Logika i teoria mnogości

Logika i teoria mnogości

Oznaczenia:R - zbiór liczb rzeczywistych;N - zbiór liczb naturalnych;Q - zbiór liczb wymiernych;Z - zbiór liczb całkowitych;C - zbiór liczb zespolonych.

Teorię, jak również przykłady pomagające rozwiązać zadania zamieszczone w tym arkuszu można znaleźć wnastępujących książkach (dostępnych w czytelni biblioteki wydziałowej - zachęcamy do ich czytania):

[1] Rasiowa H.,Wstęp do matematyki współczesnej;

[2] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii;

[3] Kuratowski K., Mostowski A., Teoria mnogości;

[4] Wojciechowska A., Elementy logiki i teorii mnogości;

[5] Cichoń J., Wykłady ze wstępu do matematyki;

[6] Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach;

[7] Halmos, P., Naive Set Theory;

[8] Mc Fadden M., Moore J.W., Smith W.I., Sets, Relations Functions;

[9]Hrbacek K.,Jech T.,Introduction to set theory.

ARKUSZ 1

Liczby naturalne. Indukcja matematyczna.

Zadanie 1.1 Udowodnić, że dla dowolnej liczy naturalnej n

1. 1 + 2 + ...+ n = n(n+1)2

2. 12 + 22 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6

3. 13 + 23 + ...+ n3 = (1 + 2 + ...+ n)2 = n2(n+1)2

4

4. 1 · 2 + 2 · 3 + ...+ n · (n+ 1) = n(n+1)(n+2)3

5.n∑i=1

1i(i+1) =

nn+1

6.n∑i=1

1(2i−1)(2i+1) =

n2n+1

7.n∑i=1

1(3i−2)(3i+1) =

n3n+1

1

8.n∑i=1(2i− 1)3 = n2 · (2n2 − 1)

9.n∑i=1(2i− 1) = n2

10.n∑i=1(4i− 3) = n(2n− 1)

11.n∑i=1

i · 2i = 2 + (n− 1) · 2n+1

12.n∑i=12 · 3i−1 = 3n − 1

13.n∑i=1

i · i! = (n+ 1)!− 1

14. xn − 1 = (x− 1)n−1∑i=0

xi

15. 2n > n

16. 2|(n2 + n)

17. 6|(n3 − n)

18. 43|(6n+2 + 72n+1)

19. 6|(n3 + 5n)

20. n! > n, dla n > 2

21. 2n > 2n+ 1, dla n > 2

22. 3n−1 > n2, dla n > 3

Zadanie 1.2 Dowieść, że dla dowolnego x ­ 0 i dowolnej liczby naturalnej n(1 + x)n ­ 1 + nx.

2

ARKUSZ 2

Rachunek zdań.

Zadanie 2.1 Sprawdzić, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zdań.

1. [p ∧ (q ∨ r))]⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] prawo rozdzielności

2. [p ∨ (q ∧ r))]⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] prawo rozdzielności

3. (p⇔ q)⇔ [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] prawo eliminacji równoważności

4. p⇒ (q ⇒ p) prawo symplifikacji

5. ∼ p⇒ (p⇒ q) prawo Dunsa Scotusa

6. (∼ p⇒ p)⇒ p prawo Claviusa

7. [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r) prawo sylogizmu warunkowego

8. (p⇒ q)⇒ [(q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)] prawo sylogizmu warunkowego

9. (q ⇒ r)⇒ [(p⇒ q)]⇒ (p⇒ r)] prawo sylogizmu warunkowego

Zadanie 2.2 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami.

1. [(p ∨ q)∧ ∼ p]⇒ q

2. [(p ∨ q) ∧ (p⇒ q)]⇒ (q ⇒ p)

3. p⇒ [(q∧ ∼ q)⇒ r]

4. [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]⇒ (p ∨ q)

5. [(p ∨ q)⇒ (p∨ ∼ q)]⇒ (∼ p ∨ q)

6. [(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)]⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ s)] prawo kompozycji dla koniunkcji

7. [(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)]⇒ [(p ∨ r)⇒ (q ∨ s)] prawo kompozycji dla alternatywy

8. (p⇒ q)⇔ [(p ∧ q)⇔ q]

9. {[(p ∧ q)⇒ r] ∧ [(p ∧ q)⇒∼ r]} ⇒ (∼ p∨ ∼ q)

10. [(p⇒ q) ∧ (∼ q ⇒ r)]⇒ (p ∨ r)

Kwadrat logiczny.p⇒ q implikacja prosta q ⇒ p implikacja odwrotna∼ p⇒∼ q implikacja przeciwna ∼ q ⇒∼ p implikacja przeciwstawna

Zadanie 2.3 Znaleźć twierdzenie odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do danego. Zbadać wartość logiczną każ-dego z tych twierdzeń.

1. Jeśli x > 0 i y > 0, to x · y > 0.

2. Jeśli n jest liczbą parzystą, to n2 jest liczbą parzystą.

3. Jeśli x = 0 lub y = 0, to x · y = 0.

3

Zadanie 2.4 1. Określić koniunkcję przy pomocy negacji i alternatywy.

2. Określić koniunkcję przy pomocy negacji i implikacji.

Zadanie 2.5 1. Określić alternatywę przy pomocy negacji i koniunkcji.

2. Określić alternatywę przy pomocy negacji i implikacji.

Zadanie 2.6 Sprawdzić, cz następujące schematy przedstawiają reguły dowodzenia.p⇒ (q ⇒ r), p⇒ q

p⇒ r,

p⇒ (q ⇒ r)(p⇒ q)⇒ (p⇒ r)

reguły Fregego

Zadanie 2.7 Sforumłować i uzasadnić regułę dowodzenia, na podstawie której z założeń| a |>| b |⇒ a2 > b2 i (c > 0 ∧ a2 > b2)⇒ (ca2 > cb2)wynika, że(c > 0∧ | a |>| b |)⇒ (ca2 > cb2).

Zadanie 2.8 Zbadać, czy prawdziwe jest podane zdanie.

1. Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się 4.

2. Jeżeli liczba naturalna a dzieli się przez 3, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3 wynika, że a dzieli sięprzez 5.

3. Jeżeli liczba naturalna a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3 wynika,że a nie dzieli się przez 5.

4. Jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie kąty równe, to z faktu, że A jest czworokątem wynika,że A ma wszystkie boki równe.

Zadanie 2.9 Zakładając, że zdanie p⇒ q jest fałszywe, podaj wartość logiczną zdania q ⇒ p.

Zadanie 2.10 Zakładając, że zdanie (p⇒ q) ∨ r jest fałszywe, podaj wartość logiczną zdania(q ∧ r)⇔ [∼ p ∨ (q ⇒ r)].

Zadanie 2.11 Zakładając, że zdanie ∼ p ∨ (q ⇒∼ r) jest fałszywe, podaj wartość logiczną zdania{[∼ r ⇒ (p∨ ∼ q)] ∧ [p⇒∼ q]} ⇔ (p ∧ q).

Zadanie 2.12 Zakładając, że zdanie p⇒ (q∨ ∼ r) jest fałszywe, podaj wartość logiczną zdania[(p∧ ∼ q)⇒ r]⇔ [(p ∧ r) ∨ (r ⇒∼ q)].

4

ARKUSZ 3

Algebra zbiorów.

Zadanie 3.1 Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

3. X \ (A ∪B) = (X \A) ∩ (X \B)

4. X \ (A ∩B) = (X \A) ∪ (X \B)

5. A \ (A \B) = A ∩B

6. A \B = A ∩B′ (gdzie B′ = X \B)

7. A ∩ (X \A) = ∅

8. A ∪ (X \A) = X

Zadanie 3.2 Znaleźć zbiory A ∪B,A ∩B,A \B,B \A, gdzie

1. A = {x ∈ N : x < 3}, B = {x ∈ N : x ­ 3},

2. A = {x ∈ N : x ¬ 0}, B = {x ∈ N : x2 = 4},

3. A = {x ∈ R : x < 1}, B = {x ∈ R : x2 = 1},

4. A = {x ∈ R : x < 1}, B = {x ∈ R : x < 2}.

Zadanie 3.3 Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C,D zachodzą podane równości:

1. (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),

2. A \ (B \ C) = (A \B) ∪ (A ∩ C),

3. (A \B) ∪ C = [(A ∪ C) \B] ∪ [B ∩ C],

4. A \ (B ∪ C) = (A \B) \ C,

5. (A \B) ∩ (C \D) = (A ∩ C) \ (B ∪D),

6. A \ [B \ (C \D)] = (A \B) ∪ [(A ∩ C) \D].

Zadanie 3.4 Sprawdzić, czy poniższe równości zachodzą dla dowolnych zbiorów. Jeżeli nie, podać odpowiednieprzykłady.

1. (A ∪B) \B = A,

2. (A ∪B ∪ C) \ (A ∪B) = C,

3. (A \B) ∪B = A,

4. A \ (B ∪ C) = (A \B) ∪ (A \ C),

5. A \ (B ∩ C) = (A \B) ∩ (A \ C).

5

Zadanie 3.5 Zbadać, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A,B,C, jeśli prawdziwa jest podana rów-ność.

1. (A ∩B) ∪ (C ∩B) = B,

2. (A ∪B) ∩ (C ∪B) = B,

3. (A \ C) ∪B = A ∪B,

4. (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪B,

5. (A ∪B) \ (B ∩ C) = A ∩ C,

6. [(A ∩B) ∪ C] \A = (A ∩B) \ C.

Zadanie 3.6 Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:

1. A4B = (A \B) ∪ (B \A) = (A ∪B) \ (A ∩B),

2. A4A = ∅,

3. A4 ∅ = A,

4. A ∩ (B 4 C) = (A ∩B)4 (A ∩ C),

5. A4B = B 4A,

6. A4 (B 4 C) = [A \ (B ∪ C)] ∪ [B \ (A ∪ C)] ∪ (C \ (A ∪B)] ∪ [A ∩B ∩ C],

7. A4 (B 4 C) = (A4B)4 C.

6

Zadanie 3.7 Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:

1. A ∪ (B 4 C) = (A ∪B)4 (A ∪ C),

2. A ∪B = (A4B)4 (A ∩B),

3. A ∩B = (A ∪B)4 (A4B),

4. A \B = A4 (A ∩B),

5. A \B = (A ∪B)4B.

Zadanie 3.8 Zbadać, czy dla dowolnych zbiorów A,B,C prawdziwe są implikacje. Jeśli nie, podać odpowiednieprzykłady.

1. (A ∩B = A ∩ C)⇒ B = C,

2. (A ∪B = A ∪ C)⇒ B = C,

3. (A \B = A \ C)⇒ B = C,

4. (B \A = C \A)⇒ B = C,

5. (A4B = A4 C)⇒ B = C.

Zadanie 3.9 Rozwiąż równanie

[0, 1]4A = [−1, 12).

Zadanie 3.10 Niech A = {1, 3, 5} , B = {2, 4}, C = {1, 5}. Znaleźć zbiór D spełniający warunek

(A4D)4B = C.

Zadanie 3.11 Narysować zbiory A×B i B ×A, gdy

1. A = [−2, 3], B = [1, 2) ∪ {3},

2. A = (−2,∞), B = [−3, 2],

3. A = [−4,−2] ∪ (1,∞), B = [−4, 1) ∪ {5},

4. A = {x ∈ R : x ¬ 2}, B = {y ∈ R :| y − 1 |< 2},

5. A = {x ∈ R :| x+ 2 |­ 1}, B = {y ∈ R :| y − 2 |¬ 1}.

Zadanie 3.12 Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:

1. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C),

2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C),

3. A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C).

7

ARKUSZ 4

Rachunek funkcyjny.

Zadanie 4.1 Znaleźć wykresy podanych funkcji zdaniowych:

1. x2 − 1 ­ 0, X = R,

2. x = x, X = N,

3. x 6= x, X = Z,

4. x+ 1 = 2x, X = R+,

5. | x |­ 1, X = R,

6. x2 ­ x, X = N,

7. x2 ­ x, X = Z,

8. | x |=| x+ 1 |, X = R.

Zadanie 4.2 Znaleźć wykresy funkcji zdaniowych ϕ(x, y), x ∈ R, y ∈ R:

1. x = y,

2. x < y,

3. x2 + y2 ¬ 1,

4. x2 + y2 = 0,

5. x · y < 1,

6. x · y = 1,

7. | x |> y,

8. (x ­ y) ∨ (x2 + y2 ¬ 1),

9. (x+ y = 1) ∨ (x 6= y),

10. | xy |< 0,

11. (x+ y = 0) ∨ (x ­ y),

12. (| xy |< 0)⇒ (x2 + y2 = 0),

13. (x · y < 1)⇒ (x · y = 1),

14. (x2 + y2 = 0) ∨ (x = x),

15. (x ­ 0) ∧ (y ¬ x+ 2),

16. y2 + 2y − 3 ¬ 0.

Zadanie 4.3 Zakładając, że x i y przebiegają zbiór R, znaleźć wykresy funkcji zdaniowych:

1. ∃x∈R

x2 + y2 = 1,

8

2. ∃x∈R

x · y = 1,

3. ∃x∈R

x · y = 0,

4. ∀x∈R

x2 + y2 = 1,

5. ∀x∈R

x · y = 1,

6. ∀x∈R

x · y = 0.

Zadanie 4.4 Zapisać przy pomocy kwantyfikatorów:

1. k jest liczbą parzystą.

2. k jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

3. n jest liczbą pierwszą.

4. m jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb n i p.

5. m jest największym wspólnym dzielnikiem liczb n i p.

6. Ciąg {an}n∈N jest rosnący.

7. Ciąg {an}n∈N jest ograniczony.

8. Jeżeli ciąg {an}n∈N jest od pewnego miejsca stały, to jest zbieżny.

9. m = inf E, (E ⊂ R).

10. M = supE, (E ⊂ R).

Zadanie 4.5 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są prawami rachunku funkcyjnego:

1. [ ∀x∈X(ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ ∀

x∈Xϕ(x)]⇒ [ ∀

x∈Xψ(x)],

2. [ ∀x∈X(ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ ∃

x∈Xϕ(x)]⇒ [ ∃

x∈Xψ(x)],

3. ∀x∈X(ϕ(x)⇒ ψ(x))⇒ [ ∀

x∈Xϕ(x)⇒ ∀

x∈Xψ(x)],

4. ∀x∈X(ϕ(x)⇒ ψ(x))⇒ [ ∃

x∈Xϕ(x)⇒ ∃

x∈Xψ(x)],

5. [ ∃x∈X

ϕ(x)⇒ ∀x∈X

ψ(x)]⇒ ∀x∈X[ϕ(x)⇒ ψ(x)],

6. ∃x∈X[ϕ(x)⇒ ψ(x)]⇔ [ ∀

x∈Xϕ(x)⇒ ∃

x∈Xψ(x)],

7. [ ∃x∈X

ϕ(x)⇒ ∃x∈X

ψ(x)]⇒ ∃x∈X[ϕ(x)⇒ ψ(x)].

Zadanie 4.6 Podać przykłady funkcji zdaniowych pokazujące, że implikacji w wyrażeniach z poprzedniego za-dania nie można zastąpić symbolem równoważności.

Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie

∀σ(x)

ϕ(x)⇔ ∀x∈X[σ(x)⇒ ϕ(x)],

∃σ(x)

ϕ(x)⇔ ∃x∈X[σ(x) ∧ ϕ(x)].

9

Zadanie 4.7 Udowodnić prawa De Morgana dla kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie.

1. ∼ ∀σ(x)

ϕ(x)⇔ ∃σ(x)∼ ϕ(x),

2. ∼ ∃σ(x)

ϕ(x)⇔ ∀σ(x)∼ ϕ(x).

Zadanie 4.8 Udowodnić prawa rozdzielności dla kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie.

1. ∀σ(x)(ϕ(x) ∧ ψ(x))⇔ [ ∀

σ(x)ϕ(x) ∧ ∀

σ(x)ψ(x)],

2. ∃σ(x)(ϕ(x) ∨ ψ(x))⇔ [ ∃

σ(x)ϕ(x) ∨ ∃

σ(x)ψ(x)],

3. ∃σ(x)(ϕ(x) ∧ ψ(x))⇒ [ ∃

σ(x)ϕ(x) ∧ ∃

σ(x)ψ(x)],

4. [ ∀σ(x)

ϕ(x) ∨ ∀σ(x)

ψ(x)]⇒ ∀σ(x)(ϕ(x) ∨ ψ(x)).

Zadanie 4.9 Udowodnić prawa włączania i wyłączania dla kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie.

1. ∀σ(x)(ϕ(x) ∨ ψ)⇔ [ ∀

σ(x)ϕ(x) ∨ ψ],

2. ∃σ(x)(ϕ(x) ∨ ψ)⇔ [ ∃

σ(x)ϕ(x) ∨ ψ], gdy {x ∈ X : σ(x)} 6= ∅,

3. ∀σ(x)(ϕ(x) ∧ ψ)⇔ [ ∀

σ(x)ϕ(x) ∧ ψ], gdy {x ∈ X : σ(x)} 6= ∅,

4. ∃σ(x)(ϕ(x) ∧ ψ)⇔ [ ∃

σ(x)ϕ(x) ∧ ψ],

5. ∀σ(x)(ϕ(x)⇒ ψ)⇔ [ ∃

σ(x)ϕ(x)⇒ ψ],

6. ∃σ(x)(ϕ(x)⇒ ψ)⇔ [ ∀

σ(x)ϕ(x)⇒ ψ], gdy {x ∈ X : σ(x)} 6= ∅,

7. ∀σ(x)(ψ ⇒ ϕ(x))⇔ [ψ ⇒ ∀

σ(x)ϕ(x)],

8. ∃σ(x)(ψ ⇒ ϕ(x))⇔ [ψ ⇒ ∃

σ(x)ϕ(x)], gdy {x ∈ X : σ(x)} 6= ∅.

10

ARKUSZ 5

Relacje.

Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Symbolem 2X oznaczać będziemy rodzinę wszystkich podzbiorówprzestrzeniX, zaś symbolem Y X oznaczać będziemy zbiór wszystkich funkcji przekształcających zbiórX w zbiórY .

Zadanie 5.1 Sprawdzić, czy

1. iloczyn (suma) dwóch relacji zwrotnych jest relacją zwrotną,

2. iloczyn (suma) dwóch relacji przeciwzwrotnych jest relacją przeciwzwrotną,

3. iloczyn (suma) dwóch relacji symetrycznych jest relacją symetryczną,

4. iloczyn (suma) dwóch relacji przeciwsymetrycznych jest relacją przeciwsymetryczną,

5. iloczyn (suma) dwóch relacji przechodnich jest relacją przechodnią.

Zadanie 5.2 Sprawdzić, jakie własności ma relacja ρ ⊂ X2, jeśli

1. X = {a, b, c, d} i ρ = {(a, a), (b, b), (a, b)},

2. X = R i xρy ⇔ x < y dla x, y ∈ R,

3. X = R i xρy ⇔ x+ y = 1 dla x, y ∈ R,

4. X = R i xρy ⇔ x+ y ­ 3 dla x, y ∈ R,

Zadanie 5.3 Zbadać własności następujących relacji i znaleźć elementy wyróżnione

1. X = N, ∀k,n∈N(kρn⇔ k dzieli n),

2. X = N \ {1}, ∀k,n∈X

(kρn⇔ k dzieli n),

3. A = 2X , ∀A,B∈A

(AρB ⇔ A ⊂ B),

4. A = 2X \ {∅}, ∀A,B∈A

(AρB ⇔ A ⊂ B).

Zadanie 5.4 Zbiór X jest zbiorem skończonym częściowo uporządkowanym, przedstawionym w postaci diagra-mu. Znaleźć elementy wyróżnione.

a) •

•

b) • •

•

c) •

• •

d) •

• •

•

e) • •

•

•

• •

11

Zadanie 5.5 Zbadać, czy następujące relacje są relacjami równoważności. Jeśli tak, znaleźć klasy abstrakcji.

1. X = Z, ∀k,l∈Z(kρl⇔ 2|(k + l)),

2. X = Z, ∀k,l∈Z(kρl⇔ 2|(k − l)),

3. X = Z, ∀k,l∈Z(kρl⇔ 3|(k − l)),

4. X = Z \ {0}, ∀k,l∈X(kρl⇔ k · l > 0),

5. X = Z, ∀k,l∈Z(kρl⇔ (−1)k = (−1)l),

6. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ x2 = y2),

7. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ x3 = y3),

8. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔| x |=| y |),

9. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔| x− 1 |=| y − 1 |),

10. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ (x− 2)2 = (y − 2)2),

11. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ x− y ∈ Z),

12. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ x− y ∈ Q),

13. X = N× N, ∀(m1,n1),(m2,n2)∈X

[(m1, n1)ρ(m2, n2)⇔ (m1 + n2 = m2 + n1)],

14. X = Z× N, ∀(m1,n1),(m2,n2)∈X

[(m1, n1)ρ(m2, n2)⇔ (m1 · n2 = m2 · n1)],

Zadanie 5.6 Zbadać, czy następujące relacje są relacjami równoważności. Jeśli tak, znaleźć klasy abstrakcji.

1. X = R, ∀x,y∈R(xρy ⇔ ∃

a∈R(x+ iy)2 = ai),

2. X - ustalony zbiór niepusty, x0 - ustalony punkt zbioru X∀

A,B∈2X(AρB ⇔ x0 6∈ A4B),

3. X - ustalony zbiór niepusty, x0 - ustalony punkt zbioru X∀

A,B∈2X(AρB ⇔ (A = B ∨ x0 6∈ A ∪B),

4. X = C, ∀z1,z2∈C

(z1ρz2 ⇔ rez1 = rez2),

5. X = C, ∀z1,z2∈C

(z1ρz2 ⇔ imz1 = imz2),

6. X = R2, ∀(x1,y1),(x2,y2)∈X

[(x1, y1)ρ(x2, y2)⇔ x1 = x2],

7. X = R2, ∀(x1,y1),(x2,y2)∈X

[(x1, y1)ρ(x2, y2)⇔ y1 = y2],

8. X = N× (Z \ {0}), ∀(k,l),(m,n)∈X

[(k, l)ρ(m,n)⇔ ((−1)k = (−1)m ∧ l · n > 0)],

12

9. X - ustalony zbiór niepusty, E - ustalony podzbiór przestrzeni X∀

A,B∈2X(AρB ⇔ A4B ⊂ E),

10. X - ustalony zbiór niepusty,∀

A,B∈2X(AρB ⇔ A4B jest zbiorem skończonym ).

X - przestrzeń, X 6= ∅.Niepustą rodzinę I ⊂ 2X nazywamy ideałem, jeśli spełnia warunki:

1. (A ∈ I ∧B ⊂ A)⇒ B ∈ I,

2. (A ∈ I ∧B ∈ I)⇒ A ∪B ∈ I.

Zadanie 5.7 Niech X będzie ustalonym niepustym zbiorem, zaś I - ustalonym ideałem podzbiorów przestrzeniX. W rodzinie 2X określamy relację ρ w następujący sposób

∀A,B∈2X

(AρB ⇔ A4B ∈ I).

Sprawdzić, czy ρ jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji zawierającą zbiór pusty.

Zadanie 5.8 Niech X i Y będą niepustymi zbiorami, zaś I - ustalonym ideałem podzbiorów przestrzeni X. Wzbiorze Y X wszystkich funkcji przekształcających X w Y określamy relację ρ w następujący sposób

∀f,g∈Y X

(fρg ⇔ {x ∈ X : f(x) 6= g(x)} ∈ I).

Sprawdzić, czy ρ jest relacją równoważności.

Zadanie 5.9 W zbiorze RR wszystkich funkcji przekształcających zbiór R w R określamy relację ρ w następującysposób

∀f,g∈RR

(fρg ⇔ f(0) = g(0)).

Sprawdzić, że ρ jest relacją równoważności i znaleźć klasy abstrakcji tej relacji.

Zadanie 5.10 Dane są zbiory X1, X2 oraz relacje równoważności R1 ⊂ X1 ×X1 i R2 ⊂ X2 ×X2. W zbiorzeX1 ×X2 definiujemy relację ρ następująco

∀(x1,x2),(y1,y2)∈X1×X2

[(x1, x2)ρ(y1, y2)⇔ x1R1y1 ∧ x2R2y2)].

Sprawdzić, czy ρ jest relacją równoważności. Jeśli tak, znaleźć klasy abstrakcji tej relacji.

13

ARKUSZ 6

Funkcje, obrazy i przciwobrazy.

Zadanie 6.1 Jeżeli f : X → Y, g : Y → Z, g ◦ f jest funkcją różnowartościową i f jest "na" Y , to g jestróżnowartościowa.

Zadanie 6.2 Jeżeli f : X → Y, g : Y → Z, g ◦ f jest funkcją "na" Z i g jest różnowartościowa, to f jest "na"Y .

Zadanie 6.3 Niech f : X → Y . Pokazać, że f jest funkcją "na" Y wtedy i tylko wtedy, gdy f−1({y}) 6= ∅ dlakażdego y ∈ Y .

Zadanie 6.4 Niech f : X → Y . Pokazać, że f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy f−1({y}) jestzbiorem co najwyżej jednopunktowym dla każdego y ∈ Y .

Zadanie 6.5 Niech f : N→ N będzie funkcją określoną wzorem

f(n) = n2 + 1

dla każdego n ∈ N. Sprawdzić, czy f jest bijekcją.

Zadanie 6.6 Niech f : N→ N będzie funkcją określoną wzorem

f(n) = 2n

dla każdego n ∈ N.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f−1({1, 4, 5, 8, 14}), f({3, 4, 7, 11}).

Zadanie 6.7 Niech ϕ : N2 → N będzie funkcją określoną wzorem

ϕ((n, k)) = n · k

dla dowolnych n, k ∈ N.

1. Sprawdzić, czy ϕ jest bijekcją.

2. Znaleźć ϕ−1({1}), ϕ−1(Parzyste), ϕ(N× {2}), ϕ−1({2}), ϕ−1({6}).

Zadanie 6.8 Niech ϕ : N2 → N będzie funkcją określoną wzorem

ϕ((n, k)) = n+ k + 1

dla dowolnych n, k ∈ N.

1. Sprawdzić, czy ϕ jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć ϕ−1({1}), ϕ−1(Parzyste), ϕ(N× {1}), ϕ−1({5}).

14

Zadanie 6.9 Niech ϕ : N2 → N będzie funkcją określoną wzorem

ϕ((n, k)) = n2 + k2

dla dowolnych n, k ∈ N.

1. Sprawdzić, czy ϕ jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć ϕ−1({1}), ϕ−1({2}), ϕ−1({2, 4}),ϕ−1({25}).

Zadanie 6.10 Niech f(x) = 3x− 1 dla każdego ∈ R.

1. Pokazać, że f jest bijekcją.

2. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f .

Zadanie 6.11 Niech f(x) = 2x i g(x) = 3x− 1 dla każdego ∈ R. Wyznaczyć złożenia g ◦ f i f ◦ g.

Zadanie 6.12 Niech f : R→ R, A ⊂ R i B ⊂ R. Znaleźć obrazy zbiorów A i B wyznaczone przez funkcję f :

1. f(x) = 5x− 3, A = {2, 3, 4}, D = [−1, 2]

2. f(x) = 2x+ 1, A = (−2, 1), B = (−1, 2]

3. f(x) =| x |, A = [−3, 0), B = [−1, 2).

Zadanie 6.13 Niech f : R → R, C ⊂ R i D ⊂ R. Znaleźć przeciwobrazy zbiorów C i D wyznaczone przezfunkcję f :

1. f(x) = 2x− 1, C = {1, 3, 5}, D = [1, 4]

2. f(x) =| x |, C = {0, 1, 5}, D = [−2, 3)

3. f(x) = 2− 3x,C = [5,+∞), D = (−∞,−1]

4. f(x) = 1− x2, C = [0, 1], D = [1,+∞).

Zadanie 6.14 Niech funkcja f : R→ R będzie dana wzorem:

f(x) =

{x− 2, dla x < 1x+ 4, dla x ­ 1.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f([0, 5]), f−1([0, 6].

Zadanie 6.15 Niech f(x) = x2 − 3x+ 2 dla x ∈ R.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f([0, 1]), f([−2,−1]), f({1, 2}).

3. Znaleźć f−1((−∞,−6)), f−1([0, 2]).

15

Zadanie 6.16 Niech f(x) =| x2 − 4 | dla x ∈ R.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f([0, 2]), f((−1, 1)), f((−3, 1)).

3. Znaleźć f−1([3, 4]), f−1((0, 3)).

Zadanie 6.17 Niech f(x) =| x2 + x− 6 | dla x ∈ R.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f((−2, 3)), f([−2, 1]), f((−4,−2)), f((2, 3]).

3. Znaleźć f−1([4, 6]), f−1({6}).

Zadanie 6.18 Niech f(x) = x2 − 5x+ 4 dla x ∈ R.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na".

2. Znaleźć f(R), f([0,+∞)), f−1({0}), f([0, 1]).

Zadanie 6.19 Niech funkcja f : R→ R będzie dana wzorem:

f(x) =

{1x2 , dla x 6= 0−4, dla x = 0.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na" R.

2. Znaleźć f((−∞, 1)), f−1((−1, 1)).

Zadanie 6.20 Niech funkcja f : R→ R będzie dana wzorem:

f(x) =

x2 − 1, dla −∞ < x < 0x− 1, dla 0 ¬ x < 4−x+ 7, dla 4 ¬ x <∞.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na" R.

2. Znaleźć f([−1, 1]), f((1, 7)).

3. Znaleźć f−1([1, 3]), f−1([0, 2]), f−1((−∞, 1)).

Zadanie 6.21 Niech funkcja f : R→ R będzie dana wzorem:

f(x) =

x+ 5, dla −∞ < x < −2x2 − 1, dla −2 ¬ x < 1−x+ 1, dla 1 ¬ x.

1. Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i "na" R.

2. Znaleźć f([−1, 1]), f([−4,−1]), f([−1, 2]).

3. Znaleźć f−1([0, 3]), f−1((−1, 0)), f−1(3, 4]), f−1((−∞, 0)).

16

Zadanie 6.22 Niech ϕ : R2 → R będzie funkcją określoną wzorem

ϕ((x, y)) = x · sin y

dla dowolnych x, y ∈ R.

1. Sprawdzić, czy ϕ jest różnowartościowa i "na" R.

2. Znaleźć ϕ−1({0}).

Zadanie 6.23 Niech f : X → Y , A ⊂ X i B ⊂ Y . Udowodnić, że

1. f(A ∩ f−1(B)) = f(A) ∩B

2. f(f−1(B)) = B ∩ f(X)

3. A ∩ f−1(B) ⊂ f−1[f(A) ∩B]

4. f(A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f−1(B).

Zadanie 6.24 Niech f : X → Y , A ⊂ X i g = f |A. Wówczas g−1(B) = A ∩ f−1(B) dla dowolnego zbioruB ⊂ Y .

17

ARKUSZ 7

Działania uogólnione.

Zadanie 7.1 Jeśli ciąg {An}n∈N jest zstępujący (tzn. An+1 ⊂ An dla każdego n ∈ N), to⋃n∈N

An = A1.

Zadanie 7.2 Jeśli ciąg {An}n∈N jest wstępujący (tzn. An ⊂ An+1 dla każdego n ∈ N), to⋂n∈N

An = A1.

Zadanie 7.3 Znajdź sumy i iloczyny uogólnione rodzin {An}n∈N

1. An = {x ∈ R : − 1n ¬ x ¬1n}

2. An = {x ∈ R : 0 ¬ x < 1n}

3. An = {x ∈ R : 0 < x < 1n}

4. An = {x ∈ R : 0 ¬ x ¬ 1 + 1n}

5. An = {x ∈ R : 1n ¬ x ¬2n}

6. An = {x ∈ R : 1n+1 ¬ x ¬1n}

7. An = {x ∈ R : (1 + 1n )n ¬ x ¬ 3}

8. An = {x ∈ R : n ¬ x ¬ n+ 1}

9. An = {x ∈ R : −n ¬ x ¬ n}

10. An = {x ∈ R : 1− 1n+1 ¬ x < 2 +

1n+1}

11. An = {x ∈ R : − 1n < x < 1− 1n}

12. An = {x ∈ R : (1 + 1n )n ¬ x ¬ 3n+ n

√3}

13. An = {x ∈ R : (−1)n ¬ x ¬ n√2}

14. An = {x ∈ R : (−1)n ¬ x ¬ 2 + 1n}

15. An = {x ∈ R : n < x}

16. An = {x ∈ R : 1 + 1n ¬ x ¬n√3}.

Prawa De MorganaX \⋃t∈T

At =⋂t∈T(X \At)

X \⋂t∈T

At =⋃t∈T(X \At)

Zadanie 7.4 Znaleźć zbiory

1.⋃n∈N(R \ [0, 1 + 1n ]),

⋂n∈N(R \ [0, 1 + 1n ])

2.⋃n∈N(R \ (n,∞)),

⋂n∈N(R \ (n,∞))

18

3.⋃n∈N(R \ [0, 1n ]),

⋂n∈N(R \ [0, 1n ])

4.⋃n∈N(R \ [− 1n ,

1n ]),⋂n∈N(R \ [− 1n ,

1n ])

5.⋂n∈N(R \ {x ∈ R :| x |< 1

n})

6.⋂n∈N(R \ {x ∈ R :| x |¬ n

√3})

7.⋂n∈N(R \ {x ∈ R : − 1n < x < 1− 1n})

8.⋃n∈N(R \ {x ∈ R : (−1)n ¬ x < 1 + 1n}.

Zadanie 7.5 Pokazać, że dla dowolnych indeksowanych rodzin {At}t∈T i {Bt}t∈T podzbiorów przestrzeni Xzachodzą inkluzje

1.⋃t∈T

At \⋃t∈T

Bt ⊂⋃t∈T(At \Bt)

2.⋂t∈T(At \Bt) ⊂

⋂t∈T

At \⋂t∈T

Bt

3.⋂t∈T(At \Bt) =

⋂t∈T

At \⋃t∈T

Bt

4.⋂t∈T[(X \At) ∪Bt] ⊂ [(X \

⋃t∈T

At) ∪⋃t∈T

Bt]

5.⋂t∈T[(X \At) ∪Bt] ⊂ [(X \

⋂t∈T

At) ∪⋂t∈T

Bt].

Zadanie 7.6 Niech T = [0,∞). Znaleźć⋃t∈T

At i⋂t∈T

At dla zbiorów

1. At = {x ∈ R : t ¬ x ¬ t+ 1}

2. At = {x ∈ R : −t ¬ x ¬ t}

3. At = {x ∈ R : t ¬ x}

4. At = {x ∈ R : 0 ¬ x ¬ 1t+1}.

Zadanie 7.7 Niech An,m = {x ∈ R : n2 ¬ x < m2}, m,n ∈ N. Znaleźć⋃n∈N

⋃m∈N

An,m,⋂n∈N

⋂m∈N

An,m,⋃n∈N

⋂m∈N

An,m,⋂n∈N

⋃m∈N

An,m.

Zadanie 7.8 Niech An,m = {x ∈ R : n ¬ x < m}, m,n ∈ N. Znaleźć⋃n∈N

⋃m∈N

An,m,⋂n∈N

⋂m∈N

An,m,⋃n∈N

⋂m∈N

An,m,⋂n∈N

⋃m∈N

An,m.

19

Zadania do powtórki

Zadanie 8.1 Zbadaj, czy następująca relacja jest relacją równoważności. Jeśli tak, znajdź klasy abstrakcji.a) Dla x, y ∈ Z mamy:xρy ⇔ x jest podzielne przez y.b) X- zbiór ludzi na świecie. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ x waży tyle samo co y.c) X-zbiór słów występujących w słowniku języka polskiego. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ słowo x ma przynajmniej jedną literę wspólną ze słowem y.d) X-zbiór słów występujących w słowniku języka polskiego. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ słowo x zaczyna się na tę samą literę co słowo y.e) Dla x, y ∈ Z mamy:xρy ⇔ liczba x jest tej samej parzystości co y.f) X- zbiór ludzi na świecie. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ x jest wyższy niż y.g) X- zbiór osób na świecie. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ osoba x jest ojcem y.h) X- zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ prosta x jest równoległa do prostej y.i) X- zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie. Dla x, y ∈ X mamy:xρy ⇔ prosta x jest prostopadła do prostej y.

Zadanie 8.2 Określ dziedzinę funkcji i znajdź podane zbiory.a) f(x) = x2, f(< −1, 0 >), f([−1, 12 ]),f({0}), f

−1(< −1, 0 >), f−1([−1, 1]), f−1({0} .b) f(x) = x2 − 1, f((−1, 0]), f([−1, 14 ]),f({0}), f

−1([−1, 0]), f−1((0, 3)), f−1({−4}) .

Zadanie 8.3 Zbadaj, czy następująca relacja jest relacją równoważności. Jeśli tak, znajdź klasy abstrakcji.a) X = {a, b, c, d}, ρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, c), (c, b)},b) X = {a, b, c, d}, ρ = {(d, a), (a, d)},c) X = {a, b, c, d}, ρ = {(a, a), (b, b), (c, c)(d, d), (d, c), (c, d)},d) X = {a, b, c, d}, ρ = {(a, a), (b, b), (c, c)(d, d), (a, b))}.

Zadanie 8.4 Zakładając, że zdanie p ∨ (∼ q ⇒ r) jest fałszywe, podać wartość logiczną zdania

∼ r ⇒ (q∨ ∼ p).

Zadanie 8.5 Jeśli liczba n jest podzielna przez 8, to n jest podzielna przez 2.a) Napisz jak brzmi to zdanie bez użycia implikacji,b) Napisz jak brzmi to zdanie po użyciu prawa kontrapozycji,c) Zapisz zaprzeczenie wyjściowego zdania.

Zadanie 8.6 Jeśli mam sto lat, to dziś jest niedziela.a) Napisz jak brzmi to zdanie bez użycia implikacji,b) Napisz jak brzmi to zdanie po użyciu prawa kontrapozycji,c) Zapisz zaprzeczenie wyjściowego zdania.d) Napisz wartość logiczną wyjściowego zdania.

Zadanie 8.7 Wyznacz A ∪B,A ∩B,A \B,B \A,A′, B′, A4B, gdzie:a) A = [−4, 2], B = [1, 6],

20

b) A = (0, 2), B = R,c) A = (0, 4), B = [7, 8],d) A = (−2, 3], B = [1, 6),e) A = ∅, B = R,f) A = (0, 2), B = ∅.

Zadanie 8.8 Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów i potrzebnych symboli logicznych.a) Każda liczba naturalna pomniejszona o 5 jest większa od -5.b) Nie istnieje liczba rzeczywista z której pierwiastek kwadratowy byłby ujemny.

Zadanie 8.9 a) Oceń wartość logiczną zdania: (3 > 2)⇒ (2 > 2).b) Oceń wartość logiczną zdania ∀

x∈R∃y∈R

x · y > 1.

c) Zapisz bez użycia symbolu ∼ negację zdania ∃x∈R(x 6= 0 ∨ ∀

y∈Rx · y = x).

d) Zapisz bez użycia symbolu ∼ negację zdania ∃x∈R∀y∈R(x ­ 1⇒ 2y > x).

Zadanie 8.10 Sprawdź, czy relacja R określona w zbiorze liczb całkowitych następująconRk ⇔ n2 < k2 jest przechodnia.

Zadanie 8.11 a) Określ moc podanych zbiorów: N, Z, Q, R \Q, [0, 1], (−1, 2), R.b) Podaj po trzy przykłady zbiorów przeliczalnych oraz zbiorów nieprzeliczalnych.

Zadanie 8.12 Określ wartość logiczną zdania i podaj jego zaprzeczenie:a) ∀x∈R(x2 > 5 ∧ x2 < 0).

b) Istnieje liczba większa niż sto lub każde miasto ma stu mieszkańców.

Zadanie 8.13 Zbadaj czy funkcja f przyporządkowująca każdemu państwu jego stolicę jest różnowartościowa i"na" zbiór wszyskich miast.Wyznacz f({Polska,Niemcy,Rosja}) i f−1({Brzeziny, Pabianice,Moskwa}).

Zadanie 8.14 a) Podaj przykład niepustych zbiorów A i B, dla których nie zachodzi równość (A \B)∪B = A.b) Podaj przykład niepustych zbiorów A i B, dla których zachodzi równość (A \B) ∪B = A.

Zadanie 8.15 Zapisz podane zdanie inaczej stosując prawo transpozycji (i tam gdzie można prawa D’Morgana).Czy podane zdanie jest prawdziwe?a) Jeżeli istnieje kot, który ma rogi, to Łódź jest stolicą Polski.b) Jeżeli istnieje kamień bez serca, to każdy delfin jest rybą.c) Jeżeli każde państwo ma stolicę, to każda żaba jest zielona

Zadanie 8.16 Korzystając z praw rozdzielności dla kwantyfikatorów wstaw odpowiedni funktor logiczny.

∀x∈R(x ­ 0 ∨ x ¬ 0) ( ∀

x∈Rx ­ 0 ∨ ∀

x∈Rx ¬ 0)

21