ELEKTROSTATYKA

Niektóre powody dla których warto poznać ten dział:

• istnieje dużo czasem efektownych doświadczeń które najczęściej są tak proste,

że można je przeprowadzić samemu,

• w opisie matematycznym jest bardzo podobny do działu grawitacja co

z jednej strony upraszcza rozważania a ponadto jest bardzo pouczające,

ponieważ pokazuje potrzebę unifikacji,

• jest bardzo łatwy ale jednocześnie ciekawy,

• zawiera dużo powiązań ze światem życia codziennego.

Dział te opisuje właściwości ciał naładowanych elektrycznie (elektro-) i pozosta-

jących w spoczynku (-statyka)

Własności elektryczne ciał

Aby opisać właściwości elektryczne należy wprowadzić pojęcie ładunku elek-

trycznego, jest to wielkość fizyczna mierzona w Kulombach, ładunek 1C jest

bardzo dużym ładunkiem, stanowi 1C = 6, 25 · 1019 ładunków elektronu. W

przyrodzie występują dwa rodzaje ładunku, dodatni i ujemny.

W słynnym doświadczeniu Milikana (nagroda Nobla) okazało się, że ładunek nie

może przyjmować dowolnych wartości, lecz zawsze jest całkowitą wielokrotnością

ładunku elementarnego – elektronu o wartości: 1, 602·10−19C. Mówimy zatem,

że ładunek ma naturę ziarnistą.

n

p

p

pp

p

e

e

e

e

e

W elektryczności pożyteczny będzie model atomu

składający się z dodatnio naładowanego jądra (za-

wierającego dodatnie cząstki protony, o wartości

ładunku elementarnego i neutralne neutrony) oraz

z krążących wokół tego jądra elektronów (rozmiar

jądra jest 5 rzędów wielkości mniejszy niż rozmiar

atomu, więc rysunek obok jest bez zachowania

skali). Atom jest elektrycznie neutralny, tzn. ma

tyle elektronów na orbitach co protonów w jądrze.

Model ten pozwala łatwo wytłumaczyć co to znaczy że ciało posiada ładunek1

elektryczny. Decyduje o tym ilość elektronów (która może się zmieniać) w

stosunku do ilości protonów (która jest stała) i tak:

• Ciało ma ładunek dodatni, gdy „pozbawiliśmy” go części elektronów,

• Ciało ma ładunek ujemny, gdy „dostarczyliśmy” mu dodatkowe elektrony,

• Ciało nie posiada ładunku, gdy ma tyle samo elektronów co protonów.

W zależności od tego czy mamy do czynienia z metalem (zawierającym swobodne

elektrony) czy z dielektrykim (nie posiadającym takich elektronów) mamy różne

sposoby rozmieszczenia ładunku; w metalach można go wykryć w całej objętości,

w dielektrykach gromadzi się tylko na powierzchni.

Proces w wyniku którego ciało zaczyna posiadać ładunek to elektryzowanie

Wyróżniamy następujące rodzaje elektryzowania:

• przez potarcie – materiałem elektryzującym, np.

– pałeczki szklanej o papier nadaje jej ładunek dodatni,

– pałeczki ebonitowej o sukno nadaje jej ładunek ujemny,

• przez dotyk – ciałem naładowanym ciała nienaładowanego

• przez indukcję – z wykorzystaniem faktu, że ładunki ze sobą oddziałują

Niezależnie od rodzaju elektryzowania, ładunek elektryczny mie może powstać z

nikąd, zgodnie z zasadą zachowania ładunku:

W układzie odosobnionym (czyli takim, który nie wymienia ładunków ani

promieniowania z otoczeniem) całkowita ilość ładunku (algebraiczna suma

ładunków dodatnich i ujemnych) pozostaje stała. Zmiana ładunku może za-

chodzić jedynie na drodze przepływu.

W zależności od właściwości elektrycznych substancje dzielimy na:

1. Metale (przewodniki) – podczas tworzenia się wiązań metalicznych powstają

elektrony nie związane z siecią krystaliczną; są to elektrony swobodne,

tworzące gaz elektronowy. Ilość takich elektronów jest b. duża (rzędu 1024

na 1 mol) oraz poruszają się z bardzo dużą szybkością (rzędu 105ms) dzięki

czemu metale są doskonałymi przewodnikami prądu i ciepła

2. Izozatory (dielektryki) – podczas tworzenia się wiązań kowalencyjnych nastę-2

puje silne związanie wszystkich elektronów z siecią krystaliczną, dzięki czemu

nie występują elektrony swobodne i dielektryk nie przewodzi ciepła ani prądu

3. Półprzewodniki – również zawierają wiązania kowalencyjne i w temperaturze

0K są idealnymi izolatorami, jednak w temperaturach wyższych następuje

zerwanie części tych wiązań i pojawiają się zarówno elektrony swobodne

jak i dziury mogące przewodzić prąd elektryczny. Przewodnictwo to rośnie

gwałtownie wraz z temperaturą i zależy od niewielkich ilości domieszek

Obserwacje pokazują, że naelektryzowane ciała oddziaływują wzajemnie w na-

stępujący sposób:

• odpychają się gdy są jednoimienne

• przyciągają się gdy są różnoimienne

Siła wzajemnego oddziaływania dwóch naelektryzowanych kulek jest wprost-

proporcjonalna do iloczynu wartości ich ładunków i odwrotnie proporcjonalna

do kwadratu odległości między ich środkami i zależy także od środowiska ota-

czającego kulki.

F = k|q||Q|

r2

Q qrQ qr

Q qrQ qr

++

−F F −F F

+ +

F F−F −F

Zależność od środowiska określa stała oddziaływania elektrycznego k dla próżni

wynosi ona k = k0 = 9 · 109Nm2

C2 . Gdy kulki znajdują się w innym niż próznia

ośrodku to k = k0 · kr. Stałą k można także zastąpić przez:

ε – bezwzględną przenikalność elektryczną środowiska taką że:

k =1

4Πε

Która to z składa się z ε0 i εr takich że ε = ε0 · εr, gdzie:

ε0 – bezwzględna przenikalność elektryczna próżni3

εr – względna przenikalność elektryczna środowiska

Zatem prawo Coulomba można zapisać także jako:

F =|q||Q|

4Πεr2=

|q||Q|

4Πε0εrr2

Należy w tym miejscu zauważyć, że wzór opisujący Prawo Coulomba ma iden-

tyczną formę matematyczną, jak wzór opisujący prawopowszechnej grawitacji,

co będzie bardzo użyteczne w naszych rozważaniach, ponieważ będziemy mogli

posługiwać się rozumowaniem poprzez analogie i nie będziemy musieli np. jeszcze

raz wyprowadzać wzorów na pracę.

Oto różnice pomiędzy Prawem Powszechnej Grawitacji a Prawem Coulomba:

1. Stała oddziaływania elektrostatycznego jest duuużo (ok 20 rzędów wielko-

ści, więcej niż milion milionów milionów) większa niż stała oddziaływania

grawitacyjnego, co pokazuje że oddziaływanie elektrostatyczne jest dużo

silniejsze,

2. Oddziaływanie elektrostatyczne może mieć naturę przyciągania lub odpycha-

nia, zaś oddziaływanie grawitacyjne jest zawsze przyciąganiem,

3. Oddziaływanie elektrostatyczne NIE jest powszechne (ciała nienaładowanie

nie oddziałują),

4. Oddziaływanie elektrostatyczne zależy od środowiska w którym znajdują się

ciała naładowanie w odróżnieniu od oddziaływania grawitacyjnego

Fakt, że ładunki jednoimienne odpychają się wykorzystujemy do konstrukcji

urządzenia wykrywającego obecność ładunku tj. elektroskopu; jego budowę i

zasadę działania przedstawia poniższy rysunek:

+++

++

+

4

Niezależnie od tego jak naelektryzujemy elektroskop zawsze wystąpi układ ła-

dunków jednoimiennych i nastąpi wychylenie się igły instrumentu.

Widać zatem, że elektroskop jest w stanie wskazać jedynie obecność ładunku ale

nie możemy nic powiedzieć o jego znaku !!!

Pole elektrostatyczne, natężenie pola

Pole elektrostatyczne, podobnie jak pole grawitacyjne, jest polem sił. Oznacza

to że jest to przestrzeń w której na naładowane ciało działają siły natury

elektostatycznej (wynikające z Prawa Coulomba).

Ponadto okazuje się, że pod względem opisu matematycznego pole elektrosta-

tyczne to jest takie samo jak pole grawitacyjne, co pozwala np. posługiwać się

rozumowaniem przez analogie i tak postąpimy przy wyprowadzaniu wzoru na

pracę.

Linie pola elektrostatycznego są podobne do lini pola grawitacyjnego ale wy-

stępuję tam jednak istotna różnica, gdyż w polu grawitacyjnym działają jedynie

siły przyciągania; w elektrostatyce możemy mieć także do czynienia z siłami

odpychania.

Do wyznaczania kierunku lini pola elektrostatycznego używamy ładunku prób-

nego, jest to ładunek dodatni (umowa) o wartości znikomo małej (aby wytwarzane

przez niego pole było dużo mniejsze niż pole badane)

Przykładowe kształty lini sił pola elektrostatycznego:

– ładunki punktowe (pole centralne)

– równoległe płyty (pole jednorodne)5

jednorodnepole

– dwa ładunki jednoimienne

– dwa ładunki różnoimienne (w przypadku gdy wartości obu ładunków są

identyczne mamy do czynienia z dipolem elektrycznym)

Natężenie pola elektrostatycznego

Natężenie pola elektrostatycznego jest to stosunek siły elektrostatycznej działa-

jącej na ładunek próbny umieszczony w danym punkcie pola do wartości tego

ładunku.

Ładunek próbny to ciało naładowane dodatnio ale tak słabo że wytwarzane przez

niego pole elektrostatyczne jest dużo mniejsze niż badane pole w którym się

znajduje (aby nie zakłócać pola badanego)

~E =~F

|q|[E] =

N

C6

Jak widać z powyższej definicji natężenie pola jest wektorem o kierunku i zwrocie

zgodnym z kierunkiem i zwrotem siły elektrostatycznej. Wartość natężenia pola

w zależności od rodzaju pola jest następująca:

– dla pól centralnych:

E1

P2

P1

E2

E =F

|q|=

k|Q||q|

r2

|q|

E = k|Q|

r2

Jak widać natężenie pola centralnego (wytworzonego np. przez ładunek punk-

towy) zależy od wartości bezwzględnej ładunku punktowego będącego źródłem

pola (Q) i od odległości (r). Wektor natężenia pola ma ten sam kierunek i

zwrot co wektor siły elektrycznej.

– dla pól jednorodnych:

E1E2

E =F

|q|=

Wd

|q|=

U |q|

d

1

|q|=

U

d

W tym wypadku natężenie pola jednorodnego (wytworzonego np. przez dwie

równoległo płytki) zależy od odległości między tymi płytkami (d) i od napięcia

do jakiego zostały podłączone (U)

W przypadku, gdy pole wytwarzane jest np. przez kilka punktowych ładun-

ków jego natężenia nie możemy obliczyć bezpośrednio z powyższych wzorów;

stosujemy wówczas zasadę superpozycji:

Na natężenie pola wytwarzane przez naładowanie ciało NIE MA WPŁYWU

obecność innych naładowanych ciał (oczywiście natężenie WYPADKOWE za-7

leży od obecności wszystkich naładowanych ciał)

Z zasady tej wynika np. że natężenie pola wytworzonego przez układ ładunków

punktowych jest sumą natężeń pól wytwarzanych przez każdy z ładunków osobno.

Jako przykład zastosowania zasady superpozycji wyznaczymy natężenie pola

elektrostatycznego pochodzącego od dipola przy założeniu, że odległość od

dipola będzie dużo większa niż jego rozmiar.

E

E

E

EE

p

rr

d

A

B

Eq q

r

Okazuje się, że obliczenia natężenia pola różnią się w zależności od kierunku i

dlatego mamy dwa przypadki:

1. Analiza w kierunku prostopadłym do osi dipola (punkt A)

2. Analiza w kierunku równoległym do osi dipola (punkt B)

Ad. 1

W kierunku prostopadłym do osi dipola natężenia pól pochodzących od po-

szczególnych ładunków mają jednakowe wartości (E+=E− = E) i tworzą

równoległobok którego któtsza przekątna jest wypadkowym natężeniem pola;

jej długość można wyliczyć korzystając z podobieństwa trójkątów utworzonych

przez wektory natężeń pól i odległości:

Eprost

E=

d

r⇒ Eprost =

Ed

r(∗)

Korzystając, z definicji natężenia pola centerlnego możemy wyliczyć, że8

E = kq

r2

i po podstawieniu do równania (∗) mamy:

Eprost = kq

r2

d

r= k

qd

r3

Ad. 2

W kierunku równoległym do osi dipola ładunki znajdują się w różnej odległości

od punktu B (odległość ładunku dodatniego to r+ = r + d2 , zaś ujemniego to

r− = r + d2). Zatem wartość wypadkowego natężenia pola wynosi:

E|| = E− − E+ = kq

r2−

− kq

r2+

= kq

(

1

r2−

−1

r2+

)

=

= kq

(

1

(r + d2)

2−

1

(r − d2)

2

)

= kqr2 + rd + d2

4 − r2 + rd − d2

4

[r2 − d2

4 ]2

Po uproszczeniu w liczniku i skorzystaniu z faktu, że w przybliżeniu d << r w

mianowniku d2

4 = 0, mamy:

E|| = kq2rd

r4= k

2qd

r3

Okazało się że w obu kierunkach wzory są bardzo podobne (na osi dipola

natężenie pola jest dwa razy większe), jednak najważniejszą sprawą jest fakt,

że natężenie pola dipola jest odwrotnie proporcjonalne do sześcianu odległości,

więc maleje dużo szybciej niż w przypadku ładunku punktowego.

Ponadto wprowadzając pojęcie momentu dipolowego (~p = q~d) możmy osta-

tecznie zapisać:

~Epros = k~p

r3~E|| = 2k

~p

r3

9

Prawo Gaussa

Wprowadźmy w tym miejscu Prawo Gaussa, które pomimo niewątpliwych trud-

ności natury matematycznej doskonale przedstawia istotę pól elektostatycznego

i grawitacyjnego, oraz różnicę pomiędzy nimi a polem magnetycznym.

Na potrzeby tego prawa wprowadza się najpierw pojęcie strumienia pola elektro-

statycznego przez daną powierzchnię.

Strumieniem pola elektrostatycznego (o natężeniu E) przenikającym po-

wierzchnię S nazywamy iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrosta-

tycznego i wektora normalnego (prostopadłego do rozważanej powierzchni i o

długości równej liczbowo jej polu powierzchni)

En

S

Φ = S ~E · ~n = ES cos 6 (~E, ~n)

Kolejną rzeczą potrzebną przy omawianiu Prawa Gaussa jest umiejętność oblicza-

nia strumienia pola przez powierzchnię zamkniętą (np. sferę) i tu jest największa

trudność matematyczna, ponieważ chcąc to zrobić w sposób ścisły należy posłu-

żyć się całką i to jeszcze powierzchniową. My jednak w naszych rozważaniach

będziemy dzielić rozważaną powierzchnię zamkniętą na skończoną ilość fragmen-

tów i po obliczeniu strumienia dla każdego z fragmentów dodamy je wszystkie

razem.

Prawo Gaussa formułowane jest na wysokim poziomie ogólności i ma postać:

Strumień pola elektrostatycznego przenikający zamkniętą powierzchnię S jest

równy:

• zero, gdy rozważana powierzchnia nie zamyka żadnych ładunków,

• algebraicznej sumie (z uwzględnieniem znaków) ładunków podzielonej

przez przenikalność elektryczną środowiska w którym się znajdują

Wysoki poziom ogólności (proszę zwrócić uwagę, że zarowno rozważana po-

wierzchnia zamknięta, jak i układ ładunków będących źródłem pola mogą być

dowolne) czyni Prawo Gaussa bardzo uniwersalnym (stosuje się ono także do pól

grawitacyjnych i magnetycznych) a jednocześnie eleganckim.10

Prawo Gaussa da się zapisać następująco:

QΣ

Si

ni

Ei

n∑

i=1

∆Si~Ei · ~ni =

∑

Q

ε

Jako przykład zastosowania prawa Gaussa obliczymy natężenie pola pochodzą-

cego od płaszczyzny naładowanej, tak że gęstość powierzchniowa ładunku wynosi

σ = QS

. Największą trudnością w tego typu zagadnieniach jest odpowiedni wybór

powierzchni przez którą policzymy strumień (tzw. powierzchni Gaussowskiej). W

naszym przypadku będzie to walec, którego powierzchnia boczna jest prostopadła

do rozważanej płaszczyzny.

E

EE

E

n

n

n

Φp

Φp

Φb

Φb

n

S

σ Q

Strumień pola elektrostatycznego przez powierzchnię walca jest sumą strumieni

przenikających przez poszczególne części walca (powierzchnię boczną i podstawy)

Φ = 2Φp + Φb

Jak jednak widać na rysunku prostopadła do powierzchni bocznej (normalna ~n)

jest prostopadła do wektora natężenia pola (~E) a zatem:11

Φb = ES cos(90o) = 0

Normalna do powierzchni podstaw jest równoległa do wektora natężenia pola,

więc:

Φp = ES cos(0o) = ES

Zatem, całkowity strumień pola elektrostatycznego wynosi:

Φ = 2Φp = 2ES

Korzystając z prawa Gaussa mamy:

Φ =Q

ε=

σS

ε

Z porównania obu stron obliczamy natężenie pola pochodzące od płaszczyzny:

σS

ε= 2ES ⇒ E =

σ

2ε

W podobny sposób można obliczać natężenia pól pochodzących od innych

naładowanych ciał.

Praca w polu elektrostatycznym, energia pola elektrostatycznego

Oddziaływania grawitacyjne opisane są prawem powszechnej grawitacji:

Fg = Gm1m2

r2

Oddziaływania elektrostatyczne opisuje prawo Coulomba:

Fe = k|q1||q2|

r212

Jak widać oba prawa mają tą samą formę matematyczną (siła jest odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odległości) a zatem fizyczna natura obydwu pól

jest jednakowa. Wprowadzając wzory na pracę nie musimy ich zatem wyprowa-

dzać; wystarczy że we wzorach wyprowadzanych w dziale Grawitacja dokonamy

następującej zamiany wielkości fizycznych:

Grawitacja masa (m) stała oddziaływania (k)

Elektrostatyka ładunek (q) stała oddziaływania (G)

Jednakowa natura obu pól oznacza, że także pole elektrostatyczne jest zacho-

wawcze a więc wykonana praca nie zależy od drogi i kształtu toru; jedynie

od położenia początkowego i końcowego. Oznacza to, że możemy wprowadzić

pojęcie potencjału elektrostatycznego i pracę obliczać jako różnicę potencjałów.

Jedyną trudnością będzie odpowiedni dobór znaków, które w zależności od

rodzaju ładunków będziemy wyznaczać z definicji pracy.

Centralne pole elektrostatyczne

Praca wykonana przez siłę zewnęrzną w centralnym polu grawitacyjnym przy

przenoszeniu ciała od punktu A do B (tak aby w każdym punkcie wartość

prędkości była stała) wynosi:

Wz = GMm

(

1

r1−

1

r2

)

Wykorzystując fakt, że oba pola mają tą samą naturę możemy zapisać:

QA q

B

Wz = −kQq

(

1

r1−

1

r2

)

Przy czym pojawił się znak „−” a jego obecność zapewnia poprawny znak pracy

w zależności od tego, czy ładunki są jednoimienne, czy różnoimienne:13

• jednoimienne (Qq > 0), wówczas Wz < 0 (bo wtedy siła zewnętrzna jest

przzeciwna do przemieszczenie)

• różnoimienne (Qq < 0), wówczas Wz > 0 (bo wtedy siła zewnętrzna jest

zgodna z przemieszczeniem)

Z uwagi na założenie o jednostajności ruchu jakim przemieszczamy ładunek w

każdym punkcie toru zachodzi ~Fz = −~F i oznacza to, że praca wykonana

przez pole wynosi:

W = −Wz

Podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego energię pola w danym punkcie

(A) definiujemy jako pracę którą musi wykonać POLE przy przenoszeniu ładunku

z punku A do nieskończoności, a zatem wynosi:

WA→B = kQq

(

1

rA−

1

rB

)

⇒ WA→∞ = kQq

(

1

rA−

1

∞

)

Jak liczba „robi się” duża do jej odwrotność staje się coraz mniejsza, zatem w

dość nieformalnym zapisie mamy: 1∞ = 0, a zatem:

WA→∞ = EpA =kQq

rA⇒ Ep =

kQq

r

Stosunek energii potencjalnej pola elektrostatycznego do ładunku próbnego

umieszczonego w danym punkcie to potencjał elektryczny tego punktu:

V =Ep

q=

kQqr

q=

kQ

r

Jednostką potencjału elektrycznego jest Volt, określony następująco:

[V ] =J

C= V

Znajomość potencjału pozwala obliczyć pracę przy przesuwaniu ładunku z punktu

A do punktu B w danym polu elektrostatycznym.14

– praca siły zewnętrznej: (zapewniającej to, że ruch jest jednostajny prostoli-

niowy)

Wz(A→B) = EB − EA = VB · q − VA · q = q(VB − VA) (1)

– praca wykonana przez pole elektrostatyczne:

WA→B = −Wz(A→B) = −q(VB − VA) = q(VA − VB) (2)

Wprowadzając pojęcie napięcia które określone jest jako różnica potencjałów

(U = VB − VA) mamy:

Wz = qU W = −qU

Do graficznego zilustrowania rozkładu potencjałów (wielkość skalarna) używamy

pojęcia powierzchni ekwipotencjalnej.

Każdy punkt na takiej powierzchni posiada taki sam potencjał.

Przemieszczając zatem ładunek między punktami A i B leżącymi na tej samej

powierzchni ekwipotencjalne nie wykonujemy żadnej pracy bo:

Wz(A→B) = q(VA − VB) = q(V − V ) = 0 (3)

Ale z definicji pracy mamy, że:

Wz(A→B) = ~Fz · ~r = Fzrcos( ~Fz, ~r) = 0 (4)

Ponieważ Fz 6= 0 i r 6= 0 to cos( ~Fz, ~r) = 0 a to oznacza, że:

Linie sił pola (kierunek ~Fz) są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych

(kierunek ~r)

W przypadku pola centralnego powierznie ekwipotencjalne do sfery otaczające

źródło pola, jak pokazano to na rysunku:15

Q

Pole jednorodne

Natężenie pola jednorodnego jest stałe i jak pokazaliśmy wcześniej, wynosi:

E =U

d

Z drugiej strony mamy ogólną definicję natężenia pola elektrostatycznego:

E =F

q

Z porównania można obliczyć siłę:

U

d=

F

q⇒ F =

Uq

d

Siła ta jest w polu jednorodnym stała, a zatem łatwo jest wyliczyć pracę i gdy

przemieszczenie będzie równe d, wynosi ona:

W = Fd =Uq

dd ⇒ W = Uq

Otrzymany rezultat jest taki sam jak dla pola centralnego co nie jest niczym

dziwnym, ponieważ pole elektrostatyczne jest zachowawcze.

Powierzchnie ekwipotencjalne w polu jednorodnym również są prostopadłe do

lini pola, zatem będą one równoległe do okładek wytwarzających pole:16

Definicja (W = qU) może posłużyć do wprowadzenia innej jednostki pracy –

elektronovolta, która jest niezwykle użyteczna w fizyce atomowej i jądrowej.

Elektronovolt to praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku 1e w polu

elektrostatycznym pomiędzy punktami różniącymi się potencjałem o 1V

1eV = 1e · 1V = 1.602 · 10−19J

Metale i dielektryki w polu elektrostatycznym

Rozpatrzymy jak zachowują się metale i ilozaltory (dielektryki) umieszczone w

(jednorodnym dla uproszczenia) polu elektrostatycznym.

W przypadku metalu pole elektryczne spowoduje deformację chmury elektronowej

w obszarze całego przewodnika metalowego, tak że jedna jego część naładuje

się dodatnio, a druga ujemnie. Powstałe w ten sposób pole wewnętrzne jest

przeciwne do pola zewnętrznego i osłabia go.

W przypadku dielektryka, gdzie nie ma elektronów swobodnych, zewnętrzne pole17

elektryczne zdeformuje chmurę elektronową w obszarze atomu i powstaną dipole

elektryczne, które w zewnętrznym polu zaczną ustawiać się tak, że wytworzone

pole wewnętrzne będzie przeciwne do pola zewnętrznego i również osłabi go, ale

o wiele silniej, niż w przypadku przewodnika metalowego

Zatem wkładając w pole elektrostatyczne czy to przewodnik metalowy, czy to

izolator osłabiamy je, co ma zastosowanie np. w konstruowaniu kondensatorów

Pojemność elektryczna. Kondensatory

Rozważmy następujące doświadczenie. Intensywnie ładujemy pałeczkę ebonitową

o wełniane sukno (na potencjał ujemny co i tak jest w doświadczeniu bez

znaczenia) i ładujemy nią elektroskop; raz pusty a raz z przymocowaną do niego

dużą metalową kulą.

Stwierdzamy, że elektroskop zawierający dużą, metalową kulę wychylił się znacz-

nie mniej, a zatem można by było naładować pałeczkę ponownie i „doładować”

elektroskop z kulą raz jeszcze, innymi słowy jest on w stanie „zmieścić” więcej

ładunku niż elektroskop bez kuli.

Kąt wychylenia wskazówki elektroskopu jest propotcjonalny do napięcia jakie

wytworzył ładunek, a zatem można wprowadzić wielkość pokazującą jak wiele

ładunku można „zmieścić” przy danym napięciu – pojemność elektryczną:

Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku zgromadzongo na prze-

wodniku do wytworzonodego przez ten ładunek napięcia

C =Q

U[C] =

C

V= F

18

Jednostką pojemności elektrycznej jest Farad, jest to wielkość bardzo duża,

dlatego stosuje się jego podwielokrotności; najpopularniejsze z nich to:

• 1pF = 10−12F

• 1nF = 10−9F

• 1µF = 10−6F

• 1mF = 10−3F

Urządzenia służce do gromadzenia ładunku elektrycznego to kondensatory skła-

dają się one z układu metalowych przewodników poprzedzielanych izolatorami.

Podstawowymi parametrami każdego kondensatora są:

• pojemność, wraz z jej toleracją, (np. 1µF , 3%)

• maksymalne napięcie pomiędzy okładkami kondensatora (np. 100V )

Określają one maksymalny ładunek jaki może być zgromadzony w kondensatorze:

Qmax = C · Umax

Najprostszyą odmianą kondensatora jest kondensator płaski, składa się on z

dwóch, równoległych, metalowych płytek o polu powierzchni S znajdujących się

w odległości l od siebie pomiędzy którymi znajduje się dielektryk o przenikalności

dielektrycznej εr, udowodnimy ile wynosi pojemność takiego układu.

Jak pokazaliśmy przy prawie Gaussa, natężenie pola pochodzące od płaszczyzny

wyraża się wzorem:

E =σ

2ε0εr

Gdy odległość między płytkami jest dużo mniejsza niż ich rozmiar (a tak jest

w kondensatorze płaskim) można potraktować go jak układ dwóch płaszczyzn i

wówczas pomiędzy nimi natężenie pola jest dwa razy większe i wynosi:

E = 2σ

2ε0εr=

σ

ε0εr19

Ponadto wiadomo, że pomiędzy płytami mamy pole jednorodne, którego natę-

żenie dane jest następującym wzorem:

E =U

d

Z porównania natężeń obliczamy napięcie pomiędzy płytami kondensatora pła-

skiego:

U

d=

σ

ε0εr⇒ U = d

σ

ε0εr

Korzystając z definicji gęstości powierzchniowej obliczamy ładunek:

σ =Q

S⇒ Q = σS

Podstawiając napięcie i ładunek do wzoru na pojemność otrzymujemy:

C =Q

U=

σS

d σε0εr

i po przekształceniu mamy:

rε

SS

d

C = ε0εrS

d

Ładowanie i rozładowywanie kondensatora

Rozważmy następujący obwód:20

ε

R

RC

21

W położeniu przełącznika (1) źródło na-

pięcia podłączone jest poprzez rezystor

R do kondensatora C i ładuje go, zaś

w położeniu (2) przełącznika kondensa-

tor rozładowuje się przez rezystor R. W

obu przypadkach rezystory pełnią rolę

zabezpieczającą przed zbyt szybkim na-

ładowaniem/rozładowaniem

Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa można napisać następujące równanie

przy ładowaniu kondensatora:

ε = UR + UC ⇒ ε = i(t)R +i(t)dt

C

Rozwiązanie tego równania ma postać:

i(t) = I(0)(1 − e− tτ ) τ = RC

W położeniu 2 kondensator się rozładowuje; wówczas II prawo Kirchhoffa ma

postać:

UR = UC ⇒ i(t)R =i(t)dt

C

a jego rozwiązanie jest następujące:

i(t) = I(0)e− tτ τ = RC

Wykresy zmian natężenia prądu są następujące:21

U

t

ε

U

t

Ladowanie Rozladowanie

ε

Występująca w obu wzorach wielkość τ tzw. stała czasowa ładowania (rozła-

dowania); jest to czas po którym kondensator naładuje (rozładuje) się do 68%

wartości początkowej.

Kondensatory znalazły szereg zastosowań zarówno w fizyce, jak i innych dziedzi-

nach techniki przede wszystkim w elektronice; oto niektóre z nich:

• „wygładzanie” napięcia w zasilaczach,

• układy kształtowania impulsów (np. całkujące lub różniczkujące),

• gromadzenie energii (np. w jednym zmodeli BMW był taki system),

• elementy obwodów rezonansowych i filtórw częstotliwości,

• separacja napięcia stałego pomiędzy kolejnymi stopniami obwodów,

Podstawowym kryterium podziału kondensatorów jest możliwość zmiany pojem-

ności i w zależności od tego wyróżniamy:

• kondensatory stałe – o niezmiennej pojemności,

• kondensatory zmienne – których pojemność można regulować,

W zależności od sposobu regulacji pojemności w kondensatorach zmiennych

wyróżniamy:

• kondensatory zmienne, mechaniczne – zmiana pojemności następuje w sposób

mechaniczny (np. poprzez wsuwanie okładek jednych między drugie)

• kondensatory zmienne, elektroniczne – np. diody pojemnościowe w których

zmiany pojemności dokonujemy zmieniając napięcie na diodzie.22

Ponadto w zależności od budowy wyróżniamy następujące rodzaje kondensato-

rów:

• elektrolityczne – w których okładki zanurzone są w płynnym elektrolicie i

przy pierwszym ładowaniu pokrywa on okładki warstwą izolatora; w tego

typu kondensatorach mamy biegun dodatni i ujemny i nie można ich pomylić

przy podłączaniu bo wówczas ryzykujemy nawet eksplozją kondensatora.

• nielektrolityczne – nie ma znaczenia w którym kierunku podłączymy je

do obwodu w zależności od rodzaju dielektryka między okładkami mamy

przykładowo:

– kondensatory powietrzne,

– kondensatory papierowe,

– kondensatory mikowe,

– kondensatory mylarowe, itd...

Ładując kondensator gromadzimy w nim energię. Aby ją obliczyć w sposób

ścisły zwykle używa się rachunku całkowego. Z uwagi jednak na ziarnistość

ładunku elektrycznego lepsza okaże się inna metoda, a ponadto będzie ona dużo

łatwiejsza matematycznie.

Ładowanie kondensatora możemy potraktować jako przenoszenie przez źródło

napięcia kolejnych elektronów na jedną z okładek (na drugiej wskutek indukcji

elektrostatycznej pojawi się ładunek dodatni)

Wprowadzenie pierwszego elektronu na okładkę nie wymaga wykonania żadnej

pracy, ale wytworzy on napięcie U = eC

i wprowadzając kolejne elektrony trzeba23

będzie wykonywać coraz to większą pracę które wynoszą odpowiednio:

• W1 = eU = e0 = 0 pierwszy elektron,

• W2 = eU = e eC

= 1e2

Cdrugi elektron,

• W3 = eU = e2eC

= 2e2

Ctrzeci elektron,

• W4 = eU = e3eC

= 3e2

Cczwarty elektron,

(...)

• Wn = eU = e(n−1)e

C= (n − 1)e

2

Cn-ty elektron

Praca całkowita przy ładowaniu kondensatora jest sumą poszczególnych prac:

W = W0 + W1 + W2 + ... + Wn

i okazuje się, że jest ją bardzo łatwo obliczyć ponieważ poszczególne prace tworzą

ciąg arytmetyczny i mamy

W = E =W0 + Wn

2n =

0 + (n − 1)e2

C

2n ≈

n2e2

2C=

Q2

2C

Podstawiając za Q z definicji pojemności (Q = CU) otrzymujemy bardziej

znaną wersję wzoru na energię naładowanego kondensatora:

E =CU2

2

W niektórych przypadkach użytecznym jest połączyć kondensatory szeregowo,

lub równolegle (choćby dla zwiększenia pojemności) i pojemność zastępcza w

zależności od rodzaju połącznia wynosi:

– połączenie szeregowe

W połączeniu tym w każdym kondensatorze jest taki sam ładunek ale napięcia

zależne są od pojemności konsensatorów, w sumie muszą jednak dać napięcie

zasilania, a zatem:24

CzC3C2C1

U1 U2 U3

Q Q Q Q

U U

U = U1 + U2 + U3

ale z definicji mamy:

C =Q

U⇒ U =

Q

C

i po podstawieniu daje to nam szukany wzór:

Q

Cz

=Q

C1

+Q

C2

+Q

C3

⇒1

Cz

=1

C1

+1

C2

+1

C3

– połączenie równoległe

W połączeniu tym na każdym z kondensatorów panuje takie samo napięcie, zaś

ładunki w poszczególnych kondensatorach zależą od ich pojemności, w sumie

muszą jednak dać całkowity ładunek doprowadzony do układu, zatemCz

Q 3

Q 2

Q 1

C1

C2

C3

Q

UU

Q = Q1 + Q2 + Q3

ale z definicji mamy:25

C =Q

U⇒ Q = CU

i po podstawieniu daje to nam szukany wzór:

CzU = C1U + C2U + C3U ⇒ Cz = C1 + C2 + C3

Budowa i zasada działania oscyloskopu.

Oscyloskop jest urządzeniem elektronicznym służącym do badania napięć lub ich

sumy bądź różnicy, które to napięcia zmieniają się w czasie. Poprzez badanie

należy rozumieć: obserwacje, pomiary, porównywanie i zapamiętywanie.

Podstawowym elementem oscyloskopu jest lampa oscyloskopowa przedstawiona

na poniższym rysunku:

Katoda (zazona)

Cylinder Wenelta

Anoda

Ksztaltowanie i przyspieszanie

wiazki elektronow elektronow

Odchylanie wiazki

wiazki elektronow

Obserwacja

Luminofor

Plytki odch.poziomego

Plytki odch.pionowego

Na skutek żarzenia katody następuje emisja elektronów (zjawisko to nosi nazwę

termoemisji). Otrzymana wiązka elektronów jest kształtowana przez cylinder

Wehnelta (decyduje o tym ile elektronów będzie w wiązce, czyli o jasności

plamki na ekranie) a następnie jest przyspieszana przez anodę (szybkość elektro-

nów decyduje o ostrości plamki). Ukształtowana wiązka elektronów przechodzi

przez najważniejszy element lampy oscyloskopowej – układ dwóch par płytek.

Przykładając napięcie do płytek odchylania poziomego decydujemy o pozio-

mym przesunięciu wiązki; przyłożenie napięcia do płytek odchylania pionowego

powoduje pionowe przesunięcie wiązki elektronów. Docierając do luminoforu26

wiązka elektronów powoduje jego świecenie, dzięki czemu posiadamy informacje

w którym miejscu na ekranie znajdują się elektrony.

Ilość rodzajów pomiarów możliwych do wykonania oscyloskopem jest prze-

ogromna (istnieją kilkusetstronicowe książki o samych pomiarach), oto parę z

nich:

1. Obserwacja zmian napięć i pomiary parametrów napięcia zmiennego,

2. Dodawanie napięć i obserwacja krzywych Lisarzu,

3. Obserwacja charakterystyki częstotliwościowej układu,

Ad. 1

Obserwacja zmienności napięcia na ekranie oscyloskopu polega na tym że na

płytki odchylania poziomego podaje się napięcię piłokształtne o okresie zmian w

przybliżeniu równym okresowi badanego napięcia. Wówczas plamka na ekranie

oscyloskopu zaczyna się poruszać jednostajnie i cyklicznie w poziomie od lewej

do prawej; i rysuje poziomą linię (którą można traktować jako upływający czas)

Podanie badanego napięcią na płytki odchylania pionowego spowoduje DODAT-

KOWE odchylanie się palmki w pionie (zgodnie ze zmiennością napięcia) i na

ekranie dostajemy zależność napięcia od czasu, czyli kształt badanego przebiegu.

UY

UX

Y

X

t t

Ad. 2

Podając na płytki odchylania poziomego i pionowego dwa napięcia sinusoidalne

na ekranie oscyloskopu otrzymamy ich sumę; utworzy ona tzw. krzywe Lissajuess.

Przyjmując, że amplitudy obu przebiegów są identyczne (dla uproszczenia) będą

to:27

• okrąg – gdy częstotliwości obu przebiegów i ich fazy początkowe są jedna-

kowe,

• elipsa – gdy częstotliwości obu przebiegów są równe ale fazy początkowe są

różne (ale różnica faz nie jest równa 90o),

• odcinek pochylony pod kątem 45o – gdy częstotliwości są równe i różnica

faz wynosi 90o

• krzywą Lissajuess – taką, że stosunek jej liczby przecięć z prostą poziomą

do liczby przecięć z prostą pionową jest równa stosunkowi częstotliwości

podawanych przebiegów podawanych napięć (o ile jest liczbą wymierną).

• jednolicie „zarysowany” kwadrat – jeżeli stosunek częstotliwości podawanych

przebiegów napięć jest liczbą niewymierną.

UY

UX

Y

X

t t

Ad. 3

Wymaga dość istotnej modyfikacji napięcia odchylania poziomego tak, że ma ono

modulowaną częstotliwość, dzięki temu na ekranie pojawia się charakterystyka

częstotliwościowa układu. Oscyloskopy umożliwiające analizę widma nazywają

się wobuloskopami.

28