M. Heller, Geneza prawdopodobieństwa

8/3/2019 M. Heller, Geneza prawdopodobiestwa

1/14

ARTYKUYZ F

NXXXVIII / 2006, s. 6175

Micha HELLER

Wydzia Filozoficzny PAT

Krakw

GENEZA PRAWDOPODOBIESTWA

1. PRAWDOPODOBIESTWO W YCIU I FIZYCE

KLASYCZNEJ

Istnieje w nas gboko zakorzeniony instynkt, ktry kae nam trak-towa czsto zachodzce zdarzenia za niewymagajce uzasadnienia.

To, co si zdarza rzadko, trzeba jako uzasadni; to, co si zdarza

czsto, jest normalne. Gdy chcemy to przekonanie uzasadni bar-

dziej naukowo, mwimy, e to, co si zdarza czsto, jest wysoce

prawdopodobne. Powoujemy si wic na rachunek prawdopodobie-

stwa. Wysoki stopie prawdopodobiestwa jest dla nas wystarczaj-

cym uzasadnieniem. To, co zdarza si rzadko, jestemy skonni na-

zywa przypadkiem. Tak rozumiane przypadki zaburzaj naturalny

bieg wiata: jeeli nie zyskuj specjalnego wyjanienia, pozostaj in-

truzami w cigu wydarze. W ten sposb rachunek prawdopodo-

biestwa staje si teori wiata. Zwykle matematyk stosujemy do

wiata za porednictwem teorii fizycznych, natomiast rachunek praw-

dopodobiestwa, a wic teoria czysto matematyczna, wyjania co, cozachodzi w wiecie, a zatem niejako przejmuje zadanie fizyki.

Jest to jednak tylko pozr. W rzeczywistoci matematyk, chcc

zastosowa rachunek prawdopodobiestwa do wiata (np. do wyja-

nienia rzutw kostk), najpierw konstruuje model probabilistyczny

UWAGA: Tekst zosta zrekonstruowany przy pomocy rodkw automatycz-nych; moliwe s wic pewne bdy, ktrych sygnalizacja jest mile widziana

([email protected]). Tekst elektroniczny posiada odrbn numeracj stron.


2/14

2 M HELLER

sytuacji, ktr chce matematycznie modelowa. Definiuje wic prze-

strze probabilistyczn, ktra reprezentuje og moliwych wynikw

i na tej przestrzeni okrela tzw. funkcj rozkadu prawdopodobiestwa,

ktra mwi, jak czsto w przestrzeni probabilistycznej pojawiaj si

rne zdarzenia przy wielokrotnym powtarzaniu dowiadczenia. Obiete definicje musz by tak dobrane, aeby opisyway modelowan

sytuacj zgodnie z intuicj i oczywicie tak aeby byy spenione

aksjomaty wymagane przez rachunek prawdopodobiestwa. Trafno

caej konstrukcji potwierdza lub falsyfikuje zgodno otrzymywanych

teoretycznie przewidywa z rzeczywicie przeprowadzanymi dowiad-

czeniami. Rachunku prawdopodobiestwa nie stosuje si wic bezpo-

rednio do wiata, lecz za porednictwem modelu probabilistycznego.

Ten ostatni odgrywa rol teorii fizycznej, ale jest to teoria tak prosta,

e najczciej konstruuje j sam matematyk, nie korzystajc z pomocy

fizyka. Fakt ten, poczony z ogromn skutecznoci modeli proba-

bilistycznych, wydaje si by jeszcze jednym argumentem na rzecz

przewiadczenia o swojego rodzaju naturalnoci rachunku prawdopo-

dobiestwa.

Przewiadczenie to jest w nas tak gboko zakorzenione, e

znowu niemal instynktownie sdzimy, i pewne zdarzenia uzna- jemy za przypadkowe, poniewa brak nam penej informacji na ich

temat. Gdybymy tak informacj posiadali, znalibymy wszystkie

warunki ich zachodzenia lub niezachodzenia, zniknby element przy-

padkowoci, bieg wiata wrciby do normalnoci. Rodzi to po-

czucie niepewnoci, ktre z psychologicznego punktu widzenia

wrcz utosamiamy z pojciem prawdopodobiestwa. Fakt ten znaj-

duje swj wyraz w do licznych komentarzach matematykw. Na

przykad w rozdziale wstpnym do pewnego podrcznika rachunkuprawdopodobiestwa czytamy: W ramach tej teorii wynikowi x A

przypisuje si liczb zwan prawdopodobiestwem, bdc miar

niepewnoci zwizanej z tym wynikiem1. Nie bez wpywu na tego

rodzaju przekonanie pozostaje geneza rachunku prawdopodobiestwa,

1A. Pacut, Prawdopodobiestwo Teoria Modelowanie probabilistyczne

w technice, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, Warszawa 1985, s. 20.


3/14

GENEZA PRAWDOPODOBIESTWA 3

ktry jak wiadomo narodzi si ze spekulacji dotyczcych gier

hazardowych.

Brak wiedzy o danym ukadzie moe by spowodowany jego

wielk zoonoci. Na przykad ukad moe skada si z tak wiel-

kiej liczby elementw, e ledzenie kadego z nich z osobna byobyrzecz niemoliw. W takich przypadkach do opisu ukadu stosujemy

statystyk, czyli metody analizy oparte na rachunku prawdopodobie-

stwa. Dlatego te z chwil gdy zaczto stosowa zasady mechaniki

klasycznej do cia (lub ukadw cia) skadajcych si z ogromnej

liczby czstek (atomw lub moleku), metody statystyczne okazay si

niezbdne. Jako przykad rozpatrzmy szklank wody2. Jelibymy

w jaki sposb oznaczyli wszystkie czsteczki (molekuy) wody, znaj-

dujce si w szklance, rwnomiernie zmieszali t wod z wod wszyst-

kich oceanw na kuli ziemskiej, a nastpnie ponownie zaczerpnli

wod z ktrego z oceanw do szklanki, okazaoby si, e w szklance

znajduje si okoo stu oznaczonych uprzednio czstek wody. Wynika

std, e liczba czstek wody w szklance jest ok. sto razy wiksza

ni liczba szklanek wody we wszystkich oceanach. Chcc ledzi

ruch czstek w szklance wody, musimy stosowa metody statystyczne.

W ten sposb narodzia si mechanika statystyczna.Nic wic dziwnego, e w mechanice klasycznej najbardziej roz-

powszechnione jest tzw. epistemiczne rozumienie prawdopodobie-

stwa. W takim rozumieniu prawdopodobiestwo jest miar wiedzy

idealnego obserwatora o danym systemie. Ograniczenie si do ide-

alnego obserwatora ma zwrci uwag na fakt, e w fizyce chodzi

o tzw. wiedz intersubiektywn, ktra nie zaley od indywidualnego

wyksztacenia i zdolnoci obserwatora3. Mona zatem powiedzie, ze

zarwno w yciu codziennym, jak i w fizyce klasycznej posugiwaniesi rachunkiem prawdopodobiestwa i statystyk jest w pewnym sensie

zem koniecznym. Tam, gdzie nie jestemy w stanie posugiwa si

2Przykad ten pochodzi od Kelvina; przytaczam za: A.I. Anselm, Podstawy fizyki

statystycznej i termodynamiki, PWN, Warszawa 1980, s. 12.3Por. Ch. J. Isham, Lectures on Quantum Theory Mathematical and Structural

Foundations, Imperial College Press London, World Scientific Singapore, 1995,

s. 131.


4/14

4 M HELLER

metodami dokadnymi, musimy odwoywa si do probabilistyki,

ale podstawowa teoria wiata nie moe by oparta na prawdopodo-

biestwie. Przynajmniej tak wierzono przed powstaniem mechaniki

kwantowej.

2. PRAWDOPODOBIESTWO W FIZYCE KWANTOWEJ

Wraz z pojawieniem si mechaniki kwantowej sytuacja ulega dra-

stycznej zmianie. Jeeli pomin interpretacj mechaniki kwantowej

odwoujc si do tzw. ukrytych parametrw4 , to teoria ta domaga

si przemylenia problemu prawdopodobiestwa od podstaw. Swoist

ucieczk od tej koniecznoci jest stanowisko pragmatyczne. Zwolen-

nicy tego stanowiska odwouj si do faktu, e mechanika kwantowa

z wielk dokadnoci przewiduje wzgldn czsto wynikw po-

miarw wykonywanych odpowiednio du liczb razy na tak samo

przygotowanych ukadach. Tym musimy si zadowoli; mechanika

kwantowa po prostu nie mwi nic na temat indywidualnych obiek-

tw. Jest ona zbiorem przepisw do otrzymywania trafnych wyni-

kw, ale nie daje wgldu do rzeczywistoci. Istotnymi elementami

w mechanice kwantowej s te wasnoci, ktre daje si obserwowa(mierzy) czyli obserwable (stanowisko takie zwane jest rwnie in-

strumentalizmem). John Bell, chcc ukaza kontrast fizyki klasycznej

z fizyk kwantow, mawia, e o ile ta pierwsza dotyczya byciabli

(beables), czyli tego co jest, o tyle ta druga zadowala si obserwa-

blami, czyli tym, co daje si obserwowa5. Instrumentalizm czsto

prowadzi do bardziej radykalnych pogldw utrzymujcych, e w me-

4W niniejszej pracy interpretacj t cakowicie pomijam. Objcie jej dyskusj

domagaoby si odrbnego studium. O interpretacji ukrytych parametrw (w ujciu

jej zwolennika) mona przeczyta w: J.T. Cushing, Quantum Mechanics: Historical

Contingency and the Copenhagen Hegemony, The University of Chicago Press, Chi-

cago, 1994, lub (w ujciu jej przeciwnika): B. dEspagnat, Conceptual Foundations

of Quantum Mechanics, wyd. 2., AddisonWesley, Redwood City Reading

New York, 1976.5J.S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge Uni-

versity Press, Cambridge, 1993.


5/14


chanice kwantowej bd nie ma sensu mwi o indywiduach posia-

dajcych takie czy inne cechy, bd e indywidua takie po prostu nie

istniej. W tym ostatnim przypadku mamy do czynienia z wyranie

ontologicznym stanowiskiem. Pociga ono za sob rwnie ontolo-

giczne rozumienie prawdopodobiestwa goszce, e sama rzeczywi-sto ma cechy probabilistyczne. W tym duchu proponowano rozmaite

koncepcje. Ju w r. 1949 Henry Margenau twierdzi, e prawdopodo-

biestwa w mechanice kwantowej odnosz si do pewnych ukrytych

wasnoci, ktre, cho istniej obiektywnie, ujawniaj si z pew-

nym prawdopodobiestwem6 . Pniej autor ten mwi o polu praw-

dopodobiestwa, ktre jest tak samo rzeczywiste jak rzeczywistymi

s trajektorie cia w fizyce klasycznej; co wicej, jest ono wielkoci

pierwotn, nieredukowaln do adnej innej wielkoci7 . Werner He-

isenberg prawdopodobiestwa w mechanice kwantowej interpretowa

w duchu arystotelesowskiej potencjalnoci8 , a interpretacj t znacz-

nie potem rozbudowa Czesaw Biaobrzeski9 . Znana jest rwnie

propozycja Poppera, by prawdopodobiestwo rozumie jako pewnego

rodzaju obiektywn skonno (propensity) i odpowiednio do tego ro-

zumienia interpretowa mechanik kwantow10. Zupenie jednak nie-

zalenie od tego rodzaju doktryn filozoficznych wrd fizykw utrwalasi przekonanie, e stosowanie metod probabilistycznych do fizyki nie

jest wynikiem naszej nieznajomoci pewnych parametrw lub jakie-

go nadzwyczajnego skomplikowania badanych ukadw, lecz tego, e

wiat w swoich najgbszych warstwach jest probabilistyczny. Prze-

konanie to wytworzyy i utrwaliy wielkie sukcesy fizyki kwantowej

(a trzeba doda, e wszystkie one zostay osignite przy pomocy stan-

6H. Margenau, Reality in Quantum Mechanics, Phil. Science 16, 1949, 287

302.7Tene, Il Miracolo della Esistenza, Amando, Roma 1987, ss. 109110.8W. Heisenberg, Philosophic Problems of Nuclear Science, Pantheon, New York

1952.9Cz. Biaobrzeski, Podstawy poznawcze fizyki wiata atomowego, PWN, War-

szawa 1984 (pierwsze wydanie w r. 1956).10K.R. Popper, Quantum Theory and the Schism in Physics, Hutchinson, London

1956.


6/14

6 M HELLER

dardowych metod opartych na prawdopodobiestwie, a nie metodami

rachunkowymi proponowanymi przez zwolennikw interpretacji ukry-

tych parametrw) oraz fakt, e wszelkie liczce si prby poszukiwa-

nia teorii ostatecznej zakadaj podejcie probabilistyczne. Poszu-

kujc takiej teorii, najczciej po prostu rozciga si (lub uoglnia)na nowe obszary badawcze metody stosowane w zwykej mechanice

kwantowej, a te s probabilistyczne. Poniewa tego rodzaju postpo-

wanie, milczco przypisujce wiatu wasnoci zwizane z pojciem

prawdopodobiestwa, na og nie wynika ono z jakich gbokich

przemyle, lecz raczej z praktyki naukowej, ktra po prostu kae

widzie wiat probabilistycznie.

Jest to drastyczna zmiana w rozumieniu prawdopodobiestwa

i jego zastosowania do rozumienia wiata.

3. GEOMETRIA, ALGEBRA I FIZYKA

Wielkim przeomem w rozwoju matematyki byo odkrycie przez

Kartezjusza geometrii analitycznej. Polegao ono na spostrzeeniu,

e kadej krzywej w przestrzeni odpowiada pewne rwnanie alge-

braiczne. Wprawdzie rwnania s mniej pogldowe ni krzywe, alerwnaniami atwiej jest operowa ni krzywymi: zawie manipulo-

wanie krzywymi sprowadza si do stosunkowo prostego wykonywa-

nia rachunkw. Metoda Kartezjusza do tego stopnia zadomowia si

w geometrii, e z czasem zaczto j uwaa po prostu za metod

geometryczn.

Dostojn, greck geometri (nawet wzbogacon metodami Karte-

zjusza) jestemy skonni uznawa za nauk o niezmiennych cechach

przestrzeni. Ale przecie w przestrzeni moe odbywa si ruch (mogporusza si ciaa); czy ruch ten da si opisa geometrycznie? Jak

wiadomo, Newton i Leibniz wynaleli rachunek rniczkowy wanie

po to, by zmatematyzowa zjawisko ruchu. I tym razem geometria

okazaa si zaborcza: poczenie geometrii z rachunkiem rniczko-

wym stworzyo geometri rniczkow i umoliwio matematyczny

opis ruchu. W XX wieku, gwnie dziki szczeglnej i oglnej teo-


7/14


rii wzgldnoci, geometria rniczkowa staa si jednym z gwnych

narzdzi fizyki teoretycznej. Odpowiednikiem intuicyjnego pojcia

przestrzenni w geometrii rniczkowej jest pojcie rozmaitoci r-

niczkowej (lub krtko rozmaitoci). Mona nawet powiedzie, e geo-

metria rniczkowa to po prostu teoria rozmaitoci rniczkowych.Najbardziej typowe metody rachunkowe na rozmaitoci posu-

guj si metod Kartezjusza: wykorzystujc wsprzdne, krzywe na

rozmaitoci (i inne obiekty geometryczne) zastpuje si rwnaniami

i wszelkie obliczenia przeprowadza si przy pomocy tych rwna. I tu

jeszcze raz powtrzya si rewolucja kartezjaska: okazuje si, e

tak rozumian geometri mona zalgebraizowa w jeszcze wikszym

stopniu ni dotychczas przypuszczano.

Trzeba jednak uwiadomi sobie, e tymczasem sama algebra ule-

ga daleko idcej ewolucji, a metody algebraiczne zawojoway wielkie

obszary nowoczesnej matematyki. Intuicyjnie i oglnikowo mona

powiedzie, e algebra jest nauk o bardzo oglnych strukturach mate-

matycznych, a technicznie przez algebr rozumie si zbir dowolnych

elementw, ktre mona: (1) dodawa do siebie, (2) mnoy przez sie-

bie i (3) mnoy przez liczby (rzeczywiste lub zespolone); przy czym

wszystkie te dziaania musz spenia bardzo naturalne aksjomaty11

.Na przykad rodzina wszystkich gadkich funkcji12 na rozmaitoci jest

algebr, poniewa funkcje nalece do tej rodziny mona dodawa

do siebie, mnoy przez siebie i mnoy przez liczby. Spenione s

take wszystkie wymagane aksjomaty. W procesie, ktry nas teraz

interesuje, wan rol odegraa praca L. Koszula13, w ktrej matema-

tyk ten pokaza, e chcc rozwija geometri na rozmaitoci, mona

11Aksjomaty te wyraaj wasnoci dodawania i mnoenia bardzo podobne do

wasnoci, jakie maj dodawanie i mnoenie liczb rzeczywistych. Godn zalecenia

ksik, wprowadzajc Czytelnika do metod wspczesnej algebry, jest: E. Fried,

O algebrze abstrakcyjnej (Biblioteka Problemw), PWN, Warszawa 1978. Definicja

algebry podana jest na s. 242 tej ksiki. Polecam rwnie: R. Lidl, Algebra dla

przyrodnikw i inynierw, PWN, Warszawa 1983. Definicja algebry na ss. 8485.12Tzn. rniczkowalnych dowolnie wiele razy.13L. Koszul, Fibre Bundles and Differential Geometry, Tata Institute of Fundamen-

tal Research, Bombay 1960.


8/14

8 M HELLER

w gruncie rzeczy zapomnie o rozmaitoci a operowa tylko alge-

br gadkich funkcji na niej. Kolejnym krokiem, wanym dla fizyki,

okazaa si praca R. Gerocha14, ktry wykorzystujc metod Koszula,

udowodni, e rwnie ogln teori wzgldnoci mona przedstawi

w jzyku algebraicznym.Ujcia geometrii rniczkowej w jzyku wsprzdnych i w j-

zyku algebry gadkich funkcji s rwnowane, ale to drugie ujcie

okazao si podatniejsze do kolejnych uoglnie. Mona na przykad

zamiast algebry gadkich funkcji na rozmaitoci rozwaa dowoln

algebr i zaoy, e ona rwnie opisuje jak przestrze. W zale-

noci od rozwaanej algebry przestrze ta moe by bardzo dziwna.

Szczeglnie wan pod tym wzgldem okazaa si jedna wasno

rozwaanych algebr. Algebry funkcyjne (tzn. takie algebry, ktrych

elementami s funkcje) maj wasno przemiennoci (s przemienne),

poniewa funkcja f razy funkcja g to dokadnie to samo, co funk-

cja g razy funkcja f15. Ale istniej algebry, ktre tej wasnoci nie

posiadaj; nazywamy je algebrami nieprzemiennymi. Ot okazuje

si, e przestrzenie okrelone przy pomocy algebr nieprzemiennych

(nazywamy je przestrzeniami nieprzemiennymi) bardzo rni si od

zwykych przestrzeni. S one w zasadzie tworami cakowicie global-nymi; to znaczy wszelkie pojcia, zwizane z zajmowaniem miejsca

s w nich bezsensowne. Na przykad pojcie punktu i jego otoczenia

w zasadzie nie pojawiaj si w kontekcie geometrii nieprzemien-

nej. Przestrze nieprzemienna jest wic daleko idcym uoglnieniem

zwykej przestrzeni. Jest rzecz zaskakujc, e bez pojcia punktu

(i innych poj lokalnych) w ogle mona uprawia jak geometri.

Okazuje si jednak, e mona; i to z duym powodzeniem.

Jest wielk zasug Alaina Connesa, e do geometrii nieprzemien-nej wprowadzi metody rniczkowe. Gwnie dziki jego pracom

powstaa nieprzemienna geometria rniczkowa16 i mogy rozwin

14R. Geroch, Einstein Algebras, Communications in Mathemayical Physics 26,

1972, 271275.15Przy zwykej definicji mnoenia funkcji.16Podstawow jego monografi jest ksika: Noncommutative Geometry, Academic

Press, London 1994.


9/14


si jej, ju liczne, zastosowania do fizyki17. W nieprzemiennej geo-

metrii rniczkowej wan rol odgrywa pewna klasa algebr, zwa-

nych Calgebrami (czytaj algebry C z gwiazdk). Pojawiy si one

w fundamentalnej pracy I.M. Gelfanda i M.A. Naimarka18 (ale jeszcze

nie nazwane) jako naturalne uoglnienie algebry funkcji cigych, alebez wymagania przemiennoci. Wkrtce teoria Calgebr znacznie

si rozwina i znalaza zastosowanie w rnych dziaach matematyki.

Warto zwrci uwag na fakt, e algebry funkcji gadkich (a wic

i cigych) na rozmaitociach s trywialnie Calgebrami.

I tu kolejny zwrot w dziejach poj i zwizkw pomidzy nimi.

Dziki szeregu pracom wielu fizykw, z ktrych zwieczajc bya

praca R. Haaga i D. Kastlera19, stao si jasnym, e mechanik kwan-

tow mona rwnie przedstawi w jzyku Calgebr. Co wicej uj-

cie to jest nie tylko bardziej eleganckie od tradycyjnego ujcia w j-

zyku przestrzeni Hilberta, ale take nieco bardziej oglne. Mona

je stosowa w takich sytuacjach, w ktrych tradycyjne ujcie zawo-

dzi. W algebraicznym ujciu mechaniki kwantowej wielkoci obser-

wowalne (tzw. obserwable) s elementami Calgebry, a niektre

zaskakujce wasnoci tej fizycznej teorii okazuj si by prostymi

nastpstwami nieprzemiennoci. Na przykad synne relacje nieozna-czonoci Heisenberga wynikaj z tego, e odpowiednie obserwable

(np. pooenia i pdu) mnoy si w sposb nieprzemienny.

Zwrmy uwag na trzy, pozornie rne wasnoci Calgebry:

mona przy jej pomocy zdefiniowa przestrze nieprzemienn

(prace Connesa),

mona w jej jzyku przedstawi ogln teori wzgldnoci

(praca Gerocha),

17Por. np.: J. Madore, An Introduction to Noncommutative Differential Geometry

and Its Physical Applications, 2 wyd., Cambridge University Press, Cambridge 1999.18I.M. Gelfand, M.A. Naimark, On the Embedding of Normed Rings into the

Ring of Operators in Hilbert Space, Matematiczeskij Sbornik, 12, 1943, 197213.19R. Haag, D. Kastler, An Algebraic Approach to Quantum Field Theory, Journal

of Mathematical Physics 5, 1964, 848861.


10/14

10 M HELLER

mona w jej jzyku przedstawi mechanik kwantow (praca

Haaga i Kastlera).

Wrcz narzuca si myl, by poszuka takiej Calgebry, ktra jed-

noczyaby w sobie ogln teori wzgldnoci i mechanik kwantow,rwnoczenie definiujc pewn przestrze nieprzemienn. Byoby to

geometryczne uoglnienie obu tych teorii, z ktrych tradycyjna teo-

ria wzgldnoci i tradycyjna mechanika kwantowa powinny wynika

jako szczeglne przypadki. Wraz z moimi wsppracownikami udao

si nam znale taki nieprzemienny model20. W nastpnym paragra-

fie posu si zasadnicz ide tego modelu, by ukaza jeszcze dalej

idc ewolucj poj i nieoczekiwanych zwizkw pomidzy nimi.

To, co chc przedstawi, w zasadzie nie zaley od tego, czy nasz mo-del okae si suszny, czy nie. Jeeli jego matematyczna struktura jest

niesprzeczna, to ukazuje ona poprawnie zwizki pomidzy pojciami,

jakie s w ni wbudowane. A w niniejszym studium chodzi mi przede

wszystkim o zwizki midzy pojciami.

4. DYNAMIKA I PRAWDOPODOBIESTWO

W naszym modelu zakadamy, e na poziomie fundamentalnym(poniej tzw. progu Plancka, ktry charakteryzuj rozmiary lPl =

1033cm) panuje reim nieprzemienny. Podstawow struktur ma-

tematyczn, modelujc ten reim, jest pewna nieprzemienna C

algebra (oznaczmy j przez A), ktra definiuje pewn nieprzemienn

przestrze i uoglnia (a take jednoczy) ogln teori wzgldnoci

i mechanik kwantow. Model nasz zapewnia rwnie mechanizm,

20Por.: M. Heller, Z. Odrzygd, L. Pysiak and W. Sasin, Noncommutative Uni-

fication of General Relativity and Quantum Mechanics. A Finite Model, General

Relativity and Gravitation 36, 2004, 111126; L. Pysiak, M. Heller, Z. Odrzygd

and W. Sasin, Observables in a Noncommutative Approach to the Unification of

Quanta and Gravity: A Finite Model, General Relativity and Gravitation 37, 2005,

541555; M. Heller, L. Pysiak and W. Sasin, Noncommutative Dynamics of Random

Operators, International Journal of Theoretical Physics 44, 2005, 619628; M. Hel-

ler, L. Pysiak and W. Sasin, Noncommutative Unification of General Relativity and

Quantum Mechanics, Mathematical Journal of Physics 46, 2005, 12250116.


11/14


ktry sprawia, e po przejciu przez prg Plancka algebra A staje si

przemienna, co reprodukuje ogln teori wzgldnoci i mechanik

kwantow w ich znanej obecnie postaci.

Geometria nieprzemienna, rzdzca reimem nieprzemiennym,

jest nielokalna, a wic nie dopuszcza istnienia czasu i przestrzeni w ichzwykym rozumieniu, tzn. jako zbioru chwil i punktw. Dziki temu

jednoczy ona wiele poj, ktre w reimie nieprzemiennym wyda-

way si by zupenie niezalene od siebie. Do takich poj nale

m.in. dynamika i prawdopodobiestwo. Przyjrzyjmy si temu nieco

dokadniej.

W geometrii nieprzemiennej nie ma punktw, ale sensowne po-

zostaje pojcie stanu ukadu. Stan bowiem jest pojciem globalnym:

cay ukad moe si znajdowa w tym lub innym stanie. Z kad C

algebr zwizana jest pewna inna algebra, zwana algebr von Neu-

manna21. Nieco rzecz upraszczajc, mona powiedzie, e algebra

von Neumanna jest tak Calgebr, ktra wyrnia pewien stan22.

Wyrnienie stanu przez algebr von Neumanna spenia rwnocze-

nie dwie funkcje:

Po pierwsze, sprawia, e gdy ukad znajduje si w tym wyr-

nionym stanie, mona w nim zdefiniowa pewien parametr t, ktryimituje czas. I posugujc si tym jakbyczasem, mona zdefiniowa

dynamik, tzn. napisa rwnania dynamiczne, okrelajce zachowanie

si ukadu23. W ten sposb nie uzyskujemy jednak czasu, lecz tylko

jakbyczas, poniewa ten jakbyczas (parametr t) jest cile zaleny

od stanu. Gdy ukad przechodzi do innego czasu, zmienia si rwnie

parametr t.

Po drugie, stan wyrniony przez algebr von Neumanna mona

interpretowa jako uoglnione prawdopodobiestwo. Nieco cilej:wyrniony stan odgrywa rol uoglnionej miary prawdopodobie-

21Powiadamy, e kada Calgebra generuje pewn algebr von Neumanna.22Por. J. Madore, dz. cyt., s. 155.23Technicznie: na mocy twierdzenia TomityTakesakiego mona zdefiniowa

jednoparametrow grup odwzorowa algebry von Neumanna w siebie; t jest para-

metrem tej jednoparametrowej grupy.


12/14

12 M HELLER

stwa24. Jest to niewtpliwie prawdopodobiestwo uoglnione w po-

rwnaniu do tego, z jakim mamy do czynienia w zwykym rachunku

prawdopodobiestwa: brak zindywidualizowanych punktw w rei-

mie nieprzemiennym powoduje, e nie moemy mwi o prawdopo-

dobiestwie poszczeglnych zdarze, a brak czasu w jego zwykymznaczeniu sprawia, e wykluczona jest niepewno oczekiwanego wy-

niku, jak zwykle wiemy z prawdopodobiestwem. Jeeli w ogle

moemy tu sobie co wyobraa, to nieprzemienne prawdopodobie-

stwo podobne jest raczej do jakiego pola globalnych moliwoci, ale

moliwoci, ktre ju maj jaki stopie urzeczywistnienia.

Nieprzemienny rachunek prawdopodobiestwa, zwany rw-

nie swobodnym (free) rachunkiem prawdopodobiestwa, stworzy

D.V. Voiculescu25. Rozwija si on jako samodzielna dyscyplina mate-

matyki, niekoniecznie w zwizku z geometri nieprzemienn26 . Swo-

bodny rachunek prawdopodobiestwa jest silnym uoglnieniem zwy-

kego rachunku prawdopodobiestwa. W przeciwiestwie do tego

ostatniego, istnieje w nim wiele rnych miar prawdopodobiestwa27 .

Mona wic powiedzie, e algebra von Neumanna jest rwnoczenie

obiektem dynamicznym i obiektem probabilistycznym. W reimie

nieprzemiennym kada dynamika jest probabilistyczna i kade praw-dopodobiestwo ma charakter dynamiczny. Oczywicie, po przejciu

przez prg Plancka, nastpuje separacja: dynamika i prawdopodo-

biestwo staj si niezalene od siebie. Jeszcze tylko w mechanice

kwantowej zachowuje si pewien zwizek dynamiki z prawdopodo-

biestwem, cho i on ulega pewnemu zamaniu, co przejawia si

w akcie pomiaru, podczas ktrego zachodzi tzw. redukcja wektora

falowego (zwana take kolapsem funkcji falowej). Zjawisko to polega

na tym, e w mechanice kwantowej przed dokonaniem pomiaru ewo-luuj prawdopodobiestwa: w kadej chwili czasu moliwe s rne

24A. Connes, dz. cyt., rozdz. 1.25Por.: D.V. Voiculescu, K.J. Dykema, A. Nica, Free Random Variables, American

Mathematical Society, Providence 1992.26Por.: Ph. Biane, Free Probability for Probabilists, 27W zwykym rachunku prawdopdobiestwa istnieje w zasadzie tylko jedna miara

prawdopodobiestwa (miara Lebesguea).


13/14


wyniku pomiaru, kady wynik z okrelonym prawdopodobiestwem.

W momencie pomiaru nastpuje redukcja tych moliwoci do jed-

nego konkretnego wyniku28 .

5. PRZESANIE FILOZOFICZNE

Jeeli nasz model lub jaki inny podobny do niego (tzn. zakada-

jcy, e poziom fundamentalny jest modelowany przez pewn nieprze-

mienn algebr von Neumanna) jest suszny, to mamy prawo twierdzi,

e prawdopodobiestwa wystpujce w mechanice kwantowej nie s

wynikiem naszej ignorancji (jakich ukrytych parametrw) lecz sta-

nowi podstawow wasno wiata. Na poziomie fundamentalnym

(poniej progu Plancka) wiat jest probabilistyczny w uoglnionym

sensie. W takiej sytuacji mielibymy wic do czynienia z ontolo-

giczn interpretacj nieprzemiennej miary probabilistycznej.

Analizy przeprowadzone w niniejszym studium pozwalaj take

sformuowa wnioski oglniejszej natury29. Kade pojcie ma swj

obszar stosowalnoci. Nawet pojcia, ktre dotychczas uwaalimy

za uniwersalne (tzn. obowizujce w caym fizycznym wiecie), takie

jak: przestrze skadajca si z punktw, czas, prawdopodobiestwo...,funkcjonuj poprawnie tylko w ograniczonych obszarach naszego do-

wiadczenia. Wychodzc poza ten obszar, musimy by wiadomi

koniecznoci odpowiedniego przystosowywania (na og uoglniania)

poj. Modele matematyczne dostarczaj do tego odpowiednich na-

rzdzi. Poza matematyk jestemy skazani na spekulacje. Nie jestem

przeciwko spekulacjom, ale trzeba zawsze zdawa sobie spraw z ich

wysoce hipotetycznego charakteru.

Nasze zwyke pojcia powstaway w rodowisku makroskopo-wym, a bardzo czsto przy pomocy tych poj usiujemy mierzy

wszystko, tzn. implicite rozcigamy je na ca rzeczywisto. Tymcza-

28Por.: R. Penrose, The Road to Reality, Jonathan Cape, London 2004, rozdzia

30.29Por. rwnie mj art.: Nieprzemienna unifikacja dynamiki i prawdopodobie-

stwa, Filozofia Nauki 12, 2004, 717.


14/14

14 M HELLER

sem, jak widzielimy, jest to zabieg co najmniej ryzykowny. Istniej

powane racje, by sdzi, e poziom fundamentalny jest radykalnie

odmienny od tego wszystkiego, co znamy z poziomu makroskopo-

wego. Rzeczywisto jest po prostu bogatsza od naszej intuicji. Nie

wida adnych powodw, dla ktrych struktura Wszechwiata miaabyby przykrojona do moliwoci naszego rozumu.

SUMMARY

THE ORIGIN OF PROBABILITY

After briefly reviewing classical and quantum aspects of probability, ba-

sic concepts of the noncommutative. calculus of probability (called also free

calculus of probability) and its possible application to model the fundamen-

tal level of physics are presented. It is shown that the pair (M, ), where

M is a (noncommutative) von Neumann algebra, and a state on it, is both

a dynamical object and a probabilistic object. In this way, dynamics and

probability can be unified in noncommutative geometry. Some philosophical

consequences of such an approach are indicated.

M. Heller, Geneza prawdopodobieństwa

Documents

Transcript of M. Heller, Geneza prawdopodobieństwa