0,165
4 1 .
a) 51°; b) 0,64Mg
1 4
2 . a) 1, potem 2 i 4 razem, potem 3; b) odcinka
3 .
kierunek ujemny osi y 4. a) rośnie; b) ujemną
5 .
a) 2;
1
6.
a) 1 (mniejsze, czyli bardziej ujemne
E
daje mniejsze
a),
a
daje mniejsze
T)
3 .
3 G M
2
/ d
2
, w
lewo
5.
a ) 1 i 2 razem, potem 3 i 4 razem; b) 1 , 2 , 3 , 4
7.
E
9.
a) wszystkie razem; b) wszystkie razem
1 1 .
a-d) równe
Z A D A N I A
1 . 1 9 m
3 .
2 9 p N
5 .
1 /2
7. 2 , 6
•
1 0
5
k m
9 . 0 , 0 1 7
N, w kie
kul i o masie
3 0 0
kg
1 1 .
3 , 2 • 1 0 ~
7
N
1 3 .
^ [ l -
8 ( 1
i g
1 5 .
2 , 6 • 1 0
6
m
1 7.
b) 1 ,9 h
2 1 .
4 , 7 • 1 0
2 4
kg
2 3 .
a)
1 0 ^
7
N / k g ) m , b ) ( 3 , 3 • 1 0 ~
7
N / k g ) m , c ) ( 6 , 7 • 1 0 ~
7
N /
m))mr 2 5 . a)
9 , 8 3
m / s
2
; b )
9 , 8 4
m / s
2
; c)
9 , 7 9
m / s
2
2 7 . a)
-
1 0 ^
4
J; b) mniejsza; c) dodatnia; d) ujemna 2 9 . a) 0 , 7 4 ; b
m / s
2
;
c)
5
km/s 3 1 . a)
5 •
l O ^
1 1
J; b)
- 5
•
1 0 ~
N
J 3 5 . a)
m/s; b)
2 5 0
km; c )
1 4 0 0
m /s 3 7 . a)
8 2
km/s ; b)
1, 8
•
1 0
4
3 9 .
2 , 5 • 1 0
4
km
4 1 .
6 , 5 • 1 0
2 3
kg
4 3 .
5 • 1 0
1 0
4 5 .
a) 7 , 8 2
b ) 8 7 , 5 m i n
4 7 .
a) 6 6 4 0 km; b) 0 , 0 1 3 6
4 9 .
a ) 1 , 9 1 0
1 3
m ; b )
5 3 .
0 , 7 1
la t
5 5 .
JGM/L
5 7 .
a ) 2 , 8 l at ; b ) M 0 ~
4
6 1 .
a
b) takiej samej ; c) tak
6 3 .
a ) 7 ,5 km/s ; b) 9 7 min; c ) 4 1 0
d) 7 ,7 km/s ; e ) 9 2 min; f) 3 ,2
•
1 0 "
3
N; g) ni e; h) tak, jeśli
satel i ta-Ziemia uznamy za izolowany
Rozdzia ł 15
S P R A WD ZIA N Y
1 . wszystkie razem 2 . a) wszystkie razem (działająca na ping
siła ciężkości jest taka sama); b) 0 , 9 5a j , Po, i,i PO 3 . 1 3 c
na zewnątrz rury
4 .
a) wszystkie razem; b) 1 , potem 2 i 3 ra
potem 4 ( im szersza rura, tym m niejsza prędkość); c) 4 , 3
(im szersza rura i mniejsza jej wysokość, tym większe ciśni
PYTANIA
1 .
e, potem bid razem, potem a i c razem
3 .
a )
2 ;
b) 1 - mn i
3
- równa, 4 - większa
5 .
a) opadnie na dno; b) opadnie na
7. wszystkie razem 9. a) opuści się; b) opuści się; c) pozos
nie zmieniony
Z A D A N I A
1 . 1,1 • IO
5
Pa,
czyli
1,1 atm 3 . 2 , 9 • 1 0
4
N 5 .
0 , 0 7 4
7. b ) 2
9. 5 , 4 - 1 0
4
Pa 1 1 . a) 5 , 3 - 1 0
6
N; b) 2 , 8 - 1 0
5
N; c) 7 , 4 - 1 0
5
N; d
1 3 . 7 , 2 - 1 0
5
N
1 5 .
^pgS(h
2
-hi)
2
1 7.
1,7 km
1 9 .
a) pgW
b) pgWD
3
/6 ; c) D/3
2 1 .
a ) 7 ,9 km; b) 1 6 km
2 3 .
4 , 4
25 .
a)
2 , 0 4
• 1 0 ~
2
m
3
; b )
1 5 7 0
N
2 7 .
a)
6 7 0
k g / m
3
; b)
7 4 0
k
29 .
a) 1,2 kg; b)
1 3 0 0
k g / m
3
3 1 .
5 7 , 3 cm
3 3 .
0 , 1 2 6 m
3
3 5 .
a
m
2
; b) tak, samochód należy postawić w pobliżu środka tafli ,
była ona pozioma 3 7 . a) 9 ,4 N ; b) 1,6 N 3 9 . 8 ,1 m/s 4 1
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 322/329
W
4 3 .
a) 2,5 m/s; b) 2,6 • 1 0
5
Pa
4 5 .
a) 3,9 m/s; b) 88 kPa
4 7. a) 1,6 • 1 0 "
3
m
3
/s; b) 0,90 m
4 9 .
116 m/s
5 1 .
a) 6,4 m
3
;
b) 5,4 m/s; c) 9,8 • 1 0
4
Pa
5 3 .
a) 74 N; b) 150 m
3
5 5 .
b) 2-10~
2
m
3
/ s
5 7 .
b) 63,3 m/s
59 .
a) 180 kN; b) 81 kN; c) 20 kN; d) O,
e) 78 kPa, f) nie 6 1 . a) 0,05; b) 0,41; c) nie; d) połóż się na
plecach, powoli wyciągnij nogi z płynu i przetocz się na brzeg
Rozdz ia ł
16
SPRAWDZIANY
1 . (naszkicuj zależność x od f). a) —
x
m
;
b ) + x
m
; c) x = 0
2 .
a
(F
musi mieć postać zgodną ze wzorem (6.10))
3 .
a) 5 J; b) 2 J;
c) 5 J
4 .
wszystkie okresy są jednakowe (we wzorze (16.29) m
jes t ukryte w / ) 5. 1, 2, 3 (istotny jest stosunek m/b, wartość k
nie ma znaczenia)
PYTANIA
1 .
c
3 .
a) 2; b) dodatnia; c) w przedziale od 0 do x
m
5.
a) w
kierunku — x
m
; b) w kierunku +x
m
; c) w przed ziale od — x
m
do
0; d) w przedziale od —
x
m
do 0; e) maleje; f) rośnie
7 .
a)
TC
rad;
b) T: rad; c) jt /2 rad
9.
a) zmienne; b) zmienna; c) x = ±x
m
;
d) bardziej prawdopodob ny 1 1 . b (okres nieskończenie długi, brak
drgań),
c, a 1 3 . jeden układ: k = 1500 N/m , m = 500 kg; drugi
układ: k = 1200 N/m, m = 400 kg; ten sam stosunek k/m = 3
daje rezonans obu układów
ZADANIA
I .
a) 0,5 s; b) 2 Hz; c) 18 cm
3 .
a) 0,5 s; b) 2 Hz; c) 12,6 rad/s;
d) 79 N/m; e) 4,4 m/s; f) 27,6 N 5. v > 500 Hz 7. a) 6,28 •
1 0
5
rad/s; b) 1,59 mm
9 .
a) 1 mm; b) 0,75 m/s ; c) 570 m/s
2
I I .
a)
1.29-10
5
N /m; b) 2,68 Hz
1 3 .
7,2 m/s
1 5 .
2,08 h
1 7.
3,1 cm
1 9.
a) 5,58 Hz; b) 0,325 kg; c) 0,4 m
2 1 .
a) 2,2 Hz; b) 56 cm/s;
c) 0,1 kg; d) 20 cm poniżej y
p o c z
2 3 .
a) 0,183A; b) w tym
samym kierunku 2 9 . a) (n + l)k/n; b) (n + \)k; c)
V (
+
l
) / « v ;
d) V n
~ + T v .
3 1 . 37 m j 3 3 . a) 2,25 Hz; b) 125 J; c) 250 J;
d) 86,6 cm
3 5 .
a) 130 N/m; b) 0,62 s; c) 1,6 Hz; d) 5 cm;
e) 0,51
m /s 3 7. a)
3/4;
b) 1/4;
c )
x
m
/V2 3 9. a)
16,7 cm;
b) 1,23%
4 1 .
a) 39,5 rad/s; b) 34,2 rad/s; c) 124 rad /s
2
4 3 .99 cm 4 5 . 5,6 cm
4 7 . a) 2k /
z
-
2
+
2
; b) w zrośnie dla d < L/*J\2, zmaleje dla
d > L/VT2; c) rośnie; d) nie zmieni s ię
4 9 .
a) 0,205 kg • m
2
;
b) 47,7 cm; c) 1,5 s 5 3 . 2n /mj3k 55. a) 0,35 Hz; b) 0,39 Hz;
c) 0
57 .
b) mniejsza
5 9 .
0 , 3 9
6 1 .
a) 14,3 s; b) 5,27
63 .
a ) F
m
/bco;
b) F
m
/b
Rozdz ia ł
1
7
SPRAWDZIANY
1 . a, 2; b, 3; c, 1 (porównaj z fazą w wyrażeniu (17.2), następ
nie patrz wzór (17.5))
2 .
a) 2, 3, 1 (patrz wzór (17.12)); b) 3,
nas tępnie 1 i 2 razem (znajdź ampli tudę wielkości dy/ dr ) 3 . a) po
zostanie taka sama (jest niezależna od v); b) zmaleje (X = v/v);
c) wzrośnie; d) wzrośnie
4 .
a) wzrośnie; b) wzrośnie; c) wzro
śnie
5.
0,2 i 0,8 razem, a następnie 0,6, 0,45
6.
a) 1; b) 3; c) 2
7.
a) 75 Hz; b) 525 Hz
PYTANIA
1 . 7 d
3 .
a) T T
/ 2
rad, czyli 0,25A; b)
TC
rad, czyli 0,5X; c ) 3 n /
czyli 0,75A; d) 2
T C
rad, czyli IX ; e ) 3T/4; f ) T/2.
5.
a) 4;
c) 3
7.
a i d razem, następnie b i c razem
9.
d
1 1 .
a)
mniejsze; b) zanika znacznie wcześniej
ZADANIA
1 . a) 3,49 nT
1
; b) 31,5 m/s
3 .
a) 0,68 s; b) 1,47 Hz; c) 2,0
7.
a) y(x,t) = 2s in2:rc(0, lx — 400f) , gdzie x i y jest
żone w cm, a / w s; b) 50 m/s; c) 40 m/s
9.
a) 11,7
b)
TC
ra d 1 1 . 129 m/s 1 3 . a) 15 m/s; b) 0,036 N 1 5 . y(x,
0,12s in(141x + 628?) , gdz ie
y
jes t wyrażone w mm,
i w
t w s
1 7.
a) 2ny
m
/X; b) nie
1 9.
a) 5 cm; b) 40 cm; c) 12
d) 0,033 s; e) 9,4 m/s; f) 5sin(16x + 190/ + 0,93), gdzie
wyrażone w m, y w cm, a / w s
2 1 .
2,63 m od tego końca
z którego wygenerowano późniejszy impuls
25 .
a) 3,77
b) 12,3 N; c) 0; d) 46,3 W; e) 0; 0 0 ; g) ±0 ,5 cm 2 7 .
29.
5 cm
3 1 .
a) 0,83yi ; b) 37°
3 3 .
a) 140 m/s; b) 60 cm; c) 2
3 5 .
a) 82 m/s; b) 16,8 m; c) 4,88 Hz
3 7 .
7,91 Hz, 15,
23,7 Hz
3 9 .
a) 105 Hz; b) 158 m/s
4 1 .
a) 0,25 cm; b) 120
c) 3 cm; d) 0
4 3 .
a) 50 Hz; b) y = 0 , 5 s i n[7 t ( x ± 1
gdzie
x
jes t wyrażone w m,
y
w cm, a / w s
4 5 .
a) 1
b) y = 0 ,002 s in(9 ,4x )cos (38 00/ ) , gdz ie x i y jes t wyr
w m, a / w s 4 7 . a) 2 Hz; b) 200 cm; c) 400 cm/s; d) 5
150 cm, 250 cm itd.; e) 0 cm, 100 cm, 200 cm itd
5 1 .
a) 32
b) osiem
Rozdz ia ł 18
SPRAWDZIANY
1 .
Zaczyna maleć (przykład: wyobraź sobie ruch krzywyc
rys. 18.7 na prawo przez punkt x = 42 cm)
2 .
a) 0, cał
cie konstruktywna; b) 4A., całkowicie konstruktywna
3 .
a)
razem, następnie 3 (patrz wzór (18.28)); b) 3, następnie 1 i
zem (patrz wzór (18.26)) 4 . druga (patrz wzory (18.39) i (1
5.
poluzować
6.
a) większa; b) mniejsza; c) nic nie możn
wiedzieć; d) nic nie można powiedzieć; e) większa; f) mn
7.
(prędkości należy mierzyć względem powietrza) a) 222
b) 222 m/s .
PYTANIA
1 . impuls wzdłuż drogi 2 3 . a) 2 długości fali; b) 1,5 dłu
fali;
c) całkowicie konstruktywna (a), całkowicie destruktywn
5.
a) maksymalnie niezgodne w fazie; b) maksymalnie niez
w fazie
7.
a) 1; b) 9
9 .
a) wzrosną; b) zmaleje
1 1 .
wsz
nieparzyste harmoniki
1 3 . d, e, b, c, a
ZADANIA
I .
należy podzielić liczbę sekund przez trzy
3 .
a) 79 m,
b) 89 m
5.
1900 km
7.
40,7 m
9.
a) 0,0762 mm; b) 0,33
I I .
a) 1,5 Pa; b) 158 Hz; c) 2,22 m; d) 350 m/s
1 3 .
a) 34
2m) Hz, gdzie m liczba całkowita z przedziału od 0 d
b) 686m Hz, gdzie m liczba całkowita z przedziału od 1
1 5 .
a) 143 Hz, 429 Hz, 715 Hz; b) 286 Hz, 572 Hz, 85
1 7. 15 mW 1 9. 36,8 nm 2 1 . a) 1000; b) 32 2 3 . a) 59,7; b)
1 0 "
4
2 5 .
b) 5,76 • 1 0 ~
1 7
J /m
3
27 .
b) (d ługość)
2
2 9 .
a) 520
B 2 Odpo wiedzi
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 323/329
amplituda^/io /amplituda^ B o = 2
31.
a) 57,2 cm; b) 42,9 cm
. a) 405 m/s; b) 596 N; c) 44 cm; d) 37,3 cm
35.
a) 1129, 1506 i
37.
12,4 m
39.
a) węzła;-c) 22 s
41.
45,3 N
43.
387 Hz
.
0,02 47. 17,5 kHz 49. a) 526 Hz; b) 555 Hz 51. a) 1,02 kHz;
53. 155 Hz 55. a) 485,8 Hz; b) 500 Hz; c) 486,2 Hz;
57. a) 598 Hz; b) 608 Hz; c) 589 Hz 59. a) 42°; b) 11 s
19
2. a) 2 i 3 równe,
1, na koniec 4; b) 3, 2, następnie 1 i 4 równe (na pod
3. A
(patrz rów
4.
c
i
e
(przy przejściu zgodnym z kierunkiem
(AE„
zależy tylko od stanów
P
i
K,
a nie od
lizacji przemiany); b) 4, 3, 2, 1 (porównaj powierzch
6.
a) 0
(W
ma wartość
ujemną;
patrz rów
7. b i d równe, następnie a, c (strumień
P
p r z e
w ma
3. A i fi równe, następnie
C, D
5. a) oby
l.c,a,b 9.
kula,
11. a) równa; b) całkowicie ciekła; c) częściowo
3. 348 K 5. a) - 40 ° ; b) 575°; c) skale Celsju
7. a) wymiar
9. -92 ,1°X 11. 960 u.m 13. 2,731 cm
29 cm
3
17.
0,26 cm
3
19.
360°C
23.
0,68 s/h, spieszy się
7,5 cm
27.
a) 523 J/(kg • K) ; b) 26,2 J/(mol • K) ; c) 0,6
29. 42,7 kj 31. 1,9 razy większa 33 . a) 33,9 Btu; b) 172°F
160 s 37. 2,8 dnia 39. 742 kJ 41. 82 cal 43. 33 g 45. a) 0°C;
47. 8,72 g 49.
A:
120 J, fi: 75 J, C: 30 J 51. -30 J
a) 6 cal; b) - 4 3 cal; c) 40 cal; d) 18 cal, 18 cal 55. a) 0,13 m;
57. 1660 J/s 59. a) 16 J/s; b) 0,048 g/s 61. 0,5 min
a) 17 kW/m
2
; b) 18 W/m
2
65.
0,4 cm/h
67.
a) 90 W;
2. a) wszystkie razem; b) 3, 2, 1 3. dla
A 4.
5 (największa zmiana
T),
następnie jednakowe zmiany
3 i najmniejsza dla 4
5.
1, 2, 3
(Q
3
=
0,
Q
2
powo
W
2
, ale <2t powoduje wykonanie większej
W
{
i wzrost temperatury gazu)
PYTANIA
1 . wzrasta mniej niż dwa razy
3.
największa w przypadku
następnie b, na koniec d 5. od 1 do 4 7. 20 J 9. a) 3; b) 1
d) 2; e) tak 11. a) 1, 2, 3, 4; b) 1, 2, 3
Z A D A N I A
1 . 0,933 kg
3.
6560
5.
a) 5,47 • 10~
8
mol; b) 3,29
7. a) 0,0388 mol; b) 220°C 9. a) 106; b) 0,892 m
3
11.
A
7",)
-
B(T
2
2
-
7,
2
)
13.
5600 J
15.
100 cm
3
17.
2 • 1
1 9. 180 m/s 21. 9,53 • 10
6
m/s 23. 1,9 kPa 25. 3,3 • 1
27 . a) 6,75 • 10 ~
2 0
J; b) 10,7 31. a) 6 • 10
9
km 33. 1
3 5 . a) 3,27 • 10
1 0
; b) 172 m
37.
a) 6,5 km/s; b) 7,1
3 9 . a) 1 • 10
4
K; b) 1,6 • 10
5
K; c) 440 K, 7000 K; d
doru — nie; tlenu — tak 41. a) 7 km/s; b) 2 • 1 0
-
c) 3,5 • 10
1 0
zderzeń/s 43. a) |u
0
; b)
N/3;
c) 122u
0
; d)
4 5 . / e r i n ( V
k o ń c
/ V
p o c z
)
47. ( md
+n
2
C
2
+ n
3
C
3
)/(n, +
4 9. a) 6,6 • 10 "
2 6
kg; b) 40 g/mol 51. 8000 J 53. a) 69
b) 4990 J; c) 1990 J; d) 2990 J 55. a) 14 atm; b) 620 K 59
61 . a) W dżulach, w kolejności
Q,
A£
w
, W: 1^2: 3740, 37
2 ^ 3 :
0, -1810, 1810; 3->-l: -3220, -1930, -1290;
520,
0, 520; b V
2
= 0,0246 m
3
, p
2
= 2 atm, V
3
= 0,037
p
= 1 atm
Rozdział
SPRAWDZ IANY
a, b, c mniejsza Q ma mniejszą wartość) 3. c, b, a
d, c, b 5. b
PYTANIA
I. nie zmienia się 3. b, a, c, d 5. taka sama 7. a) pozostaje
b) wzrasta; c) maleje 9. a) pozostaje stała; b) wzrasta; c) m
I I . a) 0; b) 0,25; c) 0,5
Z A D A N I A
1 .
14,4 J/K 3. a) 9220 J; b) 23 J/K; c) 0 5. a) 5,79 •
b) 173 J/K 7. a) 14,6 J/K; b) 30,2 J/K 9. a) 57°C; b)
J/K; c) +24,9 J/K; d) +2,8 J/K 13. a) 320 K; b) 0; c) +1,7
1 5. +0,75 J/K 17. a) -9 43 J/K; b) +943 J/K; c) tak 19. a)
b) A £
w
= 6RT
0
, AS = | i? l n2 ; c) obydwie wielkości nie u
zmianie
21.
a)
3 1 % ;
b) 16 kj
23.
a) 23,6%; b)
1,49-10
4
J
25
K i 341 K
27.
a) 1470 J; b) 554 J; c) 918 J; d) 62,4%
29.
a)
J; b) 14 800 J; c) 15,4%; d) 75%, większa 31. a) 78%; b) 81
3 3 .
a)
T
2
= 3T
U
T
3
=
3T
x
/Ąy-\ T
Ą
=
r ^
1
,
p
2
=
3p
u
3/>i/4>\
p
4
= p\/\
y
;
b) 1 - 35. 21 J 37. 440 W 39.
KM 4l
.[l-(T
2
/T
l
)]/[l-(T
Ą
/T
3
)]
45.a )
W
= N\/(
ni
\n
b) [(/V/2) (A'/2) ]/[(/V/3) (/V/3) (/V/3) ]; c) 4,2 • 10
1 6
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 324/329
O Z D Z I A Ł
1 3
Fred Hirschmann/Allstosk/© Tony Stone Images/New York,
Druk za zgodą: Micro-Measurements Division, Measurements
O Z D Z I A Ł
1 4
14.21 — Druk za zgodą: National Radio Astronomy Observatory.
15
1 6
R O Z D Z I A Ł 17
Strona 122 — John Visser/Bruce Coleman, Inc. Rys. 17
Richard Megna/© Fundamental Photographs. Rys. 17.22 —
za zgodą: T.D. Rossing, Northern Illinois University.
R O Z D Z I A Ł 1 8
Strona 154 — Stephen Dalton/ Animals Animals. Rys. 1
Howard Sochurak/The Stock Market. Rys. 18.22 — Zdjęc
Navy, wykonane przez: John Gay.
R O Z D Z I A Ł 19
Strona 187 — Druk za zgodą: dr Mosato Ono, Tamagaw
versity. Rys. 19.9 — AP/© Wide World Photos. Rys. 19
Druk za zgodą: Daedalus Enterprises, Inc. Rys. 19.22 — D
zgodą: dr Masato Ono, Tamagawa University.
R O Z D Z I A Ł 2 0
Strona 224 — Tom Branch.
R O Z D Z I A Ł 21
Strona 259 — Steven Dalton/© Photo Researchers. Rys. 21
Richard Ustinich/The Image Bank.
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 325/329
S K O R O W I D Z
A
amplituda 95, 113, 126, 147
— fali stojącej 144
wypadkowej 139
— przemieszczenia 159, 179
— zmian ciśnienia 160, 179
kąta 105
prędkości 114
przyspieszenia 114
B
, współczynnik wydajności
274
199 - 201 , 215
molowe 199 , 215 , 242-243 , 244 ,
252
gazu doskonałego 239-243
przy stałej objętości
2 4 0 - 2 4 2
przy stałym ciśnieniu
2 4 2 - 2 4 3
ciężar pozorny 73-74 ,
c i śn ien ie 61 , 63 , 64 , 66 , 67 -69 , 83 , 190 ,
230-232 , 252
— atmosferyczne 66, 67, 191
— hydrostatyczne 64
cykl 94, 267
— Carnota 268
— termodynamiczny 205
czarna dziura 27
czas 126
czasoprzestrzeń 49
cząsteczka 124
cząstka 123
— elementarna 124
częstość 94, 113, 127-128, 160
— dudnień 172
— fal i 125-128, 133, 147
— kołowa 96, 98, 105, 113, 114, 127-128,
147, 159
— rezonansowa 145, 148, 168
czoło fali 155
D
decybel 165, 180
detektor 174-176
długość fal i 125-128, 133, 147, 160
Doppler J .Ch. 173
drgan ia 94-114
— swobodne 112
— tłumione 94, 110
— wymuszone 112-113 , 114
droga 39-40
Droga Mleczna 27 , 28
dudnienie 171-172, 180
dżul 198
E
Einstein A. 48
ekwipar tycja energii 245
elektron 124
energia 46^17, 52, 114
— fal i biegnącej w l inie 134-13
— kinetyczna 46, 47, 134, 252
ruchu postępowego 233
— mechan iczna 46 , 47
— potencjalna 40, 46, 51
grawitacyjna 37-41
sprężystości 134-135
— termiczna 80, 188, 197
— wewnętrzna 205, 240
— w ruchu harmonicznym 100-
en t rop ia 259 , 265-266 , 273 , 281
F
fala 122-180
— biegnąca 125, 143, 147
— dźwiękowa 123, 155, 178
biegnąca 159-161
— elektromagnetyczna 123
— mater i i 124
— mechaniczna 123, 155
— podłużna 124-125 , 146 , 154
— poprzeczna 124-125, 146, 15
— radarowa 123
— radiowa 123
— sejsmiczna 123
— sferyczna 155
— sinusoidalna 124, 147
wypadkowa 138
— stojąca 142-146, 148, 180
— świetlna 123
— telewizyjna 123
— uderzen iowa 178-180
— wypadkowa 137, 143
faza 96, 126, 147
— początkowa 96, 113
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 326/329
j ednoa tomowy 240
, rozprężanie adiabatyczne 247-250
6 2 - 6 3 ,
83
4 8 - 5 1 ,
52
— falowa 126, 127, 160
— harmoniczna 146
— Macha 178
linie prądu 76, 84
Lokalna Grupa Galaktyk 28
M
manomet r o twar ty 68-69
— rtęciowy 190
Mars 42, 44
masa 61, 133, 157
— cząsteczkowa 225
— molowa 225
Maxwell J .C. 236, 245
mechanika s tatys tyczna 276
Merkury 44
metoda Heimlicha 69
mikrofale 123
mikrostan 282
mimośród 42
moc 212
— absorbowana 212
— fali biegnącej w linie 134-136, 147
moduł sprężystości 15, 18
— ścinania 16, 19
— ściśliwości 16-17, 19, 156, 179
— Younga 15, 16, 19
mol 225
moment kierujący 102
— pędu 2
N
nadciśnienie 66
naprężenie 15, 18
— niszczące 15, 16
— objętościowe 14, 15, 16-17, 19
— rozciągające 14, 15
— ścinające 14, 15, 16, 19
natężenie dźwięku 164-166, 179
Neptun 44
Newton I . 28, 42
O
odbicie od granicy 144
odkształcenie 15, 18
ogólna teoria względności 49, 52
ogniskowanie grawitacyjne 50
okres 95, 98, 105, 113, 114, 127-128,
147, 160
opór cieplny 209
orbi ta 46-47
— el iptyczna 47
— kołowa 47
oscylator harmoniczny 98, 114
kątowy 102
— t łumiony 110
P
parowanie 200
Pascal B. 69
paskal 191
pęd 2, 3, 4
plane ta 42-44
Pluton 44
płyny 60-84
— doskona łe 75-76, 80 , 84
— rzeczywis te 75
— w spoczynku 64-66
pływanie ciał 73
pochłanianie ciepła 198-201
pojemność cieplna 198, 215
położenie 126
półoś wielka 42
praca 39^10, 202-2 05, 206, 215. 227
252,
269
prasa hydraul iczna 70-71
prawo Archimedesa 71-74, 84
— Hooke 'a 98
— Keple ra 42-44, 52
— Pascala 6 9 - 7 1 , 84
— powszechnego ciążenia 28-30, 40
51
prędkość 133, 160
— cząsteczek 252
— dźwięku 155-158, 179
— fali 133, 147
biegnącej 128-129
w napiętej l inie 131-133, 147
— kątowa 43
— naddźwiękowa 178-179
— na jbardz ie j prawdopodobna 237-
— ś rednia 237-238
kwadra towa 230-232, 237-2
252
— światła 123
— ucieczki 4 0 - 4 1 , 52
— w ruchu harmonicznym 96-97, 1
proces cykl iczny 207, 215
promieniowanie 211-212, 215
— rentgenowskie 123
proton 124
przekazywanie c iepła 209-212
przemiana adiabatyczna 206-207, 2
248 , 253
— nieodwracalna 2 6 0 - 2 6 1 , 266, 281
— przy stałej objętości 207, 215
— te rmodynamiczna 202
przemieszczenie 95, 96, 113, 126, 12
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 327/329
przenoszenie energii 135
przepływ bezwirowy 76
— nielepki 75
— nieściś l iwy 75
— nieustalony (turbulentny) 75
— ustalony 75, 76
przestrzeń międzygalaktyczna 28
przesunięcie fazowe 138
przewodnictwo cieplne 209, 215
przewodzenie c iepła przez płytkę wielo
wars twową 210-211
przyspieszenie 133, 157
— dośrodkowe 44, 47
— grawitacyjne (ziemskie) 33, 51, 106
— w ruchu harmonicznym 97, 114
punkt potrójny wody 190
R
rezonans 112-113, 114, 144-146, 148
rozciąganie 15-16, 18
rozkład Maxwella 236, 252
— prędkości cząs teczek 236-238
rozprężanie izotermiczne 227
— swobodne 207, 215, 250
rozszerzalność cieplna 194—196, 214
— liniowa 195
, współczynnik 195, 214
— objętościowa 195-196
, współczynnik 195, 214
równanie Bernoułl iego 79-82, 84
— ciągłości 76-78, 80, 84
— stanu gazu doskonałego 226
równowaga 2-3
— momentów sił 4, 18
— sił 3, 4, 18
— statyczna 2, 7, 18, 65
nietrwała 2
trwała 2
— , warunki 3^ t
różnica faz 138, 139
ruch harmoniczny 94, 108-109, 113, 114
pros ty 94-97
t łumiony 1 1 0 - 1 1 1 , 114
— jednosta jny po okręgu 108-109, 114
— obrotowy 3
— okresowy 95
— postępowy 3
satelita 42^17
Saturn 44
s i lnik 267-272, 279
— Car no ta 267-270
, sprawność 270-271
— idealny 267, 281
— Stir l inga 271-272
siła 40, 61, 133
— ciężkości 5, 28, 51
wypadkowa 30, 36, 51
— lepkości 80
— normalna 34
— oporu 110
lepkiego 75
— tarcia 12
— w ruchu harmonicznym 98
— wypadkowa 157
— wyporu 71, 73, 74
skala Celsjusza 192, 214
— Fahrenheita 192, 214
— głośności 165-166, 180
— KeMna 188, 189. 214
skraplanie 200
Słońce 27, 41
sprawność cieplna silnika 270
— si lników rzeczywis tych 275-276
sprężanie izotermiczne 227
sprężystość 14—19, 98
stała Boltzmanna 226, 252
— gazowa 226, 252
— grawitacyjna 29, 51
— Stefana-Boltzmanna 212
— tłumienia 110
Stefan J. 212
s topnie swobody 244-246, 252
stożek Macha 177, 180
struga prądu 78, 84
strumień masy 78, 84
— objętościowy 78, 84
substancja robocza 267
Supergromada Lokalna 28
suw 267
Syriusz 41
szereg harmoniczny 146
szybkość przenoszenia energi i 135-136
— przepływu masy 78, 84
objętości 78, 84
ściskanie 15-16, 18
— objętościowe 17
średnia droga swobodna 233-235,
252
środek ciężkości 5-7, 18
— masy 5
światło nadfioletowe 123
— słoneczne 238
— widzialne 123
tem pera tu ra 187-215 , 230-2 32 , 252
— bezwzględna 188
— , pomiar 189-1 92
teoria grawitacji 48
— sprężystości 13
termodynamika 188
termometr 189, 214
— gazowy 190-192
termoskop 188, 189
U
Układ Słoneczny 27
układy nieoznaczone 12-13
Uran 44
W
wahadło 103-106, 114
— fizyczne 105-106, 114
— matematyczne 104-105, 114
— torsyjne 102, 114
Wenus 44
węzły 142, 148
Wielka Mgławica w Andromedzie 28
Wielki Atraktor 28
— Obłok Magellana 28
wskazy 1 4 0 - 1 4 1 , 147
Wszechświat 28
wzór Boltzmanna 277
— Stir linga 280
zapadanie grawitacyjne 27
zasada równoważności 48-49, 52
— superpozycji 30, 51
fal 136-137, 147
— zachowania momentu pędu 43, 44
zasady dynamiki Newtona 3, 29, 132-13
— te r m odynam ik i 187-215 , 259-282
zderzenie 234
zdolność emisyjna 212
zero bezwzględne 188
zerowa zasada termodynamiki 188-189
214
Ziemia 27, 41, 44
zjawisko Dopplera 173-177, 180
zmiana entropi i 261-263, 269, 281
źródło 174-176
— dźwięków 168-170
— punktowe 155
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 328/329
David Halliday
Robert Resnick earl
Walke
P O D S T A W Y F I Z Y K I , t. 1-5
h t t p : / / a n e k s y , p w n . p l / p o d s t a w y f i z y k i
Doskonałe uzupełnienie i rozszerzenie
materiału zawartego w podręczniku.
Dz ia ły aneksu
Pajęczyna fizyki - schemat pow iązań m iędzy r óżnymi dz ia łam i f i zyk i
Wyprowadzenia i dowody, których nie znajdziesz w ksiqżce
- n o w e , n i e k o n w e n c j o n a l n e w y p r o w a d z e n i a w z o r ó w i d o w o d ó w
Linki edukacyjne - li s ta różnych ad resó w c iekaw ych
st ron in te rne towych zw iązanych z tem atyką ks iążk i
Zadaniowy wypas - z a b a w n i e i c i e k a w ie s f o r m u ł o w a n e
z a d a n i a i p r o b l e m y do r ozw iązan ia
Dla wykładowców - do
wyko rzys tan ia
na
w y k ł a d a c h : r y s u n k i ,
zd jęc ia , t abe le , schematy i l us t r u jące zagadn ien ia z pod ręczn ika
Zapytaj Matrixa -
f o rum dyskusy jne
Słowniczek polsko-angielski - s łown ik po jęć i t e rm i
f izycznych u ła tw ia jący poruszan ie
się po
ang ie lsko języcz
st ronach in te rne towych
7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2
http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 329/329
W y b r a n e s t a ł e f i z y c z n e *
prędkość świa t ła
c 3,00 • 1 0
8
m/s
stała grawitacyjna
G 6,67 • I O "
1 1
m
3
/(s<
stała Avogadra
N
A
6,02 • 1 0
2 3
m o r
1
uniwersa lna s ta ła gazowa R
8,31 J/(mol • K )
energe tyczny równoważnik masy
c
2
8,99
•
1 0
1 6
J/kg
931 ,5 M e V /u
stała elektryczna
B()
8,85 • 1 0 - '
2
F/m
sta ła magnetyczna
Mo
1,26
•
I O "
6
H /m
stała Plancka
h
6,63 • 1 0 ~
3 4
J- s
4 ,14
•
I O "
1 5
eV
•
s
s ta ła Bol tzmanna k
1,38
•
1 0 ~
2 3
J/K
8,62 • I O "
5
e V /K
ładunek e lementarny e
1,60- 10"
1 9
C
masa e lekt ronu
m
e
9 ,11 • i 0 ~
3 1
kg
masa protonu m
p
1,67 • I O "
2 7
kg
m asa neu tron u m„ 1,68 • I O "
2 7
kg
masa deute ronu m
d
3,34
•
I O "
2 7
kg
prornień Bohra
r
B
5,29 • 1 0 - " m
ma gne ton B ohr a
M B
9,27
•
I O "
2 4
J/T
5,79 • I O "
5
e V /T
sta ła Rydberga
R
0 , 0 1 0 9 7 n m - '
•kg)
* Obszern ie j szy sp is s ta łych f izycznych , zawiera jący także wartośc i na jbardzie j dokładne oraz
i c h n i e p e wn o śc i , p rz e d s t a wi o n y j e s t w d o d a t k u B .
W y b r a n e w s p ó ł c z y n n i k i z a m i a n y j e d n o s t e k *
Masa i gęstość
1 kg = 1000 g = 6,02 •
i u = 1,66 • I O "
2 7
kg
1 k g / m
3
= 10~
3
g / c m
3
1 0
2 6
Długość i objętość
1 m = 100 cm = 39,4 in = 3,28 f t
1 mila = 1,61 km = 5280 ft
1 in = 2,54 cm
1 nm = 10~
9
m = 10
A
1 p m = I O "
1 2
m = 1000 fm
1 rok świetlny (y) = 9,46
•
1 0
1 5
m
1 m
3
= 1000
1
= 35,3 f t
3
= 264 ga lony amerykańskie
C za s
1 d = 86 400 s
1 a
3 6 5 ^ d :
3 . 1 6 - 1 0
7
s
Miara łukowa kąta
Prędko ść
1 m/s = 3,28 ft/s = 2,24 mili/h
1 km/h = 0,621 mili /h = 0,278 m/s
Siła i ciśnienie
1 N = 10
5
dyn = 0,225 funta
1 Pa = 1 N/m
2
= 10 dyn /c m
2
1 atm = 1,01 • 10
5
Pa = 76 cm Hg
Energia i moc
1 J = 10
7
ergów = 0,239 cal
1 kWh = 3,6
•
1 0
6
J
1 cal = 4,19 J
1 eV = 1,60- 10~
1 9
J
1 K M = 746 W
M a g n e t y z m
1 T = 1 W b/ m
2
= 1 0
4
G s