Gd Fund a Mentos

8/2/2019 Gd Fund a Mentos

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Geometria Descritiva

Fundamentos e Operaes Bsicas

Paulo Srgio Brunner Rabello

()

()

()

()

()

0

D

h

h

(V)

V'

v


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2


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GEOMETRIA DESCRITIVAFundamentos e Operacionais

Bsicas


Professor Adjunto da Universidade do Estado doRio de Janeiro

Ex-Professor da Universidade FederalFluminense

Livre-Docente em Construo CivilEspecializado em Geometria e Representao

Grfica

Rio de Janeiro, RJ, 2011


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4

APRESENTAO

Este livro o resultado de estudos e pesquisas feitas

pelo autor durante os anos que tem ministrado as disciplinas

Geometria Descritiva e Desenho Bsico nos cursos de

engenharia da Universidade do Estado do Rio de Janeiro e que

foram consolidadas durante o semestre sabtico realizado no

Departamento de Tcnicas de Representao da Escola de

Belas Artes da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Ficou claramente confirmado que a Geometria

Descritiva ensinada (?) hoje, naqueles cursos no est

ensejando a percepo espacial dos alunos para os fenmenos

geomtricos, bloqueando o entendimento do mecanismo da

dupla projeo ortogonal. Alm disso, a exigidade da carga

horria no permite que o professor consiga chegar

representao de projees de figuras tridimensionais e muito

menos s sees planas e respectivas verdadeiras grandezas.

Isto faz com que a disciplina se torne enfadonha,

desinteressante e intil, porque o aluno no conseguir fazer a

necessria ligao do mtodo mongeano com as vistas

ortogrficas, o que deve ser o objetivo maior para os cursos

bsicos de engenharia.

Evidentemente, no possvel ensinar em 60 horas-

aula o que era transmitido em, pelo menos, dois anos do

ensino mdio. Por isso, nos propomos a criar uma proposta de

ensino de Geometria Descritiva, alterando a sequncia clssicaadotada em livros e apostilas e retirando determinados

tpicos que julgamos desnecessrios para os objetivos a serem

atingidos. Como poder ser visto, alguns assuntos passaram a

ser aplicaes da teoria ensinada, tais como representao de

figuras tridimensionais e sees planas. Deste modo,

acreditamos que, entre 45 horas-aula (mnimo admissvel) e 60

horas-aula (ideal) a Geometria Descritiva possa ser ensinada emostrada como ferramenta indispensvel para os profissionais


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que vo lidar com projetos que carecem de representao

grfica.

Rio de Janeiro, 30 de setembro de 2011



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NOTAES UTILIZADAS EM PROJEES ORTOGONAIS

I.0) CONSIDERAES INICIAIS

A Geometria Descritiva concebida por Gaspar Monge aparte da Matemtica que estuda as figuras e as formas geomtricasatravs de suas projees ortogonais sobre dois planosperpendiculares entre si. Tal procedimento caracteriza o chamadomtodo mongeano ou mtodo da dupla projeo ortogonal.

Considerando como referncia o espao que ocupamos, umdos planos chamadoplano horizontal de projeo. O outro plano,naturalmente, chamado plano vertical de projeo. A reta deinterseo entre os planos de projeo chamada linha de terra.

As figuras passveis de expresso grfica podem serrepresentadas, basicamente, atravs de uma imagem perspectivaou de suas projees ortogonais. A imagem perspectiva, desenhoperspectivo ou simplesmente perspectiva, mostra a figura como vista por nossos olhos. As projees ortogonais compem odesenho projetivo de uma figura e mostram como realmente ela .

O desenho projetivo, ou seja, a representao grfica das projeesortogonais de uma determinada figura comumente chamada depura desta figura.

As figuras geomtricas so aquelas que podem sercaracterizadas por uma equao (algbrica ou transcendente) ouobedecem a uma lei de formao. Tais figuras so o objeto deestudo da Geometria Descritiva e so constitudas por pontos, retas,segmentos de reta, planos, pores planas, curvas, segmentos de

curvas ou pores de superfcies. Um segmento de reta, porexemplo, pode ser entendido como um deslocamento limitado deum ponto segundo uma direo ou simplesmente um determinadotrecho de uma reta. Um prisma regular, por outro lado, umafigura tridimensional constituda por um nmero limitado de faceslaterais retangulares adjacentes (pores planas iguais) e por duasbases poligonais regulares (tambm pores planas). A esfera umasuperfcie curva fechada que goza da propriedade de ser um lugar

geomtrico dos mais importantes, mas pode ser definida como umasuperfcie de revoluo.


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A perspectiva de uma figura de grande ajuda paraentender sua forma, facilitando assim a construo de suasprojees ortogonais. Nas solues de vrios problemas e mesmona explicao de determinados procedimentos da Geometria

Descritiva o uso da perspectiva torna-se uma ferramentaindispensvel. O desenho perspectivo, como j foi dito, arepresentao grfica de uma figura tal como ela vista por umobservador posicionado num determinado local.

Tanto na perspectiva como no desenho projetivo, oselementos geomtricos que constituem uma figura devem seridentificados atravs de uma notao prpria que no d margens advidas sobre o que est sendo representado.

2.0) IDENTIFICAO GERAL DOS PRINCIPAIS ELEMENTOSGEOMTRICOS

2.1.) PONTOS

Os pontos so identificados por letras latinas maisculas ou

por algarismos arbicos.

Ex: A, B, C,...M,N,P,Q,... etc ou 1, 2, 3, ... etc

Alguns pontos so especiais e, sempre que possvel, devemser identificados especificamente. So eles:

2.1.1) H: trao horizontal de retas

2.1.2) V: trao vertical de retas

2.1.3) I: trao de retas no plano bissetor mpar

2.1.4) P: trao de retas no plano bissetor par

2.2.) RETAS

As retas so identificadas por letras latinas minsculas.


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Ex: a, b, c, ... etc

Algumas retas ocupam posies particulares no espao e,

tal como alguns pontos, devem, sempre que possvel, seridentificadas especificamente. So elas:

2.2.1) h: retas horizontais

2.2.2) f: retas frontais

2.2.3) v: retas verticais

2.2.4) p: retas de perfil

2.2.5) t: retas de topo

2.2.6) i: retas de interseo de dois planos

2.3) PLANOS E SUPERFCIES

Os planos e as superfcies em geral so identificadas porletras gregas minsculas.

Ex: , , , , ... etc

Alguns planos so especiais e ocupam posies particulares

no espao e, por isso devem, obrigatoriamente, ser identificadosespecificamente. So eles:

2.3.1) , 1, 2,3 ...etc: planos de projeo

2.3.2) 13: plano bissetor mpar2.3.3) 24: : plano bissetor par

2.4) NGULOS


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Tal como planos e superfcies, os ngulos tambm soidentificados por letras gregas minsculas.

Alguns ngulos caracterizam determinadas condies esempre que necessrio devem ser identificados especificamente.

So eles:

2.4.1) : ngulo que uma reta ou um plano faz com o plano

horizontal de projeo

2.4.2) : ngulo que uma reta ou um plano faz com o plano

vertical de projeo

2.5) INTERSEO DE PLANOS

2.5.1) interseo de planos com planos de projeo

Emprega-se-se a letra grega que identifica o plano seguidada identificao do plano de projeo.

Ex: , 1, 2... etc

2.4.2) interseo de dois planos, em geral

A identificao feita pela reta de interseo dos planos.Sempre que possvel utiliza-se a letra i, minscula.

3.0) IDENTIFICAO DE ELEMENTOS GEOMTRICOS NO ESPAO

Os elementos geomtricos no espao recebem,respectivamente, as mesmas identificaes referenciadas no item2.0, diferenciadas apenas por serem apresentadas entre parnteses.

3.1) PONTOS

Ex: (A),(B), (C)... (M), (N)... (H), (V), (P), (I)...(1), (2), (3) etc

3.2) RETAS


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Ex: (a), (b), (c)...(f), (h),(i)...(m), (n), (p),(q), (r ), (s),(t),(v) etc

3.3) PLANOS

3.3.1) Planos de Projeo

Ex: (), (1), (2), (3) ...etc

3.3.2) Planos em geral)

Ex: (), (), () ...etc


3.4.1) Interseo dos planos de projeo:

Esta reta de interseo chamada linha de terra e representada no espao por ().

3.4.2) Interseo de Planos com Planos de Projeo

Ex: (), (1), (1), (2) ... etc

3.4.3) Interseo de dois Planos em Geral

Identificada pela reta de interseo.

Sempre que possvel, usa-se a letra (i) minscula.

4.0) IDENTIFICAA DAS PROJEES NOPLANO HORIZONTAL

4.1) Identificao do Plano Horizontal de Projeo no espao: ()


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As projees de elementos geomtricos no plano horizontalde projeo () se identificam tal como no espao, mas perdem os

parnteses.

4.2) PROJEES HORIZONTAIS DE PONTOS

Ex: A, B, C...M, N...H, V, P, I...1, 2, 3 ...etc

4.3) PROJEES HORIZONTAIS DE RETAS E CURVAS

Ex: a, b, c ... m, n, p, q , r, s, t ... etc

4.4) PROJEES HORIZONTAIS DE PORES PLANAS

Pores planas no so representveis em pura.4.5) INTERSEO DE PLANOS

4.5.1) Interseo dos Planos de Projeo:

4.5.2) Interseo de Planos em Geral com o Plano deProjeo Horizontal ():

Ex: , , ... etc

4.5.3) Interseo de Dois Planos em Geral:

identificada pela projeo horizontal da reta de

interseo, Se for utilizada a reta (i), a projeo horizontal ser i.

5.0) IDENTIFICAA DAS PROJEES NO PLANO VERTICAL

4.1) Identificao do Plano Vertical de Projeo no espao : ()


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As projees de elementos geomtricos no plano vertical deprojeo () se identificam tal como no plano horizontal, mas

ganham uma tarja do tipo

4.2) PROJEES VERTICAIS DE PONTOS:

Ex: A, B, C...M, N...H, V, P, I...1, 2, 3 ...etc

4.3) PROJEES VERTICAIS DE RETAS E CURVAS:

Ex: a, b, c ... m, n, p, q , r, s, t ... etc

4.4) PROJEES VERTICAIS DE PORES PLANAS:

Pores planas no so representveis em pura.


4.5.1) Interseo dos Planos de Projeo:

4.5.2) Interseo de Planos em Geral com o Plano deProjeo Vertical ():

Neste caso, a tarja colocada somente no plano vertical deprojeo

Ex: , , ... etc

4.5.3) Interseo de Dois Planos em Geral:

identificada pela projeo vertical da reta de interseo,Se for utilizada a reta (i), a projeo vertical ser i.

5.0) IDENTIFICAO DAS NOVAS LINHAS DE TERRA APSMUDANAS DE PLANO DE PROJEO

Aps mudanas de planos de projeo, as intersees aseguir so linhas de terra de novos sistemas criados:


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13

5.1) Interseo de Plano Horizontal com Novos PlanosVerticais de Projeo:

5.1.1) No espao: (1), (2), (3) ... etc

5.1..2) Na pura: 1, 2, 3 ... etc

5.2) Interseo de Plano Vertical com Novos PlanosHorizontais:

5.2.1) No espao: (1), (2), (3) ... etc

5.2.2) Na pura: 1, 2, 3 ... etc

5.3) Interseo de novos Planos Horizontais com NovosPlanos Verticais e Vice-Versa:

5.3.1) No espao: (11), (2 1), (22) ... etc

5.3.2) Na pura: 11, 2 1, 22 ... etc

6.0) IDENTIFICAO DAS PROJEES APS MUDANAS DE PLANODEPROJEO OU APS ROTAES

Aps mudanas de planos de rotao ou de rotaes emtorno de um eixo (vertical ou horizontal), os elementos reprojetados

ou rotacionados recebem ndices subpostos respectiva projeo,da seguinte forma:

6.1) Pontos

P P1

Ex: (P)


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P P1

6.2) Retas e Curvas

c c1

Ex: (c)

c c1

7.0) IDENTIFICAO DAS PROJEES APS REBATIMENTOS

Aps rebatimentos (rotao em torno de um dos traos doplano at que esta se superponha a um dos planos de projeo) asprojees dos elementos das figuras rebatidas, tal como nasrotaes, recebem, na pura, ndices subpostos s respectivasprojees, da seguinte forma:

7.1) Trao Vertical do Plano Rebatido Sobre ():

aps o rebatimento passa a ser 1

7.2) Trao Horizontal do Plano Rebatido sobre ():

aps o rebatimento passa a ser 1

7.3) Rebatimento em Torno do Trao Horizontal do Plano:

7.3.1) Pontos

Ex: (P) P1

7.3.2) Retas e Curvas

Ex: (c) c1


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7.4) Rebatimento em Torno do Trao Vertical do Plano:

7.4.1) Pontos

Ex: (P) P1

7.4.2) Retas e Curvas

Ex: (c) c1


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1.0) FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA DESCRITIVA

1.1) CONSIDERAES INICIAIS

A idia de projeo quase que intuitiva, uma vez que suaocorrncia se d em diversos segmentos do nosso cotidiano. Trata-se de um fenmeno fsico que acontece normalmente na naturezaou que pode ser produzido artificialmente pelo homem.

Vejamos os seguintes exemplos:

1) Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzemsobre a superfcie de um piso claro, uma figura escura quechamamos comumente de sombra. O contorno da sombra nadamais que a projeo do contorno da placa na superfcie do piso.

2) As imagens que vemos numa tela de cinema so as projeesdos fotogramas contidos na fita de celulide quando sobre elesincidem os raios luminosos emitidos pela lmpada do projetor.

O Sol, no primeiro exemplo, e a lmpada do projetor, nosegundo, so o que chamamos centros projetivos enquanto que osraios solares e os raios luminosos so chamados raios projetantes.

A placa opaca e os fotogramas da fita so as figuras objetivas ouobjetos.

O contorno da sombra assim como as imagens produzidas natela de cinema so figuras projetadas ou projees nas superfciesdo piso e da tela de cinema, respectivamente.

Quando a superfcie de projeo plana dizemos que umplano de projeo.

Em resumo, para que ocorra uma projeo necessrio queestejam presentes os seguintes elementos:

a) centro projetivo emissor dos raios projetantes,identificado como (O);

b) figura objetiva ou objeto figura a ser projetada,identificada como (f);

c) plano de projeo plano onde ser formada a figuraprojetada, identificado como ().


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Os raios projetantes partem do centro projetivo, passampelos pontos que definem a figura objetiva e, ao interceptarem oplano de projeo, produzem a figura projetada ou, de um modogeral, a projeo do objeto.

1.2) CLASSIFICAO DAS PROJEES

Para todos os efeitos, a superfcie de projeo ser sempreplana.

As projees so classificadas em funo da distncia docentro projetivo ao plano de projeo e da direo dos raiosprojetantes em relao a este plano.

O centro projetivo prprio e indicado por (O), quando suadistncia ao plano de projeo mensurvel. Nesta situao osraios projetantes se propagam segundo um feixe de retas, pormsomente aqueles que passam pelos pontos que caracterizam afigura objetiva so considerados, tal como mostrado na figura 01. Asuperfcie criada pelos raios projetantes , tipicamente, umasuperfcie cnica. Por isso uma projeo com estas caractersticas

chamadaprojeo cnica.

Figura 01

A

M f

(O)

B

(f)

(A)

(B)

(M)


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Quando a distncia do centro projetivo ao plano deprojeo imensurvel, o centro projetivo imprprio e indicadopor (O). Neste caso os raios chegam ao plano de projeo segundoretas paralelas. Tal como no caso anterior, somente os raios que

passam pelos pontos que caracterizam a figura so considerados.

Quando o centro projetivo imprprio, dependendo dadireo dos raios projetantes em relao ao plano de projeo, ouseja, se oblquos ou perpendiculares, as projees ainda serclassificadas respectivamente como:

I) projeo oblquaII) projeo ortogonal

As figuras 02-a 02-b mostram, respectivamente, exemplosgenricos de uma projeo oblqua e de uma projeo ortogonal.

Figura 02-a Figura 02-b

1.3) PROJEES ORTOGONAIS

ff

(d)

A

M

A

(A)

M

B

(B)

(f)

((f)

(d)

()

(B)

(A)

B

(M)

(M)


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1.3.1) Projees da Figura Objetiva num nico Plano: ProjeesCotadas

Imaginemos que a figura (f) que se quer projetarortogonalmente num plano (), suposto horizontal, seja um

tringulo (ABC), de vrtices (A), (B) e (C), tal como mostrado nafigura 03.

Figura 03

Temos ento que:

(f) (ABC)

Nomeamos () Plano Horizontal de Projeo, ou, para

simplificar, PHP.Os raios projetantes partem de um centro projetivo

imprprio (O) e incidem perpendicularmente sobre (). Como,para definir um tringulo basta conhecer seus vrtices, para obter a

(C)

(A)

(B)

()


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projeo de (f) em () bastar conhecer as projees ortogonais de

(A), (B) e (C). Tais projees sero as intersees dos raiosprojetantes que passam, respectivamente, por (A), por (B) e por (C)com o plano (), conforme mostrado na figura 04. Os pontos A, B eC definem a projeo ortogonal de (f) em (). Como era de se

esperar, os pontos A, B e C so suficientes para definir a projeohorizontal de (f), o que nos permite escrever:

f ABC

Figura 04

Chama-se cota de um ponto distncia deste ponto a umplano horizontal tomado como referncia. Logo, as distncias de (A)a () de (b) a () e de (C) a () so, respectivamente, as cotas de (A),

de (B) e de (C). Podemos escrever que:

(C)

C

(A)

A

(B)

B

()

(O)


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a) cota de (A) = z (A)= d {(A), ()} = d {(A), A}b) cota de (B) = z (B)= d {(B), ()} = d {(B), B}c) cota de (C) = z (C)= d {(C), ()} = d {(C), C}

Nestas condies, (f) e f, so figuras correspondentes e f dependente exclusiva de (f) e de nenhuma outra mais.

Mas, se por outro aspecto, um determinado ponto (M)estiver localizado no mesmo raio projetante que passa por (A); seum ponto (N) estiver no mesmo raio projetante que passa por (B) ese (P) estiver localizado no mesmo raio projetante que passa por(C), de tal sorte que:

z (M) z (A)z (N) z (B)z (P) z (C)

O tringulo (MNP) ser completamente diferente do

tringulo (ABC), tal como mostrado na figura 05. Logo:

(g) (MNP)

(g) (f)


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Figura 05

Ainda na figura 05, observamos, entretanto, que:

M AN BP C

Assim sendo, uma figura projetada num nico plano deprojeo pode ser a projeo de infinitas figuras do espao, desde

que os raios projetantes que passam pelos pontos de cada umadelas interceptem, respectivamente, o plano de projeo num

(C)

C=P=T

(A)

A=M=R

(B)

B=N=S

(S)

(T)

(R)

(N)

(P)

(M)

()


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mesmo ponto. Logo, projetar uma figura num s plano, sem definir(amarrar) as cotas de cada um de seus pontos ao plano, umproblema indeterminado. Para resolv-lo, Fellipe Boache em 1878criou o Mtodo das Projees Cotadas, atribuindo aos elementos

projetados de uma figura objetiva, os valores das cotas de cadaponto, tal como mostrado nas figuras 06 e 07, a seguir.

Figura 06

(C)

C

(A)

A

(B)

B

a

c

b

()


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Figura 07

1.3.2) Projees da Figura Objetiva em Dois PlanosPerpendiculares

Imaginemos agora uma situao semelhante da figura 04,

porm inserindo outro plano de projeo (), perpendicular a (),como mostra a figura 08.

A reta de interseo de () com () denominada linha de

terra, ou seja:() = () ()

Se () o plano horizontal de projeo, () ser,naturalmente, oplano vertical de projeo.

C (c)

A (a)

B (b)


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Figura 08

Fazendo, agora, incidir raios projetantes de outro centroprojetivo imprprio (O) , desta feita perpendicularmente a (),definiremos as projees ortogonais de (A), de (B) e de (C) sobre(). Os raios projetantes que passam por estes pontos,

interceptaro o plano (), definindo, respectivamente, os pontos

A, B e C que caracterizam as projees verticais de (A), de (B) e de(C), tal como mostrado na figura 09. Logo, podemos escrever:

f ABC

()

(')

(C)

C

(A)

A

(B)

B

(O)

(


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Figura 09

Chama-se afastamento de um ponto distncia deste pontoa um plano vertical tomado como referncia. Assim, as distncias de(A) a (), de (B) a () e de (C) a () so, respectivamente, os

afastamentos de (A), de (B) e de (C) em relao a (), ou seja:

a) afastamento de (A) = y (A)= d {(A), ()} = d {(A), A} b) afastamento de (B) = y (B)= d { (B), ()} = d {(B), B}c) afastamento de (C) = y (C ) = d { (C), () }= d {(C), C}

Observando a figura 10, podemos perceber tambm que ospontos A, (A) e A so vrtices de um retngulo contido num plano

() perpendicular a ():

()

(')

C'

A'

(C)

C

(A)

A

(B)

B

(O)

(O')

B'


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Figura 10

Vejamos porque:

1) Se (A)A () e (A)A () () = reto

2) Se (A), A, A ()()() = A0

Logo, A0 o quarto vrtice do retngulo.

Podemos ento escrever que:z (A)

= d {A, ()} = d {A, A0 } ou z (A)

= AA0

y (A) = d {A, () } = d {A, A0 } ou y (A) = AA0Por conseguinte, teremos:

C'

A'

(C)

C

(A)

A

(B)

B

B'

A0

B 0

C0

()

()

( O)

(O)


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z (B)= BB0 z(C)= CC0

ey (B) = BB0 y(C) = CC0

Conclumos, ento, que ao projetarmos ortogonalmente umfigura (f) sobre dois planos de projeo () e (), perpendicularesentre si, obtemos f e f, figuras que representam, respectivamente,

a projeo horizontal de (f) sobre () e a projeo vertical de (f)

sobre (). As figuras f e f so correspondentes e mutuamentedependentes de (f). Isto significa dizer que f e f so as projees de

uma nica figura (f) do espao.

1.4) Mtodo da Dupla Projeo Ortogonal

A finalidade do desenho projetivo permitir conhecer aspropriedades geomtricas e manipular a forma e as dimenses deuma figura do espao, seja ela plana ou tridimensional, atravs desuas projees ortogonais, de sorte que tais projees sejam

representadas graficamente num mesmo plano. Esta a essncia domtodo criado por Gaspar Monge.A primeira parte da tarefa j foi mostrada atravs das

relaes entre cotas e afastamentos. Antes de planificar o sistema,vejamos como ficou a vista perspectiva das projees, retirando-se(f), tal como mostrado na figura 11.


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Figura 11

Para planificar o sistema objetivando trabalhar num mesmoplano de desenho, adotemos os seguintes procedimentos:1) Tomemos a linha de terra () como um eixo de rotao;

2) Faamos o plano () girar em torno de () no sentido horrio

at que a sua superfcie se superponha superfcie de ()formando um mesmo plano, tal como mostrado na figura 12.

()

(')

C'

A'

B

C

A

B


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Figura 12

Olhando o conjunto de frente para o plano vertical, teremosa seguinte viso:

()

(')

C'

A'

B

C

B

A

()

(A)

(B)

(C)


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Figura 13

A representao grfica das projees de uma figura num

mesmo plano chamada pura.Na prtica, os contornos que delimitam os semiplanos

resultantes da planificao no so representados, assim como asletras e que os representam.

A linha de terra pode ser identificada por dois pequenostraos, um em cada extremidade, abaixo do segmento que arepresenta, porxnuma extremidade e yna outra, ou ainda por ()numa das extremidades. Adotaremos os dois pequenos traos.

C'

C

A'

A

B'

B


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2.0) ESPAO PROJETIVO NA GEOMETRIA ESCITIVA

2.1) Diedros de Projeo

A Geometria Descritiva concebida por Gaspar Mongeadmite que as projees das figuras objetivas acontea da seguinteforma:

O plano () divide o espao em dois semi-espaos, um acimadele e outro abaixo. O plano (), por seu turno, divide o espao

tambm em dois semi-espaos, um anterior a ele e outro posterior.Como () e () so perpendiculares ficam criados, na verdade,

quatro regies distintas chamadas diedros de projeo, assimcaracterizados.

a) 1 Diedro: limitado pelo plano vertical de projeo () semiplano superior (SPVS) e pelo plano horizontal deprojeo () semiplano anterior (SPHA);

b) 2 Diedro: limitado pelo plano vertical de projeo () semiplano superior (SPVS) e pelo plano horizontal deprojeo () semiplano posterior (SPHP);

c) 3 Diedro: limitado pelo plano vertical de projeo () semiplano inferior (SPVI) e pelo plano horizontal deprojeo () semiplano posterior (SPHP);

d) 4 Diedro: limitado pelo plano vertical de projeo () semiplano inferior (SPVI) e pelo plano horizontal deprojeo () semiplano anterior (SPHA);

Como j foi dito, a interseo entre os planos de projeo,ou seja, a reta comum aos planos () e (), chamada linha de

terra.

Na figura 15 so identificados os quatro diedros deprojeo.


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Figuras 15

Uma figura pode, ento, estar situada num dos quatrodiedros ou parte em um e parte em outro (ou outros). Isto significa

dizer que, em cada situao, mudam as posies das projees emrelao aos planos de projeo. O que no se altera a posio doobservador que estar sempre de frente para a superfcie anteriordo plano (), independentemente do diedro (ou dos diedros) em

que esteja localizada a figura objetiva (f).

SEMIPLANO HORIZONTALANTERIOR DE PROJE O

(SHAP)

SEMIPLANO VERTICALSUPERIOR DE PROJEO

(SVSP)

SEMIPLANO HORIZONTALPOSTERIOR DE PROJE O

(SHPP)

SEMIPLANO VERTICAL

INFERIOR DE PROJEO(SVIP)

()

(')


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2.2) COORDENADAS DESCRITIVAS

2.2.1) Conceito

Tradicionalmente, os problemas de Geometria Descritivaexigem o posicionamento, na pura, dos pontos que caracterizamuma determinada figura. Para resolver esta questo, foram criadasas coordenadas descritivas do ponto que nada mais so do que oordenamento das grandezas j conhecidas: abcissa, afastamento ecota. As coordenadas descritivas de um ponto qualquer (P), soindicadas da seguinte forma:

(P): (x(P) ; y(P) ; z(P) ) ou (P): [x(P) ; y(P) ; z(P)] , onde

(P): ponto objetivo, isolado ou pertencente a uma figura (f);

x(P) : abcissa de (P)

y(P) : afastamento de (P)

z(P) : cota de (P)

2.2.2) Conveno de Sinais

Inicialmente cabe esclarecer que o conceito de coordenadasdescritivas envolvendo as definies de abcissa, afastamento e cota

de um ponto imutvel para qualquer dos quatro diedros em quepossa se encontrar um ponto (P), do espao. Cabe ento lembrarque:

I) abcissa a distncia entre a interseo da linha dechamada de (P) com a linha de terra e um ponto fixonela localizado e definido como origem das abcissas;

II) afastamento a distncia de (P) ao plano vertical deprojeo ();


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III) cota a distncia de (P) ao plano horizontal de projeo().

Um ponto pode estar localizado em qualquer dos quatrodiedros. Para sabermos exatamente em qual deles, foramestabelecidas convenes de sinais para cotas e afastamentos quepermitem localiz-los atravs de suas coordenadas descritivas.Assim sendo, foi estabelecido que:

So positivas as cotas dos pontos localizados acima do planovertical de projeo e negativas as cotas dos pontos localizadosabaixo;

So positivos os afastamentos dos pontos anteriores ao planovertical de projeo e negativos os afastamentos dos pontosposteriores.

Resumindo, teremos:

1 diedro 2 diedro 3diedro 4 diedro

cota + + - -

afastamento + - - +

Os sinais das abcissas, de um modo geral, sero semprepositivos porque sua origem, O0, dever ser localizada prxima da

extremidade esquerda da linha de terra. Isto quer dizer que sopositivas aquelas situadas direita da origem das abcissas.

Observao Importante

Salvo quando absolutamente necessrio, a indicao dasabcissas nas projees dos pontos de uma figura normalmentedispensvel.


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2.3) PROJEES DE FIGURAS EM CADA DIEDRO

No exemplo usado para mostrar como funciona o mtododa dupla projeo ortogonal, a figura (f) (ABC) foi localizada no 1

diedro.Para analisarmos como funciona o mtodo da dupla

projeo ortogonal nos demais diedros, tomaremos, como exemplo,o mesmo tringulo (ABC) que foi usado para descrever comofunciona o mtodo no 1 diedro sendo mantidos os valoresabsolutos das abcissas, cotas e afastamentos de cada vrtice. Ossinais, entretanto, correspondero ao diedro em que se encontrar afigura.

2.3.1) Projees no 1 Diedro

Observou-se que, quando uma figura est localizada no 1diedro, suas projees so distintas, ou seja, a projeo vertical ficasituada acima da linha de terra e a projeo horizontal, abaixo dela.Conforme a conveno de sinais estabelecida, tem-se que:

Cotas positivas (+): acima da linha de terraAfastamentos positivos (+): abaixo da linha de terra

2.3.2) Projees de Figuras no 2 Diedro

Situando (ABC) no 2 diedro e mantendo, respectivamente,os mesmos valores absolutos das coordenadas descritivas dos

vrtices (A), (B) e (C), o aspecto do conjunto, em perspectiva, omostrado na figura 16.


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Figura 16

Para planificar o sistema objetivando trabalhar num mesmoplano de desenho, adotamos procedimentos semelhantes aosusados anteriormente, ou seja::

1) Tomemos a linha de terra (), interseo de () com (),

como eixo de rotao;

2) Faamos o plano () girar em tornode () no sentido horrio

at que a sua superfcie se superponha superfcie de ()formando um mesmo plano, tal como mostrado na figura 17.

C'

A'

B'

B

A

C

(C)

(B)

(A)


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Figura 17

Olhando, agora, o conjunto de frente para o plano verticalde projeo, o aspecto da pura correspondente do tringulo (ABC) mostrado na figura 18 e da observao da figura tiramos asseguintes concluses:

.

I) As projees horizontal e vertical so, respectivamente,

congruentes com as obtidas no 1 diedro, embora,

( ')

C'

A'

B

()

C

A

B

B'

A'

C'>

>

>


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40

neste caso, ambas fiquem situadas acima da linha deterra;

II) Dependendo dos comprimentos das cotas e dos

afastamentos de cada um de seus pontos, as projeesde figuras situadas no 2 diedro podem ficarsuperpostas na pura e isto dificulta ou pode atimpossibilitar o estudo da figura objetiva atravs desuas projees;

Figura 18

2.3.2.1) Invarincia da Projeo Horizontal

Pode-se resolver o problema criado por projeessuperpostas, total ou parcialmente, transladando a figuraobjetiva, mantendo constante as respectivas cotas at que suasprojees fiquem distintas. Esta operao manter a forma daprojeo horizontal inalterada.

Se a figura est inteiramente contida no 2 diedro, pode-setambm eliminar a superposio das projees trocando os

B'C'

A'

B

A

C


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sinais dos afastamentos, tornando-os positivos, ou seja,transladando figura para o 1 diedro.

De uma forma ou de outra, a projeo horizontal ficainvariante.

2.3.3) Projees de Figuras no 3 Diedro

Situando, agora, o tringulo (ABC) no 3 diedro, mantendo-se os mesmos valores absolutos das coordenadas descritivas dosvrtices adotadas nos dois casos anteriores, a perspectiva doconjunto mostrada na figura 19

Figura 19

B

A'

C'

(B)

(C)

(A)

B

A

C


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42

Utilizando procedimentos semelhantes aos usadosanteriormente, planifica-se o sistema objetivando trabalhar nummesmo plano de desenho, como mostra a figura 20.


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Figura 20

C

A

B

B

A'

C'

(B)

(C)

(A)

B

A

C

()

()

(')

>

>>

>


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A figura 21 mostra a pura do tringulo (ABC) nascondies propostas.

Figura 21

Nesta situao, pode-se observar que:

B

A

C

C'

A'

B'


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I) As projees horizontal e vertical ficam distintas econtinuam respectivamente congruentes com as doscasos anteriores;

II) A posio das projees no 3 diedro so simtricas emrelao linha de terra, se comparadas s no 1 diedro.

2.3.3.1) Invarincia das Projees

No h problema de superposio de projees no terceirodiedro, mas, se trocarmos os sinais das cotas e dos afastamentos, como transportar a figura para o 1 diedro atravs de duastranslaes.

Aps estas transformaes, verifica-se que ambas asprojees permanecem invariantes.

2.3.4) Projees de Figuras no 4 Diedro.

Mantendo-se, mais uma vez, os mesmos valores absolutosdas mesmas coordenadas dos vrtices do tringulo (ABC), massituando-o agora no 4 diedro, a perspectiva do conjunto estmostrada na figura 22.


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Figura 22

Utilizando procedimentos semelhantes aos usadosanteriormente, planifica-se o sistema objetivando trabalhar nummesmo plano de desenho, tal como mostrado na figura 23..

C

A

B

(B)

(C)

(A)

B

A'

C'


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Figura 23

A figura 24 mostra a pura do tringulo (ABC) nas condiespropostas.

C

A

B

B'

B

A'

C'

C' A

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