G G G G M s ( )automatyka.kia.prz.edu.pl/attachments/article/16/Wykład...2 Przykład Dla jakich...

1

LINIE PIERWIASTKOWE EVANSA PRz 2012

Idea metody

Definicja linii pierwiastkowych. Silnik sterowany napięciowo.

Zasady kreślenia linii pierwiastkowych

Alternatywne definicje. Wykorzystanie warunku fazy. Bieguny i zera.

Linie na osi rzeczywistej. Punkty rozwidlenia/spotkania.

Kąty wyjścia z biegunów wielokrotnych.

Wybór wzmocnienia na podstawie linii pierwiastkowych

Dane. Tok projektowania. Przeregulowanie a kąt nachylenia prostej.

Punkt przecięcia prostej z linią pierwiastkową.

Wzmocnienie dla punktu przecięcia.

Przykłady linii pierwiastkowych

Silnik sterowany prądowo. Cztery różne stałe czasowe.

Określanie punktu rozwidlenia, czasu regulacji i wzmocnienia.

Idea metody

Aktualne zastosowanie metody linii pierwiastkowych:

– samostrojenie w regulatorach przemysłowych (automatyczne strojenie)

Regulator

Gr(s)

Obiekt

Go(s)

W(s) Y(s)

-

)(sGo )(

)(

sM

sL• Obiekt jest dany w formie transmitancji jako stosunek dwóch wielomianów

• W związku z tym opóźnienie se

, o ile występuje , należy zastąpić rozwinięciem Pade’go

(do projektowania wystarczy I rząd, a do sprawdzenia symulacyjnego wyższe rzędy)

• Transmitancję )(sGo otrzymuje się na podstawie modelu matematycznego lub na podstawie

identyfikacji metodą odpowiedzi skokowej

Idea metody

Transmitancja układu zamkniętego

)()(

)(

)(

)(1

1 skLsM

sMGG

sM

sLk

GG

G

GGG oror

otw

orzam

Transmitancja układu otwartego )(

)()()()()( '''

sM

sLkskGsHsGsGkkkG

orHorotw

),()( sGksG rrr

)()( sGksG ooo

Horkkkk gdzie

bieguny układu zamkniętego

(mianownik decyduje o dynamice)

)()( skLsM Pierwiastki wielomianu (bieguny układu zamkniętego) określają charakter

przebiegów przejściowych.

),0( k

Evans podał, jak sporządzić wykresy tych pierwiastków na

nie obliczając samych pierwiastków. płaszczyźnie zmiennej zespolonej dla

Definicja

Liniami pierwiastkowymi nazywamy zbiór pierwiastków mianownika

transmitancji układu zamkniętego dla zmieniającego się k

)()( sHksHH

Przykład

Silnik sterowany napięciowo:

- dla układu podanego na rysunku wykreślić linie pierwiastkowe

- przy jakim k przeregulowanie wyniesie 16.3%?

- kiedy przebiegi będą aperiodyczne krytyczne? k

- )1(

1

ss

)1(

1

sskGotw

)1(

1

ssGgdzie

kss

k

ss

k

ss

k

Gzam

2

)1(1

)1(?)(),( 21 ksks

k41

:04

1k

2

)Δ(

2

11,2

kks

:04

1k

2

12,1 s

:04

1k

2

)(

2

12,1

kjks

Wykres linii pierwiastkowych

1,00 21 ssk

2

Przykład

Dla jakich biegunów ukł. zamk. przeregulowanie wyniesie 16.3%

22

2

2)(

nn

nzam

sssG

Re s

Im s

)Im(1 2

Dn s

)Re( Dn s

Ds

2

2,1 1 nn js

%10021

%

eP

100ln

100ln

%22

%

p

p

%3.16% p 5.0

21

Re

Im tg 5.0 3tg

60

2

3

2

12,1 js tg ReIm

2

33

2

1Im

2

1Re

Przeregulowanie jednoznacznie określa biegun układu zamkniętego na liniach pierwiastkowych

Przykład

k - )1(

1

ss

)(1

)(

1 skG

skG

G

GG

otw

otwzam

Dla jakiego k przeregulowanie wyniesie 16.3%

Inaczej: dla jakiego k bieguny układu zamkniętego wyniosą: 2

3

2

1,

2

3

2

121 jsjs

0)(1 skG - równanie spełnione na linii pierwiastkowej

1

)(

1

sssG

k

12

3

2

1

2

3

2

1)1(

)1(

1

1

2

3

2

1

1

jjss

ss

ks

ss

Ile wyniesie czas regulacji

8

2

1

4

Re

4

2,1

s

tr

0 5 10 150

0.5

1k=1;

L=k;

M=[1 1 k];

t=0:0.01:15;

y=step(L,M,t);

plot(t,y);grid

Ppreal=(max(y)-y(end))/y(end)*100

%38.16prealP

)(1

)(

11)(

skG

skG

G

GGsH

otw

otwzam

Przykład

Dla jakiego k uzyskuje się przebiegi aperiodyczne krytyczne

2

12,1 s

4

1)1(

)(

1

2

1

1

s

ss

sssG

k

12

2

1

6

Re

6

2,1

s

trGdy biegun dominujący jest podwójny rzeczywisty to czas regulacji

równy jest 6-ciu stałym czasowym

Ile wyniesie czas regulacji

k=1/4;

L=k;

M=[1 1 k];

t=0:0.01:15;

y=step(L,M,t);

plot(t,y);grid

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Przebiegi aperiodyczne krytyczne uzyskuje się wybierając bieguny układu zamkniętego

tak, aby były one rzeczywiste i aby było jak najwięcej biegunów wielokrotnych

4

1k

1k

Równania linii pierwiastkowych

0)(1 skG)(

1

sGk

k )(sG

0)(

)(1

sM

sLk

)(

)(

sL

sMk k

)(

)(

sM

sL

0)()( skLsM

Na podstawie linii pierwiastkowych można przewidzieć zachowanie

układów nie symulując odpowiedzi skokowej, ponieważ wiadomo w jakim obszarze pierwiastki są rzeczywiste, a w jakim zespolone oscylacje

przebieg aperiodyczny zwykły

przebieg aperiodyczny krytyczny

3


Alternatywne definicje linii pierwiastkowych

Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, które spełniają równanie

0)(1 skG ),0( kdla

Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których faza G(s) wynosi

180)(sG (tzw. warunek fazy)

Jeśli pewna liczba zespolona s jest tak szczęśliwie wybrana, że gdy policzymy fazę transmitancji układu otwartego dla tej liczby czyli G(s) i otrzymamy 180,

to znaczy, że trafiliśmy na pierwiastek leżący na linii pierwiastkowej

ojsGj ek

esGk

sGskG 180)( 1)(

1)(0)(1

(k – liczba rzeczywista dodatnia)

stąd 180)(sG dla s leżącego na linii pierwiastkowej

Wzór Eulera: sincos je j

Przykład

Czy można dobrać takie k, aby zamG miała biegun w punkcie 21 j ?

]4)2)[(5(

1)(

2

sss

ssG

Inaczej, czy punkt 21 j leży na linii pierwiastkowej ?

k )(sG Zero: z = -1

Bieguny:

22,5,0 jp

Należy obliczyć )21( jsG

Jeśli kąt ten wyniesie 180, to oznacza, że uda się znaleźć k dające biegun w zamG 21 js

]4)21)[(24)(21(

121)21(

2

jjj

jjsG

180)( iisG

i

i

– kąty wektorów wyprowadzonych z zer ()

– wektorów wyprowadzonych z biegunów ()

901

6.11621801 arctg 6.264

22 arctg

7643 arctg 04

1802.129)0766.266.116(90)(sG

Zatem punkt 21 j nie leży na linii pierwiastkowej !

Matlab

]4)2)[(5(

1)(

2

sss

ssG 21 js Warunek fazy - Matlab

s=-1+i*2

G=(s+1)/(s*(s+5)*((s+2)^2+4))

angle(G)*180/pi 2.129)(sG

Wykreślanie linii pierwiastkowych - Matlab

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6

-4

-2

0

2

4

6

L=[1 1]

M=conv([1 5 0],[1 4 8])

k=0:1:200;

r=rlocus(L,M,k);

plot(r,'*');grid

[k' r]


0)()( skbsa

),0( k

1. Bieguny i zera Wykreślić osie Re s, Im s zaznaczając bieguny i zera o dla układu otwartego

k)(

)(

sM

sL M(s) = 0 - bieguny układu otwartego

L(s) = 0 – zera układu otwartego

Linie pierwiastkowe rozpoczynają się w biegunach układu otwartego a kończą w jego zerach,

bądź dążą do nieskończoności

- dla k=0 linie się zaczynają 0)(0)()(0

sMskLsMk

- dla linie się kończą 0)(0)()(

sLsLk

sM

k

k

Układ III rzędu:

]16)4[(

1)(

2

sssG : 0, 44 j

: nie ma

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-10

-5

0

5

10

4


2. Linie na osi rzeczywistej

Punkt na osi rzeczywistej należy do linii pierwiastkowej, jeżeli sumaryczna liczba

biegunów i zer rzeczywistych układu otwartego leżących na prawo od niego jest nieparzysta.

]16)4[(

1)(

2

sssG

Czy punkty s=1 i s=-2 należą do linii pierwiastkowej ?

180

1800)0(0:1

180)180(0:2

Zatem punkt s=-2 leży na linii pierwiastkowej, a s=1 nie leży na linii pierwiastkowej


3. Asymptoty n: , :nm

Linii pierwiastkowych jest n, z tego m kończy się w zerach układu otwartego. Pozostałe n-m

zmierza do nieskończoności wzdłuż asymptot rozpoczynających się na osi rzeczywistej w punkcie

mn

zp ji

a

, wykreślonych pod kątami mn

la

360180 ...,2,1,0 ldla

]16)4[(

1)(

2

sssG

k)(

)(

sM

sL

0,3 mn

,

3 asymptoty

67.23

8

3

44440

jja

: 0, 44 j

: nie ma

60,180,603

360180

1,1,0

la

2 sRe

sIm

3

1

180

60

-60

asymptoty 1, 2, 3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-10

-5

0

5

10


4. Przecięcie z osią urojoną

Punkt przecięcia linii pierwiastkowych z osią urojoną określa się podstawiając

do równania linii pierwiastkowych np. i rozwiązując je względem .

js 0)()( skLsM

]16)4[(

1)(

2

sssG

1)(,328]16)4[()( 232 sLssssssM

k)(

)(

sM

sL

0328 23 ksss

:js 0328 23 kjj

0Im 0323

0

66.524

kr

0Re 08 2 k krkk 256)24(8 2

Hurwitz – granica stabilności: 2561328 kk

rów. linii pierw.


k - )1(

1

ss

5. Punkty rozwidlenia/spotkania (breakpoint)

0)1(

11)(1

sskskG )1( ssk

k – maksymalne (ekstremum)

Punkt rozwidlenia określa się z warunku ekstremalizacji czyli poszukiwania kmax a więc

)(

1

sGk

0ds

dk

ponieważ sprowadza się to do poszukiwania miejsc zerowych pochodnej

0)(0)(

1

sG

ds

d

sGds

d

Spośród otrzymanych rozwiązań tego równania należy wybrać to, które leży w dopuszczalnym

przedziale na osi rzeczywistej

(warunek konieczny)

5


6. Kąty wyjścia z biegunów wielokrotnych (lub wejścia do zer)

Z podwójnego bieguna lub punktu rozwidlenia linie pierwiastkowe wychodzą pod kątami

1802

360różniącymi się o , z potrójnego pod kątami różniącymi się o

120

3

360

z poczwórnego – o itd.

904

360

180 120

120

120 90

90

Wykres linii pierwiastkowych

„Ręczny” – wyznaczyć punkty charakterystyczne według zasad 1-6 wykreślić

linie dokonując aproksymacji

Matlab – funkcje rlocus() i plot()


Wybór wzmocnienia jest podstawowym problemem projektowym

%),()( psGksGotw Dane: k )(sG

Szukane: k

k - )1(

1

ss

Przykład

Tok projektowania

1. Określić kąt (stosunek Im s/Re s bieguna) na podstawie przeregulowania p%

100ln

100ln

%22

%

p

p

21 arctg


2. Utworzyć linie pierwiastkowe dla )(sG k )(sG

„Ręcznie” – według zasad 1-6

Matlab – r=rlocus(L,M,k); plot(r,’*’)

3. Wyznaczyć punkt przecięcia sD prostej z linią pierwiastkową i określić

wzmocnienie k

„Ręcznie” - sD z wykresu (w przybliżeniu) )(

1

sGk dla s = sD

Matlab - wybór kolumny r(:,i), w której Re<0, Im>0 (i = 1,2,3,.....)

[k’ r(:,i) 180-angle(r(:,i))*180/pi ] - tablica 3-kolumnowa

- wybór wiersza z wartością kąta najbliższą tzn. wiersza

[k sD ] - zgodność kąta


4. Określić spodziewany czas regulacji

str

Re

4 dla s = sD

5. Kontrola odpowiedzi skokowej układu zamkniętego – Matlab

Przykład ]16)4[(

1)(

2

ssksG %3.16% p k )(sG

605.0%3.16% p

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

L=1;

M=conv([1 0],[1 8 32]);

k=0:1:100;

r=rlocus(L,M,k);

plot(r,'*');grid

r

[k' r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi]

0 -4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i -0.0315 -3.9843 + 3.9843i -3.9843 - 3.9843i

-0.0635 -3.9682 + 3.9685i -3.9682 - 3.9685i -0.0960 -3.9520 + 3.9526i -3.9520 - 3.9526i -0.1291 -3.9355 + 3.9365i -3.9355 - 3.9365i

6

62.00 -2.06 + 3.43i 58.95

63.00 -2.03 + 3.45i 59.48

64.00 -2.00 + 3.46i 60.00

65.00 -1.97 + 3.48i 60.51

66.00 -1.94 + 3.50i 61.01

67.00 -1.91 + 3.52i 61.50


[k‘ r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi]

k = 64

22

4

rt

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L=1;

M=conv([1 0],[1 8 32]);

k=64

Lz=k*L;

Mz=M+[0 0 0 k*L];

t=0:0.01:5;

y=step(Lz,Mz,t);

plot(t,y);grid

Preal=(max(y)-y(end))/y(end)*100

Nie należy oczekiwać, że otrzymane przeregulowanie będzie wynosić dokładnie 16.3%, ponieważ

układ jest III rzędu. Na ogół jednak rozbieżności nie są nadmierne. Ewentualne zbliżenie się do zadanych wymagań jest możliwe metodą kolejnych prób (korygowanie wzmocnienia)

%14.8realp

sD =-2.00+3.46i

Re(sD) =-2.00


Silnik sterowany prądowo ze sprzężeniem pozycyjnym i tachometrycznym oraz sterownikami

mocy o różnych stałych czasowych. Wymagane są przebiegi aperiodyczne krytyczne.

Sterownik idealny - T = 0

?k

2

1)(

s

sksGotw

2

1)(

s

ssG

k )(sG1

1

s

Bieguny: 02,1 p Zero: 11 z

Punkt rozwidlenia

01

2

s

s

ds

d012)1( 2 sss 022 ss s = 0, -2

W układzie 2-go rzędu mającego jedno zero jest ono

środkiem okręgu będącego linią pierwiastkową


Wzmocnienie dla sD = -2 41)(

1

2

2

s

s

sGk

Czas regulacji 22

4

Re

4

D

rt

s

Sterownik o znacznej stałej czasowej – T = 0.25

-

s + 1

2

1

s1

'

Ts

k

)(

1

1

1

)1(

1)(

22

'

2

'

pss

sk

Tss

s

T

k

Tss

sksGotw

'''

425.0

kk

T

kk 4

25.0

11

Tp

)4(

1)(

2

ss

ssG k )(sG

1

1

s

Bieguny: 4,0 32,1 pp Zero: 11 z


mn

zp ji

a

mn

la

360180

Asymptoty

5.113

)1(4

a

Bieguny: 4,0 32,1 pp Zero: 11 z)4(

1)(

2

ss

ssG

270,90

13

360180

1,0la

l

Punkt rozwidlenia

01

)4(2

s

ss

ds

d0)83)(1(1)4( 22 sssss 0)872( 2 sss

986.075.1

0

3,2

1

js

s Nie istnieje punkt rozwidlenia na osi rzeczywistej

Nie uda się więc uzyskać przebiegów aperiodycznych krytycznych

L=[1 1]

M=[1 4 0 0]

k=0:0.1:50;

r=rlocus(L,M,k);

plot(r,'*'),grid

-4 -3 -2 -1 0

-6

-4

-2

0

2

4

6

Sterownik o znacznej stałej czasowej

(tani, przeciętna jakość) nie jest w stanie zapewnić wymagań projektowych

7


Sterownik o małej stałej czasowej - 12

10833.0 T

''

120833.0

kk

k 120833.0

1p

)12(

1)(

2

ss

ssG

123 p

5.513

)1(12

a

01

)12(2

s

ss

ds

d 0)24152( 2 sss roots([2 15 24])

81.5

31.2

0

3

2

1

s

s

s

Istnieją zatem dwa punkty rozwidlenia

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

L=[1 1]

M=conv([1 0 0],[1 12])

k=0:1:100;

r=rlocus(L,M,k);

plot(r,'*'),grid

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


Wzmocnienia dla punktów rozwidlenia

47.391

)12(

31.2

2

1

s

ssk 78.43

1

)12(

18.5

2

2

s

ssk

Dla przebiegi dynamiczne będą aperiodyczne )78.43,47.39(k

Sterownik o małej stałej czasowej (kosztowny, dobra jakość) zapewni wymagania projektowe

Wartości k1, k2 można także otrzymać na podstawie instrukcji

[k’ r(:,2) 180-angle(r(:,2))*180/pi ]


Sterownik o średniej stałej czasowej - 9

1111.0 T

'9kk 9p)9(

1)(

2

ss

ssG

93 p 5.413

)1(9

a

mn

zp ji

a

mn

la

360180

01

)9(2

s

ss

ds

d0)3()96( 22 sssss

3

0

3,2

1

s

s

Punkt rozwidlenia –3 jest podwójny (linie się schodzą i rozchodzą)

120

271

)9(

3

2

s

ssk 33.1

3

4rt

-10 -8 -6 -4 -2 0-4

-2

0

2

4

L=[1 1]

M=conv([1 0 0],[1 9])

k=0:0.01:40;

r=rlocus(L,M,k);

plot(r,'*'),grid

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4


L=27*[0 0 1 1]

M=[1 9 0 0]

t=0:0.05:5;

y=step(27,L+M,t);

plot(t,y);grid 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Odpowiedź na zakłócenie

s + 1

- 2

1

s9

27

s

z

0 zY

ml

z

sss

s

sss

s

sss

s

sZ

sY

27279

9

)1(27)9(

9

)1(9

2711

1

)(

)(232

2

2

Powodem niepełnej eliminacji zakłócenia jest brak całkowania w regulatorze, którym tutaj jest 9

127

s

s

L=[1 9]

M=[1 9 27 27]

t=0:0.05:5;

y=step(L,M,t);

plot(t,y);grid

G G G G M s ( )automatyka.kia.prz.edu.pl/attachments/article/16/Wykład...2 Przykład Dla jakich...

Documents

Transcript of G G G G M s ( )automatyka.kia.prz.edu.pl/attachments/article/16/Wykład...2 Przykład Dla jakich...