Logika egzamin2004
1
Egzamin ze wst˛ epu do logiki, ZSI, 2003/2004. Zasady punktacji i wystawiania ocen s ˛ a nast˛ epuj ˛ ace: Z calo´ sci egzaminu mo˙ zna otrzymac nast˛ epuj ˛ ace oceny: bardzo dobr ˛ a, bardzo do- br ˛ a minus, dobr ˛ a plus, dobr ˛ a, dobr ˛ a minus, dostateczn ˛ a plus, dostateczn ˛ a lub niedostate- czn ˛ a. Za ka˙ zde zadanie mo˙ zna otrzymac maksymalnie jeden punkt (oceny wystawiane s˛ a z dokladno´ sci ˛ a do 0.1 punkta). Policzone zostan ˛ a trzy najlepiej rozwi ˛ azane zadania - czwartego nie b˛ edziemy bra ´ c pod uwag˛ e. Oceny wybranych przez studenta zada ´ n z kolokwium mog ˛ a zosta ´ c zadeklarowane do wykorzystania w zamian za analogiczne tematycznie zadania egzaminacyjne. Uzyskanie l ˛ acznie 3 punktów daje ocen˛ e dobr ˛ a plus, 2.8 punkta daje ocen˛ e do- br ˛ a, 2.5 punkta ocen˛ e dobr ˛ a minus, 2.1 punkta ocen˛ e dostateczn ˛ a plus oraz 1.7 punkta ocen˛ e dostateczn ˛ a. Na ˙ zyczenie studenta oceny te zostan ˛ a wpisane do indeksu. Ka˙ zd ˛ a ocen˛ e (tak˙ ze niedostateczn ˛ a) mo˙ zna b˛ edzie podnie ´ s´ c o maksymalnie trzy poziomy na ustnym egzaminie z teorii, który odb˛ edzie si˛ e w tygodniu zaczynaj ˛ acym si˛ e 5. kwiet- nia. Wyj ˛ atkowo osoby z ocen ˛ a niedostateczn ˛ a które z egzaminu pisemnego dostaly poni˙ zej 1 punkta b˛ ed ˛ a mogly podnie ´ s´ c swoj ˛ a ocen˛ e najwy˙ zej do dostatecznej plus. W wypadku niezadowalaj ˛ acych odpowiedzi ocena z egzaminu pisemnego mo˙ ze si˛ e ob- ni˙ zy´ c o maksymalnie jeden poziom. W poni˙ zszych zadaniach odpowiedzi nale˙ zy uzasadnia ´ c. Odpowied´ z bez uzasad- nienia nie liczy si˛ e w ogóle jako rozwi ˛ azanie. • Prosz˛ e rozstrzygn ˛ a´ c, czy nast˛ epuj ˛ ace zdanie jest tautologi ˛ a i czy jest spelnialne: ∀x(¬(R(x) ∧ S(x))) ↔∀x∀y((R(x) ∧ S(y)) → (x 6= y)). • Dany jest standardowy model arytmetyki N = hN, + N , * N , 0 N , 1 N i. Prosz˛ e napisa´ c formul˛ e ϕ(x) o nast˛ epuj ˛ acej wlasno´ sci: N | = ϕ[n] wtedy i tylko wtedy, gdy liczba n ma parzyst ˛ a liczb˛ e czynników w rozkladzie na iloczyn liczb pierwszych. Na przyklad 60 = 2 * 2 * 3 * 5 i 4=2 * 2 maj ˛ a parzyste liczby tych czynników, za´ s 5 i 8=2 * 2 * 2 maj ˛ a nieparzyste liczby czynników. • Dane s ˛ a dwie siedmioelementowe struktury relacyjne nad sygnatur ˛ a zlo˙ zon ˛ a z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Wszystkie kraw˛ edzie s ˛ a skierowane w obie strony, tzn. symetryczne. Struktury s ˛ a narysowane poni˙ zej: * oo // OO __ ? ? ? ? ? ? ? * OO // oo ?? * * oo // * * * * OO __ ? ? ? ? ? ? ? * * * oo // * * * Prosz˛ e poda´ c przez ile rund mo˙ ze si˛ e broni ´ c drugi gracz w grze Ehrenfeuchta– Fraïssé’go rozgrywanej na tych strukturach, je ´ sli gracz pierwszy gra optymalnie dla siebie. • Prosz˛ e wyprowadzi ´ c w systemie Gentzena sekwent ∀x∃y(R(x) ∨ S(y)) ‘ (∀xR(x)) ∨ (∃yS(y)). 1
description
egzamin z logiki
Transcript of Logika egzamin2004
Egzamin ze wstepu do logiki, ZSI, 2003/2004.
Zasady punktacji i wystawiania ocen sa nastepujace:Z całosci egzaminu mozna otrzymac nastepujace oceny: bardzo dobra, bardzo do-
bra minus, dobra plus, dobra, dobra minus, dostateczna plus, dostateczna lub niedostate-czna.
Za kazde zadanie mozna otrzymac maksymalnie jeden punkt (oceny wystawianesa z dokładnoscia do 0.1 punkta). Policzone zostana trzy najlepiej rozwiazane zadania- czwartego nie bedziemy brac pod uwage.
Oceny wybranych przez studenta zadan z kolokwium moga zostac zadeklarowanedo wykorzystania w zamian za analogiczne tematycznie zadania egzaminacyjne.
Uzyskanie łacznie 3 punktów daje ocene dobra plus, 2.8 punkta daje ocene do-bra, 2.5 punkta ocene dobra minus, 2.1 punkta ocene dostateczna plus oraz 1.7 punktaocene dostateczna. Na zyczenie studenta oceny te zostana wpisane do indeksu. Kazdaocene (takze niedostateczna) mozna bedzie podnie sc o maksymalnie trzy poziomy naustnym egzaminie z teorii, który odbedzie sie w tygodniu zaczynajacym sie 5. kwiet-nia. Wyjatkowo osoby z ocena niedostateczna które z egzaminu pisemnego dostałyponizej 1 punkta beda mogły podnie sc swoja ocene najwyzej do dostatecznej plus. Wwypadku niezadowalajacych odpowiedzi ocena z egzaminu pisemnego moze sie ob-nizyc o maksymalnie jeden poziom.
W ponizszych zadaniach odpowiedzi nalezy uzasadnia c. Odpowiedz bez uzasad-nienia nie liczy sie w ogóle jako rozwiazanie.
• Prosze rozstrzygnac, czy nastepujace zdanie jest tautologia i czy jest spełnialne:
∀x(¬(R(x) ∧ S(x))) ↔ ∀x∀y((R(x) ∧ S(y)) → (x 6= y)).
• Dany jest standardowy model arytmetyki N = 〈N, +N, ∗N, 0N, 1N〉. Prosze napisacformułe ϕ(x) o nastepujacej własnosci:
N |= ϕ[n] wtedy i tylko wtedy, gdy liczba n ma parzysta liczbe czynników wrozkładzie na iloczyn liczb pierwszych.
Na przykład 60 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 5 i 4 = 2 ∗ 2 maja parzyste liczby tych czynników,zas 5 i 8 = 2 ∗ 2 ∗ 2 maja nieparzyste liczby czynników.
• Dane sa dwie siedmioelementowe struktury relacyjne nad sygnatura złozonaz jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Wszystkie krawedzie saskierowane w obie strony, tzn. symetryczne. Struktury sa narysowane ponizej:
∗ oo //OO
��
__
��???
???? ∗OO
��
//oo ??
������
��� ∗
∗ oo //∗ ∗ ∗
∗OO
��
__
��???
???? ∗ ∗
∗ oo //∗ ∗ ∗
Prosze podac przez ile rund moze sie bronic drugi gracz w grze Ehrenfeuchta–Fraïssé’go rozgrywanej na tych strukturach, je sli gracz pierwszy gra optymalniedla siebie.
• Prosze wyprowadzic w systemie Gentzena sekwent
∀x∃y(R(x) ∨ S(y)) ` (∀xR(x)) ∨ (∃yS(y)).
1
