Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:´ …›pny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa...
Transcript of Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:´ …›pny wynik dla algebraicznego równania Lapunowa...
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa:teoria i przykłady zastosowan
Zbigniew Emirsajłow
Katedra Sterowania i PomiarówZachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
e-mail: [email protected]
Zielona Góra, 22 listopada 2010
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Spis tresci
1 WprowadzenieO jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
2 Rózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciemPodstawowe własnosci półgrupy złozonej
3 Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemRozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
4 Algebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemGłówny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Równania Lapunowa
Głównym celem referatu jest przedstawienie teorii półgrupy złozonej i pokazanie, zejest ona efektywnym narzedziem analizy nieskonczenie wymiarowych rózniczkowychoraz algebraicznych równan Lapunowa. Głównym równaniem motywujacym załozenia,przy których rozwiniemy teorie półgrupy złozonej, jest rózniczkowe równanieLapunowa o postaci
M(t) = AM(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ≥ 0 , M(0) = M0 , (1)
w którym (M(t))t≥0 , A, A∗ i BB′ sa liniowymi operatorami działajacymi wnieskonczenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta.Postac algebraiczna równania Lapunowa jest stacjonarna wersja równania (1) iwyglada nastepujaco:
AM + MA∗ + BB′ = 0 , (2)
gdzie operator M nie zalezy od czasu.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Oznaczenia
H, U sa przestrzeniami Hilberta (które identyfikujemy z ich przestrzeniamidualnymi.
H = L (H) jest przestrzenia Banacha liniowych, ograniczonych operatorów z Hdo H z norma ‖ · ‖. (H, ‖ · ‖) oznacza L (H) z jednostajna topologia operatorowa(indukowana przez norme ‖ · ‖) a (H, τ) oznacza L (H) z silna topologiaoperatorowa τ , tzn., topologia indukowana przez rodzine półnorm P = {ph},gdzie ph(X) = ‖Xh‖H dla X ∈ L (H) i h ∈ H.
A jest liniowym, nieograniczonym operatorem na H generujacym silnie ciagłapółgrupe (T (t))t≥0 ⊂ H. HA
1 = D(A) jets przestrzenia Hilberta z iloczynemskalarnym 〈·, ·〉A
1 = 〈(λI − A)(·), (λI − A)(·)〉H i norma ‖ · ‖A1 , gdzie λ ∈ ρ(A) i
ρ(A) jest zbiorem rezolwentowym operatora A. AAnalogicznie definiujemyHA∗
1 = D(A∗), gdzie A∗ jest nieograniczonym operatorem sprzezonym do A.
HA−1 jest uzupełnieniem H w normie ‖ · ‖A
−1 = ‖(λI − A)−1(·)‖H indukowanej
przez iloczyn skalarny 〈·, ·〉A−1 = 〈(λI − A)−1(·), (λI − A)−1(·)〉H , gdzie λ ∈ ρ(A).
Przestrzen Hilberta HA−1 mozna równowaznie zdefiniowac jako dualna (HA∗
1 )′
do HA∗
1 . Zachodzi HA1 → H → HA
−1 z ciagłymi i gestymi włozeniami.
Analogicznie, wprowadzamy HA∗
−1.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Oznaczenia - c.d.
(T (t))t≥0 ⊂ H mozna obciac do (T1(t))t≥0 ⊂ L (HA1 ) a jej generator (A1,D(A1))
jest czescia A w HA1 ⊂ H. Ponadto, (T (t))t≥0 ⊂ H mozna rozszerzyc do
(T−1(t))t≥0 ⊂ L (HA−1) z generator (A−1,D(A−1)) bedacym rozszerzeniem A,
gdzie D(A−1) = H. Analogicznie, wprowadzamy (T∗1 (t))t≥0 ⊂ L (HA∗
1 ) z
generatorem (A∗1 ,D(A∗
1 )) i (T∗−1(t))t≥0 ⊂ L (HA∗
−1) z generatorem(A∗
−1,D(A∗−1)), gdzie D(A∗
−1) = H.
B ∈ L (U,HA−1) z operatorem sprzezonym B′ ∈ L (HA∗
1 ,U).
H∼ = L (HA∗
1 ,HA−1) jest przestrzenia Banacha liniowych i ograniczonych
operatorów z HA∗
1 do HA−1 z norma ‖ · ‖∼. (H∼, ‖ · ‖∼ ) oznacza L (HA∗
1 ,HA−1) z
jednostajna topologia operatorowa (indukowana przez ‖ · ‖∼) a (H∼, τ∼ )
oznacza L (HA∗
1 ,HA−1) z silna topologia operatorowa τ∼, tzn., topologia
indukowana przez rodzine półnorm P∼ = {p∼h }, gdzie p∼
h (X) = ‖Xh‖HA−1
dla
X ∈ L (HA∗
1 ,HA−1) i h ∈ HA∗
1 .
Uwaga
Przestrzen topologiczna (H, τ) jest ciagowo zupełna na zbiorach o ograniczonejnormie.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskazniku jakosci - czesc I.
Układ sterowania z nieograniczonym operatorem wejsciowym
x(t) = A−1x(t) + Bu(t) , t ≥ 0 , x(0) = x0 , (3)
gdzie (x(t))t≥0 jest trajektoria stanu, a (u(t))t≥0 ⊂ U jest sterowaniem.Załozenia: czas t1 ∈ (0,∞) jest ustalony, x0 ∈ H, z1 ∈ H, B jest dopuszczalnymoperatorem wejsciowym.Zadanie: Znalezc sterowanie uopt ∈ L2(0, t1;U), które zminimalizuje kwadratowywskaznik jakosci
Jt1 (u) = ‖x(t1)− z1‖2H + ‖u‖2
L2(0,t1;U)(4)
na całej przestrzeni L2(0, t1;U).Sterowanie optymalne uopt istnieje i jest jednoznaczne.Optymalna para {uopt, xopt} ∈ L2(0, t1;U)× C([0, t1];H) jest jednoznaczniescharakteryzowana równaniami:
xopt(t) = A−1xopt(t) + Buopt(t) , t ∈ [0, t1] , xopt(0) = x0 , (5a)
p(t) = −A∗p(t) , t ∈ [0, t1] , p(t1) = z1 − xopt(t1) , (5b)
uopt(t) = B′p(t) . (5c)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Dla x0, z1 ∈ H i dopuszczalnego B ∈ L (U,HA−1) rozwiazania równan (5a) i (5b)
sa rozumiane w sensie słabym, a wyrazenie (5c) na sterowanie optymalne masens tylko jako funkcja z przestrzeni L2(0, t1;U).
Podstawiajac (5c) do (5a), otrzymamy[
x1(t)x2(t)
]
=
[
A−1 BB′
0 −A∗
] [
x1(t)x2(t)
]
, t ∈ [0, t1] ,[
x1(0)x2(t1)
]
=
[
x0z1 − x1(t1)
]
,
(6)gdzie xopt = x1 i uopt = B′x2.
Uwaga
Jest to typowe zagadnienie dwugraniczne, którego rozwiazanie [x1(t) x2(t)]T ,t ∈ [0, t1] jest trudne do wyznaczenia. Wynika to z faktu, ze warunek koncowy x2(t1)zalezy od warunku koncowego x1(t1) i wobec tego oba równania rózniczkowe sa zesoba sprzegniete, a ponadto operator BB′ wystepujacy w pierwszym równaniu jest„silnie” nieograniczony wzgledem przestrzeni stanu H (spełnia on warunekBB′ ∈ H∼ = L (HA∗
1 ,HA−1)).
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Równania (6) zastepujemy zagadnieniem dwugranicznym:[
x1(t)x2(t)
]
=
[
A−1 BB′
0 −A∗
] [
x1(t)x2(t)
]
, t ∈ [0, t1] ,[
x1(0)x2(t1)
]
∈ H×HA∗
2 ,
(7)gdzie nie zakładamy a priori dopuszczalnosci operatora B, a HA∗
2 jest dziedzina
A∗1 rozumianego jako nieograniczony operator na przestrzeni HA∗
1 .
Warunki poczatkowo-koncowe problemu (7) róznia sie od warunków z problemu(6), poniewaz nie zakładamy teraz zaleznosci stanu x2(t1) od stanu x1(t1).
Dla x2(t1) ∈ HA∗
2 , otrzymujemy
x2(·) ∈ C([0, t1];HA∗
2 ) ∩ C1([0, t1];HA∗
1 ) ,
a rózniczkowalnosc funkcji x2(·) oraz załozenie x1(0) ∈ H gwarantuja, ze
x1(·) ∈ C([0, t1];H) ∩ C1([0, t1];HA−1) .
Równania rózniczkowe (7) sa spełnione w przestrzeni HA−1 × HA∗
1 dla kazdegot ∈ [0, t1].
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Wprowadzamy nowe zmienne stanu [w1(t) w2(t)]T
[
w1(t)w2(t)
]
=
[
I −M(t)0 I
] [
x1(t)x2(t)
]
, t ∈ [0, t1] (8)
spełniajace równania[
w1(t)w2(t)
]
=
[
A−1 00 −A∗
] [
w1(t)w2(t)
]
, t ∈ [0, t1] ,[
w1(0)w2(t1)
]
=
[
x1(0)x2(t1)
]
,
(9)gdzie (M(t))t∈[0,t1 ] jest nieznana rodzina operatorów.
Aby okreslic ogólne warunki, które powinna spełniac ta rodzina, formalniezrózniczkujmy (8)
[
w1(t)w2(t)
]
=
[
I −M(t)0 I
] [
x1(t)x2(t)
]
+
[
I −M(t)0 I
] [
x1(t)x2(t)
]
. (10)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Powyzsze wyrazenia maja sens, jezeli:
Operator M(t) bedzie ograniczony na przestrzeni stanu H, tzn.
(M(t))t∈[0,t1 ] ⊂ H , (11)
i ciagły w czasie w silnej topologii operatorowej τ przestrzeni H, tzn.M(·) ∈ C([0, t1]; (H, τ)). Ponadto
M(0) = 0 , (12)
co wynika z warunków poczatkowo-koncowych problemu (9).
Pochodna M(t) bedzie dobrze zdefiniowana w przestrzeni L (HA∗
1 ,HA−1), tzn.
(M(t))t∈[0,t1 ] ⊂ H∼ , (13)
i ciagła w czasie w silnej topologii operatorowej τ∼ przestrzeni H∼, tzn.M(·) ∈ C([0, t1]; (H∼, τ∼)).
Powyzsze własnosci rodziny (M(t))t∈[0,t1 ] gwarantuja, ze układ (10) jest dobrze
zdefiniowany w HA−1 × HA∗
1 dla kazdego t ∈ [0, t1].
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
O jakie równanie chodzi?Wstepne oznaczenia i załozeniaPrzykład 1 - czesc I
Przykład
Po przekształceniach otrzymujemy[
w1(t)w2(t)
]
=
[
A−1 −M(t) + A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′
0 −A∗
] [
w1(t)w2(t)
]
,
(14)który ma sens w przestrzeni HA
−1 × HA∗
1 dla kazdego t ∈ [0, t1].
Diagonalizacja (9) wymaga istnienia rozwiazaniaM(·) ∈ C([0, t1]; (H, τ)) ∩ C1([0, t1]; (H∼, τ∼)) równania:
M(t) = A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ∈ [0, t1] , M(0) = 0 , (15)
gdzie równosc rozumiana jest w przestrzeni H∼.
Wniosek
Interesuje nas rozwiazanie niejednorodnego rózniczkowego równaniem Lapunowaz nieograniczonym elementem wejsciowym:
M(t)h = A−1M(t)h + M(t)A∗h + BB′h , t ≥ 0 , M(0) = M0 , h ∈ HA∗
1 , (16)
gdzie równosc rozumiana jest w HA−1, przy załozeniach M0 ∈ H oraz BB′ ∈ H∼.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Podstawowe własnosci półgrupy złozonej
Własnosci półgrupy złozonej
Wykorzystujac półgrupy (T (t))t≥0 ⊂ H i (T∗(t))t≥0 ⊂ H generowane przez A i A∗,odpowiednio, definiujemy jeszcze jedna półgrupe.
Definicja
Rodzine operatorów (U(t))t≥0 ⊂ L (H), zdefiniowana zaleznoscia
U(t)X = T (t)XT∗(t), X ∈ H, t ≥ 0 , (17)
nazywamy półgrupa złozona.
Z definicji wynikaja nastepujace własnosci rodziny (U(t))t≥0 ⊂ L (H) :
(a) Rodzina operatorów (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest półgrupa, tzn.,
U(0)X = X , X ∈ H ,
U(t + s)X = U(t)(U(s)X) = U(s)(U(t)X) , X ∈ H, t, s ≥ 0 .
(b) (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest silnie τ -ciagła dla kazdego t ≥ 0, tzn. dla kazdego X ∈ H
τ - lim∆→0
(
U(t+∆)X−X)
= lim∆→0
‖(U(t+∆)X)h−(U(t)X)h‖H = 0 , h ∈ H . (18)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Podstawowe własnosci półgrupy złozonej
Własnosci półgrupy złozonej
Definicja
Generatorem A półgrupy złozonej (U(t))t≥0 ⊂ L (H) nazywamy granice
AX = τ - limtց0
U(t)X − X
t, X ∈ D(A) , (19)
gdzie D(A) ⊂ H jest dziedzina operatora A zdefiniowana nastepujaco
D(A) = {X ∈ H : τ - limtց0
U(t)X − X
tisnieje w (H, τ)} . (20)
(c) X ∈ H nalezy do dziedziny D(A) wtedy i tylko wtedy, gdy obciecie X do HA∗
1
nalezy do L (HA∗
1 ,HA1 ), tzn.,
D(A) ⊂ H∩ L (HA∗
1 ,HA1 ) , (21)
i rozszerzenie operatora (AX + XA∗) ∈ L (HA∗
1 ,H) do H nalezy do H.(d) Operator A posiada nastepujaca jawna reprezentacja
(AX)h = AXh + XA∗h , X ∈ D(A) , h ∈ HA∗
1 . (22)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Podstawowe własnosci półgrupy złozonej
Własnosci półgrupy złozonej
(e) Dla X ∈ H mamy∫ t
0U(r)X dr ∈ D(A) , t ≥ 0 , (23)
gdzie całka ma sens w (H, τ). Jezeli X ,Y ∈ H, to
U(t)X − X =
∫ t
0U(r)Y dr , t ≥ 0 , (24)
wtedy i tylko wtedy, gdy X ∈ D(A) i Y = AX .(f) Jezeli X ∈ D(A), to (U(t)X)t≥0 ⊂ D(A) i jest τ -rózniczkowalne wzgledem t , tzn.
U(·)X ∈ C1([0,∞); (H, τ)), oraz
d
dtU(t)X = A(U(t)X) = U(t)(AX) , t ≥ 0 . (25)
(g) Spełnione sa równosci
‖U(t)‖L (H) = ‖T (t)‖H‖T∗(t)‖H = ‖T (t)‖2H , t ≥ 0 , (26)
i jezeli ω0(T ) jest wskaznikiem wzrostu (T (t))t≥0 ⊂ H, a ω0(U) jest wskaznikiemwzrostu (U(t))t≥0 ⊂ L (H), to
ω0(U) = 2ω0(T ) . (27)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Podstawowe własnosci półgrupy złozonej
Własnosci półgrupy złozonej
Dla λ ∈ C2ω0(T ) := {z ∈ C : Re z > 2ω0(T )} definiujemy rodzine operatorówR(λ) ∈ L (H) wykorzystujac przekształcenie Laplace’a
R(λ)X =
∫ ∞
0e−λtU(t)X dt =
∫ ∞
0e−λt T (t)XT∗(t) dt , X ∈ H , (28)
gdzie całki sa zbiezne w (H, τ).
(h) ZachodziC2ω0(T ) ⊂ ρ(A) , (29)
gdzie ρ(A) jest zbiorem rezolwentowym operatora A.
(i) Jezeli λ ∈ C2ω0(T ), to operator R(λ) pokrywa sie z rezolwenta R(λ,A) operatoraA, tzn.
R(λ) = R(λ,A) = (λI − A)−1 ∈ L (H) (30)
orazR(R(λ)) = R(R(λ,A)) = D(A) . (31)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Podstawowe własnosci półgrupy złozonej
Własnosci półgrupy złozonej
Wniosek
Bezposrednio z własnosci (f) wynika, ze dla kazdego X0 ∈ D(A) wyrazenie
X(t) = U(t)X0 = T (t)X0T∗(t) , t ≥ 0 ,
spełnia warunek (X(t))t≥0 ⊂ D(A) oraz X(·) ∈ C1([0,∞); (H, τ)), i w rzeczywistoscijest τ -rózniczkowalnym rozwiazaniem jednorodnego zagadnienia Cauchyego
X (t) = AX(t) ∈ H, t ≥ 0 , X(0) = X0 . (32)
Na mocy własnosci (d) równanie (32) mozna przepisac w postaci
X(t)h = AX(t)h + X(t)A∗h , h ∈ HA∗
1 , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (33)
które jest jednorodnym równaniem rózniczkowym Lapunowa.
Uwaga
Przede wszystkim interesuje nas jednak niejednorodne równanie Lapunowa znieograniczonym wejsciem F spełniajacym warunek
F ∈ H∼ = L (HA∗
1 ,HA−1) .Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Rozszerzenie półgrupy złozonej
Na H definiujemy dodatkowa norme ‖X‖⋆ := ‖R(λ,A)X‖, gdzie X ∈ H, orazrodzine półnorm P⋆ = {p⋆ h}, gdzie p⋆ h(X) = ph(R(λ,A)X) = ‖(R(λ,A)X)h‖Hdla X ∈ H i h ∈ H. τ⋆ oznacza topologie na H indukowana przez rodzine P⋆.
H−1 jest przestrzenia Banacha zdefiniowana jako uzupełnienie H rozumiane wsensie klas równowaznosci ciagów Cauchy’ego w (H, τ⋆) o ograniczonej normie‖ · ‖⋆. Norma w H−1 zdefiniowana jest zaleznoscia
‖X‖−1 = supp−1 h∈P
−1
p−1 h(X) , X ∈ H−1 ,
gdzie P−1 = {p−1 h} jest rodzina półnorm p−1 h na H−1, zdefiniowanych granica
p−1 h(X) = limn→∞
p⋆ h(Xn) , h ∈ H ,
gdzie (Xn)n∈N ⊂ H jest dowolnym reprezentantem klasy równowaznosci X . Jezeliτ−1 oznacza topologie na H−1 indukowana przez rodzine P−1, wówczaskanoniczna injekcja (H, τ) → (H−1, τ−1) jest bi-ciagła i bi-gesta.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Rozszerzenie półgrupy złozonej
(U−1(t))t≥0 ⊂ L (H−1) jest τ−1-ciagła półgrupa zdefiniowana zaleznoscia
U−1(t)X := τ−1- limn→∞
U(t)Xn = τ−1- limn→∞
T (t)XnT∗(t) , t ≥ 0 , X ∈ H−1 ,
gdzie (Xn)n∈N ⊂ H jest ciagiem ograniczonym w ‖ · ‖−1 i τ−1-zbieznym do X .Generator (A−1,D(A−1)) posiada dziedzine D(A−1) = H i spełnia warunekA−1X = AX dla X ∈ D(A). Ponadto, ω0(U−1) = ω0(U) = 2ω0(T ).Niejednorodny problem Cauchy’ego
X(t) = A−1X(t) + F , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (34)
gdzie X0 ∈ H i F ∈ H−1.
Lemat
Jezeli F ∈ H−1 i X0 ∈ H, to (34) ma jednoznaczne rozwiazanie spełniajace warunek
X(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1)) . (35)
Rozwiazanie to dane jest zaleznoscia
X(t) = U(t)X0 +
∫ t
0U−1(t − r)F dr . (36)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Reprezentacja A−1 i U−1(t)
(U∼(t))t≥0 ⊂ L (H∼) jest półgrupa złozona zdefiniowana
U∼(t)X := T−1(t)ZT∗1 (t) , X ∈ H , t ≥ 0 . (37)
(A∼,D(A∼)) oznacza jej generator. Zachodzi H ⊂ D(A∼) i ω0(U∼) = ω0(U).
Lemat
(a) (H, τ) → (H−1, τ−1) → (H∼, τ∼) i injekcje sa bi-ciagłe i bi-geste.
(b) Prawdziwe sa nastepujace zaleznosci (równosci w HA−1):
(A−1X)h = (A∼X)h
= A−1Xh + XA∗h , X ∈ H , h ∈ HA∗
1 , (38)
(U−1(t)X)h = (U∼(t)X)h
= T−1(t)XT∗1 (t)h , X ∈ H−1 , t ≥ 0 , h ∈ HA∗
1 , (39)
(R(λ,A−1)X)h = (R(λ,A∼)X)h
=
∫ ∞
0e−λt T−1(t)XT∗
1 (t)hdt , X ∈ H−1 , h ∈ HA∗
1 . (40)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Algebraiczne równanie Lapunowa
Lemat
Niech λ ∈ C2ω0(T ) i F ∈ H∼. Algebraiczne równanie Lapunowa (w HA−1)
λXh − A−1Xh − XA∗h = Fh , h ∈ HA∗
1 (41)
posiada jednoznaczne rozwiazanie X ∈ H = L (H) wtedy i tylko wtedy, gdy
F ∈ H−1 (42)
równowaznie,R(λ,A∼)F ∈ H . (43)
Uwaga
Z równowaznosci HA−1 i (HA∗
1 )′ wynika, ze (41) mozna przepisac w postaci
λ〈Xh, g〉H − 〈Xh, A∗g〉H − 〈XA∗h, g〉H = 〈Fh, g〉(HA∗
1 )′×HA∗1
, h, g ∈ HA∗
1 , (44)
gdzie 〈·, ·〉(HA∗
1 )′×HA∗1
oznacza relacje dualnosci miedzy HA∗
1 i (HA∗
1 )′.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Rózniczkowe równanie Lapunowa
Niejednorodny problem Cauchy’ego
X (t) = A∼X(t) + F , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (45)
gdzie X0 ∈ H i F ∈ H∼, lub rownowaznie
X (t)h = A−1X(t)h + X(t)A∗h + Fh , h ∈ HA∗
1 , t ≥ 0 , X(0) = X0 , (46)
gdzie X0 ∈ H, F ∈ H∼ i równosc (46) zachodzi w HA−1.
Czesciowy wynik (wynika z lematu dla problemu Cauchy’ego (34)).
Wniosek
Jezeli F ∈ H−1 i X0 ∈ H, to rózniczkowe równanie Lapunowa (46) posiadajednoznaczne rozwiazanie X(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1)), danezaleznoscia
X(t) = U(t)X0 +
∫ t
0U∼(t − r)F dr
= T (t)X0T∗(t) +∫ t
0T−1(t − r)FT∗
1 (t − r) dr , t ≥ 0 . (47)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Dopuszczalny element wejsciowy
Wprowadzamy rodzine operatorów ((MF )(t))t≥0 ⊂ H∼
(MF )(t) =∫ t
0U∼(t − r)Fdr =
∫ t
0T−1(t − r)FT∗
1 (t − r)dr , F ∈ H∼ , t ≥ 0 .
(48)
Definicja
F ∈ H∼ nazywamy dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowegorównania Lapunowa (46) jezeli istnieja ε > 0 i C > 0 takie, ze
(MF )(t) ∈ H , t ∈ [0, ε] , (49)
sup0≤t≤ε
‖(MF )(t)‖ ≤ C , (50)
orazτ - lim
tց0(MF )(t) = 0 . (51)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Dopuszczalny element wejsciowy
Lemat
Jezeli F ∈ H∼ jest dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowegorównania Lapunowa (46), to spełniony jest warunek
(MF )(t) ∈ H , t ≥ 0 , (52)
oraz(MF )(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) . (53)
Twierdzenie
F ∈ H∼ jest dopuszczalnym elementem wejsciowym dla rózniczkowego równaniaLapunowa (46) wtedy i tylko wtedy, gdy F ∈ H−1.
Uwaga
Wszystkie elementy F ∈ H−1 mozna sparametryzowac zaleznoscia
F (X) = λX − A−1X − XA∗, X ∈ H.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Rózniczkowe równanie Lapunowa
Wniosek
Rózniczkowe równanie Lapunowa
M(t) = A−1M(t) + M(t)A∗ + BB′ , t ≥ 0 , M(0) = 0 , (54)
posiada jednoznaczne rozwiazanie (M(t))t≥0 ⊂ H spełniajace warunek
M(·) ∈ C([0,∞); (H, τ)) ∩ C1([0,∞); (H−1, τ−1))
(stad takze w M(·) ∈ C1([0,∞); (H∼, τ∼))) wtedy i tylko wtedy, gdy
BB′ ∈ H−1 , (55)
równowaznie,R(λ,A∼)(BB′) ∈ H . (56)
Rozwiazanie to dane jest zaleznoscia
M(t) =∫ t
0U−1(t − r)(BB′) dr =
∫ t
0T−1(t − r)BB′T∗
1 (t − r) dr , t ≥ 0 . (57)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Dopuszczalnosc operatora BB′
Uwaga
(a) Warunek (55) jest równowazny faktowi, ze dla λ ∈ C2ω0(T ) algebraiczne równanieLapunowa
λ〈Xh, g〉H − 〈Xh,A∗g〉H − 〈XA∗h, g〉H = 〈B′h,B′g〉U , h, g ∈ HA∗
1 , (58)
posiada jednoznaczne rozwiazanie X ∈ H.
(b) Jezeli X ∈ H spełnia równanie (58), to równiez spełnia je X∗ ∈ H.Jednoznacznosc implikuje wiec samosprzezonosc rozwiazania. Poniewaz Xmozna przedstawic w postaci
X = R(λ,A∼)(BB′) = R(λ,A−1)(BB′) , (59)
wiec wynika stad, ze operator X jest nieujemny.
Lemat
Niech B ∈ L (U,HA−1) (BB′ ∈ H∼). BB′ ∈ H−1 wtedy i tylko wtedy, gdy
B ∈ L (U,HA−1) jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym dla (T (t))t≥0 ⊂ H.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Przykład 1 - c.d.
Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskazniku jakosci - czesc II.
Koncowy układ równan rózniczkowych[
w1(t)w2(t)
]
=
[
A−1 00 −A∗
−1
] [
w1(t)w2(t)
]
, t ∈ [0, t1] (60)
(w przestrzeni HA−1 × HA∗
−1) z warunkami poczatkowo-koncowymi:
[
w1(0)w2(t1)
]
=
[
x0z1 − (I + M(t1))−1(w1(t1) + M(t1)z1)
]
, (61)
gdzie x0 ∈ H i z1 ∈ H.
Uwaga
Aby wyznaczyc (w1(t))t∈[0,t1 ], musimy najpierw rozwiazac pierwsze równanierózniczkowe z układu (60) do przodu w czasie i wówczas otrzymamy równiez w1(t1).Majac M(t1) i w2(t1), musimy nastepnie rozwiazac drugie równanie rózniczkowe zukładu (60) do tyłu w czasie i wówczas otrzymamy funkcje (w2(t))t∈[0,t1 ].
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Rozszerzenie półgrupy złozonejWstepny wynik dla algebraicznego równania LapunowaWstepny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaDopuszczalne elementy wejscioweGłówny wynik dla rózniczkowego równania LapunowaPrzykład 1 - czesc II
Przykład 1 - c.d.
Uwaga
Słabe rozwiazanie wyjsciowego zagadnienia dwugranicznego[
x1(t)x2(t)
]
=
[
A−1 BB′
0 −A∗
] [
x1(t)x2(t)
]
, t ∈ [0, t1],[
x1(0)x2(t1)
]
=
[
x0z1 − x1(t1)
]
,
(62)gdzie x0, z1 ∈ H, otrzymujemy z zaleznosci
[
x1(t)x2(t)
]
=
[
I M(t)0 I
] [
w1(t)w2(t)
]
, t ∈ [0, t1] . (63)
Z zaleznosci tej wynika, ze dla kazdej pary x0, z1 ∈ H zagadnienie dwugraniczne (62)ma jednoznaczne słabe rozwiazanie
[
x1(·)x2(·)
]
∈ C([0, t1];H)× C([0, t1];H) , (64)
które w sposób ciagły zalezy od danych x0 i z1.
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Główny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2
Dopuszczalnosc przy nieskonczonym horyzoncie czasowym
Definicja
Operator B ∈ L (U,HA−1) nazywany jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym przy
nieskonczonym horyzoncie czasowym (dla półgrupy (T (t))t≥0 ⊂ L (H)), jezeli istniejestała C∞ > 0 taka, ze zachodzi warunek
‖
∫ ∞
0T−1(t)Bu(t) dt‖H ≤ C∞‖u‖L2(0,∞;U), u ∈ L2(0,∞;U) , (65)
lub równowaznie(
∫ ∞
0‖B′T∗
1 (t)h‖2U dt
)1/2≤ C∞‖h‖H , h ∈ D(A∗). (66)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Główny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2
Algebraiczne równanie Lapunowa
Lemat
B ∈ L (U,HA−1) jest dopuszczalnym operatorem wejsciowym przy nieskonczonym
horyzoncie czasowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje samosprzezony i nieujemnyoperator M ∈ H spełniajacy równanie
−A∼M = BB′ (67)
w przestrzeni H∼, lub równowaznie, algebraiczne równanie Lapunowa
− A−1Mh − MA∗h = BB′h , h ∈ HA∗
1 (68)
w przestrzeni HA−1. Jezeli dodatkowo półgrupa (T (t))t≥0 ⊂ H jest wykładniczo stabilna
(ω0(T ) < 0), to rozwiazanie M ∈ H jest jednoznaczne i mozna je przedstawic wpostaci:
M = (−A∼)−1(BB′) = (−A−1)−1(BB′) =
∫ ∞
0U−1(t)(BB′) dt
=
∫ ∞
0T−1(t)BB′T∗
1 (t) dt . (69)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa
WprowadzenieRózniczkowe równanie Lapunowa z ograniczonym wejsciem
Rózniczkowe równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciemAlgebraiczne równanie Lapunowa z nieograniczonym wejsciem
Główny wynik dla algebraicznego równania LapunowaPrzykład 2
Twierdzenie Lapunowa
Lemat
Nastepujace warunki sa równowazne:
(a) ω0(T ) < 0, tzn. półgrupa (T (t))t≥0 ⊂ H jest wykładniczo stabilna.
(b) ω0(U) < 0, tzn. (U(t))t≥0 ⊂ L (H) jest wykładniczo stabilna.
(c) Istnieje samosprzezony i nieujemny operator M ∈ H∩ D(A) spełniajacy równanie
AM = −IH , (70)
gdzie równosc zachodzi w H, a IH jest operatorem tozsamosciowym w H, lubrównowaznie, równanie
〈Mh,A∗g〉H + 〈MA∗h, g〉H = −〈h, g〉H , h, g ∈ HA∗
1 . (71)
Zbigniew Emirsajłow Nieskonczenie wymiarowe równanie Lapunowa