Matematyka II - Organizacja zajęć+3 5. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne...

dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Matematyka II - Organizacja zajęć

Wykład (45 godz.):

30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarzponiedziałek godz.11.45

15 godzin - dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PPśroda godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A

Egzamin w sesji letniej

dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 2

Teoretyczne podstawy informatyki

?( ) ( ) ( )xfxfxf n

n

iDefi

rK

rr++=∑

=1

1

( ) ( ) ( )xfxfxf nDefn

ii

rK

rr⋅⋅=∏

=1

1

dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP

Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

3

Teoretyczne podstawy informatyki

dr hab. inż. Joanna Józefowska

dyżur: poniedziałek 8.30 - 9.30 p. 436czwartek 13.30 - 14.30 p. 436

e-mail: [email protected] poznan.pl

materiały do wykładów:http://www.cs.put.poznan.pl/jjozefowska/

hasło: mat03


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

4

Literatura

• Batóg T., Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań1999.

• Błażewicz J., Złożoność obliczeniowa problemówkombinatorycznych, WNT, Warszawa 1988.

• Davis M., Czym jest obliczanie?, w: Matematyka współczesna -dwanaście esejów pod redakcją Lynna Arthura Steena, WNT,Warszawa 1983.

• Epstein R. L., Carnielli W. A., Computability, Wadsworth, Belmont2000.

• Harel D., Rzecz o istocie informatyki, wyd. 2, WNT Warszawa2000.

• Penrose R., Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyślei prawach fizyki, PWN, Warszawa 1996.


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

5

Paradoksy

Kreteńczyk: „Wszyscy mieszkańcy Kretysą kłamcami”.

To zdanie jest fałszywe.

Paradoks Russela

Z = {X: X ∉ X}. Czy Z ∈ Z ?


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

6

Paradoks Zenona

Achilles i żółw ścigają się. Dlawyrównania szans przesunięto pozycjestartowe. Ale jakkolwiek szybko biegłbyAchilles, to nigdy nie dogoni żółwia.Zanim bowiem Achilles dobiegnie domiejsca, z którego startował żółw, tendrugi będzie już kawałek dalej. ZanimAchilles osiągnie tę pozycję, żółwia jużtam nie będzie, itd.


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

7

Paradoks Zenona


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

8

Paradoks Zenona

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

9

C1

Paradoks Zenona

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C2 C3


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

10

Paradoks Zenona

( )( ) ( )( ) 021

121

21212

1 22>

++=

++−−++

=+

−++

mmmmmmmm

mm

mm

( ) 01

11

1 >+

=+

−mm

m

115

443

32

21

<<+

<<<<< KKm

m


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

11

Liczby

• liczenie a liczność (zbioru)

• porównywanie liczności dwóch zbiorów

• dodawanie 1

• liczby naturalne


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

12

Wszystko jest liczbą...

2

qp

=2Załóżmy, że

p, q są względnie pierwsze

22 2qp =

zatem p2 jest liczbą parzystą

a stąd i p jest liczbą parzystą (p = 2r)

p, q są względnie pierwsze, więc q jest nieparzyste

z drugiej strony (2r)2 = 2q2 czyli 2r2 = q2 co oznacza,

że q jest parzyste

sprzeczność


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

13

Funkcje

Czarna skrzynkawejście

wyjście


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

14

Funkcje

Czarna skrzynka2

5+3


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

15

Funkcje

Czarna skrzynka4

2√

–2

wybierz


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

16

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

– 4

?√


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

17

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

√

dziedzina

zbiórwartości


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

18

Funkcja jako reguła

Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami.Funkcją z X do Y nazywamy regułę, która każdemuelementowi x∈ X przyporządkowuje element y∈ Y.

f(x) = x + 3

g(x) = x + 4 - 1


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

19

Funkcja jako zbiór par

Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami.Funkcją z X do Y nazywamy zbiór par (x,y)gdzie pierwszy element pary należy do zbioruX, a drugi do zbioru Y. Jeżeli (x,y) i (x,z) należądo tego samego zbioru par, to y=z.


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

20

Notacja λ

x → 3x + 7

3x + 7 jest różniczkowalna

3x + 7 jest mniejsze od 2

(2,3) → 5

f(2, 3) = 2 + 3

g(2) = 2 + 3

λx(3x + 7)

3x + 7

λx λy(x + y) =λxy(x + y)

λx(x + 3)


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

21

Injekcja, surjekcja i bijekcja

funkcja - ani injekcja ani bijekcja nie funkcja

injekcja, ale nie bijekcja surjekcja nie injekcja


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

22

Złożenie funkcji

dziedzina funkcji f

x

dziedzina funkcji g

zbiór wartościfunkcji f

f(x) g°f(x)

zbiór wartościfunkcji g°f


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

23

Złożenie funkcjif(x) = 3x + 7

x

g(x) = 2x2

3x + 7

g°f(x)= 18x2 + 84x + 98

2 (3x+7)2


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

24

Dowody

• Co to jest dowód?

• Jak rozpoznać, że twierdzeniematematyczne zostało udowodnione?

• Jakie są kryteria?

• Czym różni się dowód w matematyce oddowodu np. sądowego?


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

25

• Indukcja

• Dowód nie wprost

• Dowód konstrukcyjny

• Dowód przez kontrprzykład

• Dowody na istnienie

Dowody


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

26

• Jak duża jest nieskończoność?

• Czy wszystkie zbiory nieskończone mają tęsamą liczbę elementów?

Zbiory nieskończone


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

27

Zbiór A nazywamy przeliczalnym jeżeli jestskończony lub równoliczny ze zbiorem liczbnaturalnych, czyli istnieje bijekcja A na N.

Zbiory przeliczalne

1

4

3

2

...

...

A N


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

28

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny

1 2 3 4...

1 1/1 1/2 1/3 1/4...

2 2/1 2/2 2/3 2/4...

3 3/1 3/2 3/3...


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

29


Udowodnimy, że zbiór wszystkich uporządkowanych par liczbnaturalnych (m, n) jest przeliczalny.

Zdefiniujmy:

J(m, n) = 1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m

Ta funkcja opisuje uporządkowanie z poprzedniego rysunku,przy założeniu, że dla równych J(m, n) para o mniejszympoprzedniku poprzedza parę o większym poprzedniku.


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

30


J(0, 0) = 1/2 [(0 + 0)(0 + 0 + 1)] + 0 = 0

J(0, 1) = 1/2 [(0 + 1)(0 + 1 + 1)] + 0 = 1

J(1, 0) = 1/2 [(1 + 0)(1 + 0 + 1)] + 1 = 2

J(0, 2) = 1/2 [(0 + 2)(0 + 2 + 1)] + 0 = 3

J(1, 1) = 1/2 [(1 + 1)(1 + 1 + 1)] + 1 = 4

J(2, 0) = 1/2 [(2 + 0)(2 + 0 + 1)] + 2 = 5

J(0, 3) = 1/2 [(0 + 3)(0 + 3 + 1)] + 0 = 6

J(1, 2) = 1/2 [(1 + 2)(1 + 2 + 1)] + 1 = 7

.................................................................


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

31


J(m, n) jest funkcją 1-1

Każdej parze odpowiada dokładnie jedna liczba naturalna:

1/2 [(m + n)(m + n + 1)] + m

Każdej liczbie naturalnej k odpowiada dokładnie jedna para.

Zauważmy, że J(m, n) określa liczbę par takich, że

(x + y < m + n) lub (x + y = m + n i x < m)


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

32

Zbiór liczb rzeczywistychnie jest przeliczalny

Niech [0, 1) oznacza zbiór liczb rzeczywistych większychlub równych od 0 i mniejszych od 1. Jest on równolicznyze zbiorem liczb rzeczywistych, gdyż łatwo wykazać, że

jest bijekcją.

( ) xxxg−

= 1


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

33


Liczby z przedziału [0, 1) możemy reprezentować jakorozwinięcia dziesiętne postaci:

x = 0. x0 x1 x2 ... xn ...

(Nie wprost)

Przypuśćmy, że [0, 1) jest równoliczny z N. Wtedy możnaponumerować wszystkie liczby z przedziału [0, 1):

a0 = 0. a00 a01 a02 ....

a1 = 0. a10 a11 a12 ....

................................

an = 0. an0 an1 an2 ... ann ....


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

34


Niech b = 0. b0 b1 b2 ... bn ...., gdzie

≥−<+

=8gdy 1

8gdy 1

nnnn

nnnnn a a

aab

a0 = 0. a00 a01 a02 ....

a1 = 0. a10 a11 a12 ....

................................

an = 0. an0 an1 an2 ... ann ....

0 ≤ b ≤ 1

b na pewno nie występuje na liście, bo od każdej liczby naliście różni się co najmniej cyfrą leżącą na przekątnej.

sprzecznośćsprzeczność


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

35

Zbiór wszystkich zbiorówOznaczmy przez P(A) zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A.

Twierdzenie:Twierdzenie: PP(A) i A nie są równoliczne.(A) i A nie są równoliczne.

Dowód (Nie wprost)Przypuśćmy, że A i P(A) są równoliczne.

Niech f: A → P(A) będzie surjekcją. Oznaczmy f(a) = Aa.

Niech B będzie podzbiorem tych elementów x należącychdo A, że x ∉ Ax. Wtedy B jest podzbiorem A, zatem istniejeb, takie, że B = Ab.

Ale wtedy: jeżeli b ∈ B, to z definicji b ∉ Ab, więc b ∉ B

jeżeli b ∉ B, to z definicji b ∈ Ab, więc b ∈ B

sprzecznośćsprzeczność


Teo

rety

czne

pod

staw

y in

form

atyk

i

36

Zadanie domowe

W pewnej wsi mieszka fryzjer, który goliwszystkich i tylko tych mieszkańców wsi,którzy nie golą się sami.

Czy ten fryzjer się goli?

Matematyka II - Organizacja zajęć+3 5. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne...

Documents

Transcript of Matematyka II - Organizacja zajęć+3 5. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP Teoretyczne...