Co to sa równania ruchu? Jak je calkowac?dydaktyka.fizyka.umk.pl/Pliki/M.Przybylska.pdfRuch ciała...

Co to są równania ruchu? Jak je całkować?

Maria Przybylska

CA UMK

10.03.2010

M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 1 / 29

Ruch ciała i jego opis

Problemy

co to jest ruch: zmiana położenia ciała względem pewnego układuodniesienia

jak przewidywać zmiany położenia ciała w czasie,

równania ruch jako infinitezymalny przepis na zmianę położenia wnieskończenie krótkim przedziale czasu,

jak przewidywać położenie ciała w skończonym przedziale czasu –całkowanie równań ruch

co robić gdy równań nie można scałkować – analiza jakościowarównań ruchu.


Wielkości opisujące ruchpołożenie – punkt w R3 scharakteryzowanywektorem wodzącym r = (x , y , z)tor – krzywa zadana w sposób parametryczny

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

prędkość

v(t) = lim∆t→0

r(t + ∆t)− r(t)∆t

=drdt

przyspieszenie

a(t) = lim∆t→0

v(t + ∆t)− v(t)∆t

=dvdt

=d2rdt2


Sir Isaac Newtonzainteresowania: filozofia naturalna(fizyka), matematyka, astronomia,filozofia, alchemia, teologia chrześcijańska

matematyka: rachunek różniczkowy icałkowy (walka o pierwszeństwo zLeibnizem), uogólnienie wzorubinomialnego na potęgi rzeczywiste,metoda Newtona znajdowaniaprzybliżonych zer funkcji, badaniewłasności szeregów,

fizyka: 3 prawa ruch, prawo powszechnejgrawitacji, zgodność praw Keplera zprawem powszechnego ciążenia,konstrukcja teleskopu refrakcyjnego, teoriaświatła i kolorów, pomiar prędkościdźwięku.


Prawa ruchu – zasady dynamiki Newtona1 Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły

działające równoważą się, to ciało pozostajew spoczynku lub porusza się ruchemjednostajnym prostoliniowym.“Każde ciało trwa w swym stanie spoczynkulub ruchu prostoliniowego jednostajnego,jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała dozmiany tego stanu”

2 Jeśli na ciało działa siła F, to ciało poruszasię z przyspieszeniem a wprostproporcjonalnym do działającej siły F, aodwrotnie proporcjonalnym do masy ciała m.“Zmiana ruchu jest proporcjonalna doprzyłożonej siły poruszającej i odbywa się wkierunku prostej, wzdłuż której siła jestprzyłożona.”

ma = F


Jak rozwiązywać równania ruchu?

Problem

znamy F czyli a + warunki początkowe r0 = r(0), v0 = v(0) =⇒ jakwyznaczyć r = r(t)?

gdy nie działa siła F = 0

ma = 0 ⇒ v(t) = v0 = const,

v(t) =drdt

= v0,⇒ r(t) = v0t + r0.

gdy działa siła F 6= 0ma = F

r = v,

mv = F,

r0 = r(t0), v0 = v(t0).


Inne równania ruchu

Układy dynamiczne

xi = vi (x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n

xi – wielkości charakteryzująceukład, np. współrzędne xi i składoweprędkości vi = xi .

układ Lorenza

x = σ(y − x),y = x(r − z)− y ,z = xy − bz ,

opisuje zjawisko konwekcjitermicznej w atmosferze.Zmienne: x – natężeniekonwekcji, y – różnicatemperatur pomiędzy prądamiwstępujacymi i zstępujacymi,odchylenie rozkładutemperatury w pionie odrównowagowego. σ – liczbaPrandtla, r – liczba Rayleigha.


Pytania, pytania ...

1 co oznacza znaleźć rozwiązania lub scałkować równania ruchu?2 rozwiązania w jakiej klasie funkcji?3 czy można w ścisły sposób odróżnić układy rozwiązalne od

nierozwiązalnych?4 jak dowodzić nierozwiązalności?5 jak odróżnić układy rozwiązalne od nierozwiązalnych bez znajdowania

jawnej postaci rozwiązań?6 czy istnieją wielkości, których obecność pociąga za sobą rozwiązalność

równań ruchu? Ich obecność wyznacza trajektorię w niejawny sposób.7 jak szukać takich wielkości,8 jak dowieść, że takich wielkości nie ma?


Całkowalność w kwadraturach – Newton, Poincare

Zapisane rozwiązania ogólnego przy pomocy skończonej liczbynastępujących po sobie operacji

działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie,rozwiązywanie równań algebraicznych (wyciąganie pierwiastków)

kwadratur czyli wyznaczanie funkcji pierwotnych (całeknieoznaczonych)

odwracanie funkcji

na zbiorze funkcji elementarnych.


Wahadło matematyczne – mała amplituda

II zasada dynamiki Newtona

ml2d2θdt2

= −mgl sin θ

dla małych odchyleń od położenia równowagisin θ ≈ θ

d2θdt2

+ ω2θ = 0, ω =√gl

= const

równanie liniowe o stałych współczynnikach

rozwiązanie w funkcjach elementarnych

θ = A sin(ωt + γ), A, γ − const


Wahadło matematyczne – dowolna amplitudad2ϕdt2

+ ω2 sin ϕ = 0.

O użyteczności całki energii

h =12

ϕ2 −ω2 cos ϕ =12

ϕ20 −ω2 cos ϕ0

I do jakościowego zrozumieniadynamiki.Oznaczenie: Π = −ω2 cos ϕ

I do scałkowania równań ruchudϕ√

2(h+ ω2 cos ϕ)= dt, ⇒

∫ dϕ√2(h+ ω2 cos ϕ)

= t


Wahadło matematyczne – dowolna amplituda

d2θdt2

+ ω2 sin θ = 0.

Rozwiązania są znane i wyrażają się złożonymi funkcjami specjalnymprzypadek oscylacyjny gdy kąt zmienia się w pewnych granicachθ ∈ [−θmax, θmax]

θ = 2 arc sin[h sn ω(t − t0)]sn(·) – funkcja eliptyczna Jacobiego (sinus amplitudy)przypadek ruchu pełzajacego, ruch po separatrysie

θ = 4 arc tg exp[ω(t − t0)]− π

gdy θ → π, to t → ∞,przypadek rotacyjny, k = θ0/(2ω)

θ = 2 am[

θ02

(t − t0)]

, θ0(t − t0) = 2∫ θ/2

0

du√1− 1

k2 sin2(u)M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 12 / 29

Całkowalność a prawa zachowaniaukład dynamiczny

xi = vi (x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n

Co to są całki pierwsze i ich własności

Całki pierwsze to funkcje zależne od zmiennych opisujacych układ:I = I (x1, . . . , xn), które pozostają stałe w trakcie dynamiki układu.

I (x1, . . . , xn) = I (x1(t0), . . . , xn(t0))

Przykłady: energia, pęd, moment pędu, ...

Kryterium infinitezymalne:dI (x1, . . . , xn)

dt:=

n

∑i=1

∂I∂x iv i = 0,

Istnienie n− 1 (funkcjonalnie) niezależnych całek pierwszychimplikuje całkowalność w kwadraturach

Wniosek: Układ posiadający n− 1 (funkcjonalnie) niezależnych całekpierwszych jest całkowalny.


Równania Eulera

ΠΠΠ + ΩΩΩ×ΠΠΠ = 0,

ΠΠΠ = IΩΩΩ

I = diag(I1, I2, I3)– tensor bezwładności

I1 = Π21 + Π22 + Π23 = 〈ΠΠΠ,ΠΠΠ〉,

H =12

(Π21I1

+Π22I2

+Π23I3

)=

12〈ΠΠΠ, I−1ΠΠΠ〉


Zagadnienie dwóch ciał – redukcja

dwa punkty materialne 1 i 2 o masach m1 (np. Słońce) i m2 (np. Ziemia)o promieniach wodzących x1, x2 oddziałujace grawitacyjnie

F1,2 = −F2,1 =Gm1m2r2

rr

gdzie r = x2 − x1 i r = |r|. Układ posiada środek masy (wektor wodzacyR) i jeśli nie działają na niego żadne siły zewnętrzne to na mocy I prawadynamiki porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje wspoczynku:

R(t) = R0 + R0(t − t0), R =m1x1 +m2x2m1 +m2

,

gdzie R0 = R(t0) i R0 = R(t0).Równania ruchu

m1x1 =Gm1m2r2

rr, m2x2 =

Gm1m2r2

rr

µr = −Gm1m2r2

rr, µ =

m1m2m1 +m2


Zagadnienie dwóch ciał – redukcja

Jeśli rozwiążemy problem zredukowany, to mamy rozwiązanie wyjściowegoukładu bo

x1(t) = R(t)− µ

m1r(t), x2(t) = R(t) +

µ

m1r(t).

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu

c = r× µv, v = r, r · c = 0

czyli ruch względny jest płaski. Przechodzimy do współrzędnychbiegunowych o początku w punkcie o masie m1 i położenie masy m2 jestwyznaczone przez r i θ. W tych współrzędnych dwie całki ruch mająpostać

c = µr2 ϕ, h =12

µr2 − Gm1m2r


Wektor Laplaca-Rungego-Lenza

µ(

e +rr

)= v× c

Wektor e jest stały wyłącznie dla sił postaci F = α 1r2rr .

Ponieważ r · c = 0 więc e · c = 0. Jesli c 6= 0, to e ⊥ c i leży wpłaszczyźnie orbity. Jeśli c = 0 to e = −r/r

µ(r · e + r) = r · v× c = c · (r× v) = c · c = c2.

Jeśli e = 0, to r = c2/µ = const iruch po okręgu. Załóżmy, że e 6= 0, oz-naczmy stały kąt ω = ∠(x , e), punktm2 ma współrzędne (r , θ). Wprowadzamykąt ν = θ − ω i wtedy e · r = er cos ν.Powyższe równanie można przepisać jako

r =c2/µ

1 + e cos ν.


Zagadnienie dwóch ciał – Rodzaje orbit

r =p

1 + e cos ν, p =

c2

µ.

0 < e < 1 – elipsa

e = 1 – parabola

e > 1 – hiperbola

Siedem wielkości skalarnych zachowywanych w trakcie ewolucji: składowec i e oraz energia h ale tylko pięć spośród nich jest funkcjonalnieniezależnych.


Zagadnienie N ciał

n mas punktowych mi posiadających wektory wodzące xi ∈ R3oddziałujących grawitacyjnie

mi xi =N

∑j=1,j 6=i

Gmimj (xj − xi )|xi − xj |3

=∂U∂xi

, U = ∑1i<jN

Gmimj|xi − xj |

Potrzebnych 6N − 1 całek pierwszych a znanych jest tylko 7:1 3 składowe całkowitego pędu L = ∑ni=1mivi ,2 3 składowe całkowitego momentu pędu L = ∑Ni=1 xi ×mivi ,3 energia całkowita h = miv2i /2 + U,4 odseparowanie ruchu środka masy redukujące wymiar problemu.

Już zagadnienie 3 ciał jest niecałkowalne!


Piłeczka odpustowa na gumce

x = −ω2(r − l0r

)x ,

y = −ω2(r − l0r

)y ,

z = −ω2(r − l0r

)z − g ,

r =√x2 + y2 + z2, ω2 = k/m.

k – stała sprężystościm – masa ciężarkal0 – długość wahadła w położe-niu równowagigdy k(l − l0) = mg .

http://mathsci.ucd.ie/ plynch/SwingingSpring/M. Przybylska (CA UMK) Ruch i całki 10.03.2010 20 / 29

Jak zobaczyć niecałkowalność – cięcie Poincare


Cięcie Poincare dla piłeczki odpustowej

h =1

2m(p21 + p22 + p23) +mgz +

12k(r − l0)2, pi = mxi Lz = xp2 − yp1

h =1

2m

(p2r +

p2θr2

+p2ϕr2 sin2 θ

)−mgr cos θ +

12k(r − l0)2, Lz = pϕ


Jak ściśle dowodzić niecałkowalności? – równaniawariacyjne

Główna ideaInformacja o zachowaniu rozwiązań układu nieliniowego wokół pewnegorozwiązania szczególnego są zawarte w równaniach wariacyjnych.

W układziex = v(x), x = (x1, . . . xn)T ,

ze znanym rozwiązaniem szczególnym ϕ(t) dokonujemy podstawieniax = ϕ(t) + ξ

Równania wariacyjne

ddt

ξ = A(t)ξ, A(t) =∂v∂x

(ϕ(t)).


Algebraiczna teoria Galois

I Problem jak wyrazić pierwiastki wielomianu

a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an = 0, a0 6= 0, ai ∈ R,

przy pomocy ai używając tylko operacji algebraicznych: dodawania,odejmowania, mnożenia, dzielenia i rozwiązywania równań algebraicznychczyli czy równanie jest rozwiązalne przez pierwiastniki

n = 1, x = −a1a0

,

n = 2, x2 + px + q =(x +p2

)2=p2

4− q, p =

ba, q =

ca

x1,2 = −p2±√p2

4− q =

−b±√b2 − 4ac

2a,

n = 3 – Cardano

n = 4 – Ferrari.


Całkowalność a różniczkowa teoria Galois

istnieje odpowiednik algebraicznej toerii Galois dla równańróżniczkowych liniowych (o niestałych współczynnikach) – tzw.różniczkowa teoria Galois,

przy pomocy tej teorii sprawdza się rozwiązalność równań liniowych.Można znaleźć nowe układy rozwiązalne,

można wyrazić warunki konieczne całkowalności nieliniowego układudynamicznego przy pomocy różniczkowej grupy Galois równańwariacyjnych,

uzyskane warunki są możliwe do sprawdzenia,

udowodniono niecałkowalność wielu układów a także znaleziono kilkanowych nieznanych układów całkowalnych.


Potencjały Henona-Heilesa

V = Dx2y − C3y3

przypadki całkowalne

D = 0

D/C = −1/6

D/C = −1/16

D = C = 1y = 0płaszczyzna (x , x)

http://www.maia.ub.es/dsg/hidra/henon.html


O pewnym jednorodnym potencjale

V10 =4√

2q313

+5q1q222√

2+ q22q3 +

13q33


I1 = 12p42 − 27q62 − 18q42(q21 − 4

√2q1q3 + 2q23) + 4(6p21 − 3p23

+ 16√

2q31 − 2q33)(3p23 + 2q33) + 12q22(3p23(√

2q1 − 4q3)

+ 12p1p3(q1 +√

2q3)− 2q23(12q21 +√

2q1q3 + 2q23))

− 12p2q2(2p3(16q21 + 3q22 + 8√

2q1q3 − 4q23) + 3√

2p1(q22 + 4q23))

− 12p22(2p3(2√

2p1 + p3)− 4(q2 − q3)q3(q2 + q3)−√

2q1(5q22 + 8q23)),

I2 = 81q82(2√

2q1 + q3) + 216p2p3q52(√

2q1 + 2q3) + 54q62(p22 − 3p23

+ 4√

2q31 − 24q21q3 − 6√

2q1q23) + 384p2p3q21q2(3p22 + 8√

2q31 + 8q21q3

− 2√

2q1q23)− 72p41(3p23 + 2q33) + 144p2p3q32(p22 + 8q21(2

√2q1 + 3q3))

+ 144p31(√

2p22p3 + 3√

2p2q2q23 − 3p3q22(q1 +√

2q3))− 32(p62+ 12p42q

21q3 + 12p22q

31(√

2p23 + 4q1q23) + 32q61(3p23 + 2q33))


− 12p21(4p42 − 6p2p3q2(16q21 + 9q22 + 8√

2q1q3 − 4q23) + 9q42(2q21

+ 4√

2q1q3 + q23) + 32√

2q31(3p23 + 2q33) + 12p22(p23 + 4q22q3

−√

2q1(q22 − 2q23)) + 6q22(9√

2p23q1 + 2q23(−6q21 + 2√

2q1q3 + q23)))

− 144q42(p22(7q21 + 5

√2q1q3 + 2q23) + 3q21(3p23 − 2q3(−2q21

+ 2√

2q1q3 + q23)))− 48q22(p42(5√

2q1 + 4q3) + 4p22q21(8q21

+ 2√

2q1q3 + 3q23) + 8q31(9p23q1 + q23(−6√

2q21 + 4q1q3 +√

2q23)))

+ 6p1(16√

2p42p3 + 16p22p3(8q31 − 6q1q22 + 3√

2q22q3)

+ 4p32q2(−16√

2q21 + 32q1q3 +√

2(3q22 + 4q23)) + 3p3q22(9√

2q42

− 64q31(√

2q1 + 2q3)− 12q22(2√

2q21 + 8q1q3 +√

2q23))

+ 12p2q2(−3√

2p23q22 + 9q1q42 + 32q31q

23 + 4q22(4q31 + 6q1q23 +

√2q33))).


Co to sa równania ruchu? Jak je calkowac?dydaktyka.fizyka.umk.pl/Pliki/M.Przybylska.pdfRuch ciała...

Documents

Transcript of Co to sa równania ruchu? Jak je calkowac?dydaktyka.fizyka.umk.pl/Pliki/M.Przybylska.pdfRuch ciała...