KATASTROFA JAKO MODEL W OPISIE PRZEMIANY CIECZ-PARA

Przed... Po...11 września

2001

Katarzyna Tkacz – Śmiech, AGH, WIMiC

plan

I Podstawowe definicjeII Metody ilościowe czy jakościoweIII Przejście fazowe ciecz - para

IV Katastrofa szpica - model matematycznyV Jeszcze raz o przemianie ciecz - para

VI Klasyfikacja katastrof

KATASTROFA JAKO MODEL W OPISIE PRZEMIANY CIECZ-PARA

Rene Thom - francuski matematyk,twórca teorii katastrof

TEORIA KATASTROF - lata 60-te1972 rok, Rene Thom: „Structural stability and morphogenesis”

Teoria katastrofTeoria katastrof nie jest precyzyjnie zdefiniowaną teorią matematyczną lecz bardziej językiem,z pomocą którego staje się możliwe sklasyfikowanie i usystematyzowanie pewnych empirycznych faktów,co daje początek wyjaśnieniu zjawisk i uczynieniu ich zrozumiałymi

KATASTROFAKATASTROFA - zjawisko polegające na utracie stabilności przez stabilny poprzednio stan układu, w wyniku którego następuje szybkie przejście do innego stanu układu, stabilnego w nowych warunkach. Utrata stabilności jest skutkiem zmiany parametrów, określających stan układu, przy czym w odróżnieniu od samego przejścia do nowego stanu, które jest zazwyczaj gwałtowne (stąd nazwa katastrofa), zmiany parametrów są powolne i ciągłe.

PRZYCZYNY SKUTKI(ciągłe) (nieciągłe)KATASTROFA

FORMA STRUKTURALNIE STABILNA

Rozpoznawanie form

METODY ILOŚCIOWE CZY JAKOŚCIOWE?

Rozwiązywanie problemów fizycznych

Ograniczenie do funkcji ciągłych

Poszukiwanie modelu

Opis zjawisk nieciągłych

g eksperyment

g1 teoria T1

g2 teoria T2

PRZYKŁAD

g (x)1

g (x)1

g (x)2

g(x)

x

y

PRZYKŁAD

Izotermy w układzie ciecz - para

T1

T2

Tkr

T4

T5

T4<T3<Tkr<T2<T1

V1

ρ

Applet

Stan układu: x = zawartość barwy zielonej

ZAŁOŻENIE: zielony + niebieski = const

MODEL MATEMATYCZNYMODEL MATEMATYCZNY

A

B

(a,b)

(a,b,x)

MODEL MATEMATYCZNYMODEL MATEMATYCZNYstan układu

parametry kontrolne

x

Va,b

MODEL MATEMATYCZNYMODEL MATEMATYCZNY

x

Va,b

a

b

„fałda”

MODEL MATEMATYCZNYMODEL MATEMATYCZNY

0baxx:xb,a,K 33

0b27a4:b,aB 233

bx2

ax

4

xxV

24

ba,

0xV b,a

Potencjał

0baxxxW 3

Zbiór punktów definiujących ekstremum potencjału= Zbiór katastrofy

Warunek ekstremum

Zbiór punktów krytycznych 0a3x0,baxx:xb,a,Σ 23

3

Zbiór bifurkacyjny określony przez warunek istnienia dwóch pierwiastków wielomianu W(x)

Katastrofa szpica

KATASTROFA SZPICAKATASTROFA SZPICA MODEL MATEMATYCZNYMODEL MATEMATYCZNY

Przejście lokalnie nieodwracalne na drodze 23

Przejście lokalnie odwracalne na drodze 2143

PRZYKŁAD Przemiana fazowa ciecz - paraPrzemiana I rodzaju:

pT

GS

- nieciągłość

Równanie VAN DER WAALSA RTVV

p2

Warunek stabilności mechanicznej

0p

V

T

Konstrukcja Maxwella

Odcinek AD

AB - ciecz przegrzanaCD - gaz przechłodzony

BKC ogranicza obszar, w którym układ nie może być jednofazowy - obszar stosowalności równania van der Waalsa

AKD ogranicza obszar współistnienia dwóch faz

ciecz

paraCiecz + para

S1 S2

0p

V

T

BKC i AKD styczne w K

S2S1

0baxx3

p,Tbb,p,Taa

1V

Vx kr

0p

V

p

V

T2

2

T

RTVV

p2

PRZYKŁAD Przemiana fazowa ciecz - para

Punkt krytyczny K

izoterma

izoterma krytyczna

mała gęstość-para

duża gęstość-ciecz

ciecz

para

Parametry kontrolne: p, T

- parametr stanu

Klasyfikacja katastrof ze względu na liczbę parametrów kontrolnych i liczbę parametrów

stanu

K A T A S T R O F AP A R A M E T R Y

S T A N UP A R A M E T R YK O N T R O L N E

P O T E N C J AŁ

F AŁ D Y x a axxV 3a

S Z P I C A x a , b b xaxxV 24b,a

O G O N AJ A S K ÓŁ C Z E G O x a , b , c cxb xaxxV 235

c,b,a

M O T Y L A x a , b , c , d d xcxb xaxxV 2346d,c,b,a

PĘ P K AH I P E R B O L I C Z N E G O x , y a , b , c cycxax yyxV 33

c,b,a

PĘ P K AE L I P T Y C Z N E G O x , y a , b , c cyb xyaxx y3xV 2223

c,b,a

PĘ P K AP A R A B O L I C Z N E G O x , y a , b , c , d d ycxb yaxyyxV 2242

d,c,b,a

cybxyaxxy3xV 2223c,b,a

KATASTROFA PĘPKA ELIPTYCZNEGO KATASTROFA PĘPKA ELIPTYCZNEGO (The elliptic umbilic)(The elliptic umbilic)

0a 0a 0a

OH2 OH2

Na podstawie:

1. A. Okiński „Teoria katastrof w chemii” PWN, warszawa 1980.

2. R. Gilmore „Catastrophe theory for scientists and engineers”, J.Wiley and Sons, New York 1981.

3.J. Geresz „Zarys podstawowych idei Thoma”, Politechnika Wrocławska, Wrocław 1980.

4. L. Dujardin „CATASTROPHE TEACHER An introduction for experimentalists”http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/ct/eng_index.html