Kefalaioﬁ 6 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch6.pdf · 2011. 10. 17. ·...

Κεφαλαιο 6

Στροφες & Ειδικη Θεωρια τηςΣχετικοτητας

“Στο εξης ο χ£ωρος και ο χρονος ως ανεξαρτητες εννοιεςειναι καταδικασµενοι να σ1ησουν,

καταντ£ωντας απλες σκιες,και µονο ενα ειδος συνενωσης τους θα συνεχισει

να υπαρχει ως ανεξαρτητη υποσταση.”Hermann Minkowski

6.1 Απειροστες στροφες διανυσµατος

Πολλες φορες παρουσιαζεται η αναγκη να µελετησουµε την επιδρασηενος µετασχηµατισµου στροφης σε ενα φυσικο συστηµα, οπως για παρα-δειγµα οταν αναζητουµε τις κατα Noether αναλλοιωτες ποσοτητες που υ-παγορευονται απο τη συµµετρια των στροφ£ων.1 Σε τουτο το κεφαλαιο θααρχισουµε τη µελετη µας, ξεκιν£ωντας απο τη συστηµατικη κατασκευη τουµετασχηµατισµου µιας απειροστης στροφης.Εστω ενα διανυσµα

, το οποιο θελουµε να περιστρεψουµε κατα µια Συστηµατικη

κατασκευη

απειροστης στροφης

πολυ µικρη γωνιαγυρω απο εναν αξονα που εχει διευθυνση και διερ-

χεται απο την αρχη του διανυσµατος. Ηφορα περιστροφης καθοριζεται

συµ1ατικα απο την κατευθυνση του µεσω του κανονα του δεξιοστρο-φου κοχλια η του δεξιου χεριου. Το αρχικο διανυσµα υστερα απο την πε-ριστροφη του γυρω απο τον αξονα µετατρεπεται στο διανυσµα , τοοποιο εχει την ιδια αφετηρια µε το

, αλλα το ακρο του διαγραφει µια πε-

ριφερεια κυκλου, το επιπεδο του οποιου ειναι καθετο στον αξονα (βλ.Σχηµα 6.1). Ο κυκλος αυτος εχει ακτινα ιση µε τη προ1ολη του

πανωστο καθετο επιπεδο, δηλαδη , αφου το ειναι µοναδιαιο διανυ-σµα. Επειδη η περιστροφη του διανυσµατος

ειναι απειροστη, µπορουµενα θεωρησουµε οτι η στροφη αυτη επιτυγχανεται, αν προσθεσουµε στο

1Στην κ1αντοµηχανικη θε£ωρηση των φυσικ£ων συστηµατων, οπου ολα τα κλασικαφυσικα µεγεθη εµφανιζονται ως τελεστες, η γν£ωση ενος τετοιου µετασχηµατισµου, ενοςτελεστη δηλαδη που, επενεργ£ωντας σε κυµατοσυναρτησεις, δινει την καινουργια τουςτιµη στη θεση που καθοριζεται απο τη δραση της στροφης στο διανυσµα της αρχικηςθεσης, αποκτα ξεχωριστη σηµασια.

145

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΣΤΡΟΦΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Σχηµα 6.1: Στροφη του διανυσµατος κατα µια απειροστη γωνια γυρω απο τοναξονα . Η νεα θεση του διανυσµατος ειναι η . ενα διανυσµα κατα µηκος του

, δηλαδη ενα διανυσµα που ειναικαθετο και στο και στο , µε µηκος . Συνεπ£ως, ! (6.1)

Η παραπανω σχεση προφαν£ως ισχυει µονο για απειροστες στροφες καιοχι για πεπερασµενες, αφου, αν ισχυε, τοτε το µετρο του νεου διανυσµα-τος δεν θα ηταν ισο µε εκεινο του αρχικου. Φυσικα, µια πεπερασµενηστροφη µπορει να επιτευχθει µε διαδοχικες απειροστες στροφες.

Ασκηση 6.1. ∆ειξτε οτι το µετρο του " ειναι ισο µε το µετρο του σε πρ£ωτη ταξηΑΣΚΗΣΕΙΣως προς τη γωνια στροφης .Οριζοντας το απειροστο διανυσµαΟι απειροστες στροφες

ειναι διανυσµατα # $ % '&καθοριζουµε πληρως το µετασχηµατισµο της απειροστης στροφης. Αν,τ£ωρα, εκτελεσουµε δυο διαδοχικες απειροστες στροφες, διαφορετικου µε-

γεθους και γυρωαπο διαφορετικους αξονες, για παραδειγµα# $ "(

,

# $ *), τοτε

το αρχικο διανυσµα µετασχηµατιζεται µε τη πρ£ωτη στροφη σε και κα-

τοπιν µε τη δευτερη στροφη σε , οπου + # $ *), .- / # $ (0 213 # $ *), - # $ "(/ 1 # $ "(" # $ *)0 4 ) !

(6.2)

6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 147

Απο την παραπανω σχεση φαινεται οτι οι απειροστες στροφες συµπερι-φερονται ως διανυσµατα, αφου δυο τετοιες διαδοχικες στροφες επιτυγ-χανονται µεσω του διανυσµατος# $ "() # $ "(5 # $ *)0 Ο ορος δευτερης ταξης ως προς τα διανυσµατα

# $ ειναι αµελητεος, αφουοι στροφες ειναι απειροστες. Η σειρα, µαλιστα, µε την οποια πραγµατο-ποιουνται οι στροφες δενεχει σηµασια. Αυτα τα δυο χαρακτηριστικα γνω-ρισµατα των απειροστ£ων στροφ£ων, η διανυσµατικη συµπεριφορα και ηαντιµεταθετικοτητα των απειροστ£ων στροφ£ων δεν επεκτεινονται στις πε-περασµενες στροφες, γεγονος το οποιο καθιστα πολυ πλουσιο το µενουτων φαινοµενων που αφορουν σε περιστροφες στερε£ων σωµατων.

Ασκηση 6.2. Θεωρηστε εναν κυ1ο και εκτελεστε διαδοχικα τρεις ισες απειροστες ΑΣΚΗΣΕΙΣστροφες γυρω απο τις τρεις ορθογ£ωνιες ακµες του. Ποια ειναι η µετατοπιση της κορυ-φης, η οποια βρισκεται διαγωνιως της κορυφης οπου συναντ£ωνται οι ακµες που ορισαντους αξονες των στροφ£ων; Γυρω απο ποιοn αξονα στρεφεται συνολικα ο κυ1ος;

Στη συνεχεια θα αναπαραστησουµε υπο µορφη πινακα το µετασχηµα-τισµο µιας απειροστης στροφης. Γι αυτον το λογο, χρησιµοποι£ωντας δει-κτες και φυσικα την αθροιστικη συµ1αση, επαναδιατυπ£ωνουµε τη σχεση(6.1) ως εξης : + 6 7 6 6 7 6 7 698:6 ;:< ; < 7 6 6=< 8:6 ;:< ; > < & (6.3)

οπου 7 6 τα µοναδιαια καρτεσιανα διανυσµατα βασης. Η απειροστη αυτηστροφη, λοιπον, επιτυγχανεται, αν πολλαπλασιασουµε το αρχικο διανυ-σµα, το οποιο ισοδυναµα µπορουµε να γραψουµε ως µονοστηλο πινακα,µε τον πινακα Ο πινακας

µετασχηµατισµου για

µια απειροστη στροφηR @?A B # *C *) *C B # "(# *) "( B

DE Τελος, τονιζουµε οτι τα οσα αναφερθηκαν για το µετασχηµατισµο στρο-φης ισχυουν οχι µονο για τα διανυσµατα θεσης αλλα και για καθε αλλοδιανυσµα (ταχυτητα, επιταχυνση, δυναµη κλπ.), αφουως διανυσµατα ορι-στηκαν οι τριαδες εκεινες των αριθµ£ων που µετασχηµατιζονται στις στρο-φες µε τον ιδιο τροπο που µετασχηµατιζονται τα διανυσµατα θεσης.


Σχηµα 6.2: To διανυσµα F περιστρεφεται µε σταθερη γωνιακη ταχυτητα G , διαγραφο-ντας κυκλο ακτινας .6.2 Γωνιακη ταχυτητα

Οταν ενα διανυσµαHπεριστρεφεται συνεχ£ως γυρω απο τον αξοναΑπο την απειροστη

στροφη στη γωνιακη

ταχυτητα

, ο ρυθµος µετα1ολης του διανυσµατος ειναιI HIKJ .LNMNOPQSR/T H U# H J I IKJ V H W HX&(6.4)

οπου W % I IKJ &ειναι ενα διανυσµα που ονοµαζεται γωνιακη ταχυτητα και µετρα το ρυθµοπεριστροφης του διανυσµατος

H, εν£ω η διευθυνση του καθοριζεται απο

τον αξονα γυρω απο τον οποιο πραγµατοποιειται η στροφη. Αξιζει νααναφερουµε πως το γεγονος οτι η γωνιακη ταχυτητα ειναι διανυσµα οφει-λεται στο διανυσµατικο χαρακτηρα των απειροστ£ων στροφ£ων. Σηµει£ω-νουµε επισης οτι, αν αναφεροµασταν σε ενα χ£ωρο µε περισσοτερες αποτρεις διαστασεις, η γωνιακη ταχυτητα θα επαυε να ειναι διανυσµα. Σκε-φτειτε, για παραδειγµα, το προ1ληµα που θα αντιµετωπιζατε αν προσπα-θουσατε να ορισετε τον αξονα καποιας στροφης σε ενα χ£ωρο τεσσαρωνδιαστασεων!Στη συνεχεια ειναι ευκολο να δειξουµε οτι, αν ενα διανυσµα µετα1αλ-

λεται συµφωνα µε το νοµο I HIKJ W HY&µεWκαποιο σταθερο διανυσµα, τοτε το ακρο του διανυσµατος

Hεκτελει

κυκλικη κινηση σε ενα επιπεδο καθετο στοW(βλ. Σχηµα 6.2). Πραγµατι

6.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 149

ισχυει

BZ I H )IKJ I HIKJV[ H W H [ H]\ &και εποµενως το µετρο του

Hειναι σταθερο. Επισης,I H [ W IKJ I HIKJV[ W W H [ W]\ &

και εποµενως H [ W σταθερο Απο πρ£ωτο συµπερασµα συναγεται οτι το ακρο του διανυσµατος

Hκι-

νειται στην επιφανεια µιας σφαιρας, εν£ω απο το δευτερο συναγεται οτιτο ακρο του διανυσµατος

Hκειται σε ενα επιπεδο καθετο στο

W, αφου η

προ1ολη τουHεπι του

Wειναι σταθερη. Συνεπ£ως, το

Hκινειται στην τοµη

µιας σφαιρας και ενος επιπεδου, δηλαδη στην περιφερεια ενος κυκλου. Ηακτινα της κυκλικης τροχιας που διαγραφει το διανυσµα

Hειναι

H >^ MN_ a` H W W H W &εν£ω ο ρυθµος µε τον οποιο διαγραφεται η κυκλικη αυτη τροχια ειναι στα-θερος, αφου I HIKJV[ I HIKJ W H ) ) W ) W ) H ) # W [ H )

Ασκηση 6.3. Η οδογραφος ειναι η καµπυλη που διαγραφει το ακρο του διανυσµα- ΑΣΚΗΣΕΙΣτος της ταχυτητας αν τα διανυσµατα της ταχυτητας σε διαφορετικες χρονικες στιγµεςσχεδιαστουν να εχουν κοινη αρχη. Προσδιοριστε την οδογραφο ενος φορτισµενου σω-µατιδιου που κινειται σε οµογενες µαγνητικο πεδιο.


6.3 Περιστρεφοµενα συστηµατα αναφορας

Πολλες φορες για τη µελετη διαφορων φαινοµενων που συµ1αινουνσε περιστρεφοµενα συστηµατα, οπως αυτ£ων που λαµ1ανουν χ£ωρα στηνεπιφανεια της περιστρεφοµενης Γης. Σε αυτες τις περιπτ£ωσεις ενδεικνυ-ται η αναλυση των φαινοµενων αυτ£ων στα πλαισια του περιστρεφοµενουσυστηµατος αναφορας. Επειδη οι µετρησεις που πραγµατοποιουµε αφο-ρουν στις ταχυτητες και στις επιταχυνσεις στο περιστρεφοµενο συστηµααναφορας και επειδη οι νοµοι του Νευτωνα ισχυουν µονο σε αδρανειακασυστηµατα αναφορας, για να διατυπ£ωσουµε τους δυναµικους νοµους στοπεριστρεφοµενο συστηµα, πρεπει να µεταφρασουµε τις ταχυτητες και τιςεπιταχυνσεις απο το αδρανειακο στο περιστρεφοµενο συστηµα.Εστω, λοιπον, 7 6 µε b B & Z &dc µια ορθοκανονικη βαση του περιστρε-φοµενου συστηµατος, η οποια περιστρεφεται µαζι µε το συστηµα αυτο.

ΑνWειναι η στιγµιαια γωνιακη ταχυτητα του περιστρεφοµενου συστηµα-

τος, τοτε τα διανυσµατα βασης του περιστρεφοµενου συστηµατος, οπωςκαι ολα τα διανυσµατα σταθερου µετρου, µετα1αλλονται συµφωνα µε τοναδρανειακο παρατηρητη, βασει του νοµουI 7 6IKJ W 7 6 (6.5)

Θελουµε να προσδιορισουµε, τ£ωρα, τη συσχετιση της εξελιξης ενος δια-νυσµατικου µεγεθους

He J στο περιστρεφοµενο και στο αδρανειακο συ-στηµα. Αν αναλυσουµε το διανυσµατικο µεγεθος

He J στο περιστρεφο-µενο συστηµα, θα εχουµε He J H 6 J 7 6 &οπου

H 6 J ειναι οι στιγµιαιες συνιστ£ωσες του διανυσµατος στη δεδοµενηαυτη βαση. Σε αυτο το συστηµα η βαση ειναι σταθερη και ως εκ τουτουδεν εχει καµια χρονικη εξαρτηση [ εποµενως ο ρυθµος µετα1ολης του δια-νυσµατος στο περιστρεφοµενο συστηµα ειναιI HIKJ+fffff g

I H 6IKJ 7 6 & (6.6)

οπου ο δεικτης “ h ” σηµαινει οτι η αναλυση εχει γινει στο περιστρεφοµενοσυστηµα.Αν υπολογιζαµε το ρυθµο αυτο στο αδρανειακο συστηµα, θα επρεπε

να λα1ουµε υποψη µας τη στροφη των διανυσµατων βασης. Ετσι για τοαδρανειακο συστηµα, το οποιο θα συµ1ολιζουµε στο εξης µε τον δεικτη“A”, ο ρυθµος αυτος, υστερα απο εφαρµογη της σχεσης (6.5), θα ειναι :I HIKJ fffff A

I H 6IKJ 7 6 H 6 I 7 6IKJ ffff A I H 6IKJ 7 6 H 6 W 7 6 I HIKJ+fffff g W H

(6.7)

6.3. ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 151

Βασει της σχεσης (6.7) µπορουµε να διατυπ£ωσουµε την ακολουθη σχε-ση διαφορικ£ων τελεστ£ων που δρουν σε διανυσµατα, οταν µετα1αινουµεαπο ενα περιστρεφοµενο σε ενα αδρανειακο συστηµα : Σχεση ρυθµου

µετα1ολης

διανυσµατος σε

αδρανειακα και

περιστρεφοµενα

συστηµατα

IIKJ ffff A IIKJ ffff g

W i (6.8)

Τησχεση τουτη µπορουµε να τη χρησιµοποιησουµε για να συγκρινουµετις ταχυτητες και τις επιταχυνσεις που υπολογιζει ενας παρατηρητης πουβρισκεται σε ενα περιστρεφοµενο συστηµα αναφορας, οπως αυτο της Γης,το οποιο εχει ως αρχη του το κεντρο της Γης και περιστρεφεται µε τη γω-νιακη ταχυτητα

Wτης Γης, µε τις ταχυτητες και τις επιταχυνσεις που υπο-

λογιζει ενας παρατηρητης σε ενα αδρανειακο συστηµα αναφορας, οπωςαυτο που εχει αρχη του το κεντρο της Γης και δεν περιστρεφεται ως προςτους µακρινους αστερες. Παρατηρουµε οτι τα διανυσµατα θεσης ειναι ταιδια και στα δυο συστηµατα αναφορας, ειτε αυτα µετρ£ωνται στο ενα συ-στηµα, ειτε στο αλλο, παρολο που οι συνιστ£ωσες τους ειναι εν γενει δια-φορετικες στα δυο συστηµατα. Εαν ο παρατηρητης που βρισκεται στηνπεριστρεφοµενη Γη υπολογιζει οτι καποιο σωµατιδιο που βρισκεται στηθεση

εχει ταχυτητα j g , ο αδρανειακος παρατηρητης που βρισκεται στοαδρανειακο συστηµα αναφορας θα πρεπει να µετραει ταχυτηταjA που

δινεται απο τη σχεση Συσχετιση

ταχυτητωνjA j g W k

(6.9)

Για τον υπολογισµο της επιταχυνσης που εκτιµουν οι δυο παρατηρητεςχρειαζεται να ειµαστε πιο προσεκτικοι. Η επιταχυνση που υπολογιζει οαδρανειακος παρατηρητης ειναι I j

AIKJ ffff A&

εν£ω η επιταχυνση που υπολογιζει ο παρατηρητης που βρισκεται στη πε-ριστρεφοµενη Γη ειναι I j gIKJ ffff g Η σχεση µεταξυ των δυο ποσοτητων δεν ειναι αµεση. Αν χρησιµοποιη-σουµε την ταυτοτητα (6.8) παρατηρουµε οτι Συσχετιση

επιταχυνσεωνlA I j

AIKJ ffff A I jAIKJ ffff g

W jA I mj g W IKJ fffff g W mj g W K

I j gIKJ ffff g Z W j g W W K l g Z W j g W W !

(6.10)


Ασκηση 6.4. ∆ειξτε οτι, αν η γωνιακη ταχυτητα G δεν ειναι σταθερη, τοτε οι επιτα-ΑΣΚΗΣΕΙΣχυνσεις στα δυο συστηµατα (στο περιστρεφοµενο συστηµα και το αδρανειακο συστηµα)συνδεονται συµφωνα µε τη σχεση: n A o nqpsrut Gwv xdpr Gwvzy Gv m|r~GG y Gv m|r y v G | v w (6.11)

οπου ειναι η στιγµιαια γωνιακη ταχυτητα µε την οποια περιστρεφεται ο αξονας τηςγωνιακης ταχυτητας G . Οι δυο νεοι οροι που εµφανιζονται στην παραπανω σχεση ειναιη επιταχυνση που οφειλεται στη γωνιακη επιταχυνση του περιστρεφοµενου συστηµατοςκαι η µεταπτωτικη επιταχυνση αντιστοιχα.

Εν£ω ο ορος που συνδεει τις δυο ταχυτητες στα δυο συστηµατα, µεσωτης σχεσης (6.9), ειναι διαισθητικα προφανης,2 οι δυο αντιστοιχοι οροιπου συνδεουν τις επιταχυνσεις, µεσω της σχεσης (6.10), δεν ειναι τοσο προ-φανεις. Ο δευτερος ορος

W W K ειναι η γνωστη µας κεντροµολος επι-Συγκριση της

επιταχυνσης Coriolis

µε την κεντροµολο

επιταχυνση

ταχυνση, που µας ειναι περισσοτερο οικεια ως φυγοκεντρος επιταχυνσηµε αντιθετο προσηµο, αφου την αισθανοµαστε, οταν επι1αινουµε σε εναπεριστρεφοµενο συστηµα, οπως για παραδειγµα σε ενα αυτοκινητο πουστρι1ει. Ο ορος

Z W j g , η επονοµαζοµενη επιταχυνση Coriolis,3 αν καιδεν ειναι τοσο συνδεδεµενος µε την καθηµερινη µας εµπειρια, ειναι υπευ-θυνος για τη δηµιουργια των κυκλωνικ£ων και αντικυκλωνικ£ων κινησεωντων αεριων µαζ£ων της ατµοσφαιρας που µε τη σειρα τους προκαλουν ταδιαφορα καιρικα φαινοµενα.

Εν£ω η επιταχυνση Coriolis αντιστρεφεται, αν αντιστραφει η γωνιακηταχυτητα, η κεντροµολος επιταχυνση δεν αλλαζει φορα, αλλα κατευθυνε-ται παντοτε προς τον αξονα περιστροφης εξαιτιας της υπαρξης του ορουWεις διπλουν.

Ο λογος για τον οποιο η επιταχυνση Coriolis δεν ειναι τοσο εκδηληστην καθηµερινη µας ζωη, οσο ειναι η κεντροµολος επιταχυνση, οφειλεταιστο οτι οι κινησεις στο περιστρεφοµενο συστηµα ειναι συνηθως πολυ πιοαργες απο την περιστροφικη κινηση του ιδιου του συστηµατος.4 Οπωςµπορει κανεις ευκολα να διαπιστ£ωσει, τα µετρα των δυο επιταχυνσεωνεχουν λογο ταξης lUKl

κεντρ W j W ) K j W K jjπερ

&(6.12)

2Οορος αυτος µετρα τη γραµµικη ταχυτητα µε την οποια κινειται ως προς το αδρανει-ακο συστηµα το σηµειο του περιστρεφοµενου συστηµατος στο οποιο βρεθηκε στιγµιαιατο κινουµενο σωµατιδιο.

3O Gustav-Gaspard Coriolis [1792-1843], γαλλος φυσικοµαθηµατικος και µηχανικος,ηταν ο πρ£ωτος που µελετησε τις µη αδρανειακες δυναµεις σε περιστρεφοµενα συστηµατααναφορας.

4Ισως αναρωτηθειτε για ποιο λογο ειναι τοτε τοσο σηµαντικη η δυναµη Coriolis στηδηµιουργια καιρικ£ων φαινοµενων. Θα δουµε παρακατω οτι η φυγοκεντρος δυναµη εξι-σορροπειται απο τη βαρυτικη δυναµη και δεν εχει δυναµικη σηµασια στη διαµορφωσητου καιρου.

6.4. ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΟΣ ∆ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ∆ΥΝΑΜΗ CORIOLIS 153

οπου j η ταχυτητα του σ£ωµατος στο περιστρεφοµενο συστηµα και j περ ηταχυτητα περιστροφης του συστηµατος οπως αυτη φαινεται απο το µη πε-ριστρεφοµενο συστηµα.Ειµαστε, τ£ωρα, σε θεση να διατυπ£ωσουµε το δευτερο νοµο του Νευ-

τωνα σε ενα περιστρεφοµενο συστηµα αναφορας. Η δυναµη που αποδι-δει ενας περιστρεφοµενος παρατηρητης σε ενα κινουµενο σωµατιδιο στοοποιο επιδρα η δυναµη

ειναι

Π l

Π lΑ# lUK"# l

κεντρ # Z W j# W W K!

(6.13)

∆ηλαδη, ο περιστρεφοµενος παρατηρητης πρεπει να εισαγαγει περαν τηςεξωτερικης δυναµης

δυοψευδο-δυναµεις, τη δυναµηCoriolis # Z W j

και τη φυγοκεντρο δυναµη # W W K , για να διατυπ£ωσει το δυναµικονοµο εξελιξης του σωµατιδιου στο περιστρεφοµενο συστηµα.

6.4 Φυγοκεντρος δυναµη και δυναµη Coriolis

Η φυγοκεντρος δυναµη Περι της φυγοκεντρου

δυναµεωςφυγ

# W W K &µπορει να θεωρηθει οτι προερχεται απο δυναµικη ενεργεια της µορφης

φυγ

qK # Z W )da) & (6.14)

οπουειναι η καθετη αποσταση της θεσης του σωµατιδιου απο τον αξονα

περιστροφης του συστηµατος. Η αποδειξη οτι# W W # φυγ

q &ειναι ευκολη, αν καταφυγει κανεις σε κυλινδρικες συντεταγµενες

&d&d ,

µε αξονατον αξονα περιστροφης, και δειξει οτιW W K # W )

Τοειναι η προ1ολη του διανυσµατος

στο επιπεδο το καθετο στον α-ξονα

(βλ. Σχηµα 6.3).

Οταν εκτελουµε πειραµατα στο εργαστηριο µε στοχο να προσδιορι-σουµε την επιταχυνση της βαρυτητας, αυτο που µετραµε δεν ειναι η επι-ταχυνση της βαρυτητας

, αλλα η επιταχυνση # W W K &

οπουWειναι η γωνιακη ταχυτητα περιστροφης της Γης. Η διορθωση αυτη

ειναι της ταξεως τωνcmm [ s ) στην επιφανεια της Γης.5 Το φυγοκε-

ντρικο δυναµικο µπορει να χρησιµοποιηθει για να προσδιοριστει το γεωει- Προσδιορισµος του

σχηµατος της Γης5Η τιµη αυτη αντιστοιχει στη φυγοκεντρο επιταχυνση στον Ισηµερινο της Γης. Σεαλλα σηµεια της Γης η τιµη αυτη αλλαζει λογω της διαφορετικης αποστασης που απε-χουν αυτα απο τον αξονα της.


Σχηµα 6.3: Σηµει£ωνονται τα διανυσµατα και σε σχεση µε τον αξονα περιστροφηςπου καθοριζεται απο το διανυσµα G .δες, το σχηµα δηλαδη που ειχε αποκτησει η επιφανεια της Γης εξαιτιας τηςπεριστροφης της στα πρ£ωτα σταδια της γεννησης της, οταν ηταν ακοµηρευστη, και το οποιο διατηρησε και υστερα απο την ψυξη της.6 Ο προσ-διορισµος αυτος επιτυγχανεται, αν απαιτησουµε το αθροισµα του βαρυ-τικου και του φυγοκεντρικου δυναµικου πανω στην επιφανεια της Γης ναειναι σταθερο. Αυτο σηµαινει οτι σε καθε σηµειο της επιφανειας της η κα-θετος εχει τη διευθυνση της

0(βλ.Σχηµα 6.4). Αν η επιφανεια της Γης δεν

ηταν µια ισοδυναµικη επιφανεια, αν δηλαδη το αθροισµα του βαρυτικουκαι του φυγοκεντρικου δυναµικου δεν ηταν σταθερο στην επιφανεια τηςΓης, δεν θα υπηρχε ισορροπια και η ρευστη επιφανεια της θα µετα1αλ-λοταν στην προσπαθεια της να αποκτησει αυτο το σχηµα [ τα θαλασσιαυδατα θα ερρεαν προς χαµηλοτερα δυναµικα, εν£ω το ιδιο θα συνε1αινεκαι µε τα χερσαια εδαφη µεσω πλαστικης παραµορφωσης τους, µε απο-τελεσµα την αλλαγη του σχηµατος της επιφανειας της Γης.

Σχηµα 6.4: Το σχηµα της Γης ειναι µια ισοδυναµικη επιφανεια. Η καθετος σε αυτη τηνεπιφανεια εχει τη διευθυνση της συνισταµενης της βαρυτικης και της φυγοκεντρου δυ-ναµης.

6Ο ιδιος ο Νευτωνας επιχειρησε να προσδιορισει το πεπλατυσµενο σχηµα της Γης, τοοποιο µετρηθηκε πολλα χρονια αργοτερα απο τουςMaupertuis και Clairaut µε γεωδαιτι-κες µετρησεις που πραγµατοποιησαν στη Λαπωνια.


Ασκηση 6.5. Εαν η Γη, παρα την περιστροφικη της κινηση, ειχε σφαιρικο σχηµα µε ΑΣΚΗΣΕΙΣτι επιταχυνση θα κινουνταν ενα σ£ωµα στην επιφανεια της προς τον Iσηµερινο λογω τηςφυγοκεντρου δυναµης; (Θεωρηστε οτι το σ£ωµα ολισθαινει στην επιφανεια διχως τρι1ες.)Με τι ταχυτητα θα εφτανε το σ£ωµα στον Ισηµερινο, αν ηταν αρχικα ακινητο κοντα σεκαποιον Πολο; Σε ποσο χρονο θα εφτανε το σ£ωµα στον Ισηµερινο;

Μπορουµε επισης να εκµεταλλευτουµε το φυγοκεντρικο δυναµικο γιανα κατασκευασουµε παρα1ολικα κατοπτρα τηλεσκοπιων µεγαλων διαστα- Κατασκευη

παρα1ολικ£ων

κατοπτρων

σεων. Η τεχνικη ειναι η ακολουθη : γεµιζουµε ενα δοχειο που βρισκεταισε περι1αλλον υψηλης θερµοκρασιας µε γυαλι σε υγρη µορφη. Θετουµετο δοχειο µε το ρευστο γυαλι σε περιστροφικη κινηση. Καθ£ως το δοχειοπεριστρεφεται, η επιφανεια του γυαλιου που βρισκεται µεσα σε αυτο απο-κτα σχηµα του οποιου το συνολικο βαρυτικο και φυγοκεντρικο δυναµικοειναι σταθερο. Αν

ειναι το υψος της επιφανειας του ρευστου γυαλιουσε αποσταση

απο τον αξονα περιστροφης, θα ισχυει # BZ W )a) σταθ &

δηλαδη το ρευστο γυαλι µεσα στο δοχειο θα αποκτησει το σχηµα παρα1ο-λοειδους. Για την κατασκευη του κατοπτρου αρκει στη συνεχεια να µει-£ωσουµε τη θερµοκρασια £ωστε να στερεοποιηθει το γυαλι στο επιθυµητοσχηµα.

Σχηµα 6.5: Το υγρο µεσα σε ενα δοχειο που περιστρεφεται αποκτα παρα1ολικη επιφα-νεια εξαιτιας της φυγοκεντρου δυναµης. Η επιφανεια του υγρου ειναι µια ισοδυναµικηεπιφανεια αντιστοιχη µε την επιφανεια ενος περιστρεφοµενου ρευστου πλανητη.

Για να κατανοησουµε, τ£ωρα, τη δυναµη Coriolis, ας εξετασουµε την Περι της δυναµης

Coriolisακολου-θη κινηση, οπως αυτη περιγραφεται σε ενα περιστρεφοµενο συ-στηµα αναφορας : ενα σωµατιδιο κινειται ακτινικα µε σταθερη ταχυτηταj, αποµακρυνοµενο απο τον αξονα περιστροφης του. Στο αδρανειακο


συστηµα αναφορας το σωµατιδιο ακολουθει µια σπειροειδη τροχια καιοσο περισσοτερο αποµακρυνεται απο τον αξονα περιστροφης τοσο αυ-ξανεται η περιστροφικη του ταχυτητα

W . Αντιλαµ1ανοµαστε οτι, για να

συµ1αινει κατι τετοιο, θα πρεπει να ασκειται στο σωµατιδιο µια δυναµη,

η οποια θα εχει συνεχ£ως αζιµουθιακη κατευθυνση. Απο την αλλη πλευρα,ο περιστρεφοµενος παρατηρητης στην προσπαθεια του να δικαιολογησειτην ευθυγραµµη κινηση που παρατηρει θα πρεπει να υποθεσει οτι στο σω-µατιδιο ασκειται µια ιση και αντιθετη δυναµη

# Cor. Αυτη ακρι1£ως η

υποθετικη δυναµη ειναι η δυναµη Coriolis, η οποια συµφωνα µε την ανα-λυση µας αλλαζει φορα, αν αλλαξει φορα η γωνιακη ταχυτητα. Το µετροαυτης της δυναµης µπορουµε ευκολα να το υπολογισουµε, αν σκεφτουµεοτι µια δυναµη σαν την

ασκει ροπη

που προκαλει µετα1ολη της στρο-φορµης,

e W ,, του σωµατιδιου.7 Ετσι,

Cor B I IKJ B IIKJ W ) Z W I IKJ Z W j & (6.15)

που δεν ειναι αλλο παρα το µετρο της συνιστ£ωσας της δυναµης Coriolisπου προ1λεπεται απο την (6.13) (δευτερος ορος της τελικης σχεσης).Οπως προαναφεραµε η δυναµη Coriolis παιζει ουσιαστικο ρολο στην

κινηση των αεριων και υδατινων µαζ£ων στον πλανητη µας. Αν στην ατ-Καιρος και δυναµη

Coriolis µοσφαιρα ενος µη περιστρεφοµενου πλανητη αναπτυχθει διαφορα πιε-σης µεταξυ δυο περιοχ£ων, η διαφορα αυτη θα εξοµαλυνθει ταχυτατα. Αν,οµως, ο πλανητης περιστρεφεται, τοτε µπορει η διαφορα πιεσης να συντη-ρηθει επ απειρον. Εξαιτιας της δυναµης Coriolis, η οποια ειναι καθετηστην κινηση της ατµοσφαιρας και εχει φορα προς τα δεξια της κινησης(στο βορειο ηµισφαιριο), η µετακινηση αεριων ρευµατων απο υψηλα προςχαµηλα βαροµετρικα συστηµατα ακολουθει στρο1ιλ£ωδη κινηση (βλ. Σχη-µα 6.6) µε αποτελεσµα τα βαροµετρικα συστηµατα να ικανοποιουν µε µε-γαλη ακρι1εια τη συνθηκη γεωστροφικης ισορροπιας8# Z W j# \ &

7Αυτη ειναι η στροφορµη του σωµατιδιου που µετραει ο αδρανειακος παρατηρητης,αφου το σωµατιδιο κινειται ακτινικαστο περιστρεφοµενο συστηµα και εποµενως δεν εχειστροφορµη στο συστηµα αυτο. Προσεξτε, επισης, οτι τα διανυσµατα και G ειναι ορθο-γ£ωνια και ετσι το µετρο του διπλου εξωτερικου γινοµενου που περιγραφει τη στροφορµητου σωµατιδιου ειναι G d .

8Η γεωστροφικη ισορροπια ειναι δυνατη αν τηρουνται καποιες προ¶ποθεσεις : ανη τρι1η ειναι αµελητεα και ο αριθµος Rossby o¢¡"£d¤ G ειναι µικρος, οπου ¡ ειναιτο χαρακτηριστικο µεγεθος των ταχυτητων των αεριων µαζ£ων που παρατηρει ενας πα-ρατηρητης, ο οποιος περιστρεφεται µαζι µε τον πλανητη, και ¤ η χαρακτηριστικη κλι-µακα µηκους µετα1ολης των ταχυτητων. Για την κυκλοφορια στα µεσαια πλατη της Γηςαυτες οι συνθηκες ικανοποιουνται µε αρκετα καλη προσεγγιση. Για παραδειγµα ειναι¡¦¥ t§ m/s, ¤¨¥© §mª m, και G o© §¬« s «U® , οποτε ο αριθµος Rossby ειναι o §°¯ t .


Σχηµα 6.6: Ο κυκλ£ωνας της 13ης Φε1ρουαριου του 2004, ο οποιος προκαλεσε τις χα-µηλοτερες θερµοκρασιες των τελευταιων δεκαετι£ων σε πολλα µερη της χ£ωρας µας. Στοχαρτη σηµει£ωνονται οι παρατηρουµενες τιµες του διανυσµατικου πεδιου των ταχυτητωνεπι της επιφανειας σταθερης πιεσης ± §m§ mb. Ο ανεµος ειναι, σε πολυ καλη προσεγγιση,παραλληλος στις ισο¶ψεις καµπυλες της επιφανειας αυτης. Στη µετεωρολογια ειναι συ-νηθης πρακτικη να παρουσιαζονται τα πεδια ταχυτητων επι επιφανει£ων σταθερης πι-εσης, διοτι επι των επιφανει£ων σταθερης πιεσης η συνιστ£ωσα της δυναµης απο την πι-εση ειναι µηδενικη και η µονη δυναµη που ασκειται στο ρευστο ανα µοναδα ογκου ειναιη συνιστ£ωσα της βαρυτητας επι της επιφανειας σταθερης πιεσης ² m³ ´¶µK· ¸ , οπου µ τουψος σε καθε σηµειο της επιφανειας σταθερης πιεσης ¹ o ¹Kº και ´¶µK· ¸ η κλιση της επι-φανειας αυτης. Επειδη η δυναµη Coriolis ανα µοναδα ογκου του ρευστου ειναι ιση µε² td Gzv x , η γεωστροφικη ισορροπια απαιτει το πεδιο ταχυτητων να ικανοποιει την εξι-σωση ² t Gwv x ² ³ ´¶µK· ¸ o § . Η σχεση αυτη της γεωστροφικης ισορροπιας συνεπαγεταιοτι το διανυσµα της ταχυτητας ειναι παραλληλο στις ισο¶ψεις της επιφανειας σταθερηςπιεσης, αφου απο την εξισωση αυτη συναγεται οτι x!» ´¶µK· ¸ o § . Το διανυσµα της ταχυ-τητας ειναι επισης αναλογο της βαθµιδας του

µεπι της επιφανειας σταθερης πιεσης και

συνεπ£ως η ταχυτητα του ανεµου ειναι µεγαλυτερη στις περιοχες οπου η πυκνοτητα τωνισο¶ψ£ων ειναι µεγαλη. Η παρουσιαση αυτη ειναι συνηθης στη µετεωρολογια διοτι, ανσχεδιαζοταν η ταχυτητα του ανεµου σε επιφανειες σταθερου υψους, αντι σε επιφανειεςσταθερης πιεσης, η γεωστροφικη ισορροπια θα ηταν ² td Gkv x ² ´ ¹ · ¼ o § . Ετσι, µολο-νοτι τοτε η ταχυτητα θα ηταν παραλληλη στις καµπυλες ισης πιεσης, δεν θα ηταν ευθεωςαναλογη της βαθµιδας της πιεσης διοτι, η γεωστροφικη αυτη σχεση εξαρταται και αποτην πυκνοτητα, η οποια µει£ωνεται σχεδον εκθετικα µε το υψος.


οπουj ειναι η ταχυτητα του ατµοσφαιρικου ρευστου, W η γωνιακη ταχυ-

τητα περιστροφης της Γης,η πυκνοτητα του ρευστου, και # + η δυ-

ναµη που προκαλειται απο τις διαφορες της πιεσης και η οποια εχει διευ-θυνση απο υψηλες πιεσεις προς χαµηλες πιεσεις.9 Λογω της γεωστροφι-κης ισορροπιας η ατµοσφαιρικη κυκλοφορια χαρακτηριζεται απο τις συ-νεκτικες δοµες των κυκλ£ωνων, οι οποιοι συντηρουνται για αρκετα µεγαλαχρονικα διαστηµατα, απο τεσσερις εως επτα ηµερες [ το διαστηµα αυτοειναι ουσιαστικα ο χρονος που χρειαζεται η τρι1η µε το εδαφος για νατους διαλυσει. Η παρουσια τετοιων συνεκτικ£ων δοµ£ων που αποτελουνταιαπο χαµηλα και υψηλα βαροµετρικα συστηµατα καθοριζει αυτο που απο-καλουµε καιρο, εν£ω οι δοµες αυτες αποτελουν τα κυρια συστατικα τουκλιµατος. Η µελετη του κλιµατος ειναι στην ουσια η µελετη της στατιστι-κης συµπεριφορας των κυκλωνικ£ωναυτ£ων κινησεων. Αν η γωνιακη ταχυ-τητα περιστροφης της Γης ηταν πολυ µικροτερη, οι οποιεσδηποτε διακυ-µανσεις της ατµοσφαιρικης πιεσης θα εξαφανιζονταν σε διαστηµα µερι-κ£ων ωρ£ων10 και ο καιρος θα ηταν εξαιρετικα πιο σταθερος. Επισης, εξαι-τιας της δυναµης Coriolis ειναι δυνατη η υπαρξη διαφορας θερµοκρασιαςµεταξυ Ισηµερινου και Πολων. Αυτο ισχυει διοτι, αν η Γη δεν περιστρε-φοταν, η διαφορα θερµοκρασιας µεταξυ Ισηµερινου και Πολων, η οποιαεπι1αλλεται λογω διαφορας απορροφησης της ηλιακης ακτινο1ολιας καιανερχεται στους B \K\a½ C περιπου, θα εξαλειφοταν ταχυτατα µε διαταραχεςπου διαδιδονται σχεδον µε τη ταχυτητα του ηχου, οπως ακρι1£ως διαδιδο-νται οι διαταραχες της επιφανειας του νερου µεσα σε µια λεκανη οταν τηµετακινησουµε. Η ατµοσφαιρικη κυκλοφορια που δηµιουργειται εξαιτιαςτης δυναµης Coriolis συντηρει τελικα στη Γη τη διαφορα θερµοκρασιαςµεταξυ του Ισηµερινου και των Πολων στους

\a½C. Αντιθετως, στον πλα-

νητη Αφροδιτη, ο οποιος περιστρεφεται πολυ αργα γυρω απο τον αξονατου, η διαφορα θερµοκρασιας µεταξυ του Ισηµερινου και των Πολων ει-ναι µηδαµινη.

Ασκηση 6.6. Κατα το χρονικο διαστηµα που ενας κυκλ£ωνας διερχεται απο µια πε-ΑΣΚΗΣΕΙΣριοχη της Γης, πραγµατοποιουνται ταυτοχρονα επιγειες βαροµετρικες µετρησεις σε δυοτοποθεσιες της περιοχης αυτης που βρισκονται σε αποσταση © §m§m§ km η µια απο την αλλη.Η µια µετρηση δινει ¾m¿ § mb και η αλλη © §m§m§ mb. Υπολογιστε την οριζοντια δυναµη που

9Η πιεση σε ενα ρευστο ειναι η δυναµη ανα µοναδα επιφανειας που δρα καθετα σεκαθε επιφανεια (νοητη η πραγµατικη) του ρευστου. Εαν η πιεση ειναι οµοιοµορφη, οιδυναµεις ανα µοναδα επιφανειας του ρευστου βρισκονται σε ισορροπια και η ολικη δυ-ναµη που ασκειται σε ενα στοιχειο του ρευστου ειναι µηδενικη. Αν, τ£ωρα, θεωρησουµεενα κλειστο στοιχειο του ρευστου, ογκου À , η συνολικη δυναµη που ασκειται απο την πι-εση στο στοιχειο αυτο ειναι Á o ²+ÂÄÃ¹*UÅÇÆ , οπου Æ η εξωτερικη κλειστη επιφανεια τουστοιχειου και το µοναδιαιο, καθετο στην επιφανεια, διανυσµα που εχει κατευθυνσηπρος το εξωτερικο της επιφανειας. Απο το θε£ωρηµα του Gauss βρισκουµε οτι η συνο-λικη δυναµη που ασκειται στο στοιχειο ειναι Á o ²+ÂdÈ ´ ¹ Å À . Συνεπ£ως η ολικη δυναµηπου ασκειται σε εναν απειροστο ογκο εξαιτιας της πιεσης, ανα µοναδα ογκου του ρευ-στου, ειναι ² ´ ¹ .

10Αποδεικνυεται οτι σε αυτη την περιπτωση, η ταχυτητα εξοµαλυνσης της πιεσης ειναισχεδον ιση µε την ταχυτητα του ηχου, παροτι η εξοµαλυνση αυτη δεν επιτυγχανεται µεηχητικα κυµατα, αλλα µε εσωτερικα κυµατα βαρυτητας που διαδιδονται µε ταχυτηταÉ ¥Ê ³¬Ë , οπου Ë ¥© § km ειναι το υψος της ατµοσφαιρας.

6.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 159

προκαλειται απο τη βαθµιδα της πιεσης και εκτιµηστε την ταχυτητα του ανεµου πουαπαιτειται για να εξισορροπησει η δυναµηCoriolis τη δυναµη αυτη στο γεωγραφικο πλα-τος των ÌÇ± . ∆ινεται οτι © mb o© §m§ Nt/m .Γενικα η δυναµη Coriolis που ασκειται σε ενα σ£ωµα, εξαιτιας της περι- Η φυγοκεντρος δυναµη

ειναι µεγαλυτερη

απο τη δυναµη

Coriolis αλλα ...

στροφης της Γης, ειναι, οπως ειδαµε, µικροτερη σε µετρο απο τη φυγοκε-ντρο δυναµη που ασκειται σε αυτο κατα εναν παραγοντα της ταξης τουZ jW/Í jZ cKc

m/s

Η φυγοκεντρος δυναµη, οµως, οπως ηδη εξηγησαµε, εξισορροπειται αποτη βαρυτικη ελξη, καθοριζοντας ετσι το γεωειδες σχηµα της ατµοσφαι-ρας και οι ατµοσφαιρικες κινησεις περιοριζονται κυριως στις ισοδυναµι-κες επιφανειες, οποτε η δυναµηCoriolis που δρα στο εφαπτοµενο επιπεδοτου γεωειδους ειναι η δυναµη που κυριαρχει στη διαµορφωση των ατµο-σφαιρικ£ων κινησεων.Τελος, αξιζει να αναφερθει οτι η δυναµη Coriolis ηταν αυτη που προ-

σπαθησε να εκµεταλλευτει ο Νευτων για να αποδειξει οτι η Γη περιστρε-φεται. Συγκεκριµενα, υπολογισε την εκτροπη ενος σωµατιδιου απο τηνκατακορυφο πορεια που ακολουθει, οταν αυτο πεφτει ελευθερα µεσα σεενα βαθυ πηγαδι. Το πειραµα επιχειρησε ο βρετανος φυσικος RobertHooke [1635-1703], συγχρονος του Νευτωνα, ριχνοντας µικρες σφαιρεςµεσα σε ενα πηγαδι λατοµειου. ∆υστυχ£ως, οµως, µια υπολογιστικη πα-γιδα που κρυ1ει η λυση αυτου του προ1ληµατος (βλ. Προ1ληµα 7) τονοδηγησε σε εσφαλµενο αποτελεσµα, το οποιο ετσι κι αλλι£ως υπερε1αινετα πειραµατικα σφαλµατα µετρησης εκεινης της εποχης.11 Σηµερα η πα-ρεκτροπη στην κινηση των βληµατων εξαιτιας της δυναµης Coriolis λαµ-1ανεται πολυ σο1αρα υποψη στη συγχρονη βαλλιστικη. Προφαν£ως, στοΝοτιο ηµισφαιριο η δραση της δυναµηςCoriolis ειναι αντιθετη απο τη δρα-ση της δυναµης αυτης στο Βορειο ηµισφαιριο.

6.5 Κατασκευη της Λαγκρανζιανης σε

περιστρεφοµενο συστηµα

Εχοντας αναλυσει σε νευτ£ωνειο πλαισιο π£ως διαµορφ£ωνονται οι δυ-ναµεις οταν µετα1αινουµε απο ενα αδρανειακο σε ενα περιστρεφοµενο

11Αδιαµφισ1ητητη αποδειξη για την κινηση της Γης γυρωαπο τον Ηλιο, η οποια µε τησειρα της συνεπαγεται την περιστροφη της Γης γυρω απο τον αξονα της £ωστε να προ-καλειται η διαδοχη ηµερας-νυχτας, δοθηκε µολις το 1838 απο το γερµανο αστρονοµοFriedrichWilhelmBessel [1784-1846],ο οποιος κατορθωσε να υπολογισει την παραλλαξητου αστερα 61Cygnus (υπολογισε οτι η παραλλαξη ηταν 0.314", εν£ωη σηµερινη εκτιµησηγια την παραλλαξη του εν λογω αστερα ειναι 0.292"). Αξιζει να σηµει£ωσουµε οτι ενα αποτα επιχειρηµατα των αριστοτελικ£ων φιλοσοφων σχετικα µε την ακινησια της Γης ητανοτι δεν ειχε παρατηρηθει καµια παραλλαξη των αστερων και εποµενως δεν µπορουσενα γινει δεκτη καµια αναθε£ωρηση της αριστοτελικης Κοσµολογιας.


συστηµα αναφορας, θα κατασκευασουµε στη συνεχεια τη δυναµικη εξι-σωση κινησης ενος σωµατιδιου σε ενα περιστρεφοµενο συστηµα (ουσια-στικα θα κατασκευασουµε παλι τη σχεση (6.13)) ακολουθ£ωντας αυτη τηφορα λα-γκρανζιανο φορµαλισµο. Οπως εχουµε ηδη δειξει, οι εξισ£ωσειςΗ Λαγκρανζιανη

σωµατιδιου για

περιστρεφοµενο

συστηµα αναφορας

Euler - Lagrange ισχυουν σε ολα τα συστηµατα αναφορας –αδρανειακα ηµη–, δεδοµενου οτι οι εξισ£ωσεις Euler - Lagrangeειναι αναλλοιωτες σε ση-µειακους µετασχηµατισµους. Στην περιπτωση µας ο εν λογω σηµειακοςµετασχηµατισµος ειναι αυτος που αντιστοιχιζει τα σηµεια του αδρανεια-κου στα σηµεια του περιστρεφοµενου συστηµατος αναφορας. Εχουµελοιπον

A$ g

A

οποτε και ÎA$ Î g W +

ΗΛαγκρανζιανη, εποµενως, ενος σωµατιδιου στο περιστρεφοµενο συστη-µα θα ειναι BZ Ï- j W 1 ) # qK BZ Ï- j ) Z W K [ js W ) 1'# qK & (6.16)

οπουj η ταχυτητα του σωµατιδιου στο περιστρεφοµενο συστηµα αναφο-

ρας.12 Στις παραγωγισεις των εξισ£ωσεων Euler-Lagrange θα βοηθησει ηδιανυσµατικη ταυτοτητα l [ Ð Ñq Ñ [ dl Ð ! Ετσι, Ò Ò j Ó mj+ W K &και Ò Ò - j W W K0 W 1 # 3 q! Στην τελευταια παραγ£ωγιση του τετραγ£ωνου του εξωτερικου γινοµενουχρησιµοποιηθηκε η προαναφερθεισα ταυτοτητα εις διπλουν, µια φορα γιατο καθε εξωτερικο γινοµενο. Η δυναµικη εξισωση, λοιπον, λαµ1ανει τηµορφη Îj W j# - j W W K0 W 1 3 qK Y\και εποµενως Îj # qÔ# Ï- Z W j W W :1Õ

(6.17)

Αξιζει να σηµει£ωσουµε την οµοιοτητα της Λαγκρανζιανης της σχεσης(6.16) και της Λαγκρανζιανης φορτισµενου σωµατιδιου σε µαγνητικο πε-διο, τουλαχιστον οσον αφορα στον ορο W K [ j¢

12Αφου απο εδ£ω και στο εξης θα αναφεροµαστε στο περιστρεφοµενο συστηµα ανα-φορας θα καταργησουµε πλεον το δεικτη “ Ö ” στα διαφορα µεγεθη.

6.6. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΣΤΡΟΦΕΣ 161

Σχηµα 6.7: Το διανυσµα² ×OP περιστρεφεται κατα µια πεπερασµενη γωνια Ø γυρω απο

τον αξονα²×OA. H νεα θεση του διανυσµατος ειναι η

² ×OP . Tο µοναδιαιο διανυσµα του

αξονα περιστροφης ειναι το . To διανυσµα ²×OA ειναι η προ1ολη του διανυσµατος ² ×OPστον αξονα περιστροφης, οποτε το διανυσµα

²×OA και το διανυσµα

² ×AP ειναι καθετα µε-

ταξυ τους. Το² ×TP ειναι καθετο στο ² ×AP. Το ² ×AP εχει µετρο · ² ×AP · o · v ² ×OP · , το οποιο ειναι

ισο µε το· ²Ù²×AP’

·. Εποµενως,

· ² ×TP · o · v ² ×OP ·UÚÛ Ü Ø .

Οι υπολοιποι οροι, σε αντιθεση µε τον εν λογω ορο, εχουν την κλασικηµορφη των ορων κινητικης και δυναµικης ενεργειας.

Ασκηση 6.7. Κατασκευαστε την αναλογια µεταξυ των ορων της Λαγκρανζιανης ΑΣΚΗΣΕΙΣενος φορτισµενου σωµατιδιου σε ηλεκτροµαγνητικο πεδιο και ενος σωµατιδιου σε πε-ριστρεφοµενο συστηµα αναφορας. Υποθεστε οτι γνωριζετε επακρι1£ως την τροχια ενοςφορτισµενου σωµατιδιου σε οµογενες µαγνητικο Ý y | και ηλεκτρικο πεδιο Þ y Ô| . Σεποιο περιστρεφοµενο συστηµα και σε τι πεδιο δυναµης η κινηση των σωµατιδιων θαητανακρι1£ως η ιδια;

6.6 Πεπερασµενες στροφες

Ας εξετασουµε, τ£ωρα, π£ως µπορουµε να κατασκευασουµε τη δρασηµιας µη απειροστης στροφης γυρω απο καποιον αξονα . Θελουµε να Συστηµατικη

κατασκευη µιας

πεπερασµενης στροφης

στρεψουµε το διανυσµα #=$

OP κατα γωνιαγυρω απο τον αξονα OA

που χαρακτηριζεται απο το µοναδιαιο διανυσµα (βλ. Σχηµα 6.7). Η νεαθεση του διανυσµατος

ß #=$OP θα ειναι#=$OP

#:$OA # $AT # $TP q [ " uYà s# q [ 5 âá¬ãqä ^ ^ MN_ (6.18)


Προσεξτε οτι το διανυσµα #å$AP

s# q [ " &και το διανυσµα V &που εχει τη διευθυνση του

# $TP, εχουν το ιδιο µετρο –προκειται για την

ακτινα περιστροφης του ακρου του διανυσµατος– αλλα καθετες µεταξυτους διευθυνσεις. Αλλαζοντας τη σειρα των ορων στην (6.18), µπορουµενα γραψουµε το τελικο στραµµενο διανυσµα στη µορφη : Ôãqä ^ q [ 5 B #æãqä ^ 5 V s ^ MN_ (6.19)

Αν εφαρµοσουµε τη σχεση αυτη για απειροστες γωνιες, δηλαδη διατη-ρ£ωντας στην (6.19) µονο ορους πρ£ωτης ταξης ως προς τη γωνια στροφης,θετοντας ãqä ^ 2 B και ^ MN_ 2 2 , καταληγουµε και παλι στη σχεση (6.1)που γραψαµε για τις απειροστες στροφες.

Ασκηση 6.8. ∆ειξτε οτι πραγµατι η σχεση (6.19) για απειροστες γωνιες Ø καταλη-ΑΣΚΗΣΕΙΣγει στη σχεση (6.1). Eπι1ε1αι£ωστε επισης, οτι η σχεση (6.19) ικανοποιει τη βασικη ιδιο-τητα των στροφ£ων, δηλαδη οτι

· · o · · .Οπως διαπιστ£ωνει κανεις απο τη σχεση (6.19), η στροφη γυρω απο

καποιον αξονα ειναι γραµµικη ως προς το διανυσµα και εποµενως µπο-

ρει να γραφει ως ενας πινακας που δρα στo διανυσµα. Η µορφη αυτουτου πινακα καθοριζεται µε απλο τροπο, αν εκφρασουµε τη σχεση (6.19)ως σχεση συντεταγµενων, χρησιµοποι£ωντας δεικτεςΟ πινακας

µετασχηµατισµου

πεπερασµενης στροφης 6 6 ãqä ^ ç 6 ; ; B #èãqä ^ 5 8:6=<; < ; ^ MN_ % Í 6 ; & 5> ; & (6.20)

οπου R& 5 ο πινακας µε στοιχειαÍ 6 ; & 5 6 ; ãqä ^ ç 6 ; B #æãqä ^ 5 8:6=<; < ^ MN_ k& (6.21)

που δρ£ωντας σε ενα διανυσµα το αναγκαζει να στραφει γυρω απο την κα-τευθυνση κατα γωνια . Μια στροφη, λοιπον, προσδιοριζεται πληρωςαπο τον πινακα R

& 5 .6.7 Οι στροφες ως ορθογ£ωνιοι

µετασχηµατισµοι

Επειδη οι στροφες αφηνουν αναλλοιωτο το µετρο των διανυσµατων, οΟ πινακας των

στροφ£ων ειναι

ορθογ£ωνιος

πινακας της στροφης ειναι ενας ορθογ£ωνιος πινακας. Αυτο αποδεικνυε-ται ως εξης : το µετρο του µετασχηµατισµενου διανυσµατος 26 6 6 Í 6=< < Í 6=é é <ê Íßë*ì <Ä6 Í 6=é é & (6.22)

6.7. ΟΙ ΣΤΡΟΦΕΣ ΩΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 163

οπου τοëσυµ1ολιζει τον αναστροφο πινακα, πρεπει να ισουται µε το µε-

τρο 6 6 του αρχικου διανυσµατος για καθε διανυσµα 6 . Για να ισχυειαυτο, θα πρεπει ο πινακας R να ικανοποιει τη σχεση

RëRRR

ë I&

(6.23)

δηλαδη, ο πινακας στροφης πρεπει να ειναι ορθογ£ωνιος.

Ασκηση 6.9. Επιλεγοντας καταλληλα διανυσµατα Äí , δειξτε οτι αν η (6.22) ισχυει ΑΣΚΗΣΕΙΣγια καθε διανυσµα Äí , τοτε ο πινακας στροφης πρεπει να ικανοποιει την (6.23), δηλαδηο πινακας στροφης πρεπει να ειναι ορθογ£ωνιος πινακας.

Ασκηση 6.10. Επι1ε1αι£ωστε οτι ο πινακας (6.21) ειναι πραγµατι ορθογ£ωνιος.

Ασκηση 6.11. Επι1ε1αι£ωστε οτι ο πινακας µετασχηµατισµου των στροφ£ων (6.21)εχει οριζουσα r © .Οπως θα δειξουµε, οµως, ισχυει και το αντιστροφο, δηλαδη, καθε ορ-

θογ£ωνιοςc c πινακας µε οριζουσα B ειναι πινακας στροφης. Προτου Ενας ορθογ£ωνιος

πινακας µε οριζουσα

+1 ειναι πινακας

στροφης

προχωρησουµε στην αποδειξη της προτασης αυτης, θα πρεπει πρ£ωτα ναεπισηµανουµε οτι οι ορθογ£ωνιοι πινακες εχουν γενικα οριζουσα î B , διοτι,δεδοµενων των ιδιοτητων των οριζουσ£ωνïðmñ ê R ë*ì ïðmñ R και ïðmñ AB ïðmñ A ïðmñ B (βλ.Μαθηµατικο Παραρτηµα), απο την (6.23) βρισκουµε οτι ïðmñ

RÄ ) ïðmñ

I B

Οι στροφες, οµως, οπως διαπιστ£ωσαµε στην Ασκηση 6.11, ειναι ορθογ£ω-νιοι µετασχηµατισµοι οι οποιοι εχουν οριζουσα παντα ιση µε B . Τουςορθογ£ωνιους µετασχηµατισµους µε οριζουσα # B δεν µπορουµε, λοιπον,να τους αντιστοιχισουµε σε στροφες. Αυτοι οι µετασχηµατισµοι ειναι συν-θεση ενος κατοπτρισµου, δηλαδη του µετασχηµατισµου

¨ # που Κατοπτρισµος

αντιστοιχει στον πινακα µετασχηµατισµουò @?A # B \ \\ # B \\ \ # BDE &

(6.24)

και µιας στροφης. Ο κατοπτρισµος οποιουδηποτε διανυσµατος #

δεν µπορει να επιτευχθει µε µια στροφη,13 διοτι η οριζουσα του κατοπτρι-σµου ειναι # B , εν£ω η οριζουσα της οποιασδηποτε στροφης ειναι B .

13Ισως σκεφθειτε οτι ο κατοπτρισµος ενος διανυσµατος µπορει να επιτευχθει µε µιαστροφη κατα ó γυρω απο εναν αξονα καθετο στο διανυσµα. Ωστοσο, αυτη η στροφησχετιζεται µε το συγκεκριµενο διανυσµα και αν εφαρµοστει σε καποιο αλλο διανυσµα


Στη συνεχεια θα προσδιορισουµε για καθε ορθογ£ωνιο µετασχηµατι-σµο µε οριζουσα B τη στροφη στην οποια αυτος αντιστοιχει. Ας θεω-ρησουµε τον τυχαιο ορθογ£ωνιο µετασχηµατισµο

A@?A l((ôl()l(Cla)Ä(ôla))la)ClaCÄ(ôlaC)laCC

DE &και ας προσδιορισουµε τις ιδιοτιµες του õ , δηλαδη, τις τιµες για τις οποιεςισχυει

A 7 õö7 & (6.25)

οπου 7 τα ιδιοανυσµατα του A. Οι ιδιοτιµες ειναι οι ριζες του τριτο1αθ-µιου πολυωνυµου õ C ÷l õ ) Ð õ ÷Ñ \ &που προκυπτει απο τη συνθηκη υπαρξης µη τετριµµενης λυσης της (6.25)ïðmñ

A# õ I ffffff

l((# õ l() l(Cla)Ä( la))ö# õ la)ClaCÄ( laC) laCCö# õ ffffffY\

Οι τρεις ιδιοτιµες που προκυπτουν θα εχουν αφενος την ιδιοτηταõ ( õ ) õ C ïðmñ A B &επειδη το γινοµενο των ιδιοτιµ£ων ισουται µε την οριζουσα του πινακα, καιαφετερου η καθε µια απο αυτες θα εχει αναγκαστικα µετρο +1õâõùø B &οπου το ø συµ1ολιζει το µιγαδικο συζυγες. Η τελευταια αυτη ιδιοτηταισχυει, επειδη το µετρο των διανυσµατων παραµενει αναλλοιωτο σε εναορθογ£ωνιο µετασχηµατισµο, οποτε97 A 7 õö7 &που συνεπαγεται οτι õ B . Οι ιδιοτιµες και τα ιδιοανυσµατα µπορει βε-1αια να ειναι µιγαδικα, οποτε το µετρο ενος µιγαδικου διανυσµατος λαµ-1ανεται ως 97 ) 7 ø6 7 6 &δεν προκειται κατ αναγκην να οδηγησει στο κατοπτρικο του. Για παραδειγµα, η στροφηαυτη θααφησει ιδιο ενα διανυσµα που ειναι καθετο στο αρχικο διανυσµα και παραλληλοστον αξονα στροφης. Αξιζει επισης, να παρατηρησουµε οτι ο κατοπτρισµος σε δυο δια-στασεις δεν ειναι ο o ²/ , ο οποιος ειναι καθαρη στροφη, αλλα ο yÙú û | o y ² ú û°|η ο

yÙú Nû¬å| o yÙú ² û°| που προκαλει ανακλαση του αρχικου διανυσµατος ως προς τοναξονα û η ú , αντιστοιχα. Μπορουµε, λοιπον, να διατυπ£ωσουµε το γενικο κανονα συµ-φωνα µε τον οποιο ο κατοπτρισµος σε οποιεσδηποτε διαστασεις πετυχαινεται οποτεδη-ποτε το πληθος των -1 στα διαγ£ωνια στοιχεια του πινακαµετασχηµατισµου ειναι περιττο.Ετσι, για παραδειγµα, κατοπτρισµο στις τρεις διαστασεις θα µπορουσµαε να εχουµεαντιστρεφοντας το προσηµο µονο της

ú-συνιστ£ωσας των διανυσµατων µε τη χρηση ενος

διαγ£ωνιου πινακα σαν τον (6.24) µε µοναδικο στοιχειο ισο µε ² © το στοιχειο ü ®ý® .

6.7. ΟΙ ΣΤΡΟΦΕΣ ΩΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 165

οπου 7 6 , 7 ø6 ειναι οι συνιστ£ωσες και οι συζυγεις συνιστ£ωσες του 7 αντιστοι-χα. Τελος επειδη οι ιδιοτιµες προκυπτουν ως ριζες ενος πολυωνυµου µεπραγµατικους συντελεστες, αν µια ιδιοτιµη ειναι µιγαδικη, η συζυγης τηςθα ειναι και αυτη ιδιοτιµη. Σε αυτη την περιπτωση, λαµ1ανοντας το συ-ζυγες της εξισωσης (6.25), επειδη ο πινακας A εχει ληφθει πραγµατικος,συναγουµε οτι

A 7 ø õ ø 7 ø &οποτε και το 7 ø ειναι ιδιοανυσµα του A.Με αυτες τις παρατηρησεις προκυπτει οτι αναγκαστικα οι ιδιοτιµες

ενος γενικου ορθογ£ωνιου µετασχηµατισµου ειναι οιB & 7 6=þ & 7 6=þ Οι 7¬ÿ 6=þ επελεγησαν, διοτι εχουν µοναδιαιο µετρο, εν£ω η τριτη, ως µονα-δικη και εποµενως ιδια µε τη συζυγη της, οφειλει να ειναι η µοναδα. Ει-δικη µορφη του µετασχηµατισµου προκυπτει για

Õ\, οπου ολες οι ιδι-

οτιµες ειναι µοναδιαιες, και AI, αφου τοτε καθε διανυσµα µετασχηµα-

τιζεται στον εαυτο του (!

). Μια αλλη ειδικη περιπτωση εχουµε οταν , οπου οι ιδιοτιµες ειναι οι B , # B , # B , και λαµ1ανουµε στροφη γυρωαπο τον αξονα που αντιστοιχει στην ιδιοτιµη B κατα γωνια .Μπορουµε τ£ωρα να συσχετισουµε το γενικο ορθογ£ωνιο µετασχηµατι-

σµο A µε καποιο πινακα στροφης (6.21). Το ιδιοανυσµα που αντιστοιχειστην ιδιοτιµη B ειναι η διευθυνση στροφης . Μετασχηµατιζουµε, τ£ωρα,τον πινακαA σε ενα συστηµα συντεταγµενων στο οποιο ο πρ£ωτος αξοναςµετασχηµατιζεται στον αξονα και οι αλλοι δυο αξονες στα µοναδιαιαπραγµατικα διανυσµατα και j ετσι £ωστε τα , και j να σχη-µατιζουν µια ορθοκανονικη βαση. Αν σχηµατισουµε τον πινακα

U à & & jKá

που εχει ως στηλες τα στοιχεια των αντιστοιχων διανυσµατων, ο πινακαςαυτος U, ειναι ορθογ£ωνιος και εποµενως, ο πινακας A

UëAU παρα-

µενει ορθογ£ωνιος και εχει τις ιδιες ιδιοτιµες µε τον A και συνεπ£ως το ιδιοιχνος και την ιδια οριζουσα µε τον A. Επειδη το ιχνος ενος πινακα ισου-ται µε το αθροισµα των ιδιοτιµ£ων του (βλ. Μαθηµατικο Παραρτηµα), τοιχνος του πινακα A

ειναιñ ã ð

A ñ ã ð

A B ÷7 6=þ ÷7 6=þ B Z ãqä ^ &

το οποιο ισουται µε το ιχνος του (6.21), υπο την προ¶ποθεση οτι ηανα-

παριστα τη γωνια στροφης του µετασχηµατισµου στροφης. Συνεπ£ως, ηγωνια στροφης ειναι ãqä ^ ñ ã ð

AÔ# BZ

Στο σηµειο αυτο ολοκληρ£ωνεται η αναζητηση των στοιχειων της στροφηςπου αντιστοιχει στον αρχικο ορθογ£ωνιο πινακα A. Οι δυο αντιθετες γω-νιες που αποτελουν λυση της παραπανω τριγωνοµετρικης εξισωσης αφο-ρουν στις δυο δυνατες στροφες, στις οποιες µπορει να αντιστοιχει ο αρ-χικος πινακας A και οι οποιες καθοριζονται απο την επιλογη της κατευ-θυνσης του ιδιοανυσµατος (και το και το # ειναι ιδιοανυσµατα του


A). Στην πραγµατικοτητα δεν προκειται για δυο διαφορετικες στροφεςαφου, ειτε εκτελεσουµε µια δεξιοστροφη στροφη γυρωαπο καποιο αξονα,ειτε µια ιση αριστεροστροφη στροφη γυρω απο τον αντιθετης κατευθυν-σης αξονα το αποτελεσµα θα ειναι το ιδιο.Ο ορθογ£ωνιος πινακας A

που εχουµε ηδη κατασκευασει και εχει ως

ιδιοανυσµα µε αντιστοιχη ιδιοτιµη το B & \ & \ (το µετασχηµατισµενο, µεσωτου πινακα U, ιδιοανυσµα ) λαµ1ανει τη µορφη

Α @?A B \ \\\ DE

µε Z ãqä ^ . Ο υποπινακας τ£ωραO

πρεπει να ειναι και αυτος ορθογ£ωνιος µε µοναδιαια οριζουσα και επο-µενως, οπως θα δουµε αναλυτικα στο εδαφιο 6.11, εχει αναγκαστικα τηµορφη

O ãqä ^ ^ MN_ # ^ MN_ ãqä ^ &

και αποτελει τον πινακα στροφης στο επιπεδο το καθετο στον πρ£ωτο αξο-να κατα γωνια

. Τ£ωρα πια, γνωριζοντας τον πινακα Α

και τον πινακα

U ειµαστε σε θεση να ανακατασκευασουµε τον αρχικο πινακα Α. Με τηνπαραπανω αναλυση δειξαµε οτι καθε ορθογ£ωνιος πινακας µε οριζουσα B µπορει να “σπασει” σε εναν πινακα U που στρεφει το συστηµα τωναξονων ετσι £ωστε ο πρ£ωτος αξονας αυτου να εχει την κατευθυνση του και σε εναν πινακα Α

που εκτελει τη στροφη κατα

γυρω απο το .

Ασκηση 6.12. ∆ειξτε οτι, εαν ο Aειναι ορθογ£ωνιος πινακας µε µοναδιαια ορι-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ζουσα, τοτε και ο υποπινακας O πρεπει να ειναι ορθογ£ωνιος µε µοναδιαια οριζουσα.

6.8 Οι στροφες αποτελουν µια µη αντιµεταθε-

τικη οµαδα

Εαν υστερα απο καποια στροφη R "( &d (Ä εκτελεστει µια δευτερη

στροφη ως προς εναν αλλο, εν γενει, αξονα R *) &d )m , τοτε ο συνολικος

µετασχηµατισµος θα παραγεται απο το γινοµενο των πινακων

R *) &d )m R "( &d (!

Αν εκτελεσουµε τις πραξεις µεταξυ των στοιχειων των δυο πινακων, δια-πιστ£ωνουµε οτι δεν ειναι προφανες τι µετασχηµατισµος προκυπτει. Το γε-γονος, οµως, οτι καθε φορα που δρα ενας τετοιος πινακας αφηνει αναλ-λοιωτο το µετρο του διανυσµατος µας υποδεικνυει οτι το γινοµενο δυο

6.8. Η ΜΗ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΟΜΑ∆Α ΤΩΝ ΣΤΡΟΦΩΝ 167

στροφ£ων πρεπει να ειναι και παλι στροφη, δηλαδη υπαρχει παντοτε κα-ποια κατευθυνση C ως προς την οποια αν οποιοδηποτε διανυσµα στρα-φει κατα µια συγκεκριµενη γωνια

C, θα καταληξει στην ιδια θεση που θα

κατεληγε αν ακολουθουσε τη διαδοχη των δυο προηγουµενων στροφ£ων.Ηβε1αιοτητα µας οσον αφορα στην ισχυ της παραπανω προτασης προκυ-πτει απο το γεγονος οτι το γινοµενο δυο στροφ£ων ειναι ορθογ£ωνιος µετα-σχηµατισµος µε οριζουσα B και, οπως δειξαµε στο προηγουµενο εδαφιο,καθε ορθογ£ωνιος µετασχηµατισµος µοναδιαιας οριζουσας ειναι στροφη.Το συνολο των στροφ£ων, λοιπον, ειναι κλειστο στην πραξη της συνθεσηςη ισοδυναµως, στην πραξη του πολλαπλασιασµου των αντιστοιχων πινα-κων.Ταυτοχρονα, αφου το γινοµενο δυο στροφ£ων κατα γωνιες

και # ,

αντιστοιχα, γυρω απο καποιο κοινο αξονα (η ισοδυναµα κατα ισες γω-νιες γυρω απο αντιθετες κατευθυνσεις και # ) παραγει τον ταυτοτικοµετασχηµατισµο, δηλαδη, αφου

R& 5 R # & " I

&ο αντιστροφος πινακας µιας στροφηςR ( & 5 ειναι και αυτος µια στροφηκαι συγκεκριµενα ειναι η στροφη κατα την αντιθετη γωνια, δηλαδη

R ( & 5 R # & 5 R & # "!

Για καθε πινακα, λοιπον, στροφης υπαρχει ο αντιστρoφος του πινακας, οοποιος ειναι και αυτος πινακας στροφης.Συνεπ£ως, το συνολο των στροφ£ων σχηµατιζει µια οµαδα, την επονο- Οι στροφες αποτελουν

οµαδαµαζοµενη οµαδα c . Το γραµµα (orthogonal) δηλ£ωνει τον ορθογ£ω-νιο χαρακτηρα των στροφ£ων που διατηρει αναλλοιωτο το µετρο των δια-νυσµατων, εν£ω το γραµµα (special) το ιδιαιτερο χαρακτηριστικο των πι-νακων των στροφ£ων, οτι, δηλαδη, εχουν οριζουσα +1, εν£ω τελος το 3 ανα-φερεται στη διασταση του χ£ωρου στον οποιο εκτελουνται οι στροφες.Το ιδιαιτερο, και ταυτοχρονα εντυπωσιακο, χαρακτηριστικο των στρο- Οι στροφες δεν

αντιµετατιθενταιφ£ων ειναι οτι δυο στροφες που εκτελουνται γυρωαπο διαφορετικους αξο-νες δεν καταληγουν στο ιδιο αποτελεσµα, αν αλλαξει η σειρα µε την οποιααυτες εκτελουνται. Εποµενως, οι στροφες δεν λειτουργουν ως διανυσµα-τα. Οι στροφες δεν αντιµετατιθενται, οπως λεγεται στη γλ£ωσσα των µα-θηµατικ£ων. Συµ1ολικα, ανR

( & "(Ä καιR ) & *) ειναι δυο στροφες γυρωαπο διαφορετικους αξονες, τοτε

R ( & "(Ä R ) & *) R ) & *)m R ( & "(!

Με αλλα λογια, αν χρησιµοποιησουµε καπως διαφορετικο συµ1ολισµο, οµεταθετης δυο στροφ£ωνà

R ( & "( & R ) & *)á*% R

( & "(Ä R ) & *)# R ) & *) R ( & "(Ä & (6.26)δεν ειναι µηδενικος. Καταληγουµε, λοιπον, στο συµπερασµα οτι, οτανσυνθετουµε στροφες, θα πρεπει να προσεχουµε τη σειρα µε την οποια αυ-τες πραγµατοποιουνται.


Σχηµα 6.8: Οι στροφες γυρω απο τους αξονεςúκαι û κατα γωνια Ø o ó £ t δεν αντιµε-

τατιθενται αφου το διανυσµα² ×OP θα στραφει στο

² ×OP, αν οι στροφες εκτελεστουν πρ£ωτα

γυρω απο το ú και µετα γυρω απο το û , εν£ω θα καταληξει στο ² ×OP , αν οι στροφες εκτε-λεστουν πρ£ωτα γυρω απο το û και µετα γυρω απο το ú .Για να πειστειτε για τη µη αντιµεταθετικοτητα των στροφ£ων, αρκει να

θεωρησετε το απλουστατο παραδειγµα του Σχηµατος 6.8 στο οποιο εχεισχεδιαστει η δραση της στροφης του µοναδιαιου διανυσµατος

#=$OP

γυρω απο τον αξονα κατα γωνια Z και γυρω απο τον αξονα καταγωνια

Z. Η δραση της συνθεσης

R Z & R Z &

µετασχηµατιζει το#=$OP στο #å$

OP # &

διοτι η στροφηR Z & στρεφει το στο # και η στροφη που ακολουθει

R Z &

το αφηνει στη ιδια θεση. H συνθεση, οµως,

R Z & R Z &

µετασχηµατιζει το#=$OP στο #å$

OP &

διοτι η στροφηR Z &

στρεφει το στο και η R Z & το αφηνει στην ιδια θεση. Ειναι εµ-φανες οτι το αποτελεσµα της συνθετης στροφ£ων εξαρταται απο τη σειρα

6.9. ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΣΤΡΟΦΩΝ 169

που ακολουθηθηκε. Αυτο θα φανει σαφεστερα στο εδαφιο που ακολου-θει, οπου θα προσπαθησουµε να εµ1αθυνουµε περισσοτερο στη δοµη τωνστροφ£ων.Παρ ολα αυτα οι στροφες που πραγµατοποιουνται γυρω απο εναν

κοινο αξονα αντιµετατιθενται. Σε αυτη την περιπτωση δυο διαδοχικεςστροφες κατα γωνιες

( και ) , αντιστοιχα, ειναι ισοδυναµες µε µια στροφηκατα

( ) οπως θα περιµενε κανεις, εφοσον και οι δυο πραγµατοποι-ουνται γυρω απο τον ιδιο αξονα.

Ασκηση 6.13. Στροφες που εχουν κοινο αξονα περιστροφης αντιµετατιθενται. ΑΣΚΗΣΕΙΣ∆ειξτε, µεσω της (6.19)και των ιδιοτητων που γνωριζετε για το γινοµενο δυο í (βλ.Μα-θηµατικο Παραρτηµα), οτι

Ry Ø ® | R y Ø | o R y Ø U| R y Ø ® | o R y Ø ® r Ø U|â¯

Ασκηση 6.14. Γραψτε τα στοιχεια τωνπινακωνRy ó £ t¬ ú | καιR y ó £ t¬ û¬| και µε απευ-

θειας υπολογισµο του γινοµενου των πινακων δειξτε οτι οι δυο αυτες στροφες δεν αντι-µετατιθενται.

Ασκηση 6.15. Τοποθετηστε το παρον βι1λιο πανω σε µια οριζοντια επιφανεια.Στρεψτε το γυρω απο τον αξονα της συρραφης των σελιδων του βι1λιου κατα ó £ t καιστη συνεχεια γυρω απο τον κατακορυφο αξονα και παλι κατα ó £ t . Σηµει£ωστε την τε-λικη θεση του βι1λιου και επαναλα1ετε τις ιδιες στροφες γυρω απο τους ιδιους αξονες,µε αντιθετη σειρα αυτη τη φορα, ξεκιν£ωντας απο την ιδια αρχικη θεση του βι1λιου. Κα-ταληγει στην ιδια τελικη θεση το βι1λιο; Κατασκευαστε τους v πινακες στροφης πουεκτελεσατε και δειξτε οτι η πραξη του πολλαπλασιασµου αυτ£ων δεν ειναι αντιµεταθε-τικη. [Υποδειξη: Η γραµµη και η στηλη που αντιστοιχουν στον αξονα στροφης εχουνµονο το διαγ£ωνιο στοιχειο ισο µε ενα, εν£ω τα υπολοιπα στοιχεια αυτ£ων ειναι µηδεν. Τατεσσερα στοιχεια που αποµενουν ειναι τα αντιστοιχα τεσσερα στοιχεια ενος πινακα επι-πεδης στροφης.]

6.9 Κατασκευη πεπερασµενης στροφης απο

τους γεννητορες της

Κατα την αποδειξη του θεωρηµατος της Noether προσδιορισαµε τουςµετασχηµατισµους απο την απειροστη δραση τους µεσω των γεννητορωντους. Σε τουτο το εδαφιο θα προσδιορισουµε αρχικα τους γεννητορες τωνστροφ£ων και κατοπιν θα δειξουµε π£ως αυτοι παραγουν µια πεπερασµενηστροφη γυρω απο καποιο αξονα.Ας αρχισουµε, λοιπον, υπολογιζοντας πρ£ωτα την παραγωγοI

R& 5I LNMNOP þ R/T R 2& 5# R & 52 LNMNOP þ R/T R 2& 5 R & 5Ô# R & 52 LNMNOP þ R/T R 2& 5# I2 R & 5 & (6.27)


οπου I ο ταυτοτικος πινακας 6 ; 6 ; . Επειδη, οµως, µια απειροστη στρο-φη R

2& 5 υπο µορφη πινακα εχει συνιστ£ωσεςÍ 6 ; 2& 5 6 ; 2 8:6=<; < &θα εχουµε LNMNOP þ R/T Í 6 ; 2& 5Ô# 6 ;2 8:6=<; < Αν, τ£ωρα, ορισουµε την τριαδα των

c c πινακωνΓεννητορες των

στροφ£ων (Ä 6 ; 8:6 ( ; X?A \ \ \\ \ # B\ B \DE &

) 6 ; 8:6 ) ; X?A \ \ B\ \ \# B \ \DE &

C 6 ; 8:6 C ; X?A \ # B \B \ \\ \ \DE &

(6.28)

το 8:6=<; < µπορει να γραφει συµ1ολικα ως [ 6 ; , οπου µε το εσωτερικογινοµενο εννοουµε το γραµµικο συνδυασµο των τρι£ων πινακων < S < , εν£ωτο τελικο αντικειµενο ειναι πινακας, γεγονος το οποιο υποδηλ£ωνεται αποτους ελευθερους δεικτες

b! . Με αυτον το συµ1ολισµο ο πινακας µιαςαπειροστης στροφης (6.9) µπορει να γραφει ως

R I & 5 I

I - [ S 1 & (6.29)

και η σχεση (6.27) θα λα1ει τη µορφηIR& 5I - [ S 1 R & 5! (6.30)

Οι πινακες S 6 ονοµαζονται γεννητορες των στροφ£ων, διοτι ο καθενας αποΚατασκευη των

πεπερασµενων

στροφ£ων απο τους

γεννητορες τους

αυτους “γεννα” τη µετα1ολη ενος διανυσµατος, οταν αυτο στραφει καταγωνια

I γυρω απο τον αντιστοιχο αξονα. Για παραδειγµα, ο πινακας " (

ειναι ο γεννητορας των στροφ£ων γυρω απο τον αξονα . Γενικοτερα, αρ-κει η γν£ωση των γεννητορων ενος µετασχηµατισµου για τον προσδιορισµοολοκληρου του µετασχηµατισµου, αφου η συνεχης δραση απειροστ£ων µε-τασχηµατισµ£ων µπορει να οικοδοµησει οποιονδηποτε πεπερασµενο µετα-σχηµατισµο. Ισοδυναµως, επειδη η διαφορικη εξισωση (6.30) χαρακτηρι-ζει το µετασχηµατισµο, ο µετασχηµατισµος καθοριζεται πληρως απο τογεννητορα του και δινεται απο το ολοκληρωµα της εν λογω διαφορικηςεξισωσης. Το ολοκληρωµα αυτο θα το υπολογισουµε στη συνεχεια για τηνπεριπτωση που ο αξονας περιστροφης ειναι σταθερος.Εαν ο αξονας της στροφης ειναι σταθερος, η διαφορικη εξισωση (6.30)

ολοκληρ£ωνεται αµεσως (βλ.Πλαισιο 6.1) και δινει τον πινακα της πεπερα-σµενης στροφης γυρω απο τον αξονα αυτο

R& 5 ð$#&% - - [ S 1 1 (6.31)

6.9. ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΣΤΡΟΦΩΝ 171

Πλαισιο 6.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ

Η εκφραση ' A ( η )+*-, y A . | , οπου A καποιος πινακας, οριζεται ως' A (0/ I r A . r A . t-1 r A 2 . 2 1 r'»:»:»â¯ (6.32)

Ειναι ευκολο να δειξετε απευθειας οτι η εκθετικη αυτη συναρηση αποτελει λυση της δια-φορικης εξισωσης πινακων Å

XÅ . o AΧ ¯Η λυση αυτη αποτελει γενικευση της λυσης της γραµµικης διαφορικης εξισωσης Å ú £ Å . on ú

.

Θα δειξουµε, στη συνεχεια, οτι η εκθετικη συναρτηση (6.31) παραγειτον πινακα µετασχηµατισµου µιας πεπερασµενης στροφης (6.21). Οριζου-µε τον πινακα

A - [ S 1 ?A \ #ß*C *)*C \ #ß"(#ß*) "( \

DE (6.33)

Τα στοιχεια του πινακα αυτου γραφονται συνοπτικα ωςH 6 ; 8:6=<; < & (6.34)

και ειναι ευκολο να δειξετε οτι οι περριτες δυναµεις του A ικανοποιουντις σχεσεις

A #

A

C A 3 [¬[¬[ & (6.35)

εν£ω οι αρτιες δυναµεις ικανοποιουν τις σχεσεις

Α) # Α 4 Α 5 [¬[¬[ & (6.36)

οπου το τετραγωνο του Α, Α), εχει στοιχειαê Α ) ì 6 ; 6 ; # 6 ; (6.37)

Εξαιτιας των σχεσεων (6.35), (6.36) η στροφη (6.31) γραφεται ως εξης :

R& 5

IA

A

) )Z76 A C Cc 6 A 4 4 6 [¬[¬[ IA

A

) )Z76 # A Cc 6 # A ) 4 6 [¬[¬[ IA

) #A

) B # )Z76 4 6 [¬[¬[ A # Cc 6 [¬[¬[ IA

) B #æãqä ^ 5 A ^ MN_


Ο πινακας αυτος, βασει των (6.34) και (6.37), εχει τις ακολουθες συνιστ£ω-σες : Í 6 ; & 5 6 ; ãqä ^ ç 6 ; B #æãqä ^ " 8:6=<; < (6.38)

Επι1ε1αι£ωνουµε, λοιπον, οτι ο γεννητορας A

S [ " παραγει το µετα-σχηµατισµο πεπερασµενης στροφης (6.21).

Ασκηση 6.16. Αποδειξτε τις ταυτοτητες (6.35), (6.36) και (6.37).ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκηση 6.17. ∆ειξτε οτι ο πινακας που οριζεται απο την (6.31) ειναι ορθογ£ωνιοςκαι εχει µοναδιαια οριζουσα. Για να αποδειξετε το πρ£ωτο, αποδειξτε, ξεκιν£ωντας αποτο αναπτυγµα της εκθετικης συναρτησης που δινεται στο Πλαισιο 6.1 οτι, αν δυο πινακεςΑ ® , Α αντιµετατιθενται, δηλαδη αν Α ® Α o Α Α ® , τοτε)+*-, y Α ® r Α | o )+*-, y Α ® | )+*-, y Α | o )+*-, y Α | )+*-, y Α ® |ù¯Επειτα δειξτε οτι )+*-, y Α 8 | o y )+*-, y Α || 8 και οτι ο πινακας (6.33)εχει την ιδιοτητα Α 8 o² Α. Τελος, για να υπολογισετε την οριζουσα του (6.31), χρησιµοποιηστε την ταυτοτηταπου ισχυει για καθε πινακα (βλ. Μαθηµατικο Παραρτηµα)9 )+: y )+*-, y Α || o )+*-, y :<;=?>+) y Α ||/¯6.10 Συνθεση στροφ£ων

Ας εξετασουµε, τ£ωρα, τι συµ1αινει, οταν ο αξονας της στροφης αλλα-ζει συνεχ£ως. Παρατηρουµε οτι οι γεννητορες των στροφ£ων δεν αντιµε-τατιθενται µεταξυ τους, γεγονος απο το οποιο πηγαζει η ιδιοτητα της µηαντιµεταθετικοτητας των ιδιων των στροφ£ων. Οµεταθετης οποιουδηποτεζευγους γεννητορων στροφ£ων ικανοποιει τη σχεσηà

S 6 & S; á 8:6 ;:< S < & (6.39)

οπως µπορει κανεις ευκολα να δειξει. Η σχεση (6.30) µπορει ισοδυναµωςνα γραφει και ως I

R& 5IKJ - W [ S 1 R & 5 & (6.40)

αν θελουµε να χρησιµοποιησουµε το χρονο ως παραµετρο που καθοριζειτην εξελιξη της συνολικης στροφης. Ως

Wεχουµε ορισει τη στιγµιαια γω-

νιακη ταχυτητα της περιστροφηςW I IKJ Εαν η διευθυνση της γωνιακης ταχυτητας αλλαζει, τοτε η συνολικη στρο-φη του διανυσµατος θα ειναι η συνθεση των στροφ£ων οι οποιες πραγµα-τοποιηθηκαν στα ενδιαµεσα χρονικα διαστηµατα µε τη σωστη, οµως, χρο-νικη σειρα που πραγµατοποιηθηκαν αυτες. Οσυνολικος µετασχηµατισµοςστροφης µπορει να γραφει ωςΠεπερασµενη στροφη

= γινοµενο διαδοχικ£ων

απειροστ£ων στροφ£ωνR J LNMNO< RA@ àR J & J < R J < & J < (Ä [¬[¬[ R J ) & J (Ä R J ( & \ á & (6.41)

6.10. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΤΡΟΦΩΝ 173

οπου\ & J ( & J ) & Ç Ç & J < & J µια αυθαιρετη διαµεριση του χρονικου διαστη-

µατος à \ & J á σε ενδιαµεσα υποδιαστηµατα. Εαν ο αριθµος των υποδιαιρε-σεων του χρονικου διαστηµατος αυξηθει ετσι £ωστε

J 6 # J 6 (!$ \ για καθετιµη του bCB B & Z & Ç Ç &$Dâ&$D B ,14 τοτε η ολικη στροφη µπορει να θεωρηθειως γινοµενο των απειροστ£ων στροφ£ων

R J 6 & J 6 ( ð$#&%FE - W J 6 [ S 1 J 6 # J 6 (HGè

Ο υπολογισµος του παραπανω γινοµενου ειναι δυσχερης και συνηθως γι-νεται αριθµητικα. Ησειρα, οµως, µε την οποια πραγµατοποιουνται οι δια-δοχικες στροφες πρεπει να τηρηθει αυστηρα στον υπολογισµο της συνο-λικης στροφης, διοτι οι γεννητορες S 6 δεν µετατιθενται. Αυτο ειναι απο-τελεσµα του οτι για δυο πινακες A

&B που δεν αντιµετατιθενται, δηλαδηà

A&BáIY\

, ισχυει οτι 7 A Q 7 B Q 7KJ A L B M Q & (6.42)

οποτε η σειρα του πολλαπλασιασµου εχει σηµασια. Γι αυτο, εανà W J 6 [ S & W J 6 # B [ S áN\ &πραγµα που συµ1αινει οταν η γωνιακη ταχυτητα αλλαζει διευθυνση µε τοχρονο, η εκφραση (6.41) δεν ειναι ιση µε τηνð$#&% PO QT W <Q [ S I Q Εξαιρεση, βε1αιως, αποτελει η περιπτωση κατα την οποια η περιστροφηεκτελειται γυρω απο σταθερο αξονα , οποτε πραγµατι ισχυει

R J ð$#&% PO QT W <Q [ S I Q ð$#&% [ S O QT W <Q I Q

Ηεκφραση (6.41) της συνολικης στροφης, οταν ο αξονας περιστροφης αλ-λαζει, µπορει να γραφει συµ1ολικα ως

R J SRUT ð$#&% PO QT W <Q [ S I Q AV &

(6.43)

οπου οR ειναι ο επονοµαζοµενος τελεστης χρονικης διαταξης που δη-

λ£ωνει οτι στο αναπτυγµα της εκθετικης συναρτησης οι παραγοντες οποι-ουδηποτε γινοµενου πινακων πρεπει να διαταχθουν κατα χρονικη σειρα.Για παραδειγµα, εαν

J (CW J )XW J C, τοτεR E - W J ( [ S 1 - W J Cm [ S 1 - W J )m [ S 1YG E - W J Cm [ S 1 - W J )m [ S 1 - W J ( [ S 1YGè

14Θεωρησαµε για ευκολια οτι .[Z o § και . H\ ® o . .


Το ιδιο συµ1αινει και οταν εχουµε µεγαλυτερο αριθµο παραγοντων. Πρα-κτικα, βε1αια, για να υπολογισουµε την εκφραση (6.43), πρεπει να διαι-ρεσουµε το χρονικο διαστηµα σε µικρα υποδιαστηµατα σε1οµενοι τη χρο-νικη τους σειρα.Ισοδυναµως, η συνολικη στροφη ενος διανυσµατος µπορει να βρεθει

µε συνθεση απειροστ£ων στροφ£ων. Η στοιχει£ωδης µετα1ολη του διανυ-σµατος απο µια απειροστη στροφη ειναιI I [ S - W J [ S 1 IKJ & (6.44)

οπου η στιγµιαια γωνιακη ταχυτητα ειναι αυτη που ορισαµε παραπανω.Ετσι το τελικο διανυσµα θα δινεται απο την ακολουθη ολοκληρωτικη εξι-σωση : J \ RUT O QT - W <Q [ S 1 <Q I Q V (6.45)

Το συµ1ολοRεχει γραφει και παλι για να µας θυµιζει οτι κατα την ολο-

κληρωση η δραση των τελεστ£ων S 6 πρεπει να λαµ1ανεται µε τη σωστη χρο-νικη σειρα [ αυτο σηµαινει οτι παντοτε δρα πρ£ωτα ο προγενεστερος χρο-νικα τελεστης και υστερα ο µεταγενεστερος. Απο πρακτικης αποψης, ουπολογισµος του παραπανω ολοκληρ£ωµατος ειναι εν γενει δυσκολος, α-κρι1£ως εξαιτιας αυτης της χρονικης σειρας που πρεπει να τηρηθει. Η δυ-σκολια αυτη συνανταται συχνοτατα σε προ1ληµατα κ1αντοµηχανικης κα-θ£ως και σε προ1ληµατα εξελιξης των διαταραχ£ων σε χρονοεξαρτ£ωµενεςροες, οπως αυτες που συναντ£ωνται στην ατµοσφαιρα των ουρανιων σω-µατων, οπου η µη αντιµεταθετικοτητα των τελεστ£ων ειναι γενικο χαρα-κτηριστικο. Ειδικα οι πινακες S 6 που γραψαµε παραπανω βρισκονται σεπληρη αντιστοιχια (εχουν τις ιδιες αντιµεταθετικες ιδιοτητες) µε τους πι-νακες του Pauli που περιγραφουν την κ1αντοµηχανικη συµπεριφορα τουσπιν των ηλεκτρονιων.

Ασκηση 6.18. Αποδειξτε τη σχεση αντιµεταθεσης (6.39).ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκηση 6.19. Υπολογιστε το αθροισµα S í S í .Ασκηση 6.20. Με απευθειας αναπτυξη των εκθετικ£ων της σχεσης (6.42) µεχρι σε

δευτερη ταξη, δειξτε οτι πραγµατι δεν ισχυει η ισοτητα µεταξυ δεξιου και αριστερου σκε-λους της εν λογω σχεσης, αν ]A B ^`_o § .Ασκηση 6.21. Θεωρηστε τη µεταθεση ενος διανυσµατος κατα a µοναδες µηκους

στη κατευθυνση cb " o 5r aÔ . ∆ειξτε οτι ο γεννητορας αυτ£ων των µεταθεσεων ειναιο τελεστης ,» ´ .

6.11. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο 175

6.11 Στροφες και ορθογ£ωνιοι µετασχηµατισµοι

στο επιπεδο

Στα προηγουµενα εδαφια του παροντος κεφαλαιου µαθαµε π£ως νακατασκευαζουµε τους πινακες που προκαλουν στροφες ενος διανυσµα-τος. Θελουµε, τ£ωρα, να κατασκευασουµε το µετασχηµατισµο των συνι-στωσ£ων ενος διανυσµατος του επιπεδου σε στροφη του συστηµατος τωνσυντεταγµενων κατα γωνια

. Ο εν λογω µετασχηµατισµος (παθητικος)

ειναι ισοδυναµος µε την στροφη ενος οποιουδηποτε διανυσµατος (ενερ-γητικος µετασχηµατισµος) στο επιπεδο κατα γωνια # και επιτυγχανεταιµε τον πολλαπλασιασµο των πινακων ãqä ^ ^ MN_ # ^ MN_ ãqä ^ d

(6.46)

Οπινακας αυτος στροφης ευκολα κατασκευαζεται µε γεωµετρικο τρο-πο προ1αλλοντας ενα διανυσµα σε δυο συστηµατα συντεταγµενων, στραµ-µενα το ενα σε σχεση µε το αλλο κατα γωνια

.

Ασκηση 6.22. Θεωρηστε στις δυο διαστασεις δυο ορθογ£ωνια συστηµατα αξονων ΑΣΚΗΣΕΙΣπου αν και εχουν την ιδια αρχη τοενα προκυπτει απο το αλλο µε µια στροφη κατα γωνια . Τα διανυσµατα βασης του ενος συστηµατος ειναι ' ® , ' , εν£ω του αλλου ' ® , ' καιικανοποιουν τις σχεσεις ορθογωνιοτητας ' í2» ' o ' í » ' o í . Σχεδιαστε τα δυο αυτασυστηµατα και επαληθευστε τις σχεσεις ' ® » ' ® o ' » ' o >+e Ú , ' ® » ' o >+e Ú y ó £ t°r | o² ÚÛ Ü και ' ® » ' o >+e Ú y ó £ t ²' | o ÚÛ Ü . Αν γραψουµε τις συντεταγµενες καποιουδιανυσµατος f και στα δυο συστηµατα αξονων, θα ισχυει η ισοτητα f o ú ' ® reû ' o ú ' ® reû ' ¯Λαµ1ανοντας, τ£ωρα, διαδοχικα το εσωτερικο γινοµενο της παραπανω σχεσης µε το ' ®και το ' αποδειξτε οτι οι συντεταγµενες ενος διανυσµατος µετασχηµατιζονται µε τοµετασχηµατισµο (6.46).

Ας ξεχασουµε για λιγο το γεωµετρικο νοηµα του πινακα στροφης καιας προσπαθησουµε να κατασκευασουµε εναν τετοιο πινακα ξεκιν£ωνταςαπο τη βασικη του ιδιοτητα : το γεγονος οτι ο πινακας στροφης ειναι εναςπινακας που µετασχηµατιζει γραµµικαενα διανυσµα χωρις να µετα1αλλειτο µηκος του. Οι πινακες αυτοι, οπως µαθαµε, ονοµαζονται ορθογ£ωνιοι.Με αφετηρια αυτη την ιδιοτητα, θα λεγαµε οτι η γενικοτερη µορφη ενος Οι ορθογ£ωνιοι


διατηρουν το µετρο

ορθογ£ωνιου πινακα σε ενα χ£ωρο δυο διαστασεων θα ηταν

O g h &

µε παραµετρους & & &d τετοιες£ωστε, αν πολλαπλασιαζαµε µε αυτον τον

πινακα ενα οποιοδηποτε διανυσµα, το µετρο του διανυσµατος να µενειαµετα1λητο. Αυτο σηµαινει οτι για καθε διανυσµα

θα ισχυει ) ) &


η ισοδυναµως ) ) ) ) (6.47)

Αναπτυσσοντας την (6.47), συναγουµε οτι για καθε και θα πρεπει ναισχυει ) ) ) ) ) ) ) ) Z `και, για να ισχυει αυτη η σχεση για καθε διανυσµα, θα πρεπει τα στοιχειατου µετασχηµατισµου να ικανοποιουν τις σχεσεις ) ) B & ) ) B & \ (6.48)

Οι τρεις αυτες σχεσεις περιοριζουν τις ανεξαρτητες παραµετρους του πι-νακα απο τεσσερις σε µια.15 Χωρις βλα1η της γενικοτητας θεωρουµε οτι ãqä ^ ,16 οποτε υπαρχουν τεσσερις πινακες που µπορουµε να κατα-σκευασουµε και οι οποιοι ικανοποιουν τις σχεσεις (6.48) [ οι ακολουθοι :

O( ãqä ^ ^ MN_ ^ MN_ #¦ãqä ^ d & O

) ãqä ^ # ^ MN_ # ^ MN_ #¦ãqä ^ i &OC ãqä ^ ^ MN_ # ^ MN_ ãqä ^ d & O 4 ãqä ^ # ^ MN_ ^ MN_ ãqä ^ j

(6.49)

Απο τους τεσσερις αυτους πινακες οι δυο τελευταιοι προκαλουν µια στρο-φη του διανυσµατος κατα γωνια

ειτε µε ενεργητικο τροπο (πινακαςO 4 )

στρι1οντας το διανυσµα αντιθετα µε τη φορα των δεικτ£ων του ρολογιου,αλλα αφηνοντας τους αξονες του συστηµατος αναφορας ιδιους, ειτε µεπαθητικο τροπο (πινακας O C ), αφηνοντας απειραχτο το διανυσµα, αλλαστρεφοντας τους αξονες κατα γωνια

και παλι αντιθετα µε τη φορα των

δεικτ£ων του ρολογιου. Προφαν£ως, οι δυο αυτοι πινακες µετατρεπονταιο ενας στον αλλο, αν η γωνια

αλλαξει προσηµο, αφου η ενεργητικη και

η παθητικη στροφη εχουν αντιθετο αποτελεσµα σε σχεση µε την κινησητου διανυσµατος ως προς το συστηµα των αξονων. Οι δυο αλλοι πινα-κες εχουν πολυ πιο περιεργη συµπεριφορα : εκτελουν κατοπτρισµους τουδιανυσµατος ως προς τον αξονα και στη συνεχεια στρι1ουν το διανυ-σµα κατα γωνια

, ειτε ενεργητικα (πινακας O ( ), ειτε παθητικα (πινακας

15Γενικοτερα, σε ενα χ£ωρο k διαστασεων, το πληθος των σχεσεων που σχετιζονται µετην αναλλοιοτητα του µηκους του διανυσµατος ειναι k απο τα τετραγωνα των συνιστω-σ£ων και lnm Ko απο τα δυνατα µικτα γινοµενα των συνιστωσ£ων. Ετσι, απο τις k παραµε-τρους του πινακα, ανεξαρτητες ειναι µονο οι k ²Nk'²Nk y kw² © | £ t o k y kw² © | £ t . Στηνειδικη περιπτωση του δισδιαστατου χ£ωρου υπαρχει µονο µια ανεξαρτητη παραµετρος,στον τρισδιαστατο χ£ωρο οι ανεξαρτητες παραµετροι ειναι τρεις, οι τρεις γωνιεςEulerπουχαρακτηριζουν την πιο γενικη στροφη, εν£ω για τον τετραδιαστατο χ£ωρο χρειαζονται 6αντιστοιχες γωνιες για τον προσδιορισµο της γενικης στροφης.

16Αν ηταν a o >+e Ú y r KZ | , η επιπλεον φαση KZ θα εµφανιζοταν σε ολα τα στοιχειατων πινακων χωρις οµως να αλλαζει τη µορφη τους. Η υπαρξη µιας τετοιας γωνιας KZθα σηµαινε απλ£ως αλλη αρχη µετρησης της γωνιας στροφης.

6.11. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο 177

Σχηµα 6.9: (α) Παθητικος τροπος στροφης. Το συστηµα αξονων στρεφεται (στο σχηµααριστεροστροφα, κατα γωνια ), εν£ω το διανυσµα ²×OA παραµενει στη θεση του. Οι συ-ντεταγµενες του

²×OA στο νεο συστηµα αναφορας

yÙú Nû¬å| βρισκονται, αν πολλαπλασια-στουν οι συντεταγµενες του

²×OA στο αρχικο συστηµα αναφορας

yÙú û°| µε τον πινακαO 2 .(β)Ενεργητικος τροπος στροφης. Το συστηµα των αξονωνπαραµενει το ιδιο, αλλα τ£ωραστρεφουµε το διανυσµα

²×OA κατα γωνια . Οι συντεταγµενες του στραµµενου διανυσµα-

τος²×OA προσδιοριζονται, ανπολλαπλασιαστουν οι συντεταγµενες του ²×OA µε τον πινακα

O .O)). Ο κατοπτρισµος ειναι ενας αλλος τροπος γραµµικου µετασχηµατι-

σµου των διανυσµατων, διαφορετικος απο τη στροφη, που επιτρεπει ναπαραµεινει το µηκος του διανυσµατος αναλλοιωτο. Κοιτ£ωντας τον εαυτοµας σε ενα καθρεφτη διαπιστ£ωνουµε οτι αν και το το ειδωλο µας ειναι τε-λειο αντιγραφο του εαυτου µας, η καρδια του ειδ£ωλου µας βρισκεται πα-ντοτε στη δεξια πλευρα του, αλλα εµεις οπως και αν στραφουµε δεν προ-κειται ποτε να εχουµε την καρδια µας στη δεξια πλευρα. Ειδικοτερα, οιδυο αυτοι πινακες, σε αντιθεση µε τους αλλους δυο, εχουν την ιδιοτητα ναµην εµπεριεχουν το µοναδιαιο πινακα. Οι πινακες τυπου O C η O 4 αποτε-λουν µια υποοµαδα της οµαδας Z των ορθογ£ωνιων πινακων στις δυοδιαστασεις, εν£ω οι O ( & O ) δεν αποτελουν υποοµαδα, αφου δεν εµπεριε-χουν το ουδετερο στοιχειο του µετασχηµατισµου, το µοναδιαιο µετασχη-µατισµο. Η υποοµαδα των O C , O 4 αποτελειται απο πινακες µε οριζουσα B 17 και καλειται Z , η απλ£ως οµαδα των στροφ£ων στις δυο διαστα-σεις.

Η οµαδα των στροφ£ων στις δυο διαστασεις ειναι α1ελιανη,18 δηλαδη ησειρα µε την οποια εκτελουνται οι στροφες δεν εχει σηµασια. Αυτο, οµως,οπως ειπαµε, δεν ισχυει σε περισσοτερες διαστασεις. Για παραδειγµα στιςτρεις διαστασεις, οπως ειδαµε, δυο διαδοχικες στροφες γυρω απο µη κοι-νους αξονες δεν καταληγουν σε ιδιο αποτελεσµα, αν εκτελεστουν µε δια-φορετικη σειρα. Απο µαθηµατικη σκοπια η ιδιοτητα της µη αντιµεταθε-τικοτητας των στροφ£ων ειναι ο λογος για τον οποιο µια περιστρεφοµενησ1ουρα δεν πεφτει, οταν ο αξονας της ειναι κεκλιµενος, αλλα εκτελει µε-

17Οι αλλοι πινακες εχουν οριζουσα ² © και γι´ αυτο δεν µπορουν να γινουν ποτε ισοιµε το µοναδιαιο πινακα, ο οποιος εχει οριζουσα r © .

18Συν£ωνυµο του “αντιµεταθετικη” προς τιµην του νορ1ηγου µαθηµατικου Niels Hen-rik Abel [1802-1829].


ταπτωση γυρω απο κατακορυφο αξονα.

Ασκηση 6.23. ∆ειξτε οτι O 2 y ® | O 2 y | o O 2 y | O 2 y ® | .ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκηση 6.24. Σχεδιαστε τη δραση των πινακων O ® και O , και επι1ε1αι£ωστε οτιαυτοι µπορουν να ερµηνευθουν αντιστοιχα ως ενεργητικοι και παθητικοι µετασχηµατι-σµοι στροφης που επονται καποιου κατοπτρισµου.

6.12 Απο τις στροφες στο χ£ωρο στις στροφες

στο χωροχρονο

Η µορφη των ορθογ£ωνιων πινακων που µελετησαµε στο προηγουµενοεδαφιο ειναι αµεσα συνδεδεµενη µε το ειδος του µετρου που εχουµε ορισειγια τα διανυσµατα του ευκλειδειου επιπεδου. Ας δοκιµασουµε, λοιπον,ωθουµενοι απο µαθηµατικη περιεργεια προς το παρον, να κατασκευα-σουµε ενα αλλο ειδος µετρου για τα διανυσµατα του επιπεδου

[p& 19

ακολουθ£ωντας την εξης διγραµµικη συνταγη :Ενα περιεργο µετρο q q ) # p ) ) (6.50)

Στην παραπανω σχεση χρησιµοποιησαµε το νεο συµ1ολισµο

q Ç Ç q για ναυποδηλ£ωσουµε το νεο αυτο ειδος µετρου. Το µετρο αυτο εχει µια ιδιο-µορφη ιδιοτητα που δεν εχει το κλασικο ευκλειδειο µετρο. Συγκεκριµενα,το νεο µετρο ενδεχεται να ειναι µηδεν ακοµη και για µη µηδενικα διανυ-σµατα, οπως για παραδειγµα το διανυσµα

B & B .Στο χ£ωρο µε το περιεργο αυτο µετρο ποιοι θα ηταν αραγε οι πινακεςστροφης, οι πινακες δηλαδη που δρ£ωντας γραµµικα στα διανυσµατα αυ-του του χ£ωρου θα αφηναν αναλλοιωτο το µηκος αυτ£ων; ∆οκιµαζονταςτην προηγουµενη µεθοδο κατασκευης των ορθογ£ωνιων πινακων, θα κα-θορισουµε τις τεσσερις παραµετρους του πινακα

L &

για τον οποιο θα ισχυει επισης οτι για καθε διανυσµαq q ) q q ) &(6.51)

δηλαδη,# p ) ) # p ) p ) # ) ) p ) # ) ) ) Z # p &19Αλλαξαµε την ονοµασια των συντεταγµενων αφενος επειδη θελουµε να αποφυ-

γουµε τη συγχυση µε τα διανυσµατα του ευκλειδειου επιπεδου και αφετερου επειδη,οταν αργοτερα αναφερθουµε στο χωροχρονο τουMinkowski, οι συντεταγµενες αυτες θααποκτησουν φυσικο νοηµα, η µια θα παιξει το ρολο του χρονου και η αλλη του χ£ωρου.

6.12. ΣΤΡΟΦΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ 179

οποτε τα στοιχεια του µετασχηµατισµου πρεπει να ικανοποιουν τις ακο-λουθες σχεσεις : # ) ) B &# ) ) B &# Y\ (6.52)

Ειναι ευκολο να διαπιστ£ωσουµε οτι υπαρχουν τεσσερα ειδη πινακων, οιοποιοι ειναι παροµοιοι µε τουςO ( & O ) & O C & O 4 και οι παραµετροι τους ικα-νοποιουν τις παραπανω σχεσεις. Η µονη διαφορα ειναι οτι τα συνηµιτονακαι τα ηµιτονα πρεπει να αντικατασταθουν απο υπερ1ολικα συνηµιτονακαι ηµιτονα20 και τα προσηµα τους ειναι ελαφρ£ως παραλλαγµενα. Οι πι-νακες αυτοι ειναι οι εξης : Οι “ορθογ£ωνιοι”


του νεου χ£ωρουL( ãqä ^sr ^ MN_ r # ^ MN_ r #¦ãqä ^sr d &

L) ãqä ^sr # ^ MN_ r ^ MN_ r #¦ãqä ^sr i &

LC ãqä ^sr ^ MN_ r ^ MN_ r ãqä ^sr d &

L 4 ãqä ^sr # ^ MN_ r # ^ MN_ r ãqä ^sr j (6.53)Οπως και µε τους ορθογ£ωνιους πινακες O, οι L C & L 4 αντιστοιχουν σε“στροφες” αντιθετης µεταξυ τους φορας, εν£ω οι L ( & L ) που εχουν οριζου-σα # B αντιστοιχουν σε ιδιου τυπου στροφες οπως οι L C & L 4 , αλλα µε κα-τοπτρισµο στη δευτερη συντεταγµενη των διανυσµατων . Και στην περι-πτωση αυτη οι αµιγεις “στροφες” τυπου L C η L 4 , µε οριζουσα B αποτε-λουν υποοµαδα των γενικοτερων “στροφ£ων” του νεου αυτου χ£ωρου. Στοεξης θα χρησιµοποιουµε µονο τον πινακα L 4 (ενεργητικος µετασχηµατι-σµος), αφου ο L C αντιστοιχει σε αντιθετη γωνια (παθητικος µετασχηµατι-σµος), εν£ω οι L ( & L ) δεν περιλαµ1ανουν το µοναδιαιο πινακα που αφηνειτα διανυσµατα ανεπαφα.21 Για να αποφυγουµε την ασκοπη χρηση δει-κτ£ων και το ενδεχοµενο να προκληθει συγχυση µε τους δεικτες των στοι-χειων του πινακα, θα ονοµαζουµε στο εξης αυτον τον πινακα απλ£ως L.

Ασκηση 6.25. Αποδειξτε οτι οι πινακες τυπου L 2 αποτελουν α1ελιανη οµαδα. ∆η- ΑΣΚΗΣΕΙΣλαδη δειξτε οτι: (α) L 2 y Ø ® | L 2 y Ø | o L 2 y Ø | L 2 y Ø ® | o L 2 y Ø ® r Ø | . (β) Υπαρχει εναςουδετερος πινακας L 2 y ØZ | τετοιος £ωστε για καθε L 2 y Ø | , L 2 y Ø | L 2 y ØZ | o L 2 y ØZ | L 2 y Ø | oL 2 y Ø | . Ποιο ειναι το ØZ ; (γ)Για καθε L 2 y Ø | υπαρχει εναL 2 y Ø =| τετοιο£ωστε L 2 y Ø | L 2 y Ø å| oL 2 y Ø =| L 2 y Ø | o L 2 y ØZ | . Ποιο ειναι το αντιστοιχο Ø για το καθε Ø ;Το γεγονος οτι οι συναρτησεις ãqä ^sr και ^ MN_ r δεν ειναι φραγµενες,

αλλα συµπεριφερονται, τουλαχιστον για µεγαλα ορισµατα, οπως η εκθε-

20Αν η διαφορα των τετραγ£ωνων δυο πραγµατικ£ων αριθµ£ων ισουται µε 1, τοτε µπο-ρουµε να γραψουµε τον ενα ως >+e Úut Ø και τον αλλο ως ÚÛ Üvt Ø .

21Ο λογος που θελουµε να εµπεριεχεται ο ταυτοτικος πινακας στους πινακες που χρη-σιµοποιουµε ειναι για να µπορουµε µε συνεχη τροπο να “στρι1ουµε” τα διανυσµατα µας,ξεκιν£ωντας απο τη µηδενικη “στροφη”.


τικη συναρτηση εχει ως αποτελεσµα το “µηκος” του διανυσµατος, σχεδια-σµενο στο χαρτι, σε ενα ευκλειδειο δηλαδη επιπεδο, υστερα απο το µετα-σχηµατισµο που επιφερει ο L οχι απλ£ως να µην ειναι σταθερο αλλα και ναµεγαλ£ωνει µε εκθετικο µαλιστα τροπο καθ£ως αυξανεται η γωνια

. Συµ-

φωνα, οµως, µε το µετρο που εµεις εχουµε ορισει για αυτο το χ£ωρο, τοµηκος του διανυσµατος δεν µετα1αλλεται. Ωστοσο, το “µηκος” που µε-τρουµε εµεις στο χαρτι

[p ) ) (<w ) δεν ειναι αυτο που θεωρησαµε ως µη-κος του διανυσµατος.Στη µορφη των πινακων της (6.53) θα µπορουσαµε να ειχαµε καταλη-

ξει χρησιµοποι£ωντας τους ορθογ£ωνιους πινακες της (6.49), αν εµµεναµεστο ευκλειδειο µετρο και αλλαζαµε τις συνιστ£ωσες του διανυσµατος απο[p& σε yx[p& . Σε αυτη την περιπτωση, οµως, η γωνια που υπεισερχεταιστα ãqä ^ και ^ MN_ των ορθογ£ωνιων πινακων πρεπει να ειναι καθαρα φα-νταστικη. Η παρατηρηση αυτη µας οδηγει ακρι1£ως στους πινακες L πουορισαµε παραπανω (βλ. Ασκηση 6.26).

Ασκηση 6.26. Ξεκιν£ωντας απο τον πινακα O και θεωρ£ωντας διανυσµατα µε κα-ΑΣΚΗΣΕΙΣθαρα φανταστικη πρ£ωτη συνιστ£ωσα, δειξτε οτι, αν θεωρησει κανεις καθαρα φανταστικηγωνια στον πινακα O , τοτε επερχεται ισορροπια µεταξυ φανταστικ£ων και πραγµατι-κ£ων µεγεθ£ων στις σχεσεις µετασχηµατισµου ενος διανυσµατος µε ευκλειδεια στροφη

»δη-

λαδη, η πρ£ωτη συνιστ£ωσα του διανυσµατος προ και µετα το µετασχηµατισµο ειναι φα-νταστικη, εν£ω η δευτερη ειναι πραγµατικη. Υπολογιζοντας στη συνεχεια τα ηµιτονα καιτα συνηµιτονα φανταστικης γωνιας (µετατρεπονται σε υπερ1ολικα ηµιτονα και συνηµι-τονα), δειξτε οτι οι σχεσεις µετασχηµατισµου για τα z ú ειναι αυτες που δινονται απευ-θειας µεσω του πινακα L .Ας υποθεσουµε, στη συνεχεια, οτι ο περιεργος αυτος µετασχηµατισµος

στροφης p p ãqä ^sr # ,^ MN_ r (6.54) ãqä ^sr # p ^ MN_ r k& (6.55)

ειναι τετοιος, £ωστε η γωνια του µετασχηµατισµουνα ειναι παρα πολυ

µικρη και ταυτοχρονα να υπαρχει µια πολυ µεγαλης τιµης σταθερα Ñ τε-τοια £ωστε το

Ñ να ειναι ταξης µοναδας. Αν διαιρεσουµε την (6.54) µετη σταθερα Ñ και ξαναγραψουµε τις σχεσεις µετασχηµατισµου, οριζονταςµια νεα συντεταγµενη

J % p Ñ και J % p Ñ, θα καταληξουµε στις ακο-

λουθες πολυ γν£ωριµες προσεγγιστικες σχεσειςΜα ... αυτος ειναι

ο γαλιλαι°κος

µετασχηµατισµος

J J| B 4 ) ì á# à 4 ÑqáY J (6.56) B 4 ) H~0# J Ñ 4 Ñ C H~X # Ñ J (6.57)

Αγνο£ωντας22 τους ορους ταξης ), Ñ

, C Ñ

, διαπιστ£ωνουµε οτι οι σχεσειςαυτες εκφραζουν εναν γαλιλαι°κο µετασχηµατισµο µε ταχυτητα Ñ &

(6.58)

22Και οι τρεις ειναι οροι ταξης Ø απο τη στιγµη που θεωρουµε οτι το Ø É ειναι ταξηςµοναδας.


στην περιορισµενη περιπτωση ενος µονοδιαστατου κοσµου. Ο ιδιοµορ-φος, λοιπον, αυτος χ£ωρος θα µπορουσε να ειναι ο χωροχρονος η πιο σω-στα η περιορισµενη του µορφη µε µια χωρικη διασταση, εν£ω οι στροφεςδεν θα ηταν τιποτε αλλο παρα οι γαλιλαι°κοι –κατα προσεγγιση– µετα-σχηµατισµοι. Τα διανυσµατα που θεωρησαµε θα ειχαν τη µορφη Ñ J & & (6.59)

οπου , J ειναι η χωρικη και η χρονικη θεση, αντιστοιχα, ενος γεγονοτος,εν£ω η “γωνια στροφης” θα ηταν Η µετα1αση σε αλλο

συστηµα αναφορας

ειναι µια στροφη στον

περιεργο αυτο χ£ωρο

Ñ 4 C &οπου ειναι η ταχυτητα του νεου συστηµατος αναφορας σε σχεση µε τοπαλαιο. Και η σταθερα Ñ ; Ποια ειναι η φυσικη της σηµασια; Προκειταιπροφαν£ως για µια ποσοτητα µε διαστασεις ταχυτητας, αφου η

ειναι αδια-

στατη ποσοτητα. Για να εξετασουµε το ρολο αυτης της ποσοτητας, αςεπανελθουµε στον ορισµο του µετρου του διανυσµατος µε το οποιο ξεκι-νησαµε ολη τη συζητηση για τον ιδιοµορφο αυτο χ£ωρο. Ενα διανυσµαµε µηδενικο µετρο, θα µετασχηµατιστει σε διανυσµα και παλι µηδενικουµετρου. Βασει αυτης της ιδιοτητας εξαλλου κατασκευαστηκε ο µετασχη-µατισµος L. Ετσι, αν σε καποιο αδρανειακο συστηµα αναφορας ισχυειοτι Ñ J &σε οποιοδηποτε αλλο αδρανειακο συστηµα θα ισχυει επισης οτι Ñ J Με αλλα λογια κατι που κινειται µε ταχυτητα Ñ στο ενα συστηµα θα κινει-ται µε ταχυτητα Ñ και στο αλλο συστηµα. Η τελευταια αυτη διαπιστωση ει-ναι φυσικα απαραδεκτη, υπο τη γαλιλαι°κηεννοια της κινησης, αλλα απο-λυτα συµφωνη µε τα πειραµατα που εγιναν το 1887απο τους αµερικανουςεπιστηµονες Albert Abraham Michelson [1852-1931] και Edward WilliamsMorley [1838-1923] οσον αφορα στο αναλλοιωτο της ταχυτητας διαδοσηςτου φωτος, καθ£ως επισης και µε τη θεωρητικη προ1λεψη των εξισ£ωσεωντουMaxwell συµφωνα µε την οποια τα ηλεκτροµαγνητικα κυµατα διαδι-δονται µε µια παγκοσµια ταχυτητα ανεξαρτητη απο το συστηµα αναφο-ρας. Θα ηταν, λοιπον, λογικο να θεωρησουµε οτι η σταθερα Ñ που χρησι-µοποιησαµε παραπανω δεν ειναι αλλη απο την ταχυτητα του φωτος καιτο διανυσµα µηδενικου µηκους ειναι αυτο που διανυει το φως µεσα στοχωροχρονο, λαµ1ανοντας ως χρονικη συντεταγµενη του διανυσµατος τηναποσταση φωτος Ñ J που αντιστοιχει στο χρονο κινησης του φωτος.Π£ως µπορουµε, οµως, να συµ1ι1ασουµε τη γαλιλαι°κη µας καθηµερινη

εµπειρια µε την παγκοσµιοτητα της ταχυτητας του φωτος;Απλ£ως, θα πρε-πει να δεχτουµε και να επι1ε1αι£ωσουµε µε καταλληλα πειραµατα οτι οσωστος µετασχηµατισµος προ£ωθησης23 απο ενα αδρανειακο συστηµα σε

23Ετσι ονοµαζεται ο µετασχηµατισµος των χωροχρονικ£ων συντεταγµενων απο ενααδρανειακο συστηµα αναφορας σε ενα αλλο (στα αγγλικα boost). Ο γαλιλαι°κος µετα-σχηµατισµος υπο αυτη την εννοια ειναι ενας ασυµµετρος µετασχηµατισµος προ£ωθησηςαφου δεν τροποποιει τη χρονικη συντεταγµενη.


ενα αλλο ειναι ο L, ο οποιος για τις ταχυτητες της καθηµερινης µας εµπει-ριας ειναι ταυτοσηµος, τουλαχιστον µε ακρι1εια ταξης

), δηλαδη

Ñq ),

µε το γαλιλαι°κο µετασχηµατισµο.Ας ξαναγραψουµε, τ£ωρα, το γενικο µετασχηµατισµο, που καλειται µε-

τασχηµατισµος Lorentz,24Οι µετασχηµατισµοι

Lorentz ως επεκταση

των γαλιλαι°κ£ων

µετασχηµατισµ£ων

J ãqä ^sr - J # Ñ ñ _ r 1 & (6.60) ãqä ^sr #çÑ Jñ _ r 3 (6.61)

Εχουµε ηδη αναφερει οτιñ _ r Ñ

, οταν η ταχυτητα µε τηνοποια κινειται το τονουµενο συστηµα ως προς το ατονο ειναι Ñ B .Ας θεωρησουµε, τ£ωρα, εναν παρατηρητη που βρισκεται στην αρχη τωναξονων του τονουµενου συστηµατος που κινειται µε σταθερη ταχυτητα ως προς το ατονο. Οι συντεταγµενες της θεσης αυτου του παρατηρητηθα ειναι ô\ ως προς το τονουµενο συστηµα και J ως προς τοατονο συστηµα αναφορας. Εποµενως, απο την (6.61) καταληγουµε στοσυµπερασµα οτι, για να ειναι συνεπης ο µετασχηµατισµος αυτος µε τηνκινηµατικη ερµηνεια που του αποδιδουµε, θα πρεπει να ισχυειñ _ r Ñ (6.62)

Ησυσχετιση της παραµετρουµε την ταχυτητα του ενος συστηµατος ανα-

φορας ως προς το αλλο οδηγει σε ενα σηµαντικο συµπερασµα. Επειδη ησυναρτηση

ñ _ r ειναι φραγµενη ( # B ñ _ r ÕB ), τοτε και η Ñ ειναιφραγµενη, που σηµαινει οτι δεν ειναι δυνατον η ταχυτητα να υπερ1ει τησταθερη ταχυτητα Ñ .25 Κατοπιν αυτης της αντιστοιχισης µεταξυ γωνιαςκαι ταχυτητας, ο µετασχηµατισµος Lorentz µπορει να γραφει µε φυσικεςµετα1λητες και να ελεγχθει πειραµατικα µε τη µελετη της κινηµατικης συ-µπεριφορας στοιχειωδ£ων σωµατιδιων που κινουνται µε ταχυτητες παρα-πλησιες µε αυτη του φωτος µεσα σε επιταχυντες.Ετσι, εφοσον ισχυει η (6.62) ειναιãqä ^sr B B # Ñq ) (6.63)

24Ανκαι οι φερ£ωνυµοι µετασχηµατισµοι πρωτοχρησιµοποιηθηκαν το 1895απο τον ολ-λανδο φυσικο Hendrik Antoon Lorentz [1853-1928] και το 1892 απο τον ιρλανδο φυσικοGeorge Francis FitzGerald [1851-1901] πριν απο τη διατυπωση της ειδικης θεωριας τηςσχετικοτητας, προκειµενου να εξηγησουν τα αποτελεσµατα του πειραµατος Michelson-Morley και να συµ1ι1ασουν καπως τεχνητα τον ηλεκτροµαγνητισµο µε τη νευτ£ωνεια µη-χανικη, κατασκευαστηκαν για πρ£ωτη φορα απο πρ£ωτες αρχες το 1905 απο τον Einsteinµε το σηµερινο τους χωροχρονικο περιεχοµενο. Οι µετασχηµατισµοι αυτοι, ελαφρ£ωςπαραλλαγµενοι, πρωτοχρησιµοποιηθηκαν ακοµη νωριτερα, το 1887, απο τονWoldemarVoigt [1850-1919]ως µαθηµατικοι µετασχηµατισµοι που διατηρουν αναλλοιωτη την τα-χυτητα µιας κυµατικης εξισωσης. Επισης, το 1906 ο γαλλος µαθηµατικος Henri Poincare

[1854-1912], µελετ£ωντας ανεξαρτητα απο τον Einstein, την κινηση των ηλεκτρονιων κα-τεληξε στον µετασχηµατισµο Lorentz και στα περισσοτερα στοιχεια της Ειδικης Θεωριαςτης Σχετικοτητας.

25Αν η ταχυτητα ενος συστηµατος αναφορας υπερε1αινε αυτην του φωτος, θα µπο-ρουσαµε βασει της σχεσης (6.60) να αντιστρεψουµε τη χρονικη σειρα αιτιου και αποτε-λεσµατος, θετοντας σε αµφισ1ητηση την αρχη της αιτιοτητας που αποτελει θεµελι£ωδηαρχη της φυσικης επιστηµης.


και ο µετασχηµατισµος Lorentz λαµ1ανει τη µορφηJ B B # Ñq ) - J # Ñ ) 1 & (6.64)

B B # Ñq ) # J (6.65)

Εχοντας κατασκευασει το σωστο µετασχηµατισµο προ£ωθησης για ε-ναν µονοδιαστατο χωρικα κοσµο, θα επικαλεστουµε τ£ωρα την ισοτροπιατου τρισδιατατου χ£ωρου (του χωρικου µερους του χωροχρονου) για ναεπεκτεινουµε τον παραπανω µετασχηµατισµο στον τετραδιαστατο χωρο-χρονο. Αυτο που πρεπει να µενει αναλλοιωτο ειναι η ποσοτητα# Ñ J ) ) ) ) &αν χρησιµοποιησουµε καρτεσιανες συντεταγµενες για την περιγραφη τουτρισδιαστατου χ£ωρου. Ταυτοχρονα, αφου ο µετασχηµατισµος που κα-τασκευασαµε (σχεσεις (6.64) και (6.65)), θεωρ£ωντας οτι η σχετικη κινησητων συστηµατων αναφορας συµ1αινει κατα τον αξονα , διατηρει αναλ-λοιωτη την ποσοτητα # Ñ J ) ) &οι συντεταγµενες και δεν πρεπει να αλλαζουν καθολου, διοτι, αν αλλα-ζαν, λογω της ισοτροπιας στο επιπεδο το καθετο στη διευθυνση της σχετι-κης κινησης των δυο συστηµατων,26 θα αλλαζαν και οι δυο ακρι1£ως κατατον ιδιο τροπο. Ο µοναδικος επιτρεπτος µετασχηµατισµος για τα και, £ωστε να διτηρειται αναλλοιωτο το ) ) ειναι ενας µετασχηµατισµοςστροφης του επιπεδου # , ο οποιος θα εξαρταται απο τη σχετικη ταχυ-τητα κινησης των δυο συστηµατων. Κατι τετοιο, οµως, θα παρα1ιαζε καιπαλι την ισοτροπια του χ£ωρου, αφου καποια ταχυτητα κατα τον αξονα θα εστρεφε το επιπεδο # ειτε δεξιοστροφα ειτε αριστεροστροφα, επο-µενως ουτε και αυτος ο µετασχηµατισµος ειναι επιτρεπτος. Τα και τα ,λοιπον, θα πρεπει να παραµενουν αµετα1λητα & Εποµενως, η κατασκευη του γενικου µετασχηµατισµου προ£ωθησης (στηνπεριπτωση που η σχετικη κινηση των δυο συστηµατων αναφορας πραγ-µατοποιουταν κατα µηκος των αξονων , ) θα ηταν δυνατη µεσω τηςδρασης του πινακα

L ?A

( ( J w Mn w ( J w M \ \ w ( J w Mn ( ( J w M \ \\ \ B \\ \ \ BDE &

(6.66)

26∆εν υπαρχει καµια προεξαρχουσα διευθυνση σε αυτο το επιπεδο.


στο µονοστηλο διανυσµα ?A Ñ J DE

Οι ορθογ£ωνιοι πινακες στροφης27 που ειδαµε στην αρχη του παροντοςεδαφιου θα µπορουσαν να χρησιµοποιηθουν για την κατασκευη του αντι-στοιχου µετασχηµατισµου, αν η σχετικη κινηση δεν πραγµατοποιουτανκατα τον αξονα αλλα κατα µηκος καποιου αλλου αξονα.Ασκηση 6.27. (α)Γραψτε τον πινακαµετασχηµατισµου προ£ωθησης κατα τον αξοναΑΣΚΗΣΕΙΣ û

. (β) Επι1ε1αι£ωστε το αποτελεσµα σας ακολουθ£ωντας την εξης πορεια: στριψτε αρ-χικα τις χωρικες συντεταγµενες ετσι£ωστε ο αξονας û να συµπεσει µε τον αξονα ú . Εφαρ-µοστε κατοπιν το µετασχηµατισµο προ£ωθησης της σχεσης (6.66), και τελος ξαναστριψτεαντιστροφα τις τελικες χωρικες συντεταγµενες£ωστε ο αξονας

ú να ξανασυµπεσει µε τονú. Ειναι ο τελικος µετασχηµατισµος αυτος που γραψατε αρχικα; Αν ναι, τοτε εκτελεσατετις πραξεις σωστα!

Στη συνεχεια θα εξετασουµε τη διαδοχικη δραση µετασχηµατισµ£ωνLorentz σε µη παραλληλους αξονες κατ αντιστοιχια µε τους ορθογ£ωνιουςµετασχηµατισµους στροφης σε µη παραλληλους αξονες. Προκειµενου νααπλοποιησουµε τους υπολογισµους, θα θεωρησουµε τεσσερις µετασχηµα-τισµουςLorentzπου εκτελουνται σε καθετες διευθυνσεις ο καθενας σε σχε-Οι προωθησεις σε

διαφορετικους

αξονες δεν

µετατιθενται

ση µε τον προηγουµενο, αλλα µε την ιδια µικρη ταχυτητα . Θεωρουµε,λοιπον, το µετασχηµατισµο

L #X L #X L L & (6.67)

ο οποιος αποτελειται απο µια προ£ωθηση µε ταχυτητα κατα τον αξονα που ακολουθειται απο µια ιδιου µετρου προ£ωθηση κατα τον αξονα καιεπειτα διαδοχικα απο προωθησεις µε ταχυτητα #X στους αξονες και .Αναπτυσσοντας τους αντιστοιχους πινακες µετασχηµατισµου και κρατ£ω-

27Στον τετραδιαστατο χ£ωρο µπορουµε να εκτελεσουµε εξι ανεξαρτητες στροφες :τρεις προωθησεις και τρεις στροφες των χωρικ£ων αξονων. Γενικα, σε ενα χ£ωρο k δια-στασεων δεν εχει νοηµα να µιλαµε για στροφη γυρω απο καποιον αξονα, οπως συνηθι-σαµε να κανουµε στην περιπτωση του τρισδιαστατου χ£ωρου. Οι στροφες νοουνται πα-ντα ως στροφες ενος επιπεδου. Εποµενως, οι δυνατες στροφες ειναι τοσες οσα τα διαφο-ρετικα επιπεδα, δηλαδη lnm o . Απλ£ως, συµπτωµατικα, στο χ£ωρο των τρι£ων διαστασεωνοι δυνατες στροφες ειναι τοσες οσοι και οι καθετοι µεταξυ τους αξονες

»γι αυτο το λογο,

εξαλλου, παρασυροµαστε και χρησιµοποιουµε συχνα την εννοια της στροφης γυρω αποκαποιον αξονα.


ντας ορους µεχρι ταξης Ñq ) λαµ1ανουµε

L î ?A B () Ñq ) Ñq \ \ Ñq B () Ñq ) \ \\ \ B \\ \ \ B

D E &(6.68)

L î ?A B () Ñq ) \ Ñq \\ B \ \ Ñq \ B () Ñq ) \\ \ \ B

D E (6.69)

Πολλαπλασιαζοντας τους πινακες αυτους µε τη σειρα που εµφανιζονταιστη σχεση (6.67), καταληγουµε στο ακολουθο µη µοναδιαιο αποτελεσµα?A B \ \ \\ B # Ñq ) \\ Ñq ) B \\ \ \ B

D E 4 ê Ñq C ì Η µη αντιµεταθετικοτητα των µετασχηµατισµ£ων Lorentz σε τυχαιες κα-τευθυνσεις, η οποια κρυ1εται πισω απο το µη µοναδιαιο τελικο αποτελε-σµα των τεσσαρων, αλληλοεξουδετερουµενων κλασικα, προωθησεων πουγραψα-µε παραπανω –κατ απολυτη αναλογια µε τους ορθογ£ωνιους µε-τασχηµατισµους στροφης– οδηγησε σε ενα εντυπωσιακο αποτελεσµα. Οτελικος µετασχηµατισµος, στον οποιο καταληξαµε, ειναι στην ουσια εναςπινακας που περιγραφει µια µικρη στροφη του επιπεδου # . Με αλλαλογια, αν εκτελεσουµε ολες αυτες τις προωθησεις, αντι να καταληξουµεστο αρχικο συστηµα συντεταγµενων, οι αξονες 0 & K του τελικου συστη-µατος θα εχουν στραφει κατα γωνια

Ñq ) σε σχεση µε τους αρχικουςαξονες ` & . Το αµιγ£ως σχετικιστικο αυτο φαινοµενο της στροφης, τοοποιο υπολογισε το 1927 πρ£ωτος ο Llewellyn Hilleth Thomas [1903-1992],ονοµαζεται µεταπτωση Thomas, παρατηρειται στο σπιν του ηλεκτρονιου Η µεταπτωση Thomas

ως αποτελεσµα της µη

αντιµεταθετικοτητας

των µετασχηµατισµ£ων

Lorentz

των ατοµων και εχει αµεσες επιπτ£ωσεις στο ενεργειακο φασµα τους. Ο λο-γος που το φαινοµενο Thomas παρατηρηθηκε για πρ£ωτη φορα στο ατοµοειναι επειδη η κινηση του ηλεκτρονιου πραγµατοποιειται µε αρκετα µε-γαλη ταχυτητα συγκριτικα µε την ταχυτητα του φωτος. Υστερα απο αυτητην αναλυση ειναι εµφανης η συνδεση της µεταπτωσης της σ1ουρας καιτης µεταπτωσης Thomas µε τη µη α1ελιανοτητα των αντιστοιχων µετασχη-µατισµ£ων που διεπουν τις δυο κινησεις.

Ασκηση 6.28. Εκτιµηστε την στροφη που εκτελει ο αξονας της Γης (ταξη µεγεθους), ΑΣΚΗΣΕΙΣοταν η Γη ολοκληρ£ωσει µια περιφορα γυρω απο τον Ηλιο, και συγκρινετε τη µε τη µε-ταπτωση που γνωριζουµε οτι εκτελει ο αξονας της Γης µε περιοδο 26000 χρονια εξαιτιαςτης αλληλεπιδρασης του πεπλατυσµενου σχηµατος της µε το βαρυτικο πεδιο του Ηλιου.Μπορειτε να χρησιµοποιησετε το προηγουµενο αναλυτικο αποτελεσµα θεωρ£ωντας πωςη Γη εκτελει ... τετραγωνη τροχια γυρω απο τον Ηλιο. Το αποτελεσµα στο οποιο θακαταληξετε ισως εξηγησει µε µεγαλυτερη σαφηνεια για ποιο λογο η µεταπτωση Thomasανιχνευθηκε για πρ£ωτη φορα στο µικροκοσµο και οχι στο µακροκοσµο.


6.13 ΗΛαγκρανζιανη ελευθερου σχετικιστικου

σωµατιδιου

Στην Ειδικη Θεωρια της Σχετικοτητας η κινηση ενος σωµατιδιου δια-γραφεται οχι σε εναν τρισδιαστατο αλλα σε εναν τετραδιαστατο χ£ωρο,το χωροχρονο του Minkowski,28 αφου αυτο που διατηρειται αναλλοιωτοδεν ειναι το µηκος της τροχιας που διαγραφει το σωµατιδιο (θυµηθειτε τησχετικιστικη συστολη µηκους κατα µηκος της σχετικης κινησης του σωµα-τιδιου), αλλα το ιδιοµορφο χωροχρονικο µηκος που ορισαµε παραπανω(βλ. σχεση (6.12)). Ετσι, η λαγκρανζιανη συναρτηση του σωµατιδιου πρε-πει να ειναι συναρτηση των τεσσαρων συντεταγµενων της θεσης του στοχωροχρονο, των αντιστοιχων τεσσαρων ταχυτητων και µιας απολυτης πα-ραµετρου κατα µηκος της τροχιας. Στη νευτ£ωνεια µηχανικη, εξαλλου, δενπαιζει ο χρονος το ρολο µιας τετοιας απολυτης παραµετρου;29 Γενναται,λοιπον, το εξης ερ£ωτηµα : ποια πρεπει να ειναι αυτη η παραµετρος και τιεννοουµε, οταν λεµε ταχυτητα µετα1ολης των τεσσαρων συντεταγµενωνκαι ειδικοτερα ταχυτητα µετα1ολης του χρονου; Εχουµε, ηδη, ετοιµη µιαποσοτητα, η οποια ειναι απολυτη, µε την εννοια οτι το µεγεθος της ειναισταθερο και δεν µετα1αλλεται οποιαδηποτε στροφη30 και αν εκτελεσουµεστο συστηµα των συντεταγµενων. Προκειται για το χωροχρονικο µηκοςτης τροχιας του σωµατιδιου στο χωροχρονοQ

ολO ï Q O # Ñ IKJ ) I ) I ) I ) (6.70)

Επειδη, οµως, το χωρικο µερος I ) I ) I ) της τροχιας του σωµα-τιδιου ειναι µικροτερο απο το αντιστοιχο χρονικο µηκος του Ñ IKJ (αφουWÑ

), θα ηταν προτιµοτερο να χρησιµοποιησουµε την επισης αναλλοι-ωτη ποσοτηταΟ απολυτος

ιδιοχρονος στη

θεση του νευτ£ωνειου

χρονου

ολO ï O Ñ IKJ ) # I ) # I ) # I ) & (6.71)

η οποια ειναι πραγµατικη και οχι φανταστικη οπως ηQολ. Προκειται για

τον αποκαλουµενο ιδιοχρονο31 του σωµατιδιου δηλαδη το συνολικο χρο-

28Ο Hermann Minkowski [1864-1909] καθηγητης του Einstein στο ETH της Ζυριχηςηταν ο πρ£ωτος που συνελα1ε την ιδεα του τετραδιαστατου χωροχρονου και συνεγραψεενα καταπληκτικο σχετικο αρθρο το 1907 (βλ. το αρθρο του στο βι1λιο The Principle ofRelativity).

29Ο νευτ£ωνειος χρονος ειναι µεγεθος απολυτο και αποτελει ουσιαστικα ενα ειδος πα-ραµετροποιησης της τροχιας.

30Η εννοια της στροφης στην περιπτωση του τετραδιαστατου χωροχρονου ειναι ευ-ρυτερη απο την εννοια της στροφης του τρισδιαστατου ευκλειδειου χ£ωρου και συµπε-ριλαµ1ανει ολους τους µετασχηµατισµους που αφηνουν αναλλοιωτο το χωροχρονικοµηκος

»πραγµατικες χωρικες στροφες και προωθησεις.

31Συνηθως ιδιοχρονος καλειται η ποσοτητα £ É , η οποια δεν εχει διαστασεις µηκους,οπως η ποσοτητα της σχεσης (6.71), αλλα διαστασεις χρονου. Η επιλογη στο κειµενοεγινε για καθαρα λογους οικονοµιας χρησης του συντελεστη É . Βε1αια, εξαιτιας της πα-γκοσµιοτητας της ταχυτητας του φωτος θα µπορουσε να πει κανεις οτι οι διαστασεις µη-κους και χρονου ειναι απολυτα συνδεδεµενες µεταξυ τους και να θεωρησει οτι και ταδυο µεγεθη µετρ£ωνται ως µηκη.

6.13. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 187

νικο µηκος της καµπυλης, οπως αυτο καταγραφεται απο το συστηµα ανα-φορας του ιδιου του σωµατιδιου.32

Απο τη στιγµη που διαθετουµε µια απολυτη παραµετρο της τροχιας,ολες οι συντεταγµενες που περιγραφουν την τροχια µπορουν να θεωρη-θουν ως συναρτησεις αυτης της παραµετρουJ & & & &οποτε ειναι φυσικο να θεωρησουµε ως ταχυτητες µετα1ολης των συντε-ταγµενων τους ρυθµους µετα1ολης τους ως προς την παραµετρο αυτη. ΗΛαγκρανζιανη, εποµενως, ενος σχετικιστικου σωµατιδιου θα εχει γενικατη µορφη

σχετ Ñ J & & &d& Ñ IKJI & I I & I I & I I &

Ασκηση 6.29. Υποθεστε οτι ενα ελευθερο σωµατιδιο κινειται στο νευτ£ωνειο κοσµο ΑΣΚΗΣΕΙΣεπανω σεενα επιπεδο. Υπαρχουν δυο επιλογες για την απολυτη παραµετρο που θα χρη-σιµοποιησουµε για να παραµετροποιησουµε την τροχια του σωµατιδιου: η µια ειναι ονευτ£ωνειος παγκοσµιος χρονος και η αλλη ειναι το µηκος της τροχιας, το οποιο δεν εξαρ-ταται απο το π£ως θα τοποθετησουµε τους αξονες για να καταγραψουµε την κινηση τουσωµατιδιου. Εως αυτο το σηµειο στο βι1λιο ακολουθησαµε την πρ£ωτη επιλογη. Ας δο-κιµασουµε, τ£ωρα, να χρησιµοποιησουµε τη δευτερη επιλογη. Σε αυτη την περιπτωση ηΛαγκρανζιανη θα ειναι της µορφης¤ yÙú ûKýÅ ú £ ÅmýÅmû £ Åm|οπου Å oF y Å ú | r y Åmû°| και o Â Å . Ειναι ενδιαφερον να παρατηρησει κανεις εδ£ω οτι µε βαση αυτη τη νεα επι-λογη της απολυτης παραµετρου της κινησης οι “ταχυτητες” ειναι στην πραγµατικοτηταοι τριγωνοµετρικοι αριθµοι που αντιστοιχουν στην κλιση της τροχιας, οποτε Å úÅ7 r ÅmûÅ o¦© ¯Λογω της οµογενειας και της ισοτροπιας του χ£ωρου για το ελευθερο σωµατιδιο, η ¤ δενπρεπει να εξαρταται ουτε απο τις θεσεις ουτε απο τις “ταχυτητες”–κατευθυνσεις της κι-νησης. Αυτο σηµαινει οτι δεν εξαρταται απο τιποτε; Φυσικα δεν ειναι δυνατον να συµ-1αινει κατι τετοιο, επειδη, αν συνε1αινε, δεν θα µπορουσαµε να εξαγαγουµε εξισ£ωσειςκινησης. ∆εν µενει, λοιπον, τιποτε αλλο απο το να ειναι η Λαγκρανζιανη µια σταθερα,γραµµενη οµως σε τετοια µορφη, £ωστε να εµπεριεχει τη θεση η/και την “ταχυτητα”. Ηπροηγουµενη εκφραση για την “ταχυτητα” ειναι ακρι1£ως ο,τι χρειαζεται. Χρησιµοποιη-στε, λοιπον, ως Λαγκρανζιανη τη µοναδα εκφρασµενη ως συναρτηση των “ταχυτητων”και λυστε τις αντιστοιχες εξισ£ωσεις Euler - Lagrange. Οι λυσεις αυτ£ων των εξισ£ωσεων

32Το συστηµα αναφορας του σωµατιδιου απο τη στιγµη που µετα1αλλεται η ταχυτητατου σωµατιδιου, οντας µη αδρανειακο, ειναι ακαταλληλο για την καταµετρηση των χω-ροχρονικ£ων συντεταγµενων. Αντ αυτου µπορουµε να θεωρησουµε µια σειρα αδρανεια-κ£ων παρατηρητ£ων ο καθενας απο τους οποιους κινειται µε σταθερη ταχυτητα, ιδια ακρι-1£ως µε αυτη που κινειται και το σωµατιδιο στιγµιαια, σε διαδοχικες στιγµες της ζωης του.Οι συντεταγµενες που µετρανε οι αδρανειακοι αυτοι παρατηρητες µπορουν να χρησι-µοποιηθουν για τον υπολογισµο των χωροχρονικ£ων διαστηµατων στο ιδιοσυστηµα τουσωµατιδιου.


δειχνουν απλ£ως οτι το ελευθερο σωµατιδιο κινειται σε µια ευθεια, αλλα δεν µας πληρο-φορουν για το οτι η κινηση ειναι ισοταχης. Τι θα απαντουσατε σχετικα µε την αδυναµιαµας να επι1ε1αι£ωσουµε µε τη νεα αυτη λαγκρανζιανη συναρτηση οτι η κινηση ειναι ισο-ταχης; Μηπως ο χρονος δεν ειναι τιποτε αλλο απο παραγωγο µεγεθος της κινησης τουελευθερου σωµατιδιου;

Οι συµµετριες που επικαλεστηκαµε στο Κεφαλαιο 3, οταν προσπαθη-σαµε να κατασκευασουµε τη Λαγκρανζιανη του ελευθερου κλασικου σω-µατιδιου, δηλαδη η οµογενεια και η ισοτροπια του χ£ωρου καθ£ως και ηοµογενεια του χρονου, µπορουν καλλιστα να χρησιµοποιηθουν και για τηΛαγκρανζιανη του σχετικιστικου ελευθερου σωµατιδιου. Οντας, µαλι-στα, ο χ£ωρος και ο χρονος αλληλενδετοι, οι διαφορες αυτες συµµετριεςσυνδυαζονται στην απλουστερη οµογενεια και ισοτροπια του ενιαιου χω-ροχρονου.33 Ειναι ενδιαφερον οτι η ισοτροπια του χωροχρονου περικλειειεκτος της ισοτροπιας του χ£ωρου και αλλη µια συµµετρια, τη γαλιλαι°κη,αφου οι στροφες σε ενα χωρο-χρονικο επιπεδο, για παραδειγµα στο επι-πεδο # J , δεν ειναι τιποτε αλλο, οπως δειξαµε παραπανω, απο µετασχη-µατισµους προ£ωθησης, δηλαδη αλλαγες αδρανειακου συστηµατος ανα-φορας. Η συµµετρια, λοιπον, αυτη του χωροχρονου (η οµογενεια και ηισοτροπια) περικλειει ολες τις επι µερους συµµετριες του χ£ωρου και τουχρονου της νευτ£ωνειας φυσικης.Υστερα απο αυτη την αναλυση, αντιλαµ1ανοµαστε οτι η Λαγκραν-

ζιανη του ελευθερου σχετικιστικου σωµατιδιου δεν πρεπει να εξαρταταιουτε απο τις συντεταγµενες του σωµατιδιου Ñ J & & &d , ουτε απο τη δι-ευθυνση κινησης του σωµατιδιου µεσα στο χωροχρονο, αλλα ισως µονοαπο το µετρο της “ταχυτητας” κινησης του σωµατιδιου στο χωροχρονο,το τετραγωνο του οποιου, οµως, ειναι σταθερο και ισο µε # B (βλ. Ασκηση6.30)!

Ασκηση 6.30. ∆ειξτε οτιΑΣΚΗΣΕΙΣ ² ÉùÅ .Å r Å úÅ r ÅmûÅ r Å µÅ o ² © ¯∆εν αποµενει, λοιπον, τιποτε αλλο απο το να ειναι η Λαγκρανζιανη

µια συναρτηση του , . Ας µην ξεχναµε, ωστοσο, οτι ο ιδιοχρονος33Θα µπορουσε ισως καποιος να εγειρει την ακολουθη ενσταση σχετικα µε την παρα-

δοχη ισοτροπιας του χωροχρονου : αφου ο τροπος µε τον οποιο λαµ1ανουµε το χρονικοµηκος ειναι διαφορετικος απο αυτον µε τον οποιο µετραµε το χωρικο µηκος, υπαρχει κα-ποια ξεχωριστη διευθυνση στο χωροχρονο (αυτη του χρονου) και συνεπ£ως θα πρεπει ναειµαστε καπως επιφυλακτικοι στο να θεωρουµε το χωροχρονο ισοτροπο. Η απαντησηειναι οτι η ιδιαιτερη συµπεριφορα του χρονου εχει ηδη ληφθει υποψη στον τροπο µε τονοποιο εκτελουµε τις στροφες σε χωρο-χρονικα επιπεδα και κατοπιν αυτου τιποτε το ξε-χωριστο δεν συµ1αινει µε τη διευθυνση του χρονου. Εξαλλου, αν καταφυγουµε σε φα-νταστικο χρονο .â×. , ο χωροχρονος µετατρεπεται σε εναν ευκλειδειο χ£ωρο τεσσαρωνδιαστασεων(που εχει τη µια συντεταγµενη καθαρα φανταστικη), στον οποιο µπορουµενα εκτελουµε οποιαδηποτε στροφη και ετσι καµια διευθυνση δεν φαινεται να ξεχωριζει.

6.13. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 189 χρησιµοποιηθηκε ως παραµετρος της τροχιας ακρι1£ως επειδη ειναι µιααναλλοιωτη ποσοτητα που δεν εξαρταται απο το συστηµα αναφορας τοοποιο θα επιλεξουµε για να περιγραψουµε την κινηση του ελευθερου σω-µατιδιου. Σε αυτο το σηµειο θα ισχυριζοταν κανεις οτι καθε συναρτησητου ιδιοχρονου θα µπορουσε να παιξει εξισου καλα το ρολο του , κα-θ£ως επισης και καθε συναρτηση στη θεση της Λαγκρανζιανης

θα ηταν

αποδεκτη. Πραγµατι, αυτη η ελευθερια υπαρχει αλλα δεν εχει ιδιαιτερηφυσικη σηµασια. Εστω, για παραδειγµα, οτι η δραση του ελευθερου σω-µατιδιου ειναι à á O7¡ <¢ Ä I ¢ &οπου η

¢ παιζει το ρολο της νεας αναλλοιωτης παραµετρου που αντι-καθιστα τον ιδιοχρονο. Αν αυτη η συναρτηση της δρασης ειναι γνησιωςµονοτονη συναρτηση του ιδιοχρονου O7¡ I κατα µηκος της καµπυλης που συνδεει το αρχικο µε το τελικο γεγονος,τοτε η καµπυλη

που καθιστα στασιµη τη γενικη δραση θα καθισταστασιµο και τον ιδιοχρονο κατα µηκος αυτης της καµπυλης. Αυτο ειναισε θεση να το αντιληφθει κανεις παρατηρ£ωντας οτι, αν η διαδροµη µετα-1ληθει ετσι £ωστε να αλλαξει ο ιδιοχρονος, µε τον ιδιο ακρι1£ως τροπο θααλλαξει και η γενικη συναρτηση . Εποµενως, η στασιµοτητα του ιδιο-χρονου προκαλει και στασιµοτητα της . Αν οµως η γενικη δραση δενειναι γνησιως µονοτονη συναρτηση του , τοτε δεν εχει νοηµα να µιλαµεγια στασιµες τιµες της . Για παραδειγµα, αν Z # ) , τοτε καθεδιαδροµη στο χωροχρονο µε συνολικο ιδιοχρονο ολ B θα ειναι στασιµη,αφου οι µετα1ολες της διαδροµης που θα προκαλεσουν µετα1ολη του σε πρ£ωτη ταξη, θα µετα1αλλουν την σε δευτερη ταξη. Συναγουµε, λοι-πον, οτι οι µονες λογικες δρασεις που µπορει να κατασκευασει κανεις ει-ναι γνησιως µονοτονες συναρτησεις του ιδιοχρονου και µαλιστα ολες οιγνησιως µονοτονες συναρτησεις του ιδιοχρονου στασιµοποιουνται για τιςιδιες διαδροµες που στασιµοποιειται και η απλουστερη δυνατη εκφρασηγια τη δραση O I (6.72)

Σε αυτη την περιπτωση ειναι σαν να θεωρουµε τη Λαγκρανζιανη ιση µεµια σταθερα, Οι συµµετριες

οδηγουν σε

Λαγκρανζιανη

ιση µε µια σταθερα

σταθερα Φυσικα, για να εχουµε τη δυνατοτητα να κατασκευασουµε εξισ£ωσεις κι-νησης, η σταθερα αυτη θα πρεπει να γραφει εκπεφρασµενα ως το σταθεροµετρο της “ταχυτητας”, δηλαδη ως το τετραγωνο της “ταχυτητας”.34 Τοσυµπερασµα, λοιπον, στο οποιο καταληγουµε ειναι οτι η Λαγκρανζιανη

34Οποιαδηποτε, βε1αια, συναρτηση του τετραγ£ωνου της “ταχυτητας” οδηγει στις ιδιεςεξισ£ωσεις κινησης.


του ελευθερου σχετικιστικου σωµατιδιου θα πρεπει να εχει τη µορφη £¤7 Ñ IKJI ) # I I ) # I I ) # I I )s¥ (<w ) (6.73)

Η σταθερα£ µπορει να επιλεγει αυθαιρετα ετσι £ωστε η Λαγκρανζιανη να

εχει διαστασεις ενεργειας/ταχυτητας,35 κατ αντιστοιχια µε τη νευτ£ωνειαΛαγκρανζιανη, αλλα επιπλεον πρεπει να εχει και αρνητικο προσηµο, ανθελουµε η φυσικη διαδροµη να καθιστα οχι απλ£ως στασιµη αλλα ελαχιστητη δραση. Συνεπ£ως η Λαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιου πρεπεινα εχει τη µορφηΗ πληρης µορφη της

Λαγκρανζιανης # T Ñ ¤¦ Ñ IKJI ) # I I ) # I I ) # I I )§¥ (<w ) & (6.74)

οπου Ñ η µοναδικη παγκοσµια σταθερα µε διαστασεις ταχυτητας και Tη µαζα του σωµατιδιου, οπως αυτη µετραται στο συστηµα ηρεµιας τουσωµατιδιου. Η µαζα αυτη ειναι µια αναλλοιωτη ποσοτητα. Η επιλογητων σταθερ£ων για το ελευθερο σωµατιδιο ειναι καπως αυθαιρετη, αφουοι εξισ£ωσεις κινησης δεν επηρεαζονται απο την πολλαπλασιαστικη στα-θερα της Λαγκρανζιανης. Στη συνεχεια, οταν προσπαθησουµε να ανα-κτησουµε τη γνωστη µας Λαγκρανζιανη του νευτ£ωνειου ελευθερου σω-µατιδιου, θα δουµε γιατι η παραπανω επιλογη ειναι επι1ε1ληµενη.

Ασκηση 6.31. ∆ειξτε οτι απο ολες τις καµπυλες που συνδεουν δυο σηµεια (γεγο-ΑΣΚΗΣΕΙΣνοτα) του χωροχρονου µε χρονικη αποσταση ¨N. µεγαλυτερη της χωρικης τους αποστα-σης

· ¨z ú · η ευθεια ειναι αυτη που αντιστοιχει σε µεγιστη τιµη του ιδιοχρονου. Προκειµε-νου, λοιπον, να καταστησουµε ελαχιστη τη δραση, θεωρουµε οτι η Λαγκρανζιανη ειναιµια αρνητικη σταθερα.

Ασκηση 6.32. ∆ειξτε οτι οι εξισ£ωσεις κινησης που προκυπτουν απο την παραπανωΛαγκρανζιανη αντιστοιχουν σε οµαλη κινηση, δηλαδηÅ úÅ . o σταθερο διανυσµα ¯Ασκηση 6.33. Ενας εναλλακτικος τροπος γραφης της δρασης, ο οποιος θεωρει και

παλι οτι η δραση ειναι ο ιδιοχρονος του σωµατιδιου, αλλα παρακαµπτει το προ1ληµααντικαταστασης της σταθερης Λαγκρανζιανης µε το σταθερο µετρο της “ταχυτητας”,ειναι να χρησιµοποιησουµε πολλαπλασιαστη Lagrange για να επι1αλουµε τη συνδεση µε-ταξυ των συντεταγµενων και του ιδιοχρονου. Ετσι, ας θεωρησουµε ως δραση τηνÆ oª©¬« Å c © ²¯®¯° ÉùÅ .Å ² Å úÅ ² ÅmûÅ ² Å µÅ ² ©H±³² ¯ (6.75)

35Προσεξτε οτι για να εχει η δραση τις σωστες διαστασεις και δεδοµενου οτι η ολο-κληρωση γινεται ως προς , που οπως ειπαµε εχει διαστασεις µηκους, η Λαγκρανζιανηπρεπει να εχει διαστασεις δρασης/µηκους, δηλαδη ενεργειας

vχρονου/µηκους.

6.13. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 191

Η εξισωση Euler - Lagrange για τη νεα αυτη Λαγκρανζιανη ως προς ® οδηγει στη σωστησυσχετιση των

ú Z o É . ú ® o ú ú o ûK ú 2 o µ και , εν£ω οι υπολοιπες εξισ£ωσεις Eu-ler - Lagrange οδηγουν στη σωστη “κινηση” στο χωροχρονο του ελευθερου σωµατιδιου.Υπολογιστε αυτη την “κινηση”.Στη γενικη θεωρια της σχετικοτητας, οπου η γεωµετρια του χ£ωρου αλλαζει απο σηµειοσε σηµειο και δεν περιγραφεται µεσω της επιπεδης µετρικης τουMinkowski, η αντιστοιχηεξισωση συνδεσµου που πολλαπλασιαζεται µε τον πολλαπλασιαστη Lagrange (η ποσο-τητα εντος της αγκυλης ] ¯:¯:¯ ^ ) ειναι η ακολουθη² ³?´$µ yÙú¶ | Å ú ´Å Å ú µÅ ² © οπου οι δεικτες · ¸ λαµ1ανουν ολες τις τιµες §° © t¬ και υπονοειται αθροιση σε ολεςτις τιµες δεικτ£ων οι οποιοι εµφανιζονται σε ζευγη. Η µονη διαφορα απο την εκφραση(6.75) ειναι οτι αντικαταστησαµε τη µετρικη του Minkowski

¦´$µ oj¹ºº» ² © §]§§§ © §§§ § © §§ §]§ ©¼§½½¾

µε τη γενικη µετρικη ³?´$µ , η οποια θεωρουµε τ£ωρα οτι ειναι συναρτηση της θεσης. ∆ειξτεοτι η νεα Λαγκρανζιανη οδηγει στη λεγοµενη γεωδαισιακη εξισωσηÅq ú ´Å o ©t ³ ´$µ `¿ ³µ§À¿ úÁ r ¿ ³µ Á¿ ú À ² ¿ ³ Á À¿ ú µ Å ú ÀÅ Å ú ÁÅ ¯ (6.76)

[Υποδειξη: Χρησιµοποιηστε τη συµµετρικοτητα της µετρικης ( ³?´$µ o ³µ+´ ) και το γεγονοςοτι ο ³ ´$µ συµ1ολιζει τον αντιστροφο πινακα της ³?´$µ , δηλαδη, ³?´$µÄ³ µ§À o À´ , αγνο£ωνταςοποιαδηποτε αλλη σηµασια της θεσης των δεικτ£ων, επανω η κατω.] Η νευτ£ωνεια προ-σεγγιση της παραπανω εκφρασης ειναι ηÅ úÅ . o ³ y ú |ù (6.77)

οπου ³ ειναι η τοπικη επιταχυνση της βαρυτητας (το ³ δεν εχει καµια αµεση σχεση µετον πινακα της µετρικης ³?´$µ ). Θεωρ£ωντας οτι οι τεσσερις ποσοτητες Å ú À £ Å για κλασι-κες ταχυτητες ειναι µε πολυ καλη προσεγγιση

y © ý§°ý§°ý§q| και οτι η µετρικη δεν εξαρταταιαπο το χρονο . , ετσι £ωστε το αντιστοιχο βαρυτικο πεδιο να ειναι σταθερο, υπολογιστετη µορφη του στοιχειου ³ Z<Z y ú | της µετρικης £ωστε η εκφραση (6.77) να συµπιπτει µε την(6.76). [Υποδειξη: Αφου θελουµε να ικανοποιειται ο δευτερος νοµος του Νευτωνα γιαβαρυτικο πεδιο, µπορουµε να υποθεσουµε οτι η µετρικη ³?´$µ διαφερει ελαχιστα απο τηνÂ?´$µ

.]

Ανθελουµε να επανελθουµε στις φυσικες συντεταγµενες, οι οποιες συν-δεονται περισσοτερο µε την καθηµερινη µας εµπειρια, διαπιστ£ωνουµε οτιτο ολοκληρωµα της δρασης λαµ1ανει τη µορφη # T Ñ ) OÃ B # Ñ ) IKJ (6.78)

Αναπτυσσοντας την παραπανω εκφραση ως προς τη µικρη, για κλασικεςκινησεις, ποσοτητα Ñ ) &


διαπιστ£ωνουµε οτι η δραση λαµ1ανει τη µορφη O T BZ T ) # T Ñ ) 4 ê Ç ) Ñ ) ) ì V IKJ (6.79)

Η περιφηµη ποσοτητα T Ñ ) ειναι κατι σαν µια εσωτερικη δυναµικη ενερ-

γεια των σωµατιδιων, η οποια µπορει να εκδηλ£ωσει την παρουσια της, ανεπιτρεψουµε στα σωµατιδια να µην διατηρουν τη µαζα τους. Αυτο ακρι-1£ως συµ1αινει κατα την πυρηνικη αντιδραση της σχασης του ραδιο°σοτο-που του ουρανιου Ä )C 3Å ) ç (T $ÇÆ Å (C 5 ÉÈ ( 4 )3H5 c (T &οπου το πλεονασµα της µαζας των αντιδρ£ωντων εναντι των προ°οντωναφησε ανεξιτηλα τα ιχνη του στην παγκοσµια ιστορια του δευτερου µισουτου εικοστου αι£ωνα.

6.14 Συµµετριες και διατηρουµενες ποσοτητες

συστηµατος ελευθερων σωµατιδιων στη

σχετικοτητα

Η δραση που αναφερεται στην κινηση Ê σωµατιδιων, τα οποιαδεν αλληλεπιδρουν µεταξυ τους, ειναι το αθροισµα των επι µερους δρα-σεων36 ÌËÍ ;sÎ ( OÌÏÐ # J ; MT Ñ Ã Ñ IKJI J ; M ) # I J ; MI J ; M )¬ÑÒ I J ; M (6.80)

Εκ κατασκευης η δραση αυτη ειναι αναλλοιωτη σε µεταθεσεις χωρικες καιχρονικες (οµογενεια του χωροχρονου) καθ£ως και σε στροφες χωρικες καιχωροχρονικες (ισοτροπια του χωροχρονου). Κατ αναλογιαν µε τα οσα α-ναφεραµε στο Κεφαλαιο 5 περι συµµετρι£ων, οι αντιστοιχες διατηρουµενεςποσοτητες ειναι τα γινοµενα των γεννητορων των συµµετρι£ων µε τις αντι-στοιχες ορµες.Κατ αρχας η τετραδα37 των συνιστωσ£ων της ορµης του συστηµατος

που αναφερεται στο -στο σωµατιδιο ειναι η J ; MQ Ò Ò à Ñ IKJ I J ; M á # J ; MT Ñ I Ñ J I J ; M & (6.81) J ; M Ò Ò à I J ; M I J ; M á Ó J ; MT Ñ I J ; MI J ; M (6.82)

36Στις ακολουθες σχεσεις η χρονικη συνιστ£ωσα . εµφανιζεται κοινη για ολα τα σω-µατιδια, αφου θεωρουµε οτι παρατηρουµε τη θεση και την ταχυτητα του καθε σωµατι-διου σε καποιο συστηµα αναφορας σε µια συγκεκριµενη χρονικη στιγµη. Αν αλλαξουµεσυστηµα αναφορας, παλι θα µετραµε τις θεσεις και τις ταχυτητες σε µια συγκεκριµενηχρονικη στιγµη του νεου συστηµατος. Ωστοσο, η ατοµικη ροη του χρονου για το καθεσωµατιδιο, δηλαδη ο ιδιοχρονος του, θα διαφερει απο σωµατιδιο σε σωµατιδιο.

37Λογω τετραδιαστατου χ£ωρου.

6.14. ∆ΙΑΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ 193

H υπορριζος ποσοτητα στην (6.80) ειναι µοναδα, οποτε µπορουµε να τηνπαραλειψουµε, αφοτου, βε1αια, εκτελεσουµε τις παραγωγισεις. Οι ορ-µες αυτες ειναι, στην ουσια, οι συνιστ£ωσες της λεγοµενης τετραορµης τουκαθε σωµατιδιου και ακρι1εστερα οι συναλλοιωτες συνιστ£ωσες αυτης,που αποτελουν το σχετικιστικο αναλογο των συνιστωσ£ων της κλασικηςορµης. Λαµ1ανοντας το οριο των ποσοτητων αυτ£ων για µικρες ταχυτη-τες, διαπιστ£ωνουµε οτι µπορει κανεις δικαιολογηµενα να αποκαλει τις τεσ-σερις αυτες συνιστ£ωσες αντιστοιχα ενεργεια (εδ£ω εµφανιζεται µε αρνη-τικο προσηµο εξαιτιας του ιδιοµορφου µετρου του χωροχρονου) και δια-νυσµα της χωρικης ορµης του συστηµατος. Οι συνιστ£ωσες της τετραορ-µης θα µπορουσαν επισης να γραφουν πιο απλα, χωρις να εµπλεκεται οιδιοχρονος του καθε σωµατιδιου, τον οποιο δεν µπορουµε εξαλλου να συ-νειδητοποιησουµε αφου ζουµε σε εναν κοσµο οπου η παγκοσµιοτητα τουχρονου φαινεται να ειναι αδιαµφισ1ητητη. ΕφοσονI J ; M Ñ IKJ ) # I J ; M ) Ñ IKJ Ã B # J ; MÑ ) Ñ IKJ J ; M &οπου ορισαµε ως J ; M % ê B # ÇÓJ ; M Ñq ) ì (<w ) &οι συνιστ£ωσες της τετραορµης µπορουν να γραφουν ως εξης : J ; MQ #ÓÔ J ; MÑ # J ; M J ; MT Ñ & (6.83) J ; M J ; M J ; MT ÕJ ; M (6.84)

Απο τη στιγµη που οι γεννητορες των χρονικ£ων και των χωρικ£ων µετα- Η συµµετρια της

οµογενειας του

χωροχρονου

θεσεων για καθε σωµατιδιο ειναι οιÖ J ; MQ B & \ & \ & \ & Ö J ; M× \ & B & \ & \ &Ö J ; MØ \ & \ & B & \ & Ö J ; MÙ \ & \ & \ & B & (6.85)

οπου η τετραδα των αριθµ£ων αντιστοιχει στιςJ & & &d συνιστ£ωσες του τε-

τρανυσµατος του γεννητορα, αυτο που τελικα διατηρειται εξαιτιας τωνσυµµετρι£ων µεταθεσης ειναι οι τεσσερις συνιστ£ωσες της ορµης των σχε-σεων (6.81), (6.82) αθροιζοµενες για ολα τα σωµατιδια, δηλαδη η συνο-λικη ενεργεια και οι τρεις συνιστ£ωσες της ολικης χωρικης ορµης του συ-στηµατος Ô ολ ËÍ ;sÎ ( Ô J ; M & Ú ολ ËÍ ;sÎ ( J ; M (6.86)

Ας δουµε, τ£ωρα, τι συµ1αινει µε τις στροφες. Οταν οι στροφες σχε-τιζονται αποκλειστικα µε τον τρισδιαστατο χ£ωρο (χωρικες σττροφες), oι


γεννητορες για καθε σωµατιδιο ειναι της µορφηςÖ J ; M×Ø \ & # J ; M & J ; M & \ &Ö J ; MØsÙ \ & \ & # J ; M & J ; M &Ö J ; MÙH× \ &d J ; M & \ & # J ; M & (6.87)

(βλ. Κεφαλαιο 5). Αντιστοιχα, οι γεννητορες των στροφ£ων στα τρια χω-ροχρονικα επιπεδα εχουν συνιστ£ωσεςΟι γεννητορες

των στροφ£ων στο

χωροχρονο...Ö J ; MQ × # J ; M & #,Ñ J & \ & \ &Ö J ; MQ Ø # J ; M & \ & #,Ñ J & \ &Ö J ; MQ Ù # J ; M & \ & \ & #,Ñ J ! (6.88)

Μπορουµε να κατανοησουµε γιατι οι γεννητορες αυτοι εχουν τουτη τηµορφη, αν θεωρησουµε τον πινακα στροφης L 4 της σχεσης (6.66), καθ£ωςκαι τους αντιστοιχους πινακες προ£ωθησης στον και αξονα, για µικρεςτιµες της παραµετρου Ñ , και πολλαπλασιασει µε τον πινακα αυτο τοδιανυσµα της θεσης του καθε σωµατιδιου στον τετραδιαστατο χ£ωρο. Τηνιδια, εξαλλου, διαδικασια ειχαµε ακολουθησει για την κατασκευη των γεν-νητορων της κλασικης χωρικης στροφης. Μπορουµε, τ£ωρα, για αλλη µιαφορα µεσω του θεωρηµατος τηςNoether, να υπολογισουµε τις αντιστοιχεςδιατηρουµενες ποσοτητες...και οι εξι

διατηρουµενες

στροφορµες στο

χωροχρονο Û ×Ø ËÍ ;sÎ ( J ; M J ; MØ # J ; M J ; M× ËÍ ;sÎ ( ê J ; M J ; M ì Ù (6.89)

Û ØsÙ ËÍ ;sÎ ( J ; M J ; MÙ # J ; M J ; MØ ÌËÍ ;sÎ ( ê J ; M J ; M ì × (6.90)

Û ÙH× ËÍ ;sÎ ( J ; M J ; M× # J ; M J ; MÙ ÌËÍ ;sÎ ( ê J ; M J ; M ì Ø (6.91)

Û Q × # ËÍ ;sÎ ( Ñ J J ; M× J ; M J ; MQ ËÍ ;sÎ ( Ô J ; MÑ J ; M #çÑ J J ; M × (6.92)

Û Q Ø # ËÍ ;sÎ ( Ñ J J ; MØ J ; M J ; MQ ÌËÍ ;sÎ ( Ô J ; MÑ J ; M #çÑ J J ; M Ø (6.93)

Û Q Ù # ËÍ ;sÎ ( Ñ J J ; MÙ J ; M J ; MQ ÌËÍ ;sÎ ( Ô J ; MÑ J ; M #æÑ J J ; M Ù (6.94)Oι ορµες

J ; M που εµφανιζονται στις παραπανω σχεσεις δεν ειναι οι κλασι-κες ορµες των σωµατιδιων, αλλα οι γενικευµενες σχετικιστικες ορµες πουοριστηκαν µεσω της σχεσης (6.82). Ας δουµε στη συνεχεια ποιο ειναι τοφυσικο νοηµα των διατηρουµενων αυτ£ων ποσοτητων. Οι τρεις πρ£ωτεςδιατηρουµενες ποσοτητες εχουν, τουλαχιστον τυπικα, τη µορφη των τρι£ωνσυνιστωσ£ων της κλασικης στροφορµης, εν£ω οι τρεις νεες ποσοτητες ειναι,

6.14. ∆ΙΑΤΗΡΟΥΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ 195

στο οριο των πολυ µικρ£ων ταχυτητων, οι τρεις διατηρουµενες ποσοτητεςστις οποιες ειχαµε οδηγηθει απο τη γαλιλαι°κη συµµετρια της Λαγκρανζι-ανης συστηµατος νευτ£ωνειων σωµατιδιων. Το νεο στοιχειο που εµφανιζε-ται εδ£ω ειναι οτι η σταθεροτητα της ταχυτητας που κρυ1εται πισω απο τιςτρεις διατηρουµενες αυτες ποσοτητες δεν αφορα στο κεντρο µαζας, οπωςστην κλασικη περιπτωση, αλλα στο λεγοµενο κεντρο ορµης. Πιο συγκε-κριµενα, το σηµειο που βρισκεται καθε στιγµη στη θεση

ÜÓÝÞ J Ëß;sÎ ( J ; M J Ô J ; MËß;sÎ ( Ô J ; M &(6.95)

δεν συµπιπτει ακρι1£ως µε τη θεση του κεντρου µαζας, εξαιτιας των δια-φορετικ£ων µεταξυ τους παραγοντων

J ; M που εµπεριεχονται στις ενεργειεςÔ J ; M , και κινειται µε ταχυτητα`ÝÞ Ëß;sÎ ( J ; M Ô J ; MËß;sÎ ( Ô J ; M Ëß;sÎ ( Ñ J ; M J Ëß;sÎ ( Ô J ; M Ñ

Η τελευταια αυτη ποσοτητα ειναι σταθερη, αφου διατηρειται η συνολικητετραορµη του συστηµατος. Με απλες πραξεις µπορουµε να δειξουµε οτιÜÓÝÞ Ü T `ÝÞ J &

(6.96)

οπουÜ T ειναι ενα σταθερο διανυσµα, τοÜ T Ñ Û Q × & Û Q Ø & Û Q Ù Ëß;sÎ ( Ô J ; M

(6.97)

Το συστηµα που κινειται µε ταχυτητα`ÝÞειναι αυτο στο οποιο η συνο-

λικη γενικευµενη ορµη του συστηµατος ειναι µηδεν. Εποµενως, σε αυτοτο συστηµα ειναι ευκολοτερη η µελετη των αντιδρασεων µεταξυ σωµατι-διων, οπως για παραδειγµα της συγκρουσης σωµατιδιων σε επιταχυντεςµε στοχο την παραγωγη νεων σωµατιδιων.

Ασκηση 6.34. ∆ειξτε οτι για ταχυτητες πολυ µικρες, συγκριτικα µε την ταχυτητα ΑΣΚΗΣΕΙΣτου φωτος, οι τρεις ποσοτητες à (âá à (âã à ( ¼ ειναι αναλογες µε τις τρεις διατηρουµενες ποσο-τητες που προκυπτουν µεσω του θεωρηµατος της Noether απο τη γαλιλαι°κη συµµετριαενος νευτ£ωνειου συστηµατος σωµατιδιων.


Ασκηση 6.35. Υπολογιστε σε πρ£ωτη προσεγγιση ως προς τα τετραγωνα των ταχυ-τητων των σωµατιδιων την ταχυτητα µε την οποια αποµακρυνεται το κεντρο ορµης αποτο κεντρο µαζας δυο σωµατιδιων που κινουνται µε αντιθετες ορµες.

Κλεινοντας αυτο το κεφαλαιο, αξιζει να σηµει£ωσουµε οτι η σχετικιστι-Η σχετικιστικη εικονα

για τον κοσµο ειναι πιο

απλη απο τη νευτ£ωνεια

κη µελετη της κινησης κρυ1ει στα θεµελια της πολυ µεγαλυτερη απλοτητααπο τη νευτ£ωνεια αφου (i) αντιµετωπιζει το χρονο απλ£ως ως µια νεα δια-σταση του υπο1αθρου στο οποιο διαδραµατιζονται ολα τα φυσικα φαι-νοµενα, (ii) οι οµαλες κινησεις που στη γαλιλαι°κη σχετικοτητα εµφανιζο-νταν ως ιδιοµορφες κινησεις παρατηρητ£ων για τους οποιους οι φυσικοινοµοι παραµενουν αναλλοιωτοι, στην Ειδικη Σχετικοτητα δεν εχουν τι-ποτε το ξεχωριστο [ αποτελουν απλ£ως εκδηλωση της ισοτροπιας του χω-ροχρονου σε καθε δυνατη στροφη του συστηµατος των συντεταγµενωνκαι (iii) τα γαλιλαι°κα αναλλοιωτα δεν ειναι απλ£ως επαναγραφη της δια-τηρησης της ορµης, αλλα διατηρουµενες στροφορµες στον ισοτροπο τε-τραδιαστατο χωροχρονο µε ξεχωριστη σηµασια.

6.15. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 197

6.15 Προ1ληµατα

1. Κατασκευαστε τον πινακα στροφης (α) γυρω απο τον αξονα κατα Z και (β) γυρω απο τον αξονα επισης κατα Z . Στη συνεχειαδειξτε οτι η σειρα µε την οποια εκτελουνται οι στροφες αυτες ειναικαθοριστικη για το τελικο αποτελεσµα. Για την καθεµια απο τις τε-λικες στροφες στις οποιες θα καταληξετε αναλογα µε τη σειρα εκτε-λεσης των επιµερους στροφ£ων, υπολογιστε την ισοδυναµη γωνιαστροφης και τον αξονα γυρω απο τον οποιο εκτελειται η στροφηαυτη.

2. Υπολογιστε το µεταθετη à [ S & [ S á .3. ∆ειξτε οτι η παρα1ολοειδης επιφανεια του νερου σε ενα περιστρε-φοµενο δοχειο ειναι αυτη που ελαχιστοποιει τη συνολικη δυναµικηενεργεια του νερου (συµπεριλαµ1ανοµενης και της φυγοκεντρικηςδυναµικης ενεργειας) στο περιστρεφοµενο συστηµα του δοχειου.Αυτη εξαλλου ειναι και η ολικη ενεργεια του νερου στο περιστρε-φοµενο συστηµα. Μεχρι ποιο υψος πρεπει να γεµισουµε µε νερο ενακυλινδρικο δοχειο ετσι £ωστε, αν θεσουµε σε περιστροφη το δοχειο,το νερο να αρχισει να χυνεται τη στιγµη ακρι1£ως που θα αποκαλυ-φθει ο πυθµενας του δοχειου;

4. Θεωρηστε τους δυο πινακες A, B και τη συναρτηση του õ : ¢ õ 7ä AB7 ä A. Αποδειξτε οτι ¢ õ à

A&$¢ õ á , ¢ õ à

A& àA&$¢ õ áSá ,

κ.ο.κ. και συνεπ£ως¢ õ B õ àA & B á õ )Z76 àA & àA & B áSáÓ Ç Ç

Αποδειξτε τ£ωρα οτι, αν ο πινακας A αντιµετατιθεται µε τον µετα-θετη àA & B á , τοτεð$#&%

A ð$#&%

B ð$#&%

AB BZ àA & B á

5. Κατα το πασχαλινο ψησιµο του αρνιου σε ολοκληρη την ελληνικηεπικρατεια εκτελειται για καθε αρνι ενας µετασχηµατισµος στροφηςγυρω απο καποιο σταθερο αξονα. Να υπολογιστει ο µεσος πινακαςολων των µετασχηµατισµ£ων στροφης που θα εκτελεστουν στην Ελ-λαδα την ηµερα του Πασχα. Η µεση τιµη να ληφθει και ως προς τοχρονο ψησιµατος και ως προς την κατευθυνση της σου1λας. Υπο-λογιστε, επισης, την τυπικη αποκλιση αυτου του πινακα.

6. Ενα αντικειµενο στρεφεται µε γωνιακη ταχυτηταW, η οποια εξαρ-

ταται απο το χρονο, οπως οριζεται απο τη σχεσηW J >^ MN_ J iå & αν Z D J W Z D B & αν Z D B J W Z D Z


οπου k φυσικος αριθµος. Υπολογιστε τον αντιστοιχο πινακα στρο-φης για καθε χρονικο διαστηµα σταθερης κατευθυνσης και στη συ-νεχεια υπολογιστε υστερα απο ποσο χρονο το αντικειµενο θα επι-στρεψει στην αρχικη του θεση.

7. (i) Στα (λανθασµενα) βηµατα του Νευτωνα : Επαναλα1ετε τον υπο-λογισµο του Νευτωνα οσον αφορα στο προ1ληµα ριψης µιας πετραςχωρις αρχικη ταχυτητα απο το ανοιγµα ενος πηγαδιου βαθους æπου βρισκεται στον Ισηµερινο. (α)Με τι ταχυτητα ως προς καποιοναδρανειακο παρατηρητη, που βρισκεται στο κεντρο της Γης, εκτο-ξευεται η πετρα απο τα χερια αυτου που την πετα; (β) Λυστε τοπρο1ληµα της βολης της πετρας µεσα σε οµογενες βαρυτικο πεδιοµε την αρχικη ταχυτητα που υπολογισατε προηγουµενως, λαµ1ανο-ντας υποψη σας οτι το πηγαδι δεν ειναι τοσο βαθυ £ωστε να αλλαζεισηµαντικα η βαρυτητα. Υπολογιστε ποσο χρονο θα χρειαστει για ναφτασει η πετρα στον πυθµενα του πηγαδιου. Υπολογιστε ποσο θαεχει µετακινηθει η πετρα οριζοντια ως προς τον αδρανειακο παρα-τηρητη, στο χρονο που χρειαζεται για να φθασει στον πυθµενα τουπηγαδιου. (γ)Καθ ολη τη διαρκεια της πτ£ωσης της πετρας µεσα στοπηγαδι, ο πυθµενας του πηγαδιου µετακινηθηκε και αυτος λογω τηςπεριστροφης της Γης. Ποσο συνολικα; (δ) Ποσο µακρυτερα τελικαθα πεσει η πετρα απο το σηµειο που θα επεφτε, αν δεν περιστρε-φοταν η Γη; Η ακτινα της Γης ειναι

Íκαι η γωνιακη ταχυτητα πε-

ριστροφης τηςW. [Απαντηση : çè W Z æ C (<w ) . Αυτο ακρι1£ως

υπολογισε και ο Νευτων.]

(ii) ∆ιορθ£ωνοντας τον Νευτωνα : Ισως σκεφτειτε οτι η λυση πουεδωσε ο Νευτων ειναι λιγο απλο°κη, αφου δεν ελα1ε υποψη του τησφαιρικοτητα της Γης. ∆εν θα συµφωνουσατε, οµως, µαζι του αντο πηγαδι ειχε για παραδειγµα βαθος µολις 1 χιλιοστο; Σε αυτη τηνπεριπτωση ειναι φυσικο να αγνοησει κανεις την καµπυλοτητα τηςΓης, οπως αγνοει και τη µετα1ολη του , αναµενοντας µια τετοια


θε£ωρηση να επιφερει διορθ£ωσεις αν£ωτερης ταξης στο αποτελεσµα.Ειναι ορθη, οµως, τουτη η θε£ωρηση; Ας την εξετασουµε ακολουθ£ω-ντας τα παρακατω βηµατα : (α) Η πετρα, καθ£ως εκτελει την οριζο-ντια βολη που περιγραψαµε στο ερ£ωτηµα (i) του προ1ληµατος, απο-µακρυνεται απο την αρχικη κατακορυφο που διερχεται απο το κε-ντρο τη Γης. Μην ξεχνατε οτι το κεντρο της Γης δεν κινειται ως προςτον παρατηρητη µας! Ποσο θα εχει αποµακρυνθει η πετρα απο τηνκατακορυφο υστερα απο χρονο

Jαπο την αρχη της πτ£ωσης της; (β)

Κατα την πτ£ωση της πετρας εµφανιζεται µια συνιστ£ωσα της βαρυ-τικης ελξης που ασκειται στην πετρα µε οριζοντια προς τα πισω κα-τευθυνση. ∆ειξτε οτι η εξισωση οριζοντιας κινησης, αν λα1ει κανειςυποψη του τη συνιστ£ωσα αυτη του βαρους ειναι é # W J

. Ολο-κληρ£ωστε τη σχεση αυτη δυο φορες µε τις καταλληλες αρχικες συν-θηκες £ωστε να υπολογισετε την οριζοντια µετατοπιση της πετραςπου προκαλει αυτη η δυναµη κατα το συνολικο χρονο πτ£ωσης. (γ)Αφαιρεστε τη µετατοπιση του πυθµενα του πηγαδιου που υπολογι-σατε στο βηµα (γ) του ερωτηµατος (i) για να υπολογισετε τη θεσηπτ£ωσης της πετρας σχετικα µε τη θεση στην οποια θα κατεληγε ηπετρα, αν δεν περιστρεφοταν η Γη. Συµφωνει το αποτελεσµα αυτοµε το αποτελεσµα του Νευτωνα; [Απαντηση : çè )C W Z æ C (<w ) .Το αποτελεσµα διαφερει κατα B c απο αυτο του Νευτωνα.](iii) Σκεφτεστε αραγε µηπως ολα αυτα δεν ειναι παρα τεχνασµαταπου αποσκοπουν στο να επιτευχθει αριθµητικα το σωστο αποτελε-σµα; Στο ερ£ωτηµα (ii), στο βηµα (α), υπολογισαµε την οριζοντια απο-µακρυνση της πετρας υποθετοντας οτι η πετρα εκτελει οµαλη κι-νηση οριζοντια και στη συνεχεια, στο βηµα (β), υπολογισαµε την ορι-ζοντια συνιστ£ωσα της βαρυτικης δυναµης που ασκειται στην πετρακαι επι1αλαµε επιταχυνση στη δηθεν οµαλη κινηση. Ας ειµαστε, λοι-πον, περισσοτερο συνεπεις στις θεωρησεις µας. (α) Αποδειξτε οτι ηοριζοντια συνιστ£ωσα της βαρυτικης δυναµης που ασκειται στην πε-τρα, οταν η πετρα θα εχει µετακινηθει οριζοντια κατα , θα ειναι × # Í (θεωρουµε οτι η αποσταση απο το κεντρο της Γηςπαραµενει σταθερη αφου το πηγαδι δεν ειναι πολυ βαθυ και εποµε-νως σταθερο). Γραψτε την εξισωση κινησης στον αξονα και,αντικαθιστ£ωντας τις σωστες αρχικες συνθηκες που υπολογισατε στοερ£ωτηµα (i), αποδειξτε οτι η λυση ειναι J W Ã Í C ^ MN_ J Í (β) Θεστε στη θεση του χρονου το συνολικο χρονο πτ£ωσης της πε-τρας που υπολογισατε στο βηµα (i-β), αφαιρεστε, οπως παντα, τηµετατοπιση του πυθµενα και θα λα1ετε το αποτελεσµα της ζητουµε-νης συνολικης µετατοπισης της πετρας απο την κατακορυφο. Προςεκπληξη σας θα διαπιστ£ωσετε οτι το αποτελεσµα φαινεται να ειναιπολυ διαφορετικο απο ολα τα προηγουµενα ! Παρατηρηστε στη συ-νεχεια οτι η γωνια µεσα στο ηµιτονο ειναι παρα πολυ µικρη, οποτε


µπορειτε να αναπτυξετε το ηµιτονο. (γ) Αρχικα κρατηστε µονο τονπρ£ωτο ορο. Το αποτελεσµα συµφωνει µε αυτο του Νευτωνα. Κρα-τηστε, τ£ωρα, και το δευτερο ορο του αναπτυγµατος. Η απαντηση(αυτη του ερωτηµατος (ii)) ειναι της ιδιας ταξης µεγεθους µε το προη-γουµενο αποτελεσµα. Τ£ωρα που αρχισατε να γινεστε καχυποπτοιδοκιµαστε µηπως θα επρεπε να κρατησετε και τον τριτο ορο στοαναπτυγµα. Ειναι χρησιµος η µηπως ειναι αν£ωτερης ταξης; Ποιο ει-ναι, λοιπον, το σωστο αποτελεσµα σε πρ£ωτη προσεγγιση;

(iv) Η ενασχοληση σας µε το παραπανω προ1ληµα µαλλον αρχισενα κλονιζει την εµπιστοσυνη σας στο τι θα πρεπει να θεωρουµε µι-κρο και αµελητεο και τι µεγαλο και υπολογισιµο. ∆εν ειστε εξαρ-χης σιγουροι µε ποση ακρι1εια πρεπει να λα1ετε τα διαφορα µεγεθη.Οσο για τη µετα1ολη του που “αισθανεται” η πετρα καθ£ως πεφτειδεν χρειαζεται να τη συµπεριλα1ουµε, αφου, οπως αποδεικνυεται,οδηγει σε διορθ£ωσεις αν£ωτερης ταξης. Ας απελευθερωθουµε, λοι-πον, απο τη θε£ωρηση του Νευτωνα και ας λυσουµε το προ1ληµαµας στο µη αδρανειακο περιστρεφοµενο συστηµα της Γης. Αλλω-στε, γιατι να µην αξιοποιησουµε τις γν£ωσεις µας σχετικα µε τα µηαδρανειακα συστηµατα; (α) ∆ειξτε οτι η δυναµη Coriolis που ασκει-ται στην πετρα, καθ£ως αυτη κατευθυνεται προς τα κατω, εν£ω το πη-γαδι µαζι µε τη Γη στρεφονται απο τα αριστερα προς τα δεξια οπωςστο παραπανω σχηµα, εχει τη φορα που φαινεται στο σχηµα και µε-τρο

¬ê Z W j Ø . (β) Υπολογιστε την κατακορυφη ταχυτητα τηςπετρας j Ø σαν να επροκειτο για απλη κατακορυφη πτ£ωση και στησυνεχεια ολοκληρ£ωστε την εξισωση κινησης για την οριζοντια κι-νηση (διπλη ολοκληρωση)£ωστε να υπολογισετε την οριζοντια µετα-τοπιση της πετρας συναρτησει του χρονου. Προσεξτε οτι οι αρχικεςσυνθηκες εδ£ω ειναι διαφορετικες. Στο συστηµα της Γης η πετρα ει-ναι αρχικα ακινητη. (γ) Τελος, θεστε το συνολικο χρονο πτ£ωσης τηςπετρας στη συναρτηση της οριζοντιας θεσης και ιδου η ζητουµενηµετατοπιση! Οπως διαπιστ£ωνετε, η µετατοπιση που βρηκατε ειναιιδια µε εκεινη του ερωτηµατος (ii) και (iii) (οταν κρατησατε και τοδευτερο ορο στο αναπτυγµα).

(v) Ανεξαρτητα απο το Νευτωνα και τα µη αδρανειακα συστηµατα :Ας ξεκινησουµε, τ£ωρα, καπως διαφορετικα. Αςαποφυγουµε τη θε£ω-ρηση του Νευτωνα που οπως ειδαµε µας προκαλεσε συγχυση καιµας δηµιουργησε ανασφαλεια σχετικα µε το ποιοι οροι ειναι σηµα-ντικοι και ποιοι δεν ειναι. Ας ξεχασουµε και τα µη αδρανειακα συ-στηµατα που οπως γνωριζουµε περιγραφουν τη συµπεριφορα τωνµηχανικ£ων συστηµατων βασει ψευδοδυναµεων. Υπαρχει τελικα κα-µια διατηρουµενη ποσοτητα για την πετρα; Φυσικα και υπαρχει [ ει-ναι η στροφορµη της, αφου η πετρα κινειται σε πεδιο κεντρικ£ων δυ-ναµεων. (α) ∆ειξτε οτι η διατηρηση της στροφορµης της πετρας επι-1αλλει

W/Í ) ìë Í # ) , οπου ë η στιγµιαια γωνιακη ταχυτηταπεριστροφης της πετρας γυρω απο το κεντρο της Γης και

Wη γω-

νιακη ταχυτητα περιστροφης της Γης. Η πτ£ωση κατα της πετρας


µεσα στο βαρυτικο πεδιο της Γης δινεται µε απολυτη ορθοτητα γιαµικρα βαθη απο τη γνωστη σας απο το σχολειο σχεση () J ) . (β)Ολοκληρ£ωστε τη γωνιακη ταχυτητα í ë IKJ , αφου αναπτυξτε την ëσε ορους ταξης

Í < , για να βρειτε τη γωνιακη µετατοπιση που θαεχει υποστει η πετρα µεχρι να φθασει στον πυθµενα του πηγαδιου.(γ) Υπολογιστε και τη γωνιακη µετατοπιση του πυθµενα του πηγα-διου καθ ολο αυτο το χρονικο διαστηµα. (δ) Η διαφορα των δυογωνιακ£ων µετατοπισεων πολλαπλασιασµενη µε την ακτινικη θεσητου πυθµενα

Í # æ θα δ£ωσει την πολυσυζητηµενη µετατοπιση τηςπετρας. Αποφασιστε µεχρι ποιας ταξης ορους πρεπει να κρατησετεκαι γραψτε το αποτελεσµα. Τ£ωρα πια θα πρεπει να νι£ωθετε περισ-σοτερη σιγουρια για το σωστο αποτελεσµα!

8. Υπολογισµος του σχηµατος της επιφανειας της Γης : Θεωρηστε οτιστην επιφανεια του πλανητη Γη το βαρυτικο πεδιο ειναι#ïîcð C Αποδειξτε οτι Í

Ι# Í

Π W ) Í C

Ι

ÍΠZ îcð &

οπουÍΙ η αποσταση του Ισηµερινου απο το κεντρο του πλανητη

καιÍΠ η αποσταση των Πολων απο το κεντρο του πλανητη. Εκτι-

µηστε τη διαφοραÍΙ# Í

Π για τη Γη, θεωρ£ωντας οτιÍΙ ñ Í

Πò \K\CóUO

. ∆ινεται η µαζα της Γης ð ò B \ ) 4 ó¦ô , î ò ò³õ B \ ((ö [ O ) [ ó¦ô ) και W Z ÷ ò \K\ ^ ( .9. Υπολογισµος της πιεσης στο κεντρο ανεµοστρο1ιλου : Οιανεµοστρο-1ιλοι ειναι ισχυροτατοι, σχεδον κατακορυφοι, στρο1ιλοι, οι οποιοικατα το χρονικο διαστηµα των 30 min, που ειναι η τυπικη διαρκειαζωης τους, προκαλουν τεραστιες καταστροφες. Η διαδικασια δηµι-ουργιας τους δεν εχει εξηγηθει εως σηµερα πληρως. Αποδειξτε οτιη πιεση στο εδαφος στο κεντρο του ανεµοστρο1ιλου ειναι T ð$#&% # ë ) )TZ Í|ø p &οπου

T η πιεση στο εδαφος εκτος του ανεµοστρο1ιλου, T η ακτινατου ανεµοστρο1ιλου,

ë η γωνιακη ταχυτητα περιστροφης του και pη θερµοκρασια του αερα. Ο ανεµοστρο1ιλος θεωρειται ισοθερµος.Εαν η θερµοκρασια ειναι 288Κκαι ο ανεµοστρο1ιλος εχει ακτινα T ,εν£ω η πιεση στο εδαφος ειναι 1000 mb και η ταχυτητα του ανεµουB \K\O [ ^ ( , ποση ειναι η κεντρικη πιεση; (Για τον αερα η τιµη τηςσταθερας του αεριου ειναι

Í|ø Í MB

Z ÷ õù [ Æ ( [ ó¦ô ( , οπουMB ειναι η γραµµοµοριακη µαζα του αερα).

10. Γνωριζουµε οτι, οταν στρεφεται το συστηµα συντεταγµενων, δυο δια-νυσµατα του ευκλειδειου χ£ωρου αλλαζουν συνιστ£ωσες, εν£ω το εσω-τερικο τους γινοµενο παραµενει αναλλοιωτο. Το ιδιο ισχυει και για


το χωροχρονο και τα τετρανυσµατα που κατασκευαζει κανεις σε αυ-τον. Η µονη διαφορα απο τον ευκλειδειο χ£ωρο ειναι οτι το εσωτε-ρικο γινοµενο οριζεται ωςH J 4 M [ ú J 4 M % HXû úcüý û ü # H T ú T H ( ú ( H ) ú ) H C ú Cκατ αναλογιαν µε το µετρο του τετρανυσµατος της θεσης. Ο δει-κτης J 4 M εχει εισαχθει προκειµενου να διακρινει τα τετρανυσµατα α-πο τα διανυσµατα του τρισδιαστατου ευκλειδειου χ£ωρου. Παραλ-ληλα, η κλιση του τετρανυσµατος της τετραταχυτητας µε το χρο-νικο αξονα ειναι η ταχυτητα κινησης του σωµατιδιου στο οποιο ανα-φερεται η τετραταχυτητα. Υπολογιστε λοιπον το εσωτερικο γινο-µενο των τετραταχυτητων δυο σωµατιδιων και συναγετε απο αυτοτο µετρο της σχετικης ταχυτητας των δυο σωµατιδιων. Σκεφθειτεγιατι αυτο το αναλλοιωτο µεγεθος ειναι η µοναδικη ποσοτητα πουθα µπορουσε να σχετιζεται µε τη σχετικη ταχυτητα των σωµατιδιων.

11. Ξεκιν£ωντας απο τη µορφη του πινακα µετασχηµατισµου L 4 της σχε-σης (6.53) στον δισδιαστατο χ£ωρο των

J & υπολογιστε το γεννητορατου αντιστοιχου µετασχηµατισµου προ£ωθησης, οπως καναµε και µετις στροφες στο εδαφιο 6.9. Ακολουθ£ωντας την ιδια µεθοδο πουακολουθησαµε στις ευκλειδειες στροφες οικοδοµηστε το µετασχη-µατισµο πεπερασµενης προ£ωθησης απο το γεννητορα του µετασχη-µατισµου. Μετα1αινοντας, τ£ωρα, στον τετραδιαστατο χ£ωρο τουMinkowski υπολογιστε τους µεταθετες µεταξυ ολων των γεννητο-ρων προ£ωθησης καθ£ως και τους µεταθετες µεταξυ ολων των γεννη-τορων προ£ωθησης και των ευκλειδειων στροφ£ων.

Kefalaioﬁ 6 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch6.pdf · 2011. 10. 17. ·...

Documents

Transcript of Kefalaioﬁ 6 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch6.pdf · 2011. 10. 17. ·...