PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY I TECHNIKUM

NA PODBUDOWIE ZSZ

Umiejętności Lp. Temat lekcji Podstawowe Ponadpodstawowe

I Wielomiany. Uczeń: Uczeń: 1 Zbiór liczb rzeczywistych , jego podzbiory i

działania w tych zbiorach - zna pojęcie zbioru, - wymieni elementy zbioru, - wyznaczy podzbiory danego zbioru, - poda działania wykonalne i

niewykonalne w danym zbiorze liczbowym,

- zna podzbiory zbioru liczb R,

2 Działania na liczbach postaci a + b√c. - wykona działania na liczbach postaci a + b√c,

- zredukuje wyrazy podobne z pierwiastkami;

- usunie niewymierność z mianownika,

3 Zbiory i działania na nich. - zna pojecie zbioru, wymieni elementy zbioru,

- zna i używa symboli w zapisie działań na zbiorach;

- wyznaczy sumę, różnicę i iloczyn zbiorów,

- zna pojecie dopełnienia zbioru,

4 Przedziały liczbowe i działania na nich. - zna definicję przedziałów liczbowych ,

- potrafi zaznaczyć przedziały na osi

- wyznaczy różnicę przedziałów,

- wyznaczy dopełnienie

liczbowej, - wyznaczy sumę iloczyn przedziałów,

przedziału,

5 Wartość bezwzględna liczby i jej własności. - zna definicję wartości bezwzględnej i własności: x= a,x> a,x< a, √x2 =x,

- rozwiąże proste równania i nierówności z wartością bezwzględną ax + b= c, x> a, x< a,

- rozwiąże nierówność z wartością bezwzględną postaci ax + b< c,

6-7 Wyrażenia algebraiczne. - zna pojecie wyrażenia algebraicznego, - obliczy wartość wyrażenia

algebraicznego, - wykona działania na wyrażeniach

algebraicznych, - zna i stosuje wzory skróconego

mnożenia (a + b)2, (a – b)2, (a – b)(a + b),

- zna pojęcie określoności (dziedziny) wyrażenia algebraicznego,

- wyznaczy dziedzinę wyrażenia algebraicznego,

- zna i stosuje wzory skróconego mnożenia (a – b)3, (a + b)3, (a3 – b3), (a3 + b3),

8-9 Przypomnienie wiadomości o funkcji. - zna definicję funkcji i sposoby jej określania ( opis słowny, graf),

- zna definicję dziedziny i przeciwdziedziny funkcji,

- zna definicje wykresu funkcji, - odczyta z wykresu wartości funkcji

dla danego argumentu i odwrotnie, - zna definicję miejsca zerowego

funkcji, - wskaże miejsca zerowe na wykresie, - obliczy miejsce zerowe funkcji, - zna definicję różnowartściowości

funkcji, - rozumie pojęcie różnowartściowości

- określi dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji,

- zaznaczy w układzie zbiór punktów, których współrzędne spełniają określone warunki,

- sporządzi wykres danej funkcji,

- obliczy miejsca zerowe danej funkcji,

- zbada różnowartościowość funkcji,

- zbada monotoniczność funkcji,

funkcji, - wskaże wykresy funkcji

różnowartościowych, - zna definicję funkcji rosnącej,

malejącej i stałej, - rozumie pojęcie funkcji rosnącej,

malejącej lub stałej, - rozpozna funkcje okresowe wśród

wykresów funkcji, - odczyta okres danej funkcji, - rozpozna funkcję parzystą lub

nieparzystą daną wykresem,

- zbada parzystość lub nieparzystość funkcji,

10 Omawianie własności funkcji z wykresu. - odczyta z wykresu funkcji i zapisze symbolicznie dziedzinę przeciwdziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, znak funkcji i inne własności w prostych przykładach,

11 Funkcja liniowa. - zna definicję funkcji liniowej, - sporządzi wykres funkcji liniowej i

omówi jej własności, - obliczy miejsce zerowe, - obliczy punkty przecięcia wykresu z

osiami,

- zastosuje własności funkcji w zadaniach,

12 Przypomnienie wiadomości o prostej. - zna równanie kierunkowe i ogólne prostej,

- zna równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty,

- zna równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym

- wyprowadzi wzór na obliczanie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty,

- napisze równanie prostej

przechodzącej przez dany punkt, - zna warunek równoległości i

prostopadłości prostych,

równoległej do danej przechodzącej przez punkt,

- napisze równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez punkt,

13-14 Równania i nierówności stopnia I z jedną niewiadomą.

- rozwiąże równanie, nierówność z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia,

- rozwiąże proste równanie, nierówność z wartością bezwzględną,

- rozwiąże równanie, nierówność z wartością bezwzględną postaci ax + b+cx + d= e, ax + b + cx + d> e,

15-16 Równania i nierówności stopnia I z jedną

niewiadomą z parametrem. - rozwiąże proste równanie z

parametrem, - rozwiąże prostą nierówność z

parametrem,

- rozwiąże równanie, nierówność z parametrem,

17 Równania i nierówności stopnia I z dwiema niewiadomymi.

- rozwiąże proste równanie,

- rozwiąże równanie, nierówność stopnia I z dwiema niewiadomymi,

18-19 Układy równań stopnia I z dwiema

niewiadomymi. Metody algebraiczne. - rozwiąże układ równań metodą

podstawienia, przeciwnych współczynników,

- potrafi określić rodzaj układu,

- rozwiąże układ równań metodą wyznaczników,

20-21 Układy równań stopnia I z dwiema niewiadomymi. Metoda graficzna.

- rozwiąże układ równań metodą graficzną,

22-23 Przypomnienie wiadomości o funkcji kwadratowej.

- zna postać ogólną, kanoniczną , iloczynową funkcji kwadratowej,

- zna wzory Viete’a, - potrafi narysować wykres funkcji

kwadratowej i omówić jej własności,

24-25 Równania kwadratowe zupełne i niezupełne. - rozwiąże równanie kwadratowe

Nierówności kwadratowe. zupełne , niezupełne, - rozwiąże nierówność kwadratową,

26 Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

- potrafi opisać w jaki sposób konstruujemy wykres funkcji z wartością bezwzględną.

- narysuje wykres funkcji z wartością bezwzględną,

27-28 Układy równań , z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego.

- zna równanie hiperboli i okręgu, - rozwiąże prosty układ metodą

algebraiczną i graficzną,

- rozwiąże układ równań metodą algebraiczną i graficzną,

29-30 Zadania z parametrem. - rozwiąże zadania z

parametrem wykorzystując wzory Viete’a,

31 Praca klasowa.32 Omówienie pracy klasowej.

33-34 Wielomian jednej zmiennej. - zna definicję wielomianu, - poda przykład wielomianu

określonego stopnia, - określi stopień wielomianu, - obliczy wartość wielomianu dla

danego argumentu, - uporządkuje wielomian rosnąco i

malejąco, - zna pojęcie wielomianu zerowego,

35 Działania na wielomianach. - zna działania na potęgach o wykładniku naturalnym,

- doda i odejmie wielomiany, - pomnoży wielomiany,

- określi stopień sumy , różnicy, iloczynu wielomianów,

36 Wielomiany równe. - zna pojęcie wielomianów równych,

- wyznaczy współczynniki wielomianów tak, aby były

równe,

37-38 Iloraz wielomianów. - zna definicję ilorazu wielomianów, - zna algorytm ilorazu wielomianów, - podzieli wielomian przez dwumian z

resztą i bez reszty, - określi stopień reszty,

- podzieli dwa wielomiany,

39 Pierwiastek wielomianu. - zna definicję pierwiastka wielomianu, - sprawdzi czy liczba jest pierwiastkiem

wielomianu, - na podstawie postaci iloczynowej

wielomianu odczyta jego pierwiastki; - zbuduje wielomian danego stopnia

znając jego pierwiastki,

- zna twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu,

- zna definicje pierwiastka k-krotnego,

- zbada czy pierwiastek jest k-krotny,

- stosuje schemat Hornera, 40-41 Twierdzenie Bezout’a. - zna twierdzenie o pierwiastkach

całkowitych wielomianu, - wyznaczy pierwiastki całkowite

wielomianu,

- zna twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu,

- wyznaczy pierwiastki wymierne wielomianu,

42-43 Rozkład wielomianu na czynniki. - zna wzory skróconego mnożenia, - rozłoży wielomian na czynniki przez

grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i stosowanie wzorów skróconego mnożenia,

- rozłoży wielomian na czynniki stosując twierdzenie Bezout’a,

44 Równania wielomianowe. - rozwiąże równanie wielomianowe bez stosowania twierdzenia Bezout’a,

- rozwiąże równanie wielomianowe z zastosowaniem twierdzenia Bezout’a,

- rozwiąże równanie z wartością bezwzględną,

45-46 Nierówności stopnia wyższego niż drugi. - zna definicję nierówności wielomianowej,

- rozwiąże nierówność metodą siatki znaków,

- rozwiąże nierówność wielomianową z wartością bezwzględną,

47 Funkcja wymierna. - zna definicję funkcji wymiernej,

- sporządzi wykresy prostych funkcji

wymiernych : px −a ,

xa + q,

px −a +

q i omówi własności,

- sporządzi wykres funkcji

wymiernej y =dcx +bax + ,

48 Równania wymierne. - określi dziedzinę równania, - rozwiąże równanie wymierne,

- rozwiąże równanie wymierne o podwyższonym stopniu trudności,

49-50 Nierówności wymierne. - rozwiąże nierówność wymierną

stosując siatkę znaków,

- rozwiąże nierówność z wartością bezwzględną,

51 Praca klasowa.52 Omówienie pracy klasowej. II Figury geometryczne na

płaszczyźnie.

1-2 Przypomnienie. Figura geometryczna na płaszczyźnie.

- zna pojecie figury geometrycznej, - poda przykłady figur

geometrycznych, - zna pojecie i narysuje prostą ,

półprostą, odcinek, - zna pojęcie kąta, miary kąta, - zna pojecie wielokąta , okręgu, koła, - zna pojecie figury wypukłej, - zna pojęcia i potrafi rozróżnić: kąt

pełny, kąt półpełny, prosty, kąty przyległe , wierzchołkowe,

3 Odległość na płaszczyźnie. - zna definicje odległości dwóch punktów na płaszczyźnie,

- potrafi obliczyć długość odcinka (we współrzędnych ,

- potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka,

- zna własności odległości i potrafi je zastosować w zadaniach,

4 Proste równoległe i prostopadłe. - zna warunek równoległości i prostopadłości prostych (ujecie analityczne i geometryczne),

5-6 Odległość punktu od prostej , odległość prostych równoległych.

- zna wzór na odległość punktu od prostej,

- potrafi obliczyć odległość punktu od prostej,

- zna wzór na odległość prostych równoległych,

- potrafi obliczyć odległość prostych równoległych

- potrafi obliczyć odległość punktu od prostej bez użycia wzoru,

- potrafi obliczyć odległość prostych równoległych bez użycia wzoru,

7-8 Wzajemne położenie prostej i okręgu. - potrafi podać i narysować różne przypadki wzajemnego położenia prostej i okręgu,

- zna definicję stycznej do okręgu, - zna równanie okręgu,

- wyznaczy konstrukcyjnie styczną do okręgu,

- poda warunki wzajemnego położenia prostej i okręgu (ujęcie analityczne),

9-10 Wzajemne położenie dwóch okręgów. - potrafi podać i narysować różne przypadki wzajemnego położenia dwóch okręgów,

- poda warunki wzajemnego położenia dwóch okręgów (ujęcie analityczne),

11 Kąty w kole. - zna pojęcie kąta wpisanego i środkowego,

- rozpozna kąt wpisany i środkowy na przykładzie,

- zna twierdzenie o kątach wpisanych opisanych na tym samym łuku,

- zna twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opisanym na tym samym łuku,

- zna wnioski z tych twierdzeń,

- udowodni twierdzenie o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku,

- udowodni twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku,

12-13 Wektor. - zna definicję wektora, długości , zwrotu i kierunku wektora,

- zna pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego,

- wskaże wektory równe i przeciwne, - zbuduje wektor będący sumą , różnicą

dwóch wektorów i iloczynem wektora przez liczbę,

- zapisze wektor za pomocą współrzędnych,

- obliczy długość, środek wektora, wektor przeciwny,

- obliczy współrzędne i długość wektora będącego sumą, różnicą, iloczynem wektora przez liczbę danych wektorów,

- wyprowadzi wzór na współrzędne środka odcinka,

14 Przekształcenia geometryczne. - zna definicję przekształcenia geometrycznego,

- zna definicję przekształcenia odwrotnego i tożsamościowego,

- zna definicję izometrii

- rozstrzygnie czy dane przekształcenie jest izometrią,

- zna zasady składania przekształceń,

15-16 Symetria osiowa. - zna definicję symetrii osiowej, - wykaże , że symetria osiowa

- wyznaczy konstrukcyjnie obraz punktów w symetrii osiowej,

- wyznaczy obraz dowolnej figury geometrycznej w symetrii osiowej,

- zna definicję osi symetrii figury oraz symetralnej, dwusiecznej kąta i potrafi konstrukcyjnie je wyznaczyć,

jest izometrią,

17-18 Symetria środkowa. - zna definicję symetrii środkowej., - wyznaczy konstrukcyjnie obraz

punktów w symetrii środkowej., - wyznaczy obraz dowolnej figury

geometrycznej w symetrii środkowej., - zna definicję środka symetrii figury i

potrafi konstrukcyjnie go wyznaczyć,

- wykaże , że symetria środkowa jest izometrią,

19 Translacja i obrót. - zna definicję translacji, - przesunie dany punkt o dany wektor, - przesunie figurę o wektor, - zna definicję obrotu, - obróci dany punkt o dany kąt, - obróci figurę o dany kąt,

- zna pojęcie analityczne translacji i obrotu,

- wykaże , że translacja i obrót są izometriami,

20-21 Obrazy wykresów funkcji w przekształceniach izometrycznych.

- przekształci dany wykres funkcji w Sx, Sy, So,

- napisze, mając wzór danej funkcji, wzór funkcji będącej jej obrazem w Sx, Sy, So,

- przekształci dany wykres w Sy= x,

- napisze, mając wzór danej funkcji, wzór funkcji będący jej obrazem w Sy= x,

22-23 Przystawanie figur. - zna definicję figur przystających,

- zna cechy przystawania trójkątów, - potrafi wykazać przystawanie

trójkątów,

24-25 Trójkąt – podział i własności. - zna podział trójkątów ze względu na boki i kąty,

- potrafi konstrukcyjnie wpisać trójkąt oraz opisać trójkąt na

- potrafi rozróżnić trójkąty, - zna twierdzenie dotyczące sumy miar

kątów wewnętrznych w trójkącie, - zna własności trójkąta wpisanego i

opisanego na okręgu,

okręgu,

26-27 Czworokąt – podział i własności. - zna podział czworokątów ze względu na boki i kąty,

- potrafi rozróżnić czworokąty, - zna własności dotyczące sumy miar

kątów wewnętrznych, boków i przekątnych w czworokącie,

- zna warunki czworokąta wpisanego i opisanego na okręgu,

- potrafi konstrukcyjnie wpisać czworokąt oraz opisać czworokąt na okręgu,

28-29 Wielokąty foremne. - Zna definicję wielokąta foremnego, - zna podział wielokątów ze względu

na boki i kąty, - potrafi rozróżnić wielokąty, - zna własności wielokątów, - zna warunki wielokąta wpisanego i

opisanego na okręgu,

- potrafi konstrukcyjnie wpisać oraz opisać wielokąt na okręgu,

30-33 Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem własności wielokątów.

- potrafi podać rozwiązanie konstrukcyjne zadania,

- potrafi przedstawić rozwiązanie analityczne zadania,

- potrafi przedstawić dowód danego problemu,

34 Praca klasowa.35 Omówienie pracy klasowej.

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY

II TECHNIKUM NA PODBUDOWIE ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ

Umiejętności Lp. Temat lekcji Podstawowe Ponadpodstawowe

I Funkcje wykładnicze i logarytmiczne.

Uczeń: Uczeń:

1-2 Potęga o wykładniku całkowitym. - zna definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym;

- obliczy potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym;

- zna własności działań na potęgach; - wykona działania na potęgach o

wykładnikach ujemnych; - wykona proste działania łączne na

potęgach o wykładnikach całkowitych;

- udowodni twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładnikach całkowitych;

- wykona działania łączne na potęgach o wykładnikach całkowitych;

3-4 Potęga o wykładniku wymiernym. - wykona proste działania na potęgach o wykładnikach wymiernych;

- zna definicję potęgi o wykładniku wymiernym;

- zna i stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładnikach wymiernych w działaniach łącznych na potęgach;

- wykona działania na potęgach o wykładnikach wymiernych;

5-6 Działania na potęgach o wykładnikach - wykona proste działania łączne na - obliczy wartość wyrażenia

wymiernych. potęgach;

arytmetycznego zawierającego potęgi, wymagającego wielokrotnego stosowania definicji i twierdzeń o działaniach na potęgach;

7 Funkcje potęgowe y = xn , gdzie n∈N,

n-liczba parzysta i n-liczba nieparzysta - wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje wykres i omówi własności (na

wybranych przykładach);

- uogólni własności funkcji ze względu na n;

- sporządzi wykres funkcji z wartością bezwzględną

- sporządzi wykres dokonując przekształceń;

8 Funkcje potęgowe y = xn , gdzie n jest liczbą całkowitą ujemną.

- wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje wykres dla n parzystych i

nieparzystych i omówi własności;

- poda podobieństwa i różnice we własnościach funkcji dla n parzystych i n nieparzystych;

- sporządzi wykres z wartością bezwzględną;

- sporządzi wykres dokonując przekształceń;

9 Funkcje potęgowe y = xn , gdzie n jest liczbą wymierną.

- wyznaczy dziedzinę funkcji; - narysuje i omówi własności funkcji

y = x(1/2) i y = x(1/3);

- narysuje i omówi własności funkcji y = x-(1/2) i y = x-(1/3);

- sporządzi wykresy dokonując przekształceń;

10 Funkcja wykładnicza. - zna definicję funkcji wykładniczej; - poda przykłady funkcji; - narysuje wykresy wybranych funkcji i

omówi ich własności;

- uogólni własności funkcji wykładniczej;

11-12 Przekształcanie wykresów funkcji wykładniczej.

- zastosuje monotoniczność funkcji do porównania wykładników lub oceny podstaw;

- narysuje wykres funkcji y = ax, y = ax-p + q;

- przekształci wykres przez

- posługując się wykresem da odpowiedź na żądane warunki zadania;

- narysuje wykres funkcji y = ax + q, y = ax-p, y = -ax, y = a-x;

SOX, SOY, S(0,0), Tp, Tq, Tp+q i zbuduje wzór otrzymanej funkcji;

13-14 Rozwiązywanie równań wykładniczych. - rozwiąże elementarne równanie;

- rozwiąże równanie wykładnicze o zwiększonym stopniu trudności;

15-16 Rozwiązywanie nierówności wykładniczych. - rozwiąże elementarną nierówność

wykładniczą z zastosowaniem monotoniczności funkcji;

- rozwiąże nierówność wykładniczą o zwiększonym stopniu trudności;

17-18 Praca klasowa i jej omówienie.

19 Pojęcie logarytmu. - poda definicję logarytmu; - obliczy logarytm o danej podstawie

danej liczby, obliczy liczbę logarytmowaną mając dany logarytm i podstawę logarytmu;

- obliczy podstawę logarytmu mając dany logarytm i liczbę logarytmowaną;

20-21 Własności logarytmu. - zna podstawowe własności logarytmu loga(xy), loga(x/y), logaxn;

- zastosuje własności w prostych przykładach;

- udowodni podstawowe własności logarytmu;

- zna inne własności logarytmu (np. o zmianie podstaw logarytmu);

- zastosuje własności logarytmu w uproszczeniu wyrażeń;

23 Zastosowanie definicji i własności logarytmów w zadaniach.

- zastosuje definicje i własności logarytmu w obliczeniach;

- zamieni liczbę na logarytm o danej podstawie;

- zastosuje definicję i własności logarytmu w obliczeniach oraz przekształceniach wyrażeń;

- zna i potrafi zastosować twierdzenie o zamianie

podstawy logarytmu;

24 Funkcja logarytmiczna. - zna definicję funkcji logarytmicznej; - poda przykład funkcji; - sporządzi wykres wybranych funkcji

logarytmicznych i omówi ich własności;

- uogólni własności funkcji logarytmicznej;

25-26 Zastosowanie własności funkcji logarytmicznej w zadaniach.

- wyznaczy dziedzinę funkcji logarytmicznej;

- przekształci wykres funkcji logarytmicznej T[p ,0], T[0,q];

- przekształci wykresy funkcji logarytmicznej i zbuduje wzór otrzymanej funkcji oraz omówi jej własności;

- sporządzi wykres funkcji z wartością bezwzględną;

27-28 Rozwiązywanie równań logarytmicznych. - rozwiąże proste równanie logarytmiczne;

- rozwiąże równania logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności;

29-30 Rozwiązywanie nierówności

logarytmicznych. - rozwiąże prostą nierówność

logarytmiczną;

- rozwiąże nierówności logarytmiczne o podwyższonym stopniu trudności;

31 Rozwiązywanie równań i nierówności

logarytmicznych z niewiadomą w podstawie logarytmu.

- ustali dziedzinę równania i nierówności; - rozwiąże proste równanie typu logx4 =

2

- ustali dziedzinę równania i nierówności;

- rozwiąże równanie i nierówność z niewiadomą w podstawie logarytmu;

32 Rozwiązywanie równań i nierówności w których podstawa jak i liczba logarytmowana zależą od niewiadomej.

- ustali dziedzinę równania i nierówności;

- rozwiąże równanie i nierówność;

33-34 Praca klasowa i jej omówienie. II Ciągi liczbowe. 1 Pojęcie ciągu i sposoby jego określania. - zna pojecie nieskończonego ciągu i

skończonego; - poda przykład ciągu liczbowego i

nieliczbowego; - obliczy kolejne jak i dowolne wskazane

wyrazy ciągu liczbowego podanego wzorem ogólnym;

- przedstawi wykres ciągu podanego wzorem;

- obliczy kilka początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;

- zapisze wzorem ogólnym ciąg, dla którego podane są jego wyrazy;

2-3 Ciągi monotoniczne. - zna definicję ciągu rosnącego, malejącego, stałego, nierosnącego, niemalejącego;

- zbada, czy podany ciąg jest rosnący, czy malejący;

-

4-5 Ciąg arytmetyczny- określenie i własności. - zna definicję ciągu arytmetycznego; - zna wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu; - obliczy dowolny wyraz ciągu w którym

dane są a1 i r ; - przedstawi wykres ciągu rosnącego i

malejącego;

- udowodni wzór na an;

6-7 Zastosowanie ciągu arytmetycznego w zadaniach.

- wyznaczy ciąg arytmetyczny (a1 i r) mając podane warunki np. a5 i a10;

- wyznaczy szukaną wielkość mając dane 3 spośród czterech a1, r, an, n;

- zastosuje definicję ciągu arytmetycznego i wzór na an do zadań z tekstem;

8 Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego. - zna wzór na sumę n początkowych - udowodni wzór na Sn;

wyrazów ciągu arytmetycznego; - stosuje wzór na sumę;

9-10 Ciąg arytmetyczny w zadaniach. - stosuje wzory na an i Sn w zadaniach;

11-12 Ciąg geometryczny – określenie i własności. - zna definicję ciągu geometrycznego; - zna wzór na n-ty wyraz ciągu

geometrycznego; - obliczy kilka początkowych wyrazów

ciągu geometrycznego; - wyznaczy ciąg (a1 , q) przy zadanych

warunkach;

- udowodni wzór na an;

13 Suma n wyrazów ciągu geometrycznego. - zna wzór na sumę i stosuje go w zadaniach;

- udowodni wzór na Sn;

14-15 Ciąg geometryczny w zadaniach. - sprawnie stosuje wzory na an i Sn w zadaniach dotyczących ciągu geometrycznego;

16-18 Rozwiązywanie różnych zadań dotyczących ciągów: arytmetycznego i geometrycznego.

- rozwiąże proste zadania korzystając z własności obu ciągów;

- zastosuje wiadomości dotyczące ciągów do rozwiązywania problemów;

- rozwiąże zadanie typu maturalnego;

19-20 Praca klasowa i jej omówienie. 21 Pojęcie granicy ciągu. - na przykładach wykaże rozumienie

granicy ciągu zbieżnego do zera; - naszkicuje wykres ciągu zbieżnego do

zera;

- zna definicję granicy ciągu wg Heinego i Cauchy’ego;

22 Ciągi zbieżne i ich własności. - na przykładach wykaże rozumienie granicy ciągu zbieżnego do g;

- naszkicuje wykres ciągu zbieżnego do g;

- wykaże, że granicą danego ciągu jest podana liczba;

23-24 Obliczanie granic ciągów. - stosuje twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych do granic;

- na przykład wskaże ciągi rozbieżne;

- zna twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych oraz rozbieżnych;

25-26 Ciąg geometryczny nieskończony zbieżny i

jego suma. - zna warunek zbieżności

nieskończonego ciągu geometrycznego; - obliczy sumę szeregu geometrycznego;

- udowodni twierdzenie o sumie szeregu geometrycznego;

27-28 Szereg geometryczny w zadaniach. - zamieni ułamek okresowy na zwykły;

- rozwiąże równanie, nierówność, w którym jedna ze stron jest sumą szeregu geometrycznego;

- zastosuje wzór na sumę szeregu w zadaniach problemowych;

29-30 Praca klasowa i jej omówienie. III Figury geometryczne w

przestrzeni.

1 Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni.

- wskaże na modelach proste równoległe, skośne, płaszczyzny równoległe, przecinające się, prostą równoległą do płaszczyzny;

- zna twierdzenie o prostych i płaszczyznach oraz zilustruje je rysunkiem;

- udowodni twierdzenia o prostych i płaszczyznach;

2 Prostopadłość prostych i płaszczyzn. - zna definicję prostej prostopadłej do płaszczyzny i płaszczyzn prostopadłych;

- zna twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny;

- udowodni twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny;

3-4 Rzut równoległy na płaszczyznę. - zna definicje rzutu; - narysuje rzut równoległy odcinka,

prostej na płaszczyznę; - zastosuje w praktyce własności rzutu

- narysuje rzut równoległy figury płaskiej;

- udowodni twierdzenia o rautach równoległych

równoległego odcinków; odcinków; 5-6 Rzut prostokątny na płaszczyznę. - zna definicję rzutu prostokątnego;

- zna definicję odległości punktu od płaszczyzny i odległości płaszczyzn równoległych;

- wykona rzut prostokątny odcinka, prostej na płaszczyznę;

- zastosuje w praktyce własności rzutu prostokątnego odcinków;

7-9 Powtórzenie wiadomości o związkach miarowych w trójkącie.

- zna definicje funkcji trygonometrycznych;

- zna wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 30°, 45°, 60°, 90°;

- zna wzory redukcyjne; - zna i stosuje twierdzenie sinusów,

cosinusów, twierdzenie Pitagorasa w prostych zadaniach;

- wyprowadzi wzory redukcyjne;

- udowodni twierdzenie sinusów, cosinusów;

10-11 Kąty w przestrzeni. - zna definicje kąta między prostą a płaszczyzną, kąta dwuściennego;

- wskaże na modelach poznane kąty; - zastosuje definicję w prostych

zadaniach; - zna twierdzenie o trzech prostych

prostopadłych;

- udowodni twierdzenie o trzech prostych prostopadłych;

12-13 Graniastosłup. - wskaże wierzchołki , krawędzie, ściany, wysokość graniastosłupa;

- wykona siatkę; - zna definicję graniastosłupa

prawidłowego; - zna klasyfikację graniastosłupa; - wskaże na modelach przekątną

- narysuje przekroje graniastosłupa płaszczyzną;

graniastosłupa, kąt miedzy przekątną a ścianą;

- zastosuje własności graniastosłupów w prostych zadaniach;

14-15 Ostrosłup - - wskaże na modelu wierzchołki , krawędzie, ściany, wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej, kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy, kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy, kąt między ścianą boczną a podstawą, kąt między ścianami bocznymi;

- wykona siatkę; - zna definicję ostrosłupa prawidłowego; - zna klasyfikację graniastosłupa; - wskaże na modelach przekątną

graniastosłupa, kąt miedzy przekątną a ścianą;

- zastosuje własności ostrosłupów w prostych zadaniach;

- narysuje przekroje ostrosłupa płaszczyzną;

16-17 Wielościany foremne. - zna definicję wielościanu foremnego; - wykona siatkę czworościanu, sześcianu,

ośmiościanu; - zna własności wielościanów foremnych

i stosuje je w prostych zadaniach;

- stosuje własności wielościanów foremnych w zadaniach problemowych;

18-19 Figury obrotowe. - zna definicję figury obrotowej; - wykona siatkę walca, stożka; - określi rodzaj bryły obrotowej na

podstawie jej przekroju osiowego;

20-21 Praca klasowa i jej omówienie.

IV Jednokładność i podobieństwo. 1-2 Twierdzenie Talesa i jego zastosowanie. - zna treść twierdzenia Talesa i

twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa;

- podzieli odcinek w danym stosunku; - konstrukcyjnie rozwiąże daną

proporcję; - stosuje twierdzenie Talesa do obliczania

długości pewnych odcinków; - stosuje twierdzenie odwrotne do

twierdzenia Talesa w prostych zadaniach;

- zna dowody twierdzeń; - obliczy współrzędne punktu

dzielącego odcinek w danym stosunku;

3-4 Przypomnienie wiadomości jednokładność. - zna definicję jednokładności; - znajdzie obraz danej figury w

jednokładności; - zna definicję figur jednokładnych; - wskaże figury jednokładne;

- udowodni twierdzenia o obrazie odcinka, wektora, prostej w jednokładności;

5 Podobieństwo figur. - zna definicję podobieństwa; - zna definicję i własności figur

podobnych; - rozpozna figury podobne; - wskaże w figurach podobnych

odpowiednie kąty i zapisze proporcjonalność odpowiednich boków;

- udowodni twierdzenie o podobieństwie jako złożeniu jednokładności z izomerią;

6 Cechy podobieństwa trójkątów. - zna cechy podobieństwa trójkątów; - rozpozna na rysunku trójkąty podobne i

uzasadni ich podobieństwo;

- formułuje cech podobieństwa niektórych figur (czworokątów, kół, trójkątów prostokątnych);

7 Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów. - stosuje cechy podobieństwa trójkątów

do rozwiązywania zadań;

- zna wzór na wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzoną z wierzchołka

kąta prostego i stosuje go do konstruowania odcinka o długości √ab;

8-9 Powtórzenie wiadomości o funkcjach

trygonometrycznych. - zna definicje i własności funkcji

trygonometrycznych oraz wzory redukcyjne;

- zna wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 30°, 45°, 60°;

- odczyta wartość funkcji trygonometrycznej z tablic matematycznych;

10-11 Twierdzenie sinusów. - zna twierdzenie sinusów; - stosuje twierdzenie sinusów do

rozwiązywania trójkątów; - obliczy promień okręgu opisanego na

trójkącie;

- udowodni twierdzenie sinusów;

12-13 Twierdzenie cosinusów. - zna twierdzenie cosinusów; - zna związek między tw. Cosinusów i

tw. Pitagorasa;

- udowodni tw. Cosinusów;

14 Zastosowanie twierdzenia cosinusów. - stosuje tw. Cosinusów; - rozwiąże trójkąt;

15-16 Pole wielokąta foremnego. - zna definicję wielokąta foremnego; - obliczy pole wielokąta foremnego; - obliczy pole koła opisanego i

wpisanego w wielokąt foremny;

17 Pole koła. - obliczy pole i obwód koła; - obliczy pole wycinka kołowego; - obliczy pole pierścienia kołowego;

18 Pola i obwody figur podobnych. - zna i stosuje zależności pomiędzy obwodami i polami figur podobnych;

19-20 Pola figur. - rozwiąże zadanie dotyczące pól figur;

- rozwiąże zadania typu

maturalnego;

21-22 Praca klasowa i jej omówienie.

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY III TECHNIKUM NA PODBUDOWIE

ZASADNICZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ

Umiejętności Lp. Temat lekcji Podstawowe Ponadpodstawowe

I Rachunekprawdopodobieństwa.

Uczeń: Uczeń:

1-2 Permutacje. - zna symbol n!; - stosuje symbol n! W prostych

zadaniach; - zna definicję permutacji; - zna wzór na liczbę permutacji; - rozwiąże proste zadania z

zastosowaniem permutacji;

- uzasadni wzór na liczbę permutacji;

3-4 Kombinacje. - zna symbol Newtona; - stosuje symbol Newtona; - zna definicje kombinacji k-

elementowej zbioru n-elementowego; - rozwiąże proste zadania z

zastosowaniem wariacji;

- udowodni własności symbolu Newtona;

5-6 Wariacje bez powtórzeń, wariacje z powtórzeniami.

- zna definicję wariacji; - zna wzór na liczbę wariacji; - rozwiąże proste zadania z

zastosowaniem wariacji;

- uzasadni wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami;

7 Zdarzenia elementarne. Podzbiory zbioru

zdarzeń elementarnych. - opisze zbiór zdarzeń elementarnych

danego zdarzenia losowego; - zna definicje zdarzenia ;

- zna definicję zdarzenia pewnego, niemożliwego;

- wskaże zdarzenia elementarne sprzyjające danemu zdarzeniu;

- wykona działania na zdarzeniach; 8 Klasyczna i aksjomatyczna definicja

prawdopodobieństwa. - zna definicję prawdopodobieństwa; - zapisze model probabilistyczny

doświadczenia; - stosując klasyczną definicje

prawdopodobieństwa obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia;

9 Własności prawdopodobieństwa. - zna własności prawdopodobieństwa; - stosuje własności w zadaniach;

- udowodni własności prawdopodobieństwa;

10-11 Określenie prawdopodobieństwa przy

pomocy drzewka. - przedstawi dane doświadczenie przy

pomocy drzewka; - obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia

na podstawie drzewka;

12-13 Obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem elementów kombinatoryki i drzew.

- przy pomocy drzewa obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia;

- rozwiąże zadanie z wykorzystaniem elementów kombinatoryki;

14-15 Prawdopodobieństwo warunkowe. - zna definicję prawdopodobieństwa

warunkowego; - zna i stosuje wzór na

prawdopodobieństwo warunkowe;

16 Niezależność pary zdarzeń. - zna definicję niezależności dwóch zdarzeń;

- sprawdzi czy dane dwa zdarzenia są niezależne;

- obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia z wykorzystaniem własności pary

- zna definicję niezależności większej liczby zdarzeń;

zdarzeń niezależnych; 17-18 Prawdopodobieństwo całkowite. - obliczy prawdopodobieństwo całkowite

przy pomocy drzewa;

- zna i udowodni wzór na prawdopodobieństwo całkowite;

- obliczy prawdopodobieństwo całkowite z wykorzystaniem wzoru;

19-20 Zastosowanie poznanych wzorów do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń.

- rozwiąże zadania o niewielkim stopniu trudności;

- rozwiąże zadania o podwyższonym stopniu trudności (zadania typu maturalnego);

21 Schemat Bernouliego. - określi zdarzenie będące sukcesem,

porażką; - zna i stosuje twierdzenie o

prawdopodobieństwie otrzymania k-sukcesów w n-próbach Bernouliego;

22 Zastosowanie schematu Bernouliego. - stosuje poznane twierdzenie w zadaniach o niewielkim stopniu trudności;

- stosuje poznane twierdzenia w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności (zadania typu maturalnego);

23-24 Praca klasowa i jej omówienie II Pola powierzchni i objętości

wielościanów oraz brył obrotowych.

1 Powtórzenie wiadomości o polach figur. - zna klasyfikację czworokątów i wzory na ich pola;

- zna wzory na pole trójkąta, pole i

- zna definicję pola figury ; - stosuje wzory na pole figury

w zadaniach;

obwód koła; - zna wzory na pole wielokąta

foremnego; - stosuje wzory na pole figury w prostych

zadaniach; 2-3 Objętość i pole powierzchni graniastosłupa. - zna wzory na objętość i pole

powierzchni graniastosłupa; - obliczy objętość i pole powierzchni

graniastosłupa prostego;

- zna definicję objętości bryły; - obliczy objętość i pole

powierzchni graniastosłupa , który nie jest prosty;

4 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni graniastosłupa.

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych;

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupa w zadaniach problemowych;

5-6 Objętość i pole powierzchni ostrosłupa. - zna wzory na objętość i pole

powierzchni ostrosłupa; - obliczy objętość i pole powierzchni

ostrosłupa prawidłowego;

- obliczy objętość i pole powierzchni ostrosłupa, który nie jest prawidłowy;

7 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola

powierzchni ostrosłupa. - stosuje wzory na objętość i pole

powierzchni ostrosłupa prawidłowego w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych;

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa w zadaniach problemowych;

8-9 Objętość i pola powierzchni wielościanów podobnych.

- zna definicję podobieństwa i figur podobnych;

- zna twierdzenie o stosunkach objętości i pól powierzchni wielościanów podobnych;

- stosuje twierdzenie w prostych zadaniach;

- udowodni twierdzenie o stosunkach objętości i pól powierzchni niektórych graniastosłupów i ostrosłupów;

10-11 Praca klasowa i jej omówienie. 12 Objętość i pole powierzchni walca. - zna wzory na objętość i pole - wyprowadzi wzór na pole

powierzchni walca; - stosuje poznane wzory w prostych

zadaniach;

powierzchni bocznej i całkowitej walca;

13-14 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola

powierzchni walca. - stosuje wzory na objętość i pole

powierzchni walca w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych;

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni walca w zadaniach problemowych;

15 Objętość i pole powierzchni stożka. - zna wzory na objętość i pole

powierzchni stożka; - stosuje poznane wzory w prostych

zadaniach;

- wyprowadzi wzór na pole powierzchni stożka;

16-17 Ćwiczenia w obliczaniu objętości i pola powierzchni stożka.

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni stożka w zadaniach z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych;

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni stożka w zadaniach problemowych;

18-19 Objętość i pole powierzchni kuli. - zna wzory na objętość i pole

powierzchni kuli; - stosuje wzory w prostych zadaniach;

- stosuje wzory na objętość i pole powierzchni kuli w zadaniach problemowych;

21-22 Kula opisana na wielościanie. - zna definicję kuli opisanej na wielościanie;

- rozwiąże proste zadania dotyczące kuli opisanej na prostopadłościanie, sześcianie, ostrosłupie prawidłowym;

- rozwiąże zadania dotyczące kuli opisanej na wielościanie;

23-24 Kula wpisana w wielościan. - zna definicję kuli wpisanej w wielościan;

- rozwiąże proste zadania dotyczące kuli wpisanej w sześcian, ostrosłup prawidłowy;

- rozwiąże zadania dotyczące kuli wpisanej w wielościan;

25 Kula opisana na walcu, stożku. - zna definicję kuli opisanej na walcu , stożku;

- narysuje przekrój osiowy walca, stożka i kuli opisanej na tym walcu, stożku oraz uzasadni położenie środka kuli;

- rozwiąże proste zadania dotyczące kuli opisanej na walcu, stożku;

- rozwiąże zadania dotyczące kuli opisanej na walcu, stożku;

26 Kula wpisana w stożek. - zna definicję kuli wpisanej w stożek; - narysuje przekrój osiowy stożka i kuli

wpisanej w ten stożek oraz uzasadni położenie środka kuli;

- rozwiąże proste zadania dotyczące kuli wpisanej w stożek;

- rozwiąże zadania dotyczące kuli wpisanej w stożek;

27-28 Obliczanie objętości i pola powierzchni brył obrotowych.

- rozwiąże zadanie o niewielkim stopniu trudności;

- rozwiąże zadanie o podwyższonym stopniu trudności;

29-30 Praca klasowa i jej omówienie.