Równania ruchu

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów W3 1

Równania ruchuRachunki oparte na bilansie różnych wielkości w obszarachkontrolnych są dobre wtedy, gdy wielkości fizyczne występujące w bilansiesą w przybliżeniu jednorodne na ściankach obszaru kontrolnego.

W rzeczywistych problemach fizycznych bywa jednak tak, że interesujące nas wielkości wykazują znaczne różnice lokalne wewnątrz obszaru kontrolnego. Oczywiście zawsze można wybrać obszar kontrolny na tyle mały ( w porównaniuz przestrzenną skalą zmienności interesującej nas wielkości), żeby wszystkie polawewnątrz były w przybliżeniu jednorodne.

Obszary kontrolne i ich bilanse są jednak użyteczne tylko wtedy, gdy sąograniczone takimi powierzchniami, na których wartość badanych wielkości lub ich strumienijest znana. Są to jakieś fizycznie wyróżnione powierzchnie: dno, ścianki, powierzchnia wody,górna granica warstwy granicznej atmosfery, tropopauza, itp. Jeśli wybierzemy obszarkontrolny ograniczony innymi powierzchniami, które nie mają znaczenia fizycznego,to bilans zawsze możemy napisać, ale nie będzie on przydatny, bo będzie miał zbyt dużoniewiadomych.

Skala długości falSkala poziomej zmienności prędkościNaturalne granice fizyczne


Najpierw weźmiemy bardzo mały (infinitezymalny) obszar

Infinitezymalny obszar kontrolny

Rozważanie bardzo małego obszaru kontrolnego, nie przydaje się do obliczaniawartości interesującej wielkości lub jej strumienia na wybranej ściance, bo zwyklenie znamy tych wartości na pozostałych ściankach. Jednakże bilans daje związki pomiędzywartościami wielkości i strumieni na ściankach. Kiedy z rozmiarem obszaru kontrolnegozbiegamy do zera, to są to związki między wielkościami i strumieniami w punkcie.

Później przejdziemy do granicy

Środek sześcianu jest w punkciePrzyjmujemy, że obszar jest na tyle mały, że badana wielkośćjest jednorodna na każdej ściance

(choć mogą być różnice pomiędzy ściankami)

Do tego obszaru kontrolnegozastosujemy równanie bilansu:


Prawo zachowania


Prawo zachowania w postaci różniczkowej

W granicy ilorazy różnicowe

stają się pochodnymi cząstkowymi, a zamienia się na

oznaczają

gdzie jest gęstością źródełwielkości na jednostkęobjętości i jednostkę czasu

Prawo zachowania wielkości w postaci różniczkowej.Dotyczy każdego punktu w przestrzeni, a nie jakiegoś obszaru kontrolnego


Zanieczyszczenie reagujące chemicznie

Rozważmy zanieczyszczenie, którego stopniowo ubywa, wskutek zachodzącej reakcji chemicznej.W tym przypadku jest źródłem ujemnym, czyli spływem. Zasady kinetyki chemicznej mówią,że w pierwszym przybliżeniu tempo reakcji chemicznej jest proporcjonalne do stężenia reagującego składnika (im więcej jest cząsteczek reagenta, tym więcej tych cząsteczek wchodziw reakcję. Wobec tego realistycznym modelem wyrazu źródłowego jest , gdzie jest stałą zaniku o wymiarze .

Rozważ problem jednowymiarowy, w którym plama reagującego chemicznie zanieczyszczeniajest unoszona przez jednorodny przepływ. Prawo zachowania przyjmuje postać

Jeżeli początkowy rozkład stężenia zanieczyszczenia jest równy to rozkład stężenia w funkcji czasu będzie równy

Taka ewolucja stężenie jest wynikiem jednoczesnego unoszenia i zaniku spowodowanego reakcją chemiczną

Co oznacza „problem jednowymiarowy?


Zachowanie masy

Jeśli rozważaną wielkością jest masa, to „stężenie” oznacza gęstość,

W przyrodzie nie występują ani dodatnie, ani ujemne źródła masy, więc wyraz źródłowyw równaniu bilansu jest równy zeru, . Wtedy przyjmuje postać:

Równanie ciągłości

W wielu problemach z zakresu fizyki środowiska zmiany gęstości, zarówno w czasie, jak i w przestrzeni, są pomijalnie małe, czyli

Wtedy równanie ciągłości sprowadza się do:

Czasem to równanie nazywane jest równaniem ciągłości,ale poprawnie nazywa się je warunkiem nieściśliwości


Bilans pędu - ciśnienie

Kolejną wielkością zachowaną jest pęd. jest teraz pędem na jednostkę objętości ,a więc jest to teraz wielkość wektorowa.

Zgodnie z prawem Newtona źródłami pędu są siły. Tak jak poprzednio bierzemy pod uwagędwie najważniejsze siły: ciśnienie i grawitacje. W rubryce „pozostałe siły” są siły tarcia.

Wypadkowa siła w kierunku związana z różnicąciśnień na przeciwległych ściankach

Rozwiniecie w szereg Taylora:

Analogicznie w pozostałych kierunkach:

wektorowo


Bilans pędu - grawitacjaSiła grawitacji działająca na płyn wewnątrz obszaru kontrolnego jest równa ,gdzie jest masą płynu wewnątrz obszaru kontrolnego, a jest przyspieszeniem grawitacyjnym.

Masa wewnątrz obszaru kontrolnego jest równa

A więc siła grawitacji wektorowo


Bilans pędu – siły tarcia

Siły tarcia są trochę bardziej skomplikowane, bo na każdejściance „kostki kontrolnej” mamy trzy składowe sił tarcia(jedną normalna i dwie styczne). To je różni od ciśnienia,które działało tylko w kierunku normalnym.

Na przykład na górną ściankę (prostopadłą do osi ) „kostki kontrolnej” działa wektor siły tarcia, który maskładowe

Pierwszy indeks wskazuje orientację ścianki (wektor normalny do ścianki jest w kierunku osi ),a drugi indeks oznacza składową wektora.

Jak widać na rysunku wypadkowa siła wzdłuż osi jest równa

Wypadkowa siła tarciaw kierunku


Bilans pędu – siły tarcia

Rozwinięcie w szereg Taylora wokół środkowego punktu :

Wypadkowa siła tarciaw kierunku

W granicy kiedy są bardzo małe:


Bilans pęduOgólne prawo zachowania w postaci różniczkowej

Zastosujmy do składowej pędu w kierunku (jest to wielkość zachowana):

„Źródłem” pędu jest wypadkowa siła (na jednostkę objętości) w kierunku :

(pęd na jednostkę objętości)

(o grawitacji nie zapominamy, ale jej składowa w kierunku jest równa zero)

Analogicznie dlaskładowych

grawitacja


Równanie pędu

Prawo zachowania masy!

Analogicznie dla pozostałych składowych pędu:

W postaci wektorowej:

Równanie pędu lub równanie ruchu


Przybliżenie Boussinesqa

Valentin Joseph Boussinesq(1842-1929)

Przypuśćmy, że gęstość jest niejednorodna, alejej przestrzenna (i czasowa) zmienność jest niewielka:

W takiej sytuacji stosujemy przybliżenie Boussinesqa.

Polega ono na tym, że zastępujemy przez wszędzie z wyjątkiem wyrazu z grawitacją

Przybliżenie Boussinesqa.Często pod tym hasłemrozumie się jeszcze dodatkowezałożenie

http://scienceworld.wolfram.com/biography/Boussinesq.html


Gap windhttp://meted.ucar.edu/mesoprim/gapwinds/print.htm

„Gap wind” są wiatrami na małych wysokościach związanymi z przerwami w łańcuchach górskich,przesmykami, cieśninami i innymi obniżeniami terenu o szerokości od setek metrów do ponadstu kilometrów. W zależności od sytuacji mogą osiągać prędkości do 100 km/h. Są zwykle bardzo „płytkie – od kilkudziesięciu do kilkuset metrów nad powierzchnia gruntu i mają dużegradienty prędkości („shear”) na górnej granicy i na bocznych granicach. „Gap winds” są zwyklesilne wtedy, gdy duża jest różnica ciśnień po dwóch stronach „przerwy (gap), ale są też„gap winds”, które od tej różnicy ciśnień nie zależą.

http://meted.ucar.edu/mesoprim/gapwinds/print.htm


Gap wind – efekt Venturiego

Gdyby przełęcz miała sztywną „pokrywkę”,to wiatr miałby największą prędkość tam,gdzie kanał jest najwęższy.

Obserwacje pokazują jednak, że prędkość„gap wind” jest zwykle największa u wylotuprzewężenia.

Wynika to stąd, że w przewężeniu nastepujespiętrzenie cięższego, chłodniejszegopowietrza.

Zdjecie satelitarne Gibraltaru.„Gap wind” wieje ze wschodu na zachód.

Po stronie zachodniej (wylot) wiatr jestsilniejkszy. Ciemny kolor, to bardziejsfalowane może i słabsze odbiciew kierunku satelity.


Gap wind – przełęcz Nuuanu Pali

Efekt Venturiego ma małe znaczenie w przesmykach szerokich (10-100 km), ale maduże znaczenie w przesmykach wąskich (kilkaset metrów do kilku kilometrów).

Przykład: pokazana na zdjęciu przełęcz Nuuanu Pali na Hawajach.

Kiedy północno-zachodni pasat „przeciska się” przez przełęcz prędkość „gap wind” dochodzido 70 km/h. Przewodniki turystyczne ostrzegają przed tymi wiatrami.


Gap wind - obliczenia

„Gap wind” w przesmyku przyspiesza od prędkości 12 m/s, do prędkości 40 m/s na dystansie 2 km.

Porównaj przyspieszenie powietrza w kierunku poziomym z przyspieszeniem ziemskim.Który wyraz w równaniu pędu równoważy wyraz odpowiadający przyspieszeniuw kierunku poziomym?

Jeśli oś wybierzemy w kierunku wiatru, to prędkość wiatru jest równa .

Przepływ jest ustalony, a więc nie ma zależności od czasu. Składową prędkości w kierunku można pominąć (jest dużo mniejsza od ). Tarcie odgrywa niewielką rolę.


Gap wind - przyspieszenie

Składowa -owa równania

Składowa -owa równania

Wyraz po lewej stronie jest równy przyspieszeniu powietrza (w kierunku poziomym).

Przyspieszenie wiatru wynosi jedynie ok. 4% przyspieszenia ziemskiego


Gap wind - ciśnienie

Ciśnienie maleje, gdy powietrze przyspiesza

Spadek ciśnienia na dystansie 2 km wynosi:

Jest to bardzo mały spadek ciśnienia w porównaniu z wartością ciśnienia atmosferycznego,które wynosi


Pytania i zadania


Rozważ reagujące chemicznie zanieczyszczenie omawiane na Wykładzie 5, którego transport opisuje równanie

Pytania i zadania

Przyjmij, że w chwili początkowej rozkład przestrzenny zanieczyszczenia dany jest wzorem

Przyjmij, prędkość z jaką zanieczyszczenie jest unoszone prze płyn wynosi ,

a stała zaniku jest równa .

Zgodnie z przepisami maksymalne dopuszczalne stężenie wynosi .

Wyznacz zasięg obszaru, który został skażony (w kilometrach) i oblicz ile godzin trwało skażenie.

Zadanie 3


Pytania i zadania

Rzeka o powierzchni przekroju pionowego równej i przepływie .

W punkcie do rzeki zrzucane są częściowo oczyszczone ścieki w tempie

. Ścieki zawierają biochemiczne zapotrzebowanie tlenu (BOD) o stężeniu

, które zanika w wodzie w tempie .

Prześledź stężenie BOD poniżej miejsca zrzutu ścieków. W szczególności oblicz ile wynosi stężenie BOD tuż po dobrym wymieszaniu z wodą w rzece (zakładając, że w tejkrótkiej początkowej fazie zanik BOD jest pomijalnie mały). Oblicz w jakiej odległości odmiejsca zrzutu ścieków stężenie BOD spada poniżej . Przyjmij, że stan jeststacjonarny.

Zadanie 4

Równania ruchu

Documents

Transcript of Równania ruchu