Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin...

Matematyka a sztukiplastyczne

Wrocław, 2 czerwca 2010

Matematyka a sztuki plastyczne

Martin Gardner

11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, którymimo braku wykształcenia matematycznego zrobił dlapopularyzacji tej nauki więcej, niz jakikolwiek zawodowymatematyk. Nazywał się Martin Gardner.

Nicolas Bourbaki

W 1935 roku grupa francuskich matematyków założyła przy EcoleNormale Superiere „Stowarzyszenie Nicolasa Bourbakiego” i zaczęlipublikować książki pod tym pseudonimem.

Początkowo byli to: Claude Chevalley, Jean Coulomb, JeanDelsarte, Jean Dieudonne, Charles Ehresmann, Rene de Possel,Szolem Mandelbrojt i Andre Weil. W późniejszym okresie dołączylido nich Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, AlexanderGrothendieck, Samuel Eilenberg, Serge Lang i Roger Godement.

Nicolas Bourbaki

Opublikowali osiem tomów Elements de mathematique.

Wszystko od aksjomatów i w największej możliwej ogólności.Ponieważ wielu z nich to naprawdę wielcy matematycy, udało imsię wywrzeć wielki wpływ na podejście do matematyki.

Jednakże jedyna ich książka, którą da się czytać ze zrozumieniem,to Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej.

W roku 1970 na kolejnym ICM w Nicei Jean Dieudonne rzucił wtrakcie swego referatu hasło Precz z Euklidesem!

Ich wpływ na szkolnictwo to czyste szkodnictwo (porównaj artykułW.I. Arnolda w „Wiadomościach matematycznych” 37 (2001)).

Człowiek, który ocalił geometrię

Żył w latach 1907 – 2003. Studiował w Cambridge, potemwiększość życia spędził na Toronto (Kanada). Był jednym zwielkich geometrów XX wieku.

Robert Moody, proponując nadanie temu geometrze doktoratuhonoris causa przez York University w Toronto, powiedział:

Modern science is often driven by fads and fashions, andmathematics is no exception. His style, I would say, is singularlyunfashionable. He is guided, I think, almost completely by aprofound sense of what is beautiful.

Człowiek, który ocalił geometrię

Tym geometrą był Harold Scott MacDonald Coxeter.

Właściwie MacDonald Scott Coxeter.

HSM Coxeter

Coxeter zajmował się wielościanami, teorią grup dyskretnych,kombinatoryką i geometrią nieeuklidesową.

Napisał 12 książek, na polski przetłumaczono „Wstęp do geometriidawnej i nowej”. Gorąco zachęcam do czytania (lub choćbyprzeglądania) w dowolnym miejscu, w którym się ta książkaotworzy.

Do Coxetera jeszcze wrócimy.

Scientific American

Z Wikipedii:

Najstarszy amerykański miesięcznik popularnonaukowy wydawanyod 28 sierpnia 1845 roku. Jego celem jest propagowanienajnowszych osiągnięć technicznych i naukowych poza wąskieśrodowisko naukowców i popularyzacja nauki wśród szerokiejpubliczności.

Szczególną popularność wśród czytelników zyskała rubrykaMathematical Games prowadzona przez Martina Gardnera.

Martin Gardner

Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanieOklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma.Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się wmatematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką,literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią ireligią. W latach 1956-1981 był autorem działu MathematicalGames w miesięczniku Scientific American.Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in.

Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya

tangram

parkietaż Rogera Penrose’a

kryptografia z kluczem publicznych (RSA)

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Martin Gardner

tangram

fraktale

polyomino

Kontynuacje działu Mathematical Games

Po Gardnerze rubrykę, jako Metamagical Themas przejął DouglasHofstadter (autor książki Godel, Escher, Bach).

MATHEMATICAL GAMESMETAMAGICAL THEMAS

http://ocw.mit.edu/high-school/courses/godel-escher-bach/http://bib.tiera.ru/ i wyszukiwarka: hofst, plik djvu

Kontynuacje działu Mathematical Games

Po nim rubrykę Mathematical Recreations, zakończoną w 2001roku, prowadził Ian Stewart.

W numerze z września 1999 Ian Stewart pisze o Sztuceeleganckiego układania kafelków. I tym się teraz zajmiemy.

Ile jest rodzajów tapet?

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

potencjalnie nieskończenie wiele

nie zadowalają matematyka

Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:

Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?

„Istotnie” to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę inaturę elementów.

Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczyposzczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jestich moc.

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

Odpowiedzi:

dowolnie dużo

W gruncie rzeczy każda tapeta (lub wzorzysty materiał) jest opartana pewnej kracie. Wynika to ze sposobu produkcji (wałki drukująwzory na beli tapety lub materiału).

Taka krata to w zasadzie płaski kryształ.

Krata na ścianie łazienki

Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica.

Jak ona powstaje?

Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).

Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?

Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitąwielokrotność boku (translacja pionowa).

Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitąwielokrotność boku (translacja pozioma).

Jakie symetrie ma taka krata?

Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale wdwóch kierunkach nieprostopadłych?

Jak ona powstaje?

Symetrie kraty łazienkowej

W gruncie rzeczy taki „wzór kafelkowy” jest jednoznacznieokreślony przez

a) kształt kafelka

b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)

c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.

Dla kraty łazienkowej tymi punktami są ...

Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, alew dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy ...

Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotnedo translacji też jest translacją.

Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznaczasię ją p1. Składa się ona z elementów XmY n, m, n ∈ Z.

a) kształt kafelka

Weźmy np. cyfrę 6, ułóżmy na płaszczyźnie i zastosujmy do niejwspomnianą grupę przekształceń, generowaną przez translacje:przesunięcie w prawo o odległość d i w górę pod kątem 45◦ oodległość d

√22 . Otrzymamy poniższy wzorek:

Obszar fundamentalny

Połączmy sąsiednie punkty sieci odcinkami. Otrzymamyrównoległobok o wierzchołkach (w oznaczeniach grupy)1, X , Y , XY . Jest to obszar fundamentalny, bo istniejewzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy płytkami tegoparkietażu i przekształceniami grupy o tej własności, że każdeprzekształcenia przeprowadza dowolny punkt takiej płytki na punkttak samo usytuowany w nowej płytce.

Inne obszary fundamentalne

Sąsiednie punkty sieci można łączyć nie tylko odcinkami, tzn.obszar fundamentalny nie musi być równoległobokiem. Musi miećjednak takie samo pole, jak równoległobok fundamentalny(dlaczego?).

Czy tylko figury „szkolne”?

Elementami tworzącymi wzór mogą być bardzo różne figury.

Najciekawsze są takie figury, które (podobnie jak kwadraty)pokrywają całą płaszczyznę, przy czym nie zachodzą na siebie.Takie pokrycie płaszczyzny wielokątami nazwiemy parkietażem.

Ale to nie muszą być wielokąty! I tu wkracza sztuka.

Parkietaże foremne

Parkietaż jest foremny, gdy wszystkie tworzące go wielokąty sąprzystającymi wielokątami foremnymi.

Istnieją tylko 3 takie parkietaże:

Dowód

Każdy parkietaż ma swój symbol Schlafliego {p, q}: w wierzchołuschodzi się p wielokątów o q bokach.

Kąt wewnętrzny p-kąta foremnego ma miarę(1− 2p )π, jesli qtakich kątów schodzi sie w wierzchołku a wielokąty mają wypełniaćcałą płaszczyznę, to(1− 2p

)π =2πq, skąd

1p+1q=12czyli (p − 2)(q − 2) = 4.

To równanie ma tylko 3 rozwiązania w liczbach naturalnych: 4 · 1,2 · 2, oraz 1 · 4, a one dają opisane parkietaże.

Grupy symetrii dwuwymiarowej

Istnieje 17 grup symetrii krystalografii dwuwymiarowej.

Opisał je wszystkie rosyjski krystalograf J. S. Fiedorow w 1891roku, a potem G. Polya i P. Niggli w 1924.

Podobno w egipskich świątyniach użyto 16, a w pałacu Alhambramożna znaleźć wszystkie 17 (wg mahometan II przykazaniezabrania przedstawień nawet ludzi, stąd wzory abstrakcyjne).

Alhambra

ICM 1954

W roku 1954 ICM odbył się w Amsterdamie. Z tej okazjizorganizowano wystawę prac holenderskiego grafika MauritsaCornelisa Eschera. Poniżej praca Dzień i noc.

M. C. Escher 1898–1972

Wykonał 448 prac (litografie, drzeworyty itp.)

http://www.mcescher.com/

M. C. Escher 1898–1972

http://www.mcescher.com/

Dwie przecinające się płaszczyzny (1952)

Escher i Coxeter

W roku 1957 ukazał się artykuł Coxetera Crystal Symmetry and ItsGeneralizations (Trans. Royal Soc. Canada 51(1), 1957). Coxeterposłał Escherowi książeczkę A Symposium on Symmetry, gdziezamieszczono dwie prace Eschera. Jednak to nie ich opublikowaniewstrząsnęło Escherem, a jeden z rysunków we wspomnianej pracyCoxetera.

Escher i Coxeter

W roku 1958 Escher napisał w liście do Coxetera:„Mimo że tekst Pańskiej pracy okazał się o wiele za trudny dlaprostego samouka, który tylko nauczył się pokrywać płaszczynęwzorami, kilka ilustracji, a zwłaszcza jedna, wstrząsnęły mną.

Od kilku lat interesują mnie wzory z malejącymi motywami,których rozmiary ciągle maleją wraz ze zbliżaniem się motywów dogranicy. To zadanie jest łatwe, gdy granicą jest punkt w centrumwzoru. Nieobca jest mi również granica, która jest linią prostą, alenigdy nie byłem w stanie wykonać wzoru, w którym malałyby wrazze zbliżaniem się do okręgu, tak, jak to jest na Pańskim rysunku.Próbowałem zrozumieć, jak skonstruowany jest Pana wzór, alezdołałem tylko znaleźć środki i promienie największych okręgów.[...] Czy istnieją inne sposoby zbliżania się do granicznego okręgu?[...] Mimo mej niewiedzy, użyłem Pańskiego modelu w dużymdrzeworycie (wykonawszy tylko wycinek 120◦, odbiłem gotrzykrotnie). Przesyłam Panu kopię.”

Circle limit I

Escher i Coxeter

Odpowiadając na list Eschera, Coxeter napisał, że płaszczyznęeuklidesową można pokryć białymi i czarnymi trójkątami na trzytylko sposoby:

jeśli kąty każdego trójkąta z danego parkietażu płaszczyzny mająmiary πp ,

πq ,πr i w jednym wierzchołku spotyka się p białych i p

czarnych trójkatów, w innym q białych i q czarnych, a w trzecim ri r , to grupę symetrii takiego parkietażu oznacza się symbolem(p, q, r), bo generowana jest ona przez obroty o okresach p, q orazr . A ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa π, więc

1p+1q+1r= 1,

stąd jedynymi trzema sposobami są: (3, 3, 3), (4, 4, 2) oraz(6, 3, 2).

Escher i Coxeter

Jeśli rozważamy geometrię na sferze, to rolę prostych odgrywająkoła wielkie (przecięcia sfery płaszczyznami, przechodzącymi przezjej środek). Wtedy suma kątów trójkąta (tzn. takiej figury nasferze, której bokami są spójne fragmenty kół wielkich) musi byćwiększa od π, więc wszystkie grupy symetrii określa nierówność

1p+1q+1r> 1,

której rozwiązaniami są trójki liczb (p, 2, 2), (3, 3, 2), (4, 3, 2) oraz(5, 3, 2).

Escher i Coxeter

Natomiast w geometrii hiperbolicznej suma kątów trójkąta jestzawsze mniejsza od π, więc możliwości jest nieskończenie wiele,albowiem nierówność

1p+1q+1r< 1

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnychwiększych niż 2.

W liście do syna Escher napisał: „nie zrozumiałem z tego anisłowa...”.

Model Poincarego

H. Poincare zaproponował następujący model płaszczynyhiperbolicznej:

Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bezbrzegu.

Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.

Izometriami są:

symetrie względem średnic,

obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.

Model Poincarego

Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu D.

Uwaga: okręgi są ortogonalne ⇐⇒ promienie w punktachprzecięcia okręgów tworzą kąt prosty.

Izometriami są:

Model Poincarego

Izometriami są:

Model Poincarego

Izometriami są:

Model Poincarego

Izometriami są:

Model Poincarego

Izometriami są:

obroty względem środka D,

inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,złożenia powyższych przekształceń.

Model Poincarego

Izometriami są:

obroty względem środka D,inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,

złożenia powyższych przekształceń.

Model Poincarego

Izometriami są:

Model Poincarego

Model Poincarego jest konforemny, tzn. odległości euklidesowe sązniekształcone, ale kąty euklidesowe są zachowane.

Przykład nieeuklidesowości: przez dany punkt przechodzi wieleprostych nieprzecinających danej (czyli równoległych do danej).

Co to jest ekwidystanta danej prostej na płaszczyźnieeuklidesowej, a co na hiperbolicznej?

Trójkąty i czworokąty w modelu Poincarego

Trójkąt to figura, której trzema bokami są fragmenty prostych(łuków okręgów ortogonalnych lub średnic).

Trójkąt asymptotyczny ma sumę kątów wewnętrznych równą zero!

Ma też skończone pole, mimo że jego boki są nieskończonejdługości!

W to twierdzenie nie potrafił uwierzyć Charles Dodgson i twierdził,że geometria hiperboliczna jest absurdem.

A jak wygląda czworokąt?

Rysunek Coxetera

Niedoskonałości Circle limit I

Escher pisze w liście do Coxete-ra: Będąc pierwszą próbą, Circ-le Limit I zawiera wiele niedo-skonałości: nie dość, że kształ-ty ryb, będąc wielokątnymi abs-trakcjami, pozostawiają wieledo życzenia, to na dodatek ichustawienie jest złe. Nie ma aniciągłości przepływu, ani jedno-rodności koloru w każdym rzę-dzie.”

Circle limit III

Od tych niedoskonałości wolny jest Circle limit III z roku 1959.

Circle limit III

W Hadze w roku 1968 odbyła się retrospektywa twórczościEschera. Do katalogu tej wystawy esej opisujący matematyczneaspekty w twórczości Eschera napisał oczywiscie H.S.M. Coxeter.Znalazło się w nim zdanie:

Moim zdaniem, drzeworyt byłby jeszcze piękniejszy bez tychbiałych łuków, które w sposób sztuczny dzielą każdą rybę na dwienierówne części i nie mają matematycznego znaczenia.

Kiedy po trzech latach esej wszedł w skład książki The World ofM.C. Escher, Coxeter usunął ostatnie 5 słów.

Circle limit III: doskonałość artysty

Escher nie dożył niestety czasu, w którym ukazały się dwiematematyczne prace Coxetera poświęcone dziełu Circle limit III.

W jednej z nich Coxeter, stosując rachunki za pomocątrygonometrii hiperbolicznej dochodzi do wniosku, że te białe linieto nie proste, ale ich ekwidystanty i dochodza do brzegu dysku podkątem niemal równym 80◦. Po zmierzeniu kątów na rysunkuokazało się, że tak jest w rzeczywistości, mimo że Escher myślał, iżsą prostopadłe.

W drugiej pracy, z roku 1964, Coxeter opisał „tessellations”(parkietaże) płaszczyzny hiperbolicznej i okazało się, że Escher 6lat przed nim odkrył i umieścił w Circle limit III parkietaż typu(3, 8), [6(8, 8)], (8, 3).

Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin...

Documents

Transcript of Matematyka a sztuki plastyczneprac.im.pwr.edu.pl/~zak/Matematyka_a_plastyka_beamer.pdf · Martin...