Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych · PDF filec $ z j˙ t ˙˙tk...

Wersja z dnia 12.03.2011 http://matematyka.strefa.pl Strona 1 Jak odejmować ułamki i liczby mieszane o róznych mianownikach? Co to jest sprowadzanie do wspólnego mianownika? Jak znajduje się najmniejszy wspólny mianownik? Odejmowanie ułamków o róznych mianownikach. Dowiesz się tego czytając ten darmowy e-book pdf. Rozwiązane przykłady, zadania i ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami. Odejmowanie ułamków stanie się banalne. Opracowanie bardzo dobrze przygotowuje uczniów szkoły podstawowej do sprawdzianu i pracy klasowej z matematyki w klasie 4 i 5. Download go. To jest część opracowania omawiającego działania na ułamkach zwykłych.

Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych

o różnych mianownikach

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spo-tykają się z odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach. Osoby które wiedzą już co to są liczby ujemne i potrafią wykonywać podstawowe działania na nich, znajdą tu dodatkowo odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. Opracowanie to pisałem tak, by dosłownie każdy mógł zrozumieć tę część matematyki.

Spis tematów

1. Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach? ................................................................... 2

— Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia. ........................................................... 2

— Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia. .......................................................... 3

— Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków. .................................................................................. 5

2. Jak odejmować liczby mieszane? ......................................................................................................... 6

— Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej. ................. 6

— Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości. ...................... 7

— Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej. ................ 8

— Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych. ........................................... 10

3. Przydatne linki. ................................................................................................................................... 12


Temat: Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach?

a) Jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia

Przypuśćmy, że masz wykonać działanie: �

�−

�

�. Patrzysz na liczby znajdujące się w mianownikach obu ułam-

ków, czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi i zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć mniejszą z nich (w tym przypadku liczbę 4) by otrzymać większą z nich (by otrzymać liczbę 8). W oparciu o tabliczkę mnożenia wiesz, że liczbę 4 musisz pomnożyć przez 2.

1. Mnożysz więc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik również przez 2.

2. Przepisujesz znak odejmowania który był między ułamkami.

3. Przepisujesz drugi ułamek, bo z nim nic nie było robione.

Masz więc:

3

4−

1

8=

3 ⋅ 2

4 ⋅ 2��

−1

8

�� ł�� ą ��ć��

��

=6

8−

1

8

��

��

��

=5

8

Odejmowanie ułamków można wykonywać tylko wtedy, gdy są te same liczby pod kreskami ułamkowymi np.: �

�−

�

�. Jeśli pod kreskami ułamkowymi nie ma tych samych liczb np.:

�

�−

�

�, to ułamki te trzeba tak przekształcić

by pojawiły się te same liczby pod kreskami ułamkowymi: �

�−

�⋅�

�⋅�=

�

�−

�

�=

�

�. Łatwe, prawda?

Prześledź inne już rozwiązane przykłady.

�

�−

�

��=

�⋅�

�⋅�−

�

��=

��

��−

�

��=

�

�� Licznik i mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 5. Zostało to zrobione po to, by

w obu ułamkach była taka sama liczba pod kreską ułamkową (w tym przypadku 15).

�

�−

�

�=

�

�−

�⋅�

�⋅�=

�

�−

�

�=

�

� Licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 3. Ponieważ otrzymany wynik jest

ułamkiem skracalnym (liczbę 2 można podzielić przez 2 i liczbę 6 również można podzielić przez 2),

więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny �

�. Cały przykład

powinien więc wyglądać tak:

5

6−1

2=

5

6−1 ⋅ 3

2 ⋅ 3=

5

6−3

6=

2

6=

1

3

Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. Na razie nie wymagam zapisywania otrzymanego wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.

a) �

�−

�

��= b)

�

��−

�

�= c)

�

�−

�

��= d)

�

��−

�

�= e)

��

��−

�

�=

[Odp. a) �

�� b)

�

�� c)

��

�� d)

�

�� e)

�

��.]

No i jak? Wyszło Ci tyle co w odpowiedziach? Jeśli nie, to poszukaj błędów. Może licznik w jednym z ułamków nie został pomnożony przez tę samą liczbę co mianownik, a może jest gdzieś błąd w zakresie tabliczki mnoże-nia. Odpowiedzi są na pewno poprawne. Jeśli zaś masz wszystkie wyniki zgodne z odpowiedziami, to teraz za-pisz je w postaci ułamków nieskracalnych. Pamiętaj, że niektóre już są ułamkami nieskracalnymi i nic z nimi nie zrobisz. Zajmij się tylko tymi, które dadzą się jeszcze skrócić.

[Odp. Ułamki skracalne wyszły tylko w podpunktach: c) ��

��=

�

� (liczbę 12 podzieliłem przez 4 i liczbę 20 również przez 4), e)

�

��=

�

�� (liczbę 3 podzieliłem przez 3 i liczbę 30 też przez 3).]


Ćwiczenie: Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

3

5−

3

15=

2

3−

7

21=

25

32−3

4=

6

8−1

2=

1

2−

3

10=

5

20−1

4=

14

25−2

5=

12

16−5

8=

[Odp. a) �

� b)

�

� c)

�

�� d)

�

� e)

�

� f) 0 g)

�

�� h)

�

�.]

W niektórych przykładach obliczenia można było sobie ułatwić zauważając, że jeden z dwóch danych ułamków jest skracalny.

a) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 3 można było podzielić przez 3 i mianownik tj. liczbę 15 również można było podzielić przez 3. Zamiast

ułamka �

�� pojawiłby się ułamek

�

� i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich,

a potem skracania otrzymanego wyniku.

b) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 7 można było podzielić przez 7 i mianownik tj. liczbę 21 również można było podzielić przez 7. Zamiast

ułamka �


�

� i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich,

a potem skracania otrzymanego wyniku.

d) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 6 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 8 również można było podzielić przez 2. Zamiast

ułamka �

� pojawiłby się ułamek

�

� i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 2 a nie przez 4 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowa-

nie rozszerzyć ułamek przez 2 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 2 i mianownik także przez 2.]

f) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 5 można było podzielić przez 5 i mianownik tj. liczbę 20 również można było podzielić przez 5. Zamiast

ułamka �

� pojawiłby się ułamek

�

� . Wówczas bez obliczeń byłoby widać, że wynikiem będzie 0. Zapis

� również jest poprawny, ale nie wy-

gląda ładnie z punktu widzenia matematyki.

h) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 12 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 16 również można było podzielić przez 2. Zamiast

ułamka ��


�

� .

Pamiętaj!

W wyniku końcowym nie powinien występować ułamek skracalny.

b) Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia

No dobra. Już coś umiesz. Wiesz, że by móc odjąć 2 ułamki zwykłe musisz w nich obu mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową). Wiedz jednak, że czasami pomnożenie licznika i mianownika jednego ułamka nie wystarczy by otrzymać 2 ułamki o tych samych mianownikach. Zobacz. Jeśli będziesz mieć np. do obliczenia takie działanie:

7

8−

5

12

to nie znajdziesz takiej liczby która pomnożona przez 8 da 12. W takim przypadku musisz w oparciu o tabliczkę mnożenia zastanowić się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę? Za-uważasz więc, że mnożąc liczbę 8 przez 3 oraz liczbę 12 przez 2 dostaniesz w obu przypadkach liczbę 24. Masz więc:

7

8−

5

12=

7 ⋅ 3

8 ⋅ 3��

−5 ⋅ 2

12 ⋅ 2��

=21

24−

10

24=

11

24

Zapamiętaj

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika (powyżej jest nim liczba 24) polega na tym, by we wszystkich ułamkach otrzymać te same liczby pod kreską ułamkową.

Prześledź teraz te działania:

7

6−

5

9=

7 ⋅ 3

6 ⋅ 3��

−5 ⋅ 2

9 ⋅ 2��

=21

18−

10

18=

11

18

Tu trzeba było się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć liczbę 6

(jest ona pod kreską pierwszego ułamka), a przez ile liczbę 9 (jest

ona pod kreską drugiego ułamka), by dostać tę samą liczbę.

7

16−

5

20=

7 ⋅ 5

16 ⋅ 5��

−5 ⋅ 4

20 ⋅ 4��

=35

80−

20

80=

15

80

Zalecane jest tu jeszcze skrócenie otrzymanego wyniku przez 5 tj.

podzielenie liczby 15 przez 5 i dodatkowo liczby 80 także przez 5.

Wyjdzie wówczas, że ��

��=

�

��.


i na ich podstawie spróbuj samodzielnie obliczyć:

a) �

�−

�

�= b)

�

�−

�

�= c)

�

�−

�

�= d)

�

��−

�

��= e)

�

��−

�

��=

[Odp. a) �

�� b)

�

� c)

�

�� d)

�

�� e)

��

��. Wynik z podpunktu e) można jeszcze skrócić przez 24. Wyjdzie wówczas, że

��

��=

�

� .]

No dobra. Umiesz już co raz więcej. Zerknij teraz na odpowiedź w podpunkcie b). Spójrz się na mianownik. Zo-bacz, że jest on równy 6 i że można go było wyliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków z tego podpunktu. No i co w tym dziwnego? Przecież tak miało być. No teraz se spójrz na wynik z podpunktu c). W mianowniku wy-szła liczba 20 i tak samo jak w podpunkcie b) można ją było obliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków. Sta-wiam więc pytanie, czy wspólny mianownik można zawsze znaleźć mnożąc liczby z mianowników danych ułamków? Okazuje się że tak. Można zawsze tak robić, ale na ogół nie jest to wygodne i nie polecam tego ro-

bić. Oto dlaczego. Przypuśćmy że masz działanie:

��−

�

�� i w myślach nie możesz znaleźć wspólnego mianow-

nika. Mnożysz więc oba te mianowniki, czyli liczbę 24 przez 32 otrzymując liczbę 768. Wnioskujesz więc, że:

— mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 32, więc i jego licznik też mnożysz przez 32

— mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 24, więc i licznik drugiego ułamka mnożysz przez 24.

Masz więc:

7 ⋅ 32

24 ⋅ 32−

9 ⋅ 24

32 ⋅ 24=

224

768−

216

768=

8

768=

4

384=

2

192=

1

96

Wynik jest O.K. ale przyznasz, że przykład trudno się liczył i ciężko było określić przez ile można maksymalnie skrócić ułamek �

��. Przyznasz, że takie obliczanie ułamków zniechęca on do dalszej pracy, prawda? Zobacz co

jednak by się stało gdyby zauważyć, że licznik i mianownik pierwszego ułamka wystarczy pomnożyć przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. Wówczas obliczenia byłyby tylko takie:

7 ⋅ 4

24 ⋅ 4−

9 ⋅ 3

32 ⋅ 3=

28

96−

27

96=

1

96

czyli krótsze (oszczędność czasu) i na mniejszych liczbach (mniejsze prawdopodobieństwo błędu).

Pewnie się teraz zastanawiasz, skąd wiedziałem lub jak obliczyłem, że pierwszy ułamek można było rozszerzyć przez 4, a drugi przez 3. Nie zgadywałem tego. Po prostu:

— spojrzałem na oba mianowniki i zobaczyłem że każdy z nich dzieli się przez 8 i że większej liczby nie ma

— podzieliłem w myślach każdy z nich przez 8 dostając odpowiednio liczby 3 i 4

— mniejszy mianownik pomnożyłem przez większą z obliczonych liczb, czyli przez 4

— większy mianownik pomnożyłem przez mniejszą z obliczonych liczb, czyli przez 3.

Ot cała filozofia.

Zadanie: Oblicz ��

�−

�� znajdując najmniejszy wspólny mianownik.

Rozwiązanie

W oparciu o tabliczkę mnożenia wiem, że liczby z obu mianowników tj. 72 i 56 dzielą się przez 8. Dzielę więc liczbę 72 przez 8 otrzymując liczbę 9, a następnie liczbę 56 także przez 8 otrzymując liczbę 7. Teraz większy z mianowników czyli liczbę 72 mnożę przez mniejszą z otrzymanych liczb (przez 7), a mniejszy z mianowników przez liczbę 9. Mam więc:

11

72−

7

56=

11 ⋅ 7

72 ⋅ 7+

7 ⋅ 9

56 ⋅ 9=

77

504−

63

504=

14

504=

7

252=

1

36


Teraz Ty tak spróbuj.

Ćwiczenie: Znajdując najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków, oblicz:

7

15−

3

10=

11

12−6

9=

5

6−

1

15=

[Odp. a) �

� b)

�

� c)

��

�.]

A co z odejmowaniem ułamków o dużych mianownikach, np.: ��

��−

�

��? W oparciu o tabliczkę mnożenia

nie widać nawet czy istnieje jakaś liczba, przez którą można by podzielić zarówno 24939 jak i 16218 a co do-piero mówić o jakichś tam obliczeniach. Czy więc jedynym wyjściem jest pomnożenie tych mianowników i ba-branie się w jeszcze większych liczbach? Otóż nie. Można sprawdzić czyli liczby 24939 i 16218 podzielą się przez jakąś liczbę rozkładając każdą z nich na iloczyn liczb pierwszych lub wykonując algorytym Euklidesa dla obu tych liczb jednocześnie (omówiony on jest w osobnym opracowaniu). Co to jest liczba pierwsza, dowiesz się z innego opracowania.

Podsumowanie

1. Aby odjąć dwa ułamki zwykłe trzeba sprawić by pod ich kreskami ułamkowymi były te same liczby.

2. Mając już te same liczby w mianownikach (pod kreskami ułamkowymi) wystarczy od licznika pierwsze-go ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik przepisać.

3. Jeśli wynik końcowy wyjdzie ułamkiem skracalnym, to dodatkowo należy go skrócić przez największą możliwą liczbę. Innymi słowy trzeba go zapisać w postaci ułamka nieskracalnego.

4. Jeśli wynik końcowy będzie ułamkiem niewłaściwym (liczba nad kreską ułamkową większa od liczby pod kreską ułamkową), to dodatkowo należy ten ułamek zamienić na liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć z niego całości.

c) Jednoczesne odejmowanie kilku ułamków

Przypuśćmy, że masz do obliczenia takie działanie:

7

8−

3

4−

1

12=

Patrzysz na liczby jakie są pod kreskami ułamkowymi: 8, 4, 6 i zastanawiasz się przez ile trzeba pomnożyć licz-bę 8, przez ile liczbę 4, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę — tzw. wspólny mianownik. Jeśli dobrze znasz tabliczkę mnożenia to bez problemu zauważysz, że poszukiwanym wspólnym mianownikiem jest liczba 24. Zatem:

— pierwszy ułamek rozszerzasz przez 3 (licznik mnożysz przez 3 i mianownik również przez 3)

— drugi z ułamków rozszerzasz przez 6 (licznik mnożysz przez 6 i mianownik również przez 6)

— trzeci z ułamków rozszerzasz przez 2 (licznik mnożysz przez 2 i mianownik również przez 2)

Masz więc:

7 ⋅ 3

8 ⋅ 3−

3 ⋅ 6

4 ⋅ 6−

1 ⋅ 2

12 ⋅ 2=

21

24−

18

24−

2

24=

1

24

Pewnie się zastanawiasz co by było, gdyby nad kreską ułamkową ostatniego ułamka była na przykład liczba 4. Otóż w takim przypadku wynik końcowy byłby mniejszy od 0, ale to już nie jest zakres klasy 4.

Podsumowanie

Aby wykonać jednoczesne odejmowanie kilku ułamków, trzeba znaleźć wspólny mianownik dla wszyst-kich danych ułamków.


Temat: Jak odejmować liczby mieszane?

a) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest większy od ułamka drugiej liczby mieszanej

Odejmowanie liczb mieszanych jest bardzo podobne do ich dodawania. Mianowicie najpierw odejmuje się ca-łości drugiej liczby od całości liczby pierwszej, a potem ułamki zwykłe które przy nich stoją.

Przykłady:

6�

− 2��

= 4�� Od dużej liczby 6 została odjęta duża liczba 2. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków.

18 ��

− 5 ��

= 13 ��

Od dużej liczby 18 została odjęta duża liczba 5. Potem zostało wykonane odejmowanie ułamków.

8��

−

�

= 8

��

�ł��

��

��ż" ��

��ó��ć ��

= 8�

� Jeśli przy drugiej liczbie nie jest napisana duża liczba, to wyobraź sobie, że jest tam duże czerwone 0 i postępuj

jak wyżej. Innymi słowy w myślach miej, że Twój przykład wygląda tak:

8��

− 0

�

=

Przypominam, że sformułowanie skrócić ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba podzielić przez tę samą liczbę (większą od 1).

4�

��− 1

�

�= 4

�

��− 1

��

�ł��ó� �� ó��$�

��

= 3�

��ł��

��

��

��ó��ć ��

= 3�

Jeśli ułamki mają różne mianowniki (liczby pod kreską ułamkową), to najpierw trzeba je do-

prowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika, a dopiero potem wykonać odejmowanie

jak wyżej.

W tym przykładzie licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 2. Zostało to

zrobione po to, by otrzymać 2 ułamki o mianowniku 10. Dopuszczalne jest także podzielenie

licznika i mianownika danego ułamka przez tę samą liczbę (większą od 1).

Przypominam, że sformułowanie rozszerzyć ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba pomnożyć przez tę samą liczbę (większą od 1).

10

�− 7

�

= 10

�

− 7

�

�� ó��

�� $� �ł��

�� " ��"�ć

�� ł��

= 17�

= 17 Tu także są dwa ułamki o różnych mianownikach, ale tym razem nie ma przymusu rozszerzania

jednego z nich. Wystarczy wykonać skrócenie pierwszego ułamka przez 2.

Zauważ, że przy odejmowaniu tych liczb mieszanych powstał ułamek mający w liczniku 0. Po-

nieważ kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, więc wynikiem działania 0 : 4 jest 0. Oznacza to,

że liczbę mieszaną 17�

� należy traktować jako równoważny zapis liczby 17.

Pamiętaj, że chcąc odjąć dwa ułamki muszą one mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod

kreską ułamkową), ale nie ma przymusu stosowania rozszerzania ułamków. Dopuszczalne jest

także skracanie, a nawet rozszerzenie jednego ułamka i skracanie drugiego.

Ćwiczenie: Wykonaj podane działania.

Oblicz: Podpowiedź: Odp.

10�

�− 7

�

�=

Od dużej czerwonej liczby odejmij drugą dużą czerwoną liczbę. Potem odejmij ułamki. Masz już te same mianowniki, więc

zajmij się tylko ich licznikami, a mianownik przepisz. 3�

�

9�

��− 1

�

��= W obu mianownikach masz już liczbę 11, więc postępuj jak wyżej. 8

�

��

4�

�−

�

�= Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero. 4

�

�

1�

��−

�

��= Wyobraź sobie, że przed drugim ułamkiem stoi duże czerwone zero. 1

�

��

8�

��− 3

�

�=

Rozszerz drugi ułamek przez 2, czyli pomnóż jego licznik przez 2 i mianownik także przez 2. Pamiętaj, że przy odejmowaniu

ułamków obie liczby pod kreską muszą być takie same (czyli równe). 5

�

��

14�

��− 2

�

�=

Skróć pierwszy ułamek przez 3, czyli podziel jego licznik przez 3 i mianownik także przez 3. Zamiast skracać pierwszy ułamek,

możesz rozszerzyć drugi ułamek przez 3, a potem otrzymany wynik z odejmowania tych liczb mieszanych skrócić przez 3. 12

�

��

3�

�− 2

�

��=

Skróć pierwszy ułamek przez 4, a drugi przez 5. Pamiętaj też, że kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, oraz to, że dzieląc licz-

bę 0 przez liczbę różną od 0, zawsze dostaniesz 0. Zamiast skracać te ułamki, możesz zastosować rozszerzanie pierwszego z

nich przez 5, a drugiego przez 4.

1

9�

��− 9

�

��=

Pamiętaj, że jeśli z odjęcia dużych czerwonych liczb wychodzi 0, to tego zera się nie pisze. Pamiętaj również, że jeśli w liczniku

i w mianowniku wyjdzie liczba parzysta, to dany ułamek można jeszcze skrócić co najmniej przez 2.

�

�

23

��− 23

�

= Skróć pierwszy ułamek przez 3 (nie przez 6), bo wtedy dostaniesz 2 ułamki o tych samych mianownikach.

�

17�

��− 15

�

��=

Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 70, bo to najmniejszy ich wspólny mianownik. Doprowadzenie tych ułam-

ków do mianownika 140 również byłoby poprawne, ale potem wynik końcowy trzeba byłoby jeszcze skracać przez 2. 2�

��

54�

− 16

�

= Najpierw doprowadź oba ułamki do mianownika 18. 38

�

��

23�

��− 23

�

��= Najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 15 i 10 to 30. Poprawne będą również mianowniki: 60, 90, 120, 150, 180, …

�

�

10�

�−

�

��=

Jeśli nie wiesz jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla liczb 8 i 18, to pomnóż te liczby przez siebie. Nie zapomnij

o tym, że wynik końcowy powinien być zawsze zapisany w postaci ułamka nieskracalnego. 10

��

��


b) Pierwsza liczba nie zawiera ułamka (jest liczbą naturalną). Rozmienianie całości.

Nim zacznę omawiać następne przypadki jakie mogą się zdarzyć przy odejmowaniu liczb mieszanych, wcze-śniej pokrótce omówię rozmienianie jednej całości w liczbach mieszanych. Na początek przypomnę, że w ma-tematyce poprzez słowo całość rozumie się pojedynczą rzecz np. jedną figurę geometryczną. Mając więc 7 identycznych figur geometrycznych, możesz powiedzieć, że masz 7 całości. Sformułowanie rozmienić całość oznacza, że jedną z tych figur co masz, musisz podzielić na mniejsze identyczne części.

Spójrz teraz na poniższy rysunek:

Widzisz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty, czyli 4 ca-łości. Gdy jeden z tych kwadratów (np. ostatni) podzielisz przypuśćmy

na 6 równych części, to pozostaną Ci 3 całości i �

� następnej całości. Po-

nieważ obszar zamalowany się nie zmienił, więc wnioskujesz, że 4 to ty-le samo co 3

. Matematycznie zapisuje się to tak:

4 = 3�

�

Aby lepiej to zrozumieć, wyobraź sobie, że masz 5 zł i idziesz do sklepu by rozmienić je na 2 monety po 2 zł i 100 monet po 1 groszu. Gdy to zrobisz i ktoś Cię zapyta ile masz pieniędzy powiesz mu, że 4 zł i 100 groszy

czyli 4 zł i ��

�� zł, prawda? A przecież wartość tych pieniędzy jest nadal taka sama i wynosi 5 zł. Zatem:

5 zł = 4 ��

�� zł

Rozmieniając więc całość, pomniejszasz daną liczbę (powyżej było to 5 zł) o 1 i do tej pomniejszonej liczby do-pisujesz ułamek mający w liczniku i mianowniku tę samą liczbę. Zobacz przykłady:

4 = 3�

� 7 = 6

�

� 1 =

�

� 9 = 8

9 = 8

�

� 2 = 1

�

� 2 = 1

�

� 6 = 5

��

�� 8 = 7

�

� 4 = 3

�

�

Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 8, 10, 11, 53, 46, 97 na ułamek o mianowniku 5.

[Odp. a) 7�

�, b) 9�

�, c) 10�

�, d) 52�

�, e) 45�

�, f) 96�

�.]

Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w każdej podanej liczbie: 28, 37, 54 na ułamek o mianowniku innym niż 5.

[Przykładowe odpowiedzi: a) 27��

��, b) 36�

�, c) 53��

��. Nie można używać tylko ułamka o mianowniku 0. Ułamek o mianowniku 1 niby może być, ale

się go nie stosuje w matematyce.]

No dobra. To teraz się wracamy do odejmowania liczb mieszanych. Rozpatrzmy taki przypadek:

5 −3

8=

Widzisz, że pierwsza liczba nie ma ułamka, więc pomniejszasz ją o 1 (zabierasz 1 całość) i tę zabraną całość, zamieniasz na ułamek o takim samym mianowniku jak ten napisany za znakiem odejmowania. Innymi słowy robisz tak:

5 −3

8= 4

�

��

−3

8= 4

�

�

Dlaczego zabrana całość została zamieniona na ułamek �

� a nie na jakiś inny? Bo drugi ułamek (ten za znakiem

minus) miał w mianowniku (pod kreską ułamkową) liczbę 8. Chodzi o to, by mieć 2 ułamki mające pod kreską tę samą liczbę. Zobacz inne przykłady:


178 −5

19= 177

��

��

−5

19= 177

��

��

Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej.

Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem �

� bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 19.

Pamiętaj także, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w my-

ślach wyobraź sobie, że jest tam napisane duże zero. Zatem:

177�

�−

5

19= 177

�

�− 0

�

�

60 −7

32= 59

��

��

−7

32= 59

��

��

Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej.

Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem ��

�� bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 32.

Pamiętaj, że jeśli przed drugim ułamkiem nie ma napisanych całości (nie ma napisanej dużej liczby), to w myślach wy-

obraź sobie, że jest tam napisane duże zero.

9 − 3��

��= 8

��

��

− 3��

��= 5

�

�� Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej.

Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułamkiem ��

�� bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 18.

25 − 4�

�= 24

�

��

− 4�

�= 20

�

� Niebieska liczba jest zawsze o 1 mniejsza od liczby czerwonej. Zabrana całość z liczby czerwonej jest zastąpiona ułam-

kiem �

� bo drugi ułamek miał pod kreską ułamkową liczbę 8. Druga liczba jest przepisana, bo nic z nią nie było robione.

Ćwiczenie: Oblicz:

12 −�

�= 37 −

�

��= 5 − 3

�

�= 5 − 4

�

��= 26 − 14

�

�= 75 − 25

�

��= 8 − 1

�

�= 10 −

�

��=

[Odp. a) 11�

� b) 36 �

�� c) 1�

d)

�� e) 11�

� f) 49��

�� g) 6�

� h) 9�

.]

c) Ułamek pierwszej liczby mieszanej jest mniejszy od ułamka drugiej liczby mieszanej

Zbliżamy się powoli do końca. Został już tylko jeden typ odejmowania liczb mieszanych. Jest to coś podobnego do tego wyżej (trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie), ale dodatkowo ta pierwsza liczba bę-dzie miała jeszcze ułamek mniejszy od ułamka drugiej liczby. Zobacz przykład:

25��

�

�

�

�

��

�

− 4�

�= 24

�

�− 4

�

�= 24

�

�= 24

�

�

Nim zaczniesz coś liczyć, najpierw spójrz na poniższy rysunek:

Zobacz, że przedstawia on 4 w pełni zamalowane kwadraty i jeszcze �

� kwadra-

tu następnego. Gdy jeden z kwadratów który jest cały zamalowany podzielisz

na tyle samo części co ostatni kwadrat, to zostaną Ci 3 kwadraty w pełni za-

malowane i jeszcze 11 paseczków pionowych. A przecież zamalowana po-

wierzchnia się nie zmieniła, prawda? Zatem matematycznie możesz napisać,

że:

4�

�= 3

��

�

Teraz zauważ, że żółta liczba 11 jest wynikiem dodania do siebie filoletowej liczby 5 i zielonej liczby 6, a duża niebieska 3-jka, jest

liczbą o jednej mniejszą od dużej czerwonej 4-ki. Mianowniki się nie zmieniły. Wnioskujesz więc, że nie trzeba za każdym razem wy-

konywać rysunku, by móc rozmienić jedną całość w danej liczbie mieszanej. Zobacz rozmienianie całości w innych liczbach miesza-

nych:

8�

�= 7

��

� 3

�

�= 2

�

� 1

�

��=

��

�� 16

��

��= 15

��

�� 100

�

��= 99

��

�� 4

�

�= 3

�

� 4

�

�= 3

��

� 13

�

��= 12

��

��

Ćwiczenie: Rozmień jedną całość w podanych liczbach mieszanych.

6�

��= 2

�

�= 81

�

�= 32

�

��= 43

�

��= 5

�

�= 4

�

��= 1

�

��=

[Odp. a) 5�

�� b) 1��

c) 80

� d) 31��

�� e) 42��

�� f) 4�

� g) 3��

�� h) ��

�.]


Wcześniej w tym opracowaniu wykonywane były np. takie działania:

4�

��− 1

�

�= 4

�

��− 1

��

�ł��ó� �� ó��$�

��

= 3�

��ł��

��

��

��ó��ć ��

= 3�

Z odejmowaniem nie było problemów, bo ułamek drugi bez problemów się odejmował od ułamka pierwszego. Zobacz jednak co by się stało, gdyby trzeba było obliczyć taki przykład: 4 �

��− 1

� (zmieniła się tylko jedna cyfer-

ka w stosunku do tego co jest wyżej napisane). Wówczas było by:

4�

��− 1

�= 4

�

��− 1

�

��= ?

Duże czerwone liczby dałyby się odjąć, ale czy od ułamka

�� moglibyśmy odjąć ułamek

�

��? Zmieniać kolejności

tych ułamków nie wolno. Nie można też pisać, że z odejmowania tych ułamków wyjdzie �

�� bo odejmowanie

nie jest przemienne. W takiej sytuacji tj. gdy ułamek przy pierwszej liczbie mieszanej jest mniejszy od ułamka przy drugiej liczbie mieszanej, trzeba w pierwszej liczbie mieszanej rozmienić jedną całość, tak jak to było ro-bione w powyższym ćwiczeniu. Obliczenia więc powinny być takie:

4�

��− 1

�= 3

��

�� ł� ��

��ł�ść

− 1�

��ż��

��

� ��ż ��

� �ą �"ć ��

= 2�

��

Prześledź inne rozwiązane przykłady wraz z opisem do nich.

6�

�− 2

�

�= 5

�− 2

�

�= 3

�= 3

�

�

Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 6 i 2 nie da się odjąć,

więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. W otrzymanym wyniku do-

datkowo skrócono ułamek przez 2 (jego licznik podzielno przez 2 i mianownik także

przez 2).

10�

��− 4

�

��= 9

��

��− 4

�

��= 5

��

Ponieważ ułamków które stoją przy dużych czerwonych liczbach 10 i 4 nie da się odjąć,

więc w pierwszej liczbie mieszanej rozmieniono jedną całość. Drugą liczbę przepisano, bo

z nią nic nie było robione.

10�

��−

�

��= 9

��

��−

�

��= 9

��

Tu jest coś podobnego jak wyżej. Trzeba było tylko pamiętać, że jak przy drugim ułamku

nie ma napisanej dużej liczby (całości), to w myślach trzeba wyobrazić sobie że jest tam 0.

4�

��− 1

�

�= 4

�

��− 1

�

��

�� ó�� !�

"#��#$�

= 3��

��"# �#��

%�ł�ść

− 1�

�� #��

) � �"#��

= 2

�� Jeśli ułamki w liczbach mieszanych mają różne mianowniki, to warto je najpierw sprowa-

dzić do wspólnego mianownika. Chodzi o to, że dopiero po sprowadzeniu ułamków do

wspólnego mianownika widać, czy potrzebne będzie rozmienianie całości w pierwszej

liczbie mieszanej. W tym przypadku okazało się że tak, bo ułamków nie dało się odjąć.

4�

��− 1

�

�= 3

��

��"# �#��

%�ł�ść

− 1�

�� #��

) � �"#��

= 3��

��− 1

�

��

�� ó�� !�

"#��#$�

= 2

�� W tym przykładzie najpierw rozmieniono całość w pierwszej liczbie mieszanej, a dopiero

potem sprowadzono oba ułamki do wspólnego mianownika. Ja jednak polecam najpierw

sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem oceniać, czy trzeba roz-

mieniać jedną całość w pierwszej liczbie. Wynik końcowy oczywiście wyjdzie ten sam.


Ćwiczenie: Doprowadź ułamki w podanych liczbach mieszanych do wspólnego mianownika i oceń w którym z podpunktów trzeba będzie rozmienić jedną całość w pierwszej liczbie mieszanej. [Podpowiedź: Rozmienić całość trzeba będzie w tych podpunktach, w których pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego. Najpierw sprowadź

ułamki do wspólnego mianownika. Nie musi to być mianownik najmniejszy. Wystarczy że będzie taki sam w obu ułamkach.]

a) 8�

�− 2�

= b) 7�

− 6�

�= c) 16

��− 9��

�= d) 5 �

��− 1 �

��=

[Odp. a) Najmniejszy wspólny mianownik: 12. Trzeba rozmienić jedną całość. b) Najmniejszy wspólny mianownik: 72. Nie trzeba rozmieniać cało-

ści. c) Najmniejszy wspólny mianownik: 48. Nie trzeba rozmieniać całości w pierwszej liczbie. d) Najmniejszy wspólny mianownik: 42. Trzeba roz-

mienić jedną całość w pierwszej liczbie.]

Ćwiczenie: Oblicz.

a) 8�

�− 2�

= b) 7�

− 6�

�= c) 16

��− 9��

�= d) 5 �

��− 1 �

��=

[Odp. a) 5��

�� b) 1��

� c) 7 �

�� d) 3��

��.]

d) Odejmowanie liczb mieszanych z uwzględnieniem liczb ujemnych

Załóżmy, że masz do obliczenia takie działanie:

5

�− 15

�

�=

Na pierwszy rzut oka nie różni się ono zbytnio od tego co było robione do tej pory w tym opracowaniu. Jest jednak w nim pewien haczyk, w który wpada bardzo wielu uczniów (nawet piątkowych). Haczyk o którym my-ślę wymienię poniżej w punkcie 3. Teraz zaś napiszę w punktach co musisz wykonać krok po kroku by dojść do wyniku końcowego w powyższym przykładzie.

1. Aby odjąć 2 liczby mieszane, musisz mieć te same liczby pod kreskami ułamkowymi (w mianownikach). By to osiągnąć rozszerzasz ułamek drugiej liczby przez 2 (liczbę 4 mnożysz przez 2 i dodatkowo liczbę 1 mnożysz przez 2). Dzięki temu z ułamka o mianowniku 4 dostajesz ułamek o mianowniku 8.

5

�− 15

�⋅�

�⋅�� "�ć

��

= 5

�− 15

�

�=

2. Mając już 2 ułamki o tym samym mianowniku, odejmujesz całości od całości, czyli od liczby 5 odejmu-jesz liczbę 15 (nie odwrotnie). Otrzymujesz w tym przypadku liczbę −10.

5

�− 15

�⋅�

�⋅�� "�ć

��

= 5

�− 15

�

�= −10 …

3. Patrzysz czy po odjęciu ułamków które stoją przy liczbach: 5 i 15 dostaniesz wynik dodatni czy ujemny. Jeśli pierwszy ułamek jest większy od drugiego, to do liczby otrzymanej w punkcie powyższym (w tym przypadku do liczby −10) dopisujesz znak +, jeśli nie, to −.

5

�− 15

�⋅�

�⋅�� "�ć

��

= 5

�− 15

�

�= −10 + . ..

4. Odejmujesz dane ułamki.

5

�− 15

�⋅�

�⋅�� "�ć

��

= 5

�− 15

�

�= −10 +

5

8=


5. Wykonujesz wskazane działanie.

5

�− 15

�⋅�

�⋅�� "�ć

��

= 5

�− 15

�

�= −10 +

5

8= −9

�

�+

5

8= −9 −

3

8= −9

�

�

Trudne, prawda? To teraz przeanalizuj sobie poniższe już rozwiązane przykłady. Może stanie się to trochę bar-dziej zrozumiałe.

8�⋅�

�⋅�− 10

�⋅�

�⋅��*�� )� �*��+"�ć

* ��" "#��#$#

= 8�

��− 10

�

��= −2 +

7

12��$ ��,� - �* ��* !�

ż �+�#$ ��#�ł��#�

�/� - �* �#%�)ą ��*�#ą

= −1 ��

��+

7

12�� # �� - �#%�)#

��"# �#�� %�ł�ść)� �� #%�)+ �ą

�� %#��+%1 ��$ó�

= −1 −5

12��"#ę��+ �#%�)�"# - �*

"#�,� )� �+�#$ ��#�ł��#�

/��3� - �* �#%�)ą ,- "�ą

(�+��# ��/�)

= −1�

��

Ćwiczenie: Oblicz.

a) 8�

�− 12�

�= b) 7�

− 16�

�= c) 16

��− 19�

�= d) 5��

��− 14 �

��=

[Odp. a) −3��

�� b) −8��

� c) −2��

�� d) −8�

��.]

−8�⋅�

�⋅�+ 10

�⋅�

�⋅��*�� )� �*��+"�ć

* ��" "#��#$#

= −8�

��+ 10

�

��= 2 −

7

12��$ "#�,� - �* ��* !�

ż �+�#$ ��#�ł��#�

/�3� - �* �#%�)ą ,- "�ą

= 1��

��−

7

12�� # �� - �#%�)#

��"# �#�� %�ł�ść)� �� #%�)+ �ą

�� %#��+%1 ��$ó�

= 1�

��

−8�⋅�

�⋅�+ 2

�⋅�

�⋅��*�� )� �*��+"�ć

* ��" "#��#$#

= −8�

��+ 2

�

��= −6 −

7

12��$ "#�,� "#ę��+ �#%�)�"#

- �* ��* !�

ż �+�#$ ��#�ł��#�

/�3� - �* �#%�)ą ,- "�ą

= −6�

��

−8�⋅�

�⋅�− 10

�⋅�

�⋅��*�� )� �*��+"�ć

* ��" "#��#$#

= −8�

��− 10

�

��= −18 −

11

12��$ "#�,� "#ę��+ �#%�)�"#

- �* ��* !�, ż �+�#$

��#�ł��#� /�/� - �* �#%�)ą

,- "�ą

= −18��

��

8�⋅�

�⋅�+ 10

�⋅�

�⋅��*�� )� �*��+"�ć

* ��" "#��#$#

= 8�

��+ 10

�

��= 18 +

11

12��$ ��,� - �* ��* !�

ż �+�#$ ��#�ł��#�

�3� - �* �#%�)ą ��*�#ą

= 18��

��


Temat: Przydatne linki.

1. Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach.

http://matematyka.strefa.pl/dodawanie_ulamkow_o_roznych_mianownikach.pdf

2. Co to jest ułamek zwykły?

http://zdamy.pl/data/materialy/matematyka/ulamkizywkle/ulamkizwykle.pdf

3. Działania na ułamkach zwykłych on-line.

http://www.matzoo.pl/klasa4/skracanie-u%C5%82amkow-zwyk%C5%82ych_21_74.html

Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych · PDF filec $ z j˙ t ˙˙tk...

Documents

Transcript of Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych · PDF filec $ z j˙ t ˙˙tk...