Kefalaioﬁ 3 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch3.pdf68 KEFALAIO3. SUNARTHSHLAGRANGE...

Κεφαλαιο 3

Συναρτηση Lagrange

“Αυτο που πραγµατικα µε ενδιαφερει ειναιτο αν ο Θεος ειχε τη δυνατοτητα επιλογης

κατα τη δηµιουργια του κοσµου”Albert Einstein

3.1 Η Λαγκρανζιανη και το φυσικο της

περιεχοµενο

Στο πρ£ωτο κεφαλαιο δειξαµε οτι ο δυναµικος νοµος του Νευτωνα ει-ναι ισοδυναµος µε την απαιτηση η δραση, που περιγραφεται ως το ολο-κληρωµα της Λαγκρανζιανης, στο χρονο να καθισταται στασιµη. Το γε-γονος αυτο µας δινει τη δυνατοτητα να αναγαγουµε το προ1ληµα της δι-ερευνησης της εξελιξης ενος µηχανικου συστηµατος στην κατασκευη τηςλαγκρανζιανης συναρτησης του συστηµατος, η οποια και εµπεριεχει ολητη “φυσικη” του προ1ληµατος. Ηλαγκρανζιανη συναρτηση (η συναρτηση Η φυσικη κρυµµενη

µεσα στη συναρτηση

Lagrange

Lagrange) περιεχει κατι περισσοτερο µεσα σε αυτην κρυ1ονται ολες οισυµµετριες του συστηµατος και απο αυτες τις συµµετριες, οπως θα δουµεστο Κεφαλαιο 5, µπορουµε ευκολα να κατασκευασουµε τις διατηρουµε-νες ποσοτητες, οι οποιες θα µας διευκολυνουν στην επιλυση των εξισ£ω-σεων κινησης του προ1ληµατος.Εχουµε µαθει εως τ£ωρα οτι η καταλληλη επιλογη για τη λαγκρανζι-

ανη συναρτηση ενος µηχανικου συστηµατος ειναι η διαφορα µεταξυ τηςκινητικης και της δυναµικης ενεργειας του συστηµατος. Στο κεφαλαιοαυτο θα προσπαθησουµε να καταλα1ουµε το λογο για τον οποιο η Λα-γκρανζιανη εχει αυτη τη µορφη. Στη συνεχεια θα δουµε οτι η λαγκραν-ζιανη περιγραφη ειναι, εν γενει, ακαταλληλη για συστηµατα µε αναλωσηστα οποια εµφανιζονται µη συντηρητικες δυναµεις. Θα εξηγησουµε, οµως,οτι αυτο δεν αποτελει ουσιαστικο προ1ληµα, αφου σε θεµελι£ωδες επιπεδοολες οι δυναµεις στη φυση ειναι συντηρητικες. Τελος, θα κλεισουµε αυτοτο κεφαλαιο γραφοντας τη λαγκρανζιανη συναρτηση που διεπει την κι-νηση σωµατιδιων στο ηλεκτροµαγνητικο πεδιο και θα προσδιορισουµε τηνκανονικη ορµη των σωµατιδιων σε αυτη την περιπτωση.Θα αρχισουµε µελετ£ωντας µερικες βασικες ιδιοτητες της λαγκρανζια-

63

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE

νης συναρτησης καθ£ως και τους µετασχηµατισµους αυτης, οι οποιοι δεναλλοι£ωνουν την περιγραφη του µηχανικου συστηµατος. Αν πολλαπλασιασουµε τη λαγκρανζιανη συναρτηση

ενος συστηµατοςΤο µετρο της

Λαγκρανζιανης

στερειται φυσικου

περιεχοµενου

µε εναν αριθµο , η νεα Λαγκρανζιανη που θα προκυψει θα περιγρα-φει και παλι το ιδιο φυσικο συστηµα. Ειναι ευκολο να διαπιστ£ωσει κανειςοτι οι εξισ£ωσεις κινησης θα ειναι οι ιδιες, αφου οι εξισ£ωσεις Euler - La-grange ειναι οµογενεις διαφορικες εξισ£ωσεις παραγ£ωγων της Λαγκραν-ζιανης. Εξαλλου, πολλαπλασιαζοντας τη Λαγκρανζιανη µε εναν αριθµο,πολλαπλασιαζουµε και τη δραση µε τον ιδιο αριθµο διχως να µετα1αλ-λουµε τη “θεση” του στασιµου αυτης : Η διαδροµη που καθιστα την αρ-χικη δραση στασιµη καθιστα στασιµη και τη νεα δραση, οπως ακρι1£ως ταιδια σηµεια αποτελουν ακροτατα και της συναρτησης και της . ΗΛαγκρανζιανη ενος συστηµατος σωµατιδιων, που δεν αλληλεπιδρουν,Αν µια Λαγκρανζιανη

µπορει να διαχωριστει

σε δυο ανεξαρτητες,

το φυσικο προ1ληµα

“σπαει” σε δυο

απλουστερα

προ1ληµατα

ειναι απλ£ως το αθροισµα των επι µερους Λαγκρανζιαν£ων του καθε σωµα-τιδιου. Η ιδιοτητα αυτη µας επιτρεπει να εκφρασουµε τη Λαγκρανζιανηενος συνθετου συστηµατος που αποτελειται απο υποσυστηµατα που δεναλληλεπιδρουν µεταξυ τους ως το αθροισµα των Λαγκρανζιαν£ων των επιµερους συστηµατων. Η λαγκρανζιανη συναρτηση, για παραδειγµα, πουδιεπει την κινηση µη αλληλεπιδρ£ωντων ελευθερων σωµατιδιων, εκα-στου µαζας , ειναι !#" (3.1)

Πολλες φορες ενας τετοιος διαχωρισµος της Λαγκρανζιανης δεν ει-ναι προφανης. Οταν υπαρχει καποιος µετασχηµατισµος των συντεταγ-µενων τετοιος £ωστε να µπορει η Λαγκρανζιανη να γραφει ως αθροισµαανεξαρτητων Λαγκρανζιαν£ων, τοτε αποκαλυπτεται η απλουστερη δοµητου συστηµατος. Θα δουµε αργοτερα, στο Κεφαλαιο 8, οτι αυτη η ιδιο-τητα µας δινει τη δυνατοτητα να αναλυσουµε ενα οσοδηποτε πολυπλοκοµηχανικο συστηµα, το οποιο βρισκεται κοντα σε καποια κατασταση ευ-σταθους ισορροπιας, ως ενα συνολο πολλ£ων ανεξαρτητων µονοδιαστα-των αρµονικ£ων ταλαντωτ£ων.Ας εξετασουµε ενα παραδειγµα τετοιου µη προφανους διαχωρισµου

µιας Λαγκρανζιανης σε δυο επι µερους ανεξαρτητες Λαγκρανζιανες : ∆υοσωµατιδια µαζας $ και ! που κινουνται σε µια διασταση υπο την επι-δραση καποιας αµοι1αιας αλληλεπιδρασης η οποια περιγραφεται απο τοδυναµικο % &(') ! . Ενα τετοιο δυναµικο καλειται δυναµικο νευτ£ω-νειου τυπου, διοτι απο ενα τετοιο δυναµικο πηγαζουν δυναµεις αλληλεπι-δρασης των σωµατιδιων οι οποιες ειναι ισες και αντιθετες µεταξυ τους καιεποµενως ειναι συµφωνες µε τον τριτο νοµο του Νευτωνα. Ειναι ευκολονα γραψει κανεις τη Λαγκρανζιανη του συστηµατος των δυο σωµατιδιωνως εξης : $ *! ,+ ! *!! '-% &.'/ ! 0" (3.2)

Στις φυσικες συντεταγµενες &21 ! ηΛαγκρανζιανη δεν ειναι διαχωρισιµη,αφου το δυναµικο αλληλοεµπλεκει και τις δυο συντεταγµενες. Αν, οµως,

3.1. Η ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 65

για την περιγραφη του συστηµατος χρησιµοποιουσαµε ως συντεταγµενεςτη θεση του κεντρου µαζας Ο διαχωρισµος

επιτυγχανεται σε

νεες συντεταγµενες,

πολλες φορες οχι

τοσο προφανεις

3540687 $9& + ! ! $ + !και τη σχετικη θεση των σωµατιδιων 7 &'/ ! 1θα διαπιστ£ωναµε µε απλη αντικατασταση οτι η Λαγκρανζιανη θα λαµ-1ανε τη διαχωρισιµη µορφη;: &< 3 !406>= + : ? *!@'-% 0 = 1 (3.3)

οπου < $ + !ειναι η ολικη µαζα και ? $A !<ειναι η ανηγµενη µαζα του συστηµατος. Την τελευταια αυτη µορφη τηναναµεναµε, αφου ηδη γνωριζουµε π£ως κινειται ενα συστηµα δυο σωµατι-διων που αλληλεπιδρουν µε δυναµεις νευτ£ωνειου τυπου. Το συστηµα θακινηθει ολο µαζι συµπεριφεροµενο ως ενα ελευθερο σ£ωµα, το οποιο βρι-σκεται στο κεντρο µαζας του συστηµατος και εχει µαζα ιση µε την ολικηµαζα του συστηµατος (πρ£ωτος ορος της Λαγκρανζιανης). Συγχρονως, ησχετικη κινηση των δυο σωµατιδιων θα ειναι αυτη ενος σ£ωµατος µαζαςισης µε την ανηγµενη µαζα του συστηµατος, η οποια κινειται στο δυνα-µικο αλληλεπιδρασης που τ£ωρα φαινεται να προερχεται απο καποια εξω-τερικη πηγη (τελευταιοι δυο οροι της Λαγκρανζιανης). Η νεα αυτη µορφητης Λαγκρανζιανης µας επιτρεπει να διαπιστ£ωσουµε οτι οι εξισ£ωσεις Eu-ler - Lagrange του συστηµατος καταληγουν στην οµαλη κινηση του κε-ντρου µαζας και στη σχετικη κινηση της ανηγµενης µαζας στο δυναµικοαλληλεπιδρασης. Μια αλλη ιδιοτητα της λαγκρανζιανης συναρτησης ειναι η ακολουθη :αν στη λαγκρανζιανη συναρτηση ενος συστηµατος προσθεσουµε µια αλ- Μετασχηµατισµος

βαθµονοµησηςλη συναρτηση, η οποια αποτελει τελεια χρονικη παραγωγο καποιας συ-ναρτησης των θεσεων και του χρονου,B DCE1 CE1 F G DCE1 CE1 F +8H DCE1 F H F 1 (3.4)

η νεα ΛαγκρανζιανηBπου προκυπτει περιγραφει και παλι το ιδιο µηχα-

νικο συστηµα.1 Μπορουµε να επι1ε1αι£ωσουµε οτι η παραπανω προτασηισχυει αν υπολογισουµε προσεκτικα τις εξισ£ωσεις Euler - Lagrange πουπροκυπτουν απο τη νεα Λαγκρανζιανη και καταληξουµε στις αντιστοιχες

1Το συµ1ολο I παριστανει γενικα ενα συνολο συντεταγµενων IJKLIAM2KANANAN και αντι-στοιχα το OI συµ1ολιζει τη χρονικη παραγωγο ολων αυτ£ων των συντεταγµενων.


εξισ£ωσεις της αρχικης Λαγκρανζιανης (βλ.Προ1ληµα 1). Οαπλουστερος,ωστοσο, τροπος να αποδειξουµε οτι ο παραπανω µετασχηµατισµος αφη-νει αναλλοιωτες τις εξισ£ωσεις κινησης και να κατανοησουµε το βαθυτερονοηµα αυτου του µετασχηµατισµου ειναι να υπολογισουµε τη δραση στηνοποια οδηγει η νεα Λαγκρανζιανη,BP Q-RTSRU B H F Q RTSRU H F + DCE1 F V RTSRU P + DCWFAX,Y1 FAX,.')DCWF[Z&Y1 F[Z&0" (3.5)

Οι τελευταιοι δυο οροι της παραπανω παραστασης ειναι καποιοι καθορι-σµενοι αριθµοι, αφου το αρχικο και το τελικο σηµειο της διαδροµης κατατην εφαρµογη της αρχης ελαχιστης δρασης θεωρουνται δεδοµενα. Επο-µενως, η ευρεση ακροτατου της

BPδεν εξαρταται απο τη συναρτηση το

ακροτατο τηςBPειναι το ιδιο µε το ακροτατο της

Pκαι συνεπ£ως η φυσικη

τροχια που προκυπτει απο τη ΛαγκρανζιανηBειναι ιδια µε τη φυσικη

τροχια που προκυπτει απο την.

Αυτος ο µετασχηµατισµος , ο οποιος αποτελει συµµετρια της Λαγκραν-ζιανης, αφου αφηνει αναλλοιωτες τις εξισ£ωσεις Euler - Lagrange, ονοµα-ζεται gauge transformation. Στα ελληνικα εχει αποδοθει µε τον ορο µετα-σχηµατισµος βαθµιδας. Ισως, οµως, πιο σωστα θα επρεπε να ονοµαζε-ται µετασχηµατισµος βαθµονοµησης. Ουσιαστικα µε αυτον το µετασχη-Τι ανα1αθµονοµειται;

µατισµο ειναι σαν να ανα1αθµονοµει –εξ ου και ο προτεινοµενος ορος–κανεις την τιµη της δρασης κατα µηκος του αξονα του χρονου ανεξαρ-τητως της διαδροµης που ακολουθει το συστηµα, µε τον ιδιο τροπο πουθα µπορουσε να ανα1αθµονοµησει κανεις το οργανο ελεγχου της σταθµηςτης βενζινης ενος αυτοκινητου ο οδηγος του αυτοκινητου θα συνηθιζετις ανα1αθµονοµηµενες ενδειξεις του οργανου και θα γν£ωριζε, παλι, ποτετελει£ωνει η βενζινη. Μετασχηµατισµους βαθµονοµησης συναντα κανειςπολυ συχνα στη φυσικη, οταν υπαρχει καποια ελευθερια στον καθορισµοενος µεγεθους διχως να διαφοροποιειται το φυσικο περιεχοµενο του προ-1ληµατος. Παραδειγµα ενος τετοιου µετασχηµατισµου ανα1αθµονοµη-σης που εχουµε ηδη συναντησει κατα τη µελετη προ1ληµατων νευτ£ωνειαςµηχανικης ειναι η αυθαιρετη επιλογη του σηµειου στο οποιο θεωρει κανειςοτι η δυναµικη ενεργεια µηδενιζεται. Στην περιπτωση αυτη, οµως, αυτοπου εχει σηµασια ειναι ο τροπος µε τον οποιο µετα1αλλεται η δυναµικηενεργεια και οχι η ιδια η τιµη της.Τελος, προτου κλεισουµε τη γενικη συζητηση σχετικα µε τη Λαγκραν-Ο καθορισµος των

µετα1λητ£ων στη

Λαγκρανζιανη

ειναι σηµαντικος

ζιανη συναρτηση, θα πρεπει να τονισουµε ενα σηµειο 2που ισως εκ πρ£ω-της αποψης να φαινεται τετριµµενο και αναξιο λογου. Οταν γραφουµετη συναρτησιακη µορφη µιας Λαγκρανζιανης, θα πρεπει κατ αρχας ναεπισηµανουµε ποιες ποσοτητες ειναι παραµετροι και ποιες ειναι µετα1λη-τες. Ωστοσο, οσο και αν αυτο φαινεται να ειναι µια ανουσια επισηµανση,κατα τη λαγκρανζιανη θε£ωρηση των πεδιων (γενικευση των σωµατιδιων),

2Θα θελαµε να ευχαριστησουµε τον Φ. Χατζηιωαννου για την επισηµανση αυτη.

3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 67

το ποιες ποσοτητες αναφερονται σε πεδια και ποιες οχι, ενδεχεται να εχειδραµατικη επιπτωση στις εξισ£ωσεις κινησης (βλ. Ασκηση 3.1).

Ασκηση 3.1. Εστω η Λαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιου ΑΣΚΗΣΕΙΣ\]_^ O` M NΕλεγξτε π£ως τροποποιουνται οι εξισ£ωσεις κινησης αν θεωρησουµε οτι αγνωστη µετα-1λητη δεν ειναι µονο η ` (

`baced), αλλα και η ^gf ειναι δηλαδη ^ aced

.

3.2 Κατασκευη της Λαγκρανζιανης βασει

συµµετρι£ων

Η βαθυτερη προελευση της λαγκρανζιανης συναρτησης θα αποκαλυ-φθει στη συνεχεια, οταν κατασκευασουµε τη λαγκρανζιανη συναρτησητου ελευθερου σωµατιδιου στηριζοµενοι αποκλειστικα στις συµµετριεςτου χ£ωρου και του χρονου και στο παρατηρησιακο δεδοµενο οτι µονο ηαρχικη θεση και η ταχυτητα του φυσικου συστηµατος αρκουν για να πε-ριγραφει πληρως η εξελιξη του συστηµατος. Το τελευταιο αυτο δεδοµενοενσωµατ£ωνεται αµεσα στη µορφη της Λαγκρανζιανης, οταν θεωρουµε οτιαυτη ειναι συναρτηση µονο των θεσεων και των ταχυτητων και οχι αν£ω-τερων χρονικ£ων παραγ£ωγων. Ας ξεκινησουµε, λοιπον, µε καποια γενικηλαγκρανζιανη συναρτηση για το ελευθερο σωµατιδιο που εχει την ακο-λουθη µορφη : G h1 ,1 F 0"Λογω της οµογενειας του χρονου, που απαιτει να εχουν οι νοµοι της φυ- Οι συµµετριες του

Συµπαντος

αντικατοπτριζονται

στη Λαγκρανζιανη

του ελευθερου

σωµατιδιου

σης την ιδια µορφη σε καθε χρονικη στιγµη, δεν ειναι δυνατον η Λαγκραν-ζιανη του σωµατιδιου να εξαρταται απο το χρονο. Οποιαδηποτε χρονικηστιγµη η Λαγκρανζιανη πρεπει να ειναι η ιδια, αφου ολες οι χρονικες στιγ-µες ειναι ισοδυναµες. Εποµενως, η οµογενεια του χρονου µας οδηγει στηναπλουστερη Λαγκρανζιανη i)j ,1,kl"Αντιστοιχως, λογω της οµογενειας του χ£ωρου, που απαιτει να ειναι ιδιοιοι φυσικοι νοµοι σε καθε σηµειο του χ£ωρου, η Λαγκρανζιανη δεν ειναιδυνατον να εξαρταται ουτε απο τη θεση του σωµατιδιου. Το ελευθεροσωµατιδιο, οπου και αν βρισκεται, πρεπει να περιγραφεται απο την ιδιαλαγκρανζιανη συναρτηση, αφου καθε σηµειο του χ£ωρου ειναι ισοδυναµο.Εποµενως, η µορφη της Λαγκρανζιανης πρεπει να ειναι ακοµη πιο απληG)j km"


Τελος, η ισοτροπια του χ£ωρου, δηλαδη η ανεξαρτησια της περιγραφηςτου σωµατιδιου απο την κατευθυνση της κινησης του, οποια και αν ει-ναι αυτη, αφου ολες οι κατευθυνσεις του χ£ωρου θεωρουνται ισοδυναµες,3

επι1αλλει η λαγκρανζιανη συναρτηση του ελευθερου σωµατιδιου να ειναισυναρτηση µονο του µετρου της ταχυτηταςG j Y0 k "Ειναι ενδιαφερον οτι οι τρεις βασικες και προφανεις συµµετριες του Συ-µπαντος (η ισοτροπια του χ£ωρου, η οµογενεια του χ£ωρου και του χρονου)δεν ειναι αρκετες για τον προσδιορισµο της Λαγκρανζιανης ενος ελευθε-ρου σωµατιδιου, η οποια κρυ1ει και ολη τη δυναµικη του σωµατιδιου. Ηανακαλυψη, ωστοσο, µιας νεας συµµετριας απο τον Γαλιλαιο ηταν κα-θοριστικης σηµασιας για τον προσδιορισµο της δυναµικης του ελευθερουσωµατιδιου.Η γαλιλαι°κη συµµετρια, δηλαδη η συµµετρια περιγραφης του συστη-

µατος σε διαφορετικα αδρανειακα συστηµατα, απαιτει να µην αλλαζει τοφυσικο περιεχοµενο της Λαγκρανζιανης, οταν η κινηση του σωµατιδιουπεριγραφεται απο καποιο αλλο αδρανειακο συστηµα αναφορας. Ετσι,ο µετασχηµατισµος on qp 5' %rF(1οπου

% ειναι η σταθερη σχετικη ταχυτητα κινησης των δυο αδρανειακ£ωνσυστηµατων –του καινουργιου ως προς το αρχικο– δεν µπορει να επιφε-ρει τιποτε περισσοτερο απο ενα µετασχηµατισµο βαθµονοµησης στη Λα-γκρανζιανη, ο οποιος, οπως εχουµε αναφερει, δεν αλλαζει το φυσικο πε-ριεχοµενο της Λαγκρανζιανης αφου οδηγει σε ιδιες εξισ£ωσεις κινησης. Τοαποτελεσµα, δηλαδη, του γαλιλαι°κου µετασχηµατισµου στη Λαγκρανζι-ανη πρεπει να ειναι4 j qpL ! k G j Y0 ! k + H ,1 F H F " (3.6)

Οµως,Η γαλιλαι°κη

συµµετρια κρυ1εται

µεσα σε ενα

µετασχηµατισµο

βαθµονοµησης

)j p ! k i)j 5' %s ! k G)j + % %t' % km"Παρατηρουµε οτι, επειδη το

% ειναι σταθερο διανυσµα, οι δυο τελευταιοιοροι στο ορισµα της συναρτησης αποτελουν µια τελεια χρονικηπαραγωγο,αφου % %t' % HH F j % %rF.' % kl" (3.7)

3Φαινεται, ισως, περιεργο που αναφερουµε για το χ£ωρο τα χαρακτηριστικα και τηςοµογενειας και της ισοτροπιας, εν£ω για το χρονο µονο αυτο της οµογενειας. Ο λογοςειναι οτι ο χρονος ειναι µονοδιαστατος, οποτε η εννοια της ισοτροπιας του χρονου ση-µαινει απλ£ως οτι ο χρονος θα µπορουσε να ρεει στα µηχανικα συστηµατα ειτε προς τοµελλον ειτε προς το παρελθον χωρις καµια διαφορα.

4Για να διευκολυνθουµε στην εκτελεση των πραξεων θα θεωρησουµε την u , χωρις νααλλοι£ωσουµε το περιεχοµενο της, συναρτηση οχι του | Ov` |, αλλα του | Ov` | M .


Εποµενως, αναζητουµε µια συναρτηση w ! για την οποια να ισχυειyx w ! + HzH FW| i w !Y + H H F 1

οπου z µια δεδοµενη συναρτηση –η συναρτηση εντος της παρενθεσης στησχεση (3.7)– και µια οποιαδηποτε συναρτηση των και F . Φαινεται αµε-σως οτι µια τετοια καταλληλη συναρτηση ειναι η γραµµικη συναρτηση w !Y i w ! +)~ "Ειναι διαισθητικα προφανες οτι δεν ειναι δυνατον καποια αλλη συναρ-τηση εκτος απο τη γραµµικη να ικανοποιει τη ζητουµενη συνθηκη, αφουοποιαδηποτε µη γραµµικοτητα της συναρτησης θα ειχε ως αποτελεσµανα εµφανιστει το τετραγωνο της HzWH F , το οποιο δεν αποτελει τελεια χρο-νικη παραγωγο. Βασιζοµενοι σε αυτη την παρατηρηση, ειµαστε σε θεση Μονο η γραµµικη

συναρτηση ικανοποιει

τις απαιτησεις µας

να αποδειξουµε αυστηροτερα οτι η γραµµικη συναρτηση ειναι η µοναδικηπου µπορουµε να κατασκευασουµε µε την παραπανω ιδιοτητα. Ας θεω-ρησουµε οτι η συναρτηση z ειναι καταλληλως µικρη αυτο µπορουµε νατο επιτυχουµε επιλεγοντας µικρη σχετικα ταχυτητα

% . Αν αναπτυξουµετην

σε ορους µεχρι ταξης

% λαµ1ανουµεyx w ! + HzH F | i/ w ! + H DWH & H [' % H F + %o !Y(" (3.8)

Για να ειναι ο γραµµικος ως προς% ορος µια τελεια χρονικη παραγωγος,

πρεπει ο παραγοντας H DWH & 1να ειναι µια σταθερα

, δηλαδη, w !Y i w ! +)~ "

Συνοψιζοντας, θα λεγαµε οτι η Λαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιουσε εναν κοσµο που παρουσιαζει ολες τις παραπανω συµµετριες οφειλει ναεχει την ακολουθη µορφη

ελ. σωµ.

/Y0 !" (3.9)

Η προσθετικη σταθερα ~ αφαιρεθηκε απο τον παραπανω τυπο, αφου,οπως εχουµε µαθει, µια τετοια σταθερα δεν εχει φυσικη σηµασια (τετριµ-µενος µετασχηµατισµος βαθµονοµησης), εν£ω η σταθερα

απλ£ως αντικα-

τασταθηκε µε τη σταθερα . Η τελευταια αυτη επιλογη ειναι εντελ£ωςαυθαιρετη, αφου οποιοσδηποτε πολλαπλασιαστικος παραγοντας θα ητανικανοποιητικος. Προκειται, ωστοσο, για µια λογικη επιλογη, αφου στηνκλασικη φυσικη η µοναδικη ιδιοτητα ενος υλικου σωµατιδιου που το δια-κρινει απο τα αλλα ειναι η µαζα του. Οσο για το

ειναι και αυτο αυ-θαιρετο και εχει επιλεγει για να µας θυµιζει µια γνωστη φυσικη ποσοτητα,την κινητικη ενεργεια.


Ας θεωρησουµε στη συνεχεια δυο σωµατιδια που δεν αλληλεπιδρουν.Η συνολικη Λαγκρανζιανη αυτου του συστηµατος σωµατιδιων ειναι τοαθροισµα των Λαγκρανζιαν£ων των δυο επιµερους σωµατιδιων, $&V ! + ! Y ! !#1 (3.10)

οπου&21 ! οι θεσεις των δυο σωµατιδιων.

Η Λαγκρανζιανη δυο

µη αλληλεπιδρ£ωντων

σωµατιδιων

Εστω, τ£ωρα, οτι τα δυο σωµατιδια αλληλεπιδρουν. Στο οριο που ηαλληλεπιδραση ειναι αµελητεα, η ολικη Λαγκρανζιανη του συστηµατοςπρεπει να τεινει στην παραπανω Λαγκρανζιανη, οποτε η Λαγκρανζιανηπου περιγραφει την αλληλεπιδραση µεταξυ των σωµατιδιων, η οποια εξαρ-ταται απο τις συντεταγµενες και τις ταχυτητες και των δυο σωµατιδιων,θα πρεπει να εµφανιζεται προσθετικα. Θα µπορουσε, βε1αια, να αναζη-τησει κανεις εναν ορο αλληλεπιδρασης, ο οποιος να πολλαπλασιαζει τηΛαγκρανζιανη των δυο ελευθερων σωµατιδιων και να ειναι τετοιος £ωστε,οταν τα δυο σωµατιδια αποµακρυνθουν πολυ το ενα απο το αλλο, ο οροςαυτος να τεινει στη µοναδα, η ακοµη να κατασκευασει µια ακοµη πιο περι-πλοκη συναρτησιακη µορφη για να περιγραψει την αλληλεπιδραση. Κατιτετοιο, οµως, θα οδηγουσε σε πολυ πιο συνθετους φυσικους νοµους κι-νησης οι οποιοι οµως δεν επαληθευονται πειραµατικα. Οποτε, η απλου-στερη Λαγκρανζιανη δυο αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων ειναι ηΗ γενικοτερη

Λαγκρανζιανη δυο

αλληλεπιδρ£ωντων


$&V ! + ! Y ! ! + αλληλ &21 ! 1&Y1, ! 1 F (" (3.11)

Τι µορφη µπορει να εχει ηαλληλ; Για να την προσδιορισουµε, θα χρησι-

µοποιησουµε και παλι τις συµµετριες του Συµπαντος. Η Λαγκρανζιανηαυτη δεν ειναι δυνατον να εξαρταται απο το χρονο και συνεπ£ως πρεπεινα παραµενει αναλλοιωτη σε χρονικες µεταθεσεις, διοτι οι φυσικοι νοµοιλογω της οµογενειας του χρονου ειναι ιδιοι σε καθε χρονικη στιγµη. Πρε-πει να εξαρταται µονο απο τη σχετικη θεση και τη σχετικη ταχυτητα τωνσωµατιδιων, ετσι£ωστε οι φυσικοι νοµοι να παραµενουν αναλλοιωτοι (συµ-µετρικοι) ως προς τις χωρικες µεταθεσεις (οµογενεια του χ£ωρου) και ναικανοποιουν τη γαλιλαι°κη συµµετρια. Συνεπ£ως, η Λαγκρανζιανη της αλ-ληλεπιδρασης πρεπει να ειναι της µορφης

αλληλ

Gαλληλ

j ,1,kl1οπου

&' ! η σχετικη θεση των σωµατιδιων και &' ! η σχε-τικη τους ταχυτητα. Τελος, η Λαγκρανζιανη πρεπει να εχει µορφη ανε-ξαρτητη απο την κατευθυνση των αξονων που επιλεξαµε για να περιγρα-ψουµε το συστηµα, ετσι £ωστε να ικανοποιειται η ισοτροπια του χ£ωρου.Αυτο σηµαινει οτι η Λαγκρανζιανη παραµενει αναλλοιωτη στις στροφεςκαι συνεπ£ως εξαρταται µονο απο τις βαθµωτες µετα1λητες που µπορουννα κατασκευαστουν απο τα

, . Αυτες ειναι οι 0101 1 0"Ειδικα η τελευταια ποσοτητα µπορει να κατασκευαστει απο τις υπολοιπεςτρεις αφου [! [!b[!'i [!1


οποτε µονο οι τρεις πρ£ωτες ποσοτητες ειναι ανεξαρτητες η µια απο τηναλλη. Επισης, στις παραπανω εκφρασεις δεν συµπεριλα1αµε ποσοτητεςτης µορφης

, οπου καποιο σταθερο διανυσµα, διοτι αυτο θα σηµαινε

οτι στο φυσικο κοσµο υπαρχει καποια προεξαρχουσα διευθυνση πουπροσδιοριζεται απο το διανυσµα

. Συνεπ£ως, µια Λαγκρανζιανη αλλη-

λεπιδρασης που ικανοποιει τις ευκλειδειες συµµετριες (οµογενεια και ισο-τροπια του χ£ωρου), τη γαλιλαι°κη συµµετρια και την οµογενεια του χρο-νου πρεπει να ειναι της µορφης

αλληλj &' ! 1&' ! 1 &' ! b&' ! k "

Στην κατασκευη της λαγκρανζιανης αλληλεπιδρασης εχουµε υποθεσει ο-τι οι αλληλεπιδρασεις µεταξυ των σωµατιδιων ειναι ακαριαιες αυτο ση-µαινει οτι η αλλαγη της θεσης η της ταχυτητας του ενος σωµατιδιου επη-ρεαζει ακαριαια το αλλο σωµατιδιο. Στην κλασικη µηχανικη η παραδοχηοτι ο χρονος ειναι απολυτος, ιδιος δηλαδη σε ολα τα συστηµατα αναφο-ρας, και η αρχη της γαλιλαι°κης σχετικοτητας απαιτουν οι αλληλεπιδρα-σεις µεταξυ των σωµατιδιων να ειναι ακαριαιες. Εαν δεν συνε1αινε αυτοκαι οι αλληλεπιδρασεις διαδιδονταν µε καποια πεπερασµενη ταχυτητα,αυτη η ταχυτητα θα ηταν διαφορετικη σε ενα αλλο συστηµα αναφορας,γεγονος που θα σηµαινε οτι ενα φυσικο συστηµα θα φαινοταν να αλληλε-πιδρα µε διαφορετικο τροπο (λογω διαφορετικ£ων χρονικ£ων αποκρισεων)σε καθε συστηµα αναφορας, κατι που αποτελει σαφη παρα1ιαση της γα-λιλαι°κης αρχης της σχετικοτητας.Ο τριτος νοµος του Νευτωνα που απαιτει η δυναµη

! , η οποια ασκει-ται στο πρ£ωτο σωµατιδιο απο το δευτερο, να ειναι ιση και αντιθετη µε τηδυναµη

! που ασκειται στο δευτερο σωµατιδιο απο το πρ£ωτο, δεν επι-τρεπει καµια αλλη εξαρτηση της λαγκρανζιανης αλληλεπιδρασης παραµονο απο τη σχετικη θεση των σωµατιδιων. Ετσι, η Λαγκρανζιανη δυοαλληλεπιδρ£ωντων µε νευτ£ωνειες δυναµεις σωµατιδιων θα εχει τη µορφη $VY& ! + ! ! !(')% &.' ! 0" (3.12)

Πριν ολοκληρ£ωσουµε τη συζητηση σχετικα µε τη Λαγκρανζιανη δυοσωµατιδιων, πρεπει να σηµει£ωσουµε οτι οι παραµετροι $21 ! της παρα-πανω Λαγκρανζιανης δεν εχουν στην κατασκευη µας το φυσικο νοηµατης µαζας των σωµατιδιων, αφου ο πολλαπλασιαστικος παραγοντας πουειχαµε εισαγαγει στη Λαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιου, στην Π£ως προκυπτουν οι

µαζες;οποια βασισαµε την κατασκευη µας, ηταν εντελ£ως αυθαιρετος. Η σχεση,οµως, µεταξυ αυτ£ων των παραµετρων µπορει να καθοριστει πειραµατικαµε τον ιδιο ουσιαστικα τροπο που ο Νευτωνας επιχειρησε να µετρησει τηναδρανεια των σωµατων. Οι σχετικες επιταχυνσεις των δυο αλληλεπιδρ£ω-ντων σωµατιδιων ειναι αντιστροφως αναλογες µε το λογο των παραµε-τρων $ και ! , οπως µπορει να αποδειξει κανεις απο τις εξισ£ωσεις Eu-ler - Lagrange για την παραπανω Λαγκρανζιανη. Ετσι, θεωρ£ωντας τη $ ιση µε τη µοναδα, µπορει κανεις να “ζυγισει” τις παραµετρους–µαζεςολων των αλλων σωµατιδιων και µαλιστα ανεξαρτητα απο τη µορφη τουδυναµικου αλληλεπιδρασης της εκαστοτε µαζας µε τη µαζα–προτυπο.


Με τον ιδιο τροπο µπορουµε να κατασκευασουµε τη Λαγκρανζιανηενος αποµονωµενου συστηµατος σωµατιδιων, τα οποια αλληλεπιδρουνΗ Λαγκρανζιανη

αποµονωµενου

συστηµατος


µε νευτ£ωνειες δυναµεις και στα οποια δεν ασκειται καµια εξωτερικη δυ-ναµη, Y !(' 9 b % *' 0" (3.13)

Το στο διπλο αθροισµα εχει συµπεριληφθει ετσι £ωστε ολα τα ζευγητων δυναµικ£ων αλληλεπιδρασης να λαµ1ανονται µονο µια φορα.Η Λαγκρανζιανη αυτη δεν ειναι η πιο γενικη Λαγκρανζιανη που µπο-

ρουµε να κατασκευασουµε για ενα τετοιο συστηµα τηρ£ωντας τις συµµε-τριες του χ£ωρου και του χρονου και επιλεγοντας αλληλεπιδρασεις που ε-ξαρτ£ωνται µονο απο τις θεσεις των σωµατιδιων. Θα µπορουσαµε για πα-ραδειγµα να θεωρησουµε δυναµικα αλληλεπιδρασης που εξαρτ£ωνται αποτις θεσεις τρι£ων η και περισσοτερων σωµατιδιων. Απλ£ως η Λαγκρανζιανητης σχεσης (3.13) ειναι η απλουστερη επεκταση της Λαγκρανζιανης τωνδυο σωµατιδιων. Απο φυσικης αποψης, η Λαγκρανζιανη της εκφρασης(3.13) θα µπορουσε να δικαιολογηθει, αν το σωµατιδιο–φορεας της αλλη-λεπιδρασης, το οποιο ανταλλασσεται µεταξυ των αλληλεπιδρ£ωντων σω-µατιδιων, εχει τοσο ασθενη σταθερα συζευξης £ωστε η ανταλλαγη περισ-σοτερων του ενος τετοιων σωµατιδιων–φορεων µεταξυ δυο σωµατιδιωννα ειναι εξαιρετικα απιθανο να συµ1ει. Αυτο αποτελει µια αρκετα ικανο-ποιητικη προσεγγιση για τις ηλεκτρασθενεις και τις βαρυτικες, οχι οµωςκαι για τις ισχυρες αλληλεπιδρασεις.

Ασκηση 3.2. ∆ειξτε οτι η Λαγκρανζιανη (3.13)οδηγει σε αλληλεπιδρασεις, οι οποιεςΑΣΚΗΣΕΙΣικανοποιουν τον τριτο νοµο του Νευτωνα, δηλαδη οι δυναµεις που ασκουνται απο τοενασωµατιδιο στο αλλο ικανοποιουν τις σχεσεις

v b¡ ¢£¤ v _¢L¡.

3.3 Το ευρος ισχυος της αρχης του Χαµιλτον

Ειδαµε οτι η φυσικη κινηση ενος σωµατιδιου σε συντηρητικο πεδιο ο-που η δυναµη προκυπτει απο καποιο δυναµικο % ,m ' ¥ %m1ικανοποιει την αρχη ελαχιστης δρασης του Χαµιλτον µε Λαγκρανζιανη 5§¦ ')%m1οπου

¦η κινητικη ενεργεια του σωµατιδιου και % η δυναµικη του ενερ-

γεια. Σε αυτη την περιπτωση οι νοµοι του Νευτωνα ειναι ισοδυναµοι µε

5Στο εξης στο βι1λιο θα χρησιµοποιουµε τα συµ1ολα ¨ και © , αντι των ª κιν, ª δυν,ακολουθ£ωντας τη διεθνη βι1λιογραφια.

3.3. ΤΟ ΕΥΡΟΣ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 73

την αρχη τουΧαµιλτον. Εδ£ωβε1αιως αναφεροµαστε µονο στους δυο πρ£ω-τους νοµους ο πρ£ωτος νοµος του Νευτωνα αποτυπ£ωνεται στη µορφη τηςκινητικης ενεργειας

¦που εισερχεται στη λαγκρανζιανη συναρτηση, εν£ω

ο δευτερος νοµος αποτυπ£ωνεται µε τον ορο της δυναµικης ενεργειας πουεισερχεται αθροιστικα (και οχι πολλαπλασιαστικα η µε αλλο τροπο) στηλαγκρανζιανη συναρτηση. Οι νοµοι του Νευτωνα, οµως, ειναι υπο µια εν-νοια γενικοτεροι απο την αρχη του Χαµιλτον, αφου για ενα οποιοδηποτεµηχανικο συστηµα δεν υπαρχει κατ αναγκη λαγκρανζιανη συναρτηση, ηοποια να οδηγει µεσω των εξισ£ωσεων Euler - Lagrange στις εξισ£ωσεις κι-νησης του συστηµατος. Για παραδειγµα, για συστηµατα στα οποια υπαρ-χει αναλωση ενεργειας, εξαιτιας, λογου χαρη, της τρι1ης, δεν ειναι, εν γε-νει, εφικτη η κατασκευη λαγκρανζιανης συναρτησης που να περιγραφειτο συστηµα. Ετσι, εν£ω η κινηση ενος ιδανικου ρευστου, που ειναι ενασυνονθυλευµα αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων, µπορει να προκυψει µεσωτων εξισ£ωσεων Euler - Lagrange απο µια καταλληλη Λαγκρανζιανη, η κι-νηση πραγµατικ£ων ρευστ£ων µε ιξ£ωδες στα οποια υπεισερχεται αναλωσηδεν µπορει6 να περιγραφει απο καποια Λαγκρανζιανη.Βασιζοµενοι επισης στην αρχη του Χαµιλτον, οπως τουλαχιστον την

εχουµε διατυπ£ωσει, αδυνατουµε να περιγραψουµε την κινηση σωµατιδιωνσε γενικοτερα µη συντηρητικα πεδια. Τελος, οταν το δυναµικο εξαρταταιαπο τις ταχυτητες, οποτε οι δυναµικοι νοµοι δεν ειναι αναλλοιωτοι στουςµετασχηµατισµους του Γαλιλαιου, η φυσικη κινηση δεν διεπεται συνηθωςαπο καποια Λαγκρανζιανη.

Ασκηση 3.3. ΗΛαγκρανζιανη u a` K_O` K ced £ JM¬« ®T¯L° a ^ O` M ¤± ` M d περιγραφει καποιο ΑΣΚΗΣΕΙΣγνωστο σας φυσικο συστηµα; Προκειται για κινηση σωµατιδιου σε συντηρητικο πεδιοδυναµεων;

Ασκηση 3.4. Να βρεθει η Λαγκρανζιανη που περιγραφει τη µονοδιαστατη κινησησωµατιδιου µαζας ^ , που κινειται υπο την επενεργεια µιας χρονοεξαρτ£ωµενης δυναµηςτης µορφης

aced.

Ολα, οµως, τα θεµελι£ωδη πεδια δυναµεων που γνωριζουµε ειναι συ-ντηρητικα και ως εκ τουτου η δυναµικη συµπεριφορα τους µπορει να προ-κυψει απο καποια Λαγκρανζιανη. Παρα το γεγονος, λοιπον, οτι οι νοµοιτου Νευτωνα εφαρµοζονται σε ευρυτερα µηχανικα συστηµατα απ ο,τι ηαρχη της ελαχιστης δρασης του Χαµιλτον, η αρχη του Χαµιλτον εχει ευ-ρυτερη φυσικη σηµασια απο τους νοµους του Νευτωνα, διοτι µας δινειτη δυνατοτητα να προσεγγισουµε σε πιο θεµελι£ωδες επιπεδο τους νοµουςτης φυσης, ειτε αυτοι αναφερονται σε µηχανικα συστηµατα ειτε οχι, νααντιληφθουµε απο που προερχονται οι διατηρουµενες ποσοτητες και ναδιαµορφ£ωσουµε ενα θεωρητικο πλαισιο µε το οποιο να µπορουµε να χει-ριστουµε τις νε£ωτερες θεωριες της Φυσικης. Επιπλεον, οπως ειδαµε ηδη

6Για να ειµαστε πιο σαφεις, δεν εχει βρεθει εως τ£ωρα τετοια Λαγκρανζιανη.


στην περιπτωση του ελευθερου σωµατιδιου, η Λαγκρανζιανη µπορει νακατασκευαστει µε τη χρηση γενικ£ων επιχειρηµατων που βασιζονται στιςσυµµετριες του φυσικου συστηµατος. Η λαγκρανζιανη θε£ωρηση µας δι-νει τη δυνατοτητα να προ1λεπουµε τις εξισ£ωσεις κινησης οταν αυτες δενειναι γνωστες, και βασιζοµενοι στο παραδειγµα της νευτ£ωνειας µηχανι-κης να οικοδοµουµε φυσικες θεωριες που περιγραφουν φαινοµενα για ταοποια οι νοµοι που τα διεπουν µας ειναι αγνωστοι7. Η δραση σε αυτηντη θε£ωρηση προκυπτει ως µια ποσοτητα εξεχουσας φυσικης σηµασιας, ηοποια επι1ι£ωνει κατα τη µετα1αση απο την κλασικη στην κ1αντικη µη-χανικη και µαλιστα αποκτα ιδιαιτερο φυσικο νοηµα. Μεσω της δρασης,για παραδειγµα, ειναι δυνατη η θεµελιωση της κ1αντικης µηχανικης µεεναν ιδιαιτερα διαισθητικο και πρωτοτυπο τροπο µεσω των ολοκληρω-µατων διαδροµ£ων (path integrals), που εισηγαγαν οι Paul Adrien MauriceDirac [1902-1984] και Richard Phillips Feynman [1918-1988].

3.4 Λαγκρανζιανη φορτισµενου σωµατιδιου

Εχουµε µαθει εως τ£ωρα π£ως να κατασκευαζουµε Λαγκρανζιανες γιασωµατιδια, η γενικα, για µηχανικα συστηµατα που κινουνται σε δυναµικαπεδια που εχουν καθαρα χωρικη εξαρτηση. Εξετασαµε, επισης, παρα-δειγµατα συστηµατων µε αναλωση για τα οποια ειναι δυνατη η κατασκευητης αντιστοιχης Λαγκρανζιανης (βλ. Ασκησεις 3.3, 3.4). Τι µπορουµε, ο-µως, να κανουµε σε περιπτ£ωσεις που η δυναµη που ασκειται σε ενα σωµα-∆υσκολιες κατασκευης

Λαγκρανζιανης για

δυναµεις εξαρτ£ωµενες

απο την ταχυτητα

τιδιο εξαρταται απο την ταχυτητα του σωµατιδιου; Ενα παροποιο προ-1ληµα εχουµε ηδη αντιµετωπισει, οταν δοκιµασαµε να περιγραψουµε µελαγκρανζιανο τροπο την αντισταση σε καποιο µεσο, οταν αυτη ειναι ανα-λογη της ταχυτητας. Η γενικη αντιµετ£ωπιση τετοιων δυναµεων, µολονοτιδεν ειναι παντοτε εφικτη, δεν παρουσιαζει ιδιαιτερο ενδιαφερον, αφουτετοιου ειδους δυναµεις δεν ειναι θεµελι£ωδεις δυναµεις ειναι απλ£ως µα-κροσκοπικες δυναµεις, οι οποιες εµφανιζονται ως στατιστικο αποτελεσµαπληθους ηλεκτροµαγνητικ£ων δυναµεων που ασκουνται σε µικροσκοπικοεπιπεδο. Υπαρχει, ωστοσο, µια δυναµη εξαρτ£ωµενη απο την ταχυτητα, ηοποια, µολονοτι ειναι θεµελι£ωδης και συντηρητικη, δεν µπορει να προελ-θει απο καποιο δυναµικο. Προκειται για τη δυναµη που διεπει την κινησηενος φορτισµενου σωµατιδιου µεσα σε ηλεκτροµαγνητικο πεδιο, η οποιαοδηγει στην εξισωση κινησης ³² C j ´ + µ kl1 (3.14)

7Χαρακτηριστικα, αξιζει να αναφερουµε οτι πρ£ωτος οDavid Hilbert [1862-1943],στις20 Νοεµ1ριου του 1915, καταφερε να διατυπ£ωσει στην τελικη τους, ορθη µορφη τις εξι-σ£ωσεις της Γενικης θεωριας της Σχετικοτητας, πεντε µολις µερες πριν απο τονAlbert Ein-stein [1879-1955], στηριζοµενος στην αρχη του Χαµιλτον. Η αληθεια, βε1αια, ειναι οτι οHilbert οδηγηθηκε στη σωστη θεωρια επηρεασµενος απο τις ιδεες του Einstein οι οποιεςχρειαστηκαν πολλα χρονια για να παρουν την τελικη τους µορφη απο τον Einstein πουακολουθησε διαφορετικο δροµο απο τονHilbert. Απλ£ως οHilbert ακολουθησε το συντο-µ£ωτερο δροµο.

3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 75

οπου´η ενταση του ηλεκτρικου πεδιου και

µη µαγνητικη επαγωγη στη

θεση που βρισκεται το φορτισµενο µε φορτιο C σωµατιδιο τη χρονικη

στιγµη F .Η δυσκολια κατασκευης της αντιστοιχης Λαγκρανζιανης εγκειται στο

γεγονος, οτι, αφου η δυναµηl C j ´ + µ k 1 (3.15)

εξαρταται απο την ταχυτητα, πρεπει ο συνηθης ορος της δυναµικης ενερ-γειας στη Λαγκρανζιανη, αν υπαρχει, βε1αια, Λαγκρανζιανη, να εµπεριε-χει την ταχυτητα. Σε αυτη την περιπτωση, οµως, η γενικευµενη ορµη πουεµφανιζεται στις εξισ£ωσεις Euler - Lagrange εκτος απο την κλασικη τηςµορφη που προερχεται απο την παραγ£ωγιση της κινητικης ενεργειας θαπερικλειει και αλλον εναν ορο εξαιτιας της εξαρτησης της δυναµικης ενερ-γειας απο την ταχυτητα. Αυτο περιπλεκει τη δυναµικη εξισωση κινησηςκαι πρεπει να ειναι κανεις αρκετα τυχερος για να καταφερει να αναπα-ραγαγει το δυναµικο νοµο (3.14) ρυθµιζοντας καταλληλα τη µορφη τηςλαγκρανζιανης συναρτησης.Εστω οτι η επιθυµητη Λαγκρανζιανη εχει την κλασικη µορφηy¦ ')%m1 (3.16)

οπου¦η κινητικη ενεργεια του σωµατιδιου και % η δυναµικη του ενερ-

γεια, η οποια, οπως επισηµαναµε, θα πρεπει προφαν£ως να εξαρταται αποτην ταχυτητα του σωµατιδιου µε τετοιο τροπο, £ωστε να ειναι δυνατον νααναπαραχθει η εξαρτ£ωµενη απο την ταχυτητα δυναµηLorentz. Μπορουµενα ισχυριστουµε οτι, αν ειναι δυνατη η κατασκευη µιας τετοιου τυπου Λα-γκρανζιανης, η δυναµικη ενεργεια πρεπει να εχει το πολυ γραµµικη εξαρ-τηση απο την ταχυτητα, £ωστε ο οροςHH F x¶ %¶ | ' ¶ %¶ της εξισωσης Euler - Lagrange να παραγει µια δυναµη το πολυ γραµµικη Ο στοχος µας επι1αλλει

µια δυναµικη ενεργεια

γραµµικη ως προς την

ταχυτητα

ως προς την ταχυτητα, οπως ειναι η δυναµη Lorentz. Οποιαδηποτε αλληµη γραµµικη συναρτηση της ταχυτητας για τη δυναµικη ενεργεια θα ειχεως αποτελεσµα µια δυναµη µη γραµµικηως προς την ταχυτητα, οπως µπο-ρει να διαπιστ£ωσει κανεις αµεσα. Συνεπ£ως, θεωρουµε οτι η δυναµικη ενερ-γεια εχει τη µορφη% ,1,,1 F C¸·L' ¹ ,1 F +³º h1 F 9»#" (3.17)

Η δυναµικη ενεργεια, οντας µερος της Λαγκρανζιανης, δεν µπορει παρανα ειναι µια βαθµωτη ποσοτητα, γεγονος που δικαιολογει την υπαρξη τουεσωτερικου γινοµενου.8 Η παρουσια του φορτιου ως πολλαπλασιαστι-κου παραγοντα ολοκληρης της δυναµικης ενεργειας επι1αλλεται απο την

8Μια αλλη ισως δυνατοτητα κατασκευης βαθµωτου µεγεθους, που ισως µοιαζειγραµµικο ως προς την ταχυτητα, θα ηταν το ¼ v½¾ v¿ ¼ , η το ¼ v¿ ¼ . Οµως και οι δυο αυτεςποσοτητες, µολονοτι βαθµωτες, δεν ειναι πραγµατικα γραµµικες ως προς την ταχυτητα,αφου η αντικατασταση της

v¿ µε v¿ JÀ v¿ M δεν οδηγει, εν γενει, σε αθροισµα αντιστοιχωνποσοτητων.


απαιτηση να ειναι η δυναµη αναλογη του φορτιου C του σωµατιδιου. Τε-λος, η παρουσια του αρνητικου προσηµου στον πρ£ωτο ορο εντος της αγκυ-λης δεν εχει κανενα ουσιαστικο λογο το προσηµο επιλεχθηκε αυθαιρεταµε σκοπο να αποκτησουν οι ποσοτητες

¹ 1 º συγκεκριµενο φυσικο περιε-χοµενο στο τελος της αναλυσης.Οι εξισ£ωσεις Euler - Lagrange για µια Λαγκρανζιανη µε τετοια δυνα-

µικη ενεργεια καταληγουν στις ακολουθες εξισ£ωσεις κινησης : ³² CÁ.' H ¹ ,1 F H F + ¥ j ¹ ,1 F k ' ¥ º*Â " (3.18)

Ασκηση 3.5. Εκτελεστε τις πραξεις εντος των εξισ£ωσεων Euler - Lagrange και επι-ΑΣΚΗΣΕΙΣ1ε1αι£ωστε τη σχεση (3.18).

Η παραπανω εξισωση θα µπορουσε να λα1ει τη µορφη της δυναµικηςεξισωσης για το σωµατιδιο, αν ειχαµε τη δυνατοτητα να κατασκευασουµεποσοτητες

¹ 1 º τετοιες £ωστε να ισχυει' H ¹ h1 F H F + ¥Ãj ¹ h1 F Aks' ¥ º ´ + µ " (3.19)

Ηπρ£ωτη παραγωγος που εµφανιζεται στο αριστερο σκελος της παραπανωεξισωσης ειναι η ολικη χρονικη παραγωγος του ανυσµατικου πεδιου

¹κατα µηκος της τροχιας του σωµατιδιου. Σε αυτην περιλαµ1ανεται η µε-τα1ολη του

¹εξαιτιας της µετα1ολης του χρονου καθ£ως επισης και η µε-

τα1ολη του¹εξαιτιας της µετα1ολης της θεσης του σωµατιδιου στον αντι-

στοιχο χρονο. Συγκεκριµενα, επειδη το εχει αµεση εξαρτηση απο το

χρονο, θα ισχυει H ¹ ,1 F H F Ã¶ ¹ h1 F ¶ F + j ¥ k ¹ ,1 F ("Ετσι, το αριστερο σκελος της (3.19) µπορει να γραφει ως' ¶ ¹ ,1 F ¶ F ' j w ¥ k ¹ ,1 F + ¥Äj w ¹ ,1 F Ako' ¥ º h1 F 01 (3.20)

οπου συµ1ολισαµε µεw 7 την ταχυτητα του σωµατιδιου.

Αν επικαλεστουµε και τη µαθηµατικη ταυτοτητα9w ¥ ¹ ¥ w ¹ .'i w ¥ ¹ 1 (3.21)

που ισχυει οταν το διανυσµαw δεν εχει εξαρτηση απο το (οπως εδ£ω θεω-

ρουµε οτι συµ1αινει µε τις µετα1λητες και ), µπορουµε να ξαναγρα-ψουµε τη σχεση (3.19) µε µια µικρη ανακατανοµη των ορων ως ακολου-θως : ´ + µÅ ' ¶ ¹ h1 F ¶ F ' ¥ º ,1 F + w j ¥ ¹ ,1 F Akl" (3.22)

9Βλ.Μαθηµατικο Παραρτηµα, Πλαισιο Α-1.

3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 77

Προτου προσπαθησουµε να συνδεσουµε τους ορους του δεξιου σκε-λους της (3.22) µε το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο, ας θυµηθουµε τιςσχεσεις που ικανοποιουν το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο µεσω τωνεξισ£ωσεωνMaxwell ¥ ´ Æ 1 (3.23)¥ µ Ç 1 (3.24)¥ µ ' ¶ ´¶ F È 1 (3.25)¥ ´ + ¶ µ¶ F Ç 1 (3.26)

οπουÆειναι η πυκνοτητα φορτιου και

Èη πυκνοτητα ρευµατος, ποσοτη-

τες που θεωρουνται δεδοµενες και παιζουν το ρολο των πηγ£ων του ηλε-κτροµαγνητικου πεδιου. Επιπλεον, οι πυκνοτητες

Æ 1 È ικανοποιουν τηνεξισωση συνεχειας ¶ Æ¶ F + ¥ È iÇ " (3.27)

Οι εξισ£ωσεις του James Clerk Maxwell [1831-1879] εχουν γραφει σε µονα-δες Heaviside, δηλαδη σε τετοιες µοναδες £ωστε η δυναµη Coulomb µεταξυδυο φορτιων να ειναι, CAC !ÉÊË !εν£ω η ταχυτητα του φωτος εχει ληφθει Ì

.

Απο την¥ µÄÅÇ

προκυπτει οτι η µαγνητικη επαγωγηµµπορει να

γραφει ως o στρο1ιλισµος καποιου πεδιουµÅ ¥ ¹ 1 (3.28)

οπου¹ειναι το καλουµενο ανυσµατικο δυναµικο.10 Αντικαθιστ£ωντας αυτη

τη µορφη του µαγνητικου πεδιου στην (3.26) θα εχουµε¥ ´ + ¶¶ F j ¥ ¹ k ¥ ÍÁ ´ + ¶ ¹¶ F Â Ç 1 (3.29)

λογω µεταθετικοτητας των χρονικ£ων µε τις χωρικες παραγ£ωγους. Συνε-π£ως, η εκφραση εντος της παρενθεσης, οντας αστρο1ιλη, µπορει να γρα-φει ως η βαθµιδα καποιου βαθµωτου πεδιου´ + ¶ ¹¶ F ' ¥ º 1 (3.30)

10Προς το παρον η οµοιοτητα των συµ1ολων για το ανυσµατικο δυναµικοvÎκαι το

ηλεκτρικο δυναµικο Ï , που θα συναντησουµε αµεσως στη συνεχεια, µε τα αγν£ωστου ταυ-τοτητας πεδια που εισαγαγαµε στη Λαγκρανζιανη ειναι καθαρα συµπτωµατικη. Στο τε-λος, οµως, της αναλυσης θα φανει γιατι επιλεξαµε να χρησιµοποιησουµε τα ιδια συµ-1ολα.


οπου º ειναι το καλουµενο ηλεκτρικο δυναµικο. Ετσι, το ηλεκτρικο πε-διο εκφραζεται µεσω του ανυσµατικου και του ηλεκτρικου δυναµικου ως´8 ' ¶ ¹¶ F ' ¥ º " (3.31)

Αν τ£ωρα απαιτησουµε η εκφραση (3.22) να επαληθευεται ταυτοτικα,θεωρ£ωντας οτι το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο εχουν αντικαταστα-θει απο τις ισοδυναµες εκφρασεις τους (3.31,3.28), διαπιστ£ωνουµε οτι τοδιανυσµατικο πεδιο

¹και το βαθµωτο πεδιο º που εισαγαγαµε στη δυνα-

µικη ενεργεια της Λαγκρανζιανης δεν ειναι τιποτε αλλο απο το ανυσµα-τικο δυναµικο και το ηλεκτρικο δυναµικο αντιστοιχα.Καταληγουµε, λοιπον, στο συµπερασµα οτι ενα φορτισµενο σωµατιδιο

µεσα σε ηλεκτροµαγνητικο πεδιο µε ηλεκτρικο και ανυσµατικο δυναµικο

Ιδου η πολυποθητη

Λαγκρανζιανη!

º ,1 F και ¹ ,1 F , αντιστοιχα, περιγραφεται απο τη Λαγκρανζιανη /Y0 ! + C ¹ ,1 F 5'C º ,1 F (1 (3.32)

µε τον προφανη συµ1ολισµο των διαφορων ποσοτητων που παρουσιαζο-νται σε αυτη.11

Θα πρεπει στο σηµειο αυτο να υπενθυµισουµε στον αναγν£ωστη οτι τοηλεκτρικο και το ανυσµατικο δυναµικο δεν οριζονται µονοσηµαντα µιαολοκληρη οικογενεια απο συναρτησεις µπορουν να αντικαταστησουν ταπεδια º και ¹

, οδηγ£ωντας στα ιδια φυσικα πεδια´και

µ. Η ελευθερια

που υπαρχει στον προσδιορισµο των º και ¹ονοµαζεται gauge freedom

(ελευθερια βαθµονοµησης) των πεδιων. Μηπως αυτο σηµαινει οτι αυτηη ελευθερια καθορισµου των πεδιων µας οδηγει και σε διαφορετικες Λα-γκρανζιανες; Η απαντηση ειναι ναι, αλλα, οπως ισως εχετε ηδη υποπτευ-θει, οι Λαγκρανζιανες αυτες διαφερουν απλ£ως κατα ενα µετασχηµατισµοβαθµονοµησης και εποµενως περιγραφουν το ιδιο φυσικο συστηµα (βλ.Προ1ληµα 2).Κλεινοντας αυτο το κεφαλαιο αξιζει να παρατηρησουµε οτι η γενικευ-

µενη ορµη του σωµατιδιου δεν ειναι πια η κλασικη w, αλλα ηÐ ¶ ¶ w + C ¹ "

Την επιπλεον ποσοτητα C ¹θα µπορουσαµε να την ερµηνευσουµε ως συ-

Ιδου και η ιδιοµορφη

ορµη του συστηµατος!

νεισφορα του µαγνητικου πεδιου στην ιδια την ορµη του σωµατιδιου. Τογεγονος αυτο εχει αµεσες συνεπειες κυριως σε κ1αντοµηχανικα συστη-µατα οπου η ορµη, που σε καποιες περιπτ£ωσεις ειναι κ1αντισµενη, ειναι ηγενικευµενη ορµη, οπως διατυπ£ωθηκε στην προηγουµενη σχεση, και οχιη συνηθης.Αξιζει επισης να αναφερουµε µια αλλη κοινη περιπτωση Λαγκρανζια-

νης µε δυναµικη ενεργεια που εξαρταται απο την ταχυτητα προκειται για11Στην παραπανω κατασκευη θεωρησαµε την ταχυτητα του φωτος ιση µε τη µοναδα,

οπως µπορειτε να διαπιστ£ωσετε απο τη γραφη των εξισ£ωσεων τουMaxwell. Αν θελουµενα επαναφερουµε τη σταθερα αυτη στις εκφρασεις µας, £ωστε να εργαζοµαστε µε συνη-θεις µοναδες, ο ορος I vÎ a v` K ced θα πρεπει να αντικατασταθει απο τον ορο I vÎ a v` K cedLÑÒ .

3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΩΝ 79

την περιπτωση σωµατιδιου που κινειται σε περιστρεφοµενο συστηµα ανα-φορας. Η αναλογια µαλιστα µε το φορτισµενο σωµατιδιο σε ηλεκτροµα-γνητικο πεδιο ειναι πληρης, αφου το ρολο του µαγνητικου πεδιου τον παι-ζει η γωνιακη ταχυτητα. Θα κατασκευασουµε την αντιστοιχη Λαγκραν-ζιανη µε διαφορετικο τροπο εκτελ£ωντας απλ£ως εναν µετασχηµατισµο συ-ντεταγµενων, οταν ασχοληθουµε στο Κεφαλαιο 6 µε το θεµα των στρο-φ£ων.

3.5 Λαγκρανζιανη δεσµευµενης κινησης


Εχουµε επιτυχει εως τ£ωρα να κατασκευασουµε Λαγκρανζιανες γιασωµατιδια που κινουνται µεσα σε συντηρητικα πεδια, τα οποια πηγαζουναπο δυναµικα, η µεσα σε πεδια που, αν και ειναι συντηρητικα, εξαρτ£ωνταιαπο τις ταχυτητες των σωµατιδιων. Εκτος, οµως, απο την αδυναµια κατα-σκευης Λαγκρανζιανης στην περιπτωση µη συντηρητικ£ων πεδιων –αδυ-ναµια που, οπως αναφεραµε, δεν εχει ουσιαστικη σηµασια– γενναται ενας Π£ως κατασκευαζουµε

τη Λαγκρανζιανη

ενος συστηµατος µε

συνδεσµους;

γενικοτερος προ1ληµατισµος σχετικα µε την υπαρξη Λαγκρανζιανης γιαµηχανικα συστηµατα που υποκεινται σε καποιον περιορισµο οσον αφοραστην κινηση τους. Οι περιορισµοι αυτοι ονοµαζονται γενικοτερα συνδε-σµοι. Ως χαρακτηριστικο παραδειγµα θα εξετασουµε την περιπτωση ενοςσωµατιδιου, το οποιο βρισκεται µεσα στο οµογενες πεδιο βαρυτητας, αλλαειναι υποχρεωµενο να κινειται επανω στο οριζοντιο επιπεδο Ó 8Ç

. Αποτους νοµους τουΝευτωνα γνωριζουµε οτι το σωµατιδιο εκτελει ευθυγραµ-µη, οµαλη κινηση στο επιπεδο Ó ÔÇ

και οτι σε αυτο ασκειται µια κατα-κορυφη δυναµη ιση και αντιθετη µε τη δυναµη της βαρυτητας. Αν δενυπηρχε κανενας περιορισµος στην κινηση του σωµατιδιου, η Λαγκραν-ζιανη του σωµατιδιου εκπεφρασµενη σε καρτεσιανες συντεταγµενες θαηταν Αν υπαρχει καποιος

συνδεσµος γραφουµε

τη Λαγκρανζιανη σαν

να µην υπαρχει...

Õ *! + E! + Ó!¬.'/ z ÓÖ" (3.33)

Θα δειξουµε οτι η Λαγκρανζιανη που προκυπτει, αν αντικαταστησουµεστην προηγουµενη Λαγκρανζιανη την εξισωση του συνδεσµουÓ GÇ 1περιγραφει σωστα την κινηση του σωµατιδιου. Αν και κατι τετοιο φαινε- ...και εκ των υστερων

επι1αλλουµε τις

εξισ£ωσεις των

συνδεσµων

ται ευλογο, δεν ειναι και τοσο προφανες οτι ισχυει. Επιθυµ£ωντας να µε-τατρεψουµε το συστηµα µας σε ενα συστηµα που περιγραφεται απο ενασυντηρητικο πεδιο δυναµεων και να το απαλλαξουµε απο τους περιορι-σµους των συνδεσµων, η αντιµετ£ωπιση των οποιων προκαλει αµηχανια,ας υποθεσουµε οτι το σωµατιδιο µπορει να κινειται σε ολο το χ£ωρο αλλαβρισκεται ταυτοχρονα µεσα στο οµογενες βαρυτικο πεδιο καθ£ως επισηςκαι σε ενα νεο πεδιο µε δυναµικο%q×ØÙ eÓ_ &Ú Ó!"


Φανταζοµαστε οτι κατω απο το δαπεδο υπαρχουν ελατηρια σκληροτηταςÚ το ανω ακρο των οποιων φθανει εως το Ó iÇοταν αυτα βρισκονται στο

φυσικο τους µηκος. Ισως σκεφτειτε οτι το νεο συστηµα δεν εχει καµιασχεση µε το αρχικο! Ας αναλογιστουµε, οµως, τι συµ1αινει στο οριο πουÚ nÜÛ . Η νεα Λαγκρανζιανη p i '-%q×ØÙ eÓ_περιγραφει ενα σωµατιδιο που κινειται µεσα στο οµογενες βαρυτικο πεδιοτης Γης, αλλα συγχρονως καποιο πολυ σκληρο ελατηριο δεν του επιτρεπεινα αποµακρυνθει πολυ απο το επιπεδο Ó ÄÇ

. Το σωµατιδιο, οντας εναµηχανικο συστηµα, η κινηση του οποιου περιγραφεται απο τρεις ανεξαρ-τητες µετα1λητες ,11Ó_ , εξελισσεται βασει των τρι£ων εξισ£ωσεων Euler -Lagrange ² Ç 1 ² Ç 1 ²Ó + z + Ú Ó Ç " (3.34)

Η τριτη εξισωση εχει ως λυση τηνÓ ¹Ý¬Þß Á(à Ú F Â + µ ß áãâ Á(à Ú F Â ' zÚ "Αν σε αυτη την εξισωση επι1αλουµε αρχικες συνθηκες Ó Ç GÇ 1 Ó* Ç iÇ– οι οποιες ειναι συµ1ατες µε το συνδεσµο Ó ÍÇ

–, θα καταληξουµε στηλυση Ó Ã zÚä Ý¬Þß Á à Ú F Â ' 2å 1η οποια εµφαν£ως οδηγει στην αναµενοµενη λυση Ó GÇ

στο οριο Ú næÛ .

Ουσιαστικα επιστρεψαµε στην αρχικη εξισωση του συνδεσµου. Οι υπο-λοιπες εξισ£ωσεις κινησης ειναι αυτες που θα λαµ1αναµε, αν θεταµε εξ αρ-χης στη Λαγκρανζιανη του συστηµατος ανευ συνδεσµου,

, την εξισωση

του συνδεσµου Ó ÔÇ. Ειναι ενδιαφερον να παρατηρησει κανεις οτι στη

λυση του προ1ληµατος ουδεµια αναφορα γινεται στην αντιδραση του επι-πεδου! Αυτο αλλωστε ηταν και το πλεονεκτηµα που ειχαν οι εξισ£ωσειςEuler - Lagrange, οταν πρωτοδιατυπ£ωθηκαν απο τον Lagrange δεν χρεια-ζοταν να γινεται καµια αναφορα στις δυναµεις που αναπτυσσονται στουςσυνδεσµους σε αντιθεση µε τη νευτ£ωνεια θεωρια, οπου επρεπε κανεις νακανει υποθεσεις για τη συµπεριφορα αυτ£ων των δυναµεων π.χ. αντιδρα-σεις καθετες στην επιφανεια του συνδεσµου. Με την εισαγωγη, οµως, τουφαινοµενολογικου δυναµικου του συνδεσµου, % ×ØÙ , ειµαστε σε θεση ναυπολογισουµε και την αντιδραση του συνδεσµου, η οποια δεν ειναι τιποτεαλλο απο τη δυναµη που ασκουν στο σωµατιδιο τα υποθετικα ελατηριαl ' ¶ % ×ØÙ¶ Ó "Aπο την εξισωση Euler - Lagrange για τη νεα Λαγκρανζιανη

p εχουµεΗ αντιδραση βρισκεται

απο την εξισωση

Euler - Lagrange που

αντιστοιχει στο

συνδεσµο

3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΩΝ 81Çg HH F x(¶ p¶ Ó | ' ¶ p¶ Ó HH F x(¶ ¶ Ó | ' ¶ ¶ Ó + ¶ % ×ØÙ¶ Ó 1 (3.35)

δηλαδη, m HH F x(¶ ¶ Ó@| ' ¶ ¶ Ó " (3.36)

Στο εν λογω προ1ληµα η δυναµη καταληγει να ειναιm ²Ó + z "Στο οριο Ú nçÛ οπου η λυση για τη συντεταγµενη Ó ειναι, οπως αναφε-ραµε, Ó ÔÇ

, η δυναµη ειναι η γνωστη µας αντιδραση του δαπεδου, z .Ας ειµαστε, οµως, λιγο πιο προσεκτικοι και ας αντικαταστησουµε τη λυσηστην οποια καταληξαµε πριν απο λιγο για Úéè Û για να λα1ουµε τελικατο οριο Ú nÜÛ . Τοτε θα διαπιστ£ωσουµε οτι η δυναµη ειναιl z ä ' Ý¬Þß Á à Ú F Â å "Ο δευτερος ορος της εξισωσης ταλαντ£ωνεται τοσο γρηγορα, οταν Ú næÛ ,

£ωστε να εχει νοηµα µονο η µεση τιµη αυτου, η οποια ειναι µηδεν. Γιααλλη µια φορα, λοιπον, οδηγουµαστε στην αναµενοµενη αντιδραση

Í z . Σε αυτο το σηµειο αξιζει να σηµει£ωσουµε οτι η επι1ολη του φαινο-µενολογικου δυναµικου του συνδεσµου και οι ιδιοµορφιες καποιων απο-τελεσµατων, οπως αυτο της ταχυτατα µετα1αλλοµενης αντιδρασης, βρι-σκονται πολυ πιο κοντα στην πραγµατικη φυση των συνδεσµων. Ολατα σ£ωµατα, ακοµη και αυτα που ονοµαζουµε στερεα, οντας στην πραγ-µατικοτητα ελαστικα, δεν µπορουν να επι1αλλουν στα µηχανικα συστη-µατα παρα µονο προσεγγιστικες εξισ£ωσεις συνδεσµων. Μαλιστα, η ακρι-1ης µορφη του φαινοµενολογικου δυναµικου του συνδεσµου δεν εχει ιδιαι-τερη σηµασια οσο πιο στερεα ειναι τα υποτιθεµενα “στερεα” που επι1αλ-λουν τον εκαστοτε συνδεσµο, αφου τοτε τα µονα φυσικα χαρακτηριστικαπου εχουν ενδιαφερον ειναι το σηµειο ισορροπιας (η εξισωση του συνδε-σµου) και η απειρη σκληροτητα τους.Το πρακτικο συµπερασµα στο οποιο οδηγουµαστε ειναι οτι, επι1αλ-

λοντας την εξισωση του συνδεσµου Ó Ó ²Ó VV tÇστην αντιστοιχη

εξισωση Euler - Lagrange (3.35), υπολογιζουµε τελικα την αντιδραση τουσυνδεσµου ως εξης : l;: HH F x(¶ ¶ Ó@| ' ¶ ¶ Ó =Wê @ëê ,ìê Wí " (3.37)

Ασκηση 3.6. Γραψτε τη Λαγκρανζιανη ενος σωµατιδιου που κινειται στο επιπεδο ΑΣΚΗΣΕΙΣχρησιµοποι£ωντας πολικες συντεταγµενες. Υποθεστε στη συνεχεια πως θελετε να επι1α-λετε τον περιορισµο κινησης του σωµατιδιου σε µια κυκλικη στεφανη ακτινας î . Επι-λεξτε ενα καταλληλο δυναµικο που να εξαναγκαζει το σωµατιδιο να κινειται ακτινικα


συµφωνα µε την εξισωση ï £ î . Γραψτε τη Λαγκρανζιανη uð που προκυπτει υστερα αποτην προσθεση του νεου δυναµικου και λυστε τη γωνιακη εξισωση Euler - Lagrange επι-1αλλοντας τη συνθηκη ï £ î . Υπολογιστε την ακτινικη αντιδραση της στεφανης. [Απα-ντηση:

bñ.£¤ ^ î Oò M ]∆ειξαµε λοιπον οτι, αν η κινηση ενος µηχανικου συστηµατος περιορι-

ζεται απο δεσµους, τοτε η Λαγκρανζιανη που περιγραφει την κινηση τουσυστηµατος ειναι η διαφορα µεταξυ κινητικης και δυναµικης ενεργειαςτου συστηµατος, οπου στον υπολογισµο των ενεργει£ων αυτ£ων εχουν λη-φθει υποψη ολοι οι περιορισµοι που επι1αλλονται απο τους δεσµους. Στοεποµενο κεφαλαιο θα ακολουθησουµε µια τελειως διαφορετικη θε£ωρησητων δεσµ£ων που σχετιζεται µε την πραγµατικη ιστορικη πορεια που ακο-λουθησε η αναλυτικη µηχανικη µετα το Νευτωνα και θα µαθουµε π£ως ναγραφουµε τη Λαγκρανζιανη σε περιπτ£ωσεις ακοµη πιο συνθετων δεσµ£ωνοπου δεν υπαρχει απλ£ως µια συναρτησιακη σχεση µεταξυ των συντεταγ-µενων. Ωστοσο, παρα τις οποιεσδηποτε τεχνικες δυσκολιες που ενδεχε-ται ναεχει η εισαγωγη πιο περιπλοκων µορφ£ων δεσµ£ων στο λαγκρανζιανοφορµαλισµο, η ουσια ειναι οτι καθε συνδεσµος µπορει απο φυσικης απο-ψης να αντικατασταθει απο καποιο καταλληλο “σκληρο” υποθετικο δυ-ναµικο και εποµενως το µηχανικο συστηµα να περιγραφει πληρως µεσωσυντηρητικ£ων πεδιων.

3.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 83

3.6 Προ1ληµατα

1. Αποδειξαµε, χρησιµοποι£ωντας την αρχη της ελαχιστης δρασης, οτιοι Λαγκρανζιανες

και

p που συνδεονται µε µετασχηµατισµο βαθ-µονοµησης pe,1 ,1 F i ,1 ,1 F + H ,1 F H Fοδηγουν στις ιδιες εξισ£ωσεις κινησης. ∆ειξτε µε κατευθειαν αντικα-τασταση οτι η εξισωση Euler - Lagrange για τη νεα συναρτηση

pοδηγει στην ιδια εξισωση µε εκεινη που οδηγει η

.

2. ∆ειξτε οτι ο µετασχηµατισµος του ανυσµατικου και ηλεκτρικου δυ-ναµικου ¹ n ¹ + ¥ôó 1 º n º ' ¶ ó¶ F 1δεν µετα1αλλει το ηλεκτρικο και µαγνητικο πεδιο και ανα1αθµονο-µει τη Λαγκρανζιανη ενος φορτισµενου σωµατιδιου ως εξης : p G + C H óH F "

3. Ενα σωµατιδιο, διασχιζοντας µια κοσµικη σηραγγα (wormhole),

εγκαταλειπει το ισοτροπο και οµογενες στο χ£ωρο και χρονο Συµπανµας και εισερχεται σε ενα αλλο Συµπαν, το οποιο ειναι οµογενες στοχ£ωρο και το χρονο, αλλα δεν διαθετει την ισοτροπια του δικου µας.Αντι της ισοτροπιας του δικου µας Συµπαντος, δηλαδη του αναλ-λοιωτου χαρακτηρα της Λαγκρανζιανης σε οποιαδηποτε στροφη,το νεο Συµπαν ειναι συµµετρικο µονο σε στροφες γυρω απο καποιοσυγκεκριµενο αξονα, ας πουµε τον αξονα- Ó . Κατασκευαστε τη Λα-γκρανζιανη ενος ελευθερου σωµατιδιου που κινειται µεσα στο νεοαυτο Συµπαν. [Υποδειξη : Θεωρηστε οτι το νεο Συµπαν παραµενειαναλλοιωτο στους µετασχηµατισµους του Γαλιλαιου.]

4. Οι µηχανες τουAtwood ειναι συστηµατα που αποτελουνται απο ιδα-νικες α1αρεις τροχαλιες, α1αρη σχοινια και µαζες που συνδεονται,για παραδειγµα, οπως στο Σχηµα. Γραψτε τη λαγκρανζιανη συναρ-τηση που διεπει τη δυναµικη της µηχανης του Atwood που απεικο-νιζεται στο Σχηµα και υπολογιστε την επιταχυνση της µαζας ! ;

5. Μια χαντρα ειναι περασµενη σε ενα συρµα, το οποιο βρισκεται σεκατακορυφο επιπεδο και το σχηµα του προσδιοριζεται απο τη συ-ναρτηση Ó ( Ó ειναι ο κατακορυφος αξονας και ο οριζο-ντιος). Η χαντρα κινειται ελευθερα στο συρµα υπο την επενεργειατης βαρυτητας. Να γραφει η Λαγκρανζιανη της χαντρας και να µε-λετηθει η κινηση της κοντα σε ενα τοπικο ελαχιστο της καµπυληςπου σχηµατιζει το συρµα.

6. Φαινοµενο Aharonov-Bohm : (α) Το µαγνητικο πεδιο στο εσωτερικοενος απειρου κυλινδρικου σωληνοειδους µε αξονα τον αξονα Ó και


ακτινα õ ειναι σταθερο, εν£ω στο εξωτερικο του ειναι µηδεν. ∆ειξτεοτι το ανυσµατικο δυναµικο¹ Ãö X ! ['1 ,1 Ç Y1 για ! + !ø÷ õ !! X*ù ú üû ['1 ,1 Ç Y1 για ! + !øý õ ! .παραγει ενα τετοιο µαγνητικο πεδιο. Στην παραπανω εκφραση

,11Ó_ . (β)Κατασκευαστε τηΛαγκρανζιανη ενος φορτισµενου σω-µατιδιου που κινειται µεσα στο παραπανω πεδιο και δειξτε οτι οσοτο σωµατιδιο βρισκεται εκτος πεδιου η Λαγκρανζιανη περιγραφειτην κινηση ελευθερου σωµατιδιου. [Υποδειξη : Θα σας φανει χρη-σιµη η ταυτοτητα HH F,þÿ â j k ' + ! + ! " (γ) Υπολογιστε τη δραση για µια φυσικη διαδροµη που βρισκεταιεξολοκληρου εκτος του σωληνοειδους µε αρχικη θεση

& στο χρονοÇκαι τελικη θεση

! στο χρονο F . (δ) Ενα σωµατιδιο που ερχεταιαπο απειρη αποσταση µακρια απο το σωληνοειδες και περνα εξωαπο το σωληνοειδες, ειτε απο πανω (π.χ. θεωρηστε την ευθυγραµµηδιαδροµη απο το [' ÛG1õÖ1 Ç στο LÛG1õÖ1 Ç ), ειτε απο κατωαπο αυτο(π.χ. θεωρηστε τη διαδροµη απο το [' ÛG1'õÖ1 Ç στο LÛG1'õÖ1 Ç ),περιγραφεται απο µια κυµατοσυναρτηση της µορφης h P ο-που

Pειναι η δραση που αντιστοιχει στη διαδροµη και

η σταθερα

του Planck. Προκειµενου οι κυµατοσυναρτησεις να ειναι οι ιδιες ειτεαπο πανω ειτε απο κατω, τι συµπερασµα συναγετε για τη µαγνητικηροη Ê õ ! µ στο εσωτερικο του σωληνοειδους;

7. Εστω η Λαγκρανζιανη x Y0 !' ! e²0 ! | "

3.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 85

Γραψτε τις εξισ£ωσεις Euler - Lagrange που διεπουν την κινηση καιδειξτε οτι η τροχια του συστηµατος διδεται απο την.F + ~ F + Ì ß áãâ F + H Ý¬Þß F ("Θετοντας τις σταθερες

,~ αντιστοιχως ισες µε το κεντρο µαζας και

την ταχυτητα του κεντρου µαζας δυο σωµατιδιων ιδιας µαζας, δειξτεοτι η Λαγκρανζιανη αυτη περιγραφει την κινηση δυο ιδιων σωµατι-διων που αλληλεπιδρουν µε δυναµικο αρµονικου ταλαντωτη. (Φ.Χατζη°ωαννου)

Kefalaioﬁ 3 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch3.pdf68 KEFALAIO3. SUNARTHSHLAGRANGE...

Documents

Transcript of Kefalaioﬁ 3 - ΕΚΠΑusers.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/ch3.pdf68 KEFALAIO3. SUNARTHSHLAGRANGE...