Kurs Przed Matura - poziom rozszerzonymateriały dla prowadzących, v.29 (22.02.10)

1. Lekcja [...] liczby rzeczywiste: a) planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; wszczególności oblicza pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych, b)bada, czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną, c) wyznacza rozwinięcia dziesiętne; znajdujeprzybliżenia liczb; wykorzystuje pojęcie błędu przybliżenia, d) stosuje pojęcie procentu i punktuprocentowego w obliczeniach, e) posługuje się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego;zaznacza przedziały na osi liczbowej [...]

(a) (Maturalne) Oblicz(√

2−√

3−√

2 +√

3)2

.

(b) Uprościć wyrażenie: x2+ 1x

x+ 1x−1 .

(c) Rozwiązać nierówność: x2 + 16 > (x+ 4)2.

(d) Znaleźć wszystkie liczby spełniające nierówność 2x−34 + x2 i należące do ℕ (W szkołach

liczby naturalne zaczynają się od 1)

(e) Dla jakich wartości parametru m pierwiastek równania 6x − 5m = 3(m + 1) − 2x jestwiększy od −32?

(f) Woda morska zawiera 5% soli, Z jaką ilością słodkiej wody należy zmieszać 60 kg morskiejwody, aby zawartość soli zmniejszyła się do 3%?

(g) Zmieszano pewną ilość 15-procentowego roztworu kwasu solnego z pewną ilością roztworu40-procentowego, otrzymując roztwór 30-procentowy. Gdyby każdego roztworu wziąć o10 litrów mniej, to otrzymano by roztwór 35-procentowy. Po ile litrów każdego roztworuwzięto do pierwszej mieszaniny?

(h) Sprawdzian, zadanie otwarte: Przedział(−32 , 0

)jest zbiorem wszystkich nierówności 2

x<

m z niewiadomą x. Oblicz m.

(i) Sprawdzian, zadanie otwarte: Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokachc i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b.Oblicz, ile procent pola prostokata o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c id. Jest to zadanie wzięte z matury podstawowej. Jeżeli bedą z nim problemy, to warto tokursantom rozszerzonym uświadomić :)

2. Lekcja [...] wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zazna-cza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: |x−a| = b, |x−a| > b,|x − a| < b, stosuje twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze; wyznaczanajwiększy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność pary liczb naturalnych, [...]

(a) Uprościć wyrażenie:(a−ba+b + a+b

a−b

) (a2+b22ab + 1

)ab

a2+b2 .

(b) (Matura) Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość |x − 1| +|x − 3| = 2.Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których sumaodległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i Boraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do A i do B.

(c) (Matura)Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie |x−2|+|x+3| =p ma dokładnie dwa rozwiązania.

(d) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10?

(e) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa odcyfry jedności?

(f) Rozwiązać nierówność :|x+ 1| − |x| > 0

(g) Rozwiązać nierówność: |x− 2| − |x− 1| ­ |x+ 1| − 5

(h) W prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczyć punkty, których współrzędne speł-

niają układ nierówności:

|y − x| ¬ 1|x+ 3| ¬ 1

(i) Sprawdzian (zadania zamknięte)

i. Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest:A. 16 , B. 20, C. 25, D. 30

(j) Sprawdzian: Rozwiąż nierówność |x− 2|+ |3x− 6| < |x| .

3. Lekcja [...] oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach owykładnikach wymiernych i rzeczywistych [...]Zadanka wyglądają na nieco siłowe, lecz ich rolajest nie do przecenienia, są dużą inwestycja w przyszłość; ćwiczą umiejętność odnalezienia sięw złożonych wyrażeniach algebraicznych i upraszczania ich z mniejszym wstrętem, wyrabiająumiejętność autokorekty (nie da się w nich choć raz nie pomylić) i zwalczają szkodliwy nawykliczenia zbyt wielu rzeczy w pamięci.

(a) Uprościć wyrażenie:a2( 1b− 1c)+b2( 1c− 1a)+c2( 1a− 1b )abc(c−b)+ b

ca(a−c)+ c

ab(b−a)

(b) Uprościć wyrażenie: a2+a−2an+1−3an

((a+2)2−a24a2−4 −

3a2−a

), n ∈ ℕ

(c) Wykonać działanie: n+2+√n2−4

n+2−√n2−4 + n+2−

√n2−4

n+2+√n2−4

(d) Uprościć wyrażenie:a−1+b−1+2(

√a+√b)−1

(a−12+b−

12

)(ab−a

√ab

a+√ab

)−1 .

(e) Udowodnić, że√

2 nie jest liczbą wymierną.(Omawiamy jedynie wtedy, gdy będziecie mieliwrażenie, że kogoś takie zadanie zainteresuje)

(f) (matura) Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale [−2, 2] wzorem a) f(x) = 2x−1,b) f(x) = 2x−1 .

(g) Rozwiązać równania: 33x−1 = 9x+2, 4x−5 · 16x+3 = 64, 25x − 5x+1 + 5 = 5x

(h) Wiadomo, że 1.5849 jest przybliżeniem liczby 100.2 z zaokrągleniem do 4 miejsc po prze-cinku. Wyznacz przybliżenie liczby 10−

45 z zaokrągleniem do 3 miejsc po przecinku oraz

przybliżenie liczby 10115 z zaokrągleniem do 1 miejsca po przecinku.

4. Lekcja [...] zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, loga-rytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym [...]

(a) Uprościć wyrażenie: 1+(a+x)−1

1−(a+x)−1(1− 1−(a

2+x2)2ax

), jeżeli x = 1

a−1 .

(b) Obliczyć na podstawie definicji logarytmu: log101100 , log 1

2

18 , log 1

327, log 1

8

12 , log 1

93√

3,log√2

28

(c) Narysować funkcje: f(x) = log2 x, f(x) = log2 |x|, f(x) = log 12x, f(x) = log 1

2|x|,

f(x) = | log 12|x+ 1||

(d) Obliczyć: 4log2 3, 25−log2 5, 81−log2 5, 2log2√2 3, log3 5 · log25 81,(3√

2) 1log3 2 ,

(32

)1+ 11−log3 2 ,

361−log6 3 + 25− log5 6

(e) Udowodnić, że log6 2 = log3 2 · log4 3 · log5 4 · log6 5

(f) Wiedząc, że log 2 = a, obliczyć: a) log 5, b) log 125

(g) Wiedząc, że log14 7 = a i log14 5 = b obliczyć log35 28.

5. Lekcja [...] posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 − b2, a3 ± b3

[...]Umiejętności tego typu przydadzą się i przy równaniach kwadratowych i przy równaniachokręgu

(a) Rozwiązać równania: log(x − 3) − log(2 − 3x) = 1, log(54 − x2) = 3 log x, log(2x−5)x2−8 = 1

2 ,log3(3

x − 8) = 2− x

(b) Rozwiązać równania: xlog x−2 = 1000, 4− log x = 3√

log x, x1−log x4 = 10

(c) Rozwiązać równania: log log log x = 0, log4 log3 log2 x = 12

(d) Wiedząc, że log5 x = y, wyraź przez y wyrażenia: log5 x2, log5

(1x

), log25 x.

(e) Usunąć niewymierność z mianownika ułamka: 12+√5+2√2+√10

(f) Udowodnić równość: 3√√

5 + 2− 3√√

5− 2 = 1

(g) Udowodnić, że: 3√

54 + 30√

3 + 3√

54− 30√

3 = 6

(h) Udowodnij, że jeśli: a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y2 ­ 2xy, b) x, y, z sąliczbami rzeczywistymi takimi, że x+ y + z = 1 , to x2 + y2 + z2 ­ 13 .

6. Lekcja [...] b) rozkłada wielomian na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, grupowaniewyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias [...] rozwiązuje równania wielomianowemetodą rozkładu na czynniki [...]

(a) Wykonać dzielenie wielomianów: (x3 + x− 2) : (x− 1), (x5 + x+ 2) : (x+ 1)

(b) Obliczyć resztę z dzielenia wielomianów: (2x3−3x2+5x+1) : (x−3), (3x4+x2+1) : (x+2)

(c) Wielomiany W (x) = ax(x+ b) i V (x) = x3 + 2x2 + x są równe. Oblicz a i b.

(d) (Matura) Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu x17 − mx15 +(m− 2)x10 + 2x+m2 − 2 przez dwumian x− 1 jest równa 3?

(e) (Matura) Wielomian f jest określony wzorem f(x) = ax4−9x3+3x2+7x+b dla pewnychliczb pierwszych a oraz b. Wiadomo, że liczba 32 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicza i b.

(f) Wyznaczyć a i b tak, aby wielomian x4 − 3x3 + 6x2 + ax+ b był podzielny przez x2 − 1.

(g) Dla jakich wartości a, b, c liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem równania x4+ax3+ bx2+cx− 1 = 0?

(h) Rozwiązać równanie: x4 + 3− |3x2 + x| = 0.

(i) Wykazać, że dla n ∈ ℕ wielomian (x−2)2n+(x−1)n−1 jest podzielny przez (x−1)(x−2).

7. Lekcja [...] dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany, wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wy-miernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające sięsprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomocą przekształceń opi-sanych w punkcie b), posługuje się wzorem (a − 1)(1 + a + ... + an−1) = an − 1, b) wykonujedzielenie wielomianu przez dwumian x − a; stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomia-nu przez dwumian x − a, c) stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu owspółczynnikach całkowitych [...]

(a) Rozwiązać nierówność: (x2 + 3)(x− 1)3(2x− 3)(1− 2x)(x− 4)2 < 0.

(b) Rozwiązać nierówność: 1+x3

x2−1 ¬ x.

(c) Rozwiązać nierówności: 1x¬ x2, 1

(x−1)3 ¬1

x−1 .

(d) Dla jakich liczb a i b wielomian x2−bx+1 jest podzielnikiem wielomianu x3−x2+bx+a?

(e) Znaleźć takie liczby a i b, dla których wielomian 6x4 − 7x3 + ax2 − 3x + 2 dzieli się bezreszty przez trójmian x2 − x+ b.

(f) Pewien wielomian daje przy dzieleniu prze (x−1) resztę 2, natomiast przy dzieleniu przez(x− 2) resztę 3. Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x− 1)(x− 2).

(g) Dla jakich liczb a, b i c wielomian x3+ax2+bx+c jest podzielny przez każdy z dwumianówx− 1, x+ 2, x− 3?

(h) Wielomian p(x) = (ax + b)3 podzielony przez (x + 1) daje resztę −1 a podzielony przez(x− 2) resztę 27. Znaleźć wartości a i b.

(i) Rozwiązać równanie 9 log5 x = 25 logx 5, przedstawiając odpowiedź w postaci 5pq , p, q -

całkowite.

(j) Ile jest liczb czterocyfrowych zawierających przynajmniej jedną cyfrę 3?

8. Lekcja [...] oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej, dodaje,odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; skraca i rozszerza wyrażenia wymierne [...]

(a) Wielomian p(x) = x3+ 3x2+ax+ b daje taką samą resztę gdy podzielimy go przez (x−2)lub przez (x+ 1). Znajdź wartość a.

(b) Dla jakich wartości x zachodzi równość: |x+ k| = |x|+ k, gdzie k ∈ ℝ+?

(c) Rozwiązać równanie | log10(x− 3)| = 1

(d) Staś i Nel chcą hodować groszki i róże. Mają 16 hektarów ziemi, sadzonki róż kosztują20 pln na hektar a nasiona groszku 12 pln na hektar. Do wydania mają 240 pln i mu-szą obsadzić groszkiem minimum 6 hektarów. Opisz matematycznie i narysuj zależnościwystępujące w zadaniu. Z hektara można otrzymać 7000 róż lub 10000 groszków. Różakosztuje 2 pln a groszek 1.5 pln. Podaj maksymalny zysk, jaki Staś i Nel mogą otrzymać.

(e) Wiedząc, że (a+ b)2 = a2+ 2ab− b2 oraz (a2− b2) = (a− b)(a+ b) przedstawić wielomianf(x) = x2+2x−3 w postaci (x±c)2−d2 a potem w postaci (x−x1)(x−x2). (UWAGA: niekorzystamy ze wzorów na deltę, bo zależy nam na umiejętności manipulacji wyrażeniamialgebraicznymi).

(f) To samo dla a) f(x) = x2 − x − 2, b) f(x) = x2 + 3√

2x + 4, c) f(x) = −x2 − x + 34 , d)

f(x) = 2x2 + 7x+ 3 (żeby każdy miał szansę być przy tablicy).

(g) Dla jakich k funkcja f(x) = x2 + x(2− k) + k2 spełnia równanie: f(x) > 0, x ∈ ℝ+(h) Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania x2−kx+(k+1) =

0 wynosi 13?

9. Lekcja [...] rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumyprzedziałów, jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje wzory Viete’a, b) rozwiązuje rów-nania i nierówności kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z niej wnioski[...]

(a) Znaleźć zakres k, dla którego równanie kx2 − 3x+ (k + 2) = 0 ma dwa różne pierwiastki.

(b) Rozwiązać równanie: log2(5x2 − x− 2) = 2 + 2 log2 x

(c) Znaleźć wartości k, dla których równanie (1 + 2k)x2 − 10x+ k − 2 ma rozwiązanie.

(d) Dla jakich k równanie kx2 − (k − 3)x+ (k − 8) nie ma pierwiastków?

(e) Dla jakich wartości m: m(x+ 1) ¬ x2?

(f) Rozwiązać równanie 2(log x)2 = 3 log x− 1.

(g) Rozwiązać równanie 2(4x) + 4−x = 3.

(h) Dane jest równanie x2 + bx + c = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b oraz c tak, bybyły one rozwiązaniami danego równania.

10. Lekcja [...] rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące dorównań i nierówności kwadratowych, rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwa-dratowych, rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzącedo badania funkcji kwadratowej (bez minimum) [...]

(a) Rozwiązać równanie x4 − 10x2 + 9 = 0

(b) Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania:x2 − 2mx+m2 − 1 = 0 należą do przedziału (−2, 4) ?

(c) Liczby x1 = 5+√

23 i x2 = 5−√

23 są rozwiązaniami równania x2−(p2+q2)x+(p+q) = 0z niewiadomą x. Oblicz wartości p i q .

(d) Dane jest równanie: x2+(m−5)x+m2+m+ 14 = 0. Zbadaj, dla jakich wartości parametrum stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartośćnajmniejszą. Wyznacz tę wartość.

(e) Do zbiornika o pojemności 700m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągujednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5m3 wody więcej niż druga rura.Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napeł-niania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanienapełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

(f) Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każ-dego dnia pierwszy z nich wykona m , a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonajązlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował sięi wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował,(nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n .

(g) W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział:„Jeśli swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojegourodzenia”. Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził sięten jubilat.

(h) Na drodze 36m przednie koło samochodu zrobiło o 6 obrotów więcej niż tylne. Gdybyobwód każdego koła był większy o 1 m, to na tej samej drodze przednie koło wykonałobyo 3 obroty więcej niż tylne. Znaleźć obwody obu kół.

11. Lekcja [...] rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwa-dratowych, np. x+1

x+3 = 2, x+1x

= 2x rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście

praktycznym), prowadzące do prostych równań wymiernych [...]UWAGA! umiejętność rysowa-nia funkcji jest bardzo ważna z dydaktycznego punktu widzenia. Bardzo proszę o to, by każdy zkursantów był parę razy przy tablicy i musiał samodzielnie rozwiązać poniższe zadania, nieza-leżnie od poziomu znudzenia, że „znowu to samo”

(a) Dla funkcji f(x) = x2 narysować wykresy funkcji f(x) + 2, f(x + 2), f(x − 2), f(2x),−f(x), f(−x), |f(x)− 4|.

(b) Dla każdej z funkcji a) f(x) = x2−x−2, b) f(x) = x2+ 3√

2x+ 4, c) f(x) = −x2−x+ 34 ,d) f(x) = 2x2+ 7x+ 3 e) f(x) = x2+ 2x− 3 narysować wykres: f(x) + 1, f(x)− 2, 2f(x),12f(x), −f(x), |f(x)|, f(x− 2), f(x+ 1), f(−x), f(2x), f(12x).

(c) Powiedzieć jakie operacje należy zastosować do funkcji f(x) = x2 (Translacja, odbicieitp.) by otrzymać funkcje z punktów a) i b). Podać wartości parametrów a, b, c dla którychfunkcje z punktów a)- e) można zapisać jako f(x) = ag(x− b) + c, gdzie g(x) = x2

(d) Jakie operacje (translacja, odbicie, itp.) należy zastosować do funkcji f(x) = x2 by otrzy-mać wykres funkcji f(x) = −|2(2x− 3)2| − 7 ?

(e) Wykres funkcji f danej wzorem f(x) = −2x2 przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki wprawo oraz wzdłuż osi OY o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g. a) rozwiążnierówność f(x) + 5 < 3x, b) podaj zbiór wartości funkcji g, c) funkcja g określona jestwzorem g(x) = −2x2 + bx+ c Oblicz b i c.

(f) Funkcja f jest określona wzorem f(x) =

−3x+ 4, x < 12x− 1, x ­ 1

Ile miejsc zerowych ma ta

funkcja?

(g) Rysunek przedstawia wykres funkcji f(x):

lekcja_11_rozsz_1.jpg

(Oznaczenia na rysunku to odpowiednio: o,m,n). Narysować wykres funkcji g(x) = f(x−k), gdzie 0 < k < n−m i zaznaczyć współrzędne przecięcia wykresu funkcji g z osią OX.

12. Lekcja [...] określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, odczytuje zwykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w którychfunkcja rośnie, maleje, ma stały znak [...]

(a) Znając wykres funkcji: ,narysować wykres: a) f(−x), b) 1

f(x) , c) f(x− 3), d) f(−3x), |f(−3x)|, |2f(1− 2x)− 2|

(b) Rozważmy funkcje f(x) = −x2+6x−13. Sporządź wykres tych funkcji oraz podaj zestawprzekształceń(odbicia względem osi ox, oy, przeskalowanie, przesunięcia itp.) , jaki należyzastosować do funkcji g(x) = −x2 by pokrył się on z wykresem funkcji f(x).

(c) Rozważmy funkcje f(x) = −x3+3x2 oraz g(x) = x3+3x2−4. Sporządź wykres tych funkcjioraz podaj przykładowy zestaw przekształceń (odbicia względem osi ox, oy, przesunięcia,przeskalowanie itp.), jaki należy zastosować do wykresu funkcji f(x) by pokrył się on zwykresem funkcji g(x).

(d) Rysunek przedstawia wykres funkcji f(x): ,Narysować wykres funkcji g(x) wiedząc, że (g(x))2 = f(x).

(e) Znając wykresy funkcji y1 i y2: ,narysować wykres funkcji y1

y2.

(f) Wykres funkcji f(x) = 2x3 + 3x2 + x + 1 przesunięto o jedną jednostkę w prawo i jednąw dół otrzymując funkcję g(x). Przedstawić g(x) w postaci g(x) = ax3 + bx2 + cx+ d.

(g) Znajdź wszystkie wartości m, dla których m(x+ 1) > x2

(h) Znaleźć dziedzinę funkcji f(x) =√8x−4x−3

(i) Funkcja f(x) = mx3+nx2+px+q przechodzi przez punkty (0, 0), (3, 18), (1, 0), (−1,−10)Znaleźć wartości m,n, p, q. Funkcję f(x) można przestawić także w postaci f(x) = x(x−c)(rx− s). Znaleźć wartości c, r i s, narysować wykres funkcji f(x).

13. Lekcja [...] sporządza wykres funkcji spełniającej podane warunki, potrafi na podstawie wykresufunkcji y = f(x) naszkicować wykresy funkcji y = f(x + a) , y = f(x) + a , y = −f(x) ,y = f(−x), y = cf(x) , y = f(cx) , wykres będący efektem wykonania kilku operacji, naprzykład y = f(x+ 2)− 3 , wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw, rozwiązujezadania (również umieszczone w kontekście praktycznym) z wykorzystaniem takich funkcji, [...]

(a) Podać dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x) =√

log2(x− 2)

(b) Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 1x+1−1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x 6= −1.

Rozwiąż nierówność f(x) > f(2− x)

(c) Wykaż, że dla a ∈ (2, 3) zachodzi równość:√a2−6a+93−a +

√a2−4a+4a−2 = 2

(d) Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadra-towej f(x) = −x2 + 6x− 10. Oblicz a.

(e) Znajdź i narysuj f−1, podaj dziedzinę i zbiór wartości jeżeli: a) f(x) = x2, x ­ 0, b)f(x) = x2, x < 0. Czy funkcja f(x) = x2 posiada funkcję odwrotną?

(f) Niech f(x) =√1x2− 2 podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x).

(g) NIech f(x) = kx−k , k > 0 Naszkicuj wykres funkcji f(x) oraz 1

f(x) . (Ponieważ nie znamydokładnej wartości k, robiąc wykres zaznaczyć literką k na osi ox punkt, w którym funkcjama asymptoty).

(h) Naszkicuj wykres funkcji f(x) = log |x5 − 3x2|, −0.5 < x < 2,

14. Lekcja [...] sporządza wykresy funkcji liniowych, wyznacza wzór funkcji liniowej, wykorzystujeinterpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej, podaje równanie prostej w postaci Ax+ By + C = 0 lub y = ax + b , mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik aw równaniu kierunkowym, [...]

(a) Dla funkcji f(x) =

2x− 3, x < 2,1, 2 ¬ x ¬ 4

a) sporządź wykres, b) podaj wszystkie liczby

całkowite x , spełniające nierówność f(x) ­ −6.

(b) Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: g(x) = ax+ b i h(x) = bx+a. Wiadomo,że funkcja g jest rosnąca, a funkcja h malejąca. a) Wyznacz pierwszą współrzędną punktuprzecięcia wykresów tych funkcji. b) Oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i hsą prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi 0x.

(c) Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ ℝ. a) Dla a = 2008 ib = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009, 20092). b) Narysujw układzie współrzędnych zbiór:A =

{(x, y) : x ∈ [−1, 3] i y = −12x+ b i b ∈ [−2, 1]

}(d) Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt B(−1, 2) oraz: a) równoległej do

prostej x− 2y + 17 = 0, b) prostopadłej do prostej x− 2y = 0, c) równoległej do osi ox.

(e) Przez punkt przecięcia prostych x−1 = 0 i x+y−2 = 0 poprowadzić prostą: a) równoległądo osi ox, b) równoległa do osi oy, c) równoległą do prostej 2x− y − 10 = 0, prostopadłądo prostej −2x+ y − 1 = 0.

(f) Obliczyć pole trójkąta ograniczonego prostą 3x− 4y− 12 = 0 i osiami układu współrzęd-nych.

(g) Wiedząc, że f(x) = 2x− 1, g(x) = xx+1 , znaleźć wartości x, dla których

(f ◦ g)(x) ¬ (g ◦ f)(x).

(h) Niech f i g funkcje o następujących własnościach: (f ◦ g)(x) = x+12 oraz g(x) = 2x − 1.

Znajdź f(x− 3).

15. Lekcja [...] podaje równanie prostej w postaci Ax+By+C = 0 lub y = ax+b , mając dane dwajej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym – zadania z parametrem[...]

(a) Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób:jeśli x ∈ [k, k + 1) dla pewnej liczby całkowitej k, to g(x) = kx − k − 1. a) Narysujwykres funkcji g w przedziale [−2, 0). b) Uzasadnij, że funkcja g nie ma miejsc zerowych.c) Rozwiąż równanie g(x) = 2010 .

(b) Niech f(x) = xx+1 . I niech g(x) = (f ◦ f)(x). Znaleźć g(x) oraz (g ◦ g)(2).

(c) Wiedząc, że f(x) = x+ 1 oraz g(x) = x3, znajdź funkcję h(x) = (f ◦ g)−1(x).

(d) Wiedząc, że f(x) = 2(x−2)(x−1)(x+ 1)(x+ 2) + 10 i g(x) = log((x−1/2)(x−3)) podaćdziedzinę i zbiór wartości funkcji f(g(x)). (Uproszczona wersja zadania Szymona;)

(e) Dane są proste: y1 = −x+ 5, y2 = 3x+ 5 oraz punkt A(1, 2). Znaleźć równanie prostej, doktórej należy punkt A będący środkiem odcinka tej prostej zawartego między prostymi y1i y2.

(f) Dany jest punkt C = (2, 3) i prosta o równaniu y = 2x − 8 będąca symetralną odcinkaBC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.

(g) Rozważmy linie o równaniach x− 2y − 4 = 0, x + y = 5 oraz punkt P (1, 1). Z punktu Pprowadzimy linię tak, by przecięła się ona z linią x − 2y − 4 = 0 w punkcie Q a z liniąx + y = 5 w punkcie R w taki sposób, że punkt P jest środkiem odcinka QR. Znaleźćwspółrzędne punktów Q oraz R. (Treść podana w sposób świadomie zagmatwany, podobniejak drugie ze sprawdzianu:)

(h) Dane są punkty O(0, 0) i B(5, 2). Znaleźć na prostej x− y + 3 = 0 taki punkt A by poletrójkąta OAB było równe 3.

16. Lekcja [...] sporządza wykresy funkcji kwadratowych, wyznacza wzór funkcji kwadratowej, wy-znacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej, wyznacza wartość najmniejszą i wartość największąfunkcji kwadratowej w przedziale domkniętym [...]

(a) Prosta k przechodzi przez punkt A(12,−3). Wiedząc, że stosunek pól obu zakreskowanychtrójkątów prostokątnych jest równy 4, a) oblicz sumę pól tych trójkątów, b) wyznacz rów-nanie prostej k.

,

(b) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = 2x2−4x+11 w przedziale A = [0, 4]tradycyjny haczyk - maksima lub minima mogą być na końcu przedziału

(c) Niech f(x) = x3. Znaleźć taką funkcję g(x) by: a) (f ◦ g)(x) = x+ 1, b) (g ◦ f)(x) = x+ 1

(d) Dany jest układ równań:

mx− y = 2,x+my = m

Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę

liczb (x, y), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartośćsumy x+ y dla m ∈ [2, 4].

(e) Dla jakich wartości zmiennej x ∈ [0, 2] funkcja f(x) = 1x2−x+1 przyjmuje wartość najwięk-

szą a dla jakich najmniejsza?

(f) Podać interpretację geometryczną układu nierówności:

y ­ |x2 − 2x|+ 1,y < 2 + |x− 1|

.

(g) Rozwiązać i zinterpretować geometrycznie nierówność |x+ 1|+ |x− 1| ­ x2.

17. Lekcja [...] rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzącedo badania funkcji kwadratowej (głównie na minimum) [...]

(a) Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawartesą w osiach ox i oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem

tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układuwspółrzędnych. Narysuj tę krzywą.

(b) Niech f(x) = (x+ 2)2 − 3, g(x) = ax+ b. Znajdź wartości współczynników a i b (a > 0),by f(g(x)) = 4x2+ 6x− 34 . Niech h(x) = 5x+ 2 a k(x) = cx2− x+ 2. Znaleźć takie c, dlaktórego równanie h(k(x)) = 0 ma dwa identyczne pierwiastki.

(c) (Maturalne) Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x1x2,gdzie x1, x2 są różnymi pierwiastkami równania (m+ 2)x2 − (m+ 2)2x+ 3m+ 2 = 0,w którym m ∈ ℝ \ {−2} .

(d) Sporządź wykres funkcji f danej wzorem f(x) = 2|x|−x2, a następnie, korzystając z niego,podaj wszystkie wartości x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkiewartości x, dla których przyjmuje minima lokalne.

(e) (Maturalne) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > 1 największą liczbęcałkowitą spełniającą nierówność x2−3nx+2n < 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcjif .

(f) Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = 14x2 + 1 jest równoodległy od osi ox i

od punktu F = (0, 2).

(g) W trójkąt równoramienny, którego podstawa i wysokość mają długość 6 cm wpisano pro-stokąt. Jakie powinny być długości boków prostokąta, by jego pole było największe?

(h) Drut o długości l rozcięto na dwie części. Z jednej części tworzymy kwadrat a z drugiejokrąg. Jak powinna być długość każdej części drutu aby suma pól kwadratu i koła byłanajmniejsza?

18. Lekcja [...] sporządza wykres, odczytuje własności i rozwiązuje zadania umieszczone w kon-tekście praktycznym związane z proporcjonalnością odwrotną, sporządza wykresy funkcji wy-kładniczych dla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym[...]

(a) Niech f(x) = ex, g(x) = x+ 2. Oblicz f−1(3)× g−1(3) oraz (f ◦ g)−1(3).

(b) Niech f(x) = ex2, x > 0, g(x) = 1

x+3 . Znajdź h(x) = (g ◦ f)(x), podaj dziedzinę h(x)−1.Znajdź h−1(x).

(c) (Maturalne) Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx2−3(x3 + 4x2 − x − 4) i zapisz ją w

postaci sumy przedziałów liczbowych.

(d) Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = logx(4x − 12 · 2x + 32)

(e) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f : ,Rozwiąż równanie (f(x))2 − 16 = 0.

(f) Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji f(x) = log√22

(8x− x2)

(g) Janek zdeponował w banku 1500 złotych na 5.25 percent w stosunku rocznym. Ile pieniędzybędzie miał Janek po trzech latach? Po jakim czasie wartość depozytu się podwoi? Jakiemusiałoby być oprocentowanie konta, by depozyt podwoił się po 10. latach? (Przyda siękalkulator)

(h) Narysować zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne x, y spełniają nie-równość: logy(logx y) ¬ 0.

19. Lekcja [...] wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym, oraz wyznacza wyrazy ciągówzdefiniowanych rekurencyjnie, [...]

(a) Znaleźć sumę dodatnich wyrazów ciągu arytmetycznego 85, 78, 71, . . .

(b) Ciąg (an) jest określony wzorem an = (−3)n (9− n2) dla n ­ 1. Policz a3.

(c) Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = (−1)n 2−nn2

, dla n = 1, 2, 3, . . .. Oblicz a2, a4 ia5.

(d) (Zadanie nie na ciągi ale warto zrobić bo zawiera dużo liter;)) Wykaż, że jeśli k i n sąliczbami naturalnymi oraz 1 ¬ k ¬ n, to k(n− k + 1) ­ n.

(e) Ciąg (un) definiujemy podając: u0 = 1, u1 = 2, un+1 = 3un − 2un−1 gdzie n > 0 jestliczba naturalną. a) Znaleźć u2, u3, u4. b) Znaleźć ogólny wzór na un (nie rekurencyjny).c) Sprawdzić, że otrzymany wzór spełnia zależność: un+1 = 3un − 2un−1 (Rekurencjapodana jest jako obowiazująca w minimum programowym, choć przykładowych zadań nastronie CKE nie ma)

(f) Dwa pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego wynoszą 5 i 13. a) Podać wzór na n ty wyrazciągu, b) Ile wyrazów ciągu jest mniejsze od 400?

(g) Rozważmy sumę: −6 + 1 + 8 + 15 + . . .. Po ilu wyrazach suma ta będzie wększa niż 10000?

(h) Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi Sn = 3n2 − 2n. Znaleźć wzórna n ty wyraz ciągu.

(i) Logarytmy liczb 2, 2x − 1, 2x + 3 tworzą ciąg arytmetyczny. Obliczyć x

20. Lekcja [...] bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny [...]

(a) Pierwsze cztery wyrazy ciągu arytmetycznego wynoszą: 2, a − b, 2a + b + 7 oraz a − 3b,gdzie a i b - stałe. Znaleźć a i b.

(b) Stosunek piątego wyrazu ciągu arytmetycznego do dwunastego wynosi 613 . Jeżeli każdywyraz ciągu jest dodatni i iloczyn pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 32, znaleźć sumępierwszych 100 wyrazów tego ciągu.

(c) Znaleźć wzór na sumę pierwszych 35 wyrazów ciągu:lnx2 + ln x2

y+ ln x2

y2+ ln x2

y3+ · · · , zapisując odpowiedź w postaci ln xm

yn, gdzie m,n - liczby

naturalne.

(d) Wyrazami ciągu arytmetycznego (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniuprzez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.

(e) Liczby a, 1, b tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby 1, a, b tworzą ciąg geometryczny. Znaleźća i b. Czy a > b?

(f) Ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 33. Ciąg (a, b+ 3, c+ 13) jest geometryczny.Oblicz a, b i c.

(g) Drugi wyraz szeregu arytmetycznego wynosi 7 a suma pierwszych pięciu wyrazów wynosi50. Znaleźć różnicę między pierwszym a drugim wyrazem.

(h) Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego (un) wyraża się wzorem Sn = 4n2−2n.Trzy wyrazy tego ciągu: u2, um oraz u32 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.Znaleźć m.

21. Lekcja [...] stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegoi ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym [...]

(a) Staś zdeponował w banku 100 pln na 5 procent w stosunku rocznym. Obliczyć kwotę, jakąodbierze po dwudziestu latach.

(b) Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n począt-kowych wyrazów tego ciągu jest równa 12(7n

2 − n) . Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.

(c) (Opcjonalnie, bo sum nieskończonych nie ma w programie i na przykładowych zadaniachz matury) Ciąg (x − 3, x + 3, 6x + 2, . . .) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym owyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że S19

S20< 14 , gdzie Sn oznacza

sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

(d) W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, akażdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnieze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k,dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tejwartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

(e) Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciąguarytmetycznego. Oblicz a, b i c.

(f) Wyznacz wszystkie wartości k ∈ ℝ, dla których pierwiastki wielomianu:W (x) = x2−8x+12(x−k) są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

(g) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciujego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejnościciąg geometryczny.

22. Lekcja [...] wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątówostrych, stosuje miarę łukową i miarę stopniową kąta, wyznacza wartości funkcji trygonome-trycznych dowolnego kąta przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego, posługuje się wykre-sami funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu nierówności typu sinx < a , cosx > a ,tg x > a ,

[...]

(a) Sporządzić wykres funkcji f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tg(x), f(x) = ctg(x).

(b) Narysować funkcje, znaleźć ich amplitudy i okres: f(x) = sin(−x), f(x) = cos(−x), f(x) =tg(−x), f(x) = ctg(−x).

(c) Narysować funkcje: f(x) = sin(x − π2 ), f(x) = cos(x − π

2 ), f(x) = tg(x − π2 ), f(x) =

ctg(x− π2 ).

(d) Narysować funkcje: f(x) = sin(x − π), f(x) = cos(x − π), f(x) = tg(x − π), f(x) =ctg(x− π).

(e) Narysować funkcje: f(x) = sin(x − 2π), f(x) = cos(x − 2π), f(x) = tg(x − 2π), f(x) =ctg(x− 2π).

(f) Narysować funkcje, znaleźć ich amplitudy i okres: f(x) = sin(2x), f(x) = cos(12x), f(x) =tg(3x), f(x) = ctg(13x), f(x) = 2 sin(x), f(x) = 1

2 cos(x), f(x) = tg(x) + 1, f(x) =ctg(x)− 2.

(g) Narysować wykres funkcji, podać amplitudę i okres: f(x) = −| − 2 sin(−2x− 3) + 1| − 3

(h) Narysować wykres funkcji, podać amplitudę i okres: f(x) = tg(π2 −12x)− 1

(i) Korzystając z tw. Pitagorasa i definicji sinusa i cosinusa dla trójkąta prostokątnego poli-czyć sumę sin2 x+ cos2 x

(j) Korzystając z poznanych własności funkcji trygonometrycznych i ich wartości dla:0◦, 30◦, 45◦, 60◦, 90◦ policzyć: cos(135◦), sin(225◦), tg(315◦), sin(−115◦), cos(420◦), sin(660◦)

(k) Uprościć wyrażenie: cos2 x

1+sinx .

(l) Policzyć tg(x) wiedząc, że cos(x) = 35 i x ∈

(0, π2

).

23. Lekcja [...] rozwiązuje równania typu sinx = a , cosx = a , tg x = a , dla 0◦ < x < 90◦,d) stosuje związki: sin2 x + cos2 x = 1 , tg x = sinx

cosx oraz wzory na sinus i cosinus sumy iróżnicy kątów w dowodach tożsamości trygonometrycznych, rozwiązuje równania i nierównościtrygonometryczne, na przykład sin 2x = 1

2 , sin2 x+ cosx = 12 , cos 2x < 1

2 . [...]

(a) Rozwiąż równanie: 4 cos2 x = 4 sin x+ 1 w przedziale [0, 2π].

(b) Miary dwóch kątów wynoszą π6 i π

5 . Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj wstopniach.

(c) Rozwiązać równanie 4 (log2(cosx))2 + log2 (1 + cos 2x) = 3.

(d) Dane jest równanie sin x = a2+1, z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametrua, dla których dane równanie nie ma rozwiązań.

(e) Wykaż, że wyrażenie − cos 2xsinx cosx = tg x+ 1

tg x nie jest tożsamością.

(f) Kąt α jest ostry i sinα = 14 . Oblicz 3 + 2 tg2 α

(g) Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = log2 cosx(9− x2) i zapisz ją w postaci sumy przedziałówliczbowych.

(h) Rozwiązać równanie: sinx+ cosx+ tg x+ ctg x = 1sinx cosx .

24. Lekcja [...] korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem międzystyczną a cięciwą okręgu [...]

(a) Koło podzielono na wycinków kołowych, których pola tworzą ciąg arytmetyczny. Kątśrodkowy największego wycinka jest dwa razy większy od kąta środkowego najmniejszegowycinka. Znaleźć kąt najmniejszego wycinka.

(b) Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszyst-kich wierzchołkach w tych punktach można narysować?

(c) Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześniestyczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosu-nek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 +

√2.

(d) W koło o polu S wpisano trójkąt równoramienny, w którym miara kąta przy wierzchołkujest równa α. Obliczyć pole tego trójkąta.

(e) Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są |BC| = a, |CD| = b, ∢DAB = α.Wyznacz długość przekątnej BD.

(f) Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD, że okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC sąstyczne. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

(g) Na okręgu o promieniu R opisano trapez o kątach ostrych przy większej podstawie, którychmiary są odpowiednio równe α i 2α. Obliczyć pole trapezu. Odp. 2R

2(1+cosα)sin 2α .

(h) Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich popro-wadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).

25. Lekcja [...] wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych wkontekście praktycznym [...]

(a) Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by|∢CAD| = |∢ABC|. Odcinek AE jest dwusieczną kątaDAB. Udowodnij, że |AC| = |CE|.

(b) Na zewnątrz trójkąta prostokątnegoABC, w którym |∢ACB| = 90◦ oraz |AC| = 5, |BC| =12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt|∢EHA| = 90◦. Oblicz pole trójkąta HAE.

(c) PunktD leży na bokuBC trójkąta równoramiennegoABC,w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramien-ne w taki sposób, że |AD| = |CD| oraz |AB| = |BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że|∢ADC| = 5 · |∢ACD|.

(d) W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: |BC| = 9, |CA| = 12.Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Obliczdługość odcinka AD.

(e) Przez punkt należący do wnętrza trójkąta poprowadzono trzy proste równoległe do bo-ków trójkąta. W ten sposób otrzymano trzy trójkąty o polach S1, S2 i S3 i o wspólnymwierzchołku P Obliczyć pole danego trójkąta.

(f) Obliczyć długości boków i wysokości równoległoboku o obwodzie 72, wiedząc, że stosunekwysokości wynosi 5 : 7 zaś stosunek miar jego kątów jest równy 1 : 2.

(g) W trójkącie ABC kąt C jest dwa razy większy od kąta B. Wykazać, że jeżeli dwusiecznakąta C przecina AB w punkcie K, to |AC|2 = |AK| · |AB|

26. Lekcja [...] znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii,również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym [...]

(a) Z wierzchołków kwadratu o boku a zakreślono cztery okręgi o promieniu a2 . Znaleźć pro-

mienie okręgów stycznych do tych czterech okręgów.

(b) Na kole opisano trapez, którego jedno ramię ma długość 10 i tworzy z podstawą kąt 60◦,a drugie tworzy z podstawą kąt 30◦. Obliczyć długość krótszej podstawy trapezu.

(c) W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary α oraz90◦ + α. Jedno z ramion tego trapezu ma długość t. Wyznacz różnicę długości podstawtego trapezu.

(d) Trójkąt prostokątny ABC , w którym |∢BCA| = 90◦ i |∢CAB| = 30◦, jest opisany naokręgu o promieniu 3. Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tegookręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

(e) Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sam sześciokąt wpisano okrąg. Obliczyćpole sześciokąta, jeżeli pole powstałego pierścienia kołowego jest równe 4π.

(f) W kwadrat o boku długości 1 wpisano trójkąt. Udowodnić, że pole tego trójkąta nie jestwiększe niż sinus dowolnego jego kąta.

(g) Udowodnić, że stosunek pola prostokąta wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszyod 23 .

(h) W równoramiennym trójkącie prostokątnym przyprostokątna ma długość a. Obliczyć dłu-gości odcinków, na które dzieli tę przyprostokątną dwusieczna kąta przeciwległego.

27. Lekcja [...] oblicza odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej, wyznacza współrzędneśrodka odcinka [...]

(a) Dane są punkty A = (3,−2), B = (1, 4), C = (2,−5), D = (6, 2). Znaleźć taki punktS = (x, y), aby

−→SA+

−→SB +

−→SC +

−→SD = 0

(b) Znaleźć współrzędne punktu, który dzieli wektor−→AB o końcach A = (−3, 2) i B = (5, 6)

w stosunku: a) 2, b) 12 , c) −2.

(c) Dane są dwa punkty A = (−5, 2, 1) i B = (1, 0, 3). Znaleźć taki punkt P , aby−→AP +

−−→BP =

3−→AB

(d) Na płaszczyźnie dane są punkty A = (1,−2) i B = (3, 6). Znaleźć punkt P = (x, y)dzielący wektor

−→AB w stosunku 3 : 2.

(e) Krótszą podstawą trapezu jest odcinek AB, gdzie A = (4, 0) i B = (6, 2). Znaleźć współ-rzędne pozostałych wierzchołków tego trapezu, jeżeli wiadomo, że dłuższa podstawa madługość CD = 2AB a punkt P = (1, 2) jest środkiem odcinka CD.

(f) Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi OX, wierzchołek D jest punktem prze-cięcia paraboli o równaniu y = −13x

2 + x + 6 z osią OY . Pozostałe wierzchołki trapezu

również leżą na tej paraboli (patrz rysunek) . Oblicz poletego trapezu.

(g) Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y = 14x2 + 1 jest równoodległy od osi OX

i od punktu F = (0, 2).

(h) Prosta o równaniu 5x+ 4y − 10 = 0 przecina oś OX układu współrzędnych w punkcie Aoraz oś OY w punkcie B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi OXi takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35.

28. Lekcja [...] posługuje się równaniem okręgu (x− a)2 + (y − b)2 = r2 [...]

(a) Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu o równaniu x2 + 2x+ y2 − 2y − 2 = 0

(b) Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu o równaniu x2 + x+ y2 + y = 0

(c) Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (3,−6), B = (1, 0) i C =(5, 2).

(d) Dla jakiej wartości k prosta y = kx+ 1 jest styczna do okręgu o środku w punkcie (5, 1) ipromieniu 3?

(e) Dla jakich wartości k prosta y = kx jest styczna do okręgu o równaniu x2+ (y− 2)2 = 1?.

(f) Punkty A = (7, 8) i B = (−1, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym BCA = 90◦ .a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX. b) Napisz równanieobrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC.

(g) Pary liczb (x, y) spełniające układ równań:

−4x2 + y2 + 2y + 1 = 0,−x2 + y + 4 = 0

są współrzędnymi

wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD. a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C,D. b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym. c) Wyznacz równanieokręgu opisanego na czworokącie ABCD.

(h) W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu (x+ 2)2 + (y − 3) = 4 oraz zaznaczpunkt A = (0,−1). Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręguprzechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, prze-chodzącej przez punkt A.

29. Lekcja [...] wykorzystuje pojęcie układu współrzędnych na płaszczyźnie, bada równoległośći prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych, interpretuje geometrycznieukład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi [...]

(a) Znaleźć odległość punktu A(1,−1) od prostej l : 3x− 4y + 8 = 0

(b) Obliczyć odległość prostej 3x− 2y + 5 = 0 od prostej 4y − 6x+ 19 = 0

(c) Dane są proste: l1 : x = y − 5 = 0 oraz l2 : 3x − y + 5 = 0 oraz punkt A(1, 2). Znaleźćprostą przechodząca przez punkt A i przecinająca się z prostymi l1 i l2 w punktach L1 iL2 tak, by punkt A był środkiem odcinka L1L2.

(d) Punkt P (−2,−3) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawarty jest w pro-stej x − 2y − 4 = 0. Punkt M(1, 1) jest środkiem symetrii rombu. Wyznaczyć pozostałewierzchołki.

(e) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1, 2) względem prostej l : x = y + 3 = 0

(f) Przez punkt P (1, 2) poprowadzono prostą, która przecina obie dodatnie półosie układuwspółrzędnych w punktach A(x, 0) i B(y, 0). Zbadać i wykreślić zależność pola trójkątaAOB (O - środek układu współrzędnych) od współczynnika kierunkowego prostej.

(g) Znaleźć zbiór środków wszystkich cięciw okręgu x2 + y2 = 4 przechodzących przez punktP (0, 1).

30. Lekcja [...] wskazuje i oblicza kąty między ścianami wielościanu, między ścianami i odcinkamioraz między odcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości [...]

(a) Napisać równanie okręgu symetrycznego do okręgu (x − 6)2 + y2 = 4 względem prostejy = 2x.

(b) Na paraboli y = 12x2 znaleźć punkt, dla którego odległość od punktu A(1, 1) jest najmniej-

sza.

(c) Najdłuższa przekątna prawidłowego graniastosłupa sześciokątnego jest równa d i tworzyz krawędzią boczną graniastosłupa kąt α. Znaleźć objętość graniastosłupa.

(d) Przekatna prostopadłościanu ma długość d i tworzy z płaszczyzną podstawy prostopadło-ścianu kąt α a z płaszczyzna jednej ze ścian bocznych kąt β. Obliczyć objętość prostopa-dłościanu

(e) Znaleźć promień r kuli wpisanej w czworościan foremny o krawędzi a.

(f) Znaleźć promień R kuli opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi a.

31. Lekcja [...] wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniemtrygonometrii [...]

(a) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jestwysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz poleprzekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM .

(b) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = 1, |BC| =√

2.Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowol-nej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tegoostrosłupa.

(c) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i

krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz co-sinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrójostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej kra-wędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

(d) Promień kuli opisanej na prawidłowym ostrosłupie czworokątnym jest 52 razy większyod promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup. Obliczyć kąt α nachylenia ściany bocznejostrosłupa do krawędzi podstawy.

(e) Na kuli o promieniu R opisano stożek ścięty. Średnica górnej podstawy stożka jest równa32R. Znajdź pole powierzchni całkowitej stożka ściętego.

(f) Pole powierzchni bocznej stożka jest równe S, zaś pole powierzchni całkowitej 32S. Obliczyćkąt między wysokością i tworzącą stożka. i |AM | = |MC| . Odcinek AS jest wysokościątego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.