Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej notatki

Spis treści1. Odwzorowania i ich podstawowe własności........................................................................................................3

Def. Funkcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Iniekcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Suriekcja........................................................................................................................................................................................3Def. Bijekcja..........................................................................................................................................................................................3Def. Funkcje monotoniczne...................................................................................................................................................................3Def. Ograniczoność funkcji...................................................................................................................................................................3Def. Parzystość funkcji..........................................................................................................................................................................3Def. Nieparzystość funkcji....................................................................................................................................................................3Def. Okresowość funkcji.......................................................................................................................................................................4Def. Składanie funkcji (superpozycja)..................................................................................................................................................4Odwracanie funkcji................................................................................................................................................................................4Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję..........................................................................................................................................4

2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości...................................................................................................................4

Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych..........................................................................................................................................4Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych..................................................................................................5Kresy zbiorów........................................................................................................................................................................................5

3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.......................................................5Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych).......................................................................................................5Zasada minimum dla liczb naturalnych.................................................................................................................................................5Zasada minimum dla liczb całkowitych.................................................................................................................................................5

4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady....................................................................................................................................................5

Def. Granica ciągu w R.........................................................................................................................................................................5Warunek konieczny zbieżności ciągu....................................................................................................................................................5Warunek wystarczający zbieżności ciągu..............................................................................................................................................5Ciągi rozbieżne do nieskończoności......................................................................................................................................................6

5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.....................................................................................................................................................................6

Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych...............................................................................................6Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych............................................................................................................6Twierdzenie o trzech ciągach.................................................................................................................................................................6

6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie BolzanoWeierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R................................................................................6

Def. Punkt skupienia..............................................................................................................................................................................6Def. Podciąg..........................................................................................................................................................................................7Twierdzenie BolzanoWeierstrassa........................................................................................................................................................7Def. Warunek Cauchy'ego.....................................................................................................................................................................7Zupełność przestrzeni R........................................................................................................................................................................7

7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów...................................................................................................................................7

Warunek konieczny zbieżności szeregów..............................................................................................................................................7Kryteria zbieżności szeregu...................................................................................................................................................................7

8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie CauchyHadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych..........................................................................................8

Twierdzenie CauchyHadamarda...........................................................................................................................................................8Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych ......................................................................................................................8

9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte........................................................9

Def. Przestrzeni metrycznej...................................................................................................................................................................9Metryki..................................................................................................................................................................................................9Def. Kula................................................................................................................................................................................................9Def. Zbiór otwarty.................................................................................................................................................................................9

Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

http://piotr.szlagor.net/

Def. Zbiór domknięty............................................................................................................................................................................910. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych........................................................................................................................10

Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych......................................................................................................................10Warunek konieczny zbieżności............................................................................................................................................................10Własność Hausdorffa...........................................................................................................................................................................10Def. Zbieżność w metrykach równoważnych......................................................................................................................................10

11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością................................................................................................................................................................................10

Def. Zbiory zwarte...............................................................................................................................................................................10Zupełność przestrzeni..........................................................................................................................................................................10

12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie...............................................................................10

Def. Granica funkcji (Heinego)...........................................................................................................................................................11Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)......................................................................................................................................................11

13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady..................................................................................................................................................11

Twierdzenie o trzech funkcjach............................................................................................................................................................11Twierdzenie o granicach funkcji..........................................................................................................................................................11

14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady...............................................................................................................................................................11

Definicja Heinego funkcji ciągłej........................................................................................................................................................11Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej...................................................................................................................................................12Ciągłość złożenia.................................................................................................................................................................................12Działania na funkcjach ciągłych..........................................................................................................................................................12

15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.............................................................................................................................................................12

Spójność...............................................................................................................................................................................................12Zwartość...............................................................................................................................................................................................12Ciągłość jednostajna............................................................................................................................................................................12

16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady........................................................................................................................13

Nieciągłość pierwszego rodzaju.........................................................................................................................................................13Nieciągłość drugiego rodzaju.............................................................................................................................................................13Granice związane z funkcjami elementarnymi....................................................................................................................................13Funkcje ciągłe......................................................................................................................................................................................13

17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych............................................................................13

Def. Pochodna funkcji.........................................................................................................................................................................13Interpretacja geometryczna..................................................................................................................................................................13Interpretacja fizyczna...........................................................................................................................................................................14Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)..............................................................................................................14Pochodne funkcji elementarnych.........................................................................................................................................................14

18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania...............14Tw. Rolle'a............................................................................................................................................................................................14Tw. Lagrange'a.....................................................................................................................................................................................14Tw. Cauchy'ego....................................................................................................................................................................................14Wnioski:...............................................................................................................................................................................................14Wzór Taylora........................................................................................................................................................................................15

19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady..........15Def. Ekstremum lokalne......................................................................................................................................................................15Warunek konieczny ekstremum funkcji...............................................................................................................................................15I warunek wystarczający ekstremum funkcji.......................................................................................................................................15II warunek wystarczający ekstremum funkcji......................................................................................................................................16Def. Funkcji wypukłej.........................................................................................................................................................................16

20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej................16Def. Funkcja pierwotna........................................................................................................................................................................16



1. Odwzorowania i ich podstawowe własności.

Def. Funkcja

Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.

Def. Iniekcja

f : D fY Jest iniekcją (różnowartościowa), gdy:∀x1, x2

x1≠x2⇒ f x1≠ f x2

Przykład: f x =x

Def. Suriekcja

f : D fY Jest suriekcją („na”), gdy:∀y∈Y∃

x∈Xy= f x

Przykład: f x =x

Def. Bijekcja

f : D fY Jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.Przykład: f x =x

Def. Funkcje monotoniczne

Funkcja monotoniczna, to taka, która jest albo rosnąca, albo malejąca w przedziale.

• f(x) jest silnie rosnąca ⇔ ∀x1, x2∈D f

x1 x2⇒ f x1 f x 2 ,

• f(x) jest rosnąca ⇔ ∀x1, x2∈D f

x1 x2⇒ f x1≤ f x 2 ,

• itd.

Def. Ograniczoność funkcji

Funkcja jest ograniczona z góry, gdy:∃

M∈ℝ∀

x∈D f

f x M

Przykład: f x =−∣x∣

Funkcja jest ograniczona z dołu, gdy:∃

m∈ℝ∀

x∈D f

f x m

Przykład: f x =x2

Funkcja jest nieograniczona, jeśli jest nie jest ograniczona z góry i z dołu.

Def. Parzystość funkcji

Funkcja jest parzysta, gdy ∀x∈D f

−x∈D f∧ f x= f −x .

Przykład: f x =x2

Def. Nieparzystość funkcji

Funkcja jest nieparzysta, gdy ∀x∈D f

−x∈D f∧ f x=− f −x .



Przykład: f x =x3

Def. Okresowość funkcji

f : D fY Jest okresowa ⇔ ∃t≠0∀

x∈D f

xt∈D f ∧x−t∈D f ∧ f x−t = f x = f xt

Przykład: f x =sin x

Def. Składanie funkcji (superpozycja)

Niech f : XY i g :YZ . Ich złożeniem nazywamy funkcję h : XZ taką że h x =g f x =g° fPrzykład: f x=2x∧g x =x2

⇒ f °g=2x2∧g° f=4x2

Odwracanie funkcji

Jeśli f : XY , to f −1:Y X nazywamy funkcją odwrotną do f.• Funkcja jest odwracalna, jeśli jest bijekcją,• f −1

y=x⇔ f x =y .

Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję

Jeśli f : XY :• Dla A⊂X f A:={ f x : x∈A } obraz poprzez funkcję,

f A∪B= f A∪ f Bf A∩B⊆ f A∩ f Bf A∖ f B⊆ f A ∖B

• Dla B⊂Y f −1B := {x∈X : f x ∈B } przeciwobraz poprzez funkcję.

f −1A∪B= f −1

A∪ f −1B

f −1A∩B= f −1

A∩ f −1B

f −1A∖ f −1

B= f −1 A∖B

2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości.

Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych

ℝ , ,⋅ , :ℝ×ℝℝ , ⋅:ℝ×ℝℝ

1. Aksjomaty ciała.1. Łączność dodawania i mnożenia.2. Przemienność dodawania i mnożenia.3. Istnienie el. neutralnych dla obu działań.4. Istnienie el. przeciwnych dla obu działań.5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania.

2. Aksjomaty porządku.W zbiorze ℝ określona jest relacja porządku < spełniająca warunki.1. Dla x , y∈ℝ zachodzi x≠ y⇒xy∨ xy .2. Przechodniość

Dla x , y∈ℝ zachodzi xy∧ yz ⇒ xz .3. Asymetria

Dla x , y∈ℝ zachodzi xy ⇒¬y x .3. Aksjomaty związku między działaniami w ℝ , a relacją <.

1. Dla x , y , z∈ℝ zachodzi x y⇒ xzyz .2. Dla x , y , z∈ℝ zachodzi x y⇒ xzyz .



4. Aksjomat ciągłościKażdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych

• A⊂ℝ Jest ograniczony z góry ⇔ ∃M∈ℝ

x≤M ,

• A⊂ℝ Jest ograniczony z dołu ⇔ ∃m∈ℝ

x≥m .

Kresy zbiorów

• Kres górny zbioru A (supA) to najmniejsza z liczb ograniczających ten zbiór z góry.M=supA⇔ ∀

x∈Ax≤M ∧∀

0∃

x∈AxM−

Tw. M=maxA⇒M=supA ,• Kres dolny zbioru A (infA) to największa z liczb ograniczających ten zbiór z dołu.

m=infA⇔ ∀x∈A

x≥m ∧ ∀0∃

x∈Axm

Tw. m=minA⇒m=infA .

3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające

Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych)

∀M∈ℝ

∃n∈ℕ

Mn

Zasada minimum dla liczb naturalnych

W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

Zasada minimum dla liczb całkowitych

Każdy niepusty i ograniczony z góry (dołu) podzbiór liczb całkowitych ma element największy (najmniejszy).

4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady.

Def. Granica ciągu w R

Mówimy, że ciąg an ma granicę g∈R (jest zbieżny do g), co zapisujemy limn∞

an=g , jeśli w dowolnym

otoczeniu kołowym K g , znajdują się prawie wszystkie elementy tego ciągu.limn∞

an=g⇔∀0

∃n0∈ℕ

∀nn0

∣an−g∣

Warunek konieczny zbieżności ciągu

Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Przykład: an=1n

Kontrprzykład: an=−1n

Warunek wystarczający zbieżności ciągu

Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu), jest zbieżny.



Ciągi rozbieżne do nieskończoności

limn∞

an=∞ ( limn∞

an=−∞ ), jeśli w dowolnym otoczeniu ∞ ( −∞ ) znajdują się prawie wszystkie

wyrazy ciągu an.limn∞

an=∞⇔ ∀M0

∃n0∈ℕ

∀n≥n0

an≥M

limn∞

an=−∞⇔ ∀M0

∃n0∈ℕ

∀nn0

an≤M

5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.

Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych

Tw. Jeśli ciągi an i bn są zbieżne to:

1. limn∞

an limn∞

bn= limn∞

anbn

2. limn∞

an−limn∞

bn=limn∞

an−bn

3. limn∞

an⋅limn∞

bn=limn∞an⋅bn

4.limn∞

an

limn∞

bn

=limn∞an

bn

dla bn≠0 i limn∞

bn≠0

Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych

Tw. Jeśli an i bn są ciągami zbieżnymi, to:

1. an≤bn p.w.⇒ limn∞

an≤limn∞

bn

Kontrprzykład: limn∞

1n≤ lim

n∞

−1n

, a to wcale nie znaczy, że 1n≤−1n

2. anbn p.w.⇒ limn∞

an≤limn∞

bn

3. limn∞

an limn∞

bn⇒anbn p.w.

Twierdzenie o trzech ciągach

an≤bn≤cn p.w.∧limn∞

an=g=limn∞

cn⇒ limn∞

bn=g

6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie BolzanoWeierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R.

Def. Punkt skupienia

Liczbę p∈ℝ nazywamy punktem skupienia ciągu xn, jeżeli w dowolnym otoczeniu p znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu xn.

Tw. Granica ciągu zbieżnego jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu.Tw. Każdy punkt skupienia ciągu jest granicą pewnego podciągu tego ciągu.



Def. Podciąg

Podciąg to pewien ciąg utworzony z innego ciągu po usunięciu niektórych elementów. Jeśli xn będzie ciągiem ik :ℕℕ iniekcja, silnie rosnąca, to xk n= xkn

jest podciągiem ciągu xn.Tw. Dowolny ciąg zawiera podciąg monotoniczny

Twierdzenie BolzanoWeierstrassa

Ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Tw. Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, to również dany ciąg jest zbieżny do tej granicy.

Def. Warunek Cauchy'ego

xn jest ciągiem Cauchy'ego jeśli spełnia warunek:∀0∃n 0

∀m , n∈ℕ

∣xn−xm∣

Tw. limn∞

xn=g⇒WC

Zupełność przestrzeni R

ℝ jest przestrzenią zupełną tzn. WC ⇒ ∃g∈ℝ

limn∞

x n=g

7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów.

Warunek konieczny zbieżności szeregów

∑n=1

∞

x n∞⇒ limn∞

x n=0

Kontrprzykład: limn∞

1n=0 , ale ∑

n=1

∞ 1n=∞ , co można wykazać z kryterium kondensacyjnego.

Kryteria zbieżności szeregu

1. Kryterium porównawcze w wersji równoważnościowej: Jeśli 0≤x n≤yn to:

1. ∑n=1

∞

yn∞⇒∑n=1

∞

x n∞

2. ∑n=1

∞

x n=∞⇒∑n=1

∞

yn=∞

2. Kryterium porównawcze w wersji granicznej:

Jeśli 0x n , 0≤yn i limn∞

yn

xn

=g to:

1. 0g∞⇒∑n=1

∞

xn∞⇔∑n=1

∞

yn∞2. g=0⇒∑n=1

∞

xn∞⇒∑n=1

∞

yn∞



3. g=∞⇒∑n=1

∞

xn=∞⇒∑n=1

∞

yn=∞3. Kryterium d'Alemberta

Z: 0x n , limn∞

xn1

xn

=g

1. 0≤g1⇒∑n=1

∞

xn∞

2. g1⇒∑n=1

∞

xn=∞

4. Kryterium Cauchy'ego

Z: 0x n , limn∞

n xn=g

1. 0≤g1⇒∑n=1

∞

xn∞

2. g1⇒∑n=1

∞

xn=∞

5. Kryterium kondensacyjne Z: 0x n , xn1≤xn

T: ∑n=1

∞

x n∞⇔∑n=1

∞

2n x2 n∞

6. Kryterium Leibnitza

Z: xn1≤xn , limn∞

xn=0

T: ∑n=1

∞

−1n xn∞

8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie CauchyHadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych.

Szereg potęgowy: ∑n=1

∞

cn zn , gdzie z , {cn }∈ℂ

A={z∈ℂ :∑n=0

∞

cn zn∞ }

r=supremum {∣z∣: z∈A } promień zbieżności szeregu potęgowego

Twierdzenie CauchyHadamarda

Z: = lim supremumn∞

ncn

T: r= 1

,0∞

0,∞∞ ,=0

Wniosek: ∣z∣r⇒∑n=1

∞

cn zn=∞

Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych

ez=∑

n=1

∞ zn

n !



ln 1x =∑n=1

∞

−1n−1 x n

n

sin z=∑n=1

∞

−1nz2n1

2n1!

cos z=∑n=1

∞

−1nz2n

2n !

9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte.

Def. Przestrzeni metrycznej

Niech X≠∅ . Funkcję d : X×X [0,∞ nazywamy metryką w zbiorze X jeśli:1. ∀

x , y∈Xd x , y =d y , x

2. ∀x , y∈X

d x , y =0⇔ y= x

3. ∀x , y , z∈X

d x , z ≤d x , y d y , z (nierówność trójkąta)Def. Metryka d1 jest silniejsza od d2, jeśli jest spełniony warunek:

∀x∈X ,r0

∃0

K1x ,⊂K2 x , r

Metryki

• Naturalna: d x , y :=∣x−y∣

• Zerojedynkowa: d x , y :=[0, x=y ∨1, x≠y ]

• Euklidesowa w ℝn={x1 , x2 ,... , xn: x l∈ℝ∧l∈ℕ} :

Jeśli a=x1 , x2 ,... , x n i b=y1 , y2 ,... , yn , to d a ,b :=∑l=1

n

x l−y l2

Def. Kula

Załóżmy X≠∅ , x0∈X , r0Kulą (otwartą) o środku w x0 i promieniu r w przestrzeni X nazywamy zbiór

K x0, r ={x∈X : d x , x 0r}

Def. Zbiór otwarty

Zbiór A⊂X jest otwarty w przestrzeni metrycznej jeśli spełnia warunek:∀

x0∈A∃

r0K x0, r ⊂A

Def. Zbiór domknięty

Zbiór jest domknięty w przestrzeni metrycznej, jeśli X\A jest zbiorem otwartym.



10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.

Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych

xn g⇔∀0∃n0

∀nn0

d xn , g

Warunek konieczny zbieżności

Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony

Własność Hausdorffa

∀g1, g2∈X

∃r0

K g1, r 1∩K g2,r 2=∅

Def. Zbieżność w metrykach równoważnych

Niech w przestrzeni X określone będą dwie metryki i . Mówimy, że są równoważne, jeśli dyktują tę sama zbieżność, tzn. dla dowolnego ciągu xnn∈ℕ i dla dowolnego x0 prawdziwa jest równoważność: xn , x00⇔xn , x0 0

11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością.

Def. Zbiory zwarte

Niech (X,d) będzie przestrzenią metrycznąA⊂X jest zwarty⇔ Każdy ciąg z A zawiera podciąg zbieżny do elementu z A• Przykład:

Przedział domknięty i ograniczony w R jest zbiorem zwartym. Wynika to z tw. BolzanoWeierstrassa, które mówi, że istnieje podciąg xn k

ciągu xn , że xn k g , a więc g∈[a ,b ] .

• Kontrprzykład:Zbiór R nie jest zwarty, bo xn=n∞

Tw. Każdy zbiór zwarty jest domknięty. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty.Tw. Jeśli podzbiór A⊂ℝn jest zwarty, to jest zbiorem ograniczonym.

Zupełność przestrzeni

Def. {xn}⊂X Jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli spełnia warunek:∀0∃n 0

∀n ,mn0

d xn , x m

Def. Przestrzeń zupełna(X,d) jest przestrzenią zupełną, jeśli dowolny ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny do elementów tej przestrzeni.Tw. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.Tw. Jeśli w przestrzeni metrycznej (X,d) każda kula domknięta jest zwarta, to jest to przestrzeń zupełna.

12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie.(X,Y) – przestrzenie metryczne



f : AY , A⊂Xx0 jest pkt.skupienia A⇔ ∃

{xn∈A }x n≠x0∧lim

n∞xn=x0

Def. Granica funkcji (Heinego)

(X,Y) – przestrzenie metrycznef : AY , x0∈A'

Funkcja f ma granicę w x0, co zapisujemy limx x0

f x =g , gdy:

∀{xn∈A}xn≠x 0∧lim

n∞x n=x0⇒ lim

n∞f x n=g

Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)

(X,Y) – przestrzenie metrycznef : AY , x0∈Alimx x0

f x =g⇔ ∀0∃0∀

x∈Ax∈S x0,⇒ f x ∈K g , lub

limx x0

f x =g⇔ ∀0∃0∀

x∈A∣x−x 0∣⇒∣f x −g∣

13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady

Twierdzenie o trzech funkcjach

Niech X ,d przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g ,h : Aℝ , x0∈A' . Jeżeli∃

r0∀

x∈S x0,r f x ≤g x≤h x to lim

x x0

f x = limx x0

g x =limx x0

h x .

Twierdzenie o granicach funkcji

Niech X ,d przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g : Aℝ , x0∈A' oraz istnieją limx x0

f x i

limx x0

g x . Wówczas:

• limx x0

f±gx =limx x0

f x ±limx x0

g x

• limx x0

fg x= limx x0

f x ⋅limx x0

gx

• limx x0

fg x=

limx x0

f x

limx x0

g xdla lim

x x0

g x≠0∧g x ≠0

14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady.

Definicja Heinego funkcji ciągłej

Niech X ,d przestrzeń metryczna, A⊂X , f : AY , x0∈AFunkcja jest ciągła ⇔ ∀

{xn }⊂Alimn∞

xn=x0⇒ limn∞

f xn= f x 0

Tw. f jest ciągła ⇔ ∀U∈y

f −1U ∈x

Def. f : XY spełnia warunek Libschitza ⇔ ∃L0

∀x , y∈X

dy f x , f y ≤L⋅dx x , y



Tw. f spełnia warunek Libschitza ⇒ f jest ciągła w X

Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej

Funkcja jest ciągła w punkcie x ⇔∀0∃0∀y∈A∣x−y∣⇒∣ f x− f y ∣

Przykład: f x =x jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.Kontrprzykład: f x =sgn x nie jest ciągła w 0.

Ciągłość złożenia

limx x0

f x =x0∧g jest ciągła ⇒ limx x0

g [ f x]=g x0

• Wniosek: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą

Działania na funkcjach ciągłych

• suma, różnica funkcji ciągłych jest ciągła w x0,• iloczyn funkcji ciągłych jest ciągła w x0,• iloraz funkcji ciągłych jest ciągła w x0,

15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.

Spójność

Def. Niech X ,d przestrzeń metryczna. A ,B⊂X Są rozgraniczone ⇔ A∩B=∅=A∩BDef. C⊂X Jest spójny, jeżeli nie jest sumą zbiorów rozgraniczonych.• Przykład: 0,1 , bo dla n∈0,1 0,n∪n ,1≠0,1• Kontrprzykład: A=0,1∪2,3 jest sumą zbiorów rozgraniczonych

Tw. X jest spójna ⇔ nie jest sumą dwóch zbiorów otwartych (domkniętych) i rozłącznych.• Przykład: ℝ

Tw. Niech f : XY będzie funkcją ciągłą i X – przestrzenią spójną. Wtedy f X jest przestrzenią spójną.Tw. Jeśli X ,d jest przestrzenią metryczną, spójną i f : Xℝ jest ciągła, to f X jest przedziałem.

Zwartość

Tw. Niech f : XY będzie funkcją ciągłą, X – przestrzenią metryczną i A⊂X zwarty. Wtedy f Ajest zwarty.• Wniosek: A⊂ℝn , Y – przestrzenią metryczną i f : AY ciągła to f A jest zwarty.

Własność Darboux funkcji ciągłejf : [a , b]ℝ ciągła

Jeśli f a ≤ f b∧y∈[ f a , f b ] ∨ f a≥ f b∧y∈[ f b , f a] to istnieje c∈[a ,b] : f c =yTw. Weierstrassa

A⊂X zwarty i f : Aℝ ciągła ⇒ f ma w A ekstrema globalne∃

x0∈A∀x∈A

f x ≤ f x0

∃x0∈A

∀x∈A

f x ≥ f x0

Tw. Jeśli f : [a ,b] jest ciągła i różnowartościowa, to f jest silnie monotoniczna.

Ciągłość jednostajna

Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie ⇔∀0∃0∀x∈D

∀x0∈D∣x−x0∣⇒∣ f x − f x0∣



Tw. Jeżeli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.

16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.

Nieciągłość pierwszego rodzaju

Funkcja ma nieciągłość pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica prawostronna i lewostronna tej funkcji. Nieciągłość nazywamy usuwalną, jeżeli te granice są sobie równe.

• Przykład: f x =sgn x

Nieciągłość drugiego rodzaju

Funkcja ma nieciągłość drugiego rodzaju jeżeli nie istnieje przynajmniej jedna z granic prawostronna lub lewostronna.

• Przykład: f x =1x

Granice związane z funkcjami elementarnymi

limx x0

sin xx=1 lim

x x0

arcsin xx

=1 limx x0

tan xx=1

limx x0

1x 1x=e lim

x x0

a x−1x=ln a lim

x x0

ln 1x x

=1

Funkcje ciągłe

• wymierne,• wykładnicze i logarytmiczne,• trygonometryczne,• pierwiastkowe

17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.

Def. Pochodna funkcji

Niech U⊂ℝ będzie przedziałem otwartym i f :Uℝ . Jeśli dla pewnego x0∈U istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

limx x0

f x − f x0

x−x0

=limh0

f x0h− f x0

hto mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 z kolei punkt x0 nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f.Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w x0 i oznaczamy symbolem f'(x0).Funkcja różniczkowalna w x 0 oznacza, że jest w tym punkcie ciągła

Interpretacja geometryczna

Różniczkowalność f w x0 oznacza, że funkcja posiada styczną do wykresu w tym punkcie, nierównoległej do osi OY.



Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji.

Interpretacja fizyczna

limt0

s tt 0−s t0

t=v t 0

Jest to pochodna ilorazu w t0 i jest ona prędkością chwilową v tego ciała w t0 .

Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)

f ±g '= f '±g ' fg'= f ' g− fg '

g2 ln f '= f 'f

fg '= f ' g fg ' fgh '= f ' gh fg ' h fgh ' f a'=af a−1

⋅ f '

f g '= f ' g ⋅g ' f −1 '=1g '

Pochodne funkcji elementarnych

xa '=axa−1 sin x'=cos x arcsin x '= 1

1−x2

a x'=ax

⋅ln a cos x '=−sin x arccosx '= −1

1−x2

ex'=ex tan x '= 1

cos2 x

arctan x '=1

1x 2

loga x '=1

x⋅ln a cot x '= 1

sin2x

arccot x '=−1

1 x2

ln x '=1x

18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania.

Tw. Rolle'a

Jeżeli f : [a.b]ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to ∃x0∈a , b

f ' x0=0 .

Tw. Lagrange'a

Jeżeli f : [a.b]ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃∈a ,b

f ' =f b− f a

b−a

Tw. Cauchy'ego

Jeżeli f : [a.b]ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃x0∈a , b

f ' x0

g ' x0=

f b− f ag b−g a

Wnioski:

• f ' x ≥0⇒ f jest rosnąca,• f ' x ≤0⇒ f jest malejąca,• f ' x =0⇒ f jest stała.



Wzór Taylora

Niech f ∈Cn−1[ x0, x0h ] dla h>0, oraz f jest nkrotnie różniczkowalna w x0, x0h . Wtedy istnieje

∈0,1 , że

f x0h= f x 0f x0h

1!

f x0h2

2 !

f x0hn−1

n−1 !

f nx0hhn

n!

• Przykładowe zastosowanie:

Obliczmy przybliżoną wartość cos 1

10 . Najpierw policzmy ∣Rnh ∣

∣Rnh ∣=∣f n x0hhn∣

n !≤

hn

n !≤0,1n

n !

Dla n=4: ∣R4h ∣=104

24≤10−5

cos h ≈ f 0f ' 0h

1

f ' ' 0 h2

2 !

f ' ' ' 0h3

3 !cos x 0=1cos x '=sin x⇒ cos ' 0=sin 0=0cos x ' '=−cos x⇒ cos ' ' 0=−cos0=−1cos x ' ' '=−sin x⇒ cos ' ' ' 0=−sin 0=0

Więc:

cos h ≈1−h2

2 ! Wówczas:

cos 1

10≈1−

110

2

2 !=1−

1100⋅

12=1−

1200

=0,995

19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady.

Def. Ekstremum lokalne

f : Iℝ , I⊂ℝ , x0∈ I n t If ma w x0 maksimum (minimum) lokalne jeśli jest spełniony warunek∃

r0∀

x∈x0,r f x ≤ f x0 ( ∃

r0∀

x∈x0,r f x ≥ f x0 )

f ma w x0 maksimum (minimum) globalne ∀x∈I

f x ≤ f x0 ( ∀x∈I

f x ≥ f x0 )

Warunek konieczny ekstremum funkcji

f ma ekstremum lokalne ⇒ f ' x=0• Kontrrzykład: f x =x3

I warunek wystarczający ekstremum funkcji

f : Iℝ , I⊂ℝ , x0∈ I n t I

∃r0[x0−r x⇒ f ' x ≤0∧x0r x⇒ f ' x ≥0]⇒ f ma minimum lokalne w x0

maksimum analogicznie



II warunek wystarczający ekstremum funkcji

f : Iℝ Różniczkowalna x2 w otoczeniu x0, I⊂ℝ , x0∈ I n t I , f ' x0=0 , f'' jest ciągła w x0 i f ' ' x 0⇒ f ma maksimum lokalne w x0

f ' ' x 0⇒ f ma minimum lokalne w x0

Def. Funkcji wypukłej

f : a ,bℝ 2x różniczkowalnaf jest wypukła w (a,b) ⇒ ∀

x0∈a , b ∀

x∈a , b∖{x0}f x f x0 f ' x0x−x0

f jest wklęsła w (a,b) ⇒ ∀x0∈a , b

∀x∈a , b∖{x0}

f x f x0 f ' x0x−x0

x0 jest punktem przegięcia dla f.

Tw. f : a ,bℝ 2x różniczkowalnaf ' ' x 0⇒ f jest wypukłaf ' ' x 0⇒ f jest wklęsła

20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej.

Def. Funkcja pierwotna

Załóżmy: f : Iℝ i I⊂ℝ przedział otwarty. Każdą funkcję F : Iℝ różniczkowalną w przedziale i spełniającą warunek, że:

F ' x = f x , x∈Inazywamy funkcją pierwotną funkcji f lub całką nieoznaczoną, funkcji f i oznaczamy symbolem ∫ f x dx .

∫ f x dx={FC : F jest pierwotna dla f }

.



Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

Education

Transcript of Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej