Mierniki efektywności inwestycji finansowych

Mierniki efektywności inwestycji finansowychstopa zwrotu, okresowa stopa zwrotu stopa zwrotu z inwestycji wieloetapowejśrednia geometryczna stopa zwrotu średnia arytmetyczna stopa zwrotu efektywna stopa zwrotu realna stopa zwrotu NPV - net present value IRR- internal rate of return ERR - external rate of return

Stopa zwrotu z inwestycji

(31) R = (K - K0) / K0

gdzie K0 – kapitał początkowy, K - kapitał końcowy

Inwestycje wieloetapowe Ciąg inwestycji zamkniętych

Ciąg inwestycji zamkniętych

Def. 2. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji zamkniętych, jeżeli kapitał końcowy

jednej inwestycji staje się kapitałem początkowym następnej

Twierdzenie.1. Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji zamkniętych, o stopach zwrotu

odpowiednio: r1, r2, r3,... rn. Zakładamy, że zawsze 1 + ri > 0. Wtedy stopa zwrotu tego

ciągu inwestycji wynosi

(32) R = Πni=1(1+ ri) - 1

Zaś średnia roczna stopę zwrotu rs wynosi

(33) rs = ( Πni=1(1+ ri) )1/n -1

(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji

Inwestycje wieloetapowe Ciąg inwestycji zamkniętychDowód. Rzeczywiście K1 = K0 (1+ r1) K2 = K1 (1+ r2) = K0 (1+ r1) (1+ r2) K3 = K2 (1+ r3) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)............................................................................. Kn = Kn-1 (1+ rn) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)… (1+ rn)Stąd i z uwagi 1 otrzymujemy (32).Aby średnia roczna stopa zwrotu rs generowała stopę zwrotu R z

całej inwestycji, musi zachodzić równość(34) (1+ rs)n = Πn

i=1(1+ ri) , stąd otrzymujemy (33).Wzór (34) można przedstawić w postaci(35) rs = ( R + 1)1/n –1, czyli 11 n

s Rr

Średnia stopa zwrotu z inwestycji wieloetapowejWzór (34) można przedstawić w postaci(35) rs = ( R + 1)1/n –1, czyli

Wzór można interpretować jako wzór na średnią okresową stopę zwrotu z inwestycji trwającej n okresów bazowych i posiadającej stopę zwrotu R z całej inwestycji

rs nosi nazwę średniej geometrycznej stopy zwrotu

11 ns Rr

Inwestycje wieloetapoweCiąg inwestycji kompensowanych

Def. 3. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji kompensowanych, jeżeli kolejna inwestycja ma taki sam kapitał początkowy jak poprzednia (kapitał jest uzupełniany w przypadku straty, odprowadzany - w przypadku zysku).

Twierdzenie 2. Niech dany będzie ciąg rocznych inwestycji kompensowanych, o stopach zwrotu odpowiednio: r1, r2, r3,..., rn. Wtedy stopa zwrotu R całego ciągu inwestycji wynosi

(36) R = ∑ni=1 ri

zaś średnia roczna stopa zwrotu rsa wynosi (37)

n

iisa r

nr

1

1

Inwestycje wieloetapoweCiąg inwestycji kompensowanychDowód. Niech K0 oznacza kapitał początkowy.Po roku dysponujemy kapitałem K1 = K0 (1+ r1) , odprowadzamy K0

r1.Po drugiej inwestycji - kapitałem K2 = K0 (1+ r2) , odprowadzamy K0

r2, i.t.d.Po n-tej inwestycji mamy Kn = K0 (1+ rn) , odprowadzamy K0 rn,

pozostało K0.

Kapitał końcowy to suma K0 oraz wszystkich odprowadzonych kwot, początkowy to K0.

R = [( K0+ K0 r1+ K0 r2+...+ K0 rn ) – K0 ]/ K0.

Stąd R = r1 + r2 + ...+ rn Ponieważ stopa zysku jest sumą stóp z poszczególnych inwestycji,

więc średnia roczna stopa zwrotu musi czynić zadość równości:rsa+ rsa + ...+ rsa= n rsa= Rczyli rsa = R/n lub inaczej .

n

iisa r

nr

1

1

Porównanie średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej stopy zwrotu

Tw. 3. Dla tych samych rocznych stóp zwrotu: r1, r2, r3,...,rn , takich, że 1 + ri > 0 dla

dowolnego i, średnia geometryczna stopa zwrotu jest mniejsza lub równa średniej

arytmetycznej stopie zwrotu. Dowód.

n

isai

n

ii

n

iin

n

ii

ns rr

nrn

nr

nrRr

1111

11)(11)1(11)1(11

skorzystaliśmy z nierówności

niaaaaa i

n

iin

nn ,...,2,1,0,...

1

121

Porównanie stóp zwrotu z ciągu inwestycji wieloetapowych o dodatnich stopach zwrotu

Tw 4. Dla tych samych dodatnich rocznych stóp zwrotu: r1, r2, r3,...,rn stopa zwrotu z ciągu

inwestycji zamkniętych jest większa od stopy zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Dowód. Dowód przeprowadzimy dla n = 4. Dla pozostałych n rozumowanie przebiega

analogicznie.

Niech R - stopa zwrotu z ciągu inwestycji zamkniętych. Wtedy

a

n

ii

Rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrR

1)(1)(

)()(1

)1)(1)(1)(1()1(1

4321

4321432431421321

4342321431214321

43211

Przez Ra oznaczyliśmy stopę zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Efektywna roczna stopa zwrotu Niech r oznacza nominalną roczną stopę

zwrotu oferowaną przez bank, w którym w ciągu roku dokonuje się n – kapitalizacji . Wtedy efektywna roczna stopa zwrotu wynosi

1)1(0

00

0

01 )1(

nnr

KKK

KKK n

nr

Realna roczna stopa zwrotu Def. 6. Realną roczną stopą zwrotu nazywamy liczbę

mierzącą względny przyrost wartości nabywczej pieniądza w okresie jednego roku.

Niech K oznacza początkowy koszt standardowego koszyka dóbr, f – roczną stopę inflacji, re - efektywną roczną stopę zwrotu zaś rr - realną roczną stopą zwrotu. Koszt koszyka po roku wynosi K(1+f) .

Kwota K po rocznej inwestycji wzrosła do K(1+ re). Zatem po roku można nabyć K(1+ re)/ K(1+f) standardowych koszyków. Ponieważ przed rokiem mogliśmy nabyć 1 koszyk więc przyrost wartości nabywczej rr wynosi

(38)

ffr

fr

fKrK

r eeer

1

111

1)1()1(

Realna roczna stopa zwrotu

Po dodaniu 1 do obu stron równania otrzymujemy tzw. wzór Fischera:

(39)

fr

r er

11

1

Stopa zwrotu ponad zysk wolny od ryzykaPrzykład. Niech roczna stopa zysku wolnego od ryzyka wynosi

8%. Inwestor giełdowy osiągnął w ciągu roku zysk 12 %. O ile procent więcej zarobił inwestor giełdowy od inwestora nie podejmującego ryzyka ? Zakładając kwotę początkową K dla obu inwestycji, odpowiedź na pytanie daje liczba

Jest to sytuacja analogiczna do tej, przy stopie realnej (porównanie z wzorem (38)). Przy oznaczeniach: r - stopa zwrotu z inwestycji, rw- stopa zysku wolnego od ryzyka otrzymujemy wzór na stopę zwrotu r* ponad zysk wolny od ryzyka

(40)

08,108,012,0

08,108,112,1

08,108,112,1

KKK

wrrr

11*1

Stopy zwrotu z inwestycji o dwóch przepływach: nakładzie i przychodzie przy rocznej kapitalizacji odsetek Nakład - PV Przychód – FV

R = (FV – PV)/PVlub inaczej1+R = FV/PV

Jeżeli inwestycja trwała n lat, to przy założeniu rocznej kapitalizacji odsetek, efektywna roczna stopa zwrotu r tej inwestycji wynosi

r = (FV/PV)1/n –1

co wynika z równości 1+R = (1+r)n

Stopy zwrotu z inwestycji o dwóch przepływach: nakładzie i przychodzie przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek Nakład - PV Przychód – FV

Def. Logarytmiczną stopą zwrotu R z inwestycji o dwóch przepływach PV i FV nazywamy wyrażenie ln(FV/PV)

Dla inwestycji trwającej n lat średnia logarytmiczna roczna stopa zwrotu r tej inwestycji wynosi

r = 1/n ln(FV/PV)(wynika to ze związku PV enr = FV)

Wartość bieżąca netto (NPV)net present value

Inwestycję finansową traktujemy jako ciąg nakładów i dochodów (przepływów finansowych), znanych co do wielkości i momentów wystąpienia.

Def. Wartość bieżąca netto inwestycji to suma zdyskontowanych nakładów i dochodów z inwestycji przy ustalonej stopie procentowej.

Przy założeniu kapitalizacji okresowej, wartość tego wskaźnika obliczamy ze wzoru :

(41)

n

ir

Cit

iNPV0

)1(

Wartość bieżąca netto

Ci - i-ty przepływ finansowy, ti – czas od przepływu

zerowego do i - tego, mierzony liczbą okresów bazowych,(zatem t0=0), r – stopa procentowa w okresie bazowym. Okres bazowy może być rokiem, kwartałem, miesiącem, itp.

Dodatnie Ci oznaczają dochód, ujemne – wydatek. Kolejność wydatków i dochodów jest dowolna. Na ogół przepływ C0 jest ujemny (wydatek).

n

ir

Cit

iNPV0

)1(

Wartość bieżąca netto / szczególny przypadekPrzy jednym nakładzie dokonanym na

początku wzór przyjmuje postać

(42)

Gdzie dodatnie I oznacza wielkość początkowego nakładu, Ci są także dodatnie.

n

ir

Cit

iINPV1

)1(

NPV – szczególny przypadekmodyfikacja

zerorównebyćmogąCniektóre

INPV

i

n

ir

Ci

i

1)1(

Wartość bieżąca netto

Uwaga 1. Jeżeli wartość wskaźnika NPV jest dodatnia oznacza to, że inwestycja jest opłacalna. Przy ujemnej wartości tego wskaźnika inwestycję uważamy za nieopłacalną.

Uwaga 2. Jeżeli dane są dwie inwestycje o tym samym NPV, to korzystniejsza jest ta, która angażuje mniejszy kapitał.

Wartość bieżąca netto (NPV)

Przykład 1. Czy warto zainwestować 1500 $ w przedsięwzięcie, które przyniesie za rok 100 $, po dwóch latach 200 $, po trzech 300 $, po czterech 400 $ i po pięciu 500 $, jeżeli roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi w tym okresie 6 % ?

Korzystając ze wzoru (42) otrzymujemy

Oceniając inwestycję na podstawie NPV, stwierdzamy, że jest ona nieopłacalna.

31,28506,1

50006,1

40006,1

30006,1

20006,1

1001500 5432 NPV

Wartość bieżąca netto (NPV) / interpretacjaZ wyżej otrzymanej równości mamy także

Interpretacja równości (w aspekcie zasady równoważności długu i spłat)

Kwota 1214,69 $ powinna wygenerować dany ciąg wpływów przy rocznej stopie w wys. 6 %. Może być interpretowana jako kwota kredytu, która przynosi bankierowi od dłużnika wymienione dochody w odpowiednich chwilach (pożyczka udzielona przez bankiera jest dla niego inwestycją).

Inwestując 1500 $ by uzyskać wymienione wyżej przypływy „przepłacamy” więc aż 285,31 $.

69,1214150031,285

06,1500

06,1400

06,1300

06,1200

06,1100

5432

Wartość bieżąca netto (NPV)

Wniosek. Jeżeli NPV = 0, to inwestycja jest tak samo

opłacalna jak lokata bankowa o oprocentowaniu rocznym równym stopie dyskontowej użytej do obliczenia NPV, przy rocznej kapitalizacji odsetek.

Jeżeli NPV > 0, to inwestycja jest bardziej opłacalna niż lokata bankowa przy stopie r, jeżeli natomiast NPV < 0, to jest mniej opłacalna.

Zależność wskaźnika NPV od stopy dyskontowej

Przykład. Inwestycja 800 zł przynosi po roku wpływ w wysokości 100 zł a w następnych latach odpowiednio: 150, 200, 250, 300 zł. Oblicz NPV tej inwestycji przy różnych stopach procentowych ( od 1% do 15 % ).

Zależność NPV od stopy procentowej dla rozważanej inwestycji (funkcja malejąca)

-200,00 zł

-150,00 zł

-100,00 zł

-50,00 zł

0,00 zł

50,00 zł

100,00 zł

150,00 zł

200,00 zł

1% 3% 5% 7% 9% 11%

13%

15%

Zależność wskaźnika NPV od stopy procentowej dla inwestycji o dużych przepływach różnych znaków

Przykład 2. Inwestycja w wysokości 1 mln zł przynosi po roku wpływ w wysokości 3,6 mln zł w następnym roku stratę 4,31 mln a rok później zysk 1,716 mln zł.

Zbadamy zależność wskaźnika NPV od stopy procentowej

NPV inwestycji (w mln zł)

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

Wartość bieżąca netto (NPV)podsumowanie

Zalety wskaźnika łatwość w obliczeniu jednoznaczność (przy ustalonej stopie

dyskontowej) mianowanie w użytych w przepływach jednostkach

monetarnychWady zależność od skali inwestycji (pomnożenie

nakładów i dochodów przez liczbę skutkuje zmianą NPV)

zależność od wyboru stopy dyskontowej (nietrafny wybór stopy może zmienić znak wskaźnika)

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)internal rate of return

Def. Wewnętrzną stopą zwrotu ciągu przepływów finansowych C0, C1 , C2 ,...,Cn jest taka stopa procentowa, przy której wartość bieżąca netto tych przepływów jest równa zeru, czyli takie r, że

(43)

Wzór (43) jest równaniem względem r, stopnia tn. Niektóre Ci są dodatnie, niektóre ujemne. Muszą wystąpić przepływy różnych znaków,

t0=0

n

ir

Cit

i

0)1(

0

IRR - przypadek jedynego nakładu I dokonanego na początku, Ci dodatnie.

01

)1(

n

ir

Cit

iI

IRR - szczególny przypadek (modyfikacja), jedyny nakład I dokonany na początku, Ci nieujemne

01

)1(

n

ir

Ci

iI

Brak jednoznacznego rozwiązania równania (43)

Inwestycja z przykładu 2. (nakład w wysokości 1 mln zł przynosi po roku wpływ w wysokości 3,6 mln zł w następnym roku stratę 4,31 mln a rok później zysk 1,716 mln zł) nie posiada jednoznacznie wyznaczonej wewnętrznej stopy zwrotu. Wynika to z wykresu NPV dla tej inwestycji (3 miejsca zerowe wykresu)

Brak rozwiązania równania (43) w zbiorze liczb rzeczywistych

Inwestycja 100$ przynosi po roku przychód 200$ zaś po dwóch latach stratę 101$.

Równanie definiujące IRR dla tej inwestycji

-100 + 200/(1+r) – 101/(1+r)2 = 0 ma tylko pierwiastki zespolone

Jednoznaczność rozwiązania równania korespondującego z równaniem definiującym IRR

TW. Jeżeli strumień c0 , c1,..., cn , przepływów spełnia warunki: c0 < 0, pozostałe przepływy są nieujemne, przynajmniej jeden jest dodatni, to istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania

c0 + c1x + c2 x2+ ...+ cnxn = 0

Jednoznaczność rozwiązania równania korespondującego z równaniem definiującym IRR

Dowód: f(x) = c0 + c1x + c2 x2+ ...+ cnxn

g(x)= c1x + c2 x2+ ...+ cnxn

Z założeń o ci wynika, że g jest rosnąca dla nieujemnych argumentów oraz g(x) > 0 dla x > 0 Funkcja f jest ciągła oraz f(0) < 0 . Wykres f jest przesunięciem w dół wykresu funkcji rosnącej g, ma więc jeden punkt wspólny z osią OX, po jej dodatniej stronie.

Wewnętrzna stopa zwrotu / przykład

Przykład 1. Bank udzielił pożyczki w kwocie 800 zł. Dłużnik spłaci po roku 100 zł, po dwóch latach 120, po trzech 200 zł, po czterech 250 zł, po pięciu 300 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu tej inwestycji dla banku ?

Szukana stopa jest rozwiązaniem równania

Jest to równanie 5 – tego stopnia. Jedynym jego pierwiastkiem jest liczba 6,69 % (z dokł. do setnej).

0

)1(300

)1(250

)1(200

)1(150

1100800 5432

rrrrr

Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligację zerokuponową Przykład 2. Zerokuponowa obligacja

dziesięcioletnia o wartości nominalnej 100 zł jest sprzedawana po 60 zł. Jaką wewnętrzną stopę zwrotu ma inwestycja w tą obligację?

Rozwiązaniem równania

Stopa IRR jest w tym przypadku również średnią roczną stopą zwrotu z tej inwestycji (wzór (33))

%241,505241,01

0)1(

10060

1035

10

rliczbajest

r

Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligację kuponową Przykład 3. Obligacja kuponowa o cenie

sprzedaży 1000 zł generuje 11 co miesięcznych wypłat po 20 zł oraz dwunastą w wys. 1020 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu z tej inwestycji w ujęciu miesięcznym?

Należy rozwiązać równanie 12 – tego stopnia

Okazuje się, że r = 2% jest jego rozwiązaniem. Jest to tzw. stopa rentowności obligacji

0)1(

1020)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

20)1(

201201000

121110987

65432

rrrrrr

rrrrrr

IRR - uwagi 1. Z dwóch inwestycji lepsza jest ta, która ma wyższy

IRR 2. Równanie (43) może mieć kilka rozwiązań. ( Dany jest przepływ kapitałów: - 1000 $, +3600 $ , - 4310 $, + 1716 $ w rocznych odstępach czasowych.

Liczby 10%, 20 %, 30 % spełniają równanie (43) dla tego przepływu kapitału.

3. Jeżeli występuje tylko początkowy nakład, to IRR jest wyznaczona jednoznacznie.

4. Inwestycja jest opłacalna, jeżeli jej IRR przewyższa stopę procentową wolną od ryzyka (np. oprocentowania lokat bankowych), jeżeli zaś jest od niej mniejsza, to inwestycja jest nieopłacalna.

IRR - podsumowanieZalety brak wrażliwości na skalę inwestycji porównywalność z innymi miernikami

efektywności inwestycji (stopa efektywna, stopa rentowności obligacji)

pełnienie roli okresowej efektywnej stopy zwrotuWady wskaźnik IRR (w wielu przypadkach) możliwy do

obliczenia tylko metodami numerycznymi niejednoznaczność (równanie (43) może posiadać

więcej niż jedno rozwiązanie)

Stopa zwrotu z inwestycji o wielu przychodach bez reinwestycji Niech inwestycja I przynosi w kolejnych

latach przypływy finansowe c1 ,..., cn . Stopa zwrotu R z inwestycji dana jest wzorem

111

I

c

I

IcR

n

ii

n

ii

Średnia okresowa stopa zwrotu rs gdy ostatni przepływ nastąpił po tn okresach

I

CRr

n

it

ts

in

11)1(

Przykład A. Roczna stopa zwrotu z inwestycjibez reinwestowania wpływów

-120000po 1. roku 39000po 2. roku 30000po 3. roku 21000po 4. roku 37000po 5. roku 46000suma wpływów 173000stopa zwrotu z całej inwestycji 44,17%

stopa roczna 7,59%

Reinwestowanie wpływów przy stałej stopie procentowej r

Uzyskane w czasie trwania inwestycji wpływy inwestujemy bezzwłocznie uzyskując stałą okresową stopę zwrotu r

Obliczymy stopę zwrotu z inwestycji i średnią okresową stopę zwrotu przy reinwestowaniu wpływów

Reinwestowanie wpływów przy stopie r

Inwestując każdy wpływ przy stopie procentowej r, w momencie ostatniego wpływu otrzymujemy kwotę

Oznaczając – jak poprzednio- stopę zwrotu z całej inwestycji przez R otrzymujemy

I

rCR

in ttn

ii

)1(

1 1

in ttn

ii rC

)1(1

Stopa zwrotu z inwestycji przy inwestycji rozłożonej w czasie (I0, I1,…,Im)

I

CFVR

n

ii

1

)(1

m

ik

n

ii

IPV

CFVR

0

1

)(

)(1

Zewnętrzna stopa zwrotu ERR

Inwestycja trwa tn lat zatem średnia roczna stopa zwrotu rs spełnia równanie (rs nosi nazwę zewnętrznej stopy zwrotu)

1)1(

)1()1(1

1

1

n

in

in

n

ttt

n

ii

s

ttn

ii

ts

I

rCr

czyliI

rCrR

ERR (external rate of return)

1)1(

1

n

in

ttt

n

ii

I

rCERR

inn ttn

ii

t rCERRI

)1()1(1

Stopa zwrotu z inwestycji i średnia okresowa stopa zwrotu przy reinwestowaniu wpływów (modyfikacja)

Stopa zwrotu

Średnia okresowa stopa zwrotu - rs (ERR)

1)1()1(

11

I

rc

I

IrcR

n

i

ini

inn

ii

1)1(

)1()1()1(

1

1

n

n

i

ini

s

n

i

ini

ns

I

rcr

I

rcRr

Wpływy inwestowane są aż do momentu ostatniego wpływu przy stopie rocznej w wysokości 1% oraz rocznej kapitalizacji

5 -120000 -1200004 40583,56 390003 30909,03 300002 21422,10 210001 37370,00 370000 46000,00 46000

liczba okresów bazow ych do aktualizacji

w artość przyszła w pływ ów na moment ostatniego

przepływy finansowe

suma wartości przyszłej wpływów (8) 176 284,69 zł SUMA(E2:E6)

stopa zw rotu z całej inw estycji (9) 46,90% (E8+E1)/-E1 roczna stopa zwrotu 8,00% (1+E9) (̂1/5)-1stopa reinw estycyjna (10) 1,00%

D E F

5 -120000 -1200004 42214,85 390003 31836,24 300002 21848,40 210001 37740,00 370000 46000,00 46000






D E F

5 -120000 -1200004 57099,9 390003 39930 300002 25410 210001 40700 370000 46000 46000






D E F

5 -120000 -1200004 65869,44624 390003 44446,32 300002 27291,6 210001 42180 370000 46000 46000






D E F

Roczna stopa zwrotu (kolor niebieski) a stopa reinwestycyjna (zielony)

Uwaga

Dla pewnej wartości stopy reinwestycyjnej występuje równość z okresową stopą zwrotu z inwestycji

Okazuje się, że taka wartość stopy reinwestycyjnej jest równa wewnętrznej stopie zwrotu (IRR)

Reinwestowanie wpływów przy stopie r =IRR(wtedy ERR = IRR)

).(01

)1(IRRdefI

n

ir

Cit

i

inn

inn

ttn

ii

t

n

ii

ttn

ii

t

IRRCIIRR

CFVrCIr

)1()1(

)()1()1(

1

11

Mierniki efektywności inwestycji finansowych

Documents

Transcript of Mierniki efektywności inwestycji finansowych