Kazimierz Trzęsicki - Logika i teoria mnogości∶ ujęcie systematyczno-historyczne

7/14/2019 Kazimierz Trzsicki - Logika i teoria mnogoci ujcie systematyczno-historyczne

1/459


2/459

Kazimierz Trzsicki

Logikai

teoria mnogoci

Ujcie systematyczno-historyczne

Biaystok 2001


3/459

2 Spis treci

Spis treci

Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0. O logice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90.1. Nazwa logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

0.2. Podstawowe pojcia i problemy logiki . . . . . . . . . . . . 11

0.2.1. Pojcie zdania i prawdziwoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

0.2.2. Pojcie wynikania semantycznego, syntaktycznego

i rachunku logicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1. Klasyczna logika zda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.0. Zaoenia klasycznego rachunku zda . . . . . . . . . . . .19

1.1. Tautologie i zdania logicznie prawdziwe . . . . . . . . .20

1.1.1. Pojcie spjnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2. Alfabet jzyka klasycznej logiki zda . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.3. Definicja zdania (wyraenia poprawnie zbudowanego

logiki zda) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.3.1. Zdanie w notacji standardowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.1.3.2. Notacja ukasiewiczowska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241.1.3.3. Indukcyjny charakter definicji zdania . . . . . . . . . . . . . . 28

1.1.4. Model i prawdziwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.5. Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.6. Wybrane tautologie klasycznej logiki zda . . . . . . . . . . .40

1.1.7. Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

1.1.8. Elektronowa interpretacja spjnikw zdaniowych . . . .56

1.1.9. Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe . . . . . . . . . . . . .58

1.1.10. Spjniki prawdziwociowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61


4/459

1.1.11. Funkcjonalna peno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

1.1.12. Postacie normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.2. Wynikanie syntaktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2.1. Dowd w rachunku zda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2.2. Operacja konsekwencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2.3. Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

1.2.4. Sprzeczne i niesprzeczne zbiory zda . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.2.5. Maksymalne niesprzeczne zbiory zda . . . . . . . . . . . . . . .83

1.3. Wynikanie syntaktyczne a wynikanie seman-

tyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

1.3.1. Peno rachunku zda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

1.3.2. Wynikanie semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

1.3.3. Reguy, schematy i prawa logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

1.4. Systemy logiki zda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.4.1. Aksjomatyczny system rachunku zda . . . . . . . . . . . . . . 101

1.4.2. Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.4.3. Rachunek sekwentw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

2. Klasyczna logika predykatw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.1. Jzyk rachunku predykatw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.1.1. Dziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.1.2. Stae i zmienne indywiduowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1192.1.3. Litery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

2.1.4. Definicja termu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

2.1.5. Litery predykatowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

2.1.6. Definicja formuy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

2.1.7. Podstawialno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2. Klasyczny rachunek predykatw . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

2.2.1. Dowd w rachunku predykatw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


5/459

4 Spis treci

2.2.2. Niesprzeczno rachunku predykatw . . . . . . . . . . . . . . .140

2.2.3. Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

2.2.4. Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.2.5. Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

2.2.6. Rachunek sekwentw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

2.3. Model i prawdziwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

2.3.1. Pojcie interpretacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

2.3.2. Definicja modelu i speniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

2.3.3. Reguy rachunku predykatw a prawdziwo . . . . . . .179

2.4. Peno rachunku predykatw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

2.5. Twierdzenia interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3. Definiowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.0. Pojcie definiowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

3.1. Definiowanie liter predykatowych . . . . . . . . . . . . . . . . .206

3.2. Definiowanie staych indywiduowych . . . . . . . . . . . . 210

3.3. Definiowanie liter funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

3.4. Definiowalnoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4. Systemy sformalizowanie i arytmetyka . . . . . . . . . . .2294.1. Pojcie systemu sformalizowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

4.2. Liczby naturalne i indukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2394.2.1. Aksjomatyka Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

4.2.2. Indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.2.3. Definicja indukcyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5. Algebra zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.0. Pocztki teorii mnogoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

5.1. Zbir i element zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255


6/459

5.2. Rwno zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260

5.3. Zawieranie si zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.4. Operacje na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

5.4.1. Dopenienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

5.4.2. Suma zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269

5.4.3. Iloczyn zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.4.4. Rnica i rnica symetryczna zbiorw . . . . . . . . . 273

5.4.5. Zwizki midzy dziaaniami teoriomnogociowymi

274

5.4.6. Uoglnione suma i iloczyn zbiorw . . . . . . . . . . . . .275

5.5. Aksjomaty algebry zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

6. Produkty kartezjaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289

6.0. Pojcie produktu kartezjaskiego zbiorw . . . . . . . . . .

2896.1. Relacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296

6.1.1. Pojcie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

6.1.2. Relacja zwrotna i przeciwzwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6.1.3. Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i anty-

symetryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6.1.4. Relacja przechodnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

6.1.5. Relacja rwnowanoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6.1.6. Rachunek relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

6.2. Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

6.2.1. Pojcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

6.2.2. Funkcja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

6.2.3. Superpozycja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

6.2.4. Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

6.3. Uoglnione produkty kartezjaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7. Moce zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7.1. Zbiory rwnoliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7.2. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . 354


7/459

6 Spis treci

7.3. Arytmetyka liczb kardynalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362

7.4. Zbiory mocy continuum. Zbir potgowy . . . . . . . . . . . 371

8. Uporzdkowanie zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.1. Zbiory uporzdkowanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379

8.2. Zbiory liniowo uporzdkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392

8.2.1. Relacje liniowo porzdkujce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

8.2.2. Podobiestwo zbiorw liniowo uporzdkowanych .394

8.2.3. Uporzdkowanie liniowe gste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.2.4. Uporzdkowanie liniowe cige . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400

8.3. Zbiory dobrze uporzdkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

8.3.1. Relacje dobrze porzdkujce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

8.3.2. Porwnywanie liczb porzdkowych . . . . . . . . . . . . . . .404

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .???

Indeks rzeczowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ???

Aneks: Projekt MIZAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413


8/459

PRZEDMOWA

Niniejsza Logika i teoria mnogoci jest wykadem w ujciu sys-tematyczno-historycznym. Zarwno logika jak i teoria mnogoci majgbokie korzenie filozoficzne. Dobra intuicja jednego i drugiego, lo-giki i teorii mnogoci, nie moe wic oby si bez wskazania uwi-kania historycznego w okrelony kontekst filozoficzny. Nie tylko toi nie tylko fakt, e zarwno logika jak i teoria mnogoci s dyscy-

plinami podstawowymi zdecydowao o cznym ich ujciu. Ksikapodzielona jest na dwie zasadnicze czci. Pierwsza powicona jestlogice. Druga za teorii mnogoci. W czci pierwszej korzysta si zpewnych podstawowych poj teoriomnogociowych, cho w sposbsystematyczny s one wprowadzone dopiero w czci drugiej. Wy-starczajc intuicj tych poj, jak mona przyj, wynosi si ju zeszkoy redniej. W czci powiconej teorii mnogoci, mona ju za tokorzysta z aparatury pojciowej logiki. Takie podejcie pozwala napokazanie zastosowania logiki w dziedzinie matematyki. Dziki temustaje si jasne, e to, co si na prawd dzieje w matematyce jest takie,

jak to opisuje logika. To podejcie implicitezakada jednak wiksz

jasno niektrych podstawowych poj teoriomnogociowych (mia-nowicie tych, ktre s wykorzystane w wykadzie logiki) ni pojlogicznych.

Cz pierwsza, cz powicona logice, w pewnym stopniu jestzbiena z treci moich Elementw logiki dla humanistw1 .Obecnaksika skierowana jest do innego czytelnika. Mam w niej na uwadzeosoby, dla ktrych znajomo elementw logiki i teorii mnogoci jestniezbdna jako podstawa dalszych studiw. W zwizku z tym zmianie

1 Zob. Trzsicki [1994].


9/459

8 Przedmowa

lub usuniciu ulegy niektre fragmenty. Dodane zostay nowe roz-dziay np. rozdziay powicone tablicom semantycznym. Zmieniona

jest notacja.

Cz druga, cz powicona teorii mnogoci, obejmuje kla-syczn problematyk teoriomnogociow tak, jak ona jest ujta np.w ksice H. Rasiowej Wstp do matematyki wspczesnej2 . WeWstpie . . . logika jest rozwaana po teorii mnogoci. W Logice. . . jest odwrotnie: wykad teorii mnogoci poprzedzony jest wyka-dem logiki. W pocztkowych fragmentach wykadu dowody w teoriimnogoci s w peni sformalizowane. Dziki temu wyrane staje siuycie aparatury pojciowej logiki. Stopniowo rezygnuje si jednak zewskazywania tych elementw dowodu, ktre staj si w peni oczy-wiste i mog by uznane za domylne. Dziki temu zapisy dowodwstaj si coraz blisze zwykej praktyce matematycznej. Od tego spo-

sobu postpowania czynione s odstpstwa w wypadkach, w ktrychdochodzioby do zbytniej komplikacji. Pierwszestwo w stosunku dowszystkich elementw koncepcji publikacji dawane jest bowiem ja-snoci wykadu.

2 Zob. Rasiowa [1979].


10/459

0. O LOGICE

0.1. NAZWA LOGIKA

Sowu logika przysuguje kilka znacze. Mwi si o logice wy-darze, o logicznym postpowaniu i o logicznym myleniu. W tychkontekstach znaczenia sowa logika s analogiczne. W analogii tejzawarte jest przekonanie, e logiczne mylenie moliwe jest tylko w

wiecie, w ktrym panuje pewien ad zarwno w tym, co si dziejew rzeczach, jak i w postpowaniu ludzi. Postpowanie za moe bylogiczne, gdy mylenie jest logiczne i wiat wydarze jest logiczny.wiat, ten realny, jest logiczny a ten tworzony i wsptworzony przezczowieka powinien by logiczny, tzn. nie by chaosem, a by kosmo-sem w tym znaczeniu, jakie sowu kosmos nadano u pocztkweuropejskiej cywilizacji naukowej w staroytnej Grecji, a wic e ce-chuje go ad i harmonia.

Rozwj informatyki i informatyzacja stwarzaj sytuacj, dla kt-rej trudno szuka jakiej analogii w dziejach cywilizacji i kultury.Obok wiata natury pojawi si wytworzony przez czowieka wiat

wirtualny. W yciu ludzi umiejtno poruszania si w nim zdaje sinabiera wikszego znaczenia ni sprawno radzenia sobie ze wia-tem natury. Ten wirtualny wiat, aby czowiek si w nim nie zagubi,musi by kosmosem, czyli musi by logiczny. W tworzeniu takiegowiata pomaga znajomo logiki.

Jeszcze nie tak dawno dla czowieka liczyo si przede wszystkimto, co dziao si w jego bliszym otoczeniu. Jeszcze nie tak dawnomona byo powtrzy za Dziennikarzem z Wesela: Ja myl, ena waszej parafii / wiat dla was a dosy szeroki. Dzi, paradok-salnie, wydaje si, e zaczynamy zalee przede wszystkim od proce-


11/459

10 0. O LOGICE

sw globalnych. Uwikani w pajczyn Internetu atwiej znajdziemywzajemne zrozumienie, gdy bdziemy logiczni. Informatyka dostarczatechnologii przetwarzania informacji. Logika jest za tego teori. Lo-

giczne badania informacji maj za przedmiot nie tylko statyczn re-prezentacj wiedzy, lecz take dynamiczne procesy jej przetwarzania3 .Generalizujc, w nowej epoce, epoce spoeczestwa informacyjnego iglobalnego, logika jako umiejtno, czyli sztuka, a tym samym jakoi nauka bo bez niej sztuka logiki bdzie lepa zdaje si nabierawikszego znaczenia ni miaa kiedykolwiek.

yjemy w epoce, w ktrej to, co ju zauwaa Cyprian KamilNorwid staje si bardziej aktualne ni kiedykolwiek.

Pracowa musisz gos ogromny woa

N i e z p o t e m d o n i t w e j,

l u b t w e g o g r z b i e t u,(Bo prac pocztek, doprawdy, jest nie tu);

Pracowa musisz z potem twego CZOA!4

Kada praca ma swoj logik. amanie jej zasad czyni j mniej efek-tywn. Praca intelektualna wymaga intelektualnej logiki, czyli logikiwiadomej. T wiadomo ma wyraa logika jako teoria rozumowa-nia i teoria efektywnego komunikowania si (ludzi).

Sowo logika etymologicznie wywodzi si od greckiego przy-miotnika o (logike), ktry jako przydawka doczany by dodwch greckich rzeczownikw (episteme) i (techne).Pierwszy z tych rzeczownikw znaczy tyle co aciskie scientiai pol-skie nauka, drugi rzeczownik tumaczony jest na acin jako ars,co po polsku oddajemy przez sztuka lub umiejtno. Z czasemgrecki przymiotnik oprzybra posta rzeczownika.

Samo sowo o5 pochodzi od rzeczownika oo(logos). Rze-czownik ten mg oznacza rozum i to, co w rozumie powstaje, a wic

3 Jest to przedmiot logiki dynamicznej. Zob. np. http://www-csli.stanford.edu

/csli/projects/cogsci9495-benthem.html.4 Zob. Norwid C. K., Praca (fragm.).5 Arystoteles (384322 p.n.e.), ojciec logiki, to co logiczne (w sensie wsp-


12/459

0.1. POJCIE LOGIKI 11

myl i to, w co myl musi si przyoblec, aby moga by wyraona izakomunikowana, a wic sowo.

Prawa logiki s powszechne, to znaczy, e stosuj si do wszyst-

kich bez wyjtku rozumowa niezalenie od tego, jakiej dziedzinyprzedmiotowej rozumowania te dotyczyyby i niezalene od tego, ktoi kiedy je przeprowadza. S rwnie konieczne, to znaczy, e rozumo-wania z nimi niezgodne s niepoprawne. Powszechno i koniecznopraw logiki jest wyzwaniem dla informatykw, od ktrych oczekuje siwytworzenia sprztu i stworzenia oprogramowania takich, aby monabyo wprzc komputery w procesy rozumowania, aby stay si inteli-gentne6 .

Zasadniczym pojciem logiki jest pojciewynikaniajako pewnegorodzaju stosunku midzy zdaniami, a w szczeglnoci we wnioskowa-niu jako stosunku midzy przesankami a wnioskiem: midzy tym, co

jest dane w rozumowaniu, a tym, co jest wynikiem rozumowania. Jed-nak nawet gdyby byo tak, e wszystko, co z danych zda wynika (lo-gicznie), daje si wyprowadzi za pomoc mechanicznych wzorw co jest prawd przynajmniej w wypadku logiki klasycznej to okazujesi, e mimo tego nie jest moliwe podanie oglnej (czyli stosujcej sido kadego wypadku) mechanicznej procedury znajdowania odpo-wiedzi na kade pytanie, czy dane zdanie wynika z okrelonych zda.Czy w takim razie jest moliwa sztuczna inteligencja7 dorwnujcaludzkiej?8 Ponadto, okazuje si, e nie mona okreli takiego zasobuwiedzy, z ktrej wynikaaby reszta prawd. Nie jest wic moliwy su-perkomputer, z ktrego bazy danych monaby wyprowadzi wszyst-

czesnym), okrela sowem o (analytikos), czyli jako dowodowe, lubuywa w tym celu frazy wynikajcy z przesanek. Za greckie logiczne su-yo mu do okrelenia tego, co prawdopodobne lub te tego, co poznawcze.

6 aciskie intelligentiaznaczy: pojtno. Jest to zdolno rozumienia ota-czajcej sytuacji i umiejtno znajdowania waciwych i celowych reakcji.

7 Pomysodawc terminu sztuczna inteligencja (artificial intelligence - AI)

jest John McCarthy. Rok 1956 wskazywany jest jako data narodzin tej dyscypliny.8 Twrcy informatyki tacy jak Alan Turing i Norbert Wiener wierzyli, e kom-

putery przecign zdolnoci czowieka chociaby w takich dziedzinach jak grystrategiczne i dowody matematyczne. Pod koniec lat 50-tych Herbert AlexanderSimon (laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii w 1978 r.) zapowiada, e

w cigu 10 lat komputer zdeklasuje czowieka np. w grze w szachy.


13/459

12 0. O LOGICE

kie prawdy o jakiej bogatej dziedzinie (zawierajcej arytmetyk liczbnaturalnych)9 .Logika rozstrzsa takie i inne pytania odnoszce si doludzkiego intelektu. Znajomo logiki, tej staroytnej nauki, jest wic

wana dla zrozumienia moliwoci i ogranicze informatyki, ksztatu-jcej cywilizacj wspczesnego wiata i wyznaczajcej perspektywyrozwoju i postpu w nowym, trzecim tysicleciu. Jak ju w latach60-tych zauwaa to McCarthy It is reasonable to hope that the re-lationship between computation and mathematical logic will be asfruitful in the next century as that between analysis and physics inthe last. The development of this relationship demands a concern forboth applications and for mathematical elegance.10

Ju dla Arystotelesa drugim, obok wynikania, gwnym tema-tem logiki bya definicja. W teorii mnogoci problem poprawnocidefinicji poj ujawni si w zwizku z paradoksami poprawne ro-zumowania prowadziy do sprzecznych wnioskw. Wspczesna teoriadefinicji radzi sobie skutecznie z problemami w naukach formalnych.W sytuacjach praktycznych dowiadczamy wielorakich kopotw wy-nikych z pomieszania poj. Znajomo zasad definiowania jest wipoyteczna i przydatna kademu. Tu nie tylko przedstawiona bdzielogiczna teoria definicji, lecz rwnie przy okazji wprowadzania pojbdzie si zwracao uwag na to, e spenione s wszystkie warunkipoprawnego definiowania.

0.2. PODSTAWOWE POJCIA I PROBLEMY LOGIKI

0.2.1. Pojcie zdania i prawdziwoci

Logik interesuje jzyk gwnie, cho nie jedynie, jako narzdzieprzekazu informacji, a wic w jego funkcji symbolicznej (informa-

9 Fakt ten udowodniony przez Kurta Godla posuy synnemu matematykowisir Rogerowi Penrose jako przesanka tezy, e nie jest moliwe symulowanie nakomputerze wiadomych procesw mylowych.10 Zob. McCarthy [1963], s. 69. Rozsdnie jest mie nadziej, e w nowym stule-

ciu zwizek midzy informatyk a logik matematyczn okae si rwnie owocny,jak w ubiegym midzy analiz a fizyk. Ksztatowanie tego zwizku wymagauwzgldnienia zarwno zastosowa jak i matematycznej elegancji. tumaczeniemoje


14/459

0.2. PODSTAWOWE POJCIA I PROBLEMY LOGIKI 13

cyjnej). Z tego wzgldu mwic o zdaniu ma si na uwadze przedewszystkim zdanie oznajmujce w sensie gramatycznym.

Przez zdania rozumiemy wszystkie i tylko te wyraenia, ktre na-

daj si do formuowania twierdze (wiedza w sensie obiektywnym)lub przekona (wiedza w sensie subiektywnym). Poprawana meto-dologicznie definicja zdania moliwa jest, gdy okrelony jest jzyk,czyli gdy zdefiniowany jest zbir symboli (sownik jzyka) i zasadybudowy (reguy syntaktyczne11 ) jego wyrae (poprawnie zbudowa-nych). Zdanie to kady i tylko element wyrnionej klasy wyrae(poprawnie zbudowanych).

O zdaniu mwimy, e jest prawdziwe, gdy w rzeczywistoci jesttak jak to zdanie gosi. Zdanie jest za faszywe, gdy w rzeczywistocinie jest tak jak zdanie to gosi.

PRZYKADY12

11 Przez semiotyk rozumie si logiczn teori jzyka. Za Ch. Morrisem [1938]wyrnia si:

1. syntaktyk, ktra opisuje stosunki midzy znakami;

2. semantyk rozwaa ona zwizki midzy znakami a rzeczywistoci, do ktrejte znaki odnosz;

3. pragmatyk jej przedmiotem s relacje midzy znakami a ich uytkownika-mi.12 W redniowieczu semiotycy wyrniali odmienne sposoby uycia wyrae,

czyli supozycje.

Nazwa uyta jest w supozycji naturalnej (suppositio naturalis), gdy zasto-sowana jest na oznaczenie kadego przedmiotu, do wskazania ktrego moe byuyta, jak np. nazwa czowiek w zdaniu: Czowiek jest miertelny.

Nazwa uyta jest w supozycji przedmiotowej(suppositio personalis), gdy za-stosowana jest na oznaczenie jednego przedmiotu, do wskazania ktrego moe byuyta, jak np. nazwa czowiek w zdaniu: Pod drzewem sta czowiek.

Nazwa uyta jest w supozycji formalnej (suppositio formalis), gdy zastoso-wana jest do wskazania gatunku, jaki tworz wszystkie przedmioty, do wskazaniaktrych moe by uyta, jak np. nazwa czowiek w zdaniu: Czowiek pojawisi na ziemi kilkaset tysicy lat temu.

Wyraenie uyte jest w supozycji materialnej (suppositio materialis), gdyzastosowane jest do wskazania samego siebie, jak np. nazwa czowiek we frazie:Jak np. nazwa czowiek. Uycie wyraenia w supozycji materialnej zaznaczamy


15/459

14 0. O LOGICE

Zdanie2 + 2 = 4.

jest prawdziwe, za zdanie

2 + 2 = 5.

jest faszywe.

Powysze okrelenia prawdziwoci i faszywoci zda s potocz-nym sformuowaniem klasycznej koncepcji prawdy.

Klasyczne pojcie prawdy jest pojciem relacyjnym (nie naleytego myli z relatywizmem13 w zakresie rozumienia prawdy). Jest tokorespondencyjna koncepcja prawdy; tzn. to, czy zdanie jest praw-dziwe, czy nie, zaley wycznie od stanu rzeczy, ze wzgldu na ktrydane zdanie orzekamy. Nie zaley wic np. od innych zda praw-dziwych, co bior pod uwag zwolennicy koherencyjnej koncepcji

prawdy. Nie zaley te od poytkw, jakie mona mie uznajc danezdanie za prawdziwe, co akcentuj zwolennicy koncepcji pragmatycz-nej. Zwykle gdy mwimy, e zdanie jest prawdziwe, nie dodajemyze wzgldu na jaki wiat jest ono prawdziwe. Domylnie przyj-mujemy, e jest to wiat realny, otaczajca nas rzeczywisto. Gdyjednak mwimy o prawdziwoci lub faszywoci zda niekonieczniemajc na uwadze wiat realny a tak tu bdziemy postpowa trzeba stworzy jego substytut, chociaby w postaci jakiego czystoabstrakcyjnego konstruktu. Taki konstrukt bdziemy nazywa mode-lem.

biorc to wyraenie w cudzysw.

W niniejszej ksice bdzie szereg odstpstw od zasady brania w cudyswwyrae uytych w supozycji materialnej. Zasada ekonomii nakazuje zastosowa-nie tylko tyle rodkw wyrazu, ile jest to konieczne, aby tekst by zrozumiay ijednoznaczny dla tego, do kogo jest adresowany. Zgodnie z t zasad cudzysowyopuszczane bd wszdzie tam, gdzie ich brak nie bdzie rdem jakich wt-pliwoci, co do sposobu rozumienia. W szczeglnoci nie ma potrzeby brania wcudzysw, jeli uywamy nazwy rodzaju wyraenia, czyli gdy piszemy, e poda-jemy np.przykady zda. Podobnie, gdy uywamy zwrotw w rodzaju: nazywamy,okrelamy.13 Relatywizm ujmujc rzecz po prostu uzalenia prawdziwo zdania od

tego, kto to zdanie wypowiedzia. Moe tu chodzi o zaleno np. od klasy spo-ecznej (marksizm), pci (feminizm). Prawda ma by wzgldna.


16/459


Prawdziwo i faszywo to wartoci logiczne zda. Stoimy nastanowisku dwuwartociowoci; tzn. przyjmujemy, e zdania s bdprawdziwe, bd faszywe. Nie dopuszczamy wic istnienia zda,

ktre nie s ani prawdziwe, ani faszywe.Zaoenie dwuwartociowoci nie jest powszechnie przyjmowane

przez logikw. Pierwszymi byli Jan ukasiewicz14 a obok niego EmilPost15 , ktrzy rozwaali logik o wikszej ni dwie liczbie wartocilogicznych. Motywacje byy rne. ukasiewicz nawiza do synnegoproblemu zda o przyszych zdarzeniach przygodnych sformuowa-nego jeszcze przez Arystotelesa, ktry rozstrzsa kwesti, czy przysu-giwanie wartoci logicznej zdaniu stwierdzajcemu, e jutro odbdziesi bitwa morska jest rwnowane uznaniu tezy determinizmu, czyli mwic swobodnie przekonaniu, e kade zdarzenie przysze jestprzesdzone od pocztku wiata. Post kierowa si intuicjami kom-

binatorycznymi. Logiki wielowartociowe znajduj zastosowanie wa-nie w kombinatoryce, algebrze i w kwestiach technicznych16 .Oprczdopuszczenia wikszej ni dwie wartoci logicznych mona rwniestan na stanowisku, e s zdania, ktrym nie przysuguje adnawarto logiczna. Jest tak np. w wypadku tych, ktrzy odmawiajznaczenia, czyli sensu semantycznego niektrym wyraeniom, bd-cym zdaniami z punktu widzenia regu budowy wyrae, czyli syn-taktyki17 .

Wnioskowanie to porednie uzasadnianie, czyli uzasadnianie po-przez odwoanie si do uprzednio uznanych zda. Wnioskowanie suywic do poszerzania naszej wiedzy obiektywnej, czyli systemw wie-

14 Zob. ukasiewicz [1920], [1930], [1941], [1961]. Z polskich logikw tworze-niem systemw logik wielowartociowych zajmowali si te B. Sobociski oraz J.Supecki.15 Zob. Post [1921].16 Oczywicie, zasadnicze znaczenie ma logika dwuwartociowa. Warto tu wspo-

mnie, e te kwestie ju w latach 50-tych podejmowa H. Greniewski [1959].17 Inn kwesti jest ilo wartoci logicznych logiki intuicjonistycznej i logik

modalnych. W wypadku logiki intuicjonistycznej w 1935 r. St. Jakowski udo-wodni, e adekwatny byby dla niej tylko system z nieskoczon iloci wartocilogicznych. Operatory modalne za zwykle rozpatruje si jako spjniki, ktre nies prawdziwociowe i logiki te nadbudowywane s nad innymi systemami logikinp. dwuwartociowej.


17/459

16 0. O LOGICE

dzy, poprzez odwoanie si do zda ju nalecych do tych syste-mw oraz do wzbogacania naszej wiedzy subiektywnej, czyli naszychprzekona, na podstawie ju ywionych przekona. Inn wan rol

wnioskowania jest porzdkowanie wiedzy. Wiedza nie jest (nie po-winna by) prostym nagromadzeniem zda. Zdania skadajce si nasystem wiedzy s (powinny by) jako uhierarchizowane i uporzd-kowane. Dokonuje si tego z uwzgldnieniem stosunku uzasadnianiazachodzcego midzy tymi zdaniami.

Przesankiwe wnioskowaniu to zdania skdind uznane bd jakotakie zaoone. Stanowi one punkt wyjcia wnioskowania. Wniosekza jest zdaniem, ktre we wnioskowaniu zostaje uznane.

Na to, by wnioskowanie byo poprawne konieczne jest eby mi-dzy jego przesankami a wnioskiem zachodzi stosunek uzasadniania.Szczeglnym rodzajem stosunku uzasadniania jest stosunek wynika-

nia.Zdania, z ktrych jakie zdanie wynika nazywamy jego racjami,

a zdanie, ktre wynika z jakich zda nazywamy ich nastpstwem.

Wnioskowania, w ktrych prawdziwo przesanek gwarantujeprawdziwo wniosku czyli gdy nie jest moliwy taki stan rzeczy, abyprzesanki byy prawdziwe a wniosek faszywy to wnioskowania, wktrych wniosekwynika (logicznie)z przesanek. S townioskowaniadedukcyjne. Teoria wynikania logicznego jest zasadniczym zagadnie-niem logiki. Podstawowym dziaem logiki jest wic teoria wnioskowadedukcyjnych.

0.2.2. Pojcie wynikania semantycznego, syntaktycznegoi rachunku logicznego

G. W. Leibniz (16461716) by pierwszym mylicielem, ktryw sposb wyrany sformuowa koncepcj logiki jako rachunku18 .Pierwszym logikiem, ktry podj pomys Leibniza by G. Frege

18 Nie bez zwizku z tym pozostaje fakt, e Leibniz stworzy model maszynyliczcej, ktra bya ulepszeniem maszyny Pascala, tzw. Pascaliny. Maszyna Leib-niza oprcz dodawania i odejmowania potrafia mnoy i dzieli (ok. 1674 r.).Sprawny egzemplarz maszyny Leibniza znajduje si w bibliotece w Hanowerze.Leibniz stworzy system liczbowy oparty na 0 i 1 i by pomysodawc maszyny


18/459


(18481925). Prace Fregego, z ktrych podstawow jest Begriffs-schrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des re-inen Denkens [1879] (Ideografia), day waciwy pocztek wspcze-

snej logice formalnej19

,ktr mona uzna za czciow realizacj ideiLeibniza. W XVIII wieku wydawao si jeszcze gosi to Kant elogika, ktr stworzy Arystoteles jest tak wszechstronnie i doskonalezbudowana, e prawie niczego ju do niej nie mona doda.

We wspczesnej logice formalnej za jedno z podstawowych zadauznaje si wskazanie i uzasadnienie regu wynikania syntaktycznego,czyli regu operacji rachunkowych na wyraeniach, lub wypowia-dajc si swobodnie regu operowania znakami tak, aby reguy tewiernie odwzorowyway rzeczywisty, semantyczny stosunek wynika-nia. Chodzi wic o to, by zwizki midzy ideami byy odwzorowaneprzez zalenoci midzy znakami tych idei, std termin, ktrym Fregeposuy si w tytule swojej pracy: ideografia. Inn kwesti jest, byidee te przystaway do rzeczywistoci, by zwizki midzy ideami od-wzorowyway zwizki midzy przedmiotami.

W wykadzie wskazanej problematyki naley zatem okreli po-jcie wynikania semantycznego i poda jego definicj. Trzeba takeopisa reguy wynikania syntaktycznego. Reguy wynikania syntak-tycznego maj by takie, eby jakie zdanie-wniosek wynikao syntak-tycznie z jakiego zbioru zda-przesanek wtedy i tylko wtedy, gdywynika ono z tego zbioru semantycznie. Teza stwierdzajca taki faktjest treci twierdze okrelanych jako twierdzenia o penoci.

Dla wstpnego zrozumienia o co chodzi, gdy mwimy o wynika-

niu semantycznym i syntaktycznym oraz o tym, eby oba te rodzajewynikania byy zgodne, rozwamy analogiczny problem arytmetyki.

liczcej bazujcej na tym systemie. Pomys ten jednak nie zosta zrealizowany.Leibniz zauwaa, e maszyna liczy, chocia Pitagoras wierzy, e liczenie jestsprawnoci czowieka. Wicej, pisa, e nie jest to waciwe dla wybitnego czo-wieka traci godziny jak niewolnik, kiedy liczenie moe spokojnie przekaza ko-mukolwiek, jeli tylko uyje si maszyny. Przy okazji zauwamy, e najbardziejpowszechnym urzdzeniem stosowanym do liczenia byo liczydo. Jego historiadatuje si od V w. p.n.e. Jego pomysodawcami byli Chiczycy.19 Jzyk rachunkw logicznych jest rodzajem pisma ideograficznego, ktrego

najprostsze znaki odpowiadaj znaczeniom wyrazw lub nawet zwrotw jzykapotocznego.


19/459

18 0. O LOGICE

Co czynimy, aby poda sum jakich liczb? Ot zapisujemywskazane liczby w systemie dziesitnym, a nastpnie stosujc znaneze szkoy reguy pisemnego dodawania znajdujemy ich sum. Oczywi-

cie, nie jest to jedyny sposb obliczania sumy liczb. Moemy je za-pisa na liczydle i stosujc reguy rachowania na liczydle ktre toreguy nie kady zna obliczy ich sum. Podobnie bdzie w wypadkunowoczesnych liczyde, jakimi s komputery. Cho w tym wypadkureguy liczenia sprowadzaj si do umiejtnoci wybrania odpowied-niego programu i umiejtnoci zapisania liczb. Pozostamy jednakprzy naszym przykadzie pisemnego sumowania liczb. Zauwamy, ena to, by mc stosowa reguy pisemnego dodawania, musimy za-pisa sumowane liczby w systemie dziesitnym. Zapisujc te liczbyw systemie rzymskim nie bdziemy potrafili ich pisemnie zsumowa.Zapisujc za te liczby w systemie dwjkowym ktry ma wikszetechniczne znaczenie ni system dziesitny musimy stosowa innereguy rachunkowe ni te, ktre stosujemy w wypadku systemu dzie-sitnego.

Reguy pisemnego dodawania s wic zalene od jzyka, w kt-rym zapisujemy sumowane liczby. S to bowiem reguy operowaniasymbolami, przypominaj zatem np. reguy gry w szachy, ktre toreguy mwi, jak mona zmienia pozycje figur i pionw na sza-chownicy.

Reguy pisemnego dodawania s tak dobrane, aby stosujc jeotrzyma rzeczywist sum dodawanych liczb. Gdyby kto zamiasttych regu zastosowa inne reguy, np. mnoenia, to wyrachowana

liczba moe nie by rzeczywist sum tych liczb.W analogii pomidzy sumowaniem a wynikaniem rzeczywista

suma liczb ma by odpowiednikiem tego, co okrelamy jako wynika-nie semantyczne, za suma wyrachowana zgodnie z reguami pisem-nego dodawania odpowiednikiem tego, co okrelamy jako wynikaniesyntaktyczne. Analogia ta pozwala zrozumie co mia na myli Leib-niz, gdy w zwizku ze swoj koncepcj rachunku logicznego mwi oczasach, w ktrych . . .dwaj filozofowie, ilekro powstanie spr, niebd inaczej rozprawia, anieli dwaj rachmistrze. Wystarczy, jeliwezm pira do rki, zasid do tablic i jeli jeden drugiemu powie


20/459


(uywajc, jeli chcecie, przyjacielskiego zawoania):Calculemus(Po-rachujmy)!20 .

Dla rachunkw arytmetycznych trzeba byo wynale specjalny

jzyk. Jak wiadomo uczyniono to w Indiach a Europejczycy przejligo od Arabw, dlatego te system dziesitny nosi miano arabskiego.Jzyk naturalny chociaby dlatego, e dajce si okreli zwizki mi-dzy jego wyraeniami w sposb jednolity nie odwzorowuj zwizkwzachodzcych midzy liczbami, nie nadaje si do tego, aby ustala dlaniego reguy rachowania. Podobnie brak jednolitych zwizkw mi-dzy nazwami liczb w systemie notacji rzymskiej uniemoliwi stwo-rzenie rachunku arytmetycznego na bazie tej notacji. Podobnie ra-chunki logiczne wymagaj specjalnego jzyka, bo midzy innymiz tych samych powodw, co w wypadku arytmetyki i dla tych ra-chunkw jzyk naturalny nie nadaje si. Wspomniany wyej Leibniz

gosi ide uniwersalnego jzyka graficznego, characteristica univer-salis21 .O jego przekonaniu o znaczeniu wyboru symboli dla poznanianaukowego moe wiadczy stwierdzenie, e wszelkie odkrycia w ma-tematyce zawdzicza swemu udoskonalonemu stosowaniu symboli, ajego wynalazek rachunku rniczkowego by dla wanie tego przy-kadem22 . Macfarlane, kontynuator bada Boolea, De Morgana iJevonsa, zauwaa: The reason why Formal Logic has so long beenunable to cope with the subtlety of nature is that too much atten-tion has been given to pictorial notations. Arithmetic could never bedeveloped by means of the Roman system of notations; and FormalLogic cannot be developed so long as Barbara is represented by

C, : M, :T;20 Zob. Leibniz [1890], t. 7, s. 198201.21 Warto zauway, e przeszkd w realizacji swojej idei upatrywa w braku

chtnych do wsppracy (por. list z 1714 r. , Leibniz [1840], s. 703). W licie pi-sanym na dwa lata przed mierci mwi, e gdyby si mniej rozprasza lub bymodszy, bd mia wsparcie w dobrze usposobionym modym czowieku, to manadziej daby jak prbk jzyka nieskoczenie rnego od dotychczas zaprojek-towanych, poniewa same jego symbole prowadziyby myl, a bdy, oprcz tychdotyczcych faktw, miayby rdo w bdach rachowania (por. Leibniz [1840],

s. 701.22 Zob. Couturat [1901], s. 8485.


21/459

20 0. O LOGICE

or even by the simpler spicular notation of De Morgan. We cannotmanipulate data so crudely expressed; because the nature of the sym-bols has not been investigated, and laws of manipulation derived from

their general properties.23

Ze wzgldu na to, e rachunek zaley od wyboru jzyka, a wicm.in. sownika i regu syntaktycznych, ponadto co ma istotne zna-czenie od wyboru regu samego rachunku, czynimy odrnienie mi-dzy logik a rachunkiem logicznym, w szczeglnoci midzy logikzda a rachunkiem zda. Jedna i ta sama logika moe by bowiemopisywana rnymi rachunkami24 .

23 Zob. Macfarlane [1879], s. 32.24 Rachunek arytmetyczny rni si od logicznego, czyli krcej, rachowanie

rni si od dowodzenia. Cztery rnice s wyrane. (1) W arytmetyce mamydo czynienia z liczbami a w logice ze zdaniami. (2) Reguy rachowania s bar-dziej cise ni reguy dowodzenia. (3) Procedury rachunkowe zwykle prowadzdo kocowego wyniku (s rozstrzygalne, rekursywne) lub mog go osign zapomoc dobrze opracowanych metod aproksymacji. Procedury dowodowe czstonie prowadz do ostatecznego rezultatu (s nierozstrzygalne, nie rekursywne, cho-cia rekursywnie przeliczalne), istotnie niezupene w wypadku teorii liczb i teoriimnogoci, a w teorii dowodu ponadto nie mamy jasnej koncepcji metod aproksy-macyjnych. (4) Procedury rachunkowe s efektywne, za dla dowodw czsto zda-rza si nawet w wypadku teorii rozstrzygalnych, e metoda rozstrzygania nie jestpraktycznie wykonalna. Rachujc wyjtkowo co skracamy. W dowodach skrtys zasad, gdy odwoujemy si do intuicji rozumienia, dowiadczenia i podobnychzasad. Por. Wang H. [1963], s. 1.


22/459

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDA

1.0. ZAOENIA KLASYCZNEGO RACHUNKUZDA

Rozwaymy teraz problem rachunku dla logiki zda20 . Logika

zdajest logik jzyka, ktrego najprostsze, wewntrznie nieanali-zowalne elementy to zdania i w ktrym z tych zda okrelanychjako proste lub atomowe i ze specjalnych wyrae zwanych spj-nikami oraz znakw interpunkcyjnych, ktrymi s nawiasy, konstru-owane s wszystkie pozostae wyraenia poprawnie zbudowane tegojzyka zdania zoone. W jzyku zdaniowym wszystkie elementyznaczeniowe wice te zdania ze sob s wic wyraalne przez spj-niki zdaniowe. Takim jzykiem nie jest ani jzyk naturalny, ani adenz jzykw rnych systemw wiedzy. W takim sensie jzyk logiki zdajest fikcyjny. Zasady logiki zda stosuj si jednak do wszystkich j-zykw o tyle, o ile abstrahujemy od wewntrznej zoonoci ich zdaprostych. Rozwaanie logiki zda jest uyteczne zarwno teoretyczniejak i dydaktycznie. Rachunek dla logiki zda jest bowiem fragmen-tem bogatszego rachunku dla logiki jzyka, w ktrym wyrnia sielementy skadowe zda bdzie to rachunek predykatw. Klasyczna

20 Rachunek zda jest powszechnie uwaany za polsk specjalno. J. Woleski[1985] podaje nastpujc anegdot. Gdy A. Tarski spotka si po raz pierwszy zE. Postem (byo to zapewne w roku 1939 lub 1940) sugerowa mu, e jest jedynymlogikiem, ktry uzyska wane wyniki w rachunku zda, a nie ma nic wsplnegoz Polsk. Na to Post mia rzec: O nie, urodziem si w Biaymstoku, a to jestmiasto we wschodniej Polsce. (zob. s. 84) W yciorysie E. Posta podaje si, eurodzi si w Augustowie.


23/459

22 1. KLASYCZNA LOGIKA ZDA

logika zdato logika jzyka, ktrego wszystkie spjniki s prawdzi-wociowe i ponad to przyjmuje si dwie wartoci logiczne: prawd ifasz.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAW-DZIWE

Okrelimy teraz czysto formalnie jzyk rachunku zda. Podamywic alfabet tego jzyka i reguy konstrukcji wyrae poprawnie zbu-dowanych: zda.

Zdania budujemy, aby mwi o pewnej rzeczywistoci, o jakimwiecie. W logice matematycznej takim wiatem jest abstrakcyjnykonstrukt: model. Bdzie on tak zbudowany, aby ujmowa interesu-jce nas aspekty odnoszenia zda do wiata. cile okrelony wiat,

model, umoliwi definicj prawdziwoci zdania (w modelu). Pojcieprawdziwoci zdania jest pojciem semantycznym. Naszym celem jestwskazanie czysto syntaktycznych wasnoci owych zda, a wic tychwasnoci ich ksztatu, budowy, ktre s charakterystyczne dla zdaprawdziwych we wszystkich modelach. Wyrnimy pewn klas zda,ktre bdziemy okrelali jako tautologie. Pojcie tautologii bdziewic pojciem syntaktycznym. Ustalimy zwizek pomidzy byciemtautologi a byciem zdaniem prawdziwym we wszystkich modelach.

1.1.1. Pojcie spjnika

W kadym jzyku istniej rne sposoby tworzenia zda ze zda.

Suy temu celowi mog rne wyraenia (w gramatyce nazywanespjnikami i partykuami), zestawienie zda (poczenie zda ska-dowych wraz z uyciem w jzyku mwionym stosownej intonacji a w jzyku pisanym odpowiedniej interpunkcji).

Spjnikto kade i tylko takie wyraenie, ktre cznie ze zdaniembd zdaniami tworzy zdanie.

PRZYKADY

Spjnikami s np.: nieprawda, e. . . , konieczne jest, e . . . oraz . . . lub . . . i . . . oraz . . . . Spjnikiem nie jest: . . .jest.


24/459

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE 23

Zdania, z ktrych dany spjnik tworzy zdanie to argumentytegospjnika. Spjniki dzieli si ze wzgldu na ilo ich argumentw. Wy-rniamy wic spjniki jednoargumentowe, dwuargumentoweitd.

Zdania, ktre otrzymujemy w wyniku dopisania zdania lub zdado spjnika to zdania zoone. Zdania prosteto zdania, ktre nie szoone, czyli w ktrych nie wystpuj spjniki.

PRZYKADY

Zdaniami prostymi s:2 + 2 = 4.

Trjkt ma trzy boki.

Zdaniami zoonymi s:Nieprawda, e2 + 2 = 4.

Jeeli czworokt ma cztery boki rwne, to ma dwa kty rwne.

1.1.2. Alfabet jzyka klasycznej logiki zda

AlfabetA jzyka klasycznej logiki zda jest zbiorem nastpuj-cych przedmiotw (symboli):

(I) p0, p1, . . .,

(II),(III),,,,(IV) ), (.

Zbir wszystkich skoczonych cigw elementwA toA. Ele-mentyA

to sowa nad alfabetemA.p0, p1, . . .to litery zdaniowe. Intuicyjnie reprezentuj one zdania

proste, czyli zdania, w ktrych nie wystpuj spjniki. Std te nazy-wane satomami. Dopuszczamy by zda tych byo tyle, ile jest liczbnaturalnych, czyli przeliczalnie nieskoczenie wiele. W teoretycznychrozwaaniach przyjmujemy, e litery zdaniowe s niezoonymi zna-kami. Zwykle jako liter zdaniowych uywa bdziemy liter: p, q , r, . . ..

jest spjnikiem jednoargumentowym. Nazywamy gonegacj21 .21 aciskienego znaczy: przecz.


25/459


Spjniki:,,, s dwuargumentowe. Nazywamy je, odpo-wiednio: implikacj22 , alternatyw, koniunkcji rwnowanoci. Wwypadku implikacji jej pierwszy argument nazywamy poprzednikiem

a drugi nastpnikiem.Nawiasy:) nawias prawy,( nawias lewy, peni funkcj znakw

interpunkcyjnych. Znaki te w naszym jzyku logiki zda s niezbdnedla jednoznacznego zapisu wyrae tego jzyka. Zwykle dla wygody w tym celu, aby napis by bardziej czytelny stosuje si te nawiasyinnych ksztatw: ], [;}, {.

1.1.3. Definicja zdania (wyraenia poprawnie zbudowa-nego logiki zda)

1.1.3.1. Zdanie w notacji standardowej

Z elementw powyej opisanego sownika (alfabetu) budujemyzdania. Zdania s jedynymi poprawnie zbudowanymi wyraeniamijzyka logiki zda.

DEFINICJA ZDANIA

Niech i bd dowolnymi skoczonymi cigami symboli alfa-betu jzyka logiki zda, czyli i s elementamiA (, A).

(I) litery zdaniowe s zdaniami;

(II) jeeli jest zdaniem, tojest zdaniem;(III) jeeli , s zdaniami, to (

), (

), (

), (

) s

zdaniami;(IV) nie ma innych zda oprcz liter zdaniowych oraz tych wyrae,

ktre s skoczonymi cigami symboli23 speniajcymi warunki(II) i (III).

22 Spjnik ten okrelany jest rwnie jako implikacja materialnadla odr-nienia od implikacji formalnej. Termin implikacja formalna uywany jest naoznaczenie implikacji, ktrej warunkiem koniecznym poprawnoci i sensownoci

jest zachodzenie zwizku formalnego midzy poprzednikiem a nastpnikiem.23 Pojcia uyte w definicji zdania: cigu, skoczonego cigu, najmniejszego

zbioru nale do teorii mnogoci, tam te podane s ich definicje.


26/459


Warunek (IV) mona zastpi warunkiem rwnowanym:

(IV) zbir zda jest najmniejszym zbiorem skoczonych cigwsymboli speniajcych warunki (I) (III).

Zbir wyrae poprawnie zbudowanych, w tym wypadku zda,jest podzbioremA.

PRZYKADY

Zdaniami s: p0, p4, p5,p0,(p5 p0),((p0p5) p0).Zdaniami nie s: (p0),(p0)(p5) (p0),(p0p5) (p0), (p0p1)

(p0p1) (p0p1) . . .. Skoczony cigelementw sownika jest zdaniem wtedy i tylko

wtedy, gdy cznie spenione s nastpujce warunki:

1. Pierwszym wyrazem cigu jest litera zdaniowa, albo spjniknegacji albo nawias lewy.

2. Po literze zdaniowej albo nie nastpuje nawias prawy, albo na-stpuje nawias prawy albo nastpuje spjnik dwuargumentowy.

3. Po nawiasie lewym nastpuje litera zdaniowa, albo spjnik nega-cji albo nawias lewy.

4. W wystpuje tyle samo spjnikw dwuargumentowych, co na-wiasw lewych i co nawiasw prawych.

5. W kadym miejscu w , w ktrym znajduje si nawias lewy za-

czyna si odcinek cigu taki, e liczba wystpie nawiasw lewychjest rwna liczbie wystpie nawiasw prawych, a w najkrtszymtego rodzaju odcinku liczby te s rwne liczbie wystpie spj-nikw dwuargumentowych.

Podana charakterystyka daje podstaw dla automatyzacji spraw-dzania, czy dany cig jest zdaniem.

PRZYKADY

Cig((p0p1) p2)((p3 (p1 p2)))


27/459


nie spenia warunku 5. Zauwamy bowiem, e w odcinku zaczynaj-cym si lewym nawiasem wystpujcym bezporednio po rwnowa-noci, dla ktrego zachodz zaoenia warunku 5, czyli

((p3 (p1 p2)))nawias lewy i nawias prawy wystpuj po trzy razy, za spjniki dwu-argumentowe wystpuj tylko dwa razy.

Zdaniem jest(((p0p1) p2)(p3 (p1 p2))).

Jzyk rachunku zda jest przykadem jzyka formalnego. Zbirwszystkich wyrae poprawnie zbudowanych jzyka formalnego zo-staje ustalony decyzj twrcy tego jzyka. Zazwyczaj podaje si:

(I) zbir symboli (alfabet, sownik)

(II) zbir regu konstrukcji.

Znajomo interpretacji, czyli przyporzdkowania znacze wyra-eniom, jest zbyteczna dla okrelenia zbioru wyrae poprawnie zbu-dowanych. Jzyk formalny, taki jak jzyk rachunku zda, mogaby wpeni przyswoi sobie maszyna, np. komputer.

Jzyk formalny jest zwykle tak opisany, e dane wyraenie po-prawnie zbudowane tego jzyka moe by zbudowane, w sensie pro-cesu konstrukcji, w jeden i tylko jeden sposb24 .Tak jest w wypadkuwyej opisanego jzyka logiki zda.

PRZYKADY

Niech wyraeniem poprawnie zbudowanym bdzie kady sko-

czony cig symboli:, rozpoczynajcy si od symbolu:. Takijzyk jest jzykiem formalnym.

Niech wyraeniem poprawnie zbudowanym bdzie kady sen-sowny cig elementw sownika jzyka polskiego. W tym wypadku opoprawnoci budowy przesdzaj reguy semantyczne. Tak okrelonyjzyk nie jest wic jzykiem formalnym25 . 24 Dzia syntaktyki zajmujcy si problemem konstrukcji wyrae to tektonika.25 Gdyby udao si sformalizowa jzyk polski, to istniaaby moliwo kompu-

terowego sprawdzania poprawnoci wyrae.


28/459


Wyraenia poprawnie zbudowane w wypadku jzyka rachunkuzda zdania, s przedmiotami abstrakcyjnymi. Reprezentantem wy-raenia poprawnie zbudowanego jest konkretny napis (lub dwik).

Dwa napisy (dwiki) mog by reprezentantami tego samego wyrae-nia. Istnienie wyraenia nie jest uwarunkowane aktualnym istnieniemkonkretnych napisw (dwikw), ani naszymi moliwociami zapisu.Pozwala to mwi zarwno o wyraeniach, ktrych zapis przekraczafizyczne moliwoci czowieka jak i o jzykach majcych nieskocze-nie wiele wyrae. Mwimy tu o moliwoci w takim samym sensie,jak w arytmetyce liczb naturalnych, gdzie dysponujemy dziesiciomacyframi, gdy mwimy, e za ich pomoc, tworzc skoczone cigi mo-emy zapisa nazw dowolnej liczby naturalnej.

Pisa bdziemy mniej nawiasw ni wynikaoby to z definicji zda-nia. Za zbdne uwaamy nawiasy zewntrzne, czyli zamiast: () pi-

szemy: . Jeeli spjnik dwuargumentowy s1wie mocniej ni spj-nik dwuargumentowy s2, to zamiast (s1)s2piszemy s1s2; po-dobnie, zamiast s2(s1)piszemy s2s1. Przyjmujemy, e spordspjnikw dwuargumentowych najmocniej wie koniunkcja, nastp-nie alternatywa a po niej implikacja i rwnowano.

Jeeli spjniki s1 i s2 wi z jednakow moc, to zamiasts1(s2) moemy pisa s1s2. Jest to tak zwana zasada wiza-nia na lewo. Zwykle dla wikszej czytelnoci pozostawiamy wicejnawiasw ni to wynikaoby z zasad opuszczania nawiasw. Ponadto,mona uywa nawiasy innych ksztatw:{,}; [, ]. Gdy wyraenie chcemy uj w nawias, to piszemy: [], jeli w wystpuj: (, ).Piszemy za

{}, gdy w wystpuj: [, ]. Nasze zasady uywania i

opuszczania nawiasw nie rni si w jaki istotny sposb od zasadznanych z arytmetyki szkolnej.

Na uytek definicji zdania przyjlimy umow, e litery greckie, , . . ., ewentualnie z indeksami, oznaczaj dowolny cig sym-boli. Teraz odstpujemy od tej umowy. Liter greckich , , . . .bdziemy uywa jeeli nie powiemy inaczej tylko na oznaczeniezda.

Zauwamy, e litery , , . . .nie s zdaniami, lecz nazwamizda. Podobnie jest w wypadku konstrukcji z tych liter i spjnikw.


29/459


jest nazw zdania, ktre powstaje ze zdania poprzez napisa-nie przed nim spjnika negacji. s jest nazw zdania zoonego zezdania jako lewego argumentu i zdania jako prawego argumentu

spjnika s. Wyraenia i nale do jzyka, ktrym mwimy,a nie do jzyka, o ktrym mwimy, czyli nale do metajzyka. Wyra-enia te nie s zdaniami metajzyka. S w nim nazwami zda jzyka,o ktrym mwimy (w metajzyku).

Nazw jzyka naturalnego uywamy na kilka sposbw, w r-nych supozycjach26 . Na przykad nazwy czowiek moemy uydo wskazania jakiego jednego okrelonego czowieka, gdy mwimypod drzewem sta czowiek. Podobnie liter , , . . . moemyuy np. do wskazania zda, o ktrych bya wczeniej mowa, wwczasoznaczaj one te wanie zdania, odpowiednio, , , . . ..

Nazwy generalne mog by uyte do wskazania kadego przed-

miotu, posiadajcego cechy, ktre okrela tre danej nazwy. Na przy-kad nazwy czowiek moemy uy do wskazania czowieka i tylkoczowieka, np. gdy mwimy czowiek ma prawa, ktre przysugujmu z natury. Tre nazw , ,. . .wyczerpuje si w tym, e mogby one uyte do wskazania zda i tylko zda (jeli nie powiemy ina-czej). Moemy ich uy na oznaczenie dowolnych zda. Na przykadgdy mwimy:

w zdaniu

poprzednik jest rwnoksztatny z nastpnikiem,

to mamy na uwadze dowolne zdanie .Tak uyte litery , , . . . s zmiennymi, ktrych zakresem

zmiennoci jest zbir zda. Mwimy, e s to zmienne metaprzedmio-towe.

Wyraenia zbudowane wycznie z liter , ,. . .oraz spjni-kw i nawiasw mog oznacza kade zdanie, ktre mona otrzymaprzez wpisanie w miejsce poszczeglnych liter , , . . . jakichzda. O wyraeniach takich mwimy, e s to schematy zdaniowe.

26 Szerzej na ten temat zob. Trzsicki [2000], s. 4647.


30/459


Jzyk, ktrym mwi si o logice nie rni si istotnie od jzykanaturalnego, w naszym wypadku polskiego. W zasadzie rnica tasprowadza si do tego, e jest tu wiele sw s to terminy specy-

ficzne logiki ktrych na co dzie nie uywamy. Jzyk logiki jestjzykiem uniwersalnym, w tym sensie, e nie zaley od jzyka naro-dowego, ktrym si mwi o logice. Podobnie jak jzyk arytmetyki jestwsplny wszystkim, ktrzy mwi o arytmetyce, cho kady mwi oniej jakim jzykiem narodowym.

(DEF. spjnika gwnego) Spjnikami gwnymiw zdaniach: , , , , s spjniki, odpowiednio: negacji, impli-kacji, alternatywy, koniunkcji i rwnowanoci. Zdania te skrtowookrelamy jako, odpowiednio: negacj, implikacj, alternatyw, ko-niunkcj i rwnowano.

1.1.3.2. Notacja ukasiewiczowska27

Z semiotycznego i informatycznego punktu widzenia ze wzglduna ekonomi rodkw wyrazu interesujce jest pytanie o moliwojzyka bez znakw interpunkcyjnych, nawiasw. Ot tak notacjwynalaz Jan ukasiewicz28 .Okazuje si, e w wypadku, gdy wszyst-kie spjniki sprefiksami(czyli gdy pisane s przed swoimi argumen-tami) lub gdy wszystkie spjniki s sufiksami (czyli gdy pisane spo swoich argumentach) moliwe jest wyeliminowanie nawiasw. Wwypadku wyej opisanego jzyka prefiksem jest spjnik negacji, za:,,, s infiksami(czyli spjniki te pisane s midzy swoimiargumentami)29 .

27 Notacja ta w literaturze anglojzycznej zwykle okrelana jest jakopolska.28 ukasiewicz ([1931], s. 165) podaje, e zasady symboliki beznawiasowej opra-

cowa w 1924 r. O pisaniu spjnikw przed argumentami mwi na pocztku latdwudziestych Chwistek. Jak pisze Woleski ([1985], s. 93) symbolika beznawia-sowa to co wicej ni samo pisanie spjnikw przed argumentami, std nie makonfliktu pomidzy uznaniem, e twrc symboliki beznawiasowej, zwanej takepolsk, jest ukasiewicz i tym, e pomys pisania spjnikw przed argumentamipochodzi od Chwistka.29 Przy okazji zauwamy rwnie moliwo zastosowania znakw interpunk-

cyjnych o innym ni nawiasy ksztacie i innych zasadach stosowania. W takiejroli uywa si na przykad kropek. Zob. Quine [1940]. Dominacja notacji nawia-


31/459


SOWNIK(I) p0, p1, . . . litery zdaniowe

(II) N spjnik jednoargumentowy

(III) C, A, K, E spjniki dwuargumentowe

DEFINICJA ZDANIA (WYRAENIA POPRAWNIE ZBUDOWA-NEGO LOGIKI ZDA)

Niech i bd dowolnymi cigami symboli.

(I) litery zdaniowe s zdaniami;

(II) jeeli jest zdaniem, toNjest zdaniem;

(III) jeeli , s zdaniami, toC,A,K,Es zdaniami.

(IV) nie ma innych zda oprcz liter zdaniowych oraz tych wyrae,ktre mona w skoczonej iloci krokw skonstruowa wedlepunktw (II) i (III).

Litery: N, C, A, K, E s spjnikami, odpowiednio: negacji,implikacji, alternatywy, koniunkcji i rwnowanoci. Wszystkie ones prefiksami.

Zdaniu: (p0p1) p0 odpowiada zdanie w notacji ukasiewicza:KAp0p1p0a zdaniu: p0 (p1 p0) Ap0Kp1p0.

Daje si wskaza prost metod, ktra pozwala stwierdzi, czydany skoczony cig symboli jest zdaniem w notacji ukasiewicza.Niech bdzie dowolnym skoczonym cigiem elementw sownika.

KRYTERIUM jest zdaniem wtedy i tylko wtedy, gdy spenione s cznie

wszystkie ponisze warunki:

(I) ostatni liter cigu jest litera zdaniowa,

(II) ilo symboli spjnikw C,A,K,E (nie liczymy symbolu N)w cigu jest o 1 mniejsza od liczby wystpujcych symboliliter zdaniowych,

sowej by moe zwizana jest z przyzwyczajeniami, jakich nabywamy na lekcjachmatematyki w szkoach.


32/459


(III) w kadym odcinku zaczynajcym si od jednego z symboli C,A, K, E (nie bierzemy pod uwag symbolu N) ich ilo, li-czc do koca napisu, jest o co najmniej 1mniejsza od liczby

wystpujcych w tym odcinku symboli liter zdaniowych.Kryterium daje podstaw dla prostego rachunku pozwalajcego

obliczy, czy dany napis jest zdaniem w notacji ukasiewicza.

SymbolowiNprzyporzdkowujemy liczb0, symbolomC,A,K,Eliczb(1), za symbolom liter zdaniowych liczb 1.(I) pod ostatnim symbolem skoczonego cigu piszemy liczb

przyporzdkowan temu symbolowi,

(II) pod (k+ 1)-szym symbolem liczc od koca napisu podpi-sujemy liczb uzyskan przez dodanie liczby przyporzdkowanejtemu symbolowi do liczby podpisanej pod k-ty symbol napisu.

jest zdaniem w notacji ukasiewicza wtedy i tylko wtedy, gdyw cigu liczbowym utworzonym zgodnie z podanymi reguami

1. w adnym miejscu nie pojawia si liczba mniejsza lub rwna 0,

2. pocztkowym wyrazem cigu jest liczba1.

Pokamy wpierw, e gdy jest zdaniem, to pod pocztkowymsymbolempodpisane jest 1. Zauwamy, e w wypadku, gdy zbu-dowane jest tylko z jednej litery zdaniowej, to pod pocztkowym (ijedynym) symbolem piszemy 1. Niech i bd zdaniami i niechpod pocztkowymi symbolami bdzie podpisane 1. Pod pocztko-wym symbolem Nbdzie podpisane 1. Pod pocztkowym symbo-

lem cigu bdzie podpisane 2. Zatem piszc przed tym cigiemktry ze spjnikw dwuargumentowych uzyskamy cig, pod ktregopocztkowym symbolem bdzie podpisane 1.

Pokaemy teraz, e jeeli pod pocztkowym symbolemjest pod-pisane 1, to jest zdaniem. Jeeli jest cigiem jednowyrazowym,to tym wyrazem moe by tylko litera zdaniowa. Litera zdaniowa jestza zdaniem. Zamy, e w wypadku wszystkich cigw o dugocirwnej lub mniejszej ni kjest tak, e jeeli pod ich pierwszymi wy-razami jest pod pisane1, to cigi te s zdaniami. Niech jest cigiemo dugoci wikszej ni k. Jeeli jest to cig majcy wicej ni jeden


33/459


wyraz, to jego pierwszym wyrazem nie moe by litera zdaniowa, bo-wiem wwczas pod pierwszym wyrazem mogaby by podpisana tylkoliczba wiksza ni 1. Jeeli pierwszym wyrazem jestN, to pod przed-

ostatnim wyrazem musi by 1. Zgodnie z zaoeniem jest to zdanie.Piszc Nprzed zdaniem uzyskujemy zdanie. Niech teraz pierwszymwyrazem bdzie ktry ze spjnikw dwuargumentowych. Zatem podprzedostatnim wyrazem musi by podpisane 2. We fragmencie ciguliczbowego poprzedzajcym2 musi wystpi1. Bierzemy fragment cigu poczwszy od wyrazu, pod ktrym jest podpisana pierwsza 1poprzedzajca nasze 2 a skoczywszy na ostatnim wyrazie . Zgod-nie z zaoeniem jest zdaniem. Fragment cigu , pod ktregopierwszym wyrazem jest podpisane 2 do ostatniego wyrazu poprze-dzajcego 1 jest rwnie zdaniem, bowiem przeprowadzajc dla niegoopisan wyej procedur pod jego pierwszym wyrazem uzyskamy 1.Nasz spjnik dwuargumentowy czy wic dwa cigi i , ktre s

zdaniami. Cig jest wic rwnie zdaniem.

PRZYKAD

Napis:CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuvCwv

jest zdaniem. Mamy bowiem:CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuvCwv30

1 2 3 4 3 4 3 2 3 4 5 5 4 5 4 4 3 4 5 4 5 4 3 4 5 4 3 4 3 2 1 2 1

Na podstawie kryterium mona skonstruowa reguy mecha-nicznego przekadu zda w notacji ukasiewicza na zdania w zwykej

notacji. Mianowicie,(I) gdy pierwszym symbolem napisu jestN, czyli gdy napis ma

postaN, to piszemy: ;(II) gdy pierwszym symbolem napisu jest jeden z symboli C, A,

K,E, to jako lewy argument symbolu, odpowiednio:,,,30 Zdanie to moe by jedynym aksjomatem systemu aksjomatycznego ra-

chunku zda z regu odrywania (jeeli iC, to) orazregua podstawiania[jeeli, to (pi/), gdzie (pi/) jest zdaniem uzyskanym ze zdania przez

jednoczesne wpisanie zdania w miejsce kadego wystpienia litery zdaniowejpi,i N.]. O systemach aksjomatycznych bdzie mowa w dalszej czci ksiki.


34/459


bierzemy odcinek napisu poczwszy od drugiego symbolutaki, e ilo symboliC,A,K,Ejest w tym odcinku dokadnieo 1 mniejsza od liczby symboli liter zdaniowych; a jako prawy

argument bierzemy pozostay odcinek cigu ; uzyskany napisumieszczamy w nawiasach;

(III) z odcinkami uzyskanego napisu zawierajcymi tylko symboleN,C,A,K,E (i symbole liter zdaniowych) postpujemy we-dug regu (I) i (II). Kady najduszy taki napis zastpujemyprzez napis uzyskany przez zastosowanie tych regu. Postpo-wanie to kontynuujemy tak dugo, a dostaniemy napis nie za-wierajcy symboliN,C,A,K,E.

PRZYKAD

Przetumaczmy zdanie

CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuvCwv1. (CCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuvCwv)2. ((CpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv)(w v))3. (((p Cqp) (CCNrCsNtCCrCsuCCtsCtu v)) (w

v))

4. (((p (q p)) ((CNrCsNt CCrCsuCCtsCtu) v))(w v))

5. (((p (q p)) (((Nr CsNt) (CrCsu CCtsCtu))v))(w v))

6. (((p (q p)) ((( r (s t)) ((r Csu) (CtsCtu))) v))(w v))7. (((p(q p))((( r (s t))((r(s u))((t

s)(t u)))) v))(w v))

1.1.3.3. Indukcyjny charakter definicji zdania

Definicja zdania jestdefinicj indukcyjn. Najoglniej rzecz bio-rc ten sposb definiowania polega na wskazaniu pewnej klasy(zbioru) przedmiotw (prostych). Moe to by klasa skoczona, np.


35/459


jednoelementowa, ktrej jedynym elementem jest |; a moe to byrwnie jaka klasa nieskoczona, np. jak ma to miejsce w wypadkudefinicji zdania. Ponadto podane s reguy budowy obiektw zoo-

nych oraz moe by wyrniona pewna klasa przedmiotw, ktre jedy-nie su do budowy obiektw zoonych. Przedmioty te same nienale do definiowanej klasy obiektw. W wypadku jzyka rachunkuzda s nimi spjniki i nawiasy. Reguy budowy obiektw zoonychs pewnego rodzaju przepisami okrelajcymi, jaki dokadnie jedenobiekt powstanie, gdy do budowy zostan uyte okrelone obiekty.Np. majc obiekt | oraz operacj konkatenacji, czyli operacj do-pisywania symbolu | po prawej stronie danego obiektu, moemyskonstruowa obiekty:|,||,|||, . . .. Czysto formalnie reguy konstruk-cji obiektw zoonych mona opisa jak to uczynilimy definiujczdanie jako uporzdkowane pary, ktrych pierwszym czonem spewne cigi przedmiotw za drugim jaki jeden obiekt. Istotnymwarunkiem jest to, eby danemu cigowi obiektw jako pierwszemuelementowi pary przyporzdkowany by co najwyej jeden obiekt jakodrugi element pary.

Definicje indukcyjne pozwalaj na drodze wnioskowania, okre-lanego jako wnioskowanie przez indukcj (matematyczn), dowodziwasnoci obiektw speniajcych warunki definicji. Liczby naturalnemoemy poj jako elementy zbioru wszystkich obiektw:|,||,|||, . . ..Na to, aby dowie, e kada liczba naturalna ma jak wasno Wwystarczy pokaza jest to znany ze szkoy redniej schemat wnio-skowania e

(I) wasno ta przysuguje obiektowi:|;oraz

(II) jeeli przysuguje obiektowi , to przysuguje obiektowi: |.Podobnie, aby dowie, e kade zdanie ma jak wasno W

wystarczy pokaza, e

(I) kadej literze zdaniowej przysuguje wasno W; oraz

(II) jeeli i maj wasno W, to, , , , maj wasno W.


36/459


Mwimy tu o wnioskowaniu przez indukcj ze wzgldu na du-go zdania. Wszelkich wasnoci zda bdziemy dowodzi na drodzewnioskowania indukcyjnego.

(DEF. d()) Dugo zdania oznacza bdziemy d(). Dugozdaniadefiniujemy indukcyjnie ze wzgldu na jego budow nastpu-jco. Niech i bd zdaniami

(I) d() = 1, jeeli jest liter zdaniow,(II) d() = 1 + d(),

(III) d(s) = 1 + d() + d(), gdziesjest spjnikiemdwuargumentowym.

1.1.4. Model i prawdziwo

W modelu kade zdanie proste powinno by bd prawdziwe,bd faszywe. Interpretacja(okrelenie znacze zda w modelu) po-lega na przyporzdkowaniu poszczeglnym zdaniom prostym znacze-nia jednego z terminw: prawda, fasz. Pomijajc nieistotne de-tale moemy model po prostu utosami z jakim podzbiorem MzbioruS liter zdaniowych. Jeeli litera zdaniowa pn naley do pod-zbioruM zbioruS, to bdziemy przez to rozumie, e pn jest praw-dziwe w modeluM. Gdy pn nie naley doM, to bdziemy przez torozumie, e pn jest faszywe w modeluM. Prawdziwo i faszywozda zoonych okrela si za ze wzgldu na prawdziwo i faszywozda skadowych.

Zamiast mwi, e zdanie jest prawdziwe w modelu bdziemyte mwi, e jestspenione w modelu. Do zapisania, e zdanie jestprawdziwe w modeluMuywa bdziemy specjalnego oznaczenia:

M |= 31 .(DEF.M |=) NiechMbdzie podzbiorem zbioruSliter zdaniowych(M S).32jestprawdziwe (spenione) w modeluM(M |=) wtedyi tylko wtedy, gdy:

31 Symbol |= w sensie, w jakim tu jest uyty, po raz pierwszy pojawia si w:S. C. Kleene [1956].32 A B (A jest podzbiorem B) wtedy i tylko wtedy, gdy kady element A

jest elementemB . W szczeglnoci kady zbir jest swoim podzbiorem.


37/459


(I) jeeli jest liter zdaniow, to

M |= wtedy i tylko wtedy, gdy

M;(II) jeeli jest zdaniem , to


nie jest tak, eM |=;(III) jeeli jest zdaniem , to


nie jest tak, eM |= lub jest tak, eM |= ;(IV) jeeli jest zdaniem , to


M |= lubM |= ;(V) jeeli jest zdaniem , to


M |= iM |= ;(VI) jeeli jest zdaniem , to


(M |= wtedy i tylko wtedyM |= ).

Uytych w definicji spjnikw fraz jzyka naturalnego: nie jesttak, e, lub, i, wtedy i tylko wtedy, gdy nie moemy zastpisymbolami: , , , , . Gdybymy tak postpili, to popenilibymybd w definiowniu zwany bezporednim bdnym koem, idem per


38/459


idem. Powyszych warunkw nie moemy wic zapisa krcej np.zamiast (VI) piszc

jeeli jest zdaniem , toM |= (M |= M |= ).Spjniki:,,,, w jzyku polskim bd odczytywane za

pomoc wyrae, odpowiednio: nieprawda, e . . . , jeeli . . . , to. . . , . . . lub . . . , . . . i . . . , . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . .

W jzyku polskim np. zdanie Jan jest studentem zaprzeczamyraczej mwic Jan nie jest studentem ni mwic Nieprawda, eJan jest studentem. Zaprzeczenia raczej nie stawiamy na pocztkuzdania, lecz poprzedzamy nim orzeczenie. Stoicy zwracali uwag, ezaprzeczenie zdania tworzy si przez umieszczenie przed tym zda-niem znaku negacji zdaniowej. Odrniali oni zaprzeczenie zdania odpoprzedzenia znakiem negacji pewnych czci zdania.

Rozumienie zdania

budzio ju spory w staroytnoci iredniowieczu. Filon Megarejczyk (ok. 300 r. przed Chr.) pierwszyokreli je jako zdanie, ktre jest faszywe tylko wtedy, gdy poprzed-nik () jest prawdziwy a nastpnik () jest faszywy, i ktre jestprawdziwe we wszystkich pozostaych trzech wypadkach. Tak rozu-mian implikacj okrela si jako implikacj materialn. Rni situ od swojego mistrza, Diodorosa Kronosa, ktry jako warunek ko-nieczny poprawnoci i prawdziwoci implikacji postrzega istnieniezwizkw formalnych midzy poprzednikiem a nastpnikiem impli-kacji (implikacja formalna). Diodoros zapocztkowa tym spory natemat rozumienia implikacji. W szkole megarejsko-stoickiej podanojeszcze inne rozumienia, midzy innymi jest to antyczna posta

implikacji cisej jako zdania, ktre jest prawdziwe, gdy negacjajego nastpnika jest niezgodna z poprzednikiem. O ywoci tych spo-rw wiadczy epigramat Kalimacha, bibliotekarza w Aleksandrii wII w. przed Chr.: Kracz ju kruki na dachach, ktre implikacjes trafne. Pierwszej prby systematycznego opracowania implikacjiformalnej dokona, tworzc systemy implikacji cisej, filozof i logikamerykaski C. I. Lewis [1932].

W jzyku potocznym spjnikiem implikacji czymy zdania po-zostajce ze sob w jakiego rodzaju zwizku. Mona wskaza przy-najmniej cztery rodzaje zwizkw.


39/459


W zdaniu jeeli na ciao dziaa niezrwnowaona sia, to ciaoporusza si ruchem jednostajnie przypieszonym pomidzy tym, naco wskazuje poprzednik (na ciao dziaa niezrwnowaona sia), a

tym, na co wskazuje nastpnik (ciao porusza si ruchem jednostajnieprzypieszonym), istnieje zwizek przyczynowo-skutkowy.

W zdaniu jeeli dzisiaj jest poniedziaek, to jutro bdzie wtorekpomidzy tym, na co wskazuje poprzednik (dzisiaj jest poniedziaek),a tym, na co wskazuje nastpnik (jutro bdzie poniedziaek) istniejezwizek strukturalny.Taka jest struktura czasu.

W zdaniu jeeli kierujesz samochodem, to powiniene posiadaprawo jazdy pomidzy tym, na co wskazuje poprzednik (kierujeszsamochodem), a tym, na co wskazuje nastpnik (powiniene posia-da prawo jazdy) istnieje zwizek tetyczny, czyli zwizek powstay zustanowienia.

W zdaniu jeeli 2 + 2 = 4, to 2 + 2 = 4 pomidzy tym, na cowskazuje poprzednik (2 + 2 = 4), a tym, na co wskazuje nastpnik(2 + 2 = 4) istnieje zwizek wynikania (logicznego).

Podane przez nas reguy konstrukcji implikacji nie wykluczajpoczenia tym spjnikiem jakichkolwiek zda, a wic nawet ta-kich, w wypadku ktrych nie potrafilibymy wskaza jakiego rodzajuzwizku. Ponadto, reguy rozumienia implikacji s takie, e takiemuzdaniu moemy przypisa warto logiczn. Moliwa jest wic kon-strukcja zdania jeeli Biaystok jest miastem wojewdzkim, to War-szawa jest stolic Polski. Zdanie to jest ponadto prawdziwe. Otzwyky uytkownik jzyka skonny byby kwestionowa te ustalenia zpowodu niedostrzegania zwizku midzy tym, e Biaystok jest mia-stem wojewdzkim, a tym, e Warszawa jest stolic Polski. Wartojednak zauway, e fakt, i nie dostrzega si zwizku nie oznacza, ezwizku nie ma. Czasem jednak czymy zdania, o ktrych wiemy, enie ma midzy nimi adnego zwizku treciowego, np. mwic: jelirozwiesz to zadanie, to mi kaktus na doni wyronie33 . Zauwamyrwnie, e w wypadku, gdy mamy zdania, o ktrych wiemy, e obas faszywe, to raczej powiemy:

33 Por. Tarski [1994], s. 27.


40/459


gdyby . . . , to . . .

nijeli . . . , to . . . .

Stoicy zdanieskonni byli rozumie w sensie alternatywy wy-kluczajcej(rozcznej), czyli takie zdanie byoby prawdziwe wtedyi tylko wtedy, gdy dokadnie jeden z jego czonw, albo , bybyprawdziwy. Piotr Hiszpan (XIII w.) stwierdza, e dla prawdziwocialternatywy potrzeba, by jeden z czonw by prawdziwy, a dla fa-szywoci, by faszywe byy oba czony. Zdecydowanym zwolennikiemtakiego rozumienia alternatywy(niewykluczajcej, nierozcznej) byBurleigh (XIV w.), ktry zwraca uwag na to, e zdanie takie wynikaz kadego ze swych czonw; z tego wic wynika, e jeli oba czonys prawdziwe, to alternatywa jest prawdziwa. Tu podany warunekprawdziwoci zdania o postaci alternatywy rozstrzyga na rzecz nie-

wykluczajcego rozumienia alternatywy. Nie znaczy to jak bdziemona atwo zauway przy okazji dyskusji nad spjnikami eby niebyo moliwe rozwaanie logiki ze spjnikiem alternatywy rozcznej.

W jzyku potocznym swko lub rozumiemy raczej w sensie al-ternatywy nierozcznej. Jednak dyskusje wykazuj, e w wypadku,gdy sowem lub poczymy zdania, z ktrych o przynajmniej jed-nym z gry wiadomo, e jest prawdziwe, to skonni jestemy kwe-stionowa prawdziwo zdania zoonego. Jest tak w wypadku zda:Warszawa jest stolic Polski lub Biaystok jest stolic Polski, 1+ 1 = 2 lub 2 + 2 = 4. Jak si wydaje jest to jednak raczej wyni-kiem tego, e zdania, o ktrym wiemy, e jest prawdziwe nie zwykli-

my czy z jakim zdaniem (by moe rwnie prawdziwym) so-wem lub, ni skutkiem rozcznego rozumienia tego sowa. Podob-nie jak w wypadku innych spjnikw dwuargumentowych, w szcze-glnoci implikacji, nie ograniczamy te moliwoci czenia sowemlub zda ze wzgldu na zwizki treciowe midzy nimi. Podobniejak w wypadku implikacji naley zauway, e fakt niedostrzeganiazwizku, nie oznacza braku tego zwizku.

Ju stoicy okrelali koniunkcj jako zdanie prawdziwe wtedy itylko wtedy, gdy oba argumenty spjnika, i , s prawdziwe. Ta-kie same warunki prawdziwoci formuowali logicy redniowieczni.


41/459


Swko i jest jednym z wielu moliwych sw jzyka polskiego uy-wanych do wypowiedzenia koniunkcji. Ze wzgldw stylistycznychstosujemy je zamiennie ze sowem oraz. W niektrych kontekstach

do tego celu musimy uy swka a. Na przykad nie powiemy Janczyta gazet i Zosia gotuje obiad, lecz powiemy Jan czyta gazet, aZosia gotuje obiad. Rwnie w wypadku koniunkcji nie nakadamyadnych ogranicze na zdania, ktre czymy tym spjnikiem.

Rwnowano wypowiadamy za pomoc frazy wtedy i tylkowtedy, gdy. Problemy zwizane z uyciem tej frazy s analogicznedo tych, jakie mamy z fraz jeli . . . , to. . . 34 .Sam termin rwno-wano, inaczej ni jest to w wypadku pozostaych nazw spjnikwzdaniowych, ma inne specyficzne znaczenia35 .

Symbole:,,,,s symbolami jzyka logiki zda, a wicnale do jzyka, o ktrym mwimy. Z punktu widzenia jzyka, kt-rym mwimy s one pewnego rodzaju przedmiotami, o ktrych simwi. Symbole te nie nale do jzyka, ktrym pisany jest ten tekst.Symboli tych i wyrae z nich zbudowanych uywamy wycznie jakocytatw, jako przytocze symboli i wyrae jzyka, o ktrymmwimy. Symboli tych nie moemy uy jako wygodnych skrtwdla spjnikw jzyka, ktrym mwimy. Nie moemy wic zastpi, np.jeeli. . . , to. . . i wtedy i tylko wtedy, gdy przez, odpowiednio:,. W naszym tekcie o jzyku rachunku zda symbole i wyraeniatego jzyka wystpuj w supozycji materialnej, czyli na oznaczeniesamych siebie. Jeeli istnieje taka potrzeba, to uycie wyraenia wsupozycji materialnej jest zwykle zaznaczane za pomoc cudzysowu.

(DEF. prawdziwoci zdania) Zdanie jest (logicznie) prawdziwewtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe we wszystkich modelach;czyli gdy:

dla kadegoM S,M |=.Tam, gdzie bdzie istniaa obawa nieporozumie, e prawdziwe

(bez odnoszenia do jakiego modelu) bdzie brane w znaczeniu praw-

34 W sprawie rozumienia spjnikw zdaniowych zob. Tarski [1994], s. 2033.35 Szerzej na ten temat przy okazji omawiania relacji rwnowanoci.


42/459


dziwe w wiecie realnym, zamiast o prawdziwoci zdania bdziemymogli mwi o jego logicznej prawdziwoci.

1.1.5. Tautologia

Pojcie zdania logicznie prawdziwego jest pojciem semantycz-nym. Przedmiotem semantyki s relacje midzy znakiem a rzeczy-wistoci (do ktrej ten znak odnosi). Zaley nam na syntaktycznymscharakteryzowaniu pojcia zdania logicznie prawdziwego. Przedmio-tem syntaktyki s relacje midzy znakami. Chcemy wic znale takiewasnoci zda jako wyrae, ktre dayby si opisa w kategoriachrelacji midzy znakami bez odwoywania si do relacji midzy zna-kami a rzeczywistoci i ktre wyrniayby zdania logicznie praw-dziwe.

Zdanie jest skoczonym cigiem symboli, a wic w jego skad

wchodzi skoczona ilo liter zdaniowych. Dla kadego zdania monazatem wskaza taki pocztkowy skoczony odcinek ciguSliter zda-niowych, w ktrym znajduj si wszystkie litery wystpujce w tymzdaniu.

Niech p0, p1, . . . , pn bdzie cigiem liter zdaniowych, wrd kt-rych znajduj si wszystkie litery zdaniowe wystpujce w . Kadejliterze zdaniowej przyporzdkowujemy jeden z symboli: f,t. To, czyms te symbole nie jest wane. Zakadamy o nich jedynie, e s rne.

(DEF. wartoci logicznej) f i tto wartoci logiczne36 .

(DEF. interpretacji) Niech v0, v1, . . . , vn bdzie cigiem symboli f i t.

Cig ten to interpretacja.W ramach logiki zda interpretacja liter zdaniowych wyczerpuje

si wic w okreleniu ich wartoci logicznej.

(DEF. wartoci logicznej zdania) Warto logiczn zdania dla in-terpretacjiv0, v1, . . . , vn okrelamy (rekursywnie) nastpujco:

(I) jeeli jest liter zdaniow pm, to wartoci logiczn zdania jest vm;

36 f jest liter z angielskiego sowa false (fasz), a t true (prawda).


43/459


(II) wartoci logiczne zda zoonych obliczamy za zgodnie z poniejpodanymi tabelkami wartoci logicznych:

t ff t

t t t t t tt f t f f f f t t f t f f f f f t t

PRZYKAD

Zdanie:p1 (p0 p2)

dla interpretacji:f,t,t,t

przyjmuje warto t.

Zauwamy, e jedyna istotna rnica formalna pomidzy okrele-niem prawdziwoci zda w modelu a definicj wartoci zdania polegana tym, e modeli jest nieskoczenie wiele (dokadnie tyle, ile jestpodzbiorw zbioru liter zdaniowych, czyli 2N,2N = c37 )za ilo in-terpretacji jest skoczona. Interpretacji o dugoci n jest tyle, ile jestnwyrazowych cigw liter ti f, czyli2n.

(DEF. tautologii) Zdanie jest tautologi38 , co oznaczamy: 39 ,wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej interpretacji v0, v1, . . . , vnprzyjmuje warto t.

(DEF. kontrtautologii) Zdanie jest kontrtautologi wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnej interpretacji przyjmuje warto f.

37 Uyte tu oznaczenia s objanione w czci powiconej teorii mnogoci.38 Greckie oo znaczy tyle, co powtarzanie tego, co ju zostao po-

wiedziane. Termin tautologia w znaczeniu zdanie prawdziwe w kadym mo-delu (a wic w znaczeniu innym ni tu przyjte) zosta wprowadzony do logikiprzez Wittgensteina [1921].39 Symbol pojawia si u G. Fregego [1879]. Jego uycie, takie jak wsp-

czenie, ma miejsce w: S. C. Kleene [1934], J. B. Rosser [1935].


44/459


Pytanie, czy zdanie jest tautologi jest rozstrzygalne.

TWIERDZENIE 1.

Problem, czy zdanie jest tautologi, jest rozstrzygalny, czyli wwypadku dowolnego zdania klasycznej logiki zda mona w sko-czonej iloci krokw da odpowied na pytanie, czy zdanie to jest,czy te nie jest tautologi.

DOWD

Niech bdzie zbudowane z nrnych liter zdaniowych (litery temog wystpowa wielokrotnie). Zgodnie z definicj tautologii naleywzi taki pocztkowy fragment cigu liter zdaniowych, w ktrymmieszcz si wszystkie litery zdaniowe wystpujce w . Zauwamyjednak, e dla interpretacji nie rnicych si na miejscach, odpowia-dajcych literom zdaniowym wystpujcym w , wartoci logiczne te si nie rni. Pod uwag wystarczy zatem wzi te i tylko teinterpretacje, ktre rni si na miejscach odpowiadajcych literomzdaniowym wystpujcym w . Poniewa w wystpuje dokadnie nrnych liter zdaniowych i mamy dokadnie dwie wartoci logiczne,zatem takich interpretacji jest 2n.

Problem, jaka warto logiczna przysuguje zdaniu dla danejinterpretacji jest rozstrzygalny. Warto logiczn zdania dla zada-nej interpretacji ustalamy w mkrokach, gdziemjest liczb spjnikwwystpujcych w zdaniu . Ilo spjnikw okrelamy tak, e kade

wystpienie spjnika (kady symbol) liczymy osobno. W celu okre-lenia wartoci logicznej zdania dla danej interpretacji korzystamyz tabelek wartoci logicznych. Szczegy takiego postpowania opi-szemy niej jako metod wprost. 40

40 Do wskazania koca dowodu uywany bdzie kwadracik. P. Halmos w au-tobiografi pisze, e jego niemiertelnymi zasugami s pomysy skrtu i symbolutypograficznego. Wymyli iff jako skrt dla if and only if, ale nie jest pewny,czy rzeczywicie by pierwszy. Z ca pewnoci za jego pomysem jest uywaniekwadraciku do wskazywania koca, zwykle koca dowodu. Zauwaa, e obok cz-sto uywanej nazwy tombstone jeden z yczliwych autorw okreli ten znak

jako halmos. Zob. P. R. Halmos [1985], s. 403.


45/459


(DEF. metody wprost) W celu znalezienia metod sprawdzaniawprostodpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologi:

1. okrelamy wszystkie moliwe ukady wartoci logicznych zda

prostych, z ktrych zbudowane jest dane zdanie; porzdkujemy jenp. alfabetycznie wedug zasady piwyprzedzapi+1a t wyprzedzaf;

2. rozpatrujemy kolejne ukady wartoci pod kad liter zdaniowpodpisujc warto logiczn, jaka przysuguje mu dla rozpatry-wanego ukadu;

3. tam, gdzie pod argumentami jakiego spjnika znajduj si pod-pisane wartoci logiczne, okrelamy zgodnie z tabelkami wartologiczn zdania zbudowanego za pomoc tego spjnika i wartot podpisujemy pod tym spjnikiem; postpowanie to kontynu-ujemy tak dugo, a zostanie podpisana warto logiczna podspjnikiem gwnym rozpatrywanego zdania;

4. zdanie jest tautologi wtedy i tylko wtedy, gdy dla kadegoukadu wartoci okrelonego zgodnie z pkt. 1 pod spjnikiemgwnym tego zdania znajduje si litera t.

PRZYKAD

Zdanie:[p(p q)] q

jest tautologi.

Musimy rozway cztery wypadki:{t, t},{t, f},{f, t},{f, f}.I.

[ p ( p q) ] qt t t t

t

t

t

II.


46/459


[ p( p q ) ] qt t f f

f

f

t

III.

[ p ( p q) ] qf f t t

t

f

t

IV.

[ p ( p q ) ] qf f f f

t

f

t

Zauwamy, e nie jest konieczne wypisywanie literti fw rnychwierszach. Metod mona stosowa piszc je na jednej lini.

Opisany sposb znajdowania metod sprawdzania wprost od-powiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologi, jest uciliwy. Wpraktyce zwykle korzystniej jest stosowa metod sprawdzania nie-wprost41 . Metoda niewprost, podobnie jak metoda wprost, ma cha-rakter czysto mechaniczny, tzn. stosujc j do dowolnego zdaniapostpujemy krok po kroku zgodnie z podanymi reguami. Nie s to

41 Metod sprawdzania wprost oraz metod niewprost okrela si jako metodzero-jedynkow a to dlatego, e zamiast liter t i f zwykle stosowano 1 i 0.Metoda ta jest dzieem E. Schrodera. J. ukasiewicz w [1951], s. 82 twierdzi, emetoda ta bya wynaleziona przez Ch. S. Peircea okoo 1885 r.


47/459


jedyne metody tego rodzaju. Taki sam charakter ma opisana tu me-toda tablic semantycznych. Ponadto zauwamy, e zawsze moemyzastosowa szczegln procedur, na jak zezwala budowa zdania, o

ktre pytamy si czy jest tautologi.Najoglniej rzecz biorc, metoda dowodzenia niewprost jakiej

tezy z jakich przesanek Ppolega na tym, e jako zaoenie bierzesi zaprzeczenie , czyli docza si je do przesanek P. jest dowie-dzione, jeeli z tego zaoenia, czyli z zaprzeczenia oraz przesanekPudaje si wywnioskowa zdania, ktre nie mog by wsppraw-dziwe. Takimi zdaniami s np. zdania, z ktrych jedno jest negacjdrugiego42 .

(DEF. metody niewprost) W celusprawdzenia metod niewprost, czyzdanie jest tautologi postpujemy nastpujco:

1. pod spjnikiem gwnym danego zdania piszemy liter f;2. jeeli pod spjnikiem napisana jest jaka litera, to rozwaamy tyle

wypadkw (przez powtrzenie danego rysunku), ile zgodnie ztabelkami wartoci logicznych jest moliwych sposobw podpi-sania liter t i f pod argumenty tego spjnika; kady taki wy-padek rozwaamy oddzielnie; gdy podpisujemy warto logicznpod jak liter zdaniow, to warto t podpisujemy pod kadewystpienie tej litery zdaniowej;

opisan procedur przeprowadzamy dla kadego wypadku zosobna a do momentu, gdy

2.1. pod jakim spjnikiem lub liter zdaniow pojawi si literyti f,

lub

2.2. wyczerpane zostan wszystkie moliwoci i pod kad literznajduje si jedna z liter tlub f;

42 Ten sposb dowodzenia u Arystotelesa nazywa si (odprowadze-nie, sprawdzenie), std okrelenie: dowd apagogiczny. Scholastycy za stosowaliokrelenie reductio ad impossibile (sprowadzenie do niemoliwoci), reductio adabsurdum(sprowadzenie do niedorzecznoci); jak rwnie: reductio indirecta, re-ductio contradictionem.


48/459


3. zdanie jest tautologi wtedy i tylko wtedy, gdy w kadym wy-padku otrzymanym zgodnie z pkt. 2 stwierdzamy, e pod jakimspjnikiem lub jak liter zdaniow podpisane zostay obie litery

ti f.

PRZYKAD

Zdanie:(p q) ( p q)

nie jest tautologi.

( p q) ( p q)f

t f

t f

f tf t

t

Inne przykady zastosowania metody niewprost znajdujemy po-niej.

1.1.6. Wybrane tautologie klasycznej logiki zda

Nim udowodnimy twierdzenie ustalajce zwizek midzy poj-ciem tautologii a pojciem zdania logicznie prawdziwego, rozwamyprzykady tautologii43 .

1. [(pq) (p q)]pSprawdzenie metod niewprost:

43 Prawa logiki s powszechne, znaczy to m.in., e korzystamy z nich w naszychrozumowaniach o logice. Przykadowe tautologie s podstaw zasad rozumowaniastosowanych w dowodach tu formuowanych twierdze.


49/459


[ ( p q) ( p q) ] pf

t f

t t f

f t f t

t t t t t

t t t t

t t f

f

Zdanie:[(pq) (p q)]p

jest tautologi.

2. (pq)[(pq) (qp)]Sprawdzenie metod wprost:

( p q) [ ( p q) ( q p) ]t t t t t t

t t t

t t

t

( p q ) [ ( p q ) ( q p) ]t f t f f t

f f t

f f

t

( p q)[ ( p q) ( q p ) ]f t f t t f

f t f

f f

t


50/459


( p q )[ ( p q ) ( q p ) ]f f f f f f

t t t

t t

t

Zdanie:(pq)[(pq) (qp)

Kazimierz Trzęsicki - Logika i teoria mnogości∶ ujęcie systematyczno-historyczne

Documents

Transcript of Kazimierz Trzęsicki - Logika i teoria mnogości∶ ujęcie systematyczno-historyczne