KIERUNKI ROZWOJU PODSTAW TEORII STEROWANIAptetis.agh.edu.pl/AGH PTETiS 17 03 2016.pdf ·...

KIERUNKI ROZWOJU

PODSTAW

TEORII STEROWANIA

Wojciech Mitkowski

Katedra Automatyki i Inżynierii Biomedycznej

Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej AGH

AGH University of Science and Technology, KRAKÓW, POLAND.

Referat w ramach seminariów organizowanych przez Polskie Towarzystwo

Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej, Oddział w Krakowie,

Kraków, 17.03.2016

TEORIA STEROWANIA

W. MITKOWSKI, Katedra AiIB,

EAIiIB-AGH

2

Teoria sterowania - jedna z gałęzi matematyki i cybernetyki,

zajmuje się analizą i modelowaniem matematycznym obiektów

i procesów różnej natury, zarówno fizycznych (np. chemicznych,

cieplnych, mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych,

elektrycznych) jak i społecznych (np. ekonomia matematyczna),

traktowanych jako układy dynamiczne ze sterowaniem.

Stworzony model pozwala na syntezę układu regulacji

poprzez wprowadzenie regulatora sterującego danym obiektem

lub procesem tak, by ten zachowywał się w pożądany sposób.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_sterowania

PODSTAWY TEORII STEROWANIA

• Fundamenty: matematyka, fizyka, myśl

inżynierska.

• Sprzężenie zwrotne: generator twierdzeń

matematycznych.

• Czasowa funkcja rozwoju: oscylacyjna

(zastosowania-teoria-zastosowania-teoria-

…), obserwacja przeszłości.

• Generator nowych pomysłów:

zastosowania w różnych obszarach.


EAIiIB-AGH

3

WYBRANE UWAGI HISTORYCZNE https://pl.wikipedia.org/wiki/Historia_automatyki

• W roku 1788 James Watt ukończył projekt odśrodkowego regulatora obrotów (z ruchomymi kulami), który

służyć miał do regulacji prędkości obrotowego silnika parowego.

• Już na początku XIX wieku powstały pierwsze raporty o trudnościach z odśrodkowymi regulatorami obrotów z

powodu powstawania cykli granicznych. Inżynierowie nie mogli sobie poradzić z problemami stabilizacji

obrotów, położenia teleskopu, itp..

• W XIX wieku równania różniczkowe były znane (prawie od stu lat). W 1868 roku James Clerk Maxwell

(odkrywca równań pola elektromagnetycznego) zainspirowany eksperymentem z elektrycznością, w którym

chodziło o utrzymanie stałej wartości prędkości rotacji uzwojenia, przeanalizował działanie regulatora

odśrodkowego. 20 lutego tego roku przedłożył w Royal Society sławny już dziś artykuł On governors (O

odśrodkowych regulatorach obrotów). Maxwell opisał w nim jak wyprowadzić liniowe równania różniczkowe

dla różnych mechanizmów regulatora i przedstawił analizę stabilności dla odśrodkowego regulatora obrotów.

Innymi słowy Maxwell wyjaśnił niestabilności jakimi odznaczał się odśrodkowy regulator obrotów z

ruchomymi kulami opisując system z wykorzystaniem równań różniczkowych.

• Dziś często rok 1868 uznaje się za znaczący i historyczny – ten rok wyznacza początek matematycznej teorii

sterowania. W tamtym czasie matematycy i fizycy wiedzieli, że stabilność systemów dynamicznych można było

określić określając położenie pierwiastków równania charakterystycznego, i że system staje się niestabilny gdy

rzeczywista cześć pierwiastka zespolonego staje się dodatnia.


EAIiIB-AGH

4

DALSZE UWAGI HISTORYCZNE

• Praca Maxwella analizowała i opisywała zjawisko oscylacji samowzbudnych, w którym opóźnienia układu mogą

doprowadzić do nadkompensacji i niestabilności. Maxwell posłużył się linearyzacją równań różniczkowych

ruchu by znaleźć równanie charakterystyczne dla układu. Badał jaki wpływ mają parametry układu na jego

stabilność i pokazał, że układ jest stabilny gdy części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są

ujemne. Innymi słowy Maxwell pokazał, dla układów rzędu drugiego, trzeciego i czwartego, że stabilność można

określić poprzez zbadanie współczynników równań różniczkowych. Udało mu się podać warunki konieczne i

dostateczne tylko dla równań do rzędu czwartego. Dla równań rzędu piątego podał dwa warunki konieczne. Nie

zdołał podać warunków dla modeli wyższych rzędu wyraził jednak nadzieję, że zagadnienie stanie się

przedmiotem dalszych prac matematyków. Artykuł Maxwella dziś uznaje się za znaczący, lecz naówczas nie

zwrócono jednak na niego szczególnej uwagi. Dopiero na początku XX wieku wyniki tej pracy zaczęto sobie

przyswajać jako wiedzę inżynieryjną.

• Tematykę podjętą przez Maxwella kontynuowali inni badacze – m.in. Edward John Routh, były kolega Maxwella

ze szkoły, przedstawił uogólnienie jego wyników dla układów liniowych. Niezależnie od tych prac Adolf

Hurwitz w 1877 analizował stabilność systemu z użyciem równań różniczkowych co przyniosło wyniki znane

dziś jako twierdzenie Routha-Hurwitza.

• W 1893 roku Aurel Boreslav Stodola, korzystając z modelu trzeciego rzędu, badał regulację turbiny wodnej z

użyciem techniki Wyszniegradskiego. Stworzył model dynamiki urządzenia wykonawczego ujmując w swojej

analizie opóźnienie mechanizmu wykonawczego. Był pierwszym, który użył pojęcia stałej czasowej systemu.

• W latach 90. XIX wieku Aleksandr Michajłowicz Lapunow opublikował pracę z zakresu teorii stabilności, które

miały duży wpływ na teorię sterowania. Lapunow przedłożył swoją pracę doktorską Общая задача об

устойчивости движени (Ogólny problem stabilności ruchu). Lapunow w 1892 roku badał z użyciem

uogólnionego pojęcia energii stabilność nieliniowych równań różniczkowych (zob. metody Lapunowa).


EAIiIB-AGH

5

DALSZE UWAGI

• Gwałtowne rozprzestrzenianie się telegrafii, a następnie telefonii od połowy XIX wieku pobudzało do

podejmowania rozlicznych badań nad zachowaniem się obwodów elektrycznych. Przez kilka lat począwszy

od 1888 roku brytyjski inżynier Oliver Heaviside publikował swoje artykuły na temat rachunku

operatorowego. Można w zasadzie powiedzieć, że w latach 1892–1898 Oliver Heaviside wynalazł

rachunek operatorowy, przebadał zachowania systemu w stanie nieustalonym i wprowadził pojęcie

odpowiadające późniejszej transmitancji. Chociaż jego metody dawały przekonujące wyniki dla

odpowiedzi układów elektrycznych w stanie nieustalonym, został on ostro skrytykowany przez

współczesnych mu matematyków za brak należytego rygoru i ostatecznie wyklęty przez swoje ówczesne

środowisko naukowe.

• Pewne ograniczenia stosowalności przekształceń całkowych, a przede wszystkim rozwój analizy

funkcjonalnej skłoniły matematyków do poszukiwania nowych koncepcji rachunku operatorowego.

Banach, Hilbert, dystrybucje,…

• Burzliwy rozwój techniki regulacji automatycznej rozpoczął się w okresie poprzedzającym wybuch I wojny

światowej. W okresie międzywojennym technika i teoria regulacji została podporządkowana

zastosowaniom militarnym. Istotnym problemem wojskowym podczas tego okresu stało się sterowanie i

nawigacja statkami, których projekty zaczynały wówczas być coraz bardziej zaawansowane. Ponadto w

wielu krajach mnóstwo pracy włożono w opracowanie systemów do dokładnego nakierowywania dział

statków i artylerii przeciwlotniczej. Początkowo regulatory były regulatorami pneumatycznymi,

hydraulicznymi lub mechanicznymi. Nieco później opracowano rozwiązania zawierające także układy

elektryczne. Dopiero po II wojnie światowej powstały układy o charakterze całkowicie elektrycznym.

W. MITKOWSKI, AGH-Kraków 6

JESZCZE KILKA UWAG • Branża elektroenergetyki przyniosła potrzebę regulacji napięcia i częstotliwości. Wraz z coraz szerszym

stosowaniem oświetlenia elektrycznego od końca XIX wieku pojawiły się problemy związane z dystrybucją energii elektrycznej. W pierwszych systemach dystrybucji na obciążenie składały się głównie obwody oświetleniowe stąd występował nacisk na regulację napięcia (lub prądu). Z czynników, które wpływają na napięcie wyjściowe generatora, łatwo daje się kontrolować tylko siła prądu pola dlatego pierwsze regulatory korzystały z takiej techniki do regulacji napięcia wyjściowego. Jednym z pierwszych regulatorów był regulator Tirrill wprowadzony przez General Electric Company w 1902 roku.

• Duże znaczenie miało zastosowanie sterowania w lotnictwie do kontroli dynamiki lotu. W kolejnych dwóch dekadach nastąpił znaczący postęp technologiczny zarówno w stabilizacji statków, jak i samolotów. Jednakże pomijając analizy stabilności omówione wcześniej (Routh, Hurwitz, Lapunow), które nie były wówczas szerzej znane, nie prowadzono badań teoretycznych takich układów ze sprzężeniem zwrotnym (aczkolwiek z wyjątkami takimi jak praca Minorsky’ego). W 1922 roku Nicolas Minorsky opracował koncepcję regulatora PID, który dziś stosowany jest w około 90% instalacji automatyki (podglądał prace sternika). Była to pierwsza opublikowana analiza teoretyczna regulatora PID. Marynarka ostatecznie nie zdecydowała się jednak wówczas na wdrożenie jego rozwiązania z uwagi na opór ze strony załogi statku.

• Postęp na polu teorii był bardzo powolny, do czasu aż przyspieszenie jakie nastąpiło w elektronice i telekomunikacji w latach 20. i 30. XX wieku przełożyło się, w okresie II wojny światowej, na rozwój teorii sterowania. Przy praktycznym opracowywaniu wzmacniacza i badaniu jego zachowania Blackowi asystował Harry Nyquist. Black przekazał problem stabilności takiej pętli sprzężenia zwrotnego do swego kolegi z Laboratoriów Bella Harry Nyquista. Harry Nyquist rozwinął teorię regeneracji w zastosowaniu do projektowania stabilnych wzmacniaczy. W 1932 roku podał słynne kryterium stabilności układów z zamkniętym sprzężeniem zwrotnym dla dziedziny częstotliwościowej (tzw. kryterium Nyquista). Bode badał stabilność pętli sprzężenia zwrotnego z wykorzystaniem takich koncepcji jak zapas amplitudy i zapas fazy (Bode, 1940).


I JESZCZE KILKA UWAG

• Analizator różniczkowy na University of Cambridge w 1938 roku.

• Na początku lat 40. XX wieku Harris wprowadził pojęcie transmitancji widmowej, a następnie Brown – pojęcie transmitancji operatorowej. W 1942 roku John G. Ziegler i Nathaniel B. Nichols opracowali zasady doboru nastaw regulatorów pneumatycznych, stosowanych na amerykańskich okrętach podwodnych (tzw. metoda Zieglera-Nicholsa).

• Wiele prac badawczych rozpoczętych w latach II wojny światowej zostało opublikowanych dopiero po jej zakończeniu. I tak: Nathaniel B. Nichols w roku 1947 wykorzystał wykresy, nazwane później jego imieniem, do projektowania serwomechanizmów; w 1948 r. Walter Richard Evans zaprezentował technikę projektowania układów regulacji automatycznej w oparciu o rozkład zer i biegunów transmitancji.

• W roku 1949 (szkic 1942) Norbert Wiener sformułował filtr statystycznie optymalny dla ciągłych układów stacjonarnych. Niezależnie od tych prac w 1941 Andriej Nikołajewicz Kołmogorow zaprezentował teorię dla dyskretnych stacjonarnych procesów stochastycznych (odpowiednik pomysłu Wienera dla sygnałów dyskretnych). Cybernetyka - dotyczyła sterowania i komunikacji zarówno w odniesieniu do ludzi, jak i maszyn (propozycja Winera 1947).

• XX-XXI wiek. Regulatory przemysłowe. Sterowanie cyfrowe, sterowniki programowalne PLC. Urządzenia elektroniczne. Komputery osobiste. Techniki sieciowe. Zastosowania w lotnictwie, loty kosmiczne, automatyka okrętowa, roboty, drony, automatyka samochodowa, synteza mikrostruktur, inżynieria biomedyczna, …, zastosowania w różnych obszarach.

• Sterowanie optymalne. Teoria sterowania predykcyjnego. Regulacja odporna. Sztuczna inteligencja. Matematyka w biologii. Kwantowa teoria sterowania. …


DALSZY PLAN PREZENTACJI • Wprowadzenie (rzeczywistość-matematyka i fizyka-

modelowanie i informatyka, teoria i praktyka, oddziaływanie-sterowanie) – prawdopodobne kierunki rozwoju

• Fundament teoretyczny - porządek w myśleniu

• Ograniczenia działania-wyobraźnia

• Możliwości i skuteczność modelowania-uruchamianie rezerw podstaw matematycznych

• Podstawy matematyczne sterowania – pogłębione

wykorzystanie teorii

• Regulatory klasyczne – ciągle aktualne i rozwijane

• Inne regulatory – różne rozwiązania wspierane

komputerowo

• Uwagi końcowe (nowe obszary teorii sterowania) W. MITKOWSKI, Katedra AiIB,

EAIiIB-AGH

9

W. Mitkowski, AGH-Kraków 10

SPOSÓB MYŚLENIA

W teorii optymalizacji istotnym zagadnieniem jest problem istnienia rozwiązania.

Jeszcze w XIX wieku problem istnienia rozwiązania był bagatelizowany i uważany

za oczywisty. Stosowano tak zwaną zasadę Dirichleta (1805 – 1859; Peter Gustaw

Lejeune Dirichlet, niemiecki matematyk pochodzenia francuskiego), której istotą

było przyjmowanie na wiarę równoważności pewnych zjawisk fizycznych

z zagadnieniami matematycznymi. Zasadę tę zaatakował Karl Weierstrass

(1815 – 1897; matematyk niemiecki), analizując krytycznie pracę doktorską

Bernarda Riemanna (1826 – 1866; niemiecki matematyk i fizyk), ucznia Dirichleta

w Getyndze, o teorii funkcji zespolonych. Obecnie dla udowodnienia istnienia

ekstremum pewnych funkcjonałów stosuje się właśnie twierdzenie Weierstrassa,

powstałe w wyniku krytycznej analizy pracy Riemanna.

1. Postawienie problemu

2. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

3. Algorytmy wyznaczania rozwiązania

4. W naukach technicznych – sympatia do zasady Dirichleta

KILKA MYŚLI


EAIiIB-AGH

11

Henri Poincar´e (1854-1912) :"Matematyka nie posiada symboli na mętne myśli„.

Immanuel Kant (1724 -1804): "W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile w niej matematyki„.

Również przemyślenia Alberta Eisteina (1879 -1955 ), którego fascynowało to,

że matematyka, produkt myśli ludzkiej niezależny od doświadczenia,

tak wspaniale pasuje do świata realnego.

Kartezjusz (1596 – 1650) twierdził, że ściśle naukowe i pewne jest tylko to, co da się wywieść wprost

z rozważań abstrakcyjno-logicznych – a więc "dobra filozofia", matematyka i logika.

Pozostałe działy wiedzy stają się tym bardziej naukowe, im bardziej korzystają z dokonań nauk

abstrakcyjno-logicznych.

„WIELE TRACIMY WSKUTEK TEGO, ŻE PRZEDWCZEŚNIE UZNAJEMY

COŚ ZA STRACONE” - Johann Wolfgang von Goethe (1749 – 1832).

CZY MOŻNA PRZEWIDYWAĆ

KIERUNKI ROZWOJU?


EAIiIB-AGH

12

Wpływ przeszłości - przewidywanie.

Dynamika chaotyczna – ograniczony horyzont przewidywania.


WPŁYW PRZESZŁOŚCI

NA TERAŹNIEJSZOŚĆ

h

0 t

0)),(()())(()( hhtxftxtxftx

Metoda kroków

Prof. Henryk Górecki (1927- )

Paweł Jan Nowacki (1905-1979)

Ludger Mirosław Szklarski (1912-2003)

Andrzej Turowicz (1904-1989)

Nowacki P, Szklarski L, Górecki H,: Podstawy teorii układu regulacji automatycznej, PWN, Warszawa 1970

W. Mitkowski, AGH Kraków 14

DYNAMIKA CHAOTYCZNA ODWZOROWANIE ODCINKA [0, 1] W SIEBIE

,..5,4,3,2,1),1(),(),),(()1( ixxxFixFix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

generator(3.8284,15,0.5) generator(3.8284,15,0.55)

))0(,,( xngenerator

Prof. Andrzej Aleksander Lasota (1932-2006)

CO NOWEGO ? PRAWDOPODOBNE KIERUNKI ROZWOJU

• Nowe rozwiązania sprzętowe.

• Technika komputerowa.

• Nowe rezultaty teoretyczne, np. układy z opóźnieniem,

ułamkowe, Charitonow, …

• Teoria dystrybucji.

• Teoria ergodyczna, układy stochastyczne.

• Powrót do wcześniejszych problemów, ale ciągle aktualnych.

• Na przykład. Sterowanie napędami, robotyka, mechatronika, …

• Metody numeryczne dla sterowania optymalnego.

• Teoria sterowania w skali nano. Kwantowa teoria sterowania.

• Inżynieria biomedyczna.


EAIiIB-AGH

15

Richard Ernest Bellman (1920-1984)

Lew Pontriagin (1908-1988)


FUNDAMENT TEORETYCZNY

MYŚLENIA NAUKOWEGO

I MODELOWANIA

0x 1x 2x 3x

ox

,2,1,0),(, 1 ixFxxx iio

i

(Stefan Banach, Kraków 30.03.1892-Lwów 31.08.1945)

Dalej będą przykłady różnych zastosowań.

,3,2,1,0)),(,(1

),( 00

mxFxxxm

mo


STEFAN BANACH (1892 – 1945) MATEMATYK

"ODKRYCIE BANACHA BYŁO MOIM

NAJWIĘKSZYM ODKRYCIEM NAUKOWYM."

(Hugo Dyonizy Steinhaus; http://banach.univ.gda.pl/ )

http://banach.univ.gda.pl/jpg/best/15x.jpg


WŁADYSŁAW HUGO DIONIZY STEINHAUS

(1887 –1972)


KTO WYZNACZA GRANICE

MOŻLIWOŚCI • Jak chronić dziwaków, szaleńców i odludków,

którzy często są jednostkami genialnymi, realizującymi przełomowe pomysły ? (A. Lasota, 1932-2006).

• Granice wyznaczają jednostki z wyobraźnią zbudowaną na fundamentach matematyki i fizyki.

• Jednostki ukształtowane wewnętrznie tak, by działać dla dobra ogółu.


ZAPAS MOŻLIWOŚCI

Wśród liczb rzeczywistych są:

Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne i niewymierne. Liczby pierwsze.

Liczby algebraiczne.

Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny.

Wszystkie liczby konstruowalne znajdują się wśród liczb algebraicznych.

ZAPAS MOŻLIWOŚCI DALSZEGO POZNANIA. Liczby

rzeczywiste, które nie są liczbami algebraicznymi nazywamy liczbami przestępnymi.

Tych liczb jest „bardzo dużo – podobno 99%” i bardzo mało o nich wiemy. Znamy

kilka: pi, e, …


WACŁAW FRANCISZEK

SIERPIŃSKI

(1882-1969)


ODWZOROWANIA ITEROWANE ROZPOZNAWANIE OBRAZÓW-ROBOTYKA

,3,2,1,0,0)0(,)()1( ixbiAxix

3

1,

0

2,

0

0,

10

01

2

1321321 bbbAAA

n=1 n=2 n=3

n=10 000

TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO

mndlaAAh nmn 2),(


ANTENY FRAKTAKLNE


GPS

http://pl.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

http://pl.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System


SUPERKONDENSATOR

Maciej J. Ogorzałek (2007), „APPLICATIONS OF FRACTALS IN ELECTRONICS”

dt

txdCti

)()(

NOWE MOŻLIWOŚCI MODELOWANIA

UKŁADY NIECAŁKOWITEGO RZĘDU-SYSTEMY CZASOWE


PRZESTRZEŃ FRAKTALI METRYKA HAUSDORFFA

d(x,B) x

B

B A

)},(),,(max{),(

),(max),(),(max),(

ABdBAdBAh

AydABdBxdBAdByAx

Felix Hausdorff (1868-1942)


FRAKTALE I GRAFIKA

KOMPUTEROWA

http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Fractal-plant.svg&filetimestamp=20070516135622

http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:3d-tree.jpg&filetimestamp=20070419094956








CIĄG FIBONACCIEGO 1,1, 2111 FFFFF nnn

Od lewej: liczba płatków stokrotki; liczba pędów roślin;

liczba spiral w kwiatostanie słonecznika.

62.12

5111

11

nn

nn

xF

Fx

Urszula Foryś, Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie. Uniwersytet Warszawski, 2011

ZŁOTY PODZIAŁ

Fibonacci (Leonardo z Pizy; ok. 1175-1250)


HOMOGENIZACJA

SKUTECZNOŚĆ METODY

LINEARYZACJI

Ciągle aktualna i rozwijana filozofia-powiązana z zastosowaniami


EAIiIB-AGH

30

• Dwuetapowy algorytm sterowania. Metoda linearyzacji jest ważna praktycznie. W układach sterowania w

czasie rzeczywistym zwykle stosuje się dwuetapowy algorytm sterowania:

• Doprowadzenie układu do obszaru linearyzacji.

• Stabilizacja i sterowanie w obszarze linearyzacji.

Liniowość + stacjonarność + (skończony wymiar)

pozwala skutecznie stosować transmitancję,

transmitancję widmową, (funkcje wymierne wielomianów).

CZY MOŻNA STOSOWAĆ

MODEL LINIOWY ? TAK !

0)0(

)),(()(

F

txFtx )()( tAxtx

0||/|)(|0||

,0)0(

),()(

zzz

zAzzF

1,

,0][det

2

jR

AIj

TWIERDZENIE Hartmana (1915- ) -Grobmana

Istnieje otoczenie zera, w którym model nieliniowy zachowuje

się „podobnie” (istnieje izomorfizm; równanie nieliniowe jest

topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją ) jak model liniowy.

https://www.google.pl/?gws_rd=ssl#q=wahad%C5%82o+odwr%C3%B3cone


EAIiIB-AGH

31

1,

,0][det

2

jR

AIj

CO TRACIMY


EAIiIB-AGH

32

1,

,0][det

2

jR

AIj

Rodzina trajektorii układu liniowego

Pojedyncza izolowana trajektoria układu nieliniowego

Jules Henri Poincaré 1854-1912

PRZYKŁAD: MODEL LINIOWY

SILNIKA PRĄDU STAŁEGO

,)]()([)(),()(),()()( 21TtxtxtxtCxtytButAxtx

,0],0[,,,0

,0

1021

ccC

JR

Ikkb

Jf

bB

fA

)1()(][)( 1

0

Tss

K

fss

cbBAsICsG

R L

i(t)

y(t)

u(t) I

U

Rys.1. Układ sterowania z silnikiem prądu stałego (obcowzbudny; stabilizacja położenia kątowego wału silnika)

https://www.google.pl/?gws_rd=ssl#q=silnik+dc


EAIiIB-AGH

33

Mikromaszyny

UKŁAD REGULACJI

V(s) E(s) Y(s)

+ G(s)

(-)

W(s)

W(s)=1, G(S)=Go(s)GPID(s)

)()(1

)()(

)(1

)()(

sGsG

sGsG

sG

sGsG

PIDo

PIDoz

u yRegulator ObiektZadajnik w e


EAIiIB-AGH

34

REGULATOR PID


EAIiIB-AGH

35

Pracując na USS New Mexico w 1922 roku Nicolas Minorsky opracował koncepcję

regulatora PID, który dziś stosowany jest w około 90% instalacji automatyki.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Historia_automatyki

REGULACJA KLASYCZNA

Klasyczna regulacja polega na dobraniu parametrów

praktycznego regulatora PID o następującej transmitancji:

1

11

1)(

21 sT

sT

sTsT

KsG d

i

pPID

gdzie T1 oraz T2 są odpowiednio stałymi czasowymi

określającymi inercję członu proporcjonalnego

P i członu różniczkującego D.

Poradnik inżyniera automatyka (pod redakcją W. Findeisena), WNT, Warszawa 1969, s. 450.


EAIiIB-AGH

36

W NASZYM PRZYPADKU

)(

)(

)1)(1)(1(

]1)()([)()(

212

22

2

SM

SL

sTsTTssT

sTTsTTTKKsGsG

i

idipPIDo

pipdpi

iii

KKsTTKKsTTKKT

sTTTTsTTTTTTsTTTTsLsM

)(]1)([

)]([])([)()(

22

2

321

42121

521

)()(

)()(

sLsM

sLsGz

UKŁAD ZAMKNIĘTY:

Wielomian charakterystyczny (stopnia n=5):


EAIiIB-AGH

37

WIELOMIAN PRZEDZIAŁOWY BADANIE ODPORNEJ ASYMPTOTYCZNEJ STABILNOŚCI

od roku 1978

,,,2,1,0,],,[:,][

,,);(

210

44

33

2210

nkaaaaaaaaaaa

asasasasasaaasw

kkkkkT

n

nn

55

44

33

22104

55

44

33

22103

55

44

33

22102

55

44

33

22101

)(

)(

)(

)(

sasasasasaasw

sasasasasaasw

sasasasasaasw

sasasasasaasw

Wielomiany Charitonowa

Zmiana sposobu myślenia. Dowody komputerowe.


EAIiIB-AGH

38

WARUNKI dla n=3, 4 i 5

Dla n<6 liczba wielomianów Charitonowa, dla których trzeba sprawdzać asymptotyczną

stabilność, może być mniejsza od 4. Niech 0,0 0 aan . Wielomian przedziałowy (4) dla

)6,2(n jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy [1, s. 97], gdy asymptotycznie

stabilne są następujące wielomiany Charitonowa (5):

5)()(),(

4)()(

3)(

431

41

4

ngdyswiswsw

ngdyswisw

ngdysw

[1] Mikołaj Busłowicz, Stabilność układów liniowych stacjonarnych o niepewnych parametrach.

Rozprawy Naukowe nr 48, Dział Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Białostockiej, Białystok 1997.

Ważne praktycznie i proste w stosowaniu.


EAIiIB-AGH

39

REGULACJA OPTYMALNA

Regulacja optymalna polega na dobraniu parametrów

regulatora (3) w taki sposób, by minimalizować

odpowiedni wskaźnik jakości,

np. całkę z kwadratu błędu przejściowego (5).

dtteJ

0

2)(

u yRegulator ObiektZadajnik w e


EAIiIB-AGH

40

REGULACJA ADAPTACYJNA

u y Regulator Obiekt

Identyfikacja

obiektu

Dobór

nastaw

Zadajnik

Cel regulacji

w

Tutaj A., Adaptacyjne sterowanie serwomechanizmem prądu stałego.

Automatyka, Półrocznik AGH, t. 6, z. 2, 2002, 121-138.


EAIiIB-AGH

41

Wojciech MITKOWSKI, Katedra

Automatyki, EAIiE-AGH

42

INNY PRZYKŁAD - TRANSMITANCJA

)1,0(,0)0,(

)(),1(),(),0(

0),1,0(,),(),(

21

2

2

xxu

tutututu

txx

txu

t

txu

ss

xsxs

ss

xsxs

ee

ee

ee

eesxG

sUsxGsxU

)1()1(

),(

)(),(),(



43

UKŁADY NIECAŁKOWITEGO

RZĘDU - PRZYKŁADY

)()(

tudt

tud

2

2 ),(),(

x

txu

t

txu

kn

k

k suSUsdt

tudL

11

0

)( )0()())(

(

}:min{][ n

2,1

REGULACJA UŁAMKOWA

Regulacja ułamkowa polega na stosowaniu klasycznych

regulatorów z różniczkowaniem i całkowaniem

niecałkowitego rzędu. Dla przykładu

0,0,1

11

1)(

21

sT

sT

sTsT

KsG d

i

p

DPI

Problem: brak wykładniczej stabilności.


EAIiIB-AGH

44

REGULATOR MACIERZOWY

Regulacja z macierzowym regulatorem polega na zastosowaniu

wzoru Ackermanna do wyznaczenia macierzowego współczynnika

wzmocnienia K w taki sposób, by dowolnie ustawić wartości

własne macierzy układu zamkniętego A+BK, oczywiście

przy założeniu sterowalności pary macierzy (A;B).

Problem: potrzebny cały stan układu x(t), u(t)=K x(t).

Dalsze prace nad regulatorem u(t)=K y(t).

Wzór Ackermanna (algorytm, przedstawiony w 1972 roku)


EAIiIB-AGH

45

DYNAMICZNE

SPRZĘŻENIE ZWROTNE

01 uv uu 1 yy 1

+ 1S

2S

+ 02 yv

uy 2

yu 2

)(tu )(ˆ tx )(ty

REGULATOR OBSERWATOR )(tu

Odtwarzanie stanu x(t) w sposób asymptotyczny )(ˆ)( txKtu


EAIiIB-AGH

46

PARAMETRY K i G DYNAMICZNEGO SPRZĘŻENIA ZWROTNEGO

11

11

,0

,0

SLCGBTBCLSLCLAAL

DBRKVCCDBDBRDADA

TTTT

TTTT

0)(Re BKA 0)(Re GCA

Algebraiczne macierzowe równania Riccatiego:


EAIiIB-AGH

47

REGULACJA KOMPUTEROWA

Regulacja komputerowa polega na dodaniu na wejściu i wyjściu

ciągłego w czasie układu sterowania przetworników C/A i A/C

(przetworniki cyfrowo-analogowe i analogowo-cyfrowe;

zob. rys. 3) i zastosowanie metod sterowania

dla układów dyskretnych w czasie.


EAIiIB-AGH

48

,........2,1,0

,)(,)(),()(

)0(),()()1(

k

RkyRkukCxky

RxkBukAxkx

mr

n))1(,[ hkkht

,....2,1,0,0, khkht

h

AtAh CCBdteBeA0

:,:,:

C/A

)(ku )(ky

C/A SYSTEM

CIĄGŁY A/C

UKŁADY DYSKRETNE

W CZASIE – STEROWANIE KOMPUTEROWE

)()(),()()( txCtytButAxtx

Parametry układu dyskretnego Układ ciągły i jego parametry


EAIiIB-AGH

49

REGULATOR Z OPÓŹNIENIEM

0,0),()()( KhtvhtKytu

.02 shKbcesfs

Uwaga: w układach nieskończenie wymiarowych – ważny przypadek widma punktowego.


EAIiIB-AGH

50

Aproksymacja: rozwijanie funkcji wykładniczej w szereg

32 )(!3

1)(

!2

11 shshshe sh

INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA WZORY TURINGA


EAIiIB-AGH

51

W roku 1952 Turing opublikował pracę na temat tworzenia struktur

niejednorodnych przestrzennie (zob. (Karch & Marciniak-Czochra 2014)).

Dokładniej Turing badał teoretycznie reakcję chemiczną dwóch dyfundujących

substancji z bardzo różnymi współczynnikami dyfuzji ε i D, przy czym

D ≫ ε > 0. W modelu Turinga różne prędkości dyfuzji powodują niestabilność

mieszaniny dwóch jednorodnych przestrzennie związków i następnie

w miarę upływu czasu zaczynają się tworzyć stabilne niejednorodne struktury

przestrzenne. Te ustalone w czasie niejednorodne struktury są nazywane

wzorami Turinga.

Potwierdzenie teorii Turinga z roku 1952 nastąpiło około 40 lat później.

Dopiero w roku 1990 chemicy doświadczalnie potwierdzili teoretyczny mechanizm

tworzenia wzorów Turinga , badając reakcje chlorytu, jodku i kwasu

malonowego (Karch & Marciniak-Czochra 2014, s. 5) prowadzące do powstania

różnorodnych wzorów przestrzennych. Podobnie dopiero w roku 1995

biolodzy zaobserwowali w naturze dynamikę wzorów Turinga, śledząc zmiany

pasków na skórze tropikalnej ryby ustniczki cesarskiej (zob. Rys. 3.7, zaczerpnięty

z ogólnie dostępnej strony http://pl.wikipedia.org/wiki/Ustniczek

cesarski). Na rys. 3.7 widać wyraźnie jak zmienia się wzór na skórze (stan

chwilowy układu w R2) wraz ze wzrostem ryby w czasie.

Alan Mathison Turing (1912-1954)

USTNICZEK


EAIiIB-AGH

52


UKŁAD KRWIOTWÓRCZY

RÓWNANIE LASOTY-WAŻEWSKIEJ

)()0,(,0,0),,(),(),(

tgtxztztfz

ztx

t

ztx

0,),(exp)(),,(),(),(

0

hdzzhtxtgztxztztf

x - ilość krwinek w wieku z oraz w chwili t

Sprzężenie zwrotne



54

UKŁAD DYNAMICZNY (X, S)

ciaglajestXXS

stSSSIS

tXXS

XnadynamicznycznysemidynamiukladS

stst

t

t

t

),0[:

0,,,

0,:

)(}{

0

0

nA

At

RXeS

xetx

ttAxtx

,

)0()(

0),()(

PRZYKŁADY:

AS

xAkx

kkAxkx

k

)0()(

,2,1,0),()1(

Prof. Andrzej Maria Pelczar (1937-2010)



55

WŁASNOŚĆ EWOLUCJI

x(s+t)

x(s)

x(0)

)()0()0()(),0()( sxexeexestxxesx tststs

ROLA WIDMA OPERATORA STANU

TEORIA PÓŁGRUPOWA SZKIC-IDEA


EAIiIB-AGH

56

}0][det:{)(

)()(

0),0()()(

)(),()(

AsIZsA

XLetT

txtTtx

XtxtAxtx

tA

ZBIÓR REZOLWENTY I WIDMO

OPERATORA A


ZAA

AsZsA

XLAsIZsA

)()(

)(:)(

)(][:)( 1

GENERATOR A PÓŁGRUPY T(t)


UWAGI O STABILIZACJI Nowe problemy poznawcze

• W układzie skończenie wymiarowym sterowalność

implikuje stabilizowalność

• W układach nieskończenie wymiarowych aproksymatywna

sterowalność nie implikuje stabilizowalności

• Skuteczność metody funkcjonałów Lapunowa

• Ogólnie wykładniczy wzrost nie jest determinowany przez

widmo operatora A


WYKŁADNICZY WZROST T(t)

• W układach skończenie wymiarowych:

• W układach nieskończenie wymiarowych:


)()( 01 AA

0)(>0)( 01 AA

WYKŁADNICZY WZROST T(t)

DETERMINOWANY WIDMEM


• Klasa operatorów A:

Warunki wystarczające:

o Półgrupa T(t) jest analityczna

o Generator A=A* jest samosprzężony o zwartej rezolwencie

o A jest generatorem dyskretny

PRZYKŁAD WIDMA Praktycznie typowa sytuacja w modelach powstałych z łączenia układu zwyczajnego

z układem rozłożonym


EAIiIB-AGH

62

Karch, G. & Marciniak-Czochra, A. (2014), 'Niestabilność i wybuchy w matematycznych modelach

procesów biologicznych', Wiadomości Matematyczne 50(1), 3-20.


CIEKAWE WŁASNOŚCI KRYTERIUM ASYMPTOTYCZNEJ STABILNOŚCI

UKŁADY NIECAŁKOWITEGO RZĘDU-SYSTEMY CZASOWE

]1,0(),()(

txAdt

txd

2|))((arg|

A

λIm

2π/α

λRe

2π/α

Obszar asymptotycznej stabilności

APROKSYMACJA ELEMENTY SKOŃCZONE



TWIERDZENIE PITAGORASA

W PRZESTREZENI HILBERTA

baba

bbabbaaa

bababac

22

22

||||||||

)|()|()|()|(

)|(||||||||


PROSTOTA I OCZYWISTOŚĆ

ROZWAŻAŃ

a

c b

c ab b a a b2 2 2 241

2 ( )

Uczony hinduski Bhaskara (XII w.) napisał: PATRZ !

KLASYCZNE TWIERDZENIE PITAGORASA (ok.540 p.Chr.)


APROKSYMACJA

W PRZESTRZENI HILBERTA

x Y

)( ay

0

k

n

k

kn eaaaayay

1

21 ).....,,,()(

},:{1

nn

k

kk RaeayyY

XY

||)(||min||)(|| * ayxayxa

)( *ay najlepiej aproksymuje element x.

nkeayx k ......,,1,0)|)(( *


ROZWIĄZANIE ZADANIA APROKSYMACJI WYBÓR BAZY

nkeayx k ......,,1,0)|)(( *

bEa *

3n

)|(

)|(

)|(

,,

)|()|()|(

)|()|()|(

)|()|()|(

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

ex

ex

ex

b

a

a

a

a

eeeeee

eeeeee

eeeeee

E

bEa 1* 0det E


ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE

RÓWNANIA LINIOWEGO

b

xAxb

Ax

bAx

orazx

| || |min| || |min

(Dobre-przyjazne postawienie problemu)


STRUKTURA RÓWNANIA

LINIOWEGO

rArzadbAx ,

QbQAPx

STRUKTURA TRÓJKĄTNA

I DIAGONALNA


EAIiIB-AGH 71

000

00

0:,, **1 AUUUUUA

****1

000

000

000

000

:, AAAAAUUUUU


STRUKTURA UKŁADU

LINIOWEGO

)0()(),()( xetxtAxtx At

nnRAnp

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

.,

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

1

000

000

000

000

:0det,,

D

D

D

D

APPPPA


PODUKŁADY LINIOWE

3210

1000

0100

0010

,

000

100

010

001

)4,(

aaaa

FR

01

2

2

3

3

4]det[)( aaaaFIp


PITAGORAS

żył w latach ok.572-497 p.Chr.

Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede

wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do Boga.

Matematyka i mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny

konglomerat, z którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne późnych

pitagorejczyków, ceniących tylko to, co mogło być dowiedzione na drodze

rozumowej.

http://www.matematyka.net/index.php/historia-matematyki/poczet-matematykow/pitagoras-z-samos


DAVID HILBERT (1862-1943)


SIERGIEJ LWOWICZ SOBOLEW

(1908-1989)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Siergiej_Sobolew


CARL FRIEDRICH GAUSS

(1777-1855)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

ZAKOŃCZENIE Teoria sterowania przenika różne dziedziny i obszary zastosowań. Myślenie systemowe.

Klasyczna teoria regulacji wspierana narzędziami informatycznymi i nowymi

rozwiązaniami sprzętowymi.

Nowe klasy modeli matematycznych. Układy stochastyczne. Układy logiczne.

Kwantowa teoria sterowania.

Nowe obszary: automatyka samochodowa, ekonomia, biologia, medycyna, inżynieria

biomedyczna, ochrona środowiska, …

Algorytmy sterowania wspierane numerycznie.

Dynamiczne sprzężenie zwrotne sprowadza się do rozwiązani dwóch algebraicznych

równań Riccatiego, np. w przestrzeni Hilberta (o nieskończonym wymiarze).

Sterowanie na odległość wymaga uwzględnienia opóźnień i układ staje się nieskończenie

wymiarowy.

Sterowanie układów o parametrach rozłożonych. Optymalizacja kształtu.

Sterowanie komputerowe wymaga analizy układu dyskretnego w zależności od kroku

dyskretyzacji czasu i innych zmiennych, algorytmy sterowania cyfrowego, …

Dalszy rozwój metod Lapunowa. Dobre uzasadnienie wyboru regulatora, poprawa

jakości.

Metody wariacyjne ciągle aktualne. Np. w robotyce.


EAIiIB-AGH

78

Aleksandr Michajłowicz Lapunow,

ros. Александр Михайлович Ляпунов (ur. 6 czerwca 1857 w Jarosławiu; zm. 3 listopada

1918 w Odessie) - rosyjski matematyk, autor prac naukowych z zakresu matematyki, fizyki

matematycznej i mechaniki teoretycznej.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lapunow


EAIiIB-AGH

79

Solomon Lefschetz (1884-1972)

Czesław Kazimierz Olech (1931-2015)

Jacopo Francesco Riccati (28 May 1676 – 15 April 1754)

http://en.wikipedia.org/wiki/Jacopo_Riccati


EAIiIB-AGH

80


DZIĘKUJĘ I PROSZĘ

O UWAGI

[email protected]

KIERUNKI ROZWOJU PODSTAW TEORII STEROWANIAptetis.agh.edu.pl/AGH PTETiS 17 03 2016.pdf ·...

Documents

Transcript of KIERUNKI ROZWOJU PODSTAW TEORII STEROWANIAptetis.agh.edu.pl/AGH PTETiS 17 03 2016.pdf ·...