Logika — rachunek zda´n

Wprowadzenie do Wykładu 1

Logika

Logika — rachunek zdanMateriały pomocnicze do wykładu dla Studentów

Informatyki StosowanejWydział EAIiIB AGH

Antoni Ligeza

Materiały pomocnicze:

http://home.agh.edu.pl/~ligeza

c©Antoni Ligeza


Przedmiot logiki

Przedmiotem logiki matematycznej sa nastepujace zagadnienia:

• formalna, symboliczna reprezentacja wiedzy; wiedza wyrazana pier-

wotnie w jezyku naturalnym jest zapisywana w postaci formuł logicz-

nych,

• transformacja wiedzy do równowaznych postaci normalnych (CNF,

DNF, NNF),

• minimalizacja reprezentacji,

• przetwarzanie wiedzy za pomoca reguł stanowiacych schematy wnio-

skowania; w tym celu formułowane sa reguły wnioskowania,

• badanie własnosci generowanych wniosków i systemów logicznych;

własnosci te obejmuja m. in. poprawnosc i zupełnosc,

• analiza systemów opisywanych za pomoca logiki (baz wiedzy),

• synteza systemów definiowanych za pomoca logiki.

Klasyczna logika formalna bada mechanizmy rozumowan niezawodnych,

w których otrzymywane wnioski sa zawsze prawdziwe, o ile wychodzi sie z

prawdziwych przesłanek, a wiec wnioskowania dedukcyjnego.

Czasem dopuszcza sie równiez inne schematy wnioskowania, prowadzace

do uzytecznych, chociaz nie zawsze prawdziwych wniosków (np. abdukcja

oraz indukcja).

c©Antoni Ligeza


Alfabet rachunku zdan

Alfabet rachunku zdan tworza symbole formuł zdaniowych, łaczacych je

spójników (funkcji) logicznych oraz stosowane dla uporzadkowania notacji

nawiasy.

Formuły zdaniowe symbolizuja konkretne zdania; zdania te moga byc do-

brze okreslone i wówczas mozna im przypisac ocene prawdy albo fałszu lub

tez symbolizowac pewne nieskonkretyzowane w danej chwili wypowiedzi.

W pierwszym przypadku, takie skonczone wypowiedzi, którym mozna jed-

noznacznie przypisac ocene prawdy albo fałszu, nazywane beda zdaniami.

Moga one byc zapisywane jawnie, np. “Snieg jest biały”, “W nocy jest

ciemno”, “Pada deszcz”, itp. lub tez przy uzyciu pewnych symboli, np. p

czy q.

W drugim przypadku, formuła zdaniowa symbolizuje pewna blizej nie spre-

cyzowana wypowiedz, jednakze taka, której wartosc logiczna moze przyjac

wartosc prawdy albo fałszu. W takim przypadku formuła zdaniowa nazy-

wana jest zmienna zdaniowa.

W przypadku zmiennych zdaniowych prowadzone rozumowanie nie jest po-

wiazane z ich znaczeniem. Wazna jest tylko interpretacja logiczna, a wiec

przypisanie wartosci prawdy albo fałszu.

Aby zmiennej zdaniowej przypisac konkretne znaczenie stosowana jest no-

tacja:

pdef= ’Jest zimno’.

c©Antoni Ligeza


Alfabet rachunku zdan

Definicja 1 Alfabet rachunku zdan:

• P — zbiór symboli propozycjonalnych (zmiennych logicznych),

P = p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . , p2, q2, r2, . . .,

• ¬ – negacja,

• ∧ – koniunkcja,

• ∨ – alternatywa,

• ⇒ – implikacja (moze byc równiez postaci⇐),

• ⇔ – równowaznosc (implikacja dwustronna),

• dwa symbole specjalne: > (formuła zawsze prawdziwa) oraz ⊥ (for-

muła zawsze fałszywa,

• nawiasy.

Istnieja rózne warianty notacji spójników logicznych!

Przy wykorzystaniu powyzszych spójników logicznych i symboli formuł zda-

niowych (formuł atomowych) buduje sie bardziej złozone formuły logiczne

rachunku zdan. Nie wszystkie jednak mozliwe do utworzenia napisy beda

formułami. Ponizej podano definicje poprawnie skonstruowanych formuł.

c©Antoni Ligeza


Składnia rachunku zdan

Definicja 2 Składnia — definicja formuł:

• symbole formuł specjalnych > i ⊥ sa formułami,

• kazde p ∈ P jest formuła (atomiczna),

• jezeli φ, ψ sa formułami, to:

– ¬(φ) jest formuła (takze ¬(ψ)),

– (φ ∧ ψ) jest formuła,

– (φ ∨ ψ) jest formuła,

– (φ⇒ ψ) jest formuła,

– (φ⇔ ψ) jest formuła,

– nic innego nie jest formuła.

Zbiór formuł okreslany jest symbolem FOR.

Kazda poprawnie skonstruowana formuła posiada jednoznacznie okreslone

drzewo struktury.

Formuły nalezace do zbioru P ∪ >,⊥ nazywane sa formułami atomicz-

nymi (atomami).

c©Antoni Ligeza


Hierarchia spójników — eliminacja nawiasów

Zakłada sie nastepujaca hierarchie spójników (priorytety; od najwyzszego

do najnizszego):

• negacja (¬),

• koniunkcja (∧),

• dysjunkcja (∨),

• implikacja (⇒),

• równowaznosc (⇔).

Przyjecie priorytetów pozwala eliminowac nawiasy — z zachowaniem jed-

noznacznosci interpretacji.

c©Antoni Ligeza


Semantyka rachunku zdan

Formułom atomicznym i złozonym przypisywana jest ocena prawdy lub fał-

szu. Aktualna ocena formuły zalezy od przypisania wartosci logicznych

wystepujacym w niej formułom atomowym oraz od konstrukcji samej for-

muły. Ponizej wprowadzono wazne pojecie interpretacji formuł atomowych

w rachunku zdan.

Definicja 3 Niech P bedzie zbiorem rozwazanych symboli formuł atomo-

wych a T wyróznionym zbiorem wartosci logicznych, tj. T = T,F. Inter-

pretacja symboli zbioru P nazywa sie kazda funkcje postaci:

I : P −→ T,F. (1)

przyporzadkowujaca kazdemu symbolowi formuły atomowej wartosc lo-

giczna prawdy albo fałszu.

Interpretacja okresla zatem czy dana formuła atomowa jest uznawana za

prawdziwa czy tez fałszywa. Przy danej interpretacji formuła moze byc

prawdziwa lub fałszywa; w przypadku gdy interpretacja nie przypisywałaby

jednoznacznie wartosci logicznej prawdy albo fałszu wszystkim symbolom

rozwazanego zbioru, interpretacje taka okresla sie jako niepełna lub cze-

sciowa.

Pojecie interpretacji rozszerzamy na zbiór formuł (jak???).

Notacja: I(φ) = T zapisujemy |=I φ; I(φ) = F zapisujemy 6|=I φ

Dla kazdej formuły logicznej mozna zbudowac tablice prawdy.

c©Antoni Ligeza


Interpretacja — c.d.

Definicja 4 Niech P oznacza zbiór rozwazanych symboli formuł atomo-

wych, T = T,F – dwuelementowy zbiór wartosci logicznych, a I – do-

wolna interpretacje. Interpretacja I przypisuje wartosci logiczne wszystkim

formułom φ, ψ, ϕ ze zbioru FOR, tzn.:

• I(>) = T (|=I >),

• I(⊥) = F (6|=I ⊥),

• |=I ¬φ wtw. 6|=I φ,

• |=I ψ ∧ ϕ wtw. |=I ψ oraz |=I ϕ,

• |=I ψ ∨ ϕ wtw. |=I ψ lub |=I ϕ,

• |=I ψ ⇒ ϕ wtw. |=I ϕ lub 6|=I ψ,

• |=I ψ ⇔ ϕ wtw. |=I (ψ ⇒ ϕ) oraz |=I (ϕ⇒ ψ).

Rozszerzenie pojecia interpretacji na zbiór formuł pozwala okreslic wartosc

logiczna dowolnej poprawnie skonstruowanej formuły rachunku zdan.

Definicja 5 Równowaznosc formuł Formuły φ oraz ψ nazywamy logicznie

równowaznymi wtw. gdy dla kazdej interpretacji I zachodzi

|=I φ wtw. |=I ψ. (2)

Definicja 6 Logiczna konsekwencja Formuły ψ jest logiczna konsekwencja

formuły φ wtw. gdy dla kazdej interpretacji I zachodzi

jezeli |=I φ to |=I ψ. (3)

c©Antoni Ligeza


Tabele prawdy

φ ¬φ

F T

T F

φ ϕ φ ∧ ϕ

F F F

F T F

T F F

T T T

φ ϕ φ ∨ ϕ

F F F

F T T

T F T

T T T

φ ϕ φ⇒ ϕ

F F T

F T T

T F F

T T T

φ ϕ φ⇔ ϕ

F F T

F T F

T F F

T T T

c©Antoni Ligeza


Tabele zerojedynkowe prawdy

Zamiast symboli prawdy i fałszu czesto stosujemy zapis uproszczony: 1

zamiast prawdy i 0 zamiast fałszu. Tablica prawdy dla negacji przybiera

postac:

p ¬p

0 1

1 0

Tablica prawdy dla koniunkcji przybiera postac:

p q p ∧ q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tablica prawdy dla dysjunkcji przybiera postac:

p q p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Tablica prawdy dla implikacji przybiera postac:

p q p⇒ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

c©Antoni Ligeza


Definicje symboli spójników logicznych

Czesto podana powyzej definicja przedstawiana jest w formie jest tabeli

ilustrujacej podane zaleznosci logiczne (patrz ponizej).

φ ψ ¬φ φ ∧ ψ φ ∨ ψ φ⇒ ψ φ⇔ ψ

true true false true true true true

true false false false true false false

false true true false true true false

false false true false false true true

Semantyke wybranych funkcji mozna definiowac za pomoca sprowadzenia

jej do równowaznej formuły zawierajacej symbole koniunkcji, dysjunkcji i

negacji.

• φ⇒ ψ ≡ ¬φ ∨ ψ,

• φ⇔ ψ ≡ (φ⇒ ψ) ∧ (φ⇐ ψ),

• φ|ψ ≡ ¬(φ ∧ ψ) – funkcja (kreska) Sheffera, jest to tzw. funkcja NAND;

inna notacja φ ∧ ψ,

• φ ↓ ψ ≡ ¬(φ∨ ψ) – funkcja (strzałka) Pierce’a, jest to tzw. funkcja NOR;

inna notacja φ ∨ ψ,

• φ⊕

ψ ≡ (¬φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ¬ψ) – funkcja alternatywy wykluczajacej, jest

to tzw. funkcja EX-OR,

• ¬φ ∧ ψ oraz φ ∧ ¬ψ – funkcje zakazu lub róznice niesymetryczne (ne-

gacja implikacji).

Ogólnie dla n argumentów wejsciowych mozna skonstruowac 22n róznych

funkcji, a wiec dla n = 2 jest 16 róznych funkcji (dlaczego? jakich?).

c©Antoni Ligeza


Systemy funkcyjne funkcjonalnie pełne

Definicja 7 System funkcyjny (zestaw funkcji/spójników logicznych) jest

funkcjonalnie pełny, wtw. gdy przy pomocy tych spójników mozna zdefi-

niowac wszystkie inne spójniki logiczne.

Przykłady systemów funkcyjnych funkcjonalnie pełnych:

AND, OR, NOT:

¬,∧,∨

AND, NOT:

¬,∧

OR, NOT:

¬,∨

IMPLIKACJA, NOT:

¬,⇒

NAND:

|

NOR:

↓

Definicja 8 System funkcyjny funkcjonalnie pełny jest minimalny wtw. gdy

nie mozna z niego usunac zadnego spójnika bez utraty pełnosci funkcjonal-

nej. W przeciwnym przypadku jest to system nadmiarowy (redundantny).

Dla wygody wykorzystuje sie systemy nadmiarowe.

c©Antoni Ligeza


Wazniejsze prawa (równowaznosci) logiczne

• ¬¬φ ≡ φ — prawo (eliminacji) podwójnej negacji,

• φ ∧ ψ ≡ ψ ∧ φ — przemiennosc koniunkcji,

• φ ∨ ψ ≡ ψ ∨ φ — przemiennosc dysjunkcji,

• (φ ∧ ϕ) ∧ ψ ≡ φ ∧ (ϕ ∧ ψ) — łacznosc koniunkcji,

• (φ ∨ ϕ) ∨ ψ ≡ φ ∨ (ϕ ∨ ψ) — łacznosc dysjunkcji,

• (φ ∨ ϕ) ∧ ψ ≡ (φ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ) — rozdzielnosc koniunkcji wzgledem

dysjunkcji,

• (φ ∧ ϕ) ∨ ψ ≡ (φ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ ψ) — rozdzielnosc dysjunkcji wzgledem

koniunkcji,

• φ ∧ φ ≡ φ — idempotencja koniunkcji (pochłanianie),

• φ ∨ φ ≡ φ — idempotencja dysjukcji (pochłanianie),

• φ ∧ ⊥ ≡ ⊥, φ ∧ > ≡ φ — prawo identycznosci,

• φ ∨ ⊥ ≡ φ, φ ∨ > ≡ >— prawo identycznosci,

• φ ∨ ¬φ ≡ >— prawo wyłaczonego srodka,

• φ ∧ ¬φ ≡ ⊥— prawo sprzecznosci,

• ¬(φ ∧ ψ) ≡ ¬(φ) ∨ ¬(ψ) — prawo De Morgana,

• ¬(φ ∨ ψ) ≡ ¬(φ) ∧ ¬(ψ) — prawo De Morgana,

• φ⇒ ψ ≡ ¬ψ ⇒ ¬φ — prawo kontrapozycji,

• φ⇒ ψ ≡ ¬φ ∨ ψ — zasada eliminacji implikacji.

c©Antoni Ligeza


Zwiazki pomiedzy zdaniami logicznymi

Zdanie proste

p⇒ q

Zdanie odwrotne

q ⇒ p

Zdanie przeciwne

¬p⇒ ¬q

Zdanie przeciwstawne

¬q ⇒ ¬p

Kwadrat logiczny:

p⇒ q

¬p⇒ ¬q

q ⇒ p

¬q ⇒ ¬p

-

?

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSwSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSo

7/

Równowaznosc logiczna

c©Antoni Ligeza


Wybrane problemy.

Symbole rachunku zdan a symbole metajezyka.

Problem implikacji.

Symbole jezyka a symbole metajezyka

Implikacja ⇒ to spójnik logiczny. Jest funktorem tworzacym formułe. Jest

elementem jezyka.

Symbol logicznej implikacji |= jest symbolem relacji logicznej konsekwencji.

Jest symbolem metajezyka.

Podobnie⇔ oraz ≡.

Implikacja

φ⇒ ψ

jest prawdziwa o ile nie zachodzi |=I φ oraz 6|=I ψ (z prawdy nie moze

wynikac fałsz).

Ta implikacja pozostaje prawdziwa zawsze, o ile 6|=I φ ( z fałszu wynika

wszystko).

Z prawdziwosci ψ (nastepnika) nie mozna wnioskowac (to czesty bład) o

prawdziwosci φ (poprzednika)!

Z fałszywosci ψ (nastepnika) mozna wnioskowac o nieprawdziwosci φ (po-

przednika).

c©Antoni Ligeza


Przykład: sprawdzanie tautologii

φ = ((p⇒ r) ∧ (q ⇒ r))⇔ ((p ∨ q)⇒ r).

Mamy (23) mozliwych interpretacji.

p q r p⇒ r q ⇒ r (p⇒ r) ∧ (q ⇒ r) (p ∨ q)⇒ r Φ

0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 0 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Inna mozliwosc — przekształcenia równowazne:

φ ≡ ((¬p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r))⇔ (¬(p ∨ q) ∨ r).

φ ≡ ((¬p ∧ ¬q) ∨ r)⇔ (¬(p ∨ q) ∨ r).

φ ≡ (¬(p ∨ q) ∨ r)⇔ (¬(p ∨ q) ∨ r).

Kładac: ψ = (¬(p ∨ q) ∨ r) widzimy, ze analizowana formuła jest postaci:

φ ≡ ψ ⇔ ψ,

c©Antoni Ligeza


Przykład: badanie logicznej konsekwencji

(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

(p ∨ r)⇒ (q ∨ s)Kładac:

φ = (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

oraz

ϕ = (p ∨ r)⇒ (q ∨ s),

nalezy sprawdzic czy:

φ |= ϕ. (4)

p q r s p⇒ q r ⇒ s (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) p ∨ r q ∨ s (p ∨ r)⇒ (q ∨ s)

0 0 0 0 1 1 1 0 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 1 1 11 0 1 0 0 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Z analizy kolumn 7 i 10 wynika, ze zachodzi relacja logicznej konsekwencji

(brak logicznej równowaznosci — 7, 10, 12 i 15).

c©Antoni Ligeza


Proste koniunkcje literałów: mintermy

Definicja 9 Literał to dowolna formuła atomiczna p lub jej negacja ¬p.

Definicja 10 Niech q1, q2, . . . qn beda literałami. Kazda formula postaci:

φ = q1 ∧ q2 ∧ . . . ∧ qn

nazywana jest mintermem, prosta koniunkcja (prosta formuła) lub po prostu

iloczynem prostym (iloczynem literałów).

Lemat 1 Minterm jest formuła spełnialna wtw. gdy nie zawiera pary litera-

łów komplementarnych.

Lemat 2 Minterm jest formuła niespełnialna wtw. gdy zawiera pare literałów

komplementarnych.

Oznaczenie: jezeli

φ = q1 ∧ q2 ∧ . . . ∧ qn

to

[φ] = q1, q2, . . . qn

Definicja 11 Minterm φ subsumuje minterm ψ (jest bardziej ogólny) wtw.

[φ] ⊆ [ψ].

Lemat 3 Niech φ oraz ψ beda dowolnymi mitermami. Zachodzi:

ψ |= φ iff [φ] ⊆ [ψ].

c©Antoni Ligeza


Proste dysjunkcje literałów: maxtermy

Definicja 12 Niech q1, q2, . . . qn beda literałami. Kazda formuła postaci:

φ = q1 ∨ q2 ∨ . . . ∨ qn

nazywana jest maxtermem, prosta dysjunkcja lub zdaniem (ang. clause).

Lemat 4 Maxterm jest formuła falsyfikowalna wtw. gdy nie zawiera pary

literałów komplementarnych.

Lemat 5 Maxterm jest tautologia wtw. gdy zawiera pare literałów komple-

mentarnych.

Definicja 13 Maxterm/zdanie ψ subsumuje maxterm/zdanie φ (jest bardziej

specyficzny) wtw.

[ψ] ⊆ [φ]

Lemat 6 Niech φ oraz ψ beda dowolnymi maxtermami/zdaniami. Zachodzi:

ψ |= φ iff [ψ] ⊆ [φ].

Rozwazmy zdanie:

ψ = ¬p1 ∨ ¬p2 ∨ . . . ∨ ¬pk ∨ h1 ∨ h2 ∨ . . . ∨ hm

Po zastosowaniu prawa de Morgana dostajemy

¬(p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pk) ∨ (h1 ∨ h2 ∨ . . . ∨ hm)

co mozna przedstawic jako:

p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pk ⇒ h1 ∨ h2 ∨ . . . ∨ hm


Definicja 14 Zdanie postaci:

ψ = ¬p1 ∨ ¬p2 ∨ . . . ∨ ¬pk ∨ h

nazywamy klauzula Horna.

Alternatywna postac klauzuli Horna to:

p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pk ⇒ h.

W PROLOGU oraz w DATALOGU:

h : −p1, p2, . . . , pk.

a takze:

h :- p_1, p_2,..., p_k.

h if p_1 and p_2 and ... and p_k.

c©Antoni Ligeza


CNF — Conjunctive Normal Form

Definicja 15 Formuła Ψ jest w postaci normalnej koniunktywnej (CNF) wtw.

gdy

Ψ = ψ1 ∧ ψ2 ∧ . . . ∧ ψn

gdzie ψ1, ψ2, . . . , ψn sa zdaniami. Notacja: [Ψ] = ψ1, ψ2, . . . , ψn.

Definicja 16 Implicent formuły — zdanie, które jezeli przyjmuje wartosc fał-

szu to ta formuła tez przyjmuje wartosc fałszu.

Definicja 17 Niech Ψ bedzie formuła rachunku zdan, a PΨ niech oznacza

wszystkie symbole formuł atomicznych wystepujace w Ψ. Zdaniem pełnym

(maksymalnym) nazywamy zdanie ψ bedace członem CNF (Ψ) zawiera-

jace wszystkie symbole PΨ. Pełna/maksymalna postacia CNF formuły PΨ

nazywamy formułe

maxCNF (Ψ) = ψ1 ∧ ψ2 ∧ . . . ∧ ψn

gdzie wszystkie zdania ψ1, ψ2, . . . , ψn sa maksymalne.

Definicja 18 Formuła

Ψ = ψ1 ∧ ψ2 ∧ . . . ∧ ψn

bedaca w CNF jest minimalna wtw. gdy nie ma mozliwosci redukcji do

postaci równowaznej o mniejszej liczbie zdan składowych.

Postac CNF dobrze nadaje sie do badania niespełnialnosci; wystarczy

wskazac niespełnialny podzbiór zdan zbioru [Ψ].

Formuła zawsze fałszywa ⊥ zawierajaca n zmiennych zdaniowych moze

zostac przedstawiona w postaci CNF w jednoznaczny sposób i składa sie

ona z 2n róznych dysjunkcji, kazda o n składowych, np.:

⊥ = pqr ∧ pqr ∧ pqr ∧ pqr ∧ pqr ∧ pqr ∧ pqr ∧ pqr (CNF)

c©Antoni Ligeza


DNF — Disjunctive Normal Form

Definicja 19 Formuła Φ jest w postaci normalnej dysjunktywnej (DNF) wtw.

gdy

Φ = φ1 ∨ φ2 ∨ . . . ∨ φn

gdzie φ1, φ2, . . . , φn sa mintermami. Notacja: [Φ] = φ1, φ2, . . . , φn.

Definicja 20 Implikant formuły — iloczyn prosty, które jezeli przyjmuje war-

tosc prawdy to ta formuła tez przyjmuje wartosc prawdy.

Definicja 21 Niech Φ bedzie formuła rachunku zdan, a PΦ niech oznacza

wszystkie symbole formuł atomicznych wystepujace w Φ. Iloczynem peł-

nym (maksymalnym) nazywamy zdanie φ bedace członem DNF (Φ) zawie-

rajace wszystkie symbole PΦ. Pełna/maksymalna postacia DNF formuły PΦ

nazywamy formułe

maxDNF (Φ) = φ1 ∨ φ2 ∨ . . . ∨ φn

gdzie wszystkie iloczyny φ1 ∨ φ2 ∨ . . . ∨ φn sa maksymalne.

Definicja 22 Formuła

Φ = φ1 ∨ φ2 ∨ . . . ∨ φn

bedaca w DNF jest minimalna wtw. gdy nie ma mozliwosci redukcji do

postaci równowaznej o mniejszej liczbie iloczynów składowych.

Postac DNF dobrze nadaje sie do badania spełnialnosci; wystarczy wska-

zac spełnialny podzbiór iloczynów zbioru [Φ].

Formuła zawsze prawdziwa > zawierajaca n zmiennych zdaniowych moze

zostac przedstawiona w postaci DNF w jednoznaczny sposób i składa sie

ona z 2n róznych iloczynów, kazdy o n składowych, np.:

> = pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr (DNF)

c©Antoni Ligeza


Sprowadzanie do CNF/DNF

1. Φ⇔ Ψ ≡ (Φ⇒ Ψ) ∧ (Ψ⇒ Φ) – eliminacja symboli równowaznosci,

2. Φ⇒ Ψ ≡ ¬Φ ∨Ψ – eliminacja symboli implikacji,

3. ¬(¬Φ) ≡ Φ – eliminacja zagniezdzonych negacji,

4. ¬(Φ ∨ Ψ) ≡ ¬Φ ∧ ¬Ψ – zastosowanie prawa De Morgana do sprowa-

dzania symbolu negacji bezposrednio przed formułe atomowa,

5. ¬(Φ ∧ Ψ) ≡ ¬Φ ∨ ¬Ψ – zastosowanie prawa De Morgana do sprowa-

dzania symbolu negacji bezposrednio przed formułe atomowa,

6. Φ ∨ (Ψ ∧ Υ) ≡ (Φ ∨ Ψ) ∧ (Φ ∨ Υ) – zastosowanie prawa rozdzielnosci

alternatywy przy sprowadzaniu do CNF,

7. Φ ∧ (Ψ ∨ Υ) ≡ (Φ ∧ Ψ) ∨ (Φ ∧ Υ) – zastosowanie prawa rozdzielnosci

koniunkcji przy sprowadzaniu do DNF.

Przykład:

(p ∧ (p⇒ q))⇒ q ≡ ¬(p ∧ (p⇒ q)) ∨ q ≡¬(p ∧ (¬p ∨ q)) ∨ q ≡ (¬p ∨ ¬(¬p ∨ q)) ∨ q ≡(¬p ∨ (p ∧ ¬q)) ∨ q ≡ ¬p ∨ (p ∧ ¬q) ∨ q ≡

(¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∨ q ≡ ¬p ∨ ¬q ∨ q ≡ ¬p ∨ > ≡ >.

c©Antoni Ligeza


Przykład

Rozwazmy ponownie przykład:

φ = (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s),

ϕ = (p ∨ r)⇒ (q ∨ s).

Nalezy sprawdzic czy za chodzi logiczna implikacja:

φ |= ϕ.

Sprowadzmy φ do DNF:

φ = (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) = (¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s) =

= (¬p ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ s) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ s).

a nastepnie do postaci maksymalnej:

maxDNF (φ) = (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s)∨

(¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ s)∨

(p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ s).

Sprowadzmy takze ϕ do DNF:

ϕ = (p ∨ r)⇒ (q ∨ s) = ¬(p ∨ r) ∨ q ∨ s = (¬p ∧ ¬r) ∨ q ∨ s =

= (¬p ∧ ¬r) ∨ q ∨ s.

a nastepnie do postaci maksymalnej:

maxDNF (ϕ) = (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s)∨

(¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ s)∨

(¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r ∧ s)∨

(p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s)∨

(p ∧ ¬q ∧ r ∧ s).


Teraz widac, ze:

[maxDNF (φ)] ⊆ [maxDNF (ϕ)],

c©Antoni Ligeza


NNF

Definicja 23 Formuła Ψ jest w postaci normalnej NNF (ang. Negation Nor-

mal Form) wtw. gdy wszystkie symbole negacji wystepuja bezposrednio

przed symbolami formuła atomicznych (zmiennych zdaniowych).

Kazda formuła w CNF jest w postaci NNF.

Kazda formuła w DNF jest w postaci CNF.

c©Antoni Ligeza


Logiczna konsekwencja — podstawowe problemy logiki

Definicja 24 Logiczna konsekwencja Formuła ψ jest logiczna konsekwencja

formuły φ wtw. gdy dla kazdej interpretacji I zachodzi

jezeli |=I φ to |=I ψ. (5)

Podstawowe problemy logiki:

• dowodzenie twierdzen — badanie logicznej konsekwencji:

∆ |= H,

• badanie spełnialnosci (SAT):

Czy istnieje interpretacja I : |=I Ψ

• weryfikacja tautologii:

Czy dla kazdej interpretacji I : |=I Ψ

Dwa alternatywne podejscia:

• analiza mozliwych interprtacji — metoda zero-jedynkowa; problem —

eksplozja kombinatoryczna1,

• wnioskowanie logiczne — wywód — za pomoca reguł logicznych za-

chowujacych logiczna konsekwencje.

Notacja: jezeli formuła H jest wywodliwa (wyprowadzalna) ze zbioru ∆, to

zapiszemu to jako:

∆ ` H

Problemy konstrukcji systemów logicznych:

∆ ` H versus ∆ |= H

c©Antoni Ligeza1Redukcja: drzewa decyzyjne, grafy OBDD, tablice semantyczne


Podstawowe definicje i własnosci — rekapitulacja

Definicja 25 Formuła jest nazywana:

• tautologia wtw. gdy jest prawdziwa przy kazdej interpretacji;

• formuła falsyfikowalna gdy nie jest tautologia,

• formuła spełnialna wtw. gdy istnieje taka interpretacja, przy której for-

muła ta jest prawdziwa;

• formuła niespełnialna, formuła niespójna lub formuła sprzeczna wtw.

gdy przy kazdej interpretacji fromuła ta jest fałszywa;

• fomuła Ψ jest logiczna konsekwencja formuły Φ, co notujemy Φ |= Ψ

wtw. gdy dla kazdej interpretacji przy której Φ jest prawdziwa równiez

Ψ jest prawdziwa;

• formuła Ψ jest wyprowadzalna z formuły Φ, co notujemy Φ ` Ψ wtw.

gdy istnieje ciag reguł dowodzenia pozwalajacy uzyskac Ψ z Φ.

Konsekwencje tych definicji:

• formuła jest tautologia wtw. gdy jej negacja jest niespełnialna

(sprzeczna),

• formuła jest niespełnialna wtw. gdy jej negacja jest tautologia,

• formuła nie jest tautologia wtw. dla przynajmniej jednej inteerpretacji

jest fałszywa,

• formuła jest niesprzeczna wtw. gdy dla przynajmniej jednej interpretacji

jest prawdziwa,

• tautologia jest zawsze formuła spełnialna (ale nie odwrotnie),


Wazniejsze reguły wnioskowania

• α

α ∨ β— reguła wprowadzania alternatywy,

• α, β

α ∧ β— reguła wprowadzania koniunkcji,

• α ∧ βα

— reguła usuwania koniunkcji,

• α, α⇒ β

β— modus ponens (modus ponendo ponens),

• α⇒ β, ¬β¬α

— modus tollens (modus tollendo tollens),

• α ∨ β, ¬αβ

— modus tollendo ponens,

• α⊕

β, α

¬β— modus ponendo tollens,

• α⇒ β, β ⇒ γ

α⇒ γ— reguła przechodniosci,

• α ∨ γ, ¬γ ∨ βα ∨ β

— reguła rezolucji,

• α ∧ γ, ¬γ ∧ βα ∧ β

— reguła dualna do rezolucji; (backward) dual resolu-

tion (works backwards), takze consolution

• α⇒ β, γ ⇒ δ

(α ∨ γ)⇒ (β ∨ δ)— prawo dylematu konstruktywnego,

• α⇒ β, γ ⇒ δ

(α ∧ γ)⇒ (β ∧ δ)— prawo dylematu konstruktywnego.

c©Antoni Ligeza


Twierdzenia o dedukcji

Twierdzenie 1 Jezeli ∆1,∆2, . . .∆n sa formułami logicznymi (nazywanymi

aksjomatami), formuła Ω (nazywana hipoteza lub konkluzja) jest ich lo-

giczna konsekwencja wtw. gdy formuła ∆1∧∆2∧ . . .∆n ⇒ Ω jest tautologia.

Twierdzenie 2 Jezeli ∆1,∆2, . . .∆n sa formułami logicznymi (nazywanymi

aksjomatami), formuła Ω (nazywana hipoteza lub konkluzja) jest ich lo-

giczna konsekwencja wtw. gdy formuła ∆1∧∆2∧ . . .∆n∧¬Ω jest sprzeczna.

Problem dowodzenia twierdzen ma postac: majac dane aksjomaty

∆1,∆2, . . .∆n uznane za prawdziwe wykazac prawdziwosc hipotezy Ω. Tak

wiec nalezy wykazac, ze:

∆1 ∧∆2 ∧ . . .∆n |= Ω

Metody dododzenia twierdzen:

• sprawdzanie wszystkich mozliwych interpretacji (wada: duza złozo-

nosc obliczeniowa),

• dowód wprost – korzystajac z aksjomatów i reguł dowodzenia generu-

jemy nowe formuły az do uzyskania formuły Ω,

• dowodzenie tautologii – korzystajac z Tw.1 dowodzimy, ze formuła

∆1 ∧∆2 ∧ . . .∆n ⇒ Ω jest tautologia,

• dowód nie wprost – to dowód twierdzenia przeciwstawnego, równo-

waznego danemu. Polega na dowodzeniu twierdzenia postaci

¬Ω⇒ ¬(∆1 ∧∆2 ∧ . . .∆n).

• dowód przez sprowadzenie do sprzecznosci; korzystaja z Tw.2, polega

na wykazaniu sprzecznosci formuły:

∆1 ∧∆2 ∧ . . .∆n ∧ ¬Ω.c©Antoni Ligeza


Przykład: badanie logicznej konsekwencji

(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

(p ∨ r)⇒ (q ∨ s)Kładac:

φ = (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

oraz

ϕ = (p ∨ r)⇒ (q ∨ s),

nalezy sprawdzic czy:

φ |= ϕ. (6)

p q r s p⇒ q r ⇒ s (p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) p ∨ r q ∨ s (p ∨ r)⇒ (q ∨ s)

0 0 0 0 1 1 1 0 0 10 0 0 1 1 1 1 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 1 1 11 0 1 0 0 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Z analizy kolumn 7 i 10 wynika, ze zachodzi relacja logicznej konsekwencji

(brak logicznej równowaznosci — 7, 10, 12 i 15).

c©Antoni Ligeza


Metoda rezolucji

1. Problem:

∆ |= H

2. Z twierdzenia o dedukcji (2) — nalezy wykazac, ze

∆ ∪ ¬H

jest niespełnialny.

3. Dokonac transformacji ∆ ∪ ¬H do postaci CNF.

4. Wykorzystujac regułe rezolucji wyprowadzic zdanie puste - zawsze fał-

szywe.

Przykład:

1. Problem:

(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) |= (p ∨ r)⇒ (q ∨ s)


[(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ∪ ¬[(p ∨ r)⇒ (q ∨ s)]

jest niespełnialny.

3. Dokonac transformacji do postaci CNF. Mamy:

¬p ∨ q,¬r ∨ s, p ∨ r,¬q,¬s

4. Wykorzystujac regułe rezolucji wyprowadzic zdanie puste - zawsze fał-

szywe.

c©Antoni Ligeza


Metoda rezolucji dualnej

1. Problem:

∆ |= H


∆⇒ H

jest tautologia.

3. Dokonac transformacji ∆⇒ H do postaci DNF.

4. Wykorzystujac regułe rezolucji dualnej wyprowadzic zdanie puste - za-

wsze zawsze prawdziwe.

Przykład:

1. Problem:

(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s) |= (p ∨ r)⇒ (q ∨ s)


[(p⇒ q) ∧ (r ⇒ s)]⇒ [(p ∨ r)⇒ (q ∨ s)]

jest tautologia.

3. Dokonac transformacji do postaci DNF. Mamy:

p ∧ ¬q, r ∧ ¬s,¬p ∧ ¬r, q, s

4. Wykorzystujac regułe rezolucji dualnej wyprowadzic zdanie puste - za-

wsze prawdziwe.

c©Antoni Ligeza


Przykład aksjomatyzacji i wywodu

A – pojawił sie sygnał do procesu,

P – sygnał został dodany do zbioru sygnałów oczekujacych na odebranie przez proces,

B – sygnał jest zablokowany przez proces,

D – sygnał został dostarczony do procesu (i odebrany),

S – stan procesu jest zachowany,

M – maska sygnałów jest obliczana,

H - procedura obsługi sygnałów jest wywołana,

N – procedura obsługi jest wywołana w zwykły sposób,

R – proces wznawia wykonanie w poprzednim kontekscie,

I – proces musi sam odtworzyc poprzedni kontekst.

Dane sa reguły:

A −→ P ,

P ∧ ¬B −→ D,

D −→ S ∧M ∧H,

H ∧N −→ R,

H ∧ ¬R −→ I,

Dane sa fakty:

A, ¬B, ¬R

Konkluzje:

P , D, S, M , H, I, ¬N .

Zastosowanie rezolucji — CNF:

¬A∨P,¬P∨B∨D,¬D∨S,¬D∨M,¬D∨H,¬H∨¬N∨R,¬H∨R∨I, A,¬B,¬R

c©Antoni Ligeza


Krok wnioskowania, wywód

Krok wnioskowania: jednokrotne zastosowanie dowolnej reguły wniosko-

wania w celu produkcji konkluzji.

Przykład:

Zastosowanie reguły rezolucji:

φ ∨ ¬p, p ∨ ψφ ∨ ψ

Piszemy: φ ∨ ¬p, p ∨ ψ `R φ ∨ ψ

Definicja 26 Wywód Wywodem formuły φ ze zbioru formuł ∆ nazwywamy

ciag formuł

φ1, φ2 . . . φk

taki, ze:

• formuła φ1 jest wyprowadzalna z ∆ (w pojedynczym kroku wnioskowa-

nia):

∆ ` φ1,

• kazda nastepna formuła jest wyprowadzalna ze zbioru ∆ i uprzednio

wygenerowanych formuł (w pojedynczym kroku wnioskowania):

∆, φ1, φ2, . . . , φi ` φi+1

dla i = 2, 3, . . . , k − 1,

• φ jest ostatnia formuła wygenerowanego ciagu, tzn.:

φ = φk

Piszemy: ∆ ` φ, a formułe φ nazywamy wywodliwa z ∆.

c©Antoni Ligeza


Zbiór logicznych konsekwencji

Definicja 27 Niech ∆ bedzie zbiorem formuł (koniunkcja). Zbiorem logicz-

nych konsekwencji nazywamy zbiór

Cn(∆) = φ : ∆ |= φ

gdzie kazda formuła φ jest zbudowana jedynie w oparciu o symbole propo-

zycjonalne ∆.

Lemat 7 Własnosci zbioru konsekwencji Zbiór logicznych konsekwencji

Cn(∆) ma nastepujace własnosci:

• ∆ ⊆ Cn(∆),

• monotonicznosc — jezeli ∆1 ⊆ ∆2, to:

Cn(∆1) ⊆ Cn(∆2)

• Cn(Cn(∆)) = Cn(∆) (punkt stały).

c©Antoni Ligeza

Logika — rachunek zda´n

Documents

Transcript of Logika — rachunek zda´n