Metoda Maxwella-Mohra Dotychczas omówione metody w przypadku układów złoŜonych naleŜą do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń moŜna uzyskać wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóŜmy tymczasowo, Ŝe energia spręŜysta układu pochodzi tylko od momentów gnących. RozwaŜmy belkę spoczywającą na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciąŜoną siłami F1, F2, …., Fi, …., Fn.

xi

l

B

F1 F2

Fi Fn

RB RA

A

Energia spręŜysta belki w przedziale i wynosi:

∫=il

igii dxMEI

V 2

21

gdzie: Mgi – moment gnący w przekroju określonym współrzędną xi belki. Symbol l i przy znaku całki oznacza całkowanie na długości przedziału xi belki

Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciąŜoną w punkcie C jednostkową siłą fikcyjną Ffik = 1. Dla tak obciąŜonej belki moŜna łatwo wyznaczyć wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną xi moment gnący oznaczamy jako M’ gi. Dla dowolnej wartości siły Ffik moment gnący w przekroju xi belki wyniesie M’ giFfik.

JeŜeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę fikcyjną Ffik, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji, w przekroju określonym współrzędną xi belki wyniesie Mgi + M’ giFfik. Wartość energii spręŜystej w przedziale i określi wówczas zaleŜność:

l

xi

B

RB’ RA’

A

Ffik = 1

C

x

M’ g(x)’ M’ gi

+

( )∫ ′+=il

ifikgigii dxFMMEI

V 2

2

1

Jeśli uwzględni się, Ŝe energia spręŜysta w całej belce jest sumą energii dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie z twierdzeniem Castigliano wynosi:

B

F1 F2

F3 Fn

RB RA

A

Ffik = 0

xi

C u

l

( ) dxMFMMEI

u g

l

fikgg ′′+= ∫0

1

PoniewaŜ w rzeczywistości siła fikcyjna Ffik jest równa zeru (Ffik = 0) to otrzymujemy wyraŜenie zwane wzorem Maxwella-Mohra:

dxEI

MMu

lgg

∫′

=0

Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której występuje moment gnący spowodowany rzeczywistym obciąŜeniem zewnętrznym Mg, oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa siła fikcyjna (Ffik = 1) odpowiadającą temu

przemieszczeniu gM ′ .

Nietrudno udowodnić, Ŝe jeśli energia spręŜysta układu będzie zaleŜeć od następujących obciąŜeń zewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zaleŜnością:

dxGA

TT

GA

TT

EI

MM

EI

MM

GI

MM

EA

NNu

lzzzyyy

Z

gzgz

y

gygy

S

SS∫

′+

′+

′+

′+

′+

′=

0

ββ

gdzie: N′ , sM ′ , gyM ′ , gzM ′ , yT′ , zT′ , – odpowiednie składowe sił wewnętrznych przy obciąŜeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik = 1.

Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta przegubowo na obu końcach, obciąŜona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C przyłoŜenia siły 2F .

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑ =−−+= 02;0 BAy RRFFF

∑ =−+= 0322;0)( lRlFFlM BA

stąd

B

F 2F

RB RA

A C

x

x

x

l l l

FR

FR

B

A

3534

=

=

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

lx ≤≤0

( ) FxxRxM Ag 34

1 ==

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

lxl 2≤≤

( ) ( ) FlFxlxFxRxM Ag +=−−=31

2

Przedział 3 dla układu zasadniczego

lxl 32 ≤≤

( ) ( ) ( ) FlFxlxFlxFxRxM Ag 535

223 +−=−−−−=

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

∑ =′−′−= 0;0 BAfiky RRFF

∑ =−= 03'2;0)( lRlFM BfikA

stąd

3

231

=′

=′

B

A

R

R

B

Ffik = 1

R’B R’A

A C

x

x

l l l

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

lx 20 ≤≤

( ) ( ) xxRxMxM Agg 31

21 =′=′=′

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

lxl 32 ≤≤

( ) ( ) lxlxFxRxM fikAg 23

223 +−=−−′=′

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie uC w punkcie C wynosi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′+′+′= ∫∫∫ dxxMxMdxxMxMdxxMxM

EIu

l

l

gg

l

l

gg

l

ggC

3

2

33

2

22

0

11

1

czyli

+−+

++= ∫ ∫∫l

l

l

l

l

C dxFlFlxFxdxFlxFxdxFxEI

u2 3

2

222

0

2 103

20

9

10

3

1

9

1

9

41

po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:

−+−+−+

+

−−++=

333333

33333

20680

2780

306

18027270

61

271

64

278

2441

FlFlFlFlFlFl

FlFlFlFlFlEI

uC

stąd

EI

FluC 18

23 3

=

Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz obciąŜona równomiernie na długości 2r obciąŜeniem q. Wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑ == 0;0 Axx RF

∑ =−−= 02;0 CAyy RRqrF

( )∑ =−= 022;0)( rRrqrM CA

C

α

q

2r

r

A

B RC

x

RAy

RAx

stąd

qrR

qrR

R

C

Ay

Ax

=

== 0

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

rx 20 ≤≤

( ) ( ) qrxqxx

qxxRxM Cg +−=−= 21 2

12

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

πα ≤≤0 ( ) ααα sinsin 2

2 qrrRM Ayg −=−= 3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1

∑ == 0';0 Axx RF

∑ =−= 0'';0 CAyy RRF

∑ =−= 02';0)( rRMM CfikA

stąd

rR

rR

R

C

Ay

Ax

21

'

21

'

0'

=

=

=

α

C

RC’

RAy’

2r

r

A

B

x

RAx’

Mfik = 1

4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1 Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym

rx 20 ≤≤

( ) 121

1 −=−′=′ xr

MxRxM fikCg

Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym

πα ≤≤0

( ) ααα sin2

1sin2 =′=′ rRM Ayg

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu uC w punkcie C wynosi:

( ) ( ) ( ) ( )

′+′= ∫∫ ααα

π

dMMdxxMxMEI

u gg

r

ggC

0

22

2

0

11

1

czyli

( )

−+

−−= ∫ ∫r

C dqrdxqxr

qrxqxEI

u2

0 0

2332 sin21

411 αα

π

stąd

+−=43

13 πEI

qruC

Znak minus oznacza, Ŝe przekrój C obróci się w stronę przeciwną w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego. Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra MoŜna udowodnić, Ŝe całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra dla typowych przypadków obciąŜeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest to iloczyn Ω pola wykresu momentów gnących Mg od obciąŜenia zasadniczego oraz rzędnej M’ gc wykresu momentów gnących M’ g od obciąŜenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka geometrycznego C pola Ω, czyli:

gcg

l

g MdxMM ′Ω=′∫0

Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia. Wówczas korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.

Wykres momentów gnących Mg

Wykres Mg’ dla uogólnionej siły jednostkowej

prosta y = ax + b

Mgc’ = axc + b

Ω - pole wykresu Mg

Mg’

Mg C

x

xc

Lp.

Lp.

Mg

Mg’

1

2

3

4

5

1

ld

ld

l d

d

e

l

d

l/2 l/2

2 3 4 5

la la l a a

b

l

adl

adl2

1

adl21

( )leda +21

adl

adl21

adl31

adl61

( )leda +261

adl41

adl21

adl61

adl31

( )leda 261 +

adl41

( )dlba +21

( )dlba +261

( )dlba 261 +

( )dlba +41

( ) ( )[ ]edbedal +++26

1

Lp.

Lp.

Mg

Mg’

1

2

3

4

5

1

ld

ld

l d

d

e

l

d

l/2 l/2

6 7 8 9l

cb

a la l

a

l

a

adl21

( )clad +6

1

( )blad +61

adl3

2

adl3

1

adl31

( )leda +31

adl21

adl31

adl41

adl121

( )edal +331

adl61

adl32

adl41

adl125

( )edal 5331 +

adl21

( ) ( )[ ]bleclda +++6

1

l

bl

c

adl

3

2

22

1 2

−

Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta na podporze przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciąŜona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C przyłoŜenia siły 2F . 1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

B

F 2F

RB RA

A C

x

x

x

l l l

∑ =−−+= 02;0 BAy RRFFF

∑ =−+= 0322;0)( lRlFFlM BA

stąd

FR

FR

B

A

3534

=

=

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

lx ≤≤0

( ) FxxRxM Ag 34

1 ==

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

lxl 2≤≤

( ) ( ) FlFxlxFxRxM Ag +=−−=31

2

Przedział 3 dla układu zasadniczego

lxl 32 ≤≤

( ) ( ) ( ) FlFxlxFlxFxRxM Ag 535

223 +−=−−−−=

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

B

F 2F

RB RA

A C

x

x

x

l l l

x

Mg(x)

+ Fl

34

Fl35

∑ =−−= 0'';0 BAfiky RRFF

∑ =−= 03'2;0)( lRlFM BfikA

stąd

B

Ffik = 1

RB’ RA’

A C

x

x

l l l

32

'

31

'

=

=

B

A

R

R

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1 Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

lx 20 ≤≤

( ) ( ) xxRxMxM Agg 31

''' 21 ===

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

lxl 32 ≤≤

( ) ( ) lxlxFxRxM fikAg 232

2''3 +−=−−=

x

Mg’ (x)

B

Ffik = 1

RB’ RA’

A C

x

x

l l l

+ l31

l32

5. Wyznaczenie przemieszczenia uC Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli moŜna określić ugięcie w punkcie C: Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli:

31 27

431

34

31

31

FlllFladlC =⋅⋅⋅==

Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli:

( ) ( )[ ] =

++

+=+++= llFlllFlledbedalC32

231

35

32

31

234

61

2261

2

3

5441

Fl=

Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli:

33 27

1032

35

31

31

FlllFladlC =⋅⋅⋅==

stąd

( )EI

Fl

EI

Fl

EI

FlCCC

EIuC 18

235469

2710

5441

2741 333

321 ==

++=++=