J. Dadaczyński - Filozofia matematyki I. Kanta w oczach młodego B. Bolzano

7/30/2019 J. Dadaczyski - Filozofia matematyki I. Kanta w oczach modego B. Bolzano

1/15


2/15


3/15

FILOZOFIA MATEMATYKI KANTA... 3

sdy syntetyczne. B. Bolzano podtrzymuje dalej jako oczywisty po-gld I. Kanta, e sdy matematyki i czystego przyrodoznawstwa ssyntetycznea priori . Jeli tak, to jednak musz by przyjte kon-sekwentnie w teorii I. Kanta odpowiednie wyobraenia ( Anschauun-gen ) a priori . Aby zapewni odpowiedni charakter sdw matematykii czystego przyrodoznawstwa, musia zatem I. Kant przyj, e owymiwyobraeniami ( Anschauungen ) a priori s czas i przestrze4 .

Prezentacja pogldw I. Kanta przez B. Bolzano prowadzi downiosku, e ten ostatni przyj w roku 1810 jako wasne trzy stwier-dzenia I. Kanta: podzia sdw na syntetyczne i analityczne, denicjetyche oraz przekonanie, e sdy matematyki i czystego przyrodo-znawstwa s rwnoczenie syntetyczne i aprioryczne. Z drugiej stronyB. Bolzano zasygnalizowa, e nie zgadza si w peni z I. Kantem codo wewntrznej natury sdw syntetycznych. A zatem jak monaprzypuszcza jego zastrzeenia bd dotyczyy konstrukcji sdwsyntetycznych przez odpowiednie wyobraenia ( Anschauungen ) skon-federowane z pojciami podmiotw tych sdw, a w konsekwencjitake istnienia wyobrae ( Anschauungen ) a priori , takich jak czasi przestrze, niezbdnych dla budowania w teorii I. Kanta s-

dw syntetycznycha priori matematyki i czystego przyrodoznawstwa.Wobec tego od razu te rodzi si pytanie, jak podstaw znalaz B. Bol-zano dla syntetycznego i rwnoczenie apriorycznego charakteru s-dw matematyki.

Po prezentacji pogldw I. Kanta przystpi B. Bolzano do uzasad-nienia swoich wtpliwoci. Pierwszym jego krokiem byo ucileniestosownej terminologii. Najpierw odwoujc si do wielu miejsc w pi-smach I. Kanta, okreli podzia przedstawie (Vorstellungen ) . Przed-stawienia s albo wyobraeniami ( Anschauungen ) , to jest przedstawie-niami czego indywidualnego, albo pojciami ( Begriffe ) , to znaczyprzedstawieniami czego oglnego. Nastpnie postawi B. Bolzano py-tanie, czym miayby by wyobraenia ( Anschauungen ) aprioryczne. Tu ju udzieli wasnej odpowiedzi, nie odwoujc si do tekstw I. Kanta.

4Por. B. Bolzano,Beytr age zu einer begr undeteren Darstellung der Mathematik ,s. 136-137.


4/15

4 J DADACZYSKI

Jego zdaniem, jedynym moliwym okreleniem wyobrae ( Anschau-ungen ) apriorycznych byoby okrelenie ich jako wyobrae ( Anschau-ungen ) , ktre zwizane s ze wiadomoci koniecznoci, e muszone by takie a nie inne. Bowiem tylko wtedy, kiedy w wyobraeniu( Anschauung ) zawarta jest wiadomo tej koniecznoci, moe wia-domo koniecznoci by zawarta w zaporedniczonym (vermittelten )przez nie (przez wyobraenie) zwizku pomidzy podmiotem a pre-dykatem, to znaczy w sdzie5.

Po wprowadzeniu stosownych denicji B. Bolzano ponownie po-wrci do zaprezentowania jdra swoich wtpliwoci co do wewntrz-nej natury sdw syntetycznych. Stwierdzi jeszcze raz, e sdy synte-tyczne musz mie zupenie inn podstaw anieli zasada sprzecznoci(Satz des Widerspruches ) . Jednak nie jest dla niego zrozumiae, dla-czego miayby t podstaw stanowi wyobraenia ( Anschauungen ) ,a dla sdw syntetycznycha priori czyste (reine ) , czyli apriorycznewyobraenia ( Anschauungen ) . Wida zatem, e istota Bolzanowskiejkrytyki koncepcji Kantowskiej zwraca si przeciwko wyobraeniom( Anschauungen ) a priori 6.

Ju w tym miejscu zdaje si B. Bolzano sugerowa, e wyobra-

enia ( Anschauungen ) a priori zostay do koncepcji I. Kanta wprowa-dzone bezpodstawnie. Stwierdza bowiem, e I. Kant nie do dokad-nie rozrni to, co empiryczne, od tego, co aprioryczne. Owszem,zauwaa on, eKrytyka czystego rozumu rozpoczyna si od tego roz-rnienia, ale I. Kant nie daje precyzyjnego okrelenia tego, co empi-ryczne, i tego, co aprioryczne7 .

Te luk B. Bolzano stara si zapeni. Jego zdaniem, podzia nato, co empiryczne, i to, co aprioryczne, dotyczy pierwotnie sdw.Rozrnienie sdw empirycznych i apriorycznych zostanie pniejprzeniesione na przedstawienia (Vorstellungen ) . Jego zdaniem, sdyempiryczne maj form ja spostrzegam (ich nehme wahr ) X . Za

5Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 138. Trzeba wyjani, e wedug I. Kanta wszystkiesdy aprioryczne miay by sdami koniecznymi.

6Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 138-139.7Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 139.


5/15


X nazywa wyobraeniem ( Anschauung ) albo, zamiennie, empirycz-nym przedstawieniem (Vorstellung )8. Wszystkie inne sdy s wedugB. Bolzano aprioryczne, a jako podmiot i predykat zawieraj one pojcia ( Begriffe ) .

Trzeba w tym miejscu wycign dwa wnioski. Po pierwsze,B. Bolzano daje now denicj wyobrae ( Anschauungen ) , odmiennod tej, ktr wydoby z tekstw I. Kanta. Po wtre, utosamia onw istocie przedstawienia (Vorstellungen ) empiryczne z wyobraeniami( Anschauungen ) . Wedug tego, co pisze B. Bolzano, wyobraenia( Anschauungen ) nie s niczym innym, jak tylko empirycznymi przed-stawieniami (Vorstellungen ) . Zatem wszystkie wyobraenia ( Anschau-ungen ) , zdaniem B. Bolzano, posiadaj charakter empiryczny. Innymisowy, ju tutaj mona wycign wniosek, e nie istniej jego zda-niem wyobraenia ( Anschauungen) aprioryczne. Zatem B. Bolzanoidzie jeszcze dalej ni stwierdzenie, e wyobraenia ( Anschauungen )a priori nie uczestnicz w budowaniu przez umys sdw syntetycz-nycha priori , a wic rwnie sdw matematyki. B. Bolzano zdaje si ju w tym miejscu po prostu negowa istnienie wyobrae ( Anschau-ungen ) a priori , stwierdzajc w istocie, e wszys-tkie wyobraenia

( Anschauungen ) posiadaj charakter empiryczny.Nasuwaj si wobec tego dwa pytania: jak, na jakiej podstawiebudowane s wedug B. Bolzano sdy syntetycznea priori ,a wic sdy matematyki i czystego przyrodoznawstwa, oraz czym sw jego ujciu czas i przestrze? Nie mog by one wyobraeniami( Anschauungen ) a priori , jak u I. Kanta, bowiem takowe, zdaniempraskiego lozofa, nie istniej. Pozostay mu tylko dwa rozwizania,przy zaoeniu, e B. Bolzano akceptowa sabsz tez I. Kanta, i sone przedstawieniami (Vorstellungen ) : albo czas i przestrze s przed-stawieniami (Vorstellungen ) empirycznymi, czyli wyobraeniami ( An-schauungen ) , albo s one przedstawieniami (Vorstellungen ) a priori ,czyli pojciami ( Begriffe ) .

8...und jenesX in ihnen [in Urtheilen J.D.] heisse ich eine Anschauung, oder,wenn man will, eine empirische Vorstellung., B. Bolzano, dz. cyt., s. 140.


6/15

6 J DADACZYSKI

Rozrniwszy sdy empiryczne i aposterioryczne, pyta B. Bolzano, jaka jest podstawa takich sdw. Stwierdza najpierw oglnie, e sdyempiryczne maj zupenie inn podstaw anieli sdy aprioryczne. Tepierwsze zdaj si posiada, zdaniem praskiego lozofa, podwjnpodstaw. Po czci stanowi j wadze spostrzeeniowe (Wahrneh-mungsvermoegen ) podmiotu poznajcego, po czci tkwi ona w sa-mych rzeczach, ktre dziaaj na wadze spostrzeeniowe podmiotupoznajcego9 .

Mona zatem stwierdzi, i mody B. Bolzano przej w duejmierze od I. Kanta koncepcj genezy sdw empirycznych. S one wy-padkow oddziaywania rzeczy samych w sobie na podmiot poznajcyoraz, najoglniej mwic, wadz spostrzeeniowych podmiotu poznajcego. Z gry naley jednak zaznaczy, e Bolzanowska koncepcjagenezy sdw empirycznych musi si nieco rni od zaprezentowanejprzez I. Kanta, poniewa z wczeniejszych rozwaa wynika, i praskilozof, na razieimplicite , odrzuci przekonanie, e czas i przestrzes wyobraeniami ( Anschauungen ) a priori. Te za peniy u I. Kantarwnie wan rol rwnie w budowie sdw empirycznych. Wedugniego podmiot poznajcy nakada na materia empiryczny, czyli na

wraenia ( Empndungen ) , czas i przestrze, a wic wyobraenia ( An-schauungen ) a priori 10.Natomiast podstaw sdw apriorycznych, dla ktrej do podmiotu

dodaje si stosowny predykat, widzi B. Bolzano wycznie w sa-mym podmiocie sdu oraz we waciwociach ( Beschaffenheit ) predy-katu. Jak wspomniano wczeniej, zarwno pomiot, jak i predykat sduapriorycznego s, wedug praskiego lozofa, pojciami ( Begriffe ) . Za-tem wyobraenia(Anschauungen ) nie graj adnej roli w konstrukcjisdw apriorycznych. Konsekwentnie wic jak mona wnioskowa adne wyobraenia ( Anschauungen ) nie odgrywaj roli w budowa-niu sdw syntetycznycha priori , czyli sdw matematyki i czystegoprzyrodoznawstwa11 .

9Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 141-142.10Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 142.11Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 142-143.


7/15


Nastpnym krokiem B. Bolzano byo odwoanie si do przykadw,ktre w ramach swojej lozoi matematyki prezentowanej wKritik der Reinen Vernunft wprowadzi I. Kant. Wszystkie one miay wedug -lozofa z Krlewca uzasadnia przekonanie, e sdy matematyki, jakosyntetycznea priori , budowane s przez odwoanie si do wyobra-e ( Anschauungen ) a priori. Powoujc si na takie same przykady,B. Bolzano stara si wykaza wasn przeciwn do Kantowskiej tez, e wyobraenia ( Anschauungen ) nie odgrywaj adnej roliw budowaniu sdw apriorycznych, czyli rwnie sdw matematyki.

B. Bolzano najpierw parafrazuje myl I. Kanta: kiedy poczoglne pojcie punktu, albo kierunku, albo odlegoci z wyobrae-niem, to znaczy przedstawi sobie pojedynczy punkt, pojedynczy kie-runek albo pojedyncz odlego, to znajduj w tych pojedynczychprzedmiotach, e przysuguje im ten czy inny predykat i czuj rw-noczenie, e to samo zachodzi przy wszystkich innych przedmiotach,ktre podpadaj pod stosowne pojcia12. Nastpnie za praski lozof stawia pytanie, jak wyobraenie ( Anschauung ) pojedynczego przed-miotu moe prowadzi do poczucia (Gefuele ) , e to, co w tym wy-obraeniu si stwierdza, przysuguje rwnie kademu innemu przed-

miotowi, podpadajcemu pod stosowne pojcie (np. punktu). I od-powiada, e do takiego uoglnionego wniosku dochodzi si jedynieprzez to, co oglne, a nie indywidualne w danym przedmiocie. Tunawizuje on do wprowadzonego wczeniej Kantowskiego rozrnie-nia w ramach przedstawie (Vorstellungen ) , ktre mwio, e dzielsi one na przedstawienia czego indywidualnego, czyli wyobraenia( Anschauungen ) , oraz przedstawienia czego oglnego, czyli pojcia(Begriffe ) , i stwierdza ostatecznie, e podstaw sdw apriorycznych,

12Wenn ich den allgemeinen Begriff z. B. von einem Puncte, oder von einer Rich-tung oder Entfernung mit einer Anschauung verbinde, d. h. mir einen einzelnen Punct,eine einzelne Richtung oder Entfernung vorstelleo so nde ich an diesen einzelnengegenstaenden, da ihnen die oder jenes Praedicat zukommeo und fuelle zugleich,da dieses bey allen anderen Gegenstaenden, die unter diesen Begriff gehoeren, gle-ichfalls so sey., B. Bolzano, dz. cyt., s. 144-145.


8/15

8 J DADACZYSKI

a wic rwnie sdw matematyki, musz by pojcia ( Begriffe ) , a niewyobraenia ( Anschauungen )13 .

Przytoczony przykad (grupa przykadw) z geometrii miaawiadczy zatem, zdaniem B. Bolzano, e w budowaniu sdw aprio-rycznych podmiot poznajcy nie odwouje si do adnych wyobrae( Anschauungen ) , lecz opiera si wycznie na pojciach. Mona wnio-skowa, e to samo przekonanie odnisby on do sdw syntetycznycha priori , wanie ze wzgldu na ich aprioryczny charakter. Zreszt po-suy si za I. Kantem przykadami z zakresu geometrii, ktrej sdytake, jego zdaniem, miay charakter aprioryczny i syntetyczny.

Nastpnie praski lozof odwoa si ponownie do klasycznychprzykadw I. Kanta, by potwierdzi swoj wczeniej wypowiedziantez, e w budowaniu sdw syntetycznych podmiot poznajcy nieposuguje si adnymi wyobraeniami ( Anschauungen ) . Poniewakolejne przykady pochodz z zakresu arytmetyki i geometrii, dla-tego mona stwierdzi, e i one maj potwierdzi wczeniejsz tezB. Bolzano, i wyobraenia ( Anschauungen ) nie odgrywaj adnej roliw konstruowaniu sdw syntetycznycha priori .

B. Bolzano, ponownie zgadzajc si z I. Kantem, e wikszo

sdw arytmetyki ma charakter syntetyczny, chcia podway jednakKantowskie przekonanie, e podstaw syntetycznych sdw arytme-tyki jest wyobraenie ( Anschauung ) czasu. I. Kant, uzasadniajc swojeprzekonanie, odwoa si do synnego przykadu, pokazujcego, jakwyobraenie ( Anschauung ) aprioryczne czasu konieczne jest do udo-wodnienia sdu, e 7 = 5 = 12 . B. Bolzano dla lepszej przejrzy-stoci zdecydowa si na przykad 7 + 2 = 9 . Stwierdzi, e dowdtakiego twierdzenia nie przedstawia adnej trudnoci, jeli zaoy si,e a + (b + c) = (a + b) + c . Jego zdaniem, ta oglna teza wskazuje,e suma arytmetyczna jest zalena wycznie od liczby skadnikw,natomiast nie zaley od ich porzdku. Poniewa wedug B. Bolzanopojcie porzdku jest pojciem szerszym od pojcia nastpstwa cza-sowego, dlatego wprowadzona teza oglna zamiast zakada pojcieczasu jak chciaby zapewne I. Kant wykluczaa to pojcie. Dalej

13B. Bolzano, dz. cyt., s. 145-146.


9/15


mona byo prowadzi dowd twierdzenia, wyglda on nastpujco:1 + 1 = 2 , 7 + 1 =8 , 8 + 1 = 9 , to denicje,7 + 2 = 7 + (1 + 1)(z denicji)= (7 + 1) + 1 (na podstawie wprowadzonej tezy oglnej)= 8 + 1 (z denicji)= 9 (z denicji). Tak wic, zdaniem praskiegomatematyka, mona byo wbrew I. Kantowi przeprowadzi do-wd tego i innych twierdze arytmetycznych, nie zakadajc w adensposb wyobraenia ( Anschauung ) czasu14. Zatem sdy syntetyczne,a konkretniej: sdy syntetycznea priori , nie wymagaj jako podstawyadnych wyobrae ( Anschauungen ) .

Nastpnie B. Bolzano jeszcze raz odwoa si do przykadw wzi-tych z geometrii, by pokaza, e w budowaniu sdw syntetycznycha priori podmiot poznajcy nie posuguje si adnymi wyobraeniami( Anschauungen ) . Jest tak, jego zdaniem, z dwu powodw.

Po pierwsze, rne podmioty poznajce posuguj si rnymiwyobraeniami ( Anschauungen ) przedmiotw geometrycznych. I takna przykad mona sobie wyobraa odcinek jako sztab albo jakoacuch. Po wtre, podmiot poznajcy w wypadku budowania wielusdw dotyczcych pewnych obiektw geometrycznych nie posiadaabsolutnie adnych stosownych wyobrae ( Anschauungen ) . Tak jest

na przykad, gdy konstruuje si sdy dotyczce linii prostej, ktra jest przecie nieskoczona, oraz skomplikowanych obiektw stereo-metrycznych. Ani nieskoczonej linii prostej, ani te skomplikowanychobiektw stereometrycznych nie jest w stanie zdaniem B. Bolzano podmiot poznajcy sobie wyobrazi15. W tym miejscu te B. Bol-zano dodaje jedno z niewielu zda, ktre pozwalaj przynajmniej poczci ustali, jak on sam widzi kwesti dochodzenia do sdw syn-tetycznycha priori . Wedug niego, brak stosownych wyobrae ( An-schauungen ) nie wyklucza moliwoci budowania sdw syntetycz-nych a priori , bowiem: mimo tego (braku J.D.) my rachujemy nanaszych pojciach dalej i znajdujemy prawd16. Zatem do sdw syn-

14Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 146-148.15Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 148-150.16... wir rechnen aber nichts desto weniger mit unsern Begriffen fort, und nden

Wahrheit., B. Bolzano, dz. cyt., s. 150.


10/15

10 J DADACZYSKI

tetycznycha priori dochodzi si wycznie na podstawie obliczedokonywanych na pojciach ( Begriffe ) , bez adnego odwoywania sido wyobrae ( Anschauungen ) stosownych przedmiotw.

Dalej stawia B. Bolzano pytanie, skd bierze si tak wielka pew-no i oczywisto matematyki, w porwnaniu z innymi dziedzinaminauki. Jego zdaniem wynika to std, e rezultaty matematyki monaw wielu wypadkach bardzo atwo sprawdzi przy pomocy wyobrae( Anschauungen )17 i dowiadcze ( Erfahrungen ) . I tak kady moesprawdzi, e odcinek jest najkrtsz lini czc dwa punkty, za-nim jeszcze na drodze wnioskowania dowiedzie tego faktu. Jednak,ostrzega B. Bolzano, e nie zawsze twierdzenia matematyki s oczy-wiste, atwe do sprawdzenia na drodze dowiadczenia. Tak jest naprzykad jego zdaniem w wypadku aksjomatw, ktre posia-daj o wiele mniejsz pogldowo ( Anschauunlichkeit ) od twier-dze z nich wyprowadzonych18.

Na kocu swojego tekstu zajmuje si B. Bolzano spraw statusuczasu i przestrzeni, ktre w koncepcji I. Kanta byy wyobraeniami( Anschauungen ) a priori , pozwalajcymi budowa sdy syntetycznea priori matematyki. Ju analiza wczeniejszych fragmentw tekstu pra-

skiego lozofa pokazaa, iimplicite wykluczy on istnienie wyobrae( Anschauungen ) a priori i e pozostay mu tylko dwa rozwizania: alboczas i przestrze s przedstawieniami (Vorstellungen ) empirycznymi,czyli wyobraeniami ( Anschauungen ) , albo s one przedstawieniami(Vorstellungen ) a priori , czyli pojciami ( Begriffe ) . I rzeczywicieB. Bolzano stwierdza, e czas i przestrze s apriorycznymi formamiumiejscowionymi w podmiocie poznajcym, ktry nakada je nawraenia pochodzce z rzeczy samych w sobie. To cakowicie zga-dza si z nauk I. Kanta. Jednak z tekstu B. Bolzano wynika, e czasi przestrze nie s dla niego wyobraeniami ( Anschauungen ) , ale pojciami ( Begriffe ) . Dodaje te od razu, e s to pojcia ( Begriffe )

17Jak zaznaczono wczeniej, wszystkie wyobraenia ( Anschauungen ) , wedugB. Bolzano, miay charakter empiryczny, a nie aprioryczny.

18Por. B. Bolzano, dz. cyt., s. 150-151.


11/15


12/15

12 J DADACZYSKI

sdw matematyki podmiot poznajcy odwouje si wyobrae ( An-schauungen ) , musiaoby w konsekwencji prowadzi do twierdzenia,e sdy matematyki s empiryczne. To za byo nie do przyjcia dlaapriorysty, jakim by B. Bolzano.

Pozostaje jednak pytanie, ktre kilkakrotnie przewijao si przezniniejsze analizy: jak wyobraa sobie praski lozof dochodzenie dozda matematyki, ktre miay rwnoczenie syntetyczny i apriorycznycharakter? Wypada podkreli, e ujawnia si w tym miejscu ma-niera B. Bolzano. W sposb pedantyczny przeprowadza on krytykpogldw swoich poprzednikw. Natomiast swoje wasne przekona-nia uzasadnia niejednokrotnie nadzwyczaj oszczdnie, ograniczajcsi do jednego czy dwu lapidarnych zda. W tym konkretnym przy-padku stwierdza on, e do sdw matematyki, ktre s syntetycznea priori , dochodzi si na drodze rachunku prowadzonego na poj-ciach ( Begriffe ) . We wczeniejszym rozdziale analizowanej ksiki,zatytuowanymUeber die mathematische methode 20, B. Bolzano pre-zentuje, jak rozumie w rachunek na pojciach, ktry prowadzi dotwierdze matematyki. Jego wykad jest w wielu aspektach na wskronowoczesn prezentacj metody aksjomatyczno-dedukcyjnej w mate-

matyce. Przyjmuje on istnienie aksjomatw, zda niedowiedlnych. Dozda pochodnych dochodzi si na drodze przeksztace aksjomatwi zda ju udowodnionych, przy zastosowaniu pewnych regu, ktrewyznaczaj rozbudowana sylogistyka arystotelesowska oraz niektretezy rachunku zda. Trzeba zauway, e przy takim sposobie do-wodzenia twierdze matematyki nie rozszerza si jej zakresu. Zda-nia pochodne matematyki s wycznie konsekwencjami aksjomatw.Caa wiedza matematyczna zawarta jest w aksjomatach. Twierdzeniapochodne nie dodaj ju nic nowego do tej wiedzy, ktra jest zawartaw aksjomatach, i stanowi wycznie ich logiczne nastpstwa. Jak dotej koncepcji rachunku na pojciach ma si uporczywe twierdzenieB. Bolzano, e sdy matematyki s syntetyczne? Sdy syntetyczne czyli takie, ktrych predykat nie jest zawarty w podmiocie po-winny zgodnie z koncepcj Kantowsk wnosi co istotnie nowego



13/15


do wiedzy, rozszerza j. Tymczasem rachunek na pojciach, tak jak go widzi w matematyce B. Bolzano, nie rozszerza wiedzy po-tencjalnie zawartej w aksjomatach, a jedynie j eksplikuje. Poza tymw koncepcji praskiego lozofa dochodzenie do zda analitycznych po-lega rwnie wycznie na rachunku na pojciach. Nie wida zatemistotnej rnicy w sposobie budowania sdw syntetycznych i sdwanalitycznych i nie wida przyczyny, dla ktrej B. Bolzano twierdzi,e sdy matematyki s syntetyczne.

By moe B. Bolzano w roku 1810 nie uwiadamia sobie jeszczecakowicie tych konsekwencji rezygnacji z Kantowskiego twierdzenia,e do sdw syntetycznycha priori, czyli rwnie do sdw mate-matyki, dochodzi si przez odwoanie do wyobrae ( Anschauungen )a priori stosownego przedmiotu. Wydaje si jednak, e naszkicowanasytuacja problemowa doprowadzia go w kocu do rezygnacji z prze-konania, e sdy matematyki maj charakter syntetyczny, i w rezultaciedo przyjcia antykantowskiej tezy, stwierdzajcej, e sdy matematykis analityczne. Takie w kadym razie stanowisko zaj praski lozof jak ju wczeniej wspominano w swym najdojrzalszym dziele Wissenschaftslehre z roku 1837. Najprawdopodobniej zatem ge-

nezy pniejszego antykantyzmu w lozoi matematyki B. Bolzanonaley doszukiwa si ju w czasach pracy nadBeytr age zu einer begr undeteren Darstellung der Mathematik , wydanych w roku 1810.

Warto jeszcze zwrci uwag, e zrezygnowanie przez B. Bol-zano z odwoania si do wyobrae ( Anschauungen ) w procesie do-chodzenia do sdw matematyki i twierdzenie, i dochodzi si donich wycznie na drodze rachunku na pojciach spowodowao, ew jego ujciu matematyka nie wymagaa adnej naocznoci. Nietrzeba si byo w dowodzeniu twierdze odwoywa do adnych obra-zw rysowanych w jakimkolwiek medium, nie trzeba byo wyobraasobie przedmiotu, ktrego wasnoci miao opisywa dane twierdzenie.Matematyka bya wycznie nauk pojciow. Owa rezygnacja z na-ocznoci przedmiotw matematyki to te konsekwencja odejcia odnauki I. Kanta.


14/15

14 J DADACZYSKI

Z tekstu B. Bolzano wynika rwnie, e podmiot poznajcynie musia konstruowa w wyobrani ( Einbildungskraft ) stosownychobiektw (na przykad geometrycznych), aby wykorzystywa ich wy-obraenia ( Anschauungen ) jako podstawy w budowaniu sdw mate-matyki. Co wicej, z tekstu praskiego lozofa mona wywnioskowa,e niektrych obiektw geometrii nie mona w ten sposb w ogleskonstruowa, na przykad nieskoczonej linii prostej czy te skompli-kowanych obiektw stereometrycznych21 . Z drugiej za strony, I. Kanttwierdzi, e waciwym istnieniem obiektw matematyki jest ich ist-nienie jako skonstruowanych przez podmiot poznajcy. Wedug lo-zofa z Krlewca obiekty matematyki s konstruktami podmiotu po-znajcego. Wida zatem, e i w tym zakresie B. Bolzano odszed odnauki swojego poprzednika. Waciwe istnienie obiektw matematykimusi by wobec tego w koncepcji B. Bolzano innym istnieniem ni ist-nienie konstruktw podmiotu poznajcego (wyobrani). Warto jeszczewskaza, e wedug I. Kanta warunkiem wystarczajcym i koniecz-nym istnienia obiektw matematyki bya koniunkcja dwu warunkw:niesprzecznoci odpowiednich przedmiotw oraz ich konstruowalno-ci. Natomiast w koncepcji B. Bolzano konstruowalno w wyobrani

przedmiotw matematycznych nie moga stanowi warunku koniecz-nego istnienia, zatem wydaje si, e skania si on do klasycznegoprzekonania, e niesprzecznoc jest zarwno koniecznym, jak i wystar-czajcym warunkiem istnienia przedmiotw matematycznych. Trzebate byo dla nich znale inne miejsce ni wyobrania ( Einbildung-skraft ) podmiotu poznajcego.

Mona zatem generalnie stwierdzi, ze ju w swym dziele z 1810roku Beytr age zu einer begr undeteren Darstellung der Mathematik mody B. Bolzano zacz si wyzwala z koncepcji matematyki za-prezentowanej przez I. Kanta. Owszem, na pierwszy rzut oka przyj-muje on pewne zasadnicze twierdzenia myliciela z Krlewca, ale przygbszej analizie okazuje si, e w wzowych punktach zajmuje onstanowisko antykantowskie. Przede wszystkim za analizowany artykuzaprezentowa sytuacj problemow, w jakiej znalaz si B. Bolzano



15/15


i z powodu ktrej pniej jak si wydaje zacz twierdzi, esdy matematyki s zasadniczo analityczne.

Warto zwrci uwag, e przekonanie o analitycznym charakterzesdw matematyki byo pierwszym lozocznym wnioskiem, ktrywycign G. Frege po wykonaniu programu logicyzmu22. Zbienomyli dojrzaego B. Bolzano z pogldami G. Fregego nie wydaje siprzypadkowa. Aby logik z Jeny mg wycign swj wniosek, trzebabyo najpierw zbudowa zrby teorii mnogoci, w jej kategoriach zde-niowa liczby naturalne, w sposb cisy wprowadzi liczby rzeczy-wiste (niewymiernoci), zarytmetyzowa, przy pomocy pojcia gra-nicy, podstawy rachunku rniczkowego i cakowego. Gdy studiujesi dorobek B. Bolzano, to okazuje si, e w kilku wspomnianychpunktach (denicja liczb naturalnych, pojcie granicy) to on wanie przed G. Fregem i A. Cauchym wykona jako pierwszy wspo-mniane zadania, w pozostaych (zrby teorii mnogoci, konstrukcjaliczb rzeczywistych) rwnie prbujc znale wasne rozwizania.Zatem zasadne jak si wydaje jest dalsze badanie kwestii, czyB. Bolzono nie antycypowa realizacji programu logicyzmu.

22Koncepcja G. Fregego bya obciona w swych podstawach antynomiami teo-riomnogociowymi; starali si je usun B. Russell oraz A.N. Whitehead.

J. Dadaczyński - Filozofia matematyki I. Kanta w oczach młodego B. Bolzano

Documents

Transcript of J. Dadaczyński - Filozofia matematyki I. Kanta w oczach młodego B. Bolzano