1

3. Metodyka modelowania z wykorzystaniem Metody

Elementów Dyskretnych

3.1 Wstęp

W zagadnieniach modelowania i analizy pracy maszyn górniczych istotną rolę odgrywa

interakcja elementów roboczych z urobkiem. Znajomość statyki i dynamiki urobku pozwala

na prawidłowe odzwierciedlenie zachodzących procesów roboczych a co za tym idzie na

skuteczne oszacowanie oporów ruchu, prognozowanie zużycia części maszyn czy analizę

trajektorii materiału. Dotyczy to zarówno procesów ładowania i odstawy jak i urabiania skał.

Powszechnie wykorzystywane modele analityczne opisują caliznę jak również

odspojony, rozdrobniony urobek w oparciu o teorie mechaniki ośrodków ciągłych. Bazują

również na szeregu empirycznie wyznaczonych współczynników w celu uwzględnienia

charakterystycznych zjawisk występujących podczas deformacji skał i materiałów sypkich.

Takie podejście nie pozwala na prawidłowe odzwierciedlenie rzeczywistej mechaniki tego

typu układów i prowadzi do znacznego uproszczenia analizowanych zagadnień. Ich

stosowanie ograniczone jest zatem do prostych geometrycznie przypadków i zgrubnego

przybliżenia zachowania układu [6].

Ze względu na złożoność zagadnień związanych z procesami mechanicznego urabiania

skał i gruntów oraz transportu, magazynowania i odstawy materiałów sypkich, powszechnym

rozwiązaniem stało się wykorzystywanie metod numerycznych w procesie projektowania,

rozwoju i optymalizacji maszyn roboczych [26]. Obecnie w praktyce wykorzystuje się dwa

typy metod: oparte na mechanice continuum (FEM) oraz metodę elementów dyskretnych

(DEM). W przypadku pierwszej z wymienionych, pojawiają się te same problemy i

ograniczenia co w metodach analitycznych. Materiał sypki traktowany jest jako

odkształcalny, ciągły ośrodek sprężysto-plastyczny. Względne przemieszczenia i obroty

cząstek nie są brane pod uwagę, konieczne jest zatem stosowania konstytutywnych zależności

w celu odzwierciedlenia skomplikowanego stanu przemieszczenia wewnątrz materiału [33]. Z

tego powodu najlepiej nadają się one do analizowania materiałów o bardzo małym

uziarnieniu takich jak piaski czy proszki [15] oraz zagadnień statycznych i quasi-statycznych

w zakresie małych odkształceń. Przy niespełnieniu tych założeń uchwycenie całokształtu

fizyki układu staje się problematyczne ze względu na ograniczenia technik numerycznych.

2

Przy dużych odkształceniach lub zjawiskach takich jak przepływ materiału, elementy

skończone mogą zostać znacznie zniekształcone, co wiąże się z koniecznością re-

dyskretyzacji modelu, a to prowadzić może do powstawania błędów i niestabilności symulacji

[6]. Metody te nie pozwalają również na modelowanie fragmentacji, separacji czy mieszania

różnych materiałów. Procesy te nie są możliwe do odzwierciedlenia ponieważ metody

continuum nie uwzględniają dyskretnej natury ośrodków ziarnistych [6]. Problematyczne jest

również analizowanie przejścia z continuum do discontinuum oraz propagacji tych zjawisk w

czasie, tak więc modelowanie skrawania i pękania skał lub kruszenia brył urobku jest

niepraktyczne i ograniczone. Ujęcie teoretyczne metod opartych na mechanice continuum

wymusza również stosowanie globalnych założeń dotyczących np. ciągłości strugi materiału,

co w wielu przypadkach wymaga znajomości trajektorii przepływu a priori.

Z powodu omówionych ograniczeń MES, dużą popularność zyskała Metoda Elementów

Dyskretnych. W przypadku DEM (Discrete Element Method) materiał reprezentowany jest

przez zbiór indywidualnych elementów (w najprostszym przypadku dyski lub sfery) będących

w ruchu oraz mogących wchodzić ze sobą w interakcję. Makroskopowa mechanika materiału

odzwierciedlona jest poprzez modelowanie przemieszczeń i obrotów wszystkich niezależnych

elementów w całym układzie umożliwiając modelowanie przepływu, dużych odkształceń czy

fragmentacji. Ogólnie rzecz ujmując, algorytm DEM składa się z dwóch podstawowych

etapów. W pierwszym z nich wykorzystywany jest odpowiedni model reologiczny kontaktu w

celu obliczenia sił działających na element, natomiast w drugim wykorzystuje się II zasadę

dynamiki Newtona dla każdego z elementów w celu obliczenia zmian w położeniu i prędkości

wynikających z działania niezrównoważonych sił.

W odróżnieniu do Metody Elementów Skończonych, nie jest konieczne definiowanie

globalnej macierzy sztywności. Równania ruchu rozwiązywane są jawnie dla każdego

indywidualnego elementu (element po elemencie) w oparciu o siły kontaktowe wynikające

jedynie z interakcji pomiędzy danym elementem a jego najbliższym otoczeniem. Zakłada się

przy tym bardzo mały krok czasowy. Dzięki temu te same równania pozwalają na opisanie

zarówno w pełni dynamicznego ruchu materiału w jednym jego obszarze oraz statycznego

spoczynku w innym [26]. Ponieważ przemieszczenia elementów są kinematycznie niezależne

od siebie, możliwe staje się modelowanie przepływu, separacji, fragmentacji, mieszania oraz

segregacji różnych materiałów bez konieczności wykorzystywania dodatkowych relacji

konstytutywnych czy globalnych założeń.

3

3.2 Podstawowe założenia metody

W Metodzie Elementów Dyskretnych materiał modelowany jest jako zbiór sztywnych

ciał/obiektów (elementów dyskretnych) oddziaływujących ze sobą poprzez siły kontaktowe

[36]. Makroskopowe zachowanie materiału wynika wprost z ruchu indywidualnych

elementów i ich wzajemnego oddziaływania. Proces ten jest w pełni dynamiczny, a stan

równowagi całego układu występuje w przypadku gdy wszystkie siły wewnętrzne (siły

kontaktowe pomiędzy elementami) się zrównoważą [27]. Metoda Elementów Dyskretnych

została opracowana przez Cundall’a w roku 1971 na potrzeby modelowania problemów

dotyczących mechaniki skał, a następnie została zaaplikowana do mechaniki materiałów

sypkich. Podstawowe sformułowanie DEM zakłada, że każdy dyskretny element może

podlegać przemieszczeniom i obrotom z uwzględnieniem całkowitego rozdzielenia/separacji

elementów oraz, że kontakty wykrywane są automatycznie wraz z postępem symulacji.

Makroskopowe zachowanie materiału odzwierciedla się poprzez dobór mikro-

parametrów charakteryzujących elementy jak również relatywnie prostych modeli kontaktu

pomiędzy nimi. Mikro parametry podzielić można na m. in. geometryczne i fizyczne (kształt,

rozmiar, gęstość) oraz konstytutywne (sztywność kontaktowa, tłumienie) [36]. Całkowita

liczba koniecznych do określenia mikro parametrów zależna jest od dobranego modelu

kontaktu. Równania ruchu dla każdego elementu są rozwiązywane w oparciu o II zasadę

dynamiki Newtona natomiast siły i momenty działające na każdy element aktualizowane są za

każdym razem gdy wystąpi kontakt pomiędzy nimi. Z założenia elementy traktowane są jako

idealnie sztywne jednak dozwolone jest nachodzenie ich na siebie, co interpretowane jest jako

odkształcenia w punkcie kontaktu. Wartości sił kontaktowych obliczane są na podstawie

relacji konstytutywnych w oparciu o zaaplikowany model reologiczny kontaktu.

W niniejszej pracy autorzy wykorzystywali system PFC3D firmy Itasca, dlatego też

aspekty teoretyczne przedstawione w dalszej części odnoszą się bezpośrednio do

implementacji DEM w tym właśnie kodzie. W zależności od zastosowanego kodu,

implementacja algorytmów metody może się nieznacznie różnić. Obszerny opis metody

można znaleźć w publikacjach i literaturze opisujących podstawy teoretyczne, zastosowanie i

metodykę kalibracji wartości mikro parametrów [20, 27, 28, 33]. Poniżej zestawiono

podstawowe założenia dotyczące Metody Elementów Dyskretnych [28, 33]:

1. Elementy są idealnie sztywne, posiadają skończoną bezwładność (masę i moment

bezwładności) oraz mogą być opisane analitycznie.

2. Elementy mogą poruszać się niezależnie od siebie. Mogą się przemieszczać i obracać.

4

3. Program automatycznie wykrywa nowe kontakty pomiędzy elementami.

4. Kontakt pomiędzy elementami zachodzi na nieskończenie małej powierzchni. Każdy

kontakt dotyczy jedynie dwóch elementów.

5. Elementy mogą w małym stopniu na siebie nachodzić co traktowane jest jako

odkształcenie w punkcie kontaktu rzeczywistych ciał.

6. Wartość odkształcenia (nachodzenia) jest mała w odniesieniu do rozmiarów elementu

7. Siły kontaktowe ściskające pomiędzy dwoma elementami związane są wartością

nachodzenia elementów na siebie poprzez relację siła-przemieszczenie.

8. W punktach kontaktu, mogą występować wiązania/połączenia.

9. W punkcie kontaktu istnieje możliwość przenoszenia sił ściskających i rozciągających

(w przypadku obecności wiązań) jak również sił stycznych prostopadłych do sił na

kierunku normalnym do płaszczyzny kontaktu.

10. Algorytm rozwiązywania jest oparty na jawnym schemacie całkowania równań ruchu.

Dobrana wartość kroku czasowego powinna być wystarczająco mała tak aby ruch

elementu w czasie jednego kroku był na tyle mały żeby miał wpływ jedynie na

bezpośrednie otoczenie elementu.

3.3 Cykl kalkulacji

Cykl kalkulacji w metodzie elementów dyskretnych jest krokowy, i wymaga

powtarzania czynności wykorzystania prawa ruchu do każdego elementu (II zasada dynamiki

Newtona) oraz relacji siła-przemieszczenie do każdego kontaktu. Wymagane jest również

ciągła aktualizacja pozycji powierzchni ograniczających o ile te są ruchome. Cykl

obliczeniowy składa się z dwóch zależnych od siebie algorytmów rozwiązujących dwa typy

równań (Rys. 3.1):

1. Równania ruchu – obliczenie przemieszczeń elementów będących wynikiem

oddziaływania na nie niezrównoważonych sił.

2. Równania konstytutywne - obliczanie sił działających na elementy będące w

kontakcie w oparciu o dobrany model

W obydwu przypadkach, w trakcie rozwiązywania jednego typu równania, dane

uzyskane na podstawie wcześniejszych obliczeń są znane i uznawane za stałe [28].

5

Rys. 3.1 Cykl obliczeniowy w symulacji DEM

Prawo ruchu/Równania ruchu elementów

Każdy indywidualny element porusza się w wyniku działania na niego wypadkowych

wektorów siły i momentu. Ruch ten może być rozpatrywany jako złożenie ruchu postępowego

środka ciężkości sztywnego ciała (elementu dyskretnego) i ruchu obrotowego względem

układu odniesienia zdefiniowanego w jego środku ciężkości. Ruch postępowy środka

ciężkości jest opisany przez jego pozycję ix , prędkość ix i przyśpieszenie ix . Z kolei ruch

obrotowy określony jest przez prędkość kątową i i przyspieszenie kątowe i [28].

W celu obliczenia przyspieszenia, a w konsekwencji do wyprowadzenia równań ruchu

dla każdego elementu, wykorzystywana jest II zasada dynamika Newtona. Równanie ruchu

postępowego w formie wektorowej przedstawia się następująco:

)gxm(F iii (3.1)

Gdzie:

iF - wypadkowa siła, suma wszystkich sił zewnętrznych działających na

element

m - masa elementu

ig - przyśpieszenie od siły masowej (np. siła ciężkości)

Natomiast wektorowe równanie ruchu obrotowego:

dt

dIHM i

ii

(3.2)

Gdzie:

iM - wypadkowy moment działający na element

6

iH - kręt, moment pędu elementu

Równania ruchu postępowego i obrotowego są integrowane przy pomocy jawnego

algorytmu centralnych różnic skończonych przy założonym kroku . Wielkości ix oraz i

są obliczane w przedziałach pośrednich (w połowie przedziału czasowego) t n t / 2 ,

natomiast wielkości takie jak i i i ix ,x , ,F oraz iM

są obliczane w pełnych przedziałach

(przedziałach głównych) t n t .

Poniższe wyrażenia opisują przyspieszenia w ruchu postępowym i obrotowym w czasie

t w zależności od wartości prędkości w połowie przedziałów.

(t) (t t /2) (t t /2)i i i

1x (x x )

t

(3.3)

(t) (t t /2) (t t /2)i i i

1( )

t

(3.4)

Uwzględniając te wyrażenia we wzorach opisujących ruch postępowy (3.1) i obrotowy

(3.2) i rozwiązując dla chwili t t / 2 otrzymujemy:

(t)(t t /2) (t t /2) ii i i

Fx x g t

m

(3.5)

(t)(t t /2) (t t /2) ii i

Mt

I

(3.6)

Ostatecznie, uzyskane prędkości służą do zaktualizowania pozycji elementu:

(t t) (t) (t t/2)i i ix x x t (3.7)

Podsumowując, procedura aktualizacji położenia elementów przedstawia się

następująco:

Znane są wartości (t t/2) (t t/2) (t) (t)i i i ix , , x ,F oraz

(t)iM

Na podstawie równań (3.5) i (3.6) obliczane są wartości (t t /2)ix

oraz (t t /2)i

Następnie za pomocą równania (3.7) obliczona zostaje wartość (t t)ix

Jeżeli powierzchnie ograniczające są ruchome, to także ich pozycje są aktualizowane.

Następuje proces wykrywania nowych kontaktów, które mogły powstać po przemieszczeniu,

7

jak również zlikwidowania już nieistniejących [21]. Wartości sił i momentów w chwili

t t , które mają zostać wykorzystane w następnym cyklu kalkulacji są uzyskiwane

dzięki aplikacji relacji siła-przemieszczenie.

Relacja siła-przemieszczenie

Na początku każdego kroku czasowego, zestaw kontaktów jest aktualizowany w

oparciu o znane pozycje elementów i powierzchni ograniczających. Następnie do każdego

istniejącego kontaktu, czyli sytuacji w której dwa elementy nachodzą na siebie, aplikowany

jest model kontaktu (model reologiczny), co przedstawia schematycznie rys. Rys. 3.2

Rys. 3.2 Aplikacja modelu kontaktu dla dwóch nachodzących na siebie elementów

Relacja siła-przemieszczenie wiąże względne przemieszczenie dwóch obiektów

będących w kontakcie (nachodzących na siebie) z wynikową siłą kontaktową, która działa na

te elementy. Siła kontaktowa rozkłada się na składową normalną, działająca na kierunku

normalnym do płaszczyzny kontaktu i składową styczną działającą w tej płaszczyźnie.

Składowe siły kontaktu z odpowiadającymi im składowymi względnego przemieszczenia

związane są przez normalną i poprzeczną sztywność w punkcie kontaktu, zdeterminowaną

przez właściwości fizyczne elementów i dobrany model kontaktu [28].

przedstawia przypadek kontaktu dwóch elementów sferycznych. Wielkość nU wyraża

wartość pokrywania się elementów na siebie.

8

Rys. 3.3 Schemat oznaczeń dla przypadku kontaktu dwóch sferycznych elementów [28]

Wektor siła kontaktowej iF działającej w punkcie kontaktu rozłożyć można na

składowa normalną i styczną, w odniesieniu do płaszczyzny kontaktu:

s

i

n

ii FFF (3.8)

Gdzie:

n

iF - składowa normalna siły kontaktowej

s

iF - składowa styczna siły kontaktowej

Składowa normalna jest obliczana przy pomocy zależności:

i

nnn

i nUKF (3.9)

Gdzie:

nK - sztywność na kierunku normalnym w punkcie kontaktu determinowana

przez aktualnie przyjęty model kontaktu

in - jednostkowy wektor normalny do płaszczyzny kontaktu

Sztywność normalna nK jest modułem siecznym tak więc odnosi się do całkowitego

przemieszczenia i siły. Składowa styczna siły kontaktowej jest obliczana w sposób

przyrostowy. W momencie kiedy zaistnieje kontakt dwóch elementów, całkowita siła styczna

jest zerowana. Każdy następny przyrost względnego przemieszczenia stycznego

(poprzecznego), powoduje przyrost elastycznej siły stycznej, która jest dodawana do aktualnej

wartości. Ruch kontaktowy musi być rozpatrywany w trakcie trwania tej procedury [28].

Ruch kontaktowy jest wyliczany poprzez aktualizowanie wektora normalnego in i

współrzędnej punktu kontaktu [C]ix w każdym kroku. Względny ruch podczas kontaktu

9

określany jest poprzez prędkość kontaktu iV , która może być rozłożona na składową normalna

niV i styczną

siV w odniesieniu do płaszczyzny kontaktu. Składowa styczna wektora

przyrostu przemieszczenia podczas kontaktu, występująca podczas kroku t jest obliczana

zgodnie ze wzorem:

s si iU V t (3.10)

Jest ona używana do określenia wektora przyrostu elastycznej siły stycznej:

s s si iF k U (3.11)

Gdzie:

sk - sztywność na kierunku stycznym na w punkcie kontaktu determinowana

przez aktualnie przyjęty model kontaktu

Nowa wartość siły stycznej jest określana poprzez zsumowanie starego wektora siły

stycznej występującego na początku kontaktu (po tym jak została wykonana rotacja potrzebna

do wyliczenia ruchu płaszczyzny kontaktu) z nowym wektorem przyrostu elastycznej siły

stycznej. W przypadku symulacji materiałów, w których występują elementy związane

występuje dodatkowa siła i moment, które należy uwzględnić w rozważaniach [28].

3.4 Modele kontaktów

Elementy oddziaływają na siebie wzajemnie oraz z otoczeniem poprzez siły, które

tworzą się podczas ich kontaktu. Termin kontakt ogólnie wyraża ich wzajemną interakcję.

Każdy kontakt zwykle odpowiada fizycznemu zetknięciu oraz wymaga dwóch elementów

Zakłada się, że kontakt występuje w pojedynczym punkcie poprzez który działa siła

kontaktowa. Model kontaktu opisuje fizyczne zachowanie się elementów podczas kontaktu.

Pomimo, że złożenia elementów mogą wykazywać skomplikowane nieliniowe właściwości,

zachowanie to jest uzyskiwane przy pomocy relatywnie prostych modeli kontaktów, które w

ogólnym przypadku mogą składać się z trzech komponentów opisujących sztywność

kontaktu, warunki poślizgu i oddzielenia oraz występujące wiązania. Równolegle do modelu

kontaktu może występować tłumienie.

Sztywność kontaktów zapewnia elastyczną relację pomiędzy siłą kontaktową

a względnym przemieszczeniem elementów opisaną wzorami 3.9 i 3.11. Dwa

najpowszechniej wykorzystywane modele kontaktu, to model liniowy oraz uproszczony

model Hertz’a-Mindlin’a. Sztywność kontaktowa różni się istotnie w obydwu przypadkach.

10

W modelu liniowym, siła i względne przemieszczenie są powiązane liniowo za pomocą stałej

sztywności kontaktowej, która jest funkcją sztywności własnych dwóch elementów będących

w kontakcie. Sztywność normalna i poprzeczna elementów jest oznaczona poprzez kn i ks

[siła/przemieszczenie]. Sztywność kontaktowa w liniowym modelu kontaktu, jest obliczana

przy założeniu, że sztywności dwóch będących w kontakcie elementów działają szeregowo.

Normalną sieczną sztywność kontaktu wyraża zależność:

[A] [B]n n n

[A] [B]n n

k kK

k k

(3.14)

Natomiast kontaktowa styczna sztywność na ścinanie, jest określana wzorem:

[A] [B]s s s

[A] [B]s s

k kk

k k

(3.15)

Gdzie:

[A] [B]n nk ,k - sztywności normalne elementów A i B

[A] [B]s sk ,k - sztywności styczne elementów A i B

W modelu Hertz’a-Mindlin’a, siła i względne przemieszczenie są ze sobą powiązane w

sposób nieliniowy przy pomocy zmiennej sztywności kontaktowej, która jest funkcją

właściwości geometrycznych i materiałowych dwóch elementów będących

w kontakcie, jak również aktualnej wartości siły normalnej. Model jest zdefiniowany przez

dwa parametry: współczynnik sprężystości poprzecznej G (moduł Kirchoffa, naprężenie) i

współczynnik Poissona (bezwymiarowy) odnoszące się do dwóch elementów będących w

kontakcie. Normalna sieczna sztywność kontaktu jest wyrażona wzorem:

n n2 G 2RK U

3(1 )

(3.17)

Natomiast styczna sztywność kontaktu jest obliczana przy pomocy wzoru:

1/3

2

1/3s n

i

2 G 3(1 )Rk F

2

(3.18)

Gdzie:

nU - pokrywanie się sfer

n

iF - wartość bezwzględna składowej normalnej siły kontaktowej

11

Pozostałe współczynniki występujące w powyższych wzorach są funkcją wielkości

geometrycznych i właściwości materiałowych elementów. Różnią się w zależności od tego

czy zderzają się dwa elementy dyskretne czy element ze ścianą. Dla przypadku kontaktu

dwóch elementów sferycznych współczynniki określone są w następujący sposób [28]:

][][

][][~ 2BA

BA

RR

RRR

(3.19)

[A] [B]1G G G

2 (3.20)

[A] [B]1

2 (3.21)

Natomiast dla przypadku kontaktu elementu sferycznego ze ścianą, należy posługiwać

się poniższymi zależnościami:

[kuli]R R (3.22)

[kuli]G G (3.23)

[kuli] (3.24)

Gdzie:

G - moduł sprężystości poprzecznej

- współczynnik Poissona

R - promień elementu sferycznego

Podczas kontaktu dwóch elementów sferycznych, własności elastyczne są wartością

średnią parametrów nachodzących na siebie elementów. Natomiast przy kontakcie elementu

ze ścianą, jest ona zastępowana identycznym elementem umieszczonym symetrycznie,

zlokalizowanym w miejscu ściany. Uproszczony model Hertz’a-Mindlin’a jest odpowiedni do

modelowania układów, w których nie występują wiązania, doświadczających warunków

odkształceń małego rzędu i wyłącznie naprężeń ściskających. Dla innych przypadków

adekwatny jest model liniowy, który jest również znacznie bardziej efektywny obliczeniowo.

Model kontaktowy umożliwia dwóm elementom będącym w kontakcie poślizg

względem siebie, jak również możliwość wystąpienia rozdzielenia elementów, jeżeli

pomiędzy nimi powstanie siła rozciągająca, a nie będą one wzajemnie związane. Warunki

poślizgu występują w momencie gdy składowa styczna siły kontaktowej osiąga maksymalną

12

dopuszczalną wartość. Parametrem definiującym zachowanie się elementów podczas poślizgu

jest współczynnik tarcia w miejscu kontaktu (najmniejszy z przypisanych elementom)

s nmax iF F (3.26)

Gdzie:

s

maxF - maksymalna siła styczna

- najmniejszy współczynnik tarcia pomiędzy dwoma elementami

n

iF - wartość bezwzględna składowej normalnej siły kontaktowej

Poślizg jest możliwy gdy s si maxF F

Komponenty modelu definiujące sztywności kontaktu oraz warunki poślizgu i

oddzielenia, w pełni opisują fizyczne zachowanie wszelkiego typu kombinacji elementów,

które nie są ze sobą wzajemnie związane. Jednakże można stosować modele uwzględniające

dwa typy wiązań pomiędzy elementami – kontaktowe i równoległe [27, 28]

Wiązanie kontaktowe odtwarza efekt adhezji działający na nieskończenie małą

(śladową) powierzchnię punktu kontaktu. Zapewnia to punktowi kontaktu odpowiednią

wytrzymałość na rozciąganie i ścinanie oraz pozwala to na tworzenie się sił rozciągających

pomiędzy dwoma elementami. Jeżeli wartość bezwzględna siły normalnej bądź ścinającej

przekroczy wartość dopuszczalną przez wytrzymałość wiązania, ulega ono zniszczeniu. Dwa

elementy związane kontaktowo zachowują się tak jakby były zespawane w miejscu styku, tak

więc nie występuje poślizg tak długo jak długo wiązanie działa. Jednakże, wiązanie to

pozwala na występowanie względnego toczenia się elementów. Toczenie ma miejsce pod

wpływem niezrównoważonego momentu działającego na punkt kontaktu. Jako, że wiązanie

kontaktowe działa w punkcie a nie w skończonej wielkości powierzchni, nie jest w stanie

wytworzyć potrzebnej pary sił aby zrównoważyć moment.

Wiązanie równoległe odtwarza efekt dodatkowego materiału (spoiwa) osadzonego w

momencie kontaktu elementów. Efektywna sztywność tego dodatkowego materiału, współgra

równolegle ze sztywnością punktu kontaktu. Każdego dodatkowe obciążenie zaaplikowane do

takiego złożenia elementów w momencie połączenia ich wiązaniem równoległym, jest

dzielone pomiędzy te dwie sztywności. Wiązanie równoległe pomiędzy dwoma elementami

przenosi zarówno siłę jak i moment na nie działające. Może być rozpatrywane jako walec

elastycznego kleju łączącego te elementy. Należy zaznaczyć, że warunki w punkcie kontaktu

nie są zaburzone przez obecność wiązania równoległego. Zatem poślizg może wystąpić jeżeli

nie ma wiązania kontaktowego, może mieć miejsce także oddzielenie. Jeżeli istotne jest

13

zminimalizowanie wszelkich względnych ruchów pomiędzy elementami, należy zaaplikować

obydwa modele wiązań.

3.5 Tłumienie

W ogólnym przypadku kontakt pomiędzy dwoma elementami nie jest idealnie

elastyczny. Oprócz rozpraszania energii poprzez tarcie elementów, w programie PFC3D

dostępne są dwa modele tłumienia pozwalające na rozpraszanie energii kinetycznej w

systemie - tłumienie lokalne, działające na wszystkie elementy sferyczne oraz tłumienie

wiskotyczne, działające w punktach kontaktu.

Tłumienie lokalne jest najprostszym modelem, jednak najmniej realistycznym. Do

równań ruchu postępowego i obrotowego każdego z elementów dodawany jest komponent

siły tłumienia, którego wartość jest proporcjonalna do wartości niezrównoważonej siły

działającej na element.

)( i

tot

i

d

i xsignFF (3.27)

)( i

tot

i

d

i signMM (3.28)

Gdzie:

- współczynnik tłumienia lokalnego d

iF , d

iM - siła tłumienia i moment tłumienia działające na element i

tot

iF , tot

iM - całkowita wypadkowa siła i moment działające na element i

ix , i - prędkość postępowa i obrotowa elementu i

Całkowita siła i moment wypadkowy odnoszą się zarówno do sił zewnętrznych jak i

wszystkich efektów masowych. Tłumieniu poddawany jest jedynie ruch przyspieszony

dlatego model ten jest odpowiedni do analiz zjawisk statycznych [28]. Pozwala na szybkie

uzyskanie stanu równowagi i przeprowadzenie symulacji quasi-statycznych. W przypadku

występowania zjawisk dynamicznych zastosowanie ma model tłumienia wiskotycznego.

W przypadku aplikacji tłumienia wiskotycznego, do każdego kontaktu dodawane są

tłumik tłokowe na kierunku normalnym i stycznym. Tłumiki działają równolegle z

zaaplikowanym modelem kontaktu (np. liniowym). Do siły kontaktowej dodawana jest siła

tłumienia wyrażona wzorem:

iii vcD (3.29)

Gdzie:

14

iD - siła tłumienia przeciwstawiająca się ruchowi

ic - stała tłumienia wiskotycznego

iv - względna prędkość w punkcie kontaktu

i - indeks odnoszący się do komponentu siły, i=n:normalna, i=s:styczna

.Stała tłumienia nie jest określana bezpośrednio lecz jest definiowana, poprzez parametr

i określający stosunek stałej tłumienia do wartości stałej tłumienia krytycznego.

crit

iii cc (3.30)

Przy czym stała tłumienia krytycznego crit

ic jest wyrażona zależnością:

ii

crit

i mkmc 22 (3.31)

Gdzie:

i - częstość drgań własnych układu nietłumionego

ik - sztywność kontaktu

m - efektywna masa układu

W przypadku kontaktu elementu sferycznego ze ścianą efektywna masa równa jest

masie elementu sferycznego, natomiast podczas kontaktu dwóch elementów sferycznych

masa efektywna jest średnią z mas tych elementów [28]. Model tłumienia wiskotycznego

nadaje się do symulacji dynamicznych, z dużą liczbą szybko zderzeń poszczególnych

elementów, oraz do przypadków gdzie tłumienie lokalne dawałoby nierealistyczne

odzwierciedlenie układu np. spadek swobodny.

3.6 Elementy zgrupowane

W modelowaniu DEM powszechnie wykorzystuje się proste elementy geometryczne

(najczęściej sfery) do reprezentowania mikro komponentów materiału. Spowodowane jest to

uproszczeniem wykrywania kontaktu pomiędzy elementami co znacznie skraca czas obliczeń.

W przypadkach kiedy wymagane jest aby w pewien sposób odzwierciedlić kształt,

alternatywą do wykorzystywania skomplikowanych geometrycznie indywidualnych

elementów jest łączenie pojedynczych, nachodzących na siebie elementów sferycznych w

celu utworzenia grupy reprezentującej jeden super-element (Rys. 3.4). Elementy zgrupowane

zachowują się jak ciała sztywne (położenie pojedynczych elementów sferycznych względem

siebie jest stałe) lecz posiadają odkształcalne granice. Podczas cyklu kalkulacji, kontakt

pomiędzy elementami tworzącymi zgrupowanie jest pomijany, a pojedyncze elementy nie

15

mogą zostać oddzielone od grupy niezależnie od działającej na nie siły. Jest to istotna różnica

w porównaniu do łączenia elementów za pomocą wiązań.

Rys. 3.4 Przykład prostego elementu zgrupowanego

Całkowita masa i macierz bezwładności elementu zgrupowanego oraz położenie środka

masy wynikają z tworzących go indywidualnych elementów i obliczane są na podstawie

następujących zależności [15, 28]:

pN

1i

iC mm (3.32)

i

N

i

i

C

G xmm

xp

C

1

1 (3.33)

Gdzie:

pN - liczba elementów sferycznych, z których składa się element zgrupowany

iC mm , - masa elementu zgrupowanego, masa i-tego elementu sferycznego

CGx - położenie środka masy elementu zgrupowanego

ix - położenie środka masy i-tego elementu sferycznego

Macierz bezwładności obliczana jest na podstawie wzoru:

pN

i

iiiC DmII1

(3.34)

Gdzie iI oznacza macierz bezwładności i-tego elementu względem jego środka masy.

Macierz iD jest określona następująco:

22

22

22

yxzyzx

zyzxyx

zxyxzy

i

dddddd

dddddd

dddddd

D (3.35)

przy czym Ci GGzyx xxddd .

16

W cyklu obliczeniowym w etapie aplikacji relacji siła-przemieszczenie indywidualne

elementy sferyczne elementu zgrupowanego traktowane są jak zwykłe elementy podczas

detekcji kontaktu i obliczania sił. Pomijane są jedynie kontakty pomiędzy elementami grupy.

Znając siły działające na poszczególne elementy można zastosować równania ruchu dla

elementu zgrupowanego, wykorzystując jego masę i macierz bezwładności w celu określenia

nowego położenia i orientacji w przestrzeni [28].

3.7 Stabilność rozwiązania numerycznego

Równania ruchu w programie PFC, jak w większości kodów DEM, integrowane są przy

pomocy algorytmu centralnych różnic skończonych. Aby zminimalizować błędy numeryczne

i zapewnić stabilność rozwiązania, krok czasowy musi być bardzo mały [15]. Analizowany

układ może być rozpatrywany jako zbiór dyskretnych ciał i sprężyn w punktach kontaktu.

Każdy element może mieć indywidualną masę i moment bezwładności, a każda sprężyna

może mieć inną sztywność. Krytyczna wartość kroku czasowego związana jest z minimalnym

okresem i częstotliwością drgań własnych całego układu [28]. W przypadku małych

układów, składających się z niewielkiej liczby elementów, obliczenie tych wartości nie sprawi

problemu, jednakże w przypadkach typowych dla symulacji DEM, w których układ stanowi

bardzo duże, ciągle zmieniające się złożenie elementów, globalna analiza drgań własnych jest

niepraktyczna w zastosowaniu. Przyjmuje się zatem, że krytyczna wartość kroku czasowego

w ogólnym przypadku określana jest z zależności [28]:

obrposkrytk

I

k

mt ,min (3.36)

Gdzie:

m - masa elementu sferycznego

I - moment bezwładności elementu

posk - sztywność w ruchu postępowym

obrk - sztywność w ruchu obrotowym

Krytyczna wartość kroku czasowego obliczana jest dla każdego indywidualnego

elementu dla wszystkich stopni swobody oddzielnie, przy założeniu, że stopnie swobody są

od siebie niezależne. Ostatecznie krok czasowy jest przyjmowany jako minimalna wartość ze

wszystkich obliczonych.

17

3.8 Zastosowanie Metody Elementów Dyskretnych

Metoda elementów dyskretnych znalazła szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach

nauki i techniki. Jest powszechnie wykorzystywana do fundamentalnych badań mechaniki

materiałów sypkich i skał. Wykonywane są wirtualne eksperymenty odzwierciedlające

rzeczywiste testy laboratoryjne bazując na niezmiennych modelach próbek materiału.

Pozwala to na badanie wpływu obciążeń zewnętrznych na odpowiedź układu w skali mikro i

makroskopowej, wraz z dogłębną analizą łańcucha sił wewnątrz próbki. Metoda DEM jest

obecnie traktowana jako jedno z podstawowych narzędzi w geotechnice.

Metoda Elementów Dyskretnych jest również co raz powszechniej wykorzystywana

jako efektywne narzędzie do przeprowadzania symulacji wielkoskalowych procesów

przemysłowych. Przykładowe obszary zastosowań to spośród wielu m. in. górnictwo,

rolnictwo, budownictwo czy przemysł farmaceutyczny. Według Nordella (1997),

modelowanie mechaniki materiałów sypkich i skał w oparciu o DEM, ma potencjał do

zostania jednym z najważniejszych naukowych osiągnięć dla przemysłu górniczego.

W inżynierii mechanicznej związanej z maszynami górniczymi, Metoda Elementów

Dyskretnych jest z powodzeniem wykorzystywana do modelowania transportu urobku przez

różnego rodzaju przenośniki - taśmowe [13, 18–20, 25, 29], zgrzebłowe [10, 11], kubełkowe

[22] oraz ślimakowe [23]. Najwięcej prac badawczych jak również przykładów

wykorzystania symulacji do problemów przemysłowych dotyczy wirtualnego prototypowania

przenośników taśmowych. Analizuje się głównie ruch strugi materiału, zwłaszcza w

newralgicznych miejscach jakimi są punkty przeładunkowe zwane potocznie przesypami

(Rys. 3.5). Wyniki symulacji pozwalają na modyfikację konstrukcji w celu uzyskania

pożądanego charakteru przepływu urobku. To z kolei prowadzi do minimalizacji

prawdopodobieństwa zadławienia przesypu oraz zużycia jego elementów konstrukcyjnych jak

również taśmy przenośnika odbierającego. Prowadzone są również badania symulacyjne

dotyczące powstawania i rozprzestrzeniania się pyłu w obrębie przesypu [14]. Innymi

przykładami wykorzystania symulacji DEM do analizy ruchu materiałów sypkich są:

rozładunek zbiorników retencyjnych, magazynowanie w silosach oraz procesy robocze

ładowarek, koparek [8, 9] i innych maszyn ciężkich.

18

Rys. 3.5 Wykorzystanie DEM do analizy przepływu materiału w stacji przesypowej

i kruszenia nadawy w kruszarce stożkowej [35]

Unikalnym zastosowaniem Metody Elementów Dyskretnych jest modelowanie

zniszczenia materiałów a podstawowe założenia metody sprawiają, że doskonale nadaje się

ona do modelowania pękania/zniszczenia i skrawania skał [34, 36, 40]. Model materiału

uzyskiwany jest poprzez łączenie grupy pojedynczych elementów wiązaniami o określonych

mikro-parametrach mechanicznych (sztywność, wytrzymałość) uzupełniając w ten sposób

definicję kontaktu pomiędzy nimi. Otrzymuje się w ten sposób model ciała stałego, które w

wyniku działania sił zewnętrznych może ulec zniszczeniu poprzez utratę wytrzymałości

mikro-wiązań. Takie podejście wykorzystuje się do modelowania wcześniej wspomnianego

skrawania skał - nożami stożkowymi czy dyskami [40] oraz kruszenie nadawy np. w młynach

kulowych i kruszarkach [5, 12, 41]. W oparciu o tak przygotowany model materiału bada się

również wpływ degradacji pojedynczych brył na mechanikę układu np. podsypki kolejowej

[16, 17] czy gruntów [4, 24, 38, 39]

3.9 Wady i zalety metody

Największą zaletą Metody Elementów Dyskretnych jest możliwość modelowania

materiału na poziomie indywidualnych elementów. Pozwala to na lepsze zrozumienie

fundamentalnych interakcji na poziomie mikro, determinujących makroskopową odpowiedź

układu [33]. Śledzenia i gromadzenia informacji na poziomie dyskretnego element sprawia,

że badania symulacyjne dostarczają szeregu istotnych informacji np. rozkładu prędkości i

trajektorii brył w strudze materiału, dystrybucji energii, naprężeń czy sił oddziaływania

materiału na elementy robocze. Wielkości te są trudne lub niemożliwe do oszacowania w

oparciu o klasyczne metody analizy oparte na mechanice ośrodków ciągłych. W wielu

przypadkach niemożliwy jest również pomiar czy bezpośrednia obserwacja. DEM jest więc

19

narzędziem pozwalającym rozszerzyć istniejącą wiedzę na temat mechaniki materiałów

sypkich i skał, która w dużym stopniu oparta jest na empirycznych obserwacjach całkowitej,

zewnętrznej odpowiedzi układu. Dużą zaletą DEM jest również łatwe modelowanie

problemów, w których występują/dominują duże deformacje/odkształcenia, zniszczenie czy

procesów o dyskretnej naturze.

Opisane powyżej zalety metody są jednocześnie jej wadami ze względu na znaczną

ilość informacji gromadzonych na poziomie poszczególnych elementów. Jawny sposób

rozwiązywania równań ruchu wymusza stosowanie bardzo małych kroków czasowych co

sprawia, że obliczenia wymagają dużych zasobów mocy obliczeniowej i są długotrwałe. W

wielu przypadkach konieczne jest stosowanie znacznych uproszczeń w modelu w celu

zachowania racjonalnych zależności pomiędzy celem obliczeń a czasem potrzebnym do ich

wykonania. Niektóre interesujące zagadnienia z zakresu skrawania skał do tej pory

modelowane są jedynie w zakresie lokalnym tzn. pracy pojedynczego narzędzia. Często w

praktyce, aby zwiększyć dozwolony krok czasowy, wykorzystuje się znacznie mniejsze od

rzeczywistych sztywności elementów [26]. W przypadku gdy celowe jest wygenerowanie

odpowiedniej objętości urobku w celu np. badania ruchu strugi w przesypie, praktykowane

jest skalowanie modelu, zwłaszcza rozmiarów elementów, oraz zawężanie rzeczywistej

dystrybucji do większych frakcji i modyfikacja gęstości właściwej materiału w celu uzyskania

odpowiedniej gęstości usypowej. Standardem staje się wykorzystanie obliczeń równoległych.

Jednym z największych problemów dotyczących budowy modelu symulacyjnego w

oparciu o Metodę Elementów Dyskretnych jest dobór mikro-parametrów opisujących

elementy i kontakt pomiędzy nimi (parametry materiału). Do dnia dzisiejszego nie zostały

opracowane żadne ścisłe relację pomiędzy mikro-parametrami a odpowiedzią układu w skali

makro. Zależności te określić można jedynie dla prostych geometrii z regularnym układem

elementów. Pomimo intensywnych prac dotyczących ujednolicenia metodyki kalibracji,

proces ten wciąż nie ma standardów i wymaga podejścia iteracyjnego.

20

4. Modelowanie współpracy kombajnu ścianowego z

przenośnikiem zgrzebłowym

4.1 Wstęp

Nowe technologie i rozwiązania konstrukcyjne maszyn górniczych pozwalają na

eksploatację węgla w co raz trudniejszych warunkach górniczo-geologicznych. W przypadku

niskich pokładów prawidłowa ocena procesu ładowania odspojonego urobku przez

ślimakowy organ urabiający jest bardzo istotna ze względu na znacznie większe

prawdopodobieństwo zadławienia. Ograniczenia obszaru urabiania wynikające z geometrii

ściany, gabarytów kombajnu czy zagięć przenośnika, powodują zmniejszenie tak zwanej furty

ładowania. Przez furtę ładowania rozumie się w tym przypadku minimalny przekrój jaki musi

pokonać struga urobku, ograniczony ramieniem i profilem rynny przenośnika (Rys. 4.1). Tak

zdefiniowana furta ładowania ma w procesie urabiania przekrój zmienny w zależności od

położenia ramienia i kierunku pracy kombajnu. Ekstremalne warunki ładowania mają miejsce

w przypadku gdy organ urabiający pracuje na wysokości rynny przenośnika.

Rys. 4.1 Wysokość powierzchni ładowania urobku

W takich warunkach bardzo ważne jest prawidłowe oszacowanie wydajności z jaką

kombajn ścianowy podaje urobek na przenośnik zgrzebłowy a także wnikliwa analiza ruchu

strugi materiału. Może to zapobiec lub zminimalizować potencjalne problemy podczas

współpracy tych maszyn. Zastosowanie metod analitycznych nie jest w tym przypadku

możliwe ze względu na wysoki stopień skomplikowania ruchu strugi materiału.

4.2 Opis modelu numerycznego

21

Symulacja przeprowadzona została w programie PFC3D 4.0 firmy Itasca. System

PFC3D

(Particle Flow Code In 3 Dimensions)

jest zaawansowanym środowiskiem

programistycznym pozwalającym na modelowanie ruchu i wzajemnego oddziaływania

sferycznych elementów w oparciu o Metodę Elementów Dyskretnych. Pozwala na budowanie

przestrzennych numerycznych modeli ośrodka o budowie ziarnistej złożonego

z elementów sferycznych (lub złożeń zbudowanych na bazie pojedynczych elementów) o

różnej wielkości oraz modelowaniu ich ruchu i wzajemnego oddziaływania. Solver pakietu

realizuje kod zdefiniowany przez użytkownika, określony przez szereg komend definiujących

obszar modelu, elementy oraz ich wzajemne interakcje. Dzięki wbudowanemu językowi

programowania FISH, użytkownik może również zdefiniować funkcje kontrolujące przebieg

symulacji.

Model numeryczny składa się z dwóch typów komponentów - elementów sferycznych

reprezentujących materiał oraz ścian, wykorzystywanych do modelowania granic modelu i

ciał sztywnych. Układ początkowy analizowanego modelu przedstawiony jest na rysunku

Rys. 4.2. Elementy ścianowe wykorzystane zostały do zamodelowania geometrii kombajnu

oraz przenośnika zgrzebłowego i do odzwierciedlenia stropu i spągu (niewidoczne na

rysunku). Przed organem urabiającym kombajnu znajduje się gęsto upakowane,

prostopadłościenne złożenie elementów dyskretnych reprezentujących urabianą caliznę.

Rys. 4.2 Model w stanie początkowym (zgrzebła niewidoczne)

Ponieważ w procesach ładowania i odstawy urobku interesującym zagadnieniem jest

mechanika układu z punktu widzenia przepływu strugi materiału sypkiego, symulacja oparta

została na modelu materiału niezwiązanego. Modelowanie całego procesu skrawania urobku

22

jest zagadnieniem bardzo skomplikowanym, zwłaszcza ze względu na przygotowanie

numerycznego modelu materiału reprezentującego skałę w caliźnie poprzez wykorzystanie

dodatkowych wiązań pomiędzy elementami. Obecnie tego typu modele wykorzystuje się w

modelowaniu urabiania pojedynczym narzędziem. Uznano za wystarczające opracowanie

algorytmu pozwalającego na to aby program obliczał i generował objętość odspojonego,

rozluzowanego urobku przemieszczającego się w przestrzeni pomiędzy calizną, a płatami i

piastą organu. Z tego też powodu model geometryczny organu został ograniczony do średnicy

1300 mm, czyli do średnicy płatów ładujących, bez uwzględnienia noży. Model

matematyczny opisujący wydajność przemieszczania urobku z przestrzeni ładowania na

przenośnik opracowano w oparciu o istniejące modele teoretyczne urabiania organami

ślimakowymi Poniżej przedstawiono schematycznie i opisano istotę przygotowanego

algorytmu.

Rys. 4.3 Model procesu skrawania urobku

Na Rys. 4.3Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. przedstawiony jest kombajn w

bezpośrednim sąsiedztwie wcześniej wygenerowanej objętości urobku z calizny 1. W

początkowej fazie, wszystkie elementy mają zablokowane stopnie swobody, to znaczy są

utwierdzone bez możliwości ruchu. Znając prędkość posuwu kombajnu jak również prędkość

obrotową organu i zakładając jedną linie noży, maksymalna głębokość skrawania obliczana

jest na podstawie warunku równości czasu przemieszczenia kombajnu o gmax i pełnego obrotu

organu:

23

obrposmax tvg (4.1)

obrt2 (4.2)

Porównując obydwa wyrażenia oraz biorąc po uwagę, że n2 można obliczyć

głębokość maksymalną urabiania:

n

vg

pos

max (4.3)

Znając gmax i czas jednego obrotu tobr, a także wiedząc, że średnica organu z nożami

wynosi 1400 mm, przed każdym przesunięciem w przód organu o gmax, przygotowywana jest

odpowiednia ilość urobku 2. Takie przygotowanie „w przód”, polega na uwolnieniu stopni

swobody materiału, który teoretycznie powinien zostać urobiony podczas tego przyszłego

przesunięcia i obrotu organu. Strefę urabiania zakreskowaną kolorem zielonym na rysunku 8.

W praktyce nie zachodzi zatem proces urabiania a jedynie ładowania teoretycznej ilości

odspojonego urobku. Założono, że w trakcie trwania symulacji ziarna nie ulegają kruszeniu.

W programie PFC3D siły działające na elementy ścianowe nie wpływają na ich ruch.

Zamiast tego ruch tego typu elementów (prędkości) określany jest przez użytkownika

i pozostaje stały niezależnie od działających sił. Dlatego też kombajn ma dla zadanych

warunków prędkość stałą, a ewentualne opory nie mają wpływu na jej zmianę. Takie

podejście do symulacji jest uzasadnione biorąc pod uwagę stosowane moce kombajnów

i charakterystyki napędów, które gwarantują utrzymanie stałej prędkości ruchu kombajnu

i prędkości obrotowej organu. Uwzględnienie dynamiki kombajnu jest możliwe z

wykorzystaniem języka FISH [15, 28]

4.3 Modelowanie materiału

Modelowanie materiału jest jednym z najistotniejszych etapów tworzenia symulacji,

którego celem jest przygotowanie numerycznego modelu odzwierciedlającego zachowanie

rzeczywistego materiału z jak największą zgodnością [26–28]. W przypadku systemu PFC3D

jak i ogólnie Metody Elementów Dyskretnych symulowany materiał (układ) powstaje na

bazie syntezy mikro-komponentów, a zatem makroskopowe zachowanie układu zależy od

mikroskopowych właściwości elementów, które go tworzą [27, 28]. Dobór odpowiednich

wartości mikro parametrów w celu uzyskania makroskopowej odpowiedzi układu zgodnej z

rzeczywistym materiałem, jest w wielu przypadkach bardzo trudny. W przypadku gdy

modeluje się materiał złożony ze sferycznych elementów oraz parametry tych mikro-

24

komponentów są znane, można bezpośrednio zaaplikować je do modelu (przy założeniu

sferycznych elementów). Jest to tak zwane modelowanie bezpośrednie [27, 28]. W praktyce,

w ogólnym przypadku właściwości fizyko-mechaniczne materiału sypkiego zdeterminowane

są przez szeroki zakres parametrów, w tym także rozmiar, położenie i kształt ziaren, który

zwykle w znacznym stopniu odbiega od sferycznego. Rozrzut właściwości indywidualnych

ziaren utrudnia również określenie charakterystyki układu w sposób empiryczny [15]. Zwykle

zatem mikroskopowe właściwości rzeczywistego materiału rozdrobnionego różnią się od tych

przyjętych dla elementów modelu numerycznego i nie mogą być wykorzystane bezpośrednio.

Z tego powodu mikro-parametry modelu DEM muszą być za każdym razem określane

w procesie kalibracji, dla każdego indywidualnego przypadku, a ich dobór oparty jest o

makroskopowe charakterystyki modelowanego materiału takiego jak kąt usypu naturalnego

czy moduł sprężystości. Jest to przykład modelowania odwrotnego. Temat ten jest w obrębie

zainteresowania badaczy od wielu lat, jednak do tej pory nie zostały opracowane standardowe

procedury kalibracji parametrów. Powszechnie stosowanym podejściem jest wykonywanie

laboratoryjnych badań próbki materiału w celu określenia makroskopowej charakterystyki, a

następnie numeryczne odzwierciedlenie wybranych testów i iteracyjna zmiana wybranych

mikro parametrów, aż do osiągnięcia oczekiwanej odpowiedzi, zgodnej z wynikami testów.

Istnieje szereg procedur testów laboratoryjnych przeznaczonych do określania konkretnych

charakterystyk materiałów sypkich takich jak moduł sprężystości czy współczynniki tarcia

zewnętrznego i wewnętrznego. Możliwe jest zatem skojarzenie konkretnego testu z

odpowiednim mikro parametrem determinującym tą odpowiedź w modelu numerycznym.

Przykładami badań stosowanych w tego rodzaju modelowaniu są próba bezpośredniego

ścinania, jednoosiowe ściskanie, badanie kąta usypu naturalnego.

W przeprowadzonych symulacjach zaimplementowany został liniowo-sprężysty model

kontaktu z uwzględnieniem tłumienia. W takim przypadku aby odzwierciedlić materiał

niezwiązany (sypki) konieczne jest określenie wartości następujących mikro parametrów

konstytutywnych i geometrycznych [27]: wielkość i kształt elementów (dystrybucja w

próbce), ρ - gęstość właściwa, kn, ks - normalna i poprzeczna sztywność, µw, µz - wewnętrzny

i zewnętrzny współczynnik tarcia elementu, αn, αs - współczynniki tłumienia na kierunku

normalnym i stycznym (jako procent tłumienia krytycznego). Pierwsze dwa z wymienionych

mikro parametrów, determinują porowatość modelu materiału dla konkretnego upakowania.

Poniżej przedstawiono stosunkowo prostą metodykę doboru mikro parametrów, bardziej

szczegółowe podejście dla materiałów niezwiązanych, wraz z kompletnym opisem

poszczególnych etapów znaleźć można w literaturze [6, 7, 15, 26]

25

Rozmiar i kształt brył

Modelowanym materiałem był węgiel kamienny. Analizę składu ziarnowego

przeprowadzono na reprezentatywnej próbce. Po określenie masy próbki, materiał przesiano

korzystając z przesiewacza laboratoryjnego wyposażonego w zestaw sit tkanych z oczkami

kwadratowymi zgodnymi z PN-86/M-94001. Wykorzystane zostały sita o następujących

rozmiarach oczek: 8; 12,5; 16; 20; 25; 31,5 mm. Materiał, który pozostał na poszczególnych

sitach, zważono i odniesiono do całkowitej masy badanej próbki w celu określenia zawartości

procentowej poszczególnych klas. Wyniki zestawiono w tabeliTabela 4.1

Nr

sita

Rozmiar

otworu [mm]

Masa

materiału

na sicie [g]

Zawartość

procentowa

[%]

Skumulowana

zawartość

nadziarna

(odsiew) [%]

Skumulowana

zawartość

podziarna

(przesiew) [%]

0 36 0 0 0 100.0

1 31.5 480 11.5 11.5 88.5

2 25 280 6.7 18.3 81.7

3 20 520 12.5 30.8 69.2

4 16 340 8.2 38.9 61.1

5 12.5 540 13.0 51.9 48.1

6 8 1240 29.8 81.7 18.3

7 0 760 18.3 100.0 0.0

Tabela 4.1 Wyniki badań przesiewania próbki węgla

W szerszym zakresie, skumulowany udział procentowy został opisany przez rozkład

Rossina-Rammlera uzyskując krzywą przedstawioną na Rys. 4.4 [3]:

n

0d

d

e1)d(P (4.4)

Gdzie:

7295.1n - parametr rozkładu opisujący rozrzut wielkości

1988.18d0 - średni rozmiar ziarna

W celu skrócenia czasu obliczeń rozmiary brył przyjętych w modelu numerycznym

zostały zwiększone w stosunku do rzeczywistych, jednak przy zachowaniu rzeczywistego

rozkładu wielkości (Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.). W przypadku

pominięcia tego zabiegu, najmniejsze frakcje istotnie wpływałyby na zmniejszenie kroku

czasowego i spowolnienie obliczeń. Ponieważ podstawową jednostką geometryczną jest sfera,

wiąże się to z problemem braku oporów toczenia. Problem ten rozwiązać można na dwa

26

sposoby. Pierwszym z nich jest modyfikacja modelu kontaktowego, tak aby uwzględniał

dodatkowe momenty oporu w oparciu o zadany współczynnik oporów toczenia. Konieczna

jest wtedy kalibracja kolejnego parametru, a uzyskana wartość współczynnika tarcia

wewnętrznego jest nieliniową funkcją dwóch parametrów przy założeniu stałych mikro

parametrów konstytutywnych (właściwości sprężyste). Identyfikacja funkcji jest możliwa do

określenia jedynie poprzez szereg symulacji. Zwykle nie istnieje unikalna para dwóch

wartości tych mikro-parametrów, co stanowi problem przy doborze właściwych wartości.

Zaletą takiego podejścia jest relatywnie szybki czas obliczeń [1, 42]

Innym sposobem jest modelowanie konglomeratów sfer poprzez łączenie pojedynczych

kulek. Uzyskiwany jest wtedy pewien uproszczony kształt rzeczywistej brył. W zależności od

liczby indywidualnych elementów sferycznych wchodzących w skład konglomeratu,

charakterystyczne wymiary i kształty brył uzyskane z pomiarów laboratoryjnych są

odwzorowane na określonym poziomie dokładności. Dodatkową zaletą tej metody jest to, że,

uwzględniony zostanie wpływ kształtu i geometrii bryły na proces klinowania.

Dotychczasowe badania wykazały również, że kształty, z którymi związane są momenty

bezwładności poszczególnych brył urobku mają istotny wpływ na zachowanie się strugi

urobku podczas jej ruchu [32]. Ponadto można wtedy stosować rzeczywiste wartości

współczynników tarcia pomiędzy bryłą a elementami maszyn, uzyskane z pomiarów. Istotne

jest również to, że tak zamodelowane bryły, pozwolą na uchwycenie efektu klinowania co

istotnie wpływa na wytrzymałość materiału sypkiego (kąt tarcia wewnętrznego -

przemieszczenia ziaren, klinowanie i poślizgi). Dużą wadą jest natomiast znaczny wzrost

czasu obliczeń. Na potrzeby symulacji wybrano uproszczone kształty brył tworzone z

bazowych elementów sferycznych i zamodelowano w ten sposób 60% ziaren urobku.

Wielkości i kształt elementów stanowiły zmienne niezależne w dalszym procesie kalibracji.

27

Rys. 4.4 Wielkość i kształty brył wykorzystane w symulacji

Gęstość właściwa i usypowa

Badanie gęstości właściwej przeprowadzono określając masę oraz objętość pojedynczej

bryłki węgla. Masę zmierzono za pomocą wagi elektronicznej o dokładności ważenia 1 g. W

celu określenia objętości bryłkę węgla umieszczono w cylindrze miarowym wypełnionym

wodą i dokonano pomiaru objętości wypartej cieczy. Wartość gęstości właściwej obliczono

dzieląc masę bryłki przez jej objętość natomiast gęstość usypową określono wsypując luźną

próbkę węgla do cylindra miarowego. Odczytano zajmowaną przez nią objętość, po czym

dokonano pomiaru jej masy na wadze elektronicznej. Dzieląc uzyskaną masę przez objętość

otrzymano wartość gęstości usypowej węgla.

Znając wartości gęstości właściwej i usypowej można określić porowatość złoża. W

wyniku skalowania rozmiarów, w modelowanej próbce jest ona zwykle sztucznie zwiększona

w odniesieniu do rzeczywistości. Aby przy zadanej objętości materiału (przy luźnym

upakowaniu) uzyskiwać tą samą gęstość usypową konieczne jest skalowanie gęstości

właściwej elementów. Na potrzeby określenie wartości parametru skalującego przygotowana

została symulacja odpowiadająca badaniom laboratoryjnym. Nad cylindrem o określonych

gabarytach, generowano określoną objętość elementów a następnie umożliwiano im

swobodne opadanie i wypełnienie objętości naczynia (Rys. 4.5). Obliczana była całkowita

masa wszystkich elementów a następnie określano wynikającą z tego gęstość usypową.

28

Wynik porównywano z wartością zmierzoną doświadczalnie po czym skalowano gęstości

właściwe elementów w symulacji tak aby uzyskać rzeczywistą wartość gęstości usypowej.

Owa wartość gęstości właściwej powodowała zmianę w liczbie generowanych wstępnie

elementów. Procedura miała charakter iteracyjny, aż do uzyskania zbieżności z danymi

laboratoryjnymi.

Rys. 4.5 Wygenerowany materiał - stan początkowy i końcowy (wypełnione naczynie pomiarowe)

Dobór sztywności normalnej i poprzecznej elementów

W celu określenia mikroskopowych sztywności elementów, konieczna jest znajomość

właściwości sprężystych modelowanego materiału [15, 26]. Makroskopowa sztywność próbki

może zostać określona na podstawie modułu sprężystości wyznaczanego w oparciu o wyniki

z testu jednoosiowego ściskania z ograniczoną rozszerzalnością boczną lub testu trójosiowego

ściskania. W pierwszym przypadku zaletą jest znacznie prostsza implementacja badania w

modelu symulacyjnym. W badaniu tym, próbka materiału umieszczana jest w cylindrycznym

pojemniku, a następnie za pomocą przemieszczenia górnej pokrywy aplikowane jest

obciążenie na kierunku pionowym (Rys. 4.6). Układ testu powoduje, że odkształcenia

poprzeczne na kierunkach x i y równe są 0. Ruch pokrywy odbywa się do momentu

osiągnięcia określonej wartości siły normalnej po czym następuje odciążenie próbki.

29

Rys. 4.6 Krzywa Odkształcenie-Naprężenie osiowe oraz schematyczne przedstawienie testu

jednoosiowego ściskania.

Cykl ściskania powtarzany jest kilkukrotnie. Podczas testu mierzona jest siła normalna i

odpowiadające jej przemieszczenie pokrywy, co wraz ze znanymi wymiarami pojemnika

pozwala na obliczenie naprężenia i odkształcenia pionowego. Zwykle w przypadku

pierwszego cyklu odpowiedź materiału jest inna niż kolejnych, co związane jest ze wstępnym

upakowaniem i porowatością próbki i wynikającymi z tego względnymi przemieszczeniami

brył. W kolejnych cyklach struktura ciała rozdrobnionego ulega zagęszczeniu, następuje

stabilizacja początkowej wartości porowatości oraz porowatości odpowiadającej danemu

naprężeniu [31]. Próbka charakteryzuje się wtedy w dużej mierze liniową zależnością

pomiędzy naprężeniem i odkształceniem [26] co pozwala na wyznaczenie średniej wartości

moduł ściśliwości E' określonego zależnością:

z

zE

' (4.5)

Gdzie:

z - przyrost naprężenia na kierunku pionowym

z - przyrost odkształcenia na kierunku pionowym

Przy założeniu że materiał jest izotropowy, moduł ściśliwości związany jest z modułem

sprężystości Younga poprzez relację:

30

211

1' EE (4.6)

Gdzie:

E - moduł Younga (w warunkach jednoosiowego ściskania i swobodnej

bocznej rozszerzalności

- liczba Poissona

W wielu przypadkach rzeczywiste wartości sztywności (otrzymane w wyniku

modelowania bezpośredniego lub odwrotnego) należy poddać redukcji, ponieważ ich wartość

ma znaczący wpływ na czas obliczeń. Zwykle w przypadku symulacji złożonych procesów

wykonywanych na komputerach PC, które dysponują bardzo dużą mocą obliczeniową

wymagane jest zmniejszenie sztywności minimum stukrotnie [27, 28]. Należy zaznaczyć, że

poprawne skalibrowanie sztywności dla większości złożonych symulacji dotyczących

transportu materiałów sypkich jest z tego powodu wciąż niemożliwe. Wobec tego zaleca się

wybór sztywności możliwie jak najwyższej przy jednoczesnym zachowaniu zadowalającego

czasu obliczeń. W wielu przypadkach stosowania modelu liniowego, przy badaniu przepływu

strugi materiału, wartości sztywności normalnej i poprzecznej nie mają większego wpływu na

odpowiedź układu. Należy jednak tak dobrać wartości aby zachować racjonalny poziom

odkształceń elementów (do 5%) [27, 28]

W rozpatrywanym przypadku kalibrację sztywności przeprowadzono bez wykonywania

badań laboratoryjnych, a jedynie na podstawie doświadczeń z wcześniej wykonywanych

przez autorów symulacji [10, 11], biorąc również pod uwagę wpływ dobranych wartości na

oczekiwaną odpowiedź układu w innych testach podczas procedury kalibracji.

Współczynnik tarcia wewnętrznego

Współczynnik tarcia wewnętrznego zdeterminowany jest poprzez blokowanie się

elementów, wynikające z ich kształtu i rozmiarów, oraz i ich wzajemny poślizg . W celu

określenia wartości współczynnika tarcia wewnętrznego wykonano badanie kąta usypu

naturalnego. Kąt ten można określić na kilka sposobów, przedstawionych schematycznie na

Rys. 4.7

31

Rys. 4.7 Badania kąta usypu naturalnego (Schulze D., 2008)

Jest to kąt między tworzącą a podstawą stożka utworzonego przy swobodnym

usypywaniu materiału sypkiego z pewnej wysokości na powierzchnię poziomą. Badanie to

jest miarodajne dla materiałów nie-kohezyjnych, w przypadku których w momencie utraty

stateczności przez złoże, formowana jest płaszczyzna poślizgu nachylona pod określonym

kątem do powierzchni. Badanie przeprowadzono wysypując próbkę węgla na płaską

powierzchnię. Następnie za pomocą kątomierza dokonano pomiaru kąta zawartego pomiędzy

tworzącą stożka usypanego materiału, a poziomem. Próbę przeprowadzono trzykrotnie dla tej

samej próbki materiału a za wynik końcowy przyjęto wartość średnią z pomiarów.

Badanie laboratoryjne zostało odzwierciedlone numerycznie. Do utworzenia symulacji

wykorzystano stan końcowy modelu przy kalibracji gęstości właściwej. Naczynie

cylindryczne było przesuwane w kierunku pionowym ze stałą prędkością równą v = 0.2 m/s.

Materiał wysypywany był na płaską powierzchnię o dużej sztywności i współczynniku tarcia

równym 0.32. Przeprowadzony został szereg testów z wartościami współczynników tarcia

pomiędzy elementami w zakresie 0.1-0.8 (Rys. 4.9)

Rys. 4.8 Numeryczne odzwierciedlenie badania kąta usypu naturalnego

32

33

Rys. 4.9 Ułożenie materiału - = 0.1÷0.8

Wartości współczynnika tarcia wewnętrznego można także wyznaczyć wykonując próbę

bezpośredniego ścinania materiału co jest wskazane dla materiałów kohezyjnych [26]

Współczynnik tarcia zewnętrznego

Oprócz płaszczyzny poślizgu tworzącej się wewnątrz materiału w momencie utraty

stateczności, płaszczyzna poślizgu może powstać również na granicy styku materiału z

powierzchnią graniczną - elementami konstrukcyjnymi maszyn. Parametrem determinującym

to zjawisko jest współczynnik tarcia zewnętrznego, czyli współczynnik tarcia brył/ziaren

materiału o elementy konstrukcyjne. Wartość współczynnika tarcia zewnętrznego można

określić bazując na zmodyfikowanym teście bezpośredniego ścinania, zastępując dolną celkę

płaską próbką z materiału konstrukcyjnego, dla którego chcemy określić wartość

współczynnika tarcia. Opierając się na tej metodzie, współczynnik tarcia w modelu

numerycznym próbki materiału musiałby być poddany procesowi kalibracji z odpowiedzią

makroskopową uzyskaną w laboratorium.

W przypadku dużych brył, oraz przy założeniu, że w symulacji zostaną wykorzystane

elementy złożone, alternatywnym podejściem jest bezpośredni pomiar współczynnika tarcia

dla pojedynczych brył materiału poprzez pomiar kąta zsuwania się materiału. Pomiar został

przeprowadzony na metalowej zsuwni o wymiarach 470x150x20 mm. Kąt początkowy

pochylenia zsuwni wynosił 19°. Materiał w postaci kilku brył węgla umieszczono w jej górnej

części a następnie za pomocą mechanizmu śrubowego zwiększano kąt pochylenia

powierzchni, na której znajdował się węgiel, aż do momentu, w którym zaczął się on zsuwać.

Po wykonaniu trzech prób wyniki uśredniono uzyskując wartość kąta zsuwania równą 24.33

stopnie.

34

Znajomość kąta zsuwania się materiału pozwoliła na obliczenie współczynnika tarcia

węgla po stali. Na podstawie wzoru (2.43), uzyskano wartość współczynnika równą μ = 0.45

)( tg (4.7)

Gdzie:

- współczynnik tarcia

- kąt nachylenia zsuwni

Próba laboratoryjna została odzwierciedlona numerycznie [37]. W programie PFC3D

został przygotowany uproszczony model geometryczny zsuwni przedstawiony na Rys. 4.10.

Wymiary zsuwni były zgodna z jej wymiarami rzeczywistymi. Na powierzchni zsuwni zostały

umieszczone bryły materiału o zdefiniowanych wcześniej kształtach i dobranej gęstości

właściwej. Po osiągnięciu stanu wstępnej równowagi uruchamiana była zdefiniowana w języku

FISH funkcja, która realizowała obrót zsuwni wokół jednej z krawędzi, zwiększają w ten sposób

kąt nachylenia zsuwni. Obrót był realizowany z prędkością 0.1 rad/s, aż do momentu, w którym

zamodelowane bryłki materiału przekroczyły arbitralnie dobraną prędkość graniczną, która

wynosiła 0.09 m/s. Kąt nachylenia zsuwni był odczytywany w momencie przekroczenia założonej

prędkości. Przeprowadzono szereg symulacji zmieniając wartości współczynnika tarcia

elementów, tak aby uzyskać kąt zsuwania materiału wynoszący ok. 24°, czyli taki, jaki uzyskano

podczas badań w laboratorium.

Rys. 4.10 Numeryczne odzwierciedlenie badania kąta zsuwania się brył

Ostatecznie, po przeprowadzeniu szeregu symulacji, przyjęto wartość współczynnika

tarcia zewnętrznego µz = 0.32

35

Zestawienie wyników badań i dobranych wartości

Zestawienie wyników badań laboratoryjnych oraz ostatecznie dobranych wartości mikro

parametrów po wykonaniu kalibracji prezentują kolejno Tabela 4.2 i Tabela 4.3

Gęstość właściwa [kg/m3] 1412

Gęstość nasypowa [kg/m3] 837

Kąt usypu naturalnego [°] 36

Kąt zsuwania się materiału z zsuwni[°] 24.3

Wsp. tarcia po stali – zsuwnia [-] 0.45

Współczynik tarcia po stali - test bezp. ścinania [-] 0.55

Wsp. tarcia wewnętrznego [-] 1.12

Kąt tarcia wewnętrznego [°] 47.84

Tabela 4.2 Zestawienie wyników badań laboratoryjnych

Model kontaktowy Liniowo-sprężysty

z uwzględnieniem tłumienia

Gęstość właściwa [kg/m3] 1564.5

Wspł. tarcia wewnętrznego 0.75

Wspł. tarcia po stali 0.32

Sztywność normalna kn [N/m2] 1.6e6

Sztywność poprzeczna ks [N/m2] 1.6e5

Wspł. tłumienia lepkościowego 0.9

Tabela 4.3 Dobrane wartości mikro-parametrów

4.4 Generowanie upakowania elementów

Bardzo istotnym aspektem przygotowania modelu jest odpowiednie upakowanie

złożenia elementów dyskretnych. Rozróżnia się algorytmy dynamiczne i geometryczne.

Algorytmy dynamiczne są stosunkowo proste w implementacji i wykorzystują cykl

obliczeniowy programu do przygotowania upakowania. Najprostszym przykładem jest

upakowanie materiału poprzez swobodny spadek kolejnych warstw elementów. Inne metody

dynamiczne, polegają na generowaniu elementów o zadanej wielkości w pewnym obszarze

ograniczonym ścianami, a następnie zagęszczanie złożenia poprzez ich wymuszony, quasi-

statyczny ruch (trójosiowe ściskanie). Dużą zaletą algorytmów dynamicznych jest możliwość

uzyskania z góry określonego rozkładu wielkości elementów. Wadą natomiast jest długi czas

36

przygotowania, występowanie wstępnych sił kontaktowych w układzie, które odpowiadają

modelowi naprężeń wstępnych, które w rzeczywistości nie występują. Metody te sprawiają

trudności w uzyskaniu dostatecznie dużej wartości liczby koordynacyjnej, rozumianej jako

liczba kontaktów dla każdego z elementów. Ponadto nie jest możliwe uzyskania modelu

urobku o niskich wartościach współczynnika porowatości. Algorytmy geometryczne, zwane

również konstrukcyjnymi, nie wymagają przeprowadzania cyklu obliczeniowego DEM.

Elementy umieszczane są w oparciu o zależności geometryczne, często z wykorzystaniem

wstępnie przygotowanych siatek. Metody geometryczne są znacznie szybsze jednak

trudniejsze w implementacji, można jednak uzyskać bardzo niską porowatość upakowania i

wysokie wartości liczby koordynacyjnej oznaczającą liczbę kontaktów danego elementu.

Na potrzeby przeprowadzenia symulacji materiał w pożądanej konfiguracji i

upakowaniu został wygenerowany w oparciu o algorytm dynamiczny tzw. radius expansion

(Itasca Consulting Group Inc. 2008b). Następnie przygotowany został plik z informacjami o

położeniu i rozmiarze brył w celu wykorzystania w docelowej symulacji. Więcej informacji o

metodach upakowania materiału można znaleźć w literaturze [2, 30].

4.5 Modelowanie geometrii układu ładowania i odstawy

Proste elementy geometryczne takie jak płaskie ściany, cylindry czy prostopadłościany

mogą być z powodzeniem tworzone bezpośrednio w środowisku programu PFC3D.

Wykonanie bardziej złożonych geometrii jest czasochłonne i mało elastyczne z punktu

widzenia parametryzacji czy alternatywnych kombinacji ułożenia poszczególnych

komponentów. Program umożliwia importowanie modeli CAD utworzonych w zewnętrznych

programach, zapisanych w formacie STL. W sposób bezpośredni, w postaci płaskich ścian,

zamodelowane zostały granice modelu - strop i spąg.

Redukcja liczby ścian, z jakich składa się model geometryczny wykorzystywany

podczas symulacji w znaczący sposób zwiększa szybkość obliczeń dzięki mniejszej ilości

obiektów, które potencjalnie mogą wchodzić w interakcję z materiałem a co za tym idzie,

muszą być uwzględniane podczas procesu detekcji kontaktów. Konieczne jest zatem

racjonalne uproszczenie modelu geometrycznego z jednoczesnym zachowaniem poziomu

szczegółów mających bezpośredni wpływ na analizowane zjawisko. Jak już wcześniej

wspomniano, elementy ścianowe nie są brane pod uwagę podczas rozwiązywania równań

ruchu. Zmiana pozycji realizowana jest przez wymuszenie kinematyczne, które kontrolować

można poprzez zdefiniowane przez użytkownika wewnętrzne funkcje.

37

Obszar symulacji został ograniczony w taki sposób, aby wszystkie elementy, które

znajdują się poza nim były automatycznie usuwane (dotyczy to zarówno elementów

dyskretnych, jak też ścianowych). dlatego należało także zaplanować kiedy dana geometria

(np. zgrzebło) jest generowane i uczestniczy w symulacji, a w którym momencie jest

usuwane. Użytkownik ma do dyspozycji wbudowany język programowania FISH, dzięki

któremu możliwe są tego typu operacje. Na rysunku Rys. 4.11 przedstawiono schemat

kombajnu i przenośnika po wykonaniu uproszczeń.

Prędkość posuwu [m/min] 10

Obroty organu [obr/min] 59

Prędkość zgrzebeł [m/s] 1.5

Podziałka zgrzebeł [m] 0.75

Średnica organu [mm] 1300

Średnica z nożami [mm] 1400

Wysokość pokładu [m] 1.5

Zabiór [m] 0.7

Tabela 4.4 Parametry kinematyczne i geometryczne wykorzystane w symulacjach

Rys. 4.11 Schemat uproszczonego modelu kombajnu

4.6 Wyniki i dyskusja

Przeprowadzone zostały cztery symulacje przy czym wszystkie charakteryzowały się

pracą współbieżną kombajnu z przenośnikiem zgrzebłowym oraz położeniem ramienia w

38

pozycji przyspągowej. Nie przeprowadzono symulacji dotyczących pracy przeciwbieżnej.

Różnice dotyczyły wykorzystania dodatkowej ładowarki za organem urabiająco ładującym i

kierunku obrotów organu (WP - praca współbieżna urabianie podsiębierne i WN - praca

współbieżna urabianie nadsiębierne). W trakcie trwania symulacji, rejestrowane były pozycje

i prędkości poszczególnych brył. Informacje te pozwoliły na analizę ruchu urobku w trakcie

współpracy kombajnu z przenośnikiem zgrzebłowym ścianowym oraz obliczenie objętości

urobku znajdującego się na rynnie. Dogodną metodą jakościowej analizy wyników jest

wizualizacja i przedstawienie procesu w postaci filmów z jego przebiegu. Jest to powszechnie

stosowana metodyka w przypadku symulacji DEM. Możliwa jest obserwacja ruchu całej

strugi jak również analiza torów ruchu pojedynczych brył. Elementom przypisuję się kolor

w zależności od obliczonej prędkości, co pozwala na wygodną obserwację rozkładu prędkości

w strudze materiału.

Na Rys. 4.12 przedstawiono proces ładowania nadsiębiernego i podsiębiernego. Można

zauważyć, że w przypadku urabiania nadsiębiernego proces ładowania przebiega sprawniej.

Struga urobku podawanego na przenośnik jest bardziej jednorodna i w większym stopniu

wypełnia przestrzeń pomiędzy zgrzebłami. Świadczy też o tym powstająca od strony

zawałowej pryzma urobku za przenośnikiem. Wykorzystując wyniki, można określić jaką

wysokość powinna mieć zastawka aby nie było możliwe przesypywanie urobku na ścieżkę,

po której przemieszcza się obsługa ściany.

W przypadku urabiania podsiębiernego ilość materiału pozostającego od strony ociosu

ściany jest mniejsza niż podczas urabiania nadsiębiernego (Rys. 4.13Błąd! Nie można

odnaleźć źródła odwołania.). W praktyce urobek ten powinien zostać załadowany drugim

organem lub przez kliny ładujące przenośnika podczas tzw. przekładki, czyli dosuwania

rynny przenośnika do ściany.

39

Rys. 4.12 Jakościowe porównanie dwóch metod urabiania. Urabianie podsiębierne (po lewej)

i nadsiębierne (po prawej). Kolory oznaczają prędkości brył.

Negatywnym efektem urabiania nadsiębiernego jest pojawianie się znacznych ilości

urobku na ramieniu kombajnu. Pomimo większej efektywności ładowania urobku, sam ruch

strugi jest bardziej zaburzony co powoduje, że bryły urobku wyrzucane są nad organ, tworząc

warstwę materiału na ramieniu kombajnu. Strugę materiału można podzielić na 3 zasadnicze

strumienie (Rys. 4.14Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.): główny - skierowany

na przenośnik (1), strumień materiału padający na ramię (2) oraz strumień materiału

skierowany za organ urabiający (3). W przypaku niskich pokładów, może to stanowić

40

potencjalne zagrożenie związane z powstawaniem naturalnego klina pomiędzy ramieniem a

stropem i w konsekwencji zwiększenie oporów ruchu kombajnu.

Rys. 4.13 Niezaładowany urobek pozostający za kombajnem. Urabianie podsiębierne (po lewej)

i nadsiębierne (po prawej)

Rys. 4.14 Wektory prędkości brył urobku w obrębie organu urabiająco-ładującego

przy urabianiu nadsiębiernym

Obszar ładowania w rozpatrywanym przypadku jest w znaczny sposób ograniczony, ze

względu na wysokość pokładu. Dodatkowo na ograniczenia furty eksploatacyjnej mogą

wpływać zagięcia przenośnika i geometria kombajnu. Uzyskane wyniki symulacji pozwoliły

na analizę pracy maszyny przy zadanych parametrach i oszacowanie czy nie dojdzie do

zadławienia głowicy urabiająco-ładującej. Rys. 4.15 przedstawia widok zza kombajnu,

obrazujący rozłożenie materiału w przestrzeni pomiędzy płatami organu ślimakowego (ściany

reprezentujące strop i spąg oraz ograniczenia boczne, nie są widoczne). Należy podkreślić, że

tego typu obserwacja podczas pracy rzeczywistego obiektu nie byłaby możliwa, dlatego

wyniki są cennym źródłem w fazie projektowania, podczas dokonywania oceny granicznych

wartości konkretnych parametów takich jak prędkość posuwu kombajnu czy obroty organu.

41

Rys. 4.15 Furta ładowania

W celu dodatkowego porównania poszczególnych wariantów pracy, w trakcie symulacji

rejestrowano wartości sił działających na organ na kierunku równoległym do osi obrotu (Rys.

4.16) oraz masy urobku znajdującego się na 5 metrowym odcinku rynny przenośnika po

upływie 10 sekund (Rys. 4.17). Uzyskane wartości, ze względu na uproszczenia związane z

wielkością ziaren, nie są miarodajne dla rzeczywistego obiektu. Możliwe jednak było

porównanie względne pracy kombajnu w symulacji dla różnych wariantów pracy i geometrii

kombajnu w symulacji. Wyniki ilościowe podkreślają większą efektywność pracy układu

podczas urabiania nadsiębiernego. Bazując na wynikach symulacji, wydajność ładowania

przy urabianiu nadsiębiernym wzrosła o 64% (wariant bez ładowarki) i 31% (wariant z

ładowarką) przy jednoczesnym spadku wartości średniej oporów ładowania o 62%.

Rys. 4.16 Siła działająca na organ - składowa równoległa od osi obrotu. Wariant bez ładowarki

42

Rys. 4.17 Masa urobku na rynnie przenośnika w zależności od sposobu urabiania

Pomimo braku weryfikacji na rzeczywistym obiekcie, doświadczenia eksploatacyjne

wynikające z obserwacji pracujących kombajnów, potwierdzają poprawność uzyskanych

wyników w aspekcie ruchu strugi. Obserwować można występowanie pewnych

niekorzystnych zjawisk jak np. przesypywanie urobku na ścieżkę, pozostawanie urobku od

strony ociosowej czy na ramieniu kombajnu. Można zatem określić przy jakich parametrach

ściany i parametrach geometrycznych układu kombajn – przenośnik, oraz parametrów

kinematycznych kombajnu, takie niekorzystne zjawiska mogą występować. Pomimo braku

weryfikacji na rzeczywistym obiekcie, doświadczenia eksploatacyjne wynikające z

obserwacji pracujących kombajnów, potwierdzają adekwatność uzyskanych wyników

wystarczającą dla praktycznych celów analizy i syntezy układów urabiania, ładowania i

odstawy urobku w kompleksach ścianowych. W oparciu o wyniki symulacji można

wnioskować, że w przypadku kombajnów ramionowych pracujących w ścianach niskich,

urabianie nadsiębierne jest znacznie korzystniejsze i jest preferowanym sposobem

eksploatacji. W przypadku urabiania podsiębiernego, wydajność ładowania jest znacznie

niższa. Może to być związane z trajektorią strugi, która przy takim ruchu organu oraz przy

ograniczonej furcie ładowania, sprawia, że znaczna ilość materiału trafia za kombajn od

strony ociosu. Stwierdzono również, że wykorzystanie dodatkowej ładowarki zwiększa ilość

ładowanego urobku w przypadku urabiania podsiębiernego, lecz co ciekawe, nie w przypadku

urabiania nadsiębiernego.

43

4.7 Podsumowanie

Przedstawiony model symulacyjny i uzyskane wyniki świadczą o tym, że

zaproponowana metoda badawcza może być skutecznym narzędziem weryfikacji i

optymalizacji rozwiązań konstrukcyjnych maszyn górniczych. Ma to znaczenie nie tylko w

aspekcie ekonomicznym lecz również ochrony środowiska pracy. Wyniki symulacji mogą być

przydatne do weryfikacji doboru parametrów geometrycznych i parametrów pracy kombajnu

ścianowego pracującego w określonych warunkach górniczo-geologicznych. Przeprowadzone

analizy obejmowały wąski zakres zmiennych, jednakże tak przygotowany model mógłby być

wykorzystany do analizy między innymi takich parametrów jak:

geometria organu (średnica, nachylenie płatów)

kierunek obrotów i prędkość obrotowa organu urabiającego

prędkość kombajnu

prędkość i kierunek ruchu zgrzebeł przenośnika (praca współbieżna i przeciwbieżna)

rozstaw zgrzebeł

nachylenie poprzeczne i podłużne ściany

W przedstawionych badaniach numerycznych zastosowano szereg uproszczeń

zwłaszcza w odniesieniu do kształtu i rozmiaru brył, założono również, że materiał jest

idealnie suchy oraz że indywidualne bryły nie ulegają kruszeniu. Otrzymane wyniki mogły

być zatem wykorzystane jedynie do względnego porównania wpływu wybranych parametrów

na odpowiedź modelu, bez odniesienia do rzeczywistego obiektu. Najistotniejszym

uproszczeniem był jednak sam sposób pośredniego uwzględnienia procesu urabiania calizny.

Tak przygotowany model, spełniający swą funkcję w zakresie procesów ładowania i odstawy,

nie uwzględniając procesu skrawania, narzuca odgórnie kształt brył i objętość odspojonego

urobku obliczaną w oparciu o istniejące modele analityczne. Nie jest zatem możliwa analiza

oporów urabiania w rozumieniu odspajania calizny przez narzędzia stożkowe znajdujące się

na organie.

Przygotowanie symulacji umożliwiającej badanie pełnego procesu urabiania, ładowania

i odstawy, wymagałoby wykorzystania modelu materiału związanego, ze znacznie mniejszą

dystrybucją wielkości elementów w celu zapewnienia racjonalnego charakteru pękania

calizny w wyniku oddziaływania noży. W takim przypadku bezpośrednio uwzględnione

byłoby również kruszenie pojedynczych brył tworzących odspojoną objętość. Wielkość i

kształt powstałych brył nie byłby odgórnie narzucony a wynikał z procesu skrawania. Tak

44

przygotowany model pozwalałby na analizę szeregu dodatkowych zjawisk, nie mogących być

przedmiotem badań w obecnie opracowanym modelu. Ograniczeniem do zastosowania

takiego modelu jest jednak znaczny wzrost czasu obliczeń związany z obecnością

dodatkowych wiązań pomiędzy elementami. Praktyczne zastosowanie takiego modelu jest

zatem ograniczone mocą jednostki obliczeniowej. Realizacja symulacji przedstawionej w tej

pracy, w oparciu o model materiału związanego, byłaby efektywna jedynie w momencie

wykorzystania obliczeń równoległych i wysokowydajnych komputerów dedykowanych do

obliczeń numerycznych. Biorąc jednak pod uwagę nieustający wzrost mocy typowych

komputerów wykorzystywanych w codziennych zadaniach inżynierskich, praca nad takim

modelem w najbliższej przyszłości jest wskazana.

Interesujące kierunki dalszych prac związanych z modelowaniem DEM w aspekcie

kombajnów ścianowych to m. in. symulacje zapylenia (w połączeniu z CFD) czy badania

zużycie części maszyn kompleksu bezpośrednio wynikające z ich interakcji z urobkiem.

45

Literatura

1. AI, Jun, CHEN, Jian-Fei, ROTTER, J. Michael & OOI, Jin Y. Assessment of rolling

resistance models in discrete element simulations. Powder Technology [online].

styczeń 2011, T. 206, nr 3, s. 269–282.

2. BAGI, Katalin. An algorithm to generate random dense arrangements for discrete

element simulations of granular assemblies. Granular Matter [online]. 28 styczeń

2005, T. 7, nr 1, s. 31–43.

3. BREZÁNI, I. & ZELENÁK, F. Rosin-rammler diagram plotting tool. 2010,

4. CHENG, Y. P., BOLTON, M. D. & NAKATA, Y. Discrete element simulation of

crushable soil. Géotechnique [online]. 9 styczeń 2003, T. 53, nr 7, s. 633–641.

5. CLEARY, PW. Predicting charge motion, power draw, segregation and wear in ball

mills using discrete element methods. Minerals Engineering [online]. 1998,

nr February, s. 1061–1080.

6. COETZEE, C. The Modelling of Bulk Materials Handling using the Discrete Element

Method. [online]. 2009, s. 1–38.

7. COETZEE, C & ELS, D. Calibration of discrete element parameters and the modelling

of silo discharge and bucket filling. Computers and Electronics in Agriculture [online].

marzec 2009, T. 65, nr 2, s. 198–212.

8. COETZEE, C.J. & ELS, D.N.J. The numerical modelling of excavator bucket filling

using DEM. Journal of Terramechanics [online]. październik 2009, T. 46, nr 5, s. 217–

227.

9. COETZEE, C.J., ELS, D.N.J. & DYMOND, G.F. Discrete element parameter

calibration and the modelling of dragline bucket filling. Journal of Terramechanics

[online]. luty 2010, T. 47, nr 1, s. 33–44.

10. CZUBA, Wojciech, GOSPODARCZYK, Piotr & KULINOWSKI, Piotr. Zastosowanie

Metody Elementów Dyskretnych (DEM) do symulacji odstawy urobku przez ścianowy

przenośni zgrzebłowy. Symulacja w Badaniach i Rozwoju. 2010, T. 1, nr 3, s. 213–221.

11. CZUBA, Wojciech, GOSPODARCZYK, Piotr & KULINOWSKI, Piotr.

Wykorzystanie symulacyjnych metod obliczeniowych w analizie rozkładu prędkości

strugi urobku na rynnie przenośnika zgrzebłowego. Transport Przemysłowy i Maszyny

Robocze. 2010, nr 3, s. 66–70.

12. DJORDJEVIC, N., SHI, F.N. & MORRISON, R.D. Applying discrete element

modelling to vertical and horizontal shaft impact crushers. Minerals Engineering

[online]. październik 2003, T. 16, nr 10, s. 983–991.

46

13. DONOHUE, T J, ILIC, D, BELL, R, NEWMAN, L & APPLICATIONS, Wear. The

use of DEM in the design and analysis of WEARBACK transfer chutes. 2010,

nr December.

14. DONOHUE, TJ & ROBERTS, AW. Effective Transfer Chute Design including Dust

Control for Handling Grains and other Products. SPC-07: SILOS … [online]. 2012,

s. 2–7.

15. DYMOND, Graeme Francois Dryden. Creation , optimization and verification of a

three dimensional numerical model to simulate a dragline bucket during the digging

cycle using modern DEM software by. S.l.: University of Stellenbosch, 2007.

16. ERGENZINGER, Christian, SEIFRIED, Robert & EBERHARD, Peter. A discrete

element model predicting the strength of ballast stones. Computers & Structures

[online]. październik 2012, T. 108-109, s. 3–13.

17. ERGENZINGER, Christian, SEIFRIED, Robert & EBERHARD, Peter. A discrete

element model to describe failure of strong rock in uniaxial compression. Granular

Matter [online]. 13 listopad 2010, T. 13, nr 4, s. 341–364.

18. GRIMA, A & WYPYCH, PW. Discrete Element Simulation Validation: Impact Plate

Transfer Station. W: Bulk Europe [online]. S.l.: s.n., 2010.

19. GRIMA, Andrew & WYPYCH, Peter. Discrete element simulation of a conveyor

impact-plate transfer : calibration , validation and scale-up. 2010, nr June.

20. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in

Materials Handling - Part 3: Transfer Stations. Bulk Solids Handling. 2007, T. 27, nr 3,

s. 158–166.

21. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in

Materials Handling - Part 1: Basics and Calibration. Bulk Solids Handling. 2007, T. 27,

nr 1, s. 17–23.

22. GRÖGER, T & KATTERFELD, A. Application of the Discrete Element Method in

Materials Handling - Part 4: Bucket Elevators and Scraper Conveyors. Bulk Solids

Handling. 2007, T. 27, nr 4, s. 228–234.

23. GRÖGER, T, KATTERFELD, A & MINKIN, A. Application of the Discrete Element

Method in Materials Handling – Part 2: Screw and Shaftless Screw Conveyors. Bulk

Solids Handling. 2007, T. 27, nr 2, s. 84–93.

24. HARIRECHE, O & MCDOWELL, G. R. Discrete element modelling of soil particle

fracture. Géotechnique [online]. 2002, T. 52, nr Volume 52, Issue 2, s. 131–135(4).

25. HASTIE, D.B. & WYPYCH, P.W. Experimental validation of particle flow through

conveyor transfer hoods via continuum and discrete element methods. Mechanics of

Materials [online]. kwiecień 2010, T. 42, nr 4, s. 383–394.

47

26. HORN, Etienne. The Calibration of Material Properties for Use in Discrete Element

Models by. 2012, nr March.

27. ITASCA CONSULTING GROUP INC. User’s Guide MANUAL PFC3D. 2008.

Minneapolis, USA: s.n.

28. ITASCA CONSULTING GROUP INC. Theory and Background MANUAL PFC3D.

2008. Minneapolis, USA: s.n.

29. KRUSE, D & LEMMON, R. Using the discrete element method as an everyday design

tool. Bulk Solids Handling [online]. 2005, T. 25, nr 6, s. 358–367.

30. LABRA, Carlos & ONATE, E. High density sphere packing for discrete element

method simulations. Communications in Numerical Methods in … [online]. 2009,

31. MALCZEWSKI, J. Mechanika materiałów sypkich: operacje jednostkowe [online].

S.l.: Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1990.

32. MCDOWELL, G ., LOWNDES, I. & LI, H. The importance of particle shape in

discrete-element modelling of particle flow in a chute. Géotechnique Letters [online].

18 lipiec 2011, T. 1, nr July-September, s. 59–64.

33. O’SULLIVAN, C. Particulate Discrete Element Modelling: A Geomechanics

Perspective [online]. S.l.: Spon Press/Taylor & Francis, 2011.

34. POTYONDY, D.O. & CUNDALL, P.a. A bonded-particle model for rock.

International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences [online]. grudzień 2004,

T. 41, nr 8, s. 1329–1364.

35. QUIST, Johannes. Cone Crusher Modelling and Simulation. Chalmers University of

Technology, Göteborg, … [online]. 2012, nr 1652.

36. ROJEK, Jerzy. Modelowanie i symulacja komputerowa złożonych zagadnień

mechaniki nieliniowej metodami elementów skończonych i dyskretnych. Prace

Instytutu Podstawowych Problemów Techniki … [online]. 2007, T. 4, s. 1–331.

37. SZELĄG, Krzysztof. Badania symulacyjne przepływu strugi urobku w stacjach

przesypowych górniczych przenośników zgrzebłowych. S.l.: AGH University of

Science and Technology, 2011.

38. WANG, J.F. & YAN, H.B. 3D DEM Simulation of Crushable Granular Soils under

Plane Strain Compression Condition. Procedia Engineering [online]. styczeń 2011,

T. 14, s. 1713–1720.

39. WANG, Jianfeng & YAN, Haibin. On the role of particle breakage in the shear failure

behavior of granular soils by DEM. … Journal for Numerical and Analytical Methods

… [online]. 2011,

48

40. WANG, Yuannian & TONON, Fulvio. Calibration of a discrete element model for

intact rock up to its peak strength. … for numerical and analytical methods in …

[online]. 2010,

41. WEERASEKARA, N.S., POWELL, M.S., CLEARY, P.W., TAVARES, L.M.,

EVERTSSON, M., MORRISON, R.D., QUIST, J. & CARVALHO, R.M. The

contribution of DEM to the science of comminution. Powder Technology [online].

listopad 2013, T. 248, s. 3–24.

42. WENSRICH, C.M. & KATTERFELD, A. Rolling friction as a technique for modelling

particle shape in DEM. Powder Technology [online]. luty 2012, T. 217, s. 409–417.