Jak ułatwić sobie pracę przy wieszaniu firanek i zasłon?

Wiadomo, jak ciężkim zadaniem jest wieszanie firanek, czy zasłon na karniszach z żabkami. Każdy z nas, wieszających, dąży do tego, by odstępy między żabkami były równe. Ale jak to zapewnić, stojąc w niewygodnej pozycji z rękami wzniesionymi do góry?

Niektórzy wpadli już na pomysł, żeby powiesić firankę, czy zasłonę (obiekt) za brzegi na skrajnych żabkach, następnie środek obiektu powiesić na środkowej żabce. Po tym środki połówek obiektu powiesić na środkowych żabkach z żabek należących do danej połówki itd.

Dobór odpowiedniej liczby żabek

Wiadomo, jednak, że aby tak się dało zrobić, musi być odpowiednia liczba żabek. Jak dobrać tą liczbę? Postaramy się nad tym zastanowić.

Na początku należy powiesić obiekt na dwóch żabkach z prawej i lewej strony:

)(2 nTŻ

gdzie Ż to szukana ilość żabek, a T(n) to liczba żabek zależna od ilości podziałów żabek na 2 grupy.

Wyprowadzamy wzór

Wiadomo, że przed każdym podziałem pragniemy mieć nieparzystą liczbę żabek, dlatego że musimy zawsze wybrać środkową i otrzymać 2 równe części:

12 kT

gdzie k jest liczbą naturalną.

Co więcej, każda liczba k musi również spełniać powyższe równanie. Jeżeli, zatem, oznaczymy przez T(n) liczbę żabek przed n podziałami, możemy sformułować równanie rekurencyjne:

1)1(2)( nTnT

Obliczamy równanie rekurencyjne

Przed 0 podziałami, liczba żabek wynosi:

1)0( T

Następne ilości obliczamy ze wzoru z poprzedniej strony:

1)0( T11*21)0(2)1( TT

11*21*2*21)1(2)2( TT11*21*2*21*2*2*21)2(2)3( TT

Da się zauważyć prawidłowość:01 222)( nnnT

Wzór na sumę ciągu geometrycznego

Jest to oczywiście ciąg geometryczny. Sumę ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a1, ilorazie q i liczbie wyrazów k wyraża wzór:

1

11

q

qaS

k

k

W naszym przypadku wyraz pierwszy ma wartość 20 = 1, iloraz wynosi 2n/2n-1 = 2, a liczba elementów wynosi n+1.

Obliczenie sumy

Po podstawieniu do wzoru, mamy:

121

12

12

121 1

11

1

n

nn

nS

Zatem liczba żabek przed n podziałami wynosi:

12)( 11

n

nSnT

Ostateczny wynik

Pamiętamy, że liczba wszystkich żabek wyrażała się wzorem:

)(2 nTŻ

zatem po podstawieniu do wzoru dopiero co rozwiązanego równania rekurencyjnego na T(n):

12122 11 nnŻ

Wniosek

Aby wieszanie obiektów było jak najłatwiejsze i najmniej stresujące, przy zachowaniu dobrych wyników pod względem równych odległości między żabkami, liczba wszystkich żabek, przypadających na obiekt, powinna być postaci:

12 nŻgdzie n jest liczbą naturalną.

Wojtek <wojtek@dracul.kill.pl>