![,KZ /Z WZ d/Yh ^ ^ /^KE ^d/s > î ì î ì >h ^K Z D 'K' ~ d ...€¦ · ,KZ /Z WZ d/Yh ^ ^ /^KE ^d/s > î ì î ì >h ^K Z D 'K' ~ d 'KZ/ ð r ñ r ò E^ & D/E/E 'ZKhW í ] ] } v](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f8e340f45f91c08e73f4bd9/kz-z-wz-dyh-ke-ds-h-k-z-d-k-d-kz-z-wz.jpg)
Β ΤΕΣΕΚ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ì í9/ î ì î ì...
6
Β ΤΕΣΕΚ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2019/2020 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟ Γ΄ΕΤΟΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ(7ΩΡΟ) ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Nα υπολογίσετε τα πιο κάτω όρια: α) lim →1 1−+ 3 −1 (-1/6) β) lim →0 + ( ∙ 3 ). (+∞) 2. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 5 + 3 3 + 4 − 10 = 0 , έχει μόνο μια πραγματική ρίζα. 3. α)Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέσης Τιμής. β) Να δώσετε την Γεωμετρική ερμηνεία του. γ) Έστω η συνάρτηση () = , > 0 . i) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈(x , x+1 ) , τέτοιο ώστε f΄ () = ln ( +1 ) ii) Να δείξετε ότι ισχύει : 1 +1 < ln ( +1 )< 1 , > 0 . 4. α) Nα διατυπώσετε το θεώρημα του . β) Δίνεται η ά ύ () = { 2 + 2 + 1 , − 1 ≤ ≤ 0 3 + 2 + 2 + , 0 < ≤ 1 Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του , να δείξετε ότι γ=1 και β=-4. 5. Έστω η συνάρτηση : → , ί ί ί ί ύ ( 3 ) = 4() , ∀ ∈ . Nα αποδείξετε ότι: α) (0) = 0 (8) = 4 (2) β) Υπάρχουν σημεία 1 ∈ (0,2) 2 ∈ (2,8) , ώστε οι εφαπτομένες της στα σημεία της με τετμημένες 1 και 2 να είναι παράλληλες. 6. Αν το (1,-7) είναι σημείο καμπής της ) ln ( 4 x x y να υπολογίσετε τα α και β. 7. α) Να δώσετε τον ορισμό της κατακόρυφης της οριζόντιας και της πλάγιας ασύμπτωτης β) Να βρείτε το Π.Ο και τις ασύμπτωτες των συναρτήσεων: i) 4 3 2 x x ii) x e x 2 iii) 3 ln x x
Transcript of Β ΤΕΣΕΚ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ì í9/ î ì î ì...
Β ΤΕΣΕΚ ΛΕΜΕΣΟΥ
ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2019/2020
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟ Γ΄ΕΤΟΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ(7ΩΡΟ)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1. Nα υπολογίσετε τα πιο κάτω όρια:
α) lim𝑥→1
1−𝑥+𝑙𝑛𝑥
𝑥3−1 (-1/6) β) lim
𝑥→0+(𝑥 ∙ 𝑒
3
𝑥). (+∞)
2. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2𝑥5 + 3𝑥3 + 4𝑥 − 10 = 0 , έχει μόνο μια πραγματική
ρίζα.
3. α)Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέσης Τιμής.
β) Να δώσετε την Γεωμετρική ερμηνεία του.
γ) Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑥 > 0 .
i) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (x , x+1 ) , τέτοιο ώστε f΄ (𝜉) = ln
(𝑥+1
𝑥) ii) Να δείξετε ότι ισχύει :
1
𝑥+1< ln (
𝑥+1
𝑥) <
1
𝑥 , 𝑥 > 0 .
4. α) Nα διατυπώσετε το θεώρημα του 𝑅𝑜𝑙𝑙𝑒.
β) Δίνεται η 𝜎𝜐𝜈ά𝜌𝜏𝜂𝜎𝜂 𝑓 𝜇𝜀 𝜏ύ𝜋𝜊 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 + 1 , 𝑎𝜈 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑥3 + 𝛽𝑥2 + 2𝑥 + 𝛾 , 𝛼𝜈 0 < 𝜒 ≤ 1
Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του 𝑅𝑜𝑙𝑙𝑒 , να δείξετε ότι γ=1 και
β=-4.
5. Έστω η συνάρτηση 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝜂 𝜊𝜋𝜊ί𝛼 𝜀ί𝜈𝛼𝜄 𝜋𝛼𝜌𝛼𝛾𝜔𝛾ί𝜎𝜄𝜇𝜂 𝜎𝜏𝜊 𝑅 𝜅𝛼𝜄 𝛾𝜄𝛼 𝜏𝜂𝜈
𝜊𝜋𝜊ί𝛼 𝜄𝜎𝜒ύ𝜀𝜄 𝑓(𝑥3) = 4𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑅. Nα αποδείξετε ότι:
α) 𝑓(0) = 0 𝜅𝛼𝜄 𝑓(8) = 4 𝑓(2)
β) Υπάρχουν σημεία 𝜉1 ∈ (0,2) 𝜅𝛼𝜄 𝜉2 ∈ (2,8) , ώστε οι εφαπτομένες της 𝑓 στα
σημεία της με τετμημένες 𝜉1 και 𝜉2 να είναι παράλληλες.
6. Αν το (1,-7) είναι σημείο καμπής της )ln(4 xxy να υπολογίσετε τα α και β.
7. α) Να δώσετε τον ορισμό της κατακόρυφης της οριζόντιας και της πλάγιας ασύμπτωτης
β) Να βρείτε το Π.Ο και τις ασύμπτωτες των συναρτήσεων:
i) 4
3 2
x
x ii) xex 2 iii)
3
ln
x
x
8. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της )(xfy .
α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύουν : ι) f (x) 0 ιι) f (x) 0 ιιι) f (x) 0 f (x) 0
iv) H γραφική παράσταση της f x τέμνει τον άξονα των χ
β) Να βρείτε:
i) το πεδίο ορισμού της ii) lim ( )x
f x
iii) 1
lim ( )x
f x iv) lim ( )x
f x
9. Δίνεται η συνάρτηση 2 2
ln ln , 02
xf x x
x
, 𝑥 > 0
(α) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.
(β) Αν 0 να δείξετε ότι 2 2
ln2
.
10. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1x
2x2x)x(f
2
.
(α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής του
διαφορικού λογισμού για την f στο διάστημα [0, 1] και αν ισχύουν
να βρείτε το για το οποίο εφαρμόζεται στο (0, 1).
)(xfy
( β) Να δείξετε ότι το Θεώρημα της Μέσης Τιμής δεν ισχύει στο
διάστημα [-2, 0] για την f .
11. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, μονοτονία – ακρότατα , κυρτότητα –Σ.Κ και ασύμπτωτες να παραστήσετε γραφικά
τις πιο κάτω συναρτήσεις.
i) 1
2 2
x
x ii) x21ln
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜ ΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΟΡΙΣΜΟΙ
Η συνάρτηση
2,
2,:
xxf έχει αντίστροφη συνάρτηση την:
2211
:1
xό
xxf
Η συνάρτηση ,0,: xxf έχει αντίστροφη συνάρτηση την:
011
:1
xό
xxf
Η συνάρτηση
2,
2,:
xxf έχει αντίστροφη συνάρτηση την:
22
:1
Rxό
xxf
Η συνάρτηση ,0,: xxf έχει αντίστροφη συνάρτηση την:
0
:1
Rxό
xxf
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
xf
xfxf
xx
22 11
1
xf
xfxf
xx
22 11
1
xf
xfxf
xx
22 11
1
xf
xfxf
xx
22 11
1
A . Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω:
1) y = τοξ ημ ( 2x-1 ) 2) y = τοξ συν (2x+3) 3) y = x τοξ ημx 4) y = τοξ εφ (e2x) 5) y = τοξ συν ( 1xe ) 6) y = τοξ εφ (x 2 + 1)
7) y = xτοξ ημx + 2x1 8) y = ( τοξ εφ 2x )2 9) y = 2x1 - x τοξ συνx Β. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω όρια
1) 0x
lim
32
x
2)
0xlim
x4 3)
0xlim
2
x
Γ. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω:
1) ημ (τοξ εφ4
3) 2) συν (2 τοξ σφ
5
12)
3) εφ (τοξ ημ13
5) 4) συν (
2
- τοξ εφ
24
7)
η
μ
(το
ξ
εφ
)
2)
συν
(2
τοξ
σφ
)
3
)
Δ. 1) Αν y = ημ ( lnx ) 0dx
dx
dx
dx
2
22
2) Να βρείτε τα ακρότατα του y = τοξ εφ x – ln 2x1 3) α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση y = τοξ ημx+ τοξ συνx, 1x1 είναι σταθερή και να βρείτε τη τιμή της.
β. Το ίδιο για τις συναρτήσεις y = τοξ εφ2x+ τοξ εφx2
1
y = τοξ εφx + τοξ σφx
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Βασικά αόριστα ολοκληρώματα:
1. cxdxdx1 8. cxxdx 2
2.
cx
dxxv
1
1
ν≠-1 9. cxxdx 2
3. ∫1
𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐 10. cxxdxx
4. cedxe xx 11. cxxx
5. 10 ,ln
aca
adxa
xx 12.
cxdx
x
21
1
6. cxxdx 13.
cxdxx
21
1
Βασικοί τύποι ολοκληρωμάτων
1. caxFa
dxaxfcxFdxxf )(1
)()()(
2. 1 ,1
)()().(
1
cxf
dxxf΄xf v , cxfdxxf
xf΄)(2
)(
)(
3. cxfdxxf
xf΄|)(|ln
)(
)(
4. cxcxxdx ||ln||ln 5. cxxdx ||ln
6. cxxxdx ||ln 7. cxxxdx ||ln
8. duuud
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
χ
315 2 de
xxx
2. dxxx 25 2
3. dxexx x )( 22
4. dxe 32
5. xx
dx
22
6.
)1(
22 x
dxx
7. 2
πθ0ημθx,dx
x
x14
2
.
8. dx
x
x3)1(
ln
9. Αν )('f και )0(2)3
( ff
να βρείτε την )(f
10. Αν 𝛪𝜈 = ∫ 𝜀𝜑𝜈𝑥 𝑑𝑥, να δείξετε ότι 1
2 , 21
xI I
![, u } v } P u Á Ç Á } Ì µ } Á î ì î í } l ' u ] v Á l }](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6255133b043c3806e679484c/-u-v-p-u-.jpg)
![répertoir 2019-2020 ----DSDEN - Sitecache.media.education.gouv.fr/file/Presentation/62/6/... · 2019-11-20 · s ] v v >K' KE ì ï X î ó X ó í X î î X ì î X ì ñ õ ð](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5fa416f369bcdc6d6f63dca6/rfpertoir-2019-2020-dsden-2019-11-20-s-v-v-k-ke-x-.jpg)
![E } Á Á Ç Ì Á v ] t Ì Ç P } } Á v ] Ç o ] v i l ] i„stwo Narodowe... · ì ó x ì ï x î ì í ò í í.rqfhsfmd sudf\ ²nduwnd v Ì i d i w l ] ~ î ñ î í 0duldq](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5c76a7c709d3f25d028bc5f3/e-a-a-c-i-a-v-t-i-c-p-a-v-c-o-v-i-l-i-stwo-narodowe.jpg)
![Regulamin Platformy UsÅ ug Magazynowania · 6WURQD ] t i ì ì í Ì v ] ì î X ì õ X î ì í õ X Z 'h> D/E W> d&KZDz h^Bh' D ' zEKt E/ 2SHUDWRU 6\VWHPX](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5e14aea7be743a11fc1ae327/regulamin-platformy-us-ug-magazynowania-6wurqd-t-i-oe-v-x-.jpg)
![' í õ í ñ ì WD t ' } l v ] l · ' v µ u u í õ í ñ ì h P v µ u u ò ì ñ ò ò î µ u î ì í õ r ì ò r í õ s ] } v í X ì](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6068bba11097b4534a463157/-wd-t-l-v-l-v-u-u-h-p-v-u-u-.jpg)
![µ À v ] v u Z u µ & ] v v ] ^ µ v > ] ( î ì í î · Á Á Á X u X u Z X î ì í î ^K / d D d, D d/Yh h E &/ Khs Zd E / E D d, D d/Yh ^ &/E E / Z ^hE >/& î ì í î W P](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f51f1b6e2e1ce6b1b549db8/-v-v-u-z-u-v-v-v-x-u-x-u.jpg)
