logika skrypt

download logika skrypt

of 91

Transcript of logika skrypt

UniwersytetWrocawskiWydziaMatematykiiInformatykiPiotrKoczenaszPodstawylogikiiteoriimnogociwzadaniachPracamagisterskanapisanapodkierunkiemprof.dr.hab.LeszkaPacholskiegoWrocaw,czerwiec2004r.SowowstpneDlaczegoludzieuczsimatematyki?Abynauczamatematykiinnych.H.SteinhausPracaniniejszaprzeznaczonajest dlastudentwI rokuInformatyki UniwersytetuWrocawskiego, awszczeglnoci dlasuchaczyobowizkowegowpierwszymsemestrzewykaduLogikadlainformatykw. Obejmujeonawikszomateriauobjtegopro-gramemkursu(zawyjtkiemteorii unikacji oraz elementwalgebryabstrakcyjnej).Pominicietychwanychdziawjestwynikiemobserwacji, zktrychwynika, eobiewymienione wyej dziedziny pozostaj poza zasigiem percepcji przecitnego studenta wtrakciepierwszegosemestrustudiw,cowicej,zadaniaichdotyczceniepojawiajsizwykle na egzaminie.Uwaga studenta musi w gwnej mierze skupi si na pozostaych punktach programu,a wic na klasycznym rachunku zda, rachunku funkcji zdaniowych, teorii zbiorw, teoriimocyorazzbiorachuporzdkowanych. Poruszasiprzytymkwestiedoelementarne.Trudno kryje si zdaniem autora tej pracy nie w zawioci omawianych zagadnie,awswegorodzajuszoku, ktrydoznajestudentnawidokmnstwapoj, denicji itajemniczych symboli, ktry znaczenia nie pojmuje. A student, ktry nie rozumie teorii,nierozwiesamodzielniezada, wiczeniazprzedmiotubddlaniegostratczasu,nigdy te nie nauczy si cisego formuowania myli, a zdobycie umiejtnoci poprawnegownioskowania stanie si dla niego nieosigalne.Aby zapobiec takiemubiegowi wypadkw, w pracy niniejszej mona znaledokad-ne, moliwie proste i jasne omwienie symoboliki oraz wikszoci licznych poj, z jakimimoezetknsisuczaczwykaduLogikadlainformatykw. Znakomitawikszoznich jest zilustrowana przykadem, majcym zobrazowa dane pojcie w dziaaniu. Wpracytejznalemonarozwizaniawieluzada, ktrepojawiajsinawiczeniachzprzedmiotu. Zostay one tak dobrane, by zilustrowa sposb rozwizywania zada danegotypu. Rozwizaniaczstosprzesadnieszczegowe, alejakwiadomonajtrudniejpiszesiorzeczachprostych. Trzebatutaj przestrzecprzednazbytpochopnymkorzy-staniemnawiczeniachzgotowychrozwiza. Wopiniiautoratakadroganaskrtyskoczy si moe w jeden sposb ocen niedostateczn z egzaminu semestralnego.Monatuznaletakerozwizaniazadatrudniejszych, wymagajcychrzetelnegonamysu i odrobiny wyobrani. Wikszo jednak mona rozwiza zupenie automatycz-nie korzystajc z denicji. Dlatego tak wane jest, aby je zna i rozumie.Zadaniem tej pracy jest to uczyni moliwie atwym.Piotr KoczenaszWrocaw, czerwiec 2004 r.4Spistreci1 Rachunekzda 71.1 Wartoci logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Formuy logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Denicja indukcyjna zbioru formu rachunku zda . . . . . . . . . . . . . 81.4 Warto logiczna formu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Zasada indukcji dla formu rachunku zda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Reguy wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Funkcje boolowskie i systemy spjnikw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Rachunekpredykatw 192.1 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Kwantykatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Skadnia rachunku kwantykatorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Zmienne zwizane i wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Kwantykatory o ograniczonym zasigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Rachunek funkcji zdaniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Zasadaindukcji zupenej 253.1 Teoriomnogocioweujcie liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Aksjomatyczne ujcie liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Zasada indukcji zupenej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Teoriazbiorw 294.1 O potrzebie aksjomatyzacji teorii mnogoci . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Aksjomaty teorii mnogoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Wasnoci zbiorw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Dopenienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Operacje nieskoczone na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Zbir potgowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Wzr wcze i wycze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Relacje 395.1 Para uporzdkowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Iloczyn kartezjaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Produkt uoglniony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Zoenie relacji. Relacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Rodzaje relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 Funkcje jako relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.8 Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.9 Zoenie funkcji. Funkcja odwrotna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 SPISTRECI5.10 Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcj . . . . . . . . . . . . . . 465.11 Relacje rwnowanoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 Teoriamocy 536.1 O nieskoczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Rwnoliczno zbiorw. Liczby kardynalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Funkcja charakterystyczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4 Twierdzenie CantoraBernsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Zbiory skoczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.6 Zbiory przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.7 Twierdzenie Cantora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.8 Zbiory nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 Zbioryuporzdkowane 657.1 Relacje czciowo porzdkujce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Quasi-porzdki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3 Diagramy Hassego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Element najwikszy. Element najmniejszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.5 Elementy maksymalne. Elementy minimalne. . . . . . . . . . . . . . . . . 717.6 Pojcia dualne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.7 Zbiory liniowo uporzdkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.8 Izomorzm porzdkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.9 Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.10 Dobry porzdek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.11 Sowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Rozdzia 1RachunekzdaPrawdawodrnieniuodkamstwaniemusibyprawdopodobna.Kumor1.1 Wartoci logiczneZazdaniebdziemyuwaadowolnestwierdzenie, oktrymmonapowiedzie, ejestalbo prawdziwe, albo faszywe, i ktre nie moe by jednoczenie i prawdziwe, i faszywe.Powiedzeniestudenci miewajtrudnoci zezdaniemegzaminujestzdaniem(jestbowiemalboprawdziwe,albonie,ipowiedzenieonim,ejestprawdziwelubfaszywe,ma sens), natomiast sformuowanie czy logika jest trudna? zdaniem nie jest, bowiemnie mona sensownie wypowiedzie si o prawdziwoci pytania.Wzgodziezintuicjbdziemyprzypisywazdaniomwartologicznprawdy lubfaszu. System taki nazywamylogikdwuwartociow.Przykad 1.1. Rozpatrzmynastpujcewypowiedzeniewpewnej wioscejedenzjejmieszkacw goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkacw, ktrzy nie gol si sami. Czytowypowiedzenie(bdcewsensiegramatykijzykapolskiegozdaniem oznajmujcym)jestzdaniem w sensie podanej wyej denicji? Napozr tak. Sprbujmyjednak odpowiedzienapytanie,ktogoliowegogolarza.Jeeligolisi onsam, toniemoesi sam goli,bo goliontylkotych,ktrzyniegolsi sami.Jelijednakniegolisisam, togolisisam, bowaniegoli onwanietych, ktrzyniegolsisami. Rozumowanietodowodzi tezy, epowyszawypowiedniejestani prawdziwa, ani faszywa, stwierdzenietoniejestzdaniemi niemaadnego sensu.1.2 FormuylogiczneFormuyrachunkuzdatworzysizdanychzda,czcjezapomocspjnikwzda-niowychi, lub, nie, jeeliorazwtedyi tylkowtedy. Kadysensownynapis,ktrydasiutworzyzezmiennychispjnikwbdziemyuwaazaformurachunkuzda. Formuy bdziemy oznacza literami, , . . .Wartologicznaformunie, i , lub, jeeli , to, wtedyitylko wtedy, gdy zaley tylko od wartoci logicznej formu i, a nie od ich sensu.Negacja. Naoznaczenie sowanieprzyjmiemyznaknegacji. Zgodniezintuicjwyraenie jest prawdziwe,gdyjest faszywe,natomiastjest faszywe,gdyjest prawdziwe.8 RachunekzdaKoniunkcja. Na oznaczenie sowa i przyjmiemy znak koniunkcji . Zgodnie z intuicjwyraenie (zwane iloczynemlogicznymzdai ) jest prawdziwe, gdyzarwno, jak i(zwaneczynnikami ), s prawdziwe.Alternatywa. Naoznaczeniesowalubprzyjmiemyznakalternatywy . Zgodniezintuicj wyraenie (zwane sum logiczn zda i) jest prawdziwe, gdy conajmniej jedno ze zda, (zwanychskadnikami ) jest prawdziwe.Implikacja. Na oznaczenie sowa jeeli przyjlimy znak implikacji . Wyraenie je-eli , to jest faszywe, gdy (zwane poprzednikiem) jest prawdziwe, a (zwanenastpnikiem) faszywe; w pozostaych trzech przypadkach jest prawdziwe. M-wimy,ezprawdytylkoprawdawynika, natomiast zfaszuzarwnoprawda, jakifaszwynika.Intuicyjnieimplikacjajest prawdziwa, gdypoprzednikdajesiwywnioskowa zpoprzednika. Jednake implikacja nie jest tosama z wnioskowaniem. Zdania wcho-dzcewskadimplikacji mogniemiezesobadnegozwizku, ponadtoimpli-kacjajestprawdziwanawetwtedy, gdyobatezdaniasfaszywe. Wnioskowanienatomiastpolegana wyprowadzeniunowegozdania prawdziwegozinnego zdania,uznanego wczeniej za prawdziwe.Zapis oznacza, e jest warunkiem wystarczajcym dla , natomiast jestwarunkiem koniecznym dla.Rwnowano. Naoznaczeniefrazywtedyi tylkowtedy, gdyprzyjemiemyznakrwnowanoci . Zgodniezintuicjwyraenie (zwane rwnowanocizdai )jestprawdziwewtedy, gdyobajegoczonymajtaksamwartologiczn (tzn. oba rwnoczenie s prawdziwe lub faszywe). Zapis oznacza,e jest warunkiem koniecznym i wystarczajcym dla.1.3 DenicjaindukcyjnazbioruformurachunkuzdaNiebdziemyobecniezajmowasizdaniami wrodzajuPinokiomadugi nosczyobecnykrl Polski masztucznbrod. Zastpimyjezmiennymi zdaniowymi p, q, r,. . .znieskoczonegozbioruV ; zmiennetebd mogymiewarto1(odpowiadajcejprawdzie) lub 0 (odpowiadajcej faszowi).Wprowadzimy teraz (w miejsce intuicyjnej) formaln denicj indukcyjn zbioru for-mu rachunku zda. Dostarczynamona wygodnego narzdzia suacegodo dowodzeniatwierdze dotyczcychrachunku zda.Denicja1.1. NiechV = p, q, r, . . .bdzienieskoczonymzbioremzmiennychzda-niowych, za = , , , , , zbioremspjnikw. Zbiorem Tformu rachunkuzdabdziemynazywanajmniejszyzbirnapiswzoonyzezmiennychzezbioruV ,spjnikw z i nawiasw, speniajcy nastpujce warunki:1. V T2. (a) T,(b) jeeli T, to T,(c) jeeli , T, tokadazformuapostaci , gdzie , , , ,naley do T.Sens tej denicji jest nastpujcy: z 1. wynika, e napis zoony z pojedynczej zmiennejjest formu. Zasada wyraona w punkcie 2. ilustruje sposb budowania formuy zoonej1.4Wartologicznaformu 9zjednej lubdwchformuorazwybranegospjnika logicznego; dodatkowotwierdzisi,e napis zoony ze spjnika faszu jest formu.Przykad 1.2. NiechV = p, q, r, . . .. Wzgodziezpunktem1powyszej denicjitwierdzimy,e wyraeniap,q,rsformuami rachunkuzda. Z2bwynika, e zapis qjestforumu. Korzystajcz2cstwierdzamy, erwnienapis p (q)jest formu. Stosujcponownie 2c otrzymujemy kolejneformuy: (p (q)) rlub np. (p (q)) itd.Wpowyszymprzykadziemusielimyzastosowanawiasy, celemuniknicianiejed-noznacznoci w sposobie rozbioru formuy. Niekiedy nawiasy opuszczamy, zakadajc na-stpujckolejnowizania(odnajsilniejszegodo najsabszego): , , , , iprzyj-mujc, e i cz w lewo (tj.p q s znaczy (p q) s), za i cz w prawo(tj.p q s znaczyp (q s). Powiedzenie,e dany spjnik czyw lewo(w pra-wo) mona zrozumie w ten sposb, e majc cig zda poczonychdanym spjnikiemzdaniowym nawiasy naley zacz stawia od lewej (prawej) strony.P r z y k a d 1.3. Niech oznacza formu pq r s. Negacja wie najsilniej, moemywiczapisa t formuwnastpujcy sposb:p (q) r s. Drugim codo siy wizaniaspjnikiemjestfunktorkoniunkcji otrzymujemy(p (q) r) s. Funktoralternatywyczy w lewo,zatem ostatecznie jest rwnowane ((p (q)) r) s.1.4 WartologicznaformuDenicja1.2. Zbir wartoci logicznych B = 0, 1 zawiera dwa elementy: 0 na okre-lenie faszu i 1 na okrelenie prawdy. Wartociowanie zmiennych to funkcja : V B.Intuicyjnie wartociowanie to przypisanie wartoci logicznych (0 lub 1) poszczegl-nym zmiennym.Zdeniujemyobecniefunkcjwprzyporzdkowujcformuom, dladanegowarto-ciowaniazmiennych, jedn z wartoci logicznychprawdy lub faszu. Jeeli wartocio-wanie zmiennych jest ustalone w danym kontekcie i taki zapis nie prowadzi do nieporo-zumie, bdziemy pomija symboli zamiastwpisaw.Denicja funkcjiwbdzie przypomina sposb konstrukcji zbioruformu r. z. NiechV oznaczazbirzmiennychwystpujcychwformule, natomiastniechbdziewarto-ciowaniem tych zmiennych. Oczywicie dla kadej zmiennej v Vzachodzi w(v) = (v).Nie jest take zaskoczeniem, e dla kadego wartociowaniamamyw() = 0.Sposb obliczania wartoci logicznej formu zoonych obrazuje ponisza tabela:w() = 0w() w()0 11 0w() w() w( )0 0 00 1 01 0 01 1 1w() w() w( )0 0 00 1 11 0 11 1 1w() w() w( )0 0 10 1 11 0 01 1 1w() w() w( )0 0 10 1 01 0 01 1 110 RachunekzdaZauwamy, e jeli symbole 0 i 1 potraktowa jako liczby naturalne, tow()=1 w()w( )=w()w()w( )=w() +w()gdzie+oznaczasymboldodawaniatosamyzezwykymdodawaniem, zawyjtkiemsumy 1 + 1, ktra uznajemy za rwn 1.Obserwacja ta pozwala zrozumie genez nazw iloczynu i sumy logicznej.Formua jest: speniona, jeeli, dla danego wartociowania zmiennych, ma warto logiczn 1, spenialna, jeeli istnieje wartociowanie,przy ktrym ma warto logiczn 1, tautologi, jeli ma warto 1 dla kadego wartociowaniazmiennych (lub co najedno wychodzi nie istnieje wartociowanie, dla ktrego ma warto 0) faszywa, jeeli ma warto 0 dla kadego wartociowania.Oformulespenionej przezdanewartociowaniebdziemyniekiedymwi, ejestprawdziwa przy tym wartociowaniu, natomiast formua nie speniona bdzie faszywa.1.5 MetodazerojedynkowasprawdzaniatautologiiIstnieje nieskoczenie wiele tautologii, z ktrych wiele znano ju w czasach staroytnych.Stanowi one w logice odpowiednik np. tosamoci arytmetycznych czy trygonometrycz-nych, znanych z matematyki.Aby dowie, e dana formua jest tautologi,mona podda j sprawdzeniu metodzerojedynkow. W tym celu naley sprawdzi, czy warto logiczna badanej formuy jestrwna 1 dla kadego moliwego wartociowania zmiennych w niej wystpujcych.P r z y k a d 1.4. Rozwamy nastpujc tautologi(p q) ((p q) (q p))opisujczwizek rwnowanoci z implikacj.1 2 3 4 5 6 7p q p q p q q p (p q) (q p) (p q) ((p q) (q p))0 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 11 1 1 1 1 1 1Pierwsze dwie kolumny tabeli zawieraj wszystkie moliwe wartoci logiczne zmiennychpi q. Korzystajc z zamieszczonych wczeniej tabel opisujcych znaczenie spjnikw logicznychwyznaczamy wartociw pozostaychkolumnach(kolumntrzeciwyznaczamy korzystajcztabelki dlarwnowanoci, czwarti pitimplikacji, szstnapodstawiekolumn4i 5oraz tabelki dla iloczynu logicznego, natomiast sidm na podstawie kolumn 3 i 6 oraz tabelkidla rwnowanoci).Badana formuaznajduje si w kolumnie 7. W kolumnie tej znajduj sisame jedynki;oznacza to, e dla dowolnieobranejwartocizmiennych logicznych zmiennychwystpujcych w tej formulema ona warto 1, a wic jest tautologi.Sprawdzenie, czy dana formua jest tautologi, w podany wyej sposb co prawda jestproste i zawsze prowadzi do celu, ale jest procesem mudnym. Dlatego zamiast pracowicie1.6Zasadaindukcjidlaformurachunkuzda 11sprawdzawartologicznformuydla kadegowartociowaniazmiennych,korzystniejjest rozway takie wartociowania, dla ktrych formua staje si faszywa. Jeli takie war-tociowaniaistniej,badana formuawoczywistysposbniejesttautologi. Natomiastjeli zaoenieistnieniawartociowania, dlaktregoformuajestfaszywa, prowadzi dosprzecznoci, stwierdzamy,e takie wartociowanienie istnieje, a zatembadana formuajest tautologi.P r z y k a d 1.5. Rozwamy nastpujc formu [(p q) p] q. Zamy, e istniejewartociowanie , dla ktrego formua ta jest faszywa. Poniewa ma ona charakter implikacji,jest to moliwe tylko wwczas, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a nastpnik faszywy. Zatemw(q) = 0(skd(q) = 0)orazw((p q) p) = 1.Alewobec(q) = 0p qjestrwnowanep i poprzednik przyjmuje posta koniunkcjip p, ktra jest faszywa dla kadejwartoci p. Zaoylimyjednakuprzednio, epoprzednikjest prawdziwy. Niemoeonbyjednak przy tym samym wartociowaniuzmiennych i prawdziwy, i faszywy.Przekonalimy si, e zaoenie istnienia wartociowania, dla ktregobadana formua jestfaszywa, prowadzi dosprzecznoci. Zatemwartociowanietakieniemoeistniei formuajest tautologi.1.6 Zasadaindukcji dlaformurachunkuzdaJak ju wczeniej zauwaylimy, denicja zbioru Tformu r. z. jest denicj indukcyjn.Pociga to za sob natychmiast fakt, e w zbiorze tym prawdziwa jest nastpujca zasadaindukcji:Twierdzenie1.3. Niech wasno bdzie okrelona dla formu rachunku zda ze zbio-rem zmiennychV . Jeeli1. zachodzi(v) dla kadej zmiennejv V2. (a) zachodzi()(b) dla dowolnej formuy prawdziwo() implikuje()(c) dladowolnychformu i prawdziwo () i () implikuje ( ),( ),( ) oraz( )wwczas wasno przysuguje wszystkim formuom rachunku zda.Przy kad 1.6. Posugujcsi powyszazasad indukcji udowodnimy,ezdeniowanawczeniej funkcja w przyporzdkowuje kadej formule rachunku zda warto logiczn (co bymoe wydaje si oczywiste).NiechbdziedanymwartociowaniemzmiennychzezbioruV ,natomiast()bdzieprawdziwe, jeli funkcja w nadaje formule jak warto logiczn. Zgodnie z denicj w(v) =(v),zatem(v) zachodzi dla kadej zmiennejv Vi warunek1 jest speniony.Warunek 2a jest w sposb trywialny speniony, bowiem w denicjiwzaoono wprost, ew() = 0.Wemyterazdowolnformui zamy, ezachodzi (). Oznaczato, efunkcjawokrelawartologiczndlatej formuy. Jeli w()=0, tozgodniezdenicjww()=1, natomiastwprzypadkuprzeciwnym(tj. gdyw()=1)w()=0. Zatemzzaoenia prawdziwoci ()wynikaprawdziwo(),co dowodziwarunku 2b.Dla dowodu 2c wemy dowolne formuy i i zamy, e zachodzi () i (). Oznaczato, efunkcjawokrelawartologicznformu i . Podobniejakwyej, napodstawieznajomociw() i w() potramy okreli wartow(),w(),w( ),w( ). Zatem z zaoenia prawdziwoci w(()) i w(()) wynika prawdziwo (), (12 Rachunekzda(p) p podwjne przeczeniep pp ,,p p ,p (, oznacza zdanie prawdziwe)p p ,p p (p q) (q p) przemienno(p q) (q p)(p q) (q p)[(p q) r] [p (q r)] czno[(p q) r] [p (q r)][p (q r)] [(p q) (p r)] rozdzielno[p (q r)] [(p q) (p r)](p q) (p q) prawa De Morgana(p q) (p q)p q q pp q p q[(p r) (q r)] [(p q) r][(p q) (p r)] [(p (q r)](p q) [(p q) (q p)] zamiana rwnowanoci na implikacje(p q) [(p q) ] sprowadzenie do sprzecznociTabela 1.1: Tautologie rachunku zda), ( ) oraz ( ), cokoczydowd, pokazujc, ewasnoprzysugujewszystkimformuomrachunkuzda, cojest rwnowane zestwierdzeniem, efunkcja wokrelonajak wyej przyporzdkowujewartologiczn kadej formulerachunku zda.P r z y k a d1.7. Pokaza przez indukcj, e dla kadej formuy , zbudowanej ze zmiennychp,qoraz spjnika , mona wybra ze zbioru1, p, q, (p q), (q p), (p q) (1)takformu, e jest tautologi.Niech f(), gdzie jest formu zbudowan ze zmiennych p, q oraz spjnika , oznaczatakformuze zbioru (1),e f() jest tautologi.Rozwamydowolnformu niezawierajcspjnika . Maonapostaplubq. Wsposb trywialnyf() = p lub, odpowiednio,f() = q.Wemyterazdowolneformuy1,2,oktrychwiemy,emonawybrazezbioru(1)takie formuy 1, 2, e 1 1 i 2 2 s tautologiami. Pokaemy, e mona wybra ze1.6Zasadaindukcjidlaformurachunkuzda 13zbioru (1) takformu, e (1 2) jest tautologi (innymi sowy zdeniujemyf()).1. f(1) = 1.Wwczas1 2jest rwnowane2if() = f(2) (f(2) znamy z zaoenia).2. f(2) = 1.Wwczas1 2jest tautologi if() = 1.3. f(1) = p.Wwczas:(a) jeelif(2) = p, to1 2jest rwnowanep p if() = 1(b) jeelif(2) = q, to1 2jest rwnowanep qi f() = (p q)(c) jeeli f(2)=(p q), to1 2jestrwnowanep (p q)i f()=(p q)(d) jeelif(2) = (q p), to1 2jest rwnowanep (q p) if() = 1(e) jeelif(2) = (p q), to1 2jest rwnowanep (p q) if() = 1Rozpatrzenie pozostaych 4 przypadkw pozostawiamy czytelnikowi.p (p q)(p q) p(p ) p sprowadzenie do sprzecznoci[p (p q)] q modus ponendo ponens[(p q) q)] p modus tollendo tollens[(p q) p] q modus ponendo tollens[(p q) (q r)] (p r) przechodnio[(p q) (q r)] (p r)(p q) [(p r) (q r)](p q) [(p r) (q r)](p q) [(q r) (p r)]Tabela 1.2: Implikacje logicznePrzykad 1.8. Pokaza, edlakadej formuyzdaniowej zbudowanej zezmiennychzdaniowych oraz spjnikw , , , , liczba wystpie zmiennych jest o 1 wiksza od liczbywystpie binarnych spjnikwzdaniowych.Jesttooczywicieprawddlaformuyzbudowanej zpojedynczej zmiennej. Jeeli liczbawystpie zmiennych w formule jest o 1 wiksza od liczby wystpie w tej formule binarnychspjnikw zdaniowych, to wasno taka przysuguje take formule , poniewa po dodaniudoformuy spjnikanegacji niezmieniasiani liczbawystpiezmiennych, ani liczbawystpie binarnych spjnikwzdaniowych.Niechz() oznacza liczb wystpie zmiennych w formule, as() liczb wystpiebinarnych spjnikwzdaniowych w tej formule.14 RachunekzdaNiech teraz formuy i bda takie, e liczba wystpie zmiennych w kadej z nich jesto 1 wiksza od liczby wystpie w nich binarnych spjnikw zdaniowych, tj.z() = s() +1orazz() = s() +1. Rozwamy formu , gdzie , , . Wida, ez( ) =z() + z()=s() + 1 + s() + 1, natomiasts( )=s() + 1 + s(). Ostateczniez( ) = (s() + 1 +s()) + 1 = s( ) + 1.Namocyzasadyindukcji wzbiorzeformu rachunkuzdastwierdzamy, erozwaanawasnoprzysuguje wszystkim formuomrachunku zda.1.7 ReguywnioskowaniaTwierdzenia matematyczne maj na og posta implikacji. Dowodzi si ich nastpujco:majc pewien zbir zda, zwanychzaoeniami lubprzesankamip1, p2, . . . , pnuznaje si je za prawdziwe i docza do nich nowe zdanieqzwanewnioskiemlubkonkluzj, ktre wynika z nich zgodnie z prawami logiki.Reguawnioskowaniap1, p2, . . . , pnqjest poprawna wtedy i tylko wtedy, gdy formuap1 p2 . . . pn qjest tautologi.Najbardziej podstawow regu dowodzenia jest nastpujca regua:p, p qqzwanareguodrywania(modusponens). Sensjejjestnastpujcy: jeeli uznajemyza prawdziwe zdaniep oraz implikacjp q, to moemy te uzna za prawdziwe zdanieq.Denicja1.4. Zamy, edanyjestpewienzbirzaoeorazwniosekq. Dowodemformalnymzdania q jest cig p1, p2, . . . , pn, q, skadajcy si ze zda, z ktrych kade jestzaoeniem, tautologilubwnioskiemzpoprzednichwyrazw, powstaymprzyuyciujednej z regu wnioskowania.Przy kad 1.9. WpgodzinnymprogramiepublicystycznymMinutaprawdyodbyasi debata z udziaem politykwna temat biecej sytuacji spoecznogospodarczej.Przedstawiciel jednejzpartii stwierdzi,ealboPolskaniewejdziedoUniiEuropejskiej,albojeeli cukierbdzienakartki NiemcywykupicaziemiwPolsce(nahodowleksportowego buraka cukrowego). W poowie zdania przerwa mu zwolennik UE, ktry stwier-dzi, ejeli PolskawejdziedoUnii, tocukier napewnoniebdzienakartki. Jeszczeniezamkn ust, kiedy grono jego przeciwnikw zgodnym chrem oznajmio, e jeli Niemcy wy-kupiziemi w Polsce,to cukierz capewnocibdzie na kartki.Nakoniecprzedstawicielkoalicji rzdzcejzapowiedzia,ejeli cukierniebdzienakartki, toNiemcywykupicaziemi w Polsce,gdy w wyniku nadprodukcjipolskim rolnikomnie opacisi jej obsiewa.1.7Reguywnioskowania 15Co zdezorientowany widz moe wywnioskowa z tego programu? Ot, jeli ogldani poli-tycy mieli racje, to Polska nie wejdzie do UE, a cukier bdzie na kartki (jak wida, politycy niezawsze maj racj). Zagadk natomiast pozostaje, czy Niemcy wykupi ca ziemi w Polsce.Przeprowadzimy teraz formalny dowd tego stwierdzenia. Oznaczmy przezp zdanie Pol-ska wejdzie do UE, przez q zdanie cukier bdzie na kartki, przez r zdanie Niemcy wykupicaziemi w Polsce.Przyjmiemy nastpujcy zbir zaoep1, p2, p3, p4(wynikajcyz trecizadania):p1: p (q r)p2: p qp3: r qp4: q rWiadomo, e formua [(a b) (b c)] (a c) jest tautologi, skd[(a b) (b c)]a cjest regudowodzenia.Na jej mocy,zp2ip4wnioskujemyp5: p r.Na mocy tej samej reguy,p5ip3wnioskujemyp6: p q.Otrzymujemyp qip q. Zauwamy, e schematp q p qp jestregudowodzenia(jeeli pjestprawdziwe, toktrazimplikacji p q, p qmaposta,wktrej poprzednikjestprawdziwy, anastpnikfaszywy, awicjestfaszywa;jelip uznajemy za faszywe, poprzedniki obu implikacje s faszywe, tak wic same implikacje sprawdziwe).Stwierdzamyp7: p .Stosujc ponownie pierwsz z podanych regu wnioskowaniadop4ip3, otrzymujemyp8: q q,skd, na mocy reguy wnioskowaniaq qq ,wartocilogicznqjest 1:p9: q , .Zauwamy teraz, e przy otrzymanym wartociowaniu zmiennych p i q kada z formu p1, p2,p3,p4jest prawdziwa, niezalenie od wartociowaniar. Oznacza to, e warto logiczna tychformunie zaley odri wartociowaniernie moe zosta z nich wywnioskowane.16 Rachunekzda1.8 Funkcjeboolowskiei systemyspjnikwNiech B = 0, 1 bdzie zbiorem wartoci logicznych.Denicja1.5. Funkcjf:Bn B(n , 0)nazywamyn-argumentowfunkcjboolow-sk.P r z y k a d 1.10. Zapis f: BnB oznacza, e zarwno n argumentw funkcji f, jak i jejwartozwracanapochodzzezbioru B. Funkcjetakiemonaopisywazapomocformuzdaniowych, np.f(p, q) (p q)oznacza2-argumentowfunkcj B2 B, ktrejwartocijest0dlap = 1,q = 0irwn1dla kadej innej wartociargumentwp iq.Denicja1.6. Zbir spjnikw logicznych jest zupeny, jeeli dowoln funkcj boolowskmonaopisazapomocformuyzdaniowejzawierajcej jedyniespjnikiztegozbiorui zmienne(oraz nawiasy). Zbir spjnikwjest 2-zupeny, jeli kadconajwyej 2-elementowfunkcj boolowsk mona opisa za pomoc formuy zdaniowejzawierajcejjedynie spjniki z tego zbioru i zmienne (oraz nawiasy).Przykad 1.11. Wykaemy, ezbir , niejestzupeny, bowiemwykorzystujcjedynie spjniki z tegozbiorunie dasiopisa negacji. Niech wp=a() oznaczawartologicznformuyprzywartociowaniuprwnyma. Niechpbdziedowolnzmienn, a() oznacza, e nie zachodzi jednoczeniewp=0() = 1 iwp=1() = 0. Pokaemy, e()zachodzi dlakadej formuyrachunkuzda, zbudowanej jedyniezezmiennychi spjnikw, .D o w d (indukcyjny):Rozwamy dowoln formu nie zawierajc spjnika. Moe ona by zbudowana jedyniezpojedynczej zmiennej. Jeli zmienntjest p, towp=0()=0 ,=1i ()zachodzi. Wprzeciwnymprzypadkuwartow()niezaleyodpi wp=0()=wp=1()i ()rwniezachodzi.Wemyterazdowolneformuyi , dlaktrychzachodzi ()i (). Moliwes3przypadki:1. wp=0() = 0 iwp=1() = 02. wp=0() = 0 iwp=1() = 13. wp=0() = 1 iwp=1() = 1(przypadek wp=0() = 1 i wp=1() = 0 wykluczamy z zaoenia prawdziwoci () formua nie moe opisywa negacjizmiennejp).Ad1.Jeli wp=0() = 0,towp=0( ) = 0 ,= 1,awkonsekwencji ( ).Natomiastwp=0() = wp=0() i wp=1() = wp=1(), co oznacza, e w() = w(). Wobeczaoonejprawdziwoci ()stwierdzamy( ).Ad 2. Jeli wp=0() = 0 i wp=1() = 1, to wp=0() = 0 ,= 1, a w konsekwencji().Natomiastwp=1( ) = 1 ,= 0. Zachodzi zatem( ).Ad 3. Jeli wp=0() = 1 i wp=1() = 1, to wp=0() = wp=0() i wp=1() = wp=1(),co oznacza, e w() = w(). Wobec zaoonej prawdziwoci () stwierdzamy ().Natomiastwp=1( ) = 1 ,= 0. Zachodzi zatem take( ).Pokazalimy, e,dladowolnychformu i , jeli tylko()i ()jestprawdziwe, toprawdziwejest take( ) i ( ), co koczydowd.1.8Funkcjeboolowskieisystemyspjnikw 17Twierdzenie1.7. Kady zbir spjnikw 2-zupeny jest zupeny.Dowd: Pokaemy, e moemyzapisadowolnn-argumentowfunkcj boolowsk, uy-wajc 2-zupenego zbioru spjnikw. Dlan 2 teza jest prawdziwa w trywialny sposb.Niech wic n > 2. Musimy pokaza, jak obliczy f(x1, x2, . . . , xn), gdzie f jest dowolnnargumentow funkcj boolowsk, ax1, x2, . . . , xns zmiennymi logicznymi .Moliwe s2przypadki: alboxnjest rwne0, albo1. Jeeli xnjest rwne0, totrzebaobliczyf(x1, x2, . . . , xn1, 0). Zauwamy, ewwczasfzaleyistotnieodn 1argumentw, czyli jest tosama z pewn n-1argumentow funkcj f0, ktr z zaoeniaindukcyjnego potramy zapisa uywajc 2-zupenego zbioru spjnikw. Podobnie, dlaxn = 1, f(x1, x2, . . . , xn1, 1) jest tosama z pewn n-1argumentow funkcj f1, ktr zzaoeniaindukcyjnegopotramyzapisauywajc2-zupenegozbioruspjnikw.Dysponujc 2-zupenym zbiorem skadnikw moemy w szczeglnoci uywa funktorwiloczynu i sumy logicznejoraz negacji. Ostatecznie:f(x1, x2, . . . , xn)=(f(x1, x2, . . . , xn1, 0) xn) (f(x1, x2, . . . , xn1, 1) xn)=(f0(x1, x2, . . . , xn1) xn) (f1(x1, x2, . . . , xn1) xn) (2)Rwno (2) zostaa zapisana przy uyciu 2-zupenego zbioru spjnikw, co dowodzitezy.18 RachunekzdaRozdzia 2RachunekpredykatwPrawdaistnieje.Wymylasikamstwo.GeorgesBraque2.1 Funkcjezdaniowejednej zmiennejDenicja2.1. NiechXbdzieniepustymzbiorem. Funkcjzdaniowjednejzmiennejx, ktrej zakresemzmiennoci jestprzestrzeX, nazywamywyraenie(x), wktrymwystpuje zmienna x i ktre staje si zdaniem prawdziwym lub faszywym, gdy w miejscetej zmiennej wstawimy dowolny element ze zbioru X. Mwimy, ze element x Xspeniafunkcj zdaniow(x), jeeli zdanie(x) jest prawdziwe.P r z y k a d 2.1. Wyraeniex2> 0, x R (1)jest przykademfunkcji zdaniowej zmiennej xozakresiezmiennoci R. Liczba1 Rspeniafunkcjzdaniow(1) (gdyzdanie12>0jest prawdziwe), natomiast0 Rniespenia tej funkcji(gdy zdanie 02> 1 jest faszywe).Zbirwszystkichwartoci x X, dlaktrychfunkcjazdaniowa(x), x X, jestzdaniem prawdziwym oznaczamyx X: (x) (2)Zatema x X: (x) wtedy i tylko wtedy, gdy(a) (3)P r z y k a d 2.2.x R: x2> 0 = R 0poniewa funkcjzdaniow (1)spenia kada liczba rzeczywista rna od 0.Dla kadej funkcji zdaniowej (x), x X, zbir tych wartoci x, dla ktrych (x) jestprawdziwewyznaczapewienpodzbirzbioruX. Moemypowiedzie, eelementytegozbioru maj wasno i adne inne elementy przestrzeni X tej wasnoci nie maj.20 Rachunekpredykatw2.2 KwantykatoryRozpatrzmypewnfunkcjzdaniow(x)ozakresiezmiennoci X. Zamy, eudaonam si udowodni, e(x)jest zdaniemprawdziwym dla kadegox X.Zapisujc totwierdzenie moglibymy napisa(x1) (x2) . . . (4)gdzie x1, x2, . . . X. Powyszy zapis nie jest formu rachunku zda, poniewa wystpujewnim niedozwolonysymbol wielokropka.JelizbirXjest skoczony,moemynapisa(x)dlakadegoelementuzbioruX(np.dlazbioruX= x1, x2, x3formuatakamaposta(x1) (x2) (x3)).Sytuacjakomplikuje siwprzypadku, gdyzbirXjestnieskoczony.Zauwamy,enapisskoczonej dugoci postaci (4)moeopisywawasnodlaskoczonej liczbyelementwzbioruX. Bezporedniozdenicji rachunkuzdawynika, eformuyr. z.maj skoczon dugo. Zatem mog one opisa wasno jedynie dla skoczonej liczbyelementwrozwaanego zbioru, a nie caego, nieskoczonego, zbioruX.Podobnie gdybymy wiedzieli, e(x) jest prawdziwe dla pewnegox X, mogli-bymy napisa(x1) (x2) . . . (5)gdzie x1, x2, . . . X. Powyszy zapis nie jest formu rachunku zda, poniewa wystpujewnim niedozwolonysymbol wielokropka.JelizbirXjest skoczony,moemynapisa(x)dlakadegoelementuzbioruX(np.dlazbioruX= x1, x2, x3formuatakamaposta(x1) (x2) (x3)).Wprzypadku, gdyzbir Xjestnieskoczony, ztychsamychpowodw, cowyej,kada formua, ktr napiszemy moe opisa sytuacj, w ktrej wasno zachodzi dla conajmniej jednego elementu skoczonego podzbioru zbioru X, a nie caego, nieskoczonego,zbioruX.Potrzebujemy czegowicej ni rachunek zda. Rozszerzymyzatem rachunek zda odwa nowe funktory zdaniotwrcze:kwantykator szczegowy(egzystencjalny) ,kwantykator oglny ,otrzymujcwtensposbsystemzwanyrachunkiempredykatw. Znaczeniewprowadzo-nychfunktorwjestnastpujce:jelifunkcja zdaniowa(x)jestzdaniemprawdziwymdlakadegox, piszemyx.(x)i czytamy: dlakadegoxzachodzi (x); natomiast jeli istnieje conajmniej jedenelementx, dla ktrego(x) jest zdaniem prawdziwym, piszemyx.(x)i czytamy: istniejex, takie e(x).2.3 SkadniarachunkukwantykatorwDenicja2.2. Niech x, y, z, x1, x2, . . . bdzie nieskoczonym zbiorem tzw. zmiennychindywiduowych, p, q, p1, p2, . . .zbioremsymboli relacji, za= , , , , , , zbiorem spjnikw.2.4Zmiennezwizaneiwolne 21Formuatomowbdziemy nazywa kady napis postacif(x1, x2, . . . , xn), gdziefjestnargumentowym symbolem relacji (n , 0), ax1, x2, . . . , xns zmiennymi.Zbiorem Qformu rachunkukwantykatorwbdziemynazywanajmniejszyzbirna-piswzoonyzformuatomowych, spjnikwzinawiasw, speniajcynastpujcewarunki:1. jeeli jest formu atomow, to Q2. (a) jeeli Q, to Q,(b) jeeli, Q, to kada formua postaci , gdzie , , , , naleydo Q.(c) jeeli Q, to x. Q i x. Q.Sens tej denicji jest nastpujcy: formuami rachunku kwantykatorw bdziemy nazy-wa zbir zoony z formu atomowych, poczonych ze sob w okrelony sposb spjni-kami logicznymi oraz symbolami kwantykatorw.P r z y k a d2.3. Niech p bdzie symbolem relacji 2-argumentowej, a q 3-argumentowej. For-muy p(x, y) i q(x, x1, x2) s atomowe, a wic s i formuami rachunku kwantykatorw. Takep(x, y), p(x, y)q(x, x1, x2) s formuami r. k. Wreszcie x. p(x, y), x x1 x2. p(x, y) q(x, x1, x2) s formuamir. k.2.4 Zmiennezwizanei wolneZgodniezdenicjfunkcji zdaniowej zmiennaxwystpujcawwyraeniu(x)moezosta zastpiona dowolnym elementemx1ze zbioru zmiennoci tej zmiennej, w wynikuczegootrzymujemyzdanie(x1), prawdziwelubnie, wzalenoci odznaczeniafunkcjizdaniowej oraz wartocix1. W wyraeniu tym x jest zmiennswobodn(inaczejwolnalboniezwizan).Denicja2.3. Wyraenie, w ktrym wystpuje przynajmniej jedna zmienna wolna na-zywamypredykatem.W wyraeniu x.(x) zmiennax wystpuje w podobnym kontekcie,ale tym razemniemonajej zastpiadnymelementemzezbioruzmiennoci tej zmiennej. Jestonabowiemzwizanaz kwantykatorem, inaczej mwic znajdujesiwjegozasigu.Przyjmujesi, ekwantykatorobejmujeswoimzasigiemnajbliszfunkcjzdaniowstojc za nim. W razie potrzeby otaczamyj nawiasami.P r z y k a d 2.4. W formulex.x > y x < 0zmienna y jest wolna. Zmienna x wystpujca przed znakiem alternatywy jest zwizana kwan-tykatoremoglnym,podczas gdy drugazmiennax, wystpujca po znaku alternatywy, jestzmienn woln (gdy nie jest objta zasigiem adnego kwantykatora) i nie ma nic wsplne-go ze zmiennx sprzed tego znaku. W formule z dodanymi nawiasami x. (x > y x < 0),w ktrej kwantykator oglny obejmuje swoim zasigiem oba wystpienia zmiennejx, jedynzmienna woln jesty.Zmiennezwizanei swobodnewystpujnietylkowlogice. Wwyraeniuarytme-tycznym1xzmiennax jest swobodna (i moe by zastpiona dowoln liczb rn od 0),natomiast w wyraeniu _1xdx nie (gdy jest zmienn cakowania).22 RachunekpredykatwFormalnie zbir zmiennych wolnych formuy deniujemy nastpujco:FV (p(x1, x2, . . . , xn)) = x1, x2, . . . , xn, dla kadejn-argumentowej formuypFV ()=FV ()FV ( )=FV () FV (), gdzie , , , FV (x.)=FV () xFV (x.)=FV () xPr zyk ad 2.5. Sprbujmyzdeniowazbir BV zmiennychzwizanychformuy.Podobnie jak wczeniejFV , zdeniujemy go przez indukcj.Formuy atomowenie zawierajzmiennych zwizanych, tak wic dla kadejn-argumentowejformuyatomowejp mamyBV (p(x1, x2, . . . , xn)) = Jest oczywiste, eBV ()=BV ()BV ( )=BV () BV (), gdzie , , , NakoniecBV (x.)=BV () xBV (x.)=BV () xP r z y k a d 2.6.FV (x.p(x, y) q(z))=FV (x.p(x, y)) FV (q(z)) ==(FV (p(x, y)) x) z ==(x, y x) z == y z = y, zBV (x.p(x, y) q(z))=BV (x.p(x, y)) BV (q(z)) ==(BV (p(x, y)) x) == x = x2.5 KwantykatoryoograniczonymzasiguCzsto zdarza si, e orzekamy jak wasno nie dla caego zakresu zakresu zmiennocizmiennej znajdujcej si w zasigukwantykatora,lecz dla pewnego podzbioru tegoza-kresu, ograniczonego pewnym warunkiem. Wwczas warunek ten zapisujemy pod znakiemkwantykatora, np.:(x < 0).x3< 0Trzebajednakpamita, ewwietleprzedstawionejwyejformalnejdenicji napistakiniejestformurachunkukwantykatorw! Jestonwistocieskrtemnotacyjnym,waciwie naleaoby napisax. (x < 0 x3< 0)2.6Rachunekfunkcjizdaniowych 23Podobnie, zapis(x < 0).x3< 0traktujemy jakx. (x < 0 x3< 0)P r z y k a d 2.7. Rozwamy nastpujc denicj: podzbir A zbioru liczb naturalnych Nnazwiemynieskoczonym, jeeli dlakadegoelementuxtegozbioruistniejewtymzbiorzeelementywikszy, tj.:x A. (y A.y> x). (6)Czy to dobra denicja? Na pozr tak, jeli bowiem wemiemy dowolne x1 A, to musi istniex2 Awikszeodx1, x3wikszeodx2itd., skdwnosimy, ezbirAjestnieskoczony.Zauwamyjednak, eformua(6) jest rwnowananastpujcej formulerachunkufunkcjizdaniowych:x.[(x A) (y A.y> x)].Jeeli zbir Ajest pusty, topoprzednikimplikacji jest zawszefaszywy, asamaimplikacjajest zdaniemprawdziwym. Naszadenicjazmuszanasdotwierdzenia, ezbir pustyjestnieskoczony, a wic jest bdna (nie moemy w adnym przypadku uzna, e zbir pusty jestnieskoczony,gdy po dooeniudo niego1 elementu ze zbioru nieskoczonegootrzymaliby-myskoczony, przezcozkolei musielibymyuzna, ezbirskoczonymoemiewicejelementwni nieskoczony,co jest absurdem).2.6 Rachunekfunkcji zdaniowychW rachunku predykatw, podobnie jak w rachunku zda, okrela si dziaania, tautologiei reguy wnioskowania. Ponisze dwie tautologie,zwaneprawami deMorgana, s bardzouyteczne:(x.(x)) x. (x) (7)(x.(x)) x. (x) (8)Na ich podstawie stwierdzamy, e kwantykatory i s dualne, co oznacza, e dowolnformu rachunku kwantykatorw moemy zapisa uywajc co najwyej jednego z nich.Rwnowano(7)stwierdza, eniejestprawd, ewszystkieelementyrozwaanejprzestrzeni maj wasno wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (co najmniej jeden) element,ktry jej nie ma. Aby wic wykaza, e nie wszystkie elementy danego zbioru maj pewnwasno , wystarczywskaza tzw. kontrprzykad, tj. taki element x, ktryniemawasnoci (czyli taki, dla ktrego formua (x) jest zdaniem faszywym). Rwnowano(8) mwi, e wszystkie elementy danego zbioru nie maj wasnoi wtedy i tylko wtedy,gdy nie ma jej aden z nich.Podajemyjeszczekilka innychpoytecznychtautologiirachunku funkcji zdaniowych(przymilczcymzaoeniu, ezakreszmiennoci zmiennej xjestdlafunkcji i tensam) :x. ((x) (x)) x.(x) x.(x) (9)x. ((x) (x)) x.(x) x.(x) (10)x. ((x) (x)) x.(x) x.(x) (11)x.(x) x.(x)) x. ((x) (x)) (12)24 Rachunekpredykatworaz nastpujceprawaprzestawianiakwantykatorw:x. y.(x, y) y. x.(x, y) (13)x. y.(x, y) y. x.(x, y) (14)x. y.(x, y) y. x.(x, y) (15)P r z y k a d 2.8. Rozwamy formu(10):x. ((x) (x)) x.(x) x.(x).Pokaemy,e jest ona tautologi. Formuata staje si faszywa, gdy poprzednik x. ((x) (x))jest prawdziwy,anastpnik x.(x) x.(x)faszywy.Jeeli jednakpoprzednikjest prawdziwy, to istnieje pewnex1, takie e(x1) (x1).Namocy reguywnioskowaniap qpstwierdzamy, e prawdziwe jest (x1) (biorc za p wyraenie (x1), a za q wyraenie (x1));podobnie stwierdzamy, e prawdziwe jest (x1). Istnieje zatem pewno x, mianowicie x1, takiee(x)jest prawdziwe:x.(x) (16)Podobnieistnieje pewnox, mianowciex1, takie e(x) jest prawdziwe:x.(x) (17)Zaoylimy, enastpnikimplikacji (10)jestfaszywy, czyli eponiszaformuajestpraw-dziwa:(x.(x) x.(x)).Korzystajc z praw de Morganadla koniunkcji,otrzymujemy alternatyw[(x.(x))] [(x.(x))],ktrej oba skadniki na mocy (16) i (17) s faszywe, a wic i ona sama jest faszywa (wbrewzaoeniu). Std formua(10)jest tautologi.Zauwamy, e nie moemy w formule (10)zastpi implikacjirwnowanoci.Formuax.(x) x.(x) x. ((x) (x)) (18)niejestbowiemtautologi(pamitamy, e(p q) [(p q) (q p)]). Dladowodurozwamyformuyi takie, edlax Nwyraenie(x) jest prawdziwe, jeli xjestparzyste, natomiast (x) jest prawdziwe dla x nieparzystego. Zdanie x. (x) jest prawdziwe(gdy istnieje takie x, rwne np. 2, e (x) = (2) jest prawdziwe), podobnie prawdziwe jestzdanie x.(x) ((x) jest prawdziwe np. dla x = 3 ). Poprzednik implikacji (18) jest zatemprawdziwy. Natomiast jej nastpnik prawdziwy oczywicie nie jest (nie istnieje bowiem liczbajednoczenie i parzysta, i nieparzysta). A zatem rozwaana implikacjajest faszywa.Rozdzia 3Zasadaindukcji zupenejCotrzebarobi,abyzasuynaorder?Nic,alezatobardzodugo.H.Steinhaus3.1 TeoriomnogocioweujcieliczbnaturalnychZbir liczb naturalnychN mona wprowadzi do matematyki na wiele sposobw. W uj-ciu teoriomnogociowym wprowadza si pojcienastpnikaS(A) zbioruA (jego istnieniewymagaprzyjciadodatkowegoaksjomatu)kadcS(A) =A A.Nastpnie,startu-jcodzbiorupustego ibiorckolejnenastpniki, otrzymujemyzbioryS(), S(S()),S(S(S())), . . ., czyli, , , , , , , , . . .W ten sposb mona zdeniowa zbir liczb naturalnych odwoujc si jedynie do pojteorii mnogoci (przyjmujc, e zbir liczb naturalnychNjest najmniejsz rodzin zbio-rw zawierajc zbir pusty i tak, e wraz z kadym zbiorem zawiera ona jego nastpnik).Zbir pusty odpowiada wic liczbie 0, liczbie 1, , liczbie 2 itd.3.2 AksjomatyczneujcieliczbnaturalnychW dalszym cigubdziemysi posugiwa nastpujcym aksjomatycznymujciemliczbnaturalnych. Za pojcia pierwotne uwaa bdziemyN, 0 oraz pojcie nastpnika.Przyjmiemy nastpujcy ukad 5 aksjomatw:1. 0 N2. 0 nie jest nastpnikiem adnej liczby naturalnej3. dla kadej liczby naturalnej istnieje dokadnie jedna liczba naturalna, ktra jest jejnastpnikiem4. jeeli liczbam jest nastpnikiem liczbn ik, ton = k.5. (Zasadaindukcji) jeeliA Ni(a) 0 A(b) dla kadej liczb naturalnej prawdziwa jest implikacjan A n

A,toA = N,gdzien

oznacza nastpnik liczby naturalnejn.26 Zasadaindukcjizupenej3.3 Zasadaindukcji zupenejWrd wymienionych aksjomatw szczegln wag ma aksjomat pity, za pomoc ktregodowodzi siwikszoci twierdzeozbiorzeN. Dowdtaki skadasizdwchkrokw:podstawyindukcji , czyli stwierdzenia 0 A i krokuindukcyjnego, w ktrym pokazuje si,e dla dowolnie wybranegon z prawdziwocin A wynika prawdziwon

A.Z pomoc podanych wyej aksjomatwwprowadza si dalsze pojcia wystpujce warytmetyce liczb naturalnych, w szczeglnoci dodawanie, przyjmujcn + 0 = n,n +m

= (n +m)

,dla dowolnychn, m N. Korzystajc z zasady indukcji mona w atwy sposb wykaza,e tak okrelona suma n+m jest zdeniowana dla kadych dwch liczb naturalnych n, m.Przyjmijmyoznaczenie1=0

. Zauwamy, en + 1=n + 0

rwnejestzdenicji(n + 0)

, czylin

. Zamiastn

bdziemy zatem pisan + 1.Zasad indukcji stosuje si najczciej w jednej z 2 nastpujcych postaci:Twierdzenie3.1. Jeeli jest wasnoci okrelon w zbiorzeN, tak e1. (0) (0 ma wasno),2. dla kadegon naturalnego prawdziwa jest implikacja(n) (n +1) (jeelin mawasno, to ma j taken + 1),to kada liczba naturalna ma wasno.P r z y k a d 3.1. Pokaza, e obszary wyznaczone przed dowoln skoczon liczb prostychna paszczynie mona pokolorowa dwoma kolorami tak, by adne dwa obszary o tym samymkolorzenie miay wsplnegoboku.Dowdprzeprowadzimyprzez indukcjpo liczbie prostych.1. Podstawa indukcji. Przypadek n = 0 jest trywialny ca przestrze malujemy jednymkolorem.2. Krok indukcyjny. Zamy, e obszary wyznaczone przez n prostych daje si odpowiedniopokolorowa.Wykonujemy to kolorowaniei rysujemy na paszczynien +1-sz prost.Jeeli pokrywasionazktr zdotychczasowych, odpowiedniekolorowanie mamydane. Wprzeciwnymprzypadkuwyrniamyobszar znajdujcysipojednej stronieprostej i zmieniamy w nim kolorowanie na przeciwne (kolor pierwszy zastpujemy drugimi odwrotnie).3.3Zasadaindukcjizupenej 27IIIII > IIIIII > II> IIJest jasne, e w po obu stronach dodanej prostej nie ma obszarw o tym samym kolorzestykajcych si bokami. Jeeli wic na paszczynie istniej 2 obszary o wsplnym bokui tymsamymkolorze, tomuszaonaleepoprzeciwnychstronachdodanej prostej,awsplnybokmusi leenatej prostej. Obszarytakiejednakmajprzeciwnekolory(gdyzmienilimy je po jednejstronie prostej).P r z y k a d 3.2. Pokaza, e n prostych przecina si na paszczynie w co najwyejn(n1)2punktach.1. Podstawaindukcji.Dwie proste przecinajsi w co najwyej 1 punkcie (1 =2(21)2).2. Krok indukcyjny. Zamy teraz, e n1 prostych przecina si w co najwyej(n1)(n2)2punktach. Rysujemy n-ta prost. Nowe przecicia mogy powsta tylko w tych punktach,w ktrychnowaprostaprzeciasi z pozostaymi. Tak wicn prostychprzecina si wco najwyej(n 1)(n 2)2+n1 =(n 1)(n 2) + 2(n 1)2=(n 1)(n 2 + 2)2=(n 1)n2punktach.Jakwidzimyzostatniegoprzykaduzapodstawindukcji moemywziliczb awiksz od 0. Wwczas dowodzone twierdzenie jest prawdziwe z zbiorze N 0, 1, . . . , a1 = a, a + 1, a + 2, . . ..Twierdzenie3.2. Jeeli jest wasnoci okrelon w zbiorzeN, tak e1. (0) (0 na wasno),2. dlakadej liczbynaturalnej nzprawdziwoci (k)dlawszystkichk nwynika(n + 1),to kada liczba naturalna ma wasno.P r zy k ad 3.3. Dany jestcig (an)taki, ea0 = 2,a1 = 3,an+1 = 3an2an1orazbn = 2n+ 1. Pokaza, e dla kadegon naturalnego zachodzian = bn.28 Zasadaindukcjizupenej1. Podstawaindukcji.atwo sprawdzi, ea0 = b0ia1 = b1.2. Krokindukcyjny.Zamy,e odpowiednie wyrazy cigw (an) i (bn) o indeksach nie-wikszychodnsrwne, tzn. ai=bidlai n. Pokaemy, ewynikaztego, ean+1 = bn+1. Istotnie,an+1def.=3an2an1ind.=3bn2bn1def.=3(2n+ 1) 2(2n1+ 1) ==32n+ 3 2n2 = 22n+ 1 = 2n+1+ 1 == bn+1.Namocy zasady indukcjimatematycznej stwierdzamy rwnocigw (an) i (bn).Zauwamy,edladowoduniewystarczatwierdzenie3.2.Wkrokuindukcyjnymodwou-jemy si bowiem do wszystkich wyrazw cigw o indeksach mniejszych od n +1, a nie tylkodo wyrazu o indeksien.Pr zy kad 3.4. Wykaza, eformua(. . . ((p1 p2) p3) . . . pn1) pnjestfaszywadla dokadnie2n(1)n3wartociowazmiennychp1, p2, . . . pn.Dla n = 1 rozwaana formua ma posta p1 i jest faszywa dla 1 =21(1)13wartociowazmiennych(mianowiciedlatakiegowartociowania,ktreprzypisuje zmiennejp1warto0).Zamyzatem, e formua(. . . ((p1 p2) p3) . . . pn2) pn1jest faszywadladokadnie2n1(1)n13wartociowazmiennychp1, p2, . . . pn1. Zauwamy, e implikacja[(. . . ((p1 p2) p3) . . . pn1)] pnjestfaszywawtedyi tylkowtedy, gdyjej poprzednikjestprawdziwy, anastpnikfaszywy.Poprzednikjestprawdziwydlatychwartociowazmiennychp1, p2, . . . pn1,dlaktrychniejest faszywy, nastpnik za jest faszywy, gdypnjest wartociowane na 0, a wic dla jednegowartociowania.Rozwaana formuajest wic faszywa dla1 _2n1 2n1(1)n13_=32n12n1(1)(1)n13=2n(1)n3wartociowazmiennychp1, p2, . . . pn, co naleao pokaza.Z zasad indukcji rwnowana jest nastpujcaTwierdzenie3.3(Zasadaminimum). Wkadymniepustymzbiorzeliczbnatural-nych istnieje element najmniejszy.Rozdzia 4TeoriazbiorwOj,czemutozbirwszystkichzbiorwnieistnieje.Ojbybytohaasspory,gdybyzebrawszystkiezbiory.JanAlboszta4.1 Opotrzebieaksjomatyzacji teorii mnogociTeoriamnogocizajmujesioglnymiwasnociamizbiorw,bez wnikania wistotele-mentw, z ktrych si one skadaj. W pocztkowym okresie swojego rozwoju teoria mno-goci posugiwaasibliej niesprecyzowanym, intuicyjnympojciemzbioru. Wkrtcejednakokazaosi, ebraknaleytychpodstawteorii mnogoci prowadzi dopowstaniatzw.antynomii , tj. sprzecznoci, ktrych na gruncie przyjtej wczenie teorii nie potra-ono wytumczy.Wszczeglnoci uwaano, edlakadej wasnoci istniejezbir, skadajcysiztych i tylko tych obiektw, ktre t wasno maj.Rozwamyzbir, ktrego elementami s wszystkie zbiory nie bdce swoimi elemen-tami:Z = A: A/ A.Z okrelenia zbioruZwynika, eZ Z Z/ Z.Okrelenie zbioruZprowadzi do sprzecznoci. Jej usunicie moliwe byo dopiero nagruncie aksjomatycznejteorii mnogoci.4.2 Aksjomatyteorii mnogociZa pojcia pierwotne przyjmujemy pojcie zbioru oraz przynalenoci elementu do zbioru.Aksjomatrwnoci zbiorw. Jeeli zbiory A i Bmaj te same elementy, to zbiory Ai B s rwne.A = B x.x A x BAksjomatsumy. DladowolnychzbiorwAi Bistniejezbir, ktregoelementami swszystkieelementyzbioruAi wszystkieelementyzbioruB, i ktryniezawierainnych elementw.x.x A B x A x B30 TeoriazbiorwAksjomatrnicy. Dla dowolnych zbiorw A i B istnieje zbir, ktrego elementami ste elementy zbioruA, ktre nie s elementami zbioruB, i ktry nie zawiera innychelementw.x.x A B x A x/ BAksjomatistnienia. Istnieje co najmniej jeden zbir.Aksjomatwyrniania. Dla dowolnegozbioruA i formuy zdaniowej istnieje zbirelementwA, ktre speniaj t formu:x A: (x).Powyszy zbir aksjomatw nie wystarcza dla potrzeb teorii mnogoci. Nie bdziemyjednak wnika z aksjomatykteorii mnogoci, dla potrzeb rozwaaw tej pracy podanyzbir aksjomatw (uzupeniony w dalszych rodziaach o 2 nastpne) jest bowiem wystar-czajcy.4.3 Wasnoci zbiorwKorzystajc z podanych aksjomatw moemy zdeniowa pojcie zawierania zbiorw.Denicja4.1. (Zawieranie zbiorw) Dla dowolnych zbiorwA, B:A B A B = B.System aksjomatw deniuje si tak, by by on jak najmniejszy. Z zwizku z tym de-nicje opierajce si bezporednio na aksjomatach s nieczytelne i niepraktyczne. Niedo-godnoc t wyeliminujemy wyprowadzajc z aksjomatw wszystkie potrzebne zalenoci.Na pocztek zauwamy, eA B = B x. [x A B x B] x. [(x A x B) x B] x. (x A x/ B) x. [x/ A x B] x. [x A x B],skd:A B x.(x A x B). (1)NiechA BiB A. Na mocy (1) zaoenie to jest rwnowane formulex.(x A x B) x.(x B x A)] x.(x A x B)A = BTak wic dwa zbiory s rwne wtedy, gdy s nawzajem swoimi podzbiorami:A = B A B B ADenicja4.2. (Iloczynzbiorw)IloczynemzbiorwA, B bdziemynazywazbirA B = A (A B).atwo dowie, ex. [x A B x A x B]4.3Wasnocizbiorw 31Denicja4.3. (Zbir pusty)Zbiorempustym bdziemy nazywa zbirA A dla wy-branego zbioruA.Aksjomat istnienia stwierdza, e istnieje co najmniej jeden zbir. Nazwijmy go A. Wobecaksjomatu rnicy istnieje zbirA A, speniajcy warunek:x.x A A x A x/ APrawyczonpowyszej rwnowanoci jest zdaniemfaszywymdlakadegox, zatemzastpujc zapisA A symbolem otrzymujemyx.x/ JeeliA B = mwimy, e zbioryA iBs rozczne.P r z y k a d 4.1. Rozwamy nastpujce zadanie: rozwiza rwnaniex2+ 1 = 0.Corobi przecitnylicealista?Obliczawyrniktrjmianux2+ 1, stwierdza, ejest onujemny,tak wiczbir rozwiza rwnaniajestpusty,po czym formuujeodpowied:x .Czy poda poprawn odpowied? Nie! Jakkolwiekrwnanie to w istocie nie ma pierwiastkwrzeczywistych, odpowied takajest bdna, poniewa jest zdaniemfaszywym. Istotnie, wwietle tego,comy wyej zauwayli, dla kadegox zdaniex jest zdaniem faszywym.Zbiory maj wiele ciekawych wasnoci.P r z y k a d 4.2. Dla dowolnegozbioru A AIstotnie, z wasnoci(1) A x.x x A.Poprzednikimplikacji x x Ajest zawszefaszywy, takwicimplikacjatajestprawdziwa dla dowolnegox, wobecczego zachodzi teza.P r z y k a d 4.3. Wykaemy, eA (B C) = (A B) (A C).Na mocy aksjomatu rwnocizbiorw wystarczy pokaza, ex. [x A (B C) x (A B) (A C)]Z denicji rnicy i wanociiloczynu zbiorw:x A (B C) x A (x (B C)) x A (x B x C)Z prawade Morgana (a b) a b:x A (x B x C) x A (x/ B x/ C),nastpnie z rozdzielnoci alternatywy wzgldem koniunkcji:x A (x/ B x/ C) (x A x/ B) (x A x/ C),32 Teoriazbiorwz denicjirnicy(x A x/ B) (x A x/ C) (x A B) (x A C)i sumy zbiorw(x A B) (x A C) x (A B) (A C)Przechodzc od x A(BC) przez cig rwnowanoci doszlimy do x (AB)(AC),nie zakadajc niczego o x. Pokazalimy zatem, e dla dowolnego x formuy te s rwnowane,co koczydowd.4.4 DopenieniezbioruOgraniczymy si do rozwaania takich zbiorw, ktre s podzbiorami pewnego ustalonegozbioru, zwanegoprzestrzeni.AksjomatwyrnianiaDladowolnegozbioruAi kadej funkcji zdaniowej , ktrejzakresemzmiennoci jest A, istniejezbir tychi tylkotychelementwA, ktrespeniaj t funkcj zdaniow:x A: (x)Denicja4.4. Dopenieniemzbioru A w przestrzeni X (A X) nazywamy zbirX Ai oznaczamy symbolemA

. A A X Pr zyk ad 4.4. Rozwamyprzestrzeliczbrzeczywistych. DopenieniemzbioruQliczb wymiernychjest zbir liczb niewymiernychIQ = R Q. Dopenieniemzbioru 1, 2wprzestrzeni 1, 2, 3, 4, 5jest zbir 3, 4, 5 = 1, 2, 3, 4, 5 1, 2.4.5 OperacjenieskoczonenazbiorachDenicja4.5. NiechX ,= bdzie dowoln przestrzeni, R rodzin wszystkich pod-zbiorw przestrzeniX(rodzina zbiorw to nic innego jak zbir zbiorw; okrelenie takiewprowadza si z powodw jzykowych), a S ,= dowolnym zbiorem. Funkcj f: S Rbdziemy nazywaindeksowanrodzinzbiorw.Zbir S moe by nieskoczony. Niech As = f(s) dla s S. Funkcj fbdziemy oznaczasymbolem (As)sS.Pr zyk ad 4.5. Wemyzbir S= 2, 3, 5, 7. Niech Rbdzierodzinwszystkichpodzbiorw zbioruN liczb naturalnych orazf: S R niech bdzie dana wzoremf(s) = As = n N: s[n.4.5Operacjenieskoczonenazbiorach 33Wwczas (As)sSjest (skoczon)rodzin indeksowannastpujcych zbiorw:A2= 2, 4, 6, 8, . . .A3= 3, 6, 9, 12, . . .A5= 5, 10, 15, 20, . . .A7= 7, 14, 21, 28, . . .P r z y k a d 4.6. WemyS = N. NiechR bdzie rodzin wszystkich podzbiorw zbioruR liczb rzeczywistych orazf: S R niech bdzie dana wzoremf(s) = As = x R: x2< s.Wwczas(As)sSjest(nieskoczon)rodzinindeksowanpodzbiorwzbioruliczbrze-czywistych:A1= x R: x2< 1 = (1, 1)A2= x R: x2< 2 = (2,2)...Denicja4.6. Niech(As)sSbdziedowolnindeksowanrodzinpodzbiorwprze-strzeni X.Sum zbiorwAs, s S,nazywamyzbir sS As,do ktregonaleykadyelement przestrzeniXnalecy do przynajmniej jednego ze zbiorwAs,s S.Symbolicznie:x _sSAs s.x AsW przypadkuS = N,zamiast _nNAnpiszemy_n=0As.Jeeli S =1, 2, . . . , n, torodzina(As)sSjest rwna A1, A2, . . . , An, asuma

sS As jest rwna sumie A1A2An, gdzie jest zwykym symbolem dodawaniazbiorw. Tak wic pojcie sumy indeksowanej rodziny zbiorw jest rozszerzeniem pojciazwykej sumy zbiorw na przypadek, gdy dodajemy nieskoczenie wiele zbiorw.Przykad 4.7. Niech(As)sSbdzieindeksowanrodzinzbiorwzprzykadu(4.5).Wwczas_sSAs = A1 A2 A3 A4 = n N: n dzieli si przez 2, 3, 5 lub 7Dla rodziny zdeniowanej w przykadzie (4.6)mamy_sSAs = R34 TeoriazbiorwDenicja4.7. Niech(As)sSbdziedowolnindeksowanrodzinpodzbiorwprze-strzeni X. IloczynemzbiorwAs, s S, nazywamyzbir sS As, doktregonaleykady element przestrzeniXnalecy do kadego ze zbiorwAs,s S.Symbolicznie:x

sSAs s.x AsW przypadkuS = N,zamiast

nNAnpiszemy

n=0As.Jeeli S =1, 2, . . . , n, torodzina(As)sSjest rwna A1, A2, . . . , An, iloczyn

sS Asjestrwnyiloczynowi A1 A2 An, gdzie jestzwykymsymbolemiloczynuzbiorw.Takwicpojcieiloczynuindeksowanegorodzinyzbiorwjest rozsze-rzeniem pojcia zwykego iloczynu zbiorw na przypadek, gdy mnoymy nieskoczeniewiele zbiorw.Przykad 4.8. Niech(As)sSbdzieindeksowanrodzinzbiorwzprzykadu(4.5).Wwczas

sSAs = A1 A2 A3 A4 = n N: n dzieli si przez 2, 3, 5 i 7Dla rodziny zdeniowanejw przykadzie (4.6)mamy

sSAs = (1, 1)P r z y k a d4.9. Wykaza, e jeli A0 A1 . . . An . . . i B0 B1 . . . Bn . . .,czyli (An)nNi (Bn)nNs zstpujcymi cigami zbiorw,to

n=0(An Bn) =

n=0An

n=0BnNiechLoznaczalew,aPprawstron powyszejrwnoci.Pokaemy, eL PiP L (a wicL=P).1.P L x.x P x L.x P x

n=0An

n=0Bn x

n=0An x

n=0Bn (n N.x An) (n N.x Bn) (n N.x An x Bn) n N.x (An Bn) x

n=0An Bn x L2.L P x.x L x P.x L x

n=0(An Bn) n N.x An Bn n N. (x An x Bn) (2)4.5Operacjenieskoczonenazbiorach 35Rozpatrzmy teraz 2 przypadki:a) n N. x An; wwczasx

n=0An, na mocy A ABmamy x

n=0An

n=0Bn, skdx P,b) n0 N.x/ An0; poniewa (An)nNjest zstpujc rodzin zbiorw mamyn > n0.x/ An(gdyby istniaon1> n0 takie, ex/ An0ix An1, toAn0 An1i rodzina (An)nN niebyaby zstpujca); wobec (2) musi byn > n0.x Bn;poniewaBn0 Bn01 . . . B1, zachodzin N.x Bn x

n=0Bn x

n=0Bn

n=0An x PStwierdzenietokoczydowd. Zauwamy, ewpunkcie1. niekorzystalimyzfaktu,edaneszstpujcecigi zbiorw. Takwicdladowolnychrodzinzbiorw(An)nNi(Bn)nNzachodzi:

n=0An

n=0Bn

n=0(An Bn)P r z y k a d 4.10. Niech An: n N) bdzie cigiem skoczonych podzbiorw zbioruXtakim, eAn1 Ank ,= dla dowolnychn1, . . . , nk N. Pokaza,e

i=0Ai ,= .D o w d (nie wprost): Moemy przyj, ze zbiory Ai (i N) s niepuste (w przeciwnymwypadku i=0Ai = ). Zamy nie wprost, e

i=0Ai = .Wwczasx X.x/

i=0Ai x X. i N.x/ Aicooznacza, edlakadegoelementuxprzestrzeni Xistniejeconajmniej jedenzbir Ai(i N), do ktregoelement ten nie naley. Bdziemy oznacza goAx.Wemy dowolny spord zbiorwAi, np.Aj(j N). Zbir ten jest skoczony,zatemAj= xj1, xj2, . . . , xjnZgodnie z tym, co zauwaylimy wczeniej, istnieje zbirAxj1taki, exj1/ Axj1,Axj2taki,exj2/ Axj2itd. Rozwamy teraz nastpujcy przekrj:A = Aj Axj1 Axj2 AxjnJeli xnaleydozbioruA, tonaleydokadegozezbiorwAj, Axj1, Axj2, . . . , Axjn, wszczeglnociza doAj:x A x Aj (x = xj1 x = xj2 . . . x = xjn)Alexji/ Axji(dlai = 1, 2, . . . , n).Oznaczato,enieistniejeelementprzestrzeni Xnale-cy do kadego spord krojonych zbiorw, tak wic przekrjA jest zbiorem pustym, co jestsprzeczne z niepustoci An1 Ankdla dowolnychn1, . . . , nk N. Otrzymana sprzecz-nowynikazzaoenia i=0Ai= . Musimyjezatemodrzucijakofaszywe, dowodzctym samym tezy.36 Teoriazbiorw4.6 ZbirpotgowyAksjomatzbiorupotgowegoDla kadego zbioruXistnieje rodzina zbiorw, ktrejelementami swszystkiepodzbioryzbioruXi tylkoone. NazywamyjzbiorempotgowymzbioruXi oznaczamyprzez T(X) (rzadziej 2X).T(X) = A: A X4.7 Wzrwczei wyczeA B\ ABABB = (B A) (B A). Zbiory (B A) i (A B) s rozczne. Zatem[B[ = [B A[ +[A B[ (3)[A B[ = [A (B A)[= [A[ +[B A[ (zbioryA i (B A) s rozczne) (4)= [A[ +[B[ [A B[ (zrwnoci(3))[A B C[ = [A (B C)[= [A[ +[B C[ [A (B C)[ z (4)= [A[ +[B[ +[C[ [B C[ [(A B) (A C)[ z (4)= [A[ +[B[ +[C[ [B C[ ([A B[ +[A C[ [A B C[) z (4)= [A[ +[B[ +[C[ [A B[ [B C[ [A C[ +[A B C[)Powysze rwnoci pozwalaj oblicza moc przecicia dwch lub trzech zbiorw. Roz-szerzymy je teraz na przypadekn zbiorw.Niechn oznacza zbir 1, 2, . . . , n. Wemy dowolny podzbir zbioru 2n+1wszystkichpodzbiorw zbiorun + 1. Moliwe s 2 przypadki: podzbir ten albo zawieran +1, albonie. Niech zatem P1 oznacza rodzin wszystkich podzbiorw 2n+1niezawierajcychn+1,aP2 rodzin wszystkich podzbiorw 2n+1zawierajcychn + 1. Mamy:2n+1= P1 P2,gdzieP1 P2 = .Zauwamy, e kady zbirA P2jest postaciA1 n + 1, gdzieA1 P1.Dowiedziemyteraz nastpujcejzasadywcze-wycze:[n_i=1Ai[ =n

j=1

I={1,2,...,n}|I|=j(1)j+1[

iIAi[Dla studenta pierwszego roku zapis ten zwykle jest szokujcy. Sprbujmy nieco go roz-jani. Rozpatrzmy w tym celu cz wspln pewnej liczby zbiorw spord A1, A2, . . . , An.Niech to bdzie np. A1A2A5. Zamy, e chcielibymy zapisa ten przekrj w prost-szej postaci, bez uycia symbolu iloczynu zbiorw. Mona to zrobi np. wypisujc indeksy4.7Wzrwczeiwycze 37zbiorw stanowicych czynniki iloczynu; w naszym przykadzie otrzymamy 1, 2, 5. Za-uwamy, e kademu iloczynowi odpowiada dokadnie jeden taki zbir oraz kademu zbio-rowi odpowiada dokadnie jedeniloczyn(zdokadnoci do kolejnociczynnikw).Jelirozpatrzymy wic wszystkie podzbioru zbioru 1, 2, . . . , n i odpowiadajce im przekroje,mamy pewno, e nie opucilimy adnego przekroju. I to wanie oznacza powyszy za-pis: bierzemy po kolei podzbiory zbioru n majce 1 element, 2 elementy itd. i rozwaamyodpowiadajce im przekroje majce 1 czynnik, 2 czynniki itd. Podzbioru majcego 0 ele-mentw, a wic zbioru pustego, nie rozwaamy, bo jego wkad do sumy wynosi 0. Zasadawczeiwyczemwiwic, eabyobliczymocprzekrojunzbiorw, naleydodamoce wszystkich moliwychprzekrojw tychzbiorw, przy czym jeeli liczba czynnikwprzekrojujestparzystanaleywzijegomoczeznakiemujemnym(cojeszczeinaczejmona wysowi mwic, e naley doda do siebie moce przekrojw o nieparzystej liczbieczynnikw, a od otrzymanej sumy odj moce przekrojw o parzystej liczbie czynnikw).Niech(n) oznacza,edowodzonazasadawcze-wyczejestprawdziwa dla do-wolnychnzbiorw. Pokaemyterazindukcyjnie, e(n) jest prawdziwedlakadegon N.1. (1)

nj=1

I={1,2,...,n}|I|=j(1)j+1[

iI Ai[ = (1)2 [A1[ = [A1[ = [

1i=1Ai[2. (n) (n + 1)[n+1_i=1Ai[ = [_n_i=1Ai_ An+1[ = [n_i=1Ai[ +[An+1[ [_n_i=1Ai_ An+1[ == [n_i=1Ai[ +[An+1[ [n_i=1(Ai An+1)[Korzystajc z zaoenia indukcyjnego i faktu [[ = 0:[n+1_i=1Ai[= [[ +n

j=1

I={1,2,...,n}|I|=j(1)j+1[

iIAi[+. .P1+[An+1[ +n

j=1

I={1,2,...,n}|I|=j(1)j[

iIAi An+1[. .P2==n+1

j=1

I={1,2,...,n+1}|I|=j(1)j+1[

iIAi[Zauwamy, edwapierwszewyrazypowyszej sumypochodzzsumowaniamo-cywszystkichprzekrojwniezawierajcychAn+1, natomiastpozostaedwazsumowaniamocyprzekrojwzawierajcychAn+1.OdpowiadatozbioromP1i P2opisanymwyej i dowodzi, esumujemymocewszystkichmoliwychprzekrojwzbiorwA1, A2, . . . , An, An+1(zwaciwymznakiem). Stwierdzenietokoczydo-wd.38 TeoriazbiorwRozdzia 5Relacje5.1 ParauporzdkowanaDenicja5.1. Majc dane a ib moemy utworzy par a, b), o poprzednikua inastp-nikub. Dwie pary s rwne, wtedy, gdy maja rwne poprzedniki i rwne nastpniki:a, b) = c, d) (a = c) (b = d) (1)Paratymrni siodzbioru2-elementowego, ejestuporzdkowana, tj. wiadomo, ja-kajestkolejnojej skadnikw, czegoniemonapowiedzieozbiorze. Monajednakzdeniowa par w jzyku teorii zbiorw, przyjmujca, b) = a, a, b.Para taka spenia warunek (1), ponadto nie wymaga wprowadzania nowego pojcia.5.2 IloczynkartezjaskiDenicja5.2. IloczynemkartezjaskimzbiorwXiYnazywamy zbirX Ywszyst-kich par uporzdkowanych x, y), takich ex Xiy Y :X Y= x, y): x X y Y P r z y k a d 5.1. NiechX = 1, 2iY= a, b, c.X Y= 1, a), 1, b), 1, c), 2, a), 2, b), 2, c)Zbir liczb wymiernychQ jest podzbiorem produktuZN (nie jest mu rwny, gdy11=22,a 1, 1) , = 2, 2)).Zbir liczb zespolonychC jest produktemRR.5.3 ProduktuoglnionyProdukt kartezjaski dwch zbiorw w sposb naturalny rozszerza si na produkt dowol-nej rodziny zbiorw (As)sS. Dla naszych potrzeb wystarcza ograniczy si do przypadku,gdyS = 1, 2, . . . , n.Pojcieparyuoglnimynacigidowolnej,skoczonejdugoci.Zaoymy,entkauporzdkowana a1, a2, . . . , an) jest pojcie pierwotnym oraz przyjmiemy:a1, a2, . . . , an) = b1, b2, . . . , bn) a1 = b1 a2 = b2 . . . an = bn.40 Relacjeatwo ju teraz poda denicj pojciaproduktunzbiorw:X1X2. . . Xn = x1, x2, . . . , xn): x1 X1, x2 X2, . . . , xn Xn.Zauwamy jeszcze, en-tk uporzdkowan mona zdeniowa za pomoc pojcia pary:krotkadwuelementowajest par, natomiastkrotkan+1-elementowajest par zoonzpierwszego elementu i krotkin-elementowej:x1, x2)= x1, x2)x1, x2, . . . xn+1). .n+1tka= x1, x2, . . . xn+1). .ntka)P r z y k a d 5.2. Przestrze euklidesowajest produktemR3.5.4 RelacjeDenicja5.3. Dowolnypodzbir R X1X2. . .XniloczynukartezjaskiegozbiorwX1, X2,. . ., Xnnazywamyrelacjn-argumentow.Dowolnypodzbir iloczynukartezjaskiego dwch zbiorw nazywamyrelacjbinarn.Jeli a, b) R, tomwimy, eelementyai bszesobawrelacji R. Zamiastpisaa, b) R, piszemy te niekiedyaRb. Podzbiory A2s binarnymi relacjami na zbiorzeA.Pr zy k ad 5.3. Jednzpodstawowychwasnociliczb naturalnych jestwasnobycialiczbapierwsz. Jeeli pi p + 2sliczbami pierwszymi, toliczbypi p + 2sbliniacze.Takwicbliniaczesliczby3i 5, 5i 7, 11i 13itd. Wasnobycialiczbami bliniaczymiprzysugujezatem nastpujcym parom3, 5), 5, 7), 11, 13), . . .Oglniewasnobycialiczbami bliniaczymi przysugujekadej parzeliczbnaturalnychp, p+2), takiej e p i p+2 s liczbami pierwszymi. Relacja ta jest zatem wasnoci elementwproduktu kartezjaskiegoNN.Denicja5.4. Zbir poprzednikwpar uporzdkowanych x, y) nalecychdorelacjibinarnej R nazywamy dziedzin tej relacji i oznaczamy symbolem Dom(R). Symbolicznie,dlax X,R (X Y ):x Dom(R) y Y.xRy,Przeciwdziedzinrelacji R X Ynazywamy zbir nastpnikw par uporzdkowanychtworzcychtrelacji oznaczamysymbolemDom(R). Symbolicznie, dlax X, R (X Y ):y Dom(R) x X.xRy.Pr zyk ad 5.4. NiechA= 2, 3, 5, B= 4, 6, 7i dlarelacji R ABniechspeniony bdzie waruneka, b) R a[b ia A, b B.WwczasDom(R) = 2, 3Dom(R) = 4, 65.5Zoenierelacji.Relacjaodwrotna 415.5 Zoenierelacji. RelacjaodwrotnaDenicja5.5. Dane s relacjeP ABiQ B C. RelacjaPQ = a, c) : b. B(aRb bRc) ACgdziea A, c C, nazywa sizoeniemrelacji P i Q.P r z y k a d5.5. Niech A = 1, 2, 3, B = 2, 6, C = 2, 3, 4, P AB = a, b): b =2a, Q BC= b, c): c[b. WwczasPQ = 1, 2), 3, 2), 3, 3). Przykadowo, para1, 2) naley do PQ, poniewa dla b = 2 Bmamy 1, b) = 1, 2) Pi b, 2) = 2, 2) Q.Denicja5.6. RelacjaP1= b, a):a, b) P B AgdzieP A B,a A, b B, nazywa sirelacjodwrotndoP.P r z y k a d 5.6. Rozwamy relacje z przykadu (5.5):P= 1, 2), 1, 3) skd P1= 2, 1), 3, 1),Q = 2, 2), 2, 6), 3, 6) skd Q1= 2, 2), 6, 2), 6, 3).Twierdzenie5.7. Dla dowolnych relacjiT AB, S B CiR C D zachodzi:T(SR) =(TS)R (2)(SR)1=R1S1(3)Udowodnimy rwno (3). Niecha A,c C.c, a) S1R1 b B. c, b) S1 b, a) R1 b B. b, c) S a, b) R b B. a, b) R b, c) S a, c) RS c, a) (RS)1Na mocy zasady ekstensjonalnoci stwierdzamy (SR)1= R1S1.5.6 RodzajerelacjiDenicja5.8. Relacj binarnR X Xnazywamyzwrotn, jelix X.xRx.P r z y k a d 5.7. Relacja identycznoci = na dowolnym, niepustym zbiorzeXjest relacjzwrotn, kady bowiemelementx jest tosamy sam ze sob:x X.x = x.Relacjapodzielnoci [ wzbiorzeliczbnaturalnychjest relacjzwrotn, bowiemkadaliczba naturalna dzieli sama siebie:n N.n[n.42 RelacjeDenicja5.9. Relacj binarnR X Xnazywamyprzeciwzwrotn,jelix X. (xRx).P r z y k a d 5.8. Relacja mniejszoci< w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacj przeciw-zwrotn, bowiemadna liczba nie jest mniejsza od samej siebie:n N. (n < n).Denicja5.10. Relacj binarnR X Xnazywamysymetryczn, jelix, y X.xRy yRx.P r z y k a d 5.9. Relacja identycznoci = na dowolnym,niepustym zbiorzeXjest relacjsymetryczn, mamy bowiemx, y X.x = y y = x.Denicja5.11. Relacj binarnR X Xnazywamyprzeciwsymetryczn,jelix, y X.xRy (yRx).Pr z yk ad 5.10. Relacjamniejszoci 0zachodzi QnQm=Qn+m.Dlam=1mamy QnQm=QnQdef.= Qn+1=Qn+m. Zamyteraz, e QnQm1=Qn+m1. Pokaemy, e wynika z tego QnQm= Qn+m. Istotnie, QnQmdef.=QnQm1Q. Ska-danierelacji jestdziaaniemcznym,zatemQnQm1Q = (QnQm1)Qind.=Qn+m1Qdef.=Qn+m1+1= Qn+m.Wemy teraz dowolnea, b, c A takie, ea, b) Qi b, c) Q.Z denicjiQdostajemya, b) _n=1Qni b, c) _n=1Qn,nastpnie z denicji sumy uoglnionejzbiorwi. a, b) Qii j. b, c) Qj.Zdowiedzionegowyej faktui denicji zoeniarelacji wynika, e a, c) QiQj=Qi+j

n=1Qn= Q. RelacjaQjest wic przechodnia.Rozwizanie to monazobaczy startujc od formuyi. a, b) Qii j. b, c) Qji zauwaajc e skoro b, c) Qj= Qj1Q, to istniejex1takie, eb, x1) Qj1i x1, c) Q.Nastpnie z b, x1) Qj1= Qj2Q wynika, e istniejex2takie, eb, x2) Qj2i x2, x1) Q,i tak dalej, a w kocub, xj1) Q1= Q i xj1, xj2) Q.52 RelacjePara a, b) Qii b, xj1) Q, zatem a, xj1) Qi+1. Korzystajc z faktu xj1, xj2) Qstwierdzamy a, xj2) Qi+2. Nastpnie, korzystajczprawychskadnikwdowiedzio-nychwyej koniunkcji zformu, wnioskujemy, e a, xj3) Qi+3, . . ., a, x1) Qi+j1iostatecznie, wobecfaktu x1, c) Q, stwierdzamy a, c) Qi+j.P r z y k a d 5.27. Pokaza, e Q jest przechodnim domkniciem relacji Q, tj. przekrojemwszystkich relacjiprzechodnich zawierajcychQ.atwozauway, eQ Q= n=1Qn=Q

n=2Qn. Zprzykadu5.26i faktu,eQjestrelacjprzechodni, wynika,e STS Q,gdzie T jestzbioremwszystkichrelacjiprzechodnichSzawierajcychQ.Musimyzatempokaza, e Q STS. Zauwamy, ewystarczypokaza Qn

STSdla kadegon , 1.Dlan = 1 mamyQn= Q1= Q. Z przykadu 5.26wiadomo,eQ

STS.Zamyteraz, eQn STSorazniech a, c)bdzie dowolnparzQn+1= QnQ.Wwczasistniejebtakie, e a, b) Qni b, c) Q. Zzaoeniaindukcyjnegowynika, ea, b) STSi b, c) STS. Poniewarelacja STSjestprzechodnia, to a, c)

STS, skdQn+1

STS, co naleao pokaza.Rozdzia 6TeoriamocyTylachnywrprzebra!Piasekosobno...makosobno(...)Tysiceitysice...mnogonieprzeliczona!J.Poraziska,Szewczyk Dratewka6.1 OnieskoczonociSzczegln rol w teorii mnogoci odgrywa teoria zbiorw nieskoczonych. Zwizane jesttozrozmiatymi problemami,jakiestwarzasamopojcienieskoczonoci i paradoksyznimzwizane. Pierwszeznichrozwaanojuwstaroytnej Grecji. Wizaysionezpodziaem na nieskoczenie wiele czci i sumowanie nieskoczenie wielu elementw.Rozwamy dla przykadu tzw. paradoksleccejstrzay. Ot lecca strzaa albo znaj-duje si w tym miejscu, w ktrym wanie jest, albo w innym. Jeeli przyjmiemy pierwszmoliwo,musimystwierdzi,e leccastrzaaspoczywa (skorobowiem jestw jednymmiejscu, to z ca pewnoci nie porusza si). Druga moliwo jest absurdalna. Tak wa-nie rozumuje Zenon z Elei dowodzc nieistnienia ruchu. Zauwamy,e sensowno tegoparadoksu opiera si na koncepcji przestrzeni podzielnej w nieskoczono (a wic sumynieskoczonej liczby punktw).Zauwaonotake, ezbiorynieskoczonemajpewnparadoksalnwasno: otpodzbirwaciwy(awicrnyoddanego)zbiorunieskoczonegomoemietylesa-mo elementwco sam zbir. Diadochus (410-485r.) pisa: rednica dzieli koo na dwierwne czci. Jeeli jednak za pomoc jednej rednicy powstaja dwa pkola i jeeli prze-prowadziprzezrodeknieskoczeniewielerednic, tookaesi, epkoli bdziedwarazy wicej ni nieskoczenie wiele.Podobniemonapokaza, eliczbparzystychjesttylesamocoparzystychi niepa-rzystych razem wzitych. Powysze przykady wiadcz o tym, e musimy cile okreli,co waciwie rozumiemy przez powiedzenie, e dwa zbiory maj tyle samo elementw. Wprzypadku zbiorw skoczonychmona zwyczajnie zliczy ich elementy (pomijajc fakt,e moe trwa to bardzo dugo). W przypadku zbiorw nieskoczonych jest to oczywicieniemoliwe nawet w zasadzie. Dlatego wprowadza si pojcie tzw. rwnolicznoci.6.2 Rwnolicznozbiorw. LiczbykardynalneDenicja6.1. Mwimy, ezbioryXi Y srwnoliczne, jeeli istniejefunkcjarno-wartociowaz XnaY. Piszemy wwczasX Y .Pamitamy, e funkcj rnowartociow i na nazywamy odwzorowaniem wzajemniejednoznacznym. Dwa zbiory s zatem rwnoliczne, jeli istnieje odwzorowanie wzajemniejednoznaczne midzy elementami tego zbioru.54 TeoriamocyP r z y k a d 6.1. Funkcjaf(n) = 2n,n N ustala rwnoliczno zbioru liczb parzystychi zbioru liczb naturalnych.Twierdzenie6.2. Dla dowolnych zbiorw X, Y, Z, zachodzi;X X,X Y Y X,(X Y ) (Y Z) X Z.Dowd: Rwnoliczno zbioruXze samym sob ustala funkcja identycznociowaIX.ZamyterazX Y . Wwczaszdenicji istniejefunkcjaf: X Y rnowarto-ciowai na. Z twierdze5.21 i 5.22 wynika istnienie funkcjif1rnowartociowejzezbioruYnaX. Ustala ona rwnoliczno zbiorwYiX.NiechwkocuX Y i YZ. Zdenicjisymbolu istniejfunkcjef: X Y ig: Y Zrnowartociowei na. Z twierdzenia 5.25 wynika, e funkcjag f: X Zjest rnowartociowai na, ustala zatem rwnoliczno zbiorwXiZ.Wskazane wyej wasnoci odpowiadaj zwrotnoci, symetrycznoci i przechodnioci.Jakkolwiekrwnoliczno niejest relacjrwnowanoci wsensieprzyjtej przeznasdenicji (niejest bowiemokrelonawadnymzbiorze), pozwaladokona klasykacjizbiorw ze wzgldu na ich liczno.W tym celu rozszerzymy nasz ukad aksjomatw teorii mnogoci i przypiszemy kade-mu zbiorowi pewien obiekt, zwany liczb kardynaln lub moc zbioru, speniajcy poniszzaleno:Denicja6.3. Dwa zbioryX,Ys rwnej mocy, jeeliXjest rwnoliczny zY .Moc zbioruXoznaczamy [X[. Symbolicznie:[X[ = [Y [ X YP r zy k a d 6.2. Wykaza,eR R N.W tymcelu wystarczy skonstruowabijekcjzR naR N. Niechf(x) =___1/(2x + 1)x N1/2x dla x postaci 1/n,n Nx w p.p.Funkcja ta jest rnowartociowa. Dla argumentw naturalnych x wartoc funkcji jest licz-ba postaci 1/(2x + 1), a wicuameko liczniku 1 i mianowniku nieparzystym. Dla uamkwolicznikurwnym1uamekotakimsamymliczniku imianownikuparzystym.Dla pozo-staych wartoci x warto funkcji nie jest uamkiem o liczniku rwnym 1. Ponadto wyraenieokrelajcewartofunkcjiw kadym przypadku jest zoeniem funkcjirnowartociowych.Funkcjatajestrwnietypuna.Niechy R N.Dlaypostaci 1/2n,n Nmamyf1(y) = 1/n,dlaypostaci 1/(2n + 1), n Nmamyf1(y) =n,dlapozostaychyjestf1(y) = y. Tak wic funkcjafustala rwnoliczno zbiorwR iR N.Sposb konstrukcji funkcji fmona obrazowo opisa mwic, e robimy miejsce dla argu-mentw naturalnych rozsuwajc uamki o liczniku 1 i odwzorowujc liczby naturalne pomidzynie.P r z y k a d 6.3. Wykaemy w elementarnysposb, e0, 1N NN.6.3Funkcjacharakterystyczna 55Zapis 0, 1Noznaczazbirfunkcji przeksztacajcychzbirliczbnaturalnych wzbirdwu-elementowy 0, 1, a wic w istocie zbir wszystkich cigw zerojedynkowych. Podobnie zapisNNoznacza zbir wszystkich cigw o wartociach naturalnych.Zdeniujemy teraz funkcj f: NN0, 1N, rnowartociow i na. Niech a1, a2, . . .)bdzie dowolnym cigiem o wyrazach naturalnych. Obrazem takiego cigu w przeksztaceniufbdzie cig:(a1) (a2) . . . (an) . . .)gdzie:symboloznaczakonkatenacj (czyli sklejenie) cigw(np. 0, 1, 0, 1) 1, 1) =0, 1, 0, 1, 1, 1)), (n), n N oznacza cig zerojedynkowy utworzony z zapisu liczby n w systemie binar-nym w ten sposb, e przed kadym elementem tego cigu poza ostatnim umieszczamy0,przednim za umieszczamy 1 (np.(5) = (1012) = 0, 1, 0, 0, 1, 1)); atwozauwa-y, e przeksztaceniejest rnowartociowe.Wykaemy teraz, e przeksztacenie f jest rnowartociowe. Niech a1, a2, . . .) i b1, b2, . . .)bddwomacigami owartociachnaturalnych. Jeeli cigi tesrne, toistniejeindeksitaki,eai ,=bi.Jeeli f(a1, . . . , ai1)) ,=f(b1, . . . , bi1)),tocigi f(a1, . . . , ai, . . .))if(b1, . . . , bi, . . .)) s rne. Zamy wiec,ef(a1, . . . , ai1)) = f(b1, . . . , bi1)).Z denicjifwynika, e:f(a1, . . . , ai1, ai)) = f(a1, . . . , ai1)) (ai).Natomiastf(b1, . . . , bi1, bi)) = f(b1, . . . , bi1)) (bi) = f(a1, . . . , ai1)) (bi).Poniewaprzeksztaceniejest rwnowartocioweiai ,= bi, to(ai) ,= (bi), skdf(a1, . . . , ai1, ai)) ,= f(b1, . . . , bi1, bi)),a wic cigif(a1, . . . , ai, . . .)) if(b1, . . . , bi, . . .)) s rne.Podobnie atwo wykaza, e funkcja fjest na. Z kadego cigu zerojedynkowego moe-my utworzy cig o wyrazach naturalnych taki, e jego obrazem w przeksztaceniu fbdzie wcig zerojedynkowy.Kolejne wyrazy cigu o wyrazach naturalnych znajduj si na parzystychpozycjach pomidzy miejscamisklejania(konkatenacji),ktrewyznaczaj jedynkistojcenanieparzystych pozycjach. Szczegoweuzasadnienie pozostawiamy Czytelnikowi.6.3 FunkcjacharakterystycznaDenicja6.4. Funkcj charakterystyczn zbioru X nazywamy nastpujc funkcj f: X 0, 1:f(x) =_1, x X0, x/ XJak pamitamy, zbir wszystkich podzbiorw danego zbioru X (zbir potgowy zbioruX) oznaczamysymbolem T(X).Twierdzenie6.5. Dla kadego zbioruXzachodzi0, 1X T(X).56 TeoriamocyInnymi sowy: podzbiorw danego zbioru jest tyle samo, ile funkcji charakterystycznychtego zbioru. Kademu podzbiorowiA Xodpowiada dokadnie jedna funkcja charakte-rystycznafA, taka efA(x) =_1, x A0, x/ A,przy czym dwm rnych podzbiorom odpowiadaj dwie rne funkcje charakterystyczne.Przeksztacenie podzbioru na funkcj charakterystyczn jest wic rnowartociowe.Ponadto dla kadej funkcji charakterystycznej istnieje podzbir A X, zoony z tychelementw x X, dla ktrych warto tej funkcji jest rwna 1. Przeksztacenie podzbioruna funkcj charakterystyczn jest wic na. Dowodzi to tezy.6.4 TwierdzenieCantoraBernsteinaDenicja6.6. Mwimy, ezbirXjestmocyniewikszej niY i piszemy [X[ [Y [,jeeli istnieje funkcja rnowartociowaze zbioruXw zbirY .P r zy k ad 6.4. Zbir 1, 2jestmocy niewikszejni zbir 1, 2, 3, 4, 5, gdyfunkcjaf: 1, 2 1, 2, 3, 4, 5taka, ef(1) = 1,f(2) = 4, jest rnowartociowa.Chocia pojcie niewikszoci mocy nie jest relacj (relacja musi by bowiem okre-lonanazbiorze, azbirwszystkichzbiorwnieistnieje), tojednakzachowujesitak,jak gdyby bya relacj zwrotn, antysymetryczn i przechodni:Twierdzenie6.7(Cantor-Bernstein). Dla kadych trzech zbiorw X, Y , Z zachodzi:1.[X[ [X[2. ([X[ [Y [ [Y [ [X[) [X[ = [Y [3. ([X[ [Y [ [Y [ [Z[) [X[ [Z[.Dla dowodu 1. zauwamy,e funkcja identycznociowaIX: X Xjest rnowarto-ciowa.Z denicji pojcia niewikszoci wynika istnienie rwnowartociowych funkcji f: X Y i g: YZ. Funkcjag f: X Zjest jakozoeniefunkcji rnowartociowych rnowartociowa.Jej istnienie dowodzi 3.Dowd 2 pomijamy ze wzgldu na elementarny charakter tej pracy. Mona go znalew[5]. Tutajzauwamytylko, edwdtw. Cantora-Bernsteinajestprzykademnato,jakiego wysiku wymaga czasem udowodnienie tak oczywistego, zdawaoby si, twierdze-nia.6.5 ZbioryskoczoneSymboln = 0, 1, . . . , n 1 oznacza zbir liczb naturalnych mniejszych nin.Denicja6.8. ZbirXjestzbioremskoczonym,jeli istnieje takaliczba naturalnan,eA n. Mwimy wwczas, e zbirXman elementw.Przykad 6.5. ZbirX= 1, 3, 5, 7, 9 5.FunkcjustalajcrwnolicznoXz 5jestf(n) = (n 1)/2.Twierdzenie6.9.6.6Zbioryprzeliczalne 571. Dla kadegon N nie istnieje funkcja rnowartociowazn + 1 wn.2. Jeeli istnieje funkcja rnowartociowazm wn, tom n.3. Jeelim n, tom = n.4. Dla kadegom N,mN.6.6 ZbioryprzeliczalneDenicja6.10. Zbiorem przeliczalnym nazywamy zbir skoczony lub zbir rwnolicznyzN.MoczbioruN(awici kadegozbioruprzeliczalnegonieskoczonego) oznaczamyliter alfabetu hebrajskiego z indeksem zero 0(alefzero).Twierdzenie6.11. ZbirXjest przeliczalnywtedyi tylkowtedy, gdyistnieje funkcjafprzeksztacajca zbirN na zbir X.Dowd:() Zamy, e zbirXjest przeliczalny.1. Jeeli Xjestskoczonyi X= x0, x1, . . . , xn, tofunkcjagoargumentachnaturalnych okrelona nastpujco:f(i) =_xi, i < nxn, i , nprzeksztacaN naX.2. Jeeli Xjest nieskoczony, toskorojest przeliczalny, aniejest skoczony,zachodzi X N, a zatemz denicji rwnolicznociistnieje funkcja zezbioruN na X.() 1. JeeliXjest skoczony, to z denicji jest przeliczalny.2. NiechzatemXbdzienieskoczony.Zamy,eistniejefunkcjafzezbioruNnazbirX.Zdeniujemy rnowartociowfunkcjgzezbioruNnaX. Niechg(0) = f(0)oraz dlan > 0g(n) = f(m), gdziem = minj: f(j)/ g(0), g(1), . . . , g(n 1).NfX NgX0 x 0 x1 y 1 y2 23 p 3 p4...z 4...z58 TeoriamocyFunkcjagjestrwnowartociowai nazbirX, ustalazatemrwnolicznoXiN, co naleao pokaza.Twierdzenie6.12. Podzbir zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.Dowd: Niech X bdzie danym zbiorem przeliczalnym i niech A X. Jeeli Ajest zbioremskoczonym, tojest zdenicji zbioremprzeliczanym. NiechzatemAbdziezbioremnieskoczonym.Pokaemy,eN A okrelajcfunkcjgustalajcrwnolicznoN zA.Zbir Xjestprzeliczalny, zatemistniejefunkcjarnowartociowaf zNnaX.Niechk0 = minn N: f(n) Aoraz dlan > 0kn = minn N: f(n) A n/ k0, k1, . . . , kn1X Af(0)f(1) g(0) k0=1f(2)f(3) g(1) k1=3f(4)...g(2) k2=4elementyzbioru XSzukan funkcjgotrzymamy kadc:g(n) = f(kn)Rnowartociowoi bycie nagwynika z rnowartociowoci i bycianafunkcjiforaz faktu, e zarwno zbirX, jak iA X, s nieskoczone.Twierdzenie6.13. Suma dwch zbiorw przeliczalnychjest zbiorem przeliczalnym.6.6Zbioryprzeliczalne 59Dowd: niechzbioryX, Y bdprzeliczalne, afunkcjef: N Xi g: N Y usta-lajrwnolicznoodpowiednioXi Y zezbioremN.Niechfunkcjahbdzieokrelonanastpujco:h(k) =_f(k2), k parzyste,g(k12), k nieparzyste.Funkcja ta przeksztaca zbir liczb naturalnychNna zbirX Y . Zgodnie z tw. 6.11oznacza to, e zbiory te sa rwnoliczne, skdX Yjest zbiorem przeliczalnym.Z twierdzenia powyszego wynika, e take suma 3 zbiorw przeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym. Istotnie, poniewaX Y Z=(X Y ) Z, toX Y jestzbioremprzeliczalnymjakosumadwchzbiorwprzeliczalnych, a(X Y ) ZjestprzeliczalnejakosumadwchprzeliczalnychzbiorwX Y i Z.Zrozumowaniategowynikaprzezindukcj nastpujce twierdzenie:Twierdzenie6.14. Sumaskoczonej iloci zbiorwprzeliczalnychjestzbioremprzeli-czalnym.Przykad 6.6. Wykaemy, ezbirliczbcakowitychZjestprzeliczalny. Zauwamy,ezbir 0, 1, 2, . . .jestprzeliczalny(gdyjestrwnolicznyzN; rwnolicznoustalafunkcjaf(n) = n,n N). Zbir liczb cakowitychjest zatem przeliczalny, jakosuma tegozbioru i zbioru liczb naturalnych.Twierdzenie6.15. Produkt kartezjaski dwchzbiorwprzeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym.Dowod:JeelijedenzezbiorwXlubY jestpusty,toproduktXY jestzbiorempustym, a wic przeliczalnym. Przypumy zatem, e oba s niepuste. Z tw. 6.11 wynika,e istniej funkcje f: N X i g: N Yze zbioru N na zbiory X i Y(bez wzgldu nato, czy ktry ze zbiorwXiYjest skoczony). Rozwamyzbir par uporzdkowanychpostacif(m), g(n))gdziem, n N, zawierajcy wszystkie elementy iloczynuXiY . Zbir ten da si zapisaw postaci nastpujcej nieskoczonej tablicy:f(0), g(0)) f(0), g(1)) f(0), g(2))f(0), g(n)) f(1), g(0)) f(1), g(1)) f(1), g(2))f(1), g(n)) f(2), g(0)) f(2), g(1)) f(2), g(2))f(2), g(n)) ............f(m), g(0)) f(m), g(1)) f(m), g(2))f(m), g(n)) ...............Ustawimy teraz rozwaany zbir par w cig nieskoczony, wykorzystujc tzw. metodprzektniow. W tym celu powysz tablic dzielimy na przektne, nastpnie za kolejnymliczbom naturalnym przyporzdkowujemy elementy nastpujcych po sobie przektnych,w obrbie przektnej biorc elementy w kolejnoci wzrastania numeru wiersza.2134n... (0) (1) (3) .. (n) ... (2) (4) (7)... ... (5) (8) (12) ...... . . . . . .. . . . . . numer prz.60 TeoriamocyOtrzymamy nastpujcy cig:1. przektna_f(0), g(0))2. przektna_f(0), g(1))f(1), g(0))3. przektna___f(0), g(2))f(1), g(1))f(2), g(0))...Niech h: N XYi h(0) = f(0), g(0)), h(1) = f(0), g(1)), h(2) = f(1), g(0)), . . ..Funkcja h przeksztaca zbir liczb naturalnych N na produkt XY . Na mocy tw. 6.11stwierdzamy, e zbiorX Yjest przeliczalny.Twierdzenie6.16. Produktn zbiorw przeliczalnychjest zbiorem przeliczalnymTwierdzenie6.17. Sumauoglniona sS As, gdziezarwnozbir S, jaki kadyzezbiorwAss przeliczalne, jest zbiorem przeliczalnymDenicja6.18. CigiemelementwzbioruXnazywamyfunkcj f: N X. Czstozamiastf(0), f(1), . . . bdziemy pisaf0,f1. . .Intuicyjnieabyutworzycigelementwzbiorunaleynadakademuznich(inny)numer.Przykad 6.7. Wykaza, ezbirwszystkichprzedziawpooonychwzbiorzeliczbrzeczywistych o obu kocawymiernych jest przeliczalny.W tym celu zauwamy, e z kadym takim przedziaem mona zwiza wzajemnie jedno-znacznie par liczb wymiernych, zktrychpierwsza jest mniejsza ni druga. Zbir takich parjest podzbiorem iloczynu kartezjaskiegoQQ, ktry jest przeliczalny jako produkt 2 zbio-rw przeliczalnych. Podzbir zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. Tak wic zbirprzedziawoobukocachwymiernychnaprostej rzeczywistej jestrwnolicznyzezbioremprzeliczalnym, a wic sam jest przeliczalny.6.7 TwierdzenieCantoraTwierdzenie6.19(oprzektnej). JeelizbirXargumentwfunkcjifjest zawartywA, a wartoci funkcji s podzbiorami zbioruA, to zbirZ = x X: x/ f(x)nie jest wartoci funkcjif.Dowd: Zbir Znie jest wartoci funkcji fwtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takiargumentx X, ef(x) = Z.Z okrelenia zbioruZ:x X.x Z x/ f(x).Gdyby wic istniao takiex, ef(x) = Z, to wwczasx Z x/ Z.Otrzymana sprzeczno dowodzi tezy.6.8Zbiorynieprzeliczalne 61Twierdzenie6.20(Cantor). Zbir 2Xnie jest rwnoliczny z X ani z adnym podzbio-remX.Gdyby tak byo, wwczas istniaaby funkcja, ktrej zbir argumentw byby zawartywXiktrejzbioremwartoci byabyrodzinawszystkichpodzbiorwX,tojestjednakna mocytw.o przektnejniemoliwe.Wynika z niegobowiemistnienie pewnego zbioruZ X, ktry nie jest wartoci funkcjif.Twierdzenie6.21. Nie istnieje rodzina zbiorwA taka, ktra by dla kadego zbioruXzawieraa jako element zbirYrwnoliczny zX.Niech AoznaczasumrodzinyzbiorwA. Namocytw. 6.20zbir2

Aniejestrwnolicznyz adnympodzbioremzbioru A. Poniewa dlakadegozbioruY Azachodzi Y

A, to zbir 2

Anie moe by rwnoliczny z adnym zbiorem Yz rodzinyA. Tak wic rodzinaA nie zawiera zbioru rwnolicznego ze zbiorem 2

A.Twierdzenie to wskazuje na fakt, e liczb kardynalnych jest tak duo, e nie monautworzy zbioru, ktry zawieraby co najmniej jednego reprezentanta kadej mocy.Wynika te z niego nastpujceTwierdzenie6.22. Nie istnieje zbir wszystkich zbiorw.W przeciwnym przypadku moglibymy przyj ten zbir zaA w tw. 6.21.6.8 ZbiorynieprzeliczalneDenicja6.23. Zbir, ktry nie jest przeliczalny, nazywamy zbioremnieprzeliczalnym.Twierdzenie6.24. Przedzia (0, 1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.Dowd mona znale w [5].Z tw. 6.20 wynika, e [N[ < [T(N)[. Na oznaczenie mocy zbioru T(N) wprowadza sisymbolc (continuum). Liczba kardynalnac (podobnie jak 0) odgrywa szczegln rol wteorii mnogoci.Twierdzenie6.25. Przedzia (0, 1) jest rwnoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorwN:(0, 1) T(N).Twierdzenie6.26. Jeeli Xjest nieprzeliczalnyiX Y , toY jest zbioremnieprzeli-czalnymWniosek: ZbirR (0, 1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.Twierdzenie6.27. Zbir liczb rzeczywistych jest rwnoliczny z przedziaem (0,1).Rwnoliczno ustala funkcjaf(x) =12 +1arctgx.Wniosek:[R[ = [(0, 1)[ = [T(N)[ =c.P r z y k a d 6.8. Wykaza, e zbirNNjest nieprzeliczalny.Zamy, ezbirNNjestprzeliczalny. WwczasNN= f0, f1, . . ., gdziefi(i N)jest funkcjN N. Niech terazf(n) = fn(n) + 1, dlan N.62 TeoriamocyFunkcja fnie jest rwna f0, gdy f(0) = f0(0) +1 ,= f0(0), podobnie nie jest rwna f1, gdyf(1) = f1(1) +1 ,= f1(1) itd. Oglnie, dla dowolnegok naturalnego funkcjafnie jest rwnafk, gdyf(k) = fk(k) +1 ,= fk(k). Zaoylimy jednak, e zbir f0, f1, . . . zawiera wszystkiefunkcjeN N. Otrzymanasprzecznodowodzi, ejesttoniemoliwe, awiczbirNNjest nieprzeliczalny.Przyk ad 6.9. Mwimy, ecigliczbnaturalnychb1, b2, . . . ronieszybciej niciga1, a2, . . ., jelilimnanbn= 0.Pokaemy,e1. dla kadegocigu istnieje cig szybciej od niego rosncy,2. jeeli zbircigwZmatwasno, edlakadegocigua1, a2, . . . (niekoniecznienalecegodoZ) istniejew tymzbiorzecigb1, b2, . . .szybciej rosncynia1, a2, . . .,to zbirZjest nieprzeliczalny.Niechwica1, a2, . . . bdziedowolnymcigiemliczbnaturalnych.Okrelmycig (bn)wnastpujcy sposb:bn = 1 +nanWwczas0 limnanbn=limnan1 +nan.Poniewadlakadegon>0jest prawdziweoszacowaniean1+nan