LiczbaIkwant

7/31/2019 LiczbaIkwant

1/18

Liczba i kwantUkryte lady racjonalnoci przyrody

1

Krzysztof Malanka

Instytut Historii Nauki PANWarszawa-Krakw

Streszczenie

Teoria liczb i mechanika kwantowa s jak przysowiowe ogie i woda. Ta pierwsza tostara i szacowna ga czystej matematyki. Z natury swej wydawaa si zawsze daleka od

jakichkolwiek zastosowa praktycznych. Jej problemy to na og czysto intelektualne wy-zwania. Zwykle mona je atwo postawi, ale wiele z nich nie ma szans na szybkie rozstrz y-gnicie.

Ta druga liczy zaledwie jedno stulecie i dotyczy opisu materii na poziomie mikroskopo-wym. Jest najbardziej udan teori fizyczn, obfitujc w wiele zastosowa praktycznych.Wykonane w cigu ostatniego wierwiecza eksperymenty numeryczne, moliwe dziki

odkryciu nowych, efektywnych algorytmw oraz dziki eksplozji technik komputerowych,ujawniy pewne zaskakujce zwizki pomidzy teori liczb a wiatem kwantw. Wyniki te swci dalekie od zrozumienia. Moliwe, e najtrudniejsza i najbardziej znana z nie dowie-dzionych hipotez teorii liczb, postawiona w r. 1859 przez Riemanna, znajdzie swj klucz wfizyce. Byaby to niezwyka unifikacja czystej teorii z ywym eksperymentem.

Nowa filozofia fizyki

It is a capital mistake to theorize before one has data.Arthur Conan Doyle

Ewolucja fizyki Einsteina i Infelda, niewielka ksika wydana po raz pierwszy w roku 1938naley do klasyki literatury popularnonaukoweji jako taka wci bywa wznawiana. Nie tyle, bynadal uczy, ale by pokaza, jakw swoim czasie twrcy teorii starali si przybliy wane od-krycia dociekliwym laikom.

Ksik t rozpoczyna sugestywneporwnanie procesu odkrywania prawdy w fizyce do zawi-ego ledztwa z powieci sensacyjnej. Porwnanie to mona rozwin. A zatem uczony jakoprzenikliwy detektyw; zagadka przyrody jako tajemnicza intryga, a obserwacje i wyniki ekspe-

rymentu jako nieliczne lady na miejscu incydentu. lady pozornie niewane, ukryte przedwzrokiem zwykych ludzi, ale dostrzeone przez genialnego detektywa. Po ich zebraniu nastpu-jchwile pozornej bezczynnoci, samotna gra na skrzypcach i mocna kawa. Ale w istocie towa-rzyszy temu maksymalny wysiek umysu, ktry doprowadza do jednoznacznego rozwizania.

1 Jest to rozszerzona wersja referatu wygoszonego na konferencji Nauka wiara. Rola filozofii, Katolicki

Uniwersytet Lubelski, 15 listopada 2006.


2/18

2

Potem mona ju wezwa wszystkich zainteresowanych i wskazasprawcw. Tryumf dedukcji ianalizy psychologicznej. Zaskoczenie winnych, ulga niesusznie posdzonych, podziw i niedo-wierzanie pozostaych. Wszystko to dziaa na wyobraniczytelnika i jest zrozumiae. W tychkwestiach nikt chyba nie by wikszym znawc, ni twrca Sherlocka Holmesa, ktry w dobrejwierze i w zgodzie z logik napisa: Snu teorie, zanim ustali sifakty, to zasadniczybd.

Jest paradoksem, e przyjta obecnie w fizyce teoretycznej metodologia, ktrej gwnym od-krywc i ordownikiem by wanie Einstein, radykalnie odbiegaod powyszego schematu. Rolafaktw zostaa znacznie zmniejszona, a ich miejsce nie jest ju fundamentem procesu poznania:zamiast na pocztku tego procesu, znalazy one swe naturalne miejsce gwnie na jego kocu.Zadanie faktw to przede wszystkim weryfikacja teorii, a nie jej konstruowanie.

Ale nie zawsze tak byo i nawet dzisiaj nie wszdzie tak jest. Nauki takie jak: botanika, bio-logia, geologia czy astronomia ywi si faktamiobserwacj i eksperymentem. Fakty s ichatrybutem. W tym sensie przypominaj troch dziennikarstwo; bez faktw zanikyby bardzoszybko. (Szczeglnie astronomia cierpi ostatnio wrcz na zalew obserwacji.) Snucie teorii po-

lega tam gwnie na porzdkowaniu danych, odgadywaniu korelacji, konstrukcji modeli czy do-pasowaniu krzywych. Poyteczne, pouczajce i pracochonnerzemioso, a waciwie cay specja-listycznyprzemysbez adnych pejoratywnych podtekstw.Zreszt wikszo uwaa taki stanza naturalny, wicejjedynie suszny. Pilna potrzeba danych obserwacyjnych to take znakomi-ty pretekst do uprawiania naukowej turystyki. By zdoby upragnione dane trzeba czasem odwie-dzi wiele egzotycznych miejsc na drugiej pkuli: Hawaje, Chile, poudniowa Afryka, Australia.Observo ergo sum mawia astronom Tadeusz Banachiewicz (1882-1954)parafrazujc Karte-zjusza, cho sam mia te spore ambicje teoretyczne, a nawet czysto matematyczne. Nie intere-suj mnie teorie oddalone od obserwacji na wicej ni jeden czy dwa kroki, szkoda na nie czasu powiedzia z kolei zmary niedawno wybitny polski astrofizyk, Bohdan Paczyski (1940-2007).

Nie on jeden i nie on pierwszy. Tak byo te w czasach Keplera i Newtona, i podejcie to od-nioso wtedy znaczcy sukces. Wydawao si naturalne i logiczne, e podstawowe prawa przyro-dy stanowi po prostu uoglnienie prawidowoci zauwaonych w dostatecznie obfitym materialeobserwacyjnym.

Cho stosunkowo niewielu naukowcw zmian t zauwayo, od czasu oglnej teorii wzgld-noci Einsteina (1915 r.) sytuacja jest jujakociowo inna. Poziom matematycznej komplikacjirwna tej teorii jest znacznie wikszy, ni to byo w teorii grawitacji Newtona. Wynika std, enawet z najbardziej bogatego zbioru faktw empirycznych nie mona wyprowadzi tak skom-plikowanych rwna2. Aby je odkry potrzebna bya minimalna znajomo faktw, ale te , conajwaniejsze, trafnie odgadnita matematyczna zasada wiodca. Matematyka posuya tu zadrogowskaz do poznania rzeczywistoci. Nie przestaje zdumiewa fakt, e, inwestujc pozorniedoniewiele, mona, z pomoc trafnie dobranej matematyki, po dugiej i mudnej drodze, do-wiedzie si tak duo o rzeczywistym wiecie i to nie wchodzc ani do laboratorium, ani pod

2A. Einstein,Zapiski biograficzne, ZNAK 1996, s. 7. W polskim wydaniu tej niewielkiej ksiki nie mniej

wany od gwnego tekstu jest lapidarny, ale bogaty w tre Wstp napisany przez A. Staruszkiewicza,ktry reasumuje gwne tezy filozofii nauki wyznawane przez Einsteina pod koniec jego ycia.


3/18

3

kopu teleskopu. Tak jest, ale w zasadzie tak mogoby nie by. Sawna wypowied Einsteinawyryta na kominku w budynku Fine Hall w Princeton (Pan Bg jest wyrafinowany, ale nie jestzoliwy)jest metaforycznformtego wanie pogldu.

Skuteczno matematyki

Cae niebo jest harmoni i liczb.Arystoteles

Ksiga przyrody napisana jest w jzyku matematyki.Galileusz

W miar upywu czasu stao si coraz bardziejoczywiste, e reguyinteresujce dla matematykw

s tosame z tymi, ktre wybraa Natura.P. A. M. Dirac

Przytoczone powyej pogldy pochodz w rnych, czasowo odlegych epok, ale wszystkienale do postaci wybitnych. Arystoteles najwszechstronniejszy myliciel staroytnoci, Gali-leusz twrca eksperymentalno-matematycznych metod badawczych w przyrodoznawstwie,Dirac najwybitniejszy Anglik XX wieku. (Tak przynajmniej wyrazi si o nim znany pisarz ifizyk, C. P. Snow.) Pogldy te s brzmi atrakcyjnie, wrcz sentencjonalnie, niemniej s maoprecyzyjne i std niezbyt przydatne praktyce. Domagaj si ucile i komentarzy.

Terminologia uyta przez Arystotelesa i Galileusza jest zbyt poetycka i przez to daleka odstandardw wspczesnej nauki. W szczeglnoci przekazany przez Arystotelesa pogld pitago-rejczykw miesza niewtpliwie matematyk z numerologi i mistycyzmem. Natomiast pogldDiracajest do szokujcy: sugeruje, e wystarczy pozna jak dziedzin matematyki i, niejakoprzy okazji, odkry prawa Natury.Zalecenie to jest oparte na jego wasnych dowiadczeniach i wtym sensie jest ono szczere oraz uczciwe; jednakprzyjte jako idea przewodnia przezpocztku-jcego naukowca moe nigdy nie da spodziewanego wyniku i w tym z kolei sensie moe byzwodnicze, wrcz szkodliwe.

Na temat roli matematyki w naukach cisych napisano wiele, ale istot tego wszystkiegomona uj w tym jednym znamiennym okreleniu uytym w tytule znanego eseju Eugenea Wi-gnera (1902-1995): unreasonable: niepojta, nieprawdopodobna. Dosownie: nieuzasadniona,nierozsdna. Zamiast spodziewanego wyjanienia i zrozumienia mamy wic tylko zdumienie.

Za kadym razem, gdy tylko o tym mowa esej Wignera jest tradycyjnie cytowany. Niemniejwszystkie gwne jego tezy, czy raczej pytania bez odpowiedzi , pojawiay si wczeniej naprzykadw wystpieniu Alberta Einsteina przed Prusk Akademi Nauk 21 stycznia 1921:

Jak to jest, e matematyka, w kocu niezaleny od dowiadczenia owoc ludzkiegomylenia, w sposb tak godny podziwu moe by stosowana do rzeczywistych obiektw?


4/18

4

Czy zatem umys ludzki, czystym myleniem, bez dowiadczenia, moe sondowa wa-snoci prawdziwych rzeczy?

Wspczesna, popularna wrd filozofw przyrody odpowied na to pytanie brzmi: poniewaprzyroda jest racjonalna3. Oczywicie jest to tylko dyplomatyczny unik, bo dociekliwy teoretyk

zapyta natychmiast: ale dlaczego przyroda jest racjonalna?Kiedy Einstein zobaczy dobr zgodno swych czysto teoretycznych docieka z wynikami

inspirowanych przez te dociekania pomiarw astronomicznych wyprawy zorganizowanej przezEddingtona (1919) nie mia najwyraniej wtpliwoci, e obrana przez niego kilka lat wczeniejdroga, polegajca na bezgranicznym zaufaniu trafnie odgadnitej teorii matematycznej, jest po-prawna. Wtpliwoci takich nie mia zreszt ju wczeniej i dlatego pozwoli sobie wtedy na ni e-co bluniercz, a w kadym razie mao pokorn odpowied na pytanie, co by zrobi gdyby w y-prawa Eddingtona nie potwierdzia jego przewidywa:

Byoby mi al dobrego Pana Boga, gdy teoria jest w porzdku

Skd taka zuchwaa pewno siebie? U jej podstaw moe lee jedynie wiaraw skutecznomatematyki. Uycie okrelenia wiara automatycznie zwalnia z bardziej racjonalnego wyjanie-nia, ale tego nikt, jak dotd, nie dostarczy. W innym miejscu Einstein napisa:

Chciabym w tym miejscu przedstawi pogld, ktry obecnie moe opiera si tylkona wierzew prostot czyli poznawalno rozumow natury[] natura ma twasno, eda si sformuowa prawa logicznie tak silnie zdeterminowane, e pojawiaj si w nichtylko stae cakowicie okrelone rozumowo (a wic nie takie, ktrych wartoci liczbowemona by zmieni nie niszczc teorii)4.

Inaczej mwic: matematyka, przynajmniej jaka jej dziedzina, niekiedy przylega cile dojakiego fragmentu rzeczywistego wiata i dziki temu dostarczadokadnego opisu tego fragmen-tu. Opis ten zawiera rwnania struktury lub ewolucji. Powinien te dostarcza wartoci wszyst-kich staych liczbowych, ktre wystpuj w tych rwnaniach; w przeciwnym razie stae te pozo-stan jako tzw. parametry swobodne teorii. Ich wartoci trzeba wwczas z braku lepszego roz-wizania wzi z dowiadczenia. Mona je zatem dowolnie zmieni nie niszczc teorii i jestto sytuacja, ktra budzi niedosyt. Tak jest obecnie np. w dziedzinie czstek elementarnych; war-toci ich mas chcielibymy umie wyliczy na gruncie solidnej teorii, ale jak dotds one tylko

parametrami swobodnymi.

3W tym miejscu szczypta zoliwoci. Przypomina to odpowied botanikw na pytanie: Dlaczego roliny

rosn na og do gry? Poniewa wykazuj geotropizm dodatni. Dlaczego zatem ich korze ronie redniow d? Bo korze wykazuje geotropizm ujemny. Niewtpliwie s to atwe do postawienia, ale bardzo trudne

pytania. Mona tylko pozazdroci naukowcom, ktrzy uzyskuj wzgldny spokj poznawczy z chwil wymy-lenia nowej, mdrze brzmicej nazwy.4

A. Eins tein ,Zapiski biograficzne, ZNAK 1996, s. 6.


5/18

5

W dalszym ciguzilustruj t zasadnicz kwesti na pewnych prostych, by nie powiedzie:naiwnych przykadach.

Poszukiwania matematyki w przyrodzie

Naiwne szukanie ladw matematyki w przyrodzie daje liczne pozytywne wyniki i jednocze-nie dowodzi jej uytecznoci w praktyce. Na rysunkach poniej przedstawiono wymowne przy-kady rozmaitych tworw, ktrych pochodzenie i rozmiary s zupenie rne, a jednak ksztatybardzo podobne.

muszla gowonoga Nautilus cyklon nad Islandi

galaktyka z katalogu Messiera nr 51 spirala logarytmiczna

Nie trzeba specjalnego talentu, by dostrzec, e wszystkie one przypominaj abstrakcyjny bytgeometryczny zwany spiral logarytmiczn. Spirala taka pojawia si w przyrodzie wzgldnieczstow do rnych sytuacjach. Po raz pierwszy opisa j Kartezjusz (1638), a potem jej wa-snoci intensywnie bada Jakub Bernoulli (1698), ktry te, peen podziwu, nazwa j spira mira-bilis (cudowna spirala). Fantazyjnym skutkiem tego podziwu byo yczenie, aby mu j wyryto na


6/18

6

pycie nagrobnej.Niestety, przez pomyk znalaza si tam inna spirala Archimedesa, lecz Ber-noulli nie mia ju okazji (a moe i powodu?), by zaprotestowa.

Ale estetyczna satysfakcja ze wspomnianej analogii midzy wiatem idei a wiatem realnymtrwa krtko. Prosta matematyka spirali logarytmicznej pozwala co prawda ilociowo opisa ipoklasyfikowawymienione wyej realne obiekty, ale nie potrafi wyjani ich pochodzenia czy

struktury. Skd si wziy? Dlaczego s wanie takie? Na ten temat w prosty model milczy.Tymczasem ambicje fizyka-teoretyka s wiksze ni potrzeby naukowca o niewymagajcej i po-baliwej mentalnoci botanika. To kwestia subtelnego suchu teoretycznego. Ci, ktrych natu-ra obdarzya takim suchem nigdy nie zadowol si prostym pytaniem:jak?, lecz bd stanowczodomaga siodpowiedzi na bardziej dogbne pytanie: dlaczego wanie tak, a nie inaczej? Czymogoby by inaczej?

Wspomniana spirala posiada dokadnie dwa liczbowe parametry swobodne. Mona w szero-kim zakresie dowolnie dobierajej wielko (parametra) i ksztat (parametr b), a mimo to bdzieto zawsze spirala logarytmiczna. Sytuacja taka zadowala specjalistw od modelowania, ale wy-

wouje zdecydowan niech tych, co wytrwale id za intuicj teoretyczn. Gdyby teoria daaodpowied na pytanie: dlaczego w danym przypadku wartoci a oraz b s takie, a nie inne? wwczas niepokj teoretyka zostaby zaspokojony.Podany przykad jest jawnie naiwny, bowiemz gry wiemy, e wartoci tych nie mona wyliczy z zasad pierwszych. Wspomniane obiekty szbyt skomplikowane, zbyt mao elementarne.

W oglnymkontekcie modeli z licznymi parametrami swobodnymi wymowna staje si iro-niczna uwaga wybitnego matematyka amerykaskiego Johna von Neumanna (1903-1957), ktrprzekaza fizyk Enrico Fermi (1901-1954):

Pamitam, e mj przyjaciel Johnny von Neumann zwyk mawia: Majc cztery pa-

rametry mog [do danych obserwacyjnych] dopasowa sonia, a majc pi mog spra-wi, e bdzie on rusza trb5.

Jest to uwaga trafna, cho jawnie zoliwa i w gruncie rzeczy niecisa. Jak to sprawdzi pe-wien dociekliwy (i bardzo pracowity) student, aby wymodelowa co, co tylko z grubsza przy-pomina sonia, potrzeba znacznie wicej parametrwni cztery, bookoo trzydziestu.

Pikno matematyki

Gdy suchamy odczytw o piknie sonetw Szekspira, obrazw Rafaela czy muzyki Mozarta,

to na og nikt nie protestuje. Jednak gdy mowa o piknie matematycznych formu czy kon-strukcji, spora cz suchaczy ma uczucia (delikatnie mwic) mieszane. Nawet jeli to pikno,to jake niedostpne, zimne i bezduszne. Argumentom nieprzekonanych mona zawsze przeciw-stawi pogld jakiego uznanego autorytetu, a takim by niewtpliwie Bertrand Russell(1872-1970), wspautorfundamentalnego dziea Principia Mathematica:

5A meeting with Enrico Fermi, Nature vol. 427, 297, 2004.


7/18

7

Matematyka, widziana waciwie, zawiera nie tylko prawd, ale rwnie najwyszepikno; pikno zimne i surowe, podobne do pikna rzeby, nie zwizane z jakimkolwiekelementem naszej sabej natury, pozbawione wprawdzie wspaniaego przesytu malarstwaczy muzyki, a jednak wzniole czyste, zdolne do surowej doskonaoci, jak moe si

szczyci tylko najwiksza sztuka. Duch prawdziwego zachwytu, uniesienie, poczucie by-cia kim wicej, ni Czowiekiem a tojest kamieniem probierczym najwyszej dosko-naoci wszystko to tkwi w matematyce w takim samym stopniu, jak w poezji.

Wci nieprzekonanym proponuj konkretny przykad (i z gry prosz o cierpliwo) . Spr-bujmy bez uprzedze spojrze i pokontemplowa przez momentponisz formu:

4

~ ~32

2 2

3 _ _

1

_ _

= d

1Tr Tr

4

Tr Tr32 32

D D

Tr D D

iQ i L ii

i

ij a ij aiQa j La ji

ija

S x g R

g g A A B B C C

B B C C

g Q Q L L

g V

Q Q L L

Jest to tzw. caka dziaania w teorii pola. Teoretycy twierdz, e formua ta jest pikna. Dla-czego? Oto typowa odpowied: Poniewa w zwartej postaci zawiera precyzyjny i zgodny z do-wiadczeniem opis wielu zjawisk. Nie jest atwo to zobaczy. Jest jasne, e w przeciwiestwiedo tradycyjnych przykadw pikna, tutaj potrzeba wiele dobrej woli, lat studiw, cierpliwoci,wysiku. Pojcia te nie s, zwaszcza ostatnio, w modzie. Pokolenie wychowane na wszechobec-nych reklamach preferuje tylko to, co atwe, efektowne, przyjemne, a niekoniecznie wane, czy nawet prawdziwe. Maximum Efficiency, Minimum Effort (maksimum skutecznoci, minimumwysiku) taki zgrabny slogan reklamuje np. now kart dwikow do komputera. Rzeczyw i-sto dogbnego studiowania matematyki to radykalneprzeciwiestwo tego sloganu.

Domylamy si, e ten, ko uwaa t zawi formu za pikn musi dostrzega znaczniewicej, ni tylko to, e s tam kombinacje cyfr, aciskich i greckich liter oraz innych symboli.Ten kto musi zna sposb wydobycia pewnej gboko ukrytej, zaszyfrowanej treci. W przeci-wiestwie do geometrii spirali logarytmicznej dla wikszoci, nawet wyksztaconych ludzi zapisten jest zupenie pusty, jak niezrozumiayhieroglif. Mwienie, e jest to, na obecnym etapie ro-zumienia fizyki fundamentalnej, najlepszy opis oddziaywa moe jeszcze na dodatekwywoa


8/18

8

jaow polemikwrd samych fachowcw: dlaczego jaki dzia fizyki miaby by fundamental-ny, a inny nie?

Po tym przykadzie, ktry bardziej pewnie zrazi, ni przekonasignijmy do pewnej analo-gii

6. Oto zapisany pismem klinowym fragment poematu sumeryjskiegoEnuma Elisz, ktry zosta

odnaleziony w roku 1853 na gruzach biblioteki Asurbanipala (VII w. p.n.e.) w Niniwie (obecnie

pn. Irak).

Fragment glinianej tabliczki Pocztek poematu Enuma Elisz

Wszyscy zapewne si zgodz, e, dopki nie poznamy tumaczenia tego tekstu na jaki zro-zumiay jzyk,pozostanie on tylko zbiorem kresek i trjktw, a wszelkie wyszukane epitety natemat jego pikna pozostan jaowe. Ludy, ktre uyway tego pisma wymary jeden po drugim,a ono samo popado w zapomnienie. Odcyfrowano je dopiero na pocztku XX w. Ale po prze-tumaczeniu wkraczamy w wiat staroytnej kosmogonii sumeryjskiej:

Kiedy na grze niebo nie byo nazwaneNa dole ziemia imieniem nie bya obwoanaApsu [tylko]prapierwotny ich [bogw] rodzicMummu [i] Tiamat, wszystkich si rodzicielkaWody swe w jedno mieszayany si nie potworzyy, sitowie nie byo widzialneKiedy bogowie [jeszcze] nie zaistnieli, aden [z nich]Kiedy imi [adne] nie byo nazwane, przeznaczenie nie byo ustalone

6Przykad ten pochodzi z wykadu prof. A. K. Wrblewskiego wygoszonego w maju 2006 r. na plenarnej sesji

Polskiej Akademii Umiejtnoci w Krakowie.


9/18

9

Poetycka wizjaprzetumaczonego tekstu, wzbogacona o wiadomo, e powsta on trzyi ptysica lat temu dziaa na wyobrani i to wanie stanowi subteln miar piknazakltego wbezsensownych na pozr kombinacjach trjktw i kresek. Podobnie jest z niektrymi formuamimatematycznymi, w ktrych skrywa si istotna prawda na temat realnego wiata.

Matematyka a eksperyment numeryczny

Od czasu prac m. in. A. Cauchyego (1789-1857) oraz K. Weierstrassa (1815-1897) w mate-matyce na czoowe miejsce wysuna si troska o ciso, w szczeglnoci o dowd. Precyzyjnydowd sta si atrybutem matematyki, a przykady szczeglnie estetycznych dowodw stanowiprzedmiot zrozumiaej dumy. Oczywicie, dowody pojawiay si w matematyce od pocztku,jednak z czasem dosza do tego pedantyczna dbaoo formaln czysto. W ostatecznych wer-sjach publikacji starano si, by unikaodwoa do niecisych analogii, intuicji czy heurezy.Niezwykym, a troch te kuriozalnym przykadem takiego podejcia by podany przez Russella i

Whiteheada dugi (i mtny, ale cisy) dowd

7

na to, e 1 + 1 = 2.Z drugiej strony, jak wspomniaem powyej, matematyka jest jzykiem fizyki. Ten dowiad-czalny fakt da wiele do mylenia fizykom i filozofom przyrody, ale nigdy nie ekscytowa szcze-glnie czystych matematykw.Fizyka potrzebowaa matematyki, ale potrzeba ta nie bya do nie-dawna wzajemna. Pewne wyniki fizyczne mogy, co prawda,by inspirujce dla matematyki, alezawsze mona byo doj do nich niezalenie, czystym rozumowaniem.

Tym bardziej niepotrzebny by matematyce eksperyment, w szczeglnoci numeryczny, i faktten mona atwo zrozumie. Jak np. sprawdzi e dana hipoteza jest suszna w nieskoczonejiloci przypadkw?Do tego potrzebny byby albo nieskoczenie szybki komputer, albo zwyky,ale liczcy nieskoczenie dugo. W teorii liczb znane s, bynajmniej nie specjalnie zoliwe,

przykady hipotez prawdziwych w wielu miliardach szczeglnych przypadkw, ktre kady roz-sdny eksperymentator uznaby za oglnie prawdziwe, a ktre jednak w ostatecznoci na mo-cy cisego dowodu okazay sifaszywe.Przykad ten dowodzi, jak nieyciowe, przynajmniejw tej sytuacji bywaj zalecenia filozofw nauki.

A jednak nastawienie do eksperymentu komputerowego ulego ostatnio zmianie i nie jest tojedynie kwestia mody czy propagandybo na te czynniki matematyka bya i bdzie zawsze od-porna. Oto znamienna wypowied Williama A. Steina, jednego z amerykaskich specjalistw odteorii liczb:

Dla specjalisty od teorii liczb komputer jest tym, czym teleskop dla astronoma. Byo-

by hab uczy studentw astronomii nie pokazujc im teleskopu. Podobnie, byoby ha-b uczy studentw teorii liczb niepokazawszy im jak wygldaj liczby cakowite przezobiektyw komputera8.

7B. Rus sell , A. N. Whiteh ead , Principia Mathematica, 3 tomy, 19101913.

8W. A Stein, wykady z teorii liczb na Uniwersytecie Harvarda, 2001.


10/18

10

Teoria liczb

Nie trzeba szczeglnie duej kultury matematycznej9, by zorientowasi, e kada ga ma-tematyki posiada swj wasny, niepowtarzalny styl. Kada te dopracowaa si indywidualnychmetod, ktrych na og nie mona bezporednio przeszczepi na teren innej gazi; byyby tamone po prostu nieprzydatne.

W rnorodnej galerii dziaw matematyki teoria liczb to bardzo silna i niezalena osobo-wo. Ta krlowa matematyki (jak j patetycznie nazwa Gauss, nota bene sam znany jakoprinceps mathematicorum, ksi matematykw) rozwijaa siprzez ponad dwa tysice lat. Jakto trafnie zauway jeden z bourbakistw10, Jean Dieudonn (1906-1992), wiele gazi matema-tyki jest ju w stadium wyczerpaniasjak wyeksploatowane zoa, np. geometria elementarna,teoria funkcji eliptycznych, teoria niezmiennikw lub funkcji jednej zmiennej zespolonej.Stwierdzenie to nie ma to na celu wartociowania, a jeli ju, to jest to bardziej komplement, niinwektywa. Wspomniane dziay s jak klasyczne budowle, do ktrych nie ma potrzeby niczego

dodawa, jako e dodawanie nowych elementw mogoby ju tylko zakci raz ustalonharmo-ni.Mona je wic tylko z poytkiem studiowa, ale nie sposb ich dalej rozwija.Dieudonnporwnuje te rne dziay matematyki do gwiazd na cigu gwnym [ktre wci ewoluuj]lub tych, ktre ju opuciy cig gwny [i ich ewolucja dobiega kresu]. W tym sensie, jak tostwierdziwspczesny matematyk kanadyjski Peter Borwein:

Teoria liczb [pomimo ponad dwu tysicy lat rozwoju] jest wciw stadium pocztko-wym: nasza ignorancja znacznie przewysza to, co wiemy. Nawet w przypadku liczby taksawnej i tak popularnej jak ,nasza niewiedza jest wci niepokojco dua.

Teoria liczb dzieli sinabardziej szczegowe dziay, z ktrych najbardziej, jak sdz, god-nym uwagi jest analityczna teoria liczb. Bada ona m. in. rozmieszczenie liczb pierwszych wrdliczb cakowitych za pomoc pewnej matematycznej funkcji, ktr zna i studiowaju LeonardEuler (1707-1783), ale ktrej istot rozezna dopiero Bernard Riemann (1826-1866). Oto frag-ment z dziea Eulera:

9Warto podkreli, e nie jest to pojcie sztuczne. Wiedza matematyczna, w przeciwiestwie do wyksztacenia

w niektrych innych dziedzinach, to co wicej, ni tylko suma prosta poszczeglnych informacji, ktramoe co najwyej prowadzi do erudycji, ale nie gwarantuje ani peni zrozumienia, ani twrczego rozwoju. 10

Powstaa w poowie lat 30-tych XX wieku grupa kilkunastu matematykw francuskich, ktrych celem byom. in. ukazanie nowoczesnej, aksjomatycznej struktury matematyki. Cel ten realizowali wydajc ponad trz y-dzieci monografii pisanych pod pseudonimem Nicolas Bourbaki. Niezamierzonym skutkiem ich dziaalnoci

byo to, e swym nieintuicyjnym stylem skutecznie i na wiele lat zrazili fizykw do lektury swych dzie.


11/18

11

Fragment fundamentalnego dziea EuleraIntroductio in analysin infinitorum (Wstp do analizy nieskoczono-ci) wydanego w Lozannie w 1757 r. Po raz pierwszy pojawia si tu funkcja zmiennej n oznaczana przez Eule-ra literP, azwana pniej funkcj (zeta) Riemanna.

W przeciwiestwie do niespjnej notacji matematykw poprzednich pokole, formuy Euleras na og czytelne dla wspczesnych nam czytelnikw. W kocu to Euler ustali i spopularyzo-wa przyjte do dzi konwencje. Formuy te sjednakna ogirytujco rozwleke. W nowocze-snej, bardziej oszczdnej notacjipowyszy zapis wyglda nastpujco:

1

1 1( ) 1

1s s

np

s s

p n

Istot tego niezwykego wzoru jest to, e iloczyn po lewej przebiega tylko liczby pierwszep = 2,3,5,7,, natomiast suma po prawejwszystkie liczby naturalne n = 1,2,3,4, Wspomnia-na suma definiuje jednoczenie pewn funkcj analitycznzmiennej s, ktr mona bada meto-dami analizy matematycznej.

Matematyka zna wiele funkcji. Niektre s tradycyjnie znane jako elementarne, innejakoalgebraiczne, przestpneoraz specjalne. Te ostatnie w literaturze angielskiej noszpate-tyczn nazw: higher transcendental, co bdnie sugeruje jakoby wykraczay one poza zasig

dowiadczenia i poznania ludzkiego. Wszystko to sjednakzaszoci historyczne, mylce i bezwikszego znaczenia.Wrd matematycznych funkcji zeta Riemanna jest autentycznie wyjtkowa. Zawiera w sobie

bowiem tajemnic rozmieszczenia liczb pierwszych wrd liczb cakowitych. Jest to problem,ktry mona postawi na pocztku nauczania arytmetyki, w sposb cakowicie elementarny, ale,jak to okreli matematyk Paul Erds (1913-1996), jego rozwizanie moe si pojawi dopiero


12/18

12

za miliony lat, ale nawet i wtedy nie bdzie ono pene, bowiem w tym przypadku stoimy n a-przeciw Nieskoczonoci11.

Od czasu omiostronicowej zaledwie pracy Bernharda Riemanna z r. 1859 wiemy, e rozwi-zanie tej zagadki, cho wci bardzo odlege, zawarte jest w rozmieszczeniu na paszczynie ze-spolonej rozwiza prostego rwnania(s) = 0. Mona atwo pokaza, e rwnanie to speniajliczby s =2,4,6, (tzw. zera trywialnie) oraz nieskoczenie wiele liczb zespolonych poo-onych w pasie 0 Re s 1 (tzw. zera nietrywialne). Hipoteza Riemanna mwi, e wszystkiezera nietrywialne le dokadnie na prostej Res = .Mona te dowie, e jeli hipoteza Rie-manna jest prawdziwa, to rozmieszczenie liczb pierwszych jest wzgldnie regularnie; jeli nie wwczas moemy powiedzie, e nie wiemy o tym rozmieszczeniu praktycznie nic.

Fragment manuskryptu Riemanna ze sawn hipotezdotyczc rozmieszczenia zespolonych rozwiza rw-nania (s) = 0.

und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wre allerdings ein strenger Beweis zuwnschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flchtigen vergeblichen Versuchen vorlufigbei Seite gelassen, da er fr den nchsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

jest bardzo prawdopodobne, e wszystkie pierwiastki s rzeczywiste. Oczywicie, cisy dowd byby tu bar-dzo podany.Po kilku krtkich, nieudanych prbach odoyem chwilowo na jaki czas poszukiwania tegodowodu, bowiem nie wydaje si on niezbdny dla kolejnego przedmiotu moich bada.

Problem ten, postawiony do mimochodem przez Riemanna jest od ptora stulecia najwik-szym wyzwaniem matematyki, a w przypadku niektrych matematykw wrcz obsesj. Bez-skuteczne poszukiwanie rozwizania pochono wiksz cz ich ycia. Pocztkowo problemten wyglda na do proste zadanie. Dzi, po 150 latach wysikw, nie wiemy nawet, czy licznedotychczasowe prby, cho same w sobie pomysowe i owocne, zbliyy nas cho troch do jegorozstrzygnicia.

11P.Erds w wywiadzie dla P. Hoffmana, Atlantic Monthly, listopad 1987, s. 74.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Erdos.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Erdos.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Erdos.htmlhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Erdos.html


13/18

13

U gry: Wizualizacja funkcji zeta Riemanna. Jest to funkcja zespolona zmiennej zespolonej. Wykrelonoosobno jej cz rzeczywist oraz cz urojon. Obydwie powierzchnie dotykaj jednoczenie paszczyzny

zmiennej zespolonej w pewnych izolowanych punktach lecych na tzw. prostej krytycznej Re s = .

U dou: Rozmieszczenie miejsc zerowych funkcji zeta na paszczynie zespolonej.

Prawdopodobnie ju sam Riemann obliczy numerycznie wartoci kilku (-nastu?) pocztko-wych zespolonych miejsc zerowych funkcji zeta. W miar rozwoju technik numerycznych orazszybkich komputerw ilo ta wzrastaa systematycznie. Aktualny (2004 r.) rekord naley domatematykw francuskich: Xaviera Gourdona i Patricka Demichela, ktrzy policzyli pooenia


14/18

14

tych zer a do zera numer10,000,000,000,000 1013. Jak dotd wszystkie one le dokadnie naprostej krytycznej. Zgodnie ze zdrowym rozsdkiem jest to silny argument za susznoci posta-wionej przez Riemanna hipotezy, gdyby nie to, e w teorii liczb zdrowy rozsdek nie raz prow a-dzi na manowce. Atrybutem tej teorii bowiem nieskoczono, a w obliczeniach pojawia siczsto tzw. logarytm iterowany. Warto tego ostatniego, nawet dla psychologicznie tak ol-

brzymiej liczby jak 1013, czyli log(log(1013)) 3.4, nie jest dua. Obliczenia te nie maj zatemna celu potwierdzenia hipotezy Riemanna; ich motywacj jest raczej nadzieja na jej obalenie, tj.na znalezienie kontrprzykadu: niesfornego miejsca zerowego, ktre odstawaoby od prostej kry-tycznej.

Gdy ilo zebranych danych eksperymentalnych jest ju dostatecznie obfita, a wci nie madobrego pomysu na ich uporzdkowanie, gdy brak trafnej odpowiedzi na pytanie, co rzdzi tymidanymiwwczas, z braku czego lepszego odwoujemy si do statystyki. Badania statystyczneto metoda mao subtelna, mwic wprost: toporna. (Dla szczeglnie zoliwych bywa wrcz sy-nonimem oszustwa!) Ma ona jednak przynajmniej jedn zalet: jest uniwersalna. Mona j sto-

sowa m. in. w biologii, psychologii a take naukach spoecznychmimo e dziedziny te s tra-dycyjnie bardzo odporne na wszelk inn, porzdn matematyk. Typowa rola statystyki toenhance visible, reveal hidden (podkreli widoczne, ujawni ukryte). Sceptycy powiadaj, estatystyka potwierdzi tylko to, co i tak wida na oko, a nie ujawni tego, czego i na oko nie wida.Czsto tak bywa. Poniszy przykad dowodzi jednak, e moe by inaczej, e nowoczesna staty-styka dysponuje dostatecznie wyrafinowanymi narzdziami, by wydoby prawidowoci mocnoukryte w gszczu liczb.

Historia, filozofia, przypadek, racjonalno, marzenia

Na wyspach BergamutachPodobno jest kot w butach,

[]I tresowane szczury

Na szczycie szklanej gry,Jest so z trbami dwiemaI tylko wysp tych nie ma.

Jan Brzechwa

Znany amerykaski fizyk-teoretyk, prawdopodobnie najwybitniejszy z yjcych, Steven We-inberg (ur. 1933), ktry nie stroni od (nie zawsze trafnych) refleksji oglnychzauway niedaw-no, e postp w historii nauki znacz na og odkrycia dotyczce przyrody, jednak w pewnychpunktach zwrotnych dokonuje si odkry na temat samej nauki12. Opisywana przeze mnie sytu-acja dotyczy wanie samej nauki.

W tym miejscu krtka dygresja na temat pewnych, zdawaoby sirozsdnych zalece filo-zofw nauki. Ci ostatni zawsze chcieli by przydatni. Jeden z nich, Joachim Metallmann

12S. Wein berg ,Living in the Multiverse, arXiv:hep-th/0511037 v1, 3 Nov 2005.


15/18

15

(1889-1942), uwaa, e zadaniem filozofii jest ukazanie znaczenia i celu nauki13, jako e samanauka nie jest w stanie tego ukaza. Inni filozofowie nie szczdzili wielu bardziej konkretnychrad. Nie wiem, ile z tych rad sprawdzio si w praktyce, ile pozostao bez echa, a ile wyrzdziowicej szkody, ni poytku.Jest faktem, e matematycy i fizycy, nawet jeli czytuj dziea filo-zofw, to zwykle nie traktuj ich jako wyroczni w codziennej pracy. Maj ku temu solidne po-wody. Na przykad, w swej teorii wiedzy naukowej Karl Popper (1902-1994) zaleca sformuo-wanie miaego przypuszczenia, penego treci, a nastpnie poddanie go eksperymentom nu-merycznym. W przypadku potwierdzenia tego przypuszczenia w dugiej serii numerycznycheksperymentw, zyskuje ono na sile i w sensie nauk przyrodniczych zostaje dowiedzione14.

W przypadku teorii liczb zalecenia Poppera s absurdalne; potraktowane dosownie mog wy-rzdzi wiele szkody. Zdaj sobie spraw, e w stosunku autorytetu tej klasy, co sir Popper brzmito nietaktownie, ale przywoujc na pomoc samego Arystotelesa dodam tylko, eamicus Plato,sed magis amica veritas.

Powrmy do gwnego wtku. Od blisko 150 lat matematycy stoj przed trudnym probl e-

mem hipotezy Riemanna i nikt nie ma dobrego pomysu na jej rozstrzygnicie. Materia nume-ryczny przyrasta stopniowo. W sensie filozofii Poppera coraz bardziej dowodzi jej susznoci,ale oczywicie nie zblia nas do cisego rozwizania; co najwyej pokazuje krzepicy (i nieu-nikniony) fakt, e moc obliczeniowa komputerw systematycznie ronie z czasem.

Ponad wier wieku temu pojawia si zaskakujca sugestia, e rozwizanie tej matematycznejzagadki moe nadej od strony fizyki, ze wiata kwantw. Dopomg czysty przypadek: spotka-nie matematyka H. Montgomeryego z fizykiem F. Dysonem (ur. 1923) w Princeton w roku1972

15. Dyson, wtedy sawnyju fizyk, wsptwrca elektrodynamiki kwantowej16, zagadn

Montgomeryego, modego teoretyka liczbowego na temat jego pracy. Ten odpar, e zajmuje sirozkadem zer funkcji zeta. Postulowana przez niego tzw. dwupunktowa funkcja korelacyjna ma

posta:

2

2 2

sin ( )1

x

x

Dyson zauway natychmiast, e identyczna funkcja opisuje rozkad wartoci wasnych tzw.losowych macierzy hermitowskich, ktre z kolei dobrze odtwarzaj rozkad poziomw energe-tycznych cikich jder atomowych, np. Uranu-238 lub Toru-232. Posta tego rozkadu zapropo-nowa w latach 50-tych XX w. wspomnianypowyej E. Wigner.Spostrzeenie Dysona stao si

motywacj dla bardziej dokadnych bada statystycznych nad zerami funkcji zeta. Okazao si,

13M. Heller, J. Mczka , Krakowska filozofia przyrody w okresie midzywojennym, Prace Komisji Historii

Nauki PAU, t. VI, Krakw 2004, s. 232.14

P. J. Dav is , R. Hers h, wiat matematyki, PWN, Warszawa 1994, s. 315-316.15

Spotkanie to zostao m. in. opisane w mojej ksice pt.Liczba i kwant, OBI, Krakw 2005.16

Dyson zosta pominity przez komitet noblowski. Nagrod za elektrodynamik kwantow dostali pozostalijej twrcy: R. Feynman, J. Schwinger i Sh. Tomonaga.


16/18

16

e istotnie ich rozkad jest zgodny z sugesti Montgomeryego. Jest to fakt zdumiewajcy, jakoe rozkad ten jest do nietypowy17.

Funkcja korelacji par (ang.pair correlation) dla miliarda zer funkcji zeta w pobliu zera o numerze kolejnym10

23. Wida charakterystyczne zjawisko odpychania poziomw (ang. level repulsion), typowe te dla pozio-mw energetycznych cikich jder atomowych, co oznacza, e bliskie odlegoci s rzadkie.

Trudno w tym miejscu oprze si wraeniu, e skoro te dwie dziedziny (liczby i kwanty), po-zornie tak odlege i nie przystajce do siebie, czy ukryte podobiestwo, to nie moe to byprzypadek. Uywajc jzyka filozofw przyrody moemy postawi tez, e jest to wany przy-kad dowodzcy racjonalnoci przyrody nabardzo gbokim poziomie. W tym miejscu filozofodejdzie usatysfakcjonowany do swych dywagacji, natomiast teoretyk, wieczny malkontent, za-

cznie pyta: jaki jest mechanizm tej racjonalnoci? Czyby konserwatywny Dirac mia mimo

wszystko racj, mwic, e nie naley zbytnio przejmowa si obserwacjami; e studia nad cz y-st matematyk doprowadz w kocu do odkrycia fundamentalnych praw przyrody?

Kilka lat temu francuski fizyk matematyczny Oriol Bohigas wylansowa, troch na wyrost,zgrabn nazw:Riemannium. Byby to pewien hipotetyczny ukad kwantowy wielu cia, ktrego

17W wersji tzw. odlegoci do najbliszego ssiada (ang. near neighbor spacing) jest on opisywany nielinio-

wym rwnaniem rniczkowym typu Painlev V. Nie jest to zatem ktry z pospolitych rozkadw typu Gaus-sa, Poissona itp.


17/18

17

poziomy energetyczne odpowiadayby czciom urojonym zer funkcji zeta. Jego istnienie auto-matycznie dowodzioby prawdziwoci hipotezy Riemanna! W ostatnich latach udao si przewi-dzie wiele wasnoci takiego ukadu18. W ten sposb najczystsza ga matematyki teoria liczboraz najbardziej udana teoria fizycznamechanika kwantowamog okaza si dwiema stro-nami tej samej numerycznej monety. Speni si wwczas ukryte pragnienia pitagorejczykw

sprzed 2300 lat: A cae niebo jest harmoni iliczb.Oczywicie, wszystko to moe by tylko zudnym marzeniem. Riemanniummoe podzieli

los mocno reklamowanych przed laty superstrun jako upragnionej teorii wszystkiego lub nawetsta si podobne do poetyckiej wizji Jana Brzechwy z wiersza Na wyspach Bergamutach. Licznimieszkacy tych wysp te zostali szczegowo opisani, ale wiersz koczy si nostalgicznymstwierdzeniem: I tylko wysp tych nie ma.

Wtedy trzeba bdzie z pokor przypomnie sobiewspomniane na pocztku tego referatu sen-tencje Banachiewicza i Paczyskiego, zrezygnowa z ambitnych marze pogrobowcw Einsteinai Diraca, pojedna si z technikami z laboratoriw i powrci do cierpliwego szukania praw i-

dowoci w mtnym morzu danych obserwacyjnych. Do rangi wielkich uczonych awansuj wte-dy elokwentni specjalici od komputerw, przetwarzania danych i modnych, cho krtko yj-cych nowinek technicznych.

Przygnbiajca wizja.Mam nadziej, e Bg nie ten fikcyjny z aforyzmw Einsteina, ale tenprawdziwyuchroni nauk od tak banalnego scenariusza.

Zakoczenie: zejcie na ziemi

Na koniec tego referatu, aby troch odetchn, zadajmy pytanie bardzo proste znacznieprostsze, ni wikszo ambitnych i trudnychproblemw, o ktrych bya mowa powyej. Brzmi

ono: czemu naprawd maj suy konferencyjne referaty?Retoryczne, wrcz nietaktowne pyta-nie. By moe. Ale o ile tamte pytaniabyy na og do beznadziejne, to jedno ma przynajmniejszansna szybk odpowied.

Referaty su, oczywicie, prezentacji osigni prelegenta oraz powikszeniu wiedzy su-chaczy. Czasem chodzi o nawizanie kontaktw i nieformalne rozmowy w czasie coffee break.Konferencja to dobrypretekst, by odwiedzi nowe, atrakcyjne miejsca. Zwykle chodzi te o za-mieszczenie tekstu referatu w konferencyjnych sprawozdaniach, czym mona si potem pochwa-li (Spjrzcie tylko, w jak wietnym towarzystwie jestem!), a take zgosi to jako cenny punktw dorocznym sprawozdaniu. Tak przynajmniej powinno by teoretycznie. A moe pytanie tosugerujepodstpnie, e w praktyce bywa inaczej?

C, szczero jest przywilejemjednostek wybitnych. To, czego zwykym wyrobnikom naukimwi nie wypada, w przypadku uznanych uczonych nie prowadzi do wikszej konsternacji;przeciwnie: staje si przedmiotem uczonych komentarzy, a z czasem dobrze sprzedajcych sianegdot. Uznanie zatem sprawia, e pospolity brak taktu awansuje nieoczekiwanie do trafnejuwagizgodnie ze funkcjonujc od dawnazasad: Nie wane, co mwi; wane, ktomwi.

18P. Leb oe uf , A. G. Mon ast ra , O. Bo hig as , The Riemannium, arXiv:nlin/0101014 v1, 8 Jan 2001.


18/18

18

W jednym ze swych popularnych wykadw na temat elektrodynamiki kwantowej RichardFeynman (1918-1988) stwierdzi rozbrajajco szczerze, e tego co powie nie zrozumie nikt; wszczeglnoci on sam te tego nie rozumie. Kiedy indziejby jeszcze bardziej szczery. Owiad-czy bez zaenowania, i niektrzy z jego suchaczy z gry zakadaj, e nie zrozumiej nic, a nawykad przyszli wycznie z ciekawoci, by zobaczy, jaki krawat ma prelegent. I tu spotka ich

zawd, jako e on, Feynman, krawatw nie nosi19.Z kolei znany matematyk amerykaski polskiego pochodzenia, Andrew M. Odlyzko20, zako-

czy jeden ze swych referatw przegldowych na temat analitycznej teorii liczb nastpujcymstwierdzeniem, w ktrym sparafrazowa ogoszenie wiszce na cianie w komputerowym HelpCenterjego macierzystego uniwersytetu stanu Minessota:

Przykro nam, e nie bylimy w stanie rozwiza wszystkich waszych problemw.Zdajemy sobie spraw z tego, e jestecie teraz rwnie zdezorientowani, jak wtedy , gdyprzyszlicie tu po pomoc. Mamy jednak nadziej, e terazjestecie zdezorientowaniu nawyszym poziomie zrozumienia ni wczeniej [confused on a higher level of understan-ding than before].

Jako niepoprawny realista wiem doskonale, e nie mona w marne trzy kwadranse wtoczydwch tysicy lat rozwoju teorii liczb i trzystu lat rozwoju nowoczesnej fizyki, wraz ze wszyst-kimi ich gbokimi odkryciami, a takeznacznie bardziej licznymilepymi zaukami. Refera-ty konferencyjne su wic czsto dezorientacji. Licz jednak na to, e i w tym przypadku b-dzie to dezorientacja na wyszym poziomie zrozumienia.

19R. P. Feynman, QEDosobliwa teoria wiata i materii, PIW 1992, s. 14.

20Andrzej Micha Odyko urodzi si w Tarnowie w 1948 r. W latach szedziesitych wyemigrowa do USA.

W roku 1984, wsplnie z matematykiem holenderskim Hermannem te Riele, dowid, e blisko stuletnia hip o-teza Mertensa w teorii liczb jest nieprawdziwa. (Gdyby bya, wwczas automatycznie prawdziwa byaby te

prawdziwe sawna hipoteza Riemanna, a tak beznadziejnie trudna kwestia prawdziwoci tej ostatniej pozostajeotwarta.) Odyko zasyn te jako niestrudzony badacz rekordowo wysokich miejsc zerowych funkcji zetaRiemanna.

LiczbaIkwant

Documents

Transcript of LiczbaIkwant