MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X

43, s. 131-136, Gliwice 2012

MODELOWANIE ODKSZTAŁCEŃ STRUKTURALNYCH

ELEMENTÓW STALOWYCH

Z PRZETOPIENIEM WARSTWY WIERZCHNIEJ

ADAM KULAWIK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Częstochowska

e-mail:adam.kulawik@icis.pcz.pl

Streszczenie.W pracy zaproponowano model matematyczny oraz numeryczny

procesu nagrzewania oraz chłodzenia elementu stalowego zbudowany

z wykorzystaniem metody elementów skończonych (model 3D). Rozwiązanie

równania przewodzenia ciepła z członem konwekcyjnym uzyskano

z wykorzystaniem sformułowania Petrova-Galerkina. W modelu uwzględniono

zjawisko przetopienia części materiału, wykorzystując pojemnościowy model

krzepnięcia.

1. WSTĘP

Obróbka cieplna elementów stalowych jest procesem złożonym, gdyż zjawiska

towarzyszące tego typu ulepszaniu materiału są trudne w analizie i wzajemnie powiązane. Do

najważniejszych z nich zalicza się zjawiska cieplne, mechaniczne, przemiany fazowe oraz

zjawiska metalurgiczne, mające miejsce podczas przetopienia warstwy wierzchniej. Do oceny

możliwych zjawisk występujących w tego typu procesach technologicznych wykorzystuje się

modele matematyczne i modele numeryczne. Z praktycznego punku widzenia istotne są

odkształcenia termiczne i strukturalne. Podczas tego typu ulepszania warstwy wierzchniej

występować może jej przetopienie. Zjawiska, mające miejsce w trakcie takiego procesu, mają

duży wpływ na uzyskaną strukturę materiału oraz skalę odkształceń, zwłaszcza w elementach

cienkościennych.

W modelowaniu odkształceń założono, że w nagrzewaniu i chłodzeniu nie uwzględnia się

ruchów chłodziwa, gdyż omawiany proces ma miejsce najczęściej w środowisku gazowym

bez wymuszonego ruchu. Specyfika zadania wymaga jednak, aby model umożliwiał

symulację procesu w przestrzeni trójwymiarowej. Ten wymóg determinowany jest przede

wszystkim wykorzystywaniem do obróbki termicznej ruchomych źródeł ciepła, których

kształt i ścieżki przejścia trudno jest modelować w przestrzeni dwuwymiarowej.

W modelu, oprócz zjawisk termicznych, uwzględniono także przemiany fazowe w stanie

stałym. Przemiany te wpływają również na pola temperatury poprzez ciepło transformacji.

W pracy wykorzystano makroskopowy model przemian fazowych bazujący na analizie

wykresów CTPi.

W przykładzie przedstawiono wyniki symulacji numerycznych procesu obróbki cieplnej

ruchomym źródłem ciepła z przetopieniem warstwy wierzchniej elementu ze stali C45.

132 A. KULAWIK

2. POLA TEMPERATURY

Rozkład temperatury uzyskuje się z rozwiązania równania opisującego nieustalony

przepływ ciepła z członem konwekcyjnym (współrzędne Eulera)

Vefef qTCt

TCT

V (1)

gdzie: T [K] jest temperaturą, t [s] czasem, V=V(xα) jest wektorem prędkości, λ = λ(T)

[W/(mK)] jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, ρ [kg/m3] gęstością materiału, C

[J/(kgK)] jest ciepłem właściwym, qV [W/m3] jest objętościowym źródłem ciepła.

Równanie (1) uzupełniono warunkami brzegowymi: I rodzaju (warunek Dirichleta), II

rodzaju (warunek Neumanna), III rodzaju (warunek Newtona-Robina)oraz warunkiem

początkowym xTtxT 0, . W modelu pominięto wpływ utajonego ciepła przemian na

temperaturę (ze względu na znikomy wpływ ciepła transformacji przemian fazowych w stanie

stałym na temperaturę dla nagrzewania małym ruchomym źródłem ciepła).

Równanie (1) rozwiązano z wykorzystaniem metody elementów skończonych

w sformułowaniu Petrova-Galerkina[4,6].Układ równań MES po agregacji ma postać [3,11]

)(*)()1()1(*)1(

)()1(

1

1

s

j

Q

ij

s

j

NR

ij

sV

jij

s

j

Q

ij

s

j

NR

ij

s

j

NR

ijijij

s

jij

NR

ijij

qBTBqQqBTB

TBKMTMBK

(2)

gdzie: soznacza kolejny krok czasu, jest parametrem zależnym od typu schematu

całkowania, ijK jest macierzą przewodności, ijM macierzą pojemności cieplnej, ijB jest

macierzą warunków brzegowych a ijQ macierzą źródeł wewnętrznych.

Poszczególne macierze elementowe wyznaczone są całkami [3]

eeQ

eN

ee

dwQBBdwdwB

Mt

MdwcMdVwwcK

ji

e

ij

eNR

ij

eQ

ijjiij

e

ij

ijijjiijkkjiji

e

ij

,

1,, **

,,,

(3)

gdzie: wisą funkcjami wagowymi, Φifunkcjami aproksymacyjnymi.

Funkcje wagowe są kombinacją funkcji aproksymacyjnych i funkcji przesuwających

(upwind) punkty całkowania (przestrzeńznormalizowana ,, ) [3,4]

***,, iiiiiii wwww (4)

Efektywną pojemność cieplną w procesie przetapiania materiału wyznacza się z funkcji

opisującej entalpię w zależności od temperatury, tzn. [2]

dT

dHCef (5)

gdzie: THH jest znaną funkcją entalpii.

MODELOWANIE ODKSZTAŁCEŃ STRUKTURALNYCH W ELEMENTACH STALOWYCH… 133

Zatem [2]

L

S

T

T

S

SefT

TfLTcTC

(6)

gdzie: L [J/(kgK)]utajone ciepło przemiany faza ciekła –faza stała.

Udział fazy stałej wyznaczany jest regułą dźwigni

SL

SL

LSS TTT

TT

TTTff ,,

(7)

gdzie: TL jest temperaturą linii likwidus, TS temperaturą linii solidus.

3. KINETYKAPRZEMIAN FAZOWYCH W STANIE STAŁYM

Do określenia pól odkształceń strukturalnych niezbędne jest wyznaczenie kolejnych

ułamków fazowych w obrabianym cieplnie elemencie. Do wyznaczania ułamka fazowego

w procesie nagrzewania zastosowano równanie Avramiego (JMAK) – prędkość nagrzewania

< 200 K/s [1,6,7]

TntTbtT exp1,~ (8)

gdzie: współczynnikin(T) oraz b(T) określają zależności [6]

Tn

ss

f

tTb

Tt

TtTn

0,01005,ln6,12733/

Dla prędkości nagrzewania 200 K/s zastosowano zmodyfikowane równanie Koistinena-

Marburgera [5,6]

f

sT

kTTktT

sT

4,60517,exp1,~ (9)

Czas rozpoczęcia (ts) i zakończenia (tf) oraz temperaturę rozpoczęcia ( sT ) i zakończenia

( fT ) przemiany austenitycznej określono na podstawie analizy wykresu CTPa [9,10].

Kinetykę przemian austenit→ferryt, perlit, bainit określono na podstawie

makroskopowego modelu przemian fazowych z wykorzystaniem analizy wykresów CTPi

[9,10]. Do wyznaczania ułamków fazowych przemian zastosowano również równanie JMAK

w postaci

Tn

ij

jii tTbtT

exp1~,min, %)()( (10)

gdzie: j są udziałami faz powstałych w procesie chłodzenia, %)(i jest końcowym udziałem

fazy (i) oszacowanym na podstawie wykresu CTPc.

Udział fazy martenzytycznej wyznacza się z zależności Koistinena-Marburgera [5,6]

0.01537,exp1~,

kTMktT S

Mi

iM (11)

134 A. KULAWIK

gdzie: SM jest temperaturą początku przemiany martenzytycznej.

Przyrost odkształceń termicznych i strukturalnych mających miejsce podczas procesów

obróbki termicznej wyznacza się z zależności

i

i

ph

ii

i

i

phTTph dTdTsigndTTdεdεdε )( (12)

gdzie: Ti są współczynnikami rozszerzalności cieplnej dla poszczególnych struktur

metalograficznych, Tph

i są współczynnikami zmian objętości od przemian fazowych [6].

4. PRZYKŁAD NUMERYCZNY

Przeprowadzono symulację numeryczną nagrzewania dla prostopadłościennego elementu

stalowego o wymiarach 0,1×0,01×0,025 m. Założono, że stałe termofizyczne , i c są

zależne od temperatury i dotyczą stali C45.Prędkość przesuwania źródeł ciepła była równa

V=Vx=0,01 m/s. Nagrzewanie modelowano powierzchniowym źródłem ciepła o rozkładzie

Gaussowskim [8]

2

2

0

2

0

2 2

)()(exp

2),(

R

zzxx

R

Fzxq

(13)

gdzie:F [W] jest mocą źródła, 2 R jest promieniem, dla którego rozkład źródła wynosi 1/e

wartości szczytowej, x0 i z0 współrzędne środka źródła. Dodatkowo obciążono element przez

objętościowe źródło ciepła do wysokości h=0,001 m (rys. 1).Rozkład mocy po promieniu

źródeł objętościowych przyjęto z rozkładu Gaussa źródeł powierzchniowych (rys. 1). Dla

omawianego przypadku przyjęto, że: F1=5000 W, F2=1000 W, lQ=0,02 m, R1=R2=0,006 m.

Rys.1. Schemat graficzny rozważanego przykładu

Założono, że temperatura początkowa prostopadłościanu była równa TP=293 K. Chłodzenie

elementu zrealizowano za pomocą warunku III rodzaju ze współczynnikiem przejmowania

ciepła α=250 W/(m2K). Warunku Newtona-Robina nie uwzględniono w obszarze działania

źródeł powierzchniowych. Na powierzchni czołowej założono warunek Dirichleta

(TD=293K).Ze względu na symetrię symulację przeprowadzono dla połowy

prostopadłościanu przyjmując w płaszczyźnie symetrii zerowy warunek Neumanna (q=0).

MODELOWANIE ODKSZTAŁCEŃ STRUKTURALNYCH W ELEMENTACH STALOWYCH… 135

Rys.2. Rozkład temperatury na powierzchni górnej

a) b)

Rys.3. Kinetyka przemian oraz odkształcenia cieplne i strukturalne w wybranych punktach na

płaszczyźnie symetrii: a)x=0m, y=0,01 m, z=0m; b) x=0m, y=0,005m, z=0m

5. WNIOSKI

Na podstawie analizy uzyskanych wyników (rys.2,3) można stwierdzić, że odpowiedni

dobór parametrów nagrzewania z wykorzystaniem układu podwójnego źródła pozwala na

sterowanie udziałami fazowymi. Wielkość udziałów fazowych oraz kinetyka przemian

wpływa znacząco na odkształcenia w obrabianym cieplnie elemencie. Wpływ utajonego

ciepła przemiany faza ciekłafaza stała jest znikomy z powodu małej objętości przetopionego

materiału. Stosowanie dwóch źródeł oraz sterowanie odległością pomiędzy nimi

pozwalawpływać na naprężenia własne w tego typu procesach (inne kinetyki przemian oraz

inna historia generowania się odkształceń cieplnych i strukturalnych). Prezentowany model

może być wykorzystany do modelowania procesów spawalniczych z wykorzystaniem

układów wieloźródłowych z dowolnymi prędkościami przesuwu.

136 A. KULAWIK

LITERATURA

1. Avrami M.: Kinetics of phase change. „Journal of Chemical Physics” 1939, 7, p. 1103-

1112.

2. Bokota A.: Modelowanie krzepnięcia i stygnięcia dwuskładnikowych stopów metali: pola

temperatury, stężeń i naprężeń. Częstochowa: Pol. Częstochowska, 2001. Monografie

nr 79.

3. Bokota A., Kulawik A.: Trójwymiarowy model zjawisk termicznych determinowanych

źródłem ruchomym. „Archiwum Odlewnictwa” 2002, 2, 4, s. 74-79. 4. Cardle J. A.: A modification of the Petrov-Galerkin method for the transient convection-diffusion

equation. “International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1995, 38, p. 171-181.

5. Koistinen D. P., Marburger R. E.: A general equation prescribing the extent of the

austenite-martensite transformation in pure iron-carbon alloys and plain carbon steels.

“Acta Metallica” 1959, 7, p. 59-60.

6. Kulawik A.: Analiza numeryczna zjawisk cieplnych i mechanicznych w procesach

hartowania stali 45. Praca doktorska. Częstochowa 2005.

7. Kulawik A., Bokota A.: Modeling of heat treatment of steel elements with the movement

of coolant. “Archives of Metallurgy and Materials” 2011, 56, 2, p. 345-357.

8. Mochnacki B., Nowak A., Pocica A.: Numerical model of superficial layer heat treatment

using the TIG method. W: Polskametalurgia w latach 1998-2002. T.2. Kraków: Wyd.

Nauk. “Akapit”, 2002, s. 229-235.

9. Wever F., Rose A.: Atlas zurWärmebehandlung von Stähle. Düsseldorf: Verlag Stahl

Eisen MBH, 1954.

10. Wever F., Rose A.: Atlas zurWärmebehandlung von Stähle : I Zeit Temperatur

Umwandlungs Schaubilder. Düsseldorf: Verlag Stahl Eisen MBH, 1961.

11. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method. Oxford: Butterworth-

Heinemann, 2000.

MODELLING OF STRUCTURAL STRAINS

FOR THE STEEL ELEMENTS WITH THE MELTING

OF THE SURFACE LAYER

Summary:In the paper a mathematical and numerical models of the process of

heating and cooling for the steel elements developed on the basis of the finite

element method are proposed. The solution of the heat transport equation with the

convective term was obtained by using the Petrov-Galerkin formulation. In this

model takes into account the phenomenon of melting of the material using

a capacitive model of solidification.