Idź do

• Spis treści• Przykładowy rozdział• Skorowidz

• Katalog online

• Dodaj do koszyka

• Zamów cennik

• Zamów informacjeo nowościach

• Fragmenty książekonline

Helion SAul. Kościuszki 1c44-100 Gliwicetel. 32 230 98 63e-mail: helion@helion.pl© Helion 1991–2011

Katalog książek

Twój koszyk

Cennik i informacje

Czytelnia

Kontakt

• Zamów drukowanykatalog

Excel w obliczeniachnaukowych i inżynierskich.Wydanie IIAutor: Maciej GonetISBN: 978-83-246-3066-0Format: 158×235, stron: 392

Sprawdź, jak Excel może pomóc Ci w skomplikowanych obliczeniach!• Jak za pomocą arkusza rozwiązywać zaawansowane zadania matematyczne?• Jak opisać równaniem wynik doświadczenia?• Jak stworzyć prostą bazę danych w Excelu?• Jak zaprojektować wykres animowany?• Jak skorzystać z możliwości języka VBA?

Arkusz kalkulacyjny Excel to jedno z najbardziej cenionych narzędzi pakietu Microsoft Office.Liczba jego zastosowań jest wprost proporcjonalna do pomysłowości użytkowników. Jednakjego prawdziwą siłę można poznać wszędzie tam, gdzie konieczne jest żmudne przeliczaniewielu kolumn liczb lub wykonywanie skomplikowanych obliczeń matematycznych. Excel nigdysię nie nudzi, a do tego jest prawie nieomylny. Czas okiełznać te ogromne możliwości!

Właśnie dzięki tej książce szybko zapoznasz się z możliwościami narzędzia Microsoft Excelw zakresie wykonywania obliczeń naukowych i technicznych. Sprawdzisz, jak wydajnie rozwiązywać problemy o dowolnym stopniu złożoności. Nauczysz się obliczać całki oznaczone, rozwiązywać równania nieliniowe i różniczkowe oraz układy równań. Brzmi groźnie? Ale niew Excelu! Przejrzyste przykłady oraz opisy "krok po kroku" sprawią, że rozwiązywanie tychi wielu innych problemów nie będzie dla Ciebie najmniejszym kłopotem. Książka ta świetnie sprawdzi się w rękach studentów, uczniów oraz pracowników naukowych.

• Podstawy pracy z arkuszem kalkulacyjnym Microsoft Excel• Operowanie na tablicach• Prezentacja danych w formie graficznej• Różniczkowanie numeryczne• Obliczanie całek oznaczonych• Rozwiązywanie równań nieliniowych• Rozwiązywanie układów równań• Interpolacja danych• Opis matematyczny danych pomiarowych• Rozwiązywanie równań różniczkowych• Działania na liczbach zespolonych• Przygotowanie prostej bazy danych w arkuszu kalkulacyjnym• Możliwości języka VBA

Wykorzystaj możliwości arkusza Excelw skomplikowanych działaniach matematycznych!

Spis tre�ciRozdzia� 1. Wst�p ............................................................................................. 7

Do kogo adresowana jest ta ksi��ka? .............................................................................. 7Co jest, a czego nie ma w tej ksi��ce? ............................................................................. 9Konwencje przyj�te w tek�cie ....................................................................................... 10Rozwój arkusza kalkulacyjnego .................................................................................... 11

Rozdzia� 2. Podstawowe operacje w arkuszu ................................................... 13Typy danych wyst�puj�cych w arkuszu i ich identyfikacja ........................................... 13Konstrukcja formu� (wyra�e�) w Excelu ....................................................................... 16Edycja, kopiowanie i przesuwanie zawarto�ci komórek ............................................... 26Zasady interpretacji nazw i adresów w wyra�eniach w arkuszu i w formu�ach nazwanych ..... 29Funkcje u�atwiaj�ce odczytywanie i wyliczanie adresów .............................................. 33

Rozdzia� 3. Operacje i funkcje tablicowe .......................................................... 37Podstawowe poj�cia dotycz�ce tablic i macierzy .......................................................... 37Operacje tablicowe zaimplementowane w Excelu ........................................................ 38Wprowadzanie i edycja formu� tablicowych ................................................................. 41Kopiowanie formu� tablicowych ................................................................................... 43Odwo�ania do elementów lub fragmentów tablic .......................................................... 44

U�ycie funkcji INDEKS ......................................................................................... 44U�ycie funkcji PRZESUNI�CIE ............................................................................ 47Bez u�ycia funkcji ................................................................................................... 48

�czenie tablic i tworzenie tablic mieszanych .............................................................. 48Dynamiczne generowanie tablic o zadanym rozmiarze ................................................. 50U�ywanie tablic generowanych dynamicznie ................................................................ 54Zasady interpretacji nazw i adresów w wyra�eniach tablicowych

w arkuszu i w formu�ach nazwanych .......................................................................... 55Odwo�ania strukturalne w tabelach ............................................................................... 57

Regu�y sk�adni odwo�a� strukturalnych .................................................................. 58Elementy sk�adowe tabeli ....................................................................................... 58Predefiniowane specyfikatory wierszy .................................................................... 59Operatory odwo�ania ............................................................................................... 59Odwo�ania strukturalne kwalifikowane i niekwalifikowane ................................... 59Przyk�ady u�ycia odwo�a� strukturalnych ............................................................... 60Praca z odwo�aniami strukturalnymi ....................................................................... 61

Rozdzia� 4. Tablicowanie funkcji jednej i dwu zmiennych .................................. 65Funkcje jednej zmiennej ................................................................................................ 65Funkcja jednej zmiennej okre�lona w sposób niejawny (uwik�any) .............................. 68Funkcje dwu zmiennych ................................................................................................ 69

4 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

Rozdzia� 5. Graficzna prezentacja danych ........................................................ 75Rodzaje wykresów dost�pnych w Excelu ...................................................................... 75Przygotowanie danych do wykresu punktowego ........................................................... 76Wykonanie wykresu punktowego ................................................................................. 77Dodawanie linii trendu (regresji) do wykresu ............................................................... 78Wykresy radarowe ......................................................................................................... 80Wykresy powierzchniowe ............................................................................................. 83Wykresy dynamiczne .................................................................................................... 85Ma�e wykresy dost�pne w Excelu 2010 ........................................................................ 86

Rozdzia� 6. Ró�niczkowanie numeryczne .......................................................... 89Poj�cie pochodnej ......................................................................................................... 89Numeryczne obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem ............................................ 91Numeryczne ró�niczkowanie danych pomiarowych ..................................................... 92

Bezpo�rednie oszacowanie warto�ci pochodnych na podstawie danych pomiarowych .... 92Obliczenie pochodnej za po�rednictwem funkcji aproksymuj�cej .......................... 93

Rozdzia� 7. Obliczanie ca�ek oznaczonychz wykorzystaniem ich interpretacji geometrycznej .......................... 97Poj�cie ca�ki oznaczonej ............................................................................................... 97Sposoby obliczania ca�ek metod� kwadratur ................................................................. 97Obliczenia ca�ek w Excelu ............................................................................................ 99Wykorzystanie operacji tablicowych do skrócenia zapisu oblicze� ............................ 102Wykorzystanie iteracji i odwo�a� cyklicznych do obliczania ca�ek ............................ 108

Rozdzia� 8. Obliczanie ca�ek niew�a�ciwych ................................................... 111Poj�cie ca�ki niew�a�ciwej ........................................................................................... 111Przyk�ad obliczenia ca�ki metod� ekstrapolacji ........................................................... 112

Rozdzia� 9. Obliczanie górnej granicy ca�kowania ........................................... 115Funkcja podca�kowa opisana wzorem ......................................................................... 116Funkcja podca�kowa w postaci zbioru punktów pomiarowych ................................... 117

Rozdzia� 10. Obliczanie ca�ek oznaczonychz wykorzystaniem szeregów pot�gowych ...................................... 121Podstawowe poj�cia dotycz�ce ci�gów i szeregów ..................................................... 121Obliczenia sum szeregów w Excelu ............................................................................ 123

Rozdzia� 11. Uk�ady równa� liniowych ............................................................. 131Zapis uk�adu równa� i jego rozwi�zania w formie macierzowej ................................. 131Przebieg rozwi�zania w Excelu ................................................................................... 132Wykorzystanie Solvera do rozwi�zywania uk�adu równa� liniowych ........................ 133

Rozdzia� 12. Rozwi�zywanie równa� nieliniowych ............................................. 135Równanie kwadratowe ................................................................................................ 135Graficzne oszacowanie pierwiastków ......................................................................... 139Metoda iteracji prostej ................................................................................................. 140Metoda siecznych („regula falsi”) ............................................................................... 143Przyspieszenie zbie�no�ci metody siecznych .............................................................. 144Metoda stycznych (Newtona) ...................................................................................... 145Zmodyfikowana metoda stycznych ............................................................................. 146Inny wariant metody siecznych ................................................................................... 147Zamierzone u�ycie odwo�a� cyklicznych przy rozwi�zywaniu równa� ...................... 148Wykorzystanie narz�dzi Szukaj wyniku i Solver ........................................................ 149

Rozdzia� 13. Uk�ady równa� nieliniowych ......................................................... 153Uk�ady z�o�one z dwóch równa� ................................................................................ 153Uk�ady z�o�one z trzech i wi�cej równa� .................................................................... 159

Spis tre�ci 5

Rozdzia� 14. Wyszukiwanie danych w tablicach i interpolacja ........................... 163Przeszukiwanie tablic funkcji jednej zmiennej ............................................................ 163Interpolacja liniowa ..................................................................................................... 166Trend liniowy .............................................................................................................. 169Interpolacja kubiczna (wielomianem 3. stopnia) ......................................................... 170Interpolacja liniowa w przypadku funkcji dwu zmiennych ......................................... 171Interpolacja kubiczna w przypadku funkcji dwu zmiennych ....................................... 174

Rozdzia� 15. Regresja liniowa .......................................................................... 177Zakres zastosowania regresji liniowej ......................................................................... 177Ocena statystyczna jako�ci dopasowania równania regresji ........................................ 179Regresja liniowa w Excelu .......................................................................................... 181Regresja liniowa w przypadku funkcji dwu zmiennych .............................................. 188

Rozdzia� 16. Regresja nieliniowa ..................................................................... 193Zakres zastosowania regresji nieliniowej .................................................................... 193Ocena statystyczna jako�ci dopasowania równania regresji ........................................ 195Regresja nieliniowa w Excelu z wykorzystaniem Solvera .......................................... 196Korelacja liniowa i nieliniowa w Excelu ..................................................................... 200

Korelacja liniowa .................................................................................................. 201Korelacja nieliniowa w Excelu z wykorzystaniem Solvera ................................... 203

Rozdzia� 17. Równania ró�niczkowe zwyczajne ................................................. 207Poj�cie równania ró�niczkowego ................................................................................ 207Rozwi�zywanie zagadnienia pocz�tkowego metod� Eulera ........................................ 208Modyfikacje metody Eulera ........................................................................................ 213Metoda Rungego-Kutty ............................................................................................... 217Porównanie dok�adno�ci metod ca�kowania równa� ró�niczkowych .......................... 219Zagadnienie brzegowe równania ró�niczkowego zwyczajnego .................................. 220Metoda strza�ów .......................................................................................................... 221Metoda ró�nic sko�czonych ........................................................................................ 224

Rozdzia� 18. Równania ró�niczkowe cz�stkowe ................................................ 227Przyk�ady równa� ró�niczkowych cz�stkowych ......................................................... 227Równania eliptyczne ................................................................................................... 228Równania paraboliczne ............................................................................................... 234

Rozdzia� 19. Konwersja liczb i jednostek ......................................................... 243Konwersja liczb w ró�nych systemach pozycyjnych ................................................... 243Konwersja jednostek miar ........................................................................................... 245

Konwersja jednostek z�o�onych ............................................................................ 247

Rozdzia� 20. Liczby i funkcje zespolone ........................................................... 249Podstawowe wzory i definicje ..................................................................................... 250Interpretacja geometryczna liczby zespolonej i jej posta trygonometryczna ............. 251Wzór Eulera i wyk�adnicza posta liczby zespolonej .................................................. 252Równo� liczb zespolonych ........................................................................................ 252Dzia�ania arytmetyczne na liczbach zespolonych ........................................................ 252Pot�gowanie i pierwiastkowanie ................................................................................. 253Funkcje elementarne z argumentem zespolonym ........................................................ 255Format wy�wietlania liczb zespolonych ...................................................................... 256Zastosowanie liczb zespolonych w elektrotechnice .................................................... 257

Rozdzia� 21. Proste bazy danych ..................................................................... 261Sortowanie i filtrowanie .............................................................................................. 262Zakres kryteriów ......................................................................................................... 266U�ycie filtra zaawansowanego .................................................................................... 269

6 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

U�ycie funkcji do odzyskiwania danych z tabeli lub listy ........................................... 270Funkcje podsumowa� .................................................................................................. 274U�ycie funkcji z grupy bazy danych ........................................................................... 278

Rozdzia� 22. Elementy j�zyka VBA (Visual Basic for Applications) .................... 281Podstawowe informacje o j�zyku programowania VBA ............................................. 281Struktura podprogramów w VBA ................................................................................ 284Makropolecenie utworzone w wyniku rejestracji ........................................................ 284Skoroszyt makr osobistych i folder AddIns ................................................................. 286Uruchamianie makropolece� ....................................................................................... 286Wprowadzanie kodu VBA w edytorze ........................................................................ 287Prosta funkcja w VBA ................................................................................................. 288Zmienne — typy i deklaracje ...................................................................................... 289Wyra�enia ................................................................................................................... 291Obiekty, w�a�ciwo�ci i metody .................................................................................... 295Wymiana informacji mi�dzy arkuszem a kodem VBA ............................................... 298U�ycie tablic w Visual Basicu ..................................................................................... 300Wi�cej o funkcjach definiowanych przez u�ytkownika .............................................. 302Sterowanie wykonaniem kodu .................................................................................... 305

Instrukcje warunkowe i instrukcja wyboru ........................................................... 305Instrukcje p�tli ...................................................................................................... 308

Stosowanie komentarzy ............................................................................................... 310Uruchamianie i testowanie makroinstrukcji i funkcji .................................................. 310Przyk�ady funkcji i makroinstrukcji w VBA ............................................................... 312

Obliczanie warto�ci wielomianu ........................................................................... 312Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego ............................................... 313Wykorzystanie funkcji VBA w Excelu ................................................................. 314Ca�kowanie numeryczne ....................................................................................... 316Rozwi�zywanie równa� nieliniowych z wykorzystaniem metody GoalSeek ........ 318Przekszta�cenie tablicy dwuwymiarowej w jednowymiarow� .............................. 320Rozwi�zanie równania ró�niczkowego metod� Rungego-Kutty ........................... 322Funkcje u�ytkownika podobne do funkcji standardowych .................................... 323Operacje na komórkach sformatowanych w okre�lony sposób ............................. 326Wy�wietlanie tekstów formu� w arkuszu .............................................................. 327

Rozdzia� 23. Graficzne elementy steruj�ce (kontrolki ekranowe, formanty) ....... 329Rodzaje graficznych elementów steruj�cych i ich przeznaczenie ............................... 329Dodawanie kontrolek (formantów) do arkusza ........................................................... 330

Formanty formularza ............................................................................................. 333Formanty ActiveX ................................................................................................. 336Nieudokumentowane formanty pola tekstowego .................................................. 341

Makroinstrukcje przypisywane do formantów w arkuszu ........................................... 343Przyk�ad wykorzystania formantów w arkuszu ........................................................... 344

Rozdzia� 24. Wybrane funkcje wbudowane w Excelu ......................................... 347

Dodatek A Literatura cytowana i uzupe�niaj�ca ............................................. 375

Skorowidz ................................................................................... 377

Rozdzia� 6.

Ró�niczkowanienumeryczne

Poj�cie pochodnejPochodna jest miar� szybko�ci zmian wielko�ci funkcji w stosunku do zmian jej argu-mentu. Formalnie definiuje si� j� jako granic� ilorazu ró�nicowego, gdy przyrost argu-mentu maleje do zera. Operacj� obliczania pochodnej nazywa si� ró�niczkowaniem.

Je�eli y = f(x), to pochodna oznaczana symbolem y' = f'(x) w punkcie x = x0 jest równa(alternatywnym symbolem pochodnej jest stosunek dy/dx):

0

0

0 0limlim

xxyy

xy

dxdyy

xxx ��

��

����

W przypadku funkcji ci�g�ych nie ma znaczenia, czy x > x0, czy odwrotnie, granica matak� sam� warto�. Gdy dysponujemy tylko warto�ciami funkcji w wybranych punktach,mo�emy wyznaczy przybli�enie pochodnej, obliczaj�c iloraz ró�nicowy, czyli stosunekzmiany warto�ci funkcji �y do odpowiadaj�cej jej zmiany warto�ci argumentu �x. Immniejsza warto� �x, tym lepsze przybli�enie pochodnej mo�na wyznaczy (przy za�o-�eniu, �e obliczenia odbywaj� si� na podstawie dok�adnych wzorów, a nie obarczonychb��dami wyników pomiarów).

Je�li funkcja jest opisana wzorem, to jej pochodn� tak�e mo�na opisa pewnym wzorem.Czasem jednak wzór ten mo�e by bardzo z�o�ony i niedogodny do oblicze�. Wtedy wy-godniej jest zastosowa ró�niczkowanie numeryczne. Drugi przypadek, kiedy stosuje si�ró�niczkowanie numeryczne, zachodzi wtedy, gdy funkcja dana jest jako zbiór punktów,na przyk�ad wyników pomiarów.

Przy ró�niczkowaniu numerycznym b�dzie mia�o znaczenie, czy obliczaj�c warto� po-chodnej w punkcie x = x0, korzystamy z punktów o warto�ci argumentu mniejszej, czywi�kszej od x0. W zwi�zku z tym stosuje si� trzy rodzaje ilorazów ró�nicowych: oparte

90 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

na ró�nicach wstecznych, przednich i centralnych. Je�li zastosujemy indeksy –1 i 1odpowiednio do punktu poprzedzaj�cego x0 i nast�puj�cego po x0, otrzymamy aproksy-macje pochodnej w punkcie x0 wyra�one trzema sposobami:

za pomoc� ró�nic wstecznych 10

10

�

�

��

��

xxyy

xy

za pomoc� ró�nic przednich 01

01

xxyy

xy

��

��

za pomoc� ró�nic centralnych 11

11

�

�

��

��

xxyy

xy

Teoretycznie w przypadku funkcji ci�g�ej, gdy �x � 0, te trzy oszacowania powinnydawa taki sam wynik. W rzeczywisto�ci �x ma zawsze warto� sko�czon�, wi�c warto-�ci ilorazów ró�nicowych mog� si� ró�ni. Które oszacowanie nale�y zatem wybra? Je�lidysponujemy punktami po�o�onymi symetrycznie wokó� x0, najdok�adniejszym oszaco-waniem pochodnej w punkcie x0 jest zwykle to oparte na ró�nicach centralnych. Cz�stojednak w trakcie oblicze� warto�ci x i f(x) s� wyliczane sukcesywnie i znane s� tylkowarto�ci wcze�niejsze. Wtedy z konieczno�ci stosujemy ró�nice wsteczne.

Analogicznie do pochodnych pierwszego rz�du mo�na aproksymowa pochodne drugiegoi wy�szych rz�dów. Oszacowanie drugiej pochodnej anga�uje wspó�rz�dne trzech punk-tów. Stosuj�c oznaczenia takie jak poprzednio, mo�na zapisa oszacowania drugiej po-chodnej wzorami:

za pomoc� ró�nic wstecznych 210

2102

2

)(2

�

��

���

��

xxyyy

xy

za pomoc� ró�nic przednich 201

0122

2

)(2

xxyyy

xy

���

��

za pomoc� ró�nic centralnych 211

1012

2

)(25,02

�

�

����

��

xxyyy

xy

W powy�szych wzorach za�o�ono, �e punkty s� równoodleg�e, tzn. x2–x1 = x1–x0 w przy-padku ró�nic przednich, x–1–x–2 = x0–x–1 w przypadku ró�nic wstecznych oraz x1–x0 = x0–x–1w przypadku ró�nic centralnych. Gdy ten warunek nie jest spe�niony, wzory s� bardziejrozbudowane. Przyk�adowo w przypadku ró�nic wstecznych nale�y u�y wzoru:

))((2

))((2

))((2

2021

2

2110

1

2010

02

2

���

�

���

�

�� ���

���

��

��

xxxxy

xxxxy

xxxxy

xy

Drug� pochodn� mo�emy te� traktowa po prostu jak pochodn� pochodnej i zastosowadwukrotnie wzory na pierwsz� pochodn�.

Z regu�y obiektem najwi�kszego zainteresowania s� punkty, w których pochodne przyj-muj� warto� zero lub osi�gaj� ekstremum. S� to tzw. punkty krytyczne. Przyk�adowopunkt, w którym druga pochodna osi�ga warto� zero, nazywany jest punktem przegi�cia.

Rozdzia� 6. � Ró�niczkowanie numeryczne 91

Numeryczne obliczaniepochodnej funkcji danej wzorem

W przypadku funkcji danej wzorem bezpo�rednie zastosowanie ilorazu ró�nicowego jakoprzybli�enia pochodnej nie stanowi problemu i mo�e by efektywnie wykorzystane doobliczenia pochodnych w sytuacji, gdy trudno jest znale� odpowiedni� formu�� funkcjipochodnej. Jedynym problemem jest dobór optymalnej warto�ci �x. Obliczenia wykonywa-ne s� w Excelu z dok�adno�ci� do oko�o 15 cyfr znacz�cych, w zwi�zku z tym zastoso-wanie bardzo ma�ej warto�ci �x mo�e prowadzi do niedok�adno�ci wywo�anej ograniczo-n� dok�adno�ci� stosowanej arytmetyki. Z kolei du�e warto�ci �x powoduj� b��d zwi�zanyz pomini�ciem w rozwini�ciu funkcji w szereg Taylora wyrazów wy�szych rz�dów.

Rozwini�cie funkcji w szereg Taylora ma posta:

�� �������

���

� �� nn

xn

xfxxfxxfxfxxf!

)(!2

)(!1

)()()()(

2

Je�eli z tego rozwini�cia wyznaczymy I pochodn�, otrzymamy:

�� �������

��

��� � �1

)(

!)(

!2)()()()( n

n

xn

xfxxfx

xfxxfxf

Wynik ten pokazuje, �e przybli�enie pochodnej ilorazem ró�nicowym, obliczanym z u�y-ciem ró�nic przednich, generuje b��d proporcjonalny w przybli�eniu do �x. Lepszym roz-wi�zaniem jest zastosowanie ró�nic centralnych. Mamy bowiem

�� ��������

���

� �� nn

n xn

xfxxfxxfxfxxf!

)()1(!2

)(!1

)()()()(

2

sk�d pierwsza pochodna wyra�a si� wzorem:

�� ��������

��

����� � �1

)(2

!)(

!3)(

2)()()( n

n

xn

xfxxfx

xxfxxfxf

W tym wzorze wyst�puj� tylko cz�ony z nieparzystymi warto�ciami n. Wida, �e b��doszacowania pochodnej za pomoc� ró�nic centralnych jest w przybli�eniu proporcjo-nalny do �x2.

W praktyce trzeba poszuka kompromisu mi�dzy tymi uwarunkowaniami. Przyk�adoweobliczenia przeprowadzono dla wielomianu 3. stopnia. Wyniki tych oblicze� wida na ry-sunku 6.1. W przypadku przybli�enia z ró�nicami przednimi najmniejszy b��d wzgl�dnyoblicze� uzyskano dla �x � 1·10–8|x|, z tym �e dla |x| < 1 nale�y przyj� �x � 1·10–8.W przypadku przybli�enia z ró�nicami centralnymi najmniejszy b��d wzgl�dny oblicze�uzyskano dla �x � 1·10–5|x|, z tym �e dla |x| < 0,1 nale�y przyj� �x � 1·10–6.

92 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

Rysunek 6.1. Ocena dok�adno�ci oszacowania pochodnej za pomoc� ilorazu ró�nicowego

Numeryczne ró�niczkowaniedanych pomiarowych

Je�eli warto�ci funkcji pochodz� z pomiarów, to trzeba mie �wiadomo�, �e b��dy po-miarów w sposób bardzo istotny wp�ywaj� na oszacowanie pochodnej. Iloraz ró�nicowyjest stosunkiem ró�nic warto�ci funkcji i argumentu w pobliskich punktach, a wi�c jest tostosunek dwu ma�ych, w porównaniu z warto�ci� funkcji, liczb. Je�eli b��dy pomiarówmaj� przeciwne znaki, mo�e nast�pi kumulacja b��dów i w efekcie b��d oszacowania po-chodnej b�dzie bardzo du�y. Dlatego bezpieczniej jest przeprowadzi najpierw aproksy-macj� badanej funkcji na przyk�ad wielomianem i obliczy pochodn� wielomianu aprok-symacyjnego zamiast bezpo�redniego obliczania pochodnej z danych do�wiadczalnych.

Bezpo�rednie oszacowanie warto�ci pochodnychna podstawie danych pomiarowych

Jako przyk�ad bezpo�redniego ró�niczkowania rozpatrzymy typow� w chemii analitycznejkrzyw� miareczkowania kwasowo-zasadowego. Jest to zale�no� pH roztworu od ilo�cidodanego odczynnika miareczkuj�cego. Charakterystyczne punkty tej zale�no�ci wyka-zuj� najszybsz� (lokalnie) zmian� pH. Na krzywej pochodnej wyst�pi� w tych punktachmaksima, a na wykresie drugiej pochodnej b�d� punkty zerowe. Dok�adna lokalizacjatych punktów pozwoli okre�li zawarto� sk�adników w badanej próbce. Dane liczboweprzyk�adu zamieszczono na rysunku 6.2.

Rozdzia� 6. � Ró�niczkowanie numeryczne 93

Rysunek 6.2.Numeryczneobliczenia pierwszeji drugiej pochodnejna przyk�adzie krzywejmiareczkowania

Przyk�ad 6.1.

Tabelka przedstawia krzyw� miareczkowania próbki 20 cm3 mieszaniny roztworów s�a-bego i mocnego kwasu 0,1-molowym roztworem NaOH. Wykonano wykres zale�no�cipH od obj�to�ci dodanego odczynnika miareczkuj�cego oraz wykres ilorazu ró�nicowego�pH/�V jako funkcji V, który jest przybli�eniem pochodnej. Warto� ilorazu ró�nicowe-go przypisano do �rodka przedzia�u V, dla którego zosta�a obliczona. Wykonano równie�wykres drugiej pochodnej. Z wykresów odczytano, przy jakich warto�ciach V pH zmieniasi� najszybciej. Na wykresie I pochodnej na osi rz�dnych zastosowano skal� logarytmiczn�.

Na wykresach mo�na zauwa�y dwa punkty krytyczne, pierwszy skok pH wyst�puje przyV = 24,4 cm3 i jest prawie niewidoczny przy zastosowaniu skali liniowej na wykresie po-chodnej. Dopiero u�ycie skali logarytmicznej ujawnia ten punkt krytyczny. Drugi skok pHjest bardzo wyra�ny i wyst�puje przy V = 55,0 cm3. Na wykresie II pochodnej skal� na osirz�dnych celowo ograniczono do ±1, aby mo�na by�o zauwa�y pierwszy ma�y skok pH.

Aproksymacj� pochodnej ilorazem ró�nicowym stosunkowo rzadko wykorzystuje si� doobróbki danych do�wiadczalnych ze wzgl�du na ryzyko kumulacji b��dów, natomiastdo� cz�sto w przypadku funkcji okre�lonych wzorem. Powrócimy do tego zagadnieniaprzy okazji metod numerycznych rozwi�zywania równa� algebraicznych i ró�niczkowych.

Obliczenie pochodnejza po�rednictwem funkcji aproksymuj�cej

Gdy zachodzi potrzeba wyznaczenia pochodnej zale�no�ci okre�lonej przez wyniki do-�wiadcze�, rozwi�zaniem lepszym od bezpo�redniego ró�niczkowania jest aproksymacjabadanej zale�no�ci odpowiednio dobran� funkcj�, na przyk�ad wielomianem, a nast�pnie

94 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

zró�niczkowanie funkcji aproksymuj�cej. (Kwesti� aproksymacji zale�no�ci do�wiadczal-nej omówiono dok�adnie w rozdziale 15. „Regresja liniowa”). Potrzebne b�d� warto�ciliczbowe wspó�czynników, musimy wi�c u�y funkcji REGLINP lub REGEXPP.

Je�eli do aproksymacji wybierzemy wielomian n-tego stopnia

�

���� n

k

kk

nn xaxaxaxaaxf

0

2210)( �

to po wyznaczeniu wspó�czynników ai mo�emy �atwo obliczy pochodne a� do n-tegorz�du. Najcz��ciej potrzebne s� pierwsza i druga pochodna:

�

�� ���� �n

k

kk

nn xkaxnaxaxaaxf

1

112321 32)( �

�

�� � ������� ��n

k

kk

nn xkakxnanxaxaaxf

2

222432 )1()1(43322)( �

W przypadku gdy do aproksymacji danych chcemy u�y wielomianu 3. stopnia, pierwsz�pochodn� mo�emy obliczy w Excelu w nast�puj�cy sposób (zapisy dotycz� wersji 2007i wcze�niejszych, w wersji 2010 ; w sta�ej tablicowej nale�y zamieni na \):

= SUMA(REGLINP(znane_y; znane_x^{1;2;3})*x^{2;1;0;0}*{3;2;1;0})

a drug� pochodn�:

= SUMA(REGLINP(znane_y; znane_x^{1;2;3})*x^{1;0;0;0}*{6;2;0;0})

znane_y i znane_x reprezentuj� zbiory danych pomiarowych zmiennych y i x, ka�dy z tychzakresów musi stanowi kolumn� danych; x jest warto�ci� argumentu, dla której obli-czamy pochodn�. Przy obliczeniach tego typu mo�e wyst�pi problem, gdy x = 0. Pojawiasi� tu bowiem symbol nieokre�lony 00 i Excel sygnalizuje b��d. Aby go unikn�, trzebado zerowego argumentu doda jak�� bardzo ma�� sta��, na przyk�ad 10–8 (1E-08), któranie b�dzie mia�a wp�ywu na wyniki oblicze�.

Z konieczno�ci� obliczenia pochodnej spotka si� mo�emy na przyk�ad przy obliczeniachcz�stkowych wielko�ci molowych w chemii fizycznej. Jako ilustracj� rozpatrzymy pro-cedur� wyznaczania cz�stkowych obj�to�ci molowych etanolu i wody w mieszaninietych sk�adników. Dana jest zale�no� �redniej obj�to�ci molowej mieszaniny V od u�am-ka molowego etanolu x1. Obj�to�ci molowe czystych sk�adników V1 (etanol) i V2 (woda)s� znane. Nale�y wyznaczy cz�stkowe obj�to�ci molowe sk�adników w funkcji sk�aduroztworu. Wielko�ci te wylicza si� ze wzorów:

111 )1(

dxdVxVV ��

112 dx

dVxVV �

Rozdzia� 6. � Ró�niczkowanie numeryczne 95

Wi�ksz� dok�adno� mo�na osi�gn�, je�eli zamiast obj�to�ci molowej V jako zmienn� ro-bocz� we�mie si� zmian� obj�to�ci mieszaniny na skutek zmieszania, czyli wielko��Vmix = V–x1V1–x2V2. Uwzgl�dniaj�c, �e x1+x2 = 1, �atwo wykaza, �e

2111

)(VV

dxdV

dxVd mix ��

�

i dalej

1111

)()1(

dxVd

xVVV mixmix

�����

1122

)(dxVd

xVVV mixmix

����

�Vmix = 0 na ko�cach przedzia�u zmienno�ci dla x1 = 0 i dla x2 = 0. Zatem je�li �Vmixprzedstawimy w postaci wielomianu, to x1 i x2 s� pierwiastkami tego wielomianu.

�Vmix = x1 x2y(x1)

y(x1) jest pomocniczym wielomianem, którego pochodn� b�dziemy chcieli wyznaczyw nast�puj�cy sposób:

12112

1

21

1

)()(dxdyxxyxyx

dxyxxd

dxVd mix ��

�

a wi�c

1

22121

222111 dx

dyxxyxxyxyxxVV ����

���

����

���

11

2211 dx

dyxyxVV

Podobnie

���

����

�����

1211212122 dx

dyxxyxyxxyxxVV

���

����

���

12

2122 dx

dyxyxVV

Zadanie obliczenia cz�stkowych obj�to�ci molowych sprowadza si� do obliczenia po-chodnej funkcji pomocniczej y wzgl�dem x1.

Funkcj� y aproksymowano odcinek po odcinku wielomianami 3. stopnia, bior�c pod uwag�za ka�dym razem cztery kolejne punkty. Wyznaczone wspó�czynniki wielomianu uwzgl�d-niono przy obliczaniu pochodnej w dwóch punktach wewn�trznych przedzia�u, dla którego

96 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

zosta�y wyznaczone. Zatem poza skrajnymi dwoma pierwszymi i dwoma ostatnimi punkta-mi, dla których jest dost�pny tylko jeden zestaw wspó�czynników, dla pozosta�ych punktówdost�pne s� po dwa zestawy wspó�czynników, które u�redniono. Wyniki oblicze� pokazanona rysunku 6.3. Do obliczenia pochodnych zastosowano wzory podobne do proponowa-nych powy�ej. Przyk�adowo (zapis dotyczy wersji 2007 i wcze�niejszych, w wersji 2010 ;w sta�ej tablicowej nale�y zamieni na \):

= SUMA(REGLINP($D$7:$D$10; $A$7:$A$10^{1;2;3})*A8^{2;1;0;0}*{3;2;1;0})

Rysunek 6.3. Wyniki obliczenia pochodnej z wykorzystaniem wspó�czynników wielomianu aproksymacyjnego

Warto�ci funkcji pomocniczej y na ko�cach przedzia�u, czyli dla x1 = 0 i x1 = 1, nie mo�naobliczy bezpo�rednio (symbol nieoznaczony 0/0). W tym przypadku oszacowano warto�cifunkcji na podstawie aproksymacji wielomianem 3. stopnia warto�ci funkcji w punktachs�siednich, a nast�pnie wzi�to warto�ci tych wielomianów w punktach x1 = 0 i x1 = 1.W pierwszym przypadku jest to wyraz wolny wielomianu (zapisy dotycz� wersji 2007i wcze�niejszych, w wersji 2010 ; w sta�ej tablicowej nale�y zamieni na \):

= INDEKS(REGLINP(D$7:D$10; A$7:A$10^{1;2;3}); 4)

a w drugim suma wspó�czynników:

= SUMA(REGLINP(D$22:D$25; A$22:A$25^{1;2;3}))

Dane do tego przyk�adu i koncepcj� rozwi�zania zaczerpn��em z ksi��ki [10].

Skorowidz

####, 15#ADR!, 29, 35#ARG!, 24, 31, 138, 288, 313#DZIEL/0!, 24#LICZBA!, 24, 25#N/D!, 49, 56, 165, 346%, 23[#Dane], 59[#Nag�ówki], 59[#Sumy], 59[#Ten wiersz], 59[#Wszystko], 59

AA1, 34, 296Abs, 294ABS, 350Activate, 297ActiveCell, 298AddIns, 286ADDRESS, 353ADR.PO�R, 35, 51, 102, 118, 125, 186, 353ADRES, 34, 353adresy komórek, 17

adresy absolutne, 28adresy bezwzgl�dne, 28adresy mieszane, 28, 30, 56adresy wzgl�dne, 28, 30

adsorpcja par na sta�ych adsorbentach, 204AGGREGATE, 348AGREGUJ, 276, 278, 348aktywna komórka, 298algorytm Rungego-Kutty, 322Alignment, 337Analiza symulacji, 150Analysis Toolpak, 66And, 293AND, 353Application, 295, 298

Application.Transpose, 302Application.Version, 325Application.Volatile, 315ARG.LICZBY.ZESP, 251, 369argumenty, 24, 284argumenty operacji, 23argumenty wyra�e� tablicowych, 55arkusz kalkulacyjny, 7, 8arkusze, 13Array, 304, 313As, 289, 290Asc, 293, 294ASCII, 24, 269ASIN, 348ASINH, 348ATAN, 348ATAN2, 348ATANH, 348Atn, 294Autofiltr, 262, 265Autokszta�ty, 341autouzupe�nianie formu�, 25AVEDEV, 358AVERAGE, 365AVERAGEA, 365AVERAGEIF, 365AVERAGEIFS, 365awaryjne wyj�cie z p�tli, 309

BBackColor, 337backslash, 38baza danych, 261

filtrowanie, 262formularze, 261funkcje, 278funkcje podsumowa�, 274indeksy, 262operatory relacji, 266

378 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

baza danychpola, 261rekordy, 261sortowanie, 262zakres kryteriów, 266

BD.ILE.REKORDÓW, 280, 368BD.ILE.REKORDÓW.A, 368BD.ILOCZYN, 369BD.MAX, 279, 369BD.MIN, 369BD.ODCH.STANDARD, 369BD.ODCH.STANDARD.POPUL, 369BD.POLE, 274, 279, 369BD.SUMA, 369BD.�REDNIA, 280, 369BD.WARIANCJA, 369BD.WARIANCJA.POPUL, 369BESSEL.I, 369BESSEL.J, 370BESSEL.K, 370BESSEL.Y, 370BESSELI, 369BESSELJ, 370BESSELK, 370BESSELY, 370BETA.DIST, 360BETA.INV, 360BETADIST, 360BETAINV, 360BIN2DEC, 370BIN2HEX, 370BIN2OCT, 370BINOM.DIST, 361BINOM.INV, 359, 361BINOMDIST, 361Boolean, 290BorderColor, 337BorderStyle, 337BoundColumn, 338BRAK, 354Breakpoints, 287Button, 331Byte, 290

CCall, 305Call Stack, 311ca�ki niew�a�ciwe, 111

obliczanie metod� ekstrapolacji, 112ca�ki oznaczone, 97

obliczanie, 99obliczanie metod� 3/8, 99obliczanie metod� kwadratur, 97obliczanie metod� parabol, 98obliczanie metod� Simpsona, 98obliczanie metod� trapezów, 98

ca�kowanie numeryczne, 316Caption, 337, 338, 341Case Else, 308cecha, 14CELL, 355Cells, 298, 299Change, 345CHAR, 293, 368Chart, 295CheckBox, 331CHI.TEST, 365CHIDIST, 360CHIINV, 360CHISQ.DIST, 360CHISQ.DIST.RT, 360CHISQ.INV, 360CHISQ.TEST, 365CHITEST, 365CHOOSE, 354Chr, 293, 294ci�g funkcyjny, 122ci�g liczbowy, 121ci�nienie osmotyczne roztworu, 183Clear, 297CODE, 293, 367COLUMN, 353ColumnCount, 338ColumnHeads, 338COLUMNS, 353Columns.Count, 302ColumnWidths, 338COMBIN, 349ComboBox, 331CommandButton, 331COMPLEX, 137, 250, 251, 254, 371CONCATENATE, 368CONFIDENCE, 366CONFIDENCE.NORM, 366CONFIDENCE.T, 366CONVERT, 245, 247, 371

jednostki, 246Copy, 321CORREL, 366Cos, 294COS, 348COS.LICZBY.ZESP, 256, 370COSH, 349COUNT, 356COUNTA, 356COUNTBLANK, 356COUNTIF, 356COUNTIFS, 357COVAR, 356COVARIANCE.P, 356COVARIANCE.S, 356CRITBINOM, 359Currency, 290CVErr, 305

Skorowidz 379

CZ.CAK.DZIELENIA, 349CZ.RZECZ.LICZBY.ZESP, 250, 370CZ.UROJ.LICZBY.ZESP, 250, 370CZAS, 373CZAS.WARTO��, 373czcionki, 298CZ�STO��, 356cz�� rzeczywista, 250cz�� urojona, 250CZY.ADR, 354CZY.B, 354CZY.B�D, 354CZY.BRAK, 355CZY.LICZBA, 355CZY.LOGICZNA, 355CZY.NIE.TEKST, 355CZY.NIEPARZYSTE, 355CZY.PARZYSTE, 355CZY.PUSTA, 355CZY.RÓWNE, 370CZY.TEKST, 355

Ddane, 13DATA, 373DATA.WARTO��, 373Date, 290DATE, 373DATEVALUE, 373DAVERAGE, 369DCOUNT, 368DCOUNTA, 368Debug, 311DEC2BIN, 243, 370DEC2HEX, 244, 371DEC2OCT, 370definiowanie

funkcje, 302nazwy, 20tabele, 57

Definiuj nazw�, 18, 20, 25, 118DEGREES, 351deklaracja

tablice, 300zmienne, 289

Delay, 339, 340DELTA, 370Design Mode, 311DEVSQ, 357DGET, 369Dim, 289, 290, 300D, 367DMAX, 369DMIN, 369Do Until…Loop, 309Do While…Loop, 309Do...Loop, 309Do…Loop Until, 310

Do…Loop While, 310dodawanie kontrolek do arkusza, 330Double, 290DPRODUCT, 369DropButtonStyle, 340DSTDEV, 369DSTDEVP, 369DSUM, 369DVAR, 369DVARP, 369DWÓJK.NA.DZIES, 370DWÓJK.NA.ÓSM, 370DWÓJK.NA.SZESN, 370dyfuzyjny transport wody, 234dynamiczne generowanie tablic o zadanym

rozmiarze, 50dzia�ania arytmetyczne na liczbach zespolonych, 252DZIES.NA.DWÓJK, 370DZIES.NA.ÓSM, 370DZIES.NA.SZESN, 244, 371DZI�, 373

EE, 38edycja

komórki, 26nazwy, 18

Edytowanie nazwy, 20, 57ekstrapolacja rozwi�zania równania Laplace’a, 232elektrolizer, 229elektrotechnika, 257elementy tablicy, 37Else, 306, 307ElseIf, 306, 307End Function, 288End If, 306, 307End Select, 307, 308End Sub, 284Eqv, 293ERF, 371ERF.PRECISE, 371ERFC, 371ERFC.PRECISE, 371ERROR.TYPE, 355Etykieta, 331, 333, 337Evaluate, 315, 317EXACT, 367Excel, 7, 11Exit Do, 310Exit For, 309Exit Function, 305Exit Sub, 305Exp, 294EXP, 25, 106, 122, 349EXP.LICZBY.ZESP, 255, 371EXPON.DIST, 361EXPONDIST, 361

380 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

FF.DIST, 361F.DIST.RT, 361F.INV, 362F.INV.RT, 361F.TEST, 365FACT, 350FACTDOUBLE, 350FASZ, 14, 23FDIST, 361Filtr, 265Filtr zaawansowany, 262, 269filtrowanie, 262Find, 297FIND, 368FINV, 361FISHER, 362FISHERINV, 362FIXED, 368folder AddIns, 286Font, 298, 337For Each ... Next, 309, 313For...Next, 308FORECAST, 360ForeColor, 337formanty, 329, 344

dodawanie formantów do arkusza, 330makroinstrukcje, 332, 343nazwy, 332w�a�ciwo�ci, 332zdarzenia, 330

formanty ActiveX, 330, 331, 336Etykieta, 337Obraz, 340Pasek przewijania, 339Pole kombi, 340Pole listy, 338Pole tekstowe, 339Pole wyboru, 337Przycisk opcji, 338Przycisk pokr�t�a, 339Przycisk polecenia, 337Przycisk prze��cznika, 341w�a�ciwo�ci, 336

formanty formularza, 330, 331, 333Etykieta, 333Pasek przewijania, 335Pokr�t�o, 334Pole grupy, 335Pole kombi, 335Pole listy, 334Pole wyboru, 333Przycisk, 333Przycisk opcji, 334

Format, 294format wy�wietlania liczb zespolonych, 256Formatuj formant, 332

Formatuj jako tabel�, 57Formula, 296, 327FormulaLocal, 296, 327FormulaR1C1, 296FormulaR1C1Local, 296formularze, 261formu�y, 16

adresy komórek, 17autouzupe�nianie formu�, 25funkcje, 24nazwy, 21obliczanie, 15odwo�ania, 18operatory, 21pierwsze�stwo dzia�a�, 22tryb wy�wietlania, 16wprowadzanie adresu, 17wynik oblicze�, 16wy�wietlanie tekstów formu� w arkuszu, 327zmiana kolejno�ci wykonywania operacji, 25

formu�y nazwane, 8, 29argumenty wyra�e� tablicowych, 55

formu�y tablicowe, 16, 41edycja, 42kopiowanie, 43nazwy, 43poszerzanie obszaru, 42tabele, 62wprowadzanie, 42

FRAGMENT.TEKSTU, 367FREQUENCY, 356FTEST, 365Function, 283, 284, 288funkcja autouzupe�niania formu�, 61funkcja podca�kowa opisana wzorem, 116funkcja podca�kowa w postaci zbioru punktów

pomiarowych, 117FUNKCJA.B, 371FUNKCJA.B.DOK, 371funkcje, 17

argumenty, 24Array, 313funkcje agreguj�ce, 274funkcje bazodanowe, 278, 368funkcje daty i czasu, 373funkcje dwu zmiennych, 69funkcje informacyjne, 354funkcje in�ynierskie, 369funkcje jednej zmiennej, 65funkcje jednej zmiennej okre�lone w sposób

niejawny (uwik�any), 68funkcje logiczne, 352funkcje matematyczne, 348funkcje odwo�a�, 354funkcje operuj�ce na liczbach zespolonych, 249funkcje podsumowa�, 274funkcje statystyczne, 356, 358funkcje tekstowe, 367

Skorowidz 381

funkcje wyszukiwania, 354konwencje zapisu, 25parametry, 284wywo�anie, 24zagnie�d�anie funkcji, 24

funkcje definiowane przez u�ytkownika, 302funkcje podobne do funkcji standardowych, 323parametry, 303sterowanie wykonaniem kodu, 305typ wyniku, 303zako�czenie wykonywania, 305zmienna liczba argumentów, 303

funkcje VBA, 283, 284, 288, 294Array, 304Asc, 293Chr, 293CVErr, 305IsArray, 324IsObject, 324LBound, 301Log, 293metody, 295nazwy, 287Sqr, 288, 293stosowanie w Excelu, 314Ubound, 301Val, 314w�a�ciwo�ci, 295wywo�anie rekurencyjne, 284

GGAMMA.DIST, 362GAMMA.INV, 362GAMMADIST, 362GAMMAINV, 362GAMMALN, 362GAMMALN.PRECISE, 363GCD, 350generowanie planu eksperymentu czynnikowego

typu 2k, 52GEOMIN, 365GESTEP, 372GoalSeek, 297, 318GODZINA, 373górna granica ca�kowania, 115graficzna prezentacja danych, 75graficzne elementy steruj�ce, 329graficzne szacowanie pierwiastków równania, 139GroupBox, 331GroupName, 338GROWTH, 359

HHARMEAN, 365Height, 337, 344HEX2BIN, 373

HEX2DEC, 373HEX2OCT, 373HLOOKUP, 354HOUR, 373HYPGEOM.DIST, 362HYPGEOMDIST, 362

IIf, 306, 307IF, 352IFERROR, 352ILE.LICZB, 117, 356ILE.NIEPUSTYCH, 356ILE.WIERSZY, 345, 353ILOCZYN, 349iloczyn macierzowy, 41ILOCZYN.LICZB.ZESP, 254ILORAZ.LICZB.ZESP, 371IMABS, 251, 372Image, 331IMAGINARY, 250, 370IMARGUMENT, 369IMCONJUGATE, 250, 372IMCOS, 256, 370IMDIV, 253, 371IMEXP, 371IMLN, 255, 371IMLOG10, 255, 371IMLOG2, 255, 372Immediate Window, 311Imp, 293IMPOWER, 254, 372IMPRODUCT, 253, 254, 371IMREAL, 250, 370IMSIN, 256, 372IMSQRT, 254, 372IMSUB, 253, 372IMSUM, 253, 373INDEKS, 32, 44, 50, 54, 62, 96, 103, 166, 271, 353indeksy, 262INDEX, 353INDIRECT, 353INFO, 355InputBox, 321Inspekcja formu�, 15instrukcja przypisania, 291instrukcja wyboru, 305instrukcje warunkowe, 305Int, 294INT, 352Integer, 290INTERCEPT, 358interpolacja, 163interpolacja kubiczna, 170

funkcje dwu zmiennych, 174interpolacja liniowa, 166

funkcje dwu zmiennych, 171

382 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

interpretacja adresów, 29interpretacja geometryczna, 97

liczby zespolone, 251interpretacja nazw, 29Is, 292, 308IsArray, 294, 324IsDate, 294IsEmpty, 294ISEMPTY, 355ISERR, 354IsError, 294ISERROR, 354ISEVEN, 355ISLOGICAL, 355IsMissing, 294ISNA, 355ISNONTEXT, 355IsNull, 294ISNUMBER, 355IsNumeric, 294IsObject, 294, 324ISODD, 355ISREF, 354ISTEXT, 355izoterma Langmuira, 185, 204

Jjednostka urojona, 250jednostki miar, 245JE�ELI, 52, 85, 136, 137, 352JE�ELI.B�D, 352j�zyk VBA, 8, 281

KKOD, 269, 367kod ASCII, 24, 269kod VBA, 287kolejno� dzia�a�, 23kolumny, 13, 31KOMBINACJE, 349komentarze VBA, 310KOMÓRKA, 326, 355komórki, 13KOMP.FUNKCJA.B, 371KOMP.FUNKCJA.B.DOK, 371komunikaty o b��dzie, 24, 305kontrolki ekranowe, 329konwencja zapisu funkcji, 25konwersja jednostek miar, 245

CONVERT, 246konwersja jednostek z�o�onych, 247KONWERTUJ, 246

konwersja liczb, 243Analysis Toolpak, 243liczby szesnastkowe, 244

konwersja tabeli na zakres, 63

konwersja tablicy dwuwymiarowejw jednowymiarow�, 320

konwersja zakresu na tabel�, 63KONWERTUJ, 245, 247, 371

jednostki, 246Konwertuj na zakres, 63kopiowanie

formu�y tablicowe, 43komórki, 27odwo�ania strukturalne, 62zawarto� komórek, 26

Kopiuj, 27korelacja liniowa, 200, 201korelacja nieliniowa, 200

Solver, 203KOWARIANCJA, 356KOWARIANCJA.POPUL, 356KOWARIANCJA.PRÓBKI, 356kryterium statystyczne Fishera, 180kryterium statystyczne t Studenta, 180krzywa logistyczna, 194krzywa miareczkowania kwasowo-zasadowego, 92krzywe Lissajous, 85KURT, 356KURTOZA, 356kwadrat wspó�czynnika korelacji R2, 79kwalifikowane odwo�ania do zakresu, 18KWARTYL, 356KWARTYL.PRZEDZ.OTW, 278, 356KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK, 278, 356

LL, 355Label, 331LARGE, 357LargeChange, 340LBound, 294, 301, 302LCM, 350Left, 337LEFT, 367LEN, 367LEWY, 34, 367LICZ.JE�ELI, 356LICZ.PUSTE, 356LICZ.WARUNKI, 357LICZBA, 314liczba sprz��ona, 250liczba stopni swobody, 179LICZBA.CAK, 349LICZBA.KOLUMN, 353LICZBA.ZESP, 137, 250, 251, 254, 371liczby, 14

formaty, 14Liczbowy, 14liczby bez znaku, 15liczby dziesi�tne, 14liczby szesnastkowe, 244

Skorowidz 383

Naukowy, 14Procentowy, 14U�amkowy, 14zapis naukowy, 14

liczby zespolone, 137, 249, 250argument, 251cz�� rzeczywista, 250cz�� urojona, 250dzia�ania arytmetyczne, 252format wy�wietlania, 256funkcje elementarne z argumentem

zespolonym, 255funkcje operuj�ce na liczbach zespolonych, 250funkcje trygonometryczne, 255interpretacja geometryczna, 251jednostka urojona, 250logarytm zespolony, 255modu�, 251pierwiastkowanie, 253posta trygonometryczna, 251posta wyk�adnicza, 252pot�gowanie, 253równo� liczb zespolonych, 252stosowanie w elektrotechnice, 257warto� g�ówna logarytmu, 255wzór Eulera, 252

Like, 292LINEST, 360linia trendu, 78LinkedCell, 337, 338, 339, 341, 345ListBox, 331ListFillRange, 338ListStyle, 338, 340ListWidth, 340listy, 261litera�y tablicowe, 38LN, 123, 349LN.LICZBY.ZESP, 255, 371Locals, 311Locals Window, 311Log, 293, 294LOG, 349LOG10, 349LOG10.LICZBY.ZESP, 255, 371LOG2.LICZBY.ZESP, 255, 372logarytm zespolony, 255LOGEST, 359LOGINV, 363LOGNORM.DIST, 363LOGNORM.INV, 363LOGNORMDIST, 363Long, 290, 339LOOKUP, 354Loop, 310LOS, 349LOS.ZAKR, 349Lotus 1-2-3, 36LUB, 267, 269, 352

L�cze komórki, 334��czenie tablic, 48

Mmacierz jednostkowa, 38

generowanie, 52macierz kwadratowa, 37

elementy diagonalne, 37g�ówna przek�tna, 37

MACIERZ.ILOCZYN, 41, 132, 349MACIERZ.ODW, 41, 132, 349macierze, 37

elementy, 37macierz diagonalna, 38macierz odwrotna, 41, 132macierz symetryczna, 38mno�enie skalarne, 40transpozycja, 41uk�ad równa� liniowych, 131wektor, 37wyznacznik, 38, 41

makra, 282, 283skoroszyt makr osobistych, 286

Makra, 286makroinstrukcje, 282makropolecenia, 282, 283

nazwy, 287przypisanie do formantów, 343rejestracja, 284testowanie, 310uruchamianie, 283, 286, 310

Maksymalna liczba iteracji, 86Maksymalna zmiana, 86mantysa, 14MATCH, 353MatchEntry, 340MatchRequired, 340Max, 339MAX, 146, 357MAX.A, 357MAX.K, 278, 357MAXA, 357MaxChange, 319MaxLength, 339, 340MDETERM, 352MEDIAN, 357MEDIANA, 357Mened�er nazw, 19, 20, 21, 30methods, 295metoda 3/8, 99metoda ekstrapolacji, 112metoda Eulera, 208

modyfikacje, 213metoda GoalSeek, 318metoda iteracji prostej, 140

384 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

metoda kwadratur, 98metoda nadrelaksacji, 230metoda Newtona, 115, 145metoda Newtona-Raphsona, 160metoda parabol, 98, 99metoda prostok�tów, 98, 99metoda ró�nic sko�czonych, 224, 228metoda Rungego-Kutty, 217, 322metoda siatek, 228metoda siecznych, 143, 147

przyspieszenie zbie�no�ci, 144metoda Simpsona, 98, 101metoda strza�ów, 221metoda stycznych, 145

zmodyfikowana metoda stycznych, 146metoda trapezów, 98, 99metody, 295, 297metody analitycznego rozwi�zywania równa�

ró�niczkowych, 207Microsoft Excel, 7Microsoft Office, 11MID, 367MIESI�C, 374Min, 339MIN, 357MIN.A, 357MIN.K, 278, 357MINA, 357minimalna suma kwadratów, 177, 193minimum, 155MINUTA, 374MINUTE, 374MINVERSE, 349MMULT, 349mno�enie macierzy, 41MOD, 190, 349MODE, 367MODE.MULT, 367MODE.SNGL, 367modu� liczby zespolonej, 251MODU.LICZBY, 23, 123, 124, 137, 138, 350MODU.LICZBY.ZESP, 251, 372modu�y, 285MONTH, 374MROUND, 352MultiLine, 339MULTINOMIAL, 352MultiSelect, 338, 340

NN, 355NA, 354NACHYLENIE, 181, 202, 357nadawanie nazw, 19nadawanie warto�ci zmiennym, 291nadrelaksacja, 230

NAJMN.WSP.WIEL, 350najmniejsza suma kwadratów, 78NAJW.WSP.DZIEL, 350Name, 337Narz�dzia tabel/Projektowanie, 57Naukowy, 14nawiasy klamrowe, 38, 42nawiasy okr�g�e, 25nazwy, 18, 29, 43, 287

definiowanie, 20nadawanie, 19nazwy kwalifikowane, 19stosowanie, 32

nazwy formu�, 21nazwy tabel, 19nazwy tablic, 39Nazwy zdefiniowane, 21negacja, 23NEGBINOM.DIST, 361NEGBINOMDIST, 361Next, 308, 309NIE, 353nieudokumentowane formanty pola tekstowego, 341NORM.DIST, 363NORM.INV, 363NORM.S.DIST, 363NORM.S.INV, 363NORMALIZUJ, 357NORMDIST, 363NORMINV, 363NORMSDIST, 363NORMSINV, 363Not, 293NOT, 353NOW, 374Nowe makro, 284NR.B�DU, 355NR.KOLUMNY, 33, 51, 353NumberFormat, 296numeryczne obliczanie pochodnej funkcji danej

wzorem, 91numeryczne ró�niczkowanie danych pomiarowych, 92

Oobiekty, 295

Application, 298Range, 295w�a�ciwo�ci, 295

Object, 290objects, 295OBLICZ, 109obliczanie ca�ek niew�a�ciwych, 111

metoda ekstrapolacji, 112obliczanie ca�ek oznaczonych, 97, 99, 121

iteracje, 108metoda kwadratur, 97metody, 97, 99

Skorowidz 385

odwo�ania cykliczne, 108operacje tablicowe, 102szereg pot�gowy, 121

obliczanie górnej granicy ca�kowania, 115funkcja podca�kowa opisana wzorem, 116funkcja podca�kowa w postaci zbioru punktów

pomiarowych, 117metoda Newtona, 116Solver, 116

obliczenia, 16obliczanie pierwiastków równania

kwadratowego, 313obliczanie sum szeregów, 123obliczanie warto�ci wielomianu, 312obliczenia cz�stkowe wielko�ci molowych, 94

obliczenia iteracyjne, 127iteracje, 109

obracanie wykresu, 83Obraz, 331, 340Obrót 3-W, 83obs�uga zdarze�, 345obszary, 17, 37obwody elektryczne pr�du zmiennego, 257OCT2BIN, 372OCT2DEC, 243, 372OCT2HEX, 372ODCH.KWADRATOWE, 357ODCH.STAND.POPUL, 357ODCH.STANDARD.POPUL, 357ODCH.STANDARD.PRÓBKI, 358ODCH.STANDARDOWE, 358ODCH.STANDARDOWE.A, 358ODCH.�REDNIE, 358ODCI�TA, 181, 358odczytywanie adresów, 33odwo�ania, 18, 29, 34

odwo�ania do elementów tablic, 44odwo�ania do fragmentów tablic, 44

odwo�ania cykliczne, 8, 109, 230obliczanie ca�ek oznaczonych, 108rozwi�zywanie równa� nieliniowych, 148

odwo�ania strukturalne, 57, 58czytelno�, 62funkcja autouzupe�niania formu�, 61kopiowanie, 62odwo�ania do wybranych elementów, 62odwo�ania strukturalne kwalifikowane, 59odwo�ania strukturalne niekwalifikowane, 59przenoszenie, 62sk�adnia, 58stosowanie, 60wype�nianie, 62zewn�trzne odwo�ania strukturalne, 61

odzyskiwanie danych z tabeli lub listy, 270Offset, 299, 316OFFSET, 353ogólne rozwi�zania równania ró�niczkowego, 207Ogólny, 14, 15

okno oblicze� bezpo�rednich, 311okno podgl�du zmiennych, 311okno zmiennych lokalnych, 311Opcje obliczania, 85operacje na komórkach sformatowanych w okre�lony

sposób, 326operacje tablicowe, 38, 102operatory, 21

%, 23operatory arytmetyczne, 23operatory odwo�ania, 59operatory relacji, 23pierwsze�stwo dzia�a�, 22VBA, 292

Option Base, 300, 303Option Explicit, 291Optional, 303OptionButton, 331Or, 293OR, 352ORAZ, 267, 353Orientation, 339osadzanie w arkuszu plików graficznych, 340OSAD�, 342

ÓÓSM.NA.DWÓJK, 372ÓSM.NA.DZIES, 372ÓSM.NA.SZESN, 372

PParamArray, 303parametry, 284, 303

parametry opcjonalne, 303pasek narz�dzi Debug, 311Pasek przewijania, 331, 335, 339PasswordChar, 339PEARSON, 358PERCENTILE, 358PERCENTILE.EXC, 358PERCENTILE.INC, 358PERCENTRANK, 359PERCENTRANK.EXC, 359PERCENTRANK.INC, 359PERCENTYL, 358PERCENTYL.PRZEDZ.OTW, 278, 358PERCENTYL.PRZEDZ.ZAMK, 278, 358PERMUT, 358PERMUTACJE, 358Personal.xls, 286p�tle, 308

Do...Loop, 309For Each ... Next, 309For...Next, 308wyj�cie awaryjne z p�tli, 309

386 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

PI, 24, 350Picture, 337, 338, 340, 341PictureAlignment, 340PicturePosition, 337, 338, 341PictureSizeMode, 340PictureTiling, 341PIERW.PI, 324, 350PIERWIASTEK, 82, 137, 157, 293, 350PIERWIASTEK.LICZBY.ZESP, 254, 372pierwiastki równania kwadratowego, 313pierwsze�stwo dzia�a�, 22plan ca�kowitego eksperymentu czynnikowego, 53pochodna, 89PODAJ.POZYCJ�, 126, 165, 167, 168, 271, 272, 353podprogramy, 282, 283, 284PODSTAW, 34, 109, 367POISSON, 364POISSON.DIST, 364Poka� formu�y, 15Pokr�t�o, 331, 334pola, 261Pole grupy, 331, 335Pole kombi, 331, 335, 340Pole listy, 331, 334, 338Pole nazwy, 19pole skalarne, 228Pole tekstowe, 331, 339pole trójk�ta, 288Pole wyboru, 331, 333, 337PORÓWNAJ, 269, 367porównywanie

teksty, 24warto�ci logiczne, 24

posta trygonometryczna liczby zespolonej, 251poszukiwanie minimum, 155POT�GA, 350POT�GA.LICZBY.ZESP, 254, 372POWER, 350POWT, 367POZYCJA, 358POZYCJA.NAJW, 358POZYCJA.�R, 359PRAWDA, 14, 23PRAWDPD, 359prawo Ficka, 234prawo rozcie�cze� Ostwalda, 199PRAWY, 367predefiniowane specyfikatory wierszy, 59Preserve, 301PROB, 359PROC.POZ.PRZEDZ.OTW, 359PROC.POZ.PRZEDZ.ZAMK, 359procedura obs�ugi zdarzenia, 345PROCENT.POZYCJA, 359Procentowy, 14procesy transportu masy lub ciep�a, 234PRODUCT, 349properties, 295

Properties, 336ProportionalThumb, 340PRÓG.ROZKAD.DWUM, 359przechowywanie makropolece�, 286przeci�gnij i upu�, 27Przegl�darka Projektów, 285przenoszenie

formu�y, 29komórki, 28odwo�ania strukturalne, 62

PRZESUNI�CIE, 47, 62, 118, 168, 345, 353przesuwanie zawarto�ci komórek, 26przeszukiwanie tablic, 163przewodnictwo molowe, 184Przybornik formantów, 331Przycisk, 331, 333Przycisk opcji, 331, 334, 338Przycisk pokr�t�a, 331, 339Przycisk polecenia, 283, 331, 337Przycisk prze��cznika, 331, 341Przypisz makro, 343pu�apki programowe, 287, 311punkt przegi�cia, 90

QQUARTILE, 356QUARTILE.EXC, 356QUARTILE.INC, 356Quick Watch, 311QUOTIENT, 349

RR.KWADRAT, 181, 359R1C1, 17RADIANS, 350RADIANY, 350RAND, 349RANDBETWEEN, 349Range, 295, 296, 297, 301, 303

Count, 296Formula, 296NumberFormat, 296Select, 298Value, 296

RANK, 358RANK.AVG, 359RANK.EQ, 358ReDim, 301REGBSTD, 359REGEXPP, 94, 359REGEXPW, 359REGLINP, 94, 96, 170, 175, 176, 181, 182, 183,

202, 360REGLINW, 169, 170, 173, 176, 188, 191, 360REGLINX, 167, 169, 188, 360

Skorowidz 387

regresja, 78regresja quasi-liniowa, 193regresja wielokrotna, 187

regresja liniowa, 177, 181funkcja liniowa jednej zmiennej, 181funkcje dwu zmiennych, 188NACHYLENIE, 181ocena statystyczna jako�ci dopasowania

równania regresji, 179ODCI�TA, 181R.KWADRAT, 181zastosowanie, 177

regresja nieliniowa, 193ocena statystyczna jako�ci dopasowania

równania regresji, 195Solver, 194, 196zasada minimalnej sumy kwadratów, 193zastosowanie, 193

regula falsi, 143, 147Rejestrator Makropolece�, 284rejestrowanie makropolece�, 284rekordy, 261relacje, 23REPLACE, 368REPT, 367RIGHT, 367Rnd, 294ROK, 374ROUND, 352ROUNDDOWN, 352ROUNDUP, 352ROW, 354ROWS, 353Rows.Count, 302ROZK.BETA, 360ROZK.BETA.ODWR, 360ROZK.CHI, 360ROZK.CHI.ODWR, 360ROZK.CHI.PS, 360ROZK.DWUM, 361ROZK.DWUM.ODWR, 359, 361ROZK.DWUM.PRZEC, 361ROZK.EXP, 361ROZK.F, 361ROZK.F.ODWR, 362ROZK.F.ODWR.PS, 361ROZK.F.PS, 361ROZK.GAMMA, 362ROZK.GAMMA.ODWR, 362ROZK.HIPERGEOM, 362ROZK.LOG, 363ROZK.LOG.ODWR, 363ROZK.NORMALNY, 363ROZK.NORMALNY.ODWR, 363ROZK.NORMALNY.S, 363ROZK.NORMALNY.S.ODWR, 363ROZK.POISSON, 364ROZK.T, 364

ROZK.T.DS, 364ROZK.T.ODWR, 364ROZK.T.ODWR.DS, 364ROZK.T.PS, 364ROZK.WEIBULL, 364ROZKAD.BETA, 360ROZKAD.BETA.ODW, 360ROZKAD.CHI, 360ROZKAD.CHI.ODW, 360ROZKAD.DWUM, 361ROZKAD.DWUM.PRZEC, 361ROZKAD.EXP, 361ROZKAD.F, 361ROZKAD.F.ODW, 361ROZKAD.FISHER, 362ROZKAD.FISHER.ODW, 362ROZKAD.GAMMA, 362ROZKAD.GAMMA.ODW, 362ROZKAD.HIPERGEOM, 362ROZKAD.LIN.GAMMA, 113, 362ROZKAD.LIN.GAMMA.DOK, 363ROZKAD.LOG, 363ROZKAD.LOG.ODW, 363ROZKAD.NORMALNY, 363ROZKAD.NORMALNY.ODW, 363ROZKAD.NORMALNY.S, 363ROZKAD.NORMALNY.S.ODW, 363ROZKAD.POISSON, 364ROZKAD.T, 364ROZKAD.T.ODW, 364ROZKAD.WEIBULL, 364rozmiar tablicy, 302rozwi�zywanie równa� nieliniowych, 135

graficzne szacowanie pierwiastków, 139metoda GoalSeek, 318metoda iteracji prostej, 140metoda Newtona, 145metoda siecznych, 143, 147metoda stycznych, 145odwo�ania cykliczne, 148przyspieszenie zbie�no�ci metody siecznych, 144regula falsi, 143Solver, 149, 151Szukaj wyniku, 149wyró�nik, 135zmodyfikowana metoda stycznych, 146

rozwi�zywanie równa� ró�niczkowychcz�stkowych, 228

rozwi�zywanie równa� ró�niczkowych metod�Rungego-Kutty, 217, 322

rozwi�zywanie uk�adu równa� liniowych, 41, 132Solver, 133

rozwi�zywanie uk�adu równa� nieliniowych, 156metoda minimalizacji sumy kwadratów, 154metoda Newtona-Raphsona, 160zmienna pomocnicza, 157

rozwi�zywanie zagadnienia pocz�tkowegometod� Eulera, 208

388 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

równania kwadratowe, 135pierwiastki, 313

równania nieliniowe, 135równania ró�niczkowe, 207

dok�adno� rozwi�zania, 217metoda Rungego-Kutty, 322metody analitycznego rozwi�zywania

równa� ró�niczkowych, 207rz�d równania, 207warunki brzegowe, 207warunki pocz�tkowe, 207zagadnienie pocz�tkowe, 208

równania ró�niczkowe cz�stkowe, 227metoda nadrelaksacji, 230metoda ró�nic sko�czonych, 228metoda siatek, 228metody numeryczne oparte na schematach

ró�nicowych, 236równania eliptyczne, 228równania hiperboliczne, 228równania mieszane, 227równania paraboliczne, 228, 234schemat jawny, 236schemat niejawny Cranka-Nicolsona, 237

równania ró�niczkowe zwyczajne, 207dok�adno� metod ca�kowania równa�

ró�niczkowych, 219dopasowanie warunku brzegowego, 221metoda ró�nic sko�czonych, 224metoda Rungego-Kutty, 217metoda strza�ów, 221modyfikacje metody Eulera, 213rozwi�zywanie zagadnienia pocz�tkowego

metod� Eulera, 208zagadnienie brzegowe, 220

równanie izotermy Langmuira, 185, 204równanie kinetyki chemicznej, 208równanie Laplace’a, 228równanie van der Waalsa, 84równo� liczb zespolonych, 252RÓ�N.LICZB.ZESP, 372ró�niczkowanie numeryczne, 89

aproksymacje, 90, 93bezpo�rednie oszacowanie warto�ci pochodnych

na podstawie danych pomiarowych, 92dane pomiarowe, 92funkcje aproksymuj�ce, 93obliczanie pochodnej funkcji danej wzorem, 91pochodna, 89pochodne drugiego i wy�szych rz�dów, 90punkt przegi�cia, 90punkty krytyczne, 90ró�nice centralne, 90ró�nice przednie, 90ró�nice wsteczne, 90szereg Taylora, 91

RSQ, 359rz�d równania ró�niczkowego, 207

Sschemat Hornera, 312schemat jawny, 236schemat niejawny Cranka-Nicolsona, 237ScrollBar, 331ScrollBars, 339, 340SEARCH, 367SECOND, 374SEKUNDA, 374Select, 297, 298Select Case, 307Selection, 298, 321SERIESSUM, 126, 351Set, 300ShowDropButtonWhen, 340SIGN, 352SILNIA, 25, 112, 124, 350SILNIA.DWUKR, 350Sin, 294SIN, 350SIN.LICZBY.ZESP, 256, 372Single, 290SINH, 350skalarne mno�enie macierzy, 40SKEW, 365sk�adnia odwo�a� strukturalnych, 58sk�adniki szeregu, 121skoroszyt, 13

arkusze, 13skoroszyt makr osobistych, 286

SKO�NO��, 365SLOPE, 357SMALL, 357SmallChange, 339Solver, 115, 150, 158

korelacja nieliniowa, 203regresja nieliniowa, 196rozwi�zywanie równa� nieliniowych, 149, 151, 159rozwi�zywanie uk�adu równa� liniowych, 133

sortowanie, 262SpinButton, 331Spinner, 331sposób wy�wietlania danych, 15SPRAWD�.PRÓG, 372SPRZ��.LICZBY.ZESP, 250, 372Sqr, 288, 294SQRT, 293, 350SQRTPI, 324, 350sta�a dysocjacji Kc kwasu azotowego w metanolu, 199sta�e liczbowe, 14, 16sta�e logiczne, 14, 16sta�e tablicowe, 17, 30, 38sta�e tekstowe, 17STANDARDIZE, 357STDEV, 358STDEV.P, 357STDEV.S, 358

Skorowidz 389

STDEVA, 358STDEVP, 357Step, 308Step Into, 311Step Out, 311Step Over, 311sterowanie wykonaniem kodu, 305STEYX, 359STOPNIE, 82, 351stos wywo�a� procedur, 311Str, 294String, 290struktura tabeli, 58styl A1, 34, 296styl adresowania komórek, 17styl R1C1, 17styl W1K1, 17, 34, 296Style, 340Sub, 283, 284SUBSTITUTE, 367SUBTOTAL, 351SUM, 351SUMA, 24, 43, 54, 138, 351suma regresyjna, 180, 182suma resztkowa, 179suma szeregów, 123SUMA.ILOCZYNÓW, 56, 172, 351SUMA.JE�ELI, 351SUMA.KWADRATÓW, 55, 133, 351SUMA.LICZB.ZESP, 373SUMA.SZER.POT, 351SUMA.WARUNKÓW, 351SUMA.X2.M.Y2, 351SUMA.X2.P.Y2, 351SUMA.XMY.2, 198, 351SUMA_KOLOR, 326SUMIF, 351SUMIFS, 351SUMPRODUCT, 351SUMSQ, 351SUMX2MY2, 351SUMX2PY2, 351SUMXMY2, 351SUMY.CZ��CIOWE, 274, 275, 351SUMY.PO�REDNIE, 274, 275, 351system dwójkowy, 243system liczbowy, 243system ósemkowy, 243system pozycyjny, 243system szesnastkowy, 243szczególne rozwi�zania równania ró�niczkowego, 207szereg funkcyjny, 122szereg geometryczny, 121szereg liczbowy, 121szereg Maclaurina, 122szereg naprzemienny, 122szereg pot�gowy, 121, 122, 126szereg Taylora, 91, 122

SZESN.NA.DWÓJK, 373SZESN.NA.DZIES, 244, 373SZESN.NA.ÓSM, 373Szukaj wyniku, 115, 116, 150, 158

rozwi�zywanie równa� nieliniowych, 149SZUKAJ.TEKST, 367

�redni b��d warto�ci, 179, 195�REDNIA, 29, 365�REDNIA.A, 365�REDNIA.GEOMETRYCZNA, 365�REDNIA.HARMONICZNA, 365�REDNIA.JE�ELI, 365�REDNIA.WARUNKÓW, 365�REDNIA.WEWN, 365�rednik, 24, 38

TT, 368T.DIST, 364T.DIST.2T, 364T.DIST.RT, 364T.INV, 364T.INV.2T, 364T.TEST, 365Tabela, 67Tabela danych, 67tabele, 19, 57, 215, 261

definiowanie, 57dodawanie kolumn i wierszy, 61elementy sk�adowe, 58formu�y tablicowe, 62INDEKS, 62��czenie specyfikatorów kolumn, 59odwo�ania strukturalne, 57, 58operatory odwo�ania, 59predefiniowane specyfikatory wierszy, 59PRZESUNI�CIE, 62ukrywanie nag�ówków kolumn, 61usuwanie kolumn i wierszy, 61wstawianie, 57zmiana nazwy tabeli, 61

tablice, 37, 300adresy skrajnych komórek, 38deklaracja, 300dynamiczne generowanie tablic o zadanym

rozmiarze, 50elementy, 37indeks pocz�tkowy, 300konwersja tablicy dwuwymiarowej

w jednowymiarow�, 320��czenie tablic, 48nazwy, 38, 39odwo�ania do elementów, 44odwo�ania do pocz�tkowych elementów, 48

390 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

tabliceoperacje, 38, 39rozmiar tablicy, 301, 302separatory, 38tablice wielowymiarowe, 300transpozycja, 41wprowadzanie, 38zakres indeksów, 301

tablice dynamiczne, 52stosowanie, 54

tablice funkcji dwu zmiennych, 69tablice funkcji jednej zmiennej, 65, 163

przeszukiwanie, 163tablice funkcji jednej zmiennej okre�lonej

w sposób niejawny (uwik�any), 68tablice mieszane, 48Tan, 294TAN, 351TANH, 351TDIST, 364tekst, 15TEKST, 368Tekstowy, 15TERAZ, 374TEST.CHI, 365TEST.F, 365TEST.T, 365TEST.Z, 366testowanie makropolece�, 310TEXT, 368TextAlign, 337, 339, 341TextBox, 331Then, 306, 307TIME, 373TIMEVALUE, 373TINV, 364To, 308TODAY, 373Toggle Breakpoint, 311ToggleButton, 331Top, 337TRANSPONUJ, 41, 52, 353transport masy lub ciep�a, 234TRANSPOSE, 353transpozycja macierzy, 41TREND, 360trend liniowy, 169TRIMMEAN, 365TripleState, 337, 341TRUNC, 349tryb projektowania, 311tryb wy�wietlania formu�, 16TTEST, 365tworzenie

tablice funkcji dwu zmiennych, 69tablice funkcji jednej zmiennej, 65tablice funkcji jednej zmiennej okre�lonej

w sposób niejawny (uwik�any), 68

tablice mieszane, 48wykresy punktowe, 77

TYP, 355TYPE, 355typy danych, 13

VBA, 290

UUBound, 294, 301, 302UFNO��, 366UFNO��.NORM, 366UFNO��.T, 366uk�ad równa� liniowych, 41, 131

macierze, 131rozwi�zanie, 131, 132zapis uk�adu równa�, 131

uk�ad równa� nieliniowych, 153metoda minimalizacji sumy kwadratów, 154metoda Newtona-Raphsona, 160minimum, 155rozwi�zanie, 156Solver, 159uk�ad z�o�ony z dwu równa�, 153uk�ad z�o�ony z trzech i wi�cej równa�, 159

uko�niki, 14uko�niki wsteczne, 38ukrywanie nag�ówków kolumn, 61u�amki algebraiczne, 26U�amkowy, 14Union, 297uruchamianie makropolece�, 283, 286, 310usuwanie nazwy, 18Utwórz z zaznaczenia, 19, 20

VVal, 314, 325Value, 295, 339, 341VALUE, 368VAR, 366VAR.P, 366VAR.S, 366VARA, 366Variant, 290, 304, 324VARP, 366VARPA, 366VBA, 8, 281

And, 293argumenty, 284As, 289, 290Dim, 289, 290Do...Loop, 309Eqv, 293For Each ... Next, 309For...Next, 308Function, 283funkcje, 283, 284, 288, 294

Skorowidz 391

funkcje definiowane przez u�ytkownika, 302If, 306Imp, 293instrukcja przypisania, 291instrukcje warunkowe, 305Is, 292, 308komentarze, 310komórka aktywna, 298komunikaty b��dów, 305koniec linii, 287Like, 292makropolecenia, 283metody, 297modu�y, 285nazwy, 287Not, 293obiekty, 295operatory, 292operatory porównania, 308Option Explicit, 291Or, 293parametry, 284pasek narz�dzi Debug, 311p�tle, 308podprogramy, 282, 283, 284ReDim, 301Select Case, 307Sub, 283, 284tablice, 300testowanie makropolece�, 310Then, 306typy danych, 290uruchamianie makropolece�, 310wprowadzanie kodu, 287wymiana informacji z arkuszem, 298wyra�enia, 291wywo�anie rekurencyjne, 284Xor, 293zaznaczenie, 298zmienne, 289zmienne lokalne, 288

Visual Basic, 281Visual Basic for Applications, 8, 281VLOOKUP, 354

WW1K1, 17, 34, 296WARIANCJA, 366wariancja pomiaru, 179wariancja resztkowa, 179WARIANCJA.A, 366WARIANCJA.POPUL.A, 366WARIANCJA.PRÓBKI, 366warto�ci logiczne, 15WARTO��, 368Watch, 311Watch Window, 311

WEIBULL, 364WEIBULL.DIST, 364wektor, 37wersja Excela, 11, 325Width, 337, 344WIELOMIAN, 352wielomian interpolacyjny, 170wielomian Lagrange’a, 170, 175WIERSZ, 33, 51, 102, 118, 125, 354wiersze, 13, 31Wklej, 27w�a�ciwo�ci, 295

tylko do odczytu, 295WordWrap, 337, 339, 341Workbook, 295Worksheet, 295WorksheetFunction, 295, 325wprowadzanie

formu�y tablicowe, 42kod VBA, 287

WSP.KORELACJI, 366wspó�czynnik determinacji, 79, 180wspó�rz�dne biegunowe, 80Wstaw funkcj�, 24, 289wstawianie tabeli, 57WYBIERZ, 49, 136, 354wyk�adnicza posta liczby zespolonej, 252wykresy, 75

linia trendu, 78model linii trendu, 79regresja, 78wykresy liniowe, 76wykresy radarowe, 76, 80, 81wykresy XY, 76

wykresy dynamiczne, 85krzywe Lissajous, 85

wykresy powierzchniowe, 76, 83p�aski wykres izolinii, 83zredukowane równanie stanu gazu van der

Waalsa, 83wykresy przebiegu w czasie, 86

wielko� wykresu, 87wygl�d wykresu, 87zmienno� g�sto�ci pierwiastków, 87

wykresy punktowe, 76przygotowanie danych, 76punkty po��czone lini�, 78tworzenie, 77

wyliczanie adresów, 33wymiana informacji mi�dzy arkuszem a kodem VBA,

298wype�nianie odwo�a� strukturalnych, 62wyra�enia, 16, 291wyró�nik rozwi�zywanie równania kwadratowego, 135WYST.NAJCZ��CIEJ, 367WYST.NAJCZ��CIEJ.TABL, 367WYST.NAJCZ��CIEJ.WART, 367WYSZUKAJ, 126, 164, 273, 354

392 Excel w obliczeniach naukowych i in�ynierskich

WYSZUKAJ.PIONOWO, 163, 273, 354WYSZUKAJ.POZIOMO, 163, 354wyszukiwanie danych w tablicach, 163wy�wietlanie danych, 15wy�wietlanie tekstów formu� w arkuszu, 327wywo�anie funkcji, 24wywo�anie rekurencyjne, 284wyznaczanie cz�stkowych obj�to�ci molowych, 94wyznacznik macierzy, 38, 41WYZNACZNIK.MACIERZY, 41, 43, 352wzór Eulera, 252, 255, 258

XxlErrDiv0, 305xlErrNA, 305xlErrName, 305xlErrNull, 305xlErrNum, 305xlErrRef, 305xlErrValue, 305Xor, 293

YYEAR, 374

ZZ.TEST, 366zagadnienie brzegowe równania ró�niczkowego

zwyczajnego, 220zagnie�d�anie funkcji, 24zakres indeksów tablicy, 301zakres kryteriów, 266zakresy, 17, 37, 38zale�no� g�sto�ci roztworu od temperatury

i st��enia, 188zale�no� �redniego wspó�czynnika aktywno�ci �

w roztworach kwasu azotowego od st��enia, 196

zamiana zakresu na sta�� tablicow�, 42ZAOKR, 137, 352ZAOKR.DO.CAK, 53, 190, 352ZAOKR.DO.TEKST, 368ZAOKR.DO.WIELOKR, 352ZAOKR.DÓ, 352ZAOKR.GÓRA, 352zaokr�glanie liczb, 137zapis liczb

zapis naukowy, 14zapis pó�logarytmiczny, 14

Zarejestruj nowe makro, 284zarz�dzanie nazwami, 21zasada minimalnej sumy kwadratów, 177, 193ZAST�P, 368Zastosuj nazwy, 21Zatrzymaj rejestrowanie, 285zaznaczanie

serie danych, 78wykresy, 78

zbie�ne szeregi, 121zdarzenia, 330, 345zewn�trzne odwo�ania strukturalne, 61zgodno� mi�dzy arkuszami kalkulacyjnymi Excel i

Lotus 1-2-3, 36Z�CZ.TEKSTY, 368zmiana

kolejno� wykonywania operacji, 25nazwa tabeli, 61

zmienna liczba argumentów, 303zmienne, 289

nadawanie warto�ci, 291typy danych, 290

zmienno� g�sto�ci pierwiastków, 87zmodyfikowana metoda stycznych, 146ZNAJD�, 368ZNAK, 293, 368ZNAK.LICZBY, 143, 352ZTEST, 366