1
Elektrostatyka
Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
2
Potencjał pola elektrycznego
Energia potencjalna zależy od q (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q.
Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną!
qrUr )()( =ϕ jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N·m / C ]
∑=i
i RR )()( ϕϕ
Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Qi) ich potencjały sumują się algebraicznie
Uwaga! Tutaj sumujemy wielkości skalarne!
3
Natężenie pola jako gradient potencjału
W ogólności trzeba zapisać ϕϕ→→∇−=−= )(gradE
czyli
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
→z
zy
yx
xE ˆˆˆ
ϕϕϕTo jest recepta jak policzyć E znając potencjał
Wniosek: natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje
Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami
Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi
[ ])()()(
)()()()(
1221
1212
RRqRRW
qRURURR
ϕϕ
ϕϕϕ
−=→
−=−=∆
Dlatego można zapisać, że ∫→→
−=−=∆2
1
)()( 12R
R
drERR °ϕϕϕ
4
Potencjał ładunku punktowego
∫−=−2
1
20
12 4
R
R rdrQ
π εϕϕ
RQR
04)(
π εϕ =
5
Powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe - powierzchnie ekwipotencjalne
• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni
6
Powierzchnie ekwipotencjalne
Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne
• poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy• wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni
7
Strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię zamkniętą
• dzielimy powierzchnię na małe elementy ∆s.• znajdujemy wektor „normalny” (wektor prostopadły) do powierzchni ∆s• sumujemy wszystkie iloczyny skalarne
Strumień pola elektrycznego
∫∑
=Φ
∆=Φ
SdE
SE
E
E
°
°
θcosSESE ∆=∆
°Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami
Wektor ∆s zawsze skierowany jest na zewnątrz powierzchni zamkniętej !
8
0)()()(
=++==Φ ∫∫∫ ∫cba
E SdESdESdESdE
ESSdE
SdE
ESdSEdSESdE
c
b
a
=
=
−=−==
∫
∫
∫ ∫∫
)(
)(
0
)(
0
180cos
Strumień pola elektrycznego
Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym polu elektrycznym
9
Prawo Gaussa
EΦQ1Q2
∑=Φ0εi
EQ
Strumień przez pow. Zamkniętą:
Nie zależy od sposobu ułożenia ład.
Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych
Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy
Prawo Gaussa mówi :
strumień natężenia pola elektrycznego w próżni przez
dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy
algebraicznej ładunków elektrycznych otoczonych przez
tę powierzchnię
∫ ==Φs
EqSdE
0ε
powierzchnia sfery
zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz!
∫ ===Φs
Eq
RRqSdE
02
0
2
44
εεππ
10
Prawo Gaussa – postać różniczkowa
0
2
0
0
0
),,(),,(ε
ϕ
ε
ε
ε
zyxqzyx
qE
qzE
yE
xE
qEdiv
zyx
−=∇
=∇
=∂
∂+∂
∂+
∂∂
=
→→
→
° zz
yy
xx
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
→
ˆˆˆ
gdzie operator
Równanie Poisson’a,
Pozwala obliczyć rozkłady potencjału (pole skalarne potencjału) na podstawie znajomości rozkładu ładunku2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz
Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej
11
Prawo Gaussa - konsekwencje
Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni
Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku wewnątrz takiego przewodnika – lokuje się on na zewnątrz
Na powierzchni przewodnika0=E
const=ϕwartość potencjału pola el.0ε
σ=Ewartość nat. pola el. gęstość powierzchniowa ładunku
12
Prawo Gaussa - konsekwencje
Nienaładowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Ładunki elektryczne (np. elektrony) rozkładają się na powierzchni tak, aby w środku E=0 , a na zewnątrz pole E było prostopadłe do powierzchni przewodnika
Wyładowanie elektryczne przechodzące przez samochód. Pole elektryczne wewnątrz E=0
13
Prawo Gaussa – zastosowanianieskończony przewodnik liniowy
RE
02π ετ=
Przyjmijmy, że gęstość liniowa ładunku jednorodna wynosi L
Qdldq ==τ
0
0cos90cos2εqEBEA ooE =+=Φ
0
2ετπ hrhE =
Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień
∫ ==Φs
EqSdE
0ε
021 ε
qBAAE =Φ+Φ+Φ=Φ
τ
A– powierzchnia podstawy walcaB – powierzchnia boczna
14
Prawo Gaussa – zastosowania,pole elektryczne naładowanej kuli
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętąE=∮ E d S= q0
E
R
r
dla r > R
dla r < R
E= q40 r
2
E=0
Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r ?
Jak policzyć natężenie takiego pola?
Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego!
E= q40r
2
E 4 r2= q0
r =−∫∞
r
E ° dr =−∫∞
r q4 r20
dr = q4 r 0
15
Prawo Gaussa – zastosowaniajednorodnie naładowana płaszczyzna
Zakładamy że gęstość powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi
przez A przez B przez powierzchnięboczną = 0
E=ABD=q0
Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień
E=∮ E d S= q0
Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny
E=
20
ale A=B
E=EA cos0oEB cos0o= q
0
E=2 EA= A0
=dqds
=QS
Slajd 1Slajd 2Slajd 3Slajd 4Slajd 5Slajd 6Slajd 7Slajd 8Slajd 9Slajd 10Slajd 11Slajd 12Slajd 13Slajd 14Slajd 15
Top Related