Gry kwantowe na ancuchach spinowych - IITiSmiszczak/files/talks/uj_14.11.2011.pdf · Instytut...

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych

Jarosław Miszczak

we współpracy z

Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą

Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach

J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron (IITiS PAN) Gry kwantowe na łańcuchach spinowych 1 / 18

Plan wystąpienia

1 Krótki wstęp o grach kwantowych

2 Gra w orła i reszkęKwantowe oszukiwanie

3 Kwantowa gra w orła i reszkęImplementacja na qubicie

4 Oszukiwanie w grze kwantowejKontrolowanie ewolucjiOptymalne wyniki dla AlicjiOszukiwanie ze strony Boba

5 Wnioski


Gry kwantowe służą do modelowania sytuacji w których dochodzi dokonkurencji lub współdziałania osób posiadających możliwość operowania nadanych zakodowanych w stanach kwantowych.

Najprostszy przykład to kwantowy rzut monetą [Meyer, PRL 82(5), 1052(1999)], który pokazuje, że warto uczyć się mechaniki kwantowej.

Inne przykład to kwantowy dylemat więźnia [Eisert, Wilkens, Lewenstein,PRL, 83(15), 3077 (1999)].


Gra w orła i reszkę

Gra w orła i reszkę (ang. penny flip game, bit flip game) to gra dwuosobowa. Graskłada się z trzech ruchów polegających na obróceniu monety (F – flip) lub nieobróceniu monety (N – not flip). Pierwszy ruch należy do Alicji, drugi do Boba itrzeci znowu do Alicji.

Moneta jest na początku zwrócona reszką do góry. Bob wygrywa jeżeli reszka jestw tym samym stanie po zakończeniu gry.

NN NF FN FFN −1 1 1 −1F 1 −1 −1 1

W powyższej tabelce 1 oznacza wygraną Alicji, a −1 wygraną Boba.


Kwantowe oszukiwanie

Załóżmy teraz, że moneta (bit) jest zakodowana jako qubit i że tylko jeden zgraczy, a dokładnie tylko Alicja, o tym wie.

Alicja może operować na monecie operacjami unitarnymi. Na przykład, stosującbramkę Hadamarda, przygotowuje ona w pierwszym ruchu stan 1√

2(|0〉+ |1〉).

Bob – niezależnie od wykonanego przez siebie ruchu – nie ma możliwosci zmianytego stanu.

Zatem Alicja zawsze wygrywa.


Kwantowa gra w orła i reszkę

Okazuje się, że gdy Bob stosuje strategię mieszaną X taką, że

1

|X|∑U∈X

U ⊗ U? =

∫U(d)

U ⊗ U?dµ(U),

to osiągana jest równowaga Nasha.

Przykładem jest strategia Pauliego, zadana przez macierze

{1l, iσx, iσy, iσz}

wykonywane z równym prawdopodobieństwem.

W dalszej części będziemy przyjmować, że Bob stosuje strategię Pauliego.


Implementacja na qubicie

W jaki sposób Alicja i Bob kontrolują wykonanie swoich ruchów na qubicie?

Muszą oni przygotować odpowiedni Hamiltonian, który będzie określał ewolucjęukładu w czasie każdego ich ruchu.


Implementacja na qubicie

Wykonanie operacji unitarnej jest równoważne zastosowaniu odpowiedniejsekwencji kontroli. Dowolna operacja z SU(2) to(

eiφ cos θ eiψ sin θ−e−iψ sin θ e−iφ cos θ

)= ei

φ+ψ2 σzeiθσyei

φ−ψ2 σz .

Aby uzyskać strategię Pauliego każdy z graczy musi zastosować poniższe wartościparametrów kontrolnych.

ξ1 ξ2 ξ31l 0 0 0iσx π/4 −π/2 π/4iσy 0 −π/2 0iσz −π/4 0 −π/4

Stały jest czas T jaki Alicja i Bob mają na wykonanie ruchów. Każdy zparametrów ze skalą 3

T określa Hamiltonian stosowany przez czas T3 .


Implementacja na łańcuchu spinów

Skoro można grać uczciwie na jednym qubicie, to pojawia się pytanie czy graczktóry ma możliwość operowania na łańcuchu qubitów, ma szansę na poprawęswojego wyniku.



Interesują nas układy, które są opisane Hamiltonianem

H(t) = H0 +Hc(t) (1)

gdzie H0 opisuje dryft, a Hc to Hamiltonian kontroli.

Dla układu dwóch qubitów (spinów 12 ) mają one postać

H0 = J(σx ⊗ σx + σy ⊗ σy + σz ⊗ σz)

orazHc(t) = hy(t)σy ⊗ 1l + hz(t)σz ⊗ 1l.



Alicja zdaje sobie sprawę z pełnej struktury układu, natomiast Bob wykonuje tąsamą strategię co w przypadku gry na jednym qubicie.

Jeżeli Alicja chce w ten sposób oszukać Boba, to musi go najpierw przekonać, żeukład wykorzystywany do gry jest uczciwy. Alicja może tego dokonać odpowiedniodobierając stałą J , odpowiedzialną za dryft.



0 5 10 15 20J

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

śred

nia

wyp

łata

dla

Bob

a

0 200 400 600 800 1000J

0.460.480.500.520.540.560.580.60

Rysunek: Wartość oczekiwana wypłaty dla Boba jako funkcja stałej J . Zakładamy, żeAlicja i Bob grają przy pomocy strategii Pauliego.

Przy J ≈ 0.41 Bob wykonując serię testowych gier nie stwierdzi, że układ jestdwuqubitowy.



Zadaniem Alicji jest maksymalizacja wartości

PA(h1,h2) =1

4

4∑i=1

〈1|tr2(|ψfi 〉〈ψfi |)|1〉 (2)

gdzie|ψfi 〉 = U(h2)ViU(h1)|00〉, (3)

a macierze U(h1) and U(h2) są określone jako

U =

N−1∏n=0

e−i∆t(H0+Hc(n∆t)) = U((N − 1)∆t) . . . U(∆t)U(0), (4)

gdzie h1 i h2 to wektory parametrów kontrolnych definujących Hc wposzczególnych przedziałach czasu.


Optymalne wyniki dla Alicji

0 13

23

1−15−10−5051015

h 1

a)

σzσy σy

0 13

23

1−15−10−505

1015

h 2

b)

σzσy σy

0 19

29

39

49

59

69

79

89

1

T

−15−10−5051015

h 1

c)

σz σz σz σzσy σy σy σy σy

0 19

29

39

49

59

69

79

89

1

T

−15−10−5051015

h 2

d)

σz σz σz σzσy σy σy σy σy

Rysunek: Najlepsze znalezione kontrole dla Alicji przy łąńcuchu długości 2. Panele a)oraz b) pokazują wektory kontroli dające średni payoff Alicji równy 0.97. Panele c) orazd) pokazują strategię, która wymaga wykonania 9 kontroli na ruch i daje średni payoff0.999.


Oszukiwanie ze strony Boba

Przyjmijmy teraz, że to Bob oszukuje Alicję. Jeżeli będzie on wykorzystywał tylkojeden dodatkowy qubit, to jego szanse (przy stosowaniu krótkich sekwencjikontroli) wynoszą ≈ 0.713.

Długość łańcucha 2 3 4 5 6 7Maksymalny payoff 0.713 0.920 0.925 0.901 0.901 0.951

Bob może natomiast poprawić znacznie swoje szanse, jeżeli będzie mógł dołączyćdłuższy łańcuch spinów.


Wnioski

Nawet dodanie jednego qubitu pozwala Alicji uzyskać niemal pewnośćwygranej.

Nieznajomość dokładnej struktury systemu wykorzystwanego do kwantowegoprzetwarzania informacji może być łatwo wykorzystana na naszą niekorzyść.W grach kwantowych każdy znajdzie coś dla siebie:

Z. Puchała, J.A.M, Symbolic integration with respect to the Haar measure onthe unitary group in Mathematica, arXiv:1109.4244P. Gawron, Ł. Pawela, Quantum buffer on a spin chain, w przygotowaniu.


Dziękuję za uwagę.


Gry kwantowe na ancuchach spinowych - IITiSmiszczak/files/talks/uj_14.11.2011.pdf · Instytut...

Documents

Transcript of Gry kwantowe na ancuchach spinowych - IITiSmiszczak/files/talks/uj_14.11.2011.pdf · Instytut...