1

Elektrostatyka

Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

2

Potencjał pola elektrycznego

Energia potencjalna zależy od q (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q.

Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną!

qrUr )()( =ϕ jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N·m / C ]

∑=i

i RR )()( ϕϕ

Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Qi) ich potencjały sumują się algebraicznie

Uwaga! Tutaj sumujemy wielkości skalarne!

3

Natężenie pola jako gradient potencjału

W ogólności trzeba zapisać ϕϕ→→∇−=−= )(gradE

czyli

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

→z

zy

yx

xE ˆˆˆ

ϕϕϕTo jest recepta jak policzyć E znając potencjał

Wniosek: natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje

Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami

Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi

[ ])()()(

)()()()(

1221

1212

RRqRRW

qRURURR

ϕϕ

ϕϕϕ

−=→

−=−=∆

Dlatego można zapisać, że ∫→→

−=−=∆2

1

)()( 12R

R

drERR °ϕϕϕ

4

Potencjał ładunku punktowego

∫−=−2

1

20

12 4

R

R rdrQ

π εϕϕ

RQR

04)(

π εϕ =

5

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe - powierzchnie ekwipotencjalne

• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni

6

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne

• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni

7

Strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię zamkniętą

• dzielimy powierzchnię na małe elementy ∆s.• znajdujemy wektor „normalny” (wektor prostopadły) do powierzchni ∆s• sumujemy wszystkie iloczyny skalarne

Strumień pola elektrycznego

∫∑

=Φ

∆=Φ

SdE

SE

E

E

°

°

θcosSESE ∆=∆

°Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami

Wektor ∆s zawsze skierowany jest na zewnątrz powierzchni zamkniętej !

8

0)()()(

=++==Φ ∫∫∫ ∫cba

E SdESdESdESdE

ESSdE

SdE

ESdSEdSESdE

c

b

a

=

=

−=−==

∫

∫

∫ ∫∫

)(

)(

0

)(

0

180cos

Strumień pola elektrycznego

Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym polu elektrycznym

9

Prawo Gaussa

EΦQ1Q2

∑=Φ0εi

EQ

Strumień przez pow. Zamkniętą:

Nie zależy od sposobu ułożenia ład.

Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych

Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy

Prawo Gaussa mówi :

strumień natężenia pola elektrycznego w próżni przez

dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy

algebraicznej ładunków elektrycznych otoczonych przez

tę powierzchnię

∫ ==Φs

EqSdE

0ε

powierzchnia sfery

zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz!

∫ ===Φs

Eq

RRqSdE

02

0

2

44

εεππ

10

Prawo Gaussa – postać różniczkowa

0

2

0

0

0

),,(),,(ε

ϕ

ε

ε

ε

zyxqzyx

qE

qzE

yE

xE

qEdiv

zyx

−=∇

=∇

=∂

∂+∂

∂+

∂∂

=

→→

→

° zz

yy

xx

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

→

ˆˆˆ

gdzie operator

Równanie Poisson’a,

Pozwala obliczyć rozkłady potencjału (pole skalarne potencjału) na podstawie znajomości rozkładu ładunku2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz

Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej

11

Prawo Gaussa - konsekwencje

Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni

Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku wewnątrz takiego przewodnika – lokuje się on na zewnątrz

Na powierzchni przewodnika0=E

const=ϕwartość potencjału pola el.0ε

σ=Ewartość nat. pola el. gęstość powierzchniowa ładunku

12

Prawo Gaussa - konsekwencje

Nienaładowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Ładunki elektryczne (np. elektrony) rozkładają się na powierzchni tak, aby w środku E=0 , a na zewnątrz pole E było prostopadłe do powierzchni przewodnika

Wyładowanie elektryczne przechodzące przez samochód. Pole elektryczne wewnątrz E=0

13

Prawo Gaussa – zastosowanianieskończony przewodnik liniowy

RE

02π ετ=

Przyjmijmy, że gęstość liniowa ładunku jednorodna wynosi L

Qdldq ==τ

0

0cos90cos2εqEBEA ooE =+=Φ

0

2ετπ hrhE =

Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień

∫ ==Φs

EqSdE

0ε

021 ε

qBAAE =Φ+Φ+Φ=Φ

τ

A– powierzchnia podstawy walcaB – powierzchnia boczna

14

Prawo Gaussa – zastosowania,pole elektryczne naładowanej kuli

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętąE=∮ E d S= q0

E

R

r

dla r > R

dla r < R

E= q40 r

2

E=0

Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r ?

Jak policzyć natężenie takiego pola?

Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego!

E= q40r

2

E 4 r2= q0

r =−∫∞

r

E ° dr =−∫∞

r q4 r20

dr = q4 r 0

15

Prawo Gaussa – zastosowaniajednorodnie naładowana płaszczyzna

Zakładamy że gęstość powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi

przez A przez B przez powierzchnięboczną = 0

E=ABD=q0

Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień

E=∮ E d S= q0

Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny

E=

20

ale A=B

E=EA cos0oEB cos0o= q

0

E=2 EA= A0

=dqds

=QS

Slajd 1Slajd 2Slajd 3Slajd 4Slajd 5Slajd 6Slajd 7Slajd 8Slajd 9Slajd 10Slajd 11Slajd 12Slajd 13Slajd 14Slajd 15