MATERIAŁ DYDAKTYCZNYPomiar rozmiaru cienia Ziemi

(Całkowite zaćmienie księżyca 2014)

Autorzy: Miguel Ángel Pío Jiménez, astronom z Instituto de Astrofísica de Canarias dr Miquel Serra­Ricart, astronom z Instituto de Astrofísica de Canarias Juan Carlos Casado, astrofotograf (tierrayestrellas.com), Barcelona dr Lorraine Hanlon, astronom z University College Dublin, Irlandia dr Luciano Nicastro, astronom z Istituto Nazionale di Astrofisica, IASF Bolonia dr Kamil Złoczewski, astronom, Uniwersytet Warszawski (tłumaczenie)

1. Cele ćwiczenia

W tym ćwiczeniu dowiesz się jak zmierzyć rozmiar cienia rzucanego przez Ziemię na

powierzchnię Księżyca w trakcie zaćmienia. W tym celu zmierzysz momenty wejścia i wyjścia z cienia kilku kraterów. Opcjonalnie, kształt a konkretniej zakrzywienie cienia Ziemi widoczne na tarczy Księżyca pozwala na zmierzenie rozmiaru cienia Ziemi. Opisane są obie metody pomiaru.

Po wykonaniu tego ćwiczenia zdobędziesz następujące umiejętności: wytłumaczenia podstawowych informacji dotyczących zjawiska zaćmienia

księżyca wykonania pomiarów na podstawie zdjęć. skorzystania z podstawowych wzorów fizycznych z wykorzystaniem danych

pozyskanych na podstawie zdjęć sprawdzenia poprawności jednostek w używanych wzorach sprawdzenia poprawności jednostek w użytych wielkościach wytłumaczenia prawdziwego i pozornego ruchu gwiazd i innych ciał niebieskich.

2. MateriałyZdjęcia wykonane podczas całkowitego zaćmienia księżyca 15 kwietnia 2014 roku. W

Polsce te zaćmienie księżyca jest niewidoczne.

3. Zjawisko

3.1 Czym jest zjawisko zaćmienia?

Zaćmienie księżyca ma miejsce kiedy to Księżyc przechodzi przez cień Ziemi. Może mieć to miejsce wówczas kiedy Słońce, Ziemia i Księżyc są w jednej linii lub niemal w jednej linii zaś Ziemia jest pomiędzy Słońcem i Księżycem. Dlatego też zaćmienie księżyca może mieć miejsce jedynie w trakcie pełni księżyca.

3.2 Występowanie zaćmień Księżyc większość czasu znajduje się na swojej orbicie pod lub ponad płaszczyzną

ekliptyki (płaszczyzną wyznaczaną przez ruch Ziemi wokół Słońca). Zaćmienie może nastąpić

1

wtedy kiedy to Księżyc znajdzie się bardzo blisko płaszczyzny ekliptyki, dlatego też zjawisko to zachodzi jedynie podczas nowiu (zaćmienie słońca) lub w pełni (zaćmienie księżyca).

Rysunek 1: Płaszczyzna orbity Księżyca. „Obszar krytyczny” wyznacza czas w którym może mieć miejsce zaćmienie księżyca.

Zaćmienie księżyca widoczne jest ze wszystkich miejsc na Ziemi, w których Księżyc podczas zaćmienia jest nad horyzontem. Kluczowe momenty zaćmienia słońca zależą od miejsca na Ziemi, natomiast momenty zaćmienia Księżyca nie zależą od położenia obserwatora.

Ze względu na odległość dzielącą Ziemię od Księżyca rozmiar (średnica) stożka cienia ma 9 200 km. Średnica Księżyca to 3 476 km. W związku z tym rozmiar, że cienia jest nieco ponad 2,5 razy większy od średnicy samego Księżyca, to samo zjawisko zaćmienia księżyca trwa dłużej niż zaćmienie słońca.

Linia węzłów orbity Księżyca (Rysunek 1) wędruje z prędkością około 20 stopni na rok,

wykonując pełen obrót co około 18,6 roku. To powoduje, że daty zaćmień każdego roku są inne. Przykładowo w roku 2001 zaćmienia były w styczniu, lutym, czerwcu, lipcu i grudniu, w roku 2003 zaćmienia miały miejsce w maju i listopadzie, natomiast w roku 2006 w marcu i wrześniu.

2

Rysunek 2: Strefa cienia (umbra) i półcienia Ziemi (penumbra). W części środkowej cienia światło słoneczne nie dochodzi bezpośrednio ze Słońca, natomiast w rejonie półcienia jedynie część światła Słońca jest zablokowana.

3.3 Rodzaje zaćmień księżyca Występują trzy rodzaje zaćmień księżyca:

1) Zaćmienie półcieniowe: W tym przypadku na Księżyc pada półcień Ziemi (patrz

Rysunek 2). Pociemnienie tarczy Księżyca jest niewielkie (Rysunek 3), co powoduje że zanotowanie czasów kontaktów w tym typie zaćmienia jest bardzo trudne.

Rysunek 3: Zdjęcie przedstawia Księżyc nie zaćmiony (po lewej) oraz w fazie zaćmienia półcieniowego (po prawej) w dniu 16 maja 2003 roku. Efekt pociemnienia tarczy Księżyca jest subtelny. Źródło: J.C. Casado ­ Shelios.

2) Zaćmienie częściowe: Ma miejsce gdy Srebrny Glob znajduje się jedynie częściowo

w pełnym cieniu Ziemi. Wejście Księżyca w dobrze odcinający się cień Ziemi pozwala na jednoznacznie wyznaczenie momentów kontaktów. Problemem mogą być zakłócenia ziemskiej

3

atmosfery, które powodują rozmycie konturu cienia.

3) Całkowite zaćmienie: Zachodzi kiedy to tarcza Księżyca całkowicie zanurza się w cień Ziemi. Ponieważ stożek cienia jest o wiele większy niż średnica Księżyca w związku z tym zjawisko zaćmienia księżyca może trwać nawet 104 minuty (patrz Rysunek 4).

Rysunek 4: Złożenie zdjęć z zaćmienia księżyca z dnia 16 maja 2003 roku. Fotografie wykonano na początku zjawiska (po lewej), w środku zaćmienia oraz pod koniec fazy całkowitej (po prawej). Źródło: J.C. Casado ­ Shelios.

4

Rysunek 5: Rodzaje zaćmień księżyca. Tor 1 (zaćmienie półcieniowe częściowe), A: początek zaćmienia, B: środek zaćmienia półcieniowego; C: koniec zaćmienia. Tor 2 (zaćmienie półcieniowe), A: początek zaćmienia, B: środek; C: koniec zaćmienia; Tor 3 (zaćmienie częściowe), A: początek zaćmienia półcieniowego, B: początek zaćmienia częściowego, C: zaćmienie częściowe, D: koniec zaćmienia częściowego; E: koniec zaćmienia półcieniowego. Tor 4 (zaćmienie całkowite), A: początek zaćmienia półcieniowego, B: początek wejścia w cień, C: całkowite wejście w cień, D: początek wychodzenia z cienia, F: koniec zaćmienia półcieniowego. Źródło: J.C.Casado

Rysunek 5 ilustruje rodzaje zaćmień księżyca. Oznaczenia kolejnych momentów

zaćmienia, nazywanych również „fazami zjawiska” wyjaśnione są w opisie rysunku

3.4 Przebieg całkowitego zaćmienia księżyca Wszystkie rodzaje zaćmień księżyca rozpoczynają się od fazy zaćmienia półcieniowego

(Rysunek 5, Tor 3, A). Pociemnienie tarczy księżyca w tej fazie jest subtelne i najlepiej widoczne w obszarze w pobliżu pełnego cienia.

Zaćmienie częściowe: Po fazie zaćmienia częściowego, trwającego nawet do godziny Księżyc wchodzi w wyraźnie ciemniejszy, zakrzywiony obszar cienia (Rysunek 5, Tor 4, B). Z pomocą teleskopu można zobaczyć jak postępuje zaćmienie i jak kolejne utwory na powierzchni Srebrnego Globu – takie jak np. kratery i góry – kryją się w ziemskim cieniu.

5

Zaćmienie całkowite: Gdy Księżyc całkowicie wejdzie w cień Ziemi.(Rysunek 5, Tor 4, C) nie znika on z nieba, ale przybiera kolor czerwony. Odcień tej czerwieni dla każdego zaćmienia jest inny. Jasność tarczy Księżyca zmniejsza się o 10 tysięcy razy i w rezultacie na niebie pojawiają się gwiazdy tak jakby on wcale nie oświetlał nieba swym blaskiem. Co powoduje ten czerwony kolor? Przyczyną jest ziemska atmosfera, która „otula” kulę ziemską, i jak na wpół przeźroczysta soczewka ugina światło słonecznej przechodzącą przezeń i ostatecznie padające na tarczę Księżyca. Kolor czerwony powstaje z powodu tego, że światło niebieskie pochłaniane jest mocniej przez naszą atmosferę niż światło czerwone. Odcień czerwieni zależy od wielu czynników m.in. stanu strefy(?) ozonowej, ilości pyłu wulkanicznego, aktywności słonecznej oraz pogody w części atmosfery, przez którą przechodzi światło. Po fazie całkowitej sekwencja zdarzeń jest odwrotna, najpierw ma miejsce faza częściowa a następnie zaćmienie półcieniowe (Rysunek 5, Tor 4, D, E i F). Cały przebieg zaćmienia jest całkiem nieźle przedstawiony na Rysunku 6.

Rysunek 6: Przebieg całkowitego zaćmienia księżyca z 4 kwietnia 1996 roku. Ilustracja przedstawia jego kolejne fazy na podstawie zdjęć wykonanych w czasie ponad 4 godzin w Bardenas (Navarra). Źródło: J.C. Casado (ttierrayestrellas.com)

3.5 Zaćmienie 15 kwietnia 2014 roku Widoczność zaćmienia Księżyca z dnia 15 kwietnia 2014 roku przedstawia Rysunek 7.

Mapa przedstawiona została w cylindrycznym odwzorowaniu Merkatora, które jest najpowszedniej stosowanym przedstawieniu sfery na płaszczyźnie. Mapa w tej projekcji dobrze oddaje region okołorównikowe, ale im bliżej biegunów tym jest bardziej zniekształcona.

6

Rysunek 7: Mapa przedstawia obszar widoczności całkowitego zaćmienia księżyca 15 kwietnia 2014 roku.

Na Rysunku 7 przedstawiono obszary widoczności zjawiska zaćmienia Księżyca w dniu

15 kwietnia 2014. W obszarach niezacienionych, w USA, Kanadzie, Oceanie Spokojnym, zachodniej części Ameryki Południowej będzie można zobaczyć całość zaćmienia. W obszarze zakreślonym najciemniejszą barwą zaćmienie nie będzie w ogóle widoczne i tak mieszkańcy Wschodniej Afryki, sporej części kontynentu europejskiego, Rosji, Indii i większości Azji go nie zobaczą. W obszarach lekko zacieniowanych po prawej stronie mapy (na wschodzie; „Zaćmienie o wschodzie Księżyca”) zaznaczono jakie kolejne etapy zaćmienia będą miały miejsce o wschodzi Księżyca. Podobnie po lewej stronie mapy (na zachodzie; „Zaćmienie o zachodzie Księżyca”) zaznaczono jakie etapy zaćmienia będą miały miejsce podczas zachodu Księżyca. Całość zaćmienia potrwa 3 godz. 34 min. z czego faza całkowita 1 godz. 17 min. Poniżej momenty kolejnych faz zaćmienia: Początek fazy częściowej ­ U15:58 UT (0:58 czasu lokalnego Peru, 6:58 Wyspy Kanaryjskie, 7:58 CET).Początek fazy całkowitej ­ U27:06 UT (2:06 czasu lokalnego Peru, 8:06 Wyspy Kanaryjskie, 9:06 CET).Środek zaćmienia całkowitego7:45 UT (2:45 czasu lokalnego Peru, 8:45 Wyspy Kanaryjskie, 9:45 CET).Koniec fazy całkowitej ­ U38:24 UT (4:24 czasu lokalnego Peru, 9:24 Wyspy Kanaryjskie, 10:24 CET).Koniec fazy częściowej ­ U49:33 UT (4:33 czasu lokalnego Peru, 10:33 Wyspy Kanaryjskie, 11:33 CET). 4. Wyznaczanie wielkości cienia Ziemi 4.1 Metoda 1. Pomiar czasu z użyciem kraterów księżycowych

Metoda ta polega na wyznaczeniu momentu wejścia i zejścia cienia Księżyca przez wybrane miejsce na powierzchni Księżyca. Żeby to zrobić z jak największą precyzją należy wybrać je jak najbardziej umiejętnie. Nadają się do tego dobrze widoczne i rozpoznawalne kratery. W szczególności trudniejsze jest zanotowanie momentu wyjścia z cienia Ziemi wybranego przez nas miejsca.

.

7

→ Obserwacje z użyciem własnego teleskopu Jeśli planujesz wykonać obserwacje z użyciem własnego teleskopu dobrym pomysłem jest wybranie kilku najbardziej charakterystycznych kraterów. Jednym z nich może być na przykład krater Platon (widoczny niemal pośrodku Rysunku 8). Platon ma średnicę około 101 kilometrów i położony jest w pobliżu środka widocznej z Ziemi tarczy Księżyca. Nieopodal niego znajduje się pasmo Góry Teneryfskich (łac. Montes Teneriffe) o długości ponad 100 km I wysokości 1 450 m.

Rysunek 8: Przedstawia położenie i wygląd krateru Platon i sąsiadującymi z nim Gór Teneryfskich. W górnym prawym rogu przedstawiona jest miniatura tarczy Księżyca z zaznaczonym na czerwono obszarem zbliżonym na tej ilustracji. Obraz pozyskano z program Virtual Moon Atlas.

Jak wspomniano wcześniej brzeg cienia Ziemi jest dość rozmyty, co powoduje wpływa na

niepewność wyznaczenia momentów wejścia cienia. Wyznaczając czasy wejścia należy skorzystać z zegarka wyposażonego w stoper.

8

→ Użycie obrazów z archiwów

W dniu 15 kwietnia 2014 roku projekt GLORIA udostępni w internetową transmisję zaćmienia Księżyca. Wykonane podczas tej relacji obrazy zostaną udostępnione za darmo w internecie, z oznaczeniem czasu wykonania oraz nazwą każdego ze zdjęć.

Dla przykładu pokażemy jak skorzystać ze zdjęć wykonanych podczas wcześniejszego zaćmienia księżyca, które miało miejsce 3 marca 2007 roku.

W pierwszej kolejności wybierzemy krater, który będzie naszym punktem referencyjnym. W tym wypadku wybierzemy Timocharis, położony pośrodku wielkiego basenu uderzeniowego zwanego Mare Imbrium (Rysunek 9).

Rysunek 9: Mapa południowo­wschodniej części Księżyca z zaznaczonym położeniem krateru Timocharis. Obraz wykonano z pomocą program Virtual Moon Atlas (patrz ref9).

Ze zdjęć wykonanych podczas trwania całkowitego zaćmienia (patrz Rysunek 10) wyliczamy różnicę między momentami wejścia i zejścia cienia na 2 godziny 45 minut i 36 sekundy, czyli 2,76 godziny i oznaczamy (tp).

9

Rysunek 10: Żółty punkt przedstawia położenie punktu odniesieniu w kraterze, który został użyty w tym przykładzie. Zdjęcie po lewej zostało wykonane podczas wejścia cienia o 21:50:30 UT, zaś zdjęcie po prawej odpowiada wyjściu z cienia o 0:36:6 UT (obraz OGS­IAC).

→ Obliczenia

Do wyznaczenia rozmiaru cienia Ziemi potrzebujemy wykonać dodatkowe obliczenia, które prezentujemy poniżej.

Po pierwsze musimy wyznaczyć prędkość ruchu Księżyca. Rozmiar cienia Ziemi odpowiada odcinkowi orbity przebytej przez Księżyc w czasie pomiędzy wejścia cienia i wyjścia cienia z wybranego z wybranego punktu referencyjnego (w tym wypadku krateru Timocharis).

Stąd też:

Rozmiar cienia (Dcienia) = Prędkość Księżyca (v) x Czas przejścia cienia (tprzejścia)

Czas obiegu Księżyca wokół Ziemi to około 27,3 dnia (655,2 godziny). Jeden obieg odpowiada 360°, co odpowiada 2 radiana (rad). Prędkość kątowa Księżyca, ω to jest liczba π stopni przebyta na orbicie podzielona przez czas ruchu tzn.

, 49 [ ] ω = 360º655,2 godz. = 0 5 º

godz.

co odpowiada:

= 9,6x [ =9,6x [ ω = 2π655,2 godz. 10−3 ]rad.

godz. 10−3 ]godz.−1

Radian, używanych w pomiarach kąta, jest wielkością bezwymiarową co oznacza że nie ma żadnej jednostki. Wynika to z definicji radiana, wielkości równej stosunkowi długości łuku na okręgu o długości promienia tego okręgu. Ponieważ wielkości są mierzone w tych samych jednostkach – długości – dlatego też skracają się i dlatego radian jest wielkością bezwymiarową.

Wyznaczenie prędkości liniowej (w km/godz.) z prędkości kątowej skorzystamy z zależności prawdziwej w ruchu po okręgu =Rω, gdzie R jest promieniem orbity zaś ω to v prędkość kątowa mierzona w radianach/godz. W naszym wypadku R = 384 352 km, co jest średnią odległością dzielącą Ziemię od Księżyca.

10

Stąd też:

384 352 [km] x 9, x10 [godz. ] 682.8 [km/godz.]v = 6 −3 −1 ⇒ v = 3

Średnica (Dcienia) lub też promień cienia (Rcienia) Ziemi można wyznaczyć następująco:

682, [km/godz.] x 2.7 [godz.] 943, 6 [km] D Cienia = v × t = 3 8 = 9 54971, 8 [km] ⇒ R / 2Cienia = D Cienia = 7

Ważne jest aby pilnować zachowania jednostek dla wyznaczanych wielkości.

4.2 Metoda 2. Metoda Hipparchosa

Idąc w ślady sławnej postaci Hipparchosa, wyznaczmy względne rozmiary Ziemi i

Księżyca na podstawie szacunkowego rozmiaru Ziemi (a właściwie jego cienia) z użyciem zdjęć pozyskanych podczas całkowitego zaćmienia księżyca.

Ze zdjęcia wykonane podczas fazy częściowej zaćmienia całkowitego (Rysunek 5, Tor IV, pozycja B i E) możemy zmierzyć (i) rozmiar cienia Ziemia oraz (ii) promień Księżyca. Stąd wyznaczymy jak się ma promień cienia Ziemi do rozmiaru Księżyca. Widząc jakie są faktyczne rozmiary Księżyca możemy określić liniowe rozmiary cienia Ziemi.

Wykonując te obliczenia Hipparchos założył, że Słońce znajduje się nieskończenie daleko, w związku z tym światło biegnące od niego porusza się po liniach równoległych. Stąd też, cień Ziemi w odległości Księżyca ma rozmiary identyczne z promieniem Ziemi. Dzisiaj wiemy, że to założenie jest nieprawdziwe, i że wielkość cienia Ziemi zmienia się z różnych przyczyn związanych z tym co się dzieje w ziemskiej atmosferze, a ponadto odległość Ziemia­Księżyc nie jest wielkością stałą.

Rysunek 11: Wyznaczenie promienia cienia Ziemi używając wydrukowanego zdjęcia oraz z pomocą oprogramowania.

Hipparchos stwierdził, że stosunek promienia Ziemi do Księżyca wynosi 3,7. Biorąc tę

liczbę i promień Ziemi wyznaczony przez Eratostenesa (276­194 p.n.e.) – 6366 km, Hipparchos wyznaczył promień Księżyca na 1719 km, co różni się o zaledwie 3 km od średniej wartości promienia. Nasze wyliczenia będą wykonywane w odwrotnie. Zakładając, że znany jest promień Księżyca – 1722 km, wyznaczymy promień cienia Ziemi.

Metoda bezpośrednia: Weźmy zdjęcie Księżyca podczas nocy zaćmienia (przykładowy

przebieg na Rysunku 5, Tor IV, od B do C lub D do E), tak jak to przedstawiono na Rysunku 11.

11

Wybierz 2 punkty na brzegu tarczy Księżyca i połącz je linią, wybierz dwa kolejne i potwórz tę operację (porównaj z Rysunkiem 11 po prawej). Utworzyłeś dwa odcinki bliskie brzegu tarczy Księżyca, następnie dla każdego odcinka z pomocą ekierki narysuj linię prostopadłą, ich przecięcie w tarczy Księżyca wyznacza jego środek. Tę samą operację wykonaj dla brzegu cienia Ziemi na tarczy Księżyca (porównaj z Rysunkiem 11 po lewej). Za pomocą linijki lub programu komputerowego wyznaczamy teraz dwie wielkości: promień Księżyca (RK) oraz rozmiar cienia Ziemi (Rcienia). Jakie wielkości otrzymaliście? Jaki jest stosunek tych wielkości?

Metoda pośredni: W tej metodzie użyjemy zdjęcia wykonane podczas zaćmienia (patrz

Rysunek 13). Używając programu do obróbki zdjęć wyznaczamy współrzędne X i Y 7 punktów na brzegu tarczy Księżyca oraz na brzegu cienia Księżyca. Następnie z użyciem tak wyznaczonego obwodu wyznaczamy promień cienia Ziemi tzw. metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia można wykonać za pomocą arkusza kalkulacyjnego dostępnego pod adresem:

http://goo.gl/kQ7PSa

Na Rysunku 12 możecie zobaczyć przykładowe wyliczenia wykonane z użyciem zdjęcia wykonanego podczas fazy częściowej całkowitego zaćmienia księżyca z dnia 3 marca 2007 roku. Po wykonaniu pomiaru współrzędnych wybranych punktów (Rysunek 13) i zapisaniu go w arkuszu wyznaczono stosunek rozmiaru tarczy Ziemi do Księżyca na 2,72. Zakładając promień Księżyca na 1722 km, stąd wyliczony promień cienia Ziemi wynosi 4692 +/­ 43 km. Polegając na tym wyznaczeniu można zadać pytanie: Czy rozmiar cienia Ziemi odpowiada promieniowi samej Ziemi?

Rysunek 12: Punkty wybrane na brzegu tarczy Księżyca – patrz Rysunek 13.

12

Rysunek 13: Faza częściowa całkowitego zaćmienia księżyca z dnia 3 marca 2007 roku. Zdjęcie przedstawia wybrane 7 punktów na brzegu tarczy Księżyca oraz cienia Ziemi. Posłużyły one do wyznaczenia stosunku rozmiarów cienia Ziemi i tarczy Księżyca. Zdjęcie: J.C. Casado.

13

DALSZA LEKTURA ref1. Wirtualny Atlas Księżyca (darmowy). Doskonały atlas Księżyca dostępny na systemach operacyjncyh: Windows, Mac OSX oraz Linux: http://www.ap­i.net/avl/en/startref2. Atlas Księżyca: http://www.lunarrepublic.com/atlas/index.shtml (interaktywny atlas on­line całego Księżyca z rozmiarami kraterów)ref3. Rozszerzenie grupy naukowej IMAF ­ CSIC. Fundacja BBVA. O rozmiarze i odległościach Słońca i Księżyca. VI Piknik Naukowy 2005 (w języku hiszpańskim) (http://www.csicenlaescuela.csic.es/feria.htm)ref4. Strona internetowa NASA poświęcona tematyce zaćmień (http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html).ref5. REYNOLDS, M.D. y SWEETSIR, R.A. Observe eclipses. Observe Astronomical League Publications, Washington (USA), 1995. Sky and Telescope, Sky Publishing Corporation (w j.angielskim)ref6. Zaćmienie księżyca, Fred Espenak (2012) (w języku angielskim) (http://www.mreclipse.com/Special/LEnext.html)ref7. strona Wikipedii o zjawisku zaćmienia księżyca. (http://pl.wikipedia.org/wiki/Za%C4%87mienie_Ksi%C4%99%C5%BCyca )ref8. strona poświęcona żaćmieniom na portalu USNO. Zawiera historyczne i przyszłe mapy i katalogi zaćmień: http://aa.usno.navy.mil/data/docs/UpcomingEclipses.phpref9. Wikipedia. Historia zaćmień księżyca (w języku hiszpańskim)(http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_observación_lunar).ref10. strona Wikipedii o Hipparchosie z Nikei (http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipparchos_z_Nikei).ref11. NASA's Lunar Reconnaissance Orbiter (LRO): Pierwsza interaktywna mozaika zdjęć północnego bieguna Księzyca: http://lroc.sese.asu.edu/gigapan

14