1. Inercjalny układ odniesienia:

Układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.

2. Siły:

- wewnętrzne: występujące pomiędzy elementami układu ciał. Nazwa wewnętrzne odróżnia je od oddziaływań zewnętrznych, pochodzących spoza tego układu, są to siły pojawiające się wewnątrz ciała, pod wpływem działania sił zewnętrznych (siły bierne), stanowią oddziaływania między poszczególnymi elementami ciała. Na podstawie piątej zasady statyki siły wewnętrzne są zawsze parami przeciwne, mają równe wartości i działają wzdłuż tej samej prostej. W celu ujawnienia tych sił stosuje się metodę przecięć, która polega na myślowym przecięciu ciała dowolną płaszczyzną.- zewnętrzne: działające na ciało - konstrukcje lub jej element, siły czynne - przyłożone na powierzchni ciała i pochodzące od zewnętrznych obciążeń, oraz siły przyłożone wewnątrz ciała, na przykład siła grawitacji G (ciężar ciała) lub siła bezwładności, biły bierne – reakcje w miejscu styku konstrukcji z podłożem lub elementu z innym elementem w węźle.- reakcji: jest ona dokładnie przeciwna do składowej siły ciężkości prostopadłej do równi(siły dociskającej), siły te równoważą się. Ma więc ona ten sam kierunek i wartość co siła dociskająca, ale przeciwny zwrot. Siła reakcji równi nie pozwala klockowi spadać. Zwyczajowo punkt przyłożenia tej siły rysujemy od punktu styczności klocka z równią,

3. Własności sił działających na ciała sztywne:

- przyłożenie dwóch sił P i P’ do ciała sztywne, równych co do modułu, działających wzdłuż jednej prostej i o przeciwnych zwrotach, nie zmienia stanu ruchu ciała (ciało w spoczynku pozostaje w spoczynku), w wyniku przyłożenia takich dwóch sił ciało sztywne zachowuje się tak, jak gdyby nie działały na nie żadne siły, taki układ przyłożony do ciała sztywnego nazywamy równoważnym zeru,- każdą siłę zewnętrzną przyłożoną do ciała sztywnego można przesunąć wzdłuż jej linii działania, nie zmieniając przy tym stanu ruchu ciała,- do każdego układu sił działających na ciało sztywne można dodać bez zmiany stanu jego ruchu kilka sił o wspólnym punkcie przyłożenia, których suma wektorowa (geometryczna) jest równa zeru,- stan ruchu ciała nie ulegnie zmianie, jeżeli kilka sił zaczepionych w jednym punkcie zastąpimy ich sumą geometryczną i odwrotnie, gdy jedną siłę zastąpimy przez kilka sił, których suma geometryczna jest równa tej sile, każdy układ sił zewnętrznych działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym, czyli powodującym ten sam skutek mechaniczny. Jeżeli za pomocą przekształceń elementarnych można dany układ sił sprowadzić (zredukować) do układu równoważnego składającego się tylko z jednej siły, to siłę tę nazywamy wypadkową rozważanego układu sił;

4. Para sił – definicja i własności:

dwie równoległe siły równe co do wartości bezwzględnej, posiadające przeciwne zwroty, nie działające wzdłuż jednej prostej. Dla pary sił nie istnieje jedna siła wypadkowa (inaczej: para sił nie może być zastąpiona przez jakąś jedną siłę wypadkową), para sił wytwarza moment siły, układ dwóch sił przyłożonych do danego ciała, równych sobie co do wartości i przeciwnie skierowanych, ale zaczepionych w różnych punktach tego ciała. Siła wypadkowa pary jest równa zeru, dlatego przyłożenie do ciała pary sił nie zmienia jego całkowitego pędu. Para sił może natomiast posiadać nieznikający wypadkowy moment siły

(dzieje się tak, jeżeli siły pary nie działają wzdłuż tej samej prostej), wpływa więc na ruch obrotowy bryły. Moment pary to suma momentów sił.Własnością pary sił jest, że wypadkowy moment siły względem dowolnego punktu leżącego w płaszczyźnie ich działania jest jednakowy i równy iloczynowi wektorowemu jednej z sił przez wektor przesunięcia pomiędzy punktami ich zaczepienia. Wartość momentu pary sił można też wyliczyć jako iloczyn wartości siły i odległości pomiędzy ich liniami działania, zwanej ramieniem pary. W praktyce para sił występuje wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z bryłą sztywną zamocowaną w jednym punkcie, lub wzdłuż osi. Przyłożenie siły do dowolnego punktu bryły powoduje pojawienie się w punkcie zamocowania siły reakcji więzów, tworzącej wraz z przyłożoną klasyczną parę sił.

5. Twierdzenie o redukcji.

Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie O i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu O .

6. Twierdzenie o momencie głównym.

Moment główny dowolnego układu sił względem dowolnego bieguna O� jest równy momentowi głównemu względem innego dowolnego bieguna O powiększonemu o moment wektora głównego przyłożonego w biegunie O względem bieguna O′.Zgodnie z definicją moment główny względem nowego bieguna redukcji O′ wyraża wzór:

7. Niezmienniki redukcji.

Iloczyny i MO′′cosα i MOcosα są rzutami momentów głównych M0 i M0’ na kierunek wektora głównego. Zatem rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego również nie zależy od wyboru bieguna redukcji i jest wielkością stałą, czyli jest obok wektora głównego drugim niezmiennikiem układu sił.

8. Redukcja układu sił – przypadki szczególne.

- R=0, Mo=0 wektorowe równanie równowagi (układ jest w równowadze, statyce),- Mo <prostopadłe> R można sprowadzić do siły wypadkowej, rozkład Mo na składowe prostopadłe i równoległe do R, tyko składowa prostopadła się modyfikuje, istnieją także takie punkty (usytuowane na pewnej prostej) dla których składowa prostopadła Mo znika, oś centralna (skrętnika) – linia działania wypadkowej,- Mo=0, R≠0,- Mo≠0, R=0, Mo’=Mo – układ sprowadził się do jednej pary siła o momencie Mo,- Mo≠0, R≠0 zredukować siły do skrętnika, Mo <równoległe> R;

szczególne przypadki układów sił sprowadzonych do skrętnika. a) Gdy wektor główny W=0 i moment MS=0, to ze wzoru wynika, że moment główny jest także równy zeru, MO=0, czyli układ sił jest równoważny zeru. b) Jeżeli wektor a moment W=0,MS≠0, to ze wzoru otrzymujemy Ms=M0, czyli najprostszym układem, do jakiego można sprowadzić dany układ, jest para sił.c) Jeżeli W≠0, a Ms=0, to układ można sprowadzić do jednej siły W działającej wzdłuż osi centralnej, czyli do wypadkowej. W tym przypadku ze wzoru wynika bezpośrednio, że iloczyn skalarny wektora głównego W i momentu głównego jest równy zeru. Oznacza to, że moment główny jest prostopadły do wektora głównego. Zatem analityczny warunek istnienia wypadkowej ma postać: WM0=0

d) Jeżeli W≠0 i Ms≠0, to skrętnik jest najprostszym układem, do jakiego można zredukować dany układ sił.

9. Równania równowagi dowolnego układu sił.

Układ sił będzie równoważny zeru, gdy zarówno wektor główny, jak i moment główny będą równe zeru: W=0 i M0=0

Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, by suma sił i suma ich momentów względem dowolnego punktu były równe zeru. Dowolne wektory będą równe zeru, jeżeli ich współrzędne w przyjętym układzie współrzędnych będą równe zeru.

Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych osi muszą być równe zeru.Równania równowagi dotyczą dowolnego przestrzennego układu sił i jako takie zawierają w sobie warunki równowagi prostszych układów sił.

10. Równania równowagi płaskiego układu sił.

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów A i B jest równy zeru oraz rzut sił na oś nieprostopadłą do odcinka AB łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w równowadze

Dla równowagi płaskiego układu sił sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej muszą być równe zeru

Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego działaniu dowolnego płaskiego układu sił:

a. wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,b. narysować siły czynne i reakcje więzów,c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,d. w metodzie analitycznej napisać równania równowagi i rozwiązać je ze względu na niewiadome,e. w metodzie geometrycznej narysować zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił rozpatrywanego układu i wyznaczyć poszukiwane niewiadome.

Szczególnym przypadkiem dowolnego płaskiego układu sił jest płaski układ sił równoległych. Zatem płaski równoległy układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli spełnione są dwa równania równowagi

11. Statyka układów brył związanych.

12. Tor, prędkość i przyspieszenie punktu.

Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do określenia

położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i końcu w rozważanym punkcie M.Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie. W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t1 położenie punktu M1 wyznacza wektor wodzący r1 = r(t1), a w chwili t2 = t1 + Δt punkt zajmuje położenie M2 wyznaczone przez wektor wodzący r2 = r(t2), Widzimy, że po upływie czasu Δt = t2 – t1 wektor wodzący uzyskał przyrost Δr = r2 – r1. Iloraz Δr/Δt jest wektorem współliniowym z wektorem Δr, czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy M1M2. Jeżeli przyrost czasu Δt będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy pochodną wektora r względem czasu:

nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor Δv/Δt o kierunku przyrostu prędkości Δv. Jeżeli przyrost czasu Δt będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy pochodną prędkości v względem czasu, nazywaną przyśpieszeniem a punktu M:

Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą pochodną wektora wodzącego względem czasu.

13. Styczne i normalne składowe prędkości i przyspieszenia.

Przyspieszenie normalne (dośrodkowe)

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako v, a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi r, to wartość an przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne at określają wzory:

14. Ruch postępowy bryły sztywnej; własności prędkości i przyspieszenia w ruchupostępowym.

Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia początkowego. Z powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek. Podobnie wektor xyz nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: więc jego pochodna we wzorze będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły wyraża zależność:

Ze wzorów oraz definicji ruchu postępowego wynikają następujące wnioski: a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same prędkości i przyśpieszenia w tej samej chwili czasu.b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt. c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych.

v=dro/dt=vo a=d2ro/dt2=dvo/dt=ao

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same prędkości vo i przyśpieszenia ao w tej samej chwili czasu.- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt. - dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O’

15. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi. Prędkość i przyspieszenie kątowe.

Ruch bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeżeli istnieje jedna prosta związana z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.Wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu:

wnioski:a)Prędkość jest prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu l i punkt M, czyli jest styczna do okręgu zakreślonego przez punkt M.b) Przyśpieszenie punktu M ma dwie składowe: styczną do toru punktu M, równą as=ε×r’, nazywaną przyśpieszeniem stycznym, i normalną,równą an= ω×( ω×r’), prostopadłą do ω i v=ω×r’, czyli skierowaną do środka krzywizny toru punktu M, nazywaną przyśpieszeniem normalnym lub dośrodkowym.c) Przyśpieszenie normalne można rozłożyć na składową równoległą do osi obrotu ω(ωr’) i składową skierowaną do obranego punktu O równą – ω2r’.ω=dφ/dt ε=dω/dt=d2φ/dt2 v=ω×r’ a=ε×r’+ω×(ω×r’)

a=ε×r’+ω(ω∙r’)-ω2r’

16. Własności prędkości w ruchu płaskim bryły sztywnej

Ruchem płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu. Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest sumą prędkości postępowej dowolnego bieguna v′O′O i prędkości wynikającej z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna: ω × r’v=vo+ω×r’ Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe. Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu możemy znaleźć prędkość punktów posługując się wzorem v=ω×CA. Wektor prędkości kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.

W ruchu płaskim istnieje punkt, którego prędkość jest równa zero. Jest to chwilowy środek prędkości.Przyjmując za biegun chwilowy środek prędkości (O ≡ Cv) prędkość dowolnego punktu A możemy obliczyć z zależności.

17. Przyspieszenie w ruchu płaskim bryły sztywnej.

W ruchu płaskim przyśpieszenie dowolnego punktu bryły jest sumą przyśpieszenia dowolnego bieguna i przyśpieszenia wynikającego z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna: . ε×r′-ω2r’a=ao+ε×r’+ω(ω∙r’)-ω2r’

Przyspieszenie bryły w ruchu płaskim określamy przez podanie przyspieszenia biegunaoraz przyspieszenia kątowego.Przyspieszenie bieguna otrzymujemy różniczkując równanie względem czasugdzie:

Natomiast przyspieszenie kątowe otrzymamy przez zróżniczkowanie równania

W ruchu płaskim istnieje punkt, którego przyspieszenie równa sie zero. Jest to chwilowy środek przyspieszenia (nie pokrywa sie on na ogół z chwilowym środkiem prędkości!). Przyjmując za biegun chwilowy środek przyspieszenia (O ≡ Ca), przyspieszenie punktu A możemy obliczać z zależności:

18. Ruch złożony punktu. Przyspieszenie Coriolisa.

Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem nieruchomego układu. Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu względem ruchomego układu współrzędnych. Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno związanego z układem ruchomym obserwowanym względem nieruchomego układu. v=vu+vw, vu=vo+ω×r’, a=au+aw+ac , au=ao+ε×r’+ω×(ω×r’) , ac=2ω×vw

Siła Coriolisa, jedna z sił bezwładności działająca na ciało znajdujące się w nieinercjalnym (tu: obracającym się) układzie odniesienia,Fcor = -2m ω×v,gdzie m - masa ciała, ω - wektor prędkości kątowej obracającego się układu, v - wektor prędkości liniowej ciała mierzony w obracającym się układzie odniesienia.

Siła Coriolisa spowodowana dziennym ruchem obrotowym działa na poruszające się poziomo na Ziemi ciała, osiągając największe wartości na biegunach (przy ruchu poziomym wektory ω i v są prostopadłe, niezależnie od kierunku v), a jej składowa pozioma zanika na równiku.

Na półkuli północnej powoduje odchylanie się poruszających się poziomo ciał na prawo (odpowiedzialne np. za intensywniejsze podmywanie prawych brzegów rzek), a na półkuli południowej - w lewo.

Siła Coriolisa działa na spadające swobodnie ciała, odchylając je od pionu w kierunku wschodnim. Siła działająca na jednostkową masę nazywa się przyspieszeniem Coriolisa.

Efekt Coriolisa – efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w obracającym się układzie odniesienia, objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się w takim układzie. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą, tak zwaną siłą Coriolisa. Siła Coriolisa jest siłą pozorną, występującą jedynie w nieinercjalnych układach obracających się. Dla zewnętrznego obserwatora siła ta nie istnieje. Dla niego to układ zmienia położenie a poruszające się ciało zachowuje swój stan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.

Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i

prędkości względem punktu A. pc=2ω×vr. Przyspieszenie Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia są ruchy:

prostoliniowy, harmoniczny prosty i postępowy (ω= zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora

prędkości względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.

19. Proste i odwrotne zagadnienie dynamiki

Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy równanie ruchu punktu materialnego w postaci: r=r(t), a druga pochodna podstawione do F=m*awypadkowa wszystkich sił działających na dany punkt:

Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą − zagadnienie odwrotne dynamiki. Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć równanie ruchu punktu r=r(t) przy znanej sile F, należy scałkować równanie różniczkowe lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań różniczkowych. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane warunkami początkowymi) w pewnej chwili t0 (w chwili początkowej)

20. Pęd. Zasada pędu. Zasada zachowania pędu.

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości: p = mv. Z definicji wynika, że pęd jest wektorem o kierunku prędkości, a więc jest wektorem stycznym do toru punktu materialnego. Dla układu n punktów materialnych o masach mk i prędkości vk pęd będzie równy sumie pędów poszczególnych punktów materialnych. Pęd układu materialnego jest równy iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości vC środka masy C. Pędem nazywamy także pochodną względem czasu momentu statycznego układu materialnego względem nieruchomego punktu.

W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten układ, scałkujmy równanie w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:

Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu. Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.z zasady pędu i popędu wynika, iż pęd końcowy jest równy początkowemu: p(t)=p(0), czyli pęd układu materialnego jest stały: p=const.Jest to zasada zachowania pędu: Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.

Gdy pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m i prędkości vC środka masy, to z zasady zachowania pędu: m*Vc=const. wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

21. Kręt. Zasada Krętu. Zasada zachowania krętu.

Krętem kO punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu p=mV tego punktu materialnego względem punktu O: Z definicji wynika, że kręt − zdefiniowany podobnie jak moment siły względem punktu − jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez punkt O i wektor prędkości v. Kręt punktu będzie równy zeru, poza przypadkami trywialnymi (r = 0 i v = 0), gdy wektory r i v będą współliniowe. Jeżeli będziemy mieli układ n punktów materialnych o masach mk opisanych wektorami wodzącymi rk i poruszających się z prędkością vk , to kręt tego układu materialnego względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów pędów) nieruchomego punktu O.

Zależność różniczkowa jest zasadą krętu: Pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Po obustronnym scałkowaniu równania w granicach od 0 do t otrzymamy: Całka występująca w tym równaniu nosi nazwę pokrętu momentu głównego, a samo równanie jest zasadą krętu i pokrętu. Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Często się zdarza, że moment główny układu sił zewnętrznych względem obranego nieruchomego bieguna redukcji O jest stale równy zeru bądź jest pomijalnie mały, M0≡0 . Wtedy całka po prawej stronie równania jest równa zeru i zasada krętu i pokrętu przechodzi w zasadę zachowania krętu: Lub jeżeli M0=0, to k0=const.Zasadę zachowania krętu można wyrazić słownie: Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą.

22. Praca, Moc.

Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą układu sił do rozpatrywanego układu materialnego w czasie jego ruchu. Pracą elementarną siły P na przesunięciu elementarnym ds, równym przyrostowi promienia wodzącego dr, nazywamy iloczyn skalarny siły P i przemieszczenia dr: dL=P*dr, dL=P*dr*cosαJednostką pracy w układzie SI jest dżul równy pracy 1 niutona na przesunięciu 1 metra:

J = N⋅ m = kg ⋅ m2 ⋅ s–2

Wnioski:a) Pracę wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, a praca składowej normalnej jest równa zeru. b) Wartość pracy może być zarówno dodatnia, jak i ujemna. c) Jeżeli na punkt materialny działa układ sił Pk, których suma jest równa wypadkowej , to praca tej siły na przesunięciu elementarnym dr jest równa sumie prac elementarnych poszczególnych sił na tym przesunięciud) Praca elementarna siły P na przesunięciu wypadkowym jest równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych;

Z technicznego punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy, ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono pojęcie mocy.

Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem dL=P*dr otrzymujemy wzór na moc siły P:

23. Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

24. Zachowawcze pole sił. Energia potencjalna.

25. Zasada zachowania energii mechanicznej.

Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. Pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych możemy zapisać w postaci: Gdzie: Uz1 i Uz2 oznaczają energię potencjalną sił zewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym, a Uw1 i Uw2 energię potencjalną sił wewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym.Po podstawieniu do E2-E1=LZ+LW (przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne i wewnętrzne) otrzymujemy:E2 – E1 = Uz1 – Uz2 + Uw1 – Uw2 U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1 E2 + U2 = E1 + U1 E + U = const.Jest to zasada zachowania energii mechanicznej. Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.

Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku, gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni. Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem. Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu.

26. Środek masy. Moment statyczny pierwszego rzędu.

Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które działają siły ciężkości Gk

Niech położenie tych punktów względem punktu odniesienia O określają wektory wodzące rk, jak na rysunku. Wiadomo, że siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez przyśpieszenie ziemskie, Gk = mk g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej. Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.

W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach Δmk i ciężarach ΔGk

wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:

współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:

Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const. w całym rozpatrywanym układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać: G=gm i dG=dgm, gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego.położenie środka masy bryły:

W przypadku układu punktów materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory:

Ze wzorów wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie. Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.

Momentem statycznym S układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk przez ich promienie wodzące rk

momentami statycznymi względem płaszczyzn yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio, są:

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej płaszczyzny.Wnioski:a) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem dowolnego punktu jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej w środku masy (ciężkości) względem tego punktu. b) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej w środku masy (ciężkości) względem tej płaszczyzny. c) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem środka masy (ciężkości) jest równy zeru. d) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem płaszczyzny przechodzącej przez środek masy (ciężkości) jest równy zeru.

27. Momenty bezwładności, momenty dewiacyjne. Tensor bezwładności.

Momentem bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu), płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości od bieguna, płaszczyzny lub osi.

Z definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności: 1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu), 2) względem płaszczyzn, 3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).

Momentami bezwładności Ix, Iy, Iz względem osi x, y, z układu punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odległości od tych osi:

Oprócz zdefiniowanych momentów bezwładności względem punktu, płaszczyzn i osi w dynamice ważną rolę odgrywają wielkości, które nazywamy momentami dewiacyjnymi (albo momentami mieszanymi lub odśrodkowymi).

Momentami dewiacyjnymi Dxy, Dyz, Dzx układu punktów materialnych nazywamy sumę iloczynów mas mk przez iloczyn ich odległości od dwóch

prostopadłych płaszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz. Momenty te wyrażają wzory:

Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, ponieważ we wzorach − w przeciwieństwie do momentów bezwładności − występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych. Ponadto jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których obliczamy momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego układu materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są równe zeru. Jeżeli układ materialny ma dwie płaszczyzny symetrii, to wszystkie momenty dewiacyjne będą równe zeru.

Tensor momentu bezwładności zapisujemy w postaci macierzowej:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I II I II I I

Człony xxI yyI zzI nazywają się przekątnymi macierzy lub wyrazami na diagonali, inne wyrazy są poza przekątnymi.

Zapis całkowy: jeżeli przez ( )rρ jest gęstością bryły w punkcie odległym o r od osi obrotu to składowe momentu

bezwładności są zapisane przykładowo w następującej postaci:

2 2( )( )xxI r r x dVρ= −∫ ( )xyI r xydVρ= −∫ ( )xzI r xzdVρ= −∫Własności tensora momentu bezwładności:

Wyrazy poza przekątną są symetryczne:

xy yxI I= , xz zxI I= , yz zyI I=Z własności macierzy symetrycznych wynika, że dla każdej bryły sztywnej można tak dobrać osie obrotu, że znikną wszystkie

wyrazy poza diagonalne. 0xy xz yzI I I= = =

Wówczas pozostaną tylko wyrazy na diagonali, które przy tak szczególnie wybranych osiach obrotu i układzie współrzędnych

można zapisać 1( )xx xI I I= 2( )yy yI I I= 3( )zz zI I I=

Tensor momentu bezwładności można zapisać w postaci macierzy diagonalnej:

0 00 00 0

x

y

z

II

I

28. Twierdzenia Steinera.

Twierdzenie Steinera opisuje w jaki sposób znaleźć moment bezwładności danej bryły względem danej osi, jeżeli znany jest moment bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek bryły.Mówi że, moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem:I=I0 md2

gdzie:I0 - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masyI - moment bezwładności względem osi równoległejd - odległość między osiamim - masa bryły

29. Pęd układu punktów materialnych i b.s

30. Kręt układu punktów materialnych i b.s.

31. Energia kinetyczna układu punktów materialnych i bryły sztywnej. Twierdzenie Koeniga.

Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:

Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się z prędkością vk energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych:

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy. Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne działające na tę bryłę.

energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci:

Twierdzenie Koeniga 22

21

21 ωlC ImVE +=

32. Równania Eulera.W mechanice klasycznej opisują one ruch układu ciał: