1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach,

relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest toteoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość— dawna nazwa zbioru).

Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku,głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początkuXX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej(E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.).

Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkiepodstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite,wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymii naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.; dzięki temu każda teoria matematyczna może byćpotraktowana jako fragment teorii mnogości.

Terminy pierwotne teorii mnogości

Zbiór (mnogość) – pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przezswoje elementy (indywidua).

Stwierdzenie - „należy do” oznaczane jest symbolem „Δ;

wyrażenie „x jest elementem zbioru A” zapisujemy w skrócie „xÎA”.

Oznaczenia

A, B, C, … - zbiory; a, b, c, x, y, z,… - elementy zbioru;

Stałe logiczne :

- spójniki

~ Ø nieprawda, że (negacja)

Þ ® jeśli … to … (implikacja)Ù oraz (koniunkcja)Ú lub (alternatywa)Û º wtedy i tylko wtedy;

- kwantyfikatory ogólny: " „dla dowolnego”

egzystencjalny: $ „istnieje … takie, że”

- identyczność „=” „jest identyczne” („jest równe”)

Wyrażenie, że „~ (xÎA)” „nieprawda, że x należy do A”, zapisujemy„xÏA”, symbol Ï oznacza „nie należy”.

Wyrażenie, że „~ (x=y)” „nieprawda, że x jest równe y” zapisujemy„x¹y”, symbol ¹ oznacza „jest różne”.

Dwa sposoby określania zbioru

1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemyw nawiasie klamrowym:

A={x ,y, z} A={1,2,…,10} zbiory skończone lub

A={1,3,5,…} zbiór nieskończony.

2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru,inaczej przez wyróżnienie:

A={x| x jest liczbą nieparzystą}.

Zbiory liczbowe

N={0,1,2,…} zbiór liczb naturalnych;

N+={1,2,3,…} zbiór liczb naturalnych dodatnich;

Z={0,1,-1,2,-2,…} zbiór liczb całkowitych;

Q={ qp

| p,qÎZ Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych;

R zbiór liczb rzeczywistych;

C zbiór liczb zespolonych.

Zasada ekstensjonalności

Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylkowtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn.

A=B Û "x (xÎA Û xÎB).

Zasada dystrybutywności

Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn.

~ ( $A $x (xÎA Ù x=A) ),

oznacza to, że {a}¹a.

Zbiór pustyCelowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, któryoznaczamy przez symbol

Æ.

Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu.

Symbolicznie:

$A "x (xÏA).

Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór.

Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ}≠Æ, czyli zbiór {Æ} nie jestzbiorem pustym.

Podzbiór

Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementemzbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB.

Mówimy wtedy, że A „zawiera się” w B.

Symbolicznie:

AÌB Û "x (xÎA Þ xÎB).

Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją.

Własności inkluzji:

1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem),

2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru),

3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość),

4. AÌB Ù BÌA Û A=B.

Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwymzbioru B.

Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.

Zbiór potęgowy

Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowymzbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn.

P(A)={M| MÌA}.

Elementarne wnioski:

1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jestelementem każdego zbioru potęgowego.

2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2n elementów.

Dopełnienie zbioru

Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanegouniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru Aoznaczane przez A’ jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należądo A.

A’ = {x| xÎU Ù xÏA}.

Diagramy Venna

Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramyVenna.

Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie.

Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum Urysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory Aoraz B.

UA B

Operacje (działania) na zbiorach

Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów możnautworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory.

Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach:

1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie AB) określana jest następująco:

AB={x| xÎA Ú xÎB}.

2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B(symbolicznie AB) określana jest następująco:

AB={x| xÎA Ù xÎB}.

Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów – D, czyli zbiór któregoelementami są zbiory:

3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie D ) określana jestnastępująco:

D ={x $AÎD x ÎA}.

4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D(symbolicznie D ) określana jest następująco:

D ={x "AÎD x ÎA}.

Zbiory rozłączne

Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnegonazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdyzachodzi równość:

AB=Æ.

5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jestnastępująco:

A\B={x| xÎA Ù xÏB}.

Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci:

A’=U\A.

6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie AB lub AB lubAB) określana jest następująco:

AB={x| (xÎA Ù xÏB) Ú (xÎB Ù xÏA)}.

Podstawowe prawa rachunku zbiorów

Prawa łączności(AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC)Prawa przemiennościAB = BA AB = BAPrawa rozdzielności(AB)C = (AC)(BC) (AB)C = (AC)(BC)Prawa de Morgana(AB)’ = A’ B’ (AB)’ = A’ B’Prawa absorpcjiA(AB) = A A(AB) = APrawa idempotentnościAA = A AA = AInne własnościAA’ = U AA’ = ÆAU = U AU = AAÆ = A AÆ = ÆU’ = Æ Æ’ = UAB = (AB)\(AB) A\B = A\(AB)A(B\C) = (AB)\C (AB)\C = B(A\C){A}=A {A}=AP(A)=A P(A)=Æ

Iloczyn (produkt) kartezjański

Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A1, A2,…, An nazywamyzbiór oznaczany A1A2…An postaci:

A1A2…An={(a1, a2,…, an)a1Î A1 Ù a2Î A2 Ù … Ù anÎ An}.

Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkichn-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a1, a2,…, an), gdzie aiÎAi dlai=1,2,…n.

Przykład

Jeżeli A1 = {1,2,3}, A2 = {2,4}, A3 = {x,y}, to

A1A2A3={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y),

(3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}.

Jeżeli A1=A2=…=An=A, to A1A2…An nazywamy n-tą potęgąkartezjańską zbioru A i oznaczamy An.

Przykładem takiego zbioru jest

RRR=R3={(x1,x2,x3)x1ÎRÙx2ÎRÙx3ÎR},

zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej.

Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczynkartezjański dwóch zbiorów AB = {(a,b)aÎA Ù bÎB}. Elementy (a,b)zbioru AB nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się onenastępującą równoważnością:

(a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.

Własności iloczynu kartezjańskiego

Jeżeli A¹B¹C, to:

1. AB¹BA

2. A(BC)=(AB)C

Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to:

3. (AÌBÙCÌD) Û (AC)Ì(BD)

4. (A=BÙC=D)Û (AC)Ì(BD)

Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi:

5. (AB)(CD)=(AC)(BD)

6. (AB)(CD)Ì(AC)(BD)

7. (AB)C=(AC)(BC)

8. A(BC)=(AB)(AC)

9. (AB)C=(AC)(BC)

10.A(BC)=(AB)(AC)

11.(A\B)C=(AC)\(BC)

12.A(B\C)=(AB)\(AC)

13.(AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD)

14.AB=(AD)(CB), gdzie AÌCÙBÌD

15.U2\(AB)=[(U\A)U][U(U\B)]

Aksjomaty teorii mnogości

Pojęcia pierwotne – „zbiór”, „element zbioru”.

Aksjomaty Zermelo – Frenkla (ZF):

I. Aksjomat ekstensjonalności

Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy.

II. Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu.

III. Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkichtych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tejrodziny.

IV. Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorówdanego zbioru.

V. Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór nieskończony.

VI. Aksjomat zastępowania

Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamyznów pewien zbiór.

Relacje

Relacją n-argumentową na zbiorach A1, A2,…, An nazywamy podzbióriloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA1A2…An.

Jeżeli ÌAn to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A.

Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnychzbiorów.

Przykład

Niech A1={1,2,3,4}, A2={2,4,6,8}, A3={2,3,4}

={(a1, a2, a3) a1ÎA1Ùa2ÎA2Ùa3ÎA3Ùa1=a2=a3}, czyli

={(2,2,2), (4,4,4)}.

i-tą dziedziną relacji ÌA1A2…An nazywamy zbiór postaci:

Di()={xÎAi$a1,…, $ai-1, $ai+1,…, $an (a1,…,ai-1,x,ai+1,…,an)Î}.

Zamiast pisać (a1, a2,…, an)Î piszemy także (a1, a2,…,an).

Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nichwszystkie operacje teoriomnogościowe.

Relacje binarne (dwuargumentowe)

Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i Bnazywamy dowolny podzbiór zbioru AB. Jeżeli A=B to relację ÌA2

nazywamy relacją binarną określoną na A.

Zamiast pisać, że (a,b)Î stosujemy zapis (a,b) lub częściej ab.

Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci:

D()={aÎA $bÎB ab },

natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci:

D-1()={bÎB $aÎA ab }.

Zbiór D()D-1() nazywamy polem relacji .

Dopełnieniem ’ relacji binarnej pomiędzy elementami zbiorów ABnazywamy zbiór postaci:

’=(AB)\.

Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej nazywamy zbiór:

-1={(a,b) ba}.

Niech 1ÌAB oraz 2ÌBC będą relacjami binarnymi. Złożeniem(superpozycją, iloczynem) 12 relacji 1 i 2 nazywamy zbiórokreślony następująco:

12={(a,c)$b (bÎB Ù a1b Ù b2c}.

Przez IA oznaczamy następującą relację binarną:

IA={(a,b)ÎA2a=b}={(a,a)aÎA}.

Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi:

1. (12)-1=1-12

-1

2. (12)-1=1-12

-1

3. (12)3=(13)(23)

4. (12)3Ì(13)(23)

5. (12)-1=2-11

-1

Relację binarną ÌA2 można przedstawić za pomocą:

1. Diagramu strzałkowego

Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b,… i następnieprzeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedygdy ab.

2. Macierzy relacji M

Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumnymacierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aÎA i kolumnybÎA w przypadku gdy ab wpisujemy 1, w przeciwnym wypadkuwpisujemy 0.

Przykład

Niech A={1,2,3,4} relację określmy jako zbiór:

={(a,b)aÎA Ù bÎA Ù a dzieli b},

wtedy

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)},

a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco:

Natomiast macierz M relacji przedstawia się następująco:M 1 2 3 41 1 1 1 12 0 1 0 13 0 0 1 04 0 0 0 1

Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relacjęodwrotną dla danej relacji.

Dziedzina: D()={1,2,3,4}=A,

Przeciwdziedzina D-1()={1,2,3,4}=A,

Pole relacji D()D-1()={1,2,3,4}=A,

Dopełnienie ’={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

Relacja odwrotna -1={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.

1 2

3 4

Niech ÌA2 wtedy relacja jest

1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aÎA zachodzi aa

2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aÎA zachodzi Ø(aa)

3. symetryczna w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi ab Þ ba

4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA)zachodzi ab Þ Ø(ba)

5. słabo antysymetryczna (wpół antysymetryczna, na wpółprzeciwsymetryczna w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodziabÙbaÞa=b

6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aÎAÙbÎAÙcÎA) zachodziabÙbcÞac

7. liniowa w A, jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi abÚba

8. spójna w A, , jeżeli "(aÎAÙbÎA) zachodzi abÚbaÚa=b

Jeżeli ÌA2 i A1ÌA, to relację A12 nazywamy obcięciem relacji do

A1 i oznaczamy przez A1.

Relacja ÌA2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżelirelacja A1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A1

będącym polem .

Relacje równoważności i klasy abstrakcji

Relację binarną na zbiorze A (ÌA2) nazywamy relacją równoważności,jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia.

Z każdą relacją równoważności w zbiorze A związany jest rozkład tegozbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności.

Zbiór postaci:

[a] := {b bÎA Ù ab}

Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji .

Własności klas abstrakcji:

1. [a]¹Æ

2. ab Û [a]= [b]

3. Ø(ab) Û [a][b]=Æ

Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbiorunazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i mapostać:

A/={[a]aÎA}.

Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioruA, jeżeli

ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ XY=Æ) Ù ZXX

Î=A.

Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji)

Każda relacja równoważności w zbiorze A indukuje pewien rozkład Zzbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioruA odpowiada pewna relacja równoważności w A, co symboliczniemożna zapisać:

ab Û $XÎZ (aÎX Ù bÎX).

Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienierelacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy odnieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nieróżniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tejsamej klasy abstrakcji.

Przykład

Niech dana będzie relacja ÌN+2 taka, że

"(aÎN+ÙbÎN+) ab Û (2 dzieli a+b).

Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasyabstrakcji oraz rozkład zbioru N+.

Relacje porządkujące

Relację binarną w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetrycznai przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiemczęściowym, półporządkiem).

Jeżeli ponadto jest liniowa to jest całkowitym porządkiem (liniowymporządkiem) lub łańcuchem.

Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację lubliniowo uporządkowany przez .

W zbiorze liniowo uporządkowanym każde dwa elementy sąporównywalne.

Jeżeli ab i jest relacją porządkującą to stosujemy zapis ab lub ab.

Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację„jest mniejsze lub równe” co zapisujemy „”.

Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania „Ì” jest zbiorem częściowouporządkowanym.

Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację , wyróżniamynastępujące elementy:

element aÎA nazywamy maksymalnym w A jeśli "xÎA(axÞx=a),

element aÎA nazywamy minimalnym w A jeśli "xÎA (xaÞx=a),

element aÎA nazywamy największym w A jeśli "xÎA (xa),

element aÎA nazywamy najmniejszym w A jeśli "xÎA (ax).

Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdytaki element aÎA, że "xÎX (xa), natomiast ograniczeniem dolnymnazywamy każdy taki element aÎA, że "xÎX (ax).

Lemat Kuratowskiego – Zorna:

Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację oraz dla każdegołańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniejjeden element maksymalny, co więcej dla każdego xÎA istnieje elementmaksymalny a taki, że xa.

Przykład

Niech dana będzie relacja ÌN+2 taka, że

"(aÎN+ÙbÎN+) ab Û (a dzieli b).

Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.

Funkcje i odwzorowania

Relację ÌXY nazywamy funkcją, jeżeli

"xÎX "yÎY "zÎY ( xyÙxz Þ y=z ).

Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementyzbioru Y wartościami funkcji.

Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)Îf zapisujemy f(x)=y.

Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór Df ={xÎX$yÎY (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji)nazywamy zbiór Wf={yÎY$xÎX (f(x)=y)}.

Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy takąfunkcję f, że Df =X i WfÌY i oznaczamy przez f: X®Y.

Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy YX.

Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli

"yÎY $xÎX (f(x)=y) inaczej gdy Wf=Y

i oznaczamy f : X ®na Y.

Odwzorowanie f nazywamy różnowartościowym (injekcją,monomorfizmem) jeżeli

"x1ÎX "x2ÎX "yÎY ( (x1,y)Îf Ù(x2,y)Îf Þ x1=x2 )

i oznaczamy f : X ® 11 Y.

Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżelijest różnowartościowe i „na” (surjekcją i injekcją).

Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X®Y określa sięodwzorowanie odwrotne f -1: Y®X, takie, że

"xÎX "yÎY (f(x)=y Þ f -1(y)=x).

Dla danych odwzorowań f : X®Y g : Y®Z definiuje się przekształcenieg f : X®Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru:

(x,z)Î g f Û $yÎY (f(x)=yÙg(y)=z).

Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f g natomiast jest łączne h (f g)= (h f) g .

Moc zbiorów

Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lubliczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A .

Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbękardynalną.

Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiekbijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B.

Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card Alub A , w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbękardynalną.

Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym,więc nie istnieje „największa” liczba kardynalna.

„Najmniejszą” nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalnazbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0).

Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny zezbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawićw ciąg a1, a2, … ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi.

Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jestrównoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiórnieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny.

Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne.

Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalnąoznacza się przez c (continuum).

Działania na liczbach kardynalnych

Sumą liczb kardynalnych n1 i n2 nazywamy liczbę m=n1+n2, jeżeli każdyzbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n1 i n2.

Iloczynem liczb kardynalnych n1 i n2 nazywamy liczbę m=n1n2, jeżelikażdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorówo mocy n1 i n2.

Potęgą liczby kardynalnej n2 liczby kardynalnej n1 nazywamy liczbękardynalną m= 2n

1n , jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny AB, gdzieA i B mają moce odpowiednio n1 i n2.

Własności liczb kardynalnych:

1. n+0=0

2. 0+0=00=0

3. 0+c=0c=c

4. c+c=cc=c

5. 02 =c