Logika matematyczna, rachunek zdań

dr Mieczysław Chalfen

UPWR Wrocław 2020/2021

Co to jest zdanie ? Ale w sensie logiki matematycznej.

• Zdanie (w sensie matematycznym), to taka wypowiedź, która jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

• Mówimy, że wartość logiczna zdania prawdziwego (true) wynosi 1, a zdania fałszywego (false) wynosi 0

• Istnieją także tzw. logiki rozmyte, gdzie wartość logiczna zdania jest pewną liczbą z przedziału [0,1]

W języku polskim zdanie musi mieć podmiot i orzeczenie.Np. Janek ma ładny rower. – czy to zdanie jest prawdziwe?

Przykłady

• Dziś jest sobota - zdanie fałszywe

• 2+2=4 - zdanie prawdziwe

• Lubisz chodzić do kina ? - to nie jest zdanie

• X>6 - to nie jest zdanie

• Mercedes to łady samochód – to raczej nie jest zdanie

• Wtorek jest zielony - to nie jest zdanie

Działania na zdaniach, formy zdaniotwórcze: p,q,r… ~ ∨ ∧⟹⇔

Negacja, zaprzeczenie: -p, −𝑝, ~𝑝, ¬𝑝, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑟𝑎𝑤𝑑𝑎, ż𝑒 𝑝Nieprawda, że styczeń ma 30 dni. ( Styczeń nie ma 30 dni)

Alternatywa: 𝑝 ∨ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑙𝑢𝑏 𝑞Dziś pójdę do kina lub dziś pójdę do teatru. (Pójdę do kina lub teatru).(Dziś pójdę do kina, a może do teatru.)

Koniunkcja: 𝑝 ∧ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖 𝑞Dziś pójdę na wykład z matematyki i dziś pójdę na basen.(Pójdę wykład z matematyki a także na basen.)

Implikacja: 𝑝 ⟹ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑢𝑗𝑒 𝑞, 𝑧𝑒 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑝 𝑤𝑦𝑛𝑖𝑘𝑎 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑒 𝑞,𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑎ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑒𝑚, 𝑞 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑒𝑧ą, 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑝 𝑡𝑜 𝑞, 𝑖𝑡𝑑,

Np. Tw. Pitagorasa: Jeżeli T jest trójkątem prostokątnym to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Jeżeli dziś jest wtorek to jutro będzie środa.

Równoważność: 𝑝 ⇔ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦 𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟ó𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎ż𝑛𝑒 𝑞

Tabelki działań

p -p

0 1

1 0

p q 𝑝 ∨ 𝑞

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

𝑝 ∨ 𝑞 0 1

0 0 1

1 1 1

Negacja

Alternatywa

p q 𝑝 ∧ 𝑞

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

𝑝 ∧ 𝑞 0 1

0 0 0

1 0 1

Koniunkcja

Alternatywa jest fałszywa tylko wtedygdy oba zdania składowe są fałszywe

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy,gdy oba zdania składowe są prawdziwe

p q 𝑝 ⟹ 𝑞

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Implikacja, p implikuje q, z p wynika q, p to założenie q to teza

𝑝 ⟹ 𝑞 0 1

0 1 1

1 0 1

0⟹0 p: 3=8 /+1q: 4=9

0⟹1p: 3=8 /∙0q: 0=0

Ze zdania prawdziwego nie może wynikać zdanie fałszywe.Z fałszywego założenia może wynikać zarówno prawda jak i fałsz.

p q 𝑝 ⇔ 𝑞

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

𝑝 ⇔ 𝑞 0 1

0 1 0

1 0 1

Równoważność

Zadania złożone: ~ ∨ ∧⟹⇔

1) (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)2) (p⟹(q ∧ s))⇔ (q ∧ s)3) ((~p) ∨ (q ∧ s))⟹((p ∨ r) ∧ (p ∨ s))

Kolejność nawiasów, siła działania: ~ ∧ ∨ ⟹ ⇔

1) p ∨ q⇔ q ∨ p2) p⟹q ∧ s⇔ q ∧ s3) ~p ∨ q ∧ s⟹ (p ∨ r) ∧ (p ∨ s)

źle: p ∨ r ∧ p ∨ s

Jak zbadać, czy zdanie złożone jest prawdziwe?Metoda zero-jedynkowa 0-1

NP. p ∨ q⇔ q ∨ p

p q 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∨ 𝑝 ⇔

0 0 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

Zdania złożone, które jest zawsze prawdziwe niezależnie od prawdziwości (lub fałszywości) zdań składowych nazywamy tautologią.

Podstawowe prawa logiczne (~ ∨ ∧⟹⇔)

(czasami możemy myśleć, że ∨ to dodawanie, ∧ to mnożenie)

Przemienność: p ∨ q⇔ q ∨ p p ∧ q⇔ q ∧ pŁączność: (p ∨ q) ∨ s ⇔ p ∨ (q ∨ s) (p ∧ q) ∧ s ⇔ p ∧ (q ∧ s)Rozdzielność: (p ∨ q) ∧ s ⇔ (p ∧ s) ∨ (q∧ s) (p ∧ 𝑞) ∨ s ⇔ (p ∨ s) ∧ (q ∨ s)

Idempotentność: p ∨ p ⇔ p p ∧ p ⇔ pPrawa pochłaniania: p ∨ F ⇔ p p ∧ F ⇔ F

p ∨ T ⇔ T p ∧ T ⇔ p

Prawo wyłączonego środka: p ∨ ~p ⇔ T Prawo sprzeczności: p ∧ ~p ⇔ FPrawo podwójnego przeczenia: ~(~p) ⇔ p (ale w języku polskim: nigdy nie chodzę do kina)

Prawo przechodniości: (p⟹q) ∧ (q⟹s) ⟹ (p⟹s)

Prawo kontrapozycji: (p⟹q) ⇔ (~q ⟹~p) (dowód tw nie wprost)

Dowód prawa przechodniości: (p⟹q) ∧ (q⟹s) ⟹ (p⟹s)

p q s p⟹q q ⟹ s (p⟹q) ∧ (q⟹s) p⟹s ⟹

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Prawa de Morgana (~ ∨ ∧⟹⇔)

Zaprzeczenie alternatywy to koniunkcja zaprzeczeń~(p ∨ q) ⇔~p ∧ ~q

Przykład:Idę dziś do kina albo do teatru.

Mamo, pójdę dziś do kina lub pójdę dziś do teatru. Nie, nie pójdziesz dziś ani do kina, ani do teatru.

Nie prawda, nie pójdziesz dziś do kina i nie pójdziesz dziś do teatru.

Zaprzeczenie koniunkcji to alternatywa zaprzeczeń~(p ∧ q) ⇔~p ∨ ~q

Przykład:Mamo, pójdę dziś do kina i pójdę dziś do teatru.Nie prawda, wybieraj, albo pójdziesz do kina, albo do teatru.Nie prawda, nie pójdziesz dziś do kina lub nie pójdziesz dziś do teatru.

Formy zdaniowe ϕ(x)

ϕ(x) np. ϕ(x) = x+3>7ϕ(x,y) np. ϕ(x,y) = x+3>7-yϕ(x,y,z) np. ϕ(x,y,z) = x+3>7-y+z

Kwantyfikatory:

- szczegółowy czytamy: istnieje x taki, że ϕ(x)

- ogólny czytamy: dla każdego x zachodzi ϕ(x)

𝑥

ϕ(x)

𝑥

ϕ(x)

𝑥

2𝑥 = 8

𝑥

𝑥2 > 0

∃𝑥: 2𝑥 = 8

∀x: 𝑥2> 0

Prawa de Morgana dla form zdaniowych

~

𝑥

ϕ(x) ⇔

𝑥

~ϕ(x)ϕ(x): 𝑥2 = −1Istnieje liczba rzeczywista, taka że 𝑥2 = −1Nieprawda, żadna liczba rzeczywista nie ma własności 𝑥2 = −1Inaczej mówiąc, dla każdej liczby rzeczywistej nieprawda, że 𝑥2 = −1

𝑥

~ϕ(x)~

𝑥

ϕ(x) ⇔

ϕ(x): 𝑥2 > 0Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi 𝑥2 > 0Nieprawda, nie dla każdej liczby rzeczywistej mamy 𝑥2 > 0Inaczej mówiąc, istnieje liczba, dla której nie zachodzi 𝑥2 > 0, np. x=0

Prawa rozdzielności dla kwantyfikatorów

𝑥

(ϕ(x) ∧ ψ 𝑥 ) ⇔

𝑥

ϕ(x) ∧

𝑥

ψ(x)

Mamy dwie formy zdaniowe ϕ(x), ψ 𝑥

𝑥

(ϕ(x) ∨ ψ 𝑥 ) ⇔

𝑥

ϕ(x) ∨

𝑥

ψ 𝑥

𝑥

ϕ(x) ∨

𝑥

ψ(x)⟹

𝑥

(ϕ(x) ∨ ψ 𝑥 )

𝑥

(ϕ(x) ∧ ψ 𝑥 ) ⟹

𝑥

ϕ(x) ∧

𝑥

ψ 𝑥

Uwaga, tutaj implikacji nie da się odwrócić, czyli nie ma równoważności

Rachunek zbiorów

Pojęcie zbioru i relacja należenia do zbioru – to tzw. pojęcia pierwotne, których nie definiujemy.

A, B, X, Y – tak oznaczamy zbiorya, b, x, y – tak oznaczamy elementy zbiorów

𝑥 ∈ 𝑋, ~ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ∉X

x należy do zbioru X

Moc zbioru 𝑋 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤,𝑚𝑜ż𝑒 𝑏𝑦ć 𝑛𝑖𝑒𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑎

Φ 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑝𝑢𝑠𝑡𝑦, 𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎 ż𝑎𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤

Działania na zbiorach

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 − 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∼ 𝑥 ∈ 𝐵

Suma

Iloczynczęść wspólna

Różnica

Dopełnienie

Suma

Iloczyn

Różnica

Dopełnienie𝐴′ = ∼ 𝐴 = 𝑥: ∼ 𝑥 ∈ 𝐴

Zawieranie dwóch zbiorów

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔

𝑥

(x ∈ 𝐴 ⟹ x ∈ 𝐵)

A

B

Zbiory A i B są rozłączne gdy 𝐴 ∩ 𝐵 = Φ

A B

Podstawowe prawa rachunku zbiorów

Idempotentność

Przemienność

Łączność

Rozdzielność

Proszę samodzielnie napisać te prawa i niektóre z nich udowodnić na ćwiczeniach

Prawa de Morgana dla rachunku zbiorów

𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶)

𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶) A B 𝐵 ∩ 𝐶 C

Zbiory liczbowe: N, C, W, niewymierne, R, zespolone

2 − 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑛𝑖𝑒𝑤𝑦𝑚𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎

2 =𝑛

𝑚− 𝑢ł𝑎𝑚𝑒𝑘 𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑘𝑟𝑎𝑐𝑎𝑙𝑛𝑦

2 =𝑛2

𝑚2

2𝑚2 = 𝑛2 − 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑛 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏ą 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡ą, 𝑎 𝑤𝑖ę𝑐 𝑛 = 2𝑘

2𝑚2 = 4𝑘2

𝑚2 = 2𝑘2 − czyli m też jest liczbą parzystą, ale ułamekn

mmiał być nieskarcalny − sprzecznosć

Dowód przez sprzeczność:

Równoliczność zbiorów X Y

Zbiory X i Y są równoliczne, gdy istnieje funkcja 𝑓: 𝑋 → 𝑌 taka, że dla każdego y istnieje dokładnie jeden x, taki że f(x)=yMówimy, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz „na zbiór Y”, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym.

Równoliczność zbiorów nieskończonych

Zbiór liczb nieparzystych NP i zbiór liczb parzystych P są równoliczne bo

𝑓:𝑁𝑃 → 𝑃 𝑓 𝑛 = 𝑛 + 1

Ale uwaga, niespodziankaZbiór wszystkich liczb naturalnych N też jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych

𝑓:𝑁 → 𝑃 𝑓 𝑛 = 2𝑛

Można udowodnić, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych,ale już nie jest równoliczny ze zbiorem liczb niewymiernych i zbiorem Liczb rzeczywistych

Zbiór Cantora

Bierzemy odcinek [0,1], dzielimy na 3 równe części i wyrzucamy środkową, itd. …

Oblicz „długość” końcowego zbioru.

Na n-tym poziomie mamy

0

1

2

Itd. ….

2𝑛 ∙1

3𝑛= (2

3)𝑛→ 0

Inny wariant: dzielimy odcinek [0,1] na pięć równych części i wyrzucamy środkową, itd…

Iloczyn kartezjański.

𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎, 𝑏 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑝𝑜𝑟𝑧ą𝑑𝑘𝑜𝑤𝑎𝑛𝑎

𝐴𝑥𝐵 = { 𝑎, 𝑏 , 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} – zbiór wszystkich par uporządkowanych

Def. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B to

a A

B

b

A x B

(a,b)

Przykłady

Niech A={3,5,8}, B={a,f}, wtedy A x B = { (3,a), (3,f), (5,a), (5,f), (8,a), (8,f) }

𝑅2 = 𝑅𝑥𝑅 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} − 𝑝ł𝑎𝑠𝑧𝑐𝑧𝑦𝑧𝑛𝑎 𝑧 𝑘𝑎𝑟𝑡𝑒𝑧𝑗𝑎ń𝑠𝑘𝑖𝑚 𝑢𝑘ł𝑎𝑑𝑒𝑚 𝑤𝑠𝑝ół𝑟𝑧ę𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ

𝑅3 = 𝑅𝑥𝑅𝑥𝑅 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 − 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠𝑡𝑟𝑧𝑒ń 3 − 𝑤𝑦𝑚𝑖𝑎𝑟𝑜𝑤𝑎 𝑧 𝑘𝑎𝑟𝑡𝑒𝑧𝑗𝑎ń𝑠𝑘𝑖𝑚 𝑢𝑘ł𝑎𝑑𝑒𝑚 𝑤𝑠𝑝ół𝑟𝑧ę𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ

𝑋1𝑥𝑋2𝑥𝑋3𝑥 …𝑋𝑛 = {(𝑥1, 𝑥2…𝑥𝑛): 𝑑𝑙𝑎 𝑘𝑎ż𝑑𝑒𝑔𝑜 𝑖 = 1. . 𝑛, 𝑥𝑖∈ 𝑋𝑖}

(2,3) x {-1} = { (x,y): 2<x<3 oraz y=-1}

Tw. Rozdzielność sumy mnogościowej względem iloczynu kartezjańskiego

𝐴 ∪ 𝐵 𝑥𝐶 = 𝐴𝑥𝐶 ∪ 𝐵𝑥𝐶

A B

C A x C B x C

𝑧 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑥𝐶 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ⇔

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴𝑥𝐶 ∨ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐶 ⇔ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐶 ∪ 𝐵𝑥𝐶

Relacje dwuargumentowe (unarne, binarne, itd…)

Relacja binarna R to dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego A x B

a A

B

bR A x B

(a,b)

𝑎𝑅𝑏 ⇔ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 , 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦 𝑎 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑤 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑗𝑖 𝑅 𝑧 𝑏, 𝑛𝑝. "𝑎 𝑙𝑢𝑏𝑖 𝑏"

Relację będziemy definiowali tak:

Element a zbioru A jest w relacji z elementem b zbioru B, wtedy i tylko wtedy gdy …

Np.1 Człowiek x jest w relacji z człowiekiem y gdy (wtedy i tylko wtedy) x jest synem y

Np.2 x, y ∈ "<„⇔ x<y (2,5)∈" < „ (5,1) ∉ " < „

Własności relacji

Zwrotna

Symetryczna

Przechodnia

Antysymetryczna

Spójna

Pełna

𝑥

𝑥R𝑥

𝑥,𝑦 (𝑥R𝑦⟹ 𝑦𝑅𝑥)

𝑥,𝑦,𝑧 (𝑥R𝑦 𝑖 𝑦𝑅𝑧⟹ 𝑥𝑅𝑧)

𝑥,𝑦 (𝑥R𝑦 𝑖 𝑦𝑅𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑦)

𝑥,𝑦 (𝑥 ≠ 𝑦 ⟹ 𝑥R𝑦 𝑙𝑢𝑏 𝑦𝑅𝑥)

𝑥,𝑦 (𝑥R𝑦 𝑖 𝑦𝑅𝑥)

Relacja w formie grafu

Przykłady.

1. x jest w relacji z y gdy x jest potomkiem y. Zwrotna – nie, symetryczna – nie, przechodnia – tak, antysymetryczna – nie, spójna – nie, pełna – nie

2. Prosta p jest w relacji z prostą q gdy są równoległeZwrotna – tak, symetryczna – tak, przechodnia – tak, antysymetryczna – nie, spójna – nie, pełna – nie

3. x P y gdy x-y jest podzielne przez 5 Zwrotna – tak, symetryczna – tak, przechodnia – tak, antysymetryczna – nie, spójna – nie, pełna – nie

xPy i yPz więc x-y=5n i y-z=5m x=5n+y z=y-5m x-z=5n+y-y+5m = 5(n+m) czyli xPz

Relacje równoważności

Mówimy, że R jest relacją równoważności gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia

Np.1. x jest w relacji U z y gdy x i y mieszkają na tej samej ulicy.

Np. 2 proste p i q są w relacji R gdy są równoległe.

Relację równoważności często oznaczamy symbolem ~ ≡≈

Jeżeli R jest relacją równoważności to możemy zdefiniować klasę abstrakcji dowolnego elementu a

[𝑎]𝑅= {𝑥: 𝑥𝑅𝑎}

Np. 1. Moją klasą abstrakcji są wszyscy ludzie mieszkający na mojej ulicyNp. 2. Klasą abstrakcji osi OX są wszystkie proste poziome

Relacja równoważności 𝑅 ⊂ 𝑋𝑥𝑋 rozbija zbiór X na sumę rozłącznych podzbiorów pokrywających cały zbiór X. W każdym podzbiorze oddzielnie, każdy element jest w relacji z każdym innym (inaczej mówiąc w każdym podzbiorze relacja jest pełna) orazżadne dwa elementy z różnych podzbiorów nie są ze sobą w relacji

Np.1. Zbadaj własności relacji 𝑛𝑃𝑚 ⇔𝑛+𝑚

2∈ 𝑁. Wyznacz klasy abstrakcji.

Zwrotna:

Symetryczna:

Przechodnia:

𝑛𝑃𝑛 ⇔𝑛 + 𝑛

2∈ 𝑁

Jeżeli 𝑛𝑃𝑚 ⇔𝑛+𝑚

2∈ 𝑁 tom𝑃𝑛 ⇔

𝑚+𝑛

2∈ 𝑁

Jeżeli 𝑛𝑃𝑚 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑚𝑃𝑘 𝑡𝑜𝑛+𝑚

2= 𝑟 𝑜𝑟𝑎𝑧

𝑚+𝑘

2= 𝑠, czyli n+m=2r, m+k=2s, czyli n=2r-m, k=2s-m,

A więc n+k=2r-m+2s-m=2(r+s-m) jest podzielne przez 2 czyli nPk.

[1]𝑃= 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ

[2]𝑃= 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ

Relacje porządku.

Relacja jest częściowym porządkiem gdy jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, tzn

xRx, jeśli xRy i yRz to xRz,jeśli xRy i yRx to x=y ( inaczej mówiąc tylko xRx )

Najbardziej oczywistym przykładem relacji porządku częściowego jest relacja ≤xRy gdy x≤y

Relacja porządku częściowego na płaszczyźnie, tzw. porządek produktowy

𝑃 ⊆ 𝑅2𝑥𝑅2 𝑥1, 𝑦1 𝑃 𝑥2, 𝑦2 ⟺ 𝑥1 ≤ 𝑥2𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑦1 ≤ 𝑦2

A

B

C

𝐴 ≤ 𝐵, 𝑎𝑙𝑒 𝑢𝑤𝑎𝑔𝑎 ~𝐴 ≤ 𝐶 𝑜𝑟𝑎𝑧 ~𝐶 ≤ 𝐴

Elementy A i C są nieporównywalne, czyli relacja nie jest spójna

Np. (2,3) ≤(4,4)~ (2,3) ≤ (1,5)

Relacja P jest - zwrotna, - przechodnia i - antysymetryczna, bo taka jest relacja ≤

Inne przykłady porządku produktowego:

Człowiek X jest większy od człowieka Y gdy jest wyższy (bądź równy) i cięższy (bądź równy) niż Y

Student A jest lepszy od studenta B gdy z matematyki, biologii i angielskiego ma oceny lepsze (bądź równe) od studenta B

Relacja porządku liniowego, porządek liniowy:

- zwrotna, przechodnia, antysymetryczna- spójna, czyli każde dwa elementy są porównywalne, tzn. xPy lub yPx

D

C

B

A

Element minimalny, najmniejszy, maksymalny, największy

a jest elementem minimalnym jeżeli dla każdego x ~𝑥 < 𝑎inaczej mówiąc, nie ma elementu mniejszego od a, ale mogą być elementy nieporównywalne z a

a jest elementem maksymalnym jeżeli dla każdego x ~𝑥 > 𝑎inaczej mówiąc, nie ma elementu większego od a, ale mogą być elementy nieporównywalne z a

a jest elementem najmniejszym jeżeli dla każdego x 𝑎 <xinaczej mówiąc, a jest naprawdę mniejszy od wszystkich pozostałych

a jest elementem największym jeżeli dla każdego x 𝑥 <ainaczej mówiąc, a jest naprawdę większy od wszystkich pozostałych

Dla porządku liniowego mamy:

minimalny = najmniejszy maksymalny = największy

Dla porządku częściowego (nie liniowego) tak być nie musi !

Np. Niech X={(50,160), (60,150), (70,170), (80,180), (65, 175)} – grupa ludzi dla których zmierzono wagę [kg] i wzrost [cm]Wskaż elementy minimalny, najmniejszy, maksymalny, największy – o ile istnieją !

Odp.minimalne 1, 2najmniejszy nie istniejemaksymalny 4największy 4

nieporównywalne: 1-2, 3-5

Porządek leksykograficzny – stosowany w słownikach

Niech X – zbiór wszystkich słów w danym języku L

Słowo 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4, … ) < 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 , 𝑞4, 𝑞5…), 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦 𝑠ł𝑜𝑤𝑜 𝑝 𝑝𝑜𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑎 𝑠ł𝑜𝑤𝑜 𝑞 𝑔𝑑𝑦

𝑝1 < 𝑞1 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑝1 𝑝𝑜𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑎 𝑤 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑐𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟ę 𝑞1 𝑙𝑢𝑏

𝑝1 = 𝑞1 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑝2 < 𝑞2 𝑙𝑢𝑏

𝑝1 = 𝑞1 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑝2 = 𝑞2 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑝3 < 𝑞3 𝑙𝑢𝑏, 𝑖𝑡𝑑

Jest to porządek liniowy, nie ma elementów nieporównywalnych

Metryka, odległość, czyli jak można zmierzyć odległość dwóch wielowymiarowych (wielocechowych) obiektów ?

Niech X – zbiór obiektów, x,yεXDef. Odległość, metryka, to funkcja

𝑓: 𝑋𝑥𝑋 → 𝑅, 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅

1. f(x,y)≥0f(x,y)=0 tylko gdy x=y

2. f(x,y)=f(y,x) symetria3. f(x,y)+f(y,z) ≥f(x,z) nierówność trójkąta

Obiekty wielocechowe (1-no, 2-u, 3-y, itd….)Np. Punkt na płaszczyźnie (x,y)Punkt w przestrzeni (x,y,z)Punkt w czasoprzestrzeni (x,y,z,t)Człowiek = ( wzrost, waga, tętno, objętość wątroby, długość stopy, rok urodzenia, …)

x

y

z

Przykłady.

𝑂𝑑𝑙𝑒𝑔ł𝑜𝑠ć 𝑝𝑜𝑚𝑖ę𝑑𝑧𝑦 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎𝑚𝑖 𝑛𝑎 𝑜𝑠𝑖 𝑂𝑋, 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑛𝑝. 𝑑 3,8 = 3 − 8 = 5

3 4 5 6 7 8

d=5

Odległość między punktami na płaszczyźnie 𝑃(𝑥1, 𝑦1), 𝑄(𝑥2, 𝑦2)

𝑂𝑑𝑙𝑒𝑔ł𝑜𝑠ć 𝑒𝑢𝑘𝑙𝑖𝑑𝑒𝑠𝑜𝑤𝑎 𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥1 − 𝑥22 + 𝑦1 − 𝑦2

2

𝑂𝑑𝑙𝑒𝑔ł𝑜𝑠ć 𝑡𝑎𝑘𝑠ó𝑤𝑘𝑜𝑤𝑎 𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑦1 − 𝑦2

𝑂𝑑𝑙𝑒𝑔ł𝑜𝑠ć 𝐶𝑧𝑒𝑏𝑦𝑠𝑧𝑒𝑤𝑎 𝑑 𝑃, 𝑄 = max{ 𝑥1 − 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2 }

𝑥1 𝑥2

𝑦1

𝑦2

P

Q

d=5

d=3

d=4

𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1,….), 𝑄(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2,…. )Odległość obiektów wielocechowych

Można poprzednie definicje uogólnić

Jak wygląda kula, sfera w różnych metrykach.

Definicja kuli (koło) 𝐾 = 𝑥: 𝑑 𝑥, 𝑆 ≤ 𝑟 , 𝑆 − ś𝑟𝑜𝑑𝑒𝑘 𝑘𝑢𝑙𝑖, 𝑟 − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑖𝑒ńDefinicja sfery (okrąg) 𝑂 = 𝑥: 𝑑 𝑥, 𝑆 = 𝑟 , 𝑆 − ś𝑟𝑜𝑑𝑒𝑘 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑦, 𝑟 − 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑖𝑒ń

Przykłady na płaszczyźnie. Niech S(0,0), r=1

Metryka euklidesowa Metryka taksówkowa Metryka Czebyszewa

Metryka „rzeka”

Metryka „kolejowa”

Odległość między zbiorami skończonymiA

BSingle Link d(A,B)=min(P,Q) gdzie PεA, QεB

Complete Link d(A,B)=max(P,Q) gdzie PεA, QεB

Mean distance d(A,B)=d(P,Q), gdzie P – środek A,(między środkami) Q – środek B

Average distance d A, B =1

𝑛∙𝑚 𝑑(𝑃, 𝑄)

(średnia odległość)

Odległość między zbiorami nieskończonymi

A B

Odległość Steinhausa 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐴 ÷ 𝐵 𝑝𝑜𝑙𝑒 𝑟óż𝑛𝑖𝑐𝑦 𝑠𝑦𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦𝑐𝑧𝑛𝑒𝑗

Albo inaczej 𝑑 𝐴, 𝐵 =𝐴÷𝐵

𝐴∪𝐵

A=B, d(A,B)=0

d(A,B)> 0

d(A,B)=1

d(A,B)=1

Odległość między słowami. Słowo to ciąg znaków, niekoniecznie muszą być litery, mogą być dowolne znaki.

Odległość Haminnga: dH(a,b) = ile różnych znaków na poszczególnych pozycjachdH(‚kajak’ , ’kamyk’)=2

Odległość Levenshteina: dL(a,b) = liczba prostych operacji potrzebnych do przejścia z „a” do „b”operacje proste: wstawianie, usuwanie, zamianadL(‚rower’ , ’korek’)=3

Odległość epizodyczna dE(a,b)=liczba wstawieńdE(‚kot’ , ‚5k6o7t’)=3, czasami dE = nieskończoność

„Odległość” najdłuższego wspólnego podciągulongest common substring, LCS(‚12kotara’ , ‚26kotek’)=3 dla bardzo długich słów nie tak łatwo to obliczyć